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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Karls hat für seine Geburtstagsparty 40 Flaschen Spezi bekommen.

Wie viele Flaschen würde jeder bekommen, wenn insgesamt 8 Personen auf der Party wären?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Gast	40 Spezi-Flaschen
8 Gäste	?

Um von 1 Gäste in der ersten Zeile auf 8 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 8 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 40 Spezi-Flaschen durch 8 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 8 Gäste entspricht:

⋅ 8

1 Gast	40 Spezi-Flaschen
8 Gäste	?

: 8

⋅ 8

1 Gast	40 Spezi-Flaschen
8 Gäste	5 Spezi-Flaschen

: 8

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Gäste entspricht: 5 Spezi-Flaschen

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 5€ für ein Los verlangen, müssten sie 120 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.

Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 4 € verkaufen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

5 € Lospreis	120 Lose
?	?
4 € Lospreis	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 4 sein, also der ggT(5,4) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 € Lospreis:

5 € Lospreis	120 Lose
1 € Lospreis	?
4 € Lospreis	?

Um von 5 € Lospreis in der ersten Zeile auf 1 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 120 Lose nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 € Lospreis links entspricht:

: 5

5 € Lospreis	120 Lose
1 € Lospreis	?
4 € Lospreis	?

⋅ 5

: 5

5 € Lospreis	120 Lose
1 € Lospreis	600 Lose
4 € Lospreis	?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5

⋅ 4

5 € Lospreis	120 Lose
1 € Lospreis	600 Lose
4 € Lospreis	?

⋅ 5

: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 600 Lose in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 5

⋅ 4

5 € Lospreis	120 Lose
1 € Lospreis	600 Lose
4 € Lospreis	150 Lose

⋅ 5

: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 € Lospreis entspricht: 150 Lose

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

5 Gäste	9 Spezi-Flaschen
?	?
3 Gäste	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Gäste in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Gäste teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 3 sein, also der ggT(5,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Gäste:

5 Gäste	9 Spezi-Flaschen
1 Gast	?
3 Gäste	?

Um von 5 Gäste in der ersten Zeile auf 1 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 9 Spezi-Flaschen nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Gäste links entspricht:

: 5

5 Gäste	9 Spezi-Flaschen
1 Gast	?
3 Gäste	?

⋅ 5

: 5

5 Gäste	9 Spezi-Flaschen
1 Gast	45 Spezi-Flaschen
3 Gäste	?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Gäste in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Gäste in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5

⋅ 3

5 Gäste	9 Spezi-Flaschen
1 Gast	45 Spezi-Flaschen
3 Gäste	?

⋅ 5

: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 45 Spezi-Flaschen in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 5

⋅ 3

5 Gäste	9 Spezi-Flaschen
1 Gast	45 Spezi-Flaschen
3 Gäste	15 Spezi-Flaschen

⋅ 5

: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Gäste entspricht: 15 Spezi-Flaschen

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 3 ms den 15 CPU-Kerne entsprechen.

: 4

⋅ 5

12 CPU-Kerne	5 ms
3 CPU-Kerne	20 ms
15 CPU-Kerne	4 ms

⋅ 4

: 5

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 3 ms (für 15 CPU-Kerne) war also falsch, richtig wäre 4 ms gewesen.

Jetzt überprüfen wir, ob die 19 ms den 3 CPU-Kerne entsprechen.

: 4

⋅ 1

12 CPU-Kerne	5 ms
3 CPU-Kerne	20 ms
3 CPU-Kerne	20 ms

⋅ 4

: 1

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 19 ms (für 3 CPU-Kerne) war also falsch, richtig wäre 20 ms gewesen.

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 4 Lastwagen müssten dafür 12 mal fahren.

Wie oft müssten 3 LKWs fahren?
Wie viele LKWs bräuchte man, damit es mit 6 Fuhren für jeden reicht?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

4 Lastwagen	12 Fuhren
?	?
3 Lastwagen	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Lastwagen:

4 Lastwagen	12 Fuhren
1 Lastwagen	?
3 Lastwagen	?

Um von 4 Lastwagen in der ersten Zeile auf 1 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 12 Fuhren nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Lastwagen links entspricht:

: 4

4 Lastwagen	12 Fuhren
1 Lastwagen	48 Fuhren
3 Lastwagen	?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4

⋅ 3

4 Lastwagen	12 Fuhren
1 Lastwagen	48 Fuhren
3 Lastwagen	16 Fuhren

⋅ 4

: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Lastwagen entspricht: 16 Fuhren

Um von 12 Fuhren in der ersten Zeile auf 6 Fuhren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 4 Lastwagen mit 2 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 6 Fuhren entspricht:

: 2

12 Fuhren	4 Lastwagen
6 Fuhren	?

⋅ 2

: 2

12 Fuhren	4 Lastwagen
6 Fuhren	8 Lastwagen

⋅ 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 6 Fuhren entspricht: 8 Lastwagen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Eine Drohne muss eine bestimmte Strecke zurücklegen. Wenn sie dabei mit einer Geschwindigkeit von 20 km/h fliegt, braucht sie dafür 4 Minuten.Wie lange braucht sie bei einer Geschwindigkeit von 42 km/h?

Lösung einblenden

Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

Geschwindigkeit	Flugzeit
20 km/h	4 min
( : 20 )	( ⋅ 20 )
1 km/h	$80$ min
( ⋅ 42 )	( : 42 )
42 km/h	$\frac{80}{42}$ min

Die gesuchte Flugzeit ist also $\frac{80}{42}$ = $\frac{40}{21}$ = 1 $\frac{19}{21}$ ≈ 1.905 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz (antiproportional)

Dreisatz (antiproportional)

Tabelle (antiproportional)

Antiproportionalität überprüfen

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)