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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{27}{x}$ = $- 3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{27}{x}$	=	$- 3 x$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{27}{x} \cdot x$	=	$- 3 x \cdot x$
$- 27$	=	$- 3 x \cdot x$
$- 27$	=	$- 3 x^{2}$

$- 27$	=	$- 3 x^{2}$	\| $+ 27$ $+ 3 x^{2}$
$3 x^{2}$	=	$27$	\|: $3$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{13 x - 5}{4 x}$ = $x - 2$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{13 x - 5}{4 x}$	=	$x - 2$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{13 x - 5}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x - 2 \cdot 4 x$
$13 x - 5$	=	$4 x \cdot x - 8 x$

13 x - 5

=

4 x^{2} - 8 x

|

- 4 x^{2}

+ 8 x

$- 4 x^{2} + 21 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{21^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 5)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 80}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{361}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 21 + \sqrt{361}}{- 8}$ = $\frac{- 21+19}{- 8}$ = $\frac{- 2}{- 8}$ = $0,25$

x₂ = $\frac{- 21 - \sqrt{361}}{- 8}$ = $\frac{- 21-19}{- 8}$ = $\frac{- 40}{- 8}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 21 x - 5$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - \frac{21}{4} x + \frac{5}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{21}{8})}^{2} - (\frac{5}{4})$ = $\frac{441}{64}$ $-$ $\frac{5}{4}$ = $\frac{441}{64}$ $-$ $\frac{80}{64}$ = $\frac{361}{64}$

x_1,2 = $\frac{21}{8}$ ± $\sqrt{\frac{361}{64}}$

x₁ = $\frac{21}{8}$ - $\frac{19}{8}$ = $\frac{2}{8}$ = 0.25

x₂ = $\frac{21}{8}$ + $\frac{19}{8}$ = $\frac{40}{8}$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,25$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

0 = $- \frac{- 15 x}{2 x + 5} - x + 4$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- \frac{5}{2}$

D=R\{ $- \frac{5}{2}$ }

0

=

\frac{15 x}{2 x + 5} - x + 4

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 5$ weg!

=	$\frac{15 x}{2 x + 5} - x + 4$	\|⋅( $2 x + 5$ )
=	$\frac{15 x}{2 x + 5} \cdot (2 x + 5) - x \cdot (2 x + 5) + 4 \cdot (2 x + 5)$
=	$15 x - x \cdot (2 x + 5) + 8 x + 20$
=	$- 2 x^{2} + 18 x + 20$

0

=

- 2 x^{2} + 18 x + 20

|

+ 2 x^{2}

- 18 x

- 20

2 x^{2} - 18 x - 20

= 0 |:2

$x^{2} - 9 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{9+11}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{9-11}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{81}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{81}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $10$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x + 5} + \frac{- 47,2}{x + 1} + 4 x$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

$\frac{x}{5 x + 5} - \frac{47,2}{x + 1} + 4 x$	=	0
$\frac{x}{5 (x + 1)} - \frac{47,2}{x + 1} + 4 x$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 1)$ weg!

$\frac{x}{5 (x + 1)} - \frac{47,2}{x + 1} + 4 x$	=	\|⋅( $5 (x + 1)$ )
$\frac{x}{5 (x + 1)} \cdot (5 (x + 1)) + \frac{- 47,2}{x + 1} \cdot (5 (x + 1)) + 4 x \cdot (5 (x + 1))$	=
$x - 236 + 20 x \cdot (x + 1)$	=
$x - 236 + (20 x^{2} + 20 x)$	=
$20 x^{2} + 21 x - 236$	=

$20 x^{2} + 21 x - 236$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{21^{2} - 4 \cdot 20 \cdot (- 236)}}{2 \cdot 20}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{441 + 18 880}}{40}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{19 321}}{40}$

x₁ = $\frac{- 21 + \sqrt{19 321}}{40}$ = $\frac{- 21+139}{40}$ = $\frac{118}{40}$ = $2,95$

x₂ = $\frac{- 21 - \sqrt{19 321}}{40}$ = $\frac{- 21-139}{40}$ = $\frac{- 160}{40}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $20$ " teilen:

$20 x^{2} + 21 x - 236$ = 0 |: $20$

$x^{2} + \frac{21}{20} x - \frac{59}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{21}{40})}^{2} - (- \frac{59}{5})$ = $\frac{441}{1600}$ $+$ $\frac{59}{5}$ = $\frac{441}{1600}$ $+$ $\frac{18880}{1600}$ = $\frac{19321}{1600}$

x_1,2 = $- \frac{21}{40}$ ± $\sqrt{\frac{19321}{1600}}$

x₁ = $- \frac{21}{40}$ - $\frac{139}{40}$ = $- \frac{160}{40}$ = -4

x₂ = $- \frac{21}{40}$ + $\frac{139}{40}$ = $\frac{118}{40}$ = 2.95

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $2,95$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x} + \frac{20}{x^{2}}$ = $- \frac{100}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x} + \frac{20}{x^{2}}$	=	$- \frac{100}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3} + \frac{20}{x^{2}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{100}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$x^{2} + 20 x$	=	$- 100$

x^{2} + 20 x

=

- 100

|

+ 100

$x^{2} + 20 x + 100$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{20^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 400}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $10^{2} - 100$ = $100$ $-$ $100$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 10$ ± 0 = $- 10$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + x$ = $\frac{12}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + x$ = $\frac{12}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + x$	=	$\frac{12}{x}$	\|⋅x
$a \cdot x + x \cdot x$	=	$\frac{12}{x} \cdot x$
$a x + x^{2}$	=	$12$
$a x + x^{2} - 12$	=	0
$x^{2} + a x - 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 6)$ = -12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 6)$ = $4$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 4 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 4 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 2$ - $4$ = -6

x₂ = $- 2$ + $4$ = 2

L={ $- 6$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):