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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{10 x}{x - 2}$ = $2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $2$

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{- 10 x}{x - 2}$	=	$2 x$	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{- 10 x}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=	$2 x \cdot (x - 2)$
$- \frac{10 x}{1}$	=	$2 x (x - 2)$
$- 10 x$	=	$2 x (x - 2)$
$- 10 x$	=	$2 x^{2} - 4 x$

$- 10 x$	=	$2 x^{2} - 4 x$	\| $- (2 x^{2} - 4 x)$
$- 2 x^{2} - 10 x + 4 x$	=	0
$- 2 x^{2} - 6 x$	=	0
$- 2 x (x + 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₂	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; 0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$2 + \frac{6}{x}$ = $x - 3$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$2 + \frac{6}{x}$	=	$x - 3$	\|⋅( $x$ )
$2 \cdot x + \frac{6}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 3 \cdot x$
$2 x + 6$	=	$x \cdot x - 3 x$

2 x + 6

=

x^{2} - 3 x

|

- x^{2}

+ 3 x

$- x^{2} + 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 6}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 5+7}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 5-7}{- 2}$ = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 5 x + 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 5 x - 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x + 3$ = $- \frac{- 55}{3 x + 5}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- \frac{5}{3}$

D=R\{ $- \frac{5}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 5$ weg!

$x + 3$	=	$\frac{55}{3 x + 5}$	\|⋅( $3 x + 5$ )
$x \cdot (3 x + 5) + 3 \cdot (3 x + 5)$	=	$\frac{55}{3 x + 5} \cdot (3 x + 5)$
$x (3 x + 5) + 9 x + 15$	=	$55$
$3 x^{2} + 5 x + 9 x + 15$	=	$55$
$3 x^{2} + 14 x + 15$	=	$55$

3 x^{2} + 14 x + 15

=

55

|

- 55

$3 x^{2} + 14 x - 40$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 40)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 + 480}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{676}}{6}$

x₁ = $\frac{- 14 + \sqrt{676}}{6}$ = $\frac{- 14+26}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 14 - \sqrt{676}}{6}$ = $\frac{- 14-26}{6}$ = $\frac{- 40}{6}$ = $- \frac{20}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 14 x - 40$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{14}{3} x - \frac{40}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{3})}^{2} - (- \frac{40}{3})$ = $\frac{49}{9}$ $+$ $\frac{40}{3}$ = $\frac{49}{9}$ $+$ $\frac{120}{9}$ = $\frac{169}{9}$

x_1,2 = $- \frac{7}{3}$ ± $\sqrt{\frac{169}{9}}$

x₁ = $- \frac{7}{3}$ - $\frac{13}{3}$ = $- \frac{20}{3}$ = -6.6666666666667

x₂ = $- \frac{7}{3}$ + $\frac{13}{3}$ = $\frac{6}{3}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{20}{3}$ ; $2$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{32}{3 x - 9} - x$ = $- \frac{x}{3 x - 9}$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

$\frac{32}{3 x - 9} - x$	=	$\frac{- x}{3 x - 9}$
$\frac{32}{3 (x - 3)} - x$	=	$\frac{- x}{3 (x - 3)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 3)$ weg!

$\frac{32}{3 (x - 3)} - x$	=	$\frac{- x}{3 (x - 3)}$	\|⋅( $3 (x - 3)$ )
$\frac{32}{3 (x - 3)} \cdot (3 (x - 3)) - x \cdot (3 (x - 3))$	=	$\frac{- x}{3 (x - 3)} \cdot (3 (x - 3))$
$32 - 3 x (x - 3)$	=	$- x$
$32 + (- 3 x^{2} + 9 x)$	=	$- x$
$- 3 x^{2} + 9 x + 32$	=	$- x$

- 3 x^{2} + 9 x + 32

=

- x

|

+ x

$- 3 x^{2} + 10 x + 32$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 32}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 384}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{484}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{484}}{- 6}$ = $\frac{- 10+22}{- 6}$ = $\frac{12}{- 6}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{484}}{- 6}$ = $\frac{- 10-22}{- 6}$ = $\frac{- 32}{- 6}$ = $\frac{16}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + 10 x + 32$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{10}{3} x - \frac{32}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{3})}^{2} - (- \frac{32}{3})$ = $\frac{25}{9}$ $+$ $\frac{32}{3}$ = $\frac{25}{9}$ $+$ $\frac{96}{9}$ = $\frac{121}{9}$

x_1,2 = $\frac{5}{3}$ ± $\sqrt{\frac{121}{9}}$

x₁ = $\frac{5}{3}$ - $\frac{11}{3}$ = $- \frac{6}{3}$ = -2

x₂ = $\frac{5}{3}$ + $\frac{11}{3}$ = $\frac{16}{3}$ = 5.3333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $\frac{16}{3}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- x - 20}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{- x - 20}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{- x - 20}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$- x - 20$	=	$- x^{2}$

- x - 20

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1+9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1-9}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $5$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + \frac{15}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + \frac{15}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + \frac{15}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$a \cdot x + \frac{15}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a x + 15$	=	$- x^{2}$
$a x + 15 + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x + 15$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 15$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 15 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = 5 würde es funktionieren, denn $3 \cdot 5$ = 15

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (3 + 5)$ = $- 8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8+2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8-2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 15$ = $16$ $-$ $15$ = $1$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $4$ - $1$ = 3

x₂ = $4$ + $1$ = 5

L={ $3$ ; $5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):