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Raumdiagonale

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 5 mm, b = 4 mm und c = 5 mm.
Berechne die Länge der Raumdiagonale.

Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 5 mm und b = 4 mm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² +b² = (5 mm)² + (4 mm)² = 25 mm² + 16 mm² = 41 mm²

d1 = $\sqrt{41}$ mm ≈ 6.403 mm

Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{41}$ mm)² + (5 mm)² = 41 mm² + 25 mm² = 66 mm²

Da d1² = a² +b² gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d² = a² + b² + c² = 25 mm² + 16 mm² + 25 mm² = 66 mm²
berechnen.

d = $\sqrt{66}$ mm ≈ 8.124 mm

Dreiecke im Quader

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 8 cm, b = 7 cm und c = 7 cm.
Berechne den Umfang U und den Flächeninhalt A des abgebildeten (grünen) Dreiecks.

Lösung einblenden

Die Deckendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a= 8 cm und b = 7 cm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² + b² = (8 cm)² + (7 cm)² = 64 cm² + 49 cm² = 113 cm²

d1 = $\sqrt{113}$ cm ≈ 10.63 cm

Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{113}$ cm)² + (7 cm)² = 113 cm² + 49 cm² = 162 cm²

d = $\sqrt{162}$ cm ≈ 12.728 cm

Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + c ≈ 10.63 cm + 12.73 cm + 7 cm ≈ 30.36 cm

Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 7:
A = $\frac{1}{2}$ d1 ⋅c ≈ $\frac{1}{2}$ ⋅10.63 cm⋅ 7 cm ≈ 37.21 cm²

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 8 mm, b = 7 mm, h = 5 mm.
Berechne h_b und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 5² + 4 ² = 25 + 16 = 41

Also gilt h_b = $\sqrt{41}$ mm ≈ 6,4 mm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 6,4² + 3,5² = 40,96 + 12,25 = 53

Also gilt s = $\sqrt{53.21}$ mm ≈ 7,3 mm

Kanten bei einer Pyramide

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 7 m, b = 4 m, h = 6 m.
Berechne h_b und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 6² + 3,5 ² = 36 + 12,25 = 48,25

Also gilt h_b = $\sqrt{48.25}$ m ≈ 6,9 m

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 6,95² + 2² = 48,3 + 4 = 52

Also gilt s = $\sqrt{52.3}$ m ≈ 7,2 m

Anwendungen Pythagoras

Beispiel:

Ein Leuchtturm ist 85m über dem Meeresspiegel. Wie weit (in m) könnte von dort aus bei optimalen Sichtverhältnissen maximal aufgrund der Erdkrümmung aufs Meer hinausschauen? Als Erdradius kann man mit 6371km rechnen.

Lösung einblenden

Es gilt:

6371000² + k1² = 6371085²

40589641000000 + k1² = 40590724077225 |-40589641000000

k1² = 1083077225 | $\sqrt[]{\cdot}$

k1 ≈ 32910.14

Somit gilt für die gesuchte Kathete:
k1 ≈ 32910.14m

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Mantelfläche M = 149,79 m² und Höhe der Seitenfläche ha = 8,32 m.
Berechne die Kantenlänge s und die Grundflächenlänge a.

Lösung einblenden

Bestimmung der Kantenlänge s

Die Höhe einer Seitenfläche ist ja mit h_a = 8,32 m bereits bekannt.

Um s zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundseitenlänge a berechnen:

Die Mantelfläche ist ja mit M = 149,79 m² bereits bekannt.

Die Mantelfläche M besteht aus den 4 gleich großen Flächeninhalten der Seitenflächen dieser Pyramide, also hat eine Seitenfläche den Flächeninhalt A_S = $\frac{1}{4}$ M = 37.447 m²

Diesen Flächeninhalt einer Seitenfläche kann man ja aber auch mit der Formel A_S= $\frac{1}{2}$ a⋅h_a berechnen.

Umgestellt nach a ergibt dies a = $\frac{2⋅AS}{ha}$ = $\frac{74.89}{8,32}$ m ≈ 9 m

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h_a und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 8,32² + 4,5² = 69,25 + 20,25 = 20

Also gilt s = $\sqrt{20.25}$ m ≈ 9,46 m

Bestimmung der Grundflächenlänge a

Die Grundflächenlänge a wurde ja bereits oben als a = 9 m berechnet.

Pyramide (Volumenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Höhe der Seitenfläche ha = 8,25 m und Grundflächenlänge a = 4 m.
Berechne die Kantenlänge s und das Volumen V.

Lösung einblenden

Bestimmung der Kantenlänge s

Die Höhe einer Seitenfläche ist ja mit h_a = 8,25 m bereits bekannt.

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 4 m bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h_a und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 8,25² + 2² = 68 + 4 = 4

Also gilt s = $\sqrt{4}$ m ≈ 8,49 m

Bestimmung des Volumen V

Um das Volumen dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir die Volumenformel einer Pyramide anwenden: V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h

Um die Grundfläche dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir einfach die Grundflächenlänge a zum Quadrat nehmen:

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 4 m bereits bekannt.

somit gilt: G = a² = (4 m)² = 16 m²

Die Höhe einer Seitenfläche ist ja mit h_a = 8,25 m bereits bekannt.

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 4 m bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir h suchen, stellen wir nach h um:

h_a² - ( $\frac{1}{2}$ a)² = h²

h² = 8,25² - 2² = 68 - 4 = 64

Also gilt h = $\sqrt{64}$ m ≈ 8 m

somit gilt: V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h = $\frac{1}{3}$ ⋅16 m² ⋅ 8 m ≈ 42,67 m³

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Raumdiagonale

Dreiecke im Quader

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Kanten bei einer Pyramide

Anwendungen Pythagoras

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Bestimmung der Kantenlänge s

Bestimmung der Grundflächenlänge a

Pyramide (Volumenberechnung)

Bestimmung der Kantenlänge s

Bestimmung des Volumen V