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quadr. Ungleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$(x + 2) (x - 1)$ ≥ 0.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $(x + 2) (x - 1)$ = 0 ist.

(x + 2) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₁	=	$- 2$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $f(x) =$ $(x + 2) (x - 1)$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $(x + 2) (x - 1)$ = 0 (x₁ = -2 und x₂ = 1) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 1 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also dass der Scheitel der tiefste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $(x + 2) (x - 1)$ ≥ 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -2: f(-3) = $(- 3 + 2) \cdot (- 3 - 1)$ = $4$ > 0
Für -2 < x < 1: f(0) = $(0 + 2) \cdot (0 - 1)$ = $- 2$ < 0
Für x > 1: f(2) = $(2 + 2) \cdot (2 - 1)$ = $4$ > 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) ≥ 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $(x + 2) (x - 1)$ = 0 auch zur gesuchten Ungleichung $(x + 2) (x - 1)$ ≥ 0 gehört, ist x₁=-2 und x₂=1 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x ≤ -2 oder x ≥ 1.

quadratische Ungleichungen

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$2 x^{2} + 8 x + 8$ ≥ 0.

Lösung einblenden

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $2 x^{2} + 8 x + 8$ = 0 ist.

2 x^{2} + 8 x + 8

= 0 |:2

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 2$ ± 0 = $- 2$

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $f(x) =$ $2 x^{2} + 8 x + 8$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $2 x^{2} + 8 x + 8$ = 0 (x = -2) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Da wir bei dieser Parabel nur einen gemeinsamen Punkt mit der x-Achse haben, muss dieser gemeinsame Punkt der Scheitel sein!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 2 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel oberhalb der x-Achse liegen.
Somit gilt die Ungleichung $2 x^{2} + 8 x + 8$ ≥ 0 für alle x .

2.Weg
Da es ja nur diesen einen Schnittpunkt mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte von f(x) innerhalb eines dieser beiden Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -2: f(-3) = $2 \cdot {(- 3)}^{2} + 8 \cdot (- 3) + 8$ = $2$ > 0
Für x > -2: f(0) = $2 \cdot 0^{2} + 8 \cdot 0 + 8$ = $8$ > 0
Also gilt die Ungleichung $2 x^{2} + 8 x + 8$ ≥ 0 in beiden Intervallen.

Da der Grenzfall $2 x^{2} + 8 x + 8$ = 0 auch zur gesuchten Ungleichung $2 x^{2} + 8 x + 8$ ≥ 0 gehört, ist x=-2 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

ℝ (alle x erfüllen die Ungleichung)

quadratische Ungleichungen 2

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$- 2 x^{2} - 11 x - 5$ ≤ $- 3 x + 5$ .

Lösung einblenden

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $- 2 x^{2} - 11 x - 5$ = $- 3 x + 5$ ist.

- 2 x^{2} - 11 x - 5

=

- 3 x + 5

|

+ 3 x

- 5

- 2 x^{2} - 8 x - 10

= 0 |:2

$- x^{2} - 4 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 5)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 20}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{(- 4)}}{- 2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 4 x - 5$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 4 x + 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 5$ = $4$ $-$ $5$ = $- 1$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

Wenn wir uns die zugehörigen Graphen von $f(x) =$ $- 2 x^{2} - 11 x - 5$ und $g(x) =$ $- 3 x + 5$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $- 2 x^{2} - 11 x - 5$ = $- 3 x + 5$ (hier: keine) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden sind.

Wir haben also bei dieser Parabel keinen gemeinsamen Punkt mit der Geraden y= $- 3 x + 5$ , es müssen also entweder alle Punkte der Parabel über der Geraden y= $- 3 x + 5$ oder alle unter der Geraden y= $- 3 x + 5$ liegen!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -2 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel unterhalb der Geraden y= $- 3 x + 5$ liegen.
Die Ungleichung $- 2 x^{2} - 11 x - 5$ ≤ $- 3 x + 5$ gilt somit für alle x.

2.Weg
Da es ja keinen Schnittpunkt mit der Geraden y= $- 3 x + 5$ gibt, müssen alle Funktionswerte von $f(x) =$ $- 2 x^{2} - 11 x - 5$ immer oberhalb oder immer unterhalb der Funktionswerte von g(x) liegen. Deswegen reicht es einen Vertreter davon, am einfachsten mit x=0, zu untersuchen:
f(0) = $- 2 \cdot 0^{2} - 11 \cdot 0 - 5$ = $- 5$ < $5$ = $- 3 \cdot 0 + 5$ = g(0)
Dies gilt (wegen der fehlenden Schnittpunkte) auch für alle anderen Funktionswerte und die Ungleichung $- 2 x^{2} - 11 x - 5$ ≤ $- 3 x + 5$ gilt für alle x.

Die Lösung ist also: ℝ (alle x erfüllen die Ungleichung)

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Ungleichungen (einfach)

quadratische Ungleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

quadratische Ungleichungen 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):