Mathebattle EduRandomtasks

Raumdiagonale

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 5 m, b = 7 m und c = 4 m.
Berechne die Länge der Raumdiagonale.

Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 5 m und b = 7 m, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² +b² = (5 m)² + (7 m)² = 25 m² + 49 m² = 74 m²

d1 = $\sqrt{74}$ m ≈ 8.602 m

Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{74}$ m)² + (4 m)² = 74 m² + 16 m² = 90 m²

Da d1² = a² +b² gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d² = a² + b² + c² = 25 m² + 49 m² + 16 m² = 90 m²
berechnen.

d = $\sqrt{90}$ m ≈ 9.487 m

Dreiecke im Quader

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 4 m, b = 5 m und c = 9 m.
Berechne den Umfang U und den Flächeninhalt A des abgebildeten (grünen) Dreiecks.

Lösung einblenden

Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a= 4 m und b = 5 m, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² + b² = (4 m)² + (5 m)² = 16 m² + 25 m² = 41 m²

d1 = $\sqrt{41}$ m ≈ 6.403 m

Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{41}$ m)² + (9 m)² = 41 m² + 81 m² = 122 m²

d = $\sqrt{122}$ m ≈ 11.045 m

Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + c ≈ 6.4 m + 11.05 m + 9 m ≈ 26.45 m

Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 9:
A = $\frac{1}{2}$ d1 ⋅c ≈ $\frac{1}{2}$ ⋅6.4 m⋅ 9 m ≈ 28.81 m²

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 4 cm, b = 4 cm, h = 5 cm.
Berechne h_b und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 5² + 2 ² = 25 + 4 = 29

Also gilt h_b = $\sqrt{29}$ cm ≈ 5,4 cm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 5,39² + 2² = 29,05 + 4 = 33

Also gilt s = $\sqrt{33.05}$ cm ≈ 5,8 cm

Kanten bei einer Pyramide

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 8 cm, b = 5 cm, h = 7 cm.
Berechne h_b und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 7² + 4 ² = 49 + 16 = 65

Also gilt h_b = $\sqrt{65}$ cm ≈ 8,1 cm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 8,06² + 2,5² = 64,96 + 6,25 = 71

Also gilt s = $\sqrt{71.21}$ cm ≈ 8,5 cm

Anwendungen Pythagoras

Beispiel:

Ein Kegel ist 40 cm hoch. Sein Grundkreis hat einen Durchmesser von 30 cm. Wie lang ist die Strecke von einem Punkt auf dem Grundkreis zur Spitze?

Lösung einblenden

Es gilt:

15² + 40² =h²

225 +1600 = h²

1825 = h² | $\sqrt[]{\cdot}$

42.72 ≈ h

Somit gilt für die gesuchte Hypotenuse:
h ≈ 42.72cm

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Grundflächenlänge a = 5 mm und Oberfläche O = 90 mm².
Berechne die Höhe der Seitenfläche ha und die Grundfläche G.

Lösung einblenden

Bestimmung der Höhe der Seitenfläche ha

Um h_a zu berechnen, müssen wir zuerst die Mantelfläche M berechnen:

Wir berechnen zunächst die Grundfläche G:

Um die Grundfläche dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir einfach die Grundflächenlänge a zum Quadrat nehmen:

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 5 mm bereits bekannt.

somit gilt: G = a² = (5 mm)² = 25 mm²

Da sich ja die Oberfläche aus Grundfläche und Mantelfläche zusammensetzt, können wir die Mantelfläche dieser Pyramide einfach als Differenz M = O - G bestimmen:

somit gilt: M = O - G = 90 mm² - 25 mm² = 65 mm²

h_a ist ja die Höhe der Seitenfläche. Und da die Mantelfläche aus 4 solchen gleichen Seitenflächen besteht und die Mantelfläche M ja mit M = 65 mm² bereits bekannt ist, gilt für eine solche Seitenfläche A_S = $\frac{1}{4}$ ⋅ 65 mm² = 16.25 mm².

Zum anderen gilt aber auch
A_S =

\frac{1}{2}

a⋅h_a, also: 16.25 mm² =

\frac{1}{2}

a⋅h_a oder eben

h_a = $\frac{2⋅16.25}{a}$

Die Grundflächenlänge a ist ja mit a = 5 mm bereits bekannt.

somit gilt: h_a = $\frac{32.5}{5}$ mm ≈ 6,5 mm

Bestimmung der Grundfläche G

Die Grundfläche G wurde ja bereits oben als G = 25 mm² berechnet.

Pyramide (Volumenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Volumen V = 72 mm und Grundflächenlänge a = 6 mm.
Berechne die Höhe der Seitenfläche ha und die Pyramidenhöhe h.

Lösung einblenden

Bestimmung der Höhe der Seitenfläche ha

Die Grundflächenlänge a ist ja mit a = 6 mm bereits bekannt.

Um h_a zu berechnen, müssen wir zuerst die Pyramindenhöhe h berechnen:

Um h zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundseite G berechnen:

Da sich ja das Volumen V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h zusammensetzt, können wir diese Formel nach G umstellen und erhalten
G = $\frac{3⋅V}{h}$ :

Das Volumen V ist ja mit V = 72 mm³ bereits bekannt.

somit gilt: G = $\frac{3⋅V}{h}$ = $\frac{3⋅72 mm³}{6 mm}$ ≈ 36 mm²

Da sich ja das Volumen V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h zusammensetzt, können wir diese Formel nach h umstellen und erhalten
h = $\frac{3⋅V}{G}$ :

Das Volumen V ist ja mit V = 72 mm³ bereits bekannt.

somit gilt: h = $\frac{3⋅V}{G}$ = $\frac{3⋅72 mm³}{36 mm²}$ ≈ 6 mm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_a² = 6² + 3 ² = 36 + 9 = 45

Also gilt h_a = $\sqrt{45}$ mm ≈ 6,71 mm

Bestimmung der Pyramidenhöhe h

Die Pyramidenhöhe h wurde ja bereits oben als h = 6 mm berechnet.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Raumdiagonale

Dreiecke im Quader

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Kanten bei einer Pyramide

Anwendungen Pythagoras

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Bestimmung der Höhe der Seitenfläche ha

Bestimmung der Grundfläche G

Pyramide (Volumenberechnung)

Bestimmung der Höhe der Seitenfläche ha

Bestimmung der Pyramidenhöhe h