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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Durchmesser 73 m und die Höhe h = 6 m. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

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Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = 73 2 m = 36.5m

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 36.52 m² ≈ 4185,39 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 4185.39 m² mit der Höhe h = 6 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 4185.39 m² ⋅ 6 m ≈ 25112,32 m³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 6 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅36.5 m ≈ 229.34 m

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 4185.39 m² + 6 m ⋅ 2π ⋅ 36.5 m
≈ 8370.77 m² + 6 m ⋅ 229.34 m
≈ 8370.77 m² + 1376.02 m²
≈ 9746,79 m²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 486.9 m² = und die Höhe h = 2.5 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2⋅π · r · 2,5 = 486.9

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

15,7075r = 486,9

15,7075r = 486,9 |:15,7075
r = 30,9979

Wir erhalten also r = 31 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 312 m² ≈ 3019,07 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 3019.07 m² mit der Höhe h = 2.5 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 3019.07 m² ⋅ 2.5 m ≈ 7547,68 m³

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 31948.4 cm³ = und die Höhe h = 5.5 cm. Bestimme den Mantelflächeninhalt M dieses Zylinders.

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Um den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also

π ⋅ r2 ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

π · r 2 · 5,5 = 31948.4

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

17,281 r 2 = 31948,4

17,281 r 2 = 31948,4 |:17,281
r 2 = 1848,75875 | ⋅2
r1 = - 1848,75875 ≈ -42,997
r2 = 1848,75875 ≈ 42,997

Wir erhalten also r = 43 und können nun damit den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen.

Der Mantel hat die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite die Höhe h = 5.5 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅43 cm ≈ 270.18 cm

Somit gilt für den Mantelflächeninhalt:

M = h⋅U
≈ 5.5 cm ⋅ 2π ⋅ 43 cm
≈ 5.5 cm ⋅ 270.18 cm
≈ 1485,97 cm²

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Einen 3,5 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 16 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,32 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?

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Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 16 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 8 cm.

Da die Dicke des halben Hohlylinders 0,32 cm ist, muss also der innere Radius rin = 7,68 cm sein.

Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:

G = Aout - Ain = 1 2 π r2 - 1 2 π rin2 =
= 1 2 π (8 cm)2 - 1 2 π (7,68 cm)2
= 100,531 cm2 - 92,649 cm2
= 7,882 cm2

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 350 cm:

V = 7,882 cm2 ⋅ 350 cm = 2759 cm3

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm3:

m = 2759 cm3 ⋅ 8 g/cm3 = 22072 g = 22,072 kg.