Für die Zufallsgröße X: 'Anzahl von Zahl-Würfen' sind folgende Werte möglich:

Zufallsgröße X	0	1	2	3
zugehörige Ereignisse	0 - 0 - 0	0 - 0 - 1 0 - 1 - 0 1 - 0 - 0	0 - 1 - 1 1 - 0 - 1 1 - 1 - 0	1 - 1 - 1

Für die Zufallsgröße X: 'Anzahl der 6er' sind folgende Werte möglich:

Zufallsgröße X	X = 0	X = 1	X = 2	X = 3
zugehörige Ergebnisse	0 → 0 → 0	0 → 0 → 1 0 → 1 → 0 1 → 0 → 0	0 → 1 → 1 1 → 0 → 1 1 → 1 → 0	1 → 1 → 1

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Jetzt müssen die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse erst mal (mit Hilfe eines Baums) berechnet werden.

Und somit können wir dann auch die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Werte der Zufallsgröße berechnen.

Zufallsgröße X	X = 0	X = 1	X = 2	X = 3
zugehörige Wahrscheinlichkeit P(X)	$\frac{5}{6}$ ⋅ $\frac{5}{6}$ ⋅ $\frac{5}{6}$	$\frac{5}{6}$ ⋅ $\frac{5}{6}$ ⋅ $\frac{1}{6}$ + $\frac{5}{6}$ ⋅ $\frac{1}{6}$ ⋅ $\frac{5}{6}$ + $\frac{1}{6}$ ⋅ $\frac{5}{6}$ ⋅ $\frac{5}{6}$	$\frac{5}{6}$ ⋅ $\frac{1}{6}$ ⋅ $\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{6}$ ⋅ $\frac{5}{6}$ ⋅ $\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{6}$ ⋅ $\frac{1}{6}$ ⋅ $\frac{5}{6}$	$\frac{1}{6}$ ⋅ $\frac{1}{6}$ ⋅ $\frac{1}{6}$
=	$\frac{125}{216}$	$\frac{25}{216}$ + $\frac{25}{216}$ + $\frac{25}{216}$	$\frac{5}{216}$ + $\frac{5}{216}$ + $\frac{5}{216}$	$\frac{1}{216}$

Hiermit ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X:

Zufallsgröße X	0	1	2	3
P(X=k)	$\frac{125}{216}$	$\frac{25}{72}$	$\frac{5}{72}$	$\frac{1}{216}$

Für die Zufallsgröße X: 'Produkt der beiden Kugeln' sind folgende Werte möglich:

Zufallsgröße X	X = 9	X = 18	X = 36
zugehörige Ergebnisse	3 → 3	3 → 6 6 → 3	6 → 6

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Jetzt müssen die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse erst mal (mit Hilfe eines Baums) berechnet werden.

Und somit können wir dann auch die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Werte der Zufallsgröße berechnen.

Zufallsgröße X	X = 9	X = 18	X = 36
zugehörige Wahrscheinlichkeit P(X)	$\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{3}{5}$	$\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{2}{5}$ + $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{4}{5}$	$\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{5}$
=	$\frac{2}{5}$	$\frac{4}{15}$ + $\frac{4}{15}$	$\frac{1}{15}$

Hiermit ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X:

Zufallsgröße X	9	18	36
P(X=k)	$\frac{2}{5}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{1}{15}$

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Da ja nur 4 Karten vom Typ 'kein Herz' vorhanden sind, muss spätestens im 5-ten Versuch (wenn dann alle Karten vom Typ 'kein Herz' bereits gezogen und damit weg sind) eine Karte vom Typ 'Herz' gezogen werden.

Das heißt die Zufallsgröße X kann nur Werte zwischen 1 und 5 annehmen.

Aus dem reduzierten Baumdiagramm rechts kann man nun die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X übernehmen:

Zufallsgröße X	1	2	3	4	5
P(X=k)	$\frac{2}{3}$	$\frac{8}{33}$	$\frac{4}{55}$	$\frac{8}{495}$	$\frac{1}{495}$

Für X=1 gibt es nur das Ereignis: '1'-'1', also dass zwei mal hintereinander '1' kommt.

