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Raumdiagonale

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 5 mm, b = 8 mm und c = 8 mm.
Berechne die Länge der Raumdiagonale.

Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 5 mm und b = 8 mm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² +b² = (5 mm)² + (8 mm)² = 25 mm² + 64 mm² = 89 mm²

d1 = $\sqrt{89}$ mm ≈ 9.434 mm

Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{89}$ mm)² + (8 mm)² = 89 mm² + 64 mm² = 153 mm²

Da d1² = a² +b² gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d² = a² + b² + c² = 25 mm² + 64 mm² + 64 mm² = 153 mm²
berechnen.

d = $\sqrt{153}$ mm ≈ 12.369 mm

Dreiecke im Quader

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 4 cm, b = 4 cm und c = 7 cm.
Berechne den Umfang U und den Flächeninhalt A des abgebildeten (grünen) Dreiecks.

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Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a= 4 cm und b = 4 cm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² + b² = (4 cm)² + (4 cm)² = 16 cm² + 16 cm² = 32 cm²

d1 = $\sqrt{32}$ cm ≈ 5.657 cm

Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{32}$ cm)² + (7 cm)² = 32 cm² + 49 cm² = 81 cm²

d = $\sqrt{81}$ cm ≈ 9 cm

Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + c ≈ 5.66 cm + 9 cm + 7 cm ≈ 21.66 cm

Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 7:
A = $\frac{1}{2}$ d1 ⋅c ≈ $\frac{1}{2}$ ⋅5.66 cm⋅ 7 cm ≈ 19.8 cm²

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 8 m, b = 7 m, h = 8 m.
Berechne h_b und s.

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Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 8² + 4 ² = 64 + 16 = 80

Also gilt h_b = $\sqrt{80}$ m ≈ 8,9 m

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 8,94² + 3,5² = 79,92 + 12,25 = 92

Also gilt s = $\sqrt{92.17}$ m ≈ 9,6 m

Kanten bei einer Pyramide

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 6 m, h = 8 m, s = 9 m.
Berechne h_b und b.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 8² + 3 ² = 64 + 9 = 73

Also gilt h_b = $\sqrt{73}$ m ≈ 8,5 m

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Weil wir b suchen, stellen wir nach b um:

( $\frac{1}{2}$ b)² = s² - h_b²

( $\frac{1}{2}$ b)² = 9² - 8,54² = 81 - 72,93 = 8,07

Also gilt $\frac{1}{2}$ b = $\sqrt{8.07}$ m ≈ 2,84 m

Somit gilt: b ≈ 5,7 m

Anwendungen Pythagoras

Beispiel:

Ein Haus hat eine Gesamthöhe von 8,5m. Die (fünfeckigen) Stirnseiten sind 6m breit. Die rechteckigen Seitenflächen sind 7m lang und vom Boden bis zur Dachkante 6m hoch. Berechne die Fläche des Hausdachs.

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Es gilt:

2.5² + 3² =h²

6.25 +9 = h²

15.25 = h² | $\sqrt[]{\cdot}$

3.91 ≈ h

Um die gesuchte Fläche zu berechnen, muss nun zunächst diese Hypotenuse mit 7m multipliziert werden.

Somit erhalten wir für eine Hälfte der gesuchten Fläche: A_H ≈ 27.34m²

Für die Gesamtfläche gilt dann:
A ≈ 54.67m²

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Mantelfläche M = 43,08 m² und Oberfläche O = 59,08 m².
Berechne die Kantenlänge s und die Höhe der Seitenfläche ha.

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Bestimmung der Kantenlänge s

Um s zu berechnen, müssen wir zuerst die Seitenhöhe h_a berechnen:

h_a ist ja die Höhe der Seitenfläche. Und da die Mantelfläche aus 4 solchen gleichen Seitenflächen besteht und die Mantelfläche M ja mit M = 43,08 m² bereits bekannt ist, gilt für eine solche Seitenfläche A_S = $\frac{1}{4}$ ⋅ 43,08 m² = 10.77 m².

Zum anderen gilt aber auch
A_S =

\frac{1}{2}

a⋅h_a, also: 10.77 m² =

\frac{1}{2}

a⋅h_a oder eben

h_a = $\frac{2⋅10.77}{a}$

Um h_a zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundseitenlänge a berechnen:

Um a zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundfläche G berechnen:

Da sich ja die Oberfläche aus Grundfläche und Mantelfläche zusammensetzt, können wir die Grundfläche dieser Pyramide einfach als Differenz G = O - M bestimmen:

Die Mantelfläche M ist ja mit M = 43,08 m² bereits bekannt.

Die Oberfläche O ist ja mit O = 59,08 m² bereits bekannt.

somit gilt: G = O - M = 59,08 m² - 43,08 m² = 16 m²

Und da diese Grundfläche ja ein Quadrat mit Seitenlänge a ist, gilt: G = a² oder eben:

a = $\sqrt{G}$ = $\sqrt{16}$ m = 4 m

somit gilt: h_a = $\frac{21.54}{4}$ m ≈ 5,39 m

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 4 m bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h_a und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 5,39² + 2² = 29 + 4 = 4

Also gilt s = $\sqrt{4}$ m ≈ 5,74 m

Bestimmung der Höhe der Seitenfläche ha

Die Höhe der Seitenfläche ha wurde ja bereits oben als ha = 5,39 m berechnet.

Pyramide (Volumenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Kantenlänge s = 10,22 m und Höhe der Seitenfläche ha = 9,18 m.
Berechne die Pyramidenhöhe h und das Volumen V.

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Bestimmung der Pyramidenhöhe h

Die Höhe einer Seitenfläche ist ja mit h_a = 9,18 m bereits bekannt.

Um h zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundseitenlänge a berechnen:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir a suchen, stellen wir nach a um:

( $\frac{1}{2}$ a)² = s² - h_a²

( $\frac{1}{2}$ a)² = 10,22² - 9,18² = 104,5 - 84,25 = 20,25

Also gilt $\frac{1}{2}$ a = $\sqrt{20.25}$ m ≈ 4,5 m

Somit gilt: a ≈ 9 m

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir h suchen, stellen wir nach h um:

h_a² - ( $\frac{1}{2}$ a)² = h²

h² = 9,18² - 4,5² = 84,25 - 20,25 = 64

Also gilt h = $\sqrt{64}$ m ≈ 8 m

Bestimmung des Volumen V

Um das Volumen dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir die Volumenformel einer Pyramide anwenden: V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h

Um die Grundfläche dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir einfach die Grundflächenlänge a zum Quadrat nehmen:

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 9 m bereits bekannt.

somit gilt: G = a² = (9 m)² = 81 m²

Die Pyramindehöhe h ist ja mit h = 8 m² bereits bekannt.

somit gilt: V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h = $\frac{1}{3}$ ⋅81 m² ⋅ 8 m ≈ 216 m³

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Raumdiagonale

Dreiecke im Quader

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Kanten bei einer Pyramide

Anwendungen Pythagoras

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Bestimmung der Kantenlänge s

Bestimmung der Höhe der Seitenfläche ha

Pyramide (Volumenberechnung)

Bestimmung der Pyramidenhöhe h

Bestimmung des Volumen V