Mathebattle EduRandomtasks

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{x}{x - 2}$ = $x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $2$

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{x}{x - 2}$	=	$x$	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=	$x \cdot (x - 2)$
$x$	=	$x \cdot (x - 2)$
$x$	=	$x^{2} - 2 x$

$x$	=	$x^{2} - 2 x$	\| $- (x^{2} - 2 x)$
$- x^{2} + x + 2 x$	=	0
$- x^{2} + 3 x$	=	0
$x \cdot (- x + 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 3$	=	0	\| $- 3$
$- x$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x - 4$ = $\frac{- 32 x - 12}{3 x}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$x - 4$	=	$\frac{- 32 x - 12}{3 x}$	\|⋅( $3 x$ )
$x \cdot 3 x - 4 \cdot 3 x$	=	$\frac{- 32 x - 12}{3 x} \cdot 3 x$
$3 x \cdot x - 12 x$	=	$- 32 x - 12$
$3 x^{2} - 12 x$	=	$- 32 x - 12$

3 x^{2} - 12 x

=

- 32 x - 12

|

+ 32 x

+ 12

$3 x^{2} + 20 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{20^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 12}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 144}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{256}}{6}$

x₁ = $\frac{- 20 + \sqrt{256}}{6}$ = $\frac{- 20+16}{6}$ = $\frac{- 4}{6}$ = $- \frac{2}{3}$ ≈ -0.67

x₂ = $\frac{- 20 - \sqrt{256}}{6}$ = $\frac{- 20-16}{6}$ = $\frac{- 36}{6}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 20 x + 12$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{20}{3} x + 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{10}{3})}^{2} - 4$ = $\frac{100}{9}$ $-$ $4$ = $\frac{100}{9}$ $-$ $\frac{36}{9}$ = $\frac{64}{9}$

x_1,2 = $- \frac{10}{3}$ ± $\sqrt{\frac{64}{9}}$

x₁ = $- \frac{10}{3}$ - $\frac{8}{3}$ = $- \frac{18}{3}$ = -6

x₂ = $- \frac{10}{3}$ + $\frac{8}{3}$ = $- \frac{2}{3}$ = -0.66666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $- \frac{2}{3}$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$2 x + 4$ = $- \frac{- 3 x}{x - 3}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $3$

D=R\{ $3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$2 x + 4$	=	$\frac{3 x}{x - 3}$	\|⋅( $x - 3$ )
$2 x \cdot (x - 3) + 4 \cdot (x - 3)$	=	$\frac{3 x}{x - 3} \cdot (x - 3)$
$2 x \cdot (x - 3) + 4 x - 12$	=	$3 x$
$2 x^{2} - 6 x + 4 x - 12$	=	$3 x$
$2 x^{2} - 2 x - 12$	=	$3 x$

2 x^{2} - 2 x - 12

=

3 x

|

- 3 x

$2 x^{2} - 5 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 96}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{121}}{4}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{5+11}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = $4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{5-11}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 5 x - 12$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{5}{2} x - 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{4})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $6$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $\frac{96}{16}$ = $\frac{121}{16}$

x_1,2 = $\frac{5}{4}$ ± $\sqrt{\frac{121}{16}}$

x₁ = $\frac{5}{4}$ - $\frac{11}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

x₂ = $\frac{5}{4}$ + $\frac{11}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1,5$ ; $4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x - 15} + \frac{- 0,6}{x - 3}$ = $- x$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

$\frac{x}{5 x - 15} - \frac{0,6}{x - 3}$	=	$- x$
$\frac{x}{5 (x - 3)} - \frac{0,6}{x - 3}$	=	$- x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x - 3)$ weg!

$\frac{x}{5 (x - 3)} - \frac{0,6}{x - 3}$	=	$- x$	\|⋅( $5 (x - 3)$ )
$\frac{x}{5 (x - 3)} \cdot (5 (x - 3)) + \frac{- 0,6}{x - 3} \cdot (5 (x - 3))$	=	$- x \cdot (5 (x - 3))$
$x - 3$	=	$- 5 x \cdot (x - 3)$
$x - 3$	=	$- 5 x^{2} + 15 x$

x - 3

=

- 5 x^{2} + 15 x

|

+ 5 x^{2}

- 15 x

$5 x^{2} - 14 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 + 60}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{256}}{10}$

x₁ = $\frac{14 + \sqrt{256}}{10}$ = $\frac{14+16}{10}$ = $\frac{30}{10}$ = $3$

x₂ = $\frac{14 - \sqrt{256}}{10}$ = $\frac{14-16}{10}$ = $\frac{- 2}{10}$ = $- 0,2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 14 x - 3$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{14}{5} x - \frac{3}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{5})}^{2} - (- \frac{3}{5})$ = $\frac{49}{25}$ $+$ $\frac{3}{5}$ = $\frac{49}{25}$ $+$ $\frac{15}{25}$ = $\frac{64}{25}$

x_1,2 = $\frac{7}{5}$ ± $\sqrt{\frac{64}{25}}$

x₁ = $\frac{7}{5}$ - $\frac{8}{5}$ = $- \frac{1}{5}$ = -0.2

x₂ = $\frac{7}{5}$ + $\frac{8}{5}$ = $\frac{15}{5}$ = 3

Lösung x= $3$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $- 0,2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 - \frac{10}{x^{2}}$ = $- \frac{9}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{10}{x^{2}}$	=	$- \frac{9}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{10}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- \frac{9}{x} \cdot x^{2}$
$x^{2} - 10$	=	$- 9 x$

x^{2} - 10

=

- 9 x

|

+ 9 x

$x^{2} + 9 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 9+11}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 9-11}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{81}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{81}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{20}{2}$ = -10

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{18}{x} + a$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{18}{x} + a$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{18}{x} + a$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{18}{x} \cdot x + a \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$18 + a x$	=	$- x^{2}$
$18 + a x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x + 18$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 18$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 18 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 9 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 9$ = 18

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 9)$ = $- 11$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -11 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 11 x + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11+7}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11-7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{2})}^{2} - 18$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $18$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{11}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{11}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

L={ $2$ ; $9$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):