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Zufallsgröße (ohne Wahrscheinlichkeit)

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Zwei gleiche Glücksräder wie rechts in der Abbildung werden gleichzeitig gedreht. Die Zufallsgröße X beschreibt die Summe der Zahlen die bei den beiden Glücksräder erscheinen. Gib alle Werte an, die die Zufallsgröße X annehmen kann.

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Für die Zufallsgröße X: 'Summe der beiden Glücksräder' sind folgende Werte möglich:

Zufallsgröße X	2	3	4	5	6
zugehörige Ereignisse	1 - 1	1 - 2 2 - 1	1 - 3 2 - 2 3 - 1	2 - 3 3 - 2	3 - 3

Zufallsgröße WS-Verteilung

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Zwei gleiche Glücksräder wie rechts in der Abbildung werden gleichzeitig gedreht. Die Zufallsgröße X beschreibt die Differenz: Zahl des ersten Glücksrads - Zahl des zweiten Glücksrads. Stelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X auf.

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Für die Zufallsgröße X: 'Differenz Glücksrad 1 - Glücksrad 2' sind folgende Werte möglich:

Zufallsgröße X	X = -2	X = -1	X = 0	X = 1	X = 2
zugehörige Ergebnisse	1 → 3	1 → 2 2 → 3	1 → 1 2 → 2 3 → 3	2 → 1 3 → 2	3 → 1

Jetzt müssen die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse erst mal (mit Hilfe eines Baums) berechnet werden.

Und somit können wir dann auch die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Werte der Zufallsgröße berechnen.

Zufallsgröße X	X = -2	X = -1	X = 0	X = 1	X = 2
zugehörige Wahrscheinlichkeit P(X)	$\frac{5}{8}$ ⋅ $\frac{1}{8}$	$\frac{5}{8}$ ⋅ $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{4}$ ⋅ $\frac{1}{8}$	$\frac{5}{8}$ ⋅ $\frac{5}{8}$ + $\frac{1}{4}$ ⋅ $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{8}$ ⋅ $\frac{1}{8}$	$\frac{1}{4}$ ⋅ $\frac{5}{8}$ + $\frac{1}{8}$ ⋅ $\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$ ⋅ $\frac{5}{8}$
=	$\frac{5}{64}$	$\frac{5}{32}$ + $\frac{1}{32}$	$\frac{25}{64}$ + $\frac{1}{16}$ + $\frac{1}{64}$	$\frac{5}{32}$ + $\frac{1}{32}$	$\frac{5}{64}$

Hiermit ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X:

Zufallsgröße X	-2	-1	0	1	2
P(X=k)	$\frac{5}{64}$	$\frac{3}{16}$	$\frac{15}{32}$	$\frac{3}{16}$	$\frac{5}{64}$

Zufallsgr. WS-Vert. (auch ohne zur.)

Beispiel:

In einer Urne sind sechs Kugeln, die mit der Zahl 2 beschriftet sind und sechs Kugeln, die mit der Zahl 6 beschriftet sind. Es werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.Die Zufallsgröße X beschreibt das Produkt der Zahlen der beiden gezogenen Kugeln. Stelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X auf.

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Für die Zufallsgröße X: 'Produkt der beiden Kugeln' sind folgende Werte möglich:

Zufallsgröße X	X = 4	X = 12	X = 36
zugehörige Ergebnisse	2 → 2	2 → 6 6 → 2	6 → 6

Jetzt müssen die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse erst mal (mit Hilfe eines Baums) berechnet werden.

Und somit können wir dann auch die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Werte der Zufallsgröße berechnen.

Zufallsgröße X	X = 4	X = 12	X = 36
zugehörige Wahrscheinlichkeit P(X)	$\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{5}{11}$	$\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{6}{11}$ + $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{6}{11}$	$\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{5}{11}$
=	$\frac{5}{22}$	$\frac{3}{11}$ + $\frac{3}{11}$	$\frac{5}{22}$

Hiermit ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X:

Zufallsgröße X	4	12	36
P(X=k)	$\frac{5}{22}$	$\frac{6}{11}$	$\frac{5}{22}$

Zufallsgr. WS-Vert. (ziehen bis erstmals ...)

