nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit einem CPU-Kern 36 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 12 solchen CPU-Kernen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 CPU-Kern36 ms
12 CPU-Kerne?

Um von 1 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 12 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 12 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 36 ms durch 12 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 12 CPU-Kerne entspricht:

⋅ 12
1 CPU-Kern36 ms
12 CPU-Kerne?
: 12
⋅ 12
1 CPU-Kern36 ms
12 CPU-Kerne3 ms
: 12

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 CPU-Kerne entspricht: 3 ms

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit 8 CPU-Kernen 5 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 10 solchen CPU-Kernen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


8 CPU-Kerne5 ms
??
10 CPU-Kerne?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 10 sein, also der ggT(8,10) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 CPU-Kerne:


8 CPU-Kerne5 ms
2 CPU-Kerne?
10 CPU-Kerne?

Um von 8 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 2 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 ms nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 CPU-Kerne links entspricht:

: 4

8 CPU-Kerne5 ms
2 CPU-Kerne?
10 CPU-Kerne?

⋅ 4
: 4

8 CPU-Kerne5 ms
2 CPU-Kerne20 ms
10 CPU-Kerne?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 10 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 5

8 CPU-Kerne5 ms
2 CPU-Kerne20 ms
10 CPU-Kerne?

⋅ 4
: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 20 ms in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 4
⋅ 5

8 CPU-Kerne5 ms
2 CPU-Kerne20 ms
10 CPU-Kerne4 ms

⋅ 4
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 CPU-Kerne entspricht: 4 ms

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

6 Helfer:innen40 € Lohn
??
8 Helfer:innen?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Helfer:innen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 Helfer:innen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 8 sein, also der ggT(6,8) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Helfer:innen:


6 Helfer:innen40 € Lohn
2 Helfer:innen?
8 Helfer:innen?

Um von 6 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 2 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 40 € Lohn nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Helfer:innen links entspricht:

: 3

6 Helfer:innen40 € Lohn
2 Helfer:innen?
8 Helfer:innen?

⋅ 3
: 3

6 Helfer:innen40 € Lohn
2 Helfer:innen120 € Lohn
8 Helfer:innen?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Helfer:innen in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 8 Helfer:innen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 4

6 Helfer:innen40 € Lohn
2 Helfer:innen120 € Lohn
8 Helfer:innen?

⋅ 3
: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 120 € Lohn in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 3
⋅ 4

6 Helfer:innen40 € Lohn
2 Helfer:innen120 € Lohn
8 Helfer:innen30 € Lohn

⋅ 3
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Helfer:innen entspricht: 30 € Lohn

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 15 ms den 3 CPU-Kerne entsprechen.

: 5
⋅ 3

5 CPU-Kerne9 ms
1 CPU-Kern45 ms
3 CPU-Kerne15 ms

⋅ 5
: 3

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 15 ms(für 3 CPU-Kerne) war also korrekt.


Jetzt überprüfen wir, ob die 5 ms den 9 CPU-Kerne entsprechen.

: 5
⋅ 9

5 CPU-Kerne9 ms
1 CPU-Kerne45 ms
9 CPU-Kerne5 ms

⋅ 5
: 9

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 5 ms (für 9 CPU-Kerne) war also korrekt.

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Karls hat für seine Geburtstagsparty Spezi bekommen. Dabei reicht es für jeden genau 10 Flaschen, wenn insgesamt 5 Personen auf seiner Party sind.

Wie viele Flaschen würde jeder bekommen, wenn insgesamt 2 Personen auf der Party wären?
Wie viele Personen können auf die Party, damit es für jeden zu 5 Flaschen reicht?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


5 Gäste10 Spezi-Flaschen
??
2 Gäste?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Gäste in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Gäste teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 2 sein, also der ggT(5,2) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Gäste:


5 Gäste10 Spezi-Flaschen
1 Gast?
2 Gäste?

Um von 5 Gäste in der ersten Zeile auf 1 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 10 Spezi-Flaschen nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Gäste links entspricht:

: 5

5 Gäste10 Spezi-Flaschen
1 Gast50 Spezi-Flaschen
2 Gäste?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Gäste in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 Gäste in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 2

5 Gäste10 Spezi-Flaschen
1 Gast50 Spezi-Flaschen
2 Gäste25 Spezi-Flaschen

⋅ 5
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 Gäste entspricht: 25 Spezi-Flaschen



Um von 10 Spezi-Flaschen in der ersten Zeile auf 5 Spezi-Flaschen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 5 Gäste mit 2 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 5 Spezi-Flaschen entspricht:

: 2
10 Spezi-Flaschen5 Gäste
5 Spezi-Flaschen?
⋅ 2
: 2
10 Spezi-Flaschen5 Gäste
5 Spezi-Flaschen10 Gäste
⋅ 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 Spezi-Flaschen entspricht: 10 Gäste

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Ein Raum wird mit 50 LED-Leuchten á 170 Lumen ausgeleuchtet. Aus ästhetischen Gründen sollen nur noch 18 Leuchten im Raum installiert sein, diese sollen aber die gleiche Helligkeit erzeugen. Wie viel Lumen brauchen dann diese neuen LED-Leuchten?

Lösung einblenden
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

Anzahl LED-LeuchtenHelligkeit
50 170 Lumen
( : 50 )( ⋅ 50 )
1 8500 Lumen
( ⋅ 18 )( : 18 )
18 8500 18 Lumen

Die gesuchte Helligkeit ist also 8500 18 = 4250 9 = 472 2 9 ≈ 472.222 Lumen