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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{12}{x - 5}$ = $3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $5$

D=R\{ $5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

$- \frac{12}{x - 5}$	=	$3 x$	\|⋅( $x - 5$ )
$- \frac{12}{x - 5} \cdot (x - 5)$	=	$3 x \cdot (x - 5)$
$- 12$	=	$3 x (x - 5)$
$- 12$	=	$3 x^{2} - 15 x$

- 12

=

3 x^{2} - 15 x

|

- 3 x^{2}

+ 15 x

- 3 x^{2} + 15 x - 12

= 0 |:3

$- x^{2} + 5 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 5+3}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 5-3}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 5 x - 4$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 5 x + 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{3 x + 2}{x + 4}$ = $x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 4$

D=R\{ $- 4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 4$ weg!

$\frac{3 x + 2}{x + 4}$	=	$x$	\|⋅( $x + 4$ )
$\frac{3 x + 2}{x + 4} \cdot (x + 4)$	=	$x \cdot (x + 4)$
$3 x + 2$	=	$x (x + 4)$
$3 x + 2$	=	$x^{2} + 4 x$

3 x + 2

=

x^{2} + 4 x

|

- x^{2}

- 4 x

$- x^{2} - x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 2}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{1+3}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{1-3}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - x + 2$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + x - 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 15 x}{x + 4} - 4$ = $- x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 4$

D=R\{ $- 4$ }

- \frac{15 x}{x + 4} - 4

=

- x

Wir multiplizieren den Nenner $x + 4$ weg!

$- \frac{15 x}{x + 4} - 4$	=	$- x$	\|⋅( $x + 4$ )
$- \frac{15 x}{x + 4} \cdot (x + 4) - 4 \cdot (x + 4)$	=	$- x \cdot (x + 4)$
$- 15 x - 4 x - 16$	=	$- x (x + 4)$
$- 19 x - 16$	=	$- x^{2} - 4 x$

- 19 x - 16

=

- x^{2} - 4 x

|

+ x^{2}

+ 4 x

$x^{2} - 15 x - 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 16)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 + 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{289}}{2}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{15+17}{2}$ = $\frac{32}{2}$ = $16$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{15-17}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{15}{2})}^{2} - (- 16)$ = $\frac{225}{4}$ $+$ $16$ = $\frac{225}{4}$ $+$ $\frac{64}{4}$ = $\frac{289}{4}$

x_1,2 = $\frac{15}{2}$ ± $\sqrt{\frac{289}{4}}$

x₁ = $\frac{15}{2}$ - $\frac{17}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{15}{2}$ + $\frac{17}{2}$ = $\frac{32}{2}$ = 16

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $16$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{14}{x - 3}$ = $- \frac{x}{2 x - 6} + 4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

\frac{14}{x - 3}

=

- \frac{x}{2 (x - 3)} + 4 x

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 3)$ weg!

$\frac{14}{x - 3}$	=	$- \frac{x}{2 (x - 3)} + 4 x$	\|⋅( $2 (x - 3)$ )
$\frac{14}{x - 3} \cdot (2 (x - 3))$	=	$- \frac{x}{2 (x - 3)} \cdot (2 (x - 3)) + 4 x \cdot (2 (x - 3))$
$28$	=	$- x + 8 x (x - 3)$
$28$	=	$8 x^{2} - 25 x$

28

=

8 x^{2} - 25 x

|

- 8 x^{2}

+ 25 x

$- 8 x^{2} + 25 x + 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{25^{2} - 4 \cdot (- 8) \cdot 28}}{2 \cdot (- 8)}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{625 + 896}}{- 16}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{1 521}}{- 16}$

x₁ = $\frac{- 25 + \sqrt{1 521}}{- 16}$ = $\frac{- 25+39}{- 16}$ = $\frac{14}{- 16}$ = $- 0,875$

x₂ = $\frac{- 25 - \sqrt{1 521}}{- 16}$ = $\frac{- 25-39}{- 16}$ = $\frac{- 64}{- 16}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 8$ " teilen:

$- 8 x^{2} + 25 x + 28$ = 0 |: $- 8$

$x^{2} - \frac{25}{8} x - \frac{7}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{25}{16})}^{2} - (- \frac{7}{2})$ = $\frac{625}{256}$ $+$ $\frac{7}{2}$ = $\frac{625}{256}$ $+$ $\frac{896}{256}$ = $\frac{1521}{256}$

x_1,2 = $\frac{25}{16}$ ± $\sqrt{\frac{1521}{256}}$

x₁ = $\frac{25}{16}$ - $\frac{39}{16}$ = $- \frac{14}{16}$ = -0.875

x₂ = $\frac{25}{16}$ + $\frac{39}{16}$ = $\frac{64}{16}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,875$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- 1 + \frac{7}{x} + \frac{30}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

=	$- 1 + \frac{7}{x} + \frac{30}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
=	$- 1 \cdot x^{2} + \frac{7}{x} \cdot x^{2} + \frac{30}{x^{2}} \cdot x^{2}$
=	$- x^{2} + 7 x + 30$

0

=

- x^{2} + 7 x + 30

|

+ x^{2}

- 7 x

- 30

$x^{2} - 7 x - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{7+13}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{7-13}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - (- 30)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $30$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $10$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} - 8$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} - 8$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} - 8$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x - 8 \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a - 8 x$	=	$- x^{2}$
$a - 8 x + x^{2}$	=	0
$x^{2} - 8 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 8 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -8 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 6 würde es funktionieren, denn $- (2 + 6)$ = -8

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 6$ = $12$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 12 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

L={ $2$ ; $6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):