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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{4 x}{x + 1}$ = $2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 1$

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{- 4 x}{x + 1}$	=	$2 x$	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{- 4 x}{x + 1} \cdot (x + 1)$	=	$2 x \cdot (x + 1)$
$- \frac{4 x}{1}$	=	$2 x (x + 1)$
$- 4 x$	=	$2 x (x + 1)$
$- 4 x$	=	$2 x^{2} + 2 x$

$- 4 x$	=	$2 x^{2} + 2 x$	\| $- (2 x^{2} + 2 x)$
$- 2 x^{2} - 4 x - 2 x$	=	0
$- 2 x^{2} - 6 x$	=	0
$- 2 x (x + 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₂	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; 0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{17 x - 2}{x + 4}$ = $3 x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 4$

D=R\{ $- 4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 4$ weg!

$\frac{17 x - 2}{x + 4}$	=	$3 x$	\|⋅( $x + 4$ )
$\frac{17 x - 2}{x + 4} \cdot (x + 4)$	=	$3 x \cdot (x + 4)$
$17 x - 2$	=	$3 x (x + 4)$
$17 x - 2$	=	$3 x^{2} + 12 x$

17 x - 2

=

3 x^{2} + 12 x

|

- 3 x^{2}

- 12 x

$- 3 x^{2} + 5 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{- 6}$ = $\frac{- 5+1}{- 6}$ = $\frac{- 4}{- 6}$ = $\frac{2}{3}$ ≈ 0.67

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{- 6}$ = $\frac{- 5-1}{- 6}$ = $\frac{- 6}{- 6}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + 5 x - 2$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{5}{3} x + \frac{2}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{6})}^{2} - (\frac{2}{3})$ = $\frac{25}{36}$ $-$ $\frac{2}{3}$ = $\frac{25}{36}$ $-$ $\frac{24}{36}$ = $\frac{1}{36}$

x_1,2 = $\frac{5}{6}$ ± $\sqrt{\frac{1}{36}}$

x₁ = $\frac{5}{6}$ - $\frac{1}{6}$ = $\frac{4}{6}$ = 0.66666666666667

x₂ = $\frac{5}{6}$ + $\frac{1}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{2}{3}$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- 3$ = $- \frac{5}{2 x + 5} - x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- \frac{5}{2}$

D=R\{ $- \frac{5}{2}$ }

- 3

=

- \frac{5}{2 x + 5} - x

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 5$ weg!

$- 3$	=	$- \frac{5}{2 x + 5} - x$	\|⋅( $2 x + 5$ )
$- 3 \cdot (2 x + 5)$	=	$- \frac{5}{2 x + 5} \cdot (2 x + 5) - x \cdot (2 x + 5)$
$- 3 (2 x + 5)$	=	$- 5 - x (2 x + 5)$
$- 6 x - 15$	=	$- 5 - x (2 x + 5)$
$- 6 x - 15$	=	$- 2 x^{2} - 5 x - 5$

- 6 x - 15

=

- 2 x^{2} - 5 x - 5

|

+ 2 x^{2}

+ 5 x

+ 5

$2 x^{2} - x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{81}}{4}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{1+9}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = $2,5$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{1-9}{4}$ = $\frac{- 8}{4}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - x - 10$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{1}{2} x - 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{4})}^{2} - (- 5)$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $5$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{80}{16}$ = $\frac{81}{16}$

x_1,2 = $\frac{1}{4}$ ± $\sqrt{\frac{81}{16}}$

x₁ = $\frac{1}{4}$ - $\frac{9}{4}$ = $- \frac{8}{4}$ = -2

x₂ = $\frac{1}{4}$ + $\frac{9}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = 2.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $2,5$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{4 x + 16} - 3 x$ = $- \frac{124,5}{2 x + 8}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

\frac{x}{4 (x + 4)} - 3 x

=

- \frac{124,5}{2 (x + 4)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 4)$ weg!

$\frac{x}{4 (x + 4)} - 3 x$	=	$- \frac{124,5}{2 (x + 4)}$	\|⋅( $4 (x + 4)$ )
$\frac{x}{4 (x + 4)} \cdot (4 (x + 4)) - 3 x \cdot (4 (x + 4))$	=	$- \frac{124,5}{2 (x + 4)} \cdot (4 (x + 4))$
$x - 12 x (x + 4)$	=	$- 249$
$x + (- 12 x^{2} - 48 x)$	=	$- 249$
$- 12 x^{2} - 47 x$	=	$- 249$

- 12 x^{2} - 47 x

=

- 249

|

+ 249

$- 12 x^{2} - 47 x + 249$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 47 \pm \sqrt{{(- 47)}^{2} - 4 \cdot (- 12) \cdot 249}}{2 \cdot (- 12)}$

x_1,2 = $\frac{+ 47 \pm \sqrt{2 209 + 11 952}}{- 24}$

x_1,2 = $\frac{+ 47 \pm \sqrt{14 161}}{- 24}$

x₁ = $\frac{47 + \sqrt{14 161}}{- 24}$ = $\frac{47+119}{- 24}$ = $\frac{166}{- 24}$ = $- \frac{83}{12}$ ≈ -6.92

x₂ = $\frac{47 - \sqrt{14 161}}{- 24}$ = $\frac{47-119}{- 24}$ = $\frac{- 72}{- 24}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 12$ " teilen:

$- 12 x^{2} - 47 x + 249$ = 0 |: $- 12$

$x^{2} + \frac{47}{12} x - \frac{83}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{47}{24})}^{2} - (- \frac{83}{4})$ = $\frac{2209}{576}$ $+$ $\frac{83}{4}$ = $\frac{2209}{576}$ $+$ $\frac{11952}{576}$ = $\frac{14161}{576}$

x_1,2 = $- \frac{47}{24}$ ± $\sqrt{\frac{14161}{576}}$

x₁ = $- \frac{47}{24}$ - $\frac{119}{24}$ = $- \frac{166}{24}$ = -6.9166666666667

x₂ = $- \frac{47}{24}$ + $\frac{119}{24}$ = $\frac{72}{24}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{83}{12}$ ; $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x}$ = $- \frac{5}{x^{2}} + \frac{24}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x}$	=	$- \frac{5}{x^{2}} + \frac{24}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{5}{x^{2}} \cdot x^{3} + \frac{24}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$x^{2}$	=	$- 5 x + 24$

x^{2}

=

- 5 x + 24

|

+ 5 x

- 24

$x^{2} + 5 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 5+11}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 5-11}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 24)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $24$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{96}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{24}{x} + x$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{24}{x} + x$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{24}{x} + x$	=	$- a$	\|⋅x
$\frac{24}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$24 + x^{2}$	=	$- a x$
$24 + x^{2} + a x$	=	0
$x^{2} + a x + 24$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 24$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 24 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 12 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 12$ = 24

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 12)$ = $- 14$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -14 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 14 x + 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{14 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{14+10}{2}$ = $\frac{24}{2}$ = $12$

x₂ = $\frac{14 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{14-10}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 7)}^{2} - 24$ = $49$ $-$ $24$ = $25$

x_1,2 = $7$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $7$ - $5$ = 2

x₂ = $7$ + $5$ = 12

L={ $2$ ; $12$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):