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Würfel V+O rückwärts

Beispiel:

Ein Würfel hat das Volumen V = 64 cm³. Berechne die Kantenlänge.

Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Bei einem Würfel sind ja alle Kantenlängen gleich, also gilt hier
V = a ⋅ a ⋅ a = a³

Es gilt somit:

64 cm³ = ⬜³

Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 4 cm funktioniert.

Volumen eines Prisma

Beispiel:

Berechne das Volumen V des dargestellten, senkrechten Prismas.

Lösung einblenden

Das Volumen eines senkrechten Prismas berechnet man mit V = G ⋅ h,
also die Fläche der Grundseite multipliziert mit der Höhe des Prismas, wobei die Höhe hier die 5.5 cm nach schräg hinten ist.
Die Fläche der Grundseite berechnet man mit:
A = $\frac{1}{2}$ ⋅ Grundseite ⋅ Höhe (wofür beim rechtwinkligen Dreieck die Katheten benutzt werden können)
also hier:

A = $\frac{1}{2}$ ⋅ 4 cm ⋅ 10 cm = 20 cm²

Das wird dann mit der Höhe multipliziert: V = 20 cm² ⋅ 5.5 cm = 110 cm³

Volumen eines Prisma 2

Beispiel:

Ein Prisma hat die abgebildete Figur als Grundfläche und
die Höhe h = 60 cm. Berechne das Volumen des Prismas.

Lösung einblenden

Wir berechnen natürlich zuerst den Flächeninhalt der abgebildeten Grundfläche und nutzen hierfür die Flächeninhaltsformel des Dreiecks:

G = $\frac{1}{2}$ c ⋅ h_c

Dazu müssen wir zuerst noch die Höhe h_c mit dem Satz des Pythagoras (im rechtwinkligen halben Dreieck) berechnen:

h_c² + ( $\frac{11}{2}$ )² = 8² |-( $\frac{11}{2}$ )²

h_c² = 8² - ( $\frac{11}{2}$ )² = 8² - 5.5² = 64 - 30.25= 33.75

Daraus ergibt sich:

h_c = $\sqrt{33,75}$ ≈ 5.809

Und daraus ergibt sich wiederum für die Grundfläche G:

G = $\frac{1}{2}$ c ⋅ h_c = $\frac{1}{2}$ ⋅ 11 ⋅ 5.809 ≈ 32

Um nun das gesuchte Volumen des Prismas zu berechnen, müssen wir nur noch die Grundfläche G mit der Höhe h=60 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 32 cm² ⋅ 60 cm ≈ 1917.1 cm³

Prismavolumen rückwärts

Beispiel:

Ein Prisma hat das Volumen V = 2494.2 cm³, die Höhe h = 60 cm und als Grundfläche das abgebildete regelmäßige Sechseck.
Berechne die rote Strecke x.

Lösung einblenden

Da ja für das Volumen eines Prismas V = G ⋅ h gilt, können wir umgekehrt sofort die Grundfläche berechnen als :
G = $\frac{V}{h}$ ≈ $\frac{2494.2}{60}$ ≈ 41.57

Die Grundfläche dieses regelmäßigen Sechseck besteht aus 6 kleinen gleichseitigen Dreiecken. Deswegen muss der Flächeninhalt eines dieser 6 kleinen gleichseitigen Dreiecke eben gerade A = $\frac{1}{6}$ G ≈ $\frac{41.57}{6}$ ≈ 6.93 sein

Jetzt müssen wir uns eine Formel für das gleichseitige Dreieck mit Basisseitenlänge x herleiten (oder in der Formelsammlung suchen ;-):

Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

h_c² + ( $\frac{x}{2}$ )² = x² |-( $\frac{x}{2}$ )²

h_c² = x² - ( $\frac{x}{2}$ )² = x² - $\frac{1}{4}$ x² = $\frac{3}{4}$ x²

Daraus ergibt sich:

h_c = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ a

Und daraus ergibt sich wiederum für die Grundfläche A_Dreieck:

A_Dreieck = $\frac{1}{2}$ a ⋅ h_c = $\frac{1}{2}$ ⋅ a ⋅ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ a ≈ $\frac{\sqrt{3}}{4}$ x²

Hier können wir jetzt die bereits ermittelte Grundfläche A_Dreieck = 6.93 einsetzen:

6.93 ≈ $\frac{\sqrt{3}}{4}$ x² | ⋅4: $\sqrt{3}$

16 ≈ x²

x ≈ $\sqrt{16}$ ≈ 4

Für x = 4 cm ist somit die Grundfläche A_Dreieck ≈ 6.9 cm² und das Volumen des Prismas V ≈ 2494.2 cm³

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Würfel V+O rückwärts

Volumen eines Prisma

Volumen eines Prisma 2

Prismavolumen rückwärts