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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $\text{f(t)}=$ $79\cdot {\mathrm{1,35}}^t$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = $79$

f(1) = $79$ ⋅ $\mathrm{1,35}$

f(2) = $79$ ⋅ $\mathrm{1,35}$ ⋅ $\mathrm{1,35}$

f(3) = $79$ ⋅ $\mathrm{1,35}$ ⋅ $\mathrm{1,35}$ ⋅ $\mathrm{1,35}$

f(4) = $79$ ⋅ $\mathrm{1,35}$ ⋅ $\mathrm{1,35}$ ⋅ $\mathrm{1,35}$ ⋅ $\mathrm{1,35}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,35}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,35}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,35}$-fache, also auf $135$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 135% - 100% = 35 %

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 3,4% seiner Bevölkerung. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 80 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 9 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 40 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=80 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 3.4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3.4% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{3.4}{100}$⋅B = (1 - $\frac{3.4}{100}$) ⋅ B = 0,966 ⋅ B. Somit ist das a=0,966.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $80\cdot {\mathrm{0,966}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = $80\cdot {\mathrm{0,966}}^9$ ≈ 58,598.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 40 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 40:

$80\cdot {\mathrm{0,966}}^t$	=	$40$	|:$80$
${\mathrm{0,966}}^t$	=	$\frac{1}{2}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,966}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{2}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,966}\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{2}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,966}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{1}{2}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,966}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{20,0381}$

Nach ca. 20,038 Jahre ist also der Bestand = 40 Millionen Einwohner.

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von exponentiellem Wachstum aus. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 28 Milionen Bakterien. 8 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 64,53Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 4 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 68 Millionen Bakterien?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=28 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $28\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Stunden der Bestand 64.53 Millionen Bakterien ist, also f(8) = 64.53. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $28\cdot a^t$ ein:

$28a^8$	=	$\mathrm{64,53}$	|:$28$
$a^8$	=	$\mathrm{2,30464}$	|
a1	=	$-\sqrt[8]{\mathrm{2,30464}}$	≈ $-\mathrm{1,11}$
a2	=	$\sqrt[8]{\mathrm{2,30464}}$	≈ $\mathrm{1,11}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,11}$ ≈ 1.11 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $28\cdot {\mathrm{1,11}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Stunden, also f(4):

f(4) = $28\cdot {\mathrm{1,11}}^4$ ≈ 42,506.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 68 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 68:

$28\cdot {\mathrm{1,11}}^t$	=	$68$	|:$28$
${\mathrm{1,11}}^t$	=	$\frac{17}{7}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,11}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{17}{7}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,11}\right)$	=	$\lg \left(\frac{17}{7}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,11}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{17}{7}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,11}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{8,5023}$

Nach ca. 8,502 Stunden ist also der Bestand = 68 Millionen Bakterien.

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 8% abnimmt. 6 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden nur noch 6,67 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 7 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 3,7 Millionen dieser Insekten?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 8% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{8}{100}$⋅B = (1 - $\frac{8}{100}$) ⋅ B = 0,92 ⋅ B. Somit ist das a=0,92.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,92}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 6.67 Millionen Insekten ist, also f(6) = 6.67. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,92}}^t$ ein:

c ⋅ 0.92⁶ = 6.67

c ⋅ 0.60636 = 6.67 | : 0.60636

c = 11

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $11\cdot {\mathrm{0,92}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = $11\cdot {\mathrm{0,92}}^7$ ≈ 6,136.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 3.7 Millionen Insekten ist, also f(t) = 3.7:

$11\cdot {\mathrm{0,92}}^t$	=	$\mathrm{3,7}$	|:$11$
${\mathrm{0,92}}^t$	=	$\mathrm{0,3364}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,92}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,3364}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,92}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,3364}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,92}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,3364}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,92}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{13,0659}$

Nach ca. 13,066 Jahre ist also der Bestand = 3.7 Millionen Insekten.

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,869}}^t$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

Lösung einblenden

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,869}}^t$ ablesen: a=0.869.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.869($\frac{1}{2}$) ≈ 4.94 (Zeiteinheiten)

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 16% vermehrt. Wie lange braucht es, bis sich die Nutzerzahl verdoppelt hat?

Lösung einblenden

Die prozentuale Zunahme um 16% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 16% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{16}{100}$⋅B = (1 + $\frac{16}{100}$) ⋅ B = 1,16 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,16.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.16($2$) ≈ 4.67 Wochen

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Bei einem Staat mit 80 Millionen Einwohner geht man davon aus, dass die Einwohnerzahl exponentiell abnimmt. Nach 13,5 Jahren hat sich die Bevölkerung halbiert?Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Einwohnerzahl in Millionen Einwohner nach t Jahren angibt.

Lösung einblenden

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 80 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 13.5 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{13,5}}$	=	$\frac{1}{2}$	|
$a$	=	${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{13,5}}}$

Das gesuchte a ist somit ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{13,5}}}$ ≈ 0.95, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $80\cdot {\mathrm{0,95}}^t$