nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget von 400 € für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld).

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 8 Helfer:innen hätte?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Helfer:in400 € Lohn
8 Helfer:innen?

Um von 1 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 8 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 8 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 400 € Lohn durch 8 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 8 Helfer:innen entspricht:

⋅ 8
1 Helfer:in400 € Lohn
8 Helfer:innen?
: 8
⋅ 8
1 Helfer:in400 € Lohn
8 Helfer:innen50 € Lohn
: 8

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Helfer:innen entspricht: 50 € Lohn

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 9 Lastwagen müssten dafür 5 mal fahren.

Wie oft müssten 15 LKWs fahren?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


9 Lastwagen5 Fuhren
??
15 Lastwagen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 9 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 9 und von 15 sein, also der ggT(9,15) = 3.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 Lastwagen:


9 Lastwagen5 Fuhren
3 Lastwagen?
15 Lastwagen?

Um von 9 Lastwagen in der ersten Zeile auf 3 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 Fuhren nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 3 Lastwagen links entspricht:

: 3

9 Lastwagen5 Fuhren
3 Lastwagen?
15 Lastwagen?

⋅ 3
: 3

9 Lastwagen5 Fuhren
3 Lastwagen15 Fuhren
15 Lastwagen?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 3 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 15 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 5

9 Lastwagen5 Fuhren
3 Lastwagen15 Fuhren
15 Lastwagen?

⋅ 3
: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 15 Fuhren in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 3
⋅ 5

9 Lastwagen5 Fuhren
3 Lastwagen15 Fuhren
15 Lastwagen3 Fuhren

⋅ 3
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 Lastwagen entspricht: 3 Fuhren

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

5 CPU-Kerne10 ms
??
2 CPU-Kerne?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 2 sein, also der ggT(5,2) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 CPU-Kerne:


5 CPU-Kerne10 ms
1 CPU-Kern?
2 CPU-Kerne?

Um von 5 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 1 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 10 ms nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 CPU-Kerne links entspricht:

: 5

5 CPU-Kerne10 ms
1 CPU-Kern?
2 CPU-Kerne?

⋅ 5
: 5

5 CPU-Kerne10 ms
1 CPU-Kern50 ms
2 CPU-Kerne?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 2

5 CPU-Kerne10 ms
1 CPU-Kern50 ms
2 CPU-Kerne?

⋅ 5
: 2

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 50 ms in der mittleren Zeile durch 2 dividieren:

: 5
⋅ 2

5 CPU-Kerne10 ms
1 CPU-Kern50 ms
2 CPU-Kerne25 ms

⋅ 5
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 CPU-Kerne entspricht: 25 ms

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 18 Tage den 2 Minuten pro Tag entsprechen.

: 3
⋅ 2

3 Minuten pro Tag12 Tage
1 Minute pro Tag36 Tage
2 Minuten pro Tag18 Tage

⋅ 3
: 2

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 18 Tage(für 2 Minuten pro Tag) war also korrekt.


Jetzt überprüfen wir, ob die 4 Tage den 6 Minuten pro Tag entsprechen.

: 1
⋅ 2

3 Minuten pro Tag12 Tage
3 Minuten pro Tag12 Tage
6 Minuten pro Tag6 Tage

⋅ 1
: 2

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 4 Tage (für 6 Minuten pro Tag) war also falsch, richtig wäre 6 Tage gewesen.

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit 8 CPU-Kernen 6 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 12 solchen CPU-Kernen?
Wie viele CPU-Kerne bräuchte der Computer, wenn er es in 8 ms rechnen könnte?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


8 CPU-Kerne6 ms
??
12 CPU-Kerne?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 12 sein, also der ggT(8,12) = 4.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 CPU-Kerne:


8 CPU-Kerne6 ms
4 CPU-Kerne?
12 CPU-Kerne?

Um von 8 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 4 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 ms nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 4 CPU-Kerne links entspricht:

: 2

8 CPU-Kerne6 ms
4 CPU-Kerne12 ms
12 CPU-Kerne?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 4 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 12 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2
⋅ 3

8 CPU-Kerne6 ms
4 CPU-Kerne12 ms
12 CPU-Kerne4 ms

⋅ 2
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 CPU-Kerne entspricht: 4 ms



Für die andere Frage (Wie viele CPU-Kerne bräuchte der Computer, wenn er es in 8 ms rechnen könnte?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "ms"-Werte haben und nach einem "CPU-Kerne"-Wert gesucht wird:


6 ms8 CPU-Kerne
??
8 ms?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die ms in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 ms teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 8 sein, also der ggT(6,8) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 ms:


6 ms8 CPU-Kerne
2 ms?
8 ms?

Um von 6 ms in der ersten Zeile auf 2 ms in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 8 CPU-Kerne nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 ms links entspricht:

: 3

6 ms8 CPU-Kerne
2 ms24 CPU-Kerne
8 ms?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 ms in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 8 ms in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 4

6 ms8 CPU-Kerne
2 ms24 CPU-Kerne
8 ms6 CPU-Kerne

⋅ 3
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 ms entspricht: 6 CPU-Kerne

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Eine Drohne muss eine bestimmte Strecke zurücklegen. Wenn sie dabei mit einer Geschwindigkeit von 20 km/h fliegt, braucht sie dafür 12 Minuten.Wie lange braucht sie bei einer Geschwindigkeit von 23 km/h?

Lösung einblenden
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

GeschwindigkeitFlugzeit
20 km/h12 min
( : 20 )( ⋅ 20 )
1 km/h240 min
( ⋅ 23 )( : 23 )
23 km/h 240 23 min

Die gesuchte Flugzeit ist also 240 23 = 10 10 23 ≈ 10.435 min