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Raumdiagonale

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 2 mm, b = 7 mm und c = 3 mm.
Berechne die Länge der Raumdiagonale.

Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 2 mm und b = 7 mm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² +b² = (2 mm)² + (7 mm)² = 4 mm² + 49 mm² = 53 mm²

d1 = $\sqrt{53}$ mm ≈ 7.28 mm

Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{53}$ mm)² + (3 mm)² = 53 mm² + 9 mm² = 62 mm²

Da d1² = a² +b² gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d² = a² + b² + c² = 4 mm² + 49 mm² + 9 mm² = 62 mm²
berechnen.

d = $\sqrt{62}$ mm ≈ 7.874 mm

Dreiecke im Quader

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 4 m, b = 2 m und c = 6 m.
Berechne den Umfang U und den Flächeninhalt A des abgebildeten (grünen) Dreiecks.

Lösung einblenden

Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a= 4 m und b = 2 m, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² + b² = (4 m)² + (2 m)² = 16 m² + 4 m² = 20 m²

d1 = $\sqrt{20}$ m ≈ 4.472 m

Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{20}$ m)² + (6 m)² = 20 m² + 36 m² = 56 m²

d = $\sqrt{56}$ m ≈ 7.483 m

Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + c ≈ 4.47 m + 7.48 m + 6 m ≈ 17.96 m

Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 6:
A = $\frac{1}{2}$ d1 ⋅c ≈ $\frac{1}{2}$ ⋅4.47 m⋅ 6 m ≈ 13.42 m²

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 9 mm, b = 5 mm, h = 8 mm.
Berechne h_b und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 8² + 4,5 ² = 64 + 20,25 = 84,25

Also gilt h_b = $\sqrt{84.25}$ mm ≈ 9,2 mm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 9,18² + 2,5² = 84,27 + 6,25 = 91

Also gilt s = $\sqrt{90.52}$ mm ≈ 9,5 mm

Kanten bei einer Pyramide

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 6 m, h_b = 8.5 m, s = 8.9 m.
Berechne h und b.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir h suchen, stellen wir nach h um:

h_b² - ( $\frac{1}{2}$ a)² = h²

h² = 8,5² - 3² = 72,25 - 9 = 63,25

Also gilt h = $\sqrt{63.25}$ m ≈ 8 m

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Weil wir b suchen, stellen wir nach b um:

( $\frac{1}{2}$ b)² = s² - h_b²

( $\frac{1}{2}$ b)² = 8,9² - 8,5² = 79,21 - 72,25 = 6,96

Also gilt $\frac{1}{2}$ b = $\sqrt{6.96}$ m ≈ 2,64 m

Somit gilt: b ≈ 5,3 m

Anwendungen Pythagoras

Beispiel:

Ein 6m hoher Mast wird von der einen Seite mit einem 10m langen Seil und von der gegenüberliegenden Seite mit einem 10m langen Seil abgespannt. Wie weit sind die Verankerungen der Spannseile von einander entfernt?

Lösung einblenden

Im ersten Dreieck gilt:

6² + k1² = 10²

36 + k1² = 100 |-36

k1² = 64 | $\sqrt[]{\cdot}$

k1 ≈ 8

Im zweiten Dreieck gilt:

6² + k2² = 10²

36 + k2² = 100 |-36

k2² = 64 | $\sqrt[]{\cdot}$

k2 ≈ 8

Beide Strecken zusammen ergeben somit:
d = k1 + k2 ≈ 16m

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Kantenlänge s = 7,55 cm und Grundfläche G = 64 cm².
Berechne die Oberfläche O und die Pyramidenhöhe h.

Lösung einblenden

Bestimmung der Oberfläche O

Um die Oberfläche dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir einfach den Mantel und die Grundfläche addieren:

Die Mantelfläche M besteht aus den 4 gleich großen Flächeninhalten der Seitenflächen dieser Pyramide. Diese soll nun berechnet werden:

Bevor wir den Flächeninhalt einer Seite berechnen können, müssen wir zuerst die Grundflächenlänge a berechnen:

Die Grundfläche G ist ja mit G = 64 cm² bereits bekannt.

Und da diese Grundfläche ja ein Quadrat mit Seitenlänge a ist, gilt: G = a² oder eben:

a = $\sqrt{G}$ = $\sqrt{64}$ cm = 8 cm

Wir berechnen die Seitenhöhe h_a:

Die Höhe einer Seitenfläche dieser Pyramide bestimmen wir über das rechtwinklige Dreieck der halben Seitenfläche:

Die Grundflächenlänge a ist ja mit a = 8 cm bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir h_a suchen, stellen wir nach h_a um:

s² - ( $\frac{1}{2}$ a)² = h_a ²

h_a² = 7,55² - 4² = 57 - 16 = 41

Also gilt h_a = $\sqrt{41}$ cm ≈ 6,4 cm

Den Flächeninhalt einer Seitenfläche können wir ja einfach mit der Formel A_S= $\frac{1}{2}$ a⋅h_a berechen:

A_S = $\frac{1}{2}$ ⋅8 cm⋅6,4 cm ≈ 25,61 cm²

Für die Mantelfläche müssen wir nun diese 4 Flächeninhalte noch zusammenzählen:

M = 4⋅25,61 cm² = 102,45 cm²

Die Grundfläche G ist ja mit G = 64 cm² bereits bekannt.

somit gilt: O = M + G = 102,45 cm² + 64 cm² = 166,45 cm²

Bestimmung der Pyramidenhöhe h

Die Höhe einer Seitenfläche ist ja mit h_a = 6,4 cm bereits bekannt.

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 8 cm bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir h suchen, stellen wir nach h um:

h_a² - ( $\frac{1}{2}$ a)² = h²

h² = 6,4² - 4² = 41 - 16 = 25

Also gilt h = $\sqrt{25}$ cm ≈ 5 cm

Pyramide (Volumenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Kantenlänge s = 9,46 m und Höhe der Seitenfläche ha = 8,32 m.
Berechne die Grundflächenlänge a und die Pyramidenhöhe h.

Lösung einblenden

Bestimmung der Grundflächenlänge a

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir a suchen, stellen wir nach a um:

( $\frac{1}{2}$ a)² = s² - h_a²

( $\frac{1}{2}$ a)² = 9,46² - 8,32² = 89,5 - 69,25 = 20,25

Also gilt $\frac{1}{2}$ a = $\sqrt{20.25}$ m ≈ 4,5 m

Somit gilt: a ≈ 9 m

Bestimmung der Pyramidenhöhe h

Die Höhe einer Seitenfläche ist ja mit h_a = 8,32 m bereits bekannt.

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 9 m bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir h suchen, stellen wir nach h um:

h_a² - ( $\frac{1}{2}$ a)² = h²

h² = 8,32² - 4,5² = 69,25 - 20,25 = 49

Also gilt h = $\sqrt{49}$ m ≈ 7 m

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Raumdiagonale

Dreiecke im Quader

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Kanten bei einer Pyramide

Anwendungen Pythagoras

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Bestimmung der Oberfläche O

Bestimmung der Pyramidenhöhe h

Pyramide (Volumenberechnung)

Bestimmung der Grundflächenlänge a

Bestimmung der Pyramidenhöhe h