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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 6 rote, 3 gelbe, 7 blaue und 4 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 1 mal gelb"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'gelb' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'gelb' und 'nicht gelb'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"gelb": $\frac{3}{20}$ ; "nicht gelb": $\frac{17}{20}$ ;

Ereignis	P
gelb -> gelb	$\frac{9}{400}$
gelb -> nicht gelb	$\frac{51}{400}$
nicht gelb -> gelb	$\frac{51}{400}$
nicht gelb -> nicht gelb	$\frac{289}{400}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("gelb")= $\frac{3}{20}$ ; P("nicht gelb")= $\frac{17}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'gelb'-'nicht gelb' (P= $\frac{51}{400}$ )
'nicht gelb'-'gelb' (P= $\frac{51}{400}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{51}{400}$ + $\frac{51}{400}$ = $\frac{51}{200}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und 6 blaue Kugeln. Es wird 3 mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal rot"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{2}{5}$ ; "nicht rot": $\frac{3}{5}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal rot' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'rot' bzw. 0 mal 'rot'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'rot')=1- $\frac{27}{125}$ = $\frac{98}{125}$

Ereignis	P
rot -> rot -> rot	$\frac{8}{125}$
rot -> rot -> nicht rot	$\frac{12}{125}$
rot -> nicht rot -> rot	$\frac{12}{125}$
rot -> nicht rot -> nicht rot	$\frac{18}{125}$
nicht rot -> rot -> rot	$\frac{12}{125}$
nicht rot -> rot -> nicht rot	$\frac{18}{125}$
nicht rot -> nicht rot -> rot	$\frac{18}{125}$
nicht rot -> nicht rot -> nicht rot	$\frac{27}{125}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{2}{5}$ ; P("nicht rot")= $\frac{3}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'nicht rot'-'nicht rot' (P= $\frac{18}{125}$ )
'nicht rot'-'rot'-'nicht rot' (P= $\frac{18}{125}$ )
'nicht rot'-'nicht rot'-'rot' (P= $\frac{18}{125}$ )
'rot'-'rot'-'nicht rot' (P= $\frac{12}{125}$ )
'rot'-'nicht rot'-'rot' (P= $\frac{12}{125}$ )
'nicht rot'-'rot'-'rot' (P= $\frac{12}{125}$ )
'rot'-'rot'-'rot' (P= $\frac{8}{125}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{18}{125}$ + $\frac{18}{125}$ + $\frac{18}{125}$ + $\frac{12}{125}$ + $\frac{12}{125}$ + $\frac{12}{125}$ + $\frac{8}{125}$ = $\frac{98}{125}$