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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
$(7 y + x) \cdot (7 y - x)$

Man erkennt sofort, dass in beiden Klammern jeweils die gleichen Summanden drin stecken und man somit die

3. binomische Formel: (a+b)(a-b)=a²-b²

anwenden kann.

also $(7 y + x) \cdot (7 y - x)$ = ${(7 y)}^{2} - {(x)}^{2}$ = $49 y^{2} - x^{2}$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $4 x^{2} - 16 x + 16$

Wegen des gemischten Terms in der Mitte ( $- 16 x$ ) kann man hier höchstens eine der beiden ersten binomischen Formeln anwenden.

Wegen des negativen Vorzeichens des gemischten Terms ( $- 16 x$ ) bleibt nun nur noch die
2. Binomische Formel: (a-b)²=a²-2ab+b²
als Möglichkeit:

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( $4 x^{2}$ ) als auch der letzte ( $16$ ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann $2 x$ und für b dann $4$ einsetzen

Und tatsächlich stimmt auch der gemischte Term $- 16 x$ = -2⋅ $2 x$ ⋅ $4$

Das Ergbenis wäre dann also: ${(2 x - 4)}^{2}$

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also ${(2 x - 4)}^{2}$ = $2 x \cdot 2 x + 2 x \cdot (- 4) - 4 \cdot 2 x - 4 \cdot (- 4)$ = $4 x^{2} - 16 x + 16$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $3 x^{2} + 24 x + 48$

(Im Ergebnis dürfen nur ganze Zahlen auftreten.)

$3 x^{2} + 24 x + 48$

Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor $3$ aus.

$3 (x^{2} + 8 x + 16)$

Durch Anwendung der 1. binomischen Formel erhalten wir:

$3 {(x + 4)}^{2}$

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
${(x + ◇)}^{2}$ = $x^{2} - 8 x + ☐$

Der gemischte Term $- 8 x$ auf der rechten Steite muss ja wegen der Binomischen Formel 2⋅a⋅b, also in diesem Fall 2⋅x⋅◇ sein.

$- 8 x$ = 2⋅x⋅◇

also $- 4$ x = x⋅◇

somit gilt: ◇= $- 4$

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den letzten Summanden ☐=b², also in diesem Fall ☐=◇²= $(- 4)$ ²

somit gilt: ☐= $16$