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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote, 10 gelbe, 10 blaue und 5 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 1 mal rot"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{1}{6}$ ; "nicht rot": $\frac{5}{6}$ ;

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{1}{36}$
rot -> nicht rot	$\frac{5}{36}$
nicht rot -> rot	$\frac{5}{36}$
nicht rot -> nicht rot	$\frac{25}{36}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{1}{6}$ ; P("nicht rot")= $\frac{5}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'nicht rot' (P= $\frac{5}{36}$ )
'nicht rot'-'rot' (P= $\frac{5}{36}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{36}$ + $\frac{5}{36}$ = $\frac{5}{18}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, höchstens 2 mal eine durch 3 teilbare Zahl zu würfeln?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Teiler' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Teiler' und 'nicht Teiler'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Teiler": $\frac{1}{3}$ ; "nicht Teiler": $\frac{2}{3}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal Teiler' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 3 mal 'Teiler'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(3 mal 'Teiler')=1- $\frac{1}{27}$ = $\frac{26}{27}$

Ereignis	P
Teiler -> Teiler -> Teiler	$\frac{1}{27}$
Teiler -> Teiler -> nicht Teiler	$\frac{2}{27}$
Teiler -> nicht Teiler -> Teiler	$\frac{2}{27}$
Teiler -> nicht Teiler -> nicht Teiler	$\frac{4}{27}$
nicht Teiler -> Teiler -> Teiler	$\frac{2}{27}$
nicht Teiler -> Teiler -> nicht Teiler	$\frac{4}{27}$
nicht Teiler -> nicht Teiler -> Teiler	$\frac{4}{27}$
nicht Teiler -> nicht Teiler -> nicht Teiler	$\frac{8}{27}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Teiler")= $\frac{1}{3}$ ; P("nicht Teiler")= $\frac{2}{3}$ ;