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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und 6 blaue Kugeln. Es wird 3 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal blau"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": $\frac{3}{5}$ ; "nicht blau": $\frac{2}{5}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal blau' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'blau' bzw. 0 mal 'blau'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'blau')=1- $\frac{1}{30}$ = $\frac{29}{30}$

Ereignis	P
blau -> blau -> blau	$\frac{1}{6}$
blau -> blau -> nicht blau	$\frac{1}{6}$
blau -> nicht blau -> blau	$\frac{1}{6}$
blau -> nicht blau -> nicht blau	$\frac{1}{10}$
nicht blau -> blau -> blau	$\frac{1}{6}$
nicht blau -> blau -> nicht blau	$\frac{1}{10}$
nicht blau -> nicht blau -> blau	$\frac{1}{10}$
nicht blau -> nicht blau -> nicht blau	$\frac{1}{30}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("blau")= $\frac{3}{5}$ ; P("nicht blau")= $\frac{2}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'nicht blau'-'nicht blau' (P= $\frac{1}{10}$ )
'nicht blau'-'blau'-'nicht blau' (P= $\frac{1}{10}$ )
'nicht blau'-'nicht blau'-'blau' (P= $\frac{1}{10}$ )
'blau'-'blau'-'nicht blau' (P= $\frac{1}{6}$ )
'blau'-'nicht blau'-'blau' (P= $\frac{1}{6}$ )
'nicht blau'-'blau'-'blau' (P= $\frac{1}{6}$ )
'blau'-'blau'-'blau' (P= $\frac{1}{6}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{10}$ + $\frac{1}{10}$ + $\frac{1}{10}$ + $\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{6}$ = $\frac{29}{30}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 6 Karten der Farbe Kreuz, 9 der Farbe Pik, 7 der Farbe Herz und 3 der Farbe Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal Kreuz"? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Kreuz' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Kreuz' und 'nicht Kreuz'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Kreuz": $\frac{6}{25}$ ; "nicht Kreuz": $\frac{19}{25}$ ;

Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{1}{20}$
Kreuz -> nicht Kreuz	$\frac{19}{100}$
nicht Kreuz -> Kreuz	$\frac{19}{100}$
nicht Kreuz -> nicht Kreuz	$\frac{57}{100}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{6}{25}$ ; P("nicht Kreuz")= $\frac{19}{25}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{1}{20}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{20}$ = $\frac{1}{20}$

nur Summen

Beispiel:

In einem Stapel sind 4 Karten vom Wert 7, 2 Karten vom Wert 8 und 4 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 17 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
7 -> 7	$\frac{2}{15}$
7 -> 8	$\frac{4}{45}$
7 -> 9	$\frac{8}{45}$
8 -> 7	$\frac{4}{45}$
8 -> 8	$\frac{1}{45}$
8 -> 9	$\frac{4}{45}$
9 -> 7	$\frac{8}{45}$
9 -> 8	$\frac{4}{45}$
9 -> 9	$\frac{2}{15}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("7")= $\frac{2}{5}$ ; P("8")= $\frac{1}{5}$ ; P("9")= $\frac{2}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'8'-'9' (P= $\frac{4}{45}$ )
'9'-'8' (P= $\frac{4}{45}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{45}$ + $\frac{4}{45}$ = $\frac{8}{45}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 24 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies beim 2. Losdurchgang passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{27}$ ⋅ $\frac{24}{26}$
= $\frac{3}{9}$ ⋅ $\frac{8}{26}$
= $\frac{4}{39}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Eine faire Münze (d.h. die Wahrscheinlichkeit für Zahl und Wappen ist gleich groß) wird drei mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 1 mal Zahl"?

Lösung einblenden

Ereignis	P
Zahl -> Zahl -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Zahl -> Zahl -> Wappen	$\frac{1}{8}$
Zahl -> Wappen -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Zahl -> Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Zahl -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Zahl -> Wappen	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Wappen -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Zahl")= $\frac{1}{2}$ ; P("Wappen")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Zahl'-'Wappen'-'Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )
'Wappen'-'Zahl'-'Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )
'Wappen'-'Wappen'-'Zahl' (P= $\frac{1}{8}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $\frac{3}{8}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

mit Zurücklegen (einfach)