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Term bestimmen (1 Punktprobe)

Beispiel:

Ein Graph einer Exponentialfunktion f mit $f(x) =$ $a^{x}$ (a>0) verläuft durch den Punkt P(1|0.7). Bestimme a.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach den Punkt A(1|0.7) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a^{x}$ ein und erhalten so die Gleichung:

0.7 = a¹

0.7 = a

Das gesuchte a ist somit 0.7 (Der gesuchte Funktionsterm $f(x) =$ ${0,7}^{x}$ )

Term bestimmen (2 Punktproben)

Beispiel:

Bestimme c und a>0 so, dass die Punkte A(0| $\frac{1}{2}$ ) und B(-3| $\frac{1}{54}$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ (a>0) liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(0| $\frac{1}{2}$ ) und B(-3| $\frac{1}{54}$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{1}{2}$ = $c \cdot 1$
II: $\frac{1}{54}$ = $c \cdot a^{- 3}$

Aus I ergibt sich ja sofort $\frac{1}{2}$ = c. Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $\frac{1}{54}$ = $\frac{1}{2} a^{- 3}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $a^{3}$ weg!

$\frac{1}{2 a^{3}}$	=	$\frac{1}{54}$	\|⋅( $a^{3}$ )
$\frac{1}{2 a^{3}} \cdot a^{3}$	=	$\frac{1}{54} \cdot a^{3}$
$\frac{1}{2}$	=	$\frac{1}{54} a^{3}$

$\frac{1}{2}$	=	$\frac{1}{54} a^{3}$	\| $- \frac{1}{2}$ $- \frac{1}{54} a^{3}$
$- \frac{1}{54} a^{3}$	=	$- \frac{1}{2}$	\|⋅ $(- 54)$
$a^{3}$	=	$27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$a$	=	$\sqrt[3]{27}$	= $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Von oben (I) wissen wir bereits: $\frac{1}{2}$ = c

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot 3^{x}$

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $2$ ), also gilt f(0)= $2$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $2$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $2$ , also $f(x) =$ $2 \cdot a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $4$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $4$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $2 \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $4$ = $2 \cdot a$ = $2 a$ .

Es gilt also: $4$ = $2 a$ | ⋅ $\frac{1}{2}$

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $2 \cdot 2^{x}$