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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote, 4 blaue , 4 gelbe und 4 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal rot"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{1}{5}$ ; "nicht rot": $\frac{4}{5}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal rot' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'rot'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'rot')=1- $\frac{1}{35}$ = $\frac{34}{35}$

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{1}{35}$
rot -> nicht rot	$\frac{6}{35}$
nicht rot -> rot	$\frac{6}{35}$
nicht rot -> nicht rot	$\frac{22}{35}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{1}{5}$ ; P("nicht rot")= $\frac{4}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'nicht rot' (P= $\frac{6}{35}$ )
'nicht rot'-'rot' (P= $\frac{6}{35}$ )
'nicht rot'-'nicht rot' (P= $\frac{22}{35}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{6}{35}$ + $\frac{6}{35}$ + $\frac{22}{35}$ = $\frac{34}{35}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Stapel sind 2 Karten vom Wert 7, 2 Karten vom Wert 8 und 2 9er. Man zieht 2 Karten gleichzeitig aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 14 ist?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '7' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '7' und 'nicht 7'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"7": $\frac{1}{3}$ ; "nicht 7": $\frac{2}{3}$ ;

Ereignis	P
7 -> 7	$\frac{1}{15}$
7 -> nicht 7	$\frac{4}{15}$
nicht 7 -> 7	$\frac{4}{15}$
nicht 7 -> nicht 7	$\frac{2}{5}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("7")= $\frac{1}{3}$ ; P("nicht 7")= $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'7'-'7' (P= $\frac{1}{15}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{15}$ = $\frac{1}{15}$

nur Summen

Beispiel:

In einem Stapel sind 2 Karten vom Wert 7, 4 Karten vom Wert 8 und 2 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 18 ist?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '9' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '9' und 'nicht 9'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"9": $\frac{1}{4}$ ; "nicht 9": $\frac{3}{4}$ ;

Ereignis	P
9 -> 9	$\frac{1}{28}$
9 -> nicht 9	$\frac{3}{14}$
nicht 9 -> 9	$\frac{3}{14}$
nicht 9 -> nicht 9	$\frac{15}{28}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("9")= $\frac{1}{4}$ ; P("nicht 9")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'9'-'9' (P= $\frac{1}{28}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{28}$ = $\frac{1}{28}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 8 Karten der Farbe Herz und 4 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 4.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{4}{12}$ ⋅ $\frac{3}{11}$ ⋅ $\frac{2}{10}$ ⋅ $\frac{8}{9}$
= $2$ ⋅ $\frac{1}{11}$ ⋅ $\frac{1}{5}$ ⋅ $\frac{4}{9}$
= $\frac{8}{495}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Beim Roulette kann man auch auf Zahlenbereiche setzen. Z.B. auf die Zahlenbereiche 1-12, 13-24 und 25-36, wobei die grüne 0 zu keinem der Bereiche gehört. Es wird zwei mal eine Kugel im Roulette gespielt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal 13-24"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '13-24' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '13-24' und 'nicht 13-24'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"13-24": $\frac{12}{37}$ ; "nicht 13-24": $\frac{25}{37}$ ;

Ereignis	P
13-24 -> 13-24	$\frac{144}{1369}$
13-24 -> nicht 13-24	$\frac{300}{1369}$
nicht 13-24 -> 13-24	$\frac{300}{1369}$
nicht 13-24 -> nicht 13-24	$\frac{625}{1369}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("13-24")= $\frac{12}{37}$ ; P("nicht 13-24")= $\frac{25}{37}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'13-24'-'13-24' (P= $\frac{144}{1369}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{144}{1369}$ = $\frac{144}{1369}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

ohne Zurücklegen (einfach)

P=1-P(2 mal 'rot')=1- 1 35 = 34 35

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen mit Zurücklegen

P=1-P(2 mal 'rot')=1- $\frac{1}{35}$ = $\frac{34}{35}$