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Term bestimmen (1 Punktprobe)

Beispiel:

Ein Graph einer Exponentialfunktion f mit $f(x) =$ $a^{x}$ (a>0) verläuft durch den Punkt P(3|125). Bestimme a.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach den Punkt A(3|125) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a^{x}$ ein und erhalten so die Gleichung:

125 = a³ | $\sqrt[3]{\cdot}$

5 = a

Das gesuchte a ist somit 5 (Der gesuchte Funktionsterm $f(x) =$ $5^{x}$ )

Term bestimmen (2 Punktproben)

Beispiel:

Bestimme c und a>0 so, dass die Punkte A(0| $\frac{3}{4}$ ) und B(-2| $\frac{3}{100}$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ (a>0) liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(0| $\frac{3}{4}$ ) und B(-2| $\frac{3}{100}$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{3}{4}$ = $c \cdot 1$
II: $\frac{3}{100}$ = $c \cdot a^{- 2}$

Aus I ergibt sich ja sofort $\frac{3}{4}$ = c. Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $\frac{3}{100}$ = $\frac{3}{4} a^{- 2}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $a^{2}$ weg!

$\frac{3}{4 a^{2}}$	=	$\frac{3}{100}$	\|⋅( $a^{2}$ )
$\frac{3}{4 a^{2}} \cdot a^{2}$	=	$\frac{3}{100} \cdot a^{2}$
$\frac{3}{4}$	=	$\frac{3}{100} a^{2}$

$\frac{3}{4}$	=	$\frac{3}{100} a^{2}$	\| $- \frac{3}{4}$ $- \frac{3}{100} a^{2}$
$- \frac{3}{100} a^{2}$	=	$- \frac{3}{4}$	\|⋅ $(- \frac{100}{3})$
$a^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
a₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Wegen a>0 fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: $\frac{3}{4}$ = c

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: $f(x) =$ $\frac{3}{4} \cdot 5^{x}$

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $1$ ), also gilt f(0)= $1$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $1$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $1$ , also $f(x) =$ $a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $2$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $2$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $2$ = $a$ = $a$ .

Es gilt also: $2$ = $a$

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $2^{x}$