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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und 6 blaue Kugeln. Es wird 3 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal rot"?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot -> rot	$\frac{1}{30}$
rot -> rot -> blau	$\frac{1}{10}$
rot -> blau -> rot	$\frac{1}{10}$
rot -> blau -> blau	$\frac{1}{6}$
blau -> rot -> rot	$\frac{1}{10}$
blau -> rot -> blau	$\frac{1}{6}$
blau -> blau -> rot	$\frac{1}{6}$
blau -> blau -> blau	$\frac{1}{6}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{2}{5}$ ; P("blau")= $\frac{3}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot'-'blau' (P= $\frac{1}{10}$ )
'rot'-'blau'-'rot' (P= $\frac{1}{10}$ )
'blau'-'rot'-'rot' (P= $\frac{1}{10}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{10}$ + $\frac{1}{10}$ + $\frac{1}{10}$ = $\frac{3}{10}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 10 rote, 9 blaue , 10 gelbe und 3 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal blau und 1 mal gelb"?

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Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{45}{496}$
rot -> blau	$\frac{45}{496}$
rot -> gelb	$\frac{25}{248}$
rot -> schwarz	$\frac{15}{496}$
blau -> rot	$\frac{45}{496}$
blau -> blau	$\frac{9}{124}$
blau -> gelb	$\frac{45}{496}$
blau -> schwarz	$\frac{27}{992}$
gelb -> rot	$\frac{25}{248}$
gelb -> blau	$\frac{45}{496}$
gelb -> gelb	$\frac{45}{496}$
gelb -> schwarz	$\frac{15}{496}$
schwarz -> rot	$\frac{15}{496}$
schwarz -> blau	$\frac{27}{992}$
schwarz -> gelb	$\frac{15}{496}$
schwarz -> schwarz	$\frac{3}{496}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{5}{16}$ ; P("blau")= $\frac{9}{32}$ ; P("gelb")= $\frac{5}{16}$ ; P("schwarz")= $\frac{3}{32}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'gelb' (P= $\frac{45}{496}$ )
'gelb'-'blau' (P= $\frac{45}{496}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{45}{496}$ + $\frac{45}{496}$ = $\frac{45}{248}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 7 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 9 kugel mit einer 2 und 4 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 3 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{21}{190}$
1 -> 2	$\frac{63}{380}$
1 -> 3	$\frac{7}{95}$
2 -> 1	$\frac{63}{380}$
2 -> 2	$\frac{18}{95}$
2 -> 3	$\frac{9}{95}$
3 -> 1	$\frac{7}{95}$
3 -> 2	$\frac{9}{95}$
3 -> 3	$\frac{3}{95}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{7}{20}$ ; P("2")= $\frac{9}{20}$ ; P("3")= $\frac{1}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'2' (P= $\frac{63}{380}$ )
'2'-'1' (P= $\frac{63}{380}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{63}{380}$ + $\frac{63}{380}$ = $\frac{63}{190}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und 4 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine blaue Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die blaue Kugel im 3. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{7}$ ⋅ $\frac{2}{6}$ ⋅ $\frac{4}{5}$
= $\frac{1}{7}$ ⋅ $2$ ⋅ $\frac{2}{5}$
= $\frac{4}{35}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 4 Asse, 2 Könige und 2 Damen. Es werden 2 Karten vom Stapel gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "mindestens 1 mal Dame"?

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Da ja ausschließlich nach 'Dame' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Dame' und 'nicht Dame'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Dame": $\frac{1}{4}$ ; "nicht Dame": $\frac{3}{4}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal Dame' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'Dame' bzw. 0 mal 'Dame'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'Dame')=1- $\frac{15}{28}$ = $\frac{13}{28}$

Ereignis	P
Dame -> Dame	$\frac{1}{28}$
Dame -> nicht Dame	$\frac{3}{14}$
nicht Dame -> Dame	$\frac{3}{14}$
nicht Dame -> nicht Dame	$\frac{15}{28}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Dame")= $\frac{1}{4}$ ; P("nicht Dame")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Dame'-'nicht Dame' (P= $\frac{3}{14}$ )
'nicht Dame'-'Dame' (P= $\frac{3}{14}$ )
'Dame'-'Dame' (P= $\frac{1}{28}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{14}$ + $\frac{3}{14}$ + $\frac{1}{28}$ = $\frac{13}{28}$

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ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen ohne Zurücklegen