Mathebattle EduRandomtasks

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
${(8 + v)}^{2}$

Man erkennt, dass man hier die

1. binomische Formel: (a+b)²=a²+2ab+b²

anwenden kann.

also ${(8 + v)}^{2}$ = $8^{2} + 2 \cdot 8 \cdot v + {(v)}^{2}$ = $64 + 16 v + v^{2}$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $1 - 18 x + 81 x^{2}$

Wegen des gemischten Terms in der Mitte ( $- 18 x$ ) kann man hier höchstens eine der beiden ersten binomischen Formeln anwenden.

Wegen des negativen Vorzeichens des gemischten Terms ( $- 18 x$ ) bleibt nun nur noch die
2. Binomische Formel: (a-b)²=a²-2ab+b²
als Möglichkeit:

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( $1$ ) als auch der letzte ( $81 x^{2}$ ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann $1$ und für b dann $9 x$ einsetzen

Und tatsächlich stimmt auch der gemischte Term $- 18 x$ = -2⋅ $1$ ⋅ $9 x$

Das Ergbenis wäre dann also: ${(1 - 9 x)}^{2}$

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also ${(1 - 9 x)}^{2}$ = $1 \cdot 1 + 1 \cdot (- 9 x) - 9 x \cdot 1 - 9 x \cdot (- 9 x)$ = $1 - 18 x + 81 x^{2}$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $2 x^{2} - 32$

(Im Ergebnis dürfen nur ganze Zahlen auftreten.)

$2 x^{2} - 32$

Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor $2$ aus.

$2 (x^{2} - 16)$

Durch Anwendung der 3. binomischen Formel erhalten wir:

$2 (x + 4) \cdot (x - 4)$

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
${(x + ◇)}^{2}$ = $x^{2} + ☐ + 4$

Der hintere Term $4$ muss ja wegen der Binomischen Formel b²=b⋅b, also in diesem Fall ◇⋅◇ sein.

also $4$ = 2⋅2 = ◇⋅◇

somit gilt: ◇=2

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den mittleren Summanden ☐=2ab, also in diesem Fall ☐=2⋅x⋅◇=2⋅x⋅2

somit gilt: ☐= $4 x$