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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 5 vom Typ Kreuz, 2 vom Typ Herz, 3 vom Typ Pik und 5 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

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Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{2}{21}$
Kreuz -> Herz	$\frac{1}{21}$
Kreuz -> Pik	$\frac{1}{14}$
Kreuz -> Karo	$\frac{5}{42}$
Herz -> Kreuz	$\frac{1}{21}$
Herz -> Herz	$\frac{1}{105}$
Herz -> Pik	$\frac{1}{35}$
Herz -> Karo	$\frac{1}{21}$
Pik -> Kreuz	$\frac{1}{14}$
Pik -> Herz	$\frac{1}{35}$
Pik -> Pik	$\frac{1}{35}$
Pik -> Karo	$\frac{1}{14}$
Karo -> Kreuz	$\frac{5}{42}$
Karo -> Herz	$\frac{1}{21}$
Karo -> Pik	$\frac{1}{14}$
Karo -> Karo	$\frac{2}{21}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{1}{3}$ ; P("Herz")= $\frac{2}{15}$ ; P("Pik")= $\frac{1}{5}$ ; P("Karo")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{2}{21}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{1}{105}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{1}{35}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{2}{21}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{21}$ + $\frac{1}{105}$ + $\frac{1}{35}$ + $\frac{2}{21}$ = $\frac{8}{35}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 7 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 2 kugel mit einer 2 und 3 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 4 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{7}{22}$
1 -> 2	$\frac{7}{66}$
1 -> 3	$\frac{7}{44}$
2 -> 1	$\frac{7}{66}$
2 -> 2	$\frac{1}{66}$
2 -> 3	$\frac{1}{22}$
3 -> 1	$\frac{7}{44}$
3 -> 2	$\frac{1}{22}$
3 -> 3	$\frac{1}{22}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{7}{12}$ ; P("2")= $\frac{1}{6}$ ; P("3")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{7}{44}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{7}{44}$ )
'2'-'2' (P= $\frac{1}{66}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{7}{44}$ + $\frac{7}{44}$ + $\frac{1}{66}$ = $\frac{1}{3}$

nur Summen

Beispiel:

In einem Stapel sind 4 Karten vom Wert 7, 2 Karten vom Wert 8 und 2 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 18 ist?

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Da ja ausschließlich nach '9' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '9' und 'nicht 9'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"9": $\frac{1}{4}$ ; "nicht 9": $\frac{3}{4}$ ;

Ereignis	P
9 -> 9	$\frac{1}{28}$
9 -> nicht 9	$\frac{3}{14}$
nicht 9 -> 9	$\frac{3}{14}$
nicht 9 -> nicht 9	$\frac{15}{28}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("9")= $\frac{1}{4}$ ; P("nicht 9")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'9'-'9' (P= $\frac{1}{28}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{28}$ = $\frac{1}{28}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 18 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies beim 4. Losdurchgang passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{21}$ ⋅ $\frac{2}{20}$ ⋅ $\frac{1}{19}$ ⋅ $\frac{18}{18}$
= $\frac{1}{7}$ ⋅ $\frac{1}{10}$ ⋅ $\frac{1}{19}$ ⋅ $\frac{3}{3}$
= $\frac{1}{1330}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 1 mal eine durch 3 teilbare Zahl zu würfeln?

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Ereignis	P
3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{1}{9}$
3er-Zahl -> nicht 3er	$\frac{2}{9}$
nicht 3er -> 3er-Zahl	$\frac{2}{9}$
nicht 3er -> nicht 3er	$\frac{4}{9}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("3er-Zahl")= $\frac{1}{3}$ ; P("nicht 3er")= $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3er-Zahl'-'nicht 3er' (P= $\frac{2}{9}$ )
'nicht 3er'-'3er-Zahl' (P= $\frac{2}{9}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{9}$ + $\frac{2}{9}$ = $\frac{4}{9}$

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ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen mit Zurücklegen