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alle Teiler einer Zahl
Beispiel:
Gib alle Teiler von 77 an:
Wir suchen alle Teiler von 77. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.
Wenn eine Zahl ein Teiler von 77 ist, teilen wir 77 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 77 ergeben).
Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.
1 ist Teiler von 77, denn 77 = 1 ⋅ 77, also ist auch 77 ein Teiler.
2 ist kein Teiler von 77, denn 77 = 2 ⋅ 38 + 1.
3 ist kein Teiler von 77, denn 77 = 3 ⋅ 25 + 2.
4 ist kein Teiler von 77, denn 77 = 4 ⋅ 19 + 1.
5 ist kein Teiler von 77, denn 77 = 5 ⋅ 15 + 2.
6 ist kein Teiler von 77, denn 77 = 6 ⋅ 12 + 5.
7 ist Teiler von 77, denn 77 = 7 ⋅ 11, also ist auch 11 ein Teiler.
8 ist kein Teiler von 77, denn 77 = 8 ⋅ 9 + 5.
Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil ja 9 kein kleinerer, sondern nur ein größerer Teiler sein könnte
- schließlich ist 9 ⋅ 9
= 81 > 77, aber die größeren Teiler haben wir ja bereits alle bei den kleineren mit erhalten.
Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 77:
1, 7, 11, 77
Teilbarkeitsregeln rückwärts
Beispiel:
Bestimme eine Ziffer, die man für das Kästchen ⬜ einsetzen kann, damit 7⬜6 sowohl durch 3 als auch durch 4 teilbar ist.
1. Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.
Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also ⬜6.
Da an der letzten Stelle eine 6 steht, muss an der vorletzten Stelle eine ungerade Zahl (also 1, 3, 5, 7 oder 9) stehen, damit sie durch 4 teilbar ist (weil eben nur 16, 36, 56, 76, 96 durch 4 teilbar sind).
2. Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.
1: Dann wäre die Zahl 716, für die Quersumme gilt dann: 7 + 1 + 6 = 14, also nicht durch 3 teilbar.
3: Dann wäre die Zahl 736, für die Quersumme gilt dann: 7 + 3 + 6 = 16, also nicht durch 3 teilbar.
5: Dann wäre die Zahl 756, für die Quersumme gilt dann: 7 + 5 + 6 = 18, also durch 3 teilbar.
7: Dann wäre die Zahl 776, für die Quersumme gilt dann: 7 + 7 + 6 = 20, also nicht durch 3 teilbar.
9: Dann wäre die Zahl 796, für die Quersumme gilt dann: 7 + 9 + 6 = 22, also nicht durch 3 teilbar.
Die einzige mögliche Ziffer ist also 5.
Summe von Primzahlen
Beispiel:
Schreibe 10 als Summe von zwei Primzahlen:
Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 10 bilden:
2 + 8 = 10, dabei ist 8 aber keine Primzahl
3 + 7 = 10, dabei ist 7 auch eine Primzahl
3 und 7 wären also zwei Primzahlen mit 3 + 7 = 10
Primfaktorzerlegung
Beispiel:
Bestimme die Primfaktorzerlegung von 28 :
Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 28 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:
28
= 2 ⋅ 14
= 2 ⋅ 2 ⋅ 7
Primfaktorzerlegung + Teiler
Beispiel:
Bestimme die Primfaktorzerlegung von 60 und gib alle Teiler von 60 an:
Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 60 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:
60
= 2 ⋅ 30
= 2 ⋅ 2 ⋅ 15
= 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5
Jetzt suchen wir mithilfe dieser Primfaktorzerlegung alle Teiler von 60 :
1 Teiler
2 = 23 = 3
5 = 5
2 Teiler
2 ⋅ 2 = 42 ⋅ 3 = 6
2 ⋅ 5 = 10
3 ⋅ 5 = 15
3 Teiler
2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 122 ⋅ 2 ⋅ 5 = 20
2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 30
4 Teiler
2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 60Dazu kommt natürlich immer noch die 1, die ja von jeder Zahl ein Teiler ist.
Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 60:
1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60