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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{27}{x}$ = $3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{27}{x}$	=	$3 x$	\|⋅( $x$ )
$\frac{27}{x} \cdot x$	=	$3 x \cdot x$
$27$	=	$3 x \cdot x$
$27$	=	$3 x^{2}$

$27$	=	$3 x^{2}$	\| $- 27$ $- 3 x^{2}$
$- 3 x^{2}$	=	$- 27$	\|: $(- 3)$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$3 + \frac{1}{x}$ = $x + 3$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$3 + \frac{1}{x}$	=	$x + 3$	\|⋅( $x$ )
$3 \cdot x + \frac{1}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 3 \cdot x$
$3 x + 1$	=	$x \cdot x + 3 x$

$3 x + 1$	=	$x^{2} + 3 x$	\| $- 1$ $- x^{2}$ $- 3 x$
$- x^{2}$	=	$- 1$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

0 = $- \frac{- 2 x}{3 x - 5} - x - 2$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $\frac{5}{3}$

D=R\{ $\frac{5}{3}$ }

0

=

\frac{2 x}{3 x - 5} - x - 2

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 5$ weg!

=	$\frac{2 x}{3 x - 5} - x - 2$	\|⋅( $3 x - 5$ )
=	$\frac{2 x}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5) - x \cdot (3 x - 5) - 2 \cdot (3 x - 5)$
=	$2 x - x (3 x - 5) - 6 x + 10$
=	$- 3 x^{2} + x + 10$

0

=

- 3 x^{2} + x + 10

|

+ 3 x^{2}

- x

- 10

$3 x^{2} - x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{121}}{6}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{1+11}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{1-11}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - x - 10$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{1}{3} x - \frac{10}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{6})}^{2} - (- \frac{10}{3})$ = $\frac{1}{36}$ $+$ $\frac{10}{3}$ = $\frac{1}{36}$ $+$ $\frac{120}{36}$ = $\frac{121}{36}$

x_1,2 = $\frac{1}{6}$ ± $\sqrt{\frac{121}{36}}$

x₁ = $\frac{1}{6}$ - $\frac{11}{6}$ = $- \frac{10}{6}$ = -1.6666666666667

x₂ = $\frac{1}{6}$ + $\frac{11}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{5}{3}$ ; $2$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{70}{6 x + 18} - 3 x$ = $- \frac{x}{3 x + 9}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

$\frac{70}{6 x + 18} - 3 x$	=	$\frac{- x}{3 x + 9}$
$\frac{70}{6 (x + 3)} - 3 x$	=	$\frac{- x}{3 (x + 3)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 3)$ weg!

$\frac{70}{6 (x + 3)} - 3 x$	=	$\frac{- x}{3 (x + 3)}$	\|⋅( $3 (x + 3)$ )
$\frac{70}{6 (x + 3)} \cdot (3 (x + 3)) - 3 x \cdot (3 (x + 3))$	=	$\frac{- x}{3 (x + 3)} \cdot (3 (x + 3))$
$35 - 9 x (x + 3)$	=	$- x$
$35 + (- 9 x^{2} - 27 x)$	=	$- x$
$- 9 x^{2} - 27 x + 35$	=	$- x$

- 9 x^{2} - 27 x + 35

=

- x

|

+ x

$- 9 x^{2} - 26 x + 35$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{{(- 26)}^{2} - 4 \cdot (- 9) \cdot 35}}{2 \cdot (- 9)}$

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{676 + 1 260}}{- 18}$

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{1 936}}{- 18}$

x₁ = $\frac{26 + \sqrt{1 936}}{- 18}$ = $\frac{26+44}{- 18}$ = $\frac{70}{- 18}$ = $- \frac{35}{9}$ ≈ -3.89

x₂ = $\frac{26 - \sqrt{1 936}}{- 18}$ = $\frac{26-44}{- 18}$ = $\frac{- 18}{- 18}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 9$ " teilen:

$- 9 x^{2} - 26 x + 35$ = 0 |: $- 9$

$x^{2} + \frac{26}{9} x - \frac{35}{9}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{9})}^{2} - (- \frac{35}{9})$ = $\frac{169}{81}$ $+$ $\frac{35}{9}$ = $\frac{169}{81}$ $+$ $\frac{315}{81}$ = $\frac{484}{81}$

x_1,2 = $- \frac{13}{9}$ ± $\sqrt{\frac{484}{81}}$

x₁ = $- \frac{13}{9}$ - $\frac{22}{9}$ = $- \frac{35}{9}$ = -3.8888888888889

x₂ = $- \frac{13}{9}$ + $\frac{22}{9}$ = $\frac{9}{9}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{35}{9}$ ; $1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x} + \frac{5}{x^{2}}$ = $\frac{36}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x} + \frac{5}{x^{2}}$	=	$\frac{36}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3} + \frac{5}{x^{2}} \cdot x^{3}$	=	$\frac{36}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$x^{2} + 5 x$	=	$36$

x^{2} + 5 x

=

36

|

- 36

$x^{2} + 5 x - 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 36)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 144}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 5+13}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 5-13}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 36)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $36$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{144}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- 5 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- 5 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- 5 + \frac{a}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$- 5 \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 5 x + a$	=	$- x^{2}$
$- 5 x + a + x^{2}$	=	0
$x^{2} - 5 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 5 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -5 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 3 würde es funktionieren, denn $- (2 + 3)$ = -5

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 3$ = $6$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

L={ $2$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):