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x²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit $y =$ $x^{2} - 8 x - 3$ .

Lösung einblenden

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 8 x - 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 8 x + 16 - 16 - 3$

= ${(x - 4)}^{2} - 16 - 3$

= ${(x - 4)}^{2} - 19$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-19).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 8 x - 3$ nur um $- 3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 8 x$	=	0
$x (x - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₂	=	$8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|y).

y = $4^{2} - 8 \cdot 4 - 3$ = $16 - 32 - 3$ = -19

also: S(4|-19).

ax²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit $y =$ $3 x^{2} + 18 x + 4$ .

Lösung einblenden

1. Weg

$y =$ $3 x^{2} + 18 x + 4$

= $3 (x^{2} + 6 x) + 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $3 (x^{2} + 6 x + 9 - 9) + 4$

= $3 (x^{2} + 6 x + 9) + 3 \cdot (- 9) + 4$

= $3 {(x + 3)}^{2} - 27 + 4$

= $3 {(x + 3)}^{2} - 23$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-3|-23).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $3 x^{2} + 18 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $3 x^{2} + 18 x + 4$ nur um $4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $3 x^{2} + 18 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$3 x^{2} + 18 x$	=	0
$3 x (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₂	=	$- 6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-3|y).

y = $3 \cdot {(- 3)}^{2} + 18 \cdot (- 3) + 4$ = $27 - 54 + 4$ = -23

also: S(-3|-23).