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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 1€ für ein Los verlangen, müssten sie 400 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.

Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 8 € verkaufen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 € Lospreis	400 Lose
8 € Lospreis	?

Um von 1 € Lospreis in der ersten Zeile auf 8 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 8 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 400 Lose durch 8 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 8 € Lospreis entspricht:

⋅ 8

1 € Lospreis	400 Lose
8 € Lospreis	?

: 8

⋅ 8

1 € Lospreis	400 Lose
8 € Lospreis	50 Lose

: 8

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 € Lospreis entspricht: 50 Lose

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn 12 Personen das Schulhaus putzen, brauchen sie dafür 5 h.

Wie lange bräuchten 15 Personen hierfür?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

12 Personen	5 h
?	?
15 Personen	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 12 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 12 und von 15 sein, also der ggT(12,15) = 3.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 Personen:

12 Personen	5 h
3 Personen	?
15 Personen	?

Um von 12 Personen in der ersten Zeile auf 3 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 h nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 3 Personen links entspricht:

: 4

12 Personen	5 h
3 Personen	?
15 Personen	?

⋅ 4

: 4

12 Personen	5 h
3 Personen	20 h
15 Personen	?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 3 Personen in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 15 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4

⋅ 5

12 Personen	5 h
3 Personen	20 h
15 Personen	?

⋅ 4

: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 20 h in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 4

⋅ 5

12 Personen	5 h
3 Personen	20 h
15 Personen	4 h

⋅ 4

: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 Personen entspricht: 4 h

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

10 Personen	3 h
?	?
15 Personen	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 10 und von 15 sein, also der ggT(10,15) = 5.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 Personen:

10 Personen	3 h
5 Personen	?
15 Personen	?

Um von 10 Personen in der ersten Zeile auf 5 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 3 h nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 5 Personen links entspricht:

: 2

10 Personen	3 h
5 Personen	?
15 Personen	?

⋅ 2

: 2

10 Personen	3 h
5 Personen	6 h
15 Personen	?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 5 Personen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 15 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2

⋅ 3

10 Personen	3 h
5 Personen	6 h
15 Personen	?

⋅ 2

: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 6 h in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 2

⋅ 3

10 Personen	3 h
5 Personen	6 h
15 Personen	2 h

⋅ 2

: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 Personen entspricht: 2 h

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 11 Spezi-Flaschen den 4 Gäste entsprechen.

: 5

⋅ 4

5 Gäste	8 Spezi-Flaschen
1 Gast	40 Spezi-Flaschen
4 Gäste	10 Spezi-Flaschen

⋅ 5

: 4

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 11 Spezi-Flaschen (für 4 Gäste) war also falsch, richtig wäre 10 Spezi-Flaschen gewesen.

Jetzt überprüfen wir, ob die 1 Spezi-Flaschen den 8 Gäste entsprechen.

: 5

⋅ 8

5 Gäste	8 Spezi-Flaschen
1 Gäste	40 Spezi-Flaschen
8 Gäste	5 Spezi-Flaschen

⋅ 5

: 8

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 1 Spezi-Flaschen (für 8 Gäste) war also falsch, richtig wäre 5 Spezi-Flaschen gewesen.

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld). Wenn er 15 Helfer:innen einstellt, reicht es für jeden 40 € Lohn.

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 20 Helfer:innen hätte?
Wie viele Helfer:innen könnte man mit einem Lohn von 24 € bezahlen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

15 Helfer:innen	40 € Lohn
?	?
20 Helfer:innen	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Helfer:innen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 15 Helfer:innen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 15 und von 20 sein, also der ggT(15,20) = 5.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 Helfer:innen:

15 Helfer:innen	40 € Lohn
5 Helfer:innen	?
20 Helfer:innen	?

Um von 15 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 5 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 40 € Lohn nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 5 Helfer:innen links entspricht:

: 3

15 Helfer:innen	40 € Lohn
5 Helfer:innen	120 € Lohn
20 Helfer:innen	?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 5 Helfer:innen in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 20 Helfer:innen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3

⋅ 4

15 Helfer:innen	40 € Lohn
5 Helfer:innen	120 € Lohn
20 Helfer:innen	30 € Lohn

⋅ 3

: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 20 Helfer:innen entspricht: 30 € Lohn

Für die andere Frage (Wie viele Helfer:innen könnte man mit einem Lohn von 24 € bezahlen?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "€ Lohn"-Werte haben und nach einem "Helfer:innen"-Wert gesucht wird:

40 € Lohn	15 Helfer:innen
?	?
24 € Lohn	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lohn in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 40 € Lohn teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 40 und von 24 sein, also der ggT(40,24) = 8.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 8 € Lohn:

40 € Lohn	15 Helfer:innen
8 € Lohn	?
24 € Lohn	?

Um von 40 € Lohn in der ersten Zeile auf 8 € Lohn in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 15 Helfer:innen nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 8 € Lohn links entspricht:

: 5

40 € Lohn	15 Helfer:innen
8 € Lohn	75 Helfer:innen
24 € Lohn	?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 8 € Lohn in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 24 € Lohn in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5

⋅ 3

40 € Lohn	15 Helfer:innen
8 € Lohn	75 Helfer:innen
24 € Lohn	25 Helfer:innen

⋅ 5

: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 24 € Lohn entspricht: 25 Helfer:innen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Auf einer Großbaustelle müssen unglaubliche Mengen an Aushub abtransportiert werden. Dabei brauchen 4 LKWs genau 20 Fahrten. Wieviele Fahrten bräuchten 6 LKWs durchschnittlich?(Bitte auf eine Stelle hinterm Komma runden, auch wenn es inhaltlich keinen Sinn macht.)

Lösung einblenden

Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

LKW-Anzahl	Fahrten-Anzahl
4 LKWs	20 Fahrten
( : 4 )	( ⋅ 4 )
1 LKWs	$80$ Fahrten
( ⋅ 6 )	( : 6 )
6 LKWs	$\frac{80}{6}$ Fahrten

Die gesuchte Fahrten-Anzahl ist also $\frac{80}{6}$ = $\frac{40}{3}$ = 13 $\frac{1}{3}$ ≈ 13.333 Fahrten

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz (antiproportional)

Dreisatz (antiproportional)

Tabelle (antiproportional)

Antiproportionalität überprüfen

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)