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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{20}{x + 3}$ = $- 2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 3$

D=R\{ $- 3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$- \frac{20}{x + 3}$	=	$- 2 x$	\|⋅( $x + 3$ )
$- \frac{20}{x + 3} \cdot (x + 3)$	=	$- 2 x \cdot (x + 3)$
$- 20$	=	$- 2 x \cdot (x + 3)$
$- 20$	=	$- 2 x^{2} - 6 x$

- 20

=

- 2 x^{2} - 6 x

|

+ 2 x^{2}

+ 6 x

2 x^{2} + 6 x - 20

= 0 |:2

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x - 5$ = $\frac{- 37 x - 7}{3 x}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$x - 5$	=	$\frac{- 37 x - 7}{3 x}$	\|⋅( $3 x$ )
$x \cdot 3 x - 5 \cdot 3 x$	=	$\frac{- 37 x - 7}{3 x} \cdot 3 x$
$3 x \cdot x - 15 x$	=	$- 37 x - 7$
$3 x^{2} - 15 x$	=	$- 37 x - 7$

3 x^{2} - 15 x

=

- 37 x - 7

|

+ 37 x

+ 7

$3 x^{2} + 22 x + 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 22 \pm \sqrt{22^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 22 \pm \sqrt{484 - 84}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 22 \pm \sqrt{400}}{6}$

x₁ = $\frac{- 22 + \sqrt{400}}{6}$ = $\frac{- 22+20}{6}$ = $\frac{- 2}{6}$ = $- \frac{1}{3}$ ≈ -0.33

x₂ = $\frac{- 22 - \sqrt{400}}{6}$ = $\frac{- 22-20}{6}$ = $\frac{- 42}{6}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 22 x + 7$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{22}{3} x + \frac{7}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{3})}^{2} - (\frac{7}{3})$ = $\frac{121}{9}$ $-$ $\frac{7}{3}$ = $\frac{121}{9}$ $-$ $\frac{21}{9}$ = $\frac{100}{9}$

x_1,2 = $- \frac{11}{3}$ ± $\sqrt{\frac{100}{9}}$

x₁ = $- \frac{11}{3}$ - $\frac{10}{3}$ = $- \frac{21}{3}$ = -7

x₂ = $- \frac{11}{3}$ + $\frac{10}{3}$ = $- \frac{1}{3}$ = -0.33333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $- \frac{1}{3}$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x$ = $- \frac{- 12 x}{x - 4} + 5$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $4$

D=R\{ $4$ }

x

=

\frac{12 x}{x - 4} + 5

Wir multiplizieren den Nenner $x - 4$ weg!

$x$	=	$\frac{12 x}{x - 4} + 5$	\|⋅( $x - 4$ )
$x \cdot (x - 4)$	=	$\frac{12 x}{x - 4} \cdot (x - 4) + 5 \cdot (x - 4)$
$x \cdot (x - 4)$	=	$12 x + 5 x - 20$
$x \cdot x + x \cdot (- 4)$	=	$12 x + 5 x - 20$
$x \cdot x - 4 x$	=	$12 x + 5 x - 20$
$x^{2} - 4 x$	=	$17 x - 20$

x^{2} - 4 x

=

17 x - 20

|

- 17 x

+ 20

$x^{2} - 21 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{{(- 21)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{441 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{361}}{2}$

x₁ = $\frac{21 + \sqrt{361}}{2}$ = $\frac{21+19}{2}$ = $\frac{40}{2}$ = $20$

x₂ = $\frac{21 - \sqrt{361}}{2}$ = $\frac{21-19}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{21}{2})}^{2} - 20$ = $\frac{441}{4}$ $-$ $20$ = $\frac{441}{4}$ $-$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{361}{4}$

x_1,2 = $\frac{21}{2}$ ± $\sqrt{\frac{361}{4}}$

x₁ = $\frac{21}{2}$ - $\frac{19}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{21}{2}$ + $\frac{19}{2}$ = $\frac{40}{2}$ = 20

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $20$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x + 2}$ = $- \frac{34,5}{x + 1} + 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

$\frac{x}{2 x + 2}$	=	$- \frac{34,5}{x + 1} + 3 x$
$\frac{x}{2 (x + 1)}$	=	$- \frac{34,5}{x + 1} + 3 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 1)$ weg!

$\frac{x}{2 (x + 1)}$	=	$- \frac{34,5}{x + 1} + 3 x$	\|⋅( $2 (x + 1)$ )
$\frac{x}{2 (x + 1)} \cdot (2 (x + 1))$	=	$\frac{- 34,5}{x + 1} \cdot (2 (x + 1)) + 3 x \cdot (2 (x + 1))$
$x$	=	$- 69 + 6 x \cdot (x + 1)$
$x$	=	$6 x^{2} + 6 x - 69$

x

=

6 x^{2} + 6 x - 69

|

- 6 x^{2}

- 6 x

+ 69

$- 6 x^{2} - 5 x + 69$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 6) \cdot 69}}{2 \cdot (- 6)}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 1 656}}{- 12}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1 681}}{- 12}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1 681}}{- 12}$ = $\frac{5+41}{- 12}$ = $\frac{46}{- 12}$ = $- \frac{23}{6}$ ≈ -3.83

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1 681}}{- 12}$ = $\frac{5-41}{- 12}$ = $\frac{- 36}{- 12}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 6$ " teilen:

$- 6 x^{2} - 5 x + 69$ = 0 |: $- 6$

$x^{2} + \frac{5}{6} x - \frac{23}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{12})}^{2} - (- \frac{23}{2})$ = $\frac{25}{144}$ $+$ $\frac{23}{2}$ = $\frac{25}{144}$ $+$ $\frac{1656}{144}$ = $\frac{1681}{144}$

x_1,2 = $- \frac{5}{12}$ ± $\sqrt{\frac{1681}{144}}$

x₁ = $- \frac{5}{12}$ - $\frac{41}{12}$ = $- \frac{46}{12}$ = -3.8333333333333

x₂ = $- \frac{5}{12}$ + $\frac{41}{12}$ = $\frac{36}{12}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{23}{6}$ ; $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x} - \frac{6}{x^{2}}$ = $- 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$- \frac{1}{x} - \frac{6}{x^{2}}$	=	$- 1$	\|⋅( $x^{2}$ )
$- \frac{1}{x} \cdot x^{2} - \frac{6}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2}$
$- x - 6$	=	$- x^{2}$

- x - 6

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + 1$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + 1$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + 1$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + 1 \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$x^{2} + x$	=	$- a$
$x^{2} + x + a$	=	0
$x^{2} + x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 1 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -3 würde es funktionieren, denn $- (2 - 3)$ = 1

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 3)$ = $- 6$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 3$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):