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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 4 Asse, 4 Könige und 4 Damen. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "höchstens 1 mal Ass"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Ass' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Ass' und 'nicht Ass'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Ass": $\frac{1}{3}$ ; "nicht Ass": $\frac{2}{3}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal Ass' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'Ass'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'Ass')=1- $\frac{1}{11}$ = $\frac{10}{11}$

Ereignis	P
Ass -> Ass	$\frac{1}{11}$
Ass -> nicht Ass	$\frac{8}{33}$
nicht Ass -> Ass	$\frac{8}{33}$
nicht Ass -> nicht Ass	$\frac{14}{33}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Ass")= $\frac{1}{3}$ ; P("nicht Ass")= $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Ass'-'nicht Ass' (P= $\frac{8}{33}$ )
'nicht Ass'-'Ass' (P= $\frac{8}{33}$ )
'nicht Ass'-'nicht Ass' (P= $\frac{14}{33}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{8}{33}$ + $\frac{8}{33}$ + $\frac{14}{33}$ = $\frac{10}{11}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 10 vom Typ Kreuz, 10 vom Typ Herz, 2 vom Typ Pik und 3 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

Lösung einblenden

Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{3}{20}$
Kreuz -> Herz	$\frac{1}{6}$
Kreuz -> Pik	$\frac{1}{30}$
Kreuz -> Karo	$\frac{1}{20}$
Herz -> Kreuz	$\frac{1}{6}$
Herz -> Herz	$\frac{3}{20}$
Herz -> Pik	$\frac{1}{30}$
Herz -> Karo	$\frac{1}{20}$
Pik -> Kreuz	$\frac{1}{30}$
Pik -> Herz	$\frac{1}{30}$
Pik -> Pik	$\frac{1}{300}$
Pik -> Karo	$\frac{1}{100}$
Karo -> Kreuz	$\frac{1}{20}$
Karo -> Herz	$\frac{1}{20}$
Karo -> Pik	$\frac{1}{100}$
Karo -> Karo	$\frac{1}{100}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{2}{5}$ ; P("Herz")= $\frac{2}{5}$ ; P("Pik")= $\frac{2}{25}$ ; P("Karo")= $\frac{3}{25}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{3}{20}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{3}{20}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{1}{300}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{1}{100}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{20}$ + $\frac{3}{20}$ + $\frac{1}{300}$ + $\frac{1}{100}$ = $\frac{47}{150}$

nur Summen

Beispiel:

In einer 8. Klasse gibt es 10 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 10 14-Jährige und 2 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 29 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?

Lösung einblenden

Ereignis	P
13 -> 13	$\frac{15}{77}$
13 -> 14	$\frac{50}{231}$
13 -> 15	$\frac{10}{231}$
14 -> 13	$\frac{50}{231}$
14 -> 14	$\frac{15}{77}$
14 -> 15	$\frac{10}{231}$
15 -> 13	$\frac{10}{231}$
15 -> 14	$\frac{10}{231}$
15 -> 15	$\frac{1}{231}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("13")= $\frac{5}{11}$ ; P("14")= $\frac{5}{11}$ ; P("15")= $\frac{1}{11}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'14'-'15' (P= $\frac{10}{231}$ )
'15'-'14' (P= $\frac{10}{231}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{10}{231}$ + $\frac{10}{231}$ = $\frac{20}{231}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 4. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{4}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Bei der Auslosung zum Championsleague-Achtelfinale sind noch alle 4 deutsche Mannschaften im Lostopf mit den 16 Mannschaften. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den erstem drei gezogenen Mannschaften genau 3 deutsche Mannschaften sind (wenn man mal von der falschen Annahme ausgeht, dass alle Mannschaften im gleichen Lostopf sind)?

Lösung einblenden

Ereignis	P
deutsch -> deutsch -> deutsch	$\frac{1}{140}$
deutsch -> deutsch -> andere	$\frac{3}{70}$
deutsch -> andere -> deutsch	$\frac{3}{70}$
deutsch -> andere -> andere	$\frac{11}{70}$
andere -> deutsch -> deutsch	$\frac{3}{70}$
andere -> deutsch -> andere	$\frac{11}{70}$
andere -> andere -> deutsch	$\frac{11}{70}$
andere -> andere -> andere	$\frac{11}{28}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("deutsch")= $\frac{1}{4}$ ; P("andere")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'deutsch'-'deutsch'-'deutsch' (P= $\frac{1}{140}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{140}$ = $\frac{1}{140}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

ohne Zurücklegen (einfach)

P=1-P(2 mal 'Ass')=1- 1 11 = 10 11

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

ohne Zurücklegen (einfach)

P=1-P(2 mal 'Ass')=1- $\frac{1}{11}$ = $\frac{10}{11}$