Mathebattle EduRandomtasks

quadr. Ungleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$- (x + 1) \cdot (x - 3)$ ≤ 0.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $- (x + 1) \cdot (x - 3)$ = 0 ist.

- (x + 1) \cdot (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₁	=	$- 1$

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₂	=	$3$

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $f(x) =$ $- (x + 1) \cdot (x - 3)$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $- (x + 1) \cdot (x - 3)$ = 0 (x₁ = -1 und x₂ = 3) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -1 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also dass der Scheitel der höchste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $- (x + 1) \cdot (x - 3)$ ≤ 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -1: f(-2) = $- (- 2 + 1) \cdot (- 2 - 3)$ = $- 5$ < 0
Für -1 < x < 3: f(0) = $- (0 + 1) \cdot (0 - 3)$ = $3$ > 0
Für x > 3: f(4) = $- (4 + 1) \cdot (4 - 3)$ = $- 5$ < 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) ≤ 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $- (x + 1) \cdot (x - 3)$ = 0 auch zur gesuchten Ungleichung $- (x + 1) \cdot (x - 3)$ ≤ 0 gehört, ist x₁=-1 und x₂=3 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x ≤ -1 oder x ≥ 3.

quadratische Ungleichungen

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$x^{2} - 8 x + 16$ ≥ 0.

Lösung einblenden

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $x^{2} - 8 x + 16$ = 0 ist.

$x^{2} - 8 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 16$ = $16$ $-$ $16$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $4$ ± 0 = $4$

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $f(x) =$ $x^{2} - 8 x + 16$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $x^{2} - 8 x + 16$ = 0 (x = 4) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Da wir bei dieser Parabel nur einen gemeinsamen Punkt mit der x-Achse haben, muss dieser gemeinsame Punkt der Scheitel sein!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 1 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel oberhalb der x-Achse liegen.
Somit gilt die Ungleichung $x^{2} - 8 x + 16$ ≥ 0 für alle x .

2.Weg
Da es ja nur diesen einen Schnittpunkt mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte von f(x) innerhalb eines dieser beiden Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < 4: f(0) = $0^{2} - 8 \cdot 0 + 16$ = $16$ > 0
Für x > 4: f(5) = $5^{2} - 8 \cdot 5 + 16$ = $1$ > 0
Also gilt die Ungleichung $x^{2} - 8 x + 16$ ≥ 0 in beiden Intervallen.

Da der Grenzfall $x^{2} - 8 x + 16$ = 0 auch zur gesuchten Ungleichung $x^{2} - 8 x + 16$ ≥ 0 gehört, ist x=4 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

ℝ (alle x erfüllen die Ungleichung)

quadratische Ungleichungen 2

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$x^{2} - 9 x + 6$ ≥ $- 3 x - 4$ .

Lösung einblenden

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $x^{2} - 9 x + 6$ = $- 3 x - 4$ ist.

x^{2} - 9 x + 6

=

- 3 x - 4

|

+ 3 x

+ 4

$x^{2} - 6 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 10$ = $9$ $-$ $10$ = $- 1$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

Wenn wir uns die zugehörigen Graphen von $f(x) =$ $x^{2} - 9 x + 6$ und $g(x) =$ $- 3 x - 4$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $x^{2} - 9 x + 6$ = $- 3 x - 4$ (hier: keine) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden sind.

Wir haben also bei dieser Parabel keinen gemeinsamen Punkt mit der Geraden y= $- 3 x - 4$ , es müssen also entweder alle Punkte der Parabel über der Geraden y= $- 3 x - 4$ oder alle unter der Geraden y= $- 3 x - 4$ liegen!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 1 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel oberhalb der Geraden y= $- 3 x - 4$ liegen.
Die Ungleichung $x^{2} - 9 x + 6$ ≥ $- 3 x - 4$ gilt somit für alle x.

2.Weg
Da es ja keinen Schnittpunkt mit der Geraden y= $- 3 x - 4$ gibt, müssen alle Funktionswerte von $f(x) =$ $x^{2} - 9 x + 6$ immer oberhalb oder immer unterhalb der Funktionswerte von g(x) liegen. Deswegen reicht es einen Vertreter davon, am einfachsten mit x=0, zu untersuchen:
f(0) = $0^{2} - 9 \cdot 0 + 6$ = $6$ > $- 4$ = $- 3 \cdot 0 - 4$ = g(0)
Dies gilt (wegen der fehlenden Schnittpunkte) auch für alle anderen Funktionswerte und die Ungleichung $x^{2} - 9 x + 6$ ≥ $- 3 x - 4$ gilt für alle x.

Die Lösung ist also: ℝ (alle x erfüllen die Ungleichung)

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Ungleichungen (einfach)

quadratische Ungleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

quadratische Ungleichungen 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):