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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$10$ = $- 2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner:

$10$	=	$- 2 x$	\| $- 10$ $+ 2 x$
$2 x$	=	$- 10$	\|: $2$
$x$	=	$- 5$

L={ $- 5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 25 x + 8}{2 x}$ = $x - 5$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{- 25 x + 8}{2 x}$	=	$x - 5$	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{- 25 x + 8}{2 x} \cdot 2 x$	=	$x \cdot 2 x - 5 \cdot 2 x$
$- 25 x + 8$	=	$2 x \cdot x - 10 x$

- 25 x + 8

=

2 x^{2} - 10 x

|

- 2 x^{2}

+ 10 x

$- 2 x^{2} - 15 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 8}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 + 64}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{289}}{- 4}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{289}}{- 4}$ = $\frac{15+17}{- 4}$ = $\frac{32}{- 4}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{289}}{- 4}$ = $\frac{15-17}{- 4}$ = $\frac{- 2}{- 4}$ = $0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - 15 x + 8$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{15}{2} x - 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{15}{4})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{225}{16}$ $+$ $4$ = $\frac{225}{16}$ $+$ $\frac{64}{16}$ = $\frac{289}{16}$

x_1,2 = $- \frac{15}{4}$ ± $\sqrt{\frac{289}{16}}$

x₁ = $- \frac{15}{4}$ - $\frac{17}{4}$ = $- \frac{32}{4}$ = -8

x₂ = $- \frac{15}{4}$ + $\frac{17}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $0,5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x - 5$ = $- \frac{- 80}{3 x - 1}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $\frac{1}{3}$

D=R\{ $\frac{1}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$x - 5$	=	$\frac{80}{3 x - 1}$	\|⋅( $3 x - 1$ )
$x \cdot (3 x - 1) - 5 \cdot (3 x - 1)$	=	$\frac{80}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1)$
$x (3 x - 1) - 15 x + 5$	=	$80$
$3 x^{2} - x - 15 x + 5$	=	$80$
$3 x^{2} - 16 x + 5$	=	$80$

3 x^{2} - 16 x + 5

=

80

|

- 80

$3 x^{2} - 16 x - 75$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 75)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 + 900}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{1 156}}{6}$

x₁ = $\frac{16 + \sqrt{1 156}}{6}$ = $\frac{16+34}{6}$ = $\frac{50}{6}$ = $\frac{25}{3}$ ≈ 8.33

x₂ = $\frac{16 - \sqrt{1 156}}{6}$ = $\frac{16-34}{6}$ = $\frac{- 18}{6}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 16 x - 75$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{16}{3} x - 25$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{8}{3})}^{2} - (- 25)$ = $\frac{64}{9}$ $+$ $25$ = $\frac{64}{9}$ $+$ $\frac{225}{9}$ = $\frac{289}{9}$

x_1,2 = $\frac{8}{3}$ ± $\sqrt{\frac{289}{9}}$

x₁ = $\frac{8}{3}$ - $\frac{17}{3}$ = $- \frac{9}{3}$ = -3

x₂ = $\frac{8}{3}$ + $\frac{17}{3}$ = $\frac{25}{3}$ = 8.3333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $\frac{25}{3}$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x + 3}$ = $- \frac{148}{3 x + 3} + 4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

$\frac{x}{3 x + 3}$	=	$- \frac{148}{3 x + 3} + 4 x$
$\frac{x}{3 (x + 1)}$	=	$- \frac{148}{3 (x + 1)} + 4 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 1)$ weg!

$\frac{x}{3 (x + 1)}$	=	$- \frac{148}{3 (x + 1)} + 4 x$	\|⋅( $3 (x + 1)$ )
$\frac{x}{3 (x + 1)} \cdot (3 (x + 1))$	=	$- \frac{148}{3 (x + 1)} \cdot (3 (x + 1)) + 4 x \cdot (3 (x + 1))$
$x$	=	$- 148 + 12 x (x + 1)$
$x$	=	$12 x^{2} + 12 x - 148$

x

=

12 x^{2} + 12 x - 148

|

- 12 x^{2}

- 12 x

+ 148

$- 12 x^{2} - 11 x + 148$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot (- 12) \cdot 148}}{2 \cdot (- 12)}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 + 7 104}}{- 24}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{7 225}}{- 24}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{7 225}}{- 24}$ = $\frac{11+85}{- 24}$ = $\frac{96}{- 24}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{7 225}}{- 24}$ = $\frac{11-85}{- 24}$ = $\frac{- 74}{- 24}$ = $\frac{37}{12}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 12$ " teilen:

$- 12 x^{2} - 11 x + 148$ = 0 |: $- 12$

$x^{2} + \frac{11}{12} x - \frac{37}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{24})}^{2} - (- \frac{37}{3})$ = $\frac{121}{576}$ $+$ $\frac{37}{3}$ = $\frac{121}{576}$ $+$ $\frac{7104}{576}$ = $\frac{7225}{576}$

x_1,2 = $- \frac{11}{24}$ ± $\sqrt{\frac{7225}{576}}$

x₁ = $- \frac{11}{24}$ - $\frac{85}{24}$ = $- \frac{96}{24}$ = -4

x₂ = $- \frac{11}{24}$ + $\frac{85}{24}$ = $\frac{74}{24}$ = 3.0833333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $\frac{37}{12}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x}$ = $\frac{5 x - 24}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$- \frac{1}{x}$	=	$\frac{5 x - 24}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$	=	$\frac{5 x - 24}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$- x^{2}$	=	$5 x - 24$

- x^{2}

=

5 x - 24

|

- 5 x

+ 24

$- x^{2} - 5 x + 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 24}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 96}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{121}}{- 2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{121}}{- 2}$ = $\frac{5+11}{- 2}$ = $\frac{16}{- 2}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{121}}{- 2}$ = $\frac{5-11}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 5 x + 24$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 5 x - 24$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 24)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $24$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{96}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + a$ = $\frac{8}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + a$ = $\frac{8}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + a$	=	$\frac{8}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + a \cdot x$	=	$\frac{8}{x} \cdot x$
$x^{2} + a x$	=	$8$
$x^{2} + a x - 8$	=	0
$x^{2} + a x - 8$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 8$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -8 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -4 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 4)$ = -8

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 4)$ = $2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 1$ - $3$ = -4

x₂ = $- 1$ + $3$ = 2

L={ $- 4$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):