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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{1}{x}$ = $x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{1}{x}$	=	$x$	\|⋅( $x$ )
$\frac{1}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x$
$1$	=	$x \cdot x$
$1$	=	$x^{2}$

$1$	=	$x^{2}$	\| $- 1$ $- x^{2}$
$- x^{2}$	=	$- 1$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{29 x + 15}{4 x}$ = $x + 3$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{29 x + 15}{4 x}$	=	$x + 3$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{29 x + 15}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x + 3 \cdot 4 x$
$29 x + 15$	=	$4 x \cdot x + 12 x$

29 x + 15

=

4 x^{2} + 12 x

|

- 4 x^{2}

- 12 x

$- 4 x^{2} + 17 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 15}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 + 240}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{529}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{529}}{- 8}$ = $\frac{- 17+23}{- 8}$ = $\frac{6}{- 8}$ = $- 0,75$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{529}}{- 8}$ = $\frac{- 17-23}{- 8}$ = $\frac{- 40}{- 8}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 17 x + 15$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - \frac{17}{4} x - \frac{15}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{8})}^{2} - (- \frac{15}{4})$ = $\frac{289}{64}$ $+$ $\frac{15}{4}$ = $\frac{289}{64}$ $+$ $\frac{240}{64}$ = $\frac{529}{64}$

x_1,2 = $\frac{17}{8}$ ± $\sqrt{\frac{529}{64}}$

x₁ = $\frac{17}{8}$ - $\frac{23}{8}$ = $- \frac{6}{8}$ = -0.75

x₂ = $\frac{17}{8}$ + $\frac{23}{8}$ = $\frac{40}{8}$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,75$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

0 = $- \frac{15 x}{3 x + 4} - x + 5$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- \frac{4}{3}$

D=R\{ $- \frac{4}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 4$ weg!

=	$- \frac{15 x}{3 x + 4} - x + 5$	\|⋅( $3 x + 4$ )
=	$- \frac{15 x}{3 x + 4} \cdot (3 x + 4) - x \cdot (3 x + 4) + 5 \cdot (3 x + 4)$
=	$- 15 x - x \cdot (3 x + 4) + 15 x + 20$
=	$- 3 x^{2} - 4 x + 20$

0

=

- 3 x^{2} - 4 x + 20

|

+ 3 x^{2}

+ 4 x

- 20

$3 x^{2} + 4 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 240}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{256}}{6}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{256}}{6}$ = $\frac{- 4+16}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{256}}{6}$ = $\frac{- 4-16}{6}$ = $\frac{- 20}{6}$ = $- \frac{10}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 4 x - 20$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{4}{3} x - \frac{20}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{2}{3})}^{2} - (- \frac{20}{3})$ = $\frac{4}{9}$ $+$ $\frac{20}{3}$ = $\frac{4}{9}$ $+$ $\frac{60}{9}$ = $\frac{64}{9}$

x_1,2 = $- \frac{2}{3}$ ± $\sqrt{\frac{64}{9}}$

x₁ = $- \frac{2}{3}$ - $\frac{8}{3}$ = $- \frac{10}{3}$ = -3.3333333333333

x₂ = $- \frac{2}{3}$ + $\frac{8}{3}$ = $\frac{6}{3}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{10}{3}$ ; $2$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{4 x - 16}$ = $- \frac{8,25}{x - 4} - 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

$\frac{x}{4 x - 16}$	=	$- \frac{8,25}{x - 4} - 3 x$
$\frac{x}{4 (x - 4)}$	=	$- \frac{8,25}{x - 4} - 3 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x - 4)$ weg!

$\frac{x}{4 (x - 4)}$	=	$- \frac{8,25}{x - 4} - 3 x$	\|⋅( $4 (x - 4)$ )
$\frac{x}{4 (x - 4)} \cdot (4 (x - 4))$	=	$\frac{- 8,25}{x - 4} \cdot (4 (x - 4)) - 3 x \cdot (4 (x - 4))$
$x$	=	$- 33 - 12 x \cdot (x - 4)$
$x$	=	$- 12 x^{2} + 48 x - 33$

x

=

- 12 x^{2} + 48 x - 33

|

+ 12 x^{2}

- 48 x

+ 33

$12 x^{2} - 47 x + 33$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 47 \pm \sqrt{{(- 47)}^{2} - 4 \cdot 12 \cdot 33}}{2 \cdot 12}$

x_1,2 = $\frac{+ 47 \pm \sqrt{2 209 - 1 584}}{24}$

x_1,2 = $\frac{+ 47 \pm \sqrt{625}}{24}$

x₁ = $\frac{47 + \sqrt{625}}{24}$ = $\frac{47+25}{24}$ = $\frac{72}{24}$ = $3$

x₂ = $\frac{47 - \sqrt{625}}{24}$ = $\frac{47-25}{24}$ = $\frac{22}{24}$ = $\frac{11}{12}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $12$ " teilen:

$12 x^{2} - 47 x + 33$ = 0 |: $12$

$x^{2} - \frac{47}{12} x + \frac{11}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{47}{24})}^{2} - (\frac{11}{4})$ = $\frac{2209}{576}$ $-$ $\frac{11}{4}$ = $\frac{2209}{576}$ $-$ $\frac{1584}{576}$ = $\frac{625}{576}$

x_1,2 = $\frac{47}{24}$ ± $\sqrt{\frac{625}{576}}$

x₁ = $\frac{47}{24}$ - $\frac{25}{24}$ = $\frac{22}{24}$ = 0.91666666666667

x₂ = $\frac{47}{24}$ + $\frac{25}{24}$ = $\frac{72}{24}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{11}{12}$ ; $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{7}{x}$ = $- 1 + \frac{18}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{7}{x}$	=	$- 1 + \frac{18}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{7}{x} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2} + \frac{18}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$7 x$	=	$- x^{2} + 18$

7 x

=

- x^{2} + 18

|

+ x^{2}

- 18

$x^{2} + 7 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7+11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7-11}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{a}{x}$ = $10$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{a}{x}$ = $10$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{a}{x}$	=	$10$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$10 \cdot x$
$x^{2} + a$	=	$10 x$
$x^{2} + a - 10 x$	=	0
$x^{2} - 10 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 10 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -10 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 8 würde es funktionieren, denn $- (2 + 8)$ = -10

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 8$ = $16$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 16 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 10 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{10+6}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{10-6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 16$ = $25$ $-$ $16$ = $9$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $5$ - $3$ = 2

x₂ = $5$ + $3$ = 8

L={ $2$ ; $8$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):