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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 2 Asse, 2 Könige und 4 Damen. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "mindestens 1 mal König"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'König' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'König' und 'nicht König'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"König": $\frac{1}{4}$ ; "nicht König": $\frac{3}{4}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal König' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'König' bzw. 0 mal 'König'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'König')=1- $\frac{15}{28}$ = $\frac{13}{28}$

Ereignis	P
König -> König	$\frac{1}{28}$
König -> nicht König	$\frac{3}{14}$
nicht König -> König	$\frac{3}{14}$
nicht König -> nicht König	$\frac{15}{28}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("König")= $\frac{1}{4}$ ; P("nicht König")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'König'-'nicht König' (P= $\frac{3}{14}$ )
'nicht König'-'König' (P= $\frac{3}{14}$ )
'König'-'König' (P= $\frac{1}{28}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{14}$ + $\frac{3}{14}$ + $\frac{1}{28}$ = $\frac{13}{28}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 5 vom Typ rot, 8 vom Typ blau, 4 vom Typ gelb und 3 vom Typ schwarz. Es wird 2 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{1}{19}$
rot -> blau	$\frac{2}{19}$
rot -> gelb	$\frac{1}{19}$
rot -> schwarz	$\frac{3}{76}$
blau -> rot	$\frac{2}{19}$
blau -> blau	$\frac{14}{95}$
blau -> gelb	$\frac{8}{95}$
blau -> schwarz	$\frac{6}{95}$
gelb -> rot	$\frac{1}{19}$
gelb -> blau	$\frac{8}{95}$
gelb -> gelb	$\frac{3}{95}$
gelb -> schwarz	$\frac{3}{95}$
schwarz -> rot	$\frac{3}{76}$
schwarz -> blau	$\frac{6}{95}$
schwarz -> gelb	$\frac{3}{95}$
schwarz -> schwarz	$\frac{3}{190}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{1}{4}$ ; P("blau")= $\frac{2}{5}$ ; P("gelb")= $\frac{1}{5}$ ; P("schwarz")= $\frac{3}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{1}{19}$ )
'blau'-'blau' (P= $\frac{14}{95}$ )
'gelb'-'gelb' (P= $\frac{3}{95}$ )
'schwarz'-'schwarz' (P= $\frac{3}{190}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{19}$ + $\frac{14}{95}$ + $\frac{3}{95}$ + $\frac{3}{190}$ = $\frac{47}{190}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 5 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 9 2er und 6 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 3 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{16}$
1 -> 2	$\frac{9}{80}$
1 -> 3	$\frac{3}{40}$
2 -> 1	$\frac{9}{80}$
2 -> 2	$\frac{81}{400}$
2 -> 3	$\frac{27}{200}$
3 -> 1	$\frac{3}{40}$
3 -> 2	$\frac{27}{200}$
3 -> 3	$\frac{9}{100}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{4}$ ; P("2")= $\frac{9}{20}$ ; P("3")= $\frac{3}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'2' (P= $\frac{9}{80}$ )
'2'-'1' (P= $\frac{9}{80}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{9}{80}$ + $\frac{9}{80}$ = $\frac{9}{40}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 3. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$
= $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{1}{2}$
= $\frac{1}{4}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 5 Mädchen und 5 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen höchstens 1 an eine Mädchen gehen?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Mädchen' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Mädchen' und 'nicht Mädchen'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Mädchen": $\frac{1}{2}$ ; "nicht Mädchen": $\frac{1}{2}$ ;

Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{1}{12}$
Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{5}{36}$
Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen	$\frac{5}{36}$
Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{5}{36}$
nicht Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{5}{36}$
nicht Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{5}{36}$
nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen	$\frac{5}{36}$
nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{1}{12}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Mädchen")= $\frac{1}{2}$ ; P("nicht Mädchen")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Mädchen'-'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{5}{36}$ )
'nicht Mädchen'-'Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{5}{36}$ )
'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{5}{36}$ )
'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{1}{12}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{36}$ + $\frac{5}{36}$ + $\frac{5}{36}$ + $\frac{1}{12}$ = $\frac{1}{2}$

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ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen ohne Zurücklegen