Mathebattle EduRandomtasks

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{8}{x}$ = $- 2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{8}{x}$	=	$- 2 x$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{8}{x} \cdot x$	=	$- 2 x \cdot x$
$- 8$	=	$- 2 x \cdot x$
$- 8$	=	$- 2 x^{2}$

$- 8$	=	$- 2 x^{2}$	\| $+ 8$ $+ 2 x^{2}$
$2 x^{2}$	=	$8$	\|: $2$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x$ = $\frac{2 x - 3}{x - 2}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $2$

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$x$	=	$\frac{2 x - 3}{x - 2}$	\|⋅( $x - 2$ )
$x \cdot (x - 2)$	=	$\frac{2 x - 3}{x - 2} \cdot (x - 2)$
$x \cdot (x - 2)$	=	$2 x - 3$
$x \cdot x + x \cdot (- 2)$	=	$2 x - 3$
$x \cdot x - 2 x$	=	$2 x - 3$
$x^{2} - 2 x$	=	$2 x - 3$

x^{2} - 2 x

=

2 x - 3

|

- 2 x

+ 3

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4+2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4-2}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $2$ - $1$ = 1

x₂ = $2$ + $1$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 3}{x - 3} + x$ = $5$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $3$

D=R\{ $3$ }

- \frac{3}{x - 3} + x

=

5

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$- \frac{3}{x - 3} + x$	=	$5$	\|⋅( $x - 3$ )
$- \frac{3}{x - 3} \cdot (x - 3) + x \cdot (x - 3)$	=	$5 \cdot (x - 3)$
$- 3 + x \cdot (x - 3)$	=	$5 (x - 3)$
$- 3 + (x^{2} - 3 x)$	=	$5 (x - 3)$
$x^{2} - 3 x - 3$	=	$5 x - 15$

x^{2} - 3 x - 3

=

5 x - 15

|

- 5 x

+ 15

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ ; $6$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x + 10} + \frac{44,4}{x + 2} - 3 x$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

$\frac{x}{5 x + 10} + \frac{44,4}{x + 2} - 3 x$	=	0
$\frac{x}{5 (x + 2)} + \frac{44,4}{x + 2} - 3 x$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 2)$ weg!

$\frac{x}{5 (x + 2)} + \frac{44,4}{x + 2} - 3 x$	=	\|⋅( $5 (x + 2)$ )
$\frac{x}{5 (x + 2)} \cdot (5 (x + 2)) + \frac{44,4}{x + 2} \cdot (5 (x + 2)) - 3 x \cdot (5 (x + 2))$	=
$x + 222 - 15 x \cdot (x + 2)$	=
$x + 222 + (- 15 x^{2} - 30 x)$	=
$- 15 x^{2} - 29 x + 222$	=

$- 15 x^{2} - 29 x + 222$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{{(- 29)}^{2} - 4 \cdot (- 15) \cdot 222}}{2 \cdot (- 15)}$

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{841 + 13 320}}{- 30}$

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{14 161}}{- 30}$

x₁ = $\frac{29 + \sqrt{14 161}}{- 30}$ = $\frac{29+119}{- 30}$ = $\frac{148}{- 30}$ = $- \frac{74}{15}$ ≈ -4.93

x₂ = $\frac{29 - \sqrt{14 161}}{- 30}$ = $\frac{29-119}{- 30}$ = $\frac{- 90}{- 30}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 15$ " teilen:

$- 15 x^{2} - 29 x + 222$ = 0 |: $- 15$

$x^{2} + \frac{29}{15} x - \frac{74}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{29}{30})}^{2} - (- \frac{74}{5})$ = $\frac{841}{900}$ $+$ $\frac{74}{5}$ = $\frac{841}{900}$ $+$ $\frac{13320}{900}$ = $\frac{14161}{900}$

x_1,2 = $- \frac{29}{30}$ ± $\sqrt{\frac{14161}{900}}$

x₁ = $- \frac{29}{30}$ - $\frac{119}{30}$ = $- \frac{148}{30}$ = -4.9333333333333

x₂ = $- \frac{29}{30}$ + $\frac{119}{30}$ = $\frac{90}{30}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{74}{15}$ ; $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 4 x - 32}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{- 4 x - 32}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{- 4 x - 32}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$
$- 4 x - 32$	=	$- x^{2}$

- 4 x - 32

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - 4 x - 32$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 32)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 128}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{4+12}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{4-12}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 32)$ = $4$ $+$ $32$ = $36$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $2$ - $6$ = -4

x₂ = $2$ + $6$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $8$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + a$ = $\frac{20}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + a$ = $\frac{20}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + a$	=	$\frac{20}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + a \cdot x$	=	$\frac{20}{x} \cdot x$
$x^{2} + a x$	=	$20$
$x^{2} + a x - 20$	=	0
$x^{2} + a x - 20$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 20$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -20 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -10 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 10)$ = -20

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 10)$ = $8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 8 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8+12}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8-12}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - (- 20)$ = $16$ $+$ $20$ = $36$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 4$ - $6$ = -10

x₂ = $- 4$ + $6$ = 2

L={ $- 10$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):