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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 6 rote, 7 gelbe, 5 blaue und 6 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal blau und 1 mal gelb"?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{1}{16}$
rot -> blau	$\frac{5}{96}$
rot -> gelb	$\frac{7}{96}$
rot -> schwarz	$\frac{1}{16}$
blau -> rot	$\frac{5}{96}$
blau -> blau	$\frac{25}{576}$
blau -> gelb	$\frac{35}{576}$
blau -> schwarz	$\frac{5}{96}$
gelb -> rot	$\frac{7}{96}$
gelb -> blau	$\frac{35}{576}$
gelb -> gelb	$\frac{49}{576}$
gelb -> schwarz	$\frac{7}{96}$
schwarz -> rot	$\frac{1}{16}$
schwarz -> blau	$\frac{5}{96}$
schwarz -> gelb	$\frac{7}{96}$
schwarz -> schwarz	$\frac{1}{16}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{1}{4}$ ; P("blau")= $\frac{5}{24}$ ; P("gelb")= $\frac{7}{24}$ ; P("schwarz")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'gelb' (P= $\frac{35}{576}$ )
'gelb'-'blau' (P= $\frac{35}{576}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{35}{576}$ + $\frac{35}{576}$ = $\frac{35}{288}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 8 rote und 4 blaue Kugeln. Es wird 3 mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 2 mal rot"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{2}{3}$ ; "nicht rot": $\frac{1}{3}$ ;

Ereignis	P
rot -> rot -> rot	$\frac{8}{27}$
rot -> rot -> nicht rot	$\frac{4}{27}$
rot -> nicht rot -> rot	$\frac{4}{27}$
rot -> nicht rot -> nicht rot	$\frac{2}{27}$
nicht rot -> rot -> rot	$\frac{4}{27}$
nicht rot -> rot -> nicht rot	$\frac{2}{27}$
nicht rot -> nicht rot -> rot	$\frac{2}{27}$
nicht rot -> nicht rot -> nicht rot	$\frac{1}{27}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{2}{3}$ ; P("nicht rot")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot'-'nicht rot' (P= $\frac{4}{27}$ )
'rot'-'nicht rot'-'rot' (P= $\frac{4}{27}$ )
'nicht rot'-'rot'-'rot' (P= $\frac{4}{27}$ )
'rot'-'rot'-'rot' (P= $\frac{8}{27}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{27}$ + $\frac{4}{27}$ + $\frac{4}{27}$ + $\frac{8}{27}$ = $\frac{20}{27}$