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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 2 Schüler mit NWT-Profil, 5 Schüler mit sprachlichem Profil, 10 Schüler mit Musik-Profil und 3 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 2 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": 1 10 ; "nicht NWT": 9 10 ;

EreignisP
NWT -> NWT 1 190
NWT -> nicht NWT 9 95
nicht NWT -> NWT 9 95
nicht NWT -> nicht NWT 153 190

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("NWT")= 1 10 ; P("nicht NWT")= 9 10 ;

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'NWT'-'NWT' (P= 1 190 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 190 = 1 190


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 8 Schüler mit NWT-Profil, 6 Schüler mit sprachlichem Profil, 2 Schüler mit Musik-Profil und 4 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass mindestens 1 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": 2 5 ; "nicht NWT": 3 5 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal NWT' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'NWT' bzw. 0 mal 'NWT'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'NWT')=1- 33 95 = 62 95

EreignisP
NWT -> NWT 14 95
NWT -> nicht NWT 24 95
nicht NWT -> NWT 24 95
nicht NWT -> nicht NWT 33 95

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("NWT")= 2 5 ; P("nicht NWT")= 3 5 ;

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'NWT'-'nicht NWT' (P= 24 95 )
'nicht NWT'-'NWT' (P= 24 95 )
'NWT'-'NWT' (P= 14 95 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

24 95 + 24 95 + 14 95 = 62 95


nur Summen

Beispiel:

In einer 8. Klasse gibt es 10 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 10 14-Jährige und 2 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 28 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?

Lösung einblenden
EreignisP
13 -> 13 15 77
13 -> 14 50 231
13 -> 15 10 231
14 -> 13 50 231
14 -> 14 15 77
14 -> 15 10 231
15 -> 13 10 231
15 -> 14 10 231
15 -> 15 1 231

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("13")= 5 11 ; P("14")= 5 11 ; P("15")= 1 11 ;

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'13'-'15' (P= 10 231 )
'15'-'13' (P= 10 231 )
'14'-'14' (P= 15 77 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

10 231 + 10 231 + 15 77 = 65 231


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 4. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 3 4 2 3 1 2 1
= 1 2 1 1 2 1
= 1 4

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Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens 1 mal eine 6 zu würfeln?

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Da ja ausschließlich nach '6er' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '6er' und 'nicht 6er'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"6er": 1 6 ; "nicht 6er": 5 6 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal 6er' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein '6er' bzw. 0 mal '6er'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal '6er')=1- 125 216 = 91 216

EreignisP
6er -> 6er -> 6er 1 216
6er -> 6er -> nicht 6er 5 216
6er -> nicht 6er -> 6er 5 216
6er -> nicht 6er -> nicht 6er 25 216
nicht 6er -> 6er -> 6er 5 216
nicht 6er -> 6er -> nicht 6er 25 216
nicht 6er -> nicht 6er -> 6er 25 216
nicht 6er -> nicht 6er -> nicht 6er 125 216

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("6er")= 1 6 ; P("nicht 6er")= 5 6 ;

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  • '6er'-'nicht 6er'-'nicht 6er' (P= 25 216 )
  • 'nicht 6er'-'6er'-'nicht 6er' (P= 25 216 )
  • 'nicht 6er'-'nicht 6er'-'6er' (P= 25 216 )
  • '6er'-'6er'-'nicht 6er' (P= 5 216 )
  • '6er'-'nicht 6er'-'6er' (P= 5 216 )
  • 'nicht 6er'-'6er'-'6er' (P= 5 216 )
  • '6er'-'6er'-'6er' (P= 1 216 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

25 216 + 25 216 + 25 216 + 5 216 + 5 216 + 5 216 + 1 216 = 91 216