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Raumdiagonale

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 7 cm, b = 5 cm und c = 6 cm.
Berechne die Länge der Raumdiagonale.

Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 7 cm und b = 5 cm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² +b² = (7 cm)² + (5 cm)² = 49 cm² + 25 cm² = 74 cm²

d1 = $\sqrt{74}$ cm ≈ 8.602 cm

Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{74}$ cm)² + (6 cm)² = 74 cm² + 36 cm² = 110 cm²

Da d1² = a² +b² gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d² = a² + b² + c² = 49 cm² + 25 cm² + 36 cm² = 110 cm²
berechnen.

d = $\sqrt{110}$ cm ≈ 10.488 cm

Dreiecke im Quader

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 2 cm, b = 7 cm und c = 4 cm.
Berechne den Umfang U und den Flächeninhalt A des abgebildeten (grünen) Dreiecks.

Lösung einblenden

Die Deckendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a= 2 cm und b = 7 cm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² + b² = (2 cm)² + (7 cm)² = 4 cm² + 49 cm² = 53 cm²

d1 = $\sqrt{53}$ cm ≈ 7.28 cm

Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{53}$ cm)² + (4 cm)² = 53 cm² + 16 cm² = 69 cm²

d = $\sqrt{69}$ cm ≈ 8.307 cm

Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + c ≈ 7.28 cm + 8.31 cm + 4 cm ≈ 19.59 cm

Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 4:
A = $\frac{1}{2}$ d1 ⋅c ≈ $\frac{1}{2}$ ⋅7.28 cm⋅ 4 cm ≈ 14.56 cm²

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 6 cm, b = 6 cm, h = 7 cm.
Berechne h_b und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 7² + 3 ² = 49 + 9 = 58

Also gilt h_b = $\sqrt{58}$ cm ≈ 7,6 cm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 7,62² + 3² = 58,06 + 9 = 67

Also gilt s = $\sqrt{67.06}$ cm ≈ 8,2 cm

Kanten bei einer Pyramide

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: h = 5 mm, h_b = 6.4 mm, s = 6.7 mm.
Berechne a und b.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir a suchen, stellen wir nach a um:

( $\frac{1}{2}$ a)² = h_b² - h²

( $\frac{1}{2}$ a)² = 6,4² - 5² = 40,96 - 25 = 15,96

Also gilt $\frac{1}{2}$ a = $\sqrt{15.96}$ mm ≈ 4 mm

Somit gilt: a ≈ 8 mm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Weil wir b suchen, stellen wir nach b um:

( $\frac{1}{2}$ b)² = s² - h_b²

( $\frac{1}{2}$ b)² = 6,7² - 6,4² = 44,89 - 40,96 = 3,93

Also gilt $\frac{1}{2}$ b = $\sqrt{3.93}$ mm ≈ 1,98 mm

Somit gilt: b ≈ 4 mm

Anwendungen Pythagoras

Beispiel:

Ein 7m hoher Mast wird von der einen Seite mit einem 9m langen Seil und von der gegenüberliegenden Seite mit einem 8m langen Seil abgespannt. Wie weit sind die Verankerungen der Spannseile von einander entfernt?

Lösung einblenden

Im ersten Dreieck gilt:

7² + k1² = 9²

49 + k1² = 81 |-49

k1² = 32 | $\sqrt[]{\cdot}$

k1 ≈ 5.66

Im zweiten Dreieck gilt:

7² + k2² = 8²

49 + k2² = 64 |-49

k2² = 15 | $\sqrt[]{\cdot}$

k2 ≈ 3.87

Beide Strecken zusammen ergeben somit:
d = k1 + k2 ≈ 9.53m

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Höhe der Seitenfläche ha = 7,21 cm und Mantelfläche M = 115,38 cm².
Berechne die Pyramidenhöhe h und die Grundfläche G.

Lösung einblenden

Bestimmung der Pyramidenhöhe h

Die Höhe einer Seitenfläche ist ja mit h_a = 7,21 cm bereits bekannt.

Um h zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundseitenlänge a berechnen:

Die Mantelfläche ist ja mit M = 115,38 cm² bereits bekannt.

Die Mantelfläche M besteht aus den 4 gleich großen Flächeninhalten der Seitenflächen dieser Pyramide, also hat eine Seitenfläche den Flächeninhalt A_S = $\frac{1}{4}$ M = 28.844 cm²

Diesen Flächeninhalt einer Seitenfläche kann man ja aber auch mit der Formel A_S= $\frac{1}{2}$ a⋅h_a berechnen.

Umgestellt nach a ergibt dies a = $\frac{2⋅AS}{ha}$ = $\frac{57.69}{7,21}$ cm ≈ 8 cm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir h suchen, stellen wir nach h um:

h_a² - ( $\frac{1}{2}$ a)² = h²

h² = 7,21² - 4² = 52 - 16 = 36

Also gilt h = $\sqrt{36}$ cm ≈ 6 cm

Bestimmung der Grundfläche G

Um die Grundfläche dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir einfach die Grundflächenlänge a zum Quadrat nehmen:

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 8 cm bereits bekannt.

somit gilt: G = a² = (8 cm)² = 64 cm²

Pyramide (Volumenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Grundflächenlänge a = 9 mm und Volumen V = 135 mm.
Berechne die Höhe der Seitenfläche ha und die Grundfläche G.

Lösung einblenden

Bestimmung der Höhe der Seitenfläche ha

Die Grundflächenlänge a ist ja mit a = 9 mm bereits bekannt.

Um h_a zu berechnen, müssen wir zuerst die Pyramindenhöhe h berechnen:

Um h zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundseite G berechnen:

Da sich ja das Volumen V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h zusammensetzt, können wir diese Formel nach G umstellen und erhalten
G = $\frac{3⋅V}{h}$ :

Das Volumen V ist ja mit V = 135 mm³ bereits bekannt.

somit gilt: G = $\frac{3⋅V}{h}$ = $\frac{3⋅135 mm³}{5 mm}$ ≈ 81 mm²

Da sich ja das Volumen V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h zusammensetzt, können wir diese Formel nach h umstellen und erhalten
h = $\frac{3⋅V}{G}$ :

Das Volumen V ist ja mit V = 135 mm³ bereits bekannt.

somit gilt: h = $\frac{3⋅V}{G}$ = $\frac{3⋅135 mm³}{81 mm²}$ ≈ 5 mm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_a² = 5² + 4,5 ² = 25 + 20,25 = 45,25

Also gilt h_a = $\sqrt{45.25}$ mm ≈ 6,73 mm

Bestimmung der Grundfläche G

Die Grundfläche G wurde ja bereits oben als G = 81 mm² berechnet.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Raumdiagonale

Dreiecke im Quader

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Kanten bei einer Pyramide

Anwendungen Pythagoras

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Bestimmung der Pyramidenhöhe h

Bestimmung der Grundfläche G

Pyramide (Volumenberechnung)

Bestimmung der Höhe der Seitenfläche ha

Bestimmung der Grundfläche G