Mathebattle EduRandomtasks

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 4 Asse, 2 Könige und 4 Damen. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "höchstens 1 mal König"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'König' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'König' und 'nicht König'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"König": $\frac{1}{5}$ ; "nicht König": $\frac{4}{5}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal König' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'König'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'König')=1- $\frac{1}{45}$ = $\frac{44}{45}$

Ereignis	P
König -> König	$\frac{1}{45}$
König -> nicht König	$\frac{8}{45}$
nicht König -> König	$\frac{8}{45}$
nicht König -> nicht König	$\frac{28}{45}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("König")= $\frac{1}{5}$ ; P("nicht König")= $\frac{4}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'König'-'nicht König' (P= $\frac{8}{45}$ )
'nicht König'-'König' (P= $\frac{8}{45}$ )
'nicht König'-'nicht König' (P= $\frac{28}{45}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{8}{45}$ + $\frac{8}{45}$ + $\frac{28}{45}$ = $\frac{44}{45}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Lostopf sind 6 Kugeln mit einer Eins beschriftet, 8 Kugeln mit einer Zwei, 10 mit Drei und 6 mit einer Vier. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkiet dass die beiden gezogenen Zahlen zusammen 7 ergeben?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{29}$
1 -> 2	$\frac{8}{145}$
1 -> 3	$\frac{2}{29}$
1 -> 4	$\frac{6}{145}$
2 -> 1	$\frac{8}{145}$
2 -> 2	$\frac{28}{435}$
2 -> 3	$\frac{8}{87}$
2 -> 4	$\frac{8}{145}$
3 -> 1	$\frac{2}{29}$
3 -> 2	$\frac{8}{87}$
3 -> 3	$\frac{3}{29}$
3 -> 4	$\frac{2}{29}$
4 -> 1	$\frac{6}{145}$
4 -> 2	$\frac{8}{145}$
4 -> 3	$\frac{2}{29}$
4 -> 4	$\frac{1}{29}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{5}$ ; P("2")= $\frac{4}{15}$ ; P("3")= $\frac{1}{3}$ ; P("4")= $\frac{1}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3'-'4' (P= $\frac{2}{29}$ )
'4'-'3' (P= $\frac{2}{29}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{29}$ + $\frac{2}{29}$ = $\frac{4}{29}$

nur Summen

Beispiel:

In einem Stapel sind 2 Karten vom Wert 7, 4 Karten vom Wert 8 und 2 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 15 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
7 -> 7	$\frac{1}{28}$
7 -> 8	$\frac{1}{7}$
7 -> 9	$\frac{1}{14}$
8 -> 7	$\frac{1}{7}$
8 -> 8	$\frac{3}{14}$
8 -> 9	$\frac{1}{7}$
9 -> 7	$\frac{1}{14}$
9 -> 8	$\frac{1}{7}$
9 -> 9	$\frac{1}{28}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("7")= $\frac{1}{4}$ ; P("8")= $\frac{1}{2}$ ; P("9")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'7'-'8' (P= $\frac{1}{7}$ )
'8'-'7' (P= $\frac{1}{7}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{7}$ + $\frac{1}{7}$ = $\frac{2}{7}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote und 5 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine blaue Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die blaue Kugel im 3. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{2}{7}$ ⋅ $\frac{1}{6}$ ⋅ $\frac{5}{5}$
= $\frac{1}{7}$ ⋅ $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{5}{5}$
= $\frac{1}{21}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 7 Karten der Farbe Herz und 4 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 4.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{4}{11}$ ⋅ $\frac{3}{10}$ ⋅ $\frac{2}{9}$ ⋅ $\frac{7}{8}$
= $\frac{1}{11}$ ⋅ $\frac{1}{5}$ ⋅ $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{7}{2}$
= $\frac{7}{330}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

ohne Zurücklegen (einfach)

P=1-P(2 mal 'König')=1- 1 45 = 44 45

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen bis erstmals x kommt

P=1-P(2 mal 'König')=1- $\frac{1}{45}$ = $\frac{44}{45}$