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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote, 10 blaue , 10 gelbe und 7 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal gelb"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'gelb' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'gelb' und 'nicht gelb'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"gelb": $\frac{1}{3}$ ; "nicht gelb": $\frac{2}{3}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal gelb' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'gelb' bzw. 0 mal 'gelb'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'gelb')=1- $\frac{38}{87}$ = $\frac{49}{87}$

Ereignis	P
gelb -> gelb	$\frac{3}{29}$
gelb -> nicht gelb	$\frac{20}{87}$
nicht gelb -> gelb	$\frac{20}{87}$
nicht gelb -> nicht gelb	$\frac{38}{87}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("gelb")= $\frac{1}{3}$ ; P("nicht gelb")= $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'gelb'-'nicht gelb' (P= $\frac{20}{87}$ )
'nicht gelb'-'gelb' (P= $\frac{20}{87}$ )
'gelb'-'gelb' (P= $\frac{3}{29}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{20}{87}$ + $\frac{20}{87}$ + $\frac{3}{29}$ = $\frac{49}{87}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 10 vom Typ rot, 9 vom Typ blau, 8 vom Typ gelb und 3 vom Typ schwarz. Es wird 2 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{3}{29}$
rot -> blau	$\frac{3}{29}$
rot -> gelb	$\frac{8}{87}$
rot -> schwarz	$\frac{1}{29}$
blau -> rot	$\frac{3}{29}$
blau -> blau	$\frac{12}{145}$
blau -> gelb	$\frac{12}{145}$
blau -> schwarz	$\frac{9}{290}$
gelb -> rot	$\frac{8}{87}$
gelb -> blau	$\frac{12}{145}$
gelb -> gelb	$\frac{28}{435}$
gelb -> schwarz	$\frac{4}{145}$
schwarz -> rot	$\frac{1}{29}$
schwarz -> blau	$\frac{9}{290}$
schwarz -> gelb	$\frac{4}{145}$
schwarz -> schwarz	$\frac{1}{145}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{1}{3}$ ; P("blau")= $\frac{3}{10}$ ; P("gelb")= $\frac{4}{15}$ ; P("schwarz")= $\frac{1}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{3}{29}$ )
'blau'-'blau' (P= $\frac{12}{145}$ )
'gelb'-'gelb' (P= $\frac{28}{435}$ )
'schwarz'-'schwarz' (P= $\frac{1}{145}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{29}$ + $\frac{12}{145}$ + $\frac{28}{435}$ + $\frac{1}{145}$ = $\frac{112}{435}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 9 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 5 kugel mit einer 2 und 6 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 5 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{18}{95}$
1 -> 2	$\frac{9}{76}$
1 -> 3	$\frac{27}{190}$
2 -> 1	$\frac{9}{76}$
2 -> 2	$\frac{1}{19}$
2 -> 3	$\frac{3}{38}$
3 -> 1	$\frac{27}{190}$
3 -> 2	$\frac{3}{38}$
3 -> 3	$\frac{3}{38}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{9}{20}$ ; P("2")= $\frac{1}{4}$ ; P("3")= $\frac{3}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'2'-'3' (P= $\frac{3}{38}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{3}{38}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{38}$ + $\frac{3}{38}$ = $\frac{3}{19}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 6 Karten der Farbe Herz und 2 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 2.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{2}{8}$ ⋅ $\frac{6}{7}$
= $\frac{2}{4}$ ⋅ $\frac{3}{7}$
= $\frac{3}{14}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 2. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{1}{3}$
= $\frac{1}{4}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{4}$

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ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen bis erstmals x kommt