Mathebattle EduRandomtasks

Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Karls hat für seine Geburtstagsparty 60 Flaschen Spezi bekommen.

Wie viele Flaschen würde jeder bekommen, wenn insgesamt 15 Personen auf der Party wären?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Gast	60 Spezi-Flaschen
15 Gäste	?

Um von 1 Gäste in der ersten Zeile auf 15 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 15 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 60 Spezi-Flaschen durch 15 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 15 Gäste entspricht:

⋅ 15

1 Gast	60 Spezi-Flaschen
15 Gäste	?

: 15

⋅ 15

1 Gast	60 Spezi-Flaschen
15 Gäste	4 Spezi-Flaschen

: 15

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 Gäste entspricht: 4 Spezi-Flaschen

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn 5 Personen das Schulhaus putzen, brauchen sie dafür 10 h.

Wie lange bräuchten 2 Personen hierfür?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

5 Personen	10 h
?	?
2 Personen	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 2 sein, also der ggT(5,2) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Personen:

5 Personen	10 h
1 Person	?
2 Personen	?

Um von 5 Personen in der ersten Zeile auf 1 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 10 h nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Personen links entspricht:

: 5

5 Personen	10 h
1 Person	?
2 Personen	?

⋅ 5

: 5

5 Personen	10 h
1 Person	50 h
2 Personen	?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Personen in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5

⋅ 2

5 Personen	10 h
1 Person	50 h
2 Personen	?

⋅ 5

: 2

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 50 h in der mittleren Zeile durch 2 dividieren:

: 5

⋅ 2

5 Personen	10 h
1 Person	50 h
2 Personen	25 h

⋅ 5

: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 Personen entspricht: 25 h

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

8 Helfer:innen	70 € Lohn
?	?
14 Helfer:innen	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Helfer:innen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Helfer:innen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 14 sein, also der ggT(8,14) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Helfer:innen:

8 Helfer:innen	70 € Lohn
2 Helfer:innen	?
14 Helfer:innen	?

Um von 8 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 2 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 70 € Lohn nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Helfer:innen links entspricht:

: 4

8 Helfer:innen	70 € Lohn
2 Helfer:innen	?
14 Helfer:innen	?

⋅ 4

: 4

8 Helfer:innen	70 € Lohn
2 Helfer:innen	280 € Lohn
14 Helfer:innen	?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Helfer:innen in der mittleren Zeile mit 7 multiplizieren, um auf die 14 Helfer:innen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4

⋅ 7

8 Helfer:innen	70 € Lohn
2 Helfer:innen	280 € Lohn
14 Helfer:innen	?

⋅ 4

: 7

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 280 € Lohn in der mittleren Zeile durch 7 dividieren:

: 4

⋅ 7

8 Helfer:innen	70 € Lohn
2 Helfer:innen	280 € Lohn
14 Helfer:innen	40 € Lohn

⋅ 4

: 7

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 14 Helfer:innen entspricht: 40 € Lohn

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 3 h den 10 Personen entsprechen.

: 4

⋅ 5

8 Personen	5 h
2 Personen	20 h
10 Personen	4 h

⋅ 4

: 5

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 3 h (für 10 Personen) war also falsch, richtig wäre 4 h gewesen.

Jetzt überprüfen wir, ob die 8 h den 5 Personen entsprechen.

: 8

⋅ 5

8 Personen	5 h
1 Personen	40 h
5 Personen	8 h

⋅ 8

: 5

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 8 h (für 5 Personen) war also korrekt.

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld). Wenn er 8 Helfer:innen einstellt, reicht es für jeden 60 € Lohn.

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 12 Helfer:innen hätte?
Wie viele Helfer:innen könnte man mit einem Lohn von 32 € bezahlen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

8 Helfer:innen	60 € Lohn
?	?
12 Helfer:innen	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Helfer:innen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Helfer:innen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 12 sein, also der ggT(8,12) = 4.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 Helfer:innen:

8 Helfer:innen	60 € Lohn
4 Helfer:innen	?
12 Helfer:innen	?

Um von 8 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 4 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 60 € Lohn nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 4 Helfer:innen links entspricht:

: 2

8 Helfer:innen	60 € Lohn
4 Helfer:innen	120 € Lohn
12 Helfer:innen	?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 4 Helfer:innen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 12 Helfer:innen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2

⋅ 3

8 Helfer:innen	60 € Lohn
4 Helfer:innen	120 € Lohn
12 Helfer:innen	40 € Lohn

⋅ 2

: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Helfer:innen entspricht: 40 € Lohn

Für die andere Frage (Wie viele Helfer:innen könnte man mit einem Lohn von 32 € bezahlen?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "€ Lohn"-Werte haben und nach einem "Helfer:innen"-Wert gesucht wird:

60 € Lohn	8 Helfer:innen
?	?
32 € Lohn	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lohn in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 60 € Lohn teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 60 und von 32 sein, also der ggT(60,32) = 4.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 € Lohn:

60 € Lohn	8 Helfer:innen
4 € Lohn	?
32 € Lohn	?

Um von 60 € Lohn in der ersten Zeile auf 4 € Lohn in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 15 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 8 Helfer:innen nicht durch 15 teilen, sondern mit 15 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 4 € Lohn links entspricht:

: 15

60 € Lohn	8 Helfer:innen
4 € Lohn	120 Helfer:innen
32 € Lohn	?

⋅ 15

Jetzt müssen wir ja wieder die 4 € Lohn in der mittleren Zeile mit 8 multiplizieren, um auf die 32 € Lohn in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 15

⋅ 8

60 € Lohn	8 Helfer:innen
4 € Lohn	120 Helfer:innen
32 € Lohn	15 Helfer:innen

⋅ 15

: 8

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 32 € Lohn entspricht: 15 Helfer:innen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Ein Raum wird mit 55 LED-Leuchten á 190 Lumen ausgeleuchtet. Aus ästhetischen Gründen sollen nur noch 23 Leuchten im Raum installiert sein, diese sollen aber die gleiche Helligkeit erzeugen. Wie viel Lumen brauchen dann diese neuen LED-Leuchten?

Lösung einblenden

Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

Anzahl LED-Leuchten	Helligkeit
55	190 Lumen
( : 55 )	( ⋅ 55 )
1	$10 450$ Lumen
( ⋅ 23 )	( : 23 )
23	$\frac{10 450}{23}$ Lumen

Die gesuchte Helligkeit ist also $\frac{10 450}{23}$ = 454 $\frac{8}{23}$ ≈ 454.348 Lumen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz (antiproportional)

Dreisatz (antiproportional)

Tabelle (antiproportional)

Antiproportionalität überprüfen

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)