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Zufallsgröße (ohne Wahrscheinlichkeit)

Beispiel:

In einer Urne sind zwei Kugeln, die mit der Zahl 2 beschriftet sind und fünf Kugeln, die mit der Zahl 9 beschriftet sind. Es werden zwei Kugeln mit Zurücklegen gezogen.Die Zufallsgröße X beschreibt das Produkt der Zahlen der beiden gezogenen Kugeln. Gib alle Werte an, die die Zufallsgröße X annehmen kann.

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Für die Zufallsgröße X: 'Produkt der beiden Kugeln' sind folgende Werte möglich:

Zufallsgröße X	4	18	81
zugehörige Ereignisse	2 - 2	2 - 9 9 - 2	9 - 9

Zufallsgröße WS-Verteilung

Beispiel:

Ein Würfel mit nebenstehendem Netz wird 2 mal geworfen. Die Zufallsgröße X beschreibt die Differenz: Augenzahl beim ersten Wurf - Augenzahl beim zweiten Wurf. Stelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X auf.

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Für die Zufallsgröße X: 'Differenz Würfel1 - Würfel2' sind folgende Werte möglich:

Zufallsgröße X	X = -3	X = -2	X = -1	X = 0	X = 1	X = 2	X = 3
zugehörige Ergebnisse	1 → 4	1 → 3	3 → 4	1 → 1 3 → 3 4 → 4	4 → 3	3 → 1	4 → 1

Jetzt müssen die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse erst mal (mit Hilfe eines Baums) berechnet werden.

Und somit können wir dann auch die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Werte der Zufallsgröße berechnen.

Zufallsgröße X	X = -3	X = -2	X = -1	X = 0	X = 1	X = 2	X = 3
zugehörige Wahrscheinlichkeit P(X)	$\frac{1}{6}$ ⋅ $\frac{2}{3}$	$\frac{1}{6}$ ⋅ $\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$ ⋅ $\frac{2}{3}$	$\frac{1}{6}$ ⋅ $\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{6}$ ⋅ $\frac{1}{6}$ + $\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{2}{3}$	$\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$ ⋅ $\frac{1}{6}$	$\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{1}{6}$
=	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{36}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{4}{9}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{36}$	$\frac{1}{9}$

Hiermit ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X:

Zufallsgröße X	-3	-2	-1	0	1	2	3
P(X=k)	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{36}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{36}$	$\frac{1}{9}$

Zufallsgr. WS-Vert. (auch ohne zur.)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind nur noch vier Karten mit dem Wert 4, vier Karten mit dem Wert 7 und vier 10er.Es werden zwei Karten ohne Zurücklegen gezogen. Die Zufallsgröße X beschreibt die Differenz zwischen dem größeren und dem kleineren Wert der beiden gezogenen Karten. Stelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X auf.

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Für die Zufallsgröße X: 'Differenz der beiden Karten' sind folgende Werte möglich:

Zufallsgröße X	X = 0	X = 3	X = 6
zugehörige Ergebnisse	4 → 4 7 → 7 10 → 10	4 → 7 7 → 4 7 → 10 10 → 7	4 → 10 10 → 4

Jetzt müssen die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse erst mal (mit Hilfe eines Baums) berechnet werden.

Und somit können wir dann auch die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Werte der Zufallsgröße berechnen.

Zufallsgröße X	X = 0	X = 3	X = 6
zugehörige Wahrscheinlichkeit P(X)	$\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{3}{11}$ + $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{3}{11}$ + $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{3}{11}$	$\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{4}{11}$ + $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{4}{11}$ + $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{4}{11}$ + $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{4}{11}$	$\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{4}{11}$ + $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{4}{11}$
=	$\frac{1}{11}$ + $\frac{1}{11}$ + $\frac{1}{11}$	$\frac{4}{33}$ + $\frac{4}{33}$ + $\frac{4}{33}$ + $\frac{4}{33}$	$\frac{4}{33}$ + $\frac{4}{33}$

Hiermit ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X:

Zufallsgröße X	0	3	6
P(X=k)	$\frac{3}{11}$	$\frac{16}{33}$	$\frac{8}{33}$

Zufallsgr. WS-Vert. (ziehen bis erstmals ...)

