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Punkte auf Normalparabel

Beispiel:

Überprüfe, ob die Punkte auf der (nach oben geöffneten) Normalparabel mit dem Scheitel S(0|0) liegen .
A(-6|36), B(0.9|0.081), C( $\sqrt{5}$ | $5$ ), D( $- \frac{7}{8}$ | $- \frac{49}{64}$ )

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A(-6|36) liegt auf der Normalparabel, weil y= ${(- 6)}^{2}$ =36.

B(0.9|0.081) liegt nicht auf der Normalparabel, weil y= ${0,9}^{2}$ =0.81 ≠ 0.081.

C( $\sqrt{5}$ | $5$ ) liegt auf der Normalparabel, weil y= ${(\sqrt{5})}^{2}$ = $5$ .

D( $- \frac{7}{8}$ | $- \frac{49}{64}$ ) liegt nicht auf der Normalparabel, weil y= ${(- \frac{7}{8})}^{2}$ = $\frac{49}{64}$ ≠ $- \frac{49}{64}$ .

Term aus Schaubild (einfach)

Beispiel:

Im Schaubild sieht man eine verschobene Normalparabel. Bestimme den Funktionsterm der zugehörigen quadratischen Funktion.

Lösung einblenden

Im Schaubild erkennen wir, dass der Scheitel der verschobenen Normalparabel bei S(0|1) liegt.

Die Parabel ist also um 1 Einheiten in y-Richtung verschoben. Der Funktionsterm ist demnach $y =$ $x^{2} + e$ , in diesem Fall mit e= 1.

Der gesuchte Funktionsterm ist also: $y =$ $x^{2} + 1$ .

Term aus Schaubild - Normalparabel

Beispiel:

Gezeichnet ist das Schaubild einer verschobenen Normalparabel. Bestimme deren Funktionsterm.

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Im Schaubild erkennen wir, dass der Scheitel der verschobenen Normalparabel bei S(-4|-3) liegt.

Eine verschobene Normalparabel mit Scheitel S(d|e) hat den Funktionsterm y= ± ${(x - d)}^{2} + e$ .

Weil ${(x - d)}^{2}$ nie kleiner Null werden kann, muss der kleinste Wert der Funktion bei x=d sein, weil hier ${(x - d)}^{2}$ gerade gleich Null ist. Wenn Der Scheitel nun als y-Wert e hat, so ist die Parabel um e Einheiten nach oben verschoben, also muss man zu ${(x - d)}^{2}$ noch e addieren.

Wenn man nun beachtet, dass die verschobene Normalparabel nach oben geöffnet ist, und die Scheitelkoordinaten für d und e einsetzt, so erhält man als Funktionsterm: y= ${(x + 4)}^{2} - 3$ .

Scheitel von (x-d)² oder x²+e ablesen

Beispiel:

Die Funktion f mit $y =$ ${(x + 8)}^{2}$ ist eine quadratische Funktion. Ihr Graph ist eine Parabel. Bestimme den Scheitel.

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Der gesuchte Funktionsterm $y =$ ${(x + 8)}^{2}$ ist ein Spezialfall von ${(x - d)}^{2}$ . Der kleinste Wert wird dabei also bei x=-8 angenommen. Dieser kleinste Wert ist dann y=0. Die Parabel hat also ihren Scheitel in S(-8|0).

Scheitel von (x-d)²+e ablesen

Beispiel:

Die Funktion f mit $y =$ ${(x + 9)}^{2} + 1$ ist eine quadratische Funktion. Ihr Graph ist eine Parabel. Bestimme den Scheitel.

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Der gesuchte Funktionsterm $y =$ ${(x + 9)}^{2} + 1$ ist ein Spezialfall von ${(x - d)}^{2} + e$ . Der Scheitel liegt dabei bei S(d|e), denn der kleinste Wert wird hier bei x=-9 angenommen. Dieser kleinste Wert ist dann y = 1. Die Parabel hat also ihren Scheitel in S(-9|1).

Weiterer Wert bei Normalparabel

Beispiel:

Der Punkt P(-4|y) liegt auf einer nach oben geöffneten verschobenen Normalparabel mit Scheitel S(-3|3). Bestimme die y-Koordinate von P.

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1. Weg

Eine nach oben geöffnete verschobene Normalparabel mit Scheitel S(d|e) hat den Funktionsterm $y =$ ${(x - d)}^{2} + e$ .

Also muss der Funktionsterm der vorliegenden Parabel $y =$ ${(x + 3)}^{2} + 3$ sein.

Setzt man nun x=-4 in diesen Funktionsterm ein, so erhält man y = ${(- 4 + 3)}^{2} + 3$ = $1 + 3$ = $4$ .

2. Weg

Der x-Wert von S ist genau 1 Einheiten vom x-Wert des Scheitels entfernt und weil ja eine verschobene Normalparabel die gleiche Form wie das Schaubild von y=x² hat, muss also auch hier der y-Wert um 1²=1 höher liegen als der des Scheitel. Man erhält also den y-Wert von P, in dem man zum y-Wert des Scheitels noch 1 drauf addiert, also y = 3+1 = 4.

Der Punkt P hat also die Koordinaten P(-4|4).

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Punkte auf Normalparabel

Term aus Schaubild (einfach)

Term aus Schaubild - Normalparabel

Scheitel von (x-d)² oder x²+e ablesen

Scheitel von (x-d)²+e ablesen

Weiterer Wert bei Normalparabel

1. Weg

2. Weg