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Größenverhältnisse
Beispiel:
Das rote Dreieck A'B'C' ist durch Vergrößerung/ Verkleinerung aus dem blauen Dreieck ABC enstanden.
Gib die fehlende Streckenlänge b' an.
Wir erkennen aus der Zeichnung rechts, dass die Länge a=7 zur Länge a'=4.2 verkleinert wurde.
Der Streckfaktor muss also k = = = 0.6 sein.
Wir müssen somit die ursprüngliche Länge b = 5 mit k multiplizieren und erhalten so:
b' = 5 ⋅ 0.6 = 3
Ähnliche Dreiecke (Zahleneingabe)
Beispiel:
Ein Dreieck hat die Seitenlängen a=3.5cm, b=4cm und c=6cm. Finde ein dazu ähnliches Dreieck mit der Seitenlänge c'=12.6cm.
Zuerst berechnen wir den Faktor mit dem die Strecke c auf c' gestreckt wurde:
k = = 2.1
Da bei ähnlichen Dreiecken die Seitenverhältnisse gleich bleiben, müssen auch die beiden anderen Seiten a und b mit diesem Streckfaktor gestreckt werden:
b' = k ⋅ b = 2.1 ⋅ 4 = 8.4
a' = k ⋅ a = 2.1 ⋅ 3.5 = 7.35
Ähnliche Dreiecke (Zeichnung)
Beispiel:
Ein Dreieck hat die Seitenlängen a=6cm, b=6cm und c=3.5cm. Finde ein dazu ähnliches Dreieck mit der Seitenlänge c'=5.6cm.
Klicke dazu mit der Maus dort auf die Zeichenfläche wo der gesuchte Punkt C' sein müsste.
Zuerst berechnen wir den Faktor mit dem die Strecke c auf c' gestreckt wurde:
k = = 1.6
Da bei ähnlichen Dreiecken die Seitenverhältnisse gleich bleiben, müssen auch die beiden anderen Seiten a und b mit diesem Streckfaktor gestreckt werden:
b' = k ⋅ b = 1.6 ⋅ 6 = 9.6
a' = k ⋅ a = 1.6 ⋅ 6 = 9.6
Zentrische Streckung mit k
Beispiel:
Das Vieleck ABCDE mit A(1|1), B(13|1), C(13|4), D(8|10), E(1|4) soll am Zentrum A(1|1) mit dem Faktor k= gestreckt werden. Konstruiere die zentrische Streckung in deinem Heft. Gib dann die Koordinaten von C' dem Bildpunkt von C an.
Zuerst zeichnen wir jeweils eine Halbgerade vom Streckzentrum A durch die anderen Punkte.
Dann vermessen wir jeweils den Abstand zwischen dem Streckzentrum A und dem anderen Punkt und multiplizieren diesen Abstand mit dem Streckfaktor k=.
Diese neue Streckenlänge zeichnen wir dann jeweils auf den Halbgeraden ab und erhalten so die Bildpunkte der zentrischen Streckung.
Für C', den Bildpunkt von C können wir dann die Koordinaten C'(9|3) ablesen.
Zentrische Streckung mit k und S
Beispiel:
Das Vieleck ABCDE mit A(6|0), B(12|0), C(12|2), D(8|6), E(6|4) soll am Zentrum S(13|0) mit dem Faktor k= gestreckt werden. Löse die Aufgabe mithilfe des Schaubildes oder durch Konstruktion im Heft. Gib dann die Koordinaten der Bildpunkte A' und B' an.
Zuerst zeichnen wir jeweils eine Halbgerade vom Streckzentrum S durch die anderen Punkte.
Dann vermessen wir jeweils den Abstand zwischen dem Streckzentrum S und dem anderen Punkt und multiplizieren diesen Abstand mit dem Streckfaktor k=.
Diese neue Streckenlänge zeichnen wir dann jeweils auf den Halbgeraden ab und erhalten so die Bildpunkte der zentrischen Streckung.
Für A', den Bildpunkt von A können wir dann die Koordinaten A'(2.5|0) ablesen.
Für B', den Bildpunkt von B können wir dann die Koordinaten B'(11.5|0) ablesen.
Streckzentrum bestimmen
Beispiel:
Gegeben ist das Vieleck ABCD mit A(10|7), B(14|8), C(14|9), D(12|10) (in rot) und das Vieleck A'B'C'D' mit A'(2|1), B'(14|4), C'(14|7), D'(8|10).
Löse die Aufgabe mithilfe des Schaubildes oder übertrage die Vielecke in dein Heft und versuche ein Streckzentrum zu konstruieren, so dass die eine Figur durch eine zentrische Streckung in die andere übergeht.
Gib dann, falls dies möglich ist, die Koordiaten des Streckzentrums S an.
(Falls es kein Streckzentrum gibt, wähle diese Option in Auswahlfeld)
Wir verbinden jeweils die Punkte mit ihren potentiellen Bildpunkten (also A mit A', B mit B', usw.) durch jeweils eine Gerade.
Wir sehen, dass sich alle Geraden in S(14|10) treffen. Mit S als Streckzentrum kann also das blaue Vieleck durch eine zentrische Streckung auf das rote abgebildet werden.
Konstruierbarkeit mit Kongruenzs.
Beispiel:
Gegeben sind die folgenden Seitenlängen und Winkel eines Dreiecks: c=7.5cm, a=5.5cm und α=46°
Entscheide mit Hilfe der Kongruenzsätze, ob sich dieses Dreieck eindeutig konstruieren lässt. Falls dies der Fall ist, konstruiere es in deinem Heft und miss die Höhe hc ab.
Wir erkennen, dass gegenüber dem gegebenen Winkel α nicht die längere Seite sondern die kürzere Seite a gegeben ist. Also lässt sich der Kongruenzsatz Ssw nicht anwenden und das Dreieck lässt sich nicht eindeutig konstruieren. Dies sieht man spätestens wenn man es versucht zu konstruieren.
- Zuerst zeichnen wir die Strecke, die an dem gegebenen Winkel anliegt, also c ein und benennen die Enden
Strecke B und A. (schwarz)
- Jetzt zeichnen wir in A den Winkel
α=46° ein (blau).
- Die Strecke a=5.5cm liegt zwischen B und C, also muss der Punkt C
den Abstand a=5.5cm vom Punkt B haben und somit auf dem Kreis
um B mit Radius 5.5cm liegen. Deswegen zeichnen wir diesen Kreisbogen (in rot) ein.
- Jetzt erkennen wir aber, dass dieser Kreisbogen die Halbgerade in 2 Punkten schneidet. Es gibt also zwei mögliche Dreiecke,
die man mit den gegebenen Werten konstruieren könnte.
- Es ist also keine eindeutige Konstruktion möglich.
Kongruenzsätze
Beispiel:
Gegeben sind die folgenden Seitenlängen und Winkel eines Dreiecks: c=5.5cm, a=4cm und γ=74°
Entscheide auch mit Hilfe der Kongruenzsätze, ob sich dieses Dreieck eindeutig konstruieren lässt, bzw. überhaupt konstruieren lässt.
Wir erkennen, dass gegenüber dem gegebenen Winkel γ die längere Seite c gegeben ist. Also lässt sich der Kongruenzsatz Ssw anwenden und das Dreieck eindeutig konstruieren: