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Mittelwert berechnen

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert von: 5kg; 10kg; 8kg; 4kg; 6kg; 9kg

Lösung einblenden

Um den Mittelwert zu ermitteln, müssen wir zuerst alle Werte addieren:

5kg + 10kg + 8kg + 4kg + 6kg + 9kg = 42kg

... und dann diese Summe durch die Anzahl der Werte, also hier 6, teilen:

Mittelwert m = $\frac{42}{6}$ kg = 7kg

Mittelwert rückwärts

Beispiel:

Die Werte 18; ⬜; 7 haben den Mittelwert 30.

Welchen Wert muss dann das Kästchen ⬜ haben?

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Wir wissen ja, dass man den Mittelwert erhält, indem man alle Werte zusammenzählt und das Ergebnis durch die Anzahl der Werte dividiert, also:

$\frac{18+⬜+7}{3}$ = 30

Wenn wir nun alle Werte addieren erhalten wir:

$\frac{25+⬜}{3}$ = 30

Wenn wir die Summe im Zähler durch 3 teilen, erhalten wir 30.

Also muss doch die Summe im Zähler selbst gerade das 3-fache von 30, also 3 ⋅ 30 = 90 sein, also ...

25 + ⬜ = 90

Jetzt sieht man relativ leicht, dass dass Kästchen ⬜ = 90 - 25 sein muss.

⬜ = 65

Zentralwert angeben

Beispiel:

Gib mit Hilfe der Rangliste den Zentralwert an.

Urliste: 7; 13; 17; 4; 11; 5; 6; 7; 14; 7; 12

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Zuerst sortieren wir die Datenliste:

-> 4
-> 5
-> 6
-> 7
-> 7
-> 7
-> 11
-> 12
-> 13
-> 14
-> 17

Da die Datenmenge eine ungerade Anzahl hat, müssen wir für den Zentralwert einfach den mittleren (hier also den 6-ten) Wert der Liste nehmen, also 7.

Kenngrößen bestimmen

Beispiel:

Bestimme jeweils das Minimum, das Maximum, die Spannweite, den Mittelwert und den Zentralwert von:

60 km; 110 km; 120 km; 70 km; 90 km; 150 km; 100 km

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Minimum und Maximum

Wenn man sich alle Werte durchschaut, erkennt man schnell, dass der kleinst Wert, also das Minimum 60 km und der größte Wert, also das Maximum 150 km ist.

Spannweite

Die Spannweite ist einfach die Differenz zwischen dem Maximum und dem Minimum, also 150 km - 60 km = 90 km.

Mittelwert

Um den Mittelwert zu ermitteln, müssen wir zuerst alle Werte addieren:

60 km + 110 km + 120 km + 70 km + 90 km + 150 km + 100 km = 700 km

... und dann diese Summe durch die Anzahl der Werte, also hier 7, teilen:

Mittelwert m = $\frac{700}{7}$ km = 100 km

Zentralwert

Zuerst sortieren wir die Datenliste:

-> 60
-> 70
-> 90
-> 100
-> 110
-> 120
-> 150

Da die Datenmenge eine ungerade Anzahl hat, müssen wir für den Zentralwert einfach den mittleren (hier also den 4-ten) Wert der Liste nehmen, also 100 km.

Relative Häufigkeit

Beispiel:

Bei einer Umfrage unter Schüler:innen geben 6 an, dass sie die Grünen wählen würden, wenn sie schon dürften. 5 Schüler:innen würden die CDU wählen, 5 die SPD, 5 die FDP und 4 eine der anderen Parteien.Bestimme die relativen Häufigkeiten der verschiedenen Parteien in Prozent.

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Zuerst addieren wir alle Parteien zusammen und erhalten: 6 + 5 + 5 + 5 + 4 = 25

Um nun die relative Häufigkleit zu bestimmen, müssen wir einfach jede Zahl durch die Gesamtsumme 25 teilen:

Um dann aus dem Bruch auf die Prozentzahl zu kommen, müssen wir den Bruch so erweitern und evtl. wieder kürzen, dass der Nenner 100 wird:

Grüne: $\frac{6}{25}$ = $\frac{24}{100}$ = 24%

CDU: $\frac{5}{25}$ = $\frac{20}{100}$ = 20%

SPD: $\frac{5}{25}$ = $\frac{20}{100}$ = 20%

FDP: $\frac{5}{25}$ = $\frac{20}{100}$ = 20%

andere: $\frac{4}{25}$ = $\frac{16}{100}$ = 16%

Relative Häufigkeit rückwärts

Beispiel:

(Die Innenwinkel aller Sektoren
sind Vielfache von 45°)

Bei einer Datenerhebung werden 160 Personen befragt. Die prozentuale Anteile für die Optionen A, B und C sind in dem Kreisdiagramm rechts dargestellt.

Bestimme jeweils die tatsächlichen Anzahlen an Personen, die für A, B oder C gestimmt haben.

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Da ja gegeben ist, dass alle Innenwinkel der Sektoren des Kreisdiagramms Vielfache von 45° sind, kann man schnnell die Innenwinkel der einzelnen Sektoren bestimemen:

A: 180°

B: 90°

C: 45°

D: 45°

Wenn wir nun diese Winkel durch 360° teilen, erhalten wir die relativen Häufigkeiten.

Diese müssen wir dann nur noch mit der Gesamtzahl n=160 multiplizieren, um auf die tatsächlichen Personenzahlen zu kommen:

Option	relative Häufigkeit	tatsächliche Zahl
A	$\frac{180}{360}$ = $\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$ ⋅160 = 80
B	$\frac{90}{360}$ = $\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$ ⋅160 = 40
C	$\frac{45}{360}$ = $\frac{1}{8}$	$\frac{1}{8}$ ⋅160 = 20
D	$\frac{45}{360}$ = $\frac{1}{8}$	$\frac{1}{8}$ ⋅160 = 20

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