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ohne Zurücklegen (einfach)
Beispiel:
In einer Urne sind 7 rote, 5 blaue , 8 gelbe und 4 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal gelb"?
Da ja ausschließlich nach 'gelb' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'gelb' und 'nicht gelb'
Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"gelb": ; "nicht gelb": ;
| Ereignis | P |
|---|---|
| gelb -> gelb | |
| gelb -> nicht gelb | |
| nicht gelb -> gelb | |
| nicht gelb -> nicht gelb |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("gelb")=; P("nicht gelb")=;
Die relevanten Pfade sind:
'gelb'-'gelb' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
=
Ziehen ohne Zurücklegen
Beispiel:
Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 7 Mädchen und 3 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen mindestens 2 an eine Mädchen gehen?
Da ja ausschließlich nach 'Mädchen' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Mädchen' und 'nicht Mädchen'
Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Mädchen": ; "nicht Mädchen": ;
| Ereignis | P |
|---|---|
| Mädchen -> Mädchen -> Mädchen | |
| Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen | |
| Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen | |
| Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen | |
| nicht Mädchen -> Mädchen -> Mädchen | |
| nicht Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen | |
| nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen | |
| nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Mädchen")=; P("nicht Mädchen")=;
Die relevanten Pfade sind:
'Mädchen'-'Mädchen'-'nicht Mädchen' (P=)
'Mädchen'-'nicht Mädchen'-'Mädchen' (P=)
'nicht Mädchen'-'Mädchen'-'Mädchen' (P=)
'Mädchen'-'Mädchen'-'Mädchen' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + + =
nur Summen
Beispiel:
Ein Würfel wird zwei mal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 4 ist?
| Ereignis | P |
|---|---|
| 1 -> 1 | |
| 1 -> 2 | |
| 1 -> 3 | |
| 1 -> 4 | |
| 1 -> 5 | |
| 1 -> 6 | |
| 2 -> 1 | |
| 2 -> 2 | |
| 2 -> 3 | |
| 2 -> 4 | |
| 2 -> 5 | |
| 2 -> 6 | |
| 3 -> 1 | |
| 3 -> 2 | |
| 3 -> 3 | |
| 3 -> 4 | |
| 3 -> 5 | |
| 3 -> 6 | |
| 4 -> 1 | |
| 4 -> 2 | |
| 4 -> 3 | |
| 4 -> 4 | |
| 4 -> 5 | |
| 4 -> 6 | |
| 5 -> 1 | |
| 5 -> 2 | |
| 5 -> 3 | |
| 5 -> 4 | |
| 5 -> 5 | |
| 5 -> 6 | |
| 6 -> 1 | |
| 6 -> 2 | |
| 6 -> 3 | |
| 6 -> 4 | |
| 6 -> 5 | |
| 6 -> 6 |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")=; P("2")=; P("3")=; P("4")=; P("5")=; P("6")=;
Die relevanten Pfade sind:- '1'-'3' (P=)
- '3'-'1' (P=)
- '2'-'2' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + =
Ziehen bis erstmals x kommt
Beispiel:
Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 24 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies beim 4. Losdurchgang passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:
P= ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅
=
Ziehen mit Zurücklegen
Beispiel:
Beim Würfelspiel Mäxle würfelt man mit zwei Würfeln. Die größere Augenzahl nimmt man als Zehner, die kleinere als Einer (z.B. 3 und 5 ergibt 53). Ein Pasch (gleiche Zahlen bei beiden Würfeln) zählt mehr als alle anderen Ergebnisse. Lediglich ein Mäxle (eine 1 und ein 2) schlägt auch einen Pasch. Die beiden schlechtesten Ergebnisse sind also 31 und 32. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür?
| Ereignis | P |
|---|---|
| 1 -> 1 | |
| 1 -> 2 | |
| 1 -> 3 | |
| 1 -> höher | |
| 2 -> 1 | |
| 2 -> 2 | |
| 2 -> 3 | |
| 2 -> höher | |
| 3 -> 1 | |
| 3 -> 2 | |
| 3 -> 3 | |
| 3 -> höher | |
| höher -> 1 | |
| höher -> 2 | |
| höher -> 3 | |
| höher -> höher |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")=; P("2")=; P("3")=; P("höher")=;
Die relevanten Pfade sind:- '1'-'3' (P=)
- '3'-'1' (P=)
- '2'-'3' (P=)
- '3'-'2' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + + =
