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Zufallsgröße (ohne Wahrscheinlichkeit)
Beispiel:
Drei normale Würfel werden gleichzeitig geworfen. Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der gewürfelten 6er. Gib alle Werte an, die die Zufallsgröße X annehmen kann.
Für die Zufallsgröße X: 'Anzahl der 6er' sind folgende Werte möglich:
Zufallsgröße X | 0 | 1 | 2 | 3 |
zugehörige Ereignisse | 0 - 0 - 0 | 0 - 0 - 1 0 - 1 - 0 1 - 0 - 0 | 0 - 1 - 1 1 - 0 - 1 1 - 1 - 0 | 1 - 1 - 1 |
Zufallsgröße WS-Verteilung
Beispiel:
Eine (faire) Münze wird 3 mal geworfen. Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der Würfe, bei denen "Zahl" erscheint. Stelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X auf.
Für die Zufallsgröße X: 'Anzahl von Zahl-Würfen' sind folgende Werte möglich:
Zufallsgröße X | X = 0 | X = 1 | X = 2 | X = 3 |
zugehörige Ergebnisse | 0 → 0 → 0 | 0 → 0 → 1 0 → 1 → 0 1 → 0 → 0 | 0 → 1 → 1 1 → 0 → 1 1 → 1 → 0 | 1 → 1 → 1 |
Jetzt müssen die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse erst mal (mit Hilfe eines Baums) berechnet werden.
Und somit können wir dann auch die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Werte der Zufallsgröße berechnen.
Zufallsgröße X | X = 0 | X = 1 | X = 2 | X = 3 |
zugehörige Wahrscheinlichkeit P(X) | 12 ⋅ 12 ⋅ 12 | 12 ⋅ 12 ⋅ 12 + 12 ⋅ 12 ⋅ 12 + 12 ⋅ 12 ⋅ 12 | 12 ⋅ 12 ⋅ 12 + 12 ⋅ 12 ⋅ 12 + 12 ⋅ 12 ⋅ 12 | 12 ⋅ 12 ⋅ 12 |
= | 18 | 18 + 18 + 18 | 18 + 18 + 18 | 18 |
Hiermit ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X:
Zufallsgröße X | 0 | 1 | 2 | 3 |
P(X=k) | 18 | 38 | 38 | 18 |
Zufallsgr. WS-Vert. (auch ohne zur.)
Beispiel:
In einer Urne sind zwei Kugeln, die mit der Zahl 1 beschriftet sind und zwei Kugeln, die mit der Zahl 6 beschriftet sind. Es werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Die Zufallsgröße X beschreibt die Summe der Zahlen der beiden gezogenen Kugeln. Stelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X auf.
Für die Zufallsgröße X: 'Summe der beiden Kugeln' sind folgende Werte möglich:
Zufallsgröße X | X = 2 | X = 7 | X = 12 |
zugehörige Ergebnisse | 1 → 1 | 1 → 6 6 → 1 | 6 → 6 |
Jetzt müssen die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse erst mal (mit Hilfe eines Baums) berechnet werden.
Und somit können wir dann auch die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Werte der Zufallsgröße berechnen.
Zufallsgröße X | X = 2 | X = 7 | X = 12 |
zugehörige Wahrscheinlichkeit P(X) | 12 ⋅ 13 | 12 ⋅ 23 + 12 ⋅ 23 | 12 ⋅ 13 |
= | 16 | 13 + 13 | 16 |
Hiermit ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X:
Zufallsgröße X | 2 | 7 | 12 |
P(X=k) | 16 | 23 | 16 |
Zufallsgr. WS-Vert. (ziehen bis erstmals ...)
Beispiel:
In einer Urne sind 2 rote und 3 blaue Kugeln. Es soll (ohne zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Die Zufallsgröße X beschreibt dabei die Anzahl der Ziehungen, bis die erste rote Kugel gezogen worden ist. Stelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X auf.
(Denk daran, die Brüche vollständig zu kürzen!)
Da ja nur 3 Kugeln vom Typ 'blau' vorhanden sind, muss spätestens im 4-ten Versuch (wenn dann alle Kugeln vom Typ 'blau' bereits gezogen und damit weg sind) eine Kugel vom Typ 'rot' gezogen werden.
