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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{9 x}{x - 1}$ = $3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $1$

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{- 9 x}{x - 1}$	=	$3 x$	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{- 9 x}{x - 1} \cdot (x - 1)$	=	$3 x \cdot (x - 1)$
$- \frac{9 x}{1}$	=	$3 x (x - 1)$
$- 9 x$	=	$3 x (x - 1)$
$- 9 x$	=	$3 x^{2} - 3 x$

$- 9 x$	=	$3 x^{2} - 3 x$	\| $- (3 x^{2} - 3 x)$
$- 3 x^{2} - 9 x + 3 x$	=	0
$- 3 x^{2} - 6 x$	=	0
$- 3 x (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; 0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- 3 + \frac{8}{x}$ = $x - 5$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- 3 + \frac{8}{x}$	=	$x - 5$	\|⋅( $x$ )
$- 3 \cdot x + \frac{8}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 5 \cdot x$
$- 3 x + 8$	=	$x \cdot x - 5 x$

- 3 x + 8

=

x^{2} - 5 x

|

- x^{2}

+ 5 x

$- x^{2} + 2 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 8}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 2+6}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 2-6}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 2 x + 8$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 2 x - 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $1$ - $3$ = -2

x₂ = $1$ + $3$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 3 x}{x + 4} + 1$ = $- 2 x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 4$

D=R\{ $- 4$ }

- \frac{3 x}{x + 4} + 1

=

- 2 x

Wir multiplizieren den Nenner $x + 4$ weg!

$- \frac{3 x}{x + 4} + 1$	=	$- 2 x$	\|⋅( $x + 4$ )
$- \frac{3 x}{x + 4} \cdot (x + 4) + 1 \cdot (x + 4)$	=	$- 2 x \cdot (x + 4)$
$- 3 x + x + 4$	=	$- 2 x (x + 4)$
$- 2 x + 4$	=	$- 2 x^{2} - 8 x$

- 2 x + 4

=

- 2 x^{2} - 8 x

|

+ 2 x^{2}

+ 8 x

2 x^{2} + 6 x + 4

= 0 |:2

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3+1}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3-1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 1$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x - 20}$ = $- \frac{48,4}{x - 4} + 4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

$\frac{x}{5 x - 20}$	=	$- \frac{48,4}{x - 4} + 4 x$
$\frac{x}{5 (x - 4)}$	=	$- \frac{48,4}{x - 4} + 4 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x - 4)$ weg!

$\frac{x}{5 (x - 4)}$	=	$- \frac{48,4}{x - 4} + 4 x$	\|⋅( $5 (x - 4)$ )
$\frac{x}{5 (x - 4)} \cdot (5 (x - 4))$	=	$\frac{- 48,4}{x - 4} \cdot (5 (x - 4)) + 4 x \cdot (5 (x - 4))$
$x$	=	$- 242 + 20 x (x - 4)$
$x$	=	$20 x^{2} - 80 x - 242$

x

=

20 x^{2} - 80 x - 242

|

- 20 x^{2}

+ 80 x

+ 242

$- 20 x^{2} + 81 x + 242$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 81 \pm \sqrt{81^{2} - 4 \cdot (- 20) \cdot 242}}{2 \cdot (- 20)}$

x_1,2 = $\frac{- 81 \pm \sqrt{6 561 + 19 360}}{- 40}$

x_1,2 = $\frac{- 81 \pm \sqrt{25 921}}{- 40}$

x₁ = $\frac{- 81 + \sqrt{25 921}}{- 40}$ = $\frac{- 81+161}{- 40}$ = $\frac{80}{- 40}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 81 - \sqrt{25 921}}{- 40}$ = $\frac{- 81-161}{- 40}$ = $\frac{- 242}{- 40}$ = $6,05$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 20$ " teilen:

$- 20 x^{2} + 81 x + 242$ = 0 |: $- 20$

$x^{2} - \frac{81}{20} x - \frac{121}{10}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{81}{40})}^{2} - (- \frac{121}{10})$ = $\frac{6561}{1600}$ $+$ $\frac{121}{10}$ = $\frac{6561}{1600}$ $+$ $\frac{19360}{1600}$ = $\frac{25921}{1600}$

x_1,2 = $\frac{81}{40}$ ± $\sqrt{\frac{25921}{1600}}$

x₁ = $\frac{81}{40}$ - $\frac{161}{40}$ = $- \frac{80}{40}$ = -2

x₂ = $\frac{81}{40}$ + $\frac{161}{40}$ = $\frac{242}{40}$ = 6.05

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $6,05$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 11 x + 10}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{- 11 x + 10}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{- 11 x + 10}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$- 11 x + 10$	=	$- x^{2}$

- 11 x + 10

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - 11 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{11+9}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{11-9}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{11}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{11}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $10$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x - 2$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x - 2$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x - 2$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x - 2 \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$x^{2} - 2 x$	=	$- a$
$x^{2} - 2 x + a$	=	0
$x^{2} - 2 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 2 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -2 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -1 würde es funktionieren, denn $- (3 - 1)$ = -2

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $3 \cdot (- 1)$ = $- 3$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -3 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

L={ $- 1$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):