nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= x 4 -4 x 2 mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

x 4 -4 x 2 = 0
x 2 ( x 2 -4 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | 2
x1 = 0

2. Fall:

x 2 -4 = 0 | +4
x 2 = 4 | 2
x2 = - 4 = -2
x3 = 4 = 2

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1( -2 |0), S2(0|0), S3( 2 |0)

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 2 -3x -23 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 5, also x 2 -3x -23 = 5.

x 2 -3x -23 = 5 | -5

x 2 -3x -28 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +3 ± ( -3 ) 2 -4 · 1 · ( -28 ) 21

x1,2 = +3 ± 9 +112 2

x1,2 = +3 ± 121 2

x1 = 3 + 121 2 = 3 +11 2 = 14 2 = 7

x2 = 3 - 121 2 = 3 -11 2 = -8 2 = -4

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 3 2 ) 2 - ( -28 ) = 9 4 + 28 = 9 4 + 112 4 = 121 4

x1,2 = 3 2 ± 121 4

x1 = 3 2 - 11 2 = - 8 2 = -4

x2 = 3 2 + 11 2 = 14 2 = 7

An den Stellen x1 = -4 und x2 = 7 gilt also f(x)= 5.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= -2 x 3 -253 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -3, also -2 x 3 -253 = -3.

-2 x 3 -253 = -3 | +253
-2 x 3 = 250 |: ( -2 )
x 3 = -125 | 3
x = - 125 3 = -5

An der Stelle x1 = -5 gilt also f(x)= -3.

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= -2 x 4 +15 x 3 -50 x 2 -5 und g(x)= -5 x 3 -5 .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

-2 x 4 +15 x 3 -50 x 2 -5 = -5 x 3 -5 | +5
-2 x 4 +15 x 3 -50 x 2 = -5 x 3 | +5 x 3
-2 x 4 +15 x 3 +5 x 3 -50 x 2 = 0
-2 x 4 +20 x 3 -50 x 2 = 0
2 x 2 ( - x 2 +10x -25 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | 2
x1 = 0

2. Fall:

- x 2 +10x -25 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x2,3 = -10 ± 10 2 -4 · ( -1 ) · ( -25 ) 2( -1 )

x2,3 = -10 ± 100 -100 -2

x2,3 = -10 ± 0 -2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = -10 -2 = 5

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "-1 " teilen:

- x 2 +10x -25 = 0 |: -1

x 2 -10x +25 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -5 ) 2 - 25 = 25 - 25 = 0

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = 5 ± 0 = 5

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = -5 0 3 -5 = -5 S1(0| -5 )

g( 5 ) = -5 5 3 -5 = -630 S2( 5 | -630 )

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1|4) und B(-3|36 ) auf dem Graphen der Funktion f mit f(x)= a · x n liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1|4) und B(-3|36 ) in den Funktionsterm f(x)= a · x n ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: 4 = a · 1 n
II: 36 = a · (-3) n

Aus I ergibt sich ja sofort 4 = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: 36 = 4 (-3) n | ⋅ 1 4

9 = (-3) n

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n=2

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: f(x)= 4 x 2

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= x 2 , g mit g(x)= x 3 , h mit h(x)= x 4 .
Sortiere die drei Funktionswerte -f(0.9), g(0.9) und -h(0.9), ohne sie wirklich auszurechnen.

Lösung einblenden
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

  • -f(0.9) = - 0,9 2 < 0
  • g(0.9) = 0,9 3 > 0
  • -h(0.9) = - 0,9 4 < 0
  • Da g(0.9) der einzige positive Funktionswert ist, muss dieser also der größte sein.

    Und weil die anderen beiden Werte negativ sind, schauen wir zunächst nur auf die Beträge:

    Dabei gilt -f(0.9) < -h(0.9). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x2 in schwarz, g(x)=x3 in blau und h(x)=x4 in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
    0.94 =0.92 ⋅ 0.9 ⋅ 0.9, d.h. 0.94 < 0.92, also gilt - 0.94 > - 0.92.

    Die richtige Reihenfolge ist also:
    -f(0.9)= - 0,9 2 < -h(0.9)= - 0,9 4 < g(0.9)= 0,9 3 .

Funktionswerte berechnen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= -3 ( -2x -3 ) 2 -1 . Berechne den Funktionswert f(-1).

Lösung einblenden

Wir setzen -1 einfach für x in f(x)= -3 ( -2x -3 ) 2 -1 ein:

f(-1) = -3 ( -2( -1 ) -3 ) 2 -1

= -3 ( 2 -3 ) 2 -1

= -3 ( -1 ) 2 -1

= -31 -1

= -3 -1

= -4