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Raumdiagonale

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 7 mm, b = 4 mm und c = 4 mm.
Berechne die Länge der Raumdiagonale.

Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 7 mm und b = 4 mm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² +b² = (7 mm)² + (4 mm)² = 49 mm² + 16 mm² = 65 mm²

d1 = $\sqrt{65}$ mm ≈ 8.062 mm

Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{65}$ mm)² + (4 mm)² = 65 mm² + 16 mm² = 81 mm²

Da d1² = a² +b² gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d² = a² + b² + c² = 49 mm² + 16 mm² + 16 mm² = 81 mm²
berechnen.

d = $\sqrt{81}$ mm ≈ 9 mm

Dreiecke im Quader

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 7 m, b = 2 m und c = 8 m.
Berechne den Umfang U und den Flächeninhalt A des abgebildeten (grünen) Dreiecks.

Lösung einblenden

Die Deckendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a= 7 m und b = 2 m, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² + b² = (7 m)² + (2 m)² = 49 m² + 4 m² = 53 m²

d1 = $\sqrt{53}$ m ≈ 7.28 m

Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{53}$ m)² + (8 m)² = 53 m² + 64 m² = 117 m²

d = $\sqrt{117}$ m ≈ 10.817 m

Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + c ≈ 7.28 m + 10.82 m + 8 m ≈ 26.1 m

Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 8:
A = $\frac{1}{2}$ d1 ⋅c ≈ $\frac{1}{2}$ ⋅7.28 m⋅ 8 m ≈ 29.12 m²

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 6 cm, b = 6 cm, h = 6 cm.
Berechne h_b und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 6² + 3 ² = 36 + 9 = 45

Also gilt h_b = $\sqrt{45}$ cm ≈ 6,7 cm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 6,71² + 3² = 45,02 + 9 = 54

Also gilt s = $\sqrt{54.02}$ cm ≈ 7,3 cm

Kanten bei einer Pyramide

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 7 cm, b = 7 cm, h = 6 cm.
Berechne h_b und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 6² + 3,5 ² = 36 + 12,25 = 48,25

Also gilt h_b = $\sqrt{48.25}$ cm ≈ 6,9 cm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 6,95² + 3,5² = 48,3 + 12,25 = 61

Also gilt s = $\sqrt{60.55}$ cm ≈ 7,7 cm

Anwendungen Pythagoras

Beispiel:

Ein 8m hoher Mast wird von der einen Seite mit einem 15m langen Seil und von der gegenüberliegenden Seite mit einem 15m langen Seil abgespannt. Wie weit sind die Verankerungen der Spannseile von einander entfernt?

Lösung einblenden

Im ersten Dreieck gilt:

8² + k1² = 15²

64 + k1² = 225 |-64

k1² = 161 | $\sqrt[]{\cdot}$

k1 ≈ 12.69

Im zweiten Dreieck gilt:

8² + k2² = 15²

64 + k2² = 225 |-64

k2² = 161 | $\sqrt[]{\cdot}$

k2 ≈ 12.69

Beide Strecken zusammen ergeben somit:
d = k1 + k2 ≈ 25.38m

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Mantelfläche M = 109,57 mm² und Höhe der Seitenfläche ha = 7,83 mm.
Berechne die Grundfläche G und die Grundflächenlänge a.

Lösung einblenden

Bestimmung der Grundfläche G

Um die Grundfläche dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir einfach die Grundflächenlänge a zum Quadrat nehmen:

Die Mantelfläche ist ja mit M = 109,57 mm² bereits bekannt.

Die Mantelfläche M besteht aus den 4 gleich großen Flächeninhalten der Seitenflächen dieser Pyramide, also hat eine Seitenfläche den Flächeninhalt A_S = $\frac{1}{4}$ M = 27.392 mm²

Diesen Flächeninhalt einer Seitenfläche kann man ja aber auch mit der Formel A_S= $\frac{1}{2}$ a⋅h_a berechnen.

Umgestellt nach a ergibt dies a = $\frac{2⋅AS}{ha}$ = $\frac{54.78}{7,83}$ mm ≈ 7 mm

somit gilt: G = a² = (7 mm)² = 49 mm²

Bestimmung der Grundflächenlänge a

Die Grundflächenlänge a wurde ja bereits oben als a = 7 mm berechnet.

Pyramide (Volumenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Kantenlänge s = 6,96 mm und Höhe der Seitenfläche ha = 6,5 mm.
Berechne die Pyramidenhöhe h und die Grundflächenlänge a.

Lösung einblenden

Bestimmung der Pyramidenhöhe h

Die Höhe einer Seitenfläche ist ja mit h_a = 6,5 mm bereits bekannt.

Um h zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundseitenlänge a berechnen:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir a suchen, stellen wir nach a um:

( $\frac{1}{2}$ a)² = s² - h_a²

( $\frac{1}{2}$ a)² = 6,96² - 6,5² = 48,5 - 42,25 = 6,25

Also gilt $\frac{1}{2}$ a = $\sqrt{6.25}$ mm ≈ 2,5 mm

Somit gilt: a ≈ 5 mm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir h suchen, stellen wir nach h um:

h_a² - ( $\frac{1}{2}$ a)² = h²

h² = 6,5² - 2,5² = 42,25 - 6,25 = 36

Also gilt h = $\sqrt{36}$ mm ≈ 6 mm

Bestimmung der Grundflächenlänge a

Die Grundflächenlänge a wurde ja bereits oben als a = 5 mm berechnet.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Raumdiagonale

Dreiecke im Quader

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Kanten bei einer Pyramide

Anwendungen Pythagoras

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Bestimmung der Grundfläche G

Bestimmung der Grundflächenlänge a

Pyramide (Volumenberechnung)

Bestimmung der Pyramidenhöhe h

Bestimmung der Grundflächenlänge a