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quadr. Ungleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$(x + 3) (x - 1)$ < 0.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $(x + 3) (x - 1)$ = 0 ist.

(x + 3) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₁	=	$- 3$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $f(x) =$ $(x + 3) (x - 1)$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $(x + 3) (x - 1)$ = 0 (x₁ = -3 und x₂ = 1) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 1 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also dass der Scheitel der tiefste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $(x + 3) (x - 1)$ < 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -3: f(-4) = $(- 4 + 3) \cdot (- 4 - 1)$ = $5$ > 0
Für -3 < x < 1: f(0) = $(0 + 3) \cdot (0 - 1)$ = $- 3$ < 0
Für x > 1: f(2) = $(2 + 3) \cdot (2 - 1)$ = $5$ > 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) < 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $(x + 3) (x - 1)$ = 0 nicht zur gesuchten Ungleichung $(x + 3) (x - 1)$ < 0 gehört, ist x₁=-3 und x₂=1 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x > -3 und x < 1.

quadratische Ungleichungen

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$- 2 x^{2} - 3 x$ > 0.

Lösung einblenden

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $- 2 x^{2} - 3 x$ = 0 ist.

$- 2 x^{2} - 3 x$	=	0
$- x (2 x + 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$2 x + 3$	=	0	\| $- 3$
$2 x$	=	$- 3$	\|: $2$
x₂	=	$- \frac{3}{2}$ = -1.5

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $f(x) =$ $- 2 x^{2} - 3 x$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $- 2 x^{2} - 3 x$ = 0 (x₁ = -1.5 und x₂ = 0) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -2 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also dass der Scheitel der höchste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $- 2 x^{2} - 3 x$ > 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -1.5: f(-2) = $- 2 \cdot {(- 2)}^{2} - 3 \cdot (- 2)$ = $- 2$ < 0
Für -1.5 < x < 0: f(-1) = $- 2 \cdot {(- 1)}^{2} - 3 \cdot (- 1)$ = $1$ > 0
Für x > 0: f(1) = $- 2 \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1$ = $- 5$ < 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) > 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $- 2 x^{2} - 3 x$ = 0 nicht zur gesuchten Ungleichung $- 2 x^{2} - 3 x$ > 0 gehört, ist x₁=-1.5 und x₂=0 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x > -1.5 und x < 0.

quadratische Ungleichungen 2

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$- 2 x^{2} - 19 x - 36$ > $- 3 x - 2$ .

Lösung einblenden

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $- 2 x^{2} - 19 x - 36$ = $- 3 x - 2$ ist.

- 2 x^{2} - 19 x - 36

=

- 3 x - 2

|

+ 3 x

+ 2

- 2 x^{2} - 16 x - 34

= 0 |:2

$- x^{2} - 8 x - 17$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 17)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 68}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{(- 4)}}{- 2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 8 x - 17$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 8 x + 17$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 17$ = $16$ $-$ $17$ = $- 1$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

Wenn wir uns die zugehörigen Graphen von $f(x) =$ $- 2 x^{2} - 19 x - 36$ und $g(x) =$ $- 3 x - 2$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $- 2 x^{2} - 19 x - 36$ = $- 3 x - 2$ (hier: keine) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden sind.

Wir haben also bei dieser Parabel keinen gemeinsamen Punkt mit der Geraden y= $- 3 x - 2$ , es müssen also entweder alle Punkte der Parabel über der Geraden y= $- 3 x - 2$ oder alle unter der Geraden y= $- 3 x - 2$ liegen!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -2 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel unterhalb der Geraden y= $- 3 x - 2$ liegen.
Die Ungleichung $- 2 x^{2} - 19 x - 36$ > $- 3 x - 2$ gilt somit für kein x.

2.Weg
Da es ja keinen Schnittpunkt mit der Geraden y= $- 3 x - 2$ gibt, müssen alle Funktionswerte von $f(x) =$ $- 2 x^{2} - 19 x - 36$ immer oberhalb oder immer unterhalb der Funktionswerte von g(x) liegen. Deswegen reicht es einen Vertreter davon, am einfachsten mit x=0, zu untersuchen:
f(0) = $- 2 \cdot 0^{2} - 19 \cdot 0 - 36$ = $- 36$ < $- 2$ = $- 3 \cdot 0 - 2$ = g(0)
Dies gilt (wegen der fehlenden Schnittpunkte) auch für alle anderen Funktionswerte und die Ungleichung $- 2 x^{2} - 19 x - 36$ > $- 3 x - 2$ gilt für kein x.

Die Lösung ist also: {} (kein x erfüllt die Ungleichung)

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Ungleichungen (einfach)

quadratische Ungleichungen

quadratische Ungleichungen 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):