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Zweisatz rückwärts

Beispiel:

Eine erfahrende Langstreckenläuferin trainiert immer mit exakt dem gleichen Tempo. Für 7 km braucht sie 28 Minuten.

Wie lange braucht sie für 1 km?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

7 km	28 min
1 km	?

Um von 7 km in der ersten Zeile auf 1 km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 7 teilen. Somit müssen wir auch die 28 min durch 7 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 km entspricht:

: 7

7 km	28 min
1 km	?

: 7

7 km	28 min
1 km	4 min

: 7

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 1 km entspricht: 4 min

Einfacher Dreisatz

Beispiel:

Beim Karls Lieblingsobsthändler bekommt man für 30,00 € 10 kg Birnen.

Wie viel kosten 15 kg Birnen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

10 kg Birnen	30,00 €
?	?
15 kg Birnen	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die kg Birnen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 kg Birnen teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 10 und von 15 sein, also der ggT(10,15) = 5.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 kg Birnen:

10 kg Birnen	30,00 €
5 kg Birnen	?
15 kg Birnen	?

Um von 10 kg Birnen in der ersten Zeile auf 5 kg Birnen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Somit müssen wir auch die 30 € durch 2 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 5 kg Birnen entspricht:

: 2

10 kg Birnen	30,00 €
5 kg Birnen	?
15 kg Birnen	?

: 2

10 kg Birnen	30,00 €
5 kg Birnen	15,00 €
15 kg Birnen	?

: 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 5 kg Birnen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 15 kg Birnen in der dritten Zeile zu kommen.

: 2

⋅ 3

10 kg Birnen	30,00 €
5 kg Birnen	15,00 €
15 kg Birnen	?

: 2

⋅ 3

Wir müssen somit auch rechts die 15,00 € in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren:

: 2

⋅ 3

10 kg Birnen	30,00 €
5 kg Birnen	15,00 €
15 kg Birnen	45,00 €

: 2

⋅ 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 kg Birnen entspricht: 45,00 €

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 2 wenn die Größe B den Wert 4.8 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 4.8 durch den Wert von 'Größe A' (2) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{2}$ des Wertes bei 2 sein muss.
Also: m= $\frac{4.8}{2}$ = $2,4$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,4$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Im Winter schneit es 1 Stunde lang total gleichmäßig. Dabei fallen in 7 Minuten 14,7 cm. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man jedem Minuten-Wert eine Schneehöhe in cm zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Schneehöhe', nämlich 14.7 durch den Wert von 'Zeit' (7) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{7}$ des Wertes bei 7 sein muss.
Also: m= $\frac{14.7}{7}$ = $2,1$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,1$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 6, wenn die Größe B den Wert 19.8 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.

Welchen Wert nimmt Größe B ein, wenn die Größe A den Wert 4 hat?
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 9.9 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 19.8 = m⋅6.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 19.8 durch den Wert von Größe A (6) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{6}$ des Wertes bei 6 sein muss.
Also: m= $\frac{19.8}{6}$ = $3,3$
Zuordnungsvorschrift: y = $3,3$ ⋅ x

y-Wert bei x = 4
Da der/die Größe A den Wert 4 hat, muss man einfach 4 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Größe B zu erhalten:
y= $3,3$ ⋅ 4 = 13.2
.
x-Wert bei y = 9.9
Da der/die Größe B den Wert 9.9 hat, muss man 9.9 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
9.9 = $3,3$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{9.9}{3.3}$ , weil dann 9.9 = $3,3$ ⋅ $\frac{9.9}{3.3}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{9.9}{3.3}$ = 3.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Ein Prepaid-Anbieter verlangt immer den gleichen Preis pro Minute Telefonieren mit dem Handy. Auf einem Werbeplakat steht, dass 2 Minuten nur 18ct kosten. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man den telefonierten Minuten den Preis in Cent zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 18 = m⋅2.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Preis, nämlich 18 durch den Wert von Minuten (2) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{2}$ des Wertes bei 2 sein muss.
Also: m= $\frac{18}{2}$ = $9$
Zuordnungsvorschrift: y = $9$ ⋅ x

y-Wert bei x = 3.5

Da der/die Minuten den Wert 3.5 hat, muss man einfach 3.5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Preis zu erhalten:
y= $9$ ⋅ 3.5 = 31.5

.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz rückwärts

Einfacher Dreisatz

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)