Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $-2$

D=R\{ $-2$}

Wir multiplizieren den Nenner $x+2$ weg!

$\frac{-3x}{x+2}$	=	$3x$	|⋅( $x+2$)
$\frac{-3x}{x+2}·\left(x+2\right)$	=	$3x·\left(x+2\right)$
$-\frac{3x}{1}$	=	$3x\left(x+2\right)$
$-3x$	=	$3x\left(x+2\right)$
$-3x$	=	$3x^2+6x$

$-3x$	=	$3x^2+6x$	| $-\left(3x^2+6x\right)$
$-3x^2-3x-6x$	=	0
$-3x^2-9x$	=	0
$-3x\left(x+3\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $-3$; 0}

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x-4$	=	$-7-\frac{2}{x}$	|⋅( $x$)
$x·x-4·x$	=	$-7·x-\frac{2}{x}·x$
$x·x-4x$	=	$-7x-2$
$x^2-4x$	=	$-7x-2$

$x^2-4x$

=

$-7x-2$

| $+7x$ $+2$

$x^2+3x+2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{3^2-4·1·2}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{9-8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{-3+\sqrt{1}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{2}$ = $-1$

x₂ = $\frac{-3-\sqrt{1}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{2}$ = $-2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $-2$; $-1$}

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $-1$

D=R\{ $-1$}

Wir multiplizieren den Nenner $x+1$ weg!

$\frac{8x}{x+1}+3x-3$	=	0	|⋅( $x+1$)
$\frac{8x}{x+1}·\left(x+1\right)+3x·\left(x+1\right)-3·\left(x+1\right)$	=	0
$8x+3x\left(x+1\right)-3x-3$	=	0
$8x+\left(3x^2+3x\right)-3x-3$	=	0
$3x^2+8x-3$	=	0

$3x^2+8x-3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{8^2-4·3·\left(-3\right)}}{2\cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{64+36}}{6}$

x_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{100}}{6}$

x₁ = $\frac{-8+\sqrt{100}}{6}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>8</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>10</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>6</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{6}$ = $\frac{1}{3}$ ≈ 0.33

x₂ = $\frac{-8-\sqrt{100}}{6}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>8</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>10</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>6</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-18}{6}$ = $-3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $-3$; $\frac{1}{3}$}

D=R\{ $3$}

0	=	$-\frac{x}{2x-6}-\frac{\mathrm{12,5}}{x-3}+3x$
0	=	$-\frac{x}{2\left(x-3\right)}-\frac{\mathrm{12,5}}{x-3}+3x$	|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2\left(x-3\right)$ weg!

0	=	$-\frac{x}{2\left(x-3\right)}-\frac{\mathrm{12,5}}{x-3}+3x$	|⋅( $2\left(x-3\right)$)
0	=	$-\frac{x}{2\left(x-3\right)}·\left(2\left(x-3\right)\right)+\frac{-\mathrm{12,5}}{x-3}·\left(2\left(x-3\right)\right)+3x·\left(2\left(x-3\right)\right)$
0	=	$-x-25+6x\left(x-3\right)$
0	=	$6x^2-19x-25$

0

=

$6x^2-19x-25$

| $-6x^2$ $+19x$ $+25$

$-6x^2+19x+25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-19\pm \sqrt{{19}^2-4·\left(-6\right)·25}}{2\cdot \left(-6\right)}$

x_1,2 = $\frac{-19\pm \sqrt{361+600}}{-12}$

x_1,2 = $\frac{-19\pm \sqrt{961}}{-12}$

x₁ = $\frac{-19+\sqrt{961}}{-12}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>19</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>31</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>12</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{12}{-12}$ = $-1$

x₂ = $\frac{-19-\sqrt{961}}{-12}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>19</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>31</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>12</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-50}{-12}$ = $\frac{25}{6}$ ≈ 4.17

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $-1$; $\frac{25}{6}$}

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^4$ weg!

$\frac{1}{x^2}$	=	$\frac{15}{x^3}-\frac{54}{x^4}$	|⋅( $x^4$)
$\frac{1}{x^2}·x^4$	=	$\frac{15}{x^3}·x^4-\frac{54}{x^4}·x^4$
$x^2$	=	$15x-54$

$x^2$

=

$15x-54$

| $-15x$ $+54$

$x^2-15x+54$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+15\pm \sqrt{{\left(-15\right)}^2-4·1·54}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+15\pm \sqrt{225-216}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+15\pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{15+\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>15</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{15-\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>15</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $6$; $9$}

D=R\{0}

$a+x$ = $-\frac{18}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a+x$	=	$-\frac{18}{x}$	|⋅x
$a·x+x·x$	=	$-\frac{18}{x}·x$
$ax+x^2$	=	$-18$
$ax+x^2+18$	=	0
$x^2+ax+18$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^2+ax+18$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 18 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 9 würde es funktionieren, denn $2·9$ = 18

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $-\left(2+9\right)$ = $-11$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -11 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^2-11x+18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+11\pm \sqrt{{\left(-11\right)}^2-4·1·18}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+11\pm \sqrt{121-72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+11\pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{11+\sqrt{49}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>11</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{11-\sqrt{49}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>11</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$; $9$}