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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Bei der Auslosung zum Championsleague-Achtelfinale sind noch alle 4 deutsche Mannschaften im Lostopf mit den 16 Mannschaften. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den erstem drei gezogenen Mannschaften genau 2 deutsche Mannschaften sind (wenn man mal von der falschen Annahme ausgeht, dass alle Mannschaften im gleichen Lostopf sind)?

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Ereignis	P
deutsch -> deutsch -> deutsch	$\frac{1}{140}$
deutsch -> deutsch -> andere	$\frac{3}{70}$
deutsch -> andere -> deutsch	$\frac{3}{70}$
deutsch -> andere -> andere	$\frac{11}{70}$
andere -> deutsch -> deutsch	$\frac{3}{70}$
andere -> deutsch -> andere	$\frac{11}{70}$
andere -> andere -> deutsch	$\frac{11}{70}$
andere -> andere -> andere	$\frac{11}{28}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("deutsch")= $\frac{1}{4}$ ; P("andere")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'deutsch'-'deutsch'-'andere' (P= $\frac{3}{70}$ )
'deutsch'-'andere'-'deutsch' (P= $\frac{3}{70}$ )
'andere'-'deutsch'-'deutsch' (P= $\frac{3}{70}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{70}$ + $\frac{3}{70}$ + $\frac{3}{70}$ = $\frac{9}{70}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 9 rote und 3 blaue Kugeln. Es wird 2 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal rot"?

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Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{6}{11}$
rot -> blau	$\frac{9}{44}$
blau -> rot	$\frac{9}{44}$
blau -> blau	$\frac{1}{22}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{3}{4}$ ; P("blau")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{6}{11}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{6}{11}$ = $\frac{6}{11}$

nur Summen

Beispiel:

In einem Stapel sind 2 Karten vom Wert 7, 4 Karten vom Wert 8 und 4 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 14 ist?

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Da ja ausschließlich nach '7' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '7' und 'nicht 7'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"7": $\frac{1}{5}$ ; "nicht 7": $\frac{4}{5}$ ;

Ereignis	P
7 -> 7	$\frac{1}{45}$
7 -> nicht 7	$\frac{8}{45}$
nicht 7 -> 7	$\frac{8}{45}$
nicht 7 -> nicht 7	$\frac{28}{45}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("7")= $\frac{1}{5}$ ; P("nicht 7")= $\frac{4}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'7'-'7' (P= $\frac{1}{45}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{45}$ = $\frac{1}{45}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 2. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{1}{3}$
= $\frac{1}{4}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{4}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 10 rote, 4 gelbe, 9 blaue und 7 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal blau"?

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Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": $\frac{3}{10}$ ; "nicht blau": $\frac{7}{10}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal blau' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'blau' bzw. 0 mal 'blau'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'blau')=1- $\frac{49}{100}$ = $\frac{51}{100}$

Ereignis	P
blau -> blau	$\frac{9}{100}$
blau -> nicht blau	$\frac{21}{100}$
nicht blau -> blau	$\frac{21}{100}$
nicht blau -> nicht blau	$\frac{49}{100}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("blau")= $\frac{3}{10}$ ; P("nicht blau")= $\frac{7}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'nicht blau' (P= $\frac{21}{100}$ )
'nicht blau'-'blau' (P= $\frac{21}{100}$ )
'blau'-'blau' (P= $\frac{9}{100}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{21}{100}$ + $\frac{21}{100}$ + $\frac{9}{100}$ = $\frac{51}{100}$

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ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen mit Zurücklegen