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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Karls hat für seine Geburtstagsparty 36 Flaschen Spezi bekommen.

Wie viele Flaschen würde jeder bekommen, wenn insgesamt 12 Personen auf der Party wären?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Gast	36 Spezi-Flaschen
12 Gäste	?

Um von 1 Gäste in der ersten Zeile auf 12 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 12 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 36 Spezi-Flaschen durch 12 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 12 Gäste entspricht:

⋅ 12

1 Gast	36 Spezi-Flaschen
12 Gäste	?

: 12

⋅ 12

1 Gast	36 Spezi-Flaschen
12 Gäste	3 Spezi-Flaschen

: 12

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Gäste entspricht: 3 Spezi-Flaschen

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Karls hat für seine Geburtstagsparty Spezi bekommen. Dabei reicht es für jeden genau 5 Flaschen, wenn insgesamt 10 Personen auf seiner Party sind.

Wie viele Flaschen würde jeder bekommen, wenn insgesamt 25 Personen auf der Party wären?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

10 Gäste	5 Spezi-Flaschen
?	?
25 Gäste	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Gäste in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 Gäste teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 10 und von 25 sein, also der ggT(10,25) = 5.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 Gäste:

10 Gäste	5 Spezi-Flaschen
5 Gäste	?
25 Gäste	?

Um von 10 Gäste in der ersten Zeile auf 5 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 Spezi-Flaschen nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 5 Gäste links entspricht:

: 2

10 Gäste	5 Spezi-Flaschen
5 Gäste	?
25 Gäste	?

⋅ 2

: 2

10 Gäste	5 Spezi-Flaschen
5 Gäste	10 Spezi-Flaschen
25 Gäste	?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 5 Gäste in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 25 Gäste in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2

⋅ 5

10 Gäste	5 Spezi-Flaschen
5 Gäste	10 Spezi-Flaschen
25 Gäste	?

⋅ 2

: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 10 Spezi-Flaschen in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 2

⋅ 5

10 Gäste	5 Spezi-Flaschen
5 Gäste	10 Spezi-Flaschen
25 Gäste	2 Spezi-Flaschen

⋅ 2

: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 25 Gäste entspricht: 2 Spezi-Flaschen

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

8 Personen	6 h
?	?
12 Personen	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 12 sein, also der ggT(8,12) = 4.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 Personen:

8 Personen	6 h
4 Personen	?
12 Personen	?

Um von 8 Personen in der ersten Zeile auf 4 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 h nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 4 Personen links entspricht:

: 2

8 Personen	6 h
4 Personen	?
12 Personen	?

⋅ 2

: 2

8 Personen	6 h
4 Personen	12 h
12 Personen	?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 4 Personen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 12 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2

⋅ 3

8 Personen	6 h
4 Personen	12 h
12 Personen	?

⋅ 2

: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 12 h in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 2

⋅ 3

8 Personen	6 h
4 Personen	12 h
12 Personen	4 h

⋅ 2

: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Personen entspricht: 4 h

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die -3 ms den 25 CPU-Kerne entsprechen.

: 2

⋅ 5

10 CPU-Kerne	5 ms
5 CPU-Kerne	10 ms
25 CPU-Kerne	2 ms

⋅ 2

: 5

Der urpsrünglich vorgegebene Wert -3 ms (für 25 CPU-Kerne) war also falsch, richtig wäre 2 ms gewesen.

Jetzt überprüfen wir, ob die 8 ms den 5 CPU-Kerne entsprechen.

: 2

⋅ 1

10 CPU-Kerne	5 ms
5 CPU-Kerne	10 ms
5 CPU-Kerne	10 ms

⋅ 2

: 1

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 8 ms (für 5 CPU-Kerne) war also falsch, richtig wäre 10 ms gewesen.

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 4€ für ein Los verlangen, müssten sie 60 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.

Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 3 € verkaufen?
Wie hoch muss man den Preis ansetzen, wenn man erwartet, das sich 10 Lose verkaufen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

4 € Lospreis	60 Lose
?	?
3 € Lospreis	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 € Lospreis:

4 € Lospreis	60 Lose
1 € Lospreis	?
3 € Lospreis	?

Um von 4 € Lospreis in der ersten Zeile auf 1 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 60 Lose nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 € Lospreis links entspricht:

: 4

4 € Lospreis	60 Lose
1 € Lospreis	240 Lose
3 € Lospreis	?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4

⋅ 3

4 € Lospreis	60 Lose
1 € Lospreis	240 Lose
3 € Lospreis	80 Lose

⋅ 4

: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 € Lospreis entspricht: 80 Lose

Um von 60 Lose in der ersten Zeile auf 10 Lose in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 6 teilen. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 4 € Lospreis mit 6 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 10 Lose entspricht:

: 6

60 Lose	4 € Lospreis
10 Lose	?

⋅ 6

: 6

60 Lose	4 € Lospreis
10 Lose	24 € Lospreis

⋅ 6

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 Lose entspricht: 24 € Lospreis

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Auf einer Großbaustelle müssen unglaubliche Mengen an Aushub abtransportiert werden. Dabei brauchen 5 LKWs genau 20 Fahrten. Wieviele Fahrten bräuchten 9 LKWs durchschnittlich?(Bitte auf eine Stelle hinterm Komma runden, auch wenn es inhaltlich keinen Sinn macht.)

Lösung einblenden

Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

LKW-Anzahl	Fahrten-Anzahl
5 LKWs	20 Fahrten
( : 5 )	( ⋅ 5 )
1 LKWs	$100$ Fahrten
( ⋅ 9 )	( : 9 )
9 LKWs	$\frac{100}{9}$ Fahrten

Die gesuchte Fahrten-Anzahl ist also $\frac{100}{9}$ = 11 $\frac{1}{9}$ ≈ 11.111 Fahrten

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz (antiproportional)

Dreisatz (antiproportional)

Tabelle (antiproportional)

Antiproportionalität überprüfen

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)