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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit einem CPU-Kern 36 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 12 solchen CPU-Kernen?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 CPU-Kern	36 ms
12 CPU-Kerne	?

Um von 1 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 12 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 12 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 36 ms durch 12 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 12 CPU-Kerne entspricht:

⋅ 12

1 CPU-Kern	36 ms
12 CPU-Kerne	?

: 12

⋅ 12

1 CPU-Kern	36 ms
12 CPU-Kerne	3 ms

: 12

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 CPU-Kerne entspricht: 3 ms

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit 8 CPU-Kernen 5 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 10 solchen CPU-Kernen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

8 CPU-Kerne	5 ms
?	?
10 CPU-Kerne	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 10 sein, also der ggT(8,10) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 CPU-Kerne:

8 CPU-Kerne	5 ms
2 CPU-Kerne	?
10 CPU-Kerne	?

Um von 8 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 2 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 ms nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 CPU-Kerne links entspricht:

: 4

8 CPU-Kerne	5 ms
2 CPU-Kerne	?
10 CPU-Kerne	?

⋅ 4

: 4

8 CPU-Kerne	5 ms
2 CPU-Kerne	20 ms
10 CPU-Kerne	?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 10 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4

⋅ 5

8 CPU-Kerne	5 ms
2 CPU-Kerne	20 ms
10 CPU-Kerne	?

⋅ 4

: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 20 ms in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 4

⋅ 5

8 CPU-Kerne	5 ms
2 CPU-Kerne	20 ms
10 CPU-Kerne	4 ms

⋅ 4

: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 CPU-Kerne entspricht: 4 ms

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

6 Helfer:innen	40 € Lohn
?	?
8 Helfer:innen	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Helfer:innen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 Helfer:innen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 8 sein, also der ggT(6,8) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Helfer:innen:

6 Helfer:innen	40 € Lohn
2 Helfer:innen	?
8 Helfer:innen	?

Um von 6 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 2 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 40 € Lohn nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Helfer:innen links entspricht:

: 3

6 Helfer:innen	40 € Lohn
2 Helfer:innen	?
8 Helfer:innen	?

⋅ 3

: 3

6 Helfer:innen	40 € Lohn
2 Helfer:innen	120 € Lohn
8 Helfer:innen	?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Helfer:innen in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 8 Helfer:innen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3

⋅ 4

6 Helfer:innen	40 € Lohn
2 Helfer:innen	120 € Lohn
8 Helfer:innen	?

⋅ 3

: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 120 € Lohn in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 3

⋅ 4

6 Helfer:innen	40 € Lohn
2 Helfer:innen	120 € Lohn
8 Helfer:innen	30 € Lohn

⋅ 3

: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Helfer:innen entspricht: 30 € Lohn

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 15 ms den 3 CPU-Kerne entsprechen.

: 5

⋅ 3

5 CPU-Kerne	9 ms
1 CPU-Kern	45 ms
3 CPU-Kerne	15 ms

⋅ 5

: 3

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 15 ms(für 3 CPU-Kerne) war also korrekt.

Jetzt überprüfen wir, ob die 5 ms den 9 CPU-Kerne entsprechen.

: 5

⋅ 9

5 CPU-Kerne	9 ms
1 CPU-Kerne	45 ms
9 CPU-Kerne	5 ms

⋅ 5

: 9

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 5 ms (für 9 CPU-Kerne) war also korrekt.

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Karls hat für seine Geburtstagsparty Spezi bekommen. Dabei reicht es für jeden genau 10 Flaschen, wenn insgesamt 5 Personen auf seiner Party sind.

Wie viele Flaschen würde jeder bekommen, wenn insgesamt 2 Personen auf der Party wären?
Wie viele Personen können auf die Party, damit es für jeden zu 5 Flaschen reicht?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

5 Gäste	10 Spezi-Flaschen
?	?
2 Gäste	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Gäste in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Gäste teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 2 sein, also der ggT(5,2) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Gäste:

5 Gäste	10 Spezi-Flaschen
1 Gast	?
2 Gäste	?

Um von 5 Gäste in der ersten Zeile auf 1 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 10 Spezi-Flaschen nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Gäste links entspricht:

: 5

5 Gäste	10 Spezi-Flaschen
1 Gast	50 Spezi-Flaschen
2 Gäste	?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Gäste in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 Gäste in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5

⋅ 2

5 Gäste	10 Spezi-Flaschen
1 Gast	50 Spezi-Flaschen
2 Gäste	25 Spezi-Flaschen

⋅ 5

: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 Gäste entspricht: 25 Spezi-Flaschen

Um von 10 Spezi-Flaschen in der ersten Zeile auf 5 Spezi-Flaschen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 5 Gäste mit 2 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 5 Spezi-Flaschen entspricht:

: 2

10 Spezi-Flaschen	5 Gäste
5 Spezi-Flaschen	?

⋅ 2

: 2

10 Spezi-Flaschen	5 Gäste
5 Spezi-Flaschen	10 Gäste

⋅ 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 Spezi-Flaschen entspricht: 10 Gäste

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Ein Raum wird mit 50 LED-Leuchten á 170 Lumen ausgeleuchtet. Aus ästhetischen Gründen sollen nur noch 18 Leuchten im Raum installiert sein, diese sollen aber die gleiche Helligkeit erzeugen. Wie viel Lumen brauchen dann diese neuen LED-Leuchten?

Lösung einblenden

Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

Anzahl LED-Leuchten	Helligkeit
50	170 Lumen
( : 50 )	( ⋅ 50 )
1	$8 500$ Lumen
( ⋅ 18 )	( : 18 )
18	$\frac{8 500}{18}$ Lumen

Die gesuchte Helligkeit ist also $\frac{8 500}{18}$ = $\frac{4250}{9}$ = 472 $\frac{2}{9}$ ≈ 472.222 Lumen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz (antiproportional)

Dreisatz (antiproportional)

Tabelle (antiproportional)

Antiproportionalität überprüfen

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)