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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 1 Lastwagen müsste dafür 40 mal fahren.

Wie oft müssten 8 LKWs fahren?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Lastwagen	40 Fuhren
8 Lastwagen	?

Um von 1 Lastwagen in der ersten Zeile auf 8 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 8 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 40 Fuhren durch 8 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 8 Lastwagen entspricht:

⋅ 8

1 Lastwagen	40 Fuhren
8 Lastwagen	?

: 8

⋅ 8

1 Lastwagen	40 Fuhren
8 Lastwagen	5 Fuhren

: 8

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Lastwagen entspricht: 5 Fuhren

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit 5 CPU-Kernen 8 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 4 solchen CPU-Kernen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

5 CPU-Kerne	8 ms
?	?
4 CPU-Kerne	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 4 sein, also der ggT(5,4) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 CPU-Kerne:

5 CPU-Kerne	8 ms
1 CPU-Kern	?
4 CPU-Kerne	?

Um von 5 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 1 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 8 ms nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 CPU-Kerne links entspricht:

: 5

5 CPU-Kerne	8 ms
1 CPU-Kern	?
4 CPU-Kerne	?

⋅ 5

: 5

5 CPU-Kerne	8 ms
1 CPU-Kern	40 ms
4 CPU-Kerne	?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5

⋅ 4

5 CPU-Kerne	8 ms
1 CPU-Kern	40 ms
4 CPU-Kerne	?

⋅ 5

: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 40 ms in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 5

⋅ 4

5 CPU-Kerne	8 ms
1 CPU-Kern	40 ms
4 CPU-Kerne	10 ms

⋅ 5

: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 CPU-Kerne entspricht: 10 ms

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

12 Helfer:innen	40 € Lohn
?	?
16 Helfer:innen	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Helfer:innen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 12 Helfer:innen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 12 und von 16 sein, also der ggT(12,16) = 4.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 Helfer:innen:

12 Helfer:innen	40 € Lohn
4 Helfer:innen	?
16 Helfer:innen	?

Um von 12 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 4 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 40 € Lohn nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 4 Helfer:innen links entspricht:

: 3

12 Helfer:innen	40 € Lohn
4 Helfer:innen	?
16 Helfer:innen	?

⋅ 3

: 3

12 Helfer:innen	40 € Lohn
4 Helfer:innen	120 € Lohn
16 Helfer:innen	?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 4 Helfer:innen in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 16 Helfer:innen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3

⋅ 4

12 Helfer:innen	40 € Lohn
4 Helfer:innen	120 € Lohn
16 Helfer:innen	?

⋅ 3

: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 120 € Lohn in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 3

⋅ 4

12 Helfer:innen	40 € Lohn
4 Helfer:innen	120 € Lohn
16 Helfer:innen	30 € Lohn

⋅ 3

: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 16 Helfer:innen entspricht: 30 € Lohn

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 18 ms den 4 CPU-Kerne entsprechen.

: 7

⋅ 4

7 CPU-Kerne	8 ms
1 CPU-Kern	56 ms
4 CPU-Kerne	14 ms

⋅ 7

: 4

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 18 ms (für 4 CPU-Kerne) war also falsch, richtig wäre 14 ms gewesen.

Jetzt überprüfen wir, ob die 9 ms den 8 CPU-Kerne entsprechen.

: 7

⋅ 8

7 CPU-Kerne	8 ms
1 CPU-Kerne	56 ms
8 CPU-Kerne	7 ms

⋅ 7

: 8

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 9 ms (für 8 CPU-Kerne) war also falsch, richtig wäre 7 ms gewesen.

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Wenn 10 Personen das Schulhaus putzen, brauchen sie dafür 5 h.

Wie lange bräuchten 25 Personen hierfür?
Wie viele Personen bräuchte man, damit jeder 10 h putzen müsste?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

10 Personen	5 h
?	?
25 Personen	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 10 und von 25 sein, also der ggT(10,25) = 5.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 Personen:

10 Personen	5 h
5 Personen	?
25 Personen	?

Um von 10 Personen in der ersten Zeile auf 5 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 h nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 5 Personen links entspricht:

: 2

10 Personen	5 h
5 Personen	10 h
25 Personen	?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 5 Personen in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 25 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2

⋅ 5

10 Personen	5 h
5 Personen	10 h
25 Personen	2 h

⋅ 2

: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 25 Personen entspricht: 2 h

Um von 5 h in der ersten Zeile auf 10 h in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 2 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 10 Personen durch 2 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 10 h entspricht:

⋅ 2

5 h	10 Personen
10 h	?

: 2

⋅ 2

5 h	10 Personen
10 h	5 Personen

: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 h entspricht: 5 Personen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Ein Raum wird mit 40 LED-Leuchten á 120 Lumen ausgeleuchtet. Aus ästhetischen Gründen sollen nur noch 12 Leuchten im Raum installiert sein, diese sollen aber die gleiche Helligkeit erzeugen. Wie viel Lumen brauchen dann diese neuen LED-Leuchten?

Lösung einblenden

Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

Anzahl LED-Leuchten	Helligkeit
40	120 Lumen
( : 40 )	( ⋅ 40 )
1	$4 800$ Lumen
( ⋅ 12 )	( : 12 )
12	$\frac{4 800}{12}$ Lumen

Die gesuchte Helligkeit ist also $\frac{4 800}{12}$ = $400$ Lumen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz (antiproportional)

Dreisatz (antiproportional)

Tabelle (antiproportional)

Antiproportionalität überprüfen

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)