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Beispiel:
Bei der Auslosung zum Championsleague-Achtelfinale sind noch alle 4 deutsche Mannschaften im Lostopf mit den 16 Mannschaften. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den erstem drei gezogenen Mannschaften höchstens 2 deutsche Mannschaften sind (wenn man mal von der falschen Annahme ausgeht, dass alle Mannschaften im gleichen Lostopf sind)?
Da ja ausschließlich nach 'deutsch' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'deutsch' und 'nicht deutsch'
Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"deutsch": ; "nicht deutsch": ;
Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal deutsch' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 3 mal 'deutsch'
Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:
P=1-P(3 mal 'deutsch')=1- =
| Ereignis | P |
|---|---|
| deutsch -> deutsch -> deutsch | |
| deutsch -> deutsch -> nicht deutsch | |
| deutsch -> nicht deutsch -> deutsch | |
| deutsch -> nicht deutsch -> nicht deutsch | |
| nicht deutsch -> deutsch -> deutsch | |
| nicht deutsch -> deutsch -> nicht deutsch | |
| nicht deutsch -> nicht deutsch -> deutsch | |
| nicht deutsch -> nicht deutsch -> nicht deutsch |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("deutsch")=; P("nicht deutsch")=;
Die relevanten Pfade sind:
'deutsch'-'deutsch'-'nicht deutsch' (P=)
'deutsch'-'nicht deutsch'-'deutsch' (P=)
'nicht deutsch'-'deutsch'-'deutsch' (P=)
'deutsch'-'nicht deutsch'-'nicht deutsch' (P=)
'nicht deutsch'-'deutsch'-'nicht deutsch' (P=)
'nicht deutsch'-'nicht deutsch'-'deutsch' (P=)
'nicht deutsch'-'nicht deutsch'-'nicht deutsch' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + + + + + =
Ziehen ohne Zurücklegen
Beispiel:
In einem Kartenstapel sind 4 Asse, 2 Könige und 2 Damen. Es werden 2 Karten vom Stapel gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "genau 2 mal Ass"?
Da ja ausschließlich nach 'Ass' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Ass' und 'nicht Ass'
Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Ass": ; "nicht Ass": ;
| Ereignis | P |
|---|---|
| Ass -> Ass | |
| Ass -> nicht Ass | |
| nicht Ass -> Ass | |
| nicht Ass -> nicht Ass |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Ass")=; P("nicht Ass")=;
Die relevanten Pfade sind:
'Ass'-'Ass' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
=
nur Summen
Beispiel:
In einer 8. Klasse gibt es 10 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 5 14-Jährige und 4 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 30 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?
Da ja ausschließlich nach '15' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '15' und 'nicht 15'
Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"15": ; "nicht 15": ;
| Ereignis | P |
|---|---|
| 15 -> 15 | |
| 15 -> nicht 15 | |
| nicht 15 -> 15 | |
| nicht 15 -> nicht 15 |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("15")=; P("nicht 15")=;
Die relevanten Pfade sind:
'15'-'15' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
=
Ziehen bis erstmals x kommt
Beispiel:
Aus einem Kartenstapel mit 10 Karten der Farbe Herz und 3 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 3.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:
P= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
=
Ziehen mit Zurücklegen
Beispiel:
Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, höchstens 1 mal eine 6 zu würfeln?
Da ja ausschließlich nach '6er' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '6er' und 'nicht 6er'
Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"6er": ; "nicht 6er": ;
Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal 6er' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal '6er'
Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:
P=1-P(2 mal '6er')=1- =
| Ereignis | P |
|---|---|
| 6er -> 6er | |
| 6er -> nicht 6er | |
| nicht 6er -> 6er | |
| nicht 6er -> nicht 6er |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("6er")=; P("nicht 6er")=;
Die relevanten Pfade sind:- '6er'-'nicht 6er' (P=)
- 'nicht 6er'-'6er' (P=)
- 'nicht 6er'-'nicht 6er' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + =
