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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und 7 blaue Kugeln. Es wird 3 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 2 mal blau"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": $\frac{7}{10}$ ; "nicht blau": $\frac{3}{10}$ ;

Ereignis	P
blau -> blau -> blau	$\frac{7}{24}$
blau -> blau -> nicht blau	$\frac{7}{40}$
blau -> nicht blau -> blau	$\frac{7}{40}$
blau -> nicht blau -> nicht blau	$\frac{7}{120}$
nicht blau -> blau -> blau	$\frac{7}{40}$
nicht blau -> blau -> nicht blau	$\frac{7}{120}$
nicht blau -> nicht blau -> blau	$\frac{7}{120}$
nicht blau -> nicht blau -> nicht blau	$\frac{1}{120}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("blau")= $\frac{7}{10}$ ; P("nicht blau")= $\frac{3}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'blau'-'nicht blau' (P= $\frac{7}{40}$ )
'blau'-'nicht blau'-'blau' (P= $\frac{7}{40}$ )
'nicht blau'-'blau'-'blau' (P= $\frac{7}{40}$ )
'blau'-'blau'-'blau' (P= $\frac{7}{24}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{7}{40}$ + $\frac{7}{40}$ + $\frac{7}{40}$ + $\frac{7}{24}$ = $\frac{49}{60}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Stapel sind 2 Karten vom Wert 7, 2 Karten vom Wert 8 und 4 9er. Man zieht 2 Karten gleichzeitig aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 14 ist?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '7' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '7' und 'nicht 7'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"7": $\frac{1}{4}$ ; "nicht 7": $\frac{3}{4}$ ;

Ereignis	P
7 -> 7	$\frac{1}{28}$
7 -> nicht 7	$\frac{3}{14}$
nicht 7 -> 7	$\frac{3}{14}$
nicht 7 -> nicht 7	$\frac{15}{28}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("7")= $\frac{1}{4}$ ; P("nicht 7")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'7'-'7' (P= $\frac{1}{28}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{28}$ = $\frac{1}{28}$

nur Summen

Beispiel:

In einer 8. Klasse gibt es 10 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 5 14-Jährige und 4 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 28 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?

Lösung einblenden

Ereignis	P
13 -> 13	$\frac{5}{19}$
13 -> 14	$\frac{25}{171}$
13 -> 15	$\frac{20}{171}$
14 -> 13	$\frac{25}{171}$
14 -> 14	$\frac{10}{171}$
14 -> 15	$\frac{10}{171}$
15 -> 13	$\frac{20}{171}$
15 -> 14	$\frac{10}{171}$
15 -> 15	$\frac{2}{57}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("13")= $\frac{10}{19}$ ; P("14")= $\frac{5}{19}$ ; P("15")= $\frac{4}{19}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'13'-'15' (P= $\frac{20}{171}$ )
'15'-'13' (P= $\frac{20}{171}$ )
'14'-'14' (P= $\frac{10}{171}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{20}{171}$ + $\frac{20}{171}$ + $\frac{10}{171}$ = $\frac{50}{171}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und 4 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die rote Kugel im 3. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{4}{8}$ ⋅ $\frac{3}{7}$ ⋅ $\frac{4}{6}$
= $\frac{2}{2}$ ⋅ $\frac{1}{7}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{7}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 3. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$
= $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{1}{2}$
= $\frac{1}{4}$

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Ziehen bis erstmals x kommt

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