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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{27}{x}$ = $- 3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{27}{x}$	=	$- 3 x$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{27}{x} \cdot x$	=	$- 3 x \cdot x$
$- 27$	=	$- 3 x \cdot x$
$- 27$	=	$- 3 x^{2}$

$- 27$	=	$- 3 x^{2}$	\| $+ 27$ $+ 3 x^{2}$
$3 x^{2}$	=	$27$	\|: $3$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 3 x - 1}{4 x}$ = $x - 2$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{- 3 x - 1}{4 x}$	=	$x - 2$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{- 3 x - 1}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x - 2 \cdot 4 x$
$- 3 x - 1$	=	$4 x \cdot x - 8 x$

- 3 x - 1

=

4 x^{2} - 8 x

|

- 4 x^{2}

+ 8 x

$- 4 x^{2} + 5 x - 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 1)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{- 8}$ = $\frac{- 5+3}{- 8}$ = $\frac{- 2}{- 8}$ = $0,25$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{- 8}$ = $\frac{- 5-3}{- 8}$ = $\frac{- 8}{- 8}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 5 x - 1$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - \frac{5}{4} x + \frac{1}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{8})}^{2} - (\frac{1}{4})$ = $\frac{25}{64}$ $-$ $\frac{1}{4}$ = $\frac{25}{64}$ $-$ $\frac{16}{64}$ = $\frac{9}{64}$

x_1,2 = $\frac{5}{8}$ ± $\sqrt{\frac{9}{64}}$

x₁ = $\frac{5}{8}$ - $\frac{3}{8}$ = $\frac{2}{8}$ = 0.25

x₂ = $\frac{5}{8}$ + $\frac{3}{8}$ = $\frac{8}{8}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,25$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{3}{x + 5}$ = $- 2 x - 5$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 5$

D=R\{ $- 5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

$\frac{3}{x + 5}$	=	$- 2 x - 5$	\|⋅( $x + 5$ )
$\frac{3}{x + 5} \cdot (x + 5)$	=	$- 2 x \cdot (x + 5) - 5 \cdot (x + 5)$
$3$	=	$- 2 x \cdot (x + 5) - 5 x - 25$
$3$	=	$- 2 x^{2} - 15 x - 25$

3

=

- 2 x^{2} - 15 x - 25

|

+ 2 x^{2}

+ 15 x

+ 25

$2 x^{2} + 15 x + 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 28}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 224}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 15+1}{4}$ = $\frac{- 14}{4}$ = $- 3,5$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 15-1}{4}$ = $\frac{- 16}{4}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 15 x + 28$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{15}{2} x + 14$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{15}{4})}^{2} - 14$ = $\frac{225}{16}$ $-$ $14$ = $\frac{225}{16}$ $-$ $\frac{224}{16}$ = $\frac{1}{16}$

x_1,2 = $- \frac{15}{4}$ ± $\sqrt{\frac{1}{16}}$

x₁ = $- \frac{15}{4}$ - $\frac{1}{4}$ = $- \frac{16}{4}$ = -4

x₂ = $- \frac{15}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $- \frac{14}{4}$ = -3.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 3,5$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x + 8}$ = $- \frac{82,5}{x + 4} + 4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

$\frac{x}{2 x + 8}$	=	$- \frac{82,5}{x + 4} + 4 x$
$\frac{x}{2 (x + 4)}$	=	$- \frac{82,5}{x + 4} + 4 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 4)$ weg!

$\frac{x}{2 (x + 4)}$	=	$- \frac{82,5}{x + 4} + 4 x$	\|⋅( $2 (x + 4)$ )
$\frac{x}{2 (x + 4)} \cdot (2 (x + 4))$	=	$\frac{- 82,5}{x + 4} \cdot (2 (x + 4)) + 4 x \cdot (2 (x + 4))$
$x$	=	$- 165 + 8 x \cdot (x + 4)$
$x$	=	$8 x^{2} + 32 x - 165$

x

=

8 x^{2} + 32 x - 165

|

- 8 x^{2}

- 32 x

+ 165

$- 8 x^{2} - 31 x + 165$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{{(- 31)}^{2} - 4 \cdot (- 8) \cdot 165}}{2 \cdot (- 8)}$

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{961 + 5 280}}{- 16}$

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{6 241}}{- 16}$

x₁ = $\frac{31 + \sqrt{6 241}}{- 16}$ = $\frac{31+79}{- 16}$ = $\frac{110}{- 16}$ = $- 6,875$

x₂ = $\frac{31 - \sqrt{6 241}}{- 16}$ = $\frac{31-79}{- 16}$ = $\frac{- 48}{- 16}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 8$ " teilen:

$- 8 x^{2} - 31 x + 165$ = 0 |: $- 8$

$x^{2} + \frac{31}{8} x - \frac{165}{8}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{31}{16})}^{2} - (- \frac{165}{8})$ = $\frac{961}{256}$ $+$ $\frac{165}{8}$ = $\frac{961}{256}$ $+$ $\frac{5280}{256}$ = $\frac{6241}{256}$

x_1,2 = $- \frac{31}{16}$ ± $\sqrt{\frac{6241}{256}}$

x₁ = $- \frac{31}{16}$ - $\frac{79}{16}$ = $- \frac{110}{16}$ = -6.875

x₂ = $- \frac{31}{16}$ + $\frac{79}{16}$ = $\frac{48}{16}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6,875$ ; $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 2 x - 63}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{- 2 x - 63}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{- 2 x - 63}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$- 2 x - 63$	=	$- x^{2}$

- 2 x - 63

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - 2 x - 63$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 63)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 252}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{256}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{2+16}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{2-16}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 63)$ = $1$ $+$ $63$ = $64$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{64}$

x₁ = $1$ - $8$ = -7

x₂ = $1$ + $8$ = 9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $9$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + a$ = $\frac{30}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + a$ = $\frac{30}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + a$	=	$\frac{30}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + a \cdot x$	=	$\frac{30}{x} \cdot x$
$x^{2} + a x$	=	$30$
$x^{2} + a x - 30$	=	0
$x^{2} + a x - 30$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 30$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -30 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -15 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 15)$ = -30

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 15)$ = $13$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 13 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 13 x - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{289}}{2}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{- 13+17}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{- 13-17}{2}$ = $\frac{- 30}{2}$ = $- 15$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{2})}^{2} - (- 30)$ = $\frac{169}{4}$ $+$ $30$ = $\frac{169}{4}$ $+$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{289}{4}$

x_1,2 = $- \frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{289}{4}}$

x₁ = $- \frac{13}{2}$ - $\frac{17}{2}$ = $- \frac{30}{2}$ = -15

x₂ = $- \frac{13}{2}$ + $\frac{17}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 15$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):