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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 1€ für ein Los verlangen, müssten sie 400 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.

Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 5 € verkaufen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 € Lospreis400 Lose
5 € Lospreis?

Um von 1 € Lospreis in der ersten Zeile auf 5 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 5 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 400 Lose durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 5 € Lospreis entspricht:

⋅ 5
1 € Lospreis400 Lose
5 € Lospreis?
: 5
⋅ 5
1 € Lospreis400 Lose
5 € Lospreis80 Lose
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 € Lospreis entspricht: 80 Lose

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit 8 CPU-Kernen 5 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 10 solchen CPU-Kernen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


8 CPU-Kerne5 ms
??
10 CPU-Kerne?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 10 sein, also der ggT(8,10) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 CPU-Kerne:


8 CPU-Kerne5 ms
2 CPU-Kerne?
10 CPU-Kerne?

Um von 8 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 2 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 ms nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 CPU-Kerne links entspricht:

: 4

8 CPU-Kerne5 ms
2 CPU-Kerne?
10 CPU-Kerne?

⋅ 4
: 4

8 CPU-Kerne5 ms
2 CPU-Kerne20 ms
10 CPU-Kerne?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 10 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 5

8 CPU-Kerne5 ms
2 CPU-Kerne20 ms
10 CPU-Kerne?

⋅ 4
: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 20 ms in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 4
⋅ 5

8 CPU-Kerne5 ms
2 CPU-Kerne20 ms
10 CPU-Kerne4 ms

⋅ 4
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 CPU-Kerne entspricht: 4 ms

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

10 Helfer:innen30 € Lohn
??
15 Helfer:innen?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Helfer:innen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 Helfer:innen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 10 und von 15 sein, also der ggT(10,15) = 5.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 Helfer:innen:


10 Helfer:innen30 € Lohn
5 Helfer:innen?
15 Helfer:innen?

Um von 10 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 5 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 30 € Lohn nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 5 Helfer:innen links entspricht:

: 2

10 Helfer:innen30 € Lohn
5 Helfer:innen?
15 Helfer:innen?

⋅ 2
: 2

10 Helfer:innen30 € Lohn
5 Helfer:innen60 € Lohn
15 Helfer:innen?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 5 Helfer:innen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 15 Helfer:innen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2
⋅ 3

10 Helfer:innen30 € Lohn
5 Helfer:innen60 € Lohn
15 Helfer:innen?

⋅ 2
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 60 € Lohn in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 2
⋅ 3

10 Helfer:innen30 € Lohn
5 Helfer:innen60 € Lohn
15 Helfer:innen20 € Lohn

⋅ 2
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 Helfer:innen entspricht: 20 € Lohn

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 302 km den 8 Liter pro 100km entsprechen.

: 3
⋅ 4

6 Liter pro 100km400 km
2 Liter pro 100km1200 km
8 Liter pro 100km300 km

⋅ 3
: 4

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 302 km (für 8 Liter pro 100km) war also falsch, richtig wäre 300 km gewesen.


Jetzt überprüfen wir, ob die 600 km den 4 Liter pro 100km entsprechen.

: 3
⋅ 2

6 Liter pro 100km400 km
2 Liter pro 100km1200 km
4 Liter pro 100km600 km

⋅ 3
: 2

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 600 km (für 4 Liter pro 100km) war also korrekt.

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Wenn Frau Baumann so Auto fährt, dass sie 6 Liter pro 100km verbraucht, kommt sie mit einer Tankfüllung 1000 km weit.

Wie weit würde sie mit einer Tankfüllung kommen, wenn sie mit einem "5 Liter/100km "-Schnitt fahren würde?
Mit welchem "Liter pro 100km"-Schnitt muss sie fahren, dass sie mit einer Tankfüllung 500 km weit kommt?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


6 Liter pro 100km1000 km
??
5 Liter pro 100km?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Liter pro 100km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 Liter pro 100km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 5 sein, also der ggT(6,5) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Liter pro 100km:


6 Liter pro 100km1000 km
1 Liter pro 100km?
5 Liter pro 100km?

Um von 6 Liter pro 100km in der ersten Zeile auf 1 Liter pro 100km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 6 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 1000 km nicht durch 6 teilen, sondern mit 6 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Liter pro 100km links entspricht:

: 6

6 Liter pro 100km1000 km
1 Liter pro 100km6000 km
5 Liter pro 100km?

⋅ 6

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Liter pro 100km in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 5 Liter pro 100km in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 6
⋅ 5

6 Liter pro 100km1000 km
1 Liter pro 100km6000 km
5 Liter pro 100km1200 km

⋅ 6
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 Liter pro 100km entspricht: 1200 km



Um von 1000 km in der ersten Zeile auf 500 km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 6 Liter pro 100km mit 2 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 500 km entspricht:

: 2
1000 km6 Liter pro 100km
500 km?
⋅ 2
: 2
1000 km6 Liter pro 100km
500 km12 Liter pro 100km
⋅ 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 500 km entspricht: 12 Liter pro 100km

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Ein Raum wird mit 35 LED-Leuchten á 170 Lumen ausgeleuchtet. Aus ästhetischen Gründen sollen nur noch 15 Leuchten im Raum installiert sein, diese sollen aber die gleiche Helligkeit erzeugen. Wie viel Lumen brauchen dann diese neuen LED-Leuchten?

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Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

Anzahl LED-LeuchtenHelligkeit
35 170 Lumen
( : 35 )( ⋅ 35 )
1 5950 Lumen
( ⋅ 15 )( : 15 )
15 5950 15 Lumen

Die gesuchte Helligkeit ist also 5950 15 = 1190 3 = 396 2 3 ≈ 396.667 Lumen