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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 4 Asse, 2 Könige und 4 Damen. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "genau 2 mal Ass"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Ass' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Ass' und 'nicht Ass'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Ass": $\frac{2}{5}$ ; "nicht Ass": $\frac{3}{5}$ ;

Ereignis	P
Ass -> Ass	$\frac{2}{15}$
Ass -> nicht Ass	$\frac{4}{15}$
nicht Ass -> Ass	$\frac{4}{15}$
nicht Ass -> nicht Ass	$\frac{1}{3}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Ass")= $\frac{2}{5}$ ; P("nicht Ass")= $\frac{3}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Ass'-'Ass' (P= $\frac{2}{15}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{15}$ = $\frac{2}{15}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Lostopf sind 5 Kugeln mit einer Eins beschriftet, 10 Kugeln mit einer Zwei, 6 mit Drei und 3 mit einer Vier. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkiet dass die beiden gezogenen Zahlen zusammen 7 ergeben?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{5}{138}$
1 -> 2	$\frac{25}{276}$
1 -> 3	$\frac{5}{92}$
1 -> 4	$\frac{5}{184}$
2 -> 1	$\frac{25}{276}$
2 -> 2	$\frac{15}{92}$
2 -> 3	$\frac{5}{46}$
2 -> 4	$\frac{5}{92}$
3 -> 1	$\frac{5}{92}$
3 -> 2	$\frac{5}{46}$
3 -> 3	$\frac{5}{92}$
3 -> 4	$\frac{3}{92}$
4 -> 1	$\frac{5}{184}$
4 -> 2	$\frac{5}{92}$
4 -> 3	$\frac{3}{92}$
4 -> 4	$\frac{1}{92}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{5}{24}$ ; P("2")= $\frac{5}{12}$ ; P("3")= $\frac{1}{4}$ ; P("4")= $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3'-'4' (P= $\frac{3}{92}$ )
'4'-'3' (P= $\frac{3}{92}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{92}$ + $\frac{3}{92}$ = $\frac{3}{46}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 4 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 8 kugel mit einer 2 und 3 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 3 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{2}{35}$
1 -> 2	$\frac{16}{105}$
1 -> 3	$\frac{2}{35}$
2 -> 1	$\frac{16}{105}$
2 -> 2	$\frac{4}{15}$
2 -> 3	$\frac{4}{35}$
3 -> 1	$\frac{2}{35}$
3 -> 2	$\frac{4}{35}$
3 -> 3	$\frac{1}{35}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{4}{15}$ ; P("2")= $\frac{8}{15}$ ; P("3")= $\frac{1}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'2' (P= $\frac{16}{105}$ )
'2'-'1' (P= $\frac{16}{105}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{16}{105}$ + $\frac{16}{105}$ = $\frac{32}{105}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 2. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{1}{3}$
= $\frac{1}{4}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{4}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 5 Mädchen und 5 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen genau 1 an ein Mädchen gehen?

Lösung einblenden

Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{1}{12}$
Mädchen -> Mädchen -> Jungs	$\frac{5}{36}$
Mädchen -> Jungs -> Mädchen	$\frac{5}{36}$
Mädchen -> Jungs -> Jungs	$\frac{5}{36}$
Jungs -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{5}{36}$
Jungs -> Mädchen -> Jungs	$\frac{5}{36}$
Jungs -> Jungs -> Mädchen	$\frac{5}{36}$
Jungs -> Jungs -> Jungs	$\frac{1}{12}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Mädchen")= $\frac{1}{2}$ ; P("Jungs")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Mädchen'-'Jungs'-'Jungs' (P= $\frac{5}{36}$ )
'Jungs'-'Mädchen'-'Jungs' (P= $\frac{5}{36}$ )
'Jungs'-'Jungs'-'Mädchen' (P= $\frac{5}{36}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{36}$ + $\frac{5}{36}$ + $\frac{5}{36}$ = $\frac{5}{12}$

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ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

ohne Zurücklegen (einfach)