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Zweisatz rückwärts

Beispiel:

Herr Tobrak hat einen neuen Handyvertrag abgeschlossen. Für sein 7-Minuten-Gespräch hat er nun 35 ct bezahlt.

Wie viel kostet ihn 1 min telefonieren?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

7 Minuten telefonieren	35 ct
1 Minute telefonieren	?

Um von 7 Minuten telefonieren in der ersten Zeile auf 1 Minuten telefonieren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 7 teilen. Somit müssen wir auch die 35 ct durch 7 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 Minuten telefonieren entspricht:

: 7

7 Minuten telefonieren	35 ct
1 Minute telefonieren	?

: 7

7 Minuten telefonieren	35 ct
1 Minute telefonieren	5 ct

: 7

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 1 Minuten telefonieren entspricht: 5 ct

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem proportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

5 Brezeln	2,75 €
?	?
4 Brezeln	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Brezeln in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Brezeln teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 5 und von 4 sein, also der ggT(5,4) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Brezeln:

5 Brezeln	2,75 €
1 Brezel	?
4 Brezeln	?

Um von 5 Brezeln in der ersten Zeile auf 1 Brezeln in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Somit müssen wir auch die 2,75 € durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 Brezeln entspricht:

: 5

5 Brezeln	2,75 €
1 Brezel	?
4 Brezeln	?

: 5

(Beim Teilen durch 5 kann man einfach erst verdoppeln und dann durch 10 teilen.)

: 5

5 Brezeln	2,75 €
1 Brezel	0,55 €
4 Brezeln	?

: 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Brezeln in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 Brezeln in der dritten Zeile zu kommen.

: 5

⋅ 4

5 Brezeln	2,75 €
1 Brezel	0,55 €
4 Brezeln	?

: 5

⋅ 4

Wir müssen somit auch rechts die 0,55 € in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren:

: 5

⋅ 4

5 Brezeln	2,75 €
1 Brezel	0,55 €
4 Brezeln	2,20 €

: 5

⋅ 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Brezeln entspricht: 2,20 €

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 5 wenn die Größe B den Wert 1 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 1 durch den Wert von 'Größe A' (5) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{5}$ des Wertes bei 5 sein muss.
Also: m= $\frac{1}{5}$ = $0,2$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,2$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Im Winter schneit es 1 Stunde lang total gleichmäßig. Dabei fallen in 7 Minuten 9,1 cm. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man jedem Minuten-Wert eine Schneehöhe in cm zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Schneehöhe', nämlich 9.1 durch den Wert von 'Zeit' (7) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{7}$ des Wertes bei 7 sein muss.
Also: m= $\frac{9.1}{7}$ = $1,3$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,3$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 2, wenn die Größe B den Wert 4 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 8 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 4 = m⋅2.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 4 durch den Wert von Größe A (2) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{2}$ des Wertes bei 2 sein muss.
Also: m= $\frac{4}{2}$ = $2$
Zuordnungsvorschrift: y = $2$ ⋅ x

x-Wert bei y = 8

Da der/die Größe B den Wert 8 hat, muss man 8 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
8 = $2$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{8}{2}$ , weil dann 8 = $2$ ⋅ $\frac{8}{2}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{8}{2}$ = 4.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Die Lernmittelbücherei hat 120 neue gleiche Bücher bekommen. Jeweils 9 Bücher wiegen zusammen 1,8kg. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der Bücher dem Gewicht in kg zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 1.8 = m⋅9.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Gesamtgewicht, nämlich 1.8 durch den Wert von Bücheranzahl (9) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{9}$ des Wertes bei 9 sein muss.
Also: m= $\frac{1.8}{9}$ = $0,2$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,2$ ⋅ x

x-Wert bei y = 1.2

Da der/die Gesamtgewicht den Wert 1.2 hat, muss man 1.2 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Bücheranzahl zu erhalten:
1.2 = $0,2$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{1.2}{0.2}$ , weil dann 1.2 = $0,2$ ⋅ $\frac{1.2}{0.2}$ .
Somit gilt für x (Bücheranzahl) = $\frac{1.2}{0.2}$ = 6.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz rückwärts

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)