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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 9 rote und 3 blaue Kugeln. Es wird 3 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal blau"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": $\frac{1}{4}$ ; "nicht blau": $\frac{3}{4}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal blau' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'blau' bzw. 0 mal 'blau'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'blau')=1- $\frac{21}{55}$ = $\frac{34}{55}$

Ereignis	P
blau -> blau -> blau	$\frac{1}{220}$
blau -> blau -> nicht blau	$\frac{9}{220}$
blau -> nicht blau -> blau	$\frac{9}{220}$
blau -> nicht blau -> nicht blau	$\frac{9}{55}$
nicht blau -> blau -> blau	$\frac{9}{220}$
nicht blau -> blau -> nicht blau	$\frac{9}{55}$
nicht blau -> nicht blau -> blau	$\frac{9}{55}$
nicht blau -> nicht blau -> nicht blau	$\frac{21}{55}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("blau")= $\frac{1}{4}$ ; P("nicht blau")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'nicht blau'-'nicht blau' (P= $\frac{9}{55}$ )
'nicht blau'-'blau'-'nicht blau' (P= $\frac{9}{55}$ )
'nicht blau'-'nicht blau'-'blau' (P= $\frac{9}{55}$ )
'blau'-'blau'-'nicht blau' (P= $\frac{9}{220}$ )
'blau'-'nicht blau'-'blau' (P= $\frac{9}{220}$ )
'nicht blau'-'blau'-'blau' (P= $\frac{9}{220}$ )
'blau'-'blau'-'blau' (P= $\frac{1}{220}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{9}{55}$ + $\frac{9}{55}$ + $\frac{9}{55}$ + $\frac{9}{220}$ + $\frac{9}{220}$ + $\frac{9}{220}$ + $\frac{1}{220}$ = $\frac{34}{55}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Lostopf sind 3 Kugeln mit einer Eins beschriftet, 5 Kugeln mit einer Zwei, 2 mit Drei und 5 mit einer Vier. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkiet dass die beiden gezogenen Zahlen zusammen 6 ergeben?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{35}$
1 -> 2	$\frac{1}{14}$
1 -> 3	$\frac{1}{35}$
1 -> 4	$\frac{1}{14}$
2 -> 1	$\frac{1}{14}$
2 -> 2	$\frac{2}{21}$
2 -> 3	$\frac{1}{21}$
2 -> 4	$\frac{5}{42}$
3 -> 1	$\frac{1}{35}$
3 -> 2	$\frac{1}{21}$
3 -> 3	$\frac{1}{105}$
3 -> 4	$\frac{1}{21}$
4 -> 1	$\frac{1}{14}$
4 -> 2	$\frac{5}{42}$
4 -> 3	$\frac{1}{21}$
4 -> 4	$\frac{2}{21}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{5}$ ; P("2")= $\frac{1}{3}$ ; P("3")= $\frac{2}{15}$ ; P("4")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'2'-'4' (P= $\frac{5}{42}$ )
'4'-'2' (P= $\frac{5}{42}$ )
'3'-'3' (P= $\frac{1}{105}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{42}$ + $\frac{5}{42}$ + $\frac{1}{105}$ = $\frac{26}{105}$

nur Summen

Beispiel:

In einem Stapel sind 2 Karten vom Wert 7, 2 Karten vom Wert 8 und 4 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 18 ist?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '9' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '9' und 'nicht 9'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"9": $\frac{1}{2}$ ; "nicht 9": $\frac{1}{2}$ ;

Ereignis	P
9 -> 9	$\frac{3}{14}$
9 -> nicht 9	$\frac{2}{7}$
nicht 9 -> 9	$\frac{2}{7}$
nicht 9 -> nicht 9	$\frac{3}{14}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("9")= $\frac{1}{2}$ ; P("nicht 9")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'9'-'9' (P= $\frac{3}{14}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{14}$ = $\frac{3}{14}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 3. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$
= $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{1}{2}$
= $\frac{1}{4}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 9 rote, 3 gelbe, 3 blaue und 5 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal blau"?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{81}{400}$
rot -> blau	$\frac{27}{400}$
rot -> gelb	$\frac{27}{400}$
rot -> schwarz	$\frac{9}{80}$
blau -> rot	$\frac{27}{400}$
blau -> blau	$\frac{9}{400}$
blau -> gelb	$\frac{9}{400}$
blau -> schwarz	$\frac{3}{80}$
gelb -> rot	$\frac{27}{400}$
gelb -> blau	$\frac{9}{400}$
gelb -> gelb	$\frac{9}{400}$
gelb -> schwarz	$\frac{3}{80}$
schwarz -> rot	$\frac{9}{80}$
schwarz -> blau	$\frac{3}{80}$
schwarz -> gelb	$\frac{3}{80}$
schwarz -> schwarz	$\frac{1}{16}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{9}{20}$ ; P("blau")= $\frac{3}{20}$ ; P("gelb")= $\frac{3}{20}$ ; P("schwarz")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'blau' (P= $\frac{27}{400}$ )
'blau'-'rot' (P= $\frac{27}{400}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{27}{400}$ + $\frac{27}{400}$ = $\frac{27}{200}$

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ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

mit Zurücklegen (einfach)