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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 9 Mädchen und 3 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen mindestens 1 an ein Mädchen gehen?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Mädchen' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Mädchen' und 'nicht Mädchen'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Mädchen": $\frac{3}{4}$ ; "nicht Mädchen": $\frac{1}{4}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal Mädchen' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'Mädchen' bzw. 0 mal 'Mädchen'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'Mädchen')=1- $\frac{1}{220}$ = $\frac{219}{220}$

Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{21}{55}$
Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{9}{55}$
Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen	$\frac{9}{55}$
Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{9}{220}$
nicht Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{9}{55}$
nicht Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{9}{220}$
nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen	$\frac{9}{220}$
nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{1}{220}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Mädchen")= $\frac{3}{4}$ ; P("nicht Mädchen")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Mädchen'-'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{9}{220}$ )
'nicht Mädchen'-'Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{9}{220}$ )
'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{9}{220}$ )
'Mädchen'-'Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{9}{55}$ )
'Mädchen'-'nicht Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{9}{55}$ )
'nicht Mädchen'-'Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{9}{55}$ )
'Mädchen'-'Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{21}{55}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{9}{220}$ + $\frac{9}{220}$ + $\frac{9}{220}$ + $\frac{9}{55}$ + $\frac{9}{55}$ + $\frac{9}{55}$ + $\frac{21}{55}$ = $\frac{219}{220}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 7 Mädchen und 3 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen höchstens 2 an eine Mädchen gehen?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Mädchen' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Mädchen' und 'nicht Mädchen'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Mädchen": $\frac{7}{10}$ ; "nicht Mädchen": $\frac{3}{10}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal Mädchen' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 3 mal 'Mädchen'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(3 mal 'Mädchen')=1- $\frac{7}{24}$ = $\frac{17}{24}$

Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{7}{24}$
Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{7}{40}$
Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen	$\frac{7}{40}$
Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{7}{120}$
nicht Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{7}{40}$
nicht Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{7}{120}$
nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen	$\frac{7}{120}$
nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{1}{120}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Mädchen")= $\frac{7}{10}$ ; P("nicht Mädchen")= $\frac{3}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Mädchen'-'Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{7}{40}$ )
'Mädchen'-'nicht Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{7}{40}$ )
'nicht Mädchen'-'Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{7}{40}$ )
'Mädchen'-'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{7}{120}$ )
'nicht Mädchen'-'Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{7}{120}$ )
'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{7}{120}$ )
'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{1}{120}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{7}{40}$ + $\frac{7}{40}$ + $\frac{7}{40}$ + $\frac{7}{120}$ + $\frac{7}{120}$ + $\frac{7}{120}$ + $\frac{1}{120}$ = $\frac{17}{24}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 7 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 7 kugel mit einer 2 und 6 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 4 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{21}{190}$
1 -> 2	$\frac{49}{380}$
1 -> 3	$\frac{21}{190}$
2 -> 1	$\frac{49}{380}$
2 -> 2	$\frac{21}{190}$
2 -> 3	$\frac{21}{190}$
3 -> 1	$\frac{21}{190}$
3 -> 2	$\frac{21}{190}$
3 -> 3	$\frac{3}{38}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{7}{20}$ ; P("2")= $\frac{7}{20}$ ; P("3")= $\frac{3}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{21}{190}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{21}{190}$ )
'2'-'2' (P= $\frac{21}{190}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{21}{190}$ + $\frac{21}{190}$ + $\frac{21}{190}$ = $\frac{63}{190}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 21 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies beim 2. Losdurchgang passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{24}$ ⋅ $\frac{21}{23}$
= $\frac{3}{8}$ ⋅ $\frac{7}{23}$
= $\frac{21}{184}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 6 vom Typ rot, 9 vom Typ blau, 6 vom Typ gelb und 3 vom Typ schwarz. Es wird 2 mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{1}{16}$
rot -> blau	$\frac{3}{32}$
rot -> gelb	$\frac{1}{16}$
rot -> schwarz	$\frac{1}{32}$
blau -> rot	$\frac{3}{32}$
blau -> blau	$\frac{9}{64}$
blau -> gelb	$\frac{3}{32}$
blau -> schwarz	$\frac{3}{64}$
gelb -> rot	$\frac{1}{16}$
gelb -> blau	$\frac{3}{32}$
gelb -> gelb	$\frac{1}{16}$
gelb -> schwarz	$\frac{1}{32}$
schwarz -> rot	$\frac{1}{32}$
schwarz -> blau	$\frac{3}{64}$
schwarz -> gelb	$\frac{1}{32}$
schwarz -> schwarz	$\frac{1}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{1}{4}$ ; P("blau")= $\frac{3}{8}$ ; P("gelb")= $\frac{1}{4}$ ; P("schwarz")= $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{1}{16}$ )
'blau'-'blau' (P= $\frac{9}{64}$ )
'gelb'-'gelb' (P= $\frac{1}{16}$ )
'schwarz'-'schwarz' (P= $\frac{1}{64}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{16}$ + $\frac{9}{64}$ + $\frac{1}{16}$ + $\frac{1}{64}$ = $\frac{9}{32}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

P=1-P(3 mal 'Mädchen')=1- 7 24 = 17 24

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen mit Zurücklegen

P=1-P(3 mal 'Mädchen')=1- $\frac{7}{24}$ = $\frac{17}{24}$