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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote, 10 blaue , 7 gelbe und 3 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal schwarz"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'schwarz' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'schwarz' und 'nicht schwarz'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"schwarz": $\frac{3}{25}$ ; "nicht schwarz": $\frac{22}{25}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal schwarz' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'schwarz'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'schwarz')=1- $\frac{1}{100}$ = $\frac{99}{100}$

Ereignis	P
schwarz -> schwarz	$\frac{1}{100}$
schwarz -> nicht schwarz	$\frac{11}{100}$
nicht schwarz -> schwarz	$\frac{11}{100}$
nicht schwarz -> nicht schwarz	$\frac{77}{100}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("schwarz")= $\frac{3}{25}$ ; P("nicht schwarz")= $\frac{22}{25}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'schwarz'-'nicht schwarz' (P= $\frac{11}{100}$ )
'nicht schwarz'-'schwarz' (P= $\frac{11}{100}$ )
'nicht schwarz'-'nicht schwarz' (P= $\frac{77}{100}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{11}{100}$ + $\frac{11}{100}$ + $\frac{77}{100}$ = $\frac{99}{100}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 5 vom Typ rot, 2 vom Typ blau, 8 vom Typ gelb und 5 vom Typ schwarz. Es wird 2 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{1}{19}$
rot -> blau	$\frac{1}{38}$
rot -> gelb	$\frac{2}{19}$
rot -> schwarz	$\frac{5}{76}$
blau -> rot	$\frac{1}{38}$
blau -> blau	$\frac{1}{190}$
blau -> gelb	$\frac{4}{95}$
blau -> schwarz	$\frac{1}{38}$
gelb -> rot	$\frac{2}{19}$
gelb -> blau	$\frac{4}{95}$
gelb -> gelb	$\frac{14}{95}$
gelb -> schwarz	$\frac{2}{19}$
schwarz -> rot	$\frac{5}{76}$
schwarz -> blau	$\frac{1}{38}$
schwarz -> gelb	$\frac{2}{19}$
schwarz -> schwarz	$\frac{1}{19}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{1}{4}$ ; P("blau")= $\frac{1}{10}$ ; P("gelb")= $\frac{2}{5}$ ; P("schwarz")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{1}{19}$ )
'blau'-'blau' (P= $\frac{1}{190}$ )
'gelb'-'gelb' (P= $\frac{14}{95}$ )
'schwarz'-'schwarz' (P= $\frac{1}{19}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{19}$ + $\frac{1}{190}$ + $\frac{14}{95}$ + $\frac{1}{19}$ = $\frac{49}{190}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 2 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 3 kugel mit einer 2 und 5 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 5 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{45}$
1 -> 2	$\frac{1}{15}$
1 -> 3	$\frac{1}{9}$
2 -> 1	$\frac{1}{15}$
2 -> 2	$\frac{1}{15}$
2 -> 3	$\frac{1}{6}$
3 -> 1	$\frac{1}{9}$
3 -> 2	$\frac{1}{6}$
3 -> 3	$\frac{2}{9}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{5}$ ; P("2")= $\frac{3}{10}$ ; P("3")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'2'-'3' (P= $\frac{1}{6}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{1}{6}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{6}$ = $\frac{1}{3}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 4. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{4}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Stapel sind 2 Karten vom Wert 7, 2 Karten vom Wert 8 und 4 9er. Man zieht 2 Karten gleichzeitig aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 16 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
7 -> 7	$\frac{1}{28}$
7 -> 8	$\frac{1}{14}$
7 -> 9	$\frac{1}{7}$
8 -> 7	$\frac{1}{14}$
8 -> 8	$\frac{1}{28}$
8 -> 9	$\frac{1}{7}$
9 -> 7	$\frac{1}{7}$
9 -> 8	$\frac{1}{7}$
9 -> 9	$\frac{3}{14}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("7")= $\frac{1}{4}$ ; P("8")= $\frac{1}{4}$ ; P("9")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'7'-'9' (P= $\frac{1}{7}$ )
'9'-'7' (P= $\frac{1}{7}$ )
'8'-'8' (P= $\frac{1}{28}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{7}$ + $\frac{1}{7}$ + $\frac{1}{28}$ = $\frac{9}{28}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

ohne Zurücklegen (einfach)

P=1-P(2 mal 'schwarz')=1- 1 100 = 99 100

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen ohne Zurücklegen

P=1-P(2 mal 'schwarz')=1- $\frac{1}{100}$ = $\frac{99}{100}$