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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote, 3 blaue , 3 gelbe und 5 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal blau"?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{2}{35}$
rot -> blau	$\frac{2}{35}$
rot -> gelb	$\frac{2}{35}$
rot -> schwarz	$\frac{2}{21}$
blau -> rot	$\frac{2}{35}$
blau -> blau	$\frac{1}{35}$
blau -> gelb	$\frac{3}{70}$
blau -> schwarz	$\frac{1}{14}$
gelb -> rot	$\frac{2}{35}$
gelb -> blau	$\frac{3}{70}$
gelb -> gelb	$\frac{1}{35}$
gelb -> schwarz	$\frac{1}{14}$
schwarz -> rot	$\frac{2}{21}$
schwarz -> blau	$\frac{1}{14}$
schwarz -> gelb	$\frac{1}{14}$
schwarz -> schwarz	$\frac{2}{21}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{4}{15}$ ; P("blau")= $\frac{1}{5}$ ; P("gelb")= $\frac{1}{5}$ ; P("schwarz")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'blau' (P= $\frac{2}{35}$ )
'blau'-'rot' (P= $\frac{2}{35}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{35}$ + $\frac{2}{35}$ = $\frac{4}{35}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 2 Asse, 4 Könige und 4 Damen. Es werden 2 Karten vom Stapel gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "mindestens 1 mal König"?

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Da ja ausschließlich nach 'König' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'König' und 'nicht König'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"König": $\frac{2}{5}$ ; "nicht König": $\frac{3}{5}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal König' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'König' bzw. 0 mal 'König'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'König')=1- $\frac{1}{3}$ = $\frac{2}{3}$

Ereignis	P
König -> König	$\frac{2}{15}$
König -> nicht König	$\frac{4}{15}$
nicht König -> König	$\frac{4}{15}$
nicht König -> nicht König	$\frac{1}{3}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("König")= $\frac{2}{5}$ ; P("nicht König")= $\frac{3}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'König'-'nicht König' (P= $\frac{4}{15}$ )
'nicht König'-'König' (P= $\frac{4}{15}$ )
'König'-'König' (P= $\frac{2}{15}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{15}$ + $\frac{4}{15}$ + $\frac{2}{15}$ = $\frac{2}{3}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 4 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 3 kugel mit einer 2 und 3 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 4 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{2}{15}$
1 -> 2	$\frac{2}{15}$
1 -> 3	$\frac{2}{15}$
2 -> 1	$\frac{2}{15}$
2 -> 2	$\frac{1}{15}$
2 -> 3	$\frac{1}{10}$
3 -> 1	$\frac{2}{15}$
3 -> 2	$\frac{1}{10}$
3 -> 3	$\frac{1}{15}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{2}{5}$ ; P("2")= $\frac{3}{10}$ ; P("3")= $\frac{3}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{2}{15}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{2}{15}$ )
'2'-'2' (P= $\frac{1}{15}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{15}$ + $\frac{2}{15}$ + $\frac{1}{15}$ = $\frac{1}{3}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 10 Karten der Farbe Herz und 4 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 2.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{4}{14}$ ⋅ $\frac{10}{13}$
= $\frac{4}{7}$ ⋅ $\frac{5}{13}$
= $\frac{20}{91}$

nur Summen

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 5 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{9}{64}$
1 -> 2	$\frac{9}{64}$
1 -> 3	$\frac{3}{64}$
1 -> 4	$\frac{3}{64}$
2 -> 1	$\frac{9}{64}$
2 -> 2	$\frac{9}{64}$
2 -> 3	$\frac{3}{64}$
2 -> 4	$\frac{3}{64}$
3 -> 1	$\frac{3}{64}$
3 -> 2	$\frac{3}{64}$
3 -> 3	$\frac{1}{64}$
3 -> 4	$\frac{1}{64}$
4 -> 1	$\frac{3}{64}$
4 -> 2	$\frac{3}{64}$
4 -> 3	$\frac{1}{64}$
4 -> 4	$\frac{1}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{3}{8}$ ; P("2")= $\frac{3}{8}$ ; P("3")= $\frac{1}{8}$ ; P("4")= $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'4' (P= $\frac{3}{64}$ )
'4'-'1' (P= $\frac{3}{64}$ )
'2'-'3' (P= $\frac{3}{64}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{3}{64}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{64}$ + $\frac{3}{64}$ + $\frac{3}{64}$ + $\frac{3}{64}$ = $\frac{3}{16}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

nur Summen