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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{18}{x + 1}$ = $3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 1$

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{18}{x + 1}$	=	$3 x$	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{18}{x + 1} \cdot (x + 1)$	=	$3 x \cdot (x + 1)$
$18$	=	$3 x \cdot (x + 1)$
$18$	=	$3 x^{2} + 3 x$

18

=

3 x^{2} + 3 x

|

- 3 x^{2}

- 3 x

- 3 x^{2} - 3 x + 18

= 0 |:3

$- x^{2} - x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 6}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{1+5}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{1-5}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - x + 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + x - 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- x - 3}{4 x}$ = $x + 3$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{- x - 3}{4 x}$	=	$x + 3$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{- x - 3}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x + 3 \cdot 4 x$
$- x - 3$	=	$4 x \cdot x + 12 x$

- x - 3

=

4 x^{2} + 12 x

|

- 4 x^{2}

- 12 x

$- 4 x^{2} - 13 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 48}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{121}}{- 8}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{121}}{- 8}$ = $\frac{13+11}{- 8}$ = $\frac{24}{- 8}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{121}}{- 8}$ = $\frac{13-11}{- 8}$ = $\frac{2}{- 8}$ = $- 0,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 13 x - 3$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{13}{4} x + \frac{3}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{8})}^{2} - (\frac{3}{4})$ = $\frac{169}{64}$ $-$ $\frac{3}{4}$ = $\frac{169}{64}$ $-$ $\frac{48}{64}$ = $\frac{121}{64}$

x_1,2 = $- \frac{13}{8}$ ± $\sqrt{\frac{121}{64}}$

x₁ = $- \frac{13}{8}$ - $\frac{11}{8}$ = $- \frac{24}{8}$ = -3

x₂ = $- \frac{13}{8}$ + $\frac{11}{8}$ = $- \frac{2}{8}$ = -0.25

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 0,25$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 30 x}{x + 5} + 3 x$ = $- 2$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 5$

D=R\{ $- 5$ }

- \frac{30 x}{x + 5} + 3 x

=

- 2

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

$- \frac{30 x}{x + 5} + 3 x$	=	$- 2$	\|⋅( $x + 5$ )
$- \frac{30 x}{x + 5} \cdot (x + 5) + 3 x \cdot (x + 5)$	=	$- 2 \cdot (x + 5)$
$- 30 x + 3 x \cdot (x + 5)$	=	$- 2 (x + 5)$
$- 30 x + (3 x^{2} + 15 x)$	=	$- 2 (x + 5)$
$3 x^{2} - 15 x$	=	$- 2 x - 10$

3 x^{2} - 15 x

=

- 2 x - 10

|

+ 2 x

+ 10

$3 x^{2} - 13 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 120}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{49}}{6}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{49}}{6}$ = $\frac{13+7}{6}$ = $\frac{20}{6}$ = $\frac{10}{3}$ ≈ 3.33

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{49}}{6}$ = $\frac{13-7}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 13 x + 10$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{13}{3} x + \frac{10}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{6})}^{2} - (\frac{10}{3})$ = $\frac{169}{36}$ $-$ $\frac{10}{3}$ = $\frac{169}{36}$ $-$ $\frac{120}{36}$ = $\frac{49}{36}$

x_1,2 = $\frac{13}{6}$ ± $\sqrt{\frac{49}{36}}$

x₁ = $\frac{13}{6}$ - $\frac{7}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = 1

x₂ = $\frac{13}{6}$ + $\frac{7}{6}$ = $\frac{20}{6}$ = 3.3333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $\frac{10}{3}$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{4 x + 4}$ = $- \frac{46,5}{2 x + 2} + 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

$\frac{x}{4 x + 4}$	=	$- \frac{46,5}{2 x + 2} + 2 x$
$\frac{x}{4 (x + 1)}$	=	$- \frac{46,5}{2 (x + 1)} + 2 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 1)$ weg!

$\frac{x}{4 (x + 1)}$	=	$- \frac{46,5}{2 (x + 1)} + 2 x$	\|⋅( $4 (x + 1)$ )
$\frac{x}{4 (x + 1)} \cdot (4 (x + 1))$	=	$\frac{- 46,5}{2 (x + 1)} \cdot (4 (x + 1)) + 2 x \cdot (4 (x + 1))$
$x$	=	$- 93 + 8 x \cdot (x + 1)$
$x$	=	$8 x^{2} + 8 x - 93$

x

=

8 x^{2} + 8 x - 93

|

- 8 x^{2}

- 8 x

+ 93

$- 8 x^{2} - 7 x + 93$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 8) \cdot 93}}{2 \cdot (- 8)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 2 976}}{- 16}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{3 025}}{- 16}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{3 025}}{- 16}$ = $\frac{7+55}{- 16}$ = $\frac{62}{- 16}$ = $- 3,875$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{3 025}}{- 16}$ = $\frac{7-55}{- 16}$ = $\frac{- 48}{- 16}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 8$ " teilen:

$- 8 x^{2} - 7 x + 93$ = 0 |: $- 8$

$x^{2} + \frac{7}{8} x - \frac{93}{8}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{16})}^{2} - (- \frac{93}{8})$ = $\frac{49}{256}$ $+$ $\frac{93}{8}$ = $\frac{49}{256}$ $+$ $\frac{2976}{256}$ = $\frac{3025}{256}$

x_1,2 = $- \frac{7}{16}$ ± $\sqrt{\frac{3025}{256}}$

x₁ = $- \frac{7}{16}$ - $\frac{55}{16}$ = $- \frac{62}{16}$ = -3.875

x₂ = $- \frac{7}{16}$ + $\frac{55}{16}$ = $\frac{48}{16}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3,875$ ; $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{13}{x^{3}} + \frac{30}{x^{4}}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{13}{x^{3}} + \frac{30}{x^{4}}$	=	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} - \frac{13}{x^{3}} \cdot x^{4} + \frac{30}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=
$x^{2} - 13 x + 30$	=

$x^{2} - 13 x + 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{13+7}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{13-7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{2})}^{2} - 30$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $30$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{13}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{13}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ ; $10$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + x$ = $4$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + x$ = $4$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + x$	=	$4$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$4 \cdot x$
$a + x^{2}$	=	$4 x$
$a + x^{2} - 4 x$	=	0
$x^{2} - 4 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 4 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -4 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = 1 würde es funktionieren, denn $- (3 + 1)$ = -4

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $3 \cdot 1$ = $3$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 3 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4+2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4-2}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $2$ - $1$ = 1

x₂ = $2$ + $1$ = 3

L={ $1$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):