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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 1 Lastwagen müsste dafür 36 mal fahren.

Wie oft müssten 12 LKWs fahren?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Lastwagen	36 Fuhren
12 Lastwagen	?

Um von 1 Lastwagen in der ersten Zeile auf 12 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 12 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 36 Fuhren durch 12 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 12 Lastwagen entspricht:

⋅ 12

1 Lastwagen	36 Fuhren
12 Lastwagen	?

: 12

⋅ 12

1 Lastwagen	36 Fuhren
12 Lastwagen	3 Fuhren

: 12

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Lastwagen entspricht: 3 Fuhren

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn 4 Personen das Schulhaus putzen, brauchen sie dafür 9 h.

Wie lange bräuchten 3 Personen hierfür?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

4 Personen	9 h
?	?
3 Personen	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Personen:

4 Personen	9 h
1 Person	?
3 Personen	?

Um von 4 Personen in der ersten Zeile auf 1 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 9 h nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Personen links entspricht:

: 4

4 Personen	9 h
1 Person	?
3 Personen	?

⋅ 4

: 4

4 Personen	9 h
1 Person	36 h
3 Personen	?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Personen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4

⋅ 3

4 Personen	9 h
1 Person	36 h
3 Personen	?

⋅ 4

: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 36 h in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 4

⋅ 3

4 Personen	9 h
1 Person	36 h
3 Personen	12 h

⋅ 4

: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Personen entspricht: 12 h

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

10 Gäste	3 Spezi-Flaschen
?	?
15 Gäste	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Gäste in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 Gäste teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 10 und von 15 sein, also der ggT(10,15) = 5.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 Gäste:

10 Gäste	3 Spezi-Flaschen
5 Gäste	?
15 Gäste	?

Um von 10 Gäste in der ersten Zeile auf 5 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 3 Spezi-Flaschen nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 5 Gäste links entspricht:

: 2

10 Gäste	3 Spezi-Flaschen
5 Gäste	?
15 Gäste	?

⋅ 2

: 2

10 Gäste	3 Spezi-Flaschen
5 Gäste	6 Spezi-Flaschen
15 Gäste	?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 5 Gäste in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 15 Gäste in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2

⋅ 3

10 Gäste	3 Spezi-Flaschen
5 Gäste	6 Spezi-Flaschen
15 Gäste	?

⋅ 2

: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 6 Spezi-Flaschen in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 2

⋅ 3

10 Gäste	3 Spezi-Flaschen
5 Gäste	6 Spezi-Flaschen
15 Gäste	2 Spezi-Flaschen

⋅ 2

: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 Gäste entspricht: 2 Spezi-Flaschen

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 3 Fuhren den 15 Lastwagen entsprechen.

: 3

⋅ 5

9 Lastwagen	5 Fuhren
3 Lastwagen	15 Fuhren
15 Lastwagen	3 Fuhren

⋅ 3

: 5

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 3 Fuhren(für 15 Lastwagen) war also korrekt.

Jetzt überprüfen wir, ob die 9 Fuhren den 5 Lastwagen entsprechen.

: 9

⋅ 5

9 Lastwagen	5 Fuhren
1 Lastwagen	45 Fuhren
5 Lastwagen	9 Fuhren

⋅ 9

: 5

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 9 Fuhren (für 5 Lastwagen) war also korrekt.

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld). Wenn er 6 Helfer:innen einstellt, reicht es für jeden 40 € Lohn.

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 8 Helfer:innen hätte?
Wie viele Helfer:innen könnte man mit einem Lohn von 8 € bezahlen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

6 Helfer:innen	40 € Lohn
?	?
8 Helfer:innen	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Helfer:innen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 Helfer:innen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 8 sein, also der ggT(6,8) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Helfer:innen:

6 Helfer:innen	40 € Lohn
2 Helfer:innen	?
8 Helfer:innen	?

Um von 6 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 2 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 40 € Lohn nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Helfer:innen links entspricht:

: 3

6 Helfer:innen	40 € Lohn
2 Helfer:innen	120 € Lohn
8 Helfer:innen	?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Helfer:innen in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 8 Helfer:innen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3

⋅ 4

6 Helfer:innen	40 € Lohn
2 Helfer:innen	120 € Lohn
8 Helfer:innen	30 € Lohn

⋅ 3

: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Helfer:innen entspricht: 30 € Lohn

Um von 40 € Lohn in der ersten Zeile auf 8 € Lohn in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 6 Helfer:innen mit 5 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 8 € Lohn entspricht:

: 5

40 € Lohn	6 Helfer:innen
8 € Lohn	?

⋅ 5

: 5

40 € Lohn	6 Helfer:innen
8 € Lohn	30 Helfer:innen

⋅ 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 € Lohn entspricht: 30 Helfer:innen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Auf einer Großbaustelle müssen unglaubliche Mengen an Aushub abtransportiert werden. Dabei brauchen 2 LKWs genau 40 Fahrten. Wieviele Fahrten bräuchten 6 LKWs durchschnittlich?(Bitte auf eine Stelle hinterm Komma runden, auch wenn es inhaltlich keinen Sinn macht.)

Lösung einblenden

Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

LKW-Anzahl	Fahrten-Anzahl
2 LKWs	40 Fahrten
( : 2 )	( ⋅ 2 )
1 LKWs	$80$ Fahrten
( ⋅ 6 )	( : 6 )
6 LKWs	$\frac{80}{6}$ Fahrten

Die gesuchte Fahrten-Anzahl ist also $\frac{80}{6}$ = $\frac{40}{3}$ = 13 $\frac{1}{3}$ ≈ 13.333 Fahrten

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Zweisatz (antiproportional)

Dreisatz (antiproportional)

Tabelle (antiproportional)

Antiproportionalität überprüfen

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)