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Raumdiagonale

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 3 cm, b = 3 cm und c = 4 cm.
Berechne die Länge der Raumdiagonale.

Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 3 cm und b = 3 cm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² +b² = (3 cm)² + (3 cm)² = 9 cm² + 9 cm² = 18 cm²

d1 = $\sqrt{18}$ cm ≈ 4.243 cm

Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{18}$ cm)² + (4 cm)² = 18 cm² + 16 cm² = 34 cm²

Da d1² = a² +b² gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d² = a² + b² + c² = 9 cm² + 9 cm² + 16 cm² = 34 cm²
berechnen.

d = $\sqrt{34}$ cm ≈ 5.831 cm

Dreiecke im Quader

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 5 cm, b = 3 cm und c = 5 cm.
Berechne den Umfang U und den Flächeninhalt A des abgebildeten (grünen) Dreiecks.

Lösung einblenden

Die Seitenwanddiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten b= 3 cm und c = 5 cm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = b² + c² = (3 cm)² + (5 cm)² = 9 cm² + 25 cm² = 34 cm²

d1 = $\sqrt{34}$ cm ≈ 5.831 cm

Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und a, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + a² = ( $\sqrt{34}$ cm)² + (5 cm)² = 34 cm² + 25 cm² = 59 cm²

d = $\sqrt{59}$ cm ≈ 7.681 cm

Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + a ≈ 5.83 cm + 7.68 cm + 5 cm ≈ 18.51 cm

Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 5:
A = $\frac{1}{2}$ d1 ⋅a ≈ $\frac{1}{2}$ ⋅5.83 cm⋅ 5 cm ≈ 14.58 cm²

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 7 mm, b = 4 mm, h = 7 mm.
Berechne h_b und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 7² + 3,5 ² = 49 + 12,25 = 61,25

Also gilt h_b = $\sqrt{61.25}$ mm ≈ 7,8 mm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 7,83² + 2² = 61,31 + 4 = 65

Also gilt s = $\sqrt{65.31}$ mm ≈ 8,1 mm

Kanten bei einer Pyramide

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: b = 6 m, h = 7 m, s = 8.2 m.
Berechne a und h_b.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Weil wir h_b suchen, stellen wir nach h_b um:

s² - ( $\frac{1}{2}$ b)² = h_b ²

h_b² = 8,2² - 3² = 67,24 - 9 = 58,24

Also gilt h_b = $\sqrt{58.24}$ m ≈ 7,6 m

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir a suchen, stellen wir nach a um:

( $\frac{1}{2}$ a)² = h_b² - h²

( $\frac{1}{2}$ a)² = 7,63² - 7² = 58,24 - 49 = 9,24

Also gilt $\frac{1}{2}$ a = $\sqrt{9.24}$ m ≈ 3 m

Somit gilt: a ≈ 6,1 m

Anwendungen Pythagoras

Beispiel:

Ein Haus hat eine Gesamthöhe von 11,5m. Die (fünfeckigen) Stirnseiten sind 6m breit. Die rechteckigen Seitenflächen sind 10m lang und vom Boden bis zur Dachkante 9m hoch. Berechne die Fläche des Hausdachs.

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Es gilt:

2.5² + 3² =h²

6.25 +9 = h²

15.25 = h² | $\sqrt[]{\cdot}$

3.91 ≈ h

Um die gesuchte Fläche zu berechnen, muss nun zunächst diese Hypotenuse mit 10m multipliziert werden.

Somit erhalten wir für eine Hälfte der gesuchten Fläche: A_H ≈ 39.05m²

Für die Gesamtfläche gilt dann:
A ≈ 78.1m²

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Pyramidenhöhe h = 6 mm und Höhe der Seitenfläche ha = 6,71 mm.
Berechne die Grundflächenlänge a und die Mantelfläche M.

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Bestimmung der Grundflächenlänge a

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir a suchen, stellen wir nach a um:

( $\frac{1}{2}$ a)² = h_a² - h²

( $\frac{1}{2}$ a)² = 6,71² - 6² = 45 - 36 = 9

Also gilt $\frac{1}{2}$ a = $\sqrt{9}$ mm ≈ 3 mm

Somit gilt: a ≈ 6 mm

Bestimmung der Mantelfläche M

Die Mantelfläche M besteht aus den 4 gleich großen Flächeninhalten der Seitenflächen dieser Pyramide. Diese soll nun berechnet werden:

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 6 mm bereits bekannt.

Den Flächeninhalt einer Seitenfläche können wir ja einfach mit der Formel A_S= $\frac{1}{2}$ a⋅h_a berechen:

A_S = $\frac{1}{2}$ ⋅6 mm⋅6,71 mm ≈ 20,12 mm²

Für die Mantelfläche müssen wir nun diese 4 Flächeninhalte noch zusammenzählen:

M = 4⋅20,12 mm² = 80,5 mm²

Pyramide (Volumenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Pyramidenhöhe h = 7 mm und Grundfläche G = 25 mm².
Berechne die Grundflächenlänge a und die Höhe der Seitenfläche ha.

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Bestimmung der Grundflächenlänge a

Die Grundfläche G ist ja mit G = 25 mm² bereits bekannt.

Und da diese Grundfläche ja ein Quadrat mit Seitenlänge a ist, gilt: G = a² oder eben:

a = $\sqrt{G}$ = $\sqrt{25}$ mm = 5 mm

Bestimmung der Höhe der Seitenfläche ha

Die Grundflächenlänge a ist ja mit a = 5 mm bereits bekannt.

Die Pyramindenhöhe h ist ja mit h = 7 mm bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_a² = 7² + 2,5 ² = 49 + 6,25 = 55,25

Also gilt h_a = $\sqrt{55.25}$ mm ≈ 7,43 mm

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Raumdiagonale

Dreiecke im Quader

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Kanten bei einer Pyramide

Anwendungen Pythagoras

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Bestimmung der Grundflächenlänge a

Bestimmung der Mantelfläche M

Pyramide (Volumenberechnung)

Bestimmung der Grundflächenlänge a

Bestimmung der Höhe der Seitenfläche ha