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Zylinder V und O
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Durchmesser 83 m und die Höhe h = 5 m. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.
Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = m = 41.5m
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 41.52 m² ≈ 5410,61 m²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 5410.61 m² mit der Höhe h = 5 m multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 5410.61 m² ⋅ 5 m ≈ 27053,04 m³
Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 5 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅41.5 m ≈ 260.75 m
Somit gilt für die Oberfläche:
O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 5410.61 m² + 5 m ⋅ 2π ⋅ 41.5 m
≈ 10821.22 m² + 5 m ⋅ 260.75 m
≈ 10821.22 m² + 1303.76 m²
≈
12124,98 m²
Zylinder rückwärts (einfach)
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 527.8 mm² = und den Radius r = 14 mm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.
Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.
Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.
M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also
2π ⋅ r ⋅ h = M
alle gegebenen Größen eingesetzt:
= 527.8
Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:
=
| = | |: | ||
| = |
Wir erhalten also h = 6 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 142 mm² ≈ 615,75 mm²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 615.75 mm² mit der Höhe h = 6 mm multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 615.75 mm² ⋅ 6 mm ≈ 3694,51 mm³
Zylinder rückw. (alle Möglichk.)
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Oberflächeninhalt O = 14740.4 m² = und den Radius r = 46 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.
Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Oberflächeninhalt O.
Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Oberflächeninhalt O auf und setzen alle gegebenen Größen ein.
O = 2G + M = 2π ⋅ r2 + 2π ⋅ r ⋅ h, also
2 ⋅ π ⋅ r2 + 2π ⋅ r ⋅ h = O
alle gegebenen Größen eingesetzt:
= 14740.4
Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:
=
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = |
Wir erhalten also h = 5 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 462 m² ≈ 6647,61 m²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 6647.61 m² mit der Höhe h = 5 m multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 6647.61 m² ⋅ 5 m ≈ 33238,05 m³
Zylinder Anwendungen
Beispiel:
Einen 5 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 17 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,42 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?
Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 17 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 8,5 cm.
Da die Dicke des halben Hohlylinders 0,42 cm ist, muss also der innere Radius rin = 8,08 cm sein.
Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:
G = Aout - Ain = π r2 - π rin2 =
= π (8,5 cm)2 - π (8,08
cm)2
= 113,49 cm2 - 102,552 cm2
=
10,938 cm2
Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 500 cm:
V = 10,938 cm2 ⋅ 500 cm = 5469 cm3
Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm3:
m = 5469 cm3 ⋅ 8 g/cm3 = 43752 g = 43,752 kg.
