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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 8 Mädchen und 4 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen mindestens 2 an ein Mädchen gehen?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Mädchen' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Mädchen' und 'nicht Mädchen'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Mädchen": $\frac{2}{3}$ ; "nicht Mädchen": $\frac{1}{3}$ ;

Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{14}{55}$
Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{28}{165}$
Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen	$\frac{28}{165}$
Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{4}{55}$
nicht Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{28}{165}$
nicht Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{4}{55}$
nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen	$\frac{4}{55}$
nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{1}{55}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Mädchen")= $\frac{2}{3}$ ; P("nicht Mädchen")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Mädchen'-'Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{28}{165}$ )
'Mädchen'-'nicht Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{28}{165}$ )
'nicht Mädchen'-'Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{28}{165}$ )
'Mädchen'-'Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{14}{55}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{28}{165}$ + $\frac{28}{165}$ + $\frac{28}{165}$ + $\frac{14}{55}$ = $\frac{42}{55}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 4 Karten der Farbe Kreuz, 9 der Farbe Pik, 3 der Farbe Herz und 4 der Farbe Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal Kreuz"? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Kreuz' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Kreuz' und 'nicht Kreuz'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Kreuz": $\frac{1}{5}$ ; "nicht Kreuz": $\frac{4}{5}$ ;

Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{3}{95}$
Kreuz -> nicht Kreuz	$\frac{16}{95}$
nicht Kreuz -> Kreuz	$\frac{16}{95}$
nicht Kreuz -> nicht Kreuz	$\frac{12}{19}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{1}{5}$ ; P("nicht Kreuz")= $\frac{4}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{3}{95}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{95}$ = $\frac{3}{95}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 7 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 9 kugel mit einer 2 und 4 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 3 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{21}{190}$
1 -> 2	$\frac{63}{380}$
1 -> 3	$\frac{7}{95}$
2 -> 1	$\frac{63}{380}$
2 -> 2	$\frac{18}{95}$
2 -> 3	$\frac{9}{95}$
3 -> 1	$\frac{7}{95}$
3 -> 2	$\frac{9}{95}$
3 -> 3	$\frac{3}{95}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{7}{20}$ ; P("2")= $\frac{9}{20}$ ; P("3")= $\frac{1}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'2' (P= $\frac{63}{380}$ )
'2'-'1' (P= $\frac{63}{380}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{63}{380}$ + $\frac{63}{380}$ = $\frac{63}{190}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 3. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$
= $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{1}{2}$
= $\frac{1}{4}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote, 6 gelbe, 3 blaue und 6 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal blau und 1 mal schwarz"?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{1}{16}$
rot -> blau	$\frac{3}{80}$
rot -> gelb	$\frac{3}{40}$
rot -> schwarz	$\frac{3}{40}$
blau -> rot	$\frac{3}{80}$
blau -> blau	$\frac{9}{400}$
blau -> gelb	$\frac{9}{200}$
blau -> schwarz	$\frac{9}{200}$
gelb -> rot	$\frac{3}{40}$
gelb -> blau	$\frac{9}{200}$
gelb -> gelb	$\frac{9}{100}$
gelb -> schwarz	$\frac{9}{100}$
schwarz -> rot	$\frac{3}{40}$
schwarz -> blau	$\frac{9}{200}$
schwarz -> gelb	$\frac{9}{100}$
schwarz -> schwarz	$\frac{9}{100}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{1}{4}$ ; P("blau")= $\frac{3}{20}$ ; P("gelb")= $\frac{3}{10}$ ; P("schwarz")= $\frac{3}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'schwarz' (P= $\frac{9}{200}$ )
'schwarz'-'blau' (P= $\frac{9}{200}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{9}{200}$ + $\frac{9}{200}$ = $\frac{9}{100}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

mit Zurücklegen (einfach)