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Zufallsgröße (ohne Wahrscheinlichkeit)

Beispiel:

Ein Würfel mit nebenstehendem Netz wird 2 mal geworfen. Die Zufallsgröße X beschreibt die Differenz: Augenzahl beim ersten Wurf - Augenzahl beim zweiten Wurf. Gib alle Werte an, die die Zufallsgröße X annehmen kann.

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Für die Zufallsgröße X: 'Differenz Würfel1 - Würfel2' sind folgende Werte möglich:

Zufallsgröße X	-4	-3	-1	0	1	3	4
zugehörige Ereignisse	1 - 5	1 - 4	4 - 5	1 - 1 4 - 4 5 - 5	5 - 4	4 - 1	5 - 1

Zufallsgröße WS-Verteilung

Beispiel:

Ein Würfel mit nebenstehendem Netz wird 2 mal geworfen. Die Zufallsgröße X beschreibt die Differenz: Augenzahl beim ersten Wurf - Augenzahl beim zweiten Wurf. Stelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X auf.

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Für die Zufallsgröße X: 'Differenz Würfel1 - Würfel2' sind folgende Werte möglich:

Zufallsgröße X	X = -4	X = -3	X = -1	X = 0	X = 1	X = 3	X = 4
zugehörige Ergebnisse	2 → 6	2 → 5	5 → 6	2 → 2 5 → 5 6 → 6	6 → 5	5 → 2	6 → 2

Jetzt müssen die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse erst mal (mit Hilfe eines Baums) berechnet werden.

Und somit können wir dann auch die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Werte der Zufallsgröße berechnen.

Zufallsgröße X	X = -4	X = -3	X = -1	X = 0	X = 1	X = 3	X = 4
zugehörige Wahrscheinlichkeit P(X)	$\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{3}$
=	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{9}$ + $\frac{1}{9}$ + $\frac{1}{9}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{9}$

Hiermit ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X:

Zufallsgröße X	-4	-3	-1	0	1	3	4
P(X=k)	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{9}$

Zufallsgr. WS-Vert. (auch ohne zur.)

Beispiel:

In einer Urne sind zwei Kugeln, die mit der Zahl 4 beschriftet sind und zwei Kugeln, die mit der Zahl 9 beschriftet sind. Es werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.Die Zufallsgröße X beschreibt das Produkt der Zahlen der beiden gezogenen Kugeln. Stelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X auf.

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Für die Zufallsgröße X: 'Produkt der beiden Kugeln' sind folgende Werte möglich:

Zufallsgröße X	X = 16	X = 36	X = 81
zugehörige Ergebnisse	4 → 4	4 → 9 9 → 4	9 → 9

Jetzt müssen die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse erst mal (mit Hilfe eines Baums) berechnet werden.

Und somit können wir dann auch die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Werte der Zufallsgröße berechnen.

Zufallsgröße X	X = 16	X = 36	X = 81
zugehörige Wahrscheinlichkeit P(X)	$\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{1}{3}$	$\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{2}{3}$ + $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{2}{3}$	$\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{1}{3}$
=	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$

Hiermit ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X:

Zufallsgröße X	16	36	81
P(X=k)	$\frac{1}{6}$	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{6}$

Zufallsgr. WS-Vert. (ziehen bis erstmals ...)

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und 2 blaue Kugeln. Es soll (ohne zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Die Zufallsgröße X beschreibt dabei die Anzahl der Ziehungen, bis die erste rote Kugel gezogen worden ist. Stelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X auf.
(Denk daran, die Brüche vollständig zu kürzen!)

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Da ja nur 2 Kugeln vom Typ 'blau' vorhanden sind, muss spätestens im 3-ten Versuch (wenn dann alle Kugeln vom Typ 'blau' bereits gezogen und damit weg sind) eine Kugel vom Typ 'rot' gezogen werden.

Das heißt die Zufallsgröße X kann nur Werte zwischen 1 und 3 annehmen.

Aus dem reduzierten Baumdiagramm rechts kann man nun die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X übernehmen:

Zufallsgröße X	1	2	3
P(X=k)	$\frac{3}{5}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{10}$

Zufallsgröße rückwärts

Beispiel:

Ein Glücksrad hat drei Sektoren, die mit den Zahlen 1, 2 und 3 beschriftet sind. Es wird zwei mal gedreht. Die Zufallsgröße X beschreibt dabei die Summe der Zahlen die bei den beiden Glücksraddrehungen erscheinen. Bei der Wahrscheinlichkeitsverteilung von X sind nur der erste und der letzte Wert bekannt (siehe Tabelle). Wie groß müssen jeweils die Winkel der Sektoren sein?

