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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $\text{f(t)}=$ $168\cdot {\left(\frac{9}{10}\right)}^t$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = $168$

f(1) = $168$ ⋅ $\frac{9}{10}$

f(2) = $168$ ⋅ $\frac{9}{10}$ ⋅ $\frac{9}{10}$

f(3) = $168$ ⋅ $\frac{9}{10}$ ⋅ $\frac{9}{10}$ ⋅ $\frac{9}{10}$

f(4) = $168$ ⋅ $\frac{9}{10}$ ⋅ $\frac{9}{10}$ ⋅ $\frac{9}{10}$ ⋅ $\frac{9}{10}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{9}{10}$ multipliziert. Da $\frac{9}{10}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\frac{9}{10}$-fache (oder auf das $\frac{90}{100}$-fache), also auf $90$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 90% = 10 %

c und a gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 23%. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 7 Milionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 9 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 507 Millionen Bakterien?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=7 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 23% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 23% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{23}{100}$⋅B = (1 + $\frac{23}{100}$) ⋅ B = 1,23 ⋅ B. Somit ist das a=1,23.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $7\cdot {\mathrm{1,23}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Stunden, also f(9):

f(9) = $7\cdot {\mathrm{1,23}}^9$ ≈ 45,107.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 507 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 507:

$7\cdot {\mathrm{1,23}}^t$	=	$507$	|:$7$
${\mathrm{1,23}}^t$	=	$\frac{507}{7}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,23}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{507}{7}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,23}\right)$	=	$\lg \left(\frac{507}{7}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,23}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{507}{7}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,23}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{20,6875}$

Nach ca. 20,688 Stunden ist also der Bestand = 507 Millionen Bakterien.

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von exponentiellem Wachstum aus. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 27 Milionen Bakterien. 4 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 45,6Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 12 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 77 Millionen Bakterien?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=27 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $27\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 4 Stunden der Bestand 45.6 Millionen Bakterien ist, also f(4) = 45.6. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $27\cdot a^t$ ein:

$27a^4$	=	$\mathrm{45,6}$	|:$27$
$a^4$	=	$\mathrm{1,68889}$	|
a1	=	$-\sqrt[4]{\mathrm{1,68889}}$	≈ $-\mathrm{1,14}$
a2	=	$\sqrt[4]{\mathrm{1,68889}}$	≈ $\mathrm{1,14}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,14}$ ≈ 1.14 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $27\cdot {\mathrm{1,14}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Stunden, also f(12):

f(12) = $27\cdot {\mathrm{1,14}}^{12}$ ≈ 130,083.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 77 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 77:

$27\cdot {\mathrm{1,14}}^t$	=	$77$	|:$27$
${\mathrm{1,14}}^t$	=	$\frac{77}{27}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,14}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{77}{27}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,14}\right)$	=	$\lg \left(\frac{77}{27}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,14}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{77}{27}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,14}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{7,998}$

Nach ca. 7,998 Stunden ist also der Bestand = 77 Millionen Bakterien.

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 24% vermehrt. Nach 3 Wochen zählt man bereits 7626,5 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 8 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 6000 angewachsen?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 24% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 24% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{24}{100}$⋅B = (1 + $\frac{24}{100}$) ⋅ B = 1,24 ⋅ B. Somit ist das a=1,24.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,24}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 3 Wochen der Bestand 7626.5 Nutzer ist, also f(3) = 7626.5. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,24}}^t$ ein:

c ⋅ 1.24³ = 7626.5

c ⋅ 1.90662 = 7626.5 | : 1.90662

c = 4000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $4000\cdot {\mathrm{1,24}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=8 Wochen, also f(8):

f(8) = $4000\cdot {\mathrm{1,24}}^8$ ≈ 22358,027.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 6000 Nutzer ist, also f(t) = 6000:

$4000\cdot {\mathrm{1,24}}^t$	=	$6000$	|:$4000$
${\mathrm{1,24}}^t$	=	$\frac{3}{2}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,24}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{2}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,24}\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{2}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,24}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{3}{2}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,24}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{1,8849}$

Nach ca. 1,885 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 6000 Nutzer.

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,871}}^t$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

Lösung einblenden

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,871}}^t$ ablesen: a=0.871.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.871($\frac{1}{2}$) ≈ 5.02 (Zeiteinheiten)

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 23%. Bestimme die Zeit bis sich die Größe der Bakterienkultur verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 23% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 23% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{23}{100}$⋅B = (1 + $\frac{23}{100}$) ⋅ B = 1,23 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,23.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.23($2$) ≈ 3.35 Stunden

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht davon aus, dass sie sich innerhalb von 5,3 Stunden verdoppelt. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 11 Milionen Bakterien. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Bakterienanzahl in Milionen nach t Stunden angibt.

Lösung einblenden

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 11 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 5.3 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{5,3}}$	=	$2$	|
$a$	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{5,3}}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{\mathrm{5,3}}}$ ≈ 1.14, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $11\cdot {\mathrm{1,14}}^t$