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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{15}{x - 4}$ = $3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $4$

D=R\{ $4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 4$ weg!

$\frac{15}{x - 4}$	=	$3 x$	\|⋅( $x - 4$ )
$\frac{15}{x - 4} \cdot (x - 4)$	=	$3 x \cdot (x - 4)$
$15$	=	$3 x \cdot (x - 4)$
$15$	=	$3 x^{2} - 12 x$

15

=

3 x^{2} - 12 x

|

- 3 x^{2}

+ 12 x

- 3 x^{2} + 12 x + 15

= 0 |:3

$- x^{2} + 4 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 5}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 4+6}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 4-6}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 4 x + 5$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 4 x - 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $2$ - $3$ = -1

x₂ = $2$ + $3$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$3 x$ = $\frac{24 x - 15}{x + 2}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 2$

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$3 x$	=	$\frac{24 x - 15}{x + 2}$	\|⋅( $x + 2$ )
$3 x \cdot (x + 2)$	=	$\frac{24 x - 15}{x + 2} \cdot (x + 2)$
$3 x \cdot (x + 2)$	=	$24 x - 15$
$3 x \cdot x + 3 x \cdot 2$	=	$24 x - 15$
$3 x \cdot x + 6 x$	=	$24 x - 15$
$3 x^{2} + 6 x$	=	$24 x - 15$

3 x^{2} + 6 x

=

24 x - 15

|

- 24 x

+ 15

3 x^{2} - 18 x + 15

= 0 |:3

$x^{2} - 6 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6+4}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6-4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 5$ = $9$ $-$ $5$ = $4$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $3$ - $2$ = 1

x₂ = $3$ + $2$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$2 x$ = $- \frac{- 54}{x + 2} - 1$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 2$

D=R\{ $- 2$ }

2 x

=

\frac{54}{x + 2} - 1

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$2 x$	=	$\frac{54}{x + 2} - 1$	\|⋅( $x + 2$ )
$2 x \cdot (x + 2)$	=	$\frac{54}{x + 2} \cdot (x + 2) - 1 \cdot (x + 2)$
$2 x \cdot (x + 2)$	=	$54 - x - 2$
$2 x \cdot x + 2 x \cdot 2$	=	$54 - x - 2$
$2 x \cdot x + 4 x$	=	$54 - x - 2$
$2 x^{2} + 4 x$	=	$- x + 52$

2 x^{2} + 4 x

=

- x + 52

|

+ x

- 52

$2 x^{2} + 5 x - 52$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 52)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 416}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{441}}{4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{441}}{4}$ = $\frac{- 5+21}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{441}}{4}$ = $\frac{- 5-21}{4}$ = $\frac{- 26}{4}$ = $- 6,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 5 x - 52$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{5}{2} x - 26$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{4})}^{2} - (- 26)$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $26$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $\frac{416}{16}$ = $\frac{441}{16}$

x_1,2 = $- \frac{5}{4}$ ± $\sqrt{\frac{441}{16}}$

x₁ = $- \frac{5}{4}$ - $\frac{21}{4}$ = $- \frac{26}{4}$ = -6.5

x₂ = $- \frac{5}{4}$ + $\frac{21}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6,5$ ; $4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 x$ = $- \frac{x}{5 x + 5} - \frac{8,4}{x + 1}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

$- 4 x$	=	$- \frac{x}{5 x + 5} - \frac{8,4}{x + 1}$
$- 4 x$	=	$- \frac{x}{5 (x + 1)} - \frac{8,4}{x + 1}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 1)$ weg!

$- 4 x$	=	$- \frac{x}{5 (x + 1)} - \frac{8,4}{x + 1}$	\|⋅( $5 (x + 1)$ )
$- 4 x \cdot (5 (x + 1))$	=	$- \frac{x}{5 (x + 1)} \cdot (5 (x + 1)) + \frac{- 8,4}{x + 1} \cdot (5 (x + 1))$
$- 20 x \cdot (x + 1)$	=	$- x - 42$
$- 20 x \cdot x - 20 x \cdot 1$	=	$- x - 42$
$- 20 x \cdot x - 20 x$	=	$- x - 42$
$- 20 x^{2} - 20 x$	=	$- x - 42$

- 20 x^{2} - 20 x

=

- x - 42

|

+ x

+ 42

$- 20 x^{2} - 19 x + 42$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot (- 20) \cdot 42}}{2 \cdot (- 20)}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 + 3 360}}{- 40}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{3 721}}{- 40}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{3 721}}{- 40}$ = $\frac{19+61}{- 40}$ = $\frac{80}{- 40}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{3 721}}{- 40}$ = $\frac{19-61}{- 40}$ = $\frac{- 42}{- 40}$ = $1,05$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 20$ " teilen:

$- 20 x^{2} - 19 x + 42$ = 0 |: $- 20$

$x^{2} + \frac{19}{20} x - \frac{21}{10}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{19}{40})}^{2} - (- \frac{21}{10})$ = $\frac{361}{1600}$ $+$ $\frac{21}{10}$ = $\frac{361}{1600}$ $+$ $\frac{3360}{1600}$ = $\frac{3721}{1600}$

x_1,2 = $- \frac{19}{40}$ ± $\sqrt{\frac{3721}{1600}}$

x₁ = $- \frac{19}{40}$ - $\frac{61}{40}$ = $- \frac{80}{40}$ = -2

x₂ = $- \frac{19}{40}$ + $\frac{61}{40}$ = $\frac{42}{40}$ = 1.05

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $1,05$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{18}{x^{3}} - \frac{81}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

=	$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{18}{x^{3}} - \frac{81}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} + \frac{18}{x^{3}} \cdot x^{4} - \frac{81}{x^{4}} \cdot x^{4}$
=	$- x^{2} + 18 x - 81$

0

=

- x^{2} + 18 x - 81

|

+ x^{2}

- 18 x

+ 81

$x^{2} - 18 x + 81$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{{(- 18)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 81}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{324 - 324}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{18}{2}$ = $9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 9)}^{2} - 81$ = $81$ $-$ $81$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $9$ ± 0 = $9$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $9$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + x$ = $\frac{24}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + x$ = $\frac{24}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + x$	=	$\frac{24}{x}$	\|⋅x
$a \cdot x + x \cdot x$	=	$\frac{24}{x} \cdot x$
$a x + x^{2}$	=	$24$
$a x + x^{2} - 24$	=	0
$x^{2} + a x - 24$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 24$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -24 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -12 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 12)$ = -24

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 12)$ = $10$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 10 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 10 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 10+14}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 10-14}{2}$ = $\frac{- 24}{2}$ = $- 12$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - (- 24)$ = $25$ $+$ $24$ = $49$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{49}$

x₁ = $- 5$ - $7$ = -12

x₂ = $- 5$ + $7$ = 2

L={ $- 12$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):