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nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Zweisatz (antiproportional)
Beispiel:
Wenn Karla mit ihrem Handy jeden Tag immer 1 Minute telefonieren würde, würden ihre Freiminuten noch genau 48 Tage halten.
Wann wären ihre Freiminuten aufgebraucht, wenn sie täglich 8 min telefonieren würde?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 1 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 8 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 8 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 48 Tage durch 8 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 8 Minuten pro Tag entspricht:
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⋅ 8
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: 8
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⋅ 8
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: 8
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Minuten pro Tag entspricht: 6 Tage
Dreisatz (antiproportional)
Beispiel:
Wenn Karla mit ihrem Handy jeden Tag immer 5 Minuten telefonieren würde, würden ihre Freiminuten noch genau 8 Tage halten.
Wann wären ihre Freiminuten aufgebraucht, wenn sie täglich 4 min telefonieren würde?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten pro Tag in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Minuten pro Tag teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 4 sein, also der ggT(5,4) = 1.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Minuten pro Tag:
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Um von 5 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 1 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 8 Tage nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Minuten pro Tag links entspricht:
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: 5
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⋅ 5
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: 5
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⋅ 5
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Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Minuten pro Tag in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 Minuten pro Tag in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 5
⋅ 4
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⋅ 5
: 4
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Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 40 Tage in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:
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: 5
⋅ 4
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⋅ 5
: 4
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Minuten pro Tag entspricht: 10 Tage
Tabelle (antiproportional)
Beispiel:
Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.
| 4 Lastwagen | 9 Fuhren |
| ? | ? |
| 3 Lastwagen | ? |
Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Lastwagen:
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Um von 4 Lastwagen in der ersten Zeile auf 1 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 9 Fuhren nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Lastwagen links entspricht:
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: 4
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⋅ 4
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: 4
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⋅ 4
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Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 4
⋅ 3
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⋅ 4
: 3
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Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 36 Fuhren in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:
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: 4
⋅ 3
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⋅ 4
: 3
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Lastwagen entspricht: 12 Fuhren
Antiproportionalität überprüfen
Beispiel:
Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.
Wir überprüfen zuerst, ob die 201 km den 25 Liter pro 100km entsprechen.
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: 2
⋅ 5
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⋅ 2
: 5
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Der urpsrünglich vorgegebene Wert 201 km (für 25 Liter pro 100km) war also falsch, richtig wäre 200 km gewesen.
Jetzt überprüfen wir, ob die 996 km den 5 Liter pro 100km entsprechen.
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: 2
⋅ 1
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⋅ 2
: 1
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Der urpsrünglich vorgegebene Wert 996 km (für 5 Liter pro 100km) war also falsch, richtig wäre 1000 km gewesen.
Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen
Beispiel:
Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 8 Lastwagen müssten dafür 5 mal fahren.
Wie oft müssten 10 LKWs fahren?
Wie viele LKWs bräuchte man, damit es mit 8 Fuhren für jeden reicht?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 10 sein, also der ggT(8,10) = 2.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Lastwagen:
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Um von 8 Lastwagen in der ersten Zeile auf 2 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 Fuhren nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Lastwagen links entspricht:
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: 4
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⋅ 4
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Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 10 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 4
⋅ 5
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⋅ 4
: 5
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 Lastwagen entspricht: 4 Fuhren
Für die andere Frage (Wie viele LKWs bräuchte man, damit es mit 8 Fuhren für jeden reicht?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "Fuhren"-Werte haben und nach einem "Lastwagen"-Wert gesucht wird:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Fuhren in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Fuhren teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 8 sein, also der ggT(5,8) = 1.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Fuhren:
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Um von 5 Fuhren in der ersten Zeile auf 1 Fuhren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 8 Lastwagen nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Fuhren links entspricht:
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: 5
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⋅ 5
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Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Fuhren in der mittleren Zeile mit 8 multiplizieren, um auf die 8 Fuhren in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 5
⋅ 8
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⋅ 5
: 8
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Fuhren entspricht: 5 Lastwagen
Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)
Beispiel:
Ein Raum wird mit 45 LED-Leuchten á 190 Lumen ausgeleuchtet. Aus ästhetischen Gründen sollen nur noch 15 Leuchten im Raum installiert sein, diese sollen aber die gleiche Helligkeit erzeugen. Wie viel Lumen brauchen dann diese neuen LED-Leuchten?
Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:
| Anzahl LED-Leuchten | Helligkeit |
|---|---|
| 45 | 190 Lumen |
| ( : 45 ) | ( ⋅ 45 ) |
| 1 | Lumen |
| ( ⋅ 15 ) | ( : 15 ) |
| 15 | Lumen |
Die gesuchte Helligkeit ist also = Lumen