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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{8}{x}$ = $- 2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{8}{x}$	=	$- 2 x$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{8}{x} \cdot x$	=	$- 2 x \cdot x$
$- 8$	=	$- 2 x \cdot x$
$- 8$	=	$- 2 x^{2}$

$- 8$	=	$- 2 x^{2}$	\| $+ 8$ $+ 2 x^{2}$
$2 x^{2}$	=	$8$	\|: $2$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x - 5$ = $- 6 + \frac{12}{x}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x - 5$	=	$- 6 + \frac{12}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x - 5 \cdot x$	=	$- 6 \cdot x + \frac{12}{x} \cdot x$
$x \cdot x - 5 x$	=	$- 6 x + 12$
$x^{2} - 5 x$	=	$- 6 x + 12$

x^{2} - 5 x

=

- 6 x + 12

|

+ 6 x

- 12

$x^{2} + x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 14}{x - 1} - 2$ = $- 3 x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $1$

D=R\{ $1$ }

- \frac{14}{x - 1} - 2

=

- 3 x

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$- \frac{14}{x - 1} - 2$	=	$- 3 x$	\|⋅( $x - 1$ )
$- \frac{14}{x - 1} \cdot (x - 1) - 2 \cdot (x - 1)$	=	$- 3 x \cdot (x - 1)$
$- 14 - 2 x + 2$	=	$- 3 x \cdot (x - 1)$
$- 2 x - 12$	=	$- 3 x^{2} + 3 x$

- 2 x - 12

=

- 3 x^{2} + 3 x

|

+ 3 x^{2}

- 3 x

$3 x^{2} - 5 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 144}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{169}}{6}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{169}}{6}$ = $\frac{5+13}{6}$ = $\frac{18}{6}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{169}}{6}$ = $\frac{5-13}{6}$ = $\frac{- 8}{6}$ = $- \frac{4}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 5 x - 12$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{5}{3} x - 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{6})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{25}{36}$ $+$ $4$ = $\frac{25}{36}$ $+$ $\frac{144}{36}$ = $\frac{169}{36}$

x_1,2 = $\frac{5}{6}$ ± $\sqrt{\frac{169}{36}}$

x₁ = $\frac{5}{6}$ - $\frac{13}{6}$ = $- \frac{8}{6}$ = -1.3333333333333

x₂ = $\frac{5}{6}$ + $\frac{13}{6}$ = $\frac{18}{6}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{4}{3}$ ; $3$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 x$ = $- \frac{x}{5 x + 15} - \frac{53,4}{x + 3}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

$- 3 x$	=	$- \frac{x}{5 x + 15} - \frac{53,4}{x + 3}$
$- 3 x$	=	$- \frac{x}{5 (x + 3)} - \frac{53,4}{x + 3}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 3)$ weg!

$- 3 x$	=	$- \frac{x}{5 (x + 3)} - \frac{53,4}{x + 3}$	\|⋅( $5 (x + 3)$ )
$- 3 x \cdot (5 (x + 3))$	=	$- \frac{x}{5 (x + 3)} \cdot (5 (x + 3)) + \frac{- 53,4}{x + 3} \cdot (5 (x + 3))$
$- 15 x \cdot (x + 3)$	=	$- x - 267$
$- 15 x \cdot x - 15 x \cdot 3$	=	$- x - 267$
$- 15 x \cdot x - 45 x$	=	$- x - 267$
$- 15 x^{2} - 45 x$	=	$- x - 267$

- 15 x^{2} - 45 x

=

- x - 267

|

+ x

+ 267

$- 15 x^{2} - 44 x + 267$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 44 \pm \sqrt{{(- 44)}^{2} - 4 \cdot (- 15) \cdot 267}}{2 \cdot (- 15)}$

x_1,2 = $\frac{+ 44 \pm \sqrt{1 936 + 16 020}}{- 30}$

x_1,2 = $\frac{+ 44 \pm \sqrt{17 956}}{- 30}$

x₁ = $\frac{44 + \sqrt{17 956}}{- 30}$ = $\frac{44+134}{- 30}$ = $\frac{178}{- 30}$ = $- \frac{89}{15}$ ≈ -5.93

x₂ = $\frac{44 - \sqrt{17 956}}{- 30}$ = $\frac{44-134}{- 30}$ = $\frac{- 90}{- 30}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 15$ " teilen:

$- 15 x^{2} - 44 x + 267$ = 0 |: $- 15$

$x^{2} + \frac{44}{15} x - \frac{89}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{22}{15})}^{2} - (- \frac{89}{5})$ = $\frac{484}{225}$ $+$ $\frac{89}{5}$ = $\frac{484}{225}$ $+$ $\frac{4005}{225}$ = $\frac{4489}{225}$

x_1,2 = $- \frac{22}{15}$ ± $\sqrt{\frac{4489}{225}}$

x₁ = $- \frac{22}{15}$ - $\frac{67}{15}$ = $- \frac{89}{15}$ = -5.9333333333333

x₂ = $- \frac{22}{15}$ + $\frac{67}{15}$ = $\frac{45}{15}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{89}{15}$ ; $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{13}{x}$ = $- 1 - \frac{30}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{13}{x}$	=	$- 1 - \frac{30}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{13}{x} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2} - \frac{30}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$13 x$	=	$- x^{2} - 30$

13 x

=

- x^{2} - 30

|

+ x^{2}

+ 30

$x^{2} + 13 x + 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 13+7}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 13-7}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{2})}^{2} - 30$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $30$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{13}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{20}{2}$ = -10

x₂ = $- \frac{13}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $- 3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{a}{x}$ = $1$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{a}{x}$ = $1$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{a}{x}$	=	$1$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$1 \cdot x$
$x^{2} + a$	=	$x$
$x^{2} + a - x$	=	0
$x^{2} - x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -1 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -1 würde es funktionieren, denn $- (2 - 1)$ = -1

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 1)$ = $- 2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 1$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):