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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn eine Person das Schulhaus putzt, braucht sie dafür 36 h.

Wie lange bräuchten 3 Personen hierfür?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Person	36 h
3 Personen	?

Um von 1 Personen in der ersten Zeile auf 3 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 3 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 36 h durch 3 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 3 Personen entspricht:

⋅ 3

1 Person	36 h
3 Personen	?

: 3

⋅ 3

1 Person	36 h
3 Personen	12 h

: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Personen entspricht: 12 h

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Karls hat für seine Geburtstagsparty Spezi bekommen. Dabei reicht es für jeden genau 3 Flaschen, wenn insgesamt 12 Personen auf seiner Party sind.

Wie viele Flaschen würde jeder bekommen, wenn insgesamt 18 Personen auf der Party wären?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

12 Gäste	3 Spezi-Flaschen
?	?
18 Gäste	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Gäste in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 12 Gäste teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 12 und von 18 sein, also der ggT(12,18) = 6.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 6 Gäste:

12 Gäste	3 Spezi-Flaschen
6 Gäste	?
18 Gäste	?

Um von 12 Gäste in der ersten Zeile auf 6 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 3 Spezi-Flaschen nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 6 Gäste links entspricht:

: 2

12 Gäste	3 Spezi-Flaschen
6 Gäste	?
18 Gäste	?

⋅ 2

: 2

12 Gäste	3 Spezi-Flaschen
6 Gäste	6 Spezi-Flaschen
18 Gäste	?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 6 Gäste in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 18 Gäste in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2

⋅ 3

12 Gäste	3 Spezi-Flaschen
6 Gäste	6 Spezi-Flaschen
18 Gäste	?

⋅ 2

: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 6 Spezi-Flaschen in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 2

⋅ 3

12 Gäste	3 Spezi-Flaschen
6 Gäste	6 Spezi-Flaschen
18 Gäste	2 Spezi-Flaschen

⋅ 2

: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 18 Gäste entspricht: 2 Spezi-Flaschen

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

5 € Lospreis	80 Lose
?	?
4 € Lospreis	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 4 sein, also der ggT(5,4) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 € Lospreis:

5 € Lospreis	80 Lose
1 € Lospreis	?
4 € Lospreis	?

Um von 5 € Lospreis in der ersten Zeile auf 1 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 80 Lose nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 € Lospreis links entspricht:

: 5

5 € Lospreis	80 Lose
1 € Lospreis	?
4 € Lospreis	?

⋅ 5

: 5

5 € Lospreis	80 Lose
1 € Lospreis	400 Lose
4 € Lospreis	?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5

⋅ 4

5 € Lospreis	80 Lose
1 € Lospreis	400 Lose
4 € Lospreis	?

⋅ 5

: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 400 Lose in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 5

⋅ 4

5 € Lospreis	80 Lose
1 € Lospreis	400 Lose
4 € Lospreis	100 Lose

⋅ 5

: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 € Lospreis entspricht: 100 Lose

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 38 Lose den 10 € Lospreis entsprechen.

: 4

⋅ 5

8 € Lospreis	50 Lose
2 € Lospreis	200 Lose
10 € Lospreis	40 Lose

⋅ 4

: 5

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 38 Lose (für 10 € Lospreis) war also falsch, richtig wäre 40 Lose gewesen.

Jetzt überprüfen wir, ob die 80 Lose den 5 € Lospreis entsprechen.

: 8

⋅ 5

8 € Lospreis	50 Lose
1 € Lospreis	400 Lose
5 € Lospreis	80 Lose

⋅ 8

: 5

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 80 Lose (für 5 € Lospreis) war also korrekt.

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld). Wenn er 4 Helfer:innen einstellt, reicht es für jeden 90 € Lohn.

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 3 Helfer:innen hätte?
Wie viele Helfer:innen könnte man mit einem Lohn von 15 € bezahlen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

4 Helfer:innen	90 € Lohn
?	?
3 Helfer:innen	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Helfer:innen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 Helfer:innen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Helfer:innen:

4 Helfer:innen	90 € Lohn
1 Helfer:in	?
3 Helfer:innen	?

Um von 4 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 1 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 90 € Lohn nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Helfer:innen links entspricht:

: 4

4 Helfer:innen	90 € Lohn
1 Helfer:in	360 € Lohn
3 Helfer:innen	?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Helfer:innen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Helfer:innen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4

⋅ 3

4 Helfer:innen	90 € Lohn
1 Helfer:in	360 € Lohn
3 Helfer:innen	120 € Lohn

⋅ 4

: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Helfer:innen entspricht: 120 € Lohn

Um von 90 € Lohn in der ersten Zeile auf 15 € Lohn in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 6 teilen. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 4 Helfer:innen mit 6 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 15 € Lohn entspricht:

: 6

90 € Lohn	4 Helfer:innen
15 € Lohn	?

⋅ 6

: 6

90 € Lohn	4 Helfer:innen
15 € Lohn	24 Helfer:innen

⋅ 6

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 € Lohn entspricht: 24 Helfer:innen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Eine Drohne muss eine bestimmte Strecke zurücklegen. Wenn sie dabei mit einer Geschwindigkeit von 20 km/h fliegt, braucht sie dafür 4 Minuten.Wie lange braucht sie bei einer Geschwindigkeit von 22 km/h?

Lösung einblenden

Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

Geschwindigkeit	Flugzeit
20 km/h	4 min
( : 20 )	( ⋅ 20 )
1 km/h	$80$ min
( ⋅ 22 )	( : 22 )
22 km/h	$\frac{80}{22}$ min

Die gesuchte Flugzeit ist also $\frac{80}{22}$ = $\frac{40}{11}$ = 3 $\frac{7}{11}$ ≈ 3.636 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz (antiproportional)

Dreisatz (antiproportional)

Tabelle (antiproportional)

Antiproportionalität überprüfen

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)