Man dividiert durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrbruch multipliziert:

= $\frac{3}{10}$ : $\left(-\frac{5}{14}\right)$

= $\frac{3}{10}$ ⋅ $\left(-\frac{14}{5}\right)$

Zwei Brüche multipliziert man, in dem man die beiden Zähler und die beiden Nenner jeweils miteinander multipliziert:

Zuvor sollten wir uns aber noch Gedanken machen welches Vorzeichen denn der Ergebnisbruch hat.
Wie bei den ganzen Zahlen gilt auch hier : "Plus mal Minus = Minus". Unser Ergebnisbruch ist somit negativ.

= $-$$\frac{\mathrm{3\; \cdot \; 14}}{\mathrm{10\; \cdot \; 5}}$

Bevor wir jetzt aber die Produkte im Zähler und Nenner ausmultiplizieren, sollten wir erst mal schauen, ob wir nicht kürzen können:

= $-$$\frac{\mathrm{3\; \cdot \; 7\; \cdot \; 2}}{\mathrm{5\; \cdot \; 2\; \cdot \; 5}}$

Wir können also diagonal mit 2 kürzen:

= $-$$\frac{\mathrm{3\; \cdot \; 7}}{\mathrm{5\; \cdot \; 5}}$

= $-\frac{21}{25}$

Man kann erkennen, dass man beide Brüche auf den Nenner 28 bringen kann, indem man den 1. Bruch mit 7 und den 2. Bruch mit 4 erweitert:

$-\frac{7}{4}$ $-$$\frac{5}{7}$

= $-\frac{49}{28}$ $-$$\frac{20}{28}$

Jetzt kann man die beiden Brüche als einen Bruch mit dem gleichen Nenner schreiben:

Dabei darf man nicht vergessen, das Vorzeichen in den Zähler hoch zu holen:

= $\frac{\mathrm{-49\; <mrow><mo>-</mo></mrow>\; 20}}{\mathrm{28}}$

= $\frac{\mathrm{-69}}{\mathrm{28}}$

= $-\frac{69}{28}$

Am unproblematischsten ist es, wenn man als erstes die gemischten Brüche in echte Brüche umwandelt:

$1\frac{6}{7}$ = $1+\frac{6}{7}$ = $\frac{7}{7}+\frac{6}{7}$ = $\frac{7+6}{7}$ = $\frac{13}{7}$

Man kann erkennen, dass man beide Brüche auf den Nenner 21 bringen kann, indem man den 1. Bruch mit 3 und den 2. Bruch mit 7 erweitert:

$\frac{13}{7}$ $-$$\frac{2}{3}$

= $\frac{39}{21}$ $-$$\frac{14}{21}$

Jetzt kann man die beiden Brüche als einen Bruch mit dem gleichen Nenner schreiben:

= $\frac{\mathrm{39\; <mrow><mo>-</mo></mrow>\; 14}}{\mathrm{21}}$

= $\frac{25}{21}$

Wie immer beim Addieren und Subtrahieren von Brüchen müssen erst alle Brüche auf den gleichen Nenner gebracht werden. Man kann erkennen, dass man dazu hier beide Brüche auf den Nenner 63 bringen kann, indem man den Bruch links vom Gleichheitszeichen mit 7 erweitert:

$-\frac{56}{63}$ + ⬜ = $-\frac{20}{63}$

Wenn wir jetzt den Nenner des gesuchten Bruchs auch auf 63 setzen, also ⬜ = $\frac{◊}{\mathrm{63}}$, müssen wir uns noch um die Zähler kümmern:

$-\frac{56}{63}$ + $\frac{◊}{\mathrm{63}}$ = $-\frac{20}{63}$

$-56$ + ◊ = $-20$

Jetzt erkennt man gut, dass die Raute ◊ = 36 sein muss, denn $-56$ + 36 = $-20$.

Der gesuchte Bruch ist somit ⬜ = $\frac{◊}{\mathrm{63}}$ = $\frac{36}{63}$ = $\frac{4}{7}$.

