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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{50}{x}$ = $2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{50}{x}$	=	$2 x$	\|⋅( $x$ )
$\frac{50}{x} \cdot x$	=	$2 x \cdot x$
$50$	=	$2 x \cdot x$
$50$	=	$2 x^{2}$

$50$	=	$2 x^{2}$	\| $- 50$ $- 2 x^{2}$
$- 2 x^{2}$	=	$- 50$	\|: $(- 2)$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{15 x - 1}{4 x}$ = $x + 5$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{15 x - 1}{4 x}$	=	$x + 5$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{15 x - 1}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x + 5 \cdot 4 x$
$15 x - 1$	=	$4 x \cdot x + 20 x$

15 x - 1

=

4 x^{2} + 20 x

|

- 4 x^{2}

- 20 x

$- 4 x^{2} - 5 x - 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 1)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{- 8}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{- 8}$ = $\frac{5+3}{- 8}$ = $\frac{8}{- 8}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{- 8}$ = $\frac{5-3}{- 8}$ = $\frac{2}{- 8}$ = $- 0,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 5 x - 1$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{5}{4} x + \frac{1}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{8})}^{2} - (\frac{1}{4})$ = $\frac{25}{64}$ $-$ $\frac{1}{4}$ = $\frac{25}{64}$ $-$ $\frac{16}{64}$ = $\frac{9}{64}$

x_1,2 = $- \frac{5}{8}$ ± $\sqrt{\frac{9}{64}}$

x₁ = $- \frac{5}{8}$ - $\frac{3}{8}$ = $- \frac{8}{8}$ = -1

x₂ = $- \frac{5}{8}$ + $\frac{3}{8}$ = $- \frac{2}{8}$ = -0.25

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $- 0,25$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 21 x}{2 x + 5}$ = $- x - 2$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- \frac{5}{2}$

D=R\{ $- \frac{5}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 5$ weg!

$\frac{- 21 x}{2 x + 5}$	=	$- x - 2$	\|⋅( $2 x + 5$ )
$\frac{- 21 x}{2 x + 5} \cdot (2 x + 5)$	=	$- x \cdot (2 x + 5) - 2 \cdot (2 x + 5)$
$- \frac{21 x}{1}$	=	$- x \cdot (2 x + 5) - 4 x - 10$
$- 21 x$	=	$- x \cdot (2 x + 5) - 4 x - 10$
$- 21 x$	=	$- 2 x^{2} - 9 x - 10$

- 21 x

=

- 2 x^{2} - 9 x - 10

|

+ 2 x^{2}

+ 9 x

+ 10

2 x^{2} - 12 x + 10

= 0 |:2

$x^{2} - 6 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6+4}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6-4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 5$ = $9$ $-$ $5$ = $4$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $3$ - $2$ = 1

x₂ = $3$ + $2$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $5$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x - 4}$ = $- \frac{22}{x - 2} + 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

$\frac{x}{2 x - 4}$	=	$- \frac{22}{x - 2} + 3 x$
$\frac{x}{2 (x - 2)}$	=	$- \frac{22}{x - 2} + 3 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 2)$ weg!

$\frac{x}{2 (x - 2)}$	=	$- \frac{22}{x - 2} + 3 x$	\|⋅( $2 (x - 2)$ )
$\frac{x}{2 (x - 2)} \cdot (2 (x - 2))$	=	$\frac{- 22}{x - 2} \cdot (2 (x - 2)) + 3 x \cdot (2 (x - 2))$
$x$	=	$- 44 + 6 x \cdot (x - 2)$
$x$	=	$6 x^{2} - 12 x - 44$

x

=

6 x^{2} - 12 x - 44

|

- 6 x^{2}

+ 12 x

+ 44

$- 6 x^{2} + 13 x + 44$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot (- 6) \cdot 44}}{2 \cdot (- 6)}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 1 056}}{- 12}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{1 225}}{- 12}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{1 225}}{- 12}$ = $\frac{- 13+35}{- 12}$ = $\frac{22}{- 12}$ = $- \frac{11}{6}$ ≈ -1.83

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{1 225}}{- 12}$ = $\frac{- 13-35}{- 12}$ = $\frac{- 48}{- 12}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 6$ " teilen:

$- 6 x^{2} + 13 x + 44$ = 0 |: $- 6$

$x^{2} - \frac{13}{6} x - \frac{22}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{12})}^{2} - (- \frac{22}{3})$ = $\frac{169}{144}$ $+$ $\frac{22}{3}$ = $\frac{169}{144}$ $+$ $\frac{1056}{144}$ = $\frac{1225}{144}$

x_1,2 = $\frac{13}{12}$ ± $\sqrt{\frac{1225}{144}}$

x₁ = $\frac{13}{12}$ - $\frac{35}{12}$ = $- \frac{22}{12}$ = -1.8333333333333

x₂ = $\frac{13}{12}$ + $\frac{35}{12}$ = $\frac{48}{12}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{11}{6}$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{2}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{80}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$- \frac{2}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{80}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$- \frac{2}{x^{3}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} + \frac{80}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$- 2 x$	=	$- x^{2} + 80$

- 2 x

=

- x^{2} + 80

|

+ x^{2}

- 80

$x^{2} - 2 x - 80$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 80)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 320}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{324}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{324}}{2}$ = $\frac{2+18}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{324}}{2}$ = $\frac{2-18}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 80)$ = $1$ $+$ $80$ = $81$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{81}$

x₁ = $1$ - $9$ = -8

x₂ = $1$ + $9$ = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $10$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x - \frac{10}{x}$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x - \frac{10}{x}$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x - \frac{10}{x}$	=	$- a$	\|⋅x
$x \cdot x - \frac{10}{x} \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$x^{2} - 10$	=	$- a x$
$x^{2} - 10 + a x$	=	0
$x^{2} + a x - 10$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 10$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -10 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -5 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 5)$ = -10

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 5)$ = $3$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 3 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 5$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):