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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget von 360 € für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld).

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 12 Helfer:innen hätte?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Helfer:in	360 € Lohn
12 Helfer:innen	?

Um von 1 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 12 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 12 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 360 € Lohn durch 12 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 12 Helfer:innen entspricht:

⋅ 12

1 Helfer:in	360 € Lohn
12 Helfer:innen	?

: 12

⋅ 12

1 Helfer:in	360 € Lohn
12 Helfer:innen	30 € Lohn

: 12

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Helfer:innen entspricht: 30 € Lohn

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Karls hat für seine Geburtstagsparty Spezi bekommen. Dabei reicht es für jeden genau 6 Flaschen, wenn insgesamt 4 Personen auf seiner Party sind.

Wie viele Flaschen würde jeder bekommen, wenn insgesamt 3 Personen auf der Party wären?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

4 Gäste	6 Spezi-Flaschen
?	?
3 Gäste	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Gäste in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 Gäste teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Gäste:

4 Gäste	6 Spezi-Flaschen
1 Gast	?
3 Gäste	?

Um von 4 Gäste in der ersten Zeile auf 1 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 Spezi-Flaschen nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Gäste links entspricht:

: 4

4 Gäste	6 Spezi-Flaschen
1 Gast	?
3 Gäste	?

⋅ 4

: 4

4 Gäste	6 Spezi-Flaschen
1 Gast	24 Spezi-Flaschen
3 Gäste	?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Gäste in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Gäste in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4

⋅ 3

4 Gäste	6 Spezi-Flaschen
1 Gast	24 Spezi-Flaschen
3 Gäste	?

⋅ 4

: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 24 Spezi-Flaschen in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 4

⋅ 3

4 Gäste	6 Spezi-Flaschen
1 Gast	24 Spezi-Flaschen
3 Gäste	8 Spezi-Flaschen

⋅ 4

: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Gäste entspricht: 8 Spezi-Flaschen

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

6 Personen	4 h
?	?
8 Personen	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 8 sein, also der ggT(6,8) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Personen:

6 Personen	4 h
2 Personen	?
8 Personen	?

Um von 6 Personen in der ersten Zeile auf 2 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 4 h nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Personen links entspricht:

: 3

6 Personen	4 h
2 Personen	?
8 Personen	?

⋅ 3

: 3

6 Personen	4 h
2 Personen	12 h
8 Personen	?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Personen in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 8 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3

⋅ 4

6 Personen	4 h
2 Personen	12 h
8 Personen	?

⋅ 3

: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 12 h in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 3

⋅ 4

6 Personen	4 h
2 Personen	12 h
8 Personen	3 h

⋅ 3

: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Personen entspricht: 3 h

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 9 Tage den 4 Minuten pro Tag entsprechen.

: 3

⋅ 2

6 Minuten pro Tag	6 Tage
2 Minuten pro Tag	18 Tage
4 Minuten pro Tag	9 Tage

⋅ 3

: 2

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 9 Tage(für 4 Minuten pro Tag) war also korrekt.

Jetzt überprüfen wir, ob die 15 Tage den 3 Minuten pro Tag entsprechen.

: 2

⋅ 1

6 Minuten pro Tag	6 Tage
3 Minuten pro Tag	12 Tage
3 Minuten pro Tag	12 Tage

⋅ 2

: 1

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 15 Tage (für 3 Minuten pro Tag) war also falsch, richtig wäre 12 Tage gewesen.

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld). Wenn er 10 Helfer:innen einstellt, reicht es für jeden 30 € Lohn.

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 15 Helfer:innen hätte?
Wie viele Helfer:innen könnte man mit einem Lohn von 25 € bezahlen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

10 Helfer:innen	30 € Lohn
?	?
15 Helfer:innen	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Helfer:innen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 Helfer:innen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 10 und von 15 sein, also der ggT(10,15) = 5.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 Helfer:innen:

10 Helfer:innen	30 € Lohn
5 Helfer:innen	?
15 Helfer:innen	?

Um von 10 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 5 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 30 € Lohn nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 5 Helfer:innen links entspricht:

: 2

10 Helfer:innen	30 € Lohn
5 Helfer:innen	60 € Lohn
15 Helfer:innen	?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 5 Helfer:innen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 15 Helfer:innen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2

⋅ 3

10 Helfer:innen	30 € Lohn
5 Helfer:innen	60 € Lohn
15 Helfer:innen	20 € Lohn

⋅ 2

: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 Helfer:innen entspricht: 20 € Lohn

Für die andere Frage (Wie viele Helfer:innen könnte man mit einem Lohn von 25 € bezahlen?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "€ Lohn"-Werte haben und nach einem "Helfer:innen"-Wert gesucht wird:

30 € Lohn	10 Helfer:innen
?	?
25 € Lohn	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lohn in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 30 € Lohn teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 30 und von 25 sein, also der ggT(30,25) = 5.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 € Lohn:

30 € Lohn	10 Helfer:innen
5 € Lohn	?
25 € Lohn	?

Um von 30 € Lohn in der ersten Zeile auf 5 € Lohn in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 6 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 10 Helfer:innen nicht durch 6 teilen, sondern mit 6 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 5 € Lohn links entspricht:

: 6

30 € Lohn	10 Helfer:innen
5 € Lohn	60 Helfer:innen
25 € Lohn	?

⋅ 6

Jetzt müssen wir ja wieder die 5 € Lohn in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 25 € Lohn in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 6

⋅ 5

30 € Lohn	10 Helfer:innen
5 € Lohn	60 Helfer:innen
25 € Lohn	12 Helfer:innen

⋅ 6

: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 25 € Lohn entspricht: 12 Helfer:innen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Auf einer Großbaustelle müssen unglaubliche Mengen an Aushub abtransportiert werden. Dabei brauchen 2 LKWs genau 40 Fahrten. Wieviele Fahrten bräuchten 6 LKWs durchschnittlich?(Bitte auf eine Stelle hinterm Komma runden, auch wenn es inhaltlich keinen Sinn macht.)

Lösung einblenden

Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

LKW-Anzahl	Fahrten-Anzahl
2 LKWs	40 Fahrten
( : 2 )	( ⋅ 2 )
1 LKWs	$80$ Fahrten
( ⋅ 6 )	( : 6 )
6 LKWs	$\frac{80}{6}$ Fahrten

Die gesuchte Fahrten-Anzahl ist also $\frac{80}{6}$ = $\frac{40}{3}$ = 13 $\frac{1}{3}$ ≈ 13.333 Fahrten

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz (antiproportional)

Dreisatz (antiproportional)

Tabelle (antiproportional)

Antiproportionalität überprüfen

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)