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Sinus und Thaleskreis (leicht)
Beispiel:
Das große Dreieck ist gleichschenklig.
Der blaue Halbkreis hat einen Durchmesser von u = 5.5 cm.
Die Länge der gemeinsamen Kante der beiden Dreiecke beträgt v = 4.8 cm.
Bestimme die fehlende Winkelweite α.
Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.
Nach der Definition des Sinus gilt im rechtwinkligen Dreieck sin(β)=
Damit folgt sin(β)==0.873 und somit β=60.8°
Wegen der Winkelsumme im Dreieck muss gelten: 90° + β + φ = 180°.
Somit gilt φ = 90° - β° = 29.2°.
Wegen der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss nun aber β und (α+φ) gleich groß sein.
Mit α+29.2°=β=60.8° gilt nun: α = 31.6°
Sinus und Thaleskreis (schwer)
Beispiel:
Das große Dreieck ist gleichschenklig. Bestimme die Länge der Strecke PQ.
Am blauen Thaleskreis über dem ersten Dreieck erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.
Als Nebenwinkel von γ muss natürluch auch δ ein recher Winkel sein.
Aufgrund der Winkelsumme im zweiten Dreieck folgt δ + ε + 36° = 180°.
Daraus folgt ε = 180° - 90° - 36° = 54°.
Mit Hilfe der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks kann mann nun β bestimmen: Es gilt ε + 2⋅β = 180°. Daraus folgt β = = = 63°
Mit Hilfe des Sinus kann man nun die Länge der gemeinsamen Seite g der beiden Dreiecke berechnen:
Da g die Gegenkathete von β ist, gilt: sin(β)=sin(63°) =
Damit folgt g = sin(63°) ⋅ 5.5cm ≈ 4.9cm
Nun können wir im zweiten Dreieck den Sinus anwenden und so die gesuchte Seite PQ herausfinden: sin(ε)=
Setzt man die bekannten Werte ein, so folgt sin(54°)=
Damit folgt: PQ = = 6.1cm
Trigonometrie Anwendungen
Beispiel:
Die Klasse 9a möchte vermessen wie hoch ihr Schulhaus ist. Dazu messen sie in einiger Entfernung zum Schulhaus den Winkel β = 24,6° zwischen der Horizontalen und der Sichtlinie zur Schulhausspitze. d=1m näher am Schulhaus beträgt dieser Winkel α = 25,2°. Wie hoch ist das Schulhaus?
Wir nennen die Entfernung vom näheren Messpunkt bis zum Punkt senkrecht unter der Schulhausspitze x und die gesuchte Höhe des Schulhauses h.
Dann gilt in dem kleineren rechten Dreieck:
(I) tan(25.2°)=
In dem größeren rechtwinkligen Dreick vom entfernten Messpunkt bis zum Schulhaus gilt dann:
(II) tan(24.6°)=
Wenn wir nun beide Glecihungen nach x auflösen, können wir diese gleichsetzen
(I) tan(25.2°)= | ⋅ x
(I) tan(25.2°) ⋅ x =h |:tan(25.2°)
(I) x =
Jetzt die Gleichung (II):
(II) tan(24.6°)= | ⋅ (x+ 1)
(II) tan(24.6°) ⋅ (x+ 1) = h |:tan(25.2°)
(II) x + 1= |
(II) x = - 1
Jetzt kann man die rechten Seiten der beiden Gleichungen gleichsetzen:
= - 1
= - 1
⋅ h = ⋅ h - 1
2.1251 h = 2.1842 h - 1 | - 2.1251 + 1
1 = 0.0591 h | : 0.0591
16.9258 = h
Das Schulhaus ist also ungefähr h=16.9m hoch.
Winkel zw. Punkten im Koordinatensystem
Beispiel:
Berechne alle Längen und Winkel im Dreick ABC mit A(-5|-3), B(1|-3) und C(1|0).
Runde die Ergebnisse auf eine Nachkommastelle.
Wenn man die drei Punkte in ein Koordinatensystem einträgt, erkennt man sofort, dass (zwischen B und C) a = 3 und (zwischen A und B) c = 6 sein müssen. Weil das Dreieck rechtwinklig ist, kann man b (zwischen A und C), also die Hypotenuse, mit dem Satz des Pythagoras berechnen:
Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.b2 = 32 + 62
b2 = 9 + 36
b2 = 45
b = ≈ 6.71
Da a (zwischen B und C) und c (zwischen A und B) parallel zu den Koordinatenachsen sind, muss der Winkel in B β = 90° sein.
Den Winkel α können wir mit dem Tangens berechnen:
tan(α) = = = 0.5
Daraus folgt: α = arctan(0.5) ≈ 26.6°.
Wegen der Winkelsumme von 180° im Dreieck folgt: γ = 90°-26.6° = 63.4°