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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget von 560 € für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld).

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 7 Helfer:innen hätte?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Helfer:in	560 € Lohn
7 Helfer:innen	?

Um von 1 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 7 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 7 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 560 € Lohn durch 7 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 7 Helfer:innen entspricht:

⋅ 7

1 Helfer:in	560 € Lohn
7 Helfer:innen	?

: 7

⋅ 7

1 Helfer:in	560 € Lohn
7 Helfer:innen	80 € Lohn

: 7

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 7 Helfer:innen entspricht: 80 € Lohn

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn 6 Personen das Schulhaus putzen, brauchen sie dafür 10 h.

Wie lange bräuchten 5 Personen hierfür?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

6 Personen	10 h
?	?
5 Personen	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 5 sein, also der ggT(6,5) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Personen:

6 Personen	10 h
1 Person	?
5 Personen	?

Um von 6 Personen in der ersten Zeile auf 1 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 6 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 10 h nicht durch 6 teilen, sondern mit 6 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Personen links entspricht:

: 6

6 Personen	10 h
1 Person	?
5 Personen	?

⋅ 6

: 6

6 Personen	10 h
1 Person	60 h
5 Personen	?

⋅ 6

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Personen in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 5 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 6

⋅ 5

6 Personen	10 h
1 Person	60 h
5 Personen	?

⋅ 6

: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 60 h in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 6

⋅ 5

6 Personen	10 h
1 Person	60 h
5 Personen	12 h

⋅ 6

: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 Personen entspricht: 12 h

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

4 CPU-Kerne	6 ms
?	?
3 CPU-Kerne	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 CPU-Kerne:

4 CPU-Kerne	6 ms
1 CPU-Kern	?
3 CPU-Kerne	?

Um von 4 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 1 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 ms nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 CPU-Kerne links entspricht:

: 4

4 CPU-Kerne	6 ms
1 CPU-Kern	?
3 CPU-Kerne	?

⋅ 4

: 4

4 CPU-Kerne	6 ms
1 CPU-Kern	24 ms
3 CPU-Kerne	?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4

⋅ 3

4 CPU-Kerne	6 ms
1 CPU-Kern	24 ms
3 CPU-Kerne	?

⋅ 4

: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 24 ms in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 4

⋅ 3

4 CPU-Kerne	6 ms
1 CPU-Kern	24 ms
3 CPU-Kerne	8 ms

⋅ 4

: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 CPU-Kerne entspricht: 8 ms

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 15 Tage den 4 Minuten pro Tag entsprechen.

: 3

⋅ 2

6 Minuten pro Tag	8 Tage
2 Minuten pro Tag	24 Tage
4 Minuten pro Tag	12 Tage

⋅ 3

: 2

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 15 Tage (für 4 Minuten pro Tag) war also falsch, richtig wäre 12 Tage gewesen.

Jetzt überprüfen wir, ob die 7 Tage den 8 Minuten pro Tag entsprechen.

: 3

⋅ 4

6 Minuten pro Tag	8 Tage
2 Minuten pro Tag	24 Tage
8 Minuten pro Tag	6 Tage

⋅ 3

: 4

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 7 Tage (für 8 Minuten pro Tag) war also falsch, richtig wäre 6 Tage gewesen.

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Wenn 10 Personen das Schulhaus putzen, brauchen sie dafür 3 h.

Wie lange bräuchten 15 Personen hierfür?
Wie viele Personen bräuchte man, damit jeder 5 h putzen müsste?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

10 Personen	3 h
?	?
15 Personen	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 10 und von 15 sein, also der ggT(10,15) = 5.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 Personen:

10 Personen	3 h
5 Personen	?
15 Personen	?

Um von 10 Personen in der ersten Zeile auf 5 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 3 h nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 5 Personen links entspricht:

: 2

10 Personen	3 h
5 Personen	6 h
15 Personen	?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 5 Personen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 15 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2

⋅ 3

10 Personen	3 h
5 Personen	6 h
15 Personen	2 h

⋅ 2

: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 Personen entspricht: 2 h

Für die andere Frage (Wie viele Personen bräuchte man, damit jeder 5 h putzen müsste?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "h"-Werte haben und nach einem "Personen"-Wert gesucht wird:

3 h	10 Personen
?	?
5 h	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die h in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 3 h teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 3 und von 5 sein, also der ggT(3,5) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 h:

3 h	10 Personen
1 h	?
5 h	?

Um von 3 h in der ersten Zeile auf 1 h in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 10 Personen nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 h links entspricht:

: 3

3 h	10 Personen
1 h	30 Personen
5 h	?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 h in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 5 h in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3

⋅ 5

3 h	10 Personen
1 h	30 Personen
5 h	6 Personen

⋅ 3

: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 h entspricht: 6 Personen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Eine Drohne muss eine bestimmte Strecke zurücklegen. Wenn sie dabei mit einer Geschwindigkeit von 50 km/h fliegt, braucht sie dafür 8 Minuten.Wie lange braucht sie bei einer Geschwindigkeit von 33 km/h?

Lösung einblenden

Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

Geschwindigkeit	Flugzeit
50 km/h	8 min
( : 50 )	( ⋅ 50 )
1 km/h	$400$ min
( ⋅ 33 )	( : 33 )
33 km/h	$\frac{400}{33}$ min

Die gesuchte Flugzeit ist also $\frac{400}{33}$ = 12 $\frac{4}{33}$ ≈ 12.121 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz (antiproportional)

Dreisatz (antiproportional)

Tabelle (antiproportional)

Antiproportionalität überprüfen

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)