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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Durchmesser 94 m und die Höhe h = 10 m. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

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Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = $\frac{94}{2}$ m = 47m

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 47² m² ≈ 6939,78 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 6939.78 m² mit der Höhe h = 10 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 6939.78 m² ⋅ 10 m ≈ 69397,78 m³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 10 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅47 m ≈ 295.31 m

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 6939.78 m² + 10 m ⋅ 2π ⋅ 47 m
≈ 13879.56 m² + 10 m ⋅ 295.31 m
≈ 13879.56 m² + 2953.1 m²
≈ 16832,65 m²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 8482.3 mm³ = und den Radius r = 30 mm. Bestimme den Mantelflächeninhalt M dieses Zylinders.

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Um den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r² ⋅ h, also

π ⋅ r² ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$π \cdot 30^{2} \cdot h$ = 8482.3

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

$2 827,8 h$ = $8 482,3$

$2 827,8 h$	=	$8 482,3$	\|: $2 827,8$
$h$	=	$2,9996$

Wir erhalten also h = 3 und können nun damit den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen.

Der Mantel hat die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite die Höhe h = 3 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅30 mm ≈ 188.5 mm

Somit gilt für den Mantelflächeninhalt:

M = h⋅U
≈ 3 mm ⋅ 2π ⋅ 30 mm
≈ 3 mm ⋅ 188.5 mm
≈ 565,49 mm²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Oberflächeninhalt O = 754 mm² = und die Höhe h = 7 mm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Oberflächeninhalt O.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Oberflächeninhalt O auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

O = 2G + M = 2π ⋅ r² + 2π ⋅ r ⋅ h, also

2 ⋅ π ⋅ r² + 2π ⋅ r ⋅ h = O

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$2 \cdot π \cdot r^{2} + 2 \cdot π \cdot r \cdot 7$ = 754

Wir teilen auf beiden Seiten durch 2π

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

$r^{2} + 7 r$ = $120$

r^{2} + 7 r

=

120

|

- 120

$r^{2} + 7 r - 120$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

r_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 120)}}{2 \cdot 1}$

r_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 480}}{2}$

r_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{529}}{2}$

r₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{529}}{2}$ = $\frac{- 7+23}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

r₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{529}}{2}$ = $\frac{- 7-23}{2}$ = $\frac{- 30}{2}$ = $- 15$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 120)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $120$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{480}{4}$ = $\frac{529}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{529}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{23}{2}$ = $- \frac{30}{2}$ = -15

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{23}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

Wir erhalten also r = 8 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 8² mm² ≈ 201,06 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 201.06 mm² mit der Höhe h = 7 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 201.06 mm² ⋅ 7 mm ≈ 1407,43 mm³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 3m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 5,228m² und wird von einer 21 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2000 kg wiegt?

Lösung einblenden

Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche A_in = 5,228 zu berechen.

A_in = π r_in²

5,228 m² = π r_in² | :π

1,664 m² = r_in²

1,29 m ≈ r_in

Der Radius des inneren Kreises ist also r_in = 1,29 m.

Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,21 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises r_out = 1,5 m.

Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt A_out = π ⋅ r²
= π ⋅ 1,5² ≈ 7,069 m²

Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt A_in = 5,228 m² hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten) Kreisrings
G = A_out - A_in = 7,069 m² - 5,228 m² = 1,841 m²

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 3 m:

V = 1,841 m² ⋅ 3 m = 5,522 m³

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2000 kg/m³:

m = 5,522 m³ ⋅ 2000 kg/m³ = 11044 kg.

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Zylinder V und O

Zylinder rückwärts (einfach)

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Zylinder Anwendungen