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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{0}{x - 5}$ = $- 2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $5$

D=R\{ $5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

$\frac{0}{x - 5}$	=	$- 2 x$	\|⋅( $x - 5$ )
$\frac{0}{x - 5} \cdot (x - 5)$	=	$- 2 x \cdot (x - 5)$
0	=	$- 2 x (x - 5)$
0	=	$- 2 x^{2} + 10 x$

0	=	$- 2 x^{2} + 10 x$	\| $- (- 2 x^{2} + 10 x)$
$2 x^{2} - 10 x$	=	0
$2 x (x - 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₂	=	$5$

Lösung x= $5$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 5 x - 6}{x + 2}$ = $3 x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 2$

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{- 5 x - 6}{x + 2}$	=	$3 x$	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{- 5 x - 6}{x + 2} \cdot (x + 2)$	=	$3 x \cdot (x + 2)$
$- 5 x - 6$	=	$3 x (x + 2)$
$- 5 x - 6$	=	$3 x^{2} + 6 x$

- 5 x - 6

=

3 x^{2} + 6 x

|

- 3 x^{2}

- 6 x

$- 3 x^{2} - 11 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{49}}{- 6}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{49}}{- 6}$ = $\frac{11+7}{- 6}$ = $\frac{18}{- 6}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{49}}{- 6}$ = $\frac{11-7}{- 6}$ = $\frac{4}{- 6}$ = $- \frac{2}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 11 x - 6$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{11}{3} x + 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{6})}^{2} - 2$ = $\frac{121}{36}$ $-$ $2$ = $\frac{121}{36}$ $-$ $\frac{72}{36}$ = $\frac{49}{36}$

x_1,2 = $- \frac{11}{6}$ ± $\sqrt{\frac{49}{36}}$

x₁ = $- \frac{11}{6}$ - $\frac{7}{6}$ = $- \frac{18}{6}$ = -3

x₂ = $- \frac{11}{6}$ + $\frac{7}{6}$ = $- \frac{4}{6}$ = -0.66666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- \frac{2}{3}$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x$ = $- \frac{- 8 x}{3 x - 5} - 3$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $\frac{5}{3}$

D=R\{ $\frac{5}{3}$ }

x

=

\frac{8 x}{3 x - 5} - 3

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 5$ weg!

$x$	=	$\frac{8 x}{3 x - 5} - 3$	\|⋅( $3 x - 5$ )
$x \cdot (3 x - 5)$	=	$\frac{8 x}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5) - 3 \cdot (3 x - 5)$
$x (3 x - 5)$	=	$8 x - 9 x + 15$
$x \cdot 3 x + x \cdot (- 5)$	=	$8 x - 9 x + 15$
$3 x \cdot x - 5 x$	=	$8 x - 9 x + 15$
$3 x^{2} - 5 x$	=	$- x + 15$

3 x^{2} - 5 x

=

- x + 15

|

+ x

- 15

$3 x^{2} - 4 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 180}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{196}}{6}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{196}}{6}$ = $\frac{4+14}{6}$ = $\frac{18}{6}$ = $3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{196}}{6}$ = $\frac{4-14}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 4 x - 15$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{4}{3} x - 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{2}{3})}^{2} - (- 5)$ = $\frac{4}{9}$ $+$ $5$ = $\frac{4}{9}$ $+$ $\frac{45}{9}$ = $\frac{49}{9}$

x_1,2 = $\frac{2}{3}$ ± $\sqrt{\frac{49}{9}}$

x₁ = $\frac{2}{3}$ - $\frac{7}{3}$ = $- \frac{5}{3}$ = -1.6666666666667

x₂ = $\frac{2}{3}$ + $\frac{7}{3}$ = $\frac{9}{3}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{5}{3}$ ; $3$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x - 15}$ = $- \frac{72,6}{x - 3} + 4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

$\frac{x}{5 x - 15}$	=	$- \frac{72,6}{x - 3} + 4 x$
$\frac{x}{5 (x - 3)}$	=	$- \frac{72,6}{x - 3} + 4 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x - 3)$ weg!

$\frac{x}{5 (x - 3)}$	=	$- \frac{72,6}{x - 3} + 4 x$	\|⋅( $5 (x - 3)$ )
$\frac{x}{5 (x - 3)} \cdot (5 (x - 3))$	=	$\frac{- 72,6}{x - 3} \cdot (5 (x - 3)) + 4 x \cdot (5 (x - 3))$
$x$	=	$- 363 + 20 x (x - 3)$
$x$	=	$20 x^{2} - 60 x - 363$

x

=

20 x^{2} - 60 x - 363

|

- 20 x^{2}

+ 60 x

+ 363

$- 20 x^{2} + 61 x + 363$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 61 \pm \sqrt{61^{2} - 4 \cdot (- 20) \cdot 363}}{2 \cdot (- 20)}$

x_1,2 = $\frac{- 61 \pm \sqrt{3 721 + 29 040}}{- 40}$

x_1,2 = $\frac{- 61 \pm \sqrt{32 761}}{- 40}$

x₁ = $\frac{- 61 + \sqrt{32 761}}{- 40}$ = $\frac{- 61+181}{- 40}$ = $\frac{120}{- 40}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 61 - \sqrt{32 761}}{- 40}$ = $\frac{- 61-181}{- 40}$ = $\frac{- 242}{- 40}$ = $6,05$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 20$ " teilen:

$- 20 x^{2} + 61 x + 363$ = 0 |: $- 20$

$x^{2} - \frac{61}{20} x - \frac{363}{20}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{61}{40})}^{2} - (- \frac{363}{20})$ = $\frac{3721}{1600}$ $+$ $\frac{363}{20}$ = $\frac{3721}{1600}$ $+$ $\frac{29040}{1600}$ = $\frac{32761}{1600}$

x_1,2 = $\frac{61}{40}$ ± $\sqrt{\frac{32761}{1600}}$

x₁ = $\frac{61}{40}$ - $\frac{181}{40}$ = $- \frac{120}{40}$ = -3

x₂ = $\frac{61}{40}$ + $\frac{181}{40}$ = $\frac{242}{40}$ = 6.05

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $6,05$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{12}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{12}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{3}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} + \frac{12}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$x$	=	$- x^{2} + 12$

x

=

- x^{2} + 12

|

+ x^{2}

- 12

$x^{2} + x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + x$ = $- 6$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + x$ = $- 6$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + x$	=	$- 6$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- 6 \cdot x$
$a + x^{2}$	=	$- 6 x$
$a + x^{2} + 6 x$	=	0
$x^{2} + 6 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 6 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 6 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -8 würde es funktionieren, denn $- (2 - 8)$ = 6

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 8)$ = $- 16$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -16 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 6 x - 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 16)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 6+10}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 6-10}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - (- 16)$ = $9$ $+$ $16$ = $25$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 3$ - $5$ = -8

x₂ = $- 3$ + $5$ = 2

L={ $- 8$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):