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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 9 rote, 10 gelbe, 8 blaue und 3 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal schwarz"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'schwarz' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'schwarz' und 'nicht schwarz'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"schwarz": $\frac{1}{10}$ ; "nicht schwarz": $\frac{9}{10}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal schwarz' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'schwarz' bzw. 0 mal 'schwarz'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'schwarz')=1- $\frac{81}{100}$ = $\frac{19}{100}$

Ereignis	P
schwarz -> schwarz	$\frac{1}{100}$
schwarz -> nicht schwarz	$\frac{9}{100}$
nicht schwarz -> schwarz	$\frac{9}{100}$
nicht schwarz -> nicht schwarz	$\frac{81}{100}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("schwarz")= $\frac{1}{10}$ ; P("nicht schwarz")= $\frac{9}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'schwarz'-'nicht schwarz' (P= $\frac{9}{100}$ )
'nicht schwarz'-'schwarz' (P= $\frac{9}{100}$ )
'schwarz'-'schwarz' (P= $\frac{1}{100}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{9}{100}$ + $\frac{9}{100}$ + $\frac{1}{100}$ = $\frac{19}{100}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 10 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 6 2er und 4 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 5 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{4}$
1 -> 2	$\frac{3}{20}$
1 -> 3	$\frac{1}{10}$
2 -> 1	$\frac{3}{20}$
2 -> 2	$\frac{9}{100}$
2 -> 3	$\frac{3}{50}$
3 -> 1	$\frac{1}{10}$
3 -> 2	$\frac{3}{50}$
3 -> 3	$\frac{1}{25}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{2}$ ; P("2")= $\frac{3}{10}$ ; P("3")= $\frac{1}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'2'-'3' (P= $\frac{3}{50}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{3}{50}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{50}$ + $\frac{3}{50}$ = $\frac{3}{25}$