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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{8}{x - 2}$ = $x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $2$

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{8}{x - 2}$	=	$x$	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{8}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=	$x \cdot (x - 2)$
$8$	=	$x \cdot (x - 2)$
$8$	=	$x^{2} - 2 x$

8

=

x^{2} - 2 x

|

- x^{2}

+ 2 x

$- x^{2} + 2 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 8}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 2+6}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 2-6}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 2 x + 8$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 2 x - 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $1$ - $3$ = -2

x₂ = $1$ + $3$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- x + 1}{2 x}$ = $x - 1$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{- x + 1}{2 x}$	=	$x - 1$	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{- x + 1}{2 x} \cdot 2 x$	=	$x \cdot 2 x - 1 \cdot 2 x$
$- x + 1$	=	$2 x \cdot x - 2 x$

- x + 1

=

2 x^{2} - 2 x

|

- 2 x^{2}

+ 2 x

$- 2 x^{2} + x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 1}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{- 4}$ = $\frac{- 1+3}{- 4}$ = $\frac{2}{- 4}$ = $- 0,5$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{- 4}$ = $\frac{- 1-3}{- 4}$ = $\frac{- 4}{- 4}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + x + 1$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{1}{2})$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{8}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $\frac{1}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $\frac{1}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

x₂ = $\frac{1}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,5$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

0 = $- \frac{- 40}{x + 5} - 2 x + 1$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 5$

D=R\{ $- 5$ }

0

=

\frac{40}{x + 5} - 2 x + 1

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

=	$\frac{40}{x + 5} - 2 x + 1$	\|⋅( $x + 5$ )
=	$\frac{40}{x + 5} \cdot (x + 5) - 2 x \cdot (x + 5) + 1 \cdot (x + 5)$
=	$40 - 2 x \cdot (x + 5) + x + 5$
=	$- 2 x^{2} - 9 x + 45$

0

=

- 2 x^{2} - 9 x + 45

|

+ 2 x^{2}

+ 9 x

- 45

$2 x^{2} + 9 x - 45$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 45)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 360}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{441}}{4}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{441}}{4}$ = $\frac{- 9+21}{4}$ = $\frac{12}{4}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{441}}{4}$ = $\frac{- 9-21}{4}$ = $\frac{- 30}{4}$ = $- 7,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 9 x - 45$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{9}{2} x - \frac{45}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{4})}^{2} - (- \frac{45}{2})$ = $\frac{81}{16}$ $+$ $\frac{45}{2}$ = $\frac{81}{16}$ $+$ $\frac{360}{16}$ = $\frac{441}{16}$

x_1,2 = $- \frac{9}{4}$ ± $\sqrt{\frac{441}{16}}$

x₁ = $- \frac{9}{4}$ - $\frac{21}{4}$ = $- \frac{30}{4}$ = -7.5

x₂ = $- \frac{9}{4}$ + $\frac{21}{4}$ = $\frac{12}{4}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7,5$ ; $3$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 17}{x + 2} + 2 x$ = $- \frac{x}{2 x + 4}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

$- \frac{17}{x + 2} + 2 x$	=	$\frac{- x}{2 x + 4}$
$- \frac{17}{x + 2} + 2 x$	=	$\frac{- x}{2 (x + 2)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 2)$ weg!

$- \frac{17}{x + 2} + 2 x$	=	$\frac{- x}{2 (x + 2)}$	\|⋅( $2 (x + 2)$ )
$\frac{- 17}{x + 2} \cdot (2 (x + 2)) + 2 x \cdot (2 (x + 2))$	=	$\frac{- x}{2 (x + 2)} \cdot (2 (x + 2))$
$- 34 + 4 x \cdot (x + 2)$	=	$- x$
$- 34 + (4 x^{2} + 8 x)$	=	$- x$
$4 x^{2} + 8 x - 34$	=	$- x$

4 x^{2} + 8 x - 34

=

- x

|

+ x

$4 x^{2} + 9 x - 34$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 34)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 544}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{625}}{8}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{625}}{8}$ = $\frac{- 9+25}{8}$ = $\frac{16}{8}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{625}}{8}$ = $\frac{- 9-25}{8}$ = $\frac{- 34}{8}$ = $- 4,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 9 x - 34$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{9}{4} x - \frac{17}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{8})}^{2} - (- \frac{17}{2})$ = $\frac{81}{64}$ $+$ $\frac{17}{2}$ = $\frac{81}{64}$ $+$ $\frac{544}{64}$ = $\frac{625}{64}$

x_1,2 = $- \frac{9}{8}$ ± $\sqrt{\frac{625}{64}}$

x₁ = $- \frac{9}{8}$ - $\frac{25}{8}$ = $- \frac{34}{8}$ = -4.25

x₂ = $- \frac{9}{8}$ + $\frac{25}{8}$ = $\frac{16}{8}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4,25$ ; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}}$ = $\frac{64}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}}$	=	$\frac{64}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$	=	$\frac{64}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$x^{2}$	=	$64$

$x^{2}$	=	$64$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{64}$	= $- 8$
x₂	=	$\sqrt{64}$	= $8$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $8$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$3 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$3 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$3 + x$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$3 \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$3 x + x^{2}$	=	$- a$
$3 x + x^{2} + a$	=	0
$x^{2} + 3 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 3 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 3 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -5 würde es funktionieren, denn $- (2 - 5)$ = 3

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 5)$ = $- 10$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -10 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 5$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):