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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{2 x}{x - 2}$ = $x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $2$

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{2 x}{x - 2}$	=	$x$	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{2 x}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=	$x \cdot (x - 2)$
$2 x$	=	$x \cdot (x - 2)$
$2 x$	=	$x^{2} - 2 x$

$2 x$	=	$x^{2} - 2 x$	\| $- (x^{2} - 2 x)$
$- x^{2} + 2 x + 2 x$	=	0
$- x^{2} + 4 x$	=	0
$x \cdot (- x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{9}{2} + \frac{1}{2 x}$ = $x - 4$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{9}{2} + \frac{1}{2 x}$	=	$x - 4$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{9}{2} \cdot x + \frac{1}{2 x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 4 \cdot x$
$- \frac{9}{2} x + \frac{1}{2}$	=	$x \cdot x - 4 x$

$- \frac{9}{2} x + \frac{1}{2}$	=	$x^{2} - 4 x$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{9}{2} x + \frac{1}{2})$	=	$2 (x^{2} - 4 x)$
$- 9 x + 1$	=	$2 x^{2} - 8 x$	\| $- 2 x^{2}$ $+ 8 x$

$- 2 x^{2} - x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 1}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{- 4}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{- 4}$ = $\frac{1+3}{- 4}$ = $\frac{4}{- 4}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{- 4}$ = $\frac{1-3}{- 4}$ = $\frac{- 2}{- 4}$ = $0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - x + 1$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{1}{2})$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{8}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $- \frac{1}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $- \frac{1}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $- \frac{4}{4}$ = -1

x₂ = $- \frac{1}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $0,5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

0 = $- \frac{21 x}{2 x - 5} - x + 2$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $\frac{5}{2}$

D=R\{ $\frac{5}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 5$ weg!

=	$- \frac{21 x}{2 x - 5} - x + 2$	\|⋅( $2 x - 5$ )
=	$- \frac{21 x}{2 x - 5} \cdot (2 x - 5) - x \cdot (2 x - 5) + 2 \cdot (2 x - 5)$
=	$- 21 x - x \cdot (2 x - 5) + 4 x - 10$
=	$- 2 x^{2} - 12 x - 10$

0

=

- 2 x^{2} - 12 x - 10

|

+ 2 x^{2}

+ 12 x

+ 10

2 x^{2} + 12 x + 10

= 0 |:2

$x^{2} + 6 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 6+4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 6-4}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 5$ = $9$ $-$ $5$ = $4$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 3$ - $2$ = -5

x₂ = $- 3$ + $2$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $- 1$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{4 x + 16} - \frac{6,25}{x + 4} - 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

0	=	$- \frac{x}{4 x + 16} - \frac{6,25}{x + 4} - 2 x$
0	=	$- \frac{x}{4 (x + 4)} - \frac{6,25}{x + 4} - 2 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 4)$ weg!

=	$- \frac{x}{4 (x + 4)} - \frac{6,25}{x + 4} - 2 x$	\|⋅( $4 (x + 4)$ )
=	$- \frac{x}{4 (x + 4)} \cdot (4 (x + 4)) + \frac{- 6,25}{x + 4} \cdot (4 (x + 4)) - 2 x \cdot (4 (x + 4))$
=	$- x - 25 - 8 x \cdot (x + 4)$
=	$- 8 x^{2} - 33 x - 25$

0

=

- 8 x^{2} - 33 x - 25

|

+ 8 x^{2}

+ 33 x

+ 25

$8 x^{2} + 33 x + 25$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 33 \pm \sqrt{33^{2} - 4 \cdot 8 \cdot 25}}{2 \cdot 8}$

x_1,2 = $\frac{- 33 \pm \sqrt{1 089 - 800}}{16}$

x_1,2 = $\frac{- 33 \pm \sqrt{289}}{16}$

x₁ = $\frac{- 33 + \sqrt{289}}{16}$ = $\frac{- 33+17}{16}$ = $\frac{- 16}{16}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 33 - \sqrt{289}}{16}$ = $\frac{- 33-17}{16}$ = $\frac{- 50}{16}$ = $- 3,125$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $8$ " teilen:

$8 x^{2} + 33 x + 25$ = 0 |: $8$

$x^{2} + \frac{33}{8} x + \frac{25}{8}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{33}{16})}^{2} - (\frac{25}{8})$ = $\frac{1089}{256}$ $-$ $\frac{25}{8}$ = $\frac{1089}{256}$ $-$ $\frac{800}{256}$ = $\frac{289}{256}$

x_1,2 = $- \frac{33}{16}$ ± $\sqrt{\frac{289}{256}}$

x₁ = $- \frac{33}{16}$ - $\frac{17}{16}$ = $- \frac{50}{16}$ = -3.125

x₂ = $- \frac{33}{16}$ + $\frac{17}{16}$ = $- \frac{16}{16}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3,125$ ; $- 1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x} - \frac{90}{x^{2}}$ = $- 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{1}{x} - \frac{90}{x^{2}}$	=	$- 1$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{2} - \frac{90}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2}$
$x - 90$	=	$- x^{2}$

x - 90

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + x - 90$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 90)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 360}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{361}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{361}}{2}$ = $\frac{- 1+19}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{361}}{2}$ = $\frac{- 1-19}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 90)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $90$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{360}{4}$ = $\frac{361}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{361}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{19}{2}$ = $- \frac{20}{2}$ = -10

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{19}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $9$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{12}{x} + a$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{12}{x} + a$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{12}{x} + a$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{12}{x} \cdot x + a \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$12 + a x$	=	$- x^{2}$
$12 + a x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x + 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 6$ = 12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 6)$ = $- 8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

L={ $2$ ; $6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):