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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{15 x}{x - 3}$ = $3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $3$

D=R\{ $3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{- 15 x}{x - 3}$	=	$3 x$	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{- 15 x}{x - 3} \cdot (x - 3)$	=	$3 x \cdot (x - 3)$
$- \frac{15 x}{1}$	=	$3 x \cdot (x - 3)$
$- 15 x$	=	$3 x \cdot (x - 3)$
$- 15 x$	=	$3 x^{2} - 9 x$

$- 15 x$	=	$3 x^{2} - 9 x$	\| $- (3 x^{2} - 9 x)$
$- 3 x^{2} - 15 x + 9 x$	=	0
$- 3 x^{2} - 6 x$	=	0
$- 3 x \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; 0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$6 + \frac{5}{x}$ = $x + 2$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$6 + \frac{5}{x}$	=	$x + 2$	\|⋅( $x$ )
$6 \cdot x + \frac{5}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 2 \cdot x$
$6 x + 5$	=	$x \cdot x + 2 x$

6 x + 5

=

x^{2} + 2 x

|

- x^{2}

- 2 x

$- x^{2} + 4 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 5}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 4+6}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 4-6}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 4 x + 5$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 4 x - 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $2$ - $3$ = -1

x₂ = $2$ + $3$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

0 = $- \frac{- 49}{2 x - 1} - x + 4$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $\frac{1}{2}$

D=R\{ $\frac{1}{2}$ }

0

=

\frac{49}{2 x - 1} - x + 4

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

=	$\frac{49}{2 x - 1} - x + 4$	\|⋅( $2 x - 1$ )
=	$\frac{49}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) - x \cdot (2 x - 1) + 4 \cdot (2 x - 1)$
=	$49 - x \cdot (2 x - 1) + 8 x - 4$
=	$- 2 x^{2} + 9 x + 45$

0

=

- 2 x^{2} + 9 x + 45

|

+ 2 x^{2}

- 9 x

- 45

$2 x^{2} - 9 x - 45$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 45)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 + 360}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{441}}{4}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{441}}{4}$ = $\frac{9+21}{4}$ = $\frac{30}{4}$ = $7,5$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{441}}{4}$ = $\frac{9-21}{4}$ = $\frac{- 12}{4}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 9 x - 45$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{9}{2} x - \frac{45}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{4})}^{2} - (- \frac{45}{2})$ = $\frac{81}{16}$ $+$ $\frac{45}{2}$ = $\frac{81}{16}$ $+$ $\frac{360}{16}$ = $\frac{441}{16}$

x_1,2 = $\frac{9}{4}$ ± $\sqrt{\frac{441}{16}}$

x₁ = $\frac{9}{4}$ - $\frac{21}{4}$ = $- \frac{12}{4}$ = -3

x₂ = $\frac{9}{4}$ + $\frac{21}{4}$ = $\frac{30}{4}$ = 7.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $7,5$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x - 5} + \frac{18,4}{x - 1}$ = $3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

$\frac{x}{5 x - 5} + \frac{18,4}{x - 1}$	=	$3 x$
$\frac{x}{5 (x - 1)} + \frac{18,4}{x - 1}$	=	$3 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x - 1)$ weg!

$\frac{x}{5 (x - 1)} + \frac{18,4}{x - 1}$	=	$3 x$	\|⋅( $5 (x - 1)$ )
$\frac{x}{5 (x - 1)} \cdot (5 (x - 1)) + \frac{18,4}{x - 1} \cdot (5 (x - 1))$	=	$3 x \cdot (5 (x - 1))$
$x + 92$	=	$15 x \cdot (x - 1)$
$x + 92$	=	$15 x^{2} - 15 x$

x + 92

=

15 x^{2} - 15 x

|

- 15 x^{2}

+ 15 x

$- 15 x^{2} + 16 x + 92$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot (- 15) \cdot 92}}{2 \cdot (- 15)}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 + 5 520}}{- 30}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{5 776}}{- 30}$

x₁ = $\frac{- 16 + \sqrt{5 776}}{- 30}$ = $\frac{- 16+76}{- 30}$ = $\frac{60}{- 30}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 16 - \sqrt{5 776}}{- 30}$ = $\frac{- 16-76}{- 30}$ = $\frac{- 92}{- 30}$ = $\frac{46}{15}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 15$ " teilen:

$- 15 x^{2} + 16 x + 92$ = 0 |: $- 15$

$x^{2} - \frac{16}{15} x - \frac{92}{15}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{8}{15})}^{2} - (- \frac{92}{15})$ = $\frac{64}{225}$ $+$ $\frac{92}{15}$ = $\frac{64}{225}$ $+$ $\frac{1380}{225}$ = $\frac{1444}{225}$

x_1,2 = $\frac{8}{15}$ ± $\sqrt{\frac{1444}{225}}$

x₁ = $\frac{8}{15}$ - $\frac{38}{15}$ = $- \frac{30}{15}$ = -2

x₂ = $\frac{8}{15}$ + $\frac{38}{15}$ = $\frac{46}{15}$ = 3.0666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $\frac{46}{15}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1$ = $\frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1$	=	$\frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2}$	=	$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2}$	=	$1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + x$ = $- 10$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + x$ = $- 10$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + x$	=	$- 10$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- 10 \cdot x$
$a + x^{2}$	=	$- 10 x$
$a + x^{2} + 10 x$	=	0
$x^{2} + 10 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 10 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 10 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -12 würde es funktionieren, denn $- (2 - 12)$ = 10

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 12)$ = $- 24$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -24 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 10 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 10+14}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 10-14}{2}$ = $\frac{- 24}{2}$ = $- 12$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - (- 24)$ = $25$ $+$ $24$ = $49$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{49}$

x₁ = $- 5$ - $7$ = -12

x₂ = $- 5$ + $7$ = 2

L={ $- 12$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):