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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{32}{x}$ = $2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{32}{x}$	=	$2 x$	\|⋅( $x$ )
$\frac{32}{x} \cdot x$	=	$2 x \cdot x$
$32$	=	$2 x \cdot x$
$32$	=	$2 x^{2}$

$32$	=	$2 x^{2}$	\| $- 32$ $- 2 x^{2}$
$- 2 x^{2}$	=	$- 32$	\|: $(- 2)$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x - 5$ = $\frac{3 x - 15}{4 x}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$x - 5$	=	$\frac{3 x - 15}{4 x}$	\|⋅( $4 x$ )
$x \cdot 4 x - 5 \cdot 4 x$	=	$\frac{3 x - 15}{4 x} \cdot 4 x$
$4 x \cdot x - 20 x$	=	$3 x - 15$
$4 x^{2} - 20 x$	=	$3 x - 15$

4 x^{2} - 20 x

=

3 x - 15

|

- 3 x

+ 15

$4 x^{2} - 23 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{{(- 23)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 15}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{529 - 240}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{289}}{8}$

x₁ = $\frac{23 + \sqrt{289}}{8}$ = $\frac{23+17}{8}$ = $\frac{40}{8}$ = $5$

x₂ = $\frac{23 - \sqrt{289}}{8}$ = $\frac{23-17}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = $0,75$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 23 x + 15$ = 0 |: $4$

$x^{2} - \frac{23}{4} x + \frac{15}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{23}{8})}^{2} - (\frac{15}{4})$ = $\frac{529}{64}$ $-$ $\frac{15}{4}$ = $\frac{529}{64}$ $-$ $\frac{240}{64}$ = $\frac{289}{64}$

x_1,2 = $\frac{23}{8}$ ± $\sqrt{\frac{289}{64}}$

x₁ = $\frac{23}{8}$ - $\frac{17}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = 0.75

x₂ = $\frac{23}{8}$ + $\frac{17}{8}$ = $\frac{40}{8}$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,75$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

0 = $- \frac{- 32 x}{x + 4} - 3 x - 4$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 4$

D=R\{ $- 4$ }

0

=

\frac{32 x}{x + 4} - 3 x - 4

Wir multiplizieren den Nenner $x + 4$ weg!

=	$\frac{32 x}{x + 4} - 3 x - 4$	\|⋅( $x + 4$ )
=	$\frac{32 x}{x + 4} \cdot (x + 4) - 3 x \cdot (x + 4) - 4 \cdot (x + 4)$
=	$32 x - 3 x \cdot (x + 4) - 4 x - 16$
=	$- 3 x^{2} + 16 x - 16$

0

=

- 3 x^{2} + 16 x - 16

|

+ 3 x^{2}

- 16 x

+ 16

$3 x^{2} - 16 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 16}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 - 192}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{64}}{6}$

x₁ = $\frac{16 + \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{16+8}{6}$ = $\frac{24}{6}$ = $4$

x₂ = $\frac{16 - \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{16-8}{6}$ = $\frac{8}{6}$ = $\frac{4}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 16 x + 16$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{16}{3} x + \frac{16}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{8}{3})}^{2} - (\frac{16}{3})$ = $\frac{64}{9}$ $-$ $\frac{16}{3}$ = $\frac{64}{9}$ $-$ $\frac{48}{9}$ = $\frac{16}{9}$

x_1,2 = $\frac{8}{3}$ ± $\sqrt{\frac{16}{9}}$

x₁ = $\frac{8}{3}$ - $\frac{4}{3}$ = $\frac{4}{3}$ = 1.3333333333333

x₂ = $\frac{8}{3}$ + $\frac{4}{3}$ = $\frac{12}{3}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{4}{3}$ ; $4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{4 x - 16}$ = $- \frac{- 6,25}{x - 4} + 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

$\frac{x}{4 x - 16}$	=	$\frac{6,25}{x - 4} + 2 x$
$\frac{x}{4 (x - 4)}$	=	$\frac{6,25}{x - 4} + 2 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x - 4)$ weg!

$\frac{x}{4 (x - 4)}$	=	$\frac{6,25}{x - 4} + 2 x$	\|⋅( $4 (x - 4)$ )
$\frac{x}{4 (x - 4)} \cdot (4 (x - 4))$	=	$\frac{6,25}{x - 4} \cdot (4 (x - 4)) + 2 x \cdot (4 (x - 4))$
$x$	=	$25 + 8 x \cdot (x - 4)$
$x$	=	$8 x^{2} - 32 x + 25$

x

=

8 x^{2} - 32 x + 25

|

- 8 x^{2}

+ 32 x

- 25

$- 8 x^{2} + 33 x - 25$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 33 \pm \sqrt{33^{2} - 4 \cdot (- 8) \cdot (- 25)}}{2 \cdot (- 8)}$

x_1,2 = $\frac{- 33 \pm \sqrt{1 089 - 800}}{- 16}$

x_1,2 = $\frac{- 33 \pm \sqrt{289}}{- 16}$

x₁ = $\frac{- 33 + \sqrt{289}}{- 16}$ = $\frac{- 33+17}{- 16}$ = $\frac{- 16}{- 16}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 33 - \sqrt{289}}{- 16}$ = $\frac{- 33-17}{- 16}$ = $\frac{- 50}{- 16}$ = $3,125$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 8$ " teilen:

$- 8 x^{2} + 33 x - 25$ = 0 |: $- 8$

$x^{2} - \frac{33}{8} x + \frac{25}{8}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{33}{16})}^{2} - (\frac{25}{8})$ = $\frac{1089}{256}$ $-$ $\frac{25}{8}$ = $\frac{1089}{256}$ $-$ $\frac{800}{256}$ = $\frac{289}{256}$

x_1,2 = $\frac{33}{16}$ ± $\sqrt{\frac{289}{256}}$

x₁ = $\frac{33}{16}$ - $\frac{17}{16}$ = $\frac{16}{16}$ = 1

x₂ = $\frac{33}{16}$ + $\frac{17}{16}$ = $\frac{50}{16}$ = 3.125

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $3,125$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x}$ = $\frac{- 13 x + 42}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$- \frac{1}{x}$	=	$\frac{- 13 x + 42}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$	=	$\frac{- 13 x + 42}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$- x^{2}$	=	$- 13 x + 42$

- x^{2}

=

- 13 x + 42

|

+ 13 x

- 42

$- x^{2} + 13 x - 42$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 42)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 168}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 13+1}{- 2}$ = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 13-1}{- 2}$ = $\frac{- 14}{- 2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 13 x - 42$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 13 x + 42$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{2})}^{2} - 42$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $42$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{168}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{13}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

x₂ = $\frac{13}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $6$ ; $7$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + 8$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + 8$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + 8$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + 8 \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$x^{2} + 8 x$	=	$- a$
$x^{2} + 8 x + a$	=	0
$x^{2} + 8 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 8 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 8 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -10 würde es funktionieren, denn $- (2 - 10)$ = 8

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 10)$ = $- 20$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -20 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 8 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8+12}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8-12}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - (- 20)$ = $16$ $+$ $20$ = $36$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 4$ - $6$ = -10

x₂ = $- 4$ + $6$ = 2

L={ $- 10$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):