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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{3}{x - 2}$ = $x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $2$

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{3}{x - 2}$	=	$x$	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{3}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=	$x \cdot (x - 2)$
$3$	=	$x \cdot (x - 2)$
$3$	=	$x^{2} - 2 x$

3

=

x^{2} - 2 x

|

- x^{2}

+ 2 x

$- x^{2} + 2 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 3}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 2+4}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 2-4}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 2 x + 3$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 11 x + 8}{x + 5}$ = $4 x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 5$

D=R\{ $- 5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

$\frac{- 11 x + 8}{x + 5}$	=	$4 x$	\|⋅( $x + 5$ )
$\frac{- 11 x + 8}{x + 5} \cdot (x + 5)$	=	$4 x \cdot (x + 5)$
$- 11 x + 8$	=	$4 x \cdot (x + 5)$
$- 11 x + 8$	=	$4 x^{2} + 20 x$

- 11 x + 8

=

4 x^{2} + 20 x

|

- 4 x^{2}

- 20 x

$- 4 x^{2} - 31 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{{(- 31)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 8}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{961 + 128}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{1 089}}{- 8}$

x₁ = $\frac{31 + \sqrt{1 089}}{- 8}$ = $\frac{31+33}{- 8}$ = $\frac{64}{- 8}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{31 - \sqrt{1 089}}{- 8}$ = $\frac{31-33}{- 8}$ = $\frac{- 2}{- 8}$ = $0,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 31 x + 8$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{31}{4} x - 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{31}{8})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{961}{64}$ $+$ $2$ = $\frac{961}{64}$ $+$ $\frac{128}{64}$ = $\frac{1089}{64}$

x_1,2 = $- \frac{31}{8}$ ± $\sqrt{\frac{1089}{64}}$

x₁ = $- \frac{31}{8}$ - $\frac{33}{8}$ = $- \frac{64}{8}$ = -8

x₂ = $- \frac{31}{8}$ + $\frac{33}{8}$ = $\frac{2}{8}$ = 0.25

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $0,25$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

0 = $- \frac{16}{x - 5} - 2 x - 2$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $5$

D=R\{ $5$ }

0

=

- \frac{16}{x - 5} - 2 x - 2

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

=	$- \frac{16}{x - 5} - 2 x - 2$	\|⋅( $x - 5$ )
=	$- \frac{16}{x - 5} \cdot (x - 5) - 2 x \cdot (x - 5) - 2 \cdot (x - 5)$
=	$- 16 - 2 x \cdot (x - 5) - 2 x + 10$
=	$- 2 x^{2} + 8 x - 6$

0

=

- 2 x^{2} + 8 x - 6

|

+ 2 x^{2}

- 8 x

+ 6

2 x^{2} - 8 x + 6

= 0 |:2

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4+2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4-2}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $2$ - $1$ = 1

x₂ = $2$ + $1$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $3$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x$ = $- \frac{x}{4 x + 4} - \frac{- 8,25}{x + 1}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

$4 x$	=	$- \frac{x}{4 x + 4} + \frac{8,25}{x + 1}$
$4 x$	=	$- \frac{x}{4 (x + 1)} + \frac{8,25}{x + 1}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 1)$ weg!

$4 x$	=	$- \frac{x}{4 (x + 1)} + \frac{8,25}{x + 1}$	\|⋅( $4 (x + 1)$ )
$4 x \cdot (4 (x + 1))$	=	$- \frac{x}{4 (x + 1)} \cdot (4 (x + 1)) + \frac{8,25}{x + 1} \cdot (4 (x + 1))$
$16 x \cdot (x + 1)$	=	$- x + 33$
$16 x \cdot x + 16 x \cdot 1$	=	$- x + 33$
$16 x \cdot x + 16 x$	=	$- x + 33$
$16 x^{2} + 16 x$	=	$- x + 33$

16 x^{2} + 16 x

=

- x + 33

|

+ x

- 33

$16 x^{2} + 17 x - 33$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 16 \cdot (- 33)}}{2 \cdot 16}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 + 2 112}}{32}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{2 401}}{32}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{2 401}}{32}$ = $\frac{- 17+49}{32}$ = $\frac{32}{32}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{2 401}}{32}$ = $\frac{- 17-49}{32}$ = $\frac{- 66}{32}$ = $- \frac{33}{16}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $16$ " teilen:

$16 x^{2} + 17 x - 33$ = 0 |: $16$

$x^{2} + \frac{17}{16} x - \frac{33}{16}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{32})}^{2} - (- \frac{33}{16})$ = $\frac{289}{1024}$ $+$ $\frac{33}{16}$ = $\frac{289}{1024}$ $+$ $\frac{2112}{1024}$ = $\frac{2401}{1024}$

x_1,2 = $- \frac{17}{32}$ ± $\sqrt{\frac{2401}{1024}}$

x₁ = $- \frac{17}{32}$ - $\frac{49}{32}$ = $- \frac{66}{32}$ = -2.0625

x₂ = $- \frac{17}{32}$ + $\frac{49}{32}$ = $\frac{32}{32}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{33}{16}$ ; $1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{7}{x^{4}}$ = $- \frac{8}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{7}{x^{4}}$	=	$- \frac{8}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} + \frac{7}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{8}{x^{3}} \cdot x^{4}$
$x^{2} + 7$	=	$- 8 x$

x^{2} + 7

=

- 8 x

|

+ 8 x

$x^{2} + 8 x + 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 8+6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 8-6}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 7$ = $16$ $-$ $7$ = $9$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 4$ - $3$ = -7

x₂ = $- 4$ + $3$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $- 1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- \frac{20}{x} + a$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- \frac{20}{x} + a$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- \frac{20}{x} + a$	=	$- x$	\|⋅x
$- \frac{20}{x} \cdot x + a \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 20 + a x$	=	$- x^{2}$
$- 20 + a x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x - 20$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 20$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -20 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -10 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 10)$ = -20

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 10)$ = $8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 8 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8+12}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8-12}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - (- 20)$ = $16$ $+$ $20$ = $36$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 4$ - $6$ = -10

x₂ = $- 4$ + $6$ = 2

L={ $- 10$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):