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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 9 rote, 5 blaue , 7 gelbe und 3 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal rot"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{3}{8}$ ; "nicht rot": $\frac{5}{8}$ ;

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{3}{23}$
rot -> nicht rot	$\frac{45}{184}$
nicht rot -> rot	$\frac{45}{184}$
nicht rot -> nicht rot	$\frac{35}{92}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{3}{8}$ ; P("nicht rot")= $\frac{5}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{3}{23}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{23}$ = $\frac{3}{23}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 6 rote und 4 blaue Kugeln. Es wird 3 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "2 mal rot und 1 mal blau"?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot -> rot	$\frac{1}{6}$
rot -> rot -> blau	$\frac{1}{6}$
rot -> blau -> rot	$\frac{1}{6}$
rot -> blau -> blau	$\frac{1}{10}$
blau -> rot -> rot	$\frac{1}{6}$
blau -> rot -> blau	$\frac{1}{10}$
blau -> blau -> rot	$\frac{1}{10}$
blau -> blau -> blau	$\frac{1}{30}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{3}{5}$ ; P("blau")= $\frac{2}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot'-'blau' (P= $\frac{1}{6}$ )
'rot'-'blau'-'rot' (P= $\frac{1}{6}$ )
'blau'-'rot'-'rot' (P= $\frac{1}{6}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{6}$ = $\frac{1}{2}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 3 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 8 2er und 4 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 5 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{25}$
1 -> 2	$\frac{8}{75}$
1 -> 3	$\frac{4}{75}$
2 -> 1	$\frac{8}{75}$
2 -> 2	$\frac{64}{225}$
2 -> 3	$\frac{32}{225}$
3 -> 1	$\frac{4}{75}$
3 -> 2	$\frac{32}{225}$
3 -> 3	$\frac{16}{225}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{5}$ ; P("2")= $\frac{8}{15}$ ; P("3")= $\frac{4}{15}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'2'-'3' (P= $\frac{32}{225}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{32}{225}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{32}{225}$ + $\frac{32}{225}$ = $\frac{64}{225}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und 3 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine blaue Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die blaue Kugel im 2. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{6}$ ⋅ $\frac{3}{5}$
= $\frac{3}{2}$ ⋅ $\frac{1}{5}$
= $\frac{3}{10}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 8 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 3 2er und 4 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 5 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{64}{225}$
1 -> 2	$\frac{8}{75}$
1 -> 3	$\frac{32}{225}$
2 -> 1	$\frac{8}{75}$
2 -> 2	$\frac{1}{25}$
2 -> 3	$\frac{4}{75}$
3 -> 1	$\frac{32}{225}$
3 -> 2	$\frac{4}{75}$
3 -> 3	$\frac{16}{225}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{8}{15}$ ; P("2")= $\frac{1}{5}$ ; P("3")= $\frac{4}{15}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'2'-'3' (P= $\frac{4}{75}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{4}{75}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{75}$ + $\frac{4}{75}$ = $\frac{8}{75}$

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ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen mit Zurücklegen