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Kreis zeichnen und Radius messen

Beispiel:

Zeichne einen Kreis mit Mittelpunkt M(5.5|3), der durch den Punkt A(4|5) geht, in eine Koordinatensystem (Einheit: 1cm).
Miss dann den Radius dieses Kreises.

Runde dein Ergebnis auf mindestens eine Stelle nach dem Komma.

Lösung einblenden

Man zeichnet zuerst die beiden Punkte M und A in ein Koordinatensystem ein. Jetzt kann man den Zirkel auf den Abstand zwischen den beiden Punkten einstellen und damit den Kreis zeichnen. Ab einfachsten lässt sich jetzt der Radius ablesen, wenn man einfach horizontal vom Mittelpunkt nach rechts geht:

r ≈ 2.5

Punkt auf Kreis finden

Beispiel:

Zeichne einen Kreis mit Mittelpunkt M(9|3) und Radius r = 1.5 cm in ein Koordinatensystem (Einheit: 1cm).

Finde nun einen Punkt auf diesem Kreisbogen, der den x-Wert 9.5 hat.

Runde dein Ergebnis auf mindestens eine Stelle nach dem Komma.

Lösung einblenden

Man zeichnet zuerst den Mittelpunkt in ein Koordinatensystem ein, wählt am Zirkel den Radius r = 1.5 cm und zeichnet den Kreis.

Jetzt kann auf man der senkrechten Linie bei x = 9.5 ablesen, welche Punkte des Kreises den x-Wert 9.5 haben.

Das Ergebnis sind somit die Punkte P(9.5|1.59) und Q(9.5|4.41) möglich.

Umfang eines Kreises

Beispiel:

Ein Kreis hat den Durchmesser 6 m. Bestimme seinen Umfang.

Als Wert von π kann man mit 3,1 rechnen.

Lösung einblenden

Wir wenden einfach die Formel
U = π ⋅ d
oder näherungsweise
U ≈ 3,1 ⋅ d
an und erhalten so:

U ≈ 3,1 ⋅6 m
≈ 18,6 m

Umfang Kreis rückwärts

Beispiel:

Ein Kreis hat den Umfang U = 12.4 m. Bestimme seinen Durchmesser.

Als Wert von π kann man mit 3,1 rechnen.

Lösung einblenden

Wir wenden einfach die Formel
U = π ⋅ d
oder näherungsweise
U ≈ 3,1 ⋅ d
an und setzen ein:
12.4 ≈ 3,1 ⋅ d

Da der Umfang ja immer π (≈ 3,1) mal so groß wie der Durchmesser ist, müssen wir einfach den Umfang durch π (≈ 3,1) teilen:

d ≈ 12.4 m : 3,1
= 4 m

Umfang Kreis am Bild

Beispiel:

Bestimme die gesamte Länge des Randes der abgebildteten Figur in cm.
(2 Kästchen sind 1 cm lang)

Als Wert von π kann man mit 3,1 rechnen.

Lösung einblenden

Man erkennt einen $\frac{3}{4}$ Kreis mit Radius r = 1 cm.

Der volle Umfang eines Kreises mit Radius 1 cm wäre ja U = 2 ⋅ π r ≈ 2 ⋅ 3,1 ⋅ 1 cm.
Da es ja aber nur eine $\frac{3}{4}$ Kreis ist, ist der Kreisbogen auch nur $\frac{3}{4}$ ⋅ 2 ⋅ π r
≈ $\frac{3}{4}$ ⋅ 2 ⋅ 3,1 ⋅ 1 cm
≈ $\frac{3}{2}$ ⋅ 3,1 cm
≈ 4.65 cm lang.

Dazu kommen noch die beiden Radiuslängen jeweils vom Anfang und Ende des Kreisbogens zum Mittelpunkt: 2 ⋅ 1 cm = 2 cm

Die Gesamtlänge des Randes der Figur ist somit 4,65 cm + 2 cm = 6,65 cm.

