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Würfel V+O rückwärts

Beispiel:

Ein Würfel hat die Oberfläche O = 600 cm². Berechne die Kantenlänge.

Ein Würfel hat ja sechs gleich große Seitenflächen. Jede davon ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a.
Also gilt für die Oberfläche eines Würfel mit Kantenlänge a:
O = 6 ⋅ a ⋅ a = 6a²

Es gilt somit:

600 cm² = 6 ⋅ ⬜²

Wenn 6 ⬜² das Gleiche wie 600 ist, dann muss doch ein ⬜² ein Sechstel von 600, also 100 ergeben.

100 cm² = ⬜²

Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 10 cm funktioniert.

Volumen eines Prisma

Beispiel:

Berechne das Volumen des dargestellten, senkrechten Prismas.

Lösung einblenden

Das Volumen eines senkrechten Prismas berechnet man mit V = G ⋅ h,
also die Fläche der Grundseite multipliziert mit der Höhe des Prismas, wobei die Höhe hier die 8 cm nach schräg hinten ist.
Die Fläche der Grundseite berechnet man mit:
A = $\frac{1}{2}$ ⋅ Grundseite ⋅ Höhe
also hier:

A = $\frac{1}{2}$ ⋅ 7 cm ⋅ 9 cm = 31.5 cm²

Das wird dann mit der Höhe multipliziert: V = 31.5 cm² ⋅ 8 cm = 252 cm³

Volumen eines Prisma 2

Beispiel:

Ein Prisma hat die abgebildete Figur als Grundfläche und
die Höhe h = 70 mm. Berechne das Volumen des Prismas.

Lösung einblenden

Wir berechnen natürlich zuerst den Flächeninhalt der abgebildeten Grundfläche und nutzen hierfür die Flächeninhaltsformel des Dreiecks:

G = $\frac{1}{2}$ c ⋅ h_c

Dazu müssen wir zuerst noch die Höhe h_c mit dem Satz des Pythagoras (im rechtwinkligen halben Dreieck) berechnen:

h_c² + ( $\frac{7}{2}$ )² = 5² |-( $\frac{7}{2}$ )²

h_c² = 5² - ( $\frac{7}{2}$ )² = 5² - 3.5² = 25 - 12.25= 12.75

Daraus ergibt sich:

h_c = $\sqrt{12,75}$ ≈ 3.571

Und daraus ergibt sich wiederum für die Grundfläche G:

G = $\frac{1}{2}$ c ⋅ h_c = $\frac{1}{2}$ ⋅ 7 ⋅ 3.571 ≈ 12.5

Um nun das gesuchte Volumen des Prismas zu berechnen, müssen wir nur noch die Grundfläche G mit der Höhe h=70 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 12.5 mm² ⋅ 70 mm ≈ 874.8 mm³

Prismavolumen rückwärts (Skizze Grundfläche)

Beispiel:

Ein Prisma hat das Volumen V = 2771.3 cm³, die Höhe h = 100 cm und als Grundfläche das abgebildete gleichseitige Dreieck.
Berechne die rote Strecke x.

Lösung einblenden

Da ja für das Volumen eines Prismas V = G ⋅ h gilt, können wir umgekehrt sofort die Grundfläche berechnen als :
G = $\frac{V}{h}$ ≈ $\frac{2771.3}{100}$ ≈ 27.71

Jetzt müssen wir uns eine Formel für das gleichseitige Dreieck mit Basisseitenlänge x herleiten (oder in der Formelsammlung suchen ;-):

Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

h_c² + ( $\frac{x}{2}$ )² = x² |-( $\frac{x}{2}$ )²

h_c² = x² - ( $\frac{x}{2}$ )² = x² - $\frac{1}{4}$ x² = $\frac{3}{4}$ x²

Daraus ergibt sich:

h_c = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ x

Und daraus ergibt sich wiederum für die Grundfläche G:

G = $\frac{1}{2}$ x ⋅ h_c = $\frac{1}{2}$ ⋅ x ⋅ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ x ≈ $\frac{\sqrt{3}}{4}$ x²

Hier können wir jetzt die bereits ermittelte Grundfläche G = 27.71 einsetzen:

27.71 ≈ $\frac{\sqrt{3}}{4}$ x² | ⋅4: $\sqrt{3}$

64 ≈ x²

x ≈ $\sqrt{64}$ ≈ 8

Für x = 8 cm ist somit die Grundfläche G ≈ 27.7 cm² und das Volumen des Prismas V ≈ 2771.3 cm³

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Würfel V+O rückwärts

Volumen eines Prisma

Volumen eines Prisma 2

Prismavolumen rückwärts (Skizze Grundfläche)