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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Radius 30 m und die Höhe h = 5 m. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

Lösung einblenden

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 30² m² ≈ 2827,43 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 2827.43 m² mit der Höhe h = 5 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 2827.43 m² ⋅ 5 m ≈ 14137,17 m³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 5 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅30 m ≈ 188.5 m

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 2827.43 m² + 5 m ⋅ 2π ⋅ 30 m
≈ 5654.87 m² + 5 m ⋅ 188.5 m
≈ 5654.87 m² + 942.48 m²
≈ 6597,34 m²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 942.5 m² = und den Radius r = 30 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$2 \cdot π \cdot 30 \cdot h$ = 942.5

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

$188,49 h$ = $942,5$

$188,49 h$	=	$942,5$	\|: $188,49$
$h$	=	$5,0003$

Wir erhalten also h = 5 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 30² m² ≈ 2827,43 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 2827.43 m² mit der Höhe h = 5 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 2827.43 m² ⋅ 5 m ≈ 14137,17 m³

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Oberflächeninhalt O = 6126.1 cm² = und die Höhe h = 2.5 cm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Oberflächeninhalt O.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Oberflächeninhalt O auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

O = 2G + M = 2π ⋅ r² + 2π ⋅ r ⋅ h, also

2 ⋅ π ⋅ r² + 2π ⋅ r ⋅ h = O

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$2 \cdot π \cdot r^{2} + 2 \cdot π \cdot r \cdot 2,5$ = 6126.1

Wir teilen auf beiden Seiten durch 2π

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

$r^{2} + 2,5 r$ = $975$

r^{2} + 2,5 r

=

975

|

- 975

$r^{2} + 2,5 r - 975$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

r_1,2 = $\frac{- 2,5 \pm \sqrt{{2,5}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 975)}}{2 \cdot 1}$

r_1,2 = $\frac{- 2,5 \pm \sqrt{6,25 + 3 900}}{2}$

r_1,2 = $\frac{- 2,5 \pm \sqrt{3 906,25}}{2}$

r₁ = $\frac{- 2,5 + \sqrt{3 906,25}}{2}$ = $\frac{- 2,5+62,5}{2}$ = $\frac{60}{2}$ = $30$

r₂ = $\frac{- 2,5 - \sqrt{3 906,25}}{2}$ = $\frac{- 2,5-62,5}{2}$ = $\frac{- 65}{2}$ = $- 32,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{2,5}{2})}^{2} - (- 975)$ = $\frac{6.25}{4}$ $+$ $975$ = $\frac{6.25}{4}$ $+$ $\frac{3900}{4}$ = $\frac{3906.25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{2,5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{3906,25}{4}}$

x₁ = $- \frac{2,5}{2}$ - $\frac{62,5}{2}$ ≈ -32.5

x₂ = $- \frac{2,5}{2}$ + $\frac{62,5}{2}$ ≈ 30

Wir erhalten also r = 30 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 30² cm² ≈ 2827,43 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 2827.43 cm² mit der Höhe h = 2.5 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 2827.43 cm² ⋅ 2.5 cm ≈ 7068,58 cm³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 3m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 4,524m² und wird von einer 25 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2200 kg wiegt?

Lösung einblenden

Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche A_in = 4,524 zu berechen.

A_in = π r_in²

4,524 m² = π r_in² | :π

1,44 m² = r_in²

1,2 m ≈ r_in

Der Radius des inneren Kreises ist also r_in = 1,2 m.

Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,25 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises r_out = 1,45 m.

Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt A_out = π ⋅ r²
= π ⋅ 1,45² ≈ 6,605 m²

Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt A_in = 4,524 m² hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten) Kreisrings
G = A_out - A_in = 6,605 m² - 4,524 m² = 2,081 m²

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 3 m:

V = 2,081 m² ⋅ 3 m = 6,244 m³

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2200 kg/m³:

m = 6,244 m³ ⋅ 2200 kg/m³ = 13736,8 kg.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zylinder V und O

Zylinder rückwärts (einfach)

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Zylinder Anwendungen