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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $7 x^{- 9}$

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$x^{- 9}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{9}}$ .

Also ist $7 x^{- 9}$ das gleiche wie $7 \cdot \frac{1}{x^{9}}$ = $\frac{7}{x^{9}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{\frac{1}{4}}$
(Nutze dazu eine Wurzelterm.)

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Wir können ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{4}$} immer das gleiche ist wie die 4-te Wurzel, also:

$x^{\frac{1}{4}}$ = $\sqrt[4]{x}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch und kein Minus mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{- \frac{5}{6}}$
(Nutze dazu Wurzelterme und/oder Brüche.)

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Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{- \frac{5}{6}}$ = $x^{- 5 \cdot \frac{1}{6}}$ = ${(x^{5})}^{- \frac{1}{6}}$ = $\frac{1}{{(x^{5})}^{\frac{1}{6}}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{6}$} immer das gleiche ist wie die 6-te Wurzel, also:

$\frac{1}{{(x^{5})}^{\frac{1}{6}}}$ = $\frac{1}{\sqrt[6]{x^{5}}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $16^{\frac{3}{4}}$

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$16^{\frac{3}{4}}$

= ${(\sqrt[4]{16})}^{3}$

= $2^{3}$

= 8

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\frac{27}{64})}^{\frac{1}{3}}$

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${(\frac{27}{64})}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{\frac{27}{64}}$

= $\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{64}}$

= $\frac{3}{4}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,16}^{\frac{3}{2}}$

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${0,16}^{\frac{3}{2}}$

= ${(\sqrt{0,16})}^{3}$

= ${0,4}^{3}$

= $0,064$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${({(\frac{3}{10})}^{- \frac{1}{2}})}^{4}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${({(\frac{3}{10})}^{- \frac{1}{2}})}^{4}$

= ${(\frac{3}{10})}^{- \frac{1}{2} \cdot 4}$

= ${(\frac{3}{10})}^{- 2}$

= $\frac{1}{{(\frac{3}{10})}^{2}}$

= $\frac{1}{\frac{9}{100}}$

= $\frac{100}{9}$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[4]{x^{2}} \cdot \sqrt[12]{x^{15}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

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Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[4]{x^{2}} \cdot \sqrt[12]{x^{15}}$

= $x^{\frac{2}{4}}$ ⋅ $x^{\frac{15}{12}}$

= $x^{\frac{2}{4} + \frac{15}{12}}$

= $x^{\frac{6}{12} + \frac{15}{12}}$

= $x^{\frac{21}{12}}$

= $x^{\frac{7}{4}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\sqrt[9]{x^{6}} \cdot \sqrt[9]{x^{12}}}{\frac{1}{x}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{\sqrt[9]{x^{6}} \cdot \sqrt[9]{x^{12}}}{\frac{1}{x}}$

= $\frac{x^{\frac{6}{9}}\cdotx^{\frac{12}{9}}}{x^{- 1}}$

= $\frac{x^{\frac{2}{3}}\cdotx^{\frac{4}{3}}}{x^{- 1}}$

= $\frac{x^{\frac{2}{3} + \frac{4}{3}}}{x^{- 1}}$

= $\frac{x^{2}}{x^{- 1}}$

= $x^{2 + 1}$

= $x^{3}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{11 a^{- 1}}{\frac{8}{a^{4}}}$

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$\frac{11 a^{- 1}}{\frac{8}{a^{4}}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{11}{a}}{\frac{8}{a^{4}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{11}{a} \cdot \frac{a^{4}}{8}$

= $\frac{11}{8} a^{3}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen