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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{4}{x + 1}$ = $2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 1$

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{4}{x + 1}$	=	$2 x$	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{4}{x + 1} \cdot (x + 1)$	=	$2 x \cdot (x + 1)$
$4$	=	$2 x (x + 1)$
$4$	=	$2 x^{2} + 2 x$

4

=

2 x^{2} + 2 x

|

- 2 x^{2}

- 2 x

- 2 x^{2} - 2 x + 4

= 0 |:2

$- x^{2} - x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 2}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{1+3}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{1-3}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - x + 2$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + x - 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x + 4$ = $\frac{- 7 x + 6}{4 x}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$x + 4$	=	$\frac{- 7 x + 6}{4 x}$	\|⋅( $4 x$ )
$x \cdot 4 x + 4 \cdot 4 x$	=	$\frac{- 7 x + 6}{4 x} \cdot 4 x$
$4 x \cdot x + 16 x$	=	$- 7 x + 6$
$4 x^{2} + 16 x$	=	$- 7 x + 6$

4 x^{2} + 16 x

=

- 7 x + 6

|

+ 7 x

- 6

$4 x^{2} + 23 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{23^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{529 + 96}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{625}}{8}$

x₁ = $\frac{- 23 + \sqrt{625}}{8}$ = $\frac{- 23+25}{8}$ = $\frac{2}{8}$ = $0,25$

x₂ = $\frac{- 23 - \sqrt{625}}{8}$ = $\frac{- 23-25}{8}$ = $\frac{- 48}{8}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 23 x - 6$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{23}{4} x - \frac{3}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{23}{8})}^{2} - (- \frac{3}{2})$ = $\frac{529}{64}$ $+$ $\frac{3}{2}$ = $\frac{529}{64}$ $+$ $\frac{96}{64}$ = $\frac{625}{64}$

x_1,2 = $- \frac{23}{8}$ ± $\sqrt{\frac{625}{64}}$

x₁ = $- \frac{23}{8}$ - $\frac{25}{8}$ = $- \frac{48}{8}$ = -6

x₂ = $- \frac{23}{8}$ + $\frac{25}{8}$ = $\frac{2}{8}$ = 0.25

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $0,25$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$5$ = $- \frac{16}{2 x - 2} - x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $1$

D=R\{ $1$ }

$5$	=	$- \frac{16}{2 x - 2} - x$
$5$	=	$- \frac{16}{2 (x - 1)} - x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$5$	=	$- \frac{16}{2 (x - 1)} - x$	\|⋅( $x - 1$ )
$5 \cdot (x - 1)$	=	$\frac{- 16}{2 (x - 1)} \cdot (x - 1) - x \cdot (x - 1)$
$5 (x - 1)$	=	$- 8 - x (x - 1)$
$5 x - 5$	=	$- 8 - x (x - 1)$
$5 x - 5$	=	$- x^{2} + x - 8$

5 x - 5

=

- x^{2} + x - 8

|

+ x^{2}

- x

+ 8

$x^{2} + 4 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4+2}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4-2}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 2$ - $1$ = -3

x₂ = $- 2$ + $1$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 1$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{4 x - 12} + \frac{- 17}{2 x - 6} - 4 x$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

$\frac{x}{4 x - 12} - \frac{17}{2 x - 6} - 4 x$	=	0
$\frac{x}{4 (x - 3)} - \frac{17}{2 (x - 3)} - 4 x$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x - 3)$ weg!

$\frac{x}{4 (x - 3)} - \frac{17}{2 (x - 3)} - 4 x$	=	\|⋅( $4 (x - 3)$ )
$\frac{x}{4 (x - 3)} \cdot (4 (x - 3)) + \frac{- 17}{2 (x - 3)} \cdot (4 (x - 3)) - 4 x \cdot (4 (x - 3))$	=
$x - 34 - 16 x (x - 3)$	=
$x - 34 + (- 16 x^{2} + 48 x)$	=
$- 16 x^{2} + 49 x - 34$	=

$- 16 x^{2} + 49 x - 34$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 49 \pm \sqrt{49^{2} - 4 \cdot (- 16) \cdot (- 34)}}{2 \cdot (- 16)}$

x_1,2 = $\frac{- 49 \pm \sqrt{2 401 - 2 176}}{- 32}$

x_1,2 = $\frac{- 49 \pm \sqrt{225}}{- 32}$

x₁ = $\frac{- 49 + \sqrt{225}}{- 32}$ = $\frac{- 49+15}{- 32}$ = $\frac{- 34}{- 32}$ = $\frac{17}{16}$ ≈ 1.06

x₂ = $\frac{- 49 - \sqrt{225}}{- 32}$ = $\frac{- 49-15}{- 32}$ = $\frac{- 64}{- 32}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 16$ " teilen:

$- 16 x^{2} + 49 x - 34$ = 0 |: $- 16$

$x^{2} - \frac{49}{16} x + \frac{17}{8}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{49}{32})}^{2} - (\frac{17}{8})$ = $\frac{2401}{1024}$ $-$ $\frac{17}{8}$ = $\frac{2401}{1024}$ $-$ $\frac{2176}{1024}$ = $\frac{225}{1024}$

x_1,2 = $\frac{49}{32}$ ± $\sqrt{\frac{225}{1024}}$

x₁ = $\frac{49}{32}$ - $\frac{15}{32}$ = $\frac{34}{32}$ = 1.0625

x₂ = $\frac{49}{32}$ + $\frac{15}{32}$ = $\frac{64}{32}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{17}{16}$ ; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 - \frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}}$	=	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{4}{x} \cdot x^{2} + \frac{4}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=
$x^{2} - 4 x + 4$	=

$x^{2} - 4 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $2$ ± 0 = $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- 5 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- 5 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- 5 + x$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$- 5 \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$- 5 x + x^{2}$	=	$- a$
$- 5 x + x^{2} + a$	=	0
$x^{2} - 5 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 5 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -5 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 3 würde es funktionieren, denn $- (2 + 3)$ = -5

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 3$ = $6$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

L={ $2$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):