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Zweisatz (antiproportional)
Beispiel:
Karls hat für seine Geburtstagsparty 60 Flaschen Spezi bekommen.
Wie viele Flaschen würde jeder bekommen, wenn insgesamt 15 Personen auf der Party wären?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 1 Gäste in der ersten Zeile auf 15 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 15 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 60 Spezi-Flaschen durch 15 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 15 Gäste entspricht:
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⋅ 15
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: 15
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⋅ 15
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: 15
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 Gäste entspricht: 4 Spezi-Flaschen
Dreisatz (antiproportional)
Beispiel:
Wenn 5 Personen das Schulhaus putzen, brauchen sie dafür 10 h.
Wie lange bräuchten 2 Personen hierfür?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 2 sein, also der ggT(5,2) = 1.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Personen:
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Um von 5 Personen in der ersten Zeile auf 1 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 10 h nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Personen links entspricht:
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: 5
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⋅ 5
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: 5
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![]() |
⋅ 5
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Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Personen in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 5
⋅ 2
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⋅ 5
: 2
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Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 50 h in der mittleren Zeile durch 2 dividieren:
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: 5
⋅ 2
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⋅ 5
: 2
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 Personen entspricht: 25 h
Tabelle (antiproportional)
Beispiel:
Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.
| 8 Helfer:innen | 70 € Lohn |
| ? | ? |
| 14 Helfer:innen | ? |
Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Helfer:innen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Helfer:innen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 14 sein, also der ggT(8,14) = 2.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Helfer:innen:
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Um von 8 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 2 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 70 € Lohn nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Helfer:innen links entspricht:
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: 4
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⋅ 4
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: 4
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![]() |
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![]() |
⋅ 4
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Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Helfer:innen in der mittleren Zeile mit 7 multiplizieren, um auf die 14 Helfer:innen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 4
⋅ 7
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⋅ 4
: 7
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Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 280 € Lohn in der mittleren Zeile durch 7 dividieren:
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: 4
⋅ 7
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⋅ 4
: 7
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 14 Helfer:innen entspricht: 40 € Lohn
Antiproportionalität überprüfen
Beispiel:
Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.
Wir überprüfen zuerst, ob die 3 h den 10 Personen entsprechen.
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: 4
⋅ 5
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⋅ 4
: 5
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Der urpsrünglich vorgegebene Wert 3 h (für 10 Personen) war also falsch, richtig wäre 4 h gewesen.
Jetzt überprüfen wir, ob die 8 h den 5 Personen entsprechen.
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: 8
⋅ 5
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⋅ 8
: 5
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Der urpsrünglich vorgegebene Wert 8 h (für 5 Personen) war also korrekt.
Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen
Beispiel:
Ein Hausmeister hat ein extra Budget für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld). Wenn er 8 Helfer:innen einstellt, reicht es für jeden 60 € Lohn.
Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 12 Helfer:innen hätte?
Wie viele Helfer:innen könnte man mit einem Lohn von 32 € bezahlen?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Helfer:innen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Helfer:innen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 12 sein, also der ggT(8,12) = 4.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 Helfer:innen:
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Um von 8 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 4 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 60 € Lohn nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 4 Helfer:innen links entspricht:
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: 2
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![]() |
⋅ 2
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Jetzt müssen wir ja wieder die 4 Helfer:innen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 12 Helfer:innen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 2
⋅ 3
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⋅ 2
: 3
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Helfer:innen entspricht: 40 € Lohn
Für die andere Frage (Wie viele Helfer:innen könnte man mit einem Lohn von 32 € bezahlen?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "€ Lohn"-Werte haben und nach einem "Helfer:innen"-Wert gesucht wird:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lohn in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 60 € Lohn teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 60 und von 32 sein, also der ggT(60,32) = 4.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 € Lohn:
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Um von 60 € Lohn in der ersten Zeile auf 4 € Lohn in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 15 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 8 Helfer:innen nicht durch 15 teilen, sondern mit 15 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 4 € Lohn links entspricht:
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: 15
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⋅ 15
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Jetzt müssen wir ja wieder die 4 € Lohn in der mittleren Zeile mit 8 multiplizieren, um auf die 32 € Lohn in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 15
⋅ 8
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![]() ![]() |
⋅ 15
: 8
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 32 € Lohn entspricht: 15 Helfer:innen
Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)
Beispiel:
Ein Raum wird mit 55 LED-Leuchten á 190 Lumen ausgeleuchtet. Aus ästhetischen Gründen sollen nur noch 23 Leuchten im Raum installiert sein, diese sollen aber die gleiche Helligkeit erzeugen. Wie viel Lumen brauchen dann diese neuen LED-Leuchten?
Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:
| Anzahl LED-Leuchten | Helligkeit |
|---|---|
| 55 | 190 Lumen |
| ( : 55 ) | ( ⋅ 55 ) |
| 1 | Lumen |
| ( ⋅ 23 ) | ( : 23 ) |
| 23 | Lumen |
Die gesuchte Helligkeit ist also = 454 ≈ 454.348 Lumen


