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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 4 Asse, 2 Könige und 2 Damen. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "höchstens 1 mal Ass"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Ass' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Ass' und 'nicht Ass'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Ass": $\frac{1}{2}$ ; "nicht Ass": $\frac{1}{2}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal Ass' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'Ass'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'Ass')=1- $\frac{3}{14}$ = $\frac{11}{14}$

Ereignis	P
Ass -> Ass	$\frac{3}{14}$
Ass -> nicht Ass	$\frac{2}{7}$
nicht Ass -> Ass	$\frac{2}{7}$
nicht Ass -> nicht Ass	$\frac{3}{14}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Ass")= $\frac{1}{2}$ ; P("nicht Ass")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Ass'-'nicht Ass' (P= $\frac{2}{7}$ )
'nicht Ass'-'Ass' (P= $\frac{2}{7}$ )
'nicht Ass'-'nicht Ass' (P= $\frac{3}{14}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{7}$ + $\frac{2}{7}$ + $\frac{3}{14}$ = $\frac{11}{14}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 2 Karten der Farbe Kreuz, 7 der Farbe Pik, 3 der Farbe Herz und 3 der Farbe Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal Pik"? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Pik' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Pik' und 'nicht Pik'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Pik": $\frac{7}{15}$ ; "nicht Pik": $\frac{8}{15}$ ;

Ereignis	P
Pik -> Pik	$\frac{1}{5}$
Pik -> nicht Pik	$\frac{4}{15}$
nicht Pik -> Pik	$\frac{4}{15}$
nicht Pik -> nicht Pik	$\frac{4}{15}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Pik")= $\frac{7}{15}$ ; P("nicht Pik")= $\frac{8}{15}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Pik'-'Pik' (P= $\frac{1}{5}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{5}$ = $\frac{1}{5}$

nur Summen

Beispiel:

In einem Stapel sind 4 Karten vom Wert 7, 4 Karten vom Wert 8 und 4 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 14 ist?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '7' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '7' und 'nicht 7'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"7": $\frac{1}{3}$ ; "nicht 7": $\frac{2}{3}$ ;

Ereignis	P
7 -> 7	$\frac{1}{11}$
7 -> nicht 7	$\frac{8}{33}$
nicht 7 -> 7	$\frac{8}{33}$
nicht 7 -> nicht 7	$\frac{14}{33}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("7")= $\frac{1}{3}$ ; P("nicht 7")= $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'7'-'7' (P= $\frac{1}{11}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{11}$ = $\frac{1}{11}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und 12 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine blaue Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die blaue Kugel im 3. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{4}{16}$ ⋅ $\frac{3}{15}$ ⋅ $\frac{12}{14}$
= $\frac{2}{4}$ ⋅ $\frac{3}{5}$ ⋅ $\frac{1}{7}$
= $\frac{3}{70}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 4 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 7 2er und 4 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 5 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{16}{225}$
1 -> 2	$\frac{28}{225}$
1 -> 3	$\frac{16}{225}$
2 -> 1	$\frac{28}{225}$
2 -> 2	$\frac{49}{225}$
2 -> 3	$\frac{28}{225}$
3 -> 1	$\frac{16}{225}$
3 -> 2	$\frac{28}{225}$
3 -> 3	$\frac{16}{225}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{4}{15}$ ; P("2")= $\frac{7}{15}$ ; P("3")= $\frac{4}{15}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'2'-'3' (P= $\frac{28}{225}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{28}{225}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{28}{225}$ + $\frac{28}{225}$ = $\frac{56}{225}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

ohne Zurücklegen (einfach)

P=1-P(2 mal 'Ass')=1- 3 14 = 11 14

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen mit Zurücklegen

P=1-P(2 mal 'Ass')=1- $\frac{3}{14}$ = $\frac{11}{14}$