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Raumdiagonale

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 7 m, b = 3 m und c = 7 m.
Berechne die Länge der Raumdiagonale.

Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 7 m und b = 3 m, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² +b² = (7 m)² + (3 m)² = 49 m² + 9 m² = 58 m²

d1 = $\sqrt{58}$ m ≈ 7.616 m

Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{58}$ m)² + (7 m)² = 58 m² + 49 m² = 107 m²

Da d1² = a² +b² gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d² = a² + b² + c² = 49 m² + 9 m² + 49 m² = 107 m²
berechnen.

d = $\sqrt{107}$ m ≈ 10.344 m

Dreiecke im Quader

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 2 mm, b = 3 mm und c = 8 mm.
Berechne den Umfang U und den Flächeninhalt A des abgebildeten (grünen) Dreiecks.

Lösung einblenden

Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a= 2 mm und b = 3 mm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² + b² = (2 mm)² + (3 mm)² = 4 mm² + 9 mm² = 13 mm²

d1 = $\sqrt{13}$ mm ≈ 3.606 mm

Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{13}$ mm)² + (8 mm)² = 13 mm² + 64 mm² = 77 mm²

d = $\sqrt{77}$ mm ≈ 8.775 mm

Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + c ≈ 3.61 mm + 8.77 mm + 8 mm ≈ 20.38 mm

Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 8:
A = $\frac{1}{2}$ d1 ⋅c ≈ $\frac{1}{2}$ ⋅3.61 mm⋅ 8 mm ≈ 14.42 mm²

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 7 cm, b = 7 cm, h = 5 cm.
Berechne h_b und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 5² + 3,5 ² = 25 + 12,25 = 37,25

Also gilt h_b = $\sqrt{37.25}$ cm ≈ 6,1 cm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 6,1² + 3,5² = 37,21 + 12,25 = 49

Also gilt s = $\sqrt{49.46}$ cm ≈ 7 cm

Kanten bei einer Pyramide

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: h = 7 mm, h_b = 7.8 mm, s = 8.5 mm.
Berechne a und b.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir a suchen, stellen wir nach a um:

( $\frac{1}{2}$ a)² = h_b² - h²

( $\frac{1}{2}$ a)² = 7,8² - 7² = 60,84 - 49 = 11,84

Also gilt $\frac{1}{2}$ a = $\sqrt{11.84}$ mm ≈ 3,4 mm

Somit gilt: a ≈ 6,9 mm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Weil wir b suchen, stellen wir nach b um:

( $\frac{1}{2}$ b)² = s² - h_b²

( $\frac{1}{2}$ b)² = 8,5² - 7,8² = 72,25 - 60,84 = 11,41

Also gilt $\frac{1}{2}$ b = $\sqrt{11.41}$ mm ≈ 3,38 mm

Somit gilt: b ≈ 6,8 mm

Anwendungen Pythagoras

Beispiel:

Ein Kegel ist 20 cm hoch. Sein Grundkreis hat einen Durchmesser von 30 cm. Wie lang ist die Strecke von einem Punkt auf dem Grundkreis zur Spitze?

Lösung einblenden

Es gilt:

15² + 20² =h²

225 +400 = h²

625 = h² | $\sqrt[]{\cdot}$

25 ≈ h

Somit gilt für die gesuchte Hypotenuse:
h ≈ 25cm

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Oberfläche O = 207,11 cm² und Grundflächenlänge a = 8 cm.
Berechne die Kantenlänge s und die Grundfläche G.

Lösung einblenden

Bestimmung der Kantenlänge s

Um s zu berechnen, müssen wir zuerst die Seitenhöhe h_a berechnen:

Um h_a zu berechnen, müssen wir zuerst die Mantelfläche M berechnen:

Wir berechnen zunächst die Grundfläche G:

Um die Grundfläche dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir einfach die Grundflächenlänge a zum Quadrat nehmen:

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 8 cm bereits bekannt.

somit gilt: G = a² = (8 cm)² = 64 cm²

Da sich ja die Oberfläche aus Grundfläche und Mantelfläche zusammensetzt, können wir die Mantelfläche dieser Pyramide einfach als Differenz M = O - G bestimmen:

somit gilt: M = O - G = 207,11 cm² - 64 cm² = 143,11 cm²

h_a ist ja die Höhe der Seitenfläche. Und da die Mantelfläche aus 4 solchen gleichen Seitenflächen besteht und die Mantelfläche M ja mit M = 143,11 cm² bereits bekannt ist, gilt für eine solche Seitenfläche A_S = $\frac{1}{4}$ ⋅ 143,11 cm² = 35.777 cm².

Zum anderen gilt aber auch
A_S =

\frac{1}{2}

a⋅h_a, also: 35.777 cm² =

\frac{1}{2}

a⋅h_a oder eben

h_a = $\frac{2⋅35.78}{a}$

Die Grundflächenlänge a ist ja mit a = 8 cm bereits bekannt.

somit gilt: h_a = $\frac{71.55}{8}$ cm ≈ 8,94 cm

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 8 cm bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h_a und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 8,94² + 4² = 80 + 16 = 16

Also gilt s = $\sqrt{16}$ cm ≈ 9,8 cm

Bestimmung der Grundfläche G

Die Grundfläche G wurde ja bereits oben als G = 64 cm² berechnet.

Pyramide (Volumenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Höhe der Seitenfläche ha = 7,5 cm und Pyramidenhöhe h = 6 cm.
Berechne das Volumen V und die Grundfläche G.

Lösung einblenden

Bestimmung des Volumen V

Um das Volumen dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir die Volumenformel einer Pyramide anwenden: V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h

Um die Grundfläche dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir einfach die Grundflächenlänge a zum Quadrat nehmen:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir a suchen, stellen wir nach a um:

( $\frac{1}{2}$ a)² = h_a² - h²

( $\frac{1}{2}$ a)² = 7,5² - 6² = 56,25 - 36 = 20,25

Also gilt $\frac{1}{2}$ a = $\sqrt{20.25}$ cm ≈ 4,5 cm

Somit gilt: a ≈ 9 cm

somit gilt: G = a² = (9 cm)² = 81 cm²

Die Pyramindehöhe h ist ja mit h = 6 cm² bereits bekannt.

somit gilt: V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h = $\frac{1}{3}$ ⋅81 cm² ⋅ 6 cm ≈ 162 cm³

Bestimmung der Grundfläche G

Die Grundfläche G wurde ja bereits oben als G = 81 cm² berechnet.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Raumdiagonale

Dreiecke im Quader

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Kanten bei einer Pyramide

Anwendungen Pythagoras

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Bestimmung der Kantenlänge s

Bestimmung der Grundfläche G

Pyramide (Volumenberechnung)

Bestimmung des Volumen V

Bestimmung der Grundfläche G