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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{12}{x + 1}$ = $- x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 1$

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$- \frac{12}{x + 1}$	=	$- x$	\|⋅( $x + 1$ )
$- \frac{12}{x + 1} \cdot (x + 1)$	=	$- x \cdot (x + 1)$
$- 12$	=	$- x (x + 1)$
$- 12$	=	$- x^{2} - x$

- 12

=

- x^{2} - x

|

+ x^{2}

+ x

$x^{2} + x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x + 2$ = $\frac{13 x - 1}{4 x}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$x + 2$	=	$\frac{13 x - 1}{4 x}$	\|⋅( $4 x$ )
$x \cdot 4 x + 2 \cdot 4 x$	=	$\frac{13 x - 1}{4 x} \cdot 4 x$
$4 x \cdot x + 8 x$	=	$13 x - 1$
$4 x^{2} + 8 x$	=	$13 x - 1$

4 x^{2} + 8 x

=

13 x - 1

|

- 13 x

+ 1

$4 x^{2} - 5 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{8}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{8}$ = $\frac{5+3}{8}$ = $\frac{8}{8}$ = $1$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{8}$ = $\frac{5-3}{8}$ = $\frac{2}{8}$ = $0,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 5 x + 1$ = 0 |: $4$

$x^{2} - \frac{5}{4} x + \frac{1}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{8})}^{2} - (\frac{1}{4})$ = $\frac{25}{64}$ $-$ $\frac{1}{4}$ = $\frac{25}{64}$ $-$ $\frac{16}{64}$ = $\frac{9}{64}$

x_1,2 = $\frac{5}{8}$ ± $\sqrt{\frac{9}{64}}$

x₁ = $\frac{5}{8}$ - $\frac{3}{8}$ = $\frac{2}{8}$ = 0.25

x₂ = $\frac{5}{8}$ + $\frac{3}{8}$ = $\frac{8}{8}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,25$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{4 x}{x + 3} + 2 x - 3$ = 0

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 3$

D=R\{ $- 3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{4 x}{x + 3} + 2 x - 3$	=	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{4 x}{x + 3} \cdot (x + 3) + 2 x \cdot (x + 3) - 3 \cdot (x + 3)$	=
$4 x + 2 x (x + 3) - 3 x - 9$	=
$4 x + (2 x^{2} + 6 x) - 3 x - 9$	=
$2 x^{2} + 7 x - 9$	=

$2 x^{2} + 7 x - 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{- 7+11}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{- 7-11}{4}$ = $\frac{- 18}{4}$ = $- 4,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 7 x - 9$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{7}{2} x - \frac{9}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{4})}^{2} - (- \frac{9}{2})$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $\frac{9}{2}$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $\frac{72}{16}$ = $\frac{121}{16}$

x_1,2 = $- \frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{121}{16}}$

x₁ = $- \frac{7}{4}$ - $\frac{11}{4}$ = $- \frac{18}{4}$ = -4.5

x₂ = $- \frac{7}{4}$ + $\frac{11}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4,5$ ; $1$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{4 x - 16} + \frac{- 83,25}{x - 4} + 4 x$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

$\frac{x}{4 x - 16} - \frac{83,25}{x - 4} + 4 x$	=	0
$\frac{x}{4 (x - 4)} - \frac{83,25}{x - 4} + 4 x$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x - 4)$ weg!

$\frac{x}{4 (x - 4)} - \frac{83,25}{x - 4} + 4 x$	=	\|⋅( $4 (x - 4)$ )
$\frac{x}{4 (x - 4)} \cdot (4 (x - 4)) + \frac{- 83,25}{x - 4} \cdot (4 (x - 4)) + 4 x \cdot (4 (x - 4))$	=
$x - 333 + 16 x (x - 4)$	=
$x - 333 + (16 x^{2} - 64 x)$	=
$16 x^{2} - 63 x - 333$	=

$16 x^{2} - 63 x - 333$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 63 \pm \sqrt{{(- 63)}^{2} - 4 \cdot 16 \cdot (- 333)}}{2 \cdot 16}$

x_1,2 = $\frac{+ 63 \pm \sqrt{3 969 + 21 312}}{32}$

x_1,2 = $\frac{+ 63 \pm \sqrt{25 281}}{32}$

x₁ = $\frac{63 + \sqrt{25 281}}{32}$ = $\frac{63+159}{32}$ = $\frac{222}{32}$ = $\frac{111}{16}$ ≈ 6.94

x₂ = $\frac{63 - \sqrt{25 281}}{32}$ = $\frac{63-159}{32}$ = $\frac{- 96}{32}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $16$ " teilen:

$16 x^{2} - 63 x - 333$ = 0 |: $16$

$x^{2} - \frac{63}{16} x - \frac{333}{16}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{63}{32})}^{2} - (- \frac{333}{16})$ = $\frac{3969}{1024}$ $+$ $\frac{333}{16}$ = $\frac{3969}{1024}$ $+$ $\frac{21312}{1024}$ = $\frac{25281}{1024}$

x_1,2 = $\frac{63}{32}$ ± $\sqrt{\frac{25281}{1024}}$

x₁ = $\frac{63}{32}$ - $\frac{159}{32}$ = $- \frac{96}{32}$ = -3

x₂ = $\frac{63}{32}$ + $\frac{159}{32}$ = $\frac{222}{32}$ = 6.9375

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $\frac{111}{16}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 + \frac{2}{x} - \frac{15}{x^{2}}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 + \frac{2}{x} - \frac{15}{x^{2}}$	=	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} + \frac{2}{x} \cdot x^{2} - \frac{15}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=
$x^{2} + 2 x - 15$	=

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x - 6$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x - 6$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x - 6$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x - 6 \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$x^{2} - 6 x$	=	$- a$
$x^{2} - 6 x + a$	=	0
$x^{2} - 6 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 6 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -6 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 4 würde es funktionieren, denn $- (2 + 4)$ = -6

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 4$ = $8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $3$ - $1$ = 2

x₂ = $3$ + $1$ = 4

L={ $2$ ; $4$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):