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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget von 450 € für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld).

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 9 Helfer:innen hätte?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Helfer:in450 € Lohn
9 Helfer:innen?

Um von 1 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 9 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 9 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 450 € Lohn durch 9 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 9 Helfer:innen entspricht:

⋅ 9
1 Helfer:in450 € Lohn
9 Helfer:innen?
: 9
⋅ 9
1 Helfer:in450 € Lohn
9 Helfer:innen50 € Lohn
: 9

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 9 Helfer:innen entspricht: 50 € Lohn

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn Karla mit ihrem Handy jeden Tag immer 10 Minuten telefonieren würde, würden ihre Freiminuten noch genau 5 Tage halten.

Wann wären ihre Freiminuten aufgebraucht, wenn sie täglich 25 min telefonieren würde?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


10 Minuten pro Tag5 Tage
??
25 Minuten pro Tag?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten pro Tag in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 Minuten pro Tag teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 10 und von 25 sein, also der ggT(10,25) = 5.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 Minuten pro Tag:


10 Minuten pro Tag5 Tage
5 Minuten pro Tag?
25 Minuten pro Tag?

Um von 10 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 5 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 Tage nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 5 Minuten pro Tag links entspricht:

: 2

10 Minuten pro Tag5 Tage
5 Minuten pro Tag?
25 Minuten pro Tag?

⋅ 2
: 2

10 Minuten pro Tag5 Tage
5 Minuten pro Tag10 Tage
25 Minuten pro Tag?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 5 Minuten pro Tag in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 25 Minuten pro Tag in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2
⋅ 5

10 Minuten pro Tag5 Tage
5 Minuten pro Tag10 Tage
25 Minuten pro Tag?

⋅ 2
: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 10 Tage in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 2
⋅ 5

10 Minuten pro Tag5 Tage
5 Minuten pro Tag10 Tage
25 Minuten pro Tag2 Tage

⋅ 2
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 25 Minuten pro Tag entspricht: 2 Tage

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

12 Personen3 h
??
18 Personen?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 12 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 12 und von 18 sein, also der ggT(12,18) = 6.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 6 Personen:


12 Personen3 h
6 Personen?
18 Personen?

Um von 12 Personen in der ersten Zeile auf 6 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 3 h nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 6 Personen links entspricht:

: 2

12 Personen3 h
6 Personen?
18 Personen?

⋅ 2
: 2

12 Personen3 h
6 Personen6 h
18 Personen?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 6 Personen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 18 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2
⋅ 3

12 Personen3 h
6 Personen6 h
18 Personen?

⋅ 2
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 6 h in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 2
⋅ 3

12 Personen3 h
6 Personen6 h
18 Personen2 h

⋅ 2
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 18 Personen entspricht: 2 h

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 15 Fuhren den 3 Lastwagen entsprechen.

: 4
⋅ 3

4 Lastwagen9 Fuhren
1 Lastwagen36 Fuhren
3 Lastwagen12 Fuhren

⋅ 4
: 3

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 15 Fuhren (für 3 Lastwagen) war also falsch, richtig wäre 12 Fuhren gewesen.


Jetzt überprüfen wir, ob die 7 Fuhren den 6 Lastwagen entsprechen.

: 2
⋅ 3

4 Lastwagen9 Fuhren
2 Lastwagen18 Fuhren
6 Lastwagen6 Fuhren

⋅ 2
: 3

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 7 Fuhren (für 6 Lastwagen) war also falsch, richtig wäre 6 Fuhren gewesen.

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Karls hat für seine Geburtstagsparty Spezi bekommen. Dabei reicht es für jeden genau 8 Flaschen, wenn insgesamt 6 Personen auf seiner Party sind.

Wie viele Flaschen würde jeder bekommen, wenn insgesamt 4 Personen auf der Party wären?
Wie viele Personen können auf die Party, damit es für jeden zu 6 Flaschen reicht?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


6 Gäste8 Spezi-Flaschen
??
4 Gäste?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Gäste in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 Gäste teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 4 sein, also der ggT(6,4) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Gäste:


6 Gäste8 Spezi-Flaschen
2 Gäste?
4 Gäste?

Um von 6 Gäste in der ersten Zeile auf 2 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 8 Spezi-Flaschen nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Gäste links entspricht:

: 3

6 Gäste8 Spezi-Flaschen
2 Gäste24 Spezi-Flaschen
4 Gäste?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Gäste in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 4 Gäste in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 2

6 Gäste8 Spezi-Flaschen
2 Gäste24 Spezi-Flaschen
4 Gäste12 Spezi-Flaschen

⋅ 3
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Gäste entspricht: 12 Spezi-Flaschen



Für die andere Frage (Wie viele Personen können auf die Party, damit es für jeden zu 6 Flaschen reicht?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "Spezi-Flaschen"-Werte haben und nach einem "Gäste"-Wert gesucht wird:


8 Spezi-Flaschen6 Gäste
??
6 Spezi-Flaschen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Spezi-Flaschen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Spezi-Flaschen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 6 sein, also der ggT(8,6) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Spezi-Flaschen:


8 Spezi-Flaschen6 Gäste
2 Spezi-Flaschen?
6 Spezi-Flaschen?

Um von 8 Spezi-Flaschen in der ersten Zeile auf 2 Spezi-Flaschen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 Gäste nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Spezi-Flaschen links entspricht:

: 4

8 Spezi-Flaschen6 Gäste
2 Spezi-Flaschen24 Gäste
6 Spezi-Flaschen?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Spezi-Flaschen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 6 Spezi-Flaschen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 3

8 Spezi-Flaschen6 Gäste
2 Spezi-Flaschen24 Gäste
6 Spezi-Flaschen8 Gäste

⋅ 4
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 6 Spezi-Flaschen entspricht: 8 Gäste

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Eine Drohne muss eine bestimmte Strecke zurücklegen. Wenn sie dabei mit einer Geschwindigkeit von 20 km/h fliegt, braucht sie dafür 8 Minuten.Wie lange braucht sie bei einer Geschwindigkeit von 32 km/h?

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Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

GeschwindigkeitFlugzeit
20 km/h8 min
( : 20 )( ⋅ 20 )
1 km/h160 min
( ⋅ 32 )( : 32 )
32 km/h 160 32 min

Die gesuchte Flugzeit ist also 160 32 = 5 min