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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $\text{f(t)}=$ $99\cdot {\mathrm{1,05}}^t$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $99$

f(1) = $99$ ⋅ $\mathrm{1,05}$

f(2) = $99$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$

f(3) = $99$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$

f(4) = $99$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,05}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,05}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,05}$-fache, also auf $105$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 105% - 100% = 5 %

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 2,4% seiner Bevölkerung. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 75 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 7 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 55 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=75 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 2.4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2.4% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{2.4}{100}$⋅B = (1 - $\frac{2.4}{100}$) ⋅ B = 0,976 ⋅ B. Somit ist das a=0,976.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $75\cdot {\mathrm{0,976}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = $75\cdot {\mathrm{0,976}}^7$ ≈ 63,272.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 55 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 55:

$75\cdot {\mathrm{0,976}}^t$	=	$55$	|:$75$
${\mathrm{0,976}}^t$	=	$\frac{11}{15}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,976}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{11}{15}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,976}\right)$	=	$\lg \left(\frac{11}{15}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,976}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{11}{15}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,976}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{12,7674}$

Nach ca. 12,767 Jahre ist also der Bestand = 55 Millionen Einwohner.

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei der Anzahl der Nutzer einer Internetseite kann man von exponentiellem Wachstum ausgehen. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 5000 Nutzer. Nach 2 Wochen zählt man bereits 6498 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 12 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 14000 angewachsen?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=5000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Wochen der Bestand 6498 Nutzer ist, also f(2) = 6498. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot a^t$ ein:

$5000a^2$	=	$6498$	|:$5000$
$a^2$	=	$\frac{3249}{2500}$	|
a1	=	$-\sqrt{\frac{3249}{2500}}$	= $-\frac{57}{50}$
a2	=	$\sqrt{\frac{3249}{2500}}$	= $\frac{57}{50}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\frac{57}{50}$ ≈ 1.14 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot {\mathrm{1,14}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=12 Wochen, also f(12):

f(12) = $5000\cdot {\mathrm{1,14}}^{12}$ ≈ 24089,524.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 14000 Nutzer ist, also f(t) = 14000:

$5000\cdot {\mathrm{1,14}}^t$	=	$14000$	|:$5000$
${\mathrm{1,14}}^t$	=	$\frac{14}{5}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,14}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{14}{5}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,14}\right)$	=	$\lg \left(\frac{14}{5}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,14}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{14}{5}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,14}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{7,858}$

Nach ca. 7,858 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 14000 Nutzer.

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 1% seiner Bevölkerung. Nach 4 Jahren hat der Staat noch 52,83 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 11 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 49,2 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 1% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{1}{100}$⋅B = (1 - $\frac{1}{100}$) ⋅ B = 0,99 ⋅ B. Somit ist das a=0,99.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,99}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 52.83 Millionen Einwohner ist, also f(4) = 52.83. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,99}}^t$ ein:

c ⋅ 0.99⁴ = 52.83

c ⋅ 0.9606 = 52.83 | : 0.9606

c = 55

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $55\cdot {\mathrm{0,99}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Jahre, also f(11):

f(11) = $55\cdot {\mathrm{0,99}}^{11}$ ≈ 49,244.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 49.2 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 49.2:

$55\cdot {\mathrm{0,99}}^t$	=	$\mathrm{49,2}$	|:$55$
${\mathrm{0,99}}^t$	=	$\mathrm{0,8945}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,99}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,8945}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,99}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,8945}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,99}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,8945}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,99}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{11,0932}$

Nach ca. 11,093 Jahre ist also der Bestand = 49.2 Millionen Einwohner.

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,943}}^t$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

Lösung einblenden

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,943}}^t$ ablesen: a=0.943.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.943($\frac{1}{2}$) ≈ 11.81 (Zeiteinheiten)

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 17% abnimmt. Wann hat sich die Anzahl dieser Insektenart halbiert?

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Die prozentuale Abnahme um 17% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 17% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{17}{100}$⋅B = (1 - $\frac{17}{100}$) ⋅ B = 0,83 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,83.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.83($\frac{1}{2}$) ≈ 3.72 Jahre

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht davon aus, dass sie sich innerhalb von 9 Stunden verdoppelt. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 27 Milionen Bakterien. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Bakterienanzahl in Milionen nach t Stunden angibt.

Lösung einblenden

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 27 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 9 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^9$	=	$2$	|
$a$	=	$\sqrt[9]{2}$

Das gesuchte a ist somit $\sqrt[9]{2}$ ≈ 1.08, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $27\cdot {\mathrm{1,08}}^t$