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und 4 blaue Kugeln. Es soll (ohne zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Die Zufallsgröße X beschreibt dabei die Anzahl der Ziehungen, bis die erste rote Kugel gezogen worden ist. Stelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X auf.
(Denk daran, die Brüche vollständig zu kürzen!)

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Da ja nur 4 Kugeln vom Typ 'blau' vorhanden sind, muss spätestens im 5-ten Versuch (wenn dann alle Kugeln vom Typ 'blau' bereits gezogen und damit weg sind) eine Kugel vom Typ 'rot' gezogen werden.

Das heißt die Zufallsgröße X kann nur Werte zwischen 1 und 5 annehmen.

Aus dem reduzierten Baumdiagramm rechts kann man nun die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X übernehmen:

Zufallsgröße X	1	2	3	4	5
P(X=k)	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{7}$	$\frac{1}{7}$	$\frac{2}{35}$	$\frac{1}{70}$

Zufallsgröße rückwärts

Beispiel:

In einer Urne sind 15 Kugeln, die mit verschiedenen Zahlen beschriftet sind. Dabei gibt es nur die Zahlen 3, 4 und 9 als Beschriftung. Es werden zwei Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Die Zufallsgröße X beschreibt das Produkt der Zahlen der beiden gezogenen Kugeln. Bei der Wahrscheinlichkeitsverteilung von X sind nur der erste und der letzte Wert bekannt (siehe Tabelle). Wie viele Kugeln mit den oben genannten Zahlen als Beschriftung müssen jeweils in der Urne sein?

Zufallsgröße X	9	12	16	27	36	81
P(X=k)	$\frac{49}{225}$	?	?	?	?	$\frac{1}{25}$

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Für X=9 gibt es nur das Ereignis: '3'-'3', also dass zwei mal hintereinander '3' kommt.

Wenn p1 die Wahrscheinlichkeit von '3' ist, dann muss also für die Wahrscheinlichkeit, dass zwei mal hintereinander '3' kommt, gelten: P(X=9) = p1 ⋅ p1 (siehe Baumdiagramm).

Aus der Tabelle können wir aber P(X=9) = $\frac{49}{225}$ heraus lesen, also muss gelten:

p1 ⋅ p1 = (p1)² = $\frac{49}{225}$ und somit p1 = $\frac{7}{15}$ .

Ebenso gibt es für X=81 nur das Ereignis: '9'-'9', also dass zwei mal hintereinander '9' kommt.

Wenn p3 die Wahrscheinlichkeit von '9' ist, dann muss also für die Wahrscheinlichkeit, dass zwei mal hintereinander '9' kommt, gelten: P(X=81) = p3 ⋅ p3 (siehe Baumdiagramm).

Aus der Tabelle können wir aber P(X=81) = $\frac{1}{25}$ heraus lesen, also muss gelten:

p3 ⋅ p3 = (p3)² = $\frac{1}{25}$ und somit p3 = $\frac{1}{5}$ .

Da es aber nur drei Optionen gibt, muss p1 + p2 + p3 = 1 gelten, also

p2 = 1 - p1 - p3 = $1$ $- \frac{7}{15}$ $- \frac{1}{5}$ = $\frac{15}{15}$ $- \frac{7}{15}$ $- \frac{3}{15}$ = $\frac{5}{15}$ = $\frac{1}{3}$

Um nun noch die jeweilige Anzahl der Kugeln mit gleicher Zahl zu ermittlen, müssen wir einfach die Wahrscheinlichkeit mit 15 multiplizieren, weil ja für die Wahrscheinlichkeit für eine der n Kugeln mit einer bestimmten Zahl gilt: p = $\frac{n}{15}$

Somit erhalten wir:

n₃ = $\frac{7}{15}$ ⋅ 15 = 7

n₄ = $\frac{1}{3}$ ⋅ 15 = 5

n₉ = $\frac{1}{5}$ ⋅ 15 = 3

Erwartungswerte

Beispiel:

