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nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Zweisatz (antiproportional)
Beispiel:
Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 1€ für ein Los verlangen, müssten sie 560 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.
Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 8 € verkaufen?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 1 € Lospreis in der ersten Zeile auf 8 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 8 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 560 Lose durch 8 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 8 € Lospreis entspricht:
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⋅ 8
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: 8
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⋅ 8
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: 8
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 € Lospreis entspricht: 70 Lose
Dreisatz (antiproportional)
Beispiel:
Ein Hausmeister hat ein extra Budget für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld). Wenn er 5 Helfer:innen einstellt, reicht es für jeden 90 € Lohn.
Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 3 Helfer:innen hätte?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Helfer:innen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Helfer:innen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 3 sein, also der ggT(5,3) = 1.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Helfer:innen:
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Um von 5 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 1 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 90 € Lohn nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Helfer:innen links entspricht:
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: 5
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⋅ 5
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: 5
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⋅ 5
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Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Helfer:innen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Helfer:innen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 5
⋅ 3
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⋅ 5
: 3
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Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 450 € Lohn in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:
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: 5
⋅ 3
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⋅ 5
: 3
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Helfer:innen entspricht: 150 € Lohn
Tabelle (antiproportional)
Beispiel:
Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.
| 9 Liter pro 100km | 400 km |
| ? | ? |
| 12 Liter pro 100km | ? |
Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Liter pro 100km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 9 Liter pro 100km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 9 und von 12 sein, also der ggT(9,12) = 3.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 Liter pro 100km:
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Um von 9 Liter pro 100km in der ersten Zeile auf 3 Liter pro 100km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 400 km nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 3 Liter pro 100km links entspricht:
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: 3
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⋅ 3
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: 3
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⋅ 3
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Jetzt müssen wir ja wieder die 3 Liter pro 100km in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 12 Liter pro 100km in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 3
⋅ 4
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⋅ 3
: 4
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Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 1200 km in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:
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: 3
⋅ 4
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⋅ 3
: 4
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Liter pro 100km entspricht: 300 km
Antiproportionalität überprüfen
Beispiel:
Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.
Wir überprüfen zuerst, ob die 142 Lose den 4 € Lospreis entsprechen.
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: 7
⋅ 4
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⋅ 7
: 4
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Der urpsrünglich vorgegebene Wert 142 Lose (für 4 € Lospreis) war also falsch, richtig wäre 140 Lose gewesen.
Jetzt überprüfen wir, ob die 16 Lose den 35 € Lospreis entsprechen.
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: 1
⋅ 5
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⋅ 1
: 5
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Der urpsrünglich vorgegebene Wert 16 Lose (für 35 € Lospreis) war also korrekt.
Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen
Beispiel:
Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 8 Lastwagen müssten dafür 7 mal fahren.
Wie oft müssten 14 LKWs fahren?
Wie viele LKWs bräuchte man, damit es mit 8 Fuhren für jeden reicht?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 14 sein, also der ggT(8,14) = 2.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Lastwagen:
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Um von 8 Lastwagen in der ersten Zeile auf 2 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 7 Fuhren nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Lastwagen links entspricht:
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: 4
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⋅ 4
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Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 7 multiplizieren, um auf die 14 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 4
⋅ 7
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⋅ 4
: 7
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 14 Lastwagen entspricht: 4 Fuhren
Für die andere Frage (Wie viele LKWs bräuchte man, damit es mit 8 Fuhren für jeden reicht?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "Fuhren"-Werte haben und nach einem "Lastwagen"-Wert gesucht wird:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Fuhren in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 7 Fuhren teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 7 und von 8 sein, also der ggT(7,8) = 1.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Fuhren:
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Um von 7 Fuhren in der ersten Zeile auf 1 Fuhren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 7 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 8 Lastwagen nicht durch 7 teilen, sondern mit 7 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Fuhren links entspricht:
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: 7
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⋅ 7
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Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Fuhren in der mittleren Zeile mit 8 multiplizieren, um auf die 8 Fuhren in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 7
⋅ 8
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⋅ 7
: 8
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Fuhren entspricht: 7 Lastwagen
Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)
Beispiel:
Eine Drohne muss eine bestimmte Strecke zurücklegen. Wenn sie dabei mit einer Geschwindigkeit von 50 km/h fliegt, braucht sie dafür 8 Minuten.Wie lange braucht sie bei einer Geschwindigkeit von 26 km/h?
Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:
| Geschwindigkeit | Flugzeit |
|---|---|
| 50 km/h | 8 min |
| ( : 50 ) | ( ⋅ 50 ) |
| 1 km/h | min |
| ( ⋅ 26 ) | ( : 26 ) |
| 26 km/h | min |
Die gesuchte Flugzeit ist also = = 15 ≈ 15.385 min