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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn Frau Baumanns Auto nur ein Liter pro 100km verbrauchen würde, würde sie mit einer Tankfüllung 5000 km weit kommen.

Wie weit würde sie mit einer Tankfüllung kommen, wenn sie mit einem "10 Liter/100km "-Schnitt fahren würde?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Liter pro 100km5000 km
10 Liter pro 100km?

Um von 1 Liter pro 100km in der ersten Zeile auf 10 Liter pro 100km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 10 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 5000 km durch 10 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 10 Liter pro 100km entspricht:

⋅ 10
1 Liter pro 100km5000 km
10 Liter pro 100km?
: 10
⋅ 10
1 Liter pro 100km5000 km
10 Liter pro 100km500 km
: 10

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 Liter pro 100km entspricht: 500 km

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld). Wenn er 5 Helfer:innen einstellt, reicht es für jeden 100 € Lohn.

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 2 Helfer:innen hätte?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


5 Helfer:innen100 € Lohn
??
2 Helfer:innen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Helfer:innen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Helfer:innen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 2 sein, also der ggT(5,2) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Helfer:innen:


5 Helfer:innen100 € Lohn
1 Helfer:in?
2 Helfer:innen?

Um von 5 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 1 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 100 € Lohn nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Helfer:innen links entspricht:

: 5

5 Helfer:innen100 € Lohn
1 Helfer:in?
2 Helfer:innen?

⋅ 5
: 5

5 Helfer:innen100 € Lohn
1 Helfer:in500 € Lohn
2 Helfer:innen?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Helfer:innen in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 Helfer:innen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 2

5 Helfer:innen100 € Lohn
1 Helfer:in500 € Lohn
2 Helfer:innen?

⋅ 5
: 2

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 500 € Lohn in der mittleren Zeile durch 2 dividieren:

: 5
⋅ 2

5 Helfer:innen100 € Lohn
1 Helfer:in500 € Lohn
2 Helfer:innen250 € Lohn

⋅ 5
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 Helfer:innen entspricht: 250 € Lohn

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

6 CPU-Kerne5 ms
??
10 CPU-Kerne?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 10 sein, also der ggT(6,10) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 CPU-Kerne:


6 CPU-Kerne5 ms
2 CPU-Kerne?
10 CPU-Kerne?

Um von 6 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 2 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 ms nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 CPU-Kerne links entspricht:

: 3

6 CPU-Kerne5 ms
2 CPU-Kerne?
10 CPU-Kerne?

⋅ 3
: 3

6 CPU-Kerne5 ms
2 CPU-Kerne15 ms
10 CPU-Kerne?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 10 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 5

6 CPU-Kerne5 ms
2 CPU-Kerne15 ms
10 CPU-Kerne?

⋅ 3
: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 15 ms in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 3
⋅ 5

6 CPU-Kerne5 ms
2 CPU-Kerne15 ms
10 CPU-Kerne3 ms

⋅ 3
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 CPU-Kerne entspricht: 3 ms

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 30 € Lohn den 16 Helfer:innen entsprechen.

: 3
⋅ 4

12 Helfer:innen40 € Lohn
4 Helfer:innen120 € Lohn
16 Helfer:innen30 € Lohn

⋅ 3
: 4

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 30 € Lohn(für 16 Helfer:innen) war also korrekt.


Jetzt überprüfen wir, ob die 96 € Lohn den 5 Helfer:innen entsprechen.

: 12
⋅ 5

12 Helfer:innen40 € Lohn
1 Helfer:innen480 € Lohn
5 Helfer:innen96 € Lohn

⋅ 12
: 5

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 96 € Lohn (für 5 Helfer:innen) war also korrekt.

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Wenn Karla mit ihrem Handy jeden Tag immer 9 Minuten telefonieren würde, würden ihre Freiminuten noch genau 4 Tage halten.

Wann wären ihre Freiminuten aufgebraucht, wenn sie täglich 12 min telefonieren würde?
Wie lange kann sie täglich telefonieren, wenn die Freiminuten 6 Tage reichen sollen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


9 Minuten pro Tag4 Tage
??
12 Minuten pro Tag?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten pro Tag in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 9 Minuten pro Tag teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 9 und von 12 sein, also der ggT(9,12) = 3.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 Minuten pro Tag:


9 Minuten pro Tag4 Tage
3 Minuten pro Tag?
12 Minuten pro Tag?

Um von 9 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 3 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 4 Tage nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 3 Minuten pro Tag links entspricht:

: 3

9 Minuten pro Tag4 Tage
3 Minuten pro Tag12 Tage
12 Minuten pro Tag?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 3 Minuten pro Tag in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 12 Minuten pro Tag in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 4

9 Minuten pro Tag4 Tage
3 Minuten pro Tag12 Tage
12 Minuten pro Tag3 Tage

⋅ 3
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Minuten pro Tag entspricht: 3 Tage



Für die andere Frage (Wie lange kann sie täglich telefonieren, wenn die Freiminuten 6 Tage reichen sollen?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "Tage"-Werte haben und nach einem "Minuten pro Tag"-Wert gesucht wird:


4 Tage9 Minuten pro Tag
??
6 Tage?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Tage in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 Tage teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 6 sein, also der ggT(4,6) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Tage:


4 Tage9 Minuten pro Tag
2 Tage?
6 Tage?

Um von 4 Tage in der ersten Zeile auf 2 Tage in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 9 Minuten pro Tag nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Tage links entspricht:

: 2

4 Tage9 Minuten pro Tag
2 Tage18 Minuten pro Tag
6 Tage?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Tage in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 6 Tage in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2
⋅ 3

4 Tage9 Minuten pro Tag
2 Tage18 Minuten pro Tag
6 Tage6 Minuten pro Tag

⋅ 2
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 6 Tage entspricht: 6 Minuten pro Tag

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Eine Drohne muss eine bestimmte Strecke zurücklegen. Wenn sie dabei mit einer Geschwindigkeit von 20 km/h fliegt, braucht sie dafür 4 Minuten.Wie lange braucht sie bei einer Geschwindigkeit von 37 km/h?

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Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

GeschwindigkeitFlugzeit
20 km/h4 min
( : 20 )( ⋅ 20 )
1 km/h80 min
( ⋅ 37 )( : 37 )
37 km/h 80 37 min

Die gesuchte Flugzeit ist also 80 37 = 2 6 37 ≈ 2.162 min