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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget von 300 € für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld).

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 5 Helfer:innen hätte?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Helfer:in300 € Lohn
5 Helfer:innen?

Um von 1 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 5 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 5 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 300 € Lohn durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 5 Helfer:innen entspricht:

⋅ 5
1 Helfer:in300 € Lohn
5 Helfer:innen?
: 5
⋅ 5
1 Helfer:in300 € Lohn
5 Helfer:innen60 € Lohn
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 Helfer:innen entspricht: 60 € Lohn

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 5€ für ein Los verlangen, müssten sie 90 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.

Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 3 € verkaufen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


5 € Lospreis90 Lose
??
3 € Lospreis?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 3 sein, also der ggT(5,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 € Lospreis:


5 € Lospreis90 Lose
1 € Lospreis?
3 € Lospreis?

Um von 5 € Lospreis in der ersten Zeile auf 1 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 90 Lose nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 € Lospreis links entspricht:

: 5

5 € Lospreis90 Lose
1 € Lospreis?
3 € Lospreis?

⋅ 5
: 5

5 € Lospreis90 Lose
1 € Lospreis450 Lose
3 € Lospreis?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 3

5 € Lospreis90 Lose
1 € Lospreis450 Lose
3 € Lospreis?

⋅ 5
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 450 Lose in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 5
⋅ 3

5 € Lospreis90 Lose
1 € Lospreis450 Lose
3 € Lospreis150 Lose

⋅ 5
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 € Lospreis entspricht: 150 Lose

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

5 Lastwagen8 Fuhren
??
4 Lastwagen?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 4 sein, also der ggT(5,4) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Lastwagen:


5 Lastwagen8 Fuhren
1 Lastwagen?
4 Lastwagen?

Um von 5 Lastwagen in der ersten Zeile auf 1 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 8 Fuhren nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Lastwagen links entspricht:

: 5

5 Lastwagen8 Fuhren
1 Lastwagen?
4 Lastwagen?

⋅ 5
: 5

5 Lastwagen8 Fuhren
1 Lastwagen40 Fuhren
4 Lastwagen?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 4

5 Lastwagen8 Fuhren
1 Lastwagen40 Fuhren
4 Lastwagen?

⋅ 5
: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 40 Fuhren in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 5
⋅ 4

5 Lastwagen8 Fuhren
1 Lastwagen40 Fuhren
4 Lastwagen10 Fuhren

⋅ 5
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Lastwagen entspricht: 10 Fuhren

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 31 € Lohn den 15 Helfer:innen entsprechen.

: 3
⋅ 5

9 Helfer:innen50 € Lohn
3 Helfer:innen150 € Lohn
15 Helfer:innen30 € Lohn

⋅ 3
: 5

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 31 € Lohn (für 15 Helfer:innen) war also falsch, richtig wäre 30 € Lohn gewesen.


Jetzt überprüfen wir, ob die 150 € Lohn den 3 Helfer:innen entsprechen.

: 3
⋅ 1

9 Helfer:innen50 € Lohn
3 Helfer:innen150 € Lohn
3 Helfer:innen150 € Lohn

⋅ 3
: 1

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 150 € Lohn (für 3 Helfer:innen) war also korrekt.

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Karls hat für seine Geburtstagsparty Spezi bekommen. Dabei reicht es für jeden genau 8 Flaschen, wenn insgesamt 5 Personen auf seiner Party sind.

Wie viele Flaschen würde jeder bekommen, wenn insgesamt 4 Personen auf der Party wären?
Wie viele Personen können auf die Party, damit es für jeden zu 5 Flaschen reicht?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


5 Gäste8 Spezi-Flaschen
??
4 Gäste?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Gäste in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Gäste teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 4 sein, also der ggT(5,4) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Gäste:


5 Gäste8 Spezi-Flaschen
1 Gast?
4 Gäste?

Um von 5 Gäste in der ersten Zeile auf 1 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 8 Spezi-Flaschen nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Gäste links entspricht:

: 5

5 Gäste8 Spezi-Flaschen
1 Gast40 Spezi-Flaschen
4 Gäste?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Gäste in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 Gäste in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5
⋅ 4

5 Gäste8 Spezi-Flaschen
1 Gast40 Spezi-Flaschen
4 Gäste10 Spezi-Flaschen

⋅ 5
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Gäste entspricht: 10 Spezi-Flaschen



Für die andere Frage (Wie viele Personen können auf die Party, damit es für jeden zu 5 Flaschen reicht?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "Spezi-Flaschen"-Werte haben und nach einem "Gäste"-Wert gesucht wird:


8 Spezi-Flaschen5 Gäste
??
5 Spezi-Flaschen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Spezi-Flaschen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Spezi-Flaschen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 5 sein, also der ggT(8,5) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Spezi-Flaschen:


8 Spezi-Flaschen5 Gäste
1 Spezi-Flasche?
5 Spezi-Flaschen?

Um von 8 Spezi-Flaschen in der ersten Zeile auf 1 Spezi-Flaschen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 8 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 Gäste nicht durch 8 teilen, sondern mit 8 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Spezi-Flaschen links entspricht:

: 8

8 Spezi-Flaschen5 Gäste
1 Spezi-Flasche40 Gäste
5 Spezi-Flaschen?

⋅ 8

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Spezi-Flaschen in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 5 Spezi-Flaschen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 8
⋅ 5

8 Spezi-Flaschen5 Gäste
1 Spezi-Flasche40 Gäste
5 Spezi-Flaschen8 Gäste

⋅ 8
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 Spezi-Flaschen entspricht: 8 Gäste

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Eine Drohne muss eine bestimmte Strecke zurücklegen. Wenn sie dabei mit einer Geschwindigkeit von 50 km/h fliegt, braucht sie dafür 12 Minuten.Wie lange braucht sie bei einer Geschwindigkeit von 40 km/h?

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Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

GeschwindigkeitFlugzeit
50 km/h12 min
( : 50 )( ⋅ 50 )
1 km/h600 min
( ⋅ 40 )( : 40 )
40 km/h 600 40 min

Die gesuchte Flugzeit ist also 600 40 = 15 min