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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- 5$ = $x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner:

$- 5$	=	$x$	\| $+ 5$ $- x$
$- x$	=	$5$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 5$

L={ $- 5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{10 x + 12}{3 x}$ = $x - 2$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{10 x + 12}{3 x}$	=	$x - 2$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{10 x + 12}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x - 2 \cdot 3 x$
$10 x + 12$	=	$3 x \cdot x - 6 x$

10 x + 12

=

3 x^{2} - 6 x

|

- 3 x^{2}

+ 6 x

$- 3 x^{2} + 16 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 12}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 + 144}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{400}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 16 + \sqrt{400}}{- 6}$ = $\frac{- 16+20}{- 6}$ = $\frac{4}{- 6}$ = $- \frac{2}{3}$ ≈ -0.67

x₂ = $\frac{- 16 - \sqrt{400}}{- 6}$ = $\frac{- 16-20}{- 6}$ = $\frac{- 36}{- 6}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + 16 x + 12$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{16}{3} x - 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{8}{3})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{64}{9}$ $+$ $4$ = $\frac{64}{9}$ $+$ $\frac{36}{9}$ = $\frac{100}{9}$

x_1,2 = $\frac{8}{3}$ ± $\sqrt{\frac{100}{9}}$

x₁ = $\frac{8}{3}$ - $\frac{10}{3}$ = $- \frac{2}{3}$ = -0.66666666666667

x₂ = $\frac{8}{3}$ + $\frac{10}{3}$ = $\frac{18}{3}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{2}{3}$ ; $6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{16 x}{x - 3} + 1$ = $- 3 x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $3$

D=R\{ $3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{16 x}{x - 3} + 1$	=	$- 3 x$	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{16 x}{x - 3} \cdot (x - 3) + 1 \cdot (x - 3)$	=	$- 3 x \cdot (x - 3)$
$16 x + x - 3$	=	$- 3 x \cdot (x - 3)$
$17 x - 3$	=	$- 3 x^{2} + 9 x$

17 x - 3

=

- 3 x^{2} + 9 x

|

+ 3 x^{2}

- 9 x

$3 x^{2} + 8 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 36}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{100}}{6}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{100}}{6}$ = $\frac{- 8+10}{6}$ = $\frac{2}{6}$ = $\frac{1}{3}$ ≈ 0.33

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{100}}{6}$ = $\frac{- 8-10}{6}$ = $\frac{- 18}{6}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 8 x - 3$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{8}{3} x - 1$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{4}{3})}^{2} - (- 1)$ = $\frac{16}{9}$ $+$ $1$ = $\frac{16}{9}$ $+$ $\frac{9}{9}$ = $\frac{25}{9}$

x_1,2 = $- \frac{4}{3}$ ± $\sqrt{\frac{25}{9}}$

x₁ = $- \frac{4}{3}$ - $\frac{5}{3}$ = $- \frac{9}{3}$ = -3

x₂ = $- \frac{4}{3}$ + $\frac{5}{3}$ = $\frac{1}{3}$ = 0.33333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $\frac{1}{3}$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x + 12}$ = $- \frac{- 388}{3 x + 12} - 4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

$\frac{x}{3 x + 12}$	=	$\frac{388}{3 x + 12} - 4 x$
$\frac{x}{3 (x + 4)}$	=	$\frac{388}{3 (x + 4)} - 4 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 4)$ weg!

$\frac{x}{3 (x + 4)}$	=	$\frac{388}{3 (x + 4)} - 4 x$	\|⋅( $3 (x + 4)$ )
$\frac{x}{3 (x + 4)} \cdot (3 (x + 4))$	=	$\frac{388}{3 (x + 4)} \cdot (3 (x + 4)) - 4 x \cdot (3 (x + 4))$
$x$	=	$388 - 12 x \cdot (x + 4)$
$x$	=	$- 12 x^{2} - 48 x + 388$

x

=

- 12 x^{2} - 48 x + 388

|

+ 12 x^{2}

+ 48 x

- 388

$12 x^{2} + 49 x - 388$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 49 \pm \sqrt{49^{2} - 4 \cdot 12 \cdot (- 388)}}{2 \cdot 12}$

x_1,2 = $\frac{- 49 \pm \sqrt{2 401 + 18 624}}{24}$

x_1,2 = $\frac{- 49 \pm \sqrt{21 025}}{24}$

x₁ = $\frac{- 49 + \sqrt{21 025}}{24}$ = $\frac{- 49+145}{24}$ = $\frac{96}{24}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 49 - \sqrt{21 025}}{24}$ = $\frac{- 49-145}{24}$ = $\frac{- 194}{24}$ = $- \frac{97}{12}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $12$ " teilen:

$12 x^{2} + 49 x - 388$ = 0 |: $12$

$x^{2} + \frac{49}{12} x - \frac{97}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{49}{24})}^{2} - (- \frac{97}{3})$ = $\frac{2401}{576}$ $+$ $\frac{97}{3}$ = $\frac{2401}{576}$ $+$ $\frac{18624}{576}$ = $\frac{21025}{576}$

x_1,2 = $- \frac{49}{24}$ ± $\sqrt{\frac{21025}{576}}$

x₁ = $- \frac{49}{24}$ - $\frac{145}{24}$ = $- \frac{194}{24}$ = -8.0833333333333

x₂ = $- \frac{49}{24}$ + $\frac{145}{24}$ = $\frac{96}{24}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{97}{12}$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{1}{x} + \frac{49}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

=	$- \frac{1}{x} + \frac{49}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3} + \frac{49}{x^{3}} \cdot x^{3}$
=	$- x^{2} + 49$

0	=	$- x^{2} + 49$	\|0 $+ x^{2}$
$x^{2}$	=	$49$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{49}$	= $- 7$
x₂	=	$\sqrt{49}$	= $7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $7$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{a}{x}$ = $- 8$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{a}{x}$ = $- 8$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{a}{x}$	=	$- 8$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- 8 \cdot x$
$x^{2} + a$	=	$- 8 x$
$x^{2} + a + 8 x$	=	0
$x^{2} + 8 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 8 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 8 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -10 würde es funktionieren, denn $- (2 - 10)$ = 8

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 10)$ = $- 20$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -20 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 8 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8+12}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8-12}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - (- 20)$ = $16$ $+$ $20$ = $36$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 4$ - $6$ = -10

x₂ = $- 4$ + $6$ = 2

L={ $- 10$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):