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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote, 5 gelbe, 4 blaue und 7 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal schwarz"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'schwarz' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'schwarz' und 'nicht schwarz'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"schwarz": $\frac{7}{20}$ ; "nicht schwarz": $\frac{13}{20}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal schwarz' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'schwarz' bzw. 0 mal 'schwarz'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'schwarz')=1- $\frac{169}{400}$ = $\frac{231}{400}$

Ereignis	P
schwarz -> schwarz	$\frac{49}{400}$
schwarz -> nicht schwarz	$\frac{91}{400}$
nicht schwarz -> schwarz	$\frac{91}{400}$
nicht schwarz -> nicht schwarz	$\frac{169}{400}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("schwarz")= $\frac{7}{20}$ ; P("nicht schwarz")= $\frac{13}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'schwarz'-'nicht schwarz' (P= $\frac{91}{400}$ )
'nicht schwarz'-'schwarz' (P= $\frac{91}{400}$ )
'schwarz'-'schwarz' (P= $\frac{49}{400}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{91}{400}$ + $\frac{91}{400}$ + $\frac{49}{400}$ = $\frac{231}{400}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 0 mal eine durch 3 teilbare Zahl zu würfeln?

Lösung einblenden

Ereignis	P
Teiler -> Teiler	$\frac{1}{9}$
Teiler -> kein Teiler	$\frac{2}{9}$
kein Teiler -> Teiler	$\frac{2}{9}$
kein Teiler -> kein Teiler	$\frac{4}{9}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Teiler")= $\frac{1}{3}$ ; P("kein Teiler")= $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'kein Teiler'-'kein Teiler' (P= $\frac{4}{9}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{9}$ = $\frac{4}{9}$