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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Durchmesser 87 m und die Höhe h = 9 m. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = $\frac{87}{2}$ m = 43.5m

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 43.5² m² ≈ 5944,68 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 5944.68 m² mit der Höhe h = 9 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 5944.68 m² ⋅ 9 m ≈ 53502,11 m³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 9 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅43.5 m ≈ 273.32 m

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 5944.68 m² + 9 m ⋅ 2π ⋅ 43.5 m
≈ 11889.36 m² + 9 m ⋅ 273.32 m
≈ 11889.36 m² + 2459.87 m²
≈ 14349,22 m²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 12164.2 cm³ = und den Radius r = 22 cm. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r² ⋅ h, also

π ⋅ r² ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$π \cdot 22^{2} \cdot h$ = 12164.2

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

$1 520,728 h$ = $12 164,2$

$1 520,728 h$	=	$12 164,2$	\|: $1 520,728$
$h$	=	$7,9989$

Wir erhalten also h = 8 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 22² cm² ≈ 1520,53 cm²

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 8 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅22 cm ≈ 138.23 cm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 1520.53 cm² + 8 cm ⋅ 2π ⋅ 22 cm
≈ 3041.06 cm² + 8 cm ⋅ 138.23 cm
≈ 3041.06 cm² + 1105.84 cm²
≈ 4146,9 cm²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Oberflächeninhalt O = 12107.7 cm² = und die Höhe h = 6 cm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Oberflächeninhalt O.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Oberflächeninhalt O auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

O = 2G + M = 2π ⋅ r² + 2π ⋅ r ⋅ h, also

2 ⋅ π ⋅ r² + 2π ⋅ r ⋅ h = O

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$2 \cdot π \cdot r^{2} + 2 \cdot π \cdot r \cdot 6$ = 12107.7

Wir teilen auf beiden Seiten durch 2π

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

$r^{2} + 6 r$ = $1 927$

r^{2} + 6 r

=

1 927

|

- 1 927

$r^{2} + 6 r - 1 927$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

r_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 927)}}{2 \cdot 1}$

r_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 7 708}}{2}$

r_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{7 744}}{2}$

r₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{7 744}}{2}$ = $\frac{- 6+88}{2}$ = $\frac{82}{2}$ = $41$

r₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{7 744}}{2}$ = $\frac{- 6-88}{2}$ = $\frac{- 94}{2}$ = $- 47$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - (- 1 927)$ = $9$ $+$ $1927$ = $1936$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{1 936}$

x₁ = $- 3$ - $44$ = -47

x₂ = $- 3$ + $44$ = 41

Wir erhalten also r = 41 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 41² cm² ≈ 5281,02 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 5281.02 cm² mit der Höhe h = 6 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 5281.02 cm² ⋅ 6 cm ≈ 31686,1 cm³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 5m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 1,247m² und wird von einer 7 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2000 kg wiegt?

Lösung einblenden

Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche A_in = 1,247 zu berechen.

A_in = π r_in²

1,247 m² = π r_in² | :π

0,397 m² = r_in²

0,63 m ≈ r_in

Der Radius des inneren Kreises ist also r_in = 0,63 m.

Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,07 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises r_out = 0,7 m.

Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt A_out = π ⋅ r²
= π ⋅ 0,7² ≈ 1,539 m²

Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt A_in = 1,247 m² hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten) Kreisrings
G = A_out - A_in = 1,539 m² - 1,247 m² = 0,292 m²

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 5 m:

V = 0,292 m² ⋅ 5 m = 1,462 m³

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2000 kg/m³:

m = 1,462 m³ ⋅ 2000 kg/m³ = 2924 kg.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zylinder V und O

Zylinder rückwärts (einfach)

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Zylinder Anwendungen