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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{7}{x}$ = $- 2$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{7}{x}$	=	$- 2$	\|⋅( $x$ )
$\frac{7}{x} \cdot x$	=	$- 2 \cdot x$
$7$	=	$- 2 x$

$7$	=	$- 2 x$	\| $- 7$ $+ 2 x$
$2 x$	=	$- 7$	\|: $2$
$x$	=	$- \frac{7}{2}$ = -3.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{7}{2}$ }

Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{x}{x - 20}$ = $- 5$

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D=R\{ $20$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 20$ weg!

$\frac{- x}{x - 20}$	=	$- 5$	\|⋅( $x - 20$ )
$\frac{- x}{x - 20} \cdot (x - 20)$	=	$- 5 \cdot (x - 20)$
$- x$	=	$- 5 (x - 20)$

$- x$	=	$- 5 x + 100$	\| $+ 5 x$
$4 x$	=	$100$	\|: $4$
$x$	=	$25$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $25$ }

Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{8 x}{2 x + 4} - \frac{10}{2 x + 4}$ = $- 3$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

- \frac{8 x}{2 (x + 2)} - \frac{10}{2 (x + 2)}

- 3

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$- \frac{8 x}{2 (x + 2)} - \frac{10}{2 (x + 2)}$	=	$- 3$	\|⋅( $x + 2$ )
$- \frac{8 x}{2 (x + 2)} \cdot (x + 2) + \frac{- 10}{2 (x + 2)} \cdot (x + 2)$	=	$- 3 \cdot (x + 2)$
$- 4 x - 5$	=	$- 3 (x + 2)$

$- 4 x - 5$	=	$- 3 x - 6$	\| $+ 5$
$- 4 x$	=	$- 3 x - 1$	\| $+ 3 x$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ }

Formel umstellen

Beispiel:

Die Dichte eines neuen Werkstoffs beträgt 2 g/cm³. Als Dichte p bezeichnet man die Masse m pro Volumeneinheit V, es gilt also die Formel p=m/V. Wie schwer (in kg) sind 7 Liter dieses neuen Werkstoffs?

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Wir wenden hier die Formel p= $\frac{m}{V}$ an und stellen sie so um, dass die gesuchte Größe m alleine steht:

p= $\frac{m}{V}$ |⋅V

=> p⋅V=m

also m = p⋅V

Jetzt müssen wir nur noch die gegebenen Werte einsetzen und ausrechnen:

m = p⋅V = 2 $\frac{kg}{l}$ ⋅ 7 l = 14 kg