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 21 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird.Die Zufallsgröße X beschreibt dabei die Anzahl der nach diesem Verfahren einsammelten Hausaufgaben. Stelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X auf.
(Denk daran, die Brüche vollständig zu kürzen!)

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Da ja nur 3 Hausaufgaben vom Typ 'Jungs' vorhanden sind, muss spätestens im 4-ten Versuch (wenn dann alle Hausaufgaben vom Typ 'Jungs' bereits gezogen und damit weg sind) eine Hausaufgabe vom Typ 'Mädchen' gezogen werden.

Das heißt die Zufallsgröße X kann nur Werte zwischen 1 und 4 annehmen.

Aus dem reduzierten Baumdiagramm rechts kann man nun die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X übernehmen:

Zufallsgröße X	1	2	3	4
P(X=k)	$\frac{7}{8}$	$\frac{21}{184}$	$\frac{21}{2024}$	$\frac{1}{2024}$

Zufallsgröße rückwärts

Beispiel:

In einer Urne sind 12 Kugeln, die mit verschiedenen Zahlen beschriftet sind. Dabei gibt es nur die Zahlen 3, 6 und 9 als Beschriftung. Es werden zwei Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Die Zufallsgröße X beschreibt die Summe der Zahlen der beiden gezogenen Kugeln. Bei der Wahrscheinlichkeitsverteilung von X sind nur der erste und der letzte Wert bekannt (siehe Tabelle). Wie viele Kugeln mit den oben genannten Zahlen als Beschriftung müssen jeweils in der Urne sein?

Zufallsgröße X	6	9	12	15	18
P(X=k)	$\frac{25}{144}$	?	?	?	$\frac{1}{16}$

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Für X=6 gibt es nur das Ereignis: '3'-'3', also dass zwei mal hintereinander '3' kommt.

Wenn p1 die Wahrscheinlichkeit von '3' ist, dann muss also für die Wahrscheinlichkeit, dass zwei mal hintereinander '3' kommt, gelten: P(X=6) = p1 ⋅ p1 (siehe Baumdiagramm).

Aus der Tabelle können wir aber P(X=6) = $\frac{25}{144}$ heraus lesen, also muss gelten:

p1 ⋅ p1 = (p1)² = $\frac{25}{144}$ und somit p1 = $\frac{5}{12}$ .

Ebenso gibt es für X=18 nur das Ereignis: '9'-'9', also dass zwei mal hintereinander '9' kommt.

Wenn p3 die Wahrscheinlichkeit von '9' ist, dann muss also für die Wahrscheinlichkeit, dass zwei mal hintereinander '9' kommt, gelten: P(X=18) = p3 ⋅ p3 (siehe Baumdiagramm).

Aus der Tabelle können wir aber P(X=18) = $\frac{1}{16}$ heraus lesen, also muss gelten:

p3 ⋅ p3 = (p3)² = $\frac{1}{16}$ und somit p3 = $\frac{1}{4}$ .

Da es aber nur drei Optionen gibt, muss p1 + p2 + p3 = 1 gelten, also

p2 = 1 - p1 - p3 = $1$ $- \frac{5}{12}$ $- \frac{1}{4}$ = $\frac{12}{12}$ $- \frac{5}{12}$ $- \frac{3}{12}$ = $\frac{4}{12}$ = $\frac{1}{3}$

Um nun noch die jeweilige Anzahl der Kugeln mit gleicher Zahl zu ermittlen, müssen wir einfach die Wahrscheinlichkeit mit 12 multiplizieren, weil ja für die Wahrscheinlichkeit für eine der n Kugeln mit einer bestimmten Zahl gilt: p = $\frac{n}{12}$

Somit erhalten wir:

n₃ = $\frac{5}{12}$ ⋅ 12 = 5

n₆ = $\frac{1}{3}$ ⋅ 12 = 4

n₉ = $\frac{1}{4}$ ⋅ 12 = 3

Erwartungswerte

Beispiel:

Ein Spieler darf aus einer Urne mit 8 blauen, 10 roten, 8 grünen und 4 weißen Kugeln eine Kugel ziehen. Erwischt er eine blaue, so erhält er 15€. Bei rot erhält er 18€, bei grün erhält er 30€ und bei weiß erhält er 60€. Wieviel bringt ein Zug durchschnittlich ein?

