Mathebattle EduRandomtasks

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 10 rote, 4 blaue , 9 gelbe und 7 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal rot"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{1}{3}$ ; "nicht rot": $\frac{2}{3}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal rot' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'rot' bzw. 0 mal 'rot'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'rot')=1- $\frac{38}{87}$ = $\frac{49}{87}$

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{3}{29}$
rot -> nicht rot	$\frac{20}{87}$
nicht rot -> rot	$\frac{20}{87}$
nicht rot -> nicht rot	$\frac{38}{87}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{1}{3}$ ; P("nicht rot")= $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'nicht rot' (P= $\frac{20}{87}$ )
'nicht rot'-'rot' (P= $\frac{20}{87}$ )
'rot'-'rot' (P= $\frac{3}{29}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{20}{87}$ + $\frac{20}{87}$ + $\frac{3}{29}$ = $\frac{49}{87}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 4 vom Typ rot, 5 vom Typ blau und 3 vom Typ gelb. Es wird 2 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{1}{11}$
rot -> blau	$\frac{5}{33}$
rot -> gelb	$\frac{1}{11}$
blau -> rot	$\frac{5}{33}$
blau -> blau	$\frac{5}{33}$
blau -> gelb	$\frac{5}{44}$
gelb -> rot	$\frac{1}{11}$
gelb -> blau	$\frac{5}{44}$
gelb -> gelb	$\frac{1}{22}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{1}{3}$ ; P("blau")= $\frac{5}{12}$ ; P("gelb")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{1}{11}$ )
'blau'-'blau' (P= $\frac{5}{33}$ )
'gelb'-'gelb' (P= $\frac{1}{22}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{11}$ + $\frac{5}{33}$ + $\frac{1}{22}$ = $\frac{19}{66}$

nur Summen

Beispiel:

In einer 8. Klasse gibt es 15 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 5 14-Jährige und 2 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 27 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?

Lösung einblenden

Ereignis	P
13 -> 13	$\frac{5}{11}$
13 -> 14	$\frac{25}{154}$
13 -> 15	$\frac{5}{77}$
14 -> 13	$\frac{25}{154}$
14 -> 14	$\frac{10}{231}$
14 -> 15	$\frac{5}{231}$
15 -> 13	$\frac{5}{77}$
15 -> 14	$\frac{5}{231}$
15 -> 15	$\frac{1}{231}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("13")= $\frac{15}{22}$ ; P("14")= $\frac{5}{22}$ ; P("15")= $\frac{1}{11}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'13'-'14' (P= $\frac{25}{154}$ )
'14'-'13' (P= $\frac{25}{154}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{25}{154}$ + $\frac{25}{154}$ = $\frac{25}{77}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 4. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{4}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 4 Asse, 4 Könige und 2 Damen. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "genau 1 mal Ass"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Ass' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Ass' und 'nicht Ass'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Ass": $\frac{2}{5}$ ; "nicht Ass": $\frac{3}{5}$ ;

Ereignis	P
Ass -> Ass	$\frac{2}{15}$
Ass -> nicht Ass	$\frac{4}{15}$
nicht Ass -> Ass	$\frac{4}{15}$
nicht Ass -> nicht Ass	$\frac{1}{3}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Ass")= $\frac{2}{5}$ ; P("nicht Ass")= $\frac{3}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Ass'-'nicht Ass' (P= $\frac{4}{15}$ )
'nicht Ass'-'Ass' (P= $\frac{4}{15}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{15}$ + $\frac{4}{15}$ = $\frac{8}{15}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

ohne Zurücklegen (einfach)