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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit einem CPU-Kern 60 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 15 solchen CPU-Kernen?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 CPU-Kern	60 ms
15 CPU-Kerne	?

Um von 1 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 15 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 15 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 60 ms durch 15 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 15 CPU-Kerne entspricht:

⋅ 15

1 CPU-Kern	60 ms
15 CPU-Kerne	?

: 15

⋅ 15

1 CPU-Kern	60 ms
15 CPU-Kerne	4 ms

: 15

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 CPU-Kerne entspricht: 4 ms

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn Frau Baumann so Auto fährt, dass sie 12 Liter pro 100km verbraucht, kommt sie mit einer Tankfüllung 300 km weit.

Wie weit würde sie mit einer Tankfüllung kommen, wenn sie mit einem "18 Liter/100km "-Schnitt fahren würde?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

12 Liter pro 100km	300 km
?	?
18 Liter pro 100km	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Liter pro 100km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 12 Liter pro 100km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 12 und von 18 sein, also der ggT(12,18) = 6.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 6 Liter pro 100km:

12 Liter pro 100km	300 km
6 Liter pro 100km	?
18 Liter pro 100km	?

Um von 12 Liter pro 100km in der ersten Zeile auf 6 Liter pro 100km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 300 km nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 6 Liter pro 100km links entspricht:

: 2

12 Liter pro 100km	300 km
6 Liter pro 100km	?
18 Liter pro 100km	?

⋅ 2

: 2

12 Liter pro 100km	300 km
6 Liter pro 100km	600 km
18 Liter pro 100km	?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 6 Liter pro 100km in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 18 Liter pro 100km in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2

⋅ 3

12 Liter pro 100km	300 km
6 Liter pro 100km	600 km
18 Liter pro 100km	?

⋅ 2

: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 600 km in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 2

⋅ 3

12 Liter pro 100km	300 km
6 Liter pro 100km	600 km
18 Liter pro 100km	200 km

⋅ 2

: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 18 Liter pro 100km entspricht: 200 km

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

6 Gäste	6 Spezi-Flaschen
?	?
4 Gäste	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Gäste in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 Gäste teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 4 sein, also der ggT(6,4) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Gäste:

6 Gäste	6 Spezi-Flaschen
2 Gäste	?
4 Gäste	?

Um von 6 Gäste in der ersten Zeile auf 2 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 Spezi-Flaschen nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Gäste links entspricht:

: 3

6 Gäste	6 Spezi-Flaschen
2 Gäste	?
4 Gäste	?

⋅ 3

: 3

6 Gäste	6 Spezi-Flaschen
2 Gäste	18 Spezi-Flaschen
4 Gäste	?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Gäste in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 4 Gäste in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3

⋅ 2

6 Gäste	6 Spezi-Flaschen
2 Gäste	18 Spezi-Flaschen
4 Gäste	?

⋅ 3

: 2

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 18 Spezi-Flaschen in der mittleren Zeile durch 2 dividieren:

: 3

⋅ 2

6 Gäste	6 Spezi-Flaschen
2 Gäste	18 Spezi-Flaschen
4 Gäste	9 Spezi-Flaschen

⋅ 3

: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Gäste entspricht: 9 Spezi-Flaschen

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 6 h den 15 Personen entsprechen.

: 4

⋅ 5

12 Personen	5 h
3 Personen	20 h
15 Personen	4 h

⋅ 4

: 5

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 6 h (für 15 Personen) war also falsch, richtig wäre 4 h gewesen.

Jetzt überprüfen wir, ob die 15 h den 4 Personen entsprechen.

: 3

⋅ 1

12 Personen	5 h
4 Personen	15 h
4 Personen	15 h

⋅ 3

: 1

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 15 h (für 4 Personen) war also korrekt.

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Karls hat für seine Geburtstagsparty Spezi bekommen. Dabei reicht es für jeden genau 3 Flaschen, wenn insgesamt 12 Personen auf seiner Party sind.

Wie viele Flaschen würde jeder bekommen, wenn insgesamt 18 Personen auf der Party wären?
Wie viele Personen können auf die Party, damit es für jeden zu 12 Flaschen reicht?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

12 Gäste	3 Spezi-Flaschen
?	?
18 Gäste	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Gäste in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 12 Gäste teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 12 und von 18 sein, also der ggT(12,18) = 6.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 6 Gäste:

12 Gäste	3 Spezi-Flaschen
6 Gäste	?
18 Gäste	?

Um von 12 Gäste in der ersten Zeile auf 6 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 3 Spezi-Flaschen nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 6 Gäste links entspricht:

: 2

12 Gäste	3 Spezi-Flaschen
6 Gäste	6 Spezi-Flaschen
18 Gäste	?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 6 Gäste in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 18 Gäste in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2

⋅ 3

12 Gäste	3 Spezi-Flaschen
6 Gäste	6 Spezi-Flaschen
18 Gäste	2 Spezi-Flaschen

⋅ 2

: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 18 Gäste entspricht: 2 Spezi-Flaschen

Um von 3 Spezi-Flaschen in der ersten Zeile auf 12 Spezi-Flaschen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 4 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 12 Gäste durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 12 Spezi-Flaschen entspricht:

⋅ 4

3 Spezi-Flaschen	12 Gäste
12 Spezi-Flaschen	?

: 4

⋅ 4

3 Spezi-Flaschen	12 Gäste
12 Spezi-Flaschen	3 Gäste

: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Spezi-Flaschen entspricht: 3 Gäste

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Ein Raum wird mit 35 LED-Leuchten á 160 Lumen ausgeleuchtet. Aus ästhetischen Gründen sollen nur noch 12 Leuchten im Raum installiert sein, diese sollen aber die gleiche Helligkeit erzeugen. Wie viel Lumen brauchen dann diese neuen LED-Leuchten?

Lösung einblenden

Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

Anzahl LED-Leuchten	Helligkeit
35	160 Lumen
( : 35 )	( ⋅ 35 )
1	$5 600$ Lumen
( ⋅ 12 )	( : 12 )
12	$\frac{5 600}{12}$ Lumen

Die gesuchte Helligkeit ist also $\frac{5 600}{12}$ = $\frac{1400}{3}$ = 466 $\frac{2}{3}$ ≈ 466.667 Lumen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz (antiproportional)

Dreisatz (antiproportional)

Tabelle (antiproportional)

Antiproportionalität überprüfen

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)