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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 1 Lastwagen müsste dafür 48 mal fahren.

Wie oft müssten 4 LKWs fahren?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Lastwagen	48 Fuhren
4 Lastwagen	?

Um von 1 Lastwagen in der ersten Zeile auf 4 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 4 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 48 Fuhren durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 4 Lastwagen entspricht:

⋅ 4

1 Lastwagen	48 Fuhren
4 Lastwagen	?

: 4

⋅ 4

1 Lastwagen	48 Fuhren
4 Lastwagen	12 Fuhren

: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Lastwagen entspricht: 12 Fuhren

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 10€ für ein Los verlangen, müssten sie 50 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.

Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 25 € verkaufen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

10 € Lospreis	50 Lose
?	?
25 € Lospreis	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 10 und von 25 sein, also der ggT(10,25) = 5.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 € Lospreis:

10 € Lospreis	50 Lose
5 € Lospreis	?
25 € Lospreis	?

Um von 10 € Lospreis in der ersten Zeile auf 5 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 50 Lose nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 5 € Lospreis links entspricht:

: 2

10 € Lospreis	50 Lose
5 € Lospreis	?
25 € Lospreis	?

⋅ 2

: 2

10 € Lospreis	50 Lose
5 € Lospreis	100 Lose
25 € Lospreis	?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 5 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 25 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2

⋅ 5

10 € Lospreis	50 Lose
5 € Lospreis	100 Lose
25 € Lospreis	?

⋅ 2

: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 100 Lose in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 2

⋅ 5

10 € Lospreis	50 Lose
5 € Lospreis	100 Lose
25 € Lospreis	20 Lose

⋅ 2

: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 25 € Lospreis entspricht: 20 Lose

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

6 Personen	4 h
?	?
8 Personen	?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 8 sein, also der ggT(6,8) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Personen:

6 Personen	4 h
2 Personen	?
8 Personen	?

Um von 6 Personen in der ersten Zeile auf 2 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 4 h nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Personen links entspricht:

: 3

6 Personen	4 h
2 Personen	?
8 Personen	?

⋅ 3

: 3

6 Personen	4 h
2 Personen	12 h
8 Personen	?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Personen in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 8 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3

⋅ 4

6 Personen	4 h
2 Personen	12 h
8 Personen	?

⋅ 3

: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 12 h in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 3

⋅ 4

6 Personen	4 h
2 Personen	12 h
8 Personen	3 h

⋅ 3

: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Personen entspricht: 3 h

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 3 ms den 15 CPU-Kerne entsprechen.

: 3

⋅ 5

9 CPU-Kerne	5 ms
3 CPU-Kerne	15 ms
15 CPU-Kerne	3 ms

⋅ 3

: 5

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 3 ms(für 15 CPU-Kerne) war also korrekt.

Jetzt überprüfen wir, ob die 10 ms den 5 CPU-Kerne entsprechen.

: 9

⋅ 5

9 CPU-Kerne	5 ms
1 CPU-Kerne	45 ms
5 CPU-Kerne	9 ms

⋅ 9

: 5

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 10 ms (für 5 CPU-Kerne) war also falsch, richtig wäre 9 ms gewesen.

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 8 Lastwagen müssten dafür 5 mal fahren.

Wie oft müssten 10 LKWs fahren?
Wie viele LKWs bräuchte man, damit es mit 8 Fuhren für jeden reicht?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

8 Lastwagen	5 Fuhren
?	?
10 Lastwagen	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 10 sein, also der ggT(8,10) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Lastwagen:

8 Lastwagen	5 Fuhren
2 Lastwagen	?
10 Lastwagen	?

Um von 8 Lastwagen in der ersten Zeile auf 2 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 Fuhren nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Lastwagen links entspricht:

: 4

8 Lastwagen	5 Fuhren
2 Lastwagen	20 Fuhren
10 Lastwagen	?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 10 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4

⋅ 5

8 Lastwagen	5 Fuhren
2 Lastwagen	20 Fuhren
10 Lastwagen	4 Fuhren

⋅ 4

: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 Lastwagen entspricht: 4 Fuhren

Für die andere Frage (Wie viele LKWs bräuchte man, damit es mit 8 Fuhren für jeden reicht?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "Fuhren"-Werte haben und nach einem "Lastwagen"-Wert gesucht wird:

5 Fuhren	8 Lastwagen
?	?
8 Fuhren	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Fuhren in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Fuhren teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 8 sein, also der ggT(5,8) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Fuhren:

5 Fuhren	8 Lastwagen
1 Fuhre	?
8 Fuhren	?

Um von 5 Fuhren in der ersten Zeile auf 1 Fuhren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 8 Lastwagen nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Fuhren links entspricht:

: 5

5 Fuhren	8 Lastwagen
1 Fuhre	40 Lastwagen
8 Fuhren	?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Fuhren in der mittleren Zeile mit 8 multiplizieren, um auf die 8 Fuhren in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5

⋅ 8

5 Fuhren	8 Lastwagen
1 Fuhre	40 Lastwagen
8 Fuhren	5 Lastwagen

⋅ 5

: 8

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Fuhren entspricht: 5 Lastwagen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Auf einer Großbaustelle müssen unglaubliche Mengen an Aushub abtransportiert werden. Dabei brauchen 5 LKWs genau 30 Fahrten. Wieviele Fahrten bräuchten 6 LKWs durchschnittlich?(Bitte auf eine Stelle hinterm Komma runden, auch wenn es inhaltlich keinen Sinn macht.)

Lösung einblenden

Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

LKW-Anzahl	Fahrten-Anzahl
5 LKWs	30 Fahrten
( : 5 )	( ⋅ 5 )
1 LKWs	$150$ Fahrten
( ⋅ 6 )	( : 6 )
6 LKWs	$\frac{150}{6}$ Fahrten

Die gesuchte Fahrten-Anzahl ist also $\frac{150}{6}$ = $25$ Fahrten

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz (antiproportional)

Dreisatz (antiproportional)

Tabelle (antiproportional)

Antiproportionalität überprüfen

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)