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Berechnung von Volumen

Beispiel:

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Berechne das Volumen des zusammengesetzten Körpers.

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Der gezeichnete Körper besteht aus zwei Teilen: einem Quader und einem halben Zylinder, der auf dem Quader liegt.

Das Volumen des Quaders lässt sich ja recht einfachmit der Formel V = a⋅b⋅c berechnen:

V1 = a⋅b⋅c
= 9 mm⋅9 mm⋅2 mm
= 162 mm³

Den draufliegenden Halbzylinder berechnen wir mit der (halben) Zylinderformel V = G ⋅ h = 1 2 ⋅ π ⋅ r² ⋅ h

Mit r = a 2 = 4.5 mm und h = b = 9 mm gilt dann :
V2 = 1 2 ⋅ π ( a 2 )² ⋅ b
= 1 2 ⋅ π 20.25 mm² ⋅ 9 mm
= 286,28 mm³

Für das gesuchte Volumen ergibt sich somit:V = V1 + V2 ≈ 162 mm³ + 286,28 mm³ ≈ 448,3 mm³

Berechnung von Oberflächeninhalt

Beispiel:

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Berechne die Oberfläche des zusammengesetzten Körpers.

Lösung einblenden

Der gezeichnete Körper besteht aus zwei Teilen: einem Quader und einem halben Zylinder, der auf dem Quader liegt.

Normalerweise hätte der Quader 6 Flächen: je zwei mit dem Flächeninhalt a⋅b (Boden un Decke), zwei mit a⋅c (vorne, hinten) und zwei mit b⋅c (Seitenwände). Weil ja hier aber die Deckfläche nicht frei ist, sondern von dem halben Zylinder belegt ist, gilt hier für die sichtbare Oberfläche des Quaders:

O1 = a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 3 m⋅4 m + 2⋅3 m⋅7 m + 2⋅4 m⋅7 m
= 12 m² + 42 m² + 56 m²
110 m²

Bei dem draufliegenden Halbzylinder sehen wir vorne und hinten jeweils einen halben Kreis mit Radius 1,5 m,
also 2⋅ 1 2 πr² = π⋅1,5² m² ≈ 7,07 m²
Außerdem haben wir noch den halben Zylindermantel: Dieser hat (abgerollt) die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite eben die Tiefe nach hinten b=4 m ist und die andere Seite ein halber Kreisumfang mit Radius r= a 2 =1.5 m, also U = π⋅r = 1.5π m.
Somit gilt für die sichtbare Oberfläche des Halbylinders:
O2 = πr² + π⋅r⋅b = 1.5²π m + π⋅1.5⋅4 m = 8.25⋅π m² ≈ 25,92 m².

Für die gesuchte Oberfläche ergibt sich somit: O = O1 + O2 ≈ 110 m² + 25,92 m² ≈ 135,92 m²