Mathebattle EduRandomtasks

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{6 x}{x - 2}$ = $3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $2$

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{6 x}{x - 2}$	=	$3 x$	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{6 x}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=	$3 x \cdot (x - 2)$
$6 x$	=	$3 x (x - 2)$
$6 x$	=	$3 x^{2} - 6 x$

$6 x$	=	$3 x^{2} - 6 x$	\| $- (3 x^{2} - 6 x)$
$- 3 x^{2} + 6 x + 6 x$	=	0
$- 3 x^{2} + 12 x$	=	0
$3 x (- x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 5 x + 2}{4 x}$ = $x - 3$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{- 5 x + 2}{4 x}$	=	$x - 3$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{- 5 x + 2}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x - 3 \cdot 4 x$
$- 5 x + 2$	=	$4 x \cdot x - 12 x$

- 5 x + 2

=

4 x^{2} - 12 x

|

- 4 x^{2}

+ 12 x

$- 4 x^{2} + 7 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 2}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{81}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{81}}{- 8}$ = $\frac{- 7+9}{- 8}$ = $\frac{2}{- 8}$ = $- 0,25$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{81}}{- 8}$ = $\frac{- 7-9}{- 8}$ = $\frac{- 16}{- 8}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 7 x + 2$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - \frac{7}{4} x - \frac{1}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{8})}^{2} - (- \frac{1}{2})$ = $\frac{49}{64}$ $+$ $\frac{1}{2}$ = $\frac{49}{64}$ $+$ $\frac{32}{64}$ = $\frac{81}{64}$

x_1,2 = $\frac{7}{8}$ ± $\sqrt{\frac{81}{64}}$

x₁ = $\frac{7}{8}$ - $\frac{9}{8}$ = $- \frac{2}{8}$ = -0.25

x₂ = $\frac{7}{8}$ + $\frac{9}{8}$ = $\frac{16}{8}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,25$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 12 x}{2 x - 2}$ = $- x - 4$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $1$

D=R\{ $1$ }

\frac{- 12 x}{2 (x - 1)}

=

- x - 4

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 1)$ weg!

$\frac{- 12 x}{2 (x - 1)}$	=	$- x - 4$	\|⋅( $2 (x - 1)$ )
$\frac{- 12 x}{2 (x - 1)} \cdot (2 (x - 1))$	=	$- x \cdot (2 (x - 1)) - 4 \cdot (2 (x - 1))$
$- 2 \frac{6 x}{1}$	=	$- 2 x (x - 1) - 8 x + 8$
$- 12 x$	=	$- 2 x (x - 1) - 8 x + 8$
$- 12 x$	=	$- 2 x^{2} - 6 x + 8$

- 12 x

=

- 2 x^{2} - 6 x + 8

|

+ 2 x^{2}

+ 6 x

- 8

2 x^{2} - 6 x - 8

= 0 |:2

$x^{2} - 3 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3+5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3-5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x + 10} + \frac{- 7,2}{x + 2} + x$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

$\frac{x}{5 x + 10} - \frac{7,2}{x + 2} + x$	=	0
$\frac{x}{5 (x + 2)} - \frac{7,2}{x + 2} + x$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 2)$ weg!

$\frac{x}{5 (x + 2)} - \frac{7,2}{x + 2} + x$	=	\|⋅( $5 (x + 2)$ )
$\frac{x}{5 (x + 2)} \cdot (5 (x + 2)) + \frac{- 7,2}{x + 2} \cdot (5 (x + 2)) + x \cdot (5 (x + 2))$	=
$x - 36 + 5 x (x + 2)$	=
$x - 36 + (5 x^{2} + 10 x)$	=
$5 x^{2} + 11 x - 36$	=

$5 x^{2} + 11 x - 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 36)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 + 720}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{841}}{10}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{841}}{10}$ = $\frac{- 11+29}{10}$ = $\frac{18}{10}$ = $1,8$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{841}}{10}$ = $\frac{- 11-29}{10}$ = $\frac{- 40}{10}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 11 x - 36$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{11}{5} x - \frac{36}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{10})}^{2} - (- \frac{36}{5})$ = $\frac{121}{100}$ $+$ $\frac{36}{5}$ = $\frac{121}{100}$ $+$ $\frac{720}{100}$ = $\frac{841}{100}$

x_1,2 = $- \frac{11}{10}$ ± $\sqrt{\frac{841}{100}}$

x₁ = $- \frac{11}{10}$ - $\frac{29}{10}$ = $- \frac{40}{10}$ = -4

x₂ = $- \frac{11}{10}$ + $\frac{29}{10}$ = $\frac{18}{10}$ = 1.8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $1,8$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{11}{x^{3}}$ = $- \frac{30}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{11}{x^{3}}$	=	$- \frac{30}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} - \frac{11}{x^{3}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{30}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$x^{2} - 11 x$	=	$- 30$

x^{2} - 11 x

=

- 30

|

+ 30

$x^{2} - 11 x + 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{11+1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{11-1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{2})}^{2} - 30$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $30$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{11}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

x₂ = $\frac{11}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $5$ ; $6$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{15}{x} + x$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{15}{x} + x$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{15}{x} + x$	=	$- a$	\|⋅x
$\frac{15}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$15 + x^{2}$	=	$- a x$
$15 + x^{2} + a x$	=	0
$x^{2} + a x + 15$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 15$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 15 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = 5 würde es funktionieren, denn $3 \cdot 5$ = 15

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (3 + 5)$ = $- 8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8+2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8-2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 15$ = $16$ $-$ $15$ = $1$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $4$ - $1$ = 3

x₂ = $4$ + $1$ = 5

L={ $3$ ; $5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):