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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{27}{x}$ = $3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{27}{x}$	=	$3 x$	\|⋅( $x$ )
$\frac{27}{x} \cdot x$	=	$3 x \cdot x$
$27$	=	$3 x \cdot x$
$27$	=	$3 x^{2}$

$27$	=	$3 x^{2}$	\| $- 27$ $- 3 x^{2}$
$- 3 x^{2}$	=	$- 27$	\|: $(- 3)$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{21 x - 6}{x + 4}$ = $2 x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 4$

D=R\{ $- 4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 4$ weg!

$\frac{21 x - 6}{x + 4}$	=	$2 x$	\|⋅( $x + 4$ )
$\frac{21 x - 6}{x + 4} \cdot (x + 4)$	=	$2 x \cdot (x + 4)$
$21 x - 6$	=	$2 x \cdot (x + 4)$
$21 x - 6$	=	$2 x^{2} + 8 x$

21 x - 6

=

2 x^{2} + 8 x

|

- 2 x^{2}

- 8 x

$- 2 x^{2} + 13 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 48}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{121}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{121}}{- 4}$ = $\frac{- 13+11}{- 4}$ = $\frac{- 2}{- 4}$ = $0,5$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{121}}{- 4}$ = $\frac{- 13-11}{- 4}$ = $\frac{- 24}{- 4}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 13 x - 6$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{13}{2} x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{4})}^{2} - 3$ = $\frac{169}{16}$ $-$ $3$ = $\frac{169}{16}$ $-$ $\frac{48}{16}$ = $\frac{121}{16}$

x_1,2 = $\frac{13}{4}$ ± $\sqrt{\frac{121}{16}}$

x₁ = $\frac{13}{4}$ - $\frac{11}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

x₂ = $\frac{13}{4}$ + $\frac{11}{4}$ = $\frac{24}{4}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,5$ ; $6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 49}{x - 5} - 5$ = $- x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $5$

D=R\{ $5$ }

- \frac{49}{x - 5} - 5

=

- x

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

$- \frac{49}{x - 5} - 5$	=	$- x$	\|⋅( $x - 5$ )
$- \frac{49}{x - 5} \cdot (x - 5) - 5 \cdot (x - 5)$	=	$- x \cdot (x - 5)$
$- 49 - 5 x + 25$	=	$- x \cdot (x - 5)$
$- 5 x - 24$	=	$- x^{2} + 5 x$

- 5 x - 24

=

- x^{2} + 5 x

|

+ x^{2}

- 5 x

$x^{2} - 10 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{10+14}{2}$ = $\frac{24}{2}$ = $12$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{10-14}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - (- 24)$ = $25$ $+$ $24$ = $49$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{49}$

x₁ = $5$ - $7$ = -2

x₂ = $5$ + $7$ = 12

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $12$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 20}{3 x + 9}$ = $- \frac{x}{3 x + 9} - 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

- \frac{20}{3 (x + 3)}

=

- \frac{x}{3 (x + 3)} - 2 x

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 3)$ weg!

$- \frac{20}{3 (x + 3)}$	=	$- \frac{x}{3 (x + 3)} - 2 x$	\|⋅( $3 (x + 3)$ )
$- \frac{20}{3 (x + 3)} \cdot (3 (x + 3))$	=	$- \frac{x}{3 (x + 3)} \cdot (3 (x + 3)) - 2 x \cdot (3 (x + 3))$
$- 20$	=	$- x - 6 x \cdot (x + 3)$
$- 20$	=	$- 6 x^{2} - 19 x$

- 20

=

- 6 x^{2} - 19 x

|

+ 6 x^{2}

+ 19 x

$6 x^{2} + 19 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 6}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 480}}{12}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{841}}{12}$

x₁ = $\frac{- 19 + \sqrt{841}}{12}$ = $\frac{- 19+29}{12}$ = $\frac{10}{12}$ = $\frac{5}{6}$ ≈ 0.83

x₂ = $\frac{- 19 - \sqrt{841}}{12}$ = $\frac{- 19-29}{12}$ = $\frac{- 48}{12}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $6$ " teilen:

$6 x^{2} + 19 x - 20$ = 0 |: $6$

$x^{2} + \frac{19}{6} x - \frac{10}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{19}{12})}^{2} - (- \frac{10}{3})$ = $\frac{361}{144}$ $+$ $\frac{10}{3}$ = $\frac{361}{144}$ $+$ $\frac{480}{144}$ = $\frac{841}{144}$

x_1,2 = $- \frac{19}{12}$ ± $\sqrt{\frac{841}{144}}$

x₁ = $- \frac{19}{12}$ - $\frac{29}{12}$ = $- \frac{48}{12}$ = -4

x₂ = $- \frac{19}{12}$ + $\frac{29}{12}$ = $\frac{10}{12}$ = 0.83333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $\frac{5}{6}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4}{x^{2}}$ = $- \frac{1}{x} + \frac{5}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{4}{x^{2}}$	=	$- \frac{1}{x} + \frac{5}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{4}{x^{2}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3} + \frac{5}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$4 x$	=	$- x^{2} + 5$

4 x

=

- x^{2} + 5

|

+ x^{2}

- 5

$x^{2} + 4 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4+6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4-6}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 2$ - $3$ = -5

x₂ = $- 2$ + $3$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + 6$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + 6$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + 6$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + 6 \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$x^{2} + 6 x$	=	$- a$
$x^{2} + 6 x + a$	=	0
$x^{2} + 6 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 6 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 6 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -8 würde es funktionieren, denn $- (2 - 8)$ = 6

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 8)$ = $- 16$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -16 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 6 x - 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 16)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 6+10}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 6-10}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - (- 16)$ = $9$ $+$ $16$ = $25$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 3$ - $5$ = -8

x₂ = $- 3$ + $5$ = 2

L={ $- 8$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):