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Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= ( x -3 ) 3 -27 mit der x-Achse.

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An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

( x -3 ) 3 -27 = 0 | +27
( x -3 ) 3 = 27 | ⋅3
x -3 = 27 3 = 3
x -3 = 3 | +3
x = 6

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1( 6 |0)

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 2 -40 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -4.

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Es gilt f(x) = -4, also x 2 -40 = -4.

x 2 -40 = -4 | +40
x 2 = 36 | ⋅2
x1 = - 36 = -6
x2 = 36 = 6

An den Stellen x1 = -6 und x2 = 6 gilt also f(x)= -4.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ( -6 +3x ) 3 +29 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 2.

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Es gilt f(x) = 2, also ( -6 +3x ) 3 +29 = 2.

( -6 +3x ) 3 +29 = 2
( 3x -6 ) 3 +29 = 2 | -29
( 3x -6 ) 3 = -27 | ⋅3
3x -6 = - 27 3 = -3
3x -6 = -3 | +6
3x = 3 |:3
x = 1

An der Stelle x1 = 1 gilt also f(x)= 2.

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= - x 3 + x 2 + x +3 und g(x)= - x 3 +3 .

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An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

- x 3 + x 2 + x +3 = - x 3 +3 | -3
- x 3 + x 2 + x = - x 3 | + x 3
- x 3 + x 3 + x 2 + x = 0
x 2 + x = 0
x ( x +1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +1 = 0 | -1
x2 = -1

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( -1 ) = - ( -1 ) 3 +3 = 4 ⇒ S1( -1 | 4 )

g(0) = - 0 3 +3 = 3 ⇒ S2(0| 3 )

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1|-3) und B(2|-96 ) auf dem Graphen der Funktion f mit f(x)= a · x n liegen.

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Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1|-3) und B(2|-96 ) in den Funktionsterm f(x)= a · x n ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: -3 = a · 1 n
II: -96 = a · 2 n

Aus I ergibt sich ja sofort -3 = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: -96 = -3⋅ 2 n | ⋅ ( - 1 3 )

32 = 2 n

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n=5

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: f(x)= -3 x 5

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= x 2 , g mit g(x)= x 3 , h mit h(x)= x 4 .
Sortiere die drei Funktionswerte f(-1.3), g(-1.3) und h(1.3), ohne sie wirklich auszurechnen.

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Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

  • f(-1.3) = ( -1,3 ) 2 > 0
  • g(-1.3) = ( -1,3 ) 3 < 0
  • h(1.3) = 1,3 4 > 0

    • Da g(-1.3) der einzige negative Funktionswert ist, muss dieser also der kleinste sein.

    Und weil die anderen beiden Werte positiv sind, schauen wir nur auf die Beträge:

    Dabei gilt f(-1.3) < h(1.3). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x2 in schwarz, g(x)=x3 in blau und h(x)=x4 in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
    1.34 =1.32 ⋅ 1.3 ⋅ 1.3.

    Die richtige Reihenfolge ist also:
    g(-1.3)= ( -1,3 ) 3 < f(-1.3)= ( -1,3 ) 2 < h(1.3)= 1,3 4 .

Funktionswerte berechnen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 2 +3x +1 . Berechne den Funktionswert f(-1).

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Wir setzen -1 einfach für x in f(x)= x 2 +3x +1 ein:

f(-1) = ( -1 ) 2 +3⋅( -1 ) +1

= 1 -3 +1

= -1