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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{0}{x - 2}$ = $2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $2$

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{0}{x - 2}$	=	$2 x$	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{0}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=	$2 x \cdot (x - 2)$
0	=	$2 x \cdot (x - 2)$
0	=	$2 x^{2} - 4 x$

0	=	$2 x^{2} - 4 x$	\| $- (2 x^{2} - 4 x)$
$- 2 x^{2} + 4 x$	=	0
$2 x \cdot (- x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 2$	=	0	\| $- 2$
$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$2$

Lösung x= $2$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- 12 - \frac{8}{x}$ = $x - 3$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- 12 - \frac{8}{x}$	=	$x - 3$	\|⋅( $x$ )
$- 12 \cdot x - \frac{8}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 3 \cdot x$
$- 12 x - 8$	=	$x \cdot x - 3 x$

- 12 x - 8

=

x^{2} - 3 x

|

- x^{2}

+ 3 x

$- x^{2} - 9 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{9+7}{- 2}$ = $\frac{16}{- 2}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{9-7}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 9 x - 8$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 9 x + 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - 8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{32}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $- 1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 49}{x + 4} + 4$ = $- x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 4$

D=R\{ $- 4$ }

- \frac{49}{x + 4} + 4

=

- x

Wir multiplizieren den Nenner $x + 4$ weg!

$- \frac{49}{x + 4} + 4$	=	$- x$	\|⋅( $x + 4$ )
$- \frac{49}{x + 4} \cdot (x + 4) + 4 \cdot (x + 4)$	=	$- x \cdot (x + 4)$
$- 49 + 4 x + 16$	=	$- x \cdot (x + 4)$
$4 x - 33$	=	$- x^{2} - 4 x$

4 x - 33

=

- x^{2} - 4 x

|

+ x^{2}

+ 4 x

$x^{2} + 8 x - 33$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 33)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 132}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 8+14}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 8-14}{2}$ = $\frac{- 22}{2}$ = $- 11$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - (- 33)$ = $16$ $+$ $33$ = $49$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{49}$

x₁ = $- 4$ - $7$ = -11

x₂ = $- 4$ + $7$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 11$ ; $3$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{36,75}{x - 1}$ = $- \frac{x}{4 x - 4} + 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

\frac{36,75}{x - 1}

=

- \frac{x}{4 (x - 1)} + 3 x

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x - 1)$ weg!

$\frac{36,75}{x - 1}$	=	$- \frac{x}{4 (x - 1)} + 3 x$	\|⋅( $4 (x - 1)$ )
$\frac{36,75}{x - 1} \cdot (4 (x - 1))$	=	$- \frac{x}{4 (x - 1)} \cdot (4 (x - 1)) + 3 x \cdot (4 (x - 1))$
$147$	=	$- x + 12 x \cdot (x - 1)$
$147$	=	$12 x^{2} - 13 x$

147

=

12 x^{2} - 13 x

|

- 12 x^{2}

+ 13 x

$- 12 x^{2} + 13 x + 147$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot (- 12) \cdot 147}}{2 \cdot (- 12)}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 7 056}}{- 24}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{7 225}}{- 24}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{7 225}}{- 24}$ = $\frac{- 13+85}{- 24}$ = $\frac{72}{- 24}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{7 225}}{- 24}$ = $\frac{- 13-85}{- 24}$ = $\frac{- 98}{- 24}$ = $\frac{49}{12}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 12$ " teilen:

$- 12 x^{2} + 13 x + 147$ = 0 |: $- 12$

$x^{2} - \frac{13}{12} x - \frac{49}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{24})}^{2} - (- \frac{49}{4})$ = $\frac{169}{576}$ $+$ $\frac{49}{4}$ = $\frac{169}{576}$ $+$ $\frac{7056}{576}$ = $\frac{7225}{576}$

x_1,2 = $\frac{13}{24}$ ± $\sqrt{\frac{7225}{576}}$

x₁ = $\frac{13}{24}$ - $\frac{85}{24}$ = $- \frac{72}{24}$ = -3

x₂ = $\frac{13}{24}$ + $\frac{85}{24}$ = $\frac{98}{24}$ = 4.0833333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $\frac{49}{12}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x^{2}}$ = $\frac{10 x + 9}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$- \frac{1}{x^{2}}$	=	$\frac{10 x + 9}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$	=	$\frac{10 x + 9}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$- x^{2}$	=	$10 x + 9$

- x^{2}

=

10 x + 9

|

- 10 x

- 9

$- x^{2} - 10 x - 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 9)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{64}}{- 2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{10+8}{- 2}$ = $\frac{18}{- 2}$ = $- 9$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{10-8}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 10 x - 9$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 10 x + 9$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - 9$ = $25$ $-$ $9$ = $16$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 5$ - $4$ = -9

x₂ = $- 5$ + $4$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $- 1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + a$ = $- \frac{8}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + a$ = $- \frac{8}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + a$	=	$- \frac{8}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + a \cdot x$	=	$- \frac{8}{x} \cdot x$
$x^{2} + a x$	=	$- 8$
$x^{2} + a x + 8$	=	0
$x^{2} + a x + 8$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 8$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 8 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 4 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 4$ = 8

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 4)$ = $- 6$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $3$ - $1$ = 2

x₂ = $3$ + $1$ = 4

L={ $2$ ; $4$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):