Wir wissen ja, dass man Brüche nur dann addieren oder subtrahieren kann, wenn sie gleiche Nenner haben.
Deswegen erweitern wir auch hier den ersten Bruch mit 5:

$\frac{\mathrm{5\; \cdot \; 1}}{\mathrm{5\; \cdot \; ⬜}}$ $-$$\frac{1}{\mathrm{5\; \cdot \; ⬜}}$ = $\frac{2}{5}$

Auch wenn wir die Nenner auf der linken Seite nicht kennen, so sind (jetzt) doch beide Nenner gleich und wir können die Zähler miteinander verrechnen:

$\frac{5}{\mathrm{5\; \cdot \; ⬜}}$ $-$$\frac{1}{\mathrm{5\; \cdot \; ⬜}}$ = $\frac{2}{5}$

$\frac{\mathrm{5\; <math><mrow><mo>-</mo></mrow></math>1}}{\mathrm{5\; \cdot \; ⬜}}$ = $\frac{2}{5}$

$\frac{4}{\mathrm{5\; \cdot \; ⬜}}$ = $\frac{2}{5}$

Um die beiden Brüche links und rechts vom Gleichheitszeichen besser vergleichen zu können, und weil wir ja den linken Nenner nicht kennen, versuchen wir eben die beiden Zähler gleich groß zu bekommen und erweitern deswegen den rechten Bruch mit 2:

$\frac{4}{\mathrm{5\; \cdot \; ⬜}}$ = $\frac{4}{10}$

Beide Zähler sind jetzt gleich, also müssen auch die beiden Nenner gleich sein, damit das Gleichheitszeichen stimmt:

5 ⋅ ⬜ = 10

Jetzt ist leicht zu erkennen:

⬜ = 2

Zur Sicherheit noch die Probe:
$\frac{1}{2}$ $-$$\frac{1}{10}$ = $\frac{5}{10}$ $-$$\frac{1}{10}$ = $\frac{4}{\mathrm{10}}$ = $\frac{2}{5}$

Als erstes lösen wir die Klammer auf. Da ja kein Minus vor der Klammer steht, können wir diese einfach weg lassen:

$\frac{1}{6}+\frac{5}{2}+\frac{1}{2}$

Jetzt können wir ja die beiden letzten Brüche miteinander verrechnen:

$\frac{1}{6}$$+\frac{6}{2}$

= $\frac{1}{6}$$+3$

= $\frac{1}{6}$$+\frac{18}{6}$

= $\frac{19}{6}$

Zuerst bringen wir alle drei Brüche auf den gleichen Nenner. Als Hauptnenner bietet sich hier 6 an.

Wir erweitern also jeden Bruch auf den Haupnenner 6:

$\frac{3}{2}-\frac{7}{6}-\frac{2}{3}$

= $\frac{9}{6}-\frac{7}{6}-\frac{4}{6}$

= $-\frac{2}{6}$

= $-\frac{1}{3}$

Zwei Brüche multipliziert man, in dem man die beiden Zähler und die beiden Nenner jeweils miteinander multipliziert:

Zuvor sollten wir uns aber noch Gedanken machen welches Vorzeichen denn der Ergebnisbruch hat.
Wie bei den ganzen Zahlen gilt auch hier : "Minus mal Minus = Plus". Unser Ergebnisbruch ist somit positiv.

= $-\frac{3}{4}·\left(-\frac{8}{3}\right)$

= $\frac{\mathrm{3\; \cdot \; 8}}{\mathrm{4\; \cdot \; 3}}$

Bevor wir jetzt aber die Produkte im Zähler und Nenner ausmultiplizieren, sollten wir erst mal schauen, ob wir nicht kürzen können:

= $\frac{\mathrm{3\; \cdot \; 2\; \cdot \; 4}}{\mathrm{4\; \cdot \; 3}}$

Wir können also diagonal mit 4 und 3 kürzen:

= $\frac{\mathrm{1\; \cdot \; 2}}{\mathrm{1\; \cdot \; 1}}$

= $2$