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Term bestimmen (1 Punktprobe)

Beispiel:

Ein Graph einer Exponentialfunktion f mit f(x)= a x (a>0) verläuft durch den Punkt P(2|0.25). Bestimme a.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach den Punkt A(2|0.25) in den Funktionsterm f(x)= a x ein und erhalten so die Gleichung:

0.25 = a2 | ⋅2

0.5 = a

( - 0.5 = a nicht zulässig)

Das gesuchte a ist somit 0.5 (Der gesuchte Funktionsterm f(x)= 0,5 x )

Term bestimmen (2 Punktproben)

Beispiel:

Bestimme c und a>0 so, dass die Punkte A(1| 5 2 ) und B(-2| 1 50 ) auf dem Graphen der Funktion f mit f(x)= c · a x (a>0) liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| 5 2 ) und B(-2| 1 50 ) in den Funktionsterm f(x)= c · a x ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: 5 2 = c · a
II: 1 50 = c · a -2

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: 5 2 ⋅ 1 a = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: 1 50 = 5 2 a · 1 a 2

also

II: 1 50 = 5 2 a 3

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner a 3 weg!

5 2 a 3 = 1 50 |⋅( a 3 )
5 2 a 3 · a 3 = 1 50 · a 3
5 2 = 1 50 a 3
5 2 = 1 50 a 3 | - 5 2 - 1 50 a 3
- 1 50 a 3 = - 5 2 |⋅ ( -50 )
a 3 = 125 | ⋅3
a = 125 3 = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Von oben (I) wissen wir bereits: 5 2 ⋅ 1 a = c

mit a=5 eingesetzt erhalten wir so: 1 2 = c

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: f(x)= 1 2 ⋅ 5 x

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| - 1 2 ), also gilt f(0)= - 1 2 .

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: - 1 2 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = - 1 2 , also f(x)= - 1 2 ⋅ a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|-2) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = -2.

In unseren Funktionsterm f(x)= - 1 2 ⋅ a x eingesezt bedeutet das: -2 = - 1 2 ⋅a = - 1 2 a .

Es gilt also: -2 = - 1 2 a | ⋅ -2

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= - 1 2 ⋅ 4 x