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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 3 Mädchen und 7 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen genau 2 an ein Mädchen gehen?

Lösung einblenden

Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{1}{120}$
Mädchen -> Mädchen -> Jungs	$\frac{7}{120}$
Mädchen -> Jungs -> Mädchen	$\frac{7}{120}$
Mädchen -> Jungs -> Jungs	$\frac{7}{40}$
Jungs -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{7}{120}$
Jungs -> Mädchen -> Jungs	$\frac{7}{40}$
Jungs -> Jungs -> Mädchen	$\frac{7}{40}$
Jungs -> Jungs -> Jungs	$\frac{7}{24}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Mädchen")= $\frac{3}{10}$ ; P("Jungs")= $\frac{7}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Mädchen'-'Mädchen'-'Jungs' (P= $\frac{7}{120}$ )
'Mädchen'-'Jungs'-'Mädchen' (P= $\frac{7}{120}$ )
'Jungs'-'Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{7}{120}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{7}{120}$ + $\frac{7}{120}$ + $\frac{7}{120}$ = $\frac{7}{40}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 5 Karten der Farbe Kreuz, 6 der Farbe Pik, 2 der Farbe Herz und 7 der Farbe Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal Kreuz und 1 mal Herz"? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

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Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{1}{19}$
Kreuz -> Pik	$\frac{3}{38}$
Kreuz -> Herz	$\frac{1}{38}$
Kreuz -> Karo	$\frac{7}{76}$
Pik -> Kreuz	$\frac{3}{38}$
Pik -> Pik	$\frac{3}{38}$
Pik -> Herz	$\frac{3}{95}$
Pik -> Karo	$\frac{21}{190}$
Herz -> Kreuz	$\frac{1}{38}$
Herz -> Pik	$\frac{3}{95}$
Herz -> Herz	$\frac{1}{190}$
Herz -> Karo	$\frac{7}{190}$
Karo -> Kreuz	$\frac{7}{76}$
Karo -> Pik	$\frac{21}{190}$
Karo -> Herz	$\frac{7}{190}$
Karo -> Karo	$\frac{21}{190}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{1}{4}$ ; P("Pik")= $\frac{3}{10}$ ; P("Herz")= $\frac{1}{10}$ ; P("Karo")= $\frac{7}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Herz' (P= $\frac{1}{38}$ )
'Herz'-'Kreuz' (P= $\frac{1}{38}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{38}$ + $\frac{1}{38}$ = $\frac{1}{19}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 6 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 8 kugel mit einer 2 und 6 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 5 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{3}{38}$
1 -> 2	$\frac{12}{95}$
1 -> 3	$\frac{9}{95}$
2 -> 1	$\frac{12}{95}$
2 -> 2	$\frac{14}{95}$
2 -> 3	$\frac{12}{95}$
3 -> 1	$\frac{9}{95}$
3 -> 2	$\frac{12}{95}$
3 -> 3	$\frac{3}{38}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{3}{10}$ ; P("2")= $\frac{2}{5}$ ; P("3")= $\frac{3}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'2'-'3' (P= $\frac{12}{95}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{12}{95}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{12}{95}$ + $\frac{12}{95}$ = $\frac{24}{95}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 4 Karten der Farbe Herz und 2 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 2.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{2}{6}$ ⋅ $\frac{4}{5}$
= $\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{2}{5}$
= $\frac{4}{15}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 6 Mädchen und 4 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen genau 0 an ein Mädchen gehen?

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Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{1}{6}$
Mädchen -> Mädchen -> Jungs	$\frac{1}{6}$
Mädchen -> Jungs -> Mädchen	$\frac{1}{6}$
Mädchen -> Jungs -> Jungs	$\frac{1}{10}$
Jungs -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{1}{6}$
Jungs -> Mädchen -> Jungs	$\frac{1}{10}$
Jungs -> Jungs -> Mädchen	$\frac{1}{10}$
Jungs -> Jungs -> Jungs	$\frac{1}{30}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Mädchen")= $\frac{3}{5}$ ; P("Jungs")= $\frac{2}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Jungs'-'Jungs'-'Jungs' (P= $\frac{1}{30}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{30}$ = $\frac{1}{30}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

ohne Zurücklegen (einfach)