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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{8 x}{x + 1}$ = $2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 1$

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{- 8 x}{x + 1}$	=	$2 x$	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{- 8 x}{x + 1} \cdot (x + 1)$	=	$2 x \cdot (x + 1)$
$- \frac{8 x}{1}$	=	$2 x (x + 1)$
$- 8 x$	=	$2 x (x + 1)$
$- 8 x$	=	$2 x^{2} + 2 x$

$- 8 x$	=	$2 x^{2} + 2 x$	\| $- (2 x^{2} + 2 x)$
$- 2 x^{2} - 8 x - 2 x$	=	0
$- 2 x^{2} - 10 x$	=	0
$- 2 x (x + 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₂	=	$- 5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; 0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$2 x$ = $\frac{- 14 x - 16}{x + 2}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 2$

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$2 x$	=	$\frac{- 14 x - 16}{x + 2}$	\|⋅( $x + 2$ )
$2 x \cdot (x + 2)$	=	$\frac{- 14 x - 16}{x + 2} \cdot (x + 2)$
$2 x (x + 2)$	=	$- 14 x - 16$
$2 x \cdot x + 2 x \cdot 2$	=	$- 14 x - 16$
$2 x \cdot x + 4 x$	=	$- 14 x - 16$
$2 x^{2} + 4 x$	=	$- 14 x - 16$

2 x^{2} + 4 x

=

- 14 x - 16

|

+ 14 x

+ 16

2 x^{2} + 18 x + 16

= 0 |:2

$x^{2} + 9 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 9+7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 9-7}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - 8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{32}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $- 1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$3$ = $- \frac{8 x}{x - 3} - x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $3$

D=R\{ $3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$3$	=	$- \frac{8 x}{x - 3} - x$	\|⋅( $x - 3$ )
$3 \cdot (x - 3)$	=	$- \frac{8 x}{x - 3} \cdot (x - 3) - x \cdot (x - 3)$
$3 (x - 3)$	=	$- 8 x - x (x - 3)$
$3 x - 9$	=	$- 8 x - x (x - 3)$
$3 x - 9$	=	$- x^{2} - 5 x$

3 x - 9

=

- x^{2} - 5 x

|

+ x^{2}

+ 5 x

$x^{2} + 8 x - 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 8+10}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 8-10}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - (- 9)$ = $16$ $+$ $9$ = $25$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 4$ - $5$ = -9

x₂ = $- 4$ + $5$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $1$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x - 8} + \frac{- 7,5}{x - 4} - 2 x$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

$\frac{x}{2 x - 8} - \frac{7,5}{x - 4} - 2 x$	=	0
$\frac{x}{2 (x - 4)} - \frac{7,5}{x - 4} - 2 x$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 4)$ weg!

$\frac{x}{2 (x - 4)} - \frac{7,5}{x - 4} - 2 x$	=	\|⋅( $2 (x - 4)$ )
$\frac{x}{2 (x - 4)} \cdot (2 (x - 4)) + \frac{- 7,5}{x - 4} \cdot (2 (x - 4)) - 2 x \cdot (2 (x - 4))$	=
$x - 15 - 4 x (x - 4)$	=
$x - 15 + (- 4 x^{2} + 16 x)$	=
$- 4 x^{2} + 17 x - 15$	=

$- 4 x^{2} + 17 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 15)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 - 240}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{49}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{49}}{- 8}$ = $\frac{- 17+7}{- 8}$ = $\frac{- 10}{- 8}$ = $1,25$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{49}}{- 8}$ = $\frac{- 17-7}{- 8}$ = $\frac{- 24}{- 8}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 17 x - 15$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - \frac{17}{4} x + \frac{15}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{8})}^{2} - (\frac{15}{4})$ = $\frac{289}{64}$ $-$ $\frac{15}{4}$ = $\frac{289}{64}$ $-$ $\frac{240}{64}$ = $\frac{49}{64}$

x_1,2 = $\frac{17}{8}$ ± $\sqrt{\frac{49}{64}}$

x₁ = $\frac{17}{8}$ - $\frac{7}{8}$ = $\frac{10}{8}$ = 1.25

x₂ = $\frac{17}{8}$ + $\frac{7}{8}$ = $\frac{24}{8}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1,25$ ; $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x}$ = $\frac{x - 42}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$- \frac{1}{x}$	=	$\frac{x - 42}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$	=	$\frac{x - 42}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$- x^{2}$	=	$x - 42$

- x^{2}

=

x - 42

|

- x

+ 42

$- x^{2} - x + 42$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 42}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 168}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{169}}{- 2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{169}}{- 2}$ = $\frac{1+13}{- 2}$ = $\frac{14}{- 2}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{169}}{- 2}$ = $\frac{1-13}{- 2}$ = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - x + 42$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + x - 42$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 42)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $42$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{168}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $6$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + x$ = $- \frac{6}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + x$ = $- \frac{6}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + x$	=	$- \frac{6}{x}$	\|⋅x
$a \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{6}{x} \cdot x$
$a x + x^{2}$	=	$- 6$
$a x + x^{2} + 6$	=	0
$x^{2} + a x + 6$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 6$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 6 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 3 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 3$ = 6

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 3)$ = $- 5$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -5 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

L={ $2$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):