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nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Zweisatz (antiproportional)
Beispiel:
Ein Hausmeister hat ein extra Budget von 450 € für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld).
Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 5 Helfer:innen hätte?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 1 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 5 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 5 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 450 € Lohn durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 5 Helfer:innen entspricht:
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⋅ 5
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: 5
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⋅ 5
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: 5
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 Helfer:innen entspricht: 90 € Lohn
Dreisatz (antiproportional)
Beispiel:
Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit 9 CPU-Kernen 5 ms rechnen.
Wie lange bräuchte ein Computer mit 15 solchen CPU-Kernen?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 9 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 9 und von 15 sein, also der ggT(9,15) = 3.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 CPU-Kerne:
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Um von 9 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 3 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 ms nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 3 CPU-Kerne links entspricht:
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: 3
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⋅ 3
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: 3
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⋅ 3
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Jetzt müssen wir ja wieder die 3 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 15 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 3
⋅ 5
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⋅ 3
: 5
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Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 15 ms in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:
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: 3
⋅ 5
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⋅ 3
: 5
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 CPU-Kerne entspricht: 3 ms
Tabelle (antiproportional)
Beispiel:
Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.
| 10 Lastwagen | 5 Fuhren |
| ? | ? |
| 25 Lastwagen | ? |
Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 10 und von 25 sein, also der ggT(10,25) = 5.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 Lastwagen:
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Um von 10 Lastwagen in der ersten Zeile auf 5 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 Fuhren nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 5 Lastwagen links entspricht:
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: 2
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⋅ 2
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: 2
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⋅ 2
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Jetzt müssen wir ja wieder die 5 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 25 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 2
⋅ 5
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⋅ 2
: 5
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Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 10 Fuhren in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:
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: 2
⋅ 5
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⋅ 2
: 5
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 25 Lastwagen entspricht: 2 Fuhren
Antiproportionalität überprüfen
Beispiel:
Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.
Wir überprüfen zuerst, ob die 1003 km den 3 Liter pro 100km entsprechen.
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: 5
⋅ 3
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⋅ 5
: 3
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Der urpsrünglich vorgegebene Wert 1003 km (für 3 Liter pro 100km) war also falsch, richtig wäre 1000 km gewesen.
Jetzt überprüfen wir, ob die 498 km den 6 Liter pro 100km entsprechen.
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: 5
⋅ 6
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⋅ 5
: 6
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Der urpsrünglich vorgegebene Wert 498 km (für 6 Liter pro 100km) war also falsch, richtig wäre 500 km gewesen.
Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen
Beispiel:
Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 8€ für ein Los verlangen, müssten sie 70 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.
Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 14 € verkaufen?
Wie hoch muss man den Preis ansetzen, wenn man erwartet, das sich 7 Lose verkaufen?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 14 sein, also der ggT(8,14) = 2.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 € Lospreis:
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Um von 8 € Lospreis in der ersten Zeile auf 2 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 70 Lose nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 € Lospreis links entspricht:
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: 4
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⋅ 4
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Jetzt müssen wir ja wieder die 2 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 7 multiplizieren, um auf die 14 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 4
⋅ 7
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⋅ 4
: 7
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 14 € Lospreis entspricht: 40 Lose
Um von 70 Lose in der ersten Zeile auf 7 Lose in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 10 teilen. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 8 € Lospreis mit 10 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 7 Lose entspricht:
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: 10
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⋅ 10
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: 10
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⋅ 10
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 7 Lose entspricht: 80 € Lospreis
Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)
Beispiel:
Ein Raum wird mit 50 LED-Leuchten á 110 Lumen ausgeleuchtet. Aus ästhetischen Gründen sollen nur noch 18 Leuchten im Raum installiert sein, diese sollen aber die gleiche Helligkeit erzeugen. Wie viel Lumen brauchen dann diese neuen LED-Leuchten?
Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:
| Anzahl LED-Leuchten | Helligkeit |
|---|---|
| 50 | 110 Lumen |
| ( : 50 ) | ( ⋅ 50 ) |
| 1 | Lumen |
| ( ⋅ 18 ) | ( : 18 ) |
| 18 | Lumen |
Die gesuchte Helligkeit ist also = = 305 ≈ 305.556 Lumen