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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{25}{x}$ = $- x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{25}{x}$	=	$- x$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{25}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 25$	=	$- x \cdot x$
$- 25$	=	$- x^{2}$

$- 25$	=	$- x^{2}$	\| $+ 25$ $+ x^{2}$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 29 x - 16}{3 x}$ = $x - 1$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{- 29 x - 16}{3 x}$	=	$x - 1$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{- 29 x - 16}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x - 1 \cdot 3 x$
$- 29 x - 16$	=	$3 x \cdot x - 3 x$

- 29 x - 16

=

3 x^{2} - 3 x

|

- 3 x^{2}

+ 3 x

$- 3 x^{2} - 26 x - 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{{(- 26)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 16)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{676 - 192}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{484}}{- 6}$

x₁ = $\frac{26 + \sqrt{484}}{- 6}$ = $\frac{26+22}{- 6}$ = $\frac{48}{- 6}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{26 - \sqrt{484}}{- 6}$ = $\frac{26-22}{- 6}$ = $\frac{4}{- 6}$ = $- \frac{2}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 26 x - 16$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{26}{3} x + \frac{16}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{3})}^{2} - (\frac{16}{3})$ = $\frac{169}{9}$ $-$ $\frac{16}{3}$ = $\frac{169}{9}$ $-$ $\frac{48}{9}$ = $\frac{121}{9}$

x_1,2 = $- \frac{13}{3}$ ± $\sqrt{\frac{121}{9}}$

x₁ = $- \frac{13}{3}$ - $\frac{11}{3}$ = $- \frac{24}{3}$ = -8

x₂ = $- \frac{13}{3}$ + $\frac{11}{3}$ = $- \frac{2}{3}$ = -0.66666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $- \frac{2}{3}$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

0 = $- \frac{- 21}{x - 3} - x - 1$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $3$

D=R\{ $3$ }

0

=

\frac{21}{x - 3} - x - 1

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

=	$\frac{21}{x - 3} - x - 1$	\|⋅( $x - 3$ )
=	$\frac{21}{x - 3} \cdot (x - 3) - x \cdot (x - 3) - 1 \cdot (x - 3)$
=	$21 - x (x - 3) - x + 3$
=	$- x^{2} + 2 x + 24$

0

=

- x^{2} + 2 x + 24

|

+ x^{2}

- 2 x

- 24

$x^{2} - 2 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2+10}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2-10}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 24)$ = $1$ $+$ $24$ = $25$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $1$ - $5$ = -4

x₂ = $1$ + $5$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $6$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{46,5}{x - 2}$ = $- \frac{x}{2 x - 4} + 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

\frac{46,5}{x - 2}

=

- \frac{x}{2 (x - 2)} + 3 x

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 2)$ weg!

$\frac{46,5}{x - 2}$	=	$- \frac{x}{2 (x - 2)} + 3 x$	\|⋅( $2 (x - 2)$ )
$\frac{46,5}{x - 2} \cdot (2 (x - 2))$	=	$- \frac{x}{2 (x - 2)} \cdot (2 (x - 2)) + 3 x \cdot (2 (x - 2))$
$93$	=	$- x + 6 x (x - 2)$
$93$	=	$6 x^{2} - 13 x$

93

=

6 x^{2} - 13 x

|

- 6 x^{2}

+ 13 x

$- 6 x^{2} + 13 x + 93$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot (- 6) \cdot 93}}{2 \cdot (- 6)}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 2 232}}{- 12}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{2 401}}{- 12}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{2 401}}{- 12}$ = $\frac{- 13+49}{- 12}$ = $\frac{36}{- 12}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{2 401}}{- 12}$ = $\frac{- 13-49}{- 12}$ = $\frac{- 62}{- 12}$ = $\frac{31}{6}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 6$ " teilen:

$- 6 x^{2} + 13 x + 93$ = 0 |: $- 6$

$x^{2} - \frac{13}{6} x - \frac{31}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{12})}^{2} - (- \frac{31}{2})$ = $\frac{169}{144}$ $+$ $\frac{31}{2}$ = $\frac{169}{144}$ $+$ $\frac{2232}{144}$ = $\frac{2401}{144}$

x_1,2 = $\frac{13}{12}$ ± $\sqrt{\frac{2401}{144}}$

x₁ = $\frac{13}{12}$ - $\frac{49}{12}$ = $- \frac{36}{12}$ = -3

x₂ = $\frac{13}{12}$ + $\frac{49}{12}$ = $\frac{62}{12}$ = 5.1666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $\frac{31}{6}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x}$ = $\frac{- 5 x - 24}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$- \frac{1}{x}$	=	$\frac{- 5 x - 24}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$	=	$\frac{- 5 x - 24}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$- x^{2}$	=	$- 5 x - 24$

- x^{2}

=

- 5 x - 24

|

+ 5 x

+ 24

$- x^{2} + 5 x + 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 24}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 96}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{121}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{121}}{- 2}$ = $\frac{- 5+11}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{121}}{- 2}$ = $\frac{- 5-11}{- 2}$ = $\frac{- 16}{- 2}$ = $8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 5 x + 24$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 5 x - 24$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (- 24)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $24$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{96}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $8$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{a}{x}$ = $10$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{a}{x}$ = $10$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{a}{x}$	=	$10$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$10 \cdot x$
$x^{2} + a$	=	$10 x$
$x^{2} + a - 10 x$	=	0
$x^{2} - 10 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 10 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -10 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 8 würde es funktionieren, denn $- (2 + 8)$ = -10

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 8$ = $16$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 16 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 10 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{10+6}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{10-6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 16$ = $25$ $-$ $16$ = $9$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $5$ - $3$ = 2

x₂ = $5$ + $3$ = 8

L={ $2$ ; $8$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):