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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{0}{x - 4}$ = $3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $4$

D=R\{ $4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 4$ weg!

$\frac{0}{x - 4}$	=	$3 x$	\|⋅( $x - 4$ )
$\frac{0}{x - 4} \cdot (x - 4)$	=	$3 x \cdot (x - 4)$
0	=	$3 x \cdot (x - 4)$
0	=	$3 x^{2} - 12 x$

0	=	$3 x^{2} - 12 x$	\| $- (3 x^{2} - 12 x)$
$- 3 x^{2} + 12 x$	=	0
$3 x \cdot (- x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$4$

Lösung x= $4$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- 9 - \frac{4}{x}$ = $x - 5$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- 9 - \frac{4}{x}$	=	$x - 5$	\|⋅( $x$ )
$- 9 \cdot x - \frac{4}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 5 \cdot x$
$- 9 x - 4$	=	$x \cdot x - 5 x$

- 9 x - 4

=

x^{2} - 5 x

|

- x^{2}

+ 5 x

$- x^{2} - 4 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 4 x - 4$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 2$ ± 0 = $- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x + 2$ = $- \frac{2 x}{3 x + 3}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 1$

D=R\{ $- 1$ }

x + 2

=

\frac{- 2 x}{3 (x + 1)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 1)$ weg!

$x + 2$	=	$\frac{- 2 x}{3 (x + 1)}$	\|⋅( $3 (x + 1)$ )
$x \cdot (3 (x + 1)) + 2 \cdot (3 (x + 1))$	=	$\frac{- 2 x}{3 (x + 1)} \cdot (3 (x + 1))$
$3 x \cdot (x + 1) + 6 x + 6$	=	$- 3 \frac{2 x}{3}$
$3 x \cdot (x + 1) + 6 x + 6$	=	$- 2 x$
$3 x^{2} + 3 x + 6 x + 6$	=	$- 2 x$
$3 x^{2} + 9 x + 6$	=	$- 2 x$

3 x^{2} + 9 x + 6

=

- 2 x

|

+ 2 x

$3 x^{2} + 11 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 6}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{49}}{6}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{49}}{6}$ = $\frac{- 11+7}{6}$ = $\frac{- 4}{6}$ = $- \frac{2}{3}$ ≈ -0.67

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{49}}{6}$ = $\frac{- 11-7}{6}$ = $\frac{- 18}{6}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 11 x + 6$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{11}{3} x + 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{6})}^{2} - 2$ = $\frac{121}{36}$ $-$ $2$ = $\frac{121}{36}$ $-$ $\frac{72}{36}$ = $\frac{49}{36}$

x_1,2 = $- \frac{11}{6}$ ± $\sqrt{\frac{49}{36}}$

x₁ = $- \frac{11}{6}$ - $\frac{7}{6}$ = $- \frac{18}{6}$ = -3

x₂ = $- \frac{11}{6}$ + $\frac{7}{6}$ = $- \frac{4}{6}$ = -0.66666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- \frac{2}{3}$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{5 x + 5} - \frac{0,2}{x + 1} - 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

0	=	$- \frac{x}{5 x + 5} - \frac{0,2}{x + 1} - 3 x$
0	=	$- \frac{x}{5 (x + 1)} - \frac{0,2}{x + 1} - 3 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 1)$ weg!

=	$- \frac{x}{5 (x + 1)} - \frac{0,2}{x + 1} - 3 x$	\|⋅( $5 (x + 1)$ )
=	$- \frac{x}{5 (x + 1)} \cdot (5 (x + 1)) + \frac{- 0,2}{x + 1} \cdot (5 (x + 1)) - 3 x \cdot (5 (x + 1))$
=	$- x - 1 - 15 x \cdot (x + 1)$
=	$- 15 x^{2} - 16 x - 1$

0

=

- 15 x^{2} - 16 x - 1

|

+ 15 x^{2}

+ 16 x

+ 1

$15 x^{2} + 16 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot 15 \cdot 1}}{2 \cdot 15}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 60}}{30}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{196}}{30}$

x₁ = $\frac{- 16 + \sqrt{196}}{30}$ = $\frac{- 16+14}{30}$ = $\frac{- 2}{30}$ = $- \frac{1}{15}$ ≈ -0.07

x₂ = $\frac{- 16 - \sqrt{196}}{30}$ = $\frac{- 16-14}{30}$ = $\frac{- 30}{30}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $15$ " teilen:

$15 x^{2} + 16 x + 1$ = 0 |: $15$

$x^{2} + \frac{16}{15} x + \frac{1}{15}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{8}{15})}^{2} - (\frac{1}{15})$ = $\frac{64}{225}$ $-$ $\frac{1}{15}$ = $\frac{64}{225}$ $-$ $\frac{15}{225}$ = $\frac{49}{225}$

x_1,2 = $- \frac{8}{15}$ ± $\sqrt{\frac{49}{225}}$

x₁ = $- \frac{8}{15}$ - $\frac{7}{15}$ = $- \frac{15}{15}$ = -1

x₂ = $- \frac{8}{15}$ + $\frac{7}{15}$ = $- \frac{1}{15}$ = -0.066666666666667

Lösung x= $- 1$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $- \frac{1}{15}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- 1 + \frac{1}{x} + \frac{30}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

=	$- 1 + \frac{1}{x} + \frac{30}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
=	$- 1 \cdot x^{2} + \frac{1}{x} \cdot x^{2} + \frac{30}{x^{2}} \cdot x^{2}$
=	$- x^{2} + x + 30$

0

=

- x^{2} + x + 30

|

+ x^{2}

- x

- 30

$x^{2} - x - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{1+11}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{1-11}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 30)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $30$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $6$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x - 4$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x - 4$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x - 4$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x - 4 \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$x^{2} - 4 x$	=	$- a$
$x^{2} - 4 x + a$	=	0
$x^{2} - 4 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 4 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -4 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = 1 würde es funktionieren, denn $- (3 + 1)$ = -4

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $3 \cdot 1$ = $3$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 3 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4+2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4-2}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $2$ - $1$ = 1

x₂ = $2$ + $1$ = 3

L={ $1$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):