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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 4 vom Typ Kreuz, 10 vom Typ Herz, 3 vom Typ Pik und 3 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

Lösung einblenden

Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{3}{95}$
Kreuz -> Herz	$\frac{2}{19}$
Kreuz -> Pik	$\frac{3}{95}$
Kreuz -> Karo	$\frac{3}{95}$
Herz -> Kreuz	$\frac{2}{19}$
Herz -> Herz	$\frac{9}{38}$
Herz -> Pik	$\frac{3}{38}$
Herz -> Karo	$\frac{3}{38}$
Pik -> Kreuz	$\frac{3}{95}$
Pik -> Herz	$\frac{3}{38}$
Pik -> Pik	$\frac{3}{190}$
Pik -> Karo	$\frac{9}{380}$
Karo -> Kreuz	$\frac{3}{95}$
Karo -> Herz	$\frac{3}{38}$
Karo -> Pik	$\frac{9}{380}$
Karo -> Karo	$\frac{3}{190}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{1}{5}$ ; P("Herz")= $\frac{1}{2}$ ; P("Pik")= $\frac{3}{20}$ ; P("Karo")= $\frac{3}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{3}{95}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{9}{38}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{3}{190}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{3}{190}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{95}$ + $\frac{9}{38}$ + $\frac{3}{190}$ + $\frac{3}{190}$ = $\frac{3}{10}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Stapel sind 2 Karten vom Wert 7, 4 Karten vom Wert 8 und 4 9er. Man zieht 2 Karten gleichzeitig aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 17 ist?

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Ereignis	P
7 -> 7	$\frac{1}{45}$
7 -> 8	$\frac{4}{45}$
7 -> 9	$\frac{4}{45}$
8 -> 7	$\frac{4}{45}$
8 -> 8	$\frac{2}{15}$
8 -> 9	$\frac{8}{45}$
9 -> 7	$\frac{4}{45}$
9 -> 8	$\frac{8}{45}$
9 -> 9	$\frac{2}{15}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("7")= $\frac{1}{5}$ ; P("8")= $\frac{2}{5}$ ; P("9")= $\frac{2}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'8'-'9' (P= $\frac{8}{45}$ )
'9'-'8' (P= $\frac{8}{45}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{8}{45}$ + $\frac{8}{45}$ = $\frac{16}{45}$

nur Summen

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 4 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{9}{64}$
1 -> 2	$\frac{3}{32}$
1 -> 3	$\frac{3}{32}$
1 -> 4	$\frac{3}{64}$
2 -> 1	$\frac{3}{32}$
2 -> 2	$\frac{1}{16}$
2 -> 3	$\frac{1}{16}$
2 -> 4	$\frac{1}{32}$
3 -> 1	$\frac{3}{32}$
3 -> 2	$\frac{1}{16}$
3 -> 3	$\frac{1}{16}$
3 -> 4	$\frac{1}{32}$
4 -> 1	$\frac{3}{64}$
4 -> 2	$\frac{1}{32}$
4 -> 3	$\frac{1}{32}$
4 -> 4	$\frac{1}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{3}{8}$ ; P("2")= $\frac{1}{4}$ ; P("3")= $\frac{1}{4}$ ; P("4")= $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{3}{32}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{3}{32}$ )
'2'-'2' (P= $\frac{1}{16}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{32}$ + $\frac{3}{32}$ + $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{4}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 3 Karten der Farbe Herz und 2 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 2.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{2}{5}$ ⋅ $\frac{3}{4}$
= $\frac{1}{5}$ ⋅ $\frac{3}{2}$
= $\frac{3}{10}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 2 Schüler mit NWT-Profil, 9 Schüler mit sprachlichem Profil, 4 Schüler mit Musik-Profil und 5 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass höchstens 1 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

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Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": $\frac{1}{10}$ ; "nicht NWT": $\frac{9}{10}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal NWT' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'NWT'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'NWT')=1- $\frac{1}{190}$ = $\frac{189}{190}$

Ereignis	P
NWT -> NWT	$\frac{1}{190}$
NWT -> nicht NWT	$\frac{9}{95}$
nicht NWT -> NWT	$\frac{9}{95}$
nicht NWT -> nicht NWT	$\frac{153}{190}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("NWT")= $\frac{1}{10}$ ; P("nicht NWT")= $\frac{9}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'NWT'-'nicht NWT' (P= $\frac{9}{95}$ )
'nicht NWT'-'NWT' (P= $\frac{9}{95}$ )
'nicht NWT'-'nicht NWT' (P= $\frac{153}{190}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{9}{95}$ + $\frac{9}{95}$ + $\frac{153}{190}$ = $\frac{189}{190}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

ohne Zurücklegen (einfach)

P=1-P(2 mal 'NWT')=1- 1 190 = 189 190

P=1-P(2 mal 'NWT')=1- $\frac{1}{190}$ = $\frac{189}{190}$