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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{6}{x + 2}$ = $2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 2$

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{6}{x + 2}$	=	$2 x$	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{6}{x + 2} \cdot (x + 2)$	=	$2 x \cdot (x + 2)$
$6$	=	$2 x (x + 2)$
$6$	=	$2 x^{2} + 4 x$

6

=

2 x^{2} + 4 x

|

- 2 x^{2}

- 4 x

- 2 x^{2} - 4 x + 6

= 0 |:2

$- x^{2} - 2 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 3}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{2+4}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{2-4}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 2 x + 3$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 2 x - 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 1$ - $2$ = -3

x₂ = $- 1$ + $2$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{7 x - 6}{2 x}$ = $x - 3$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{7 x - 6}{2 x}$	=	$x - 3$	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{7 x - 6}{2 x} \cdot 2 x$	=	$x \cdot 2 x - 3 \cdot 2 x$
$7 x - 6$	=	$2 x \cdot x - 6 x$

7 x - 6

=

2 x^{2} - 6 x

|

- 2 x^{2}

+ 6 x

$- 2 x^{2} + 13 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 48}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{121}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{121}}{- 4}$ = $\frac{- 13+11}{- 4}$ = $\frac{- 2}{- 4}$ = $0,5$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{121}}{- 4}$ = $\frac{- 13-11}{- 4}$ = $\frac{- 24}{- 4}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 13 x - 6$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{13}{2} x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{4})}^{2} - 3$ = $\frac{169}{16}$ $-$ $3$ = $\frac{169}{16}$ $-$ $\frac{48}{16}$ = $\frac{121}{16}$

x_1,2 = $\frac{13}{4}$ ± $\sqrt{\frac{121}{16}}$

x₁ = $\frac{13}{4}$ - $\frac{11}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

x₂ = $\frac{13}{4}$ + $\frac{11}{4}$ = $\frac{24}{4}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,5$ ; $6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 35}{x + 3} + 3$ = $- 2 x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 3$

D=R\{ $- 3$ }

- \frac{35}{x + 3} + 3

=

- 2 x

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$- \frac{35}{x + 3} + 3$	=	$- 2 x$	\|⋅( $x + 3$ )
$- \frac{35}{x + 3} \cdot (x + 3) + 3 \cdot (x + 3)$	=	$- 2 x \cdot (x + 3)$
$- 35 + 3 x + 9$	=	$- 2 x (x + 3)$
$3 x - 26$	=	$- 2 x^{2} - 6 x$

3 x - 26

=

- 2 x^{2} - 6 x

|

+ 2 x^{2}

+ 6 x

$2 x^{2} + 9 x - 26$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 26)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 208}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{289}}{4}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{- 9+17}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{- 9-17}{4}$ = $\frac{- 26}{4}$ = $- 6,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 9 x - 26$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{9}{2} x - 13$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{4})}^{2} - (- 13)$ = $\frac{81}{16}$ $+$ $13$ = $\frac{81}{16}$ $+$ $\frac{208}{16}$ = $\frac{289}{16}$

x_1,2 = $- \frac{9}{4}$ ± $\sqrt{\frac{289}{16}}$

x₁ = $- \frac{9}{4}$ - $\frac{17}{4}$ = $- \frac{26}{4}$ = -6.5

x₂ = $- \frac{9}{4}$ + $\frac{17}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6,5$ ; $2$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 148}{3 x + 6}$ = $- \frac{x}{3 x + 6} - 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

- \frac{148}{3 (x + 2)}

=

- \frac{x}{3 (x + 2)} - 2 x

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 2)$ weg!

$- \frac{148}{3 (x + 2)}$	=	$- \frac{x}{3 (x + 2)} - 2 x$	\|⋅( $3 (x + 2)$ )
$- \frac{148}{3 (x + 2)} \cdot (3 (x + 2))$	=	$- \frac{x}{3 (x + 2)} \cdot (3 (x + 2)) - 2 x \cdot (3 (x + 2))$
$- 148$	=	$- x - 6 x (x + 2)$
$- 148$	=	$- 6 x^{2} - 13 x$

- 148

=

- 6 x^{2} - 13 x

|

+ 6 x^{2}

+ 13 x

$6 x^{2} + 13 x - 148$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (- 148)}}{2 \cdot 6}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 3 552}}{12}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{3 721}}{12}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{3 721}}{12}$ = $\frac{- 13+61}{12}$ = $\frac{48}{12}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{3 721}}{12}$ = $\frac{- 13-61}{12}$ = $\frac{- 74}{12}$ = $- \frac{37}{6}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $6$ " teilen:

$6 x^{2} + 13 x - 148$ = 0 |: $6$

$x^{2} + \frac{13}{6} x - \frac{74}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{12})}^{2} - (- \frac{74}{3})$ = $\frac{169}{144}$ $+$ $\frac{74}{3}$ = $\frac{169}{144}$ $+$ $\frac{3552}{144}$ = $\frac{3721}{144}$

x_1,2 = $- \frac{13}{12}$ ± $\sqrt{\frac{3721}{144}}$

x₁ = $- \frac{13}{12}$ - $\frac{61}{12}$ = $- \frac{74}{12}$ = -6.1666666666667

x₂ = $- \frac{13}{12}$ + $\frac{61}{12}$ = $\frac{48}{12}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{37}{6}$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8}{x^{2}}$ = $- 1 + \frac{6}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{8}{x^{2}}$	=	$- 1 + \frac{6}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{8}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2} + \frac{6}{x} \cdot x^{2}$
$8$	=	$- x^{2} + 6 x$

8

=

- x^{2} + 6 x

|

+ x^{2}

- 6 x

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $3$ - $1$ = 2

x₂ = $3$ + $1$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ ; $4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- \frac{8}{x} + a$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- \frac{8}{x} + a$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- \frac{8}{x} + a$	=	$- x$	\|⋅x
$- \frac{8}{x} \cdot x + a \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 8 + a x$	=	$- x^{2}$
$- 8 + a x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x - 8$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 8$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -8 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -4 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 4)$ = -8

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 4)$ = $2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 1$ - $3$ = -4

x₂ = $- 1$ + $3$ = 2

L={ $- 4$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):