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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 4 Asse, 2 Könige und 4 Damen. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "genau 2 mal Ass"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Ass' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Ass' und 'nicht Ass'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Ass": $\frac{2}{5}$ ; "nicht Ass": $\frac{3}{5}$ ;

Ereignis	P
Ass -> Ass	$\frac{2}{15}$
Ass -> nicht Ass	$\frac{4}{15}$
nicht Ass -> Ass	$\frac{4}{15}$
nicht Ass -> nicht Ass	$\frac{1}{3}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Ass")= $\frac{2}{5}$ ; P("nicht Ass")= $\frac{3}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Ass'-'Ass' (P= $\frac{2}{15}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{15}$ = $\frac{2}{15}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 2 Asse, 4 Könige und 4 Damen. Es werden 2 Karten vom Stapel gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "1 mal Ass und 1 mal König"?

Lösung einblenden

Ereignis	P
Ass -> Ass	$\frac{1}{45}$
Ass -> König	$\frac{4}{45}$
Ass -> Dame	$\frac{4}{45}$
König -> Ass	$\frac{4}{45}$
König -> König	$\frac{2}{15}$
König -> Dame	$\frac{8}{45}$
Dame -> Ass	$\frac{4}{45}$
Dame -> König	$\frac{8}{45}$
Dame -> Dame	$\frac{2}{15}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Ass")= $\frac{1}{5}$ ; P("König")= $\frac{2}{5}$ ; P("Dame")= $\frac{2}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Ass'-'König' (P= $\frac{4}{45}$ )
'König'-'Ass' (P= $\frac{4}{45}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{45}$ + $\frac{4}{45}$ = $\frac{8}{45}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 9 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 3 kugel mit einer 2 und 3 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 3 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{12}{35}$
1 -> 2	$\frac{9}{70}$
1 -> 3	$\frac{9}{70}$
2 -> 1	$\frac{9}{70}$
2 -> 2	$\frac{1}{35}$
2 -> 3	$\frac{3}{70}$
3 -> 1	$\frac{9}{70}$
3 -> 2	$\frac{3}{70}$
3 -> 3	$\frac{1}{35}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{3}{5}$ ; P("2")= $\frac{1}{5}$ ; P("3")= $\frac{1}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'2' (P= $\frac{9}{70}$ )
'2'-'1' (P= $\frac{9}{70}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{9}{70}$ + $\frac{9}{70}$ = $\frac{9}{35}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und 10 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine blaue Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die blaue Kugel im 4. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{13}$ ⋅ $\frac{2}{12}$ ⋅ $\frac{1}{11}$ ⋅ $\frac{10}{10}$
= $\frac{1}{13}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{1}{11}$ ⋅ $\frac{5}{5}$
= $\frac{1}{286}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 5 Schüler mit NWT-Profil, 5 Schüler mit sprachlichem Profil, 5 Schüler mit Musik-Profil und 5 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass höchstens 1 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": $\frac{1}{4}$ ; "nicht NWT": $\frac{3}{4}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal NWT' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'NWT'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'NWT')=1- $\frac{1}{19}$ = $\frac{18}{19}$

Ereignis	P
NWT -> NWT	$\frac{1}{19}$
NWT -> nicht NWT	$\frac{15}{76}$
nicht NWT -> NWT	$\frac{15}{76}$
nicht NWT -> nicht NWT	$\frac{21}{38}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("NWT")= $\frac{1}{4}$ ; P("nicht NWT")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'NWT'-'nicht NWT' (P= $\frac{15}{76}$ )
'nicht NWT'-'NWT' (P= $\frac{15}{76}$ )
'nicht NWT'-'nicht NWT' (P= $\frac{21}{38}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{15}{76}$ + $\frac{15}{76}$ + $\frac{21}{38}$ = $\frac{18}{19}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen ohne Zurücklegen

P=1-P(2 mal 'NWT')=1- 1 19 = 18 19

P=1-P(2 mal 'NWT')=1- $\frac{1}{19}$ = $\frac{18}{19}$