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Nullstellen mit Nullprodukt

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktion f mit
$y =$ $2 x^{2} + 2 x$

Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach y = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

$2 x^{2} + 2 x$	=	0
$2 x \cdot (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

L={ $- 1$ ; 0}

Nullstellen und Scheitel (Nullprodukt)

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen und dann den Scheitel der quadratischen Funktion f mit
$y =$ $2 x^{2} - 10 x$

Lösung einblenden

Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach y = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

$2 x^{2} - 10 x$	=	0
$2 x \cdot (x - 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₂	=	$5$

L={0; $5$ }

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen $\frac{0+5}{2}$ = 2.5 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(2.5|y) mit y = $2 \cdot {2,5}^{2} - 10 \cdot 2,5$ = $12,5 - 25$ = -12.5.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x₁=0 und x₂=5 , Scheitel: S(2.5|-12.5).

Nullstellen mit Mitternachtsformel

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $- x^{2} + x + 90$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$- x^{2} + x + 90$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 90}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 360}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{361}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{361}}{- 2}$ = $\frac{- 1+19}{- 2}$ = $\frac{18}{- 2}$ = $- 9$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{361}}{- 2}$ = $\frac{- 1-19}{- 2}$ = $\frac{- 20}{- 2}$ = $10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + x + 90$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - x - 90$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 90)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $90$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{360}{4}$ = $\frac{361}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{361}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{19}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{19}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = 10

L={ $- 9$ ; $10$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 9$ |0) und N₂( $10$ |0).

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $3 {(x + 1)}^{2} + 6$
und
$g(x) =$ $54$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$3 {(x + 1)}^{2} + 6$	=	$54$	\| $- 6$
$3 {(x + 1)}^{2}$	=	$48$	\|: $3$
${(x + 1)}^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x + 1

=

- \sqrt{16}

=

- 4

$x + 1$	=	$- 4$	\| $- 1$
x₁	=	$- 5$

2. Fall

x + 1

=

\sqrt{16}

=

4

$x + 1$	=	$4$	\| $- 1$
x₂	=	$3$

L={ $- 5$ ; $3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $54$

g( $3$ ) = $54$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 5$ | $54$ ) und S₂( $3$ | $54$ ).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- x^{2} + 14 x + 16$
und
$g(x) =$ $- 2 x^{2} + 5 x - 4$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- x^{2} + 14 x + 16

=

- 2 x^{2} + 5 x - 4

|

+ 2 x^{2}

- 5 x

+ 4

$x^{2} + 9 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 9+1}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 9-1}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - 20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

L={ $- 5$ ; $- 4$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $- 2 \cdot {(- 5)}^{2} + 5 \cdot (- 5) - 4$ = $- 2 \cdot 25 - 25 - 4$ = $- 50 - 25 - 4$ = $- 79$

g( $- 4$ ) = $- 2 \cdot {(- 4)}^{2} + 5 \cdot (- 4) - 4$ = $- 2 \cdot 16 - 20 - 4$ = $- 32 - 20 - 4$ = $- 56$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 5$ | $- 79$ ) und S₂( $- 4$ | $- 56$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + \frac{5}{3} x + 8$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $- 2$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 3 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 4 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $- \frac{4}{3}$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $- \frac{4}{3} x - 2$ oder $f(x) =$ $- \frac{4}{3} x - 2$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$- \frac{4}{3} x - 2$	=	$- x^{2} + \frac{5}{3} x + 8$	\|⋅ 3
$3 (- \frac{4}{3} x - 2)$	=	$3 (- x^{2} + \frac{5}{3} x + 8)$
$- 4 x - 6$	=	$- 3 x^{2} + 5 x + 24$	\| $+ 3 x^{2}$ $- 5 x$ $- 24$

3 x^{2} - 9 x - 30

= 0 |:3

$x^{2} - 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3+7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3-7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

L={ $- 2$ ; $5$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 2$ ) = $- {(- 2)}^{2} + \frac{5}{3} \cdot (- 2) + 8$ = $- 4 - \frac{10}{3} + 8$ = $\frac{2}{3}$

g( $5$ ) = $- 5^{2} + \frac{5}{3} \cdot 5 + 8$ = $- 25 + \frac{25}{3} + 8$ = $- \frac{26}{3}$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 2$ | $\frac{2}{3}$ ) und S₂( $5$ | $- \frac{26}{3}$ ).

Linearfaktordarst. aus Term (a=1)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $y =$ $x^{2} - 1$ .
Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Für die faktorisierte Darstellung brauchen wir die Nullstellen. Also berechnen wir diese als erstes.

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

Der Funktionterm $(x + 1) \cdot (x - 1)$ hat nun also genau die gleichen Nullstellen wie $y =$ $x^{2} - 1$ und beide Terme haben a=1 als Koeffizient vor dem x² (Normalparabeln).

Also ist $y =$ $(x + 1) \cdot (x - 1)$ bereits der gesuchte Term.

Linearfaktordarst. am Graph (a=1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine verschobene Normalparabel. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Wir lesen einfach die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(1|0) und N₂(4|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x - 1) \cdot (x - 4)$ sein.

Weil es sich ja aber um eine Normalparabel handelt, kann dieses a nur 1 oder -1 sein.

Die Parabel ist nach unten geöffnet, also muss a = $- 1$ sein.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- (x - 1) \cdot (x - 4)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Nullstellen mit Nullprodukt

Nullstellen und Scheitel (Nullprodukt)

Nullstellen mit Mitternachtsformel

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Schnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit MNF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. aus Term (a=1)

Linearfaktordarst. am Graph (a=1)