Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $x\left(x-5\right)$ = 0 ist.

$x\left(x-5\right)$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $\text{f(x)}=$ $x\left(x-5\right)$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $x\left(x-5\right)$ = 0 (x₁ = 0 und x₂ = 5) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 1 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also dass der Scheitel der tiefste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $x\left(x-5\right)$ < 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < 0: f(-1) = $-1·\left(-1-5\right)$ = $6$ > 0
Für 0 < x < 5: f(4) = $4·\left(4-5\right)$ = $-4$ < 0
Für x > 5: f(6) = $6·\left(6-5\right)$ = $6$ > 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) < 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $x\left(x-5\right)$ = 0 nicht zur gesuchten Ungleichung $x\left(x-5\right)$ < 0 gehört, ist x₁=0 und x₂=5 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x > 0 und x < 5.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $-x^2+4x+5$ = 0 ist.

$-x^2+4x+5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4·\left(-1\right)·5}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{16+20}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{36}}{-2}$

x₁ = $\frac{-4+\sqrt{36}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{-2}$ = $-1$

x₂ = $\frac{-4-\sqrt{36}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-10}{-2}$ = $5$

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $\text{f(x)}=$ $-x^2+4x+5$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $-x^2+4x+5$ = 0 (x₁ = -1 und x₂ = 5) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -1 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also dass der Scheitel der höchste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $-x^2+4x+5$ < 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -1: f(-2) = $-{\left(-2\right)}^2+4\cdot \left(-2\right)+5$ = $-7$ < 0
Für -1 < x < 5: f(0) = $-0^2+4\cdot 0+5$ = $5$ > 0
Für x > 5: f(6) = $-6^2+4\cdot 6+5$ = $-7$ < 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) < 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $-x^2+4x+5$ = 0 nicht zur gesuchten Ungleichung $-x^2+4x+5$ < 0 gehört, ist x₁=-1 und x₂=5 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x < -1 oder x > 5.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $-2x^2+3x-9$ = $-x-5$ ist.

$-2x^2+3x-9$

=

$-x-5$

| $+x$ $+5$

$-2x^2+4x-4$ = 0 |:2

$-x^2+2x-2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·\left(-1\right)·\left(-2\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{4-8}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{\left(-4\right)}}{-2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Wenn wir uns die zugehörigen Graphen von $\text{f(x)}=$ $-2x^2+3x-9$ und $\text{g(x)}=$ $-x-5$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $-2x^2+3x-9$ = $-x-5$ (hier: keine) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden sind.

Wir haben also bei dieser Parabel keinen gemeinsamen Punkt mit der Geraden y= $-x-5$, es müssen also entweder alle Punkte der Parabel über der Geraden y= $-x-5$ oder alle unter der Geraden y= $-x-5$ liegen!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -2 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel unterhalb der Geraden y= $-x-5$ liegen.
Die Ungleichung $-2x^2+3x-9$ ≤ $-x-5$ gilt somit für alle x.

2.Weg
Da es ja keinen Schnittpunkt mit der Geraden y= $-x-5$ gibt, müssen alle Funktionswerte von $\text{f(x)}=$ $-2x^2+3x-9$ immer oberhalb oder immer unterhalb der Funktionswerte von g(x) liegen. Deswegen reicht es einen Vertreter davon, am einfachsten mit x=0, zu untersuchen:
f(0) = $-2\cdot 0^2+3\cdot 0-9$ = $-9$ < $-5$ = $-0-5$ = g(0)
Dies gilt (wegen der fehlenden Schnittpunkte) auch für alle anderen Funktionswerte und die Ungleichung $-2x^2+3x-9$ ≤ $-x-5$ gilt für alle x.

Die Lösung ist also: ℝ (alle x erfüllen die Ungleichung)