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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Karls hat für seine Geburtstagsparty 24 Flaschen Spezi bekommen.

Wie viele Flaschen würde jeder bekommen, wenn insgesamt 6 Personen auf der Party wären?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Gast	24 Spezi-Flaschen
6 Gäste	?

Um von 1 Gäste in der ersten Zeile auf 6 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 6 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 24 Spezi-Flaschen durch 6 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 6 Gäste entspricht:

⋅ 6

1 Gast	24 Spezi-Flaschen
6 Gäste	?

: 6

⋅ 6

1 Gast	24 Spezi-Flaschen
6 Gäste	4 Spezi-Flaschen

: 6

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 6 Gäste entspricht: 4 Spezi-Flaschen

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 8 Lastwagen müssten dafür 5 mal fahren.

Wie oft müssten 10 LKWs fahren?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

8 Lastwagen	5 Fuhren
?	?
10 Lastwagen	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 10 sein, also der ggT(8,10) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Lastwagen:

8 Lastwagen	5 Fuhren
2 Lastwagen	?
10 Lastwagen	?

Um von 8 Lastwagen in der ersten Zeile auf 2 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 Fuhren nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Lastwagen links entspricht:

: 4

8 Lastwagen	5 Fuhren
2 Lastwagen	?
10 Lastwagen	?

⋅ 4

: 4

8 Lastwagen	5 Fuhren
2 Lastwagen	20 Fuhren
10 Lastwagen	?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 10 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4

⋅ 5

8 Lastwagen	5 Fuhren
2 Lastwagen	20 Fuhren
10 Lastwagen	?

⋅ 4

: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 20 Fuhren in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 4

⋅ 5

8 Lastwagen	5 Fuhren
2 Lastwagen	20 Fuhren
10 Lastwagen	4 Fuhren

⋅ 4

: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 Lastwagen entspricht: 4 Fuhren

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

6 Lastwagen	4 Fuhren
?	?
8 Lastwagen	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 8 sein, also der ggT(6,8) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Lastwagen:

6 Lastwagen	4 Fuhren
2 Lastwagen	?
8 Lastwagen	?

Um von 6 Lastwagen in der ersten Zeile auf 2 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 4 Fuhren nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Lastwagen links entspricht:

: 3

6 Lastwagen	4 Fuhren
2 Lastwagen	?
8 Lastwagen	?

⋅ 3

: 3

6 Lastwagen	4 Fuhren
2 Lastwagen	12 Fuhren
8 Lastwagen	?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 8 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3

⋅ 4

6 Lastwagen	4 Fuhren
2 Lastwagen	12 Fuhren
8 Lastwagen	?

⋅ 3

: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 12 Fuhren in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 3

⋅ 4

6 Lastwagen	4 Fuhren
2 Lastwagen	12 Fuhren
8 Lastwagen	3 Fuhren

⋅ 3

: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Lastwagen entspricht: 3 Fuhren

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 14 Spezi-Flaschen den 3 Gäste entsprechen.

: 5

⋅ 3

5 Gäste	9 Spezi-Flaschen
1 Gast	45 Spezi-Flaschen
3 Gäste	15 Spezi-Flaschen

⋅ 5

: 3

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 14 Spezi-Flaschen (für 3 Gäste) war also falsch, richtig wäre 15 Spezi-Flaschen gewesen.

Jetzt überprüfen wir, ob die 8 Spezi-Flaschen den 9 Gäste entsprechen.

: 5

⋅ 9

5 Gäste	9 Spezi-Flaschen
1 Gäste	45 Spezi-Flaschen
9 Gäste	5 Spezi-Flaschen

⋅ 5

: 9

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 8 Spezi-Flaschen (für 9 Gäste) war also falsch, richtig wäre 5 Spezi-Flaschen gewesen.

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit 4 CPU-Kernen 6 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 3 solchen CPU-Kernen?
Wie viele CPU-Kerne bräuchte der Computer, wenn er es in 4 ms rechnen könnte?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

4 CPU-Kerne	6 ms
?	?
3 CPU-Kerne	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 CPU-Kerne:

4 CPU-Kerne	6 ms
1 CPU-Kern	?
3 CPU-Kerne	?

Um von 4 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 1 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 ms nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 CPU-Kerne links entspricht:

: 4

4 CPU-Kerne	6 ms
1 CPU-Kern	24 ms
3 CPU-Kerne	?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4

⋅ 3

4 CPU-Kerne	6 ms
1 CPU-Kern	24 ms
3 CPU-Kerne	8 ms

⋅ 4

: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 CPU-Kerne entspricht: 8 ms

Für die andere Frage (Wie viele CPU-Kerne bräuchte der Computer, wenn er es in 4 ms rechnen könnte?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "ms"-Werte haben und nach einem "CPU-Kerne"-Wert gesucht wird:

6 ms	4 CPU-Kerne
?	?
4 ms	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die ms in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 ms teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 4 sein, also der ggT(6,4) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 ms:

6 ms	4 CPU-Kerne
2 ms	?
4 ms	?

Um von 6 ms in der ersten Zeile auf 2 ms in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 4 CPU-Kerne nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 ms links entspricht:

: 3

6 ms	4 CPU-Kerne
2 ms	12 CPU-Kerne
4 ms	?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 ms in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 4 ms in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3

⋅ 2

6 ms	4 CPU-Kerne
2 ms	12 CPU-Kerne
4 ms	6 CPU-Kerne

⋅ 3

: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 ms entspricht: 6 CPU-Kerne

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Auf einer Großbaustelle müssen unglaubliche Mengen an Aushub abtransportiert werden. Dabei brauchen 3 LKWs genau 10 Fahrten. Wieviele Fahrten bräuchten 8 LKWs durchschnittlich?(Bitte auf eine Stelle hinterm Komma runden, auch wenn es inhaltlich keinen Sinn macht.)

Lösung einblenden

Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

LKW-Anzahl	Fahrten-Anzahl
3 LKWs	10 Fahrten
( : 3 )	( ⋅ 3 )
1 LKWs	$30$ Fahrten
( ⋅ 8 )	( : 8 )
8 LKWs	$\frac{30}{8}$ Fahrten

Die gesuchte Fahrten-Anzahl ist also $\frac{30}{8}$ = $\frac{15}{4}$ = 3 $\frac{3}{4}$ ≈ 3.75 Fahrten

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz (antiproportional)

Dreisatz (antiproportional)

Tabelle (antiproportional)

Antiproportionalität überprüfen

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)