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Proportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen proportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 13200 g Protein den 30 kg Powerdrink entsprechen.

: 6

⋅ 5

36 kg Powerdrink	14400 g Protein
6 kg Powerdrink	2400 g Protein
30 kg Powerdrink	12000 g Protein

: 6

⋅ 5

Der Wert 13200 g Protein war also falsch, richtig wäre 12000 g Protein gewesen.

Jetzt überprüfen wir, ob die 20400 g Protein den 48 kg Powerdrink entsprechen.

: 3

⋅ 4

36 kg Powerdrink	14400 g Protein
12 kg Powerdrink	4800 g Protein
48 kg Powerdrink	19200 g Protein

: 3

⋅ 4

Der Wert 20400 g Protein war also falsch, richtig wäre 19200 g Protein gewesen.

Einfacher Dreisatz

Beispiel:

Beim Biohof Ökofarm bezahlt Herr Eggestein 6,00 € für 20 Eier.

Wie viel kosten 24 Eier?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

20 Eier	600 ct
?	?
24 Eier	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Eier in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 20 Eier teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 20 und von 24 sein, also der ggT(20,24) = 4.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 Eier:

20 Eier	600 ct
4 Eier	?
24 Eier	?

Um von 20 Eier in der ersten Zeile auf 4 Eier in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Somit müssen wir auch die 600 ct durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 4 Eier entspricht:

: 5

20 Eier	600 ct
4 Eier	?
24 Eier	?

: 5

(Beim Teilen durch 5 kann man einfach erst verdoppeln und dann durch 10 teilen.)

: 5

20 Eier	600 ct
4 Eier	120 ct
24 Eier	?

: 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 4 Eier in der mittleren Zeile mit 6 multiplizieren, um auf die 24 Eier in der dritten Zeile zu kommen.

: 5

⋅ 6

20 Eier	600 ct
4 Eier	120 ct
24 Eier	?

: 5

⋅ 6

Wir müssen somit auch rechts die 120 ct in der mittleren Zeile mit 6 multiplizieren:

: 5

⋅ 6

20 Eier	600 ct
4 Eier	120 ct
24 Eier	720 ct

: 5

⋅ 6

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 24 Eier entspricht: 720 ct

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 6 wenn die Größe B den Wert 18.6 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

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Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 18.6 durch den Wert von 'Größe A' (6) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{6}$ des Wertes bei 6 sein muss.
Also: m= $\frac{18.6}{6}$ = $3,1$
Zuordnungsvorschrift: y = $3,1$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Ein Boiler erhitzt Wasser. Dabei wird in 5 Minuten das Wasser um 0,5°C erhitzt. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert einen Wert der Wassererhitzung in °C zuordnen kann.

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Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Temperaturänderung', nämlich 0.5 durch den Wert von 'Erhitzungsszeit' (5) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{5}$ des Wertes bei 5 sein muss.
Also: m= $\frac{0.5}{5}$ = $0,1$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,1$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 3, wenn die Größe B den Wert 12.3 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt Größe B ein, wenn die Größe A den Wert 4.5 hat?

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Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 12.3 = m⋅3.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 12.3 durch den Wert von Größe A (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{3}$ des Wertes bei 3 sein muss.
Also: m= $\frac{12.3}{3}$ = $4,1$
Zuordnungsvorschrift: y = $4,1$ ⋅ x

y-Wert bei x = 4.5

Da der/die Größe A den Wert 4.5 hat, muss man einfach 4.5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Größe B zu erhalten:
y= $4,1$ ⋅ 4.5 = 18.45

.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Die Lernmittelbücherei hat 120 neue gleiche Bücher bekommen. Jeweils 5 Bücher wiegen zusammen 7,5kg. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der Bücher dem Gewicht in kg zuordnen kann.

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Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 7.5 = m⋅5.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Gesamtgewicht, nämlich 7.5 durch den Wert von Bücheranzahl (5) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{5}$ des Wertes bei 5 sein muss.
Also: m= $\frac{7.5}{5}$ = $1,5$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,5$ ⋅ x

x-Wert bei y = 12.75

Da der/die Gesamtgewicht den Wert 12.75 hat, muss man 12.75 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Bücheranzahl zu erhalten:
12.75 = $1,5$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{12.75}{1.5}$ , weil dann 12.75 = $1,5$ ⋅ $\frac{12.75}{1.5}$ .
Somit gilt für x (Bücheranzahl) = $\frac{12.75}{1.5}$ = 8.5.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Proportionalität überprüfen

Einfacher Dreisatz

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)