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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Bei der Auslosung zum Championsleague-Achtelfinale sind noch alle 4 deutsche Mannschaften im Lostopf mit den 16 Mannschaften. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den erstem drei gezogenen Mannschaften höchstens 1 deutsche Mannschaften sind (wenn man mal von der falschen Annahme ausgeht, dass alle Mannschaften im gleichen Lostopf sind)?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'deutsch' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'deutsch' und 'nicht deutsch'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"deutsch": $\frac{1}{4}$ ; "nicht deutsch": $\frac{3}{4}$ ;

Ereignis	P
deutsch -> deutsch -> deutsch	$\frac{1}{140}$
deutsch -> deutsch -> nicht deutsch	$\frac{3}{70}$
deutsch -> nicht deutsch -> deutsch	$\frac{3}{70}$
deutsch -> nicht deutsch -> nicht deutsch	$\frac{11}{70}$
nicht deutsch -> deutsch -> deutsch	$\frac{3}{70}$
nicht deutsch -> deutsch -> nicht deutsch	$\frac{11}{70}$
nicht deutsch -> nicht deutsch -> deutsch	$\frac{11}{70}$
nicht deutsch -> nicht deutsch -> nicht deutsch	$\frac{11}{28}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("deutsch")= $\frac{1}{4}$ ; P("nicht deutsch")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'deutsch'-'nicht deutsch'-'nicht deutsch' (P= $\frac{11}{70}$ )
'nicht deutsch'-'deutsch'-'nicht deutsch' (P= $\frac{11}{70}$ )
'nicht deutsch'-'nicht deutsch'-'deutsch' (P= $\frac{11}{70}$ )
'nicht deutsch'-'nicht deutsch'-'nicht deutsch' (P= $\frac{11}{28}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{11}{70}$ + $\frac{11}{70}$ + $\frac{11}{70}$ + $\frac{11}{28}$ = $\frac{121}{140}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 2 Karten der Farbe Kreuz, 8 der Farbe Pik, 2 der Farbe Herz und 3 der Farbe Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal Karo"? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Karo' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Karo' und 'nicht Karo'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Karo": $\frac{1}{5}$ ; "nicht Karo": $\frac{4}{5}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal Karo' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'Karo' bzw. 0 mal 'Karo'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'Karo')=1- $\frac{22}{35}$ = $\frac{13}{35}$

Ereignis	P
Karo -> Karo	$\frac{1}{35}$
Karo -> nicht Karo	$\frac{6}{35}$
nicht Karo -> Karo	$\frac{6}{35}$
nicht Karo -> nicht Karo	$\frac{22}{35}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Karo")= $\frac{1}{5}$ ; P("nicht Karo")= $\frac{4}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Karo'-'nicht Karo' (P= $\frac{6}{35}$ )
'nicht Karo'-'Karo' (P= $\frac{6}{35}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{1}{35}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{6}{35}$ + $\frac{6}{35}$ + $\frac{1}{35}$ = $\frac{13}{35}$

nur Summen

Beispiel:

In einer 8. Klasse gibt es 15 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 5 14-Jährige und 4 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 30 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '15' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '15' und 'nicht 15'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"15": $\frac{1}{6}$ ; "nicht 15": $\frac{5}{6}$ ;

Ereignis	P
15 -> 15	$\frac{1}{46}$
15 -> nicht 15	$\frac{10}{69}$
nicht 15 -> 15	$\frac{10}{69}$
nicht 15 -> nicht 15	$\frac{95}{138}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("15")= $\frac{1}{6}$ ; P("nicht 15")= $\frac{5}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'15'-'15' (P= $\frac{1}{46}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{46}$ = $\frac{1}{46}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 3. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$
= $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{1}{2}$
= $\frac{1}{4}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 3 Karten der Farbe Kreuz, 9 der Farbe Pik, 9 der Farbe Herz und 3 der Farbe Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal Herz"? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Herz' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Herz' und 'nicht Herz'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Herz": $\frac{3}{8}$ ; "nicht Herz": $\frac{5}{8}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal Herz' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'Herz' bzw. 0 mal 'Herz'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'Herz')=1- $\frac{35}{92}$ = $\frac{57}{92}$

Ereignis	P
Herz -> Herz	$\frac{3}{23}$
Herz -> nicht Herz	$\frac{45}{184}$
nicht Herz -> Herz	$\frac{45}{184}$
nicht Herz -> nicht Herz	$\frac{35}{92}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Herz")= $\frac{3}{8}$ ; P("nicht Herz")= $\frac{5}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Herz'-'nicht Herz' (P= $\frac{45}{184}$ )
'nicht Herz'-'Herz' (P= $\frac{45}{184}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{3}{23}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{45}{184}$ + $\frac{45}{184}$ + $\frac{3}{23}$ = $\frac{57}{92}$

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ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen ohne Zurücklegen