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Raumdiagonale

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 9 cm, b = 6 cm und c = 2 cm.
Berechne die Länge der Raumdiagonale.

Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 9 cm und b = 6 cm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² +b² = (9 cm)² + (6 cm)² = 81 cm² + 36 cm² = 117 cm²

d1 = $\sqrt{117}$ cm ≈ 10.817 cm

Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{117}$ cm)² + (2 cm)² = 117 cm² + 4 cm² = 121 cm²

Da d1² = a² +b² gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d² = a² + b² + c² = 81 cm² + 36 cm² + 4 cm² = 121 cm²
berechnen.

d = $\sqrt{121}$ cm ≈ 11 cm

Dreiecke im Quader

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 2 mm, b = 3 mm und c = 2 mm.
Berechne den Umfang U und den Flächeninhalt A des abgebildeten (grünen) Dreiecks.

Lösung einblenden

Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a= 2 mm und b = 3 mm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² + b² = (2 mm)² + (3 mm)² = 4 mm² + 9 mm² = 13 mm²

d1 = $\sqrt{13}$ mm ≈ 3.606 mm

Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{13}$ mm)² + (2 mm)² = 13 mm² + 4 mm² = 17 mm²

d = $\sqrt{17}$ mm ≈ 4.123 mm

Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + c ≈ 3.61 mm + 4.12 mm + 2 mm ≈ 9.73 mm

Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 2:
A = $\frac{1}{2}$ d1 ⋅c ≈ $\frac{1}{2}$ ⋅3.61 mm⋅ 2 mm ≈ 3.61 mm²

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 7 mm, b = 5 mm, h = 7 mm.
Berechne h_b und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 7² + 3,5 ² = 49 + 12,25 = 61,25

Also gilt h_b = $\sqrt{61.25}$ mm ≈ 7,8 mm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 7,83² + 2,5² = 61,31 + 6,25 = 68

Also gilt s = $\sqrt{67.56}$ mm ≈ 8,2 mm

Kanten bei einer Pyramide

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 4 m, b = 4 m, h_b = 5.4 m.
Berechne h und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir h suchen, stellen wir nach h um:

h_b² - ( $\frac{1}{2}$ a)² = h²

h² = 5,4² - 2² = 29,16 - 4 = 25,16

Also gilt h = $\sqrt{25.16}$ m ≈ 5 m

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 5,4² + 2² = 29,16 + 4 = 33

Also gilt s = $\sqrt{33.16}$ m ≈ 5,8 m

Anwendungen Pythagoras

Beispiel:

Ein 8m hoher Mast wird von der einen Seite mit einem 15m langen Seil und von der gegenüberliegenden Seite mit einem 25m langen Seil abgespannt. Wie weit sind die Verankerungen der Spannseile von einander entfernt?

Lösung einblenden

Im ersten Dreieck gilt:

8² + k1² = 15²

64 + k1² = 225 |-64

k1² = 161 | $\sqrt[]{\cdot}$

k1 ≈ 12.69

Im zweiten Dreieck gilt:

8² + k2² = 25²

64 + k2² = 625 |-64

k2² = 561 | $\sqrt[]{\cdot}$

k2 ≈ 23.69

Beide Strecken zusammen ergeben somit:
d = k1 + k2 ≈ 36.37m

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Pyramidenhöhe h = 7 mm und Grundflächenlänge a = 7 mm.
Berechne die Höhe der Seitenfläche ha und die Grundfläche G.

Lösung einblenden

Bestimmung der Höhe der Seitenfläche ha

Die Grundflächenlänge a ist ja mit a = 7 mm bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_a² = 7² + 3,5 ² = 49 + 12,25 = 61,25

Also gilt h_a = $\sqrt{61.25}$ mm ≈ 7,83 mm

Bestimmung der Grundfläche G

Um die Grundfläche dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir einfach die Grundflächenlänge a zum Quadrat nehmen:

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 7 mm bereits bekannt.

somit gilt: G = a² = (7 mm)² = 49 mm²

Pyramide (Volumenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Grundflächenlänge a = 9 mm und Volumen V = 135 mm.
Berechne die Höhe der Seitenfläche ha und die Kantenlänge s.

Lösung einblenden

Bestimmung der Höhe der Seitenfläche ha

Die Grundflächenlänge a ist ja mit a = 9 mm bereits bekannt.

Um h_a zu berechnen, müssen wir zuerst die Pyramindenhöhe h berechnen:

Um h zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundseite G berechnen:

Da sich ja das Volumen V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h zusammensetzt, können wir diese Formel nach G umstellen und erhalten
G = $\frac{3⋅V}{h}$ :

Das Volumen V ist ja mit V = 135 mm³ bereits bekannt.

somit gilt: G = $\frac{3⋅V}{h}$ = $\frac{3⋅135 mm³}{5 mm}$ ≈ 81 mm²

Da sich ja das Volumen V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h zusammensetzt, können wir diese Formel nach h umstellen und erhalten
h = $\frac{3⋅V}{G}$ :

Das Volumen V ist ja mit V = 135 mm³ bereits bekannt.

somit gilt: h = $\frac{3⋅V}{G}$ = $\frac{3⋅135 mm³}{81 mm²}$ ≈ 5 mm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_a² = 5² + 4,5 ² = 25 + 20,25 = 45,25

Also gilt h_a = $\sqrt{45.25}$ mm ≈ 6,73 mm

Bestimmung der Kantenlänge s

Die Höhe einer Seitenfläche ist ja mit h_a = 6,73 mm bereits bekannt.

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 9 mm bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h_a und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 6,73² + 4,5² = 45,29 + 20,25 = 66

Also gilt s = $\sqrt{65.54}$ mm ≈ 8,09 mm

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Raumdiagonale

Dreiecke im Quader

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Kanten bei einer Pyramide

Anwendungen Pythagoras

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Bestimmung der Höhe der Seitenfläche ha

Bestimmung der Grundfläche G

Pyramide (Volumenberechnung)

Bestimmung der Höhe der Seitenfläche ha

Bestimmung der Kantenlänge s