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Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
${(6 y - 1)}^{2}$

Man erkennt, dass man hier die

2. binomische Formel: (a-b)²=a²-2ab+b²

anwenden kann.

also ${(6 y - 1)}^{2}$ = ${(6 y)}^{2} - 2 \cdot 6 y \cdot 1 + 1^{2}$ = $36 y^{2} - 12 y + 1$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $81 x^{2} + 162 x + 81$

Wegen des gemischten Terms in der Mitte ( $162 x$ ) kann man hier höchstens eine der beiden ersten binomischen Formeln anwenden.

Wegen des positiven Vorzeichens des gemischten Terms ( $162 x$ ) bleibt nun nur noch die
1. Binomische Formel: (a+b)²=a²+2ab+b²
als Möglichkeit:

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( $81 x^{2}$ ) als auch der letzte ( $81$ ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann $9 x$ und für b dann $9$ einsetzen

Und tatsächlich stimmt auch der gemischte Term $162 x$ = 2⋅ $9 x$ ⋅ $9$

Das Ergbenis wäre dann also: ${(9 x + 9)}^{2}$

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also ${(9 x + 9)}^{2}$ = $9 x \cdot 9 x + 9 x \cdot 9 + 9 \cdot 9 x + 9 \cdot 9$ = $81 x^{2} + 162 x + 81$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $- v^{2} + 9$

(Im Ergebnis dürfen nur ganze Zahlen auftreten.)

$- v^{2} + 9$

Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor $- 1$ aus.

$- (v^{2} - 9)$

Durch Anwendung der 3. binomischen Formel erhalten wir:

$- (v + 3) \cdot (v - 3)$

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
${(x + ◇)}^{2}$ = $x^{2} + ☐ + 36$

Der hintere Term $36$ muss ja wegen der Binomischen Formel b²=b⋅b, also in diesem Fall ◇⋅◇ sein.

also $36$ = 6⋅6 = ◇⋅◇

somit gilt: ◇=6

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den mittleren Summanden ☐=2ab, also in diesem Fall ☐=2⋅x⋅◇=2⋅x⋅6

somit gilt: ☐= $12 x$