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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Bei der Auslosung zum Championsleague-Achtelfinale sind noch alle 4 deutsche Mannschaften im Lostopf mit den 16 Mannschaften. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den erstem drei gezogenen Mannschaften genau 3 deutsche Mannschaften sind (wenn man mal von der falschen Annahme ausgeht, dass alle Mannschaften im gleichen Lostopf sind)?

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Ereignis	P
deutsch -> deutsch -> deutsch	$\frac{1}{140}$
deutsch -> deutsch -> andere	$\frac{3}{70}$
deutsch -> andere -> deutsch	$\frac{3}{70}$
deutsch -> andere -> andere	$\frac{11}{70}$
andere -> deutsch -> deutsch	$\frac{3}{70}$
andere -> deutsch -> andere	$\frac{11}{70}$
andere -> andere -> deutsch	$\frac{11}{70}$
andere -> andere -> andere	$\frac{11}{28}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("deutsch")= $\frac{1}{4}$ ; P("andere")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'deutsch'-'deutsch'-'deutsch' (P= $\frac{1}{140}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{140}$ = $\frac{1}{140}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 7 Karten der Farbe Kreuz, 3 der Farbe Pik, 2 der Farbe Herz und 3 der Farbe Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal Kreuz"? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

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Da ja ausschließlich nach 'Kreuz' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Kreuz' und 'nicht Kreuz'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Kreuz": $\frac{7}{15}$ ; "nicht Kreuz": $\frac{8}{15}$ ;

Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{1}{5}$
Kreuz -> nicht Kreuz	$\frac{4}{15}$
nicht Kreuz -> Kreuz	$\frac{4}{15}$
nicht Kreuz -> nicht Kreuz	$\frac{4}{15}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{7}{15}$ ; P("nicht Kreuz")= $\frac{8}{15}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{1}{5}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{5}$ = $\frac{1}{5}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 3 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 6 kugel mit einer 2 und 3 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 3 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{22}$
1 -> 2	$\frac{3}{22}$
1 -> 3	$\frac{3}{44}$
2 -> 1	$\frac{3}{22}$
2 -> 2	$\frac{5}{22}$
2 -> 3	$\frac{3}{22}$
3 -> 1	$\frac{3}{44}$
3 -> 2	$\frac{3}{22}$
3 -> 3	$\frac{1}{22}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{4}$ ; P("2")= $\frac{1}{2}$ ; P("3")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'2' (P= $\frac{3}{22}$ )
'2'-'1' (P= $\frac{3}{22}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{22}$ + $\frac{3}{22}$ = $\frac{3}{11}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 2. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{1}{3}$
= $\frac{1}{4}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{4}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 21 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies beim 2. Losdurchgang passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{24}$ ⋅ $\frac{21}{23}$
= $\frac{3}{8}$ ⋅ $\frac{7}{23}$
= $\frac{21}{184}$

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ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen bis erstmals x kommt