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Raumdiagonale

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 7 m, b = 7 m und c = 6 m.
Berechne die Länge der Raumdiagonale.

Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 7 m und b = 7 m, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² +b² = (7 m)² + (7 m)² = 49 m² + 49 m² = 98 m²

d1 = $\sqrt{98}$ m ≈ 9.899 m

Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{98}$ m)² + (6 m)² = 98 m² + 36 m² = 134 m²

Da d1² = a² +b² gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d² = a² + b² + c² = 49 m² + 49 m² + 36 m² = 134 m²
berechnen.

d = $\sqrt{134}$ m ≈ 11.576 m

Dreiecke im Quader

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 4 mm, b = 9 mm und c = 9 mm.
Berechne den Umfang U und den Flächeninhalt A des abgebildeten (grünen) Dreiecks.

Lösung einblenden

Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a= 4 mm und b = 9 mm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² + b² = (4 mm)² + (9 mm)² = 16 mm² + 81 mm² = 97 mm²

d1 = $\sqrt{97}$ mm ≈ 9.849 mm

Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{97}$ mm)² + (9 mm)² = 97 mm² + 81 mm² = 178 mm²

d = $\sqrt{178}$ mm ≈ 13.342 mm

Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + c ≈ 9.85 mm + 13.34 mm + 9 mm ≈ 32.19 mm

Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 9:
A = $\frac{1}{2}$ d1 ⋅c ≈ $\frac{1}{2}$ ⋅9.85 mm⋅ 9 mm ≈ 44.32 mm²

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 5 cm, b = 4 cm, h = 7 cm.
Berechne h_b und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 7² + 2,5 ² = 49 + 6,25 = 55,25

Also gilt h_b = $\sqrt{55.25}$ cm ≈ 7,4 cm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 7,43² + 2² = 55,2 + 4 = 59

Also gilt s = $\sqrt{59.2}$ cm ≈ 7,7 cm

Kanten bei einer Pyramide

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 8 cm, h_b = 8.9 cm, s = 9.8 cm.
Berechne h und b.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir h suchen, stellen wir nach h um:

h_b² - ( $\frac{1}{2}$ a)² = h²

h² = 8,9² - 4² = 79,21 - 16 = 63,21

Also gilt h = $\sqrt{63.21}$ cm ≈ 8 cm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Weil wir b suchen, stellen wir nach b um:

( $\frac{1}{2}$ b)² = s² - h_b²

( $\frac{1}{2}$ b)² = 9,8² - 8,9² = 96,04 - 79,21 = 16,83

Also gilt $\frac{1}{2}$ b = $\sqrt{16.83}$ cm ≈ 4,1 cm

Somit gilt: b ≈ 8,2 cm

Anwendungen Pythagoras

Beispiel:

Ein Haus hat eine Gesamthöhe von 12,5m. Die (fünfeckigen) Stirnseiten sind 12m breit. Die rechteckigen Seitenflächen sind 9m lang und vom Boden bis zur Dachkante 9m hoch. Berechne die Fläche des Hausdachs.

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Es gilt:

3.5² + 6² =h²

12.25 +36 = h²

48.25 = h² | $\sqrt[]{\cdot}$

6.95 ≈ h

Um die gesuchte Fläche zu berechnen, muss nun zunächst diese Hypotenuse mit 9m multipliziert werden.

Somit erhalten wir für eine Hälfte der gesuchten Fläche: A_H ≈ 62.52m²

Für die Gesamtfläche gilt dann:
A ≈ 125.03m²

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Oberfläche O = 207,11 mm² und Mantelfläche M = 143,11 mm².
Berechne die Höhe der Seitenfläche ha und die Grundflächenlänge a.

Lösung einblenden

Bestimmung der Höhe der Seitenfläche ha

h_a ist ja die Höhe der Seitenfläche. Und da die Mantelfläche aus 4 solchen gleichen Seitenflächen besteht und die Mantelfläche M ja mit M = 143,11 mm² bereits bekannt ist, gilt für eine solche Seitenfläche A_S = $\frac{1}{4}$ ⋅ 143,11 mm² = 35.777 mm².

Zum anderen gilt aber auch
A_S =

\frac{1}{2}

a⋅h_a, also: 35.777 mm² =

\frac{1}{2}

a⋅h_a oder eben

h_a = $\frac{2⋅35.78}{a}$

Um h_a zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundseitenlänge a berechnen:

Um a zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundfläche G berechnen:

Da sich ja die Oberfläche aus Grundfläche und Mantelfläche zusammensetzt, können wir die Grundfläche dieser Pyramide einfach als Differenz G = O - M bestimmen:

Die Mantelfläche M ist ja mit M = 143,11 mm² bereits bekannt.

Die Oberfläche O ist ja mit O = 207,11 mm² bereits bekannt.

somit gilt: G = O - M = 207,11 mm² - 143,11 mm² = 64 mm²

Und da diese Grundfläche ja ein Quadrat mit Seitenlänge a ist, gilt: G = a² oder eben:

a = $\sqrt{G}$ = $\sqrt{64}$ mm = 8 mm

somit gilt: h_a = $\frac{71.55}{8}$ mm ≈ 8,94 mm

Bestimmung der Grundflächenlänge a

Die Grundflächenlänge a wurde ja bereits oben als a = 8 mm berechnet.

Pyramide (Volumenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Grundflächenlänge a = 9 m und Volumen V = 162 m.
Berechne die Kantenlänge s und die Grundfläche G.

Lösung einblenden

Bestimmung der Kantenlänge s

Um s zu berechnen, müssen wir zuerst die Seitenhöhe h_a berechnen:

Die Grundflächenlänge a ist ja mit a = 9 m bereits bekannt.

Um h_a zu berechnen, müssen wir zuerst die Pyramindenhöhe h berechnen:

Um h zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundseite G berechnen:

Da sich ja das Volumen V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h zusammensetzt, können wir diese Formel nach G umstellen und erhalten
G = $\frac{3⋅V}{h}$ :

Das Volumen V ist ja mit V = 162 m³ bereits bekannt.

somit gilt: G = $\frac{3⋅V}{h}$ = $\frac{3⋅162 m³}{6 m}$ ≈ 81 m²

Da sich ja das Volumen V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h zusammensetzt, können wir diese Formel nach h umstellen und erhalten
h = $\frac{3⋅V}{G}$ :

Das Volumen V ist ja mit V = 162 m³ bereits bekannt.

somit gilt: h = $\frac{3⋅V}{G}$ = $\frac{3⋅162 m³}{81 m²}$ ≈ 6 m

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_a² = 6² + 4,5 ² = 36 + 20,25 = 56,25

Also gilt h_a = $\sqrt{56.25}$ m ≈ 7,5 m

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 9 m bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h_a und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 7,5² + 4,5² = 56,25 + 20,25 = 77

Also gilt s = $\sqrt{76.5}$ m ≈ 8,75 m

Bestimmung der Grundfläche G

Die Grundfläche G wurde ja bereits oben als G = 81 m² berechnet.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Raumdiagonale

Dreiecke im Quader

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Kanten bei einer Pyramide

Anwendungen Pythagoras

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Bestimmung der Höhe der Seitenfläche ha

Bestimmung der Grundflächenlänge a

Pyramide (Volumenberechnung)

Bestimmung der Kantenlänge s

Bestimmung der Grundfläche G