Zufallsgröße X	2	3	4	5	6
P(X=k)	$\frac{121}{1296}$	?	?	?	$\frac{1}{81}$

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(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Für X=2 gibt es nur das Ereignis: '1'-'1', also dass zwei mal hintereinander '1' kommt.

Wenn p1 die Wahrscheinlichkeit von '1' ist, dann muss also für die Wahrscheinlichkeit, dass zwei mal hintereinander '1' kommt, gelten: P(X=2) = p1 ⋅ p1 (siehe Baumdiagramm).

Aus der Tabelle können wir aber P(X=2) = $\frac{121}{1296}$ heraus lesen, also muss gelten:

p1 ⋅ p1 = (p1)² = $\frac{121}{1296}$ und somit p1 = $\frac{11}{36}$ .

Ebenso gibt es für X=6 nur das Ereignis: '3'-'3', also dass zwei mal hintereinander '3' kommt.

Wenn p3 die Wahrscheinlichkeit von '3' ist, dann muss also für die Wahrscheinlichkeit, dass zwei mal hintereinander '3' kommt, gelten: P(X=6) = p3 ⋅ p3 (siehe Baumdiagramm).

Aus der Tabelle können wir aber P(X=6) = $\frac{1}{81}$ heraus lesen, also muss gelten:

p3 ⋅ p3 = (p3)² = $\frac{1}{81}$ und somit p3 = $\frac{1}{9}$ .

Da es aber nur drei Optionen gibt, muss p1 + p2 + p3 = 1 gelten, also

p2 = 1 - p1 - p3 = $1$ $- \frac{11}{36}$ $- \frac{1}{9}$ = $\frac{36}{36}$ $- \frac{11}{36}$ $- \frac{4}{36}$ = $\frac{21}{36}$ = $\frac{7}{12}$

Um nun noch die Mittelpunktswinkel der drei Sektoren zu ermittlen, müssen wir einfach die Wahrscheinlichkeit mit 360° multiplizieren, weil ja für die Wahrscheinlichkeit eines Sektors mit Mittelpunktswinkel α gilt: p = $\frac{α}{360°}$

Somit erhalten wir:

α₁ = $\frac{11}{36}$ ⋅ 360° = 110°

α₂ = $\frac{7}{12}$ ⋅ 360° = 210°

α₃ = $\frac{1}{9}$ ⋅ 360° = 40°

Erwartungswerte

Beispiel:

Ein Spieler darf aus einer Urne mit 7 blauen, 8 roten, 5 grünen und 4 weißen Kugeln eine Kugel ziehen. Erwischt er eine blaue, so erhält er 24€. Bei rot erhält er 15€, bei grün erhält er 48€ und bei weiß erhält er 96€. Wieviel bringt ein Zug durchschnittlich ein?

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Die Zufallsgröße X beschreibt den ausbezahlten €-Euro-Betrag.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	blau	rot	grün	weiß
Zufallsgröße x_i	24	15	48	96
P(X=x_i)	$\frac{7}{24}$	$\frac{8}{24}$	$\frac{5}{24}$	$\frac{4}{24}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$7$	$5$	$10$	$16$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 24⋅ $\frac{7}{24}$ + 15⋅ $\frac{8}{24}$ + 48⋅ $\frac{5}{24}$ + 96⋅ $\frac{4}{24}$

= $7$ $+$ $5$ $+$ $10$ $+$ $16$
= $38$

Einsatz für faires Spiel bestimmen

Beispiel:

In einer Urne sind 6 Kugeln, die mit 6€ beschriftet sind, 3 Kugeln, die mit 20€ und 7 Kugeln, die mit 24€ beschriftet sind. Bei dem Spiel bekommt man den Betrag, der auf der Kugel steht, ausbezahlt. Außerdem sind noch weitere 4 Kugeln in der Urne. Mit welchem Betrag müsste man diese beschriften, damit das Spiel bei einem Einsatz von 19,6€ fair wäre?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Auszahlung.

Die Zufallsgröße Y beschreibt den Gewinn, also Auszahlung - Einsatz.

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	6	20	24	?
Zufallsgröße x_i	6	20	24	x
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-13.6	0.4	4.4	x-19.6
P(X=x_i)	$\frac{6}{20}$	$\frac{3}{20}$	$\frac{7}{20}$	$\frac{4}{20}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$\frac{9}{5}$	$3$	$\frac{42}{5}$	$\frac{4}{20}$ ⋅ x
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- \frac{81.6}{20}$	$\frac{1.2}{20}$	$\frac{30.8}{20}$	$\frac{4}{20}$ ⋅(x-19.6)

Um den gesuchten Auszahlungsbetrag zu berrechnen hat man zwei Möglichkeiten:

Entweder stellt man eine Gleichung auf, so dass der Erwartungswert des Auszahlungsbetrags gleich des Einsatzes ist ...

