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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 2 Asse, 2 Könige und 4 Damen. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "genau 1 mal Ass"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Ass' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Ass' und 'nicht Ass'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Ass": $\frac{1}{4}$ ; "nicht Ass": $\frac{3}{4}$ ;

Ereignis	P
Ass -> Ass	$\frac{1}{28}$
Ass -> nicht Ass	$\frac{3}{14}$
nicht Ass -> Ass	$\frac{3}{14}$
nicht Ass -> nicht Ass	$\frac{15}{28}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Ass")= $\frac{1}{4}$ ; P("nicht Ass")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Ass'-'nicht Ass' (P= $\frac{3}{14}$ )
'nicht Ass'-'Ass' (P= $\frac{3}{14}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{14}$ + $\frac{3}{14}$ = $\frac{3}{7}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Lostopf sind 3 Kugeln mit einer Eins beschriftet, 2 Kugeln mit einer Zwei, 3 mit Drei und 4 mit einer Vier. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkiet dass die beiden gezogenen Zahlen zusammen 5 ergeben?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{22}$
1 -> 2	$\frac{1}{22}$
1 -> 3	$\frac{3}{44}$
1 -> 4	$\frac{1}{11}$
2 -> 1	$\frac{1}{22}$
2 -> 2	$\frac{1}{66}$
2 -> 3	$\frac{1}{22}$
2 -> 4	$\frac{2}{33}$
3 -> 1	$\frac{3}{44}$
3 -> 2	$\frac{1}{22}$
3 -> 3	$\frac{1}{22}$
3 -> 4	$\frac{1}{11}$
4 -> 1	$\frac{1}{11}$
4 -> 2	$\frac{2}{33}$
4 -> 3	$\frac{1}{11}$
4 -> 4	$\frac{1}{11}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{4}$ ; P("2")= $\frac{1}{6}$ ; P("3")= $\frac{1}{4}$ ; P("4")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'4' (P= $\frac{1}{11}$ )
'4'-'1' (P= $\frac{1}{11}$ )
'2'-'3' (P= $\frac{1}{22}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{1}{22}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{11}$ + $\frac{1}{11}$ + $\frac{1}{22}$ + $\frac{1}{22}$ = $\frac{3}{11}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 5 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 9 2er und 6 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 4 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{16}$
1 -> 2	$\frac{9}{80}$
1 -> 3	$\frac{3}{40}$
2 -> 1	$\frac{9}{80}$
2 -> 2	$\frac{81}{400}$
2 -> 3	$\frac{27}{200}$
3 -> 1	$\frac{3}{40}$
3 -> 2	$\frac{27}{200}$
3 -> 3	$\frac{9}{100}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{4}$ ; P("2")= $\frac{9}{20}$ ; P("3")= $\frac{3}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{3}{40}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{3}{40}$ )
'2'-'2' (P= $\frac{81}{400}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{40}$ + $\frac{3}{40}$ + $\frac{81}{400}$ = $\frac{141}{400}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 21 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies beim 2. Losdurchgang passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{24}$ ⋅ $\frac{21}{23}$
= $\frac{3}{8}$ ⋅ $\frac{7}{23}$
= $\frac{21}{184}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Beim Roulette gibt es 18 rote, 18 scharze und ein grünes Feld (für die Null). Es wird zwei mal eine Kugel im Roulette gespielt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal grün"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'grün' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'grün' und 'nicht grün'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"grün": $\frac{1}{37}$ ; "nicht grün": $\frac{36}{37}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal grün' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'grün'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'grün')=1- $\frac{1}{1369}$ = $\frac{1368}{1369}$

Ereignis	P
grün -> grün	$\frac{1}{1369}$
grün -> nicht grün	$\frac{36}{1369}$
nicht grün -> grün	$\frac{36}{1369}$
nicht grün -> nicht grün	$\frac{1296}{1369}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("grün")= $\frac{1}{37}$ ; P("nicht grün")= $\frac{36}{37}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'grün'-'nicht grün' (P= $\frac{36}{1369}$ )
'nicht grün'-'grün' (P= $\frac{36}{1369}$ )
'nicht grün'-'nicht grün' (P= $\frac{1296}{1369}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{36}{1369}$ + $\frac{36}{1369}$ + $\frac{1296}{1369}$ = $\frac{1368}{1369}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen mit Zurücklegen

P=1-P(2 mal 'grün')=1- 1 1369 = 1368 1369

P=1-P(2 mal 'grün')=1- $\frac{1}{1369}$ = $\frac{1368}{1369}$