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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

1 2 ⋅ 5 x = 5 2

Lösung einblenden
1 2 ⋅ 5 x = 5 2 |⋅2
5 x = 5 |lg(⋅)
lg( 5 x ) = lg( 5 )
x · lg( 5 ) = lg( 5 ) |: lg( 5 )
x = lg( 5 ) lg( 5 )
x = 1

L={ 1 }

Man erkennt bereits bei 5 x = 5 die Lösung x = 1.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

4 x -1 = 1 4

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Wir schreiben einfach um:

4 x -1 = 1 4

4 x -1 = 4 -1

Jetzt stehen links und rechts zwei Potenzen mit der gleichen Basis 4.

Um die Gleichung zu lösen, können wir also einfach die beiden Exponenten (links: x -1 und rechts: -1) gleichsetzen:

x -1 = -1 | +1
x = 0

L={0}

log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 18 (324) .

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Wir suchen den Logarithmus von 324 zur Basis 18, also die Hochzahl mit der man 18 potenzieren muss, um auf 324 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 18☐ = 324 gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

log 18 (324) = 2, eben weil 182 = 324 gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 5 ( 1 125 ) .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von 1 125 zur Basis 5, also die Hochzahl mit der man 5 potenzieren muss, um auf 1 125 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 5☐ = 1 125 gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als 5-Potenz zu schreiben versuchen, also 5☐ = 1 125

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

log 5 ( 1 125 ) = -3, eben weil 5-3 = 1 125 gilt .