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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 9 rote und 3 blaue Kugeln. Es wird 2 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal blau"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": $\frac{1}{4}$ ; "nicht blau": $\frac{3}{4}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal blau' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'blau'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'blau')=1- $\frac{1}{22}$ = $\frac{21}{22}$

Ereignis	P
blau -> blau	$\frac{1}{22}$
blau -> nicht blau	$\frac{9}{44}$
nicht blau -> blau	$\frac{9}{44}$
nicht blau -> nicht blau	$\frac{6}{11}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("blau")= $\frac{1}{4}$ ; P("nicht blau")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'nicht blau' (P= $\frac{9}{44}$ )
'nicht blau'-'blau' (P= $\frac{9}{44}$ )
'nicht blau'-'nicht blau' (P= $\frac{6}{11}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{9}{44}$ + $\frac{9}{44}$ + $\frac{6}{11}$ = $\frac{21}{22}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote und 5 blaue Kugeln. Es wird 3 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 2 mal rot"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{1}{2}$ ; "nicht rot": $\frac{1}{2}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal rot' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 3 mal 'rot'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(3 mal 'rot')=1- $\frac{1}{12}$ = $\frac{11}{12}$

Ereignis	P
rot -> rot -> rot	$\frac{1}{12}$
rot -> rot -> nicht rot	$\frac{5}{36}$
rot -> nicht rot -> rot	$\frac{5}{36}$
rot -> nicht rot -> nicht rot	$\frac{5}{36}$
nicht rot -> rot -> rot	$\frac{5}{36}$
nicht rot -> rot -> nicht rot	$\frac{5}{36}$
nicht rot -> nicht rot -> rot	$\frac{5}{36}$
nicht rot -> nicht rot -> nicht rot	$\frac{1}{12}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{1}{2}$ ; P("nicht rot")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot'-'nicht rot' (P= $\frac{5}{36}$ )
'rot'-'nicht rot'-'rot' (P= $\frac{5}{36}$ )
'nicht rot'-'rot'-'rot' (P= $\frac{5}{36}$ )
'rot'-'nicht rot'-'nicht rot' (P= $\frac{5}{36}$ )
'nicht rot'-'rot'-'nicht rot' (P= $\frac{5}{36}$ )
'nicht rot'-'nicht rot'-'rot' (P= $\frac{5}{36}$ )
'nicht rot'-'nicht rot'-'nicht rot' (P= $\frac{1}{12}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{36}$ + $\frac{5}{36}$ + $\frac{5}{36}$ + $\frac{5}{36}$ + $\frac{5}{36}$ + $\frac{5}{36}$ + $\frac{1}{12}$ = $\frac{11}{12}$

nur Summen

Beispiel:

In einem Stapel sind 4 Karten vom Wert 7, 2 Karten vom Wert 8 und 2 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 15 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
7 -> 7	$\frac{3}{14}$
7 -> 8	$\frac{1}{7}$
7 -> 9	$\frac{1}{7}$
8 -> 7	$\frac{1}{7}$
8 -> 8	$\frac{1}{28}$
8 -> 9	$\frac{1}{14}$
9 -> 7	$\frac{1}{7}$
9 -> 8	$\frac{1}{14}$
9 -> 9	$\frac{1}{28}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("7")= $\frac{1}{2}$ ; P("8")= $\frac{1}{4}$ ; P("9")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'7'-'8' (P= $\frac{1}{7}$ )
'8'-'7' (P= $\frac{1}{7}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{7}$ + $\frac{1}{7}$ = $\frac{2}{7}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 7 rote und 4 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die rote Kugel im 2. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{4}{11}$ ⋅ $\frac{7}{10}$
= $\frac{2}{11}$ ⋅ $\frac{7}{5}$
= $\frac{14}{55}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Lostopf sind 4 Kugeln mit einer Eins beschriftet, 2 Kugeln mit einer Zwei, 6 mit Drei und 3 mit einer Vier. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkiet dass die beiden gezogenen Zahlen zusammen 4 ergeben?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{2}{35}$
1 -> 2	$\frac{4}{105}$
1 -> 3	$\frac{4}{35}$
1 -> 4	$\frac{2}{35}$
2 -> 1	$\frac{4}{105}$
2 -> 2	$\frac{1}{105}$
2 -> 3	$\frac{2}{35}$
2 -> 4	$\frac{1}{35}$
3 -> 1	$\frac{4}{35}$
3 -> 2	$\frac{2}{35}$
3 -> 3	$\frac{1}{7}$
3 -> 4	$\frac{3}{35}$
4 -> 1	$\frac{2}{35}$
4 -> 2	$\frac{1}{35}$
4 -> 3	$\frac{3}{35}$
4 -> 4	$\frac{1}{35}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{4}{15}$ ; P("2")= $\frac{2}{15}$ ; P("3")= $\frac{2}{5}$ ; P("4")= $\frac{1}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{4}{35}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{4}{35}$ )
'2'-'2' (P= $\frac{1}{105}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{35}$ + $\frac{4}{35}$ + $\frac{1}{105}$ = $\frac{5}{21}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

ohne Zurücklegen (einfach)

P=1-P(2 mal 'blau')=1- 1 22 = 21 22

Ziehen ohne Zurücklegen

P=1-P(3 mal 'rot')=1- 1 12 = 11 12

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen ohne Zurücklegen

P=1-P(2 mal 'blau')=1- $\frac{1}{22}$ = $\frac{21}{22}$

P=1-P(3 mal 'rot')=1- $\frac{1}{12}$ = $\frac{11}{12}$