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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{18}{x}$ = $- 2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{18}{x}$	=	$- 2 x$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{18}{x} \cdot x$	=	$- 2 x \cdot x$
$- 18$	=	$- 2 x \cdot x$
$- 18$	=	$- 2 x^{2}$

$- 18$	=	$- 2 x^{2}$	\| $+ 18$ $+ 2 x^{2}$
$2 x^{2}$	=	$18$	\|: $2$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- 4 - \frac{1}{x}$ = $x - 2$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- 4 - \frac{1}{x}$	=	$x - 2$	\|⋅( $x$ )
$- 4 \cdot x - \frac{1}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 2 \cdot x$
$- 4 x - 1$	=	$x \cdot x - 2 x$

- 4 x - 1

=

x^{2} - 2 x

|

- x^{2}

+ 2 x

$- x^{2} - 2 x - 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 1)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 2 x - 1$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 1$ ± 0 = $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$3 x$ = $- \frac{- 12 x}{x + 5} + 2$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 5$

D=R\{ $- 5$ }

3 x

=

\frac{12 x}{x + 5} + 2

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

$3 x$	=	$\frac{12 x}{x + 5} + 2$	\|⋅( $x + 5$ )
$3 x \cdot (x + 5)$	=	$\frac{12 x}{x + 5} \cdot (x + 5) + 2 \cdot (x + 5)$
$3 x (x + 5)$	=	$12 x + 2 x + 10$
$3 x \cdot x + 3 x \cdot 5$	=	$12 x + 2 x + 10$
$3 x \cdot x + 15 x$	=	$12 x + 2 x + 10$
$3 x^{2} + 15 x$	=	$14 x + 10$

3 x^{2} + 15 x

=

14 x + 10

|

- 14 x

- 10

$3 x^{2} + x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{121}}{6}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{- 1+11}{6}$ = $\frac{10}{6}$ = $\frac{5}{3}$ ≈ 1.67

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{- 1-11}{6}$ = $\frac{- 12}{6}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + x - 10$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{1}{3} x - \frac{10}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{6})}^{2} - (- \frac{10}{3})$ = $\frac{1}{36}$ $+$ $\frac{10}{3}$ = $\frac{1}{36}$ $+$ $\frac{120}{36}$ = $\frac{121}{36}$

x_1,2 = $- \frac{1}{6}$ ± $\sqrt{\frac{121}{36}}$

x₁ = $- \frac{1}{6}$ - $\frac{11}{6}$ = $- \frac{12}{6}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{6}$ + $\frac{11}{6}$ = $\frac{10}{6}$ = 1.6666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $\frac{5}{3}$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x - 5} - 4 x$ = $- \frac{23,4}{x - 1}$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

\frac{x}{5 (x - 1)} - 4 x

=

- \frac{23,4}{x - 1}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x - 1)$ weg!

$\frac{x}{5 (x - 1)} - 4 x$	=	$- \frac{23,4}{x - 1}$	\|⋅( $5 (x - 1)$ )
$\frac{x}{5 (x - 1)} \cdot (5 (x - 1)) - 4 x \cdot (5 (x - 1))$	=	$- \frac{23,4}{x - 1} \cdot (5 (x - 1))$
$x - 20 x (x - 1)$	=	$- 117$
$x + (- 20 x^{2} + 20 x)$	=	$- 117$
$- 20 x^{2} + 21 x$	=	$- 117$

- 20 x^{2} + 21 x

=

- 117

|

+ 117

$- 20 x^{2} + 21 x + 117$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{21^{2} - 4 \cdot (- 20) \cdot 117}}{2 \cdot (- 20)}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{441 + 9 360}}{- 40}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{9 801}}{- 40}$

x₁ = $\frac{- 21 + \sqrt{9 801}}{- 40}$ = $\frac{- 21+99}{- 40}$ = $\frac{78}{- 40}$ = $- 1,95$

x₂ = $\frac{- 21 - \sqrt{9 801}}{- 40}$ = $\frac{- 21-99}{- 40}$ = $\frac{- 120}{- 40}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 20$ " teilen:

$- 20 x^{2} + 21 x + 117$ = 0 |: $- 20$

$x^{2} - \frac{21}{20} x - \frac{117}{20}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{21}{40})}^{2} - (- \frac{117}{20})$ = $\frac{441}{1600}$ $+$ $\frac{117}{20}$ = $\frac{441}{1600}$ $+$ $\frac{9360}{1600}$ = $\frac{9801}{1600}$

x_1,2 = $\frac{21}{40}$ ± $\sqrt{\frac{9801}{1600}}$

x₁ = $\frac{21}{40}$ - $\frac{99}{40}$ = $- \frac{78}{40}$ = -1.95

x₂ = $\frac{21}{40}$ + $\frac{99}{40}$ = $\frac{120}{40}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1,95$ ; $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 - \frac{4}{x^{2}}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{4}{x^{2}}$	=	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{4}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=
$x^{2} - 4$	=

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$6 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$6 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$6 + \frac{a}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$6 \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$6 x + a$	=	$- x^{2}$
$6 x + a + x^{2}$	=	0
$x^{2} + 6 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 6 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 6 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -8 würde es funktionieren, denn $- (2 - 8)$ = 6

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 8)$ = $- 16$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -16 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 6 x - 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 16)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 6+10}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 6-10}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - (- 16)$ = $9$ $+$ $16$ = $25$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 3$ - $5$ = -8

x₂ = $- 3$ + $5$ = 2

L={ $- 8$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):