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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \sqrt{- 2 x + 1}$ = $- 6$

$- 2 \sqrt{- 2 x + 1}$	=	$- 6$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{- 2 x + 1}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 2 x + 1$	=	$3^{2}$

$- 2 x + 1$	=	$9$	\| $- 1$
$- 2 x$	=	$8$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $- 2 \sqrt{- 2 x + 1}$

$=$ $- 2 \sqrt{- 2 \cdot (- 4) + 1}$

= $- 2 \sqrt{8 + 1}$

= $- 2 \sqrt{9}$

= $- 6$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $- 6$

$=$ $- 6$

Also -6 = -6

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 12 x + 40}$ = $2 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 12 x + 40}$	=	$2 x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 12 x + 40$	=	${(2 x)}^{2}$

- 12 x + 40

=

4 x^{2}

|

- 4 x^{2}

- 4 x^{2} - 12 x + 40

= 0 |:4

$- x^{2} - 3 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 10}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{3+7}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{3-7}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 3 x + 10$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{- 12 x + 40}$

$=$ $\sqrt{- 12 \cdot (- 5) + 40}$

= $\sqrt{60 + 40}$

= $\sqrt{100}$

= $10$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $2 x$

$=$ $2 \cdot (- 5)$

= $- 10$

Also 10 ≠ -10

x = $- 5$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{- 12 x + 40}$

$=$ $\sqrt{- 12 \cdot 2 + 40}$

= $\sqrt{- 24 + 40}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $2$ in $2 x$

$=$ $2 \cdot 2$

= $4$

Also 4 = 4

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 21 x + 184} + 3 x$ = $2$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 21 x + 184} + 3 x$	=	$2$	\| $- 3 x$
$\sqrt{- 21 x + 184}$	=	$- 3 x + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 21 x + 184$	=	${(- 3 x + 2)}^{2}$

- 21 x + 184

=

9 x^{2} - 12 x + 4

|

- 9 x^{2}

+ 12 x

- 4

- 9 x^{2} - 9 x + 180

= 0 |:9

$- x^{2} - x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 20}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{81}}{- 2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{1+9}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{1-9}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - x + 20$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + x - 20$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{- 21 x + 184} + 3 x$

$=$ $\sqrt{- 21 \cdot (- 5) + 184} + 3 \cdot (- 5)$

= $\sqrt{105 + 184} - 15$

= $\sqrt{289} - 15$

= $17 - 15$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $2$

$=$ $2$

Also 2 = 2

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{- 21 x + 184} + 3 x$

$=$ $\sqrt{- 21 \cdot 4 + 184} + 3 \cdot 4$

= $\sqrt{- 84 + 184} + 12$

= $\sqrt{100} + 12$

= $10 + 12$

= $22$

Rechte Seite:

x = $4$ in $2$

$=$ $2$

Also 22 ≠ 2

x = $4$ ist somit keine Lösung !

L={ $- 5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x + 37}$ = $2 \sqrt{2 x + 7}$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x + 37}$	=	$2 \sqrt{2 x + 7}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x + 37$	=	${(2 \sqrt{2 x + 7})}^{2}$

$7 x + 37$	=	$4 (2 x + 7)$
$7 x + 37$	=	$8 x + 28$	\| $- 37$
$7 x$	=	$8 x - 9$	\| $- 8 x$
$- x$	=	$- 9$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$9$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $9$

Linke Seite:

x = $9$ in $\sqrt{7 x + 37}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot 9 + 37}$

= $\sqrt{63 + 37}$

= $\sqrt{100}$

= $10$

Rechte Seite:

x = $9$ in $2 \sqrt{2 x + 7}$

$=$ $2 \sqrt{2 \cdot 9 + 7}$

= $2 \sqrt{18 + 7}$

= $2 \sqrt{25}$

= $10$

Also 10 = 10

x = $9$ ist somit eine Lösung !

L={ $9$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x + 50}$ = $\sqrt{x + 14} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x + 50}$	=	$\sqrt{x + 14} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 50$	=	${(\sqrt{x + 14} + 2)}^{2}$

$5 x + 50$	=	$4 \sqrt{x + 14} + x + 18$	\| $- 5 x$ $- 50$ $- 4 \sqrt{x + 14}$
$- 4 \sqrt{x + 14}$	=	$- 4 x - 32$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{x + 14}$	=	$x + 8$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 14$	=	${(x + 8)}^{2}$

x + 14

=

x^{2} + 16 x + 64

|

- x^{2}

- 16 x

- 64

$- x^{2} - 15 x - 50$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 50)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 - 200}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{15+5}{- 2}$ = $\frac{20}{- 2}$ = $- 10$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{15-5}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 15 x - 50$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 15 x + 50$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{15}{2})}^{2} - 50$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $50$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $\frac{200}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{15}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{15}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{20}{2}$ = -10

x₂ = $- \frac{15}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 10$

Linke Seite:

x = $- 10$ in $\sqrt{5 x + 50}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 10) + 50}$

= $\sqrt{- 50 + 50}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $- 10$ in $\sqrt{x + 14} + 2$

$=$ $\sqrt{- 10 + 14} + 2$

= $\sqrt{4} + 2$

= $2 + 2$

= $4$

Also 0 ≠ 4

x = $- 10$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{5 x + 50}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 5) + 50}$

= $\sqrt{- 25 + 50}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{x + 14} + 2$

$=$ $\sqrt{- 5 + 14} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 5 = 5

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -4

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -5

Probe für x = 2

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -5

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 9

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -10

Probe für x = -5

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $2$

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $4$

Probe für x = $9$

Probe für x = $- 10$

Probe für x = $- 5$