Das heißt die Zufallsgröße X kann nur Werte zwischen 1 und 4 annehmen.
Aus dem reduzierten Baumdiagramm rechts kann man nun die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X übernehmen:
Zufallsgröße X | 1 | 2 | 3 | 4 |
P(X=k) | 25 | 310 | 15 | 110 |
Zufallsgröße rückwärts
Beispiel:
In einer Urne sind 20 Kugeln, die mit verschiedenen Zahlen beschriftet sind. Dabei gibt es nur die Zahlen 3, 4 und 7 als Beschriftung. Es werden zwei Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Die Zufallsgröße X beschreibt die Summe der Zahlen der beiden gezogenen Kugeln. Bei der Wahrscheinlichkeitsverteilung von X sind nur der erste und der letzte Wert bekannt (siehe Tabelle). Wie viele Kugeln mit den oben genannten Zahlen als Beschriftung müssen jeweils in der Urne sein?
Zufallsgröße X | 6 | 7 | 8 | 10 | 11 | 14 |
P(X=k) | 9100 | ? | ? | ? | ? | 9100 |
Für X=6 gibt es nur das Ereignis: '3'-'3', also dass zwei mal hintereinander '3' kommt.
Wenn p1 die Wahrscheinlichkeit von '3' ist, dann muss also für die Wahrscheinlichkeit, dass zwei mal hintereinander '3' kommt, gelten: P(X=6) = p1 ⋅ p1 (siehe Baumdiagramm).
Aus der Tabelle können wir aber P(X=6) = 9100 heraus lesen, also muss gelten:
p1 ⋅ p1 = (p1)2 = 9100 und somit p1 = 310.
Ebenso gibt es für X=14 nur das Ereignis: '7'-'7', also dass zwei mal hintereinander '7' kommt.
Wenn p3 die Wahrscheinlichkeit von '7' ist, dann muss also für die Wahrscheinlichkeit, dass zwei mal hintereinander '7' kommt, gelten: P(X=14) = p3 ⋅ p3 (siehe Baumdiagramm).
Aus der Tabelle können wir aber P(X=14) = 9100 heraus lesen, also muss gelten:
p3 ⋅ p3 = (p3)2 = 9100 und somit p3 = 310.
Da es aber nur drei Optionen gibt, muss p1 + p2 + p3 = 1 gelten, also
p2 = 1 - p1 - p3 = 1-310-310 = 1010 -310 -310 = 410 = 25
Um nun noch die jeweilige Anzahl der Kugeln mit gleicher Zahl zu ermittlen, müssen wir einfach die Wahrscheinlichkeit mit 20 multiplizieren, weil ja für die Wahrscheinlichkeit für eine der n Kugeln mit einer bestimmten Zahl gilt: p = n20
Somit erhalten wir:
n3 = 310 ⋅ 20 = 6
n4 = 25 ⋅ 20 = 8
n7 = 310 ⋅ 20 = 6
Erwartungswerte
Beispiel:
(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)
Die Zufallsgröße X beschreibt die Punktezahl auf einem Sektor des Glücksrads.
Erwartungswert der Zufallsgröße X
Ereignis | 3 | 10 | 12 | 100 |
Zufallsgröße xi | 3 | 10 | 12 | 100 |
P(X=xi) | 38 | 28 | 28 | 18 |
xi ⋅ P(X=xi) | 98 | 52 | 3 | 252 |
Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:
E(X)= 3⋅38 + 10⋅28 + 12⋅28 + 100⋅18
= 98+ 52+ 3+ 252
= 98+ 208+ 248+ 1008
= 1538
≈ 19.13
Einsatz für faires Spiel bestimmen
Beispiel:
Ein Spieler darf aus einer Urne mit 5 blauen, 10 roten, 6 grünen und 3 weißen Kugeln eine Kugel ziehen. Erwischt er eine blaue, so erhält er 24€. Bei rot erhält er 12€ und bei grün erhält er 16€. Welchen Betrag muss er bei weiß erhalten damit das Spiel fair ist, wenn der Einsatz 20€ beträgt ?
Die Zufallsgröße X beschreibt die Auszahlung.
