• Klasse 5
  • Daten
  • Natürliche Zahlen
    • Zahlenstrahl
    • Große Zahlen im Zehnersystem
    • Runden von Zahlen
    • Zahlensysteme
    • Grundrechenarten
      • Kopfrechnen
      • Schriftlich
    • Rechenregeln
      • Klammern
      • Punkt vor Strich
      • Rechenreihenfolge
      • Potenzen
      • Ausmultiplizieren, Ausklammern
  • Geometrie
    • Koordinatensystem
    • Abstände
    • Symmetrische Figuren
    • Vierecke
    • Kreis
    • Winkel
    • Flächen
  • Sachrechnen
    • Geld
    • Zeit
    • Gewicht
    • Länge
    • Maßstab
• Klasse 6
  • Brüche und Bruchrechnen
    • Teilbarkeit
    • Bruchverständnis
    • Erweitern und Kürzen
    • Brüche vergleichen und ordnen
    • Brüche und Größen
    • Addieren und Subtrahieren
    • Multiplizieren
    • Dividieren
    • Punkt vor Strich. Klammern
  • Dezimalzahlen
    • Dezimalschreibweise
    • Vergleichen und Ordnen
    • Runden
    • Wechsel der Darstellung
    • Addieren und Subtrahieren
    • Multiplizieren und Dividieren
    • Verbindung der Rechenarten
  • Terme und Gleichungen
    • Terme mit Variablen
    • Gleichungen
  • Zuordnungen
    • proportionale Zuordnung
    • Dreisatz
  • Rationale Zahlen
    • Zahlenstrahl
    • vergleichen und ordnen
    • Zunahme und Abnahme
    • Koordinatensystem
  • Geometrie
    • Körper
  • Daten
• Klasse 7
  • Rationale Zahlen
    • vergleichen und ordnen
    • Strichrechnung
    • Punktrechnung
    • Rechenregeln
    • Zahlterme
    • Kombi-Aufgaben
    • negative Brüche
  • Geometrie
    • Winkel
      • an Parallelen
      • Winkelsumme
      • gleichschenkl. Dr.
      • Thaleskreis
    • Dreiecke konstruieren
    • In- und Umkreis
    • Vierecke
  • Algebra
    • Terme
    • lineare Gleichungen
  • Dreisatz, (anti)proportional
    • Antiproportionale Zuordnung
    • Proportionale Zuordnung
  • Prozentrechnung
    • Prozentsatz bestimmen
    • Prozentwert bestimmen
    • Grundwert bestimmen
  • Wahrscheinlichkeit / Daten
• Klasse 8
  • Terme
    • Ausmultiplizieren, Ausklammern
    • Binomische Formeln
    • Terme einsetzen
    • Terme aufstellen
    • Terme vereinfachen
  • Bruchgleichungen
  • Geometrie
    • Umfang und Flächeninhalt
    • Körper
  • Lineare Funktionen
  • LGS
  • Prozent- und Zinsrechnung
    • Prozentsatz, -wert, Grundwert
    • Vermehrter / verminderter Grundwert
    • Zinsrechnen (Zinseszinsen)
  • Daten / Boxplots
• Klasse 9
  • Algebra
    • Potenzen
    • Wurzeln
      • Quadratwurzeln ohne WTR
      • Rechnen mit Quadratwurzeln
        • Teilweises Wurzelziehen
      • Kubikwurzel
    • Quadratische Gleichungen
      • Bruchgleichungen
      • rein quadratische Gleichungen
      • gemischt quadratische Gleichungen
        • Nullprodukt
        • Lösungsformel
        • quadratische Ergänzung
      • Ungleichungen
      • Wurzelgleichungen
    • lineare Bruchgleichungen
  • Geometrie
    • Ähnlichkeit u. zentrische Streckung
    • Stahlensätze
      • 1. Strahlensatz
      • 2. Strahlensatz
    • Satz des Pythagoras
      • Grundaufgaben
      • in ebenen Figuren
      • in Körpern
    • Kreise
      • Umfang und Fläche
      • Kreisausschnitte
      • Anwendungen
    • Körper
      • Prismen
      • Zylinder
      • Pyramiden
  • Lineare und quadratische Funktionen
    • Lineare Funktionen
    • Quadratische Funktionen
      • Normalparabel
      • Streckung
      • Scheitelform
      • Nullstellen, Schnittpunkte
      • Modellieren
  • Zufall und Wahrscheinlichkeit
    • Kombinatorik
    • Einstufige Zufallsexperimente
• Klasse 10
  • Trigonometrie
    • am rechtwinkligen Dreieck
    • am allgemeinen Dreieck
    • Anwendungen
    • im Raum
    • am Einheitskreis
    • Bogenmaß/Funktionen
  • Algebra
    • Zehnerpotenzen
    • Potenzgesetze
    • Potenzen mit rationalen Hochzahlen
    • Exponentialrechnung
      • Zinsen, Zinseszinsen
      • Exponentielle(s) Wachstum / Abnahme
      • Logarithmus
  • Geometrie
    • Kegel
    • Kugel
    • Zusammengesetzte Körper
  • Zufall und Wahrscheinlichkeit
    • Erwartungswert
    • Zufallsexperimente mit Zurücklegen
    • Zufallsexperimente ohne Zurücklegen
• Fit für die Oberstufe
  • Potenzfunktionen
  • Exponentialfunktion
  • Vier-Felder-Tafel

