f(0) = $65$

f(1) = $65$ ⋅ $\frac{23}{25}$

f(2) = $65$ ⋅ $\frac{23}{25}$ ⋅ $\frac{23}{25}$

f(3) = $65$ ⋅ $\frac{23}{25}$ ⋅ $\frac{23}{25}$ ⋅ $\frac{23}{25}$

f(4) = $65$ ⋅ $\frac{23}{25}$ ⋅ $\frac{23}{25}$ ⋅ $\frac{23}{25}$ ⋅ $\frac{23}{25}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{23}{25}$ multipliziert. Da $\frac{23}{25}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\frac{23}{25}$-fache (oder auf das $\frac{92}{100}$-fache), also auf $92$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 92% = 8 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=29 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 2% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{2}{100}$⋅B = (1 + $\frac{2}{100}$) ⋅ B = 1,02 ⋅ B. Somit ist das a=1,02.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $29\cdot {\mathrm{1,02}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Stunden, also f(13):

f(13) = $29\cdot {\mathrm{1,02}}^{13}$ ≈ 37,515.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 39 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 39:

$29\cdot {\mathrm{1,02}}^t$	=	$39$	|:$29$
${\mathrm{1,02}}^t$	=	$\frac{39}{29}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,02}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{39}{29}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,02}\right)$	=	$\lg \left(\frac{39}{29}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,02}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{39}{29}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,02}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{14,9609}$

Nach ca. 14,961 Stunden ist also der Bestand = 39 Millionen Bakterien.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=8000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $8000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 8659.46 € ist, also f(4) = 8659.46. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $8000\cdot a^t$ ein:

$8000a^4$	=	$8\mathrm{659,46}$	|:$8000$
$a^4$	=	$\mathrm{1,08243}$	|
a1	=	$-\sqrt[4]{\mathrm{1,08243}}$	= $-\mathrm{1,02}$
a2	=	$\sqrt[4]{\mathrm{1,08243}}$	= $\mathrm{1,02}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,02}$ ≈ 1.02 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $8000\cdot {\mathrm{1,02}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = $8000\cdot {\mathrm{1,02}}^9$ ≈ 9560,741.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 10000 € ist, also f(t) = 10000:

$8000\cdot {\mathrm{1,02}}^t$	=	$10000$	|:$8000$
${\mathrm{1,02}}^t$	=	$\frac{5}{4}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,02}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{4}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,02}\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{4}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,02}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{5}{4}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,02}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{11,2684}$

Nach ca. 11,268 Jahre ist also der Kontostand = 10000 €.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 2% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{2}{100}$⋅B = (1 + $\frac{2}{100}$) ⋅ B = 1,02 ⋅ B. Somit ist das a=1,02.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,02}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 3 Stunden der Bestand 11.67 Millionen Bakterien ist, also f(3) = 11.67. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,02}}^t$ ein:

c ⋅ 1.02³ = 11.67

c ⋅ 1.06121 = 11.67 | : 1.06121

c = 11

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $11\cdot {\mathrm{1,02}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Stunden, also f(8):

f(8) = $11\cdot {\mathrm{1,02}}^8$ ≈ 12,888.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 14.5 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 14.5:

$11\cdot {\mathrm{1,02}}^t$	=	$\mathrm{14,5}$	|:$11$
${\mathrm{1,02}}^t$	=	$\mathrm{1,3182}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,02}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{1,3182}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,02}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{1,3182}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,02}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{1,3182}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,02}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{13,951}$

Nach ca. 13,951 Stunden ist also der Bestand = 14.5 Millionen Bakterien.

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,936}}^t$ ablesen: a=0.936.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.936($\frac{1}{2}$) ≈ 10.48 (Zeiteinheiten)

Die prozentuale Abnahme um 13% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 13% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{13}{100}$⋅B = (1 - $\frac{13}{100}$) ⋅ B = 0,87 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,87.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.87($\frac{1}{2}$) ≈ 4.98 Jahre

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 11 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 7.3 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{7,3}}$	=	$\frac{1}{2}$	|
$a$	=	${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{7,3}}}$

Das gesuchte a ist somit ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{7,3}}}$ ≈ 0.91, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $11\cdot {\mathrm{0,91}}^t$