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Raumdiagonale

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 7 mm, b = 7 mm und c = 9 mm.
Berechne die Länge der Raumdiagonale.

Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 7 mm und b = 7 mm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² +b² = (7 mm)² + (7 mm)² = 49 mm² + 49 mm² = 98 mm²

d1 = $\sqrt{98}$ mm ≈ 9.899 mm

Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{98}$ mm)² + (9 mm)² = 98 mm² + 81 mm² = 179 mm²

Da d1² = a² +b² gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d² = a² + b² + c² = 49 mm² + 49 mm² + 81 mm² = 179 mm²
berechnen.

d = $\sqrt{179}$ mm ≈ 13.379 mm

Dreiecke im Quader

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 4 cm, b = 2 cm und c = 6 cm.
Berechne den Umfang U und den Flächeninhalt A des abgebildeten (grünen) Dreiecks.

Lösung einblenden

Die Deckendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a= 4 cm und b = 2 cm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² + b² = (4 cm)² + (2 cm)² = 16 cm² + 4 cm² = 20 cm²

d1 = $\sqrt{20}$ cm ≈ 4.472 cm

Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{20}$ cm)² + (6 cm)² = 20 cm² + 36 cm² = 56 cm²

d = $\sqrt{56}$ cm ≈ 7.483 cm

Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + c ≈ 4.47 cm + 7.48 cm + 6 cm ≈ 17.96 cm

Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 6:
A = $\frac{1}{2}$ d1 ⋅c ≈ $\frac{1}{2}$ ⋅4.47 cm⋅ 6 cm ≈ 13.42 cm²

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 4 cm, b = 4 cm, h = 7 cm.
Berechne h_b und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 7² + 2 ² = 49 + 4 = 53

Also gilt h_b = $\sqrt{53}$ cm ≈ 7,3 cm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 7,28² + 2² = 53 + 4 = 57

Also gilt s = $\sqrt{57}$ cm ≈ 7,6 cm

Kanten bei einer Pyramide

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: b = 4 cm, h = 8 cm, h_b = 9.2 cm.
Berechne a und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir a suchen, stellen wir nach a um:

( $\frac{1}{2}$ a)² = h_b² - h²

( $\frac{1}{2}$ a)² = 9,2² - 8² = 84,64 - 64 = 20,64

Also gilt $\frac{1}{2}$ a = $\sqrt{20.64}$ cm ≈ 4,5 cm

Somit gilt: a ≈ 9,1 cm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 9,2² + 2² = 84,64 + 4 = 89

Also gilt s = $\sqrt{88.64}$ cm ≈ 9,4 cm

Anwendungen Pythagoras

Beispiel:

Ein 9m hoher Mast wird von der einen Seite mit einem 14m langen Seil und von der gegenüberliegenden Seite mit einem 18m langen Seil abgespannt. Wie weit sind die Verankerungen der Spannseile von einander entfernt?

Lösung einblenden

Im ersten Dreieck gilt:

9² + k1² = 14²

81 + k1² = 196 |-81

k1² = 115 | $\sqrt[]{\cdot}$

k1 ≈ 10.72

Im zweiten Dreieck gilt:

9² + k2² = 18²

81 + k2² = 324 |-81

k2² = 243 | $\sqrt[]{\cdot}$

k2 ≈ 15.59

Beide Strecken zusammen ergeben somit:
d = k1 + k2 ≈ 26.31m

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Grundflächenlänge a = 9 mm und Mantelfläche M = 135 mm².
Berechne die Grundfläche G und die Pyramidenhöhe h.

Lösung einblenden

Bestimmung der Grundfläche G

Um die Grundfläche dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir einfach die Grundflächenlänge a zum Quadrat nehmen:

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 9 mm bereits bekannt.

somit gilt: G = a² = (9 mm)² = 81 mm²

Bestimmung der Pyramidenhöhe h

Um h zu berechnen, müssen wir zuerst die Seitenhöhe h_a berechnen:

h_a ist ja die Höhe der Seitenfläche. Und da die Mantelfläche aus 4 solchen gleichen Seitenflächen besteht und die Mantelfläche M ja mit M = 135 mm² bereits bekannt ist, gilt für eine solche Seitenfläche A_S = $\frac{1}{4}$ ⋅ 135 mm² = 33.75 mm².

Zum anderen gilt aber auch
A_S =

\frac{1}{2}

a⋅h_a, also: 33.75 mm² =

\frac{1}{2}

a⋅h_a oder eben

h_a = $\frac{2⋅33.75}{a}$

Die Grundflächenlänge a ist ja mit a = 9 mm bereits bekannt.

somit gilt: h_a = $\frac{67.5}{9}$ mm ≈ 7,5 mm

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 9 mm bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir h suchen, stellen wir nach h um:

h_a² - ( $\frac{1}{2}$ a)² = h²

h² = 7,5² - 4,5² = 56,25 - 20,25 = 36

Also gilt h = $\sqrt{36}$ mm ≈ 6 mm

Pyramide (Volumenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Höhe der Seitenfläche ha = 5,39 cm und Grundflächenlänge a = 4 cm.
Berechne die Kantenlänge s und das Volumen V.

Lösung einblenden

Bestimmung der Kantenlänge s

Die Höhe einer Seitenfläche ist ja mit h_a = 5,39 cm bereits bekannt.

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 4 cm bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h_a und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 5,39² + 2² = 29 + 4 = 4

Also gilt s = $\sqrt{4}$ cm ≈ 5,74 cm

Bestimmung des Volumen V

Um das Volumen dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir die Volumenformel einer Pyramide anwenden: V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h

Um die Grundfläche dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir einfach die Grundflächenlänge a zum Quadrat nehmen:

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 4 cm bereits bekannt.

somit gilt: G = a² = (4 cm)² = 16 cm²

Die Höhe einer Seitenfläche ist ja mit h_a = 5,39 cm bereits bekannt.

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 4 cm bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir h suchen, stellen wir nach h um:

h_a² - ( $\frac{1}{2}$ a)² = h²

h² = 5,39² - 2² = 29 - 4 = 25

Also gilt h = $\sqrt{25}$ cm ≈ 5 cm

somit gilt: V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h = $\frac{1}{3}$ ⋅16 cm² ⋅ 5 cm ≈ 26,67 cm³

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Raumdiagonale

Dreiecke im Quader

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Kanten bei einer Pyramide

Anwendungen Pythagoras

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Bestimmung der Grundfläche G

Bestimmung der Pyramidenhöhe h

Pyramide (Volumenberechnung)

Bestimmung der Kantenlänge s

Bestimmung des Volumen V