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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget von 560 € für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld).

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 8 Helfer:innen hätte?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Helfer:in	560 € Lohn
8 Helfer:innen	?

Um von 1 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 8 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 8 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 560 € Lohn durch 8 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 8 Helfer:innen entspricht:

⋅ 8

1 Helfer:in	560 € Lohn
8 Helfer:innen	?

: 8

⋅ 8

1 Helfer:in	560 € Lohn
8 Helfer:innen	70 € Lohn

: 8

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Helfer:innen entspricht: 70 € Lohn

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Karls hat für seine Geburtstagsparty Spezi bekommen. Dabei reicht es für jeden genau 12 Flaschen, wenn insgesamt 4 Personen auf seiner Party sind.

Wie viele Flaschen würde jeder bekommen, wenn insgesamt 3 Personen auf der Party wären?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

4 Gäste	12 Spezi-Flaschen
?	?
3 Gäste	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Gäste in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 Gäste teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Gäste:

4 Gäste	12 Spezi-Flaschen
1 Gast	?
3 Gäste	?

Um von 4 Gäste in der ersten Zeile auf 1 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 12 Spezi-Flaschen nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Gäste links entspricht:

: 4

4 Gäste	12 Spezi-Flaschen
1 Gast	?
3 Gäste	?

⋅ 4

: 4

4 Gäste	12 Spezi-Flaschen
1 Gast	48 Spezi-Flaschen
3 Gäste	?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Gäste in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Gäste in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4

⋅ 3

4 Gäste	12 Spezi-Flaschen
1 Gast	48 Spezi-Flaschen
3 Gäste	?

⋅ 4

: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 48 Spezi-Flaschen in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 4

⋅ 3

4 Gäste	12 Spezi-Flaschen
1 Gast	48 Spezi-Flaschen
3 Gäste	16 Spezi-Flaschen

⋅ 4

: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Gäste entspricht: 16 Spezi-Flaschen

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

6 Personen	6 h
?	?
4 Personen	?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 4 sein, also der ggT(6,4) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Personen:

6 Personen	6 h
2 Personen	?
4 Personen	?

Um von 6 Personen in der ersten Zeile auf 2 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 h nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Personen links entspricht:

: 3

6 Personen	6 h
2 Personen	?
4 Personen	?

⋅ 3

: 3

6 Personen	6 h
2 Personen	18 h
4 Personen	?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Personen in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 4 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3

⋅ 2

6 Personen	6 h
2 Personen	18 h
4 Personen	?

⋅ 3

: 2

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 18 h in der mittleren Zeile durch 2 dividieren:

: 3

⋅ 2

6 Personen	6 h
2 Personen	18 h
4 Personen	9 h

⋅ 3

: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Personen entspricht: 9 h

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 42 Lose den 10 € Lospreis entsprechen.

: 4

⋅ 5

8 € Lospreis	50 Lose
2 € Lospreis	200 Lose
10 € Lospreis	40 Lose

⋅ 4

: 5

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 42 Lose (für 10 € Lospreis) war also falsch, richtig wäre 40 Lose gewesen.

Jetzt überprüfen wir, ob die 5 Lose den 80 € Lospreis entsprechen.

: 1

⋅ 10

8 € Lospreis	50 Lose
8 € Lospreis	50 Lose
80 € Lospreis	5 Lose

⋅ 1

: 10

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 5 Lose (für 80 € Lospreis) war also korrekt.

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Wenn 12 Personen das Schulhaus putzen, brauchen sie dafür 5 h.

Wie lange bräuchten 15 Personen hierfür?
Wie viele Personen bräuchte man, damit jeder 15 h putzen müsste?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

12 Personen	5 h
?	?
15 Personen	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 12 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 12 und von 15 sein, also der ggT(12,15) = 3.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 Personen:

12 Personen	5 h
3 Personen	?
15 Personen	?

Um von 12 Personen in der ersten Zeile auf 3 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 h nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 3 Personen links entspricht:

: 4

12 Personen	5 h
3 Personen	20 h
15 Personen	?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 3 Personen in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 15 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4

⋅ 5

12 Personen	5 h
3 Personen	20 h
15 Personen	4 h

⋅ 4

: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 Personen entspricht: 4 h

Um von 5 h in der ersten Zeile auf 15 h in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 3 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 12 Personen durch 3 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 15 h entspricht:

⋅ 3

5 h	12 Personen
15 h	?

: 3

⋅ 3

5 h	12 Personen
15 h	4 Personen

: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 h entspricht: 4 Personen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Auf einer Großbaustelle müssen unglaubliche Mengen an Aushub abtransportiert werden. Dabei brauchen 2 LKWs genau 20 Fahrten. Wieviele Fahrten bräuchten 8 LKWs durchschnittlich?(Bitte auf eine Stelle hinterm Komma runden, auch wenn es inhaltlich keinen Sinn macht.)

Lösung einblenden

Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

LKW-Anzahl	Fahrten-Anzahl
2 LKWs	20 Fahrten
( : 2 )	( ⋅ 2 )
1 LKWs	$40$ Fahrten
( ⋅ 8 )	( : 8 )
8 LKWs	$\frac{40}{8}$ Fahrten

Die gesuchte Fahrten-Anzahl ist also $\frac{40}{8}$ = $5$ Fahrten

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz (antiproportional)

Dreisatz (antiproportional)

Tabelle (antiproportional)

Antiproportionalität überprüfen

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)