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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 9 rote, 2 gelbe, 10 blaue und 3 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal blau"?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{9}{64}$
rot -> blau	$\frac{5}{32}$
rot -> gelb	$\frac{1}{32}$
rot -> schwarz	$\frac{3}{64}$
blau -> rot	$\frac{5}{32}$
blau -> blau	$\frac{25}{144}$
blau -> gelb	$\frac{5}{144}$
blau -> schwarz	$\frac{5}{96}$
gelb -> rot	$\frac{1}{32}$
gelb -> blau	$\frac{5}{144}$
gelb -> gelb	$\frac{1}{144}$
gelb -> schwarz	$\frac{1}{96}$
schwarz -> rot	$\frac{3}{64}$
schwarz -> blau	$\frac{5}{96}$
schwarz -> gelb	$\frac{1}{96}$
schwarz -> schwarz	$\frac{1}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{3}{8}$ ; P("blau")= $\frac{5}{12}$ ; P("gelb")= $\frac{1}{12}$ ; P("schwarz")= $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'blau' (P= $\frac{5}{32}$ )
'blau'-'rot' (P= $\frac{5}{32}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{32}$ + $\frac{5}{32}$ = $\frac{5}{16}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 7 rote und 3 blaue Kugeln. Es wird 3 mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 2 mal rot"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{7}{10}$ ; "nicht rot": $\frac{3}{10}$ ;

Ereignis	P
rot -> rot -> rot	$\frac{343}{1000}$
rot -> rot -> nicht rot	$\frac{147}{1000}$
rot -> nicht rot -> rot	$\frac{147}{1000}$
rot -> nicht rot -> nicht rot	$\frac{63}{1000}$
nicht rot -> rot -> rot	$\frac{147}{1000}$
nicht rot -> rot -> nicht rot	$\frac{63}{1000}$
nicht rot -> nicht rot -> rot	$\frac{63}{1000}$
nicht rot -> nicht rot -> nicht rot	$\frac{27}{1000}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{7}{10}$ ; P("nicht rot")= $\frac{3}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot'-'nicht rot' (P= $\frac{147}{1000}$ )
'rot'-'nicht rot'-'rot' (P= $\frac{147}{1000}$ )
'nicht rot'-'rot'-'rot' (P= $\frac{147}{1000}$ )
'rot'-'rot'-'rot' (P= $\frac{343}{1000}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{147}{1000}$ + $\frac{147}{1000}$ + $\frac{147}{1000}$ + $\frac{343}{1000}$ = $\frac{98}{125}$