E(X) = 19.6

$\frac{6}{20} \cdot 6 + \frac{3}{20} \cdot 20 + \frac{7}{20} \cdot 24 + \frac{4}{20} x$ = 19.6

\frac{9}{5} + 3 + \frac{42}{5} + \frac{4}{20} x

= 19.6

$\frac{9}{5} + 3 + \frac{42}{5} + \frac{1}{5} x$	=	$19,6$
$\frac{1}{5} x + \frac{66}{5}$	=	$19,6$	\|⋅ 5
$5 (\frac{1}{5} x + \frac{66}{5})$	=	$98$
$x + 66$	=	$98$	\| $- 66$
$x$	=	$32$

... oder man stellt eine Gleichung auf, so dass der Erwartungswert des Gewinns gleich null ist:

E(Y) = 0

\frac{6}{20} \cdot (- 13,6) + \frac{3}{20} \cdot 0,4 + \frac{7}{20} \cdot 4,4 + \frac{4}{20} (x - 19,6)

= 0

- \frac{40,8}{10} + \frac{1,2}{20} + \frac{30,8}{20} + \frac{1}{5} \cdot x + \frac{1}{5} \cdot (- 19,6)

= 0

$- \frac{40,8}{10} + \frac{1,2}{20} + \frac{30,8}{20} + \frac{1}{5} \cdot x + \frac{1}{5} \cdot (- 19,6)$	=	0
$- 4,08 + 0,06 + 1,54 + \frac{1}{5} x - 3,92$	=	0
$\frac{1}{5} x - 6,4$	=	0	\|⋅ 5
$5 (\frac{1}{5} x - 6,4)$	=	0
$x - 32$	=	0	\| $+ 32$
$x$	=	$32$

In beiden Fällen ist also der gesuchte Betrag: 32€

Erwartungswert ganz offen

Beispiel:

Eine Klasse möchte beim Schulfest ein Glücksrad mit Spielgeld anbieten. Dabei soll das Glücksrad in Sektoren aufgeteilt werden, in denen der Auszahlungsbetrag (z.B. 3€) drin steht. Nach langer Diskussion einigt man sich auf folgende Punkte:• Das Spiel mit dem Glücksrad muss fair sein • Der Einsatz soll 4€ betragen• Der minimale Auszahlungsbetrag soll 3€ sein• Der maximale Auszahlungsbetrag soll soll 10€ sein• Es sollen genau 4 Sektoren mit verschiedenen Auszahlungsbeträgen auf dem Glücksrad seinFinde eine Möglichkeit für solch ein Glücksrad und trage diese in die Tabelle ein.

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Eine (von vielen möglichen) Lösungen:

Als erstes schreiben wir mal die Vorgaben in die Tabelle rein.

	Feld1	Feld2	Feld3	Feld4
X (z.B. Auszahlung)	3			10
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-1			6
P(X) = P(Y)
Y ⋅ P(Y)

Jetzt setzen wir die Wahrscheinlichkeiten so, dass der negative Beitrag vom minimalen Betrag zum Erwartungswert den gleichen Betrag hat wie der positve vom maximalen Betrag.(dazu einfach jeweils den Gewinn in den Nenner der Wahrscheinlichkeit)

	Feld1	Feld2	Feld3	Feld4
X (z.B. Auszahlung)	3			10
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-1			6
P(X) = P(Y)	$\frac{1}{2}$			$\frac{1}{12}$
Y ⋅ P(Y)	$- \frac{1}{2}$			$\frac{1}{2}$

Die bisherigen Optionen vereinen eine Wahrscheinlichkeit von $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{12}$ = $\frac{7}{12}$
Als Restwahrscheinlichkeit für die verbleibenden Beträge bleibt nun also 1- $\frac{7}{12}$ = $\frac{5}{12}$ .
Diese wird auf die beiden verbleibenden Optionen verteilt:

	Feld1	Feld2	Feld3	Feld4
X (z.B. Auszahlung)	3			10
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-1			6
P(X) = P(Y)	$\frac{1}{2}$	$\frac{5}{24}$	$\frac{5}{24}$	$\frac{1}{12}$
Y ⋅ P(Y)	$- \frac{1}{2}$			$\frac{1}{2}$

Damit nun der Erwartungswert =0 wird, müssen sich die beiden noch verbleibenden Anteile daran gegenseitig aufheben. Dies erreicht man, in dem man den Gewinn jeweils gleich 'weit vom Einsatz weg' (nämlich $\frac{1}{2}$ ) setzt.

