Der gesuchte Funktionsterm $\text{y}=$ $\frac{4}{7}{x}^2+6$ ist ein Spezialfall von $a·{(x-d)}^2+e$. Der Scheitel liegt dabei bei S(d|e), denn der kleinste Wert wird hier bei x = 0 angenommen. Dieser kleinste Wert ist dann y = 6. Die Parabel hat also ihren Scheitel in S(0|6).

Da das a=$\frac{4}{7}$>0 ist, ist die Parabel nach nach oben geöffnet.

Und weil |a|=|$\frac{4}{7}$|<1 ist, ist die Parabel weiter als die Normalparabel.

Weil der Scheitel der Parabel im Ursprung liegt, muss der Funktionsterm y = ax² sein.

Und weil die Parabel nach oben geöffnet ist, muss das Vorzeichen von a positiv sein.

An der Stelle x=1 ist der y-Wert gerade y=a⋅1²=a. Hier können wir also das a ablesen.

An der Stelle x=1 kann man das 0,25 zwar nicht so gut ablesen, man kann aber auch y=a⋅2²=4a einsetzen. Hier erkennt man nun sehr deutlich, y=a⋅2²=4a=1 ist, also muss a= 0,25 sein.

So erhält man als Funktionsterm: $\text{y}=$ $\mathrm{0,25}{x}^2$.

Aus der Zeichnung kann man erkennen, dass an der Stelle x = 3 der (in der Abblidung rechts rote) Punkt (3|y) auf der Höhe y = 0.3 liegt.

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-1|0) und N₂(2|0).

Also muss der Funktionsterm $\text{y}=$ $a·\left(x+1\right)·\left(x-2\right)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(0|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a·\left(0+1\right)·\left(0-2\right)$ = $-2a$=-1.

Hieraus ergibt sich a=$\frac{1}{2}$.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $\text{y}=$ $\frac{1}{2}\left(x+1\right)\left(x-2\right)$.

Man erkennt leicht, dass der Scheitel der abgebildeten Parabel in S(2|-1) liegt, so dass der Funktionsterm $\text{y}=$ $a·{(x-d)}^2+e$ mit d = 2 und e = -1, also $\text{y}=$ $a·{\left(x-2\right)}^2-1$ sein muss.

Und weil die Parabel nach oben geöffnet ist, muss das Vorzeichen von a positiv sein.

Um das a genau zu bestimmen, schauen wir uns einen Punkt an, dessen x-Wert 1 neben dem Scheitel liegt. An der Stelle x = 3 ist der y-Wert gerade y = $a·{\left(3-2\right)}^2-1$ = 1a -1. Hier können wir am Schaubild ablesen, dass y = 1a -1 = 3 ist.

1a -1 = 3 | +1

a = 4

So erhält man als Funktionsterm: $\text{y}=$ $4{\left(x-2\right)}^2-1$.

Weil der Scheitel der Parabel im Ursprung liegt, muss der Funktionsterm y=ax² sein.

Wenn der Punkt P(10|2) auf der Parabel liegt, muss f(10) = a⋅10² = 100a = 2 gelten.

100a = 2 |:100

a = $\frac{1}{50}$

So erhält man als Funktionsterm: $\text{y}=$ $\frac{1}{50}{x}^2$.

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-2|0) und N₂(5|0).

Also muss der Funktionsterm $\text{y}=$ $a·\left(x+2\right)·\left(x-5\right)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-3|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a·\left(-3+2\right)·\left(-3-5\right)$ = $8a$=-2.

Hieraus ergibt sich a=$-\frac{1}{4}$.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $\text{y}=$ $-\frac{1}{4}\left(x+2\right)\left(x-5\right)$.

Jetzt muss der faktorisierte Term eben noch ausmultipliziert werden:

$\text{y}=$ $-\frac{1}{4}\left(x+2\right)\left(x-5\right)$

= $-\frac{1}{4}(x·x+x·\left(-5\right)+2·x+2·\left(-5\right))$

= $-\frac{1}{4}(x·x-5x+2x-10)$

= $-\frac{1}{4}\left(x^2-3x-10\right)$

= $-\frac{1}{4}{x}^2+\frac{3}{4}x+\frac{5}{2}$

Der gesuchte Funktionsterm in der Form y = ax² + bx + c ist somit $\text{y}=$ $-\frac{1}{4}{x}^2+\frac{3}{4}x+\frac{5}{2}$

Für die faktorisierte Darstellung brauchen wir die Nullstellen. Also berechnen wir diese als erstes.

Für jedes a hat also der Funktionterm $a·\left(x+1\right)·\left(x-1\right)$ genau die gleichen Nullstellen wie $\text{y}=$ $5x^2-5$.

Wenn wir nun ausmultiplizieren, erkennenn wir, dass a genau der Koeffizient vor den x² bei unserer Originalfunktion sein muss:

$\text{y}=$ $a·\left(x+1\right)·\left(x-1\right)$

= $a·(x·x+x·\left(-1\right)+1·x+1·\left(-1\right))$

= $a·(x·x-x+x-1)$

= $a·\left(x^2-1\right)$

Für a = 5 ergibt sich also tatsächlich:

$5\left(x^2-1\right)$ = $5x^2-5$ = y

Der gesuchte Funktionsterm in faktorisierter Darstellung ist also: $\text{y}=$ $5\left(x+1\right)\left(x-1\right)$