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nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Zweisatz (antiproportional)
Beispiel:
Wenn Frau Baumanns Auto nur ein Liter pro 100km verbrauchen würde, würde sie mit einer Tankfüllung 2400 km weit kommen.
Wie weit würde sie mit einer Tankfüllung kommen, wenn sie mit einem "4 Liter/100km "-Schnitt fahren würde?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 1 Liter pro 100km in der ersten Zeile auf 4 Liter pro 100km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 4 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 2400 km durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 4 Liter pro 100km entspricht:
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⋅ 4
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: 4
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⋅ 4
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: 4
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Liter pro 100km entspricht: 600 km
Dreisatz (antiproportional)
Beispiel:
Wenn Karla mit ihrem Handy jeden Tag immer 6 Minuten telefonieren würde, würden ihre Freiminuten noch genau 4 Tage halten.
Wann wären ihre Freiminuten aufgebraucht, wenn sie täglich 8 min telefonieren würde?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten pro Tag in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 Minuten pro Tag teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 8 sein, also der ggT(6,8) = 2.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Minuten pro Tag:
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Um von 6 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 2 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 4 Tage nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Minuten pro Tag links entspricht:
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: 3
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⋅ 3
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: 3
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⋅ 3
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Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Minuten pro Tag in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 8 Minuten pro Tag in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 3
⋅ 4
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⋅ 3
: 4
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Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 12 Tage in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:
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: 3
⋅ 4
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⋅ 3
: 4
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Minuten pro Tag entspricht: 3 Tage
Tabelle (antiproportional)
Beispiel:
Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.
| 10 Minuten pro Tag | 5 Tage |
| ? | ? |
| 25 Minuten pro Tag | ? |
Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten pro Tag in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 Minuten pro Tag teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 10 und von 25 sein, also der ggT(10,25) = 5.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 Minuten pro Tag:
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Um von 10 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 5 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 Tage nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 5 Minuten pro Tag links entspricht:
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: 2
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⋅ 2
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: 2
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⋅ 2
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Jetzt müssen wir ja wieder die 5 Minuten pro Tag in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 25 Minuten pro Tag in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 2
⋅ 5
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⋅ 2
: 5
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Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 10 Tage in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:
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: 2
⋅ 5
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⋅ 2
: 5
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 25 Minuten pro Tag entspricht: 2 Tage
Antiproportionalität überprüfen
Beispiel:
Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.
Wir überprüfen zuerst, ob die 8 Tage den 3 Minuten pro Tag entsprechen.
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: 4
⋅ 3
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⋅ 4
: 3
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Der urpsrünglich vorgegebene Wert 8 Tage(für 3 Minuten pro Tag) war also korrekt.
Jetzt überprüfen wir, ob die 7 Tage den 6 Minuten pro Tag entsprechen.
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: 2
⋅ 3
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⋅ 2
: 3
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Der urpsrünglich vorgegebene Wert 7 Tage (für 6 Minuten pro Tag) war also falsch, richtig wäre 4 Tage gewesen.
Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen
Beispiel:
Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit 6 CPU-Kernen 6 ms rechnen.
Wie lange bräuchte ein Computer mit 4 solchen CPU-Kernen?
Wie viele CPU-Kerne bräuchte der Computer, wenn er es in 4 ms rechnen könnte?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 4 sein, also der ggT(6,4) = 2.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 CPU-Kerne:
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Um von 6 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 2 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 ms nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 CPU-Kerne links entspricht:
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: 3
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⋅ 3
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Jetzt müssen wir ja wieder die 2 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 4 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 3
⋅ 2
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⋅ 3
: 2
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 CPU-Kerne entspricht: 9 ms
Für die andere Frage (Wie viele CPU-Kerne bräuchte der Computer, wenn er es in 4 ms rechnen könnte?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "ms"-Werte haben und nach einem "CPU-Kerne"-Wert gesucht wird:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die ms in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 ms teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 4 sein, also der ggT(6,4) = 2.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 ms:
|
Um von 6 ms in der ersten Zeile auf 2 ms in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 CPU-Kerne nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 ms links entspricht:
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: 3
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⋅ 3
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Jetzt müssen wir ja wieder die 2 ms in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 4 ms in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 3
⋅ 2
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⋅ 3
: 2
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 ms entspricht: 9 CPU-Kerne
Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)
Beispiel:
Eine Drohne muss eine bestimmte Strecke zurücklegen. Wenn sie dabei mit einer Geschwindigkeit von 30 km/h fliegt, braucht sie dafür 8 Minuten.Wie lange braucht sie bei einer Geschwindigkeit von 40 km/h?
Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:
| Geschwindigkeit | Flugzeit |
|---|---|
| 30 km/h | 8 min |
| ( : 30 ) | ( ⋅ 30 ) |
| 1 km/h | min |
| ( ⋅ 40 ) | ( : 40 ) |
| 40 km/h | min |
Die gesuchte Flugzeit ist also = min