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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{6}{x + 1}$ = $3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 1$

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{6}{x + 1}$	=	$3 x$	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{6}{x + 1} \cdot (x + 1)$	=	$3 x \cdot (x + 1)$
$6$	=	$3 x (x + 1)$
$6$	=	$3 x^{2} + 3 x$

6

=

3 x^{2} + 3 x

|

- 3 x^{2}

- 3 x

- 3 x^{2} - 3 x + 6

= 0 |:3

$- x^{2} - x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 2}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{1+3}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{1-3}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - x + 2$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + x - 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x$ = $\frac{- 2 x - 3}{x + 2}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 2$

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$x$	=	$\frac{- 2 x - 3}{x + 2}$	\|⋅( $x + 2$ )
$x \cdot (x + 2)$	=	$\frac{- 2 x - 3}{x + 2} \cdot (x + 2)$
$x (x + 2)$	=	$- 2 x - 3$
$x \cdot x + x \cdot 2$	=	$- 2 x - 3$
$x \cdot x + 2 x$	=	$- 2 x - 3$
$x^{2} + 2 x$	=	$- 2 x - 3$

x^{2} + 2 x

=

- 2 x - 3

|

+ 2 x

+ 3

$x^{2} + 4 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4+2}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4-2}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 2$ - $1$ = -3

x₂ = $- 2$ + $1$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 6}{x - 3} + 2 x$ = $2$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $3$

D=R\{ $3$ }

- \frac{6}{x - 3} + 2 x

=

2

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$- \frac{6}{x - 3} + 2 x$	=	$2$	\|⋅( $x - 3$ )
$- \frac{6}{x - 3} \cdot (x - 3) + 2 x \cdot (x - 3)$	=	$2 \cdot (x - 3)$
$- 6 + 2 x (x - 3)$	=	$2 (x - 3)$
$- 6 + (2 x^{2} - 6 x)$	=	$2 (x - 3)$
$2 x^{2} - 6 x - 6$	=	$2 x - 6$

$2 x^{2} - 6 x - 6$	=	$2 x - 6$	\| $+ 6$
$2 x^{2} - 6 x$	=	$2 x$	\| $- 2 x$
$2 x^{2} - 6 x - 2 x$	=	0
$2 x^{2} - 8 x$	=	0
$2 x (x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 2}{6 x - 6} + 2 x$ = $- \frac{x}{3 x - 3}$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

$- \frac{2}{6 x - 6} + 2 x$	=	$\frac{- x}{3 x - 3}$
$- \frac{2}{6 (x - 1)} + 2 x$	=	$\frac{- x}{3 (x - 1)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 1)$ weg!

$- \frac{2}{6 (x - 1)} + 2 x$	=	$\frac{- x}{3 (x - 1)}$	\|⋅( $3 (x - 1)$ )
$\frac{- 2}{6 (x - 1)} \cdot (3 (x - 1)) + 2 x \cdot (3 (x - 1))$	=	$\frac{- x}{3 (x - 1)} \cdot (3 (x - 1))$
$- 1 + 6 x (x - 1)$	=	$- x$
$- 1 + (6 x^{2} - 6 x)$	=	$- x$
$6 x^{2} - 6 x - 1$	=	$- x$

6 x^{2} - 6 x - 1

=

- x

|

+ x

$6 x^{2} - 5 x - 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (- 1)}}{2 \cdot 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{12}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{49}}{12}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{49}}{12}$ = $\frac{5+7}{12}$ = $\frac{12}{12}$ = $1$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{49}}{12}$ = $\frac{5-7}{12}$ = $\frac{- 2}{12}$ = $- \frac{1}{6}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $6$ " teilen:

$6 x^{2} - 5 x - 1$ = 0 |: $6$

$x^{2} - \frac{5}{6} x - \frac{1}{6}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{12})}^{2} - (- \frac{1}{6})$ = $\frac{25}{144}$ $+$ $\frac{1}{6}$ = $\frac{25}{144}$ $+$ $\frac{24}{144}$ = $\frac{49}{144}$

x_1,2 = $\frac{5}{12}$ ± $\sqrt{\frac{49}{144}}$

x₁ = $\frac{5}{12}$ - $\frac{7}{12}$ = $- \frac{2}{12}$ = -0.16666666666667

x₂ = $\frac{5}{12}$ + $\frac{7}{12}$ = $\frac{12}{12}$ = 1

Lösung x= $1$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $- \frac{1}{6}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 - \frac{32}{x^{2}}$ = $\frac{4}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{32}{x^{2}}$	=	$\frac{4}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{32}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$\frac{4}{x} \cdot x^{2}$
$x^{2} - 32$	=	$4 x$

x^{2} - 32

=

4 x

|

- 4 x

$x^{2} - 4 x - 32$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 32)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 128}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{4+12}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{4-12}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 32)$ = $4$ $+$ $32$ = $36$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $2$ - $6$ = -4

x₂ = $2$ + $6$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $8$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a - \frac{20}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a - \frac{20}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a - \frac{20}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$a \cdot x - \frac{20}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a x - 20$	=	$- x^{2}$
$a x - 20 + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x - 20$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 20$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -20 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -10 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 10)$ = -20

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 10)$ = $8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 8 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8+12}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8-12}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - (- 20)$ = $16$ $+$ $20$ = $36$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 4$ - $6$ = -10

x₂ = $- 4$ + $6$ = 2

L={ $- 10$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):