Mathebattle EduRandomtasks

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{12}{x - 1}$ = $x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $1$

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{12}{x - 1}$	=	$x$	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{12}{x - 1} \cdot (x - 1)$	=	$x \cdot (x - 1)$
$12$	=	$x \cdot (x - 1)$
$12$	=	$x^{2} - x$

12

=

x^{2} - x

|

- x^{2}

+ x

$- x^{2} + x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 12}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 1+7}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 1-7}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + x + 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - x - 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{21 x - 8}{x - 3}$ = $4 x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $3$

D=R\{ $3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{21 x - 8}{x - 3}$	=	$4 x$	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{21 x - 8}{x - 3} \cdot (x - 3)$	=	$4 x \cdot (x - 3)$
$21 x - 8$	=	$4 x \cdot (x - 3)$
$21 x - 8$	=	$4 x^{2} - 12 x$

21 x - 8

=

4 x^{2} - 12 x

|

- 4 x^{2}

+ 12 x

$- 4 x^{2} + 33 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 33 \pm \sqrt{33^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 33 \pm \sqrt{1 089 - 128}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 33 \pm \sqrt{961}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 33 + \sqrt{961}}{- 8}$ = $\frac{- 33+31}{- 8}$ = $\frac{- 2}{- 8}$ = $0,25$

x₂ = $\frac{- 33 - \sqrt{961}}{- 8}$ = $\frac{- 33-31}{- 8}$ = $\frac{- 64}{- 8}$ = $8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 33 x - 8$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - \frac{33}{4} x + 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{33}{8})}^{2} - 2$ = $\frac{1089}{64}$ $-$ $2$ = $\frac{1089}{64}$ $-$ $\frac{128}{64}$ = $\frac{961}{64}$

x_1,2 = $\frac{33}{8}$ ± $\sqrt{\frac{961}{64}}$

x₁ = $\frac{33}{8}$ - $\frac{31}{8}$ = $\frac{2}{8}$ = 0.25

x₂ = $\frac{33}{8}$ + $\frac{31}{8}$ = $\frac{64}{8}$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,25$ ; $8$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

0 = $- \frac{- 49}{x + 5} - 3 x - 1$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 5$

D=R\{ $- 5$ }

0

=

\frac{49}{x + 5} - 3 x - 1

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

=	$\frac{49}{x + 5} - 3 x - 1$	\|⋅( $x + 5$ )
=	$\frac{49}{x + 5} \cdot (x + 5) - 3 x \cdot (x + 5) - 1 \cdot (x + 5)$
=	$49 - 3 x \cdot (x + 5) - x - 5$
=	$- 3 x^{2} - 16 x + 44$

0

=

- 3 x^{2} - 16 x + 44

|

+ 3 x^{2}

+ 16 x

- 44

$3 x^{2} + 16 x - 44$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 44)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 + 528}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{784}}{6}$

x₁ = $\frac{- 16 + \sqrt{784}}{6}$ = $\frac{- 16+28}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 16 - \sqrt{784}}{6}$ = $\frac{- 16-28}{6}$ = $\frac{- 44}{6}$ = $- \frac{22}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 16 x - 44$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{16}{3} x - \frac{44}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{8}{3})}^{2} - (- \frac{44}{3})$ = $\frac{64}{9}$ $+$ $\frac{44}{3}$ = $\frac{64}{9}$ $+$ $\frac{132}{9}$ = $\frac{196}{9}$

x_1,2 = $- \frac{8}{3}$ ± $\sqrt{\frac{196}{9}}$

x₁ = $- \frac{8}{3}$ - $\frac{14}{3}$ = $- \frac{22}{3}$ = -7.3333333333333

x₂ = $- \frac{8}{3}$ + $\frac{14}{3}$ = $\frac{6}{3}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{22}{3}$ ; $2$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- x$ = $- \frac{x}{4 x + 4} - \frac{11}{2 x + 2}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

$- x$	=	$- \frac{x}{4 x + 4} - \frac{11}{2 x + 2}$
$- x$	=	$- \frac{x}{4 (x + 1)} - \frac{11}{2 (x + 1)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 1)$ weg!

$- x$	=	$- \frac{x}{4 (x + 1)} - \frac{11}{2 (x + 1)}$	\|⋅( $4 (x + 1)$ )
$- x \cdot (4 (x + 1))$	=	$- \frac{x}{4 (x + 1)} \cdot (4 (x + 1)) + \frac{- 11}{2 (x + 1)} \cdot (4 (x + 1))$
$- 4 x \cdot (x + 1)$	=	$- x - 22$
$- 4 x \cdot x - 4 x \cdot 1$	=	$- x - 22$
$- 4 x \cdot x - 4 x$	=	$- x - 22$
$- 4 x^{2} - 4 x$	=	$- x - 22$

- 4 x^{2} - 4 x

=

- x - 22

|

+ x

+ 22

$- 4 x^{2} - 3 x + 22$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 22}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 352}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{361}}{- 8}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{361}}{- 8}$ = $\frac{3+19}{- 8}$ = $\frac{22}{- 8}$ = $- 2,75$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{361}}{- 8}$ = $\frac{3-19}{- 8}$ = $\frac{- 16}{- 8}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 3 x + 22$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{3}{4} x - \frac{11}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{8})}^{2} - (- \frac{11}{2})$ = $\frac{9}{64}$ $+$ $\frac{11}{2}$ = $\frac{9}{64}$ $+$ $\frac{352}{64}$ = $\frac{361}{64}$

x_1,2 = $- \frac{3}{8}$ ± $\sqrt{\frac{361}{64}}$

x₁ = $- \frac{3}{8}$ - $\frac{19}{8}$ = $- \frac{22}{8}$ = -2.75

x₂ = $- \frac{3}{8}$ + $\frac{19}{8}$ = $\frac{16}{8}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2,75$ ; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- 1 + \frac{13}{x} - \frac{36}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

=	$- 1 + \frac{13}{x} - \frac{36}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
=	$- 1 \cdot x^{2} + \frac{13}{x} \cdot x^{2} - \frac{36}{x^{2}} \cdot x^{2}$
=	$- x^{2} + 13 x - 36$

0

=

- x^{2} + 13 x - 36

|

+ x^{2}

- 13 x

+ 36

$x^{2} - 13 x + 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 144}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{13+5}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{13-5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{2})}^{2} - 36$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $36$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{144}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{13}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

x₂ = $\frac{13}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ ; $9$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + a$ = $\frac{12}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + a$ = $\frac{12}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + a$	=	$\frac{12}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + a \cdot x$	=	$\frac{12}{x} \cdot x$
$x^{2} + a x$	=	$12$
$x^{2} + a x - 12$	=	0
$x^{2} + a x - 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 6)$ = -12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 6)$ = $4$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 4 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 4 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 2$ - $4$ = -6

x₂ = $- 2$ + $4$ = 2

L={ $- 6$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):