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Zylinder V und O
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Radius 17 cm und die Höhe h = 10 cm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 172 cm² ≈ 907,92 cm²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 907.92 cm² mit der Höhe h = 10 cm multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 907.92 cm² ⋅ 10 cm ≈ 9079,2 cm³
Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 10 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅17 cm ≈ 106.81 cm
Somit gilt für die Oberfläche:
O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 907.92 cm² + 10 cm ⋅ 2π ⋅ 17 cm
≈ 1815.84 cm² + 10 cm ⋅ 106.81 cm
≈ 1815.84 cm² + 1068.14 cm²
≈
2883,98 cm²
Zylinder rückwärts (einfach)
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 1281.8 mm² = und den Radius r = 24 mm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.
Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.
Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.
M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also
2π ⋅ r ⋅ h = M
alle gegebenen Größen eingesetzt:
= 1281.8
Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:
=
| = | |: | ||
| = |
Wir erhalten also h = 8.5 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 242 mm² ≈ 1809,56 mm²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 1809.56 mm² mit der Höhe h = 8.5 mm multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 1809.56 mm² ⋅ 8.5 mm ≈ 15381,24 mm³
Zylinder rückw. (alle Möglichk.)
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Oberflächeninhalt O = 1511.1 m² = und den Radius r = 13 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.
Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Oberflächeninhalt O.
Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Oberflächeninhalt O auf und setzen alle gegebenen Größen ein.
O = 2G + M = 2π ⋅ r2 + 2π ⋅ r ⋅ h, also
2 ⋅ π ⋅ r2 + 2π ⋅ r ⋅ h = O
alle gegebenen Größen eingesetzt:
= 1511.1
Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:
=
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = |
Wir erhalten also h = 5.5 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 132 m² ≈ 530,93 m²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 530.93 m² mit der Höhe h = 5.5 m multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 530.93 m² ⋅ 5.5 m ≈ 2920,11 m³
Zylinder Anwendungen
Beispiel:
Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 3m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 2,378m² und wird von einer 13 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2200 kg wiegt?
Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche Ain = 2,378 zu berechen.
Ain = π rin2
2,378 m² = π rin2 | :π
0,757 m² = rin2
0,87 m ≈ rin
Der Radius des inneren Kreises ist also rin = 0,87 m.
Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,13 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises rout = 1 m.
Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt Aout = π ⋅ r²
= π ⋅ 12 ≈ 3,142 m2
Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt Ain = 2,378 m2 hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten)
Kreisrings
G = Aout - Ain = 3,142 m2 - 2,378 m2 = 0,764 m2
Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 3 m:
V = 0,764 m2 ⋅ 3 m = 2,291 m3
Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2200 kg/m3:
m = 2,291 m3 ⋅ 2200 kg/m3 = 5040,2 kg.