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nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Zweisatz (antiproportional)
Beispiel:
Ein Hausmeister hat ein extra Budget von 480 € für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld).
Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 8 Helfer:innen hätte?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 1 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 8 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 8 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 480 € Lohn durch 8 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 8 Helfer:innen entspricht:
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⋅ 8
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: 8
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⋅ 8
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: 8
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Helfer:innen entspricht: 60 € Lohn
Dreisatz (antiproportional)
Beispiel:
Wenn 4 Personen das Schulhaus putzen, brauchen sie dafür 15 h.
Wie lange bräuchten 3 Personen hierfür?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Personen:
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Um von 4 Personen in der ersten Zeile auf 1 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 15 h nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Personen links entspricht:
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: 4
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⋅ 4
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: 4
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⋅ 4
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Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Personen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 4
⋅ 3
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⋅ 4
: 3
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Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 60 h in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:
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: 4
⋅ 3
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⋅ 4
: 3
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Personen entspricht: 20 h
Tabelle (antiproportional)
Beispiel:
Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.
| 6 Lastwagen | 6 Fuhren |
| ? | ? |
| 4 Lastwagen | ? |
Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 4 sein, also der ggT(6,4) = 2.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Lastwagen:
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Um von 6 Lastwagen in der ersten Zeile auf 2 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 Fuhren nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Lastwagen links entspricht:
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: 3
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⋅ 3
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: 3
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⋅ 3
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Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 4 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 3
⋅ 2
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⋅ 3
: 2
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Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 18 Fuhren in der mittleren Zeile durch 2 dividieren:
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: 3
⋅ 2
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⋅ 3
: 2
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Lastwagen entspricht: 9 Fuhren
Antiproportionalität überprüfen
Beispiel:
Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.
Wir überprüfen zuerst, ob die 4 Tage den 14 Minuten pro Tag entsprechen.
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: 4
⋅ 7
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⋅ 4
: 7
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Der urpsrünglich vorgegebene Wert 4 Tage(für 14 Minuten pro Tag) war also korrekt.
Jetzt überprüfen wir, ob die 8 Tage den 7 Minuten pro Tag entsprechen.
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: 8
⋅ 7
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⋅ 8
: 7
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Der urpsrünglich vorgegebene Wert 8 Tage (für 7 Minuten pro Tag) war also korrekt.
Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen
Beispiel:
Wenn Karla mit ihrem Handy jeden Tag immer 20 Minuten telefonieren würde, würden ihre Freiminuten noch genau 3 Tage halten.
Wann wären ihre Freiminuten aufgebraucht, wenn sie täglich 30 min telefonieren würde?
Wie lange kann sie täglich telefonieren, wenn die Freiminuten 20 Tage reichen sollen?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten pro Tag in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 20 Minuten pro Tag teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 20 und von 30 sein, also der ggT(20,30) = 10.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 10 Minuten pro Tag:
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Um von 20 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 10 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 3 Tage nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 10 Minuten pro Tag links entspricht:
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: 2
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⋅ 2
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Jetzt müssen wir ja wieder die 10 Minuten pro Tag in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 30 Minuten pro Tag in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 2
⋅ 3
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⋅ 2
: 3
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 30 Minuten pro Tag entspricht: 2 Tage
Für die andere Frage (Wie lange kann sie täglich telefonieren, wenn die Freiminuten 20 Tage reichen sollen?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "Tage"-Werte haben und nach einem "Minuten pro Tag"-Wert gesucht wird:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Tage in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 3 Tage teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 3 und von 20 sein, also der ggT(3,20) = 1.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Tage:
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Um von 3 Tage in der ersten Zeile auf 1 Tage in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 20 Minuten pro Tag nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Tage links entspricht:
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: 3
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|
⋅ 3
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Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Tage in der mittleren Zeile mit 20 multiplizieren, um auf die 20 Tage in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 3
⋅ 20
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⋅ 3
: 20
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 20 Tage entspricht: 3 Minuten pro Tag
Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)
Beispiel:
Ein Raum wird mit 40 LED-Leuchten á 160 Lumen ausgeleuchtet. Aus ästhetischen Gründen sollen nur noch 17 Leuchten im Raum installiert sein, diese sollen aber die gleiche Helligkeit erzeugen. Wie viel Lumen brauchen dann diese neuen LED-Leuchten?
Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:
| Anzahl LED-Leuchten | Helligkeit |
|---|---|
| 40 | 160 Lumen |
| ( : 40 ) | ( ⋅ 40 ) |
| 1 | Lumen |
| ( ⋅ 17 ) | ( : 17 ) |
| 17 | Lumen |
Die gesuchte Helligkeit ist also = 376 ≈ 376.471 Lumen