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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{18}{x - 1}$ = $3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $1$

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{18}{x - 1}$	=	$3 x$	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{18}{x - 1} \cdot (x - 1)$	=	$3 x \cdot (x - 1)$
$18$	=	$3 x \cdot (x - 1)$
$18$	=	$3 x^{2} - 3 x$

18

=

3 x^{2} - 3 x

|

- 3 x^{2}

+ 3 x

- 3 x^{2} + 3 x + 18

= 0 |:3

$- x^{2} + x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 6}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 1+5}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 1-5}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + x + 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - x - 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x - 4$ = $\frac{- 21 x - 6}{2 x}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$x - 4$	=	$\frac{- 21 x - 6}{2 x}$	\|⋅( $2 x$ )
$x \cdot 2 x - 4 \cdot 2 x$	=	$\frac{- 21 x - 6}{2 x} \cdot 2 x$
$2 x \cdot x - 8 x$	=	$- 21 x - 6$
$2 x^{2} - 8 x$	=	$- 21 x - 6$

2 x^{2} - 8 x

=

- 21 x - 6

|

+ 21 x

+ 6

$2 x^{2} + 13 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 6}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{121}}{4}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{- 13+11}{4}$ = $\frac{- 2}{4}$ = $- 0,5$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{- 13-11}{4}$ = $\frac{- 24}{4}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 13 x + 6$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{13}{2} x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{4})}^{2} - 3$ = $\frac{169}{16}$ $-$ $3$ = $\frac{169}{16}$ $-$ $\frac{48}{16}$ = $\frac{121}{16}$

x_1,2 = $- \frac{13}{4}$ ± $\sqrt{\frac{121}{16}}$

x₁ = $- \frac{13}{4}$ - $\frac{11}{4}$ = $- \frac{24}{4}$ = -6

x₂ = $- \frac{13}{4}$ + $\frac{11}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $- 0,5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 10}{x + 2} + 3 x - 1$ = 0

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 2$

D=R\{ $- 2$ }

- \frac{10}{x + 2} + 3 x - 1

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$- \frac{10}{x + 2} + 3 x - 1$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$- \frac{10}{x + 2} \cdot (x + 2) + 3 x \cdot (x + 2) - 1 \cdot (x + 2)$	=
$- 10 + 3 x \cdot (x + 2) - x - 2$	=
$- 10 + (3 x^{2} + 6 x) - x - 2$	=
$3 x^{2} + 5 x - 12$	=

$3 x^{2} + 5 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 144}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{169}}{6}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{169}}{6}$ = $\frac{- 5+13}{6}$ = $\frac{8}{6}$ = $\frac{4}{3}$ ≈ 1.33

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{169}}{6}$ = $\frac{- 5-13}{6}$ = $\frac{- 18}{6}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 5 x - 12$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{5}{3} x - 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{6})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{25}{36}$ $+$ $4$ = $\frac{25}{36}$ $+$ $\frac{144}{36}$ = $\frac{169}{36}$

x_1,2 = $- \frac{5}{6}$ ± $\sqrt{\frac{169}{36}}$

x₁ = $- \frac{5}{6}$ - $\frac{13}{6}$ = $- \frac{18}{6}$ = -3

x₂ = $- \frac{5}{6}$ + $\frac{13}{6}$ = $\frac{8}{6}$ = 1.3333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $\frac{4}{3}$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x + 6} - x$ = $- \frac{44}{6 x + 12}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

\frac{x}{3 (x + 2)} - x

=

- \frac{44}{6 (x + 2)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $6 (x + 2)$ weg!

$\frac{x}{3 (x + 2)} - x$	=	$- \frac{44}{6 (x + 2)}$	\|⋅( $6 (x + 2)$ )
$\frac{x}{3 (x + 2)} \cdot (6 (x + 2)) - x \cdot (6 (x + 2))$	=	$- \frac{44}{6 (x + 2)} \cdot (6 (x + 2))$
$2 x - 6 x \cdot (x + 2)$	=	$- 44$
$2 x + (- 6 x^{2} - 12 x)$	=	$- 44$
$- 6 x^{2} - 10 x$	=	$- 44$

- 6 x^{2} - 10 x

=

- 44

|

+ 44

- 6 x^{2} - 10 x + 44

= 0 |:2

$- 3 x^{2} - 5 x + 22$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 22}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 264}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{289}}{- 6}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{289}}{- 6}$ = $\frac{5+17}{- 6}$ = $\frac{22}{- 6}$ = $- \frac{11}{3}$ ≈ -3.67

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{289}}{- 6}$ = $\frac{5-17}{- 6}$ = $\frac{- 12}{- 6}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 5 x + 22$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{5}{3} x - \frac{22}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{6})}^{2} - (- \frac{22}{3})$ = $\frac{25}{36}$ $+$ $\frac{22}{3}$ = $\frac{25}{36}$ $+$ $\frac{264}{36}$ = $\frac{289}{36}$

x_1,2 = $- \frac{5}{6}$ ± $\sqrt{\frac{289}{36}}$

x₁ = $- \frac{5}{6}$ - $\frac{17}{6}$ = $- \frac{22}{6}$ = -3.6666666666667

x₂ = $- \frac{5}{6}$ + $\frac{17}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{11}{3}$ ; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{7}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x} + \frac{8}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{7}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x} + \frac{8}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{7}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3} + \frac{8}{x^{2}} \cdot x^{3}$
$7$	=	$- x^{2} + 8 x$

7

=

- x^{2} + 8 x

|

+ x^{2}

- 8 x

$x^{2} - 8 x + 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8+6}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8-6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 7$ = $16$ $-$ $7$ = $9$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $4$ - $3$ = 1

x₂ = $4$ + $3$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $7$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x - \frac{15}{x}$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x - \frac{15}{x}$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x - \frac{15}{x}$	=	$- a$	\|⋅x
$x \cdot x - \frac{15}{x} \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$x^{2} - 15$	=	$- a x$
$x^{2} - 15 + a x$	=	0
$x^{2} + a x - 15$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 15$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -15 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -5 würde es funktionieren, denn $3 \cdot (- 5)$ = -15

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (3 - 5)$ = $2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

L={ $- 5$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):