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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit einem CPU-Kern 40 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 5 solchen CPU-Kernen?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 CPU-Kern	40 ms
5 CPU-Kerne	?

Um von 1 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 5 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 5 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 40 ms durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 5 CPU-Kerne entspricht:

⋅ 5

1 CPU-Kern	40 ms
5 CPU-Kerne	?

: 5

⋅ 5

1 CPU-Kern	40 ms
5 CPU-Kerne	8 ms

: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 CPU-Kerne entspricht: 8 ms

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn 5 Personen das Schulhaus putzen, brauchen sie dafür 8 h.

Wie lange bräuchten 4 Personen hierfür?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

5 Personen	8 h
?	?
4 Personen	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 4 sein, also der ggT(5,4) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Personen:

5 Personen	8 h
1 Person	?
4 Personen	?

Um von 5 Personen in der ersten Zeile auf 1 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 8 h nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Personen links entspricht:

: 5

5 Personen	8 h
1 Person	?
4 Personen	?

⋅ 5

: 5

5 Personen	8 h
1 Person	40 h
4 Personen	?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Personen in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5

⋅ 4

5 Personen	8 h
1 Person	40 h
4 Personen	?

⋅ 5

: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 40 h in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 5

⋅ 4

5 Personen	8 h
1 Person	40 h
4 Personen	10 h

⋅ 5

: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Personen entspricht: 10 h

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

4 Lastwagen	6 Fuhren
?	?
3 Lastwagen	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Lastwagen:

4 Lastwagen	6 Fuhren
1 Lastwagen	?
3 Lastwagen	?

Um von 4 Lastwagen in der ersten Zeile auf 1 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 Fuhren nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Lastwagen links entspricht:

: 4

4 Lastwagen	6 Fuhren
1 Lastwagen	?
3 Lastwagen	?

⋅ 4

: 4

4 Lastwagen	6 Fuhren
1 Lastwagen	24 Fuhren
3 Lastwagen	?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4

⋅ 3

4 Lastwagen	6 Fuhren
1 Lastwagen	24 Fuhren
3 Lastwagen	?

⋅ 4

: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 24 Fuhren in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 4

⋅ 3

4 Lastwagen	6 Fuhren
1 Lastwagen	24 Fuhren
3 Lastwagen	8 Fuhren

⋅ 4

: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Lastwagen entspricht: 8 Fuhren

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 29 Lose den 15 € Lospreis entsprechen.

: 3

⋅ 5

9 € Lospreis	50 Lose
3 € Lospreis	150 Lose
15 € Lospreis	30 Lose

⋅ 3

: 5

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 29 Lose (für 15 € Lospreis) war also falsch, richtig wäre 30 Lose gewesen.

Jetzt überprüfen wir, ob die 7 Lose den 75 € Lospreis entsprechen.

: 3

⋅ 25

9 € Lospreis	50 Lose
3 € Lospreis	150 Lose
75 € Lospreis	6 Lose

⋅ 3

: 25

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 7 Lose (für 75 € Lospreis) war also falsch, richtig wäre 6 Lose gewesen.

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Karls hat für seine Geburtstagsparty Spezi bekommen. Dabei reicht es für jeden genau 12 Flaschen, wenn insgesamt 4 Personen auf seiner Party sind.

Wie viele Flaschen würde jeder bekommen, wenn insgesamt 3 Personen auf der Party wären?
Wie viele Personen können auf die Party, damit es für jeden zu 6 Flaschen reicht?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

4 Gäste	12 Spezi-Flaschen
?	?
3 Gäste	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Gäste in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 Gäste teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Gäste:

4 Gäste	12 Spezi-Flaschen
1 Gast	?
3 Gäste	?

Um von 4 Gäste in der ersten Zeile auf 1 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 12 Spezi-Flaschen nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Gäste links entspricht:

: 4

4 Gäste	12 Spezi-Flaschen
1 Gast	48 Spezi-Flaschen
3 Gäste	?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Gäste in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Gäste in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4

⋅ 3

4 Gäste	12 Spezi-Flaschen
1 Gast	48 Spezi-Flaschen
3 Gäste	16 Spezi-Flaschen

⋅ 4

: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Gäste entspricht: 16 Spezi-Flaschen

Um von 12 Spezi-Flaschen in der ersten Zeile auf 6 Spezi-Flaschen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 4 Gäste mit 2 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 6 Spezi-Flaschen entspricht:

: 2

12 Spezi-Flaschen	4 Gäste
6 Spezi-Flaschen	?

⋅ 2

: 2

12 Spezi-Flaschen	4 Gäste
6 Spezi-Flaschen	8 Gäste

⋅ 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 6 Spezi-Flaschen entspricht: 8 Gäste

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Ein Raum wird mit 30 LED-Leuchten á 130 Lumen ausgeleuchtet. Aus ästhetischen Gründen sollen nur noch 19 Leuchten im Raum installiert sein, diese sollen aber die gleiche Helligkeit erzeugen. Wie viel Lumen brauchen dann diese neuen LED-Leuchten?

Lösung einblenden

Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

Anzahl LED-Leuchten	Helligkeit
30	130 Lumen
( : 30 )	( ⋅ 30 )
1	$3 900$ Lumen
( ⋅ 19 )	( : 19 )
19	$\frac{3 900}{19}$ Lumen

Die gesuchte Helligkeit ist also $\frac{3 900}{19}$ = 205 $\frac{5}{19}$ ≈ 205.263 Lumen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz (antiproportional)

Dreisatz (antiproportional)

Tabelle (antiproportional)

Antiproportionalität überprüfen

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)