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Die Zufallsgröße X beschreibt den ausbezahlten €-Euro-Betrag.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	blau	rot	grün	weiß
Zufallsgröße x_i	15	18	30	60
P(X=x_i)	$\frac{8}{30}$	$\frac{10}{30}$	$\frac{8}{30}$	$\frac{4}{30}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$4$	$6$	$8$	$8$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 15⋅ $\frac{8}{30}$ + 18⋅ $\frac{10}{30}$ + 30⋅ $\frac{8}{30}$ + 60⋅ $\frac{4}{30}$

= $4$ $+$ $6$ $+$ $8$ $+$ $8$
= $26$

Einsatz für faires Spiel bestimmen

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Bei einem Glücksrad wie rechts abgebildet soll das noch fehlende Feld mit einem Betrag so bestückt werden, dass das Spiel bei einem Einsatz von 12,75€ fair ist.

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Auszahlung.

Die Zufallsgröße Y beschreibt den Gewinn, also Auszahlung - Einsatz.

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	2	8	20	?
Zufallsgröße x_i	2	8	20	x
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-10.75	-4.75	7.25	x-12.75
P(X=x_i)	$\frac{3}{8}$	$\frac{2}{8}$	$\frac{2}{8}$	$\frac{1}{8}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$\frac{3}{4}$	$2$	$5$	$\frac{1}{8}$ ⋅ x
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- \frac{32.25}{8}$	$- \frac{9.5}{8}$	$\frac{14.5}{8}$	$\frac{1}{8}$ ⋅(x-12.75)

Um den gesuchten Auszahlungsbetrag zu berrechnen hat man zwei Möglichkeiten:

Entweder stellt man eine Gleichung auf, so dass der Erwartungswert des Auszahlungsbetrags gleich des Einsatzes ist ...

E(X) = 12.75

$\frac{3}{8} \cdot 2 + \frac{2}{8} \cdot 8 + \frac{2}{8} \cdot 20 + \frac{1}{8} x$ = 12.75

\frac{3}{4} + 2 + 5 + \frac{1}{8} x

= 12.75

$\frac{3}{4} + 2 + 5 + \frac{1}{8} x$	=	$12,75$
$\frac{1}{8} x + \frac{31}{4}$	=	$12,75$	\|⋅ 8
$8 (\frac{1}{8} x + \frac{31}{4})$	=	$102$
$x + 62$	=	$102$	\| $- 62$
$x$	=	$40$

... oder man stellt eine Gleichung auf, so dass der Erwartungswert des Gewinns gleich null ist:

E(Y) = 0

\frac{3}{8} \cdot (- 10,75) + \frac{2}{8} \cdot (- 4,75) + \frac{2}{8} \cdot 7,25 + \frac{1}{8} (x - 12,75)

= 0

- \frac{32,25}{8} - \frac{4,75}{4} + \frac{7,25}{4} + \frac{1}{8} \cdot x + \frac{1}{8} \cdot (- 12,75)

= 0

$- \frac{32,25}{8} - \frac{4,75}{4} + \frac{7,25}{4} + \frac{1}{8} \cdot x + \frac{1}{8} \cdot (- 12,75)$	=	0
$- 4,03125 - 1,1875 + 1,8125 + \frac{1}{8} x - 1,59375$	=	0
$\frac{1}{8} x - 5$	=	0	\|⋅ 8
$8 (\frac{1}{8} x - 5)$	=	0
$x - 40$	=	0	\| $+ 40$
$x$	=	$40$

In beiden Fällen ist also der gesuchte Betrag: 40€

Erwartungswert ganz offen

Beispiel:

Ein Spielautomatenhersteller bekommt von einem Kunden den Auftrag einen Automaten zu entwickeln, der folgenden Bedingungen erfüllt.- Der Einsatz für ein Spiel soll 2€ betragen- auf lange Sicht soll er 10ct Gewinn pro Spiel für den Betreiber abwerfen- es sollen 5 verschiedene Felder (Kirsche, Zitrone, Apfel, Banane, Erdbeere) mit verschiedenen Auszahlungsbeträgen sein- bei einem Feld soll keine Auszahlung erfolgen- um Kunden zu locken soll bei einem Feld 34€ ausgezahlt werdenOrdne den 5 Optionen so Wahrscheinlichkeiten und Auszahlungsbeträge zu, dass diese Bedingungen erfüllt sind.

