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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Karls hat für seine Geburtstagsparty 40 Flaschen Spezi bekommen.

Wie viele Flaschen würde jeder bekommen, wenn insgesamt 8 Personen auf der Party wären?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Gast	40 Spezi-Flaschen
8 Gäste	?

Um von 1 Gäste in der ersten Zeile auf 8 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 8 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 40 Spezi-Flaschen durch 8 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 8 Gäste entspricht:

⋅ 8

1 Gast	40 Spezi-Flaschen
8 Gäste	?

: 8

⋅ 8

1 Gast	40 Spezi-Flaschen
8 Gäste	5 Spezi-Flaschen

: 8

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Gäste entspricht: 5 Spezi-Flaschen

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn 4 Personen das Schulhaus putzen, brauchen sie dafür 9 h.

Wie lange bräuchten 3 Personen hierfür?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

4 Personen	9 h
?	?
3 Personen	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Personen:

4 Personen	9 h
1 Person	?
3 Personen	?

Um von 4 Personen in der ersten Zeile auf 1 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 9 h nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Personen links entspricht:

: 4

4 Personen	9 h
1 Person	?
3 Personen	?

⋅ 4

: 4

4 Personen	9 h
1 Person	36 h
3 Personen	?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Personen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4

⋅ 3

4 Personen	9 h
1 Person	36 h
3 Personen	?

⋅ 4

: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 36 h in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 4

⋅ 3

4 Personen	9 h
1 Person	36 h
3 Personen	12 h

⋅ 4

: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Personen entspricht: 12 h

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

10 CPU-Kerne	3 ms
?	?
15 CPU-Kerne	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 10 und von 15 sein, also der ggT(10,15) = 5.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 CPU-Kerne:

10 CPU-Kerne	3 ms
5 CPU-Kerne	?
15 CPU-Kerne	?

Um von 10 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 5 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 3 ms nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 5 CPU-Kerne links entspricht:

: 2

10 CPU-Kerne	3 ms
5 CPU-Kerne	?
15 CPU-Kerne	?

⋅ 2

: 2

10 CPU-Kerne	3 ms
5 CPU-Kerne	6 ms
15 CPU-Kerne	?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 5 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 15 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2

⋅ 3

10 CPU-Kerne	3 ms
5 CPU-Kerne	6 ms
15 CPU-Kerne	?

⋅ 2

: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 6 ms in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 2

⋅ 3

10 CPU-Kerne	3 ms
5 CPU-Kerne	6 ms
15 CPU-Kerne	2 ms

⋅ 2

: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 CPU-Kerne entspricht: 2 ms

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 87 € Lohn den 4 Helfer:innen entsprechen.

: 3

⋅ 2

6 Helfer:innen	60 € Lohn
2 Helfer:innen	180 € Lohn
4 Helfer:innen	90 € Lohn

⋅ 3

: 2

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 87 € Lohn (für 4 Helfer:innen) war also falsch, richtig wäre 90 € Lohn gewesen.

Jetzt überprüfen wir, ob die 5 € Lohn den 60 Helfer:innen entsprechen.

: 1

⋅ 10

6 Helfer:innen	60 € Lohn
6 Helfer:innen	60 € Lohn
60 Helfer:innen	6 € Lohn

⋅ 1

: 10

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 5 € Lohn (für 60 Helfer:innen) war also falsch, richtig wäre 6 € Lohn gewesen.

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 5€ für ein Los verlangen, müssten sie 80 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.

Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 4 € verkaufen?
Wie hoch muss man den Preis ansetzen, wenn man erwartet, das sich 16 Lose verkaufen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

5 € Lospreis	80 Lose
?	?
4 € Lospreis	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 4 sein, also der ggT(5,4) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 € Lospreis:

5 € Lospreis	80 Lose
1 € Lospreis	?
4 € Lospreis	?

Um von 5 € Lospreis in der ersten Zeile auf 1 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 80 Lose nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 € Lospreis links entspricht:

: 5

5 € Lospreis	80 Lose
1 € Lospreis	400 Lose
4 € Lospreis	?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5

⋅ 4

5 € Lospreis	80 Lose
1 € Lospreis	400 Lose
4 € Lospreis	100 Lose

⋅ 5

: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 € Lospreis entspricht: 100 Lose

Um von 80 Lose in der ersten Zeile auf 16 Lose in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 5 € Lospreis mit 5 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 16 Lose entspricht:

: 5

80 Lose	5 € Lospreis
16 Lose	?

⋅ 5

: 5

80 Lose	5 € Lospreis
16 Lose	25 € Lospreis

⋅ 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 16 Lose entspricht: 25 € Lospreis

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Auf einer Großbaustelle müssen unglaubliche Mengen an Aushub abtransportiert werden. Dabei brauchen 5 LKWs genau 40 Fahrten. Wieviele Fahrten bräuchten 9 LKWs durchschnittlich?(Bitte auf eine Stelle hinterm Komma runden, auch wenn es inhaltlich keinen Sinn macht.)

Lösung einblenden

Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

LKW-Anzahl	Fahrten-Anzahl
5 LKWs	40 Fahrten
( : 5 )	( ⋅ 5 )
1 LKWs	$200$ Fahrten
( ⋅ 9 )	( : 9 )
9 LKWs	$\frac{200}{9}$ Fahrten

Die gesuchte Fahrten-Anzahl ist also $\frac{200}{9}$ = 22 $\frac{2}{9}$ ≈ 22.222 Fahrten

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz (antiproportional)

Dreisatz (antiproportional)

Tabelle (antiproportional)

Antiproportionalität überprüfen

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)