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Strecken und Winkel im Dreieck

Beispiel:

Berechne alle Längen und Winkel im Dreick ABC mit A(-5|-2), B(3|3) und C(-5|5).

Runde die Ergebnisse auf eine Nachkommastelle.

Lösung einblenden

Wenn man die drei Punkte in ein Koordinatensystem einträgt, kann man nicht erkennen, dass das Dreieck rechtwinklig wäre, und man somit nicht direkt die Definitionen von Sinus uund Kosinus anwenden kann. Deswegen zeichen wir noch eine Höhe eine. Weil hier die Seite b parallel zur y-Achse verläuft, nehmen wir hier am besten die Höhe h_b.

Die achsenparallelen Strecken b und h_b kann man direkt ablesen:
b = 7 und h_b = 8

Weil Höhe ja parallel zur x-Achse verläuft, hat der Lotfußpunkt L, also der Punkt, wo die Höhe Höhe h_b auf b trefft, den gleichen y-Wert wie B, also y = 3.
Somit ergibt sich AL = 5 und LC = 2

Jetzt können wir mit dem Satz des Pythagoras in den beiden Teildreicken jeweils die Hypothenusen a und c berechnen:

c² = h² + AL² = 8² + 5² = 64 + 25 = 89

=> c = $\sqrt{89}$ ≈ 9.43

a² = h² + LC² = 8² + 2² = 64 + 4 = 68

=> a = $\sqrt{68}$ ≈ 8.25

Weil ja in beiden rechtwinkligen Teildreiecken () die Katheten achsenparallel und ganzzahlig sind, empfiehlt sich der Tangens zur Berechnung der Winkel:

Für den Winkel in A gilt: tan(α) = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{8}{5}$ = 1.6

Daraus folgt: α = arctan(1.6) ≈ 58°.

Für den Winkel in C gilt: tan(γ) = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Daraus folgt: γ = arctan(4) ≈ 76°.

Wegen der Winkelsumme von 180° im Dreieck folgt: β = 180°-58°-76° = 46°

Umfang und Inhalt im Dreieck

Beispiel:

Berechne alle Längen im Dreick ABC mit A(-2|-3), B(2|1) und C(-2|5). Bestimme auch den Umfang U und den Flächeninhalt A von ABC.

Runde die Ergebnisse auf eine Nachkommastelle.

Lösung einblenden

Die achsenparallelen Strecken b und h_b kann man direkt ablesen:
b = 8 und h_b = 4

Weil Höhe ja parallel zur x-Achse verläuft, hat der Lotfußpunkt L, also der Punkt, wo die Höhe Höhe h_b auf b trefft, den gleichen y-Wert wie B, also y = 1.
Somit ergibt sich AL = 4 und LC = 4

Jetzt können wir mit dem Satz des Pythagoras in den beiden Teildreicken jeweils die Hypothenusen a und c berechnen:

c² = h² + AL² = 4² + 4² = 16 + 16 = 32

=> c = $\sqrt{32}$ ≈ 5.66

a² = h² + LC² = 4² + 4² = 16 + 16 = 32

=> a = $\sqrt{32}$ ≈ 5.66

Der Umfang eines Dreiecks berechnet sich ja sehr einfach als die Summe aller drei Seiten:
U ≈ 5.7 + 8 + 5.7 ≈ 19.3

Auch der Flächeinhalt lässt sich einfach mit der Formel A = $\frac{1}{2}$ ⋅b⋅h_b berechnen:
A = $\frac{1}{2}$ ⋅8⋅4 = 16