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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 2 mal eine durch 3 teilbare Zahl zu würfeln?

Ereignis	P
3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{1}{9}$
3er-Zahl -> nicht 3er	$\frac{2}{9}$
nicht 3er -> 3er-Zahl	$\frac{2}{9}$
nicht 3er -> nicht 3er	$\frac{4}{9}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("3er-Zahl")= $\frac{1}{3}$ ; P("nicht 3er")= $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3er-Zahl'-'3er-Zahl' (P= $\frac{1}{9}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{9}$ = $\frac{1}{9}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 6 rote und 4 blaue Kugeln. Es wird 3 mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal blau"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": $\frac{2}{5}$ ; "nicht blau": $\frac{3}{5}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal blau' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'blau' bzw. 0 mal 'blau'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'blau')=1- $\frac{27}{125}$ = $\frac{98}{125}$

Ereignis	P
blau -> blau -> blau	$\frac{8}{125}$
blau -> blau -> nicht blau	$\frac{12}{125}$
blau -> nicht blau -> blau	$\frac{12}{125}$
blau -> nicht blau -> nicht blau	$\frac{18}{125}$
nicht blau -> blau -> blau	$\frac{12}{125}$
nicht blau -> blau -> nicht blau	$\frac{18}{125}$
nicht blau -> nicht blau -> blau	$\frac{18}{125}$
nicht blau -> nicht blau -> nicht blau	$\frac{27}{125}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("blau")= $\frac{2}{5}$ ; P("nicht blau")= $\frac{3}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'nicht blau'-'nicht blau' (P= $\frac{18}{125}$ )
'nicht blau'-'blau'-'nicht blau' (P= $\frac{18}{125}$ )
'nicht blau'-'nicht blau'-'blau' (P= $\frac{18}{125}$ )
'blau'-'blau'-'nicht blau' (P= $\frac{12}{125}$ )
'blau'-'nicht blau'-'blau' (P= $\frac{12}{125}$ )
'nicht blau'-'blau'-'blau' (P= $\frac{12}{125}$ )
'blau'-'blau'-'blau' (P= $\frac{8}{125}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{18}{125}$ + $\frac{18}{125}$ + $\frac{18}{125}$ + $\frac{12}{125}$ + $\frac{12}{125}$ + $\frac{12}{125}$ + $\frac{8}{125}$ = $\frac{98}{125}$