nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn eine Person das Schulhaus putzt, braucht sie dafür 24 h.

Wie lange bräuchten 4 Personen hierfür?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Person24 h
4 Personen?

Um von 1 Personen in der ersten Zeile auf 4 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 4 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 24 h durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 4 Personen entspricht:

⋅ 4
1 Person24 h
4 Personen?
: 4
⋅ 4
1 Person24 h
4 Personen6 h
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Personen entspricht: 6 h

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn 9 Personen das Schulhaus putzen, brauchen sie dafür 5 h.

Wie lange bräuchten 15 Personen hierfür?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


9 Personen5 h
??
15 Personen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 9 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 9 und von 15 sein, also der ggT(9,15) = 3.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 Personen:


9 Personen5 h
3 Personen?
15 Personen?

Um von 9 Personen in der ersten Zeile auf 3 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 h nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 3 Personen links entspricht:

: 3

9 Personen5 h
3 Personen?
15 Personen?

⋅ 3
: 3

9 Personen5 h
3 Personen15 h
15 Personen?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 3 Personen in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 15 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 5

9 Personen5 h
3 Personen15 h
15 Personen?

⋅ 3
: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 15 h in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 3
⋅ 5

9 Personen5 h
3 Personen15 h
15 Personen3 h

⋅ 3
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 Personen entspricht: 3 h

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

12 Helfer:innen30 € Lohn
??
18 Helfer:innen?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Helfer:innen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 12 Helfer:innen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 12 und von 18 sein, also der ggT(12,18) = 6.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 6 Helfer:innen:


12 Helfer:innen30 € Lohn
6 Helfer:innen?
18 Helfer:innen?

Um von 12 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 6 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 30 € Lohn nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 6 Helfer:innen links entspricht:

: 2

12 Helfer:innen30 € Lohn
6 Helfer:innen?
18 Helfer:innen?

⋅ 2
: 2

12 Helfer:innen30 € Lohn
6 Helfer:innen60 € Lohn
18 Helfer:innen?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 6 Helfer:innen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 18 Helfer:innen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2
⋅ 3

12 Helfer:innen30 € Lohn
6 Helfer:innen60 € Lohn
18 Helfer:innen?

⋅ 2
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 60 € Lohn in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 2
⋅ 3

12 Helfer:innen30 € Lohn
6 Helfer:innen60 € Lohn
18 Helfer:innen20 € Lohn

⋅ 2
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 18 Helfer:innen entspricht: 20 € Lohn

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 9 Spezi-Flaschen den 3 Gäste entsprechen.

: 4
⋅ 3

4 Gäste9 Spezi-Flaschen
1 Gast36 Spezi-Flaschen
3 Gäste12 Spezi-Flaschen

⋅ 4
: 3

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 9 Spezi-Flaschen (für 3 Gäste) war also falsch, richtig wäre 12 Spezi-Flaschen gewesen.


Jetzt überprüfen wir, ob die 1 Spezi-Flaschen den 9 Gäste entsprechen.

: 4
⋅ 9

4 Gäste9 Spezi-Flaschen
1 Gäste36 Spezi-Flaschen
9 Gäste4 Spezi-Flaschen

⋅ 4
: 9

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 1 Spezi-Flaschen (für 9 Gäste) war also falsch, richtig wäre 4 Spezi-Flaschen gewesen.

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Wenn Frau Baumann so Auto fährt, dass sie 12 Liter pro 100km verbraucht, kommt sie mit einer Tankfüllung 400 km weit.

Wie weit würde sie mit einer Tankfüllung kommen, wenn sie mit einem "16 Liter/100km "-Schnitt fahren würde?
Mit welchem "Liter pro 100km"-Schnitt muss sie fahren, dass sie mit einer Tankfüllung 600 km weit kommt?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


12 Liter pro 100km400 km
??
16 Liter pro 100km?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Liter pro 100km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 12 Liter pro 100km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 12 und von 16 sein, also der ggT(12,16) = 4.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 Liter pro 100km:


12 Liter pro 100km400 km
4 Liter pro 100km?
16 Liter pro 100km?

Um von 12 Liter pro 100km in der ersten Zeile auf 4 Liter pro 100km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 400 km nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 4 Liter pro 100km links entspricht:

: 3

12 Liter pro 100km400 km
4 Liter pro 100km1200 km
16 Liter pro 100km?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 4 Liter pro 100km in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 16 Liter pro 100km in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 4

12 Liter pro 100km400 km
4 Liter pro 100km1200 km
16 Liter pro 100km300 km

⋅ 3
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 16 Liter pro 100km entspricht: 300 km



Für die andere Frage (Mit welchem "Liter pro 100km"-Schnitt muss sie fahren, dass sie mit einer Tankfüllung 600 km weit kommt?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "km"-Werte haben und nach einem "Liter pro 100km"-Wert gesucht wird:


400 km12 Liter pro 100km
??
600 km?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 400 km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 400 und von 600 sein, also der ggT(400,600) = 200.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 200 km:


400 km12 Liter pro 100km
200 km?
600 km?

Um von 400 km in der ersten Zeile auf 200 km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 12 Liter pro 100km nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 200 km links entspricht:

: 2

400 km12 Liter pro 100km
200 km24 Liter pro 100km
600 km?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 200 km in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 600 km in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2
⋅ 3

400 km12 Liter pro 100km
200 km24 Liter pro 100km
600 km8 Liter pro 100km

⋅ 2
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 600 km entspricht: 8 Liter pro 100km

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Ein Raum wird mit 30 LED-Leuchten á 200 Lumen ausgeleuchtet. Aus ästhetischen Gründen sollen nur noch 12 Leuchten im Raum installiert sein, diese sollen aber die gleiche Helligkeit erzeugen. Wie viel Lumen brauchen dann diese neuen LED-Leuchten?

Lösung einblenden
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

Anzahl LED-LeuchtenHelligkeit
30 200 Lumen
( : 30 )( ⋅ 30 )
1 6000 Lumen
( ⋅ 12 )( : 12 )
12 6000 12 Lumen

Die gesuchte Helligkeit ist also 6000 12 = 500 Lumen