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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{x}{x + 1}$ = $x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 1$

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{- x}{x + 1}$	=	$x$	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{- x}{x + 1} \cdot (x + 1)$	=	$x \cdot (x + 1)$
$- x$	=	$x \cdot (x + 1)$
$- x$	=	$x^{2} + x$

$- x$	=	$x^{2} + x$	\| $- (x^{2} + x)$
$- x^{2} - x - x$	=	0
$- x^{2} - 2 x$	=	0
$- x \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; 0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 27 x - 24}{2 x}$ = $x - 4$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{- 27 x - 24}{2 x}$	=	$x - 4$	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{- 27 x - 24}{2 x} \cdot 2 x$	=	$x \cdot 2 x - 4 \cdot 2 x$
$- 27 x - 24$	=	$2 x \cdot x - 8 x$

- 27 x - 24

=

2 x^{2} - 8 x

|

- 2 x^{2}

+ 8 x

$- 2 x^{2} - 19 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 24)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 - 192}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{169}}{- 4}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{169}}{- 4}$ = $\frac{19+13}{- 4}$ = $\frac{32}{- 4}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{169}}{- 4}$ = $\frac{19-13}{- 4}$ = $\frac{6}{- 4}$ = $- 1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - 19 x - 24$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{19}{2} x + 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{19}{4})}^{2} - 12$ = $\frac{361}{16}$ $-$ $12$ = $\frac{361}{16}$ $-$ $\frac{192}{16}$ = $\frac{169}{16}$

x_1,2 = $- \frac{19}{4}$ ± $\sqrt{\frac{169}{16}}$

x₁ = $- \frac{19}{4}$ - $\frac{13}{4}$ = $- \frac{32}{4}$ = -8

x₂ = $- \frac{19}{4}$ + $\frac{13}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $- 1,5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x$ = $- \frac{15 x}{2 x - 3} + 2$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $\frac{3}{2}$

D=R\{ $\frac{3}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 3$ weg!

$x$	=	$- \frac{15 x}{2 x - 3} + 2$	\|⋅( $2 x - 3$ )
$x \cdot (2 x - 3)$	=	$- \frac{15 x}{2 x - 3} \cdot (2 x - 3) + 2 \cdot (2 x - 3)$
$x \cdot (2 x - 3)$	=	$- 15 x + 4 x - 6$
$x \cdot 2 x + x \cdot (- 3)$	=	$- 15 x + 4 x - 6$
$2 x \cdot x - 3 x$	=	$- 15 x + 4 x - 6$
$2 x^{2} - 3 x$	=	$- 11 x - 6$

2 x^{2} - 3 x

=

- 11 x - 6

|

+ 11 x

+ 6

2 x^{2} + 8 x + 6

= 0 |:2

$x^{2} + 4 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4+2}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4-2}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 2$ - $1$ = -3

x₂ = $- 2$ + $1$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 1$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{4 x - 4} - 3 x$ = $- \frac{36,75}{x - 1}$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

\frac{x}{4 (x - 1)} - 3 x

=

- \frac{36,75}{x - 1}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x - 1)$ weg!

$\frac{x}{4 (x - 1)} - 3 x$	=	$- \frac{36,75}{x - 1}$	\|⋅( $4 (x - 1)$ )
$\frac{x}{4 (x - 1)} \cdot (4 (x - 1)) - 3 x \cdot (4 (x - 1))$	=	$- \frac{36,75}{x - 1} \cdot (4 (x - 1))$
$x - 12 x \cdot (x - 1)$	=	$- 147$
$x + (- 12 x^{2} + 12 x)$	=	$- 147$
$- 12 x^{2} + 13 x$	=	$- 147$

- 12 x^{2} + 13 x

=

- 147

|

+ 147

$- 12 x^{2} + 13 x + 147$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot (- 12) \cdot 147}}{2 \cdot (- 12)}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 7 056}}{- 24}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{7 225}}{- 24}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{7 225}}{- 24}$ = $\frac{- 13+85}{- 24}$ = $\frac{72}{- 24}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{7 225}}{- 24}$ = $\frac{- 13-85}{- 24}$ = $\frac{- 98}{- 24}$ = $\frac{49}{12}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 12$ " teilen:

$- 12 x^{2} + 13 x + 147$ = 0 |: $- 12$

$x^{2} - \frac{13}{12} x - \frac{49}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{24})}^{2} - (- \frac{49}{4})$ = $\frac{169}{576}$ $+$ $\frac{49}{4}$ = $\frac{169}{576}$ $+$ $\frac{7056}{576}$ = $\frac{7225}{576}$

x_1,2 = $\frac{13}{24}$ ± $\sqrt{\frac{7225}{576}}$

x₁ = $\frac{13}{24}$ - $\frac{85}{24}$ = $- \frac{72}{24}$ = -3

x₂ = $\frac{13}{24}$ + $\frac{85}{24}$ = $\frac{98}{24}$ = 4.0833333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $\frac{49}{12}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}$ = $\frac{18}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}$	=	$\frac{18}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} + \frac{7}{x^{3}} \cdot x^{4}$	=	$\frac{18}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$x^{2} + 7 x$	=	$18$

x^{2} + 7 x

=

18

|

- 18

$x^{2} + 7 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7+11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7-11}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- \frac{10}{x} + x$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- \frac{10}{x} + x$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- \frac{10}{x} + x$	=	$- a$	\|⋅x
$- \frac{10}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$- 10 + x^{2}$	=	$- a x$
$- 10 + x^{2} + a x$	=	0
$x^{2} + a x - 10$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 10$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -10 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -5 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 5)$ = -10

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 5)$ = $3$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 3 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 5$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):