Mathebattle EduRandomtasks

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
$(4 u + 2) \cdot (4 u - 2)$

Man erkennt sofort, dass in beiden Klammern jeweils die gleichen Summanden drin stecken und man somit die

3. binomische Formel: (a+b)(a-b)=a²-b²

anwenden kann.

also $(4 u + 2) \cdot (4 u - 2)$ = ${(4 u)}^{2} - 2^{2}$ = $16 u^{2} - 4$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $81 x^{2} + 54 x + 9$

Wegen des gemischten Terms in der Mitte ( $54 x$ ) kann man hier höchstens eine der beiden ersten binomischen Formeln anwenden.

Wegen des positiven Vorzeichens des gemischten Terms ( $54 x$ ) bleibt nun nur noch die
1. Binomische Formel: (a+b)²=a²+2ab+b²
als Möglichkeit:

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( $81 x^{2}$ ) als auch der letzte ( $9$ ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann $9 x$ und für b dann $3$ einsetzen

Und tatsächlich stimmt auch der gemischte Term $54 x$ = 2⋅ $9 x$ ⋅ $3$

Das Ergbenis wäre dann also: ${(9 x + 3)}^{2}$

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also ${(9 x + 3)}^{2}$ = $9 x \cdot 9 x + 9 x \cdot 3 + 3 \cdot 9 x + 3 \cdot 3$ = $81 x^{2} + 54 x + 9$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $2 x^{2} + 20 x + 50$

(Im Ergebnis dürfen nur ganze Zahlen auftreten.)

$2 x^{2} + 20 x + 50$

Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor $2$ aus.

$2 (x^{2} + 10 x + 25)$

Durch Anwendung der 1. binomischen Formel erhalten wir:

$2 {(x + 5)}^{2}$

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
${(x + ◇)}^{2}$ = $x^{2} + 14 x + ☐$

Der gemischte Term $14 x$ auf der rechten Steite muss ja wegen der Binomischen Formel 2⋅a⋅b, also in diesem Fall 2⋅x⋅◇ sein.

$14 x$ = 2⋅x⋅◇

also $7$ x = x⋅◇

somit gilt: ◇= $7$

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den letzten Summanden ☐=b², also in diesem Fall ☐=◇²= $7$ ²

somit gilt: ☐= $49$