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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{50}{x}$ = $- 2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{50}{x}$	=	$- 2 x$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{50}{x} \cdot x$	=	$- 2 x \cdot x$
$- 50$	=	$- 2 x \cdot x$
$- 50$	=	$- 2 x^{2}$

$- 50$	=	$- 2 x^{2}$	\| $+ 50$ $+ 2 x^{2}$
$2 x^{2}$	=	$50$	\|: $2$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{5 x + 5}{x - 2}$ = $2 x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $2$

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{5 x + 5}{x - 2}$	=	$2 x$	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{5 x + 5}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=	$2 x \cdot (x - 2)$
$5 x + 5$	=	$2 x \cdot (x - 2)$
$5 x + 5$	=	$2 x^{2} - 4 x$

5 x + 5

=

2 x^{2} - 4 x

|

- 2 x^{2}

+ 4 x

$- 2 x^{2} + 9 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 5}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 40}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{121}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{121}}{- 4}$ = $\frac{- 9+11}{- 4}$ = $\frac{2}{- 4}$ = $- 0,5$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{121}}{- 4}$ = $\frac{- 9-11}{- 4}$ = $\frac{- 20}{- 4}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 9 x + 5$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{9}{2} x - \frac{5}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{4})}^{2} - (- \frac{5}{2})$ = $\frac{81}{16}$ $+$ $\frac{5}{2}$ = $\frac{81}{16}$ $+$ $\frac{40}{16}$ = $\frac{121}{16}$

x_1,2 = $\frac{9}{4}$ ± $\sqrt{\frac{121}{16}}$

x₁ = $\frac{9}{4}$ - $\frac{11}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

x₂ = $\frac{9}{4}$ + $\frac{11}{4}$ = $\frac{20}{4}$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,5$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 15 x}{3 x - 4} + x + 5$ = 0

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $\frac{4}{3}$

D=R\{ $\frac{4}{3}$ }

- \frac{15 x}{3 x - 4} + x + 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 4$ weg!

$- \frac{15 x}{3 x - 4} + x + 5$	=	\|⋅( $3 x - 4$ )
$- \frac{15 x}{3 x - 4} \cdot (3 x - 4) + x \cdot (3 x - 4) + 5 \cdot (3 x - 4)$	=
$- 15 x + x \cdot (3 x - 4) + 15 x - 20$	=
$- 15 x + (3 x^{2} - 4 x) + 15 x - 20$	=
$3 x^{2} - 4 x - 20$	=

$3 x^{2} - 4 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 240}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{256}}{6}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{256}}{6}$ = $\frac{4+16}{6}$ = $\frac{20}{6}$ = $\frac{10}{3}$ ≈ 3.33

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{256}}{6}$ = $\frac{4-16}{6}$ = $\frac{- 12}{6}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 4 x - 20$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{4}{3} x - \frac{20}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{2}{3})}^{2} - (- \frac{20}{3})$ = $\frac{4}{9}$ $+$ $\frac{20}{3}$ = $\frac{4}{9}$ $+$ $\frac{60}{9}$ = $\frac{64}{9}$

x_1,2 = $\frac{2}{3}$ ± $\sqrt{\frac{64}{9}}$

x₁ = $\frac{2}{3}$ - $\frac{8}{3}$ = $- \frac{6}{3}$ = -2

x₂ = $\frac{2}{3}$ + $\frac{8}{3}$ = $\frac{10}{3}$ = 3.3333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $\frac{10}{3}$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{4 x + 16} - \frac{95}{2 x + 8} + 4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

0	=	$- \frac{x}{4 x + 16} - \frac{95}{2 x + 8} + 4 x$
0	=	$- \frac{x}{4 (x + 4)} - \frac{95}{2 (x + 4)} + 4 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 4)$ weg!

=	$- \frac{x}{4 (x + 4)} - \frac{95}{2 (x + 4)} + 4 x$	\|⋅( $4 (x + 4)$ )
=	$- \frac{x}{4 (x + 4)} \cdot (4 (x + 4)) + \frac{- 95}{2 (x + 4)} \cdot (4 (x + 4)) + 4 x \cdot (4 (x + 4))$
=	$- x - 190 + 16 x \cdot (x + 4)$
=	$16 x^{2} + 63 x - 190$

0

=

16 x^{2} + 63 x - 190

|

- 16 x^{2}

- 63 x

+ 190

$- 16 x^{2} - 63 x + 190$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 63 \pm \sqrt{{(- 63)}^{2} - 4 \cdot (- 16) \cdot 190}}{2 \cdot (- 16)}$

x_1,2 = $\frac{+ 63 \pm \sqrt{3 969 + 12 160}}{- 32}$

x_1,2 = $\frac{+ 63 \pm \sqrt{16 129}}{- 32}$

x₁ = $\frac{63 + \sqrt{16 129}}{- 32}$ = $\frac{63+127}{- 32}$ = $\frac{190}{- 32}$ = $- \frac{95}{16}$ ≈ -5.94

x₂ = $\frac{63 - \sqrt{16 129}}{- 32}$ = $\frac{63-127}{- 32}$ = $\frac{- 64}{- 32}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 16$ " teilen:

$- 16 x^{2} - 63 x + 190$ = 0 |: $- 16$

$x^{2} + \frac{63}{16} x - \frac{95}{8}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{63}{32})}^{2} - (- \frac{95}{8})$ = $\frac{3969}{1024}$ $+$ $\frac{95}{8}$ = $\frac{3969}{1024}$ $+$ $\frac{12160}{1024}$ = $\frac{16129}{1024}$

x_1,2 = $- \frac{63}{32}$ ± $\sqrt{\frac{16129}{1024}}$

x₁ = $- \frac{63}{32}$ - $\frac{127}{32}$ = $- \frac{190}{32}$ = -5.9375

x₂ = $- \frac{63}{32}$ + $\frac{127}{32}$ = $\frac{64}{32}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{95}{16}$ ; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 + \frac{9}{x^{2}}$ = $\frac{6}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 + \frac{9}{x^{2}}$	=	$\frac{6}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} + \frac{9}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$\frac{6}{x} \cdot x^{2}$
$x^{2} + 9$	=	$6 x$

x^{2} + 9

=

6 x

|

- 6 x

$x^{2} - 6 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 9$ = $9$ $-$ $9$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $3$ ± 0 = $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x - 5$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x - 5$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x - 5$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x - 5 \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$x^{2} - 5 x$	=	$- a$
$x^{2} - 5 x + a$	=	0
$x^{2} - 5 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 5 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -5 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 3 würde es funktionieren, denn $- (2 + 3)$ = -5

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 3$ = $6$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

L={ $2$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):