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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget von 500 € für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld).

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 10 Helfer:innen hätte?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Helfer:in	500 € Lohn
10 Helfer:innen	?

Um von 1 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 10 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 10 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 500 € Lohn durch 10 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 10 Helfer:innen entspricht:

⋅ 10

1 Helfer:in	500 € Lohn
10 Helfer:innen	?

: 10

⋅ 10

1 Helfer:in	500 € Lohn
10 Helfer:innen	50 € Lohn

: 10

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 Helfer:innen entspricht: 50 € Lohn

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 6€ für ein Los verlangen, müssten sie 40 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.

Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 8 € verkaufen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

6 € Lospreis	40 Lose
?	?
8 € Lospreis	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 8 sein, also der ggT(6,8) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 € Lospreis:

6 € Lospreis	40 Lose
2 € Lospreis	?
8 € Lospreis	?

Um von 6 € Lospreis in der ersten Zeile auf 2 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 40 Lose nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 € Lospreis links entspricht:

: 3

6 € Lospreis	40 Lose
2 € Lospreis	?
8 € Lospreis	?

⋅ 3

: 3

6 € Lospreis	40 Lose
2 € Lospreis	120 Lose
8 € Lospreis	?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 8 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3

⋅ 4

6 € Lospreis	40 Lose
2 € Lospreis	120 Lose
8 € Lospreis	?

⋅ 3

: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 120 Lose in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 3

⋅ 4

6 € Lospreis	40 Lose
2 € Lospreis	120 Lose
8 € Lospreis	30 Lose

⋅ 3

: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 € Lospreis entspricht: 30 Lose

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

6 Helfer:innen	100 € Lohn
?	?
5 Helfer:innen	?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Helfer:innen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 Helfer:innen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 5 sein, also der ggT(6,5) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Helfer:innen:

6 Helfer:innen	100 € Lohn
1 Helfer:in	?
5 Helfer:innen	?

Um von 6 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 1 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 6 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 100 € Lohn nicht durch 6 teilen, sondern mit 6 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Helfer:innen links entspricht:

: 6

6 Helfer:innen	100 € Lohn
1 Helfer:in	?
5 Helfer:innen	?

⋅ 6

: 6

6 Helfer:innen	100 € Lohn
1 Helfer:in	600 € Lohn
5 Helfer:innen	?

⋅ 6

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Helfer:innen in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 5 Helfer:innen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 6

⋅ 5

6 Helfer:innen	100 € Lohn
1 Helfer:in	600 € Lohn
5 Helfer:innen	?

⋅ 6

: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 600 € Lohn in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 6

⋅ 5

6 Helfer:innen	100 € Lohn
1 Helfer:in	600 € Lohn
5 Helfer:innen	120 € Lohn

⋅ 6

: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 Helfer:innen entspricht: 120 € Lohn

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 2 ms den 15 CPU-Kerne entsprechen.

: 2

⋅ 3

10 CPU-Kerne	3 ms
5 CPU-Kerne	6 ms
15 CPU-Kerne	2 ms

⋅ 2

: 3

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 2 ms(für 15 CPU-Kerne) war also korrekt.

Jetzt überprüfen wir, ob die 5 ms den 6 CPU-Kerne entsprechen.

: 5

⋅ 3

10 CPU-Kerne	3 ms
2 CPU-Kerne	15 ms
6 CPU-Kerne	5 ms

⋅ 5

: 3

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 5 ms (für 6 CPU-Kerne) war also korrekt.

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit 8 CPU-Kernen 6 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 12 solchen CPU-Kernen?
Wie viele CPU-Kerne bräuchte der Computer, wenn er es in 12 ms rechnen könnte?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

8 CPU-Kerne	6 ms
?	?
12 CPU-Kerne	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 12 sein, also der ggT(8,12) = 4.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 CPU-Kerne:

8 CPU-Kerne	6 ms
4 CPU-Kerne	?
12 CPU-Kerne	?

Um von 8 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 4 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 ms nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 4 CPU-Kerne links entspricht:

: 2

8 CPU-Kerne	6 ms
4 CPU-Kerne	12 ms
12 CPU-Kerne	?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 4 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 12 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2

⋅ 3

8 CPU-Kerne	6 ms
4 CPU-Kerne	12 ms
12 CPU-Kerne	4 ms

⋅ 2

: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 CPU-Kerne entspricht: 4 ms

Um von 6 ms in der ersten Zeile auf 12 ms in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 2 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 8 CPU-Kerne durch 2 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 12 ms entspricht:

⋅ 2

6 ms	8 CPU-Kerne
12 ms	?

: 2

⋅ 2

6 ms	8 CPU-Kerne
12 ms	4 CPU-Kerne

: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 ms entspricht: 4 CPU-Kerne

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Ein Raum wird mit 30 LED-Leuchten á 160 Lumen ausgeleuchtet. Aus ästhetischen Gründen sollen nur noch 12 Leuchten im Raum installiert sein, diese sollen aber die gleiche Helligkeit erzeugen. Wie viel Lumen brauchen dann diese neuen LED-Leuchten?

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Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

Anzahl LED-Leuchten	Helligkeit
30	160 Lumen
( : 30 )	( ⋅ 30 )
1	$4 800$ Lumen
( ⋅ 12 )	( : 12 )
12	$\frac{4 800}{12}$ Lumen

Die gesuchte Helligkeit ist also $\frac{4 800}{12}$ = $400$ Lumen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz (antiproportional)

Dreisatz (antiproportional)

Tabelle (antiproportional)

Antiproportionalität überprüfen

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)