Mathebattle EduRandomtasks

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 6 rote, 2 gelbe, 6 blaue und 6 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal schwarz"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'schwarz' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'schwarz' und 'nicht schwarz'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"schwarz": $\frac{3}{10}$ ; "nicht schwarz": $\frac{7}{10}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal schwarz' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'schwarz' bzw. 0 mal 'schwarz'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'schwarz')=1- $\frac{49}{100}$ = $\frac{51}{100}$

Ereignis	P
schwarz -> schwarz	$\frac{9}{100}$
schwarz -> nicht schwarz	$\frac{21}{100}$
nicht schwarz -> schwarz	$\frac{21}{100}$
nicht schwarz -> nicht schwarz	$\frac{49}{100}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("schwarz")= $\frac{3}{10}$ ; P("nicht schwarz")= $\frac{7}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'schwarz'-'nicht schwarz' (P= $\frac{21}{100}$ )
'nicht schwarz'-'schwarz' (P= $\frac{21}{100}$ )
'schwarz'-'schwarz' (P= $\frac{9}{100}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{21}{100}$ + $\frac{21}{100}$ + $\frac{9}{100}$ = $\frac{51}{100}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 2 vom Typ rot, 5 vom Typ blau, 6 vom Typ gelb und 7 vom Typ schwarz. Es wird 2 mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{1}{100}$
rot -> blau	$\frac{1}{40}$
rot -> gelb	$\frac{3}{100}$
rot -> schwarz	$\frac{7}{200}$
blau -> rot	$\frac{1}{40}$
blau -> blau	$\frac{1}{16}$
blau -> gelb	$\frac{3}{40}$
blau -> schwarz	$\frac{7}{80}$
gelb -> rot	$\frac{3}{100}$
gelb -> blau	$\frac{3}{40}$
gelb -> gelb	$\frac{9}{100}$
gelb -> schwarz	$\frac{21}{200}$
schwarz -> rot	$\frac{7}{200}$
schwarz -> blau	$\frac{7}{80}$
schwarz -> gelb	$\frac{21}{200}$
schwarz -> schwarz	$\frac{49}{400}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{1}{10}$ ; P("blau")= $\frac{1}{4}$ ; P("gelb")= $\frac{3}{10}$ ; P("schwarz")= $\frac{7}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{1}{100}$ )
'blau'-'blau' (P= $\frac{1}{16}$ )
'gelb'-'gelb' (P= $\frac{9}{100}$ )
'schwarz'-'schwarz' (P= $\frac{49}{400}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{100}$ + $\frac{1}{16}$ + $\frac{9}{100}$ + $\frac{49}{400}$ = $\frac{57}{200}$