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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Bei der Auslosung zum Championsleague-Achtelfinale sind noch alle 4 deutsche Mannschaften im Lostopf mit den 16 Mannschaften. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den erstem drei gezogenen Mannschaften genau 1 deutsche Mannschaften sind (wenn man mal von der falschen Annahme ausgeht, dass alle Mannschaften im gleichen Lostopf sind)?

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Ereignis	P
deutsch -> deutsch -> deutsch	$\frac{1}{140}$
deutsch -> deutsch -> andere	$\frac{3}{70}$
deutsch -> andere -> deutsch	$\frac{3}{70}$
deutsch -> andere -> andere	$\frac{11}{70}$
andere -> deutsch -> deutsch	$\frac{3}{70}$
andere -> deutsch -> andere	$\frac{11}{70}$
andere -> andere -> deutsch	$\frac{11}{70}$
andere -> andere -> andere	$\frac{11}{28}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("deutsch")= $\frac{1}{4}$ ; P("andere")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'deutsch'-'andere'-'andere' (P= $\frac{11}{70}$ )
'andere'-'deutsch'-'andere' (P= $\frac{11}{70}$ )
'andere'-'andere'-'deutsch' (P= $\frac{11}{70}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{11}{70}$ + $\frac{11}{70}$ + $\frac{11}{70}$ = $\frac{33}{70}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 8 rote, 6 blaue , 2 gelbe und 4 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal rot"?

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Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{2}{5}$ ; "nicht rot": $\frac{3}{5}$ ;

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{14}{95}$
rot -> nicht rot	$\frac{24}{95}$
nicht rot -> rot	$\frac{24}{95}$
nicht rot -> nicht rot	$\frac{33}{95}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{2}{5}$ ; P("nicht rot")= $\frac{3}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{14}{95}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{14}{95}$ = $\frac{14}{95}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 5 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 5 2er und 5 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 3 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{9}$
1 -> 2	$\frac{1}{9}$
1 -> 3	$\frac{1}{9}$
2 -> 1	$\frac{1}{9}$
2 -> 2	$\frac{1}{9}$
2 -> 3	$\frac{1}{9}$
3 -> 1	$\frac{1}{9}$
3 -> 2	$\frac{1}{9}$
3 -> 3	$\frac{1}{9}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{3}$ ; P("2")= $\frac{1}{3}$ ; P("3")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'2' (P= $\frac{1}{9}$ )
'2'-'1' (P= $\frac{1}{9}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{9}$ + $\frac{1}{9}$ = $\frac{2}{9}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 21 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies beim 4. Losdurchgang passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{24}$ ⋅ $\frac{2}{23}$ ⋅ $\frac{1}{22}$ ⋅ $\frac{21}{21}$
= $\frac{1}{4}$ ⋅ $\frac{1}{23}$ ⋅ $\frac{1}{22}$ ⋅ $\frac{7}{7}$
= $\frac{1}{2024}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 4 Karten der Farbe Herz und 2 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 3.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{2}{6}$ ⋅ $\frac{1}{5}$ ⋅ $\frac{4}{4}$
= $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{5}$ ⋅ $\frac{2}{2}$
= $\frac{1}{15}$

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ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen bis erstmals x kommt