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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn Frau Baumanns Auto nur ein Liter pro 100km verbrauchen würde, würde sie mit einer Tankfüllung 5600 km weit kommen.

Wie weit würde sie mit einer Tankfüllung kommen, wenn sie mit einem "7 Liter/100km "-Schnitt fahren würde?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Liter pro 100km5600 km
7 Liter pro 100km?

Um von 1 Liter pro 100km in der ersten Zeile auf 7 Liter pro 100km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 7 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 5600 km durch 7 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 7 Liter pro 100km entspricht:

⋅ 7
1 Liter pro 100km5600 km
7 Liter pro 100km?
: 7
⋅ 7
1 Liter pro 100km5600 km
7 Liter pro 100km800 km
: 7

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 7 Liter pro 100km entspricht: 800 km

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn Frau Baumann so Auto fährt, dass sie 4 Liter pro 100km verbraucht, kommt sie mit einer Tankfüllung 900 km weit.

Wie weit würde sie mit einer Tankfüllung kommen, wenn sie mit einem "3 Liter/100km "-Schnitt fahren würde?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


4 Liter pro 100km900 km
??
3 Liter pro 100km?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Liter pro 100km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 Liter pro 100km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Liter pro 100km:


4 Liter pro 100km900 km
1 Liter pro 100km?
3 Liter pro 100km?

Um von 4 Liter pro 100km in der ersten Zeile auf 1 Liter pro 100km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 900 km nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Liter pro 100km links entspricht:

: 4

4 Liter pro 100km900 km
1 Liter pro 100km?
3 Liter pro 100km?

⋅ 4
: 4

4 Liter pro 100km900 km
1 Liter pro 100km3600 km
3 Liter pro 100km?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Liter pro 100km in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Liter pro 100km in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 3

4 Liter pro 100km900 km
1 Liter pro 100km3600 km
3 Liter pro 100km?

⋅ 4
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 3600 km in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 4
⋅ 3

4 Liter pro 100km900 km
1 Liter pro 100km3600 km
3 Liter pro 100km1200 km

⋅ 4
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Liter pro 100km entspricht: 1200 km

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

4 Minuten pro Tag9 Tage
??
3 Minuten pro Tag?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten pro Tag in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 Minuten pro Tag teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Minuten pro Tag:


4 Minuten pro Tag9 Tage
1 Minute pro Tag?
3 Minuten pro Tag?

Um von 4 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 1 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 9 Tage nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Minuten pro Tag links entspricht:

: 4

4 Minuten pro Tag9 Tage
1 Minute pro Tag?
3 Minuten pro Tag?

⋅ 4
: 4

4 Minuten pro Tag9 Tage
1 Minute pro Tag36 Tage
3 Minuten pro Tag?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Minuten pro Tag in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Minuten pro Tag in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 3

4 Minuten pro Tag9 Tage
1 Minute pro Tag36 Tage
3 Minuten pro Tag?

⋅ 4
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 36 Tage in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 4
⋅ 3

4 Minuten pro Tag9 Tage
1 Minute pro Tag36 Tage
3 Minuten pro Tag12 Tage

⋅ 4
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Minuten pro Tag entspricht: 12 Tage

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 15 Fuhren den 3 Lastwagen entsprechen.

: 4
⋅ 3

4 Lastwagen12 Fuhren
1 Lastwagen48 Fuhren
3 Lastwagen16 Fuhren

⋅ 4
: 3

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 15 Fuhren (für 3 Lastwagen) war also falsch, richtig wäre 16 Fuhren gewesen.


Jetzt überprüfen wir, ob die 1 Fuhren den 12 Lastwagen entsprechen.

: 1
⋅ 3

4 Lastwagen12 Fuhren
4 Lastwagen12 Fuhren
12 Lastwagen4 Fuhren

⋅ 1
: 3

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 1 Fuhren (für 12 Lastwagen) war also falsch, richtig wäre 4 Fuhren gewesen.

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit 10 CPU-Kernen 5 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 25 solchen CPU-Kernen?
Wie viele CPU-Kerne bräuchte der Computer, wenn er es in 10 ms rechnen könnte?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


10 CPU-Kerne5 ms
??
25 CPU-Kerne?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 10 und von 25 sein, also der ggT(10,25) = 5.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 CPU-Kerne:


10 CPU-Kerne5 ms
5 CPU-Kerne?
25 CPU-Kerne?

Um von 10 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 5 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 ms nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 5 CPU-Kerne links entspricht:

: 2

10 CPU-Kerne5 ms
5 CPU-Kerne10 ms
25 CPU-Kerne?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 5 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 25 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2
⋅ 5

10 CPU-Kerne5 ms
5 CPU-Kerne10 ms
25 CPU-Kerne2 ms

⋅ 2
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 25 CPU-Kerne entspricht: 2 ms



Um von 5 ms in der ersten Zeile auf 10 ms in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 2 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 10 CPU-Kerne durch 2 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 10 ms entspricht:

⋅ 2
5 ms10 CPU-Kerne
10 ms?
: 2
⋅ 2
5 ms10 CPU-Kerne
10 ms5 CPU-Kerne
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 ms entspricht: 5 CPU-Kerne

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Ein Raum wird mit 45 LED-Leuchten á 120 Lumen ausgeleuchtet. Aus ästhetischen Gründen sollen nur noch 19 Leuchten im Raum installiert sein, diese sollen aber die gleiche Helligkeit erzeugen. Wie viel Lumen brauchen dann diese neuen LED-Leuchten?

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Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

Anzahl LED-LeuchtenHelligkeit
45 120 Lumen
( : 45 )( ⋅ 45 )
1 5400 Lumen
( ⋅ 19 )( : 19 )
19 5400 19 Lumen

Die gesuchte Helligkeit ist also 5400 19 = 284 4 19 ≈ 284.211 Lumen