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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{1}{x}$ = $x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{1}{x}$	=	$x$	\|⋅( $x$ )
$\frac{1}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x$
$1$	=	$x \cdot x$
$1$	=	$x^{2}$

$1$	=	$x^{2}$	\| $- 1$ $- x^{2}$
$- x^{2}$	=	$- 1$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 12 x - 12}{x - 4}$ = $x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $4$

D=R\{ $4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 4$ weg!

$\frac{- 12 x - 12}{x - 4}$	=	$x$	\|⋅( $x - 4$ )
$\frac{- 12 x - 12}{x - 4} \cdot (x - 4)$	=	$x \cdot (x - 4)$
$- 12 x - 12$	=	$x (x - 4)$
$- 12 x - 12$	=	$x^{2} - 4 x$

- 12 x - 12

=

x^{2} - 4 x

|

- x^{2}

+ 4 x

$- x^{2} - 8 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{8+4}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{8-4}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 8 x - 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 8 x + 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 4$ - $2$ = -6

x₂ = $- 4$ + $2$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $- 2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$2$ = $- \frac{- 24 x}{x + 4} - 3 x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 4$

D=R\{ $- 4$ }

2

=

\frac{24 x}{x + 4} - 3 x

Wir multiplizieren den Nenner $x + 4$ weg!

$2$	=	$\frac{24 x}{x + 4} - 3 x$	\|⋅( $x + 4$ )
$2 \cdot (x + 4)$	=	$\frac{24 x}{x + 4} \cdot (x + 4) - 3 x \cdot (x + 4)$
$2 (x + 4)$	=	$24 x - 3 x (x + 4)$
$2 x + 8$	=	$24 x - 3 x (x + 4)$
$2 x + 8$	=	$- 3 x^{2} + 12 x$

2 x + 8

=

- 3 x^{2} + 12 x

|

+ 3 x^{2}

- 12 x

$3 x^{2} - 10 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 96}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{4}}{6}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{10+2}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = $2$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{10-2}{6}$ = $\frac{8}{6}$ = $\frac{4}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 10 x + 8$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{10}{3} x + \frac{8}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{3})}^{2} - (\frac{8}{3})$ = $\frac{25}{9}$ $-$ $\frac{8}{3}$ = $\frac{25}{9}$ $-$ $\frac{24}{9}$ = $\frac{1}{9}$

x_1,2 = $\frac{5}{3}$ ± $\sqrt{\frac{1}{9}}$

x₁ = $\frac{5}{3}$ - $\frac{1}{3}$ = $\frac{4}{3}$ = 1.3333333333333

x₂ = $\frac{5}{3}$ + $\frac{1}{3}$ = $\frac{6}{3}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{4}{3}$ ; $2$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 60,8}{x + 1} + 3 x$ = $- \frac{x}{5 x + 5}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

$- \frac{60,8}{x + 1} + 3 x$	=	$\frac{- x}{5 x + 5}$
$- \frac{60,8}{x + 1} + 3 x$	=	$\frac{- x}{5 (x + 1)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 1)$ weg!

$- \frac{60,8}{x + 1} + 3 x$	=	$\frac{- x}{5 (x + 1)}$	\|⋅( $5 (x + 1)$ )
$\frac{- 60,8}{x + 1} \cdot (5 (x + 1)) + 3 x \cdot (5 (x + 1))$	=	$\frac{- x}{5 (x + 1)} \cdot (5 (x + 1))$
$- 304 + 15 x (x + 1)$	=	$- x$
$- 304 + (15 x^{2} + 15 x)$	=	$- x$
$15 x^{2} + 15 x - 304$	=	$- x$

15 x^{2} + 15 x - 304

=

- x

|

+ x

$15 x^{2} + 16 x - 304$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot 15 \cdot (- 304)}}{2 \cdot 15}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 + 18 240}}{30}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{18 496}}{30}$

x₁ = $\frac{- 16 + \sqrt{18 496}}{30}$ = $\frac{- 16+136}{30}$ = $\frac{120}{30}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 16 - \sqrt{18 496}}{30}$ = $\frac{- 16-136}{30}$ = $\frac{- 152}{30}$ = $- \frac{76}{15}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $15$ " teilen:

$15 x^{2} + 16 x - 304$ = 0 |: $15$

$x^{2} + \frac{16}{15} x - \frac{304}{15}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{8}{15})}^{2} - (- \frac{304}{15})$ = $\frac{64}{225}$ $+$ $\frac{304}{15}$ = $\frac{64}{225}$ $+$ $\frac{4560}{225}$ = $\frac{4624}{225}$

x_1,2 = $- \frac{8}{15}$ ± $\sqrt{\frac{4624}{225}}$

x₁ = $- \frac{8}{15}$ - $\frac{68}{15}$ = $- \frac{76}{15}$ = -5.0666666666667

x₂ = $- \frac{8}{15}$ + $\frac{68}{15}$ = $\frac{60}{15}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{76}{15}$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{12}{x^{4}}$ = $- \frac{4}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{12}{x^{4}}$	=	$- \frac{4}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} - \frac{12}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{4}{x^{3}} \cdot x^{4}$
$x^{2} - 12$	=	$- 4 x$

x^{2} - 12

=

- 4 x

|

+ 4 x

$x^{2} + 4 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 2$ - $4$ = -6

x₂ = $- 2$ + $4$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{a}{x}$ = $- 9$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{a}{x}$ = $- 9$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{a}{x}$	=	$- 9$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- 9 \cdot x$
$x^{2} + a$	=	$- 9 x$
$x^{2} + a + 9 x$	=	0
$x^{2} + 9 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 9 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 9 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -11 würde es funktionieren, denn $- (2 - 11)$ = 9

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 11)$ = $- 22$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -22 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 9 x - 22$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 22)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 88}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 9+13}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 9-13}{2}$ = $\frac{- 22}{2}$ = $- 11$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - (- 22)$ = $\frac{81}{4}$ $+$ $22$ = $\frac{81}{4}$ $+$ $\frac{88}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $- \frac{22}{2}$ = -11

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 11$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):