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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

2x x +1 = -x

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: -1

D=R\{ -1 }

Wir multiplizieren den Nenner x +1 weg!

2x x +1 = -x |⋅( x +1 )
2x x +1 · ( x +1 ) = -x · ( x +1 )
2x = - x ( x +1 )
2x = - x 2 - x
2x = - x 2 - x | - ( - x 2 - x )
x 2 +2x + x = 0
x 2 +3x = 0
x ( x +3 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +3 = 0 | -3
x2 = -3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -3 ; 0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

x -1 = -15x +7 2x

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner 2x weg!

x -1 = -15x +7 2x |⋅( 2x )
x · 2x -1 · 2x = -15x +7 2x · 2x
2 x · x -2x = -15x +7
2 x 2 -2x = -15x +7
2 x 2 -2x = -15x +7 | +15x -7

2 x 2 +13x -7 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -13 ± 13 2 -4 · 2 · ( -7 ) 22

x1,2 = -13 ± 169 +56 4

x1,2 = -13 ± 225 4

x1 = -13 + 225 4 = -13 +15 4 = 2 4 = 0,5

x2 = -13 - 225 4 = -13 -15 4 = -28 4 = -7

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "2 " teilen:

2 x 2 +13x -7 = 0 |: 2

x 2 + 13 2 x - 7 2 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 13 4 ) 2 - ( - 7 2 ) = 169 16 + 7 2 = 169 16 + 56 16 = 225 16

x1,2 = - 13 4 ± 225 16

x1 = - 13 4 - 15 4 = - 28 4 = -7

x2 = - 13 4 + 15 4 = 2 4 = 0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -7 ; 0,5 }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

3 = - -11 3x +1 - x

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: - 1 3

D=R\{ - 1 3 }

3 = 11 3x +1 - x

Wir multiplizieren den Nenner 3x +1 weg!

3 = 11 3x +1 - x |⋅( 3x +1 )
3 · ( 3x +1 ) = 11 3x +1 · ( 3x +1 ) -x · ( 3x +1 )
3( 3x +1 ) = 11 - x ( 3x +1 )
9x +3 = 11 - x ( 3x +1 )
9x +3 = -3 x 2 - x +11
9x +3 = -3 x 2 - x +11 | +3 x 2 + x -11

3 x 2 +10x -8 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -10 ± 10 2 -4 · 3 · ( -8 ) 23

x1,2 = -10 ± 100 +96 6

x1,2 = -10 ± 196 6

x1 = -10 + 196 6 = -10 +14 6 = 4 6 = 2 3 ≈ 0.67

x2 = -10 - 196 6 = -10 -14 6 = -24 6 = -4

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "3 " teilen:

3 x 2 +10x -8 = 0 |: 3

x 2 + 10 3 x - 8 3 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 5 3 ) 2 - ( - 8 3 ) = 25 9 + 8 3 = 25 9 + 24 9 = 49 9

x1,2 = - 5 3 ± 49 9

x1 = - 5 3 - 7 3 = - 12 3 = -4

x2 = - 5 3 + 7 3 = 2 3 = 0.66666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -4 ; 2 3 }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 2x +4 = - -74 x +2 -3x

Lösung einblenden

D=R\{ -2 }

x 2x +4 = 74 x +2 -3x
x 2( x +2 ) = 74 x +2 -3x |(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner 2( x +2 ) weg!

x 2( x +2 ) = 74 x +2 -3x |⋅( 2( x +2 ) )
x 2( x +2 ) · ( 2( x +2 ) ) = 74 x +2 · ( 2( x +2 ) ) -3x · ( 2( x +2 ) )
x = 148 -6 x ( x +2 )
x = -6 x 2 -12x +148
x = -6 x 2 -12x +148 | +6 x 2 +12x -148

6 x 2 +13x -148 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -13 ± 13 2 -4 · 6 · ( -148 ) 26

x1,2 = -13 ± 169 +3552 12

x1,2 = -13 ± 3721 12

x1 = -13 + 3721 12 = -13 +61 12 = 48 12 = 4

x2 = -13 - 3721 12 = -13 -61 12 = -74 12 = - 37 6

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "6 " teilen:

6 x 2 +13x -148 = 0 |: 6

x 2 + 13 6 x - 74 3 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 13 12 ) 2 - ( - 74 3 ) = 169 144 + 74 3 = 169 144 + 3552 144 = 3721 144

x1,2 = - 13 12 ± 3721 144

x1 = - 13 12 - 61 12 = - 74 12 = -6.1666666666667

x2 = - 13 12 + 61 12 = 48 12 = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ - 37 6 ; 4 }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

- 1 x = -2x -24 x 3

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner x 3 weg!

- 1 x = -2x -24 x 3 |⋅( x 3 )
- 1 x · x 3 = -2x -24 x 3 · x 3
- x 2 = -2x -24
- x 2 = -2x -24 | +2x +24

- x 2 +2x +24 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -2 ± 2 2 -4 · ( -1 ) · 24 2( -1 )

x1,2 = -2 ± 4 +96 -2

x1,2 = -2 ± 100 -2

x1 = -2 + 100 -2 = -2 +10 -2 = 8 -2 = -4

x2 = -2 - 100 -2 = -2 -10 -2 = -12 -2 = 6

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "-1 " teilen:

- x 2 +2x +24 = 0 |: -1

x 2 -2x -24 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -1 ) 2 - ( -24 ) = 1+ 24 = 25

x1,2 = 1 ± 25

x1 = 1 - 5 = -4

x2 = 1 + 5 = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -4 ; 6 }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

x - 20 x = - a

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

x - 20 x = - a

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

x - 20 x = - a |⋅x
x · x - 20 x · x = - a · x
x 2 -20 = - a x
x 2 -20 + a x = 0
x 2 + a x -20 = 0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

x 2 + a x -20 = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -20 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -10 würde es funktionieren, denn 2 · ( -10 ) = -20

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = -( 2 -10 ) = 8

Zur Probe können wir ja noch mit a = 8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

x 2 +8x -20 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -8 ± 8 2 -4 · 1 · ( -20 ) 21

x1,2 = -8 ± 64 +80 2

x1,2 = -8 ± 144 2

x1 = -8 + 144 2 = -8 +12 2 = 4 2 = 2

x2 = -8 - 144 2 = -8 -12 2 = -20 2 = -10

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 4 2 - ( -20 ) = 16+ 20 = 36

x1,2 = -4 ± 36

x1 = -4 - 6 = -10

x2 = -4 + 6 = 2

L={ -10 ; 2 }