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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{9}{x - 2}$ = $- 3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $2$

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$- \frac{9}{x - 2}$	=	$- 3 x$	\|⋅( $x - 2$ )
$- \frac{9}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=	$- 3 x \cdot (x - 2)$
$- 9$	=	$- 3 x \cdot (x - 2)$
$- 9$	=	$- 3 x^{2} + 6 x$

- 9

=

- 3 x^{2} + 6 x

|

+ 3 x^{2}

- 6 x

3 x^{2} - 6 x - 9

= 0 |:3

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{5 x + 7}{3 x}$ = $x - 5$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{5 x + 7}{3 x}$	=	$x - 5$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{5 x + 7}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x - 5 \cdot 3 x$
$5 x + 7$	=	$3 x \cdot x - 15 x$

5 x + 7

=

3 x^{2} - 15 x

|

- 3 x^{2}

+ 15 x

$- 3 x^{2} + 20 x + 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{20^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 7}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{400 + 84}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{484}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 20 + \sqrt{484}}{- 6}$ = $\frac{- 20+22}{- 6}$ = $\frac{2}{- 6}$ = $- \frac{1}{3}$ ≈ -0.33

x₂ = $\frac{- 20 - \sqrt{484}}{- 6}$ = $\frac{- 20-22}{- 6}$ = $\frac{- 42}{- 6}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + 20 x + 7$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{20}{3} x - \frac{7}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{10}{3})}^{2} - (- \frac{7}{3})$ = $\frac{100}{9}$ $+$ $\frac{7}{3}$ = $\frac{100}{9}$ $+$ $\frac{21}{9}$ = $\frac{121}{9}$

x_1,2 = $\frac{10}{3}$ ± $\sqrt{\frac{121}{9}}$

x₁ = $\frac{10}{3}$ - $\frac{11}{3}$ = $- \frac{1}{3}$ = -0.33333333333333

x₂ = $\frac{10}{3}$ + $\frac{11}{3}$ = $\frac{21}{3}$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{1}{3}$ ; $7$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 6 x}{2 x + 5}$ = $- x + 1$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- \frac{5}{2}$

D=R\{ $- \frac{5}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 5$ weg!

$\frac{- 6 x}{2 x + 5}$	=	$- x + 1$	\|⋅( $2 x + 5$ )
$\frac{- 6 x}{2 x + 5} \cdot (2 x + 5)$	=	$- x \cdot (2 x + 5) + 1 \cdot (2 x + 5)$
$- \frac{6 x}{1}$	=	$- x \cdot (2 x + 5) + 2 x + 5$
$- 6 x$	=	$- x \cdot (2 x + 5) + 2 x + 5$
$- 6 x$	=	$- 2 x^{2} - 3 x + 5$

- 6 x

=

- 2 x^{2} - 3 x + 5

|

+ 2 x^{2}

+ 3 x

- 5

$2 x^{2} - 3 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{49}}{4}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{3+7}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = $2,5$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{3-7}{4}$ = $\frac{- 4}{4}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 3 x - 5$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{3}{2} x - \frac{5}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{4})}^{2} - (- \frac{5}{2})$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $\frac{5}{2}$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $\frac{40}{16}$ = $\frac{49}{16}$

x_1,2 = $\frac{3}{4}$ ± $\sqrt{\frac{49}{16}}$

x₁ = $\frac{3}{4}$ - $\frac{7}{4}$ = $- \frac{4}{4}$ = -1

x₂ = $\frac{3}{4}$ + $\frac{7}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = 2.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $2,5$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x + 6} + \frac{- 8,5}{x + 3}$ = $- 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

$\frac{x}{2 x + 6} - \frac{8,5}{x + 3}$	=	$- 2 x$
$\frac{x}{2 (x + 3)} - \frac{8,5}{x + 3}$	=	$- 2 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 3)$ weg!

$\frac{x}{2 (x + 3)} - \frac{8,5}{x + 3}$	=	$- 2 x$	\|⋅( $2 (x + 3)$ )
$\frac{x}{2 (x + 3)} \cdot (2 (x + 3)) + \frac{- 8,5}{x + 3} \cdot (2 (x + 3))$	=	$- 2 x \cdot (2 (x + 3))$
$x - 17$	=	$- 4 x \cdot (x + 3)$
$x - 17$	=	$- 4 x^{2} - 12 x$

x - 17

=

- 4 x^{2} - 12 x

|

+ 4 x^{2}

+ 12 x

$4 x^{2} + 13 x - 17$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 17)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 272}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{441}}{8}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{441}}{8}$ = $\frac{- 13+21}{8}$ = $\frac{8}{8}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{441}}{8}$ = $\frac{- 13-21}{8}$ = $\frac{- 34}{8}$ = $- 4,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 13 x - 17$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{13}{4} x - \frac{17}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{8})}^{2} - (- \frac{17}{4})$ = $\frac{169}{64}$ $+$ $\frac{17}{4}$ = $\frac{169}{64}$ $+$ $\frac{272}{64}$ = $\frac{441}{64}$

x_1,2 = $- \frac{13}{8}$ ± $\sqrt{\frac{441}{64}}$

x₁ = $- \frac{13}{8}$ - $\frac{21}{8}$ = $- \frac{34}{8}$ = -4.25

x₂ = $- \frac{13}{8}$ + $\frac{21}{8}$ = $\frac{8}{8}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4,25$ ; $1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 - \frac{2}{x}$ = $\frac{80}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{2}{x}$	=	$\frac{80}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{2}{x} \cdot x^{2}$	=	$\frac{80}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2} - 2 x$	=	$80$

x^{2} - 2 x

=

80

|

- 80

$x^{2} - 2 x - 80$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 80)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 320}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{324}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{324}}{2}$ = $\frac{2+18}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{324}}{2}$ = $\frac{2-18}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 80)$ = $1$ $+$ $80$ = $81$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{81}$

x₁ = $1$ - $9$ = -8

x₂ = $1$ + $9$ = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $10$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{a}{x}$ = $- 1$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{a}{x}$ = $- 1$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{a}{x}$	=	$- 1$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- 1 \cdot x$
$x^{2} + a$	=	$- x$
$x^{2} + a + x$	=	0
$x^{2} + x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 1 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -3 würde es funktionieren, denn $- (2 - 3)$ = 1

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 3)$ = $- 6$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 3$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):