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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Bei der Auslosung zum Championsleague-Achtelfinale sind noch alle 4 deutsche Mannschaften im Lostopf mit den 16 Mannschaften. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den erstem drei gezogenen Mannschaften höchstens 1 deutsche Mannschaften sind (wenn man mal von der falschen Annahme ausgeht, dass alle Mannschaften im gleichen Lostopf sind)?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'deutsch' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'deutsch' und 'nicht deutsch'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"deutsch": $\frac{1}{4}$ ; "nicht deutsch": $\frac{3}{4}$ ;

Ereignis	P
deutsch -> deutsch -> deutsch	$\frac{1}{140}$
deutsch -> deutsch -> nicht deutsch	$\frac{3}{70}$
deutsch -> nicht deutsch -> deutsch	$\frac{3}{70}$
deutsch -> nicht deutsch -> nicht deutsch	$\frac{11}{70}$
nicht deutsch -> deutsch -> deutsch	$\frac{3}{70}$
nicht deutsch -> deutsch -> nicht deutsch	$\frac{11}{70}$
nicht deutsch -> nicht deutsch -> deutsch	$\frac{11}{70}$
nicht deutsch -> nicht deutsch -> nicht deutsch	$\frac{11}{28}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("deutsch")= $\frac{1}{4}$ ; P("nicht deutsch")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'deutsch'-'nicht deutsch'-'nicht deutsch' (P= $\frac{11}{70}$ )
'nicht deutsch'-'deutsch'-'nicht deutsch' (P= $\frac{11}{70}$ )
'nicht deutsch'-'nicht deutsch'-'deutsch' (P= $\frac{11}{70}$ )
'nicht deutsch'-'nicht deutsch'-'nicht deutsch' (P= $\frac{11}{28}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{11}{70}$ + $\frac{11}{70}$ + $\frac{11}{70}$ + $\frac{11}{28}$ = $\frac{121}{140}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Lostopf sind 3 Kugeln mit einer Eins beschriftet, 8 Kugeln mit einer Zwei, 8 mit Drei und 5 mit einer Vier. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkiet dass die beiden gezogenen Zahlen zusammen 4 ergeben?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{92}$
1 -> 2	$\frac{1}{23}$
1 -> 3	$\frac{1}{23}$
1 -> 4	$\frac{5}{184}$
2 -> 1	$\frac{1}{23}$
2 -> 2	$\frac{7}{69}$
2 -> 3	$\frac{8}{69}$
2 -> 4	$\frac{5}{69}$
3 -> 1	$\frac{1}{23}$
3 -> 2	$\frac{8}{69}$
3 -> 3	$\frac{7}{69}$
3 -> 4	$\frac{5}{69}$
4 -> 1	$\frac{5}{184}$
4 -> 2	$\frac{5}{69}$
4 -> 3	$\frac{5}{69}$
4 -> 4	$\frac{5}{138}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{8}$ ; P("2")= $\frac{1}{3}$ ; P("3")= $\frac{1}{3}$ ; P("4")= $\frac{5}{24}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{1}{23}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{1}{23}$ )
'2'-'2' (P= $\frac{7}{69}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{23}$ + $\frac{1}{23}$ + $\frac{7}{69}$ = $\frac{13}{69}$

nur Summen

Beispiel:

In einer 8. Klasse gibt es 15 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 5 14-Jährige und 2 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 28 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?

Lösung einblenden

Ereignis	P
13 -> 13	$\frac{5}{11}$
13 -> 14	$\frac{25}{154}$
13 -> 15	$\frac{5}{77}$
14 -> 13	$\frac{25}{154}$
14 -> 14	$\frac{10}{231}$
14 -> 15	$\frac{5}{231}$
15 -> 13	$\frac{5}{77}$
15 -> 14	$\frac{5}{231}$
15 -> 15	$\frac{1}{231}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("13")= $\frac{15}{22}$ ; P("14")= $\frac{5}{22}$ ; P("15")= $\frac{1}{11}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'13'-'15' (P= $\frac{5}{77}$ )
'15'-'13' (P= $\frac{5}{77}$ )
'14'-'14' (P= $\frac{10}{231}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{77}$ + $\frac{5}{77}$ + $\frac{10}{231}$ = $\frac{40}{231}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 4. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{4}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 7 Schüler mit NWT-Profil, 10 Schüler mit sprachlichem Profil, 5 Schüler mit Musik-Profil und 3 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass höchstens 1 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": $\frac{7}{25}$ ; "nicht NWT": $\frac{18}{25}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal NWT' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'NWT'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'NWT')=1- $\frac{7}{100}$ = $\frac{93}{100}$

Ereignis	P
NWT -> NWT	$\frac{7}{100}$
NWT -> nicht NWT	$\frac{21}{100}$
nicht NWT -> NWT	$\frac{21}{100}$
nicht NWT -> nicht NWT	$\frac{51}{100}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("NWT")= $\frac{7}{25}$ ; P("nicht NWT")= $\frac{18}{25}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'NWT'-'nicht NWT' (P= $\frac{21}{100}$ )
'nicht NWT'-'NWT' (P= $\frac{21}{100}$ )
'nicht NWT'-'nicht NWT' (P= $\frac{51}{100}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{21}{100}$ + $\frac{21}{100}$ + $\frac{51}{100}$ = $\frac{93}{100}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen ohne Zurücklegen

P=1-P(2 mal 'NWT')=1- 7 100 = 93 100

P=1-P(2 mal 'NWT')=1- $\frac{7}{100}$ = $\frac{93}{100}$