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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $5 x^{- 1}$

Lösung einblenden

$x^{- 1}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x}$ .

Also ist $5 x^{- 1}$ das gleiche wie $5 \cdot \frac{1}{x}$ = $\frac{5}{x}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: $\sqrt[4]{x^{3}}$

Lösung einblenden

Eine 4-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{4}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[4]{x^{3}}$ = ${(x^{3})}^{\frac{1}{4}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{3})}^{\frac{1}{4}}$ = x^{3⋅ $\frac{1}{4}$} = $x^{\frac{3}{4}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch und kein Minus mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $7 x^{- 3}$
(Nutze dazu Wurzelterme und/oder Brüche.)

Lösung einblenden

$x^{- 3}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{3}}$ .

Also ist $7 x^{- 3}$ das gleiche wie $7 \cdot \frac{1}{x^{3}}$ = $\frac{7}{x^{3}}$ .

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $81^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$81^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{81}$

= $9$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{3^{13}}{3^{10}}$

Lösung einblenden

$\frac{3^{13}}{3^{10}}$

= $3^{13 - 10}$

= $3^{3}$

= 27

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,0016}^{\frac{3}{4}}$

Lösung einblenden

${0,0016}^{\frac{3}{4}}$

= ${(\sqrt[4]{0,0016})}^{3}$

= ${0,2}^{3}$

= $0,008$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(27^{4})}^{- \frac{1}{3}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(27^{4})}^{- \frac{1}{3}}$

= $27^{4 \cdot (- \frac{1}{3})}$

= $27^{\frac{1}{3} \cdot (- 4)}$

= ${(27^{\frac{1}{3}})}^{- 4}$

= $\frac{1}{{(\sqrt[3]{27})}^{4}}$

= $\frac{1}{3^{4}}$

= $\frac{1}{81}$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[4]{x})}^{2} \cdot \sqrt[8]{x^{10}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[4]{x})}^{2} \cdot \sqrt[8]{x^{10}}$

= $x^{\frac{2}{4}}$ ⋅ $x^{\frac{10}{8}}$

= $x^{\frac{2}{4} + \frac{10}{8}}$

= $x^{\frac{4}{8} + \frac{10}{8}}$

= $x^{\frac{14}{8}}$

= $x^{\frac{7}{4}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(\sqrt[9]{x})}^{6} \cdot {(\sqrt[6]{x})}^{8}}{\frac{1}{x}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(\sqrt[9]{x})}^{6} \cdot {(\sqrt[6]{x})}^{8}}{\frac{1}{x}}$

= $\frac{x^{\frac{6}{9}}\cdotx^{\frac{8}{6}}}{x^{- 1}}$

= $\frac{x^{\frac{2}{3}}\cdotx^{\frac{4}{3}}}{x^{- 1}}$

= $\frac{x^{\frac{2}{3} + \frac{4}{3}}}{x^{- 1}}$

= $\frac{x^{2}}{x^{- 1}}$

= $x^{2 + 1}$

= $x^{3}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{11 v^{- 1}}{13 v^{- 4}}$

Lösung einblenden

$\frac{11 v^{- 1}}{13 v^{- 4}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{11}{v}}{\frac{13}{v^{4}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{11}{v} \cdot \frac{v^{4}}{13}$

= $\frac{11}{13} v^{3}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen