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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit einem CPU-Kern 60 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 20 solchen CPU-Kernen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 CPU-Kern60 ms
20 CPU-Kerne?

Um von 1 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 20 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 20 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 60 ms durch 20 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 20 CPU-Kerne entspricht:

⋅ 20
1 CPU-Kern60 ms
20 CPU-Kerne?
: 20
⋅ 20
1 CPU-Kern60 ms
20 CPU-Kerne3 ms
: 20

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 20 CPU-Kerne entspricht: 3 ms

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn 4 Personen das Schulhaus putzen, brauchen sie dafür 6 h.

Wie lange bräuchten 3 Personen hierfür?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


4 Personen6 h
??
3 Personen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Personen:


4 Personen6 h
1 Person?
3 Personen?

Um von 4 Personen in der ersten Zeile auf 1 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 h nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Personen links entspricht:

: 4

4 Personen6 h
1 Person?
3 Personen?

⋅ 4
: 4

4 Personen6 h
1 Person24 h
3 Personen?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Personen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 3

4 Personen6 h
1 Person24 h
3 Personen?

⋅ 4
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 24 h in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 4
⋅ 3

4 Personen6 h
1 Person24 h
3 Personen8 h

⋅ 4
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Personen entspricht: 8 h

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

5 Lastwagen9 Fuhren
??
3 Lastwagen?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 3 sein, also der ggT(5,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Lastwagen:


5 Lastwagen9 Fuhren
1 Lastwagen?
3 Lastwagen?

Um von 5 Lastwagen in der ersten Zeile auf 1 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 9 Fuhren nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Lastwagen links entspricht:

: 5

5 Lastwagen9 Fuhren
1 Lastwagen?
3 Lastwagen?

⋅ 5
: 5

5 Lastwagen9 Fuhren
1 Lastwagen45 Fuhren
3 Lastwagen?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 3

5 Lastwagen9 Fuhren
1 Lastwagen45 Fuhren
3 Lastwagen?

⋅ 5
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 45 Fuhren in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 5
⋅ 3

5 Lastwagen9 Fuhren
1 Lastwagen45 Fuhren
3 Lastwagen15 Fuhren

⋅ 5
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Lastwagen entspricht: 15 Fuhren

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 18 Tage den 4 Minuten pro Tag entsprechen.

: 7
⋅ 4

7 Minuten pro Tag8 Tage
1 Minute pro Tag56 Tage
4 Minuten pro Tag14 Tage

⋅ 7
: 4

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 18 Tage (für 4 Minuten pro Tag) war also falsch, richtig wäre 14 Tage gewesen.


Jetzt überprüfen wir, ob die 7 Tage den 8 Minuten pro Tag entsprechen.

: 7
⋅ 8

7 Minuten pro Tag8 Tage
1 Minuten pro Tag56 Tage
8 Minuten pro Tag7 Tage

⋅ 7
: 8

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 7 Tage (für 8 Minuten pro Tag) war also korrekt.

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Wenn Karla mit ihrem Handy jeden Tag immer 4 Minuten telefonieren würde, würden ihre Freiminuten noch genau 15 Tage halten.

Wann wären ihre Freiminuten aufgebraucht, wenn sie täglich 3 min telefonieren würde?
Wie lange kann sie täglich telefonieren, wenn die Freiminuten 10 Tage reichen sollen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


4 Minuten pro Tag15 Tage
??
3 Minuten pro Tag?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten pro Tag in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 Minuten pro Tag teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Minuten pro Tag:


4 Minuten pro Tag15 Tage
1 Minute pro Tag?
3 Minuten pro Tag?

Um von 4 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 1 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 15 Tage nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Minuten pro Tag links entspricht:

: 4

4 Minuten pro Tag15 Tage
1 Minute pro Tag60 Tage
3 Minuten pro Tag?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Minuten pro Tag in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Minuten pro Tag in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 3

4 Minuten pro Tag15 Tage
1 Minute pro Tag60 Tage
3 Minuten pro Tag20 Tage

⋅ 4
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Minuten pro Tag entspricht: 20 Tage



Für die andere Frage (Wie lange kann sie täglich telefonieren, wenn die Freiminuten 10 Tage reichen sollen?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "Tage"-Werte haben und nach einem "Minuten pro Tag"-Wert gesucht wird:


15 Tage4 Minuten pro Tag
??
10 Tage?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Tage in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 15 Tage teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 15 und von 10 sein, also der ggT(15,10) = 5.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 Tage:


15 Tage4 Minuten pro Tag
5 Tage?
10 Tage?

Um von 15 Tage in der ersten Zeile auf 5 Tage in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 4 Minuten pro Tag nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 5 Tage links entspricht:

: 3

15 Tage4 Minuten pro Tag
5 Tage12 Minuten pro Tag
10 Tage?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 5 Tage in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 10 Tage in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 2

15 Tage4 Minuten pro Tag
5 Tage12 Minuten pro Tag
10 Tage6 Minuten pro Tag

⋅ 3
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 Tage entspricht: 6 Minuten pro Tag

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Eine Drohne muss eine bestimmte Strecke zurücklegen. Wenn sie dabei mit einer Geschwindigkeit von 30 km/h fliegt, braucht sie dafür 8 Minuten.Wie lange braucht sie bei einer Geschwindigkeit von 49 km/h?

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Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

GeschwindigkeitFlugzeit
30 km/h8 min
( : 30 )( ⋅ 30 )
1 km/h240 min
( ⋅ 49 )( : 49 )
49 km/h 240 49 min

Die gesuchte Flugzeit ist also 240 49 = 4 44 49 ≈ 4.898 min