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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote, 3 gelbe, 5 blaue und 3 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal rot"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{4}{15}$ ; "nicht rot": $\frac{11}{15}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal rot' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'rot' bzw. 0 mal 'rot'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'rot')=1- $\frac{121}{225}$ = $\frac{104}{225}$

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{16}{225}$
rot -> nicht rot	$\frac{44}{225}$
nicht rot -> rot	$\frac{44}{225}$
nicht rot -> nicht rot	$\frac{121}{225}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{4}{15}$ ; P("nicht rot")= $\frac{11}{15}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'nicht rot' (P= $\frac{44}{225}$ )
'nicht rot'-'rot' (P= $\frac{44}{225}$ )
'rot'-'rot' (P= $\frac{16}{225}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{44}{225}$ + $\frac{44}{225}$ + $\frac{16}{225}$ = $\frac{104}{225}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 3 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{4}$
1 -> 2	$\frac{1}{8}$
1 -> 3	$\frac{1}{16}$
1 -> 4	$\frac{1}{16}$
2 -> 1	$\frac{1}{8}$
2 -> 2	$\frac{1}{16}$
2 -> 3	$\frac{1}{32}$
2 -> 4	$\frac{1}{32}$
3 -> 1	$\frac{1}{16}$
3 -> 2	$\frac{1}{32}$
3 -> 3	$\frac{1}{64}$
3 -> 4	$\frac{1}{64}$
4 -> 1	$\frac{1}{16}$
4 -> 2	$\frac{1}{32}$
4 -> 3	$\frac{1}{64}$
4 -> 4	$\frac{1}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{2}$ ; P("2")= $\frac{1}{4}$ ; P("3")= $\frac{1}{8}$ ; P("4")= $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'2' (P= $\frac{1}{8}$ )
'2'-'1' (P= $\frac{1}{8}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $\frac{1}{4}$