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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{75}{x}$ = $3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{75}{x}$	=	$3 x$	\|⋅( $x$ )
$\frac{75}{x} \cdot x$	=	$3 x \cdot x$
$75$	=	$3 x \cdot x$
$75$	=	$3 x^{2}$

$75$	=	$3 x^{2}$	\| $- 75$ $- 3 x^{2}$
$- 3 x^{2}$	=	$- 75$	\|: $(- 3)$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{26 x + 12}{x + 1}$ = $4 x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 1$

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{26 x + 12}{x + 1}$	=	$4 x$	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{26 x + 12}{x + 1} \cdot (x + 1)$	=	$4 x \cdot (x + 1)$
$26 x + 12$	=	$4 x \cdot (x + 1)$
$26 x + 12$	=	$4 x^{2} + 4 x$

26 x + 12

=

4 x^{2} + 4 x

|

- 4 x^{2}

- 4 x

- 4 x^{2} + 22 x + 12

= 0 |:2

$- 2 x^{2} + 11 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 6}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 + 48}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{169}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{169}}{- 4}$ = $\frac{- 11+13}{- 4}$ = $\frac{2}{- 4}$ = $- 0,5$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{169}}{- 4}$ = $\frac{- 11-13}{- 4}$ = $\frac{- 24}{- 4}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 11 x + 6$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{11}{2} x - 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{4})}^{2} - (- 3)$ = $\frac{121}{16}$ $+$ $3$ = $\frac{121}{16}$ $+$ $\frac{48}{16}$ = $\frac{169}{16}$

x_1,2 = $\frac{11}{4}$ ± $\sqrt{\frac{169}{16}}$

x₁ = $\frac{11}{4}$ - $\frac{13}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

x₂ = $\frac{11}{4}$ + $\frac{13}{4}$ = $\frac{24}{4}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,5$ ; $6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

0 = $- \frac{2 x}{x + 3} - 2 x - 3$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 3$

D=R\{ $- 3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

=	$- \frac{2 x}{x + 3} - 2 x - 3$	\|⋅( $x + 3$ )
=	$- \frac{2 x}{x + 3} \cdot (x + 3) - 2 x \cdot (x + 3) - 3 \cdot (x + 3)$
=	$- 2 x - 2 x \cdot (x + 3) - 3 x - 9$
=	$- 2 x^{2} - 11 x - 9$

0

=

- 2 x^{2} - 11 x - 9

|

+ 2 x^{2}

+ 11 x

+ 9

$2 x^{2} + 11 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 9}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{49}}{4}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{- 11+7}{4}$ = $\frac{- 4}{4}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{- 11-7}{4}$ = $\frac{- 18}{4}$ = $- 4,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 11 x + 9$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{11}{2} x + \frac{9}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{4})}^{2} - (\frac{9}{2})$ = $\frac{121}{16}$ $-$ $\frac{9}{2}$ = $\frac{121}{16}$ $-$ $\frac{72}{16}$ = $\frac{49}{16}$

x_1,2 = $- \frac{11}{4}$ ± $\sqrt{\frac{49}{16}}$

x₁ = $- \frac{11}{4}$ - $\frac{7}{4}$ = $- \frac{18}{4}$ = -4.5

x₂ = $- \frac{11}{4}$ + $\frac{7}{4}$ = $- \frac{4}{4}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4,5$ ; $- 1$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{2 x - 6} - \frac{86}{x - 3} + 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

0	=	$- \frac{x}{2 x - 6} - \frac{86}{x - 3} + 3 x$
0	=	$- \frac{x}{2 (x - 3)} - \frac{86}{x - 3} + 3 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 3)$ weg!

=	$- \frac{x}{2 (x - 3)} - \frac{86}{x - 3} + 3 x$	\|⋅( $2 (x - 3)$ )
=	$- \frac{x}{2 (x - 3)} \cdot (2 (x - 3)) + \frac{- 86}{x - 3} \cdot (2 (x - 3)) + 3 x \cdot (2 (x - 3))$
=	$- x - 172 + 6 x \cdot (x - 3)$
=	$6 x^{2} - 19 x - 172$

0

=

6 x^{2} - 19 x - 172

|

- 6 x^{2}

+ 19 x

+ 172

$- 6 x^{2} + 19 x + 172$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot (- 6) \cdot 172}}{2 \cdot (- 6)}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 4 128}}{- 12}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{4 489}}{- 12}$

x₁ = $\frac{- 19 + \sqrt{4 489}}{- 12}$ = $\frac{- 19+67}{- 12}$ = $\frac{48}{- 12}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 19 - \sqrt{4 489}}{- 12}$ = $\frac{- 19-67}{- 12}$ = $\frac{- 86}{- 12}$ = $\frac{43}{6}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 6$ " teilen:

$- 6 x^{2} + 19 x + 172$ = 0 |: $- 6$

$x^{2} - \frac{19}{6} x - \frac{86}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{19}{12})}^{2} - (- \frac{86}{3})$ = $\frac{361}{144}$ $+$ $\frac{86}{3}$ = $\frac{361}{144}$ $+$ $\frac{4128}{144}$ = $\frac{4489}{144}$

x_1,2 = $\frac{19}{12}$ ± $\sqrt{\frac{4489}{144}}$

x₁ = $\frac{19}{12}$ - $\frac{67}{12}$ = $- \frac{48}{12}$ = -4

x₂ = $\frac{19}{12}$ + $\frac{67}{12}$ = $\frac{86}{12}$ = 7.1666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $\frac{43}{6}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{9}{x^{3}}$ = $- \frac{14}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{9}{x^{3}}$	=	$- \frac{14}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} + \frac{9}{x^{3}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{14}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$x^{2} + 9 x$	=	$- 14$

x^{2} + 9 x

=

- 14

|

+ 14

$x^{2} + 9 x + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 9+5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 9-5}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - 14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $- 2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + x$ = $\frac{24}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + x$ = $\frac{24}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + x$	=	$\frac{24}{x}$	\|⋅x
$a \cdot x + x \cdot x$	=	$\frac{24}{x} \cdot x$
$a x + x^{2}$	=	$24$
$a x + x^{2} - 24$	=	0
$x^{2} + a x - 24$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 24$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -24 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -12 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 12)$ = -24

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 12)$ = $10$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 10 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 10 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 10+14}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 10-14}{2}$ = $\frac{- 24}{2}$ = $- 12$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - (- 24)$ = $25$ $+$ $24$ = $49$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{49}$

x₁ = $- 5$ - $7$ = -12

x₂ = $- 5$ + $7$ = 2

L={ $- 12$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):