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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{45}{x + 2}$ = $- 3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 2$

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$- \frac{45}{x + 2}$	=	$- 3 x$	\|⋅( $x + 2$ )
$- \frac{45}{x + 2} \cdot (x + 2)$	=	$- 3 x \cdot (x + 2)$
$- 45$	=	$- 3 x (x + 2)$
$- 45$	=	$- 3 x^{2} - 6 x$

- 45

=

- 3 x^{2} - 6 x

|

+ 3 x^{2}

+ 6 x

3 x^{2} + 6 x - 45

= 0 |:3

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x$ = $\frac{- 9 x - 12}{x - 1}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $1$

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$x$	=	$\frac{- 9 x - 12}{x - 1}$	\|⋅( $x - 1$ )
$x \cdot (x - 1)$	=	$\frac{- 9 x - 12}{x - 1} \cdot (x - 1)$
$x (x - 1)$	=	$- 9 x - 12$
$x \cdot x + x \cdot (- 1)$	=	$- 9 x - 12$
$x \cdot x - x$	=	$- 9 x - 12$
$x^{2} - x$	=	$- 9 x - 12$

x^{2} - x

=

- 9 x - 12

|

+ 9 x

+ 12

$x^{2} + 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 8+4}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 8-4}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 4$ - $2$ = -6

x₂ = $- 4$ + $2$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $- 2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$4$ = $- \frac{- 34 x}{3 x + 5} - x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- \frac{5}{3}$

D=R\{ $- \frac{5}{3}$ }

4

=

\frac{34 x}{3 x + 5} - x

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 5$ weg!

$4$	=	$\frac{34 x}{3 x + 5} - x$	\|⋅( $3 x + 5$ )
$4 \cdot (3 x + 5)$	=	$\frac{34 x}{3 x + 5} \cdot (3 x + 5) - x \cdot (3 x + 5)$
$4 (3 x + 5)$	=	$34 x - x (3 x + 5)$
$12 x + 20$	=	$34 x - x (3 x + 5)$
$12 x + 20$	=	$- 3 x^{2} + 29 x$

12 x + 20

=

- 3 x^{2} + 29 x

|

+ 3 x^{2}

- 29 x

$3 x^{2} - 17 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 20}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 240}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{49}}{6}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{49}}{6}$ = $\frac{17+7}{6}$ = $\frac{24}{6}$ = $4$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{49}}{6}$ = $\frac{17-7}{6}$ = $\frac{10}{6}$ = $\frac{5}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 17 x + 20$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{17}{3} x + \frac{20}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{6})}^{2} - (\frac{20}{3})$ = $\frac{289}{36}$ $-$ $\frac{20}{3}$ = $\frac{289}{36}$ $-$ $\frac{240}{36}$ = $\frac{49}{36}$

x_1,2 = $\frac{17}{6}$ ± $\sqrt{\frac{49}{36}}$

x₁ = $\frac{17}{6}$ - $\frac{7}{6}$ = $\frac{10}{6}$ = 1.6666666666667

x₂ = $\frac{17}{6}$ + $\frac{7}{6}$ = $\frac{24}{6}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{5}{3}$ ; $4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8,8}{x + 3} - 2 x$ = $- \frac{x}{5 x + 15}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

$\frac{8,8}{x + 3} - 2 x$	=	$\frac{- x}{5 x + 15}$
$\frac{8,8}{x + 3} - 2 x$	=	$\frac{- x}{5 (x + 3)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 3)$ weg!

$\frac{8,8}{x + 3} - 2 x$	=	$\frac{- x}{5 (x + 3)}$	\|⋅( $5 (x + 3)$ )
$\frac{8,8}{x + 3} \cdot (5 (x + 3)) - 2 x \cdot (5 (x + 3))$	=	$\frac{- x}{5 (x + 3)} \cdot (5 (x + 3))$
$44 - 10 x (x + 3)$	=	$- x$
$44 + (- 10 x^{2} - 30 x)$	=	$- x$
$- 10 x^{2} - 30 x + 44$	=	$- x$

- 10 x^{2} - 30 x + 44

=

- x

|

+ x

$- 10 x^{2} - 29 x + 44$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{{(- 29)}^{2} - 4 \cdot (- 10) \cdot 44}}{2 \cdot (- 10)}$

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{841 + 1 760}}{- 20}$

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{2 601}}{- 20}$

x₁ = $\frac{29 + \sqrt{2 601}}{- 20}$ = $\frac{29+51}{- 20}$ = $\frac{80}{- 20}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{29 - \sqrt{2 601}}{- 20}$ = $\frac{29-51}{- 20}$ = $\frac{- 22}{- 20}$ = $1,1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 10$ " teilen:

$- 10 x^{2} - 29 x + 44$ = 0 |: $- 10$

$x^{2} + \frac{29}{10} x - \frac{22}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{29}{20})}^{2} - (- \frac{22}{5})$ = $\frac{841}{400}$ $+$ $\frac{22}{5}$ = $\frac{841}{400}$ $+$ $\frac{1760}{400}$ = $\frac{2601}{400}$

x_1,2 = $- \frac{29}{20}$ ± $\sqrt{\frac{2601}{400}}$

x₁ = $- \frac{29}{20}$ - $\frac{51}{20}$ = $- \frac{80}{20}$ = -4

x₂ = $- \frac{29}{20}$ + $\frac{51}{20}$ = $\frac{22}{20}$ = 1.1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $1,1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- x - 56}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{- x - 56}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{- x - 56}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$- x - 56$	=	$- x^{2}$

- x - 56

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - x - 56$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 56)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 224}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{225}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{1+15}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{1-15}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 56)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $56$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{224}{4}$ = $\frac{225}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{225}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{15}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{15}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $8$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + 1$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + 1$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + 1$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + 1 \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a + x$	=	$- x^{2}$
$a + x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 1 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -3 würde es funktionieren, denn $- (2 - 3)$ = 1

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 3)$ = $- 6$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 3$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):