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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 9 Schüler mit NWT-Profil, 6 Schüler mit sprachlichem Profil, 3 Schüler mit Musik-Profil und 6 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass mindestens 1 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": $\frac{3}{8}$ ; "nicht NWT": $\frac{5}{8}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal NWT' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'NWT' bzw. 0 mal 'NWT'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'NWT')=1- $\frac{35}{92}$ = $\frac{57}{92}$

Ereignis	P
NWT -> NWT	$\frac{3}{23}$
NWT -> nicht NWT	$\frac{45}{184}$
nicht NWT -> NWT	$\frac{45}{184}$
nicht NWT -> nicht NWT	$\frac{35}{92}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("NWT")= $\frac{3}{8}$ ; P("nicht NWT")= $\frac{5}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'NWT'-'nicht NWT' (P= $\frac{45}{184}$ )
'nicht NWT'-'NWT' (P= $\frac{45}{184}$ )
'NWT'-'NWT' (P= $\frac{3}{23}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{45}{184}$ + $\frac{45}{184}$ + $\frac{3}{23}$ = $\frac{57}{92}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 4 Asse, 2 Könige und 2 Damen. Es werden 2 Karten vom Stapel gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "genau 2 mal Ass"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Ass' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Ass' und 'nicht Ass'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Ass": $\frac{1}{2}$ ; "nicht Ass": $\frac{1}{2}$ ;

Ereignis	P
Ass -> Ass	$\frac{3}{14}$
Ass -> nicht Ass	$\frac{2}{7}$
nicht Ass -> Ass	$\frac{2}{7}$
nicht Ass -> nicht Ass	$\frac{3}{14}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Ass")= $\frac{1}{2}$ ; P("nicht Ass")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Ass'-'Ass' (P= $\frac{3}{14}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{14}$ = $\frac{3}{14}$

nur Summen

Beispiel:

In einer 8. Klasse gibt es 15 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 10 14-Jährige und 2 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 27 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?

Lösung einblenden

Ereignis	P
13 -> 13	$\frac{35}{117}$
13 -> 14	$\frac{25}{117}$
13 -> 15	$\frac{5}{117}$
14 -> 13	$\frac{25}{117}$
14 -> 14	$\frac{5}{39}$
14 -> 15	$\frac{10}{351}$
15 -> 13	$\frac{5}{117}$
15 -> 14	$\frac{10}{351}$
15 -> 15	$\frac{1}{351}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("13")= $\frac{5}{9}$ ; P("14")= $\frac{10}{27}$ ; P("15")= $\frac{2}{27}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'13'-'14' (P= $\frac{25}{117}$ )
'14'-'13' (P= $\frac{25}{117}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{25}{117}$ + $\frac{25}{117}$ = $\frac{50}{117}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 10 rote und 4 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die rote Kugel im 3. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{4}{14}$ ⋅ $\frac{3}{13}$ ⋅ $\frac{10}{12}$
= $\frac{1}{7}$ ⋅ $\frac{1}{13}$ ⋅ $5$
= $\frac{5}{91}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 6 rote, 9 gelbe, 4 blaue und 5 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal rot"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{1}{4}$ ; "nicht rot": $\frac{3}{4}$ ;

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{1}{16}$
rot -> nicht rot	$\frac{3}{16}$
nicht rot -> rot	$\frac{3}{16}$
nicht rot -> nicht rot	$\frac{9}{16}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{1}{4}$ ; P("nicht rot")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{1}{16}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{16}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

mit Zurücklegen (einfach)