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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{10}{x + 3}$ = $- x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 3$

D=R\{ $- 3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$- \frac{10}{x + 3}$	=	$- x$	\|⋅( $x + 3$ )
$- \frac{10}{x + 3} \cdot (x + 3)$	=	$- x \cdot (x + 3)$
$- 10$	=	$- x \cdot (x + 3)$
$- 10$	=	$- x^{2} - 3 x$

- 10

=

- x^{2} - 3 x

|

+ x^{2}

+ 3 x

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{17 x + 18}{x + 4}$ = $2 x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 4$

D=R\{ $- 4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 4$ weg!

$\frac{17 x + 18}{x + 4}$	=	$2 x$	\|⋅( $x + 4$ )
$\frac{17 x + 18}{x + 4} \cdot (x + 4)$	=	$2 x \cdot (x + 4)$
$17 x + 18$	=	$2 x \cdot (x + 4)$
$17 x + 18$	=	$2 x^{2} + 8 x$

17 x + 18

=

2 x^{2} + 8 x

|

- 2 x^{2}

- 8 x

$- 2 x^{2} + 9 x + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 18}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 144}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{225}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{225}}{- 4}$ = $\frac{- 9+15}{- 4}$ = $\frac{6}{- 4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{225}}{- 4}$ = $\frac{- 9-15}{- 4}$ = $\frac{- 24}{- 4}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 9 x + 18$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{9}{2} x - 9$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{4})}^{2} - (- 9)$ = $\frac{81}{16}$ $+$ $9$ = $\frac{81}{16}$ $+$ $\frac{144}{16}$ = $\frac{225}{16}$

x_1,2 = $\frac{9}{4}$ ± $\sqrt{\frac{225}{16}}$

x₁ = $\frac{9}{4}$ - $\frac{15}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

x₂ = $\frac{9}{4}$ + $\frac{15}{4}$ = $\frac{24}{4}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1,5$ ; $6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$4$ = $- \frac{2 x}{x + 4} - x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 4$

D=R\{ $- 4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 4$ weg!

$4$	=	$- \frac{2 x}{x + 4} - x$	\|⋅( $x + 4$ )
$4 \cdot (x + 4)$	=	$- \frac{2 x}{x + 4} \cdot (x + 4) - x \cdot (x + 4)$
$4 (x + 4)$	=	$- 2 x - x \cdot (x + 4)$
$4 x + 16$	=	$- 2 x - x \cdot (x + 4)$
$4 x + 16$	=	$- x^{2} - 6 x$

4 x + 16

=

- x^{2} - 6 x

|

+ x^{2}

+ 6 x

$x^{2} + 10 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 10+6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 10-6}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - 16$ = $25$ $-$ $16$ = $9$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 5$ - $3$ = -8

x₂ = $- 5$ + $3$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $- 2$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{4 x + 8} + \frac{- 3,5}{2 x + 4} - 2 x$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

$\frac{x}{4 x + 8} - \frac{3,5}{2 x + 4} - 2 x$	=	0
$\frac{x}{4 (x + 2)} - \frac{3,5}{2 (x + 2)} - 2 x$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 2)$ weg!

$\frac{x}{4 (x + 2)} - \frac{3,5}{2 (x + 2)} - 2 x$	=	\|⋅( $4 (x + 2)$ )
$\frac{x}{4 (x + 2)} \cdot (4 (x + 2)) + \frac{- 3,5}{2 (x + 2)} \cdot (4 (x + 2)) - 2 x \cdot (4 (x + 2))$	=
$x - 7 - 8 x \cdot (x + 2)$	=
$x - 7 + (- 8 x^{2} - 16 x)$	=
$- 8 x^{2} - 15 x - 7$	=

$- 8 x^{2} - 15 x - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot (- 8) \cdot (- 7)}}{2 \cdot (- 8)}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 - 224}}{- 16}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{1}}{- 16}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{1}}{- 16}$ = $\frac{15+1}{- 16}$ = $\frac{16}{- 16}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{1}}{- 16}$ = $\frac{15-1}{- 16}$ = $\frac{14}{- 16}$ = $- 0,875$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 8$ " teilen:

$- 8 x^{2} - 15 x - 7$ = 0 |: $- 8$

$x^{2} + \frac{15}{8} x + \frac{7}{8}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{15}{16})}^{2} - (\frac{7}{8})$ = $\frac{225}{256}$ $-$ $\frac{7}{8}$ = $\frac{225}{256}$ $-$ $\frac{224}{256}$ = $\frac{1}{256}$

x_1,2 = $- \frac{15}{16}$ ± $\sqrt{\frac{1}{256}}$

x₁ = $- \frac{15}{16}$ - $\frac{1}{16}$ = $- \frac{16}{16}$ = -1

x₂ = $- \frac{15}{16}$ + $\frac{1}{16}$ = $- \frac{14}{16}$ = -0.875

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $- 0,875$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 - \frac{4}{x}$ = $\frac{32}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{4}{x}$	=	$\frac{32}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{4}{x} \cdot x^{2}$	=	$\frac{32}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2} - 4 x$	=	$32$

x^{2} - 4 x

=

32

|

- 32

$x^{2} - 4 x - 32$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 32)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 128}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{4+12}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{4-12}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 32)$ = $4$ $+$ $32$ = $36$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $2$ - $6$ = -4

x₂ = $2$ + $6$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $8$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$8 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$8 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$8 + x$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$8 \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$8 x + x^{2}$	=	$- a$
$8 x + x^{2} + a$	=	0
$x^{2} + 8 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 8 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 8 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -10 würde es funktionieren, denn $- (2 - 10)$ = 8

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 10)$ = $- 20$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -20 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 8 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8+12}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8-12}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - (- 20)$ = $16$ $+$ $20$ = $36$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 4$ - $6$ = -10

x₂ = $- 4$ + $6$ = 2

L={ $- 10$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):