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nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Zweisatz (antiproportional)
Beispiel:
Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 1 Lastwagen müsste dafür 40 mal fahren.
Wie oft müssten 8 LKWs fahren?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 1 Lastwagen in der ersten Zeile auf 8 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 8 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 40 Fuhren durch 8 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 8 Lastwagen entspricht:
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⋅ 8
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: 8
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⋅ 8
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: 8
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Lastwagen entspricht: 5 Fuhren
Dreisatz (antiproportional)
Beispiel:
Wenn Karla mit ihrem Handy jeden Tag immer 8 Minuten telefonieren würde, würden ihre Freiminuten noch genau 7 Tage halten.
Wann wären ihre Freiminuten aufgebraucht, wenn sie täglich 14 min telefonieren würde?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten pro Tag in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Minuten pro Tag teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 14 sein, also der ggT(8,14) = 2.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Minuten pro Tag:
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Um von 8 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 2 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 7 Tage nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Minuten pro Tag links entspricht:
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: 4
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⋅ 4
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: 4
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⋅ 4
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Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Minuten pro Tag in der mittleren Zeile mit 7 multiplizieren, um auf die 14 Minuten pro Tag in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 4
⋅ 7
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⋅ 4
: 7
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Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 28 Tage in der mittleren Zeile durch 7 dividieren:
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: 4
⋅ 7
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⋅ 4
: 7
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 14 Minuten pro Tag entspricht: 4 Tage
Tabelle (antiproportional)
Beispiel:
Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.
| 3 € Lospreis | 200 Lose |
| ? | ? |
| 2 € Lospreis | ? |
Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 3 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 3 und von 2 sein, also der ggT(3,2) = 1.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 € Lospreis:
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Um von 3 € Lospreis in der ersten Zeile auf 1 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 200 Lose nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 € Lospreis links entspricht:
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: 3
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⋅ 3
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: 3
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⋅ 3
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Jetzt müssen wir ja wieder die 1 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 3
⋅ 2
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⋅ 3
: 2
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Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 600 Lose in der mittleren Zeile durch 2 dividieren:
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: 3
⋅ 2
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⋅ 3
: 2
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 € Lospreis entspricht: 300 Lose
Antiproportionalität überprüfen
Beispiel:
Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.
Wir überprüfen zuerst, ob die 17 Spezi-Flaschen den 4 Gäste entsprechen.
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: 5
⋅ 4
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⋅ 5
: 4
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Der urpsrünglich vorgegebene Wert 17 Spezi-Flaschen (für 4 Gäste) war also falsch, richtig wäre 15 Spezi-Flaschen gewesen.
Jetzt überprüfen wir, ob die 13 Spezi-Flaschen den 6 Gäste entsprechen.
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: 5
⋅ 6
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⋅ 5
: 6
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Der urpsrünglich vorgegebene Wert 13 Spezi-Flaschen (für 6 Gäste) war also falsch, richtig wäre 10 Spezi-Flaschen gewesen.
Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen
Beispiel:
Ein Hausmeister hat ein extra Budget für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld). Wenn er 4 Helfer:innen einstellt, reicht es für jeden 90 € Lohn.
Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 3 Helfer:innen hätte?
Wie viele Helfer:innen könnte man mit einem Lohn von 72 € bezahlen?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Helfer:innen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 Helfer:innen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Helfer:innen:
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Um von 4 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 1 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 90 € Lohn nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Helfer:innen links entspricht:
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: 4
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⋅ 4
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Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Helfer:innen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Helfer:innen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 4
⋅ 3
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⋅ 4
: 3
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Helfer:innen entspricht: 120 € Lohn
Für die andere Frage (Wie viele Helfer:innen könnte man mit einem Lohn von 72 € bezahlen?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "€ Lohn"-Werte haben und nach einem "Helfer:innen"-Wert gesucht wird:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lohn in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 90 € Lohn teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 90 und von 72 sein, also der ggT(90,72) = 18.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 18 € Lohn:
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Um von 90 € Lohn in der ersten Zeile auf 18 € Lohn in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 4 Helfer:innen nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 18 € Lohn links entspricht:
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: 5
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⋅ 5
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Jetzt müssen wir ja wieder die 18 € Lohn in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 72 € Lohn in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 5
⋅ 4
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⋅ 5
: 4
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 72 € Lohn entspricht: 5 Helfer:innen
Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)
Beispiel:
Eine Drohne muss eine bestimmte Strecke zurücklegen. Wenn sie dabei mit einer Geschwindigkeit von 50 km/h fliegt, braucht sie dafür 4 Minuten.Wie lange braucht sie bei einer Geschwindigkeit von 32 km/h?
Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:
| Geschwindigkeit | Flugzeit |
|---|---|
| 50 km/h | 4 min |
| ( : 50 ) | ( ⋅ 50 ) |
| 1 km/h | min |
| ( ⋅ 32 ) | ( : 32 ) |
| 32 km/h | min |
Die gesuchte Flugzeit ist also = = 6 ≈ 6.25 min