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Nullstellen mit Nullprodukt

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktion f mit
$y =$ $5 x^{2} - 5 x$

Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach y = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

$5 x^{2} - 5 x$	=	0
$5 x \cdot (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

L={0; $1$ }

Nullstellen und Scheitel (Nullprodukt)

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen und dann den Scheitel der quadratischen Funktion f mit
$y =$ $x^{2} + 10 x$

Lösung einblenden

Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach y = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

$x^{2} + 10 x$	=	0
$x \cdot (x + 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 10$	=	0	\| $- 10$
x₂	=	$- 10$

L={ $- 10$ ; 0}

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen $\frac{-10+0}{2}$ = -5 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(-5|y) mit y = ${(- 5)}^{2} + 10 \cdot (- 5)$ = $25 - 50$ = -25.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x₁=-10 und x₂=0 , Scheitel: S(-5|-25).

Nullstellen mit Mitternachtsformel

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $2 x^{2} + 20 x + 52$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

2 x^{2} + 20 x + 52

= 0 |:2

$x^{2} + 10 x + 26$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 26}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 104}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - 26$ = $25$ $-$ $26$ = $- 1$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

Es gibt also keine Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen).

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- {(x - 4)}^{2} + 24$
und
$g(x) =$ $8$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$- {(x - 4)}^{2} + 24$	=	$8$	\| $- 24$
$- {(x - 4)}^{2}$	=	$- 16$	\|: $(- 1)$
${(x - 4)}^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x - 4

=

- \sqrt{16}

=

- 4

$x - 4$	=	$- 4$	\| $+ 4$
x₁	=	0

2. Fall

x - 4

=

\sqrt{16}

=

4

$x - 4$	=	$4$	\| $+ 4$
x₂	=	$8$

L={0; $8$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g(0) = $8$

g( $8$ ) = $8$

Die Schnittpunkte sind also S₁(0| $8$ ) und S₂( $8$ | $8$ ).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- x^{2} - 13 x + 20$
und
$g(x) =$ $- 2 x^{2} - 5 x + 4$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- x^{2} - 13 x + 20

=

- 2 x^{2} - 5 x + 4

|

+ 2 x^{2}

+ 5 x

- 4

$x^{2} - 8 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 16$ = $16$ $-$ $16$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $4$ ± 0 = $4$

L={ $4$ }

$4$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $4$ ) = $- 2 \cdot 4^{2} - 5 \cdot 4 + 4$ = $- 2 \cdot 16 - 20 + 4$ = $- 32 - 20 + 4$ = $- 48$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $4$ | $- 48$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + \frac{9}{2} x - 5$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $3$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 2 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 3 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $- \frac{3}{2}$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $- \frac{3}{2} x + 3$ oder $f(x) =$ $- \frac{3}{2} x + 3$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$- \frac{3}{2} x + 3$	=	$- x^{2} + \frac{9}{2} x - 5$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{3}{2} x + 3)$	=	$2 (- x^{2} + \frac{9}{2} x - 5)$
$- 3 x + 6$	=	$- 2 x^{2} + 9 x - 10$	\| $+ 2 x^{2}$ $- 9 x$ $+ 10$

2 x^{2} - 12 x + 16

= 0 |:2

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $3$ - $1$ = 2

x₂ = $3$ + $1$ = 4

L={ $2$ ; $4$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $2$ ) = $- 2^{2} + \frac{9}{2} \cdot 2 - 5$ = $- 4 + 9 - 5$ = 0

g( $4$ ) = $- 4^{2} + \frac{9}{2} \cdot 4 - 5$ = $- 16 + 18 - 5$ = $- 3$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $2$ |0) und S₂( $4$ | $- 3$ ).

Linearfaktordarst. aus Term (a=1)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $y =$ $x^{2} + 2 x$ .
Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

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Wir können einfach x ausklammern und erhalten so $y =$ $(x + 2) x$ .

Linearfaktordarst. am Graph (a=1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine verschobene Normalparabel. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Wir lesen einfach die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(1|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x - 1) \cdot (x - 3)$ sein.

Weil es sich ja aber um eine Normalparabel handelt, kann dieses a nur 1 oder -1 sein.

Die Parabel ist nach oben geöffnet, also muss a = $1$ sein.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $(x - 1) \cdot (x - 3)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Nullstellen mit Nullprodukt

Nullstellen und Scheitel (Nullprodukt)

Nullstellen mit Mitternachtsformel

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Schnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit MNF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. aus Term (a=1)

Linearfaktordarst. am Graph (a=1)