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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 7 rote, 5 blaue , 4 gelbe und 4 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal gelb"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'gelb' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'gelb' und 'nicht gelb'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"gelb": $\frac{1}{5}$ ; "nicht gelb": $\frac{4}{5}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal gelb' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'gelb'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'gelb')=1- $\frac{3}{95}$ = $\frac{92}{95}$

Ereignis	P
gelb -> gelb	$\frac{3}{95}$
gelb -> nicht gelb	$\frac{16}{95}$
nicht gelb -> gelb	$\frac{16}{95}$
nicht gelb -> nicht gelb	$\frac{12}{19}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("gelb")= $\frac{1}{5}$ ; P("nicht gelb")= $\frac{4}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'gelb'-'nicht gelb' (P= $\frac{16}{95}$ )
'nicht gelb'-'gelb' (P= $\frac{16}{95}$ )
'nicht gelb'-'nicht gelb' (P= $\frac{12}{19}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{16}{95}$ + $\frac{16}{95}$ + $\frac{12}{19}$ = $\frac{92}{95}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 2 Asse, 2 Könige und 2 Damen. Es werden 2 Karten vom Stapel gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "1 mal Ass und 1 mal Dame"?

Lösung einblenden

Ereignis	P
Ass -> Ass	$\frac{1}{15}$
Ass -> König	$\frac{2}{15}$
Ass -> Dame	$\frac{2}{15}$
König -> Ass	$\frac{2}{15}$
König -> König	$\frac{1}{15}$
König -> Dame	$\frac{2}{15}$
Dame -> Ass	$\frac{2}{15}$
Dame -> König	$\frac{2}{15}$
Dame -> Dame	$\frac{1}{15}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Ass")= $\frac{1}{3}$ ; P("König")= $\frac{1}{3}$ ; P("Dame")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Ass'-'Dame' (P= $\frac{2}{15}$ )
'Dame'-'Ass' (P= $\frac{2}{15}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{15}$ + $\frac{2}{15}$ = $\frac{4}{15}$

nur Summen

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 4 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{9}{64}$
1 -> 2	$\frac{9}{64}$
1 -> 3	$\frac{3}{64}$
1 -> 4	$\frac{3}{64}$
2 -> 1	$\frac{9}{64}$
2 -> 2	$\frac{9}{64}$
2 -> 3	$\frac{3}{64}$
2 -> 4	$\frac{3}{64}$
3 -> 1	$\frac{3}{64}$
3 -> 2	$\frac{3}{64}$
3 -> 3	$\frac{1}{64}$
3 -> 4	$\frac{1}{64}$
4 -> 1	$\frac{3}{64}$
4 -> 2	$\frac{3}{64}$
4 -> 3	$\frac{1}{64}$
4 -> 4	$\frac{1}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{3}{8}$ ; P("2")= $\frac{3}{8}$ ; P("3")= $\frac{1}{8}$ ; P("4")= $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{3}{64}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{3}{64}$ )
'2'-'2' (P= $\frac{9}{64}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{64}$ + $\frac{3}{64}$ + $\frac{9}{64}$ = $\frac{15}{64}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und 4 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine blaue Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die blaue Kugel im 3. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{4}{8}$ ⋅ $\frac{3}{7}$ ⋅ $\frac{4}{6}$
= $\frac{2}{2}$ ⋅ $\frac{1}{7}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{7}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und 7 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine blaue Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die blaue Kugel im 2. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{10}$ ⋅ $\frac{7}{9}$
= $\frac{1}{10}$ ⋅ $\frac{7}{3}$
= $\frac{7}{30}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

ohne Zurücklegen (einfach)

P=1-P(2 mal 'gelb')=1- 3 95 = 92 95

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen bis erstmals x kommt

P=1-P(2 mal 'gelb')=1- $\frac{3}{95}$ = $\frac{92}{95}$