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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{3 x}{x + 4}$ = $3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 4$

D=R\{ $- 4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 4$ weg!

$\frac{- 3 x}{x + 4}$	=	$3 x$	\|⋅( $x + 4$ )
$\frac{- 3 x}{x + 4} \cdot (x + 4)$	=	$3 x \cdot (x + 4)$
$- \frac{3 x}{1}$	=	$3 x (x + 4)$
$- 3 x$	=	$3 x (x + 4)$
$- 3 x$	=	$3 x^{2} + 12 x$

$- 3 x$	=	$3 x^{2} + 12 x$	\| $- (3 x^{2} + 12 x)$
$- 3 x^{2} - 3 x - 12 x$	=	0
$- 3 x^{2} - 15 x$	=	0
$- 3 x (x + 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₂	=	$- 5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; 0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- 2 - \frac{3}{x}$ = $x + 2$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- 2 - \frac{3}{x}$	=	$x + 2$	\|⋅( $x$ )
$- 2 \cdot x - \frac{3}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 2 \cdot x$
$- 2 x - 3$	=	$x \cdot x + 2 x$

- 2 x - 3

=

x^{2} + 2 x

|

- x^{2}

- 2 x

$- x^{2} - 4 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{4+2}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{4-2}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 4 x - 3$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 4 x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 2$ - $1$ = -3

x₂ = $- 2$ + $1$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{9}{2 x + 1} + x + 5$ = 0

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- \frac{1}{2}$

D=R\{ $- \frac{1}{2}$ }

\frac{9}{2 x + 1} + x + 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$\frac{9}{2 x + 1} + x + 5$	=	\|⋅( $2 x + 1$ )
$\frac{9}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) + x \cdot (2 x + 1) + 5 \cdot (2 x + 1)$	=
$9 + x (2 x + 1) + 10 x + 5$	=
$9 + (2 x^{2} + x) + 10 x + 5$	=
$2 x^{2} + 11 x + 14$	=

$2 x^{2} + 11 x + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 14}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 112}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{9}}{4}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 11+3}{4}$ = $\frac{- 8}{4}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 11-3}{4}$ = $\frac{- 14}{4}$ = $- 3,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 11 x + 14$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{11}{2} x + 7$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{4})}^{2} - 7$ = $\frac{121}{16}$ $-$ $7$ = $\frac{121}{16}$ $-$ $\frac{112}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $- \frac{11}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $- \frac{11}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $- \frac{14}{4}$ = -3.5

x₂ = $- \frac{11}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $- \frac{8}{4}$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3,5$ ; $- 2$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x + 3}$ = $- \frac{76}{3 x + 3} + 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

$\frac{x}{3 x + 3}$	=	$- \frac{76}{3 x + 3} + 2 x$
$\frac{x}{3 (x + 1)}$	=	$- \frac{76}{3 (x + 1)} + 2 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 1)$ weg!

$\frac{x}{3 (x + 1)}$	=	$- \frac{76}{3 (x + 1)} + 2 x$	\|⋅( $3 (x + 1)$ )
$\frac{x}{3 (x + 1)} \cdot (3 (x + 1))$	=	$- \frac{76}{3 (x + 1)} \cdot (3 (x + 1)) + 2 x \cdot (3 (x + 1))$
$x$	=	$- 76 + 6 x (x + 1)$
$x$	=	$6 x^{2} + 6 x - 76$

x

=

6 x^{2} + 6 x - 76

|

- 6 x^{2}

- 6 x

+ 76

$- 6 x^{2} - 5 x + 76$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 6) \cdot 76}}{2 \cdot (- 6)}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 1 824}}{- 12}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1 849}}{- 12}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1 849}}{- 12}$ = $\frac{5+43}{- 12}$ = $\frac{48}{- 12}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1 849}}{- 12}$ = $\frac{5-43}{- 12}$ = $\frac{- 38}{- 12}$ = $\frac{19}{6}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 6$ " teilen:

$- 6 x^{2} - 5 x + 76$ = 0 |: $- 6$

$x^{2} + \frac{5}{6} x - \frac{38}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{12})}^{2} - (- \frac{38}{3})$ = $\frac{25}{144}$ $+$ $\frac{38}{3}$ = $\frac{25}{144}$ $+$ $\frac{1824}{144}$ = $\frac{1849}{144}$

x_1,2 = $- \frac{5}{12}$ ± $\sqrt{\frac{1849}{144}}$

x₁ = $- \frac{5}{12}$ - $\frac{43}{12}$ = $- \frac{48}{12}$ = -4

x₂ = $- \frac{5}{12}$ + $\frac{43}{12}$ = $\frac{38}{12}$ = 3.1666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $\frac{19}{6}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x}$ = $\frac{20}{x^{2}} - \frac{100}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x}$	=	$\frac{20}{x^{2}} - \frac{100}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3}$	=	$\frac{20}{x^{2}} \cdot x^{3} - \frac{100}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$x^{2}$	=	$20 x - 100$

x^{2}

=

20 x - 100

|

- 20 x

+ 100

$x^{2} - 20 x + 100$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{{(- 20)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{400 - 400}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{20}{2}$ = $10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 10)}^{2} - 100$ = $100$ $-$ $100$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $10$ ± 0 = $10$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $10$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{12}{x} + x$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{12}{x} + x$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{12}{x} + x$	=	$- a$	\|⋅x
$\frac{12}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$12 + x^{2}$	=	$- a x$
$12 + x^{2} + a x$	=	0
$x^{2} + a x + 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 6$ = 12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 6)$ = $- 8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

L={ $2$ ; $6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):