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Raumdiagonale
Beispiel:
Ein Quader hat die Kantenlängen a = 6 mm, b = 3 mm und c = 4 mm.
Berechne die Länge der Raumdiagonale.
Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 6 mm und b = 3 mm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:
d12 = a² +b² = (6 mm)2 + (3 mm)2 = 36 mm² + 9 mm² = 45 mm²
d1 = mm ≈ 6.708 mm
Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:
d2 = d1² + c² = ( mm)2 + (4 mm)2 = 45 mm² + 16 mm² = 61 mm²
Da d12 = a2 +b2 gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d2 = a2 + b2 + c2 = 36 mm² + 9 mm² +
16 mm² = 61 mm²
berechnen.
d = mm ≈ 7.81 mm
Dreiecke im Quader
Beispiel:
Ein Quader hat die Kantenlängen a = 8 mm, b = 2 mm und c = 9 mm.
Berechne den Umfang U und den Flächeninhalt A des abgebildeten (grünen) Dreiecks.
Die Frontwanddiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a= 8 mm und c = 9 mm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:
d12 = a² + c² = (8 mm)2 + (9 mm)2 = 64 mm² + 81 mm² = 145 mm²
d1 = mm ≈ 12.042 mm
Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und b, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:
d2 = d1² + b² = ( mm)2 + (2 mm)2 = 145 mm² + 4 mm² = 149 mm²
d = mm ≈ 12.207 mm
Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + b ≈ 12.04 mm +
12.21 mm + 2 mm ≈ 26.25 mm
Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 2:
A = d1 ⋅b ≈ ⋅12.04 mm⋅
2 mm ≈ 12.04 mm²
Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts
Beispiel:
Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 5 cm, b = 5 cm, h = 5 cm.
Berechne hb und s.
Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:
Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse hb, einer Kathete h und der anderen Kathete a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:
hb2 = h2 + (a)2
Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:
hb2 = 52 + 2,5 2 = 25 + 6,25 = 31,25
Also gilt hb = cm ≈ 5,6 cm
Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete hb und der anderen Kathete b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:
s2 = hb2 + (b)2
Da ja hb und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:
s = 5,592 + 2,52 = 31,25 + 6,25 = 37
Also gilt s = cm ≈ 6,1 cm
Kanten bei einer Pyramide
Beispiel:
Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 5 m, b = 5 m, hb = 8.4 m.
Berechne h und s.
Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:
Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse hb, einer Kathete h und der anderen Kathete a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:
hb2 = h2 + (a)2
Weil wir h suchen, stellen wir nach h um:
hb2 - (a)2 = h2
h2 = 8,42 - 2,52 = 70,56 - 6,25 = 64,31
Also gilt h = m ≈ 8 m
Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete hb und der anderen Kathete b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:
s2 = hb2 + (b)2
Da ja hb und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:
s = 8,42 + 2,52 = 70,56 + 6,25 = 77
Also gilt s = m ≈ 8,8 m
Anwendungen Pythagoras
Beispiel:
Ein Leuchtturm ist 46m über dem Meeresspiegel. Wie weit (in m) könnte von dort aus bei optimalen Sichtverhältnissen maximal aufgrund der Erdkrümmung aufs Meer hinausschauen? Als Erdradius kann man mit 6371km rechnen.
Es gilt:
63710002 + k12 = 63710462
40589641000000 + k12 = 40590227134116 |-40589641000000
k12 = 586134116 |
k1 ≈ 24210.21
Somit gilt für die gesuchte Kathete:
k1 ≈ 24210.21m
Pyramide (Oberflächenberechnung)
Beispiel:
Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Grundfläche G = 36 mm² und Höhe der Seitenfläche ha = 6,71 mm.
Berechne die Pyramidenhöhe h und die Grundflächenlänge a.
Bestimmung der Pyramidenhöhe h
Die Höhe einer Seitenfläche ist ja mit ha = 6,71 mm bereits bekannt.
Um h zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundseitenlänge a berechnen:
Die Grundfläche G ist ja mit G = 36 mm² bereits bekannt.
Und da diese Grundfläche ja ein Quadrat mit Seitenlänge a ist, gilt: G = a² oder eben:
a = = mm = 6 mm
Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse ha, einer Kathete h und der anderen Kathete a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:
ha2 = h2 + (a)2
Weil wir h suchen, stellen wir nach h um:
ha2 - (a)2 = h2
h2 = 6,712 - 32 = 45 - 9 = 36
Also gilt h = mm ≈ 6 mm
Bestimmung der Grundflächenlänge a
Die Grundflächenlänge a wurde ja bereits oben als a = 6 mm berechnet.
Pyramide (Volumenberechnung)
Beispiel:
Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Grundfläche G = 16 mm² und Höhe der Seitenfläche ha = 7,28 mm.
Berechne die Grundflächenlänge a und die Kantenlänge s.
Bestimmung der Grundflächenlänge a
Die Grundfläche G ist ja mit G = 16 mm² bereits bekannt.
Und da diese Grundfläche ja ein Quadrat mit Seitenlänge a ist, gilt: G = a² oder eben:
a = = mm = 4 mm
Bestimmung der Kantenlänge s
Die Höhe einer Seitenfläche ist ja mit ha = 7,28 mm bereits bekannt.
Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 4 mm bereits bekannt.
Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete ha und der anderen Kathete a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:
s2 = ha2 + (a)2
Da ja ha und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:
s = 7,282 + 22 = 53 + 4 = 4
Also gilt s = mm ≈ 7,55 mm