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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{18}{x}$ = $2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{18}{x}$	=	$2 x$	\|⋅( $x$ )
$\frac{18}{x} \cdot x$	=	$2 x \cdot x$
$18$	=	$2 x \cdot x$
$18$	=	$2 x^{2}$

$18$	=	$2 x^{2}$	\| $- 18$ $- 2 x^{2}$
$- 2 x^{2}$	=	$- 18$	\|: $(- 2)$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{23 x + 7}{2 x}$ = $x + 5$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{23 x + 7}{2 x}$	=	$x + 5$	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{23 x + 7}{2 x} \cdot 2 x$	=	$x \cdot 2 x + 5 \cdot 2 x$
$23 x + 7$	=	$2 x \cdot x + 10 x$

23 x + 7

=

2 x^{2} + 10 x

|

- 2 x^{2}

- 10 x

$- 2 x^{2} + 13 x + 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 7}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 56}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{225}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{225}}{- 4}$ = $\frac{- 13+15}{- 4}$ = $\frac{2}{- 4}$ = $- 0,5$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{225}}{- 4}$ = $\frac{- 13-15}{- 4}$ = $\frac{- 28}{- 4}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 13 x + 7$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{13}{2} x - \frac{7}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{4})}^{2} - (- \frac{7}{2})$ = $\frac{169}{16}$ $+$ $\frac{7}{2}$ = $\frac{169}{16}$ $+$ $\frac{56}{16}$ = $\frac{225}{16}$

x_1,2 = $\frac{13}{4}$ ± $\sqrt{\frac{225}{16}}$

x₁ = $\frac{13}{4}$ - $\frac{15}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

x₂ = $\frac{13}{4}$ + $\frac{15}{4}$ = $\frac{28}{4}$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,5$ ; $7$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

0 = $- \frac{18 x}{3 x + 3} - x + 4$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 1$

D=R\{ $- 1$ }

0

=

- \frac{18 x}{3 (x + 1)} - x + 4

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

=	$- \frac{18 x}{3 (x + 1)} - x + 4$	\|⋅( $x + 1$ )
=	$- \frac{18 x}{3 (x + 1)} \cdot (x + 1) - x \cdot (x + 1) + 4 \cdot (x + 1)$
=	$- 6 x - x (x + 1) + 4 x + 4$
=	$- x^{2} - 3 x + 4$

0

=

- x^{2} - 3 x + 4

|

+ x^{2}

+ 3 x

- 4

$x^{2} + 3 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $1$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 60,8}{x + 1}$ = $- \frac{x}{5 x + 5} - 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

- \frac{60,8}{x + 1}

=

- \frac{x}{5 (x + 1)} - 3 x

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 1)$ weg!

$- \frac{60,8}{x + 1}$	=	$- \frac{x}{5 (x + 1)} - 3 x$	\|⋅( $5 (x + 1)$ )
$- \frac{60,8}{x + 1} \cdot (5 (x + 1))$	=	$- \frac{x}{5 (x + 1)} \cdot (5 (x + 1)) - 3 x \cdot (5 (x + 1))$
$- 304$	=	$- x - 15 x (x + 1)$
$- 304$	=	$- 15 x^{2} - 16 x$

- 304

=

- 15 x^{2} - 16 x

|

+ 15 x^{2}

+ 16 x

$15 x^{2} + 16 x - 304$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot 15 \cdot (- 304)}}{2 \cdot 15}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 + 18 240}}{30}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{18 496}}{30}$

x₁ = $\frac{- 16 + \sqrt{18 496}}{30}$ = $\frac{- 16+136}{30}$ = $\frac{120}{30}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 16 - \sqrt{18 496}}{30}$ = $\frac{- 16-136}{30}$ = $\frac{- 152}{30}$ = $- \frac{76}{15}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $15$ " teilen:

$15 x^{2} + 16 x - 304$ = 0 |: $15$

$x^{2} + \frac{16}{15} x - \frac{304}{15}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{8}{15})}^{2} - (- \frac{304}{15})$ = $\frac{64}{225}$ $+$ $\frac{304}{15}$ = $\frac{64}{225}$ $+$ $\frac{4560}{225}$ = $\frac{4624}{225}$

x_1,2 = $- \frac{8}{15}$ ± $\sqrt{\frac{4624}{225}}$

x₁ = $- \frac{8}{15}$ - $\frac{68}{15}$ = $- \frac{76}{15}$ = -5.0666666666667

x₂ = $- \frac{8}{15}$ + $\frac{68}{15}$ = $\frac{60}{15}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{76}{15}$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x}$ = $\frac{6}{x^{2}} - \frac{5}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x}$	=	$\frac{6}{x^{2}} - \frac{5}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3}$	=	$\frac{6}{x^{2}} \cdot x^{3} - \frac{5}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$x^{2}$	=	$6 x - 5$

x^{2}

=

6 x - 5

|

- 6 x

+ 5

$x^{2} - 6 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6+4}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6-4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 5$ = $9$ $-$ $5$ = $4$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $3$ - $2$ = 1

x₂ = $3$ + $2$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $5$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + \frac{12}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + \frac{12}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + \frac{12}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$a \cdot x + \frac{12}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a x + 12$	=	$- x^{2}$
$a x + 12 + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x + 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 6$ = 12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 6)$ = $- 8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

L={ $2$ ; $6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):