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Punkt- und Strich-Rechnung

Beispiel:

Berechne: $\frac{5}{6} + \frac{20}{9} \cdot \frac{3}{5}$

Gib den Bruch vollständig gekürzt ein!

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$\frac{5}{6} + \frac{20}{9} \cdot \frac{3}{5}$

= $\frac{5}{6}$ + $\frac{20 \cdot 3}{9 \cdot 5}$

= $\frac{5}{6}$ + $\frac{4 \cdot 1}{3 \cdot 1}$

= $\frac{5}{6}$ + $\frac{4}{3}$

= $\frac{5}{6}$ $+ \frac{8}{6}$

= $\frac{13}{6}$

Ausklammern

Beispiel:

Berechne mit Ausklammern: $\frac{37}{12} \cdot \frac{5}{9} + \frac{7}{9} \cdot \frac{37}{12}$

Gib den Bruch vollständig gekürzt ein!

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Wie ja in der Aufgabenstellung steht, soll erst mal ausgeklammert werden und wenn man genau hinsieht, erkennt man, dass $\frac{37}{12}$ in beiden Produkten enthalten ist. Wir klammern also $\frac{37}{12}$ aus:

$\frac{37}{12} \cdot \frac{5}{9} + \frac{7}{9} \cdot \frac{37}{12}$

= $\frac{37}{12} \cdot (\frac{5}{9} + \frac{7}{9})$

= $\frac{37}{12}$ ⋅ $\frac{12}{9}$

Jetzt können wir diagonal mit 12 kürzen:

= $\frac{37}{9}$

Ausmultiplizieren

Beispiel:

Berechne mit Ausmultiplizieren: $(\frac{3}{11} + \frac{4}{9}) \cdot \frac{99}{5}$

Gib den Bruch vollständig gekürzt ein!

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Wie ja in der Aufgabenstellung steht, soll erst mal ausmultipliziert werden,
das heißt wir multiplizieren die $\frac{99}{5}$ mit beiden Summanden in der Klammer:

$\frac{3}{11} \cdot \frac{99}{5} + \frac{4}{9} \cdot \frac{99}{5}$

= $\frac{3 \cdot 99}{11 \cdot 5}$ + $\frac{4 \cdot 99}{9 \cdot 5}$

= $\frac{3 \cdot 9}{1 \cdot 5}$ + $\frac{4 \cdot 11}{1 \cdot 5}$

= $\frac{27}{5}$ $+$ $\frac{44}{5}$

= $\frac{71}{5}$

Rechenvorteile

Beispiel:

Berechne. Überlege, ob du mit Ausmultiplizieren oder Ausklammern Rechenvorteile bekommst: $\frac{35}{4} \cdot (\frac{2}{7} + \frac{1}{5})$

Gib den Bruch vollständig gekürzt ein!

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Die beiden Nenner in der Klammer sind so verschieden, dass Addieren oder Subtrahieren relativ aufwändig wird. Auf der anderen Seite lässt sich die 35 von $\frac{35}{4}$ sehr gut mit beiden Brüchen in der Klammer multiplizieren - Kürzen wird beides mal sehr gut möglich. Deswegen ist es hier am einfachsten, wenn wir erst Ausmultiplizieren:

$\frac{35}{4} \cdot (\frac{2}{7} + \frac{1}{5})$

= $\frac{35}{4} \cdot \frac{2}{7} + \frac{35}{4} \cdot \frac{1}{5}$

= $\frac{35 \cdot 2}{4 \cdot 7}$ + $\frac{35 \cdot 1}{4 \cdot 5}$

= $\frac{5 \cdot 1}{2 \cdot 1}$ + $\frac{7 \cdot 1}{4 \cdot 1}$

= $\frac{5}{2}$ $+$ $\frac{7}{4}$

= $\frac{10}{4}$ $+$ $\frac{7}{4}$

= $\frac{17}{4}$

Bruchrechnungen verbal

Beispiel:

Dividiere $\frac{10}{3}$ durch die Summe von $\frac{1}{6}$ und $\frac{7}{6}$ .

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Zuerst müssen wir den Text in einen mathematischen Term übersetzen:

$\frac{10}{3} : (\frac{1}{6} + \frac{7}{6})$

= $\frac{10}{3}$ : $\frac{8}{6}$

= $\frac{10}{3}$ : $\frac{4}{3}$

= $\frac{10 \cdot 3}{3 \cdot 4}$

= $\frac{5 \cdot 1}{1 \cdot 2}$

= $\frac{5}{2}$