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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Bei der Auslosung zum Championsleague-Achtelfinale sind noch alle 4 deutsche Mannschaften im Lostopf mit den 16 Mannschaften. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den erstem drei gezogenen Mannschaften genau 3 deutsche Mannschaften sind (wenn man mal von der falschen Annahme ausgeht, dass alle Mannschaften im gleichen Lostopf sind)?

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Ereignis	P
deutsch -> deutsch -> deutsch	$\frac{1}{140}$
deutsch -> deutsch -> andere	$\frac{3}{70}$
deutsch -> andere -> deutsch	$\frac{3}{70}$
deutsch -> andere -> andere	$\frac{11}{70}$
andere -> deutsch -> deutsch	$\frac{3}{70}$
andere -> deutsch -> andere	$\frac{11}{70}$
andere -> andere -> deutsch	$\frac{11}{70}$
andere -> andere -> andere	$\frac{11}{28}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("deutsch")= $\frac{1}{4}$ ; P("andere")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'deutsch'-'deutsch'-'deutsch' (P= $\frac{1}{140}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{140}$ = $\frac{1}{140}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 7 Karten der Farbe Kreuz, 3 der Farbe Pik, 9 der Farbe Herz und 5 der Farbe Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 1 mal Herz"? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

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Da ja ausschließlich nach 'Herz' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Herz' und 'nicht Herz'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Herz": $\frac{3}{8}$ ; "nicht Herz": $\frac{5}{8}$ ;

Ereignis	P
Herz -> Herz	$\frac{3}{23}$
Herz -> nicht Herz	$\frac{45}{184}$
nicht Herz -> Herz	$\frac{45}{184}$
nicht Herz -> nicht Herz	$\frac{35}{92}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Herz")= $\frac{3}{8}$ ; P("nicht Herz")= $\frac{5}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Herz'-'nicht Herz' (P= $\frac{45}{184}$ )
'nicht Herz'-'Herz' (P= $\frac{45}{184}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{45}{184}$ + $\frac{45}{184}$ = $\frac{45}{92}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 9 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 9 2er und 6 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 6 ist?

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Da ja ausschließlich nach '3' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3' und 'nicht 3'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3": $\frac{1}{4}$ ; "nicht 3": $\frac{3}{4}$ ;

Ereignis	P
3 -> 3	$\frac{1}{16}$
3 -> nicht 3	$\frac{3}{16}$
nicht 3 -> 3	$\frac{3}{16}$
nicht 3 -> nicht 3	$\frac{9}{16}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("3")= $\frac{1}{4}$ ; P("nicht 3")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3'-'3' (P= $\frac{1}{16}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{16}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und 7 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine blaue Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die blaue Kugel im 5. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{4}{11}$ ⋅ $\frac{3}{10}$ ⋅ $\frac{2}{9}$ ⋅ $\frac{1}{8}$ ⋅ $\frac{7}{7}$
= $\frac{1}{11}$ ⋅ $\frac{1}{5}$ ⋅ $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{7}{7}$
= $\frac{1}{330}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 6 rote, 3 blaue , 10 gelbe und 5 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal blau"?

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Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{5}{92}$
rot -> blau	$\frac{3}{92}$
rot -> gelb	$\frac{5}{46}$
rot -> schwarz	$\frac{5}{92}$
blau -> rot	$\frac{3}{92}$
blau -> blau	$\frac{1}{92}$
blau -> gelb	$\frac{5}{92}$
blau -> schwarz	$\frac{5}{184}$
gelb -> rot	$\frac{5}{46}$
gelb -> blau	$\frac{5}{92}$
gelb -> gelb	$\frac{15}{92}$
gelb -> schwarz	$\frac{25}{276}$
schwarz -> rot	$\frac{5}{92}$
schwarz -> blau	$\frac{5}{184}$
schwarz -> gelb	$\frac{25}{276}$
schwarz -> schwarz	$\frac{5}{138}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{1}{4}$ ; P("blau")= $\frac{1}{8}$ ; P("gelb")= $\frac{5}{12}$ ; P("schwarz")= $\frac{5}{24}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'blau' (P= $\frac{3}{92}$ )
'blau'-'rot' (P= $\frac{3}{92}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{92}$ + $\frac{3}{92}$ = $\frac{3}{46}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

ohne Zurücklegen (einfach)