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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{24}{x + 2}$ = $- 3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 2$

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$- \frac{24}{x + 2}$	=	$- 3 x$	\|⋅( $x + 2$ )
$- \frac{24}{x + 2} \cdot (x + 2)$	=	$- 3 x \cdot (x + 2)$
$- 24$	=	$- 3 x \cdot (x + 2)$
$- 24$	=	$- 3 x^{2} - 6 x$

- 24

=

- 3 x^{2} - 6 x

|

+ 3 x^{2}

+ 6 x

3 x^{2} + 6 x - 24

= 0 |:3

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 1$ - $3$ = -4

x₂ = $- 1$ + $3$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{13 x - 1}{4 x}$ = $x + 2$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{13 x - 1}{4 x}$	=	$x + 2$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{13 x - 1}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x + 2 \cdot 4 x$
$13 x - 1$	=	$4 x \cdot x + 8 x$

13 x - 1

=

4 x^{2} + 8 x

|

- 4 x^{2}

- 8 x

$- 4 x^{2} + 5 x - 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 1)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{- 8}$ = $\frac{- 5+3}{- 8}$ = $\frac{- 2}{- 8}$ = $0,25$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{- 8}$ = $\frac{- 5-3}{- 8}$ = $\frac{- 8}{- 8}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 5 x - 1$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - \frac{5}{4} x + \frac{1}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{8})}^{2} - (\frac{1}{4})$ = $\frac{25}{64}$ $-$ $\frac{1}{4}$ = $\frac{25}{64}$ $-$ $\frac{16}{64}$ = $\frac{9}{64}$

x_1,2 = $\frac{5}{8}$ ± $\sqrt{\frac{9}{64}}$

x₁ = $\frac{5}{8}$ - $\frac{3}{8}$ = $\frac{2}{8}$ = 0.25

x₂ = $\frac{5}{8}$ + $\frac{3}{8}$ = $\frac{8}{8}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,25$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$3 x$ = $- \frac{- 77}{x - 3} - 1$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $3$

D=R\{ $3$ }

3 x

=

\frac{77}{x - 3} - 1

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$3 x$	=	$\frac{77}{x - 3} - 1$	\|⋅( $x - 3$ )
$3 x \cdot (x - 3)$	=	$\frac{77}{x - 3} \cdot (x - 3) - 1 \cdot (x - 3)$
$3 x \cdot (x - 3)$	=	$77 - x + 3$
$3 x \cdot x + 3 x \cdot (- 3)$	=	$77 - x + 3$
$3 x \cdot x - 9 x$	=	$77 - x + 3$
$3 x^{2} - 9 x$	=	$- x + 80$

3 x^{2} - 9 x

=

- x + 80

|

+ x

- 80

$3 x^{2} - 8 x - 80$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 80)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 + 960}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{1 024}}{6}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{1 024}}{6}$ = $\frac{8+32}{6}$ = $\frac{40}{6}$ = $\frac{20}{3}$ ≈ 6.67

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{1 024}}{6}$ = $\frac{8-32}{6}$ = $\frac{- 24}{6}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 8 x - 80$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{8}{3} x - \frac{80}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{4}{3})}^{2} - (- \frac{80}{3})$ = $\frac{16}{9}$ $+$ $\frac{80}{3}$ = $\frac{16}{9}$ $+$ $\frac{240}{9}$ = $\frac{256}{9}$

x_1,2 = $\frac{4}{3}$ ± $\sqrt{\frac{256}{9}}$

x₁ = $\frac{4}{3}$ - $\frac{16}{3}$ = $- \frac{12}{3}$ = -4

x₂ = $\frac{4}{3}$ + $\frac{16}{3}$ = $\frac{20}{3}$ = 6.6666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $\frac{20}{3}$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x - 6} + \frac{- 76}{3 x - 6} + 3 x$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

$\frac{x}{3 x - 6} - \frac{76}{3 x - 6} + 3 x$	=	0
$\frac{x}{3 (x - 2)} - \frac{76}{3 (x - 2)} + 3 x$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 2)$ weg!

$\frac{x}{3 (x - 2)} - \frac{76}{3 (x - 2)} + 3 x$	=	\|⋅( $3 (x - 2)$ )
$\frac{x}{3 (x - 2)} \cdot (3 (x - 2)) - \frac{76}{3 (x - 2)} \cdot (3 (x - 2)) + 3 x \cdot (3 (x - 2))$	=
$x - 76 + 9 x \cdot (x - 2)$	=
$x - 76 + (9 x^{2} - 18 x)$	=
$9 x^{2} - 17 x - 76$	=

$9 x^{2} - 17 x - 76$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 9 \cdot (- 76)}}{2 \cdot 9}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 + 2 736}}{18}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{3 025}}{18}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{3 025}}{18}$ = $\frac{17+55}{18}$ = $\frac{72}{18}$ = $4$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{3 025}}{18}$ = $\frac{17-55}{18}$ = $\frac{- 38}{18}$ = $- \frac{19}{9}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $9$ " teilen:

$9 x^{2} - 17 x - 76$ = 0 |: $9$

$x^{2} - \frac{17}{9} x - \frac{76}{9}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{18})}^{2} - (- \frac{76}{9})$ = $\frac{289}{324}$ $+$ $\frac{76}{9}$ = $\frac{289}{324}$ $+$ $\frac{2736}{324}$ = $\frac{3025}{324}$

x_1,2 = $\frac{17}{18}$ ± $\sqrt{\frac{3025}{324}}$

x₁ = $\frac{17}{18}$ - $\frac{55}{18}$ = $- \frac{38}{18}$ = -2.1111111111111

x₂ = $\frac{17}{18}$ + $\frac{55}{18}$ = $\frac{72}{18}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{19}{9}$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x - 18}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{3 x - 18}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{3 x - 18}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$
$3 x - 18$	=	$- x^{2}$

3 x - 18

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 3 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3+9}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3-9}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} - 7$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} - 7$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} - 7$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x - 7 \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a - 7 x$	=	$- x^{2}$
$a - 7 x + x^{2}$	=	0
$x^{2} - 7 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 7 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -7 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 5 würde es funktionieren, denn $- (2 + 5)$ = -7

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 5$ = $10$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 10 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

L={ $2$ ; $5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):