Mathebattle EduRandomtasks

einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{2 x + 8}$ = $- 2$

\sqrt{2 x + 8}

=

- 2

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{4 x + 24}$ = $2 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{4 x + 24}$	=	$2 x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 24$	=	${(2 x)}^{2}$

4 x + 24

=

4 x^{2}

|

- 4 x^{2}

- 4 x^{2} + 4 x + 24

= 0 |:4

$- x^{2} + x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 6}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 1+5}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 1-5}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + x + 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - x - 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{4 x + 24}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 2) + 24}$

= $\sqrt{- 8 + 24}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $2 x$

$=$ $2 \cdot (- 2)$

= $- 4$

Also 4 ≠ -4

x = $- 2$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{4 x + 24}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 3 + 24}$

= $\sqrt{12 + 24}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $3$ in $2 x$

$=$ $2 \cdot 3$

= $6$

Also 6 = 6

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 48 x - 44}$ = $- 3 x - 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 48 x - 44}$	=	$- 3 x - 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 48 x - 44$	=	${(- 3 x - 1)}^{2}$

- 48 x - 44

=

9 x^{2} + 6 x + 1

|

- 9 x^{2}

- 6 x

- 1

- 9 x^{2} - 54 x - 45

= 0 |:9

$- x^{2} - 6 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 5)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{6+4}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{6-4}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 6 x - 5$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 6 x + 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 5$ = $9$ $-$ $5$ = $4$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 3$ - $2$ = -5

x₂ = $- 3$ + $2$ = -1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{- 48 x - 44}$

$=$ $\sqrt{- 48 \cdot (- 5) - 44}$

= $\sqrt{240 - 44}$

= $\sqrt{196}$

= $14$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $- 3 x - 1$

$=$ $- 3 \cdot (- 5) - 1$

= $15 - 1$

= $14$

Also 14 = 14

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{- 48 x - 44}$

$=$ $\sqrt{- 48 \cdot (- 1) - 44}$

= $\sqrt{48 - 44}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $- 3 x - 1$

$=$ $- 3 \cdot (- 1) - 1$

= $3 - 1$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ ; $- 1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{44 x - 127}$ = $3 \sqrt{5 x - 15}$

Lösung einblenden

$\sqrt{44 x - 127}$	=	$3 \sqrt{5 x - 15}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$44 x - 127$	=	${(3 \sqrt{5 x - 15})}^{2}$

$44 x - 127$	=	$9 (5 x - 15)$
$44 x - 127$	=	$45 x - 135$	\| $+ 127$
$44 x$	=	$45 x - 8$	\| $- 45 x$
$- x$	=	$- 8$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$8$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $8$

Linke Seite:

x = $8$ in $\sqrt{44 x - 127}$

$=$ $\sqrt{44 \cdot 8 - 127}$

= $\sqrt{352 - 127}$

= $\sqrt{225}$

= $15$

Rechte Seite:

x = $8$ in $3 \sqrt{5 x - 15}$

$=$ $3 \sqrt{5 \cdot 8 - 15}$

= $3 \sqrt{40 - 15}$

= $3 \sqrt{25}$

= $15$

Also 15 = 15

x = $8$ ist somit eine Lösung !

L={ $8$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x + 34}$ = $\sqrt{x + 6} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x + 34}$	=	$\sqrt{x + 6} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 34$	=	${(\sqrt{x + 6} + 2)}^{2}$

$5 x + 34$	=	$4 \sqrt{x + 6} + x + 10$	\| $- 5 x$ $- 34$ $- 4 \sqrt{x + 6}$
$- 4 \sqrt{x + 6}$	=	$- 4 x - 24$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{x + 6}$	=	$x + 6$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 6$	=	${(x + 6)}^{2}$

x + 6

=

x^{2} + 12 x + 36

|

- x^{2}

- 12 x

- 36

$- x^{2} - 11 x - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 30)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{11+1}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{11-1}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 11 x - 30$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 11 x + 30$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{2})}^{2} - 30$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $30$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{11}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{11}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 6$

Linke Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{5 x + 34}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 6) + 34}$

= $\sqrt{- 30 + 34}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{x + 6} + 2$

$=$ $\sqrt{- 6 + 6} + 2$

= $\sqrt{0} + 2$

= $0 + 2$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 6$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{5 x + 34}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 5) + 34}$

= $\sqrt{- 25 + 34}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{x + 6} + 2$

$=$ $\sqrt{- 5 + 6} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 3 = 3

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 6$ ; $- 5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -2

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -5

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 8

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -6

Probe für x = -5

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $8$

Probe für x = $- 6$

Probe für x = $- 5$