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Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
${(2 - 3 b)}^{2}$

Man erkennt, dass man hier die

2. binomische Formel: (a-b)²=a²-2ab+b²

anwenden kann.

also ${(2 - 3 b)}^{2}$ = $2^{2} - 2 \cdot 2 \cdot 3 b + {(3 b)}^{2}$ = $4 - 12 b + 9 b^{2}$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $36 x^{2} + 96 x + 64$

Wegen des gemischten Terms in der Mitte ( $96 x$ ) kann man hier höchstens eine der beiden ersten binomischen Formeln anwenden.

Wegen des positiven Vorzeichens des gemischten Terms ( $96 x$ ) bleibt nun nur noch die
1. Binomische Formel: (a+b)²=a²+2ab+b²
als Möglichkeit:

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( $36 x^{2}$ ) als auch der letzte ( $64$ ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann $6 x$ und für b dann $8$ einsetzen

Und tatsächlich stimmt auch der gemischte Term $96 x$ = 2⋅ $6 x$ ⋅ $8$

Das Ergbenis wäre dann also: ${(6 x + 8)}^{2}$

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also ${(6 x + 8)}^{2}$ = $6 x \cdot 6 x + 6 x \cdot 8 + 8 \cdot 6 x + 8 \cdot 8$ = $36 x^{2} + 96 x + 64$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $- x^{2} + 10 x - 25$

(Im Ergebnis dürfen nur ganze Zahlen auftreten.)

$- x^{2} + 10 x - 25$

Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor $- 1$ aus.

$- (x^{2} - 10 x + 25)$

Durch Anwendung der 2. binomischen Formel erhalten wir:

$- {(x - 5)}^{2}$

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
${(x + ◇)}^{2}$ = $x^{2} + ☐ + 49$

Der hintere Term $49$ muss ja wegen der Binomischen Formel b²=b⋅b, also in diesem Fall ◇⋅◇ sein.

also $49$ = 7⋅7 = ◇⋅◇

somit gilt: ◇=7

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den mittleren Summanden ☐=2ab, also in diesem Fall ☐=2⋅x⋅◇=2⋅x⋅7

somit gilt: ☐= $14 x$