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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{6 x}{x + 2}$ = $- 2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 2$

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{6 x}{x + 2}$	=	$- 2 x$	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{6 x}{x + 2} \cdot (x + 2)$	=	$- 2 x \cdot (x + 2)$
$6 x$	=	$- 2 x (x + 2)$
$6 x$	=	$- 2 x^{2} - 4 x$

$6 x$	=	$- 2 x^{2} - 4 x$	\| $- (- 2 x^{2} - 4 x)$
$2 x^{2} + 6 x + 4 x$	=	0
$2 x^{2} + 10 x$	=	0
$2 x (x + 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₂	=	$- 5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; 0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{5 x + 24}{2 x}$ = $x - 4$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{5 x + 24}{2 x}$	=	$x - 4$	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{5 x + 24}{2 x} \cdot 2 x$	=	$x \cdot 2 x - 4 \cdot 2 x$
$5 x + 24$	=	$2 x \cdot x - 8 x$

5 x + 24

=

2 x^{2} - 8 x

|

- 2 x^{2}

+ 8 x

$- 2 x^{2} + 13 x + 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 24}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 192}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{361}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{361}}{- 4}$ = $\frac{- 13+19}{- 4}$ = $\frac{6}{- 4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{361}}{- 4}$ = $\frac{- 13-19}{- 4}$ = $\frac{- 32}{- 4}$ = $8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 13 x + 24$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{13}{2} x - 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{4})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{169}{16}$ $+$ $12$ = $\frac{169}{16}$ $+$ $\frac{192}{16}$ = $\frac{361}{16}$

x_1,2 = $\frac{13}{4}$ ± $\sqrt{\frac{361}{16}}$

x₁ = $\frac{13}{4}$ - $\frac{19}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

x₂ = $\frac{13}{4}$ + $\frac{19}{4}$ = $\frac{32}{4}$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1,5$ ; $8$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 14 x}{x + 5}$ = $- 3 x + 2$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 5$

D=R\{ $- 5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

$\frac{- 14 x}{x + 5}$	=	$- 3 x + 2$	\|⋅( $x + 5$ )
$\frac{- 14 x}{x + 5} \cdot (x + 5)$	=	$- 3 x \cdot (x + 5) + 2 \cdot (x + 5)$
$- \frac{14 x}{1}$	=	$- 3 x (x + 5) + 2 x + 10$
$- 14 x$	=	$- 3 x (x + 5) + 2 x + 10$
$- 14 x$	=	$- 3 x^{2} - 13 x + 10$

- 14 x

=

- 3 x^{2} - 13 x + 10

|

+ 3 x^{2}

+ 13 x

- 10

$3 x^{2} - x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{121}}{6}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{1+11}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{1-11}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - x - 10$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{1}{3} x - \frac{10}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{6})}^{2} - (- \frac{10}{3})$ = $\frac{1}{36}$ $+$ $\frac{10}{3}$ = $\frac{1}{36}$ $+$ $\frac{120}{36}$ = $\frac{121}{36}$

x_1,2 = $\frac{1}{6}$ ± $\sqrt{\frac{121}{36}}$

x₁ = $\frac{1}{6}$ - $\frac{11}{6}$ = $- \frac{10}{6}$ = -1.6666666666667

x₂ = $\frac{1}{6}$ + $\frac{11}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{5}{3}$ ; $2$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{4 x + 16} + \frac{- 5,25}{x + 4}$ = $2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

$\frac{x}{4 x + 16} - \frac{5,25}{x + 4}$	=	$2 x$
$\frac{x}{4 (x + 4)} - \frac{5,25}{x + 4}$	=	$2 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 4)$ weg!

$\frac{x}{4 (x + 4)} - \frac{5,25}{x + 4}$	=	$2 x$	\|⋅( $4 (x + 4)$ )
$\frac{x}{4 (x + 4)} \cdot (4 (x + 4)) + \frac{- 5,25}{x + 4} \cdot (4 (x + 4))$	=	$2 x \cdot (4 (x + 4))$
$x - 21$	=	$8 x (x + 4)$
$x - 21$	=	$8 x^{2} + 32 x$

x - 21

=

8 x^{2} + 32 x

|

- 8 x^{2}

- 32 x

$- 8 x^{2} - 31 x - 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{{(- 31)}^{2} - 4 \cdot (- 8) \cdot (- 21)}}{2 \cdot (- 8)}$

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{961 - 672}}{- 16}$

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{289}}{- 16}$

x₁ = $\frac{31 + \sqrt{289}}{- 16}$ = $\frac{31+17}{- 16}$ = $\frac{48}{- 16}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{31 - \sqrt{289}}{- 16}$ = $\frac{31-17}{- 16}$ = $\frac{14}{- 16}$ = $- 0,875$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 8$ " teilen:

$- 8 x^{2} - 31 x - 21$ = 0 |: $- 8$

$x^{2} + \frac{31}{8} x + \frac{21}{8}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{31}{16})}^{2} - (\frac{21}{8})$ = $\frac{961}{256}$ $-$ $\frac{21}{8}$ = $\frac{961}{256}$ $-$ $\frac{672}{256}$ = $\frac{289}{256}$

x_1,2 = $- \frac{31}{16}$ ± $\sqrt{\frac{289}{256}}$

x₁ = $- \frac{31}{16}$ - $\frac{17}{16}$ = $- \frac{48}{16}$ = -3

x₂ = $- \frac{31}{16}$ + $\frac{17}{16}$ = $- \frac{14}{16}$ = -0.875

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 0,875$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 - \frac{19}{x}$ = $- \frac{90}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{19}{x}$	=	$- \frac{90}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{19}{x} \cdot x^{2}$	=	$- \frac{90}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2} - 19 x$	=	$- 90$

x^{2} - 19 x

=

- 90

|

+ 90

$x^{2} - 19 x + 90$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 90}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 - 360}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{19+1}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{19-1}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{19}{2})}^{2} - 90$ = $\frac{361}{4}$ $-$ $90$ = $\frac{361}{4}$ $-$ $\frac{360}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{19}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{19}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

x₂ = $\frac{19}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $9$ ; $10$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- 9 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- 9 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- 9 + \frac{a}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$- 9 \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 9 x + a$	=	$- x^{2}$
$- 9 x + a + x^{2}$	=	0
$x^{2} - 9 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 9 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -9 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 7 würde es funktionieren, denn $- (2 + 7)$ = -9

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 7$ = $14$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 14 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 9 x + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9+5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9-5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

L={ $2$ ; $7$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):