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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn Frau Baumanns Auto nur ein Liter pro 100km verbrauchen würde, würde sie mit einer Tankfüllung 4000 km weit kommen.

Wie weit würde sie mit einer Tankfüllung kommen, wenn sie mit einem "8 Liter/100km "-Schnitt fahren würde?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Liter pro 100km4000 km
8 Liter pro 100km?

Um von 1 Liter pro 100km in der ersten Zeile auf 8 Liter pro 100km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 8 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 4000 km durch 8 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 8 Liter pro 100km entspricht:

⋅ 8
1 Liter pro 100km4000 km
8 Liter pro 100km?
: 8
⋅ 8
1 Liter pro 100km4000 km
8 Liter pro 100km500 km
: 8

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Liter pro 100km entspricht: 500 km

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Karls hat für seine Geburtstagsparty Spezi bekommen. Dabei reicht es für jeden genau 6 Flaschen, wenn insgesamt 10 Personen auf seiner Party sind.

Wie viele Flaschen würde jeder bekommen, wenn insgesamt 12 Personen auf der Party wären?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


10 Gäste6 Spezi-Flaschen
??
12 Gäste?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Gäste in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 Gäste teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 10 und von 12 sein, also der ggT(10,12) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Gäste:


10 Gäste6 Spezi-Flaschen
2 Gäste?
12 Gäste?

Um von 10 Gäste in der ersten Zeile auf 2 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 Spezi-Flaschen nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Gäste links entspricht:

: 5

10 Gäste6 Spezi-Flaschen
2 Gäste?
12 Gäste?

⋅ 5
: 5

10 Gäste6 Spezi-Flaschen
2 Gäste30 Spezi-Flaschen
12 Gäste?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Gäste in der mittleren Zeile mit 6 multiplizieren, um auf die 12 Gäste in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 6

10 Gäste6 Spezi-Flaschen
2 Gäste30 Spezi-Flaschen
12 Gäste?

⋅ 5
: 6

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 30 Spezi-Flaschen in der mittleren Zeile durch 6 dividieren:

: 5
⋅ 6

10 Gäste6 Spezi-Flaschen
2 Gäste30 Spezi-Flaschen
12 Gäste5 Spezi-Flaschen

⋅ 5
: 6

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Gäste entspricht: 5 Spezi-Flaschen

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

5 Liter pro 100km900 km
??
3 Liter pro 100km?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Liter pro 100km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Liter pro 100km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 3 sein, also der ggT(5,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Liter pro 100km:


5 Liter pro 100km900 km
1 Liter pro 100km?
3 Liter pro 100km?

Um von 5 Liter pro 100km in der ersten Zeile auf 1 Liter pro 100km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 900 km nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Liter pro 100km links entspricht:

: 5

5 Liter pro 100km900 km
1 Liter pro 100km?
3 Liter pro 100km?

⋅ 5
: 5

5 Liter pro 100km900 km
1 Liter pro 100km4500 km
3 Liter pro 100km?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Liter pro 100km in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Liter pro 100km in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 3

5 Liter pro 100km900 km
1 Liter pro 100km4500 km
3 Liter pro 100km?

⋅ 5
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 4500 km in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 5
⋅ 3

5 Liter pro 100km900 km
1 Liter pro 100km4500 km
3 Liter pro 100km1500 km

⋅ 5
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Liter pro 100km entspricht: 1500 km

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 3 Spezi-Flaschen den 12 Gäste entsprechen.

: 2
⋅ 3

8 Gäste6 Spezi-Flaschen
4 Gäste12 Spezi-Flaschen
12 Gäste4 Spezi-Flaschen

⋅ 2
: 3

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 3 Spezi-Flaschen (für 12 Gäste) war also falsch, richtig wäre 4 Spezi-Flaschen gewesen.


Jetzt überprüfen wir, ob die 8 Spezi-Flaschen den 6 Gäste entsprechen.

: 4
⋅ 3

8 Gäste6 Spezi-Flaschen
2 Gäste24 Spezi-Flaschen
6 Gäste8 Spezi-Flaschen

⋅ 4
: 3

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 8 Spezi-Flaschen (für 6 Gäste) war also korrekt.

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Karls hat für seine Geburtstagsparty Spezi bekommen. Dabei reicht es für jeden genau 6 Flaschen, wenn insgesamt 10 Personen auf seiner Party sind.

Wie viele Flaschen würde jeder bekommen, wenn insgesamt 12 Personen auf der Party wären?
Wie viele Personen können auf die Party, damit es für jeden zu 3 Flaschen reicht?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


10 Gäste6 Spezi-Flaschen
??
12 Gäste?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Gäste in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 Gäste teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 10 und von 12 sein, also der ggT(10,12) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Gäste:


10 Gäste6 Spezi-Flaschen
2 Gäste?
12 Gäste?

Um von 10 Gäste in der ersten Zeile auf 2 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 Spezi-Flaschen nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Gäste links entspricht:

: 5

10 Gäste6 Spezi-Flaschen
2 Gäste30 Spezi-Flaschen
12 Gäste?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Gäste in der mittleren Zeile mit 6 multiplizieren, um auf die 12 Gäste in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 6

10 Gäste6 Spezi-Flaschen
2 Gäste30 Spezi-Flaschen
12 Gäste5 Spezi-Flaschen

⋅ 5
: 6

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Gäste entspricht: 5 Spezi-Flaschen



Um von 6 Spezi-Flaschen in der ersten Zeile auf 3 Spezi-Flaschen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 10 Gäste mit 2 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 3 Spezi-Flaschen entspricht:

: 2
6 Spezi-Flaschen10 Gäste
3 Spezi-Flaschen?
⋅ 2
: 2
6 Spezi-Flaschen10 Gäste
3 Spezi-Flaschen20 Gäste
⋅ 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Spezi-Flaschen entspricht: 20 Gäste

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Ein Raum wird mit 55 LED-Leuchten á 130 Lumen ausgeleuchtet. Aus ästhetischen Gründen sollen nur noch 21 Leuchten im Raum installiert sein, diese sollen aber die gleiche Helligkeit erzeugen. Wie viel Lumen brauchen dann diese neuen LED-Leuchten?

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Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

Anzahl LED-LeuchtenHelligkeit
55 130 Lumen
( : 55 )( ⋅ 55 )
1 7150 Lumen
( ⋅ 21 )( : 21 )
21 7150 21 Lumen

Die gesuchte Helligkeit ist also 7150 21 = 340 10 21 ≈ 340.476 Lumen