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Zweisatz rückwärts

Beispiel:

Beim Bäcker Leckerbeck kosten 4 Brötchen immer 1,60 €.

Wie viel kostet 1 Brötchen?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

4 Brötchen	1,60 €
1 Brötchen	?

Um von 4 Brötchen in der ersten Zeile auf 1 Brötchen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Somit müssen wir auch die 1.6 € durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 Brötchen entspricht:

: 4

4 Brötchen	1,60 €
1 Brötchen	?

: 4

4 Brötchen	1,60 €
1 Brötchen	0,40 €

: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 1 Brötchen entspricht: 0,40 €

Einfacher Dreisatz

Beispiel:

Eine erfahrende Langstreckenläuferin trainiert immer mit exakt dem gleichen Tempo. Für 25 km braucht sie 150 Minuten.

Wie lange braucht sie für 20 km?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

25 km	150 min
?	?
20 km	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 25 km teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 25 und von 20 sein, also der ggT(25,20) = 5.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 km:

25 km	150 min
5 km	?
20 km	?

Um von 25 km in der ersten Zeile auf 5 km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Somit müssen wir auch die 150 min durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 5 km entspricht:

: 5

25 km	150 min
5 km	?
20 km	?

: 5

25 km	150 min
5 km	30 min
20 km	?

: 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 5 km in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 20 km in der dritten Zeile zu kommen.

: 5

⋅ 4

25 km	150 min
5 km	30 min
20 km	?

: 5

⋅ 4

Wir müssen somit auch rechts die 30 min in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren:

: 5

⋅ 4

25 km	150 min
5 km	30 min
20 km	120 min

: 5

⋅ 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 20 km entspricht: 120 min

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 5 wenn die Größe B den Wert 10.5 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 10.5 durch den Wert von 'Größe A' (5) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{5}$ des Wertes bei 5 sein muss.
Also: m= $\frac{10.5}{5}$ = $2,1$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,1$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Im Winter schneit es 1 Stunde lang total gleichmäßig. Dabei fallen in 8 Minuten 0,8 cm. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man jedem Minuten-Wert eine Schneehöhe in cm zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Schneehöhe', nämlich 0.8 durch den Wert von 'Zeit' (8) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{8}$ des Wertes bei 8 sein muss.
Also: m= $\frac{0.8}{8}$ = $0,1$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,1$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 6, wenn die Größe B den Wert 25.8 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.

Welchen Wert nimmt Größe B ein, wenn die Größe A den Wert 7 hat?
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 19.35 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 25.8 = m⋅6.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 25.8 durch den Wert von Größe A (6) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{6}$ des Wertes bei 6 sein muss.
Also: m= $\frac{25.8}{6}$ = $4,3$
Zuordnungsvorschrift: y = $4,3$ ⋅ x

y-Wert bei x = 7
Da der/die Größe A den Wert 7 hat, muss man einfach 7 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Größe B zu erhalten:
y= $4,3$ ⋅ 7 = 30.1
.
x-Wert bei y = 19.35
Da der/die Größe B den Wert 19.35 hat, muss man 19.35 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
19.35 = $4,3$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{19.35}{4.3}$ , weil dann 19.35 = $4,3$ ⋅ $\frac{19.35}{4.3}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{19.35}{4.3}$ = 4.5.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Die Lernmittelbücherei hat 120 neue gleiche Bücher bekommen. Jeweils 5 Bücher wiegen zusammen 3kg. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der Bücher dem Gewicht in kg zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 3 = m⋅5.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Gesamtgewicht, nämlich 3 durch den Wert von Bücheranzahl (5) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{5}$ des Wertes bei 5 sein muss.
Also: m= $\frac{3}{5}$ = $0,6$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,6$ ⋅ x

y-Wert bei x = 5.5
Da der/die Bücheranzahl den Wert 5.5 hat, muss man einfach 5.5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Gesamtgewicht zu erhalten:
y= $0,6$ ⋅ 5.5 = 3.3
.
x-Wert bei y = 1.5
Da der/die Gesamtgewicht den Wert 1.5 hat, muss man 1.5 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Bücheranzahl zu erhalten:
1.5 = $0,6$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{1.5}{0.6}$ , weil dann 1.5 = $0,6$ ⋅ $\frac{1.5}{0.6}$ .
Somit gilt für x (Bücheranzahl) = $\frac{1.5}{0.6}$ = 2.5.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz rückwärts

Einfacher Dreisatz

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)