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Raumdiagonale

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 7 m, b = 2 m und c = 6 m.
Berechne die Länge der Raumdiagonale.

Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 7 m und b = 2 m, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² +b² = (7 m)² + (2 m)² = 49 m² + 4 m² = 53 m²

d1 = $\sqrt{53}$ m ≈ 7.28 m

Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{53}$ m)² + (6 m)² = 53 m² + 36 m² = 89 m²

Da d1² = a² +b² gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d² = a² + b² + c² = 49 m² + 4 m² + 36 m² = 89 m²
berechnen.

d = $\sqrt{89}$ m ≈ 9.434 m

Dreiecke im Quader

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 3 mm, b = 8 mm und c = 2 mm.
Berechne den Umfang U und den Flächeninhalt A des abgebildeten (grünen) Dreiecks.

Lösung einblenden

Die Frontwanddiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a= 3 mm und c = 2 mm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² + c² = (3 mm)² + (2 mm)² = 9 mm² + 4 mm² = 13 mm²

d1 = $\sqrt{13}$ mm ≈ 3.606 mm

Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und b, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + b² = ( $\sqrt{13}$ mm)² + (8 mm)² = 13 mm² + 64 mm² = 77 mm²

d = $\sqrt{77}$ mm ≈ 8.775 mm

Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + b ≈ 3.61 mm + 8.77 mm + 8 mm ≈ 20.38 mm

Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 8:
A = $\frac{1}{2}$ d1 ⋅b ≈ $\frac{1}{2}$ ⋅3.61 mm⋅ 8 mm ≈ 14.42 mm²

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 6 cm, b = 4 cm, h = 8 cm.
Berechne h_b und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 8² + 3 ² = 64 + 9 = 73

Also gilt h_b = $\sqrt{73}$ cm ≈ 8,5 cm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 8,54² + 2² = 72,93 + 4 = 77

Also gilt s = $\sqrt{76.93}$ cm ≈ 8,7 cm

Kanten bei einer Pyramide

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: b = 6 m, h = 7 m, s = 8.6 m.
Berechne a und h_b.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Weil wir h_b suchen, stellen wir nach h_b um:

s² - ( $\frac{1}{2}$ b)² = h_b ²

h_b² = 8,6² - 3² = 73,96 - 9 = 64,96

Also gilt h_b = $\sqrt{64.96}$ m ≈ 8,1 m

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir a suchen, stellen wir nach a um:

( $\frac{1}{2}$ a)² = h_b² - h²

( $\frac{1}{2}$ a)² = 8,06² - 7² = 64,96 - 49 = 15,96

Also gilt $\frac{1}{2}$ a = $\sqrt{15.96}$ m ≈ 4 m

Somit gilt: a ≈ 8 m

Anwendungen Pythagoras

Beispiel:

Ein Kegel ist 55 cm hoch. Sein Grundkreis hat einen Durchmesser von 50 cm. Wie lang ist die Strecke von einem Punkt auf dem Grundkreis zur Spitze?

Lösung einblenden

Es gilt:

25² + 55² =h²

625 +3025 = h²

3650 = h² | $\sqrt[]{\cdot}$

60.42 ≈ h

Somit gilt für die gesuchte Hypotenuse:
h ≈ 60.42cm

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Grundflächenlänge a = 8 m und Mantelfläche M = 102,45 m².
Berechne die Grundfläche G und die Kantenlänge s.

Lösung einblenden

Bestimmung der Grundfläche G

Um die Grundfläche dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir einfach die Grundflächenlänge a zum Quadrat nehmen:

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 8 m bereits bekannt.

somit gilt: G = a² = (8 m)² = 64 m²

Bestimmung der Kantenlänge s

Um s zu berechnen, müssen wir zuerst die Seitenhöhe h_a berechnen:

h_a ist ja die Höhe der Seitenfläche. Und da die Mantelfläche aus 4 solchen gleichen Seitenflächen besteht und die Mantelfläche M ja mit M = 102,45 m² bereits bekannt ist, gilt für eine solche Seitenfläche A_S = $\frac{1}{4}$ ⋅ 102,45 m² = 25.612 m².

Zum anderen gilt aber auch
A_S =

\frac{1}{2}

a⋅h_a, also: 25.612 m² =

\frac{1}{2}

a⋅h_a oder eben

h_a = $\frac{2⋅25.61}{a}$

Die Grundflächenlänge a ist ja mit a = 8 m bereits bekannt.

somit gilt: h_a = $\frac{51.22}{8}$ m ≈ 6,4 m

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 8 m bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h_a und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 6,4² + 4² = 41 + 16 = 16

Also gilt s = $\sqrt{16}$ m ≈ 7,55 m

Pyramide (Volumenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Volumen V = 189 mm und Grundflächenlänge a = 9 mm.
Berechne die Pyramidenhöhe h und die Höhe der Seitenfläche ha.

Lösung einblenden

Bestimmung der Pyramidenhöhe h

Um h zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundseite G berechnen:

Da sich ja das Volumen V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h zusammensetzt, können wir diese Formel nach G umstellen und erhalten
G = $\frac{3⋅V}{h}$ :

Das Volumen V ist ja mit V = 189 mm³ bereits bekannt.

somit gilt: G = $\frac{3⋅V}{h}$ = $\frac{3⋅189 mm³}{7 mm}$ ≈ 81 mm²

Da sich ja das Volumen V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h zusammensetzt, können wir diese Formel nach h umstellen und erhalten
h = $\frac{3⋅V}{G}$ :

Das Volumen V ist ja mit V = 189 mm³ bereits bekannt.

somit gilt: h = $\frac{3⋅V}{G}$ = $\frac{3⋅189 mm³}{81 mm²}$ ≈ 7 mm

Bestimmung der Höhe der Seitenfläche ha

Die Grundflächenlänge a ist ja mit a = 9 mm bereits bekannt.

Die Pyramindenhöhe h ist ja mit h = 7 mm bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_a² = 7² + 4,5 ² = 49 + 20,25 = 69,25

Also gilt h_a = $\sqrt{69.25}$ mm ≈ 8,32 mm

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Raumdiagonale

Dreiecke im Quader

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Kanten bei einer Pyramide

Anwendungen Pythagoras

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Bestimmung der Grundfläche G

Bestimmung der Kantenlänge s

Pyramide (Volumenberechnung)

Bestimmung der Pyramidenhöhe h

Bestimmung der Höhe der Seitenfläche ha