	Feld1	Feld2	Feld3	Feld4
X (z.B. Auszahlung)	3	3.5	4.5	10
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-1	-0.5	0.5	6
P(X) = P(Y)	$\frac{1}{2}$	$\frac{5}{24}$	$\frac{5}{24}$	$\frac{1}{12}$
Winkel	180°	75°	75°	30°
Y ⋅ P(Y)	$- \frac{1}{2}$	$- \frac{5}{48}$	$\frac{5}{48}$	$\frac{1}{2}$

Wenn man nun den Erwartungswert berechnet, kommt der gesuchte heraus:

E(Y)= -1⋅ $\frac{1}{2}$ + -0.5⋅ $\frac{5}{24}$ + 0.5⋅ $\frac{5}{24}$ + 6⋅ $\frac{1}{12}$

= $- \frac{1}{2}$ $- \frac{5}{48}$ $+$ $\frac{5}{48}$ $+$ $\frac{1}{2}$
= $- \frac{24}{48}$ $- \frac{5}{48}$ $+$ $\frac{5}{48}$ $+$ $\frac{24}{48}$
= $\frac{0}{48}$
= $0$

Erwartungswerte bei 'Ziehen bis erstmals ...'

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 18 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Mit wie vielen Hausaufgabenüberprüfungen muss die Lehrerin im Durchschnitt rechnen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Mädchen' im 1-ten Versuch st: $\frac{6}{7}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Mädchen' im 2-ten Versuch st: $\frac{9}{70}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Mädchen' im 3-ten Versuch st: $\frac{9}{665}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Mädchen' im 4-ten Versuch st: $\frac{1}{1330}$

Die Zufallsgröße X beschreibt Anzahl der eingesammelten Hausaufgaben bis das erste Mädchen gezogen wird.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	1	2	3	4
Zufallsgröße x_i	1	2	3	4
P(X=x_i)	$\frac{6}{7}$	$\frac{9}{70}$	$\frac{9}{665}$	$\frac{1}{1330}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$\frac{6}{7}$	$\frac{9}{35}$	$\frac{27}{665}$	$\frac{2}{665}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 1⋅ $\frac{6}{7}$ + 2⋅ $\frac{9}{70}$ + 3⋅ $\frac{9}{665}$ + 4⋅ $\frac{1}{1330}$

= $\frac{6}{7}$ $+$ $\frac{9}{35}$ $+$ $\frac{27}{665}$ $+$ $\frac{2}{665}$
= $\frac{570}{665}$ $+$ $\frac{171}{665}$ $+$ $\frac{27}{665}$ $+$ $\frac{2}{665}$
= $\frac{770}{665}$
= $\frac{22}{19}$

≈ 1.16

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 18 Mädchen und 6 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie viele Mädchen kann man bei den ersten 3 verlosten Plätzen erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{102}{253}$
Mädchen -> Mädchen -> Jungs	$\frac{153}{1012}$
Mädchen -> Jungs -> Mädchen	$\frac{153}{1012}$
Mädchen -> Jungs -> Jungs	$\frac{45}{1012}$
Jungs -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{153}{1012}$
Jungs -> Mädchen -> Jungs	$\frac{45}{1012}$
Jungs -> Jungs -> Mädchen	$\frac{45}{1012}$
Jungs -> Jungs -> Jungs	$\frac{5}{506}$

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: $\frac{5}{506}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: $\frac{45}{1012}$ + $\frac{45}{1012}$ + $\frac{45}{1012}$ = $\frac{135}{1012}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: $\frac{153}{1012}$ + $\frac{153}{1012}$ + $\frac{153}{1012}$ = $\frac{459}{1012}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: $\frac{102}{253}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	1	2	3
P(X=x_i)	$\frac{5}{506}$	$\frac{135}{1012}$	$\frac{459}{1012}$	$\frac{102}{253}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$\frac{135}{1012}$	$\frac{459}{506}$	$\frac{306}{253}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ $\frac{5}{506}$ + 1⋅ $\frac{135}{1012}$ + 2⋅ $\frac{459}{1012}$ + 3⋅ $\frac{102}{253}$

= $0$ $+$ $\frac{135}{1012}$ $+$ $\frac{459}{506}$ $+$ $\frac{306}{253}$
= $\frac{0}{1012}$ $+$ $\frac{135}{1012}$ $+$ $\frac{918}{1012}$ $+$ $\frac{1224}{1012}$
= $\frac{2277}{1012}$
= $\frac{9}{4}$

