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nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Zweisatz (antiproportional)
Beispiel:
Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit einem CPU-Kern 56 ms rechnen.
Wie lange bräuchte ein Computer mit 7 solchen CPU-Kernen?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 1 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 7 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 7 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 56 ms durch 7 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 7 CPU-Kerne entspricht:
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⋅ 7
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: 7
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⋅ 7
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: 7
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 7 CPU-Kerne entspricht: 8 ms
Dreisatz (antiproportional)
Beispiel:
Wenn 9 Personen das Schulhaus putzen, brauchen sie dafür 4 h.
Wie lange bräuchten 12 Personen hierfür?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 9 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 9 und von 12 sein, also der ggT(9,12) = 3.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 Personen:
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Um von 9 Personen in der ersten Zeile auf 3 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 4 h nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 3 Personen links entspricht:
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: 3
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⋅ 3
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: 3
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⋅ 3
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Jetzt müssen wir ja wieder die 3 Personen in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 12 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 3
⋅ 4
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⋅ 3
: 4
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Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 12 h in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:
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: 3
⋅ 4
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⋅ 3
: 4
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Personen entspricht: 3 h
Tabelle (antiproportional)
Beispiel:
Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.
| 6 Helfer:innen | 40 € Lohn |
| ? | ? |
| 8 Helfer:innen | ? |
Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Helfer:innen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 Helfer:innen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 8 sein, also der ggT(6,8) = 2.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Helfer:innen:
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Um von 6 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 2 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 40 € Lohn nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Helfer:innen links entspricht:
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: 3
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⋅ 3
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: 3
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⋅ 3
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Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Helfer:innen in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 8 Helfer:innen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 3
⋅ 4
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⋅ 3
: 4
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Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 120 € Lohn in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:
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: 3
⋅ 4
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⋅ 3
: 4
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Helfer:innen entspricht: 30 € Lohn
Antiproportionalität überprüfen
Beispiel:
Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.
Wir überprüfen zuerst, ob die 3 Tage den 16 Minuten pro Tag entsprechen.
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: 3
⋅ 4
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⋅ 3
: 4
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Der urpsrünglich vorgegebene Wert 3 Tage(für 16 Minuten pro Tag) war also korrekt.
Jetzt überprüfen wir, ob die 11 Tage den 4 Minuten pro Tag entsprechen.
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: 3
⋅ 1
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⋅ 3
: 1
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Der urpsrünglich vorgegebene Wert 11 Tage (für 4 Minuten pro Tag) war also falsch, richtig wäre 12 Tage gewesen.
Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen
Beispiel:
Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 6€ für ein Los verlangen, müssten sie 60 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.
Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 4 € verkaufen?
Wie hoch muss man den Preis ansetzen, wenn man erwartet, das sich 18 Lose verkaufen?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 4 sein, also der ggT(6,4) = 2.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 € Lospreis:
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Um von 6 € Lospreis in der ersten Zeile auf 2 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 60 Lose nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 € Lospreis links entspricht:
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: 3
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⋅ 3
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Jetzt müssen wir ja wieder die 2 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 4 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 3
⋅ 2
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⋅ 3
: 2
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 € Lospreis entspricht: 90 Lose
Für die andere Frage (Wie hoch muss man den Preis ansetzen, wenn man erwartet, das sich 18 Lose verkaufen?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "Lose"-Werte haben und nach einem "€ Lospreis"-Wert gesucht wird:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lose in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 60 Lose teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 60 und von 18 sein, also der ggT(60,18) = 6.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 6 Lose:
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Um von 60 Lose in der ersten Zeile auf 6 Lose in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 10 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 € Lospreis nicht durch 10 teilen, sondern mit 10 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 6 Lose links entspricht:
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: 10
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⋅ 10
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Jetzt müssen wir ja wieder die 6 Lose in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 18 Lose in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 10
⋅ 3
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⋅ 10
: 3
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 18 Lose entspricht: 20 € Lospreis
Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)
Beispiel:
Ein Raum wird mit 40 LED-Leuchten á 150 Lumen ausgeleuchtet. Aus ästhetischen Gründen sollen nur noch 11 Leuchten im Raum installiert sein, diese sollen aber die gleiche Helligkeit erzeugen. Wie viel Lumen brauchen dann diese neuen LED-Leuchten?
Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:
| Anzahl LED-Leuchten | Helligkeit |
|---|---|
| 40 | 150 Lumen |
| ( : 40 ) | ( ⋅ 40 ) |
| 1 | Lumen |
| ( ⋅ 11 ) | ( : 11 ) |
| 11 | Lumen |
Die gesuchte Helligkeit ist also = 545 ≈ 545.455 Lumen