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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{12 x}{x - 2}$ = $- 3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $2$

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{12 x}{x - 2}$	=	$- 3 x$	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{12 x}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=	$- 3 x \cdot (x - 2)$
$12 x$	=	$- 3 x (x - 2)$
$12 x$	=	$- 3 x^{2} + 6 x$

$12 x$	=	$- 3 x^{2} + 6 x$	\| $- (- 3 x^{2} + 6 x)$
$3 x^{2} + 12 x - 6 x$	=	0
$3 x^{2} + 6 x$	=	0
$3 x (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; 0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x - 2$ = $\frac{- 17 x - 6}{3 x}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$x - 2$	=	$\frac{- 17 x - 6}{3 x}$	\|⋅( $3 x$ )
$x \cdot 3 x - 2 \cdot 3 x$	=	$\frac{- 17 x - 6}{3 x} \cdot 3 x$
$3 x \cdot x - 6 x$	=	$- 17 x - 6$
$3 x^{2} - 6 x$	=	$- 17 x - 6$

3 x^{2} - 6 x

=

- 17 x - 6

|

+ 17 x

+ 6

$3 x^{2} + 11 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 6}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{49}}{6}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{49}}{6}$ = $\frac{- 11+7}{6}$ = $\frac{- 4}{6}$ = $- \frac{2}{3}$ ≈ -0.67

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{49}}{6}$ = $\frac{- 11-7}{6}$ = $\frac{- 18}{6}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 11 x + 6$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{11}{3} x + 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{6})}^{2} - 2$ = $\frac{121}{36}$ $-$ $2$ = $\frac{121}{36}$ $-$ $\frac{72}{36}$ = $\frac{49}{36}$

x_1,2 = $- \frac{11}{6}$ ± $\sqrt{\frac{49}{36}}$

x₁ = $- \frac{11}{6}$ - $\frac{7}{6}$ = $- \frac{18}{6}$ = -3

x₂ = $- \frac{11}{6}$ + $\frac{7}{6}$ = $- \frac{4}{6}$ = -0.66666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- \frac{2}{3}$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{14}{x - 5}$ = $- 2 x - 1$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $5$

D=R\{ $5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

$\frac{14}{x - 5}$	=	$- 2 x - 1$	\|⋅( $x - 5$ )
$\frac{14}{x - 5} \cdot (x - 5)$	=	$- 2 x \cdot (x - 5) - 1 \cdot (x - 5)$
$14$	=	$- 2 x (x - 5) - x + 5$
$14$	=	$- 2 x^{2} + 9 x + 5$

14

=

- 2 x^{2} + 9 x + 5

|

+ 2 x^{2}

- 9 x

- 5

$2 x^{2} - 9 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 9}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 72}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{9}}{4}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{9+3}{4}$ = $\frac{12}{4}$ = $3$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{9-3}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = $1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 9 x + 9$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{9}{2} x + \frac{9}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{4})}^{2} - (\frac{9}{2})$ = $\frac{81}{16}$ $-$ $\frac{9}{2}$ = $\frac{81}{16}$ $-$ $\frac{72}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $\frac{9}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $\frac{9}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = 1.5

x₂ = $\frac{9}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $\frac{12}{4}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1,5$ ; $3$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 x$ = $- \frac{x}{3 x + 6} - \frac{284}{3 x + 6}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

$- 4 x$	=	$- \frac{x}{3 x + 6} - \frac{284}{3 x + 6}$
$- 4 x$	=	$- \frac{x}{3 (x + 2)} - \frac{284}{3 (x + 2)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 2)$ weg!

$- 4 x$	=	$- \frac{x}{3 (x + 2)} - \frac{284}{3 (x + 2)}$	\|⋅( $3 (x + 2)$ )
$- 4 x \cdot (3 (x + 2))$	=	$- \frac{x}{3 (x + 2)} \cdot (3 (x + 2)) - \frac{284}{3 (x + 2)} \cdot (3 (x + 2))$
$- 12 x (x + 2)$	=	$- x - 284$
$- 12 x \cdot x - 12 x \cdot 2$	=	$- x - 284$
$- 12 x \cdot x - 24 x$	=	$- x - 284$
$- 12 x^{2} - 24 x$	=	$- x - 284$

- 12 x^{2} - 24 x

=

- x - 284

|

+ x

+ 284

$- 12 x^{2} - 23 x + 284$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{{(- 23)}^{2} - 4 \cdot (- 12) \cdot 284}}{2 \cdot (- 12)}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{529 + 13 632}}{- 24}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{14 161}}{- 24}$

x₁ = $\frac{23 + \sqrt{14 161}}{- 24}$ = $\frac{23+119}{- 24}$ = $\frac{142}{- 24}$ = $- \frac{71}{12}$ ≈ -5.92

x₂ = $\frac{23 - \sqrt{14 161}}{- 24}$ = $\frac{23-119}{- 24}$ = $\frac{- 96}{- 24}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 12$ " teilen:

$- 12 x^{2} - 23 x + 284$ = 0 |: $- 12$

$x^{2} + \frac{23}{12} x - \frac{71}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{23}{24})}^{2} - (- \frac{71}{3})$ = $\frac{529}{576}$ $+$ $\frac{71}{3}$ = $\frac{529}{576}$ $+$ $\frac{13632}{576}$ = $\frac{14161}{576}$

x_1,2 = $- \frac{23}{24}$ ± $\sqrt{\frac{14161}{576}}$

x₁ = $- \frac{23}{24}$ - $\frac{119}{24}$ = $- \frac{142}{24}$ = -5.9166666666667

x₂ = $- \frac{23}{24}$ + $\frac{119}{24}$ = $\frac{96}{24}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{71}{12}$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x^{2}}$ = $\frac{- 17 x + 70}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$- \frac{1}{x^{2}}$	=	$\frac{- 17 x + 70}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$	=	$\frac{- 17 x + 70}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$- x^{2}$	=	$- 17 x + 70$

- x^{2}

=

- 17 x + 70

|

+ 17 x

- 70

$- x^{2} + 17 x - 70$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 70)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 - 280}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 17+3}{- 2}$ = $\frac{- 14}{- 2}$ = $7$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 17-3}{- 2}$ = $\frac{- 20}{- 2}$ = $10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 17 x - 70$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 17 x + 70$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{2})}^{2} - 70$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $70$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $\frac{280}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{17}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{17}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

x₂ = $\frac{17}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $7$ ; $10$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$9 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$9 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$9 + x$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$9 \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$9 x + x^{2}$	=	$- a$
$9 x + x^{2} + a$	=	0
$x^{2} + 9 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 9 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 9 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -11 würde es funktionieren, denn $- (2 - 11)$ = 9

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 11)$ = $- 22$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -22 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 9 x - 22$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 22)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 88}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 9+13}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 9-13}{2}$ = $\frac{- 22}{2}$ = $- 11$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - (- 22)$ = $\frac{81}{4}$ $+$ $22$ = $\frac{81}{4}$ $+$ $\frac{88}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $- \frac{22}{2}$ = -11

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 11$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):