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Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
$(9 + 7 v) \cdot (9 - 7 v)$

Man erkennt sofort, dass in beiden Klammern jeweils die gleichen Summanden drin stecken und man somit die

3. binomische Formel: (a+b)(a-b)=a²-b²

anwenden kann.

also $(9 + 7 v) \cdot (9 - 7 v)$ = $9^{2} - {(7 v)}^{2}$ = $81 - 49 v^{2}$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $64 x^{2} + 48 x + 9$

Wegen des gemischten Terms in der Mitte ( $48 x$ ) kann man hier höchstens eine der beiden ersten binomischen Formeln anwenden.

Wegen des positiven Vorzeichens des gemischten Terms ( $48 x$ ) bleibt nun nur noch die
1. Binomische Formel: (a+b)²=a²+2ab+b²
als Möglichkeit:

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( $64 x^{2}$ ) als auch der letzte ( $9$ ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann $8 x$ und für b dann $3$ einsetzen

Und tatsächlich stimmt auch der gemischte Term $48 x$ = 2⋅ $8 x$ ⋅ $3$

Das Ergbenis wäre dann also: ${(8 x + 3)}^{2}$

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also ${(8 x + 3)}^{2}$ = $8 x \cdot 8 x + 8 x \cdot 3 + 3 \cdot 8 x + 3 \cdot 3$ = $64 x^{2} + 48 x + 9$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $4 x^{2} - 32 x + 64$

(Im Ergebnis dürfen nur ganze Zahlen auftreten.)

$4 x^{2} - 32 x + 64$

Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor $4$ aus.

$4 (x^{2} - 8 x + 16)$

Durch Anwendung der 2. binomischen Formel erhalten wir:

$4 {(x - 4)}^{2}$

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
${(x + ◇)}^{2}$ = $x^{2} - 6 x + ☐$

Der gemischte Term $- 6 x$ auf der rechten Steite muss ja wegen der Binomischen Formel 2⋅a⋅b, also in diesem Fall 2⋅x⋅◇ sein.

$- 6 x$ = 2⋅x⋅◇

also $- 3$ x = x⋅◇

somit gilt: ◇= $- 3$

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den letzten Summanden ☐=b², also in diesem Fall ☐=◇²= $(- 3)$ ²

somit gilt: ☐= $9$