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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 9 rote und 3 blaue Kugeln. Es wird 3 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal rot"?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot -> rot	$\frac{21}{55}$
rot -> rot -> blau	$\frac{9}{55}$
rot -> blau -> rot	$\frac{9}{55}$
rot -> blau -> blau	$\frac{9}{220}$
blau -> rot -> rot	$\frac{9}{55}$
blau -> rot -> blau	$\frac{9}{220}$
blau -> blau -> rot	$\frac{9}{220}$
blau -> blau -> blau	$\frac{1}{220}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{3}{4}$ ; P("blau")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot'-'blau' (P= $\frac{9}{55}$ )
'rot'-'blau'-'rot' (P= $\frac{9}{55}$ )
'blau'-'rot'-'rot' (P= $\frac{9}{55}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{9}{55}$ + $\frac{9}{55}$ + $\frac{9}{55}$ = $\frac{27}{55}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 5 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 6 kugel mit einer 2 und 4 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 5 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{2}{21}$
1 -> 2	$\frac{1}{7}$
1 -> 3	$\frac{2}{21}$
2 -> 1	$\frac{1}{7}$
2 -> 2	$\frac{1}{7}$
2 -> 3	$\frac{4}{35}$
3 -> 1	$\frac{2}{21}$
3 -> 2	$\frac{4}{35}$
3 -> 3	$\frac{2}{35}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{3}$ ; P("2")= $\frac{2}{5}$ ; P("3")= $\frac{4}{15}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'2'-'3' (P= $\frac{4}{35}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{4}{35}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{35}$ + $\frac{4}{35}$ = $\frac{8}{35}$

nur Summen

Beispiel:

Ein Würfel wird zwei mal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 11 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{36}$
1 -> 2	$\frac{1}{36}$
1 -> 3	$\frac{1}{36}$
1 -> 4	$\frac{1}{36}$
1 -> 5	$\frac{1}{36}$
1 -> 6	$\frac{1}{36}$
2 -> 1	$\frac{1}{36}$
2 -> 2	$\frac{1}{36}$
2 -> 3	$\frac{1}{36}$
2 -> 4	$\frac{1}{36}$
2 -> 5	$\frac{1}{36}$
2 -> 6	$\frac{1}{36}$
3 -> 1	$\frac{1}{36}$
3 -> 2	$\frac{1}{36}$
3 -> 3	$\frac{1}{36}$
3 -> 4	$\frac{1}{36}$
3 -> 5	$\frac{1}{36}$
3 -> 6	$\frac{1}{36}$
4 -> 1	$\frac{1}{36}$
4 -> 2	$\frac{1}{36}$
4 -> 3	$\frac{1}{36}$
4 -> 4	$\frac{1}{36}$
4 -> 5	$\frac{1}{36}$
4 -> 6	$\frac{1}{36}$
5 -> 1	$\frac{1}{36}$
5 -> 2	$\frac{1}{36}$
5 -> 3	$\frac{1}{36}$
5 -> 4	$\frac{1}{36}$
5 -> 5	$\frac{1}{36}$
5 -> 6	$\frac{1}{36}$
6 -> 1	$\frac{1}{36}$
6 -> 2	$\frac{1}{36}$
6 -> 3	$\frac{1}{36}$
6 -> 4	$\frac{1}{36}$
6 -> 5	$\frac{1}{36}$
6 -> 6	$\frac{1}{36}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{6}$ ; P("2")= $\frac{1}{6}$ ; P("3")= $\frac{1}{6}$ ; P("4")= $\frac{1}{6}$ ; P("5")= $\frac{1}{6}$ ; P("6")= $\frac{1}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'5'-'6' (P= $\frac{1}{36}$ )
'6'-'5' (P= $\frac{1}{36}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ = $\frac{1}{18}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 6 Karten der Farbe Herz und 2 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 3.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{2}{8}$ ⋅ $\frac{1}{7}$ ⋅ $\frac{6}{6}$
= $\frac{1}{4}$ ⋅ $\frac{1}{7}$ ⋅ $\frac{3}{3}$
= $\frac{1}{28}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Beim Roulette kann man auch auf Zahlenbereiche setzen. Z.B. auf die Zahlenbereiche 1-12, 13-24 und 25-36, wobei die grüne 0 zu keinem der Bereiche gehört. Es wird zwei mal eine Kugel im Roulette gespielt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal 1-12"?

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Da ja ausschließlich nach '1-12' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '1-12' und 'nicht 1-12'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"1-12": $\frac{12}{37}$ ; "nicht 1-12": $\frac{25}{37}$ ;

Ereignis	P
1-12 -> 1-12	$\frac{144}{1369}$
1-12 -> nicht 1-12	$\frac{300}{1369}$
nicht 1-12 -> 1-12	$\frac{300}{1369}$
nicht 1-12 -> nicht 1-12	$\frac{625}{1369}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1-12")= $\frac{12}{37}$ ; P("nicht 1-12")= $\frac{25}{37}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1-12'-'1-12' (P= $\frac{144}{1369}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{144}{1369}$ = $\frac{144}{1369}$

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ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen mit Zurücklegen