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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{24}{x + 2}$ = $3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 2$

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{24}{x + 2}$	=	$3 x$	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{24}{x + 2} \cdot (x + 2)$	=	$3 x \cdot (x + 2)$
$24$	=	$3 x \cdot (x + 2)$
$24$	=	$3 x^{2} + 6 x$

24

=

3 x^{2} + 6 x

|

- 3 x^{2}

- 6 x

- 3 x^{2} - 6 x + 24

= 0 |:3

$- x^{2} - 2 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 8}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{2+6}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{2-6}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 2 x + 8$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 1$ - $3$ = -4

x₂ = $- 1$ + $3$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 17 x + 5}{x - 1}$ = $3 x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $1$

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{- 17 x + 5}{x - 1}$	=	$3 x$	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{- 17 x + 5}{x - 1} \cdot (x - 1)$	=	$3 x \cdot (x - 1)$
$- 17 x + 5$	=	$3 x \cdot (x - 1)$
$- 17 x + 5$	=	$3 x^{2} - 3 x$

- 17 x + 5

=

3 x^{2} - 3 x

|

- 3 x^{2}

+ 3 x

$- 3 x^{2} - 14 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 5}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 + 60}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{256}}{- 6}$

x₁ = $\frac{14 + \sqrt{256}}{- 6}$ = $\frac{14+16}{- 6}$ = $\frac{30}{- 6}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{14 - \sqrt{256}}{- 6}$ = $\frac{14-16}{- 6}$ = $\frac{- 2}{- 6}$ = $\frac{1}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 14 x + 5$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{14}{3} x - \frac{5}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{3})}^{2} - (- \frac{5}{3})$ = $\frac{49}{9}$ $+$ $\frac{5}{3}$ = $\frac{49}{9}$ $+$ $\frac{15}{9}$ = $\frac{64}{9}$

x_1,2 = $- \frac{7}{3}$ ± $\sqrt{\frac{64}{9}}$

x₁ = $- \frac{7}{3}$ - $\frac{8}{3}$ = $- \frac{15}{3}$ = -5

x₂ = $- \frac{7}{3}$ + $\frac{8}{3}$ = $\frac{1}{3}$ = 0.33333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $\frac{1}{3}$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 20}{3 x + 5} + x$ = $2$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- \frac{5}{3}$

D=R\{ $- \frac{5}{3}$ }

- \frac{20}{3 x + 5} + x

=

2

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 5$ weg!

$- \frac{20}{3 x + 5} + x$	=	$2$	\|⋅( $3 x + 5$ )
$- \frac{20}{3 x + 5} \cdot (3 x + 5) + x \cdot (3 x + 5)$	=	$2 \cdot (3 x + 5)$
$- 20 + x \cdot (3 x + 5)$	=	$2 (3 x + 5)$
$- 20 + (3 x^{2} + 5 x)$	=	$2 (3 x + 5)$
$3 x^{2} + 5 x - 20$	=	$6 x + 10$

3 x^{2} + 5 x - 20

=

6 x + 10

|

- 6 x

- 10

$3 x^{2} - x - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 360}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{361}}{6}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{361}}{6}$ = $\frac{1+19}{6}$ = $\frac{20}{6}$ = $\frac{10}{3}$ ≈ 3.33

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{361}}{6}$ = $\frac{1-19}{6}$ = $\frac{- 18}{6}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - x - 30$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{1}{3} x - 10$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{6})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{1}{36}$ $+$ $10$ = $\frac{1}{36}$ $+$ $\frac{360}{36}$ = $\frac{361}{36}$

x_1,2 = $\frac{1}{6}$ ± $\sqrt{\frac{361}{36}}$

x₁ = $\frac{1}{6}$ - $\frac{19}{6}$ = $- \frac{18}{6}$ = -3

x₂ = $\frac{1}{6}$ + $\frac{19}{6}$ = $\frac{20}{6}$ = 3.3333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $\frac{10}{3}$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x + 4} + \frac{- 25}{x + 2} + 3 x$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

$\frac{x}{2 x + 4} - \frac{25}{x + 2} + 3 x$	=	0
$\frac{x}{2 (x + 2)} - \frac{25}{x + 2} + 3 x$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 2)$ weg!

$\frac{x}{2 (x + 2)} - \frac{25}{x + 2} + 3 x$	=	\|⋅( $2 (x + 2)$ )
$\frac{x}{2 (x + 2)} \cdot (2 (x + 2)) + \frac{- 25}{x + 2} \cdot (2 (x + 2)) + 3 x \cdot (2 (x + 2))$	=
$x - 50 + 6 x \cdot (x + 2)$	=
$x - 50 + (6 x^{2} + 12 x)$	=
$6 x^{2} + 13 x - 50$	=

$6 x^{2} + 13 x - 50$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (- 50)}}{2 \cdot 6}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 1 200}}{12}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{1 369}}{12}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{1 369}}{12}$ = $\frac{- 13+37}{12}$ = $\frac{24}{12}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{1 369}}{12}$ = $\frac{- 13-37}{12}$ = $\frac{- 50}{12}$ = $- \frac{25}{6}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $6$ " teilen:

$6 x^{2} + 13 x - 50$ = 0 |: $6$

$x^{2} + \frac{13}{6} x - \frac{25}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{12})}^{2} - (- \frac{25}{3})$ = $\frac{169}{144}$ $+$ $\frac{25}{3}$ = $\frac{169}{144}$ $+$ $\frac{1200}{144}$ = $\frac{1369}{144}$

x_1,2 = $- \frac{13}{12}$ ± $\sqrt{\frac{1369}{144}}$

x₁ = $- \frac{13}{12}$ - $\frac{37}{12}$ = $- \frac{50}{12}$ = -4.1666666666667

x₂ = $- \frac{13}{12}$ + $\frac{37}{12}$ = $\frac{24}{12}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{25}{6}$ ; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x} + \frac{21}{x^{3}}$ = $\frac{10}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x} + \frac{21}{x^{3}}$	=	$\frac{10}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3} + \frac{21}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$\frac{10}{x^{2}} \cdot x^{3}$
$x^{2} + 21$	=	$10 x$

x^{2} + 21

=

10 x

|

- 10 x

$x^{2} - 10 x + 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 84}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{10+4}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{10-4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 21$ = $25$ $-$ $21$ = $4$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $5$ - $2$ = 3

x₂ = $5$ + $2$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ ; $7$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{8}{x}$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{8}{x}$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{8}{x}$	=	$- a$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{8}{x} \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$x^{2} + 8$	=	$- a x$
$x^{2} + 8 + a x$	=	0
$x^{2} + a x + 8$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 8$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 8 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 4 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 4$ = 8

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 4)$ = $- 6$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $3$ - $1$ = 2

x₂ = $3$ + $1$ = 4

L={ $2$ ; $4$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):