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Nullstellen mit Nullprodukt

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktion f mit
$y =$ $2 x^{2} - 7 x$

Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach y = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

$2 x^{2} - 7 x$	=	0
$x (2 x - 7)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$2 x - 7$	=	0	\| $+ 7$
$2 x$	=	$7$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{7}{2}$ = 3.5

L={0; $\frac{7}{2}$ }

Nullstellen und Scheitel (Nullprodukt)

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen und dann den Scheitel der quadratischen Funktion f mit
$y =$ $x^{2} - 6 x$

Lösung einblenden

Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach y = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

$x^{2} - 6 x$	=	0
$x (x - 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₂	=	$6$

L={0; $6$ }

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen $\frac{0+6}{2}$ = 3 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(3|y) mit y = $3^{2} - 6 \cdot 3$ = $9 - 18$ = -9.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x₁=0 und x₂=6 , Scheitel: S(3|-9).

Nullstellen mit Mitternachtsformel

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - \frac{19}{4} x + 3$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} - \frac{19}{4} x + 3$	=	0	\|⋅ 4
$4 (x^{2} - \frac{19}{4} x + 3)$	=	0

$4 x^{2} - 19 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 - 192}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{169}}{8}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{169}}{8}$ = $\frac{19+13}{8}$ = $\frac{32}{8}$ = $4$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{169}}{8}$ = $\frac{19-13}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = $0,75$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 19 x + 12$ = 0 |: $4$

$x^{2} - \frac{19}{4} x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{19}{8})}^{2} - 3$ = $\frac{361}{64}$ $-$ $3$ = $\frac{361}{64}$ $-$ $\frac{192}{64}$ = $\frac{169}{64}$

x_1,2 = $\frac{19}{8}$ ± $\sqrt{\frac{169}{64}}$

x₁ = $\frac{19}{8}$ - $\frac{13}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = 0.75

x₂ = $\frac{19}{8}$ + $\frac{13}{8}$ = $\frac{32}{8}$ = 4

L={ $0,75$ ; $4$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $0,75$ |0) und N₂( $4$ |0).

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ ${(x - 4)}^{2} + 19$
und
$g(x) =$ $35$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

${(x - 4)}^{2} + 19$	=	$35$	\| $- 19$
${(x - 4)}^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x - 4

=

- \sqrt{16}

=

- 4

$x - 4$	=	$- 4$	\| $+ 4$
x₁	=	0

2. Fall

x - 4

=

\sqrt{16}

=

4

$x - 4$	=	$4$	\| $+ 4$
x₂	=	$8$

L={0; $8$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g(0) = $35$

g( $8$ ) = $35$

Die Schnittpunkte sind also S₁(0| $35$ ) und S₂( $8$ | $35$ ).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $4 x^{2} + 11 x + 14$
und
$g(x) =$ $3 x^{2} + 3 x - 3$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

4 x^{2} + 11 x + 14

=

3 x^{2} + 3 x - 3

|

- 3 x^{2}

- 3 x

+ 3

$x^{2} + 8 x + 17$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 68}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 17$ = $16$ $-$ $17$ = $- 1$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

Es gibt also keine Schnittpunkte.

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + \frac{9}{4} x + 11$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $1$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 4 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 3 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $- \frac{3}{4}$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $- \frac{3}{4} x + 1$ oder $f(x) =$ $- \frac{3}{4} x + 1$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$- \frac{3}{4} x + 1$	=	$- x^{2} + \frac{9}{4} x + 11$	\|⋅ 4
$4 (- \frac{3}{4} x + 1)$	=	$4 (- x^{2} + \frac{9}{4} x + 11)$
$- 3 x + 4$	=	$- 4 x^{2} + 9 x + 44$	\| $+ 4 x^{2}$ $- 9 x$ $- 44$

4 x^{2} - 12 x - 40

= 0 |:4

$x^{2} - 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3+7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3-7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

L={ $- 2$ ; $5$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 2$ ) = $- {(- 2)}^{2} + \frac{9}{4} \cdot (- 2) + 11$ = $- 4 - \frac{9}{2} + 11$ = $\frac{5}{2}$

g( $5$ ) = $- 5^{2} + \frac{9}{4} \cdot 5 + 11$ = $- 25 + \frac{45}{4} + 11$ = $- \frac{11}{4}$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 2$ | $\frac{5}{2}$ ) und S₂( $5$ | $- \frac{11}{4}$ ).

Linearfaktordarst. aus Term (a=1)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $y =$ $x^{2} - 4 x$ .
Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Wir können einfach x ausklammern und erhalten so $y =$ $x (x - 4)$ .

Linearfaktordarst. am Graph (a=1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine verschobene Normalparabel. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Wir lesen einfach die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(1|0) und N₂(5|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x - 1) \cdot (x - 5)$ sein.

Weil es sich ja aber um eine Normalparabel handelt, kann dieses a nur 1 oder -1 sein.

Die Parabel ist nach oben geöffnet, also muss a = $1$ sein.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $(x - 1) (x - 5)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Nullstellen mit Nullprodukt

Nullstellen und Scheitel (Nullprodukt)

Nullstellen mit Mitternachtsformel

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Schnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit MNF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. aus Term (a=1)

Linearfaktordarst. am Graph (a=1)