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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{15}{x - 2}$ = $- x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $2$

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$- \frac{15}{x - 2}$	=	$- x$	\|⋅( $x - 2$ )
$- \frac{15}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=	$- x \cdot (x - 2)$
$- 15$	=	$- x \cdot (x - 2)$
$- 15$	=	$- x^{2} + 2 x$

- 15

=

- x^{2} + 2 x

|

+ x^{2}

- 2 x

$x^{2} - 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2+8}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2-8}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $1$ - $4$ = -3

x₂ = $1$ + $4$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 16 x + 8}{3 x}$ = $x - 2$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{- 16 x + 8}{3 x}$	=	$x - 2$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{- 16 x + 8}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x - 2 \cdot 3 x$
$- 16 x + 8$	=	$3 x \cdot x - 6 x$

- 16 x + 8

=

3 x^{2} - 6 x

|

- 3 x^{2}

+ 6 x

$- 3 x^{2} - 10 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 8}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 + 96}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{196}}{- 6}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{196}}{- 6}$ = $\frac{10+14}{- 6}$ = $\frac{24}{- 6}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{196}}{- 6}$ = $\frac{10-14}{- 6}$ = $\frac{- 4}{- 6}$ = $\frac{2}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 10 x + 8$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{10}{3} x - \frac{8}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{3})}^{2} - (- \frac{8}{3})$ = $\frac{25}{9}$ $+$ $\frac{8}{3}$ = $\frac{25}{9}$ $+$ $\frac{24}{9}$ = $\frac{49}{9}$

x_1,2 = $- \frac{5}{3}$ ± $\sqrt{\frac{49}{9}}$

x₁ = $- \frac{5}{3}$ - $\frac{7}{3}$ = $- \frac{12}{3}$ = -4

x₂ = $- \frac{5}{3}$ + $\frac{7}{3}$ = $\frac{2}{3}$ = 0.66666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $\frac{2}{3}$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

0 = $- \frac{- 12 x}{x - 4} - x + 5$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $4$

D=R\{ $4$ }

0

=

\frac{12 x}{x - 4} - x + 5

Wir multiplizieren den Nenner $x - 4$ weg!

=	$\frac{12 x}{x - 4} - x + 5$	\|⋅( $x - 4$ )
=	$\frac{12 x}{x - 4} \cdot (x - 4) - x \cdot (x - 4) + 5 \cdot (x - 4)$
=	$12 x - x \cdot (x - 4) + 5 x - 20$
=	$- x^{2} + 21 x - 20$

0

=

- x^{2} + 21 x - 20

|

+ x^{2}

- 21 x

+ 20

$x^{2} - 21 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{{(- 21)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{441 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{361}}{2}$

x₁ = $\frac{21 + \sqrt{361}}{2}$ = $\frac{21+19}{2}$ = $\frac{40}{2}$ = $20$

x₂ = $\frac{21 - \sqrt{361}}{2}$ = $\frac{21-19}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{21}{2})}^{2} - 20$ = $\frac{441}{4}$ $-$ $20$ = $\frac{441}{4}$ $-$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{361}{4}$

x_1,2 = $\frac{21}{2}$ ± $\sqrt{\frac{361}{4}}$

x₁ = $\frac{21}{2}$ - $\frac{19}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{21}{2}$ + $\frac{19}{2}$ = $\frac{40}{2}$ = 20

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $20$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x + 6} - 4 x$ = $- \frac{13}{x + 2}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

\frac{x}{3 (x + 2)} - 4 x

=

- \frac{13}{x + 2}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 2)$ weg!

$\frac{x}{3 (x + 2)} - 4 x$	=	$- \frac{13}{x + 2}$	\|⋅( $3 (x + 2)$ )
$\frac{x}{3 (x + 2)} \cdot (3 (x + 2)) - 4 x \cdot (3 (x + 2))$	=	$- \frac{13}{x + 2} \cdot (3 (x + 2))$
$x - 12 x \cdot (x + 2)$	=	$- 39$
$x + (- 12 x^{2} - 24 x)$	=	$- 39$
$- 12 x^{2} - 23 x$	=	$- 39$

- 12 x^{2} - 23 x

=

- 39

|

+ 39

$- 12 x^{2} - 23 x + 39$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{{(- 23)}^{2} - 4 \cdot (- 12) \cdot 39}}{2 \cdot (- 12)}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{529 + 1 872}}{- 24}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{2 401}}{- 24}$

x₁ = $\frac{23 + \sqrt{2 401}}{- 24}$ = $\frac{23+49}{- 24}$ = $\frac{72}{- 24}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{23 - \sqrt{2 401}}{- 24}$ = $\frac{23-49}{- 24}$ = $\frac{- 26}{- 24}$ = $\frac{13}{12}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 12$ " teilen:

$- 12 x^{2} - 23 x + 39$ = 0 |: $- 12$

$x^{2} + \frac{23}{12} x - \frac{13}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{23}{24})}^{2} - (- \frac{13}{4})$ = $\frac{529}{576}$ $+$ $\frac{13}{4}$ = $\frac{529}{576}$ $+$ $\frac{1872}{576}$ = $\frac{2401}{576}$

x_1,2 = $- \frac{23}{24}$ ± $\sqrt{\frac{2401}{576}}$

x₁ = $- \frac{23}{24}$ - $\frac{49}{24}$ = $- \frac{72}{24}$ = -3

x₂ = $- \frac{23}{24}$ + $\frac{49}{24}$ = $\frac{26}{24}$ = 1.0833333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $\frac{13}{12}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x^{2}}$ = $\frac{11 x + 10}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$- \frac{1}{x^{2}}$	=	$\frac{11 x + 10}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$	=	$\frac{11 x + 10}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$- x^{2}$	=	$11 x + 10$

- x^{2}

=

11 x + 10

|

- 11 x

- 10

$- x^{2} - 11 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 10)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 40}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{81}}{- 2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{11+9}{- 2}$ = $\frac{20}{- 2}$ = $- 10$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{11-9}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 11 x - 10$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 11 x + 10$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{11}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{20}{2}$ = -10

x₂ = $- \frac{11}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $- 1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + a$ = $\frac{18}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + a$ = $\frac{18}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + a$	=	$\frac{18}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + a \cdot x$	=	$\frac{18}{x} \cdot x$
$x^{2} + a x$	=	$18$
$x^{2} + a x - 18$	=	0
$x^{2} + a x - 18$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 18$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -18 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -9 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 9)$ = -18

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 9)$ = $7$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 7 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 7 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7+11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7-11}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 9$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):