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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Radius 30 m und die Höhe h = 5 m. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

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Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 302 m² ≈ 2827,43 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 2827.43 m² mit der Höhe h = 5 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 2827.43 m² ⋅ 5 m ≈ 14137,17 m³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 5 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅30 m ≈ 188.5 m

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 2827.43 m² + 5 m ⋅ 2π ⋅ 30 m
≈ 5654.87 m² + 5 m ⋅ 188.5 m
≈ 5654.87 m² + 942.48 m²
6597,34 m²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 942.5 m² = und den Radius r = 30 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2π · 30 · h = 942.5

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

188,49h = 942,5

188,49h = 942,5 |:188,49
h = 5,0003

Wir erhalten also h = 5 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 302 m² ≈ 2827,43 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 2827.43 m² mit der Höhe h = 5 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 2827.43 m² ⋅ 5 m ≈ 14137,17 m³

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Oberflächeninhalt O = 6126.1 cm² = und die Höhe h = 2.5 cm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Oberflächeninhalt O.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Oberflächeninhalt O auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

O = 2G + M = 2π ⋅ r2 + 2π ⋅ r ⋅ h, also

2 ⋅ π ⋅ r2 + 2π ⋅ r ⋅ h = O

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2π · r 2 + 2π · r · 2,5 = 6126.1

Wir teilen auf beiden Seiten durch 2π

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

r 2 +2,5r = 975

r 2 +2,5r = 975 | -975

r 2 +2,5r -975 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

r1,2 = -2,5 ± 2,5 2 -4 · 1 · ( -975 ) 21

r1,2 = -2,5 ± 6,25 +3900 2

r1,2 = -2,5 ± 3906,25 2

r1 = -2,5 + 3906,25 2 = -2,5 +62,5 2 = 60 2 = 30

r2 = -2,5 - 3906,25 2 = -2,5 -62,5 2 = -65 2 = -32,5

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 2,5 2 ) 2 - ( -975 ) = 6.25 4 + 975 = 6.25 4 + 3900 4 = 3906.25 4

x1,2 = - 2,5 2 ± 3906,25 4

x1 = - 2,5 2 - 62,5 2 ≈ -32.5

x2 = - 2,5 2 + 62,5 2 ≈ 30

Wir erhalten also r = 30 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 302 cm² ≈ 2827,43 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 2827.43 cm² mit der Höhe h = 2.5 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 2827.43 cm² ⋅ 2.5 cm ≈ 7068,58 cm³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 3m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 4,524m² und wird von einer 25 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2200 kg wiegt?

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Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche Ain = 4,524 zu berechen.

Ain = π rin2

4,524 m² = π rin2 | :π

1,44 m² = rin2

1,2 m ≈ rin

Der Radius des inneren Kreises ist also rin = 1,2 m.

Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,25 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises rout = 1,45 m.

Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt Aout = π ⋅ r²
= π ⋅ 1,452 ≈ 6,605 m2

Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt Ain = 4,524 m2 hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten) Kreisrings
G = Aout - Ain = 6,605 m2 - 4,524 m2 = 2,081 m2

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 3 m:

V = 2,081 m2 ⋅ 3 m = 6,244 m3

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2200 kg/m3:

m = 6,244 m3 ⋅ 2200 kg/m3 = 13736,8 kg.