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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 1€ für ein Los verlangen, müssten sie 450 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.

Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 5 € verkaufen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 € Lospreis450 Lose
5 € Lospreis?

Um von 1 € Lospreis in der ersten Zeile auf 5 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 5 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 450 Lose durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 5 € Lospreis entspricht:

⋅ 5
1 € Lospreis450 Lose
5 € Lospreis?
: 5
⋅ 5
1 € Lospreis450 Lose
5 € Lospreis90 Lose
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 € Lospreis entspricht: 90 Lose

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 5 Lastwagen müssten dafür 8 mal fahren.

Wie oft müssten 4 LKWs fahren?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


5 Lastwagen8 Fuhren
??
4 Lastwagen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 4 sein, also der ggT(5,4) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Lastwagen:


5 Lastwagen8 Fuhren
1 Lastwagen?
4 Lastwagen?

Um von 5 Lastwagen in der ersten Zeile auf 1 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 8 Fuhren nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Lastwagen links entspricht:

: 5

5 Lastwagen8 Fuhren
1 Lastwagen?
4 Lastwagen?

⋅ 5
: 5

5 Lastwagen8 Fuhren
1 Lastwagen40 Fuhren
4 Lastwagen?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 4

5 Lastwagen8 Fuhren
1 Lastwagen40 Fuhren
4 Lastwagen?

⋅ 5
: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 40 Fuhren in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 5
⋅ 4

5 Lastwagen8 Fuhren
1 Lastwagen40 Fuhren
4 Lastwagen10 Fuhren

⋅ 5
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Lastwagen entspricht: 10 Fuhren

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

12 Helfer:innen30 € Lohn
??
18 Helfer:innen?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Helfer:innen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 12 Helfer:innen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 12 und von 18 sein, also der ggT(12,18) = 6.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 6 Helfer:innen:


12 Helfer:innen30 € Lohn
6 Helfer:innen?
18 Helfer:innen?

Um von 12 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 6 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 30 € Lohn nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 6 Helfer:innen links entspricht:

: 2

12 Helfer:innen30 € Lohn
6 Helfer:innen?
18 Helfer:innen?

⋅ 2
: 2

12 Helfer:innen30 € Lohn
6 Helfer:innen60 € Lohn
18 Helfer:innen?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 6 Helfer:innen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 18 Helfer:innen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2
⋅ 3

12 Helfer:innen30 € Lohn
6 Helfer:innen60 € Lohn
18 Helfer:innen?

⋅ 2
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 60 € Lohn in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 2
⋅ 3

12 Helfer:innen30 € Lohn
6 Helfer:innen60 € Lohn
18 Helfer:innen20 € Lohn

⋅ 2
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 18 Helfer:innen entspricht: 20 € Lohn

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 20 Fuhren den 2 Lastwagen entsprechen.

: 5
⋅ 2

5 Lastwagen10 Fuhren
1 Lastwagen50 Fuhren
2 Lastwagen25 Fuhren

⋅ 5
: 2

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 20 Fuhren (für 2 Lastwagen) war also falsch, richtig wäre 25 Fuhren gewesen.


Jetzt überprüfen wir, ob die 0 Fuhren den 10 Lastwagen entsprechen.

: 1
⋅ 2

5 Lastwagen10 Fuhren
5 Lastwagen10 Fuhren
10 Lastwagen5 Fuhren

⋅ 1
: 2

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 0 Fuhren (für 10 Lastwagen) war also falsch, richtig wäre 5 Fuhren gewesen.

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 6 Lastwagen müssten dafür 4 mal fahren.

Wie oft müssten 8 LKWs fahren?
Wie viele LKWs bräuchte man, damit es mit 6 Fuhren für jeden reicht?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


6 Lastwagen4 Fuhren
??
8 Lastwagen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 8 sein, also der ggT(6,8) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Lastwagen:


6 Lastwagen4 Fuhren
2 Lastwagen?
8 Lastwagen?

Um von 6 Lastwagen in der ersten Zeile auf 2 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 4 Fuhren nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Lastwagen links entspricht:

: 3

6 Lastwagen4 Fuhren
2 Lastwagen12 Fuhren
8 Lastwagen?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 8 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 4

6 Lastwagen4 Fuhren
2 Lastwagen12 Fuhren
8 Lastwagen3 Fuhren

⋅ 3
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Lastwagen entspricht: 3 Fuhren



Für die andere Frage (Wie viele LKWs bräuchte man, damit es mit 6 Fuhren für jeden reicht?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "Fuhren"-Werte haben und nach einem "Lastwagen"-Wert gesucht wird:


4 Fuhren6 Lastwagen
??
6 Fuhren?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Fuhren in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 Fuhren teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 6 sein, also der ggT(4,6) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Fuhren:


4 Fuhren6 Lastwagen
2 Fuhren?
6 Fuhren?

Um von 4 Fuhren in der ersten Zeile auf 2 Fuhren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 Lastwagen nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Fuhren links entspricht:

: 2

4 Fuhren6 Lastwagen
2 Fuhren12 Lastwagen
6 Fuhren?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Fuhren in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 6 Fuhren in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2
⋅ 3

4 Fuhren6 Lastwagen
2 Fuhren12 Lastwagen
6 Fuhren4 Lastwagen

⋅ 2
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 6 Fuhren entspricht: 4 Lastwagen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Ein Raum wird mit 40 LED-Leuchten á 110 Lumen ausgeleuchtet. Aus ästhetischen Gründen sollen nur noch 25 Leuchten im Raum installiert sein, diese sollen aber die gleiche Helligkeit erzeugen. Wie viel Lumen brauchen dann diese neuen LED-Leuchten?

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Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

Anzahl LED-LeuchtenHelligkeit
40 110 Lumen
( : 40 )( ⋅ 40 )
1 4400 Lumen
( ⋅ 25 )( : 25 )
25 4400 25 Lumen

Die gesuchte Helligkeit ist also 4400 25 = 176 Lumen