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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 10 Mädchen und 5 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen genau 1 an ein Mädchen gehen?

Lösung einblenden

Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{24}{91}$
Mädchen -> Mädchen -> Jungs	$\frac{15}{91}$
Mädchen -> Jungs -> Mädchen	$\frac{15}{91}$
Mädchen -> Jungs -> Jungs	$\frac{20}{273}$
Jungs -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{15}{91}$
Jungs -> Mädchen -> Jungs	$\frac{20}{273}$
Jungs -> Jungs -> Mädchen	$\frac{20}{273}$
Jungs -> Jungs -> Jungs	$\frac{2}{91}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Mädchen")= $\frac{2}{3}$ ; P("Jungs")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Mädchen'-'Jungs'-'Jungs' (P= $\frac{20}{273}$ )
'Jungs'-'Mädchen'-'Jungs' (P= $\frac{20}{273}$ )
'Jungs'-'Jungs'-'Mädchen' (P= $\frac{20}{273}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{20}{273}$ + $\frac{20}{273}$ + $\frac{20}{273}$ = $\frac{20}{91}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Lostopf sind 10 Kugeln mit einer Eins beschriftet, 7 Kugeln mit einer Zwei, 3 mit Drei und 4 mit einer Vier. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkiet dass die beiden gezogenen Zahlen zusammen 7 ergeben?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{15}{92}$
1 -> 2	$\frac{35}{276}$
1 -> 3	$\frac{5}{92}$
1 -> 4	$\frac{5}{69}$
2 -> 1	$\frac{35}{276}$
2 -> 2	$\frac{7}{92}$
2 -> 3	$\frac{7}{184}$
2 -> 4	$\frac{7}{138}$
3 -> 1	$\frac{5}{92}$
3 -> 2	$\frac{7}{184}$
3 -> 3	$\frac{1}{92}$
3 -> 4	$\frac{1}{46}$
4 -> 1	$\frac{5}{69}$
4 -> 2	$\frac{7}{138}$
4 -> 3	$\frac{1}{46}$
4 -> 4	$\frac{1}{46}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{5}{12}$ ; P("2")= $\frac{7}{24}$ ; P("3")= $\frac{1}{8}$ ; P("4")= $\frac{1}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3'-'4' (P= $\frac{1}{46}$ )
'4'-'3' (P= $\frac{1}{46}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{46}$ + $\frac{1}{46}$ = $\frac{1}{23}$

nur Summen

Beispiel:

In einem Stapel sind 2 Karten vom Wert 7, 2 Karten vom Wert 8 und 2 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 18 ist?

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Da ja ausschließlich nach '9' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '9' und 'nicht 9'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"9": $\frac{1}{3}$ ; "nicht 9": $\frac{2}{3}$ ;

Ereignis	P
9 -> 9	$\frac{1}{15}$
9 -> nicht 9	$\frac{4}{15}$
nicht 9 -> 9	$\frac{4}{15}$
nicht 9 -> nicht 9	$\frac{2}{5}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("9")= $\frac{1}{3}$ ; P("nicht 9")= $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'9'-'9' (P= $\frac{1}{15}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{15}$ = $\frac{1}{15}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 9 rote und 4 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die rote Kugel im 2. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{4}{13}$ ⋅ $\frac{9}{12}$
= $\frac{1}{13}$ ⋅ $\frac{9}{3}$
= $\frac{3}{13}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 4. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{4}$

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ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

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Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen bis erstmals x kommt