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Raumdiagonale

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 7 mm, b = 7 mm und c = 4 mm.
Berechne die Länge der Raumdiagonale.

Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 7 mm und b = 7 mm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² +b² = (7 mm)² + (7 mm)² = 49 mm² + 49 mm² = 98 mm²

d1 = $\sqrt{98}$ mm ≈ 9.899 mm

Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{98}$ mm)² + (4 mm)² = 98 mm² + 16 mm² = 114 mm²

Da d1² = a² +b² gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d² = a² + b² + c² = 49 mm² + 49 mm² + 16 mm² = 114 mm²
berechnen.

d = $\sqrt{114}$ mm ≈ 10.677 mm

Dreiecke im Quader

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 6 m, b = 3 m und c = 6 m.
Berechne den Umfang U und den Flächeninhalt A des abgebildeten (grünen) Dreiecks.

Lösung einblenden

Die Frontwanddiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a= 6 m und c = 6 m, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² + c² = (6 m)² + (6 m)² = 36 m² + 36 m² = 72 m²

d1 = $\sqrt{72}$ m ≈ 8.485 m

Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und b, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + b² = ( $\sqrt{72}$ m)² + (3 m)² = 72 m² + 9 m² = 81 m²

d = $\sqrt{81}$ m ≈ 9 m

Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + b ≈ 8.49 m + 9 m + 3 m ≈ 20.49 m

Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 3:
A = $\frac{1}{2}$ d1 ⋅b ≈ $\frac{1}{2}$ ⋅8.49 m⋅ 3 m ≈ 12.73 m²

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 5 cm, b = 4 cm, h = 8 cm.
Berechne h_b und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 8² + 2,5 ² = 64 + 6,25 = 70,25

Also gilt h_b = $\sqrt{70.25}$ cm ≈ 8,4 cm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 8,38² + 2² = 70,22 + 4 = 74

Also gilt s = $\sqrt{74.22}$ cm ≈ 8,6 cm

Kanten bei einer Pyramide

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: b = 5 cm, h = 8 cm, h_b = 8.4 cm.
Berechne a und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir a suchen, stellen wir nach a um:

( $\frac{1}{2}$ a)² = h_b² - h²

( $\frac{1}{2}$ a)² = 8,4² - 8² = 70,56 - 64 = 6,56

Also gilt $\frac{1}{2}$ a = $\sqrt{6.56}$ cm ≈ 2,6 cm

Somit gilt: a ≈ 5,1 cm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 8,4² + 2,5² = 70,56 + 6,25 = 77

Also gilt s = $\sqrt{76.81}$ cm ≈ 8,8 cm

Anwendungen Pythagoras

Beispiel:

Ein Haus hat eine Gesamthöhe von 13m. Die (fünfeckigen) Stirnseiten sind 8m breit. Die rechteckigen Seitenflächen sind 7m lang und vom Boden bis zur Dachkante 9m hoch. Berechne die Fläche des Hausdachs.

Lösung einblenden

Es gilt:

4² + 4² =h²

16 +16 = h²

32 = h² | $\sqrt[]{\cdot}$

5.66 ≈ h

Um die gesuchte Fläche zu berechnen, muss nun zunächst diese Hypotenuse mit 7m multipliziert werden.

Somit erhalten wir für eine Hälfte der gesuchten Fläche: A_H ≈ 39.6m²

Für die Gesamtfläche gilt dann:
A ≈ 79.2m²

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Grundflächenlänge a = 7 m und Pyramidenhöhe h = 5 m.
Berechne die Oberfläche O und die Grundfläche G.

Lösung einblenden

Bestimmung der Oberfläche O

Um die Oberfläche dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir einfach den Mantel und die Grundfläche addieren:

Die Mantelfläche M besteht aus den 4 gleich großen Flächeninhalten der Seitenflächen dieser Pyramide. Diese soll nun berechnet werden:

Wir berechnen die Seitenhöhe h_a:

Die Grundflächenlänge a ist ja mit a = 7 m bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_a² = 5² + 3,5 ² = 25 + 12,25 = 37,25

Also gilt h_a = $\sqrt{37.25}$ m ≈ 6,1 m

Den Flächeninhalt einer Seitenfläche können wir ja einfach mit der Formel A_S= $\frac{1}{2}$ a⋅h_a berechen:

A_S = $\frac{1}{2}$ ⋅7 m⋅6,1 m ≈ 21,36 m²

Für die Mantelfläche müssen wir nun diese 4 Flächeninhalte noch zusammenzählen:

M = 4⋅21,36 m² = 85,45 m²

Um die Grundfläche dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir einfach die Grundflächenlänge a zum Quadrat nehmen:

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 7 m bereits bekannt.

somit gilt: G = a² = (7 m)² = 49 m²

somit gilt: O = M + G = 85,45 m² + 49 m² = 134,45 m²

Bestimmung der Grundfläche G

Die Grundfläche G wurde ja bereits oben als G = 49 m² berechnet.

Pyramide (Volumenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Höhe der Seitenfläche ha = 5,39 m und Pyramidenhöhe h = 5 m.
Berechne die Grundfläche G und die Kantenlänge s.

Lösung einblenden

Bestimmung der Grundfläche G

Um die Grundfläche dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir einfach die Grundflächenlänge a zum Quadrat nehmen:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir a suchen, stellen wir nach a um:

( $\frac{1}{2}$ a)² = h_a² - h²

( $\frac{1}{2}$ a)² = 5,39² - 5² = 29 - 25 = 4

Also gilt $\frac{1}{2}$ a = $\sqrt{4}$ m ≈ 2 m

Somit gilt: a ≈ 4 m

somit gilt: G = a² = (4 m)² = 16 m²

Bestimmung der Kantenlänge s

Die Höhe einer Seitenfläche ist ja mit h_a = 5,39 m bereits bekannt.

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 4 m bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h_a und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 5,39² + 2² = 29 + 4 = 33

Also gilt s = $\sqrt{33}$ m ≈ 5,74 m

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Raumdiagonale

Dreiecke im Quader

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Kanten bei einer Pyramide

Anwendungen Pythagoras

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Bestimmung der Oberfläche O

Bestimmung der Grundfläche G

Pyramide (Volumenberechnung)

Bestimmung der Grundfläche G

Bestimmung der Kantenlänge s