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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 4 Asse, 4 Könige und 2 Damen. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "1 mal Ass und 1 mal König"?

Lösung einblenden

Ereignis	P
Ass -> Ass	$\frac{2}{15}$
Ass -> König	$\frac{8}{45}$
Ass -> Dame	$\frac{4}{45}$
König -> Ass	$\frac{8}{45}$
König -> König	$\frac{2}{15}$
König -> Dame	$\frac{4}{45}$
Dame -> Ass	$\frac{4}{45}$
Dame -> König	$\frac{4}{45}$
Dame -> Dame	$\frac{1}{45}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Ass")= $\frac{2}{5}$ ; P("König")= $\frac{2}{5}$ ; P("Dame")= $\frac{1}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Ass'-'König' (P= $\frac{8}{45}$ )
'König'-'Ass' (P= $\frac{8}{45}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{8}{45}$ + $\frac{8}{45}$ = $\frac{16}{45}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 3 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 5 kugel mit einer 2 und 4 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 3 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{22}$
1 -> 2	$\frac{5}{44}$
1 -> 3	$\frac{1}{11}$
2 -> 1	$\frac{5}{44}$
2 -> 2	$\frac{5}{33}$
2 -> 3	$\frac{5}{33}$
3 -> 1	$\frac{1}{11}$
3 -> 2	$\frac{5}{33}$
3 -> 3	$\frac{1}{11}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{4}$ ; P("2")= $\frac{5}{12}$ ; P("3")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'2' (P= $\frac{5}{44}$ )
'2'-'1' (P= $\frac{5}{44}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{44}$ + $\frac{5}{44}$ = $\frac{5}{22}$

nur Summen

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 3 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{9}{64}$
1 -> 2	$\frac{9}{64}$
1 -> 3	$\frac{3}{64}$
1 -> 4	$\frac{3}{64}$
2 -> 1	$\frac{9}{64}$
2 -> 2	$\frac{9}{64}$
2 -> 3	$\frac{3}{64}$
2 -> 4	$\frac{3}{64}$
3 -> 1	$\frac{3}{64}$
3 -> 2	$\frac{3}{64}$
3 -> 3	$\frac{1}{64}$
3 -> 4	$\frac{1}{64}$
4 -> 1	$\frac{3}{64}$
4 -> 2	$\frac{3}{64}$
4 -> 3	$\frac{1}{64}$
4 -> 4	$\frac{1}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{3}{8}$ ; P("2")= $\frac{3}{8}$ ; P("3")= $\frac{1}{8}$ ; P("4")= $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'2' (P= $\frac{9}{64}$ )
'2'-'1' (P= $\frac{9}{64}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{9}{64}$ + $\frac{9}{64}$ = $\frac{9}{32}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 2 Karten der Farbe Herz und 4 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 3.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{4}{6}$ ⋅ $\frac{3}{5}$ ⋅ $\frac{2}{4}$
= $1$ ⋅ $\frac{1}{5}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{5}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Das nebenstehende Glücksrad wird 2 mal gedreht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal rot"?

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Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{3}{8}$ ; "nicht rot": $\frac{5}{8}$ ;

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{9}{64}$
rot -> nicht rot	$\frac{15}{64}$
nicht rot -> rot	$\frac{15}{64}$
nicht rot -> nicht rot	$\frac{25}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{3}{8}$ ; P("nicht rot")= $\frac{5}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{9}{64}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{9}{64}$ = $\frac{9}{64}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

mit Zurücklegen (einfach)