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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 1€ für ein Los verlangen, müssten sie 360 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.

Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 6 € verkaufen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 € Lospreis	360 Lose
6 € Lospreis	?

Um von 1 € Lospreis in der ersten Zeile auf 6 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 6 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 360 Lose durch 6 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 6 € Lospreis entspricht:

⋅ 6

1 € Lospreis	360 Lose
6 € Lospreis	?

: 6

⋅ 6

1 € Lospreis	360 Lose
6 € Lospreis	60 Lose

: 6

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 6 € Lospreis entspricht: 60 Lose

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Karls hat für seine Geburtstagsparty Spezi bekommen. Dabei reicht es für jeden genau 4 Flaschen, wenn insgesamt 9 Personen auf seiner Party sind.

Wie viele Flaschen würde jeder bekommen, wenn insgesamt 12 Personen auf der Party wären?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

9 Gäste	4 Spezi-Flaschen
?	?
12 Gäste	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Gäste in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 9 Gäste teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 9 und von 12 sein, also der ggT(9,12) = 3.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 Gäste:

9 Gäste	4 Spezi-Flaschen
3 Gäste	?
12 Gäste	?

Um von 9 Gäste in der ersten Zeile auf 3 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 4 Spezi-Flaschen nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 3 Gäste links entspricht:

: 3

9 Gäste	4 Spezi-Flaschen
3 Gäste	?
12 Gäste	?

⋅ 3

: 3

9 Gäste	4 Spezi-Flaschen
3 Gäste	12 Spezi-Flaschen
12 Gäste	?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 3 Gäste in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 12 Gäste in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3

⋅ 4

9 Gäste	4 Spezi-Flaschen
3 Gäste	12 Spezi-Flaschen
12 Gäste	?

⋅ 3

: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 12 Spezi-Flaschen in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 3

⋅ 4

9 Gäste	4 Spezi-Flaschen
3 Gäste	12 Spezi-Flaschen
12 Gäste	3 Spezi-Flaschen

⋅ 3

: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Gäste entspricht: 3 Spezi-Flaschen

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

5 Personen	6 h
?	?
3 Personen	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 3 sein, also der ggT(5,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Personen:

5 Personen	6 h
1 Person	?
3 Personen	?

Um von 5 Personen in der ersten Zeile auf 1 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 h nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Personen links entspricht:

: 5

5 Personen	6 h
1 Person	?
3 Personen	?

⋅ 5

: 5

5 Personen	6 h
1 Person	30 h
3 Personen	?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Personen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5

⋅ 3

5 Personen	6 h
1 Person	30 h
3 Personen	?

⋅ 5

: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 30 h in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 5

⋅ 3

5 Personen	6 h
1 Person	30 h
3 Personen	10 h

⋅ 5

: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Personen entspricht: 10 h

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 10 Tage den 3 Minuten pro Tag entsprechen.

: 5

⋅ 3

5 Minuten pro Tag	6 Tage
1 Minute pro Tag	30 Tage
3 Minuten pro Tag	10 Tage

⋅ 5

: 3

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 10 Tage(für 3 Minuten pro Tag) war also korrekt.

Jetzt überprüfen wir, ob die 7 Tage den 6 Minuten pro Tag entsprechen.

: 5

⋅ 6

5 Minuten pro Tag	6 Tage
1 Minuten pro Tag	30 Tage
6 Minuten pro Tag	5 Tage

⋅ 5

: 6

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 7 Tage (für 6 Minuten pro Tag) war also falsch, richtig wäre 5 Tage gewesen.

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Karls hat für seine Geburtstagsparty Spezi bekommen. Dabei reicht es für jeden genau 3 Flaschen, wenn insgesamt 12 Personen auf seiner Party sind.

Wie viele Flaschen würde jeder bekommen, wenn insgesamt 18 Personen auf der Party wären?
Wie viele Personen können auf die Party, damit es für jeden zu 12 Flaschen reicht?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

12 Gäste	3 Spezi-Flaschen
?	?
18 Gäste	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Gäste in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 12 Gäste teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 12 und von 18 sein, also der ggT(12,18) = 6.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 6 Gäste:

12 Gäste	3 Spezi-Flaschen
6 Gäste	?
18 Gäste	?

Um von 12 Gäste in der ersten Zeile auf 6 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 3 Spezi-Flaschen nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 6 Gäste links entspricht:

: 2

12 Gäste	3 Spezi-Flaschen
6 Gäste	6 Spezi-Flaschen
18 Gäste	?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 6 Gäste in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 18 Gäste in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2

⋅ 3

12 Gäste	3 Spezi-Flaschen
6 Gäste	6 Spezi-Flaschen
18 Gäste	2 Spezi-Flaschen

⋅ 2

: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 18 Gäste entspricht: 2 Spezi-Flaschen

Um von 3 Spezi-Flaschen in der ersten Zeile auf 12 Spezi-Flaschen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 4 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 12 Gäste durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 12 Spezi-Flaschen entspricht:

⋅ 4

3 Spezi-Flaschen	12 Gäste
12 Spezi-Flaschen	?

: 4

⋅ 4

3 Spezi-Flaschen	12 Gäste
12 Spezi-Flaschen	3 Gäste

: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Spezi-Flaschen entspricht: 3 Gäste

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Auf einer Großbaustelle müssen unglaubliche Mengen an Aushub abtransportiert werden. Dabei brauchen 3 LKWs genau 40 Fahrten. Wieviele Fahrten bräuchten 9 LKWs durchschnittlich?(Bitte auf eine Stelle hinterm Komma runden, auch wenn es inhaltlich keinen Sinn macht.)

Lösung einblenden

Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

LKW-Anzahl	Fahrten-Anzahl
3 LKWs	40 Fahrten
( : 3 )	( ⋅ 3 )
1 LKWs	$120$ Fahrten
( ⋅ 9 )	( : 9 )
9 LKWs	$\frac{120}{9}$ Fahrten

Die gesuchte Fahrten-Anzahl ist also $\frac{120}{9}$ = $\frac{40}{3}$ = 13 $\frac{1}{3}$ ≈ 13.333 Fahrten

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Zweisatz (antiproportional)

Dreisatz (antiproportional)

Tabelle (antiproportional)

Antiproportionalität überprüfen

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)