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Würfel V+O rückwärts

Beispiel:

Ein Würfel hat die Oberfläche O = 24 mm². Berechne die Kantenlänge.

Ein Würfel hat ja sechs gleich große Seitenflächen. Jede davon ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a.
Also gilt für die Oberfläche eines Würfel mit Kantenlänge a:
O = 6 ⋅ a ⋅ a = 6a²

Es gilt somit:

24 mm² = 6 ⋅ ⬜²

Wenn 6 ⬜² das Gleiche wie 24 ist, dann muss doch ein ⬜² ein Sechstel von 24, also 4 ergeben.

4 mm² = ⬜²

Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 2 mm funktioniert.

Volumen eines Prisma

Beispiel:

Berechne das Volumen V des dargestellten, senkrechten Prismas.

Lösung einblenden

Das Volumen eines senkrechten Prismas berechnet man mit V = G ⋅ h,
also die Fläche der Grundseite multipliziert mit der Höhe des Prismas, wobei die Höhe hier die 6.5 cm nach schräg hinten ist.
Die Fläche der Grundseite berechnet man mit:
A = $\frac{1}{2}$ ⋅ Grundseite ⋅ Höhe (wofür beim rechtwinkligen Dreieck die Katheten benutzt werden können)
also hier:

A = $\frac{1}{2}$ ⋅ 8 cm ⋅ 7 cm = 28 cm²

Das wird dann mit der Höhe multipliziert: V = 28 cm² ⋅ 6.5 cm = 182 cm³

Volumen eines Prisma 2

Beispiel:

Ein Prisma hat die abgebildete Figur als Grundfläche und
die Höhe h = 40 cm. Berechne das Volumen des Prismas.

Lösung einblenden

Wir berechnen natürlich zuerst den Flächeninhalt der abgebildeten Grundfläche und nutzen hierfür die Flächeninhaltsformel des Dreiecks:

G = $\frac{1}{2}$ c ⋅ h_c

Dazu müssen wir zuerst noch die Höhe h_c mit dem Satz des Pythagoras (im rechtwinkligen halben Dreieck) berechnen:

h_c² + ( $\frac{5}{2}$ )² = 8² |-( $\frac{5}{2}$ )²

h_c² = 8² - ( $\frac{5}{2}$ )² = 8² - 2.5² = 64 - 6.25= 57.75

Daraus ergibt sich:

h_c = $\sqrt{57,75}$ ≈ 7.599

Und daraus ergibt sich wiederum für die Grundfläche G:

G = $\frac{1}{2}$ c ⋅ h_c = $\frac{1}{2}$ ⋅ 5 ⋅ 7.599 ≈ 19

Um nun das gesuchte Volumen des Prismas zu berechnen, müssen wir nur noch die Grundfläche G mit der Höhe h=40 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 19 cm² ⋅ 40 cm ≈ 759.9 cm³

Prismavolumen rückwärts (Skizze Grundfläche)

Beispiel:

Ein Prisma hat das Volumen V = 31436.7 mm³, die Höhe h = 100 mm und als Grundfläche das abgebildete regelmäßige Sechseck.
Berechne die rote Strecke x.

Lösung einblenden

Da ja für das Volumen eines Prismas V = G ⋅ h gilt, können wir umgekehrt sofort die Grundfläche berechnen als :
G = $\frac{V}{h}$ ≈ $\frac{31436.7}{100}$ ≈ 314.37

Die Grundfläche dieses regelmäßigen Sechseck besteht aus 6 kleinen gleichseitigen Dreiecken. Deswegen muss der Flächeninhalt eines dieser 6 kleinen gleichseitigen Dreiecke eben gerade A = $\frac{1}{6}$ G ≈ $\frac{314.37}{6}$ ≈ 52.39 sein

Jetzt müssen wir uns eine Formel für das gleichseitige Dreieck mit Basisseitenlänge x herleiten (oder in der Formelsammlung suchen ;-):

Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

h_c² + ( $\frac{x}{2}$ )² = x² |-( $\frac{x}{2}$ )²

h_c² = x² - ( $\frac{x}{2}$ )² = x² - $\frac{1}{4}$ x² = $\frac{3}{4}$ x²

Daraus ergibt sich:

h_c = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ x

Und daraus ergibt sich wiederum für die Grundfläche A_Dreieck:

A_Dreieck = $\frac{1}{2}$ x ⋅ h_c = $\frac{1}{2}$ ⋅ x ⋅ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ x ≈ $\frac{\sqrt{3}}{4}$ x²

Hier können wir jetzt die bereits ermittelte Grundfläche A_Dreieck = 52.39 einsetzen:

52.39 ≈ $\frac{\sqrt{3}}{4}$ x² | ⋅4: $\sqrt{3}$

121 ≈ x²

x ≈ $\sqrt{121}$ ≈ 11

Für x = 11 mm ist somit die Grundfläche A_Dreieck ≈ 52.4 mm² und das Volumen des Prismas V ≈ 31436.7 mm³

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Würfel V+O rückwärts

Volumen eines Prisma

Volumen eines Prisma 2

Prismavolumen rückwärts (Skizze Grundfläche)