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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote, 6 gelbe, 3 blaue und 4 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal schwarz"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'schwarz' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'schwarz' und 'nicht schwarz'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"schwarz": $\frac{4}{15}$ ; "nicht schwarz": $\frac{11}{15}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal schwarz' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'schwarz' bzw. 0 mal 'schwarz'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'schwarz')=1- $\frac{121}{225}$ = $\frac{104}{225}$

Ereignis	P
schwarz -> schwarz	$\frac{16}{225}$
schwarz -> nicht schwarz	$\frac{44}{225}$
nicht schwarz -> schwarz	$\frac{44}{225}$
nicht schwarz -> nicht schwarz	$\frac{121}{225}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("schwarz")= $\frac{4}{15}$ ; P("nicht schwarz")= $\frac{11}{15}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'schwarz'-'nicht schwarz' (P= $\frac{44}{225}$ )
'nicht schwarz'-'schwarz' (P= $\frac{44}{225}$ )
'schwarz'-'schwarz' (P= $\frac{16}{225}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{44}{225}$ + $\frac{44}{225}$ + $\frac{16}{225}$ = $\frac{104}{225}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 0 mal eine 6 zu würfeln?

Lösung einblenden

Ereignis	P
6er -> 6er	$\frac{1}{36}$
6er -> keine_6	$\frac{5}{36}$
keine_6 -> 6er	$\frac{5}{36}$
keine_6 -> keine_6	$\frac{25}{36}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("6er")= $\frac{1}{6}$ ; P("keine_6")= $\frac{5}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'keine_6'-'keine_6' (P= $\frac{25}{36}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{25}{36}$ = $\frac{25}{36}$