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Proportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen proportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 135 min den 25 km entsprechen.

: 4

⋅ 5

20 km	120 min
5 km	30 min
25 km	150 min

: 4

⋅ 5

Der Wert 135 min war also falsch, richtig wäre 150 min gewesen.

Jetzt überprüfen wir, ob die 165 min den 30 km entsprechen.

: 2

⋅ 3

20 km	120 min
10 km	60 min
30 km	180 min

: 2

⋅ 3

Der Wert 165 min war also falsch, richtig wäre 180 min gewesen.

Einfacher Dreisatz

Beispiel:

Beim Karls Lieblingsobsthändler bekommt man für 22,00 € 11 kg Birnen.

Wie viel kosten 9 kg Birnen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

11 kg Birnen	22,00 €
?	?
9 kg Birnen	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die kg Birnen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 11 kg Birnen teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 11 und von 9 sein, also der ggT(11,9) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 kg Birnen:

11 kg Birnen	22,00 €
1 kg Birnen	?
9 kg Birnen	?

Um von 11 kg Birnen in der ersten Zeile auf 1 kg Birnen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 11 teilen. Somit müssen wir auch die 22 € durch 11 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 kg Birnen entspricht:

: 11

11 kg Birnen	22,00 €
1 kg Birnen	?
9 kg Birnen	?

: 11

11 kg Birnen	22,00 €
1 kg Birnen	2,00 €
9 kg Birnen	?

: 11

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 kg Birnen in der mittleren Zeile mit 9 multiplizieren, um auf die 9 kg Birnen in der dritten Zeile zu kommen.

: 11

⋅ 9

11 kg Birnen	22,00 €
1 kg Birnen	2,00 €
9 kg Birnen	?

: 11

⋅ 9

Wir müssen somit auch rechts die 2,00 € in der mittleren Zeile mit 9 multiplizieren:

: 11

⋅ 9

11 kg Birnen	22,00 €
1 kg Birnen	2,00 €
9 kg Birnen	18,00 €

: 11

⋅ 9

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 9 kg Birnen entspricht: 18,00 €

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 4 wenn die Größe B den Wert 12.4 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 12.4 durch den Wert von 'Größe A' (4) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{4}$ des Wertes bei 4 sein muss.
Also: m= $\frac{12.4}{4}$ = $3,1$
Zuordnungsvorschrift: y = $3,1$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Im Winter schneit es 1 Stunde lang total gleichmäßig. Dabei fallen in 5 Minuten 24 cm. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man jedem Minuten-Wert eine Schneehöhe in cm zuordnen kann.

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Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Schneehöhe', nämlich 24 durch den Wert von 'Zeit' (5) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{5}$ des Wertes bei 5 sein muss.
Also: m= $\frac{24}{5}$ = $4,8$
Zuordnungsvorschrift: y = $4,8$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 2, wenn die Größe B den Wert 9.6 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 16.8 hat?

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Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 9.6 = m⋅2.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 9.6 durch den Wert von Größe A (2) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{2}$ des Wertes bei 2 sein muss.
Also: m= $\frac{9.6}{2}$ = $4,8$
Zuordnungsvorschrift: y = $4,8$ ⋅ x

x-Wert bei y = 16.8

Da der/die Größe B den Wert 16.8 hat, muss man 16.8 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
16.8 = $4,8$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{16.8}{4.8}$ , weil dann 16.8 = $4,8$ ⋅ $\frac{16.8}{4.8}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{16.8}{4.8}$ = 3.5.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Die Lernmittelbücherei hat 120 neue gleiche Bücher bekommen. Jeweils 4 Bücher wiegen zusammen 4kg. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der Bücher dem Gewicht in kg zuordnen kann.

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Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 4 = m⋅4.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Gesamtgewicht, nämlich 4 durch den Wert von Bücheranzahl (4) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{4}$ des Wertes bei 4 sein muss.
Also: m= $\frac{4}{4}$ = $1$
Zuordnungsvorschrift: y = $1$ ⋅ x

x-Wert bei y = 6.5

Da der/die Gesamtgewicht den Wert 6.5 hat, muss man 6.5 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Bücheranzahl zu erhalten:
6.5 = $1$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $6,5$ , weil dann 6.5 = $1$ ⋅ $6,5$ .
Somit gilt für x (Bücheranzahl) = $6,5$ = 6.5.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Proportionalität überprüfen

Einfacher Dreisatz

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)