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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{2 x}{x - 5}$ = $2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $5$

D=R\{ $5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

$\frac{- 2 x}{x - 5}$	=	$2 x$	\|⋅( $x - 5$ )
$\frac{- 2 x}{x - 5} \cdot (x - 5)$	=	$2 x \cdot (x - 5)$
$- \frac{2 x}{1}$	=	$2 x (x - 5)$
$- 2 x$	=	$2 x (x - 5)$
$- 2 x$	=	$2 x^{2} - 10 x$

$- 2 x$	=	$2 x^{2} - 10 x$	\| $- (2 x^{2} - 10 x)$
$- 2 x^{2} - 2 x + 10 x$	=	0
$- 2 x^{2} + 8 x$	=	0
$2 x (- x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 5 x + 8}{x + 2}$ = $x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 2$

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{- 5 x + 8}{x + 2}$	=	$x$	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{- 5 x + 8}{x + 2} \cdot (x + 2)$	=	$x \cdot (x + 2)$
$- 5 x + 8$	=	$x (x + 2)$
$- 5 x + 8$	=	$x^{2} + 2 x$

- 5 x + 8

=

x^{2} + 2 x

|

- x^{2}

- 2 x

$- x^{2} - 7 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 8}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{81}}{- 2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{7+9}{- 2}$ = $\frac{16}{- 2}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{7-9}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 25}{x + 2}$ = $- x - 2$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 2$

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$- \frac{25}{x + 2}$	=	$- x - 2$	\|⋅( $x + 2$ )
$- \frac{25}{x + 2} \cdot (x + 2)$	=	$- x \cdot (x + 2) - 2 \cdot (x + 2)$
$- 25$	=	$- x (x + 2) - 2 x - 4$
$- 25$	=	$- x^{2} - 4 x - 4$

- 25

=

- x^{2} - 4 x - 4

|

+ x^{2}

+ 4 x

+ 4

$x^{2} + 4 x - 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 4+10}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 4-10}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $3$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{5 x + 5} - \frac{- 7,6}{x + 1} - 4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

0	=	$- \frac{x}{5 x + 5} + \frac{7,6}{x + 1} - 4 x$
0	=	$- \frac{x}{5 (x + 1)} + \frac{7,6}{x + 1} - 4 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 1)$ weg!

=	$- \frac{x}{5 (x + 1)} + \frac{7,6}{x + 1} - 4 x$	\|⋅( $5 (x + 1)$ )
=	$- \frac{x}{5 (x + 1)} \cdot (5 (x + 1)) + \frac{7,6}{x + 1} \cdot (5 (x + 1)) - 4 x \cdot (5 (x + 1))$
=	$- x + 38 - 20 x (x + 1)$
=	$- 20 x^{2} - 21 x + 38$

0

=

- 20 x^{2} - 21 x + 38

|

+ 20 x^{2}

+ 21 x

- 38

$20 x^{2} + 21 x - 38$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{21^{2} - 4 \cdot 20 \cdot (- 38)}}{2 \cdot 20}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{441 + 3 040}}{40}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{3 481}}{40}$

x₁ = $\frac{- 21 + \sqrt{3 481}}{40}$ = $\frac{- 21+59}{40}$ = $\frac{38}{40}$ = $0,95$

x₂ = $\frac{- 21 - \sqrt{3 481}}{40}$ = $\frac{- 21-59}{40}$ = $\frac{- 80}{40}$ = $- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $0,95$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}} - \frac{5}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{4}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{5}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{4}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} - \frac{5}{x^{3}} \cdot x^{4}$
$4$	=	$- x^{2} - 5 x$

4

=

- x^{2} - 5 x

|

+ x^{2}

+ 5 x

$x^{2} + 5 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5+3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5-3}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + 6$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + 6$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + 6$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + 6 \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$x^{2} + 6 x$	=	$- a$
$x^{2} + 6 x + a$	=	0
$x^{2} + 6 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 6 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 6 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -8 würde es funktionieren, denn $- (2 - 8)$ = 6

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 8)$ = $- 16$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -16 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 6 x - 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 16)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 6+10}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 6-10}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

L={ $- 8$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichung (quadr.) 2

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung mit Parameter