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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{24}{x + 1}$ = $- 2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 1$

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$- \frac{24}{x + 1}$	=	$- 2 x$	\|⋅( $x + 1$ )
$- \frac{24}{x + 1} \cdot (x + 1)$	=	$- 2 x \cdot (x + 1)$
$- 24$	=	$- 2 x \cdot (x + 1)$
$- 24$	=	$- 2 x^{2} - 2 x$

- 24

=

- 2 x^{2} - 2 x

|

+ 2 x^{2}

+ 2 x

2 x^{2} + 2 x - 24

= 0 |:2

$x^{2} + x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{35 x - 12}{x + 5}$ = $3 x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 5$

D=R\{ $- 5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

$\frac{35 x - 12}{x + 5}$	=	$3 x$	\|⋅( $x + 5$ )
$\frac{35 x - 12}{x + 5} \cdot (x + 5)$	=	$3 x \cdot (x + 5)$
$35 x - 12$	=	$3 x \cdot (x + 5)$
$35 x - 12$	=	$3 x^{2} + 15 x$

35 x - 12

=

3 x^{2} + 15 x

|

- 3 x^{2}

- 15 x

$- 3 x^{2} + 20 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{20^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 144}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{256}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 20 + \sqrt{256}}{- 6}$ = $\frac{- 20+16}{- 6}$ = $\frac{- 4}{- 6}$ = $\frac{2}{3}$ ≈ 0.67

x₂ = $\frac{- 20 - \sqrt{256}}{- 6}$ = $\frac{- 20-16}{- 6}$ = $\frac{- 36}{- 6}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + 20 x - 12$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{20}{3} x + 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{10}{3})}^{2} - 4$ = $\frac{100}{9}$ $-$ $4$ = $\frac{100}{9}$ $-$ $\frac{36}{9}$ = $\frac{64}{9}$

x_1,2 = $\frac{10}{3}$ ± $\sqrt{\frac{64}{9}}$

x₁ = $\frac{10}{3}$ - $\frac{8}{3}$ = $\frac{2}{3}$ = 0.66666666666667

x₂ = $\frac{10}{3}$ + $\frac{8}{3}$ = $\frac{18}{3}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{2}{3}$ ; $6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 35}{x - 4}$ = $- 2 x - 1$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $4$

D=R\{ $4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 4$ weg!

$- \frac{35}{x - 4}$	=	$- 2 x - 1$	\|⋅( $x - 4$ )
$- \frac{35}{x - 4} \cdot (x - 4)$	=	$- 2 x \cdot (x - 4) - 1 \cdot (x - 4)$
$- 35$	=	$- 2 x \cdot (x - 4) - x + 4$
$- 35$	=	$- 2 x^{2} + 7 x + 4$

- 35

=

- 2 x^{2} + 7 x + 4

|

+ 2 x^{2}

- 7 x

- 4

$2 x^{2} - 7 x - 39$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 39)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 312}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{361}}{4}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{361}}{4}$ = $\frac{7+19}{4}$ = $\frac{26}{4}$ = $6,5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{361}}{4}$ = $\frac{7-19}{4}$ = $\frac{- 12}{4}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 7 x - 39$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{7}{2} x - \frac{39}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{4})}^{2} - (- \frac{39}{2})$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $\frac{39}{2}$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $\frac{312}{16}$ = $\frac{361}{16}$

x_1,2 = $\frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{361}{16}}$

x₁ = $\frac{7}{4}$ - $\frac{19}{4}$ = $- \frac{12}{4}$ = -3

x₂ = $\frac{7}{4}$ + $\frac{19}{4}$ = $\frac{26}{4}$ = 6.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $6,5$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{4 x + 4}$ = $- \frac{- 41}{x + 1} - 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

$\frac{x}{4 x + 4}$	=	$\frac{41}{x + 1} - 2 x$
$\frac{x}{4 (x + 1)}$	=	$\frac{41}{x + 1} - 2 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 1)$ weg!

$\frac{x}{4 (x + 1)}$	=	$\frac{41}{x + 1} - 2 x$	\|⋅( $4 (x + 1)$ )
$\frac{x}{4 (x + 1)} \cdot (4 (x + 1))$	=	$\frac{41}{x + 1} \cdot (4 (x + 1)) - 2 x \cdot (4 (x + 1))$
$x$	=	$164 - 8 x \cdot (x + 1)$
$x$	=	$- 8 x^{2} - 8 x + 164$

x

=

- 8 x^{2} - 8 x + 164

|

+ 8 x^{2}

+ 8 x

- 164

$8 x^{2} + 9 x - 164$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 8 \cdot (- 164)}}{2 \cdot 8}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 5 248}}{16}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{5 329}}{16}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{5 329}}{16}$ = $\frac{- 9+73}{16}$ = $\frac{64}{16}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{5 329}}{16}$ = $\frac{- 9-73}{16}$ = $\frac{- 82}{16}$ = $- 5,125$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $8$ " teilen:

$8 x^{2} + 9 x - 164$ = 0 |: $8$

$x^{2} + \frac{9}{8} x - \frac{41}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{16})}^{2} - (- \frac{41}{2})$ = $\frac{81}{256}$ $+$ $\frac{41}{2}$ = $\frac{81}{256}$ $+$ $\frac{5248}{256}$ = $\frac{5329}{256}$

x_1,2 = $- \frac{9}{16}$ ± $\sqrt{\frac{5329}{256}}$

x₁ = $- \frac{9}{16}$ - $\frac{73}{16}$ = $- \frac{82}{16}$ = -5.125

x₂ = $- \frac{9}{16}$ + $\frac{73}{16}$ = $\frac{64}{16}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5,125$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{56}{x^{2}}$ = $- 1 + \frac{1}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$- \frac{56}{x^{2}}$	=	$- 1 + \frac{1}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$- \frac{56}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2} + \frac{1}{x} \cdot x^{2}$
$- 56$	=	$- x^{2} + x$

- 56

=

- x^{2} + x

|

+ x^{2}

- x

$x^{2} - x - 56$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 56)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 224}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{225}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{1+15}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{1-15}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 56)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $56$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{224}{4}$ = $\frac{225}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{225}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{15}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{15}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $8$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + a$ = $\frac{30}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + a$ = $\frac{30}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + a$	=	$\frac{30}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + a \cdot x$	=	$\frac{30}{x} \cdot x$
$x^{2} + a x$	=	$30$
$x^{2} + a x - 30$	=	0
$x^{2} + a x - 30$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 30$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -30 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -15 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 15)$ = -30

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 15)$ = $13$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 13 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 13 x - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{289}}{2}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{- 13+17}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{- 13-17}{2}$ = $\frac{- 30}{2}$ = $- 15$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{2})}^{2} - (- 30)$ = $\frac{169}{4}$ $+$ $30$ = $\frac{169}{4}$ $+$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{289}{4}$

x_1,2 = $- \frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{289}{4}}$

x₁ = $- \frac{13}{2}$ - $\frac{17}{2}$ = $- \frac{30}{2}$ = -15

x₂ = $- \frac{13}{2}$ + $\frac{17}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 15$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):