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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn Karla mit ihrem Handy jeden Tag immer 1 Minute telefonieren würde, würden ihre Freiminuten noch genau 50 Tage halten.

Wann wären ihre Freiminuten aufgebraucht, wenn sie täglich 10 min telefonieren würde?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Minute pro Tag	50 Tage
10 Minuten pro Tag	?

Um von 1 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 10 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 10 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 50 Tage durch 10 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 10 Minuten pro Tag entspricht:

⋅ 10

1 Minute pro Tag	50 Tage
10 Minuten pro Tag	?

: 10

⋅ 10

1 Minute pro Tag	50 Tage
10 Minuten pro Tag	5 Tage

: 10

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 Minuten pro Tag entspricht: 5 Tage

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld). Wenn er 3 Helfer:innen einstellt, reicht es für jeden 200 € Lohn.

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 2 Helfer:innen hätte?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

3 Helfer:innen	200 € Lohn
?	?
2 Helfer:innen	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Helfer:innen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 3 Helfer:innen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 3 und von 2 sein, also der ggT(3,2) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Helfer:innen:

3 Helfer:innen	200 € Lohn
1 Helfer:in	?
2 Helfer:innen	?

Um von 3 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 1 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 200 € Lohn nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Helfer:innen links entspricht:

: 3

3 Helfer:innen	200 € Lohn
1 Helfer:in	?
2 Helfer:innen	?

⋅ 3

: 3

3 Helfer:innen	200 € Lohn
1 Helfer:in	600 € Lohn
2 Helfer:innen	?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Helfer:innen in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 Helfer:innen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3

⋅ 2

3 Helfer:innen	200 € Lohn
1 Helfer:in	600 € Lohn
2 Helfer:innen	?

⋅ 3

: 2

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 600 € Lohn in der mittleren Zeile durch 2 dividieren:

: 3

⋅ 2

3 Helfer:innen	200 € Lohn
1 Helfer:in	600 € Lohn
2 Helfer:innen	300 € Lohn

⋅ 3

: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 Helfer:innen entspricht: 300 € Lohn

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

4 CPU-Kerne	6 ms
?	?
3 CPU-Kerne	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 CPU-Kerne:

4 CPU-Kerne	6 ms
1 CPU-Kern	?
3 CPU-Kerne	?

Um von 4 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 1 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 ms nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 CPU-Kerne links entspricht:

: 4

4 CPU-Kerne	6 ms
1 CPU-Kern	?
3 CPU-Kerne	?

⋅ 4

: 4

4 CPU-Kerne	6 ms
1 CPU-Kern	24 ms
3 CPU-Kerne	?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4

⋅ 3

4 CPU-Kerne	6 ms
1 CPU-Kern	24 ms
3 CPU-Kerne	?

⋅ 4

: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 24 ms in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 4

⋅ 3

4 CPU-Kerne	6 ms
1 CPU-Kern	24 ms
3 CPU-Kerne	8 ms

⋅ 4

: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 CPU-Kerne entspricht: 8 ms

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 14 Fuhren den 3 Lastwagen entsprechen.

: 4

⋅ 3

4 Lastwagen	12 Fuhren
1 Lastwagen	48 Fuhren
3 Lastwagen	16 Fuhren

⋅ 4

: 3

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 14 Fuhren (für 3 Lastwagen) war also falsch, richtig wäre 16 Fuhren gewesen.

Jetzt überprüfen wir, ob die 9 Fuhren den 8 Lastwagen entsprechen.

: 1

⋅ 2

4 Lastwagen	12 Fuhren
4 Lastwagen	12 Fuhren
8 Lastwagen	6 Fuhren

⋅ 1

: 2

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 9 Fuhren (für 8 Lastwagen) war also falsch, richtig wäre 6 Fuhren gewesen.

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Wenn 12 Personen das Schulhaus putzen, brauchen sie dafür 5 h.

Wie lange bräuchten 15 Personen hierfür?
Wie viele Personen bräuchte man, damit jeder 15 h putzen müsste?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

12 Personen	5 h
?	?
15 Personen	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 12 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 12 und von 15 sein, also der ggT(12,15) = 3.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 Personen:

12 Personen	5 h
3 Personen	?
15 Personen	?

Um von 12 Personen in der ersten Zeile auf 3 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 h nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 3 Personen links entspricht:

: 4

12 Personen	5 h
3 Personen	20 h
15 Personen	?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 3 Personen in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 15 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4

⋅ 5

12 Personen	5 h
3 Personen	20 h
15 Personen	4 h

⋅ 4

: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 Personen entspricht: 4 h

Um von 5 h in der ersten Zeile auf 15 h in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 3 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 12 Personen durch 3 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 15 h entspricht:

⋅ 3

5 h	12 Personen
15 h	?

: 3

⋅ 3

5 h	12 Personen
15 h	4 Personen

: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 h entspricht: 4 Personen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Eine Drohne muss eine bestimmte Strecke zurücklegen. Wenn sie dabei mit einer Geschwindigkeit von 50 km/h fliegt, braucht sie dafür 4 Minuten.Wie lange braucht sie bei einer Geschwindigkeit von 37 km/h?

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Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

Geschwindigkeit	Flugzeit
50 km/h	4 min
( : 50 )	( ⋅ 50 )
1 km/h	$200$ min
( ⋅ 37 )	( : 37 )
37 km/h	$\frac{200}{37}$ min

Die gesuchte Flugzeit ist also $\frac{200}{37}$ = 5 $\frac{15}{37}$ ≈ 5.405 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz (antiproportional)

Dreisatz (antiproportional)

Tabelle (antiproportional)

Antiproportionalität überprüfen

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)