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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{27}{x}$ = $3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{27}{x}$	=	$3 x$	\|⋅( $x$ )
$\frac{27}{x} \cdot x$	=	$3 x \cdot x$
$27$	=	$3 x \cdot x$
$27$	=	$3 x^{2}$

$27$	=	$3 x^{2}$	\| $- 27$ $- 3 x^{2}$
$- 3 x^{2}$	=	$- 27$	\|: $(- 3)$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{3}{2} + \frac{3}{2 x}$ = $x + 1$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{3}{2} + \frac{3}{2 x}$	=	$x + 1$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{3}{2} \cdot x + \frac{3}{2 x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 1 \cdot x$
$- \frac{3}{2} x + \frac{3}{2}$	=	$x \cdot x + x$

$- \frac{3}{2} x + \frac{3}{2}$	=	$x^{2} + x$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{3}{2} x + \frac{3}{2})$	=	$2 (x^{2} + x)$
$- 3 x + 3$	=	$2 x^{2} + 2 x$	\| $- 2 x^{2}$ $- 2 x$

$- 2 x^{2} - 5 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 3}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{49}}{- 4}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{49}}{- 4}$ = $\frac{5+7}{- 4}$ = $\frac{12}{- 4}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{49}}{- 4}$ = $\frac{5-7}{- 4}$ = $\frac{- 2}{- 4}$ = $0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - 5 x + 3$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{5}{2} x - \frac{3}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{4})}^{2} - (- \frac{3}{2})$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $\frac{3}{2}$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $\frac{24}{16}$ = $\frac{49}{16}$

x_1,2 = $- \frac{5}{4}$ ± $\sqrt{\frac{49}{16}}$

x₁ = $- \frac{5}{4}$ - $\frac{7}{4}$ = $- \frac{12}{4}$ = -3

x₂ = $- \frac{5}{4}$ + $\frac{7}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $0,5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$3 x + 4$ = $- \frac{3 x}{x - 1}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $1$

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$3 x + 4$	=	$\frac{- 3 x}{x - 1}$	\|⋅( $x - 1$ )
$3 x \cdot (x - 1) + 4 \cdot (x - 1)$	=	$\frac{- 3 x}{x - 1} \cdot (x - 1)$
$3 x \cdot (x - 1) + 4 x - 4$	=	$- \frac{3 x}{1}$
$3 x \cdot (x - 1) + 4 x - 4$	=	$- 3 x$
$3 x^{2} - 3 x + 4 x - 4$	=	$- 3 x$
$3 x^{2} + x - 4$	=	$- 3 x$

3 x^{2} + x - 4

=

- 3 x

|

+ 3 x

$3 x^{2} + 4 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{6}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{- 4+8}{6}$ = $\frac{4}{6}$ = $\frac{2}{3}$ ≈ 0.67

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{- 4-8}{6}$ = $\frac{- 12}{6}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 4 x - 4$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{4}{3} x - \frac{4}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{2}{3})}^{2} - (- \frac{4}{3})$ = $\frac{4}{9}$ $+$ $\frac{4}{3}$ = $\frac{4}{9}$ $+$ $\frac{12}{9}$ = $\frac{16}{9}$

x_1,2 = $- \frac{2}{3}$ ± $\sqrt{\frac{16}{9}}$

x₁ = $- \frac{2}{3}$ - $\frac{4}{3}$ = $- \frac{6}{3}$ = -2

x₂ = $- \frac{2}{3}$ + $\frac{4}{3}$ = $\frac{2}{3}$ = 0.66666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $\frac{2}{3}$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x - 8} + \frac{- 11}{x - 4} + x$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

$\frac{x}{2 x - 8} - \frac{11}{x - 4} + x$	=	0
$\frac{x}{2 (x - 4)} - \frac{11}{x - 4} + x$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 4)$ weg!

$\frac{x}{2 (x - 4)} - \frac{11}{x - 4} + x$	=	\|⋅( $2 (x - 4)$ )
$\frac{x}{2 (x - 4)} \cdot (2 (x - 4)) + \frac{- 11}{x - 4} \cdot (2 (x - 4)) + x \cdot (2 (x - 4))$	=
$x - 22 + 2 x \cdot (x - 4)$	=
$x - 22 + (2 x^{2} - 8 x)$	=
$2 x^{2} - 7 x - 22$	=

$2 x^{2} - 7 x - 22$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 22)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 176}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{225}}{4}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{7+15}{4}$ = $\frac{22}{4}$ = $5,5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{7-15}{4}$ = $\frac{- 8}{4}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 7 x - 22$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{7}{2} x - 11$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{4})}^{2} - (- 11)$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $11$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $\frac{176}{16}$ = $\frac{225}{16}$

x_1,2 = $\frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{225}{16}}$

x₁ = $\frac{7}{4}$ - $\frac{15}{4}$ = $- \frac{8}{4}$ = -2

x₂ = $\frac{7}{4}$ + $\frac{15}{4}$ = $\frac{22}{4}$ = 5.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $5,5$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x^{2}}$ = $\frac{6 x - 40}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$- \frac{1}{x^{2}}$	=	$\frac{6 x - 40}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$	=	$\frac{6 x - 40}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$- x^{2}$	=	$6 x - 40$

- x^{2}

=

6 x - 40

|

- 6 x

+ 40

$- x^{2} - 6 x + 40$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 40}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 160}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{196}}{- 2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{196}}{- 2}$ = $\frac{6+14}{- 2}$ = $\frac{20}{- 2}$ = $- 10$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{196}}{- 2}$ = $\frac{6-14}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 6 x + 40$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 6 x - 40$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - (- 40)$ = $9$ $+$ $40$ = $49$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{49}$

x₁ = $- 3$ - $7$ = -10

x₂ = $- 3$ + $7$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + x$ = $1$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + x$ = $1$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + x$	=	$1$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$1 \cdot x$
$a + x^{2}$	=	$x$
$a + x^{2} - x$	=	0
$x^{2} - x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -1 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -1 würde es funktionieren, denn $- (2 - 1)$ = -1

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 1)$ = $- 2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 1$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):