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Flächeninhalt rückwärts

Beispiel:

Gegeben ist das Dreieck ABC mit den Seitenlängen und Höhen h_a = 4 cm, a = 12 cm und b = 8 cm. Berechne h_b.

Für den Flächeninhalt im Dreieck gilt: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ c ⋅ h_c = $\frac{1}{2}$ ⋅ b ⋅ h_b = $\frac{1}{2}$ ⋅ a ⋅ h_a.

Da ja sowohl die Seitenlänge a = 12 cm als auch die dazugehörende Höhe h_a = 4 cm gegeben sind, können wir den Flächeninhalt A des Dreiecks berechnen:

A = $\frac{1}{2}$ ⋅ a ⋅ h_a = $\frac{1}{2}$ ⋅ 12 cm ⋅ 4 cm = 24 cm².

Für den Flächeninhalt in diesem Dreieck gilt ja aber auch : A = $\frac{1}{2}$ ⋅ b ⋅ h_b, also
24 cm² = $\frac{1}{2}$ ⋅ 8 cm ⋅ h_b

Wenn 24 cm² die Hälfte von 8 cm ⋅ h_b ist, muss doch 2 ⋅ 24 cm² = 8 cm ⋅ h_b sein.

Also gilt: 48 cm² = 8 cm ⋅ h_b.

Somit muss gelten: h_b = 6 cm

Flächeninhalt Parallelogramm

Beispiel:

Zeichne das Parallelogramm ABCD mit A(5|2), B(8|1), C(8|5) und D(5|6) in ein Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm.

Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms.

Lösung einblenden

Zuerst zeichnet man das Parallelogramm ABCD ins Koordinatensystem ein.

Spätestens dann erkennt man, dass die Strecke b (zwischen B und C) parallel zur y-Achse ist. Dadurch kann man sowohl die Seitenlänge b als auch die Höhe h_b darauf sehr leicht ablesen:

b = 4 cm und h_b = 3 cm
Der Flächeninhalt ist somit:
A = b ⋅ h_b
= 4 cm ⋅ 3 cm
= 12 cm².

Flächeninhalt Parallelogramm rw

Beispiel:

Gegeben ist das Parallelogramm ABCD mit den Seitenlängen und Höhen h_a = 3 cm, a = 18 cm und h_b = 6 cm. Berechne b.

Lösung einblenden

Für den Flächeninhalt im Parallelogramm gilt: A = a ⋅ h_a = b ⋅ h_b.

Da ja sowohl die Seitenlänge a = 18 cm als auch die dazugehörende Höhe h_a = 3 cm gegeben sind, können wir den Flächeninhalt A des Dreiecks berechnen:

A = a ⋅ h_a = 18 cm ⋅ 3 cm = 54 cm².

Für den Flächeninhalt in diesem Dreieck gilt ja aber auch : A =b ⋅ h_b, also
54 cm² = b ⋅ 6 cm

Wenn 54 das 6-fache von b ist, muss b = 54 : 6 sein.

Somit muss gelten: b = 9 cm

Flächeninhalt eines Trapez

Beispiel:

Zeichne das Trapez ABCD mit A(0|0), B(9|0), C(7|6) und D(1|6) in ein Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm.

Berechne den Flächeninhalt des Trapezes.

Lösung einblenden

Zuerst zeichnet man das Trapez ABCD ins Koordinatensystem ein.

Spätestens dann erkennt man, dass die Strecken a (zwischen A und B) und c (zwischen C und D) parallel zur x-Achse ist. Dadurch kann man sowohl die Seitenlängen a und c als auch die Höhe h_a darauf sehr leicht ablesen:

a = 9 cm, c = 6 cm, und h_a = 6 cm
Der Flächeninhalt ist somit:
A = $\frac{1}{2}$ ⋅ (a + c) ⋅ h_a
= $\frac{1}{2}$ ⋅ (9 cm + 6 cm) ⋅ 6 cm
= $\frac{1}{2}$ ⋅ 15 cm ⋅ 6 cm
= 45 cm².

Flächeninhalt Trapez rückwärts

Beispiel:

Ein Trapez hat den Flächeninhalt A = 42 cm². Die beiden parallelen Seiten sind 9 cm und 5 cm lang.

Berechne die Länge der Höhe des Trapezes.

Lösung einblenden

Für den Flächeninhalt eines Trapez gilt:
A = $\frac{1}{2}$ ⋅ (a + c) ⋅ h_a

In diesem Fall gilt somit:

42 = $\frac{1}{2}$ ⋅ (9 cm + 5 cm) ⋅ h
42 = $\frac{1}{2}$ ⋅ 14 cm ⋅ h
42 = 7 cm ⋅ h

Die Höhe h muss also die Zahl sein, mit der man 7 multiplizieren muss, um auf 42 zu kommen, also 42 : 7

h = 42 cm² : 7 cm = 6 cm.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Flächeninhalt rückwärts

Flächeninhalt Parallelogramm

Flächeninhalt Parallelogramm rw

Flächeninhalt eines Trapez

Flächeninhalt Trapez rückwärts