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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget von 400 € für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld).

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 8 Helfer:innen hätte?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Helfer:in	400 € Lohn
8 Helfer:innen	?

Um von 1 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 8 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 8 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 400 € Lohn durch 8 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 8 Helfer:innen entspricht:

⋅ 8

1 Helfer:in	400 € Lohn
8 Helfer:innen	?

: 8

⋅ 8

1 Helfer:in	400 € Lohn
8 Helfer:innen	50 € Lohn

: 8

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Helfer:innen entspricht: 50 € Lohn

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 9 Lastwagen müssten dafür 5 mal fahren.

Wie oft müssten 15 LKWs fahren?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

9 Lastwagen	5 Fuhren
?	?
15 Lastwagen	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 9 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 9 und von 15 sein, also der ggT(9,15) = 3.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 Lastwagen:

9 Lastwagen	5 Fuhren
3 Lastwagen	?
15 Lastwagen	?

Um von 9 Lastwagen in der ersten Zeile auf 3 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 Fuhren nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 3 Lastwagen links entspricht:

: 3

9 Lastwagen	5 Fuhren
3 Lastwagen	?
15 Lastwagen	?

⋅ 3

: 3

9 Lastwagen	5 Fuhren
3 Lastwagen	15 Fuhren
15 Lastwagen	?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 3 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 15 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3

⋅ 5

9 Lastwagen	5 Fuhren
3 Lastwagen	15 Fuhren
15 Lastwagen	?

⋅ 3

: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 15 Fuhren in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 3

⋅ 5

9 Lastwagen	5 Fuhren
3 Lastwagen	15 Fuhren
15 Lastwagen	3 Fuhren

⋅ 3

: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 Lastwagen entspricht: 3 Fuhren

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

5 CPU-Kerne	10 ms
?	?
2 CPU-Kerne	?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 2 sein, also der ggT(5,2) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 CPU-Kerne:

5 CPU-Kerne	10 ms
1 CPU-Kern	?
2 CPU-Kerne	?

Um von 5 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 1 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 10 ms nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 CPU-Kerne links entspricht:

: 5

5 CPU-Kerne	10 ms
1 CPU-Kern	?
2 CPU-Kerne	?

⋅ 5

: 5

5 CPU-Kerne	10 ms
1 CPU-Kern	50 ms
2 CPU-Kerne	?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5

⋅ 2

5 CPU-Kerne	10 ms
1 CPU-Kern	50 ms
2 CPU-Kerne	?

⋅ 5

: 2

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 50 ms in der mittleren Zeile durch 2 dividieren:

: 5

⋅ 2

5 CPU-Kerne	10 ms
1 CPU-Kern	50 ms
2 CPU-Kerne	25 ms

⋅ 5

: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 CPU-Kerne entspricht: 25 ms

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 18 Tage den 2 Minuten pro Tag entsprechen.

: 3

⋅ 2

3 Minuten pro Tag	12 Tage
1 Minute pro Tag	36 Tage
2 Minuten pro Tag	18 Tage

⋅ 3

: 2

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 18 Tage(für 2 Minuten pro Tag) war also korrekt.

Jetzt überprüfen wir, ob die 4 Tage den 6 Minuten pro Tag entsprechen.

: 1

⋅ 2

3 Minuten pro Tag	12 Tage
3 Minuten pro Tag	12 Tage
6 Minuten pro Tag	6 Tage

⋅ 1

: 2

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 4 Tage (für 6 Minuten pro Tag) war also falsch, richtig wäre 6 Tage gewesen.

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit 8 CPU-Kernen 6 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 12 solchen CPU-Kernen?
Wie viele CPU-Kerne bräuchte der Computer, wenn er es in 8 ms rechnen könnte?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

8 CPU-Kerne	6 ms
?	?
12 CPU-Kerne	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 12 sein, also der ggT(8,12) = 4.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 CPU-Kerne:

8 CPU-Kerne	6 ms
4 CPU-Kerne	?
12 CPU-Kerne	?

Um von 8 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 4 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 ms nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 4 CPU-Kerne links entspricht:

: 2

8 CPU-Kerne	6 ms
4 CPU-Kerne	12 ms
12 CPU-Kerne	?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 4 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 12 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2

⋅ 3

8 CPU-Kerne	6 ms
4 CPU-Kerne	12 ms
12 CPU-Kerne	4 ms

⋅ 2

: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 CPU-Kerne entspricht: 4 ms

Für die andere Frage (Wie viele CPU-Kerne bräuchte der Computer, wenn er es in 8 ms rechnen könnte?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "ms"-Werte haben und nach einem "CPU-Kerne"-Wert gesucht wird:

6 ms	8 CPU-Kerne
?	?
8 ms	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die ms in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 ms teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 8 sein, also der ggT(6,8) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 ms:

6 ms	8 CPU-Kerne
2 ms	?
8 ms	?

Um von 6 ms in der ersten Zeile auf 2 ms in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 8 CPU-Kerne nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 ms links entspricht:

: 3

6 ms	8 CPU-Kerne
2 ms	24 CPU-Kerne
8 ms	?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 ms in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 8 ms in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3

⋅ 4

6 ms	8 CPU-Kerne
2 ms	24 CPU-Kerne
8 ms	6 CPU-Kerne

⋅ 3

: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 ms entspricht: 6 CPU-Kerne

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Eine Drohne muss eine bestimmte Strecke zurücklegen. Wenn sie dabei mit einer Geschwindigkeit von 20 km/h fliegt, braucht sie dafür 12 Minuten.Wie lange braucht sie bei einer Geschwindigkeit von 23 km/h?

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Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

Geschwindigkeit	Flugzeit
20 km/h	12 min
( : 20 )	( ⋅ 20 )
1 km/h	$240$ min
( ⋅ 23 )	( : 23 )
23 km/h	$\frac{240}{23}$ min

Die gesuchte Flugzeit ist also $\frac{240}{23}$ = 10 $\frac{10}{23}$ ≈ 10.435 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz (antiproportional)

Dreisatz (antiproportional)

Tabelle (antiproportional)

Antiproportionalität überprüfen

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)