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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit einem CPU-Kern 48 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 6 solchen CPU-Kernen?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 CPU-Kern	48 ms
6 CPU-Kerne	?

Um von 1 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 6 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 6 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 48 ms durch 6 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 6 CPU-Kerne entspricht:

⋅ 6

1 CPU-Kern	48 ms
6 CPU-Kerne	?

: 6

⋅ 6

1 CPU-Kern	48 ms
6 CPU-Kerne	8 ms

: 6

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 6 CPU-Kerne entspricht: 8 ms

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 9€ für ein Los verlangen, müssten sie 50 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.

Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 15 € verkaufen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

9 € Lospreis	50 Lose
?	?
15 € Lospreis	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 9 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 9 und von 15 sein, also der ggT(9,15) = 3.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 € Lospreis:

9 € Lospreis	50 Lose
3 € Lospreis	?
15 € Lospreis	?

Um von 9 € Lospreis in der ersten Zeile auf 3 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 50 Lose nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 3 € Lospreis links entspricht:

: 3

9 € Lospreis	50 Lose
3 € Lospreis	?
15 € Lospreis	?

⋅ 3

: 3

9 € Lospreis	50 Lose
3 € Lospreis	150 Lose
15 € Lospreis	?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 3 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 15 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3

⋅ 5

9 € Lospreis	50 Lose
3 € Lospreis	150 Lose
15 € Lospreis	?

⋅ 3

: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 150 Lose in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 3

⋅ 5

9 € Lospreis	50 Lose
3 € Lospreis	150 Lose
15 € Lospreis	30 Lose

⋅ 3

: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 € Lospreis entspricht: 30 Lose

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

15 Gäste	4 Spezi-Flaschen
?	?
20 Gäste	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Gäste in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 15 Gäste teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 15 und von 20 sein, also der ggT(15,20) = 5.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 Gäste:

15 Gäste	4 Spezi-Flaschen
5 Gäste	?
20 Gäste	?

Um von 15 Gäste in der ersten Zeile auf 5 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 4 Spezi-Flaschen nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 5 Gäste links entspricht:

: 3

15 Gäste	4 Spezi-Flaschen
5 Gäste	?
20 Gäste	?

⋅ 3

: 3

15 Gäste	4 Spezi-Flaschen
5 Gäste	12 Spezi-Flaschen
20 Gäste	?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 5 Gäste in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 20 Gäste in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3

⋅ 4

15 Gäste	4 Spezi-Flaschen
5 Gäste	12 Spezi-Flaschen
20 Gäste	?

⋅ 3

: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 12 Spezi-Flaschen in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 3

⋅ 4

15 Gäste	4 Spezi-Flaschen
5 Gäste	12 Spezi-Flaschen
20 Gäste	3 Spezi-Flaschen

⋅ 3

: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 20 Gäste entspricht: 3 Spezi-Flaschen

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die -2 Fuhren den 15 Lastwagen entsprechen.

: 3

⋅ 5

9 Lastwagen	5 Fuhren
3 Lastwagen	15 Fuhren
15 Lastwagen	3 Fuhren

⋅ 3

: 5

Der urpsrünglich vorgegebene Wert -2 Fuhren (für 15 Lastwagen) war also falsch, richtig wäre 3 Fuhren gewesen.

Jetzt überprüfen wir, ob die 12 Fuhren den 5 Lastwagen entsprechen.

: 9

⋅ 5

9 Lastwagen	5 Fuhren
1 Lastwagen	45 Fuhren
5 Lastwagen	9 Fuhren

⋅ 9

: 5

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 12 Fuhren (für 5 Lastwagen) war also falsch, richtig wäre 9 Fuhren gewesen.

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld). Wenn er 5 Helfer:innen einstellt, reicht es für jeden 100 € Lohn.

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 2 Helfer:innen hätte?
Wie viele Helfer:innen könnte man mit einem Lohn von 10 € bezahlen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

5 Helfer:innen	100 € Lohn
?	?
2 Helfer:innen	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Helfer:innen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Helfer:innen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 2 sein, also der ggT(5,2) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Helfer:innen:

5 Helfer:innen	100 € Lohn
1 Helfer:in	?
2 Helfer:innen	?

Um von 5 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 1 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 100 € Lohn nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Helfer:innen links entspricht:

: 5

5 Helfer:innen	100 € Lohn
1 Helfer:in	500 € Lohn
2 Helfer:innen	?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Helfer:innen in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 Helfer:innen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5

⋅ 2

5 Helfer:innen	100 € Lohn
1 Helfer:in	500 € Lohn
2 Helfer:innen	250 € Lohn

⋅ 5

: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 Helfer:innen entspricht: 250 € Lohn

Um von 100 € Lohn in der ersten Zeile auf 10 € Lohn in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 10 teilen. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 5 Helfer:innen mit 10 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 10 € Lohn entspricht:

: 10

100 € Lohn	5 Helfer:innen
10 € Lohn	?

⋅ 10

: 10

100 € Lohn	5 Helfer:innen
10 € Lohn	50 Helfer:innen

⋅ 10

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 € Lohn entspricht: 50 Helfer:innen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Ein Raum wird mit 50 LED-Leuchten á 190 Lumen ausgeleuchtet. Aus ästhetischen Gründen sollen nur noch 14 Leuchten im Raum installiert sein, diese sollen aber die gleiche Helligkeit erzeugen. Wie viel Lumen brauchen dann diese neuen LED-Leuchten?

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Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

Anzahl LED-Leuchten	Helligkeit
50	190 Lumen
( : 50 )	( ⋅ 50 )
1	$9 500$ Lumen
( ⋅ 14 )	( : 14 )
14	$\frac{9 500}{14}$ Lumen

Die gesuchte Helligkeit ist also $\frac{9 500}{14}$ = $\frac{4750}{7}$ = 678 $\frac{4}{7}$ ≈ 678.571 Lumen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz (antiproportional)

Dreisatz (antiproportional)

Tabelle (antiproportional)

Antiproportionalität überprüfen

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)