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sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)
Beispiel:
Bestimme näherungsweise sin( ).
Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen
bedeutet eines Kreises, also von 360° = 90°.
Am Einheitskreis kann man den Wert für sin( ) bzw. für sin(90°) ablesen:
sin(
) bzw. sin(90°) ist der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge
der grünen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (orange) waagrechte Linie zur y-Aches verfolgt:
sin( °) ≈ 1
Winkel im Bogenmaß angeben
Beispiel:
Gib den Winkel α = 75° im Bogenmaß x an.
Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.
75° sind aber nur ein Kreis, also ist die gesuchte Bogenlänge x zu 75° auch nur ⋅ 2π = ⋅ π.
Jetzt müssen wir nur noch kürzen:
x = ⋅π = ⋅π = ⋅π
vom Bogenmaß ins Gradmaß
Beispiel:
Gib den Winkel x = π im Gradmaß α an.
Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.
Somit entspricht die Bogenlänge π dem Gradmaß 180°.
π entspricht also dem Gradmaß ⋅180° = 690°
Amplitude und Periode bestimmen
Beispiel:
Bestimme Amplitude und Periode der Funktion f mit .
Die Amplitude kann man sehr einfach als |a| bei a sin(b(x-c))+d ablesen, also ist die Amplitude A=5
Das b der allgemeinen Sinusfunktion a sin(b(x-c))+d ist in unserem Fall b=. Mit der Periodenformel gilt dann für die Periode p==, also p= .
einfache Sinusbestimmung
Beispiel:
Die Original-Sinusfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.
Man sieht schnell, dass der Graph der gesuchten Funktion um -3 Einheit(en) in y-Richtung verschoben wurde. Also muss der gesuchte Term
sin(x-c)
Außerdem sieht man, dass der aufsteigende Wendepunkt (der ja bei sin(x) im Ursprung ist) hier um 2 Einheit(en) nach links verschoben ist. wir können also c=2 einsetzen und erhalten so den gesuchten Term:
allg. Sinusfunktion aus Schaubild
Beispiel:
Der im Schaubild rechts abgebildete Graph ist der einer Sinusfunktion, die um jeweils ganzzahlige Werte in x- und y-Richtung verschoben. Auch die Amplitude ist ganzzahlig. Bestimme den zugehörigen Funktionsterm.
Die Periode ist entweder auch ganzzahlig oder ein Vielfaches von π (bzw. ein einfacher Bruch mit π wie z.B. π)
Die Original-Sinusfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.
- Zuerst suchen wir eine aufsteigende Wendestelle, die genau auf einem 'Kästchen-Kreuzchen' liegt. Das wäre hier im Punkt P(-3|-1). Da bei sin(x) diese aufsteigende Wendestelle im Ursprung liegt, bedeutet das, dass der abgebildete Graph um 3 Einheit(en) nach links und um -1 Einheit(en) in y-Richtung verschoben wurde.
- Wir kennen nun von der allgemeinen Sinusfunktion f(x)=a⋅sin(b(x-c))+d die Parameter c=-3 und
d=-1, also f(x)= f(x)=a⋅sin(b(x
+ 3 ))- 1 - Da der y-Unterschied zwischen den Hochpunkten bei y=0 und den Tiefpunkten bei y=-2 gerade 2 beträgt, können wir einfach die Amplitude a=1 bestimmen.
- Bleibt noch der am schwierigsten zu bestimmende Parameter b. Diesen ermitteln wir über die Periode. Dazu schauen wir ausgehend von unserer steigenden Wendestelle im Punkt P(-3|-1) den Abstand zur fallenden Wendestelle (halbe Periode) oder zur nächsten steigenden Wendestelle an. Man erkennt gut, dass dieser Abstand ganzzahlig ist, nämlich gerade 0.5 zwischen steigender und fallender Wendestelle bzw. 1 zwischen zwei steigenden Wendestellen. Eine Periode ist somit 1. Wir stellen die Periodenformel p= um zu b= = und erhalten so b= .
Der gesuchte Funktionsterm ist also
trigon. Anwendungsaufgabe
Beispiel:
An einem bestimmten Ort kann die Zeit (in h) zwischen Sonnenaufgang und Sonnenuntergang t Tage nach Beobachtungsbeginn näherungsweise durch die Funktion f mit (0 ≤ t ≤ 366) angeben.
- Wie viele Tage nach Beobachtungsbeginn ist der Tag am längsten?
- Bestimme die maximale Zeit zwischen Sonnenaufgang und Sonnenuntergang (in h).
Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:
Somit gilt für die Periodenlänge: p = = = 366
- t-Wert des Maximums (HP)
Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 91.5 d.
Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 70 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 70 d mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Hochpunkt nach 91.5 + 70 d = 161.5 d. Die Lösung ist also: 161.5 d.
- y-Wert des Maximums (HP)
Gesucht ist der höchste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 12 nach oben und eine Amplitude von a = 4 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 4 um 12. Somit ist der höchste Wert bei 12 h + 4 h = 16 h.