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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Zweisatz rückwärts
Beispiel:
Beim Bäcker Leckerbeck kosten 7 Brötchen immer 2,10 €.
Wie viel kostet 1 Brötchen?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 7 Brötchen in der ersten Zeile auf 1 Brötchen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 7 teilen. Somit müssen wir auch die 2.1 € durch 7 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 Brötchen entspricht:
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: 7
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: 7
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: 7
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: 7
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 1 Brötchen entspricht: 0,30 €
Dreisatz (beide Richtungen)
Beispiel:
Bei einem Marktstand bezahlt man 36,00 € für 12 kg Äpfel.
Wie viel kosten 10 kg Äpfel?
Wie viel kg Äpfel bekommt man für 45 € ?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die kg Äpfel in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 12 kg Äpfel teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 12 und von 10 sein, also der ggT(12,10) = 2.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 kg Äpfel:
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Um von 12 kg Äpfel in der ersten Zeile auf 2 kg Äpfel in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 6 teilen. Somit müssen wir auch die 36 € durch 6 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 2 kg Äpfel entspricht:
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: 6
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: 6
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Jetzt müssen wir ja wieder die 2 kg Äpfel in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 10 kg Äpfel in der dritten Zeile zu kommen.
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: 6
⋅ 5
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: 6
⋅ 5
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 kg Äpfel entspricht: 30,00 €
Für die andere Frage (Wie viel kg Äpfel bekommt man für 45 € ?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "€"-Werte haben und nach einem "kg Äpfel"-Wert gesucht wird:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 36 € teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 36 und von 45 sein, also der ggT(36,45) = 9.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 9 €:
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Um von 36 € in der ersten Zeile auf 9 € in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Somit müssen wir auch die 12 kg Äpfel durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 9 € entspricht:
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: 4
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: 4
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Jetzt müssen wir ja wieder die 9 € in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 45 € in der dritten Zeile zu kommen.
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: 4
⋅ 5
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: 4
⋅ 5
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 45 € entspricht: 15 kg Äpfel
Proportionaler Term
Beispiel:
Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 5 wenn die Größe B den Wert 21 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.
Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 21 durch den Wert
von 'Größe A' (5) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade
des Wertes bei 5 sein muss.
Also: m==
Zuordnungsvorschrift: y = ⋅ x
Proportionaler Term Anwendung
Beispiel:
Im Winter schneit es 1 Stunde lang total gleichmäßig. Dabei fallen in 7 Minuten 2,1 cm. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man jedem Minuten-Wert eine Schneehöhe in cm zuordnen kann.
Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Schneehöhe', nämlich 2.1 durch den Wert
von 'Zeit' (7) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade
des Wertes bei 7 sein muss.
Also: m==
Zuordnungsvorschrift: y = ⋅ x
Wert bei Proportionalität finden
Beispiel:
Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 3, wenn die Größe B den Wert 3.6 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 7.2 hat?
Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 3.6 = m⋅3.
Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 3.6 durch den Wert
von Größe A (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade
des Wertes bei 3 sein muss.
Also: m==
Zuordnungsvorschrift: y = ⋅ x
x-Wert bei y = 7.2
Da der/die Größe B den Wert 7.2 hat, muss man 7.2 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen,
um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
7.2 = ⋅ x.
Das klappt mit x = , weil dann 7.2 = ⋅ .
Somit gilt für x (Größe A) = = 6.
Wert bei Proportionalität (Anwendungen)
Beispiel:
Eine Verpackungsmachine kann 4 Kartons in 5,2 Sekunden verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der verpackten Kartons der Verpackungszeit in Sekunden zuordnen kann.
Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 5.2 = m⋅4.
Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Verpackungszeit, nämlich 5.2 durch den Wert
von Kartonanzahl (4) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade
des Wertes bei 4 sein muss.
Also: m==
Zuordnungsvorschrift: y = ⋅ x
x-Wert bei y = 5.85
Da der/die Verpackungszeit den Wert 5.85 hat, muss man 5.85 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen,
um als x den zugehörigen Wert von Kartonanzahl zu erhalten:
5.85 = ⋅ x.
Das klappt mit x = , weil dann 5.85 = ⋅ .
Somit gilt für x (Kartonanzahl) = = 4.5.