Mathebattle EduRandomtasks

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote, 4 blaue , 10 gelbe und 6 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal blau"?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{1}{46}$
rot -> blau	$\frac{2}{69}$
rot -> gelb	$\frac{5}{69}$
rot -> schwarz	$\frac{1}{23}$
blau -> rot	$\frac{2}{69}$
blau -> blau	$\frac{1}{46}$
blau -> gelb	$\frac{5}{69}$
blau -> schwarz	$\frac{1}{23}$
gelb -> rot	$\frac{5}{69}$
gelb -> blau	$\frac{5}{69}$
gelb -> gelb	$\frac{15}{92}$
gelb -> schwarz	$\frac{5}{46}$
schwarz -> rot	$\frac{1}{23}$
schwarz -> blau	$\frac{1}{23}$
schwarz -> gelb	$\frac{5}{46}$
schwarz -> schwarz	$\frac{5}{92}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{1}{6}$ ; P("blau")= $\frac{1}{6}$ ; P("gelb")= $\frac{5}{12}$ ; P("schwarz")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'blau' (P= $\frac{2}{69}$ )
'blau'-'rot' (P= $\frac{2}{69}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{69}$ + $\frac{2}{69}$ = $\frac{4}{69}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 6 rote, 5 blaue , 3 gelbe und 6 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal blau"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": $\frac{1}{4}$ ; "nicht blau": $\frac{3}{4}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal blau' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'blau'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'blau')=1- $\frac{1}{19}$ = $\frac{18}{19}$

Ereignis	P
blau -> blau	$\frac{1}{19}$
blau -> nicht blau	$\frac{15}{76}$
nicht blau -> blau	$\frac{15}{76}$
nicht blau -> nicht blau	$\frac{21}{38}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("blau")= $\frac{1}{4}$ ; P("nicht blau")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'nicht blau' (P= $\frac{15}{76}$ )
'nicht blau'-'blau' (P= $\frac{15}{76}$ )
'nicht blau'-'nicht blau' (P= $\frac{21}{38}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{15}{76}$ + $\frac{15}{76}$ + $\frac{21}{38}$ = $\frac{18}{19}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 10 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 10 2er und 4 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 4 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{25}{144}$
1 -> 2	$\frac{25}{144}$
1 -> 3	$\frac{5}{72}$
2 -> 1	$\frac{25}{144}$
2 -> 2	$\frac{25}{144}$
2 -> 3	$\frac{5}{72}$
3 -> 1	$\frac{5}{72}$
3 -> 2	$\frac{5}{72}$
3 -> 3	$\frac{1}{36}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{5}{12}$ ; P("2")= $\frac{5}{12}$ ; P("3")= $\frac{1}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{5}{72}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{5}{72}$ )
'2'-'2' (P= $\frac{25}{144}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{72}$ + $\frac{5}{72}$ + $\frac{25}{144}$ = $\frac{5}{16}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 10 Karten der Farbe Herz und 2 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 2.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{2}{12}$ ⋅ $\frac{10}{11}$
= $\frac{2}{6}$ ⋅ $\frac{5}{11}$
= $\frac{5}{33}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wie in der Abbildung rechts wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal C"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'C' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'C' und 'nicht C'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"C": $\frac{1}{4}$ ; "nicht C": $\frac{3}{4}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal C' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'C' bzw. 0 mal 'C'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'C')=1- $\frac{9}{16}$ = $\frac{7}{16}$

Ereignis	P
C -> C	$\frac{1}{16}$
C -> nicht C	$\frac{3}{16}$
nicht C -> C	$\frac{3}{16}$
nicht C -> nicht C	$\frac{9}{16}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("C")= $\frac{1}{4}$ ; P("nicht C")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'C'-'nicht C' (P= $\frac{3}{16}$ )
'nicht C'-'C' (P= $\frac{3}{16}$ )
'C'-'C' (P= $\frac{1}{16}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{16}$ + $\frac{3}{16}$ + $\frac{1}{16}$ = $\frac{7}{16}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

P=1-P(2 mal 'blau')=1- 1 19 = 18 19

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen mit Zurücklegen

P=1-P(2 mal 'blau')=1- $\frac{1}{19}$ = $\frac{18}{19}$