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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 4 Asse, 4 Könige und 4 Damen. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "1 mal Ass und 1 mal König"?

Lösung einblenden
EreignisP
Ass -> Ass 1 11
Ass -> König 4 33
Ass -> Dame 4 33
König -> Ass 4 33
König -> König 1 11
König -> Dame 4 33
Dame -> Ass 4 33
Dame -> König 4 33
Dame -> Dame 1 11

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Ass")= 1 3 ; P("König")= 1 3 ; P("Dame")= 1 3 ;

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'Ass'-'König' (P= 4 33 )
'König'-'Ass' (P= 4 33 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

4 33 + 4 33 = 8 33


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 7 Karten der Farbe Kreuz, 4 der Farbe Pik, 2 der Farbe Herz und 7 der Farbe Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal Kreuz"? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Kreuz' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Kreuz' und 'nicht Kreuz'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Kreuz": 7 20 ; "nicht Kreuz": 13 20 ;

EreignisP
Kreuz -> Kreuz 21 190
Kreuz -> nicht Kreuz 91 380
nicht Kreuz -> Kreuz 91 380
nicht Kreuz -> nicht Kreuz 39 95

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= 7 20 ; P("nicht Kreuz")= 13 20 ;

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'Kreuz'-'Kreuz' (P= 21 190 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

21 190 = 21 190


nur Summen

Beispiel:

Ein Würfel wird zwei mal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 9 ist?

Lösung einblenden
EreignisP
1 -> 1 1 36
1 -> 2 1 36
1 -> 3 1 36
1 -> 4 1 36
1 -> 5 1 36
1 -> 6 1 36
2 -> 1 1 36
2 -> 2 1 36
2 -> 3 1 36
2 -> 4 1 36
2 -> 5 1 36
2 -> 6 1 36
3 -> 1 1 36
3 -> 2 1 36
3 -> 3 1 36
3 -> 4 1 36
3 -> 5 1 36
3 -> 6 1 36
4 -> 1 1 36
4 -> 2 1 36
4 -> 3 1 36
4 -> 4 1 36
4 -> 5 1 36
4 -> 6 1 36
5 -> 1 1 36
5 -> 2 1 36
5 -> 3 1 36
5 -> 4 1 36
5 -> 5 1 36
5 -> 6 1 36
6 -> 1 1 36
6 -> 2 1 36
6 -> 3 1 36
6 -> 4 1 36
6 -> 5 1 36
6 -> 6 1 36

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= 1 6 ; P("2")= 1 6 ; P("3")= 1 6 ; P("4")= 1 6 ; P("5")= 1 6 ; P("6")= 1 6 ;

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  • '3'-'6' (P= 1 36 )
  • '6'-'3' (P= 1 36 )
  • '4'-'5' (P= 1 36 )
  • '5'-'4' (P= 1 36 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 36 + 1 36 + 1 36 + 1 36 = 1 9


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 7 Karten der Farbe Herz und 3 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 3.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 3 10 2 9 7 8
= 1 5 1 3 7 8
= 7 120

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Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote, 2 gelbe, 3 blaue und 4 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal gelb"?

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Da ja ausschließlich nach 'gelb' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'gelb' und 'nicht gelb'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"gelb": 1 6 ; "nicht gelb": 5 6 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal gelb' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'gelb'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'gelb')=1- 1 36 = 35 36

EreignisP
gelb -> gelb 1 36
gelb -> nicht gelb 5 36
nicht gelb -> gelb 5 36
nicht gelb -> nicht gelb 25 36

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("gelb")= 1 6 ; P("nicht gelb")= 5 6 ;

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  • 'gelb'-'nicht gelb' (P= 5 36 )
  • 'nicht gelb'-'gelb' (P= 5 36 )
  • 'nicht gelb'-'nicht gelb' (P= 25 36 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

5 36 + 5 36 + 25 36 = 35 36