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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget von 360 € für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld).

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 12 Helfer:innen hätte?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Helfer:in360 € Lohn
12 Helfer:innen?

Um von 1 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 12 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 12 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 360 € Lohn durch 12 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 12 Helfer:innen entspricht:

⋅ 12
1 Helfer:in360 € Lohn
12 Helfer:innen?
: 12
⋅ 12
1 Helfer:in360 € Lohn
12 Helfer:innen30 € Lohn
: 12

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Helfer:innen entspricht: 30 € Lohn

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Karls hat für seine Geburtstagsparty Spezi bekommen. Dabei reicht es für jeden genau 6 Flaschen, wenn insgesamt 4 Personen auf seiner Party sind.

Wie viele Flaschen würde jeder bekommen, wenn insgesamt 3 Personen auf der Party wären?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


4 Gäste6 Spezi-Flaschen
??
3 Gäste?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Gäste in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 Gäste teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Gäste:


4 Gäste6 Spezi-Flaschen
1 Gast?
3 Gäste?

Um von 4 Gäste in der ersten Zeile auf 1 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 Spezi-Flaschen nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Gäste links entspricht:

: 4

4 Gäste6 Spezi-Flaschen
1 Gast?
3 Gäste?

⋅ 4
: 4

4 Gäste6 Spezi-Flaschen
1 Gast24 Spezi-Flaschen
3 Gäste?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Gäste in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Gäste in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 3

4 Gäste6 Spezi-Flaschen
1 Gast24 Spezi-Flaschen
3 Gäste?

⋅ 4
: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 24 Spezi-Flaschen in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 4
⋅ 3

4 Gäste6 Spezi-Flaschen
1 Gast24 Spezi-Flaschen
3 Gäste8 Spezi-Flaschen

⋅ 4
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Gäste entspricht: 8 Spezi-Flaschen

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

6 Personen4 h
??
8 Personen?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 8 sein, also der ggT(6,8) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Personen:


6 Personen4 h
2 Personen?
8 Personen?

Um von 6 Personen in der ersten Zeile auf 2 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 4 h nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Personen links entspricht:

: 3

6 Personen4 h
2 Personen?
8 Personen?

⋅ 3
: 3

6 Personen4 h
2 Personen12 h
8 Personen?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Personen in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 8 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 4

6 Personen4 h
2 Personen12 h
8 Personen?

⋅ 3
: 4

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 12 h in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:

: 3
⋅ 4

6 Personen4 h
2 Personen12 h
8 Personen3 h

⋅ 3
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Personen entspricht: 3 h

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 9 Tage den 4 Minuten pro Tag entsprechen.

: 3
⋅ 2

6 Minuten pro Tag6 Tage
2 Minuten pro Tag18 Tage
4 Minuten pro Tag9 Tage

⋅ 3
: 2

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 9 Tage(für 4 Minuten pro Tag) war also korrekt.


Jetzt überprüfen wir, ob die 15 Tage den 3 Minuten pro Tag entsprechen.

: 2
⋅ 1

6 Minuten pro Tag6 Tage
3 Minuten pro Tag12 Tage
3 Minuten pro Tag12 Tage

⋅ 2
: 1

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 15 Tage (für 3 Minuten pro Tag) war also falsch, richtig wäre 12 Tage gewesen.

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld). Wenn er 10 Helfer:innen einstellt, reicht es für jeden 30 € Lohn.

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 15 Helfer:innen hätte?
Wie viele Helfer:innen könnte man mit einem Lohn von 25 € bezahlen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


10 Helfer:innen30 € Lohn
??
15 Helfer:innen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Helfer:innen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 Helfer:innen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 10 und von 15 sein, also der ggT(10,15) = 5.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 Helfer:innen:


10 Helfer:innen30 € Lohn
5 Helfer:innen?
15 Helfer:innen?

Um von 10 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 5 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 30 € Lohn nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 5 Helfer:innen links entspricht:

: 2

10 Helfer:innen30 € Lohn
5 Helfer:innen60 € Lohn
15 Helfer:innen?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 5 Helfer:innen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 15 Helfer:innen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2
⋅ 3

10 Helfer:innen30 € Lohn
5 Helfer:innen60 € Lohn
15 Helfer:innen20 € Lohn

⋅ 2
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 Helfer:innen entspricht: 20 € Lohn



Für die andere Frage (Wie viele Helfer:innen könnte man mit einem Lohn von 25 € bezahlen?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "€ Lohn"-Werte haben und nach einem "Helfer:innen"-Wert gesucht wird:


30 € Lohn10 Helfer:innen
??
25 € Lohn?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lohn in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 30 € Lohn teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 30 und von 25 sein, also der ggT(30,25) = 5.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 € Lohn:


30 € Lohn10 Helfer:innen
5 € Lohn?
25 € Lohn?

Um von 30 € Lohn in der ersten Zeile auf 5 € Lohn in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 6 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 10 Helfer:innen nicht durch 6 teilen, sondern mit 6 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 5 € Lohn links entspricht:

: 6

30 € Lohn10 Helfer:innen
5 € Lohn60 Helfer:innen
25 € Lohn?

⋅ 6

Jetzt müssen wir ja wieder die 5 € Lohn in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 25 € Lohn in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 6
⋅ 5

30 € Lohn10 Helfer:innen
5 € Lohn60 Helfer:innen
25 € Lohn12 Helfer:innen

⋅ 6
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 25 € Lohn entspricht: 12 Helfer:innen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Auf einer Großbaustelle müssen unglaubliche Mengen an Aushub abtransportiert werden. Dabei brauchen 2 LKWs genau 40 Fahrten. Wieviele Fahrten bräuchten 6 LKWs durchschnittlich?(Bitte auf eine Stelle hinterm Komma runden, auch wenn es inhaltlich keinen Sinn macht.)

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Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

LKW-AnzahlFahrten-Anzahl
2 LKWs40 Fahrten
( : 2 )( ⋅ 2 )
1 LKWs80 Fahrten
( ⋅ 6 )( : 6 )
6 LKWs 80 6 Fahrten

Die gesuchte Fahrten-Anzahl ist also 80 6 = 40 3 = 13 1 3 ≈ 13.333 Fahrten