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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 2^{x}$ = $4$

Lösung einblenden

$2 \cdot 2^{x}$	=	$4$	\|: $2$
$2^{x}$	=	$2$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{x})$	=	$\lg (2)$
$x \cdot \lg (2)$	=	$\lg (2)$	\|: $\lg (2)$
$x$	=	$\frac{\lg (2)}{\lg (2)}$

x

1

L={ $1$ }

Man erkennt bereits bei $2^{x}$ = 2 die Lösung x = 1.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} \cdot 4^{x}$ = $2$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \cdot 4^{x}$	=	$2$	\|⋅ $2$
$4^{x}$	=	$4$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{x})$	=	$\lg (4)$
$x \cdot \lg (4)$	=	$\lg (4)$	\|: $\lg (4)$
$x$	=	$\frac{\lg (4)}{\lg (4)}$

x

1

L={ $1$ }

Man erkennt bereits bei $4^{x}$ = 4 die Lösung x = 1.

log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (1 000 000)$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $1 000 000$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $1 000 000$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $1 000 000$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{10} (1 000 000)$ = $6$ , eben weil $10$ ^$6$ = $1 000 000$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\frac{1}{32})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{32}$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{32}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $\frac{1}{32}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $2$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $2$ ^☐ = $\frac{1}{32}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (\frac{1}{32})$ = $- 5$ , eben weil $2$ ^{$- 5$} = $\frac{1}{32}$ gilt .