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Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ ${(3 + 2 x)}^{3} + 125$ mit der x-Achse.

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

${(3 + 2 x)}^{3} + 125$	=	0
${(2 x + 3)}^{3} + 125$	=	0	\| $- 125$
${(2 x + 3)}^{3}$	=	$- 125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$2 x + 3$	=	$- \sqrt[3]{125}$	= $- 5$

$2 x + 3$	=	$- 5$	\| $- 3$
$2 x$	=	$- 8$	\|: $2$
$x$	=	$- 4$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 4$ |0)

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{2} - 13 x + 47$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 5, also $x^{2} - 13 x + 47$ = 5.

x^{2} - 13 x + 47

=

5

|

- 5

$x^{2} - 13 x + 42$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 42}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 168}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{13+1}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{13-1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{2})}^{2} - 42$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $42$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{168}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{13}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

x₂ = $\frac{13}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

An den Stellen x₁ = $6$ und x₂ = $7$ gilt also f(x)= 5.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- {(5 + 2 x)}^{3} + 120$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -5, also $- {(5 + 2 x)}^{3} + 120$ = -5.

$- {(5 + 2 x)}^{3} + 120$	=	$- 5$
$- {(2 x + 5)}^{3} + 120$	=	$- 5$	\| $- 120$
$- {(2 x + 5)}^{3}$	=	$- 125$	\|: $(- 1)$
${(2 x + 5)}^{3}$	=	$125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$2 x + 5$	=	$\sqrt[3]{125}$	= $5$

$2 x + 5$	=	$5$	\| $- 5$
$2 x$	=	0	\|: $2$
$x$	=	0

An der Stelle x₁ = 0 gilt also f(x)= -5.

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{5} + 12 x^{2} + 3$ und $g(x) =$ $4 x^{2} + 3$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{5} + 12 x^{2} + 3$	=	$4 x^{2} + 3$	\| $- 3$
$x^{5} + 12 x^{2}$	=	$4 x^{2}$	\| $- 4 x^{2}$
$x^{5} + 12 x^{2} - 4 x^{2}$	=	0
$x^{5} + 8 x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x^{3} + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} + 8$	=	0	\| $- 8$
$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 2$ ) = $4 \cdot {(- 2)}^{2} + 3$ = $19$ ⇒ S₁( $- 2$ | $19$ )

g(0) = $4 \cdot 0^{2} + 3$ = $3$ ⇒ S₂(0| $3$ )

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $- 2$ ) und B(2| $- 64$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $- 2$ ) und B(2| $- 64$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- 2$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $- 64$ = $a \cdot 2^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $- 2$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $- 64$ = $- 2 \cdot 2^{n}$ | ⋅ $(- \frac{1}{2})$

$32$ = $2^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $5$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $- 2 x^{5}$

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= $x^{2}$ , g mit g(x)= $x^{3}$ , h mit h(x)= $x^{4}$ .
Sortiere die drei Funktionswerte -f(0.4), g(-0.4) und -h(0.4), ohne sie wirklich auszurechnen.

Lösung einblenden

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

-f(0.4) = - ${0,4}^{2}$ < 0
g(-0.4) = ${(- 0,4)}^{3}$ < 0
-h(0.4) = - ${0,4}^{4}$ < 0

Da alle Werte negativ sind, schauen wir zunächst nur auf die Beträge:

Und weil 0.4 < 1 ist, werden die Betrags-Werte mit jeder Potenz immer kleiner. Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
0.4³ =0.4² ⋅ 0.4 bzw. 0.4⁴ =0.4³ ⋅ 0.4,
d.h. 0.4³ < 0.4², also gilt - 0.4³ > - 0.4² und 0.4⁴ < 0.4³, also gilt - 0.4⁴ > - 0.4³.

Die richtige Reihenfolge ist also:
-f(0.4)= - ${0,4}^{2}$ < g(-0.4)= ${(- 0,4)}^{3}$ < -h(0.4)= - ${0,4}^{4}$ .

Funktionswerte berechnen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- 2 {(- 2 x - 1)}^{4} + 1$ . Berechne den Funktionswert f(-1).

Lösung einblenden

Wir setzen -1 einfach für x in f(x)= $- 2 {(- 2 x - 1)}^{4} + 1$ ein:

f(-1) = $- 2 \cdot {(- 2 \cdot (- 1) - 1)}^{4} + 1$

= $- 2 \cdot {(2 - 1)}^{4} + 1$

= $- 2 \cdot 1^{4} + 1$

= $- 2 \cdot 1 + 1$

= $- 2 + 1$

= $- 1$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Nullstellen berechnen

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

x-Werte berechnen (schwerer)

Schnittpunkte berechnen

Termbestimmung mit Punktproben

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Funktionswerte berechnen