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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget von 600 € für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld).

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 12 Helfer:innen hätte?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Helfer:in	600 € Lohn
12 Helfer:innen	?

Um von 1 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 12 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 12 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 600 € Lohn durch 12 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 12 Helfer:innen entspricht:

⋅ 12

1 Helfer:in	600 € Lohn
12 Helfer:innen	?

: 12

⋅ 12

1 Helfer:in	600 € Lohn
12 Helfer:innen	50 € Lohn

: 12

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Helfer:innen entspricht: 50 € Lohn

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 6€ für ein Los verlangen, müssten sie 80 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.

Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 4 € verkaufen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

6 € Lospreis	80 Lose
?	?
4 € Lospreis	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 4 sein, also der ggT(6,4) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 € Lospreis:

6 € Lospreis	80 Lose
2 € Lospreis	?
4 € Lospreis	?

Um von 6 € Lospreis in der ersten Zeile auf 2 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 80 Lose nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 € Lospreis links entspricht:

: 3

6 € Lospreis	80 Lose
2 € Lospreis	?
4 € Lospreis	?

⋅ 3

: 3

6 € Lospreis	80 Lose
2 € Lospreis	240 Lose
4 € Lospreis	?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 4 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3

⋅ 2

6 € Lospreis	80 Lose
2 € Lospreis	240 Lose
4 € Lospreis	?

⋅ 3

: 2

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 240 Lose in der mittleren Zeile durch 2 dividieren:

: 3

⋅ 2

6 € Lospreis	80 Lose
2 € Lospreis	240 Lose
4 € Lospreis	120 Lose

⋅ 3

: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 € Lospreis entspricht: 120 Lose

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

6 Helfer:innen	60 € Lohn
?	?
4 Helfer:innen	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Helfer:innen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 Helfer:innen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 4 sein, also der ggT(6,4) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Helfer:innen:

6 Helfer:innen	60 € Lohn
2 Helfer:innen	?
4 Helfer:innen	?

Um von 6 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 2 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 60 € Lohn nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Helfer:innen links entspricht:

: 3

6 Helfer:innen	60 € Lohn
2 Helfer:innen	?
4 Helfer:innen	?

⋅ 3

: 3

6 Helfer:innen	60 € Lohn
2 Helfer:innen	180 € Lohn
4 Helfer:innen	?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Helfer:innen in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 4 Helfer:innen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3

⋅ 2

6 Helfer:innen	60 € Lohn
2 Helfer:innen	180 € Lohn
4 Helfer:innen	?

⋅ 3

: 2

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 180 € Lohn in der mittleren Zeile durch 2 dividieren:

: 3

⋅ 2

6 Helfer:innen	60 € Lohn
2 Helfer:innen	180 € Lohn
4 Helfer:innen	90 € Lohn

⋅ 3

: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Helfer:innen entspricht: 90 € Lohn

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 30 ms den 2 CPU-Kerne entsprechen.

: 3

⋅ 2

3 CPU-Kerne	20 ms
1 CPU-Kern	60 ms
2 CPU-Kerne	30 ms

⋅ 3

: 2

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 30 ms(für 2 CPU-Kerne) war also korrekt.

Jetzt überprüfen wir, ob die 10 ms den 6 CPU-Kerne entsprechen.

: 1

⋅ 2

3 CPU-Kerne	20 ms
3 CPU-Kerne	20 ms
6 CPU-Kerne	10 ms

⋅ 1

: 2

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 10 ms (für 6 CPU-Kerne) war also korrekt.

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Wenn 4 Personen das Schulhaus putzen, brauchen sie dafür 12 h.

Wie lange bräuchten 3 Personen hierfür?
Wie viele Personen bräuchte man, damit jeder 4 h putzen müsste?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

4 Personen	12 h
?	?
3 Personen	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Personen:

4 Personen	12 h
1 Person	?
3 Personen	?

Um von 4 Personen in der ersten Zeile auf 1 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 12 h nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Personen links entspricht:

: 4

4 Personen	12 h
1 Person	48 h
3 Personen	?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Personen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4

⋅ 3

4 Personen	12 h
1 Person	48 h
3 Personen	16 h

⋅ 4

: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Personen entspricht: 16 h

Um von 12 h in der ersten Zeile auf 4 h in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 4 Personen mit 3 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 4 h entspricht:

: 3

12 h	4 Personen
4 h	?

⋅ 3

: 3

12 h	4 Personen
4 h	12 Personen

⋅ 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 h entspricht: 12 Personen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Auf einer Großbaustelle müssen unglaubliche Mengen an Aushub abtransportiert werden. Dabei brauchen 4 LKWs genau 40 Fahrten. Wieviele Fahrten bräuchten 8 LKWs durchschnittlich?(Bitte auf eine Stelle hinterm Komma runden, auch wenn es inhaltlich keinen Sinn macht.)

Lösung einblenden

Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

LKW-Anzahl	Fahrten-Anzahl
4 LKWs	40 Fahrten
( : 4 )	( ⋅ 4 )
1 LKWs	$160$ Fahrten
( ⋅ 8 )	( : 8 )
8 LKWs	$\frac{160}{8}$ Fahrten

Die gesuchte Fahrten-Anzahl ist also $\frac{160}{8}$ = $20$ Fahrten

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz (antiproportional)

Dreisatz (antiproportional)

Tabelle (antiproportional)

Antiproportionalität überprüfen

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)