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Raumdiagonale

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 7 cm, b = 8 cm und c = 2 cm.
Berechne die Länge der Raumdiagonale.

Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 7 cm und b = 8 cm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² +b² = (7 cm)² + (8 cm)² = 49 cm² + 64 cm² = 113 cm²

d1 = $\sqrt{113}$ cm ≈ 10.63 cm

Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{113}$ cm)² + (2 cm)² = 113 cm² + 4 cm² = 117 cm²

Da d1² = a² +b² gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d² = a² + b² + c² = 49 cm² + 64 cm² + 4 cm² = 117 cm²
berechnen.

d = $\sqrt{117}$ cm ≈ 10.817 cm

Dreiecke im Quader

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 9 mm, b = 8 mm und c = 6 mm.
Berechne den Umfang U und den Flächeninhalt A des abgebildeten (grünen) Dreiecks.

Lösung einblenden

Die Seitenwanddiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten b= 8 mm und c = 6 mm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = b² + c² = (8 mm)² + (6 mm)² = 64 mm² + 36 mm² = 100 mm²

d1 = $\sqrt{100}$ mm ≈ 10 mm

Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und a, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + a² = ( $\sqrt{100}$ mm)² + (9 mm)² = 100 mm² + 81 mm² = 181 mm²

d = $\sqrt{181}$ mm ≈ 13.454 mm

Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + a ≈ 10 mm + 13.45 mm + 9 mm ≈ 32.45 mm

Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 9:
A = $\frac{1}{2}$ d1 ⋅a ≈ $\frac{1}{2}$ ⋅10 mm⋅ 9 mm ≈ 45 mm²

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 5 cm, b = 5 cm, h = 8 cm.
Berechne h_b und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 8² + 2,5 ² = 64 + 6,25 = 70,25

Also gilt h_b = $\sqrt{70.25}$ cm ≈ 8,4 cm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 8,38² + 2,5² = 70,22 + 6,25 = 76

Also gilt s = $\sqrt{76.47}$ cm ≈ 8,8 cm

Kanten bei einer Pyramide

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: b = 5 m, h = 8 m, s = 8.8 m.
Berechne a und h_b.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Weil wir h_b suchen, stellen wir nach h_b um:

s² - ( $\frac{1}{2}$ b)² = h_b ²

h_b² = 8,8² - 2,5² = 77,44 - 6,25 = 71,19

Also gilt h_b = $\sqrt{71.19}$ m ≈ 8,4 m

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir a suchen, stellen wir nach a um:

( $\frac{1}{2}$ a)² = h_b² - h²

( $\frac{1}{2}$ a)² = 8,44² - 8² = 71,19 - 64 = 7,19

Also gilt $\frac{1}{2}$ a = $\sqrt{7.19}$ m ≈ 2,7 m

Somit gilt: a ≈ 5,4 m

Anwendungen Pythagoras

Beispiel:

Ein 7m hoher Mast wird von der einen Seite mit einem 11m langen Seil und von der gegenüberliegenden Seite mit einem 22m langen Seil abgespannt. Wie weit sind die Verankerungen der Spannseile von einander entfernt?

Lösung einblenden

Im ersten Dreieck gilt:

7² + k1² = 11²

49 + k1² = 121 |-49

k1² = 72 | $\sqrt[]{\cdot}$

k1 ≈ 8.49

Im zweiten Dreieck gilt:

7² + k2² = 22²

49 + k2² = 484 |-49

k2² = 435 | $\sqrt[]{\cdot}$

k2 ≈ 20.86

Beide Strecken zusammen ergeben somit:
d = k1 + k2 ≈ 29.34m

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Oberfläche O = 246,22 mm² und Grundflächenlänge a = 9 mm.
Berechne die Grundfläche G und die Höhe der Seitenfläche ha.

Lösung einblenden

Bestimmung der Grundfläche G

Um die Grundfläche dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir einfach die Grundflächenlänge a zum Quadrat nehmen:

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 9 mm bereits bekannt.

somit gilt: G = a² = (9 mm)² = 81 mm²

Bestimmung der Höhe der Seitenfläche ha

Um h_a zu berechnen, müssen wir zuerst die Mantelfläche M berechnen:

Da sich ja die Oberfläche aus Grundfläche und Mantelfläche zusammensetzt, können wir die Mantelfläche dieser Pyramide einfach als Differenz M = O - G bestimmen:

somit gilt: M = O - G = 246,22 mm² - 81 mm² = 165,22 mm²

h_a ist ja die Höhe der Seitenfläche. Und da die Mantelfläche aus 4 solchen gleichen Seitenflächen besteht und die Mantelfläche M ja mit M = 165,22 mm² bereits bekannt ist, gilt für eine solche Seitenfläche A_S = $\frac{1}{4}$ ⋅ 165,22 mm² = 41.305 mm².

Zum anderen gilt aber auch
A_S =

\frac{1}{2}

a⋅h_a, also: 41.305 mm² =

\frac{1}{2}

a⋅h_a oder eben

h_a = $\frac{2⋅41.3}{a}$

Die Grundflächenlänge a ist ja mit a = 9 mm bereits bekannt.

somit gilt: h_a = $\frac{82.61}{9}$ mm ≈ 9,18 mm

Pyramide (Volumenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Pyramidenhöhe h = 5 mm und Höhe der Seitenfläche ha = 6,73 mm.
Berechne die Kantenlänge s und die Grundfläche G.

Lösung einblenden

Bestimmung der Kantenlänge s

Die Höhe einer Seitenfläche ist ja mit h_a = 6,73 mm bereits bekannt.

Um s zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundseitenlänge a berechnen:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir a suchen, stellen wir nach a um:

( $\frac{1}{2}$ a)² = h_a² - h²

( $\frac{1}{2}$ a)² = 6,73² - 5² = 45,25 - 25 = 20,25

Also gilt $\frac{1}{2}$ a = $\sqrt{20.25}$ mm ≈ 4,5 mm

Somit gilt: a ≈ 9 mm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h_a und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 6,73² + 4,5² = 45,25 + 20,25 = 66

Also gilt s = $\sqrt{65.5}$ mm ≈ 8,09 mm

Bestimmung der Grundfläche G

Um die Grundfläche dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir einfach die Grundflächenlänge a zum Quadrat nehmen:

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 9 mm bereits bekannt.

somit gilt: G = a² = (9 mm)² = 81 mm²

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Raumdiagonale

Dreiecke im Quader

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Kanten bei einer Pyramide

Anwendungen Pythagoras

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Bestimmung der Grundfläche G

Bestimmung der Höhe der Seitenfläche ha

Pyramide (Volumenberechnung)

Bestimmung der Kantenlänge s

Bestimmung der Grundfläche G