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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{1}{x}$ = $x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{1}{x}$	=	$x$	\|⋅( $x$ )
$\frac{1}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x$
$1$	=	$x \cdot x$
$1$	=	$x^{2}$

$1$	=	$x^{2}$	\| $- 1$ $- x^{2}$
$- x^{2}$	=	$- 1$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 25 x - 3}{3 x}$ = $x - 5$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{- 25 x - 3}{3 x}$	=	$x - 5$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{- 25 x - 3}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x - 5 \cdot 3 x$
$- 25 x - 3$	=	$3 x \cdot x - 15 x$

- 25 x - 3

=

3 x^{2} - 15 x

|

- 3 x^{2}

+ 15 x

$- 3 x^{2} - 10 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{64}}{- 6}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{64}}{- 6}$ = $\frac{10+8}{- 6}$ = $\frac{18}{- 6}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{64}}{- 6}$ = $\frac{10-8}{- 6}$ = $\frac{2}{- 6}$ = $- \frac{1}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 10 x - 3$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{10}{3} x + 1$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{3})}^{2} - 1$ = $\frac{25}{9}$ $-$ $1$ = $\frac{25}{9}$ $-$ $\frac{9}{9}$ = $\frac{16}{9}$

x_1,2 = $- \frac{5}{3}$ ± $\sqrt{\frac{16}{9}}$

x₁ = $- \frac{5}{3}$ - $\frac{4}{3}$ = $- \frac{9}{3}$ = -3

x₂ = $- \frac{5}{3}$ + $\frac{4}{3}$ = $- \frac{1}{3}$ = -0.33333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- \frac{1}{3}$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 22}{3 x - 1}$ = $- x + 2$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $\frac{1}{3}$

D=R\{ $\frac{1}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$- \frac{22}{3 x - 1}$	=	$- x + 2$	\|⋅( $3 x - 1$ )
$- \frac{22}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1)$	=	$- x \cdot (3 x - 1) + 2 \cdot (3 x - 1)$
$- 22$	=	$- x \cdot (3 x - 1) + 6 x - 2$
$- 22$	=	$- 3 x^{2} + 7 x - 2$

- 22

=

- 3 x^{2} + 7 x - 2

|

+ 3 x^{2}

- 7 x

+ 2

$3 x^{2} - 7 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 240}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{289}}{6}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{289}}{6}$ = $\frac{7+17}{6}$ = $\frac{24}{6}$ = $4$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{289}}{6}$ = $\frac{7-17}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 7 x - 20$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{7}{3} x - \frac{20}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{6})}^{2} - (- \frac{20}{3})$ = $\frac{49}{36}$ $+$ $\frac{20}{3}$ = $\frac{49}{36}$ $+$ $\frac{240}{36}$ = $\frac{289}{36}$

x_1,2 = $\frac{7}{6}$ ± $\sqrt{\frac{289}{36}}$

x₁ = $\frac{7}{6}$ - $\frac{17}{6}$ = $- \frac{10}{6}$ = -1.6666666666667

x₂ = $\frac{7}{6}$ + $\frac{17}{6}$ = $\frac{24}{6}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{5}{3}$ ; $4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 5,5}{x + 4} - 2 x$ = $- \frac{x}{2 x + 8}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

$- \frac{5,5}{x + 4} - 2 x$	=	$\frac{- x}{2 x + 8}$
$- \frac{5,5}{x + 4} - 2 x$	=	$\frac{- x}{2 (x + 4)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 4)$ weg!

$- \frac{5,5}{x + 4} - 2 x$	=	$\frac{- x}{2 (x + 4)}$	\|⋅( $2 (x + 4)$ )
$\frac{- 5,5}{x + 4} \cdot (2 (x + 4)) - 2 x \cdot (2 (x + 4))$	=	$\frac{- x}{2 (x + 4)} \cdot (2 (x + 4))$
$- 11 - 4 x \cdot (x + 4)$	=	$- x$
$- 11 + (- 4 x^{2} - 16 x)$	=	$- x$
$- 4 x^{2} - 16 x - 11$	=	$- x$

- 4 x^{2} - 16 x - 11

=

- x

|

+ x

$- 4 x^{2} - 15 x - 11$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 11)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 - 176}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{49}}{- 8}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{49}}{- 8}$ = $\frac{15+7}{- 8}$ = $\frac{22}{- 8}$ = $- 2,75$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{49}}{- 8}$ = $\frac{15-7}{- 8}$ = $\frac{8}{- 8}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 15 x - 11$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{15}{4} x + \frac{11}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{15}{8})}^{2} - (\frac{11}{4})$ = $\frac{225}{64}$ $-$ $\frac{11}{4}$ = $\frac{225}{64}$ $-$ $\frac{176}{64}$ = $\frac{49}{64}$

x_1,2 = $- \frac{15}{8}$ ± $\sqrt{\frac{49}{64}}$

x₁ = $- \frac{15}{8}$ - $\frac{7}{8}$ = $- \frac{22}{8}$ = -2.75

x₂ = $- \frac{15}{8}$ + $\frac{7}{8}$ = $- \frac{8}{8}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2,75$ ; $- 1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{42}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$- \frac{42}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$- \frac{42}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} - \frac{1}{x^{3}} \cdot x^{4}$
$- 42$	=	$- x^{2} - x$

- 42

=

- x^{2} - x

|

+ x^{2}

+ x

$x^{2} + x - 42$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 42)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 168}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 1+13}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 1-13}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 42)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $42$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{168}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $6$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$6 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$6 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$6 + \frac{a}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$6 \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$6 x + a$	=	$- x^{2}$
$6 x + a + x^{2}$	=	0
$x^{2} + 6 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 6 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 6 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -8 würde es funktionieren, denn $- (2 - 8)$ = 6

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 8)$ = $- 16$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -16 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 6 x - 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 16)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 6+10}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 6-10}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - (- 16)$ = $9$ $+$ $16$ = $25$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 3$ - $5$ = -8

x₂ = $- 3$ + $5$ = 2

L={ $- 8$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):