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Fit für die Oberstufe
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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Nullstellen berechnen
Beispiel:
Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit mit der x-Achse.
An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:
| = | |||
| = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| = | | | ||
| x1 | = |
2. Fall:
= 0
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 = ergibt:
x2,3 =
x2,3 =
x2,3 =
x2 = = = =
x3 = = = =
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
vor dem Einsetzen in x1,2 =
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
:
D = = =
x1,2 = ±
x1 = - = -5
x2 = + = 7
Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:
S1( |0), S2(
x-Werte berechnen (f(x) gegeben)
Beispiel:
Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 2.
Es gilt f(x) = 2, also = 2.
| = | | |
= 0
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 = ergibt:
x1,2 =
x1,2 =
x1,2 =
x1 = = = =
x2 = = = =
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
vor dem Einsetzen in x1,2 =
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
:
D = = = =
x1,2 = ±
x1 = - = = -6
x2 = + = = 7
An den Stellen x1 = und x2 = gilt also f(x)= 2.
x-Werte berechnen (schwerer)
Beispiel:
Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -1.
Es gilt f(x) = -1, also = -1.
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = | | |
1. Fall
| = | = |
| = | | | ||
| x1 | = |
2. Fall
| = | = |
| = | | | ||
| x2 | = |
An den Stellen x1 =
Schnittpunkte berechnen
Beispiel:
Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit und .
An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:
| = | | | ||
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = | | | ||
| = | = |
Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).
g( ) = = ⇒ S1( | )
Termbestimmung mit Punktproben
Beispiel:
Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1|) und B(3|) auf dem Graphen der Funktion f mit liegen.
Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1|) und B(3|) in den Funktionsterm ein und erhalten so die beiden Gleichungen:
I: =
II: =
Aus I ergibt sich ja sofort = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:
II: = | ⋅
=
Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n=
Der gesuchte Funktionsterm ist somit:
Größenvergleich bei Potenzfunktionen
Beispiel:
Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= , g mit g(x)= , h mit h(x)= .
Sortiere die drei Funktionswerte -f(1.5), g(-1.5) und -h(-1.5), ohne sie wirklich auszurechnen.
Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).
Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:
- -f(1.5) = - < 0
- g(-1.5) = < 0
- -h(-1.5) = - < 0
Da alle Werte negativ sind, schauen wir zunächst nur auf die Beträge:
Und weil 1.5 > 1 ist, werden die Betrags-Werte natürlich mit jeder Potenz immer größer. Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x2 in schwarz, g(x)=x3 in blau und
h(x)=x4 in rot),
aber auch direkt an den Zahlen:
1.53 =1.52 ⋅ 1.5 bzw. 1.54 =1.53 ⋅ 1.5,
d.h. 1.53 > 1.52, also gilt - 1.53 < - 1.52 und
1.54 > 1.53, also gilt - 1.54 < - 1.53.
Die richtige Reihenfolge ist also:
-h(-1.5)= -
< g(-1.5)=
< -f(1.5)= -
.
Funktionswerte berechnen
Beispiel:
Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= . Berechne den Funktionswert f(-1).
Wir setzen -1 einfach für x in f(x)= ein:
f(-1) =
=
=
=
=