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Fit für die Oberstufe
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Nullstellen berechnen
Beispiel:
Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit mit der x-Achse.
An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:
= | |||
= |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
= | | | ||
x1 | = |
2. Fall:
|
= | |
|
|
|
= | |
|
|
x2 | = |
|
=
|
x3 | = |
|
=
|
Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:
S1(x-Werte berechnen (f(x) gegeben)
Beispiel:
Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=
Es gilt f(x) = 5, also
|
= |
|
|
|
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 =
x1,2 =
x1,2 =
x1,2 =
x1 =
x2 =
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
vor dem Einsetzen in x1,2 =
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
D =
x1,2 =
x1 =
x2 =
An den Stellen x1 =
x-Werte berechnen (schwerer)
Beispiel:
Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=
Es gilt f(x) = -3, also
|
= |
|
|
|
|
= | |:
|
|
|
= | |
|
|
|
= |
|
=
|
An der Stelle x1 =
Schnittpunkte berechnen
Beispiel:
Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit
An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= | ||
|
= | ||
|
= |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
|
= | |
|
|
x1 | = |
2. Fall:
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 =
x2,3 =
x2,3 =
x2,3 =
Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:
x =
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die
ganze Gleichung durch "
vor dem Einsetzen in x1,2 =
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
D =
Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.
x =
Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).
g(
g(
Termbestimmung mit Punktproben
Beispiel:
Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1|
Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1|
I:
II:
Aus I ergibt sich ja sofort
II:
Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n=
Der gesuchte Funktionsterm ist somit:
Größenvergleich bei Potenzfunktionen
Beispiel:
Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)=
Sortiere die drei Funktionswerte -f(0.9), g(0.9) und -h(0.9), ohne sie wirklich auszurechnen.
Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).
Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:
- -f(0.9) = -
0,9 2 - g(0.9) =
0,9 3 - -h(0.9) = -
0,9 4
Da g(0.9) der einzige positive Funktionswert ist, muss dieser also der größte sein.
Und weil die anderen beiden Werte negativ sind, schauen wir zunächst nur auf die Beträge:
Dabei gilt -f(0.9) < -h(0.9). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x2 in schwarz, g(x)=x3 in blau und
h(x)=x4 in rot),
aber auch direkt an den Zahlen:
0.94 =0.92 ⋅ 0.9 ⋅ 0.9, d.h. 0.94 < 0.92, also gilt - 0.94 > - 0.92.
Die richtige Reihenfolge ist also:
-f(0.9)= -
Funktionswerte berechnen
Beispiel:
Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=
Wir setzen -1 einfach für x in f(x)=
f(-1) =
=
=
=
=
=