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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 5 Mädchen und 5 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen genau 2 an ein Mädchen gehen?

Lösung einblenden

Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{1}{12}$
Mädchen -> Mädchen -> Jungs	$\frac{5}{36}$
Mädchen -> Jungs -> Mädchen	$\frac{5}{36}$
Mädchen -> Jungs -> Jungs	$\frac{5}{36}$
Jungs -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{5}{36}$
Jungs -> Mädchen -> Jungs	$\frac{5}{36}$
Jungs -> Jungs -> Mädchen	$\frac{5}{36}$
Jungs -> Jungs -> Jungs	$\frac{1}{12}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Mädchen")= $\frac{1}{2}$ ; P("Jungs")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Mädchen'-'Mädchen'-'Jungs' (P= $\frac{5}{36}$ )
'Mädchen'-'Jungs'-'Mädchen' (P= $\frac{5}{36}$ )
'Jungs'-'Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{5}{36}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{36}$ + $\frac{5}{36}$ + $\frac{5}{36}$ = $\frac{5}{12}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 8 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 4 kugel mit einer 2 und 3 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 4 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{4}{15}$
1 -> 2	$\frac{16}{105}$
1 -> 3	$\frac{4}{35}$
2 -> 1	$\frac{16}{105}$
2 -> 2	$\frac{2}{35}$
2 -> 3	$\frac{2}{35}$
3 -> 1	$\frac{4}{35}$
3 -> 2	$\frac{2}{35}$
3 -> 3	$\frac{1}{35}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{8}{15}$ ; P("2")= $\frac{4}{15}$ ; P("3")= $\frac{1}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{4}{35}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{4}{35}$ )
'2'-'2' (P= $\frac{2}{35}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{35}$ + $\frac{4}{35}$ + $\frac{2}{35}$ = $\frac{2}{7}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 10 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 5 kugel mit einer 2 und 5 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 3 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{9}{38}$
1 -> 2	$\frac{5}{38}$
1 -> 3	$\frac{5}{38}$
2 -> 1	$\frac{5}{38}$
2 -> 2	$\frac{1}{19}$
2 -> 3	$\frac{5}{76}$
3 -> 1	$\frac{5}{38}$
3 -> 2	$\frac{5}{76}$
3 -> 3	$\frac{1}{19}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{2}$ ; P("2")= $\frac{1}{4}$ ; P("3")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'2' (P= $\frac{5}{38}$ )
'2'-'1' (P= $\frac{5}{38}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{38}$ + $\frac{5}{38}$ = $\frac{5}{19}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 6 Karten der Farbe Herz und 2 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 3.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{2}{8}$ ⋅ $\frac{1}{7}$ ⋅ $\frac{6}{6}$
= $\frac{1}{4}$ ⋅ $\frac{1}{7}$ ⋅ $\frac{3}{3}$
= $\frac{1}{28}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 2 Karten der Farbe Kreuz, 5 der Farbe Pik, 7 der Farbe Herz und 6 der Farbe Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal Pik"? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Pik' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Pik' und 'nicht Pik'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Pik": $\frac{1}{4}$ ; "nicht Pik": $\frac{3}{4}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal Pik' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'Pik' bzw. 0 mal 'Pik'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'Pik')=1- $\frac{21}{38}$ = $\frac{17}{38}$

Ereignis	P
Pik -> Pik	$\frac{1}{19}$
Pik -> nicht Pik	$\frac{15}{76}$
nicht Pik -> Pik	$\frac{15}{76}$
nicht Pik -> nicht Pik	$\frac{21}{38}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Pik")= $\frac{1}{4}$ ; P("nicht Pik")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Pik'-'nicht Pik' (P= $\frac{15}{76}$ )
'nicht Pik'-'Pik' (P= $\frac{15}{76}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{1}{19}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{15}{76}$ + $\frac{15}{76}$ + $\frac{1}{19}$ = $\frac{17}{38}$

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ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

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Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen ohne Zurücklegen