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Punkte auf Normalparabel

Beispiel:

Überprüfe, ob die Punkte auf der (nach oben geöffneten) Normalparabel mit dem Scheitel S(0|0) liegen .
A(1.1|12.1), B(-6|36), C( $- \sqrt{4}$ |16), D( $- \frac{6}{5}$ | $\frac{36}{25}$ )

Lösung einblenden

A(1.1|12.1) liegt nicht auf der Normalparabel, weil y= ${1,1}^{2}$ =1.21 ≠ 12.1.

B(-6|36) liegt auf der Normalparabel, weil y= ${(- 6)}^{2}$ =36.

C( $- \sqrt{4}$ |16) liegt nicht auf der Normalparabel, weil y= ${(- \sqrt{4})}^{2}$ = $4$ ≠ 16.

D( $- \frac{6}{5}$ | $\frac{36}{25}$ ) liegt auf der Normalparabel, weil y= ${(- \frac{6}{5})}^{2}$ = $\frac{36}{25}$ .

Term aus Schaubild (einfach)

Beispiel:

Im Schaubild sieht man eine Normalparabel. Bestimme den Funktionsterm der zugehörigen quadratischen Funktion.

Lösung einblenden

Im Schaubild erkennen wir, dass der Scheitel der Normalparabel bei S(0|-1) liegt.

Die Parabel ist also um -1 Einheiten in y-Richtung verschoben. Der Funktionsterm ist demnach $y =$ $x^{2} + e$ , in diesem Fall mit e= -1.

Der gesuchte Funktionsterm ist also: $y =$ $x^{2} - 1$ .

Term aus Schaubild - Normalparabel

Beispiel:

Gezeichnet ist das Schaubild einer Normalparabel. Bestimme deren Funktionsterm.

Lösung einblenden

Im Schaubild erkennen wir, dass der Scheitel der Normalparabel bei S(-4|-1) liegt.

Eine Normalparabel mit Scheitel S(d|e) hat den Funktionsterm y= ± ${(x - d)}^{2} + e$ .

Weil - ${(x - d)}^{2}$ nie größer Null werden kann, muss der größte Wert der Funktion bei x=d sein, weil hier ${(x - d)}^{2}$ gerade gleich Null ist. Wenn Der Scheitel nun als y-Wert e hat, so ist die Parabel um e Einheiten nach oben verschoben, also muss man zu - ${(x - d)}^{2}$ noch e addieren.

Wenn man nun beachtet, dass die Normalparabel nach unten geöffnet ist, und die Scheitelkoordinaten für d und e einsetzt, so erhält man als Funktionsterm: y= $- {(x + 4)}^{2} - 1$ .

Scheitel von (x-d)² oder x²+e ablesen

Beispiel:

Die Funktion f mit $y =$ $x^{2} - 7$ ist eine quadratische Funktion. Ihr Graph ist eine Parabel. Bestimme den Scheitel.

Lösung einblenden

Der gesuchte Funktionsterm $y =$ $x^{2} - 7$ ist ein Spezialfall von $x^{2} + e$ . Der kleinste Wert wird dabei also bei x=0 angenommen. Dieser kleinste Wert ist dann y=-7. Die Parabel hat also ihren Scheitel in S(0|-7).

Scheitel von (x-d)²+e ablesen

Beispiel:

Die Funktion f mit $y =$ ${(x + 3)}^{2} + 6$ ist eine quadratische Funktion. Ihr Graph ist eine Parabel. Bestimme den Scheitel.

Lösung einblenden

Der gesuchte Funktionsterm $y =$ ${(x + 3)}^{2} + 6$ ist ein Spezialfall von ${(x - d)}^{2} + e$ . Der Scheitel liegt dabei bei S(d|e), denn der kleinste Wert wird hier bei x=-3 angenommen. Dieser kleinste Wert ist dann y = 6. Die Parabel hat also ihren Scheitel in S(-3|6).

Weiterer Wert bei Normalparabel

Beispiel:

Der Punkt P(-3|y) liegt auf einer nach oben geöffneten Normalparabel mit Scheitel S(-1|-4). Bestimme die y-Koordinate von P.

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1. Weg

Eine nach oben geöffnete Normalparabel mit Scheitel S(d|e) hat den Funktionsterm $y =$ ${(x - d)}^{2} + e$ .

Also muss der Funktionsterm der vorliegenden Parabel $y =$ ${(x + 1)}^{2} - 4$ sein.

Setzt man nun x=-3 in diesen Funktionsterm ein, so erhält man y = ${(- 3 + 1)}^{2} - 4$ = $4 - 4$ =0.

2. Weg

Der x-Wert von S ist genau 2 Einheiten vom x-Wert des Scheitels entfernt und weil ja eine Normalparabel die gleiche Form wie das Schaubild von y=x² hat, muss also auch hier der y-Wert um 2²=4 höher liegen als der des Scheitel. Man erhält also den y-Wert von P, in dem man zum y-Wert des Scheitels noch 4 drauf addiert, also y = -4+4 = 0.

Der Punkt P hat also die Koordinaten P(-3|0).

Linearfaktordarst. aus Term (a=1)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $y =$ $x^{2} - 4 x$ .
Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

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Wir können einfach x ausklammern und erhalten so $y =$ $x (x - 4)$ .

Linearfaktordarst. am Graph (a=1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Normalparabel. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Wir lesen einfach die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-2|0) und N₂(0|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 2) \cdot x$ sein.

Weil es sich ja aber um eine Normalparabel handelt, kann dieses a nur 1 oder -1 sein.

Die Parabel ist nach unten geöffnet, also muss a = $- 1$ sein.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- (x + 2) x$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Punkte auf Normalparabel

Term aus Schaubild (einfach)

Term aus Schaubild - Normalparabel

Scheitel von (x-d)² oder x²+e ablesen

Scheitel von (x-d)²+e ablesen

Weiterer Wert bei Normalparabel

1. Weg

2. Weg

Linearfaktordarst. aus Term (a=1)

Linearfaktordarst. am Graph (a=1)