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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn Frau Baumanns Auto nur ein Liter pro 100km verbrauchen würde, würde sie mit einer Tankfüllung 2400 km weit kommen.

Wie weit würde sie mit einer Tankfüllung kommen, wenn sie mit einem "4 Liter/100km "-Schnitt fahren würde?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Liter pro 100km2400 km
4 Liter pro 100km?

Um von 1 Liter pro 100km in der ersten Zeile auf 4 Liter pro 100km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 4 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 2400 km durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 4 Liter pro 100km entspricht:

⋅ 4
1 Liter pro 100km2400 km
4 Liter pro 100km?
: 4
⋅ 4
1 Liter pro 100km2400 km
4 Liter pro 100km600 km
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Liter pro 100km entspricht: 600 km

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Karls hat für seine Geburtstagsparty Spezi bekommen. Dabei reicht es für jeden genau 5 Flaschen, wenn insgesamt 12 Personen auf seiner Party sind.

Wie viele Flaschen würde jeder bekommen, wenn insgesamt 15 Personen auf der Party wären?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


12 Gäste5 Spezi-Flaschen
??
15 Gäste?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Gäste in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 12 Gäste teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 12 und von 15 sein, also der ggT(12,15) = 3.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 Gäste:


12 Gäste5 Spezi-Flaschen
3 Gäste?
15 Gäste?

Um von 12 Gäste in der ersten Zeile auf 3 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 Spezi-Flaschen nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 3 Gäste links entspricht:

: 4

12 Gäste5 Spezi-Flaschen
3 Gäste?
15 Gäste?

⋅ 4
: 4

12 Gäste5 Spezi-Flaschen
3 Gäste20 Spezi-Flaschen
15 Gäste?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 3 Gäste in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 15 Gäste in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 5

12 Gäste5 Spezi-Flaschen
3 Gäste20 Spezi-Flaschen
15 Gäste?

⋅ 4
: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 20 Spezi-Flaschen in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 4
⋅ 5

12 Gäste5 Spezi-Flaschen
3 Gäste20 Spezi-Flaschen
15 Gäste4 Spezi-Flaschen

⋅ 4
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 Gäste entspricht: 4 Spezi-Flaschen

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

10 € Lospreis50 Lose
??
25 € Lospreis?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 10 und von 25 sein, also der ggT(10,25) = 5.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 € Lospreis:


10 € Lospreis50 Lose
5 € Lospreis?
25 € Lospreis?

Um von 10 € Lospreis in der ersten Zeile auf 5 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 50 Lose nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 5 € Lospreis links entspricht:

: 2

10 € Lospreis50 Lose
5 € Lospreis?
25 € Lospreis?

⋅ 2
: 2

10 € Lospreis50 Lose
5 € Lospreis100 Lose
25 € Lospreis?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 5 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 25 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2
⋅ 5

10 € Lospreis50 Lose
5 € Lospreis100 Lose
25 € Lospreis?

⋅ 2
: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 100 Lose in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 2
⋅ 5

10 € Lospreis50 Lose
5 € Lospreis100 Lose
25 € Lospreis20 Lose

⋅ 2
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 25 € Lospreis entspricht: 20 Lose

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 1499 km den 3 Liter pro 100km entsprechen.

: 5
⋅ 3

5 Liter pro 100km900 km
1 Liter pro 100km4500 km
3 Liter pro 100km1500 km

⋅ 5
: 3

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 1499 km (für 3 Liter pro 100km) war also falsch, richtig wäre 1500 km gewesen.


Jetzt überprüfen wir, ob die 498 km den 9 Liter pro 100km entsprechen.

: 5
⋅ 9

5 Liter pro 100km900 km
1 Liter pro 100km4500 km
9 Liter pro 100km500 km

⋅ 5
: 9

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 498 km (für 9 Liter pro 100km) war also falsch, richtig wäre 500 km gewesen.

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 7€ für ein Los verlangen, müssten sie 80 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.

Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 4 € verkaufen?
Wie hoch muss man den Preis ansetzen, wenn man erwartet, das sich 10 Lose verkaufen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


7 € Lospreis80 Lose
??
4 € Lospreis?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 7 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 7 und von 4 sein, also der ggT(7,4) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 € Lospreis:


7 € Lospreis80 Lose
1 € Lospreis?
4 € Lospreis?

Um von 7 € Lospreis in der ersten Zeile auf 1 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 7 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 80 Lose nicht durch 7 teilen, sondern mit 7 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 € Lospreis links entspricht:

: 7

7 € Lospreis80 Lose
1 € Lospreis560 Lose
4 € Lospreis?

⋅ 7

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 7
⋅ 4

7 € Lospreis80 Lose
1 € Lospreis560 Lose
4 € Lospreis140 Lose

⋅ 7
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 € Lospreis entspricht: 140 Lose



Um von 80 Lose in der ersten Zeile auf 10 Lose in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 8 teilen. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 7 € Lospreis mit 8 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 10 Lose entspricht:

: 8
80 Lose7 € Lospreis
10 Lose?
⋅ 8
: 8
80 Lose7 € Lospreis
10 Lose56 € Lospreis
⋅ 8

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 Lose entspricht: 56 € Lospreis

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Eine Drohne muss eine bestimmte Strecke zurücklegen. Wenn sie dabei mit einer Geschwindigkeit von 50 km/h fliegt, braucht sie dafür 12 Minuten.Wie lange braucht sie bei einer Geschwindigkeit von 37 km/h?

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Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

GeschwindigkeitFlugzeit
50 km/h12 min
( : 50 )( ⋅ 50 )
1 km/h600 min
( ⋅ 37 )( : 37 )
37 km/h 600 37 min

Die gesuchte Flugzeit ist also 600 37 = 16 8 37 ≈ 16.216 min