nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn Karla mit ihrem Handy jeden Tag immer 1 Minute telefonieren würde, würden ihre Freiminuten noch genau 45 Tage halten.

Wann wären ihre Freiminuten aufgebraucht, wenn sie täglich 9 min telefonieren würde?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Minute pro Tag45 Tage
9 Minuten pro Tag?

Um von 1 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 9 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 9 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 45 Tage durch 9 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 9 Minuten pro Tag entspricht:

⋅ 9
1 Minute pro Tag45 Tage
9 Minuten pro Tag?
: 9
⋅ 9
1 Minute pro Tag45 Tage
9 Minuten pro Tag5 Tage
: 9

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 9 Minuten pro Tag entspricht: 5 Tage

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 3€ für ein Los verlangen, müssten sie 100 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.

Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 2 € verkaufen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


3 € Lospreis100 Lose
??
2 € Lospreis?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 3 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 3 und von 2 sein, also der ggT(3,2) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 € Lospreis:


3 € Lospreis100 Lose
1 € Lospreis?
2 € Lospreis?

Um von 3 € Lospreis in der ersten Zeile auf 1 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 100 Lose nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 € Lospreis links entspricht:

: 3

3 € Lospreis100 Lose
1 € Lospreis?
2 € Lospreis?

⋅ 3
: 3

3 € Lospreis100 Lose
1 € Lospreis300 Lose
2 € Lospreis?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 2

3 € Lospreis100 Lose
1 € Lospreis300 Lose
2 € Lospreis?

⋅ 3
: 2

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 300 Lose in der mittleren Zeile durch 2 dividieren:

: 3
⋅ 2

3 € Lospreis100 Lose
1 € Lospreis300 Lose
2 € Lospreis150 Lose

⋅ 3
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 € Lospreis entspricht: 150 Lose

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

12 Lastwagen4 Fuhren
??
16 Lastwagen?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 12 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 12 und von 16 sein, also der ggT(12,16) = 4.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 Lastwagen:


12 Lastwagen4 Fuhren
4 Lastwagen?
16 Lastwagen?

Um von 12 Lastwagen in der ersten Zeile auf 4 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 4 Fuhren nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 4 Lastwagen links entspricht:

: 3

12 Lastwagen4 Fuhren
4 Lastwagen?
16 Lastwagen?

⋅ 3
: 3

12 Lastwagen4 Fuhren
4 Lastwagen12 Fuhren
16 Lastwagen?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 4 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 16 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 4

12 Lastwagen4 Fuhren
4 Lastwagen12 Fuhren
16 Lastwagen?

⋅ 3
: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 12 Fuhren in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 3
⋅ 4

12 Lastwagen4 Fuhren
4 Lastwagen12 Fuhren
16 Lastwagen3 Fuhren

⋅ 3
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 16 Lastwagen entspricht: 3 Fuhren

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 4 Spezi-Flaschen den 14 Gäste entsprechen.

: 4
⋅ 7

8 Gäste7 Spezi-Flaschen
2 Gäste28 Spezi-Flaschen
14 Gäste4 Spezi-Flaschen

⋅ 4
: 7

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 4 Spezi-Flaschen(für 14 Gäste) war also korrekt.


Jetzt überprüfen wir, ob die 8 Spezi-Flaschen den 7 Gäste entsprechen.

: 8
⋅ 7

8 Gäste7 Spezi-Flaschen
1 Gäste56 Spezi-Flaschen
7 Gäste8 Spezi-Flaschen

⋅ 8
: 7

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 8 Spezi-Flaschen (für 7 Gäste) war also korrekt.

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Wenn 5 Personen das Schulhaus putzen, brauchen sie dafür 8 h.

Wie lange bräuchten 4 Personen hierfür?
Wie viele Personen bräuchte man, damit jeder 5 h putzen müsste?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


5 Personen8 h
??
4 Personen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 4 sein, also der ggT(5,4) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Personen:


5 Personen8 h
1 Person?
4 Personen?

Um von 5 Personen in der ersten Zeile auf 1 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 8 h nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Personen links entspricht:

: 5

5 Personen8 h
1 Person40 h
4 Personen?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Personen in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 4

5 Personen8 h
1 Person40 h
4 Personen10 h

⋅ 5
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Personen entspricht: 10 h



Für die andere Frage (Wie viele Personen bräuchte man, damit jeder 5 h putzen müsste?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "h"-Werte haben und nach einem "Personen"-Wert gesucht wird:


8 h5 Personen
??
5 h?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die h in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 h teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 5 sein, also der ggT(8,5) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 h:


8 h5 Personen
1 h?
5 h?

Um von 8 h in der ersten Zeile auf 1 h in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 8 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 Personen nicht durch 8 teilen, sondern mit 8 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 h links entspricht:

: 8

8 h5 Personen
1 h40 Personen
5 h?

⋅ 8

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 h in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 5 h in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 8
⋅ 5

8 h5 Personen
1 h40 Personen
5 h8 Personen

⋅ 8
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 h entspricht: 8 Personen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Eine Drohne muss eine bestimmte Strecke zurücklegen. Wenn sie dabei mit einer Geschwindigkeit von 40 km/h fliegt, braucht sie dafür 8 Minuten.Wie lange braucht sie bei einer Geschwindigkeit von 39 km/h?

Lösung einblenden
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

GeschwindigkeitFlugzeit
40 km/h8 min
( : 40 )( ⋅ 40 )
1 km/h320 min
( ⋅ 39 )( : 39 )
39 km/h 320 39 min

Die gesuchte Flugzeit ist also 320 39 = 8 8 39 ≈ 8.205 min