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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{8 x}{x + 1}$ = $- 2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 1$

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{8 x}{x + 1}$	=	$- 2 x$	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{8 x}{x + 1} \cdot (x + 1)$	=	$- 2 x \cdot (x + 1)$
$8 x$	=	$- 2 x \cdot (x + 1)$
$8 x$	=	$- 2 x^{2} - 2 x$

$8 x$	=	$- 2 x^{2} - 2 x$	\| $- (- 2 x^{2} - 2 x)$
$2 x^{2} + 8 x + 2 x$	=	0
$2 x^{2} + 10 x$	=	0
$2 x \cdot (x + 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₂	=	$- 5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; 0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{9 x - 24}{2 x}$ = $x - 5$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{9 x - 24}{2 x}$	=	$x - 5$	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{9 x - 24}{2 x} \cdot 2 x$	=	$x \cdot 2 x - 5 \cdot 2 x$
$9 x - 24$	=	$2 x \cdot x - 10 x$

9 x - 24

=

2 x^{2} - 10 x

|

- 2 x^{2}

+ 10 x

$- 2 x^{2} + 19 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 24)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 192}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{169}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 19 + \sqrt{169}}{- 4}$ = $\frac{- 19+13}{- 4}$ = $\frac{- 6}{- 4}$ = $1,5$

x₂ = $\frac{- 19 - \sqrt{169}}{- 4}$ = $\frac{- 19-13}{- 4}$ = $\frac{- 32}{- 4}$ = $8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 19 x - 24$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{19}{2} x + 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{19}{4})}^{2} - 12$ = $\frac{361}{16}$ $-$ $12$ = $\frac{361}{16}$ $-$ $\frac{192}{16}$ = $\frac{169}{16}$

x_1,2 = $\frac{19}{4}$ ± $\sqrt{\frac{169}{16}}$

x₁ = $\frac{19}{4}$ - $\frac{13}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = 1.5

x₂ = $\frac{19}{4}$ + $\frac{13}{4}$ = $\frac{32}{4}$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1,5$ ; $8$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$3 x$ = $- \frac{- 55}{x - 2} + 2$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $2$

D=R\{ $2$ }

3 x

=

\frac{55}{x - 2} + 2

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$3 x$	=	$\frac{55}{x - 2} + 2$	\|⋅( $x - 2$ )
$3 x \cdot (x - 2)$	=	$\frac{55}{x - 2} \cdot (x - 2) + 2 \cdot (x - 2)$
$3 x \cdot (x - 2)$	=	$55 + 2 x - 4$
$3 x \cdot x + 3 x \cdot (- 2)$	=	$55 + 2 x - 4$
$3 x \cdot x - 6 x$	=	$55 + 2 x - 4$
$3 x^{2} - 6 x$	=	$2 x + 51$

3 x^{2} - 6 x

=

2 x + 51

|

- 2 x

- 51

$3 x^{2} - 8 x - 51$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 51)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 + 612}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{676}}{6}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{676}}{6}$ = $\frac{8+26}{6}$ = $\frac{34}{6}$ = $\frac{17}{3}$ ≈ 5.67

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{676}}{6}$ = $\frac{8-26}{6}$ = $\frac{- 18}{6}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 8 x - 51$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{8}{3} x - 17$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{4}{3})}^{2} - (- 17)$ = $\frac{16}{9}$ $+$ $17$ = $\frac{16}{9}$ $+$ $\frac{153}{9}$ = $\frac{169}{9}$

x_1,2 = $\frac{4}{3}$ ± $\sqrt{\frac{169}{9}}$

x₁ = $\frac{4}{3}$ - $\frac{13}{3}$ = $- \frac{9}{3}$ = -3

x₂ = $\frac{4}{3}$ + $\frac{13}{3}$ = $\frac{17}{3}$ = 5.6666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $\frac{17}{3}$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 19,5}{x + 3} + x$ = $- \frac{x}{2 x + 6}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

$- \frac{19,5}{x + 3} + x$	=	$\frac{- x}{2 x + 6}$
$- \frac{19,5}{x + 3} + x$	=	$\frac{- x}{2 (x + 3)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 3)$ weg!

$- \frac{19,5}{x + 3} + x$	=	$\frac{- x}{2 (x + 3)}$	\|⋅( $2 (x + 3)$ )
$\frac{- 19,5}{x + 3} \cdot (2 (x + 3)) + x \cdot (2 (x + 3))$	=	$\frac{- x}{2 (x + 3)} \cdot (2 (x + 3))$
$- 39 + 2 x \cdot (x + 3)$	=	$- x$
$- 39 + (2 x^{2} + 6 x)$	=	$- x$
$2 x^{2} + 6 x - 39$	=	$- x$

2 x^{2} + 6 x - 39

=

- x

|

+ x

$2 x^{2} + 7 x - 39$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 39)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 312}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{361}}{4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{361}}{4}$ = $\frac{- 7+19}{4}$ = $\frac{12}{4}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{361}}{4}$ = $\frac{- 7-19}{4}$ = $\frac{- 26}{4}$ = $- 6,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 7 x - 39$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{7}{2} x - \frac{39}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{4})}^{2} - (- \frac{39}{2})$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $\frac{39}{2}$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $\frac{312}{16}$ = $\frac{361}{16}$

x_1,2 = $- \frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{361}{16}}$

x₁ = $- \frac{7}{4}$ - $\frac{19}{4}$ = $- \frac{26}{4}$ = -6.5

x₂ = $- \frac{7}{4}$ + $\frac{19}{4}$ = $\frac{12}{4}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6,5$ ; $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{2}{x}$ = $- 1 + \frac{35}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$- \frac{2}{x}$	=	$- 1 + \frac{35}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$- \frac{2}{x} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2} + \frac{35}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$- 2 x$	=	$- x^{2} + 35$

- 2 x

=

- x^{2} + 35

|

+ x^{2}

- 35

$x^{2} - 2 x - 35$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 35)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 140}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{2+12}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{2-12}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 35)$ = $1$ $+$ $35$ = $36$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $1$ - $6$ = -5

x₂ = $1$ + $6$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $7$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + x$ = $\frac{15}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + x$ = $\frac{15}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + x$	=	$\frac{15}{x}$	\|⋅x
$a \cdot x + x \cdot x$	=	$\frac{15}{x} \cdot x$
$a x + x^{2}$	=	$15$
$a x + x^{2} - 15$	=	0
$x^{2} + a x - 15$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 15$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -15 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -5 würde es funktionieren, denn $3 \cdot (- 5)$ = -15

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (3 - 5)$ = $2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

L={ $- 5$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):