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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget von 400 € für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld).

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 8 Helfer:innen hätte?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Helfer:in400 € Lohn
8 Helfer:innen?

Um von 1 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 8 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 8 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 400 € Lohn durch 8 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 8 Helfer:innen entspricht:

⋅ 8
1 Helfer:in400 € Lohn
8 Helfer:innen?
: 8
⋅ 8
1 Helfer:in400 € Lohn
8 Helfer:innen50 € Lohn
: 8

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Helfer:innen entspricht: 50 € Lohn

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld). Wenn er 7 Helfer:innen einstellt, reicht es für jeden 80 € Lohn.

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 4 Helfer:innen hätte?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


7 Helfer:innen80 € Lohn
??
4 Helfer:innen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Helfer:innen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 7 Helfer:innen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 7 und von 4 sein, also der ggT(7,4) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Helfer:innen:


7 Helfer:innen80 € Lohn
1 Helfer:in?
4 Helfer:innen?

Um von 7 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 1 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 7 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 80 € Lohn nicht durch 7 teilen, sondern mit 7 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Helfer:innen links entspricht:

: 7

7 Helfer:innen80 € Lohn
1 Helfer:in?
4 Helfer:innen?

⋅ 7
: 7

7 Helfer:innen80 € Lohn
1 Helfer:in560 € Lohn
4 Helfer:innen?

⋅ 7

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Helfer:innen in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 Helfer:innen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 7
⋅ 4

7 Helfer:innen80 € Lohn
1 Helfer:in560 € Lohn
4 Helfer:innen?

⋅ 7
: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 560 € Lohn in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 7
⋅ 4

7 Helfer:innen80 € Lohn
1 Helfer:in560 € Lohn
4 Helfer:innen140 € Lohn

⋅ 7
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Helfer:innen entspricht: 140 € Lohn

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

15 Liter pro 100km400 km
??
20 Liter pro 100km?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Liter pro 100km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 15 Liter pro 100km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 15 und von 20 sein, also der ggT(15,20) = 5.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 Liter pro 100km:


15 Liter pro 100km400 km
5 Liter pro 100km?
20 Liter pro 100km?

Um von 15 Liter pro 100km in der ersten Zeile auf 5 Liter pro 100km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 400 km nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 5 Liter pro 100km links entspricht:

: 3

15 Liter pro 100km400 km
5 Liter pro 100km?
20 Liter pro 100km?

⋅ 3
: 3

15 Liter pro 100km400 km
5 Liter pro 100km1200 km
20 Liter pro 100km?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 5 Liter pro 100km in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 20 Liter pro 100km in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 4

15 Liter pro 100km400 km
5 Liter pro 100km1200 km
20 Liter pro 100km?

⋅ 3
: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 1200 km in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 3
⋅ 4

15 Liter pro 100km400 km
5 Liter pro 100km1200 km
20 Liter pro 100km300 km

⋅ 3
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 20 Liter pro 100km entspricht: 300 km

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 17 ms den 3 CPU-Kerne entsprechen.

: 4
⋅ 3

4 CPU-Kerne15 ms
1 CPU-Kern60 ms
3 CPU-Kerne20 ms

⋅ 4
: 3

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 17 ms (für 3 CPU-Kerne) war also falsch, richtig wäre 20 ms gewesen.


Jetzt überprüfen wir, ob die 1 ms den 20 CPU-Kerne entsprechen.

: 1
⋅ 5

4 CPU-Kerne15 ms
4 CPU-Kerne15 ms
20 CPU-Kerne3 ms

⋅ 1
: 5

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 1 ms (für 20 CPU-Kerne) war also falsch, richtig wäre 3 ms gewesen.

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Wenn Karla mit ihrem Handy jeden Tag immer 4 Minuten telefonieren würde, würden ihre Freiminuten noch genau 12 Tage halten.

Wann wären ihre Freiminuten aufgebraucht, wenn sie täglich 3 min telefonieren würde?
Wie lange kann sie täglich telefonieren, wenn die Freiminuten 8 Tage reichen sollen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


4 Minuten pro Tag12 Tage
??
3 Minuten pro Tag?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten pro Tag in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 Minuten pro Tag teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Minuten pro Tag:


4 Minuten pro Tag12 Tage
1 Minute pro Tag?
3 Minuten pro Tag?

Um von 4 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 1 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 12 Tage nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Minuten pro Tag links entspricht:

: 4

4 Minuten pro Tag12 Tage
1 Minute pro Tag48 Tage
3 Minuten pro Tag?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Minuten pro Tag in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Minuten pro Tag in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 3

4 Minuten pro Tag12 Tage
1 Minute pro Tag48 Tage
3 Minuten pro Tag16 Tage

⋅ 4
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Minuten pro Tag entspricht: 16 Tage



Für die andere Frage (Wie lange kann sie täglich telefonieren, wenn die Freiminuten 8 Tage reichen sollen?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "Tage"-Werte haben und nach einem "Minuten pro Tag"-Wert gesucht wird:


12 Tage4 Minuten pro Tag
??
8 Tage?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Tage in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 12 Tage teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 12 und von 8 sein, also der ggT(12,8) = 4.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 Tage:


12 Tage4 Minuten pro Tag
4 Tage?
8 Tage?

Um von 12 Tage in der ersten Zeile auf 4 Tage in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 4 Minuten pro Tag nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 4 Tage links entspricht:

: 3

12 Tage4 Minuten pro Tag
4 Tage12 Minuten pro Tag
8 Tage?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 4 Tage in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 8 Tage in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 2

12 Tage4 Minuten pro Tag
4 Tage12 Minuten pro Tag
8 Tage6 Minuten pro Tag

⋅ 3
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Tage entspricht: 6 Minuten pro Tag

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Auf einer Großbaustelle müssen unglaubliche Mengen an Aushub abtransportiert werden. Dabei brauchen 3 LKWs genau 10 Fahrten. Wieviele Fahrten bräuchten 9 LKWs durchschnittlich?(Bitte auf eine Stelle hinterm Komma runden, auch wenn es inhaltlich keinen Sinn macht.)

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Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

LKW-AnzahlFahrten-Anzahl
3 LKWs10 Fahrten
( : 3 )( ⋅ 3 )
1 LKWs30 Fahrten
( ⋅ 9 )( : 9 )
9 LKWs 30 9 Fahrten

Die gesuchte Fahrten-Anzahl ist also 30 9 = 10 3 = 3 1 3 ≈ 3.333 Fahrten