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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $\text{f(t)}=$ $137\cdot {\left(\frac{24}{25}\right)}^t$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = $137$

f(1) = $137$ ⋅ $\frac{24}{25}$

f(2) = $137$ ⋅ $\frac{24}{25}$ ⋅ $\frac{24}{25}$

f(3) = $137$ ⋅ $\frac{24}{25}$ ⋅ $\frac{24}{25}$ ⋅ $\frac{24}{25}$

f(4) = $137$ ⋅ $\frac{24}{25}$ ⋅ $\frac{24}{25}$ ⋅ $\frac{24}{25}$ ⋅ $\frac{24}{25}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{24}{25}$ multipliziert. Da $\frac{24}{25}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\frac{24}{25}$-fache (oder auf das $\frac{96}{100}$-fache), also auf $96$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 96% = 4 %

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 2,1% seiner Bevölkerung. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 55 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 4 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 45 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=55 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 2.1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2.1% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{2.1}{100}$⋅B = (1 - $\frac{2.1}{100}$) ⋅ B = 0,979 ⋅ B. Somit ist das a=0,979.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $55\cdot {\mathrm{0,979}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = $55\cdot {\mathrm{0,979}}^4$ ≈ 50,524.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 45 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 45:

$55\cdot {\mathrm{0,979}}^t$	=	$45$	|:$55$
${\mathrm{0,979}}^t$	=	$\frac{9}{11}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,979}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{9}{11}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,979}\right)$	=	$\lg \left(\frac{9}{11}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,979}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{9}{11}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,979}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{9,4551}$

Nach ca. 9,455 Jahre ist also der Bestand = 45 Millionen Einwohner.

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von exponentiellem Wachstum aus. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 17 Milionen Bakterien. 10 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 341,81Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 12 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 417 Millionen Bakterien?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=17 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $17\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Stunden der Bestand 341.81 Millionen Bakterien ist, also f(10) = 341.81. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $17\cdot a^t$ ein:

$17a^{10}$	=	$\mathrm{341,81}$	|:$17$
$a^{10}$	=	$\mathrm{20,10647}$	|
a1	=	$-\sqrt[10]{\mathrm{20,10647}}$	= $-\mathrm{1,35}$
a2	=	$\sqrt[10]{\mathrm{20,10647}}$	= $\mathrm{1,35}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,35}$ ≈ 1.35 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $17\cdot {\mathrm{1,35}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Stunden, also f(12):

f(12) = $17\cdot {\mathrm{1,35}}^{12}$ ≈ 622,951.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 417 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 417:

$17\cdot {\mathrm{1,35}}^t$	=	$417$	|:$17$
${\mathrm{1,35}}^t$	=	$\frac{417}{17}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,35}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{417}{17}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,35}\right)$	=	$\lg \left(\frac{417}{17}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,35}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{417}{17}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,35}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{10,6625}$

Nach ca. 10,663 Stunden ist also der Bestand = 417 Millionen Bakterien.

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 10% seines Bestands. 4 Tage nach Beobachtungsbeginn sind nur noch 6,56kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 13 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 5,9kg vorhanden?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 10% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 10% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{10}{100}$⋅B = (1 - $\frac{10}{100}$) ⋅ B = 0,9 ⋅ B. Somit ist das a=0,9.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,9}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 4 Tage der Bestand 6.56 kg ist, also f(4) = 6.56. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,9}}^t$ ein:

c ⋅ 0.9⁴ = 6.56

c ⋅ 0.6561 = 6.56 | : 0.6561

c = 10

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $10\cdot {\mathrm{0,9}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Tage, also f(13):

f(13) = $10\cdot {\mathrm{0,9}}^{13}$ ≈ 2,542.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 5.9 kg ist, also f(t) = 5.9:

$10\cdot {\mathrm{0,9}}^t$	=	$\mathrm{5,9}$	|:$10$
${\mathrm{0,9}}^t$	=	$\mathrm{0,59}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,9}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,59}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,9}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,59}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,9}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,59}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,9}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{5,0079}$

Nach ca. 5,008 Tage ist also der Bestand = 5.9 kg.

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,95}}^t$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

Lösung einblenden

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,95}}^t$ ablesen: a=0.95.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.95($\frac{1}{2}$) ≈ 13.51 (Zeiteinheiten)

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 23%. Bestimme die Zeit bis sich die Größe der Bakterienkultur verdoppelt hat.

Lösung einblenden

Die prozentuale Zunahme um 23% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 23% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{23}{100}$⋅B = (1 + $\frac{23}{100}$) ⋅ B = 1,23 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,23.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.23($2$) ≈ 3.35 Stunden

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Bei einem Staat mit 20 Millionen Einwohner geht man davon aus, dass die Einwohnerzahl exponentiell abnimmt. Nach 13,5 Jahren hat sich die Bevölkerung halbiert?Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Einwohnerzahl in Millionen Einwohner nach t Jahren angibt.

Lösung einblenden

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 20 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 13.5 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{13,5}}$	=	$\frac{1}{2}$	|
$a$	=	${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{13,5}}}$

Das gesuchte a ist somit ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{13,5}}}$ ≈ 0.95, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $20\cdot {\mathrm{0,95}}^t$