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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote, 10 blaue , 8 gelbe und 7 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal blau"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": $\frac{1}{3}$ ; "nicht blau": $\frac{2}{3}$ ;

Ereignis	P
blau -> blau	$\frac{3}{29}$
blau -> nicht blau	$\frac{20}{87}$
nicht blau -> blau	$\frac{20}{87}$
nicht blau -> nicht blau	$\frac{38}{87}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("blau")= $\frac{1}{3}$ ; P("nicht blau")= $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'blau' (P= $\frac{3}{29}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{29}$ = $\frac{3}{29}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 4 vom Typ Kreuz, 9 vom Typ Herz, 7 vom Typ Pik und 4 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

Lösung einblenden

Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{1}{46}$
Kreuz -> Herz	$\frac{3}{46}$
Kreuz -> Pik	$\frac{7}{138}$
Kreuz -> Karo	$\frac{2}{69}$
Herz -> Kreuz	$\frac{3}{46}$
Herz -> Herz	$\frac{3}{23}$
Herz -> Pik	$\frac{21}{184}$
Herz -> Karo	$\frac{3}{46}$
Pik -> Kreuz	$\frac{7}{138}$
Pik -> Herz	$\frac{21}{184}$
Pik -> Pik	$\frac{7}{92}$
Pik -> Karo	$\frac{7}{138}$
Karo -> Kreuz	$\frac{2}{69}$
Karo -> Herz	$\frac{3}{46}$
Karo -> Pik	$\frac{7}{138}$
Karo -> Karo	$\frac{1}{46}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{1}{6}$ ; P("Herz")= $\frac{3}{8}$ ; P("Pik")= $\frac{7}{24}$ ; P("Karo")= $\frac{1}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{1}{46}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{3}{23}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{7}{92}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{1}{46}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{46}$ + $\frac{3}{23}$ + $\frac{7}{92}$ + $\frac{1}{46}$ = $\frac{1}{4}$

nur Summen

Beispiel:

In einer 8. Klasse gibt es 10 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 5 14-Jährige und 4 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 29 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?

Lösung einblenden

Ereignis	P
13 -> 13	$\frac{5}{19}$
13 -> 14	$\frac{25}{171}$
13 -> 15	$\frac{20}{171}$
14 -> 13	$\frac{25}{171}$
14 -> 14	$\frac{10}{171}$
14 -> 15	$\frac{10}{171}$
15 -> 13	$\frac{20}{171}$
15 -> 14	$\frac{10}{171}$
15 -> 15	$\frac{2}{57}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("13")= $\frac{10}{19}$ ; P("14")= $\frac{5}{19}$ ; P("15")= $\frac{4}{19}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'14'-'15' (P= $\frac{10}{171}$ )
'15'-'14' (P= $\frac{10}{171}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{10}{171}$ + $\frac{10}{171}$ = $\frac{20}{171}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 2. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{1}{3}$
= $\frac{1}{4}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{4}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 9 rote und 3 blaue Kugeln. Es wird 3 mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 2 mal rot"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{3}{4}$ ; "nicht rot": $\frac{1}{4}$ ;

Ereignis	P
rot -> rot -> rot	$\frac{27}{64}$
rot -> rot -> nicht rot	$\frac{9}{64}$
rot -> nicht rot -> rot	$\frac{9}{64}$
rot -> nicht rot -> nicht rot	$\frac{3}{64}$
nicht rot -> rot -> rot	$\frac{9}{64}$
nicht rot -> rot -> nicht rot	$\frac{3}{64}$
nicht rot -> nicht rot -> rot	$\frac{3}{64}$
nicht rot -> nicht rot -> nicht rot	$\frac{1}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{3}{4}$ ; P("nicht rot")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot'-'nicht rot' (P= $\frac{9}{64}$ )
'rot'-'nicht rot'-'rot' (P= $\frac{9}{64}$ )
'nicht rot'-'rot'-'rot' (P= $\frac{9}{64}$ )
'rot'-'rot'-'rot' (P= $\frac{27}{64}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{9}{64}$ + $\frac{9}{64}$ + $\frac{9}{64}$ + $\frac{27}{64}$ = $\frac{27}{32}$

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ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen mit Zurücklegen