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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 1 Lastwagen müsste dafür 24 mal fahren.

Wie oft müssten 6 LKWs fahren?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Lastwagen24 Fuhren
6 Lastwagen?

Um von 1 Lastwagen in der ersten Zeile auf 6 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 6 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 24 Fuhren durch 6 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 6 Lastwagen entspricht:

⋅ 6
1 Lastwagen24 Fuhren
6 Lastwagen?
: 6
⋅ 6
1 Lastwagen24 Fuhren
6 Lastwagen4 Fuhren
: 6

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 6 Lastwagen entspricht: 4 Fuhren

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn Frau Baumann so Auto fährt, dass sie 4 Liter pro 100km verbraucht, kommt sie mit einer Tankfüllung 600 km weit.

Wie weit würde sie mit einer Tankfüllung kommen, wenn sie mit einem "3 Liter/100km "-Schnitt fahren würde?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


4 Liter pro 100km600 km
??
3 Liter pro 100km?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Liter pro 100km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 Liter pro 100km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Liter pro 100km:


4 Liter pro 100km600 km
1 Liter pro 100km?
3 Liter pro 100km?

Um von 4 Liter pro 100km in der ersten Zeile auf 1 Liter pro 100km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 600 km nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Liter pro 100km links entspricht:

: 4

4 Liter pro 100km600 km
1 Liter pro 100km?
3 Liter pro 100km?

⋅ 4
: 4

4 Liter pro 100km600 km
1 Liter pro 100km2400 km
3 Liter pro 100km?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Liter pro 100km in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Liter pro 100km in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 3

4 Liter pro 100km600 km
1 Liter pro 100km2400 km
3 Liter pro 100km?

⋅ 4
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 2400 km in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 4
⋅ 3

4 Liter pro 100km600 km
1 Liter pro 100km2400 km
3 Liter pro 100km800 km

⋅ 4
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Liter pro 100km entspricht: 800 km

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

15 CPU-Kerne4 ms
??
20 CPU-Kerne?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 15 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 15 und von 20 sein, also der ggT(15,20) = 5.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 CPU-Kerne:


15 CPU-Kerne4 ms
5 CPU-Kerne?
20 CPU-Kerne?

Um von 15 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 5 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 4 ms nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 5 CPU-Kerne links entspricht:

: 3

15 CPU-Kerne4 ms
5 CPU-Kerne?
20 CPU-Kerne?

⋅ 3
: 3

15 CPU-Kerne4 ms
5 CPU-Kerne12 ms
20 CPU-Kerne?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 5 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 20 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 4

15 CPU-Kerne4 ms
5 CPU-Kerne12 ms
20 CPU-Kerne?

⋅ 3
: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 12 ms in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 3
⋅ 4

15 CPU-Kerne4 ms
5 CPU-Kerne12 ms
20 CPU-Kerne3 ms

⋅ 3
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 20 CPU-Kerne entspricht: 3 ms

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 83 Lose den 3 € Lospreis entsprechen.

: 4
⋅ 3

4 € Lospreis60 Lose
1 € Lospreis240 Lose
3 € Lospreis80 Lose

⋅ 4
: 3

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 83 Lose (für 3 € Lospreis) war also falsch, richtig wäre 80 Lose gewesen.


Jetzt überprüfen wir, ob die 48 Lose den 5 € Lospreis entsprechen.

: 4
⋅ 5

4 € Lospreis60 Lose
1 € Lospreis240 Lose
5 € Lospreis48 Lose

⋅ 4
: 5

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 48 Lose (für 5 € Lospreis) war also korrekt.

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Karls hat für seine Geburtstagsparty Spezi bekommen. Dabei reicht es für jeden genau 12 Flaschen, wenn insgesamt 3 Personen auf seiner Party sind.

Wie viele Flaschen würde jeder bekommen, wenn insgesamt 2 Personen auf der Party wären?
Wie viele Personen können auf die Party, damit es für jeden zu 6 Flaschen reicht?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


3 Gäste12 Spezi-Flaschen
??
2 Gäste?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Gäste in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 3 Gäste teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 3 und von 2 sein, also der ggT(3,2) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Gäste:


3 Gäste12 Spezi-Flaschen
1 Gast?
2 Gäste?

Um von 3 Gäste in der ersten Zeile auf 1 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 12 Spezi-Flaschen nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Gäste links entspricht:

: 3

3 Gäste12 Spezi-Flaschen
1 Gast36 Spezi-Flaschen
2 Gäste?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Gäste in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 Gäste in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 2

3 Gäste12 Spezi-Flaschen
1 Gast36 Spezi-Flaschen
2 Gäste18 Spezi-Flaschen

⋅ 3
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 Gäste entspricht: 18 Spezi-Flaschen



Um von 12 Spezi-Flaschen in der ersten Zeile auf 6 Spezi-Flaschen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 3 Gäste mit 2 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 6 Spezi-Flaschen entspricht:

: 2
12 Spezi-Flaschen3 Gäste
6 Spezi-Flaschen?
⋅ 2
: 2
12 Spezi-Flaschen3 Gäste
6 Spezi-Flaschen6 Gäste
⋅ 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 6 Spezi-Flaschen entspricht: 6 Gäste

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Eine Drohne muss eine bestimmte Strecke zurücklegen. Wenn sie dabei mit einer Geschwindigkeit von 50 km/h fliegt, braucht sie dafür 12 Minuten.Wie lange braucht sie bei einer Geschwindigkeit von 22 km/h?

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Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

GeschwindigkeitFlugzeit
50 km/h12 min
( : 50 )( ⋅ 50 )
1 km/h600 min
( ⋅ 22 )( : 22 )
22 km/h 600 22 min

Die gesuchte Flugzeit ist also 600 22 = 300 11 = 27 3 11 ≈ 27.273 min