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Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= 2 x 5 -4 x 4 -70 x 3 mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

2 x 5 -4 x 4 -70 x 3 = 0
2 x 3 ( x 2 -2x -35 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 3 = 0 | 3
x1 = 0

2. Fall:

x 2 -2x -35 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x2,3 = +2 ± ( -2 ) 2 -4 · 1 · ( -35 ) 21

x2,3 = +2 ± 4 +140 2

x2,3 = +2 ± 144 2

x2 = 2 + 144 2 = 2 +12 2 = 14 2 = 7

x3 = 2 - 144 2 = 2 -12 2 = -10 2 = -5

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -1 ) 2 - ( -35 ) = 1+ 35 = 36

x1,2 = 1 ± 36

x1 = 1 - 6 = -5

x2 = 1 + 6 = 7

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1( -5 |0), S2(0|0), S3( 7 |0)

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 2 - x -40 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 2.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 2, also x 2 - x -40 = 2.

x 2 - x -40 = 2 | -2

x 2 - x -42 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +1 ± ( -1 ) 2 -4 · 1 · ( -42 ) 21

x1,2 = +1 ± 1 +168 2

x1,2 = +1 ± 169 2

x1 = 1 + 169 2 = 1 +13 2 = 14 2 = 7

x2 = 1 - 169 2 = 1 -13 2 = -12 2 = -6

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 1 2 ) 2 - ( -42 ) = 1 4 + 42 = 1 4 + 168 4 = 169 4

x1,2 = 1 2 ± 169 4

x1 = 1 2 - 13 2 = - 12 2 = -6

x2 = 1 2 + 13 2 = 14 2 = 7

An den Stellen x1 = -6 und x2 = 7 gilt also f(x)= 2.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= - ( x -2 ) 4 +15 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -1.

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Es gilt f(x) = -1, also - ( x -2 ) 4 +15 = -1.

- ( x -2 ) 4 +15 = -1 | -15
- ( x -2 ) 4 = -16 |: ( -1 )
( x -2 ) 4 = 16 | 4

1. Fall

x -2 = - 16 4 = -2
x -2 = -2 | +2
x1 = 0

2. Fall

x -2 = 16 4 = 2
x -2 = 2 | +2
x2 = 4

An den Stellen x1 = 0 und x2 = 4 gilt also f(x)= -1.

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= - x 3 + x +23 und g(x)= x -4 .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

- x 3 + x +23 = x -4 | -23
- x 3 + x = x -27 | - x
- x 3 = -27 |: ( -1 )
x 3 = 27 | 3
x = 27 3 = 3

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( 3 ) = 3 -4 = -1 S1( 3 | -1 )

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1|1) und B(3|27 ) auf dem Graphen der Funktion f mit f(x)= a · x n liegen.

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Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1|1) und B(3|27 ) in den Funktionsterm f(x)= a · x n ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: 1 = a · 1 n
II: 27 = a · 3 n

Aus I ergibt sich ja sofort 1 = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: 27 = 3 n | ⋅ 1

27 = 3 n

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n=3

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: f(x)= x 3

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= x 2 , g mit g(x)= x 3 , h mit h(x)= x 4 .
Sortiere die drei Funktionswerte -f(1.5), g(-1.5) und -h(-1.5), ohne sie wirklich auszurechnen.

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Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

  • -f(1.5) = - 1,5 2 < 0
  • g(-1.5) = ( -1,5 ) 3 < 0
  • -h(-1.5) = - ( -1,5 ) 4 < 0
  • Da alle Werte negativ sind, schauen wir zunächst nur auf die Beträge:

    Und weil 1.5 > 1 ist, werden die Betrags-Werte natürlich mit jeder Potenz immer größer. Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x2 in schwarz, g(x)=x3 in blau und h(x)=x4 in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
    1.53 =1.52 ⋅ 1.5 bzw. 1.54 =1.53 ⋅ 1.5,
    d.h. 1.53 > 1.52, also gilt - 1.53 < - 1.52 und 1.54 > 1.53, also gilt - 1.54 < - 1.53.

    Die richtige Reihenfolge ist also:
    -h(-1.5)= - ( -1,5 ) 4 < g(-1.5)= ( -1,5 ) 3 < -f(1.5)= - 1,5 2 .

Funktionswerte berechnen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= - x 3 +4 x 2 -6 . Berechne den Funktionswert f(-1).

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Wir setzen -1 einfach für x in f(x)= - x 3 +4 x 2 -6 ein:

f(-1) = - ( -1 ) 3 +4 ( -1 ) 2 -6

= -( -1 ) +41 -6

= 1 +4 -6

= 5 -6

= -1