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prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 137 0,75 t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = 137

f(1) = 137 0,75

f(2) = 137 0,750,75

f(3) = 137 0,750,750,75

f(4) = 137 0,750,750,750,75

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 0,75 multipliziert. Da 0,75 < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das 0,75-fache, also auf 75 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 75% = 25 %

c und a gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 12% vermehrt. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 6000 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 6 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 26000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=6000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 12% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 12% dazukommen,
also Bneu = B + 12 100 ⋅B = (1 + 12 100 ) ⋅ B = 1,12 ⋅ B. Somit ist das a=1,12.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 6000 1,12 t .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=6 Wochen, also f(6):

f(6) = 6000 1,12 6 11842,936.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 26000 Nutzer ist, also f(t) = 26000:

6000 1,12 t = 26000 |:6000
1,12 t = 13 3 |lg(⋅)
lg( 1,12 t ) = lg( 13 3 )
t · lg( 1,12 ) = lg( 13 3 ) |: lg( 1,12 )
t = lg( 13 3 ) lg( 1,12 )
t = 12,9388

Nach ca. 12,939 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 26000 Nutzer.

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beobachtungsbeginn 90kg vorhanden. Nach 2 Tagen nach sind nur noch 84,68kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 8 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 70kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=90 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 90 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Tage der Bestand 84.68 kg ist, also f(2) = 84.68. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 90 a t ein:

90 a 2 = 84,68 |:90
a 2 = 0,94089 | 2
a1 = - 0,94089 -0,97
a2 = 0,94089 0,97

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 0,97 ≈ 0.97 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 90 0,97 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Tage, also f(8):

f(8) = 90 0,97 8 70,537.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 70 kg ist, also f(t) = 70:

90 0,97 t = 70 |:90
0,97 t = 7 9 |lg(⋅)
lg( 0,97 t ) = lg( 7 9 )
t · lg( 0,97 ) = lg( 7 9 ) |: lg( 0,97 )
t = lg( 7 9 ) lg( 0,97 )
t = 8,2509

Nach ca. 8,251 Tage ist also der Bestand = 70 kg.

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 2,6% seiner Bevölkerung. Nach 4 Jahren hat der Staat noch 72 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 10 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 70 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Abnahme um 2.6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2.6% weggehen,
also Bneu = B - 2.6 100 ⋅B = (1 - 2.6 100 ) ⋅ B = 0,974 ⋅ B. Somit ist das a=0,974.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 0,974 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 72 Millionen Einwohner ist, also f(4) = 72. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 0,974 t ein:

c ⋅ 0.9744 = 72

c ⋅ 0.89999 = 72 | : 0.89999

c = 80

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 80 0,974 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Jahre, also f(10):

f(10) = 80 0,974 10 61,472.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 70 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 70:

80 0,974 t = 70 |:80
0,974 t = 7 8 |lg(⋅)
lg( 0,974 t ) = lg( 7 8 )
t · lg( 0,974 ) = lg( 7 8 ) |: lg( 0,974 )
t = lg( 7 8 ) lg( 0,974 )
t = 5,0688

Nach ca. 5,069 Jahre ist also der Bestand = 70 Millionen Einwohner.

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 1,107 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 1,107 t ablesen: a=1.107.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.107(2) ≈ 6.82 (Zeiteinheiten)

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 32%. Bestimme die Zeit bis sich die Größe der Bakterienkultur verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 32% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 32% dazukommen,
also Bneu = B + 32 100 ⋅B = (1 + 32 100 ) ⋅ B = 1,32 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=1,32.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.32(2) ≈ 2.5 Stunden

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Ein Konto wird mit 7000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 69,7 Jahren hat sich der der Kontostand verdoppelt. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die den Kontostand nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 7000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: TV = loga(2).

Also 69.7 = loga(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 69,7 = 2 | 69,7
a = 2 1 69,7

Das gesuchte a ist somit 2 1 69,7 ≈ 1.01, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 7000 1,01 t