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Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
$(4 + 9 x) \cdot (4 - 9 x)$

Man erkennt sofort, dass in beiden Klammern jeweils die gleichen Summanden drin stecken und man somit die

3. binomische Formel: (a+b)(a-b)=a²-b²

anwenden kann.

also $(4 + 9 x) \cdot (4 - 9 x)$ = $4^{2} - {(9 x)}^{2}$ = $16 - 81 x^{2}$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $36 x^{2} + 108 x + 81$

Wegen des gemischten Terms in der Mitte ( $108 x$ ) kann man hier höchstens eine der beiden ersten binomischen Formeln anwenden.

Wegen des positiven Vorzeichens des gemischten Terms ( $108 x$ ) bleibt nun nur noch die
1. Binomische Formel: (a+b)²=a²+2ab+b²
als Möglichkeit:

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( $36 x^{2}$ ) als auch der letzte ( $81$ ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann $6 x$ und für b dann $9$ einsetzen

Und tatsächlich stimmt auch der gemischte Term $108 x$ = 2⋅ $6 x$ ⋅ $9$

Das Ergbenis wäre dann also: ${(6 x + 9)}^{2}$

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also ${(6 x + 9)}^{2}$ = $6 x \cdot 6 x + 6 x \cdot 9 + 9 \cdot 6 x + 9 \cdot 9$ = $36 x^{2} + 108 x + 81$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $- v^{2} + 6 v - 9$

(Im Ergebnis dürfen nur ganze Zahlen auftreten.)

$- v^{2} + 6 v - 9$

Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor $- 1$ aus.

$- (v^{2} - 6 v + 9)$

Durch Anwendung der 2. binomischen Formel erhalten wir:

$- {(v - 3)}^{2}$

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
${(x + ◇)}^{2}$ = $x^{2} + 10 x + ☐$

Der gemischte Term $10 x$ auf der rechten Steite muss ja wegen der Binomischen Formel 2⋅a⋅b, also in diesem Fall 2⋅x⋅◇ sein.

$10 x$ = 2⋅x⋅◇

also $5$ x = x⋅◇

somit gilt: ◇= $5$

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den letzten Summanden ☐=b², also in diesem Fall ☐=◇²= $5$ ²

somit gilt: ☐= $25$