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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-3x +1 = 2

Lösung einblenden
-3x +1 = 2 |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
-3x +1 = 2 2
-3x +1 = 4 | -1
-3x = 3 |:(-3 )
x = -1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = -1

Linke Seite:

x = -1 in -3x +1

= -3( -1 ) +1

= 3 +1

= 4

= 2

Rechte Seite:

x = -1 in 2

= 2

Also 2 = 2

x = -1 ist somit eine Lösung !

L={ -1 }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

3x +10 = x

Lösung einblenden
3x +10 = x |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
3x +10 = ( x ) 2
3x +10 = x 2 | - x 2

- x 2 +3x +10 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -3 ± 3 2 -4 · ( -1 ) · 10 2( -1 )

x1,2 = -3 ± 9 +40 -2

x1,2 = -3 ± 49 -2

x1 = -3 + 49 -2 = -3 +7 -2 = 4 -2 = -2

x2 = -3 - 49 -2 = -3 -7 -2 = -10 -2 = 5

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "-1 " teilen:

- x 2 +3x +10 = 0 |: -1

x 2 -3x -10 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 3 2 ) 2 - ( -10 ) = 9 4 + 10 = 9 4 + 40 4 = 49 4

x1,2 = 3 2 ± 49 4

x1 = 3 2 - 7 2 = - 4 2 = -2

x2 = 3 2 + 7 2 = 10 2 = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = -2

Linke Seite:

x = -2 in 3x +10

= 3( -2 ) +10

= -6 +10

= 4

= 2

Rechte Seite:

x = -2 in x

= -2

Also 2 ≠ -2

x = -2 ist somit keine Lösung !

Probe für x = 5

Linke Seite:

x = 5 in 3x +10

= 35 +10

= 15 +10

= 25

= 5

Rechte Seite:

x = 5 in x

= 5

Also 5 = 5

x = 5 ist somit eine Lösung !

L={ 5 }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-36x -59 = -2x +1

Lösung einblenden
-36x -59 = -2x +1 |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
-36x -59 = ( -2x +1 ) 2
-36x -59 = 4 x 2 -4x +1 | -4 x 2 +4x -1
-4 x 2 -32x -60 = 0 |:4

- x 2 -8x -15 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +8 ± ( -8 ) 2 -4 · ( -1 ) · ( -15 ) 2( -1 )

x1,2 = +8 ± 64 -60 -2

x1,2 = +8 ± 4 -2

x1 = 8 + 4 -2 = 8 +2 -2 = 10 -2 = -5

x2 = 8 - 4 -2 = 8 -2 -2 = 6 -2 = -3

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "-1 " teilen:

- x 2 -8x -15 = 0 |: -1

x 2 +8x +15 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 4 2 - 15 = 16 - 15 = 1

x1,2 = -4 ± 1

x1 = -4 - 1 = -5

x2 = -4 + 1 = -3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = -5

Linke Seite:

x = -5 in -36x -59

= -36( -5 ) -59

= 180 -59

= 121

= 11

Rechte Seite:

x = -5 in -2x +1

= -2( -5 ) +1

= 10 +1

= 11

Also 11 = 11

x = -5 ist somit eine Lösung !

Probe für x = -3

Linke Seite:

x = -3 in -36x -59

= -36( -3 ) -59

= 108 -59

= 49

= 7

Rechte Seite:

x = -3 in -2x +1

= -2( -3 ) +1

= 6 +1

= 7

Also 7 = 7

x = -3 ist somit eine Lösung !

L={ -5 ; -3 }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

10x +150 = 2 3x +40

Lösung einblenden
10x +150 = 2 3x +40 |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
10x +150 = ( 2 3x +40 ) 2
10x +150 = 4( 3x +40 )
10x +150 = 12x +160 | -150
10x = 12x +10 | -12x
-2x = 10 |:(-2 )
x = -5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = -5

Linke Seite:

x = -5 in 10x +150

= 10( -5 ) +150

= -50 +150

= 100

= 10

Rechte Seite:

x = -5 in 2 3x +40

= 2 3( -5 ) +40

= 2 -15 +40

= 2 25

= 10

Also 10 = 10

x = -5 ist somit eine Lösung !

L={ -5 }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

9x +19 = 5x +11 +2

Lösung einblenden
9x +19 = 5x +11 +2 |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
9x +19 = ( 5x +11 +2 ) 2
9x +19 = 4 5x +11 +5x +15 | -9x -19 -4 5x +11
-4 5x +11 = -4x -4 |:(-4 )
5x +11 = x +1 |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
5x +11 = ( x +1 ) 2
5x +11 = x 2 +2x +1 | - x 2 -2x -1

- x 2 +3x +10 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -3 ± 3 2 -4 · ( -1 ) · 10 2( -1 )

x1,2 = -3 ± 9 +40 -2

x1,2 = -3 ± 49 -2

x1 = -3 + 49 -2 = -3 +7 -2 = 4 -2 = -2

x2 = -3 - 49 -2 = -3 -7 -2 = -10 -2 = 5

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "-1 " teilen:

- x 2 +3x +10 = 0 |: -1

x 2 -3x -10 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 3 2 ) 2 - ( -10 ) = 9 4 + 10 = 9 4 + 40 4 = 49 4

x1,2 = 3 2 ± 49 4

x1 = 3 2 - 7 2 = - 4 2 = -2

x2 = 3 2 + 7 2 = 10 2 = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = -2

Linke Seite:

x = -2 in 9x +19

= 9( -2 ) +19

= -18 +19

= 1

= 1

Rechte Seite:

x = -2 in 5x +11 +2

= 5( -2 ) +11 +2

= -10 +11 +2

= 1 +2

= 1 +2

= 3

Also 1 ≠ 3

x = -2 ist somit keine Lösung !

Probe für x = 5

Linke Seite:

x = 5 in 9x +19

= 95 +19

= 45 +19

= 64

= 8

Rechte Seite:

x = 5 in 5x +11 +2

= 55 +11 +2

= 25 +11 +2

= 36 +2

= 6 +2

= 8

Also 8 = 8

x = 5 ist somit eine Lösung !

L={ 5 }