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Raumdiagonale

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 3 m, b = 7 m und c = 2 m.
Berechne die Länge der Raumdiagonale.

Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 3 m und b = 7 m, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² +b² = (3 m)² + (7 m)² = 9 m² + 49 m² = 58 m²

d1 = $\sqrt{58}$ m ≈ 7.616 m

Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{58}$ m)² + (2 m)² = 58 m² + 4 m² = 62 m²

Da d1² = a² +b² gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d² = a² + b² + c² = 9 m² + 49 m² + 4 m² = 62 m²
berechnen.

d = $\sqrt{62}$ m ≈ 7.874 m

Dreiecke im Quader

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 9 cm, b = 6 cm und c = 2 cm.
Berechne den Umfang U und den Flächeninhalt A des abgebildeten (grünen) Dreiecks.

Lösung einblenden

Die Frontwanddiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a= 9 cm und c = 2 cm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² + c² = (9 cm)² + (2 cm)² = 81 cm² + 4 cm² = 85 cm²

d1 = $\sqrt{85}$ cm ≈ 9.22 cm

Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und b, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + b² = ( $\sqrt{85}$ cm)² + (6 cm)² = 85 cm² + 36 cm² = 121 cm²

d = $\sqrt{121}$ cm ≈ 11 cm

Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + b ≈ 9.22 cm + 11 cm + 6 cm ≈ 26.22 cm

Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 6:
A = $\frac{1}{2}$ d1 ⋅b ≈ $\frac{1}{2}$ ⋅9.22 cm⋅ 6 cm ≈ 27.66 cm²

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 4 cm, b = 4 cm, h = 5 cm.
Berechne h_b und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 5² + 2 ² = 25 + 4 = 29

Also gilt h_b = $\sqrt{29}$ cm ≈ 5,4 cm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 5,39² + 2² = 29,05 + 4 = 33

Also gilt s = $\sqrt{33.05}$ cm ≈ 5,8 cm

Kanten bei einer Pyramide

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 4 cm, h = 6 cm, s = 6.6 cm.
Berechne h_b und b.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 6² + 2 ² = 36 + 4 = 40

Also gilt h_b = $\sqrt{40}$ cm ≈ 6,3 cm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Weil wir b suchen, stellen wir nach b um:

( $\frac{1}{2}$ b)² = s² - h_b²

( $\frac{1}{2}$ b)² = 6,6² - 6,32² = 43,56 - 39,94 = 3,62

Also gilt $\frac{1}{2}$ b = $\sqrt{3.62}$ cm ≈ 1,9 cm

Somit gilt: b ≈ 3,8 cm

Anwendungen Pythagoras

Beispiel:

Ein Kegel ist 60 cm hoch. Sein Grundkreis hat einen Durchmesser von 20 cm. Wie lang ist die Strecke von einem Punkt auf dem Grundkreis zur Spitze?

Lösung einblenden

Es gilt:

10² + 60² =h²

100 +3600 = h²

3700 = h² | $\sqrt[]{\cdot}$

60.83 ≈ h

Somit gilt für die gesuchte Hypotenuse:
h ≈ 60.83cm

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Grundfläche G = 81 cm² und Pyramidenhöhe h = 6 cm.
Berechne die Mantelfläche M und die Oberfläche O.

Lösung einblenden

Bestimmung der Mantelfläche M

Die Mantelfläche M besteht aus den 4 gleich großen Flächeninhalten der Seitenflächen dieser Pyramide. Diese soll nun berechnet werden:

Bevor wir den Flächeninhalt einer Seite berechnen können, müssen wir zuerst die Grundflächenlänge a berechnen:

Die Grundfläche G ist ja mit G = 81 cm² bereits bekannt.

Und da diese Grundfläche ja ein Quadrat mit Seitenlänge a ist, gilt: G = a² oder eben:

a = $\sqrt{G}$ = $\sqrt{81}$ cm = 9 cm

Wir berechnen die Seitenhöhe h_a:

Die Grundflächenlänge a ist ja mit a = 9 cm bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_a² = 6² + 4,5 ² = 36 + 20,25 = 56,25

Also gilt h_a = $\sqrt{56.25}$ cm ≈ 7,5 cm

Den Flächeninhalt einer Seitenfläche können wir ja einfach mit der Formel A_S= $\frac{1}{2}$ a⋅h_a berechen:

A_S = $\frac{1}{2}$ ⋅9 cm⋅7,5 cm ≈ 33,75 cm²

Für die Mantelfläche müssen wir nun diese 4 Flächeninhalte noch zusammenzählen:

M = 4⋅33,75 cm² = 135 cm²

Bestimmung der Oberfläche O

Um die Oberfläche dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir einfach den Mantel und die Grundfläche addieren:

Die Mantelfläche M ist ja mit M = 135 cm² bereits bekannt.

Die Grundfläche G ist ja mit G = 81 cm² bereits bekannt.

somit gilt: O = M + G = 135 cm² + 81 cm² = 216 cm²

Pyramide (Volumenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Volumen V = 50 mm und Pyramidenhöhe h = 6 mm.
Berechne die Kantenlänge s und die Grundflächenlänge a.

Lösung einblenden

Bestimmung der Kantenlänge s

Um s zu berechnen, müssen wir zuerst die Seitenhöhe h_a berechnen:

Um h_a zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundseitenlänge a berechnen:

Um a zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundfläche G berechnen:

Da sich ja das Volumen V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h zusammensetzt, können wir diese Formel nach G umstellen und erhalten
G = $\frac{3⋅V}{h}$ :

Das Volumen V ist ja mit V = 50 mm³ bereits bekannt.

somit gilt: G = $\frac{3⋅V}{h}$ = $\frac{3⋅50 mm³}{6 mm}$ ≈ 25 mm²

Und da diese Grundfläche ja ein Quadrat mit Seitenlänge a ist, gilt: G = a² oder eben:

a = $\sqrt{G}$ = $\sqrt{25}$ mm = 5 mm

Die Pyramindenhöhe h ist ja mit h = 6 mm bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_a² = 6² + 2,5 ² = 36 + 6,25 = 42,25

Also gilt h_a = $\sqrt{42.25}$ mm ≈ 6,5 mm

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 5 mm bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h_a und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 6,5² + 2,5² = 42,25 + 6,25 = 49

Also gilt s = $\sqrt{48.5}$ mm ≈ 6,96 mm

Bestimmung der Grundflächenlänge a

Die Grundflächenlänge a wurde ja bereits oben als a = 5 mm berechnet.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Raumdiagonale

Dreiecke im Quader

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Kanten bei einer Pyramide

Anwendungen Pythagoras

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Bestimmung der Mantelfläche M

Bestimmung der Oberfläche O

Pyramide (Volumenberechnung)

Bestimmung der Kantenlänge s

Bestimmung der Grundflächenlänge a