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Raumdiagonale

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 4 m, b = 6 m und c = 8 m.
Berechne die Länge der Raumdiagonale.

Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 4 m und b = 6 m, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² +b² = (4 m)² + (6 m)² = 16 m² + 36 m² = 52 m²

d1 = $\sqrt{52}$ m ≈ 7.211 m

Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{52}$ m)² + (8 m)² = 52 m² + 64 m² = 116 m²

Da d1² = a² +b² gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d² = a² + b² + c² = 16 m² + 36 m² + 64 m² = 116 m²
berechnen.

d = $\sqrt{116}$ m ≈ 10.77 m

Dreiecke im Quader

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 6 mm, b = 9 mm und c = 8 mm.
Berechne den Umfang U und den Flächeninhalt A des abgebildeten (grünen) Dreiecks.

Lösung einblenden

Die Deckendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a= 6 mm und b = 9 mm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² + b² = (6 mm)² + (9 mm)² = 36 mm² + 81 mm² = 117 mm²

d1 = $\sqrt{117}$ mm ≈ 10.817 mm

Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{117}$ mm)² + (8 mm)² = 117 mm² + 64 mm² = 181 mm²

d = $\sqrt{181}$ mm ≈ 13.454 mm

Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + c ≈ 10.82 mm + 13.45 mm + 8 mm ≈ 32.27 mm

Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 8:
A = $\frac{1}{2}$ d1 ⋅c ≈ $\frac{1}{2}$ ⋅10.82 mm⋅ 8 mm ≈ 43.27 mm²

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 8 m, b = 6 m, h = 5 m.
Berechne h_b und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 5² + 4 ² = 25 + 16 = 41

Also gilt h_b = $\sqrt{41}$ m ≈ 6,4 m

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 6,4² + 3² = 40,96 + 9 = 50

Also gilt s = $\sqrt{49.96}$ m ≈ 7,1 m

Kanten bei einer Pyramide

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 8 mm, b = 8 mm, s = 9.8 mm.
Berechne h und h_b.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Weil wir h_b suchen, stellen wir nach h_b um:

s² - ( $\frac{1}{2}$ b)² = h_b ²

h_b² = 9,8² - 4² = 96,04 - 16 = 80,04

Also gilt h_b = $\sqrt{80.04}$ mm ≈ 8,9 mm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir h suchen, stellen wir nach h um:

h_b² - ( $\frac{1}{2}$ a)² = h²

h² = 8,95² - 4² = 80,04 - 16 = 64,04

Also gilt h = $\sqrt{64.04}$ mm ≈ 8 mm

Anwendungen Pythagoras

Beispiel:

Ein Leuchtturm ist 79m über dem Meeresspiegel. Wie weit (in m) könnte von dort aus bei optimalen Sichtverhältnissen maximal aufgrund der Erdkrümmung aufs Meer hinausschauen? Als Erdradius kann man mit 6371km rechnen.

Lösung einblenden

Es gilt:

6371000² + k1² = 6371079²

40589641000000 + k1² = 40590647624241 |-40589641000000

k1² = 1006624241 | $\sqrt[]{\cdot}$

k1 ≈ 31727.34

Somit gilt für die gesuchte Kathete:
k1 ≈ 31727.34m

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Grundfläche G = 36 m² und Kantenlänge s = 8,19 m.
Berechne die Grundflächenlänge a und die Oberfläche O.

Lösung einblenden

Bestimmung der Grundflächenlänge a

Die Grundfläche G ist ja mit G = 36 m² bereits bekannt.

Und da diese Grundfläche ja ein Quadrat mit Seitenlänge a ist, gilt: G = a² oder eben:

a = $\sqrt{G}$ = $\sqrt{36}$ m = 6 m

Bestimmung der Oberfläche O

Um die Oberfläche dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir einfach den Mantel und die Grundfläche addieren:

Die Mantelfläche M besteht aus den 4 gleich großen Flächeninhalten der Seitenflächen dieser Pyramide. Diese soll nun berechnet werden:

Wir berechnen die Seitenhöhe h_a:

Die Höhe einer Seitenfläche dieser Pyramide bestimmen wir über das rechtwinklige Dreieck der halben Seitenfläche:

Die Grundflächenlänge a ist ja mit a = 6 m bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir h_a suchen, stellen wir nach h_a um:

s² - ( $\frac{1}{2}$ a)² = h_a ²

h_a² = 8,19² - 3² = 67 - 9 = 58

Also gilt h_a = $\sqrt{58}$ m ≈ 7,62 m

Den Flächeninhalt einer Seitenfläche können wir ja einfach mit der Formel A_S= $\frac{1}{2}$ a⋅h_a berechen:

A_S = $\frac{1}{2}$ ⋅6 m⋅7,62 m ≈ 22,85 m²

Für die Mantelfläche müssen wir nun diese 4 Flächeninhalte noch zusammenzählen:

M = 4⋅22,85 m² = 91,39 m²

Die Grundfläche G ist ja mit G = 36 m² bereits bekannt.

somit gilt: O = M + G = 91,39 m² + 36 m² = 127,39 m²

Pyramide (Volumenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Volumen V = 50 mm und Pyramidenhöhe h = 6 mm.
Berechne die Kantenlänge s und die Grundfläche G.

Lösung einblenden

Bestimmung der Kantenlänge s

Um s zu berechnen, müssen wir zuerst die Seitenhöhe h_a berechnen:

Um h_a zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundseitenlänge a berechnen:

Um a zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundfläche G berechnen:

Da sich ja das Volumen V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h zusammensetzt, können wir diese Formel nach G umstellen und erhalten
G = $\frac{3⋅V}{h}$ :

Das Volumen V ist ja mit V = 50 mm³ bereits bekannt.

somit gilt: G = $\frac{3⋅V}{h}$ = $\frac{3⋅50 mm³}{6 mm}$ ≈ 25 mm²

Und da diese Grundfläche ja ein Quadrat mit Seitenlänge a ist, gilt: G = a² oder eben:

a = $\sqrt{G}$ = $\sqrt{25}$ mm = 5 mm

Die Pyramindenhöhe h ist ja mit h = 6 mm bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_a² = 6² + 2,5 ² = 36 + 6,25 = 42,25

Also gilt h_a = $\sqrt{42.25}$ mm ≈ 6,5 mm

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 5 mm bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h_a und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 6,5² + 2,5² = 42,25 + 6,25 = 49

Also gilt s = $\sqrt{48.5}$ mm ≈ 6,96 mm

Bestimmung der Grundfläche G

Die Grundfläche G wurde ja bereits oben als G = 25 mm² berechnet.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Raumdiagonale

Dreiecke im Quader

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Kanten bei einer Pyramide

Anwendungen Pythagoras

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Bestimmung der Grundflächenlänge a

Bestimmung der Oberfläche O

Pyramide (Volumenberechnung)

Bestimmung der Kantenlänge s

Bestimmung der Grundfläche G