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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{2}{x}$ = $- 2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{2}{x}$	=	$- 2 x$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{2}{x} \cdot x$	=	$- 2 x \cdot x$
$- 2$	=	$- 2 x \cdot x$
$- 2$	=	$- 2 x^{2}$

$- 2$	=	$- 2 x^{2}$	\| $+ 2$ $+ 2 x^{2}$
$2 x^{2}$	=	$2$	\|: $2$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$7 - \frac{7}{x}$ = $x - 1$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$7 - \frac{7}{x}$	=	$x - 1$	\|⋅( $x$ )
$7 \cdot x - \frac{7}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 1 \cdot x$
$7 x - 7$	=	$x \cdot x - x$

7 x - 7

=

x^{2} - x

|

- x^{2}

+ x

$- x^{2} + 8 x - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 7)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 8+6}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 8-6}{- 2}$ = $\frac{- 14}{- 2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 8 x - 7$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 8 x + 7$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 7$ = $16$ $-$ $7$ = $9$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $4$ - $3$ = 1

x₂ = $4$ + $3$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $7$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- 4$ = $- \frac{- 35}{2 x + 1} - x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- \frac{1}{2}$

D=R\{ $- \frac{1}{2}$ }

- 4

=

\frac{35}{2 x + 1} - x

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$- 4$	=	$\frac{35}{2 x + 1} - x$	\|⋅( $2 x + 1$ )
$- 4 \cdot (2 x + 1)$	=	$\frac{35}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) - x \cdot (2 x + 1)$
$- 4 (2 x + 1)$	=	$35 - x \cdot (2 x + 1)$
$- 8 x - 4$	=	$35 - x \cdot (2 x + 1)$
$- 8 x - 4$	=	$- 2 x^{2} - x + 35$

- 8 x - 4

=

- 2 x^{2} - x + 35

|

+ 2 x^{2}

+ x

- 35

$2 x^{2} - 7 x - 39$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 39)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 312}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{361}}{4}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{361}}{4}$ = $\frac{7+19}{4}$ = $\frac{26}{4}$ = $6,5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{361}}{4}$ = $\frac{7-19}{4}$ = $\frac{- 12}{4}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 7 x - 39$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{7}{2} x - \frac{39}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{4})}^{2} - (- \frac{39}{2})$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $\frac{39}{2}$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $\frac{312}{16}$ = $\frac{361}{16}$

x_1,2 = $\frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{361}{16}}$

x₁ = $\frac{7}{4}$ - $\frac{19}{4}$ = $- \frac{12}{4}$ = -3

x₂ = $\frac{7}{4}$ + $\frac{19}{4}$ = $\frac{26}{4}$ = 6.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $6,5$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x - 15} + 4 x$ = $- \frac{- 16,8}{x - 3}$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

\frac{x}{5 (x - 3)} + 4 x

=

\frac{16,8}{x - 3}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x - 3)$ weg!

$\frac{x}{5 (x - 3)} + 4 x$	=	$\frac{16,8}{x - 3}$	\|⋅( $5 (x - 3)$ )
$\frac{x}{5 (x - 3)} \cdot (5 (x - 3)) + 4 x \cdot (5 (x - 3))$	=	$\frac{16,8}{x - 3} \cdot (5 (x - 3))$
$x + 20 x \cdot (x - 3)$	=	$84$
$x + (20 x^{2} - 60 x)$	=	$84$
$20 x^{2} - 59 x$	=	$84$

20 x^{2} - 59 x

=

84

|

- 84

$20 x^{2} - 59 x - 84$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 59 \pm \sqrt{{(- 59)}^{2} - 4 \cdot 20 \cdot (- 84)}}{2 \cdot 20}$

x_1,2 = $\frac{+ 59 \pm \sqrt{3 481 + 6 720}}{40}$

x_1,2 = $\frac{+ 59 \pm \sqrt{10 201}}{40}$

x₁ = $\frac{59 + \sqrt{10 201}}{40}$ = $\frac{59+101}{40}$ = $\frac{160}{40}$ = $4$

x₂ = $\frac{59 - \sqrt{10 201}}{40}$ = $\frac{59-101}{40}$ = $\frac{- 42}{40}$ = $- 1,05$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $20$ " teilen:

$20 x^{2} - 59 x - 84$ = 0 |: $20$

$x^{2} - \frac{59}{20} x - \frac{21}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{59}{40})}^{2} - (- \frac{21}{5})$ = $\frac{3481}{1600}$ $+$ $\frac{21}{5}$ = $\frac{3481}{1600}$ $+$ $\frac{6720}{1600}$ = $\frac{10201}{1600}$

x_1,2 = $\frac{59}{40}$ ± $\sqrt{\frac{10201}{1600}}$

x₁ = $\frac{59}{40}$ - $\frac{101}{40}$ = $- \frac{42}{40}$ = -1.05

x₂ = $\frac{59}{40}$ + $\frac{101}{40}$ = $\frac{160}{40}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1,05$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- x - 56}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{- x - 56}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{- x - 56}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$- x - 56$	=	$- x^{2}$

- x - 56

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - x - 56$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 56)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 224}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{225}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{1+15}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{1-15}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 56)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $56$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{224}{4}$ = $\frac{225}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{225}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{15}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{15}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $8$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$6 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$6 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$6 + \frac{a}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$6 \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$6 x + a$	=	$- x^{2}$
$6 x + a + x^{2}$	=	0
$x^{2} + 6 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 6 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 6 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -8 würde es funktionieren, denn $- (2 - 8)$ = 6

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 8)$ = $- 16$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -16 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 6 x - 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 16)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 6+10}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 6-10}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - (- 16)$ = $9$ $+$ $16$ = $25$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 3$ - $5$ = -8

x₂ = $- 3$ + $5$ = 2

L={ $- 8$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):