Mathebattle EduRandomtasks

Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 1 Lastwagen müsste dafür 60 mal fahren.

Wie oft müssten 10 LKWs fahren?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Lastwagen	60 Fuhren
10 Lastwagen	?

Um von 1 Lastwagen in der ersten Zeile auf 10 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 10 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 60 Fuhren durch 10 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 10 Lastwagen entspricht:

⋅ 10

1 Lastwagen	60 Fuhren
10 Lastwagen	?

: 10

⋅ 10

1 Lastwagen	60 Fuhren
10 Lastwagen	6 Fuhren

: 10

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 Lastwagen entspricht: 6 Fuhren

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld). Wenn er 5 Helfer:innen einstellt, reicht es für jeden 100 € Lohn.

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 2 Helfer:innen hätte?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

5 Helfer:innen	100 € Lohn
?	?
2 Helfer:innen	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Helfer:innen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Helfer:innen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 2 sein, also der ggT(5,2) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Helfer:innen:

5 Helfer:innen	100 € Lohn
1 Helfer:in	?
2 Helfer:innen	?

Um von 5 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 1 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 100 € Lohn nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Helfer:innen links entspricht:

: 5

5 Helfer:innen	100 € Lohn
1 Helfer:in	?
2 Helfer:innen	?

⋅ 5

: 5

5 Helfer:innen	100 € Lohn
1 Helfer:in	500 € Lohn
2 Helfer:innen	?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Helfer:innen in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 Helfer:innen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5

⋅ 2

5 Helfer:innen	100 € Lohn
1 Helfer:in	500 € Lohn
2 Helfer:innen	?

⋅ 5

: 2

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 500 € Lohn in der mittleren Zeile durch 2 dividieren:

: 5

⋅ 2

5 Helfer:innen	100 € Lohn
1 Helfer:in	500 € Lohn
2 Helfer:innen	250 € Lohn

⋅ 5

: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 Helfer:innen entspricht: 250 € Lohn

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

12 € Lospreis	40 Lose
?	?
16 € Lospreis	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 12 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 12 und von 16 sein, also der ggT(12,16) = 4.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 € Lospreis:

12 € Lospreis	40 Lose
4 € Lospreis	?
16 € Lospreis	?

Um von 12 € Lospreis in der ersten Zeile auf 4 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 40 Lose nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 4 € Lospreis links entspricht:

: 3

12 € Lospreis	40 Lose
4 € Lospreis	?
16 € Lospreis	?

⋅ 3

: 3

12 € Lospreis	40 Lose
4 € Lospreis	120 Lose
16 € Lospreis	?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 4 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 16 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3

⋅ 4

12 € Lospreis	40 Lose
4 € Lospreis	120 Lose
16 € Lospreis	?

⋅ 3

: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 120 Lose in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 3

⋅ 4

12 € Lospreis	40 Lose
4 € Lospreis	120 Lose
16 € Lospreis	30 Lose

⋅ 3

: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 16 € Lospreis entspricht: 30 Lose

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 80 € Lohn den 3 Helfer:innen entsprechen.

: 4

⋅ 3

4 Helfer:innen	60 € Lohn
1 Helfer:in	240 € Lohn
3 Helfer:innen	80 € Lohn

⋅ 4

: 3

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 80 € Lohn(für 3 Helfer:innen) war also korrekt.

Jetzt überprüfen wir, ob die 13 € Lohn den 24 Helfer:innen entsprechen.

: 1

⋅ 6

4 Helfer:innen	60 € Lohn
4 Helfer:innen	60 € Lohn
24 Helfer:innen	10 € Lohn

⋅ 1

: 6

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 13 € Lohn (für 24 Helfer:innen) war also falsch, richtig wäre 10 € Lohn gewesen.

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 4€ für ein Los verlangen, müssten sie 120 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.

Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 3 € verkaufen?
Wie hoch muss man den Preis ansetzen, wenn man erwartet, das sich 5 Lose verkaufen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

4 € Lospreis	120 Lose
?	?
3 € Lospreis	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 € Lospreis:

4 € Lospreis	120 Lose
1 € Lospreis	?
3 € Lospreis	?

Um von 4 € Lospreis in der ersten Zeile auf 1 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 120 Lose nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 € Lospreis links entspricht:

: 4

4 € Lospreis	120 Lose
1 € Lospreis	480 Lose
3 € Lospreis	?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4

⋅ 3

4 € Lospreis	120 Lose
1 € Lospreis	480 Lose
3 € Lospreis	160 Lose

⋅ 4

: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 € Lospreis entspricht: 160 Lose

Um von 120 Lose in der ersten Zeile auf 5 Lose in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 24 teilen. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 4 € Lospreis mit 24 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 5 Lose entspricht:

: 24

120 Lose	4 € Lospreis
5 Lose	?

⋅ 24

: 24

120 Lose	4 € Lospreis
5 Lose	96 € Lospreis

⋅ 24

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 Lose entspricht: 96 € Lospreis

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Eine Drohne muss eine bestimmte Strecke zurücklegen. Wenn sie dabei mit einer Geschwindigkeit von 40 km/h fliegt, braucht sie dafür 4 Minuten.Wie lange braucht sie bei einer Geschwindigkeit von 26 km/h?

Lösung einblenden

Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

Geschwindigkeit	Flugzeit
40 km/h	4 min
( : 40 )	( ⋅ 40 )
1 km/h	$160$ min
( ⋅ 26 )	( : 26 )
26 km/h	$\frac{160}{26}$ min

Die gesuchte Flugzeit ist also $\frac{160}{26}$ = $\frac{80}{13}$ = 6 $\frac{2}{13}$ ≈ 6.154 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz (antiproportional)

Dreisatz (antiproportional)

Tabelle (antiproportional)

Antiproportionalität überprüfen

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)