Wenn p1 die Wahrscheinlichkeit von '1' ist, dann muss also für die Wahrscheinlichkeit, dass zwei mal hintereinander '1' kommt, gelten: P(X=1) = p1 ⋅ p1 (siehe Baumdiagramm).

Aus der Tabelle können wir aber P(X=1) = $\frac{25}{1296}$ heraus lesen, also muss gelten:

p1 ⋅ p1 = (p1)² = $\frac{25}{1296}$ und somit p1 = $\frac{5}{36}$.

Ebenso gibt es für X=9 nur das Ereignis: '3'-'3', also dass zwei mal hintereinander '3' kommt.

Wenn p3 die Wahrscheinlichkeit von '3' ist, dann muss also für die Wahrscheinlichkeit, dass zwei mal hintereinander '3' kommt, gelten: P(X=9) = p3 ⋅ p3 (siehe Baumdiagramm).

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Aus der Tabelle können wir aber P(X=9) = $\frac{289}{1296}$ heraus lesen, also muss gelten:

p3 ⋅ p3 = (p3)² = $\frac{289}{1296}$ und somit p3 = $\frac{17}{36}$.

Da es aber nur drei Optionen gibt, muss p1 + p2 + p3 = 1 gelten, also

p2 = 1 - p1 - p3 = $1$$-\frac{5}{36}$$-\frac{17}{36}$ = $\frac{36}{36}$ $-\frac{5}{36}$ $-\frac{17}{36}$ = $\frac{14}{36}$ = $\frac{7}{18}$

Um nun noch die Mittelpunktswinkel der drei Sektoren zu ermittlen, müssen wir einfach die Wahrscheinlichkeit mit 360° multiplizieren, weil ja für die Wahrscheinlichkeit eines Sektors mit Mittelpunktswinkel α gilt: p = $\frac{\alpha }{\mathrm{360°}}$

Somit erhalten wir:

α₁ = $\frac{5}{36}$ ⋅ 360° = 50°

α₂ = $\frac{7}{18}$ ⋅ 360° = 140°

α₃ = $\frac{17}{36}$ ⋅ 360° = 170°

Die Zufallsgröße X beschreibt den ausbezahlten €-Euro-Betrag.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	blau	rot	grün	weiß
Zufallsgröße xi	24	10	20	30
P(X=xi)	$\frac{5}{30}$	$\frac{9}{30}$	$\frac{9}{30}$	$\frac{7}{30}$
xi ⋅ P(X=xi)	$4$	$3$	$6$	$7$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 24⋅$\frac{5}{30}$ + 10⋅$\frac{9}{30}$ + 20⋅$\frac{9}{30}$ + 30⋅$\frac{7}{30}$

= $4$$+$ $3$$+$ $6$$+$ $7$
= $20$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Auszahlung.

Die Zufallsgröße Y beschreibt den Gewinn, also Auszahlung - Einsatz.

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	blau	rot	grün	weiß
Zufallsgröße xi	24	15	48	x
Zufallsgröße yi (Gewinn)	0	-9	24	x-24
P(X=xi)	$\frac{5}{24}$	$\frac{8}{24}$	$\frac{5}{24}$	$\frac{6}{24}$
xi ⋅ P(X=xi)	$5$	$5$	$10$	$\frac{6}{24}$ ⋅ x
yi ⋅ P(Y=yi)	$0$	$-3$	$5$	$\frac{6}{24}$⋅(x-24)

Um den gesuchten Auszahlungsbetrag zu berrechnen hat man zwei Möglichkeiten:

Entweder stellt man eine Gleichung auf, so dass der Erwartungswert des Auszahlungsbetrags gleich des Einsatzes ist ...

