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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget von 560 € für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld).

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 8 Helfer:innen hätte?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Helfer:in	560 € Lohn
8 Helfer:innen	?

Um von 1 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 8 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 8 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 560 € Lohn durch 8 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 8 Helfer:innen entspricht:

⋅ 8

1 Helfer:in	560 € Lohn
8 Helfer:innen	?

: 8

⋅ 8

1 Helfer:in	560 € Lohn
8 Helfer:innen	70 € Lohn

: 8

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Helfer:innen entspricht: 70 € Lohn

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 6€ für ein Los verlangen, müssten sie 80 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.

Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 4 € verkaufen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

6 € Lospreis	80 Lose
?	?
4 € Lospreis	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 4 sein, also der ggT(6,4) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 € Lospreis:

6 € Lospreis	80 Lose
2 € Lospreis	?
4 € Lospreis	?

Um von 6 € Lospreis in der ersten Zeile auf 2 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 80 Lose nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 € Lospreis links entspricht:

: 3

6 € Lospreis	80 Lose
2 € Lospreis	?
4 € Lospreis	?

⋅ 3

: 3

6 € Lospreis	80 Lose
2 € Lospreis	240 Lose
4 € Lospreis	?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 4 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3

⋅ 2

6 € Lospreis	80 Lose
2 € Lospreis	240 Lose
4 € Lospreis	?

⋅ 3

: 2

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 240 Lose in der mittleren Zeile durch 2 dividieren:

: 3

⋅ 2

6 € Lospreis	80 Lose
2 € Lospreis	240 Lose
4 € Lospreis	120 Lose

⋅ 3

: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 € Lospreis entspricht: 120 Lose

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

6 Personen	10 h
?	?
5 Personen	?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 5 sein, also der ggT(6,5) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Personen:

6 Personen	10 h
1 Person	?
5 Personen	?

Um von 6 Personen in der ersten Zeile auf 1 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 6 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 10 h nicht durch 6 teilen, sondern mit 6 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Personen links entspricht:

: 6

6 Personen	10 h
1 Person	?
5 Personen	?

⋅ 6

: 6

6 Personen	10 h
1 Person	60 h
5 Personen	?

⋅ 6

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Personen in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 5 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 6

⋅ 5

6 Personen	10 h
1 Person	60 h
5 Personen	?

⋅ 6

: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 60 h in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 6

⋅ 5

6 Personen	10 h
1 Person	60 h
5 Personen	12 h

⋅ 6

: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 Personen entspricht: 12 h

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 6 Fuhren den 4 Lastwagen entsprechen.

: 3

⋅ 2

6 Lastwagen	6 Fuhren
2 Lastwagen	18 Fuhren
4 Lastwagen	9 Fuhren

⋅ 3

: 2

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 6 Fuhren (für 4 Lastwagen) war also falsch, richtig wäre 9 Fuhren gewesen.

Jetzt überprüfen wir, ob die 4 Fuhren den 12 Lastwagen entsprechen.

: 1

⋅ 2

6 Lastwagen	6 Fuhren
6 Lastwagen	6 Fuhren
12 Lastwagen	3 Fuhren

⋅ 1

: 2

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 4 Fuhren (für 12 Lastwagen) war also falsch, richtig wäre 3 Fuhren gewesen.

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Wenn 6 Personen das Schulhaus putzen, brauchen sie dafür 10 h.

Wie lange bräuchten 5 Personen hierfür?
Wie viele Personen bräuchte man, damit jeder 20 h putzen müsste?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

6 Personen	10 h
?	?
5 Personen	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 5 sein, also der ggT(6,5) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Personen:

6 Personen	10 h
1 Person	?
5 Personen	?

Um von 6 Personen in der ersten Zeile auf 1 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 6 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 10 h nicht durch 6 teilen, sondern mit 6 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Personen links entspricht:

: 6

6 Personen	10 h
1 Person	60 h
5 Personen	?

⋅ 6

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Personen in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 5 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 6

⋅ 5

6 Personen	10 h
1 Person	60 h
5 Personen	12 h

⋅ 6

: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 Personen entspricht: 12 h

Um von 10 h in der ersten Zeile auf 20 h in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 2 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 6 Personen durch 2 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 20 h entspricht:

⋅ 2

10 h	6 Personen
20 h	?

: 2

⋅ 2

10 h	6 Personen
20 h	3 Personen

: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 20 h entspricht: 3 Personen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Auf einer Großbaustelle müssen unglaubliche Mengen an Aushub abtransportiert werden. Dabei brauchen 3 LKWs genau 30 Fahrten. Wieviele Fahrten bräuchten 8 LKWs durchschnittlich?(Bitte auf eine Stelle hinterm Komma runden, auch wenn es inhaltlich keinen Sinn macht.)

Lösung einblenden

Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

LKW-Anzahl	Fahrten-Anzahl
3 LKWs	30 Fahrten
( : 3 )	( ⋅ 3 )
1 LKWs	$90$ Fahrten
( ⋅ 8 )	( : 8 )
8 LKWs	$\frac{90}{8}$ Fahrten

Die gesuchte Fahrten-Anzahl ist also $\frac{90}{8}$ = $\frac{45}{4}$ = 11 $\frac{1}{4}$ ≈ 11.25 Fahrten

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Zweisatz (antiproportional)

Dreisatz (antiproportional)

Tabelle (antiproportional)

Antiproportionalität überprüfen

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)