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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 5 vom Typ Kreuz, 4 vom Typ Herz, 3 vom Typ Pik und 3 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

Lösung einblenden

Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{2}{21}$
Kreuz -> Herz	$\frac{2}{21}$
Kreuz -> Pik	$\frac{1}{14}$
Kreuz -> Karo	$\frac{1}{14}$
Herz -> Kreuz	$\frac{2}{21}$
Herz -> Herz	$\frac{2}{35}$
Herz -> Pik	$\frac{2}{35}$
Herz -> Karo	$\frac{2}{35}$
Pik -> Kreuz	$\frac{1}{14}$
Pik -> Herz	$\frac{2}{35}$
Pik -> Pik	$\frac{1}{35}$
Pik -> Karo	$\frac{3}{70}$
Karo -> Kreuz	$\frac{1}{14}$
Karo -> Herz	$\frac{2}{35}$
Karo -> Pik	$\frac{3}{70}$
Karo -> Karo	$\frac{1}{35}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{1}{3}$ ; P("Herz")= $\frac{4}{15}$ ; P("Pik")= $\frac{1}{5}$ ; P("Karo")= $\frac{1}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{2}{21}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{2}{35}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{1}{35}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{1}{35}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{21}$ + $\frac{2}{35}$ + $\frac{1}{35}$ + $\frac{1}{35}$ = $\frac{22}{105}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 7 Mädchen und 3 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen genau 0 an eine Mädchen gehen?

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Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{7}{24}$
Mädchen -> Mädchen -> Jungs	$\frac{7}{40}$
Mädchen -> Jungs -> Mädchen	$\frac{7}{40}$
Mädchen -> Jungs -> Jungs	$\frac{7}{120}$
Jungs -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{7}{40}$
Jungs -> Mädchen -> Jungs	$\frac{7}{120}$
Jungs -> Jungs -> Mädchen	$\frac{7}{120}$
Jungs -> Jungs -> Jungs	$\frac{1}{120}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Mädchen")= $\frac{7}{10}$ ; P("Jungs")= $\frac{3}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Jungs'-'Jungs'-'Jungs' (P= $\frac{1}{120}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{120}$ = $\frac{1}{120}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 9 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 2 2er und 4 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 4 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{9}{25}$
1 -> 2	$\frac{2}{25}$
1 -> 3	$\frac{4}{25}$
2 -> 1	$\frac{2}{25}$
2 -> 2	$\frac{4}{225}$
2 -> 3	$\frac{8}{225}$
3 -> 1	$\frac{4}{25}$
3 -> 2	$\frac{8}{225}$
3 -> 3	$\frac{16}{225}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{3}{5}$ ; P("2")= $\frac{2}{15}$ ; P("3")= $\frac{4}{15}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{4}{25}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{4}{25}$ )
'2'-'2' (P= $\frac{4}{225}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{25}$ + $\frac{4}{25}$ + $\frac{4}{225}$ = $\frac{76}{225}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und 2 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine blaue Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die blaue Kugel im 4. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{5}$ ⋅ $\frac{2}{4}$ ⋅ $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{2}{2}$
= $\frac{1}{5}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{10}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 9 Mädchen und 3 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen genau 1 an eine Mädchen gehen?

Lösung einblenden

Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{21}{55}$
Mädchen -> Mädchen -> Jungs	$\frac{9}{55}$
Mädchen -> Jungs -> Mädchen	$\frac{9}{55}$
Mädchen -> Jungs -> Jungs	$\frac{9}{220}$
Jungs -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{9}{55}$
Jungs -> Mädchen -> Jungs	$\frac{9}{220}$
Jungs -> Jungs -> Mädchen	$\frac{9}{220}$
Jungs -> Jungs -> Jungs	$\frac{1}{220}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Mädchen")= $\frac{3}{4}$ ; P("Jungs")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Mädchen'-'Jungs'-'Jungs' (P= $\frac{9}{220}$ )
'Jungs'-'Mädchen'-'Jungs' (P= $\frac{9}{220}$ )
'Jungs'-'Jungs'-'Mädchen' (P= $\frac{9}{220}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{9}{220}$ + $\frac{9}{220}$ + $\frac{9}{220}$ = $\frac{27}{220}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen ohne Zurücklegen