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Raumdiagonale

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 6 cm, b = 6 cm und c = 5 cm.
Berechne die Länge der Raumdiagonale.

Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 6 cm und b = 6 cm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² +b² = (6 cm)² + (6 cm)² = 36 cm² + 36 cm² = 72 cm²

d1 = $\sqrt{72}$ cm ≈ 8.485 cm

Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{72}$ cm)² + (5 cm)² = 72 cm² + 25 cm² = 97 cm²

Da d1² = a² +b² gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d² = a² + b² + c² = 36 cm² + 36 cm² + 25 cm² = 97 cm²
berechnen.

d = $\sqrt{97}$ cm ≈ 9.849 cm

Dreiecke im Quader

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 5 cm, b = 4 cm und c = 3 cm.
Berechne den Umfang U und den Flächeninhalt A des abgebildeten (grünen) Dreiecks.

Lösung einblenden

Die Frontwanddiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a= 5 cm und c = 3 cm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² + c² = (5 cm)² + (3 cm)² = 25 cm² + 9 cm² = 34 cm²

d1 = $\sqrt{34}$ cm ≈ 5.831 cm

Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und b, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + b² = ( $\sqrt{34}$ cm)² + (4 cm)² = 34 cm² + 16 cm² = 50 cm²

d = $\sqrt{50}$ cm ≈ 7.071 cm

Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + b ≈ 5.83 cm + 7.07 cm + 4 cm ≈ 16.9 cm

Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 4:
A = $\frac{1}{2}$ d1 ⋅b ≈ $\frac{1}{2}$ ⋅5.83 cm⋅ 4 cm ≈ 11.66 cm²

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 8 cm, b = 7 cm, h = 5 cm.
Berechne h_b und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 5² + 4 ² = 25 + 16 = 41

Also gilt h_b = $\sqrt{41}$ cm ≈ 6,4 cm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 6,4² + 3,5² = 40,96 + 12,25 = 53

Also gilt s = $\sqrt{53.21}$ cm ≈ 7,3 cm

Kanten bei einer Pyramide

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 5 cm, b = 5 cm, h = 7 cm.
Berechne h_b und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 7² + 2,5 ² = 49 + 6,25 = 55,25

Also gilt h_b = $\sqrt{55.25}$ cm ≈ 7,4 cm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 7,43² + 2,5² = 55,2 + 6,25 = 61

Also gilt s = $\sqrt{61.45}$ cm ≈ 7,8 cm

Anwendungen Pythagoras

Beispiel:

Ein Haus hat eine Gesamthöhe von 5,5m. Die (fünfeckigen) Stirnseiten sind 8m breit. Die rechteckigen Seitenflächen sind 8m lang und vom Boden bis zur Dachkante 3m hoch. Berechne die Fläche des Hausdachs.

Lösung einblenden

Es gilt:

2.5² + 4² =h²

6.25 +16 = h²

22.25 = h² | $\sqrt[]{\cdot}$

4.72 ≈ h

Um die gesuchte Fläche zu berechnen, muss nun zunächst diese Hypotenuse mit 8m multipliziert werden.

Somit erhalten wir für eine Hälfte der gesuchten Fläche: A_H ≈ 37.74m²

Für die Gesamtfläche gilt dann:
A ≈ 75.47m²

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Höhe der Seitenfläche ha = 7,5 m und Mantelfläche M = 135 m².
Berechne die Grundfläche G und die Oberfläche O.

Lösung einblenden

Bestimmung der Grundfläche G

Um die Grundfläche dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir einfach die Grundflächenlänge a zum Quadrat nehmen:

Die Mantelfläche ist ja mit M = 135 m² bereits bekannt.

Die Mantelfläche M besteht aus den 4 gleich großen Flächeninhalten der Seitenflächen dieser Pyramide, also hat eine Seitenfläche den Flächeninhalt A_S = $\frac{1}{4}$ M = 33.75 m²

Diesen Flächeninhalt einer Seitenfläche kann man ja aber auch mit der Formel A_S= $\frac{1}{2}$ a⋅h_a berechnen.

Umgestellt nach a ergibt dies a = $\frac{2⋅AS}{ha}$ = $\frac{67.5}{7,5}$ m ≈ 9 m

somit gilt: G = a² = (9 m)² = 81 m²

Bestimmung der Oberfläche O

Um die Oberfläche dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir einfach den Mantel und die Grundfläche addieren:

Die Mantelfläche M ist ja mit M = 135 m² bereits bekannt.

Die Grundfläche G ist ja mit G = 81 m² bereits bekannt.

somit gilt: O = M + G = 135 m² + 81 m² = 216 m²

Pyramide (Volumenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Grundfläche G = 81 mm² und Kantenlänge s = 8,75 mm.
Berechne die Grundflächenlänge a und das Volumen V.

Lösung einblenden

Bestimmung der Grundflächenlänge a

Die Grundfläche G ist ja mit G = 81 mm² bereits bekannt.

Und da diese Grundfläche ja ein Quadrat mit Seitenlänge a ist, gilt: G = a² oder eben:

a = $\sqrt{G}$ = $\sqrt{81}$ mm = 9 mm

Bestimmung des Volumen V

Um das Volumen dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir die Volumenformel einer Pyramide anwenden: V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h

Die Grundfläche G ist ja mit G = 81 mm² bereits bekannt.

Um h zu berechnen, müssen wir zuerst die Seitenhöhe h_a berechnen:

Die Grundflächenlänge a ist ja mit a = 9 mm bereits bekannt.

Die Höhe einer Seitenfläche dieser Pyramide bestimmen wir über das rechtwinklige Dreieck der halben Seitenfläche:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir h_a suchen, stellen wir nach h_a um:

s² - ( $\frac{1}{2}$ a)² = h_a ²

h_a² = 8,75² - 4,5² = 76,5 - 20,25 = 56,25

Also gilt h_a = $\sqrt{56.25}$ mm ≈ 7,5 mm

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 9 mm bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir h suchen, stellen wir nach h um:

h_a² - ( $\frac{1}{2}$ a)² = h²

h² = 7,5² - 4,5² = 56,25 - 20,25 = 36

Also gilt h = $\sqrt{36}$ mm ≈ 6 mm

somit gilt: V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h = $\frac{1}{3}$ ⋅81 mm² ⋅ 6 mm ≈ 162 mm³

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Raumdiagonale

Dreiecke im Quader

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Kanten bei einer Pyramide

Anwendungen Pythagoras

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Bestimmung der Grundfläche G

Bestimmung der Oberfläche O

Pyramide (Volumenberechnung)

Bestimmung der Grundflächenlänge a

Bestimmung des Volumen V