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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{9}{x}$ = $- x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{9}{x}$	=	$- x$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{9}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 9$	=	$- x \cdot x$
$- 9$	=	$- x^{2}$

$- 9$	=	$- x^{2}$	\| $+ 9$ $+ x^{2}$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x + 5$ = $- 5 - \frac{16}{x}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x + 5$	=	$- 5 - \frac{16}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x + 5 \cdot x$	=	$- 5 \cdot x - \frac{16}{x} \cdot x$
$x \cdot x + 5 x$	=	$- 5 x - 16$
$x^{2} + 5 x$	=	$- 5 x - 16$

x^{2} + 5 x

=

- 5 x - 16

|

+ 5 x

+ 16

$x^{2} + 10 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 10+6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 10-6}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - 16$ = $25$ $-$ $16$ = $9$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 5$ - $3$ = -8

x₂ = $- 5$ + $3$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $- 2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 22 x}{x + 4}$ = $- 3 x + 1$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 4$

D=R\{ $- 4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 4$ weg!

$\frac{- 22 x}{x + 4}$	=	$- 3 x + 1$	\|⋅( $x + 4$ )
$\frac{- 22 x}{x + 4} \cdot (x + 4)$	=	$- 3 x \cdot (x + 4) + 1 \cdot (x + 4)$
$- \frac{22 x}{1}$	=	$- 3 x \cdot (x + 4) + x + 4$
$- 22 x$	=	$- 3 x \cdot (x + 4) + x + 4$
$- 22 x$	=	$- 3 x^{2} - 11 x + 4$

- 22 x

=

- 3 x^{2} - 11 x + 4

|

+ 3 x^{2}

+ 11 x

- 4

$3 x^{2} - 11 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 + 48}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{169}}{6}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{169}}{6}$ = $\frac{11+13}{6}$ = $\frac{24}{6}$ = $4$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{169}}{6}$ = $\frac{11-13}{6}$ = $\frac{- 2}{6}$ = $- \frac{1}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 11 x - 4$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{11}{3} x - \frac{4}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{6})}^{2} - (- \frac{4}{3})$ = $\frac{121}{36}$ $+$ $\frac{4}{3}$ = $\frac{121}{36}$ $+$ $\frac{48}{36}$ = $\frac{169}{36}$

x_1,2 = $\frac{11}{6}$ ± $\sqrt{\frac{169}{36}}$

x₁ = $\frac{11}{6}$ - $\frac{13}{6}$ = $- \frac{2}{6}$ = -0.33333333333333

x₂ = $\frac{11}{6}$ + $\frac{13}{6}$ = $\frac{24}{6}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{1}{3}$ ; $4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x + 20} + 4 x$ = $- \frac{12,6}{x + 4}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

\frac{x}{5 (x + 4)} + 4 x

=

- \frac{12,6}{x + 4}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 4)$ weg!

$\frac{x}{5 (x + 4)} + 4 x$	=	$- \frac{12,6}{x + 4}$	\|⋅( $5 (x + 4)$ )
$\frac{x}{5 (x + 4)} \cdot (5 (x + 4)) + 4 x \cdot (5 (x + 4))$	=	$- \frac{12,6}{x + 4} \cdot (5 (x + 4))$
$x + 20 x \cdot (x + 4)$	=	$- 63$
$x + (20 x^{2} + 80 x)$	=	$- 63$
$20 x^{2} + 81 x$	=	$- 63$

20 x^{2} + 81 x

=

- 63

|

+ 63

$20 x^{2} + 81 x + 63$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 81 \pm \sqrt{81^{2} - 4 \cdot 20 \cdot 63}}{2 \cdot 20}$

x_1,2 = $\frac{- 81 \pm \sqrt{6 561 - 5 040}}{40}$

x_1,2 = $\frac{- 81 \pm \sqrt{1 521}}{40}$

x₁ = $\frac{- 81 + \sqrt{1 521}}{40}$ = $\frac{- 81+39}{40}$ = $\frac{- 42}{40}$ = $- 1,05$

x₂ = $\frac{- 81 - \sqrt{1 521}}{40}$ = $\frac{- 81-39}{40}$ = $\frac{- 120}{40}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $20$ " teilen:

$20 x^{2} + 81 x + 63$ = 0 |: $20$

$x^{2} + \frac{81}{20} x + \frac{63}{20}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{81}{40})}^{2} - (\frac{63}{20})$ = $\frac{6561}{1600}$ $-$ $\frac{63}{20}$ = $\frac{6561}{1600}$ $-$ $\frac{5040}{1600}$ = $\frac{1521}{1600}$

x_1,2 = $- \frac{81}{40}$ ± $\sqrt{\frac{1521}{1600}}$

x₁ = $- \frac{81}{40}$ - $\frac{39}{40}$ = $- \frac{120}{40}$ = -3

x₂ = $- \frac{81}{40}$ + $\frac{39}{40}$ = $- \frac{42}{40}$ = -1.05

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 1,05$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{3}{x} - \frac{18}{x^{2}}$ = $- 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$- \frac{3}{x} - \frac{18}{x^{2}}$	=	$- 1$	\|⋅( $x^{2}$ )
$- \frac{3}{x} \cdot x^{2} - \frac{18}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2}$
$- 3 x - 18$	=	$- x^{2}$

- 3 x - 18

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - 3 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{3+9}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{3-9}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $6$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + 11$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + 11$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + 11$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + 11 \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$x^{2} + 11 x$	=	$- a$
$x^{2} + 11 x + a$	=	0
$x^{2} + 11 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 11 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 11 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -13 würde es funktionieren, denn $- (2 - 13)$ = 11

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 13)$ = $- 26$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -26 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 11 x - 26$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 26)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 + 104}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{225}}{2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{- 11+15}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{- 11-15}{2}$ = $\frac{- 26}{2}$ = $- 13$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{2})}^{2} - (- 26)$ = $\frac{121}{4}$ $+$ $26$ = $\frac{121}{4}$ $+$ $\frac{104}{4}$ = $\frac{225}{4}$

x_1,2 = $- \frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{225}{4}}$

x₁ = $- \frac{11}{2}$ - $\frac{15}{2}$ = $- \frac{26}{2}$ = -13

x₂ = $- \frac{11}{2}$ + $\frac{15}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 13$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):