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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote, 3 blaue , 4 gelbe und 3 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 1 mal gelb"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'gelb' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'gelb' und 'nicht gelb'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"gelb": $\frac{4}{15}$ ; "nicht gelb": $\frac{11}{15}$ ;

Ereignis	P
gelb -> gelb	$\frac{2}{35}$
gelb -> nicht gelb	$\frac{22}{105}$
nicht gelb -> gelb	$\frac{22}{105}$
nicht gelb -> nicht gelb	$\frac{11}{21}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("gelb")= $\frac{4}{15}$ ; P("nicht gelb")= $\frac{11}{15}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'gelb'-'nicht gelb' (P= $\frac{22}{105}$ )
'nicht gelb'-'gelb' (P= $\frac{22}{105}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{22}{105}$ + $\frac{22}{105}$ = $\frac{44}{105}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Lostopf sind 2 Kugeln mit einer Eins beschriftet, 10 Kugeln mit einer Zwei, 5 mit Drei und 3 mit einer Vier. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkiet dass die beiden gezogenen Zahlen zusammen 4 ergeben?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{190}$
1 -> 2	$\frac{1}{19}$
1 -> 3	$\frac{1}{38}$
1 -> 4	$\frac{3}{190}$
2 -> 1	$\frac{1}{19}$
2 -> 2	$\frac{9}{38}$
2 -> 3	$\frac{5}{38}$
2 -> 4	$\frac{3}{38}$
3 -> 1	$\frac{1}{38}$
3 -> 2	$\frac{5}{38}$
3 -> 3	$\frac{1}{19}$
3 -> 4	$\frac{3}{76}$
4 -> 1	$\frac{3}{190}$
4 -> 2	$\frac{3}{38}$
4 -> 3	$\frac{3}{76}$
4 -> 4	$\frac{3}{190}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{10}$ ; P("2")= $\frac{1}{2}$ ; P("3")= $\frac{1}{4}$ ; P("4")= $\frac{3}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{1}{38}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{1}{38}$ )
'2'-'2' (P= $\frac{9}{38}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{38}$ + $\frac{1}{38}$ + $\frac{9}{38}$ = $\frac{11}{38}$

nur Summen

Beispiel:

In einem Stapel sind 2 Karten vom Wert 7, 2 Karten vom Wert 8 und 4 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 14 ist?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '7' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '7' und 'nicht 7'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"7": $\frac{1}{4}$ ; "nicht 7": $\frac{3}{4}$ ;

Ereignis	P
7 -> 7	$\frac{1}{28}$
7 -> nicht 7	$\frac{3}{14}$
nicht 7 -> 7	$\frac{3}{14}$
nicht 7 -> nicht 7	$\frac{15}{28}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("7")= $\frac{1}{4}$ ; P("nicht 7")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'7'-'7' (P= $\frac{1}{28}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{28}$ = $\frac{1}{28}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 4. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{4}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 2 Asse, 2 Könige und 4 Damen. Es werden 2 Karten vom Stapel gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "höchstens 1 mal Dame"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Dame' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Dame' und 'nicht Dame'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Dame": $\frac{1}{2}$ ; "nicht Dame": $\frac{1}{2}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal Dame' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'Dame'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'Dame')=1- $\frac{3}{14}$ = $\frac{11}{14}$

Ereignis	P
Dame -> Dame	$\frac{3}{14}$
Dame -> nicht Dame	$\frac{2}{7}$
nicht Dame -> Dame	$\frac{2}{7}$
nicht Dame -> nicht Dame	$\frac{3}{14}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Dame")= $\frac{1}{2}$ ; P("nicht Dame")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Dame'-'nicht Dame' (P= $\frac{2}{7}$ )
'nicht Dame'-'Dame' (P= $\frac{2}{7}$ )
'nicht Dame'-'nicht Dame' (P= $\frac{3}{14}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{7}$ + $\frac{2}{7}$ + $\frac{3}{14}$ = $\frac{11}{14}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen ohne Zurücklegen

P=1-P(2 mal 'Dame')=1- 3 14 = 11 14

P=1-P(2 mal 'Dame')=1- $\frac{3}{14}$ = $\frac{11}{14}$