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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{3}{x}$ = $- 3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{3}{x}$	=	$- 3 x$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{3}{x} \cdot x$	=	$- 3 x \cdot x$
$- 3$	=	$- 3 x \cdot x$
$- 3$	=	$- 3 x^{2}$

$- 3$	=	$- 3 x^{2}$	\| $+ 3$ $+ 3 x^{2}$
$3 x^{2}$	=	$3$	\|: $3$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{17 x - 5}{4 x}$ = $x - 1$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{17 x - 5}{4 x}$	=	$x - 1$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{17 x - 5}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x - 1 \cdot 4 x$
$17 x - 5$	=	$4 x \cdot x - 4 x$

17 x - 5

=

4 x^{2} - 4 x

|

- 4 x^{2}

+ 4 x

$- 4 x^{2} + 21 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{21^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 5)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 80}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{361}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 21 + \sqrt{361}}{- 8}$ = $\frac{- 21+19}{- 8}$ = $\frac{- 2}{- 8}$ = $0,25$

x₂ = $\frac{- 21 - \sqrt{361}}{- 8}$ = $\frac{- 21-19}{- 8}$ = $\frac{- 40}{- 8}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 21 x - 5$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - \frac{21}{4} x + \frac{5}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{21}{8})}^{2} - (\frac{5}{4})$ = $\frac{441}{64}$ $-$ $\frac{5}{4}$ = $\frac{441}{64}$ $-$ $\frac{80}{64}$ = $\frac{361}{64}$

x_1,2 = $\frac{21}{8}$ ± $\sqrt{\frac{361}{64}}$

x₁ = $\frac{21}{8}$ - $\frac{19}{8}$ = $\frac{2}{8}$ = 0.25

x₂ = $\frac{21}{8}$ + $\frac{19}{8}$ = $\frac{40}{8}$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,25$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

0 = $- \frac{- 54}{x - 5} - x + 2$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $5$

D=R\{ $5$ }

0

=

\frac{54}{x - 5} - x + 2

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

=	$\frac{54}{x - 5} - x + 2$	\|⋅( $x - 5$ )
=	$\frac{54}{x - 5} \cdot (x - 5) - x \cdot (x - 5) + 2 \cdot (x - 5)$
=	$54 - x (x - 5) + 2 x - 10$
=	$- x^{2} + 7 x + 44$

0

=

- x^{2} + 7 x + 44

|

+ x^{2}

- 7 x

- 44

$x^{2} - 7 x - 44$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 44)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 176}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{225}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{7+15}{2}$ = $\frac{22}{2}$ = $11$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{7-15}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - (- 44)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $44$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{176}{4}$ = $\frac{225}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{225}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{15}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{15}{2}$ = $\frac{22}{2}$ = 11

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $11$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x - 4} + \frac{33}{x - 2}$ = $4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

$\frac{x}{2 x - 4} + \frac{33}{x - 2}$	=	$4 x$
$\frac{x}{2 (x - 2)} + \frac{33}{x - 2}$	=	$4 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 2)$ weg!

$\frac{x}{2 (x - 2)} + \frac{33}{x - 2}$	=	$4 x$	\|⋅( $2 (x - 2)$ )
$\frac{x}{2 (x - 2)} \cdot (2 (x - 2)) + \frac{33}{x - 2} \cdot (2 (x - 2))$	=	$4 x \cdot (2 (x - 2))$
$x + 66$	=	$8 x (x - 2)$
$x + 66$	=	$8 x^{2} - 16 x$

x + 66

=

8 x^{2} - 16 x

|

- 8 x^{2}

+ 16 x

$- 8 x^{2} + 17 x + 66$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot (- 8) \cdot 66}}{2 \cdot (- 8)}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 + 2 112}}{- 16}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{2 401}}{- 16}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{2 401}}{- 16}$ = $\frac{- 17+49}{- 16}$ = $\frac{32}{- 16}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{2 401}}{- 16}$ = $\frac{- 17-49}{- 16}$ = $\frac{- 66}{- 16}$ = $4,125$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 8$ " teilen:

$- 8 x^{2} + 17 x + 66$ = 0 |: $- 8$

$x^{2} - \frac{17}{8} x - \frac{33}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{16})}^{2} - (- \frac{33}{4})$ = $\frac{289}{256}$ $+$ $\frac{33}{4}$ = $\frac{289}{256}$ $+$ $\frac{2112}{256}$ = $\frac{2401}{256}$

x_1,2 = $\frac{17}{16}$ ± $\sqrt{\frac{2401}{256}}$

x₁ = $\frac{17}{16}$ - $\frac{49}{16}$ = $- \frac{32}{16}$ = -2

x₂ = $\frac{17}{16}$ + $\frac{49}{16}$ = $\frac{66}{16}$ = 4.125

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $4,125$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{15}{x}$ = $- 1 - \frac{54}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$- \frac{15}{x}$	=	$- 1 - \frac{54}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$- \frac{15}{x} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2} - \frac{54}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$- 15 x$	=	$- x^{2} - 54$

- 15 x

=

- x^{2} - 54

|

+ x^{2}

+ 54

$x^{2} - 15 x + 54$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 54}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 - 216}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{15+3}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{15-3}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{15}{2})}^{2} - 54$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $54$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $\frac{216}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{15}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{15}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

x₂ = $\frac{15}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $6$ ; $9$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- 1 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- 1 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- 1 + \frac{a}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$- 1 \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- x + a$	=	$- x^{2}$
$- x + a + x^{2}$	=	0
$x^{2} - x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -1 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -1 würde es funktionieren, denn $- (2 - 1)$ = -1

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 1)$ = $- 2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 1$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):