Mathebattle EduRandomtasks

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{2 x}{x - 3}$ = $- 2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $3$

D=R\{ $3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{2 x}{x - 3}$	=	$- 2 x$	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{2 x}{x - 3} \cdot (x - 3)$	=	$- 2 x \cdot (x - 3)$
$2 x$	=	$- 2 x \cdot (x - 3)$
$2 x$	=	$- 2 x^{2} + 6 x$

$2 x$	=	$- 2 x^{2} + 6 x$	\| $- (- 2 x^{2} + 6 x)$
$2 x^{2} + 2 x - 6 x$	=	0
$2 x^{2} - 4 x$	=	0
$2 x \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x + 1$ = $5 - \frac{4}{x}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x + 1$	=	$5 - \frac{4}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x + 1 \cdot x$	=	$5 \cdot x - \frac{4}{x} \cdot x$
$x \cdot x + x$	=	$5 x - 4$
$x^{2} + x$	=	$5 x - 4$

x^{2} + x

=

5 x - 4

|

- 5 x

+ 4

$x^{2} - 4 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $2$ ± 0 = $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{14}{2 x + 1} + x$ = $5$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- \frac{1}{2}$

D=R\{ $- \frac{1}{2}$ }

\frac{14}{2 x + 1} + x

=

5

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$\frac{14}{2 x + 1} + x$	=	$5$	\|⋅( $2 x + 1$ )
$\frac{14}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) + x \cdot (2 x + 1)$	=	$5 \cdot (2 x + 1)$
$14 + x \cdot (2 x + 1)$	=	$5 (2 x + 1)$
$14 + (2 x^{2} + x)$	=	$5 (2 x + 1)$
$2 x^{2} + x + 14$	=	$10 x + 5$

2 x^{2} + x + 14

=

10 x + 5

|

- 10 x

- 5

$2 x^{2} - 9 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 9}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 72}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{9}}{4}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{9+3}{4}$ = $\frac{12}{4}$ = $3$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{9-3}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = $1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 9 x + 9$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{9}{2} x + \frac{9}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{4})}^{2} - (\frac{9}{2})$ = $\frac{81}{16}$ $-$ $\frac{9}{2}$ = $\frac{81}{16}$ $-$ $\frac{72}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $\frac{9}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $\frac{9}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = 1.5

x₂ = $\frac{9}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $\frac{12}{4}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1,5$ ; $3$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 7,5}{x - 2} + 2 x$ = $- \frac{x}{2 x - 4}$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

$- \frac{7,5}{x - 2} + 2 x$	=	$\frac{- x}{2 x - 4}$
$- \frac{7,5}{x - 2} + 2 x$	=	$\frac{- x}{2 (x - 2)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 2)$ weg!

$- \frac{7,5}{x - 2} + 2 x$	=	$\frac{- x}{2 (x - 2)}$	\|⋅( $2 (x - 2)$ )
$\frac{- 7,5}{x - 2} \cdot (2 (x - 2)) + 2 x \cdot (2 (x - 2))$	=	$\frac{- x}{2 (x - 2)} \cdot (2 (x - 2))$
$- 15 + 4 x \cdot (x - 2)$	=	$- x$
$- 15 + (4 x^{2} - 8 x)$	=	$- x$
$4 x^{2} - 8 x - 15$	=	$- x$

4 x^{2} - 8 x - 15

=

- x

|

+ x

$4 x^{2} - 7 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 240}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{289}}{8}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{289}}{8}$ = $\frac{7+17}{8}$ = $\frac{24}{8}$ = $3$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{289}}{8}$ = $\frac{7-17}{8}$ = $\frac{- 10}{8}$ = $- 1,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 7 x - 15$ = 0 |: $4$

$x^{2} - \frac{7}{4} x - \frac{15}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{8})}^{2} - (- \frac{15}{4})$ = $\frac{49}{64}$ $+$ $\frac{15}{4}$ = $\frac{49}{64}$ $+$ $\frac{240}{64}$ = $\frac{289}{64}$

x_1,2 = $\frac{7}{8}$ ± $\sqrt{\frac{289}{64}}$

x₁ = $\frac{7}{8}$ - $\frac{17}{8}$ = $- \frac{10}{8}$ = -1.25

x₂ = $\frac{7}{8}$ + $\frac{17}{8}$ = $\frac{24}{8}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1,25$ ; $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x - 63}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{2 x - 63}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{2 x - 63}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$
$2 x - 63$	=	$- x^{2}$

2 x - 63

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 2 x - 63$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 63)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 252}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{256}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{- 2+16}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{- 2-16}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 63)$ = $1$ $+$ $63$ = $64$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{64}$

x₁ = $- 1$ - $8$ = -9

x₂ = $- 1$ + $8$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $7$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + x$ = $10$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + x$ = $10$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + x$	=	$10$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$10 \cdot x$
$a + x^{2}$	=	$10 x$
$a + x^{2} - 10 x$	=	0
$x^{2} - 10 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 10 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -10 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 8 würde es funktionieren, denn $- (2 + 8)$ = -10

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 8$ = $16$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 16 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 10 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{10+6}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{10-6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 16$ = $25$ $-$ $16$ = $9$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $5$ - $3$ = 2

x₂ = $5$ + $3$ = 8

L={ $2$ ; $8$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):