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Punkte auf Normalparabel

Beispiel:

Überprüfe, ob die Punkte auf der (nach oben geöffneten) Normalparabel mit dem Scheitel S(0|0) liegen .
A( $- \frac{1}{4}$ | $\frac{1}{4}$ ), B( $- \sqrt{2}$ |4), C(-0.4|-0.16), D(9|81)

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A( $- \frac{1}{4}$ | $\frac{1}{4}$ ) liegt nicht auf der Normalparabel, weil y= ${(- \frac{1}{4})}^{2}$ = $\frac{1}{16}$ ≠ $\frac{1}{4}$ .

B( $- \sqrt{2}$ |4) liegt nicht auf der Normalparabel, weil y= ${(- \sqrt{2})}^{2}$ = $2$ ≠ 4.

C(-0.4|-0.16) liegt nicht auf der Normalparabel, weil y= ${(- 0,4)}^{2}$ =0.16 ≠ -0.16.

D(9|81) liegt auf der Normalparabel, weil y= $9^{2}$ =81.

Verschiebung nur in y-Richtung

Beispiel:

Im Schaubild sieht man eine Normalparabel. Bestimme den Funktionsterm der zugehörigen quadratischen Funktion.

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Im Schaubild erkennen wir, dass der Scheitel der verschobenen Normalparabel bei S(0|-5) liegt.

Die Parabel ist um -5 Einheiten in y-Richtung verschoben. Der Funktionsterm ist demnach $y =$ $x^{2} + e$ , in diesem Fall mit e= -5.

Der gesuchte Funktionsterm ist also: $y =$ $x^{2} - 5$ .

Term aus Schaubild (einfach)

Beispiel:

Im Schaubild sieht man eine verschobene Normalparabel. Bestimme den Funktionsterm der zugehörigen quadratischen Funktion.

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Im Schaubild erkennen wir, dass der Scheitel der verschobenen Normalparabel bei S(0|-2) liegt.

Die Parabel ist also um -2 Einheiten in y-Richtung verschoben. Der Funktionsterm ist demnach $y =$ $x^{2} + e$ , in diesem Fall mit e= -2.

Der gesuchte Funktionsterm ist also: $y =$ $x^{2} - 2$ .

Term aus Schaubild - Normalparabel

Beispiel:

Gezeichnet ist das Schaubild einer verschobenen Normalparabel. Bestimme deren Funktionsterm.

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Im Schaubild erkennen wir, dass der Scheitel der verschobenen Normalparabel bei S(-3|-5) liegt.

Eine verschobene Normalparabel mit Scheitel S(d|e) hat den Funktionsterm y= ± ${(x - d)}^{2} + e$ .

Weil ${(x - d)}^{2}$ nie kleiner Null werden kann, muss der kleinste Wert der Funktion bei x=d sein, weil hier ${(x - d)}^{2}$ gerade gleich Null ist. Wenn Der Scheitel nun als y-Wert e hat, so ist die Parabel um e Einheiten nach oben verschoben, also muss man zu ${(x - d)}^{2}$ noch e addieren.

Wenn man nun beachtet, dass die verschobene Normalparabel nach oben geöffnet ist, und die Scheitelkoordinaten für d und e einsetzt, so erhält man als Funktionsterm: y= ${(x + 3)}^{2} - 5$ .

Scheitel von (x-d)² oder x²+e ablesen

Beispiel:

Die Funktion f mit $y =$ $x^{2} + 1$ ist eine quadratische Funktion. Ihr Graph ist eine Parabel. Bestimme den Scheitel.

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Der gesuchte Funktionsterm $y =$ $x^{2} + 1$ ist ein Spezialfall von $x^{2} + e$ . Der kleinste Wert wird dabei also bei x=0 angenommen. Dieser kleinste Wert ist dann y=1. Die Parabel hat also ihren Scheitel in S(0|1).

Scheitel von (x-d)²+e ablesen

Beispiel:

Die Funktion f mit $y =$ ${(x + 1)}^{2} - 7$ ist eine quadratische Funktion. Ihr Graph ist eine Parabel. Bestimme den Scheitel.

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Der gesuchte Funktionsterm $y =$ ${(x + 1)}^{2} - 7$ ist ein Spezialfall von ${(x - d)}^{2} + e$ . Der Scheitel liegt dabei bei S(d|e), denn der kleinste Wert wird hier bei x=-1 angenommen. Dieser kleinste Wert ist dann y = -7. Die Parabel hat also ihren Scheitel in S(-1|-7).

Weiterer Wert bei Normalparabel

Beispiel:

Der Punkt P(-1|y) liegt auf einer nach oben geöffneten verschobenen Normalparabel mit Scheitel S(1|-5). Bestimme die y-Koordinate von P.

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1. Weg

Eine nach oben geöffnete verschobene Normalparabel mit Scheitel S(d|e) hat den Funktionsterm $y =$ ${(x - d)}^{2} + e$ .

Also muss der Funktionsterm der vorliegenden Parabel $y =$ ${(x - 1)}^{2} - 5$ sein.

Setzt man nun x=-1 in diesen Funktionsterm ein, so erhält man y = ${(- 1 - 1)}^{2} - 5$ = $4 - 5$ = $- 1$ .

2. Weg

Der x-Wert von S ist genau 2 Einheiten vom x-Wert des Scheitels entfernt und weil ja eine verschobene Normalparabel die gleiche Form wie das Schaubild von y=x² hat, muss also auch hier der y-Wert um 2²=4 höher liegen als der des Scheitel. Man erhält also den y-Wert von P, in dem man zum y-Wert des Scheitels noch 4 drauf addiert, also y = -5+4 = -1.

Der Punkt P hat also die Koordinaten P(-1|-1).

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Punkte auf Normalparabel

Verschiebung nur in y-Richtung

Term aus Schaubild (einfach)

Term aus Schaubild - Normalparabel

Scheitel von (x-d)² oder x²+e ablesen

Scheitel von (x-d)²+e ablesen

Weiterer Wert bei Normalparabel

1. Weg

2. Weg