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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

0 = $2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $3$

0	=	$2 x$
0	=	$2 x$	\| $- 2 x$
$- 2 x$	=	0	\|:( $- 2$ )
$x$	=	0

L={0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{13 x - 3}{x + 1}$ = $3 x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 1$

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{13 x - 3}{x + 1}$	=	$3 x$	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{13 x - 3}{x + 1} \cdot (x + 1)$	=	$3 x \cdot (x + 1)$
$13 x - 3$	=	$3 x (x + 1)$
$13 x - 3$	=	$3 x^{2} + 3 x$

13 x - 3

=

3 x^{2} + 3 x

|

- 3 x^{2}

- 3 x

$- 3 x^{2} + 10 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{64}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{64}}{- 6}$ = $\frac{- 10+8}{- 6}$ = $\frac{- 2}{- 6}$ = $\frac{1}{3}$ ≈ 0.33

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{64}}{- 6}$ = $\frac{- 10-8}{- 6}$ = $\frac{- 18}{- 6}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + 10 x - 3$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{10}{3} x + 1$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{3})}^{2} - 1$ = $\frac{25}{9}$ $-$ $1$ = $\frac{25}{9}$ $-$ $\frac{9}{9}$ = $\frac{16}{9}$

x_1,2 = $\frac{5}{3}$ ± $\sqrt{\frac{16}{9}}$

x₁ = $\frac{5}{3}$ - $\frac{4}{3}$ = $\frac{1}{3}$ = 0.33333333333333

x₂ = $\frac{5}{3}$ + $\frac{4}{3}$ = $\frac{9}{3}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{1}{3}$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

0 = $- \frac{- 16 x}{x + 2} - 3 x - 2$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 2$

D=R\{ $- 2$ }

0

=

\frac{16 x}{x + 2} - 3 x - 2

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

=	$\frac{16 x}{x + 2} - 3 x - 2$	\|⋅( $x + 2$ )
=	$\frac{16 x}{x + 2} \cdot (x + 2) - 3 x \cdot (x + 2) - 2 \cdot (x + 2)$
=	$16 x - 3 x (x + 2) - 2 x - 4$
=	$- 3 x^{2} + 8 x - 4$

0

=

- 3 x^{2} + 8 x - 4

|

+ 3 x^{2}

- 8 x

+ 4

$3 x^{2} - 8 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 4}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{6}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{8+4}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = $2$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{8-4}{6}$ = $\frac{4}{6}$ = $\frac{2}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 8 x + 4$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{8}{3} x + \frac{4}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{4}{3})}^{2} - (\frac{4}{3})$ = $\frac{16}{9}$ $-$ $\frac{4}{3}$ = $\frac{16}{9}$ $-$ $\frac{12}{9}$ = $\frac{4}{9}$

x_1,2 = $\frac{4}{3}$ ± $\sqrt{\frac{4}{9}}$

x₁ = $\frac{4}{3}$ - $\frac{2}{3}$ = $\frac{2}{3}$ = 0.66666666666667

x₂ = $\frac{4}{3}$ + $\frac{2}{3}$ = $\frac{6}{3}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{2}{3}$ ; $2$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 5}{x - 1}$ = $- \frac{x}{2 x - 2} - x$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

- \frac{5}{x - 1}

=

- \frac{x}{2 (x - 1)} - x

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 1)$ weg!

$- \frac{5}{x - 1}$	=	$- \frac{x}{2 (x - 1)} - x$	\|⋅( $2 (x - 1)$ )
$- \frac{5}{x - 1} \cdot (2 (x - 1))$	=	$- \frac{x}{2 (x - 1)} \cdot (2 (x - 1)) - x \cdot (2 (x - 1))$
$- 10$	=	$- x - 2 x (x - 1)$
$- 10$	=	$- 2 x^{2} + x$

- 10

=

- 2 x^{2} + x

|

+ 2 x^{2}

- x

$2 x^{2} - x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{81}}{4}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{1+9}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = $2,5$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{1-9}{4}$ = $\frac{- 8}{4}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - x - 10$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{1}{2} x - 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{4})}^{2} - (- 5)$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $5$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{80}{16}$ = $\frac{81}{16}$

x_1,2 = $\frac{1}{4}$ ± $\sqrt{\frac{81}{16}}$

x₁ = $\frac{1}{4}$ - $\frac{9}{4}$ = $- \frac{8}{4}$ = -2

x₂ = $\frac{1}{4}$ + $\frac{9}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = 2.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $2,5$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}}$ = $\frac{25}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}}$	=	$\frac{25}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$	=	$\frac{25}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$x^{2}$	=	$25$

$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $5$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$10 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$10 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$10 + x$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$10 \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$10 x + x^{2}$	=	$- a$
$10 x + x^{2} + a$	=	0
$x^{2} + 10 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 10 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 10 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -12 würde es funktionieren, denn $- (2 - 12)$ = 10

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 12)$ = $- 24$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -24 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 10 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 10+14}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 10-14}{2}$ = $\frac{- 24}{2}$ = $- 12$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - (- 24)$ = $25$ $+$ $24$ = $49$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{49}$

x₁ = $- 5$ - $7$ = -12

x₂ = $- 5$ + $7$ = 2

L={ $- 12$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):