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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget von 360 € für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld).

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 4 Helfer:innen hätte?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Helfer:in	360 € Lohn
4 Helfer:innen	?

Um von 1 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 4 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 4 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 360 € Lohn durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 4 Helfer:innen entspricht:

⋅ 4

1 Helfer:in	360 € Lohn
4 Helfer:innen	?

: 4

⋅ 4

1 Helfer:in	360 € Lohn
4 Helfer:innen	90 € Lohn

: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Helfer:innen entspricht: 90 € Lohn

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 5 Lastwagen müssten dafür 9 mal fahren.

Wie oft müssten 3 LKWs fahren?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

5 Lastwagen	9 Fuhren
?	?
3 Lastwagen	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 3 sein, also der ggT(5,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Lastwagen:

5 Lastwagen	9 Fuhren
1 Lastwagen	?
3 Lastwagen	?

Um von 5 Lastwagen in der ersten Zeile auf 1 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 9 Fuhren nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Lastwagen links entspricht:

: 5

5 Lastwagen	9 Fuhren
1 Lastwagen	?
3 Lastwagen	?

⋅ 5

: 5

5 Lastwagen	9 Fuhren
1 Lastwagen	45 Fuhren
3 Lastwagen	?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5

⋅ 3

5 Lastwagen	9 Fuhren
1 Lastwagen	45 Fuhren
3 Lastwagen	?

⋅ 5

: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 45 Fuhren in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 5

⋅ 3

5 Lastwagen	9 Fuhren
1 Lastwagen	45 Fuhren
3 Lastwagen	15 Fuhren

⋅ 5

: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Lastwagen entspricht: 15 Fuhren

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

8 € Lospreis	50 Lose
?	?
10 € Lospreis	?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 10 sein, also der ggT(8,10) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 € Lospreis:

8 € Lospreis	50 Lose
2 € Lospreis	?
10 € Lospreis	?

Um von 8 € Lospreis in der ersten Zeile auf 2 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 50 Lose nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 € Lospreis links entspricht:

: 4

8 € Lospreis	50 Lose
2 € Lospreis	?
10 € Lospreis	?

⋅ 4

: 4

8 € Lospreis	50 Lose
2 € Lospreis	200 Lose
10 € Lospreis	?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 10 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4

⋅ 5

8 € Lospreis	50 Lose
2 € Lospreis	200 Lose
10 € Lospreis	?

⋅ 4

: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 200 Lose in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 4

⋅ 5

8 € Lospreis	50 Lose
2 € Lospreis	200 Lose
10 € Lospreis	40 Lose

⋅ 4

: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 € Lospreis entspricht: 40 Lose

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 17 h den 2 Personen entsprechen.

: 3

⋅ 2

3 Personen	10 h
1 Person	30 h
2 Personen	15 h

⋅ 3

: 2

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 17 h (für 2 Personen) war also falsch, richtig wäre 15 h gewesen.

Jetzt überprüfen wir, ob die 4 h den 6 Personen entsprechen.

: 1

⋅ 2

3 Personen	10 h
3 Personen	10 h
6 Personen	5 h

⋅ 1

: 2

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 4 h (für 6 Personen) war also falsch, richtig wäre 5 h gewesen.

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit 20 CPU-Kernen 3 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 30 solchen CPU-Kernen?
Wie viele CPU-Kerne bräuchte der Computer, wenn er es in 12 ms rechnen könnte?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

20 CPU-Kerne	3 ms
?	?
30 CPU-Kerne	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 20 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 20 und von 30 sein, also der ggT(20,30) = 10.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 10 CPU-Kerne:

20 CPU-Kerne	3 ms
10 CPU-Kerne	?
30 CPU-Kerne	?

Um von 20 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 10 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 3 ms nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 10 CPU-Kerne links entspricht:

: 2

20 CPU-Kerne	3 ms
10 CPU-Kerne	6 ms
30 CPU-Kerne	?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 10 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 30 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2

⋅ 3

20 CPU-Kerne	3 ms
10 CPU-Kerne	6 ms
30 CPU-Kerne	2 ms

⋅ 2

: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 30 CPU-Kerne entspricht: 2 ms

Um von 3 ms in der ersten Zeile auf 12 ms in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 4 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 20 CPU-Kerne durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 12 ms entspricht:

⋅ 4

3 ms	20 CPU-Kerne
12 ms	?

: 4

⋅ 4

3 ms	20 CPU-Kerne
12 ms	5 CPU-Kerne

: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 ms entspricht: 5 CPU-Kerne

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Ein Raum wird mit 30 LED-Leuchten á 170 Lumen ausgeleuchtet. Aus ästhetischen Gründen sollen nur noch 16 Leuchten im Raum installiert sein, diese sollen aber die gleiche Helligkeit erzeugen. Wie viel Lumen brauchen dann diese neuen LED-Leuchten?

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Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

Anzahl LED-Leuchten	Helligkeit
30	170 Lumen
( : 30 )	( ⋅ 30 )
1	$5 100$ Lumen
( ⋅ 16 )	( : 16 )
16	$\frac{5 100}{16}$ Lumen

Die gesuchte Helligkeit ist also $\frac{5 100}{16}$ = $\frac{1275}{4}$ = 318 $\frac{3}{4}$ ≈ 318.75 Lumen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz (antiproportional)

Dreisatz (antiproportional)

Tabelle (antiproportional)

Antiproportionalität überprüfen

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)