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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{6}{x - 1}$ = $- 3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $1$

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$- \frac{6}{x - 1}$	=	$- 3 x$	\|⋅( $x - 1$ )
$- \frac{6}{x - 1} \cdot (x - 1)$	=	$- 3 x \cdot (x - 1)$
$- 6$	=	$- 3 x \cdot (x - 1)$
$- 6$	=	$- 3 x^{2} + 3 x$

- 6

=

- 3 x^{2} + 3 x

|

+ 3 x^{2}

- 3 x

3 x^{2} - 3 x - 6

= 0 |:3

$x^{2} - x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x + 3$ = $7 + \frac{5}{x}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x + 3$	=	$7 + \frac{5}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x + 3 \cdot x$	=	$7 \cdot x + \frac{5}{x} \cdot x$
$x \cdot x + 3 x$	=	$7 x + 5$
$x^{2} + 3 x$	=	$7 x + 5$

x^{2} + 3 x

=

7 x + 5

|

- 7 x

- 5

$x^{2} - 4 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4+6}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4-6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $2$ - $3$ = -1

x₂ = $2$ + $3$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 81}{x + 5}$ = $- x - 5$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 5$

D=R\{ $- 5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

$- \frac{81}{x + 5}$	=	$- x - 5$	\|⋅( $x + 5$ )
$- \frac{81}{x + 5} \cdot (x + 5)$	=	$- x \cdot (x + 5) - 5 \cdot (x + 5)$
$- 81$	=	$- x \cdot (x + 5) - 5 x - 25$
$- 81$	=	$- x^{2} - 10 x - 25$

- 81

=

- x^{2} - 10 x - 25

|

+ x^{2}

+ 10 x

+ 25

$x^{2} + 10 x - 56$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 56)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 224}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{324}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{324}}{2}$ = $\frac{- 10+18}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{324}}{2}$ = $\frac{- 10-18}{2}$ = $\frac{- 28}{2}$ = $- 14$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - (- 56)$ = $25$ $+$ $56$ = $81$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{81}$

x₁ = $- 5$ - $9$ = -14

x₂ = $- 5$ + $9$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 14$ ; $4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 9,5}{x - 4}$ = $- \frac{x}{2 x - 8} + 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

- \frac{9,5}{x - 4}

=

- \frac{x}{2 (x - 4)} + 3 x

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 4)$ weg!

$- \frac{9,5}{x - 4}$	=	$- \frac{x}{2 (x - 4)} + 3 x$	\|⋅( $2 (x - 4)$ )
$- \frac{9,5}{x - 4} \cdot (2 (x - 4))$	=	$- \frac{x}{2 (x - 4)} \cdot (2 (x - 4)) + 3 x \cdot (2 (x - 4))$
$- 19$	=	$- x + 6 x \cdot (x - 4)$
$- 19$	=	$6 x^{2} - 25 x$

- 19

=

6 x^{2} - 25 x

|

- 6 x^{2}

+ 25 x

$- 6 x^{2} + 25 x - 19$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{25^{2} - 4 \cdot (- 6) \cdot (- 19)}}{2 \cdot (- 6)}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{625 - 456}}{- 12}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{169}}{- 12}$

x₁ = $\frac{- 25 + \sqrt{169}}{- 12}$ = $\frac{- 25+13}{- 12}$ = $\frac{- 12}{- 12}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 25 - \sqrt{169}}{- 12}$ = $\frac{- 25-13}{- 12}$ = $\frac{- 38}{- 12}$ = $\frac{19}{6}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 6$ " teilen:

$- 6 x^{2} + 25 x - 19$ = 0 |: $- 6$

$x^{2} - \frac{25}{6} x + \frac{19}{6}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{25}{12})}^{2} - (\frac{19}{6})$ = $\frac{625}{144}$ $-$ $\frac{19}{6}$ = $\frac{625}{144}$ $-$ $\frac{456}{144}$ = $\frac{169}{144}$

x_1,2 = $\frac{25}{12}$ ± $\sqrt{\frac{169}{144}}$

x₁ = $\frac{25}{12}$ - $\frac{13}{12}$ = $\frac{12}{12}$ = 1

x₂ = $\frac{25}{12}$ + $\frac{13}{12}$ = $\frac{38}{12}$ = 3.1666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $\frac{19}{6}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{6}{x}$ = $- 1 + \frac{27}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$- \frac{6}{x}$	=	$- 1 + \frac{27}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$- \frac{6}{x} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2} + \frac{27}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$- 6 x$	=	$- x^{2} + 27$

- 6 x

=

- x^{2} + 27

|

+ x^{2}

- 27

$x^{2} - 6 x - 27$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 27)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 108}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{6+12}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{6-12}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - (- 27)$ = $9$ $+$ $27$ = $36$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $3$ - $6$ = -3

x₂ = $3$ + $6$ = 9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $9$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + a$ = $- \frac{15}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + a$ = $- \frac{15}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + a$	=	$- \frac{15}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + a \cdot x$	=	$- \frac{15}{x} \cdot x$
$x^{2} + a x$	=	$- 15$
$x^{2} + a x + 15$	=	0
$x^{2} + a x + 15$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 15$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 15 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = 5 würde es funktionieren, denn $3 \cdot 5$ = 15

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (3 + 5)$ = $- 8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8+2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8-2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 15$ = $16$ $-$ $15$ = $1$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $4$ - $1$ = 3

x₂ = $4$ + $1$ = 5

L={ $3$ ; $5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):