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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 7 Schüler mit NWT-Profil, 9 Schüler mit sprachlichem Profil, 3 Schüler mit Musik-Profil und 5 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 2 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": $\frac{7}{24}$ ; "nicht NWT": $\frac{17}{24}$ ;

Ereignis	P
NWT -> NWT	$\frac{7}{92}$
NWT -> nicht NWT	$\frac{119}{552}$
nicht NWT -> NWT	$\frac{119}{552}$
nicht NWT -> nicht NWT	$\frac{34}{69}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("NWT")= $\frac{7}{24}$ ; P("nicht NWT")= $\frac{17}{24}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'NWT'-'NWT' (P= $\frac{7}{92}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{7}{92}$ = $\frac{7}{92}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Lostopf sind 8 Kugeln mit einer Eins beschriftet, 2 Kugeln mit einer Zwei, 8 mit Drei und 6 mit einer Vier. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkiet dass die beiden gezogenen Zahlen zusammen 5 ergeben?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{7}{69}$
1 -> 2	$\frac{2}{69}$
1 -> 3	$\frac{8}{69}$
1 -> 4	$\frac{2}{23}$
2 -> 1	$\frac{2}{69}$
2 -> 2	$\frac{1}{276}$
2 -> 3	$\frac{2}{69}$
2 -> 4	$\frac{1}{46}$
3 -> 1	$\frac{8}{69}$
3 -> 2	$\frac{2}{69}$
3 -> 3	$\frac{7}{69}$
3 -> 4	$\frac{2}{23}$
4 -> 1	$\frac{2}{23}$
4 -> 2	$\frac{1}{46}$
4 -> 3	$\frac{2}{23}$
4 -> 4	$\frac{5}{92}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{3}$ ; P("2")= $\frac{1}{12}$ ; P("3")= $\frac{1}{3}$ ; P("4")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'4' (P= $\frac{2}{23}$ )
'4'-'1' (P= $\frac{2}{23}$ )
'2'-'3' (P= $\frac{2}{69}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{2}{69}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{23}$ + $\frac{2}{23}$ + $\frac{2}{69}$ + $\frac{2}{69}$ = $\frac{16}{69}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 9 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 6 kugel mit einer 2 und 5 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 6 ist?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '3' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3' und 'nicht 3'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3": $\frac{1}{4}$ ; "nicht 3": $\frac{3}{4}$ ;

Ereignis	P
3 -> 3	$\frac{1}{19}$
3 -> nicht 3	$\frac{15}{76}$
nicht 3 -> 3	$\frac{15}{76}$
nicht 3 -> nicht 3	$\frac{21}{38}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("3")= $\frac{1}{4}$ ; P("nicht 3")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3'-'3' (P= $\frac{1}{19}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{19}$ = $\frac{1}{19}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 2. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{1}{3}$
= $\frac{1}{4}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{4}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Beim Roulette kann man auch auf Zahlenbereiche setzen. Z.B. auf die Zahlenbereiche 1-12, 13-24 und 25-36, wobei die grüne 0 zu keinem der Bereiche gehört. Es wird zwei mal eine Kugel im Roulette gespielt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal 25-36"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '25-36' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '25-36' und 'nicht 25-36'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"25-36": $\frac{12}{37}$ ; "nicht 25-36": $\frac{25}{37}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal 25-36' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein '25-36' bzw. 0 mal '25-36'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal '25-36')=1- $\frac{625}{1369}$ = $\frac{744}{1369}$

Ereignis	P
25-36 -> 25-36	$\frac{144}{1369}$
25-36 -> nicht 25-36	$\frac{300}{1369}$
nicht 25-36 -> 25-36	$\frac{300}{1369}$
nicht 25-36 -> nicht 25-36	$\frac{625}{1369}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("25-36")= $\frac{12}{37}$ ; P("nicht 25-36")= $\frac{25}{37}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'25-36'-'nicht 25-36' (P= $\frac{300}{1369}$ )
'nicht 25-36'-'25-36' (P= $\frac{300}{1369}$ )
'25-36'-'25-36' (P= $\frac{144}{1369}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{300}{1369}$ + $\frac{300}{1369}$ + $\frac{144}{1369}$ = $\frac{744}{1369}$

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Ziehen ohne Zurücklegen

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Ziehen bis erstmals x kommt

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