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Beispiel:
Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens 1 mal eine durch 3 teilbare Zahl zu würfeln?
Da ja ausschließlich nach '3er-Zahl' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3er-Zahl' und 'nicht 3er-Zahl'
Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3er-Zahl": ; "nicht 3er-Zahl": ;
Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal 3er-Zahl' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein '3er-Zahl' bzw. 0 mal '3er-Zahl'
Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:
P=1-P(0 mal '3er-Zahl')=1- =
| Ereignis | P |
|---|---|
| 3er-Zahl -> 3er-Zahl -> 3er-Zahl | |
| 3er-Zahl -> 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl | |
| 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl -> 3er-Zahl | |
| 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl | |
| nicht 3er-Zahl -> 3er-Zahl -> 3er-Zahl | |
| nicht 3er-Zahl -> 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl | |
| nicht 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl -> 3er-Zahl | |
| nicht 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("3er-Zahl")=; P("nicht 3er-Zahl")=;
Die relevanten Pfade sind:- '3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl' (P=)
- 'nicht 3er-Zahl'-'3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl' (P=)
- 'nicht 3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl'-'3er-Zahl' (P=)
- '3er-Zahl'-'3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl' (P=)
- '3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl'-'3er-Zahl' (P=)
- 'nicht 3er-Zahl'-'3er-Zahl'-'3er-Zahl' (P=)
- '3er-Zahl'-'3er-Zahl'-'3er-Zahl' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + + + + + =
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Beispiel:
Beim Würfelspiel Mäxle würfelt man mit zwei Würfeln. Die größere Augenzahl nimmt man als Zehner, die kleinere als Einer (z.B. 3 und 5 ergibt 53). Ein Pasch (gleiche Zahlen bei beiden Würfeln) zählt mehr als alle anderen Ergebnisse. Lediglich ein Mäxle (eine 1 und ein 2) schlägt auch einen Pasch. Die beiden schlechtesten Ergebnisse sind also 31 und 32. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür?
| Ereignis | P |
|---|---|
| 1 -> 1 | |
| 1 -> 2 | |
| 1 -> 3 | |
| 1 -> höher | |
| 2 -> 1 | |
| 2 -> 2 | |
| 2 -> 3 | |
| 2 -> höher | |
| 3 -> 1 | |
| 3 -> 2 | |
| 3 -> 3 | |
| 3 -> höher | |
| höher -> 1 | |
| höher -> 2 | |
| höher -> 3 | |
| höher -> höher |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")=; P("2")=; P("3")=; P("höher")=;
Die relevanten Pfade sind:- '1'-'3' (P=)
- '3'-'1' (P=)
- '2'-'3' (P=)
- '3'-'2' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + + =
