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Raumdiagonale

Beispiel:

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Ein Quader hat die Kantenlängen a = 3 mm, b = 9 mm und c = 5 mm.
Berechne die Länge der Raumdiagonale.

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Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 3 mm und b = 9 mm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d12 = a² +b² = (3 mm)2 + (9 mm)2 = 9 mm² + 81 mm² = 90 mm²

d1 = 90 mm ≈ 9.487 mm

Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d2 = d1² + c² = ( 90 mm)2 + (5 mm)2 = 90 mm² + 25 mm² = 115 mm²

Da d12 = a2 +b2 gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d2 = a2 + b2 + c2 = 9 mm² + 81 mm² + 25 mm² = 115 mm²
berechnen.

d = 115 mm ≈ 10.724 mm

Dreiecke im Quader

Beispiel:

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Ein Quader hat die Kantenlängen a = 5 mm, b = 5 mm und c = 9 mm.
Berechne den Umfang U und den Flächeninhalt A des abgebildeten (grünen) Dreiecks.

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Die Deckendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a= 5 mm und b = 5 mm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d12 = a² + b² = (5 mm)2 + (5 mm)2 = 25 mm² + 25 mm² = 50 mm²

d1 = 50 mm ≈ 7.071 mm

Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d2 = d1² + c² = ( 50 mm)2 + (9 mm)2 = 50 mm² + 81 mm² = 131 mm²

d = 131 mm ≈ 11.446 mm

Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + c ≈ 7.07 mm + 11.45 mm + 9 mm ≈ 27.52 mm

Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 9:
A = 1 2 d1 ⋅c ≈ 1 2 ⋅7.07 mm⋅ 9 mm ≈ 31.82 mm²

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Beispiel:

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Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 5 mm, b = 5 mm, h = 8 mm.
Berechne hb und s.

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Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse hb, einer Kathete h und der anderen Kathete 1 2 a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

hb2 = h2 + ( 1 2 a)2

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

hb2 = 82 + 2,5 2 = 64 + 6,25 = 70,25

Also gilt hb = 70.25 mm ≈ 8,4 mm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete hb und der anderen Kathete 1 2 b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s2 = hb2 + ( 1 2 b)2

Da ja hb und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 8,382 + 2,52 = 70,22 + 6,25 = 76

Also gilt s = 76.47 mm ≈ 8,8 mm

Kanten bei einer Pyramide

Beispiel:

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Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: b = 8 mm, h = 5 mm, s = 7.5 mm.
Berechne a und hb.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete hb und der anderen Kathete 1 2 b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s2 = hb2 + ( 1 2 b)2

Weil wir hb suchen, stellen wir nach hb um:

s2 - ( 1 2 b)2 = hb 2

hb2 = 7,52 - 42 = 56,25 - 16 = 40,25

Also gilt hb = 40.25 mm ≈ 6,4 mm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse hb, einer Kathete h und der anderen Kathete 1 2 a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

hb2 = h2 + ( 1 2 a)2

Weil wir a suchen, stellen wir nach a um:

( 1 2 a)2 = hb2 - h2

( 1 2 a)2 = 6,342 - 52 = 40,25 - 25 = 15,25

Also gilt 1 2 a = 15.25 mm ≈ 3,9 mm

Somit gilt: a ≈ 7,8 mm

Anwendungen Pythagoras

Beispiel:

Ein 5m hoher Mast wird von der einen Seite mit einem 12m langen Seil und von der gegenüberliegenden Seite mit einem 16m langen Seil abgespannt. Wie weit sind die Verankerungen der Spannseile von einander entfernt?

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Im ersten Dreieck gilt:

52 + k12 = 122

25 + k12 = 144 |-25

k12 = 119 |

k1 ≈ 10.91

Im zweiten Dreieck gilt:

52 + k22 = 162

25 + k22 = 256 |-25

k22 = 231 |

k2 ≈ 15.2

Beide Strecken zusammen ergeben somit:
d = k1 + k2 ≈ 26.11m

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Beispiel:

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Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Grundflächenlänge a = 7 m und Oberfläche O = 171,25 m².
Berechne die Grundfläche G und die Höhe der Seitenfläche ha.

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Bestimmung der Grundfläche G

Um die Grundfläche dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir einfach die Grundflächenlänge a zum Quadrat nehmen:

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 7 m bereits bekannt.

somit gilt: G = a² = (7 m)² = 49 m²

Bestimmung der Höhe der Seitenfläche ha

Um ha zu berechnen, müssen wir zuerst die Mantelfläche M berechnen:

Da sich ja die Oberfläche aus Grundfläche und Mantelfläche zusammensetzt, können wir die Mantelfläche dieser Pyramide einfach als Differenz M = O - G bestimmen:

somit gilt: M = O - G = 171,25 m² - 49 m² = 122,25 m²

ha ist ja die Höhe der Seitenfläche. Und da die Mantelfläche aus 4 solchen gleichen Seitenflächen besteht und die Mantelfläche M ja mit M = 122,25 m² bereits bekannt ist, gilt für eine solche Seitenfläche AS = 1 4 ⋅ 122,25 m² = 30.562 m².

Zum anderen gilt aber auch
AS = 1 2 a⋅ha, also: 30.562 m² = 1 2 a⋅ha oder eben

ha = 2⋅30.56 a

Die Grundflächenlänge a ist ja mit a = 7 m bereits bekannt.

somit gilt: ha = 61.12 7 m ≈ 8,73 m

Pyramide (Volumenberechnung)

Beispiel:

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Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Grundfläche G = 49 mm² und Pyramidenhöhe h = 8 mm.
Berechne die Kantenlänge s und die Grundflächenlänge a.

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Bestimmung der Kantenlänge s

Um s zu berechnen, müssen wir zuerst die Seitenhöhe ha berechnen:

Um ha zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundseitenlänge a berechnen:

Die Grundfläche G ist ja mit G = 49 mm² bereits bekannt.

Und da diese Grundfläche ja ein Quadrat mit Seitenlänge a ist, gilt: G = a² oder eben:

a = G = 49 mm = 7 mm

Die Pyramindenhöhe h ist ja mit h = 8 mm bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse ha, einer Kathete h und der anderen Kathete 1 2 a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

ha2 = h2 + ( 1 2 a)2

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

ha2 = 82 + 3,5 2 = 64 + 12,25 = 76,25

Also gilt ha = 76.25 mm ≈ 8,73 mm

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 7 mm bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete ha und der anderen Kathete 1 2 a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s2 = ha2 + ( 1 2 a)2

Da ja ha und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 8,732 + 3,52 = 76,21 + 12,25 = 88

Also gilt s = 88.46 mm ≈ 9,41 mm

Bestimmung der Grundflächenlänge a

Die Grundflächenlänge a wurde ja bereits oben als a = 7 mm berechnet.