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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{1}{x}$ = $x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{1}{x}$	=	$x$	\|⋅( $x$ )
$\frac{1}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x$
$1$	=	$x \cdot x$
$1$	=	$x^{2}$

$1$	=	$x^{2}$	\| $- 1$ $- x^{2}$
$- x^{2}$	=	$- 1$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 19 x - 5}{2 x}$ = $x - 4$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{- 19 x - 5}{2 x}$	=	$x - 4$	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{- 19 x - 5}{2 x} \cdot 2 x$	=	$x \cdot 2 x - 4 \cdot 2 x$
$- 19 x - 5$	=	$2 x \cdot x - 8 x$

- 19 x - 5

=

2 x^{2} - 8 x

|

- 2 x^{2}

+ 8 x

$- 2 x^{2} - 11 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 5)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 40}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{81}}{- 4}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{81}}{- 4}$ = $\frac{11+9}{- 4}$ = $\frac{20}{- 4}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{81}}{- 4}$ = $\frac{11-9}{- 4}$ = $\frac{2}{- 4}$ = $- 0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - 11 x - 5$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{11}{2} x + \frac{5}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{4})}^{2} - (\frac{5}{2})$ = $\frac{121}{16}$ $-$ $\frac{5}{2}$ = $\frac{121}{16}$ $-$ $\frac{40}{16}$ = $\frac{81}{16}$

x_1,2 = $- \frac{11}{4}$ ± $\sqrt{\frac{81}{16}}$

x₁ = $- \frac{11}{4}$ - $\frac{9}{4}$ = $- \frac{20}{4}$ = -5

x₂ = $- \frac{11}{4}$ + $\frac{9}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $- 0,5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- 1$ = $- \frac{- 21}{3 x - 1} - x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $\frac{1}{3}$

D=R\{ $\frac{1}{3}$ }

- 1

=

\frac{21}{3 x - 1} - x

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$- 1$	=	$\frac{21}{3 x - 1} - x$	\|⋅( $3 x - 1$ )
$- 1 \cdot (3 x - 1)$	=	$\frac{21}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) - x \cdot (3 x - 1)$
$- (3 x - 1)$	=	$21 - x \cdot (3 x - 1)$
$- 3 x + 1$	=	$21 - x \cdot (3 x - 1)$
$- 3 x + 1$	=	$- 3 x^{2} + x + 21$

- 3 x + 1

=

- 3 x^{2} + x + 21

|

+ 3 x^{2}

- x

- 21

$3 x^{2} - 4 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 240}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{256}}{6}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{256}}{6}$ = $\frac{4+16}{6}$ = $\frac{20}{6}$ = $\frac{10}{3}$ ≈ 3.33

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{256}}{6}$ = $\frac{4-16}{6}$ = $\frac{- 12}{6}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 4 x - 20$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{4}{3} x - \frac{20}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{2}{3})}^{2} - (- \frac{20}{3})$ = $\frac{4}{9}$ $+$ $\frac{20}{3}$ = $\frac{4}{9}$ $+$ $\frac{60}{9}$ = $\frac{64}{9}$

x_1,2 = $\frac{2}{3}$ ± $\sqrt{\frac{64}{9}}$

x₁ = $\frac{2}{3}$ - $\frac{8}{3}$ = $- \frac{6}{3}$ = -2

x₂ = $\frac{2}{3}$ + $\frac{8}{3}$ = $\frac{10}{3}$ = 3.3333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $\frac{10}{3}$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{5 x - 5} - \frac{60,8}{x - 1} + 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

0	=	$- \frac{x}{5 x - 5} - \frac{60,8}{x - 1} + 3 x$
0	=	$- \frac{x}{5 (x - 1)} - \frac{60,8}{x - 1} + 3 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x - 1)$ weg!

=	$- \frac{x}{5 (x - 1)} - \frac{60,8}{x - 1} + 3 x$	\|⋅( $5 (x - 1)$ )
=	$- \frac{x}{5 (x - 1)} \cdot (5 (x - 1)) + \frac{- 60,8}{x - 1} \cdot (5 (x - 1)) + 3 x \cdot (5 (x - 1))$
=	$- x - 304 + 15 x \cdot (x - 1)$
=	$15 x^{2} - 16 x - 304$

0

=

15 x^{2} - 16 x - 304

|

- 15 x^{2}

+ 16 x

+ 304

$- 15 x^{2} + 16 x + 304$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot (- 15) \cdot 304}}{2 \cdot (- 15)}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 + 18 240}}{- 30}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{18 496}}{- 30}$

x₁ = $\frac{- 16 + \sqrt{18 496}}{- 30}$ = $\frac{- 16+136}{- 30}$ = $\frac{120}{- 30}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 16 - \sqrt{18 496}}{- 30}$ = $\frac{- 16-136}{- 30}$ = $\frac{- 152}{- 30}$ = $\frac{76}{15}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 15$ " teilen:

$- 15 x^{2} + 16 x + 304$ = 0 |: $- 15$

$x^{2} - \frac{16}{15} x - \frac{304}{15}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{8}{15})}^{2} - (- \frac{304}{15})$ = $\frac{64}{225}$ $+$ $\frac{304}{15}$ = $\frac{64}{225}$ $+$ $\frac{4560}{225}$ = $\frac{4624}{225}$

x_1,2 = $\frac{8}{15}$ ± $\sqrt{\frac{4624}{225}}$

x₁ = $\frac{8}{15}$ - $\frac{68}{15}$ = $- \frac{60}{15}$ = -4

x₂ = $\frac{8}{15}$ + $\frac{68}{15}$ = $\frac{76}{15}$ = 5.0666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $\frac{76}{15}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x}$ = $\frac{- 8 x + 7}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$- \frac{1}{x}$	=	$\frac{- 8 x + 7}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$	=	$\frac{- 8 x + 7}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$- x^{2}$	=	$- 8 x + 7$

- x^{2}

=

- 8 x + 7

|

+ 8 x

- 7

$- x^{2} + 8 x - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 7)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 8+6}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 8-6}{- 2}$ = $\frac{- 14}{- 2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 8 x - 7$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 8 x + 7$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 7$ = $16$ $-$ $7$ = $9$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $4$ - $3$ = 1

x₂ = $4$ + $3$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $7$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + x$ = $9$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + x$ = $9$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + x$	=	$9$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$9 \cdot x$
$a + x^{2}$	=	$9 x$
$a + x^{2} - 9 x$	=	0
$x^{2} - 9 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 9 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -9 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 7 würde es funktionieren, denn $- (2 + 7)$ = -9

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 7$ = $14$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 14 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 9 x + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9+5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9-5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

L={ $2$ ; $7$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):