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Minimum, Maximum und Spannweite

Beispiel:

Ermittle für die Liste die Kennwerte Minimum, Maximum und die Spannweite:

17; 18; 15; 16; 8; 11; 11; 1; 16; 18; 16; 1; 1

Lösung einblenden

Wenn man die Liste von vorne nach hinten durchläuft und dabei immer den aktuellen Wert mit dem bisher kleinsten Wert vergleicht, so erkennt man, dass keine Zahl kleiner ist als 1.

Auf die gleiche Weise kann man auch den größten Wert der Liste herausfinden: 18.

Die Spannweite ist die Differenz zwischen dem größten Wert (Maximum) und dem kleinsten Wert (Minimum), also 18 - 1 = 17

Zentralwert und Quartile (geordnet)

Beispiel:

Bestimme von der folgenden Datenmenge den Zentralwert, das untere und das obere Quartil sowie den Quartilabstand.

  • 6
  • 31
  • 33
  • 40
  • 41
  • 46
  • 48
  • 57
  • 69
  • 80
  • 81
  • 98

Lösung einblenden

Da die Datenliste ja bereits sortiert ist, können wir gleich die Werte suchen:

  1. -> 6
  2. -> 31
  3. -> 33
  4. -> 40
  5. -> 41
  6. -> 46
  7. -> 48
  8. -> 57
  9. -> 69
  10. -> 80
  11. -> 81
  12. -> 98

Da die Datenmenge eine gerade Anzahl hat, müssen wir für den Zentralwert den Mittelwert zwischen größtem Wert der unteren Hälfte (also 46) und dem kleinstem Wert der oberen Hälfte (hier 48) berechnen.
also (46+48):2 = 47

Das untere Quartil ist der Wert, der das kleinste Viertel vom zweit-kleinsten Viertel trennt. Da die Liste ja 12 Werte hat, schauen wir die Werte nach einem Viertel von 12, also bei 12 : 4 = 3 an.
Da ja aber der 3. Wert komplett im kleinsten Viertel liegt, und nicht mit dem zweit-kleinsten Viertel zu tun hat, nehmen wir den Mittelwert zwischen dem 3. Wert und dem 4. Wert der Liste, also der Mittelwert zwischen 33 und 40, also (33+40):2 = 36,5. Das untere Quartil ist somit 36,5.
Das obere Quartil ist der Wert, der das größte Viertel vom zweit-größten Viertel trennt. Da die Liste ja 12 Werte hat, schauen wir die Werte nach Dreiviertel von 12, also bei 12 ⋅ 3 4 = 9 an.
Da ja aber der 9. Wert komplett im zweit-größten Viertel, liegt und nicht mit dem größten Viertel zu tun hat, nehmen wir den Mittelwert zwischen dem 9. Wert und dem 10. Wert der Liste, also der Mittelwert zwischen 69 und 80, also (69+80):2 = 74.5. Das obere Quartil ist somit 74,5.
Den Quartilabstand berechnen wir nun einfach als die Differenz zwischen dem oberen und dem unteren Quartil, also hier Q = 74,5 - 36,5 = 38

Zentralwert und Quartile

Beispiel:

Bestimme von der folgenden Datenmenge den Zentralwert, das untere und das obere Quartil sowie den Quartilabstand.

  • 32
  • 77
  • 56
  • 19
  • 9
  • 15
  • 47
  • 22
  • 62
  • 84
  • 74
  • 40

Lösung einblenden

Zuerst sortieren wir die Datenliste:

  1. -> 9
  2. -> 15
  3. -> 19
  4. -> 22
  5. -> 32
  6. -> 40
  7. -> 47
  8. -> 56
  9. -> 62
  10. -> 74
  11. -> 77
  12. -> 84

Da die Datenmenge eine gerade Anzahl hat, müssen wir für den Zentralwert den Mittelwert zwischen größtem Wert der unteren Hälfte (also 40) und dem kleinstem Wert der oberen Hälfte (hier 47) berechnen.
also (40+47):2 = 43,5

Das untere Quartil ist der Wert, der das kleinste Viertel vom zweit-kleinsten Viertel trennt. Da die Liste ja 12 Werte hat, schauen wir die Werte nach einem Viertel von 12, also bei 12 : 4 = 3 an.
Da ja aber der 3. Wert komplett im kleinsten Viertel liegt, und nicht mit dem zweit-kleinsten Viertel zu tun hat, nehmen wir den Mittelwert zwischen dem 3. Wert und dem 4. Wert der Liste, also der Mittelwert zwischen 19 und 22, also (19+22):2 = 20,5. Das untere Quartil ist somit 20,5.
Das obere Quartil ist der Wert, der das größte Viertel vom zweit-größten Viertel trennt. Da die Liste ja 12 Werte hat, schauen wir die Werte nach Dreiviertel von 12, also bei 12 ⋅ 3 4 = 9 an.
Da ja aber der 9. Wert komplett im zweit-größten Viertel, liegt und nicht mit dem größten Viertel zu tun hat, nehmen wir den Mittelwert zwischen dem 9. Wert und dem 10. Wert der Liste, also der Mittelwert zwischen 62 und 74, also (62+74):2 = 68. Das obere Quartil ist somit 68.
Den Quartilabstand berechnen wir nun einfach als die Differenz zwischen dem oberen und dem unteren Quartil, also hier Q = 68 - 20,5 = 47,5

Werte aus Boxplot ablesen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Lese am abgebildeten Boxplot das Minimum, das Maximun, den Zentralwert, das untere und das obere Quartil ab.

Lösung einblenden

Das Minimum und Maximum lässt sich ja recht einfach an den Antennen des Boxplots (äußerste senkrechte Striche) anlesen:
Minimum: 6
Maximum: 38

Den Zentralwert erkennt man an dem senkrechten Strich innerhalb der Box (also dem Rechtecks zwischen den Antennen):
Zentralwert: 19

Das untere Quartil kann man an der linken Begrenzung der Box, das obere Quartil an der rechten Begrenzug der Box ablesen:
Unteres Quartil: 15
Oberes Quartil: 20