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Beispiel:
In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 8 vom Typ Kreuz, 4 vom Typ Herz, 2 vom Typ Pik und 6 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)
| Ereignis | P |
|---|---|
| Kreuz -> Kreuz | |
| Kreuz -> Herz | |
| Kreuz -> Pik | |
| Kreuz -> Karo | |
| Herz -> Kreuz | |
| Herz -> Herz | |
| Herz -> Pik | |
| Herz -> Karo | |
| Pik -> Kreuz | |
| Pik -> Herz | |
| Pik -> Pik | |
| Pik -> Karo | |
| Karo -> Kreuz | |
| Karo -> Herz | |
| Karo -> Pik | |
| Karo -> Karo |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")=; P("Herz")=; P("Pik")=; P("Karo")=;
Die relevanten Pfade sind:
'Kreuz'-'Kreuz' (P=)
'Herz'-'Herz' (P=)
'Pik'-'Pik' (P=)
'Karo'-'Karo' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + + =
Ziehen ohne Zurücklegen
Beispiel:
In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 9 vom Typ rot und 3 vom Typ blau. Es wird 3 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 3 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?
| Ereignis | P |
|---|---|
| rot -> rot -> rot | |
| rot -> rot -> blau | |
| rot -> blau -> rot | |
| rot -> blau -> blau | |
| blau -> rot -> rot | |
| blau -> rot -> blau | |
| blau -> blau -> rot | |
| blau -> blau -> blau |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")=; P("blau")=;
Die relevanten Pfade sind:
'rot'-'rot'-'rot' (P=)
'blau'-'blau'-'blau' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ =
nur Summen
Beispiel:
Ein Würfel wird zwei mal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 5 ist?
| Ereignis | P |
|---|---|
| 1 -> 1 | |
| 1 -> 2 | |
| 1 -> 3 | |
| 1 -> 4 | |
| 1 -> 5 | |
| 1 -> 6 | |
| 2 -> 1 | |
| 2 -> 2 | |
| 2 -> 3 | |
| 2 -> 4 | |
| 2 -> 5 | |
| 2 -> 6 | |
| 3 -> 1 | |
| 3 -> 2 | |
| 3 -> 3 | |
| 3 -> 4 | |
| 3 -> 5 | |
| 3 -> 6 | |
| 4 -> 1 | |
| 4 -> 2 | |
| 4 -> 3 | |
| 4 -> 4 | |
| 4 -> 5 | |
| 4 -> 6 | |
| 5 -> 1 | |
| 5 -> 2 | |
| 5 -> 3 | |
| 5 -> 4 | |
| 5 -> 5 | |
| 5 -> 6 | |
| 6 -> 1 | |
| 6 -> 2 | |
| 6 -> 3 | |
| 6 -> 4 | |
| 6 -> 5 | |
| 6 -> 6 |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")=; P("2")=; P("3")=; P("4")=; P("5")=; P("6")=;
Die relevanten Pfade sind:- '1'-'4' (P=)
- '4'-'1' (P=)
- '2'-'3' (P=)
- '3'-'2' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + + =
Ziehen bis erstmals x kommt
Beispiel:
Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 2. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:
P= ⋅
= ⋅
=
Ziehen mit Zurücklegen
Beispiel:
Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, höchstens 2 mal eine durch 3 teilbare Zahl zu würfeln?
Da ja ausschließlich nach '3er-Zahl' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3er-Zahl' und 'nicht 3er-Zahl'
Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3er-Zahl": ; "nicht 3er-Zahl": ;
Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal 3er-Zahl' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 3 mal '3er-Zahl'
Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:
P=1-P(3 mal '3er-Zahl')=1- =
| Ereignis | P |
|---|---|
| 3er-Zahl -> 3er-Zahl -> 3er-Zahl | |
| 3er-Zahl -> 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl | |
| 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl -> 3er-Zahl | |
| 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl | |
| nicht 3er-Zahl -> 3er-Zahl -> 3er-Zahl | |
| nicht 3er-Zahl -> 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl | |
| nicht 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl -> 3er-Zahl | |
| nicht 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("3er-Zahl")=; P("nicht 3er-Zahl")=;
Die relevanten Pfade sind:- '3er-Zahl'-'3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl' (P=)
- '3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl'-'3er-Zahl' (P=)
- 'nicht 3er-Zahl'-'3er-Zahl'-'3er-Zahl' (P=)
- '3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl' (P=)
- 'nicht 3er-Zahl'-'3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl' (P=)
- 'nicht 3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl'-'3er-Zahl' (P=)
- 'nicht 3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + + + + + =
