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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{6}{x - 2}$ = $- 2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $2$

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$- \frac{6}{x - 2}$	=	$- 2 x$	\|⋅( $x - 2$ )
$- \frac{6}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=	$- 2 x \cdot (x - 2)$
$- 6$	=	$- 2 x (x - 2)$
$- 6$	=	$- 2 x^{2} + 4 x$

- 6

=

- 2 x^{2} + 4 x

|

+ 2 x^{2}

- 4 x

2 x^{2} - 4 x - 6

= 0 |:2

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 19 x - 9}{2 x}$ = $x - 5$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{- 19 x - 9}{2 x}$	=	$x - 5$	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{- 19 x - 9}{2 x} \cdot 2 x$	=	$x \cdot 2 x - 5 \cdot 2 x$
$- 19 x - 9$	=	$2 x \cdot x - 10 x$

- 19 x - 9

=

2 x^{2} - 10 x

|

- 2 x^{2}

+ 10 x

$- 2 x^{2} - 9 x - 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 9)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 72}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{9}}{- 4}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{9}}{- 4}$ = $\frac{9+3}{- 4}$ = $\frac{12}{- 4}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{9}}{- 4}$ = $\frac{9-3}{- 4}$ = $\frac{6}{- 4}$ = $- 1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - 9 x - 9$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{9}{2} x + \frac{9}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{4})}^{2} - (\frac{9}{2})$ = $\frac{81}{16}$ $-$ $\frac{9}{2}$ = $\frac{81}{16}$ $-$ $\frac{72}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $- \frac{9}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $- \frac{9}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $- \frac{12}{4}$ = -3

x₂ = $- \frac{9}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 1,5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

0 = $- \frac{- 56}{x + 5} - x - 4$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 5$

D=R\{ $- 5$ }

0

=

\frac{56}{x + 5} - x - 4

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

=	$\frac{56}{x + 5} - x - 4$	\|⋅( $x + 5$ )
=	$\frac{56}{x + 5} \cdot (x + 5) - x \cdot (x + 5) - 4 \cdot (x + 5)$
=	$56 - x (x + 5) - 4 x - 20$
=	$- x^{2} - 9 x + 36$

0

=

- x^{2} - 9 x + 36

|

+ x^{2}

+ 9 x

- 36

$x^{2} + 9 x - 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 36)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 144}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{225}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{- 9+15}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{- 9-15}{2}$ = $\frac{- 24}{2}$ = $- 12$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - (- 36)$ = $\frac{81}{4}$ $+$ $36$ = $\frac{81}{4}$ $+$ $\frac{144}{4}$ = $\frac{225}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{225}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{15}{2}$ = $- \frac{24}{2}$ = -12

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{15}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 12$ ; $3$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{106}{2 x + 6}$ = $- \frac{x}{3 x + 9} + 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

\frac{106}{2 (x + 3)}

=

- \frac{x}{3 (x + 3)} + 3 x

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $6 (x + 3)$ weg!

$\frac{106}{2 (x + 3)}$	=	$- \frac{x}{3 (x + 3)} + 3 x$	\|⋅( $6 (x + 3)$ )
$\frac{106}{2 (x + 3)} \cdot (6 (x + 3))$	=	$- \frac{x}{3 (x + 3)} \cdot (6 (x + 3)) + 3 x \cdot (6 (x + 3))$
$318$	=	$- 2 x + 18 x (x + 3)$
$318$	=	$18 x^{2} + 52 x$

318

=

18 x^{2} + 52 x

|

- 18 x^{2}

- 52 x

- 18 x^{2} - 52 x + 318

= 0 |:2

$- 9 x^{2} - 26 x + 159$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{{(- 26)}^{2} - 4 \cdot (- 9) \cdot 159}}{2 \cdot (- 9)}$

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{676 + 5 724}}{- 18}$

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{6 400}}{- 18}$

x₁ = $\frac{26 + \sqrt{6 400}}{- 18}$ = $\frac{26+80}{- 18}$ = $\frac{106}{- 18}$ = $- \frac{53}{9}$ ≈ -5.89

x₂ = $\frac{26 - \sqrt{6 400}}{- 18}$ = $\frac{26-80}{- 18}$ = $\frac{- 54}{- 18}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 9$ " teilen:

$- 9 x^{2} - 26 x + 159$ = 0 |: $- 9$

$x^{2} + \frac{26}{9} x - \frac{53}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{9})}^{2} - (- \frac{53}{3})$ = $\frac{169}{81}$ $+$ $\frac{53}{3}$ = $\frac{169}{81}$ $+$ $\frac{1431}{81}$ = $\frac{1600}{81}$

x_1,2 = $- \frac{13}{9}$ ± $\sqrt{\frac{1600}{81}}$

x₁ = $- \frac{13}{9}$ - $\frac{40}{9}$ = $- \frac{53}{9}$ = -5.8888888888889

x₂ = $- \frac{13}{9}$ + $\frac{40}{9}$ = $\frac{27}{9}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{53}{9}$ ; $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8}{x^{2}}$ = $- 1 + \frac{6}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{8}{x^{2}}$	=	$- 1 + \frac{6}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{8}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2} + \frac{6}{x} \cdot x^{2}$
$8$	=	$- x^{2} + 6 x$

8

=

- x^{2} + 6 x

|

+ x^{2}

- 6 x

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $3$ - $1$ = 2

x₂ = $3$ + $1$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ ; $4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + x$ = $- 10$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + x$ = $- 10$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + x$	=	$- 10$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- 10 \cdot x$
$a + x^{2}$	=	$- 10 x$
$a + x^{2} + 10 x$	=	0
$x^{2} + 10 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 10 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 10 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -12 würde es funktionieren, denn $- (2 - 12)$ = 10

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 12)$ = $- 24$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -24 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 10 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 10+14}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 10-14}{2}$ = $\frac{- 24}{2}$ = $- 12$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - (- 24)$ = $25$ $+$ $24$ = $49$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{49}$

x₁ = $- 5$ - $7$ = -12

x₂ = $- 5$ + $7$ = 2

L={ $- 12$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):