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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 7 rote und 3 blaue Kugeln. Es wird 3 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 1 mal rot"?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot -> rot	$\frac{7}{24}$
rot -> rot -> blau	$\frac{7}{40}$
rot -> blau -> rot	$\frac{7}{40}$
rot -> blau -> blau	$\frac{7}{120}$
blau -> rot -> rot	$\frac{7}{40}$
blau -> rot -> blau	$\frac{7}{120}$
blau -> blau -> rot	$\frac{7}{120}$
blau -> blau -> blau	$\frac{1}{120}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{7}{10}$ ; P("blau")= $\frac{3}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'blau'-'blau' (P= $\frac{7}{120}$ )
'blau'-'rot'-'blau' (P= $\frac{7}{120}$ )
'blau'-'blau'-'rot' (P= $\frac{7}{120}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{7}{120}$ + $\frac{7}{120}$ + $\frac{7}{120}$ = $\frac{7}{40}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Stapel sind 4 Karten vom Wert 7, 2 Karten vom Wert 8 und 2 9er. Man zieht 2 Karten gleichzeitig aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 16 ist?

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Ereignis	P
7 -> 7	$\frac{3}{14}$
7 -> 8	$\frac{1}{7}$
7 -> 9	$\frac{1}{7}$
8 -> 7	$\frac{1}{7}$
8 -> 8	$\frac{1}{28}$
8 -> 9	$\frac{1}{14}$
9 -> 7	$\frac{1}{7}$
9 -> 8	$\frac{1}{14}$
9 -> 9	$\frac{1}{28}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("7")= $\frac{1}{2}$ ; P("8")= $\frac{1}{4}$ ; P("9")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'7'-'9' (P= $\frac{1}{7}$ )
'9'-'7' (P= $\frac{1}{7}$ )
'8'-'8' (P= $\frac{1}{28}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{7}$ + $\frac{1}{7}$ + $\frac{1}{28}$ = $\frac{9}{28}$

nur Summen

Beispiel:

In einem Stapel sind 4 Karten vom Wert 7, 2 Karten vom Wert 8 und 4 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 16 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
7 -> 7	$\frac{2}{15}$
7 -> 8	$\frac{4}{45}$
7 -> 9	$\frac{8}{45}$
8 -> 7	$\frac{4}{45}$
8 -> 8	$\frac{1}{45}$
8 -> 9	$\frac{4}{45}$
9 -> 7	$\frac{8}{45}$
9 -> 8	$\frac{4}{45}$
9 -> 9	$\frac{2}{15}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("7")= $\frac{2}{5}$ ; P("8")= $\frac{1}{5}$ ; P("9")= $\frac{2}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'7'-'9' (P= $\frac{8}{45}$ )
'9'-'7' (P= $\frac{8}{45}$ )
'8'-'8' (P= $\frac{1}{45}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{8}{45}$ + $\frac{8}{45}$ + $\frac{1}{45}$ = $\frac{17}{45}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 7 Karten der Farbe Herz und 3 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 2.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{10}$ ⋅ $\frac{7}{9}$
= $\frac{1}{10}$ ⋅ $\frac{7}{3}$
= $\frac{7}{30}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 8 rote, 7 gelbe, 2 blaue und 3 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal rot"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{2}{5}$ ; "nicht rot": $\frac{3}{5}$ ;

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{4}{25}$
rot -> nicht rot	$\frac{6}{25}$
nicht rot -> rot	$\frac{6}{25}$
nicht rot -> nicht rot	$\frac{9}{25}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{2}{5}$ ; P("nicht rot")= $\frac{3}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{4}{25}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{25}$ = $\frac{4}{25}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

mit Zurücklegen (einfach)