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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Karls hat für seine Geburtstagsparty 50 Flaschen Spezi bekommen.

Wie viele Flaschen würde jeder bekommen, wenn insgesamt 5 Personen auf der Party wären?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Gast	50 Spezi-Flaschen
5 Gäste	?

Um von 1 Gäste in der ersten Zeile auf 5 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 5 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 50 Spezi-Flaschen durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 5 Gäste entspricht:

⋅ 5

1 Gast	50 Spezi-Flaschen
5 Gäste	?

: 5

⋅ 5

1 Gast	50 Spezi-Flaschen
5 Gäste	10 Spezi-Flaschen

: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 Gäste entspricht: 10 Spezi-Flaschen

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 6€ für ein Los verlangen, müssten sie 60 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.

Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 4 € verkaufen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

6 € Lospreis	60 Lose
?	?
4 € Lospreis	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 4 sein, also der ggT(6,4) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 € Lospreis:

6 € Lospreis	60 Lose
2 € Lospreis	?
4 € Lospreis	?

Um von 6 € Lospreis in der ersten Zeile auf 2 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 60 Lose nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 € Lospreis links entspricht:

: 3

6 € Lospreis	60 Lose
2 € Lospreis	?
4 € Lospreis	?

⋅ 3

: 3

6 € Lospreis	60 Lose
2 € Lospreis	180 Lose
4 € Lospreis	?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 4 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3

⋅ 2

6 € Lospreis	60 Lose
2 € Lospreis	180 Lose
4 € Lospreis	?

⋅ 3

: 2

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 180 Lose in der mittleren Zeile durch 2 dividieren:

: 3

⋅ 2

6 € Lospreis	60 Lose
2 € Lospreis	180 Lose
4 € Lospreis	90 Lose

⋅ 3

: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 € Lospreis entspricht: 90 Lose

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

8 Personen	5 h
?	?
10 Personen	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 10 sein, also der ggT(8,10) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Personen:

8 Personen	5 h
2 Personen	?
10 Personen	?

Um von 8 Personen in der ersten Zeile auf 2 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 h nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Personen links entspricht:

: 4

8 Personen	5 h
2 Personen	?
10 Personen	?

⋅ 4

: 4

8 Personen	5 h
2 Personen	20 h
10 Personen	?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Personen in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 10 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4

⋅ 5

8 Personen	5 h
2 Personen	20 h
10 Personen	?

⋅ 4

: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 20 h in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 4

⋅ 5

8 Personen	5 h
2 Personen	20 h
10 Personen	4 h

⋅ 4

: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 Personen entspricht: 4 h

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 12 h den 3 Personen entsprechen.

: 4

⋅ 3

4 Personen	9 h
1 Person	36 h
3 Personen	12 h

⋅ 4

: 3

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 12 h(für 3 Personen) war also korrekt.

Jetzt überprüfen wir, ob die 4 h den 6 Personen entsprechen.

: 2

⋅ 3

4 Personen	9 h
2 Personen	18 h
6 Personen	6 h

⋅ 2

: 3

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 4 h (für 6 Personen) war also falsch, richtig wäre 6 h gewesen.

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Wenn 5 Personen das Schulhaus putzen, brauchen sie dafür 10 h.

Wie lange bräuchten 2 Personen hierfür?
Wie viele Personen bräuchte man, damit jeder 5 h putzen müsste?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

5 Personen	10 h
?	?
2 Personen	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 2 sein, also der ggT(5,2) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Personen:

5 Personen	10 h
1 Person	?
2 Personen	?

Um von 5 Personen in der ersten Zeile auf 1 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 10 h nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Personen links entspricht:

: 5

5 Personen	10 h
1 Person	50 h
2 Personen	?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Personen in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5

⋅ 2

5 Personen	10 h
1 Person	50 h
2 Personen	25 h

⋅ 5

: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 Personen entspricht: 25 h

Um von 10 h in der ersten Zeile auf 5 h in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 5 Personen mit 2 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 5 h entspricht:

: 2

10 h	5 Personen
5 h	?

⋅ 2

: 2

10 h	5 Personen
5 h	10 Personen

⋅ 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 h entspricht: 10 Personen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Ein Raum wird mit 50 LED-Leuchten á 150 Lumen ausgeleuchtet. Aus ästhetischen Gründen sollen nur noch 25 Leuchten im Raum installiert sein, diese sollen aber die gleiche Helligkeit erzeugen. Wie viel Lumen brauchen dann diese neuen LED-Leuchten?

Lösung einblenden

Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

Anzahl LED-Leuchten	Helligkeit
50	150 Lumen
( : 50 )	( ⋅ 50 )
1	$7 500$ Lumen
( ⋅ 25 )	( : 25 )
25	$\frac{7 500}{25}$ Lumen

Die gesuchte Helligkeit ist also $\frac{7 500}{25}$ = $300$ Lumen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz (antiproportional)

Dreisatz (antiproportional)

Tabelle (antiproportional)

Antiproportionalität überprüfen

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)