Mathebattle EduRandomtasks

Nullstellen mit Nullprodukt

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktion f mit
$y =$ $x^{2} - 7 x$

Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach y = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

$x^{2} - 7 x$	=	0
$x (x - 7)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 7$	=	0	\| $+ 7$
x₂	=	$7$

L={0; $7$ }

Nullstellen und Scheitel (Nullprodukt)

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen und dann den Scheitel der quadratischen Funktion f mit
$y =$ $x^{2} + 4 x$

Lösung einblenden

Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach y = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

$x^{2} + 4 x$	=	0
$x (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

L={ $- 4$ ; 0}

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen $\frac{-4+0}{2}$ = -2 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(-2|y) mit y = ${(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2)$ = $4 - 8$ = -4.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x₁=-4 und x₂=0 , Scheitel: S(-2|-4).

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 2 x + 1$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ }

$- 1$ ist 2-fache Lösung!

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Der einzige Schnittpunkt mit der x-Achse ist also N( $- 1$ |0).

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 4 {(x - 3)}^{2}$
und
$g(x) =$ $- 100$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$- 4 {(x - 3)}^{2}$	=	$- 100$	\|: $(- 4)$
${(x - 3)}^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x - 3

=

- \sqrt{25}

=

- 5

$x - 3$	=	$- 5$	\| $+ 3$
x₁	=	$- 2$

2. Fall

x - 3

=

\sqrt{25}

=

5

$x - 3$	=	$5$	\| $+ 3$
x₂	=	$8$

L={ $- 2$ ; $8$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 2$ ) = $- 100$

g( $8$ ) = $- 100$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 2$ | $- 100$ ) und S₂( $8$ | $- 100$ ).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 2 x^{2} + x - 2$
und
$g(x) =$ $- 3 x^{2} + 3 x - 3$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 2 x^{2} + x - 2

=

- 3 x^{2} + 3 x - 3

|

+ 3 x^{2}

- 3 x

+ 3

$x^{2} - 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ }

$1$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $1$ ) = $- 3 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 - 3$ = $- 3 \cdot 1 + 3 - 3$ = $- 3 + 3 - 3$ = $- 3$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $1$ | $- 3$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} - 3 x - 1$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $2$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 1 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $1$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $x + 2$ oder $f(x) =$ $x + 2$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

x + 2

=

- x^{2} - 3 x - 1

|

+ x^{2}

+ 3 x

+ 1

$x^{2} + 4 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4+2}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4-2}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $- 1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 3$ ) = $- {(- 3)}^{2} - 3 \cdot (- 3) - 1$ = $- 9 + 9 - 1$ = $- 1$

g( $- 1$ ) = $- {(- 1)}^{2} - 3 \cdot (- 1) - 1$ = $- 1 + 3 - 1$ = $1$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 3$ | $- 1$ ) und S₂( $- 1$ | $1$ ).

Linearfaktordarst. aus Term (a=1)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $y =$ $x^{2} - 2 x$ .
Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Wir können einfach x ausklammern und erhalten so $y =$ $x (x - 2)$ .

Linearfaktordarst. am Graph (a=1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Normalparabel. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Wir lesen einfach die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-3|0) und N₂(1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 3) \cdot (x - 1)$ sein.

Weil es sich ja aber um eine Normalparabel handelt, kann dieses a nur 1 oder -1 sein.

Die Parabel ist nach oben geöffnet, also muss a = $1$ sein.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $(x + 3) (x - 1)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Nullstellen mit Nullprodukt

Nullstellen und Scheitel (Nullprodukt)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Linearfaktordarst. aus Term (a=1)

Linearfaktordarst. am Graph (a=1)