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Raumdiagonale

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 3 mm, b = 9 mm und c = 2 mm.
Berechne die Länge der Raumdiagonale.

Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 3 mm und b = 9 mm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² +b² = (3 mm)² + (9 mm)² = 9 mm² + 81 mm² = 90 mm²

d1 = $\sqrt{90}$ mm ≈ 9.487 mm

Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{90}$ mm)² + (2 mm)² = 90 mm² + 4 mm² = 94 mm²

Da d1² = a² +b² gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d² = a² + b² + c² = 9 mm² + 81 mm² + 4 mm² = 94 mm²
berechnen.

d = $\sqrt{94}$ mm ≈ 9.695 mm

Dreiecke im Quader

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 3 m, b = 8 m und c = 2 m.
Berechne den Umfang U und den Flächeninhalt A des abgebildeten (grünen) Dreiecks.

Lösung einblenden

Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a= 3 m und b = 8 m, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² + b² = (3 m)² + (8 m)² = 9 m² + 64 m² = 73 m²

d1 = $\sqrt{73}$ m ≈ 8.544 m

Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{73}$ m)² + (2 m)² = 73 m² + 4 m² = 77 m²

d = $\sqrt{77}$ m ≈ 8.775 m

Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + c ≈ 8.54 m + 8.77 m + 2 m ≈ 19.32 m

Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 2:
A = $\frac{1}{2}$ d1 ⋅c ≈ $\frac{1}{2}$ ⋅8.54 m⋅ 2 m ≈ 8.54 m²

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 8 cm, b = 7 cm, h = 8 cm.
Berechne h_b und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 8² + 4 ² = 64 + 16 = 80

Also gilt h_b = $\sqrt{80}$ cm ≈ 8,9 cm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 8,94² + 3,5² = 79,92 + 12,25 = 92

Also gilt s = $\sqrt{92.17}$ cm ≈ 9,6 cm

Kanten bei einer Pyramide

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 9 m, b = 9 m, h = 8 m.
Berechne h_b und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 8² + 4,5 ² = 64 + 20,25 = 84,25

Also gilt h_b = $\sqrt{84.25}$ m ≈ 9,2 m

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 9,18² + 4,5² = 84,27 + 20,25 = 105

Also gilt s = $\sqrt{104.52}$ m ≈ 10,2 m

Anwendungen Pythagoras

Beispiel:

Ein Leuchtturm ist 28m über dem Meeresspiegel. Wie weit (in m) könnte von dort aus bei optimalen Sichtverhältnissen maximal aufgrund der Erdkrümmung aufs Meer hinausschauen? Als Erdradius kann man mit 6371km rechnen.

Lösung einblenden

Es gilt:

6371000² + k1² = 6371028²

40589641000000 + k1² = 40589997776784 |-40589641000000

k1² = 356776784 | $\sqrt[]{\cdot}$

k1 ≈ 18888.54

Somit gilt für die gesuchte Kathete:
k1 ≈ 18888.54m

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Oberfläche O = 146,25 m² und Grundfläche G = 49 m².
Berechne die Kantenlänge s und die Mantelfläche M.

Lösung einblenden

Bestimmung der Kantenlänge s

Um s zu berechnen, müssen wir zuerst die Seitenhöhe h_a berechnen:

Um h_a zu berechnen, müssen wir zuerst die Mantelfläche M berechnen:

Da sich ja die Oberfläche aus Grundfläche und Mantelfläche zusammensetzt, können wir die Mantelfläche dieser Pyramide einfach als Differenz M = O - G bestimmen:

somit gilt: M = O - G = 146,25 m² - 49 m² = 97,25 m²

h_a ist ja die Höhe der Seitenfläche. Und da die Mantelfläche aus 4 solchen gleichen Seitenflächen besteht und die Mantelfläche M ja mit M = 97,25 m² bereits bekannt ist, gilt für eine solche Seitenfläche A_S = $\frac{1}{4}$ ⋅ 97,25 m² = 24.312 m².

Zum anderen gilt aber auch
A_S =

\frac{1}{2}

a⋅h_a, also: 24.312 m² =

\frac{1}{2}

a⋅h_a oder eben

h_a = $\frac{2⋅24.31}{a}$

Um h_a zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundseitenlänge a berechnen:

Die Grundfläche G ist ja mit G = 49 m² bereits bekannt.

Und da diese Grundfläche ja ein Quadrat mit Seitenlänge a ist, gilt: G = a² oder eben:

a = $\sqrt{G}$ = $\sqrt{49}$ m = 7 m

somit gilt: h_a = $\frac{48.62}{7}$ m ≈ 6,95 m

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 7 m bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h_a und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 6,95² + 3,5² = 48,25 + 12,25 = 12

Also gilt s = $\sqrt{12.25}$ m ≈ 7,78 m

Bestimmung der Mantelfläche M

Die Mantelfläche M wurde ja bereits oben als M = 97,25 m² berechnet.

Pyramide (Volumenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Höhe der Seitenfläche ha = 9,18 cm und Kantenlänge s = 10,22 cm.
Berechne die Pyramidenhöhe h und die Grundfläche G.

Lösung einblenden

Bestimmung der Pyramidenhöhe h

Die Höhe einer Seitenfläche ist ja mit h_a = 9,18 cm bereits bekannt.

Um h zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundseitenlänge a berechnen:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir a suchen, stellen wir nach a um:

( $\frac{1}{2}$ a)² = s² - h_a²

( $\frac{1}{2}$ a)² = 10,22² - 9,18² = 104,5 - 84,25 = 20,25

Also gilt $\frac{1}{2}$ a = $\sqrt{20.25}$ cm ≈ 4,5 cm

Somit gilt: a ≈ 9 cm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir h suchen, stellen wir nach h um:

h_a² - ( $\frac{1}{2}$ a)² = h²

h² = 9,18² - 4,5² = 84,25 - 20,25 = 64

Also gilt h = $\sqrt{64}$ cm ≈ 8 cm

Bestimmung der Grundfläche G

Um die Grundfläche dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir einfach die Grundflächenlänge a zum Quadrat nehmen:

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 9 cm bereits bekannt.

somit gilt: G = a² = (9 cm)² = 81 cm²

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Raumdiagonale

Dreiecke im Quader

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Kanten bei einer Pyramide

Anwendungen Pythagoras

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Bestimmung der Kantenlänge s

Bestimmung der Mantelfläche M

Pyramide (Volumenberechnung)

Bestimmung der Pyramidenhöhe h

Bestimmung der Grundfläche G