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Zylinder V und O
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Radius 14 m und die Höhe h = 9 m. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 142 m² ≈ 615,75 m²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 615.75 m² mit der Höhe h = 9 m multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 615.75 m² ⋅ 9 m ≈ 5541,77 m³
Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 9 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅14 m ≈ 87.96 m
Somit gilt für die Oberfläche:
O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 615.75 m² + 9 m ⋅ 2π ⋅ 14 m
≈ 1231.5 m² + 9 m ⋅ 87.96 m
≈ 1231.5 m² + 791.68 m²
≈
2023,19 m²
Zylinder rückwärts (einfach)
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 754 m² = und den Radius r = 20 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.
Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.
Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.
M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also
2π ⋅ r ⋅ h = M
alle gegebenen Größen eingesetzt:
= 754
Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:
=
| = | |: | ||
| = |
Wir erhalten also h = 6 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 202 m² ≈ 1256,64 m²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 1256.64 m² mit der Höhe h = 6 m multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 1256.64 m² ⋅ 6 m ≈ 7539,82 m³
Zylinder rückw. (alle Möglichk.)
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 2211.7 cm² = und die Höhe h = 8 cm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.
Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.
Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.
M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also
2π ⋅ r ⋅ h = M
alle gegebenen Größen eingesetzt:
= 2211.7
Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:
=
| = | |: | ||
| = |
Wir erhalten also r = 44 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 442 cm² ≈ 6082,12 cm²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 6082.12 cm² mit der Höhe h = 8 cm multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 6082.12 cm² ⋅ 8 cm ≈ 48656,99 cm³
Zylinder Anwendungen
Beispiel:
Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 3m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 4,676m² und wird von einer 23 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2200 kg wiegt?
Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche Ain = 4,676 zu berechen.
Ain = π rin2
4,676 m² = π rin2 | :π
1,488 m² = rin2
1,22 m ≈ rin
Der Radius des inneren Kreises ist also rin = 1,22 m.
Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,23 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises rout = 1,45 m.
Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt Aout = π ⋅ r²
= π ⋅ 1,452 ≈ 6,605 m2
Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt Ain = 4,676 m2 hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten)
Kreisrings
G = Aout - Ain = 6,605 m2 - 4,676 m2 = 1,929 m2
Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 3 m:
V = 1,929 m2 ⋅ 3 m = 5,788 m3
Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2200 kg/m3:
m = 5,788 m3 ⋅ 2200 kg/m3 = 12733,6 kg.