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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 8 rote, 4 gelbe, 2 blaue und 6 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal gelb"?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{4}{25}$
rot -> blau	$\frac{1}{25}$
rot -> gelb	$\frac{2}{25}$
rot -> schwarz	$\frac{3}{25}$
blau -> rot	$\frac{1}{25}$
blau -> blau	$\frac{1}{100}$
blau -> gelb	$\frac{1}{50}$
blau -> schwarz	$\frac{3}{100}$
gelb -> rot	$\frac{2}{25}$
gelb -> blau	$\frac{1}{50}$
gelb -> gelb	$\frac{1}{25}$
gelb -> schwarz	$\frac{3}{50}$
schwarz -> rot	$\frac{3}{25}$
schwarz -> blau	$\frac{3}{100}$
schwarz -> gelb	$\frac{3}{50}$
schwarz -> schwarz	$\frac{9}{100}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{2}{5}$ ; P("blau")= $\frac{1}{10}$ ; P("gelb")= $\frac{1}{5}$ ; P("schwarz")= $\frac{3}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'gelb' (P= $\frac{2}{25}$ )
'gelb'-'rot' (P= $\frac{2}{25}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{25}$ + $\frac{2}{25}$ = $\frac{4}{25}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Beim Würfelspiel Mäxle würfelt man mit zwei Würfeln. Die größere Augenzahl nimmt man als Zehner, die kleinere als Einer (z.B. 3 und 5 ergibt 53). Ein Pasch (gleiche Zahlen bei beiden Würfeln) zählt mehr als alle anderen Ergebnisse. Lediglich ein Mäxle (eine 1 und ein 2) schlägt auch einen Pasch. Die beiden schlechtesten Ergebnisse sind also 31 und 32. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{36}$
1 -> 2	$\frac{1}{36}$
1 -> 3	$\frac{1}{36}$
1 -> höher	$\frac{1}{12}$
2 -> 1	$\frac{1}{36}$
2 -> 2	$\frac{1}{36}$
2 -> 3	$\frac{1}{36}$
2 -> höher	$\frac{1}{12}$
3 -> 1	$\frac{1}{36}$
3 -> 2	$\frac{1}{36}$
3 -> 3	$\frac{1}{36}$
3 -> höher	$\frac{1}{12}$
höher -> 1	$\frac{1}{12}$
höher -> 2	$\frac{1}{12}$
höher -> 3	$\frac{1}{12}$
höher -> höher	$\frac{1}{4}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{6}$ ; P("2")= $\frac{1}{6}$ ; P("3")= $\frac{1}{6}$ ; P("höher")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{1}{36}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{1}{36}$ )
'2'-'3' (P= $\frac{1}{36}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{1}{36}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ = $\frac{1}{9}$