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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 2 Asse, 2 Könige und 4 Damen. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "mindestens 1 mal Dame"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Dame' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Dame' und 'nicht Dame'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Dame": $\frac{1}{2}$ ; "nicht Dame": $\frac{1}{2}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal Dame' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'Dame' bzw. 0 mal 'Dame'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'Dame')=1- $\frac{3}{14}$ = $\frac{11}{14}$

Ereignis	P
Dame -> Dame	$\frac{3}{14}$
Dame -> nicht Dame	$\frac{2}{7}$
nicht Dame -> Dame	$\frac{2}{7}$
nicht Dame -> nicht Dame	$\frac{3}{14}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Dame")= $\frac{1}{2}$ ; P("nicht Dame")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Dame'-'nicht Dame' (P= $\frac{2}{7}$ )
'nicht Dame'-'Dame' (P= $\frac{2}{7}$ )
'Dame'-'Dame' (P= $\frac{3}{14}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{7}$ + $\frac{2}{7}$ + $\frac{3}{14}$ = $\frac{11}{14}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 9 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 6 kugel mit einer 2 und 5 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 3 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{18}{95}$
1 -> 2	$\frac{27}{190}$
1 -> 3	$\frac{9}{76}$
2 -> 1	$\frac{27}{190}$
2 -> 2	$\frac{3}{38}$
2 -> 3	$\frac{3}{38}$
3 -> 1	$\frac{9}{76}$
3 -> 2	$\frac{3}{38}$
3 -> 3	$\frac{1}{19}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{9}{20}$ ; P("2")= $\frac{3}{10}$ ; P("3")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'2' (P= $\frac{27}{190}$ )
'2'-'1' (P= $\frac{27}{190}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{27}{190}$ + $\frac{27}{190}$ = $\frac{27}{95}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 6 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 6 2er und 3 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 4 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{4}{25}$
1 -> 2	$\frac{4}{25}$
1 -> 3	$\frac{2}{25}$
2 -> 1	$\frac{4}{25}$
2 -> 2	$\frac{4}{25}$
2 -> 3	$\frac{2}{25}$
3 -> 1	$\frac{2}{25}$
3 -> 2	$\frac{2}{25}$
3 -> 3	$\frac{1}{25}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{2}{5}$ ; P("2")= $\frac{2}{5}$ ; P("3")= $\frac{1}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{2}{25}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{2}{25}$ )
'2'-'2' (P= $\frac{4}{25}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{25}$ + $\frac{2}{25}$ + $\frac{4}{25}$ = $\frac{8}{25}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 8 Karten der Farbe Herz und 2 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 2.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{2}{10}$ ⋅ $\frac{8}{9}$
= $\frac{2}{5}$ ⋅ $\frac{4}{9}$
= $\frac{8}{45}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 4 vom Typ rot, 3 vom Typ blau, 8 vom Typ gelb und 5 vom Typ schwarz. Es wird 2 mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{1}{25}$
rot -> blau	$\frac{3}{100}$
rot -> gelb	$\frac{2}{25}$
rot -> schwarz	$\frac{1}{20}$
blau -> rot	$\frac{3}{100}$
blau -> blau	$\frac{9}{400}$
blau -> gelb	$\frac{3}{50}$
blau -> schwarz	$\frac{3}{80}$
gelb -> rot	$\frac{2}{25}$
gelb -> blau	$\frac{3}{50}$
gelb -> gelb	$\frac{4}{25}$
gelb -> schwarz	$\frac{1}{10}$
schwarz -> rot	$\frac{1}{20}$
schwarz -> blau	$\frac{3}{80}$
schwarz -> gelb	$\frac{1}{10}$
schwarz -> schwarz	$\frac{1}{16}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{1}{5}$ ; P("blau")= $\frac{3}{20}$ ; P("gelb")= $\frac{2}{5}$ ; P("schwarz")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{1}{25}$ )
'blau'-'blau' (P= $\frac{9}{400}$ )
'gelb'-'gelb' (P= $\frac{4}{25}$ )
'schwarz'-'schwarz' (P= $\frac{1}{16}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{25}$ + $\frac{9}{400}$ + $\frac{4}{25}$ + $\frac{1}{16}$ = $\frac{57}{200}$

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ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen mit Zurücklegen