E(X) = 24

$\frac{5}{24}·24+\frac{8}{24}·15+\frac{5}{24}·48+\frac{6}{24}x$ = 24

$5+5+10+\frac{6}{24}x$ = 24

$5+5+10+\frac{1}{4}x$	=	$24$
$\frac{1}{4}x+20$	=	$24$	|⋅ 4
$4\left(\frac{1}{4}x+20\right)$	=	$96$
$x+80$	=	$96$	| $-80$
$x$	=	$16$

... oder man stellt eine Gleichung auf, so dass der Erwartungswert des Gewinns gleich null ist:

E(Y) = 0

$\frac{5}{24}·0+\frac{8}{24}·\left(-9\right)+\frac{5}{24}·24+\frac{6}{24}\left(x-24\right)$ = 0

$-3+5+\frac{1}{4}·x+\frac{1}{4}·\left(-24\right)$ = 0

$-3+5+\frac{1}{4}·x+\frac{1}{4}·\left(-24\right)$	=	0
$-3+5+\frac{1}{4}x-6$	=	0
$\frac{1}{4}x-4$	=	0	|⋅ 4
$4\left(\frac{1}{4}x-4\right)$	=	0
$x-16$	=	0	| $+16$
$x$	=	$16$

In beiden Fällen ist also der gesuchte Betrag: 16€

Eine (von vielen möglichen) Lösungen:

Als erstes schreiben wir mal die Vorgaben in die Tabelle rein.

	Feld1	Feld2	Feld3	Feld4
X (z.B. Auszahlung)	3			26
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-3			20
P(X) = P(Y)
Y ⋅ P(Y)

Jetzt setzen wir die Wahrscheinlichkeiten so, dass der negative Beitrag vom minimalen Betrag zum Erwartungswert den gleichen Betrag hat wie der positve vom maximalen Betrag.(dazu einfach jeweils den Gewinn in den Nenner der Wahrscheinlichkeit)

	Feld1	Feld2	Feld3	Feld4
X (z.B. Auszahlung)	3			26
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-3			20
P(X) = P(Y)	$\frac{1}{3}$			$\frac{1}{20}$
Y ⋅ P(Y)	$-1$			$1$

Die bisherigen Optionen vereinen eine Wahrscheinlichkeit von $\frac{1}{3}$+$\frac{1}{20}$=$\frac{23}{60}$
Als Restwahrscheinlichkeit für die verbleibenden Beträge bleibt nun also 1-$\frac{23}{60}$ =$\frac{37}{60}$.
Diese wird auf die beiden verbleibenden Optionen verteilt:

	Feld1	Feld2	Feld3	Feld4
X (z.B. Auszahlung)	3			26
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-3			20
P(X) = P(Y)	$\frac{1}{3}$	$\frac{37}{120}$	$\frac{37}{120}$	$\frac{1}{20}$
Y ⋅ P(Y)	$-1$			$1$

Damit nun der Erwartungswert =0 wird, müssen sich die beiden noch verbleibenden Anteile daran gegenseitig aufheben. Dies erreicht man, in dem man den Gewinn jeweils gleich 'weit vom Einsatz weg' (nämlich $\frac{3}{2}$) setzt.

	Feld1	Feld2	Feld3	Feld4
X (z.B. Auszahlung)	3	4.5	7.5	26
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-3	-1.5	1.5	20
P(X) = P(Y)	$\frac{1}{3}$	$\frac{37}{120}$	$\frac{37}{120}$	$\frac{1}{20}$
Winkel	120°	111°	111°	18°
Y ⋅ P(Y)	$-1$	$-\frac{37}{80}$	$\frac{37}{80}$	$1$

Wenn man nun den Erwartungswert berechnet, kommt der gesuchte heraus:

E(Y)= -3⋅$\frac{1}{3}$ + -1.5⋅$\frac{37}{120}$ + 1.5⋅$\frac{37}{120}$ + 20⋅$\frac{1}{20}$

= $-1$$-\frac{37}{80}$$+$ $\frac{37}{80}$$+$ $1$
= $-\frac{80}{80}$ $-\frac{37}{80}$$+$ $\frac{37}{80}$$+$ $\frac{80}{80}$
= $\frac{0}{80}$
= $0$