Die Zufallsgröße Y beschreibt den Gewinn, also Auszahlung - Einsatz.
Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y
Ereignis | blau | rot | grün | weiß |
Zufallsgröße xi | 24 | 12 | 16 | x |
Zufallsgröße yi (Gewinn) | 4 | -8 | -4 | x-20 |
P(X=xi) | 524 | 1024 | 624 | 324 |
xi ⋅ P(X=xi) | 5 | 5 | 4 | 324 ⋅ x |
yi ⋅ P(Y=yi) | 56 | -103 | -1 | 324⋅(x-20) |
Um den gesuchten Auszahlungsbetrag zu berrechnen hat man zwei Möglichkeiten:
Entweder stellt man eine Gleichung auf, so dass der Erwartungswert des Auszahlungsbetrags gleich des Einsatzes ist ...
E(X) = 20
524·24+1024·12+624·16+324x = 20
5+5+4+324x = 205+5+4+18x | = | 20 | |
18x+14 | = | 20 | |⋅ 8 |
8(18x+14) | = | 160 | |
x+112 | = | 160 | | -112 |
x | = | 48 |
... oder man stellt eine Gleichung auf, so dass der Erwartungswert des Gewinns gleich null ist:
E(Y) = 0
524·4+1024·(-8)+624·(-4)+324(x-20) = 0 56-103-1+18·x+18·(-20) = 056-103-1+18·x+18·(-20) | = | ||
56-103-1+18x-52 | = | ||
18x-6 | = | |⋅ 8 | |
8(18x-6) | = | ||
x-48 | = | | +48 | |
x | = | 48 |
In beiden Fällen ist also der gesuchte Betrag: 48€
Erwartungswert ganz offen
Beispiel:
Ein Spielautomatenhersteller bekommt von einem Kunden den Auftrag einen Automaten zu entwickeln, der folgenden Bedingungen erfüllt.- Der Einsatz für ein Spiel soll 2€ betragen- auf lange Sicht soll er 10ct Gewinn pro Spiel für den Betreiber abwerfen- es sollen 5 verschiedene Felder (Kirsche, Zitrone, Apfel, Banane, Erdbeere) mit verschiedenen Auszahlungsbeträgen sein- bei einem Feld soll keine Auszahlung erfolgen- um Kunden zu locken soll bei einem Feld 38€ ausgezahlt werdenOrdne den 5 Optionen so Wahrscheinlichkeiten und Auszahlungsbeträge zu, dass diese Bedingungen erfüllt sind.
Eine (von vielen möglichen) Lösungen:
Als erstes schreiben wir mal die Vorgaben in die Tabelle rein.
Kirsche | Zitrone | Apfel | Banane | Erdbeere | |
X (z.B. Auszahlung) | 0 | 38 | |||
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) | -2 | 36 | |||
P(X) = P(Y) | |||||
Y ⋅ P(Y) |
Jetzt setzen wir die Wahrscheinlichkeiten so, dass der negative Beitrag vom minimalen Betrag zum Erwartungswert den gleichen Betrag hat wie der positve vom maximalen Betrag.(dazu einfach jeweils den Gewinn in den Nenner der Wahrscheinlichkeit)
Kirsche | Zitrone | Apfel | Banane | Erdbeere | |
X (z.B. Auszahlung) | 0 | 38 | |||
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) | -2 | 36 | |||
P(X) = P(Y) | 12 | 136 | |||
Y ⋅ P(Y) | -1 | 1 |
Bei der mittleren Option setzen wir den Betrag einfach gleich wie den Einsatz, so dass diese den Erwartungswert nicht verändert.
Als Wahrscheinlichkeit wählen wir einen Bruch so, dass die Restwahrscheinlichkeit für die verbleibenden zwei Optionen nicht allzu kompliziert wird.
Kirsche | Zitrone | Apfel | Banane | Erdbeere | |
X (z.B. Auszahlung) | 0 | 2 | 38 | ||
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) | -2 | 0 | 36 | ||
P(X) = P(Y) | 12 | 29 | 136 | ||
Y ⋅ P(Y) | -1 | 0 | 1 |
Die bisherigen Optionen vereinen eine Wahrscheinlichkeit von 12+29+136=34
Als Restwahrscheinlichkeit für die verbleibenden Beträge bleibt nun also 1-34
=14.
