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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit einem CPU-Kern 60 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 6 solchen CPU-Kernen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 CPU-Kern60 ms
6 CPU-Kerne?

Um von 1 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 6 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 6 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 60 ms durch 6 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 6 CPU-Kerne entspricht:

⋅ 6
1 CPU-Kern60 ms
6 CPU-Kerne?
: 6
⋅ 6
1 CPU-Kern60 ms
6 CPU-Kerne10 ms
: 6

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 6 CPU-Kerne entspricht: 10 ms

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit 6 CPU-Kernen 5 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 10 solchen CPU-Kernen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


6 CPU-Kerne5 ms
??
10 CPU-Kerne?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 10 sein, also der ggT(6,10) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 CPU-Kerne:


6 CPU-Kerne5 ms
2 CPU-Kerne?
10 CPU-Kerne?

Um von 6 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 2 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 ms nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 CPU-Kerne links entspricht:

: 3

6 CPU-Kerne5 ms
2 CPU-Kerne?
10 CPU-Kerne?

⋅ 3
: 3

6 CPU-Kerne5 ms
2 CPU-Kerne15 ms
10 CPU-Kerne?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 10 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 5

6 CPU-Kerne5 ms
2 CPU-Kerne15 ms
10 CPU-Kerne?

⋅ 3
: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 15 ms in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 3
⋅ 5

6 CPU-Kerne5 ms
2 CPU-Kerne15 ms
10 CPU-Kerne3 ms

⋅ 3
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 CPU-Kerne entspricht: 3 ms

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

6 CPU-Kerne10 ms
??
5 CPU-Kerne?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 5 sein, also der ggT(6,5) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 CPU-Kerne:


6 CPU-Kerne10 ms
1 CPU-Kern?
5 CPU-Kerne?

Um von 6 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 1 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 6 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 10 ms nicht durch 6 teilen, sondern mit 6 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 CPU-Kerne links entspricht:

: 6

6 CPU-Kerne10 ms
1 CPU-Kern?
5 CPU-Kerne?

⋅ 6
: 6

6 CPU-Kerne10 ms
1 CPU-Kern60 ms
5 CPU-Kerne?

⋅ 6

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 5 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 6
⋅ 5

6 CPU-Kerne10 ms
1 CPU-Kern60 ms
5 CPU-Kerne?

⋅ 6
: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 60 ms in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 6
⋅ 5

6 CPU-Kerne10 ms
1 CPU-Kern60 ms
5 CPU-Kerne12 ms

⋅ 6
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 CPU-Kerne entspricht: 12 ms

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 179 Lose den 2 € Lospreis entsprechen.

: 3
⋅ 2

3 € Lospreis120 Lose
1 € Lospreis360 Lose
2 € Lospreis180 Lose

⋅ 3
: 2

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 179 Lose (für 2 € Lospreis) war also falsch, richtig wäre 180 Lose gewesen.


Jetzt überprüfen wir, ob die 7 Lose den 40 € Lospreis entsprechen.

: 3
⋅ 40

3 € Lospreis120 Lose
1 € Lospreis360 Lose
40 € Lospreis9 Lose

⋅ 3
: 40

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 7 Lose (für 40 € Lospreis) war also falsch, richtig wäre 9 Lose gewesen.

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Wenn Karla mit ihrem Handy jeden Tag immer 4 Minuten telefonieren würde, würden ihre Freiminuten noch genau 6 Tage halten.

Wann wären ihre Freiminuten aufgebraucht, wenn sie täglich 3 min telefonieren würde?
Wie lange kann sie täglich telefonieren, wenn die Freiminuten 4 Tage reichen sollen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


4 Minuten pro Tag6 Tage
??
3 Minuten pro Tag?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten pro Tag in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 Minuten pro Tag teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Minuten pro Tag:


4 Minuten pro Tag6 Tage
1 Minute pro Tag?
3 Minuten pro Tag?

Um von 4 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 1 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 Tage nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Minuten pro Tag links entspricht:

: 4

4 Minuten pro Tag6 Tage
1 Minute pro Tag24 Tage
3 Minuten pro Tag?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Minuten pro Tag in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Minuten pro Tag in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 3

4 Minuten pro Tag6 Tage
1 Minute pro Tag24 Tage
3 Minuten pro Tag8 Tage

⋅ 4
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Minuten pro Tag entspricht: 8 Tage



Für die andere Frage (Wie lange kann sie täglich telefonieren, wenn die Freiminuten 4 Tage reichen sollen?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "Tage"-Werte haben und nach einem "Minuten pro Tag"-Wert gesucht wird:


6 Tage4 Minuten pro Tag
??
4 Tage?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Tage in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 Tage teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 4 sein, also der ggT(6,4) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Tage:


6 Tage4 Minuten pro Tag
2 Tage?
4 Tage?

Um von 6 Tage in der ersten Zeile auf 2 Tage in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 4 Minuten pro Tag nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Tage links entspricht:

: 3

6 Tage4 Minuten pro Tag
2 Tage12 Minuten pro Tag
4 Tage?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Tage in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 4 Tage in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 2

6 Tage4 Minuten pro Tag
2 Tage12 Minuten pro Tag
4 Tage6 Minuten pro Tag

⋅ 3
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Tage entspricht: 6 Minuten pro Tag

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Ein Raum wird mit 45 LED-Leuchten á 120 Lumen ausgeleuchtet. Aus ästhetischen Gründen sollen nur noch 15 Leuchten im Raum installiert sein, diese sollen aber die gleiche Helligkeit erzeugen. Wie viel Lumen brauchen dann diese neuen LED-Leuchten?

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Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

Anzahl LED-LeuchtenHelligkeit
45 120 Lumen
( : 45 )( ⋅ 45 )
1 5400 Lumen
( ⋅ 15 )( : 15 )
15 5400 15 Lumen

Die gesuchte Helligkeit ist also 5400 15 = 360 Lumen