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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \sqrt{x + 2}$ = $- 2$

$- 2 \sqrt{x + 2}$	=	$- 2$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{x + 2}$	=	$1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 2$	=	$1^{2}$

$x + 2$	=	$1$	\| $- 2$
$x$	=	$- 1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $- 2 \sqrt{x + 2}$

$=$ $- 2 \sqrt{- 1 + 2}$

= $- 2 \sqrt{1}$

= $- 2$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $- 2$

$=$ $- 2$

Also -2 = -2

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 7 x - 12}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 7 x - 12}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 7 x - 12$	=	${(x)}^{2}$

- 7 x - 12

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} - 7 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{7+1}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{7-1}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 7 x - 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 7 x + 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{- 7 x - 12}$

$=$ $\sqrt{- 7 \cdot (- 4) - 12}$

= $\sqrt{28 - 12}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $x$

$=$ $- 4$

Also 4 ≠ -4

x = $- 4$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{- 7 x - 12}$

$=$ $\sqrt{- 7 \cdot (- 3) - 12}$

= $\sqrt{21 - 12}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $x$

$=$ $- 3$

Also 3 ≠ -3

x = $- 3$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- x + 14} + 2$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- x + 14} + 2$	=	$x$	\| $- 2$
$\sqrt{- x + 14}$	=	$x - 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- x + 14$	=	${(x - 2)}^{2}$

- x + 14

=

x^{2} - 4 x + 4

|

- x^{2}

+ 4 x

- 4

$- x^{2} + 3 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 10}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 3+7}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 3-7}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 3 x + 10$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 3 x - 10$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{- x + 14} + 2$

$=$ $\sqrt{- (- 2) + 14} + 2$

= $\sqrt{2 + 14} + 2$

= $\sqrt{16} + 2$

= $4 + 2$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $x$

$=$ $- 2$

Also 6 ≠ -2

x = $- 2$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{- x + 14} + 2$

$=$ $\sqrt{- 5 + 14} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Rechte Seite:

x = $5$ in $x$

$=$ $5$

Also 5 = 5

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{20 x + 141}$ = $3 \sqrt{2 x + 15}$

Lösung einblenden

$\sqrt{20 x + 141}$	=	$3 \sqrt{2 x + 15}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$20 x + 141$	=	${(3 \sqrt{2 x + 15})}^{2}$

$20 x + 141$	=	$9 (2 x + 15)$
$20 x + 141$	=	$18 x + 135$	\| $- 141$
$20 x$	=	$18 x - 6$	\| $- 18 x$
$2 x$	=	$- 6$	\|: $2$
$x$	=	$- 3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{20 x + 141}$

$=$ $\sqrt{20 \cdot (- 3) + 141}$

= $\sqrt{- 60 + 141}$

= $\sqrt{81}$

= $9$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $3 \sqrt{2 x + 15}$

$=$ $3 \sqrt{2 \cdot (- 3) + 15}$

= $3 \sqrt{- 6 + 15}$

= $3 \sqrt{9}$

= $9$

Also 9 = 9

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x + 81}$ = $\sqrt{x + 25} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x + 81}$	=	$\sqrt{x + 25} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 81$	=	${(\sqrt{x + 25} + 2)}^{2}$

$5 x + 81$	=	$4 \sqrt{x + 25} + x + 29$	\| $- 5 x$ $- 81$ $- 4 \sqrt{x + 25}$
$- 4 \sqrt{x + 25}$	=	$- 4 x - 52$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{x + 25}$	=	$x + 13$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 25$	=	${(x + 13)}^{2}$

x + 25

=

x^{2} + 26 x + 169

|

- x^{2}

- 26 x

- 169

$- x^{2} - 25 x - 144$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{{(- 25)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 144)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{625 - 576}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{25 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{25+7}{- 2}$ = $\frac{32}{- 2}$ = $- 16$

x₂ = $\frac{25 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{25-7}{- 2}$ = $\frac{18}{- 2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 25 x - 144$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 25 x + 144$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{25}{2})}^{2} - 144$ = $\frac{625}{4}$ $-$ $144$ = $\frac{625}{4}$ $-$ $\frac{576}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{25}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{25}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{32}{2}$ = -16

x₂ = $- \frac{25}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 16$

Linke Seite:

x = $- 16$ in $\sqrt{5 x + 81}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 16) + 81}$

= $\sqrt{- 80 + 81}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 16$ in $\sqrt{x + 25} + 2$

$=$ $\sqrt{- 16 + 25} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 1 ≠ 5

x = $- 16$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 9$

Linke Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{5 x + 81}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 9) + 81}$

= $\sqrt{- 45 + 81}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{x + 25} + 2$

$=$ $\sqrt{- 9 + 25} + 2$

= $\sqrt{16} + 2$

= $4 + 2$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 9$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 9$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = -3

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -2

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -16

Probe für x = -9

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $- 16$

Probe für x = $- 9$