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Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= -4 x 3 -8 x 2 +60x mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

-4 x 3 -8 x 2 +60x = 0
-4 x ( x 2 +2x -15 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x 2 +2x -15 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x2,3 = -2 ± 2 2 -4 · 1 · ( -15 ) 21

x2,3 = -2 ± 4 +60 2

x2,3 = -2 ± 64 2

x2 = -2 + 64 2 = -2 +8 2 = 6 2 = 3

x3 = -2 - 64 2 = -2 -8 2 = -10 2 = -5

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 1 2 - ( -15 ) = 1+ 15 = 16

x1,2 = -1 ± 16

x1 = -1 - 4 = -5

x2 = -1 + 4 = 3

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1( -5 |0), S2(0|0), S3( 3 |0)

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 2 +3x -2 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 2.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 2, also x 2 +3x -2 = 2.

x 2 +3x -2 = 2 | -2

x 2 +3x -4 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -3 ± 3 2 -4 · 1 · ( -4 ) 21

x1,2 = -3 ± 9 +16 2

x1,2 = -3 ± 25 2

x1 = -3 + 25 2 = -3 +5 2 = 2 2 = 1

x2 = -3 - 25 2 = -3 -5 2 = -8 2 = -4

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 3 2 ) 2 - ( -4 ) = 9 4 + 4 = 9 4 + 16 4 = 25 4

x1,2 = - 3 2 ± 25 4

x1 = - 3 2 - 5 2 = - 8 2 = -4

x2 = - 3 2 + 5 2 = 2 2 = 1

An den Stellen x1 = -4 und x2 = 1 gilt also f(x)= 2.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ( x 2 -18 ) 3 +5 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -3.

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Es gilt f(x) = -3, also ( x 2 -18 ) 3 +5 = -3.

( x 2 -18 ) 3 +5 = -3 | -5
( x 2 -18 ) 3 = -8 | 3
x 2 -18 = - 8 3 = -2
x 2 -18 = -2 | +18
x 2 = 16 | 2
x1 = - 16 = -4
x2 = 16 = 4

An den Stellen x1 = -4 und x2 = 4 gilt also f(x)= -3.

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= x 4 + x 3 + x +16 und g(x)= x 3 + x .

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An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 4 + x 3 + x +16 = x 3 + x | -16 - x 3 - x
x 4 = -16 | 4

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1|1) und B(2|16 ) auf dem Graphen der Funktion f mit f(x)= a · x n liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1|1) und B(2|16 ) in den Funktionsterm f(x)= a · x n ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: 1 = a · 1 n
II: 16 = a · 2 n

Aus I ergibt sich ja sofort 1 = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: 16 = 2 n | ⋅ 1

16 = 2 n

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n=4

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: f(x)= x 4

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= x 2 , g mit g(x)= x 3 , h mit h(x)= x 4 .
Sortiere die drei Funktionswerte f(1.6), g(1.6) und h(-1.6), ohne sie wirklich auszurechnen.

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Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

  • f(1.6) = 1,6 2 > 0
  • g(1.6) = 1,6 3 > 0
  • h(-1.6) = ( -1,6 ) 4 > 0
  • Da alle Werte positiv sind, schauen wir nur auf die Beträge:

    Und weil 1.6 > 1 ist, werden die Werte natürlich mit jeder Potenz immer größer. Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x2 in schwarz, g(x)=x3 in blau und h(x)=x4 in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
    1.63 =1.62 ⋅ 1.6 bzw. 1.64 =1.63 ⋅ 1.6.

    Die richtige Reihenfolge ist also:
    f(1.6)= 1,6 2 < g(1.6)= 1,6 3 < h(-1.6)= ( -1,6 ) 4 .

Funktionswerte berechnen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 3 ( 3x -8 ) 3 +3 . Berechne den Funktionswert f(2).

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Wir setzen 2 einfach für x in f(x)= 3 ( 3x -8 ) 3 +3 ein:

f(2) = 3 ( 32 -8 ) 3 +3

= 3 ( 6 -8 ) 3 +3

= 3 ( -2 ) 3 +3

= 3( -8 ) +3

= -24 +3

= -21