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Umfang eines Kreises

Beispiel:

Ein Kreis hat den Durchmesser 80 mm. Bestimme seinen Umfang.

Lösung einblenden

Wir wenden einfach die Formel
U = π ⋅ d
an und erhalten so:

U = π ⋅80 mm ≈ 251,327 mm

Vom Umfang zum Radius

Beispiel:

Ein Kreis hat den Umfang U = 38.5 m. Bestimme seinen Radius.

Lösung einblenden

Wir wenden einfach die Formel
U = 2π r
an und stellen um nach:
r = $\frac{U}{2π}$
So erhalten wir:

r = $\frac{38.5}{6.2832}$ m ≈ 6,127 m

Kreisfläche

Beispiel:

Ein Kreis hat den Durchmesser 91 mm. Bestimme seinen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = $\frac{91}{2}$ mm = 45.5mm

Wir wenden einfach die Formel
A = π ⋅ r²
an und erhalten so:

A = π ⋅ 45.5² mm² ≈ 6503,882 mm²

Von der Kreisfläche zum Radius

Beispiel:

Ein Kreis hat den Flächeninhalt A = 9 m². Bestimme seinen Radius.

Lösung einblenden

Wir wenden einfach die Formel
A = π r²
an und stellen um nach:
r² = $\frac{A}{π}$
r = $\sqrt{\frac{A}{π}}$
So erhalten wir:

r ≈ $\sqrt{\frac{9}{3.1416}}$ ≈ $\sqrt{2.8648}$ ≈ 1,693 m

Teilflächen von Kreisen

Beispiel:

Berechne den Inhalt der blauen Fläche.

Lösung einblenden

Man berechnet die blaue Fläche einfach als Differenz des Flächeninhalts des großen Kreises mit Radius r₁= $\frac{90}{2}$ mm = 45mm und des Flächeinhalt des kleineren grauen Kreises mit Radius r₂= $\frac{50}{2}$ mm = 25mm.

Somit gilt:

A = π ⋅ 45² - π ⋅ 25²
= 2025⋅π - 625⋅π
= 1400⋅π

Also A ≈ 4398,23 mm²

Umfang eines Kreises

Beispiel:

Ein Kreis hat den Radius 3 mm. Bestimme seinen Umfang.

Als Wert von π kann man mit 3,1 rechnen.

Lösung einblenden

Wir wenden einfach die Formel
U = 2 ⋅ π ⋅ r
oder näherungsweise
U ≈ 2 ⋅ 3,1 ⋅ r
an und erhalten so:

U ≈ 2 ⋅ 3,1 ⋅ 3 mm
≈ 3,1 ⋅6 mm
≈ 18,6 mm

Umfang Kreis rückwärts

Beispiel:

Ein Kreis hat den Umfang U = 18.6 cm. Bestimme seinen Radius.

Als Wert von π kann man mit 3,1 rechnen.

Lösung einblenden

Wir wenden einfach die Formel
U = π ⋅ d
oder näherungsweise
U ≈ 3,1 ⋅ d
an und setzen ein:
18.6 ≈ 3,1 ⋅ d

Da der Umfang ja immer π (≈ 3,1) mal so groß wie der Durchmesser ist, müssen wir einfach den Umfang durch π (≈ 3,1) teilen:

d ≈ 18.6 cm : 3,1
= 6 cm

Für den Radius gilt dann r = $\frac{d}{2}$ = 3 cm.

Umfang Kreis am Bild

Beispiel:

Bestimme die gesamte Länge des Randes der abgebildteten Figur in cm.
(2 Kästchen sind 1 cm lang)

Als Wert von π kann man mit 3,1 rechnen.

Lösung einblenden

Man erkennt vier Achtelskreise mit Radius r = 2 cm.

Setzt man die vier Achtelskreise zusammen, so erhält man einen Halbkreis mit einem Umfang von $\frac{1}{2}$ ⋅ 2 ⋅ π ⋅ r = π ⋅ r
≈ 3,1 ⋅ 2 cm = 6.2 cm

Dazu kommen noch die insgesamt 8 Radiuslängen (je zwei bei den vier Achtelskreisen zum Mittelpunkt hin), also 8 ⋅ 2 cm = 16 cm.

