Mathebattle EduRandomtasks

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{8}{x}$ = $2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{8}{x}$	=	$2 x$	\|⋅( $x$ )
$\frac{8}{x} \cdot x$	=	$2 x \cdot x$
$8$	=	$2 x \cdot x$
$8$	=	$2 x^{2}$

$8$	=	$2 x^{2}$	\| $- 8$ $- 2 x^{2}$
$- 2 x^{2}$	=	$- 8$	\|: $(- 2)$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- 2 + \frac{3}{x}$ = $x - 4$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- 2 + \frac{3}{x}$	=	$x - 4$	\|⋅( $x$ )
$- 2 \cdot x + \frac{3}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 4 \cdot x$
$- 2 x + 3$	=	$x \cdot x - 4 x$

- 2 x + 3

=

x^{2} - 4 x

|

- x^{2}

+ 4 x

$- x^{2} + 2 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 3}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 2+4}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 2-4}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 2 x + 3$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

0 = $- \frac{- 3 x}{x + 4} - 3 x - 2$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 4$

D=R\{ $- 4$ }

0

=

\frac{3 x}{x + 4} - 3 x - 2

Wir multiplizieren den Nenner $x + 4$ weg!

=	$\frac{3 x}{x + 4} - 3 x - 2$	\|⋅( $x + 4$ )
=	$\frac{3 x}{x + 4} \cdot (x + 4) - 3 x \cdot (x + 4) - 2 \cdot (x + 4)$
=	$3 x - 3 x \cdot (x + 4) - 2 x - 8$
=	$- 3 x^{2} - 11 x - 8$

0

=

- 3 x^{2} - 11 x - 8

|

+ 3 x^{2}

+ 11 x

+ 8

$3 x^{2} + 11 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 96}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{25}}{6}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{25}}{6}$ = $\frac{- 11+5}{6}$ = $\frac{- 6}{6}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{25}}{6}$ = $\frac{- 11-5}{6}$ = $\frac{- 16}{6}$ = $- \frac{8}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 11 x + 8$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{11}{3} x + \frac{8}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{6})}^{2} - (\frac{8}{3})$ = $\frac{121}{36}$ $-$ $\frac{8}{3}$ = $\frac{121}{36}$ $-$ $\frac{96}{36}$ = $\frac{25}{36}$

x_1,2 = $- \frac{11}{6}$ ± $\sqrt{\frac{25}{36}}$

x₁ = $- \frac{11}{6}$ - $\frac{5}{6}$ = $- \frac{16}{6}$ = -2.6666666666667

x₂ = $- \frac{11}{6}$ + $\frac{5}{6}$ = $- \frac{6}{6}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{8}{3}$ ; $- 1$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x$ = $- \frac{x}{5 x - 5} - \frac{- 12,8}{x - 1}$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

$x$	=	$- \frac{x}{5 x - 5} + \frac{12,8}{x - 1}$
$x$	=	$- \frac{x}{5 (x - 1)} + \frac{12,8}{x - 1}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x - 1)$ weg!

$x$	=	$- \frac{x}{5 (x - 1)} + \frac{12,8}{x - 1}$	\|⋅( $5 (x - 1)$ )
$x \cdot (5 (x - 1))$	=	$- \frac{x}{5 (x - 1)} \cdot (5 (x - 1)) + \frac{12,8}{x - 1} \cdot (5 (x - 1))$
$5 x \cdot (x - 1)$	=	$- x + 64$
$5 x \cdot x + 5 x \cdot (- 1)$	=	$- x + 64$
$5 x \cdot x - 5 x$	=	$- x + 64$
$5 x^{2} - 5 x$	=	$- x + 64$

5 x^{2} - 5 x

=

- x + 64

|

+ x

- 64

$5 x^{2} - 4 x - 64$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 64)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 1 280}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{1 296}}{10}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{1 296}}{10}$ = $\frac{4+36}{10}$ = $\frac{40}{10}$ = $4$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{1 296}}{10}$ = $\frac{4-36}{10}$ = $\frac{- 32}{10}$ = $- 3,2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 4 x - 64$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{4}{5} x - \frac{64}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{2}{5})}^{2} - (- \frac{64}{5})$ = $\frac{4}{25}$ $+$ $\frac{64}{5}$ = $\frac{4}{25}$ $+$ $\frac{320}{25}$ = $\frac{324}{25}$

x_1,2 = $\frac{2}{5}$ ± $\sqrt{\frac{324}{25}}$

x₁ = $\frac{2}{5}$ - $\frac{18}{5}$ = $- \frac{16}{5}$ = -3.2

x₂ = $\frac{2}{5}$ + $\frac{18}{5}$ = $\frac{20}{5}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3,2$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{1}{x} - \frac{20}{x^{2}} - \frac{100}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

=	$- \frac{1}{x} - \frac{20}{x^{2}} - \frac{100}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3} - \frac{20}{x^{2}} \cdot x^{3} - \frac{100}{x^{3}} \cdot x^{3}$
=	$- x^{2} - 20 x - 100$

0

=

- x^{2} - 20 x - 100

|

+ x^{2}

+ 20 x

+ 100

$x^{2} + 20 x + 100$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{20^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 400}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $10^{2} - 100$ = $100$ $-$ $100$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 10$ ± 0 = $- 10$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{15}{x}$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{15}{x}$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{15}{x}$	=	$- a$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{15}{x} \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$x^{2} + 15$	=	$- a x$
$x^{2} + 15 + a x$	=	0
$x^{2} + a x + 15$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 15$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 15 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = 5 würde es funktionieren, denn $3 \cdot 5$ = 15

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (3 + 5)$ = $- 8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8+2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8-2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 15$ = $16$ $-$ $15$ = $1$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $4$ - $1$ = 3

x₂ = $4$ + $1$ = 5

L={ $3$ ; $5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):