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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{x}{x - 4}$ = $- x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $4$

D=R\{ $4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 4$ weg!

$\frac{x}{x - 4}$	=	$- x$	\|⋅( $x - 4$ )
$\frac{x}{x - 4} \cdot (x - 4)$	=	$- x \cdot (x - 4)$
$x$	=	$- x (x - 4)$
$x$	=	$- x^{2} + 4 x$

$x$	=	$- x^{2} + 4 x$	\| $- (- x^{2} + 4 x)$
$x^{2} + x - 4 x$	=	0
$x^{2} - 3 x$	=	0
$x (x - 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₂	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{x}$ = $x + 2$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{x}$	=	$x + 2$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{1}{2} \cdot x - \frac{1}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 2 \cdot x$
$- \frac{1}{2} x - 1$	=	$x \cdot x + 2 x$

$- \frac{1}{2} x - 1$	=	$x^{2} + 2 x$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{1}{2} x - 1)$	=	$2 (x^{2} + 2 x)$
$- x - 2$	=	$2 x^{2} + 4 x$	\| $- 2 x^{2}$ $- 4 x$

$- 2 x^{2} - 5 x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{- 4}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{- 4}$ = $\frac{5+3}{- 4}$ = $\frac{8}{- 4}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{- 4}$ = $\frac{5-3}{- 4}$ = $\frac{2}{- 4}$ = $- 0,5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 0,5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$3 x + 5$ = $- \frac{- 5}{x - 3}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $3$

D=R\{ $3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$3 x + 5$	=	$\frac{5}{x - 3}$	\|⋅( $x - 3$ )
$3 x \cdot (x - 3) + 5 \cdot (x - 3)$	=	$\frac{5}{x - 3} \cdot (x - 3)$
$3 x (x - 3) + 5 x - 15$	=	$5$
$3 x^{2} - 9 x + 5 x - 15$	=	$5$
$3 x^{2} - 4 x - 15$	=	$5$

3 x^{2} - 4 x - 15

=

5

|

- 5

$3 x^{2} - 4 x - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 240}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{256}}{6}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{256}}{6}$ = $\frac{4+16}{6}$ = $\frac{20}{6}$ = $\frac{10}{3}$ ≈ 3.33

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{256}}{6}$ = $\frac{4-16}{6}$ = $\frac{- 12}{6}$ = $- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $\frac{10}{3}$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 16}{2 x + 8}$ = $- \frac{x}{3 x + 12} + 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

- \frac{16}{2 (x + 4)}

=

- \frac{x}{3 (x + 4)} + 3 x

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $6 (x + 4)$ weg!

$- \frac{16}{2 (x + 4)}$	=	$- \frac{x}{3 (x + 4)} + 3 x$	\|⋅( $6 (x + 4)$ )
$- \frac{16}{2 (x + 4)} \cdot (6 (x + 4))$	=	$- \frac{x}{3 (x + 4)} \cdot (6 (x + 4)) + 3 x \cdot (6 (x + 4))$
$- 48$	=	$- 2 x + 18 x (x + 4)$
$- 48$	=	$18 x^{2} + 70 x$

- 48

=

18 x^{2} + 70 x

|

- 18 x^{2}

- 70 x

- 18 x^{2} - 70 x - 48

= 0 |:2

$- 9 x^{2} - 35 x - 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 35 \pm \sqrt{{(- 35)}^{2} - 4 \cdot (- 9) \cdot (- 24)}}{2 \cdot (- 9)}$

x_1,2 = $\frac{+ 35 \pm \sqrt{1 225 - 864}}{- 18}$

x_1,2 = $\frac{+ 35 \pm \sqrt{361}}{- 18}$

x₁ = $\frac{35 + \sqrt{361}}{- 18}$ = $\frac{35+19}{- 18}$ = $\frac{54}{- 18}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{35 - \sqrt{361}}{- 18}$ = $\frac{35-19}{- 18}$ = $\frac{16}{- 18}$ = $- \frac{8}{9}$ ≈ -0.89

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- \frac{8}{9}$ }

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einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichung (quadr.) 2

doppelte Bruchgl. (quadr.)