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Raumdiagonale

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 5 mm, b = 8 mm und c = 2 mm.
Berechne die Länge der Raumdiagonale.

Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 5 mm und b = 8 mm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² +b² = (5 mm)² + (8 mm)² = 25 mm² + 64 mm² = 89 mm²

d1 = $\sqrt{89}$ mm ≈ 9.434 mm

Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{89}$ mm)² + (2 mm)² = 89 mm² + 4 mm² = 93 mm²

Da d1² = a² +b² gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d² = a² + b² + c² = 25 mm² + 64 mm² + 4 mm² = 93 mm²
berechnen.

d = $\sqrt{93}$ mm ≈ 9.644 mm

Dreiecke im Quader

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 4 mm, b = 5 mm und c = 7 mm.
Berechne den Umfang U und den Flächeninhalt A des abgebildeten (grünen) Dreiecks.

Lösung einblenden

Die Deckendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a= 4 mm und b = 5 mm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² + b² = (4 mm)² + (5 mm)² = 16 mm² + 25 mm² = 41 mm²

d1 = $\sqrt{41}$ mm ≈ 6.403 mm

Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{41}$ mm)² + (7 mm)² = 41 mm² + 49 mm² = 90 mm²

d = $\sqrt{90}$ mm ≈ 9.487 mm

Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + c ≈ 6.4 mm + 9.49 mm + 7 mm ≈ 22.89 mm

Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 7:
A = $\frac{1}{2}$ d1 ⋅c ≈ $\frac{1}{2}$ ⋅6.4 mm⋅ 7 mm ≈ 22.41 mm²

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 8 m, b = 8 m, h = 8 m.
Berechne h_b und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 8² + 4 ² = 64 + 16 = 80

Also gilt h_b = $\sqrt{80}$ m ≈ 8,9 m

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 8,94² + 4² = 79,92 + 16 = 96

Also gilt s = $\sqrt{95.92}$ m ≈ 9,8 m

Kanten bei einer Pyramide

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 6 m, b = 4 m, h = 7 m.
Berechne h_b und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 7² + 3 ² = 49 + 9 = 58

Also gilt h_b = $\sqrt{58}$ m ≈ 7,6 m

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 7,62² + 2² = 58,06 + 4 = 62

Also gilt s = $\sqrt{62.06}$ m ≈ 7,9 m

Anwendungen Pythagoras

Beispiel:

Ein Kegel ist 40 cm hoch. Sein Grundkreis hat einen Durchmesser von 30 cm. Wie lang ist die Strecke von einem Punkt auf dem Grundkreis zur Spitze?

Lösung einblenden

Es gilt:

15² + 40² =h²

225 +1600 = h²

1825 = h² | $\sqrt[]{\cdot}$

42.72 ≈ h

Somit gilt für die gesuchte Hypotenuse:
h ≈ 42.72cm

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Mantelfläche M = 165,22 cm² und Höhe der Seitenfläche ha = 9,18 cm.
Berechne die Oberfläche O und die Kantenlänge s.

Lösung einblenden

Bestimmung der Oberfläche O

Um die Oberfläche dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir einfach den Mantel und die Grundfläche addieren:

Die Mantelfläche M ist ja mit M = 165,22 cm² bereits bekannt.

Um die Grundfläche dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir einfach die Grundflächenlänge a zum Quadrat nehmen:

Die Mantelfläche ist ja mit M = 165,22 cm² bereits bekannt.

Die Mantelfläche M besteht aus den 4 gleich großen Flächeninhalten der Seitenflächen dieser Pyramide, also hat eine Seitenfläche den Flächeninhalt A_S = $\frac{1}{4}$ M = 41.305 cm²

Diesen Flächeninhalt einer Seitenfläche kann man ja aber auch mit der Formel A_S= $\frac{1}{2}$ a⋅h_a berechnen.

Umgestellt nach a ergibt dies a = $\frac{2⋅AS}{ha}$ = $\frac{82.61}{9,18}$ cm ≈ 9 cm

somit gilt: G = a² = (9 cm)² = 81 cm²

somit gilt: O = M + G = 165,22 cm² + 81 cm² = 246,22 cm²

Bestimmung der Kantenlänge s

Die Höhe einer Seitenfläche ist ja mit h_a = 9,18 cm bereits bekannt.

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 9 cm bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h_a und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 9,18² + 4,5² = 84,25 + 20,25 = 20

Also gilt s = $\sqrt{20.25}$ cm ≈ 10,22 cm

Pyramide (Volumenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Kantenlänge s = 8,57 mm und Grundflächenlänge a = 7 mm.
Berechne die Grundfläche G und das Volumen V.

Lösung einblenden

Bestimmung der Grundfläche G

Um die Grundfläche dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir einfach die Grundflächenlänge a zum Quadrat nehmen:

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 7 mm bereits bekannt.

somit gilt: G = a² = (7 mm)² = 49 mm²

Bestimmung des Volumen V

Um das Volumen dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir die Volumenformel einer Pyramide anwenden: V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h

Die Grundfläche G ist ja mit G = 49 mm² bereits bekannt.

Um h zu berechnen, müssen wir zuerst die Seitenhöhe h_a berechnen:

Die Grundflächenlänge a ist ja mit a = 7 mm bereits bekannt.

Die Höhe einer Seitenfläche dieser Pyramide bestimmen wir über das rechtwinklige Dreieck der halben Seitenfläche:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir h_a suchen, stellen wir nach h_a um:

s² - ( $\frac{1}{2}$ a)² = h_a ²

h_a² = 8,57² - 3,5² = 73,5 - 12,25 = 61,25

Also gilt h_a = $\sqrt{61.25}$ mm ≈ 7,83 mm

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 7 mm bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir h suchen, stellen wir nach h um:

h_a² - ( $\frac{1}{2}$ a)² = h²

h² = 7,83² - 3,5² = 61,25 - 12,25 = 49

Also gilt h = $\sqrt{49}$ mm ≈ 7 mm

somit gilt: V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h = $\frac{1}{3}$ ⋅49 mm² ⋅ 7 mm ≈ 114,33 mm³

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Raumdiagonale

Dreiecke im Quader

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Kanten bei einer Pyramide

Anwendungen Pythagoras

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Bestimmung der Oberfläche O

Bestimmung der Kantenlänge s

Pyramide (Volumenberechnung)

Bestimmung der Grundfläche G

Bestimmung des Volumen V