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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 6 rote, 3 blaue , 6 gelbe und 5 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal gelb"?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{3}{38}$
rot -> blau	$\frac{9}{190}$
rot -> gelb	$\frac{9}{95}$
rot -> schwarz	$\frac{3}{38}$
blau -> rot	$\frac{9}{190}$
blau -> blau	$\frac{3}{190}$
blau -> gelb	$\frac{9}{190}$
blau -> schwarz	$\frac{3}{76}$
gelb -> rot	$\frac{9}{95}$
gelb -> blau	$\frac{9}{190}$
gelb -> gelb	$\frac{3}{38}$
gelb -> schwarz	$\frac{3}{38}$
schwarz -> rot	$\frac{3}{38}$
schwarz -> blau	$\frac{3}{76}$
schwarz -> gelb	$\frac{3}{38}$
schwarz -> schwarz	$\frac{1}{19}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{3}{10}$ ; P("blau")= $\frac{3}{20}$ ; P("gelb")= $\frac{3}{10}$ ; P("schwarz")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'gelb' (P= $\frac{9}{95}$ )
'gelb'-'rot' (P= $\frac{9}{95}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{9}{95}$ + $\frac{9}{95}$ = $\frac{18}{95}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 2 Asse, 2 Könige und 2 Damen. Es werden 2 Karten vom Stapel gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "1 mal Ass und 1 mal König"?

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Ereignis	P
Ass -> Ass	$\frac{1}{15}$
Ass -> König	$\frac{2}{15}$
Ass -> Dame	$\frac{2}{15}$
König -> Ass	$\frac{2}{15}$
König -> König	$\frac{1}{15}$
König -> Dame	$\frac{2}{15}$
Dame -> Ass	$\frac{2}{15}$
Dame -> König	$\frac{2}{15}$
Dame -> Dame	$\frac{1}{15}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Ass")= $\frac{1}{3}$ ; P("König")= $\frac{1}{3}$ ; P("Dame")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Ass'-'König' (P= $\frac{2}{15}$ )
'König'-'Ass' (P= $\frac{2}{15}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{15}$ + $\frac{2}{15}$ = $\frac{4}{15}$

nur Summen

Beispiel:

In einer 8. Klasse gibt es 15 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 5 14-Jährige und 2 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 30 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '15' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '15' und 'nicht 15'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"15": $\frac{1}{11}$ ; "nicht 15": $\frac{10}{11}$ ;

Ereignis	P
15 -> 15	$\frac{1}{231}$
15 -> nicht 15	$\frac{20}{231}$
nicht 15 -> 15	$\frac{20}{231}$
nicht 15 -> nicht 15	$\frac{190}{231}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("15")= $\frac{1}{11}$ ; P("nicht 15")= $\frac{10}{11}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'15'-'15' (P= $\frac{1}{231}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{231}$ = $\frac{1}{231}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 4. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{4}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 2 vom Typ rot, 4 vom Typ blau und 4 vom Typ gelb. Es wird 2 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{1}{45}$
rot -> blau	$\frac{4}{45}$
rot -> gelb	$\frac{4}{45}$
blau -> rot	$\frac{4}{45}$
blau -> blau	$\frac{2}{15}$
blau -> gelb	$\frac{8}{45}$
gelb -> rot	$\frac{4}{45}$
gelb -> blau	$\frac{8}{45}$
gelb -> gelb	$\frac{2}{15}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{1}{5}$ ; P("blau")= $\frac{2}{5}$ ; P("gelb")= $\frac{2}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{1}{45}$ )
'blau'-'blau' (P= $\frac{2}{15}$ )
'gelb'-'gelb' (P= $\frac{2}{15}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{45}$ + $\frac{2}{15}$ + $\frac{2}{15}$ = $\frac{13}{45}$

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ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

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Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen ohne Zurücklegen