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Raumdiagonale

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 5 m, b = 9 m und c = 4 m.
Berechne die Länge der Raumdiagonale.

Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 5 m und b = 9 m, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² +b² = (5 m)² + (9 m)² = 25 m² + 81 m² = 106 m²

d1 = $\sqrt{106}$ m ≈ 10.296 m

Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{106}$ m)² + (4 m)² = 106 m² + 16 m² = 122 m²

Da d1² = a² +b² gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d² = a² + b² + c² = 25 m² + 81 m² + 16 m² = 122 m²
berechnen.

d = $\sqrt{122}$ m ≈ 11.045 m

Dreiecke im Quader

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 6 mm, b = 3 mm und c = 2 mm.
Berechne den Umfang U und den Flächeninhalt A des abgebildeten (grünen) Dreiecks.

Lösung einblenden

Die Deckendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a= 6 mm und b = 3 mm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² + b² = (6 mm)² + (3 mm)² = 36 mm² + 9 mm² = 45 mm²

d1 = $\sqrt{45}$ mm ≈ 6.708 mm

Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{45}$ mm)² + (2 mm)² = 45 mm² + 4 mm² = 49 mm²

d = $\sqrt{49}$ mm ≈ 7 mm

Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + c ≈ 6.71 mm + 7 mm + 2 mm ≈ 15.71 mm

Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 2:
A = $\frac{1}{2}$ d1 ⋅c ≈ $\frac{1}{2}$ ⋅6.71 mm⋅ 2 mm ≈ 6.71 mm²

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 9 m, b = 4 m, h = 5 m.
Berechne h_b und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 5² + 4,5 ² = 25 + 20,25 = 45,25

Also gilt h_b = $\sqrt{45.25}$ m ≈ 6,7 m

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 6,73² + 2² = 45,29 + 4 = 49

Also gilt s = $\sqrt{49.29}$ m ≈ 7 m

Kanten bei einer Pyramide

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 8 mm, b = 5 mm, h_b = 7.2 mm.
Berechne h und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir h suchen, stellen wir nach h um:

h_b² - ( $\frac{1}{2}$ a)² = h²

h² = 7,2² - 4² = 51,84 - 16 = 35,84

Also gilt h = $\sqrt{35.84}$ mm ≈ 6 mm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 7,2² + 2,5² = 51,84 + 6,25 = 58

Also gilt s = $\sqrt{58.09}$ mm ≈ 7,6 mm

Anwendungen Pythagoras

Beispiel:

Ein 8m hoher Mast wird von der einen Seite mit einem 10m langen Seil und von der gegenüberliegenden Seite mit einem 15m langen Seil abgespannt. Wie weit sind die Verankerungen der Spannseile von einander entfernt?

Lösung einblenden

Im ersten Dreieck gilt:

8² + k1² = 10²

64 + k1² = 100 |-64

k1² = 36 | $\sqrt[]{\cdot}$

k1 ≈ 6

Im zweiten Dreieck gilt:

8² + k2² = 15²

64 + k2² = 225 |-64

k2² = 161 | $\sqrt[]{\cdot}$

k2 ≈ 12.69

Beide Strecken zusammen ergeben somit:
d = k1 + k2 ≈ 18.69m

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Pyramidenhöhe h = 6 m und Grundfläche G = 81 m².
Berechne die Grundflächenlänge a und die Oberfläche O.

Lösung einblenden

Bestimmung der Grundflächenlänge a

Die Grundfläche G ist ja mit G = 81 m² bereits bekannt.

Und da diese Grundfläche ja ein Quadrat mit Seitenlänge a ist, gilt: G = a² oder eben:

a = $\sqrt{G}$ = $\sqrt{81}$ m = 9 m

Bestimmung der Oberfläche O

Um die Oberfläche dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir einfach den Mantel und die Grundfläche addieren:

Die Mantelfläche M besteht aus den 4 gleich großen Flächeninhalten der Seitenflächen dieser Pyramide. Diese soll nun berechnet werden:

Wir berechnen die Seitenhöhe h_a:

Die Grundflächenlänge a ist ja mit a = 9 m bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_a² = 6² + 4,5 ² = 36 + 20,25 = 56,25

Also gilt h_a = $\sqrt{56.25}$ m ≈ 7,5 m

Den Flächeninhalt einer Seitenfläche können wir ja einfach mit der Formel A_S= $\frac{1}{2}$ a⋅h_a berechen:

A_S = $\frac{1}{2}$ ⋅9 m⋅7,5 m ≈ 33,75 m²

Für die Mantelfläche müssen wir nun diese 4 Flächeninhalte noch zusammenzählen:

M = 4⋅33,75 m² = 135 m²

Die Grundfläche G ist ja mit G = 81 m² bereits bekannt.

somit gilt: O = M + G = 135 m² + 81 m² = 216 m²

Pyramide (Volumenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Kantenlänge s = 8,09 m und Grundfläche G = 81 m².
Berechne das Volumen V und die Höhe der Seitenfläche ha.

Lösung einblenden

Bestimmung des Volumen V

Um das Volumen dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir die Volumenformel einer Pyramide anwenden: V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h

Die Grundfläche G ist ja mit G = 81 m² bereits bekannt.

Um h zu berechnen, müssen wir zuerst die Seitenhöhe h_a berechnen:

Um h_a zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundseitenlänge a berechnen:

Die Grundfläche G ist ja mit G = 81 m² bereits bekannt.

Und da diese Grundfläche ja ein Quadrat mit Seitenlänge a ist, gilt: G = a² oder eben:

a = $\sqrt{G}$ = $\sqrt{81}$ m = 9 m

Die Höhe einer Seitenfläche dieser Pyramide bestimmen wir über das rechtwinklige Dreieck der halben Seitenfläche:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir h_a suchen, stellen wir nach h_a um:

s² - ( $\frac{1}{2}$ a)² = h_a ²

h_a² = 8,09² - 4,5² = 65,5 - 20,25 = 45,25

Also gilt h_a = $\sqrt{45.25}$ m ≈ 6,73 m

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 9 m bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir h suchen, stellen wir nach h um:

h_a² - ( $\frac{1}{2}$ a)² = h²

h² = 6,73² - 4,5² = 45,25 - 20,25 = 25

Also gilt h = $\sqrt{25}$ m ≈ 5 m

somit gilt: V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h = $\frac{1}{3}$ ⋅81 m² ⋅ 5 m ≈ 135 m³

Bestimmung der Höhe der Seitenfläche ha

Die Höhe der Seitenfläche ha wurde ja bereits oben als ha = 6,73 m berechnet.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Raumdiagonale

Dreiecke im Quader

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Kanten bei einer Pyramide

Anwendungen Pythagoras

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Bestimmung der Grundflächenlänge a

Bestimmung der Oberfläche O

Pyramide (Volumenberechnung)

Bestimmung des Volumen V

Bestimmung der Höhe der Seitenfläche ha