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Kreis zeichnen und Radius messen
Beispiel:
Zeichne einen Kreis mit Mittelpunkt M(4.5|2), der durch den Punkt A(2|4) geht, in eine Koordinatensystem (Einheit: 1cm).
Miss dann den Radius dieses Kreises.
Runde dein Ergebnis auf mindestens eine Stelle nach dem Komma.
Man zeichnet zuerst die beiden Punkte M und A in ein Koordinatensystem ein. Jetzt kann man den Zirkel auf den Abstand zwischen den beiden Punkten einstellen und damit den Kreis zeichnen. Ab einfachsten lässt sich jetzt der Radius ablesen, wenn man einfach horizontal vom Mittelpunkt nach rechts geht:
r ≈ 3.2
Punkt auf Kreis finden
Beispiel:
Zeichne einen Kreis mit Mittelpunkt M(7|4) und Radius r = 2 cm in ein Koordinatensystem (Einheit: 1cm).
Finde nun einen Punkt auf diesem Kreisbogen, der den x-Wert 8.5 hat.
Runde dein Ergebnis auf mindestens eine Stelle nach dem Komma.
Man zeichnet zuerst den Mittelpunkt in ein Koordinatensystem ein, wählt am Zirkel den Radius r = 2 cm und zeichnet den Kreis.
Jetzt kann auf man der senkrechten Linie bei x = 8.5 ablesen, welche Punkte des Kreises den x-Wert 8.5 haben.
Das Ergebnis sind somit die Punkte P(8.5|2.68) und Q(8.5|5.32) möglich.
Umfang eines Kreises
Beispiel:
Ein Kreis hat den Durchmesser 8 mm. Bestimme seinen Umfang.
Als Wert von π kann man mit 3,1 rechnen.
Wir wenden einfach die Formel
U = π ⋅ d
oder näherungsweise
U ≈ 3,1 ⋅ d
an und erhalten so:
U ≈ 3,1 ⋅8 mm
≈ 24,8 mm
Umfang Kreis rückwärts
Beispiel:
Ein Kreis hat den Umfang U = 31 cm. Bestimme seinen Durchmesser.
Als Wert von π kann man mit 3,1 rechnen.
Wir wenden einfach die Formel
U = π ⋅ d
oder näherungsweise
U ≈ 3,1 ⋅ d
an und setzen ein:
31 ≈ 3,1 ⋅ d
Da der Umfang ja immer π (≈ 3,1) mal so groß wie der Durchmesser ist, müssen wir einfach den Umfang durch π (≈ 3,1) teilen:
d ≈ 31 cm : 3,1
= 10 cm
Umfang Kreis am Bild
Beispiel:
Bestimme die gesamte Länge des Randes der abgebildteten Figur in cm.
(2 Kästchen sind 1 cm lang)
Als Wert von π kann man mit 3,1 rechnen.
Man erkennt zwei Viertelskreise mit Radius r = 3 cm.
Setzt man die zwei Viertelskreise zusammen, so erhält man einen Halbkreis mit einem Umfang von ⋅ 2 ⋅ π ⋅ r = π ⋅ r
≈ 3,1 ⋅ 3 cm = 9.3 cm
Dazu kommen noch die insgesamt 4 Radiuslängen (je zwei bei den zwei Viertelskreisen zum Mittelpunkt hin), also 4 ⋅ 3 cm = 12 cm.
Die Gesamtlänge des Randes der Figur ist somit 9,3 cm + 12 cm = 21,3 cm.
Flächeninhalt Kreis
Beispiel:
Ein Kreis hat den Radius 20 mm. Bestimme seinen Flächeninhalt.
Als Wert von π kann man mit 3,1 rechnen.
Wir wenden einfach die Formel
A = π ⋅ r2
an und erhalten so:
A = π ⋅ 202 mm²
≈ 3,1 ⋅ 400 mm²
≈ 1240 mm²
Flächeninhalt Kreis am Bild
Beispiel:
Bestimme den Flächeninhalt der eingefärbten Fläche.
(2 Kästchen sind 1 cm lang)
Als Wert von π kann man mit 3,1 rechnen.
Man erkennt hier einen -Kreisring, das heißt von einem größeren -Kreis mit Radius r1 = 3 cm wurde ein kleinerer -Kreis mit Radius r2 = 2 cm herausgeschnitten.
Für den Flächeninhalt des großen -Kreis gilt A1 = ⋅ π ⋅ r12
≈ ⋅ 3,1 ⋅ 32 cm² ≈ ⋅ 3,1 ⋅ 9 cm²
= 6,975 cm² .
Für den Flächeninhalt des kleineren -Kreis, der herausgeschnitten wurde, gilt
A2 = ⋅ π ⋅ r22
≈ ⋅ 3,1 ⋅ 22 cm² ≈ ⋅ 3,1 ⋅ 4 cm²
= 3,1 cm² .
Der Flächeninhalt der eingefärbten Fläche beträgt somit A = 6,975 cm² - 3,1 cm² = 3,875 cm².
Flächeninhalt zusammengesetzt
Beispiel:
Bestimme den Flächeninhalt der eingefärbten Fläche.
(2 Kästchen sind 1 cm lang)
Als Wert von π kann man mit 3,1 rechnen.
Der Flächeninhalt des großen Rechteck kann man einfach als Produkt von der Breite b = 7 cm und der Höhe h = 2 cm berechnet werden:
A1 = 7 cm ⋅ 2 cm = 14 cm²
Der Flächeninhalt des blauen Trapez unten kann man berechnen mit:
A2 = ⋅ (a + c) ⋅ ha
= ⋅ (4 cm + 1 cm) ⋅ 1 cm = ⋅
5cm ⋅ 1 cm = 2.5 cm²
Der Flächeninhalt des grünen Viertelskreises rechts kann man mit der Kreisflächenformel A = π ⋅ r2 berechnen. Weil es ja aber nur ein Viertelskreis ist,
müssen wir eben noch alles mit multiplizieren:
A3 = ⋅
π ⋅ r2 ≈ ⋅ 3,1 ⋅ 12 cm² ≈ ⋅
3,1 ⋅ 1 cm²
= 0.775 cm²
Der Flächeninhalt der gesamten eingefärbten Fläche beträgt somit
A = A1 + A2 +
A3
= 14 cm² + 2.5 cm² + 0.775 cm²
= 17,275 cm².