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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5^{x}$ = $125$

Lösung einblenden

$5^{x}$	=	$125$	\|lg(⋅)
$\lg (5^{x})$	=	$\lg (125)$
$x \cdot \lg (5)$	=	$\lg (125)$	\|: $\lg (5)$
$x$	=	$\frac{\lg (125)}{\lg (5)}$

x

3

L={ $3$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$5^{x}$ = 125

$5^{x}$ = $5^{3}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=3 kommen.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3^{2 x + 1}$ = $\frac{1}{3}$

Lösung einblenden

Wir schreiben einfach um:

$3^{2 x + 1}$ = $\frac{1}{3}$

$3^{2 x + 1}$ = $3^{- 1}$

Jetzt stehen links und rechts zwei Potenzen mit der gleichen Basis 3.

Um die Gleichung zu lösen, können wir also einfach die beiden Exponenten (links: $2 x + 1$ und rechts: -1) gleichsetzen:

$2 x + 1$	=	$- 1$	\| $- 1$
$2 x$	=	$- 2$	\|: $2$
$x$	=	$- 1$

L={ $- 1$ }

log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (1)$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (1)$ = $0$ , eben weil $5$ ^$0$ = $1$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{10000})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{10000}$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{10000}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $\frac{1}{10000}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $10$ ^☐ = $\frac{1}{10000}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{10} (\frac{1}{10000})$ = $- 4$ , eben weil $10$ ^{$- 4$} = $\frac{1}{10000}$ gilt .