Die Gesamtlänge des Randes der Figur ist somit 6,2 cm + 16 cm = 22,2 cm.

Flächeninhalt Kreis

Beispiel:

Ein Kreis hat den Durchmesser 40 m. Bestimme seinen Flächeninhalt.

Als Wert von π kann man mit 3,1 rechnen.

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = $\frac{40}{2}$ m = 20m

Wir wenden einfach die Formel
A = π ⋅ r²
an und erhalten so:

A = π ⋅ 20² m²
≈ 3,1 ⋅ 400 m²
≈ 1240 m²

Flächeninhalt Kreis am Bild

Beispiel:

Bestimme den Flächeninhalt der eingefärbten Fläche.
(2 Kästchen sind 1 cm lang)

Als Wert von π kann man mit 3,1 rechnen.

Lösung einblenden

Man erkennt hier einen $\frac{1}{4}$ -Kreisring, das heißt von einem größeren $\frac{1}{4}$ -Kreis mit Radius r₁ = 3 cm wurde ein kleinerer $\frac{1}{4}$ -Kreis mit Radius r₂ = 2 cm herausgeschnitten.

Für den Flächeninhalt des großen $\frac{1}{4}$ -Kreis gilt A₁ = $\frac{1}{4}$ ⋅ π ⋅ r₁²
≈ $\frac{1}{4}$ ⋅ 3,1 ⋅ 3² cm² ≈ $\frac{1}{4}$ ⋅ 3,1 ⋅ 9 cm² = 6,975 cm² .

Für den Flächeninhalt des kleineren $\frac{1}{4}$ -Kreis, der herausgeschnitten wurde, gilt
A₂ = $\frac{1}{4}$ ⋅ π ⋅ r₂² ≈ $\frac{1}{4}$ ⋅ 3,1 ⋅ 2² cm² ≈ $\frac{1}{4}$ ⋅ 3,1 ⋅ 4 cm² = 3,1 cm² .

Der Flächeninhalt der eingefärbten Fläche beträgt somit A = 6,975 cm² - 3,1 cm² = 3,875 cm².

Flächeninhalt zusammengesetzt

Beispiel:

Bestimme den Flächeninhalt der eingefärbten Fläche.
(2 Kästchen sind 1 cm lang)

Als Wert von π kann man mit 3,1 rechnen.

Lösung einblenden

Der Flächeninhalt des großen Rechteck kann man einfach als Produkt von der Breite b = 7 cm und der Höhe h = 2 cm berechnet werden:
A₁ = 7 cm ⋅ 2 cm = 14 cm²

Der Flächeninhalt des blauen Dreiecks unten kann man berechnen mit:
A₂ = $\frac{1}{2}$ ⋅ g ⋅ h_g = $\frac{1}{2}$ ⋅ 5 cm ⋅ 2 cm = $\frac{1}{2}$ ⋅ 10 cm ²
= 5 cm²

Der Flächeninhalt des grünen Viertelskreises links kann man mit der Kreisflächenformel A = π ⋅ r² berechnen. Weil es ja aber nur ein Viertelskreis ist, müssen wir eben noch alles mit $\frac{1}{4}$ multiplizieren:
A₃ = $\frac{1}{4}$ ⋅ π ⋅ r² ≈ $\frac{1}{4}$ ⋅ 3,1 ⋅ 1² cm² ≈ $\frac{1}{4}$ ⋅ 3,1 ⋅ 1 cm²
= 0.775 cm²

Der Flächeninhalt der gesamten eingefärbten Fläche beträgt somit
A = A₁ + A₂ + A₃
= 14 cm² + 5 cm² + 0.775 cm²
= 19,775 cm².

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Umfang eines Kreises

Vom Umfang zum Radius

Kreisfläche

Von der Kreisfläche zum Radius

Teilflächen von Kreisen

Umfang eines Kreises

Umfang Kreis rückwärts

Umfang Kreis am Bild

Flächeninhalt Kreis

Flächeninhalt Kreis am Bild

Flächeninhalt zusammengesetzt