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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 6 Mädchen und 4 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen genau 3 an ein Mädchen gehen?

Lösung einblenden

Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{1}{6}$
Mädchen -> Mädchen -> Jungs	$\frac{1}{6}$
Mädchen -> Jungs -> Mädchen	$\frac{1}{6}$
Mädchen -> Jungs -> Jungs	$\frac{1}{10}$
Jungs -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{1}{6}$
Jungs -> Mädchen -> Jungs	$\frac{1}{10}$
Jungs -> Jungs -> Mädchen	$\frac{1}{10}$
Jungs -> Jungs -> Jungs	$\frac{1}{30}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Mädchen")= $\frac{3}{5}$ ; P("Jungs")= $\frac{2}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Mädchen'-'Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{1}{6}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{6}$ = $\frac{1}{6}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 5 Mädchen und 5 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen höchstens 1 an eine Mädchen gehen?

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Da ja ausschließlich nach 'Mädchen' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Mädchen' und 'nicht Mädchen'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Mädchen": $\frac{1}{2}$ ; "nicht Mädchen": $\frac{1}{2}$ ;

Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{1}{12}$
Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{5}{36}$
Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen	$\frac{5}{36}$
Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{5}{36}$
nicht Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{5}{36}$
nicht Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{5}{36}$
nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen	$\frac{5}{36}$
nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{1}{12}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Mädchen")= $\frac{1}{2}$ ; P("nicht Mädchen")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Mädchen'-'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{5}{36}$ )
'nicht Mädchen'-'Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{5}{36}$ )
'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{5}{36}$ )
'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{1}{12}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{36}$ + $\frac{5}{36}$ + $\frac{5}{36}$ + $\frac{1}{12}$ = $\frac{1}{2}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 2 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 2 2er und 6 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 3 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{25}$
1 -> 2	$\frac{1}{25}$
1 -> 3	$\frac{3}{25}$
2 -> 1	$\frac{1}{25}$
2 -> 2	$\frac{1}{25}$
2 -> 3	$\frac{3}{25}$
3 -> 1	$\frac{3}{25}$
3 -> 2	$\frac{3}{25}$
3 -> 3	$\frac{9}{25}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{5}$ ; P("2")= $\frac{1}{5}$ ; P("3")= $\frac{3}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'2' (P= $\frac{1}{25}$ )
'2'-'1' (P= $\frac{1}{25}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{25}$ + $\frac{1}{25}$ = $\frac{2}{25}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote und 3 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die rote Kugel im 2. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{5}$ ⋅ $\frac{2}{4}$
= $\frac{3}{5}$ ⋅ $\frac{2}{4}$
= $\frac{3}{10}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 0 mal eine durch 3 teilbare Zahl zu würfeln?

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Ereignis	P
Teiler -> Teiler	$\frac{1}{9}$
Teiler -> kein Teiler	$\frac{2}{9}$
kein Teiler -> Teiler	$\frac{2}{9}$
kein Teiler -> kein Teiler	$\frac{4}{9}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Teiler")= $\frac{1}{3}$ ; P("kein Teiler")= $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'kein Teiler'-'kein Teiler' (P= $\frac{4}{9}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{9}$ = $\frac{4}{9}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen mit Zurücklegen