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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn eine Person das Schulhaus putzt, braucht sie dafür 40 h.

Wie lange bräuchten 5 Personen hierfür?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Person	40 h
5 Personen	?

Um von 1 Personen in der ersten Zeile auf 5 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 5 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 40 h durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 5 Personen entspricht:

⋅ 5

1 Person	40 h
5 Personen	?

: 5

⋅ 5

1 Person	40 h
5 Personen	8 h

: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 Personen entspricht: 8 h

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld). Wenn er 4 Helfer:innen einstellt, reicht es für jeden 90 € Lohn.

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 3 Helfer:innen hätte?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

4 Helfer:innen	90 € Lohn
?	?
3 Helfer:innen	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Helfer:innen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 Helfer:innen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Helfer:innen:

4 Helfer:innen	90 € Lohn
1 Helfer:in	?
3 Helfer:innen	?

Um von 4 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 1 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 90 € Lohn nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Helfer:innen links entspricht:

: 4

4 Helfer:innen	90 € Lohn
1 Helfer:in	?
3 Helfer:innen	?

⋅ 4

: 4

4 Helfer:innen	90 € Lohn
1 Helfer:in	360 € Lohn
3 Helfer:innen	?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Helfer:innen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Helfer:innen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4

⋅ 3

4 Helfer:innen	90 € Lohn
1 Helfer:in	360 € Lohn
3 Helfer:innen	?

⋅ 4

: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 360 € Lohn in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 4

⋅ 3

4 Helfer:innen	90 € Lohn
1 Helfer:in	360 € Lohn
3 Helfer:innen	120 € Lohn

⋅ 4

: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Helfer:innen entspricht: 120 € Lohn

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

6 CPU-Kerne	4 ms
?	?
8 CPU-Kerne	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 8 sein, also der ggT(6,8) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 CPU-Kerne:

6 CPU-Kerne	4 ms
2 CPU-Kerne	?
8 CPU-Kerne	?

Um von 6 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 2 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 4 ms nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 CPU-Kerne links entspricht:

: 3

6 CPU-Kerne	4 ms
2 CPU-Kerne	?
8 CPU-Kerne	?

⋅ 3

: 3

6 CPU-Kerne	4 ms
2 CPU-Kerne	12 ms
8 CPU-Kerne	?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 8 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3

⋅ 4

6 CPU-Kerne	4 ms
2 CPU-Kerne	12 ms
8 CPU-Kerne	?

⋅ 3

: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 12 ms in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 3

⋅ 4

6 CPU-Kerne	4 ms
2 CPU-Kerne	12 ms
8 CPU-Kerne	3 ms

⋅ 3

: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 CPU-Kerne entspricht: 3 ms

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 150 Lose den 3 € Lospreis entsprechen.

: 5

⋅ 3

5 € Lospreis	90 Lose
1 € Lospreis	450 Lose
3 € Lospreis	150 Lose

⋅ 5

: 3

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 150 Lose(für 3 € Lospreis) war also korrekt.

Jetzt überprüfen wir, ob die 7 Lose den 50 € Lospreis entsprechen.

: 1

⋅ 10

5 € Lospreis	90 Lose
5 € Lospreis	90 Lose
50 € Lospreis	9 Lose

⋅ 1

: 10

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 7 Lose (für 50 € Lospreis) war also falsch, richtig wäre 9 Lose gewesen.

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 5 Lastwagen müssten dafür 12 mal fahren.

Wie oft müssten 4 LKWs fahren?
Wie viele LKWs bräuchte man, damit es mit 6 Fuhren für jeden reicht?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

5 Lastwagen	12 Fuhren
?	?
4 Lastwagen	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 4 sein, also der ggT(5,4) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Lastwagen:

5 Lastwagen	12 Fuhren
1 Lastwagen	?
4 Lastwagen	?

Um von 5 Lastwagen in der ersten Zeile auf 1 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 12 Fuhren nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Lastwagen links entspricht:

: 5

5 Lastwagen	12 Fuhren
1 Lastwagen	60 Fuhren
4 Lastwagen	?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5

⋅ 4

5 Lastwagen	12 Fuhren
1 Lastwagen	60 Fuhren
4 Lastwagen	15 Fuhren

⋅ 5

: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Lastwagen entspricht: 15 Fuhren

Um von 12 Fuhren in der ersten Zeile auf 6 Fuhren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 5 Lastwagen mit 2 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 6 Fuhren entspricht:

: 2

12 Fuhren	5 Lastwagen
6 Fuhren	?

⋅ 2

: 2

12 Fuhren	5 Lastwagen
6 Fuhren	10 Lastwagen

⋅ 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 6 Fuhren entspricht: 10 Lastwagen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Auf einer Großbaustelle müssen unglaubliche Mengen an Aushub abtransportiert werden. Dabei brauchen 3 LKWs genau 20 Fahrten. Wieviele Fahrten bräuchten 7 LKWs durchschnittlich?(Bitte auf eine Stelle hinterm Komma runden, auch wenn es inhaltlich keinen Sinn macht.)

Lösung einblenden

Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

LKW-Anzahl	Fahrten-Anzahl
3 LKWs	20 Fahrten
( : 3 )	( ⋅ 3 )
1 LKWs	$60$ Fahrten
( ⋅ 7 )	( : 7 )
7 LKWs	$\frac{60}{7}$ Fahrten

Die gesuchte Fahrten-Anzahl ist also $\frac{60}{7}$ = 8 $\frac{4}{7}$ ≈ 8.571 Fahrten

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz (antiproportional)

Dreisatz (antiproportional)

Tabelle (antiproportional)

Antiproportionalität überprüfen

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)