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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Durchmesser 75 m und die Höhe h = 10 m. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = $\frac{75}{2}$ m = 37.5m

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 37.5² m² ≈ 4417,86 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 4417.86 m² mit der Höhe h = 10 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 4417.86 m² ⋅ 10 m ≈ 44178,65 m³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 10 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅37.5 m ≈ 235.62 m

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 4417.86 m² + 10 m ⋅ 2π ⋅ 37.5 m
≈ 8835.73 m² + 10 m ⋅ 235.62 m
≈ 8835.73 m² + 2356.19 m²
≈ 11191,92 m²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 329.9 m² = und die Höhe h = 3.5 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$2 \cdot π \cdot r \cdot 3,5$ = 329.9

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

$21,9905 r$ = $329,9$

$21,9905 r$	=	$329,9$	\|: $21,9905$
$r$	=	$15,0019$

Wir erhalten also r = 15 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 15² m² ≈ 706,86 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 706.86 m² mit der Höhe h = 3.5 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 706.86 m² ⋅ 3.5 m ≈ 2474 m³

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Oberflächeninhalt O = 3223.3 m² = und die Höhe h = 8 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Oberflächeninhalt O.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Oberflächeninhalt O auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

O = 2G + M = 2π ⋅ r² + 2π ⋅ r ⋅ h, also

2 ⋅ π ⋅ r² + 2π ⋅ r ⋅ h = O

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$2 \cdot π \cdot r^{2} + 2 \cdot π \cdot r \cdot 8$ = 3223.3

Wir teilen auf beiden Seiten durch 2π

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

$r^{2} + 8 r$ = $513$

r^{2} + 8 r

=

513

|

- 513

$r^{2} + 8 r - 513$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

r_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 513)}}{2 \cdot 1}$

r_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 2 052}}{2}$

r_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{2 116}}{2}$

r₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{2 116}}{2}$ = $\frac{- 8+46}{2}$ = $\frac{38}{2}$ = $19$

r₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{2 116}}{2}$ = $\frac{- 8-46}{2}$ = $\frac{- 54}{2}$ = $- 27$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - (- 513)$ = $16$ $+$ $513$ = $529$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{529}$

x₁ = $- 4$ - $23$ = -27

x₂ = $- 4$ + $23$ = 19

Wir erhalten also r = 19 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 19² m² ≈ 1134,11 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 1134.11 m² mit der Höhe h = 8 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 1134.11 m² ⋅ 8 m ≈ 9072,92 m³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Einen 4,5 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 15 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,45 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?

Lösung einblenden

Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 15 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 7,5 cm.

Da die Dicke des halben Hohlylinders 0,45 cm ist, muss also der innere Radius r_in = 7,05 cm sein.

Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:

G = A_out - A_in = $\frac{1}{2}$ π r² - $\frac{1}{2}$ π r_in² =
= $\frac{1}{2}$ π (7,5 cm)² - $\frac{1}{2}$ π (7,05 cm)²
= 88,357 cm² - 78,073 cm²
= 10,284 cm²

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 450 cm:

V = 10,284 cm² ⋅ 450 cm = 4628 cm³

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm³:

m = 4628 cm³ ⋅ 8 g/cm³ = 37024 g = 37,024 kg.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zylinder V und O

Zylinder rückwärts (einfach)

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Zylinder Anwendungen