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Raumdiagonale

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 3 m, b = 8 m und c = 4 m.
Berechne die Länge der Raumdiagonale.

Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 3 m und b = 8 m, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² +b² = (3 m)² + (8 m)² = 9 m² + 64 m² = 73 m²

d1 = $\sqrt{73}$ m ≈ 8.544 m

Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{73}$ m)² + (4 m)² = 73 m² + 16 m² = 89 m²

Da d1² = a² +b² gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d² = a² + b² + c² = 9 m² + 64 m² + 16 m² = 89 m²
berechnen.

d = $\sqrt{89}$ m ≈ 9.434 m

Dreiecke im Quader

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 9 mm, b = 2 mm und c = 6 mm.
Berechne den Umfang U und den Flächeninhalt A des abgebildeten (grünen) Dreiecks.

Lösung einblenden

Die Seitenwanddiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten b= 2 mm und c = 6 mm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = b² + c² = (2 mm)² + (6 mm)² = 4 mm² + 36 mm² = 40 mm²

d1 = $\sqrt{40}$ mm ≈ 6.325 mm

Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und a, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + a² = ( $\sqrt{40}$ mm)² + (9 mm)² = 40 mm² + 81 mm² = 121 mm²

d = $\sqrt{121}$ mm ≈ 11 mm

Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + a ≈ 6.32 mm + 11 mm + 9 mm ≈ 26.32 mm

Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 9:
A = $\frac{1}{2}$ d1 ⋅a ≈ $\frac{1}{2}$ ⋅6.32 mm⋅ 9 mm ≈ 28.46 mm²

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 7 mm, b = 7 mm, h = 6 mm.
Berechne h_b und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 6² + 3,5 ² = 36 + 12,25 = 48,25

Also gilt h_b = $\sqrt{48.25}$ mm ≈ 6,9 mm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 6,95² + 3,5² = 48,3 + 12,25 = 61

Also gilt s = $\sqrt{60.55}$ mm ≈ 7,7 mm

Kanten bei einer Pyramide

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 6 cm, b = 5 cm, h = 5 cm.
Berechne h_b und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 5² + 3 ² = 25 + 9 = 34

Also gilt h_b = $\sqrt{34}$ cm ≈ 5,8 cm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 5,83² + 2,5² = 33,99 + 6,25 = 40

Also gilt s = $\sqrt{40.24}$ cm ≈ 6,3 cm

Anwendungen Pythagoras

Beispiel:

Ein Haus hat eine Gesamthöhe von 8,5m. Die (fünfeckigen) Stirnseiten sind 6m breit. Die rechteckigen Seitenflächen sind 8m lang und vom Boden bis zur Dachkante 6m hoch. Berechne die Fläche des Hausdachs.

Lösung einblenden

Es gilt:

2.5² + 3² =h²

6.25 +9 = h²

15.25 = h² | $\sqrt[]{\cdot}$

3.91 ≈ h

Um die gesuchte Fläche zu berechnen, muss nun zunächst diese Hypotenuse mit 8m multipliziert werden.

Somit erhalten wir für eine Hälfte der gesuchten Fläche: A_H ≈ 31.24m²

Für die Gesamtfläche gilt dann:
A ≈ 62.48m²

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Pyramidenhöhe h = 8 cm und Grundflächenlänge a = 9 cm.
Berechne die Grundfläche G und die Kantenlänge s.

Lösung einblenden

Bestimmung der Grundfläche G

Um die Grundfläche dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir einfach die Grundflächenlänge a zum Quadrat nehmen:

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 9 cm bereits bekannt.

somit gilt: G = a² = (9 cm)² = 81 cm²

Bestimmung der Kantenlänge s

Um s zu berechnen, müssen wir zuerst die Seitenhöhe h_a berechnen:

Die Grundflächenlänge a ist ja mit a = 9 cm bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_a² = 8² + 4,5 ² = 64 + 20,25 = 84,25

Also gilt h_a = $\sqrt{84.25}$ cm ≈ 9,18 cm

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 9 cm bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h_a und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 9,18² + 4,5² = 84,27 + 20,25 = 105

Also gilt s = $\sqrt{104.52}$ cm ≈ 10,22 cm

Pyramide (Volumenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Grundfläche G = 81 mm² und Höhe der Seitenfläche ha = 8,32 mm.
Berechne das Volumen V und die Kantenlänge s.

Lösung einblenden

Bestimmung des Volumen V

Um das Volumen dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir die Volumenformel einer Pyramide anwenden: V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h

Die Grundfläche G ist ja mit G = 81 mm² bereits bekannt.

Die Höhe einer Seitenfläche ist ja mit h_a = 8,32 mm bereits bekannt.

Um h zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundseitenlänge a berechnen:

Die Grundfläche G ist ja mit G = 81 mm² bereits bekannt.

Und da diese Grundfläche ja ein Quadrat mit Seitenlänge a ist, gilt: G = a² oder eben:

a = $\sqrt{G}$ = $\sqrt{81}$ mm = 9 mm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir h suchen, stellen wir nach h um:

h_a² - ( $\frac{1}{2}$ a)² = h²

h² = 8,32² - 4,5² = 69,25 - 20,25 = 49

Also gilt h = $\sqrt{49}$ mm ≈ 7 mm

somit gilt: V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h = $\frac{1}{3}$ ⋅81 mm² ⋅ 7 mm ≈ 189 mm³

Bestimmung der Kantenlänge s

Die Höhe einer Seitenfläche ist ja mit h_a = 8,32 mm bereits bekannt.

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 9 mm bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h_a und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 8,32² + 4,5² = 69,25 + 20,25 = 90

Also gilt s = $\sqrt{89.5}$ mm ≈ 9,46 mm

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Raumdiagonale

Dreiecke im Quader

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Kanten bei einer Pyramide

Anwendungen Pythagoras

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Bestimmung der Grundfläche G

Bestimmung der Kantenlänge s

Pyramide (Volumenberechnung)

Bestimmung des Volumen V

Bestimmung der Kantenlänge s