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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn Frau Baumanns Auto nur ein Liter pro 100km verbrauchen würde, würde sie mit einer Tankfüllung 4800 km weit kommen.

Wie weit würde sie mit einer Tankfüllung kommen, wenn sie mit einem "12 Liter/100km "-Schnitt fahren würde?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Liter pro 100km	4800 km
12 Liter pro 100km	?

Um von 1 Liter pro 100km in der ersten Zeile auf 12 Liter pro 100km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 12 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 4800 km durch 12 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 12 Liter pro 100km entspricht:

⋅ 12

1 Liter pro 100km	4800 km
12 Liter pro 100km	?

: 12

⋅ 12

1 Liter pro 100km	4800 km
12 Liter pro 100km	400 km

: 12

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Liter pro 100km entspricht: 400 km

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn 10 Personen das Schulhaus putzen, brauchen sie dafür 3 h.

Wie lange bräuchten 15 Personen hierfür?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

10 Personen	3 h
?	?
15 Personen	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 10 und von 15 sein, also der ggT(10,15) = 5.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 Personen:

10 Personen	3 h
5 Personen	?
15 Personen	?

Um von 10 Personen in der ersten Zeile auf 5 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 3 h nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 5 Personen links entspricht:

: 2

10 Personen	3 h
5 Personen	?
15 Personen	?

⋅ 2

: 2

10 Personen	3 h
5 Personen	6 h
15 Personen	?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 5 Personen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 15 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2

⋅ 3

10 Personen	3 h
5 Personen	6 h
15 Personen	?

⋅ 2

: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 6 h in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 2

⋅ 3

10 Personen	3 h
5 Personen	6 h
15 Personen	2 h

⋅ 2

: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 Personen entspricht: 2 h

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

10 Helfer:innen	30 € Lohn
?	?
15 Helfer:innen	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Helfer:innen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 Helfer:innen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 10 und von 15 sein, also der ggT(10,15) = 5.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 Helfer:innen:

10 Helfer:innen	30 € Lohn
5 Helfer:innen	?
15 Helfer:innen	?

Um von 10 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 5 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 30 € Lohn nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 5 Helfer:innen links entspricht:

: 2

10 Helfer:innen	30 € Lohn
5 Helfer:innen	?
15 Helfer:innen	?

⋅ 2

: 2

10 Helfer:innen	30 € Lohn
5 Helfer:innen	60 € Lohn
15 Helfer:innen	?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 5 Helfer:innen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 15 Helfer:innen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2

⋅ 3

10 Helfer:innen	30 € Lohn
5 Helfer:innen	60 € Lohn
15 Helfer:innen	?

⋅ 2

: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 60 € Lohn in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 2

⋅ 3

10 Helfer:innen	30 € Lohn
5 Helfer:innen	60 € Lohn
15 Helfer:innen	20 € Lohn

⋅ 2

: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 Helfer:innen entspricht: 20 € Lohn

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 14 Spezi-Flaschen den 4 Gäste entsprechen.

: 3

⋅ 2

6 Gäste	8 Spezi-Flaschen
2 Gäste	24 Spezi-Flaschen
4 Gäste	12 Spezi-Flaschen

⋅ 3

: 2

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 14 Spezi-Flaschen (für 4 Gäste) war also falsch, richtig wäre 12 Spezi-Flaschen gewesen.

Jetzt überprüfen wir, ob die 5 Spezi-Flaschen den 12 Gäste entsprechen.

: 1

⋅ 2

6 Gäste	8 Spezi-Flaschen
6 Gäste	8 Spezi-Flaschen
12 Gäste	4 Spezi-Flaschen

⋅ 1

: 2

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 5 Spezi-Flaschen (für 12 Gäste) war also falsch, richtig wäre 4 Spezi-Flaschen gewesen.

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 12 Lastwagen müssten dafür 4 mal fahren.

Wie oft müssten 16 LKWs fahren?
Wie viele LKWs bräuchte man, damit es mit 8 Fuhren für jeden reicht?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

12 Lastwagen	4 Fuhren
?	?
16 Lastwagen	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 12 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 12 und von 16 sein, also der ggT(12,16) = 4.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 Lastwagen:

12 Lastwagen	4 Fuhren
4 Lastwagen	?
16 Lastwagen	?

Um von 12 Lastwagen in der ersten Zeile auf 4 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 4 Fuhren nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 4 Lastwagen links entspricht:

: 3

12 Lastwagen	4 Fuhren
4 Lastwagen	12 Fuhren
16 Lastwagen	?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 4 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 16 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3

⋅ 4

12 Lastwagen	4 Fuhren
4 Lastwagen	12 Fuhren
16 Lastwagen	3 Fuhren

⋅ 3

: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 16 Lastwagen entspricht: 3 Fuhren

Um von 4 Fuhren in der ersten Zeile auf 8 Fuhren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 2 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 12 Lastwagen durch 2 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 8 Fuhren entspricht:

⋅ 2

4 Fuhren	12 Lastwagen
8 Fuhren	?

: 2

⋅ 2

4 Fuhren	12 Lastwagen
8 Fuhren	6 Lastwagen

: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Fuhren entspricht: 6 Lastwagen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Eine Drohne muss eine bestimmte Strecke zurücklegen. Wenn sie dabei mit einer Geschwindigkeit von 20 km/h fliegt, braucht sie dafür 8 Minuten.Wie lange braucht sie bei einer Geschwindigkeit von 28 km/h?

Lösung einblenden

Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

Geschwindigkeit	Flugzeit
20 km/h	8 min
( : 20 )	( ⋅ 20 )
1 km/h	$160$ min
( ⋅ 28 )	( : 28 )
28 km/h	$\frac{160}{28}$ min

Die gesuchte Flugzeit ist also $\frac{160}{28}$ = $\frac{40}{7}$ = 5 $\frac{5}{7}$ ≈ 5.714 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz (antiproportional)

Dreisatz (antiproportional)

Tabelle (antiproportional)

Antiproportionalität überprüfen

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)