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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote, 5 blaue , 10 gelbe und 5 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal blau"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": 5 24 ; "nicht blau": 19 24 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal blau' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'blau'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'blau')=1- 5 138 = 133 138

EreignisP
blau -> blau 5 138
blau -> nicht blau 95 552
nicht blau -> blau 95 552
nicht blau -> nicht blau 57 92

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("blau")= 5 24 ; P("nicht blau")= 19 24 ;

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'blau'-'nicht blau' (P= 95 552 )
'nicht blau'-'blau' (P= 95 552 )
'nicht blau'-'nicht blau' (P= 57 92 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

95 552 + 95 552 + 57 92 = 133 138


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Lostopf sind 9 Kugeln mit einer Eins beschriftet, 10 Kugeln mit einer Zwei, 2 mit Drei und 3 mit einer Vier. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkiet dass die beiden gezogenen Zahlen zusammen 7 ergeben?

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EreignisP
1 -> 1 3 23
1 -> 2 15 92
1 -> 3 3 92
1 -> 4 9 184
2 -> 1 15 92
2 -> 2 15 92
2 -> 3 5 138
2 -> 4 5 92
3 -> 1 3 92
3 -> 2 5 138
3 -> 3 1 276
3 -> 4 1 92
4 -> 1 9 184
4 -> 2 5 92
4 -> 3 1 92
4 -> 4 1 92

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= 3 8 ; P("2")= 5 12 ; P("3")= 1 12 ; P("4")= 1 8 ;

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'3'-'4' (P= 1 92 )
'4'-'3' (P= 1 92 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 92 + 1 92 = 1 46


nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 9 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 4 2er und 7 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 6 ist?

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Da ja ausschließlich nach '3' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3' und 'nicht 3'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3": 7 20 ; "nicht 3": 13 20 ;

EreignisP
3 -> 3 49 400
3 -> nicht 3 91 400
nicht 3 -> 3 91 400
nicht 3 -> nicht 3 169 400

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("3")= 7 20 ; P("nicht 3")= 13 20 ;

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  • '3'-'3' (P= 49 400 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

49 400 = 49 400


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 2. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 3 4 1 3
= 1 4 1
= 1 4

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Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 0 mal eine durch 3 teilbare Zahl zu würfeln?

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EreignisP
Teiler -> Teiler 1 9
Teiler -> kein Teiler 2 9
kein Teiler -> Teiler 2 9
kein Teiler -> kein Teiler 4 9

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Teiler")= 1 3 ; P("kein Teiler")= 2 3 ;

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  • 'kein Teiler'-'kein Teiler' (P= 4 9 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

4 9 = 4 9