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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 2 vom Typ Kreuz, 8 vom Typ Herz, 2 vom Typ Pik und 3 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

Lösung einblenden

Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{1}{105}$
Kreuz -> Herz	$\frac{8}{105}$
Kreuz -> Pik	$\frac{2}{105}$
Kreuz -> Karo	$\frac{1}{35}$
Herz -> Kreuz	$\frac{8}{105}$
Herz -> Herz	$\frac{4}{15}$
Herz -> Pik	$\frac{8}{105}$
Herz -> Karo	$\frac{4}{35}$
Pik -> Kreuz	$\frac{2}{105}$
Pik -> Herz	$\frac{8}{105}$
Pik -> Pik	$\frac{1}{105}$
Pik -> Karo	$\frac{1}{35}$
Karo -> Kreuz	$\frac{1}{35}$
Karo -> Herz	$\frac{4}{35}$
Karo -> Pik	$\frac{1}{35}$
Karo -> Karo	$\frac{1}{35}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{2}{15}$ ; P("Herz")= $\frac{8}{15}$ ; P("Pik")= $\frac{2}{15}$ ; P("Karo")= $\frac{1}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{1}{105}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{4}{15}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{1}{105}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{1}{35}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{105}$ + $\frac{4}{15}$ + $\frac{1}{105}$ + $\frac{1}{35}$ = $\frac{11}{35}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 5 Karten der Farbe Kreuz, 6 der Farbe Pik, 9 der Farbe Herz und 4 der Farbe Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal Pik"? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Pik' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Pik' und 'nicht Pik'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Pik": $\frac{1}{4}$ ; "nicht Pik": $\frac{3}{4}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal Pik' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'Pik'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'Pik')=1- $\frac{5}{92}$ = $\frac{87}{92}$

Ereignis	P
Pik -> Pik	$\frac{5}{92}$
Pik -> nicht Pik	$\frac{9}{46}$
nicht Pik -> Pik	$\frac{9}{46}$
nicht Pik -> nicht Pik	$\frac{51}{92}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Pik")= $\frac{1}{4}$ ; P("nicht Pik")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Pik'-'nicht Pik' (P= $\frac{9}{46}$ )
'nicht Pik'-'Pik' (P= $\frac{9}{46}$ )
'nicht Pik'-'nicht Pik' (P= $\frac{51}{92}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{9}{46}$ + $\frac{9}{46}$ + $\frac{51}{92}$ = $\frac{87}{92}$

nur Summen

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 7 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{4}$
1 -> 2	$\frac{1}{8}$
1 -> 3	$\frac{1}{16}$
1 -> 4	$\frac{1}{16}$
2 -> 1	$\frac{1}{8}$
2 -> 2	$\frac{1}{16}$
2 -> 3	$\frac{1}{32}$
2 -> 4	$\frac{1}{32}$
3 -> 1	$\frac{1}{16}$
3 -> 2	$\frac{1}{32}$
3 -> 3	$\frac{1}{64}$
3 -> 4	$\frac{1}{64}$
4 -> 1	$\frac{1}{16}$
4 -> 2	$\frac{1}{32}$
4 -> 3	$\frac{1}{64}$
4 -> 4	$\frac{1}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{2}$ ; P("2")= $\frac{1}{4}$ ; P("3")= $\frac{1}{8}$ ; P("4")= $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3'-'4' (P= $\frac{1}{64}$ )
'4'-'3' (P= $\frac{1}{64}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{64}$ + $\frac{1}{64}$ = $\frac{1}{32}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 6 Karten der Farbe Herz und 3 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 4.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{9}$ ⋅ $\frac{2}{8}$ ⋅ $\frac{1}{7}$ ⋅ $\frac{6}{6}$
= $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{4}$ ⋅ $\frac{1}{7}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{84}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und 7 blaue Kugeln. Es wird 3 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal blau"?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot -> rot	$\frac{1}{120}$
rot -> rot -> blau	$\frac{7}{120}$
rot -> blau -> rot	$\frac{7}{120}$
rot -> blau -> blau	$\frac{7}{40}$
blau -> rot -> rot	$\frac{7}{120}$
blau -> rot -> blau	$\frac{7}{40}$
blau -> blau -> rot	$\frac{7}{40}$
blau -> blau -> blau	$\frac{7}{24}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{3}{10}$ ; P("blau")= $\frac{7}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'blau'-'blau' (P= $\frac{7}{40}$ )
'blau'-'rot'-'blau' (P= $\frac{7}{40}$ )
'blau'-'blau'-'rot' (P= $\frac{7}{40}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{7}{40}$ + $\frac{7}{40}$ + $\frac{7}{40}$ = $\frac{21}{40}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

P=1-P(2 mal 'Pik')=1- 5 92 = 87 92

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen ohne Zurücklegen

P=1-P(2 mal 'Pik')=1- $\frac{5}{92}$ = $\frac{87}{92}$