Mathebattle EduRandomtasks

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 5 Mädchen und 5 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen höchstens 2 an ein Mädchen gehen?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Mädchen' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Mädchen' und 'nicht Mädchen'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Mädchen": $\frac{1}{2}$ ; "nicht Mädchen": $\frac{1}{2}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal Mädchen' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 3 mal 'Mädchen'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(3 mal 'Mädchen')=1- $\frac{1}{12}$ = $\frac{11}{12}$

Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{1}{12}$
Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{5}{36}$
Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen	$\frac{5}{36}$
Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{5}{36}$
nicht Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{5}{36}$
nicht Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{5}{36}$
nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen	$\frac{5}{36}$
nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{1}{12}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Mädchen")= $\frac{1}{2}$ ; P("nicht Mädchen")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Mädchen'-'Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{5}{36}$ )
'Mädchen'-'nicht Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{5}{36}$ )
'nicht Mädchen'-'Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{5}{36}$ )
'Mädchen'-'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{5}{36}$ )
'nicht Mädchen'-'Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{5}{36}$ )
'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{5}{36}$ )
'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{1}{12}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{36}$ + $\frac{5}{36}$ + $\frac{5}{36}$ + $\frac{5}{36}$ + $\frac{5}{36}$ + $\frac{5}{36}$ + $\frac{1}{12}$ = $\frac{11}{12}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 10 rote, 10 blaue , 4 gelbe und 6 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal schwarz"?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{3}{29}$
rot -> blau	$\frac{10}{87}$
rot -> gelb	$\frac{4}{87}$
rot -> schwarz	$\frac{2}{29}$
blau -> rot	$\frac{10}{87}$
blau -> blau	$\frac{3}{29}$
blau -> gelb	$\frac{4}{87}$
blau -> schwarz	$\frac{2}{29}$
gelb -> rot	$\frac{4}{87}$
gelb -> blau	$\frac{4}{87}$
gelb -> gelb	$\frac{2}{145}$
gelb -> schwarz	$\frac{4}{145}$
schwarz -> rot	$\frac{2}{29}$
schwarz -> blau	$\frac{2}{29}$
schwarz -> gelb	$\frac{4}{145}$
schwarz -> schwarz	$\frac{1}{29}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{1}{3}$ ; P("blau")= $\frac{1}{3}$ ; P("gelb")= $\frac{2}{15}$ ; P("schwarz")= $\frac{1}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'schwarz' (P= $\frac{2}{29}$ )
'schwarz'-'rot' (P= $\frac{2}{29}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{29}$ + $\frac{2}{29}$ = $\frac{4}{29}$

nur Summen

Beispiel:

In einem Stapel sind 4 Karten vom Wert 7, 2 Karten vom Wert 8 und 4 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 14 ist?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '7' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '7' und 'nicht 7'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"7": $\frac{2}{5}$ ; "nicht 7": $\frac{3}{5}$ ;

Ereignis	P
7 -> 7	$\frac{2}{15}$
7 -> nicht 7	$\frac{4}{15}$
nicht 7 -> 7	$\frac{4}{15}$
nicht 7 -> nicht 7	$\frac{1}{3}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("7")= $\frac{2}{5}$ ; P("nicht 7")= $\frac{3}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'7'-'7' (P= $\frac{2}{15}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{15}$ = $\frac{2}{15}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 3 Karten der Farbe Herz und 4 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 4.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{4}{7}$ ⋅ $\frac{3}{6}$ ⋅ $\frac{2}{5}$ ⋅ $\frac{3}{4}$
= $\frac{1}{7}$ ⋅ $3$ ⋅ $\frac{1}{5}$ ⋅ $1$
= $\frac{3}{35}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird zwei mal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 11 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{36}$
1 -> 2	$\frac{1}{36}$
1 -> 3	$\frac{1}{36}$
1 -> 4	$\frac{1}{36}$
1 -> 5	$\frac{1}{36}$
1 -> 6	$\frac{1}{36}$
2 -> 1	$\frac{1}{36}$
2 -> 2	$\frac{1}{36}$
2 -> 3	$\frac{1}{36}$
2 -> 4	$\frac{1}{36}$
2 -> 5	$\frac{1}{36}$
2 -> 6	$\frac{1}{36}$
3 -> 1	$\frac{1}{36}$
3 -> 2	$\frac{1}{36}$
3 -> 3	$\frac{1}{36}$
3 -> 4	$\frac{1}{36}$
3 -> 5	$\frac{1}{36}$
3 -> 6	$\frac{1}{36}$
4 -> 1	$\frac{1}{36}$
4 -> 2	$\frac{1}{36}$
4 -> 3	$\frac{1}{36}$
4 -> 4	$\frac{1}{36}$
4 -> 5	$\frac{1}{36}$
4 -> 6	$\frac{1}{36}$
5 -> 1	$\frac{1}{36}$
5 -> 2	$\frac{1}{36}$
5 -> 3	$\frac{1}{36}$
5 -> 4	$\frac{1}{36}$
5 -> 5	$\frac{1}{36}$
5 -> 6	$\frac{1}{36}$
6 -> 1	$\frac{1}{36}$
6 -> 2	$\frac{1}{36}$
6 -> 3	$\frac{1}{36}$
6 -> 4	$\frac{1}{36}$
6 -> 5	$\frac{1}{36}$
6 -> 6	$\frac{1}{36}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{6}$ ; P("2")= $\frac{1}{6}$ ; P("3")= $\frac{1}{6}$ ; P("4")= $\frac{1}{6}$ ; P("5")= $\frac{1}{6}$ ; P("6")= $\frac{1}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'5'-'6' (P= $\frac{1}{36}$ )
'6'-'5' (P= $\frac{1}{36}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ = $\frac{1}{18}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

ohne Zurücklegen (einfach)

P=1-P(3 mal 'Mädchen')=1- 1 12 = 11 12

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen mit Zurücklegen

P=1-P(3 mal 'Mädchen')=1- $\frac{1}{12}$ = $\frac{11}{12}$