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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{16}{x}$ = $x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{16}{x}$	=	$x$	\|⋅( $x$ )
$\frac{16}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x$
$16$	=	$x \cdot x$
$16$	=	$x^{2}$

$16$	=	$x^{2}$	\| $- 16$ $- x^{2}$
$- x^{2}$	=	$- 16$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$4 - \frac{7}{x}$ = $x - 4$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$4 - \frac{7}{x}$	=	$x - 4$	\|⋅( $x$ )
$4 \cdot x - \frac{7}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 4 \cdot x$
$4 x - 7$	=	$x \cdot x - 4 x$

4 x - 7

=

x^{2} - 4 x

|

- x^{2}

+ 4 x

$- x^{2} + 8 x - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 7)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 8+6}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 8-6}{- 2}$ = $\frac{- 14}{- 2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 8 x - 7$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 8 x + 7$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 7$ = $16$ $-$ $7$ = $9$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $4$ - $3$ = 1

x₂ = $4$ + $3$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $7$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 30}{3 x - 2} - 1$ = $- x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $\frac{2}{3}$

D=R\{ $\frac{2}{3}$ }

- \frac{30}{3 x - 2} - 1

=

- x

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 2$ weg!

$- \frac{30}{3 x - 2} - 1$	=	$- x$	\|⋅( $3 x - 2$ )
$- \frac{30}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2) - 1 \cdot (3 x - 2)$	=	$- x \cdot (3 x - 2)$
$- 30 - 3 x + 2$	=	$- x (3 x - 2)$
$- 3 x - 28$	=	$- 3 x^{2} + 2 x$

- 3 x - 28

=

- 3 x^{2} + 2 x

|

+ 3 x^{2}

- 2 x

$3 x^{2} - 5 x - 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 336}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{361}}{6}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{361}}{6}$ = $\frac{5+19}{6}$ = $\frac{24}{6}$ = $4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{361}}{6}$ = $\frac{5-19}{6}$ = $\frac{- 14}{6}$ = $- \frac{7}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 5 x - 28$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{5}{3} x - \frac{28}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{6})}^{2} - (- \frac{28}{3})$ = $\frac{25}{36}$ $+$ $\frac{28}{3}$ = $\frac{25}{36}$ $+$ $\frac{336}{36}$ = $\frac{361}{36}$

x_1,2 = $\frac{5}{6}$ ± $\sqrt{\frac{361}{36}}$

x₁ = $\frac{5}{6}$ - $\frac{19}{6}$ = $- \frac{14}{6}$ = -2.3333333333333

x₂ = $\frac{5}{6}$ + $\frac{19}{6}$ = $\frac{24}{6}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{7}{3}$ ; $4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x - 4} + \frac{74}{x - 2} - 3 x$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

$\frac{x}{2 x - 4} + \frac{74}{x - 2} - 3 x$	=	0
$\frac{x}{2 (x - 2)} + \frac{74}{x - 2} - 3 x$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 2)$ weg!

$\frac{x}{2 (x - 2)} + \frac{74}{x - 2} - 3 x$	=	\|⋅( $2 (x - 2)$ )
$\frac{x}{2 (x - 2)} \cdot (2 (x - 2)) + \frac{74}{x - 2} \cdot (2 (x - 2)) - 3 x \cdot (2 (x - 2))$	=
$x + 148 - 6 x (x - 2)$	=
$x + 148 + (- 6 x^{2} + 12 x)$	=
$- 6 x^{2} + 13 x + 148$	=

$- 6 x^{2} + 13 x + 148$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot (- 6) \cdot 148}}{2 \cdot (- 6)}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 3 552}}{- 12}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{3 721}}{- 12}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{3 721}}{- 12}$ = $\frac{- 13+61}{- 12}$ = $\frac{48}{- 12}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{3 721}}{- 12}$ = $\frac{- 13-61}{- 12}$ = $\frac{- 74}{- 12}$ = $\frac{37}{6}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 6$ " teilen:

$- 6 x^{2} + 13 x + 148$ = 0 |: $- 6$

$x^{2} - \frac{13}{6} x - \frac{74}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{12})}^{2} - (- \frac{74}{3})$ = $\frac{169}{144}$ $+$ $\frac{74}{3}$ = $\frac{169}{144}$ $+$ $\frac{3552}{144}$ = $\frac{3721}{144}$

x_1,2 = $\frac{13}{12}$ ± $\sqrt{\frac{3721}{144}}$

x₁ = $\frac{13}{12}$ - $\frac{61}{12}$ = $- \frac{48}{12}$ = -4

x₂ = $\frac{13}{12}$ + $\frac{61}{12}$ = $\frac{74}{12}$ = 6.1666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $\frac{37}{6}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{100}{x^{4}}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{100}{x^{4}}$	=	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} - \frac{100}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=
$x^{2} - 100$	=

$x^{2} - 100$	=	0	\| $+ 100$
$x^{2}$	=	$100$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{100}$	= $- 10$
x₂	=	$\sqrt{100}$	= $10$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $10$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x - \frac{12}{x}$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x - \frac{12}{x}$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x - \frac{12}{x}$	=	$- a$	\|⋅x
$x \cdot x - \frac{12}{x} \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$x^{2} - 12$	=	$- a x$
$x^{2} - 12 + a x$	=	0
$x^{2} + a x - 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 6)$ = -12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 6)$ = $4$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 4 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 4 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 2$ - $4$ = -6

x₂ = $- 2$ + $4$ = 2

L={ $- 6$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):