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Zufallsgröße (ohne Wahrscheinlichkeit)

Beispiel:

Eine (faire) Münze wird 3 mal geworfen. Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der Würfe, bei denen "Zahl" erscheint. Gib alle Werte an, die die Zufallsgröße X annehmen kann.

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Für die Zufallsgröße X: 'Anzahl von Zahl-Würfen' sind folgende Werte möglich:

Zufallsgröße X0123
zugehörige
Ereignisse
0 - 0 - 00 - 0 - 1
0 - 1 - 0
1 - 0 - 0
0 - 1 - 1
1 - 0 - 1
1 - 1 - 0
1 - 1 - 1

Zufallsgröße WS-Verteilung

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Zwei gleiche Glücksräder wie rechts in der Abbildung werden gleichzeitig gedreht. Die Zufallsgröße X beschreibt die Summe der Zahlen die bei den beiden Glücksräder erscheinen. Stelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X auf.

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Für die Zufallsgröße X: 'Summe der beiden Glücksräder' sind folgende Werte möglich:

Zufallsgröße XX = 2X = 3X = 4X = 5X = 6
zugehörige
Ergebnisse
1 → 11 → 2
2 → 1
1 → 3
2 → 2
3 → 1
2 → 3
3 → 2
3 → 3
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Jetzt müssen die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse erst mal (mit Hilfe eines Baums) berechnet werden.


Und somit können wir dann auch die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Werte der Zufallsgröße berechnen.

Zufallsgröße XX = 2X = 3X = 4X = 5X = 6
zugehörige
Wahrscheinlichkeit P(X)
1 2 1 2 1 2 3 8
+ 3 8 1 2
1 2 1 8
+ 3 8 3 8
+ 1 8 1 2
3 8 1 8
+ 1 8 3 8
1 8 1 8
  = 1 4 3 16 + 3 16 1 16 + 9 64 + 1 16 3 64 + 3 64 1 64



Hiermit ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X:

Zufallsgröße X23456
P(X=k) 1 4 3 8 17 64 3 32 1 64

Zufallsgr. WS-Vert. (auch ohne zur.)

Beispiel:

In einer Urne sind vier Kugeln, die mit der Zahl 2 beschriftet sind und zwei Kugeln, die mit der Zahl 9 beschriftet sind. Es werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Die Zufallsgröße X beschreibt die Summe der Zahlen der beiden gezogenen Kugeln. Stelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X auf.

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Für die Zufallsgröße X: 'Summe der beiden Kugeln' sind folgende Werte möglich:

Zufallsgröße XX = 4X = 11X = 18
zugehörige
Ergebnisse
2 → 22 → 9
9 → 2
9 → 9
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Jetzt müssen die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse erst mal (mit Hilfe eines Baums) berechnet werden.


Und somit können wir dann auch die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Werte der Zufallsgröße berechnen.

Zufallsgröße XX = 4X = 11X = 18
zugehörige
Wahrscheinlichkeit P(X)
2 3 3 5 2 3 2 5
+ 1 3 4 5
1 3 1 5
  = 2 5 4 15 + 4 15 1 15



Hiermit ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X:

Zufallsgröße X41118
P(X=k) 2 5 8 15 1 15

Zufallsgr. WS-Vert. (ziehen bis erstmals ...)

Beispiel:

In einer Urne sind 10 rote und 4 blaue Kugeln. Es soll (ohne zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Die Zufallsgröße X beschreibt dabei die Anzahl der Ziehungen, bis die erste rote Kugel gezogen worden ist. Stelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X auf.
(Denk daran, die Brüche vollständig zu kürzen!)

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Da ja nur 4 Kugeln vom Typ 'blau' vorhanden sind, muss spätestens im 5-ten Versuch (wenn dann alle Kugeln vom Typ 'blau' bereits gezogen und damit weg sind) eine Kugel vom Typ 'rot' gezogen werden.

Das heißt die Zufallsgröße X kann nur Werte zwischen 1 und 5 annehmen.

Aus dem reduzierten Baumdiagramm rechts kann man nun die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X übernehmen:

Zufallsgröße X12345
P(X=k) 5 7 20 91 5 91 10 1001 1 1001

Zufallsgröße rückwärts

Beispiel:

In einer Urne sind 20 Kugeln, die mit verschiedenen Zahlen beschriftet sind. Dabei gibt es nur die Zahlen 1, 4 und 9 als Beschriftung. Es werden zwei Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Die Zufallsgröße X beschreibt das Produkt der Zahlen der beiden gezogenen Kugeln. Bei der Wahrscheinlichkeitsverteilung von X sind nur der erste und der letzte Wert bekannt (siehe Tabelle). Wie viele Kugeln mit den oben genannten Zahlen als Beschriftung müssen jeweils in der Urne sein?

