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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \sqrt{2 x + 15}$ = $6$

$2 \sqrt{2 x + 15}$	=	$6$	\|: $2$
$\sqrt{2 x + 15}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 15$	=	$3^{2}$

$2 x + 15$	=	$9$	\| $- 15$
$2 x$	=	$- 6$	\|: $2$
$x$	=	$- 3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $2 \sqrt{2 x + 15}$

$=$ $2 \sqrt{2 \cdot (- 3) + 15}$

= $2 \sqrt{- 6 + 15}$

= $2 \sqrt{9}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $6$

$=$ $6$

Also 6 = 6

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 3$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 7 x - 12}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 7 x - 12}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 7 x - 12$	=	${(x)}^{2}$

- 7 x - 12

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} - 7 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{7+1}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{7-1}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 7 x - 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 7 x + 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{- 7 x - 12}$

$=$ $\sqrt{- 7 \cdot (- 4) - 12}$

= $\sqrt{28 - 12}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $x$

$=$ $- 4$

Also 4 ≠ -4

x = $- 4$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{- 7 x - 12}$

$=$ $\sqrt{- 7 \cdot (- 3) - 12}$

= $\sqrt{21 - 12}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $x$

$=$ $- 3$

Also 3 ≠ -3

x = $- 3$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{120 x - 200}$ = $- 3 x - 5$

Lösung einblenden

$\sqrt{120 x - 200}$	=	$- 3 x - 5$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$120 x - 200$	=	${(- 3 x - 5)}^{2}$

120 x - 200

=

9 x^{2} + 30 x + 25

|

- 9 x^{2}

- 30 x

- 25

- 9 x^{2} + 90 x - 225

= 0 |:9

$- x^{2} + 10 x - 25$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 25)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 10 x - 25$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 10 x + 25$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 25$ = $25$ $-$ $25$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $5$ ± 0 = $5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{120 x - 200}$

$=$ $\sqrt{120 \cdot 5 - 200}$

= $\sqrt{600 - 200}$

= $\sqrt{400}$

= $20$

Rechte Seite:

x = $5$ in $- 3 x - 5$

$=$ $- 3 \cdot 5 - 5$

= $- 15 - 5$

= $- 20$

Also 20 ≠ -20

x = $5$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{12 x + 208}$ = $2 \sqrt{2 x + 43}$

Lösung einblenden

$\sqrt{12 x + 208}$	=	$2 \sqrt{2 x + 43}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$12 x + 208$	=	${(2 \sqrt{2 x + 43})}^{2}$

$12 x + 208$	=	$4 (2 x + 43)$
$12 x + 208$	=	$8 x + 172$	\| $- 208$
$12 x$	=	$8 x - 36$	\| $- 8 x$
$4 x$	=	$- 36$	\|: $4$
$x$	=	$- 9$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 9$

Linke Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{12 x + 208}$

$=$ $\sqrt{12 \cdot (- 9) + 208}$

= $\sqrt{- 108 + 208}$

= $\sqrt{100}$

= $10$

Rechte Seite:

x = $- 9$ in $2 \sqrt{2 x + 43}$

$=$ $2 \sqrt{2 \cdot (- 9) + 43}$

= $2 \sqrt{- 18 + 43}$

= $2 \sqrt{25}$

= $10$

Also 10 = 10

x = $- 9$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 9$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x + 52}$ = $\sqrt{2 x + 16} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x + 52}$	=	$\sqrt{2 x + 16} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x + 52$	=	${(\sqrt{2 x + 16} + 2)}^{2}$

$6 x + 52$	=	$4 \sqrt{2 x + 16} + 2 x + 20$	\| $- 6 x$ $- 52$ $- 4 \sqrt{2 x + 16}$
$- 4 \sqrt{2 x + 16}$	=	$- 4 x - 32$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{2 x + 16}$	=	$x + 8$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 16$	=	${(x + 8)}^{2}$

2 x + 16

=

x^{2} + 16 x + 64

|

- x^{2}

- 16 x

- 64

$- x^{2} - 14 x - 48$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 48)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 192}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{14 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{14+2}{- 2}$ = $\frac{16}{- 2}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{14 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{14-2}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 14 x - 48$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 14 x + 48$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $7^{2} - 48$ = $49$ $-$ $48$ = $1$

x_1,2 = $- 7$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 7$ - $1$ = -8

x₂ = $- 7$ + $1$ = -6

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 8$

Linke Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{6 x + 52}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 8) + 52}$

= $\sqrt{- 48 + 52}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{2 x + 16} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 8) + 16} + 2$

= $\sqrt{- 16 + 16} + 2$

= $\sqrt{0} + 2$

= $0 + 2$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 8$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 6$

Linke Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{6 x + 52}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 6) + 52}$

= $\sqrt{- 36 + 52}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{2 x + 16} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 6) + 16} + 2$

= $\sqrt{- 12 + 16} + 2$

= $\sqrt{4} + 2$

= $2 + 2$

= $4$

Also 4 = 4

x = $- 6$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 8$ ; $- 6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -3

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = -3

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -9

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -8

Probe für x = -6

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 9$

Probe für x = $- 8$

Probe für x = $- 6$