Mathebattle EduRandomtasks

Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Radius 21,5 m und die Höhe h = 6 m. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

Lösung einblenden

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 21.5² m² ≈ 1452,2 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 1452.2 m² mit der Höhe h = 6 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 1452.2 m² ⋅ 6 m ≈ 8713,21 m³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 6 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅21.5 m ≈ 135.09 m

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 1452.2 m² + 6 m ⋅ 2π ⋅ 21.5 m
≈ 2904.4 m² + 6 m ⋅ 135.09 m
≈ 2904.4 m² + 810.53 m²
≈ 3714,93 m²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 27488.9 m³ = und die Höhe h = 3.5 m. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r² ⋅ h, also

π ⋅ r² ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$π \cdot r^{2} \cdot 3,5$ = 27488.9

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

$10,997 r^{2}$ = $27 488,9$

$10,997 r^{2}$	=	$27 488,9$	\|: $10,997$
$r^{2}$	=	$2 499,67264$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
r₁	=	$- \sqrt{2 499,67264}$	≈ $- 49,997$
r₂	=	$\sqrt{2 499,67264}$	≈ $49,997$

Wir erhalten also r = 50 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 50² m² ≈ 7853,98 m²

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 3.5 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅50 m ≈ 314.16 m

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 7853.98 m² + 3.5 m ⋅ 2π ⋅ 50 m
≈ 15707.96 m² + 3.5 m ⋅ 314.16 m
≈ 15707.96 m² + 1099.56 m²
≈ 16807,52 m²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Oberflächeninhalt O = 103.7 cm² = und die Höhe h = 2.5 cm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Oberflächeninhalt O.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Oberflächeninhalt O auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

O = 2G + M = 2π ⋅ r² + 2π ⋅ r ⋅ h, also

2 ⋅ π ⋅ r² + 2π ⋅ r ⋅ h = O

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$2 \cdot π \cdot r^{2} + 2 \cdot π \cdot r \cdot 2,5$ = 103.7

Wir teilen auf beiden Seiten durch 2π

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

$r^{2} + 2,5 r$ = $16,5$

r^{2} + 2,5 r

=

16,5

|

- 16,5

$r^{2} + 2,5 r - 16,5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

r_1,2 = $\frac{- 2,5 \pm \sqrt{{2,5}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 16,5)}}{2 \cdot 1}$

r_1,2 = $\frac{- 2,5 \pm \sqrt{6,25 + 66}}{2}$

r_1,2 = $\frac{- 2,5 \pm \sqrt{72,25}}{2}$

r₁ = $\frac{- 2,5 + \sqrt{72,25}}{2}$ = $\frac{- 2,5+8,5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

r₂ = $\frac{- 2,5 - \sqrt{72,25}}{2}$ = $\frac{- 2,5-8,5}{2}$ = $\frac{- 11}{2}$ = $- 5,5$

Wir erhalten also r = 3 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 3² cm² ≈ 28,27 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 28.27 cm² mit der Höhe h = 2.5 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 28.27 cm² ⋅ 2.5 cm ≈ 70,69 cm³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 2m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 5,391m² und wird von einer 14 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2400 kg wiegt?

Lösung einblenden

Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche A_in = 5,391 zu berechen.

A_in = π r_in²

5,391 m² = π r_in² | :π

1,716 m² = r_in²

1,31 m ≈ r_in

Der Radius des inneren Kreises ist also r_in = 1,31 m.

Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,14 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises r_out = 1,45 m.

Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt A_out = π ⋅ r²
= π ⋅ 1,45² ≈ 6,605 m²

Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt A_in = 5,391 m² hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten) Kreisrings
G = A_out - A_in = 6,605 m² - 5,391 m² = 1,214 m²

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 2 m:

V = 1,214 m² ⋅ 2 m = 2,428 m³

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2400 kg/m³:

m = 2,428 m³ ⋅ 2400 kg/m³ = 5827,2 kg.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zylinder V und O

Zylinder rückwärts (einfach)

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Zylinder Anwendungen