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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{8 x}{x - 2}$ = $- 2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $2$

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{8 x}{x - 2}$	=	$- 2 x$	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{8 x}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=	$- 2 x \cdot (x - 2)$
$8 x$	=	$- 2 x \cdot (x - 2)$
$8 x$	=	$- 2 x^{2} + 4 x$

$8 x$	=	$- 2 x^{2} + 4 x$	\| $- (- 2 x^{2} + 4 x)$
$2 x^{2} + 8 x - 4 x$	=	0
$2 x^{2} + 4 x$	=	0
$2 x \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; 0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 17 x + 4}{x - 2}$ = $3 x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $2$

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{- 17 x + 4}{x - 2}$	=	$3 x$	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{- 17 x + 4}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=	$3 x \cdot (x - 2)$
$- 17 x + 4$	=	$3 x \cdot (x - 2)$
$- 17 x + 4$	=	$3 x^{2} - 6 x$

- 17 x + 4

=

3 x^{2} - 6 x

|

- 3 x^{2}

+ 6 x

$- 3 x^{2} - 11 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 4}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 + 48}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{169}}{- 6}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{169}}{- 6}$ = $\frac{11+13}{- 6}$ = $\frac{24}{- 6}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{169}}{- 6}$ = $\frac{11-13}{- 6}$ = $\frac{- 2}{- 6}$ = $\frac{1}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 11 x + 4$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{11}{3} x - \frac{4}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{6})}^{2} - (- \frac{4}{3})$ = $\frac{121}{36}$ $+$ $\frac{4}{3}$ = $\frac{121}{36}$ $+$ $\frac{48}{36}$ = $\frac{169}{36}$

x_1,2 = $- \frac{11}{6}$ ± $\sqrt{\frac{169}{36}}$

x₁ = $- \frac{11}{6}$ - $\frac{13}{6}$ = $- \frac{24}{6}$ = -4

x₂ = $- \frac{11}{6}$ + $\frac{13}{6}$ = $\frac{2}{6}$ = 0.33333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $\frac{1}{3}$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x$ = $- \frac{4 x}{2 x - 1} + 5$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $\frac{1}{2}$

D=R\{ $\frac{1}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$x$	=	$- \frac{4 x}{2 x - 1} + 5$	\|⋅( $2 x - 1$ )
$x \cdot (2 x - 1)$	=	$- \frac{4 x}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) + 5 \cdot (2 x - 1)$
$x \cdot (2 x - 1)$	=	$- 4 x + 10 x - 5$
$x \cdot 2 x + x \cdot (- 1)$	=	$- 4 x + 10 x - 5$
$2 x \cdot x - x$	=	$- 4 x + 10 x - 5$
$2 x^{2} - x$	=	$6 x - 5$

2 x^{2} - x

=

6 x - 5

|

- 6 x

+ 5

$2 x^{2} - 7 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{4}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{7+3}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = $2,5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{7-3}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 7 x + 5$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{7}{2} x + \frac{5}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{4})}^{2} - (\frac{5}{2})$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $\frac{5}{2}$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $\frac{40}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $\frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $\frac{7}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = 1

x₂ = $\frac{7}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = 2.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $2,5$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x + 2}$ = $- \frac{19,5}{x + 1} + 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

$\frac{x}{2 x + 2}$	=	$- \frac{19,5}{x + 1} + 3 x$
$\frac{x}{2 (x + 1)}$	=	$- \frac{19,5}{x + 1} + 3 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 1)$ weg!

$\frac{x}{2 (x + 1)}$	=	$- \frac{19,5}{x + 1} + 3 x$	\|⋅( $2 (x + 1)$ )
$\frac{x}{2 (x + 1)} \cdot (2 (x + 1))$	=	$\frac{- 19,5}{x + 1} \cdot (2 (x + 1)) + 3 x \cdot (2 (x + 1))$
$x$	=	$- 39 + 6 x \cdot (x + 1)$
$x$	=	$6 x^{2} + 6 x - 39$

x

=

6 x^{2} + 6 x - 39

|

- 6 x^{2}

- 6 x

+ 39

$- 6 x^{2} - 5 x + 39$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 6) \cdot 39}}{2 \cdot (- 6)}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 936}}{- 12}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{961}}{- 12}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{961}}{- 12}$ = $\frac{5+31}{- 12}$ = $\frac{36}{- 12}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{961}}{- 12}$ = $\frac{5-31}{- 12}$ = $\frac{- 26}{- 12}$ = $\frac{13}{6}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 6$ " teilen:

$- 6 x^{2} - 5 x + 39$ = 0 |: $- 6$

$x^{2} + \frac{5}{6} x - \frac{13}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{12})}^{2} - (- \frac{13}{2})$ = $\frac{25}{144}$ $+$ $\frac{13}{2}$ = $\frac{25}{144}$ $+$ $\frac{936}{144}$ = $\frac{961}{144}$

x_1,2 = $- \frac{5}{12}$ ± $\sqrt{\frac{961}{144}}$

x₁ = $- \frac{5}{12}$ - $\frac{31}{12}$ = $- \frac{36}{12}$ = -3

x₂ = $- \frac{5}{12}$ + $\frac{31}{12}$ = $\frac{26}{12}$ = 2.1666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $\frac{13}{6}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{1}{x} + \frac{9}{x^{2}} - \frac{14}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

=	$- \frac{1}{x} + \frac{9}{x^{2}} - \frac{14}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3} + \frac{9}{x^{2}} \cdot x^{3} - \frac{14}{x^{3}} \cdot x^{3}$
=	$- x^{2} + 9 x - 14$

0

=

- x^{2} + 9 x - 14

|

+ x^{2}

- 9 x

+ 14

$x^{2} - 9 x + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9+5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9-5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ ; $7$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + 7$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + 7$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + 7$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + 7 \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$x^{2} + 7 x$	=	$- a$
$x^{2} + 7 x + a$	=	0
$x^{2} + 7 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 7 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 7 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -9 würde es funktionieren, denn $- (2 - 9)$ = 7

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 9)$ = $- 18$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -18 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 7 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7+11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7-11}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 9$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):