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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 2 mal eine 6 zu würfeln?

Ereignis	P
6er -> 6er -> 6er	$\frac{1}{216}$
6er -> 6er -> keine_6	$\frac{5}{216}$
6er -> keine_6 -> 6er	$\frac{5}{216}$
6er -> keine_6 -> keine_6	$\frac{25}{216}$
keine_6 -> 6er -> 6er	$\frac{5}{216}$
keine_6 -> 6er -> keine_6	$\frac{25}{216}$
keine_6 -> keine_6 -> 6er	$\frac{25}{216}$
keine_6 -> keine_6 -> keine_6	$\frac{125}{216}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("6er")= $\frac{1}{6}$ ; P("keine_6")= $\frac{5}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'6er'-'6er'-'keine_6' (P= $\frac{5}{216}$ )
'6er'-'keine_6'-'6er' (P= $\frac{5}{216}$ )
'keine_6'-'6er'-'6er' (P= $\frac{5}{216}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{216}$ + $\frac{5}{216}$ + $\frac{5}{216}$ = $\frac{5}{72}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 2 vom Typ rot, 6 vom Typ blau, 10 vom Typ gelb und 6 vom Typ schwarz. Es wird 2 mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{1}{144}$
rot -> blau	$\frac{1}{48}$
rot -> gelb	$\frac{5}{144}$
rot -> schwarz	$\frac{1}{48}$
blau -> rot	$\frac{1}{48}$
blau -> blau	$\frac{1}{16}$
blau -> gelb	$\frac{5}{48}$
blau -> schwarz	$\frac{1}{16}$
gelb -> rot	$\frac{5}{144}$
gelb -> blau	$\frac{5}{48}$
gelb -> gelb	$\frac{25}{144}$
gelb -> schwarz	$\frac{5}{48}$
schwarz -> rot	$\frac{1}{48}$
schwarz -> blau	$\frac{1}{16}$
schwarz -> gelb	$\frac{5}{48}$
schwarz -> schwarz	$\frac{1}{16}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{1}{12}$ ; P("blau")= $\frac{1}{4}$ ; P("gelb")= $\frac{5}{12}$ ; P("schwarz")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{1}{144}$ )
'blau'-'blau' (P= $\frac{1}{16}$ )
'gelb'-'gelb' (P= $\frac{25}{144}$ )
'schwarz'-'schwarz' (P= $\frac{1}{16}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{144}$ + $\frac{1}{16}$ + $\frac{25}{144}$ + $\frac{1}{16}$ = $\frac{11}{36}$