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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 8 rote und 4 blaue Kugeln. Es wird 3 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "2 mal rot und 1 mal blau"?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot -> rot	$\frac{14}{55}$
rot -> rot -> blau	$\frac{28}{165}$
rot -> blau -> rot	$\frac{28}{165}$
rot -> blau -> blau	$\frac{4}{55}$
blau -> rot -> rot	$\frac{28}{165}$
blau -> rot -> blau	$\frac{4}{55}$
blau -> blau -> rot	$\frac{4}{55}$
blau -> blau -> blau	$\frac{1}{55}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{2}{3}$ ; P("blau")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot'-'blau' (P= $\frac{28}{165}$ )
'rot'-'blau'-'rot' (P= $\frac{28}{165}$ )
'blau'-'rot'-'rot' (P= $\frac{28}{165}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{28}{165}$ + $\frac{28}{165}$ + $\frac{28}{165}$ = $\frac{28}{55}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Lostopf sind 6 Kugeln mit einer Eins beschriftet, 2 Kugeln mit einer Zwei, 9 mit Drei und 3 mit einer Vier. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkiet dass die beiden gezogenen Zahlen zusammen 6 ergeben?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{3}{38}$
1 -> 2	$\frac{3}{95}$
1 -> 3	$\frac{27}{190}$
1 -> 4	$\frac{9}{190}$
2 -> 1	$\frac{3}{95}$
2 -> 2	$\frac{1}{190}$
2 -> 3	$\frac{9}{190}$
2 -> 4	$\frac{3}{190}$
3 -> 1	$\frac{27}{190}$
3 -> 2	$\frac{9}{190}$
3 -> 3	$\frac{18}{95}$
3 -> 4	$\frac{27}{380}$
4 -> 1	$\frac{9}{190}$
4 -> 2	$\frac{3}{190}$
4 -> 3	$\frac{27}{380}$
4 -> 4	$\frac{3}{190}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{3}{10}$ ; P("2")= $\frac{1}{10}$ ; P("3")= $\frac{9}{20}$ ; P("4")= $\frac{3}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'2'-'4' (P= $\frac{3}{190}$ )
'4'-'2' (P= $\frac{3}{190}$ )
'3'-'3' (P= $\frac{18}{95}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{190}$ + $\frac{3}{190}$ + $\frac{18}{95}$ = $\frac{21}{95}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 6 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 8 2er und 6 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 5 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{9}{100}$
1 -> 2	$\frac{3}{25}$
1 -> 3	$\frac{9}{100}$
2 -> 1	$\frac{3}{25}$
2 -> 2	$\frac{4}{25}$
2 -> 3	$\frac{3}{25}$
3 -> 1	$\frac{9}{100}$
3 -> 2	$\frac{3}{25}$
3 -> 3	$\frac{9}{100}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{3}{10}$ ; P("2")= $\frac{2}{5}$ ; P("3")= $\frac{3}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'2'-'3' (P= $\frac{3}{25}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{3}{25}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{25}$ + $\frac{3}{25}$ = $\frac{6}{25}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 1 Karten der Farbe Herz und 3 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 2.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{1}{3}$
= $\frac{1}{4}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{4}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Beim Roulette kann man auch auf Zahlenbereiche setzen. Z.B. auf die Zahlenbereiche 1-12, 13-24 und 25-36, wobei die grüne 0 zu keinem der Bereiche gehört. Es wird zwei mal eine Kugel im Roulette gespielt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal 1-12"?

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Da ja ausschließlich nach '1-12' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '1-12' und 'nicht 1-12'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"1-12": $\frac{12}{37}$ ; "nicht 1-12": $\frac{25}{37}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal 1-12' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein '1-12' bzw. 0 mal '1-12'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal '1-12')=1- $\frac{625}{1369}$ = $\frac{744}{1369}$

Ereignis	P
1-12 -> 1-12	$\frac{144}{1369}$
1-12 -> nicht 1-12	$\frac{300}{1369}$
nicht 1-12 -> 1-12	$\frac{300}{1369}$
nicht 1-12 -> nicht 1-12	$\frac{625}{1369}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1-12")= $\frac{12}{37}$ ; P("nicht 1-12")= $\frac{25}{37}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1-12'-'nicht 1-12' (P= $\frac{300}{1369}$ )
'nicht 1-12'-'1-12' (P= $\frac{300}{1369}$ )
'1-12'-'1-12' (P= $\frac{144}{1369}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{300}{1369}$ + $\frac{300}{1369}$ + $\frac{144}{1369}$ = $\frac{744}{1369}$

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ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

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Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen mit Zurücklegen