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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 4 Asse, 2 Könige und 2 Damen. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "1 mal Ass und 1 mal Dame"?

Lösung einblenden

Ereignis	P
Ass -> Ass	$\frac{3}{14}$
Ass -> König	$\frac{1}{7}$
Ass -> Dame	$\frac{1}{7}$
König -> Ass	$\frac{1}{7}$
König -> König	$\frac{1}{28}$
König -> Dame	$\frac{1}{14}$
Dame -> Ass	$\frac{1}{7}$
Dame -> König	$\frac{1}{14}$
Dame -> Dame	$\frac{1}{28}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Ass")= $\frac{1}{2}$ ; P("König")= $\frac{1}{4}$ ; P("Dame")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Ass'-'Dame' (P= $\frac{1}{7}$ )
'Dame'-'Ass' (P= $\frac{1}{7}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{7}$ + $\frac{1}{7}$ = $\frac{2}{7}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Lostopf sind 9 Kugeln mit einer Eins beschriftet, 7 Kugeln mit einer Zwei, 10 mit Drei und 4 mit einer Vier. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkiet dass die beiden gezogenen Zahlen zusammen 3 ergeben?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{12}{145}$
1 -> 2	$\frac{21}{290}$
1 -> 3	$\frac{3}{29}$
1 -> 4	$\frac{6}{145}$
2 -> 1	$\frac{21}{290}$
2 -> 2	$\frac{7}{145}$
2 -> 3	$\frac{7}{87}$
2 -> 4	$\frac{14}{435}$
3 -> 1	$\frac{3}{29}$
3 -> 2	$\frac{7}{87}$
3 -> 3	$\frac{3}{29}$
3 -> 4	$\frac{4}{87}$
4 -> 1	$\frac{6}{145}$
4 -> 2	$\frac{14}{435}$
4 -> 3	$\frac{4}{87}$
4 -> 4	$\frac{2}{145}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{3}{10}$ ; P("2")= $\frac{7}{30}$ ; P("3")= $\frac{1}{3}$ ; P("4")= $\frac{2}{15}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'2' (P= $\frac{21}{290}$ )
'2'-'1' (P= $\frac{21}{290}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{21}{290}$ + $\frac{21}{290}$ = $\frac{21}{145}$

nur Summen

Beispiel:

Ein Würfel wird zwei mal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 7 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{36}$
1 -> 2	$\frac{1}{36}$
1 -> 3	$\frac{1}{36}$
1 -> 4	$\frac{1}{36}$
1 -> 5	$\frac{1}{36}$
1 -> 6	$\frac{1}{36}$
2 -> 1	$\frac{1}{36}$
2 -> 2	$\frac{1}{36}$
2 -> 3	$\frac{1}{36}$
2 -> 4	$\frac{1}{36}$
2 -> 5	$\frac{1}{36}$
2 -> 6	$\frac{1}{36}$
3 -> 1	$\frac{1}{36}$
3 -> 2	$\frac{1}{36}$
3 -> 3	$\frac{1}{36}$
3 -> 4	$\frac{1}{36}$
3 -> 5	$\frac{1}{36}$
3 -> 6	$\frac{1}{36}$
4 -> 1	$\frac{1}{36}$
4 -> 2	$\frac{1}{36}$
4 -> 3	$\frac{1}{36}$
4 -> 4	$\frac{1}{36}$
4 -> 5	$\frac{1}{36}$
4 -> 6	$\frac{1}{36}$
5 -> 1	$\frac{1}{36}$
5 -> 2	$\frac{1}{36}$
5 -> 3	$\frac{1}{36}$
5 -> 4	$\frac{1}{36}$
5 -> 5	$\frac{1}{36}$
5 -> 6	$\frac{1}{36}$
6 -> 1	$\frac{1}{36}$
6 -> 2	$\frac{1}{36}$
6 -> 3	$\frac{1}{36}$
6 -> 4	$\frac{1}{36}$
6 -> 5	$\frac{1}{36}$
6 -> 6	$\frac{1}{36}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{6}$ ; P("2")= $\frac{1}{6}$ ; P("3")= $\frac{1}{6}$ ; P("4")= $\frac{1}{6}$ ; P("5")= $\frac{1}{6}$ ; P("6")= $\frac{1}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'6' (P= $\frac{1}{36}$ )
'6'-'1' (P= $\frac{1}{36}$ )
'2'-'5' (P= $\frac{1}{36}$ )
'5'-'2' (P= $\frac{1}{36}$ )
'3'-'4' (P= $\frac{1}{36}$ )
'4'-'3' (P= $\frac{1}{36}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ = $\frac{1}{6}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 12 Karten der Farbe Herz und 4 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 4.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{4}{16}$ ⋅ $\frac{3}{15}$ ⋅ $\frac{2}{14}$ ⋅ $\frac{12}{13}$
= $\frac{2}{2}$ ⋅ $\frac{3}{5}$ ⋅ $\frac{1}{7}$ ⋅ $\frac{1}{13}$
= $\frac{3}{455}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 6 rote und 4 blaue Kugeln. Es wird 2 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal blau"?

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Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{1}{3}$
rot -> blau	$\frac{4}{15}$
blau -> rot	$\frac{4}{15}$
blau -> blau	$\frac{2}{15}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{3}{5}$ ; P("blau")= $\frac{2}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'blau' (P= $\frac{2}{15}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{15}$ = $\frac{2}{15}$

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ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

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Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen ohne Zurücklegen