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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{6}{x + 2}$ = $- 2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 2$

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$- \frac{6}{x + 2}$	=	$- 2 x$	\|⋅( $x + 2$ )
$- \frac{6}{x + 2} \cdot (x + 2)$	=	$- 2 x \cdot (x + 2)$
$- 6$	=	$- 2 x \cdot (x + 2)$
$- 6$	=	$- 2 x^{2} - 4 x$

- 6

=

- 2 x^{2} - 4 x

|

+ 2 x^{2}

+ 4 x

2 x^{2} + 4 x - 6

= 0 |:2

$x^{2} + 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 1$ - $2$ = -3

x₂ = $- 1$ + $2$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- x - 6}{x - 4}$ = $2 x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $4$

D=R\{ $4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 4$ weg!

$\frac{- x - 6}{x - 4}$	=	$2 x$	\|⋅( $x - 4$ )
$\frac{- x - 6}{x - 4} \cdot (x - 4)$	=	$2 x \cdot (x - 4)$
$- x - 6$	=	$2 x \cdot (x - 4)$
$- x - 6$	=	$2 x^{2} - 8 x$

- x - 6

=

2 x^{2} - 8 x

|

- 2 x^{2}

+ 8 x

$- 2 x^{2} + 7 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{- 4}$ = $\frac{- 7+1}{- 4}$ = $\frac{- 6}{- 4}$ = $1,5$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{- 4}$ = $\frac{- 7-1}{- 4}$ = $\frac{- 8}{- 4}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 7 x - 6$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{7}{2} x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{4})}^{2} - 3$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $3$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $\frac{48}{16}$ = $\frac{1}{16}$

x_1,2 = $\frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{1}{16}}$

x₁ = $\frac{7}{4}$ - $\frac{1}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = 1.5

x₂ = $\frac{7}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1,5$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{40 x}{3 x - 5} - 4$ = $- x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $\frac{5}{3}$

D=R\{ $\frac{5}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 5$ weg!

$\frac{40 x}{3 x - 5} - 4$	=	$- x$	\|⋅( $3 x - 5$ )
$\frac{40 x}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5) - 4 \cdot (3 x - 5)$	=	$- x \cdot (3 x - 5)$
$40 x - 12 x + 20$	=	$- x \cdot (3 x - 5)$
$28 x + 20$	=	$- 3 x^{2} + 5 x$

28 x + 20

=

- 3 x^{2} + 5 x

|

+ 3 x^{2}

- 5 x

$3 x^{2} + 23 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{23^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 20}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{529 - 240}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{289}}{6}$

x₁ = $\frac{- 23 + \sqrt{289}}{6}$ = $\frac{- 23+17}{6}$ = $\frac{- 6}{6}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 23 - \sqrt{289}}{6}$ = $\frac{- 23-17}{6}$ = $\frac{- 40}{6}$ = $- \frac{20}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 23 x + 20$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{23}{3} x + \frac{20}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{23}{6})}^{2} - (\frac{20}{3})$ = $\frac{529}{36}$ $-$ $\frac{20}{3}$ = $\frac{529}{36}$ $-$ $\frac{240}{36}$ = $\frac{289}{36}$

x_1,2 = $- \frac{23}{6}$ ± $\sqrt{\frac{289}{36}}$

x₁ = $- \frac{23}{6}$ - $\frac{17}{6}$ = $- \frac{40}{6}$ = -6.6666666666667

x₂ = $- \frac{23}{6}$ + $\frac{17}{6}$ = $- \frac{6}{6}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{20}{3}$ ; $- 1$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 x$ = $- \frac{x}{3 x + 9} - \frac{58}{3 x + 9}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

$- 2 x$	=	$- \frac{x}{3 x + 9} - \frac{58}{3 x + 9}$
$- 2 x$	=	$- \frac{x}{3 (x + 3)} - \frac{58}{3 (x + 3)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 3)$ weg!

$- 2 x$	=	$- \frac{x}{3 (x + 3)} - \frac{58}{3 (x + 3)}$	\|⋅( $3 (x + 3)$ )
$- 2 x \cdot (3 (x + 3))$	=	$- \frac{x}{3 (x + 3)} \cdot (3 (x + 3)) - \frac{58}{3 (x + 3)} \cdot (3 (x + 3))$
$- 6 x \cdot (x + 3)$	=	$- x - 58$
$- 6 x \cdot x - 6 x \cdot 3$	=	$- x - 58$
$- 6 x \cdot x - 18 x$	=	$- x - 58$
$- 6 x^{2} - 18 x$	=	$- x - 58$

- 6 x^{2} - 18 x

=

- x - 58

|

+ x

+ 58

$- 6 x^{2} - 17 x + 58$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot (- 6) \cdot 58}}{2 \cdot (- 6)}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 + 1 392}}{- 12}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{1 681}}{- 12}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{1 681}}{- 12}$ = $\frac{17+41}{- 12}$ = $\frac{58}{- 12}$ = $- \frac{29}{6}$ ≈ -4.83

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{1 681}}{- 12}$ = $\frac{17-41}{- 12}$ = $\frac{- 24}{- 12}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 6$ " teilen:

$- 6 x^{2} - 17 x + 58$ = 0 |: $- 6$

$x^{2} + \frac{17}{6} x - \frac{29}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{12})}^{2} - (- \frac{29}{3})$ = $\frac{289}{144}$ $+$ $\frac{29}{3}$ = $\frac{289}{144}$ $+$ $\frac{1392}{144}$ = $\frac{1681}{144}$

x_1,2 = $- \frac{17}{12}$ ± $\sqrt{\frac{1681}{144}}$

x₁ = $- \frac{17}{12}$ - $\frac{41}{12}$ = $- \frac{58}{12}$ = -4.8333333333333

x₂ = $- \frac{17}{12}$ + $\frac{41}{12}$ = $\frac{24}{12}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{29}{6}$ ; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x}$ = $\frac{- 3 x - 54}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$- \frac{1}{x}$	=	$\frac{- 3 x - 54}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$	=	$\frac{- 3 x - 54}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$- x^{2}$	=	$- 3 x - 54$

- x^{2}

=

- 3 x - 54

|

+ 3 x

+ 54

$- x^{2} + 3 x + 54$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 54}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 216}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{225}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{225}}{- 2}$ = $\frac{- 3+15}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{225}}{- 2}$ = $\frac{- 3-15}{- 2}$ = $\frac{- 18}{- 2}$ = $9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 3 x + 54$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 3 x - 54$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 54)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $54$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{216}{4}$ = $\frac{225}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{225}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{15}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{15}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $9$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + x$ = $- \frac{30}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + x$ = $- \frac{30}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + x$	=	$- \frac{30}{x}$	\|⋅x
$a \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{30}{x} \cdot x$
$a x + x^{2}$	=	$- 30$
$a x + x^{2} + 30$	=	0
$x^{2} + a x + 30$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 30$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 30 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 15 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 15$ = 30

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 15)$ = $- 17$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -17 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 17 x + 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{17+13}{2}$ = $\frac{30}{2}$ = $15$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{17-13}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{2})}^{2} - 30$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $30$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $\frac{17}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $\frac{17}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{17}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{30}{2}$ = 15

L={ $2$ ; $15$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):