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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn eine Person das Schulhaus putzt, braucht sie dafür 56 h.

Wie lange bräuchten 7 Personen hierfür?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Person	56 h
7 Personen	?

Um von 1 Personen in der ersten Zeile auf 7 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 7 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 56 h durch 7 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 7 Personen entspricht:

⋅ 7

1 Person	56 h
7 Personen	?

: 7

⋅ 7

1 Person	56 h
7 Personen	8 h

: 7

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 7 Personen entspricht: 8 h

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 6 Lastwagen müssten dafür 4 mal fahren.

Wie oft müssten 8 LKWs fahren?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

6 Lastwagen	4 Fuhren
?	?
8 Lastwagen	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 8 sein, also der ggT(6,8) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Lastwagen:

6 Lastwagen	4 Fuhren
2 Lastwagen	?
8 Lastwagen	?

Um von 6 Lastwagen in der ersten Zeile auf 2 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 4 Fuhren nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Lastwagen links entspricht:

: 3

6 Lastwagen	4 Fuhren
2 Lastwagen	?
8 Lastwagen	?

⋅ 3

: 3

6 Lastwagen	4 Fuhren
2 Lastwagen	12 Fuhren
8 Lastwagen	?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 8 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3

⋅ 4

6 Lastwagen	4 Fuhren
2 Lastwagen	12 Fuhren
8 Lastwagen	?

⋅ 3

: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 12 Fuhren in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 3

⋅ 4

6 Lastwagen	4 Fuhren
2 Lastwagen	12 Fuhren
8 Lastwagen	3 Fuhren

⋅ 3

: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Lastwagen entspricht: 3 Fuhren

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

9 CPU-Kerne	5 ms
?	?
15 CPU-Kerne	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 9 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 9 und von 15 sein, also der ggT(9,15) = 3.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 CPU-Kerne:

9 CPU-Kerne	5 ms
3 CPU-Kerne	?
15 CPU-Kerne	?

Um von 9 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 3 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 ms nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 3 CPU-Kerne links entspricht:

: 3

9 CPU-Kerne	5 ms
3 CPU-Kerne	?
15 CPU-Kerne	?

⋅ 3

: 3

9 CPU-Kerne	5 ms
3 CPU-Kerne	15 ms
15 CPU-Kerne	?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 3 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 15 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3

⋅ 5

9 CPU-Kerne	5 ms
3 CPU-Kerne	15 ms
15 CPU-Kerne	?

⋅ 3

: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 15 ms in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 3

⋅ 5

9 CPU-Kerne	5 ms
3 CPU-Kerne	15 ms
15 CPU-Kerne	3 ms

⋅ 3

: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 CPU-Kerne entspricht: 3 ms

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 12 Tage den 4 Minuten pro Tag entsprechen.

: 3

⋅ 2

6 Minuten pro Tag	8 Tage
2 Minuten pro Tag	24 Tage
4 Minuten pro Tag	12 Tage

⋅ 3

: 2

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 12 Tage(für 4 Minuten pro Tag) war also korrekt.

Jetzt überprüfen wir, ob die 7 Tage den 8 Minuten pro Tag entsprechen.

: 3

⋅ 4

6 Minuten pro Tag	8 Tage
2 Minuten pro Tag	24 Tage
8 Minuten pro Tag	6 Tage

⋅ 3

: 4

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 7 Tage (für 8 Minuten pro Tag) war also falsch, richtig wäre 6 Tage gewesen.

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit 6 CPU-Kernen 6 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 4 solchen CPU-Kernen?
Wie viele CPU-Kerne bräuchte der Computer, wenn er es in 3 ms rechnen könnte?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

6 CPU-Kerne	6 ms
?	?
4 CPU-Kerne	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 4 sein, also der ggT(6,4) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 CPU-Kerne:

6 CPU-Kerne	6 ms
2 CPU-Kerne	?
4 CPU-Kerne	?

Um von 6 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 2 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 ms nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 CPU-Kerne links entspricht:

: 3

6 CPU-Kerne	6 ms
2 CPU-Kerne	18 ms
4 CPU-Kerne	?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 4 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3

⋅ 2

6 CPU-Kerne	6 ms
2 CPU-Kerne	18 ms
4 CPU-Kerne	9 ms

⋅ 3

: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 CPU-Kerne entspricht: 9 ms

Um von 6 ms in der ersten Zeile auf 3 ms in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 6 CPU-Kerne mit 2 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 3 ms entspricht:

: 2

6 ms	6 CPU-Kerne
3 ms	?

⋅ 2

: 2

6 ms	6 CPU-Kerne
3 ms	12 CPU-Kerne

⋅ 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 ms entspricht: 12 CPU-Kerne

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Ein Raum wird mit 45 LED-Leuchten á 190 Lumen ausgeleuchtet. Aus ästhetischen Gründen sollen nur noch 11 Leuchten im Raum installiert sein, diese sollen aber die gleiche Helligkeit erzeugen. Wie viel Lumen brauchen dann diese neuen LED-Leuchten?

Lösung einblenden

Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

Anzahl LED-Leuchten	Helligkeit
45	190 Lumen
( : 45 )	( ⋅ 45 )
1	$8 550$ Lumen
( ⋅ 11 )	( : 11 )
11	$\frac{8 550}{11}$ Lumen

Die gesuchte Helligkeit ist also $\frac{8 550}{11}$ = 777 $\frac{3}{11}$ ≈ 777.273 Lumen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz (antiproportional)

Dreisatz (antiproportional)

Tabelle (antiproportional)

Antiproportionalität überprüfen

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)