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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 8 rote, 8 blaue , 5 gelbe und 3 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal rot"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{1}{3}$ ; "nicht rot": $\frac{2}{3}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal rot' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'rot'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'rot')=1- $\frac{7}{69}$ = $\frac{62}{69}$

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{7}{69}$
rot -> nicht rot	$\frac{16}{69}$
nicht rot -> rot	$\frac{16}{69}$
nicht rot -> nicht rot	$\frac{10}{23}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{1}{3}$ ; P("nicht rot")= $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'nicht rot' (P= $\frac{16}{69}$ )
'nicht rot'-'rot' (P= $\frac{16}{69}$ )
'nicht rot'-'nicht rot' (P= $\frac{10}{23}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{16}{69}$ + $\frac{16}{69}$ + $\frac{10}{23}$ = $\frac{62}{69}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 10 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 4 kugel mit einer 2 und 6 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 3 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{9}{38}$
1 -> 2	$\frac{2}{19}$
1 -> 3	$\frac{3}{19}$
2 -> 1	$\frac{2}{19}$
2 -> 2	$\frac{3}{95}$
2 -> 3	$\frac{6}{95}$
3 -> 1	$\frac{3}{19}$
3 -> 2	$\frac{6}{95}$
3 -> 3	$\frac{3}{38}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{2}$ ; P("2")= $\frac{1}{5}$ ; P("3")= $\frac{3}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'2' (P= $\frac{2}{19}$ )
'2'-'1' (P= $\frac{2}{19}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{19}$ + $\frac{2}{19}$ = $\frac{4}{19}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 5 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 6 2er und 4 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 6 ist?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '3' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3' und 'nicht 3'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3": $\frac{4}{15}$ ; "nicht 3": $\frac{11}{15}$ ;

Ereignis	P
3 -> 3	$\frac{16}{225}$
3 -> nicht 3	$\frac{44}{225}$
nicht 3 -> 3	$\frac{44}{225}$
nicht 3 -> nicht 3	$\frac{121}{225}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("3")= $\frac{4}{15}$ ; P("nicht 3")= $\frac{11}{15}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3'-'3' (P= $\frac{16}{225}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{16}{225}$ = $\frac{16}{225}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 4. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{4}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 4 Asse, 4 Könige und 4 Damen. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "genau 2 mal Dame"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Dame' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Dame' und 'nicht Dame'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Dame": $\frac{1}{3}$ ; "nicht Dame": $\frac{2}{3}$ ;

Ereignis	P
Dame -> Dame	$\frac{1}{11}$
Dame -> nicht Dame	$\frac{8}{33}$
nicht Dame -> Dame	$\frac{8}{33}$
nicht Dame -> nicht Dame	$\frac{14}{33}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Dame")= $\frac{1}{3}$ ; P("nicht Dame")= $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Dame'-'Dame' (P= $\frac{1}{11}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{11}$ = $\frac{1}{11}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

ohne Zurücklegen (einfach)

P=1-P(2 mal 'rot')=1- 7 69 = 62 69

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

ohne Zurücklegen (einfach)

P=1-P(2 mal 'rot')=1- $\frac{7}{69}$ = $\frac{62}{69}$