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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{30}{x + 3}$ = $3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 3$

D=R\{ $- 3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{30}{x + 3}$	=	$3 x$	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{30}{x + 3} \cdot (x + 3)$	=	$3 x \cdot (x + 3)$
$30$	=	$3 x (x + 3)$
$30$	=	$3 x^{2} + 9 x$

30

=

3 x^{2} + 9 x

|

- 3 x^{2}

- 9 x

- 3 x^{2} - 9 x + 30

= 0 |:3

$- x^{2} - 3 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 10}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{3+7}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{3-7}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 3 x + 10$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{9}{2} - \frac{4}{x}$ = $x - 4$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{9}{2} - \frac{4}{x}$	=	$x - 4$	\|⋅( $x$ )
$\frac{9}{2} \cdot x - \frac{4}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 4 \cdot x$
$\frac{9}{2} x - 4$	=	$x \cdot x - 4 x$

$\frac{9}{2} x - 4$	=	$x^{2} - 4 x$	\|⋅ 2
$2 (\frac{9}{2} x - 4)$	=	$2 (x^{2} - 4 x)$
$9 x - 8$	=	$2 x^{2} - 8 x$	\| $- 2 x^{2}$ $+ 8 x$

$- 2 x^{2} + 17 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 - 64}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{225}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{225}}{- 4}$ = $\frac{- 17+15}{- 4}$ = $\frac{- 2}{- 4}$ = $0,5$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{225}}{- 4}$ = $\frac{- 17-15}{- 4}$ = $\frac{- 32}{- 4}$ = $8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 17 x - 8$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{17}{2} x + 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{4})}^{2} - 4$ = $\frac{289}{16}$ $-$ $4$ = $\frac{289}{16}$ $-$ $\frac{64}{16}$ = $\frac{225}{16}$

x_1,2 = $\frac{17}{4}$ ± $\sqrt{\frac{225}{16}}$

x₁ = $\frac{17}{4}$ - $\frac{15}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

x₂ = $\frac{17}{4}$ + $\frac{15}{4}$ = $\frac{32}{4}$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,5$ ; $8$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 7}{x - 2} + x + 4$ = 0

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $2$

D=R\{ $2$ }

- \frac{7}{x - 2} + x + 4

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$- \frac{7}{x - 2} + x + 4$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$- \frac{7}{x - 2} \cdot (x - 2) + x \cdot (x - 2) + 4 \cdot (x - 2)$	=
$- 7 + x (x - 2) + 4 x - 8$	=
$- 7 + (x^{2} - 2 x) + 4 x - 8$	=
$x^{2} + 2 x - 15$	=

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $3$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x - 20} + \frac{- 4,4}{x - 4}$ = $x$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

$\frac{x}{5 x - 20} - \frac{4,4}{x - 4}$	=	$x$
$\frac{x}{5 (x - 4)} - \frac{4,4}{x - 4}$	=	$x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x - 4)$ weg!

$\frac{x}{5 (x - 4)} - \frac{4,4}{x - 4}$	=	$x$	\|⋅( $5 (x - 4)$ )
$\frac{x}{5 (x - 4)} \cdot (5 (x - 4)) + \frac{- 4,4}{x - 4} \cdot (5 (x - 4))$	=	$x \cdot (5 (x - 4))$
$x - 22$	=	$5 x (x - 4)$
$x - 22$	=	$5 x^{2} - 20 x$

x - 22

=

5 x^{2} - 20 x

|

- 5 x^{2}

+ 20 x

$- 5 x^{2} + 21 x - 22$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{21^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 22)}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 440}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{1}}{- 10}$

x₁ = $\frac{- 21 + \sqrt{1}}{- 10}$ = $\frac{- 21+1}{- 10}$ = $\frac{- 20}{- 10}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 21 - \sqrt{1}}{- 10}$ = $\frac{- 21-1}{- 10}$ = $\frac{- 22}{- 10}$ = $2,2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 5$ " teilen:

$- 5 x^{2} + 21 x - 22$ = 0 |: $- 5$

$x^{2} - \frac{21}{5} x + \frac{22}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{21}{10})}^{2} - (\frac{22}{5})$ = $\frac{441}{100}$ $-$ $\frac{22}{5}$ = $\frac{441}{100}$ $-$ $\frac{440}{100}$ = $\frac{1}{100}$

x_1,2 = $\frac{21}{10}$ ± $\sqrt{\frac{1}{100}}$

x₁ = $\frac{21}{10}$ - $\frac{1}{10}$ = $\frac{20}{10}$ = 2

x₂ = $\frac{21}{10}$ + $\frac{1}{10}$ = $\frac{22}{10}$ = 2.2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ ; $2,2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x}$ = $\frac{- 13 x + 42}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$- \frac{1}{x}$	=	$\frac{- 13 x + 42}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$	=	$\frac{- 13 x + 42}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$- x^{2}$	=	$- 13 x + 42$

- x^{2}

=

- 13 x + 42

|

+ 13 x

- 42

$- x^{2} + 13 x - 42$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 42)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 168}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 13+1}{- 2}$ = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 13-1}{- 2}$ = $\frac{- 14}{- 2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 13 x - 42$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 13 x + 42$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{2})}^{2} - 42$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $42$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{168}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{13}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

x₂ = $\frac{13}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $6$ ; $7$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + \frac{30}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + \frac{30}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + \frac{30}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$a \cdot x + \frac{30}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a x + 30$	=	$- x^{2}$
$a x + 30 + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x + 30$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 30$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 30 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 15 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 15$ = 30

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 15)$ = $- 17$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -17 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 17 x + 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{17+13}{2}$ = $\frac{30}{2}$ = $15$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{17-13}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{2})}^{2} - 30$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $30$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $\frac{17}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $\frac{17}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{17}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{30}{2}$ = 15

L={ $2$ ; $15$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):