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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 1€ für ein Los verlangen, müssten sie 400 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.

Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 5 € verkaufen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 € Lospreis	400 Lose
5 € Lospreis	?

Um von 1 € Lospreis in der ersten Zeile auf 5 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 5 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 400 Lose durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 5 € Lospreis entspricht:

⋅ 5

1 € Lospreis	400 Lose
5 € Lospreis	?

: 5

⋅ 5

1 € Lospreis	400 Lose
5 € Lospreis	80 Lose

: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 € Lospreis entspricht: 80 Lose

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Karls hat für seine Geburtstagsparty Spezi bekommen. Dabei reicht es für jeden genau 5 Flaschen, wenn insgesamt 8 Personen auf seiner Party sind.

Wie viele Flaschen würde jeder bekommen, wenn insgesamt 10 Personen auf der Party wären?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

8 Gäste	5 Spezi-Flaschen
?	?
10 Gäste	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Gäste in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Gäste teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 10 sein, also der ggT(8,10) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Gäste:

8 Gäste	5 Spezi-Flaschen
2 Gäste	?
10 Gäste	?

Um von 8 Gäste in der ersten Zeile auf 2 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 Spezi-Flaschen nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Gäste links entspricht:

: 4

8 Gäste	5 Spezi-Flaschen
2 Gäste	?
10 Gäste	?

⋅ 4

: 4

8 Gäste	5 Spezi-Flaschen
2 Gäste	20 Spezi-Flaschen
10 Gäste	?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Gäste in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 10 Gäste in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4

⋅ 5

8 Gäste	5 Spezi-Flaschen
2 Gäste	20 Spezi-Flaschen
10 Gäste	?

⋅ 4

: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 20 Spezi-Flaschen in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 4

⋅ 5

8 Gäste	5 Spezi-Flaschen
2 Gäste	20 Spezi-Flaschen
10 Gäste	4 Spezi-Flaschen

⋅ 4

: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 Gäste entspricht: 4 Spezi-Flaschen

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

6 Minuten pro Tag	4 Tage
?	?
8 Minuten pro Tag	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten pro Tag in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 Minuten pro Tag teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 8 sein, also der ggT(6,8) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Minuten pro Tag:

6 Minuten pro Tag	4 Tage
2 Minuten pro Tag	?
8 Minuten pro Tag	?

Um von 6 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 2 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 4 Tage nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Minuten pro Tag links entspricht:

: 3

6 Minuten pro Tag	4 Tage
2 Minuten pro Tag	?
8 Minuten pro Tag	?

⋅ 3

: 3

6 Minuten pro Tag	4 Tage
2 Minuten pro Tag	12 Tage
8 Minuten pro Tag	?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Minuten pro Tag in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 8 Minuten pro Tag in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3

⋅ 4

6 Minuten pro Tag	4 Tage
2 Minuten pro Tag	12 Tage
8 Minuten pro Tag	?

⋅ 3

: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 12 Tage in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 3

⋅ 4

6 Minuten pro Tag	4 Tage
2 Minuten pro Tag	12 Tage
8 Minuten pro Tag	3 Tage

⋅ 3

: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Minuten pro Tag entspricht: 3 Tage

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 123 Lose den 3 € Lospreis entsprechen.

: 4

⋅ 3

4 € Lospreis	90 Lose
1 € Lospreis	360 Lose
3 € Lospreis	120 Lose

⋅ 4

: 3

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 123 Lose (für 3 € Lospreis) war also falsch, richtig wäre 120 Lose gewesen.

Jetzt überprüfen wir, ob die 2 Lose den 90 € Lospreis entsprechen.

: 2

⋅ 45

4 € Lospreis	90 Lose
2 € Lospreis	180 Lose
90 € Lospreis	4 Lose

⋅ 2

: 45

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 2 Lose (für 90 € Lospreis) war also falsch, richtig wäre 4 Lose gewesen.

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Wenn 10 Personen das Schulhaus putzen, brauchen sie dafür 5 h.

Wie lange bräuchten 25 Personen hierfür?
Wie viele Personen bräuchte man, damit jeder 10 h putzen müsste?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

10 Personen	5 h
?	?
25 Personen	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 10 und von 25 sein, also der ggT(10,25) = 5.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 Personen:

10 Personen	5 h
5 Personen	?
25 Personen	?

Um von 10 Personen in der ersten Zeile auf 5 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 h nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 5 Personen links entspricht:

: 2

10 Personen	5 h
5 Personen	10 h
25 Personen	?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 5 Personen in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 25 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2

⋅ 5

10 Personen	5 h
5 Personen	10 h
25 Personen	2 h

⋅ 2

: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 25 Personen entspricht: 2 h

Um von 5 h in der ersten Zeile auf 10 h in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 2 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 10 Personen durch 2 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 10 h entspricht:

⋅ 2

5 h	10 Personen
10 h	?

: 2

⋅ 2

5 h	10 Personen
10 h	5 Personen

: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 h entspricht: 5 Personen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Eine Drohne muss eine bestimmte Strecke zurücklegen. Wenn sie dabei mit einer Geschwindigkeit von 30 km/h fliegt, braucht sie dafür 12 Minuten.Wie lange braucht sie bei einer Geschwindigkeit von 29 km/h?

Lösung einblenden

Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

Geschwindigkeit	Flugzeit
30 km/h	12 min
( : 30 )	( ⋅ 30 )
1 km/h	$360$ min
( ⋅ 29 )	( : 29 )
29 km/h	$\frac{360}{29}$ min

Die gesuchte Flugzeit ist also $\frac{360}{29}$ = 12 $\frac{12}{29}$ ≈ 12.414 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz (antiproportional)

Dreisatz (antiproportional)

Tabelle (antiproportional)

Antiproportionalität überprüfen

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)