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Sinus und Thaleskreis (leicht)

Beispiel:

Das große Dreieck ist gleichschenklig.

Der blaue Halbkreis hat einen Durchmesser von u = 7 cm.

Die Länge der gemeinsamen Kante der beiden Dreiecke beträgt v = 5.9 cm.

Bestimme die fehlende Winkelweite α.

Lösung einblenden

Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Nach der Definition des Sinus gilt im rechtwinkligen Dreieck sin(β)= $\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$

Damit folgt sin(β)= $\frac{5.9cm}{7cm}$ =0.843 und somit β=57.4°

Wegen der Winkelsumme im Dreieck muss gelten: 90° + β + α = 180°.
Somit gilt α = 90° - β° = 32.6°.

Sinus und Thaleskreis (schwer)

Beispiel:

Das große Dreieck ist gleichschenklig. Bestimme die Länge der Strecke PQ.

Lösung einblenden

Am blauen Thaleskreis über dem ersten Dreieck erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Aufgrund der Winkelsumme im ersten Dreieck folgt β + γ + 29° = 180°.

Daraus folgt β = 180° - 90° - 29° = 61°

Mit Hilfe des Sinus kann man nun die Länge der gemeinsamen Seite g der beiden Dreiecke berechnen:

Da g die Gegenkathete von β ist, gilt: sin(β)=sin(61°) = $\frac{g}{5cm}$

Damit folgt g = sin(61°) ⋅ 5cm ≈ 4.4cm

Als Nebenwinkel von γ muss natürlich auch δ ein rechter Winkel sein.

Aufgrund der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss β und (α+29°) gleich groß sein. Damit gilt 61° = α + 29°, woraus folgt: α = 32°

Mit der Winkelsumme im zweiten Dreieck folgt nun ε = 90° - α = 90° - 32° = 58°

Nun können wir in diesem Dreieck den Sinus anwenden und so die gesuchte Seite PQ herausfinden: sin(ε)= $\frac{g}{PQ}$

Setzt man die bekannten Werte ein, so folgt sin(58°)= $\frac{4.4}{PQ}$

Damit folgt: PQ = $\frac{4.4}{sin(58°)}$ ≈ 5.2cm

Trigonometrie Anwendungen

Beispiel:

Von einem Fenster in 13m Höhe kann man den entfernten Rand eines Kanals unter dem Winkel α=80° gegenüber der Senkrechten betrachten. Der vordere Rand des Kanals erscheinet unter dem Winkel β=35° gegenüber der Senkrechten. Wie breit ist der Kanal?

Lösung einblenden

In beiden Dreiecken gilt für den Tangens: tan(α)= $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ .
Da nach der Gegenkathete gesucht wird, stellen wir um zu
Gegenkathete g1=Ankathete ⋅ tan(α)=13 ⋅ tan(80°) ≈73.7267

Genau gleich verfahren wir mit dem anderen Dreieck:
Gegenkathete g2=Ankathete ⋅ tan(β)=13 ⋅ tan(35°) ≈9.1027

Die gesuchte Strecke ist nun gerade die Differenz der beiden Gegenkatheten:
s=73.727 - 9.103 ≈ 64.624 m.

Winkel zw. Punkten im Koordinatensystem

Beispiel:

Berechne alle Längen und Winkel im Dreick ABC mit A(1|-2), B(5|-2) und C(5|5).

Runde die Ergebnisse auf eine Nachkommastelle.

Lösung einblenden

Wenn man die drei Punkte in ein Koordinatensystem einträgt, erkennt man sofort, dass (zwischen B und C) a = 7 und (zwischen A und B) c = 4 sein müssen. Weil das Dreieck rechtwinklig ist, kann man b (zwischen A und C), also die Hypotenuse, mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.

b² = 7² + 4²

b² = 49 + 16

b² = 65

b = $\sqrt{65}$ ≈ 8.06

Da a (zwischen B und C) und c (zwischen A und B) parallel zu den Koordinatenachsen sind, muss der Winkel in B β = 90° sein.

Den Winkel α können wir mit dem Tangens berechnen:

tan(α) = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{7}{4}$ = 1.75

Daraus folgt: α = arctan(1.75) ≈ 60.3°.

Wegen der Winkelsumme von 180° im Dreieck folgt: γ = 90°-60.3° = 29.7°

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Sinus und Thaleskreis (leicht)

Sinus und Thaleskreis (schwer)

Trigonometrie Anwendungen

Winkel zw. Punkten im Koordinatensystem