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $\text{f(t)}=$ $137\cdot {\mathrm{0,75}}^t$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = $137$

f(1) = $137$ ⋅ $\mathrm{0,75}$

f(2) = $137$ ⋅ $\mathrm{0,75}$ ⋅ $\mathrm{0,75}$

f(3) = $137$ ⋅ $\mathrm{0,75}$ ⋅ $\mathrm{0,75}$ ⋅ $\mathrm{0,75}$

f(4) = $137$ ⋅ $\mathrm{0,75}$ ⋅ $\mathrm{0,75}$ ⋅ $\mathrm{0,75}$ ⋅ $\mathrm{0,75}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{0,75}$ multipliziert. Da $\mathrm{0,75}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\mathrm{0,75}$-fache, also auf $75$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 75% = 25 %

c und a gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 12% vermehrt. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 6000 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 6 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 26000 angewachsen?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=6000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 12% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 12% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{12}{100}$⋅B = (1 + $\frac{12}{100}$) ⋅ B = 1,12 ⋅ B. Somit ist das a=1,12.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $6000\cdot {\mathrm{1,12}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=6 Wochen, also f(6):

f(6) = $6000\cdot {\mathrm{1,12}}^6$ ≈ 11842,936.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 26000 Nutzer ist, also f(t) = 26000:

$6000\cdot {\mathrm{1,12}}^t$	=	$26000$	|:$6000$
${\mathrm{1,12}}^t$	=	$\frac{13}{3}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,12}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{13}{3}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,12}\right)$	=	$\lg \left(\frac{13}{3}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,12}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{13}{3}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,12}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{12,9388}$

Nach ca. 12,939 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 26000 Nutzer.

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beobachtungsbeginn 90kg vorhanden. Nach 2 Tagen nach sind nur noch 84,68kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 8 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 70kg vorhanden?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=90 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $90\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Tage der Bestand 84.68 kg ist, also f(2) = 84.68. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $90\cdot a^t$ ein:

$90a^2$	=	$\mathrm{84,68}$	|:$90$
$a^2$	=	$\mathrm{0,94089}$	|
a1	=	$-\sqrt{\mathrm{0,94089}}$	≈ $-\mathrm{0,97}$
a2	=	$\sqrt{\mathrm{0,94089}}$	≈ $\mathrm{0,97}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,97}$ ≈ 0.97 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $90\cdot {\mathrm{0,97}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Tage, also f(8):

f(8) = $90\cdot {\mathrm{0,97}}^8$ ≈ 70,537.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 70 kg ist, also f(t) = 70:

$90\cdot {\mathrm{0,97}}^t$	=	$70$	|:$90$
${\mathrm{0,97}}^t$	=	$\frac{7}{9}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,97}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{7}{9}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,97}\right)$	=	$\lg \left(\frac{7}{9}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,97}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{7}{9}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,97}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{8,2509}$

Nach ca. 8,251 Tage ist also der Bestand = 70 kg.

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 2,6% seiner Bevölkerung. Nach 4 Jahren hat der Staat noch 72 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 10 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 70 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 2.6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2.6% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{2.6}{100}$⋅B = (1 - $\frac{2.6}{100}$) ⋅ B = 0,974 ⋅ B. Somit ist das a=0,974.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,974}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 72 Millionen Einwohner ist, also f(4) = 72. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,974}}^t$ ein:

c ⋅ 0.974⁴ = 72

c ⋅ 0.89999 = 72 | : 0.89999

c = 80

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $80\cdot {\mathrm{0,974}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Jahre, also f(10):

f(10) = $80\cdot {\mathrm{0,974}}^{10}$ ≈ 61,472.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 70 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 70:

$80\cdot {\mathrm{0,974}}^t$	=	$70$	|:$80$
${\mathrm{0,974}}^t$	=	$\frac{7}{8}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,974}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{7}{8}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,974}\right)$	=	$\lg \left(\frac{7}{8}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,974}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{7}{8}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,974}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{5,0688}$

Nach ca. 5,069 Jahre ist also der Bestand = 70 Millionen Einwohner.

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,107}}^t$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,107}}^t$ ablesen: a=1.107.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.107($2$) ≈ 6.82 (Zeiteinheiten)

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 32%. Bestimme die Zeit bis sich die Größe der Bakterienkultur verdoppelt hat.

Lösung einblenden

Die prozentuale Zunahme um 32% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 32% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{32}{100}$⋅B = (1 + $\frac{32}{100}$) ⋅ B = 1,32 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,32.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.32($2$) ≈ 2.5 Stunden

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Ein Konto wird mit 7000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 69,7 Jahren hat sich der der Kontostand verdoppelt. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die den Kontostand nach t Jahren angibt.

Lösung einblenden

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 7000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 69.7 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{69,7}}$	=	$2$	|
$a$	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{69,7}}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{\mathrm{69,7}}}$ ≈ 1.01, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $7000\cdot {\mathrm{1,01}}^t$