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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget von 560 € für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld).

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 8 Helfer:innen hätte?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Helfer:in	560 € Lohn
8 Helfer:innen	?

Um von 1 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 8 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 8 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 560 € Lohn durch 8 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 8 Helfer:innen entspricht:

⋅ 8

1 Helfer:in	560 € Lohn
8 Helfer:innen	?

: 8

⋅ 8

1 Helfer:in	560 € Lohn
8 Helfer:innen	70 € Lohn

: 8

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Helfer:innen entspricht: 70 € Lohn

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn 8 Personen das Schulhaus putzen, brauchen sie dafür 5 h.

Wie lange bräuchten 10 Personen hierfür?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

8 Personen	5 h
?	?
10 Personen	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 10 sein, also der ggT(8,10) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Personen:

8 Personen	5 h
2 Personen	?
10 Personen	?

Um von 8 Personen in der ersten Zeile auf 2 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 h nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Personen links entspricht:

: 4

8 Personen	5 h
2 Personen	?
10 Personen	?

⋅ 4

: 4

8 Personen	5 h
2 Personen	20 h
10 Personen	?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Personen in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 10 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4

⋅ 5

8 Personen	5 h
2 Personen	20 h
10 Personen	?

⋅ 4

: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 20 h in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 4

⋅ 5

8 Personen	5 h
2 Personen	20 h
10 Personen	4 h

⋅ 4

: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 Personen entspricht: 4 h

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

5 Personen	8 h
?	?
4 Personen	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 4 sein, also der ggT(5,4) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Personen:

5 Personen	8 h
1 Person	?
4 Personen	?

Um von 5 Personen in der ersten Zeile auf 1 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 8 h nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Personen links entspricht:

: 5

5 Personen	8 h
1 Person	?
4 Personen	?

⋅ 5

: 5

5 Personen	8 h
1 Person	40 h
4 Personen	?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Personen in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5

⋅ 4

5 Personen	8 h
1 Person	40 h
4 Personen	?

⋅ 5

: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 40 h in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 5

⋅ 4

5 Personen	8 h
1 Person	40 h
4 Personen	10 h

⋅ 5

: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Personen entspricht: 10 h

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 5 Tage den 15 Minuten pro Tag entsprechen.

: 4

⋅ 5

12 Minuten pro Tag	5 Tage
3 Minuten pro Tag	20 Tage
15 Minuten pro Tag	4 Tage

⋅ 4

: 5

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 5 Tage (für 15 Minuten pro Tag) war also falsch, richtig wäre 4 Tage gewesen.

Jetzt überprüfen wir, ob die 20 Tage den 3 Minuten pro Tag entsprechen.

: 4

⋅ 1

12 Minuten pro Tag	5 Tage
3 Minuten pro Tag	20 Tage
3 Minuten pro Tag	20 Tage

⋅ 4

: 1

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 20 Tage (für 3 Minuten pro Tag) war also korrekt.

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 8€ für ein Los verlangen, müssten sie 50 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.

Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 10 € verkaufen?
Wie hoch muss man den Preis ansetzen, wenn man erwartet, das sich 25 Lose verkaufen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

8 € Lospreis	50 Lose
?	?
10 € Lospreis	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 10 sein, also der ggT(8,10) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 € Lospreis:

8 € Lospreis	50 Lose
2 € Lospreis	?
10 € Lospreis	?

Um von 8 € Lospreis in der ersten Zeile auf 2 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 50 Lose nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 € Lospreis links entspricht:

: 4

8 € Lospreis	50 Lose
2 € Lospreis	200 Lose
10 € Lospreis	?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 10 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4

⋅ 5

8 € Lospreis	50 Lose
2 € Lospreis	200 Lose
10 € Lospreis	40 Lose

⋅ 4

: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 € Lospreis entspricht: 40 Lose

Um von 50 Lose in der ersten Zeile auf 25 Lose in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 8 € Lospreis mit 2 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 25 Lose entspricht:

: 2

50 Lose	8 € Lospreis
25 Lose	?

⋅ 2

: 2

50 Lose	8 € Lospreis
25 Lose	16 € Lospreis

⋅ 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 25 Lose entspricht: 16 € Lospreis

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Eine Drohne muss eine bestimmte Strecke zurücklegen. Wenn sie dabei mit einer Geschwindigkeit von 20 km/h fliegt, braucht sie dafür 12 Minuten.Wie lange braucht sie bei einer Geschwindigkeit von 30 km/h?

Lösung einblenden

Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

Geschwindigkeit	Flugzeit
20 km/h	12 min
( : 20 )	( ⋅ 20 )
1 km/h	$240$ min
( ⋅ 30 )	( : 30 )
30 km/h	$\frac{240}{30}$ min

Die gesuchte Flugzeit ist also $\frac{240}{30}$ = $8$ min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz (antiproportional)

Dreisatz (antiproportional)

Tabelle (antiproportional)

Antiproportionalität überprüfen

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)