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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 1€ für ein Los verlangen, müssten sie 480 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.

Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 8 € verkaufen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 € Lospreis	480 Lose
8 € Lospreis	?

Um von 1 € Lospreis in der ersten Zeile auf 8 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 8 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 480 Lose durch 8 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 8 € Lospreis entspricht:

⋅ 8

1 € Lospreis	480 Lose
8 € Lospreis	?

: 8

⋅ 8

1 € Lospreis	480 Lose
8 € Lospreis	60 Lose

: 8

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 € Lospreis entspricht: 60 Lose

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit 6 CPU-Kernen 5 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 10 solchen CPU-Kernen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

6 CPU-Kerne	5 ms
?	?
10 CPU-Kerne	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 10 sein, also der ggT(6,10) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 CPU-Kerne:

6 CPU-Kerne	5 ms
2 CPU-Kerne	?
10 CPU-Kerne	?

Um von 6 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 2 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 ms nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 CPU-Kerne links entspricht:

: 3

6 CPU-Kerne	5 ms
2 CPU-Kerne	?
10 CPU-Kerne	?

⋅ 3

: 3

6 CPU-Kerne	5 ms
2 CPU-Kerne	15 ms
10 CPU-Kerne	?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 10 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3

⋅ 5

6 CPU-Kerne	5 ms
2 CPU-Kerne	15 ms
10 CPU-Kerne	?

⋅ 3

: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 15 ms in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 3

⋅ 5

6 CPU-Kerne	5 ms
2 CPU-Kerne	15 ms
10 CPU-Kerne	3 ms

⋅ 3

: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 CPU-Kerne entspricht: 3 ms

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

3 Personen	20 h
?	?
2 Personen	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 3 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 3 und von 2 sein, also der ggT(3,2) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Personen:

3 Personen	20 h
1 Person	?
2 Personen	?

Um von 3 Personen in der ersten Zeile auf 1 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 20 h nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Personen links entspricht:

: 3

3 Personen	20 h
1 Person	?
2 Personen	?

⋅ 3

: 3

3 Personen	20 h
1 Person	60 h
2 Personen	?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Personen in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3

⋅ 2

3 Personen	20 h
1 Person	60 h
2 Personen	?

⋅ 3

: 2

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 60 h in der mittleren Zeile durch 2 dividieren:

: 3

⋅ 2

3 Personen	20 h
1 Person	60 h
2 Personen	30 h

⋅ 3

: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 Personen entspricht: 30 h

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 11 ms den 5 CPU-Kerne entsprechen.

: 6

⋅ 5

6 CPU-Kerne	10 ms
1 CPU-Kern	60 ms
5 CPU-Kerne	12 ms

⋅ 6

: 5

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 11 ms (für 5 CPU-Kerne) war also falsch, richtig wäre 12 ms gewesen.

Jetzt überprüfen wir, ob die 21 ms den 3 CPU-Kerne entsprechen.

: 2

⋅ 1

6 CPU-Kerne	10 ms
3 CPU-Kerne	20 ms
3 CPU-Kerne	20 ms

⋅ 2

: 1

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 21 ms (für 3 CPU-Kerne) war also falsch, richtig wäre 20 ms gewesen.

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Wenn Frau Baumann so Auto fährt, dass sie 3 Liter pro 100km verbraucht, kommt sie mit einer Tankfüllung 1000 km weit.

Wie weit würde sie mit einer Tankfüllung kommen, wenn sie mit einem "2 Liter/100km "-Schnitt fahren würde?
Mit welchem "Liter pro 100km"-Schnitt muss sie fahren, dass sie mit einer Tankfüllung 500 km weit kommt?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

3 Liter pro 100km	1000 km
?	?
2 Liter pro 100km	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Liter pro 100km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 3 Liter pro 100km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 3 und von 2 sein, also der ggT(3,2) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Liter pro 100km:

3 Liter pro 100km	1000 km
1 Liter pro 100km	?
2 Liter pro 100km	?

Um von 3 Liter pro 100km in der ersten Zeile auf 1 Liter pro 100km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 1000 km nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Liter pro 100km links entspricht:

: 3

3 Liter pro 100km	1000 km
1 Liter pro 100km	3000 km
2 Liter pro 100km	?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Liter pro 100km in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 Liter pro 100km in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3

⋅ 2

3 Liter pro 100km	1000 km
1 Liter pro 100km	3000 km
2 Liter pro 100km	1500 km

⋅ 3

: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 Liter pro 100km entspricht: 1500 km

Um von 1000 km in der ersten Zeile auf 500 km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 3 Liter pro 100km mit 2 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 500 km entspricht:

: 2

1000 km	3 Liter pro 100km
500 km	?

⋅ 2

: 2

1000 km	3 Liter pro 100km
500 km	6 Liter pro 100km

⋅ 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 500 km entspricht: 6 Liter pro 100km

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Auf einer Großbaustelle müssen unglaubliche Mengen an Aushub abtransportiert werden. Dabei brauchen 2 LKWs genau 40 Fahrten. Wieviele Fahrten bräuchten 5 LKWs durchschnittlich?(Bitte auf eine Stelle hinterm Komma runden, auch wenn es inhaltlich keinen Sinn macht.)

Lösung einblenden

Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

LKW-Anzahl	Fahrten-Anzahl
2 LKWs	40 Fahrten
( : 2 )	( ⋅ 2 )
1 LKWs	$80$ Fahrten
( ⋅ 5 )	( : 5 )
5 LKWs	$\frac{80}{5}$ Fahrten

Die gesuchte Fahrten-Anzahl ist also $\frac{80}{5}$ = $16$ Fahrten

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz (antiproportional)

Dreisatz (antiproportional)

Tabelle (antiproportional)

Antiproportionalität überprüfen

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)