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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{6 x}{x - 1}$ = $- 2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $1$

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{6 x}{x - 1}$	=	$- 2 x$	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{6 x}{x - 1} \cdot (x - 1)$	=	$- 2 x \cdot (x - 1)$
$6 x$	=	$- 2 x \cdot (x - 1)$
$6 x$	=	$- 2 x^{2} + 2 x$

$6 x$	=	$- 2 x^{2} + 2 x$	\| $- (- 2 x^{2} + 2 x)$
$2 x^{2} + 6 x - 2 x$	=	0
$2 x^{2} + 4 x$	=	0
$2 x \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; 0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- 6 - \frac{8}{x}$ = $x + 3$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- 6 - \frac{8}{x}$	=	$x + 3$	\|⋅( $x$ )
$- 6 \cdot x - \frac{8}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 3 \cdot x$
$- 6 x - 8$	=	$x \cdot x + 3 x$

- 6 x - 8

=

x^{2} + 3 x

|

- x^{2}

- 3 x

$- x^{2} - 9 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{9+7}{- 2}$ = $\frac{16}{- 2}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{9-7}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 9 x - 8$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 9 x + 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - 8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{32}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $- 1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

0 = $- \frac{- 4 x}{2 x - 3} - x + 5$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $\frac{3}{2}$

D=R\{ $\frac{3}{2}$ }

0

=

\frac{4 x}{2 x - 3} - x + 5

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 3$ weg!

=	$\frac{4 x}{2 x - 3} - x + 5$	\|⋅( $2 x - 3$ )
=	$\frac{4 x}{2 x - 3} \cdot (2 x - 3) - x \cdot (2 x - 3) + 5 \cdot (2 x - 3)$
=	$4 x - x \cdot (2 x - 3) + 10 x - 15$
=	$- 2 x^{2} + 17 x - 15$

0

=

- 2 x^{2} + 17 x - 15

|

+ 2 x^{2}

- 17 x

+ 15

$2 x^{2} - 17 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 15}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 120}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{169}}{4}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{17+13}{4}$ = $\frac{30}{4}$ = $7,5$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{17-13}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 17 x + 15$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{17}{2} x + \frac{15}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{4})}^{2} - (\frac{15}{2})$ = $\frac{289}{16}$ $-$ $\frac{15}{2}$ = $\frac{289}{16}$ $-$ $\frac{120}{16}$ = $\frac{169}{16}$

x_1,2 = $\frac{17}{4}$ ± $\sqrt{\frac{169}{16}}$

x₁ = $\frac{17}{4}$ - $\frac{13}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = 1

x₂ = $\frac{17}{4}$ + $\frac{13}{4}$ = $\frac{30}{4}$ = 7.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $7,5$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x + 5} + \frac{0,2}{x + 1}$ = $- x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

$\frac{x}{5 x + 5} + \frac{0,2}{x + 1}$	=	$- x$
$\frac{x}{5 (x + 1)} + \frac{0,2}{x + 1}$	=	$- x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 1)$ weg!

$\frac{x}{5 (x + 1)} + \frac{0,2}{x + 1}$	=	$- x$	\|⋅( $5 (x + 1)$ )
$\frac{x}{5 (x + 1)} \cdot (5 (x + 1)) + \frac{0,2}{x + 1} \cdot (5 (x + 1))$	=	$- x \cdot (5 (x + 1))$
$x + 1$	=	$- 5 x \cdot (x + 1)$
$x + 1$	=	$- 5 x^{2} - 5 x$

x + 1

=

- 5 x^{2} - 5 x

|

+ 5 x^{2}

+ 5 x

$5 x^{2} + 6 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{16}}{10}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{16}}{10}$ = $\frac{- 6+4}{10}$ = $\frac{- 2}{10}$ = $- 0,2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{16}}{10}$ = $\frac{- 6-4}{10}$ = $\frac{- 10}{10}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 6 x + 1$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{6}{5} x + \frac{1}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{5})}^{2} - (\frac{1}{5})$ = $\frac{9}{25}$ $-$ $\frac{1}{5}$ = $\frac{9}{25}$ $-$ $\frac{5}{25}$ = $\frac{4}{25}$

x_1,2 = $- \frac{3}{5}$ ± $\sqrt{\frac{4}{25}}$

x₁ = $- \frac{3}{5}$ - $\frac{2}{5}$ = $- \frac{5}{5}$ = -1

x₂ = $- \frac{3}{5}$ + $\frac{2}{5}$ = $- \frac{1}{5}$ = -0.2

Lösung x= $- 1$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $- 0,2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{14}{x^{3}} + \frac{45}{x^{4}}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{14}{x^{3}} + \frac{45}{x^{4}}$	=	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} + \frac{14}{x^{3}} \cdot x^{4} + \frac{45}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=
$x^{2} + 14 x + 45$	=

$x^{2} + 14 x + 45$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 45}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 180}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 14 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 14+4}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{- 14 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 14-4}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $7^{2} - 45$ = $49$ $-$ $45$ = $4$

x_1,2 = $- 7$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 7$ - $2$ = -9

x₂ = $- 7$ + $2$ = -5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $- 5$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- \frac{12}{x} + x$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- \frac{12}{x} + x$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- \frac{12}{x} + x$	=	$- a$	\|⋅x
$- \frac{12}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$- 12 + x^{2}$	=	$- a x$
$- 12 + x^{2} + a x$	=	0
$x^{2} + a x - 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 6)$ = -12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 6)$ = $4$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 4 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 4 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 2$ - $4$ = -6

x₂ = $- 2$ + $4$ = 2

L={ $- 6$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):