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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$4$ = $- x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner:

$4$	=	$- x$	\| $- 4$ $+ x$
$x$	=	$- 4$

L={ $- 4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- 4 - \frac{18}{x}$ = $x + 5$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- 4 - \frac{18}{x}$	=	$x + 5$	\|⋅( $x$ )
$- 4 \cdot x - \frac{18}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 5 \cdot x$
$- 4 x - 18$	=	$x \cdot x + 5 x$

- 4 x - 18

=

x^{2} + 5 x

|

- x^{2}

- 5 x

$- x^{2} - 9 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 18)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 72}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{9+3}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{9-3}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 9 x - 18$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 9 x + 18$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - 18$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $18$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $- 3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 70}{3 x + 1} + x$ = $- 4$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- \frac{1}{3}$

D=R\{ $- \frac{1}{3}$ }

- \frac{70}{3 x + 1} + x

=

- 4

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 1$ weg!

$- \frac{70}{3 x + 1} + x$	=	$- 4$	\|⋅( $3 x + 1$ )
$- \frac{70}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1) + x \cdot (3 x + 1)$	=	$- 4 \cdot (3 x + 1)$
$- 70 + x (3 x + 1)$	=	$- 4 (3 x + 1)$
$- 70 + (3 x^{2} + x)$	=	$- 4 (3 x + 1)$
$3 x^{2} + x - 70$	=	$- 12 x - 4$

3 x^{2} + x - 70

=

- 12 x - 4

|

+ 12 x

+ 4

$3 x^{2} + 13 x - 66$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 66)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 792}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{961}}{6}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{961}}{6}$ = $\frac{- 13+31}{6}$ = $\frac{18}{6}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{961}}{6}$ = $\frac{- 13-31}{6}$ = $\frac{- 44}{6}$ = $- \frac{22}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 13 x - 66$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{13}{3} x - 22$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{6})}^{2} - (- 22)$ = $\frac{169}{36}$ $+$ $22$ = $\frac{169}{36}$ $+$ $\frac{792}{36}$ = $\frac{961}{36}$

x_1,2 = $- \frac{13}{6}$ ± $\sqrt{\frac{961}{36}}$

x₁ = $- \frac{13}{6}$ - $\frac{31}{6}$ = $- \frac{44}{6}$ = -7.3333333333333

x₂ = $- \frac{13}{6}$ + $\frac{31}{6}$ = $\frac{18}{6}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{22}{3}$ ; $3$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 x$ = $- \frac{x}{4 x + 4} - \frac{50}{2 x + 2}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

$- 2 x$	=	$- \frac{x}{4 x + 4} - \frac{50}{2 x + 2}$
$- 2 x$	=	$- \frac{x}{4 (x + 1)} - \frac{50}{2 (x + 1)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 1)$ weg!

$- 2 x$	=	$- \frac{x}{4 (x + 1)} - \frac{50}{2 (x + 1)}$	\|⋅( $4 (x + 1)$ )
$- 2 x \cdot (4 (x + 1))$	=	$- \frac{x}{4 (x + 1)} \cdot (4 (x + 1)) + \frac{- 50}{2 (x + 1)} \cdot (4 (x + 1))$
$- 8 x (x + 1)$	=	$- x - 100$
$- 8 x \cdot x - 8 x \cdot 1$	=	$- x - 100$
$- 8 x \cdot x - 8 x$	=	$- x - 100$
$- 8 x^{2} - 8 x$	=	$- x - 100$

- 8 x^{2} - 8 x

=

- x - 100

|

+ x

+ 100

$- 8 x^{2} - 7 x + 100$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 8) \cdot 100}}{2 \cdot (- 8)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 3 200}}{- 16}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{3 249}}{- 16}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{3 249}}{- 16}$ = $\frac{7+57}{- 16}$ = $\frac{64}{- 16}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{3 249}}{- 16}$ = $\frac{7-57}{- 16}$ = $\frac{- 50}{- 16}$ = $3,125$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 8$ " teilen:

$- 8 x^{2} - 7 x + 100$ = 0 |: $- 8$

$x^{2} + \frac{7}{8} x - \frac{25}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{16})}^{2} - (- \frac{25}{2})$ = $\frac{49}{256}$ $+$ $\frac{25}{2}$ = $\frac{49}{256}$ $+$ $\frac{3200}{256}$ = $\frac{3249}{256}$

x_1,2 = $- \frac{7}{16}$ ± $\sqrt{\frac{3249}{256}}$

x₁ = $- \frac{7}{16}$ - $\frac{57}{16}$ = $- \frac{64}{16}$ = -4

x₂ = $- \frac{7}{16}$ + $\frac{57}{16}$ = $\frac{50}{16}$ = 3.125

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $3,125$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 7 x + 12}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{- 7 x + 12}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{- 7 x + 12}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$- 7 x + 12$	=	$- x^{2}$

- 7 x + 12

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - 7 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7+1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7-1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ ; $4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a - \frac{12}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a - \frac{12}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a - \frac{12}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$a \cdot x - \frac{12}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a x - 12$	=	$- x^{2}$
$a x - 12 + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x - 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 6)$ = -12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 6)$ = $4$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 4 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 4 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 2$ - $4$ = -6

x₂ = $- 2$ + $4$ = 2

L={ $- 6$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):