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Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= x 5 -4 x 3 mit der x-Achse.

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An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

x 5 -4 x 3 = 0
x 3 ( x 2 -4 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 3 = 0 | 3
x1 = 0

2. Fall:

x 2 -4 = 0 | +4
x 2 = 4 | 2
x2 = - 4 = -2
x3 = 4 = 2

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1( -2 |0), S2(0|0), S3( 2 |0)

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 2 + x -29 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 1.

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Es gilt f(x) = 1, also x 2 + x -29 = 1.

x 2 + x -29 = 1 | -1

x 2 + x -30 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -1 ± 1 2 -4 · 1 · ( -30 ) 21

x1,2 = -1 ± 1 +120 2

x1,2 = -1 ± 121 2

x1 = -1 + 121 2 = -1 +11 2 = 10 2 = 5

x2 = -1 - 121 2 = -1 -11 2 = -12 2 = -6

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 1 2 ) 2 - ( -30 ) = 1 4 + 30 = 1 4 + 120 4 = 121 4

x1,2 = - 1 2 ± 121 4

x1 = - 1 2 - 11 2 = - 12 2 = -6

x2 = - 1 2 + 11 2 = 10 2 = 5

An den Stellen x1 = -6 und x2 = 5 gilt also f(x)= 1.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= - ( x 2 -19 ) 3 -23 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 4.

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Es gilt f(x) = 4, also - ( x 2 -19 ) 3 -23 = 4.

- ( x 2 -19 ) 3 -23 = 4 | +23
- ( x 2 -19 ) 3 = 27 |: ( -1 )
( x 2 -19 ) 3 = -27 | 3
x 2 -19 = - 27 3 = -3
x 2 -19 = -3 | +19
x 2 = 16 | 2
x1 = - 16 = -4
x2 = 16 = 4

An den Stellen x1 = -4 und x2 = 4 gilt also f(x)= 4.

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= -2 x 3 +2x +56 und g(x)= 2x +2 .

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An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

-2 x 3 +2x +56 = 2x +2 | -56
-2 x 3 +2x = 2x -54 | -2x
-2 x 3 = -54 |: ( -2 )
x 3 = 27 | 3
x = 27 3 = 3

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( 3 ) = 23 +2 = 8 S1( 3 | 8 )

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1|-1) und B(-3|27 ) auf dem Graphen der Funktion f mit f(x)= a · x n liegen.

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Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1|-1) und B(-3|27 ) in den Funktionsterm f(x)= a · x n ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: -1 = a · 1 n
II: 27 = a · (-3) n

Aus I ergibt sich ja sofort -1 = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: 27 = - (-3) n | ⋅ ( -1 )

-27 = (-3) n

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n=3

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: f(x)= - x 3

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= x 2 , g mit g(x)= x 3 , h mit h(x)= x 4 .
Sortiere die drei Funktionswerte -f(0.7), g(-0.7) und h(-0.7), ohne sie wirklich auszurechnen.

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Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

  • -f(0.7) = - 0,7 2 < 0
  • g(-0.7) = ( -0,7 ) 3 < 0
  • h(-0.7) = ( -0,7 ) 4 > 0
  • Da h(-0.7) der einzige positive Funktionswert ist, muss dieser also der größte sein.

    Und weil die anderen beiden Werte negativ sind, schauen wir zunächst nur auf die Beträge:

    Dabei gilt -f(0.7) < g(-0.7). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x2 in schwarz, g(x)=x3 in blau und h(x)=x4 in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
    0.73 =0.72 ⋅ 0.7, d.h. 0.73 < 0.72, also gilt - 0.73 > - 0.72.

    Die richtige Reihenfolge ist also:
    -f(0.7)= - 0,7 2 < g(-0.7)= ( -0,7 ) 3 < h(-0.7)= ( -0,7 ) 4 .

Funktionswerte berechnen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= -2 ( 3x -8 ) 3 +5 . Berechne den Funktionswert f(2).

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Wir setzen 2 einfach für x in f(x)= -2 ( 3x -8 ) 3 +5 ein:

f(2) = -2 ( 32 -8 ) 3 +5

= -2 ( 6 -8 ) 3 +5

= -2 ( -2 ) 3 +5

= -2( -8 ) +5

= 16 +5

= 21