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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 5 Mädchen und 5 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen höchstens 1 an ein Mädchen gehen?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Mädchen' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Mädchen' und 'nicht Mädchen'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Mädchen": $\frac{1}{2}$ ; "nicht Mädchen": $\frac{1}{2}$ ;

Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{1}{12}$
Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{5}{36}$
Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen	$\frac{5}{36}$
Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{5}{36}$
nicht Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{5}{36}$
nicht Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{5}{36}$
nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen	$\frac{5}{36}$
nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{1}{12}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Mädchen")= $\frac{1}{2}$ ; P("nicht Mädchen")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Mädchen'-'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{5}{36}$ )
'nicht Mädchen'-'Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{5}{36}$ )
'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{5}{36}$ )
'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{1}{12}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{36}$ + $\frac{5}{36}$ + $\frac{5}{36}$ + $\frac{1}{12}$ = $\frac{1}{2}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 8 vom Typ Kreuz, 2 vom Typ Herz, 3 vom Typ Pik und 7 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

Lösung einblenden

Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{14}{95}$
Kreuz -> Herz	$\frac{4}{95}$
Kreuz -> Pik	$\frac{6}{95}$
Kreuz -> Karo	$\frac{14}{95}$
Herz -> Kreuz	$\frac{4}{95}$
Herz -> Herz	$\frac{1}{190}$
Herz -> Pik	$\frac{3}{190}$
Herz -> Karo	$\frac{7}{190}$
Pik -> Kreuz	$\frac{6}{95}$
Pik -> Herz	$\frac{3}{190}$
Pik -> Pik	$\frac{3}{190}$
Pik -> Karo	$\frac{21}{380}$
Karo -> Kreuz	$\frac{14}{95}$
Karo -> Herz	$\frac{7}{190}$
Karo -> Pik	$\frac{21}{380}$
Karo -> Karo	$\frac{21}{190}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{2}{5}$ ; P("Herz")= $\frac{1}{10}$ ; P("Pik")= $\frac{3}{20}$ ; P("Karo")= $\frac{7}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{14}{95}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{1}{190}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{3}{190}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{21}{190}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{14}{95}$ + $\frac{1}{190}$ + $\frac{3}{190}$ + $\frac{21}{190}$ = $\frac{53}{190}$

nur Summen

Beispiel:

In einem Stapel sind 4 Karten vom Wert 7, 4 Karten vom Wert 8 und 4 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 14 ist?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '7' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '7' und 'nicht 7'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"7": $\frac{1}{3}$ ; "nicht 7": $\frac{2}{3}$ ;

Ereignis	P
7 -> 7	$\frac{1}{11}$
7 -> nicht 7	$\frac{8}{33}$
nicht 7 -> 7	$\frac{8}{33}$
nicht 7 -> nicht 7	$\frac{14}{33}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("7")= $\frac{1}{3}$ ; P("nicht 7")= $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'7'-'7' (P= $\frac{1}{11}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{11}$ = $\frac{1}{11}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 4. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{4}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 8 rote, 9 gelbe, 6 blaue und 7 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal rot"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{4}{15}$ ; "nicht rot": $\frac{11}{15}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal rot' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'rot'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'rot')=1- $\frac{16}{225}$ = $\frac{209}{225}$

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{16}{225}$
rot -> nicht rot	$\frac{44}{225}$
nicht rot -> rot	$\frac{44}{225}$
nicht rot -> nicht rot	$\frac{121}{225}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{4}{15}$ ; P("nicht rot")= $\frac{11}{15}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'nicht rot' (P= $\frac{44}{225}$ )
'nicht rot'-'rot' (P= $\frac{44}{225}$ )
'nicht rot'-'nicht rot' (P= $\frac{121}{225}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{44}{225}$ + $\frac{44}{225}$ + $\frac{121}{225}$ = $\frac{209}{225}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

mit Zurücklegen (einfach)

P=1-P(2 mal 'rot')=1- 16 225 = 209 225

P=1-P(2 mal 'rot')=1- $\frac{16}{225}$ = $\frac{209}{225}$