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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit einem CPU-Kern 40 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 5 solchen CPU-Kernen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 CPU-Kern40 ms
5 CPU-Kerne?

Um von 1 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 5 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 5 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 40 ms durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 5 CPU-Kerne entspricht:

⋅ 5
1 CPU-Kern40 ms
5 CPU-Kerne?
: 5
⋅ 5
1 CPU-Kern40 ms
5 CPU-Kerne8 ms
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 CPU-Kerne entspricht: 8 ms

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 10€ für ein Los verlangen, müssten sie 60 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.

Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 12 € verkaufen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


10 € Lospreis60 Lose
??
12 € Lospreis?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 10 und von 12 sein, also der ggT(10,12) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 € Lospreis:


10 € Lospreis60 Lose
2 € Lospreis?
12 € Lospreis?

Um von 10 € Lospreis in der ersten Zeile auf 2 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 60 Lose nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 € Lospreis links entspricht:

: 5

10 € Lospreis60 Lose
2 € Lospreis?
12 € Lospreis?

⋅ 5
: 5

10 € Lospreis60 Lose
2 € Lospreis300 Lose
12 € Lospreis?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 6 multiplizieren, um auf die 12 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 6

10 € Lospreis60 Lose
2 € Lospreis300 Lose
12 € Lospreis?

⋅ 5
: 6

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 300 Lose in der mittleren Zeile durch 6 dividieren:

: 5
⋅ 6

10 € Lospreis60 Lose
2 € Lospreis300 Lose
12 € Lospreis50 Lose

⋅ 5
: 6

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 € Lospreis entspricht: 50 Lose

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

12 Liter pro 100km500 km
??
15 Liter pro 100km?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Liter pro 100km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 12 Liter pro 100km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 12 und von 15 sein, also der ggT(12,15) = 3.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 Liter pro 100km:


12 Liter pro 100km500 km
3 Liter pro 100km?
15 Liter pro 100km?

Um von 12 Liter pro 100km in der ersten Zeile auf 3 Liter pro 100km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 500 km nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 3 Liter pro 100km links entspricht:

: 4

12 Liter pro 100km500 km
3 Liter pro 100km?
15 Liter pro 100km?

⋅ 4
: 4

12 Liter pro 100km500 km
3 Liter pro 100km2000 km
15 Liter pro 100km?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 3 Liter pro 100km in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 15 Liter pro 100km in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 5

12 Liter pro 100km500 km
3 Liter pro 100km2000 km
15 Liter pro 100km?

⋅ 4
: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 2000 km in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 4
⋅ 5

12 Liter pro 100km500 km
3 Liter pro 100km2000 km
15 Liter pro 100km400 km

⋅ 4
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 Liter pro 100km entspricht: 400 km

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 2 ms den 18 CPU-Kerne entsprechen.

: 2
⋅ 3

12 CPU-Kerne3 ms
6 CPU-Kerne6 ms
18 CPU-Kerne2 ms

⋅ 2
: 3

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 2 ms(für 18 CPU-Kerne) war also korrekt.


Jetzt überprüfen wir, ob die 1 ms den 9 CPU-Kerne entsprechen.

: 4
⋅ 3

12 CPU-Kerne3 ms
3 CPU-Kerne12 ms
9 CPU-Kerne4 ms

⋅ 4
: 3

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 1 ms (für 9 CPU-Kerne) war also falsch, richtig wäre 4 ms gewesen.

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Wenn 9 Personen das Schulhaus putzen, brauchen sie dafür 4 h.

Wie lange bräuchten 12 Personen hierfür?
Wie viele Personen bräuchte man, damit jeder 9 h putzen müsste?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


9 Personen4 h
??
12 Personen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 9 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 9 und von 12 sein, also der ggT(9,12) = 3.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 Personen:


9 Personen4 h
3 Personen?
12 Personen?

Um von 9 Personen in der ersten Zeile auf 3 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 4 h nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 3 Personen links entspricht:

: 3

9 Personen4 h
3 Personen12 h
12 Personen?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 3 Personen in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 12 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 4

9 Personen4 h
3 Personen12 h
12 Personen3 h

⋅ 3
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Personen entspricht: 3 h



Für die andere Frage (Wie viele Personen bräuchte man, damit jeder 9 h putzen müsste?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "h"-Werte haben und nach einem "Personen"-Wert gesucht wird:


4 h9 Personen
??
9 h?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die h in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 h teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 9 sein, also der ggT(4,9) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 h:


4 h9 Personen
1 h?
9 h?

Um von 4 h in der ersten Zeile auf 1 h in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 9 Personen nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 h links entspricht:

: 4

4 h9 Personen
1 h36 Personen
9 h?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 h in der mittleren Zeile mit 9 multiplizieren, um auf die 9 h in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 9

4 h9 Personen
1 h36 Personen
9 h4 Personen

⋅ 4
: 9

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 9 h entspricht: 4 Personen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Ein Raum wird mit 55 LED-Leuchten á 130 Lumen ausgeleuchtet. Aus ästhetischen Gründen sollen nur noch 11 Leuchten im Raum installiert sein, diese sollen aber die gleiche Helligkeit erzeugen. Wie viel Lumen brauchen dann diese neuen LED-Leuchten?

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Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

Anzahl LED-LeuchtenHelligkeit
55 130 Lumen
( : 55 )( ⋅ 55 )
1 7150 Lumen
( ⋅ 11 )( : 11 )
11 7150 11 Lumen

Die gesuchte Helligkeit ist also 7150 11 = 650 Lumen