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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 \sqrt{3 x + 28}$ = $12$

$3 \sqrt{3 x + 28}$	=	$12$	\|: $3$
$\sqrt{3 x + 28}$	=	$4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 28$	=	$4^{2}$

$3 x + 28$	=	$16$	\| $- 28$
$3 x$	=	$- 12$	\|: $3$
$x$	=	$- 4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $3 \sqrt{3 x + 28}$

$=$ $3 \sqrt{3 \cdot (- 4) + 28}$

= $3 \sqrt{- 12 + 28}$

= $3 \sqrt{16}$

= $12$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $12$

$=$ $12$

Also 12 = 12

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 12 x + 40}$ = $- 2 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 12 x + 40}$	=	$- 2 x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 12 x + 40$	=	${(- 2 x)}^{2}$

$- 12 x + 40$

=

$4 x^{2}$

|

$- 4 x^{2}$

$- 4 x^{2} - 12 x + 40$ = 0 |:4

$- x^{2} - 3 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 10}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{3+7}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{3-7}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{- 12 x + 40}$

$=$ $\sqrt{- 12 \cdot (- 5) + 40}$

= $\sqrt{60 + 40}$

= $\sqrt{100}$

= $10$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $- 2 x$

$=$ $- 2 \cdot (- 5)$

= $10$

Also 10 = 10

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{- 12 x + 40}$

$=$ $\sqrt{- 12 \cdot 2 + 40}$

= $\sqrt{- 24 + 40}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $2$ in $- 2 x$

$=$ $- 2 \cdot 2$

= $- 4$

Also 4 ≠ -4

x = $2$ ist somit keine Lösung !

L={ $- 5$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x + 21}$ = $- x - 3$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x + 21}$	=	$- x - 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 21$	=	${(- x - 3)}^{2}$

$5 x + 21$

=

$x^{2} + 6 x + 9$

|

$- x^{2}$

$- 6 x$

$- 9$

$- x^{2} - x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 12}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{1+7}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{1-7}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{5 x + 21}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 4) + 21}$

= $\sqrt{- 20 + 21}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $- x - 3$

$=$ $- (- 4) - 3$

= $4 - 3$

= $1$

Also 1 = 1

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{5 x + 21}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 3 + 21}$

= $\sqrt{15 + 21}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $3$ in $- x - 3$

$=$ $- 3 - 3$

= $- 6$

Also 6 ≠ -6

x = $3$ ist somit keine Lösung !

L={ $- 4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{8 x + 44}$ = $2 \sqrt{x + 6}$

Lösung einblenden

$\sqrt{8 x + 44}$	=	$2 \sqrt{x + 6}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$8 x + 44$	=	${(2 \sqrt{x + 6})}^{2}$

$8 x + 44$	=	$4 (x + 6)$
$8 x + 44$	=	$4 x + 24$	\| $- 44$
$8 x$	=	$4 x - 20$	\| $- 4 x$
$4 x$	=	$- 20$	\|: $4$
$x$	=	$- 5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{8 x + 44}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot (- 5) + 44}$

= $\sqrt{- 40 + 44}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $2 \sqrt{x + 6}$

$=$ $2 \sqrt{- 5 + 6}$

= $2 \sqrt{1}$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{4 x + 25}$ = $\sqrt{2 x + 12} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{4 x + 25}$	=	$\sqrt{2 x + 12} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 25$	=	${(\sqrt{2 x + 12} + 1)}^{2}$

$4 x + 25$	=	$2 \sqrt{2 x + 12} + 2 x + 13$	\| $- 4 x$ $- 25$ $- 2 \sqrt{2 x + 12}$
$- 2 \sqrt{2 x + 12}$	=	$- 2 x - 12$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{2 x + 12}$	=	$x + 6$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 12$	=	${(x + 6)}^{2}$

$2 x + 12$

=

$x^{2} + 12 x + 36$

|

$- x^{2}$

$- 12 x$

$- 36$

$- x^{2} - 10 x - 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 24)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 96}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{10+2}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{10-2}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 6$

Linke Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{4 x + 25}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 6) + 25}$

= $\sqrt{- 24 + 25}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{2 x + 12} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 6) + 12} + 1$

= $\sqrt{- 12 + 12} + 1$

= $\sqrt{0} + 1$

= $0 + 1$

= $1$

Also 1 = 1

x = $- 6$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{4 x + 25}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 4) + 25}$

= $\sqrt{- 16 + 25}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{2 x + 12} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 4) + 12} + 1$

= $\sqrt{- 8 + 12} + 1$

= $\sqrt{4} + 1$

= $2 + 1$

= $3$

Also 3 = 3

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 6$ ; $- 4$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -4<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow> </mrow> </math>

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Probe für x = -5<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>5</mn></mrow> </mrow> </math>

Probe für x = 2<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>

Wurzelgleichung (rechts linear)

Probe für x = -4<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow> </mrow> </math>

Probe für x = 3<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>3</mn></mrow> </mrow> </math>

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -5<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>5</mn></mrow> </mrow> </math>

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Probe für x = -6<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>6</mn></mrow> </mrow> </math>

Probe für x = -4<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow> </mrow> </math>

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $2$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $- 6$

Probe für x = $- 4$