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Raumdiagonale

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 9 cm, b = 9 cm und c = 2 cm.
Berechne die Länge der Raumdiagonale.

Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 9 cm und b = 9 cm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² +b² = (9 cm)² + (9 cm)² = 81 cm² + 81 cm² = 162 cm²

d1 = $\sqrt{162}$ cm ≈ 12.728 cm

Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{162}$ cm)² + (2 cm)² = 162 cm² + 4 cm² = 166 cm²

Da d1² = a² +b² gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d² = a² + b² + c² = 81 cm² + 81 cm² + 4 cm² = 166 cm²
berechnen.

d = $\sqrt{166}$ cm ≈ 12.884 cm

Dreiecke im Quader

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 8 m, b = 8 m und c = 2 m.
Berechne den Umfang U und den Flächeninhalt A des abgebildeten (grünen) Dreiecks.

Lösung einblenden

Die Seitenwanddiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten b= 8 m und c = 2 m, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = b² + c² = (8 m)² + (2 m)² = 64 m² + 4 m² = 68 m²

d1 = $\sqrt{68}$ m ≈ 8.246 m

Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und a, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + a² = ( $\sqrt{68}$ m)² + (8 m)² = 68 m² + 64 m² = 132 m²

d = $\sqrt{132}$ m ≈ 11.489 m

Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + a ≈ 8.25 m + 11.49 m + 8 m ≈ 27.74 m

Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 8:
A = $\frac{1}{2}$ d1 ⋅a ≈ $\frac{1}{2}$ ⋅8.25 m⋅ 8 m ≈ 32.98 m²

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 8 mm, b = 6 mm, h = 7 mm.
Berechne h_b und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 7² + 4 ² = 49 + 16 = 65

Also gilt h_b = $\sqrt{65}$ mm ≈ 8,1 mm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 8,06² + 3² = 64,96 + 9 = 74

Also gilt s = $\sqrt{73.96}$ mm ≈ 8,6 mm

Kanten bei einer Pyramide

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: b = 7 cm, h = 7 cm, s = 8.5 cm.
Berechne a und h_b.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Weil wir h_b suchen, stellen wir nach h_b um:

s² - ( $\frac{1}{2}$ b)² = h_b ²

h_b² = 8,5² - 3,5² = 72,25 - 12,25 = 60

Also gilt h_b = $\sqrt{60}$ cm ≈ 7,8 cm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir a suchen, stellen wir nach a um:

( $\frac{1}{2}$ a)² = h_b² - h²

( $\frac{1}{2}$ a)² = 7,75² - 7² = 60 - 49 = 11

Also gilt $\frac{1}{2}$ a = $\sqrt{11}$ cm ≈ 3,3 cm

Somit gilt: a ≈ 6,6 cm

Anwendungen Pythagoras

Beispiel:

Ein Kegel ist 50 cm hoch. Sein Grundkreis hat einen Durchmesser von 30 cm. Wie lang ist die Strecke von einem Punkt auf dem Grundkreis zur Spitze?

Lösung einblenden

Es gilt:

15² + 50² =h²

225 +2500 = h²

2725 = h² | $\sqrt[]{\cdot}$

52.2 ≈ h

Somit gilt für die gesuchte Hypotenuse:
h ≈ 52.2cm

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Kantenlänge s = 9,06 mm und Höhe der Seitenfläche ha = 8,54 mm.
Berechne die Mantelfläche M und die Oberfläche O.

Lösung einblenden

Bestimmung der Mantelfläche M

Die Mantelfläche M besteht aus den 4 gleich großen Flächeninhalten der Seitenflächen dieser Pyramide. Diese soll nun berechnet werden:

Um h_a zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundseitenlänge a berechnen:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir a suchen, stellen wir nach a um:

( $\frac{1}{2}$ a)² = s² - h_a²

( $\frac{1}{2}$ a)² = 9,06² - 8,54² = 82 - 73 = 9

Also gilt $\frac{1}{2}$ a = $\sqrt{9}$ mm ≈ 3 mm

Somit gilt: a ≈ 6 mm

Den Flächeninhalt einer Seitenfläche können wir ja einfach mit der Formel A_S= $\frac{1}{2}$ a⋅h_a berechen:

A_S = $\frac{1}{2}$ ⋅6 mm⋅8,54 mm ≈ 25,63 mm²

Für die Mantelfläche müssen wir nun diese 4 Flächeninhalte noch zusammenzählen:

M = 4⋅25,63 mm² = 102,53 mm²

Bestimmung der Oberfläche O

Um die Oberfläche dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir einfach den Mantel und die Grundfläche addieren:

Die Mantelfläche M ist ja mit M = 102,53 mm² bereits bekannt.

Um die Grundfläche dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir einfach die Grundflächenlänge a zum Quadrat nehmen:

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 6 mm bereits bekannt.

somit gilt: G = a² = (6 mm)² = 36 mm²

somit gilt: O = M + G = 102,53 mm² + 36 mm² = 138,53 mm²

Pyramide (Volumenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Grundfläche G = 36 m² und Höhe der Seitenfläche ha = 6,71 m.
Berechne das Volumen V und die Grundflächenlänge a.

Lösung einblenden

Bestimmung des Volumen V

Um das Volumen dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir die Volumenformel einer Pyramide anwenden: V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h

Die Grundfläche G ist ja mit G = 36 m² bereits bekannt.

Die Höhe einer Seitenfläche ist ja mit h_a = 6,71 m bereits bekannt.

Um h zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundseitenlänge a berechnen:

Die Grundfläche G ist ja mit G = 36 m² bereits bekannt.

Und da diese Grundfläche ja ein Quadrat mit Seitenlänge a ist, gilt: G = a² oder eben:

a = $\sqrt{G}$ = $\sqrt{36}$ m = 6 m

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir h suchen, stellen wir nach h um:

h_a² - ( $\frac{1}{2}$ a)² = h²

h² = 6,71² - 3² = 45 - 9 = 36

Also gilt h = $\sqrt{36}$ m ≈ 6 m

somit gilt: V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h = $\frac{1}{3}$ ⋅36 m² ⋅ 6 m ≈ 72 m³

Bestimmung der Grundflächenlänge a

Die Grundflächenlänge a wurde ja bereits oben als a = 6 m berechnet.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Raumdiagonale

Dreiecke im Quader

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Kanten bei einer Pyramide

Anwendungen Pythagoras

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Bestimmung der Mantelfläche M

Bestimmung der Oberfläche O

Pyramide (Volumenberechnung)

Bestimmung des Volumen V

Bestimmung der Grundflächenlänge a