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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens 1 mal eine durch 3 teilbare Zahl zu würfeln?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '3er-Zahl' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3er-Zahl' und 'nicht 3er-Zahl'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3er-Zahl": $\frac{1}{3}$ ; "nicht 3er-Zahl": $\frac{2}{3}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal 3er-Zahl' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein '3er-Zahl' bzw. 0 mal '3er-Zahl'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal '3er-Zahl')=1- $\frac{8}{27}$ = $\frac{19}{27}$

Ereignis	P
3er-Zahl -> 3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{1}{27}$
3er-Zahl -> 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl	$\frac{2}{27}$
3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{2}{27}$
3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl	$\frac{4}{27}$
nicht 3er-Zahl -> 3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{2}{27}$
nicht 3er-Zahl -> 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl	$\frac{4}{27}$
nicht 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{4}{27}$
nicht 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl	$\frac{8}{27}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("3er-Zahl")= $\frac{1}{3}$ ; P("nicht 3er-Zahl")= $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl' (P= $\frac{4}{27}$ )
'nicht 3er-Zahl'-'3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl' (P= $\frac{4}{27}$ )
'nicht 3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl'-'3er-Zahl' (P= $\frac{4}{27}$ )
'3er-Zahl'-'3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl' (P= $\frac{2}{27}$ )
'3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl'-'3er-Zahl' (P= $\frac{2}{27}$ )
'nicht 3er-Zahl'-'3er-Zahl'-'3er-Zahl' (P= $\frac{2}{27}$ )
'3er-Zahl'-'3er-Zahl'-'3er-Zahl' (P= $\frac{1}{27}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{27}$ + $\frac{4}{27}$ + $\frac{4}{27}$ + $\frac{2}{27}$ + $\frac{2}{27}$ + $\frac{2}{27}$ + $\frac{1}{27}$ = $\frac{19}{27}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 9 rote und 3 blaue Kugeln. Es wird 3 mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 2 mal rot"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{3}{4}$ ; "nicht rot": $\frac{1}{4}$ ;

Ereignis	P
rot -> rot -> rot	$\frac{27}{64}$
rot -> rot -> nicht rot	$\frac{9}{64}$
rot -> nicht rot -> rot	$\frac{9}{64}$
rot -> nicht rot -> nicht rot	$\frac{3}{64}$
nicht rot -> rot -> rot	$\frac{9}{64}$
nicht rot -> rot -> nicht rot	$\frac{3}{64}$
nicht rot -> nicht rot -> rot	$\frac{3}{64}$
nicht rot -> nicht rot -> nicht rot	$\frac{1}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{3}{4}$ ; P("nicht rot")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot'-'nicht rot' (P= $\frac{9}{64}$ )
'rot'-'nicht rot'-'rot' (P= $\frac{9}{64}$ )
'nicht rot'-'rot'-'rot' (P= $\frac{9}{64}$ )
'rot'-'rot'-'rot' (P= $\frac{27}{64}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{9}{64}$ + $\frac{9}{64}$ + $\frac{9}{64}$ + $\frac{27}{64}$ = $\frac{27}{32}$