Mathebattle EduRandomtasks

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{45}{x - 2}$ = $3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $2$

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{45}{x - 2}$	=	$3 x$	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{45}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=	$3 x \cdot (x - 2)$
$45$	=	$3 x (x - 2)$
$45$	=	$3 x^{2} - 6 x$

45

=

3 x^{2} - 6 x

|

- 3 x^{2}

+ 6 x

- 3 x^{2} + 6 x + 45

= 0 |:3

$- x^{2} + 2 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 15}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{- 2+8}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{- 2-8}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 2 x + 15$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 2 x - 15$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $1$ - $4$ = -3

x₂ = $1$ + $4$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- 1 - \frac{2}{x}$ = $x + 2$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- 1 - \frac{2}{x}$	=	$x + 2$	\|⋅( $x$ )
$- 1 \cdot x - \frac{2}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 2 \cdot x$
$- x - 2$	=	$x \cdot x + 2 x$

- x - 2

=

x^{2} + 2 x

|

- x^{2}

- 2 x

$- x^{2} - 3 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{3+1}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{3-1}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 3 x - 2$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x$ = $- \frac{- 28 x}{2 x - 5} - 5$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $\frac{5}{2}$

D=R\{ $\frac{5}{2}$ }

x

=

\frac{28 x}{2 x - 5} - 5

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 5$ weg!

$x$	=	$\frac{28 x}{2 x - 5} - 5$	\|⋅( $2 x - 5$ )
$x \cdot (2 x - 5)$	=	$\frac{28 x}{2 x - 5} \cdot (2 x - 5) - 5 \cdot (2 x - 5)$
$x (2 x - 5)$	=	$28 x - 10 x + 25$
$x \cdot 2 x + x \cdot (- 5)$	=	$28 x - 10 x + 25$
$2 x \cdot x - 5 x$	=	$28 x - 10 x + 25$
$2 x^{2} - 5 x$	=	$18 x + 25$

2 x^{2} - 5 x

=

18 x + 25

|

- 18 x

- 25

$2 x^{2} - 23 x - 25$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{{(- 23)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 25)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{529 + 200}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{729}}{4}$

x₁ = $\frac{23 + \sqrt{729}}{4}$ = $\frac{23+27}{4}$ = $\frac{50}{4}$ = $12,5$

x₂ = $\frac{23 - \sqrt{729}}{4}$ = $\frac{23-27}{4}$ = $\frac{- 4}{4}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 23 x - 25$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{23}{2} x - \frac{25}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{23}{4})}^{2} - (- \frac{25}{2})$ = $\frac{529}{16}$ $+$ $\frac{25}{2}$ = $\frac{529}{16}$ $+$ $\frac{200}{16}$ = $\frac{729}{16}$

x_1,2 = $\frac{23}{4}$ ± $\sqrt{\frac{729}{16}}$

x₁ = $\frac{23}{4}$ - $\frac{27}{4}$ = $- \frac{4}{4}$ = -1

x₂ = $\frac{23}{4}$ + $\frac{27}{4}$ = $\frac{50}{4}$ = 12.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $12,5$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{5 x + 20} - \frac{6,6}{x + 4} - 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

0	=	$- \frac{x}{5 x + 20} - \frac{6,6}{x + 4} - 2 x$
0	=	$- \frac{x}{5 (x + 4)} - \frac{6,6}{x + 4} - 2 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 4)$ weg!

=	$- \frac{x}{5 (x + 4)} - \frac{6,6}{x + 4} - 2 x$	\|⋅( $5 (x + 4)$ )
=	$- \frac{x}{5 (x + 4)} \cdot (5 (x + 4)) + \frac{- 6,6}{x + 4} \cdot (5 (x + 4)) - 2 x \cdot (5 (x + 4))$
=	$- x - 33 - 10 x (x + 4)$
=	$- 10 x^{2} - 41 x - 33$

0

=

- 10 x^{2} - 41 x - 33

|

+ 10 x^{2}

+ 41 x

+ 33

$10 x^{2} + 41 x + 33$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 41 \pm \sqrt{41^{2} - 4 \cdot 10 \cdot 33}}{2 \cdot 10}$

x_1,2 = $\frac{- 41 \pm \sqrt{1 681 - 1 320}}{20}$

x_1,2 = $\frac{- 41 \pm \sqrt{361}}{20}$

x₁ = $\frac{- 41 + \sqrt{361}}{20}$ = $\frac{- 41+19}{20}$ = $\frac{- 22}{20}$ = $- 1,1$

x₂ = $\frac{- 41 - \sqrt{361}}{20}$ = $\frac{- 41-19}{20}$ = $\frac{- 60}{20}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $10$ " teilen:

$10 x^{2} + 41 x + 33$ = 0 |: $10$

$x^{2} + \frac{41}{10} x + \frac{33}{10}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{41}{20})}^{2} - (\frac{33}{10})$ = $\frac{1681}{400}$ $-$ $\frac{33}{10}$ = $\frac{1681}{400}$ $-$ $\frac{1320}{400}$ = $\frac{361}{400}$

x_1,2 = $- \frac{41}{20}$ ± $\sqrt{\frac{361}{400}}$

x₁ = $- \frac{41}{20}$ - $\frac{19}{20}$ = $- \frac{60}{20}$ = -3

x₂ = $- \frac{41}{20}$ + $\frac{19}{20}$ = $- \frac{22}{20}$ = -1.1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 1,1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1$ = $\frac{15}{x} - \frac{50}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1$	=	$\frac{15}{x} - \frac{50}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2}$	=	$\frac{15}{x} \cdot x^{2} - \frac{50}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2}$	=	$15 x - 50$

x^{2}

=

15 x - 50

|

- 15 x

+ 50

$x^{2} - 15 x + 50$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 50}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 - 200}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{15+5}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{15-5}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{15}{2})}^{2} - 50$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $50$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $\frac{200}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{15}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{15}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

x₂ = $\frac{15}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $5$ ; $10$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$11 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$11 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$11 + x$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$11 \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$11 x + x^{2}$	=	$- a$
$11 x + x^{2} + a$	=	0
$x^{2} + 11 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 11 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 11 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -13 würde es funktionieren, denn $- (2 - 13)$ = 11

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 13)$ = $- 26$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -26 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 11 x - 26$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 26)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 + 104}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{225}}{2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{- 11+15}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{- 11-15}{2}$ = $\frac{- 26}{2}$ = $- 13$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{2})}^{2} - (- 26)$ = $\frac{121}{4}$ $+$ $26$ = $\frac{121}{4}$ $+$ $\frac{104}{4}$ = $\frac{225}{4}$

x_1,2 = $- \frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{225}{4}}$

x₁ = $- \frac{11}{2}$ - $\frac{15}{2}$ = $- \frac{26}{2}$ = -13

x₂ = $- \frac{11}{2}$ + $\frac{15}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 13$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):