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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{16}{x}$ = $x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{16}{x}$	=	$x$	\|⋅( $x$ )
$\frac{16}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x$
$16$	=	$x \cdot x$
$16$	=	$x^{2}$

$16$	=	$x^{2}$	\| $- 16$ $- x^{2}$
$- x^{2}$	=	$- 16$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- x + 15}{2 x}$ = $x + 3$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{- x + 15}{2 x}$	=	$x + 3$	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{- x + 15}{2 x} \cdot 2 x$	=	$x \cdot 2 x + 3 \cdot 2 x$
$- x + 15$	=	$2 x \cdot x + 6 x$

- x + 15

=

2 x^{2} + 6 x

|

- 2 x^{2}

- 6 x

$- 2 x^{2} - 7 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 15}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 120}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{169}}{- 4}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{169}}{- 4}$ = $\frac{7+13}{- 4}$ = $\frac{20}{- 4}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{169}}{- 4}$ = $\frac{7-13}{- 4}$ = $\frac{- 6}{- 4}$ = $1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - 7 x + 15$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{7}{2} x - \frac{15}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{4})}^{2} - (- \frac{15}{2})$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $\frac{15}{2}$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $\frac{120}{16}$ = $\frac{169}{16}$

x_1,2 = $- \frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{169}{16}}$

x₁ = $- \frac{7}{4}$ - $\frac{13}{4}$ = $- \frac{20}{4}$ = -5

x₂ = $- \frac{7}{4}$ + $\frac{13}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = 1.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $1,5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 35}{2 x - 1} + x$ = $- 4$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $\frac{1}{2}$

D=R\{ $\frac{1}{2}$ }

- \frac{35}{2 x - 1} + x

=

- 4

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$- \frac{35}{2 x - 1} + x$	=	$- 4$	\|⋅( $2 x - 1$ )
$- \frac{35}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) + x \cdot (2 x - 1)$	=	$- 4 \cdot (2 x - 1)$
$- 35 + x \cdot (2 x - 1)$	=	$- 4 (2 x - 1)$
$- 35 + (2 x^{2} - x)$	=	$- 4 (2 x - 1)$
$2 x^{2} - x - 35$	=	$- 8 x + 4$

2 x^{2} - x - 35

=

- 8 x + 4

|

+ 8 x

- 4

$2 x^{2} + 7 x - 39$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 39)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 312}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{361}}{4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{361}}{4}$ = $\frac{- 7+19}{4}$ = $\frac{12}{4}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{361}}{4}$ = $\frac{- 7-19}{4}$ = $\frac{- 26}{4}$ = $- 6,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 7 x - 39$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{7}{2} x - \frac{39}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{4})}^{2} - (- \frac{39}{2})$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $\frac{39}{2}$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $\frac{312}{16}$ = $\frac{361}{16}$

x_1,2 = $- \frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{361}{16}}$

x₁ = $- \frac{7}{4}$ - $\frac{19}{4}$ = $- \frac{26}{4}$ = -6.5

x₂ = $- \frac{7}{4}$ + $\frac{19}{4}$ = $\frac{12}{4}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6,5$ ; $3$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{3 x - 9} - \frac{- 1}{x - 3} + 4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

0	=	$- \frac{x}{3 x - 9} + \frac{1}{x - 3} + 4 x$
0	=	$- \frac{x}{3 (x - 3)} + \frac{1}{x - 3} + 4 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 3)$ weg!

=	$- \frac{x}{3 (x - 3)} + \frac{1}{x - 3} + 4 x$	\|⋅( $3 (x - 3)$ )
=	$- \frac{x}{3 (x - 3)} \cdot (3 (x - 3)) + \frac{1}{x - 3} \cdot (3 (x - 3)) + 4 x \cdot (3 (x - 3))$
=	$- x + 3 + 12 x \cdot (x - 3)$
=	$12 x^{2} - 37 x + 3$

0

=

12 x^{2} - 37 x + 3

|

- 12 x^{2}

+ 37 x

- 3

$- 12 x^{2} + 37 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 37 \pm \sqrt{37^{2} - 4 \cdot (- 12) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 12)}$

x_1,2 = $\frac{- 37 \pm \sqrt{1 369 - 144}}{- 24}$

x_1,2 = $\frac{- 37 \pm \sqrt{1 225}}{- 24}$

x₁ = $\frac{- 37 + \sqrt{1 225}}{- 24}$ = $\frac{- 37+35}{- 24}$ = $\frac{- 2}{- 24}$ = $\frac{1}{12}$ ≈ 0.08

x₂ = $\frac{- 37 - \sqrt{1 225}}{- 24}$ = $\frac{- 37-35}{- 24}$ = $\frac{- 72}{- 24}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 12$ " teilen:

$- 12 x^{2} + 37 x - 3$ = 0 |: $- 12$

$x^{2} - \frac{37}{12} x + \frac{1}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{37}{24})}^{2} - (\frac{1}{4})$ = $\frac{1369}{576}$ $-$ $\frac{1}{4}$ = $\frac{1369}{576}$ $-$ $\frac{144}{576}$ = $\frac{1225}{576}$

x_1,2 = $\frac{37}{24}$ ± $\sqrt{\frac{1225}{576}}$

x₁ = $\frac{37}{24}$ - $\frac{35}{24}$ = $\frac{2}{24}$ = 0.083333333333333

x₂ = $\frac{37}{24}$ + $\frac{35}{24}$ = $\frac{72}{24}$ = 3

Lösung x= $3$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $\frac{1}{12}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x}$ = $- \frac{16}{x^{2}} - \frac{60}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x}$	=	$- \frac{16}{x^{2}} - \frac{60}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{16}{x^{2}} \cdot x^{3} - \frac{60}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$x^{2}$	=	$- 16 x - 60$

x^{2}

=

- 16 x - 60

|

+ 16 x

+ 60

$x^{2} + 16 x + 60$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 60}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 240}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 16 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 16+4}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{- 16 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 16-4}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $8^{2} - 60$ = $64$ $-$ $60$ = $4$

x_1,2 = $- 8$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 8$ - $2$ = -10

x₂ = $- 8$ + $2$ = -6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $- 6$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$1 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$1 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$1 + x$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$1 \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$x + x^{2}$	=	$- a$
$x + x^{2} + a$	=	0
$x^{2} + x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 1 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -3 würde es funktionieren, denn $- (2 - 3)$ = 1

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 3)$ = $- 6$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 3$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):