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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 6 rote und 4 blaue Kugeln. Es wird 2 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal rot"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{3}{5}$ ; "nicht rot": $\frac{2}{5}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal rot' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'rot' bzw. 0 mal 'rot'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'rot')=1- $\frac{2}{15}$ = $\frac{13}{15}$

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{1}{3}$
rot -> nicht rot	$\frac{4}{15}$
nicht rot -> rot	$\frac{4}{15}$
nicht rot -> nicht rot	$\frac{2}{15}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{3}{5}$ ; P("nicht rot")= $\frac{2}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'nicht rot' (P= $\frac{4}{15}$ )
'nicht rot'-'rot' (P= $\frac{4}{15}$ )
'rot'-'rot' (P= $\frac{1}{3}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{15}$ + $\frac{4}{15}$ + $\frac{1}{3}$ = $\frac{13}{15}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 5 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 7 kugel mit einer 2 und 3 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 4 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{2}{21}$
1 -> 2	$\frac{1}{6}$
1 -> 3	$\frac{1}{14}$
2 -> 1	$\frac{1}{6}$
2 -> 2	$\frac{1}{5}$
2 -> 3	$\frac{1}{10}$
3 -> 1	$\frac{1}{14}$
3 -> 2	$\frac{1}{10}$
3 -> 3	$\frac{1}{35}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{3}$ ; P("2")= $\frac{7}{15}$ ; P("3")= $\frac{1}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{1}{14}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{1}{14}$ )
'2'-'2' (P= $\frac{1}{5}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{14}$ + $\frac{1}{14}$ + $\frac{1}{5}$ = $\frac{12}{35}$

nur Summen

Beispiel:

In einem Stapel sind 4 Karten vom Wert 7, 2 Karten vom Wert 8 und 2 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 14 ist?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '7' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '7' und 'nicht 7'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"7": $\frac{1}{2}$ ; "nicht 7": $\frac{1}{2}$ ;

Ereignis	P
7 -> 7	$\frac{3}{14}$
7 -> nicht 7	$\frac{2}{7}$
nicht 7 -> 7	$\frac{2}{7}$
nicht 7 -> nicht 7	$\frac{3}{14}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("7")= $\frac{1}{2}$ ; P("nicht 7")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'7'-'7' (P= $\frac{3}{14}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{14}$ = $\frac{3}{14}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 6 rote und 3 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die rote Kugel im 4. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{9}$ ⋅ $\frac{2}{8}$ ⋅ $\frac{1}{7}$ ⋅ $\frac{6}{6}$
= $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{4}$ ⋅ $\frac{1}{7}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{84}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Eine faire Münze (d.h. die Wahrscheinlichkeit für Zahl und Wappen ist gleich groß) wird drei mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal Zahl und 2 mal Wappen"?

Lösung einblenden

Ereignis	P
Zahl -> Zahl -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Zahl -> Zahl -> Wappen	$\frac{1}{8}$
Zahl -> Wappen -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Zahl -> Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Zahl -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Zahl -> Wappen	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Wappen -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Zahl")= $\frac{1}{2}$ ; P("Wappen")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Zahl'-'Wappen'-'Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )
'Wappen'-'Zahl'-'Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )
'Wappen'-'Wappen'-'Zahl' (P= $\frac{1}{8}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $\frac{3}{8}$

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ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

mit Zurücklegen (einfach)