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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{12}{x - 1}$ = $2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $1$

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{12}{x - 1}$	=	$2 x$	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{12}{x - 1} \cdot (x - 1)$	=	$2 x \cdot (x - 1)$
$12$	=	$2 x \cdot (x - 1)$
$12$	=	$2 x^{2} - 2 x$

12

=

2 x^{2} - 2 x

|

- 2 x^{2}

+ 2 x

- 2 x^{2} + 2 x + 12

= 0 |:2

$- x^{2} + x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 6}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 1+5}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 1-5}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + x + 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - x - 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x + 2$ = $- \frac{9}{2} - \frac{3}{x}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x + 2$	=	$- \frac{9}{2} - \frac{3}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x + 2 \cdot x$	=	$- \frac{9}{2} \cdot x - \frac{3}{x} \cdot x$
$x \cdot x + 2 x$	=	$- \frac{9}{2} x - 3$
$x^{2} + 2 x$	=	$- \frac{9}{2} x - 3$

$x^{2} + 2 x$	=	$- \frac{9}{2} x - 3$	\|⋅ 2
$2 (x^{2} + 2 x)$	=	$2 (- \frac{9}{2} x - 3)$
$2 x^{2} + 4 x$	=	$- 9 x - 6$	\| $+ 9 x$ $+ 6$

$2 x^{2} + 13 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 6}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{121}}{4}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{- 13+11}{4}$ = $\frac{- 2}{4}$ = $- 0,5$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{- 13-11}{4}$ = $\frac{- 24}{4}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 13 x + 6$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{13}{2} x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{4})}^{2} - 3$ = $\frac{169}{16}$ $-$ $3$ = $\frac{169}{16}$ $-$ $\frac{48}{16}$ = $\frac{121}{16}$

x_1,2 = $- \frac{13}{4}$ ± $\sqrt{\frac{121}{16}}$

x₁ = $- \frac{13}{4}$ - $\frac{11}{4}$ = $- \frac{24}{4}$ = -6

x₂ = $- \frac{13}{4}$ + $\frac{11}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $- 0,5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x - 5$ = $- \frac{- 7}{x + 1}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 1$

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$x - 5$	=	$\frac{7}{x + 1}$	\|⋅( $x + 1$ )
$x \cdot (x + 1) - 5 \cdot (x + 1)$	=	$\frac{7}{x + 1} \cdot (x + 1)$
$x \cdot (x + 1) - 5 x - 5$	=	$7$
$x^{2} + x - 5 x - 5$	=	$7$
$x^{2} - 4 x - 5$	=	$7$

x^{2} - 4 x - 5

=

7

|

- 7

$x^{2} - 4 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4+8}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4-8}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $2$ - $4$ = -2

x₂ = $2$ + $4$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $6$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{3 x - 3} - \frac{- 34}{3 x - 3} - 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

0	=	$- \frac{x}{3 x - 3} + \frac{34}{3 x - 3} - 2 x$
0	=	$- \frac{x}{3 (x - 1)} + \frac{34}{3 (x - 1)} - 2 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 1)$ weg!

=	$- \frac{x}{3 (x - 1)} + \frac{34}{3 (x - 1)} - 2 x$	\|⋅( $3 (x - 1)$ )
=	$- \frac{x}{3 (x - 1)} \cdot (3 (x - 1)) + \frac{34}{3 (x - 1)} \cdot (3 (x - 1)) - 2 x \cdot (3 (x - 1))$
=	$- x + 34 - 6 x \cdot (x - 1)$
=	$- 6 x^{2} + 5 x + 34$

0

=

- 6 x^{2} + 5 x + 34

|

+ 6 x^{2}

- 5 x

- 34

$6 x^{2} - 5 x - 34$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (- 34)}}{2 \cdot 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 816}}{12}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{841}}{12}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{841}}{12}$ = $\frac{5+29}{12}$ = $\frac{34}{12}$ = $\frac{17}{6}$ ≈ 2.83

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{841}}{12}$ = $\frac{5-29}{12}$ = $\frac{- 24}{12}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $6$ " teilen:

$6 x^{2} - 5 x - 34$ = 0 |: $6$

$x^{2} - \frac{5}{6} x - \frac{17}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{12})}^{2} - (- \frac{17}{3})$ = $\frac{25}{144}$ $+$ $\frac{17}{3}$ = $\frac{25}{144}$ $+$ $\frac{816}{144}$ = $\frac{841}{144}$

x_1,2 = $\frac{5}{12}$ ± $\sqrt{\frac{841}{144}}$

x₁ = $\frac{5}{12}$ - $\frac{29}{12}$ = $- \frac{24}{12}$ = -2

x₂ = $\frac{5}{12}$ + $\frac{29}{12}$ = $\frac{34}{12}$ = 2.8333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $\frac{17}{6}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{15 x + 56}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{15 x + 56}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{15 x + 56}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$15 x + 56$	=	$- x^{2}$

15 x + 56

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 15 x + 56$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 56}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 224}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 15+1}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 15-1}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{15}{2})}^{2} - 56$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $56$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $\frac{224}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{15}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{15}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{15}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $- 7$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{8}{x} + x$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{8}{x} + x$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{8}{x} + x$	=	$- a$	\|⋅x
$\frac{8}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$8 + x^{2}$	=	$- a x$
$8 + x^{2} + a x$	=	0
$x^{2} + a x + 8$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 8$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 8 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 4 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 4$ = 8

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 4)$ = $- 6$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $3$ - $1$ = 2

x₂ = $3$ + $1$ = 4

L={ $2$ ; $4$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):