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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{8}{x - 2}$ = $x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $2$

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{8}{x - 2}$	=	$x$	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{8}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=	$x \cdot (x - 2)$
$8$	=	$x \cdot (x - 2)$
$8$	=	$x^{2} - 2 x$

8

=

x^{2} - 2 x

|

- x^{2}

+ 2 x

$- x^{2} + 2 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 8}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 2+6}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 2-6}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 2 x + 8$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 2 x - 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $1$ - $3$ = -2

x₂ = $1$ + $3$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 28 x - 4}{3 x}$ = $x - 5$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{- 28 x - 4}{3 x}$	=	$x - 5$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{- 28 x - 4}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x - 5 \cdot 3 x$
$- 28 x - 4$	=	$3 x \cdot x - 15 x$

- 28 x - 4

=

3 x^{2} - 15 x

|

- 3 x^{2}

+ 15 x

$- 3 x^{2} - 13 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 48}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{121}}{- 6}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{121}}{- 6}$ = $\frac{13+11}{- 6}$ = $\frac{24}{- 6}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{121}}{- 6}$ = $\frac{13-11}{- 6}$ = $\frac{2}{- 6}$ = $- \frac{1}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 13 x - 4$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{13}{3} x + \frac{4}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{6})}^{2} - (\frac{4}{3})$ = $\frac{169}{36}$ $-$ $\frac{4}{3}$ = $\frac{169}{36}$ $-$ $\frac{48}{36}$ = $\frac{121}{36}$

x_1,2 = $- \frac{13}{6}$ ± $\sqrt{\frac{121}{36}}$

x₁ = $- \frac{13}{6}$ - $\frac{11}{6}$ = $- \frac{24}{6}$ = -4

x₂ = $- \frac{13}{6}$ + $\frac{11}{6}$ = $- \frac{2}{6}$ = -0.33333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- \frac{1}{3}$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

0 = $- \frac{8}{x - 4} - x - 5$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $4$

D=R\{ $4$ }

0

=

- \frac{8}{x - 4} - x - 5

Wir multiplizieren den Nenner $x - 4$ weg!

=	$- \frac{8}{x - 4} - x - 5$	\|⋅( $x - 4$ )
=	$- \frac{8}{x - 4} \cdot (x - 4) - x \cdot (x - 4) - 5 \cdot (x - 4)$
=	$- 8 - x \cdot (x - 4) - 5 x + 20$
=	$- x^{2} - x + 12$

0

=

- x^{2} - x + 12

|

+ x^{2}

+ x

- 12

$x^{2} + x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $3$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{4 x - 4} + \frac{- 38}{2 x - 2} + x$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

$\frac{x}{4 x - 4} - \frac{38}{2 x - 2} + x$	=	0
$\frac{x}{4 (x - 1)} - \frac{38}{2 (x - 1)} + x$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x - 1)$ weg!

$\frac{x}{4 (x - 1)} - \frac{38}{2 (x - 1)} + x$	=	\|⋅( $4 (x - 1)$ )
$\frac{x}{4 (x - 1)} \cdot (4 (x - 1)) + \frac{- 38}{2 (x - 1)} \cdot (4 (x - 1)) + x \cdot (4 (x - 1))$	=
$x - 76 + 4 x \cdot (x - 1)$	=
$x - 76 + (4 x^{2} - 4 x)$	=
$4 x^{2} - 3 x - 76$	=

$4 x^{2} - 3 x - 76$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 76)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 1 216}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1 225}}{8}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1 225}}{8}$ = $\frac{3+35}{8}$ = $\frac{38}{8}$ = $4,75$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1 225}}{8}$ = $\frac{3-35}{8}$ = $\frac{- 32}{8}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 3 x - 76$ = 0 |: $4$

$x^{2} - \frac{3}{4} x - 19$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{8})}^{2} - (- 19)$ = $\frac{9}{64}$ $+$ $19$ = $\frac{9}{64}$ $+$ $\frac{1216}{64}$ = $\frac{1225}{64}$

x_1,2 = $\frac{3}{8}$ ± $\sqrt{\frac{1225}{64}}$

x₁ = $\frac{3}{8}$ - $\frac{35}{8}$ = $- \frac{32}{8}$ = -4

x₂ = $\frac{3}{8}$ + $\frac{35}{8}$ = $\frac{38}{8}$ = 4.75

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $4,75$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{50}{x^{4}}$ = $- \frac{5}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{50}{x^{4}}$	=	$- \frac{5}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} - \frac{50}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{5}{x^{3}} \cdot x^{4}$
$x^{2} - 50$	=	$- 5 x$

x^{2} - 50

=

- 5 x

|

+ 5 x

$x^{2} + 5 x - 50$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 50)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 200}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{225}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{- 5+15}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{- 5-15}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 50)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $50$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{200}{4}$ = $\frac{225}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{225}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{15}{2}$ = $- \frac{20}{2}$ = -10

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{15}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $5$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + a$ = $- \frac{15}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + a$ = $- \frac{15}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + a$	=	$- \frac{15}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + a \cdot x$	=	$- \frac{15}{x} \cdot x$
$x^{2} + a x$	=	$- 15$
$x^{2} + a x + 15$	=	0
$x^{2} + a x + 15$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 15$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 15 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = 5 würde es funktionieren, denn $3 \cdot 5$ = 15

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (3 + 5)$ = $- 8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8+2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8-2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 15$ = $16$ $-$ $15$ = $1$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $4$ - $1$ = 3

x₂ = $4$ + $1$ = 5

L={ $3$ ; $5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):