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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Das nebenstehende Glücksrad wird 2 mal gedreht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal blau"?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{49}{64}$
rot -> blau	$\frac{7}{64}$
blau -> rot	$\frac{7}{64}$
blau -> blau	$\frac{1}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{7}{8}$ ; P("blau")= $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'blau' (P= $\frac{7}{64}$ )
'blau'-'rot' (P= $\frac{7}{64}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{7}{64}$ + $\frac{7}{64}$ = $\frac{7}{32}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 8 rote und 4 blaue Kugeln. Es wird 3 mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal blau"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": $\frac{1}{3}$ ; "nicht blau": $\frac{2}{3}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal blau' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'blau' bzw. 0 mal 'blau'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'blau')=1- $\frac{8}{27}$ = $\frac{19}{27}$

Ereignis	P
blau -> blau -> blau	$\frac{1}{27}$
blau -> blau -> nicht blau	$\frac{2}{27}$
blau -> nicht blau -> blau	$\frac{2}{27}$
blau -> nicht blau -> nicht blau	$\frac{4}{27}$
nicht blau -> blau -> blau	$\frac{2}{27}$
nicht blau -> blau -> nicht blau	$\frac{4}{27}$
nicht blau -> nicht blau -> blau	$\frac{4}{27}$
nicht blau -> nicht blau -> nicht blau	$\frac{8}{27}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("blau")= $\frac{1}{3}$ ; P("nicht blau")= $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'nicht blau'-'nicht blau' (P= $\frac{4}{27}$ )
'nicht blau'-'blau'-'nicht blau' (P= $\frac{4}{27}$ )
'nicht blau'-'nicht blau'-'blau' (P= $\frac{4}{27}$ )
'blau'-'blau'-'nicht blau' (P= $\frac{2}{27}$ )
'blau'-'nicht blau'-'blau' (P= $\frac{2}{27}$ )
'nicht blau'-'blau'-'blau' (P= $\frac{2}{27}$ )
'blau'-'blau'-'blau' (P= $\frac{1}{27}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{27}$ + $\frac{4}{27}$ + $\frac{4}{27}$ + $\frac{2}{27}$ + $\frac{2}{27}$ + $\frac{2}{27}$ + $\frac{1}{27}$ = $\frac{19}{27}$