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Zylinder V und O
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Radius 31 mm und die Höhe h = 7 mm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 312 mm² ≈ 3019,07 mm²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 3019.07 mm² mit der Höhe h = 7 mm multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 3019.07 mm² ⋅ 7 mm ≈ 21133,49 mm³
Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 7 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅31 mm ≈ 194.78 mm
Somit gilt für die Oberfläche:
O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 3019.07 mm² + 7 mm ⋅ 2π ⋅ 31 mm
≈ 6038.14 mm² + 7 mm ⋅ 194.78 mm
≈ 6038.14 mm² + 1363.45 mm²
≈
7401,59 mm²
Zylinder rückwärts (einfach)
Beispiel:
Ein Zylinder hat das Volumen V = 7634.1 cm³ = und den Radius r = 18 cm. Bestimme den Mantelflächeninhalt M dieses Zylinders.
Um den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.
Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.
V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also
π ⋅ r2 ⋅ h = V
alle gegebenen Größen eingesetzt:
= 7634.1
Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:
=
| = | |: | ||
| = |
Wir erhalten also h = 7.5 und können nun damit den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen.
Der Mantel hat die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite die Höhe h = 7.5 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅18 cm ≈ 113.1 cm
Somit gilt für den Mantelflächeninhalt:
M = h⋅U
≈ 7.5 cm ⋅ 2π ⋅ 18 cm
≈ 7.5 cm ⋅ 113.1 cm
≈ 848,23 cm²
Zylinder rückw. (alle Möglichk.)
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 329.9 m² = und den Radius r = 7 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.
Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.
Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.
M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also
2π ⋅ r ⋅ h = M
alle gegebenen Größen eingesetzt:
= 329.9
Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:
=
| = | |: | ||
| = |
Wir erhalten also h = 7.5 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 72 m² ≈ 153,94 m²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 153.94 m² mit der Höhe h = 7.5 m multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 153.94 m² ⋅ 7.5 m ≈ 1154,54 m³
Zylinder Anwendungen
Beispiel:
Einen 4,5 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 16 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,24 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?
Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 16 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 8 cm.
Da die Dicke des halben Hohlylinders 0,24 cm ist, muss also der innere Radius rin = 7,76 cm sein.
Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:
G = Aout - Ain = π r2 - π rin2 =
= π (8 cm)2 - π (7,76
cm)2
= 100,531 cm2 - 94,59 cm2
=
5,941 cm2
Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 450 cm:
V = 5,941 cm2 ⋅ 450 cm = 2674 cm3
Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm3:
m = 2674 cm3 ⋅ 8 g/cm3 = 21392 g = 21,392 kg.