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Eine (von vielen möglichen) Lösungen:

Als erstes schreiben wir mal die Vorgaben in die Tabelle rein.

	Kirsche	Zitrone	Apfel	Banane	Erdbeere
X (z.B. Auszahlung)	0				34
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-2				32
P(X) = P(Y)
Y ⋅ P(Y)

Jetzt setzen wir die Wahrscheinlichkeiten so, dass der negative Beitrag vom minimalen Betrag zum Erwartungswert den gleichen Betrag hat wie der positve vom maximalen Betrag.(dazu einfach jeweils den Gewinn in den Nenner der Wahrscheinlichkeit)

	Kirsche	Zitrone	Apfel	Banane	Erdbeere
X (z.B. Auszahlung)	0				34
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-2				32
P(X) = P(Y)	$\frac{1}{2}$				$\frac{1}{32}$
Y ⋅ P(Y)	$- 1$				$1$

Bei der mittleren Option setzen wir den Betrag einfach gleich wie den Einsatz, so dass diese den Erwartungswert nicht verändert.
Als Wahrscheinlichkeit wählen wir einen Bruch so, dass die Restwahrscheinlichkeit für die verbleibenden zwei Optionen nicht allzu kompliziert wird.

	Kirsche	Zitrone	Apfel	Banane	Erdbeere
X (z.B. Auszahlung)	0		2		34
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-2		0		32
P(X) = P(Y)	$\frac{1}{2}$		$\frac{7}{32}$		$\frac{1}{32}$
Y ⋅ P(Y)	$- 1$		$0$		$1$

Die bisherigen Optionen vereinen eine Wahrscheinlichkeit von $\frac{1}{2}$ + $\frac{7}{32}$ + $\frac{1}{32}$ = $\frac{3}{4}$
Als Restwahrscheinlichkeit für die verbleibenden Beträge bleibt nun also 1- $\frac{3}{4}$ = $\frac{1}{4}$ .
Diese wird auf die beiden verbleibenden Optionen verteilt:

	Kirsche	Zitrone	Apfel	Banane	Erdbeere
X (z.B. Auszahlung)	0		2		34
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-2		0		32
P(X) = P(Y)	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{7}{32}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{32}$
Y ⋅ P(Y)	$- 1$		$0$		$1$

Damit nun der Erwartungswert =0 wird, müssen sich die beiden noch verbleibenden Anteile daran gegenseitig aufheben. Dies erreicht man, in dem man den Gewinn jeweils gleich 'weit vom Einsatz weg' (nämlich $1$ ) setzt.

	Kirsche	Zitrone	Apfel	Banane	Erdbeere
X (z.B. Auszahlung)	0	1	2	3	34
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-2	-1	0	1	32
P(X) = P(Y)	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{7}{32}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{32}$
Y ⋅ P(Y)	$- 1$	$- \frac{1}{8}$	$0$	$\frac{1}{8}$	$1$

Weil der Erwartungswert ja aber nicht 0 sondern $- \frac{1}{10}$ sein soll, müssen wir nun noch den Auszahlungsbetrag bei der 2. Option (betragsmäßig) vergrößern. Und zwar so, dass er mit der Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{8}$ multipliziert gerade um $- \frac{1}{10}$ wächst.
Also x ⋅ $\frac{1}{8}$ = $- \frac{1}{10}$ => x= $- \frac{1}{10}$ : $\frac{1}{8}$ = $- \frac{4}{5}$ = -0.8
Die neue Auszahlung für 'Zitrone' ist also 0.2

