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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3^{x}$ = $3$

Lösung einblenden

$3^{x}$	=	$3$	\|lg(⋅)
$\lg (3^{x})$	=	$\lg (3)$
$x \cdot \lg (3)$	=	$\lg (3)$	\|: $\lg (3)$
$x$	=	$\frac{\lg (3)}{\lg (3)}$

x

1

L={ $1$ }

Man erkennt bereits bei $3^{x}$ = 3 die Lösung x = 1.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4^{x + 1}$ = $\frac{1}{4}$

Lösung einblenden

Wir schreiben einfach um:

$4^{x + 1}$ = $\frac{1}{4}$

$4^{x + 1}$ = $4^{- 1}$

Jetzt stehen links und rechts zwei Potenzen mit der gleichen Basis 4.

Um die Gleichung zu lösen, können wir also einfach die beiden Exponenten (links: $x + 1$ und rechts: -1) gleichsetzen:

$x + 1$	=	$- 1$	\| $- 1$
$x$	=	$- 2$

L={ $- 2$ }

log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (10 000 000)$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $10 000 000$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $10 000 000$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $10 000 000$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{10} (10 000 000)$ = $7$ , eben weil $10$ ^$7$ = $10 000 000$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (1)$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $1$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $4$ ^☐ = $1$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (1)$ = $0$ , eben weil $4$ ^$0$ = $1$ gilt .