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x²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit $y =$ $x^{2} - 10 x - 5$ .

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 10 x - 5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 10 x + 25 - 25 - 5$

= ${(x - 5)}^{2} - 25 - 5$

= ${(x - 5)}^{2} - 30$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(5|-30).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 10 x - 5$ nur um $- 5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 10 x$	=	0
$x \cdot (x - 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 10$	=	0	\| $+ 10$
x₂	=	$10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(5|y).

y = $5^{2} - 10 \cdot 5 - 5$ = $25 - 50 - 5$ = -30

also: S(5|-30).

ax²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit $y =$ $3 x^{2} + 18 x - 2$ .

Lösung einblenden

1. Weg

$y =$ $3 x^{2} + 18 x - 2$

= $3 (x^{2} + 6 x) - 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $3 (x^{2} + 6 x + 9 - 9) - 2$

= $3 (x^{2} + 6 x + 9) + 3 \cdot (- 9) - 2$

= $3 {(x + 3)}^{2} - 27 - 2$

= $3 {(x + 3)}^{2} - 29$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-3|-29).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $3 x^{2} + 18 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $3 x^{2} + 18 x - 2$ nur um $- 2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $3 x^{2} + 18 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$3 x^{2} + 18 x$	=	0
$3 x \cdot (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₂	=	$- 6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-3|y).

y = $3 \cdot {(- 3)}^{2} + 18 \cdot (- 3) - 2$ = $27 - 54 - 2$ = -29

also: S(-3|-29).

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|11) und B(2|-10) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|11): 11 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|-10): -10 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
11 = 1 -1b +c |-1
-10 = 4 +2b +c |-4

10 = -1b +c
-14 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 10 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 14$
$c + 2 b$	=	$- 14$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 14 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 10 & (I) \\ + c & = & (- 14 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 14 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 14 - 2 b)$	=	$10$
$- b - 14 - 2 b$	=	$10$
$- 3 b - 14$	=	$10$	\| $+ 14$
$- 3 b$	=	$24$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 14 - 2 \cdot (- 8)$

= $- 14 + 16$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|2)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x + 2$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|5) und B(2|14) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|5): 5 = 1² + b⋅1 +c

B(2|14): 14 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
5 = 1 +1b +c |-1
14 = 4 +2b +c |-4

4 = 1b +c
10 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 4 & (I) \\ 2 b & + c & = & 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$10$
$c + 2 b$	=	$10$	\| $- 2 b$
$c$	=	$10 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 4 & (I) \\ + c & = & (10 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $10 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (10 - 2 b)$	=	$4$
$b + 10 - 2 b$	=	$4$
$- b + 10$	=	$4$	\| $- 10$
$- b$	=	$- 6$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $10 - 2 \cdot 6$

= $10 - 12$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-2)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x - 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 6 x - 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 6 x + 9 - 9 - 2$

= ${(x + 3)}^{2} - 9 - 2$

= ${(x + 3)}^{2} - 11$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-3|-11).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 6 x - 2$ nur um $- 2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 6 x$	=	0
$x \cdot (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₂	=	$- 6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-3|y).

y = ${(- 3)}^{2} + 6 \cdot (- 3) - 2$ = $9 - 18 - 2$ = -11

also: S(-3|-11).

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x²+bx+c -> Scheitelform

1. Weg

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

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