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Nullstellen mit Nullprodukt

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktion f mit
$y =$ $x^{2} + 6 x$

Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach y = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

$x^{2} + 6 x$	=	0
$x \cdot (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₂	=	$- 6$

L={ $- 6$ ; 0}

Nullstellen und Scheitel (Nullprodukt)

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen und dann den Scheitel der quadratischen Funktion f mit
$y =$ $x^{2} - x$

Lösung einblenden

Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach y = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

$x^{2} - x$	=	0
$x \cdot (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

L={0; $1$ }

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen $\frac{0+1}{2}$ = 0.5 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(0.5|y) mit y = ${0,5}^{2} - 0,5$ = $0,25 - 0,5$ = -0.25.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x₁=0 und x₂=1 , Scheitel: S(0.5|-0.25).

Nullstellen mit Mitternachtsformel

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 5 x - 50$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + 5 x - 50$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 50)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 200}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{225}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{- 5+15}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{- 5-15}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 50)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $50$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{200}{4}$ = $\frac{225}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{225}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{15}{2}$ = $- \frac{20}{2}$ = -10

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{15}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

L={ $- 10$ ; $5$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 10$ |0) und N₂( $5$ |0).

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ ${(x + 1)}^{2}$
und
$g(x) =$ $9$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

{(x + 1)}^{2}

=

9

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x + 1

=

- \sqrt{9}

=

- 3

$x + 1$	=	$- 3$	\| $- 1$
x₁	=	$- 4$

2. Fall

x + 1

=

\sqrt{9}

=

3

$x + 1$	=	$3$	\| $- 1$
x₂	=	$2$

L={ $- 4$ ; $2$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 4$ ) = $9$

g( $2$ ) = $9$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 4$ | $9$ ) und S₂( $2$ | $9$ ).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 2 x^{2} + 2 x - 1$
und
$g(x) =$ $- 3 x^{2} - 3 x - 5$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 2 x^{2} + 2 x - 1

=

- 3 x^{2} - 3 x - 5

|

+ 3 x^{2}

+ 3 x

+ 5

$x^{2} + 5 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5+3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5-3}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

L={ $- 4$ ; $- 1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 4$ ) = $- 3 \cdot {(- 4)}^{2} - 3 \cdot (- 4) - 5$ = $- 3 \cdot 16 + 12 - 5$ = $- 48 + 12 - 5$ = $- 41$

g( $- 1$ ) = $- 3 \cdot {(- 1)}^{2} - 3 \cdot (- 1) - 5$ = $- 3 \cdot 1 + 3 - 5$ = $- 3 + 3 - 5$ = $- 5$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 4$ | $- 41$ ) und S₂( $- 1$ | $- 5$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + \frac{19}{3} x - 14$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $- 2$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 3 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 2 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $- \frac{2}{3}$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $- \frac{2}{3} x - 2$ oder $f(x) =$ $- \frac{2}{3} x - 2$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$- \frac{2}{3} x - 2$	=	$- x^{2} + \frac{19}{3} x - 14$	\|⋅ 3
$3 (- \frac{2}{3} x - 2)$	=	$3 (- x^{2} + \frac{19}{3} x - 14)$
$- 2 x - 6$	=	$- 3 x^{2} + 19 x - 42$	\| $+ 3 x^{2}$ $- 19 x$ $+ 42$

3 x^{2} - 21 x + 36

= 0 |:3

$x^{2} - 7 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7+1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7-1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

L={ $3$ ; $4$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $3$ ) = $- 3^{2} + \frac{19}{3} \cdot 3 - 14$ = $- 9 + 19 - 14$ = $- 4$

g( $4$ ) = $- 4^{2} + \frac{19}{3} \cdot 4 - 14$ = $- 16 + \frac{76}{3} - 14$ = $- \frac{14}{3}$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $3$ | $- 4$ ) und S₂( $4$ | $- \frac{14}{3}$ ).

Linearfaktordarst. aus Term (a=1)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $y =$ $x^{2} - 3 x$ .
Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

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Wir können einfach x ausklammern und erhalten so $y =$ $x \cdot (x - 3)$ .

Linearfaktordarst. am Graph (a=1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine verschobene Normalparabel. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Wir lesen einfach die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-4|0) und N₂(-2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 4) \cdot (x + 2)$ sein.

Weil es sich ja aber um eine Normalparabel handelt, kann dieses a nur 1 oder -1 sein.

Die Parabel ist nach oben geöffnet, also muss a = $1$ sein.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $(x + 4) \cdot (x + 2)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Nullstellen mit Nullprodukt

Nullstellen und Scheitel (Nullprodukt)

Nullstellen mit Mitternachtsformel

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Schnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit MNF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. aus Term (a=1)

Linearfaktordarst. am Graph (a=1)