Sammelkorb: 
Klasse 5
- Klasse 6
Klasse 7
- Klasse 8
- Klasse 9
- Klasse 10
- Fit für die Oberstufe
nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen
Zweisatz (antiproportional)
Beispiel:
Ein Hausmeister hat ein extra Budget von 450 € für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld).
Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 5 Helfer:innen hätte?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
|
Um von 1 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 5 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 5 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 450 € Lohn durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 5 Helfer:innen entspricht:
|
⋅ 5
|
 |
|
 |
: 5
|
|
⋅ 5
|
|
|
|
: 5
|
Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 Helfer:innen entspricht: 90 € Lohn
Dreisatz (antiproportional)
Beispiel:
Karls hat für seine Geburtstagsparty Spezi bekommen. Dabei reicht es für jeden genau 5 Flaschen, wenn insgesamt 10 Personen auf seiner Party sind.
Wie viele Flaschen würde jeder bekommen, wenn insgesamt 25 Personen auf der Party wären?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
|
Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Gäste in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 Gäste teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 10 und von 25 sein, also der ggT(10,25) = 5.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 Gäste:
|
Um von 10 Gäste in der ersten Zeile auf 5 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 Spezi-Flaschen nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 5 Gäste links entspricht:
|
: 2
|
|
|
|
⋅ 2
|
|
: 2
|
|
|
|
⋅ 2
|
Jetzt müssen wir ja wieder die 5 Gäste in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 25 Gäste in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
|
: 2
⋅ 5
|
|
|
|
⋅ 2
: 5
|
Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 10 Spezi-Flaschen in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:
|
: 2
⋅ 5
|
|
|
|
⋅ 2
: 5
|
Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 25 Gäste entspricht: 2 Spezi-Flaschen
Tabelle (antiproportional)
Beispiel:
Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.
| 9 CPU-Kerne | 5 ms |
| ? | ? |
| 15 CPU-Kerne | ? |
Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 9 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 9 und von 15 sein, also der ggT(9,15) = 3.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 CPU-Kerne:
|
Um von 9 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 3 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 ms nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 3 CPU-Kerne links entspricht:
|
: 3
|
|
|
|
⋅ 3
|
|
: 3
|
|
|
|
⋅ 3
|
Jetzt müssen wir ja wieder die 3 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 15 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
|
: 3
⋅ 5
|
|
|
|
⋅ 3
: 5
|
Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 15 ms in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:
|
: 3
⋅ 5
|
|
|
|
⋅ 3
: 5
|
Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 CPU-Kerne entspricht: 3 ms
Antiproportionalität überprüfen
Beispiel:
Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.
Wir überprüfen zuerst, ob die 2 h den 15 Personen entsprechen.
|
: 3
⋅ 5
|
|
|
|
⋅ 3
: 5
|
Der urpsrünglich vorgegebene Wert 2 h (für 15 Personen) war also falsch, richtig wäre 3 h gewesen.
Jetzt überprüfen wir, ob die 9 h den 5 Personen entsprechen.
|
: 9
⋅ 5
|
|
|
|
⋅ 9
: 5
|
Der urpsrünglich vorgegebene Wert 9 h (für 5 Personen) war also korrekt.
Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen
Beispiel:
Wenn Frau Baumann so Auto fährt, dass sie 8 Liter pro 100km verbraucht, kommt sie mit einer Tankfüllung 500 km weit.
Wie weit würde sie mit einer Tankfüllung kommen, wenn sie mit einem "10 Liter/100km "-Schnitt fahren würde?
Mit welchem "Liter pro 100km"-Schnitt muss sie fahren, dass sie mit einer Tankfüllung 800 km weit kommt?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
|
Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Liter pro 100km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Liter pro 100km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 10 sein, also der ggT(8,10) = 2.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Liter pro 100km:
|
Um von 8 Liter pro 100km in der ersten Zeile auf 2 Liter pro 100km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 500 km nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Liter pro 100km links entspricht:
|
: 4
|
|
|
|
⋅ 4
|
Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Liter pro 100km in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 10 Liter pro 100km in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
|
: 4
⋅ 5
|
|
|
|
⋅ 4
: 5
|
Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 Liter pro 100km entspricht: 400 km
Für die andere Frage (Mit welchem "Liter pro 100km"-Schnitt muss sie fahren, dass sie mit einer Tankfüllung 800 km weit kommt?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "km"-Werte haben und nach einem "Liter pro 100km"-Wert gesucht wird:
|
Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 500 km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 500 und von 800 sein, also der ggT(500,800) = 100.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 100 km:
|
Um von 500 km in der ersten Zeile auf 100 km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 8 Liter pro 100km nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 100 km links entspricht:
|
: 5
|
|
|
|
⋅ 5
|
Jetzt müssen wir ja wieder die 100 km in der mittleren Zeile mit 8 multiplizieren, um auf die 800 km in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
|
: 5
⋅ 8
|
|
|
|
⋅ 5
: 8
|
Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 800 km entspricht: 5 Liter pro 100km
Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)
Beispiel:
Ein Raum wird mit 40 LED-Leuchten á 120 Lumen ausgeleuchtet. Aus ästhetischen Gründen sollen nur noch 19 Leuchten im Raum installiert sein, diese sollen aber die gleiche Helligkeit erzeugen. Wie viel Lumen brauchen dann diese neuen LED-Leuchten?
Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:
| Anzahl LED-Leuchten | Helligkeit |
|---|---|
| 40 | 120 Lumen |
| ( : 40 ) | ( ⋅ 40 ) |
| 1 | Lumen |
| ( ⋅ 19 ) | ( : 19 ) |
| 19 | Lumen |
Die gesuchte Helligkeit ist also = 252 ≈ 252.632 Lumen