Mathebattle EduRandomtasks

Punkte auf Normalparabel

Beispiel:

Überprüfe, ob die Punkte auf der (nach oben geöffneten) Normalparabel mit dem Scheitel S(0|0) liegen .
A( $\frac{7}{8}$ | $\frac{49}{64}$ ), B(-0.8|0.64), C(-2|4), D( $\sqrt{2}$ |4)

Lösung einblenden

A( $\frac{7}{8}$ | $\frac{49}{64}$ ) liegt auf der Normalparabel, weil y= ${(\frac{7}{8})}^{2}$ = $\frac{49}{64}$ .

B(-0.8|0.64) liegt auf der Normalparabel, weil y= ${(- 0,8)}^{2}$ =0.64.

C(-2|4) liegt auf der Normalparabel, weil y= ${(- 2)}^{2}$ =4.

D( $\sqrt{2}$ |4) liegt nicht auf der Normalparabel, weil y= ${(\sqrt{2})}^{2}$ = $2$ ≠ 4.

Term aus Schaubild (einfach)

Beispiel:

Im Schaubild sieht man eine Normalparabel. Bestimme den Funktionsterm der zugehörigen quadratischen Funktion.

Lösung einblenden

Im Schaubild erkennen wir, dass der Scheitel der Normalparabel bei S(-2|0) liegt.

Die Parabel ist also um -2 Einheiten in x-Richtung verschoben. Der Funktionsterm ist demnach $y =$ ${(x - d)}^{2}$ , in diesem Fall mit d= -2.

Der gesuchte Funktionsterm ist also: $y =$ ${(x + 2)}^{2}$ .

Term aus Schaubild - Normalparabel

Beispiel:

Gezeichnet ist das Schaubild einer Normalparabel. Bestimme deren Funktionsterm.

Lösung einblenden

Im Schaubild erkennen wir, dass der Scheitel der Normalparabel bei S(4|-5) liegt.

Eine Normalparabel mit Scheitel S(d|e) hat den Funktionsterm y= ± ${(x - d)}^{2} + e$ .

Weil ${(x - d)}^{2}$ nie kleiner Null werden kann, muss der kleinste Wert der Funktion bei x=d sein, weil hier ${(x - d)}^{2}$ gerade gleich Null ist. Wenn Der Scheitel nun als y-Wert e hat, so ist die Parabel um e Einheiten nach oben verschoben, also muss man zu ${(x - d)}^{2}$ noch e addieren.

Wenn man nun beachtet, dass die Normalparabel nach oben geöffnet ist, und die Scheitelkoordinaten für d und e einsetzt, so erhält man als Funktionsterm: y= ${(x - 4)}^{2} - 5$ .

Scheitel von (x-d)² oder x²+e ablesen

Beispiel:

Die Funktion f mit $y =$ ${(x + 3)}^{2}$ ist eine quadratische Funktion. Ihr Graph ist eine Parabel. Bestimme den Scheitel.

Lösung einblenden

Der gesuchte Funktionsterm $y =$ ${(x + 3)}^{2}$ ist ein Spezialfall von ${(x - d)}^{2}$ . Der kleinste Wert wird dabei also bei x=-3 angenommen. Dieser kleinste Wert ist dann y=0. Die Parabel hat also ihren Scheitel in S(-3|0).

Scheitel von (x-d)²+e ablesen

Beispiel:

Die Funktion f mit $y =$ ${(x - 2)}^{2} + 7$ ist eine quadratische Funktion. Ihr Graph ist eine Parabel. Bestimme den Scheitel.

Lösung einblenden

Der gesuchte Funktionsterm $y =$ ${(x - 2)}^{2} + 7$ ist ein Spezialfall von ${(x - d)}^{2} + e$ . Der Scheitel liegt dabei bei S(d|e), denn der kleinste Wert wird hier bei x=2 angenommen. Dieser kleinste Wert ist dann y = 7. Die Parabel hat also ihren Scheitel in S(2|7).

Weiterer Wert bei Normalparabel

Beispiel:

Der Punkt P(0|y) liegt auf einer nach oben geöffneten Normalparabel mit Scheitel S(2|2). Bestimme die y-Koordinate von P.

Lösung einblenden

1. Weg

Eine nach oben geöffnete Normalparabel mit Scheitel S(d|e) hat den Funktionsterm $y =$ ${(x - d)}^{2} + e$ .

Also muss der Funktionsterm der vorliegenden Parabel $y =$ ${(x - 2)}^{2} + 2$ sein.

Setzt man nun x=0 in diesen Funktionsterm ein, so erhält man y = ${(0 - 2)}^{2} + 2$ = $4 + 2$ = $6$ .

2. Weg

Der x-Wert von S ist genau 2 Einheiten vom x-Wert des Scheitels entfernt und weil ja eine Normalparabel die gleiche Form wie das Schaubild von y=x² hat, muss also auch hier der y-Wert um 2²=4 höher liegen als der des Scheitel. Man erhält also den y-Wert von P, in dem man zum y-Wert des Scheitels noch 4 drauf addiert, also y = 2+4 = 6.

Der Punkt P hat also die Koordinaten P(0|6).

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Punkte auf Normalparabel

Term aus Schaubild (einfach)

Term aus Schaubild - Normalparabel

Scheitel von (x-d)² oder x²+e ablesen

Scheitel von (x-d)²+e ablesen

Weiterer Wert bei Normalparabel

1. Weg

2. Weg