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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 10 vom Typ Kreuz, 9 vom Typ Herz, 4 vom Typ Pik und 7 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

Lösung einblenden

Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{3}{29}$
Kreuz -> Herz	$\frac{3}{29}$
Kreuz -> Pik	$\frac{4}{87}$
Kreuz -> Karo	$\frac{7}{87}$
Herz -> Kreuz	$\frac{3}{29}$
Herz -> Herz	$\frac{12}{145}$
Herz -> Pik	$\frac{6}{145}$
Herz -> Karo	$\frac{21}{290}$
Pik -> Kreuz	$\frac{4}{87}$
Pik -> Herz	$\frac{6}{145}$
Pik -> Pik	$\frac{2}{145}$
Pik -> Karo	$\frac{14}{435}$
Karo -> Kreuz	$\frac{7}{87}$
Karo -> Herz	$\frac{21}{290}$
Karo -> Pik	$\frac{14}{435}$
Karo -> Karo	$\frac{7}{145}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{1}{3}$ ; P("Herz")= $\frac{3}{10}$ ; P("Pik")= $\frac{2}{15}$ ; P("Karo")= $\frac{7}{30}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{3}{29}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{12}{145}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{2}{145}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{7}{145}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{29}$ + $\frac{12}{145}$ + $\frac{2}{145}$ + $\frac{7}{145}$ = $\frac{36}{145}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 6 Karten der Farbe Kreuz, 3 der Farbe Pik, 6 der Farbe Herz und 5 der Farbe Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal Kreuz"? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Kreuz' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Kreuz' und 'nicht Kreuz'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Kreuz": $\frac{3}{10}$ ; "nicht Kreuz": $\frac{7}{10}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal Kreuz' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'Kreuz'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'Kreuz')=1- $\frac{3}{38}$ = $\frac{35}{38}$

Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{3}{38}$
Kreuz -> nicht Kreuz	$\frac{21}{95}$
nicht Kreuz -> Kreuz	$\frac{21}{95}$
nicht Kreuz -> nicht Kreuz	$\frac{91}{190}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{3}{10}$ ; P("nicht Kreuz")= $\frac{7}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'nicht Kreuz' (P= $\frac{21}{95}$ )
'nicht Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{21}{95}$ )
'nicht Kreuz'-'nicht Kreuz' (P= $\frac{91}{190}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{21}{95}$ + $\frac{21}{95}$ + $\frac{91}{190}$ = $\frac{35}{38}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 10 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 8 kugel mit einer 2 und 6 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 5 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{15}{92}$
1 -> 2	$\frac{10}{69}$
1 -> 3	$\frac{5}{46}$
2 -> 1	$\frac{10}{69}$
2 -> 2	$\frac{7}{69}$
2 -> 3	$\frac{2}{23}$
3 -> 1	$\frac{5}{46}$
3 -> 2	$\frac{2}{23}$
3 -> 3	$\frac{5}{92}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{5}{12}$ ; P("2")= $\frac{1}{3}$ ; P("3")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'2'-'3' (P= $\frac{2}{23}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{2}{23}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{23}$ + $\frac{2}{23}$ = $\frac{4}{23}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 4. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{4}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens 1 mal eine durch 3 teilbare Zahl zu würfeln?

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Da ja ausschließlich nach 'Teiler' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Teiler' und 'nicht Teiler'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Teiler": $\frac{1}{3}$ ; "nicht Teiler": $\frac{2}{3}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal Teiler' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'Teiler' bzw. 0 mal 'Teiler'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'Teiler')=1- $\frac{4}{9}$ = $\frac{5}{9}$

Ereignis	P
Teiler -> Teiler	$\frac{1}{9}$
Teiler -> nicht Teiler	$\frac{2}{9}$
nicht Teiler -> Teiler	$\frac{2}{9}$
nicht Teiler -> nicht Teiler	$\frac{4}{9}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Teiler")= $\frac{1}{3}$ ; P("nicht Teiler")= $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Teiler'-'nicht Teiler' (P= $\frac{2}{9}$ )
'nicht Teiler'-'Teiler' (P= $\frac{2}{9}$ )
'Teiler'-'Teiler' (P= $\frac{1}{9}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{9}$ + $\frac{2}{9}$ + $\frac{1}{9}$ = $\frac{5}{9}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

P=1-P(2 mal 'Kreuz')=1- 3 38 = 35 38

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen mit Zurücklegen

P=1-P(2 mal 'Kreuz')=1- $\frac{3}{38}$ = $\frac{35}{38}$