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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Durchmesser 83 m und die Höhe h = 5 m. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

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Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = 83 2 m = 41.5m

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 41.52 m² ≈ 5410,61 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 5410.61 m² mit der Höhe h = 5 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 5410.61 m² ⋅ 5 m ≈ 27053,04 m³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 5 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅41.5 m ≈ 260.75 m

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 5410.61 m² + 5 m ⋅ 2π ⋅ 41.5 m
≈ 10821.22 m² + 5 m ⋅ 260.75 m
≈ 10821.22 m² + 1303.76 m²
≈ 12124,98 m²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 527.8 mm² = und den Radius r = 14 mm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2⋅π · 14 · h = 527.8

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

87,962h = 527,8

87,962h = 527,8 |:87,962
h = 6,0003

Wir erhalten also h = 6 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 142 mm² ≈ 615,75 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 615.75 mm² mit der Höhe h = 6 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 615.75 mm² ⋅ 6 mm ≈ 3694,51 mm³

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Oberflächeninhalt O = 14740.4 m² = und den Radius r = 46 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Oberflächeninhalt O.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Oberflächeninhalt O auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

O = 2G + M = 2π ⋅ r2 + 2π ⋅ r ⋅ h, also

2 ⋅ π ⋅ r2 + 2π ⋅ r ⋅ h = O

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2⋅π · 46 2 + 2⋅π · 46 · h = 14740.4

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

289,018h +13294,828 = 14740,4

289,018h +13294,828 = 14740,4 | -13294,828
289,018h = 1445,572 |:289,018
h = 5,0017

Wir erhalten also h = 5 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 462 m² ≈ 6647,61 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 6647.61 m² mit der Höhe h = 5 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 6647.61 m² ⋅ 5 m ≈ 33238,05 m³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Einen 5 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 17 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,42 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?

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Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 17 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 8,5 cm.

Da die Dicke des halben Hohlylinders 0,42 cm ist, muss also der innere Radius rin = 8,08 cm sein.

Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:

G = Aout - Ain = 1 2 π r2 - 1 2 π rin2 =
= 1 2 π (8,5 cm)2 - 1 2 π (8,08 cm)2
= 113,49 cm2 - 102,552 cm2
= 10,938 cm2

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 500 cm:

V = 10,938 cm2 ⋅ 500 cm = 5469 cm3

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm3:

m = 5469 cm3 ⋅ 8 g/cm3 = 43752 g = 43,752 kg.