Mathebattle EduRandomtasks

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
${(9 a + 8)}^{2}$

Man erkennt, dass man hier die

1. binomische Formel: (a+b)²=a²+2ab+b²

anwenden kann.

also ${(9 a + 8)}^{2}$ = ${(9 a)}^{2} + 2 \cdot 9 a \cdot 8 + 8^{2}$ = $81 a^{2} + 144 a + 64$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $81 x^{2} + 144 x + 64$

Wegen des gemischten Terms in der Mitte ( $144 x$ ) kann man hier höchstens eine der beiden ersten binomischen Formeln anwenden.

Wegen des positiven Vorzeichens des gemischten Terms ( $144 x$ ) bleibt nun nur noch die
1. Binomische Formel: (a+b)²=a²+2ab+b²
als Möglichkeit:

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( $81 x^{2}$ ) als auch der letzte ( $64$ ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann $9 x$ und für b dann $8$ einsetzen

Und tatsächlich stimmt auch der gemischte Term $144 x$ = 2⋅ $9 x$ ⋅ $8$

Das Ergbenis wäre dann also: ${(9 x + 8)}^{2}$

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also ${(9 x + 8)}^{2}$ = $9 x \cdot 9 x + 9 x \cdot 8 + 8 \cdot 9 x + 8 \cdot 8$ = $81 x^{2} + 144 x + 64$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $4 v^{2} - 8 v + 4$

(Im Ergebnis dürfen nur ganze Zahlen auftreten.)

$4 v^{2} - 8 v + 4$

Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor $4$ aus.

$4 (v^{2} - 2 v + 1)$

Durch Anwendung der 2. binomischen Formel erhalten wir:

$4 {(v - 1)}^{2}$

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
${(x + ◇)}^{2}$ = $x^{2} + ☐ + 9$

Der hintere Term $9$ muss ja wegen der Binomischen Formel b²=b⋅b, also in diesem Fall ◇⋅◇ sein.

also $9$ = 3⋅3 = ◇⋅◇

somit gilt: ◇=3

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den mittleren Summanden ☐=2ab, also in diesem Fall ☐=2⋅x⋅◇=2⋅x⋅3

somit gilt: ☐= $6 x$