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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4^{x}$ = $16$

Lösung einblenden

$4^{x}$	=	$16$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{x})$	=	$\lg (16)$
$x \cdot \lg (4)$	=	$\lg (16)$	\|: $\lg (4)$
$x$	=	$\frac{\lg (16)}{\lg (4)}$

x

2

L={ $2$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$4^{x}$ = 16

$4^{x}$ = $4^{2}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=2 kommen.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5^{x} - 111$ = $14$

Lösung einblenden

$5^{x} - 111$	=	$14$	\| $+ 111$
$5^{x}$	=	$125$	\|lg(⋅)
$\lg (5^{x})$	=	$\lg (125)$
$x \cdot \lg (5)$	=	$\lg (125)$	\|: $\lg (5)$
$x$	=	$\frac{\lg (125)}{\lg (5)}$

x

3

L={ $3$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$5^{x}$ = 125

$5^{x}$ = $5^{3}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=3 kommen.

log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (100 000 000)$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $100 000 000$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $100 000 000$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $100 000 000$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{10} (100 000 000)$ = $8$ , eben weil $10$ ^$8$ = $100 000 000$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{11} (\frac{1}{121})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{121}$ zur Basis $11$ , also die Hochzahl mit der man $11$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{121}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $11$ ^☐ = $\frac{1}{121}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $11$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $11$ ^☐ = $\frac{1}{121}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{11} (\frac{1}{121})$ = $- 2$ , eben weil $11$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{121}$ gilt .