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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{32}{x}$ = $2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{32}{x}$	=	$2 x$	\|⋅( $x$ )
$\frac{32}{x} \cdot x$	=	$2 x \cdot x$
$32$	=	$2 x \cdot x$
$32$	=	$2 x^{2}$

$32$	=	$2 x^{2}$	\| $- 32$ $- 2 x^{2}$
$- 2 x^{2}$	=	$- 32$	\|: $(- 2)$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x - 4$ = $\frac{- 27 x - 6}{4 x}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$x - 4$	=	$\frac{- 27 x - 6}{4 x}$	\|⋅( $4 x$ )
$x \cdot 4 x - 4 \cdot 4 x$	=	$\frac{- 27 x - 6}{4 x} \cdot 4 x$
$4 x \cdot x - 16 x$	=	$- 27 x - 6$
$4 x^{2} - 16 x$	=	$- 27 x - 6$

4 x^{2} - 16 x

=

- 27 x - 6

|

+ 27 x

+ 6

$4 x^{2} + 11 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 6}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 96}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{25}}{8}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{25}}{8}$ = $\frac{- 11+5}{8}$ = $\frac{- 6}{8}$ = $- 0,75$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{25}}{8}$ = $\frac{- 11-5}{8}$ = $\frac{- 16}{8}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 11 x + 6$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{11}{4} x + \frac{3}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{8})}^{2} - (\frac{3}{2})$ = $\frac{121}{64}$ $-$ $\frac{3}{2}$ = $\frac{121}{64}$ $-$ $\frac{96}{64}$ = $\frac{25}{64}$

x_1,2 = $- \frac{11}{8}$ ± $\sqrt{\frac{25}{64}}$

x₁ = $- \frac{11}{8}$ - $\frac{5}{8}$ = $- \frac{16}{8}$ = -2

x₂ = $- \frac{11}{8}$ + $\frac{5}{8}$ = $- \frac{6}{8}$ = -0.75

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 0,75$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 26}{x + 2} + 2 x$ = $5$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 2$

D=R\{ $- 2$ }

- \frac{26}{x + 2} + 2 x

=

5

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$- \frac{26}{x + 2} + 2 x$	=	$5$	\|⋅( $x + 2$ )
$- \frac{26}{x + 2} \cdot (x + 2) + 2 x \cdot (x + 2)$	=	$5 \cdot (x + 2)$
$- 26 + 2 x \cdot (x + 2)$	=	$5 (x + 2)$
$- 26 + (2 x^{2} + 4 x)$	=	$5 (x + 2)$
$2 x^{2} + 4 x - 26$	=	$5 x + 10$

2 x^{2} + 4 x - 26

=

5 x + 10

|

- 5 x

- 10

$2 x^{2} - x - 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 36)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 288}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{289}}{4}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{1+17}{4}$ = $\frac{18}{4}$ = $4,5$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{1-17}{4}$ = $\frac{- 16}{4}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - x - 36$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{1}{2} x - 18$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{4})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $18$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{288}{16}$ = $\frac{289}{16}$

x_1,2 = $\frac{1}{4}$ ± $\sqrt{\frac{289}{16}}$

x₁ = $\frac{1}{4}$ - $\frac{17}{4}$ = $- \frac{16}{4}$ = -4

x₂ = $\frac{1}{4}$ + $\frac{17}{4}$ = $\frac{18}{4}$ = 4.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $4,5$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x - 5} + \frac{24,4}{x - 1} - 4 x$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

$\frac{x}{5 x - 5} + \frac{24,4}{x - 1} - 4 x$	=	0
$\frac{x}{5 (x - 1)} + \frac{24,4}{x - 1} - 4 x$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x - 1)$ weg!

$\frac{x}{5 (x - 1)} + \frac{24,4}{x - 1} - 4 x$	=	\|⋅( $5 (x - 1)$ )
$\frac{x}{5 (x - 1)} \cdot (5 (x - 1)) + \frac{24,4}{x - 1} \cdot (5 (x - 1)) - 4 x \cdot (5 (x - 1))$	=
$x + 122 - 20 x \cdot (x - 1)$	=
$x + 122 + (- 20 x^{2} + 20 x)$	=
$- 20 x^{2} + 21 x + 122$	=

$- 20 x^{2} + 21 x + 122$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{21^{2} - 4 \cdot (- 20) \cdot 122}}{2 \cdot (- 20)}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{441 + 9 760}}{- 40}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{10 201}}{- 40}$

x₁ = $\frac{- 21 + \sqrt{10 201}}{- 40}$ = $\frac{- 21+101}{- 40}$ = $\frac{80}{- 40}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 21 - \sqrt{10 201}}{- 40}$ = $\frac{- 21-101}{- 40}$ = $\frac{- 122}{- 40}$ = $3,05$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 20$ " teilen:

$- 20 x^{2} + 21 x + 122$ = 0 |: $- 20$

$x^{2} - \frac{21}{20} x - \frac{61}{10}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{21}{40})}^{2} - (- \frac{61}{10})$ = $\frac{441}{1600}$ $+$ $\frac{61}{10}$ = $\frac{441}{1600}$ $+$ $\frac{9760}{1600}$ = $\frac{10201}{1600}$

x_1,2 = $\frac{21}{40}$ ± $\sqrt{\frac{10201}{1600}}$

x₁ = $\frac{21}{40}$ - $\frac{101}{40}$ = $- \frac{80}{40}$ = -2

x₂ = $\frac{21}{40}$ + $\frac{101}{40}$ = $\frac{122}{40}$ = 3.05

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $3,05$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{9}{x} + \frac{8}{x^{2}}$ = $- 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$- \frac{9}{x} + \frac{8}{x^{2}}$	=	$- 1$	\|⋅( $x^{2}$ )
$- \frac{9}{x} \cdot x^{2} + \frac{8}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2}$
$- 9 x + 8$	=	$- x^{2}$

- 9 x + 8

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - 9 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9+7}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9-7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{32}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $8$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + \frac{12}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + \frac{12}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + \frac{12}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$a \cdot x + \frac{12}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a x + 12$	=	$- x^{2}$
$a x + 12 + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x + 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 6$ = 12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 6)$ = $- 8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

L={ $2$ ; $6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):