Für die Zufallsgröße X: 'Produkt der beiden Kugeln' sind folgende Werte möglich:

Zufallsgröße X	9	27	81
zugehörige Ereignisse	3 - 3	3 - 9 9 - 3	9 - 9

Für die Zufallsgröße X: 'Anzahl der 6er' sind folgende Werte möglich:

Zufallsgröße X	X = 0	X = 1	X = 2	X = 3
zugehörige Ergebnisse	0 → 0 → 0	0 → 0 → 1 0 → 1 → 0 1 → 0 → 0	0 → 1 → 1 1 → 0 → 1 1 → 1 → 0	1 → 1 → 1

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Jetzt müssen die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse erst mal (mit Hilfe eines Baums) berechnet werden.

Und somit können wir dann auch die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Werte der Zufallsgröße berechnen.

Zufallsgröße X	X = 0	X = 1	X = 2	X = 3
zugehörige Wahrscheinlichkeit P(X)	$\frac{5}{6}$ ⋅ $\frac{5}{6}$ ⋅ $\frac{5}{6}$	$\frac{5}{6}$ ⋅ $\frac{5}{6}$ ⋅ $\frac{1}{6}$ + $\frac{5}{6}$ ⋅ $\frac{1}{6}$ ⋅ $\frac{5}{6}$ + $\frac{1}{6}$ ⋅ $\frac{5}{6}$ ⋅ $\frac{5}{6}$	$\frac{5}{6}$ ⋅ $\frac{1}{6}$ ⋅ $\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{6}$ ⋅ $\frac{5}{6}$ ⋅ $\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{6}$ ⋅ $\frac{1}{6}$ ⋅ $\frac{5}{6}$	$\frac{1}{6}$ ⋅ $\frac{1}{6}$ ⋅ $\frac{1}{6}$
=	$\frac{125}{216}$	$\frac{25}{216}$ + $\frac{25}{216}$ + $\frac{25}{216}$	$\frac{5}{216}$ + $\frac{5}{216}$ + $\frac{5}{216}$	$\frac{1}{216}$

Hiermit ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X:

Zufallsgröße X	0	1	2	3
P(X=k)	$\frac{125}{216}$	$\frac{25}{72}$	$\frac{5}{72}$	$\frac{1}{216}$

Für die Zufallsgröße X: 'Differenz der beiden Karten' sind folgende Werte möglich:

Zufallsgröße X	X = 0	X = 3	X = 5	X = 8
zugehörige Ergebnisse	2 → 2 5 → 5 10 → 10	2 → 5 5 → 2	5 → 10 10 → 5	2 → 10 10 → 2

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Jetzt müssen die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse erst mal (mit Hilfe eines Baums) berechnet werden.

Und somit können wir dann auch die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Werte der Zufallsgröße berechnen.

Zufallsgröße X	X = 0	X = 3	X = 5	X = 8
zugehörige Wahrscheinlichkeit P(X)	$\frac{1}{4}$ ⋅ $\frac{1}{7}$ + $\frac{1}{4}$ ⋅ $\frac{1}{7}$ + $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{3}{7}$	$\frac{1}{4}$ ⋅ $\frac{2}{7}$ + $\frac{1}{4}$ ⋅ $\frac{2}{7}$	$\frac{1}{4}$ ⋅ $\frac{4}{7}$ + $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{2}{7}$	$\frac{1}{4}$ ⋅ $\frac{4}{7}$ + $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{2}{7}$
=	$\frac{1}{28}$ + $\frac{1}{28}$ + $\frac{3}{14}$	$\frac{1}{14}$ + $\frac{1}{14}$	$\frac{1}{7}$ + $\frac{1}{7}$	$\frac{1}{7}$ + $\frac{1}{7}$

Hiermit ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X:

Zufallsgröße X	0	3	5	8
P(X=k)	$\frac{2}{7}$	$\frac{1}{7}$	$\frac{2}{7}$	$\frac{2}{7}$

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Da ja nur 4 Kugeln vom Typ 'blau' vorhanden sind, muss spätestens im 5-ten Versuch (wenn dann alle Kugeln vom Typ 'blau' bereits gezogen und damit weg sind) eine Kugel vom Typ 'rot' gezogen werden.

Das heißt die Zufallsgröße X kann nur Werte zwischen 1 und 5 annehmen.

Aus dem reduzierten Baumdiagramm rechts kann man nun die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X übernehmen:

Zufallsgröße X	1	2	3	4	5
P(X=k)	$\frac{5}{9}$	$\frac{5}{18}$	$\frac{5}{42}$	$\frac{5}{126}$	$\frac{1}{126}$

Für X=4 gibt es nur das Ereignis: '2'-'2', also dass zwei mal hintereinander '2' kommt.

