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Zylinder V und O
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Durchmesser 89 m und die Höhe h = 7 m. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.
Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = m = 44.5m
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 44.52 m² ≈ 6221,14 m²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 6221.14 m² mit der Höhe h = 7 m multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 6221.14 m² ⋅ 7 m ≈ 43547,97 m³
Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 7 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅44.5 m ≈ 279.6 m
Somit gilt für die Oberfläche:
O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 6221.14 m² + 7 m ⋅ 2π ⋅ 44.5 m
≈ 12442.28 m² + 7 m ⋅ 279.6 m
≈ 12442.28 m² + 1957.21 m²
≈
14399,49 m²
Zylinder rückwärts (einfach)
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 1545.7 mm² = und den Radius r = 41 mm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.
Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.
Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.
M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also
2π ⋅ r ⋅ h = M
alle gegebenen Größen eingesetzt:
= 1545.7
Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:
=
| = | |: | ||
| = |
Wir erhalten also h = 6 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 412 mm² ≈ 5281,02 mm²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 5281.02 mm² mit der Höhe h = 6 mm multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 5281.02 mm² ⋅ 6 mm ≈ 31686,1 mm³
Zylinder rückw. (alle Möglichk.)
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 75.4 m² = und den Radius r = 3 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.
Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.
Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.
M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also
2π ⋅ r ⋅ h = M
alle gegebenen Größen eingesetzt:
= 75.4
Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:
=
| = | |: | ||
| = |
Wir erhalten also h = 4 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 32 m² ≈ 28,27 m²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 28.27 m² mit der Höhe h = 4 m multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 28.27 m² ⋅ 4 m ≈ 113,1 m³
Zylinder Anwendungen
Beispiel:
Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 2m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 2,835m² und wird von einer 20 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2000 kg wiegt?
Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche Ain = 2,835 zu berechen.
Ain = π rin2
2,835 m² = π rin2 | :π
0,902 m² = rin2
0,95 m ≈ rin
Der Radius des inneren Kreises ist also rin = 0,95 m.
Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,2 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises rout = 1,15 m.
Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt Aout = π ⋅ r²
= π ⋅ 1,152 ≈ 4,155 m2
Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt Ain = 2,835 m2 hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten)
Kreisrings
G = Aout - Ain = 4,155 m2 - 2,835 m2 = 1,32 m2
Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 2 m:
V = 1,32 m2 ⋅ 2 m = 2,639 m3
Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2000 kg/m3:
m = 2,639 m3 ⋅ 2000 kg/m3 = 5278 kg.