Zufallsgröße X149163681
P(X=k) 81 400 ???? 1 25

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Für X=1 gibt es nur das Ereignis: '1'-'1', also dass zwei mal hintereinander '1' kommt.

Wenn p1 die Wahrscheinlichkeit von '1' ist, dann muss also für die Wahrscheinlichkeit, dass zwei mal hintereinander '1' kommt, gelten: P(X=1) = p1 ⋅ p1 (siehe Baumdiagramm).

Aus der Tabelle können wir aber P(X=1) = 81 400 heraus lesen, also muss gelten:

p1 ⋅ p1 = (p1)2 = 81 400 und somit p1 = 9 20 .

Ebenso gibt es für X=81 nur das Ereignis: '9'-'9', also dass zwei mal hintereinander '9' kommt.

Wenn p3 die Wahrscheinlichkeit von '9' ist, dann muss also für die Wahrscheinlichkeit, dass zwei mal hintereinander '9' kommt, gelten: P(X=81) = p3 ⋅ p3 (siehe Baumdiagramm).

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Aus der Tabelle können wir aber P(X=81) = 1 25 heraus lesen, also muss gelten:

p3 ⋅ p3 = (p3)2 = 1 25 und somit p3 = 1 5 .

Da es aber nur drei Optionen gibt, muss p1 + p2 + p3 = 1 gelten, also

p2 = 1 - p1 - p3 = 1 - 9 20 - 1 5 = 20 20 - 9 20 - 4 20 = 7 20

Um nun noch die jeweilige Anzahl der Kugeln mit gleicher Zahl zu ermittlen, müssen wir einfach die Wahrscheinlichkeit mit 20 multiplizieren, weil ja für die Wahrscheinlichkeit für eine der n Kugeln mit einer bestimmten Zahl gilt: p = n 20

Somit erhalten wir:

n1 = 9 20 ⋅ 20 = 9

n4 = 7 20 ⋅ 20 = 7

n9 = 1 5 ⋅ 20 = 4

Erwartungswerte

Beispiel:

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(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Wie viele Punkte kann man bei dem abgebildeten Glücksrad erwarten?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Punktezahl auf einem Sektor des Glücksrads.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis 3 6 20 100
Zufallsgröße xi 3 6 20 100
P(X=xi) 4 8 2 8 1 8 1 8
xi ⋅ P(X=xi) 3 2 3 2 5 2 25 2

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 3⋅ 4 8 + 6⋅ 2 8 + 20⋅ 1 8 + 100⋅ 1 8

= 3 2 + 3 2 + 5 2 + 25 2
= 36 2
= 18

Einsatz für faires Spiel bestimmen

Beispiel:

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(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Bei einem Glücksrad wie rechts abgebildet soll das noch fehlende Feld mit einem Betrag so bestückt werden, dass das Spiel bei einem Einsatz von 11€ fair ist.

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Auszahlung.

Die Zufallsgröße Y beschreibt den Gewinn, also Auszahlung - Einsatz.

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis 2 8 16 ?
Zufallsgröße xi 2 8 16 x
Zufallsgröße yi (Gewinn) -9 -3 5 x-11
P(X=xi) 4 8 2 8 1 8 1 8
xi ⋅ P(X=xi) 1 2 2 1 8 ⋅ x
yi ⋅ P(Y=yi) - 9 2 - 3 4 5 8 1 8 ⋅(x-11)

Um den gesuchten Auszahlungsbetrag zu berrechnen hat man zwei Möglichkeiten:

Entweder stellt man eine Gleichung auf, so dass der Erwartungswert des Auszahlungsbetrags gleich des Einsatzes ist ...

E(X) = 11

4 8 · 2 + 2 8 · 8 + 1 8 · 16 + 1 8 x = 11

1 +2 +2 + 1 8 x = 11

1 +2 +2 + 1 8 x = 11
1 8 x +5 = 11 |⋅ 8
8( 1 8 x +5 ) = 88
x +40 = 88 | -40
x = 48

... oder man stellt eine Gleichung auf, so dass der Erwartungswert des Gewinns gleich null ist:

