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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{0}{x - 5}$ = $3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $5$

D=R\{ $5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

$\frac{0}{x - 5}$	=	$3 x$	\|⋅( $x - 5$ )
$\frac{0}{x - 5} \cdot (x - 5)$	=	$3 x \cdot (x - 5)$
0	=	$3 x \cdot (x - 5)$
0	=	$3 x^{2} - 15 x$

0	=	$3 x^{2} - 15 x$	\| $- (3 x^{2} - 15 x)$
$- 3 x^{2} + 15 x$	=	0
$3 x \cdot (- x + 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 5$	=	0	\| $- 5$
$- x$	=	$- 5$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$5$

Lösung x= $5$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{9 x + 4}{2 x}$ = $x + 1$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{9 x + 4}{2 x}$	=	$x + 1$	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{9 x + 4}{2 x} \cdot 2 x$	=	$x \cdot 2 x + 1 \cdot 2 x$
$9 x + 4$	=	$2 x \cdot x + 2 x$

9 x + 4

=

2 x^{2} + 2 x

|

- 2 x^{2}

- 2 x

$- 2 x^{2} + 7 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 4}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{81}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{81}}{- 4}$ = $\frac{- 7+9}{- 4}$ = $\frac{2}{- 4}$ = $- 0,5$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{81}}{- 4}$ = $\frac{- 7-9}{- 4}$ = $\frac{- 16}{- 4}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 7 x + 4$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{7}{2} x - 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{4})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $2$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $\frac{32}{16}$ = $\frac{81}{16}$

x_1,2 = $\frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{81}{16}}$

x₁ = $\frac{7}{4}$ - $\frac{9}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

x₂ = $\frac{7}{4}$ + $\frac{9}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,5$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x + 1$ = $- \frac{- 52}{3 x + 4}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- \frac{4}{3}$

D=R\{ $- \frac{4}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 4$ weg!

$x + 1$	=	$\frac{52}{3 x + 4}$	\|⋅( $3 x + 4$ )
$x \cdot (3 x + 4) + 1 \cdot (3 x + 4)$	=	$\frac{52}{3 x + 4} \cdot (3 x + 4)$
$x \cdot (3 x + 4) + 3 x + 4$	=	$52$
$3 x^{2} + 4 x + 3 x + 4$	=	$52$
$3 x^{2} + 7 x + 4$	=	$52$

3 x^{2} + 7 x + 4

=

52

|

- 52

$3 x^{2} + 7 x - 48$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 48)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 576}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{625}}{6}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{625}}{6}$ = $\frac{- 7+25}{6}$ = $\frac{18}{6}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{625}}{6}$ = $\frac{- 7-25}{6}$ = $\frac{- 32}{6}$ = $- \frac{16}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 7 x - 48$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{7}{3} x - 16$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{6})}^{2} - (- 16)$ = $\frac{49}{36}$ $+$ $16$ = $\frac{49}{36}$ $+$ $\frac{576}{36}$ = $\frac{625}{36}$

x_1,2 = $- \frac{7}{6}$ ± $\sqrt{\frac{625}{36}}$

x₁ = $- \frac{7}{6}$ - $\frac{25}{6}$ = $- \frac{32}{6}$ = -5.3333333333333

x₂ = $- \frac{7}{6}$ + $\frac{25}{6}$ = $\frac{18}{6}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{16}{3}$ ; $3$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x + 4} + \frac{- 1,5}{x + 2}$ = $2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

$\frac{x}{2 x + 4} - \frac{1,5}{x + 2}$	=	$2 x$
$\frac{x}{2 (x + 2)} - \frac{1,5}{x + 2}$	=	$2 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 2)$ weg!

$\frac{x}{2 (x + 2)} - \frac{1,5}{x + 2}$	=	$2 x$	\|⋅( $2 (x + 2)$ )
$\frac{x}{2 (x + 2)} \cdot (2 (x + 2)) + \frac{- 1,5}{x + 2} \cdot (2 (x + 2))$	=	$2 x \cdot (2 (x + 2))$
$x - 3$	=	$4 x \cdot (x + 2)$
$x - 3$	=	$4 x^{2} + 8 x$

x - 3

=

4 x^{2} + 8 x

|

- 4 x^{2}

- 8 x

$- 4 x^{2} - 7 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{- 8}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{- 8}$ = $\frac{7+1}{- 8}$ = $\frac{8}{- 8}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{- 8}$ = $\frac{7-1}{- 8}$ = $\frac{6}{- 8}$ = $- 0,75$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 7 x - 3$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{7}{4} x + \frac{3}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{8})}^{2} - (\frac{3}{4})$ = $\frac{49}{64}$ $-$ $\frac{3}{4}$ = $\frac{49}{64}$ $-$ $\frac{48}{64}$ = $\frac{1}{64}$

x_1,2 = $- \frac{7}{8}$ ± $\sqrt{\frac{1}{64}}$

x₁ = $- \frac{7}{8}$ - $\frac{1}{8}$ = $- \frac{8}{8}$ = -1

x₂ = $- \frac{7}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $- \frac{6}{8}$ = -0.75

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $- 0,75$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$ = $\frac{20}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$	=	$\frac{20}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3} - \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{3}$	=	$\frac{20}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$x^{2} - x$	=	$20$

x^{2} - x

=

20

|

- 20

$x^{2} - x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1+9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1-9}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $5$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$6 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$6 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$6 + x$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$6 \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$6 x + x^{2}$	=	$- a$
$6 x + x^{2} + a$	=	0
$x^{2} + 6 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 6 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 6 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -8 würde es funktionieren, denn $- (2 - 8)$ = 6

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 8)$ = $- 16$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -16 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 6 x - 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 16)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 6+10}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 6-10}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - (- 16)$ = $9$ $+$ $16$ = $25$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 3$ - $5$ = -8

x₂ = $- 3$ + $5$ = 2

L={ $- 8$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):