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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$5$ = $- x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner:

$5$	=	$- x$	\| $- 5$ $+ x$
$x$	=	$- 5$

L={ $- 5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{4 x + 2}{x + 2}$ = $2 x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 2$

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{4 x + 2}{x + 2}$	=	$2 x$	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{4 x + 2}{x + 2} \cdot (x + 2)$	=	$2 x \cdot (x + 2)$
$4 x + 2$	=	$2 x (x + 2)$
$4 x + 2$	=	$2 x^{2} + 4 x$

$4 x + 2$	=	$2 x^{2} + 4 x$	\| $- 2$ $- 2 x^{2}$ $- 4 x$
$- 2 x^{2}$	=	$- 2$	\|: $(- 2)$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{1}{x - 3} - 5$ = $- x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $3$

D=R\{ $3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{1}{x - 3} - 5$	=	$- x$	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{1}{x - 3} \cdot (x - 3) - 5 \cdot (x - 3)$	=	$- x \cdot (x - 3)$
$1 - 5 x + 15$	=	$- x (x - 3)$
$- 5 x + 16$	=	$- x^{2} + 3 x$

- 5 x + 16

=

- x^{2} + 3 x

|

+ x^{2}

- 3 x

$x^{2} - 8 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 16$ = $16$ $-$ $16$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $4$ ± 0 = $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x - 5} + \frac{- 11,4}{x - 1} + x$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

$\frac{x}{5 x - 5} - \frac{11,4}{x - 1} + x$	=	0
$\frac{x}{5 (x - 1)} - \frac{11,4}{x - 1} + x$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x - 1)$ weg!

$\frac{x}{5 (x - 1)} - \frac{11,4}{x - 1} + x$	=	\|⋅( $5 (x - 1)$ )
$\frac{x}{5 (x - 1)} \cdot (5 (x - 1)) + \frac{- 11,4}{x - 1} \cdot (5 (x - 1)) + x \cdot (5 (x - 1))$	=
$x - 57 + 5 x (x - 1)$	=
$x - 57 + (5 x^{2} - 5 x)$	=
$5 x^{2} - 4 x - 57$	=

$5 x^{2} - 4 x - 57$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 57)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 1 140}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{1 156}}{10}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{1 156}}{10}$ = $\frac{4+34}{10}$ = $\frac{38}{10}$ = $3,8$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{1 156}}{10}$ = $\frac{4-34}{10}$ = $\frac{- 30}{10}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 4 x - 57$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{4}{5} x - \frac{57}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{2}{5})}^{2} - (- \frac{57}{5})$ = $\frac{4}{25}$ $+$ $\frac{57}{5}$ = $\frac{4}{25}$ $+$ $\frac{285}{25}$ = $\frac{289}{25}$

x_1,2 = $\frac{2}{5}$ ± $\sqrt{\frac{289}{25}}$

x₁ = $\frac{2}{5}$ - $\frac{17}{5}$ = $- \frac{15}{5}$ = -3

x₂ = $\frac{2}{5}$ + $\frac{17}{5}$ = $\frac{19}{5}$ = 3.8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $3,8$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x}$ = $\frac{5 x - 24}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$- \frac{1}{x}$	=	$\frac{5 x - 24}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$	=	$\frac{5 x - 24}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$- x^{2}$	=	$5 x - 24$

- x^{2}

=

5 x - 24

|

- 5 x

+ 24

$- x^{2} - 5 x + 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 24}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 96}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{121}}{- 2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{121}}{- 2}$ = $\frac{5+11}{- 2}$ = $\frac{16}{- 2}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{121}}{- 2}$ = $\frac{5-11}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 5 x + 24$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 5 x - 24$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 24)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $24$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{96}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- 1 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- 1 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- 1 + x$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$- 1 \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$- x + x^{2}$	=	$- a$
$- x + x^{2} + a$	=	0
$x^{2} - x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -1 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -1 würde es funktionieren, denn $- (2 - 1)$ = -1

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 1)$ = $- 2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 1$ ; $2$ }

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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):