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Herz' im 1-ten Versuch st: $\frac{3}{4}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Herz' im 2-ten Versuch st: $\frac{9}{44}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Herz' im 3-ten Versuch st: $\frac{9}{220}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Herz' im 4-ten Versuch st: $\frac{1}{220}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der Ziehungen. bis das erste Herz gekommen ist.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	1	2	3	4
Zufallsgröße xi	1	2	3	4
P(X=xi)	$\frac{3}{4}$	$\frac{9}{44}$	$\frac{9}{220}$	$\frac{1}{220}$
xi ⋅ P(X=xi)	$\frac{3}{4}$	$\frac{9}{22}$	$\frac{27}{220}$	$\frac{1}{55}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 1⋅$\frac{3}{4}$ + 2⋅$\frac{9}{44}$ + 3⋅$\frac{9}{220}$ + 4⋅$\frac{1}{220}$

= $\frac{3}{4}$$+$ $\frac{9}{22}$$+$ $\frac{27}{220}$$+$ $\frac{1}{55}$
= $\frac{165}{220}$$+$ $\frac{90}{220}$$+$ $\frac{27}{220}$$+$ $\frac{4}{220}$
= $\frac{286}{220}$
= $\frac{13}{10}$

≈ 1.3

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'blau' ist: $\frac{1}{220}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'blau' ist: $\frac{9}{220}$ + $\frac{9}{220}$ + $\frac{9}{220}$ = $\frac{27}{220}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'blau' ist: $\frac{9}{55}$ + $\frac{9}{55}$ + $\frac{9}{55}$ = $\frac{27}{55}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'blau' ist: $\frac{21}{55}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den ausbezahlten Euro-Betrag.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße xi	0	4	8	32
P(X=xi)	$\frac{1}{220}$	$\frac{27}{220}$	$\frac{27}{55}$	$\frac{21}{55}$
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\frac{27}{55}$	$\frac{216}{55}$	$\frac{672}{55}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅$\frac{1}{220}$ + 4⋅$\frac{27}{220}$ + 8⋅$\frac{27}{55}$ + 32⋅$\frac{21}{55}$

= $0$$+$ $\frac{27}{55}$$+$ $\frac{216}{55}$$+$ $\frac{672}{55}$
= $\frac{0}{55}$$+$ $\frac{27}{55}$$+$ $\frac{216}{55}$$+$ $\frac{672}{55}$
= $\frac{915}{55}$
= $\frac{183}{11}$

≈ 16.64

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für 'Mäxle' ist:

P('1'-'2') + P('2'-'1')
= $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ = $\frac{1}{18}$

Die Wahrscheinlichkeit für 'Pasch' ist:

P('1'-'1') + P('2'-'2') + P('3'-'3') + P('4'-'4') + P('5'-'5') + P('6'-'6')
= $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ = $\frac{1}{6}$

Die Wahrscheinlichkeit für '60er' ist:

P('1'-'6') + P('2'-'6') + P('3'-'6') + P('4'-'6') + P('5'-'6') + P('6'-'1') + P('6'-'2') + P('6'-'3') + P('6'-'4') + P('6'-'5')
= $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ = $\frac{5}{18}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den durch die beiden Würfel ausbezahlten Euro-Betrag.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	Mäxle	Pasch	60er
Zufallsgröße xi	10	8	1
P(X=xi)	$\frac{1}{18}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{5}{18}$
xi ⋅ P(X=xi)	$\frac{5}{9}$	$\frac{4}{3}$	$\frac{5}{18}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 10⋅$\frac{1}{18}$ + 8⋅$\frac{1}{6}$ + 1⋅$\frac{5}{18}$

= $\frac{5}{9}$$+$ $\frac{4}{3}$$+$ $\frac{5}{18}$
= $\frac{10}{18}$$+$ $\frac{24}{18}$$+$ $\frac{5}{18}$
= $\frac{39}{18}$
= $\frac{13}{6}$

≈ 2.17