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Raumdiagonale

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 9 cm, b = 4 cm und c = 5 cm.
Berechne die Länge der Raumdiagonale.

Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 9 cm und b = 4 cm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² +b² = (9 cm)² + (4 cm)² = 81 cm² + 16 cm² = 97 cm²

d1 = $\sqrt{97}$ cm ≈ 9.849 cm

Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{97}$ cm)² + (5 cm)² = 97 cm² + 25 cm² = 122 cm²

Da d1² = a² +b² gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d² = a² + b² + c² = 81 cm² + 16 cm² + 25 cm² = 122 cm²
berechnen.

d = $\sqrt{122}$ cm ≈ 11.045 cm

Dreiecke im Quader

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 7 cm, b = 8 cm und c = 2 cm.
Berechne den Umfang U und den Flächeninhalt A des abgebildeten (grünen) Dreiecks.

Lösung einblenden

Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a= 7 cm und b = 8 cm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² + b² = (7 cm)² + (8 cm)² = 49 cm² + 64 cm² = 113 cm²

d1 = $\sqrt{113}$ cm ≈ 10.63 cm

Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{113}$ cm)² + (2 cm)² = 113 cm² + 4 cm² = 117 cm²

d = $\sqrt{117}$ cm ≈ 10.817 cm

Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + c ≈ 10.63 cm + 10.82 cm + 2 cm ≈ 23.45 cm

Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 2:
A = $\frac{1}{2}$ d1 ⋅c ≈ $\frac{1}{2}$ ⋅10.63 cm⋅ 2 cm ≈ 10.63 cm²

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 8 cm, b = 4 cm, h = 6 cm.
Berechne h_b und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 6² + 4 ² = 36 + 16 = 52

Also gilt h_b = $\sqrt{52}$ cm ≈ 7,2 cm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 7,21² + 2² = 51,98 + 4 = 56

Also gilt s = $\sqrt{55.98}$ cm ≈ 7,5 cm

Kanten bei einer Pyramide

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 7 mm, b = 7 mm, s = 7 mm.
Berechne h und h_b.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Weil wir h_b suchen, stellen wir nach h_b um:

s² - ( $\frac{1}{2}$ b)² = h_b ²

h_b² = 7² - 3,5² = 49 - 12,25 = 36,75

Also gilt h_b = $\sqrt{36.75}$ mm ≈ 6,1 mm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir h suchen, stellen wir nach h um:

h_b² - ( $\frac{1}{2}$ a)² = h²

h² = 6,06² - 3,5² = 36,75 - 12,25 = 24,5

Also gilt h = $\sqrt{24.5}$ mm ≈ 5 mm

Anwendungen Pythagoras

Beispiel:

Ein Leuchtturm ist 61m über dem Meeresspiegel. Wie weit (in m) könnte von dort aus bei optimalen Sichtverhältnissen maximal aufgrund der Erdkrümmung aufs Meer hinausschauen? Als Erdradius kann man mit 6371km rechnen.

Lösung einblenden

Es gilt:

6371000² + k1² = 6371061²

40589641000000 + k1² = 40590418265721 |-40589641000000

k1² = 777265721 | $\sqrt[]{\cdot}$

k1 ≈ 27879.49

Somit gilt für die gesuchte Kathete:
k1 ≈ 27879.49m

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Oberfläche O = 158,57 m² und Mantelfläche M = 109,57 m².
Berechne die Pyramidenhöhe h und die Grundfläche G.

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Bestimmung der Pyramidenhöhe h

Um h zu berechnen, müssen wir zuerst die Seitenhöhe h_a berechnen:

h_a ist ja die Höhe der Seitenfläche. Und da die Mantelfläche aus 4 solchen gleichen Seitenflächen besteht und die Mantelfläche M ja mit M = 109,57 m² bereits bekannt ist, gilt für eine solche Seitenfläche A_S = $\frac{1}{4}$ ⋅ 109,57 m² = 27.392 m².

Zum anderen gilt aber auch
A_S =

\frac{1}{2}

a⋅h_a, also: 27.392 m² =

\frac{1}{2}

a⋅h_a oder eben

h_a = $\frac{2⋅27.39}{a}$

Um h_a zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundseitenlänge a berechnen:

Um a zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundfläche G berechnen:

Da sich ja die Oberfläche aus Grundfläche und Mantelfläche zusammensetzt, können wir die Grundfläche dieser Pyramide einfach als Differenz G = O - M bestimmen:

Die Mantelfläche M ist ja mit M = 109,57 m² bereits bekannt.

Die Oberfläche O ist ja mit O = 158,57 m² bereits bekannt.

somit gilt: G = O - M = 158,57 m² - 109,57 m² = 49 m²

Und da diese Grundfläche ja ein Quadrat mit Seitenlänge a ist, gilt: G = a² oder eben:

a = $\sqrt{G}$ = $\sqrt{49}$ m = 7 m

somit gilt: h_a = $\frac{54.78}{7}$ m ≈ 7,83 m

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 7 m bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir h suchen, stellen wir nach h um:

h_a² - ( $\frac{1}{2}$ a)² = h²

h² = 7,83² - 3,5² = 61,25 - 12,25 = 49

Also gilt h = $\sqrt{49}$ m ≈ 7 m

Bestimmung der Grundfläche G

Die Grundfläche G wurde ja bereits oben als G = 49 m² berechnet.

Pyramide (Volumenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Grundfläche G = 49 m² und Höhe der Seitenfläche ha = 8,73 m.
Berechne das Volumen V und die Grundflächenlänge a.

Lösung einblenden

Bestimmung des Volumen V

Um das Volumen dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir die Volumenformel einer Pyramide anwenden: V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h

Die Grundfläche G ist ja mit G = 49 m² bereits bekannt.

Die Höhe einer Seitenfläche ist ja mit h_a = 8,73 m bereits bekannt.

Um h zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundseitenlänge a berechnen:

Die Grundfläche G ist ja mit G = 49 m² bereits bekannt.

Und da diese Grundfläche ja ein Quadrat mit Seitenlänge a ist, gilt: G = a² oder eben:

a = $\sqrt{G}$ = $\sqrt{49}$ m = 7 m

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir h suchen, stellen wir nach h um:

h_a² - ( $\frac{1}{2}$ a)² = h²

h² = 8,73² - 3,5² = 76,25 - 12,25 = 64

Also gilt h = $\sqrt{64}$ m ≈ 8 m

somit gilt: V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h = $\frac{1}{3}$ ⋅49 m² ⋅ 8 m ≈ 130,67 m³

Bestimmung der Grundflächenlänge a

Die Grundflächenlänge a wurde ja bereits oben als a = 7 m berechnet.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Raumdiagonale

Dreiecke im Quader

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Kanten bei einer Pyramide

Anwendungen Pythagoras

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Bestimmung der Pyramidenhöhe h

Bestimmung der Grundfläche G

Pyramide (Volumenberechnung)

Bestimmung des Volumen V

Bestimmung der Grundflächenlänge a