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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $\text{f(t)}=$ $178\cdot {\left(\frac{9}{10}\right)}^t$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = $178$

f(1) = $178$ ⋅ $\frac{9}{10}$

f(2) = $178$ ⋅ $\frac{9}{10}$ ⋅ $\frac{9}{10}$

f(3) = $178$ ⋅ $\frac{9}{10}$ ⋅ $\frac{9}{10}$ ⋅ $\frac{9}{10}$

f(4) = $178$ ⋅ $\frac{9}{10}$ ⋅ $\frac{9}{10}$ ⋅ $\frac{9}{10}$ ⋅ $\frac{9}{10}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{9}{10}$ multipliziert. Da $\frac{9}{10}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\frac{9}{10}$-fache (oder auf das $\frac{90}{100}$-fache), also auf $90$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 90% = 10 %

c und a gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 29%. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 17 Milionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 4 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 1017 Millionen Bakterien?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=17 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 29% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 29% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{29}{100}$⋅B = (1 + $\frac{29}{100}$) ⋅ B = 1,29 ⋅ B. Somit ist das a=1,29.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $17\cdot {\mathrm{1,29}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Stunden, also f(4):

f(4) = $17\cdot {\mathrm{1,29}}^4$ ≈ 47,077.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 1017 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 1017:

$17\cdot {\mathrm{1,29}}^t$	=	$1017$	|:$17$
${\mathrm{1,29}}^t$	=	$\frac{1017}{17}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,29}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{1017}{17}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,29}\right)$	=	$\lg \left(\frac{1017}{17}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,29}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{1017}{17}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,29}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{16,0672}$

Nach ca. 16,067 Stunden ist also der Bestand = 1017 Millionen Bakterien.

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beobachtungsbeginn 20kg vorhanden. Nach 6 Tagen nach sind nur noch 9,29kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 11 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 10kg vorhanden?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=20 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $20\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 6 Tage der Bestand 9.29 kg ist, also f(6) = 9.29. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $20\cdot a^t$ ein:

$20a^6$	=	$\mathrm{9,29}$	|:$20$
$a^6$	=	$\frac{\mathrm{9,29}}{20}$	|
a1	=	$-\sqrt[6]{\frac{\mathrm{9,29}}{20}}$	≈ $-\mathrm{0,88}$
a2	=	$\sqrt[6]{\frac{\mathrm{9,29}}{20}}$	≈ $\mathrm{0,88}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,88}$ ≈ 0.88 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $20\cdot {\mathrm{0,88}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Tage, also f(11):

f(11) = $20\cdot {\mathrm{0,88}}^{11}$ ≈ 4,902.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 10 kg ist, also f(t) = 10:

$20\cdot {\mathrm{0,88}}^t$	=	$10$	|:$20$
${\mathrm{0,88}}^t$	=	$\frac{1}{2}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,88}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{2}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,88}\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{2}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,88}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{1}{2}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,88}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{5,4223}$

Nach ca. 5,422 Tage ist also der Bestand = 10 kg.

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 3% seines Bestands. 8 Tage nach Beobachtungsbeginn sind nur noch 54,86kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 9 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 50kg vorhanden?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{3}{100}$⋅B = (1 - $\frac{3}{100}$) ⋅ B = 0,97 ⋅ B. Somit ist das a=0,97.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,97}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Tage der Bestand 54.86 kg ist, also f(8) = 54.86. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,97}}^t$ ein:

c ⋅ 0.97⁸ = 54.86

c ⋅ 0.78374 = 54.86 | : 0.78374

c = 70

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $70\cdot {\mathrm{0,97}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Tage, also f(9):

f(9) = $70\cdot {\mathrm{0,97}}^9$ ≈ 53,216.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 50 kg ist, also f(t) = 50:

$70\cdot {\mathrm{0,97}}^t$	=	$50$	|:$70$
${\mathrm{0,97}}^t$	=	$\frac{5}{7}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,97}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{7}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,97}\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{7}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,97}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{5}{7}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,97}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{11,0467}$

Nach ca. 11,047 Tage ist also der Bestand = 50 kg.

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,08}}^t$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,08}}^t$ ablesen: a=1.08.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.08($2$) ≈ 9.01 (Zeiteinheiten)

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Konto wird mit 1,5% verzinst.Bestimme die Zeit bis sich der Kontostand verdoppelt hat.

Lösung einblenden

Die prozentuale Zunahme um 1.5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 1.5% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{1.5}{100}$⋅B = (1 + $\frac{1.5}{100}$) ⋅ B = 1,015 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,015.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.015($2$) ≈ 46.56 Jahre

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Ein Konto wird mit 8000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 17,7 Jahren hat sich der der Kontostand verdoppelt. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die den Kontostand nach t Jahren angibt.

Lösung einblenden

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 8000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 17.7 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{17,7}}$	=	$2$	|
$a$	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{17,7}}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{\mathrm{17,7}}}$ ≈ 1.04, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $8000\cdot {\mathrm{1,04}}^t$