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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 1 Lastwagen müsste dafür 30 mal fahren.

Wie oft müssten 10 LKWs fahren?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Lastwagen	30 Fuhren
10 Lastwagen	?

Um von 1 Lastwagen in der ersten Zeile auf 10 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 10 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 30 Fuhren durch 10 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 10 Lastwagen entspricht:

⋅ 10

1 Lastwagen	30 Fuhren
10 Lastwagen	?

: 10

⋅ 10

1 Lastwagen	30 Fuhren
10 Lastwagen	3 Fuhren

: 10

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 Lastwagen entspricht: 3 Fuhren

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn 20 Personen das Schulhaus putzen, brauchen sie dafür 3 h.

Wie lange bräuchten 30 Personen hierfür?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

20 Personen	3 h
?	?
30 Personen	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 20 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 20 und von 30 sein, also der ggT(20,30) = 10.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 10 Personen:

20 Personen	3 h
10 Personen	?
30 Personen	?

Um von 20 Personen in der ersten Zeile auf 10 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 3 h nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 10 Personen links entspricht:

: 2

20 Personen	3 h
10 Personen	?
30 Personen	?

⋅ 2

: 2

20 Personen	3 h
10 Personen	6 h
30 Personen	?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 10 Personen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 30 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2

⋅ 3

20 Personen	3 h
10 Personen	6 h
30 Personen	?

⋅ 2

: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 6 h in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 2

⋅ 3

20 Personen	3 h
10 Personen	6 h
30 Personen	2 h

⋅ 2

: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 30 Personen entspricht: 2 h

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

12 Gäste	5 Spezi-Flaschen
?	?
15 Gäste	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Gäste in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 12 Gäste teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 12 und von 15 sein, also der ggT(12,15) = 3.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 Gäste:

12 Gäste	5 Spezi-Flaschen
3 Gäste	?
15 Gäste	?

Um von 12 Gäste in der ersten Zeile auf 3 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 Spezi-Flaschen nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 3 Gäste links entspricht:

: 4

12 Gäste	5 Spezi-Flaschen
3 Gäste	?
15 Gäste	?

⋅ 4

: 4

12 Gäste	5 Spezi-Flaschen
3 Gäste	20 Spezi-Flaschen
15 Gäste	?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 3 Gäste in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 15 Gäste in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4

⋅ 5

12 Gäste	5 Spezi-Flaschen
3 Gäste	20 Spezi-Flaschen
15 Gäste	?

⋅ 4

: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 20 Spezi-Flaschen in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 4

⋅ 5

12 Gäste	5 Spezi-Flaschen
3 Gäste	20 Spezi-Flaschen
15 Gäste	4 Spezi-Flaschen

⋅ 4

: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 Gäste entspricht: 4 Spezi-Flaschen

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 2 ms den 25 CPU-Kerne entsprechen.

: 2

⋅ 5

10 CPU-Kerne	5 ms
5 CPU-Kerne	10 ms
25 CPU-Kerne	2 ms

⋅ 2

: 5

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 2 ms(für 25 CPU-Kerne) war also korrekt.

Jetzt überprüfen wir, ob die 11 ms den 5 CPU-Kerne entsprechen.

: 2

⋅ 1

10 CPU-Kerne	5 ms
5 CPU-Kerne	10 ms
5 CPU-Kerne	10 ms

⋅ 2

: 1

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 11 ms (für 5 CPU-Kerne) war also falsch, richtig wäre 10 ms gewesen.

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Karls hat für seine Geburtstagsparty Spezi bekommen. Dabei reicht es für jeden genau 4 Flaschen, wenn insgesamt 12 Personen auf seiner Party sind.

Wie viele Flaschen würde jeder bekommen, wenn insgesamt 16 Personen auf der Party wären?
Wie viele Personen können auf die Party, damit es für jeden zu 12 Flaschen reicht?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

12 Gäste	4 Spezi-Flaschen
?	?
16 Gäste	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Gäste in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 12 Gäste teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 12 und von 16 sein, also der ggT(12,16) = 4.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 Gäste:

12 Gäste	4 Spezi-Flaschen
4 Gäste	?
16 Gäste	?

Um von 12 Gäste in der ersten Zeile auf 4 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 4 Spezi-Flaschen nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 4 Gäste links entspricht:

: 3

12 Gäste	4 Spezi-Flaschen
4 Gäste	12 Spezi-Flaschen
16 Gäste	?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 4 Gäste in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 16 Gäste in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3

⋅ 4

12 Gäste	4 Spezi-Flaschen
4 Gäste	12 Spezi-Flaschen
16 Gäste	3 Spezi-Flaschen

⋅ 3

: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 16 Gäste entspricht: 3 Spezi-Flaschen

Um von 4 Spezi-Flaschen in der ersten Zeile auf 12 Spezi-Flaschen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 3 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 12 Gäste durch 3 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 12 Spezi-Flaschen entspricht:

⋅ 3

4 Spezi-Flaschen	12 Gäste
12 Spezi-Flaschen	?

: 3

⋅ 3

4 Spezi-Flaschen	12 Gäste
12 Spezi-Flaschen	4 Gäste

: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Spezi-Flaschen entspricht: 4 Gäste

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Ein Raum wird mit 50 LED-Leuchten á 180 Lumen ausgeleuchtet. Aus ästhetischen Gründen sollen nur noch 12 Leuchten im Raum installiert sein, diese sollen aber die gleiche Helligkeit erzeugen. Wie viel Lumen brauchen dann diese neuen LED-Leuchten?

Lösung einblenden

Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

Anzahl LED-Leuchten	Helligkeit
50	180 Lumen
( : 50 )	( ⋅ 50 )
1	$9 000$ Lumen
( ⋅ 12 )	( : 12 )
12	$\frac{9 000}{12}$ Lumen

Die gesuchte Helligkeit ist also $\frac{9 000}{12}$ = $750$ Lumen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz (antiproportional)

Dreisatz (antiproportional)

Tabelle (antiproportional)

Antiproportionalität überprüfen

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)