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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{4}{x}$ = $x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{4}{x}$	=	$x$	\|⋅( $x$ )
$\frac{4}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x$
$4$	=	$x \cdot x$
$4$	=	$x^{2}$

$4$	=	$x^{2}$	\| $- 4$ $- x^{2}$
$- x^{2}$	=	$- 4$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 8 x + 1}{3 x}$ = $x - 2$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{- 8 x + 1}{3 x}$	=	$x - 2$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{- 8 x + 1}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x - 2 \cdot 3 x$
$- 8 x + 1$	=	$3 x \cdot x - 6 x$

- 8 x + 1

=

3 x^{2} - 6 x

|

- 3 x^{2}

+ 6 x

$- 3 x^{2} - 2 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 1}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{- 6}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{- 6}$ = $\frac{2+4}{- 6}$ = $\frac{6}{- 6}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{- 6}$ = $\frac{2-4}{- 6}$ = $\frac{- 2}{- 6}$ = $\frac{1}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 2 x + 1$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{2}{3} x - \frac{1}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{3})}^{2} - (- \frac{1}{3})$ = $\frac{1}{9}$ $+$ $\frac{1}{3}$ = $\frac{1}{9}$ $+$ $\frac{3}{9}$ = $\frac{4}{9}$

x_1,2 = $- \frac{1}{3}$ ± $\sqrt{\frac{4}{9}}$

x₁ = $- \frac{1}{3}$ - $\frac{2}{3}$ = $- \frac{3}{3}$ = -1

x₂ = $- \frac{1}{3}$ + $\frac{2}{3}$ = $\frac{1}{3}$ = 0.33333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $\frac{1}{3}$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 66}{x + 2} + 2 x + 3$ = 0

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 2$

D=R\{ $- 2$ }

- \frac{66}{x + 2} + 2 x + 3

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$- \frac{66}{x + 2} + 2 x + 3$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$- \frac{66}{x + 2} \cdot (x + 2) + 2 x \cdot (x + 2) + 3 \cdot (x + 2)$	=
$- 66 + 2 x \cdot (x + 2) + 3 x + 6$	=
$- 66 + (2 x^{2} + 4 x) + 3 x + 6$	=
$2 x^{2} + 7 x - 60$	=

$2 x^{2} + 7 x - 60$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 60)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 480}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{529}}{4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{529}}{4}$ = $\frac{- 7+23}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{529}}{4}$ = $\frac{- 7-23}{4}$ = $\frac{- 30}{4}$ = $- 7,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 7 x - 60$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{7}{2} x - 30$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{4})}^{2} - (- 30)$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $30$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $\frac{480}{16}$ = $\frac{529}{16}$

x_1,2 = $- \frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{529}{16}}$

x₁ = $- \frac{7}{4}$ - $\frac{23}{4}$ = $- \frac{30}{4}$ = -7.5

x₂ = $- \frac{7}{4}$ + $\frac{23}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7,5$ ; $4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x + 15} + \frac{- 7,8}{x + 3}$ = $4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

$\frac{x}{5 x + 15} - \frac{7,8}{x + 3}$	=	$4 x$
$\frac{x}{5 (x + 3)} - \frac{7,8}{x + 3}$	=	$4 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 3)$ weg!

$\frac{x}{5 (x + 3)} - \frac{7,8}{x + 3}$	=	$4 x$	\|⋅( $5 (x + 3)$ )
$\frac{x}{5 (x + 3)} \cdot (5 (x + 3)) + \frac{- 7,8}{x + 3} \cdot (5 (x + 3))$	=	$4 x \cdot (5 (x + 3))$
$x - 39$	=	$20 x \cdot (x + 3)$
$x - 39$	=	$20 x^{2} + 60 x$

x - 39

=

20 x^{2} + 60 x

|

- 20 x^{2}

- 60 x

$- 20 x^{2} - 59 x - 39$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 59 \pm \sqrt{{(- 59)}^{2} - 4 \cdot (- 20) \cdot (- 39)}}{2 \cdot (- 20)}$

x_1,2 = $\frac{+ 59 \pm \sqrt{3 481 - 3 120}}{- 40}$

x_1,2 = $\frac{+ 59 \pm \sqrt{361}}{- 40}$

x₁ = $\frac{59 + \sqrt{361}}{- 40}$ = $\frac{59+19}{- 40}$ = $\frac{78}{- 40}$ = $- 1,95$

x₂ = $\frac{59 - \sqrt{361}}{- 40}$ = $\frac{59-19}{- 40}$ = $\frac{40}{- 40}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 20$ " teilen:

$- 20 x^{2} - 59 x - 39$ = 0 |: $- 20$

$x^{2} + \frac{59}{20} x + \frac{39}{20}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{59}{40})}^{2} - (\frac{39}{20})$ = $\frac{3481}{1600}$ $-$ $\frac{39}{20}$ = $\frac{3481}{1600}$ $-$ $\frac{3120}{1600}$ = $\frac{361}{1600}$

x_1,2 = $- \frac{59}{40}$ ± $\sqrt{\frac{361}{1600}}$

x₁ = $- \frac{59}{40}$ - $\frac{19}{40}$ = $- \frac{78}{40}$ = -1.95

x₂ = $- \frac{59}{40}$ + $\frac{19}{40}$ = $- \frac{40}{40}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1,95$ ; $- 1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}$ = $\frac{72}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}$	=	$\frac{72}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{3}$	=	$\frac{72}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$x^{2} + x$	=	$72$

x^{2} + x

=

72

|

- 72

$x^{2} + x - 72$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 72)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 288}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{289}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{- 1+17}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{- 1-17}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 72)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $72$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{288}{4}$ = $\frac{289}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{289}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{17}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{17}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $8$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{a}{x}$ = $- 8$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{a}{x}$ = $- 8$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{a}{x}$	=	$- 8$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- 8 \cdot x$
$x^{2} + a$	=	$- 8 x$
$x^{2} + a + 8 x$	=	0
$x^{2} + 8 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 8 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 8 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -10 würde es funktionieren, denn $- (2 - 10)$ = 8

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 10)$ = $- 20$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -20 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 8 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8+12}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8-12}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - (- 20)$ = $16$ $+$ $20$ = $36$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 4$ - $6$ = -10

x₂ = $- 4$ + $6$ = 2

L={ $- 10$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):