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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Bei der Auslosung zum Championsleague-Achtelfinale sind noch alle 4 deutsche Mannschaften im Lostopf mit den 16 Mannschaften. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den erstem drei gezogenen Mannschaften höchstens 1 deutsche Mannschaften sind (wenn man mal von der falschen Annahme ausgeht, dass alle Mannschaften im gleichen Lostopf sind)?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'deutsch' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'deutsch' und 'nicht deutsch'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"deutsch": $\frac{1}{4}$ ; "nicht deutsch": $\frac{3}{4}$ ;

Ereignis	P
deutsch -> deutsch -> deutsch	$\frac{1}{140}$
deutsch -> deutsch -> nicht deutsch	$\frac{3}{70}$
deutsch -> nicht deutsch -> deutsch	$\frac{3}{70}$
deutsch -> nicht deutsch -> nicht deutsch	$\frac{11}{70}$
nicht deutsch -> deutsch -> deutsch	$\frac{3}{70}$
nicht deutsch -> deutsch -> nicht deutsch	$\frac{11}{70}$
nicht deutsch -> nicht deutsch -> deutsch	$\frac{11}{70}$
nicht deutsch -> nicht deutsch -> nicht deutsch	$\frac{11}{28}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("deutsch")= $\frac{1}{4}$ ; P("nicht deutsch")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'deutsch'-'nicht deutsch'-'nicht deutsch' (P= $\frac{11}{70}$ )
'nicht deutsch'-'deutsch'-'nicht deutsch' (P= $\frac{11}{70}$ )
'nicht deutsch'-'nicht deutsch'-'deutsch' (P= $\frac{11}{70}$ )
'nicht deutsch'-'nicht deutsch'-'nicht deutsch' (P= $\frac{11}{28}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{11}{70}$ + $\frac{11}{70}$ + $\frac{11}{70}$ + $\frac{11}{28}$ = $\frac{121}{140}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Lostopf sind 10 Kugeln mit einer Eins beschriftet, 5 Kugeln mit einer Zwei, 2 mit Drei und 3 mit einer Vier. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkiet dass die beiden gezogenen Zahlen zusammen 3 ergeben?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{9}{38}$
1 -> 2	$\frac{5}{38}$
1 -> 3	$\frac{1}{19}$
1 -> 4	$\frac{3}{38}$
2 -> 1	$\frac{5}{38}$
2 -> 2	$\frac{1}{19}$
2 -> 3	$\frac{1}{38}$
2 -> 4	$\frac{3}{76}$
3 -> 1	$\frac{1}{19}$
3 -> 2	$\frac{1}{38}$
3 -> 3	$\frac{1}{190}$
3 -> 4	$\frac{3}{190}$
4 -> 1	$\frac{3}{38}$
4 -> 2	$\frac{3}{76}$
4 -> 3	$\frac{3}{190}$
4 -> 4	$\frac{3}{190}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{2}$ ; P("2")= $\frac{1}{4}$ ; P("3")= $\frac{1}{10}$ ; P("4")= $\frac{3}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'2' (P= $\frac{5}{38}$ )
'2'-'1' (P= $\frac{5}{38}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{38}$ + $\frac{5}{38}$ = $\frac{5}{19}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 3 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 8 2er und 4 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 6 ist?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '3' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3' und 'nicht 3'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3": $\frac{4}{15}$ ; "nicht 3": $\frac{11}{15}$ ;

Ereignis	P
3 -> 3	$\frac{16}{225}$
3 -> nicht 3	$\frac{44}{225}$
nicht 3 -> 3	$\frac{44}{225}$
nicht 3 -> nicht 3	$\frac{121}{225}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("3")= $\frac{4}{15}$ ; P("nicht 3")= $\frac{11}{15}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3'-'3' (P= $\frac{16}{225}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{16}{225}$ = $\frac{16}{225}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 1 Karten der Farbe Herz und 4 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 4.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{4}{5}$ ⋅ $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$
= $\frac{1}{5}$ ⋅ $1$ ⋅ $1$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{5}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 2 Asse, 2 Könige und 4 Damen. Es werden 2 Karten vom Stapel gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "1 mal Ass und 1 mal König"?

Lösung einblenden

Ereignis	P
Ass -> Ass	$\frac{1}{28}$
Ass -> König	$\frac{1}{14}$
Ass -> Dame	$\frac{1}{7}$
König -> Ass	$\frac{1}{14}$
König -> König	$\frac{1}{28}$
König -> Dame	$\frac{1}{7}$
Dame -> Ass	$\frac{1}{7}$
Dame -> König	$\frac{1}{7}$
Dame -> Dame	$\frac{3}{14}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Ass")= $\frac{1}{4}$ ; P("König")= $\frac{1}{4}$ ; P("Dame")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Ass'-'König' (P= $\frac{1}{14}$ )
'König'-'Ass' (P= $\frac{1}{14}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{14}$ + $\frac{1}{14}$ = $\frac{1}{7}$

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ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen ohne Zurücklegen