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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

0 = $2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $4$

0	=	$2 x$
0	=	$2 x$	\| $- 2 x$
$- 2 x$	=	0	\|:( $- 2$ )
$x$	=	0

L={0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 8 x + 8}{x + 5}$ = $3 x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 5$

D=R\{ $- 5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

$\frac{- 8 x + 8}{x + 5}$	=	$3 x$	\|⋅( $x + 5$ )
$\frac{- 8 x + 8}{x + 5} \cdot (x + 5)$	=	$3 x \cdot (x + 5)$
$- 8 x + 8$	=	$3 x \cdot (x + 5)$
$- 8 x + 8$	=	$3 x^{2} + 15 x$

- 8 x + 8

=

3 x^{2} + 15 x

|

- 3 x^{2}

- 15 x

$- 3 x^{2} - 23 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{{(- 23)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 8}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{529 + 96}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{625}}{- 6}$

x₁ = $\frac{23 + \sqrt{625}}{- 6}$ = $\frac{23+25}{- 6}$ = $\frac{48}{- 6}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{23 - \sqrt{625}}{- 6}$ = $\frac{23-25}{- 6}$ = $\frac{- 2}{- 6}$ = $\frac{1}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 23 x + 8$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{23}{3} x - \frac{8}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{23}{6})}^{2} - (- \frac{8}{3})$ = $\frac{529}{36}$ $+$ $\frac{8}{3}$ = $\frac{529}{36}$ $+$ $\frac{96}{36}$ = $\frac{625}{36}$

x_1,2 = $- \frac{23}{6}$ ± $\sqrt{\frac{625}{36}}$

x₁ = $- \frac{23}{6}$ - $\frac{25}{6}$ = $- \frac{48}{6}$ = -8

x₂ = $- \frac{23}{6}$ + $\frac{25}{6}$ = $\frac{2}{6}$ = 0.33333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $\frac{1}{3}$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$4$ = $- \frac{- 21 x}{3 x - 4} - x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $\frac{4}{3}$

D=R\{ $\frac{4}{3}$ }

4

=

\frac{21 x}{3 x - 4} - x

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 4$ weg!

$4$	=	$\frac{21 x}{3 x - 4} - x$	\|⋅( $3 x - 4$ )
$4 \cdot (3 x - 4)$	=	$\frac{21 x}{3 x - 4} \cdot (3 x - 4) - x \cdot (3 x - 4)$
$4 (3 x - 4)$	=	$21 x - x \cdot (3 x - 4)$
$12 x - 16$	=	$21 x - x \cdot (3 x - 4)$
$12 x - 16$	=	$- 3 x^{2} + 25 x$

12 x - 16

=

- 3 x^{2} + 25 x

|

+ 3 x^{2}

- 25 x

$3 x^{2} - 13 x - 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 16)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 + 192}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{361}}{6}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{361}}{6}$ = $\frac{13+19}{6}$ = $\frac{32}{6}$ = $\frac{16}{3}$ ≈ 5.33

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{361}}{6}$ = $\frac{13-19}{6}$ = $\frac{- 6}{6}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 13 x - 16$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{13}{3} x - \frac{16}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{6})}^{2} - (- \frac{16}{3})$ = $\frac{169}{36}$ $+$ $\frac{16}{3}$ = $\frac{169}{36}$ $+$ $\frac{192}{36}$ = $\frac{361}{36}$

x_1,2 = $\frac{13}{6}$ ± $\sqrt{\frac{361}{36}}$

x₁ = $\frac{13}{6}$ - $\frac{19}{6}$ = $- \frac{6}{6}$ = -1

x₂ = $\frac{13}{6}$ + $\frac{19}{6}$ = $\frac{32}{6}$ = 5.3333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $\frac{16}{3}$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x + 6}$ = $- \frac{- 14}{x + 3} - 4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

$\frac{x}{2 x + 6}$	=	$\frac{14}{x + 3} - 4 x$
$\frac{x}{2 (x + 3)}$	=	$\frac{14}{x + 3} - 4 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 3)$ weg!

$\frac{x}{2 (x + 3)}$	=	$\frac{14}{x + 3} - 4 x$	\|⋅( $2 (x + 3)$ )
$\frac{x}{2 (x + 3)} \cdot (2 (x + 3))$	=	$\frac{14}{x + 3} \cdot (2 (x + 3)) - 4 x \cdot (2 (x + 3))$
$x$	=	$28 - 8 x \cdot (x + 3)$
$x$	=	$- 8 x^{2} - 24 x + 28$

x

=

- 8 x^{2} - 24 x + 28

|

+ 8 x^{2}

+ 24 x

- 28

$8 x^{2} + 25 x - 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{25^{2} - 4 \cdot 8 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 8}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{625 + 896}}{16}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{1 521}}{16}$

x₁ = $\frac{- 25 + \sqrt{1 521}}{16}$ = $\frac{- 25+39}{16}$ = $\frac{14}{16}$ = $0,875$

x₂ = $\frac{- 25 - \sqrt{1 521}}{16}$ = $\frac{- 25-39}{16}$ = $\frac{- 64}{16}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $8$ " teilen:

$8 x^{2} + 25 x - 28$ = 0 |: $8$

$x^{2} + \frac{25}{8} x - \frac{7}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{25}{16})}^{2} - (- \frac{7}{2})$ = $\frac{625}{256}$ $+$ $\frac{7}{2}$ = $\frac{625}{256}$ $+$ $\frac{896}{256}$ = $\frac{1521}{256}$

x_1,2 = $- \frac{25}{16}$ ± $\sqrt{\frac{1521}{256}}$

x₁ = $- \frac{25}{16}$ - $\frac{39}{16}$ = $- \frac{64}{16}$ = -4

x₂ = $- \frac{25}{16}$ + $\frac{39}{16}$ = $\frac{14}{16}$ = 0.875

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $0,875$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{14}{x^{3}}$ = $- \frac{45}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{14}{x^{3}}$	=	$- \frac{45}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} + \frac{14}{x^{3}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{45}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$x^{2} + 14 x$	=	$- 45$

x^{2} + 14 x

=

- 45

|

+ 45

$x^{2} + 14 x + 45$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 45}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 180}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 14 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 14+4}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{- 14 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 14-4}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $7^{2} - 45$ = $49$ $-$ $45$ = $4$

x_1,2 = $- 7$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 7$ - $2$ = -9

x₂ = $- 7$ + $2$ = -5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $- 5$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + 1$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + 1$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + 1$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + 1 \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$x^{2} + x$	=	$- a$
$x^{2} + x + a$	=	0
$x^{2} + x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 1 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -3 würde es funktionieren, denn $- (2 - 3)$ = 1

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 3)$ = $- 6$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 3$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):