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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{27}{x}$ = $- 3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{27}{x}$	=	$- 3 x$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{27}{x} \cdot x$	=	$- 3 x \cdot x$
$- 27$	=	$- 3 x \cdot x$
$- 27$	=	$- 3 x^{2}$

$- 27$	=	$- 3 x^{2}$	\| $+ 27$ $+ 3 x^{2}$
$3 x^{2}$	=	$27$	\|: $3$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- 4 + \frac{4}{x}$ = $x - 4$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- 4 + \frac{4}{x}$	=	$x - 4$	\|⋅( $x$ )
$- 4 \cdot x + \frac{4}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 4 \cdot x$
$- 4 x + 4$	=	$x \cdot x - 4 x$

$- 4 x + 4$	=	$x^{2} - 4 x$	\| $- 4$ $- x^{2}$ $+ 4 x$
$- x^{2}$	=	$- 4$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x + 1$ = $- \frac{- 14}{2 x - 1}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $\frac{1}{2}$

D=R\{ $\frac{1}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$x + 1$	=	$\frac{14}{2 x - 1}$	\|⋅( $2 x - 1$ )
$x \cdot (2 x - 1) + 1 \cdot (2 x - 1)$	=	$\frac{14}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1)$
$x \cdot (2 x - 1) + 2 x - 1$	=	$14$
$2 x^{2} - x + 2 x - 1$	=	$14$
$2 x^{2} + x - 1$	=	$14$

2 x^{2} + x - 1

=

14

|

- 14

$2 x^{2} + x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{121}}{4}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{- 1+11}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = $2,5$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{- 1-11}{4}$ = $\frac{- 12}{4}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + x - 15$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{1}{2} x - \frac{15}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{15}{2})$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{15}{2}$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{120}{16}$ = $\frac{121}{16}$

x_1,2 = $- \frac{1}{4}$ ± $\sqrt{\frac{121}{16}}$

x₁ = $- \frac{1}{4}$ - $\frac{11}{4}$ = $- \frac{12}{4}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{4}$ + $\frac{11}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = 2.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $2,5$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 32}{2 x + 4}$ = $- \frac{x}{3 x + 6} - x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

- \frac{32}{2 (x + 2)}

=

- \frac{x}{3 (x + 2)} - x

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $6 (x + 2)$ weg!

$- \frac{32}{2 (x + 2)}$	=	$- \frac{x}{3 (x + 2)} - x$	\|⋅( $6 (x + 2)$ )
$- \frac{32}{2 (x + 2)} \cdot (6 (x + 2))$	=	$- \frac{x}{3 (x + 2)} \cdot (6 (x + 2)) - x \cdot (6 (x + 2))$
$- 96$	=	$- 2 x - 6 x \cdot (x + 2)$
$- 96$	=	$- 6 x^{2} - 14 x$

- 96

=

- 6 x^{2} - 14 x

|

+ 6 x^{2}

+ 14 x

6 x^{2} + 14 x - 96

= 0 |:2

$3 x^{2} + 7 x - 48$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 48)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 576}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{625}}{6}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{625}}{6}$ = $\frac{- 7+25}{6}$ = $\frac{18}{6}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{625}}{6}$ = $\frac{- 7-25}{6}$ = $\frac{- 32}{6}$ = $- \frac{16}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 7 x - 48$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{7}{3} x - 16$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{6})}^{2} - (- 16)$ = $\frac{49}{36}$ $+$ $16$ = $\frac{49}{36}$ $+$ $\frac{576}{36}$ = $\frac{625}{36}$

x_1,2 = $- \frac{7}{6}$ ± $\sqrt{\frac{625}{36}}$

x₁ = $- \frac{7}{6}$ - $\frac{25}{6}$ = $- \frac{32}{6}$ = -5.3333333333333

x₂ = $- \frac{7}{6}$ + $\frac{25}{6}$ = $\frac{18}{6}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{16}{3}$ ; $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}}$ = $\frac{13}{x^{3}} - \frac{40}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}}$	=	$\frac{13}{x^{3}} - \frac{40}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$	=	$\frac{13}{x^{3}} \cdot x^{4} - \frac{40}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$x^{2}$	=	$13 x - 40$

x^{2}

=

13 x - 40

|

- 13 x

+ 40

$x^{2} - 13 x + 40$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 40}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 160}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{13+3}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{13-3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{2})}^{2} - 40$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $40$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{160}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{13}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

x₂ = $\frac{13}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $5$ ; $8$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + 10$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + 10$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + 10$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + 10 \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a + 10 x$	=	$- x^{2}$
$a + 10 x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + 10 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 10 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 10 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -12 würde es funktionieren, denn $- (2 - 12)$ = 10

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 12)$ = $- 24$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -24 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 10 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 10+14}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 10-14}{2}$ = $\frac{- 24}{2}$ = $- 12$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - (- 24)$ = $25$ $+$ $24$ = $49$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{49}$

x₁ = $- 5$ - $7$ = -12

x₂ = $- 5$ + $7$ = 2

L={ $- 12$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):