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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{27}{x}$ = $3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{27}{x}$	=	$3 x$	\|⋅( $x$ )
$\frac{27}{x} \cdot x$	=	$3 x \cdot x$
$27$	=	$3 x \cdot x$
$27$	=	$3 x^{2}$

$27$	=	$3 x^{2}$	\| $- 27$ $- 3 x^{2}$
$- 3 x^{2}$	=	$- 27$	\|: $(- 3)$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 39 x - 21}{x - 5}$ = $3 x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $5$

D=R\{ $5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

$\frac{- 39 x - 21}{x - 5}$	=	$3 x$	\|⋅( $x - 5$ )
$\frac{- 39 x - 21}{x - 5} \cdot (x - 5)$	=	$3 x \cdot (x - 5)$
$- 39 x - 21$	=	$3 x \cdot (x - 5)$
$- 39 x - 21$	=	$3 x^{2} - 15 x$

- 39 x - 21

=

3 x^{2} - 15 x

|

- 3 x^{2}

+ 15 x

- 3 x^{2} - 24 x - 21

= 0 |:3

$- x^{2} - 8 x - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 7)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{8+6}{- 2}$ = $\frac{14}{- 2}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{8-6}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 8 x - 7$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 8 x + 7$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 7$ = $16$ $-$ $7$ = $9$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 4$ - $3$ = -7

x₂ = $- 4$ + $3$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $- 1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 3 x}{2 x - 2} + 3$ = $- x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $1$

D=R\{ $1$ }

$- \frac{3 x}{2 x - 2} + 3$	=	$- x$
$- \frac{3 x}{2 (x - 1)} + 3$	=	$- x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 1)$ weg!

$- \frac{3 x}{2 (x - 1)} + 3$	=	$- x$	\|⋅( $2 (x - 1)$ )
$- \frac{3 x}{2 (x - 1)} \cdot (2 (x - 1)) + 3 \cdot (2 (x - 1))$	=	$- x \cdot (2 (x - 1))$
$- 3 x + 6 x - 6$	=	$- 2 x \cdot (x - 1)$
$3 x - 6$	=	$- 2 x^{2} + 2 x$

3 x - 6

=

- 2 x^{2} + 2 x

|

+ 2 x^{2}

- 2 x

$2 x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{4}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{- 1+7}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = $1,5$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{- 1-7}{4}$ = $\frac{- 8}{4}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + x - 6$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{1}{2} x - 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{4})}^{2} - (- 3)$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $3$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{48}{16}$ = $\frac{49}{16}$

x_1,2 = $- \frac{1}{4}$ ± $\sqrt{\frac{49}{16}}$

x₁ = $- \frac{1}{4}$ - $\frac{7}{4}$ = $- \frac{8}{4}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{4}$ + $\frac{7}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = 1.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $1,5$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 11,4}{x + 1} + 2 x$ = $- \frac{x}{5 x + 5}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

$- \frac{11,4}{x + 1} + 2 x$	=	$\frac{- x}{5 x + 5}$
$- \frac{11,4}{x + 1} + 2 x$	=	$\frac{- x}{5 (x + 1)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 1)$ weg!

$- \frac{11,4}{x + 1} + 2 x$	=	$\frac{- x}{5 (x + 1)}$	\|⋅( $5 (x + 1)$ )
$\frac{- 11,4}{x + 1} \cdot (5 (x + 1)) + 2 x \cdot (5 (x + 1))$	=	$\frac{- x}{5 (x + 1)} \cdot (5 (x + 1))$
$- 57 + 10 x \cdot (x + 1)$	=	$- x$
$- 57 + (10 x^{2} + 10 x)$	=	$- x$
$10 x^{2} + 10 x - 57$	=	$- x$

10 x^{2} + 10 x - 57

=

- x

|

+ x

$10 x^{2} + 11 x - 57$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 10 \cdot (- 57)}}{2 \cdot 10}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 + 2 280}}{20}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{2 401}}{20}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{2 401}}{20}$ = $\frac{- 11+49}{20}$ = $\frac{38}{20}$ = $1,9$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{2 401}}{20}$ = $\frac{- 11-49}{20}$ = $\frac{- 60}{20}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $10$ " teilen:

$10 x^{2} + 11 x - 57$ = 0 |: $10$

$x^{2} + \frac{11}{10} x - \frac{57}{10}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{20})}^{2} - (- \frac{57}{10})$ = $\frac{121}{400}$ $+$ $\frac{57}{10}$ = $\frac{121}{400}$ $+$ $\frac{2280}{400}$ = $\frac{2401}{400}$

x_1,2 = $- \frac{11}{20}$ ± $\sqrt{\frac{2401}{400}}$

x₁ = $- \frac{11}{20}$ - $\frac{49}{20}$ = $- \frac{60}{20}$ = -3

x₂ = $- \frac{11}{20}$ + $\frac{49}{20}$ = $\frac{38}{20}$ = 1.9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $1,9$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 - \frac{14}{x}$ = $- \frac{48}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{14}{x}$	=	$- \frac{48}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{14}{x} \cdot x^{2}$	=	$- \frac{48}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2} - 14 x$	=	$- 48$

x^{2} - 14 x

=

- 48

|

+ 48

$x^{2} - 14 x + 48$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 192}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{14 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{14+2}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{14 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{14-2}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 7)}^{2} - 48$ = $49$ $-$ $48$ = $1$

x_1,2 = $7$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $7$ - $1$ = 6

x₂ = $7$ + $1$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $6$ ; $8$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{a}{x}$ = $9$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{a}{x}$ = $9$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{a}{x}$	=	$9$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$9 \cdot x$
$x^{2} + a$	=	$9 x$
$x^{2} + a - 9 x$	=	0
$x^{2} - 9 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 9 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -9 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 7 würde es funktionieren, denn $- (2 + 7)$ = -9

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 7$ = $14$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 14 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 9 x + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9+5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9-5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

L={ $2$ ; $7$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):