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Raumdiagonale

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 3 mm, b = 7 mm und c = 7 mm.
Berechne die Länge der Raumdiagonale.

Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 3 mm und b = 7 mm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² +b² = (3 mm)² + (7 mm)² = 9 mm² + 49 mm² = 58 mm²

d1 = $\sqrt{58}$ mm ≈ 7.616 mm

Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{58}$ mm)² + (7 mm)² = 58 mm² + 49 mm² = 107 mm²

Da d1² = a² +b² gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d² = a² + b² + c² = 9 mm² + 49 mm² + 49 mm² = 107 mm²
berechnen.

d = $\sqrt{107}$ mm ≈ 10.344 mm

Dreiecke im Quader

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 5 mm, b = 6 mm und c = 3 mm.
Berechne den Umfang U und den Flächeninhalt A des abgebildeten (grünen) Dreiecks.

Lösung einblenden

Die Seitenwanddiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten b= 6 mm und c = 3 mm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = b² + c² = (6 mm)² + (3 mm)² = 36 mm² + 9 mm² = 45 mm²

d1 = $\sqrt{45}$ mm ≈ 6.708 mm

Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und a, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + a² = ( $\sqrt{45}$ mm)² + (5 mm)² = 45 mm² + 25 mm² = 70 mm²

d = $\sqrt{70}$ mm ≈ 8.367 mm

Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + a ≈ 6.71 mm + 8.37 mm + 5 mm ≈ 20.07 mm

Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 5:
A = $\frac{1}{2}$ d1 ⋅a ≈ $\frac{1}{2}$ ⋅6.71 mm⋅ 5 mm ≈ 16.77 mm²

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 5 cm, b = 5 cm, h = 6 cm.
Berechne h_b und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 6² + 2,5 ² = 36 + 6,25 = 42,25

Also gilt h_b = $\sqrt{42.25}$ cm ≈ 6,5 cm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 6,5² + 2,5² = 42,25 + 6,25 = 49

Also gilt s = $\sqrt{48.5}$ cm ≈ 7 cm

Kanten bei einer Pyramide

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 8 m, h_b = 8.1 m, s = 9 m.
Berechne h und b.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir h suchen, stellen wir nach h um:

h_b² - ( $\frac{1}{2}$ a)² = h²

h² = 8,1² - 4² = 65,61 - 16 = 49,61

Also gilt h = $\sqrt{49.61}$ m ≈ 7 m

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Weil wir b suchen, stellen wir nach b um:

( $\frac{1}{2}$ b)² = s² - h_b²

( $\frac{1}{2}$ b)² = 9² - 8,1² = 81 - 65,61 = 15,39

Also gilt $\frac{1}{2}$ b = $\sqrt{15.39}$ m ≈ 3,93 m

Somit gilt: b ≈ 7,9 m

Anwendungen Pythagoras

Beispiel:

Ein Haus hat eine Gesamthöhe von 11,5m. Die (fünfeckigen) Stirnseiten sind 8m breit. Die rechteckigen Seitenflächen sind 15m lang und vom Boden bis zur Dachkante 9m hoch. Berechne die Fläche des Hausdachs.

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Es gilt:

2.5² + 4² =h²

6.25 +16 = h²

22.25 = h² | $\sqrt[]{\cdot}$

4.72 ≈ h

Um die gesuchte Fläche zu berechnen, muss nun zunächst diese Hypotenuse mit 15m multipliziert werden.

Somit erhalten wir für eine Hälfte der gesuchten Fläche: A_H ≈ 70.75m²

Für die Gesamtfläche gilt dann:
A ≈ 141.51m²

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Grundflächenlänge a = 5 m und Pyramidenhöhe h = 6 m.
Berechne die Grundfläche G und die Mantelfläche M.

Lösung einblenden

Bestimmung der Grundfläche G

Um die Grundfläche dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir einfach die Grundflächenlänge a zum Quadrat nehmen:

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 5 m bereits bekannt.

somit gilt: G = a² = (5 m)² = 25 m²

Bestimmung der Mantelfläche M

Die Mantelfläche M besteht aus den 4 gleich großen Flächeninhalten der Seitenflächen dieser Pyramide. Diese soll nun berechnet werden:

Wir berechnen die Seitenhöhe h_a:

Die Grundflächenlänge a ist ja mit a = 5 m bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_a² = 6² + 2,5 ² = 36 + 6,25 = 42,25

Also gilt h_a = $\sqrt{42.25}$ m ≈ 6,5 m

Den Flächeninhalt einer Seitenfläche können wir ja einfach mit der Formel A_S= $\frac{1}{2}$ a⋅h_a berechen:

A_S = $\frac{1}{2}$ ⋅5 m⋅6,5 m ≈ 16,25 m²

Für die Mantelfläche müssen wir nun diese 4 Flächeninhalte noch zusammenzählen:

M = 4⋅16,25 m² = 65 m²

Pyramide (Volumenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Volumen V = 58,33 mm und Grundflächenlänge a = 5 mm.
Berechne die Höhe der Seitenfläche ha und die Pyramidenhöhe h.

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Bestimmung der Höhe der Seitenfläche ha

Die Grundflächenlänge a ist ja mit a = 5 mm bereits bekannt.

Um h_a zu berechnen, müssen wir zuerst die Pyramindenhöhe h berechnen:

Um h zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundseite G berechnen:

Da sich ja das Volumen V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h zusammensetzt, können wir diese Formel nach G umstellen und erhalten
G = $\frac{3⋅V}{h}$ :

Das Volumen V ist ja mit V = 58,33 mm³ bereits bekannt.

somit gilt: G = $\frac{3⋅V}{h}$ = $\frac{3⋅58,33 mm³}{7 mm}$ ≈ 25 mm²

Da sich ja das Volumen V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h zusammensetzt, können wir diese Formel nach h umstellen und erhalten
h = $\frac{3⋅V}{G}$ :

Das Volumen V ist ja mit V = 58,33 mm³ bereits bekannt.

somit gilt: h = $\frac{3⋅V}{G}$ = $\frac{3⋅58,33 mm³}{25 mm²}$ ≈ 7 mm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_a² = 7² + 2,5 ² = 49 + 6,25 = 55,25

Also gilt h_a = $\sqrt{55.25}$ mm ≈ 7,43 mm

Bestimmung der Pyramidenhöhe h

Die Pyramidenhöhe h wurde ja bereits oben als h = 7 mm berechnet.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Raumdiagonale

Dreiecke im Quader

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Kanten bei einer Pyramide

Anwendungen Pythagoras

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Bestimmung der Grundfläche G

Bestimmung der Mantelfläche M

Pyramide (Volumenberechnung)

Bestimmung der Höhe der Seitenfläche ha

Bestimmung der Pyramidenhöhe h