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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Zweisatz rückwärts
Beispiel:
Bei Karls Lieblingsobsthändler bekommt man für 10,50 € 7 kg Birnen.
Wie viel kostet 1 kg Birnen?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 7 kg Birnen in der ersten Zeile auf 1 kg Birnen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 7 teilen. Somit müssen wir auch die 10.5 € durch 7 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 kg Birnen entspricht:
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: 7
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: 7
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: 7
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: 7
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 1 kg Birnen entspricht: 1,50 €
Dreisatz (beide Richtungen)
Beispiel:
Eine erfahrende Langstreckenläuferin trainiert immer mit exakt dem gleichen Tempo. Für 10 km braucht sie 70 Minuten.
Wie lange braucht sie für 12 km?
Wie viele km schafft sie in 175 min?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 km teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 10 und von 12 sein, also der ggT(10,12) = 2.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 km:
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Um von 10 km in der ersten Zeile auf 2 km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Somit müssen wir auch die 70 min durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 2 km entspricht:
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: 5
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: 5
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Jetzt müssen wir ja wieder die 2 km in der mittleren Zeile mit 6 multiplizieren, um auf die 12 km in der dritten Zeile zu kommen.
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: 5
⋅ 6
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: 5
⋅ 6
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 km entspricht: 84 min
Für die andere Frage (Wie viele km schafft sie in 175 min?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "min"-Werte haben und nach einem "km"-Wert gesucht wird:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die min in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 70 min teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 70 und von 175 sein, also der ggT(70,175) = 35.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 35 min:
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Um von 70 min in der ersten Zeile auf 35 min in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Somit müssen wir auch die 10 km durch 2 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 35 min entspricht:
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: 2
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: 2
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Jetzt müssen wir ja wieder die 35 min in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 175 min in der dritten Zeile zu kommen.
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: 2
⋅ 5
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: 2
⋅ 5
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 175 min entspricht: 25 km
Proportionaler Term
Beispiel:
Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 8 wenn die Größe B den Wert 13.6 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.
Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 13.6 durch den Wert
von 'Größe A' (8) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade
des Wertes bei 8 sein muss.
Also: m==
Zuordnungsvorschrift: y = ⋅ x
Proportionaler Term Anwendung
Beispiel:
Eine Verpackungsmachine kann in 7 Minuten 18,2 Kartons verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert eine Anzahl der verpackten Kartons zuordnen kann.
Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Kartonanzahl', nämlich 18.2 durch den Wert
von 'Verpackungszeit' (7) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade
des Wertes bei 7 sein muss.
Also: m==
Zuordnungsvorschrift: y = ⋅ x
Wert bei Proportionalität finden
Beispiel:
Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 6, wenn die Größe B den Wert 17.4 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt Größe B ein, wenn die Größe A den Wert 8.5 hat?
Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 17.4 = m⋅6.
Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 17.4 durch den Wert
von Größe A (6) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade
des Wertes bei 6 sein muss.
Also: m==
Zuordnungsvorschrift: y = ⋅ x
y-Wert bei x = 8.5
Da der/die Größe A den Wert 8.5 hat, muss man einfach 8.5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen,
um als y den zugehörigen Wert von Größe B zu erhalten:
y= ⋅ 8.5 = 24.65
Wert bei Proportionalität (Anwendungen)
Beispiel:
Ein Prepaid-Anbieter verlangt immer den gleichen Preis pro Minute Telefonieren mit dem Handy. Auf einem Werbeplakat steht, dass 5 Minuten nur 45ct kosten. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man den telefonierten Minuten den Preis in Cent zuordnen kann.
Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 45 = m⋅5.
Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Preis, nämlich 45 durch den Wert
von Minuten (5) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade
des Wertes bei 5 sein muss.
Also: m==
Zuordnungsvorschrift: y = ⋅ x
x-Wert bei y = 63
Da der/die Preis den Wert 63 hat, muss man 63 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen,
um als x den zugehörigen Wert von Minuten zu erhalten:
63 = ⋅ x.
Das klappt mit x = , weil dann 63 = ⋅ .
Somit gilt für x (Minuten) = = 7.