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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{4 x}{x - 3}$ = $2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $3$

D=R\{ $3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{4 x}{x - 3}$	=	$2 x$	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{4 x}{x - 3} \cdot (x - 3)$	=	$2 x \cdot (x - 3)$
$4 x$	=	$2 x \cdot (x - 3)$
$4 x$	=	$2 x^{2} - 6 x$

$4 x$	=	$2 x^{2} - 6 x$	\| $- (2 x^{2} - 6 x)$
$- 2 x^{2} + 4 x + 6 x$	=	0
$- 2 x^{2} + 10 x$	=	0
$2 x \cdot (- x + 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 5$	=	0	\| $- 5$
$- x$	=	$- 5$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 25 x + 6}{4 x}$ = $x - 5$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{- 25 x + 6}{4 x}$	=	$x - 5$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{- 25 x + 6}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x - 5 \cdot 4 x$
$- 25 x + 6$	=	$4 x \cdot x - 20 x$

- 25 x + 6

=

4 x^{2} - 20 x

|

- 4 x^{2}

+ 20 x

$- 4 x^{2} - 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 6}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 96}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{121}}{- 8}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{121}}{- 8}$ = $\frac{5+11}{- 8}$ = $\frac{16}{- 8}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{121}}{- 8}$ = $\frac{5-11}{- 8}$ = $\frac{- 6}{- 8}$ = $0,75$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 5 x + 6$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{5}{4} x - \frac{3}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{8})}^{2} - (- \frac{3}{2})$ = $\frac{25}{64}$ $+$ $\frac{3}{2}$ = $\frac{25}{64}$ $+$ $\frac{96}{64}$ = $\frac{121}{64}$

x_1,2 = $- \frac{5}{8}$ ± $\sqrt{\frac{121}{64}}$

x₁ = $- \frac{5}{8}$ - $\frac{11}{8}$ = $- \frac{16}{8}$ = -2

x₂ = $- \frac{5}{8}$ + $\frac{11}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = 0.75

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $0,75$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- 2$ = $- \frac{- 8}{3 x - 1} - x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $\frac{1}{3}$

D=R\{ $\frac{1}{3}$ }

- 2

=

\frac{8}{3 x - 1} - x

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$- 2$	=	$\frac{8}{3 x - 1} - x$	\|⋅( $3 x - 1$ )
$- 2 \cdot (3 x - 1)$	=	$\frac{8}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) - x \cdot (3 x - 1)$
$- 2 (3 x - 1)$	=	$8 - x \cdot (3 x - 1)$
$- 6 x + 2$	=	$8 - x \cdot (3 x - 1)$
$- 6 x + 2$	=	$- 3 x^{2} + x + 8$

- 6 x + 2

=

- 3 x^{2} + x + 8

|

+ 3 x^{2}

- x

- 8

$3 x^{2} - 7 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{121}}{6}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{7+11}{6}$ = $\frac{18}{6}$ = $3$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{7-11}{6}$ = $\frac{- 4}{6}$ = $- \frac{2}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 7 x - 6$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{7}{3} x - 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{6})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{49}{36}$ $+$ $2$ = $\frac{49}{36}$ $+$ $\frac{72}{36}$ = $\frac{121}{36}$

x_1,2 = $\frac{7}{6}$ ± $\sqrt{\frac{121}{36}}$

x₁ = $\frac{7}{6}$ - $\frac{11}{6}$ = $- \frac{4}{6}$ = -0.66666666666667

x₂ = $\frac{7}{6}$ + $\frac{11}{6}$ = $\frac{18}{6}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{2}{3}$ ; $3$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 23,6}{x - 1} + 4 x$ = $- \frac{x}{5 x - 5}$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

$- \frac{23,6}{x - 1} + 4 x$	=	$\frac{- x}{5 x - 5}$
$- \frac{23,6}{x - 1} + 4 x$	=	$\frac{- x}{5 (x - 1)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x - 1)$ weg!

$- \frac{23,6}{x - 1} + 4 x$	=	$\frac{- x}{5 (x - 1)}$	\|⋅( $5 (x - 1)$ )
$\frac{- 23,6}{x - 1} \cdot (5 (x - 1)) + 4 x \cdot (5 (x - 1))$	=	$\frac{- x}{5 (x - 1)} \cdot (5 (x - 1))$
$- 118 + 20 x \cdot (x - 1)$	=	$- x$
$- 118 + (20 x^{2} - 20 x)$	=	$- x$
$20 x^{2} - 20 x - 118$	=	$- x$

20 x^{2} - 20 x - 118

=

- x

|

+ x

$20 x^{2} - 19 x - 118$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot 20 \cdot (- 118)}}{2 \cdot 20}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 + 9 440}}{40}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{9 801}}{40}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{9 801}}{40}$ = $\frac{19+99}{40}$ = $\frac{118}{40}$ = $2,95$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{9 801}}{40}$ = $\frac{19-99}{40}$ = $\frac{- 80}{40}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $20$ " teilen:

$20 x^{2} - 19 x - 118$ = 0 |: $20$

$x^{2} - \frac{19}{20} x - \frac{59}{10}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{19}{40})}^{2} - (- \frac{59}{10})$ = $\frac{361}{1600}$ $+$ $\frac{59}{10}$ = $\frac{361}{1600}$ $+$ $\frac{9440}{1600}$ = $\frac{9801}{1600}$

x_1,2 = $\frac{19}{40}$ ± $\sqrt{\frac{9801}{1600}}$

x₁ = $\frac{19}{40}$ - $\frac{99}{40}$ = $- \frac{80}{40}$ = -2

x₂ = $\frac{19}{40}$ + $\frac{99}{40}$ = $\frac{118}{40}$ = 2.95

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $2,95$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x} + \frac{19}{x^{2}}$ = $- \frac{90}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x} + \frac{19}{x^{2}}$	=	$- \frac{90}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3} + \frac{19}{x^{2}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{90}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$x^{2} + 19 x$	=	$- 90$

x^{2} + 19 x

=

- 90

|

+ 90

$x^{2} + 19 x + 90$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 90}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 360}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 19 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 19+1}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

x₂ = $\frac{- 19 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 19-1}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{19}{2})}^{2} - 90$ = $\frac{361}{4}$ $-$ $90$ = $\frac{361}{4}$ $-$ $\frac{360}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{19}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{19}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{20}{2}$ = -10

x₂ = $- \frac{19}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $- 9$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- \frac{6}{x} + a$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- \frac{6}{x} + a$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- \frac{6}{x} + a$	=	$- x$	\|⋅x
$- \frac{6}{x} \cdot x + a \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 6 + a x$	=	$- x^{2}$
$- 6 + a x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x - 6$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 6$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -6 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -3 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 3)$ = -6

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 3)$ = $1$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 1 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 3$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):