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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$4$ = $- 2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner:

$4$	=	$- 2 x$	\| $- 4$ $+ 2 x$
$2 x$	=	$- 4$	\|: $2$
$x$	=	$- 2$

L={ $- 2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- 2 + \frac{9}{x}$ = $x - 2$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- 2 + \frac{9}{x}$	=	$x - 2$	\|⋅( $x$ )
$- 2 \cdot x + \frac{9}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 2 \cdot x$
$- 2 x + 9$	=	$x \cdot x - 2 x$

$- 2 x + 9$	=	$x^{2} - 2 x$	\| $- 9$ $- x^{2}$ $+ 2 x$
$- x^{2}$	=	$- 9$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 51}{3 x + 5} + x$ = $1$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- \frac{5}{3}$

D=R\{ $- \frac{5}{3}$ }

- \frac{51}{3 x + 5} + x

=

1

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 5$ weg!

$- \frac{51}{3 x + 5} + x$	=	$1$	\|⋅( $3 x + 5$ )
$- \frac{51}{3 x + 5} \cdot (3 x + 5) + x \cdot (3 x + 5)$	=	$1 \cdot (3 x + 5)$
$- 51 + x (3 x + 5)$	=	$3 x + 5$
$- 51 + (3 x^{2} + 5 x)$	=	$3 x + 5$
$3 x^{2} + 5 x - 51$	=	$3 x + 5$

3 x^{2} + 5 x - 51

=

3 x + 5

|

- 3 x

- 5

$3 x^{2} + 2 x - 56$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 56)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 672}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{676}}{6}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{676}}{6}$ = $\frac{- 2+26}{6}$ = $\frac{24}{6}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{676}}{6}$ = $\frac{- 2-26}{6}$ = $\frac{- 28}{6}$ = $- \frac{14}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 2 x - 56$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{2}{3} x - \frac{56}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{3})}^{2} - (- \frac{56}{3})$ = $\frac{1}{9}$ $+$ $\frac{56}{3}$ = $\frac{1}{9}$ $+$ $\frac{168}{9}$ = $\frac{169}{9}$

x_1,2 = $- \frac{1}{3}$ ± $\sqrt{\frac{169}{9}}$

x₁ = $- \frac{1}{3}$ - $\frac{13}{3}$ = $- \frac{14}{3}$ = -4.6666666666667

x₂ = $- \frac{1}{3}$ + $\frac{13}{3}$ = $\frac{12}{3}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{14}{3}$ ; $4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 0,5}{x - 1} - 2 x$ = $- \frac{x}{2 x - 2}$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

$- \frac{0,5}{x - 1} - 2 x$	=	$\frac{- x}{2 x - 2}$
$- \frac{0,5}{x - 1} - 2 x$	=	$\frac{- x}{2 (x - 1)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 1)$ weg!

$- \frac{0,5}{x - 1} - 2 x$	=	$\frac{- x}{2 (x - 1)}$	\|⋅( $2 (x - 1)$ )
$\frac{- 0,5}{x - 1} \cdot (2 (x - 1)) - 2 x \cdot (2 (x - 1))$	=	$\frac{- x}{2 (x - 1)} \cdot (2 (x - 1))$
$- 1 - 4 x (x - 1)$	=	$- x$
$- 1 + (- 4 x^{2} + 4 x)$	=	$- x$
$- 4 x^{2} + 4 x - 1$	=	$- x$

- 4 x^{2} + 4 x - 1

=

- x

|

+ x

$- 4 x^{2} + 5 x - 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 1)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{- 8}$ = $\frac{- 5+3}{- 8}$ = $\frac{- 2}{- 8}$ = $0,25$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{- 8}$ = $\frac{- 5-3}{- 8}$ = $\frac{- 8}{- 8}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 5 x - 1$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - \frac{5}{4} x + \frac{1}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{8})}^{2} - (\frac{1}{4})$ = $\frac{25}{64}$ $-$ $\frac{1}{4}$ = $\frac{25}{64}$ $-$ $\frac{16}{64}$ = $\frac{9}{64}$

x_1,2 = $\frac{5}{8}$ ± $\sqrt{\frac{9}{64}}$

x₁ = $\frac{5}{8}$ - $\frac{3}{8}$ = $\frac{2}{8}$ = 0.25

x₂ = $\frac{5}{8}$ + $\frac{3}{8}$ = $\frac{8}{8}$ = 1

Lösung x= $1$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $0,25$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x}$ = $- 1 + \frac{6}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{1}{x}$	=	$- 1 + \frac{6}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2} + \frac{6}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x$	=	$- x^{2} + 6$

x

=

- x^{2} + 6

|

+ x^{2}

- 6

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + x$ = $3$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + x$ = $3$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + x$	=	$3$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$3 \cdot x$
$a + x^{2}$	=	$3 x$
$a + x^{2} - 3 x$	=	0
$x^{2} - 3 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 3 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -3 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 1 würde es funktionieren, denn $- (2 + 1)$ = -3

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 1$ = $2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $1$ ; $2$ }

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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):