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Zweisatz

Beispiel:

Beim Bäcker Leckerbeck kostet 1 Brötchen immer 0,20 €.

Wie viel kosten 6 Brötchen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Brötchen0,20 €
6 Brötchen?

Um von 1 Brötchen in der ersten Zeile auf 6 Brötchen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 6 multiplizieren. Somit müssen wir auch die 0.2 € mit 6 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 6 Brötchen entspricht:

⋅ 6
1 Brötchen0,20 €
6 Brötchen?
⋅ 6
⋅ 6
1 Brötchen0,20 €
6 Brötchen1,20 €
⋅ 6

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 6 Brötchen entspricht: 1,20 €

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem proportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

15 Scheiben Käse375 g
??
18 Scheiben Käse?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Scheiben Käse in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 15 Scheiben Käse teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 15 und von 18 sein, also der ggT(15,18) = 3.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 Scheiben Käse:


15 Scheiben Käse375 g
3 Scheiben Käse?
18 Scheiben Käse?

Um von 15 Scheiben Käse in der ersten Zeile auf 3 Scheiben Käse in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Somit müssen wir auch die 375 g durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 3 Scheiben Käse entspricht:

: 5

15 Scheiben Käse375 g
3 Scheiben Käse?
18 Scheiben Käse?
: 5

(Beim Teilen durch 5 kann man einfach erst verdoppeln und dann durch 10 teilen.)

: 5

15 Scheiben Käse375 g
3 Scheiben Käse75 g
18 Scheiben Käse?
: 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 3 Scheiben Käse in der mittleren Zeile mit 6 multiplizieren, um auf die 18 Scheiben Käse in der dritten Zeile zu kommen.

: 5
⋅ 6

15 Scheiben Käse375 g
3 Scheiben Käse75 g
18 Scheiben Käse?
: 5
⋅ 6

Wir müssen somit auch rechts die 75 g in der mittleren Zeile mit 6 multiplizieren:

: 5
⋅ 6

15 Scheiben Käse375 g
3 Scheiben Käse75 g
18 Scheiben Käse450 g
: 5
⋅ 6

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 18 Scheiben Käse entspricht: 450 g

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 6 wenn die Größe B den Wert 22.8 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

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Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 22.8 durch den Wert von 'Größe A' (6) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade 1 6 des Wertes bei 6 sein muss.
Also: m= 22.8 6 =3,8
Zuordnungsvorschrift: y = 3,8 ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann in 3 Minuten 11,4 Kartons verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert eine Anzahl der verpackten Kartons zuordnen kann.

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Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Kartonanzahl', nämlich 11.4 durch den Wert von 'Verpackungszeit' (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade 1 3 des Wertes bei 3 sein muss.
Also: m= 11.4 3 =3,8
Zuordnungsvorschrift: y = 3,8 ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 4, wenn die Größe B den Wert 15.6 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 21.45 hat?

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Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 15.6 = m⋅4.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 15.6 durch den Wert von Größe A (4) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade 1 4 des Wertes bei 4 sein muss.
Also: m= 15.6 4 =3,9
Zuordnungsvorschrift: y = 3,9 ⋅ x

x-Wert bei y = 21.45

Da der/die Größe B den Wert 21.45 hat, muss man 21.45 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
21.45 = 3,9 ⋅ x.
Das klappt mit x = 21.45 3.9 , weil dann 21.45 = 3,9 ⋅ 21.45 3.9 .
Somit gilt für x (Größe A) = 21.45 3.9 = 5.5.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Ein Prepaid-Anbieter verlangt immer den gleichen Preis pro Minute Telefonieren mit dem Handy. Auf einem Werbeplakat steht, dass 9 Minuten nur 81ct kosten. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man den telefonierten Minuten den Preis in Cent zuordnen kann.

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Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 81 = m⋅9.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Preis, nämlich 81 durch den Wert von Minuten (9) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade 1 9 des Wertes bei 9 sein muss.
Also: m= 81 9 =9
Zuordnungsvorschrift: y = 9 ⋅ x

y-Wert bei x = 7

Da der/die Minuten den Wert 7 hat, muss man einfach 7 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Preis zu erhalten:
y=9 ⋅ 7 = 63

.