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Zweisatz rückwärts

Beispiel:

Eine erfahrende Langstreckenläuferin trainiert immer mit exakt dem gleichen Tempo. Für 7 km braucht sie 49 Minuten.

Wie lange braucht sie für 1 km?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

7 km	49 min
1 km	?

Um von 7 km in der ersten Zeile auf 1 km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 7 teilen. Somit müssen wir auch die 49 min durch 7 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 km entspricht:

: 7

7 km	49 min
1 km	?

: 7

7 km	49 min
1 km	7 min

: 7

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 1 km entspricht: 7 min

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem proportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

12 Becher Joghurt	3000 g
?	?
8 Becher Joghurt	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Becher Joghurt in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 12 Becher Joghurt teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 12 und von 8 sein, also der ggT(12,8) = 4.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 Becher Joghurt:

12 Becher Joghurt	3000 g
4 Becher Joghurt	?
8 Becher Joghurt	?

Um von 12 Becher Joghurt in der ersten Zeile auf 4 Becher Joghurt in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Somit müssen wir auch die 3000 g durch 3 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 4 Becher Joghurt entspricht:

: 3

12 Becher Joghurt	3000 g
4 Becher Joghurt	?
8 Becher Joghurt	?

: 3

12 Becher Joghurt	3000 g
4 Becher Joghurt	1000 g
8 Becher Joghurt	?

: 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 4 Becher Joghurt in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 8 Becher Joghurt in der dritten Zeile zu kommen.

: 3

⋅ 2

12 Becher Joghurt	3000 g
4 Becher Joghurt	1000 g
8 Becher Joghurt	?

: 3

⋅ 2

Wir müssen somit auch rechts die 1000 g in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren:

: 3

⋅ 2

12 Becher Joghurt	3000 g
4 Becher Joghurt	1000 g
8 Becher Joghurt	2000 g

: 3

⋅ 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Becher Joghurt entspricht: 2000 g

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 2 wenn die Größe B den Wert 9.2 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 9.2 durch den Wert von 'Größe A' (2) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{2}$ des Wertes bei 2 sein muss.
Also: m= $\frac{9.2}{2}$ = $4,6$
Zuordnungsvorschrift: y = $4,6$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann in 2 Minuten 9 Kartons verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert eine Anzahl der verpackten Kartons zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Kartonanzahl', nämlich 9 durch den Wert von 'Verpackungszeit' (2) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{2}$ des Wertes bei 2 sein muss.
Also: m= $\frac{9}{2}$ = $4,5$
Zuordnungsvorschrift: y = $4,5$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 10, wenn die Größe B den Wert 5 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 3.5 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 5 = m⋅10.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 5 durch den Wert von Größe A (10) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{10}$ des Wertes bei 10 sein muss.
Also: m= $\frac{5}{10}$ = $0,5$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,5$ ⋅ x

x-Wert bei y = 3.5

Da der/die Größe B den Wert 3.5 hat, muss man 3.5 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
3.5 = $0,5$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{3.5}{0.5}$ , weil dann 3.5 = $0,5$ ⋅ $\frac{3.5}{0.5}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{3.5}{0.5}$ = 7.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann 9 Kartons in 20,7 Sekunden verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der verpackten Kartons der Verpackungszeit in Sekunden zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 20.7 = m⋅9.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Verpackungszeit, nämlich 20.7 durch den Wert von Kartonanzahl (9) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{9}$ des Wertes bei 9 sein muss.
Also: m= $\frac{20.7}{9}$ = $2,3$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,3$ ⋅ x

x-Wert bei y = 16.1

Da der/die Verpackungszeit den Wert 16.1 hat, muss man 16.1 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Kartonanzahl zu erhalten:
16.1 = $2,3$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{16.1}{2.3}$ , weil dann 16.1 = $2,3$ ⋅ $\frac{16.1}{2.3}$ .
Somit gilt für x (Kartonanzahl) = $\frac{16.1}{2.3}$ = 7.

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Zweisatz rückwärts

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)