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nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Zweisatz (antiproportional)
Beispiel:
Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 1 Lastwagen müsste dafür 60 mal fahren.
Wie oft müssten 10 LKWs fahren?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 1 Lastwagen in der ersten Zeile auf 10 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 10 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 60 Fuhren durch 10 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 10 Lastwagen entspricht:
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⋅ 10
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: 10
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⋅ 10
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: 10
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 Lastwagen entspricht: 6 Fuhren
Dreisatz (antiproportional)
Beispiel:
Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 4€ für ein Los verlangen, müssten sie 60 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.
Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 3 € verkaufen?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 € Lospreis:
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Um von 4 € Lospreis in der ersten Zeile auf 1 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 60 Lose nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 € Lospreis links entspricht:
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: 4
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⋅ 4
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: 4
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⋅ 4
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Jetzt müssen wir ja wieder die 1 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 4
⋅ 3
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⋅ 4
: 3
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Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 240 Lose in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:
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: 4
⋅ 3
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⋅ 4
: 3
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 € Lospreis entspricht: 80 Lose
Tabelle (antiproportional)
Beispiel:
Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.
| 3 Lastwagen | 12 Fuhren |
| ? | ? |
| 2 Lastwagen | ? |
Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 3 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 3 und von 2 sein, also der ggT(3,2) = 1.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Lastwagen:
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Um von 3 Lastwagen in der ersten Zeile auf 1 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 12 Fuhren nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Lastwagen links entspricht:
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: 3
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⋅ 3
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: 3
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⋅ 3
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Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 3
⋅ 2
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⋅ 3
: 2
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Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 36 Fuhren in der mittleren Zeile durch 2 dividieren:
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: 3
⋅ 2
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⋅ 3
: 2
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 Lastwagen entspricht: 18 Fuhren
Antiproportionalität überprüfen
Beispiel:
Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.
Wir überprüfen zuerst, ob die 14 Spezi-Flaschen den 4 Gäste entsprechen.
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: 7
⋅ 4
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⋅ 7
: 4
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Der urpsrünglich vorgegebene Wert 14 Spezi-Flaschen(für 4 Gäste) war also korrekt.
Jetzt überprüfen wir, ob die 7 Spezi-Flaschen den 8 Gäste entsprechen.
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: 7
⋅ 8
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⋅ 7
: 8
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Der urpsrünglich vorgegebene Wert 7 Spezi-Flaschen (für 8 Gäste) war also korrekt.
Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen
Beispiel:
Wenn Karla mit ihrem Handy jeden Tag immer 8 Minuten telefonieren würde, würden ihre Freiminuten noch genau 6 Tage halten.
Wann wären ihre Freiminuten aufgebraucht, wenn sie täglich 12 min telefonieren würde?
Wie lange kann sie täglich telefonieren, wenn die Freiminuten 8 Tage reichen sollen?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten pro Tag in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Minuten pro Tag teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 12 sein, also der ggT(8,12) = 4.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 Minuten pro Tag:
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Um von 8 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 4 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 Tage nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 4 Minuten pro Tag links entspricht:
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: 2
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⋅ 2
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Jetzt müssen wir ja wieder die 4 Minuten pro Tag in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 12 Minuten pro Tag in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 2
⋅ 3
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⋅ 2
: 3
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Minuten pro Tag entspricht: 4 Tage
Für die andere Frage (Wie lange kann sie täglich telefonieren, wenn die Freiminuten 8 Tage reichen sollen?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "Tage"-Werte haben und nach einem "Minuten pro Tag"-Wert gesucht wird:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Tage in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 Tage teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 8 sein, also der ggT(6,8) = 2.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Tage:
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Um von 6 Tage in der ersten Zeile auf 2 Tage in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 8 Minuten pro Tag nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Tage links entspricht:
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: 3
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⋅ 3
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Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Tage in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 8 Tage in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 3
⋅ 4
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⋅ 3
: 4
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Tage entspricht: 6 Minuten pro Tag
Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)
Beispiel:
Eine Drohne muss eine bestimmte Strecke zurücklegen. Wenn sie dabei mit einer Geschwindigkeit von 20 km/h fliegt, braucht sie dafür 8 Minuten.Wie lange braucht sie bei einer Geschwindigkeit von 50 km/h?
Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:
| Geschwindigkeit | Flugzeit |
|---|---|
| 20 km/h | 8 min |
| ( : 20 ) | ( ⋅ 20 ) |
| 1 km/h | min |
| ( ⋅ 50 ) | ( : 50 ) |
| 50 km/h | min |
Die gesuchte Flugzeit ist also = = 3 ≈ 3.2 min