Mathebattle EduRandomtasks

Raumdiagonale

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 4 m, b = 3 m und c = 3 m.
Berechne die Länge der Raumdiagonale.

Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 4 m und b = 3 m, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² +b² = (4 m)² + (3 m)² = 16 m² + 9 m² = 25 m²

d1 = $\sqrt{25}$ m ≈ 5 m

Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{25}$ m)² + (3 m)² = 25 m² + 9 m² = 34 m²

Da d1² = a² +b² gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d² = a² + b² + c² = 16 m² + 9 m² + 9 m² = 34 m²
berechnen.

d = $\sqrt{34}$ m ≈ 5.831 m

Dreiecke im Quader

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 8 cm, b = 8 cm und c = 5 cm.
Berechne den Umfang U und den Flächeninhalt A des abgebildeten (grünen) Dreiecks.

Lösung einblenden

Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a= 8 cm und b = 8 cm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² + b² = (8 cm)² + (8 cm)² = 64 cm² + 64 cm² = 128 cm²

d1 = $\sqrt{128}$ cm ≈ 11.314 cm

Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{128}$ cm)² + (5 cm)² = 128 cm² + 25 cm² = 153 cm²

d = $\sqrt{153}$ cm ≈ 12.369 cm

Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + c ≈ 11.31 cm + 12.37 cm + 5 cm ≈ 28.68 cm

Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 5:
A = $\frac{1}{2}$ d1 ⋅c ≈ $\frac{1}{2}$ ⋅11.31 cm⋅ 5 cm ≈ 28.28 cm²

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 9 mm, b = 5 mm, h = 6 mm.
Berechne h_b und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 6² + 4,5 ² = 36 + 20,25 = 56,25

Also gilt h_b = $\sqrt{56.25}$ mm ≈ 7,5 mm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 7,5² + 2,5² = 56,25 + 6,25 = 63

Also gilt s = $\sqrt{62.5}$ mm ≈ 7,9 mm

Kanten bei einer Pyramide

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 8 m, b = 8 m, h = 7 m.
Berechne h_b und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 7² + 4 ² = 49 + 16 = 65

Also gilt h_b = $\sqrt{65}$ m ≈ 8,1 m

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 8,06² + 4² = 64,96 + 16 = 81

Also gilt s = $\sqrt{80.96}$ m ≈ 9 m

Anwendungen Pythagoras

Beispiel:

Ein Kegel ist 50 cm hoch. Sein Grundkreis hat einen Durchmesser von 70 cm. Wie lang ist die Strecke von einem Punkt auf dem Grundkreis zur Spitze?

Lösung einblenden

Es gilt:

35² + 50² =h²

1225 +2500 = h²

3725 = h² | $\sqrt[]{\cdot}$

61.03 ≈ h

Somit gilt für die gesuchte Hypotenuse:
h ≈ 61.03cm

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Grundfläche G = 49 mm² und Mantelfläche M = 85,45 mm².
Berechne die Grundflächenlänge a und die Höhe der Seitenfläche ha.

Lösung einblenden

Bestimmung der Grundflächenlänge a

Die Grundfläche G ist ja mit G = 49 mm² bereits bekannt.

Und da diese Grundfläche ja ein Quadrat mit Seitenlänge a ist, gilt: G = a² oder eben:

a = $\sqrt{G}$ = $\sqrt{49}$ mm = 7 mm

Bestimmung der Höhe der Seitenfläche ha

h_a ist ja die Höhe der Seitenfläche. Und da die Mantelfläche aus 4 solchen gleichen Seitenflächen besteht und die Mantelfläche M ja mit M = 85,45 mm² bereits bekannt ist, gilt für eine solche Seitenfläche A_S = $\frac{1}{4}$ ⋅ 85,45 mm² = 21.361 mm².

Zum anderen gilt aber auch
A_S =

\frac{1}{2}

a⋅h_a, also: 21.361 mm² =

\frac{1}{2}

a⋅h_a oder eben

h_a = $\frac{2⋅21.36}{a}$

Die Grundflächenlänge a ist ja mit a = 7 mm bereits bekannt.

somit gilt: h_a = $\frac{42.72}{7}$ mm ≈ 6,1 mm

Pyramide (Volumenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Höhe der Seitenfläche ha = 7,21 mm und Kantenlänge s = 8,25 mm.
Berechne die Grundflächenlänge a und die Grundfläche G.

Lösung einblenden

Bestimmung der Grundflächenlänge a

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir a suchen, stellen wir nach a um:

( $\frac{1}{2}$ a)² = s² - h_a²

( $\frac{1}{2}$ a)² = 8,25² - 7,21² = 68 - 52 = 16

Also gilt $\frac{1}{2}$ a = $\sqrt{16}$ mm ≈ 4 mm

Somit gilt: a ≈ 8 mm

Bestimmung der Grundfläche G

Um die Grundfläche dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir einfach die Grundflächenlänge a zum Quadrat nehmen:

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 8 mm bereits bekannt.

somit gilt: G = a² = (8 mm)² = 64 mm²

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Raumdiagonale

Dreiecke im Quader

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Kanten bei einer Pyramide

Anwendungen Pythagoras

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Bestimmung der Grundflächenlänge a

Bestimmung der Höhe der Seitenfläche ha

Pyramide (Volumenberechnung)

Bestimmung der Grundflächenlänge a

Bestimmung der Grundfläche G