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Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
${(8 y + 4 x)}^{2}$

Man erkennt, dass man hier die

1. binomische Formel: (a+b)²=a²+2ab+b²

anwenden kann.

also ${(8 y + 4 x)}^{2}$ = ${(8 y)}^{2} + 2 \cdot 8 y \cdot 4 x + {(4 x)}^{2}$ = $64 y^{2} + 64 y x + 16 x^{2}$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $9 x^{2} + 48 x + 64$

Wegen des gemischten Terms in der Mitte ( $48 x$ ) kann man hier höchstens eine der beiden ersten binomischen Formeln anwenden.

Wegen des positiven Vorzeichens des gemischten Terms ( $48 x$ ) bleibt nun nur noch die
1. Binomische Formel: (a+b)²=a²+2ab+b²
als Möglichkeit:

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( $9 x^{2}$ ) als auch der letzte ( $64$ ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann $3 x$ und für b dann $8$ einsetzen

Und tatsächlich stimmt auch der gemischte Term $48 x$ = 2⋅ $3 x$ ⋅ $8$

Das Ergbenis wäre dann also: ${(3 x + 8)}^{2}$

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also ${(3 x + 8)}^{2}$ = $3 x \cdot 3 x + 3 x \cdot 8 + 8 \cdot 3 x + 8 \cdot 8$ = $9 x^{2} + 48 x + 64$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $- 4 x^{2} + 40 x - 100$

$- 4 x^{2} + 40 x - 100$

Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor $- 4$ aus.

$- 4 (x^{2} - 10 x + 25)$

Durch Anwendung der 2. binomischen Formel erhalten wir:

$- 4 {(x - 5)}^{2}$

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
${(x + ◇)}^{2}$ = $x^{2} + 6 x + ☐$

Der gemischte Term $6 x$ auf der rechten Steite muss ja wegen der Binomischen Formel 2⋅a⋅b, also in diesem Fall 2⋅x⋅◇ sein.

$6 x$ = 2⋅x⋅◇

also $3$ x = x⋅◇

somit gilt: ◇= $3$

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den letzten Summanden ☐=b², also in diesem Fall ☐=◇²= $3$ ²

somit gilt: ☐= $9$