Wir können die beiden Brüche am leichtesten vergleichen, wenn wir beide auf die gleichen Nenner bringen.
Dazu müssen wir $\frac{6}{7}$mit 3 erweitern, um auf die 21-tel zu kommen.
$\frac{6}{7}$ = $\frac{\mathrm{6\; \cdot \; 3}}{\mathrm{7\; \cdot \; 3}}$ = $\frac{18}{21}$

Jetzt können wir gut erkennen, dass gilt: $\frac{6}{7}$ = $\frac{18}{21}$ > $\frac{15}{21}$

Wir können die beiden Brüche am leichtesten vergleichen, wenn wir beide auf die gleichen Nenner bringen.
Dazu müssen wir $\frac{2}{5}$mit 2 erweitern, um auf die 10-tel zu kommen.
$\frac{2}{5}$ = $\frac{\mathrm{2\; \cdot \; 2}}{\mathrm{5\; \cdot \; 2}}$ = $\frac{4}{10}$

Jetzt können wir gut erkennen, dass gilt: $\frac{2}{5}$ = $\frac{4}{10}$

Um einen weiteren gleichgroßen Bruch möglichst einfach zu halten, versuchen wir unseren Bruch $\frac{4}{6}$ zu kürzen.
Dazu probieren wir alle Primzahlen durch, ob sie vielleicht beide Teiler von Zähler (4) und Nenner (6) sind:

Mit dem Primteiler 2 funktioniert dies: $\frac{4}{6}$ $\stackrel{\mathrm{k(2)}}{=}$ $\frac{2}{3}$

Weil man $\frac{2}{3}$ nicht weiter kürzen kann, müssen wir diesen Bruch eben erweitern.
Mit 2 dürfen wir nicht erweitern, sonst würden wir ja wieder $\frac{4}{6}$ erhalten, deswegen erweitern wir mit 3:
$\frac{2}{3}$$\stackrel{\mathrm{e(3)}}{=}$ $\frac{6}{9}$

Um einen weiteren gleichgroßen Bruch möglichst einfach zu halten, versuchen wir unseren Bruch $\frac{8}{12}$ zu kürzen.
Dazu probieren wir alle Primzahlen durch, ob sie vielleicht beide Teiler von Zähler (8) und Nenner (12) sind:

Mit dem Primteiler 2 funktioniert dies: $\frac{8}{12}$ $\stackrel{\mathrm{k(2)}}{=}$ $\frac{4}{6}$

Mit dem Primteiler 2 können wir auch $\frac{4}{6}$ nochmals kürzen: $\frac{8}{12}$ $\stackrel{\mathrm{k(2)}}{=}$ $\frac{2}{3}$

An den Pfeilen erkennt man, dass der Bruch $\frac{2}{3}$ mit 2 erweitert werden soll.
Dazu müssen wir einfach sowohl den Zähler als auch den Nenner mit 2 multiplizieren.

$\frac{2}{3}$ = $\frac{\mathrm{2\; ·\; 2}}{\mathrm{3\; ·\; 2}}$ = $\frac{4}{6}$

Beim Erweitern multiplizieren wir einfach Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl 7:

$\frac{3}{2}$ = $\frac{\mathrm{3\; \cdot \; 7}}{\mathrm{2\; \cdot \; 7}}$ = $\frac{21}{14}$

Der Bruch soll so erweitert werden, dass aus dem alten Nenner 3 nachher der neue Nenner 24 wird.

Wir müssen also 24 : 3 = 8 teilen.

Natürlich hätte man auch den neuen Zähler 8 durch den ursprünglichen Zähler 1 teilen können, also 8 : 1 = 8

Beim Kürzen mit 8 dividieren wir einfach Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl 8:

$\frac{8}{16}$ = $\frac{\mathrm{8\; :\; 8}}{\mathrm{16\; :\; 8}}$ = $\frac{1}{2}$

Der Bruch soll so erweitert werden, dass aus dem alten Zähler 1 nachher der neue Zähler 9 wird.

Wir müssen also mit 9 : 1 = 9 erweitern.

$\frac{1}{4}$ = $\frac{\mathrm{1\; \cdot \; 9}}{\mathrm{4\; \cdot \; 9}}$ = $\frac{9}{36}$

Der Bruch soll so gekürzt werden, dass aus dem alten Zähler 24 nachher der neue Zähler 4 wird.

Wir müssen also mit 24 : 4 = 6 kürzen.

$\frac{24}{30}$ = $\frac{\mathrm{24\; :\; 6}}{\mathrm{30\; :\; 6}}$ = $\frac{4}{5}$

Wir probieren alle Primzahlen durch, ob sie vielleicht beide Teiler von Zähler (18) und Nenner (36) sind:

$\frac{18}{36}$ $\stackrel{\mathrm{k(2)}}{=}$ $\frac{9}{18}$ $\stackrel{\mathrm{k(3)}}{=}$ $\frac{3}{6}$ $\stackrel{\mathrm{k(3)}}{=}$ $\frac{1}{2}$

$\frac{18}{36}$ = $\frac{1}{2}$

(natürlich hätte man auch gleich auf einmal mit 18 kürzen können).

Ausgehend vom ersten Bruch $\frac{5}{10}$ können wir anhand des Erweiterungsfaktors "· 2" unter dem Gleichheitszeichen erkennen, dass hier der erste Bruch mit 2 erweitert wurde.

(Natürlich steht über und unter dem Gleichheitszeichen immer der gleiche Erweiterungsfaktor.)

Daraus ergibt sich:

Der Zähler des zweiten Bruchs muss somit 2 mal so groß wie 5 sein, also 5 · 2 = 10.

Der Nenner des zweiten Bruchs muss somit 2 mal so groß wie 10 sein, also 10 · 2 = 20.

Ausgehend vom zweiten Bruch $\frac{10}{20}$ können wir anhand des Kürzungsfaktors ": 5" über dem Gleichheitszeichen erkennen, dass hier der zweite Bruch mit 5 gekürzt wurde.

(Natürlich steht über und unter dem Gleichheitszeichen immer der gleiche Kürzungsfaktor.)

Daraus ergibt sich:

Der Zähler des dritten Bruchs muss somit ein 5-tel so groß wie 10 sein, also 10 : 5 = 2.

Der Nenner des dritten Bruchs muss somit ein 5-tel so groß wie 20 sein, also 20 : 5 = 4.

Ausgehend vom ersten Bruch $\frac{6}{8}$ können wir anhand des Nenners 24 im anderen Bruch erkennen, dass hier der erste Bruch mit 3 erweitert wurde, weil 24 ja 3 mal so groß ist wie 8 (24:8=3).

(Natürlich steht über und unter dem Gleichheitszeichen immer der gleiche Erweiterungsfaktor.)

Daraus ergibt sich:

Der Zähler des zweiten Bruchs muss somit 3 mal so groß wie 6 sein, also 6 · 3 = 18.

Ausgehend vom zweiten Bruch $\frac{18}{24}$ können wir anhand des Nenners 12 im anderen Bruch erkennen, dass hier der zweite Bruch mit 2 gekürzt wurde, weil 24 ja 2 mal so groß ist wie 12 (24:12=2).

(Natürlich steht über und unter dem Gleichheitszeichen immer der gleiche Kürzungsfaktor.)

Daraus ergibt sich:

Der Zähler des dritten Bruchs muss somit ein 2-tel so groß wie 18 sein, also 18 : 2 = 9.