Mathebattle EduRandomtasks

Würfel V+O rückwärts

Beispiel:

Ein Würfel hat das Volumen V = 8 dm³. Berechne die Kantenlänge.

Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Bei einem Würfel sind ja alle Kantenlängen gleich, also gilt hier
V = a ⋅ a ⋅ a = a³

Es gilt somit:

8 dm³ = ⬜³

Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 2 dm funktioniert.

Volumen eines Prisma

Beispiel:

Berechne das Volumen des dargestellten, senkrechten Prismas.

Lösung einblenden

Das Volumen eines senkrechten Prismas berechnet man mit V = G ⋅ h,
also die Fläche der Grundseite multipliziert mit der Höhe des Prismas, wobei die Höhe hier die 5 cm nach schräg hinten ist.
Die Fläche der Grundseite berechnet man mit:
A = $\frac{1}{2}$ ⋅ Grundseite ⋅ Höhe
also hier:

A = $\frac{1}{2}$ ⋅ 7 cm ⋅ 5 cm = 17.5 cm²

Das wird dann mit der Höhe multipliziert: V = 17.5 cm² ⋅ 5 cm = 87.5 cm³

Volumen eines Prisma 2

Beispiel:

Ein Prisma hat die abgebildete Figur als Grundfläche und
die Höhe h = 60 m. Berechne das Volumen des Prismas.

Lösung einblenden

Wir berechnen natürlich zuerst den Flächeninhalt der abgebildeten Grundfläche und nutzen hierfür die Flächeninhaltsformel des Dreiecks:

G = $\frac{1}{2}$ c ⋅ h_c

Dazu müssen wir zuerst noch die Höhe h_c mit dem Satz des Pythagoras (im rechtwinkligen halben Dreieck) berechnen:

h_c² + ( $\frac{12}{2}$ )² = 9² |-( $\frac{12}{2}$ )²

h_c² = 9² - ( $\frac{12}{2}$ )² = 9² - 6² = 81 - 36= 45

Daraus ergibt sich:

h_c = $\sqrt{45}$ ≈ 6.708

Und daraus ergibt sich wiederum für die Grundfläche G:

G = $\frac{1}{2}$ c ⋅ h_c = $\frac{1}{2}$ ⋅ 12 ⋅ 6.708 ≈ 40.2

Um nun das gesuchte Volumen des Prismas zu berechnen, müssen wir nur noch die Grundfläche G mit der Höhe h=60 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 40.2 m² ⋅ 60 m ≈ 2415 m³

Prismavolumen rückwärts (Skizze Grundfläche)

Beispiel:

Ein Prisma hat das Volumen V = 26188.6 cm³, die Höhe h = 70 cm und als Grundfläche das abgebildete regelmäßige Sechseck.
Berechne die rote Strecke x.

Lösung einblenden

Da ja für das Volumen eines Prismas V = G ⋅ h gilt, können wir umgekehrt sofort die Grundfläche berechnen als :
G = $\frac{V}{h}$ ≈ $\frac{26188.6}{70}$ ≈ 374.12

Die Grundfläche dieses regelmäßigen Sechseck besteht aus 6 kleinen gleichseitigen Dreiecken. Deswegen muss der Flächeninhalt eines dieser 6 kleinen gleichseitigen Dreiecke eben gerade A = $\frac{1}{6}$ G ≈ $\frac{374.12}{6}$ ≈ 62.35 sein

Jetzt müssen wir uns eine Formel für das gleichseitige Dreieck mit Basisseitenlänge x herleiten (oder in der Formelsammlung suchen ;-):

Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

h_c² + ( $\frac{x}{2}$ )² = x² |-( $\frac{x}{2}$ )²

h_c² = x² - ( $\frac{x}{2}$ )² = x² - $\frac{1}{4}$ x² = $\frac{3}{4}$ x²

Daraus ergibt sich:

h_c = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ a

Und daraus ergibt sich wiederum für die Grundfläche A_Dreieck:

A_Dreieck = $\frac{1}{2}$ a ⋅ h_c = $\frac{1}{2}$ ⋅ a ⋅ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ a ≈ $\frac{\sqrt{3}}{4}$ x²

Hier können wir jetzt die bereits ermittelte Grundfläche A_Dreieck = 62.35 einsetzen:

62.35 ≈ $\frac{\sqrt{3}}{4}$ x² | ⋅4: $\sqrt{3}$

144 ≈ x²

x ≈ $\sqrt{144}$ ≈ 12

Für x = 12 cm ist somit die Grundfläche A_Dreieck ≈ 62.4 cm² und das Volumen des Prismas V ≈ 26188.6 cm³

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Würfel V+O rückwärts

Volumen eines Prisma

Volumen eines Prisma 2

Prismavolumen rückwärts (Skizze Grundfläche)