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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Karls hat für seine Geburtstagsparty 36 Flaschen Spezi bekommen.

Wie viele Flaschen würde jeder bekommen, wenn insgesamt 12 Personen auf der Party wären?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Gast	36 Spezi-Flaschen
12 Gäste	?

Um von 1 Gäste in der ersten Zeile auf 12 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 12 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 36 Spezi-Flaschen durch 12 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 12 Gäste entspricht:

⋅ 12

1 Gast	36 Spezi-Flaschen
12 Gäste	?

: 12

⋅ 12

1 Gast	36 Spezi-Flaschen
12 Gäste	3 Spezi-Flaschen

: 12

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Gäste entspricht: 3 Spezi-Flaschen

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Karls hat für seine Geburtstagsparty Spezi bekommen. Dabei reicht es für jeden genau 8 Flaschen, wenn insgesamt 5 Personen auf seiner Party sind.

Wie viele Flaschen würde jeder bekommen, wenn insgesamt 4 Personen auf der Party wären?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

5 Gäste	8 Spezi-Flaschen
?	?
4 Gäste	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Gäste in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Gäste teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 4 sein, also der ggT(5,4) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Gäste:

5 Gäste	8 Spezi-Flaschen
1 Gast	?
4 Gäste	?

Um von 5 Gäste in der ersten Zeile auf 1 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 8 Spezi-Flaschen nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Gäste links entspricht:

: 5

5 Gäste	8 Spezi-Flaschen
1 Gast	?
4 Gäste	?

⋅ 5

: 5

5 Gäste	8 Spezi-Flaschen
1 Gast	40 Spezi-Flaschen
4 Gäste	?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Gäste in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 Gäste in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5

⋅ 4

5 Gäste	8 Spezi-Flaschen
1 Gast	40 Spezi-Flaschen
4 Gäste	?

⋅ 5

: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 40 Spezi-Flaschen in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 5

⋅ 4

5 Gäste	8 Spezi-Flaschen
1 Gast	40 Spezi-Flaschen
4 Gäste	10 Spezi-Flaschen

⋅ 5

: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Gäste entspricht: 10 Spezi-Flaschen

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

5 Lastwagen	12 Fuhren
?	?
4 Lastwagen	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 4 sein, also der ggT(5,4) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Lastwagen:

5 Lastwagen	12 Fuhren
1 Lastwagen	?
4 Lastwagen	?

Um von 5 Lastwagen in der ersten Zeile auf 1 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 12 Fuhren nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Lastwagen links entspricht:

: 5

5 Lastwagen	12 Fuhren
1 Lastwagen	?
4 Lastwagen	?

⋅ 5

: 5

5 Lastwagen	12 Fuhren
1 Lastwagen	60 Fuhren
4 Lastwagen	?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5

⋅ 4

5 Lastwagen	12 Fuhren
1 Lastwagen	60 Fuhren
4 Lastwagen	?

⋅ 5

: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 60 Fuhren in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 5

⋅ 4

5 Lastwagen	12 Fuhren
1 Lastwagen	60 Fuhren
4 Lastwagen	15 Fuhren

⋅ 5

: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Lastwagen entspricht: 15 Fuhren

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 18 Lose den 25 € Lospreis entsprechen.

: 2

⋅ 5

10 € Lospreis	50 Lose
5 € Lospreis	100 Lose
25 € Lospreis	20 Lose

⋅ 2

: 5

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 18 Lose (für 25 € Lospreis) war also falsch, richtig wäre 20 Lose gewesen.

Jetzt überprüfen wir, ob die 9 Lose den 100 € Lospreis entsprechen.

: 1

⋅ 10

10 € Lospreis	50 Lose
10 € Lospreis	50 Lose
100 € Lospreis	5 Lose

⋅ 1

: 10

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 9 Lose (für 100 € Lospreis) war also falsch, richtig wäre 5 Lose gewesen.

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Wenn 4 Personen das Schulhaus putzen, brauchen sie dafür 12 h.

Wie lange bräuchten 3 Personen hierfür?
Wie viele Personen bräuchte man, damit jeder 8 h putzen müsste?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

4 Personen	12 h
?	?
3 Personen	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Personen:

4 Personen	12 h
1 Person	?
3 Personen	?

Um von 4 Personen in der ersten Zeile auf 1 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 12 h nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Personen links entspricht:

: 4

4 Personen	12 h
1 Person	48 h
3 Personen	?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Personen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4

⋅ 3

4 Personen	12 h
1 Person	48 h
3 Personen	16 h

⋅ 4

: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Personen entspricht: 16 h

Für die andere Frage (Wie viele Personen bräuchte man, damit jeder 8 h putzen müsste?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "h"-Werte haben und nach einem "Personen"-Wert gesucht wird:

12 h	4 Personen
?	?
8 h	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die h in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 12 h teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 12 und von 8 sein, also der ggT(12,8) = 4.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 h:

12 h	4 Personen
4 h	?
8 h	?

Um von 12 h in der ersten Zeile auf 4 h in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 4 Personen nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 4 h links entspricht:

: 3

12 h	4 Personen
4 h	12 Personen
8 h	?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 4 h in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 8 h in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3

⋅ 2

12 h	4 Personen
4 h	12 Personen
8 h	6 Personen

⋅ 3

: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 h entspricht: 6 Personen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Auf einer Großbaustelle müssen unglaubliche Mengen an Aushub abtransportiert werden. Dabei brauchen 3 LKWs genau 20 Fahrten. Wieviele Fahrten bräuchten 7 LKWs durchschnittlich?(Bitte auf eine Stelle hinterm Komma runden, auch wenn es inhaltlich keinen Sinn macht.)

Lösung einblenden

Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

LKW-Anzahl	Fahrten-Anzahl
3 LKWs	20 Fahrten
( : 3 )	( ⋅ 3 )
1 LKWs	$60$ Fahrten
( ⋅ 7 )	( : 7 )
7 LKWs	$\frac{60}{7}$ Fahrten

Die gesuchte Fahrten-Anzahl ist also $\frac{60}{7}$ = 8 $\frac{4}{7}$ ≈ 8.571 Fahrten

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz (antiproportional)

Dreisatz (antiproportional)

Tabelle (antiproportional)

Antiproportionalität überprüfen

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)