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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 1 Lastwagen müsste dafür 50 mal fahren.

Wie oft müssten 10 LKWs fahren?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Lastwagen50 Fuhren
10 Lastwagen?

Um von 1 Lastwagen in der ersten Zeile auf 10 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 10 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 50 Fuhren durch 10 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 10 Lastwagen entspricht:

⋅ 10
1 Lastwagen50 Fuhren
10 Lastwagen?
: 10
⋅ 10
1 Lastwagen50 Fuhren
10 Lastwagen5 Fuhren
: 10

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 Lastwagen entspricht: 5 Fuhren

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn Karla mit ihrem Handy jeden Tag immer 8 Minuten telefonieren würde, würden ihre Freiminuten noch genau 7 Tage halten.

Wann wären ihre Freiminuten aufgebraucht, wenn sie täglich 14 min telefonieren würde?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


8 Minuten pro Tag7 Tage
??
14 Minuten pro Tag?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten pro Tag in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Minuten pro Tag teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 14 sein, also der ggT(8,14) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Minuten pro Tag:


8 Minuten pro Tag7 Tage
2 Minuten pro Tag?
14 Minuten pro Tag?

Um von 8 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 2 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 7 Tage nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Minuten pro Tag links entspricht:

: 4

8 Minuten pro Tag7 Tage
2 Minuten pro Tag?
14 Minuten pro Tag?

⋅ 4
: 4

8 Minuten pro Tag7 Tage
2 Minuten pro Tag28 Tage
14 Minuten pro Tag?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Minuten pro Tag in der mittleren Zeile mit 7 multiplizieren, um auf die 14 Minuten pro Tag in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 7

8 Minuten pro Tag7 Tage
2 Minuten pro Tag28 Tage
14 Minuten pro Tag?

⋅ 4
: 7

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 28 Tage in der mittleren Zeile durch 7 dividieren:

: 4
⋅ 7

8 Minuten pro Tag7 Tage
2 Minuten pro Tag28 Tage
14 Minuten pro Tag4 Tage

⋅ 4
: 7

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 14 Minuten pro Tag entspricht: 4 Tage

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

8 Personen6 h
??
12 Personen?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 12 sein, also der ggT(8,12) = 4.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 Personen:


8 Personen6 h
4 Personen?
12 Personen?

Um von 8 Personen in der ersten Zeile auf 4 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 h nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 4 Personen links entspricht:

: 2

8 Personen6 h
4 Personen?
12 Personen?

⋅ 2
: 2

8 Personen6 h
4 Personen12 h
12 Personen?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 4 Personen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 12 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2
⋅ 3

8 Personen6 h
4 Personen12 h
12 Personen?

⋅ 2
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 12 h in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 2
⋅ 3

8 Personen6 h
4 Personen12 h
12 Personen4 h

⋅ 2
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Personen entspricht: 4 h

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 12 Tage den 3 Minuten pro Tag entsprechen.

: 5
⋅ 3

5 Minuten pro Tag6 Tage
1 Minute pro Tag30 Tage
3 Minuten pro Tag10 Tage

⋅ 5
: 3

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 12 Tage (für 3 Minuten pro Tag) war also falsch, richtig wäre 10 Tage gewesen.


Jetzt überprüfen wir, ob die 3 Tage den 10 Minuten pro Tag entsprechen.

: 1
⋅ 2

5 Minuten pro Tag6 Tage
5 Minuten pro Tag6 Tage
10 Minuten pro Tag3 Tage

⋅ 1
: 2

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 3 Tage (für 10 Minuten pro Tag) war also korrekt.

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 6€ für ein Los verlangen, müssten sie 60 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.

Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 4 € verkaufen?
Wie hoch muss man den Preis ansetzen, wenn man erwartet, das sich 45 Lose verkaufen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


6 € Lospreis60 Lose
??
4 € Lospreis?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 4 sein, also der ggT(6,4) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 € Lospreis:


6 € Lospreis60 Lose
2 € Lospreis?
4 € Lospreis?

Um von 6 € Lospreis in der ersten Zeile auf 2 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 60 Lose nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 € Lospreis links entspricht:

: 3

6 € Lospreis60 Lose
2 € Lospreis180 Lose
4 € Lospreis?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 4 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 2

6 € Lospreis60 Lose
2 € Lospreis180 Lose
4 € Lospreis90 Lose

⋅ 3
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 € Lospreis entspricht: 90 Lose



Für die andere Frage (Wie hoch muss man den Preis ansetzen, wenn man erwartet, das sich 45 Lose verkaufen?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "Lose"-Werte haben und nach einem "€ Lospreis"-Wert gesucht wird:


60 Lose6 € Lospreis
??
45 Lose?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lose in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 60 Lose teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 60 und von 45 sein, also der ggT(60,45) = 15.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 15 Lose:


60 Lose6 € Lospreis
15 Lose?
45 Lose?

Um von 60 Lose in der ersten Zeile auf 15 Lose in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 € Lospreis nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 15 Lose links entspricht:

: 4

60 Lose6 € Lospreis
15 Lose24 € Lospreis
45 Lose?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 15 Lose in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 45 Lose in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 3

60 Lose6 € Lospreis
15 Lose24 € Lospreis
45 Lose8 € Lospreis

⋅ 4
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 45 Lose entspricht: 8 € Lospreis

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Eine Drohne muss eine bestimmte Strecke zurücklegen. Wenn sie dabei mit einer Geschwindigkeit von 30 km/h fliegt, braucht sie dafür 4 Minuten.Wie lange braucht sie bei einer Geschwindigkeit von 32 km/h?

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Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

GeschwindigkeitFlugzeit
30 km/h4 min
( : 30 )( ⋅ 30 )
1 km/h120 min
( ⋅ 32 )( : 32 )
32 km/h 120 32 min

Die gesuchte Flugzeit ist also 120 32 = 15 4 = 3 3 4 ≈ 3.75 min