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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 4 Asse, 2 Könige und 4 Damen. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "1 mal Ass und 1 mal König"?

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Ereignis	P
Ass -> Ass	$\frac{2}{15}$
Ass -> König	$\frac{4}{45}$
Ass -> Dame	$\frac{8}{45}$
König -> Ass	$\frac{4}{45}$
König -> König	$\frac{1}{45}$
König -> Dame	$\frac{4}{45}$
Dame -> Ass	$\frac{8}{45}$
Dame -> König	$\frac{4}{45}$
Dame -> Dame	$\frac{2}{15}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Ass")= $\frac{2}{5}$ ; P("König")= $\frac{1}{5}$ ; P("Dame")= $\frac{2}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Ass'-'König' (P= $\frac{4}{45}$ )
'König'-'Ass' (P= $\frac{4}{45}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{45}$ + $\frac{4}{45}$ = $\frac{8}{45}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 6 vom Typ rot und 4 vom Typ blau. Es wird 3 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 3 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

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Ereignis	P
rot -> rot -> rot	$\frac{1}{6}$
rot -> rot -> blau	$\frac{1}{6}$
rot -> blau -> rot	$\frac{1}{6}$
rot -> blau -> blau	$\frac{1}{10}$
blau -> rot -> rot	$\frac{1}{6}$
blau -> rot -> blau	$\frac{1}{10}$
blau -> blau -> rot	$\frac{1}{10}$
blau -> blau -> blau	$\frac{1}{30}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{3}{5}$ ; P("blau")= $\frac{2}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot'-'rot' (P= $\frac{1}{6}$ )
'blau'-'blau'-'blau' (P= $\frac{1}{30}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{30}$ = $\frac{1}{5}$

nur Summen

Beispiel:

In einer 8. Klasse gibt es 10 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 5 14-Jährige und 2 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 27 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?

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Ereignis	P
13 -> 13	$\frac{45}{136}$
13 -> 14	$\frac{25}{136}$
13 -> 15	$\frac{5}{68}$
14 -> 13	$\frac{25}{136}$
14 -> 14	$\frac{5}{68}$
14 -> 15	$\frac{5}{136}$
15 -> 13	$\frac{5}{68}$
15 -> 14	$\frac{5}{136}$
15 -> 15	$\frac{1}{136}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("13")= $\frac{10}{17}$ ; P("14")= $\frac{5}{17}$ ; P("15")= $\frac{2}{17}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'13'-'14' (P= $\frac{25}{136}$ )
'14'-'13' (P= $\frac{25}{136}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{25}{136}$ + $\frac{25}{136}$ = $\frac{25}{68}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 4. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{4}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 1 Karten der Farbe Herz und 3 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 4.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{4}$

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ohne Zurücklegen (einfach)

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Ziehen bis erstmals x kommt

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