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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{4 x}{x - 3}$ = $x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $3$

D=R\{ $3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{- 4 x}{x - 3}$	=	$x$	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{- 4 x}{x - 3} \cdot (x - 3)$	=	$x \cdot (x - 3)$
$- \frac{4 x}{1}$	=	$x \cdot (x - 3)$
$- 4 x$	=	$x \cdot (x - 3)$
$- 4 x$	=	$x^{2} - 3 x$

$- 4 x$	=	$x^{2} - 3 x$	\| $- (x^{2} - 3 x)$
$- x^{2} - 4 x + 3 x$	=	0
$- x^{2} - x$	=	0
$- x \cdot (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; 0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{11 x + 4}{4 x}$ = $x - 1$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{11 x + 4}{4 x}$	=	$x - 1$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{11 x + 4}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x - 1 \cdot 4 x$
$11 x + 4$	=	$4 x \cdot x - 4 x$

11 x + 4

=

4 x^{2} - 4 x

|

- 4 x^{2}

+ 4 x

$- 4 x^{2} + 15 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 4}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 + 64}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{289}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{289}}{- 8}$ = $\frac{- 15+17}{- 8}$ = $\frac{2}{- 8}$ = $- 0,25$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{289}}{- 8}$ = $\frac{- 15-17}{- 8}$ = $\frac{- 32}{- 8}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 15 x + 4$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - \frac{15}{4} x - 1$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{15}{8})}^{2} - (- 1)$ = $\frac{225}{64}$ $+$ $1$ = $\frac{225}{64}$ $+$ $\frac{64}{64}$ = $\frac{289}{64}$

x_1,2 = $\frac{15}{8}$ ± $\sqrt{\frac{289}{64}}$

x₁ = $\frac{15}{8}$ - $\frac{17}{8}$ = $- \frac{2}{8}$ = -0.25

x₂ = $\frac{15}{8}$ + $\frac{17}{8}$ = $\frac{32}{8}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,25$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{12 x}{x - 3} + x - 3$ = 0

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $3$

D=R\{ $3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{12 x}{x - 3} + x - 3$	=	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{12 x}{x - 3} \cdot (x - 3) + x \cdot (x - 3) - 3 \cdot (x - 3)$	=
$12 x + x \cdot (x - 3) - 3 x + 9$	=
$12 x + (x^{2} - 3 x) - 3 x + 9$	=
$x^{2} + 6 x + 9$	=

$x^{2} + 6 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 9$ = $9$ $-$ $9$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 3$ ± 0 = $- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x - 3}$ = $- \frac{- 296}{6 x - 6} - 4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

$\frac{x}{3 x - 3}$	=	$\frac{296}{6 x - 6} - 4 x$
$\frac{x}{3 (x - 1)}$	=	$\frac{296}{6 (x - 1)} - 4 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 1)$ weg!

$\frac{x}{3 (x - 1)}$	=	$\frac{296}{6 (x - 1)} - 4 x$	\|⋅( $3 (x - 1)$ )
$\frac{x}{3 (x - 1)} \cdot (3 (x - 1))$	=	$\frac{296}{6 (x - 1)} \cdot (3 (x - 1)) - 4 x \cdot (3 (x - 1))$
$x$	=	$148 - 12 x \cdot (x - 1)$
$x$	=	$- 12 x^{2} + 12 x + 148$

x

=

- 12 x^{2} + 12 x + 148

|

+ 12 x^{2}

- 12 x

- 148

$12 x^{2} - 11 x - 148$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 12 \cdot (- 148)}}{2 \cdot 12}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 + 7 104}}{24}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{7 225}}{24}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{7 225}}{24}$ = $\frac{11+85}{24}$ = $\frac{96}{24}$ = $4$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{7 225}}{24}$ = $\frac{11-85}{24}$ = $\frac{- 74}{24}$ = $- \frac{37}{12}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $12$ " teilen:

$12 x^{2} - 11 x - 148$ = 0 |: $12$

$x^{2} - \frac{11}{12} x - \frac{37}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{24})}^{2} - (- \frac{37}{3})$ = $\frac{121}{576}$ $+$ $\frac{37}{3}$ = $\frac{121}{576}$ $+$ $\frac{7104}{576}$ = $\frac{7225}{576}$

x_1,2 = $\frac{11}{24}$ ± $\sqrt{\frac{7225}{576}}$

x₁ = $\frac{11}{24}$ - $\frac{85}{24}$ = $- \frac{74}{24}$ = -3.0833333333333

x₂ = $\frac{11}{24}$ + $\frac{85}{24}$ = $\frac{96}{24}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{37}{12}$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{1}{x^{2}} - \frac{12}{x^{3}} - \frac{32}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

=	$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{12}{x^{3}} - \frac{32}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} - \frac{12}{x^{3}} \cdot x^{4} - \frac{32}{x^{4}} \cdot x^{4}$
=	$- x^{2} - 12 x - 32$

0

=

- x^{2} - 12 x - 32

|

+ x^{2}

+ 12 x

+ 32

$x^{2} + 12 x + 32$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 32}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 128}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 12 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 12+4}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 12 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 12-4}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $6^{2} - 32$ = $36$ $-$ $32$ = $4$

x_1,2 = $- 6$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 6$ - $2$ = -8

x₂ = $- 6$ + $2$ = -4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $- 4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$2 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$2 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$2 + x$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$2 \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$2 x + x^{2}$	=	$- a$
$2 x + x^{2} + a$	=	0
$x^{2} + 2 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 2 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 2 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -5 würde es funktionieren, denn $- (3 - 5)$ = 2

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $3 \cdot (- 5)$ = $- 15$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -15 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

L={ $- 5$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):