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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{10 x}{x + 3}$ = $2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 3$

D=R\{ $- 3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{10 x}{x + 3}$	=	$2 x$	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{10 x}{x + 3} \cdot (x + 3)$	=	$2 x \cdot (x + 3)$
$10 x$	=	$2 x \cdot (x + 3)$
$10 x$	=	$2 x^{2} + 6 x$

$10 x$	=	$2 x^{2} + 6 x$	\| $- (2 x^{2} + 6 x)$
$- 2 x^{2} + 10 x - 6 x$	=	0
$- 2 x^{2} + 4 x$	=	0
$2 x \cdot (- x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 2$	=	0	\| $- 2$
$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 13 x - 5}{3 x}$ = $x + 1$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{- 13 x - 5}{3 x}$	=	$x + 1$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{- 13 x - 5}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x + 1 \cdot 3 x$
$- 13 x - 5$	=	$3 x \cdot x + 3 x$

- 13 x - 5

=

3 x^{2} + 3 x

|

- 3 x^{2}

- 3 x

$- 3 x^{2} - 16 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 5)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 - 60}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{196}}{- 6}$

x₁ = $\frac{16 + \sqrt{196}}{- 6}$ = $\frac{16+14}{- 6}$ = $\frac{30}{- 6}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{16 - \sqrt{196}}{- 6}$ = $\frac{16-14}{- 6}$ = $\frac{2}{- 6}$ = $- \frac{1}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 16 x - 5$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{16}{3} x + \frac{5}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{8}{3})}^{2} - (\frac{5}{3})$ = $\frac{64}{9}$ $-$ $\frac{5}{3}$ = $\frac{64}{9}$ $-$ $\frac{15}{9}$ = $\frac{49}{9}$

x_1,2 = $- \frac{8}{3}$ ± $\sqrt{\frac{49}{9}}$

x₁ = $- \frac{8}{3}$ - $\frac{7}{3}$ = $- \frac{15}{3}$ = -5

x₂ = $- \frac{8}{3}$ + $\frac{7}{3}$ = $- \frac{1}{3}$ = -0.33333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $- \frac{1}{3}$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x - 4$ = $- \frac{- 35}{3 x + 4}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- \frac{4}{3}$

D=R\{ $- \frac{4}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 4$ weg!

$x - 4$	=	$\frac{35}{3 x + 4}$	\|⋅( $3 x + 4$ )
$x \cdot (3 x + 4) - 4 \cdot (3 x + 4)$	=	$\frac{35}{3 x + 4} \cdot (3 x + 4)$
$x \cdot (3 x + 4) - 12 x - 16$	=	$35$
$3 x^{2} + 4 x - 12 x - 16$	=	$35$
$3 x^{2} - 8 x - 16$	=	$35$

3 x^{2} - 8 x - 16

=

35

|

- 35

$3 x^{2} - 8 x - 51$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 51)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 + 612}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{676}}{6}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{676}}{6}$ = $\frac{8+26}{6}$ = $\frac{34}{6}$ = $\frac{17}{3}$ ≈ 5.67

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{676}}{6}$ = $\frac{8-26}{6}$ = $\frac{- 18}{6}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 8 x - 51$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{8}{3} x - 17$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{4}{3})}^{2} - (- 17)$ = $\frac{16}{9}$ $+$ $17$ = $\frac{16}{9}$ $+$ $\frac{153}{9}$ = $\frac{169}{9}$

x_1,2 = $\frac{4}{3}$ ± $\sqrt{\frac{169}{9}}$

x₁ = $\frac{4}{3}$ - $\frac{13}{3}$ = $- \frac{9}{3}$ = -3

x₂ = $\frac{4}{3}$ + $\frac{13}{3}$ = $\frac{17}{3}$ = 5.6666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $\frac{17}{3}$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x + 15} + 4 x$ = $- \frac{0,6}{x + 3}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

\frac{x}{5 (x + 3)} + 4 x

=

- \frac{0,6}{x + 3}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 3)$ weg!

$\frac{x}{5 (x + 3)} + 4 x$	=	$- \frac{0,6}{x + 3}$	\|⋅( $5 (x + 3)$ )
$\frac{x}{5 (x + 3)} \cdot (5 (x + 3)) + 4 x \cdot (5 (x + 3))$	=	$- \frac{0,6}{x + 3} \cdot (5 (x + 3))$
$x + 20 x \cdot (x + 3)$	=	$- 3$
$x + (20 x^{2} + 60 x)$	=	$- 3$
$20 x^{2} + 61 x$	=	$- 3$

20 x^{2} + 61 x

=

- 3

|

+ 3

$20 x^{2} + 61 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 61 \pm \sqrt{61^{2} - 4 \cdot 20 \cdot 3}}{2 \cdot 20}$

x_1,2 = $\frac{- 61 \pm \sqrt{3 721 - 240}}{40}$

x_1,2 = $\frac{- 61 \pm \sqrt{3 481}}{40}$

x₁ = $\frac{- 61 + \sqrt{3 481}}{40}$ = $\frac{- 61+59}{40}$ = $\frac{- 2}{40}$ = $- 0,05$

x₂ = $\frac{- 61 - \sqrt{3 481}}{40}$ = $\frac{- 61-59}{40}$ = $\frac{- 120}{40}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $20$ " teilen:

$20 x^{2} + 61 x + 3$ = 0 |: $20$

$x^{2} + \frac{61}{20} x + \frac{3}{20}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{61}{40})}^{2} - (\frac{3}{20})$ = $\frac{3721}{1600}$ $-$ $\frac{3}{20}$ = $\frac{3721}{1600}$ $-$ $\frac{240}{1600}$ = $\frac{3481}{1600}$

x_1,2 = $- \frac{61}{40}$ ± $\sqrt{\frac{3481}{1600}}$

x₁ = $- \frac{61}{40}$ - $\frac{59}{40}$ = $- \frac{120}{40}$ = -3

x₂ = $- \frac{61}{40}$ + $\frac{59}{40}$ = $- \frac{2}{40}$ = -0.05

Lösung x= $- 3$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $- 0,05$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

=	$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} + \frac{1}{x^{4}} \cdot x^{4}$
=	$- x^{2} + 1$

0	=	$- x^{2} + 1$	\|0 $+ x^{2}$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- 1 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- 1 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- 1 + x$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$- 1 \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$- x + x^{2}$	=	$- a$
$- x + x^{2} + a$	=	0
$x^{2} - x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -1 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -1 würde es funktionieren, denn $- (2 - 1)$ = -1

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 1)$ = $- 2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 1$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):