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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{2 x + 15}$ = $- 3$

\sqrt{2 x + 15}

=

- 3

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 7 x - 10}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 7 x - 10}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 7 x - 10$	=	${(x)}^{2}$

- 7 x - 10

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} - 7 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 10)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{7+3}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{7-3}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 7 x - 10$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 7 x + 10$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{- 7 x - 10}$

$=$ $\sqrt{- 7 \cdot (- 5) - 10}$

= $\sqrt{35 - 10}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $x$

$=$ $- 5$

Also 5 ≠ -5

x = $- 5$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{- 7 x - 10}$

$=$ $\sqrt{- 7 \cdot (- 2) - 10}$

= $\sqrt{14 - 10}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $x$

$=$ $- 2$

Also 2 ≠ -2

x = $- 2$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{12 x + 160} + 3 x$ = $- 5$

Lösung einblenden

$\sqrt{12 x + 160} + 3 x$	=	$- 5$	\| $- 3 x$
$\sqrt{12 x + 160}$	=	$- 3 x - 5$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$12 x + 160$	=	${(- 3 x - 5)}^{2}$

12 x + 160

=

9 x^{2} + 30 x + 25

|

- 9 x^{2}

- 30 x

- 25

- 9 x^{2} - 18 x + 135

= 0 |:9

$- x^{2} - 2 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 15}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{64}}{- 2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{2+8}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{2-8}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 2 x + 15$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{12 x + 160} + 3 x$

$=$ $\sqrt{12 \cdot (- 5) + 160} + 3 \cdot (- 5)$

= $\sqrt{- 60 + 160} - 15$

= $\sqrt{100} - 15$

= $10 - 15$

= $- 5$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $- 5$

$=$ $- 5$

Also -5 = -5

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{12 x + 160} + 3 x$

$=$ $\sqrt{12 \cdot 3 + 160} + 3 \cdot 3$

= $\sqrt{36 + 160} + 9$

= $\sqrt{196} + 9$

= $14 + 9$

= $23$

Rechte Seite:

x = $3$ in $- 5$

$=$ $- 5$

Also 23 ≠ -5

x = $3$ ist somit keine Lösung !

L={ $- 5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{9 x - 17}$ = $2 \sqrt{3 x - 11}$

Lösung einblenden

$\sqrt{9 x - 17}$	=	$2 \sqrt{3 x - 11}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$9 x - 17$	=	${(2 \sqrt{3 x - 11})}^{2}$

$9 x - 17$	=	$4 (3 x - 11)$
$9 x - 17$	=	$12 x - 44$	\| $+ 17$
$9 x$	=	$12 x - 27$	\| $- 12 x$
$- 3 x$	=	$- 27$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$9$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $9$

Linke Seite:

x = $9$ in $\sqrt{9 x - 17}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot 9 - 17}$

= $\sqrt{81 - 17}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $9$ in $2 \sqrt{3 x - 11}$

$=$ $2 \sqrt{3 \cdot 9 - 11}$

= $2 \sqrt{27 - 11}$

= $2 \sqrt{16}$

= $8$

Also 8 = 8

x = $9$ ist somit eine Lösung !

L={ $9$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{9 x + 81}$ = $\sqrt{5 x + 41} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{9 x + 81}$	=	$\sqrt{5 x + 41} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$9 x + 81$	=	${(\sqrt{5 x + 41} + 2)}^{2}$

$9 x + 81$	=	$4 \sqrt{5 x + 41} + 5 x + 45$	\| $- 9 x$ $- 81$ $- 4 \sqrt{5 x + 41}$
$- 4 \sqrt{5 x + 41}$	=	$- 4 x - 36$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{5 x + 41}$	=	$x + 9$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 41$	=	${(x + 9)}^{2}$

5 x + 41

=

x^{2} + 18 x + 81

|

- x^{2}

- 18 x

- 81

$- x^{2} - 13 x - 40$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 40)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 160}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{13+3}{- 2}$ = $\frac{16}{- 2}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{13-3}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 13 x - 40$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 13 x + 40$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{2})}^{2} - 40$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $40$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{160}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{13}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{13}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 8$

Linke Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{9 x + 81}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot (- 8) + 81}$

= $\sqrt{- 72 + 81}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{5 x + 41} + 2$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 8) + 41} + 2$

= $\sqrt{- 40 + 41} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 3 = 3

x = $- 8$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{9 x + 81}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot (- 5) + 81}$

= $\sqrt{- 45 + 81}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{5 x + 41} + 2$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 5) + 41} + 2$

= $\sqrt{- 25 + 41} + 2$

= $\sqrt{16} + 2$

= $4 + 2$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 8$ ; $- 5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -5

Probe für x = -2

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -5

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 9

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -8

Probe für x = -5

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $3$

Probe für x = $9$

Probe für x = $- 8$

Probe für x = $- 5$