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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 9 vom Typ Kreuz, 10 vom Typ Herz, 9 vom Typ Pik und 4 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

Lösung einblenden

Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{9}{124}$
Kreuz -> Herz	$\frac{45}{496}$
Kreuz -> Pik	$\frac{81}{992}$
Kreuz -> Karo	$\frac{9}{248}$
Herz -> Kreuz	$\frac{45}{496}$
Herz -> Herz	$\frac{45}{496}$
Herz -> Pik	$\frac{45}{496}$
Herz -> Karo	$\frac{5}{124}$
Pik -> Kreuz	$\frac{81}{992}$
Pik -> Herz	$\frac{45}{496}$
Pik -> Pik	$\frac{9}{124}$
Pik -> Karo	$\frac{9}{248}$
Karo -> Kreuz	$\frac{9}{248}$
Karo -> Herz	$\frac{5}{124}$
Karo -> Pik	$\frac{9}{248}$
Karo -> Karo	$\frac{3}{248}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{9}{32}$ ; P("Herz")= $\frac{5}{16}$ ; P("Pik")= $\frac{9}{32}$ ; P("Karo")= $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{9}{124}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{45}{496}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{9}{124}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{3}{248}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{9}{124}$ + $\frac{45}{496}$ + $\frac{9}{124}$ + $\frac{3}{248}$ = $\frac{123}{496}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 8 Schüler mit NWT-Profil, 6 Schüler mit sprachlichem Profil, 5 Schüler mit Musik-Profil und 5 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass mindestens 1 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

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Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": $\frac{1}{3}$ ; "nicht NWT": $\frac{2}{3}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal NWT' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'NWT' bzw. 0 mal 'NWT'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'NWT')=1- $\frac{10}{23}$ = $\frac{13}{23}$

Ereignis	P
NWT -> NWT	$\frac{7}{69}$
NWT -> nicht NWT	$\frac{16}{69}$
nicht NWT -> NWT	$\frac{16}{69}$
nicht NWT -> nicht NWT	$\frac{10}{23}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("NWT")= $\frac{1}{3}$ ; P("nicht NWT")= $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'NWT'-'nicht NWT' (P= $\frac{16}{69}$ )
'nicht NWT'-'NWT' (P= $\frac{16}{69}$ )
'NWT'-'NWT' (P= $\frac{7}{69}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{16}{69}$ + $\frac{16}{69}$ + $\frac{7}{69}$ = $\frac{13}{23}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 6 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 3 2er und 3 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 6 ist?

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Da ja ausschließlich nach '3' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3' und 'nicht 3'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3": $\frac{1}{4}$ ; "nicht 3": $\frac{3}{4}$ ;

Ereignis	P
3 -> 3	$\frac{1}{16}$
3 -> nicht 3	$\frac{3}{16}$
nicht 3 -> 3	$\frac{3}{16}$
nicht 3 -> nicht 3	$\frac{9}{16}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("3")= $\frac{1}{4}$ ; P("nicht 3")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3'-'3' (P= $\frac{1}{16}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{16}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 24 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies beim 2. Losdurchgang passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{27}$ ⋅ $\frac{24}{26}$
= $\frac{3}{9}$ ⋅ $\frac{8}{26}$
= $\frac{4}{39}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 9 vom Typ rot und 3 vom Typ blau. Es wird 3 mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 3 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

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Ereignis	P
rot -> rot -> rot	$\frac{27}{64}$
rot -> rot -> blau	$\frac{9}{64}$
rot -> blau -> rot	$\frac{9}{64}$
rot -> blau -> blau	$\frac{3}{64}$
blau -> rot -> rot	$\frac{9}{64}$
blau -> rot -> blau	$\frac{3}{64}$
blau -> blau -> rot	$\frac{3}{64}$
blau -> blau -> blau	$\frac{1}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{3}{4}$ ; P("blau")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot'-'rot' (P= $\frac{27}{64}$ )
'blau'-'blau'-'blau' (P= $\frac{1}{64}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{27}{64}$ + $\frac{1}{64}$ = $\frac{7}{16}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen mit Zurücklegen