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Würfel V+O rückwärts

Beispiel:

Ein Würfel hat das Volumen V = 125 cm³. Berechne die Kantenlänge.

Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Bei einem Würfel sind ja alle Kantenlängen gleich, also gilt hier
V = a ⋅ a ⋅ a = a³

Es gilt somit:

125 cm³ = ⬜³

Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 5 cm funktioniert.

Volumen eines Prisma

Beispiel:

Berechne das Volumen des dargestellten, senkrechten Prismas.

Lösung einblenden

Das Volumen eines senkrechten Prismas berechnet man mit V = G ⋅ h,
also die Fläche der Grundseite multipliziert mit der Höhe des Prismas, wobei die Höhe hier die 7 cm nach oben ist.
Die Fläche der Grundseite berechnet man mit:
A = $\frac{1}{2}$ ⋅ Grundseite ⋅ Höhe
also hier:

A = $\frac{1}{2}$ ⋅ 13 cm ⋅ 7 cm = 45.5 cm²

Das wird dann mit der Höhe multipliziert: V = 45.5 cm² ⋅ 7 cm = 318.5 cm³

Volumen eines Prisma 2

Beispiel:

Ein Prisma hat die abgebildete Figur als Grundfläche und
die Höhe h = 80 m. Berechne das Volumen des Prismas.

Lösung einblenden

Wir berechnen natürlich zuerst den Flächeninhalt der abgebildeten Grundfläche und nutzen hierfür die Flächeninhaltsformel des Dreiecks:

G = $\frac{1}{2}$ c ⋅ h_c

Dazu müssen wir zuerst noch die Höhe h_c mit dem Satz des Pythagoras (im rechtwinkligen halben Dreieck) berechnen:

h_c² + ( $\frac{8}{2}$ )² = 8² |-( $\frac{8}{2}$ )²

h_c² = 8² - ( $\frac{8}{2}$ )² = 8² - 4² = 64 - 16= 48

Daraus ergibt sich:

h_c = $\sqrt{48}$ ≈ 6.928

Und daraus ergibt sich wiederum für die Grundfläche G:

G = $\frac{1}{2}$ c ⋅ h_c = $\frac{1}{2}$ ⋅ 8 ⋅ 6.928 ≈ 27.7

Man hätte den Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks auch mit dessen Flächenformel berechnen können:
G = $\frac{\sqrt{3}}{4}$ a² = $\frac{\sqrt{3}}{4}$ 64 ≈ 27.7

Um nun das gesuchte Volumen des Prismas zu berechnen, müssen wir nur noch die Grundfläche G mit der Höhe h=80 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 27.7 m² ⋅ 80 m ≈ 2217 m³

Prismavolumen rückwärts (Skizze Grundfläche)

Beispiel:

Ein Prisma hat das Volumen V = 810 cm³, die Höhe h = 40 cm und als Grundfläche das abgebildete rechtwinklige gleichschenklige Dreieck.
Berechne die rote Strecke x.

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Da ja für das Volumen eines Prismas V = G ⋅ h gilt, können wir umgekehrt sofort die Grundfläche berechnen als :
G = $\frac{V}{h}$ ≈ $\frac{810}{40}$ ≈ 20.25

Jetzt müssen wir uns eine Formel für das rechtwinklige gleichschenklige Dreieck mit Basisseitenlänge x herleiten (oder in der Formelsammlung suchen ;-):

Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

s² + s² = x²

also 2s² = x² oder eben s² = $\frac{1}{2}$ x²

Für den Flächeninhalt des rechtwinklig und gleichschenkligen Dreiecks gilt wegen des rechten Winkels oben in C aber:
A = $\frac{1}{2}$ s ⋅ s = $\frac{1}{2}$ ⋅ s²

mit s² = $\frac{1}{2}$ x² gilt somit;

A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ x² = $\frac{1}{4}$ x²

Hier können wir jetzt die bereits ermittelte Grundfläche G = 20.25 einsetzen:

20.25 ≈ $\frac{1}{4}$ x² | ⋅4

81 ≈ x²

x ≈ $\sqrt{81}$ ≈ 9

Für x = 9 cm ist somit die Grundfläche G ≈ 20.3 cm² und das Volumen des Prismas V ≈ 810 cm³

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Würfel V+O rückwärts

Volumen eines Prisma

Volumen eines Prisma 2

Prismavolumen rückwärts (Skizze Grundfläche)