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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 6 rote, 6 gelbe, 10 blaue und 3 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal blau und 1 mal schwarz"?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{36}{625}$
rot -> blau	$\frac{12}{125}$
rot -> gelb	$\frac{36}{625}$
rot -> schwarz	$\frac{18}{625}$
blau -> rot	$\frac{12}{125}$
blau -> blau	$\frac{4}{25}$
blau -> gelb	$\frac{12}{125}$
blau -> schwarz	$\frac{6}{125}$
gelb -> rot	$\frac{36}{625}$
gelb -> blau	$\frac{12}{125}$
gelb -> gelb	$\frac{36}{625}$
gelb -> schwarz	$\frac{18}{625}$
schwarz -> rot	$\frac{18}{625}$
schwarz -> blau	$\frac{6}{125}$
schwarz -> gelb	$\frac{18}{625}$
schwarz -> schwarz	$\frac{9}{625}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{6}{25}$ ; P("blau")= $\frac{2}{5}$ ; P("gelb")= $\frac{6}{25}$ ; P("schwarz")= $\frac{3}{25}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'schwarz' (P= $\frac{6}{125}$ )
'schwarz'-'blau' (P= $\frac{6}{125}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{6}{125}$ + $\frac{6}{125}$ = $\frac{12}{125}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens 2 mal eine durch 3 teilbare Zahl zu würfeln?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Teiler' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Teiler' und 'nicht Teiler'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Teiler": $\frac{1}{3}$ ; "nicht Teiler": $\frac{2}{3}$ ;

Ereignis	P
Teiler -> Teiler -> Teiler	$\frac{1}{27}$
Teiler -> Teiler -> nicht Teiler	$\frac{2}{27}$
Teiler -> nicht Teiler -> Teiler	$\frac{2}{27}$
Teiler -> nicht Teiler -> nicht Teiler	$\frac{4}{27}$
nicht Teiler -> Teiler -> Teiler	$\frac{2}{27}$
nicht Teiler -> Teiler -> nicht Teiler	$\frac{4}{27}$
nicht Teiler -> nicht Teiler -> Teiler	$\frac{4}{27}$
nicht Teiler -> nicht Teiler -> nicht Teiler	$\frac{8}{27}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Teiler")= $\frac{1}{3}$ ; P("nicht Teiler")= $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Teiler'-'Teiler'-'nicht Teiler' (P= $\frac{2}{27}$ )
'Teiler'-'nicht Teiler'-'Teiler' (P= $\frac{2}{27}$ )
'nicht Teiler'-'Teiler'-'Teiler' (P= $\frac{2}{27}$ )
'Teiler'-'Teiler'-'Teiler' (P= $\frac{1}{27}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{27}$ + $\frac{2}{27}$ + $\frac{2}{27}$ + $\frac{1}{27}$ = $\frac{7}{27}$