Mathebattle EduRandomtasks

Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 1€ für ein Los verlangen, müssten sie 300 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.

Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 10 € verkaufen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 € Lospreis	300 Lose
10 € Lospreis	?

Um von 1 € Lospreis in der ersten Zeile auf 10 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 10 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 300 Lose durch 10 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 10 € Lospreis entspricht:

⋅ 10

1 € Lospreis	300 Lose
10 € Lospreis	?

: 10

⋅ 10

1 € Lospreis	300 Lose
10 € Lospreis	30 Lose

: 10

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 € Lospreis entspricht: 30 Lose

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit 5 CPU-Kernen 9 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 3 solchen CPU-Kernen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

5 CPU-Kerne	9 ms
?	?
3 CPU-Kerne	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 3 sein, also der ggT(5,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 CPU-Kerne:

5 CPU-Kerne	9 ms
1 CPU-Kern	?
3 CPU-Kerne	?

Um von 5 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 1 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 9 ms nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 CPU-Kerne links entspricht:

: 5

5 CPU-Kerne	9 ms
1 CPU-Kern	?
3 CPU-Kerne	?

⋅ 5

: 5

5 CPU-Kerne	9 ms
1 CPU-Kern	45 ms
3 CPU-Kerne	?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5

⋅ 3

5 CPU-Kerne	9 ms
1 CPU-Kern	45 ms
3 CPU-Kerne	?

⋅ 5

: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 45 ms in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 5

⋅ 3

5 CPU-Kerne	9 ms
1 CPU-Kern	45 ms
3 CPU-Kerne	15 ms

⋅ 5

: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 CPU-Kerne entspricht: 15 ms

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

3 Helfer:innen	120 € Lohn
?	?
2 Helfer:innen	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Helfer:innen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 3 Helfer:innen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 3 und von 2 sein, also der ggT(3,2) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Helfer:innen:

3 Helfer:innen	120 € Lohn
1 Helfer:in	?
2 Helfer:innen	?

Um von 3 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 1 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 120 € Lohn nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Helfer:innen links entspricht:

: 3

3 Helfer:innen	120 € Lohn
1 Helfer:in	?
2 Helfer:innen	?

⋅ 3

: 3

3 Helfer:innen	120 € Lohn
1 Helfer:in	360 € Lohn
2 Helfer:innen	?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Helfer:innen in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 Helfer:innen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3

⋅ 2

3 Helfer:innen	120 € Lohn
1 Helfer:in	360 € Lohn
2 Helfer:innen	?

⋅ 3

: 2

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 360 € Lohn in der mittleren Zeile durch 2 dividieren:

: 3

⋅ 2

3 Helfer:innen	120 € Lohn
1 Helfer:in	360 € Lohn
2 Helfer:innen	180 € Lohn

⋅ 3

: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 Helfer:innen entspricht: 180 € Lohn

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 18 € Lohn den 25 Helfer:innen entsprechen.

: 2

⋅ 5

10 Helfer:innen	50 € Lohn
5 Helfer:innen	100 € Lohn
25 Helfer:innen	20 € Lohn

⋅ 2

: 5

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 18 € Lohn (für 25 Helfer:innen) war also falsch, richtig wäre 20 € Lohn gewesen.

Jetzt überprüfen wir, ob die 7 € Lohn den 100 Helfer:innen entsprechen.

: 1

⋅ 10

10 Helfer:innen	50 € Lohn
10 Helfer:innen	50 € Lohn
100 Helfer:innen	5 € Lohn

⋅ 1

: 10

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 7 € Lohn (für 100 Helfer:innen) war also falsch, richtig wäre 5 € Lohn gewesen.

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld). Wenn er 3 Helfer:innen einstellt, reicht es für jeden 200 € Lohn.

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 2 Helfer:innen hätte?
Wie viele Helfer:innen könnte man mit einem Lohn von 100 € bezahlen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

3 Helfer:innen	200 € Lohn
?	?
2 Helfer:innen	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Helfer:innen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 3 Helfer:innen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 3 und von 2 sein, also der ggT(3,2) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Helfer:innen:

3 Helfer:innen	200 € Lohn
1 Helfer:in	?
2 Helfer:innen	?

Um von 3 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 1 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 200 € Lohn nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Helfer:innen links entspricht:

: 3

3 Helfer:innen	200 € Lohn
1 Helfer:in	600 € Lohn
2 Helfer:innen	?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Helfer:innen in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 Helfer:innen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3

⋅ 2

3 Helfer:innen	200 € Lohn
1 Helfer:in	600 € Lohn
2 Helfer:innen	300 € Lohn

⋅ 3

: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 Helfer:innen entspricht: 300 € Lohn

Um von 200 € Lohn in der ersten Zeile auf 100 € Lohn in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 3 Helfer:innen mit 2 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 100 € Lohn entspricht:

: 2

200 € Lohn	3 Helfer:innen
100 € Lohn	?

⋅ 2

: 2

200 € Lohn	3 Helfer:innen
100 € Lohn	6 Helfer:innen

⋅ 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 100 € Lohn entspricht: 6 Helfer:innen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Ein Raum wird mit 55 LED-Leuchten á 140 Lumen ausgeleuchtet. Aus ästhetischen Gründen sollen nur noch 23 Leuchten im Raum installiert sein, diese sollen aber die gleiche Helligkeit erzeugen. Wie viel Lumen brauchen dann diese neuen LED-Leuchten?

Lösung einblenden

Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

Anzahl LED-Leuchten	Helligkeit
55	140 Lumen
( : 55 )	( ⋅ 55 )
1	$7 700$ Lumen
( ⋅ 23 )	( : 23 )
23	$\frac{7 700}{23}$ Lumen

Die gesuchte Helligkeit ist also $\frac{7 700}{23}$ = 334 $\frac{18}{23}$ ≈ 334.783 Lumen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz (antiproportional)

Dreisatz (antiproportional)

Tabelle (antiproportional)

Antiproportionalität überprüfen

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)