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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{0}{x - 1}$ = $2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $1$

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{0}{x - 1}$	=	$2 x$	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{0}{x - 1} \cdot (x - 1)$	=	$2 x \cdot (x - 1)$
0	=	$2 x \cdot (x - 1)$
0	=	$2 x^{2} - 2 x$

0	=	$2 x^{2} - 2 x$	\| $- (2 x^{2} - 2 x)$
$- 2 x^{2} + 2 x$	=	0
$2 x \cdot (- x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$1$

Lösung x= $1$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x + 5$ = $\frac{5 x - 2}{2 x}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$x + 5$	=	$\frac{5 x - 2}{2 x}$	\|⋅( $2 x$ )
$x \cdot 2 x + 5 \cdot 2 x$	=	$\frac{5 x - 2}{2 x} \cdot 2 x$
$2 x \cdot x + 10 x$	=	$5 x - 2$
$2 x^{2} + 10 x$	=	$5 x - 2$

2 x^{2} + 10 x

=

5 x - 2

|

- 5 x

+ 2

$2 x^{2} + 5 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 5+3}{4}$ = $\frac{- 2}{4}$ = $- 0,5$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 5-3}{4}$ = $\frac{- 8}{4}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 5 x + 2$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{5}{2} x + 1$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{4})}^{2} - 1$ = $\frac{25}{16}$ $-$ $1$ = $\frac{25}{16}$ $-$ $\frac{16}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $- \frac{5}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $- \frac{5}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $- \frac{8}{4}$ = -2

x₂ = $- \frac{5}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 0,5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x + 2$ = $- \frac{- 6 x}{2 x - 4}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $2$

D=R\{ $2$ }

x + 2

=

\frac{6 x}{2 (x - 2)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 2)$ weg!

$x + 2$	=	$\frac{6 x}{2 (x - 2)}$	\|⋅( $2 (x - 2)$ )
$x \cdot (2 (x - 2)) + 2 \cdot (2 (x - 2))$	=	$\frac{6 x}{2 (x - 2)} \cdot (2 (x - 2))$
$2 x \cdot (x - 2) + 4 x - 8$	=	$2 \frac{3 x}{1}$
$2 x \cdot (x - 2) + 4 x - 8$	=	$6 x$
$2 x^{2} - 4 x + 4 x - 8$	=	$6 x$
$2 x^{2} - 8$	=	$6 x$

2 x^{2} - 8

=

6 x

|

- 6 x

2 x^{2} - 6 x - 8

= 0 |:2

$x^{2} - 3 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3+5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3-5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x + 8}$ = $- \frac{- 37}{x + 4} - 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

$\frac{x}{2 x + 8}$	=	$\frac{37}{x + 4} - 3 x$
$\frac{x}{2 (x + 4)}$	=	$\frac{37}{x + 4} - 3 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 4)$ weg!

$\frac{x}{2 (x + 4)}$	=	$\frac{37}{x + 4} - 3 x$	\|⋅( $2 (x + 4)$ )
$\frac{x}{2 (x + 4)} \cdot (2 (x + 4))$	=	$\frac{37}{x + 4} \cdot (2 (x + 4)) - 3 x \cdot (2 (x + 4))$
$x$	=	$74 - 6 x \cdot (x + 4)$
$x$	=	$- 6 x^{2} - 24 x + 74$

x

=

- 6 x^{2} - 24 x + 74

|

+ 6 x^{2}

+ 24 x

- 74

$6 x^{2} + 25 x - 74$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{25^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (- 74)}}{2 \cdot 6}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{625 + 1 776}}{12}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{2 401}}{12}$

x₁ = $\frac{- 25 + \sqrt{2 401}}{12}$ = $\frac{- 25+49}{12}$ = $\frac{24}{12}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 25 - \sqrt{2 401}}{12}$ = $\frac{- 25-49}{12}$ = $\frac{- 74}{12}$ = $- \frac{37}{6}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $6$ " teilen:

$6 x^{2} + 25 x - 74$ = 0 |: $6$

$x^{2} + \frac{25}{6} x - \frac{37}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{25}{12})}^{2} - (- \frac{37}{3})$ = $\frac{625}{144}$ $+$ $\frac{37}{3}$ = $\frac{625}{144}$ $+$ $\frac{1776}{144}$ = $\frac{2401}{144}$

x_1,2 = $- \frac{25}{12}$ ± $\sqrt{\frac{2401}{144}}$

x₁ = $- \frac{25}{12}$ - $\frac{49}{12}$ = $- \frac{74}{12}$ = -6.1666666666667

x₂ = $- \frac{25}{12}$ + $\frac{49}{12}$ = $\frac{24}{12}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{37}{6}$ ; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{16}{x^{3}} + \frac{63}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{16}{x^{3}} + \frac{63}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{16}{x^{3}} \cdot x^{4} + \frac{63}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$16 x + 63$	=	$- x^{2}$

16 x + 63

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 16 x + 63$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 63}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 252}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 16 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 16+2}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{- 16 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 16-2}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $8^{2} - 63$ = $64$ $-$ $63$ = $1$

x_1,2 = $- 8$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 8$ - $1$ = -9

x₂ = $- 8$ + $1$ = -7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $- 7$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + \frac{12}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + \frac{12}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + \frac{12}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$a \cdot x + \frac{12}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a x + 12$	=	$- x^{2}$
$a x + 12 + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x + 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 6$ = 12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 6)$ = $- 8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

L={ $2$ ; $6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):