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Raumdiagonale

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 5 cm, b = 6 cm und c = 5 cm.
Berechne die Länge der Raumdiagonale.

Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 5 cm und b = 6 cm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² +b² = (5 cm)² + (6 cm)² = 25 cm² + 36 cm² = 61 cm²

d1 = $\sqrt{61}$ cm ≈ 7.81 cm

Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{61}$ cm)² + (5 cm)² = 61 cm² + 25 cm² = 86 cm²

Da d1² = a² +b² gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d² = a² + b² + c² = 25 cm² + 36 cm² + 25 cm² = 86 cm²
berechnen.

d = $\sqrt{86}$ cm ≈ 9.274 cm

Dreiecke im Quader

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 2 cm, b = 3 cm und c = 6 cm.
Berechne den Umfang U und den Flächeninhalt A des abgebildeten (grünen) Dreiecks.

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Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a= 2 cm und b = 3 cm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² + b² = (2 cm)² + (3 cm)² = 4 cm² + 9 cm² = 13 cm²

d1 = $\sqrt{13}$ cm ≈ 3.606 cm

Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{13}$ cm)² + (6 cm)² = 13 cm² + 36 cm² = 49 cm²

d = $\sqrt{49}$ cm ≈ 7 cm

Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + c ≈ 3.61 cm + 7 cm + 6 cm ≈ 16.61 cm

Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 6:
A = $\frac{1}{2}$ d1 ⋅c ≈ $\frac{1}{2}$ ⋅3.61 cm⋅ 6 cm ≈ 10.82 cm²

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 7 cm, b = 5 cm, h = 7 cm.
Berechne h_b und s.

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Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 7² + 3,5 ² = 49 + 12,25 = 61,25

Also gilt h_b = $\sqrt{61.25}$ cm ≈ 7,8 cm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 7,83² + 2,5² = 61,31 + 6,25 = 68

Also gilt s = $\sqrt{67.56}$ cm ≈ 8,2 cm

Kanten bei einer Pyramide

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 9 mm, h_b = 9.2 mm, s = 9.7 mm.
Berechne h und b.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir h suchen, stellen wir nach h um:

h_b² - ( $\frac{1}{2}$ a)² = h²

h² = 9,2² - 4,5² = 84,64 - 20,25 = 64,39

Also gilt h = $\sqrt{64.39}$ mm ≈ 8 mm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Weil wir b suchen, stellen wir nach b um:

( $\frac{1}{2}$ b)² = s² - h_b²

( $\frac{1}{2}$ b)² = 9,7² - 9,2² = 94,09 - 84,64 = 9,45

Also gilt $\frac{1}{2}$ b = $\sqrt{9.45}$ mm ≈ 3,08 mm

Somit gilt: b ≈ 6,2 mm

Anwendungen Pythagoras

Beispiel:

Ein Haus hat eine Gesamthöhe von 7m. Die (fünfeckigen) Stirnseiten sind 14m breit. Die rechteckigen Seitenflächen sind 15m lang und vom Boden bis zur Dachkante 3m hoch. Berechne die Fläche des Hausdachs.

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Es gilt:

4² + 7² =h²

16 +49 = h²

65 = h² | $\sqrt[]{\cdot}$

8.06 ≈ h

Um die gesuchte Fläche zu berechnen, muss nun zunächst diese Hypotenuse mit 15m multipliziert werden.

Somit erhalten wir für eine Hälfte der gesuchten Fläche: A_H ≈ 120.93m²

Für die Gesamtfläche gilt dann:
A ≈ 241.87m²

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Kantenlänge s = 7,55 mm und Höhe der Seitenfläche ha = 6,4 mm.
Berechne die Pyramidenhöhe h und die Oberfläche O.

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Bestimmung der Pyramidenhöhe h

Die Höhe einer Seitenfläche ist ja mit h_a = 6,4 mm bereits bekannt.

Um h zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundseitenlänge a berechnen:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir a suchen, stellen wir nach a um:

( $\frac{1}{2}$ a)² = s² - h_a²

( $\frac{1}{2}$ a)² = 7,55² - 6,4² = 57 - 41 = 16

Also gilt $\frac{1}{2}$ a = $\sqrt{16}$ mm ≈ 4 mm

Somit gilt: a ≈ 8 mm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir h suchen, stellen wir nach h um:

h_a² - ( $\frac{1}{2}$ a)² = h²

h² = 6,4² - 4² = 41 - 16 = 25

Also gilt h = $\sqrt{25}$ mm ≈ 5 mm

Bestimmung der Oberfläche O

Um die Oberfläche dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir einfach den Mantel und die Grundfläche addieren:

Die Mantelfläche M besteht aus den 4 gleich großen Flächeninhalten der Seitenflächen dieser Pyramide. Diese soll nun berechnet werden:

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 8 mm bereits bekannt.

Den Flächeninhalt einer Seitenfläche können wir ja einfach mit der Formel A_S= $\frac{1}{2}$ a⋅h_a berechen:

A_S = $\frac{1}{2}$ ⋅8 mm⋅6,4 mm ≈ 25,61 mm²

Für die Mantelfläche müssen wir nun diese 4 Flächeninhalte noch zusammenzählen:

M = 4⋅25,61 mm² = 102,45 mm²

Um die Grundfläche dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir einfach die Grundflächenlänge a zum Quadrat nehmen:

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 8 mm bereits bekannt.

somit gilt: G = a² = (8 mm)² = 64 mm²

somit gilt: O = M + G = 102,45 mm² + 64 mm² = 166,45 mm²

Pyramide (Volumenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Pyramidenhöhe h = 7 m und Grundfläche G = 64 m².
Berechne die Kantenlänge s und das Volumen V.

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Bestimmung der Kantenlänge s

Um s zu berechnen, müssen wir zuerst die Seitenhöhe h_a berechnen:

Um h_a zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundseitenlänge a berechnen:

Die Grundfläche G ist ja mit G = 64 m² bereits bekannt.

Und da diese Grundfläche ja ein Quadrat mit Seitenlänge a ist, gilt: G = a² oder eben:

a = $\sqrt{G}$ = $\sqrt{64}$ m = 8 m

Die Pyramindenhöhe h ist ja mit h = 7 m bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_a² = 7² + 4 ² = 49 + 16 = 65

Also gilt h_a = $\sqrt{65}$ m ≈ 8,06 m

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 8 m bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h_a und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 8,06² + 4² = 64,96 + 16 = 81

Also gilt s = $\sqrt{80.96}$ m ≈ 9 m

Bestimmung des Volumen V

Um das Volumen dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir die Volumenformel einer Pyramide anwenden: V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h

Die Grundfläche G ist ja mit G = 64 m² bereits bekannt.

Die Pyramindehöhe h ist ja mit h = 7 m² bereits bekannt.

somit gilt: V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h = $\frac{1}{3}$ ⋅64 m² ⋅ 7 m ≈ 149,33 m³

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Raumdiagonale

Dreiecke im Quader

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Kanten bei einer Pyramide

Anwendungen Pythagoras

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Bestimmung der Pyramidenhöhe h

Bestimmung der Oberfläche O

Pyramide (Volumenberechnung)

Bestimmung der Kantenlänge s

Bestimmung des Volumen V