Mathebattle EduRandomtasks

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{27}{x}$ = $3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{27}{x}$	=	$3 x$	\|⋅( $x$ )
$\frac{27}{x} \cdot x$	=	$3 x \cdot x$
$27$	=	$3 x \cdot x$
$27$	=	$3 x^{2}$

$27$	=	$3 x^{2}$	\| $- 27$ $- 3 x^{2}$
$- 3 x^{2}$	=	$- 27$	\|: $(- 3)$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$9 - \frac{24}{x}$ = $x - 2$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$9 - \frac{24}{x}$	=	$x - 2$	\|⋅( $x$ )
$9 \cdot x - \frac{24}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 2 \cdot x$
$9 x - 24$	=	$x \cdot x - 2 x$

9 x - 24

=

x^{2} - 2 x

|

- x^{2}

+ 2 x

$- x^{2} + 11 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 24)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 96}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 11+5}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 11-5}{- 2}$ = $\frac{- 16}{- 2}$ = $8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 11 x - 24$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 11 x + 24$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{2})}^{2} - 24$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $24$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{96}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{11}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{11}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ ; $8$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

0 = $- \frac{22}{x + 5} - 3 x + 2$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 5$

D=R\{ $- 5$ }

0

=

- \frac{22}{x + 5} - 3 x + 2

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

=	$- \frac{22}{x + 5} - 3 x + 2$	\|⋅( $x + 5$ )
=	$- \frac{22}{x + 5} \cdot (x + 5) - 3 x \cdot (x + 5) + 2 \cdot (x + 5)$
=	$- 22 - 3 x (x + 5) + 2 x + 10$
=	$- 3 x^{2} - 13 x - 12$

0

=

- 3 x^{2} - 13 x - 12

|

+ 3 x^{2}

+ 13 x

+ 12

$3 x^{2} + 13 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 12}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 144}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{25}}{6}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{25}}{6}$ = $\frac{- 13+5}{6}$ = $\frac{- 8}{6}$ = $- \frac{4}{3}$ ≈ -1.33

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{25}}{6}$ = $\frac{- 13-5}{6}$ = $\frac{- 18}{6}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 13 x + 12$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{13}{3} x + 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{6})}^{2} - 4$ = $\frac{169}{36}$ $-$ $4$ = $\frac{169}{36}$ $-$ $\frac{144}{36}$ = $\frac{25}{36}$

x_1,2 = $- \frac{13}{6}$ ± $\sqrt{\frac{25}{36}}$

x₁ = $- \frac{13}{6}$ - $\frac{5}{6}$ = $- \frac{18}{6}$ = -3

x₂ = $- \frac{13}{6}$ + $\frac{5}{6}$ = $- \frac{8}{6}$ = -1.3333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- \frac{4}{3}$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6,5}{x + 3}$ = $- \frac{x}{4 x + 12} - 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

\frac{6,5}{x + 3}

=

- \frac{x}{4 (x + 3)} - 3 x

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 3)$ weg!

$\frac{6,5}{x + 3}$	=	$- \frac{x}{4 (x + 3)} - 3 x$	\|⋅( $4 (x + 3)$ )
$\frac{6,5}{x + 3} \cdot (4 (x + 3))$	=	$- \frac{x}{4 (x + 3)} \cdot (4 (x + 3)) - 3 x \cdot (4 (x + 3))$
$26$	=	$- x - 12 x (x + 3)$
$26$	=	$- 12 x^{2} - 37 x$

26

=

- 12 x^{2} - 37 x

|

+ 12 x^{2}

+ 37 x

$12 x^{2} + 37 x + 26$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 37 \pm \sqrt{37^{2} - 4 \cdot 12 \cdot 26}}{2 \cdot 12}$

x_1,2 = $\frac{- 37 \pm \sqrt{1 369 - 1 248}}{24}$

x_1,2 = $\frac{- 37 \pm \sqrt{121}}{24}$

x₁ = $\frac{- 37 + \sqrt{121}}{24}$ = $\frac{- 37+11}{24}$ = $\frac{- 26}{24}$ = $- \frac{13}{12}$ ≈ -1.08

x₂ = $\frac{- 37 - \sqrt{121}}{24}$ = $\frac{- 37-11}{24}$ = $\frac{- 48}{24}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $12$ " teilen:

$12 x^{2} + 37 x + 26$ = 0 |: $12$

$x^{2} + \frac{37}{12} x + \frac{13}{6}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{37}{24})}^{2} - (\frac{13}{6})$ = $\frac{1369}{576}$ $-$ $\frac{13}{6}$ = $\frac{1369}{576}$ $-$ $\frac{1248}{576}$ = $\frac{121}{576}$

x_1,2 = $- \frac{37}{24}$ ± $\sqrt{\frac{121}{576}}$

x₁ = $- \frac{37}{24}$ - $\frac{11}{24}$ = $- \frac{48}{24}$ = -2

x₂ = $- \frac{37}{24}$ + $\frac{11}{24}$ = $- \frac{26}{24}$ = -1.0833333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- \frac{13}{12}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{9}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$- \frac{9}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$- \frac{9}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$
$- 9$	=	$- x^{2}$

$- 9$	=	$- x^{2}$	\| $+ 9$ $+ x^{2}$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + x$ = $\frac{10}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + x$ = $\frac{10}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + x$	=	$\frac{10}{x}$	\|⋅x
$a \cdot x + x \cdot x$	=	$\frac{10}{x} \cdot x$
$a x + x^{2}$	=	$10$
$a x + x^{2} - 10$	=	0
$x^{2} + a x - 10$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 10$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -10 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -5 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 5)$ = -10

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 5)$ = $3$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 3 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 5$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):