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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{x}{x + 2}$ = $- x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 2$

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{x}{x + 2}$	=	$- x$	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{x}{x + 2} \cdot (x + 2)$	=	$- x \cdot (x + 2)$
$x$	=	$- x \cdot (x + 2)$
$x$	=	$- x^{2} - 2 x$

$x$	=	$- x^{2} - 2 x$	\| $- (- x^{2} - 2 x)$
$x^{2} + x + 2 x$	=	0
$x^{2} + 3 x$	=	0
$x \cdot (x + 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₂	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; 0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$7 + \frac{3}{x}$ = $x + 5$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$7 + \frac{3}{x}$	=	$x + 5$	\|⋅( $x$ )
$7 \cdot x + \frac{3}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 5 \cdot x$
$7 x + 3$	=	$x \cdot x + 5 x$

7 x + 3

=

x^{2} + 5 x

|

- x^{2}

- 5 x

$- x^{2} + 2 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 3}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 2+4}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 2-4}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 2 x + 3$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x$ = $- \frac{18 x}{x - 4} - 5$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $4$

D=R\{ $4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 4$ weg!

$x$	=	$- \frac{18 x}{x - 4} - 5$	\|⋅( $x - 4$ )
$x \cdot (x - 4)$	=	$- \frac{18 x}{x - 4} \cdot (x - 4) - 5 \cdot (x - 4)$
$x \cdot (x - 4)$	=	$- 18 x - 5 x + 20$
$x \cdot x + x \cdot (- 4)$	=	$- 18 x - 5 x + 20$
$x \cdot x - 4 x$	=	$- 18 x - 5 x + 20$
$x^{2} - 4 x$	=	$- 23 x + 20$

x^{2} - 4 x

=

- 23 x + 20

|

+ 23 x

- 20

$x^{2} + 19 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{441}}{2}$

x₁ = $\frac{- 19 + \sqrt{441}}{2}$ = $\frac{- 19+21}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 19 - \sqrt{441}}{2}$ = $\frac{- 19-21}{2}$ = $\frac{- 40}{2}$ = $- 20$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{19}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{361}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{361}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{441}{4}$

x_1,2 = $- \frac{19}{2}$ ± $\sqrt{\frac{441}{4}}$

x₁ = $- \frac{19}{2}$ - $\frac{21}{2}$ = $- \frac{40}{2}$ = -20

x₂ = $- \frac{19}{2}$ + $\frac{21}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 20$ ; $1$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{12,5}{x - 3} - 3 x$ = $- \frac{x}{2 x - 6}$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

$\frac{12,5}{x - 3} - 3 x$	=	$\frac{- x}{2 x - 6}$
$\frac{12,5}{x - 3} - 3 x$	=	$\frac{- x}{2 (x - 3)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 3)$ weg!

$\frac{12,5}{x - 3} - 3 x$	=	$\frac{- x}{2 (x - 3)}$	\|⋅( $2 (x - 3)$ )
$\frac{12,5}{x - 3} \cdot (2 (x - 3)) - 3 x \cdot (2 (x - 3))$	=	$\frac{- x}{2 (x - 3)} \cdot (2 (x - 3))$
$25 - 6 x \cdot (x - 3)$	=	$- x$
$25 + (- 6 x^{2} + 18 x)$	=	$- x$
$- 6 x^{2} + 18 x + 25$	=	$- x$

- 6 x^{2} + 18 x + 25

=

- x

|

+ x

$- 6 x^{2} + 19 x + 25$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot (- 6) \cdot 25}}{2 \cdot (- 6)}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 600}}{- 12}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{961}}{- 12}$

x₁ = $\frac{- 19 + \sqrt{961}}{- 12}$ = $\frac{- 19+31}{- 12}$ = $\frac{12}{- 12}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 19 - \sqrt{961}}{- 12}$ = $\frac{- 19-31}{- 12}$ = $\frac{- 50}{- 12}$ = $\frac{25}{6}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 6$ " teilen:

$- 6 x^{2} + 19 x + 25$ = 0 |: $- 6$

$x^{2} - \frac{19}{6} x - \frac{25}{6}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{19}{12})}^{2} - (- \frac{25}{6})$ = $\frac{361}{144}$ $+$ $\frac{25}{6}$ = $\frac{361}{144}$ $+$ $\frac{600}{144}$ = $\frac{961}{144}$

x_1,2 = $\frac{19}{12}$ ± $\sqrt{\frac{961}{144}}$

x₁ = $\frac{19}{12}$ - $\frac{31}{12}$ = $- \frac{12}{12}$ = -1

x₂ = $\frac{19}{12}$ + $\frac{31}{12}$ = $\frac{50}{12}$ = 4.1666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $\frac{25}{6}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{15 x + 50}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{15 x + 50}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{15 x + 50}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$15 x + 50$	=	$- x^{2}$

15 x + 50

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 15 x + 50$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 50}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 200}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 15+5}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 15-5}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{15}{2})}^{2} - 50$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $50$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $\frac{200}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{15}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{15}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{20}{2}$ = -10

x₂ = $- \frac{15}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $- 5$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} - 3$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} - 3$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} - 3$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x - 3 \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a - 3 x$	=	$- x^{2}$
$a - 3 x + x^{2}$	=	0
$x^{2} - 3 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 3 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -3 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 1 würde es funktionieren, denn $- (2 + 1)$ = -3

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 1$ = $2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $1$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):