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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $\text{f(t)}=$ $145\cdot {\left(\frac{19}{20}\right)}^t$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = $145$

f(1) = $145$ ⋅ $\frac{19}{20}$

f(2) = $145$ ⋅ $\frac{19}{20}$ ⋅ $\frac{19}{20}$

f(3) = $145$ ⋅ $\frac{19}{20}$ ⋅ $\frac{19}{20}$ ⋅ $\frac{19}{20}$

f(4) = $145$ ⋅ $\frac{19}{20}$ ⋅ $\frac{19}{20}$ ⋅ $\frac{19}{20}$ ⋅ $\frac{19}{20}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{19}{20}$ multipliziert. Da $\frac{19}{20}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\frac{19}{20}$-fache (oder auf das $\frac{95}{100}$-fache), also auf $95$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 95% = 5 %

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 1,4% seiner Bevölkerung. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 80 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 13 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 71,5 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=80 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 1.4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 1.4% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{1.4}{100}$⋅B = (1 - $\frac{1.4}{100}$) ⋅ B = 0,986 ⋅ B. Somit ist das a=0,986.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $80\cdot {\mathrm{0,986}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):

f(13) = $80\cdot {\mathrm{0,986}}^{13}$ ≈ 66,602.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 71.5 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 71.5:

$80\cdot {\mathrm{0,986}}^t$	=	$\mathrm{71,5}$	|:$80$
${\mathrm{0,986}}^t$	=	$\mathrm{0,8938}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,986}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,8938}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,986}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,8938}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,986}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,8938}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,986}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{7,9632}$

Nach ca. 7,963 Jahre ist also der Bestand = 71.5 Millionen Einwohner.

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beobachtungsbeginn 70kg vorhanden. Nach 2 Tagen nach sind nur noch 65,86kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 13 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 60,1kg vorhanden?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=70 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $70\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Tage der Bestand 65.86 kg ist, also f(2) = 65.86. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $70\cdot a^t$ ein:

$70a^2$	=	$\mathrm{65,86}$	|:$70$
$a^2$	=	$\mathrm{0,94086}$	|
a1	=	$-\sqrt{\mathrm{0,94086}}$	≈ $-\mathrm{0,97}$
a2	=	$\sqrt{\mathrm{0,94086}}$	≈ $\mathrm{0,97}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,97}$ ≈ 0.97 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $70\cdot {\mathrm{0,97}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Tage, also f(13):

f(13) = $70\cdot {\mathrm{0,97}}^{13}$ ≈ 47,112.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 60.1 kg ist, also f(t) = 60.1:

$70\cdot {\mathrm{0,97}}^t$	=	$\mathrm{60,1}$	|:$70$
${\mathrm{0,97}}^t$	=	$\mathrm{0,8586}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,97}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,8586}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,97}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,8586}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,97}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,8586}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,97}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{5,0051}$

Nach ca. 5,005 Tage ist also der Bestand = 60.1 kg.

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 17%. 7 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 9Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 5 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 4,1 Millionen Bakterien?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 17% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 17% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{17}{100}$⋅B = (1 + $\frac{17}{100}$) ⋅ B = 1,17 ⋅ B. Somit ist das a=1,17.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,17}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 7 Stunden der Bestand 9 Millionen Bakterien ist, also f(7) = 9. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,17}}^t$ ein:

c ⋅ 1.17⁷ = 9

c ⋅ 3.00124 = 9 | : 3.00124

c = 3

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $3\cdot {\mathrm{1,17}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Stunden, also f(5):

f(5) = $3\cdot {\mathrm{1,17}}^5$ ≈ 6,577.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 4.1 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 4.1:

$3\cdot {\mathrm{1,17}}^t$	=	$\mathrm{4,1}$	|:$3$
${\mathrm{1,17}}^t$	=	$\mathrm{1,3667}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,17}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{1,3667}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,17}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{1,3667}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,17}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{1,3667}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,17}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{1,9898}$

Nach ca. 1,99 Stunden ist also der Bestand = 4.1 Millionen Bakterien.

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,143}}^t$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,143}}^t$ ablesen: a=1.143.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.143($2$) ≈ 5.19 (Zeiteinheiten)

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 9% abnimmt. Wann hat sich die Anzahl dieser Insektenart halbiert?

Lösung einblenden

Die prozentuale Abnahme um 9% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 9% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{9}{100}$⋅B = (1 - $\frac{9}{100}$) ⋅ B = 0,91 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,91.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.91($\frac{1}{2}$) ≈ 7.35 Jahre

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Bei einem Staat mit 100 Millionen Einwohner geht man davon aus, dass die Einwohnerzahl exponentiell abnimmt. Nach 11,2 Jahren hat sich die Bevölkerung halbiert?Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Einwohnerzahl in Millionen Einwohner nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 100 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 11.2 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{11,2}}$	=	$\frac{1}{2}$	|
$a$	=	${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{11,2}}}$

Das gesuchte a ist somit ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{11,2}}}$ ≈ 0.94, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $100\cdot {\mathrm{0,94}}^t$