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sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)

Beispiel:

Bestimme näherungsweise sin( $0$ ).

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

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$0$ bedeutet $0$ eines Kreises, also $0$ von 360° = 0°.

Am Einheitskreis kann man den Wert für sin( $0$ ) bzw. für sin(0°) ablesen:

sin( $0$ ) bzw. sin(0°) ist der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der grünen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (orange) waagrechte Linie zur y-Aches verfolgt:

sin( $0$ °) ≈ 0

Winkel im Bogenmaß angeben

Beispiel:

Gib den Winkel α = 150° im Bogenmaß x an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

150° sind aber nur ein $\frac{150°}{360°}$ Kreis, also ist die gesuchte Bogenlänge x zu 150° auch nur $\frac{150°}{360°}$ ⋅ 2π = $\frac{150}{180}$ ⋅ π.

Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

x = $\frac{150°}{180°}$ ⋅π = $\frac{5}{6}$ ⋅π

vom Bogenmaß ins Gradmaß

Beispiel:

Gib den Winkel x = $\frac{7}{3}$ π im Gradmaß α an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π dem Gradmaß 180°.

$\frac{7}{3}$ π entspricht also dem Gradmaß $\frac{7}{3}$ ⋅180° = 420°

Amplitude und Periode bestimmen

Beispiel:

Bestimme Amplitude und Periode der Funktion f mit $f(x) =$ $3 \cdot \sin (2 (x - 3)) + 1$ .

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Die Amplitude kann man sehr einfach als |a| bei a sin(b(x-c))+d ablesen, also ist die Amplitude A=3

Das b der allgemeinen Sinusfunktion a sin(b(x-c))+d ist in unserem Fall b= $2$ . Mit der Periodenformel gilt dann für die Periode p= $\frac{2π}{b}$ = $\frac{2π}{2}$ , also p= $π$ .

einfache Sinusbestimmung

Beispiel:

Der im Schaubild rechts abgebildete Graph ist der einer Sinusfunktion, die um jeweils ganzzahlige Werte in x- und y-Richtung verschoben. Bestimme den zugehörigen Funktionsterm.

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Die Original-Sinusfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Man sieht schnell, dass der Graph der gesuchten Funktion um 2 Einheit(en) in y-Richtung verschoben wurde. Also muss der gesuchte Term sin(x-c) +2 sein.

Außerdem sieht man, dass der aufsteigende Wendepunkt (der ja bei sin(x) im Ursprung ist) hier um 3 Einheit(en) nach rechts verschoben ist. wir können also c=-3 einsetzen und erhalten so den gesuchten Term:

$\sin (x - 3) + 2$

allg. Sinusfunktion aus Schaubild

Beispiel:

Der im Schaubild rechts abgebildete Graph ist der einer Sinusfunktion, die um jeweils ganzzahlige Werte in x- und y-Richtung verschoben. Auch die Amplitude ist ganzzahlig. Die Periode ist entweder ein Vielfaches von π oder auch ganzzahlig. Bestimme den zugehörigen Funktionsterm.

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Die Original-Sinusfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Zuerst suchen wir eine aufsteigende Wendestelle, die genau auf einem 'Kästchen-Kreuzchen' liegt. Das wäre hier im Punkt P(3|1). Da bei sin(x) diese aufsteigende Wendestelle im Ursprung liegt, bedeutet das, dass der abgebildete Graph um 3 Einheit(en) nach rechts und um 1 Einheit(en) in y-Richtung verschoben wurde.
Wir kennen nun von der allgemeinen Sinusfunktion f(x)=a⋅sin(b(x-c))+d die Parameter c=3 und d=1, also f(x)= f(x)=a⋅sin(b(x-3))+1
Da der y-Unterschied zwischen den Hochpunkten bei y=4 und den Tiefpunkten bei y=-2 gerade 6 beträgt, können wir einfach die Amplitude a=3 bestimmen.
Bleibt noch der am schwierigsten zu bestimmende Parameter b. Diesen ermitteln wir über die Periode. Dazu schauen wir ausgehend von unserer steigenden Wendestelle im Punkt P(3|1) den Abstand zur fallenden Wendestelle (halbe Periode) oder zur nächsten steigenden Wendestelle an. Man erkennt gut, dass dieser Abstand nicht ganzzahlig ist, also muss er ein Vielfaches von 2π sein. Der Abstand von der steigenden Wendestelle im Punkt P(3|1) zur nächsten wieder steigenden ist gerade etwas mehr als 3, also π. Eine Periode ist somit $π$ . Wir stellen die Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ um zu b= $\frac{2π}{p}$ = $\frac{2π}{π}$ und erhalten so b=2.

Der gesuchte Funktionsterm ist also $3 \cdot \sin (2 (x - 3)) + 1$

trigon. Anwendungsaufgabe

Beispiel:

In einem Wellenbad kann man an einer bestimmten Stelle die Wasserhöhe zur Zeit t (in Sekunden) näherungsweise durch die Funktion f mit $f(t) =$ $15 \cdot \sin (2 π t) + 80$ (0 ≤ t ≤ 1) angeben.

Bestimme die Periode dieses Vorgangs.
Bestimme die kleinste Wasserhöhe.
Bestimme die maximale Wasserhöhe.

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Periodenlänge
Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $2 π$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{2 π}{b}$ = $\frac{2 π}{2 π}$ = 1
y-Wert des Minimums (TP)
Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 80 nach oben und eine Amplitude von a = 15 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 15 um 80. Somit ist der tiefste Wert bei 80 cm - 15 cm = 65 cm.
y-Wert des Maximums (HP)
Gesucht ist der höchste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 80 nach oben und eine Amplitude von a = 15 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 15 um 80. Somit ist der höchste Wert bei 80 cm + 15 cm = 95 cm.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)

Winkel im Bogenmaß angeben

vom Bogenmaß ins Gradmaß

Amplitude und Periode bestimmen

einfache Sinusbestimmung

allg. Sinusfunktion aus Schaubild

trigon. Anwendungsaufgabe