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Raumdiagonale

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 8 mm, b = 6 mm und c = 5 mm.
Berechne die Länge der Raumdiagonale.

Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 8 mm und b = 6 mm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² +b² = (8 mm)² + (6 mm)² = 64 mm² + 36 mm² = 100 mm²

d1 = $\sqrt{100}$ mm ≈ 10 mm

Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{100}$ mm)² + (5 mm)² = 100 mm² + 25 mm² = 125 mm²

Da d1² = a² +b² gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d² = a² + b² + c² = 64 mm² + 36 mm² + 25 mm² = 125 mm²
berechnen.

d = $\sqrt{125}$ mm ≈ 11.18 mm

Dreiecke im Quader

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 4 cm, b = 7 cm und c = 9 cm.
Berechne den Umfang U und den Flächeninhalt A des abgebildeten (grünen) Dreiecks.

Lösung einblenden

Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a= 4 cm und b = 7 cm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² + b² = (4 cm)² + (7 cm)² = 16 cm² + 49 cm² = 65 cm²

d1 = $\sqrt{65}$ cm ≈ 8.062 cm

Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{65}$ cm)² + (9 cm)² = 65 cm² + 81 cm² = 146 cm²

d = $\sqrt{146}$ cm ≈ 12.083 cm

Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + c ≈ 8.06 cm + 12.08 cm + 9 cm ≈ 29.15 cm

Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 9:
A = $\frac{1}{2}$ d1 ⋅c ≈ $\frac{1}{2}$ ⋅8.06 cm⋅ 9 cm ≈ 36.28 cm²

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 8 m, b = 4 m, h = 7 m.
Berechne h_b und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 7² + 4 ² = 49 + 16 = 65

Also gilt h_b = $\sqrt{65}$ m ≈ 8,1 m

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 8,06² + 2² = 64,96 + 4 = 69

Also gilt s = $\sqrt{68.96}$ m ≈ 8,3 m

Kanten bei einer Pyramide

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 8 mm, b = 5 mm, h_b = 8.9 mm.
Berechne h und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir h suchen, stellen wir nach h um:

h_b² - ( $\frac{1}{2}$ a)² = h²

h² = 8,9² - 4² = 79,21 - 16 = 63,21

Also gilt h = $\sqrt{63.21}$ mm ≈ 8 mm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 8,9² + 2,5² = 79,21 + 6,25 = 85

Also gilt s = $\sqrt{85.46}$ mm ≈ 9,2 mm

Anwendungen Pythagoras

Beispiel:

Ein Leuchtturm ist 55m über dem Meeresspiegel. Wie weit (in m) könnte von dort aus bei optimalen Sichtverhältnissen maximal aufgrund der Erdkrümmung aufs Meer hinausschauen? Als Erdradius kann man mit 6371km rechnen.

Lösung einblenden

Es gilt:

6371000² + k1² = 6371055²

40589641000000 + k1² = 40590341813025 |-40589641000000

k1² = 700813025 | $\sqrt[]{\cdot}$

k1 ≈ 26472.87

Somit gilt für die gesuchte Kathete:
k1 ≈ 26472.87m

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Höhe der Seitenfläche ha = 7,28 cm und Mantelfläche M = 58,24 cm².
Berechne die Grundflächenlänge a und die Kantenlänge s.

Lösung einblenden

Bestimmung der Grundflächenlänge a

Die Mantelfläche ist ja mit M = 58,24 cm² bereits bekannt.

Die Mantelfläche M besteht aus den 4 gleich großen Flächeninhalten der Seitenflächen dieser Pyramide, also hat eine Seitenfläche den Flächeninhalt A_S = $\frac{1}{4}$ M = 14.56 cm²

Diesen Flächeninhalt einer Seitenfläche kann man ja aber auch mit der Formel A_S= $\frac{1}{2}$ a⋅h_a berechnen.

Umgestellt nach a ergibt dies a = $\frac{2⋅AS}{ha}$ = $\frac{29.12}{7,28}$ cm ≈ 4 cm

Bestimmung der Kantenlänge s

Die Höhe einer Seitenfläche ist ja mit h_a = 7,28 cm bereits bekannt.

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 4 cm bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h_a und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 7,28² + 2² = 53 + 4 = 4

Also gilt s = $\sqrt{4}$ cm ≈ 7,55 cm

Pyramide (Volumenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Pyramidenhöhe h = 7 m und Volumen V = 58,33 m.
Berechne die Grundfläche G und die Kantenlänge s.

Lösung einblenden

Bestimmung der Grundfläche G

Da sich ja das Volumen V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h zusammensetzt, können wir diese Formel nach G umstellen und erhalten
G = $\frac{3⋅V}{h}$ :

Das Volumen V ist ja mit V = 58,33 m³ bereits bekannt.

somit gilt: G = $\frac{3⋅V}{h}$ = $\frac{3⋅58,33 m³}{7 m}$ ≈ 25 m²

Bestimmung der Kantenlänge s

Um s zu berechnen, müssen wir zuerst die Seitenhöhe h_a berechnen:

Um h_a zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundseitenlänge a berechnen:

Die Grundfläche G ist ja mit G = 25 m² bereits bekannt.

Und da diese Grundfläche ja ein Quadrat mit Seitenlänge a ist, gilt: G = a² oder eben:

a = $\sqrt{G}$ = $\sqrt{25}$ m = 5 m

Die Pyramindenhöhe h ist ja mit h = 7 m bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_a² = 7² + 2,5 ² = 49 + 6,25 = 55,25

Also gilt h_a = $\sqrt{55.25}$ m ≈ 7,43 m

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 5 m bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h_a und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 7,43² + 2,5² = 55,2 + 6,25 = 61

Also gilt s = $\sqrt{61.45}$ m ≈ 7,84 m

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Raumdiagonale

Dreiecke im Quader

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Kanten bei einer Pyramide

Anwendungen Pythagoras

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Bestimmung der Grundflächenlänge a

Bestimmung der Kantenlänge s

Pyramide (Volumenberechnung)

Bestimmung der Grundfläche G

Bestimmung der Kantenlänge s