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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Das nebenstehende Glücksrad wird 2 mal gedreht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal schwarz"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'schwarz' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'schwarz' und 'nicht schwarz'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"schwarz": $\frac{1}{8}$ ; "nicht schwarz": $\frac{7}{8}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal schwarz' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'schwarz' bzw. 0 mal 'schwarz'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'schwarz')=1- $\frac{49}{64}$ = $\frac{15}{64}$

Ereignis	P
schwarz -> schwarz	$\frac{1}{64}$
schwarz -> nicht schwarz	$\frac{7}{64}$
nicht schwarz -> schwarz	$\frac{7}{64}$
nicht schwarz -> nicht schwarz	$\frac{49}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("schwarz")= $\frac{1}{8}$ ; P("nicht schwarz")= $\frac{7}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'schwarz'-'nicht schwarz' (P= $\frac{7}{64}$ )
'nicht schwarz'-'schwarz' (P= $\frac{7}{64}$ )
'schwarz'-'schwarz' (P= $\frac{1}{64}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{7}{64}$ + $\frac{7}{64}$ + $\frac{1}{64}$ = $\frac{15}{64}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 6 rote und 4 blaue Kugeln. Es wird 3 mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 2 mal blau"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": $\frac{2}{5}$ ; "nicht blau": $\frac{3}{5}$ ;

Ereignis	P
blau -> blau -> blau	$\frac{8}{125}$
blau -> blau -> nicht blau	$\frac{12}{125}$
blau -> nicht blau -> blau	$\frac{12}{125}$
blau -> nicht blau -> nicht blau	$\frac{18}{125}$
nicht blau -> blau -> blau	$\frac{12}{125}$
nicht blau -> blau -> nicht blau	$\frac{18}{125}$
nicht blau -> nicht blau -> blau	$\frac{18}{125}$
nicht blau -> nicht blau -> nicht blau	$\frac{27}{125}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("blau")= $\frac{2}{5}$ ; P("nicht blau")= $\frac{3}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'blau'-'nicht blau' (P= $\frac{12}{125}$ )
'blau'-'nicht blau'-'blau' (P= $\frac{12}{125}$ )
'nicht blau'-'blau'-'blau' (P= $\frac{12}{125}$ )
'blau'-'blau'-'blau' (P= $\frac{8}{125}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{12}{125}$ + $\frac{12}{125}$ + $\frac{12}{125}$ + $\frac{8}{125}$ = $\frac{44}{125}$