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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{9 x}{x - 2}$ = $3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $2$

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{- 9 x}{x - 2}$	=	$3 x$	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{- 9 x}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=	$3 x \cdot (x - 2)$
$- \frac{9 x}{1}$	=	$3 x \cdot (x - 2)$
$- 9 x$	=	$3 x \cdot (x - 2)$
$- 9 x$	=	$3 x^{2} - 6 x$

$- 9 x$	=	$3 x^{2} - 6 x$	\| $- (3 x^{2} - 6 x)$
$- 3 x^{2} - 9 x + 6 x$	=	0
$- 3 x^{2} - 3 x$	=	0
$- 3 x \cdot (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; 0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{8 x - 6}{x + 1}$ = $x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 1$

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{8 x - 6}{x + 1}$	=	$x$	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{8 x - 6}{x + 1} \cdot (x + 1)$	=	$x \cdot (x + 1)$
$8 x - 6$	=	$x \cdot (x + 1)$
$8 x - 6$	=	$x^{2} + x$

8 x - 6

=

x^{2} + x

|

- x^{2}

- x

$- x^{2} + 7 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 7+5}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 7-5}{- 2}$ = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 7 x - 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 7 x + 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$3 x$ = $- \frac{- 21}{x - 5} - 3$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $5$

D=R\{ $5$ }

3 x

=

\frac{21}{x - 5} - 3

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

$3 x$	=	$\frac{21}{x - 5} - 3$	\|⋅( $x - 5$ )
$3 x \cdot (x - 5)$	=	$\frac{21}{x - 5} \cdot (x - 5) - 3 \cdot (x - 5)$
$3 x \cdot (x - 5)$	=	$21 - 3 x + 15$
$3 x \cdot x + 3 x \cdot (- 5)$	=	$21 - 3 x + 15$
$3 x \cdot x - 15 x$	=	$21 - 3 x + 15$
$3 x^{2} - 15 x$	=	$- 3 x + 36$

3 x^{2} - 15 x

=

- 3 x + 36

|

+ 3 x

- 36

3 x^{2} - 12 x - 36

= 0 |:3

$x^{2} - 4 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4+8}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4-8}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $2$ - $4$ = -2

x₂ = $2$ + $4$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $6$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x + 5} - x$ = $- \frac{5,6}{x + 1}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

\frac{x}{5 (x + 1)} - x

=

- \frac{5,6}{x + 1}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 1)$ weg!

$\frac{x}{5 (x + 1)} - x$	=	$- \frac{5,6}{x + 1}$	\|⋅( $5 (x + 1)$ )
$\frac{x}{5 (x + 1)} \cdot (5 (x + 1)) - x \cdot (5 (x + 1))$	=	$- \frac{5,6}{x + 1} \cdot (5 (x + 1))$
$x - 5 x \cdot (x + 1)$	=	$- 28$
$x + (- 5 x^{2} - 5 x)$	=	$- 28$
$- 5 x^{2} - 4 x$	=	$- 28$

- 5 x^{2} - 4 x

=

- 28

|

+ 28

$- 5 x^{2} - 4 x + 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot 28}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 560}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{576}}{- 10}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{576}}{- 10}$ = $\frac{4+24}{- 10}$ = $\frac{28}{- 10}$ = $- 2,8$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{576}}{- 10}$ = $\frac{4-24}{- 10}$ = $\frac{- 20}{- 10}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 5$ " teilen:

$- 5 x^{2} - 4 x + 28$ = 0 |: $- 5$

$x^{2} + \frac{4}{5} x - \frac{28}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{2}{5})}^{2} - (- \frac{28}{5})$ = $\frac{4}{25}$ $+$ $\frac{28}{5}$ = $\frac{4}{25}$ $+$ $\frac{140}{25}$ = $\frac{144}{25}$

x_1,2 = $- \frac{2}{5}$ ± $\sqrt{\frac{144}{25}}$

x₁ = $- \frac{2}{5}$ - $\frac{12}{5}$ = $- \frac{14}{5}$ = -2.8

x₂ = $- \frac{2}{5}$ + $\frac{12}{5}$ = $\frac{10}{5}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2,8$ ; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{9}{x^{2}}$ = $- 1 + \frac{8}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$- \frac{9}{x^{2}}$	=	$- 1 + \frac{8}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$- \frac{9}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2} + \frac{8}{x} \cdot x^{2}$
$- 9$	=	$- x^{2} + 8 x$

- 9

=

- x^{2} + 8 x

|

+ x^{2}

- 8 x

$x^{2} - 8 x - 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{8+10}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{8-10}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - (- 9)$ = $16$ $+$ $9$ = $25$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $4$ - $5$ = -1

x₂ = $4$ + $5$ = 9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $9$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} - 11$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} - 11$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} - 11$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x - 11 \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a - 11 x$	=	$- x^{2}$
$a - 11 x + x^{2}$	=	0
$x^{2} - 11 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 11 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -11 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 9 würde es funktionieren, denn $- (2 + 9)$ = -11

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 9$ = $18$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 18 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 11 x + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11+7}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11-7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{2})}^{2} - 18$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $18$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{11}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{11}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

L={ $2$ ; $9$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):