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Raumdiagonale

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 5 cm, b = 6 cm und c = 4 cm.
Berechne die Länge der Raumdiagonale.

Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 5 cm und b = 6 cm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² +b² = (5 cm)² + (6 cm)² = 25 cm² + 36 cm² = 61 cm²

d1 = $\sqrt{61}$ cm ≈ 7.81 cm

Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{61}$ cm)² + (4 cm)² = 61 cm² + 16 cm² = 77 cm²

Da d1² = a² +b² gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d² = a² + b² + c² = 25 cm² + 36 cm² + 16 cm² = 77 cm²
berechnen.

d = $\sqrt{77}$ cm ≈ 8.775 cm

Dreiecke im Quader

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 4 mm, b = 9 mm und c = 8 mm.
Berechne den Umfang U und den Flächeninhalt A des abgebildeten (grünen) Dreiecks.

Lösung einblenden

Die Seitenwanddiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten b= 9 mm und c = 8 mm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = b² + c² = (9 mm)² + (8 mm)² = 81 mm² + 64 mm² = 145 mm²

d1 = $\sqrt{145}$ mm ≈ 12.042 mm

Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und a, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + a² = ( $\sqrt{145}$ mm)² + (4 mm)² = 145 mm² + 16 mm² = 161 mm²

d = $\sqrt{161}$ mm ≈ 12.689 mm

Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + a ≈ 12.04 mm + 12.69 mm + 4 mm ≈ 28.73 mm

Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 4:
A = $\frac{1}{2}$ d1 ⋅a ≈ $\frac{1}{2}$ ⋅12.04 mm⋅ 4 mm ≈ 24.08 mm²

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 6 cm, b = 6 cm, h = 5 cm.
Berechne h_b und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 5² + 3 ² = 25 + 9 = 34

Also gilt h_b = $\sqrt{34}$ cm ≈ 5,8 cm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 5,83² + 3² = 33,99 + 9 = 43

Also gilt s = $\sqrt{42.99}$ cm ≈ 6,5 cm

Kanten bei einer Pyramide

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 9 mm, b = 9 mm, s = 8.7 mm.
Berechne h und h_b.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Weil wir h_b suchen, stellen wir nach h_b um:

s² - ( $\frac{1}{2}$ b)² = h_b ²

h_b² = 8,7² - 4,5² = 75,69 - 20,25 = 55,44

Also gilt h_b = $\sqrt{55.44}$ mm ≈ 7,5 mm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir h suchen, stellen wir nach h um:

h_b² - ( $\frac{1}{2}$ a)² = h²

h² = 7,45² - 4,5² = 55,44 - 20,25 = 35,19

Also gilt h = $\sqrt{35.19}$ mm ≈ 5,9 mm

Anwendungen Pythagoras

Beispiel:

Ein 7m hoher Mast wird von der einen Seite mit einem 13m langen Seil und von der gegenüberliegenden Seite mit einem 21m langen Seil abgespannt. Wie weit sind die Verankerungen der Spannseile von einander entfernt?

Lösung einblenden

Im ersten Dreieck gilt:

7² + k1² = 13²

49 + k1² = 169 |-49

k1² = 120 | $\sqrt[]{\cdot}$

k1 ≈ 10.95

Im zweiten Dreieck gilt:

7² + k2² = 21²

49 + k2² = 441 |-49

k2² = 392 | $\sqrt[]{\cdot}$

k2 ≈ 19.8

Beide Strecken zusammen ergeben somit:
d = k1 + k2 ≈ 30.75m

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Pyramidenhöhe h = 5 mm und Höhe der Seitenfläche ha = 5,83 mm.
Berechne die Oberfläche O und die Mantelfläche M.

Lösung einblenden

Bestimmung der Oberfläche O

Um die Oberfläche dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir einfach den Mantel und die Grundfläche addieren:

Die Mantelfläche M besteht aus den 4 gleich großen Flächeninhalten der Seitenflächen dieser Pyramide. Diese soll nun berechnet werden:

Um h_a zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundseitenlänge a berechnen:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir a suchen, stellen wir nach a um:

( $\frac{1}{2}$ a)² = h_a² - h²

( $\frac{1}{2}$ a)² = 5,83² - 5² = 34 - 25 = 9

Also gilt $\frac{1}{2}$ a = $\sqrt{9}$ mm ≈ 3 mm

Somit gilt: a ≈ 6 mm

Den Flächeninhalt einer Seitenfläche können wir ja einfach mit der Formel A_S= $\frac{1}{2}$ a⋅h_a berechen:

A_S = $\frac{1}{2}$ ⋅6 mm⋅5,83 mm ≈ 17,49 mm²

Für die Mantelfläche müssen wir nun diese 4 Flächeninhalte noch zusammenzählen:

M = 4⋅17,49 mm² = 69,97 mm²

Um die Grundfläche dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir einfach die Grundflächenlänge a zum Quadrat nehmen:

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 6 mm bereits bekannt.

somit gilt: G = a² = (6 mm)² = 36 mm²

somit gilt: O = M + G = 69,97 mm² + 36 mm² = 105,97 mm²

Bestimmung der Mantelfläche M

Die Mantelfläche M wurde ja bereits oben als M = 69,97 mm² berechnet.

Pyramide (Volumenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Höhe der Seitenfläche ha = 5,39 m und Pyramidenhöhe h = 5 m.
Berechne die Grundfläche G und die Kantenlänge s.

Lösung einblenden

Bestimmung der Grundfläche G

Um die Grundfläche dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir einfach die Grundflächenlänge a zum Quadrat nehmen:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir a suchen, stellen wir nach a um:

( $\frac{1}{2}$ a)² = h_a² - h²

( $\frac{1}{2}$ a)² = 5,39² - 5² = 29 - 25 = 4

Also gilt $\frac{1}{2}$ a = $\sqrt{4}$ m ≈ 2 m

Somit gilt: a ≈ 4 m

somit gilt: G = a² = (4 m)² = 16 m²

Bestimmung der Kantenlänge s

Die Höhe einer Seitenfläche ist ja mit h_a = 5,39 m bereits bekannt.

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 4 m bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h_a und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 5,39² + 2² = 29 + 4 = 33

Also gilt s = $\sqrt{33}$ m ≈ 5,74 m

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Raumdiagonale

Dreiecke im Quader

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Kanten bei einer Pyramide

Anwendungen Pythagoras

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Bestimmung der Oberfläche O

Bestimmung der Mantelfläche M

Pyramide (Volumenberechnung)

Bestimmung der Grundfläche G

Bestimmung der Kantenlänge s