Bei einer Tombola steht auf jedem zehnten Los 200 Punkte, auf jedem fünften Los 30 Punkte, auf jedem vierten Los 8 Punkte und auf allen anderen 1 Punkt. Wie viele Punkte bringt ein Los durchschnttlich ein?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der Punkte auf einem Los.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	200	30	8	1
Zufallsgröße x_i	200	30	8	1
P(X=x_i)	$\frac{1}{10}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{9}{20}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$20$	$6$	$2$	$\frac{9}{20}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 200⋅ $\frac{1}{10}$ + 30⋅ $\frac{1}{5}$ + 8⋅ $\frac{1}{4}$ + 1⋅ $\frac{9}{20}$

= $20$ $+$ $6$ $+$ $2$ $+$ $\frac{9}{20}$
= $\frac{569}{20}$

≈ 28.45

Einsatz für faires Spiel bestimmen

Beispiel:

In einer Urne sind 5 Kugeln, die mit 10€ beschriftet sind, 9 Kugeln, die mit 16€ und 8 Kugeln, die mit 28€ beschriftet sind. Bei dem Spiel bekommt man den Betrag, der auf der Kugel steht, ausbezahlt. Außerdem sind noch weitere 3 Kugeln in der Urne. Mit welchem Betrag müsste man diese beschriften, damit das Spiel bei einem Einsatz von 21,52€ fair wäre?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Auszahlung.

Die Zufallsgröße Y beschreibt den Gewinn, also Auszahlung - Einsatz.

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	10	16	28	?
Zufallsgröße x_i	10	16	28	x
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-11.52	-5.52	6.48	x-21.52
P(X=x_i)	$\frac{5}{25}$	$\frac{9}{25}$	$\frac{8}{25}$	$\frac{3}{25}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$2$	$\frac{144}{25}$	$\frac{224}{25}$	$\frac{3}{25}$ ⋅ x
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- \frac{57.6}{25}$	$- \frac{49.68}{25}$	$\frac{51.84}{25}$	$\frac{3}{25}$ ⋅(x-21.52)

Um den gesuchten Auszahlungsbetrag zu berrechnen hat man zwei Möglichkeiten:

Entweder stellt man eine Gleichung auf, so dass der Erwartungswert des Auszahlungsbetrags gleich des Einsatzes ist ...

E(X) = 21.52

$\frac{5}{25} \cdot 10 + \frac{9}{25} \cdot 16 + \frac{8}{25} \cdot 28 + \frac{3}{25} x$ = 21.52

2 + \frac{144}{25} + \frac{224}{25} + \frac{3}{25} x

= 21.52

$2 + \frac{144}{25} + \frac{224}{25} + \frac{3}{25} x$	=	$21,52$
$\frac{3}{25} x + \frac{418}{25}$	=	$21,52$	\|⋅ 25
$25 (\frac{3}{25} x + \frac{418}{25})$	=	$538$
$3 x + 418$	=	$538$	\| $- 418$
$3 x$	=	$120$	\|: $3$
$x$	=	$40$

... oder man stellt eine Gleichung auf, so dass der Erwartungswert des Gewinns gleich null ist:

E(Y) = 0

\frac{5}{25} \cdot (- 11,52) + \frac{9}{25} \cdot (- 5,52) + \frac{8}{25} \cdot 6,48 + \frac{3}{25} (x - 21,52)

= 0

- \frac{11,52}{5} - \frac{49,68}{25} + \frac{51,84}{25} + \frac{3}{25} \cdot x + \frac{3}{25} \cdot (- 21,52)

= 0

$- \frac{11,52}{5} - \frac{49,68}{25} + \frac{51,84}{25} + \frac{3}{25} \cdot x + \frac{3}{25} \cdot (- 21,52)$	=	0
$- 2,304 - 1,9872 + 2,0736 + \frac{3}{25} x - 2,5824$	=	0
$\frac{3}{25} x - 4,8$	=	0	\|⋅ 25
$25 (\frac{3}{25} x - 4,8)$	=	0
$3 x - 120$	=	0	\| $+ 120$
$3 x$	=	$120$	\|: $3$
$x$	=	$40$

In beiden Fällen ist also der gesuchte Betrag: 40€

Erwartungswert ganz offen

Beispiel:

