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Fit für die Oberstufe
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Nullstellen berechnen
Beispiel:
Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit mit der x-Achse.
An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:
= | |||
= |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
= | | | ||
x1 | = |
2. Fall:
|
= | |
|
|
|
= | |
|
|
x2 | = |
|
=
|
Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:
S1(x-Werte berechnen (f(x) gegeben)
Beispiel:
Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=
Es gilt f(x) = 0, also
|
= |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
x1 | = |
2. Fall:
|
= |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
|
= | |
|
|
x2 | = |
|
2. Fall:
|
= | |
|
|
x3 | = |
|
An den Stellen x1 =
x-Werte berechnen (schwerer)
Beispiel:
Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=
Es gilt f(x) = 3, also
|
= |
|
|
|
|
= | |
|
|
|
= |
|
=
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
An der Stelle x1 =
Schnittpunkte berechnen
Beispiel:
Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit
An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= | ||
|
= | ||
|
= |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
x1 | = |
2. Fall:
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 =
x2,3 =
x2,3 =
x2,3 =
x2 =
x3 =
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die
ganze Gleichung durch "
vor dem Einsetzen in x1,2 =
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
D =
x1,2 =
x1 =
x2 =
Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).
g(
g(
g(
Termbestimmung mit Punktproben
Beispiel:
Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1|
Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1|
I:
II:
Aus I ergibt sich ja sofort
II:
Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n=
Der gesuchte Funktionsterm ist somit:
Größenvergleich bei Potenzfunktionen
Beispiel:
Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)=
Sortiere die drei Funktionswerte f(-1.2), g(-1.2) und -h(1.2), ohne sie wirklich auszurechnen.
Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).
Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:
- f(-1.2) =
( - 1,2 ) 2 - g(-1.2) =
( - 1,2 ) 3 - -h(1.2) = -
1,2 4
Da f(-1.2) der einzige positive Funktionswert ist, muss dieser also der größte sein.
Und weil die anderen beiden Werte negativ sind, schauen wir zunächst nur auf die Beträge:
Dabei gilt g(-1.2) > -h(1.2). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x2 in schwarz, g(x)=x3 in blau und
h(x)=x4 in rot),
aber auch direkt an den Zahlen:
1.24 =1.23 ⋅ 1.2, d.h. 1.24 > 1.23, also gilt - 1.24 < - 1.23.
Die richtige Reihenfolge ist also:
-h(1.2)= -
Funktionswerte berechnen
Beispiel:
Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=
Wir setzen -2 einfach für x in f(x)=
f(-2) =
=
=
=
=
=