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Raumdiagonale
Beispiel:
Ein Quader hat die Kantenlängen a = 4 m, b = 9 m und c = 8 m.
Berechne die Länge der Raumdiagonale.
Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 4 m und b = 9 m, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:
d12 = a² +b² = (4 m)2 + (9 m)2 = 16 m² + 81 m² = 97 m²
d1 = m ≈ 9.849 m
Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:
d2 = d1² + c² = ( m)2 + (8 m)2 = 97 m² + 64 m² = 161 m²
Da d12 = a2 +b2 gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d2 = a2 + b2 + c2 = 16 m² + 81 m² +
64 m² = 161 m²
berechnen.
d = m ≈ 12.689 m
Dreiecke im Quader
Beispiel:
Ein Quader hat die Kantenlängen a = 6 m, b = 3 m und c = 4 m.
Berechne den Umfang U und den Flächeninhalt A des abgebildeten (grünen) Dreiecks.
Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a= 6 m und b = 3 m, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:
d12 = a² + b² = (6 m)2 + (3 m)2 = 36 m² + 9 m² = 45 m²
d1 = m ≈ 6.708 m
Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:
d2 = d1² + c² = ( m)2 + (4 m)2 = 45 m² + 16 m² = 61 m²
d = m ≈ 7.81 m
Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + c ≈ 6.71 m +
7.81 m + 4 m ≈ 18.52 m
Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 4:
A = d1 ⋅c ≈ ⋅6.71 m⋅
4 m ≈ 13.42 m²
Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts
Beispiel:
Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 4 cm, b = 4 cm, h = 6 cm.
Berechne hb und s.
Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:
Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse hb, einer Kathete h und der anderen Kathete a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:
hb2 = h2 + (a)2
Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:
hb2 = 62 + 2 2 = 36 + 4 = 40
Also gilt hb = cm ≈ 6,3 cm
Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete hb und der anderen Kathete b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:
s2 = hb2 + (b)2
Da ja hb und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:
s = 6,322 + 22 = 39,94 + 4 = 44
Also gilt s = cm ≈ 6,6 cm
Kanten bei einer Pyramide
Beispiel:
Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 8 cm, h = 8 cm, s = 9.6 cm.
Berechne hb und b.
Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:
Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse hb, einer Kathete h und der anderen Kathete a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:
hb2 = h2 + (a)2
Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:
hb2 = 82 + 4 2 = 64 + 16 = 80
Also gilt hb = cm ≈ 8,9 cm
Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete hb und der anderen Kathete b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:
s2 = hb2 + (b)2
Weil wir b suchen, stellen wir nach b um:
(b)2 = s2 - hb2
(b)2 = 9,62 - 8,942 = 92,16 - 79,92 = 12,24
Also gilt b = cm ≈ 3,5 cm
Somit gilt: b ≈ 7 cm
Anwendungen Pythagoras
Beispiel:
Ein Kegel ist 20 cm hoch. Sein Grundkreis hat einen Durchmesser von 70 cm. Wie lang ist die Strecke von einem Punkt auf dem Grundkreis zur Spitze?
Es gilt:
352 + 202 =h2
1225 +400 = h2
1625 = h2 |
40.31 ≈ h
Somit gilt für die gesuchte Hypotenuse:
h ≈ 40.31cm
Pyramide (Oberflächenberechnung)
Beispiel:
Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Mantelfläche M = 115,38 mm² und Grundfläche G = 64 mm².
Berechne die Grundflächenlänge a und die Kantenlänge s.
Bestimmung der Grundflächenlänge a
Die Grundfläche G ist ja mit G = 64 mm² bereits bekannt.
Und da diese Grundfläche ja ein Quadrat mit Seitenlänge a ist, gilt: G = a² oder eben:
a = = mm = 8 mm
Bestimmung der Kantenlänge s
Um s zu berechnen, müssen wir zuerst die Seitenhöhe ha berechnen:
ha ist ja die Höhe der Seitenfläche. Und da die Mantelfläche aus 4 solchen gleichen Seitenflächen besteht und die Mantelfläche M ja mit M = 115,38 mm² bereits bekannt ist, gilt für eine solche Seitenfläche AS = ⋅ 115,38 mm² = 28.844 mm².
Zum anderen gilt aber auchAS = a⋅ha, also: 28.844 mm² = a⋅ha oder eben
ha =
Die Grundflächenlänge a ist ja mit a = 8 mm bereits bekannt.
somit gilt: ha = mm ≈ 7,21 mm
Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 8 mm bereits bekannt.
Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete ha und der anderen Kathete a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:
s2 = ha2 + (a)2
Da ja ha und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:
s = 7,212 + 42 = 52 + 16 = 16
Also gilt s = mm ≈ 8,25 mm
Pyramide (Volumenberechnung)
Beispiel:
Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Grundfläche G = 25 mm² und Pyramidenhöhe h = 8 mm.
Berechne das Volumen V und die Grundflächenlänge a.
Bestimmung des Volumen V
Um das Volumen dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir die Volumenformel einer Pyramide anwenden: V = G ⋅ h
Die Grundfläche G ist ja mit G = 25 mm² bereits bekannt.
Die Pyramindehöhe h ist ja mit h = 8 mm² bereits bekannt.
somit gilt: V = G ⋅ h = ⋅25 mm² ⋅ 8 mm ≈ 66,67 mm³
Bestimmung der Grundflächenlänge a
Die Grundfläche G ist ja mit G = 25 mm² bereits bekannt.
Und da diese Grundfläche ja ein Quadrat mit Seitenlänge a ist, gilt: G = a² oder eben:
a = = mm = 5 mm