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Fit für die Oberstufe
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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Nullstellen berechnen
Beispiel:
Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit mit der x-Achse.
An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:
= 0
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
x1,2 =
x1,2 =
x1,2 =
x1 = = = =
x2 = = = =
Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:
S1( |0), S2( |0)
x-Werte berechnen (f(x) gegeben)
Beispiel:
Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.
Es gilt f(x) = 0, also = 0.
| = | |||
| = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| = | | | ||
| = |
| = | | | ||
| x1 | = |
2. Fall:
| = | | | ||
| x2 | = |
An den Stellen x1 = und x2 = gilt also f(x)= 0.
x-Werte berechnen (schwerer)
Beispiel:
Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -5.
Es gilt f(x) = -5, also = -5.
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = | | | ||
| = | = |
An der Stelle x1 = gilt also f(x)= -5.
Schnittpunkte berechnen
Beispiel:
Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit und .
An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:
| = | | | ||
| = | | | ||
| = | |||
| = | |||
| = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| = | | | ||
| x1 | = |
2. Fall:
= 0
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
x2,3 =
x2,3 =
x2,3 =
x2 = = = =
x3 = = = =
Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).
g( ) = = ⇒ S1( | )
g(
g( ) = = ⇒ S3( | )
Termbestimmung mit Punktproben
Beispiel:
Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1|) und B(2|) auf dem Graphen der Funktion f mit liegen.
Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1|) und B(2|) in den Funktionsterm ein und erhalten so die beiden Gleichungen:
I: =
II: =
Aus I ergibt sich ja sofort = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:
II: = | ⋅
=
Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n=
Der gesuchte Funktionsterm ist somit:
Größenvergleich bei Potenzfunktionen
Beispiel:
Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= , g mit g(x)= , h mit h(x)= .
Sortiere die drei Funktionswerte -f(0.7), g(-0.7) und h(-0.7), ohne sie wirklich auszurechnen.
Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).
Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:
- -f(0.7) = - < 0
- g(-0.7) = < 0
- h(-0.7) = > 0
Da h(-0.7) der einzige positive Funktionswert ist, muss dieser also der größte sein.
Und weil die anderen beiden Werte negativ sind, schauen wir zunächst nur auf die Beträge:
Dabei gilt -f(0.7) < g(-0.7). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x2 in schwarz, g(x)=x3 in blau und
h(x)=x4 in rot),
aber auch direkt an den Zahlen:
0.73 =0.72 ⋅ 0.7, d.h. 0.73 < 0.72, also gilt - 0.73 > - 0.72.
Die richtige Reihenfolge ist also:
-f(0.7)= -
< g(-0.7)=
< h(-0.7)=
.
Funktionswerte berechnen
Beispiel:
Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= . Berechne den Funktionswert f(-2).
Wir setzen -2 einfach für x in f(x)= ein:
f(-2) =
=
=
=
=