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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote, 2 blaue , 4 gelbe und 5 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal gelb"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'gelb' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'gelb' und 'nicht gelb'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"gelb": 4 15 ; "nicht gelb": 11 15 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal gelb' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'gelb' bzw. 0 mal 'gelb'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'gelb')=1- 11 21 = 10 21

EreignisP
gelb -> gelb 2 35
gelb -> nicht gelb 22 105
nicht gelb -> gelb 22 105
nicht gelb -> nicht gelb 11 21

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("gelb")= 4 15 ; P("nicht gelb")= 11 15 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'gelb'-'nicht gelb' (P= 22 105 )
'nicht gelb'-'gelb' (P= 22 105 )
'gelb'-'gelb' (P= 2 35 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

22 105 + 22 105 + 2 35 = 10 21


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Lostopf sind 4 Kugeln mit einer Eins beschriftet, 10 Kugeln mit einer Zwei, 9 mit Drei und 7 mit einer Vier. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkiet dass die beiden gezogenen Zahlen zusammen 4 ergeben?

Lösung einblenden
EreignisP
1 -> 1 2 145
1 -> 2 4 87
1 -> 3 6 145
1 -> 4 14 435
2 -> 1 4 87
2 -> 2 3 29
2 -> 3 3 29
2 -> 4 7 87
3 -> 1 6 145
3 -> 2 3 29
3 -> 3 12 145
3 -> 4 21 290
4 -> 1 14 435
4 -> 2 7 87
4 -> 3 21 290
4 -> 4 7 145

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= 2 15 ; P("2")= 1 3 ; P("3")= 3 10 ; P("4")= 7 30 ;

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'1'-'3' (P= 6 145 )
'3'-'1' (P= 6 145 )
'2'-'2' (P= 3 29 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

6 145 + 6 145 + 3 29 = 27 145


nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 3 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 3 kugel mit einer 2 und 4 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 6 ist?

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Da ja ausschließlich nach '3' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3' und 'nicht 3'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3": 2 5 ; "nicht 3": 3 5 ;

EreignisP
3 -> 3 2 15
3 -> nicht 3 4 15
nicht 3 -> 3 4 15
nicht 3 -> nicht 3 1 3

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("3")= 2 5 ; P("nicht 3")= 3 5 ;

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'3'-'3' (P= 2 15 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

2 15 = 2 15


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 3 Karten der Farbe Herz und 4 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 3.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 4 7 3 6 3 5
= 2 7 3 1 5
= 6 35

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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 3 mal eine durch 3 teilbare Zahl zu würfeln?

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EreignisP
3er-Zahl -> 3er-Zahl -> 3er-Zahl 1 27
3er-Zahl -> 3er-Zahl -> nicht 3er 2 27
3er-Zahl -> nicht 3er -> 3er-Zahl 2 27
3er-Zahl -> nicht 3er -> nicht 3er 4 27
nicht 3er -> 3er-Zahl -> 3er-Zahl 2 27
nicht 3er -> 3er-Zahl -> nicht 3er 4 27
nicht 3er -> nicht 3er -> 3er-Zahl 4 27
nicht 3er -> nicht 3er -> nicht 3er 8 27

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("3er-Zahl")= 1 3 ; P("nicht 3er")= 2 3 ;

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  • '3er-Zahl'-'3er-Zahl'-'3er-Zahl' (P= 1 27 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 27 = 1 27