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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn Karla mit ihrem Handy jeden Tag immer 1 Minute telefonieren würde, würden ihre Freiminuten noch genau 24 Tage halten.

Wann wären ihre Freiminuten aufgebraucht, wenn sie täglich 4 min telefonieren würde?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Minute pro Tag	24 Tage
4 Minuten pro Tag	?

Um von 1 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 4 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 4 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 24 Tage durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 4 Minuten pro Tag entspricht:

⋅ 4

1 Minute pro Tag	24 Tage
4 Minuten pro Tag	?

: 4

⋅ 4

1 Minute pro Tag	24 Tage
4 Minuten pro Tag	6 Tage

: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Minuten pro Tag entspricht: 6 Tage

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 4 Lastwagen müssten dafür 6 mal fahren.

Wie oft müssten 3 LKWs fahren?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

4 Lastwagen	6 Fuhren
?	?
3 Lastwagen	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Lastwagen:

4 Lastwagen	6 Fuhren
1 Lastwagen	?
3 Lastwagen	?

Um von 4 Lastwagen in der ersten Zeile auf 1 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 Fuhren nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Lastwagen links entspricht:

: 4

4 Lastwagen	6 Fuhren
1 Lastwagen	?
3 Lastwagen	?

⋅ 4

: 4

4 Lastwagen	6 Fuhren
1 Lastwagen	24 Fuhren
3 Lastwagen	?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4

⋅ 3

4 Lastwagen	6 Fuhren
1 Lastwagen	24 Fuhren
3 Lastwagen	?

⋅ 4

: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 24 Fuhren in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 4

⋅ 3

4 Lastwagen	6 Fuhren
1 Lastwagen	24 Fuhren
3 Lastwagen	8 Fuhren

⋅ 4

: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Lastwagen entspricht: 8 Fuhren

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

3 Lastwagen	10 Fuhren
?	?
2 Lastwagen	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 3 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 3 und von 2 sein, also der ggT(3,2) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Lastwagen:

3 Lastwagen	10 Fuhren
1 Lastwagen	?
2 Lastwagen	?

Um von 3 Lastwagen in der ersten Zeile auf 1 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 10 Fuhren nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Lastwagen links entspricht:

: 3

3 Lastwagen	10 Fuhren
1 Lastwagen	?
2 Lastwagen	?

⋅ 3

: 3

3 Lastwagen	10 Fuhren
1 Lastwagen	30 Fuhren
2 Lastwagen	?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3

⋅ 2

3 Lastwagen	10 Fuhren
1 Lastwagen	30 Fuhren
2 Lastwagen	?

⋅ 3

: 2

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 30 Fuhren in der mittleren Zeile durch 2 dividieren:

: 3

⋅ 2

3 Lastwagen	10 Fuhren
1 Lastwagen	30 Fuhren
2 Lastwagen	15 Fuhren

⋅ 3

: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 Lastwagen entspricht: 15 Fuhren

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 32 Spezi-Flaschen den 2 Gäste entsprechen.

: 3

⋅ 2

3 Gäste	20 Spezi-Flaschen
1 Gast	60 Spezi-Flaschen
2 Gäste	30 Spezi-Flaschen

⋅ 3

: 2

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 32 Spezi-Flaschen (für 2 Gäste) war also falsch, richtig wäre 30 Spezi-Flaschen gewesen.

Jetzt überprüfen wir, ob die 9 Spezi-Flaschen den 5 Gäste entsprechen.

: 3

⋅ 5

3 Gäste	20 Spezi-Flaschen
1 Gäste	60 Spezi-Flaschen
5 Gäste	12 Spezi-Flaschen

⋅ 3

: 5

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 9 Spezi-Flaschen (für 5 Gäste) war also falsch, richtig wäre 12 Spezi-Flaschen gewesen.

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld). Wenn er 9 Helfer:innen einstellt, reicht es für jeden 40 € Lohn.

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 12 Helfer:innen hätte?
Wie viele Helfer:innen könnte man mit einem Lohn von 20 € bezahlen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

9 Helfer:innen	40 € Lohn
?	?
12 Helfer:innen	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Helfer:innen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 9 Helfer:innen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 9 und von 12 sein, also der ggT(9,12) = 3.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 Helfer:innen:

9 Helfer:innen	40 € Lohn
3 Helfer:innen	?
12 Helfer:innen	?

Um von 9 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 3 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 40 € Lohn nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 3 Helfer:innen links entspricht:

: 3

9 Helfer:innen	40 € Lohn
3 Helfer:innen	120 € Lohn
12 Helfer:innen	?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 3 Helfer:innen in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 12 Helfer:innen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3

⋅ 4

9 Helfer:innen	40 € Lohn
3 Helfer:innen	120 € Lohn
12 Helfer:innen	30 € Lohn

⋅ 3

: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Helfer:innen entspricht: 30 € Lohn

Um von 40 € Lohn in der ersten Zeile auf 20 € Lohn in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 9 Helfer:innen mit 2 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 20 € Lohn entspricht:

: 2

40 € Lohn	9 Helfer:innen
20 € Lohn	?

⋅ 2

: 2

40 € Lohn	9 Helfer:innen
20 € Lohn	18 Helfer:innen

⋅ 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 20 € Lohn entspricht: 18 Helfer:innen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Eine Drohne muss eine bestimmte Strecke zurücklegen. Wenn sie dabei mit einer Geschwindigkeit von 50 km/h fliegt, braucht sie dafür 12 Minuten.Wie lange braucht sie bei einer Geschwindigkeit von 41 km/h?

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Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

Geschwindigkeit	Flugzeit
50 km/h	12 min
( : 50 )	( ⋅ 50 )
1 km/h	$600$ min
( ⋅ 41 )	( : 41 )
41 km/h	$\frac{600}{41}$ min

Die gesuchte Flugzeit ist also $\frac{600}{41}$ = 14 $\frac{26}{41}$ ≈ 14.634 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz (antiproportional)

Dreisatz (antiproportional)

Tabelle (antiproportional)

Antiproportionalität überprüfen

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)