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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{1}{x}$ = $8$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{1}{x}$	=	$8$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{1}{x} \cdot x$	=	$8 \cdot x$
$- 1$	=	$8 x$

$- 1$	=	$8 x$	\| $+ 1$ $- 8 x$
$- 8 x$	=	$1$	\|:( $- 8$ )
$x$	=	$- \frac{1}{8}$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{1}{8}$ }

Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{6 x}{x - 9}$ = $- 3$

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D=R\{ $9$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 9$ weg!

$\frac{- 6 x}{x - 9}$	=	$- 3$	\|⋅( $x - 9$ )
$\frac{- 6 x}{x - 9} \cdot (x - 9)$	=	$- 3 \cdot (x - 9)$
$- \frac{6 x}{1}$	=	$- 3 (x - 9)$
$- 6 x$	=	$- 3 (x - 9)$

$- 6 x$	=	$- 3 x + 27$	\| $+ 3 x$
$- 3 x$	=	$27$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 9$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ }

Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{4 x + 22}{2 x + 4}$ = $- 5$

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D=R\{ $- 2$ }

\frac{4 x + 22}{2 (x + 2)}

- 5

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 2)$ weg!

$\frac{4 x + 22}{2 (x + 2)}$	=	$- 5$	\|⋅( $2 (x + 2)$ )
$\frac{4 x + 22}{2 (x + 2)} \cdot (2 (x + 2))$	=	$- 5 \cdot (2 (x + 2))$
$4 x + 22$	=	$- 10 (x + 2)$

$4 x + 22$	=	$- 10 x - 20$	\| $- 22$
$4 x$	=	$- 10 x - 42$	\| $+ 10 x$
$14 x$	=	$- 42$	\|: $14$
$x$	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ }

Formel umstellen

Beispiel:

Josephine möchte für den Coopertest trainieren. Ihre Sportlehrerin empfiehlt ihr mit einer konstanten Geschwindigkeit von 220 m/min zu laufen. Wie lange braucht sie dann für ihre 8000 Meter lange Trainingsstrecke?

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Wir wenden hier die Formel v= $\frac{s}{t}$ an und stellen sie so um, dass die gesuchte Größe t alleine steht:

v= $\frac{s}{t}$ |⋅t

=> v⋅t=s |:v

=> t= $\frac{s}{v}$

Jetzt müssen wir nur noch die gegebenen Werte einsetzen und ausrechnen:

t= $\frac{s}{v}$ = $\frac{8000 m}{220 m/min}$ ≈ 36.36 min