nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 1€ für ein Los verlangen, müssten sie 560 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.

Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 8 € verkaufen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 € Lospreis560 Lose
8 € Lospreis?

Um von 1 € Lospreis in der ersten Zeile auf 8 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 8 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 560 Lose durch 8 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 8 € Lospreis entspricht:

⋅ 8
1 € Lospreis560 Lose
8 € Lospreis?
: 8
⋅ 8
1 € Lospreis560 Lose
8 € Lospreis70 Lose
: 8

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 € Lospreis entspricht: 70 Lose

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld). Wenn er 5 Helfer:innen einstellt, reicht es für jeden 90 € Lohn.

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 3 Helfer:innen hätte?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


5 Helfer:innen90 € Lohn
??
3 Helfer:innen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Helfer:innen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Helfer:innen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 3 sein, also der ggT(5,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Helfer:innen:


5 Helfer:innen90 € Lohn
1 Helfer:in?
3 Helfer:innen?

Um von 5 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 1 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 90 € Lohn nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Helfer:innen links entspricht:

: 5

5 Helfer:innen90 € Lohn
1 Helfer:in?
3 Helfer:innen?

⋅ 5
: 5

5 Helfer:innen90 € Lohn
1 Helfer:in450 € Lohn
3 Helfer:innen?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Helfer:innen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Helfer:innen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 3

5 Helfer:innen90 € Lohn
1 Helfer:in450 € Lohn
3 Helfer:innen?

⋅ 5
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 450 € Lohn in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 5
⋅ 3

5 Helfer:innen90 € Lohn
1 Helfer:in450 € Lohn
3 Helfer:innen150 € Lohn

⋅ 5
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Helfer:innen entspricht: 150 € Lohn

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

9 Liter pro 100km400 km
??
12 Liter pro 100km?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Liter pro 100km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 9 Liter pro 100km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 9 und von 12 sein, also der ggT(9,12) = 3.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 Liter pro 100km:


9 Liter pro 100km400 km
3 Liter pro 100km?
12 Liter pro 100km?

Um von 9 Liter pro 100km in der ersten Zeile auf 3 Liter pro 100km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 400 km nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 3 Liter pro 100km links entspricht:

: 3

9 Liter pro 100km400 km
3 Liter pro 100km?
12 Liter pro 100km?

⋅ 3
: 3

9 Liter pro 100km400 km
3 Liter pro 100km1200 km
12 Liter pro 100km?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 3 Liter pro 100km in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 12 Liter pro 100km in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 4

9 Liter pro 100km400 km
3 Liter pro 100km1200 km
12 Liter pro 100km?

⋅ 3
: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 1200 km in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 3
⋅ 4

9 Liter pro 100km400 km
3 Liter pro 100km1200 km
12 Liter pro 100km300 km

⋅ 3
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Liter pro 100km entspricht: 300 km

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 142 Lose den 4 € Lospreis entsprechen.

: 7
⋅ 4

7 € Lospreis80 Lose
1 € Lospreis560 Lose
4 € Lospreis140 Lose

⋅ 7
: 4

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 142 Lose (für 4 € Lospreis) war also falsch, richtig wäre 140 Lose gewesen.


Jetzt überprüfen wir, ob die 16 Lose den 35 € Lospreis entsprechen.

: 1
⋅ 5

7 € Lospreis80 Lose
7 € Lospreis80 Lose
35 € Lospreis16 Lose

⋅ 1
: 5

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 16 Lose (für 35 € Lospreis) war also korrekt.

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 8 Lastwagen müssten dafür 7 mal fahren.

Wie oft müssten 14 LKWs fahren?
Wie viele LKWs bräuchte man, damit es mit 8 Fuhren für jeden reicht?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


8 Lastwagen7 Fuhren
??
14 Lastwagen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 14 sein, also der ggT(8,14) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Lastwagen:


8 Lastwagen7 Fuhren
2 Lastwagen?
14 Lastwagen?

Um von 8 Lastwagen in der ersten Zeile auf 2 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 7 Fuhren nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Lastwagen links entspricht:

: 4

8 Lastwagen7 Fuhren
2 Lastwagen28 Fuhren
14 Lastwagen?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 7 multiplizieren, um auf die 14 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 7

8 Lastwagen7 Fuhren
2 Lastwagen28 Fuhren
14 Lastwagen4 Fuhren

⋅ 4
: 7

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 14 Lastwagen entspricht: 4 Fuhren



Für die andere Frage (Wie viele LKWs bräuchte man, damit es mit 8 Fuhren für jeden reicht?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "Fuhren"-Werte haben und nach einem "Lastwagen"-Wert gesucht wird:


7 Fuhren8 Lastwagen
??
8 Fuhren?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Fuhren in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 7 Fuhren teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 7 und von 8 sein, also der ggT(7,8) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Fuhren:


7 Fuhren8 Lastwagen
1 Fuhre?
8 Fuhren?

Um von 7 Fuhren in der ersten Zeile auf 1 Fuhren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 7 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 8 Lastwagen nicht durch 7 teilen, sondern mit 7 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Fuhren links entspricht:

: 7

7 Fuhren8 Lastwagen
1 Fuhre56 Lastwagen
8 Fuhren?

⋅ 7

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Fuhren in der mittleren Zeile mit 8 multiplizieren, um auf die 8 Fuhren in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 7
⋅ 8

7 Fuhren8 Lastwagen
1 Fuhre56 Lastwagen
8 Fuhren7 Lastwagen

⋅ 7
: 8

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Fuhren entspricht: 7 Lastwagen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Eine Drohne muss eine bestimmte Strecke zurücklegen. Wenn sie dabei mit einer Geschwindigkeit von 50 km/h fliegt, braucht sie dafür 8 Minuten.Wie lange braucht sie bei einer Geschwindigkeit von 26 km/h?

Lösung einblenden
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

GeschwindigkeitFlugzeit
50 km/h8 min
( : 50 )( ⋅ 50 )
1 km/h400 min
( ⋅ 26 )( : 26 )
26 km/h 400 26 min

Die gesuchte Flugzeit ist also 400 26 = 200 13 = 15 5 13 ≈ 15.385 min