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Raumdiagonale

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 4 m, b = 2 m und c = 2 m.
Berechne die Länge der Raumdiagonale.

Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 4 m und b = 2 m, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² +b² = (4 m)² + (2 m)² = 16 m² + 4 m² = 20 m²

d1 = $\sqrt{20}$ m ≈ 4.472 m

Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{20}$ m)² + (2 m)² = 20 m² + 4 m² = 24 m²

Da d1² = a² +b² gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d² = a² + b² + c² = 16 m² + 4 m² + 4 m² = 24 m²
berechnen.

d = $\sqrt{24}$ m ≈ 4.899 m

Dreiecke im Quader

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 4 cm, b = 6 cm und c = 2 cm.
Berechne den Umfang U und den Flächeninhalt A des abgebildeten (grünen) Dreiecks.

Lösung einblenden

Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a= 4 cm und b = 6 cm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² + b² = (4 cm)² + (6 cm)² = 16 cm² + 36 cm² = 52 cm²

d1 = $\sqrt{52}$ cm ≈ 7.211 cm

Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{52}$ cm)² + (2 cm)² = 52 cm² + 4 cm² = 56 cm²

d = $\sqrt{56}$ cm ≈ 7.483 cm

Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + c ≈ 7.21 cm + 7.48 cm + 2 cm ≈ 16.69 cm

Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 2:
A = $\frac{1}{2}$ d1 ⋅c ≈ $\frac{1}{2}$ ⋅7.21 cm⋅ 2 cm ≈ 7.21 cm²

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 7 mm, b = 7 mm, h = 7 mm.
Berechne h_b und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 7² + 3,5 ² = 49 + 12,25 = 61,25

Also gilt h_b = $\sqrt{61.25}$ mm ≈ 7,8 mm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 7,83² + 3,5² = 61,31 + 12,25 = 74

Also gilt s = $\sqrt{73.56}$ mm ≈ 8,5 mm

Kanten bei einer Pyramide

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 5 cm, b = 5 cm, h = 7 cm.
Berechne h_b und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 7² + 2,5 ² = 49 + 6,25 = 55,25

Also gilt h_b = $\sqrt{55.25}$ cm ≈ 7,4 cm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 7,43² + 2,5² = 55,2 + 6,25 = 61

Also gilt s = $\sqrt{61.45}$ cm ≈ 7,8 cm

Anwendungen Pythagoras

Beispiel:

Ein 6m hoher Mast wird von der einen Seite mit einem 7m langen Seil und von der gegenüberliegenden Seite mit einem 24m langen Seil abgespannt. Wie weit sind die Verankerungen der Spannseile von einander entfernt?

Lösung einblenden

Im ersten Dreieck gilt:

6² + k1² = 7²

36 + k1² = 49 |-36

k1² = 13 | $\sqrt[]{\cdot}$

k1 ≈ 3.61

Im zweiten Dreieck gilt:

6² + k2² = 24²

36 + k2² = 576 |-36

k2² = 540 | $\sqrt[]{\cdot}$

k2 ≈ 23.24

Beide Strecken zusammen ergeben somit:
d = k1 + k2 ≈ 26.84m

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Grundflächenlänge a = 8 mm und Kantenlänge s = 7,55 mm.
Berechne die Oberfläche O und die Grundfläche G.

Lösung einblenden

Bestimmung der Oberfläche O

Um die Oberfläche dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir einfach den Mantel und die Grundfläche addieren:

Die Mantelfläche M besteht aus den 4 gleich großen Flächeninhalten der Seitenflächen dieser Pyramide. Diese soll nun berechnet werden:

Wir berechnen die Seitenhöhe h_a:

Die Höhe einer Seitenfläche dieser Pyramide bestimmen wir über das rechtwinklige Dreieck der halben Seitenfläche:

Die Grundflächenlänge a ist ja mit a = 8 mm bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir h_a suchen, stellen wir nach h_a um:

s² - ( $\frac{1}{2}$ a)² = h_a ²

h_a² = 7,55² - 4² = 57 - 16 = 41

Also gilt h_a = $\sqrt{41}$ mm ≈ 6,4 mm

Den Flächeninhalt einer Seitenfläche können wir ja einfach mit der Formel A_S= $\frac{1}{2}$ a⋅h_a berechen:

A_S = $\frac{1}{2}$ ⋅8 mm⋅6,4 mm ≈ 25,61 mm²

Für die Mantelfläche müssen wir nun diese 4 Flächeninhalte noch zusammenzählen:

M = 4⋅25,61 mm² = 102,45 mm²

Um die Grundfläche dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir einfach die Grundflächenlänge a zum Quadrat nehmen:

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 8 mm bereits bekannt.

somit gilt: G = a² = (8 mm)² = 64 mm²

somit gilt: O = M + G = 102,45 mm² + 64 mm² = 166,45 mm²

Bestimmung der Grundfläche G

Die Grundfläche G wurde ja bereits oben als G = 64 mm² berechnet.

Pyramide (Volumenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Volumen V = 189 mm und Pyramidenhöhe h = 7 mm.
Berechne die Grundflächenlänge a und die Kantenlänge s.

Lösung einblenden

Bestimmung der Grundflächenlänge a

Um a zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundfläche G berechnen:

Da sich ja das Volumen V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h zusammensetzt, können wir diese Formel nach G umstellen und erhalten
G = $\frac{3⋅V}{h}$ :

Das Volumen V ist ja mit V = 189 mm³ bereits bekannt.

somit gilt: G = $\frac{3⋅V}{h}$ = $\frac{3⋅189 mm³}{7 mm}$ ≈ 81 mm²

Und da diese Grundfläche ja ein Quadrat mit Seitenlänge a ist, gilt: G = a² oder eben:

a = $\sqrt{G}$ = $\sqrt{81}$ mm = 9 mm

Bestimmung der Kantenlänge s

Um s zu berechnen, müssen wir zuerst die Seitenhöhe h_a berechnen:

Die Grundflächenlänge a ist ja mit a = 9 mm bereits bekannt.

Die Pyramindenhöhe h ist ja mit h = 7 mm bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_a² = 7² + 4,5 ² = 49 + 20,25 = 69,25

Also gilt h_a = $\sqrt{69.25}$ mm ≈ 8,32 mm

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 9 mm bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h_a und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 8,32² + 4,5² = 69,22 + 20,25 = 89

Also gilt s = $\sqrt{89.47}$ mm ≈ 9,46 mm

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Raumdiagonale

Dreiecke im Quader

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Kanten bei einer Pyramide

Anwendungen Pythagoras

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Bestimmung der Oberfläche O

Bestimmung der Grundfläche G

Pyramide (Volumenberechnung)

Bestimmung der Grundflächenlänge a

Bestimmung der Kantenlänge s