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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget von 360 € für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld).

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 6 Helfer:innen hätte?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Helfer:in	360 € Lohn
6 Helfer:innen	?

Um von 1 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 6 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 6 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 360 € Lohn durch 6 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 6 Helfer:innen entspricht:

⋅ 6

1 Helfer:in	360 € Lohn
6 Helfer:innen	?

: 6

⋅ 6

1 Helfer:in	360 € Lohn
6 Helfer:innen	60 € Lohn

: 6

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 6 Helfer:innen entspricht: 60 € Lohn

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Karls hat für seine Geburtstagsparty Spezi bekommen. Dabei reicht es für jeden genau 6 Flaschen, wenn insgesamt 8 Personen auf seiner Party sind.

Wie viele Flaschen würde jeder bekommen, wenn insgesamt 12 Personen auf der Party wären?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

8 Gäste	6 Spezi-Flaschen
?	?
12 Gäste	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Gäste in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Gäste teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 12 sein, also der ggT(8,12) = 4.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 Gäste:

8 Gäste	6 Spezi-Flaschen
4 Gäste	?
12 Gäste	?

Um von 8 Gäste in der ersten Zeile auf 4 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 Spezi-Flaschen nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 4 Gäste links entspricht:

: 2

8 Gäste	6 Spezi-Flaschen
4 Gäste	?
12 Gäste	?

⋅ 2

: 2

8 Gäste	6 Spezi-Flaschen
4 Gäste	12 Spezi-Flaschen
12 Gäste	?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 4 Gäste in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 12 Gäste in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2

⋅ 3

8 Gäste	6 Spezi-Flaschen
4 Gäste	12 Spezi-Flaschen
12 Gäste	?

⋅ 2

: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 12 Spezi-Flaschen in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 2

⋅ 3

8 Gäste	6 Spezi-Flaschen
4 Gäste	12 Spezi-Flaschen
12 Gäste	4 Spezi-Flaschen

⋅ 2

: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Gäste entspricht: 4 Spezi-Flaschen

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

6 CPU-Kerne	5 ms
?	?
10 CPU-Kerne	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 10 sein, also der ggT(6,10) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 CPU-Kerne:

6 CPU-Kerne	5 ms
2 CPU-Kerne	?
10 CPU-Kerne	?

Um von 6 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 2 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 ms nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 CPU-Kerne links entspricht:

: 3

6 CPU-Kerne	5 ms
2 CPU-Kerne	?
10 CPU-Kerne	?

⋅ 3

: 3

6 CPU-Kerne	5 ms
2 CPU-Kerne	15 ms
10 CPU-Kerne	?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 10 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3

⋅ 5

6 CPU-Kerne	5 ms
2 CPU-Kerne	15 ms
10 CPU-Kerne	?

⋅ 3

: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 15 ms in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 3

⋅ 5

6 CPU-Kerne	5 ms
2 CPU-Kerne	15 ms
10 CPU-Kerne	3 ms

⋅ 3

: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 CPU-Kerne entspricht: 3 ms

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 14 ms den 4 CPU-Kerne entsprechen.

: 7

⋅ 4

7 CPU-Kerne	8 ms
1 CPU-Kern	56 ms
4 CPU-Kerne	14 ms

⋅ 7

: 4

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 14 ms(für 4 CPU-Kerne) war also korrekt.

Jetzt überprüfen wir, ob die 8 ms den 8 CPU-Kerne entsprechen.

: 7

⋅ 8

7 CPU-Kerne	8 ms
1 CPU-Kerne	56 ms
8 CPU-Kerne	7 ms

⋅ 7

: 8

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 8 ms (für 8 CPU-Kerne) war also falsch, richtig wäre 7 ms gewesen.

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit 9 CPU-Kernen 5 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 15 solchen CPU-Kernen?
Wie viele CPU-Kerne bräuchte der Computer, wenn er es in 9 ms rechnen könnte?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

9 CPU-Kerne	5 ms
?	?
15 CPU-Kerne	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 9 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 9 und von 15 sein, also der ggT(9,15) = 3.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 CPU-Kerne:

9 CPU-Kerne	5 ms
3 CPU-Kerne	?
15 CPU-Kerne	?

Um von 9 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 3 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 ms nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 3 CPU-Kerne links entspricht:

: 3

9 CPU-Kerne	5 ms
3 CPU-Kerne	15 ms
15 CPU-Kerne	?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 3 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 15 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3

⋅ 5

9 CPU-Kerne	5 ms
3 CPU-Kerne	15 ms
15 CPU-Kerne	3 ms

⋅ 3

: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 CPU-Kerne entspricht: 3 ms

Für die andere Frage (Wie viele CPU-Kerne bräuchte der Computer, wenn er es in 9 ms rechnen könnte?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "ms"-Werte haben und nach einem "CPU-Kerne"-Wert gesucht wird:

5 ms	9 CPU-Kerne
?	?
9 ms	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die ms in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 ms teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 9 sein, also der ggT(5,9) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 ms:

5 ms	9 CPU-Kerne
1 ms	?
9 ms	?

Um von 5 ms in der ersten Zeile auf 1 ms in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 9 CPU-Kerne nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 ms links entspricht:

: 5

5 ms	9 CPU-Kerne
1 ms	45 CPU-Kerne
9 ms	?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 ms in der mittleren Zeile mit 9 multiplizieren, um auf die 9 ms in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5

⋅ 9

5 ms	9 CPU-Kerne
1 ms	45 CPU-Kerne
9 ms	5 CPU-Kerne

⋅ 5

: 9

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 9 ms entspricht: 5 CPU-Kerne

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Eine Drohne muss eine bestimmte Strecke zurücklegen. Wenn sie dabei mit einer Geschwindigkeit von 30 km/h fliegt, braucht sie dafür 12 Minuten.Wie lange braucht sie bei einer Geschwindigkeit von 46 km/h?

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Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

Geschwindigkeit	Flugzeit
30 km/h	12 min
( : 30 )	( ⋅ 30 )
1 km/h	$360$ min
( ⋅ 46 )	( : 46 )
46 km/h	$\frac{360}{46}$ min

Die gesuchte Flugzeit ist also $\frac{360}{46}$ = $\frac{180}{23}$ = 7 $\frac{19}{23}$ ≈ 7.826 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz (antiproportional)

Dreisatz (antiproportional)

Tabelle (antiproportional)

Antiproportionalität überprüfen

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)