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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

- 10 x -3 = -x

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 3

D=R\{ 3 }

Wir multiplizieren den Nenner x -3 weg!

- 10 x -3 = -x |⋅( x -3 )
- 10 x -3 · ( x -3 ) = -x · ( x -3 )
-10 = - x ( x -3 )
-10 = - x 2 +3x
-10 = - x 2 +3x | + x 2 -3x

x 2 -3x -10 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +3 ± ( -3 ) 2 -4 · 1 · ( -10 ) 21

x1,2 = +3 ± 9 +40 2

x1,2 = +3 ± 49 2

x1 = 3 + 49 2 = 3 +7 2 = 10 2 = 5

x2 = 3 - 49 2 = 3 -7 2 = -4 2 = -2

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 3 2 ) 2 - ( -10 ) = 9 4 + 10 = 9 4 + 40 4 = 49 4

x1,2 = 3 2 ± 49 4

x1 = 3 2 - 7 2 = - 4 2 = -2

x2 = 3 2 + 7 2 = 10 2 = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -2 ; 5 }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

-9x +2 x -3 = 2x

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 3

D=R\{ 3 }

Wir multiplizieren den Nenner x -3 weg!

-9x +2 x -3 = 2x |⋅( x -3 )
-9x +2 x -3 · ( x -3 ) = 2x · ( x -3 )
-9x +2 = 2 x ( x -3 )
-9x +2 = 2 x 2 -6x
-9x +2 = 2 x 2 -6x | -2 x 2 +6x

-2 x 2 -3x +2 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +3 ± ( -3 ) 2 -4 · ( -2 ) · 2 2( -2 )

x1,2 = +3 ± 9 +16 -4

x1,2 = +3 ± 25 -4

x1 = 3 + 25 -4 = 3 +5 -4 = 8 -4 = -2

x2 = 3 - 25 -4 = 3 -5 -4 = -2 -4 = 0,5

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "-2 " teilen:

-2 x 2 -3x +2 = 0 |: -2

x 2 + 3 2 x -1 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 3 4 ) 2 - ( -1 ) = 9 16 + 1 = 9 16 + 16 16 = 25 16

x1,2 = - 3 4 ± 25 16

x1 = - 3 4 - 5 4 = - 8 4 = -2

x2 = - 3 4 + 5 4 = 2 4 = 0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -2 ; 0,5 }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

-15x 2x +5 + x -4 = 0

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: - 5 2

D=R\{ - 5 2 }

- 15x 2x +5 + x -4 = 0

Wir multiplizieren den Nenner 2x +5 weg!

- 15x 2x +5 + x -4 = 0 |⋅( 2x +5 )
- 15x 2x +5 · ( 2x +5 ) + x · ( 2x +5 ) -4 · ( 2x +5 ) = 0
-15x + x ( 2x +5 ) -8x -20 = 0
-15x + ( 2 x 2 +5x ) -8x -20 = 0
2 x 2 -18x -20 = 0
2 x 2 -18x -20 = 0 |:2

x 2 -9x -10 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +9 ± ( -9 ) 2 -4 · 1 · ( -10 ) 21

x1,2 = +9 ± 81 +40 2

x1,2 = +9 ± 121 2

x1 = 9 + 121 2 = 9 +11 2 = 20 2 = 10

x2 = 9 - 121 2 = 9 -11 2 = -2 2 = -1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 9 2 ) 2 - ( -10 ) = 81 4 + 10 = 81 4 + 40 4 = 121 4

x1,2 = 9 2 ± 121 4

x1 = 9 2 - 11 2 = - 2 2 = -1

x2 = 9 2 + 11 2 = 20 2 = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -1 ; 10 }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = - x 5x +20 - 0,8 x +4 -4x

Lösung einblenden

D=R\{ -4 }

0 = - x 5x +20 - 0,8 x +4 -4x
0 = - x 5( x +4 ) - 0,8 x +4 -4x |(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner 5( x +4 ) weg!

0 = - x 5( x +4 ) - 0,8 x +4 -4x |⋅( 5( x +4 ) )
0 = - x 5( x +4 ) · ( 5( x +4 ) ) + -0,8 x +4 · ( 5( x +4 ) ) -4x · ( 5( x +4 ) )
0 = -x -4 -20 x ( x +4 )
0 = -20 x 2 -81x -4
0 = -20 x 2 -81x -4 | +20 x 2 +81x +4

20 x 2 +81x +4 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -81 ± 81 2 -4 · 20 · 4 220

x1,2 = -81 ± 6561 -320 40

x1,2 = -81 ± 6241 40

x1 = -81 + 6241 40 = -81 +79 40 = -2 40 = -0,05

x2 = -81 - 6241 40 = -81 -79 40 = -160 40 = -4

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "20 " teilen:

20 x 2 +81x +4 = 0 |: 20

x 2 + 81 20 x + 1 5 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 81 40 ) 2 - ( 1 5 ) = 6561 1600 - 1 5 = 6561 1600 - 320 1600 = 6241 1600

x1,2 = - 81 40 ± 6241 1600

x1 = - 81 40 - 79 40 = - 160 40 = -4

x2 = - 81 40 + 79 40 = - 2 40 = -0.05

Lösung x= -4 ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ -0,05 }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = - 1 x - 1 x 2 + 72 x 3

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner x 3 weg!

0 = - 1 x - 1 x 2 + 72 x 3 |⋅( x 3 )
0 = - 1 x · x 3 - 1 x 2 · x 3 + 72 x 3 · x 3
0 = - x 2 - x +72
0 = - x 2 - x +72 | + x 2 + x -72

x 2 + x -72 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -1 ± 1 2 -4 · 1 · ( -72 ) 21

x1,2 = -1 ± 1 +288 2

x1,2 = -1 ± 289 2

x1 = -1 + 289 2 = -1 +17 2 = 16 2 = 8

x2 = -1 - 289 2 = -1 -17 2 = -18 2 = -9

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 1 2 ) 2 - ( -72 ) = 1 4 + 72 = 1 4 + 288 4 = 289 4

x1,2 = - 1 2 ± 289 4

x1 = - 1 2 - 17 2 = - 18 2 = -9

x2 = - 1 2 + 17 2 = 16 2 = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -9 ; 8 }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

x + 8 x = - a

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

x + 8 x = - a

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

x + 8 x = - a |⋅x
x · x + 8 x · x = - a · x
x 2 +8 = - a x
x 2 +8 + a x = 0
x 2 + a x +8 = 0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

x 2 + a x +8 = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 8 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 4 würde es funktionieren, denn 2 · 4 = 8

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = -( 2 +4 ) = -6

Zur Probe können wir ja noch mit a = -6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

x 2 -6x +8 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +6 ± ( -6 ) 2 -4 · 1 · 8 21

x1,2 = +6 ± 36 -32 2

x1,2 = +6 ± 4 2

x1 = 6 + 4 2 = 6 +2 2 = 8 2 = 4

x2 = 6 - 4 2 = 6 -2 2 = 4 2 = 2

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -3 ) 2 - 8 = 9 - 8 = 1

x1,2 = 3 ± 1

x1 = 3 - 1 = 2

x2 = 3 + 1 = 4

L={ 2 ; 4 }