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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{27}{x}$ = $- 3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{27}{x}$	=	$- 3 x$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{27}{x} \cdot x$	=	$- 3 x \cdot x$
$- 27$	=	$- 3 x \cdot x$
$- 27$	=	$- 3 x^{2}$

$- 27$	=	$- 3 x^{2}$	\| $+ 27$ $+ 3 x^{2}$
$3 x^{2}$	=	$27$	\|: $3$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 7 x + 6}{4 x}$ = $x + 4$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{- 7 x + 6}{4 x}$	=	$x + 4$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{- 7 x + 6}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x + 4 \cdot 4 x$
$- 7 x + 6$	=	$4 x \cdot x + 16 x$

- 7 x + 6

=

4 x^{2} + 16 x

|

- 4 x^{2}

- 16 x

$- 4 x^{2} - 23 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{{(- 23)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 6}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{529 + 96}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{625}}{- 8}$

x₁ = $\frac{23 + \sqrt{625}}{- 8}$ = $\frac{23+25}{- 8}$ = $\frac{48}{- 8}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{23 - \sqrt{625}}{- 8}$ = $\frac{23-25}{- 8}$ = $\frac{- 2}{- 8}$ = $0,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 23 x + 6$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{23}{4} x - \frac{3}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{23}{8})}^{2} - (- \frac{3}{2})$ = $\frac{529}{64}$ $+$ $\frac{3}{2}$ = $\frac{529}{64}$ $+$ $\frac{96}{64}$ = $\frac{625}{64}$

x_1,2 = $- \frac{23}{8}$ ± $\sqrt{\frac{625}{64}}$

x₁ = $- \frac{23}{8}$ - $\frac{25}{8}$ = $- \frac{48}{8}$ = -6

x₂ = $- \frac{23}{8}$ + $\frac{25}{8}$ = $\frac{2}{8}$ = 0.25

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $0,25$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 6 x}{2 x - 3} + 5$ = $- x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $\frac{3}{2}$

D=R\{ $\frac{3}{2}$ }

- \frac{6 x}{2 x - 3} + 5

=

- x

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 3$ weg!

$- \frac{6 x}{2 x - 3} + 5$	=	$- x$	\|⋅( $2 x - 3$ )
$- \frac{6 x}{2 x - 3} \cdot (2 x - 3) + 5 \cdot (2 x - 3)$	=	$- x \cdot (2 x - 3)$
$- 6 x + 10 x - 15$	=	$- x (2 x - 3)$
$4 x - 15$	=	$- 2 x^{2} + 3 x$

4 x - 15

=

- 2 x^{2} + 3 x

|

+ 2 x^{2}

- 3 x

$2 x^{2} + x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{121}}{4}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{- 1+11}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = $2,5$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{- 1-11}{4}$ = $\frac{- 12}{4}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + x - 15$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{1}{2} x - \frac{15}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{15}{2})$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{15}{2}$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{120}{16}$ = $\frac{121}{16}$

x_1,2 = $- \frac{1}{4}$ ± $\sqrt{\frac{121}{16}}$

x₁ = $- \frac{1}{4}$ - $\frac{11}{4}$ = $- \frac{12}{4}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{4}$ + $\frac{11}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = 2.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $2,5$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x + 20} - 2 x$ = $- \frac{0,8}{x + 4}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

\frac{x}{5 (x + 4)} - 2 x

=

- \frac{0,8}{x + 4}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 4)$ weg!

$\frac{x}{5 (x + 4)} - 2 x$	=	$- \frac{0,8}{x + 4}$	\|⋅( $5 (x + 4)$ )
$\frac{x}{5 (x + 4)} \cdot (5 (x + 4)) - 2 x \cdot (5 (x + 4))$	=	$- \frac{0,8}{x + 4} \cdot (5 (x + 4))$
$x - 10 x (x + 4)$	=	$- 4$
$x + (- 10 x^{2} - 40 x)$	=	$- 4$
$- 10 x^{2} - 39 x$	=	$- 4$

- 10 x^{2} - 39 x

=

- 4

|

+ 4

$- 10 x^{2} - 39 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 39 \pm \sqrt{{(- 39)}^{2} - 4 \cdot (- 10) \cdot 4}}{2 \cdot (- 10)}$

x_1,2 = $\frac{+ 39 \pm \sqrt{1 521 + 160}}{- 20}$

x_1,2 = $\frac{+ 39 \pm \sqrt{1 681}}{- 20}$

x₁ = $\frac{39 + \sqrt{1 681}}{- 20}$ = $\frac{39+41}{- 20}$ = $\frac{80}{- 20}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{39 - \sqrt{1 681}}{- 20}$ = $\frac{39-41}{- 20}$ = $\frac{- 2}{- 20}$ = $0,1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 10$ " teilen:

$- 10 x^{2} - 39 x + 4$ = 0 |: $- 10$

$x^{2} + \frac{39}{10} x - \frac{2}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{39}{20})}^{2} - (- \frac{2}{5})$ = $\frac{1521}{400}$ $+$ $\frac{2}{5}$ = $\frac{1521}{400}$ $+$ $\frac{160}{400}$ = $\frac{1681}{400}$

x_1,2 = $- \frac{39}{20}$ ± $\sqrt{\frac{1681}{400}}$

x₁ = $- \frac{39}{20}$ - $\frac{41}{20}$ = $- \frac{80}{20}$ = -4

x₂ = $- \frac{39}{20}$ + $\frac{41}{20}$ = $\frac{2}{20}$ = 0.1

Lösung x= $- 4$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $0,1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 + \frac{16}{x} + \frac{60}{x^{2}}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 + \frac{16}{x} + \frac{60}{x^{2}}$	=	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} + \frac{16}{x} \cdot x^{2} + \frac{60}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=
$x^{2} + 16 x + 60$	=

$x^{2} + 16 x + 60$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 60}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 240}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 16 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 16+4}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{- 16 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 16-4}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $8^{2} - 60$ = $64$ $-$ $60$ = $4$

x_1,2 = $- 8$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 8$ - $2$ = -10

x₂ = $- 8$ + $2$ = -6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $- 6$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} - 5$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} - 5$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} - 5$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x - 5 \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a - 5 x$	=	$- x^{2}$
$a - 5 x + x^{2}$	=	0
$x^{2} - 5 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 5 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -5 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 3 würde es funktionieren, denn $- (2 + 3)$ = -5

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 3$ = $6$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

L={ $2$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):