Mathebattle EduRandomtasks

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{75}{x}$ = $3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{75}{x}$	=	$3 x$	\|⋅( $x$ )
$\frac{75}{x} \cdot x$	=	$3 x \cdot x$
$75$	=	$3 x \cdot x$
$75$	=	$3 x^{2}$

$75$	=	$3 x^{2}$	\| $- 75$ $- 3 x^{2}$
$- 3 x^{2}$	=	$- 75$	\|: $(- 3)$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x - 5$ = $\frac{3 x + 24}{2 x}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$x - 5$	=	$\frac{3 x + 24}{2 x}$	\|⋅( $2 x$ )
$x \cdot 2 x - 5 \cdot 2 x$	=	$\frac{3 x + 24}{2 x} \cdot 2 x$
$2 x \cdot x - 10 x$	=	$3 x + 24$
$2 x^{2} - 10 x$	=	$3 x + 24$

2 x^{2} - 10 x

=

3 x + 24

|

- 3 x

- 24

$2 x^{2} - 13 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 + 192}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{361}}{4}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{361}}{4}$ = $\frac{13+19}{4}$ = $\frac{32}{4}$ = $8$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{361}}{4}$ = $\frac{13-19}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 13 x - 24$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{13}{2} x - 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{4})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{169}{16}$ $+$ $12$ = $\frac{169}{16}$ $+$ $\frac{192}{16}$ = $\frac{361}{16}$

x_1,2 = $\frac{13}{4}$ ± $\sqrt{\frac{361}{16}}$

x₁ = $\frac{13}{4}$ - $\frac{19}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

x₂ = $\frac{13}{4}$ + $\frac{19}{4}$ = $\frac{32}{4}$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1,5$ ; $8$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{7}{2 x + 5} + x - 5$ = 0

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- \frac{5}{2}$

D=R\{ $- \frac{5}{2}$ }

\frac{7}{2 x + 5} + x - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 5$ weg!

$\frac{7}{2 x + 5} + x - 5$	=	\|⋅( $2 x + 5$ )
$\frac{7}{2 x + 5} \cdot (2 x + 5) + x \cdot (2 x + 5) - 5 \cdot (2 x + 5)$	=
$7 + x \cdot (2 x + 5) - 10 x - 25$	=
$7 + (2 x^{2} + 5 x) - 10 x - 25$	=
$2 x^{2} - 5 x - 18$	=

$2 x^{2} - 5 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 144}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{169}}{4}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{5+13}{4}$ = $\frac{18}{4}$ = $4,5$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{5-13}{4}$ = $\frac{- 8}{4}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 5 x - 18$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{5}{2} x - 9$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{4})}^{2} - (- 9)$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $9$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $\frac{144}{16}$ = $\frac{169}{16}$

x_1,2 = $\frac{5}{4}$ ± $\sqrt{\frac{169}{16}}$

x₁ = $\frac{5}{4}$ - $\frac{13}{4}$ = $- \frac{8}{4}$ = -2

x₂ = $\frac{5}{4}$ + $\frac{13}{4}$ = $\frac{18}{4}$ = 4.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $4,5$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 1,5}{2 x - 6}$ = $- \frac{x}{4 x - 12} + 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

- \frac{1,5}{2 (x - 3)}

=

- \frac{x}{4 (x - 3)} + 2 x

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x - 3)$ weg!

$- \frac{1,5}{2 (x - 3)}$	=	$- \frac{x}{4 (x - 3)} + 2 x$	\|⋅( $4 (x - 3)$ )
$- \frac{1,5}{2 (x - 3)} \cdot (4 (x - 3))$	=	$- \frac{x}{4 (x - 3)} \cdot (4 (x - 3)) + 2 x \cdot (4 (x - 3))$
$- 3$	=	$- x + 8 x \cdot (x - 3)$
$- 3$	=	$8 x^{2} - 25 x$

- 3

=

8 x^{2} - 25 x

|

- 8 x^{2}

+ 25 x

$- 8 x^{2} + 25 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{25^{2} - 4 \cdot (- 8) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 8)}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{625 - 96}}{- 16}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{529}}{- 16}$

x₁ = $\frac{- 25 + \sqrt{529}}{- 16}$ = $\frac{- 25+23}{- 16}$ = $\frac{- 2}{- 16}$ = $0,125$

x₂ = $\frac{- 25 - \sqrt{529}}{- 16}$ = $\frac{- 25-23}{- 16}$ = $\frac{- 48}{- 16}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 8$ " teilen:

$- 8 x^{2} + 25 x - 3$ = 0 |: $- 8$

$x^{2} - \frac{25}{8} x + \frac{3}{8}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{25}{16})}^{2} - (\frac{3}{8})$ = $\frac{625}{256}$ $-$ $\frac{3}{8}$ = $\frac{625}{256}$ $-$ $\frac{96}{256}$ = $\frac{529}{256}$

x_1,2 = $\frac{25}{16}$ ± $\sqrt{\frac{529}{256}}$

x₁ = $\frac{25}{16}$ - $\frac{23}{16}$ = $\frac{2}{16}$ = 0.125

x₂ = $\frac{25}{16}$ + $\frac{23}{16}$ = $\frac{48}{16}$ = 3

Lösung x= $3$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $0,125$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{60}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x} - \frac{4}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$- \frac{60}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x} - \frac{4}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$- \frac{60}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3} - \frac{4}{x^{2}} \cdot x^{3}$
$- 60$	=	$- x^{2} - 4 x$

- 60

=

- x^{2} - 4 x

|

+ x^{2}

+ 4 x

$x^{2} + 4 x - 60$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 60)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 240}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{256}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{- 4+16}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{- 4-16}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 60)$ = $4$ $+$ $60$ = $64$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{64}$

x₁ = $- 2$ - $8$ = -10

x₂ = $- 2$ + $8$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $6$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a - \frac{12}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a - \frac{12}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a - \frac{12}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$a \cdot x - \frac{12}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a x - 12$	=	$- x^{2}$
$a x - 12 + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x - 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 6)$ = -12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 6)$ = $4$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 4 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 4 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 2$ - $4$ = -6

x₂ = $- 2$ + $4$ = 2

L={ $- 6$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):