Wenn p1 die Wahrscheinlichkeit von '2' ist, dann muss also für die Wahrscheinlichkeit, dass zwei mal hintereinander '2' kommt, gelten: P(X=4) = p1 ⋅ p1 (siehe Baumdiagramm).

Aus der Tabelle können wir aber P(X=4) = $\frac{81}{400}$ heraus lesen, also muss gelten:

p1 ⋅ p1 = (p1)² = $\frac{81}{400}$ und somit p1 = $\frac{9}{20}$.

Ebenso gibt es für X=64 nur das Ereignis: '8'-'8', also dass zwei mal hintereinander '8' kommt.

Wenn p3 die Wahrscheinlichkeit von '8' ist, dann muss also für die Wahrscheinlichkeit, dass zwei mal hintereinander '8' kommt, gelten: P(X=64) = p3 ⋅ p3 (siehe Baumdiagramm).

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Aus der Tabelle können wir aber P(X=64) = $\frac{1}{25}$ heraus lesen, also muss gelten:

p3 ⋅ p3 = (p3)² = $\frac{1}{25}$ und somit p3 = $\frac{1}{5}$.

Da es aber nur drei Optionen gibt, muss p1 + p2 + p3 = 1 gelten, also

p2 = 1 - p1 - p3 = $1$$-\frac{9}{20}$$-\frac{1}{5}$ = $\frac{20}{20}$ $-\frac{9}{20}$ $-\frac{4}{20}$ = $\frac{7}{20}$

Um nun noch die jeweilige Anzahl der Kugeln mit gleicher Zahl zu ermittlen, müssen wir einfach die Wahrscheinlichkeit mit 20 multiplizieren, weil ja für die Wahrscheinlichkeit für eine der n Kugeln mit einer bestimmten Zahl gilt: p = $\frac{n}{\mathrm{20}}$

Somit erhalten wir:

n₂ = $\frac{9}{20}$ ⋅ 20 = 9

n₄ = $\frac{7}{20}$ ⋅ 20 = 7

n₈ = $\frac{1}{5}$ ⋅ 20 = 4

Die Zufallsgröße X beschreibt den ausbezahlten €-Euro-Betrag.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	blau	rot	grün	weiß
Zufallsgröße xi	64	16	32	128
P(X=xi)	$\frac{9}{32}$	$\frac{10}{32}$	$\frac{10}{32}$	$\frac{3}{32}$
xi ⋅ P(X=xi)	$18$	$5$	$10$	$12$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 64⋅$\frac{9}{32}$ + 16⋅$\frac{10}{32}$ + 32⋅$\frac{10}{32}$ + 128⋅$\frac{3}{32}$

= $18$$+$ $5$$+$ $10$$+$ $12$
= $45$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Auszahlung.

Die Zufallsgröße Y beschreibt den Gewinn, also Auszahlung - Einsatz.

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	blau	rot	grün	weiß
Zufallsgröße xi	40	20	30	x
Zufallsgröße yi (Gewinn)	17	-3	7	x-23
P(X=xi)	$\frac{3}{20}$	$\frac{9}{20}$	$\frac{4}{20}$	$\frac{4}{20}$
xi ⋅ P(X=xi)	$6$	$9$	$6$	$\frac{4}{20}$ ⋅ x
yi ⋅ P(Y=yi)	$\frac{51}{20}$	$-\frac{27}{20}$	$\frac{7}{5}$	$\frac{4}{20}$⋅(x-23)

Um den gesuchten Auszahlungsbetrag zu berrechnen hat man zwei Möglichkeiten:

Entweder stellt man eine Gleichung auf, so dass der Erwartungswert des Auszahlungsbetrags gleich des Einsatzes ist ...

E(X) = 23

$\frac{3}{20}·40+\frac{9}{20}·20+\frac{4}{20}·30+\frac{4}{20}x$ = 23

$6+9+6+\frac{4}{20}x$ = 23

$6+9+6+\frac{1}{5}x$	=	$23$
$\frac{1}{5}x+21$	=	$23$	|⋅ 5
$5\left(\frac{1}{5}x+21\right)$	=	$115$
$x+105$	=	$115$	| $-105$
$x$	=	$10$

... oder man stellt eine Gleichung auf, so dass der Erwartungswert des Gewinns gleich null ist:

E(Y) = 0

$\frac{3}{20}·17+\frac{9}{20}·\left(-3\right)+\frac{4}{20}·7+\frac{4}{20}\left(x-23\right)$ = 0

