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Raumdiagonale
Beispiel:
Ein Quader hat die Kantenlängen a = 5 m, b = 2 m und c = 9 m.
Berechne die Länge der Raumdiagonale.
Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 5 m und b = 2 m, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:
d12 = a² +b² = (5 m)2 + (2 m)2 = 25 m² + 4 m² = 29 m²
d1 = m ≈ 5.385 m
Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:
d2 = d1² + c² = ( m)2 + (9 m)2 = 29 m² + 81 m² = 110 m²
Da d12 = a2 +b2 gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d2 = a2 + b2 + c2 = 25 m² + 4 m² +
81 m² = 110 m²
berechnen.
d = m ≈ 10.488 m
Dreiecke im Quader
Beispiel:
Ein Quader hat die Kantenlängen a = 8 m, b = 8 m und c = 6 m.
Berechne den Umfang U und den Flächeninhalt A des abgebildeten (grünen) Dreiecks.
Die Deckendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a= 8 m und b = 8 m, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:
d12 = a² + b² = (8 m)2 + (8 m)2 = 64 m² + 64 m² = 128 m²
d1 = m ≈ 11.314 m
Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:
d2 = d1² + c² = ( m)2 + (6 m)2 = 128 m² + 36 m² = 164 m²
d = m ≈ 12.806 m
Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + c ≈ 11.31 m +
12.81 m + 6 m ≈ 30.12 m
Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 6:
A = d1 ⋅c ≈ ⋅11.31 m⋅
6 m ≈ 33.94 m²
Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts
Beispiel:
Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 7 m, b = 7 m, h = 5 m.
Berechne hb und s.
Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:
Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse hb, einer Kathete h und der anderen Kathete a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:
hb2 = h2 + (a)2
Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:
hb2 = 52 + 3,5 2 = 25 + 12,25 = 37,25
Also gilt hb = m ≈ 6,1 m
Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete hb und der anderen Kathete b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:
s2 = hb2 + (b)2
Da ja hb und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:
s = 6,12 + 3,52 = 37,21 + 12,25 = 49
Also gilt s = m ≈ 7 m
Kanten bei einer Pyramide
Beispiel:
Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 9 m, b = 9 m, h = 6 m.
Berechne hb und s.
Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:
Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse hb, einer Kathete h und der anderen Kathete a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:
hb2 = h2 + (a)2
Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:
hb2 = 62 + 4,5 2 = 36 + 20,25 = 56,25
Also gilt hb = m ≈ 7,5 m
Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete hb und der anderen Kathete b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:
s2 = hb2 + (b)2
Da ja hb und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:
s = 7,52 + 4,52 = 56,25 + 20,25 = 77
Also gilt s = m ≈ 8,7 m
Anwendungen Pythagoras
Beispiel:
Ein 7m hoher Mast wird von der einen Seite mit einem 13m langen Seil und von der gegenüberliegenden Seite mit einem 13m langen Seil abgespannt. Wie weit sind die Verankerungen der Spannseile von einander entfernt?
Im ersten Dreieck gilt:
72 + k12 = 132
49 + k12 = 169 |-49
k12 = 120 |
k1 ≈ 10.95
Im zweiten Dreieck gilt:
72 + k22 = 132
49 + k22 = 169 |-49
k22 = 120 |
k2 ≈ 10.95
Beide Strecken zusammen ergeben somit:
d = k1 + k2 ≈ 21.91m
Pyramide (Oberflächenberechnung)
Beispiel:
Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Grundfläche G = 16 cm² und Mantelfläche M = 58,24 cm².
Berechne die Grundflächenlänge a und die Oberfläche O.
Bestimmung der Grundflächenlänge a
Die Grundfläche G ist ja mit G = 16 cm² bereits bekannt.
Und da diese Grundfläche ja ein Quadrat mit Seitenlänge a ist, gilt: G = a² oder eben:
a = = cm = 4 cm
Bestimmung der Oberfläche O
Um die Oberfläche dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir einfach den Mantel und die Grundfläche addieren:
Die Mantelfläche M ist ja mit M = 58,24 cm² bereits bekannt.
Die Grundfläche G ist ja mit G = 16 cm² bereits bekannt.
somit gilt: O = M + G = 58,24 cm² + 16 cm² = 74,24 cm²
Pyramide (Volumenberechnung)
Beispiel:
Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Grundflächenlänge a = 7 m und Volumen V = 114,33 m.
Berechne die Höhe der Seitenfläche ha und die Pyramidenhöhe h.
Bestimmung der Höhe der Seitenfläche ha
Die Grundflächenlänge a ist ja mit a = 7 m bereits bekannt.
Um ha zu berechnen, müssen wir zuerst die Pyramindenhöhe h berechnen:
Um h zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundseite G berechnen:
Da sich ja das Volumen V = G ⋅ h zusammensetzt, können wir diese Formel nach G umstellen und erhalten
G = :
Das Volumen V ist ja mit V = 114,33 m³ bereits bekannt.
somit gilt: G = = ≈ 49 m²
Da sich ja das Volumen V = G ⋅ h zusammensetzt, können wir diese Formel nach h umstellen und erhalten
h = :
Das Volumen V ist ja mit V = 114,33 m³ bereits bekannt.
somit gilt: h = = ≈ 7 m
Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse ha, einer Kathete h und der anderen Kathete a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:
ha2 = h2 + (a)2
Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:
ha2 = 72 + 3,5 2 = 49 + 12,25 = 61,25
Also gilt ha = m ≈ 7,83 m
Bestimmung der Pyramidenhöhe h
Die Pyramidenhöhe h wurde ja bereits oben als h = 7 m berechnet.