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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 8 rote, 6 gelbe, 8 blaue und 3 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal gelb und 1 mal schwarz"?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{64}{625}$
rot -> blau	$\frac{64}{625}$
rot -> gelb	$\frac{48}{625}$
rot -> schwarz	$\frac{24}{625}$
blau -> rot	$\frac{64}{625}$
blau -> blau	$\frac{64}{625}$
blau -> gelb	$\frac{48}{625}$
blau -> schwarz	$\frac{24}{625}$
gelb -> rot	$\frac{48}{625}$
gelb -> blau	$\frac{48}{625}$
gelb -> gelb	$\frac{36}{625}$
gelb -> schwarz	$\frac{18}{625}$
schwarz -> rot	$\frac{24}{625}$
schwarz -> blau	$\frac{24}{625}$
schwarz -> gelb	$\frac{18}{625}$
schwarz -> schwarz	$\frac{9}{625}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{8}{25}$ ; P("blau")= $\frac{8}{25}$ ; P("gelb")= $\frac{6}{25}$ ; P("schwarz")= $\frac{3}{25}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'gelb'-'schwarz' (P= $\frac{18}{625}$ )
'schwarz'-'gelb' (P= $\frac{18}{625}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{18}{625}$ + $\frac{18}{625}$ = $\frac{36}{625}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Beim Roulette kann man auch auf Zahlenbereiche setzen. Z.B. auf die Zahlenbereiche 1-12, 13-24 und 25-36, wobei die grüne 0 zu keinem der Bereiche gehört. Es wird zwei mal eine Kugel im Roulette gespielt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal 1-12"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '1-12' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '1-12' und 'nicht 1-12'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"1-12": $\frac{12}{37}$ ; "nicht 1-12": $\frac{25}{37}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal 1-12' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein '1-12' bzw. 0 mal '1-12'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal '1-12')=1- $\frac{625}{1369}$ = $\frac{744}{1369}$

Ereignis	P
1-12 -> 1-12	$\frac{144}{1369}$
1-12 -> nicht 1-12	$\frac{300}{1369}$
nicht 1-12 -> 1-12	$\frac{300}{1369}$
nicht 1-12 -> nicht 1-12	$\frac{625}{1369}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1-12")= $\frac{12}{37}$ ; P("nicht 1-12")= $\frac{25}{37}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1-12'-'nicht 1-12' (P= $\frac{300}{1369}$ )
'nicht 1-12'-'1-12' (P= $\frac{300}{1369}$ )
'1-12'-'1-12' (P= $\frac{144}{1369}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{300}{1369}$ + $\frac{300}{1369}$ + $\frac{144}{1369}$ = $\frac{744}{1369}$