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Zylinder V und O
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Radius 19 cm und die Höhe h = 10 cm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 192 cm² ≈ 1134,11 cm²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 1134.11 cm² mit der Höhe h = 10 cm multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 1134.11 cm² ⋅ 10 cm ≈ 11341,15 cm³
Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 10 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅19 cm ≈ 119.38 cm
Somit gilt für die Oberfläche:
O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 1134.11 cm² + 10 cm ⋅ 2π ⋅ 19 cm
≈ 2268.23 cm² + 10 cm ⋅ 119.38 cm
≈ 2268.23 cm² + 1193.81 cm²
≈
3462,04 cm²
Zylinder rückwärts (einfach)
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 471.2 cm² = und die Höhe h = 7.5 cm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.
Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.
Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.
M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also
2π ⋅ r ⋅ h = M
alle gegebenen Größen eingesetzt:
= 471.2
Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:
=
| = | |: | ||
| = |
Wir erhalten also r = 10 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 102 cm² ≈ 314,16 cm²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 314.16 cm² mit der Höhe h = 7.5 cm multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 314.16 cm² ⋅ 7.5 cm ≈ 2356,19 cm³
Zylinder rückw. (alle Möglichk.)
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Oberflächeninhalt O = 169.6 mm² = und den Radius r = 3 mm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.
Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Oberflächeninhalt O.
Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Oberflächeninhalt O auf und setzen alle gegebenen Größen ein.
O = 2G + M = 2π ⋅ r2 + 2π ⋅ r ⋅ h, also
2 ⋅ π ⋅ r2 + 2π ⋅ r ⋅ h = O
alle gegebenen Größen eingesetzt:
= 169.6
Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:
=
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = |
Wir erhalten also h = 6 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 32 mm² ≈ 28,27 mm²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 28.27 mm² mit der Höhe h = 6 mm multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 28.27 mm² ⋅ 6 mm ≈ 169,65 mm³
Zylinder Anwendungen
Beispiel:
Einen 6,5 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 16 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,48 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?
Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 16 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 8 cm.
Da die Dicke des halben Hohlylinders 0,48 cm ist, muss also der innere Radius rin = 7,52 cm sein.
Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:
G = Aout - Ain = π r2 - π rin2 =
= π (8 cm)2 - π (7,52
cm)2
= 100,531 cm2 - 88,829 cm2
=
11,702 cm2
Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 650 cm:
V = 11,702 cm2 ⋅ 650 cm = 7606 cm3
Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm3:
m = 7606 cm3 ⋅ 8 g/cm3 = 60848 g = 60,848 kg.