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Berechnung von Volumen
Beispiel:
Berechne das Volumen des zusammengesetzten Körpers.
Der gezeichnete Körper besteht aus zwei Teilen: einem Quader und einer geraden quadratischen Pyramide, die auf dem Quader liegt.
Das Volumen des Quaders lässt sich ja recht einfach mit der Formel V = a⋅b⋅c berechnen:
V1 = a⋅b⋅c
= 6 mm⋅6 mm⋅3 mm
=
108 mm³
Die draufliegende Pyramide berechnen wir mit der Formel V = G ⋅ h = ⋅ a² ⋅ h
Somit gilt: V2 = ⋅ 36 mm² ⋅ 7 mm
=
84 mm³
Für das gesuchte Volumen ergibt sich somit:V = V1 + V2 ≈ 108 mm³ + 84 mm³ ≈ 192 mm³
Berechnung von Oberflächeninhalt
Beispiel:
Berechne die Oberfläche des zusammengesetzten Körpers.
Der gezeichnete Körper besteht aus zwei Teilen: einem Quader und einem halben Zylinder, der auf dem Quader liegt.
Normalerweise hätte der Quader 6 Flächen: je zwei mit dem Flächeninhalt a⋅b (Boden un Decke), zwei mit a⋅c (vorne, hinten) und zwei mit b⋅c (Seitenwände). Weil ja hier aber die Deckfläche nicht frei ist, sondern von dem halben Zylinder belegt ist, gilt hier für die sichtbare Oberfläche des Quaders:
O1 = a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2 mm⋅3 mm +
2⋅2 mm⋅7 mm + 2⋅3 mm⋅7 mm
=
6 mm² + 28 mm² + 42 mm²
76 mm²
Bei dem draufliegenden Halbzylinder sehen wir vorne und hinten jeweils einen halben Kreis mit Radius 1 mm,
also 2⋅πr² = π⋅1² mm²
≈ 3,14 mm²
Außerdem haben wir noch den halben Zylindermantel: Dieser hat (abgerollt)
die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite eben die Tiefe nach hinten b=3 mm ist und die andere Seite ein halber Kreisumfang mit Radius
r==1 mm, also U = π⋅r = 1π mm.
Somit gilt für die sichtbare Oberfläche des Halbylinders:
O2 = πr² + π⋅r⋅b = 1²π mm
+ π⋅1⋅3 mm = 4⋅π mm² ≈
12,57 mm².
Für die gesuchte Oberfläche ergibt sich somit: O = O1 + O2 ≈ 76 mm² + 12,57 mm² ≈ 88,57 mm²