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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Zweisatz (antiproportional)
Beispiel:
Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 1€ für ein Los verlangen, müssten sie 600 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.
Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 5 € verkaufen?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 1 € Lospreis in der ersten Zeile auf 5 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 5 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 600 Lose durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 5 € Lospreis entspricht:
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⋅ 5
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: 5
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⋅ 5
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: 5
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 € Lospreis entspricht: 120 Lose
Dreisatz (antiproportional)
Beispiel:
Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 4€ für ein Los verlangen, müssten sie 60 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.
Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 3 € verkaufen?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 € Lospreis:
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Um von 4 € Lospreis in der ersten Zeile auf 1 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 60 Lose nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 € Lospreis links entspricht:
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: 4
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⋅ 4
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: 4
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⋅ 4
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Jetzt müssen wir ja wieder die 1 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 4
⋅ 3
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⋅ 4
: 3
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Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 240 Lose in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:
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: 4
⋅ 3
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⋅ 4
: 3
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 € Lospreis entspricht: 80 Lose
Tabelle (antiproportional)
Beispiel:
Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.
| 5 Gäste | 8 Spezi-Flaschen |
| ? | ? |
| 4 Gäste | ? |
Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Gäste in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Gäste teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 4 sein, also der ggT(5,4) = 1.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Gäste:
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Um von 5 Gäste in der ersten Zeile auf 1 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 8 Spezi-Flaschen nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Gäste links entspricht:
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: 5
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⋅ 5
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: 5
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⋅ 5
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Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Gäste in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 Gäste in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 5
⋅ 4
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⋅ 5
: 4
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Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 40 Spezi-Flaschen in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:
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: 5
⋅ 4
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⋅ 5
: 4
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Gäste entspricht: 10 Spezi-Flaschen
Antiproportionalität überprüfen
Beispiel:
Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.
Wir überprüfen zuerst, ob die 0 Fuhren den 25 Lastwagen entsprechen.
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: 2
⋅ 5
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⋅ 2
: 5
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Der urpsrünglich vorgegebene Wert 0 Fuhren (für 25 Lastwagen) war also falsch, richtig wäre 2 Fuhren gewesen.
Jetzt überprüfen wir, ob die 9 Fuhren den 5 Lastwagen entsprechen.
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: 2
⋅ 1
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⋅ 2
: 1
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Der urpsrünglich vorgegebene Wert 9 Fuhren (für 5 Lastwagen) war also falsch, richtig wäre 10 Fuhren gewesen.
Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen
Beispiel:
Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 6€ für ein Los verlangen, müssten sie 60 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.
Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 4 € verkaufen?
Wie hoch muss man den Preis ansetzen, wenn man erwartet, das sich 18 Lose verkaufen?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 4 sein, also der ggT(6,4) = 2.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 € Lospreis:
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Um von 6 € Lospreis in der ersten Zeile auf 2 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 60 Lose nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 € Lospreis links entspricht:
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: 3
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⋅ 3
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Jetzt müssen wir ja wieder die 2 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 4 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 3
⋅ 2
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⋅ 3
: 2
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 € Lospreis entspricht: 90 Lose
Für die andere Frage (Wie hoch muss man den Preis ansetzen, wenn man erwartet, das sich 18 Lose verkaufen?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "Lose"-Werte haben und nach einem "€ Lospreis"-Wert gesucht wird:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lose in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 60 Lose teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 60 und von 18 sein, also der ggT(60,18) = 6.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 6 Lose:
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Um von 60 Lose in der ersten Zeile auf 6 Lose in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 10 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 € Lospreis nicht durch 10 teilen, sondern mit 10 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 6 Lose links entspricht:
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: 10
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⋅ 10
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Jetzt müssen wir ja wieder die 6 Lose in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 18 Lose in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 10
⋅ 3
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⋅ 10
: 3
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 18 Lose entspricht: 20 € Lospreis
Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)
Beispiel:
Ein Raum wird mit 50 LED-Leuchten á 200 Lumen ausgeleuchtet. Aus ästhetischen Gründen sollen nur noch 21 Leuchten im Raum installiert sein, diese sollen aber die gleiche Helligkeit erzeugen. Wie viel Lumen brauchen dann diese neuen LED-Leuchten?
Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:
| Anzahl LED-Leuchten | Helligkeit |
|---|---|
| 50 | 200 Lumen |
| ( : 50 ) | ( ⋅ 50 ) |
| 1 | Lumen |
| ( ⋅ 21 ) | ( : 21 ) |
| 21 | Lumen |
Die gesuchte Helligkeit ist also = 476 ≈ 476.19 Lumen