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Raumdiagonale

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 9 m, b = 4 m und c = 4 m.
Berechne die Länge der Raumdiagonale.

Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 9 m und b = 4 m, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² +b² = (9 m)² + (4 m)² = 81 m² + 16 m² = 97 m²

d1 = $\sqrt{97}$ m ≈ 9.849 m

Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{97}$ m)² + (4 m)² = 97 m² + 16 m² = 113 m²

Da d1² = a² +b² gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d² = a² + b² + c² = 81 m² + 16 m² + 16 m² = 113 m²
berechnen.

d = $\sqrt{113}$ m ≈ 10.63 m

Dreiecke im Quader

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 8 cm, b = 9 cm und c = 6 cm.
Berechne den Umfang U und den Flächeninhalt A des abgebildeten (grünen) Dreiecks.

Lösung einblenden

Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a= 8 cm und b = 9 cm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² + b² = (8 cm)² + (9 cm)² = 64 cm² + 81 cm² = 145 cm²

d1 = $\sqrt{145}$ cm ≈ 12.042 cm

Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{145}$ cm)² + (6 cm)² = 145 cm² + 36 cm² = 181 cm²

d = $\sqrt{181}$ cm ≈ 13.454 cm

Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + c ≈ 12.04 cm + 13.45 cm + 6 cm ≈ 31.5 cm

Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 6:
A = $\frac{1}{2}$ d1 ⋅c ≈ $\frac{1}{2}$ ⋅12.04 cm⋅ 6 cm ≈ 36.12 cm²

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 6 m, b = 6 m, h = 5 m.
Berechne h_b und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 5² + 3 ² = 25 + 9 = 34

Also gilt h_b = $\sqrt{34}$ m ≈ 5,8 m

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 5,83² + 3² = 33,99 + 9 = 43

Also gilt s = $\sqrt{42.99}$ m ≈ 6,5 m

Kanten bei einer Pyramide

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 8 mm, b = 7 mm, h_b = 6.4 mm.
Berechne h und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir h suchen, stellen wir nach h um:

h_b² - ( $\frac{1}{2}$ a)² = h²

h² = 6,4² - 4² = 40,96 - 16 = 24,96

Also gilt h = $\sqrt{24.96}$ mm ≈ 5 mm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 6,4² + 3,5² = 40,96 + 12,25 = 53

Also gilt s = $\sqrt{53.21}$ mm ≈ 7,3 mm

Anwendungen Pythagoras

Beispiel:

Ein Kegel ist 65 cm hoch. Sein Grundkreis hat einen Durchmesser von 30 cm. Wie lang ist die Strecke von einem Punkt auf dem Grundkreis zur Spitze?

Lösung einblenden

Es gilt:

15² + 65² =h²

225 +4225 = h²

4450 = h² | $\sqrt[]{\cdot}$

66.71 ≈ h

Somit gilt für die gesuchte Hypotenuse:
h ≈ 66.71cm

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Grundfläche G = 16 mm² und Mantelfläche M = 65,97 mm².
Berechne die Kantenlänge s und die Oberfläche O.

Lösung einblenden

Bestimmung der Kantenlänge s

Um s zu berechnen, müssen wir zuerst die Seitenhöhe h_a berechnen:

h_a ist ja die Höhe der Seitenfläche. Und da die Mantelfläche aus 4 solchen gleichen Seitenflächen besteht und die Mantelfläche M ja mit M = 65,97 mm² bereits bekannt ist, gilt für eine solche Seitenfläche A_S = $\frac{1}{4}$ ⋅ 65,97 mm² = 16.492 mm².

Zum anderen gilt aber auch
A_S =

\frac{1}{2}

a⋅h_a, also: 16.492 mm² =

\frac{1}{2}

a⋅h_a oder eben

h_a = $\frac{2⋅16.49}{a}$

Um h_a zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundseitenlänge a berechnen:

Die Grundfläche G ist ja mit G = 16 mm² bereits bekannt.

Und da diese Grundfläche ja ein Quadrat mit Seitenlänge a ist, gilt: G = a² oder eben:

a = $\sqrt{G}$ = $\sqrt{16}$ mm = 4 mm

somit gilt: h_a = $\frac{32.98}{4}$ mm ≈ 8,25 mm

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 4 mm bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h_a und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 8,25² + 2² = 68 + 4 = 4

Also gilt s = $\sqrt{4}$ mm ≈ 8,49 mm

Bestimmung der Oberfläche O

Um die Oberfläche dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir einfach den Mantel und die Grundfläche addieren:

Die Mantelfläche M ist ja mit M = 65,97 mm² bereits bekannt.

Die Grundfläche G ist ja mit G = 16 mm² bereits bekannt.

somit gilt: O = M + G = 65,97 mm² + 16 mm² = 81,97 mm²

Pyramide (Volumenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Pyramidenhöhe h = 8 cm und Grundflächenlänge a = 5 cm.
Berechne die Kantenlänge s und die Höhe der Seitenfläche ha.

Lösung einblenden

Bestimmung der Kantenlänge s

Um s zu berechnen, müssen wir zuerst die Seitenhöhe h_a berechnen:

Die Grundflächenlänge a ist ja mit a = 5 cm bereits bekannt.

Die Pyramindenhöhe h ist ja mit h = 8 cm bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_a² = 8² + 2,5 ² = 64 + 6,25 = 70,25

Also gilt h_a = $\sqrt{70.25}$ cm ≈ 8,38 cm

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 5 cm bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h_a und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 8,38² + 2,5² = 70,22 + 6,25 = 76

Also gilt s = $\sqrt{76.47}$ cm ≈ 8,75 cm

Bestimmung der Höhe der Seitenfläche ha

Die Höhe der Seitenfläche ha wurde ja bereits oben als ha = 8,38 cm berechnet.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Raumdiagonale

Dreiecke im Quader

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Kanten bei einer Pyramide

Anwendungen Pythagoras

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Bestimmung der Kantenlänge s

Bestimmung der Oberfläche O

Pyramide (Volumenberechnung)

Bestimmung der Kantenlänge s

Bestimmung der Höhe der Seitenfläche ha