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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{15 x}{x + 1}$ = $- 3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 1$

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{- 15 x}{x + 1}$	=	$- 3 x$	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{- 15 x}{x + 1} \cdot (x + 1)$	=	$- 3 x \cdot (x + 1)$
$- \frac{15 x}{1}$	=	$- 3 x (x + 1)$
$- 15 x$	=	$- 3 x (x + 1)$
$- 15 x$	=	$- 3 x^{2} - 3 x$

$- 15 x$	=	$- 3 x^{2} - 3 x$	\| $- (- 3 x^{2} - 3 x)$
$3 x^{2} - 15 x + 3 x$	=	0
$3 x^{2} - 12 x$	=	0
$3 x (x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- 10 + \frac{24}{x}$ = $x - 5$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- 10 + \frac{24}{x}$	=	$x - 5$	\|⋅( $x$ )
$- 10 \cdot x + \frac{24}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 5 \cdot x$
$- 10 x + 24$	=	$x \cdot x - 5 x$

- 10 x + 24

=

x^{2} - 5 x

|

- x^{2}

+ 5 x

$- x^{2} - 5 x + 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 24}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 96}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{121}}{- 2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{121}}{- 2}$ = $\frac{5+11}{- 2}$ = $\frac{16}{- 2}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{121}}{- 2}$ = $\frac{5-11}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 5 x + 24$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 5 x - 24$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 24)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $24$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{96}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 99}{x + 5} + 3$ = $- 2 x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 5$

D=R\{ $- 5$ }

- \frac{99}{x + 5} + 3

=

- 2 x

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

$- \frac{99}{x + 5} + 3$	=	$- 2 x$	\|⋅( $x + 5$ )
$- \frac{99}{x + 5} \cdot (x + 5) + 3 \cdot (x + 5)$	=	$- 2 x \cdot (x + 5)$
$- 99 + 3 x + 15$	=	$- 2 x (x + 5)$
$3 x - 84$	=	$- 2 x^{2} - 10 x$

3 x - 84

=

- 2 x^{2} - 10 x

|

+ 2 x^{2}

+ 10 x

$2 x^{2} + 13 x - 84$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 84)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 672}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{841}}{4}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{841}}{4}$ = $\frac{- 13+29}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{841}}{4}$ = $\frac{- 13-29}{4}$ = $\frac{- 42}{4}$ = $- 10,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 13 x - 84$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{13}{2} x - 42$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{4})}^{2} - (- 42)$ = $\frac{169}{16}$ $+$ $42$ = $\frac{169}{16}$ $+$ $\frac{672}{16}$ = $\frac{841}{16}$

x_1,2 = $- \frac{13}{4}$ ± $\sqrt{\frac{841}{16}}$

x₁ = $- \frac{13}{4}$ - $\frac{29}{4}$ = $- \frac{42}{4}$ = -10.5

x₂ = $- \frac{13}{4}$ + $\frac{29}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10,5$ ; $4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 x$ = $- \frac{x}{3 x - 9} - \frac{- 1}{x - 3}$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

$- 2 x$	=	$- \frac{x}{3 x - 9} + \frac{1}{x - 3}$
$- 2 x$	=	$- \frac{x}{3 (x - 3)} + \frac{1}{x - 3}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 3)$ weg!

$- 2 x$	=	$- \frac{x}{3 (x - 3)} + \frac{1}{x - 3}$	\|⋅( $3 (x - 3)$ )
$- 2 x \cdot (3 (x - 3))$	=	$- \frac{x}{3 (x - 3)} \cdot (3 (x - 3)) + \frac{1}{x - 3} \cdot (3 (x - 3))$
$- 6 x (x - 3)$	=	$- x + 3$
$- 6 x \cdot x - 6 x \cdot (- 3)$	=	$- x + 3$
$- 6 x \cdot x + 18 x$	=	$- x + 3$
$- 6 x^{2} + 18 x$	=	$- x + 3$

- 6 x^{2} + 18 x

=

- x + 3

|

+ x

- 3

$- 6 x^{2} + 19 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot (- 6) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 6)}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 72}}{- 12}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{289}}{- 12}$

x₁ = $\frac{- 19 + \sqrt{289}}{- 12}$ = $\frac{- 19+17}{- 12}$ = $\frac{- 2}{- 12}$ = $\frac{1}{6}$ ≈ 0.17

x₂ = $\frac{- 19 - \sqrt{289}}{- 12}$ = $\frac{- 19-17}{- 12}$ = $\frac{- 36}{- 12}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 6$ " teilen:

$- 6 x^{2} + 19 x - 3$ = 0 |: $- 6$

$x^{2} - \frac{19}{6} x + \frac{1}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{19}{12})}^{2} - (\frac{1}{2})$ = $\frac{361}{144}$ $-$ $\frac{1}{2}$ = $\frac{361}{144}$ $-$ $\frac{72}{144}$ = $\frac{289}{144}$

x_1,2 = $\frac{19}{12}$ ± $\sqrt{\frac{289}{144}}$

x₁ = $\frac{19}{12}$ - $\frac{17}{12}$ = $\frac{2}{12}$ = 0.16666666666667

x₂ = $\frac{19}{12}$ + $\frac{17}{12}$ = $\frac{36}{12}$ = 3

Lösung x= $3$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $\frac{1}{6}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{27}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{6}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$- \frac{27}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{6}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$- \frac{27}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} + \frac{6}{x^{3}} \cdot x^{4}$
$- 27$	=	$- x^{2} + 6 x$

- 27

=

- x^{2} + 6 x

|

+ x^{2}

- 6 x

$x^{2} - 6 x - 27$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 27)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 108}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{6+12}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{6-12}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - (- 27)$ = $9$ $+$ $27$ = $36$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $3$ - $6$ = -3

x₂ = $3$ + $6$ = 9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $9$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{10}{x} + x$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{10}{x} + x$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{10}{x} + x$	=	$- a$	\|⋅x
$\frac{10}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$10 + x^{2}$	=	$- a x$
$10 + x^{2} + a x$	=	0
$x^{2} + a x + 10$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 10$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 10 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 5 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 5$ = 10

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 5)$ = $- 7$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -7 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

L={ $2$ ; $5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):