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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 7 rote, 4 blaue , 7 gelbe und 6 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 1 mal blau"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": $\frac{1}{6}$ ; "nicht blau": $\frac{5}{6}$ ;

Ereignis	P
blau -> blau	$\frac{1}{46}$
blau -> nicht blau	$\frac{10}{69}$
nicht blau -> blau	$\frac{10}{69}$
nicht blau -> nicht blau	$\frac{95}{138}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("blau")= $\frac{1}{6}$ ; P("nicht blau")= $\frac{5}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'nicht blau' (P= $\frac{10}{69}$ )
'nicht blau'-'blau' (P= $\frac{10}{69}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{10}{69}$ + $\frac{10}{69}$ = $\frac{20}{69}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 2 Asse, 4 Könige und 2 Damen. Es werden 2 Karten vom Stapel gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "höchstens 1 mal Ass"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Ass' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Ass' und 'nicht Ass'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Ass": $\frac{1}{4}$ ; "nicht Ass": $\frac{3}{4}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal Ass' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'Ass'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'Ass')=1- $\frac{1}{28}$ = $\frac{27}{28}$

Ereignis	P
Ass -> Ass	$\frac{1}{28}$
Ass -> nicht Ass	$\frac{3}{14}$
nicht Ass -> Ass	$\frac{3}{14}$
nicht Ass -> nicht Ass	$\frac{15}{28}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Ass")= $\frac{1}{4}$ ; P("nicht Ass")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Ass'-'nicht Ass' (P= $\frac{3}{14}$ )
'nicht Ass'-'Ass' (P= $\frac{3}{14}$ )
'nicht Ass'-'nicht Ass' (P= $\frac{15}{28}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{14}$ + $\frac{3}{14}$ + $\frac{15}{28}$ = $\frac{27}{28}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 10 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 4 2er und 6 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 6 ist?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '3' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3' und 'nicht 3'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3": $\frac{3}{10}$ ; "nicht 3": $\frac{7}{10}$ ;

Ereignis	P
3 -> 3	$\frac{9}{100}$
3 -> nicht 3	$\frac{21}{100}$
nicht 3 -> 3	$\frac{21}{100}$
nicht 3 -> nicht 3	$\frac{49}{100}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("3")= $\frac{3}{10}$ ; P("nicht 3")= $\frac{7}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3'-'3' (P= $\frac{9}{100}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{9}{100}$ = $\frac{9}{100}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 18 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies beim 4. Losdurchgang passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{21}$ ⋅ $\frac{2}{20}$ ⋅ $\frac{1}{19}$ ⋅ $\frac{18}{18}$
= $\frac{1}{7}$ ⋅ $\frac{1}{10}$ ⋅ $\frac{1}{19}$ ⋅ $\frac{3}{3}$
= $\frac{1}{1330}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 6 Schüler mit NWT-Profil, 3 Schüler mit sprachlichem Profil, 6 Schüler mit Musik-Profil und 5 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 1 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": $\frac{3}{10}$ ; "nicht NWT": $\frac{7}{10}$ ;

Ereignis	P
NWT -> NWT	$\frac{3}{38}$
NWT -> nicht NWT	$\frac{21}{95}$
nicht NWT -> NWT	$\frac{21}{95}$
nicht NWT -> nicht NWT	$\frac{91}{190}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("NWT")= $\frac{3}{10}$ ; P("nicht NWT")= $\frac{7}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'NWT'-'nicht NWT' (P= $\frac{21}{95}$ )
'nicht NWT'-'NWT' (P= $\frac{21}{95}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{21}{95}$ + $\frac{21}{95}$ = $\frac{42}{95}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

P=1-P(2 mal 'Ass')=1- 1 28 = 27 28

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

ohne Zurücklegen (einfach)

P=1-P(2 mal 'Ass')=1- $\frac{1}{28}$ = $\frac{27}{28}$