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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Karls hat für seine Geburtstagsparty 24 Flaschen Spezi bekommen.

Wie viele Flaschen würde jeder bekommen, wenn insgesamt 4 Personen auf der Party wären?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Gast24 Spezi-Flaschen
4 Gäste?

Um von 1 Gäste in der ersten Zeile auf 4 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 4 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 24 Spezi-Flaschen durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 4 Gäste entspricht:

⋅ 4
1 Gast24 Spezi-Flaschen
4 Gäste?
: 4
⋅ 4
1 Gast24 Spezi-Flaschen
4 Gäste6 Spezi-Flaschen
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Gäste entspricht: 6 Spezi-Flaschen

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Karls hat für seine Geburtstagsparty Spezi bekommen. Dabei reicht es für jeden genau 6 Flaschen, wenn insgesamt 4 Personen auf seiner Party sind.

Wie viele Flaschen würde jeder bekommen, wenn insgesamt 3 Personen auf der Party wären?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


4 Gäste6 Spezi-Flaschen
??
3 Gäste?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Gäste in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 Gäste teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Gäste:


4 Gäste6 Spezi-Flaschen
1 Gast?
3 Gäste?

Um von 4 Gäste in der ersten Zeile auf 1 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 Spezi-Flaschen nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Gäste links entspricht:

: 4

4 Gäste6 Spezi-Flaschen
1 Gast?
3 Gäste?

⋅ 4
: 4

4 Gäste6 Spezi-Flaschen
1 Gast24 Spezi-Flaschen
3 Gäste?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Gäste in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Gäste in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 3

4 Gäste6 Spezi-Flaschen
1 Gast24 Spezi-Flaschen
3 Gäste?

⋅ 4
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 24 Spezi-Flaschen in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 4
⋅ 3

4 Gäste6 Spezi-Flaschen
1 Gast24 Spezi-Flaschen
3 Gäste8 Spezi-Flaschen

⋅ 4
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Gäste entspricht: 8 Spezi-Flaschen

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

8 Minuten pro Tag6 Tage
??
12 Minuten pro Tag?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten pro Tag in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Minuten pro Tag teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 12 sein, also der ggT(8,12) = 4.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 Minuten pro Tag:


8 Minuten pro Tag6 Tage
4 Minuten pro Tag?
12 Minuten pro Tag?

Um von 8 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 4 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 Tage nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 4 Minuten pro Tag links entspricht:

: 2

8 Minuten pro Tag6 Tage
4 Minuten pro Tag?
12 Minuten pro Tag?

⋅ 2
: 2

8 Minuten pro Tag6 Tage
4 Minuten pro Tag12 Tage
12 Minuten pro Tag?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 4 Minuten pro Tag in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 12 Minuten pro Tag in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2
⋅ 3

8 Minuten pro Tag6 Tage
4 Minuten pro Tag12 Tage
12 Minuten pro Tag?

⋅ 2
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 12 Tage in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 2
⋅ 3

8 Minuten pro Tag6 Tage
4 Minuten pro Tag12 Tage
12 Minuten pro Tag4 Tage

⋅ 2
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Minuten pro Tag entspricht: 4 Tage

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 4 Spezi-Flaschen den 15 Gäste entsprechen.

: 3
⋅ 5

9 Gäste5 Spezi-Flaschen
3 Gäste15 Spezi-Flaschen
15 Gäste3 Spezi-Flaschen

⋅ 3
: 5

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 4 Spezi-Flaschen (für 15 Gäste) war also falsch, richtig wäre 3 Spezi-Flaschen gewesen.


Jetzt überprüfen wir, ob die 8 Spezi-Flaschen den 5 Gäste entsprechen.

: 9
⋅ 5

9 Gäste5 Spezi-Flaschen
1 Gäste45 Spezi-Flaschen
5 Gäste9 Spezi-Flaschen

⋅ 9
: 5

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 8 Spezi-Flaschen (für 5 Gäste) war also falsch, richtig wäre 9 Spezi-Flaschen gewesen.

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld). Wenn er 9 Helfer:innen einstellt, reicht es für jeden 40 € Lohn.

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 12 Helfer:innen hätte?
Wie viele Helfer:innen könnte man mit einem Lohn von 10 € bezahlen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


9 Helfer:innen40 € Lohn
??
12 Helfer:innen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Helfer:innen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 9 Helfer:innen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 9 und von 12 sein, also der ggT(9,12) = 3.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 Helfer:innen:


9 Helfer:innen40 € Lohn
3 Helfer:innen?
12 Helfer:innen?

Um von 9 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 3 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 40 € Lohn nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 3 Helfer:innen links entspricht:

: 3

9 Helfer:innen40 € Lohn
3 Helfer:innen120 € Lohn
12 Helfer:innen?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 3 Helfer:innen in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 12 Helfer:innen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 4

9 Helfer:innen40 € Lohn
3 Helfer:innen120 € Lohn
12 Helfer:innen30 € Lohn

⋅ 3
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Helfer:innen entspricht: 30 € Lohn



Um von 40 € Lohn in der ersten Zeile auf 10 € Lohn in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 9 Helfer:innen mit 4 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 10 € Lohn entspricht:

: 4
40 € Lohn9 Helfer:innen
10 € Lohn?
⋅ 4
: 4
40 € Lohn9 Helfer:innen
10 € Lohn36 Helfer:innen
⋅ 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 € Lohn entspricht: 36 Helfer:innen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Auf einer Großbaustelle müssen unglaubliche Mengen an Aushub abtransportiert werden. Dabei brauchen 3 LKWs genau 20 Fahrten. Wieviele Fahrten bräuchten 8 LKWs durchschnittlich?(Bitte auf eine Stelle hinterm Komma runden, auch wenn es inhaltlich keinen Sinn macht.)

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Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

LKW-AnzahlFahrten-Anzahl
3 LKWs20 Fahrten
( : 3 )( ⋅ 3 )
1 LKWs60 Fahrten
( ⋅ 8 )( : 8 )
8 LKWs 60 8 Fahrten

Die gesuchte Fahrten-Anzahl ist also 60 8 = 15 2 = 7 1 2 ≈ 7.5 Fahrten