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Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= x 6 +8 x 3 mit der x-Achse.

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An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

x 6 +8 x 3 = 0
x 3 ( x 3 +8 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 3 = 0 | 3
x1 = 0

2. Fall:

x 3 +8 = 0 | -8
x 3 = -8 | 3
x2 = - 8 3 = -2

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1( -2 |0), S2(0|0)

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x ( x +5 ) ( x +3 ) . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

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Es gilt f(x) = 0, also x ( x +5 ) ( x +3 ) = 0.

x ( x +5 ) ( x +3 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

( x +5 ) ( x +3 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x +5 = 0 | -5
x2 = -5

2. Fall:

x +3 = 0 | -3
x3 = -3

An den Stellen x1 = -5 , x2 = -3 und x3 = 0 gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ( x -1 ) 3 -24 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 3.

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Es gilt f(x) = 3, also ( x -1 ) 3 -24 = 3.

( x -1 ) 3 -24 = 3 | +24
( x -1 ) 3 = 27 | 3
x -1 = 27 3 = 3
x -1 = 3 | +1
x = 4

An der Stelle x1 = 4 gilt also f(x)= 3.

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= -9 x 3 +15 x 2 +90x -2 und g(x)= -4 x 3 -2 .

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An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

-9 x 3 +15 x 2 +90x -2 = -4 x 3 -2 | +2
-9 x 3 +15 x 2 +90x = -4 x 3 | +4 x 3
-9 x 3 +4 x 3 +15 x 2 +90x = 0
-5 x 3 +15 x 2 +90x = 0
5 x ( - x 2 +3x +18 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

- x 2 +3x +18 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x2,3 = -3 ± 3 2 -4 · ( -1 ) · 18 2( -1 )

x2,3 = -3 ± 9 +72 -2

x2,3 = -3 ± 81 -2

x2 = -3 + 81 -2 = -3 +9 -2 = 6 -2 = -3

x3 = -3 - 81 -2 = -3 -9 -2 = -12 -2 = 6

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "-1 " teilen:

- x 2 +3x +18 = 0 |: -1

x 2 -3x -18 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 3 2 ) 2 - ( -18 ) = 9 4 + 18 = 9 4 + 72 4 = 81 4

x1,2 = 3 2 ± 81 4

x1 = 3 2 - 9 2 = - 6 2 = -3

x2 = 3 2 + 9 2 = 12 2 = 6

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( -3 ) = -4 ( -3 ) 3 -2 = 106 S1( -3 | 106 )

g(0) = -4 0 3 -2 = -2 S2(0| -2 )

g( 6 ) = -4 6 3 -2 = -866 S3( 6 | -866 )

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1|1) und B(2|16 ) auf dem Graphen der Funktion f mit f(x)= a · x n liegen.

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Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1|1) und B(2|16 ) in den Funktionsterm f(x)= a · x n ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: 1 = a · 1 n
II: 16 = a · 2 n

Aus I ergibt sich ja sofort 1 = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: 16 = 2 n | ⋅ 1

16 = 2 n

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n=4

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: f(x)= x 4

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= x 2 , g mit g(x)= x 3 , h mit h(x)= x 4 .
Sortiere die drei Funktionswerte f(-1.2), g(-1.2) und -h(1.2), ohne sie wirklich auszurechnen.

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Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

  • f(-1.2) = ( -1,2 ) 2 > 0
  • g(-1.2) = ( -1,2 ) 3 < 0
  • -h(1.2) = - 1,2 4 < 0
  • Da f(-1.2) der einzige positive Funktionswert ist, muss dieser also der größte sein.

    Und weil die anderen beiden Werte negativ sind, schauen wir zunächst nur auf die Beträge:

    Dabei gilt g(-1.2) > -h(1.2). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x2 in schwarz, g(x)=x3 in blau und h(x)=x4 in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
    1.24 =1.23 ⋅ 1.2, d.h. 1.24 > 1.23, also gilt - 1.24 < - 1.23.

    Die richtige Reihenfolge ist also:
    -h(1.2)= - 1,2 4 < g(-1.2)= ( -1,2 ) 3 < f(-1.2)= ( -1,2 ) 2 .

Funktionswerte berechnen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 3 ( 2x +2 ) 4 +1 . Berechne den Funktionswert f(-2).

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Wir setzen -2 einfach für x in f(x)= 3 ( 2x +2 ) 4 +1 ein:

f(-2) = 3 ( 2( -2 ) +2 ) 4 +1

= 3 ( -4 +2 ) 4 +1

= 3 ( -2 ) 4 +1

= 316 +1

= 48 +1

= 49