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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und 7 blaue Kugeln. Es wird 2 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 1 mal rot"?

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Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{1}{15}$
rot -> blau	$\frac{7}{30}$
blau -> rot	$\frac{7}{30}$
blau -> blau	$\frac{7}{15}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{3}{10}$ ; P("blau")= $\frac{7}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'blau' (P= $\frac{7}{30}$ )
'blau'-'rot' (P= $\frac{7}{30}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{7}{30}$ + $\frac{7}{30}$ = $\frac{7}{15}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 4 vom Typ Kreuz, 5 vom Typ Herz, 4 vom Typ Pik und 7 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

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Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{3}{95}$
Kreuz -> Herz	$\frac{1}{19}$
Kreuz -> Pik	$\frac{4}{95}$
Kreuz -> Karo	$\frac{7}{95}$
Herz -> Kreuz	$\frac{1}{19}$
Herz -> Herz	$\frac{1}{19}$
Herz -> Pik	$\frac{1}{19}$
Herz -> Karo	$\frac{7}{76}$
Pik -> Kreuz	$\frac{4}{95}$
Pik -> Herz	$\frac{1}{19}$
Pik -> Pik	$\frac{3}{95}$
Pik -> Karo	$\frac{7}{95}$
Karo -> Kreuz	$\frac{7}{95}$
Karo -> Herz	$\frac{7}{76}$
Karo -> Pik	$\frac{7}{95}$
Karo -> Karo	$\frac{21}{190}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{1}{5}$ ; P("Herz")= $\frac{1}{4}$ ; P("Pik")= $\frac{1}{5}$ ; P("Karo")= $\frac{7}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{3}{95}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{1}{19}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{3}{95}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{21}{190}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{95}$ + $\frac{1}{19}$ + $\frac{3}{95}$ + $\frac{21}{190}$ = $\frac{43}{190}$

nur Summen

Beispiel:

In einer 8. Klasse gibt es 10 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 5 14-Jährige und 4 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 26 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?

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Da ja ausschließlich nach '13' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '13' und 'nicht 13'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"13": $\frac{10}{19}$ ; "nicht 13": $\frac{9}{19}$ ;

Ereignis	P
13 -> 13	$\frac{5}{19}$
13 -> nicht 13	$\frac{5}{19}$
nicht 13 -> 13	$\frac{5}{19}$
nicht 13 -> nicht 13	$\frac{4}{19}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("13")= $\frac{10}{19}$ ; P("nicht 13")= $\frac{9}{19}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'13'-'13' (P= $\frac{5}{19}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{19}$ = $\frac{5}{19}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 10 Karten der Farbe Herz und 2 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 3.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{2}{12}$ ⋅ $\frac{1}{11}$ ⋅ $\frac{10}{10}$
= $\frac{1}{6}$ ⋅ $\frac{1}{11}$ ⋅ $\frac{5}{5}$
= $\frac{1}{66}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 10 vom Typ rot und 5 vom Typ blau. Es wird 3 mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 3 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

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Ereignis	P
rot -> rot -> rot	$\frac{8}{27}$
rot -> rot -> blau	$\frac{4}{27}$
rot -> blau -> rot	$\frac{4}{27}$
rot -> blau -> blau	$\frac{2}{27}$
blau -> rot -> rot	$\frac{4}{27}$
blau -> rot -> blau	$\frac{2}{27}$
blau -> blau -> rot	$\frac{2}{27}$
blau -> blau -> blau	$\frac{1}{27}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{2}{3}$ ; P("blau")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot'-'rot' (P= $\frac{8}{27}$ )
'blau'-'blau'-'blau' (P= $\frac{1}{27}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{8}{27}$ + $\frac{1}{27}$ = $\frac{1}{3}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen mit Zurücklegen