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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 4 vom Typ Kreuz, 6 vom Typ Herz, 9 vom Typ Pik und 5 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

Lösung einblenden

Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{1}{46}$
Kreuz -> Herz	$\frac{1}{23}$
Kreuz -> Pik	$\frac{3}{46}$
Kreuz -> Karo	$\frac{5}{138}$
Herz -> Kreuz	$\frac{1}{23}$
Herz -> Herz	$\frac{5}{92}$
Herz -> Pik	$\frac{9}{92}$
Herz -> Karo	$\frac{5}{92}$
Pik -> Kreuz	$\frac{3}{46}$
Pik -> Herz	$\frac{9}{92}$
Pik -> Pik	$\frac{3}{23}$
Pik -> Karo	$\frac{15}{184}$
Karo -> Kreuz	$\frac{5}{138}$
Karo -> Herz	$\frac{5}{92}$
Karo -> Pik	$\frac{15}{184}$
Karo -> Karo	$\frac{5}{138}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{1}{6}$ ; P("Herz")= $\frac{1}{4}$ ; P("Pik")= $\frac{3}{8}$ ; P("Karo")= $\frac{5}{24}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{1}{46}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{5}{92}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{3}{23}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{5}{138}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{46}$ + $\frac{5}{92}$ + $\frac{3}{23}$ + $\frac{5}{138}$ = $\frac{67}{276}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 4 vom Typ rot, 4 vom Typ blau, 4 vom Typ gelb und 3 vom Typ schwarz. Es wird 2 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

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Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{2}{35}$
rot -> blau	$\frac{8}{105}$
rot -> gelb	$\frac{8}{105}$
rot -> schwarz	$\frac{2}{35}$
blau -> rot	$\frac{8}{105}$
blau -> blau	$\frac{2}{35}$
blau -> gelb	$\frac{8}{105}$
blau -> schwarz	$\frac{2}{35}$
gelb -> rot	$\frac{8}{105}$
gelb -> blau	$\frac{8}{105}$
gelb -> gelb	$\frac{2}{35}$
gelb -> schwarz	$\frac{2}{35}$
schwarz -> rot	$\frac{2}{35}$
schwarz -> blau	$\frac{2}{35}$
schwarz -> gelb	$\frac{2}{35}$
schwarz -> schwarz	$\frac{1}{35}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{4}{15}$ ; P("blau")= $\frac{4}{15}$ ; P("gelb")= $\frac{4}{15}$ ; P("schwarz")= $\frac{1}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{2}{35}$ )
'blau'-'blau' (P= $\frac{2}{35}$ )
'gelb'-'gelb' (P= $\frac{2}{35}$ )
'schwarz'-'schwarz' (P= $\frac{1}{35}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{35}$ + $\frac{2}{35}$ + $\frac{2}{35}$ + $\frac{1}{35}$ = $\frac{1}{5}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 7 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 10 2er und 3 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 5 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{49}{400}$
1 -> 2	$\frac{7}{40}$
1 -> 3	$\frac{21}{400}$
2 -> 1	$\frac{7}{40}$
2 -> 2	$\frac{1}{4}$
2 -> 3	$\frac{3}{40}$
3 -> 1	$\frac{21}{400}$
3 -> 2	$\frac{3}{40}$
3 -> 3	$\frac{9}{400}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{7}{20}$ ; P("2")= $\frac{1}{2}$ ; P("3")= $\frac{3}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'2'-'3' (P= $\frac{3}{40}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{3}{40}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{40}$ + $\frac{3}{40}$ = $\frac{3}{20}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 1 Karten der Farbe Herz und 3 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 3.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$
= $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{1}{2}$
= $\frac{1}{4}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, höchstens 1 mal eine durch 3 teilbare Zahl zu würfeln?

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Da ja ausschließlich nach 'Teiler' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Teiler' und 'nicht Teiler'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Teiler": $\frac{1}{3}$ ; "nicht Teiler": $\frac{2}{3}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal Teiler' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'Teiler'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'Teiler')=1- $\frac{1}{9}$ = $\frac{8}{9}$

Ereignis	P
Teiler -> Teiler	$\frac{1}{9}$
Teiler -> nicht Teiler	$\frac{2}{9}$
nicht Teiler -> Teiler	$\frac{2}{9}$
nicht Teiler -> nicht Teiler	$\frac{4}{9}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Teiler")= $\frac{1}{3}$ ; P("nicht Teiler")= $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Teiler'-'nicht Teiler' (P= $\frac{2}{9}$ )
'nicht Teiler'-'Teiler' (P= $\frac{2}{9}$ )
'nicht Teiler'-'nicht Teiler' (P= $\frac{4}{9}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{9}$ + $\frac{2}{9}$ + $\frac{4}{9}$ = $\frac{8}{9}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen mit Zurücklegen

P=1-P(2 mal 'Teiler')=1- 1 9 = 8 9

P=1-P(2 mal 'Teiler')=1- $\frac{1}{9}$ = $\frac{8}{9}$