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Raumdiagonale

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 3 cm, b = 7 cm und c = 4 cm.
Berechne die Länge der Raumdiagonale.

Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 3 cm und b = 7 cm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² +b² = (3 cm)² + (7 cm)² = 9 cm² + 49 cm² = 58 cm²

d1 = $\sqrt{58}$ cm ≈ 7.616 cm

Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{58}$ cm)² + (4 cm)² = 58 cm² + 16 cm² = 74 cm²

Da d1² = a² +b² gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d² = a² + b² + c² = 9 cm² + 49 cm² + 16 cm² = 74 cm²
berechnen.

d = $\sqrt{74}$ cm ≈ 8.602 cm

Dreiecke im Quader

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 3 cm, b = 7 cm und c = 2 cm.
Berechne den Umfang U und den Flächeninhalt A des abgebildeten (grünen) Dreiecks.

Lösung einblenden

Die Frontwanddiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a= 3 cm und c = 2 cm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² + c² = (3 cm)² + (2 cm)² = 9 cm² + 4 cm² = 13 cm²

d1 = $\sqrt{13}$ cm ≈ 3.606 cm

Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und b, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + b² = ( $\sqrt{13}$ cm)² + (7 cm)² = 13 cm² + 49 cm² = 62 cm²

d = $\sqrt{62}$ cm ≈ 7.874 cm

Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + b ≈ 3.61 cm + 7.87 cm + 7 cm ≈ 18.48 cm

Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 7:
A = $\frac{1}{2}$ d1 ⋅b ≈ $\frac{1}{2}$ ⋅3.61 cm⋅ 7 cm ≈ 12.62 cm²

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 8 mm, b = 4 mm, h = 7 mm.
Berechne h_b und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 7² + 4 ² = 49 + 16 = 65

Also gilt h_b = $\sqrt{65}$ mm ≈ 8,1 mm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 8,06² + 2² = 64,96 + 4 = 69

Also gilt s = $\sqrt{68.96}$ mm ≈ 8,3 mm

Kanten bei einer Pyramide

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 7 mm, b = 7 mm, h = 7 mm.
Berechne h_b und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 7² + 3,5 ² = 49 + 12,25 = 61,25

Also gilt h_b = $\sqrt{61.25}$ mm ≈ 7,8 mm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 7,83² + 3,5² = 61,31 + 12,25 = 74

Also gilt s = $\sqrt{73.56}$ mm ≈ 8,5 mm

Anwendungen Pythagoras

Beispiel:

Ein Kegel ist 35 cm hoch. Sein Grundkreis hat einen Durchmesser von 20 cm. Wie lang ist die Strecke von einem Punkt auf dem Grundkreis zur Spitze?

Lösung einblenden

Es gilt:

10² + 35² =h²

100 +1225 = h²

1325 = h² | $\sqrt[]{\cdot}$

36.4 ≈ h

Somit gilt für die gesuchte Hypotenuse:
h ≈ 36.4cm

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Mantelfläche M = 58,24 cm² und Grundflächenlänge a = 4 cm.
Berechne die Pyramidenhöhe h und die Kantenlänge s.

Lösung einblenden

Bestimmung der Pyramidenhöhe h

Um h zu berechnen, müssen wir zuerst die Seitenhöhe h_a berechnen:

h_a ist ja die Höhe der Seitenfläche. Und da die Mantelfläche aus 4 solchen gleichen Seitenflächen besteht und die Mantelfläche M ja mit M = 58,24 cm² bereits bekannt ist, gilt für eine solche Seitenfläche A_S = $\frac{1}{4}$ ⋅ 58,24 cm² = 14.56 cm².

Zum anderen gilt aber auch
A_S =

\frac{1}{2}

a⋅h_a, also: 14.56 cm² =

\frac{1}{2}

a⋅h_a oder eben

h_a = $\frac{2⋅14.56}{a}$

Die Grundflächenlänge a ist ja mit a = 4 cm bereits bekannt.

somit gilt: h_a = $\frac{29.12}{4}$ cm ≈ 7,28 cm

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 4 cm bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir h suchen, stellen wir nach h um:

h_a² - ( $\frac{1}{2}$ a)² = h²

h² = 7,28² - 2² = 53 - 4 = 49

Also gilt h = $\sqrt{49}$ cm ≈ 7 cm

Bestimmung der Kantenlänge s

Die Höhe einer Seitenfläche ist ja mit h_a = 7,28 cm bereits bekannt.

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 4 cm bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h_a und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 7,28² + 2² = 53 + 4 = 57

Also gilt s = $\sqrt{57}$ cm ≈ 7,55 cm

Pyramide (Volumenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Höhe der Seitenfläche ha = 7,21 cm und Grundfläche G = 64 cm².
Berechne die Pyramidenhöhe h und das Volumen V.

Lösung einblenden

Bestimmung der Pyramidenhöhe h

Die Höhe einer Seitenfläche ist ja mit h_a = 7,21 cm bereits bekannt.

Um h zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundseitenlänge a berechnen:

Die Grundfläche G ist ja mit G = 64 cm² bereits bekannt.

Und da diese Grundfläche ja ein Quadrat mit Seitenlänge a ist, gilt: G = a² oder eben:

a = $\sqrt{G}$ = $\sqrt{64}$ cm = 8 cm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir h suchen, stellen wir nach h um:

h_a² - ( $\frac{1}{2}$ a)² = h²

h² = 7,21² - 4² = 52 - 16 = 36

Also gilt h = $\sqrt{36}$ cm ≈ 6 cm

Bestimmung des Volumen V

Um das Volumen dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir die Volumenformel einer Pyramide anwenden: V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h

Die Grundfläche G ist ja mit G = 64 cm² bereits bekannt.

Die Pyramindehöhe h ist ja mit h = 6 cm² bereits bekannt.

somit gilt: V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h = $\frac{1}{3}$ ⋅64 cm² ⋅ 6 cm ≈ 128 cm³

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Raumdiagonale

Dreiecke im Quader

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Kanten bei einer Pyramide

Anwendungen Pythagoras

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Bestimmung der Pyramidenhöhe h

Bestimmung der Kantenlänge s

Pyramide (Volumenberechnung)

Bestimmung der Pyramidenhöhe h

Bestimmung des Volumen V