≈ 2.25

Erwartungswerte mit best. Optionen im WS-Baum

Beispiel:

Ein leidenschaftlicher Mäxle-Spieler möchte eine Mäxle-Spielautomat bauen. Wie beim richtigen Mäxle sollen auch hier zwei normale Würfel gleichzeitig geworfen werden (bzw. dies eben simuliert). Bei einem Mäxle (also eine 1 und eine 2) soll dann 12€ ausbezahlt werden, bei einem Pasch (also zwei gleiche Augenzahlen) 9€ und bei 61-65 also (also ein Würfel 6 und der andere keine 6) noch 3€. Wie groß müsste der Einsatz sein, damit das Spiel fair wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{36}$
1 -> 2	$\frac{1}{36}$
1 -> 3	$\frac{1}{36}$
1 -> 4	$\frac{1}{36}$
1 -> 5	$\frac{1}{36}$
1 -> 6	$\frac{1}{36}$
2 -> 1	$\frac{1}{36}$
2 -> 2	$\frac{1}{36}$
2 -> 3	$\frac{1}{36}$
2 -> 4	$\frac{1}{36}$
2 -> 5	$\frac{1}{36}$
2 -> 6	$\frac{1}{36}$
3 -> 1	$\frac{1}{36}$
3 -> 2	$\frac{1}{36}$
3 -> 3	$\frac{1}{36}$
3 -> 4	$\frac{1}{36}$
3 -> 5	$\frac{1}{36}$
3 -> 6	$\frac{1}{36}$
4 -> 1	$\frac{1}{36}$
4 -> 2	$\frac{1}{36}$
4 -> 3	$\frac{1}{36}$
4 -> 4	$\frac{1}{36}$
4 -> 5	$\frac{1}{36}$
4 -> 6	$\frac{1}{36}$
5 -> 1	$\frac{1}{36}$
5 -> 2	$\frac{1}{36}$
5 -> 3	$\frac{1}{36}$
5 -> 4	$\frac{1}{36}$
5 -> 5	$\frac{1}{36}$
5 -> 6	$\frac{1}{36}$
6 -> 1	$\frac{1}{36}$
6 -> 2	$\frac{1}{36}$
6 -> 3	$\frac{1}{36}$
6 -> 4	$\frac{1}{36}$
6 -> 5	$\frac{1}{36}$
6 -> 6	$\frac{1}{36}$

Die Wahrscheinlichkeit für 'Mäxle' ist:

P('1'-'2') + P('2'-'1')
= $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ = $\frac{1}{18}$

Die Wahrscheinlichkeit für 'Pasch' ist:

P('1'-'1') + P('2'-'2') + P('3'-'3') + P('4'-'4') + P('5'-'5') + P('6'-'6')
= $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ = $\frac{1}{6}$

Die Wahrscheinlichkeit für '60er' ist:

P('1'-'6') + P('2'-'6') + P('3'-'6') + P('4'-'6') + P('5'-'6') + P('6'-'1') + P('6'-'2') + P('6'-'3') + P('6'-'4') + P('6'-'5')
= $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ = $\frac{5}{18}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den durch die beiden Würfel ausbezahlten Euro-Betrag.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	Mäxle	Pasch	60er
Zufallsgröße x_i	12	9	3
P(X=x_i)	$\frac{1}{18}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{5}{18}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$\frac{2}{3}$	$\frac{3}{2}$	$\frac{5}{6}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 12⋅ $\frac{1}{18}$ + 9⋅ $\frac{1}{6}$ + 3⋅ $\frac{5}{18}$

= $\frac{2}{3}$ $+$ $\frac{3}{2}$ $+$ $\frac{5}{6}$
= $\frac{4}{6}$ $+$ $\frac{9}{6}$ $+$ $\frac{5}{6}$
= $\frac{18}{6}$
= $3$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zufallsgröße (ohne Wahrscheinlichkeit)

Zufallsgröße WS-Verteilung

Zufallsgr. WS-Vert. (auch ohne zur.)

Zufallsgr. WS-Vert. (ziehen bis erstmals ...)

Zufallsgröße rückwärts

Erwartungswerte

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Einsatz für faires Spiel bestimmen

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Erwartungswert ganz offen

Eine (von vielen möglichen) Lösungen:

Erwartungswerte bei 'Ziehen bis erstmals ...'

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Erwartungswerte mit best. Optionen im WS-Baum

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Erwartungswert der Zufallsgröße X