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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $2 x^{- 2}$

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$x^{- 2}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{2}}$ .

Also ist $2 x^{- 2}$ das gleiche wie $2 \cdot \frac{1}{x^{2}}$ = $\frac{2}{x^{2}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: $\sqrt[3]{x}$

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Eine 3-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{3}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[3]{x}$ = $x^{\frac{1}{3}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch und kein Minus mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{- \frac{7}{9}}$
(Nutze dazu Wurzelterme und/oder Brüche.)

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Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{- \frac{7}{9}}$ = $x^{- 7 \cdot \frac{1}{9}}$ = ${(x^{7})}^{- \frac{1}{9}}$ = $\frac{1}{{(x^{7})}^{\frac{1}{9}}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{9}$} immer das gleiche ist wie die 9-te Wurzel, also:

$\frac{1}{{(x^{7})}^{\frac{1}{9}}}$ = $\frac{1}{\sqrt[9]{x^{7}}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $49^{\frac{1}{2}}$

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$49^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{49}$

= $7$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $4^{37}$ : $4^{34}$

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$4^{37}$ : $4^{34}$

= $4^{37 - 34}$

= $4^{3}$

= 64

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,0001}^{\frac{1}{4}}$

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${0,0001}^{\frac{1}{4}}$

= $\sqrt[4]{0,0001}$

= $0,1$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(4^{- \frac{1}{7}})}^{- 21}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${(4^{- \frac{1}{7}})}^{- 21}$

= $4^{- \frac{1}{7} \cdot (- 21)}$

= $4^{3}$

= $64$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[9]{x^{3}} \cdot \sqrt[6]{x^{8}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

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Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[9]{x^{3}} \cdot \sqrt[6]{x^{8}}$

= $x^{\frac{3}{9}}$ ⋅ $x^{\frac{8}{6}}$

= $x^{\frac{3}{9} + \frac{8}{6}}$

= $x^{\frac{6}{18} + \frac{24}{18}}$

= $x^{\frac{30}{18}}$

= $x^{\frac{5}{3}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${({(\sqrt[8]{x})}^{4} \cdot \sqrt[8]{x^{6}})}^{12}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${({(\sqrt[8]{x})}^{4} \cdot \sqrt[8]{x^{6}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{4}{8}} \cdot x^{\frac{6}{8}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{3}{4}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{1}{2} + \frac{3}{4}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{5}{4}})}^{12}$

= $x^{\frac{5}{4} \cdot 12}$

= $x^{15}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{5 t^{- 4}}{12 t^{- 3}}$

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$\frac{5 t^{- 4}}{12 t^{- 3}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{5}{t^{4}}}{\frac{12}{t^{3}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{5}{t^{4}} \cdot \frac{t^{3}}{12}$

= $\frac{5}{12 t}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen