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Würfel V+O rückwärts

Beispiel:

Ein Würfel hat die Oberfläche O = 96 dm². Berechne die Kantenlänge.

Ein Würfel hat ja sechs gleich große Seitenflächen. Jede davon ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a.
Also gilt für die Oberfläche eines Würfel mit Kantenlänge a:
O = 6 ⋅ a ⋅ a = 6a²

Es gilt somit:

96 dm² = 6 ⋅ ⬜²

Wenn 6 ⬜² das Gleiche wie 96 ist, dann muss doch ein ⬜² ein Sechstel von 96, also 16 ergeben.

16 dm² = ⬜²

Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 4 dm funktioniert.

Volumen eines Prisma

Beispiel:

Berechne das Volumen V des dargestellten, senkrechten Prismas.

Lösung einblenden

Das Volumen eines senkrechten Prismas berechnet man mit V = G ⋅ h,
also die Fläche der Grundseite multipliziert mit der Höhe des Prismas, wobei die Höhe hier die 5.5 cm nach schräg hinten ist.
Die Fläche der Grundseite berechnet man mit:
A = $\frac{1}{2}$ ⋅ Grundseite ⋅ Höhe (wofür beim rechtwinkligen Dreieck die Katheten benutzt werden können)
also hier:

A = $\frac{1}{2}$ ⋅ 5 cm ⋅ 6 cm = 15 cm²

Das wird dann mit der Höhe multipliziert: V = 15 cm² ⋅ 5.5 cm = 82.5 cm³

Volumen eines Prisma 2

Beispiel:

Ein Prisma hat die abgebildete Figur als Grundfläche und
die Höhe h = 50 mm. Berechne das Volumen des Prismas.

Lösung einblenden

Die Grundfläche dieses regelmäßigen Sechseck besteht aus 6 kleinen gleichseitigen Dreiecken. Deswegen berechnen wir zuerst den Flächeninhalt eines dieser 6 kleinen gleichseitigen Dreiecke und nutzen hierfür die Flächeninhaltsformel des Dreiecks:

A_Dreieck = $\frac{1}{2}$ c ⋅ h_c

Dazu müssen wir zuerst noch die Höhe h_c mit dem Satz des Pythagoras (im rechtwinkligen halben Dreieck) berechnen:

h_c² + ( $\frac{5}{2}$ )² = 5² |-( $\frac{5}{2}$ )²

h_c² = 5² - ( $\frac{5}{2}$ )² = 5² - 2.5² = 25 - 6.25= 18.75

Daraus ergibt sich:

h_c = $\sqrt{18,75}$ ≈ 4.33

Und daraus ergibt sich wiederum für die Grundfläche A_Dreieck:

A_Dreieck = $\frac{1}{2}$ c ⋅ h_c = $\frac{1}{2}$ ⋅ 5 ⋅ 4.33 ≈ 10.8

Man hätte den Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks auch mit dessen Flächenformel berechnen können:
A_Dreieck = $\frac{\sqrt{3}}{4}$ a² = $\frac{\sqrt{3}}{4}$ 25 ≈ 10.8

Damit haben wir den Flächeninhalt eines der 6 gleichseitiogen Dreiecke. Um nun auf die gesamte Grundfläche des Prismas, also auf das regelmäßige Sechseck zu kommen, müssen wir lediglich diese Dreiecksfläche A_Dreieck mal 6 nehmen:

G = 6 ⋅ A_Dreieck ≈ 6 ⋅ 10.8 ≈ 65

Um nun das gesuchte Volumen des Prismas zu berechnen, müssen wir nur noch die Grundfläche G mit der Höhe h=50 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 65 mm² ⋅ 50 mm ≈ 3247.6 mm³

Prismavolumen rückwärts (Skizze Grundfläche)

Beispiel:

Ein Prisma hat das Volumen V = 346.4 mm³, die Höhe h = 50 mm und als Grundfläche das abgebildete gleichseitige Dreieck.
Berechne die rote Strecke x.

Lösung einblenden

Da ja für das Volumen eines Prismas V = G ⋅ h gilt, können wir umgekehrt sofort die Grundfläche berechnen als :
G = $\frac{V}{h}$ ≈ $\frac{346.4}{50}$ ≈ 6.93

Jetzt müssen wir uns eine Formel für das gleichseitige Dreieck mit Basisseitenlänge x herleiten (oder in der Formelsammlung suchen ;-):

Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

h_c² + ( $\frac{x}{2}$ )² = x² |-( $\frac{x}{2}$ )²

h_c² = x² - ( $\frac{x}{2}$ )² = x² - $\frac{1}{4}$ x² = $\frac{3}{4}$ x²

Daraus ergibt sich:

h_c = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ x

Und daraus ergibt sich wiederum für die Grundfläche G:

G = $\frac{1}{2}$ x ⋅ h_c = $\frac{1}{2}$ ⋅ x ⋅ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ x ≈ $\frac{\sqrt{3}}{4}$ x²

Hier können wir jetzt die bereits ermittelte Grundfläche G = 6.93 einsetzen:

6.93 ≈ $\frac{\sqrt{3}}{4}$ x² | ⋅4: $\sqrt{3}$

16 ≈ x²

x ≈ $\sqrt{16}$ ≈ 4

Für x = 4 mm ist somit die Grundfläche G ≈ 6.9 mm² und das Volumen des Prismas V ≈ 346.4 mm³

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Würfel V+O rückwärts

Volumen eines Prisma

Volumen eines Prisma 2

Prismavolumen rückwärts (Skizze Grundfläche)