Mathebattle EduRandomtasks

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{9 x}{x + 2}$ = $3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 2$

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{- 9 x}{x + 2}$	=	$3 x$	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{- 9 x}{x + 2} \cdot (x + 2)$	=	$3 x \cdot (x + 2)$
$- \frac{9 x}{1}$	=	$3 x (x + 2)$
$- 9 x$	=	$3 x (x + 2)$
$- 9 x$	=	$3 x^{2} + 6 x$

$- 9 x$	=	$3 x^{2} + 6 x$	\| $- (3 x^{2} + 6 x)$
$- 3 x^{2} - 9 x - 6 x$	=	0
$- 3 x^{2} - 15 x$	=	0
$- 3 x (x + 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₂	=	$- 5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; 0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{22 x + 10}{x + 3}$ = $3 x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 3$

D=R\{ $- 3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{22 x + 10}{x + 3}$	=	$3 x$	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{22 x + 10}{x + 3} \cdot (x + 3)$	=	$3 x \cdot (x + 3)$
$22 x + 10$	=	$3 x (x + 3)$
$22 x + 10$	=	$3 x^{2} + 9 x$

22 x + 10

=

3 x^{2} + 9 x

|

- 3 x^{2}

- 9 x

$- 3 x^{2} + 13 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 10}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 120}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{289}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{289}}{- 6}$ = $\frac{- 13+17}{- 6}$ = $\frac{4}{- 6}$ = $- \frac{2}{3}$ ≈ -0.67

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{289}}{- 6}$ = $\frac{- 13-17}{- 6}$ = $\frac{- 30}{- 6}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + 13 x + 10$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{13}{3} x - \frac{10}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{6})}^{2} - (- \frac{10}{3})$ = $\frac{169}{36}$ $+$ $\frac{10}{3}$ = $\frac{169}{36}$ $+$ $\frac{120}{36}$ = $\frac{289}{36}$

x_1,2 = $\frac{13}{6}$ ± $\sqrt{\frac{289}{36}}$

x₁ = $\frac{13}{6}$ - $\frac{17}{6}$ = $- \frac{4}{6}$ = -0.66666666666667

x₂ = $\frac{13}{6}$ + $\frac{17}{6}$ = $\frac{30}{6}$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{2}{3}$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{35 x}{x - 4}$ = $- 3 x + 4$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $4$

D=R\{ $4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 4$ weg!

$\frac{35 x}{x - 4}$	=	$- 3 x + 4$	\|⋅( $x - 4$ )
$\frac{35 x}{x - 4} \cdot (x - 4)$	=	$- 3 x \cdot (x - 4) + 4 \cdot (x - 4)$
$35 x$	=	$- 3 x (x - 4) + 4 x - 16$
$35 x$	=	$- 3 x^{2} + 16 x - 16$

35 x

=

- 3 x^{2} + 16 x - 16

|

+ 3 x^{2}

- 16 x

+ 16

$3 x^{2} + 19 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 16}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 192}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{169}}{6}$

x₁ = $\frac{- 19 + \sqrt{169}}{6}$ = $\frac{- 19+13}{6}$ = $\frac{- 6}{6}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 19 - \sqrt{169}}{6}$ = $\frac{- 19-13}{6}$ = $\frac{- 32}{6}$ = $- \frac{16}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 19 x + 16$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{19}{3} x + \frac{16}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{19}{6})}^{2} - (\frac{16}{3})$ = $\frac{361}{36}$ $-$ $\frac{16}{3}$ = $\frac{361}{36}$ $-$ $\frac{192}{36}$ = $\frac{169}{36}$

x_1,2 = $- \frac{19}{6}$ ± $\sqrt{\frac{169}{36}}$

x₁ = $- \frac{19}{6}$ - $\frac{13}{6}$ = $- \frac{32}{6}$ = -5.3333333333333

x₂ = $- \frac{19}{6}$ + $\frac{13}{6}$ = $- \frac{6}{6}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{16}{3}$ ; $- 1$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x - 10}$ = $- \frac{60,6}{x - 2} + 4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

$\frac{x}{5 x - 10}$	=	$- \frac{60,6}{x - 2} + 4 x$
$\frac{x}{5 (x - 2)}$	=	$- \frac{60,6}{x - 2} + 4 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x - 2)$ weg!

$\frac{x}{5 (x - 2)}$	=	$- \frac{60,6}{x - 2} + 4 x$	\|⋅( $5 (x - 2)$ )
$\frac{x}{5 (x - 2)} \cdot (5 (x - 2))$	=	$\frac{- 60,6}{x - 2} \cdot (5 (x - 2)) + 4 x \cdot (5 (x - 2))$
$x$	=	$- 303 + 20 x (x - 2)$
$x$	=	$20 x^{2} - 40 x - 303$

x

=

20 x^{2} - 40 x - 303

|

- 20 x^{2}

+ 40 x

+ 303

$- 20 x^{2} + 41 x + 303$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 41 \pm \sqrt{41^{2} - 4 \cdot (- 20) \cdot 303}}{2 \cdot (- 20)}$

x_1,2 = $\frac{- 41 \pm \sqrt{1 681 + 24 240}}{- 40}$

x_1,2 = $\frac{- 41 \pm \sqrt{25 921}}{- 40}$

x₁ = $\frac{- 41 + \sqrt{25 921}}{- 40}$ = $\frac{- 41+161}{- 40}$ = $\frac{120}{- 40}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 41 - \sqrt{25 921}}{- 40}$ = $\frac{- 41-161}{- 40}$ = $\frac{- 202}{- 40}$ = $5,05$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 20$ " teilen:

$- 20 x^{2} + 41 x + 303$ = 0 |: $- 20$

$x^{2} - \frac{41}{20} x - \frac{303}{20}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{41}{40})}^{2} - (- \frac{303}{20})$ = $\frac{1681}{1600}$ $+$ $\frac{303}{20}$ = $\frac{1681}{1600}$ $+$ $\frac{24240}{1600}$ = $\frac{25921}{1600}$

x_1,2 = $\frac{41}{40}$ ± $\sqrt{\frac{25921}{1600}}$

x₁ = $\frac{41}{40}$ - $\frac{161}{40}$ = $- \frac{120}{40}$ = -3

x₂ = $\frac{41}{40}$ + $\frac{161}{40}$ = $\frac{202}{40}$ = 5.05

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $5,05$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{1}{x} + \frac{4}{x^{2}} - \frac{3}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

=	$- \frac{1}{x} + \frac{4}{x^{2}} - \frac{3}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3} + \frac{4}{x^{2}} \cdot x^{3} - \frac{3}{x^{3}} \cdot x^{3}$
=	$- x^{2} + 4 x - 3$

0

=

- x^{2} + 4 x - 3

|

+ x^{2}

- 4 x

+ 3

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4+2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4-2}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $2$ - $1$ = 1

x₂ = $2$ + $1$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{a}{x}$ = $- 6$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{a}{x}$ = $- 6$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{a}{x}$	=	$- 6$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- 6 \cdot x$
$x^{2} + a$	=	$- 6 x$
$x^{2} + a + 6 x$	=	0
$x^{2} + 6 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 6 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 6 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -8 würde es funktionieren, denn $- (2 - 8)$ = 6

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 8)$ = $- 16$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -16 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 6 x - 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 16)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 6+10}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 6-10}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - (- 16)$ = $9$ $+$ $16$ = $25$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 3$ - $5$ = -8

x₂ = $- 3$ + $5$ = 2

L={ $- 8$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):