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sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)
Beispiel:
Bestimme näherungsweise sin( ).
Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen
bedeutet eines Kreises, also von 360° = -36°.
Bei negativen Winkel muss man einfach in die andere Richtung, also im Urzeigersinn, im Einheitskreis vorgehen. Dabei landet man dann natürlich wieder an der gleichen Stelle wie bei -36° + 360° = 324°
Am Einheitskreis kann man den Wert für sin( ) bzw. für sin(-36°) ablesen:
sin(
) bzw. sin(-36°) ist der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge
der grünen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (orange) waagrechte Linie zur y-Aches verfolgt:
sin( °) ≈ -0.59
Winkel im Bogenmaß angeben
Beispiel:
Gib den Winkel α = 540° im Bogenmaß x an.
Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.
540° sind aber nur ein Kreis, also ist die gesuchte Bogenlänge x zu 540° auch nur ⋅ 2π = ⋅ π.
Jetzt müssen wir nur noch kürzen:
x = ⋅π = ⋅π = ⋅π
vom Bogenmaß ins Gradmaß
Beispiel:
Gib den Winkel x = π im Gradmaß α an.
Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.
Somit entspricht die Bogenlänge π dem Gradmaß 180°.
π entspricht also dem Gradmaß ⋅180° = 630°
Amplitude und Periode bestimmen
Beispiel:
Bestimme Amplitude und Periode der Funktion f mit .
Die Amplitude kann man sehr einfach als |a| bei a sin(b(x-c))+d ablesen, also ist die Amplitude A=4
Das b der allgemeinen Sinusfunktion a sin(b(x-c))+d ist in unserem Fall b=. Mit der Periodenformel gilt dann für die Periode p==, also p= .
einfache Sinusbestimmung
Beispiel:
Die Original-Sinusfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.
Man sieht schnell, dass der Graph der gesuchten Funktion um -1 Einheit(en) in y-Richtung verschoben wurde. Also muss der gesuchte Term
sin(x-c)
Außerdem sieht man, dass der aufsteigende Wendepunkt (der ja bei sin(x) im Ursprung ist) hier um 1 Einheit(en) nach links verschoben ist. wir können also c=1 einsetzen und erhalten so den gesuchten Term:
allg. Sinusfunktion aus Schaubild
Beispiel:
Die Original-Sinusfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.
- Zuerst suchen wir eine aufsteigende Wendestelle, die genau auf einem 'Kästchen-Kreuzchen' liegt. Das wäre hier im Punkt P(1|-1). Da bei sin(x) diese aufsteigende Wendestelle im Ursprung liegt, bedeutet das, dass der abgebildete Graph um 1 Einheit(en) nach rechts und um -1 Einheit(en) in y-Richtung verschoben wurde.
- Wir kennen nun von der allgemeinen Sinusfunktion f(x)=a⋅sin(b(x-c))+d die Parameter c=1 und
d=-1, also f(x)= f(x)=a⋅sin(b(x
- 1 ))- 1 - Da der y-Unterschied zwischen den Hochpunkten bei y=2 und den Tiefpunkten bei y=-4 gerade 6 beträgt, können wir einfach die Amplitude a=3 bestimmen.
- Bleibt noch der am schwierigsten zu bestimmende Parameter b. Diesen ermitteln wir über die Periode. Dazu schauen wir ausgehend von unserer steigenden Wendestelle im Punkt P(1|-1) den Abstand zur fallenden Wendestelle (halbe Periode) oder zur nächsten steigenden Wendestelle an. Man erkennt gut, dass dieser Abstand nicht ganzzahlig ist, also muss er ein Vielfaches von 2π sein. Der Abstand von der steigenden Wendestelle im Punkt P(1|-1) zur übernächsten fallenden (also Perioden) ist gerade etwas mehr als 3, also π. Eine Periode ist somit . Wir stellen die Periodenformel p= um zu b= = und erhalten so b=3.
Der gesuchte Funktionsterm ist also
trigon. Anwendungsaufgabe
Beispiel:
Bei einem Riesenrad kann man die Höhe einer Gondel (in m) über dem Erdboden zur Zeit t (in Sekunden) näherungsweise durch die Funktion f mit (0 ≤ t ≤ 100) angeben.
- Bestimme die Zeit (in s), die eine Gondel für eine Umdrehung braucht.
- Zu welcher Zeit (in s) ist die Gondel am höchsten?
- Wie hoch ist die Gondel an ihrem tiefsten Punkt über dem Erdboden?
- Periodenlänge
Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:
Somit gilt für die Periodenlänge: p = = = 100
- t-Wert des Maximums (HP)
Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 25 s.
Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 40 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 40 s mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Hochpunkt nach 25 + 40 s = 65 s. Die Lösung ist also: 65 s.
- y-Wert des Minimums (TP)
Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 23 nach oben und eine Amplitude von a = 20 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 20 um 23. Somit ist der tiefste Wert bei 23 m - 20 m = 3 m.