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Zweisatz rückwärts

Beispiel:

Ein Käseaufschnitt wiegt insgesamt 150 g. Er besteht aus 3 gleichen Scheiben.

Wie schwer ist dann 1 Scheibe Käse?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

3 Scheiben Käse	150 g
1 Scheibe Käse	?

Um von 3 Scheiben Käse in der ersten Zeile auf 1 Scheiben Käse in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Somit müssen wir auch die 150 g durch 3 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 Scheiben Käse entspricht:

: 3

3 Scheiben Käse	150 g
1 Scheibe Käse	?

: 3

3 Scheiben Käse	150 g
1 Scheibe Käse	50 g

: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 1 Scheiben Käse entspricht: 50 g

Einfacher Dreisatz

Beispiel:

Herr Tobrak hat einen neuen Handyvertrag abgeschlossen. Für sein 30-Minuten-Gespräch hat er nun 270 ct bezahlt.

Wie viel kosten ihn 24 min telefonieren?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

30 Minuten telefonieren	270 ct
?	?
24 Minuten telefonieren	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten telefonieren in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 30 Minuten telefonieren teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 30 und von 24 sein, also der ggT(30,24) = 6.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 6 Minuten telefonieren:

30 Minuten telefonieren	270 ct
6 Minuten telefonieren	?
24 Minuten telefonieren	?

Um von 30 Minuten telefonieren in der ersten Zeile auf 6 Minuten telefonieren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Somit müssen wir auch die 270 ct durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 6 Minuten telefonieren entspricht:

: 5

30 Minuten telefonieren	270 ct
6 Minuten telefonieren	?
24 Minuten telefonieren	?

: 5

(Beim Teilen durch 5 kann man einfach erst verdoppeln und dann durch 10 teilen.)

: 5

30 Minuten telefonieren	270 ct
6 Minuten telefonieren	54 ct
24 Minuten telefonieren	?

: 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 6 Minuten telefonieren in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 24 Minuten telefonieren in der dritten Zeile zu kommen.

: 5

⋅ 4

30 Minuten telefonieren	270 ct
6 Minuten telefonieren	54 ct
24 Minuten telefonieren	?

: 5

⋅ 4

Wir müssen somit auch rechts die 54 ct in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren:

: 5

⋅ 4

30 Minuten telefonieren	270 ct
6 Minuten telefonieren	54 ct
24 Minuten telefonieren	216 ct

: 5

⋅ 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 24 Minuten telefonieren entspricht: 216 ct

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 7 wenn die Größe B den Wert 9.8 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 9.8 durch den Wert von 'Größe A' (7) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{7}$ des Wertes bei 7 sein muss.
Also: m= $\frac{9.8}{7}$ = $1,4$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,4$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Ein Boiler erhitzt Wasser. Dabei wird in 4 Minuten das Wasser um 17,2°C erhitzt. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert einen Wert der Wassererhitzung in °C zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Temperaturänderung', nämlich 17.2 durch den Wert von 'Erhitzungsszeit' (4) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{4}$ des Wertes bei 4 sein muss.
Also: m= $\frac{17.2}{4}$ = $4,3$
Zuordnungsvorschrift: y = $4,3$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 3, wenn die Größe B den Wert 6 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 11 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 6 = m⋅3.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 6 durch den Wert von Größe A (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{3}$ des Wertes bei 3 sein muss.
Also: m= $\frac{6}{3}$ = $2$
Zuordnungsvorschrift: y = $2$ ⋅ x

x-Wert bei y = 11

Da der/die Größe B den Wert 11 hat, muss man 11 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
11 = $2$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{11}{2}$ , weil dann 11 = $2$ ⋅ $\frac{11}{2}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{11}{2}$ = 5.5.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Ein Prepaid-Anbieter verlangt immer den gleichen Preis pro Minute Telefonieren mit dem Handy. Auf einem Werbeplakat steht, dass 5 Minuten nur 15ct kosten. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man den telefonierten Minuten den Preis in Cent zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 15 = m⋅5.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Preis, nämlich 15 durch den Wert von Minuten (5) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{5}$ des Wertes bei 5 sein muss.
Also: m= $\frac{15}{5}$ = $3$
Zuordnungsvorschrift: y = $3$ ⋅ x

x-Wert bei y = 13.5

Da der/die Preis den Wert 13.5 hat, muss man 13.5 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Minuten zu erhalten:
13.5 = $3$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{13.5}{3}$ , weil dann 13.5 = $3$ ⋅ $\frac{13.5}{3}$ .
Somit gilt für x (Minuten) = $\frac{13.5}{3}$ = 4.5.

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Zweisatz rückwärts

Einfacher Dreisatz

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)