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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Zweisatz (antiproportional)
Beispiel:
Wenn eine Person das Schulhaus putzt, braucht sie dafür 24 h.
Wie lange bräuchten 4 Personen hierfür?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 1 Personen in der ersten Zeile auf 4 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 4 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 24 h durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 4 Personen entspricht:
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⋅ 4
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: 4
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⋅ 4
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: 4
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Personen entspricht: 6 h
Dreisatz (antiproportional)
Beispiel:
Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 8€ für ein Los verlangen, müssten sie 70 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.
Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 14 € verkaufen?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 14 sein, also der ggT(8,14) = 2.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 € Lospreis:
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Um von 8 € Lospreis in der ersten Zeile auf 2 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 70 Lose nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 € Lospreis links entspricht:
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: 4
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⋅ 4
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: 4
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⋅ 4
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Jetzt müssen wir ja wieder die 2 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 7 multiplizieren, um auf die 14 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 4
⋅ 7
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⋅ 4
: 7
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Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 280 Lose in der mittleren Zeile durch 7 dividieren:
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: 4
⋅ 7
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⋅ 4
: 7
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 14 € Lospreis entspricht: 40 Lose
Tabelle (antiproportional)
Beispiel:
Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.
| 8 Gäste | 5 Spezi-Flaschen |
| ? | ? |
| 10 Gäste | ? |
Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Gäste in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Gäste teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 10 sein, also der ggT(8,10) = 2.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Gäste:
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Um von 8 Gäste in der ersten Zeile auf 2 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 Spezi-Flaschen nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Gäste links entspricht:
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: 4
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⋅ 4
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: 4
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⋅ 4
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Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Gäste in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 10 Gäste in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 4
⋅ 5
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⋅ 4
: 5
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Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 20 Spezi-Flaschen in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:
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: 4
⋅ 5
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⋅ 4
: 5
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 Gäste entspricht: 4 Spezi-Flaschen
Antiproportionalität überprüfen
Beispiel:
Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.
Wir überprüfen zuerst, ob die 99 € Lohn den 4 Helfer:innen entsprechen.
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: 5
⋅ 4
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⋅ 5
: 4
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Der urpsrünglich vorgegebene Wert 99 € Lohn (für 4 Helfer:innen) war also falsch, richtig wäre 100 € Lohn gewesen.
Jetzt überprüfen wir, ob die 24 € Lohn den 20 Helfer:innen entsprechen.
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: 1
⋅ 4
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⋅ 1
: 4
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Der urpsrünglich vorgegebene Wert 24 € Lohn (für 20 Helfer:innen) war also falsch, richtig wäre 20 € Lohn gewesen.
Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen
Beispiel:
Ein Hausmeister hat ein extra Budget für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld). Wenn er 5 Helfer:innen einstellt, reicht es für jeden 60 € Lohn.
Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 3 Helfer:innen hätte?
Wie viele Helfer:innen könnte man mit einem Lohn von 5 € bezahlen?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Helfer:innen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Helfer:innen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 3 sein, also der ggT(5,3) = 1.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Helfer:innen:
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Um von 5 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 1 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 60 € Lohn nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Helfer:innen links entspricht:
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: 5
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⋅ 5
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Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Helfer:innen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Helfer:innen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 5
⋅ 3
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⋅ 5
: 3
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Helfer:innen entspricht: 100 € Lohn
Um von 60 € Lohn in der ersten Zeile auf 5 € Lohn in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 12 teilen. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 5 Helfer:innen mit 12 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 5 € Lohn entspricht:
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: 12
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⋅ 12
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: 12
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⋅ 12
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 € Lohn entspricht: 60 Helfer:innen
Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)
Beispiel:
Ein Raum wird mit 30 LED-Leuchten á 170 Lumen ausgeleuchtet. Aus ästhetischen Gründen sollen nur noch 17 Leuchten im Raum installiert sein, diese sollen aber die gleiche Helligkeit erzeugen. Wie viel Lumen brauchen dann diese neuen LED-Leuchten?
Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:
| Anzahl LED-Leuchten | Helligkeit |
|---|---|
| 30 | 170 Lumen |
| ( : 30 ) | ( ⋅ 30 ) |
| 1 | Lumen |
| ( ⋅ 17 ) | ( : 17 ) |
| 17 | Lumen |
Die gesuchte Helligkeit ist also = Lumen