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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 9 vom Typ Kreuz, 3 vom Typ Herz, 2 vom Typ Pik und 6 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

Lösung einblenden

Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{18}{95}$
Kreuz -> Herz	$\frac{27}{380}$
Kreuz -> Pik	$\frac{9}{190}$
Kreuz -> Karo	$\frac{27}{190}$
Herz -> Kreuz	$\frac{27}{380}$
Herz -> Herz	$\frac{3}{190}$
Herz -> Pik	$\frac{3}{190}$
Herz -> Karo	$\frac{9}{190}$
Pik -> Kreuz	$\frac{9}{190}$
Pik -> Herz	$\frac{3}{190}$
Pik -> Pik	$\frac{1}{190}$
Pik -> Karo	$\frac{3}{95}$
Karo -> Kreuz	$\frac{27}{190}$
Karo -> Herz	$\frac{9}{190}$
Karo -> Pik	$\frac{3}{95}$
Karo -> Karo	$\frac{3}{38}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{9}{20}$ ; P("Herz")= $\frac{3}{20}$ ; P("Pik")= $\frac{1}{10}$ ; P("Karo")= $\frac{3}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{18}{95}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{3}{190}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{1}{190}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{3}{38}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{18}{95}$ + $\frac{3}{190}$ + $\frac{1}{190}$ + $\frac{3}{38}$ = $\frac{11}{38}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 2 vom Typ Kreuz, 7 vom Typ Herz, 8 vom Typ Pik und 3 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

Lösung einblenden

Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{1}{190}$
Kreuz -> Herz	$\frac{7}{190}$
Kreuz -> Pik	$\frac{4}{95}$
Kreuz -> Karo	$\frac{3}{190}$
Herz -> Kreuz	$\frac{7}{190}$
Herz -> Herz	$\frac{21}{190}$
Herz -> Pik	$\frac{14}{95}$
Herz -> Karo	$\frac{21}{380}$
Pik -> Kreuz	$\frac{4}{95}$
Pik -> Herz	$\frac{14}{95}$
Pik -> Pik	$\frac{14}{95}$
Pik -> Karo	$\frac{6}{95}$
Karo -> Kreuz	$\frac{3}{190}$
Karo -> Herz	$\frac{21}{380}$
Karo -> Pik	$\frac{6}{95}$
Karo -> Karo	$\frac{3}{190}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{1}{10}$ ; P("Herz")= $\frac{7}{20}$ ; P("Pik")= $\frac{2}{5}$ ; P("Karo")= $\frac{3}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{1}{190}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{21}{190}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{14}{95}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{3}{190}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{190}$ + $\frac{21}{190}$ + $\frac{14}{95}$ + $\frac{3}{190}$ = $\frac{53}{190}$

nur Summen

Beispiel:

Ein Würfel wird zwei mal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 5 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{36}$
1 -> 2	$\frac{1}{36}$
1 -> 3	$\frac{1}{36}$
1 -> 4	$\frac{1}{36}$
1 -> 5	$\frac{1}{36}$
1 -> 6	$\frac{1}{36}$
2 -> 1	$\frac{1}{36}$
2 -> 2	$\frac{1}{36}$
2 -> 3	$\frac{1}{36}$
2 -> 4	$\frac{1}{36}$
2 -> 5	$\frac{1}{36}$
2 -> 6	$\frac{1}{36}$
3 -> 1	$\frac{1}{36}$
3 -> 2	$\frac{1}{36}$
3 -> 3	$\frac{1}{36}$
3 -> 4	$\frac{1}{36}$
3 -> 5	$\frac{1}{36}$
3 -> 6	$\frac{1}{36}$
4 -> 1	$\frac{1}{36}$
4 -> 2	$\frac{1}{36}$
4 -> 3	$\frac{1}{36}$
4 -> 4	$\frac{1}{36}$
4 -> 5	$\frac{1}{36}$
4 -> 6	$\frac{1}{36}$
5 -> 1	$\frac{1}{36}$
5 -> 2	$\frac{1}{36}$
5 -> 3	$\frac{1}{36}$
5 -> 4	$\frac{1}{36}$
5 -> 5	$\frac{1}{36}$
5 -> 6	$\frac{1}{36}$
6 -> 1	$\frac{1}{36}$
6 -> 2	$\frac{1}{36}$
6 -> 3	$\frac{1}{36}$
6 -> 4	$\frac{1}{36}$
6 -> 5	$\frac{1}{36}$
6 -> 6	$\frac{1}{36}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{6}$ ; P("2")= $\frac{1}{6}$ ; P("3")= $\frac{1}{6}$ ; P("4")= $\frac{1}{6}$ ; P("5")= $\frac{1}{6}$ ; P("6")= $\frac{1}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'4' (P= $\frac{1}{36}$ )
'4'-'1' (P= $\frac{1}{36}$ )
'2'-'3' (P= $\frac{1}{36}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{1}{36}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ = $\frac{1}{9}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 8 rote und 2 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die rote Kugel im 2. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{2}{10}$ ⋅ $\frac{8}{9}$
= $\frac{2}{5}$ ⋅ $\frac{4}{9}$
= $\frac{8}{45}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 9 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 9 kugel mit einer 2 und 6 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 3 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{3}{23}$
1 -> 2	$\frac{27}{184}$
1 -> 3	$\frac{9}{92}$
2 -> 1	$\frac{27}{184}$
2 -> 2	$\frac{3}{23}$
2 -> 3	$\frac{9}{92}$
3 -> 1	$\frac{9}{92}$
3 -> 2	$\frac{9}{92}$
3 -> 3	$\frac{5}{92}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{3}{8}$ ; P("2")= $\frac{3}{8}$ ; P("3")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'2' (P= $\frac{27}{184}$ )
'2'-'1' (P= $\frac{27}{184}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{27}{184}$ + $\frac{27}{184}$ = $\frac{27}{92}$

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ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

nur Summen