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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn eine Person das Schulhaus putzt, braucht sie dafür 40 h.

Wie lange bräuchten 5 Personen hierfür?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Person40 h
5 Personen?

Um von 1 Personen in der ersten Zeile auf 5 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 5 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 40 h durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 5 Personen entspricht:

⋅ 5
1 Person40 h
5 Personen?
: 5
⋅ 5
1 Person40 h
5 Personen8 h
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 Personen entspricht: 8 h

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn 3 Personen das Schulhaus putzen, brauchen sie dafür 10 h.

Wie lange bräuchten 2 Personen hierfür?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


3 Personen10 h
??
2 Personen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 3 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 3 und von 2 sein, also der ggT(3,2) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Personen:


3 Personen10 h
1 Person?
2 Personen?

Um von 3 Personen in der ersten Zeile auf 1 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 10 h nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Personen links entspricht:

: 3

3 Personen10 h
1 Person?
2 Personen?

⋅ 3
: 3

3 Personen10 h
1 Person30 h
2 Personen?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Personen in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 2

3 Personen10 h
1 Person30 h
2 Personen?

⋅ 3
: 2

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 30 h in der mittleren Zeile durch 2 dividieren:

: 3
⋅ 2

3 Personen10 h
1 Person30 h
2 Personen15 h

⋅ 3
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 Personen entspricht: 15 h

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

6 Minuten pro Tag8 Tage
??
4 Minuten pro Tag?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten pro Tag in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 Minuten pro Tag teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 4 sein, also der ggT(6,4) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Minuten pro Tag:


6 Minuten pro Tag8 Tage
2 Minuten pro Tag?
4 Minuten pro Tag?

Um von 6 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 2 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 8 Tage nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Minuten pro Tag links entspricht:

: 3

6 Minuten pro Tag8 Tage
2 Minuten pro Tag?
4 Minuten pro Tag?

⋅ 3
: 3

6 Minuten pro Tag8 Tage
2 Minuten pro Tag24 Tage
4 Minuten pro Tag?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Minuten pro Tag in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 4 Minuten pro Tag in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 2

6 Minuten pro Tag8 Tage
2 Minuten pro Tag24 Tage
4 Minuten pro Tag?

⋅ 3
: 2

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 24 Tage in der mittleren Zeile durch 2 dividieren:

: 3
⋅ 2

6 Minuten pro Tag8 Tage
2 Minuten pro Tag24 Tage
4 Minuten pro Tag12 Tage

⋅ 3
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Minuten pro Tag entspricht: 12 Tage

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 4 Spezi-Flaschen den 14 Gäste entsprechen.

: 4
⋅ 7

8 Gäste7 Spezi-Flaschen
2 Gäste28 Spezi-Flaschen
14 Gäste4 Spezi-Flaschen

⋅ 4
: 7

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 4 Spezi-Flaschen(für 14 Gäste) war also korrekt.


Jetzt überprüfen wir, ob die 8 Spezi-Flaschen den 7 Gäste entsprechen.

: 8
⋅ 7

8 Gäste7 Spezi-Flaschen
1 Gäste56 Spezi-Flaschen
7 Gäste8 Spezi-Flaschen

⋅ 8
: 7

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 8 Spezi-Flaschen (für 7 Gäste) war also korrekt.

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 10€ für ein Los verlangen, müssten sie 60 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.

Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 12 € verkaufen?
Wie hoch muss man den Preis ansetzen, wenn man erwartet, das sich 50 Lose verkaufen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


10 € Lospreis60 Lose
??
12 € Lospreis?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 10 und von 12 sein, also der ggT(10,12) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 € Lospreis:


10 € Lospreis60 Lose
2 € Lospreis?
12 € Lospreis?

Um von 10 € Lospreis in der ersten Zeile auf 2 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 60 Lose nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 € Lospreis links entspricht:

: 5

10 € Lospreis60 Lose
2 € Lospreis300 Lose
12 € Lospreis?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 6 multiplizieren, um auf die 12 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 6

10 € Lospreis60 Lose
2 € Lospreis300 Lose
12 € Lospreis50 Lose

⋅ 5
: 6

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 € Lospreis entspricht: 50 Lose



Für die andere Frage (Wie hoch muss man den Preis ansetzen, wenn man erwartet, das sich 50 Lose verkaufen?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "Lose"-Werte haben und nach einem "€ Lospreis"-Wert gesucht wird:


60 Lose10 € Lospreis
??
50 Lose?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lose in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 60 Lose teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 60 und von 50 sein, also der ggT(60,50) = 10.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 10 Lose:


60 Lose10 € Lospreis
10 Lose?
50 Lose?

Um von 60 Lose in der ersten Zeile auf 10 Lose in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 6 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 10 € Lospreis nicht durch 6 teilen, sondern mit 6 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 10 Lose links entspricht:

: 6

60 Lose10 € Lospreis
10 Lose60 € Lospreis
50 Lose?

⋅ 6

Jetzt müssen wir ja wieder die 10 Lose in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 50 Lose in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 6
⋅ 5

60 Lose10 € Lospreis
10 Lose60 € Lospreis
50 Lose12 € Lospreis

⋅ 6
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 50 Lose entspricht: 12 € Lospreis

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Eine Drohne muss eine bestimmte Strecke zurücklegen. Wenn sie dabei mit einer Geschwindigkeit von 20 km/h fliegt, braucht sie dafür 8 Minuten.Wie lange braucht sie bei einer Geschwindigkeit von 45 km/h?

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Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

GeschwindigkeitFlugzeit
20 km/h8 min
( : 20 )( ⋅ 20 )
1 km/h160 min
( ⋅ 45 )( : 45 )
45 km/h 160 45 min

Die gesuchte Flugzeit ist also 160 45 = 32 9 = 3 5 9 ≈ 3.556 min