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Raumdiagonale

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 3 mm, b = 3 mm und c = 7 mm.
Berechne die Länge der Raumdiagonale.

Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 3 mm und b = 3 mm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² +b² = (3 mm)² + (3 mm)² = 9 mm² + 9 mm² = 18 mm²

d1 = $\sqrt{18}$ mm ≈ 4.243 mm

Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{18}$ mm)² + (7 mm)² = 18 mm² + 49 mm² = 67 mm²

Da d1² = a² +b² gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d² = a² + b² + c² = 9 mm² + 9 mm² + 49 mm² = 67 mm²
berechnen.

d = $\sqrt{67}$ mm ≈ 8.185 mm

Dreiecke im Quader

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 2 m, b = 8 m und c = 6 m.
Berechne den Umfang U und den Flächeninhalt A des abgebildeten (grünen) Dreiecks.

Lösung einblenden

Die Frontwanddiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a= 2 m und c = 6 m, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² + c² = (2 m)² + (6 m)² = 4 m² + 36 m² = 40 m²

d1 = $\sqrt{40}$ m ≈ 6.325 m

Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und b, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + b² = ( $\sqrt{40}$ m)² + (8 m)² = 40 m² + 64 m² = 104 m²

d = $\sqrt{104}$ m ≈ 10.198 m

Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + b ≈ 6.32 m + 10.2 m + 8 m ≈ 24.52 m

Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 8:
A = $\frac{1}{2}$ d1 ⋅b ≈ $\frac{1}{2}$ ⋅6.32 m⋅ 8 m ≈ 25.3 m²

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 7 m, b = 7 m, h = 8 m.
Berechne h_b und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 8² + 3,5 ² = 64 + 12,25 = 76,25

Also gilt h_b = $\sqrt{76.25}$ m ≈ 8,7 m

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 8,73² + 3,5² = 76,21 + 12,25 = 88

Also gilt s = $\sqrt{88.46}$ m ≈ 9,4 m

Kanten bei einer Pyramide

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: b = 7 m, h = 6 m, s = 7.7 m.
Berechne a und h_b.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Weil wir h_b suchen, stellen wir nach h_b um:

s² - ( $\frac{1}{2}$ b)² = h_b ²

h_b² = 7,7² - 3,5² = 59,29 - 12,25 = 47,04

Also gilt h_b = $\sqrt{47.04}$ m ≈ 6,9 m

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir a suchen, stellen wir nach a um:

( $\frac{1}{2}$ a)² = h_b² - h²

( $\frac{1}{2}$ a)² = 6,86² - 6² = 47,04 - 36 = 11,04

Also gilt $\frac{1}{2}$ a = $\sqrt{11.04}$ m ≈ 3,3 m

Somit gilt: a ≈ 6,7 m

Anwendungen Pythagoras

Beispiel:

Ein Kegel ist 65 cm hoch. Sein Grundkreis hat einen Durchmesser von 50 cm. Wie lang ist die Strecke von einem Punkt auf dem Grundkreis zur Spitze?

Lösung einblenden

Es gilt:

25² + 65² =h²

625 +4225 = h²

4850 = h² | $\sqrt[]{\cdot}$

69.64 ≈ h

Somit gilt für die gesuchte Hypotenuse:
h ≈ 69.64cm

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Kantenlänge s = 7,78 mm und Grundflächenlänge a = 7 mm.
Berechne die Höhe der Seitenfläche ha und die Mantelfläche M.

Lösung einblenden

Bestimmung der Höhe der Seitenfläche ha

Die Höhe einer Seitenfläche dieser Pyramide bestimmen wir über das rechtwinklige Dreieck der halben Seitenfläche:

Die Grundflächenlänge a ist ja mit a = 7 mm bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir h_a suchen, stellen wir nach h_a um:

s² - ( $\frac{1}{2}$ a)² = h_a ²

h_a² = 7,78² - 3,5² = 60,5 - 12,25 = 48,25

Also gilt h_a = $\sqrt{48.25}$ mm ≈ 6,95 mm

Bestimmung der Mantelfläche M

Die Mantelfläche M besteht aus den 4 gleich großen Flächeninhalten der Seitenflächen dieser Pyramide. Diese soll nun berechnet werden:

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 7 mm bereits bekannt.

Den Flächeninhalt einer Seitenfläche können wir ja einfach mit der Formel A_S= $\frac{1}{2}$ a⋅h_a berechen:

A_S = $\frac{1}{2}$ ⋅7 mm⋅6,95 mm ≈ 24,31 mm²

Für die Mantelfläche müssen wir nun diese 4 Flächeninhalte noch zusammenzählen:

M = 4⋅24,31 mm² = 97,25 mm²

Pyramide (Volumenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Höhe der Seitenfläche ha = 5,83 m und Grundfläche G = 36 m².
Berechne die Kantenlänge s und das Volumen V.

Lösung einblenden

Bestimmung der Kantenlänge s

Die Höhe einer Seitenfläche ist ja mit h_a = 5,83 m bereits bekannt.

Um s zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundseitenlänge a berechnen:

Die Grundfläche G ist ja mit G = 36 m² bereits bekannt.

Und da diese Grundfläche ja ein Quadrat mit Seitenlänge a ist, gilt: G = a² oder eben:

a = $\sqrt{G}$ = $\sqrt{36}$ m = 6 m

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h_a und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 5,83² + 3² = 34 + 9 = 9

Also gilt s = $\sqrt{9}$ m ≈ 6,56 m

Bestimmung des Volumen V

Um das Volumen dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir die Volumenformel einer Pyramide anwenden: V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h

Die Grundfläche G ist ja mit G = 36 m² bereits bekannt.

Die Höhe einer Seitenfläche ist ja mit h_a = 5,83 m bereits bekannt.

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 6 m bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir h suchen, stellen wir nach h um:

h_a² - ( $\frac{1}{2}$ a)² = h²

h² = 5,83² - 3² = 34 - 9 = 25

Also gilt h = $\sqrt{25}$ m ≈ 5 m

somit gilt: V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h = $\frac{1}{3}$ ⋅36 m² ⋅ 5 m ≈ 60 m³

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Raumdiagonale

Dreiecke im Quader

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Kanten bei einer Pyramide

Anwendungen Pythagoras

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Bestimmung der Höhe der Seitenfläche ha

Bestimmung der Mantelfläche M

Pyramide (Volumenberechnung)

Bestimmung der Kantenlänge s

Bestimmung des Volumen V