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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{5 x}{x + 1}$ = $x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 1$

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{5 x}{x + 1}$	=	$x$	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{5 x}{x + 1} \cdot (x + 1)$	=	$x \cdot (x + 1)$
$5 x$	=	$x (x + 1)$
$5 x$	=	$x^{2} + x$

$5 x$	=	$x^{2} + x$	\| $- (x^{2} + x)$
$- x^{2} + 5 x - x$	=	0
$- x^{2} + 4 x$	=	0
$x (- x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 5 x + 2}{2 x}$ = $x - 4$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{- 5 x + 2}{2 x}$	=	$x - 4$	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{- 5 x + 2}{2 x} \cdot 2 x$	=	$x \cdot 2 x - 4 \cdot 2 x$
$- 5 x + 2$	=	$2 x \cdot x - 8 x$

- 5 x + 2

=

2 x^{2} - 8 x

|

- 2 x^{2}

+ 8 x

$- 2 x^{2} + 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 2}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{- 3+5}{- 4}$ = $\frac{2}{- 4}$ = $- 0,5$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{- 3-5}{- 4}$ = $\frac{- 8}{- 4}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 3 x + 2$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{3}{2} x - 1$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{4})}^{2} - (- 1)$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $1$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $\frac{16}{16}$ = $\frac{25}{16}$

x_1,2 = $\frac{3}{4}$ ± $\sqrt{\frac{25}{16}}$

x₁ = $\frac{3}{4}$ - $\frac{5}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

x₂ = $\frac{3}{4}$ + $\frac{5}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,5$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x$ = $- \frac{- 1}{2 x + 3} - 1$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- \frac{3}{2}$

D=R\{ $- \frac{3}{2}$ }

x

=

\frac{1}{2 x + 3} - 1

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 3$ weg!

$x$	=	$\frac{1}{2 x + 3} - 1$	\|⋅( $2 x + 3$ )
$x \cdot (2 x + 3)$	=	$\frac{1}{2 x + 3} \cdot (2 x + 3) - 1 \cdot (2 x + 3)$
$x (2 x + 3)$	=	$1 - 2 x - 3$
$x \cdot 2 x + x \cdot 3$	=	$1 - 2 x - 3$
$2 x \cdot x + 3 x$	=	$1 - 2 x - 3$
$2 x^{2} + 3 x$	=	$- 2 x - 2$

2 x^{2} + 3 x

=

- 2 x - 2

|

+ 2 x

+ 2

$2 x^{2} + 5 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 5+3}{4}$ = $\frac{- 2}{4}$ = $- 0,5$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 5-3}{4}$ = $\frac{- 8}{4}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 5 x + 2$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{5}{2} x + 1$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{4})}^{2} - 1$ = $\frac{25}{16}$ $-$ $1$ = $\frac{25}{16}$ $-$ $\frac{16}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $- \frac{5}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $- \frac{5}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $- \frac{8}{4}$ = -2

x₂ = $- \frac{5}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 0,5$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{9}{x - 2}$ = $- \frac{x}{2 x - 4} + x$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

\frac{9}{x - 2}

=

- \frac{x}{2 (x - 2)} + x

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 2)$ weg!

$\frac{9}{x - 2}$	=	$- \frac{x}{2 (x - 2)} + x$	\|⋅( $2 (x - 2)$ )
$\frac{9}{x - 2} \cdot (2 (x - 2))$	=	$- \frac{x}{2 (x - 2)} \cdot (2 (x - 2)) + x \cdot (2 (x - 2))$
$18$	=	$- x + 2 x (x - 2)$
$18$	=	$2 x^{2} - 5 x$

18

=

2 x^{2} - 5 x

|

- 2 x^{2}

+ 5 x

$- 2 x^{2} + 5 x + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 18}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 144}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{169}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{169}}{- 4}$ = $\frac{- 5+13}{- 4}$ = $\frac{8}{- 4}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{169}}{- 4}$ = $\frac{- 5-13}{- 4}$ = $\frac{- 18}{- 4}$ = $4,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 5 x + 18$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{5}{2} x - 9$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{4})}^{2} - (- 9)$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $9$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $\frac{144}{16}$ = $\frac{169}{16}$

x_1,2 = $\frac{5}{4}$ ± $\sqrt{\frac{169}{16}}$

x₁ = $\frac{5}{4}$ - $\frac{13}{4}$ = $- \frac{8}{4}$ = -2

x₂ = $\frac{5}{4}$ + $\frac{13}{4}$ = $\frac{18}{4}$ = 4.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $4,5$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{7}{x}$ = $- 1 - \frac{6}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$- \frac{7}{x}$	=	$- 1 - \frac{6}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$- \frac{7}{x} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2} - \frac{6}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$- 7 x$	=	$- x^{2} - 6$

- 7 x

=

- x^{2} - 6

|

+ x^{2}

+ 6

$x^{2} - 7 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7+5}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7-5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $6$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{6}{x} + x$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{6}{x} + x$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{6}{x} + x$	=	$- a$	\|⋅x
$\frac{6}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$6 + x^{2}$	=	$- a x$
$6 + x^{2} + a x$	=	0
$x^{2} + a x + 6$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 6$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 6 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 3 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 3$ = 6

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 3)$ = $- 5$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -5 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

L={ $2$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):