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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 4 vom Typ Kreuz, 6 vom Typ Herz, 6 vom Typ Pik und 4 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

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Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{3}{95}$
Kreuz -> Herz	$\frac{6}{95}$
Kreuz -> Pik	$\frac{6}{95}$
Kreuz -> Karo	$\frac{4}{95}$
Herz -> Kreuz	$\frac{6}{95}$
Herz -> Herz	$\frac{3}{38}$
Herz -> Pik	$\frac{9}{95}$
Herz -> Karo	$\frac{6}{95}$
Pik -> Kreuz	$\frac{6}{95}$
Pik -> Herz	$\frac{9}{95}$
Pik -> Pik	$\frac{3}{38}$
Pik -> Karo	$\frac{6}{95}$
Karo -> Kreuz	$\frac{4}{95}$
Karo -> Herz	$\frac{6}{95}$
Karo -> Pik	$\frac{6}{95}$
Karo -> Karo	$\frac{3}{95}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{1}{5}$ ; P("Herz")= $\frac{3}{10}$ ; P("Pik")= $\frac{3}{10}$ ; P("Karo")= $\frac{1}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{3}{95}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{3}{38}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{3}{38}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{3}{95}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{95}$ + $\frac{3}{38}$ + $\frac{3}{38}$ + $\frac{3}{95}$ = $\frac{21}{95}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 3 Schüler mit NWT-Profil, 10 Schüler mit sprachlichem Profil, 8 Schüler mit Musik-Profil und 3 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 2 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

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Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": $\frac{1}{8}$ ; "nicht NWT": $\frac{7}{8}$ ;

Ereignis	P
NWT -> NWT	$\frac{1}{92}$
NWT -> nicht NWT	$\frac{21}{184}$
nicht NWT -> NWT	$\frac{21}{184}$
nicht NWT -> nicht NWT	$\frac{35}{46}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("NWT")= $\frac{1}{8}$ ; P("nicht NWT")= $\frac{7}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'NWT'-'NWT' (P= $\frac{1}{92}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{92}$ = $\frac{1}{92}$

nur Summen

Beispiel:

In einem Stapel sind 4 Karten vom Wert 7, 4 Karten vom Wert 8 und 2 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 18 ist?

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Da ja ausschließlich nach '9' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '9' und 'nicht 9'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"9": $\frac{1}{5}$ ; "nicht 9": $\frac{4}{5}$ ;

Ereignis	P
9 -> 9	$\frac{1}{45}$
9 -> nicht 9	$\frac{8}{45}$
nicht 9 -> 9	$\frac{8}{45}$
nicht 9 -> nicht 9	$\frac{28}{45}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("9")= $\frac{1}{5}$ ; P("nicht 9")= $\frac{4}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'9'-'9' (P= $\frac{1}{45}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{45}$ = $\frac{1}{45}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote und 11 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine blaue Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die blaue Kugel im 3. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{2}{13}$ ⋅ $\frac{1}{12}$ ⋅ $\frac{11}{11}$
= $\frac{1}{13}$ ⋅ $\frac{1}{6}$ ⋅ $\frac{11}{11}$
= $\frac{1}{78}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wie in der Abbildung rechts wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal B"?

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Da ja ausschließlich nach 'B' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'B' und 'nicht B'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"B": $\frac{1}{4}$ ; "nicht B": $\frac{3}{4}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal B' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'B' bzw. 0 mal 'B'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'B')=1- $\frac{9}{16}$ = $\frac{7}{16}$

Ereignis	P
B -> B	$\frac{1}{16}$
B -> nicht B	$\frac{3}{16}$
nicht B -> B	$\frac{3}{16}$
nicht B -> nicht B	$\frac{9}{16}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("B")= $\frac{1}{4}$ ; P("nicht B")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'B'-'nicht B' (P= $\frac{3}{16}$ )
'nicht B'-'B' (P= $\frac{3}{16}$ )
'B'-'B' (P= $\frac{1}{16}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{16}$ + $\frac{3}{16}$ + $\frac{1}{16}$ = $\frac{7}{16}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen mit Zurücklegen