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Raumdiagonale

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 4 mm, b = 9 mm und c = 8 mm.
Berechne die Länge der Raumdiagonale.

Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 4 mm und b = 9 mm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² +b² = (4 mm)² + (9 mm)² = 16 mm² + 81 mm² = 97 mm²

d1 = $\sqrt{97}$ mm ≈ 9.849 mm

Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{97}$ mm)² + (8 mm)² = 97 mm² + 64 mm² = 161 mm²

Da d1² = a² +b² gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d² = a² + b² + c² = 16 mm² + 81 mm² + 64 mm² = 161 mm²
berechnen.

d = $\sqrt{161}$ mm ≈ 12.689 mm

Dreiecke im Quader

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 9 mm, b = 5 mm und c = 6 mm.
Berechne den Umfang U und den Flächeninhalt A des abgebildeten (grünen) Dreiecks.

Lösung einblenden

Die Seitenwanddiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten b= 5 mm und c = 6 mm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = b² + c² = (5 mm)² + (6 mm)² = 25 mm² + 36 mm² = 61 mm²

d1 = $\sqrt{61}$ mm ≈ 7.81 mm

Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und a, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + a² = ( $\sqrt{61}$ mm)² + (9 mm)² = 61 mm² + 81 mm² = 142 mm²

d = $\sqrt{142}$ mm ≈ 11.916 mm

Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + a ≈ 7.81 mm + 11.92 mm + 9 mm ≈ 28.73 mm

Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 9:
A = $\frac{1}{2}$ d1 ⋅a ≈ $\frac{1}{2}$ ⋅7.81 mm⋅ 9 mm ≈ 35.15 mm²

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 6 cm, b = 6 cm, h = 8 cm.
Berechne h_b und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 8² + 3 ² = 64 + 9 = 73

Also gilt h_b = $\sqrt{73}$ cm ≈ 8,5 cm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 8,54² + 3² = 72,93 + 9 = 82

Also gilt s = $\sqrt{81.93}$ cm ≈ 9 cm

Kanten bei einer Pyramide

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 9 m, b = 9 m, h = 5 m.
Berechne h_b und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 5² + 4,5 ² = 25 + 20,25 = 45,25

Also gilt h_b = $\sqrt{45.25}$ m ≈ 6,7 m

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 6,73² + 4,5² = 45,29 + 20,25 = 66

Also gilt s = $\sqrt{65.54}$ m ≈ 8,1 m

Anwendungen Pythagoras

Beispiel:

Ein Leuchtturm ist 58m über dem Meeresspiegel. Wie weit (in m) könnte von dort aus bei optimalen Sichtverhältnissen maximal aufgrund der Erdkrümmung aufs Meer hinausschauen? Als Erdradius kann man mit 6371km rechnen.

Lösung einblenden

Es gilt:

6371000² + k1² = 6371058²

40589641000000 + k1² = 40590380039364 |-40589641000000

k1² = 739039364 | $\sqrt[]{\cdot}$

k1 ≈ 27185.28

Somit gilt für die gesuchte Kathete:
k1 ≈ 27185.28m

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Kantenlänge s = 5,74 mm und Grundfläche G = 16 mm².
Berechne die Grundflächenlänge a und die Mantelfläche M.

Lösung einblenden

Bestimmung der Grundflächenlänge a

Die Grundfläche G ist ja mit G = 16 mm² bereits bekannt.

Und da diese Grundfläche ja ein Quadrat mit Seitenlänge a ist, gilt: G = a² oder eben:

a = $\sqrt{G}$ = $\sqrt{16}$ mm = 4 mm

Bestimmung der Mantelfläche M

Die Mantelfläche M besteht aus den 4 gleich großen Flächeninhalten der Seitenflächen dieser Pyramide. Diese soll nun berechnet werden:

Wir berechnen die Seitenhöhe h_a:

Die Höhe einer Seitenfläche dieser Pyramide bestimmen wir über das rechtwinklige Dreieck der halben Seitenfläche:

Die Grundflächenlänge a ist ja mit a = 4 mm bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir h_a suchen, stellen wir nach h_a um:

s² - ( $\frac{1}{2}$ a)² = h_a ²

h_a² = 5,74² - 2² = 33 - 4 = 29

Also gilt h_a = $\sqrt{29}$ mm ≈ 5,39 mm

Den Flächeninhalt einer Seitenfläche können wir ja einfach mit der Formel A_S= $\frac{1}{2}$ a⋅h_a berechen:

A_S = $\frac{1}{2}$ ⋅4 mm⋅5,39 mm ≈ 10,77 mm²

Für die Mantelfläche müssen wir nun diese 4 Flächeninhalte noch zusammenzählen:

M = 4⋅10,77 mm² = 43,08 mm²

Pyramide (Volumenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Höhe der Seitenfläche ha = 6,73 cm und Pyramidenhöhe h = 5 cm.
Berechne das Volumen V und die Grundflächenlänge a.

Lösung einblenden

Bestimmung des Volumen V

Um das Volumen dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir die Volumenformel einer Pyramide anwenden: V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h

Um die Grundfläche dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir einfach die Grundflächenlänge a zum Quadrat nehmen:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir a suchen, stellen wir nach a um:

( $\frac{1}{2}$ a)² = h_a² - h²

( $\frac{1}{2}$ a)² = 6,73² - 5² = 45,25 - 25 = 20,25

Also gilt $\frac{1}{2}$ a = $\sqrt{20.25}$ cm ≈ 4,5 cm

Somit gilt: a ≈ 9 cm

somit gilt: G = a² = (9 cm)² = 81 cm²

Die Pyramindehöhe h ist ja mit h = 5 cm² bereits bekannt.

somit gilt: V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h = $\frac{1}{3}$ ⋅81 cm² ⋅ 5 cm ≈ 135 cm³

Bestimmung der Grundflächenlänge a

Die Grundflächenlänge a wurde ja bereits oben als a = 9 cm berechnet.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Raumdiagonale

Dreiecke im Quader

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Kanten bei einer Pyramide

Anwendungen Pythagoras

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Bestimmung der Grundflächenlänge a

Bestimmung der Mantelfläche M

Pyramide (Volumenberechnung)

Bestimmung des Volumen V

Bestimmung der Grundflächenlänge a