	Kirsche	Zitrone	Apfel	Banane	Erdbeere
X (z.B. Auszahlung)	0	0.2	2	3	34
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-2	-1.8	0	1	32
P(X) = P(Y)	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{7}{32}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{32}$
Y ⋅ P(Y)	$- 1$	$- \frac{9}{40}$	$0$	$\frac{1}{8}$	$1$

Wenn man nun den Erwartungswert berechnet, kommt der gesuchte heraus:

E(Y)= -2⋅ $\frac{1}{2}$ + -1.8⋅ $\frac{1}{8}$ + 0⋅ $\frac{7}{32}$ + 1⋅ $\frac{1}{8}$ + 32⋅ $\frac{1}{32}$

= $- 1$ $- \frac{9}{40}$ $+$ $0$ $+$ $\frac{1}{8}$ $+$ $1$
= $- \frac{40}{40}$ $- \frac{9}{40}$ $+$ $\frac{0}{40}$ $+$ $\frac{5}{40}$ $+$ $\frac{40}{40}$
= $- \frac{4}{40}$
= $- \frac{1}{10}$

≈ -0.1

Erwartungswerte bei 'Ziehen bis erstmals ...'

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 7 Karten der Farbe Herz und 4 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Bestimme den Erwartungswert für die Anzahl der Ziehungen, bis das erste Herz erscheint.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Herz' im 1-ten Versuch st: $\frac{7}{11}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Herz' im 2-ten Versuch st: $\frac{14}{55}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Herz' im 3-ten Versuch st: $\frac{14}{165}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Herz' im 4-ten Versuch st: $\frac{7}{330}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Herz' im 5-ten Versuch st: $\frac{1}{330}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der Ziehungen. bis das erste Herz gekommen ist.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	1	2	3	4	5
Zufallsgröße x_i	1	2	3	4	5
P(X=x_i)	$\frac{7}{11}$	$\frac{14}{55}$	$\frac{14}{165}$	$\frac{7}{330}$	$\frac{1}{330}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$\frac{7}{11}$	$\frac{28}{55}$	$\frac{14}{55}$	$\frac{14}{165}$	$\frac{1}{66}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 1⋅ $\frac{7}{11}$ + 2⋅ $\frac{14}{55}$ + 3⋅ $\frac{14}{165}$ + 4⋅ $\frac{7}{330}$ + 5⋅ $\frac{1}{330}$

= $\frac{7}{11}$ $+$ $\frac{28}{55}$ $+$ $\frac{14}{55}$ $+$ $\frac{14}{165}$ $+$ $\frac{1}{66}$
= $\frac{210}{330}$ $+$ $\frac{168}{330}$ $+$ $\frac{84}{330}$ $+$ $\frac{28}{330}$ $+$ $\frac{5}{330}$
= $\frac{495}{330}$
= $\frac{3}{2}$

≈ 1.5

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

In einem Kartenstapel befinden sich 4 Asse und 12 weitere Karten. Nachdem diese gut gemischt wurden, darf ein Spieler 3 Karten ziehen. Für jedes As, das unter den drei Karten ist, erhält er dabei 10€. Mit welchem Gewinn kann er rechnen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
As -> As -> As	$\frac{1}{140}$
As -> As -> andereKarte	$\frac{3}{70}$
As -> andereKarte -> As	$\frac{3}{70}$
As -> andereKarte -> andereKarte	$\frac{11}{70}$
andereKarte -> As -> As	$\frac{3}{70}$
andereKarte -> As -> andereKarte	$\frac{11}{70}$
andereKarte -> andereKarte -> As	$\frac{11}{70}$
andereKarte -> andereKarte -> andereKarte	$\frac{11}{28}$

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'As' ist: $\frac{11}{28}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'As' ist: $\frac{11}{70}$ + $\frac{11}{70}$ + $\frac{11}{70}$ = $\frac{33}{70}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'As' ist: $\frac{3}{70}$ + $\frac{3}{70}$ + $\frac{3}{70}$ = $\frac{9}{70}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'As' ist: $\frac{1}{140}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den Gewinn für die 3 gezogenen Karten.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	10	20	30
P(X=x_i)	$\frac{11}{28}$	$\frac{33}{70}$	$\frac{9}{70}$	$\frac{1}{140}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$\frac{33}{7}$	$\frac{18}{7}$	$\frac{3}{14}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ $\frac{11}{28}$ + 10⋅ $\frac{33}{70}$ + 20⋅ $\frac{9}{70}$ + 30⋅ $\frac{1}{140}$

