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Raumdiagonale

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 3 mm, b = 9 mm und c = 5 mm.
Berechne die Länge der Raumdiagonale.

Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 3 mm und b = 9 mm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² +b² = (3 mm)² + (9 mm)² = 9 mm² + 81 mm² = 90 mm²

d1 = $\sqrt{90}$ mm ≈ 9.487 mm

Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{90}$ mm)² + (5 mm)² = 90 mm² + 25 mm² = 115 mm²

Da d1² = a² +b² gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d² = a² + b² + c² = 9 mm² + 81 mm² + 25 mm² = 115 mm²
berechnen.

d = $\sqrt{115}$ mm ≈ 10.724 mm

Dreiecke im Quader

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 5 mm, b = 5 mm und c = 9 mm.
Berechne den Umfang U und den Flächeninhalt A des abgebildeten (grünen) Dreiecks.

Lösung einblenden

Die Deckendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a= 5 mm und b = 5 mm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² + b² = (5 mm)² + (5 mm)² = 25 mm² + 25 mm² = 50 mm²

d1 = $\sqrt{50}$ mm ≈ 7.071 mm

Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{50}$ mm)² + (9 mm)² = 50 mm² + 81 mm² = 131 mm²

d = $\sqrt{131}$ mm ≈ 11.446 mm

Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + c ≈ 7.07 mm + 11.45 mm + 9 mm ≈ 27.52 mm

Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 9:
A = $\frac{1}{2}$ d1 ⋅c ≈ $\frac{1}{2}$ ⋅7.07 mm⋅ 9 mm ≈ 31.82 mm²

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 5 mm, b = 5 mm, h = 8 mm.
Berechne h_b und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 8² + 2,5 ² = 64 + 6,25 = 70,25

Also gilt h_b = $\sqrt{70.25}$ mm ≈ 8,4 mm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 8,38² + 2,5² = 70,22 + 6,25 = 76

Also gilt s = $\sqrt{76.47}$ mm ≈ 8,8 mm

Kanten bei einer Pyramide

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: b = 8 mm, h = 5 mm, s = 7.5 mm.
Berechne a und h_b.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Weil wir h_b suchen, stellen wir nach h_b um:

s² - ( $\frac{1}{2}$ b)² = h_b ²

h_b² = 7,5² - 4² = 56,25 - 16 = 40,25

Also gilt h_b = $\sqrt{40.25}$ mm ≈ 6,4 mm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir a suchen, stellen wir nach a um:

( $\frac{1}{2}$ a)² = h_b² - h²

( $\frac{1}{2}$ a)² = 6,34² - 5² = 40,25 - 25 = 15,25

Also gilt $\frac{1}{2}$ a = $\sqrt{15.25}$ mm ≈ 3,9 mm

Somit gilt: a ≈ 7,8 mm

Anwendungen Pythagoras

Beispiel:

Ein 5m hoher Mast wird von der einen Seite mit einem 12m langen Seil und von der gegenüberliegenden Seite mit einem 16m langen Seil abgespannt. Wie weit sind die Verankerungen der Spannseile von einander entfernt?

Lösung einblenden

Im ersten Dreieck gilt:

5² + k1² = 12²

25 + k1² = 144 |-25

k1² = 119 | $\sqrt[]{\cdot}$

k1 ≈ 10.91

Im zweiten Dreieck gilt:

5² + k2² = 16²

25 + k2² = 256 |-25

k2² = 231 | $\sqrt[]{\cdot}$

k2 ≈ 15.2

Beide Strecken zusammen ergeben somit:
d = k1 + k2 ≈ 26.11m

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Grundflächenlänge a = 7 m und Oberfläche O = 171,25 m².
Berechne die Grundfläche G und die Höhe der Seitenfläche ha.

Lösung einblenden

Bestimmung der Grundfläche G

Um die Grundfläche dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir einfach die Grundflächenlänge a zum Quadrat nehmen:

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 7 m bereits bekannt.

somit gilt: G = a² = (7 m)² = 49 m²

Bestimmung der Höhe der Seitenfläche ha

Um h_a zu berechnen, müssen wir zuerst die Mantelfläche M berechnen:

Da sich ja die Oberfläche aus Grundfläche und Mantelfläche zusammensetzt, können wir die Mantelfläche dieser Pyramide einfach als Differenz M = O - G bestimmen:

somit gilt: M = O - G = 171,25 m² - 49 m² = 122,25 m²

h_a ist ja die Höhe der Seitenfläche. Und da die Mantelfläche aus 4 solchen gleichen Seitenflächen besteht und die Mantelfläche M ja mit M = 122,25 m² bereits bekannt ist, gilt für eine solche Seitenfläche A_S = $\frac{1}{4}$ ⋅ 122,25 m² = 30.562 m².

Zum anderen gilt aber auch
A_S =

\frac{1}{2}

a⋅h_a, also: 30.562 m² =

\frac{1}{2}

a⋅h_a oder eben

h_a = $\frac{2⋅30.56}{a}$

Die Grundflächenlänge a ist ja mit a = 7 m bereits bekannt.

somit gilt: h_a = $\frac{61.12}{7}$ m ≈ 8,73 m

Pyramide (Volumenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Grundfläche G = 49 mm² und Pyramidenhöhe h = 8 mm.
Berechne die Kantenlänge s und die Grundflächenlänge a.

Lösung einblenden

Bestimmung der Kantenlänge s

Um s zu berechnen, müssen wir zuerst die Seitenhöhe h_a berechnen:

Um h_a zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundseitenlänge a berechnen:

Die Grundfläche G ist ja mit G = 49 mm² bereits bekannt.

Und da diese Grundfläche ja ein Quadrat mit Seitenlänge a ist, gilt: G = a² oder eben:

a = $\sqrt{G}$ = $\sqrt{49}$ mm = 7 mm

Die Pyramindenhöhe h ist ja mit h = 8 mm bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_a² = 8² + 3,5 ² = 64 + 12,25 = 76,25

Also gilt h_a = $\sqrt{76.25}$ mm ≈ 8,73 mm

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 7 mm bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h_a und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 8,73² + 3,5² = 76,21 + 12,25 = 88

Also gilt s = $\sqrt{88.46}$ mm ≈ 9,41 mm

Bestimmung der Grundflächenlänge a

Die Grundflächenlänge a wurde ja bereits oben als a = 7 mm berechnet.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Raumdiagonale

Dreiecke im Quader

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Kanten bei einer Pyramide

Anwendungen Pythagoras

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Bestimmung der Grundfläche G

Bestimmung der Höhe der Seitenfläche ha

Pyramide (Volumenberechnung)

Bestimmung der Kantenlänge s

Bestimmung der Grundflächenlänge a