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Raumdiagonale

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 6 mm, b = 7 mm und c = 9 mm.
Berechne die Länge der Raumdiagonale.

Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 6 mm und b = 7 mm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² +b² = (6 mm)² + (7 mm)² = 36 mm² + 49 mm² = 85 mm²

d1 = $\sqrt{85}$ mm ≈ 9.22 mm

Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{85}$ mm)² + (9 mm)² = 85 mm² + 81 mm² = 166 mm²

Da d1² = a² +b² gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d² = a² + b² + c² = 36 mm² + 49 mm² + 81 mm² = 166 mm²
berechnen.

d = $\sqrt{166}$ mm ≈ 12.884 mm

Dreiecke im Quader

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 5 m, b = 9 m und c = 5 m.
Berechne den Umfang U und den Flächeninhalt A des abgebildeten (grünen) Dreiecks.

Lösung einblenden

Die Deckendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a= 5 m und b = 9 m, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² + b² = (5 m)² + (9 m)² = 25 m² + 81 m² = 106 m²

d1 = $\sqrt{106}$ m ≈ 10.296 m

Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{106}$ m)² + (5 m)² = 106 m² + 25 m² = 131 m²

d = $\sqrt{131}$ m ≈ 11.446 m

Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + c ≈ 10.3 m + 11.45 m + 5 m ≈ 26.74 m

Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 5:
A = $\frac{1}{2}$ d1 ⋅c ≈ $\frac{1}{2}$ ⋅10.3 m⋅ 5 m ≈ 25.74 m²

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 7 m, b = 7 m, h = 5 m.
Berechne h_b und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 5² + 3,5 ² = 25 + 12,25 = 37,25

Also gilt h_b = $\sqrt{37.25}$ m ≈ 6,1 m

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 6,1² + 3,5² = 37,21 + 12,25 = 49

Also gilt s = $\sqrt{49.46}$ m ≈ 7 m

Kanten bei einer Pyramide

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 9 m, h_b = 9.2 m, s = 10.2 m.
Berechne h und b.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir h suchen, stellen wir nach h um:

h_b² - ( $\frac{1}{2}$ a)² = h²

h² = 9,2² - 4,5² = 84,64 - 20,25 = 64,39

Also gilt h = $\sqrt{64.39}$ m ≈ 8 m

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Weil wir b suchen, stellen wir nach b um:

( $\frac{1}{2}$ b)² = s² - h_b²

( $\frac{1}{2}$ b)² = 10,2² - 9,2² = 104,04 - 84,64 = 19,4

Also gilt $\frac{1}{2}$ b = $\sqrt{19.4}$ m ≈ 4,41 m

Somit gilt: b ≈ 8,8 m

Anwendungen Pythagoras

Beispiel:

Ein Kegel ist 60 cm hoch. Sein Grundkreis hat einen Durchmesser von 70 cm. Wie lang ist die Strecke von einem Punkt auf dem Grundkreis zur Spitze?

Lösung einblenden

Es gilt:

35² + 60² =h²

1225 +3600 = h²

4825 = h² | $\sqrt[]{\cdot}$

69.46 ≈ h

Somit gilt für die gesuchte Hypotenuse:
h ≈ 69.46cm

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Grundfläche G = 49 m² und Mantelfläche M = 85,45 m².
Berechne die Grundflächenlänge a und die Kantenlänge s.

Lösung einblenden

Bestimmung der Grundflächenlänge a

Die Grundfläche G ist ja mit G = 49 m² bereits bekannt.

Und da diese Grundfläche ja ein Quadrat mit Seitenlänge a ist, gilt: G = a² oder eben:

a = $\sqrt{G}$ = $\sqrt{49}$ m = 7 m

Bestimmung der Kantenlänge s

Um s zu berechnen, müssen wir zuerst die Seitenhöhe h_a berechnen:

h_a ist ja die Höhe der Seitenfläche. Und da die Mantelfläche aus 4 solchen gleichen Seitenflächen besteht und die Mantelfläche M ja mit M = 85,45 m² bereits bekannt ist, gilt für eine solche Seitenfläche A_S = $\frac{1}{4}$ ⋅ 85,45 m² = 21.361 m².

Zum anderen gilt aber auch
A_S =

\frac{1}{2}

a⋅h_a, also: 21.361 m² =

\frac{1}{2}

a⋅h_a oder eben

h_a = $\frac{2⋅21.36}{a}$

Die Grundflächenlänge a ist ja mit a = 7 m bereits bekannt.

somit gilt: h_a = $\frac{42.72}{7}$ m ≈ 6,1 m

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 7 m bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h_a und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 6,1² + 3,5² = 37,25 + 12,25 = 12

Also gilt s = $\sqrt{12.25}$ m ≈ 7,04 m

Pyramide (Volumenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Pyramidenhöhe h = 7 mm und Grundfläche G = 49 mm².
Berechne die Kantenlänge s und das Volumen V.

Lösung einblenden

Bestimmung der Kantenlänge s

Um s zu berechnen, müssen wir zuerst die Seitenhöhe h_a berechnen:

Um h_a zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundseitenlänge a berechnen:

Die Grundfläche G ist ja mit G = 49 mm² bereits bekannt.

Und da diese Grundfläche ja ein Quadrat mit Seitenlänge a ist, gilt: G = a² oder eben:

a = $\sqrt{G}$ = $\sqrt{49}$ mm = 7 mm

Die Pyramindenhöhe h ist ja mit h = 7 mm bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_a² = 7² + 3,5 ² = 49 + 12,25 = 61,25

Also gilt h_a = $\sqrt{61.25}$ mm ≈ 7,83 mm

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 7 mm bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h_a und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 7,83² + 3,5² = 61,31 + 12,25 = 74

Also gilt s = $\sqrt{73.56}$ mm ≈ 8,57 mm

Bestimmung des Volumen V

Um das Volumen dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir die Volumenformel einer Pyramide anwenden: V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h

Die Grundfläche G ist ja mit G = 49 mm² bereits bekannt.

Die Pyramindehöhe h ist ja mit h = 7 mm² bereits bekannt.

somit gilt: V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h = $\frac{1}{3}$ ⋅49 mm² ⋅ 7 mm ≈ 114,33 mm³

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Raumdiagonale

Dreiecke im Quader

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Kanten bei einer Pyramide

Anwendungen Pythagoras

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Bestimmung der Grundflächenlänge a

Bestimmung der Kantenlänge s

Pyramide (Volumenberechnung)

Bestimmung der Kantenlänge s

Bestimmung des Volumen V