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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{2}{x - 1}$ = $- x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $1$

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$- \frac{2}{x - 1}$	=	$- x$	\|⋅( $x - 1$ )
$- \frac{2}{x - 1} \cdot (x - 1)$	=	$- x \cdot (x - 1)$
$- 2$	=	$- x (x - 1)$
$- 2$	=	$- x^{2} + x$

- 2

=

- x^{2} + x

|

+ x^{2}

- x

$x^{2} - x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{17 x - 14}{3 x}$ = $x - 2$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{17 x - 14}{3 x}$	=	$x - 2$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{17 x - 14}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x - 2 \cdot 3 x$
$17 x - 14$	=	$3 x \cdot x - 6 x$

17 x - 14

=

3 x^{2} - 6 x

|

- 3 x^{2}

+ 6 x

$- 3 x^{2} + 23 x - 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{23^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 14)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{529 - 168}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{361}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 23 + \sqrt{361}}{- 6}$ = $\frac{- 23+19}{- 6}$ = $\frac{- 4}{- 6}$ = $\frac{2}{3}$ ≈ 0.67

x₂ = $\frac{- 23 - \sqrt{361}}{- 6}$ = $\frac{- 23-19}{- 6}$ = $\frac{- 42}{- 6}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + 23 x - 14$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{23}{3} x + \frac{14}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{23}{6})}^{2} - (\frac{14}{3})$ = $\frac{529}{36}$ $-$ $\frac{14}{3}$ = $\frac{529}{36}$ $-$ $\frac{168}{36}$ = $\frac{361}{36}$

x_1,2 = $\frac{23}{6}$ ± $\sqrt{\frac{361}{36}}$

x₁ = $\frac{23}{6}$ - $\frac{19}{6}$ = $\frac{4}{6}$ = 0.66666666666667

x₂ = $\frac{23}{6}$ + $\frac{19}{6}$ = $\frac{42}{6}$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{2}{3}$ ; $7$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$1$ = $- \frac{- 2 x}{3 x - 2} - x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $\frac{2}{3}$

D=R\{ $\frac{2}{3}$ }

1

=

\frac{2 x}{3 x - 2} - x

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 2$ weg!

$1$	=	$\frac{2 x}{3 x - 2} - x$	\|⋅( $3 x - 2$ )
$1 \cdot (3 x - 2)$	=	$\frac{2 x}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2) - x \cdot (3 x - 2)$
$3 x - 2$	=	$2 x - x (3 x - 2)$
$3 x - 2$	=	$- 3 x^{2} + 4 x$

3 x - 2

=

- 3 x^{2} + 4 x

|

+ 3 x^{2}

- 4 x

$3 x^{2} - x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{6}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{6}$ = $\frac{1+5}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = $1$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{6}$ = $\frac{1-5}{6}$ = $\frac{- 4}{6}$ = $- \frac{2}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - x - 2$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{1}{3} x - \frac{2}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{6})}^{2} - (- \frac{2}{3})$ = $\frac{1}{36}$ $+$ $\frac{2}{3}$ = $\frac{1}{36}$ $+$ $\frac{24}{36}$ = $\frac{25}{36}$

x_1,2 = $\frac{1}{6}$ ± $\sqrt{\frac{25}{36}}$

x₁ = $\frac{1}{6}$ - $\frac{5}{6}$ = $- \frac{4}{6}$ = -0.66666666666667

x₂ = $\frac{1}{6}$ + $\frac{5}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{2}{3}$ ; $1$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x - 15} + x$ = $- \frac{- 4,8}{x - 3}$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

\frac{x}{5 (x - 3)} + x

=

\frac{4,8}{x - 3}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x - 3)$ weg!

$\frac{x}{5 (x - 3)} + x$	=	$\frac{4,8}{x - 3}$	\|⋅( $5 (x - 3)$ )
$\frac{x}{5 (x - 3)} \cdot (5 (x - 3)) + x \cdot (5 (x - 3))$	=	$\frac{4,8}{x - 3} \cdot (5 (x - 3))$
$x + 5 x (x - 3)$	=	$24$
$x + (5 x^{2} - 15 x)$	=	$24$
$5 x^{2} - 14 x$	=	$24$

5 x^{2} - 14 x

=

24

|

- 24

$5 x^{2} - 14 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 + 480}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{676}}{10}$

x₁ = $\frac{14 + \sqrt{676}}{10}$ = $\frac{14+26}{10}$ = $\frac{40}{10}$ = $4$

x₂ = $\frac{14 - \sqrt{676}}{10}$ = $\frac{14-26}{10}$ = $\frac{- 12}{10}$ = $- 1,2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 14 x - 24$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{14}{5} x - \frac{24}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{5})}^{2} - (- \frac{24}{5})$ = $\frac{49}{25}$ $+$ $\frac{24}{5}$ = $\frac{49}{25}$ $+$ $\frac{120}{25}$ = $\frac{169}{25}$

x_1,2 = $\frac{7}{5}$ ± $\sqrt{\frac{169}{25}}$

x₁ = $\frac{7}{5}$ - $\frac{13}{5}$ = $- \frac{6}{5}$ = -1.2

x₂ = $\frac{7}{5}$ + $\frac{13}{5}$ = $\frac{20}{5}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1,2$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x^{2}}$ = $- 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$- \frac{1}{x^{2}}$	=	$- 1$	\|⋅( $x^{2}$ )
$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2}$
$- 1$	=	$- x^{2}$

$- 1$	=	$- x^{2}$	\| $+ 1$ $+ x^{2}$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{12}{x} + a$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{12}{x} + a$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{12}{x} + a$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{12}{x} \cdot x + a \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$12 + a x$	=	$- x^{2}$
$12 + a x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x + 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 6$ = 12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 6)$ = $- 8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

L={ $2$ ; $6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):