nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= x 3 +64 mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

x 3 +64 = 0 | -64
x 3 = -64 | ⋅3
x = - 64 3 = -4

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1( -4 |0)

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ( x -5 ) ( x -4 ) 2 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 0, also ( x -5 ) ( x -4 ) 2 = 0.

( x -5 ) ( x -4 ) 2 = 0
( x -4 ) 2 ( x -5 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

( x -4 ) 2 = 0 | ⋅2
x -4 = 0
x -4 = 0 | +4
x1 = 4

2. Fall:

x -5 = 0 | +5
x2 = 5

An den Stellen x1 = 4 und x2 = 5 gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 3 -128 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -3, also x 3 -128 = -3.

x 3 -128 = -3 | +128
x 3 = 125 | ⋅3
x = 125 3 = 5

An der Stelle x1 = 5 gilt also f(x)= -3.

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= 2 x 4 + x 3 +4 x 2 -162 und g(x)= x 3 +4 x 2 .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

2 x 4 + x 3 +4 x 2 -162 = x 3 +4 x 2 | +162 - x 3 -4 x 2
2 x 4 = 162 |:2
x 4 = 81 | ⋅4
x1 = - 81 4 = -3
x2 = 81 4 = 3

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( -3 ) = ( -3 ) 3 +4⋅ ( -3 ) 2 = 9 ⇒ S1( -3 | 9 )

g( 3 ) = 3 3 +4⋅ 3 2 = 63 ⇒ S2( 3 | 63 )

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1|2) und B(-2|-16 ) auf dem Graphen der Funktion f mit f(x)= a · x n liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1|2) und B(-2|-16 ) in den Funktionsterm f(x)= a · x n ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: 2 = a · 1 n
II: -16 = a · (-2) n

Aus I ergibt sich ja sofort 2 = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: -16 = 2⋅ (-2) n | ⋅ 1 2

-8 = (-2) n

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n=3

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: f(x)= 2 x 3

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= x 2 , g mit g(x)= x 3 , h mit h(x)= x 4 .
Sortiere die drei Funktionswerte f(-0.4), -g(-0.4) und h(-0.4), ohne sie wirklich auszurechnen.

Lösung einblenden
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

  • f(-0.4) = ( -0,4 ) 2 > 0
  • -g(-0.4) = - ( -0,4 ) 3 > 0
  • h(-0.4) = ( -0,4 ) 4 > 0

    • Da alle Werte positiv sind, schauen wir nur auf die Beträge:

    Und weil 0.4 < 1 ist, werden die Werte mit jeder Potenz immer kleiner. Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x2 in schwarz, g(x)=x3 in blau und h(x)=x4 in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
    0.43 =0.42 ⋅ 0.4 bzw. 0.44 =0.43 ⋅ 0.4.

    Die richtige Reihenfolge ist also:
    h(-0.4)= ( -0,4 ) 4 < -g(-0.4)= - ( -0,4 ) 3 < f(-0.4)= ( -0,4 ) 2 .

Funktionswerte berechnen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 4 - x 2 -5 . Berechne den Funktionswert f(-1).

Lösung einblenden

Wir setzen -1 einfach für x in f(x)= x 4 - x 2 -5 ein:

f(-1) = ( -1 ) 4 - ( -1 ) 2 -5

= 1 - 1 -5

= -5