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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 9 rote, 5 blaue , 5 gelbe und 5 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal gelb"?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{3}{23}$
rot -> blau	$\frac{15}{184}$
rot -> gelb	$\frac{15}{184}$
rot -> schwarz	$\frac{15}{184}$
blau -> rot	$\frac{15}{184}$
blau -> blau	$\frac{5}{138}$
blau -> gelb	$\frac{25}{552}$
blau -> schwarz	$\frac{25}{552}$
gelb -> rot	$\frac{15}{184}$
gelb -> blau	$\frac{25}{552}$
gelb -> gelb	$\frac{5}{138}$
gelb -> schwarz	$\frac{25}{552}$
schwarz -> rot	$\frac{15}{184}$
schwarz -> blau	$\frac{25}{552}$
schwarz -> gelb	$\frac{25}{552}$
schwarz -> schwarz	$\frac{5}{138}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{3}{8}$ ; P("blau")= $\frac{5}{24}$ ; P("gelb")= $\frac{5}{24}$ ; P("schwarz")= $\frac{5}{24}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'gelb' (P= $\frac{15}{184}$ )
'gelb'-'rot' (P= $\frac{15}{184}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{15}{184}$ + $\frac{15}{184}$ = $\frac{15}{92}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 4 Karten der Farbe Kreuz, 2 der Farbe Pik, 4 der Farbe Herz und 5 der Farbe Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal Karo"? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Karo' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Karo' und 'nicht Karo'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Karo": $\frac{1}{3}$ ; "nicht Karo": $\frac{2}{3}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal Karo' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'Karo' bzw. 0 mal 'Karo'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'Karo')=1- $\frac{3}{7}$ = $\frac{4}{7}$

Ereignis	P
Karo -> Karo	$\frac{2}{21}$
Karo -> nicht Karo	$\frac{5}{21}$
nicht Karo -> Karo	$\frac{5}{21}$
nicht Karo -> nicht Karo	$\frac{3}{7}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Karo")= $\frac{1}{3}$ ; P("nicht Karo")= $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Karo'-'nicht Karo' (P= $\frac{5}{21}$ )
'nicht Karo'-'Karo' (P= $\frac{5}{21}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{2}{21}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{21}$ + $\frac{5}{21}$ + $\frac{2}{21}$ = $\frac{4}{7}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 3 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 3 kugel mit einer 2 und 4 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 4 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{15}$
1 -> 2	$\frac{1}{10}$
1 -> 3	$\frac{2}{15}$
2 -> 1	$\frac{1}{10}$
2 -> 2	$\frac{1}{15}$
2 -> 3	$\frac{2}{15}$
3 -> 1	$\frac{2}{15}$
3 -> 2	$\frac{2}{15}$
3 -> 3	$\frac{2}{15}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{3}{10}$ ; P("2")= $\frac{3}{10}$ ; P("3")= $\frac{2}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{2}{15}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{2}{15}$ )
'2'-'2' (P= $\frac{1}{15}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{15}$ + $\frac{2}{15}$ + $\frac{1}{15}$ = $\frac{1}{3}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 3. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$
= $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{1}{2}$
= $\frac{1}{4}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens 1 mal eine Primzahl zu würfeln?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'prim' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'prim' und 'nicht prim'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"prim": $\frac{1}{2}$ ; "nicht prim": $\frac{1}{2}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal prim' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'prim' bzw. 0 mal 'prim'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'prim')=1- $\frac{1}{8}$ = $\frac{7}{8}$

Ereignis	P
prim -> prim -> prim	$\frac{1}{8}$
prim -> prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$
prim -> nicht prim -> prim	$\frac{1}{8}$
prim -> nicht prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> prim -> prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> nicht prim -> prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> nicht prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("prim")= $\frac{1}{2}$ ; P("nicht prim")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'prim'-'nicht prim'-'nicht prim' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht prim'-'prim'-'nicht prim' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht prim'-'nicht prim'-'prim' (P= $\frac{1}{8}$ )
'prim'-'prim'-'nicht prim' (P= $\frac{1}{8}$ )
'prim'-'nicht prim'-'prim' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht prim'-'prim'-'prim' (P= $\frac{1}{8}$ )
'prim'-'prim'-'prim' (P= $\frac{1}{8}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $\frac{7}{8}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

mit Zurücklegen (einfach)