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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 8 vom Typ Kreuz, 4 vom Typ Herz, 9 vom Typ Pik und 3 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

Lösung einblenden

Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{7}{69}$
Kreuz -> Herz	$\frac{4}{69}$
Kreuz -> Pik	$\frac{3}{23}$
Kreuz -> Karo	$\frac{1}{23}$
Herz -> Kreuz	$\frac{4}{69}$
Herz -> Herz	$\frac{1}{46}$
Herz -> Pik	$\frac{3}{46}$
Herz -> Karo	$\frac{1}{46}$
Pik -> Kreuz	$\frac{3}{23}$
Pik -> Herz	$\frac{3}{46}$
Pik -> Pik	$\frac{3}{23}$
Pik -> Karo	$\frac{9}{184}$
Karo -> Kreuz	$\frac{1}{23}$
Karo -> Herz	$\frac{1}{46}$
Karo -> Pik	$\frac{9}{184}$
Karo -> Karo	$\frac{1}{92}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{1}{3}$ ; P("Herz")= $\frac{1}{6}$ ; P("Pik")= $\frac{3}{8}$ ; P("Karo")= $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{7}{69}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{1}{46}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{3}{23}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{1}{92}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{7}{69}$ + $\frac{1}{46}$ + $\frac{3}{23}$ + $\frac{1}{92}$ = $\frac{73}{276}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 8 rote und 4 blaue Kugeln. Es wird 3 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal rot"?

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Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{2}{3}$ ; "nicht rot": $\frac{1}{3}$ ;

Ereignis	P
rot -> rot -> rot	$\frac{14}{55}$
rot -> rot -> nicht rot	$\frac{28}{165}$
rot -> nicht rot -> rot	$\frac{28}{165}$
rot -> nicht rot -> nicht rot	$\frac{4}{55}$
nicht rot -> rot -> rot	$\frac{28}{165}$
nicht rot -> rot -> nicht rot	$\frac{4}{55}$
nicht rot -> nicht rot -> rot	$\frac{4}{55}$
nicht rot -> nicht rot -> nicht rot	$\frac{1}{55}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{2}{3}$ ; P("nicht rot")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'nicht rot'-'nicht rot' (P= $\frac{4}{55}$ )
'nicht rot'-'rot'-'nicht rot' (P= $\frac{4}{55}$ )
'nicht rot'-'nicht rot'-'rot' (P= $\frac{4}{55}$ )
'nicht rot'-'nicht rot'-'nicht rot' (P= $\frac{1}{55}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{55}$ + $\frac{4}{55}$ + $\frac{4}{55}$ + $\frac{1}{55}$ = $\frac{13}{55}$

nur Summen

Beispiel:

In einer 8. Klasse gibt es 10 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 5 14-Jährige und 4 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 27 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?

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Ereignis	P
13 -> 13	$\frac{5}{19}$
13 -> 14	$\frac{25}{171}$
13 -> 15	$\frac{20}{171}$
14 -> 13	$\frac{25}{171}$
14 -> 14	$\frac{10}{171}$
14 -> 15	$\frac{10}{171}$
15 -> 13	$\frac{20}{171}$
15 -> 14	$\frac{10}{171}$
15 -> 15	$\frac{2}{57}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("13")= $\frac{10}{19}$ ; P("14")= $\frac{5}{19}$ ; P("15")= $\frac{4}{19}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'13'-'14' (P= $\frac{25}{171}$ )
'14'-'13' (P= $\frac{25}{171}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{25}{171}$ + $\frac{25}{171}$ = $\frac{50}{171}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 10 rote und 4 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die rote Kugel im 5. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{4}{14}$ ⋅ $\frac{3}{13}$ ⋅ $\frac{2}{12}$ ⋅ $\frac{1}{11}$ ⋅ $\frac{10}{10}$
= $\frac{1}{7}$ ⋅ $\frac{1}{13}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{1}{11}$ ⋅ $\frac{10}{10}$
= $\frac{1}{1001}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 6 Karten der Farbe Kreuz, 3 der Farbe Pik, 7 der Farbe Herz und 4 der Farbe Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal Pik"? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

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Da ja ausschließlich nach 'Pik' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Pik' und 'nicht Pik'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Pik": $\frac{3}{20}$ ; "nicht Pik": $\frac{17}{20}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal Pik' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'Pik' bzw. 0 mal 'Pik'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'Pik')=1- $\frac{68}{95}$ = $\frac{27}{95}$

Ereignis	P
Pik -> Pik	$\frac{3}{190}$
Pik -> nicht Pik	$\frac{51}{380}$
nicht Pik -> Pik	$\frac{51}{380}$
nicht Pik -> nicht Pik	$\frac{68}{95}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Pik")= $\frac{3}{20}$ ; P("nicht Pik")= $\frac{17}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Pik'-'nicht Pik' (P= $\frac{51}{380}$ )
'nicht Pik'-'Pik' (P= $\frac{51}{380}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{3}{190}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{51}{380}$ + $\frac{51}{380}$ + $\frac{3}{190}$ = $\frac{27}{95}$

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ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

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Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen ohne Zurücklegen