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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{32}{x}$ = $- 2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{32}{x}$	=	$- 2 x$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{32}{x} \cdot x$	=	$- 2 x \cdot x$
$- 32$	=	$- 2 x \cdot x$
$- 32$	=	$- 2 x^{2}$

$- 32$	=	$- 2 x^{2}$	\| $+ 32$ $+ 2 x^{2}$
$2 x^{2}$	=	$32$	\|: $2$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{10 x + 14}{3 x}$ = $x - 3$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{10 x + 14}{3 x}$	=	$x - 3$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{10 x + 14}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x - 3 \cdot 3 x$
$10 x + 14$	=	$3 x \cdot x - 9 x$

10 x + 14

=

3 x^{2} - 9 x

|

- 3 x^{2}

+ 9 x

$- 3 x^{2} + 19 x + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 14}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 168}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{529}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 19 + \sqrt{529}}{- 6}$ = $\frac{- 19+23}{- 6}$ = $\frac{4}{- 6}$ = $- \frac{2}{3}$ ≈ -0.67

x₂ = $\frac{- 19 - \sqrt{529}}{- 6}$ = $\frac{- 19-23}{- 6}$ = $\frac{- 42}{- 6}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + 19 x + 14$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{19}{3} x - \frac{14}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{19}{6})}^{2} - (- \frac{14}{3})$ = $\frac{361}{36}$ $+$ $\frac{14}{3}$ = $\frac{361}{36}$ $+$ $\frac{168}{36}$ = $\frac{529}{36}$

x_1,2 = $\frac{19}{6}$ ± $\sqrt{\frac{529}{36}}$

x₁ = $\frac{19}{6}$ - $\frac{23}{6}$ = $- \frac{4}{6}$ = -0.66666666666667

x₂ = $\frac{19}{6}$ + $\frac{23}{6}$ = $\frac{42}{6}$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{2}{3}$ ; $7$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

0 = $- \frac{- 4 x}{x - 3} - 3 x + 5$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $3$

D=R\{ $3$ }

0

=

\frac{4 x}{x - 3} - 3 x + 5

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

=	$\frac{4 x}{x - 3} - 3 x + 5$	\|⋅( $x - 3$ )
=	$\frac{4 x}{x - 3} \cdot (x - 3) - 3 x \cdot (x - 3) + 5 \cdot (x - 3)$
=	$4 x - 3 x \cdot (x - 3) + 5 x - 15$
=	$- 3 x^{2} + 18 x - 15$

0

=

- 3 x^{2} + 18 x - 15

|

+ 3 x^{2}

- 18 x

+ 15

3 x^{2} - 18 x + 15

= 0 |:3

$x^{2} - 6 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6+4}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6-4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 5$ = $9$ $-$ $5$ = $4$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $3$ - $2$ = 1

x₂ = $3$ + $2$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $5$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x$ = $- \frac{x}{2 x + 6} - \frac{- 8,5}{x + 3}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

$2 x$	=	$- \frac{x}{2 x + 6} + \frac{8,5}{x + 3}$
$2 x$	=	$- \frac{x}{2 (x + 3)} + \frac{8,5}{x + 3}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 3)$ weg!

$2 x$	=	$- \frac{x}{2 (x + 3)} + \frac{8,5}{x + 3}$	\|⋅( $2 (x + 3)$ )
$2 x \cdot (2 (x + 3))$	=	$- \frac{x}{2 (x + 3)} \cdot (2 (x + 3)) + \frac{8,5}{x + 3} \cdot (2 (x + 3))$
$4 x \cdot (x + 3)$	=	$- x + 17$
$4 x \cdot x + 4 x \cdot 3$	=	$- x + 17$
$4 x \cdot x + 12 x$	=	$- x + 17$
$4 x^{2} + 12 x$	=	$- x + 17$

4 x^{2} + 12 x

=

- x + 17

|

+ x

- 17

$4 x^{2} + 13 x - 17$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 17)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 272}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{441}}{8}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{441}}{8}$ = $\frac{- 13+21}{8}$ = $\frac{8}{8}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{441}}{8}$ = $\frac{- 13-21}{8}$ = $\frac{- 34}{8}$ = $- 4,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 13 x - 17$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{13}{4} x - \frac{17}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{8})}^{2} - (- \frac{17}{4})$ = $\frac{169}{64}$ $+$ $\frac{17}{4}$ = $\frac{169}{64}$ $+$ $\frac{272}{64}$ = $\frac{441}{64}$

x_1,2 = $- \frac{13}{8}$ ± $\sqrt{\frac{441}{64}}$

x₁ = $- \frac{13}{8}$ - $\frac{21}{8}$ = $- \frac{34}{8}$ = -4.25

x₂ = $- \frac{13}{8}$ + $\frac{21}{8}$ = $\frac{8}{8}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4,25$ ; $1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{18 x + 80}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{18 x + 80}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{18 x + 80}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$18 x + 80$	=	$- x^{2}$

18 x + 80

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 18 x + 80$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{18^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 80}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 320}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 18 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 18+2}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{- 18 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 18-2}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $9^{2} - 80$ = $81$ $-$ $80$ = $1$

x_1,2 = $- 9$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 9$ - $1$ = -10

x₂ = $- 9$ + $1$ = -8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $- 8$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{a}{x}$ = $3$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{a}{x}$ = $3$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{a}{x}$	=	$3$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$3 \cdot x$
$x^{2} + a$	=	$3 x$
$x^{2} + a - 3 x$	=	0
$x^{2} - 3 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 3 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -3 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 1 würde es funktionieren, denn $- (2 + 1)$ = -3

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 1$ = $2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $1$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):