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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 6 rote und 4 blaue Kugeln. Es wird 2 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 1 mal rot"?

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Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{1}{3}$
rot -> blau	$\frac{4}{15}$
blau -> rot	$\frac{4}{15}$
blau -> blau	$\frac{2}{15}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{3}{5}$ ; P("blau")= $\frac{2}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'blau' (P= $\frac{4}{15}$ )
'blau'-'rot' (P= $\frac{4}{15}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{15}$ + $\frac{4}{15}$ = $\frac{8}{15}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 7 Mädchen und 3 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen genau 0 an eine Mädchen gehen?

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Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{7}{24}$
Mädchen -> Mädchen -> Jungs	$\frac{7}{40}$
Mädchen -> Jungs -> Mädchen	$\frac{7}{40}$
Mädchen -> Jungs -> Jungs	$\frac{7}{120}$
Jungs -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{7}{40}$
Jungs -> Mädchen -> Jungs	$\frac{7}{120}$
Jungs -> Jungs -> Mädchen	$\frac{7}{120}$
Jungs -> Jungs -> Jungs	$\frac{1}{120}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Mädchen")= $\frac{7}{10}$ ; P("Jungs")= $\frac{3}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Jungs'-'Jungs'-'Jungs' (P= $\frac{1}{120}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{120}$ = $\frac{1}{120}$

nur Summen

Beispiel:

In einem Stapel sind 2 Karten vom Wert 7, 2 Karten vom Wert 8 und 4 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 15 ist?

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Ereignis	P
7 -> 7	$\frac{1}{28}$
7 -> 8	$\frac{1}{14}$
7 -> 9	$\frac{1}{7}$
8 -> 7	$\frac{1}{14}$
8 -> 8	$\frac{1}{28}$
8 -> 9	$\frac{1}{7}$
9 -> 7	$\frac{1}{7}$
9 -> 8	$\frac{1}{7}$
9 -> 9	$\frac{3}{14}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("7")= $\frac{1}{4}$ ; P("8")= $\frac{1}{4}$ ; P("9")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'7'-'8' (P= $\frac{1}{14}$ )
'8'-'7' (P= $\frac{1}{14}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{14}$ + $\frac{1}{14}$ = $\frac{1}{7}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und 4 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die rote Kugel im 3. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{4}{7}$ ⋅ $\frac{3}{6}$ ⋅ $\frac{3}{5}$
= $\frac{2}{7}$ ⋅ $3$ ⋅ $\frac{1}{5}$
= $\frac{6}{35}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 7 Karten der Farbe Kreuz, 6 der Farbe Pik, 4 der Farbe Herz und 3 der Farbe Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal Pik und 1 mal Karo"? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

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Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{21}{190}$
Kreuz -> Pik	$\frac{21}{190}$
Kreuz -> Herz	$\frac{7}{95}$
Kreuz -> Karo	$\frac{21}{380}$
Pik -> Kreuz	$\frac{21}{190}$
Pik -> Pik	$\frac{3}{38}$
Pik -> Herz	$\frac{6}{95}$
Pik -> Karo	$\frac{9}{190}$
Herz -> Kreuz	$\frac{7}{95}$
Herz -> Pik	$\frac{6}{95}$
Herz -> Herz	$\frac{3}{95}$
Herz -> Karo	$\frac{3}{95}$
Karo -> Kreuz	$\frac{21}{380}$
Karo -> Pik	$\frac{9}{190}$
Karo -> Herz	$\frac{3}{95}$
Karo -> Karo	$\frac{3}{190}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{7}{20}$ ; P("Pik")= $\frac{3}{10}$ ; P("Herz")= $\frac{1}{5}$ ; P("Karo")= $\frac{3}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Pik'-'Karo' (P= $\frac{9}{190}$ )
'Karo'-'Pik' (P= $\frac{9}{190}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{9}{190}$ + $\frac{9}{190}$ = $\frac{9}{95}$

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ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen ohne Zurücklegen