Mathebattle EduRandomtasks

Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Durchmesser 43 m und die Höhe h = 10 m. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = $\frac{43}{2}$ m = 21.5m

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 21.5² m² ≈ 1452,2 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 1452.2 m² mit der Höhe h = 10 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 1452.2 m² ⋅ 10 m ≈ 14522,01 m³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 10 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅21.5 m ≈ 135.09 m

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 1452.2 m² + 10 m ⋅ 2π ⋅ 21.5 m
≈ 2904.4 m² + 10 m ⋅ 135.09 m
≈ 2904.4 m² + 1350.88 m²
≈ 4255,29 m²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 3562.6 cm³ = und die Höhe h = 3.5 cm. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r² ⋅ h, also

π ⋅ r² ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$π \cdot r^{2} \cdot 3,5$ = 3562.6

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

$10,997 r^{2}$ = $3 562,6$

$10,997 r^{2}$	=	$3 562,6$	\|: $10,997$
$r^{2}$	=	$323,96108$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
r₁	=	$- \sqrt{323,96108}$	≈ $- 17,999$
r₂	=	$\sqrt{323,96108}$	≈ $17,999$

Wir erhalten also r = 18 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 18² cm² ≈ 1017,88 cm²

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 3.5 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅18 cm ≈ 113.1 cm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 1017.88 cm² + 3.5 cm ⋅ 2π ⋅ 18 cm
≈ 2035.75 cm² + 3.5 cm ⋅ 113.1 cm
≈ 2035.75 cm² + 395.84 cm²
≈ 2431,59 cm²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 31415.9 m³ = und die Höhe h = 4 m. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r² ⋅ h, also

π ⋅ r² ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$π \cdot r^{2} \cdot 4$ = 31415.9

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

$12,568 r^{2}$ = $31 415,9$

$12,568 r^{2}$	=	$31 415,9$	\|: $12,568$
$r^{2}$	=	$2 499,67377$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
r₁	=	$- \sqrt{2 499,67377}$	≈ $- 49,997$
r₂	=	$\sqrt{2 499,67377}$	≈ $49,997$

Wir erhalten also r = 50 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 50² m² ≈ 7853,98 m²

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 4 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅50 m ≈ 314.16 m

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 7853.98 m² + 4 m ⋅ 2π ⋅ 50 m
≈ 15707.96 m² + 4 m ⋅ 314.16 m
≈ 15707.96 m² + 1256.64 m²
≈ 16964,6 m²

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 4m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 2,378m² und wird von einer 18 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2200 kg wiegt?

Lösung einblenden

Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche A_in = 2,378 zu berechen.

A_in = π r_in²

2,378 m² = π r_in² | :π

0,757 m² = r_in²

0,87 m ≈ r_in

Der Radius des inneren Kreises ist also r_in = 0,87 m.

Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,18 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises r_out = 1,05 m.

Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt A_out = π ⋅ r²
= π ⋅ 1,05² ≈ 3,464 m²

Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt A_in = 2,378 m² hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten) Kreisrings
G = A_out - A_in = 3,464 m² - 2,378 m² = 1,086 m²

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 4 m:

V = 1,086 m² ⋅ 4 m = 4,343 m³

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2200 kg/m³:

m = 4,343 m³ ⋅ 2200 kg/m³ = 9554,6 kg.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zylinder V und O

Zylinder rückwärts (einfach)

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Zylinder Anwendungen