E(Y) = 0

4 8 · ( -9 ) + 2 8 · ( -3 ) + 1 8 · 5 + 1 8 ( x -11 ) = 0

- 9 2 - 3 4 + 5 8 + 1 8 · x + 1 8 · ( -11 ) = 0

- 9 2 - 3 4 + 5 8 + 1 8 · x + 1 8 · ( -11 ) = 0
- 9 2 - 3 4 + 5 8 + 1 8 x - 11 8 = 0
1 8 x -6 = 0 |⋅ 8
8( 1 8 x -6 ) = 0
x -48 = 0 | +48
x = 48

In beiden Fällen ist also der gesuchte Betrag: 48

Erwartungswert ganz offen

Beispiel:

Eine Klasse möchte beim Schulfest ein Glücksrad mit Spielgeld anbieten. Dabei soll das Glücksrad in Sektoren aufgeteilt werden, in denen der Auszahlungsbetrag (z.B. 3€) drin steht. Nach langer Diskussion einigt man sich auf folgende Punkte:• Das Spiel mit dem Glücksrad muss fair sein • Der Einsatz soll 9€ betragen• Der minimale Auszahlungsbetrag soll 4€ sein• Der maximale Auszahlungsbetrag soll soll 43€ sein• Es sollen genau 4 Sektoren mit verschiedenen Auszahlungsbeträgen auf dem Glücksrad seinFinde eine Möglichkeit für solch ein Glücksrad und trage diese in die Tabelle ein.

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Eine (von vielen möglichen) Lösungen:

Als erstes schreiben wir mal die Vorgaben in die Tabelle rein.

  Feld1 Feld2 Feld3 Feld4
X (z.B. Auszahlung) 4 43
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) -5 34
P(X) = P(Y)
Y ⋅ P(Y)

Jetzt setzen wir die Wahrscheinlichkeiten so, dass der negative Beitrag vom minimalen Betrag zum Erwartungswert den gleichen Betrag hat wie der positve vom maximalen Betrag.(dazu einfach jeweils den Gewinn in den Nenner der Wahrscheinlichkeit)

  Feld1 Feld2 Feld3 Feld4
X (z.B. Auszahlung) 4 43
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) -5 34
P(X) = P(Y) 1 5 1 34
Y ⋅ P(Y) -1 1

Die bisherigen Optionen vereinen eine Wahrscheinlichkeit von 1 5 + 1 34 = 39 170
Als Restwahrscheinlichkeit für die verbleibenden Beträge bleibt nun also 1- 39 170 = 131 170 .
Diese wird auf die beiden verbleibenden Optionen verteilt:

  Feld1 Feld2 Feld3 Feld4
X (z.B. Auszahlung) 4 43
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) -5 34
P(X) = P(Y) 1 5 131 340 131 340 1 34
Y ⋅ P(Y) -1 1

Damit nun der Erwartungswert =0 wird, müssen sich die beiden noch verbleibenden Anteile daran gegenseitig aufheben. Dies erreicht man, in dem man den Gewinn jeweils gleich 'weit vom Einsatz weg' (nämlich 5 2 ) setzt.

  Feld1 Feld2 Feld3 Feld4
X (z.B. Auszahlung) 4 6.5 11.5 43
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) -5 -2.5 2.5 34
P(X) = P(Y) 1 5 131 340 131 340 1 34
Winkel 72° 138.71° 138.71° 10.59°
Y ⋅ P(Y) -1 - 131 136 131 136 1

Wenn man nun den Erwartungswert berechnet, kommt der gesuchte heraus:

E(Y)= -5⋅ 1 5 + -2.5⋅ 131 340 + 2.5⋅ 131 340 + 34⋅ 1 34

= -1 - 131 136 + 131 136 + 1
= - 136 136 - 131 136 + 131 136 + 136 136
= 0 136
= 0

Erwartungswerte bei 'Ziehen bis erstmals ...'

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 15 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Mit wie vielen Hausaufgabenüberprüfungen muss die Lehrerin im Durchschnitt rechnen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Mädchen' im 1-ten Versuch st: 5 6

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Mädchen' im 2-ten Versuch st: 5 34

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Mädchen' im 3-ten Versuch st: 5 272

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Mädchen' im 4-ten Versuch st: 1 816

Die Zufallsgröße X beschreibt Anzahl der eingesammelten Hausaufgaben bis das erste Mädchen gezogen wird.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis 1 2 3 4
Zufallsgröße xi 1 2 3 4
P(X=xi) 5 6 5 34 5 272 1 816
xi ⋅ P(X=xi) 5 6 5 17 15 272 1 204

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 1⋅ 5 6 + 2⋅ 5 34 + 3⋅ 5 272 + 4⋅ 1 816

= 5 6 + 5 17 + 15 272 + 1 204
= 680 816 + 240 816 + 45 816 + 4 816
= 969 816
= 19 16

