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nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Zweisatz (antiproportional)
Beispiel:
Wenn Frau Baumanns Auto nur ein Liter pro 100km verbrauchen würde, würde sie mit einer Tankfüllung 4000 km weit kommen.
Wie weit würde sie mit einer Tankfüllung kommen, wenn sie mit einem "5 Liter/100km "-Schnitt fahren würde?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 1 Liter pro 100km in der ersten Zeile auf 5 Liter pro 100km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 5 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 4000 km durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 5 Liter pro 100km entspricht:
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⋅ 5
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: 5
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⋅ 5
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: 5
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 Liter pro 100km entspricht: 800 km
Dreisatz (antiproportional)
Beispiel:
Wenn 8 Personen das Schulhaus putzen, brauchen sie dafür 6 h.
Wie lange bräuchten 12 Personen hierfür?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 12 sein, also der ggT(8,12) = 4.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 Personen:
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Um von 8 Personen in der ersten Zeile auf 4 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 h nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 4 Personen links entspricht:
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: 2
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⋅ 2
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: 2
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⋅ 2
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Jetzt müssen wir ja wieder die 4 Personen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 12 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 2
⋅ 3
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⋅ 2
: 3
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Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 12 h in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:
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: 2
⋅ 3
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⋅ 2
: 3
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Personen entspricht: 4 h
Tabelle (antiproportional)
Beispiel:
Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.
| 10 Minuten pro Tag | 6 Tage |
| ? | ? |
| 12 Minuten pro Tag | ? |
Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten pro Tag in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 Minuten pro Tag teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 10 und von 12 sein, also der ggT(10,12) = 2.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Minuten pro Tag:
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Um von 10 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 2 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 Tage nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Minuten pro Tag links entspricht:
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: 5
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⋅ 5
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: 5
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⋅ 5
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Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Minuten pro Tag in der mittleren Zeile mit 6 multiplizieren, um auf die 12 Minuten pro Tag in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 5
⋅ 6
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⋅ 5
: 6
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Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 30 Tage in der mittleren Zeile durch 6 dividieren:
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: 5
⋅ 6
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⋅ 5
: 6
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Minuten pro Tag entspricht: 5 Tage
Antiproportionalität überprüfen
Beispiel:
Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.
Wir überprüfen zuerst, ob die 4 Fuhren den 10 Lastwagen entsprechen.
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: 4
⋅ 5
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⋅ 4
: 5
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Der urpsrünglich vorgegebene Wert 4 Fuhren(für 10 Lastwagen) war also korrekt.
Jetzt überprüfen wir, ob die 8 Fuhren den 5 Lastwagen entsprechen.
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: 8
⋅ 5
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⋅ 8
: 5
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Der urpsrünglich vorgegebene Wert 8 Fuhren (für 5 Lastwagen) war also korrekt.
Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen
Beispiel:
Wenn Karla mit ihrem Handy jeden Tag immer 9 Minuten telefonieren würde, würden ihre Freiminuten noch genau 5 Tage halten.
Wann wären ihre Freiminuten aufgebraucht, wenn sie täglich 15 min telefonieren würde?
Wie lange kann sie täglich telefonieren, wenn die Freiminuten 9 Tage reichen sollen?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten pro Tag in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 9 Minuten pro Tag teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 9 und von 15 sein, also der ggT(9,15) = 3.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 Minuten pro Tag:
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Um von 9 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 3 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 Tage nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 3 Minuten pro Tag links entspricht:
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: 3
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⋅ 3
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Jetzt müssen wir ja wieder die 3 Minuten pro Tag in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 15 Minuten pro Tag in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 3
⋅ 5
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⋅ 3
: 5
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 Minuten pro Tag entspricht: 3 Tage
Für die andere Frage (Wie lange kann sie täglich telefonieren, wenn die Freiminuten 9 Tage reichen sollen?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "Tage"-Werte haben und nach einem "Minuten pro Tag"-Wert gesucht wird:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Tage in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Tage teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 9 sein, also der ggT(5,9) = 1.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Tage:
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Um von 5 Tage in der ersten Zeile auf 1 Tage in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 9 Minuten pro Tag nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Tage links entspricht:
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: 5
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⋅ 5
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Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Tage in der mittleren Zeile mit 9 multiplizieren, um auf die 9 Tage in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 5
⋅ 9
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⋅ 5
: 9
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 9 Tage entspricht: 5 Minuten pro Tag
Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)
Beispiel:
Eine Drohne muss eine bestimmte Strecke zurücklegen. Wenn sie dabei mit einer Geschwindigkeit von 50 km/h fliegt, braucht sie dafür 12 Minuten.Wie lange braucht sie bei einer Geschwindigkeit von 47 km/h?
Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:
| Geschwindigkeit | Flugzeit |
|---|---|
| 50 km/h | 12 min |
| ( : 50 ) | ( ⋅ 50 ) |
| 1 km/h | min |
| ( ⋅ 47 ) | ( : 47 ) |
| 47 km/h | min |
Die gesuchte Flugzeit ist also = 12 ≈ 12.766 min