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Mittelwert rückwärts

Beispiel:

Die Werte 3; 3; ⬜; 4; 10 haben den Mittelwert 6.

Welchen Wert muss dann das Kästchen ⬜ haben?

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Wir wissen ja, dass man den Mittelwert erhält, indem man alle Werte zusammenzählt und das Ergebnis durch die Anzahl der Werte dividiert, also:

3+3+⬜+4+10 5 = 6

Wenn wir nun alle Werte addieren erhalten wir:

20+⬜ 5 = 6

Wenn wir die Summe im Zähler durch 5 teilen, erhalten wir 6.

Also muss doch die Summe im Zähler selbst gerade das 5-fache von 6, also 5 ⋅ 6 = 30 sein, also ...

20 + ⬜ = 30

Jetzt sieht man relativ leicht, dass dass Kästchen ⬜ = 30 - 20 sein muss.

⬜ = 10

Zentralwert und Quartile (geordnet)

Beispiel:

Bestimme von der folgenden Datenmenge den Zentralwert, das untere und das obere Quartil sowie den Quartilabstand.

  • 13
  • 14
  • 29
  • 38
  • 42
  • 47
  • 53
  • 75
  • 86
  • 90
  • 93
  • 98

Lösung einblenden

Da die Datenliste ja bereits sortiert ist, können wir gleich die Werte suchen:

  1. -> 13
  2. -> 14
  3. -> 29
  4. -> 38
  5. -> 42
  6. -> 47
  7. -> 53
  8. -> 75
  9. -> 86
  10. -> 90
  11. -> 93
  12. -> 98

Da die Datenmenge eine gerade Anzahl hat, müssen wir für den Zentralwert den Mittelwert zwischen größtem Wert der unteren Hälfte (also 47) und dem kleinstem Wert der oberen Hälfte (hier 53) berechnen.
also (47+53):2 = 50

Das untere Quartil ist der Wert, der das kleinste Viertel vom zweit-kleinsten Viertel trennt. Da die Liste ja 12 Werte hat, schauen wir die Werte nach einem Viertel von 12, also bei 12 : 4 = 3 an.
Da ja aber der 3. Wert komplett im kleinsten Viertel liegt, und nicht mit dem zweit-kleinsten Viertel zu tun hat, nehmen wir den Mittelwert zwischen dem 3. Wert und dem 4. Wert der Liste, also der Mittelwert zwischen 29 und 38, also (29+38):2 = 33,5. Das untere Quartil ist somit 33,5.
Das obere Quartil ist der Wert, der das größte Viertel vom zweit-größten Viertel trennt. Da die Liste ja 12 Werte hat, schauen wir die Werte nach Dreiviertel von 12, also bei 12 ⋅ 3 4 = 9 an.
Da ja aber der 9. Wert komplett im zweit-größten Viertel, liegt und nicht mit dem größten Viertel zu tun hat, nehmen wir den Mittelwert zwischen dem 9. Wert und dem 10. Wert der Liste, also der Mittelwert zwischen 86 und 90, also (86+90):2 = 88. Das obere Quartil ist somit 88.
Den Quartilabstand berechnen wir nun einfach als die Differenz zwischen dem oberen und dem unteren Quartil, also hier Q = 88 - 33,5 = 54,5

Zentralwert und Quartile

Beispiel:

Bestimme von der folgenden Datenmenge den Zentralwert, das untere und das obere Quartil sowie den Quartilabstand.

  • 17
  • 449
  • 66
  • 721
  • 401
  • 802
  • 64
  • 24
  • 20
  • 412
  • 813
  • 142

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Zuerst sortieren wir die Datenliste:

  1. -> 17
  2. -> 20
  3. -> 24
  4. -> 64
  5. -> 66
  6. -> 142
  7. -> 401
  8. -> 412
  9. -> 449
  10. -> 721
  11. -> 802
  12. -> 813

Da die Datenmenge eine gerade Anzahl hat, müssen wir für den Zentralwert den Mittelwert zwischen größtem Wert der unteren Hälfte (also 142) und dem kleinstem Wert der oberen Hälfte (hier 401) berechnen.
also (142+401):2 = 271,5

Das untere Quartil ist der Wert, der das kleinste Viertel vom zweit-kleinsten Viertel trennt. Da die Liste ja 12 Werte hat, schauen wir die Werte nach einem Viertel von 12, also bei 12 : 4 = 3 an.
Da ja aber der 3. Wert komplett im kleinsten Viertel liegt, und nicht mit dem zweit-kleinsten Viertel zu tun hat, nehmen wir den Mittelwert zwischen dem 3. Wert und dem 4. Wert der Liste, also der Mittelwert zwischen 24 und 64, also (24+64):2 = 44. Das untere Quartil ist somit 44.
Das obere Quartil ist der Wert, der das größte Viertel vom zweit-größten Viertel trennt. Da die Liste ja 12 Werte hat, schauen wir die Werte nach Dreiviertel von 12, also bei 12 ⋅ 3 4 = 9 an.
Da ja aber der 9. Wert komplett im zweit-größten Viertel, liegt und nicht mit dem größten Viertel zu tun hat, nehmen wir den Mittelwert zwischen dem 9. Wert und dem 10. Wert der Liste, also der Mittelwert zwischen 449 und 721, also (449+721):2 = 585. Das obere Quartil ist somit 585.
Den Quartilabstand berechnen wir nun einfach als die Differenz zwischen dem oberen und dem unteren Quartil, also hier Q = 585 - 44 = 541

Werte aus Boxplot ablesen

Beispiel:

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Lese am abgebildeten Boxplot das Minimum, das Maximun, den Zentralwert, das untere und das obere Quartil ab.

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Das Minimum und Maximum lässt sich ja recht einfach an den Antennen des Boxplots (äußerste senkrechte Striche) anlesen:
Minimum: 18
Maximum: 45

Den Zentralwert erkennt man an dem senkrechten Strich innerhalb der Box (also dem Rechtecks zwischen den Antennen):
Zentralwert: 29

Das untere Quartil kann man an der linken Begrenzung der Box, das obere Quartil an der rechten Begrenzug der Box ablesen:
Unteres Quartil: 28
Oberes Quartil: 36