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Raumdiagonale

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 8 m, b = 9 m und c = 3 m.
Berechne die Länge der Raumdiagonale.

Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 8 m und b = 9 m, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² +b² = (8 m)² + (9 m)² = 64 m² + 81 m² = 145 m²

d1 = $\sqrt{145}$ m ≈ 12.042 m

Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{145}$ m)² + (3 m)² = 145 m² + 9 m² = 154 m²

Da d1² = a² +b² gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d² = a² + b² + c² = 64 m² + 81 m² + 9 m² = 154 m²
berechnen.

d = $\sqrt{154}$ m ≈ 12.41 m

Dreiecke im Quader

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 8 cm, b = 7 cm und c = 6 cm.
Berechne den Umfang U und den Flächeninhalt A des abgebildeten (grünen) Dreiecks.

Lösung einblenden

Die Deckendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a= 8 cm und b = 7 cm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² + b² = (8 cm)² + (7 cm)² = 64 cm² + 49 cm² = 113 cm²

d1 = $\sqrt{113}$ cm ≈ 10.63 cm

Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{113}$ cm)² + (6 cm)² = 113 cm² + 36 cm² = 149 cm²

d = $\sqrt{149}$ cm ≈ 12.207 cm

Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + c ≈ 10.63 cm + 12.21 cm + 6 cm ≈ 28.84 cm

Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 6:
A = $\frac{1}{2}$ d1 ⋅c ≈ $\frac{1}{2}$ ⋅10.63 cm⋅ 6 cm ≈ 31.89 cm²

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 7 mm, b = 7 mm, h = 8 mm.
Berechne h_b und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 8² + 3,5 ² = 64 + 12,25 = 76,25

Also gilt h_b = $\sqrt{76.25}$ mm ≈ 8,7 mm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 8,73² + 3,5² = 76,21 + 12,25 = 88

Also gilt s = $\sqrt{88.46}$ mm ≈ 9,4 mm

Kanten bei einer Pyramide

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 4 mm, h_b = 5.4 mm, s = 5.8 mm.
Berechne h und b.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir h suchen, stellen wir nach h um:

h_b² - ( $\frac{1}{2}$ a)² = h²

h² = 5,4² - 2² = 29,16 - 4 = 25,16

Also gilt h = $\sqrt{25.16}$ mm ≈ 5 mm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Weil wir b suchen, stellen wir nach b um:

( $\frac{1}{2}$ b)² = s² - h_b²

( $\frac{1}{2}$ b)² = 5,8² - 5,4² = 33,64 - 29,16 = 4,48

Also gilt $\frac{1}{2}$ b = $\sqrt{4.48}$ mm ≈ 2,12 mm

Somit gilt: b ≈ 4,2 mm

Anwendungen Pythagoras

Beispiel:

Ein Leuchtturm ist 43m über dem Meeresspiegel. Wie weit (in m) könnte von dort aus bei optimalen Sichtverhältnissen maximal aufgrund der Erdkrümmung aufs Meer hinausschauen? Als Erdradius kann man mit 6371km rechnen.

Lösung einblenden

Es gilt:

6371000² + k1² = 6371043²

40589641000000 + k1² = 40590188907849 |-40589641000000

k1² = 547907849 | $\sqrt[]{\cdot}$

k1 ≈ 23407.43

Somit gilt für die gesuchte Kathete:
k1 ≈ 23407.43m

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Oberfläche O = 127,39 cm² und Grundfläche G = 36 cm².
Berechne die Pyramidenhöhe h und die Höhe der Seitenfläche ha.

Lösung einblenden

Bestimmung der Pyramidenhöhe h

Um h zu berechnen, müssen wir zuerst die Seitenhöhe h_a berechnen:

Um h_a zu berechnen, müssen wir zuerst die Mantelfläche M berechnen:

Da sich ja die Oberfläche aus Grundfläche und Mantelfläche zusammensetzt, können wir die Mantelfläche dieser Pyramide einfach als Differenz M = O - G bestimmen:

somit gilt: M = O - G = 127,39 cm² - 36 cm² = 91,39 cm²

h_a ist ja die Höhe der Seitenfläche. Und da die Mantelfläche aus 4 solchen gleichen Seitenflächen besteht und die Mantelfläche M ja mit M = 91,39 cm² bereits bekannt ist, gilt für eine solche Seitenfläche A_S = $\frac{1}{4}$ ⋅ 91,39 cm² = 22.847 cm².

Zum anderen gilt aber auch
A_S =

\frac{1}{2}

a⋅h_a, also: 22.847 cm² =

\frac{1}{2}

a⋅h_a oder eben

h_a = $\frac{2⋅22.85}{a}$

Um h_a zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundseitenlänge a berechnen:

Die Grundfläche G ist ja mit G = 36 cm² bereits bekannt.

Und da diese Grundfläche ja ein Quadrat mit Seitenlänge a ist, gilt: G = a² oder eben:

a = $\sqrt{G}$ = $\sqrt{36}$ cm = 6 cm

somit gilt: h_a = $\frac{45.69}{6}$ cm ≈ 7,62 cm

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 6 cm bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir h suchen, stellen wir nach h um:

h_a² - ( $\frac{1}{2}$ a)² = h²

h² = 7,62² - 3² = 58 - 9 = 49

Also gilt h = $\sqrt{49}$ cm ≈ 7 cm

Bestimmung der Höhe der Seitenfläche ha

Die Höhe der Seitenfläche ha wurde ja bereits oben als ha = 7,62 cm berechnet.

Pyramide (Volumenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Grundfläche G = 81 mm² und Kantenlänge s = 9,46 mm.
Berechne die Grundflächenlänge a und das Volumen V.

Lösung einblenden

Bestimmung der Grundflächenlänge a

Die Grundfläche G ist ja mit G = 81 mm² bereits bekannt.

Und da diese Grundfläche ja ein Quadrat mit Seitenlänge a ist, gilt: G = a² oder eben:

a = $\sqrt{G}$ = $\sqrt{81}$ mm = 9 mm

Bestimmung des Volumen V

Um das Volumen dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir die Volumenformel einer Pyramide anwenden: V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h

Die Grundfläche G ist ja mit G = 81 mm² bereits bekannt.

Um h zu berechnen, müssen wir zuerst die Seitenhöhe h_a berechnen:

Die Grundflächenlänge a ist ja mit a = 9 mm bereits bekannt.

Die Höhe einer Seitenfläche dieser Pyramide bestimmen wir über das rechtwinklige Dreieck der halben Seitenfläche:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir h_a suchen, stellen wir nach h_a um:

s² - ( $\frac{1}{2}$ a)² = h_a ²

h_a² = 9,46² - 4,5² = 89,5 - 20,25 = 69,25

Also gilt h_a = $\sqrt{69.25}$ mm ≈ 8,32 mm

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 9 mm bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir h suchen, stellen wir nach h um:

h_a² - ( $\frac{1}{2}$ a)² = h²

h² = 8,32² - 4,5² = 69,25 - 20,25 = 49

Also gilt h = $\sqrt{49}$ mm ≈ 7 mm

somit gilt: V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h = $\frac{1}{3}$ ⋅81 mm² ⋅ 7 mm ≈ 189 mm³

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Raumdiagonale

Dreiecke im Quader

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Kanten bei einer Pyramide

Anwendungen Pythagoras

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Bestimmung der Pyramidenhöhe h

Bestimmung der Höhe der Seitenfläche ha

Pyramide (Volumenberechnung)

Bestimmung der Grundflächenlänge a

Bestimmung des Volumen V