Mathebattle EduRandomtasks

Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 1€ für ein Los verlangen, müssten sie 240 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.

Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 4 € verkaufen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 € Lospreis	240 Lose
4 € Lospreis	?

Um von 1 € Lospreis in der ersten Zeile auf 4 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 4 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 240 Lose durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 4 € Lospreis entspricht:

⋅ 4

1 € Lospreis	240 Lose
4 € Lospreis	?

: 4

⋅ 4

1 € Lospreis	240 Lose
4 € Lospreis	60 Lose

: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 € Lospreis entspricht: 60 Lose

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn 5 Personen das Schulhaus putzen, brauchen sie dafür 10 h.

Wie lange bräuchten 2 Personen hierfür?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

5 Personen	10 h
?	?
2 Personen	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 2 sein, also der ggT(5,2) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Personen:

5 Personen	10 h
1 Person	?
2 Personen	?

Um von 5 Personen in der ersten Zeile auf 1 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 10 h nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Personen links entspricht:

: 5

5 Personen	10 h
1 Person	?
2 Personen	?

⋅ 5

: 5

5 Personen	10 h
1 Person	50 h
2 Personen	?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Personen in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5

⋅ 2

5 Personen	10 h
1 Person	50 h
2 Personen	?

⋅ 5

: 2

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 50 h in der mittleren Zeile durch 2 dividieren:

: 5

⋅ 2

5 Personen	10 h
1 Person	50 h
2 Personen	25 h

⋅ 5

: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 Personen entspricht: 25 h

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

4 Minuten pro Tag	6 Tage
?	?
3 Minuten pro Tag	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten pro Tag in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 Minuten pro Tag teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Minuten pro Tag:

4 Minuten pro Tag	6 Tage
1 Minute pro Tag	?
3 Minuten pro Tag	?

Um von 4 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 1 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 Tage nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Minuten pro Tag links entspricht:

: 4

4 Minuten pro Tag	6 Tage
1 Minute pro Tag	?
3 Minuten pro Tag	?

⋅ 4

: 4

4 Minuten pro Tag	6 Tage
1 Minute pro Tag	24 Tage
3 Minuten pro Tag	?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Minuten pro Tag in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Minuten pro Tag in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4

⋅ 3

4 Minuten pro Tag	6 Tage
1 Minute pro Tag	24 Tage
3 Minuten pro Tag	?

⋅ 4

: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 24 Tage in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 4

⋅ 3

4 Minuten pro Tag	6 Tage
1 Minute pro Tag	24 Tage
3 Minuten pro Tag	8 Tage

⋅ 4

: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Minuten pro Tag entspricht: 8 Tage

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 13 h den 3 Personen entsprechen.

: 4

⋅ 3

4 Personen	12 h
1 Person	48 h
3 Personen	16 h

⋅ 4

: 3

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 13 h (für 3 Personen) war also falsch, richtig wäre 16 h gewesen.

Jetzt überprüfen wir, ob die 4 h den 12 Personen entsprechen.

: 1

⋅ 3

4 Personen	12 h
4 Personen	12 h
12 Personen	4 h

⋅ 1

: 3

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 4 h (für 12 Personen) war also korrekt.

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Wenn Karla mit ihrem Handy jeden Tag immer 4 Minuten telefonieren würde, würden ihre Freiminuten noch genau 12 Tage halten.

Wann wären ihre Freiminuten aufgebraucht, wenn sie täglich 3 min telefonieren würde?
Wie lange kann sie täglich telefonieren, wenn die Freiminuten 4 Tage reichen sollen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

4 Minuten pro Tag	12 Tage
?	?
3 Minuten pro Tag	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten pro Tag in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 Minuten pro Tag teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Minuten pro Tag:

4 Minuten pro Tag	12 Tage
1 Minute pro Tag	?
3 Minuten pro Tag	?

Um von 4 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 1 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 12 Tage nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Minuten pro Tag links entspricht:

: 4

4 Minuten pro Tag	12 Tage
1 Minute pro Tag	48 Tage
3 Minuten pro Tag	?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Minuten pro Tag in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Minuten pro Tag in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4

⋅ 3

4 Minuten pro Tag	12 Tage
1 Minute pro Tag	48 Tage
3 Minuten pro Tag	16 Tage

⋅ 4

: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Minuten pro Tag entspricht: 16 Tage

Um von 12 Tage in der ersten Zeile auf 4 Tage in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 4 Minuten pro Tag mit 3 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 4 Tage entspricht:

: 3

12 Tage	4 Minuten pro Tag
4 Tage	?

⋅ 3

: 3

12 Tage	4 Minuten pro Tag
4 Tage	12 Minuten pro Tag

⋅ 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Tage entspricht: 12 Minuten pro Tag

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Eine Drohne muss eine bestimmte Strecke zurücklegen. Wenn sie dabei mit einer Geschwindigkeit von 20 km/h fliegt, braucht sie dafür 8 Minuten.Wie lange braucht sie bei einer Geschwindigkeit von 34 km/h?

Lösung einblenden

Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

Geschwindigkeit	Flugzeit
20 km/h	8 min
( : 20 )	( ⋅ 20 )
1 km/h	$160$ min
( ⋅ 34 )	( : 34 )
34 km/h	$\frac{160}{34}$ min

Die gesuchte Flugzeit ist also $\frac{160}{34}$ = $\frac{80}{17}$ = 4 $\frac{12}{17}$ ≈ 4.706 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz (antiproportional)

Dreisatz (antiproportional)

Tabelle (antiproportional)

Antiproportionalität überprüfen

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)