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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote, 4 blaue , 2 gelbe und 5 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal blau"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": 4 15 ; "nicht blau": 11 15 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal blau' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'blau'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'blau')=1- 2 35 = 33 35

EreignisP
blau -> blau 2 35
blau -> nicht blau 22 105
nicht blau -> blau 22 105
nicht blau -> nicht blau 11 21

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("blau")= 4 15 ; P("nicht blau")= 11 15 ;

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'blau'-'nicht blau' (P= 22 105 )
'nicht blau'-'blau' (P= 22 105 )
'nicht blau'-'nicht blau' (P= 11 21 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

22 105 + 22 105 + 11 21 = 33 35


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 4 vom Typ rot und 6 vom Typ blau. Es wird 3 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 3 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

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EreignisP
rot -> rot -> rot 1 30
rot -> rot -> blau 1 10
rot -> blau -> rot 1 10
rot -> blau -> blau 1 6
blau -> rot -> rot 1 10
blau -> rot -> blau 1 6
blau -> blau -> rot 1 6
blau -> blau -> blau 1 6

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= 2 5 ; P("blau")= 3 5 ;

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'rot'-'rot'-'rot' (P= 1 30 )
'blau'-'blau'-'blau' (P= 1 6 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 30 + 1 6 = 1 5


nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 6 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 8 kugel mit einer 2 und 6 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 3 ist?

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EreignisP
1 -> 1 3 38
1 -> 2 12 95
1 -> 3 9 95
2 -> 1 12 95
2 -> 2 14 95
2 -> 3 12 95
3 -> 1 9 95
3 -> 2 12 95
3 -> 3 3 38

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= 3 10 ; P("2")= 2 5 ; P("3")= 3 10 ;

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'1'-'2' (P= 12 95 )
'2'-'1' (P= 12 95 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

12 95 + 12 95 = 24 95


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 3. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 3 4 2 3 1 2
= 1 2 1 1 2
= 1 4

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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 9 rote und 3 blaue Kugeln. Es wird 3 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 2 mal blau"?

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Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": 1 4 ; "nicht blau": 3 4 ;

EreignisP
blau -> blau -> blau 1 220
blau -> blau -> nicht blau 9 220
blau -> nicht blau -> blau 9 220
blau -> nicht blau -> nicht blau 9 55
nicht blau -> blau -> blau 9 220
nicht blau -> blau -> nicht blau 9 55
nicht blau -> nicht blau -> blau 9 55
nicht blau -> nicht blau -> nicht blau 21 55

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("blau")= 1 4 ; P("nicht blau")= 3 4 ;

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'blau'-'blau'-'nicht blau' (P= 9 220 )
'blau'-'nicht blau'-'blau' (P= 9 220 )
'nicht blau'-'blau'-'blau' (P= 9 220 )
'blau'-'blau'-'blau' (P= 1 220 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

9 220 + 9 220 + 9 220 + 1 220 = 7 55