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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn eine Person das Schulhaus putzt, braucht sie dafür 36 h.

Wie lange bräuchten 12 Personen hierfür?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Person36 h
12 Personen?

Um von 1 Personen in der ersten Zeile auf 12 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 12 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 36 h durch 12 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 12 Personen entspricht:

⋅ 12
1 Person36 h
12 Personen?
: 12
⋅ 12
1 Person36 h
12 Personen3 h
: 12

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Personen entspricht: 3 h

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld). Wenn er 7 Helfer:innen einstellt, reicht es für jeden 80 € Lohn.

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 4 Helfer:innen hätte?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


7 Helfer:innen80 € Lohn
??
4 Helfer:innen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Helfer:innen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 7 Helfer:innen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 7 und von 4 sein, also der ggT(7,4) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Helfer:innen:


7 Helfer:innen80 € Lohn
1 Helfer:in?
4 Helfer:innen?

Um von 7 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 1 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 7 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 80 € Lohn nicht durch 7 teilen, sondern mit 7 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Helfer:innen links entspricht:

: 7

7 Helfer:innen80 € Lohn
1 Helfer:in?
4 Helfer:innen?

⋅ 7
: 7

7 Helfer:innen80 € Lohn
1 Helfer:in560 € Lohn
4 Helfer:innen?

⋅ 7

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Helfer:innen in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 Helfer:innen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 7
⋅ 4

7 Helfer:innen80 € Lohn
1 Helfer:in560 € Lohn
4 Helfer:innen?

⋅ 7
: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 560 € Lohn in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 7
⋅ 4

7 Helfer:innen80 € Lohn
1 Helfer:in560 € Lohn
4 Helfer:innen140 € Lohn

⋅ 7
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Helfer:innen entspricht: 140 € Lohn

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

6 CPU-Kerne5 ms
??
10 CPU-Kerne?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 10 sein, also der ggT(6,10) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 CPU-Kerne:


6 CPU-Kerne5 ms
2 CPU-Kerne?
10 CPU-Kerne?

Um von 6 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 2 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 ms nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 CPU-Kerne links entspricht:

: 3

6 CPU-Kerne5 ms
2 CPU-Kerne?
10 CPU-Kerne?

⋅ 3
: 3

6 CPU-Kerne5 ms
2 CPU-Kerne15 ms
10 CPU-Kerne?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 10 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 5

6 CPU-Kerne5 ms
2 CPU-Kerne15 ms
10 CPU-Kerne?

⋅ 3
: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 15 ms in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 3
⋅ 5

6 CPU-Kerne5 ms
2 CPU-Kerne15 ms
10 CPU-Kerne3 ms

⋅ 3
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 CPU-Kerne entspricht: 3 ms

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 3 ms den 15 CPU-Kerne entsprechen.

: 3
⋅ 5

9 CPU-Kerne5 ms
3 CPU-Kerne15 ms
15 CPU-Kerne3 ms

⋅ 3
: 5

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 3 ms(für 15 CPU-Kerne) war also korrekt.


Jetzt überprüfen wir, ob die 8 ms den 5 CPU-Kerne entsprechen.

: 9
⋅ 5

9 CPU-Kerne5 ms
1 CPU-Kerne45 ms
5 CPU-Kerne9 ms

⋅ 9
: 5

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 8 ms (für 5 CPU-Kerne) war also falsch, richtig wäre 9 ms gewesen.

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 4€ für ein Los verlangen, müssten sie 60 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.

Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 3 € verkaufen?
Wie hoch muss man den Preis ansetzen, wenn man erwartet, das sich 40 Lose verkaufen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


4 € Lospreis60 Lose
??
3 € Lospreis?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 € Lospreis:


4 € Lospreis60 Lose
1 € Lospreis?
3 € Lospreis?

Um von 4 € Lospreis in der ersten Zeile auf 1 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 60 Lose nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 € Lospreis links entspricht:

: 4

4 € Lospreis60 Lose
1 € Lospreis240 Lose
3 € Lospreis?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 3

4 € Lospreis60 Lose
1 € Lospreis240 Lose
3 € Lospreis80 Lose

⋅ 4
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 € Lospreis entspricht: 80 Lose



Für die andere Frage (Wie hoch muss man den Preis ansetzen, wenn man erwartet, das sich 40 Lose verkaufen?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "Lose"-Werte haben und nach einem "€ Lospreis"-Wert gesucht wird:


60 Lose4 € Lospreis
??
40 Lose?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lose in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 60 Lose teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 60 und von 40 sein, also der ggT(60,40) = 20.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 20 Lose:


60 Lose4 € Lospreis
20 Lose?
40 Lose?

Um von 60 Lose in der ersten Zeile auf 20 Lose in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 4 € Lospreis nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 20 Lose links entspricht:

: 3

60 Lose4 € Lospreis
20 Lose12 € Lospreis
40 Lose?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 20 Lose in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 40 Lose in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 2

60 Lose4 € Lospreis
20 Lose12 € Lospreis
40 Lose6 € Lospreis

⋅ 3
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 40 Lose entspricht: 6 € Lospreis

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Auf einer Großbaustelle müssen unglaubliche Mengen an Aushub abtransportiert werden. Dabei brauchen 2 LKWs genau 20 Fahrten. Wieviele Fahrten bräuchten 6 LKWs durchschnittlich?(Bitte auf eine Stelle hinterm Komma runden, auch wenn es inhaltlich keinen Sinn macht.)

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Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

LKW-AnzahlFahrten-Anzahl
2 LKWs20 Fahrten
( : 2 )( ⋅ 2 )
1 LKWs40 Fahrten
( ⋅ 6 )( : 6 )
6 LKWs 40 6 Fahrten

Die gesuchte Fahrten-Anzahl ist also 40 6 = 20 3 = 6 2 3 ≈ 6.667 Fahrten