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Nullstellen mit Nullprodukt

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktion f mit
$y =$ $2 x^{2} - 9 x$

Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach y = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

$2 x^{2} - 9 x$	=	0
$x \cdot (2 x - 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$2 x - 9$	=	0	\| $+ 9$
$2 x$	=	$9$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{9}{2}$ = 4.5

L={0; $\frac{9}{2}$ }

Nullstellen und Scheitel (Nullprodukt)

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen und dann den Scheitel der quadratischen Funktion f mit
$y =$ $x^{2} + 10 x$

Lösung einblenden

Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach y = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

$x^{2} + 10 x$	=	0
$x \cdot (x + 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 10$	=	0	\| $- 10$
x₂	=	$- 10$

L={ $- 10$ ; 0}

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen $\frac{-10+0}{2}$ = -5 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(-5|y) mit y = ${(- 5)}^{2} + 10 \cdot (- 5)$ = $25 - 50$ = -25.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x₁=-10 und x₂=0 , Scheitel: S(-5|-25).

Nullstellen mit Mitternachtsformel

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - \frac{41}{5} x - \frac{36}{5}$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} - \frac{41}{5} x - \frac{36}{5}$	=	0	\|⋅ 5
$5 (x^{2} - \frac{41}{5} x - \frac{36}{5})$	=	0

$5 x^{2} - 41 x - 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 41 \pm \sqrt{{(- 41)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 36)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 41 \pm \sqrt{1 681 + 720}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 41 \pm \sqrt{2 401}}{10}$

x₁ = $\frac{41 + \sqrt{2 401}}{10}$ = $\frac{41+49}{10}$ = $\frac{90}{10}$ = $9$

x₂ = $\frac{41 - \sqrt{2 401}}{10}$ = $\frac{41-49}{10}$ = $\frac{- 8}{10}$ = $- 0,8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 41 x - 36$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{41}{5} x - \frac{36}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{41}{10})}^{2} - (- \frac{36}{5})$ = $\frac{1681}{100}$ $+$ $\frac{36}{5}$ = $\frac{1681}{100}$ $+$ $\frac{720}{100}$ = $\frac{2401}{100}$

x_1,2 = $\frac{41}{10}$ ± $\sqrt{\frac{2401}{100}}$

x₁ = $\frac{41}{10}$ - $\frac{49}{10}$ = $- \frac{8}{10}$ = -0.8

x₂ = $\frac{41}{10}$ + $\frac{49}{10}$ = $\frac{90}{10}$ = 9

L={ $- 0,8$ ; $9$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 0,8$ |0) und N₂( $9$ |0).

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ ${(x - 3)}^{2} - 6$
und
$g(x) =$ $10$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

${(x - 3)}^{2} - 6$	=	$10$	\| $+ 6$
${(x - 3)}^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x - 3

=

- \sqrt{16}

=

- 4

$x - 3$	=	$- 4$	\| $+ 3$
x₁	=	$- 1$

2. Fall

x - 3

=

\sqrt{16}

=

4

$x - 3$	=	$4$	\| $+ 3$
x₂	=	$7$

L={ $- 1$ ; $7$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 1$ ) = $10$

g( $7$ ) = $10$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 1$ | $10$ ) und S₂( $7$ | $10$ ).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $3 x^{2} - 9 x + 27$
und
$g(x) =$ $2 x^{2} + x + 2$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

3 x^{2} - 9 x + 27

=

2 x^{2} + x + 2

|

- 2 x^{2}

- x

- 2

$x^{2} - 10 x + 25$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{10}{2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 25$ = $25$ $-$ $25$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $5$ ± 0 = $5$

L={ $5$ }

$5$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $5$ ) = $2 \cdot 5^{2} + 5 + 2$ = $2 \cdot 25 + 5 + 2$ = $50 + 5 + 2$ = $57$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $5$ | $57$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} - \frac{10}{3} x + 17$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $2$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 3 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 4 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $- \frac{4}{3}$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $- \frac{4}{3} x + 2$ oder $f(x) =$ $- \frac{4}{3} x + 2$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$- \frac{4}{3} x + 2$	=	$- x^{2} - \frac{10}{3} x + 17$	\|⋅ 3
$3 (- \frac{4}{3} x + 2)$	=	$3 (- x^{2} - \frac{10}{3} x + 17)$
$- 4 x + 6$	=	$- 3 x^{2} - 10 x + 51$	\| $+ 3 x^{2}$ $+ 10 x$ $- 51$

3 x^{2} + 6 x - 45

= 0 |:3

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

L={ $- 5$ ; $3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $- {(- 5)}^{2} - \frac{10}{3} \cdot (- 5) + 17$ = $- 25 + \frac{50}{3} + 17$ = $\frac{26}{3}$

g( $3$ ) = $- 3^{2} - \frac{10}{3} \cdot 3 + 17$ = $- 9 - 10 + 17$ = $- 2$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 5$ | $\frac{26}{3}$ ) und S₂( $3$ | $- 2$ ).

Linearfaktordarst. aus Term (a=1)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $y =$ $x^{2} - 1$ .
Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Für die faktorisierte Darstellung brauchen wir die Nullstellen. Also berechnen wir diese als erstes.

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

Der Funktionterm $(x + 1) \cdot (x - 1)$ hat nun also genau die gleichen Nullstellen wie $y =$ $x^{2} - 1$ und beide Terme haben a=1 als Koeffizient vor dem x² (Normalparabeln).

Also ist $y =$ $(x + 1) \cdot (x - 1)$ bereits der gesuchte Term.

Linearfaktordarst. am Graph (a=1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine verschobene Normalparabel. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Wir lesen einfach die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot x \cdot (x - 2)$ sein.

Weil es sich ja aber um eine Normalparabel handelt, kann dieses a nur 1 oder -1 sein.

Die Parabel ist nach unten geöffnet, also muss a = $- 1$ sein.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- x \cdot (x - 2)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Nullstellen mit Nullprodukt

Nullstellen und Scheitel (Nullprodukt)

Nullstellen mit Mitternachtsformel

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Schnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit MNF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. aus Term (a=1)

Linearfaktordarst. am Graph (a=1)