$\frac{51}{20}-\frac{27}{20}+\frac{7}{5}+\frac{1}{5}·x+\frac{1}{5}·\left(-23\right)$ = 0

$\frac{51}{20}-\frac{27}{20}+\frac{7}{5}+\frac{1}{5}·x+\frac{1}{5}·\left(-23\right)$	=	0
$\frac{51}{20}-\frac{27}{20}+\frac{7}{5}+\frac{1}{5}x-\frac{23}{5}$	=	0
$\frac{1}{5}x-2$	=	0	|⋅ 5
$5\left(\frac{1}{5}x-2\right)$	=	0
$x-10$	=	0	| $+10$
$x$	=	$10$

In beiden Fällen ist also der gesuchte Betrag: 10€

Eine (von vielen möglichen) Lösungen:

Als erstes schreiben wir mal die Vorgaben in die Tabelle rein.

	Kirsche	Zitrone	Apfel	Banane	Erdbeere
X (z.B. Auszahlung)	0				36
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-2				34
P(X) = P(Y)
Y ⋅ P(Y)

Jetzt setzen wir die Wahrscheinlichkeiten so, dass der negative Beitrag vom minimalen Betrag zum Erwartungswert den gleichen Betrag hat wie der positve vom maximalen Betrag.(dazu einfach jeweils den Gewinn in den Nenner der Wahrscheinlichkeit)

	Kirsche	Zitrone	Apfel	Banane	Erdbeere
X (z.B. Auszahlung)	0				36
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-2				34
P(X) = P(Y)	$\frac{1}{2}$				$\frac{1}{34}$
Y ⋅ P(Y)	$-1$				$1$

Bei der mittleren Option setzen wir den Betrag einfach gleich wie den Einsatz, so dass diese den Erwartungswert nicht verändert.
Als Wahrscheinlichkeit wählen wir einen Bruch so, dass die Restwahrscheinlichkeit für die verbleibenden zwei Optionen nicht allzu kompliziert wird.

	Kirsche	Zitrone	Apfel	Banane	Erdbeere
X (z.B. Auszahlung)	0		2		36
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-2		0		34
P(X) = P(Y)	$\frac{1}{2}$		$\frac{15}{68}$		$\frac{1}{34}$
Y ⋅ P(Y)	$-1$		$0$		$1$

Die bisherigen Optionen vereinen eine Wahrscheinlichkeit von $\frac{1}{2}$+$\frac{15}{68}$+$\frac{1}{34}$=$\frac{3}{4}$
Als Restwahrscheinlichkeit für die verbleibenden Beträge bleibt nun also 1-$\frac{3}{4}$ =$\frac{1}{4}$.
Diese wird auf die beiden verbleibenden Optionen verteilt:

	Kirsche	Zitrone	Apfel	Banane	Erdbeere
X (z.B. Auszahlung)	0		2		36
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-2		0		34
P(X) = P(Y)	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{15}{68}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{34}$
Y ⋅ P(Y)	$-1$		$0$		$1$

Damit nun der Erwartungswert =0 wird, müssen sich die beiden noch verbleibenden Anteile daran gegenseitig aufheben. Dies erreicht man, in dem man den Gewinn jeweils gleich 'weit vom Einsatz weg' (nämlich $1$) setzt.

	Kirsche	Zitrone	Apfel	Banane	Erdbeere
X (z.B. Auszahlung)	0	1	2	3	36
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-2	-1	0	1	34
P(X) = P(Y)	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{15}{68}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{34}$
Y ⋅ P(Y)	$-1$	$-\frac{1}{8}$	$0$	$\frac{1}{8}$	$1$

Weil der Erwartungswert ja aber nicht 0 sondern $-\frac{1}{10}$ sein soll, müssen wir nun noch den Auszahlungsbetrag bei der 2. Option (betragsmäßig) vergrößern. Und zwar so, dass er mit der Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{8}$ multipliziert gerade um $-\frac{1}{10}$ wächst.
Also x ⋅$\frac{1}{8}$=$-\frac{1}{10}$ => x=$-\frac{1}{10}$:$\frac{1}{8}$ = $-\frac{4}{5}$ = -0.8
Die neue Auszahlung für 'Zitrone' ist also 0.2

	Kirsche	Zitrone	Apfel	Banane	Erdbeere
X (z.B. Auszahlung)	0	0.2	2	3	36
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-2	-1.8	0	1	34
P(X) = P(Y)	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{15}{68}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{34}$
Y ⋅ P(Y)	$-1$	$-\frac{9}{40}$	$0$	$\frac{1}{8}$	$1$

Wenn man nun den Erwartungswert berechnet, kommt der gesuchte heraus:

