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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{2 x}{x + 3}$ = $x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 3$

D=R\{ $- 3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{- 2 x}{x + 3}$	=	$x$	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{- 2 x}{x + 3} \cdot (x + 3)$	=	$x \cdot (x + 3)$
$- \frac{2 x}{1}$	=	$x (x + 3)$
$- 2 x$	=	$x (x + 3)$
$- 2 x$	=	$x^{2} + 3 x$

$- 2 x$	=	$x^{2} + 3 x$	\| $- (x^{2} + 3 x)$
$- x^{2} - 2 x - 3 x$	=	0
$- x^{2} - 5 x$	=	0
$- x (x + 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₂	=	$- 5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; 0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{37 x - 7}{x + 2}$ = $4 x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 2$

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{37 x - 7}{x + 2}$	=	$4 x$	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{37 x - 7}{x + 2} \cdot (x + 2)$	=	$4 x \cdot (x + 2)$
$37 x - 7$	=	$4 x (x + 2)$
$37 x - 7$	=	$4 x^{2} + 8 x$

37 x - 7

=

4 x^{2} + 8 x

|

- 4 x^{2}

- 8 x

$- 4 x^{2} + 29 x - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 29 \pm \sqrt{29^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 7)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 29 \pm \sqrt{841 - 112}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 29 \pm \sqrt{729}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 29 + \sqrt{729}}{- 8}$ = $\frac{- 29+27}{- 8}$ = $\frac{- 2}{- 8}$ = $0,25$

x₂ = $\frac{- 29 - \sqrt{729}}{- 8}$ = $\frac{- 29-27}{- 8}$ = $\frac{- 56}{- 8}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 29 x - 7$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - \frac{29}{4} x + \frac{7}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{29}{8})}^{2} - (\frac{7}{4})$ = $\frac{841}{64}$ $-$ $\frac{7}{4}$ = $\frac{841}{64}$ $-$ $\frac{112}{64}$ = $\frac{729}{64}$

x_1,2 = $\frac{29}{8}$ ± $\sqrt{\frac{729}{64}}$

x₁ = $\frac{29}{8}$ - $\frac{27}{8}$ = $\frac{2}{8}$ = 0.25

x₂ = $\frac{29}{8}$ + $\frac{27}{8}$ = $\frac{56}{8}$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,25$ ; $7$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 75}{3 x + 3} + x$ = $- 1$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 1$

D=R\{ $- 1$ }

$- \frac{75}{3 x + 3} + x$	=	$- 1$
$- \frac{75}{3 (x + 1)} + x$	=	$- 1$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$- \frac{75}{3 (x + 1)} + x$	=	$- 1$	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{- 75}{3 (x + 1)} \cdot (x + 1) + x \cdot (x + 1)$	=	$- 1 \cdot (x + 1)$
$- 25 + x (x + 1)$	=	$- (x + 1)$
$- 25 + (x^{2} + x)$	=	$- (x + 1)$
$x^{2} + x - 25$	=	$- x - 1$

x^{2} + x - 25

=

- x - 1

|

+ x

+ 1

$x^{2} + 2 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2+10}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2-10}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 24)$ = $1$ $+$ $24$ = $25$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 1$ - $5$ = -6

x₂ = $- 1$ + $5$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x - 6} + \frac{8}{3 x - 6}$ = $- 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

$\frac{x}{3 x - 6} + \frac{8}{3 x - 6}$	=	$- 3 x$
$\frac{x}{3 (x - 2)} + \frac{8}{3 (x - 2)}$	=	$- 3 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 2)$ weg!

$\frac{x}{3 (x - 2)} + \frac{8}{3 (x - 2)}$	=	$- 3 x$	\|⋅( $3 (x - 2)$ )
$\frac{x}{3 (x - 2)} \cdot (3 (x - 2)) + \frac{8}{3 (x - 2)} \cdot (3 (x - 2))$	=	$- 3 x \cdot (3 (x - 2))$
$x + 8$	=	$- 9 x (x - 2)$
$x + 8$	=	$- 9 x^{2} + 18 x$

x + 8

=

- 9 x^{2} + 18 x

|

+ 9 x^{2}

- 18 x

$9 x^{2} - 17 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 8}}{2 \cdot 9}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 288}}{18}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{1}}{18}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{1}}{18}$ = $\frac{17+1}{18}$ = $\frac{18}{18}$ = $1$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{1}}{18}$ = $\frac{17-1}{18}$ = $\frac{16}{18}$ = $\frac{8}{9}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $9$ " teilen:

$9 x^{2} - 17 x + 8$ = 0 |: $9$

$x^{2} - \frac{17}{9} x + \frac{8}{9}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{18})}^{2} - (\frac{8}{9})$ = $\frac{289}{324}$ $-$ $\frac{8}{9}$ = $\frac{289}{324}$ $-$ $\frac{288}{324}$ = $\frac{1}{324}$

x_1,2 = $\frac{17}{18}$ ± $\sqrt{\frac{1}{324}}$

x₁ = $\frac{17}{18}$ - $\frac{1}{18}$ = $\frac{16}{18}$ = 0.88888888888889

x₂ = $\frac{17}{18}$ + $\frac{1}{18}$ = $\frac{18}{18}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{8}{9}$ ; $1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 + \frac{12}{x^{2}}$ = $- \frac{7}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 + \frac{12}{x^{2}}$	=	$- \frac{7}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} + \frac{12}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- \frac{7}{x} \cdot x^{2}$
$x^{2} + 12$	=	$- 7 x$

x^{2} + 12

=

- 7 x

|

+ 7 x

$x^{2} + 7 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 7+1}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 7-1}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + \frac{24}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + \frac{24}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + \frac{24}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$a \cdot x + \frac{24}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a x + 24$	=	$- x^{2}$
$a x + 24 + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x + 24$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 24$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 24 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 12 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 12$ = 24

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 12)$ = $- 14$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -14 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 14 x + 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{14 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{14+10}{2}$ = $\frac{24}{2}$ = $12$

x₂ = $\frac{14 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{14-10}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 7)}^{2} - 24$ = $49$ $-$ $24$ = $25$

x_1,2 = $7$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $7$ - $5$ = 2

x₂ = $7$ + $5$ = 12

L={ $2$ ; $12$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):