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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{12}{x}$ = $- 3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{12}{x}$	=	$- 3 x$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{12}{x} \cdot x$	=	$- 3 x \cdot x$
$- 12$	=	$- 3 x \cdot x$
$- 12$	=	$- 3 x^{2}$

$- 12$	=	$- 3 x^{2}$	\| $+ 12$ $+ 3 x^{2}$
$3 x^{2}$	=	$12$	\|: $3$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{x + 3}{4 x}$ = $x + 3$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{x + 3}{4 x}$	=	$x + 3$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{x + 3}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x + 3 \cdot 4 x$
$x + 3$	=	$4 x \cdot x + 12 x$

x + 3

=

4 x^{2} + 12 x

|

- 4 x^{2}

- 12 x

$- 4 x^{2} - 11 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 3}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 + 48}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{169}}{- 8}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{169}}{- 8}$ = $\frac{11+13}{- 8}$ = $\frac{24}{- 8}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{169}}{- 8}$ = $\frac{11-13}{- 8}$ = $\frac{- 2}{- 8}$ = $0,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 11 x + 3$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{11}{4} x - \frac{3}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{8})}^{2} - (- \frac{3}{4})$ = $\frac{121}{64}$ $+$ $\frac{3}{4}$ = $\frac{121}{64}$ $+$ $\frac{48}{64}$ = $\frac{169}{64}$

x_1,2 = $- \frac{11}{8}$ ± $\sqrt{\frac{169}{64}}$

x₁ = $- \frac{11}{8}$ - $\frac{13}{8}$ = $- \frac{24}{8}$ = -3

x₂ = $- \frac{11}{8}$ + $\frac{13}{8}$ = $\frac{2}{8}$ = 0.25

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $0,25$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

0 = $- \frac{- 80}{2 x + 4} - x - 5$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 2$

D=R\{ $- 2$ }

0	=	$\frac{80}{2 x + 4} - x - 5$
0	=	$\frac{80}{2 (x + 2)} - x - 5$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

=	$\frac{80}{2 (x + 2)} - x - 5$	\|⋅( $x + 2$ )
=	$\frac{80}{2 (x + 2)} \cdot (x + 2) - x \cdot (x + 2) - 5 \cdot (x + 2)$
=	$40 - x (x + 2) - 5 x - 10$
=	$- x^{2} - 7 x + 30$

0

=

- x^{2} - 7 x + 30

|

+ x^{2}

+ 7 x

- 30

$x^{2} + 7 x - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 7+13}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 7-13}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 30)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $30$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $- \frac{20}{2}$ = -10

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $3$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x + 4} + \frac{- 17}{x + 2} + 2 x$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

$\frac{x}{2 x + 4} - \frac{17}{x + 2} + 2 x$	=	0
$\frac{x}{2 (x + 2)} - \frac{17}{x + 2} + 2 x$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 2)$ weg!

$\frac{x}{2 (x + 2)} - \frac{17}{x + 2} + 2 x$	=	\|⋅( $2 (x + 2)$ )
$\frac{x}{2 (x + 2)} \cdot (2 (x + 2)) + \frac{- 17}{x + 2} \cdot (2 (x + 2)) + 2 x \cdot (2 (x + 2))$	=
$x - 34 + 4 x (x + 2)$	=
$x - 34 + (4 x^{2} + 8 x)$	=
$4 x^{2} + 9 x - 34$	=

$4 x^{2} + 9 x - 34$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 34)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 544}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{625}}{8}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{625}}{8}$ = $\frac{- 9+25}{8}$ = $\frac{16}{8}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{625}}{8}$ = $\frac{- 9-25}{8}$ = $\frac{- 34}{8}$ = $- 4,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 9 x - 34$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{9}{4} x - \frac{17}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{8})}^{2} - (- \frac{17}{2})$ = $\frac{81}{64}$ $+$ $\frac{17}{2}$ = $\frac{81}{64}$ $+$ $\frac{544}{64}$ = $\frac{625}{64}$

x_1,2 = $- \frac{9}{8}$ ± $\sqrt{\frac{625}{64}}$

x₁ = $- \frac{9}{8}$ - $\frac{25}{8}$ = $- \frac{34}{8}$ = -4.25

x₂ = $- \frac{9}{8}$ + $\frac{25}{8}$ = $\frac{16}{8}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4,25$ ; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1$ = $\frac{5}{x} + \frac{24}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1$	=	$\frac{5}{x} + \frac{24}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2}$	=	$\frac{5}{x} \cdot x^{2} + \frac{24}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2}$	=	$5 x + 24$

x^{2}

=

5 x + 24

|

- 5 x

- 24

$x^{2} - 5 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{5+11}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{5-11}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (- 24)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $24$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{96}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $8$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$9 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$9 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$9 + \frac{a}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$9 \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$9 x + a$	=	$- x^{2}$
$9 x + a + x^{2}$	=	0
$x^{2} + 9 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 9 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 9 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -11 würde es funktionieren, denn $- (2 - 11)$ = 9

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 11)$ = $- 22$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -22 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 9 x - 22$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 22)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 88}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 9+13}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 9-13}{2}$ = $\frac{- 22}{2}$ = $- 11$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - (- 22)$ = $\frac{81}{4}$ $+$ $22$ = $\frac{81}{4}$ $+$ $\frac{88}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $- \frac{22}{2}$ = -11

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 11$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):