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Raumdiagonale

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 4 m, b = 3 m und c = 8 m.
Berechne die Länge der Raumdiagonale.

Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 4 m und b = 3 m, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² +b² = (4 m)² + (3 m)² = 16 m² + 9 m² = 25 m²

d1 = $\sqrt{25}$ m ≈ 5 m

Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{25}$ m)² + (8 m)² = 25 m² + 64 m² = 89 m²

Da d1² = a² +b² gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d² = a² + b² + c² = 16 m² + 9 m² + 64 m² = 89 m²
berechnen.

d = $\sqrt{89}$ m ≈ 9.434 m

Dreiecke im Quader

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 8 cm, b = 4 cm und c = 2 cm.
Berechne den Umfang U und den Flächeninhalt A des abgebildeten (grünen) Dreiecks.

Lösung einblenden

Die Deckendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a= 8 cm und b = 4 cm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² + b² = (8 cm)² + (4 cm)² = 64 cm² + 16 cm² = 80 cm²

d1 = $\sqrt{80}$ cm ≈ 8.944 cm

Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{80}$ cm)² + (2 cm)² = 80 cm² + 4 cm² = 84 cm²

d = $\sqrt{84}$ cm ≈ 9.165 cm

Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + c ≈ 8.94 cm + 9.17 cm + 2 cm ≈ 20.11 cm

Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 2:
A = $\frac{1}{2}$ d1 ⋅c ≈ $\frac{1}{2}$ ⋅8.94 cm⋅ 2 cm ≈ 8.94 cm²

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 7 cm, b = 6 cm, h = 8 cm.
Berechne h_b und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 8² + 3,5 ² = 64 + 12,25 = 76,25

Also gilt h_b = $\sqrt{76.25}$ cm ≈ 8,7 cm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 8,73² + 3² = 76,21 + 9 = 85

Also gilt s = $\sqrt{85.21}$ cm ≈ 9,2 cm

Kanten bei einer Pyramide

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 8 mm, b = 8 mm, h = 7 mm.
Berechne h_b und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 7² + 4 ² = 49 + 16 = 65

Also gilt h_b = $\sqrt{65}$ mm ≈ 8,1 mm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 8,06² + 4² = 64,96 + 16 = 81

Also gilt s = $\sqrt{80.96}$ mm ≈ 9 mm

Anwendungen Pythagoras

Beispiel:

Ein 7m hoher Mast wird von der einen Seite mit einem 9m langen Seil und von der gegenüberliegenden Seite mit einem 24m langen Seil abgespannt. Wie weit sind die Verankerungen der Spannseile von einander entfernt?

Lösung einblenden

Im ersten Dreieck gilt:

7² + k1² = 9²

49 + k1² = 81 |-49

k1² = 32 | $\sqrt[]{\cdot}$

k1 ≈ 5.66

Im zweiten Dreieck gilt:

7² + k2² = 24²

49 + k2² = 576 |-49

k2² = 527 | $\sqrt[]{\cdot}$

k2 ≈ 22.96

Beide Strecken zusammen ergeben somit:
d = k1 + k2 ≈ 28.61m

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Mantelfläche M = 129 cm² und Oberfläche O = 193 cm².
Berechne die Höhe der Seitenfläche ha und die Grundfläche G.

Lösung einblenden

Bestimmung der Höhe der Seitenfläche ha

h_a ist ja die Höhe der Seitenfläche. Und da die Mantelfläche aus 4 solchen gleichen Seitenflächen besteht und die Mantelfläche M ja mit M = 129 cm² bereits bekannt ist, gilt für eine solche Seitenfläche A_S = $\frac{1}{4}$ ⋅ 129 cm² = 32.249 cm².

Zum anderen gilt aber auch
A_S =

\frac{1}{2}

a⋅h_a, also: 32.249 cm² =

\frac{1}{2}

a⋅h_a oder eben

h_a = $\frac{2⋅32.25}{a}$

Um h_a zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundseitenlänge a berechnen:

Um a zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundfläche G berechnen:

Da sich ja die Oberfläche aus Grundfläche und Mantelfläche zusammensetzt, können wir die Grundfläche dieser Pyramide einfach als Differenz G = O - M bestimmen:

Die Mantelfläche M ist ja mit M = 129 cm² bereits bekannt.

Die Oberfläche O ist ja mit O = 193 cm² bereits bekannt.

somit gilt: G = O - M = 193 cm² - 129 cm² = 64 cm²

Und da diese Grundfläche ja ein Quadrat mit Seitenlänge a ist, gilt: G = a² oder eben:

a = $\sqrt{G}$ = $\sqrt{64}$ cm = 8 cm

somit gilt: h_a = $\frac{64.5}{8}$ cm ≈ 8,06 cm

Bestimmung der Grundfläche G

Die Grundfläche G wurde ja bereits oben als G = 64 cm² berechnet.

Pyramide (Volumenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Höhe der Seitenfläche ha = 6,32 m und Grundflächenlänge a = 4 m.
Berechne das Volumen V und die Kantenlänge s.

Lösung einblenden

Bestimmung des Volumen V

Um das Volumen dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir die Volumenformel einer Pyramide anwenden: V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h

Um die Grundfläche dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir einfach die Grundflächenlänge a zum Quadrat nehmen:

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 4 m bereits bekannt.

somit gilt: G = a² = (4 m)² = 16 m²

Die Höhe einer Seitenfläche ist ja mit h_a = 6,32 m bereits bekannt.

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 4 m bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir h suchen, stellen wir nach h um:

h_a² - ( $\frac{1}{2}$ a)² = h²

h² = 6,32² - 2² = 40 - 4 = 36

Also gilt h = $\sqrt{36}$ m ≈ 6 m

somit gilt: V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h = $\frac{1}{3}$ ⋅16 m² ⋅ 6 m ≈ 32 m³

Bestimmung der Kantenlänge s

Die Höhe einer Seitenfläche ist ja mit h_a = 6,32 m bereits bekannt.

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 4 m bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h_a und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 6,32² + 2² = 40 + 4 = 44

Also gilt s = $\sqrt{44}$ m ≈ 6,63 m

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Raumdiagonale

Dreiecke im Quader

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Kanten bei einer Pyramide

Anwendungen Pythagoras

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Bestimmung der Höhe der Seitenfläche ha

Bestimmung der Grundfläche G

Pyramide (Volumenberechnung)

Bestimmung des Volumen V

Bestimmung der Kantenlänge s