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Abstände

Beispiel:

Zeichne die Punkte A(0|3), B(4|2), C(7|6) und D(3|7) in ein Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm und verbinde die Punkte A und B zu einer Geraden g sowie die Punkte C und D zu einer Geraden h.

Miss dann den Abstand zwischen A und C, sowie den Abstand zwischen den beiden parallelen Geraden g_AB und h_CD.

Lösung einblenden

Wenn man die Punkte in ein Koordinatensystem einzeichnet, kann man den Abstand zwischen A und C sofort abmessen: d(A,C)=7.6

Es gibt ja beliebig viele Abstände zwischen einem Punkt auf der Geraden g und einem auf der Geraden h. Als Abstand der beiden Geraden ist der kleinst-mögliche Abstand zwischen 2 solchen Punkten definiert. Diesen erhalten wir auf einer Orthogonalen (Senkrechten) zu den Geraden.

Deswegen muss man zuerst einmal eine Orthogonale (Senkrechte) zu einer der Geraden einzeichnen, um den Abstand zwischen den beiden parallen Geraden abzumessen.
Jetzt können wir den Abstand zwischen den beiden Schnittpunkten (zwischen je einer Geraden und deren Orthogonalen,
z.B. C und L in der Abbildung rechts) abmessen:
d(g.h) = 4.6 cm

Abstand von Punkt und Gerade

Beispiel:

Zeichne den Punkt A(5|4) und eine Gerade g durch die Punkte B(2|2) und C(2|5) in ein Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm.

Finde dann die beiden Punkte P und Q, die vom Punkt A den Abstand 2.5 cm und von der Geraden g den Abstand 1 cm haben.

Lösung einblenden

Zuerst zeichnet man die Punkte und die Gerade durch B und C ins Koordinatensystem ein.

Für die gesuchten Punkte muss gelten, dass sie 1 cm Abstand von der (in blau eingezeichneten) Geraden durch B und C haben. Das bedeutet doch, dass sie auf einer parallelen Geraden im Abstand 1 cm liegen müssen. Weil ja unsere Gerade parallel zur y-Achse liegt, kann man diese beiden Geraden leicht einzeichnen (im Schaubild rechts in rot).

Außerdem muss noch gelten, dass die beiden gesuchten Punkte den Abstand 2.5 cm vom Punkt A haben. Also müssen sie auf einem Kreis um A mit Radius 2.5 cm liegen müssen, denn dort liegen ja alle Punkte mit Abstand 2.5 cm zu A.

Wenn man die parallelen Geraden (blau) und den Kreis (grün) eingezeichnet hat, erkennt man die gesuchten Punkte als die gemeinsamen Punkte (Schnittpunkte) von Kreis und paralellen Geraden:

Die gesuchten Punkte haben somit die Koordinaten P(3|2.5) und Q(3|5.5).

Lotfußpunkt für Höhe

Beispiel:

Zeichne das Dreieck ABC mit A(0|1), B(10|6) und C(0|6) in ein Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm.

Zeichne die Höhe h_c ein und bestimme den Lotfußpunkt, also den Punkt in dem die Höhe auf die Gerade durch A und B trifft.

Lösung einblenden

Zuerst zeichnet man das Dreieck ABC ins Koordinatensystem ein.

Jetzt muss man einfach eine zu AB orthogonale Gerade durch den Punkt C einzeichnen.
Diese schneidet die Gerade durch A und B im gesuchten Lotfußpunkt L_C(2|2).