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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- 2$ = $- 2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner:

$- 2$	=	$- 2 x$	\| $+ 2$ $+ 2 x$
$2 x$	=	$2$	\|: $2$
$x$	=	$1$

L={ $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 7 x + 9}{4 x}$ = $x - 4$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{- 7 x + 9}{4 x}$	=	$x - 4$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{- 7 x + 9}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x - 4 \cdot 4 x$
$- 7 x + 9$	=	$4 x \cdot x - 16 x$

- 7 x + 9

=

4 x^{2} - 16 x

|

- 4 x^{2}

+ 16 x

$- 4 x^{2} + 9 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 9}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 144}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{225}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{225}}{- 8}$ = $\frac{- 9+15}{- 8}$ = $\frac{6}{- 8}$ = $- 0,75$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{225}}{- 8}$ = $\frac{- 9-15}{- 8}$ = $\frac{- 24}{- 8}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 9 x + 9$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - \frac{9}{4} x - \frac{9}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{8})}^{2} - (- \frac{9}{4})$ = $\frac{81}{64}$ $+$ $\frac{9}{4}$ = $\frac{81}{64}$ $+$ $\frac{144}{64}$ = $\frac{225}{64}$

x_1,2 = $\frac{9}{8}$ ± $\sqrt{\frac{225}{64}}$

x₁ = $\frac{9}{8}$ - $\frac{15}{8}$ = $- \frac{6}{8}$ = -0.75

x₂ = $\frac{9}{8}$ + $\frac{15}{8}$ = $\frac{24}{8}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,75$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- 2$ = $- \frac{- x}{3 x - 4} - x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $\frac{4}{3}$

D=R\{ $\frac{4}{3}$ }

- 2

=

\frac{x}{3 x - 4} - x

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 4$ weg!

$- 2$	=	$\frac{x}{3 x - 4} - x$	\|⋅( $3 x - 4$ )
$- 2 \cdot (3 x - 4)$	=	$\frac{x}{3 x - 4} \cdot (3 x - 4) - x \cdot (3 x - 4)$
$- 2 (3 x - 4)$	=	$x - x (3 x - 4)$
$- 6 x + 8$	=	$x - x (3 x - 4)$
$- 6 x + 8$	=	$- 3 x^{2} + 5 x$

- 6 x + 8

=

- 3 x^{2} + 5 x

|

+ 3 x^{2}

- 5 x

$3 x^{2} - 11 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 96}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{25}}{6}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{25}}{6}$ = $\frac{11+5}{6}$ = $\frac{16}{6}$ = $\frac{8}{3}$ ≈ 2.67

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{25}}{6}$ = $\frac{11-5}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 11 x + 8$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{11}{3} x + \frac{8}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{6})}^{2} - (\frac{8}{3})$ = $\frac{121}{36}$ $-$ $\frac{8}{3}$ = $\frac{121}{36}$ $-$ $\frac{96}{36}$ = $\frac{25}{36}$

x_1,2 = $\frac{11}{6}$ ± $\sqrt{\frac{25}{36}}$

x₁ = $\frac{11}{6}$ - $\frac{5}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = 1

x₂ = $\frac{11}{6}$ + $\frac{5}{6}$ = $\frac{16}{6}$ = 2.6666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $\frac{8}{3}$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{2 x - 8} - \frac{130}{x - 4} + 4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

0	=	$- \frac{x}{2 x - 8} - \frac{130}{x - 4} + 4 x$
0	=	$- \frac{x}{2 (x - 4)} - \frac{130}{x - 4} + 4 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 4)$ weg!

=	$- \frac{x}{2 (x - 4)} - \frac{130}{x - 4} + 4 x$	\|⋅( $2 (x - 4)$ )
=	$- \frac{x}{2 (x - 4)} \cdot (2 (x - 4)) + \frac{- 130}{x - 4} \cdot (2 (x - 4)) + 4 x \cdot (2 (x - 4))$
=	$- x - 260 + 8 x (x - 4)$
=	$8 x^{2} - 33 x - 260$

0

=

8 x^{2} - 33 x - 260

|

- 8 x^{2}

+ 33 x

+ 260

$- 8 x^{2} + 33 x + 260$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 33 \pm \sqrt{33^{2} - 4 \cdot (- 8) \cdot 260}}{2 \cdot (- 8)}$

x_1,2 = $\frac{- 33 \pm \sqrt{1 089 + 8 320}}{- 16}$

x_1,2 = $\frac{- 33 \pm \sqrt{9 409}}{- 16}$

x₁ = $\frac{- 33 + \sqrt{9 409}}{- 16}$ = $\frac{- 33+97}{- 16}$ = $\frac{64}{- 16}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 33 - \sqrt{9 409}}{- 16}$ = $\frac{- 33-97}{- 16}$ = $\frac{- 130}{- 16}$ = $8,125$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 8$ " teilen:

$- 8 x^{2} + 33 x + 260$ = 0 |: $- 8$

$x^{2} - \frac{33}{8} x - \frac{65}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{33}{16})}^{2} - (- \frac{65}{2})$ = $\frac{1089}{256}$ $+$ $\frac{65}{2}$ = $\frac{1089}{256}$ $+$ $\frac{8320}{256}$ = $\frac{9409}{256}$

x_1,2 = $\frac{33}{16}$ ± $\sqrt{\frac{9409}{256}}$

x₁ = $\frac{33}{16}$ - $\frac{97}{16}$ = $- \frac{64}{16}$ = -4

x₂ = $\frac{33}{16}$ + $\frac{97}{16}$ = $\frac{130}{16}$ = 8.125

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $8,125$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x} + \frac{54}{x^{3}}$ = $- \frac{15}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x} + \frac{54}{x^{3}}$	=	$- \frac{15}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3} + \frac{54}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{15}{x^{2}} \cdot x^{3}$
$x^{2} + 54$	=	$- 15 x$

x^{2} + 54

=

- 15 x

|

+ 15 x

$x^{2} + 15 x + 54$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 54}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 216}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 15+3}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 15-3}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{15}{2})}^{2} - 54$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $54$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $\frac{216}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{15}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{15}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{15}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $- 6$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + x$ = $- \frac{30}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + x$ = $- \frac{30}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + x$	=	$- \frac{30}{x}$	\|⋅x
$a \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{30}{x} \cdot x$
$a x + x^{2}$	=	$- 30$
$a x + x^{2} + 30$	=	0
$x^{2} + a x + 30$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 30$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 30 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 15 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 15$ = 30

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 15)$ = $- 17$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -17 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 17 x + 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{17+13}{2}$ = $\frac{30}{2}$ = $15$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{17-13}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{2})}^{2} - 30$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $30$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $\frac{17}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $\frac{17}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{17}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{30}{2}$ = 15

L={ $2$ ; $15$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):