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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Zweisatz rückwärts
Beispiel:
Der Hersteller eines Powerdrinks wirbt damit, das 1500 g Protein in dessen 5kg-Großpackung drin sind.
Wie viel g Protein ist in 1 kg Powerdrink?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 5 kg Powerdrink in der ersten Zeile auf 1 kg Powerdrink in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Somit müssen wir auch die 1500 g Protein durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 kg Powerdrink entspricht:
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: 5
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: 5
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: 5
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: 5
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 1 kg Powerdrink entspricht: 300 g Protein
Dreisatz (beide Richtungen)
Beispiel:
Bei einem Marktstand bezahlt man 24,00 € für 8 kg Äpfel.
Wie viel kosten 9 kg Äpfel?
Wie viel kg Äpfel bekommt man für 30 € ?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die kg Äpfel in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 kg Äpfel teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 8 und von 9 sein, also der ggT(8,9) = 1.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 kg Äpfel:
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Um von 8 kg Äpfel in der ersten Zeile auf 1 kg Äpfel in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 8 teilen. Somit müssen wir auch die 24 € durch 8 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 kg Äpfel entspricht:
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: 8
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: 8
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Jetzt müssen wir ja wieder die 1 kg Äpfel in der mittleren Zeile mit 9 multiplizieren, um auf die 9 kg Äpfel in der dritten Zeile zu kommen.
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: 8
⋅ 9
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: 8
⋅ 9
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 9 kg Äpfel entspricht: 27,00 €
Für die andere Frage (Wie viel kg Äpfel bekommt man für 30 € ?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "€"-Werte haben und nach einem "kg Äpfel"-Wert gesucht wird:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 24 € teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 24 und von 30 sein, also der ggT(24,30) = 6.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 6 €:
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Um von 24 € in der ersten Zeile auf 6 € in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Somit müssen wir auch die 8 kg Äpfel durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 6 € entspricht:
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: 4
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: 4
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Jetzt müssen wir ja wieder die 6 € in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 30 € in der dritten Zeile zu kommen.
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: 4
⋅ 5
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: 4
⋅ 5
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 30 € entspricht: 10 kg Äpfel
Proportionaler Term
Beispiel:
Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 5 wenn die Größe B den Wert 18.5 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.
Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 18.5 durch den Wert
von 'Größe A' (5) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade
des Wertes bei 5 sein muss.
Also: m==
Zuordnungsvorschrift: y = ⋅ x
Proportionaler Term Anwendung
Beispiel:
Eine Verpackungsmachine kann in 4 Minuten 19,2 Kartons verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert eine Anzahl der verpackten Kartons zuordnen kann.
Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Kartonanzahl', nämlich 19.2 durch den Wert
von 'Verpackungszeit' (4) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade
des Wertes bei 4 sein muss.
Also: m==
Zuordnungsvorschrift: y = ⋅ x
Wert bei Proportionalität finden
Beispiel:
Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 5, wenn die Größe B den Wert 4.5 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 1.35 hat?
Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 4.5 = m⋅5.
Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 4.5 durch den Wert
von Größe A (5) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade
des Wertes bei 5 sein muss.
Also: m==
Zuordnungsvorschrift: y = ⋅ x
x-Wert bei y = 1.35
Da der/die Größe B den Wert 1.35 hat, muss man 1.35 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen,
um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
1.35 = ⋅ x.
Das klappt mit x = , weil dann 1.35 = ⋅ .
Somit gilt für x (Größe A) = = 1.5.
Wert bei Proportionalität (Anwendungen)
Beispiel:
Ein Prepaid-Anbieter verlangt immer den gleichen Preis pro Minute Telefonieren mit dem Handy. Auf einem Werbeplakat steht, dass 3 Minuten nur 45ct kosten. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man den telefonierten Minuten den Preis in Cent zuordnen kann.
Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 45 = m⋅3.
Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Preis, nämlich 45 durch den Wert
von Minuten (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade
des Wertes bei 3 sein muss.
Also: m==
Zuordnungsvorschrift: y = ⋅ x
y-Wert bei x = 4.5
Da der/die Minuten den Wert 4.5 hat, muss man einfach 4.5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen,
um als y den zugehörigen Wert von Preis zu erhalten:
y= ⋅ 4.5 = 67.5