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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{1}{x}$ = $- x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{1}{x}$	=	$- x$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{1}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 1$	=	$- x \cdot x$
$- 1$	=	$- x^{2}$

$- 1$	=	$- x^{2}$	\| $+ 1$ $+ x^{2}$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{x - 3}{4 x}$ = $x + 2$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{x - 3}{4 x}$	=	$x + 2$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{x - 3}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x + 2 \cdot 4 x$
$x - 3$	=	$4 x \cdot x + 8 x$

x - 3

=

4 x^{2} + 8 x

|

- 4 x^{2}

- 8 x

$- 4 x^{2} - 7 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{- 8}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{- 8}$ = $\frac{7+1}{- 8}$ = $\frac{8}{- 8}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{- 8}$ = $\frac{7-1}{- 8}$ = $\frac{6}{- 8}$ = $- 0,75$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 7 x - 3$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{7}{4} x + \frac{3}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{8})}^{2} - (\frac{3}{4})$ = $\frac{49}{64}$ $-$ $\frac{3}{4}$ = $\frac{49}{64}$ $-$ $\frac{48}{64}$ = $\frac{1}{64}$

x_1,2 = $- \frac{7}{8}$ ± $\sqrt{\frac{1}{64}}$

x₁ = $- \frac{7}{8}$ - $\frac{1}{8}$ = $- \frac{8}{8}$ = -1

x₂ = $- \frac{7}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $- \frac{6}{8}$ = -0.75

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $- 0,75$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

0 = $- \frac{- 91}{2 x - 5} - x + 3$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $\frac{5}{2}$

D=R\{ $\frac{5}{2}$ }

0

=

\frac{91}{2 x - 5} - x + 3

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 5$ weg!

=	$\frac{91}{2 x - 5} - x + 3$	\|⋅( $2 x - 5$ )
=	$\frac{91}{2 x - 5} \cdot (2 x - 5) - x \cdot (2 x - 5) + 3 \cdot (2 x - 5)$
=	$91 - x (2 x - 5) + 6 x - 15$
=	$- 2 x^{2} + 11 x + 76$

0

=

- 2 x^{2} + 11 x + 76

|

+ 2 x^{2}

- 11 x

- 76

$2 x^{2} - 11 x - 76$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 76)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 + 608}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{729}}{4}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{729}}{4}$ = $\frac{11+27}{4}$ = $\frac{38}{4}$ = $9,5$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{729}}{4}$ = $\frac{11-27}{4}$ = $\frac{- 16}{4}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 11 x - 76$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{11}{2} x - 38$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{4})}^{2} - (- 38)$ = $\frac{121}{16}$ $+$ $38$ = $\frac{121}{16}$ $+$ $\frac{608}{16}$ = $\frac{729}{16}$

x_1,2 = $\frac{11}{4}$ ± $\sqrt{\frac{729}{16}}$

x₁ = $\frac{11}{4}$ - $\frac{27}{4}$ = $- \frac{16}{4}$ = -4

x₂ = $\frac{11}{4}$ + $\frac{27}{4}$ = $\frac{38}{4}$ = 9.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $9,5$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x - 5}$ = $- \frac{20,8}{x - 1} + x$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

$\frac{x}{5 x - 5}$	=	$- \frac{20,8}{x - 1} + x$
$\frac{x}{5 (x - 1)}$	=	$- \frac{20,8}{x - 1} + x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x - 1)$ weg!

$\frac{x}{5 (x - 1)}$	=	$- \frac{20,8}{x - 1} + x$	\|⋅( $5 (x - 1)$ )
$\frac{x}{5 (x - 1)} \cdot (5 (x - 1))$	=	$\frac{- 20,8}{x - 1} \cdot (5 (x - 1)) + x \cdot (5 (x - 1))$
$x$	=	$- 104 + 5 x (x - 1)$
$x$	=	$5 x^{2} - 5 x - 104$

x

=

5 x^{2} - 5 x - 104

|

- 5 x^{2}

+ 5 x

+ 104

$- 5 x^{2} + 6 x + 104$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot 104}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 2 080}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{2 116}}{- 10}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{2 116}}{- 10}$ = $\frac{- 6+46}{- 10}$ = $\frac{40}{- 10}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{2 116}}{- 10}$ = $\frac{- 6-46}{- 10}$ = $\frac{- 52}{- 10}$ = $5,2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 5$ " teilen:

$- 5 x^{2} + 6 x + 104$ = 0 |: $- 5$

$x^{2} - \frac{6}{5} x - \frac{104}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{5})}^{2} - (- \frac{104}{5})$ = $\frac{9}{25}$ $+$ $\frac{104}{5}$ = $\frac{9}{25}$ $+$ $\frac{520}{25}$ = $\frac{529}{25}$

x_1,2 = $\frac{3}{5}$ ± $\sqrt{\frac{529}{25}}$

x₁ = $\frac{3}{5}$ - $\frac{23}{5}$ = $- \frac{20}{5}$ = -4

x₂ = $\frac{3}{5}$ + $\frac{23}{5}$ = $\frac{26}{5}$ = 5.2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $5,2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1$ = $\frac{8}{x} - \frac{15}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1$	=	$\frac{8}{x} - \frac{15}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2}$	=	$\frac{8}{x} \cdot x^{2} - \frac{15}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2}$	=	$8 x - 15$

x^{2}

=

8 x - 15

|

- 8 x

+ 15

$x^{2} - 8 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8+2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8-2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 15$ = $16$ $-$ $15$ = $1$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $4$ - $1$ = 3

x₂ = $4$ + $1$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ ; $5$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} - 2$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} - 2$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} - 2$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x - 2 \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a - 2 x$	=	$- x^{2}$
$a - 2 x + x^{2}$	=	0
$x^{2} - 2 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 2 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -2 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -1 würde es funktionieren, denn $- (3 - 1)$ = -2

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $3 \cdot (- 1)$ = $- 3$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -3 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

L={ $- 1$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):