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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 1 Lastwagen müsste dafür 50 mal fahren.

Wie oft müssten 10 LKWs fahren?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Lastwagen	50 Fuhren
10 Lastwagen	?

Um von 1 Lastwagen in der ersten Zeile auf 10 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 10 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 50 Fuhren durch 10 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 10 Lastwagen entspricht:

⋅ 10

1 Lastwagen	50 Fuhren
10 Lastwagen	?

: 10

⋅ 10

1 Lastwagen	50 Fuhren
10 Lastwagen	5 Fuhren

: 10

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 Lastwagen entspricht: 5 Fuhren

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld). Wenn er 8 Helfer:innen einstellt, reicht es für jeden 50 € Lohn.

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 10 Helfer:innen hätte?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

8 Helfer:innen	50 € Lohn
?	?
10 Helfer:innen	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Helfer:innen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Helfer:innen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 10 sein, also der ggT(8,10) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Helfer:innen:

8 Helfer:innen	50 € Lohn
2 Helfer:innen	?
10 Helfer:innen	?

Um von 8 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 2 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 50 € Lohn nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Helfer:innen links entspricht:

: 4

8 Helfer:innen	50 € Lohn
2 Helfer:innen	?
10 Helfer:innen	?

⋅ 4

: 4

8 Helfer:innen	50 € Lohn
2 Helfer:innen	200 € Lohn
10 Helfer:innen	?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Helfer:innen in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 10 Helfer:innen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4

⋅ 5

8 Helfer:innen	50 € Lohn
2 Helfer:innen	200 € Lohn
10 Helfer:innen	?

⋅ 4

: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 200 € Lohn in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 4

⋅ 5

8 Helfer:innen	50 € Lohn
2 Helfer:innen	200 € Lohn
10 Helfer:innen	40 € Lohn

⋅ 4

: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 Helfer:innen entspricht: 40 € Lohn

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

5 CPU-Kerne	10 ms
?	?
2 CPU-Kerne	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 2 sein, also der ggT(5,2) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 CPU-Kerne:

5 CPU-Kerne	10 ms
1 CPU-Kern	?
2 CPU-Kerne	?

Um von 5 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 1 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 10 ms nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 CPU-Kerne links entspricht:

: 5

5 CPU-Kerne	10 ms
1 CPU-Kern	?
2 CPU-Kerne	?

⋅ 5

: 5

5 CPU-Kerne	10 ms
1 CPU-Kern	50 ms
2 CPU-Kerne	?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5

⋅ 2

5 CPU-Kerne	10 ms
1 CPU-Kern	50 ms
2 CPU-Kerne	?

⋅ 5

: 2

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 50 ms in der mittleren Zeile durch 2 dividieren:

: 5

⋅ 2

5 CPU-Kerne	10 ms
1 CPU-Kern	50 ms
2 CPU-Kerne	25 ms

⋅ 5

: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 CPU-Kerne entspricht: 25 ms

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 14 h den 3 Personen entsprechen.

: 4

⋅ 3

4 Personen	12 h
1 Person	48 h
3 Personen	16 h

⋅ 4

: 3

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 14 h (für 3 Personen) war also falsch, richtig wäre 16 h gewesen.

Jetzt überprüfen wir, ob die 7 h den 8 Personen entsprechen.

: 1

⋅ 2

4 Personen	12 h
4 Personen	12 h
8 Personen	6 h

⋅ 1

: 2

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 7 h (für 8 Personen) war also falsch, richtig wäre 6 h gewesen.

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 10 Lastwagen müssten dafür 5 mal fahren.

Wie oft müssten 25 LKWs fahren?
Wie viele LKWs bräuchte man, damit es mit 10 Fuhren für jeden reicht?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

10 Lastwagen	5 Fuhren
?	?
25 Lastwagen	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 10 und von 25 sein, also der ggT(10,25) = 5.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 Lastwagen:

10 Lastwagen	5 Fuhren
5 Lastwagen	?
25 Lastwagen	?

Um von 10 Lastwagen in der ersten Zeile auf 5 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 Fuhren nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 5 Lastwagen links entspricht:

: 2

10 Lastwagen	5 Fuhren
5 Lastwagen	10 Fuhren
25 Lastwagen	?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 5 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 25 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2

⋅ 5

10 Lastwagen	5 Fuhren
5 Lastwagen	10 Fuhren
25 Lastwagen	2 Fuhren

⋅ 2

: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 25 Lastwagen entspricht: 2 Fuhren

Um von 5 Fuhren in der ersten Zeile auf 10 Fuhren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 2 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 10 Lastwagen durch 2 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 10 Fuhren entspricht:

⋅ 2

5 Fuhren	10 Lastwagen
10 Fuhren	?

: 2

⋅ 2

5 Fuhren	10 Lastwagen
10 Fuhren	5 Lastwagen

: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 Fuhren entspricht: 5 Lastwagen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Eine Drohne muss eine bestimmte Strecke zurücklegen. Wenn sie dabei mit einer Geschwindigkeit von 20 km/h fliegt, braucht sie dafür 12 Minuten.Wie lange braucht sie bei einer Geschwindigkeit von 31 km/h?

Lösung einblenden

Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

Geschwindigkeit	Flugzeit
20 km/h	12 min
( : 20 )	( ⋅ 20 )
1 km/h	$240$ min
( ⋅ 31 )	( : 31 )
31 km/h	$\frac{240}{31}$ min

Die gesuchte Flugzeit ist also $\frac{240}{31}$ = 7 $\frac{23}{31}$ ≈ 7.742 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz (antiproportional)

Dreisatz (antiproportional)

Tabelle (antiproportional)

Antiproportionalität überprüfen

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)