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alle Teiler einer Zahl
Beispiel:
Gib alle Teiler von 90 an:
Wir suchen alle Teiler von 90. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.
Wenn eine Zahl ein Teiler von 90 ist, teilen wir 90 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 90 ergeben).
Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.
1 ist Teiler von 90, denn 90 = 1 ⋅ 90, also ist auch 90 ein Teiler.
2 ist Teiler von 90, denn 90 = 2 ⋅ 45, also ist auch 45 ein Teiler.
3 ist Teiler von 90, denn 90 = 3 ⋅ 30, also ist auch 30 ein Teiler.
4 ist kein Teiler von 90, denn 90 = 4 ⋅ 22 + 2.
5 ist Teiler von 90, denn 90 = 5 ⋅ 18, also ist auch 18 ein Teiler.
6 ist Teiler von 90, denn 90 = 6 ⋅ 15, also ist auch 15 ein Teiler.
7 ist kein Teiler von 90, denn 90 = 7 ⋅ 12 + 6.
8 ist kein Teiler von 90, denn 90 = 8 ⋅ 11 + 2.
9 ist Teiler von 90, denn 90 = 9 ⋅ 10, also ist auch 10 ein Teiler.
Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil wir ja bereits 10 bei den größeren Teiler drin haben, also kann es jetzt keine weiteren (kleine) Teiler mehr geben.
Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 90:
1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90
Teilbarkeitsregeln rückwärts (leicht)
Beispiel:
Bestimme eine Ziffer, die man für das Kästchen ⬜ einsetzen kann, damit ⬜34 durch 3 teilbar ist.
Um die Teilbarkeit durch 3 zu überprüfen, berechnen wir die Quersumme der Zahl, also:
⬜ + 3 + 4 = 7 + ⬜ Wir suchen also eine Dreierzahl, die größer oder gleich 7 ist. In diesem Fall ist das die nächste Zahl 9. Wenn also 7 + ⬜ = 9 sein soll, rechnen wir 9 - 7 = 2 Somit ist eine mögliche Lösung 2Alternativ können wir auch alle Ziffern ausprobieren:
0: Dann wäre die Zahl 34, für die Quersumme gilt dann: 3 + 4 = 7, also nicht durch 3 teilbar.
1: Dann wäre die Zahl 134, für die Quersumme gilt dann: 1 + 3 + 4 = 8, also nicht durch 3 teilbar.
2: Dann wäre die Zahl 234, für die Quersumme gilt dann: 2 + 3 + 4 = 9, also durch 3 teilbar.
3: Dann wäre die Zahl 334, für die Quersumme gilt dann: 3 + 3 + 4 = 10, also nicht durch 3 teilbar.
4: Dann wäre die Zahl 434, für die Quersumme gilt dann: 4 + 3 + 4 = 11, also nicht durch 3 teilbar.
5: Dann wäre die Zahl 534, für die Quersumme gilt dann: 5 + 3 + 4 = 12, also durch 3 teilbar.
6: Dann wäre die Zahl 634, für die Quersumme gilt dann: 6 + 3 + 4 = 13, also nicht durch 3 teilbar.
7: Dann wäre die Zahl 734, für die Quersumme gilt dann: 7 + 3 + 4 = 14, also nicht durch 3 teilbar.
8: Dann wäre die Zahl 834, für die Quersumme gilt dann: 8 + 3 + 4 = 15, also durch 3 teilbar.
9: Dann wäre die Zahl 934, für die Quersumme gilt dann: 9 + 3 + 4 = 16, also nicht durch 3 teilbar.
Die möglichen Ziffern sind also 2, 5 und 8.
Teilbarkeitsregeln rückwärts
Beispiel:
Bestimme eine Ziffer, die man für das Kästchen ⬜ einsetzen kann, damit 9⬜2 sowohl durch 3 als auch durch 4 teilbar ist.
1. Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.
Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also ⬜2.
Da an der letzten Stelle eine 2 steht, muss an der vorletzten Stelle eine ungerade Zahl (also 1, 3, 5, 7 oder 9) stehen, damit sie durch 4 teilbar ist (weil eben nur 12, 32, 52, 72, 92 durch 4 teilbar sind).
2. Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.
1: Dann wäre die Zahl 912, für die Quersumme gilt dann: 9 + 1 + 2 = 12, also durch 3 teilbar.
3: Dann wäre die Zahl 932, für die Quersumme gilt dann: 9 + 3 + 2 = 14, also nicht durch 3 teilbar.
5: Dann wäre die Zahl 952, für die Quersumme gilt dann: 9 + 5 + 2 = 16, also nicht durch 3 teilbar.
7: Dann wäre die Zahl 972, für die Quersumme gilt dann: 9 + 7 + 2 = 18, also durch 3 teilbar.
9: Dann wäre die Zahl 992, für die Quersumme gilt dann: 9 + 9 + 2 = 20, also nicht durch 3 teilbar.
Die möglichen Ziffern sind also 1 und 7.
Summe von Primzahlen
Beispiel:
Schreibe 30 als Summe von zwei Primzahlen:
Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 30 bilden:
2 + 28 = 30, dabei ist 28 aber keine Primzahl
3 + 27 = 30, dabei ist 27 aber keine Primzahl
5 + 25 = 30, dabei ist 25 aber keine Primzahl
7 + 23 = 30, dabei ist 23 auch eine Primzahl
7 und 23 wären also zwei Primzahlen mit 7 + 23 = 30
Primfaktorzerlegung
Beispiel:
Bestimme die Primfaktorzerlegung von 70 :
Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 70 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:
70
= 2 ⋅ 35
= 2 ⋅ 5 ⋅ 7
Primfaktorzerlegung + Teiler
Beispiel:
Bestimme die Primfaktorzerlegung von 77 und gib alle Teiler von 77 an:
Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 77 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:
77
= 7 ⋅ 11
Jetzt suchen wir mithilfe dieser Primfaktorzerlegung alle Teiler von 77 :
1 Teiler
7 = 711 = 11
2 Teiler
7 ⋅ 11 = 77Dazu kommt natürlich immer noch die 1, die ja von jeder Zahl ein Teiler ist.
Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 77:
1; 7; 11; 77