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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn Karla mit ihrem Handy jeden Tag immer 1 Minute telefonieren würde, würden ihre Freiminuten noch genau 45 Tage halten.

Wann wären ihre Freiminuten aufgebraucht, wenn sie täglich 9 min telefonieren würde?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Minute pro Tag	45 Tage
9 Minuten pro Tag	?

Um von 1 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 9 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 9 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 45 Tage durch 9 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 9 Minuten pro Tag entspricht:

⋅ 9

1 Minute pro Tag	45 Tage
9 Minuten pro Tag	?

: 9

⋅ 9

1 Minute pro Tag	45 Tage
9 Minuten pro Tag	5 Tage

: 9

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 9 Minuten pro Tag entspricht: 5 Tage

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn 6 Personen das Schulhaus putzen, brauchen sie dafür 4 h.

Wie lange bräuchten 8 Personen hierfür?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

6 Personen	4 h
?	?
8 Personen	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 8 sein, also der ggT(6,8) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Personen:

6 Personen	4 h
2 Personen	?
8 Personen	?

Um von 6 Personen in der ersten Zeile auf 2 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 4 h nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Personen links entspricht:

: 3

6 Personen	4 h
2 Personen	?
8 Personen	?

⋅ 3

: 3

6 Personen	4 h
2 Personen	12 h
8 Personen	?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Personen in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 8 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3

⋅ 4

6 Personen	4 h
2 Personen	12 h
8 Personen	?

⋅ 3

: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 12 h in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 3

⋅ 4

6 Personen	4 h
2 Personen	12 h
8 Personen	3 h

⋅ 3

: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Personen entspricht: 3 h

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

20 Personen	3 h
?	?
30 Personen	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 20 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 20 und von 30 sein, also der ggT(20,30) = 10.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 10 Personen:

20 Personen	3 h
10 Personen	?
30 Personen	?

Um von 20 Personen in der ersten Zeile auf 10 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 3 h nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 10 Personen links entspricht:

: 2

20 Personen	3 h
10 Personen	?
30 Personen	?

⋅ 2

: 2

20 Personen	3 h
10 Personen	6 h
30 Personen	?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 10 Personen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 30 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2

⋅ 3

20 Personen	3 h
10 Personen	6 h
30 Personen	?

⋅ 2

: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 6 h in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 2

⋅ 3

20 Personen	3 h
10 Personen	6 h
30 Personen	2 h

⋅ 2

: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 30 Personen entspricht: 2 h

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 80 € Lohn den 3 Helfer:innen entsprechen.

: 4

⋅ 3

4 Helfer:innen	60 € Lohn
1 Helfer:in	240 € Lohn
3 Helfer:innen	80 € Lohn

⋅ 4

: 3

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 80 € Lohn(für 3 Helfer:innen) war also korrekt.

Jetzt überprüfen wir, ob die 4 € Lohn den 60 Helfer:innen entsprechen.

: 1

⋅ 15

4 Helfer:innen	60 € Lohn
4 Helfer:innen	60 € Lohn
60 Helfer:innen	4 € Lohn

⋅ 1

: 15

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 4 € Lohn (für 60 Helfer:innen) war also korrekt.

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 5€ für ein Los verlangen, müssten sie 90 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.

Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 3 € verkaufen?
Wie hoch muss man den Preis ansetzen, wenn man erwartet, das sich 5 Lose verkaufen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

5 € Lospreis	90 Lose
?	?
3 € Lospreis	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 3 sein, also der ggT(5,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 € Lospreis:

5 € Lospreis	90 Lose
1 € Lospreis	?
3 € Lospreis	?

Um von 5 € Lospreis in der ersten Zeile auf 1 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 90 Lose nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 € Lospreis links entspricht:

: 5

5 € Lospreis	90 Lose
1 € Lospreis	450 Lose
3 € Lospreis	?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5

⋅ 3

5 € Lospreis	90 Lose
1 € Lospreis	450 Lose
3 € Lospreis	150 Lose

⋅ 5

: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 € Lospreis entspricht: 150 Lose

Um von 90 Lose in der ersten Zeile auf 5 Lose in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 18 teilen. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 5 € Lospreis mit 18 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 5 Lose entspricht:

: 18

90 Lose	5 € Lospreis
5 Lose	?

⋅ 18

: 18

90 Lose	5 € Lospreis
5 Lose	90 € Lospreis

⋅ 18

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 Lose entspricht: 90 € Lospreis

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Auf einer Großbaustelle müssen unglaubliche Mengen an Aushub abtransportiert werden. Dabei brauchen 5 LKWs genau 20 Fahrten. Wieviele Fahrten bräuchten 7 LKWs durchschnittlich?(Bitte auf eine Stelle hinterm Komma runden, auch wenn es inhaltlich keinen Sinn macht.)

Lösung einblenden

Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

LKW-Anzahl	Fahrten-Anzahl
5 LKWs	20 Fahrten
( : 5 )	( ⋅ 5 )
1 LKWs	$100$ Fahrten
( ⋅ 7 )	( : 7 )
7 LKWs	$\frac{100}{7}$ Fahrten

Die gesuchte Fahrten-Anzahl ist also $\frac{100}{7}$ = 14 $\frac{2}{7}$ ≈ 14.286 Fahrten

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz (antiproportional)

Dreisatz (antiproportional)

Tabelle (antiproportional)

Antiproportionalität überprüfen

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)