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Raumdiagonale

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 7 m, b = 9 m und c = 5 m.
Berechne die Länge der Raumdiagonale.

Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 7 m und b = 9 m, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² +b² = (7 m)² + (9 m)² = 49 m² + 81 m² = 130 m²

d1 = $\sqrt{130}$ m ≈ 11.402 m

Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{130}$ m)² + (5 m)² = 130 m² + 25 m² = 155 m²

Da d1² = a² +b² gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d² = a² + b² + c² = 49 m² + 81 m² + 25 m² = 155 m²
berechnen.

d = $\sqrt{155}$ m ≈ 12.45 m

Dreiecke im Quader

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 8 m, b = 6 m und c = 2 m.
Berechne den Umfang U und den Flächeninhalt A des abgebildeten (grünen) Dreiecks.

Lösung einblenden

Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a= 8 m und b = 6 m, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² + b² = (8 m)² + (6 m)² = 64 m² + 36 m² = 100 m²

d1 = $\sqrt{100}$ m ≈ 10 m

Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{100}$ m)² + (2 m)² = 100 m² + 4 m² = 104 m²

d = $\sqrt{104}$ m ≈ 10.198 m

Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + c ≈ 10 m + 10.2 m + 2 m ≈ 22.2 m

Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 2:
A = $\frac{1}{2}$ d1 ⋅c ≈ $\frac{1}{2}$ ⋅10 m⋅ 2 m ≈ 10 m²

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 8 mm, b = 5 mm, h = 8 mm.
Berechne h_b und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 8² + 4 ² = 64 + 16 = 80

Also gilt h_b = $\sqrt{80}$ mm ≈ 8,9 mm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 8,94² + 2,5² = 79,92 + 6,25 = 86

Also gilt s = $\sqrt{86.17}$ mm ≈ 9,2 mm

Kanten bei einer Pyramide

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: b = 8 m, h = 5 m, s = 7.5 m.
Berechne a und h_b.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Weil wir h_b suchen, stellen wir nach h_b um:

s² - ( $\frac{1}{2}$ b)² = h_b ²

h_b² = 7,5² - 4² = 56,25 - 16 = 40,25

Also gilt h_b = $\sqrt{40.25}$ m ≈ 6,4 m

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir a suchen, stellen wir nach a um:

( $\frac{1}{2}$ a)² = h_b² - h²

( $\frac{1}{2}$ a)² = 6,34² - 5² = 40,25 - 25 = 15,25

Also gilt $\frac{1}{2}$ a = $\sqrt{15.25}$ m ≈ 3,9 m

Somit gilt: a ≈ 7,8 m

Anwendungen Pythagoras

Beispiel:

Ein Haus hat eine Gesamthöhe von 10m. Die (fünfeckigen) Stirnseiten sind 8m breit. Die rechteckigen Seitenflächen sind 14m lang und vom Boden bis zur Dachkante 6m hoch. Berechne die Fläche des Hausdachs.

Lösung einblenden

Es gilt:

4² + 4² =h²

16 +16 = h²

32 = h² | $\sqrt[]{\cdot}$

5.66 ≈ h

Um die gesuchte Fläche zu berechnen, muss nun zunächst diese Hypotenuse mit 14m multipliziert werden.

Somit erhalten wir für eine Hälfte der gesuchten Fläche: A_H ≈ 79.2m²

Für die Gesamtfläche gilt dann:
A ≈ 158.39m²

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Höhe der Seitenfläche ha = 8,73 cm und Pyramidenhöhe h = 8 cm.
Berechne die Kantenlänge s und die Grundfläche G.

Lösung einblenden

Bestimmung der Kantenlänge s

Die Höhe einer Seitenfläche ist ja mit h_a = 8,73 cm bereits bekannt.

Um s zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundseitenlänge a berechnen:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir a suchen, stellen wir nach a um:

( $\frac{1}{2}$ a)² = h_a² - h²

( $\frac{1}{2}$ a)² = 8,73² - 8² = 76,25 - 64 = 12,25

Also gilt $\frac{1}{2}$ a = $\sqrt{12.25}$ cm ≈ 3,5 cm

Somit gilt: a ≈ 7 cm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h_a und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 8,73² + 3,5² = 76,25 + 12,25 = 89

Also gilt s = $\sqrt{88.5}$ cm ≈ 9,41 cm

Bestimmung der Grundfläche G

Um die Grundfläche dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir einfach die Grundflächenlänge a zum Quadrat nehmen:

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 7 cm bereits bekannt.

somit gilt: G = a² = (7 cm)² = 49 cm²

Pyramide (Volumenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Pyramidenhöhe h = 5 cm und Volumen V = 135 cm.
Berechne die Kantenlänge s und die Höhe der Seitenfläche ha.

Lösung einblenden

Bestimmung der Kantenlänge s

Um s zu berechnen, müssen wir zuerst die Seitenhöhe h_a berechnen:

Um h_a zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundseitenlänge a berechnen:

Um a zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundfläche G berechnen:

Da sich ja das Volumen V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h zusammensetzt, können wir diese Formel nach G umstellen und erhalten
G = $\frac{3⋅V}{h}$ :

Das Volumen V ist ja mit V = 135 cm³ bereits bekannt.

somit gilt: G = $\frac{3⋅V}{h}$ = $\frac{3⋅135 cm³}{5 cm}$ ≈ 81 cm²

Und da diese Grundfläche ja ein Quadrat mit Seitenlänge a ist, gilt: G = a² oder eben:

a = $\sqrt{G}$ = $\sqrt{81}$ cm = 9 cm

Die Pyramindenhöhe h ist ja mit h = 5 cm bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_a² = 5² + 4,5 ² = 25 + 20,25 = 45,25

Also gilt h_a = $\sqrt{45.25}$ cm ≈ 6,73 cm

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 9 cm bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h_a und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 6,73² + 4,5² = 45,29 + 20,25 = 66

Also gilt s = $\sqrt{65.54}$ cm ≈ 8,09 cm

Bestimmung der Höhe der Seitenfläche ha

Die Höhe der Seitenfläche ha wurde ja bereits oben als ha = 6,73 cm berechnet.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Raumdiagonale

Dreiecke im Quader

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Kanten bei einer Pyramide

Anwendungen Pythagoras

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Bestimmung der Kantenlänge s

Bestimmung der Grundfläche G

Pyramide (Volumenberechnung)

Bestimmung der Kantenlänge s

Bestimmung der Höhe der Seitenfläche ha