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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 4 Mädchen und 6 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen genau 3 an ein Mädchen gehen?

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Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{1}{30}$
Mädchen -> Mädchen -> Jungs	$\frac{1}{10}$
Mädchen -> Jungs -> Mädchen	$\frac{1}{10}$
Mädchen -> Jungs -> Jungs	$\frac{1}{6}$
Jungs -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{1}{10}$
Jungs -> Mädchen -> Jungs	$\frac{1}{6}$
Jungs -> Jungs -> Mädchen	$\frac{1}{6}$
Jungs -> Jungs -> Jungs	$\frac{1}{6}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Mädchen")= $\frac{2}{5}$ ; P("Jungs")= $\frac{3}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Mädchen'-'Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{1}{30}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{30}$ = $\frac{1}{30}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 7 Schüler mit NWT-Profil, 2 Schüler mit sprachlichem Profil, 5 Schüler mit Musik-Profil und 6 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass höchstens 1 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

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Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": $\frac{7}{20}$ ; "nicht NWT": $\frac{13}{20}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal NWT' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'NWT'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'NWT')=1- $\frac{21}{190}$ = $\frac{169}{190}$

Ereignis	P
NWT -> NWT	$\frac{21}{190}$
NWT -> nicht NWT	$\frac{91}{380}$
nicht NWT -> NWT	$\frac{91}{380}$
nicht NWT -> nicht NWT	$\frac{39}{95}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("NWT")= $\frac{7}{20}$ ; P("nicht NWT")= $\frac{13}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'NWT'-'nicht NWT' (P= $\frac{91}{380}$ )
'nicht NWT'-'NWT' (P= $\frac{91}{380}$ )
'nicht NWT'-'nicht NWT' (P= $\frac{39}{95}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{91}{380}$ + $\frac{91}{380}$ + $\frac{39}{95}$ = $\frac{169}{190}$

nur Summen

Beispiel:

In einer 8. Klasse gibt es 10 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 10 14-Jährige und 4 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 26 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?

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Da ja ausschließlich nach '13' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '13' und 'nicht 13'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"13": $\frac{5}{12}$ ; "nicht 13": $\frac{7}{12}$ ;

Ereignis	P
13 -> 13	$\frac{15}{92}$
13 -> nicht 13	$\frac{35}{138}$
nicht 13 -> 13	$\frac{35}{138}$
nicht 13 -> nicht 13	$\frac{91}{276}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("13")= $\frac{5}{12}$ ; P("nicht 13")= $\frac{7}{12}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'13'-'13' (P= $\frac{15}{92}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{15}{92}$ = $\frac{15}{92}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 9 Karten der Farbe Herz und 3 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 3.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{12}$ ⋅ $\frac{2}{11}$ ⋅ $\frac{9}{10}$
= $\frac{3}{2}$ ⋅ $\frac{1}{11}$ ⋅ $\frac{3}{10}$
= $\frac{9}{220}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Beim Roulette kann man auch auf Zahlenbereiche setzen. Z.B. auf die Zahlenbereiche 1-12, 13-24 und 25-36, wobei die grüne 0 zu keinem der Bereiche gehört. Es wird zwei mal eine Kugel im Roulette gespielt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal 25-36"?

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Da ja ausschließlich nach '25-36' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '25-36' und 'nicht 25-36'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"25-36": $\frac{12}{37}$ ; "nicht 25-36": $\frac{25}{37}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal 25-36' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein '25-36' bzw. 0 mal '25-36'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal '25-36')=1- $\frac{625}{1369}$ = $\frac{744}{1369}$

Ereignis	P
25-36 -> 25-36	$\frac{144}{1369}$
25-36 -> nicht 25-36	$\frac{300}{1369}$
nicht 25-36 -> 25-36	$\frac{300}{1369}$
nicht 25-36 -> nicht 25-36	$\frac{625}{1369}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("25-36")= $\frac{12}{37}$ ; P("nicht 25-36")= $\frac{25}{37}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'25-36'-'nicht 25-36' (P= $\frac{300}{1369}$ )
'nicht 25-36'-'25-36' (P= $\frac{300}{1369}$ )
'25-36'-'25-36' (P= $\frac{144}{1369}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{300}{1369}$ + $\frac{300}{1369}$ + $\frac{144}{1369}$ = $\frac{744}{1369}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

P=1-P(2 mal 'NWT')=1- 21 190 = 169 190

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen mit Zurücklegen

P=1-P(2 mal 'NWT')=1- $\frac{21}{190}$ = $\frac{169}{190}$