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Raumdiagonale

Beispiel:

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Ein Quader hat die Kantenlängen a = 6 mm, b = 6 mm und c = 9 mm.
Berechne die Länge der Raumdiagonale.

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Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 6 mm und b = 6 mm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d12 = a² +b² = (6 mm)2 + (6 mm)2 = 36 mm² + 36 mm² = 72 mm²

d1 = 72 mm ≈ 8.485 mm

Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d2 = d1² + c² = ( 72 mm)2 + (9 mm)2 = 72 mm² + 81 mm² = 153 mm²

Da d12 = a2 +b2 gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d2 = a2 + b2 + c2 = 36 mm² + 36 mm² + 81 mm² = 153 mm²
berechnen.

d = 153 mm ≈ 12.369 mm

Dreiecke im Quader

Beispiel:

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Ein Quader hat die Kantenlängen a = 2 m, b = 7 m und c = 8 m.
Berechne den Umfang U und den Flächeninhalt A des abgebildeten (grünen) Dreiecks.

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Die Deckendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a= 2 m und b = 7 m, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d12 = a² + b² = (2 m)2 + (7 m)2 = 4 m² + 49 m² = 53 m²

d1 = 53 m ≈ 7.28 m

Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d2 = d1² + c² = ( 53 m)2 + (8 m)2 = 53 m² + 64 m² = 117 m²

d = 117 m ≈ 10.817 m

Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + c ≈ 7.28 m + 10.82 m + 8 m ≈ 26.1 m

Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 8:
A = 1 2 d1 ⋅c ≈ 1 2 ⋅7.28 m⋅ 8 m ≈ 29.12 m²

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Beispiel:

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Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 5 m, b = 4 m, h = 7 m.
Berechne hb und s.

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Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse hb, einer Kathete h und der anderen Kathete 1 2 a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

hb2 = h2 + ( 1 2 a)2

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

hb2 = 72 + 2,5 2 = 49 + 6,25 = 55,25

Also gilt hb = 55.25 m ≈ 7,4 m

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete hb und der anderen Kathete 1 2 b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s2 = hb2 + ( 1 2 b)2

Da ja hb und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 7,432 + 22 = 55,2 + 4 = 59

Also gilt s = 59.2 m ≈ 7,7 m

Kanten bei einer Pyramide

Beispiel:

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Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: h = 8 m, hb = 8.9 m, s = 9.6 m.
Berechne a und b.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse hb, einer Kathete h und der anderen Kathete 1 2 a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

hb2 = h2 + ( 1 2 a)2

Weil wir a suchen, stellen wir nach a um:

( 1 2 a)2 = hb2 - h2

( 1 2 a)2 = 8,92 - 82 = 79,21 - 64 = 15,21

Also gilt 1 2 a = 15.21 m ≈ 3,9 m

Somit gilt: a ≈ 7,8 m

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete hb und der anderen Kathete 1 2 b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s2 = hb2 + ( 1 2 b)2

Weil wir b suchen, stellen wir nach b um:

( 1 2 b)2 = s2 - hb2

( 1 2 b)2 = 9,62 - 8,92 = 92,16 - 79,21 = 12,95

Also gilt 1 2 b = 12.95 m ≈ 3,6 m

Somit gilt: b ≈ 7,2 m

Anwendungen Pythagoras

Beispiel:

Ein Kegel ist 35 cm hoch. Sein Grundkreis hat einen Durchmesser von 20 cm. Wie lang ist die Strecke von einem Punkt auf dem Grundkreis zur Spitze?

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Es gilt:

102 + 352 =h2

100 +1225 = h2

1325 = h2 | ⋅

36.4 ≈ h

Somit gilt für die gesuchte Hypotenuse:
h ≈ 36.4cm

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Beispiel:

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Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Mantelfläche M = 129 mm² und Höhe der Seitenfläche ha = 8,06 mm.
Berechne die Kantenlänge s und die Pyramidenhöhe h.

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Bestimmung der Kantenlänge s

Die Höhe einer Seitenfläche ist ja mit ha = 8,06 mm bereits bekannt.

Um s zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundseitenlänge a berechnen:

Die Mantelfläche ist ja mit M = 129 mm² bereits bekannt.

Die Mantelfläche M besteht aus den 4 gleich großen Flächeninhalten der Seitenflächen dieser Pyramide, also hat eine Seitenfläche den Flächeninhalt AS = 1 4 M = 32.249 mm²

Diesen Flächeninhalt einer Seitenfläche kann man ja aber auch mit der Formel AS= 1 2 a⋅ha berechnen.

Umgestellt nach a ergibt dies a = 2⋅AS ha = 64.5 8,06 mm ≈ 8 mm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete ha und der anderen Kathete 1 2 a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s2 = ha2 + ( 1 2 a)2

Da ja ha und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 8,062 + 42 = 65 + 16 = 16

Also gilt s = 16 mm ≈ 9 mm

Bestimmung der Pyramidenhöhe h

Die Höhe einer Seitenfläche ist ja mit ha = 8,06 mm bereits bekannt.

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 8 mm bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse ha, einer Kathete h und der anderen Kathete 1 2 a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

ha2 = h2 + ( 1 2 a)2

Weil wir h suchen, stellen wir nach h um:

ha2 - ( 1 2 a)2 = h2

h2 = 8,062 - 42 = 65 - 16 = 49

Also gilt h = 49 mm ≈ 7 mm

Pyramide (Volumenberechnung)

Beispiel:

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Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Grundfläche G = 81 mm² und Volumen V = 162 mm.
Berechne die Kantenlänge s und die Pyramidenhöhe h.

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Bestimmung der Kantenlänge s

Um s zu berechnen, müssen wir zuerst die Seitenhöhe ha berechnen:

Um ha zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundseitenlänge a berechnen:

Die Grundfläche G ist ja mit G = 81 mm² bereits bekannt.

Und da diese Grundfläche ja ein Quadrat mit Seitenlänge a ist, gilt: G = a² oder eben:

a = G = 81 mm = 9 mm

Um ha zu berechnen, müssen wir zuerst die Pyramindenhöhe h berechnen:

Die Grundfläche G ist ja mit G = 81 mm² bereits bekannt.

Da sich ja das Volumen V = 1 3 G ⋅ h zusammensetzt, können wir diese Formel nach h umstellen und erhalten
h = 3⋅V G :

Das Volumen V ist ja mit V = 162 mm³ bereits bekannt.

somit gilt: h = 3⋅V G = 3⋅162 mm³ 81 mm² ≈ 6 mm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse ha, einer Kathete h und der anderen Kathete 1 2 a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

ha2 = h2 + ( 1 2 a)2

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

ha2 = 62 + 4,5 2 = 36 + 20,25 = 56,25

Also gilt ha = 56.25 mm ≈ 7,5 mm

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 9 mm bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete ha und der anderen Kathete 1 2 a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s2 = ha2 + ( 1 2 a)2

Da ja ha und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 7,52 + 4,52 = 56,25 + 20,25 = 77

Also gilt s = 76.5 mm ≈ 8,75 mm

Bestimmung der Pyramidenhöhe h

Die Pyramidenhöhe h wurde ja bereits oben als h = 6 mm berechnet.