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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 1 Lastwagen müsste dafür 48 mal fahren.

Wie oft müssten 6 LKWs fahren?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Lastwagen	48 Fuhren
6 Lastwagen	?

Um von 1 Lastwagen in der ersten Zeile auf 6 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 6 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 48 Fuhren durch 6 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 6 Lastwagen entspricht:

⋅ 6

1 Lastwagen	48 Fuhren
6 Lastwagen	?

: 6

⋅ 6

1 Lastwagen	48 Fuhren
6 Lastwagen	8 Fuhren

: 6

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 6 Lastwagen entspricht: 8 Fuhren

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 15€ für ein Los verlangen, müssten sie 40 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.

Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 20 € verkaufen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

15 € Lospreis	40 Lose
?	?
20 € Lospreis	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 15 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 15 und von 20 sein, also der ggT(15,20) = 5.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 € Lospreis:

15 € Lospreis	40 Lose
5 € Lospreis	?
20 € Lospreis	?

Um von 15 € Lospreis in der ersten Zeile auf 5 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 40 Lose nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 5 € Lospreis links entspricht:

: 3

15 € Lospreis	40 Lose
5 € Lospreis	?
20 € Lospreis	?

⋅ 3

: 3

15 € Lospreis	40 Lose
5 € Lospreis	120 Lose
20 € Lospreis	?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 5 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 20 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3

⋅ 4

15 € Lospreis	40 Lose
5 € Lospreis	120 Lose
20 € Lospreis	?

⋅ 3

: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 120 Lose in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 3

⋅ 4

15 € Lospreis	40 Lose
5 € Lospreis	120 Lose
20 € Lospreis	30 Lose

⋅ 3

: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 20 € Lospreis entspricht: 30 Lose

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

4 € Lospreis	60 Lose
?	?
3 € Lospreis	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 € Lospreis:

4 € Lospreis	60 Lose
1 € Lospreis	?
3 € Lospreis	?

Um von 4 € Lospreis in der ersten Zeile auf 1 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 60 Lose nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 € Lospreis links entspricht:

: 4

4 € Lospreis	60 Lose
1 € Lospreis	?
3 € Lospreis	?

⋅ 4

: 4

4 € Lospreis	60 Lose
1 € Lospreis	240 Lose
3 € Lospreis	?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4

⋅ 3

4 € Lospreis	60 Lose
1 € Lospreis	240 Lose
3 € Lospreis	?

⋅ 4

: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 240 Lose in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 4

⋅ 3

4 € Lospreis	60 Lose
1 € Lospreis	240 Lose
3 € Lospreis	80 Lose

⋅ 4

: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 € Lospreis entspricht: 80 Lose

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 82 € Lohn den 3 Helfer:innen entsprechen.

: 4

⋅ 3

4 Helfer:innen	60 € Lohn
1 Helfer:in	240 € Lohn
3 Helfer:innen	80 € Lohn

⋅ 4

: 3

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 82 € Lohn (für 3 Helfer:innen) war also falsch, richtig wäre 80 € Lohn gewesen.

Jetzt überprüfen wir, ob die 4 € Lohn den 48 Helfer:innen entsprechen.

: 1

⋅ 12

4 Helfer:innen	60 € Lohn
4 Helfer:innen	60 € Lohn
48 Helfer:innen	5 € Lohn

⋅ 1

: 12

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 4 € Lohn (für 48 Helfer:innen) war also falsch, richtig wäre 5 € Lohn gewesen.

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 5€ für ein Los verlangen, müssten sie 90 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.

Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 3 € verkaufen?
Wie hoch muss man den Preis ansetzen, wenn man erwartet, das sich 6 Lose verkaufen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

5 € Lospreis	90 Lose
?	?
3 € Lospreis	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 3 sein, also der ggT(5,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 € Lospreis:

5 € Lospreis	90 Lose
1 € Lospreis	?
3 € Lospreis	?

Um von 5 € Lospreis in der ersten Zeile auf 1 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 90 Lose nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 € Lospreis links entspricht:

: 5

5 € Lospreis	90 Lose
1 € Lospreis	450 Lose
3 € Lospreis	?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5

⋅ 3

5 € Lospreis	90 Lose
1 € Lospreis	450 Lose
3 € Lospreis	150 Lose

⋅ 5

: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 € Lospreis entspricht: 150 Lose

Um von 90 Lose in der ersten Zeile auf 6 Lose in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 15 teilen. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 5 € Lospreis mit 15 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 6 Lose entspricht:

: 15

90 Lose	5 € Lospreis
6 Lose	?

⋅ 15

: 15

90 Lose	5 € Lospreis
6 Lose	75 € Lospreis

⋅ 15

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 6 Lose entspricht: 75 € Lospreis

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Eine Drohne muss eine bestimmte Strecke zurücklegen. Wenn sie dabei mit einer Geschwindigkeit von 30 km/h fliegt, braucht sie dafür 8 Minuten.Wie lange braucht sie bei einer Geschwindigkeit von 31 km/h?

Lösung einblenden

Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

Geschwindigkeit	Flugzeit
30 km/h	8 min
( : 30 )	( ⋅ 30 )
1 km/h	$240$ min
( ⋅ 31 )	( : 31 )
31 km/h	$\frac{240}{31}$ min

Die gesuchte Flugzeit ist also $\frac{240}{31}$ = 7 $\frac{23}{31}$ ≈ 7.742 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz (antiproportional)

Dreisatz (antiproportional)

Tabelle (antiproportional)

Antiproportionalität überprüfen

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)