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Raumdiagonale

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 5 m, b = 7 m und c = 2 m.
Berechne die Länge der Raumdiagonale.

Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 5 m und b = 7 m, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² +b² = (5 m)² + (7 m)² = 25 m² + 49 m² = 74 m²

d1 = $\sqrt{74}$ m ≈ 8.602 m

Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{74}$ m)² + (2 m)² = 74 m² + 4 m² = 78 m²

Da d1² = a² +b² gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d² = a² + b² + c² = 25 m² + 49 m² + 4 m² = 78 m²
berechnen.

d = $\sqrt{78}$ m ≈ 8.832 m

Dreiecke im Quader

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 6 cm, b = 5 cm und c = 8 cm.
Berechne den Umfang U und den Flächeninhalt A des abgebildeten (grünen) Dreiecks.

Lösung einblenden

Die Deckendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a= 6 cm und b = 5 cm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² + b² = (6 cm)² + (5 cm)² = 36 cm² + 25 cm² = 61 cm²

d1 = $\sqrt{61}$ cm ≈ 7.81 cm

Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{61}$ cm)² + (8 cm)² = 61 cm² + 64 cm² = 125 cm²

d = $\sqrt{125}$ cm ≈ 11.18 cm

Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + c ≈ 7.81 cm + 11.18 cm + 8 cm ≈ 26.99 cm

Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 8:
A = $\frac{1}{2}$ d1 ⋅c ≈ $\frac{1}{2}$ ⋅7.81 cm⋅ 8 cm ≈ 31.24 cm²

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 7 cm, b = 4 cm, h = 6 cm.
Berechne h_b und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 6² + 3,5 ² = 36 + 12,25 = 48,25

Also gilt h_b = $\sqrt{48.25}$ cm ≈ 6,9 cm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 6,95² + 2² = 48,3 + 4 = 52

Also gilt s = $\sqrt{52.3}$ cm ≈ 7,2 cm

Kanten bei einer Pyramide

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: h = 7 m, h_b = 7.6 m, s = 8.2 m.
Berechne a und b.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir a suchen, stellen wir nach a um:

( $\frac{1}{2}$ a)² = h_b² - h²

( $\frac{1}{2}$ a)² = 7,6² - 7² = 57,76 - 49 = 8,76

Also gilt $\frac{1}{2}$ a = $\sqrt{8.76}$ m ≈ 3 m

Somit gilt: a ≈ 5,9 m

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Weil wir b suchen, stellen wir nach b um:

( $\frac{1}{2}$ b)² = s² - h_b²

( $\frac{1}{2}$ b)² = 8,2² - 7,6² = 67,24 - 57,76 = 9,48

Also gilt $\frac{1}{2}$ b = $\sqrt{9.48}$ m ≈ 3,08 m

Somit gilt: b ≈ 6,2 m

Anwendungen Pythagoras

Beispiel:

Ein Haus hat eine Gesamthöhe von 7,5m. Die (fünfeckigen) Stirnseiten sind 6m breit. Die rechteckigen Seitenflächen sind 10m lang und vom Boden bis zur Dachkante 3m hoch. Berechne die Fläche des Hausdachs.

Lösung einblenden

Es gilt:

4.5² + 3² =h²

20.25 +9 = h²

29.25 = h² | $\sqrt[]{\cdot}$

5.41 ≈ h

Um die gesuchte Fläche zu berechnen, muss nun zunächst diese Hypotenuse mit 10m multipliziert werden.

Somit erhalten wir für eine Hälfte der gesuchten Fläche: A_H ≈ 54.08m²

Für die Gesamtfläche gilt dann:
A ≈ 108.17m²

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Grundfläche G = 81 m² und Pyramidenhöhe h = 7 m.
Berechne die Kantenlänge s und die Höhe der Seitenfläche ha.

Lösung einblenden

Bestimmung der Kantenlänge s

Um s zu berechnen, müssen wir zuerst die Seitenhöhe h_a berechnen:

Um h_a zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundseitenlänge a berechnen:

Die Grundfläche G ist ja mit G = 81 m² bereits bekannt.

Und da diese Grundfläche ja ein Quadrat mit Seitenlänge a ist, gilt: G = a² oder eben:

a = $\sqrt{G}$ = $\sqrt{81}$ m = 9 m

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_a² = 7² + 4,5 ² = 49 + 20,25 = 69,25

Also gilt h_a = $\sqrt{69.25}$ m ≈ 8,32 m

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 9 m bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h_a und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 8,32² + 4,5² = 69,22 + 20,25 = 89

Also gilt s = $\sqrt{89.47}$ m ≈ 9,46 m

Bestimmung der Höhe der Seitenfläche ha

Die Höhe der Seitenfläche ha wurde ja bereits oben als ha = 8,32 m berechnet.

Pyramide (Volumenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Höhe der Seitenfläche ha = 6,32 cm und Grundfläche G = 16 cm².
Berechne die Kantenlänge s und die Grundflächenlänge a.

Lösung einblenden

Bestimmung der Kantenlänge s

Die Höhe einer Seitenfläche ist ja mit h_a = 6,32 cm bereits bekannt.

Um s zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundseitenlänge a berechnen:

Die Grundfläche G ist ja mit G = 16 cm² bereits bekannt.

Und da diese Grundfläche ja ein Quadrat mit Seitenlänge a ist, gilt: G = a² oder eben:

a = $\sqrt{G}$ = $\sqrt{16}$ cm = 4 cm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h_a und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 6,32² + 2² = 40 + 4 = 4

Also gilt s = $\sqrt{4}$ cm ≈ 6,63 cm

Bestimmung der Grundflächenlänge a

Die Grundflächenlänge a wurde ja bereits oben als a = 4 cm berechnet.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Raumdiagonale

Dreiecke im Quader

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Kanten bei einer Pyramide

Anwendungen Pythagoras

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Bestimmung der Kantenlänge s

Bestimmung der Höhe der Seitenfläche ha

Pyramide (Volumenberechnung)

Bestimmung der Kantenlänge s

Bestimmung der Grundflächenlänge a