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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 3 Schüler mit NWT-Profil, 6 Schüler mit sprachlichem Profil, 8 Schüler mit Musik-Profil und 3 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 1 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": $\frac{3}{20}$ ; "nicht NWT": $\frac{17}{20}$ ;

Ereignis	P
NWT -> NWT	$\frac{3}{190}$
NWT -> nicht NWT	$\frac{51}{380}$
nicht NWT -> NWT	$\frac{51}{380}$
nicht NWT -> nicht NWT	$\frac{68}{95}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("NWT")= $\frac{3}{20}$ ; P("nicht NWT")= $\frac{17}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'NWT'-'nicht NWT' (P= $\frac{51}{380}$ )
'nicht NWT'-'NWT' (P= $\frac{51}{380}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{51}{380}$ + $\frac{51}{380}$ = $\frac{51}{190}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 9 vom Typ rot und 3 vom Typ blau. Es wird 3 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 3 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot -> rot	$\frac{21}{55}$
rot -> rot -> blau	$\frac{9}{55}$
rot -> blau -> rot	$\frac{9}{55}$
rot -> blau -> blau	$\frac{9}{220}$
blau -> rot -> rot	$\frac{9}{55}$
blau -> rot -> blau	$\frac{9}{220}$
blau -> blau -> rot	$\frac{9}{220}$
blau -> blau -> blau	$\frac{1}{220}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{3}{4}$ ; P("blau")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot'-'rot' (P= $\frac{21}{55}$ )
'blau'-'blau'-'blau' (P= $\frac{1}{220}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{21}{55}$ + $\frac{1}{220}$ = $\frac{17}{44}$

nur Summen

Beispiel:

In einer 8. Klasse gibt es 15 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 10 14-Jährige und 2 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 27 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?

Lösung einblenden

Ereignis	P
13 -> 13	$\frac{35}{117}$
13 -> 14	$\frac{25}{117}$
13 -> 15	$\frac{5}{117}$
14 -> 13	$\frac{25}{117}$
14 -> 14	$\frac{5}{39}$
14 -> 15	$\frac{10}{351}$
15 -> 13	$\frac{5}{117}$
15 -> 14	$\frac{10}{351}$
15 -> 15	$\frac{1}{351}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("13")= $\frac{5}{9}$ ; P("14")= $\frac{10}{27}$ ; P("15")= $\frac{2}{27}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'13'-'14' (P= $\frac{25}{117}$ )
'14'-'13' (P= $\frac{25}{117}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{25}{117}$ + $\frac{25}{117}$ = $\frac{50}{117}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 8 rote und 2 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die rote Kugel im 2. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{2}{10}$ ⋅ $\frac{8}{9}$
= $\frac{2}{5}$ ⋅ $\frac{4}{9}$
= $\frac{8}{45}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 4. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{4}$

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Ziehen bis erstmals x kommt

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