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Nullstellen mit Nullprodukt

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktion f mit
y= 2 x 2 +7x

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach y = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

2 x 2 +7x = 0
x ( 2x +7 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

2x +7 = 0 | -7
2x = -7 |:2
x2 = - 7 2 = -3.5

L={ - 7 2 ; 0}

Nullstellen und Scheitel (Nullprodukt)

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen und dann den Scheitel der quadratischen Funktion f mit
y= x 2 +4x

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach y = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

x 2 +4x = 0
x ( x +4 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +4 = 0 | -4
x2 = -4

L={ -4 ; 0}

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen -4+0 2 = -2 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(-2|y) mit y = ( -2 ) 2 +4( -2 ) = 4 -8 = -4.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x1=-4 und x2=0 , Scheitel: S(-2|-4).

Nullstellen mit Mitternachtsformel

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit f(x)= - x 2 +4x -4 .

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Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

- x 2 +4x -4 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -4 ± 4 2 -4 · ( -1 ) · ( -4 ) 2( -1 )

x1,2 = -4 ± 16 -16 -2

x1,2 = -4 ± 0 -2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = -4 -2 = 2

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "-1 " teilen:

- x 2 +4x -4 = 0 |: -1

x 2 -4x +4 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -2 ) 2 - 4 = 4 - 4 = 0

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = 2 ± 0 = 2

L={ 2 }

2 ist 2-fache Lösung!

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Der einzige Schnittpunkt mit der x-Achse ist also N( 2 |0).

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
f(x)= - ( x +5 ) 2 +14
und
g(x)= 10 .

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Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- ( x +5 ) 2 +14 = 10 | -14
- ( x +5 ) 2 = -4 |: ( -1 )
( x +5 ) 2 = 4 | 2

1. Fall

x +5 = - 4 = -2
x +5 = -2 | -5
x1 = -7

2. Fall

x +5 = 4 = 2
x +5 = 2 | -5
x2 = -3

L={ -7 ; -3 }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( -7 ) = 10

g( -3 ) = 10

Die Schnittpunkte sind also S1( -7 | 10 ) und S2( -3 | 10 ).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
f(x)= 6 x 2 -7x
und
g(x)= 5 x 2 -3x -3 .

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Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

6 x 2 -7x = 5 x 2 -3x -3 | -5 x 2 +3x +3

x 2 -4x +3 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +4 ± ( -4 ) 2 -4 · 1 · 3 21

x1,2 = +4 ± 16 -12 2

x1,2 = +4 ± 4 2

x1 = 4 + 4 2 = 4 +2 2 = 6 2 = 3

x2 = 4 - 4 2 = 4 -2 2 = 2 2 = 1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -2 ) 2 - 3 = 4 - 3 = 1

x1,2 = 2 ± 1

x1 = 2 - 1 = 1

x2 = 2 + 1 = 3

L={ 1 ; 3 }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( 1 ) = 5 1 2 -31 -3 = 51 -3 -3 = 5 -3 -3 = -1

g( 3 ) = 5 3 2 -33 -3 = 59 -9 -3 = 45 -9 -3 = 33

Die Schnittpunkte sind also S1( 1 | -1 ) und S2( 3 | 33 ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit g(x)= - x 2 -5x +11 .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

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Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = -1 kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 1 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 4 nach oben gehen. Die Steigung ist also m=-4.

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= -4x -1 oder f(x)= -4x -1 .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

-4x -1 = - x 2 -5x +11 | + x 2 +5x -11

x 2 + x -12 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -1 ± 1 2 -4 · 1 · ( -12 ) 21

x1,2 = -1 ± 1 +48 2

x1,2 = -1 ± 49 2

x1 = -1 + 49 2 = -1 +7 2 = 6 2 = 3

x2 = -1 - 49 2 = -1 -7 2 = -8 2 = -4

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 1 2 ) 2 - ( -12 ) = 1 4 + 12 = 1 4 + 48 4 = 49 4

x1,2 = - 1 2 ± 49 4

x1 = - 1 2 - 7 2 = - 8 2 = -4

x2 = - 1 2 + 7 2 = 6 2 = 3

L={ -4 ; 3 }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( -4 ) = - ( -4 ) 2 -5( -4 ) +11 = -16 +20 +11 = 15

g( 3 ) = - 3 2 -53 +11 = -9 -15 +11 = -13

Die Schnittpunkte sind also S1( -4 | 15 ) und S2( 3 | -13 ).

Linearfaktordarst. aus Term (a=1)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit y= x 2 -6x +5 .
Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

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Für die faktorisierte Darstellung brauchen wir die Nullstellen. Also berechnen wir diese als erstes.

x 2 -6x +5 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +6 ± ( -6 ) 2 -4 · 1 · 5 21

x1,2 = +6 ± 36 -20 2

x1,2 = +6 ± 16 2

x1 = 6 + 16 2 = 6 +4 2 = 10 2 = 5

x2 = 6 - 16 2 = 6 -4 2 = 2 2 = 1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -3 ) 2 - 5 = 9 - 5 = 4

x1,2 = 3 ± 4

x1 = 3 - 2 = 1

x2 = 3 + 2 = 5

Der Funktionterm ( x -1 ) ( x -5 ) hat nun also genau die gleichen Nullstellen wie y= x 2 -6x +5 und beide Terme haben a=1 als Koeffizient vor dem x² (Normalparabeln).

Also ist y= ( x -1 ) ( x -5 ) bereits der gesuchte Term.

Linearfaktordarst. am Graph (a=1)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet ist eine Normalparabel. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

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Wir lesen einfach die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(-3|0) und N2(1|0).

Also muss der Funktionsterm y= a · ( x +3 ) · ( x -1 ) sein.

Weil es sich ja aber um eine Normalparabel handelt, kann dieses a nur 1 oder -1 sein.

Die Parabel ist nach oben geöffnet, also muss a = 1 sein.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit y= ( x +3 ) ( x -1 ) .