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Raumdiagonale

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 2 mm, b = 9 mm und c = 4 mm.
Berechne die Länge der Raumdiagonale.

Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 2 mm und b = 9 mm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² +b² = (2 mm)² + (9 mm)² = 4 mm² + 81 mm² = 85 mm²

d1 = $\sqrt{85}$ mm ≈ 9.22 mm

Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{85}$ mm)² + (4 mm)² = 85 mm² + 16 mm² = 101 mm²

Da d1² = a² +b² gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d² = a² + b² + c² = 4 mm² + 81 mm² + 16 mm² = 101 mm²
berechnen.

d = $\sqrt{101}$ mm ≈ 10.05 mm

Dreiecke im Quader

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 7 mm, b = 8 mm und c = 9 mm.
Berechne den Umfang U und den Flächeninhalt A des abgebildeten (grünen) Dreiecks.

Lösung einblenden

Die Seitenwanddiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten b= 8 mm und c = 9 mm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = b² + c² = (8 mm)² + (9 mm)² = 64 mm² + 81 mm² = 145 mm²

d1 = $\sqrt{145}$ mm ≈ 12.042 mm

Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und a, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + a² = ( $\sqrt{145}$ mm)² + (7 mm)² = 145 mm² + 49 mm² = 194 mm²

d = $\sqrt{194}$ mm ≈ 13.928 mm

Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + a ≈ 12.04 mm + 13.93 mm + 7 mm ≈ 32.97 mm

Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 7:
A = $\frac{1}{2}$ d1 ⋅a ≈ $\frac{1}{2}$ ⋅12.04 mm⋅ 7 mm ≈ 42.15 mm²

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 7 cm, b = 5 cm, h = 8 cm.
Berechne h_b und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 8² + 3,5 ² = 64 + 12,25 = 76,25

Also gilt h_b = $\sqrt{76.25}$ cm ≈ 8,7 cm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 8,73² + 2,5² = 76,21 + 6,25 = 82

Also gilt s = $\sqrt{82.46}$ cm ≈ 9,1 cm

Kanten bei einer Pyramide

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 5 m, b = 5 m, h = 7 m.
Berechne h_b und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 7² + 2,5 ² = 49 + 6,25 = 55,25

Also gilt h_b = $\sqrt{55.25}$ m ≈ 7,4 m

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 7,43² + 2,5² = 55,2 + 6,25 = 61

Also gilt s = $\sqrt{61.45}$ m ≈ 7,8 m

Anwendungen Pythagoras

Beispiel:

Ein Haus hat eine Gesamthöhe von 12m. Die (fünfeckigen) Stirnseiten sind 8m breit. Die rechteckigen Seitenflächen sind 9m lang und vom Boden bis zur Dachkante 9m hoch. Berechne die Fläche des Hausdachs.

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Es gilt:

3² + 4² =h²

9 +16 = h²

25 = h² | $\sqrt[]{\cdot}$

5 ≈ h

Um die gesuchte Fläche zu berechnen, muss nun zunächst diese Hypotenuse mit 9m multipliziert werden.

Somit erhalten wir für eine Hälfte der gesuchten Fläche: A_H ≈ 45m²

Für die Gesamtfläche gilt dann:
A ≈ 90m²

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Kantenlänge s = 7,35 mm und Grundfläche G = 36 mm².
Berechne die Mantelfläche M und die Oberfläche O.

Lösung einblenden

Bestimmung der Mantelfläche M

Die Mantelfläche M besteht aus den 4 gleich großen Flächeninhalten der Seitenflächen dieser Pyramide. Diese soll nun berechnet werden:

Bevor wir den Flächeninhalt einer Seite berechnen können, müssen wir zuerst die Grundflächenlänge a berechnen:

Die Grundfläche G ist ja mit G = 36 mm² bereits bekannt.

Und da diese Grundfläche ja ein Quadrat mit Seitenlänge a ist, gilt: G = a² oder eben:

a = $\sqrt{G}$ = $\sqrt{36}$ mm = 6 mm

Wir berechnen die Seitenhöhe h_a:

Die Höhe einer Seitenfläche dieser Pyramide bestimmen wir über das rechtwinklige Dreieck der halben Seitenfläche:

Die Grundflächenlänge a ist ja mit a = 6 mm bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir h_a suchen, stellen wir nach h_a um:

s² - ( $\frac{1}{2}$ a)² = h_a ²

h_a² = 7,35² - 3² = 54 - 9 = 45

Also gilt h_a = $\sqrt{45}$ mm ≈ 6,71 mm

Den Flächeninhalt einer Seitenfläche können wir ja einfach mit der Formel A_S= $\frac{1}{2}$ a⋅h_a berechen:

A_S = $\frac{1}{2}$ ⋅6 mm⋅6,71 mm ≈ 20,12 mm²

Für die Mantelfläche müssen wir nun diese 4 Flächeninhalte noch zusammenzählen:

M = 4⋅20,12 mm² = 80,5 mm²

Bestimmung der Oberfläche O

Um die Oberfläche dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir einfach den Mantel und die Grundfläche addieren:

Die Mantelfläche M ist ja mit M = 80,5 mm² bereits bekannt.

Die Grundfläche G ist ja mit G = 36 mm² bereits bekannt.

somit gilt: O = M + G = 80,5 mm² + 36 mm² = 116,5 mm²

Pyramide (Volumenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Grundflächenlänge a = 7 cm und Kantenlänge s = 7,78 cm.
Berechne die Pyramidenhöhe h und die Grundfläche G.

Lösung einblenden

Bestimmung der Pyramidenhöhe h

Um h zu berechnen, müssen wir zuerst die Seitenhöhe h_a berechnen:

Die Grundflächenlänge a ist ja mit a = 7 cm bereits bekannt.

Die Höhe einer Seitenfläche dieser Pyramide bestimmen wir über das rechtwinklige Dreieck der halben Seitenfläche:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir h_a suchen, stellen wir nach h_a um:

s² - ( $\frac{1}{2}$ a)² = h_a ²

h_a² = 7,78² - 3,5² = 60,5 - 12,25 = 48,25

Also gilt h_a = $\sqrt{48.25}$ cm ≈ 6,95 cm

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 7 cm bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir h suchen, stellen wir nach h um:

h_a² - ( $\frac{1}{2}$ a)² = h²

h² = 6,95² - 3,5² = 48,25 - 12,25 = 36

Also gilt h = $\sqrt{36}$ cm ≈ 6 cm

Bestimmung der Grundfläche G

Um die Grundfläche dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir einfach die Grundflächenlänge a zum Quadrat nehmen:

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 7 cm bereits bekannt.

somit gilt: G = a² = (7 cm)² = 49 cm²

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Raumdiagonale

Dreiecke im Quader

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Kanten bei einer Pyramide

Anwendungen Pythagoras

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Bestimmung der Mantelfläche M

Bestimmung der Oberfläche O

Pyramide (Volumenberechnung)

Bestimmung der Pyramidenhöhe h

Bestimmung der Grundfläche G