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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 \sqrt{3 x + 1}$ = $- 12$

$- 3 \sqrt{3 x + 1}$	=	$- 12$	\|:( $- 3$ )
$\sqrt{3 x + 1}$	=	$4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 1$	=	$4^{2}$

$3 x + 1$	=	$16$	\| $- 1$
$3 x$	=	$15$	\|: $3$
$x$	=	$5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $- 3 \sqrt{3 x + 1}$

$=$ $- 3 \sqrt{3 \cdot 5 + 1}$

= $- 3 \sqrt{15 + 1}$

= $- 3 \sqrt{16}$

= $- 12$

Rechte Seite:

x = $5$ in $- 12$

$=$ $- 12$

Also -12 = -12

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{4 x - 4}$ = $- x$

Lösung einblenden

$\sqrt{4 x - 4}$	=	$- x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x - 4$	=	${(- x)}^{2}$

4 x - 4

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + 4 x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{4 x - 4}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 2 - 4}$

= $\sqrt{8 - 4}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $2$ in $- x$

$=$ $- 2$

Also 2 ≠ -2

x = $2$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 57 x - 89}$ = $- 3 x - 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 57 x - 89}$	=	$- 3 x - 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 57 x - 89$	=	${(- 3 x - 1)}^{2}$

- 57 x - 89

=

9 x^{2} + 6 x + 1

|

- 9 x^{2}

- 6 x

- 1

- 9 x^{2} - 63 x - 90

= 0 |:9

$- x^{2} - 7 x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 10)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{7+3}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{7-3}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{- 57 x - 89}$

$=$ $\sqrt{- 57 \cdot (- 5) - 89}$

= $\sqrt{285 - 89}$

= $\sqrt{196}$

= $14$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $- 3 x - 1$

$=$ $- 3 \cdot (- 5) - 1$

= $15 - 1$

= $14$

Also 14 = 14

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{- 57 x - 89}$

$=$ $\sqrt{- 57 \cdot (- 2) - 89}$

= $\sqrt{114 - 89}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $- 3 x - 1$

$=$ $- 3 \cdot (- 2) - 1$

= $6 - 1$

= $5$

Also 5 = 5

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ ; $- 2$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{34 x + 528}$ = $3 \sqrt{4 x + 60}$

Lösung einblenden

$\sqrt{34 x + 528}$	=	$3 \sqrt{4 x + 60}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$34 x + 528$	=	${(3 \sqrt{4 x + 60})}^{2}$

$34 x + 528$	=	$9 (4 x + 60)$
$34 x + 528$	=	$36 x + 540$	\| $- 528$
$34 x$	=	$36 x + 12$	\| $- 36 x$
$- 2 x$	=	$12$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 6$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 6$

Linke Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{34 x + 528}$

$=$ $\sqrt{34 \cdot (- 6) + 528}$

= $\sqrt{- 204 + 528}$

= $\sqrt{324}$

= $18$

Rechte Seite:

x = $- 6$ in $3 \sqrt{4 x + 60}$

$=$ $3 \sqrt{4 \cdot (- 6) + 60}$

= $3 \sqrt{- 24 + 60}$

= $3 \sqrt{36}$

= $18$

Also 18 = 18

x = $- 6$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 6$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{4 x + 48}$ = $\sqrt{2 x + 25} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{4 x + 48}$	=	$\sqrt{2 x + 25} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 48$	=	${(\sqrt{2 x + 25} + 1)}^{2}$

$4 x + 48$	=	$2 \sqrt{2 x + 25} + 2 x + 26$	\| $- 4 x$ $- 48$ $- 2 \sqrt{2 x + 25}$
$- 2 \sqrt{2 x + 25}$	=	$- 2 x - 22$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{2 x + 25}$	=	$x + 11$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 25$	=	${(x + 11)}^{2}$

2 x + 25

=

x^{2} + 22 x + 121

|

- x^{2}

- 22 x

- 121

$- x^{2} - 20 x - 96$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{{(- 20)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 96)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{400 - 384}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{20 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{20+4}{- 2}$ = $\frac{24}{- 2}$ = $- 12$

x₂ = $\frac{20 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{20-4}{- 2}$ = $\frac{16}{- 2}$ = $- 8$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 12$

Linke Seite:

x = $- 12$ in $\sqrt{4 x + 48}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 12) + 48}$

= $\sqrt{- 48 + 48}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $- 12$ in $\sqrt{2 x + 25} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 12) + 25} + 1$

= $\sqrt{- 24 + 25} + 1$

= $\sqrt{1} + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Also 0 ≠ 2

x = $- 12$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 8$

Linke Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{4 x + 48}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 8) + 48}$

= $\sqrt{- 32 + 48}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{2 x + 25} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 8) + 25} + 1$

= $\sqrt{- 16 + 25} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Also 4 = 4

x = $- 8$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 8$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Probe für x = 2

Wurzelgleichung (rechts linear)

Probe für x = -5

Probe für x = -2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -6

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Probe für x = -12

Probe für x = -8

Probe für x = $5$

Probe für x = $2$

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $- 6$

Probe für x = $- 12$

Probe für x = $- 8$