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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{4}{x}$ = $- x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{4}{x}$	=	$- x$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{4}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 4$	=	$- x \cdot x$
$- 4$	=	$- x^{2}$

$- 4$	=	$- x^{2}$	\| $+ 4$ $+ x^{2}$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 17 x - 18}{2 x}$ = $x - 1$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{- 17 x - 18}{2 x}$	=	$x - 1$	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{- 17 x - 18}{2 x} \cdot 2 x$	=	$x \cdot 2 x - 1 \cdot 2 x$
$- 17 x - 18$	=	$2 x \cdot x - 2 x$

- 17 x - 18

=

2 x^{2} - 2 x

|

- 2 x^{2}

+ 2 x

$- 2 x^{2} - 15 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 18)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 - 144}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{81}}{- 4}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{81}}{- 4}$ = $\frac{15+9}{- 4}$ = $\frac{24}{- 4}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{81}}{- 4}$ = $\frac{15-9}{- 4}$ = $\frac{6}{- 4}$ = $- 1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - 15 x - 18$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{15}{2} x + 9$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{15}{4})}^{2} - 9$ = $\frac{225}{16}$ $-$ $9$ = $\frac{225}{16}$ $-$ $\frac{144}{16}$ = $\frac{81}{16}$

x_1,2 = $- \frac{15}{4}$ ± $\sqrt{\frac{81}{16}}$

x₁ = $- \frac{15}{4}$ - $\frac{9}{4}$ = $- \frac{24}{4}$ = -6

x₂ = $- \frac{15}{4}$ + $\frac{9}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $- 1,5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 54}{x + 5} + x$ = $- 2$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 5$

D=R\{ $- 5$ }

- \frac{54}{x + 5} + x

=

- 2

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

$- \frac{54}{x + 5} + x$	=	$- 2$	\|⋅( $x + 5$ )
$- \frac{54}{x + 5} \cdot (x + 5) + x \cdot (x + 5)$	=	$- 2 \cdot (x + 5)$
$- 54 + x \cdot (x + 5)$	=	$- 2 (x + 5)$
$- 54 + (x^{2} + 5 x)$	=	$- 2 (x + 5)$
$x^{2} + 5 x - 54$	=	$- 2 x - 10$

x^{2} + 5 x - 54

=

- 2 x - 10

|

+ 2 x

+ 10

$x^{2} + 7 x - 44$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 44)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 176}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{225}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{- 7+15}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{- 7-15}{2}$ = $\frac{- 22}{2}$ = $- 11$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 44)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $44$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{176}{4}$ = $\frac{225}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{225}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{15}{2}$ = $- \frac{22}{2}$ = -11

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{15}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 11$ ; $4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x$ = $- \frac{x}{2 x - 8} - \frac{- 61,5}{x - 4}$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

$3 x$	=	$- \frac{x}{2 x - 8} + \frac{61,5}{x - 4}$
$3 x$	=	$- \frac{x}{2 (x - 4)} + \frac{61,5}{x - 4}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 4)$ weg!

$3 x$	=	$- \frac{x}{2 (x - 4)} + \frac{61,5}{x - 4}$	\|⋅( $2 (x - 4)$ )
$3 x \cdot (2 (x - 4))$	=	$- \frac{x}{2 (x - 4)} \cdot (2 (x - 4)) + \frac{61,5}{x - 4} \cdot (2 (x - 4))$
$6 x \cdot (x - 4)$	=	$- x + 123$
$6 x \cdot x + 6 x \cdot (- 4)$	=	$- x + 123$
$6 x \cdot x - 24 x$	=	$- x + 123$
$6 x^{2} - 24 x$	=	$- x + 123$

6 x^{2} - 24 x

=

- x + 123

|

+ x

- 123

$6 x^{2} - 23 x - 123$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{{(- 23)}^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (- 123)}}{2 \cdot 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{529 + 2 952}}{12}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{3 481}}{12}$

x₁ = $\frac{23 + \sqrt{3 481}}{12}$ = $\frac{23+59}{12}$ = $\frac{82}{12}$ = $\frac{41}{6}$ ≈ 6.83

x₂ = $\frac{23 - \sqrt{3 481}}{12}$ = $\frac{23-59}{12}$ = $\frac{- 36}{12}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $6$ " teilen:

$6 x^{2} - 23 x - 123$ = 0 |: $6$

$x^{2} - \frac{23}{6} x - \frac{41}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{23}{12})}^{2} - (- \frac{41}{2})$ = $\frac{529}{144}$ $+$ $\frac{41}{2}$ = $\frac{529}{144}$ $+$ $\frac{2952}{144}$ = $\frac{3481}{144}$

x_1,2 = $\frac{23}{12}$ ± $\sqrt{\frac{3481}{144}}$

x₁ = $\frac{23}{12}$ - $\frac{59}{12}$ = $- \frac{36}{12}$ = -3

x₂ = $\frac{23}{12}$ + $\frac{59}{12}$ = $\frac{82}{12}$ = 6.8333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $\frac{41}{6}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{13}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x^{2}} - \frac{40}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$- \frac{13}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{40}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$- \frac{13}{x^{3}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} - \frac{40}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$- 13 x$	=	$- x^{2} - 40$

- 13 x

=

- x^{2} - 40

|

+ x^{2}

+ 40

$x^{2} - 13 x + 40$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 40}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 160}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{13+3}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{13-3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{2})}^{2} - 40$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $40$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{160}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{13}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

x₂ = $\frac{13}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $5$ ; $8$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + x$ = $\frac{12}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + x$ = $\frac{12}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + x$	=	$\frac{12}{x}$	\|⋅x
$a \cdot x + x \cdot x$	=	$\frac{12}{x} \cdot x$
$a x + x^{2}$	=	$12$
$a x + x^{2} - 12$	=	0
$x^{2} + a x - 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 6)$ = -12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 6)$ = $4$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 4 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 4 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 2$ - $4$ = -6

x₂ = $- 2$ + $4$ = 2

L={ $- 6$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):