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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote, 5 gelbe, 3 blaue und 3 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal blau"?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{16}{225}$
rot -> blau	$\frac{4}{75}$
rot -> gelb	$\frac{4}{45}$
rot -> schwarz	$\frac{4}{75}$
blau -> rot	$\frac{4}{75}$
blau -> blau	$\frac{1}{25}$
blau -> gelb	$\frac{1}{15}$
blau -> schwarz	$\frac{1}{25}$
gelb -> rot	$\frac{4}{45}$
gelb -> blau	$\frac{1}{15}$
gelb -> gelb	$\frac{1}{9}$
gelb -> schwarz	$\frac{1}{15}$
schwarz -> rot	$\frac{4}{75}$
schwarz -> blau	$\frac{1}{25}$
schwarz -> gelb	$\frac{1}{15}$
schwarz -> schwarz	$\frac{1}{25}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{4}{15}$ ; P("blau")= $\frac{1}{5}$ ; P("gelb")= $\frac{1}{3}$ ; P("schwarz")= $\frac{1}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'blau' (P= $\frac{4}{75}$ )
'blau'-'rot' (P= $\frac{4}{75}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{75}$ + $\frac{4}{75}$ = $\frac{8}{75}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Beim Würfelspiel Mäxle würfelt man mit zwei Würfeln. Die größere Augenzahl nimmt man als Zehner, die kleinere als Einer (z.B. 3 und 5 ergibt 53). Ein Pasch (gleiche Zahlen bei beiden Würfeln) zählt mehr als alle anderen Ergebnisse. Lediglich ein Mäxle (eine 1 und ein 2) schlägt auch einen Pasch. Die beiden schlechtesten Ergebnisse sind also 31 und 32. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{36}$
1 -> 2	$\frac{1}{36}$
1 -> 3	$\frac{1}{36}$
1 -> höher	$\frac{1}{12}$
2 -> 1	$\frac{1}{36}$
2 -> 2	$\frac{1}{36}$
2 -> 3	$\frac{1}{36}$
2 -> höher	$\frac{1}{12}$
3 -> 1	$\frac{1}{36}$
3 -> 2	$\frac{1}{36}$
3 -> 3	$\frac{1}{36}$
3 -> höher	$\frac{1}{12}$
höher -> 1	$\frac{1}{12}$
höher -> 2	$\frac{1}{12}$
höher -> 3	$\frac{1}{12}$
höher -> höher	$\frac{1}{4}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{6}$ ; P("2")= $\frac{1}{6}$ ; P("3")= $\frac{1}{6}$ ; P("höher")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{1}{36}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{1}{36}$ )
'2'-'3' (P= $\frac{1}{36}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{1}{36}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ = $\frac{1}{9}$