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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{8 x}{x - 1}$ = $- 2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $1$

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{8 x}{x - 1}$	=	$- 2 x$	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{8 x}{x - 1} \cdot (x - 1)$	=	$- 2 x \cdot (x - 1)$
$8 x$	=	$- 2 x \cdot (x - 1)$
$8 x$	=	$- 2 x^{2} + 2 x$

$8 x$	=	$- 2 x^{2} + 2 x$	\| $- (- 2 x^{2} + 2 x)$
$2 x^{2} + 8 x - 2 x$	=	0
$2 x^{2} + 6 x$	=	0
$2 x \cdot (x + 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₂	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; 0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$4 x$ = $\frac{- 21 x + 12}{x - 2}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $2$

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$4 x$	=	$\frac{- 21 x + 12}{x - 2}$	\|⋅( $x - 2$ )
$4 x \cdot (x - 2)$	=	$\frac{- 21 x + 12}{x - 2} \cdot (x - 2)$
$4 x \cdot (x - 2)$	=	$- 21 x + 12$
$4 x \cdot x + 4 x \cdot (- 2)$	=	$- 21 x + 12$
$4 x \cdot x - 8 x$	=	$- 21 x + 12$
$4 x^{2} - 8 x$	=	$- 21 x + 12$

4 x^{2} - 8 x

=

- 21 x + 12

|

+ 21 x

- 12

$4 x^{2} + 13 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 192}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{361}}{8}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{361}}{8}$ = $\frac{- 13+19}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = $0,75$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{361}}{8}$ = $\frac{- 13-19}{8}$ = $\frac{- 32}{8}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 13 x - 12$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{13}{4} x - 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{8})}^{2} - (- 3)$ = $\frac{169}{64}$ $+$ $3$ = $\frac{169}{64}$ $+$ $\frac{192}{64}$ = $\frac{361}{64}$

x_1,2 = $- \frac{13}{8}$ ± $\sqrt{\frac{361}{64}}$

x₁ = $- \frac{13}{8}$ - $\frac{19}{8}$ = $- \frac{32}{8}$ = -4

x₂ = $- \frac{13}{8}$ + $\frac{19}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = 0.75

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $0,75$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x + 5$ = $- \frac{8}{3 x + 5}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- \frac{5}{3}$

D=R\{ $- \frac{5}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 5$ weg!

$x + 5$	=	$- \frac{8}{3 x + 5}$	\|⋅( $3 x + 5$ )
$x \cdot (3 x + 5) + 5 \cdot (3 x + 5)$	=	$- \frac{8}{3 x + 5} \cdot (3 x + 5)$
$x \cdot (3 x + 5) + 15 x + 25$	=	$- 8$
$3 x^{2} + 5 x + 15 x + 25$	=	$- 8$
$3 x^{2} + 20 x + 25$	=	$- 8$

3 x^{2} + 20 x + 25

=

- 8

|

+ 8

$3 x^{2} + 20 x + 33$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{20^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 33}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 396}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{4}}{6}$

x₁ = $\frac{- 20 + \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 20+2}{6}$ = $\frac{- 18}{6}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 20 - \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 20-2}{6}$ = $\frac{- 22}{6}$ = $- \frac{11}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 20 x + 33$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{20}{3} x + 11$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{10}{3})}^{2} - 11$ = $\frac{100}{9}$ $-$ $11$ = $\frac{100}{9}$ $-$ $\frac{99}{9}$ = $\frac{1}{9}$

x_1,2 = $- \frac{10}{3}$ ± $\sqrt{\frac{1}{9}}$

x₁ = $- \frac{10}{3}$ - $\frac{1}{3}$ = $- \frac{11}{3}$ = -3.6666666666667

x₂ = $- \frac{10}{3}$ + $\frac{1}{3}$ = $- \frac{9}{3}$ = -3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{11}{3}$ ; $- 3$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x - 6} - 3 x$ = $- \frac{- 1,5}{x - 3}$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

\frac{x}{2 (x - 3)} - 3 x

=

\frac{1,5}{x - 3}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 3)$ weg!

$\frac{x}{2 (x - 3)} - 3 x$	=	$\frac{1,5}{x - 3}$	\|⋅( $2 (x - 3)$ )
$\frac{x}{2 (x - 3)} \cdot (2 (x - 3)) - 3 x \cdot (2 (x - 3))$	=	$\frac{1,5}{x - 3} \cdot (2 (x - 3))$
$x - 6 x \cdot (x - 3)$	=	$3$
$x + (- 6 x^{2} + 18 x)$	=	$3$
$- 6 x^{2} + 19 x$	=	$3$

- 6 x^{2} + 19 x

=

3

|

- 3

$- 6 x^{2} + 19 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot (- 6) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 6)}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 72}}{- 12}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{289}}{- 12}$

x₁ = $\frac{- 19 + \sqrt{289}}{- 12}$ = $\frac{- 19+17}{- 12}$ = $\frac{- 2}{- 12}$ = $\frac{1}{6}$ ≈ 0.17

x₂ = $\frac{- 19 - \sqrt{289}}{- 12}$ = $\frac{- 19-17}{- 12}$ = $\frac{- 36}{- 12}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 6$ " teilen:

$- 6 x^{2} + 19 x - 3$ = 0 |: $- 6$

$x^{2} - \frac{19}{6} x + \frac{1}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{19}{12})}^{2} - (\frac{1}{2})$ = $\frac{361}{144}$ $-$ $\frac{1}{2}$ = $\frac{361}{144}$ $-$ $\frac{72}{144}$ = $\frac{289}{144}$

x_1,2 = $\frac{19}{12}$ ± $\sqrt{\frac{289}{144}}$

x₁ = $\frac{19}{12}$ - $\frac{17}{12}$ = $\frac{2}{12}$ = 0.16666666666667

x₂ = $\frac{19}{12}$ + $\frac{17}{12}$ = $\frac{36}{12}$ = 3

Lösung x= $3$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $\frac{1}{6}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x}$ = $\frac{16}{x^{2}} - \frac{60}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x}$	=	$\frac{16}{x^{2}} - \frac{60}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3}$	=	$\frac{16}{x^{2}} \cdot x^{3} - \frac{60}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$x^{2}$	=	$16 x - 60$

x^{2}

=

16 x - 60

|

- 16 x

+ 60

$x^{2} - 16 x + 60$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 60}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 - 240}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{16 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{16+4}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{16 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{16-4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 8)}^{2} - 60$ = $64$ $-$ $60$ = $4$

x_1,2 = $8$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $8$ - $2$ = 6

x₂ = $8$ + $2$ = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $6$ ; $10$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{10}{x}$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{10}{x}$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{10}{x}$	=	$- a$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{10}{x} \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$x^{2} + 10$	=	$- a x$
$x^{2} + 10 + a x$	=	0
$x^{2} + a x + 10$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 10$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 10 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 5 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 5$ = 10

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 5)$ = $- 7$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -7 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

L={ $2$ ; $5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):