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alle Teiler einer Zahl

Beispiel:

Gib alle Teiler von 55 an:

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Wir suchen alle Teiler von 55. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.

Wenn eine Zahl ein Teiler von 55 ist, teilen wir 55 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 55 ergeben).

Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.

1 ist Teiler von 55, denn 55 = 1 ⋅ 55, also ist auch 55 ein Teiler.

2 ist kein Teiler von 55, denn 55 = 2 ⋅ 27 + 1.

3 ist kein Teiler von 55, denn 55 = 3 ⋅ 18 + 1.

4 ist kein Teiler von 55, denn 55 = 4 ⋅ 13 + 3.

5 ist Teiler von 55, denn 55 = 5 ⋅ 11, also ist auch 11 ein Teiler.

6 ist kein Teiler von 55, denn 55 = 6 ⋅ 9 + 1.

7 ist kein Teiler von 55, denn 55 = 7 ⋅ 7 + 6.

Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil ja 8 kein kleinerer, sondern nur ein größerer Teiler sein könnte
- schließlich ist 8 ⋅ 8 = 64 > 55, aber die größeren Teiler haben wir ja bereits alle bei den kleineren mit erhalten.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 55:
1, 5, 11, 55

Teilbarkeitsregeln rückwärts (leicht)

Beispiel:

Bestimme eine Ziffer, die man für das Kästchen ⬜ einsetzen kann, damit 8⬜8 durch 3 teilbar ist.

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Um die Teilbarkeit durch 3 zu überprüfen, berechnen wir die Quersumme der Zahl, also:

8 + ⬜ + 8 = 16 + ⬜

Wir suchen also eine Dreierzahl, die größer oder gleich 16 ist. In diesem Fall ist das die nächste Zahl 18.

Wenn also 16 + ⬜ = 18 sein soll, rechnen wir 18 - 16 = 2

Somit ist eine mögliche Lösung 2


Alternativ können wir auch alle Ziffern ausprobieren:

0: Dann wäre die Zahl 808, für die Quersumme gilt dann: 8 + 0 + 8 = 16, also nicht durch 3 teilbar.

1: Dann wäre die Zahl 818, für die Quersumme gilt dann: 8 + 1 + 8 = 17, also nicht durch 3 teilbar.

2: Dann wäre die Zahl 828, für die Quersumme gilt dann: 8 + 2 + 8 = 18, also durch 3 teilbar.

3: Dann wäre die Zahl 838, für die Quersumme gilt dann: 8 + 3 + 8 = 19, also nicht durch 3 teilbar.

4: Dann wäre die Zahl 848, für die Quersumme gilt dann: 8 + 4 + 8 = 20, also nicht durch 3 teilbar.

5: Dann wäre die Zahl 858, für die Quersumme gilt dann: 8 + 5 + 8 = 21, also durch 3 teilbar.

6: Dann wäre die Zahl 868, für die Quersumme gilt dann: 8 + 6 + 8 = 22, also nicht durch 3 teilbar.

7: Dann wäre die Zahl 878, für die Quersumme gilt dann: 8 + 7 + 8 = 23, also nicht durch 3 teilbar.

8: Dann wäre die Zahl 888, für die Quersumme gilt dann: 8 + 8 + 8 = 24, also durch 3 teilbar.

9: Dann wäre die Zahl 898, für die Quersumme gilt dann: 8 + 9 + 8 = 25, also nicht durch 3 teilbar.

Die möglichen Ziffern sind also 2, 5 und 8.

Teilbarkeitsregeln rückwärts

Beispiel:

Bestimme eine Ziffer, die man für das Kästchen ⬜ einsetzen kann, damit 14⬜6 sowohl durch 3 als auch durch 4 teilbar ist.

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1. Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.

Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also ⬜6.

Da an der letzten Stelle eine 6 steht, muss an der vorletzten Stelle eine ungerade Zahl (also 1, 3, 5, 7 oder 9) stehen, damit sie durch 4 teilbar ist (weil eben nur 16, 36, 56, 76, 96 durch 4 teilbar sind).

2. Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.

1: Dann wäre die Zahl 1416, für die Quersumme gilt dann: 1 + 4 + 1 + 6 = 12, also durch 3 teilbar.

3: Dann wäre die Zahl 1436, für die Quersumme gilt dann: 1 + 4 + 3 + 6 = 14, also nicht durch 3 teilbar.

5: Dann wäre die Zahl 1456, für die Quersumme gilt dann: 1 + 4 + 5 + 6 = 16, also nicht durch 3 teilbar.

7: Dann wäre die Zahl 1476, für die Quersumme gilt dann: 1 + 4 + 7 + 6 = 18, also durch 3 teilbar.

9: Dann wäre die Zahl 1496, für die Quersumme gilt dann: 1 + 4 + 9 + 6 = 20, also nicht durch 3 teilbar.

Die möglichen Ziffern sind also 1 und 7.

Summe von Primzahlen

Beispiel:

Schreibe 42 als Summe von zwei Primzahlen:

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Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 42 bilden:

2 + 40 = 42, dabei ist 40 aber keine Primzahl

3 + 39 = 42, dabei ist 39 aber keine Primzahl

5 + 37 = 42, dabei ist 37 auch eine Primzahl

5 und 37 wären also zwei Primzahlen mit 5 + 37 = 42

Primfaktorzerlegung

Beispiel:

Bestimme die Primfaktorzerlegung von 77 :

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Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 77 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

77
= 7 ⋅ 11

Primfaktorzerlegung + Teiler

Beispiel:

Bestimme die Primfaktorzerlegung von 30 und gib alle Teiler von 30 an:

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Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 30 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

30
= 2 ⋅ 15
= 2 ⋅ 3 ⋅ 5

Jetzt suchen wir mithilfe dieser Primfaktorzerlegung alle Teiler von 30 :

1 Teiler

2 = 2
3 = 3
5 = 5

2 Teiler

2 ⋅ 3 = 6
2 ⋅ 5 = 10
3 ⋅ 5 = 15

3 Teiler

2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 30

Dazu kommt natürlich immer noch die 1, die ja von jeder Zahl ein Teiler ist.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 30:
1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30