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Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= 2 x 3 +16 mit der x-Achse.

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An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

2 x 3 +16 = 0 | -16
2 x 3 = -16 |:2
x 3 = -8 | ⋅3
x = - 8 3 = -2

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1( -2 |0)

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 5 + x 2 -2 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -2.

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Es gilt f(x) = -2, also x 5 + x 2 -2 = -2.

x 5 + x 2 -2 = -2 | +2
x 5 + x 2 -2 +2 = 0
x 5 + x 2 = 0
x 2 · ( x 3 +1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | ⋅2
x1 = 0

2. Fall:

x 3 +1 = 0 | -1
x 3 = -1 | ⋅3
x2 = - 1 3 = -1

An den Stellen x1 = -1 und x2 = 0 gilt also f(x)= -2.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 2 x 3 -129 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -1.

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Es gilt f(x) = -1, also 2 x 3 -129 = -1.

2 x 3 -129 = -1 | +129
2 x 3 = 128 |:2
x 3 = 64 | ⋅3
x = 64 3 = 4

An der Stelle x1 = 4 gilt also f(x)= -1.

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= - x 3 + x +128 und g(x)= x 3 + x .

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An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

- x 3 + x +128 = x 3 + x | -128 - x 3 - x
-2 x 3 = -128 |: ( -2 )
x 3 = 64 | ⋅3
x = 64 3 = 4

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( 4 ) = 4 3 +4 = 68 ⇒ S1( 4 | 68 )

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1|-3) und B(2|-24 ) auf dem Graphen der Funktion f mit f(x)= a · x n liegen.

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Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1|-3) und B(2|-24 ) in den Funktionsterm f(x)= a · x n ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: -3 = a · 1 n
II: -24 = a · 2 n

Aus I ergibt sich ja sofort -3 = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: -24 = -3⋅ 2 n | ⋅ ( - 1 3 )

8 = 2 n

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n=3

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: f(x)= -3 x 3

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= x 2 , g mit g(x)= x 3 , h mit h(x)= x 4 .
Sortiere die drei Funktionswerte f(-1.6), g(-1.6) und h(1.6), ohne sie wirklich auszurechnen.

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Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

  • f(-1.6) = ( -1,6 ) 2 > 0
  • g(-1.6) = ( -1,6 ) 3 < 0
  • h(1.6) = 1,6 4 > 0

    • Da g(-1.6) der einzige negative Funktionswert ist, muss dieser also der kleinste sein.

    Und weil die anderen beiden Werte positiv sind, schauen wir nur auf die Beträge:

    Dabei gilt f(-1.6) < h(1.6). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x2 in schwarz, g(x)=x3 in blau und h(x)=x4 in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
    1.64 =1.62 ⋅ 1.6 ⋅ 1.6.

    Die richtige Reihenfolge ist also:
    g(-1.6)= ( -1,6 ) 3 < f(-1.6)= ( -1,6 ) 2 < h(1.6)= 1,6 4 .

Funktionswerte berechnen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= - x 2 -4 . Berechne den Funktionswert f(2).

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Wir setzen 2 einfach für x in f(x)= - x 2 -4 ein:

f(2) = - 2 2 -4

= -4 -4

= -8