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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Eine faire Münze (d.h. die Wahrscheinlichkeit für Zahl und Wappen ist gleich groß) wird drei mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal Wappen"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Wappen' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Wappen' und 'nicht Wappen'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Wappen": $\frac{1}{2}$ ; "nicht Wappen": $\frac{1}{2}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal Wappen' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'Wappen' bzw. 0 mal 'Wappen'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'Wappen')=1- $\frac{1}{8}$ = $\frac{7}{8}$

Ereignis	P
Wappen -> Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Wappen -> nicht Wappen	$\frac{1}{8}$
Wappen -> nicht Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$
Wappen -> nicht Wappen -> nicht Wappen	$\frac{1}{8}$
nicht Wappen -> Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$
nicht Wappen -> Wappen -> nicht Wappen	$\frac{1}{8}$
nicht Wappen -> nicht Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$
nicht Wappen -> nicht Wappen -> nicht Wappen	$\frac{1}{8}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Wappen")= $\frac{1}{2}$ ; P("nicht Wappen")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Wappen'-'nicht Wappen'-'nicht Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht Wappen'-'Wappen'-'nicht Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht Wappen'-'nicht Wappen'-'Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )
'Wappen'-'Wappen'-'nicht Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )
'Wappen'-'nicht Wappen'-'Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht Wappen'-'Wappen'-'Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )
'Wappen'-'Wappen'-'Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $\frac{7}{8}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 7 vom Typ rot, 5 vom Typ blau, 7 vom Typ gelb und 5 vom Typ schwarz. Es wird 2 mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{49}{576}$
rot -> blau	$\frac{35}{576}$
rot -> gelb	$\frac{49}{576}$
rot -> schwarz	$\frac{35}{576}$
blau -> rot	$\frac{35}{576}$
blau -> blau	$\frac{25}{576}$
blau -> gelb	$\frac{35}{576}$
blau -> schwarz	$\frac{25}{576}$
gelb -> rot	$\frac{49}{576}$
gelb -> blau	$\frac{35}{576}$
gelb -> gelb	$\frac{49}{576}$
gelb -> schwarz	$\frac{35}{576}$
schwarz -> rot	$\frac{35}{576}$
schwarz -> blau	$\frac{25}{576}$
schwarz -> gelb	$\frac{35}{576}$
schwarz -> schwarz	$\frac{25}{576}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{7}{24}$ ; P("blau")= $\frac{5}{24}$ ; P("gelb")= $\frac{7}{24}$ ; P("schwarz")= $\frac{5}{24}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{49}{576}$ )
'blau'-'blau' (P= $\frac{25}{576}$ )
'gelb'-'gelb' (P= $\frac{49}{576}$ )
'schwarz'-'schwarz' (P= $\frac{25}{576}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{49}{576}$ + $\frac{25}{576}$ + $\frac{49}{576}$ + $\frac{25}{576}$ = $\frac{37}{144}$