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Raumdiagonale

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 2 m, b = 8 m und c = 6 m.
Berechne die Länge der Raumdiagonale.

Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 2 m und b = 8 m, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² +b² = (2 m)² + (8 m)² = 4 m² + 64 m² = 68 m²

d1 = $\sqrt{68}$ m ≈ 8.246 m

Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{68}$ m)² + (6 m)² = 68 m² + 36 m² = 104 m²

Da d1² = a² +b² gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d² = a² + b² + c² = 4 m² + 64 m² + 36 m² = 104 m²
berechnen.

d = $\sqrt{104}$ m ≈ 10.198 m

Dreiecke im Quader

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 6 cm, b = 7 cm und c = 5 cm.
Berechne den Umfang U und den Flächeninhalt A des abgebildeten (grünen) Dreiecks.

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Die Frontwanddiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a= 6 cm und c = 5 cm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² + c² = (6 cm)² + (5 cm)² = 36 cm² + 25 cm² = 61 cm²

d1 = $\sqrt{61}$ cm ≈ 7.81 cm

Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und b, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + b² = ( $\sqrt{61}$ cm)² + (7 cm)² = 61 cm² + 49 cm² = 110 cm²

d = $\sqrt{110}$ cm ≈ 10.488 cm

Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + b ≈ 7.81 cm + 10.49 cm + 7 cm ≈ 25.3 cm

Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 7:
A = $\frac{1}{2}$ d1 ⋅b ≈ $\frac{1}{2}$ ⋅7.81 cm⋅ 7 cm ≈ 27.34 cm²

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 5 cm, b = 5 cm, h = 5 cm.
Berechne h_b und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 5² + 2,5 ² = 25 + 6,25 = 31,25

Also gilt h_b = $\sqrt{31.25}$ cm ≈ 5,6 cm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 5,59² + 2,5² = 31,25 + 6,25 = 37

Also gilt s = $\sqrt{37.5}$ cm ≈ 6,1 cm

Kanten bei einer Pyramide

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 5 m, b = 5 m, h_b = 7.4 m.
Berechne h und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir h suchen, stellen wir nach h um:

h_b² - ( $\frac{1}{2}$ a)² = h²

h² = 7,4² - 2,5² = 54,76 - 6,25 = 48,51

Also gilt h = $\sqrt{48.51}$ m ≈ 7 m

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 7,4² + 2,5² = 54,76 + 6,25 = 61

Also gilt s = $\sqrt{61.01}$ m ≈ 7,8 m

Anwendungen Pythagoras

Beispiel:

Ein Haus hat eine Gesamthöhe von 7m. Die (fünfeckigen) Stirnseiten sind 10m breit. Die rechteckigen Seitenflächen sind 14m lang und vom Boden bis zur Dachkante 3m hoch. Berechne die Fläche des Hausdachs.

Lösung einblenden

Es gilt:

4² + 5² =h²

16 +25 = h²

41 = h² | $\sqrt[]{\cdot}$

6.4 ≈ h

Um die gesuchte Fläche zu berechnen, muss nun zunächst diese Hypotenuse mit 14m multipliziert werden.

Somit erhalten wir für eine Hälfte der gesuchten Fläche: A_H ≈ 89.64m²

Für die Gesamtfläche gilt dann:
A ≈ 179.29m²

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Grundflächenlänge a = 5 mm und Oberfläche O = 108,82 mm².
Berechne die Höhe der Seitenfläche ha und die Pyramidenhöhe h.

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Bestimmung der Höhe der Seitenfläche ha

Um h_a zu berechnen, müssen wir zuerst die Mantelfläche M berechnen:

Wir berechnen zunächst die Grundfläche G:

Um die Grundfläche dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir einfach die Grundflächenlänge a zum Quadrat nehmen:

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 5 mm bereits bekannt.

somit gilt: G = a² = (5 mm)² = 25 mm²

Da sich ja die Oberfläche aus Grundfläche und Mantelfläche zusammensetzt, können wir die Mantelfläche dieser Pyramide einfach als Differenz M = O - G bestimmen:

somit gilt: M = O - G = 108,82 mm² - 25 mm² = 83,82 mm²

h_a ist ja die Höhe der Seitenfläche. Und da die Mantelfläche aus 4 solchen gleichen Seitenflächen besteht und die Mantelfläche M ja mit M = 83,82 mm² bereits bekannt ist, gilt für eine solche Seitenfläche A_S = $\frac{1}{4}$ ⋅ 83,82 mm² = 20.954 mm².

Zum anderen gilt aber auch
A_S =

\frac{1}{2}

a⋅h_a, also: 20.954 mm² =

\frac{1}{2}

a⋅h_a oder eben

h_a = $\frac{2⋅20.95}{a}$

Die Grundflächenlänge a ist ja mit a = 5 mm bereits bekannt.

somit gilt: h_a = $\frac{41.91}{5}$ mm ≈ 8,38 mm

Bestimmung der Pyramidenhöhe h

Die Höhe einer Seitenfläche ist ja mit h_a = 8,38 mm bereits bekannt.

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 5 mm bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir h suchen, stellen wir nach h um:

h_a² - ( $\frac{1}{2}$ a)² = h²

h² = 8,38² - 2,5² = 70,25 - 6,25 = 64

Also gilt h = $\sqrt{64}$ mm ≈ 8 mm

Pyramide (Volumenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Volumen V = 81,67 cm und Pyramidenhöhe h = 5 cm.
Berechne die Grundfläche G und die Kantenlänge s.

Lösung einblenden

Bestimmung der Grundfläche G

Da sich ja das Volumen V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h zusammensetzt, können wir diese Formel nach G umstellen und erhalten
G = $\frac{3⋅V}{h}$ :

Das Volumen V ist ja mit V = 81,67 cm³ bereits bekannt.

somit gilt: G = $\frac{3⋅V}{h}$ = $\frac{3⋅81,67 cm³}{5 cm}$ ≈ 49 cm²

Bestimmung der Kantenlänge s

Um s zu berechnen, müssen wir zuerst die Seitenhöhe h_a berechnen:

Um h_a zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundseitenlänge a berechnen:

Die Grundfläche G ist ja mit G = 49 cm² bereits bekannt.

Und da diese Grundfläche ja ein Quadrat mit Seitenlänge a ist, gilt: G = a² oder eben:

a = $\sqrt{G}$ = $\sqrt{49}$ cm = 7 cm

Die Pyramindenhöhe h ist ja mit h = 5 cm bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_a² = 5² + 3,5 ² = 25 + 12,25 = 37,25

Also gilt h_a = $\sqrt{37.25}$ cm ≈ 6,1 cm

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 7 cm bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h_a und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 6,1² + 3,5² = 37,21 + 12,25 = 49

Also gilt s = $\sqrt{49.46}$ cm ≈ 7,04 cm

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Raumdiagonale

Dreiecke im Quader

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Kanten bei einer Pyramide

Anwendungen Pythagoras

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Bestimmung der Höhe der Seitenfläche ha

Bestimmung der Pyramidenhöhe h

Pyramide (Volumenberechnung)

Bestimmung der Grundfläche G

Bestimmung der Kantenlänge s