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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{25}{x}$ = $x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{25}{x}$	=	$x$	\|⋅( $x$ )
$\frac{25}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x$
$25$	=	$x \cdot x$
$25$	=	$x^{2}$

$25$	=	$x^{2}$	\| $- 25$ $- x^{2}$
$- x^{2}$	=	$- 25$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x$ = $\frac{2 x + 6}{x + 1}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 1$

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$x$	=	$\frac{2 x + 6}{x + 1}$	\|⋅( $x + 1$ )
$x \cdot (x + 1)$	=	$\frac{2 x + 6}{x + 1} \cdot (x + 1)$
$x \cdot (x + 1)$	=	$2 x + 6$
$x \cdot x + x \cdot 1$	=	$2 x + 6$
$x \cdot x + x$	=	$2 x + 6$
$x^{2} + x$	=	$2 x + 6$

x^{2} + x

=

2 x + 6

|

- 2 x

- 6

$x^{2} - x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{20}{2 x - 4} + x$ = $- 5$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $2$

D=R\{ $2$ }

$\frac{20}{2 x - 4} + x$	=	$- 5$
$\frac{20}{2 (x - 2)} + x$	=	$- 5$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{20}{2 (x - 2)} + x$	=	$- 5$	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{20}{2 (x - 2)} \cdot (x - 2) + x \cdot (x - 2)$	=	$- 5 \cdot (x - 2)$
$10 + x \cdot (x - 2)$	=	$- 5 (x - 2)$
$10 + (x^{2} - 2 x)$	=	$- 5 (x - 2)$
$x^{2} - 2 x + 10$	=	$- 5 x + 10$

$x^{2} - 2 x + 10$	=	$- 5 x + 10$	\| $- 10$
$x^{2} - 2 x$	=	$- 5 x$	\| $+ 5 x$
$x^{2} - 2 x + 5 x$	=	0
$x^{2} + 3 x$	=	0
$x \cdot (x + 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₂	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; 0}

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x + 6} + \frac{26}{2 x + 4} - 4 x$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

$\frac{x}{3 x + 6} + \frac{26}{2 x + 4} - 4 x$	=	0
$\frac{x}{3 (x + 2)} + \frac{26}{2 (x + 2)} - 4 x$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 2)$ weg!

$\frac{x}{3 (x + 2)} + \frac{26}{2 (x + 2)} - 4 x$	=	\|⋅( $3 (x + 2)$ )
$\frac{x}{3 (x + 2)} \cdot (3 (x + 2)) + \frac{26}{2 (x + 2)} \cdot (3 (x + 2)) - 4 x \cdot (3 (x + 2))$	=
$x + 39 - 12 x \cdot (x + 2)$	=
$x + 39 + (- 12 x^{2} - 24 x)$	=
$- 12 x^{2} - 23 x + 39$	=

$- 12 x^{2} - 23 x + 39$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{{(- 23)}^{2} - 4 \cdot (- 12) \cdot 39}}{2 \cdot (- 12)}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{529 + 1 872}}{- 24}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{2 401}}{- 24}$

x₁ = $\frac{23 + \sqrt{2 401}}{- 24}$ = $\frac{23+49}{- 24}$ = $\frac{72}{- 24}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{23 - \sqrt{2 401}}{- 24}$ = $\frac{23-49}{- 24}$ = $\frac{- 26}{- 24}$ = $\frac{13}{12}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 12$ " teilen:

$- 12 x^{2} - 23 x + 39$ = 0 |: $- 12$

$x^{2} + \frac{23}{12} x - \frac{13}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{23}{24})}^{2} - (- \frac{13}{4})$ = $\frac{529}{576}$ $+$ $\frac{13}{4}$ = $\frac{529}{576}$ $+$ $\frac{1872}{576}$ = $\frac{2401}{576}$

x_1,2 = $- \frac{23}{24}$ ± $\sqrt{\frac{2401}{576}}$

x₁ = $- \frac{23}{24}$ - $\frac{49}{24}$ = $- \frac{72}{24}$ = -3

x₂ = $- \frac{23}{24}$ + $\frac{49}{24}$ = $\frac{26}{24}$ = 1.0833333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $\frac{13}{12}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 8 x + 7}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{- 8 x + 7}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{- 8 x + 7}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$- 8 x + 7$	=	$- x^{2}$

- 8 x + 7

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - 8 x + 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8+6}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8-6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 7$ = $16$ $-$ $7$ = $9$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $4$ - $3$ = 1

x₂ = $4$ + $3$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $7$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- 2 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- 2 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- 2 + x$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$- 2 \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$- 2 x + x^{2}$	=	$- a$
$- 2 x + x^{2} + a$	=	0
$x^{2} - 2 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 2 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -2 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -1 würde es funktionieren, denn $- (3 - 1)$ = -2

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $3 \cdot (- 1)$ = $- 3$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -3 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

L={ $- 1$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):