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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 6 Mädchen und 4 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen genau 2 an ein Mädchen gehen?

Lösung einblenden

Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{1}{6}$
Mädchen -> Mädchen -> Jungs	$\frac{1}{6}$
Mädchen -> Jungs -> Mädchen	$\frac{1}{6}$
Mädchen -> Jungs -> Jungs	$\frac{1}{10}$
Jungs -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{1}{6}$
Jungs -> Mädchen -> Jungs	$\frac{1}{10}$
Jungs -> Jungs -> Mädchen	$\frac{1}{10}$
Jungs -> Jungs -> Jungs	$\frac{1}{30}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Mädchen")= $\frac{3}{5}$ ; P("Jungs")= $\frac{2}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Mädchen'-'Mädchen'-'Jungs' (P= $\frac{1}{6}$ )
'Mädchen'-'Jungs'-'Mädchen' (P= $\frac{1}{6}$ )
'Jungs'-'Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{1}{6}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{6}$ = $\frac{1}{2}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 6 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 5 kugel mit einer 2 und 4 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 4 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{7}$
1 -> 2	$\frac{1}{7}$
1 -> 3	$\frac{4}{35}$
2 -> 1	$\frac{1}{7}$
2 -> 2	$\frac{2}{21}$
2 -> 3	$\frac{2}{21}$
3 -> 1	$\frac{4}{35}$
3 -> 2	$\frac{2}{21}$
3 -> 3	$\frac{2}{35}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{2}{5}$ ; P("2")= $\frac{1}{3}$ ; P("3")= $\frac{4}{15}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{4}{35}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{4}{35}$ )
'2'-'2' (P= $\frac{2}{21}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{35}$ + $\frac{4}{35}$ + $\frac{2}{21}$ = $\frac{34}{105}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 3 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 7 kugel mit einer 2 und 5 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 6 ist?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '3' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3' und 'nicht 3'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3": $\frac{1}{3}$ ; "nicht 3": $\frac{2}{3}$ ;

Ereignis	P
3 -> 3	$\frac{2}{21}$
3 -> nicht 3	$\frac{5}{21}$
nicht 3 -> 3	$\frac{5}{21}$
nicht 3 -> nicht 3	$\frac{3}{7}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("3")= $\frac{1}{3}$ ; P("nicht 3")= $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3'-'3' (P= $\frac{2}{21}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{21}$ = $\frac{2}{21}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und 8 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine blaue Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die blaue Kugel im 5. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{4}{12}$ ⋅ $\frac{3}{11}$ ⋅ $\frac{2}{10}$ ⋅ $\frac{1}{9}$ ⋅ $\frac{8}{8}$
= $1$ ⋅ $\frac{1}{11}$ ⋅ $\frac{1}{5}$ ⋅ $\frac{1}{9}$ ⋅ $\frac{4}{4}$
= $\frac{1}{495}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Lostopf sind 8 Kugeln mit einer Eins beschriftet, 10 Kugeln mit einer Zwei, 4 mit Drei und 3 mit einer Vier. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkiet dass die beiden gezogenen Zahlen zusammen 6 ergeben?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{7}{75}$
1 -> 2	$\frac{2}{15}$
1 -> 3	$\frac{4}{75}$
1 -> 4	$\frac{1}{25}$
2 -> 1	$\frac{2}{15}$
2 -> 2	$\frac{3}{20}$
2 -> 3	$\frac{1}{15}$
2 -> 4	$\frac{1}{20}$
3 -> 1	$\frac{4}{75}$
3 -> 2	$\frac{1}{15}$
3 -> 3	$\frac{1}{50}$
3 -> 4	$\frac{1}{50}$
4 -> 1	$\frac{1}{25}$
4 -> 2	$\frac{1}{20}$
4 -> 3	$\frac{1}{50}$
4 -> 4	$\frac{1}{100}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{8}{25}$ ; P("2")= $\frac{2}{5}$ ; P("3")= $\frac{4}{25}$ ; P("4")= $\frac{3}{25}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'2'-'4' (P= $\frac{1}{20}$ )
'4'-'2' (P= $\frac{1}{20}$ )
'3'-'3' (P= $\frac{1}{50}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{20}$ + $\frac{1}{20}$ + $\frac{1}{50}$ = $\frac{3}{25}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen ohne Zurücklegen