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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 8 rote, 3 gelbe, 10 blaue und 3 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal blau und 1 mal gelb"?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{1}{9}$
rot -> blau	$\frac{5}{36}$
rot -> gelb	$\frac{1}{24}$
rot -> schwarz	$\frac{1}{24}$
blau -> rot	$\frac{5}{36}$
blau -> blau	$\frac{25}{144}$
blau -> gelb	$\frac{5}{96}$
blau -> schwarz	$\frac{5}{96}$
gelb -> rot	$\frac{1}{24}$
gelb -> blau	$\frac{5}{96}$
gelb -> gelb	$\frac{1}{64}$
gelb -> schwarz	$\frac{1}{64}$
schwarz -> rot	$\frac{1}{24}$
schwarz -> blau	$\frac{5}{96}$
schwarz -> gelb	$\frac{1}{64}$
schwarz -> schwarz	$\frac{1}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{1}{3}$ ; P("blau")= $\frac{5}{12}$ ; P("gelb")= $\frac{1}{8}$ ; P("schwarz")= $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'gelb' (P= $\frac{5}{96}$ )
'gelb'-'blau' (P= $\frac{5}{96}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{96}$ + $\frac{5}{96}$ = $\frac{5}{48}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 9 rote und 3 blaue Kugeln. Es wird 3 mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 2 mal blau"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": $\frac{1}{4}$ ; "nicht blau": $\frac{3}{4}$ ;

Ereignis	P
blau -> blau -> blau	$\frac{1}{64}$
blau -> blau -> nicht blau	$\frac{3}{64}$
blau -> nicht blau -> blau	$\frac{3}{64}$
blau -> nicht blau -> nicht blau	$\frac{9}{64}$
nicht blau -> blau -> blau	$\frac{3}{64}$
nicht blau -> blau -> nicht blau	$\frac{9}{64}$
nicht blau -> nicht blau -> blau	$\frac{9}{64}$
nicht blau -> nicht blau -> nicht blau	$\frac{27}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("blau")= $\frac{1}{4}$ ; P("nicht blau")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'blau'-'nicht blau' (P= $\frac{3}{64}$ )
'blau'-'nicht blau'-'blau' (P= $\frac{3}{64}$ )
'nicht blau'-'blau'-'blau' (P= $\frac{3}{64}$ )
'blau'-'blau'-'blau' (P= $\frac{1}{64}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{64}$ + $\frac{3}{64}$ + $\frac{3}{64}$ + $\frac{1}{64}$ = $\frac{5}{32}$