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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens 1 mal eine Primzahl zu würfeln?

Da ja ausschließlich nach 'prim' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'prim' und 'nicht prim'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"prim": $\frac{1}{2}$ ; "nicht prim": $\frac{1}{2}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal prim' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'prim' bzw. 0 mal 'prim'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'prim')=1- $\frac{1}{4}$ = $\frac{3}{4}$

Ereignis	P
prim -> prim	$\frac{1}{4}$
prim -> nicht prim	$\frac{1}{4}$
nicht prim -> prim	$\frac{1}{4}$
nicht prim -> nicht prim	$\frac{1}{4}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("prim")= $\frac{1}{2}$ ; P("nicht prim")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'prim'-'nicht prim' (P= $\frac{1}{4}$ )
'nicht prim'-'prim' (P= $\frac{1}{4}$ )
'prim'-'prim' (P= $\frac{1}{4}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $\frac{3}{4}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 9 rote und 3 blaue Kugeln. Es wird 3 mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal rot"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{3}{4}$ ; "nicht rot": $\frac{1}{4}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal rot' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'rot' bzw. 0 mal 'rot'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'rot')=1- $\frac{1}{64}$ = $\frac{63}{64}$

Ereignis	P
rot -> rot -> rot	$\frac{27}{64}$
rot -> rot -> nicht rot	$\frac{9}{64}$
rot -> nicht rot -> rot	$\frac{9}{64}$
rot -> nicht rot -> nicht rot	$\frac{3}{64}$
nicht rot -> rot -> rot	$\frac{9}{64}$
nicht rot -> rot -> nicht rot	$\frac{3}{64}$
nicht rot -> nicht rot -> rot	$\frac{3}{64}$
nicht rot -> nicht rot -> nicht rot	$\frac{1}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{3}{4}$ ; P("nicht rot")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'nicht rot'-'nicht rot' (P= $\frac{3}{64}$ )
'nicht rot'-'rot'-'nicht rot' (P= $\frac{3}{64}$ )
'nicht rot'-'nicht rot'-'rot' (P= $\frac{3}{64}$ )
'rot'-'rot'-'nicht rot' (P= $\frac{9}{64}$ )
'rot'-'nicht rot'-'rot' (P= $\frac{9}{64}$ )
'nicht rot'-'rot'-'rot' (P= $\frac{9}{64}$ )
'rot'-'rot'-'rot' (P= $\frac{27}{64}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{64}$ + $\frac{3}{64}$ + $\frac{3}{64}$ + $\frac{9}{64}$ + $\frac{9}{64}$ + $\frac{9}{64}$ + $\frac{27}{64}$ = $\frac{63}{64}$