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sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)

Beispiel:

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Bestimme näherungsweise cos( 2π ).

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

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2π bedeutet 1 eines Kreises, also 1 von 360° = 360°.

Am Einheitskreis kann man den Wert für cos( 2π ) bzw. für cos(360°) ablesen:

cos 2π ) bzw. cos(360°) ist der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der orangen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (grüne) senkrechte Linie zur x-Aches verfolgt:

cos( 2π °) ≈ 1

Winkel im Bogenmaß angeben

Beispiel:

Gib den Winkel α = 345° im Bogenmaß x an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

345° sind aber nur ein 345° 360° Kreis, also ist die gesuchte Bogenlänge x zu 345° auch nur 345° 360° ⋅ 2π = 345 180 ⋅ π.

Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

x = 345° 180° ⋅π = 69 36 ⋅π = 23 12 ⋅π

vom Bogenmaß ins Gradmaß

Beispiel:

Gib den Winkel x = 8 3 π im Gradmaß α an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π dem Gradmaß 180°.

8 3 π entspricht also dem Gradmaß 8 3 ⋅180° = 480°

Amplitude und Periode bestimmen

Beispiel:

Bestimme Amplitude und Periode der Funktion f mit f(x)= -7⋅ sin( x -1 ) -1 .

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Die Amplitude kann man sehr einfach als |a| bei a sin(b(x-c))+d ablesen, also ist die Amplitude A=7

Das b der allgemeinen Sinusfunktion a sin(b(x-c))+d ist in unserem Fall b=1. Mit der Periodenformel gilt dann für die Periode p= 2π b = 2π 1 , also p= 2π .

einfache Sinusbestimmung

Beispiel:

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Der im Schaubild rechts abgebildete Graph ist der einer Sinusfunktion, die um jeweils ganzzahlige Werte in x- und y-Richtung verschoben. Bestimme den zugehörigen Funktionsterm.

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Die Original-Sinusfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Man sieht schnell, dass der Graph der gesuchten Funktion um -1 Einheit(en) in y-Richtung verschoben wurde. Also muss der gesuchte Term sin(x-c) -1 sein.

Außerdem sieht man, dass der aufsteigende Wendepunkt (der ja bei sin(x) im Ursprung ist) hier um 3 Einheit(en) nach links verschoben ist. wir können also c=3 einsetzen und erhalten so den gesuchten Term:

sin( x +3 ) -1

allg. Sinusfunktion aus Schaubild

Beispiel:

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Der im Schaubild rechts abgebildete Graph ist der einer Sinusfunktion, die um jeweils ganzzahlige Werte in x- und y-Richtung verschoben. Auch die Amplitude ist ganzzahlig. Bestimme den zugehörigen Funktionsterm.

Die Periode ist entweder auch ganzzahlig oder ein Vielfaches von π (bzw. ein einfacher Bruch mit π wie z.B. 3 4 π)

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Die Original-Sinusfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

  • Zuerst suchen wir eine aufsteigende Wendestelle, die genau auf einem 'Kästchen-Kreuzchen' liegt. Das wäre hier im Punkt P(-3|-2). Da bei sin(x) diese aufsteigende Wendestelle im Ursprung liegt, bedeutet das, dass der abgebildete Graph um 3 Einheit(en) nach links und um -2 Einheit(en) in y-Richtung verschoben wurde.
  • Wir kennen nun von der allgemeinen Sinusfunktion f(x)=a⋅sin(b(x-c))+d die Parameter c=-3 und d=-2, also f(x)= f(x)=a⋅sin(b(x+3))-2
  • Da der y-Unterschied zwischen den Hochpunkten bei y=-1 und den Tiefpunkten bei y=-3 gerade 2 beträgt, können wir einfach die Amplitude a=1 bestimmen.
  • Bleibt noch der am schwierigsten zu bestimmende Parameter b. Diesen ermitteln wir über die Periode. Dazu schauen wir ausgehend von unserer steigenden Wendestelle im Punkt P(-3|-2) den Abstand zur fallenden Wendestelle (halbe Periode) oder zur nächsten steigenden Wendestelle an. Man erkennt gut, dass dieser Abstand ganzzahlig ist, nämlich gerade 1.5 zwischen steigender und fallender Wendestelle bzw. 3 zwischen zwei steigenden Wendestellen. Eine Periode ist somit 3. Wir stellen die Periodenformel p= 2π b um zu b= 2π p = 2π 3 und erhalten so b= 2 3 π .

Der gesuchte Funktionsterm ist also sin( 2 3 π · ( x +3 )) -2

trigon. Anwendungsaufgabe

Beispiel:

In einem Wellenbad kann man an einer bestimmten Stelle die Wasserhöhe zur Zeit t (in Sekunden) näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= 30⋅ sin( 1 2 π t ) +75 (0 ≤ t ≤ 4) angeben.

  1. Bestimme die Periode dieses Vorgangs.
  2. Zu welcher Zeit (in s) ist die Wasserhöhe am höchsten?
  3. Bestimme die kleinste Wasserhöhe.

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  1. Periodenlänge

    Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = 1 2 π herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

    Somit gilt für die Periodenlänge: p = 2 π b = 2 π 1 2 π = 4

  2. t-Wert des Maximums (HP)

    Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 1 s.

    Die Lösung ist also: 1 s.

  3. y-Wert des Minimums (TP)

    Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 75 nach oben und eine Amplitude von a = 30 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 30 um 75. Somit ist der tiefste Wert bei 75 cm - 30 cm = 45 cm.