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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Zweisatz (antiproportional)
Beispiel:
Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 1 Lastwagen müsste dafür 24 mal fahren.
Wie oft müssten 6 LKWs fahren?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 1 Lastwagen in der ersten Zeile auf 6 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 6 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 24 Fuhren durch 6 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 6 Lastwagen entspricht:
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⋅ 6
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: 6
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⋅ 6
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: 6
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 6 Lastwagen entspricht: 4 Fuhren
Dreisatz (antiproportional)
Beispiel:
Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 5 Lastwagen müssten dafür 8 mal fahren.
Wie oft müssten 4 LKWs fahren?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 4 sein, also der ggT(5,4) = 1.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Lastwagen:
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Um von 5 Lastwagen in der ersten Zeile auf 1 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 8 Fuhren nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Lastwagen links entspricht:
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: 5
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⋅ 5
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: 5
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⋅ 5
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Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 5
⋅ 4
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⋅ 5
: 4
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Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 40 Fuhren in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:
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: 5
⋅ 4
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⋅ 5
: 4
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Lastwagen entspricht: 10 Fuhren
Tabelle (antiproportional)
Beispiel:
Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.
| 6 CPU-Kerne | 4 ms |
| ? | ? |
| 8 CPU-Kerne | ? |
Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 8 sein, also der ggT(6,8) = 2.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 CPU-Kerne:
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Um von 6 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 2 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 4 ms nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 CPU-Kerne links entspricht:
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: 3
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⋅ 3
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: 3
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⋅ 3
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Jetzt müssen wir ja wieder die 2 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 8 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 3
⋅ 4
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⋅ 3
: 4
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Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 12 ms in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:
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: 3
⋅ 4
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⋅ 3
: 4
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 CPU-Kerne entspricht: 3 ms
Antiproportionalität überprüfen
Beispiel:
Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.
Wir überprüfen zuerst, ob die 25 ms den 2 CPU-Kerne entsprechen.
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: 5
⋅ 2
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⋅ 5
: 2
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Der urpsrünglich vorgegebene Wert 25 ms(für 2 CPU-Kerne) war also korrekt.
Jetzt überprüfen wir, ob die 4 ms den 10 CPU-Kerne entsprechen.
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: 1
⋅ 2
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⋅ 1
: 2
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Der urpsrünglich vorgegebene Wert 4 ms (für 10 CPU-Kerne) war also falsch, richtig wäre 5 ms gewesen.
Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen
Beispiel:
Wenn Frau Baumann so Auto fährt, dass sie 8 Liter pro 100km verbraucht, kommt sie mit einer Tankfüllung 700 km weit.
Wie weit würde sie mit einer Tankfüllung kommen, wenn sie mit einem "14 Liter/100km "-Schnitt fahren würde?
Mit welchem "Liter pro 100km"-Schnitt muss sie fahren, dass sie mit einer Tankfüllung 800 km weit kommt?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Liter pro 100km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Liter pro 100km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 14 sein, also der ggT(8,14) = 2.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Liter pro 100km:
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Um von 8 Liter pro 100km in der ersten Zeile auf 2 Liter pro 100km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 700 km nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Liter pro 100km links entspricht:
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: 4
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⋅ 4
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Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Liter pro 100km in der mittleren Zeile mit 7 multiplizieren, um auf die 14 Liter pro 100km in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 4
⋅ 7
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⋅ 4
: 7
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 14 Liter pro 100km entspricht: 400 km
Für die andere Frage (Mit welchem "Liter pro 100km"-Schnitt muss sie fahren, dass sie mit einer Tankfüllung 800 km weit kommt?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "km"-Werte haben und nach einem "Liter pro 100km"-Wert gesucht wird:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 700 km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 700 und von 800 sein, also der ggT(700,800) = 100.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 100 km:
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Um von 700 km in der ersten Zeile auf 100 km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 7 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 8 Liter pro 100km nicht durch 7 teilen, sondern mit 7 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 100 km links entspricht:
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: 7
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⋅ 7
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Jetzt müssen wir ja wieder die 100 km in der mittleren Zeile mit 8 multiplizieren, um auf die 800 km in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 7
⋅ 8
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⋅ 7
: 8
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 800 km entspricht: 7 Liter pro 100km
Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)
Beispiel:
Ein Raum wird mit 55 LED-Leuchten á 140 Lumen ausgeleuchtet. Aus ästhetischen Gründen sollen nur noch 10 Leuchten im Raum installiert sein, diese sollen aber die gleiche Helligkeit erzeugen. Wie viel Lumen brauchen dann diese neuen LED-Leuchten?
Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:
| Anzahl LED-Leuchten | Helligkeit |
|---|---|
| 55 | 140 Lumen |
| ( : 55 ) | ( ⋅ 55 ) |
| 1 | Lumen |
| ( ⋅ 10 ) | ( : 10 ) |
| 10 | Lumen |
Die gesuchte Helligkeit ist also = Lumen