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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 6 rote, 8 blaue , 8 gelbe und 3 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal blau und 1 mal gelb"?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{1}{20}$
rot -> blau	$\frac{2}{25}$
rot -> gelb	$\frac{2}{25}$
rot -> schwarz	$\frac{3}{100}$
blau -> rot	$\frac{2}{25}$
blau -> blau	$\frac{7}{75}$
blau -> gelb	$\frac{8}{75}$
blau -> schwarz	$\frac{1}{25}$
gelb -> rot	$\frac{2}{25}$
gelb -> blau	$\frac{8}{75}$
gelb -> gelb	$\frac{7}{75}$
gelb -> schwarz	$\frac{1}{25}$
schwarz -> rot	$\frac{3}{100}$
schwarz -> blau	$\frac{1}{25}$
schwarz -> gelb	$\frac{1}{25}$
schwarz -> schwarz	$\frac{1}{100}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{6}{25}$ ; P("blau")= $\frac{8}{25}$ ; P("gelb")= $\frac{8}{25}$ ; P("schwarz")= $\frac{3}{25}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'gelb' (P= $\frac{8}{75}$ )
'gelb'-'blau' (P= $\frac{8}{75}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{8}{75}$ + $\frac{8}{75}$ = $\frac{16}{75}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 7 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 9 kugel mit einer 2 und 4 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 5 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{21}{190}$
1 -> 2	$\frac{63}{380}$
1 -> 3	$\frac{7}{95}$
2 -> 1	$\frac{63}{380}$
2 -> 2	$\frac{18}{95}$
2 -> 3	$\frac{9}{95}$
3 -> 1	$\frac{7}{95}$
3 -> 2	$\frac{9}{95}$
3 -> 3	$\frac{3}{95}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{7}{20}$ ; P("2")= $\frac{9}{20}$ ; P("3")= $\frac{1}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'2'-'3' (P= $\frac{9}{95}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{9}{95}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{9}{95}$ + $\frac{9}{95}$ = $\frac{18}{95}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 9 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 4 2er und 7 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 3 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{81}{400}$
1 -> 2	$\frac{9}{100}$
1 -> 3	$\frac{63}{400}$
2 -> 1	$\frac{9}{100}$
2 -> 2	$\frac{1}{25}$
2 -> 3	$\frac{7}{100}$
3 -> 1	$\frac{63}{400}$
3 -> 2	$\frac{7}{100}$
3 -> 3	$\frac{49}{400}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{9}{20}$ ; P("2")= $\frac{1}{5}$ ; P("3")= $\frac{7}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'2' (P= $\frac{9}{100}$ )
'2'-'1' (P= $\frac{9}{100}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{9}{100}$ + $\frac{9}{100}$ = $\frac{9}{50}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 12 Karten der Farbe Herz und 3 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 3.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{15}$ ⋅ $\frac{2}{14}$ ⋅ $\frac{12}{13}$
= $\frac{3}{5}$ ⋅ $\frac{2}{7}$ ⋅ $\frac{2}{13}$
= $\frac{12}{455}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 10 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 8 2er und 6 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 6 ist?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '3' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3' und 'nicht 3'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3": $\frac{1}{4}$ ; "nicht 3": $\frac{3}{4}$ ;

Ereignis	P
3 -> 3	$\frac{1}{16}$
3 -> nicht 3	$\frac{3}{16}$
nicht 3 -> 3	$\frac{3}{16}$
nicht 3 -> nicht 3	$\frac{9}{16}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("3")= $\frac{1}{4}$ ; P("nicht 3")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3'-'3' (P= $\frac{1}{16}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{16}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen mit Zurücklegen