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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Eine faire Münze (d.h. die Wahrscheinlichkeit für Zahl und Wappen ist gleich groß) wird drei mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal Wappen"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Wappen' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Wappen' und 'nicht Wappen'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Wappen": $\frac{1}{2}$ ; "nicht Wappen": $\frac{1}{2}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal Wappen' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'Wappen' bzw. 0 mal 'Wappen'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'Wappen')=1- $\frac{1}{8}$ = $\frac{7}{8}$

Ereignis	P
Wappen -> Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Wappen -> nicht Wappen	$\frac{1}{8}$
Wappen -> nicht Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$
Wappen -> nicht Wappen -> nicht Wappen	$\frac{1}{8}$
nicht Wappen -> Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$
nicht Wappen -> Wappen -> nicht Wappen	$\frac{1}{8}$
nicht Wappen -> nicht Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$
nicht Wappen -> nicht Wappen -> nicht Wappen	$\frac{1}{8}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Wappen")= $\frac{1}{2}$ ; P("nicht Wappen")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Wappen'-'nicht Wappen'-'nicht Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht Wappen'-'Wappen'-'nicht Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht Wappen'-'nicht Wappen'-'Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )
'Wappen'-'Wappen'-'nicht Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )
'Wappen'-'nicht Wappen'-'Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht Wappen'-'Wappen'-'Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )
'Wappen'-'Wappen'-'Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $\frac{7}{8}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Beim Roulette kann man auch auf Zahlenbereiche setzen. Z.B. auf die Zahlenbereiche 1-12, 13-24 und 25-36, wobei die grüne 0 zu keinem der Bereiche gehört. Es wird zwei mal eine Kugel im Roulette gespielt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal grüne 0"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'grüne 0' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'grüne 0' und 'nicht grüne 0'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"grüne 0": $\frac{1}{37}$ ; "nicht grüne 0": $\frac{36}{37}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal grüne 0' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'grüne 0' bzw. 0 mal 'grüne 0'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'grüne 0')=1- $\frac{1296}{1369}$ = $\frac{73}{1369}$

Ereignis	P
grüne 0 -> grüne 0	$\frac{1}{1369}$
grüne 0 -> nicht grüne 0	$\frac{36}{1369}$
nicht grüne 0 -> grüne 0	$\frac{36}{1369}$
nicht grüne 0 -> nicht grüne 0	$\frac{1296}{1369}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("grüne 0")= $\frac{1}{37}$ ; P("nicht grüne 0")= $\frac{36}{37}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'grüne 0'-'nicht grüne 0' (P= $\frac{36}{1369}$ )
'nicht grüne 0'-'grüne 0' (P= $\frac{36}{1369}$ )
'grüne 0'-'grüne 0' (P= $\frac{1}{1369}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{36}{1369}$ + $\frac{36}{1369}$ + $\frac{1}{1369}$ = $\frac{73}{1369}$