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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{25}{x}$ = $- x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{25}{x}$	=	$- x$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{25}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 25$	=	$- x \cdot x$
$- 25$	=	$- x^{2}$

$- 25$	=	$- x^{2}$	\| $+ 25$ $+ x^{2}$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x + 2$ = $\frac{27 x + 5}{4 x}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$x + 2$	=	$\frac{27 x + 5}{4 x}$	\|⋅( $4 x$ )
$x \cdot 4 x + 2 \cdot 4 x$	=	$\frac{27 x + 5}{4 x} \cdot 4 x$
$4 x \cdot x + 8 x$	=	$27 x + 5$
$4 x^{2} + 8 x$	=	$27 x + 5$

4 x^{2} + 8 x

=

27 x + 5

|

- 27 x

- 5

$4 x^{2} - 19 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 + 80}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{441}}{8}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{441}}{8}$ = $\frac{19+21}{8}$ = $\frac{40}{8}$ = $5$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{441}}{8}$ = $\frac{19-21}{8}$ = $\frac{- 2}{8}$ = $- 0,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 19 x - 5$ = 0 |: $4$

$x^{2} - \frac{19}{4} x - \frac{5}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{19}{8})}^{2} - (- \frac{5}{4})$ = $\frac{361}{64}$ $+$ $\frac{5}{4}$ = $\frac{361}{64}$ $+$ $\frac{80}{64}$ = $\frac{441}{64}$

x_1,2 = $\frac{19}{8}$ ± $\sqrt{\frac{441}{64}}$

x₁ = $\frac{19}{8}$ - $\frac{21}{8}$ = $- \frac{2}{8}$ = -0.25

x₂ = $\frac{19}{8}$ + $\frac{21}{8}$ = $\frac{40}{8}$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,25$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- 3$ = $- \frac{4 x}{x + 3} - 2 x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 3$

D=R\{ $- 3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$- 3$	=	$- \frac{4 x}{x + 3} - 2 x$	\|⋅( $x + 3$ )
$- 3 \cdot (x + 3)$	=	$- \frac{4 x}{x + 3} \cdot (x + 3) - 2 x \cdot (x + 3)$
$- 3 (x + 3)$	=	$- 4 x - 2 x \cdot (x + 3)$
$- 3 x - 9$	=	$- 4 x - 2 x \cdot (x + 3)$
$- 3 x - 9$	=	$- 2 x^{2} - 10 x$

- 3 x - 9

=

- 2 x^{2} - 10 x

|

+ 2 x^{2}

+ 10 x

$2 x^{2} + 7 x - 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{- 7+11}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{- 7-11}{4}$ = $\frac{- 18}{4}$ = $- 4,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 7 x - 9$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{7}{2} x - \frac{9}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{4})}^{2} - (- \frac{9}{2})$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $\frac{9}{2}$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $\frac{72}{16}$ = $\frac{121}{16}$

x_1,2 = $- \frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{121}{16}}$

x₁ = $- \frac{7}{4}$ - $\frac{11}{4}$ = $- \frac{18}{4}$ = -4.5

x₂ = $- \frac{7}{4}$ + $\frac{11}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4,5$ ; $1$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{4 x - 4} + \frac{- 23,5}{x - 1} + 4 x$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

$\frac{x}{4 x - 4} - \frac{23,5}{x - 1} + 4 x$	=	0
$\frac{x}{4 (x - 1)} - \frac{23,5}{x - 1} + 4 x$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x - 1)$ weg!

$\frac{x}{4 (x - 1)} - \frac{23,5}{x - 1} + 4 x$	=	\|⋅( $4 (x - 1)$ )
$\frac{x}{4 (x - 1)} \cdot (4 (x - 1)) + \frac{- 23,5}{x - 1} \cdot (4 (x - 1)) + 4 x \cdot (4 (x - 1))$	=
$x - 94 + 16 x \cdot (x - 1)$	=
$x - 94 + (16 x^{2} - 16 x)$	=
$16 x^{2} - 15 x - 94$	=

$16 x^{2} - 15 x - 94$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot 16 \cdot (- 94)}}{2 \cdot 16}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 + 6 016}}{32}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{6 241}}{32}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{6 241}}{32}$ = $\frac{15+79}{32}$ = $\frac{94}{32}$ = $\frac{47}{16}$ ≈ 2.94

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{6 241}}{32}$ = $\frac{15-79}{32}$ = $\frac{- 64}{32}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $16$ " teilen:

$16 x^{2} - 15 x - 94$ = 0 |: $16$

$x^{2} - \frac{15}{16} x - \frac{47}{8}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{15}{32})}^{2} - (- \frac{47}{8})$ = $\frac{225}{1024}$ $+$ $\frac{47}{8}$ = $\frac{225}{1024}$ $+$ $\frac{6016}{1024}$ = $\frac{6241}{1024}$

x_1,2 = $\frac{15}{32}$ ± $\sqrt{\frac{6241}{1024}}$

x₁ = $\frac{15}{32}$ - $\frac{79}{32}$ = $- \frac{64}{32}$ = -2

x₂ = $\frac{15}{32}$ + $\frac{79}{32}$ = $\frac{94}{32}$ = 2.9375

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $\frac{47}{16}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- 1 + \frac{2}{x} + \frac{35}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

=	$- 1 + \frac{2}{x} + \frac{35}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
=	$- 1 \cdot x^{2} + \frac{2}{x} \cdot x^{2} + \frac{35}{x^{2}} \cdot x^{2}$
=	$- x^{2} + 2 x + 35$

0

=

- x^{2} + 2 x + 35

|

+ x^{2}

- 2 x

- 35

$x^{2} - 2 x - 35$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 35)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 140}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{2+12}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{2-12}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 35)$ = $1$ $+$ $35$ = $36$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $1$ - $6$ = -5

x₂ = $1$ + $6$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $7$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{a}{x}$ = $- 4$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{a}{x}$ = $- 4$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{a}{x}$	=	$- 4$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- 4 \cdot x$
$x^{2} + a$	=	$- 4 x$
$x^{2} + a + 4 x$	=	0
$x^{2} + 4 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 4 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 4 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -7 würde es funktionieren, denn $- (3 - 7)$ = 4

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $3 \cdot (- 7)$ = $- 21$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -21 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 4 x - 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 4+10}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 4-10}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 21)$ = $4$ $+$ $21$ = $25$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 2$ - $5$ = -7

x₂ = $- 2$ + $5$ = 3

L={ $- 7$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):