Diese wird auf die beiden verbleibenden Optionen verteilt:
Kirsche | Zitrone | Apfel | Banane | Erdbeere | |
X (z.B. Auszahlung) | 0 | 2 | 38 | ||
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) | -2 | 0 | 36 | ||
P(X) = P(Y) | 12 | 18 | 29 | 18 | 136 |
Y ⋅ P(Y) | -1 | 0 | 1 |
Damit nun der Erwartungswert =0 wird, müssen sich die beiden noch verbleibenden Anteile daran gegenseitig aufheben. Dies erreicht man, in dem man den Gewinn jeweils gleich 'weit vom Einsatz weg' (nämlich 1) setzt.
Kirsche | Zitrone | Apfel | Banane | Erdbeere | |
X (z.B. Auszahlung) | 0 | 1 | 2 | 3 | 38 |
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) | -2 | -1 | 0 | 1 | 36 |
P(X) = P(Y) | 12 | 18 | 29 | 18 | 136 |
Y ⋅ P(Y) | -1 | -18 | 0 | 18 | 1 |
Weil der Erwartungswert ja aber nicht 0 sondern -110 sein soll, müssen wir nun noch den Auszahlungsbetrag
bei der 2. Option (betragsmäßig) vergrößern. Und zwar so, dass er mit der Wahrscheinlichkeit 18
multipliziert gerade um -110 wächst.
Also x ⋅18=-110 => x=-110:18
= -45 = -0.8
Die neue Auszahlung für 'Zitrone' ist
also 0.2
Kirsche | Zitrone | Apfel | Banane | Erdbeere | |
X (z.B. Auszahlung) | 0 | 0.2 | 2 | 3 | 38 |
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) | -2 | -1.8 | 0 | 1 | 36 |
P(X) = P(Y) | 12 | 18 | 29 | 18 | 136 |
Y ⋅ P(Y) | -1 | -940 | 0 | 18 | 1 |
Wenn man nun den Erwartungswert berechnet, kommt der gesuchte heraus:
E(Y)= -2⋅12 + -1.8⋅18 + 0⋅29 + 1⋅18 + 36⋅136
= -1-940+ 0+ 18+ 1
= -4040 -940+ 040+ 540+ 4040
= -440
= -110
≈ -0.1
Erwartungswerte bei 'Ziehen bis erstmals ...'
Beispiel:
Aus einem Kartenstapel mit 10 Karten der Farbe Herz und 3 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Bestimme den Erwartungswert für die Anzahl der Ziehungen, bis das erste Herz erscheint.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge
Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Herz' im 1-ten Versuch st: 1013
Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Herz' im 2-ten Versuch st: 526
Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Herz' im 3-ten Versuch st: 5143
Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Herz' im 4-ten Versuch st: 1286
Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der Ziehungen. bis das erste Herz gekommen ist.
Erwartungswert der Zufallsgröße X
Ereignis | 1 | 2 | 3 | 4 |
Zufallsgröße xi | 1 | 2 | 3 | 4 |
P(X=xi) | 1013 | 526 | 5143 | 1286 |
xi ⋅ P(X=xi) | 1013 | 513 | 15143 | 2143 |
Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:
E(X)= 1⋅1013 + 2⋅526 + 3⋅5143 + 4⋅1286
= 1013+ 513+ 15143+ 2143
= 182143
= 1411
≈ 1.27
Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum
Beispiel:
Ein Spieler darf aus einer Urne mit 3 blauen und 7 roten Kugeln 3 Kugeln ohne zurücklegen ziehen. Zieht er dabei 3 blaue Kugeln, so erhält er 841€, bei 2 blauen bekommt er noch 41€, bei einer 9€. Ist gar keine blaue Kugel dabei, erhält er 0€. Welchen Gewinn kann er erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge
Ereignis | P |
---|---|
blau -> blau -> blau | 1120 |
blau -> blau -> rot | 7120 |
blau -> rot -> blau | 7120 |
blau -> rot -> rot | 740 |
rot -> blau -> blau | 7120 |
rot -> blau -> rot | 740 |
rot -> rot -> blau | 740 |
rot -> rot -> rot | 724 |
Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'blau' ist: 724
Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'blau' ist: 740 + 740 + 740 = 2140
Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'blau' ist: 7120 + 7120 + 7120 = 740
Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'blau' ist: 1120
Die Zufallsgröße X beschreibt den ausbezahlten Euro-Betrag.
