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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 4 Mädchen und 6 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen genau 3 an ein Mädchen gehen?

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Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{1}{30}$
Mädchen -> Mädchen -> Jungs	$\frac{1}{10}$
Mädchen -> Jungs -> Mädchen	$\frac{1}{10}$
Mädchen -> Jungs -> Jungs	$\frac{1}{6}$
Jungs -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{1}{10}$
Jungs -> Mädchen -> Jungs	$\frac{1}{6}$
Jungs -> Jungs -> Mädchen	$\frac{1}{6}$
Jungs -> Jungs -> Jungs	$\frac{1}{6}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Mädchen")= $\frac{2}{5}$ ; P("Jungs")= $\frac{3}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Mädchen'-'Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{1}{30}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{30}$ = $\frac{1}{30}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 2 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 8 kugel mit einer 2 und 5 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 4 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{105}$
1 -> 2	$\frac{8}{105}$
1 -> 3	$\frac{1}{21}$
2 -> 1	$\frac{8}{105}$
2 -> 2	$\frac{4}{15}$
2 -> 3	$\frac{4}{21}$
3 -> 1	$\frac{1}{21}$
3 -> 2	$\frac{4}{21}$
3 -> 3	$\frac{2}{21}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{2}{15}$ ; P("2")= $\frac{8}{15}$ ; P("3")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{1}{21}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{1}{21}$ )
'2'-'2' (P= $\frac{4}{15}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{21}$ + $\frac{1}{21}$ + $\frac{4}{15}$ = $\frac{38}{105}$

nur Summen

Beispiel:

In einer 8. Klasse gibt es 10 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 10 14-Jährige und 2 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 29 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?

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Ereignis	P
13 -> 13	$\frac{15}{77}$
13 -> 14	$\frac{50}{231}$
13 -> 15	$\frac{10}{231}$
14 -> 13	$\frac{50}{231}$
14 -> 14	$\frac{15}{77}$
14 -> 15	$\frac{10}{231}$
15 -> 13	$\frac{10}{231}$
15 -> 14	$\frac{10}{231}$
15 -> 15	$\frac{1}{231}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("13")= $\frac{5}{11}$ ; P("14")= $\frac{5}{11}$ ; P("15")= $\frac{1}{11}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'14'-'15' (P= $\frac{10}{231}$ )
'15'-'14' (P= $\frac{10}{231}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{10}{231}$ + $\frac{10}{231}$ = $\frac{20}{231}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 12 Karten der Farbe Herz und 2 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 3.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{2}{14}$ ⋅ $\frac{1}{13}$ ⋅ $\frac{12}{12}$
= $\frac{1}{7}$ ⋅ $\frac{1}{13}$ ⋅ $\frac{6}{6}$
= $\frac{1}{91}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 10 vom Typ rot, 10 vom Typ blau, 3 vom Typ gelb und 7 vom Typ schwarz. Es wird 2 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

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Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{3}{29}$
rot -> blau	$\frac{10}{87}$
rot -> gelb	$\frac{1}{29}$
rot -> schwarz	$\frac{7}{87}$
blau -> rot	$\frac{10}{87}$
blau -> blau	$\frac{3}{29}$
blau -> gelb	$\frac{1}{29}$
blau -> schwarz	$\frac{7}{87}$
gelb -> rot	$\frac{1}{29}$
gelb -> blau	$\frac{1}{29}$
gelb -> gelb	$\frac{1}{145}$
gelb -> schwarz	$\frac{7}{290}$
schwarz -> rot	$\frac{7}{87}$
schwarz -> blau	$\frac{7}{87}$
schwarz -> gelb	$\frac{7}{290}$
schwarz -> schwarz	$\frac{7}{145}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{1}{3}$ ; P("blau")= $\frac{1}{3}$ ; P("gelb")= $\frac{1}{10}$ ; P("schwarz")= $\frac{7}{30}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{3}{29}$ )
'blau'-'blau' (P= $\frac{3}{29}$ )
'gelb'-'gelb' (P= $\frac{1}{145}$ )
'schwarz'-'schwarz' (P= $\frac{7}{145}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{29}$ + $\frac{3}{29}$ + $\frac{1}{145}$ + $\frac{7}{145}$ = $\frac{38}{145}$

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ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen ohne Zurücklegen