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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 5 vom Typ Kreuz, 10 vom Typ Herz, 8 vom Typ Pik und 7 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

Lösung einblenden

Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{2}{87}$
Kreuz -> Herz	$\frac{5}{87}$
Kreuz -> Pik	$\frac{4}{87}$
Kreuz -> Karo	$\frac{7}{174}$
Herz -> Kreuz	$\frac{5}{87}$
Herz -> Herz	$\frac{3}{29}$
Herz -> Pik	$\frac{8}{87}$
Herz -> Karo	$\frac{7}{87}$
Pik -> Kreuz	$\frac{4}{87}$
Pik -> Herz	$\frac{8}{87}$
Pik -> Pik	$\frac{28}{435}$
Pik -> Karo	$\frac{28}{435}$
Karo -> Kreuz	$\frac{7}{174}$
Karo -> Herz	$\frac{7}{87}$
Karo -> Pik	$\frac{28}{435}$
Karo -> Karo	$\frac{7}{145}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{1}{6}$ ; P("Herz")= $\frac{1}{3}$ ; P("Pik")= $\frac{4}{15}$ ; P("Karo")= $\frac{7}{30}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{2}{87}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{3}{29}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{28}{435}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{7}{145}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{87}$ + $\frac{3}{29}$ + $\frac{28}{435}$ + $\frac{7}{145}$ = $\frac{104}{435}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 9 vom Typ Kreuz, 5 vom Typ Herz, 6 vom Typ Pik und 4 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

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Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{3}{23}$
Kreuz -> Herz	$\frac{15}{184}$
Kreuz -> Pik	$\frac{9}{92}$
Kreuz -> Karo	$\frac{3}{46}$
Herz -> Kreuz	$\frac{15}{184}$
Herz -> Herz	$\frac{5}{138}$
Herz -> Pik	$\frac{5}{92}$
Herz -> Karo	$\frac{5}{138}$
Pik -> Kreuz	$\frac{9}{92}$
Pik -> Herz	$\frac{5}{92}$
Pik -> Pik	$\frac{5}{92}$
Pik -> Karo	$\frac{1}{23}$
Karo -> Kreuz	$\frac{3}{46}$
Karo -> Herz	$\frac{5}{138}$
Karo -> Pik	$\frac{1}{23}$
Karo -> Karo	$\frac{1}{46}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{3}{8}$ ; P("Herz")= $\frac{5}{24}$ ; P("Pik")= $\frac{1}{4}$ ; P("Karo")= $\frac{1}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{3}{23}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{5}{138}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{5}{92}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{1}{46}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{23}$ + $\frac{5}{138}$ + $\frac{5}{92}$ + $\frac{1}{46}$ = $\frac{67}{276}$

nur Summen

Beispiel:

In einer 8. Klasse gibt es 10 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 5 14-Jährige und 2 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 28 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?

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Ereignis	P
13 -> 13	$\frac{45}{136}$
13 -> 14	$\frac{25}{136}$
13 -> 15	$\frac{5}{68}$
14 -> 13	$\frac{25}{136}$
14 -> 14	$\frac{5}{68}$
14 -> 15	$\frac{5}{136}$
15 -> 13	$\frac{5}{68}$
15 -> 14	$\frac{5}{136}$
15 -> 15	$\frac{1}{136}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("13")= $\frac{10}{17}$ ; P("14")= $\frac{5}{17}$ ; P("15")= $\frac{2}{17}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'13'-'15' (P= $\frac{5}{68}$ )
'15'-'13' (P= $\frac{5}{68}$ )
'14'-'14' (P= $\frac{5}{68}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{68}$ + $\frac{5}{68}$ + $\frac{5}{68}$ = $\frac{15}{68}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und 11 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine blaue Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die blaue Kugel im 3. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{4}{15}$ ⋅ $\frac{3}{14}$ ⋅ $\frac{11}{13}$
= $\frac{2}{5}$ ⋅ $\frac{1}{7}$ ⋅ $\frac{11}{13}$
= $\frac{22}{455}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Lostopf sind 3 Kugeln mit einer Eins beschriftet, 9 Kugeln mit einer Zwei, 5 mit Drei und 3 mit einer Vier. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkiet dass die beiden gezogenen Zahlen zusammen 6 ergeben?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{3}{190}$
1 -> 2	$\frac{27}{380}$
1 -> 3	$\frac{3}{76}$
1 -> 4	$\frac{9}{380}$
2 -> 1	$\frac{27}{380}$
2 -> 2	$\frac{18}{95}$
2 -> 3	$\frac{9}{76}$
2 -> 4	$\frac{27}{380}$
3 -> 1	$\frac{3}{76}$
3 -> 2	$\frac{9}{76}$
3 -> 3	$\frac{1}{19}$
3 -> 4	$\frac{3}{76}$
4 -> 1	$\frac{9}{380}$
4 -> 2	$\frac{27}{380}$
4 -> 3	$\frac{3}{76}$
4 -> 4	$\frac{3}{190}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{3}{20}$ ; P("2")= $\frac{9}{20}$ ; P("3")= $\frac{1}{4}$ ; P("4")= $\frac{3}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'2'-'4' (P= $\frac{27}{380}$ )
'4'-'2' (P= $\frac{27}{380}$ )
'3'-'3' (P= $\frac{1}{19}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{27}{380}$ + $\frac{27}{380}$ + $\frac{1}{19}$ = $\frac{37}{190}$

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ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

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Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen ohne Zurücklegen