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Raumdiagonale

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 8 mm, b = 4 mm und c = 9 mm.
Berechne die Länge der Raumdiagonale.

Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 8 mm und b = 4 mm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² +b² = (8 mm)² + (4 mm)² = 64 mm² + 16 mm² = 80 mm²

d1 = $\sqrt{80}$ mm ≈ 8.944 mm

Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{80}$ mm)² + (9 mm)² = 80 mm² + 81 mm² = 161 mm²

Da d1² = a² +b² gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d² = a² + b² + c² = 64 mm² + 16 mm² + 81 mm² = 161 mm²
berechnen.

d = $\sqrt{161}$ mm ≈ 12.689 mm

Dreiecke im Quader

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 6 m, b = 6 m und c = 4 m.
Berechne den Umfang U und den Flächeninhalt A des abgebildeten (grünen) Dreiecks.

Lösung einblenden

Die Deckendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a= 6 m und b = 6 m, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² + b² = (6 m)² + (6 m)² = 36 m² + 36 m² = 72 m²

d1 = $\sqrt{72}$ m ≈ 8.485 m

Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{72}$ m)² + (4 m)² = 72 m² + 16 m² = 88 m²

d = $\sqrt{88}$ m ≈ 9.381 m

Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + c ≈ 8.49 m + 9.38 m + 4 m ≈ 21.87 m

Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 4:
A = $\frac{1}{2}$ d1 ⋅c ≈ $\frac{1}{2}$ ⋅8.49 m⋅ 4 m ≈ 16.97 m²

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 5 cm, b = 5 cm, h = 6 cm.
Berechne h_b und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 6² + 2,5 ² = 36 + 6,25 = 42,25

Also gilt h_b = $\sqrt{42.25}$ cm ≈ 6,5 cm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 6,5² + 2,5² = 42,25 + 6,25 = 49

Also gilt s = $\sqrt{48.5}$ cm ≈ 7 cm

Kanten bei einer Pyramide

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: b = 7 cm, h = 7 cm, h_b = 7.8 cm.
Berechne a und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir a suchen, stellen wir nach a um:

( $\frac{1}{2}$ a)² = h_b² - h²

( $\frac{1}{2}$ a)² = 7,8² - 7² = 60,84 - 49 = 11,84

Also gilt $\frac{1}{2}$ a = $\sqrt{11.84}$ cm ≈ 3,4 cm

Somit gilt: a ≈ 6,9 cm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 7,8² + 3,5² = 60,84 + 12,25 = 73

Also gilt s = $\sqrt{73.09}$ cm ≈ 8,5 cm

Anwendungen Pythagoras

Beispiel:

Ein 5m hoher Mast wird von der einen Seite mit einem 9m langen Seil und von der gegenüberliegenden Seite mit einem 12m langen Seil abgespannt. Wie weit sind die Verankerungen der Spannseile von einander entfernt?

Lösung einblenden

Im ersten Dreieck gilt:

5² + k1² = 9²

25 + k1² = 81 |-25

k1² = 56 | $\sqrt[]{\cdot}$

k1 ≈ 7.48

Im zweiten Dreieck gilt:

5² + k2² = 12²

25 + k2² = 144 |-25

k2² = 119 | $\sqrt[]{\cdot}$

k2 ≈ 10.91

Beide Strecken zusammen ergeben somit:
d = k1 + k2 ≈ 18.39m

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Oberfläche O = 216 cm² und Grundfläche G = 81 cm².
Berechne die Kantenlänge s und die Mantelfläche M.

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Bestimmung der Kantenlänge s

Um s zu berechnen, müssen wir zuerst die Seitenhöhe h_a berechnen:

Um h_a zu berechnen, müssen wir zuerst die Mantelfläche M berechnen:

Da sich ja die Oberfläche aus Grundfläche und Mantelfläche zusammensetzt, können wir die Mantelfläche dieser Pyramide einfach als Differenz M = O - G bestimmen:

somit gilt: M = O - G = 216 cm² - 81 cm² = 135 cm²

h_a ist ja die Höhe der Seitenfläche. Und da die Mantelfläche aus 4 solchen gleichen Seitenflächen besteht und die Mantelfläche M ja mit M = 135 cm² bereits bekannt ist, gilt für eine solche Seitenfläche A_S = $\frac{1}{4}$ ⋅ 135 cm² = 33.75 cm².

Zum anderen gilt aber auch
A_S =

\frac{1}{2}

a⋅h_a, also: 33.75 cm² =

\frac{1}{2}

a⋅h_a oder eben

h_a = $\frac{2⋅33.75}{a}$

Um h_a zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundseitenlänge a berechnen:

Die Grundfläche G ist ja mit G = 81 cm² bereits bekannt.

Und da diese Grundfläche ja ein Quadrat mit Seitenlänge a ist, gilt: G = a² oder eben:

a = $\sqrt{G}$ = $\sqrt{81}$ cm = 9 cm

somit gilt: h_a = $\frac{67.5}{9}$ cm ≈ 7,5 cm

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 9 cm bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h_a und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 7,5² + 4,5² = 56,25 + 20,25 = 20

Also gilt s = $\sqrt{20.25}$ cm ≈ 8,75 cm

Bestimmung der Mantelfläche M

Die Mantelfläche M wurde ja bereits oben als M = 135 cm² berechnet.

Pyramide (Volumenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Höhe der Seitenfläche ha = 6,1 mm und Grundfläche G = 49 mm².
Berechne das Volumen V und die Pyramidenhöhe h.

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Bestimmung des Volumen V

Um das Volumen dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir die Volumenformel einer Pyramide anwenden: V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h

Die Grundfläche G ist ja mit G = 49 mm² bereits bekannt.

Die Höhe einer Seitenfläche ist ja mit h_a = 6,1 mm bereits bekannt.

Um h zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundseitenlänge a berechnen:

Die Grundfläche G ist ja mit G = 49 mm² bereits bekannt.

Und da diese Grundfläche ja ein Quadrat mit Seitenlänge a ist, gilt: G = a² oder eben:

a = $\sqrt{G}$ = $\sqrt{49}$ mm = 7 mm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir h suchen, stellen wir nach h um:

h_a² - ( $\frac{1}{2}$ a)² = h²

h² = 6,1² - 3,5² = 37,25 - 12,25 = 25

Also gilt h = $\sqrt{25}$ mm ≈ 5 mm

somit gilt: V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h = $\frac{1}{3}$ ⋅49 mm² ⋅ 5 mm ≈ 81,67 mm³

Bestimmung der Pyramidenhöhe h

Die Pyramidenhöhe h wurde ja bereits oben als h = 5 mm berechnet.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Raumdiagonale

Dreiecke im Quader

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Kanten bei einer Pyramide

Anwendungen Pythagoras

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Bestimmung der Kantenlänge s

Bestimmung der Mantelfläche M

Pyramide (Volumenberechnung)

Bestimmung des Volumen V

Bestimmung der Pyramidenhöhe h