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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 2 vom Typ Kreuz, 9 vom Typ Herz, 3 vom Typ Pik und 6 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

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Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{1}{190}$
Kreuz -> Herz	$\frac{9}{190}$
Kreuz -> Pik	$\frac{3}{190}$
Kreuz -> Karo	$\frac{3}{95}$
Herz -> Kreuz	$\frac{9}{190}$
Herz -> Herz	$\frac{18}{95}$
Herz -> Pik	$\frac{27}{380}$
Herz -> Karo	$\frac{27}{190}$
Pik -> Kreuz	$\frac{3}{190}$
Pik -> Herz	$\frac{27}{380}$
Pik -> Pik	$\frac{3}{190}$
Pik -> Karo	$\frac{9}{190}$
Karo -> Kreuz	$\frac{3}{95}$
Karo -> Herz	$\frac{27}{190}$
Karo -> Pik	$\frac{9}{190}$
Karo -> Karo	$\frac{3}{38}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{1}{10}$ ; P("Herz")= $\frac{9}{20}$ ; P("Pik")= $\frac{3}{20}$ ; P("Karo")= $\frac{3}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{1}{190}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{18}{95}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{3}{190}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{3}{38}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{190}$ + $\frac{18}{95}$ + $\frac{3}{190}$ + $\frac{3}{38}$ = $\frac{11}{38}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 3 Mädchen und 7 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen genau 0 an eine Mädchen gehen?

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Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{1}{120}$
Mädchen -> Mädchen -> Jungs	$\frac{7}{120}$
Mädchen -> Jungs -> Mädchen	$\frac{7}{120}$
Mädchen -> Jungs -> Jungs	$\frac{7}{40}$
Jungs -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{7}{120}$
Jungs -> Mädchen -> Jungs	$\frac{7}{40}$
Jungs -> Jungs -> Mädchen	$\frac{7}{40}$
Jungs -> Jungs -> Jungs	$\frac{7}{24}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Mädchen")= $\frac{3}{10}$ ; P("Jungs")= $\frac{7}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Jungs'-'Jungs'-'Jungs' (P= $\frac{7}{24}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{7}{24}$ = $\frac{7}{24}$

nur Summen

Beispiel:

In einer 8. Klasse gibt es 10 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 10 14-Jährige und 4 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 30 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?

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Da ja ausschließlich nach '15' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '15' und 'nicht 15'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"15": $\frac{1}{6}$ ; "nicht 15": $\frac{5}{6}$ ;

Ereignis	P
15 -> 15	$\frac{1}{46}$
15 -> nicht 15	$\frac{10}{69}$
nicht 15 -> 15	$\frac{10}{69}$
nicht 15 -> nicht 15	$\frac{95}{138}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("15")= $\frac{1}{6}$ ; P("nicht 15")= $\frac{5}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'15'-'15' (P= $\frac{1}{46}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{46}$ = $\frac{1}{46}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 3. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$
= $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{1}{2}$
= $\frac{1}{4}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 8 vom Typ Kreuz, 7 vom Typ Herz, 3 vom Typ Pik und 6 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

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Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{7}{69}$
Kreuz -> Herz	$\frac{7}{69}$
Kreuz -> Pik	$\frac{1}{23}$
Kreuz -> Karo	$\frac{2}{23}$
Herz -> Kreuz	$\frac{7}{69}$
Herz -> Herz	$\frac{7}{92}$
Herz -> Pik	$\frac{7}{184}$
Herz -> Karo	$\frac{7}{92}$
Pik -> Kreuz	$\frac{1}{23}$
Pik -> Herz	$\frac{7}{184}$
Pik -> Pik	$\frac{1}{92}$
Pik -> Karo	$\frac{3}{92}$
Karo -> Kreuz	$\frac{2}{23}$
Karo -> Herz	$\frac{7}{92}$
Karo -> Pik	$\frac{3}{92}$
Karo -> Karo	$\frac{5}{92}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{1}{3}$ ; P("Herz")= $\frac{7}{24}$ ; P("Pik")= $\frac{1}{8}$ ; P("Karo")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{7}{69}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{7}{92}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{1}{92}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{5}{92}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{7}{69}$ + $\frac{7}{92}$ + $\frac{1}{92}$ + $\frac{5}{92}$ = $\frac{67}{276}$

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ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

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Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen ohne Zurücklegen