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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 8 rote und 4 blaue Kugeln. Es wird 2 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal blau"?

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Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{14}{33}$
rot -> blau	$\frac{8}{33}$
blau -> rot	$\frac{8}{33}$
blau -> blau	$\frac{1}{11}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{2}{3}$ ; P("blau")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'blau' (P= $\frac{1}{11}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{11}$ = $\frac{1}{11}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

Bei der Auslosung zum Championsleague-Achtelfinale sind noch alle 4 deutsche Mannschaften im Lostopf mit den 16 Mannschaften. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den erstem drei gezogenen Mannschaften höchstens 2 deutsche Mannschaften sind (wenn man mal von der falschen Annahme ausgeht, dass alle Mannschaften im gleichen Lostopf sind)?

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Da ja ausschließlich nach 'deutsch' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'deutsch' und 'nicht deutsch'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"deutsch": $\frac{1}{4}$ ; "nicht deutsch": $\frac{3}{4}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal deutsch' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 3 mal 'deutsch'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(3 mal 'deutsch')=1- $\frac{1}{140}$ = $\frac{139}{140}$

Ereignis	P
deutsch -> deutsch -> deutsch	$\frac{1}{140}$
deutsch -> deutsch -> nicht deutsch	$\frac{3}{70}$
deutsch -> nicht deutsch -> deutsch	$\frac{3}{70}$
deutsch -> nicht deutsch -> nicht deutsch	$\frac{11}{70}$
nicht deutsch -> deutsch -> deutsch	$\frac{3}{70}$
nicht deutsch -> deutsch -> nicht deutsch	$\frac{11}{70}$
nicht deutsch -> nicht deutsch -> deutsch	$\frac{11}{70}$
nicht deutsch -> nicht deutsch -> nicht deutsch	$\frac{11}{28}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("deutsch")= $\frac{1}{4}$ ; P("nicht deutsch")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'deutsch'-'deutsch'-'nicht deutsch' (P= $\frac{3}{70}$ )
'deutsch'-'nicht deutsch'-'deutsch' (P= $\frac{3}{70}$ )
'nicht deutsch'-'deutsch'-'deutsch' (P= $\frac{3}{70}$ )
'deutsch'-'nicht deutsch'-'nicht deutsch' (P= $\frac{11}{70}$ )
'nicht deutsch'-'deutsch'-'nicht deutsch' (P= $\frac{11}{70}$ )
'nicht deutsch'-'nicht deutsch'-'deutsch' (P= $\frac{11}{70}$ )
'nicht deutsch'-'nicht deutsch'-'nicht deutsch' (P= $\frac{11}{28}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{70}$ + $\frac{3}{70}$ + $\frac{3}{70}$ + $\frac{11}{70}$ + $\frac{11}{70}$ + $\frac{11}{70}$ + $\frac{11}{28}$ = $\frac{139}{140}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 2 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 5 2er und 3 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 3 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{25}$
1 -> 2	$\frac{1}{10}$
1 -> 3	$\frac{3}{50}$
2 -> 1	$\frac{1}{10}$
2 -> 2	$\frac{1}{4}$
2 -> 3	$\frac{3}{20}$
3 -> 1	$\frac{3}{50}$
3 -> 2	$\frac{3}{20}$
3 -> 3	$\frac{9}{100}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{5}$ ; P("2")= $\frac{1}{2}$ ; P("3")= $\frac{3}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'2' (P= $\frac{1}{10}$ )
'2'-'1' (P= $\frac{1}{10}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{10}$ + $\frac{1}{10}$ = $\frac{1}{5}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 15 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies beim 4. Losdurchgang passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{18}$ ⋅ $\frac{2}{17}$ ⋅ $\frac{1}{16}$ ⋅ $\frac{15}{15}$
= $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{17}$ ⋅ $\frac{1}{16}$ ⋅ $\frac{5}{5}$
= $\frac{1}{816}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 2 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 2 2er und 6 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 3 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{25}$
1 -> 2	$\frac{1}{25}$
1 -> 3	$\frac{3}{25}$
2 -> 1	$\frac{1}{25}$
2 -> 2	$\frac{1}{25}$
2 -> 3	$\frac{3}{25}$
3 -> 1	$\frac{3}{25}$
3 -> 2	$\frac{3}{25}$
3 -> 3	$\frac{9}{25}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{5}$ ; P("2")= $\frac{1}{5}$ ; P("3")= $\frac{3}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'2' (P= $\frac{1}{25}$ )
'2'-'1' (P= $\frac{1}{25}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{25}$ + $\frac{1}{25}$ = $\frac{2}{25}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

P=1-P(3 mal 'deutsch')=1- 1 140 = 139 140

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

nur Summen

P=1-P(3 mal 'deutsch')=1- $\frac{1}{140}$ = $\frac{139}{140}$