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Punkt- und Strich-Rechnung

Beispiel:

Berechne: $\frac{11}{10} + \frac{3}{10} \cdot \frac{2}{3}$

Gib den Bruch vollständig gekürzt ein!

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$\frac{11}{10} + \frac{3}{10} \cdot \frac{2}{3}$

= $\frac{11}{10}$ + $\frac{3 \cdot 2}{10 \cdot 3}$

= $\frac{11}{10}$ + $\frac{1 \cdot 1}{5 \cdot 1}$

= $\frac{11}{10}$ + $\frac{1}{5}$

= $\frac{11}{10}$ $+ \frac{2}{10}$

= $\frac{13}{10}$

Ausklammern

Beispiel:

Berechne mit Ausklammern: $\frac{4}{7} \cdot \frac{41}{5} + \frac{41}{5} \cdot \frac{1}{7}$

Gib den Bruch vollständig gekürzt ein!

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Wie ja in der Aufgabenstellung steht, soll erst mal ausgeklammert werden und wenn man genau hinsieht, erkennt man, dass $\frac{41}{5}$ in beiden Produkten enthalten ist. Wir klammern also $\frac{41}{5}$ aus:

$\frac{4}{7} \cdot \frac{41}{5} + \frac{41}{5} \cdot \frac{1}{7}$

= $\frac{41}{5} \cdot (\frac{4}{7} + \frac{1}{7})$

= $\frac{41}{5}$ ⋅ $\frac{5}{7}$

Jetzt können wir diagonal mit 5 kürzen:

= $\frac{41}{7}$

Ausmultiplizieren

Beispiel:

Berechne mit Ausmultiplizieren: $\frac{63}{8} \cdot (\frac{3}{7} + \frac{7}{9})$

Gib den Bruch vollständig gekürzt ein!

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Wie ja in der Aufgabenstellung steht, soll erst mal ausmultipliziert werden,
das heißt wir multiplizieren die $\frac{63}{8}$ mit beiden Summanden in der Klammer:

$\frac{63}{8} \cdot \frac{3}{7} + \frac{63}{8} \cdot \frac{7}{9}$

= $\frac{63 \cdot 3}{8 \cdot 7}$ + $\frac{63 \cdot 7}{8 \cdot 9}$

= $\frac{9 \cdot 3}{8 \cdot 1}$ + $\frac{7 \cdot 7}{8 \cdot 1}$

= $\frac{27}{8}$ $+$ $\frac{49}{8}$

= $\frac{76}{8}$

= $\frac{19}{2}$

Rechenvorteile

Beispiel:

Berechne. Überlege, ob du mit Ausmultiplizieren oder Ausklammern Rechenvorteile bekommst: $\frac{42}{17} \cdot \frac{2}{7} + \frac{42}{17} \cdot \frac{5}{12}$

Gib den Bruch vollständig gekürzt ein!

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Theoretisch könnte man hier zwar $\frac{42}{17}$ ausklammern, weil es ja in beiden Summanden auftritt, aber dann müsste man $\frac{2}{7}$ und $\frac{5}{12}$ mit ihren verschiedenen Nennern addieren bzw. subtrahieren. Auf der anderen Seite kann man gleich sehr hübsch diagonal kürzen, wenn man sofort die beiden Produkte multipliziert. Deswegen beginnen wir hier gleich damit:

= $\frac{42}{17} \cdot \frac{2}{7} + \frac{42}{17} \cdot \frac{5}{12}$

= $\frac{42 \cdot 2}{17 \cdot 7}$ + $\frac{42 \cdot 5}{17 \cdot 12}$

= $\frac{6 \cdot 2}{17 \cdot 1}$ + $\frac{7 \cdot 5}{17 \cdot 2}$

= $\frac{12}{17}$ $+$ $\frac{35}{34}$

= $\frac{24}{34}$ $+$ $\frac{35}{34}$

= $\frac{59}{34}$

Bruchrechnungen verbal

Beispiel:

Addiere zum Quotient von $\frac{15}{8}$ und $\frac{5}{4}$ die $\frac{1}{2}$ .

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Zuerst müssen wir den Text in einen mathematischen Term übersetzen:

$\frac{15}{8} : \frac{5}{4} + \frac{1}{2}$

= $\frac{15}{8}$ $\cdot$ $\frac{4}{5}$ + $\frac{1}{2}$

= $\frac{15 \cdot 4}{8 \cdot 5}$ + $\frac{1}{2}$

= $\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 1}$ + $\frac{1}{2}$

= $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$

= $\frac{4}{2}$

= $2$