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Raumdiagonale

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 9 m, b = 2 m und c = 8 m.
Berechne die Länge der Raumdiagonale.

Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 9 m und b = 2 m, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² +b² = (9 m)² + (2 m)² = 81 m² + 4 m² = 85 m²

d1 = $\sqrt{85}$ m ≈ 9.22 m

Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{85}$ m)² + (8 m)² = 85 m² + 64 m² = 149 m²

Da d1² = a² +b² gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d² = a² + b² + c² = 81 m² + 4 m² + 64 m² = 149 m²
berechnen.

d = $\sqrt{149}$ m ≈ 12.207 m

Dreiecke im Quader

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 3 cm, b = 7 cm und c = 5 cm.
Berechne den Umfang U und den Flächeninhalt A des abgebildeten (grünen) Dreiecks.

Lösung einblenden

Die Seitenwanddiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten b= 7 cm und c = 5 cm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = b² + c² = (7 cm)² + (5 cm)² = 49 cm² + 25 cm² = 74 cm²

d1 = $\sqrt{74}$ cm ≈ 8.602 cm

Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und a, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + a² = ( $\sqrt{74}$ cm)² + (3 cm)² = 74 cm² + 9 cm² = 83 cm²

d = $\sqrt{83}$ cm ≈ 9.11 cm

Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + a ≈ 8.6 cm + 9.11 cm + 3 cm ≈ 20.71 cm

Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 3:
A = $\frac{1}{2}$ d1 ⋅a ≈ $\frac{1}{2}$ ⋅8.6 cm⋅ 3 cm ≈ 12.9 cm²

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 7 m, b = 4 m, h = 8 m.
Berechne h_b und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 8² + 3,5 ² = 64 + 12,25 = 76,25

Also gilt h_b = $\sqrt{76.25}$ m ≈ 8,7 m

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 8,73² + 2² = 76,21 + 4 = 80

Also gilt s = $\sqrt{80.21}$ m ≈ 8,9 m

Kanten bei einer Pyramide

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 6 mm, h = 7 mm, s = 8 mm.
Berechne h_b und b.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 7² + 3 ² = 49 + 9 = 58

Also gilt h_b = $\sqrt{58}$ mm ≈ 7,6 mm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Weil wir b suchen, stellen wir nach b um:

( $\frac{1}{2}$ b)² = s² - h_b²

( $\frac{1}{2}$ b)² = 8² - 7,62² = 64 - 58,06 = 5,94

Also gilt $\frac{1}{2}$ b = $\sqrt{5.94}$ mm ≈ 2,44 mm

Somit gilt: b ≈ 4,9 mm

Anwendungen Pythagoras

Beispiel:

Ein 7m hoher Mast wird von der einen Seite mit einem 9m langen Seil und von der gegenüberliegenden Seite mit einem 16m langen Seil abgespannt. Wie weit sind die Verankerungen der Spannseile von einander entfernt?

Lösung einblenden

Im ersten Dreieck gilt:

7² + k1² = 9²

49 + k1² = 81 |-49

k1² = 32 | $\sqrt[]{\cdot}$

k1 ≈ 5.66

Im zweiten Dreieck gilt:

7² + k2² = 16²

49 + k2² = 256 |-49

k2² = 207 | $\sqrt[]{\cdot}$

k2 ≈ 14.39

Beide Strecken zusammen ergeben somit:
d = k1 + k2 ≈ 20.04m

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Grundflächenlänge a = 9 mm und Oberfläche O = 246,22 mm².
Berechne die Pyramidenhöhe h und die Mantelfläche M.

Lösung einblenden

Bestimmung der Pyramidenhöhe h

Um h zu berechnen, müssen wir zuerst die Seitenhöhe h_a berechnen:

Um h_a zu berechnen, müssen wir zuerst die Mantelfläche M berechnen:

Wir berechnen zunächst die Grundfläche G:

Um die Grundfläche dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir einfach die Grundflächenlänge a zum Quadrat nehmen:

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 9 mm bereits bekannt.

somit gilt: G = a² = (9 mm)² = 81 mm²

Da sich ja die Oberfläche aus Grundfläche und Mantelfläche zusammensetzt, können wir die Mantelfläche dieser Pyramide einfach als Differenz M = O - G bestimmen:

somit gilt: M = O - G = 246,22 mm² - 81 mm² = 165,22 mm²

h_a ist ja die Höhe der Seitenfläche. Und da die Mantelfläche aus 4 solchen gleichen Seitenflächen besteht und die Mantelfläche M ja mit M = 165,22 mm² bereits bekannt ist, gilt für eine solche Seitenfläche A_S = $\frac{1}{4}$ ⋅ 165,22 mm² = 41.305 mm².

Zum anderen gilt aber auch
A_S =

\frac{1}{2}

a⋅h_a, also: 41.305 mm² =

\frac{1}{2}

a⋅h_a oder eben

h_a = $\frac{2⋅41.3}{a}$

Die Grundflächenlänge a ist ja mit a = 9 mm bereits bekannt.

somit gilt: h_a = $\frac{82.61}{9}$ mm ≈ 9,18 mm

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 9 mm bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir h suchen, stellen wir nach h um:

h_a² - ( $\frac{1}{2}$ a)² = h²

h² = 9,18² - 4,5² = 84,25 - 20,25 = 64

Also gilt h = $\sqrt{64}$ mm ≈ 8 mm

Bestimmung der Mantelfläche M

Die Mantelfläche M wurde ja bereits oben als M = 165,22 mm² berechnet.

Pyramide (Volumenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Kantenlänge s = 8,25 mm und Grundflächenlänge a = 8 mm.
Berechne das Volumen V und die Grundfläche G.

Lösung einblenden

Bestimmung des Volumen V

Um das Volumen dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir die Volumenformel einer Pyramide anwenden: V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h

Um die Grundfläche dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir einfach die Grundflächenlänge a zum Quadrat nehmen:

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 8 mm bereits bekannt.

somit gilt: G = a² = (8 mm)² = 64 mm²

Um h zu berechnen, müssen wir zuerst die Seitenhöhe h_a berechnen:

Die Grundflächenlänge a ist ja mit a = 8 mm bereits bekannt.

Die Höhe einer Seitenfläche dieser Pyramide bestimmen wir über das rechtwinklige Dreieck der halben Seitenfläche:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir h_a suchen, stellen wir nach h_a um:

s² - ( $\frac{1}{2}$ a)² = h_a ²

h_a² = 8,25² - 4² = 68 - 16 = 52

Also gilt h_a = $\sqrt{52}$ mm ≈ 7,21 mm

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 8 mm bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir h suchen, stellen wir nach h um:

h_a² - ( $\frac{1}{2}$ a)² = h²

h² = 7,21² - 4² = 52 - 16 = 36

Also gilt h = $\sqrt{36}$ mm ≈ 6 mm

somit gilt: V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h = $\frac{1}{3}$ ⋅64 mm² ⋅ 6 mm ≈ 128 mm³

Bestimmung der Grundfläche G

Die Grundfläche G wurde ja bereits oben als G = 64 mm² berechnet.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Raumdiagonale

Dreiecke im Quader

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Kanten bei einer Pyramide

Anwendungen Pythagoras

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Bestimmung der Pyramidenhöhe h

Bestimmung der Mantelfläche M

Pyramide (Volumenberechnung)

Bestimmung des Volumen V

Bestimmung der Grundfläche G