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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{6 x}{x - 1}$ = $3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $1$

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{- 6 x}{x - 1}$	=	$3 x$	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{- 6 x}{x - 1} \cdot (x - 1)$	=	$3 x \cdot (x - 1)$
$- \frac{6 x}{1}$	=	$3 x \cdot (x - 1)$
$- 6 x$	=	$3 x \cdot (x - 1)$
$- 6 x$	=	$3 x^{2} - 3 x$

$- 6 x$	=	$3 x^{2} - 3 x$	\| $- (3 x^{2} - 3 x)$
$- 3 x^{2} - 6 x + 3 x$	=	0
$- 3 x^{2} - 3 x$	=	0
$- 3 x \cdot (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; 0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 25 x + 8}{x - 5}$ = $2 x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $5$

D=R\{ $5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

$\frac{- 25 x + 8}{x - 5}$	=	$2 x$	\|⋅( $x - 5$ )
$\frac{- 25 x + 8}{x - 5} \cdot (x - 5)$	=	$2 x \cdot (x - 5)$
$- 25 x + 8$	=	$2 x \cdot (x - 5)$
$- 25 x + 8$	=	$2 x^{2} - 10 x$

- 25 x + 8

=

2 x^{2} - 10 x

|

- 2 x^{2}

+ 10 x

$- 2 x^{2} - 15 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 8}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 + 64}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{289}}{- 4}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{289}}{- 4}$ = $\frac{15+17}{- 4}$ = $\frac{32}{- 4}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{289}}{- 4}$ = $\frac{15-17}{- 4}$ = $\frac{- 2}{- 4}$ = $0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - 15 x + 8$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{15}{2} x - 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{15}{4})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{225}{16}$ $+$ $4$ = $\frac{225}{16}$ $+$ $\frac{64}{16}$ = $\frac{289}{16}$

x_1,2 = $- \frac{15}{4}$ ± $\sqrt{\frac{289}{16}}$

x₁ = $- \frac{15}{4}$ - $\frac{17}{4}$ = $- \frac{32}{4}$ = -8

x₂ = $- \frac{15}{4}$ + $\frac{17}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $0,5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

0 = $- \frac{3 x}{x + 1} - x + 4$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 1$

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

=	$- \frac{3 x}{x + 1} - x + 4$	\|⋅( $x + 1$ )
=	$- \frac{3 x}{x + 1} \cdot (x + 1) - x \cdot (x + 1) + 4 \cdot (x + 1)$
=	$- 3 x - x \cdot (x + 1) + 4 x + 4$
=	$- x^{2} + 4$

0	=	$- x^{2} + 4$	\|0 $+ x^{2}$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $2$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x + 15}$ = $- \frac{35,4}{x + 3} + 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

$\frac{x}{5 x + 15}$	=	$- \frac{35,4}{x + 3} + 2 x$
$\frac{x}{5 (x + 3)}$	=	$- \frac{35,4}{x + 3} + 2 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 3)$ weg!

$\frac{x}{5 (x + 3)}$	=	$- \frac{35,4}{x + 3} + 2 x$	\|⋅( $5 (x + 3)$ )
$\frac{x}{5 (x + 3)} \cdot (5 (x + 3))$	=	$\frac{- 35,4}{x + 3} \cdot (5 (x + 3)) + 2 x \cdot (5 (x + 3))$
$x$	=	$- 177 + 10 x \cdot (x + 3)$
$x$	=	$10 x^{2} + 30 x - 177$

x

=

10 x^{2} + 30 x - 177

|

- 10 x^{2}

- 30 x

+ 177

$- 10 x^{2} - 29 x + 177$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{{(- 29)}^{2} - 4 \cdot (- 10) \cdot 177}}{2 \cdot (- 10)}$

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{841 + 7 080}}{- 20}$

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{7 921}}{- 20}$

x₁ = $\frac{29 + \sqrt{7 921}}{- 20}$ = $\frac{29+89}{- 20}$ = $\frac{118}{- 20}$ = $- 5,9$

x₂ = $\frac{29 - \sqrt{7 921}}{- 20}$ = $\frac{29-89}{- 20}$ = $\frac{- 60}{- 20}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 10$ " teilen:

$- 10 x^{2} - 29 x + 177$ = 0 |: $- 10$

$x^{2} + \frac{29}{10} x - \frac{177}{10}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{29}{20})}^{2} - (- \frac{177}{10})$ = $\frac{841}{400}$ $+$ $\frac{177}{10}$ = $\frac{841}{400}$ $+$ $\frac{7080}{400}$ = $\frac{7921}{400}$

x_1,2 = $- \frac{29}{20}$ ± $\sqrt{\frac{7921}{400}}$

x₁ = $- \frac{29}{20}$ - $\frac{89}{20}$ = $- \frac{118}{20}$ = -5.9

x₂ = $- \frac{29}{20}$ + $\frac{89}{20}$ = $\frac{60}{20}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5,9$ ; $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x}$ = $\frac{9}{x^{2}} - \frac{8}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x}$	=	$\frac{9}{x^{2}} - \frac{8}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3}$	=	$\frac{9}{x^{2}} \cdot x^{3} - \frac{8}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$x^{2}$	=	$9 x - 8$

x^{2}

=

9 x - 8

|

- 9 x

+ 8

$x^{2} - 9 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9+7}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9-7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{32}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $8$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + \frac{15}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + \frac{15}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + \frac{15}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$a \cdot x + \frac{15}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a x + 15$	=	$- x^{2}$
$a x + 15 + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x + 15$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 15$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 15 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = 5 würde es funktionieren, denn $3 \cdot 5$ = 15

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (3 + 5)$ = $- 8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8+2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8-2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 15$ = $16$ $-$ $15$ = $1$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $4$ - $1$ = 3

x₂ = $4$ + $1$ = 5

L={ $3$ ; $5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):