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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Karls hat für seine Geburtstagsparty 60 Flaschen Spezi bekommen.

Wie viele Flaschen würde jeder bekommen, wenn insgesamt 12 Personen auf der Party wären?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Gast60 Spezi-Flaschen
12 Gäste?

Um von 1 Gäste in der ersten Zeile auf 12 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 12 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 60 Spezi-Flaschen durch 12 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 12 Gäste entspricht:

⋅ 12
1 Gast60 Spezi-Flaschen
12 Gäste?
: 12
⋅ 12
1 Gast60 Spezi-Flaschen
12 Gäste5 Spezi-Flaschen
: 12

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Gäste entspricht: 5 Spezi-Flaschen

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn 8 Personen das Schulhaus putzen, brauchen sie dafür 6 h.

Wie lange bräuchten 12 Personen hierfür?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
8 Personen6 h
??
12 Personen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 12 sein, also der ggT(8,12) = 4.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 Personen:


8 Personen6 h
4 Personen?
12 Personen?

Um von 8 Personen in der ersten Zeile auf 4 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 h nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 4 Personen links entspricht:

: 2

8 Personen6 h
4 Personen?
12 Personen?
⋅ 2
: 2

8 Personen6 h
4 Personen12 h
12 Personen?
⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 4 Personen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 12 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2
⋅ 3

8 Personen6 h
4 Personen12 h
12 Personen?
⋅ 2
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 12 h in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 2
⋅ 3

8 Personen6 h
4 Personen12 h
12 Personen4 h
⋅ 2
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Personen entspricht: 4 h

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

8 Personen7 h
??
14 Personen?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 14 sein, also der ggT(8,14) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Personen:


8 Personen7 h
2 Personen?
14 Personen?

Um von 8 Personen in der ersten Zeile auf 2 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 7 h nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Personen links entspricht:

: 4

8 Personen7 h
2 Personen?
14 Personen?
⋅ 4
: 4

8 Personen7 h
2 Personen28 h
14 Personen?
⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Personen in der mittleren Zeile mit 7 multiplizieren, um auf die 14 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 7

8 Personen7 h
2 Personen28 h
14 Personen?
⋅ 4
: 7

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 28 h in der mittleren Zeile durch 7 dividieren:

: 4
⋅ 7

8 Personen7 h
2 Personen28 h
14 Personen4 h
⋅ 4
: 7

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 14 Personen entspricht: 4 h

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 20 Lose den 25 € Lospreis entsprechen.

: 2
⋅ 5

10 € Lospreis50 Lose
5 € Lospreis100 Lose
25 € Lospreis20 Lose
⋅ 2
: 5

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 20 Lose(für 25 € Lospreis) war also korrekt.

Jetzt überprüfen wir, ob die 125 Lose den 4 € Lospreis entsprechen.

: 5
⋅ 2

10 € Lospreis50 Lose
2 € Lospreis250 Lose
4 € Lospreis125 Lose
⋅ 5
: 2

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 125 Lose (für 4 € Lospreis) war also korrekt.

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Wenn 8 Personen das Schulhaus putzen, brauchen sie dafür 6 h.

Wie lange bräuchten 12 Personen hierfür?
Wie viele Personen bräuchte man, damit jeder 12 h putzen müsste?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
8 Personen6 h
??
12 Personen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 12 sein, also der ggT(8,12) = 4.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 Personen:


8 Personen6 h
4 Personen?
12 Personen?

Um von 8 Personen in der ersten Zeile auf 4 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 h nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 4 Personen links entspricht:

: 2

8 Personen6 h
4 Personen12 h
12 Personen?
⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 4 Personen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 12 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2
⋅ 3

8 Personen6 h
4 Personen12 h
12 Personen4 h
⋅ 2
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Personen entspricht: 4 h


Um von 6 h in der ersten Zeile auf 12 h in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 2 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 8 Personen durch 2 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 12 h entspricht:

⋅ 2
6 h8 Personen
12 h?
: 2
⋅ 2
6 h8 Personen
12 h4 Personen
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 h entspricht: 4 Personen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Ein Raum wird mit 40 LED-Leuchten á 120 Lumen ausgeleuchtet. Aus ästhetischen Gründen sollen nur noch 11 Leuchten im Raum installiert sein, diese sollen aber die gleiche Helligkeit erzeugen. Wie viel Lumen brauchen dann diese neuen LED-Leuchten?

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Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

Anzahl LED-LeuchtenHelligkeit
40 120 Lumen
( : 40 )( ⋅ 40 )
1 4800 Lumen
( ⋅ 11 )( : 11 )
11 4800 11 Lumen

Die gesuchte Helligkeit ist also 4800 11 = 436 4 11 ≈ 436.364 Lumen