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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 9 Mädchen und 3 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen genau 0 an ein Mädchen gehen?

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Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{21}{55}$
Mädchen -> Mädchen -> Jungs	$\frac{9}{55}$
Mädchen -> Jungs -> Mädchen	$\frac{9}{55}$
Mädchen -> Jungs -> Jungs	$\frac{9}{220}$
Jungs -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{9}{55}$
Jungs -> Mädchen -> Jungs	$\frac{9}{220}$
Jungs -> Jungs -> Mädchen	$\frac{9}{220}$
Jungs -> Jungs -> Jungs	$\frac{1}{220}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Mädchen")= $\frac{3}{4}$ ; P("Jungs")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Jungs'-'Jungs'-'Jungs' (P= $\frac{1}{220}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{220}$ = $\frac{1}{220}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 2 Asse, 4 Könige und 2 Damen. Es werden 2 Karten vom Stapel gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "genau 2 mal Dame"?

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Da ja ausschließlich nach 'Dame' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Dame' und 'nicht Dame'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Dame": $\frac{1}{4}$ ; "nicht Dame": $\frac{3}{4}$ ;

Ereignis	P
Dame -> Dame	$\frac{1}{28}$
Dame -> nicht Dame	$\frac{3}{14}$
nicht Dame -> Dame	$\frac{3}{14}$
nicht Dame -> nicht Dame	$\frac{15}{28}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Dame")= $\frac{1}{4}$ ; P("nicht Dame")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Dame'-'Dame' (P= $\frac{1}{28}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{28}$ = $\frac{1}{28}$

nur Summen

Beispiel:

Ein Würfel wird zwei mal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 10 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{36}$
1 -> 2	$\frac{1}{36}$
1 -> 3	$\frac{1}{36}$
1 -> 4	$\frac{1}{36}$
1 -> 5	$\frac{1}{36}$
1 -> 6	$\frac{1}{36}$
2 -> 1	$\frac{1}{36}$
2 -> 2	$\frac{1}{36}$
2 -> 3	$\frac{1}{36}$
2 -> 4	$\frac{1}{36}$
2 -> 5	$\frac{1}{36}$
2 -> 6	$\frac{1}{36}$
3 -> 1	$\frac{1}{36}$
3 -> 2	$\frac{1}{36}$
3 -> 3	$\frac{1}{36}$
3 -> 4	$\frac{1}{36}$
3 -> 5	$\frac{1}{36}$
3 -> 6	$\frac{1}{36}$
4 -> 1	$\frac{1}{36}$
4 -> 2	$\frac{1}{36}$
4 -> 3	$\frac{1}{36}$
4 -> 4	$\frac{1}{36}$
4 -> 5	$\frac{1}{36}$
4 -> 6	$\frac{1}{36}$
5 -> 1	$\frac{1}{36}$
5 -> 2	$\frac{1}{36}$
5 -> 3	$\frac{1}{36}$
5 -> 4	$\frac{1}{36}$
5 -> 5	$\frac{1}{36}$
5 -> 6	$\frac{1}{36}$
6 -> 1	$\frac{1}{36}$
6 -> 2	$\frac{1}{36}$
6 -> 3	$\frac{1}{36}$
6 -> 4	$\frac{1}{36}$
6 -> 5	$\frac{1}{36}$
6 -> 6	$\frac{1}{36}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{6}$ ; P("2")= $\frac{1}{6}$ ; P("3")= $\frac{1}{6}$ ; P("4")= $\frac{1}{6}$ ; P("5")= $\frac{1}{6}$ ; P("6")= $\frac{1}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'4'-'6' (P= $\frac{1}{36}$ )
'6'-'4' (P= $\frac{1}{36}$ )
'5'-'5' (P= $\frac{1}{36}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ = $\frac{1}{12}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und 12 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine blaue Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die blaue Kugel im 4. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{15}$ ⋅ $\frac{2}{14}$ ⋅ $\frac{1}{13}$ ⋅ $\frac{12}{12}$
= $\frac{1}{5}$ ⋅ $\frac{1}{7}$ ⋅ $\frac{1}{13}$ ⋅ $\frac{2}{2}$
= $\frac{1}{455}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Beim Roulette kann man auch auf Zahlenbereiche setzen. Z.B. auf die Zahlenbereiche 1-12, 13-24 und 25-36, wobei die grüne 0 zu keinem der Bereiche gehört. Es wird zwei mal eine Kugel im Roulette gespielt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal 1-12 und 1 mal 13-24"?

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Ereignis	P
1-12 -> 1-12	$\frac{144}{1369}$
1-12 -> 13-24	$\frac{144}{1369}$
1-12 -> 25-36	$\frac{144}{1369}$
1-12 -> grüne 0	$\frac{12}{1369}$
13-24 -> 1-12	$\frac{144}{1369}$
13-24 -> 13-24	$\frac{144}{1369}$
13-24 -> 25-36	$\frac{144}{1369}$
13-24 -> grüne 0	$\frac{12}{1369}$
25-36 -> 1-12	$\frac{144}{1369}$
25-36 -> 13-24	$\frac{144}{1369}$
25-36 -> 25-36	$\frac{144}{1369}$
25-36 -> grüne 0	$\frac{12}{1369}$
grüne 0 -> 1-12	$\frac{12}{1369}$
grüne 0 -> 13-24	$\frac{12}{1369}$
grüne 0 -> 25-36	$\frac{12}{1369}$
grüne 0 -> grüne 0	$\frac{1}{1369}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1-12")= $\frac{12}{37}$ ; P("13-24")= $\frac{12}{37}$ ; P("25-36")= $\frac{12}{37}$ ; P("grüne 0")= $\frac{1}{37}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1-12'-'13-24' (P= $\frac{144}{1369}$ )
'13-24'-'1-12' (P= $\frac{144}{1369}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{144}{1369}$ + $\frac{144}{1369}$ = $\frac{288}{1369}$

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ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

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Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen mit Zurücklegen