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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 9 Mädchen und 3 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen genau 0 an ein Mädchen gehen?

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Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{21}{55}$
Mädchen -> Mädchen -> Jungs	$\frac{9}{55}$
Mädchen -> Jungs -> Mädchen	$\frac{9}{55}$
Mädchen -> Jungs -> Jungs	$\frac{9}{220}$
Jungs -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{9}{55}$
Jungs -> Mädchen -> Jungs	$\frac{9}{220}$
Jungs -> Jungs -> Mädchen	$\frac{9}{220}$
Jungs -> Jungs -> Jungs	$\frac{1}{220}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Mädchen")= $\frac{3}{4}$ ; P("Jungs")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Jungs'-'Jungs'-'Jungs' (P= $\frac{1}{220}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{220}$ = $\frac{1}{220}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 3 Karten der Farbe Kreuz, 7 der Farbe Pik, 5 der Farbe Herz und 5 der Farbe Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal Kreuz und 1 mal Herz"? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

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Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{3}{190}$
Kreuz -> Pik	$\frac{21}{380}$
Kreuz -> Herz	$\frac{3}{76}$
Kreuz -> Karo	$\frac{3}{76}$
Pik -> Kreuz	$\frac{21}{380}$
Pik -> Pik	$\frac{21}{190}$
Pik -> Herz	$\frac{7}{76}$
Pik -> Karo	$\frac{7}{76}$
Herz -> Kreuz	$\frac{3}{76}$
Herz -> Pik	$\frac{7}{76}$
Herz -> Herz	$\frac{1}{19}$
Herz -> Karo	$\frac{5}{76}$
Karo -> Kreuz	$\frac{3}{76}$
Karo -> Pik	$\frac{7}{76}$
Karo -> Herz	$\frac{5}{76}$
Karo -> Karo	$\frac{1}{19}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{3}{20}$ ; P("Pik")= $\frac{7}{20}$ ; P("Herz")= $\frac{1}{4}$ ; P("Karo")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Herz' (P= $\frac{3}{76}$ )
'Herz'-'Kreuz' (P= $\frac{3}{76}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{76}$ + $\frac{3}{76}$ = $\frac{3}{38}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 5 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 5 kugel mit einer 2 und 5 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 4 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{2}{21}$
1 -> 2	$\frac{5}{42}$
1 -> 3	$\frac{5}{42}$
2 -> 1	$\frac{5}{42}$
2 -> 2	$\frac{2}{21}$
2 -> 3	$\frac{5}{42}$
3 -> 1	$\frac{5}{42}$
3 -> 2	$\frac{5}{42}$
3 -> 3	$\frac{2}{21}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{3}$ ; P("2")= $\frac{1}{3}$ ; P("3")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{5}{42}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{5}{42}$ )
'2'-'2' (P= $\frac{2}{21}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{42}$ + $\frac{5}{42}$ + $\frac{2}{21}$ = $\frac{1}{3}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 2 Karten der Farbe Herz und 4 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 3.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{4}{6}$ ⋅ $\frac{3}{5}$ ⋅ $\frac{2}{4}$
= $1$ ⋅ $\frac{1}{5}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{5}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 2 Asse, 2 Könige und 4 Damen. Es werden 2 Karten vom Stapel gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "genau 2 mal Ass"?

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Da ja ausschließlich nach 'Ass' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Ass' und 'nicht Ass'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Ass": $\frac{1}{4}$ ; "nicht Ass": $\frac{3}{4}$ ;

Ereignis	P
Ass -> Ass	$\frac{1}{28}$
Ass -> nicht Ass	$\frac{3}{14}$
nicht Ass -> Ass	$\frac{3}{14}$
nicht Ass -> nicht Ass	$\frac{15}{28}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Ass")= $\frac{1}{4}$ ; P("nicht Ass")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Ass'-'Ass' (P= $\frac{1}{28}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{28}$ = $\frac{1}{28}$

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ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen ohne Zurücklegen