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Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
${(6 + 4 v)}^{2}$

Man erkennt, dass man hier die

1. binomische Formel: (a+b)²=a²+2ab+b²

anwenden kann.

also ${(6 + 4 v)}^{2}$ = $6^{2} + 2 \cdot 6 \cdot 4 v + {(4 v)}^{2}$ = $36 + 48 v + 16 v^{2}$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $4 x^{2} - 12 x + 9$

Wegen des gemischten Terms in der Mitte ( $- 12 x$ ) kann man hier höchstens eine der beiden ersten binomischen Formeln anwenden.

Wegen des negativen Vorzeichens des gemischten Terms ( $- 12 x$ ) bleibt nun nur noch die
2. Binomische Formel: (a-b)²=a²-2ab+b²
als Möglichkeit:

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( $4 x^{2}$ ) als auch der letzte ( $9$ ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann $2 x$ und für b dann $3$ einsetzen

Und tatsächlich stimmt auch der gemischte Term $- 12 x$ = -2⋅ $2 x$ ⋅ $3$

Das Ergbenis wäre dann also: ${(2 x - 3)}^{2}$

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also ${(2 x - 3)}^{2}$ = $2 x \cdot 2 x + 2 x \cdot (- 3) - 3 \cdot 2 x - 3 \cdot (- 3)$ = $4 x^{2} - 12 x + 9$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $- 2 x^{2} + 4 x - 2$

(Im Ergebnis dürfen nur ganze Zahlen auftreten.)

$- 2 x^{2} + 4 x - 2$

Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor $- 2$ aus.

$- 2 (x^{2} - 2 x + 1)$

Durch Anwendung der 2. binomischen Formel erhalten wir:

$- 2 {(x - 1)}^{2}$

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
${(x + ◇)}^{2}$ = $x^{2} + ☐ + 49$

Der hintere Term $49$ muss ja wegen der Binomischen Formel b²=b⋅b, also in diesem Fall ◇⋅◇ sein.

also $49$ = 7⋅7 = ◇⋅◇

somit gilt: ◇=7

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den mittleren Summanden ☐=2ab, also in diesem Fall ☐=2⋅x⋅◇=2⋅x⋅7

somit gilt: ☐= $14 x$