E(Y)= -2⋅$\frac{1}{2}$ + -1.8⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{15}{68}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 34⋅$\frac{1}{34}$

= $-1$$-\frac{9}{40}$$+$ $0$$+$ $\frac{1}{8}$$+$ $1$
= $-\frac{40}{40}$ $-\frac{9}{40}$$+$ $\frac{0}{40}$$+$ $\frac{5}{40}$$+$ $\frac{40}{40}$
= $-\frac{4}{40}$
= $-\frac{1}{10}$

≈ -0.1

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 1-ten Versuch st: $\frac{9}{13}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 2-ten Versuch st: $\frac{3}{13}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 3-ten Versuch st: $\frac{9}{143}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 4-ten Versuch st: $\frac{9}{715}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 5-ten Versuch st: $\frac{1}{715}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der Ziehungen. bis die erste rote Kugel gezogen ist.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	1	2	3	4	5
Zufallsgröße xi	1	2	3	4	5
P(X=xi)	$\frac{9}{13}$	$\frac{3}{13}$	$\frac{9}{143}$	$\frac{9}{715}$	$\frac{1}{715}$
xi ⋅ P(X=xi)	$\frac{9}{13}$	$\frac{6}{13}$	$\frac{27}{143}$	$\frac{36}{715}$	$\frac{1}{143}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 1⋅$\frac{9}{13}$ + 2⋅$\frac{3}{13}$ + 3⋅$\frac{9}{143}$ + 4⋅$\frac{9}{715}$ + 5⋅$\frac{1}{715}$

= $\frac{9}{13}$$+$ $\frac{6}{13}$$+$ $\frac{27}{143}$$+$ $\frac{36}{715}$$+$ $\frac{1}{143}$
= $\frac{495}{715}$$+$ $\frac{330}{715}$$+$ $\frac{135}{715}$$+$ $\frac{36}{715}$$+$ $\frac{5}{715}$
= $\frac{1001}{715}$
= $\frac{7}{5}$

≈ 1.4

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'blau' ist: $\frac{7}{24}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'blau' ist: $\frac{7}{40}$ + $\frac{7}{40}$ + $\frac{7}{40}$ = $\frac{21}{40}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'blau' ist: $\frac{7}{120}$ + $\frac{7}{120}$ + $\frac{7}{120}$ = $\frac{7}{40}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'blau' ist: $\frac{1}{120}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den ausbezahlten Euro-Betrag.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße xi	0	7	16	85
P(X=xi)	$\frac{7}{24}$	$\frac{21}{40}$	$\frac{7}{40}$	$\frac{1}{120}$
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\frac{147}{40}$	$\frac{14}{5}$	$\frac{17}{24}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅$\frac{7}{24}$ + 7⋅$\frac{21}{40}$ + 16⋅$\frac{7}{40}$ + 85⋅$\frac{1}{120}$

= $0$$+$ $\frac{147}{40}$$+$ $\frac{14}{5}$$+$ $\frac{17}{24}$
= $\frac{0}{120}$$+$ $\frac{441}{120}$$+$ $\frac{336}{120}$$+$ $\frac{85}{120}$
= $\frac{862}{120}$
= $\frac{431}{60}$

≈ 7.18

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für 'Mäxle' ist:

P('1'-'2') + P('2'-'1')
= $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ = $\frac{1}{18}$

Die Wahrscheinlichkeit für 'Pasch' ist:

P('1'-'1') + P('2'-'2') + P('3'-'3') + P('4'-'4') + P('5'-'5') + P('6'-'6')
= $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ = $\frac{1}{6}$

Die Wahrscheinlichkeit für '60er' ist:

P('1'-'6') + P('2'-'6') + P('3'-'6') + P('4'-'6') + P('5'-'6') + P('6'-'1') + P('6'-'2') + P('6'-'3') + P('6'-'4') + P('6'-'5')
= $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ = $\frac{5}{18}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den durch die beiden Würfel ausbezahlten Euro-Betrag.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	Mäxle	Pasch	60er
Zufallsgröße xi	16	5	3
P(X=xi)	$\frac{1}{18}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{5}{18}$
xi ⋅ P(X=xi)	$\frac{8}{9}$	$\frac{5}{6}$	$\frac{5}{6}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 16⋅$\frac{1}{18}$ + 5⋅$\frac{1}{6}$ + 3⋅$\frac{5}{18}$

= $\frac{8}{9}$$+$ $\frac{5}{6}$$+$ $\frac{5}{6}$
= $\frac{16}{18}$$+$ $\frac{15}{18}$$+$ $\frac{15}{18}$
= $\frac{46}{18}$
= $\frac{23}{9}$

≈ 2.56