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quadr. Ungleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$(x + 1) \cdot (x - 5)$ ≤ 0.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $(x + 1) \cdot (x - 5)$ = 0 ist.

(x + 1) \cdot (x - 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₁	=	$- 1$

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₂	=	$5$

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $f(x) =$ $(x + 1) \cdot (x - 5)$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $(x + 1) \cdot (x - 5)$ = 0 (x₁ = -1 und x₂ = 5) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 1 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also dass der Scheitel der tiefste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $(x + 1) \cdot (x - 5)$ ≤ 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -1: f(-2) = $(- 2 + 1) \cdot (- 2 - 5)$ = $7$ > 0
Für -1 < x < 5: f(0) = $(0 + 1) \cdot (0 - 5)$ = $- 5$ < 0
Für x > 5: f(6) = $(6 + 1) \cdot (6 - 5)$ = $7$ > 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) ≤ 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $(x + 1) \cdot (x - 5)$ = 0 auch zur gesuchten Ungleichung $(x + 1) \cdot (x - 5)$ ≤ 0 gehört, ist x₁=-1 und x₂=5 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x ≥ -1 und x ≤ 5.

quadratische Ungleichungen

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$- x^{2} + 4 x + 5$ < 0.

Lösung einblenden

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $- x^{2} + 4 x + 5$ = 0 ist.

$- x^{2} + 4 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 5}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 4+6}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 4-6}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 4 x + 5$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 4 x - 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $2$ - $3$ = -1

x₂ = $2$ + $3$ = 5

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $f(x) =$ $- x^{2} + 4 x + 5$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $- x^{2} + 4 x + 5$ = 0 (x₁ = -1 und x₂ = 5) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -1 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also dass der Scheitel der höchste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $- x^{2} + 4 x + 5$ < 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -1: f(-2) = $- {(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2) + 5$ = $- 7$ < 0
Für -1 < x < 5: f(0) = $- 0^{2} + 4 \cdot 0 + 5$ = $5$ > 0
Für x > 5: f(6) = $- 6^{2} + 4 \cdot 6 + 5$ = $- 7$ < 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) < 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $- x^{2} + 4 x + 5$ = 0 nicht zur gesuchten Ungleichung $- x^{2} + 4 x + 5$ < 0 gehört, ist x₁=-1 und x₂=5 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x < -1 oder x > 5.

quadratische Ungleichungen 2

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$x^{2} - 7 x + 13$ ≤ $- x + 4$ .

Lösung einblenden

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $x^{2} - 7 x + 13$ = $- x + 4$ ist.

x^{2} - 7 x + 13

=

- x + 4

|

+ x

- 4

$x^{2} - 6 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 9$ = $9$ $-$ $9$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $3$ ± 0 = $3$

Wenn wir uns die zugehörigen Graphen von $f(x) =$ $x^{2} - 7 x + 13$ und $g(x) =$ $- x + 4$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $x^{2} - 7 x + 13$ = $- x + 4$ (x = 3) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden sind.

Da wir bei dieser Parabel nur einen gemeinsamen Punkt mit der Geraden y= $- x + 4$ haben, muss dieser gemeinsame Punkt ein Berührpunkt sein!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 1 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel (außer dem Scheitel) oberhalb der Geraden y= $- x + 4$ liegen.
Somit gilt die Ungleichung $x^{2} - 7 x + 13$ ≤ $- x + 4$ für kein x außer für x = 3.

2.Weg
Da es ja nur diesen einen Schnittpunkt mit der Geraden y= $- x + 4$ gibt, müssen die Funktionswerte von f(x) innerhalb eines dieser beiden Intervalle immer oberhalb oder immer unterhalb der Funktionswerte von g(x) liegen. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < 3: f(0) = $0^{2} - 7 \cdot 0 + 13$ = $13$ > $4$ = $- 0 + 4$ = g(0)
Für x > 3: f(4) = $4^{2} - 7 \cdot 4 + 13$ = $1$ > 0 = $- 4 + 4$ = g(4)
Also gilt die Ungleichung $x^{2} - 7 x + 13$ ≤ $- x + 4$ in keinem der Intervalle.

Da der Grenzfall $x^{2} - 7 x + 13$ = $- x + 4$ auch zur gesuchten Ungleichung $x^{2} - 7 x + 13$ ≤ $- x + 4$ gehört, ist x=3 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

{3}

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Ungleichungen (einfach)

quadratische Ungleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

quadratische Ungleichungen 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):