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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 4 Asse, 2 Könige und 4 Damen. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "höchstens 1 mal König"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'König' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'König' und 'nicht König'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"König": $\frac{1}{5}$ ; "nicht König": $\frac{4}{5}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal König' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'König'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'König')=1- $\frac{1}{45}$ = $\frac{44}{45}$

Ereignis	P
König -> König	$\frac{1}{45}$
König -> nicht König	$\frac{8}{45}$
nicht König -> König	$\frac{8}{45}$
nicht König -> nicht König	$\frac{28}{45}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("König")= $\frac{1}{5}$ ; P("nicht König")= $\frac{4}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'König'-'nicht König' (P= $\frac{8}{45}$ )
'nicht König'-'König' (P= $\frac{8}{45}$ )
'nicht König'-'nicht König' (P= $\frac{28}{45}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{8}{45}$ + $\frac{8}{45}$ + $\frac{28}{45}$ = $\frac{44}{45}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 2 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 5 kugel mit einer 2 und 3 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 5 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{45}$
1 -> 2	$\frac{1}{9}$
1 -> 3	$\frac{1}{15}$
2 -> 1	$\frac{1}{9}$
2 -> 2	$\frac{2}{9}$
2 -> 3	$\frac{1}{6}$
3 -> 1	$\frac{1}{15}$
3 -> 2	$\frac{1}{6}$
3 -> 3	$\frac{1}{15}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{5}$ ; P("2")= $\frac{1}{2}$ ; P("3")= $\frac{3}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'2'-'3' (P= $\frac{1}{6}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{1}{6}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{6}$ = $\frac{1}{3}$

nur Summen

Beispiel:

In einem Stapel sind 4 Karten vom Wert 7, 2 Karten vom Wert 8 und 2 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 14 ist?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '7' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '7' und 'nicht 7'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"7": $\frac{1}{2}$ ; "nicht 7": $\frac{1}{2}$ ;

Ereignis	P
7 -> 7	$\frac{3}{14}$
7 -> nicht 7	$\frac{2}{7}$
nicht 7 -> 7	$\frac{2}{7}$
nicht 7 -> nicht 7	$\frac{3}{14}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("7")= $\frac{1}{2}$ ; P("nicht 7")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'7'-'7' (P= $\frac{3}{14}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{14}$ = $\frac{3}{14}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 21 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies beim 3. Losdurchgang passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{24}$ ⋅ $\frac{2}{23}$ ⋅ $\frac{21}{22}$
= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{1}{23}$ ⋅ $\frac{7}{22}$
= $\frac{21}{2024}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote, 9 gelbe, 10 blaue und 3 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal rot"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{3}{25}$ ; "nicht rot": $\frac{22}{25}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal rot' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'rot'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'rot')=1- $\frac{9}{625}$ = $\frac{616}{625}$

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{9}{625}$
rot -> nicht rot	$\frac{66}{625}$
nicht rot -> rot	$\frac{66}{625}$
nicht rot -> nicht rot	$\frac{484}{625}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{3}{25}$ ; P("nicht rot")= $\frac{22}{25}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'nicht rot' (P= $\frac{66}{625}$ )
'nicht rot'-'rot' (P= $\frac{66}{625}$ )
'nicht rot'-'nicht rot' (P= $\frac{484}{625}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{66}{625}$ + $\frac{66}{625}$ + $\frac{484}{625}$ = $\frac{616}{625}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

ohne Zurücklegen (einfach)

P=1-P(2 mal 'König')=1- 1 45 = 44 45

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

mit Zurücklegen (einfach)

P=1-P(2 mal 'rot')=1- 9 625 = 616 625

P=1-P(2 mal 'König')=1- $\frac{1}{45}$ = $\frac{44}{45}$

P=1-P(2 mal 'rot')=1- $\frac{9}{625}$ = $\frac{616}{625}$