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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 8 rote, 4 blaue , 5 gelbe und 3 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal rot"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{2}{5}$ ; "nicht rot": $\frac{3}{5}$ ;

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{14}{95}$
rot -> nicht rot	$\frac{24}{95}$
nicht rot -> rot	$\frac{24}{95}$
nicht rot -> nicht rot	$\frac{33}{95}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{2}{5}$ ; P("nicht rot")= $\frac{3}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{14}{95}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{14}{95}$ = $\frac{14}{95}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 3 vom Typ Kreuz, 4 vom Typ Herz, 2 vom Typ Pik und 3 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

Lösung einblenden

Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{1}{22}$
Kreuz -> Herz	$\frac{1}{11}$
Kreuz -> Pik	$\frac{1}{22}$
Kreuz -> Karo	$\frac{3}{44}$
Herz -> Kreuz	$\frac{1}{11}$
Herz -> Herz	$\frac{1}{11}$
Herz -> Pik	$\frac{2}{33}$
Herz -> Karo	$\frac{1}{11}$
Pik -> Kreuz	$\frac{1}{22}$
Pik -> Herz	$\frac{2}{33}$
Pik -> Pik	$\frac{1}{66}$
Pik -> Karo	$\frac{1}{22}$
Karo -> Kreuz	$\frac{3}{44}$
Karo -> Herz	$\frac{1}{11}$
Karo -> Pik	$\frac{1}{22}$
Karo -> Karo	$\frac{1}{22}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{1}{4}$ ; P("Herz")= $\frac{1}{3}$ ; P("Pik")= $\frac{1}{6}$ ; P("Karo")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{1}{22}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{1}{11}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{1}{66}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{1}{22}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{22}$ + $\frac{1}{11}$ + $\frac{1}{66}$ + $\frac{1}{22}$ = $\frac{13}{66}$

nur Summen

Beispiel:

In einer 8. Klasse gibt es 15 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 10 14-Jährige und 2 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 26 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '13' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '13' und 'nicht 13'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"13": $\frac{5}{9}$ ; "nicht 13": $\frac{4}{9}$ ;

Ereignis	P
13 -> 13	$\frac{35}{117}$
13 -> nicht 13	$\frac{10}{39}$
nicht 13 -> 13	$\frac{10}{39}$
nicht 13 -> nicht 13	$\frac{22}{117}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("13")= $\frac{5}{9}$ ; P("nicht 13")= $\frac{4}{9}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'13'-'13' (P= $\frac{35}{117}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{35}{117}$ = $\frac{35}{117}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote und 9 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine blaue Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die blaue Kugel im 2. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{2}{11}$ ⋅ $\frac{9}{10}$
= $\frac{1}{11}$ ⋅ $\frac{9}{5}$
= $\frac{9}{55}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 6 rote, 5 gelbe, 3 blaue und 6 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal schwarz"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'schwarz' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'schwarz' und 'nicht schwarz'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"schwarz": $\frac{3}{10}$ ; "nicht schwarz": $\frac{7}{10}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal schwarz' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'schwarz'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'schwarz')=1- $\frac{9}{100}$ = $\frac{91}{100}$

Ereignis	P
schwarz -> schwarz	$\frac{9}{100}$
schwarz -> nicht schwarz	$\frac{21}{100}$
nicht schwarz -> schwarz	$\frac{21}{100}$
nicht schwarz -> nicht schwarz	$\frac{49}{100}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("schwarz")= $\frac{3}{10}$ ; P("nicht schwarz")= $\frac{7}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'schwarz'-'nicht schwarz' (P= $\frac{21}{100}$ )
'nicht schwarz'-'schwarz' (P= $\frac{21}{100}$ )
'nicht schwarz'-'nicht schwarz' (P= $\frac{49}{100}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{21}{100}$ + $\frac{21}{100}$ + $\frac{49}{100}$ = $\frac{91}{100}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen mit Zurücklegen

P=1-P(2 mal 'schwarz')=1- 9 100 = 91 100

P=1-P(2 mal 'schwarz')=1- $\frac{9}{100}$ = $\frac{91}{100}$