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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{4 x}{x + 1}$ = $2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 1$

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{4 x}{x + 1}$	=	$2 x$	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{4 x}{x + 1} \cdot (x + 1)$	=	$2 x \cdot (x + 1)$
$4 x$	=	$2 x \cdot (x + 1)$
$4 x$	=	$2 x^{2} + 2 x$

$4 x$	=	$2 x^{2} + 2 x$	\| $- (2 x^{2} + 2 x)$
$- 2 x^{2} + 4 x - 2 x$	=	0
$- 2 x^{2} + 2 x$	=	0
$2 x \cdot (- x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 8 x - 10}{3 x}$ = $x + 3$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{- 8 x - 10}{3 x}$	=	$x + 3$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{- 8 x - 10}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x + 3 \cdot 3 x$
$- 8 x - 10$	=	$3 x \cdot x + 9 x$

- 8 x - 10

=

3 x^{2} + 9 x

|

- 3 x^{2}

- 9 x

$- 3 x^{2} - 17 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 10)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 120}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{169}}{- 6}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{169}}{- 6}$ = $\frac{17+13}{- 6}$ = $\frac{30}{- 6}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{169}}{- 6}$ = $\frac{17-13}{- 6}$ = $\frac{4}{- 6}$ = $- \frac{2}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 17 x - 10$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{17}{3} x + \frac{10}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{6})}^{2} - (\frac{10}{3})$ = $\frac{289}{36}$ $-$ $\frac{10}{3}$ = $\frac{289}{36}$ $-$ $\frac{120}{36}$ = $\frac{169}{36}$

x_1,2 = $- \frac{17}{6}$ ± $\sqrt{\frac{169}{36}}$

x₁ = $- \frac{17}{6}$ - $\frac{13}{6}$ = $- \frac{30}{6}$ = -5

x₂ = $- \frac{17}{6}$ + $\frac{13}{6}$ = $- \frac{4}{6}$ = -0.66666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $- \frac{2}{3}$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 9 x}{x + 2}$ = $- 2 x + 2$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 2$

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{- 9 x}{x + 2}$	=	$- 2 x + 2$	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{- 9 x}{x + 2} \cdot (x + 2)$	=	$- 2 x \cdot (x + 2) + 2 \cdot (x + 2)$
$- \frac{9 x}{1}$	=	$- 2 x \cdot (x + 2) + 2 x + 4$
$- 9 x$	=	$- 2 x \cdot (x + 2) + 2 x + 4$
$- 9 x$	=	$- 2 x^{2} - 2 x + 4$

- 9 x

=

- 2 x^{2} - 2 x + 4

|

+ 2 x^{2}

+ 2 x

- 4

$2 x^{2} - 7 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{81}}{4}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{7+9}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = $4$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{7-9}{4}$ = $\frac{- 2}{4}$ = $- 0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 7 x - 4$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{7}{2} x - 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{4})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $2$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $\frac{32}{16}$ = $\frac{81}{16}$

x_1,2 = $\frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{81}{16}}$

x₁ = $\frac{7}{4}$ - $\frac{9}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

x₂ = $\frac{7}{4}$ + $\frac{9}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,5$ ; $4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{4 x + 12} - \frac{- 1,75}{x + 3} + x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

0	=	$- \frac{x}{4 x + 12} + \frac{1,75}{x + 3} + x$
0	=	$- \frac{x}{4 (x + 3)} + \frac{1,75}{x + 3} + x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 3)$ weg!

=	$- \frac{x}{4 (x + 3)} + \frac{1,75}{x + 3} + x$	\|⋅( $4 (x + 3)$ )
=	$- \frac{x}{4 (x + 3)} \cdot (4 (x + 3)) + \frac{1,75}{x + 3} \cdot (4 (x + 3)) + x \cdot (4 (x + 3))$
=	$- x + 7 + 4 x \cdot (x + 3)$
=	$4 x^{2} + 11 x + 7$

0

=

4 x^{2} + 11 x + 7

|

- 4 x^{2}

- 11 x

- 7

$- 4 x^{2} - 11 x - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 7)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 112}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{9}}{- 8}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{9}}{- 8}$ = $\frac{11+3}{- 8}$ = $\frac{14}{- 8}$ = $- 1,75$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{9}}{- 8}$ = $\frac{11-3}{- 8}$ = $\frac{8}{- 8}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 11 x - 7$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{11}{4} x + \frac{7}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{8})}^{2} - (\frac{7}{4})$ = $\frac{121}{64}$ $-$ $\frac{7}{4}$ = $\frac{121}{64}$ $-$ $\frac{112}{64}$ = $\frac{9}{64}$

x_1,2 = $- \frac{11}{8}$ ± $\sqrt{\frac{9}{64}}$

x₁ = $- \frac{11}{8}$ - $\frac{3}{8}$ = $- \frac{14}{8}$ = -1.75

x₂ = $- \frac{11}{8}$ + $\frac{3}{8}$ = $- \frac{8}{8}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1,75$ ; $- 1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x} - \frac{12}{x^{2}}$ = $- 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{1}{x} - \frac{12}{x^{2}}$	=	$- 1$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{2} - \frac{12}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2}$
$x - 12$	=	$- x^{2}$

x - 12

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- \frac{18}{x} + a$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- \frac{18}{x} + a$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- \frac{18}{x} + a$	=	$- x$	\|⋅x
$- \frac{18}{x} \cdot x + a \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 18 + a x$	=	$- x^{2}$
$- 18 + a x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x - 18$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 18$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -18 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -9 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 9)$ = -18

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 9)$ = $7$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 7 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 7 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7+11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7-11}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 9$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):