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Zylinder V und O
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Radius 36,5 m und die Höhe h = 6 m. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 36.52 m² ≈ 4185,39 m²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 4185.39 m² mit der Höhe h = 6 m multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 4185.39 m² ⋅ 6 m ≈ 25112,32 m³
Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 6 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅36.5 m ≈ 229.34 m
Somit gilt für die Oberfläche:
O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 4185.39 m² + 6 m ⋅ 2π ⋅ 36.5 m
≈ 8370.77 m² + 6 m ⋅ 229.34 m
≈ 8370.77 m² + 1376.02 m²
≈
9746,79 m²
Zylinder rückwärts (einfach)
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 307.9 cm² = und die Höhe h = 3.5 cm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.
Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.
Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.
M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also
2π ⋅ r ⋅ h = M
alle gegebenen Größen eingesetzt:
= 307.9
Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:
=
| = | |: | ||
| = |
Wir erhalten also r = 14 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 142 cm² ≈ 615,75 cm²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 615.75 cm² mit der Höhe h = 3.5 cm multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 615.75 cm² ⋅ 3.5 cm ≈ 2155,13 cm³
Zylinder rückw. (alle Möglichk.)
Beispiel:
Ein Zylinder hat das Volumen V = 3392.9 m³ = und die Höhe h = 7.5 m. Bestimme den Mantelflächeninhalt M dieses Zylinders.
Um den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.
Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.
V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also
π ⋅ r2 ⋅ h = V
alle gegebenen Größen eingesetzt:
= 3392.9
Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:
=
| = | |: | ||
| = | | | ||
| r1 | = | ≈ | |
| r2 | = | ≈ |
Wir erhalten also r = 12 und können nun damit den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen.
Der Mantel hat die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite die Höhe h = 7.5 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅12 m ≈ 75.4 m
Somit gilt für den Mantelflächeninhalt:
M = h⋅U
≈ 7.5 m ⋅ 2π ⋅ 12 m
≈ 7.5 m ⋅ 75.4 m
≈ 565,49 m²
Zylinder Anwendungen
Beispiel:
Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 5m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 1,911m² und wird von einer 12 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2600 kg wiegt?
Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche Ain = 1,911 zu berechen.
Ain = π rin2
1,911 m² = π rin2 | :π
0,608 m² = rin2
0,78 m ≈ rin
Der Radius des inneren Kreises ist also rin = 0,78 m.
Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,12 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises rout = 0,9 m.
Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt Aout = π ⋅ r²
= π ⋅ 0,92 ≈ 2,545 m2
Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt Ain = 1,911 m2 hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten)
Kreisrings
G = Aout - Ain = 2,545 m2 - 1,911 m2 = 0,634 m2
Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 5 m:
V = 0,634 m2 ⋅ 5 m = 3,167 m3
Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2600 kg/m3:
m = 3,167 m3 ⋅ 2600 kg/m3 = 8234,2 kg.