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Zweisatz rückwärts

Beispiel:

Herr Tobrak hat einen neuen Handyvertrag abgeschlossen. Für sein 6-Minuten-Gespräch hat er nun 12 ct bezahlt.

Wie viel kostet ihn 1 min telefonieren?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

6 Minuten telefonieren	12 ct
1 Minute telefonieren	?

Um von 6 Minuten telefonieren in der ersten Zeile auf 1 Minuten telefonieren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 6 teilen. Somit müssen wir auch die 12 ct durch 6 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 Minuten telefonieren entspricht:

: 6

6 Minuten telefonieren	12 ct
1 Minute telefonieren	?

: 6

6 Minuten telefonieren	12 ct
1 Minute telefonieren	2 ct

: 6

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 1 Minuten telefonieren entspricht: 2 ct

Dreisatz (beide Richtungen)

Beispiel:

Beim Biohof Ökofarm bezahlt Herr Eggestein 2,40 € für 8 Eier.

Wie viel kosten 9 Eier?
Wie viele Eier bekommt er für 6,00 €?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

8 Eier	240 ct
?	?
9 Eier	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Eier in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Eier teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 8 und von 9 sein, also der ggT(8,9) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Eier:

8 Eier	240 ct
1 Ei	?
9 Eier	?

Um von 8 Eier in der ersten Zeile auf 1 Eier in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 8 teilen. Somit müssen wir auch die 240 ct durch 8 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 Eier entspricht:

: 8

8 Eier	240 ct
1 Ei	30 ct
9 Eier	?

: 8

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Eier in der mittleren Zeile mit 9 multiplizieren, um auf die 9 Eier in der dritten Zeile zu kommen.

: 8

⋅ 9

8 Eier	240 ct
1 Ei	30 ct
9 Eier	270 ct

: 8

⋅ 9

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 9 Eier entspricht: 270 ct

Für die andere Frage (Wie viele Eier bekommt er für 6,00 €?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "ct"-Werte haben und nach einem "Eier"-Wert gesucht wird:

240 ct	8 Eier
?	?
600 ct	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die ct in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 240 ct teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 240 und von 600 sein, also der ggT(240,600) = 120.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 120 ct:

240 ct	8 Eier
120 ct	?
600 ct	?

Um von 240 ct in der ersten Zeile auf 120 ct in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Somit müssen wir auch die 8 Eier durch 2 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 120 ct entspricht:

: 2

240 ct	8 Eier
120 ct	4 Eier
600 ct	?

: 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 120 ct in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 600 ct in der dritten Zeile zu kommen.

: 2

⋅ 5

240 ct	8 Eier
120 ct	4 Eier
600 ct	20 Eier

: 2

⋅ 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 600 ct entspricht: 20 Eier

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 2 wenn die Größe B den Wert 8.2 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 8.2 durch den Wert von 'Größe A' (2) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{2}$ des Wertes bei 2 sein muss.
Also: m= $\frac{8.2}{2}$ = $4,1$
Zuordnungsvorschrift: y = $4,1$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Ein Boiler erhitzt Wasser. Dabei wird in 2 Minuten das Wasser um 6,2°C erhitzt. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert einen Wert der Wassererhitzung in °C zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Temperaturänderung', nämlich 6.2 durch den Wert von 'Erhitzungsszeit' (2) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{2}$ des Wertes bei 2 sein muss.
Also: m= $\frac{6.2}{2}$ = $3,1$
Zuordnungsvorschrift: y = $3,1$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 4, wenn die Größe B den Wert 6 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 9 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 6 = m⋅4.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 6 durch den Wert von Größe A (4) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{4}$ des Wertes bei 4 sein muss.
Also: m= $\frac{6}{4}$ = $1,5$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,5$ ⋅ x

x-Wert bei y = 9

Da der/die Größe B den Wert 9 hat, muss man 9 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
9 = $1,5$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{9}{1.5}$ , weil dann 9 = $1,5$ ⋅ $\frac{9}{1.5}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{9}{1.5}$ = 6.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann 7 Kartons in 11,2 Sekunden verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der verpackten Kartons der Verpackungszeit in Sekunden zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 11.2 = m⋅7.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Verpackungszeit, nämlich 11.2 durch den Wert von Kartonanzahl (7) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{7}$ des Wertes bei 7 sein muss.
Also: m= $\frac{11.2}{7}$ = $1,6$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,6$ ⋅ x

x-Wert bei y = 8

Da der/die Verpackungszeit den Wert 8 hat, muss man 8 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Kartonanzahl zu erhalten:
8 = $1,6$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{8}{1.6}$ , weil dann 8 = $1,6$ ⋅ $\frac{8}{1.6}$ .
Somit gilt für x (Kartonanzahl) = $\frac{8}{1.6}$ = 5.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz rückwärts

Dreisatz (beide Richtungen)

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)