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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 8 vom Typ Kreuz, 6 vom Typ Herz, 4 vom Typ Pik und 6 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

Lösung einblenden

Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{7}{69}$
Kreuz -> Herz	$\frac{2}{23}$
Kreuz -> Pik	$\frac{4}{69}$
Kreuz -> Karo	$\frac{2}{23}$
Herz -> Kreuz	$\frac{2}{23}$
Herz -> Herz	$\frac{5}{92}$
Herz -> Pik	$\frac{1}{23}$
Herz -> Karo	$\frac{3}{46}$
Pik -> Kreuz	$\frac{4}{69}$
Pik -> Herz	$\frac{1}{23}$
Pik -> Pik	$\frac{1}{46}$
Pik -> Karo	$\frac{1}{23}$
Karo -> Kreuz	$\frac{2}{23}$
Karo -> Herz	$\frac{3}{46}$
Karo -> Pik	$\frac{1}{23}$
Karo -> Karo	$\frac{5}{92}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{1}{3}$ ; P("Herz")= $\frac{1}{4}$ ; P("Pik")= $\frac{1}{6}$ ; P("Karo")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{7}{69}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{5}{92}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{1}{46}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{5}{92}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{7}{69}$ + $\frac{5}{92}$ + $\frac{1}{46}$ + $\frac{5}{92}$ = $\frac{16}{69}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 2 Asse, 2 Könige und 2 Damen. Es werden 2 Karten vom Stapel gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "1 mal Ass und 1 mal Dame"?

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Ereignis	P
Ass -> Ass	$\frac{1}{15}$
Ass -> König	$\frac{2}{15}$
Ass -> Dame	$\frac{2}{15}$
König -> Ass	$\frac{2}{15}$
König -> König	$\frac{1}{15}$
König -> Dame	$\frac{2}{15}$
Dame -> Ass	$\frac{2}{15}$
Dame -> König	$\frac{2}{15}$
Dame -> Dame	$\frac{1}{15}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Ass")= $\frac{1}{3}$ ; P("König")= $\frac{1}{3}$ ; P("Dame")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Ass'-'Dame' (P= $\frac{2}{15}$ )
'Dame'-'Ass' (P= $\frac{2}{15}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{15}$ + $\frac{2}{15}$ = $\frac{4}{15}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 2 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 8 2er und 5 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 4 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{4}{225}$
1 -> 2	$\frac{16}{225}$
1 -> 3	$\frac{2}{45}$
2 -> 1	$\frac{16}{225}$
2 -> 2	$\frac{64}{225}$
2 -> 3	$\frac{8}{45}$
3 -> 1	$\frac{2}{45}$
3 -> 2	$\frac{8}{45}$
3 -> 3	$\frac{1}{9}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{2}{15}$ ; P("2")= $\frac{8}{15}$ ; P("3")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{2}{45}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{2}{45}$ )
'2'-'2' (P= $\frac{64}{225}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{45}$ + $\frac{2}{45}$ + $\frac{64}{225}$ = $\frac{28}{75}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und 9 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine blaue Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die blaue Kugel im 5. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{4}{13}$ ⋅ $\frac{3}{12}$ ⋅ $\frac{2}{11}$ ⋅ $\frac{1}{10}$ ⋅ $\frac{9}{9}$
= $\frac{1}{13}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{1}{11}$ ⋅ $\frac{1}{5}$ ⋅ $\frac{3}{3}$
= $\frac{1}{715}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Lostopf sind 6 Kugeln mit einer Eins beschriftet, 9 Kugeln mit einer Zwei, 8 mit Drei und 7 mit einer Vier. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkiet dass die beiden gezogenen Zahlen zusammen 5 ergeben?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{29}$
1 -> 2	$\frac{9}{145}$
1 -> 3	$\frac{8}{145}$
1 -> 4	$\frac{7}{145}$
2 -> 1	$\frac{9}{145}$
2 -> 2	$\frac{12}{145}$
2 -> 3	$\frac{12}{145}$
2 -> 4	$\frac{21}{290}$
3 -> 1	$\frac{8}{145}$
3 -> 2	$\frac{12}{145}$
3 -> 3	$\frac{28}{435}$
3 -> 4	$\frac{28}{435}$
4 -> 1	$\frac{7}{145}$
4 -> 2	$\frac{21}{290}$
4 -> 3	$\frac{28}{435}$
4 -> 4	$\frac{7}{145}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{5}$ ; P("2")= $\frac{3}{10}$ ; P("3")= $\frac{4}{15}$ ; P("4")= $\frac{7}{30}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'4' (P= $\frac{7}{145}$ )
'4'-'1' (P= $\frac{7}{145}$ )
'2'-'3' (P= $\frac{12}{145}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{12}{145}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{7}{145}$ + $\frac{7}{145}$ + $\frac{12}{145}$ + $\frac{12}{145}$ = $\frac{38}{145}$

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ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen ohne Zurücklegen