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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 1 Lastwagen müsste dafür 60 mal fahren.

Wie oft müssten 10 LKWs fahren?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Lastwagen60 Fuhren
10 Lastwagen?

Um von 1 Lastwagen in der ersten Zeile auf 10 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 10 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 60 Fuhren durch 10 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 10 Lastwagen entspricht:

⋅ 10
1 Lastwagen60 Fuhren
10 Lastwagen?
: 10
⋅ 10
1 Lastwagen60 Fuhren
10 Lastwagen6 Fuhren
: 10

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 Lastwagen entspricht: 6 Fuhren

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 4€ für ein Los verlangen, müssten sie 60 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.

Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 3 € verkaufen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


4 € Lospreis60 Lose
??
3 € Lospreis?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 € Lospreis:


4 € Lospreis60 Lose
1 € Lospreis?
3 € Lospreis?

Um von 4 € Lospreis in der ersten Zeile auf 1 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 60 Lose nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 € Lospreis links entspricht:

: 4

4 € Lospreis60 Lose
1 € Lospreis?
3 € Lospreis?

⋅ 4
: 4

4 € Lospreis60 Lose
1 € Lospreis240 Lose
3 € Lospreis?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 3

4 € Lospreis60 Lose
1 € Lospreis240 Lose
3 € Lospreis?

⋅ 4
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 240 Lose in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 4
⋅ 3

4 € Lospreis60 Lose
1 € Lospreis240 Lose
3 € Lospreis80 Lose

⋅ 4
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 € Lospreis entspricht: 80 Lose

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

3 Lastwagen12 Fuhren
??
2 Lastwagen?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 3 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 3 und von 2 sein, also der ggT(3,2) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Lastwagen:


3 Lastwagen12 Fuhren
1 Lastwagen?
2 Lastwagen?

Um von 3 Lastwagen in der ersten Zeile auf 1 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 12 Fuhren nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Lastwagen links entspricht:

: 3

3 Lastwagen12 Fuhren
1 Lastwagen?
2 Lastwagen?

⋅ 3
: 3

3 Lastwagen12 Fuhren
1 Lastwagen36 Fuhren
2 Lastwagen?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 2

3 Lastwagen12 Fuhren
1 Lastwagen36 Fuhren
2 Lastwagen?

⋅ 3
: 2

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 36 Fuhren in der mittleren Zeile durch 2 dividieren:

: 3
⋅ 2

3 Lastwagen12 Fuhren
1 Lastwagen36 Fuhren
2 Lastwagen18 Fuhren

⋅ 3
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 Lastwagen entspricht: 18 Fuhren

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 14 Spezi-Flaschen den 4 Gäste entsprechen.

: 7
⋅ 4

7 Gäste8 Spezi-Flaschen
1 Gast56 Spezi-Flaschen
4 Gäste14 Spezi-Flaschen

⋅ 7
: 4

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 14 Spezi-Flaschen(für 4 Gäste) war also korrekt.


Jetzt überprüfen wir, ob die 7 Spezi-Flaschen den 8 Gäste entsprechen.

: 7
⋅ 8

7 Gäste8 Spezi-Flaschen
1 Gäste56 Spezi-Flaschen
8 Gäste7 Spezi-Flaschen

⋅ 7
: 8

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 7 Spezi-Flaschen (für 8 Gäste) war also korrekt.

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Wenn Karla mit ihrem Handy jeden Tag immer 8 Minuten telefonieren würde, würden ihre Freiminuten noch genau 6 Tage halten.

Wann wären ihre Freiminuten aufgebraucht, wenn sie täglich 12 min telefonieren würde?
Wie lange kann sie täglich telefonieren, wenn die Freiminuten 8 Tage reichen sollen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


8 Minuten pro Tag6 Tage
??
12 Minuten pro Tag?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten pro Tag in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Minuten pro Tag teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 12 sein, also der ggT(8,12) = 4.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 Minuten pro Tag:


8 Minuten pro Tag6 Tage
4 Minuten pro Tag?
12 Minuten pro Tag?

Um von 8 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 4 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 Tage nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 4 Minuten pro Tag links entspricht:

: 2

8 Minuten pro Tag6 Tage
4 Minuten pro Tag12 Tage
12 Minuten pro Tag?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 4 Minuten pro Tag in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 12 Minuten pro Tag in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2
⋅ 3

8 Minuten pro Tag6 Tage
4 Minuten pro Tag12 Tage
12 Minuten pro Tag4 Tage

⋅ 2
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Minuten pro Tag entspricht: 4 Tage



Für die andere Frage (Wie lange kann sie täglich telefonieren, wenn die Freiminuten 8 Tage reichen sollen?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "Tage"-Werte haben und nach einem "Minuten pro Tag"-Wert gesucht wird:


6 Tage8 Minuten pro Tag
??
8 Tage?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Tage in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 Tage teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 8 sein, also der ggT(6,8) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Tage:


6 Tage8 Minuten pro Tag
2 Tage?
8 Tage?

Um von 6 Tage in der ersten Zeile auf 2 Tage in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 8 Minuten pro Tag nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Tage links entspricht:

: 3

6 Tage8 Minuten pro Tag
2 Tage24 Minuten pro Tag
8 Tage?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Tage in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 8 Tage in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 4

6 Tage8 Minuten pro Tag
2 Tage24 Minuten pro Tag
8 Tage6 Minuten pro Tag

⋅ 3
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Tage entspricht: 6 Minuten pro Tag

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Eine Drohne muss eine bestimmte Strecke zurücklegen. Wenn sie dabei mit einer Geschwindigkeit von 20 km/h fliegt, braucht sie dafür 8 Minuten.Wie lange braucht sie bei einer Geschwindigkeit von 50 km/h?

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Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

GeschwindigkeitFlugzeit
20 km/h8 min
( : 20 )( ⋅ 20 )
1 km/h160 min
( ⋅ 50 )( : 50 )
50 km/h 160 50 min

Die gesuchte Flugzeit ist also 160 50 = 16 5 = 3 1 5 ≈ 3.2 min