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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 7 Schüler mit NWT-Profil, 7 Schüler mit sprachlichem Profil, 2 Schüler mit Musik-Profil und 4 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass höchstens 1 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": $\frac{7}{20}$ ; "nicht NWT": $\frac{13}{20}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal NWT' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'NWT'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'NWT')=1- $\frac{21}{190}$ = $\frac{169}{190}$

Ereignis	P
NWT -> NWT	$\frac{21}{190}$
NWT -> nicht NWT	$\frac{91}{380}$
nicht NWT -> NWT	$\frac{91}{380}$
nicht NWT -> nicht NWT	$\frac{39}{95}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("NWT")= $\frac{7}{20}$ ; P("nicht NWT")= $\frac{13}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'NWT'-'nicht NWT' (P= $\frac{91}{380}$ )
'nicht NWT'-'NWT' (P= $\frac{91}{380}$ )
'nicht NWT'-'nicht NWT' (P= $\frac{39}{95}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{91}{380}$ + $\frac{91}{380}$ + $\frac{39}{95}$ = $\frac{169}{190}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 2 Asse, 2 Könige und 2 Damen. Es werden 2 Karten vom Stapel gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "höchstens 1 mal Dame"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Dame' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Dame' und 'nicht Dame'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Dame": $\frac{1}{3}$ ; "nicht Dame": $\frac{2}{3}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal Dame' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'Dame'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'Dame')=1- $\frac{1}{15}$ = $\frac{14}{15}$

Ereignis	P
Dame -> Dame	$\frac{1}{15}$
Dame -> nicht Dame	$\frac{4}{15}$
nicht Dame -> Dame	$\frac{4}{15}$
nicht Dame -> nicht Dame	$\frac{2}{5}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Dame")= $\frac{1}{3}$ ; P("nicht Dame")= $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Dame'-'nicht Dame' (P= $\frac{4}{15}$ )
'nicht Dame'-'Dame' (P= $\frac{4}{15}$ )
'nicht Dame'-'nicht Dame' (P= $\frac{2}{5}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{15}$ + $\frac{4}{15}$ + $\frac{2}{5}$ = $\frac{14}{15}$

nur Summen

Beispiel:

Ein Würfel wird zwei mal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 11 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{36}$
1 -> 2	$\frac{1}{36}$
1 -> 3	$\frac{1}{36}$
1 -> 4	$\frac{1}{36}$
1 -> 5	$\frac{1}{36}$
1 -> 6	$\frac{1}{36}$
2 -> 1	$\frac{1}{36}$
2 -> 2	$\frac{1}{36}$
2 -> 3	$\frac{1}{36}$
2 -> 4	$\frac{1}{36}$
2 -> 5	$\frac{1}{36}$
2 -> 6	$\frac{1}{36}$
3 -> 1	$\frac{1}{36}$
3 -> 2	$\frac{1}{36}$
3 -> 3	$\frac{1}{36}$
3 -> 4	$\frac{1}{36}$
3 -> 5	$\frac{1}{36}$
3 -> 6	$\frac{1}{36}$
4 -> 1	$\frac{1}{36}$
4 -> 2	$\frac{1}{36}$
4 -> 3	$\frac{1}{36}$
4 -> 4	$\frac{1}{36}$
4 -> 5	$\frac{1}{36}$
4 -> 6	$\frac{1}{36}$
5 -> 1	$\frac{1}{36}$
5 -> 2	$\frac{1}{36}$
5 -> 3	$\frac{1}{36}$
5 -> 4	$\frac{1}{36}$
5 -> 5	$\frac{1}{36}$
5 -> 6	$\frac{1}{36}$
6 -> 1	$\frac{1}{36}$
6 -> 2	$\frac{1}{36}$
6 -> 3	$\frac{1}{36}$
6 -> 4	$\frac{1}{36}$
6 -> 5	$\frac{1}{36}$
6 -> 6	$\frac{1}{36}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{6}$ ; P("2")= $\frac{1}{6}$ ; P("3")= $\frac{1}{6}$ ; P("4")= $\frac{1}{6}$ ; P("5")= $\frac{1}{6}$ ; P("6")= $\frac{1}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'5'-'6' (P= $\frac{1}{36}$ )
'6'-'5' (P= $\frac{1}{36}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ = $\frac{1}{18}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 9 rote und 2 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die rote Kugel im 3. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{2}{11}$ ⋅ $\frac{1}{10}$ ⋅ $\frac{9}{9}$
= $\frac{1}{11}$ ⋅ $\frac{1}{5}$ ⋅ $\frac{9}{9}$
= $\frac{1}{55}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, höchstens 1 mal eine 6 zu würfeln?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '6er' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '6er' und 'nicht 6er'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"6er": $\frac{1}{6}$ ; "nicht 6er": $\frac{5}{6}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal 6er' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal '6er'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal '6er')=1- $\frac{1}{36}$ = $\frac{35}{36}$

Ereignis	P
6er -> 6er	$\frac{1}{36}$
6er -> nicht 6er	$\frac{5}{36}$
nicht 6er -> 6er	$\frac{5}{36}$
nicht 6er -> nicht 6er	$\frac{25}{36}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("6er")= $\frac{1}{6}$ ; P("nicht 6er")= $\frac{5}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'6er'-'nicht 6er' (P= $\frac{5}{36}$ )
'nicht 6er'-'6er' (P= $\frac{5}{36}$ )
'nicht 6er'-'nicht 6er' (P= $\frac{25}{36}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{36}$ + $\frac{5}{36}$ + $\frac{25}{36}$ = $\frac{35}{36}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

ohne Zurücklegen (einfach)

P=1-P(2 mal 'NWT')=1- 21 190 = 169 190

Ziehen ohne Zurücklegen

P=1-P(2 mal 'Dame')=1- 1 15 = 14 15

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

mit Zurücklegen (einfach)

P=1-P(2 mal '6er')=1- 1 36 = 35 36

P=1-P(2 mal 'NWT')=1- $\frac{21}{190}$ = $\frac{169}{190}$

P=1-P(2 mal 'Dame')=1- $\frac{1}{15}$ = $\frac{14}{15}$

P=1-P(2 mal '6er')=1- $\frac{1}{36}$ = $\frac{35}{36}$