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Pythagoras am Einheitskreis

Beispiel:

Für ein α zwischen 0° und 90° gilt: sin(α) = $\frac{\sqrt{24}}{5}$ . Berechne cos(α).

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Nach dem Satz des Pythagoras im Einheitskreis gilt immer:

(sin(α))² + (cos(α))² = 1

Umgestellt nach cos(α):

(cos(α))² = 1 - (sin(α))²

= 1 - ${(\frac{\sqrt{24}}{5})}^{2}$

= 1 - $\frac{24}{25}$

= $\frac{1}{25}$

Damit glit für cos(α):

cos(α) = $\frac{1}{5}$ = 0.2

sin und cos am Einheitskreis

Beispiel:

Bestimme näherungsweise cos(35°).

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

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Am Einheitskreis kann man die Werte für sin(35°) und cos(35°) ablesen:

cos(35°) ist der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der orangen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (grüne) senkrechte Linie zur x-Aches verfolgt:

cos(35°) ≈ 0.82

arcsin und arccos am Einheitskreis

Beispiel:

Bestimme näherungsweise den Winkel α zwischen 0° und 90° mit cos(α) = 0.7.

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

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Am Einheitskreis kann man den Wert für α ablesen:

cos(α) = 0.7 bedeutet, dass der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, 0.7 sein muss. Wenn man den den Winkel auf 45.6° setzt, so sieht man, dass der cos(45.6)°, also die Länge der orangen Strecke eben ≈ 0.7 ist.

cos(45.6°) ≈ 0.7

sin und cos am Einheitskreis (360°)

Beispiel:

Bestimme näherungsweise sin(62°).

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

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Am Einheitskreis kann man die Werte für sin(62°) und cos(62°) ablesen:

sin(62°) ist der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die (vorzeichenbehaftete) Länge der grünen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (orange) waagrechte Linie zur y-Aches verfolgt:

sin(62°) ≈ 0.88

arcsin und arccos am Einheitskreis (360°)

Beispiel:

Bestimme näherungsweise alle Winkel α mit 0° ≤ α < 360° mit sin(α) = 0.9.

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

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Am Einheitskreis kann man die beiden Werte für α ablesen:

sin(α) = 0.9 bedeutet, dass der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis 0.9 sein muss. In der Skizze sieht man, dass dies sowohl für α₁ = 64.2° als auch für α₂ = 115.8° der Fall ist, weil in beiden Fällen die Länge der grünen Strecke eben ≈ 0.9 ist.

sin(64.2°) ≈ 0.9 und sin(115.8°) ≈ 0.9

gleiche Winkel am Einheitskreis

Beispiel:

Welcher Winkel zwischen 0° und 360° hat die gleichen Sinus- und Kosinuswerte wie 940°?

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Da ja ein (Einheits-)Kreis 360° als Gesamtwinkel hat, gelangt man nach weiterer Drehung um +360° oder -360° wieder genau zum ursprünglichen Punkt auf dem Einheitskreis (der somit natürlich wieder die gleichen Sinus- und Kosinuswerte besitzt).

Und da unser Ausgangswinkel 940° > 360° ist, müssen wir eben so lange 360° subtrahieren, bis unser Winkel zwischen 0 und 360° ist:

α = 940 - 360° - 360° = 220°

Winkel mit gleichem sin- oder cos-Wert

Beispiel:

Welcher Winkel zwischen 0° und 360° hat die gleichen Sinuswert wie 330°?

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Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Sinuswert (grüner senkrechter Strich) symmetrisch zur y-Achse liegen.

Wenn wir jetzt den (braunen) Ausgangswinkel 330° als negativen Winkel 330° -360° = -30° sehen, (also im Uhrzeigersinn unten rum), dann sehen wir, dass sich der gespiegelte (pinke) Winkel - im Uhrzeigersinn unten rum - mit dem Ausgangswinkel zu 180° ergänzt. Wir können also hier einfach -180°- den gegebenen Winkel rechnen, um auf den Winkel mit dem gleichen Sinuswert zu kommen: hier also

α = -180° - (-30°) = -150°

Da wir ja aber einen positiven Winkel suchen, müssen wir eben wieder eine volle Umdrehung draufaddieren:

α = -150° + 360° = 210°

Sinus-Funktion

Beispiel:

Ein Generator erzeugt Wechselstrom in Form einer Sinus-Kurve. Dabei schwankt die Spannung zwischen - 80 Volt und +80 Volt. Die Periodenlänge (also die Zeit, bis alles wieder von vorne losgeht) beträgt 40 ms (Millisekunden). Zu Beobachtungsbeginn beträgt die Spannung 0 Volt. Danach steigt sie an.Wie hoch ist die Spannung 6 ms nach Beobachtungsbeginn? Berechne einen Zeitpunkt, an dem die Spannung 24 Volt beträgt?

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So erhalten wir die Funktion f(α) = 80 ⋅ sin(α).

1. Gesuchte Höhe zur Zeit t = 6 ms

Um nun die gesuchte Höhe zur gegebenen Zeit zu berechnen, müssen wir zuerst den Winkel bestimmen, der nach 6 ms erreicht wurde. Weil ja immer gleich viel Winkel pro Zeit 'zurückgelegt' wird, genügt hierfür ein Dreisatz :

40 ms ≙ 360°
1 ms ≙ $\frac{360}{40}$ ° = 9°
6 ms ≙ 9 ⋅ 6° ≈ 54°

sin(54°) ≈ 0.81, entsprechend ist 80 ⋅ sin(54°) ≈ 64.72

Also ist nach 6 ms der y-Wert 64,72 V.

2. Gesuchte Zeit zur gegebenen Höhe h = 24 V

Wir können nun nach dem Winkel suchen, bei dem f(α) = 80 ⋅ sin(α) = 24 gilt.

80 ⋅ sin(α) = 24 |: 80

sin(α) = 0.3 | arcsin(⋅) (WTR: sin^-1)

α ≈ 17.5°

Jetzt müssen wir den Dreisatz eben anders rum wie oben machen:

360° ≙ 40 ms
1 ° ≙ $\frac{40}{360}$ ms = $\frac{1}{9}$ ms
17.5° ≙ $\frac{1}{9}$ ⋅ 17.5 ms ≈ 1.944 ms

Somit ist nach 1,944 ms die Höhe h = 24 V erreicht.

Am Schaubild sehen wir, dass es aber auch noch einen zweiten Winkel β mit 80 ⋅ sin(α) = 24 bzw. sin(β) = 0.3. Durch die Symmetrie erkennen wir, dass dieser weitere Winkel β gleich weit von 180° entfernt ist wie α von 0°, also gerade α von 180° entfernt.
Somit gilt β = 180°-α = 180°-17.5 = 162.5°.

Auch hier müssen wir wieder mit dem Dreisatz die zugehörige Zeit ermitteln:

360° ≙ 40 ms
1 ° ≙ $\frac{40}{360}$ ms = $\frac{1}{9}$ ms
162.5° ≙ $\frac{1}{9}$ ⋅ 162.5 ms ≈ 18.056 ms

Somit ist nach auch 18,056 ms die Höhe h = 24 V erreicht.

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Pythagoras am Einheitskreis

sin und cos am Einheitskreis

arcsin und arccos am Einheitskreis

sin und cos am Einheitskreis (360°)

arcsin und arccos am Einheitskreis (360°)

gleiche Winkel am Einheitskreis

Winkel mit gleichem sin- oder cos-Wert

Sinus-Funktion

1. Gesuchte Höhe zur Zeit t = 6 ms

2. Gesuchte Zeit zur gegebenen Höhe h = 24 V