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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $- x^{- 4}$

Lösung einblenden

$x^{- 4}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{4}}$ .

Also ist $- x^{- 4}$ das gleiche wie $- 1 \cdot \frac{1}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{4}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: ${(\sqrt[5]{x})}^{6}$

Lösung einblenden

Eine 5-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{5}$} schreiben, also gilt hier: ${(\sqrt[5]{x})}^{6}$ = ${(x^{\frac{1}{5}})}^{6}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{\frac{1}{5}})}^{6}$ = x^{$\frac{1}{5}$ ⋅6} = $x^{\frac{6}{5}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch und kein Minus mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $- 6 x^{- 1}$
(Nutze dazu Wurzelterme und/oder Brüche.)

Lösung einblenden

$x^{- 1}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x}$ .

Also ist $- 6 x^{- 1}$ das gleiche wie $- 6 \cdot \frac{1}{x}$ = $- \frac{6}{x}$ .

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $8^{\frac{2}{3}}$

Lösung einblenden

$8^{\frac{2}{3}}$

= ${(\sqrt[3]{8})}^{2}$

= $2^{2}$

= 4

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $81^{- \frac{1}{2}}$

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$81^{- \frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{81^{\frac{1}{2}}}$

= $\frac{1}{\sqrt{81}}$

= $\frac{1}{9}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,64}^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

${0,64}^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{0,64}$

= $0,8$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(3^{6})}^{\frac{1}{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(3^{6})}^{\frac{1}{2}}$

= $3^{6 \cdot \frac{1}{2}}$

= $3^{3}$

= $27$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[4]{x^{2}} \cdot \sqrt[4]{x^{3}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[4]{x^{2}} \cdot \sqrt[4]{x^{3}}$

= $x^{\frac{2}{4}}$ ⋅ $x^{\frac{3}{4}}$

= $x^{\frac{2}{4} + \frac{3}{4}}$

= $x^{\frac{5}{4}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\sqrt[9]{x^{3}} \cdot \sqrt[3]{x^{2}}}{\frac{1}{x}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{\sqrt[9]{x^{3}} \cdot \sqrt[3]{x^{2}}}{\frac{1}{x}}$

= $\frac{x^{\frac{3}{9}}\cdotx^{\frac{2}{3}}}{x^{- 1}}$

= $\frac{x^{\frac{1}{3}}\cdotx^{\frac{2}{3}}}{x^{- 1}}$

= $\frac{x^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}}}{x^{- 1}}$

= $\frac{x^{1}}{x^{- 1}}$

= $x^{1 + 1}$

= $x^{2}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\frac{11}{a^{3}}}{6 a^{- 4}}$

Lösung einblenden

$\frac{\frac{11}{a^{3}}}{6 a^{- 4}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{11}{a^{3}}}{\frac{6}{a^{4}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{11}{a^{3}} \cdot \frac{a^{4}}{6}$

= $\frac{11}{6} a$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen