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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 8 rote und 4 blaue Kugeln. Es wird 3 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 1 mal rot"?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot -> rot	$\frac{14}{55}$
rot -> rot -> blau	$\frac{28}{165}$
rot -> blau -> rot	$\frac{28}{165}$
rot -> blau -> blau	$\frac{4}{55}$
blau -> rot -> rot	$\frac{28}{165}$
blau -> rot -> blau	$\frac{4}{55}$
blau -> blau -> rot	$\frac{4}{55}$
blau -> blau -> blau	$\frac{1}{55}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{2}{3}$ ; P("blau")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'blau'-'blau' (P= $\frac{4}{55}$ )
'blau'-'rot'-'blau' (P= $\frac{4}{55}$ )
'blau'-'blau'-'rot' (P= $\frac{4}{55}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{55}$ + $\frac{4}{55}$ + $\frac{4}{55}$ = $\frac{12}{55}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 5 vom Typ Kreuz, 4 vom Typ Herz, 2 vom Typ Pik und 4 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

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Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{2}{21}$
Kreuz -> Herz	$\frac{2}{21}$
Kreuz -> Pik	$\frac{1}{21}$
Kreuz -> Karo	$\frac{2}{21}$
Herz -> Kreuz	$\frac{2}{21}$
Herz -> Herz	$\frac{2}{35}$
Herz -> Pik	$\frac{4}{105}$
Herz -> Karo	$\frac{8}{105}$
Pik -> Kreuz	$\frac{1}{21}$
Pik -> Herz	$\frac{4}{105}$
Pik -> Pik	$\frac{1}{105}$
Pik -> Karo	$\frac{4}{105}$
Karo -> Kreuz	$\frac{2}{21}$
Karo -> Herz	$\frac{8}{105}$
Karo -> Pik	$\frac{4}{105}$
Karo -> Karo	$\frac{2}{35}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{1}{3}$ ; P("Herz")= $\frac{4}{15}$ ; P("Pik")= $\frac{2}{15}$ ; P("Karo")= $\frac{4}{15}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{2}{21}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{2}{35}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{1}{105}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{2}{35}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{21}$ + $\frac{2}{35}$ + $\frac{1}{105}$ + $\frac{2}{35}$ = $\frac{23}{105}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 4 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 10 2er und 6 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 4 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{25}$
1 -> 2	$\frac{1}{10}$
1 -> 3	$\frac{3}{50}$
2 -> 1	$\frac{1}{10}$
2 -> 2	$\frac{1}{4}$
2 -> 3	$\frac{3}{20}$
3 -> 1	$\frac{3}{50}$
3 -> 2	$\frac{3}{20}$
3 -> 3	$\frac{9}{100}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{5}$ ; P("2")= $\frac{1}{2}$ ; P("3")= $\frac{3}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{3}{50}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{3}{50}$ )
'2'-'2' (P= $\frac{1}{4}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{50}$ + $\frac{3}{50}$ + $\frac{1}{4}$ = $\frac{37}{100}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 10 Karten der Farbe Herz und 2 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 3.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{2}{12}$ ⋅ $\frac{1}{11}$ ⋅ $\frac{10}{10}$
= $\frac{1}{6}$ ⋅ $\frac{1}{11}$ ⋅ $\frac{5}{5}$
= $\frac{1}{66}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 3 vom Typ Kreuz, 10 vom Typ Herz, 8 vom Typ Pik und 3 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

Lösung einblenden

Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{1}{92}$
Kreuz -> Herz	$\frac{5}{92}$
Kreuz -> Pik	$\frac{1}{23}$
Kreuz -> Karo	$\frac{3}{184}$
Herz -> Kreuz	$\frac{5}{92}$
Herz -> Herz	$\frac{15}{92}$
Herz -> Pik	$\frac{10}{69}$
Herz -> Karo	$\frac{5}{92}$
Pik -> Kreuz	$\frac{1}{23}$
Pik -> Herz	$\frac{10}{69}$
Pik -> Pik	$\frac{7}{69}$
Pik -> Karo	$\frac{1}{23}$
Karo -> Kreuz	$\frac{3}{184}$
Karo -> Herz	$\frac{5}{92}$
Karo -> Pik	$\frac{1}{23}$
Karo -> Karo	$\frac{1}{92}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{1}{8}$ ; P("Herz")= $\frac{5}{12}$ ; P("Pik")= $\frac{1}{3}$ ; P("Karo")= $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{1}{92}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{15}{92}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{7}{69}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{1}{92}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{92}$ + $\frac{15}{92}$ + $\frac{7}{69}$ + $\frac{1}{92}$ = $\frac{79}{276}$

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ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

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Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen ohne Zurücklegen