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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Das nebenstehende Glücksrad wird 2 mal gedreht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal blau"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": $\frac{1}{4}$ ; "nicht blau": $\frac{3}{4}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal blau' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'blau' bzw. 0 mal 'blau'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'blau')=1- $\frac{9}{16}$ = $\frac{7}{16}$

Ereignis	P
blau -> blau	$\frac{1}{16}$
blau -> nicht blau	$\frac{3}{16}$
nicht blau -> blau	$\frac{3}{16}$
nicht blau -> nicht blau	$\frac{9}{16}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("blau")= $\frac{1}{4}$ ; P("nicht blau")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'nicht blau' (P= $\frac{3}{16}$ )
'nicht blau'-'blau' (P= $\frac{3}{16}$ )
'blau'-'blau' (P= $\frac{1}{16}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{16}$ + $\frac{3}{16}$ + $\frac{1}{16}$ = $\frac{7}{16}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 3 vom Typ rot, 10 vom Typ blau, 4 vom Typ gelb und 3 vom Typ schwarz. Es wird 2 mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{9}{400}$
rot -> blau	$\frac{3}{40}$
rot -> gelb	$\frac{3}{100}$
rot -> schwarz	$\frac{9}{400}$
blau -> rot	$\frac{3}{40}$
blau -> blau	$\frac{1}{4}$
blau -> gelb	$\frac{1}{10}$
blau -> schwarz	$\frac{3}{40}$
gelb -> rot	$\frac{3}{100}$
gelb -> blau	$\frac{1}{10}$
gelb -> gelb	$\frac{1}{25}$
gelb -> schwarz	$\frac{3}{100}$
schwarz -> rot	$\frac{9}{400}$
schwarz -> blau	$\frac{3}{40}$
schwarz -> gelb	$\frac{3}{100}$
schwarz -> schwarz	$\frac{9}{400}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{3}{20}$ ; P("blau")= $\frac{1}{2}$ ; P("gelb")= $\frac{1}{5}$ ; P("schwarz")= $\frac{3}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{9}{400}$ )
'blau'-'blau' (P= $\frac{1}{4}$ )
'gelb'-'gelb' (P= $\frac{1}{25}$ )
'schwarz'-'schwarz' (P= $\frac{9}{400}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{9}{400}$ + $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{25}$ + $\frac{9}{400}$ = $\frac{67}{200}$