Ein Spielautomatenhersteller bekommt von einem Kunden den Auftrag einen Automaten zu entwickeln, der folgenden Bedingungen erfüllt.- Der Einsatz für ein Spiel soll 2€ betragen- auf lange Sicht soll er 10ct Gewinn pro Spiel für den Betreiber abwerfen- es sollen 5 verschiedene Felder (Kirsche, Zitrone, Apfel, Banane, Erdbeere) mit verschiedenen Auszahlungsbeträgen sein- bei einem Feld soll keine Auszahlung erfolgen- um Kunden zu locken soll bei einem Feld 42€ ausgezahlt werdenOrdne den 5 Optionen so Wahrscheinlichkeiten und Auszahlungsbeträge zu, dass diese Bedingungen erfüllt sind.

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Eine (von vielen möglichen) Lösungen:

Als erstes schreiben wir mal die Vorgaben in die Tabelle rein.

	Kirsche	Zitrone	Apfel	Banane	Erdbeere
X (z.B. Auszahlung)	0				42
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-2				40
P(X) = P(Y)
Y ⋅ P(Y)

Jetzt setzen wir die Wahrscheinlichkeiten so, dass der negative Beitrag vom minimalen Betrag zum Erwartungswert den gleichen Betrag hat wie der positve vom maximalen Betrag.(dazu einfach jeweils den Gewinn in den Nenner der Wahrscheinlichkeit)

	Kirsche	Zitrone	Apfel	Banane	Erdbeere
X (z.B. Auszahlung)	0				42
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-2				40
P(X) = P(Y)	$\frac{1}{2}$				$\frac{1}{40}$
Y ⋅ P(Y)	$- 1$				$1$

Bei der mittleren Option setzen wir den Betrag einfach gleich wie den Einsatz, so dass diese den Erwartungswert nicht verändert.
Als Wahrscheinlichkeit wählen wir einen Bruch so, dass die Restwahrscheinlichkeit für die verbleibenden zwei Optionen nicht allzu kompliziert wird.

	Kirsche	Zitrone	Apfel	Banane	Erdbeere
X (z.B. Auszahlung)	0		2		42
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-2		0		40
P(X) = P(Y)	$\frac{1}{2}$		$\frac{9}{40}$		$\frac{1}{40}$
Y ⋅ P(Y)	$- 1$		$0$		$1$

Die bisherigen Optionen vereinen eine Wahrscheinlichkeit von $\frac{1}{2}$ + $\frac{9}{40}$ + $\frac{1}{40}$ = $\frac{3}{4}$
Als Restwahrscheinlichkeit für die verbleibenden Beträge bleibt nun also 1- $\frac{3}{4}$ = $\frac{1}{4}$ .
Diese wird auf die beiden verbleibenden Optionen verteilt:

	Kirsche	Zitrone	Apfel	Banane	Erdbeere
X (z.B. Auszahlung)	0		2		42
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-2		0		40
P(X) = P(Y)	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{9}{40}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{40}$
Y ⋅ P(Y)	$- 1$		$0$		$1$

Damit nun der Erwartungswert =0 wird, müssen sich die beiden noch verbleibenden Anteile daran gegenseitig aufheben. Dies erreicht man, in dem man den Gewinn jeweils gleich 'weit vom Einsatz weg' (nämlich $1$ ) setzt.

	Kirsche	Zitrone	Apfel	Banane	Erdbeere
X (z.B. Auszahlung)	0	1	2	3	42
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-2	-1	0	1	40
P(X) = P(Y)	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{9}{40}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{40}$
Y ⋅ P(Y)	$- 1$	$- \frac{1}{8}$	$0$	$\frac{1}{8}$	$1$

Weil der Erwartungswert ja aber nicht 0 sondern $- \frac{1}{10}$ sein soll, müssen wir nun noch den Auszahlungsbetrag bei der 2. Option (betragsmäßig) vergrößern. Und zwar so, dass er mit der Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{8}$ multipliziert gerade um $- \frac{1}{10}$ wächst.
Also x ⋅ $\frac{1}{8}$ = $- \frac{1}{10}$ => x= $- \frac{1}{10}$ : $\frac{1}{8}$ = $- \frac{4}{5}$ = -0.8
Die neue Auszahlung für 'Zitrone' ist also 0.2

