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Raumdiagonale

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 2 m, b = 7 m und c = 9 m.
Berechne die Länge der Raumdiagonale.

Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 2 m und b = 7 m, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² +b² = (2 m)² + (7 m)² = 4 m² + 49 m² = 53 m²

d1 = $\sqrt{53}$ m ≈ 7.28 m

Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{53}$ m)² + (9 m)² = 53 m² + 81 m² = 134 m²

Da d1² = a² +b² gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d² = a² + b² + c² = 4 m² + 49 m² + 81 m² = 134 m²
berechnen.

d = $\sqrt{134}$ m ≈ 11.576 m

Dreiecke im Quader

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 3 cm, b = 2 cm und c = 8 cm.
Berechne den Umfang U und den Flächeninhalt A des abgebildeten (grünen) Dreiecks.

Lösung einblenden

Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a= 3 cm und b = 2 cm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² + b² = (3 cm)² + (2 cm)² = 9 cm² + 4 cm² = 13 cm²

d1 = $\sqrt{13}$ cm ≈ 3.606 cm

Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{13}$ cm)² + (8 cm)² = 13 cm² + 64 cm² = 77 cm²

d = $\sqrt{77}$ cm ≈ 8.775 cm

Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + c ≈ 3.61 cm + 8.77 cm + 8 cm ≈ 20.38 cm

Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 8:
A = $\frac{1}{2}$ d1 ⋅c ≈ $\frac{1}{2}$ ⋅3.61 cm⋅ 8 cm ≈ 14.42 cm²

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 9 mm, b = 9 mm, h = 5 mm.
Berechne h_b und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 5² + 4,5 ² = 25 + 20,25 = 45,25

Also gilt h_b = $\sqrt{45.25}$ mm ≈ 6,7 mm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 6,73² + 4,5² = 45,29 + 20,25 = 66

Also gilt s = $\sqrt{65.54}$ mm ≈ 8,1 mm

Kanten bei einer Pyramide

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 6 mm, b = 5 mm, s = 8.9 mm.
Berechne h und h_b.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Weil wir h_b suchen, stellen wir nach h_b um:

s² - ( $\frac{1}{2}$ b)² = h_b ²

h_b² = 8,9² - 2,5² = 79,21 - 6,25 = 72,96

Also gilt h_b = $\sqrt{72.96}$ mm ≈ 8,5 mm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir h suchen, stellen wir nach h um:

h_b² - ( $\frac{1}{2}$ a)² = h²

h² = 8,54² - 3² = 72,96 - 9 = 63,96

Also gilt h = $\sqrt{63.96}$ mm ≈ 8 mm

Anwendungen Pythagoras

Beispiel:

Ein Haus hat eine Gesamthöhe von 6m. Die (fünfeckigen) Stirnseiten sind 8m breit. Die rechteckigen Seitenflächen sind 11m lang und vom Boden bis zur Dachkante 3m hoch. Berechne die Fläche des Hausdachs.

Lösung einblenden

Es gilt:

3² + 4² =h²

9 +16 = h²

25 = h² | $\sqrt[]{\cdot}$

5 ≈ h

Um die gesuchte Fläche zu berechnen, muss nun zunächst diese Hypotenuse mit 11m multipliziert werden.

Somit erhalten wir für eine Hälfte der gesuchten Fläche: A_H ≈ 55m²

Für die Gesamtfläche gilt dann:
A ≈ 110m²

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Pyramidenhöhe h = 7 mm und Höhe der Seitenfläche ha = 7,83 mm.
Berechne die Kantenlänge s und die Grundflächenlänge a.

Lösung einblenden

Bestimmung der Kantenlänge s

Die Höhe einer Seitenfläche ist ja mit h_a = 7,83 mm bereits bekannt.

Um s zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundseitenlänge a berechnen:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir a suchen, stellen wir nach a um:

( $\frac{1}{2}$ a)² = h_a² - h²

( $\frac{1}{2}$ a)² = 7,83² - 7² = 61,25 - 49 = 12,25

Also gilt $\frac{1}{2}$ a = $\sqrt{12.25}$ mm ≈ 3,5 mm

Somit gilt: a ≈ 7 mm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h_a und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 7,83² + 3,5² = 61,25 + 12,25 = 74

Also gilt s = $\sqrt{73.5}$ mm ≈ 8,57 mm

Bestimmung der Grundflächenlänge a

Die Grundflächenlänge a wurde ja bereits oben als a = 7 mm berechnet.

Pyramide (Volumenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Grundflächenlänge a = 6 m und Kantenlänge s = 7,35 m.
Berechne die Grundfläche G und die Pyramidenhöhe h.

Lösung einblenden

Bestimmung der Grundfläche G

Um die Grundfläche dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir einfach die Grundflächenlänge a zum Quadrat nehmen:

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 6 m bereits bekannt.

somit gilt: G = a² = (6 m)² = 36 m²

Bestimmung der Pyramidenhöhe h

Um h zu berechnen, müssen wir zuerst die Seitenhöhe h_a berechnen:

Die Grundflächenlänge a ist ja mit a = 6 m bereits bekannt.

Die Höhe einer Seitenfläche dieser Pyramide bestimmen wir über das rechtwinklige Dreieck der halben Seitenfläche:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir h_a suchen, stellen wir nach h_a um:

s² - ( $\frac{1}{2}$ a)² = h_a ²

h_a² = 7,35² - 3² = 54 - 9 = 45

Also gilt h_a = $\sqrt{45}$ m ≈ 6,71 m

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 6 m bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir h suchen, stellen wir nach h um:

h_a² - ( $\frac{1}{2}$ a)² = h²

h² = 6,71² - 3² = 45 - 9 = 36

Also gilt h = $\sqrt{36}$ m ≈ 6 m

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Raumdiagonale

Dreiecke im Quader

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Kanten bei einer Pyramide

Anwendungen Pythagoras

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Bestimmung der Kantenlänge s

Bestimmung der Grundflächenlänge a

Pyramide (Volumenberechnung)

Bestimmung der Grundfläche G

Bestimmung der Pyramidenhöhe h