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Sinus und Thaleskreis (leicht)

Beispiel:

Das große Dreieck ist gleichschenklig.

Der blaue Halbkreis hat einen Durchmesser von u = 5 cm.

Die Länge der gemeinsamen Kante der beiden Dreiecke beträgt v = 4.3 cm.

Bestimme die fehlende Winkelweite α.

Lösung einblenden

Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Nach der Definition des Sinus gilt im rechtwinkligen Dreieck sin(β)= $\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$

Damit folgt sin(β)= $\frac{4.3cm}{5cm}$ =0.86 und somit β=59.3°

Wegen der Winkelsumme im Dreieck muss gelten: 90° + β + φ = 180°.
Somit gilt φ = 90° - β° = 30.7°.

Wegen der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss nun aber β und (α+φ) gleich groß sein.

Mit α+30.7°=β=59.3° gilt nun: α = 28.6°

Sinus und Thaleskreis (schwer)

Beispiel:

Das große Dreieck ist gleichschenklig. Bestimme die Länge der Strecke PQ.

Lösung einblenden

Am blauen Thaleskreis über dem ersten Dreieck erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Als Nebenwinkel von γ muss natürluch auch δ ein recher Winkel sein.

Aufgrund der Winkelsumme im zweiten Dreieck folgt δ + ε + 26° = 180°.

Daraus folgt ε = 180° - 90° - 26° = 64°.

Mit Hilfe der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks kann mann nun β bestimmen: Es gilt ε + 2⋅β = 180°. Daraus folgt β = $\frac{180° - ε}{2}$ = $\frac{116°}{2}$ = 58°

Mit Hilfe des Sinus kann man nun die Länge der gemeinsamen Seite g der beiden Dreiecke berechnen:

Da g die Gegenkathete von β ist, gilt: sin(β)=sin(58°) = $\frac{g}{6.5cm}$

Damit folgt g = sin(58°) ⋅ 6.5cm ≈ 5.5cm

Nun können wir im zweiten Dreieck den Sinus anwenden und so die gesuchte Seite PQ herausfinden: sin(ε)= $\frac{g}{PQ}$

Setzt man die bekannten Werte ein, so folgt sin(64°)= $\frac{5.5}{PQ}$

Damit folgt: PQ = $\frac{5.5}{sin(64°)}$ = 6.1cm

Trigonometrie Anwendungen

Beispiel:

Ein 12m hoher Mast wird von der einen Seite mit einem 39m langen Seil und von der gegenüberleigenden Seite mit einem 29m langen Seil abgespannt. Wie weit sind die Verankerungen der Spannseile von einander entfernt?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen die beiden Winkel jeweils oben in den rechtwinkligen Dreiecken:
cos(α) = $\frac{Ankathete}{Hypotenuse}$ = $\frac{12}{39}$ ≈ 0.3077 => α = 72.1.
cos(β) = $\frac{Ankathete}{Hypotenuse}$ = $\frac{12}{29}$ ≈ 0.4138 => β = 65.6.

In beiden Dreiecken gilt für den Tangens: tan(α)= $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ .
Da nach der Gegenkathete gesucht wird, stellen wir um zu
Gegenkathete g1=Ankathete ⋅ tan(α)=12 ⋅ tan(72.079786860608°) ≈37.108

Genau gleich verfahren wir mit dem anderen Dreieck:
Gegenkathete g2=Ankathete ⋅ tan(β)=12 ⋅ tan(65.556664572303°) ≈26.4008

(Die Gegenkatheten hätte man auch mit dem Satz des Pythagoras berechnen können)

Die gesuchte Strecke ist nun gerade die Summe der beiden Gegenkatheten:
s=37.108 + 26.401 ≈ 63.509 m.

Winkel zw. Punkten im Koordinatensystem

Beispiel:

Berechne alle Längen und Winkel im Dreick ABC mit A(-3|-5), B(3|-5) und C(3|4).

Runde die Ergebnisse auf eine Nachkommastelle.

Lösung einblenden

Wenn man die drei Punkte in ein Koordinatensystem einträgt, erkennt man sofort, dass (zwischen B und C) a = 9 und (zwischen A und B) c = 6 sein müssen. Weil das Dreieck rechtwinklig ist, kann man b (zwischen A und C), also die Hypotenuse, mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.

b² = 9² + 6²

b² = 81 + 36

b² = 117

b = $\sqrt{117}$ ≈ 10.82

Da a (zwischen B und C) und c (zwischen A und B) parallel zu den Koordinatenachsen sind, muss der Winkel in B β = 90° sein.

Den Winkel α können wir mit dem Tangens berechnen:

tan(α) = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{9}{6}$ = 1.5

Daraus folgt: α = arctan(1.5) ≈ 56.3°.

Wegen der Winkelsumme von 180° im Dreieck folgt: γ = 90°-56.3° = 33.7°

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Sinus und Thaleskreis (leicht)

Sinus und Thaleskreis (schwer)

Trigonometrie Anwendungen

Winkel zw. Punkten im Koordinatensystem