1.19

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

In einem Kartenstapel befinden sich 4 Asse und 4 weitere Karten. Nachdem diese gut gemischt wurden, darf ein Spieler 3 Karten ziehen. Für jedes As, das unter den drei Karten ist, erhält er dabei 10€. Mit welchem Gewinn kann er rechnen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

EreignisP
As -> As -> As 1 14
As -> As -> andereKarte 1 7
As -> andereKarte -> As 1 7
As -> andereKarte -> andereKarte 1 7
andereKarte -> As -> As 1 7
andereKarte -> As -> andereKarte 1 7
andereKarte -> andereKarte -> As 1 7
andereKarte -> andereKarte -> andereKarte 1 14

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'As' ist: 1 14

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'As' ist: 1 7 + 1 7 + 1 7 = 3 7

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'As' ist: 1 7 + 1 7 + 1 7 = 3 7

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'As' ist: 1 14

Die Zufallsgröße X beschreibt den Gewinn für die 3 gezogenen Karten.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis 0 1 2 3
Zufallsgröße xi 0 10 20 30
P(X=xi) 1 14 3 7 3 7 1 14
xi ⋅ P(X=xi) 0 30 7 60 7 15 7

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ 1 14 + 10⋅ 3 7 + 20⋅ 3 7 + 30⋅ 1 14

= 0+ 30 7 + 60 7 + 15 7
= 0 7 + 30 7 + 60 7 + 15 7
= 105 7
= 15

Erwartungswerte mit best. Optionen im WS-Baum

Beispiel:

Ein leidenschaftlicher Mäxle-Spieler möchte eine Mäxle-Spielautomat bauen. Wie beim richtigen Mäxle sollen auch hier zwei normale Würfel gleichzeitig geworfen werden (bzw. dies eben simuliert). Bei einem Mäxle (also eine 1 und eine 2) soll dann 10€ ausbezahlt werden, bei einem Pasch (also zwei gleiche Augenzahlen) 8€ und bei 61-65 also (also ein Würfel 6 und der andere keine 6) noch 1€. Wie groß müsste der Einsatz sein, damit das Spiel fair wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

EreignisP
1 -> 1 1 36
1 -> 2 1 36
1 -> 3 1 36
1 -> 4 1 36
1 -> 5 1 36
1 -> 6 1 36
2 -> 1 1 36
2 -> 2 1 36
2 -> 3 1 36
2 -> 4 1 36
2 -> 5 1 36
2 -> 6 1 36
3 -> 1 1 36
3 -> 2 1 36
3 -> 3 1 36
3 -> 4 1 36
3 -> 5 1 36
3 -> 6 1 36
4 -> 1 1 36
4 -> 2 1 36
4 -> 3 1 36
4 -> 4 1 36
4 -> 5 1 36
4 -> 6 1 36
5 -> 1 1 36
5 -> 2 1 36
5 -> 3 1 36
5 -> 4 1 36
5 -> 5 1 36
5 -> 6 1 36
6 -> 1 1 36
6 -> 2 1 36
6 -> 3 1 36
6 -> 4 1 36
6 -> 5 1 36
6 -> 6 1 36

Die Wahrscheinlichkeit für 'Mäxle' ist:

P('1'-'2') + P('2'-'1')
= 1 36 + 1 36 = 1 18

Die Wahrscheinlichkeit für 'Pasch' ist:

P('1'-'1') + P('2'-'2') + P('3'-'3') + P('4'-'4') + P('5'-'5') + P('6'-'6')
= 1 36 + 1 36 + 1 36 + 1 36 + 1 36 + 1 36 = 1 6

Die Wahrscheinlichkeit für '60er' ist:

P('1'-'6') + P('2'-'6') + P('3'-'6') + P('4'-'6') + P('5'-'6') + P('6'-'1') + P('6'-'2') + P('6'-'3') + P('6'-'4') + P('6'-'5')
= 1 36 + 1 36 + 1 36 + 1 36 + 1 36 + 1 36 + 1 36 + 1 36 + 1 36 + 1 36 = 5 18

Die Zufallsgröße X beschreibt den durch die beiden Würfel ausbezahlten Euro-Betrag.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis Mäxle Pasch 60er
Zufallsgröße xi 10 8 1
P(X=xi) 1 18 1 6 5 18
xi ⋅ P(X=xi) 5 9 4 3 5 18

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 10⋅ 1 18 + 8⋅ 1 6 + 1⋅ 5 18

= 5 9 + 4 3 + 5 18
= 10 18 + 24 18 + 5 18
= 39 18
= 13 6

2.17