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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Durchmesser 53 m und die Höhe h = 5 m. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = $\frac{53}{2}$ m = 26.5m

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 26.5² m² ≈ 2206,18 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 2206.18 m² mit der Höhe h = 5 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 2206.18 m² ⋅ 5 m ≈ 11030,92 m³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 5 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅26.5 m ≈ 166.5 m

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 2206.18 m² + 5 m ⋅ 2π ⋅ 26.5 m
≈ 4412.37 m² + 5 m ⋅ 166.5 m
≈ 4412.37 m² + 832.52 m²
≈ 5244,89 m²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 235.6 cm² = und den Radius r = 15 cm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$2 \cdot π \cdot 15 \cdot h$ = 235.6

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

$94,245 h$ = $235,6$

$94,245 h$	=	$235,6$	\|: $94,245$
$h$	=	$2,4999$

Wir erhalten also h = 2.5 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 15² cm² ≈ 706,86 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 706.86 cm² mit der Höhe h = 2.5 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 706.86 cm² ⋅ 2.5 cm ≈ 1767,15 cm³

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Oberflächeninhalt O = 11743.3 cm² = und die Höhe h = 2.5 cm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Oberflächeninhalt O.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Oberflächeninhalt O auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

O = 2G + M = 2π ⋅ r² + 2π ⋅ r ⋅ h, also

2 ⋅ π ⋅ r² + 2π ⋅ r ⋅ h = O

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$2 \cdot π \cdot r^{2} + 2 \cdot π \cdot r \cdot 2,5$ = 11743.3

Wir teilen auf beiden Seiten durch 2π

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

$r^{2} + 2,5 r$ = $1 869$

r^{2} + 2,5 r

=

1 869

|

- 1 869

$r^{2} + 2,5 r - 1 869$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

r_1,2 = $\frac{- 2,5 \pm \sqrt{{2,5}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 869)}}{2 \cdot 1}$

r_1,2 = $\frac{- 2,5 \pm \sqrt{6,25 + 7 476}}{2}$

r_1,2 = $\frac{- 2,5 \pm \sqrt{7 482,25}}{2}$

r₁ = $\frac{- 2,5 + \sqrt{7 482,25}}{2}$ = $\frac{- 2,5+86,5}{2}$ = $\frac{84}{2}$ = $42$

r₂ = $\frac{- 2,5 - \sqrt{7 482,25}}{2}$ = $\frac{- 2,5-86,5}{2}$ = $\frac{- 89}{2}$ = $- 44,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{2,5}{2})}^{2} - (- 1 869)$ = $\frac{6.25}{4}$ $+$ $1869$ = $\frac{6.25}{4}$ $+$ $\frac{7476}{4}$ = $\frac{7482.25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{2,5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{7482,25}{4}}$

x₁ = $- \frac{2,5}{2}$ - $\frac{86,5}{2}$ ≈ -44.5

x₂ = $- \frac{2,5}{2}$ + $\frac{86,5}{2}$ ≈ 42

Wir erhalten also r = 42 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 42² cm² ≈ 5541,77 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 5541.77 cm² mit der Höhe h = 2.5 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 5541.77 cm² ⋅ 2.5 cm ≈ 13854,42 cm³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Einen 5,5 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 12 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,18 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?

Lösung einblenden

Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 12 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 6 cm.

Da die Dicke des halben Hohlylinders 0,18 cm ist, muss also der innere Radius r_in = 5,82 cm sein.

Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:

G = A_out - A_in = $\frac{1}{2}$ π r² - $\frac{1}{2}$ π r_in² =
= $\frac{1}{2}$ π (6 cm)² - $\frac{1}{2}$ π (5,82 cm)²
= 56,549 cm² - 53,207 cm²
= 3,342 cm²

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 550 cm:

V = 3,342 cm² ⋅ 550 cm = 1838 cm³

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm³:

m = 1838 cm³ ⋅ 8 g/cm³ = 14704 g = 14,704 kg.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zylinder V und O

Zylinder rückwärts (einfach)

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Zylinder Anwendungen