Flächeninhalt Kreis

Beispiel:

Ein Kreis hat den Durchmesser 40 m. Bestimme seinen Flächeninhalt.

Als Wert von π kann man mit 3,1 rechnen.

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = $\frac{40}{2}$ m = 20m

Wir wenden einfach die Formel
A = π ⋅ r²
an und erhalten so:

A = π ⋅ 20² m²
≈ 3,1 ⋅ 400 m²
≈ 1240 m²

Flächeninhalt Kreis am Bild

Beispiel:

Bestimme den Flächeninhalt der eingefärbten Fläche.
(2 Kästchen sind 1 cm lang)

Als Wert von π kann man mit 3,1 rechnen.

Lösung einblenden

Man erkennt hier einen $\frac{1}{2}$ -Kreisring, das heißt von einem größeren $\frac{1}{2}$ -Kreis mit Radius r₁ = 2 cm wurde ein kleinerer $\frac{1}{2}$ -Kreis mit Radius r₂ = 1 cm herausgeschnitten.

Für den Flächeninhalt des großen $\frac{1}{2}$ -Kreis gilt A₁ = $\frac{1}{2}$ ⋅ π ⋅ r₁²
≈ $\frac{1}{2}$ ⋅ 3,1 ⋅ 2² cm² ≈ $\frac{1}{2}$ ⋅ 3,1 ⋅ 4 cm² = 6,2 cm² .

Für den Flächeninhalt des kleineren $\frac{1}{2}$ -Kreis, der herausgeschnitten wurde, gilt
A₂ = $\frac{1}{2}$ ⋅ π ⋅ r₂² ≈ $\frac{1}{2}$ ⋅ 3,1 ⋅ 1² cm² ≈ $\frac{1}{2}$ ⋅ 3,1 ⋅ 1 cm² = 1,55 cm² .

Der Flächeninhalt der eingefärbten Fläche beträgt somit A = 6,2 cm² - 1,55 cm² = 4,65 cm².

Flächeninhalt zusammengesetzt

Beispiel:

Bestimme den Flächeninhalt der eingefärbten Fläche.
(2 Kästchen sind 1 cm lang)

Als Wert von π kann man mit 3,1 rechnen.

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Der Flächeninhalt des großen Rechteck kann man einfach als Produkt von der Breite b = 5 cm und der Höhe h = 4 cm berechnet werden:
A₁ = 5 cm ⋅ 4 cm = 20 cm²

Der Flächeninhalt des blauen Trapez unten kann man berechnen mit:
A₂ = $\frac{1}{2}$ ⋅ (a + c) ⋅ h_a = $\frac{1}{2}$ ⋅ (5 cm + 1 cm) ⋅ 1 cm = $\frac{1}{2}$ ⋅ 6cm ⋅ 1 cm = 3 cm²

Der Flächeninhalt des grünen Halbkreises links kann man mit der Kreisflächenformel A = π ⋅ r² berechnen. Weil es ja aber nur ein Halbkreis ist, müssen wir eben noch alles mit $\frac{1}{2}$ multiplizieren:
A₃ = $\frac{1}{2}$ ⋅ π ⋅ r² ≈ $\frac{1}{2}$ ⋅ 3,1 ⋅ 2² cm² ≈ $\frac{1}{2}$ ⋅ 3,1 ⋅ 4 cm²
= 6.2 cm²

Der Flächeninhalt der gesamten eingefärbten Fläche beträgt somit
A = A₁ + A₂ + A₃
= 20 cm² + 3 cm² + 6.2 cm²
= 29,2 cm².

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Kreis zeichnen und Radius messen

Punkt auf Kreis finden

Umfang eines Kreises

Umfang Kreis rückwärts

Umfang Kreis am Bild

Flächeninhalt Kreis

Flächeninhalt Kreis am Bild

Flächeninhalt zusammengesetzt