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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 10 Mädchen und 5 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen genau 0 an ein Mädchen gehen?

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Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{24}{91}$
Mädchen -> Mädchen -> Jungs	$\frac{15}{91}$
Mädchen -> Jungs -> Mädchen	$\frac{15}{91}$
Mädchen -> Jungs -> Jungs	$\frac{20}{273}$
Jungs -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{15}{91}$
Jungs -> Mädchen -> Jungs	$\frac{20}{273}$
Jungs -> Jungs -> Mädchen	$\frac{20}{273}$
Jungs -> Jungs -> Jungs	$\frac{2}{91}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Mädchen")= $\frac{2}{3}$ ; P("Jungs")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Jungs'-'Jungs'-'Jungs' (P= $\frac{2}{91}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{91}$ = $\frac{2}{91}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 9 Karten der Farbe Kreuz, 2 der Farbe Pik, 2 der Farbe Herz und 7 der Farbe Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal Kreuz und 1 mal Herz"? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

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Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{18}{95}$
Kreuz -> Pik	$\frac{9}{190}$
Kreuz -> Herz	$\frac{9}{190}$
Kreuz -> Karo	$\frac{63}{380}$
Pik -> Kreuz	$\frac{9}{190}$
Pik -> Pik	$\frac{1}{190}$
Pik -> Herz	$\frac{1}{95}$
Pik -> Karo	$\frac{7}{190}$
Herz -> Kreuz	$\frac{9}{190}$
Herz -> Pik	$\frac{1}{95}$
Herz -> Herz	$\frac{1}{190}$
Herz -> Karo	$\frac{7}{190}$
Karo -> Kreuz	$\frac{63}{380}$
Karo -> Pik	$\frac{7}{190}$
Karo -> Herz	$\frac{7}{190}$
Karo -> Karo	$\frac{21}{190}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{9}{20}$ ; P("Pik")= $\frac{1}{10}$ ; P("Herz")= $\frac{1}{10}$ ; P("Karo")= $\frac{7}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Herz' (P= $\frac{9}{190}$ )
'Herz'-'Kreuz' (P= $\frac{9}{190}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{9}{190}$ + $\frac{9}{190}$ = $\frac{9}{95}$

nur Summen

Beispiel:

Ein Würfel wird zwei mal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 10 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{36}$
1 -> 2	$\frac{1}{36}$
1 -> 3	$\frac{1}{36}$
1 -> 4	$\frac{1}{36}$
1 -> 5	$\frac{1}{36}$
1 -> 6	$\frac{1}{36}$
2 -> 1	$\frac{1}{36}$
2 -> 2	$\frac{1}{36}$
2 -> 3	$\frac{1}{36}$
2 -> 4	$\frac{1}{36}$
2 -> 5	$\frac{1}{36}$
2 -> 6	$\frac{1}{36}$
3 -> 1	$\frac{1}{36}$
3 -> 2	$\frac{1}{36}$
3 -> 3	$\frac{1}{36}$
3 -> 4	$\frac{1}{36}$
3 -> 5	$\frac{1}{36}$
3 -> 6	$\frac{1}{36}$
4 -> 1	$\frac{1}{36}$
4 -> 2	$\frac{1}{36}$
4 -> 3	$\frac{1}{36}$
4 -> 4	$\frac{1}{36}$
4 -> 5	$\frac{1}{36}$
4 -> 6	$\frac{1}{36}$
5 -> 1	$\frac{1}{36}$
5 -> 2	$\frac{1}{36}$
5 -> 3	$\frac{1}{36}$
5 -> 4	$\frac{1}{36}$
5 -> 5	$\frac{1}{36}$
5 -> 6	$\frac{1}{36}$
6 -> 1	$\frac{1}{36}$
6 -> 2	$\frac{1}{36}$
6 -> 3	$\frac{1}{36}$
6 -> 4	$\frac{1}{36}$
6 -> 5	$\frac{1}{36}$
6 -> 6	$\frac{1}{36}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{6}$ ; P("2")= $\frac{1}{6}$ ; P("3")= $\frac{1}{6}$ ; P("4")= $\frac{1}{6}$ ; P("5")= $\frac{1}{6}$ ; P("6")= $\frac{1}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'4'-'6' (P= $\frac{1}{36}$ )
'6'-'4' (P= $\frac{1}{36}$ )
'5'-'5' (P= $\frac{1}{36}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ = $\frac{1}{12}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 24 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies beim 2. Losdurchgang passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{27}$ ⋅ $\frac{24}{26}$
= $\frac{3}{9}$ ⋅ $\frac{8}{26}$
= $\frac{4}{39}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Lostopf sind 3 Kugeln mit einer Eins beschriftet, 6 Kugeln mit einer Zwei, 10 mit Drei und 5 mit einer Vier. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkiet dass die beiden gezogenen Zahlen zusammen 6 ergeben?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{92}$
1 -> 2	$\frac{3}{92}$
1 -> 3	$\frac{5}{92}$
1 -> 4	$\frac{5}{184}$
2 -> 1	$\frac{3}{92}$
2 -> 2	$\frac{5}{92}$
2 -> 3	$\frac{5}{46}$
2 -> 4	$\frac{5}{92}$
3 -> 1	$\frac{5}{92}$
3 -> 2	$\frac{5}{46}$
3 -> 3	$\frac{15}{92}$
3 -> 4	$\frac{25}{276}$
4 -> 1	$\frac{5}{184}$
4 -> 2	$\frac{5}{92}$
4 -> 3	$\frac{25}{276}$
4 -> 4	$\frac{5}{138}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{8}$ ; P("2")= $\frac{1}{4}$ ; P("3")= $\frac{5}{12}$ ; P("4")= $\frac{5}{24}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'2'-'4' (P= $\frac{5}{92}$ )
'4'-'2' (P= $\frac{5}{92}$ )
'3'-'3' (P= $\frac{15}{92}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{92}$ + $\frac{5}{92}$ + $\frac{15}{92}$ = $\frac{25}{92}$

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Ziehen ohne Zurücklegen

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Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen ohne Zurücklegen