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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Radius 16 m und die Höhe h = 7 m. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

Lösung einblenden

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 16² m² ≈ 804,25 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 804.25 m² mit der Höhe h = 7 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 804.25 m² ⋅ 7 m ≈ 5629,73 m³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 7 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅16 m ≈ 100.53 m

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 804.25 m² + 7 m ⋅ 2π ⋅ 16 m
≈ 1608.5 m² + 7 m ⋅ 100.53 m
≈ 1608.5 m² + 703.72 m²
≈ 2312,21 m²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 52800.7 cm³ = und die Höhe h = 7 cm. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r² ⋅ h, also

π ⋅ r² ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$π \cdot r^{2} \cdot 7$ = 52800.7

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

$21,994 r^{2}$ = $52 800,7$

$21,994 r^{2}$	=	$52 800,7$	\|: $21,994$
$r^{2}$	=	$2 400,68655$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
r₁	=	$- \sqrt{2 400,68655}$	≈ $- 48,997$
r₂	=	$\sqrt{2 400,68655}$	≈ $48,997$

Wir erhalten also r = 49 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 49² cm² ≈ 7542,96 cm²

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 7 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅49 cm ≈ 307.88 cm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 7542.96 cm² + 7 cm ⋅ 2π ⋅ 49 cm
≈ 15085.93 cm² + 7 cm ⋅ 307.88 cm
≈ 15085.93 cm² + 2155.13 cm²
≈ 17241,06 cm²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 1508 mm³ = und den Radius r = 8 mm. Bestimme den Mantelflächeninhalt M dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r² ⋅ h, also

π ⋅ r² ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$π \cdot 8^{2} \cdot h$ = 1508

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

$201,088 h$ = $1 508$

$201,088 h$	=	$1 508$	\|: $201,088$
$h$	=	$7,4992$

Wir erhalten also h = 7.5 und können nun damit den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen.

Der Mantel hat die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite die Höhe h = 7.5 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅8 mm ≈ 50.27 mm

Somit gilt für den Mantelflächeninhalt:

M = h⋅U
≈ 7.5 mm ⋅ 2π ⋅ 8 mm
≈ 7.5 mm ⋅ 50.27 mm
≈ 376,99 mm²

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Einen 5 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 16 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,4 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?

Lösung einblenden

Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 16 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 8 cm.

Da die Dicke des halben Hohlylinders 0,4 cm ist, muss also der innere Radius r_in = 7,6 cm sein.

Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:

G = A_out - A_in = $\frac{1}{2}$ π r² - $\frac{1}{2}$ π r_in² =
= $\frac{1}{2}$ π (8 cm)² - $\frac{1}{2}$ π (7,6 cm)²
= 100,531 cm² - 90,729 cm²
= 9,802 cm²

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 500 cm:

V = 9,802 cm² ⋅ 500 cm = 4901 cm³

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm³:

m = 4901 cm³ ⋅ 8 g/cm³ = 39208 g = 39,208 kg.

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Zylinder V und O

Zylinder rückwärts (einfach)

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Zylinder Anwendungen