	Kirsche	Zitrone	Apfel	Banane	Erdbeere
X (z.B. Auszahlung)	0	0.2	2	3	42
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-2	-1.8	0	1	40
P(X) = P(Y)	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{9}{40}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{40}$
Y ⋅ P(Y)	$- 1$	$- \frac{9}{40}$	$0$	$\frac{1}{8}$	$1$

Wenn man nun den Erwartungswert berechnet, kommt der gesuchte heraus:

E(Y)= -2⋅ $\frac{1}{2}$ + -1.8⋅ $\frac{1}{8}$ + 0⋅ $\frac{9}{40}$ + 1⋅ $\frac{1}{8}$ + 40⋅ $\frac{1}{40}$

= $- 1$ $- \frac{9}{40}$ $+$ $0$ $+$ $\frac{1}{8}$ $+$ $1$
= $- \frac{40}{40}$ $- \frac{9}{40}$ $+$ $\frac{0}{40}$ $+$ $\frac{5}{40}$ $+$ $\frac{40}{40}$
= $- \frac{4}{40}$
= $- \frac{1}{10}$

≈ -0.1

Erwartungswerte bei 'Ziehen bis erstmals ...'

Beispiel:

In einer Urne sind 10 rote und 4 blaue Kugeln. Es soll (ohne zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Bestimme den Erwartungswert für die Anzahl der Ziehungen, bis die erste rote Kugel gezogen ist.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 1-ten Versuch st: $\frac{5}{7}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 2-ten Versuch st: $\frac{20}{91}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 3-ten Versuch st: $\frac{5}{91}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 4-ten Versuch st: $\frac{10}{1001}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 5-ten Versuch st: $\frac{1}{1001}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der Ziehungen. bis die erste rote Kugel gezogen ist.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	1	2	3	4	5
Zufallsgröße x_i	1	2	3	4	5
P(X=x_i)	$\frac{5}{7}$	$\frac{20}{91}$	$\frac{5}{91}$	$\frac{10}{1001}$	$\frac{1}{1001}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$\frac{5}{7}$	$\frac{40}{91}$	$\frac{15}{91}$	$\frac{40}{1001}$	$\frac{5}{1001}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 1⋅ $\frac{5}{7}$ + 2⋅ $\frac{20}{91}$ + 3⋅ $\frac{5}{91}$ + 4⋅ $\frac{10}{1001}$ + 5⋅ $\frac{1}{1001}$

= $\frac{5}{7}$ $+$ $\frac{40}{91}$ $+$ $\frac{15}{91}$ $+$ $\frac{40}{1001}$ $+$ $\frac{5}{1001}$
= $\frac{715}{1001}$ $+$ $\frac{440}{1001}$ $+$ $\frac{165}{1001}$ $+$ $\frac{40}{1001}$ $+$ $\frac{5}{1001}$
= $\frac{1365}{1001}$
= $\frac{15}{11}$

≈ 1.36

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 15 Mädchen und 7 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie viele Mädchen kann man bei den ersten 3 verlosten Plätzen erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{13}{44}$
Mädchen -> Mädchen -> Jungs	$\frac{7}{44}$
Mädchen -> Jungs -> Mädchen	$\frac{7}{44}$
Mädchen -> Jungs -> Jungs	$\frac{3}{44}$
Jungs -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{7}{44}$
Jungs -> Mädchen -> Jungs	$\frac{3}{44}$
Jungs -> Jungs -> Mädchen	$\frac{3}{44}$
Jungs -> Jungs -> Jungs	$\frac{1}{44}$

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: $\frac{1}{44}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: $\frac{3}{44}$ + $\frac{3}{44}$ + $\frac{3}{44}$ = $\frac{9}{44}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: $\frac{7}{44}$ + $\frac{7}{44}$ + $\frac{7}{44}$ = $\frac{21}{44}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: $\frac{13}{44}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	1	2	3
P(X=x_i)	$\frac{1}{44}$	$\frac{9}{44}$	$\frac{21}{44}$	$\frac{13}{44}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$\frac{9}{44}$	$\frac{21}{22}$	$\frac{39}{44}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ $\frac{1}{44}$ + 1⋅ $\frac{9}{44}$ + 2⋅ $\frac{21}{44}$ + 3⋅ $\frac{13}{44}$

