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Nullstellen mit Nullprodukt

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktion f mit
$y =$ $x^{2} - 7 x$

Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach y = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

$x^{2} - 7 x$	=	0
$x \cdot (x - 7)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 7$	=	0	\| $+ 7$
x₂	=	$7$

L={0; $7$ }

Nullstellen und Scheitel (Nullprodukt)

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen und dann den Scheitel der quadratischen Funktion f mit
$y =$ $x^{2} - 10 x$

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach y = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

$x^{2} - 10 x$	=	0
$x \cdot (x - 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 10$	=	0	\| $+ 10$
x₂	=	$10$

L={0; $10$ }

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen $\frac{0+10}{2}$ = 5 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(5|y) mit y = $5^{2} - 10 \cdot 5$ = $25 - 50$ = -25.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x₁=0 und x₂=10 , Scheitel: S(5|-25).

Nullstellen mit Mitternachtsformel

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 5 x + \frac{25}{4}$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + 5 x + \frac{25}{4}$	=	0	\|⋅ 4
$4 (x^{2} + 5 x + \frac{25}{4})$	=	0

$4 x^{2} + 20 x + 25$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{20^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 25}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 400}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{0}}{8}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 20}{8}$ = $- \frac{5}{2}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 20 x + 25$ = 0 |: $4$

$x^{2} + 5 x + \frac{25}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (\frac{25}{4})$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{25}{4}$ = $\frac{0}{4}$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- \frac{5}{2}$ ± 0 = $- \frac{5}{2}$

L={ $- \frac{5}{2}$ }

$- \frac{5}{2}$ ist 2-fache Lösung!

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Der einzige Schnittpunkt mit der x-Achse ist also N( $- \frac{5}{2}$ |0).

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ ${(x + 5)}^{2} + 18$
und
$g(x) =$ $22$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

${(x + 5)}^{2} + 18$	=	$22$	\| $- 18$
${(x + 5)}^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x + 5

=

- \sqrt{4}

=

- 2

$x + 5$	=	$- 2$	\| $- 5$
x₁	=	$- 7$

2. Fall

x + 5

=

\sqrt{4}

=

2

$x + 5$	=	$2$	\| $- 5$
x₂	=	$- 3$

L={ $- 7$ ; $- 3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 7$ ) = $22$

g( $- 3$ ) = $22$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 7$ | $22$ ) und S₂( $- 3$ | $22$ ).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $3 x^{2} - 2 x - 3$
und
$g(x) =$ $2 x^{2} - 2 x - 2$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$3 x^{2} - 2 x - 3$	=	$2 x^{2} - 2 x - 2$	\| $+ 3$
$3 x^{2} - 2 x$	=	$2 x^{2} - 2 x + 1$	\| $- 2 x^{2}$ $+ 2 x$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; $1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 1$ ) = $2 \cdot {(- 1)}^{2} - 2 \cdot (- 1) - 2$ = $2 \cdot 1 + 2 - 2$ = $2 + 2 - 2$ = $2$

g( $1$ ) = $2 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 2$ = $2 \cdot 1 - 2 - 2$ = $2 - 2 - 2$ = $- 2$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 1$ | $2$ ) und S₂( $1$ | $- 2$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + x + 3$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

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Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $- 1$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 1 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $1$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $x - 1$ oder $f(x) =$ $x - 1$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$x - 1$	=	$- x^{2} + x + 3$	\| $+ 1$
$x$	=	$- x^{2} + x + 4$	\| $+ x^{2}$ $- x$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $2$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 2$ ) = $- {(- 2)}^{2} - 2 + 3$ = $- 4 - 2 + 3$ = $- 3$

g( $2$ ) = $- 2^{2} + 2 + 3$ = $- 4 + 2 + 3$ = $1$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 2$ | $- 3$ ) und S₂( $2$ | $1$ ).

Linearfaktordarst. aus Term (a=1)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $y =$ $x^{2} - 2 x$ .
Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

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Wir können einfach x ausklammern und erhalten so $y =$ $x \cdot (x - 2)$ .

Linearfaktordarst. am Graph (a=1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine verschobene Normalparabel. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

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Wir lesen einfach die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-3|0) und N₂(1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 3) \cdot (x - 1)$ sein.

Weil es sich ja aber um eine Normalparabel handelt, kann dieses a nur 1 oder -1 sein.

Die Parabel ist nach oben geöffnet, also muss a = $1$ sein.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $(x + 3) \cdot (x - 1)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Nullstellen mit Nullprodukt

Nullstellen und Scheitel (Nullprodukt)

Nullstellen mit Mitternachtsformel

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Schnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Linearfaktordarst. aus Term (a=1)

Linearfaktordarst. am Graph (a=1)