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Nullstellen mit Nullprodukt
Beispiel:
Bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktion f mit
Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach y = 0.
Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden
| = | |||
| = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| x1 | = |
2. Fall:
| = | | | ||
| x2 | = |
L={
;
Nullstellen und Scheitel (Nullprodukt)
Beispiel:
Bestimme die Nullstellen und dann den Scheitel der quadratischen Funktion f mit
Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach y = 0.
Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden
| = | |||
| = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| x1 | = |
2. Fall:
| = | | | ||
| x2 | = |
L={
;
Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen = -1.5 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.
Der Scheitel hat also die Koordinaten S(-1.5|y) mit y = = = -9.
Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x1=-3 und x2=0 , Scheitel: S(-1.5|-9).
Nullstellen mit Mitternachtsformel
Beispiel:
Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit .
Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also
f(x)=0
= 0
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 = ergibt:
x1,2 =
x1,2 =
x1,2 =
Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:
x = =
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
vor dem Einsetzen in x1,2 =
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
:
D = = =
Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.
x = ± 0 =
L={ }
ist 2-fache Lösung!
Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.
Der einzige Schnittpunkt mit der x-Achse ist also N(
|
Schnittpunkte berechnen
Beispiel:
Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
und
.
Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also
f(x)=g(x)
| = | | |
1. Fall
| = | = |
| = | | | ||
| x1 | = |
2. Fall
| = | = |
| = | | | ||
| x2 | = |
L={ ; }
Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:
g( ) =
g( ) =
Die Schnittpunkte sind also S1( | ) und S2( | ).
Schnittpunkte mit MNF
Beispiel:
Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
und
.
Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also
f(x)=g(x)
| = | | |
= 0
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 = ergibt:
x1,2 =
x1,2 =
x1,2 =
Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
vor dem Einsetzen in x1,2 =
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
:
D = = =
Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.
L={}
Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:
Es gibt also keine Schnittpunkte.
Schnittpunkte mit MNF (Graph)
Beispiel:
Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.
Nicht abgebildet ist der Graph von g mit .
Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.
Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:
Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .
Den y-Achsenabschnitt c = kann man dem Schaubild leicht entnehmen.
Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 4 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 3 nach oben gehen. Die Steigung ist also m=.
Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= oder .
Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also
f(x)=g(x)
| = | | | ||
| = | | | ||
| = | | | ||
| x1 | = | = | |
| x2 | = | = |
L={ ; }
Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:
g( ) = = =
g( ) = = =
Die Schnittpunkte sind also S1( | ) und S2( | ).
Linearfaktordarst. aus Term (a=1)
Beispiel:
Gegeben ist die Funktion f mit .
Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.
Für die faktorisierte Darstellung brauchen wir die Nullstellen. Also berechnen wir diese als erstes.
= 0
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 = ergibt:
x1,2 =
x1,2 =
x1,2 =
x1 = = = =
x2 = = = =
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
vor dem Einsetzen in x1,2 =
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
:
D = = = =
x1,2 = ±
x1 = - = = -4
x2 = + = = -1
Der Funktionterm hat nun also genau die gleichen Nullstellen wie und beide Terme haben a=1 als Koeffizient vor dem x² (Normalparabeln).
Also ist bereits der gesuchte Term.
Linearfaktordarst. am Graph (a=1)
Beispiel:
Wir lesen einfach die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(-3|0) und N2(0|0).
Also muss der Funktionsterm sein.
Weil es sich ja aber um eine Normalparabel handelt, kann dieses a nur 1 oder -1 sein.
Die Parabel ist nach oben geöffnet, also muss a = sein.
Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit .