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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{x}{x + 1}$ = $x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 1$

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{- x}{x + 1}$	=	$x$	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{- x}{x + 1} \cdot (x + 1)$	=	$x \cdot (x + 1)$
$- x$	=	$x \cdot (x + 1)$
$- x$	=	$x^{2} + x$

$- x$	=	$x^{2} + x$	\| $- (x^{2} + x)$
$- x^{2} - x - x$	=	0
$- x^{2} - 2 x$	=	0
$- x \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; 0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$1 - \frac{4}{x}$ = $x - 4$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$1 - \frac{4}{x}$	=	$x - 4$	\|⋅( $x$ )
$1 \cdot x - \frac{4}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 4 \cdot x$
$x - 4$	=	$x \cdot x - 4 x$

x - 4

=

x^{2} - 4 x

|

- x^{2}

+ 4 x

$- x^{2} + 5 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 5+3}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 5-3}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 5 x - 4$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 5 x + 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

0 = $- \frac{x}{2 x + 2} - x - 1$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 1$

D=R\{ $- 1$ }

0

=

- \frac{x}{2 (x + 1)} - x - 1

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 1)$ weg!

=	$- \frac{x}{2 (x + 1)} - x - 1$	\|⋅( $2 (x + 1)$ )
=	$- \frac{x}{2 (x + 1)} \cdot (2 (x + 1)) - x \cdot (2 (x + 1)) - 1 \cdot (2 (x + 1))$
=	$- x - 2 x \cdot (x + 1) - 2 x - 2$
=	$- 2 x^{2} - 5 x - 2$

0

=

- 2 x^{2} - 5 x - 2

|

+ 2 x^{2}

+ 5 x

+ 2

$2 x^{2} + 5 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 5+3}{4}$ = $\frac{- 2}{4}$ = $- 0,5$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 5-3}{4}$ = $\frac{- 8}{4}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 5 x + 2$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{5}{2} x + 1$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{4})}^{2} - 1$ = $\frac{25}{16}$ $-$ $1$ = $\frac{25}{16}$ $-$ $\frac{16}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $- \frac{5}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $- \frac{5}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $- \frac{8}{4}$ = -2

x₂ = $- \frac{5}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 0,5$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x + 10}$ = $- \frac{0,4}{x + 2} - 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

$\frac{x}{5 x + 10}$	=	$- \frac{0,4}{x + 2} - 3 x$
$\frac{x}{5 (x + 2)}$	=	$- \frac{0,4}{x + 2} - 3 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 2)$ weg!

$\frac{x}{5 (x + 2)}$	=	$- \frac{0,4}{x + 2} - 3 x$	\|⋅( $5 (x + 2)$ )
$\frac{x}{5 (x + 2)} \cdot (5 (x + 2))$	=	$\frac{- 0,4}{x + 2} \cdot (5 (x + 2)) - 3 x \cdot (5 (x + 2))$
$x$	=	$- 2 - 15 x \cdot (x + 2)$
$x$	=	$- 15 x^{2} - 30 x - 2$

x

=

- 15 x^{2} - 30 x - 2

|

+ 15 x^{2}

+ 30 x

+ 2

$15 x^{2} + 31 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 31 \pm \sqrt{31^{2} - 4 \cdot 15 \cdot 2}}{2 \cdot 15}$

x_1,2 = $\frac{- 31 \pm \sqrt{961 - 120}}{30}$

x_1,2 = $\frac{- 31 \pm \sqrt{841}}{30}$

x₁ = $\frac{- 31 + \sqrt{841}}{30}$ = $\frac{- 31+29}{30}$ = $\frac{- 2}{30}$ = $- \frac{1}{15}$ ≈ -0.07

x₂ = $\frac{- 31 - \sqrt{841}}{30}$ = $\frac{- 31-29}{30}$ = $\frac{- 60}{30}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $15$ " teilen:

$15 x^{2} + 31 x + 2$ = 0 |: $15$

$x^{2} + \frac{31}{15} x + \frac{2}{15}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{31}{30})}^{2} - (\frac{2}{15})$ = $\frac{961}{900}$ $-$ $\frac{2}{15}$ = $\frac{961}{900}$ $-$ $\frac{120}{900}$ = $\frac{841}{900}$

x_1,2 = $- \frac{31}{30}$ ± $\sqrt{\frac{841}{900}}$

x₁ = $- \frac{31}{30}$ - $\frac{29}{30}$ = $- \frac{60}{30}$ = -2

x₂ = $- \frac{31}{30}$ + $\frac{29}{30}$ = $- \frac{2}{30}$ = -0.066666666666667

Lösung x= $- 2$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $- \frac{1}{15}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{16}{x}$ = $- 1 - \frac{63}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$- \frac{16}{x}$	=	$- 1 - \frac{63}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$- \frac{16}{x} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2} - \frac{63}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$- 16 x$	=	$- x^{2} - 63$

- 16 x

=

- x^{2} - 63

|

+ x^{2}

+ 63

$x^{2} - 16 x + 63$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 63}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 - 252}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{16 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{16+2}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{16 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{16-2}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 8)}^{2} - 63$ = $64$ $-$ $63$ = $1$

x_1,2 = $8$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $8$ - $1$ = 7

x₂ = $8$ + $1$ = 9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $7$ ; $9$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- \frac{30}{x} + a$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- \frac{30}{x} + a$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- \frac{30}{x} + a$	=	$- x$	\|⋅x
$- \frac{30}{x} \cdot x + a \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 30 + a x$	=	$- x^{2}$
$- 30 + a x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x - 30$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 30$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -30 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -15 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 15)$ = -30

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 15)$ = $13$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 13 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 13 x - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{289}}{2}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{- 13+17}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{- 13-17}{2}$ = $\frac{- 30}{2}$ = $- 15$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{2})}^{2} - (- 30)$ = $\frac{169}{4}$ $+$ $30$ = $\frac{169}{4}$ $+$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{289}{4}$

x_1,2 = $- \frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{289}{4}}$

x₁ = $- \frac{13}{2}$ - $\frac{17}{2}$ = $- \frac{30}{2}$ = -15

x₂ = $- \frac{13}{2}$ + $\frac{17}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 15$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):