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Raumdiagonale

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 5 cm, b = 3 cm und c = 9 cm.
Berechne die Länge der Raumdiagonale.

Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 5 cm und b = 3 cm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² +b² = (5 cm)² + (3 cm)² = 25 cm² + 9 cm² = 34 cm²

d1 = $\sqrt{34}$ cm ≈ 5.831 cm

Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{34}$ cm)² + (9 cm)² = 34 cm² + 81 cm² = 115 cm²

Da d1² = a² +b² gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d² = a² + b² + c² = 25 cm² + 9 cm² + 81 cm² = 115 cm²
berechnen.

d = $\sqrt{115}$ cm ≈ 10.724 cm

Dreiecke im Quader

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 4 mm, b = 9 mm und c = 3 mm.
Berechne den Umfang U und den Flächeninhalt A des abgebildeten (grünen) Dreiecks.

Lösung einblenden

Die Seitenwanddiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten b= 9 mm und c = 3 mm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = b² + c² = (9 mm)² + (3 mm)² = 81 mm² + 9 mm² = 90 mm²

d1 = $\sqrt{90}$ mm ≈ 9.487 mm

Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und a, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + a² = ( $\sqrt{90}$ mm)² + (4 mm)² = 90 mm² + 16 mm² = 106 mm²

d = $\sqrt{106}$ mm ≈ 10.296 mm

Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + a ≈ 9.49 mm + 10.3 mm + 4 mm ≈ 23.78 mm

Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 4:
A = $\frac{1}{2}$ d1 ⋅a ≈ $\frac{1}{2}$ ⋅9.49 mm⋅ 4 mm ≈ 18.97 mm²

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 5 m, b = 4 m, h = 5 m.
Berechne h_b und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 5² + 2,5 ² = 25 + 6,25 = 31,25

Also gilt h_b = $\sqrt{31.25}$ m ≈ 5,6 m

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 5,59² + 2² = 31,25 + 4 = 35

Also gilt s = $\sqrt{35.25}$ m ≈ 5,9 m

Kanten bei einer Pyramide

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 9 m, h = 7 m, s = 9.4 m.
Berechne h_b und b.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 7² + 4,5 ² = 49 + 20,25 = 69,25

Also gilt h_b = $\sqrt{69.25}$ m ≈ 8,3 m

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Weil wir b suchen, stellen wir nach b um:

( $\frac{1}{2}$ b)² = s² - h_b²

( $\frac{1}{2}$ b)² = 9,4² - 8,32² = 88,36 - 69,22 = 19,14

Also gilt $\frac{1}{2}$ b = $\sqrt{19.14}$ m ≈ 4,38 m

Somit gilt: b ≈ 8,8 m

Anwendungen Pythagoras

Beispiel:

Ein Haus hat eine Gesamthöhe von 12,5m. Die (fünfeckigen) Stirnseiten sind 14m breit. Die rechteckigen Seitenflächen sind 13m lang und vom Boden bis zur Dachkante 9m hoch. Berechne die Fläche des Hausdachs.

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Es gilt:

3.5² + 7² =h²

12.25 +49 = h²

61.25 = h² | $\sqrt[]{\cdot}$

7.83 ≈ h

Um die gesuchte Fläche zu berechnen, muss nun zunächst diese Hypotenuse mit 13m multipliziert werden.

Somit erhalten wir für eine Hälfte der gesuchten Fläche: A_H ≈ 101.74m²

Für die Gesamtfläche gilt dann:
A ≈ 203.48m²

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Mantelfläche M = 165,22 m² und Oberfläche O = 246,22 m².
Berechne die Grundflächenlänge a und die Grundfläche G.

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Bestimmung der Grundflächenlänge a

Um a zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundfläche G berechnen:

Da sich ja die Oberfläche aus Grundfläche und Mantelfläche zusammensetzt, können wir die Grundfläche dieser Pyramide einfach als Differenz G = O - M bestimmen:

Die Mantelfläche M ist ja mit M = 165,22 m² bereits bekannt.

Die Oberfläche O ist ja mit O = 246,22 m² bereits bekannt.

somit gilt: G = O - M = 246,22 m² - 165,22 m² = 81 m²

Und da diese Grundfläche ja ein Quadrat mit Seitenlänge a ist, gilt: G = a² oder eben:

a = $\sqrt{G}$ = $\sqrt{81}$ m = 9 m

Bestimmung der Grundfläche G

Die Grundfläche G wurde ja bereits oben als G = 81 m² berechnet.

Pyramide (Volumenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Pyramidenhöhe h = 8 m und Höhe der Seitenfläche ha = 8,25 m.
Berechne die Kantenlänge s und die Grundflächenlänge a.

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Bestimmung der Kantenlänge s

Die Höhe einer Seitenfläche ist ja mit h_a = 8,25 m bereits bekannt.

Um s zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundseitenlänge a berechnen:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir a suchen, stellen wir nach a um:

( $\frac{1}{2}$ a)² = h_a² - h²

( $\frac{1}{2}$ a)² = 8,25² - 8² = 68 - 64 = 4

Also gilt $\frac{1}{2}$ a = $\sqrt{4}$ m ≈ 2 m

Somit gilt: a ≈ 4 m

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h_a und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 8,25² + 2² = 68 + 4 = 72

Also gilt s = $\sqrt{72}$ m ≈ 8,49 m

Bestimmung der Grundflächenlänge a

Die Grundflächenlänge a wurde ja bereits oben als a = 4 m berechnet.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Raumdiagonale

Dreiecke im Quader

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Kanten bei einer Pyramide

Anwendungen Pythagoras

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Bestimmung der Grundflächenlänge a

Bestimmung der Grundfläche G

Pyramide (Volumenberechnung)

Bestimmung der Kantenlänge s

Bestimmung der Grundflächenlänge a