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Raumdiagonale

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 5 mm, b = 7 mm und c = 4 mm.
Berechne die Länge der Raumdiagonale.

Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 5 mm und b = 7 mm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² +b² = (5 mm)² + (7 mm)² = 25 mm² + 49 mm² = 74 mm²

d1 = $\sqrt{74}$ mm ≈ 8.602 mm

Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{74}$ mm)² + (4 mm)² = 74 mm² + 16 mm² = 90 mm²

Da d1² = a² +b² gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d² = a² + b² + c² = 25 mm² + 49 mm² + 16 mm² = 90 mm²
berechnen.

d = $\sqrt{90}$ mm ≈ 9.487 mm

Dreiecke im Quader

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 5 cm, b = 4 cm und c = 4 cm.
Berechne den Umfang U und den Flächeninhalt A des abgebildeten (grünen) Dreiecks.

Lösung einblenden

Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a= 5 cm und b = 4 cm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² + b² = (5 cm)² + (4 cm)² = 25 cm² + 16 cm² = 41 cm²

d1 = $\sqrt{41}$ cm ≈ 6.403 cm

Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{41}$ cm)² + (4 cm)² = 41 cm² + 16 cm² = 57 cm²

d = $\sqrt{57}$ cm ≈ 7.55 cm

Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + c ≈ 6.4 cm + 7.55 cm + 4 cm ≈ 17.95 cm

Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 4:
A = $\frac{1}{2}$ d1 ⋅c ≈ $\frac{1}{2}$ ⋅6.4 cm⋅ 4 cm ≈ 12.81 cm²

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 5 mm, b = 4 mm, h = 5 mm.
Berechne h_b und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 5² + 2,5 ² = 25 + 6,25 = 31,25

Also gilt h_b = $\sqrt{31.25}$ mm ≈ 5,6 mm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 5,59² + 2² = 31,25 + 4 = 35

Also gilt s = $\sqrt{35.25}$ mm ≈ 5,9 mm

Kanten bei einer Pyramide

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 4 mm, h = 6 mm, s = 6.6 mm.
Berechne h_b und b.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 6² + 2 ² = 36 + 4 = 40

Also gilt h_b = $\sqrt{40}$ mm ≈ 6,3 mm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Weil wir b suchen, stellen wir nach b um:

( $\frac{1}{2}$ b)² = s² - h_b²

( $\frac{1}{2}$ b)² = 6,6² - 6,32² = 43,56 - 39,94 = 3,62

Also gilt $\frac{1}{2}$ b = $\sqrt{3.62}$ mm ≈ 1,9 mm

Somit gilt: b ≈ 3,8 mm

Anwendungen Pythagoras

Beispiel:

Ein Haus hat eine Gesamthöhe von 13m. Die (fünfeckigen) Stirnseiten sind 14m breit. Die rechteckigen Seitenflächen sind 11m lang und vom Boden bis zur Dachkante 9m hoch. Berechne die Fläche des Hausdachs.

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Es gilt:

4² + 7² =h²

16 +49 = h²

65 = h² | $\sqrt[]{\cdot}$

8.06 ≈ h

Um die gesuchte Fläche zu berechnen, muss nun zunächst diese Hypotenuse mit 11m multipliziert werden.

Somit erhalten wir für eine Hälfte der gesuchten Fläche: A_H ≈ 88.68m²

Für die Gesamtfläche gilt dann:
A ≈ 177.37m²

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Mantelfläche M = 69,97 cm² und Höhe der Seitenfläche ha = 5,83 cm.
Berechne die Oberfläche O und die Grundflächenlänge a.

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Bestimmung der Oberfläche O

Um die Oberfläche dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir einfach den Mantel und die Grundfläche addieren:

Die Mantelfläche M ist ja mit M = 69,97 cm² bereits bekannt.

Um die Grundfläche dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir einfach die Grundflächenlänge a zum Quadrat nehmen:

Die Mantelfläche ist ja mit M = 69,97 cm² bereits bekannt.

Die Mantelfläche M besteht aus den 4 gleich großen Flächeninhalten der Seitenflächen dieser Pyramide, also hat eine Seitenfläche den Flächeninhalt A_S = $\frac{1}{4}$ M = 17.493 cm²

Diesen Flächeninhalt einer Seitenfläche kann man ja aber auch mit der Formel A_S= $\frac{1}{2}$ a⋅h_a berechnen.

Umgestellt nach a ergibt dies a = $\frac{2⋅AS}{ha}$ = $\frac{34.99}{5,83}$ cm ≈ 6 cm

somit gilt: G = a² = (6 cm)² = 36 cm²

somit gilt: O = M + G = 69,97 cm² + 36 cm² = 105,97 cm²

Bestimmung der Grundflächenlänge a

Die Grundflächenlänge a wurde ja bereits oben als a = 6 cm berechnet.

Pyramide (Volumenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Grundfläche G = 25 m² und Pyramidenhöhe h = 8 m.
Berechne das Volumen V und die Höhe der Seitenfläche ha.

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Bestimmung des Volumen V

Um das Volumen dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir die Volumenformel einer Pyramide anwenden: V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h

Die Grundfläche G ist ja mit G = 25 m² bereits bekannt.

Die Pyramindehöhe h ist ja mit h = 8 m² bereits bekannt.

somit gilt: V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h = $\frac{1}{3}$ ⋅25 m² ⋅ 8 m ≈ 66,67 m³

Bestimmung der Höhe der Seitenfläche ha

Um h_a zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundseitenlänge a berechnen:

Die Grundfläche G ist ja mit G = 25 m² bereits bekannt.

Und da diese Grundfläche ja ein Quadrat mit Seitenlänge a ist, gilt: G = a² oder eben:

a = $\sqrt{G}$ = $\sqrt{25}$ m = 5 m

Die Pyramindenhöhe h ist ja mit h = 8 m bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_a² = 8² + 2,5 ² = 64 + 6,25 = 70,25

Also gilt h_a = $\sqrt{70.25}$ m ≈ 8,38 m

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Raumdiagonale

Dreiecke im Quader

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Kanten bei einer Pyramide

Anwendungen Pythagoras

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Bestimmung der Oberfläche O

Bestimmung der Grundflächenlänge a

Pyramide (Volumenberechnung)

Bestimmung des Volumen V

Bestimmung der Höhe der Seitenfläche ha