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Raumdiagonale
Beispiel:
Ein Quader hat die Kantenlängen a = 3 mm, b = 2 mm und c = 8 mm.
Berechne die Länge der Raumdiagonale.
Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 3 mm und b = 2 mm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:
d12 = a² +b² = (3 mm)2 + (2 mm)2 = 9 mm² + 4 mm² = 13 mm²
d1 = mm ≈ 3.606 mm
Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:
d2 = d1² + c² = ( mm)2 + (8 mm)2 = 13 mm² + 64 mm² = 77 mm²
Da d12 = a2 +b2 gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d2 = a2 + b2 + c2 = 9 mm² + 4 mm² +
64 mm² = 77 mm²
berechnen.
d = mm ≈ 8.775 mm
Dreiecke im Quader
Beispiel:
Ein Quader hat die Kantenlängen a = 5 mm, b = 9 mm und c = 9 mm.
Berechne den Umfang U und den Flächeninhalt A des abgebildeten (grünen) Dreiecks.
Die Frontwanddiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a= 5 mm und c = 9 mm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:
d12 = a² + c² = (5 mm)2 + (9 mm)2 = 25 mm² + 81 mm² = 106 mm²
d1 = mm ≈ 10.296 mm
Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und b, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:
d2 = d1² + b² = ( mm)2 + (9 mm)2 = 106 mm² + 81 mm² = 187 mm²
d = mm ≈ 13.675 mm
Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + b ≈ 10.3 mm +
13.67 mm + 9 mm ≈ 32.97 mm
Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 9:
A = d1 ⋅b ≈ ⋅10.3 mm⋅
9 mm ≈ 46.33 mm²
Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts
Beispiel:
Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 9 m, b = 9 m, h = 5 m.
Berechne hb und s.
Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:
Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse hb, einer Kathete h und der anderen Kathete a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:
hb2 = h2 + (a)2
Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:
hb2 = 52 + 4,5 2 = 25 + 20,25 = 45,25
Also gilt hb = m ≈ 6,7 m
Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete hb und der anderen Kathete b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:
s2 = hb2 + (b)2
Da ja hb und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:
s = 6,732 + 4,52 = 45,29 + 20,25 = 66
Also gilt s = m ≈ 8,1 m
Kanten bei einer Pyramide
Beispiel:
Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 6 cm, h = 7 cm, s = 8.2 cm.
Berechne hb und b.
Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:
Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse hb, einer Kathete h und der anderen Kathete a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:
hb2 = h2 + (a)2
Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:
hb2 = 72 + 3 2 = 49 + 9 = 58
Also gilt hb = cm ≈ 7,6 cm
Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete hb und der anderen Kathete b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:
s2 = hb2 + (b)2
Weil wir b suchen, stellen wir nach b um:
(b)2 = s2 - hb2
(b)2 = 8,22 - 7,622 = 67,24 - 58,06 = 9,18
Also gilt b = cm ≈ 3,03 cm
Somit gilt: b ≈ 6,1 cm
Anwendungen Pythagoras
Beispiel:
Ein Leuchtturm ist 49m über dem Meeresspiegel. Wie weit (in m) könnte von dort aus bei optimalen Sichtverhältnissen maximal aufgrund der Erdkrümmung aufs Meer hinausschauen? Als Erdradius kann man mit 6371km rechnen.
Es gilt:
63710002 + k12 = 63710492
40589641000000 + k12 = 40590265360401 |-40589641000000
k12 = 624360401 |
k1 ≈ 24987.2
Somit gilt für die gesuchte Kathete:
k1 ≈ 24987.2m
Pyramide (Oberflächenberechnung)
Beispiel:
Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Grundflächenlänge a = 6 m und Höhe der Seitenfläche ha = 8,54 m.
Berechne die Mantelfläche M und die Kantenlänge s.
Bestimmung der Mantelfläche M
Die Mantelfläche M besteht aus den 4 gleich großen Flächeninhalten der Seitenflächen dieser Pyramide. Diese soll nun berechnet werden:
Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 6 m bereits bekannt.
Den Flächeninhalt einer Seitenfläche können wir ja einfach mit der Formel AS=a⋅ha berechen:
AS = ⋅6 m⋅8,54 m ≈ 25,63 m²
Für die Mantelfläche müssen wir nun diese 4 Flächeninhalte noch zusammenzählen:
M = 4⋅25,63 m² = 102,53 m²
Bestimmung der Kantenlänge s
Die Höhe einer Seitenfläche ist ja mit ha = 8,54 m bereits bekannt.
Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 6 m bereits bekannt.
Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete ha und der anderen Kathete a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:
s2 = ha2 + (a)2
Da ja ha und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:
s = 8,542 + 32 = 73 + 9 = 9
Also gilt s = m ≈ 9,06 m
Pyramide (Volumenberechnung)
Beispiel:
Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Volumen V = 58,33 mm und Pyramidenhöhe h = 7 mm.
Berechne die Grundflächenlänge a und die Grundfläche G.
Bestimmung der Grundflächenlänge a
Um a zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundfläche G berechnen:
Da sich ja das Volumen V = G ⋅ h zusammensetzt, können wir diese Formel nach G umstellen und erhalten
G = :
Das Volumen V ist ja mit V = 58,33 mm³ bereits bekannt.
somit gilt: G = = ≈ 25 mm²
Und da diese Grundfläche ja ein Quadrat mit Seitenlänge a ist, gilt: G = a² oder eben:
a = = mm = 5 mm
Bestimmung der Grundfläche G
Die Grundfläche G wurde ja bereits oben als G = 25 mm² berechnet.