Mathebattle EduRandomtasks

Raumdiagonale

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 3 m, b = 8 m und c = 8 m.
Berechne die Länge der Raumdiagonale.

Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 3 m und b = 8 m, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² +b² = (3 m)² + (8 m)² = 9 m² + 64 m² = 73 m²

d1 = $\sqrt{73}$ m ≈ 8.544 m

Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{73}$ m)² + (8 m)² = 73 m² + 64 m² = 137 m²

Da d1² = a² +b² gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d² = a² + b² + c² = 9 m² + 64 m² + 64 m² = 137 m²
berechnen.

d = $\sqrt{137}$ m ≈ 11.705 m

Dreiecke im Quader

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 2 cm, b = 8 cm und c = 4 cm.
Berechne den Umfang U und den Flächeninhalt A des abgebildeten (grünen) Dreiecks.

Lösung einblenden

Die Seitenwanddiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten b= 8 cm und c = 4 cm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = b² + c² = (8 cm)² + (4 cm)² = 64 cm² + 16 cm² = 80 cm²

d1 = $\sqrt{80}$ cm ≈ 8.944 cm

Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und a, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + a² = ( $\sqrt{80}$ cm)² + (2 cm)² = 80 cm² + 4 cm² = 84 cm²

d = $\sqrt{84}$ cm ≈ 9.165 cm

Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + a ≈ 8.94 cm + 9.17 cm + 2 cm ≈ 20.11 cm

Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 2:
A = $\frac{1}{2}$ d1 ⋅a ≈ $\frac{1}{2}$ ⋅8.94 cm⋅ 2 cm ≈ 8.94 cm²

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 7 mm, b = 7 mm, h = 8 mm.
Berechne h_b und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 8² + 3,5 ² = 64 + 12,25 = 76,25

Also gilt h_b = $\sqrt{76.25}$ mm ≈ 8,7 mm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 8,73² + 3,5² = 76,21 + 12,25 = 88

Also gilt s = $\sqrt{88.46}$ mm ≈ 9,4 mm

Kanten bei einer Pyramide

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 7 cm, b = 5 cm, s = 6.6 cm.
Berechne h und h_b.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Weil wir h_b suchen, stellen wir nach h_b um:

s² - ( $\frac{1}{2}$ b)² = h_b ²

h_b² = 6,6² - 2,5² = 43,56 - 6,25 = 37,31

Also gilt h_b = $\sqrt{37.31}$ cm ≈ 6,1 cm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir h suchen, stellen wir nach h um:

h_b² - ( $\frac{1}{2}$ a)² = h²

h² = 6,11² - 3,5² = 37,31 - 12,25 = 25,06

Also gilt h = $\sqrt{25.06}$ cm ≈ 5 cm

Anwendungen Pythagoras

Beispiel:

Ein 9m hoher Mast wird von der einen Seite mit einem 12m langen Seil und von der gegenüberliegenden Seite mit einem 17m langen Seil abgespannt. Wie weit sind die Verankerungen der Spannseile von einander entfernt?

Lösung einblenden

Im ersten Dreieck gilt:

9² + k1² = 12²

81 + k1² = 144 |-81

k1² = 63 | $\sqrt[]{\cdot}$

k1 ≈ 7.94

Im zweiten Dreieck gilt:

9² + k2² = 17²

81 + k2² = 289 |-81

k2² = 208 | $\sqrt[]{\cdot}$

k2 ≈ 14.42

Beide Strecken zusammen ergeben somit:
d = k1 + k2 ≈ 22.36m

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Höhe der Seitenfläche ha = 8,73 m und Mantelfläche M = 122,25 m².
Berechne die Grundflächenlänge a und die Kantenlänge s.

Lösung einblenden

Bestimmung der Grundflächenlänge a

Die Mantelfläche ist ja mit M = 122,25 m² bereits bekannt.

Die Mantelfläche M besteht aus den 4 gleich großen Flächeninhalten der Seitenflächen dieser Pyramide, also hat eine Seitenfläche den Flächeninhalt A_S = $\frac{1}{4}$ M = 30.562 m²

Diesen Flächeninhalt einer Seitenfläche kann man ja aber auch mit der Formel A_S= $\frac{1}{2}$ a⋅h_a berechnen.

Umgestellt nach a ergibt dies a = $\frac{2⋅AS}{ha}$ = $\frac{61.12}{8,73}$ m ≈ 7 m

Bestimmung der Kantenlänge s

Die Höhe einer Seitenfläche ist ja mit h_a = 8,73 m bereits bekannt.

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 7 m bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h_a und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 8,73² + 3,5² = 76,25 + 12,25 = 12

Also gilt s = $\sqrt{12.25}$ m ≈ 9,41 m

Pyramide (Volumenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Volumen V = 96 m und Grundflächenlänge a = 6 m.
Berechne die Höhe der Seitenfläche ha und die Grundfläche G.

Lösung einblenden

Bestimmung der Höhe der Seitenfläche ha

Die Grundflächenlänge a ist ja mit a = 6 m bereits bekannt.

Um h_a zu berechnen, müssen wir zuerst die Pyramindenhöhe h berechnen:

Um h zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundseite G berechnen:

Da sich ja das Volumen V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h zusammensetzt, können wir diese Formel nach G umstellen und erhalten
G = $\frac{3⋅V}{h}$ :

Das Volumen V ist ja mit V = 96 m³ bereits bekannt.

somit gilt: G = $\frac{3⋅V}{h}$ = $\frac{3⋅96 m³}{8 m}$ ≈ 36 m²

Da sich ja das Volumen V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h zusammensetzt, können wir diese Formel nach h umstellen und erhalten
h = $\frac{3⋅V}{G}$ :

Das Volumen V ist ja mit V = 96 m³ bereits bekannt.

somit gilt: h = $\frac{3⋅V}{G}$ = $\frac{3⋅96 m³}{36 m²}$ ≈ 8 m

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_a² = 8² + 3 ² = 64 + 9 = 73

Also gilt h_a = $\sqrt{73}$ m ≈ 8,54 m

Bestimmung der Grundfläche G

Die Grundfläche G wurde ja bereits oben als G = 36 m² berechnet.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Raumdiagonale

Dreiecke im Quader

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Kanten bei einer Pyramide

Anwendungen Pythagoras

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Bestimmung der Grundflächenlänge a

Bestimmung der Kantenlänge s

Pyramide (Volumenberechnung)

Bestimmung der Höhe der Seitenfläche ha

Bestimmung der Grundfläche G