= $0$ $+$ $\frac{33}{7}$ $+$ $\frac{18}{7}$ $+$ $\frac{3}{14}$
= $\frac{0}{14}$ $+$ $\frac{66}{14}$ $+$ $\frac{36}{14}$ $+$ $\frac{3}{14}$
= $\frac{105}{14}$
= $\frac{15}{2}$

≈ 7.5

Erwartungswerte mit best. Optionen im WS-Baum

Beispiel:

In einem Stapel Karten mit 3 Asse, 5 Könige, 3 Damen und 4 Buben werden 2 Karten gezogen. Dabei zählen 2 Asse 1000, 2 Könige 250, 2 Damen 200 und 2 Buben 90 Punkte. Außerdem gibt es für ein Paar aus Dame und König 35 Punkte. Wie viele Punkte kann man bei diesem Spiel erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
As -> As	$\frac{1}{35}$
As -> König	$\frac{1}{14}$
As -> Dame	$\frac{3}{70}$
As -> Bube	$\frac{2}{35}$
König -> As	$\frac{1}{14}$
König -> König	$\frac{2}{21}$
König -> Dame	$\frac{1}{14}$
König -> Bube	$\frac{2}{21}$
Dame -> As	$\frac{3}{70}$
Dame -> König	$\frac{1}{14}$
Dame -> Dame	$\frac{1}{35}$
Dame -> Bube	$\frac{2}{35}$
Bube -> As	$\frac{2}{35}$
Bube -> König	$\frac{2}{21}$
Bube -> Dame	$\frac{2}{35}$
Bube -> Bube	$\frac{2}{35}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Asse' ist:

P('As'-'As')
= $\frac{1}{35}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Könige' ist:

P('König'-'König')
= $\frac{2}{21}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Damen' ist:

P('Dame'-'Dame')
= $\frac{1}{35}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Buben' ist:

P('Bube'-'Bube')
= $\frac{2}{35}$

Die Wahrscheinlichkeit für 'Paar (D&K)' ist:

P('König'-'Dame') + P('Dame'-'König')
= $\frac{1}{14}$ + $\frac{1}{14}$ = $\frac{1}{7}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die gewonnenen Punkte.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	2 Asse	2 Könige	2 Damen	2 Buben	Paar (D&K)
Zufallsgröße x_i	1000	250	200	90	35
P(X=x_i)	$\frac{1}{35}$	$\frac{2}{21}$	$\frac{1}{35}$	$\frac{2}{35}$	$\frac{1}{7}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$\frac{200}{7}$	$\frac{500}{21}$	$\frac{40}{7}$	$\frac{36}{7}$	$5$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 1000⋅ $\frac{1}{35}$ + 250⋅ $\frac{2}{21}$ + 200⋅ $\frac{1}{35}$ + 90⋅ $\frac{2}{35}$ + 35⋅ $\frac{1}{7}$

= $\frac{200}{7}$ $+$ $\frac{500}{21}$ $+$ $\frac{40}{7}$ $+$ $\frac{36}{7}$ $+$ $5$
= $\frac{600}{21}$ $+$ $\frac{500}{21}$ $+$ $\frac{120}{21}$ $+$ $\frac{108}{21}$ $+$ $\frac{105}{21}$
= $\frac{1433}{21}$

≈ 68.24

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zufallsgröße (ohne Wahrscheinlichkeit)

Zufallsgröße WS-Verteilung

Zufallsgr. WS-Vert. (auch ohne zur.)

Zufallsgr. WS-Vert. (ziehen bis erstmals ...)

Zufallsgröße rückwärts

Erwartungswerte

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Einsatz für faires Spiel bestimmen

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Erwartungswert ganz offen

Eine (von vielen möglichen) Lösungen:

Erwartungswerte bei 'Ziehen bis erstmals ...'

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Erwartungswerte mit best. Optionen im WS-Baum

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Erwartungswert der Zufallsgröße X