Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $3$

D=R\{ $3$}

Wir multiplizieren den Nenner $x-3$ weg!

$\frac{-2x}{x-3}$	=	$2x$	|⋅( $x-3$)
$\frac{-2x}{x-3}·\left(x-3\right)$	=	$2x·\left(x-3\right)$
$-\frac{2x}{1}$	=	$2x\left(x-3\right)$
$-2x$	=	$2x\left(x-3\right)$
$-2x$	=	$2x^2-6x$

$-2x$	=	$2x^2-6x$	| $-\left(2x^2-6x\right)$
$-2x^2-2x+6x$	=	0
$-2x^2+4x$	=	0
$2x\left(-x+2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $2$}

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3x$ weg!

$\frac{-10x+10}{3x}$	=	$x+1$	|⋅( $3x$)
$\frac{-10x+10}{3x}·3x$	=	$x·3x+1·3x$
$-10x+10$	=	$3x·x+3x$

$-10x+10$

=

$3x^2+3x$

| $-3x^2$ $-3x$

$-3x^2-13x+10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+13\pm \sqrt{{\left(-13\right)}^2-4·\left(-3\right)·10}}{2\cdot \left(-3\right)}$

x_1,2 = $\frac{+13\pm \sqrt{169+120}}{-6}$

x_1,2 = $\frac{+13\pm \sqrt{289}}{-6}$

x₁ = $\frac{13+\sqrt{289}}{-6}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>13</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>17</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>6</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{30}{-6}$ = $-5$

x₂ = $\frac{13-\sqrt{289}}{-6}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>13</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>17</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>6</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{-6}$ = $\frac{2}{3}$ ≈ 0.67

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $-5$; $\frac{2}{3}$}

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $-\frac{4}{3}$

D=R\{ $-\frac{4}{3}$}

Wir multiplizieren den Nenner $3x+4$ weg!

$\frac{4x}{3x+4}+x+2$	=	0	|⋅( $3x+4$)
$\frac{4x}{3x+4}·\left(3x+4\right)+x·\left(3x+4\right)+2·\left(3x+4\right)$	=	0
$4x+x\left(3x+4\right)+6x+8$	=	0
$4x+\left(3x^2+4x\right)+6x+8$	=	0
$3x^2+14x+8$	=	0

$3x^2+14x+8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-14\pm \sqrt{{14}^2-4·3·8}}{2\cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{-14\pm \sqrt{196-96}}{6}$

x_1,2 = $\frac{-14\pm \sqrt{100}}{6}$

x₁ = $\frac{-14+\sqrt{100}}{6}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>14</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>10</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>6</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{6}$ = $-\frac{2}{3}$ ≈ -0.67

x₂ = $\frac{-14-\sqrt{100}}{6}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>14</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>10</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>6</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-24}{6}$ = $-4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $-4$; $-\frac{2}{3}$}

D=R\{ $-2$}

$-\frac{62}{2\left(x+2\right)}$

=

$-\frac{x}{4\left(x+2\right)}-4x$

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4\left(x+2\right)$ weg!

$-\frac{62}{2\left(x+2\right)}$	=	$-\frac{x}{4\left(x+2\right)}-4x$	|⋅( $4\left(x+2\right)$)
$-\frac{62}{2\left(x+2\right)}·\left(4\left(x+2\right)\right)$	=	$-\frac{x}{4\left(x+2\right)}·\left(4\left(x+2\right)\right)-4x·\left(4\left(x+2\right)\right)$
$-124$	=	$-x-16x\left(x+2\right)$
$-124$	=	$-16x^2-33x$

$-124$

=

$-16x^2-33x$

| $+16x^2$ $+33x$

$16x^2+33x-124$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-33\pm \sqrt{{33}^2-4·16·\left(-124\right)}}{2\cdot 16}$

x_1,2 = $\frac{-33\pm \sqrt{1089+7936}}{32}$

x_1,2 = $\frac{-33\pm \sqrt{9025}}{32}$

x₁ = $\frac{-33+\sqrt{9025}}{32}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>33</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>95</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>32</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{62}{32}$ = $\frac{31}{16}$ ≈ 1.94

x₂ = $\frac{-33-\sqrt{9025}}{32}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>33</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>95</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>32</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-128}{32}$ = $-4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $-4$; $\frac{31}{16}$}

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^4$ weg!

$\frac{-14x+48}{x^4}$	=	$-\frac{1}{x^2}$	|⋅( $x^4$)
$\frac{-14x+48}{x^4}·x^4$	=	$-\frac{1}{x^2}·x^4$
$-14x+48$	=	$-x^2$

$-14x+48$

=

$-x^2$

| $+x^2$

$x^2-14x+48$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+14\pm \sqrt{{\left(-14\right)}^2-4·1·48}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+14\pm \sqrt{196-192}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+14\pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{14+\sqrt{4}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>14</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{14-\sqrt{4}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>14</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $6$; $8$}

D=R\{0}

$x+\frac{a}{x}$ = $-7$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x+\frac{a}{x}$	=	$-7$	|⋅x
$x·x+\frac{a}{x}·x$	=	$-7·x$
$x^2+a$	=	$-7x$
$x^2+a+7x$	=	0
$x^2+7x+a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^2+7x+a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 7 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -9 würde es funktionieren, denn $-\left(2-9\right)$ = 7

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2·\left(-9\right)$ = $-18$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -18 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^2+7x-18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-7\pm \sqrt{7^2-4·1·\left(-18\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-7\pm \sqrt{49+72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-7\pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{-7+\sqrt{121}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>7</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>11</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{-7-\sqrt{121}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>7</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>11</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-18}{2}$ = $-9$

L={ $-9$; $2$}