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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Karls hat für seine Geburtstagsparty 24 Flaschen Spezi bekommen.

Wie viele Flaschen würde jeder bekommen, wenn insgesamt 6 Personen auf der Party wären?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Gast	24 Spezi-Flaschen
6 Gäste	?

Um von 1 Gäste in der ersten Zeile auf 6 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 6 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 24 Spezi-Flaschen durch 6 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 6 Gäste entspricht:

⋅ 6

1 Gast	24 Spezi-Flaschen
6 Gäste	?

: 6

⋅ 6

1 Gast	24 Spezi-Flaschen
6 Gäste	4 Spezi-Flaschen

: 6

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 6 Gäste entspricht: 4 Spezi-Flaschen

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld). Wenn er 5 Helfer:innen einstellt, reicht es für jeden 60 € Lohn.

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 3 Helfer:innen hätte?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

5 Helfer:innen	60 € Lohn
?	?
3 Helfer:innen	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Helfer:innen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Helfer:innen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 3 sein, also der ggT(5,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Helfer:innen:

5 Helfer:innen	60 € Lohn
1 Helfer:in	?
3 Helfer:innen	?

Um von 5 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 1 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 60 € Lohn nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Helfer:innen links entspricht:

: 5

5 Helfer:innen	60 € Lohn
1 Helfer:in	?
3 Helfer:innen	?

⋅ 5

: 5

5 Helfer:innen	60 € Lohn
1 Helfer:in	300 € Lohn
3 Helfer:innen	?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Helfer:innen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Helfer:innen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5

⋅ 3

5 Helfer:innen	60 € Lohn
1 Helfer:in	300 € Lohn
3 Helfer:innen	?

⋅ 5

: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 300 € Lohn in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 5

⋅ 3

5 Helfer:innen	60 € Lohn
1 Helfer:in	300 € Lohn
3 Helfer:innen	100 € Lohn

⋅ 5

: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Helfer:innen entspricht: 100 € Lohn

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

9 Lastwagen	4 Fuhren
?	?
12 Lastwagen	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 9 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 9 und von 12 sein, also der ggT(9,12) = 3.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 Lastwagen:

9 Lastwagen	4 Fuhren
3 Lastwagen	?
12 Lastwagen	?

Um von 9 Lastwagen in der ersten Zeile auf 3 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 4 Fuhren nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 3 Lastwagen links entspricht:

: 3

9 Lastwagen	4 Fuhren
3 Lastwagen	?
12 Lastwagen	?

⋅ 3

: 3

9 Lastwagen	4 Fuhren
3 Lastwagen	12 Fuhren
12 Lastwagen	?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 3 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 12 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3

⋅ 4

9 Lastwagen	4 Fuhren
3 Lastwagen	12 Fuhren
12 Lastwagen	?

⋅ 3

: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 12 Fuhren in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 3

⋅ 4

9 Lastwagen	4 Fuhren
3 Lastwagen	12 Fuhren
12 Lastwagen	3 Fuhren

⋅ 3

: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Lastwagen entspricht: 3 Fuhren

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 40 Lose den 10 € Lospreis entsprechen.

: 4

⋅ 5

8 € Lospreis	50 Lose
2 € Lospreis	200 Lose
10 € Lospreis	40 Lose

⋅ 4

: 5

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 40 Lose(für 10 € Lospreis) war also korrekt.

Jetzt überprüfen wir, ob die 24 Lose den 16 € Lospreis entsprechen.

: 1

⋅ 2

8 € Lospreis	50 Lose
8 € Lospreis	50 Lose
16 € Lospreis	25 Lose

⋅ 1

: 2

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 24 Lose (für 16 € Lospreis) war also falsch, richtig wäre 25 Lose gewesen.

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Wenn Karla mit ihrem Handy jeden Tag immer 5 Minuten telefonieren würde, würden ihre Freiminuten noch genau 10 Tage halten.

Wann wären ihre Freiminuten aufgebraucht, wenn sie täglich 2 min telefonieren würde?
Wie lange kann sie täglich telefonieren, wenn die Freiminuten 5 Tage reichen sollen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

5 Minuten pro Tag	10 Tage
?	?
2 Minuten pro Tag	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten pro Tag in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Minuten pro Tag teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 2 sein, also der ggT(5,2) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Minuten pro Tag:

5 Minuten pro Tag	10 Tage
1 Minute pro Tag	?
2 Minuten pro Tag	?

Um von 5 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 1 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 10 Tage nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Minuten pro Tag links entspricht:

: 5

5 Minuten pro Tag	10 Tage
1 Minute pro Tag	50 Tage
2 Minuten pro Tag	?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Minuten pro Tag in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 Minuten pro Tag in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5

⋅ 2

5 Minuten pro Tag	10 Tage
1 Minute pro Tag	50 Tage
2 Minuten pro Tag	25 Tage

⋅ 5

: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 Minuten pro Tag entspricht: 25 Tage

Um von 10 Tage in der ersten Zeile auf 5 Tage in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 5 Minuten pro Tag mit 2 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 5 Tage entspricht:

: 2

10 Tage	5 Minuten pro Tag
5 Tage	?

⋅ 2

: 2

10 Tage	5 Minuten pro Tag
5 Tage	10 Minuten pro Tag

⋅ 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 Tage entspricht: 10 Minuten pro Tag

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Auf einer Großbaustelle müssen unglaubliche Mengen an Aushub abtransportiert werden. Dabei brauchen 3 LKWs genau 20 Fahrten. Wieviele Fahrten bräuchten 9 LKWs durchschnittlich?(Bitte auf eine Stelle hinterm Komma runden, auch wenn es inhaltlich keinen Sinn macht.)

Lösung einblenden

Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

LKW-Anzahl	Fahrten-Anzahl
3 LKWs	20 Fahrten
( : 3 )	( ⋅ 3 )
1 LKWs	$60$ Fahrten
( ⋅ 9 )	( : 9 )
9 LKWs	$\frac{60}{9}$ Fahrten

Die gesuchte Fahrten-Anzahl ist also $\frac{60}{9}$ = $\frac{20}{3}$ = 6 $\frac{2}{3}$ ≈ 6.667 Fahrten

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz (antiproportional)

Dreisatz (antiproportional)

Tabelle (antiproportional)

Antiproportionalität überprüfen

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)