Erwartungswert der Zufallsgröße X
Ereignis | 0 | 1 | 2 | 3 |
Zufallsgröße xi | 0 | 9 | 41 | 841 |
P(X=xi) | 724 | 2140 | 740 | 1120 |
xi ⋅ P(X=xi) | 0 | 18940 | 28740 | 841120 |
Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:
E(X)= 0⋅724 + 9⋅2140 + 41⋅740 + 841⋅1120
= 0+ 18940+ 28740+ 841120
= 0120+ 567120+ 861120+ 841120
= 2269120
≈ 18.91
Erwartungswerte mit best. Optionen im WS-Baum
Beispiel:
Ein leidenschaftlicher Mäxle-Spieler möchte eine Mäxle-Spielautomat bauen. Wie beim richtigen Mäxle sollen auch hier zwei normale Würfel gleichzeitig geworfen werden (bzw. dies eben simuliert). Bei einem Mäxle (also eine 1 und eine 2) soll dann 14€ ausbezahlt werden, bei einem Pasch (also zwei gleiche Augenzahlen) 8€ und bei 61-65 also (also ein Würfel 6 und der andere keine 6) noch 2€. Wie groß müsste der Einsatz sein, damit das Spiel fair wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge
Ereignis | P |
---|---|
1 -> 1 | 136 |
1 -> 2 | 136 |
1 -> 3 | 136 |
1 -> 4 | 136 |
1 -> 5 | 136 |
1 -> 6 | 136 |
2 -> 1 | 136 |
2 -> 2 | 136 |
2 -> 3 | 136 |
2 -> 4 | 136 |
2 -> 5 | 136 |
2 -> 6 | 136 |
3 -> 1 | 136 |
3 -> 2 | 136 |
3 -> 3 | 136 |
3 -> 4 | 136 |
3 -> 5 | 136 |
3 -> 6 | 136 |
4 -> 1 | 136 |
4 -> 2 | 136 |
4 -> 3 | 136 |
4 -> 4 | 136 |
4 -> 5 | 136 |
4 -> 6 | 136 |
5 -> 1 | 136 |
5 -> 2 | 136 |
5 -> 3 | 136 |
5 -> 4 | 136 |
5 -> 5 | 136 |
5 -> 6 | 136 |
6 -> 1 | 136 |
6 -> 2 | 136 |
6 -> 3 | 136 |
6 -> 4 | 136 |
6 -> 5 | 136 |
6 -> 6 | 136 |
Die Wahrscheinlichkeit für 'Mäxle' ist:
P('1'-'2') + P('2'-'1')
= 136 + 136 = 118
Die Wahrscheinlichkeit für 'Pasch' ist:
P('1'-'1') + P('2'-'2') + P('3'-'3') + P('4'-'4') + P('5'-'5') + P('6'-'6')
= 136 + 136 + 136 + 136 + 136 + 136 = 16
Die Wahrscheinlichkeit für '60er' ist:
P('1'-'6') + P('2'-'6') + P('3'-'6') + P('4'-'6') + P('5'-'6') + P('6'-'1') + P('6'-'2') + P('6'-'3') + P('6'-'4') + P('6'-'5')
= 136 + 136 + 136 + 136 + 136 + 136 + 136 + 136 + 136 + 136 = 518
Die Zufallsgröße X beschreibt den durch die beiden Würfel ausbezahlten Euro-Betrag.
Erwartungswert der Zufallsgröße X
Ereignis | Mäxle | Pasch | 60er |
Zufallsgröße xi | 14 | 8 | 2 |
P(X=xi) | 118 | 16 | 518 |
xi ⋅ P(X=xi) | 79 | 43 | 59 |
Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:
E(X)= 14⋅118 + 8⋅16 + 2⋅518
= 79+ 43+ 59
= 79+ 129+ 59
= 249
= 83
≈ 2.67