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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{1}{x}$ = $- x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{1}{x}$	=	$- x$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{1}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 1$	=	$- x \cdot x$
$- 1$	=	$- x^{2}$

$- 1$	=	$- x^{2}$	\| $+ 1$ $+ x^{2}$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- 14 - \frac{8}{x}$ = $x - 5$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- 14 - \frac{8}{x}$	=	$x - 5$	\|⋅( $x$ )
$- 14 \cdot x - \frac{8}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 5 \cdot x$
$- 14 x - 8$	=	$x \cdot x - 5 x$

- 14 x - 8

=

x^{2} - 5 x

|

- x^{2}

+ 5 x

$- x^{2} - 9 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{9+7}{- 2}$ = $\frac{16}{- 2}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{9-7}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 9 x - 8$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 9 x + 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - 8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{32}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $- 1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{16}{x - 5}$ = $- x - 5$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $5$

D=R\{ $5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

$\frac{16}{x - 5}$	=	$- x - 5$	\|⋅( $x - 5$ )
$\frac{16}{x - 5} \cdot (x - 5)$	=	$- x \cdot (x - 5) - 5 \cdot (x - 5)$
$16$	=	$- x \cdot (x - 5) - 5 x + 25$
$16$	=	$- x^{2} + 25$

$16$	=	$- x^{2} + 25$	\| $- 16$ $+ x^{2}$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $3$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 23,5}{2 x + 8} - 4 x$ = $- \frac{x}{4 x + 16}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

$- \frac{23,5}{2 x + 8} - 4 x$	=	$\frac{- x}{4 x + 16}$
$- \frac{23,5}{2 (x + 4)} - 4 x$	=	$\frac{- x}{4 (x + 4)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 4)$ weg!

$- \frac{23,5}{2 (x + 4)} - 4 x$	=	$\frac{- x}{4 (x + 4)}$	\|⋅( $4 (x + 4)$ )
$\frac{- 23,5}{2 (x + 4)} \cdot (4 (x + 4)) - 4 x \cdot (4 (x + 4))$	=	$\frac{- x}{4 (x + 4)} \cdot (4 (x + 4))$
$- 47 - 16 x \cdot (x + 4)$	=	$- x$
$- 47 + (- 16 x^{2} - 64 x)$	=	$- x$
$- 16 x^{2} - 64 x - 47$	=	$- x$

- 16 x^{2} - 64 x - 47

=

- x

|

+ x

$- 16 x^{2} - 63 x - 47$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 63 \pm \sqrt{{(- 63)}^{2} - 4 \cdot (- 16) \cdot (- 47)}}{2 \cdot (- 16)}$

x_1,2 = $\frac{+ 63 \pm \sqrt{3 969 - 3 008}}{- 32}$

x_1,2 = $\frac{+ 63 \pm \sqrt{961}}{- 32}$

x₁ = $\frac{63 + \sqrt{961}}{- 32}$ = $\frac{63+31}{- 32}$ = $\frac{94}{- 32}$ = $- \frac{47}{16}$ ≈ -2.94

x₂ = $\frac{63 - \sqrt{961}}{- 32}$ = $\frac{63-31}{- 32}$ = $\frac{32}{- 32}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 16$ " teilen:

$- 16 x^{2} - 63 x - 47$ = 0 |: $- 16$

$x^{2} + \frac{63}{16} x + \frac{47}{16}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{63}{32})}^{2} - (\frac{47}{16})$ = $\frac{3969}{1024}$ $-$ $\frac{47}{16}$ = $\frac{3969}{1024}$ $-$ $\frac{3008}{1024}$ = $\frac{961}{1024}$

x_1,2 = $- \frac{63}{32}$ ± $\sqrt{\frac{961}{1024}}$

x₁ = $- \frac{63}{32}$ - $\frac{31}{32}$ = $- \frac{94}{32}$ = -2.9375

x₂ = $- \frac{63}{32}$ + $\frac{31}{32}$ = $- \frac{32}{32}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{47}{16}$ ; $- 1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{16}{x^{2}}$ = $- 1 + \frac{6}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$- \frac{16}{x^{2}}$	=	$- 1 + \frac{6}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$- \frac{16}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2} + \frac{6}{x} \cdot x^{2}$
$- 16$	=	$- x^{2} + 6 x$

- 16

=

- x^{2} + 6 x

|

+ x^{2}

- 6 x

$x^{2} - 6 x - 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 16)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{6+10}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{6-10}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - (- 16)$ = $9$ $+$ $16$ = $25$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $3$ - $5$ = -2

x₂ = $3$ + $5$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $8$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + 2$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + 2$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + 2$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + 2 \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$x^{2} + 2 x$	=	$- a$
$x^{2} + 2 x + a$	=	0
$x^{2} + 2 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 2 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 2 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -5 würde es funktionieren, denn $- (3 - 5)$ = 2

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $3 \cdot (- 5)$ = $- 15$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -15 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

L={ $- 5$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):