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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget von 500 € für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld).

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 10 Helfer:innen hätte?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Helfer:in	500 € Lohn
10 Helfer:innen	?

Um von 1 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 10 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 10 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 500 € Lohn durch 10 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 10 Helfer:innen entspricht:

⋅ 10

1 Helfer:in	500 € Lohn
10 Helfer:innen	?

: 10

⋅ 10

1 Helfer:in	500 € Lohn
10 Helfer:innen	50 € Lohn

: 10

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 Helfer:innen entspricht: 50 € Lohn

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn 5 Personen das Schulhaus putzen, brauchen sie dafür 10 h.

Wie lange bräuchten 2 Personen hierfür?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

5 Personen	10 h
?	?
2 Personen	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 2 sein, also der ggT(5,2) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Personen:

5 Personen	10 h
1 Person	?
2 Personen	?

Um von 5 Personen in der ersten Zeile auf 1 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 10 h nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Personen links entspricht:

: 5

5 Personen	10 h
1 Person	?
2 Personen	?

⋅ 5

: 5

5 Personen	10 h
1 Person	50 h
2 Personen	?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Personen in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5

⋅ 2

5 Personen	10 h
1 Person	50 h
2 Personen	?

⋅ 5

: 2

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 50 h in der mittleren Zeile durch 2 dividieren:

: 5

⋅ 2

5 Personen	10 h
1 Person	50 h
2 Personen	25 h

⋅ 5

: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 Personen entspricht: 25 h

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

8 Gäste	6 Spezi-Flaschen
?	?
12 Gäste	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Gäste in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Gäste teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 12 sein, also der ggT(8,12) = 4.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 Gäste:

8 Gäste	6 Spezi-Flaschen
4 Gäste	?
12 Gäste	?

Um von 8 Gäste in der ersten Zeile auf 4 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 Spezi-Flaschen nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 4 Gäste links entspricht:

: 2

8 Gäste	6 Spezi-Flaschen
4 Gäste	?
12 Gäste	?

⋅ 2

: 2

8 Gäste	6 Spezi-Flaschen
4 Gäste	12 Spezi-Flaschen
12 Gäste	?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 4 Gäste in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 12 Gäste in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2

⋅ 3

8 Gäste	6 Spezi-Flaschen
4 Gäste	12 Spezi-Flaschen
12 Gäste	?

⋅ 2

: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 12 Spezi-Flaschen in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 2

⋅ 3

8 Gäste	6 Spezi-Flaschen
4 Gäste	12 Spezi-Flaschen
12 Gäste	4 Spezi-Flaschen

⋅ 2

: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Gäste entspricht: 4 Spezi-Flaschen

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 14 ms den 4 CPU-Kerne entsprechen.

: 7

⋅ 4

7 CPU-Kerne	8 ms
1 CPU-Kern	56 ms
4 CPU-Kerne	14 ms

⋅ 7

: 4

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 14 ms(für 4 CPU-Kerne) war also korrekt.

Jetzt überprüfen wir, ob die 7 ms den 8 CPU-Kerne entsprechen.

: 7

⋅ 8

7 CPU-Kerne	8 ms
1 CPU-Kerne	56 ms
8 CPU-Kerne	7 ms

⋅ 7

: 8

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 7 ms (für 8 CPU-Kerne) war also korrekt.

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 6 Lastwagen müssten dafür 5 mal fahren.

Wie oft müssten 10 LKWs fahren?
Wie viele LKWs bräuchte man, damit es mit 6 Fuhren für jeden reicht?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

6 Lastwagen	5 Fuhren
?	?
10 Lastwagen	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 10 sein, also der ggT(6,10) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Lastwagen:

6 Lastwagen	5 Fuhren
2 Lastwagen	?
10 Lastwagen	?

Um von 6 Lastwagen in der ersten Zeile auf 2 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 Fuhren nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Lastwagen links entspricht:

: 3

6 Lastwagen	5 Fuhren
2 Lastwagen	15 Fuhren
10 Lastwagen	?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 10 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3

⋅ 5

6 Lastwagen	5 Fuhren
2 Lastwagen	15 Fuhren
10 Lastwagen	3 Fuhren

⋅ 3

: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 Lastwagen entspricht: 3 Fuhren

Für die andere Frage (Wie viele LKWs bräuchte man, damit es mit 6 Fuhren für jeden reicht?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "Fuhren"-Werte haben und nach einem "Lastwagen"-Wert gesucht wird:

5 Fuhren	6 Lastwagen
?	?
6 Fuhren	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Fuhren in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Fuhren teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 6 sein, also der ggT(5,6) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Fuhren:

5 Fuhren	6 Lastwagen
1 Fuhre	?
6 Fuhren	?

Um von 5 Fuhren in der ersten Zeile auf 1 Fuhren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 Lastwagen nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Fuhren links entspricht:

: 5

5 Fuhren	6 Lastwagen
1 Fuhre	30 Lastwagen
6 Fuhren	?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Fuhren in der mittleren Zeile mit 6 multiplizieren, um auf die 6 Fuhren in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5

⋅ 6

5 Fuhren	6 Lastwagen
1 Fuhre	30 Lastwagen
6 Fuhren	5 Lastwagen

⋅ 5

: 6

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 6 Fuhren entspricht: 5 Lastwagen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Ein Raum wird mit 50 LED-Leuchten á 190 Lumen ausgeleuchtet. Aus ästhetischen Gründen sollen nur noch 12 Leuchten im Raum installiert sein, diese sollen aber die gleiche Helligkeit erzeugen. Wie viel Lumen brauchen dann diese neuen LED-Leuchten?

Lösung einblenden

Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

Anzahl LED-Leuchten	Helligkeit
50	190 Lumen
( : 50 )	( ⋅ 50 )
1	$9 500$ Lumen
( ⋅ 12 )	( : 12 )
12	$\frac{9 500}{12}$ Lumen

Die gesuchte Helligkeit ist also $\frac{9 500}{12}$ = $\frac{2375}{3}$ = 791 $\frac{2}{3}$ ≈ 791.667 Lumen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz (antiproportional)

Dreisatz (antiproportional)

Tabelle (antiproportional)

Antiproportionalität überprüfen

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)