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nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Proportionalität überprüfen
Beispiel:
Prüfe, ob es sich um einen proportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte.
Wir überprüfen zuerst, ob die 19 € den 12 kg Birnen entsprechen.
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: 5
⋅ 6
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: 5
⋅ 6
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Der Wert 19 € war also falsch, richtig wäre 18 € gewesen.
Jetzt überprüfen wir, ob die 13 € den 8 kg Birnen entsprechen.
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: 5
⋅ 4
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: 5
⋅ 4
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Der Wert 13 € war also falsch, richtig wäre 12 € gewesen.
Dreisatz (beide Richtungen)
Beispiel:
Bei einem Marktstand bezahlt man 9,00 € für 6 kg Äpfel.
Wie viel kosten 4 kg Äpfel?
Wie viel kg Äpfel bekommt man für 12 € ?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die kg Äpfel in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 kg Äpfel teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 6 und von 4 sein, also der ggT(6,4) = 2.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 kg Äpfel:
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Um von 6 kg Äpfel in der ersten Zeile auf 2 kg Äpfel in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Somit müssen wir auch die 9 € durch 3 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 2 kg Äpfel entspricht:
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: 3
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: 3
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Jetzt müssen wir ja wieder die 2 kg Äpfel in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 4 kg Äpfel in der dritten Zeile zu kommen.
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: 3
⋅ 2
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: 3
⋅ 2
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 kg Äpfel entspricht: 6,00 €
Für die andere Frage (Wie viel kg Äpfel bekommt man für 12 € ?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "€"-Werte haben und nach einem "kg Äpfel"-Wert gesucht wird:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 9 € teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 9 und von 12 sein, also der ggT(9,12) = 3.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 €:
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Um von 9 € in der ersten Zeile auf 3 € in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Somit müssen wir auch die 6 kg Äpfel durch 3 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 3 € entspricht:
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: 3
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: 3
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Jetzt müssen wir ja wieder die 3 € in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 12 € in der dritten Zeile zu kommen.
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: 3
⋅ 4
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: 3
⋅ 4
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 € entspricht: 8 kg Äpfel
Proportionaler Term
Beispiel:
Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 3 wenn die Größe B den Wert 1.8 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.
Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 1.8 durch den Wert
von 'Größe A' (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade
des Wertes bei 3 sein muss.
Also: m==
Zuordnungsvorschrift: y = ⋅ x
Proportionaler Term Anwendung
Beispiel:
Ein Boiler erhitzt Wasser. Dabei wird in 5 Minuten das Wasser um 25°C erhitzt. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert einen Wert der Wassererhitzung in °C zuordnen kann.
Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Temperaturänderung', nämlich 25 durch den Wert
von 'Erhitzungsszeit' (5) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade
des Wertes bei 5 sein muss.
Also: m==
Zuordnungsvorschrift: y = ⋅ x
Wert bei Proportionalität finden
Beispiel:
Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 2, wenn die Größe B den Wert 10 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt Größe B ein, wenn die Größe A den Wert 5.5 hat?
Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 10 = m⋅2.
Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 10 durch den Wert
von Größe A (2) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade
des Wertes bei 2 sein muss.
Also: m==
Zuordnungsvorschrift: y = ⋅ x
y-Wert bei x = 5.5
Da der/die Größe A den Wert 5.5 hat, muss man einfach 5.5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen,
um als y den zugehörigen Wert von Größe B zu erhalten:
y= ⋅ 5.5 = 27.5
Wert bei Proportionalität (Anwendungen)
Beispiel:
Ein Prepaid-Anbieter verlangt immer den gleichen Preis pro Minute Telefonieren mit dem Handy. Auf einem Werbeplakat steht, dass 8 Minuten nur 48ct kosten. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man den telefonierten Minuten den Preis in Cent zuordnen kann.
Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 48 = m⋅8.
Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Preis, nämlich 48 durch den Wert
von Minuten (8) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade
des Wertes bei 8 sein muss.
Also: m==
Zuordnungsvorschrift: y = ⋅ x
- y-Wert bei x = 5.5
Da der/die Minuten den Wert 5.5 hat, muss man einfach 5.5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Preis zu erhalten:
.
y= ⋅ 5.5 = 33 - x-Wert bei y = 42
Da der/die Preis den Wert 42 hat, muss man 42 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Minuten zu erhalten:
42 = ⋅ x.
Das klappt mit x = , weil dann 42 = ⋅ .
Somit gilt für x (Minuten) = = 7.