= $0$ $+$ $\frac{9}{44}$ $+$ $\frac{21}{22}$ $+$ $\frac{39}{44}$
= $\frac{0}{44}$ $+$ $\frac{9}{44}$ $+$ $\frac{42}{44}$ $+$ $\frac{39}{44}$
= $\frac{90}{44}$
= $\frac{45}{22}$

≈ 2.05

Erwartungswerte mit best. Optionen im WS-Baum

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Zwei Glücksräder wie rechts in der Abbildung werden gleichzeitig gedreht. Erscheinen zwei Kronen, so erhält man 40€. Bei einer Krone erhält man immer hin noch 10€. Erscheinen zwei gleiche Dinge (außer Kronen), so erhält man 5€. In allen anderen Fällen geht man leer aus. Mit wie viel Euro kann man bei einem Spiel durchschnittlich rechnen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
Blume -> Blume	$\frac{9}{64}$
Blume -> Raute	$\frac{3}{32}$
Blume -> Stein	$\frac{3}{32}$
Blume -> Krone	$\frac{3}{64}$
Raute -> Blume	$\frac{3}{32}$
Raute -> Raute	$\frac{1}{16}$
Raute -> Stein	$\frac{1}{16}$
Raute -> Krone	$\frac{1}{32}$
Stein -> Blume	$\frac{3}{32}$
Stein -> Raute	$\frac{1}{16}$
Stein -> Stein	$\frac{1}{16}$
Stein -> Krone	$\frac{1}{32}$
Krone -> Blume	$\frac{3}{64}$
Krone -> Raute	$\frac{1}{32}$
Krone -> Stein	$\frac{1}{32}$
Krone -> Krone	$\frac{1}{64}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 gleiche' ist:

P('Blume'-'Blume') + P('Raute'-'Raute') + P('Stein'-'Stein')
= $\frac{9}{64}$ + $\frac{1}{16}$ + $\frac{1}{16}$ = $\frac{17}{64}$

Die Wahrscheinlichkeit für '1 Krone' ist:

P('Blume'-'Krone') + P('Raute'-'Krone') + P('Stein'-'Krone') + P('Krone'-'Blume') + P('Krone'-'Raute') + P('Krone'-'Stein')
= $\frac{3}{64}$ + $\frac{1}{32}$ + $\frac{1}{32}$ + $\frac{3}{64}$ + $\frac{1}{32}$ + $\frac{1}{32}$ = $\frac{7}{32}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Kronen' ist:

P('Krone'-'Krone')
= $\frac{1}{64}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den ausbezahlten Gewinn bei einem Spiel.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	2 gleiche	1 Krone	2 Kronen
Zufallsgröße x_i	5	10	40
P(X=x_i)	$\frac{17}{64}$	$\frac{7}{32}$	$\frac{1}{64}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$\frac{85}{64}$	$\frac{35}{16}$	$\frac{5}{8}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 5⋅ $\frac{17}{64}$ + 10⋅ $\frac{7}{32}$ + 40⋅ $\frac{1}{64}$

= $\frac{85}{64}$ $+$ $\frac{35}{16}$ $+$ $\frac{5}{8}$
= $\frac{85}{64}$ $+$ $\frac{140}{64}$ $+$ $\frac{40}{64}$
= $\frac{265}{64}$

≈ 4.14

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zufallsgröße (ohne Wahrscheinlichkeit)

Zufallsgröße WS-Verteilung

Zufallsgr. WS-Vert. (auch ohne zur.)

Zufallsgr. WS-Vert. (ziehen bis erstmals ...)

Zufallsgröße rückwärts

Erwartungswerte

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Einsatz für faires Spiel bestimmen

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Erwartungswert ganz offen

Eine (von vielen möglichen) Lösungen:

Erwartungswerte bei 'Ziehen bis erstmals ...'

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Erwartungswerte mit best. Optionen im WS-Baum

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Erwartungswert der Zufallsgröße X