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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 9 rote, 8 gelbe, 9 blaue und 4 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal blau"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": $\frac{3}{10}$ ; "nicht blau": $\frac{7}{10}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal blau' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'blau' bzw. 0 mal 'blau'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'blau')=1- $\frac{49}{100}$ = $\frac{51}{100}$

Ereignis	P
blau -> blau	$\frac{9}{100}$
blau -> nicht blau	$\frac{21}{100}$
nicht blau -> blau	$\frac{21}{100}$
nicht blau -> nicht blau	$\frac{49}{100}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("blau")= $\frac{3}{10}$ ; P("nicht blau")= $\frac{7}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'nicht blau' (P= $\frac{21}{100}$ )
'nicht blau'-'blau' (P= $\frac{21}{100}$ )
'blau'-'blau' (P= $\frac{9}{100}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{21}{100}$ + $\frac{21}{100}$ + $\frac{9}{100}$ = $\frac{51}{100}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 6 vom Typ rot, 7 vom Typ blau und 7 vom Typ gelb. Es wird 2 mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{9}{100}$
rot -> blau	$\frac{21}{200}$
rot -> gelb	$\frac{21}{200}$
blau -> rot	$\frac{21}{200}$
blau -> blau	$\frac{49}{400}$
blau -> gelb	$\frac{49}{400}$
gelb -> rot	$\frac{21}{200}$
gelb -> blau	$\frac{49}{400}$
gelb -> gelb	$\frac{49}{400}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{3}{10}$ ; P("blau")= $\frac{7}{20}$ ; P("gelb")= $\frac{7}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{9}{100}$ )
'blau'-'blau' (P= $\frac{49}{400}$ )
'gelb'-'gelb' (P= $\frac{49}{400}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{9}{100}$ + $\frac{49}{400}$ + $\frac{49}{400}$ = $\frac{67}{200}$