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Proportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen proportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 147 min den 24 km entsprechen.

: 5

⋅ 4

30 km	210 min
6 km	42 min
24 km	168 min

: 5

⋅ 4

Der Wert 147 min war also falsch, richtig wäre 168 min gewesen.

Jetzt überprüfen wir, ob die 315 min den 45 km entsprechen.

: 2

⋅ 3

30 km	210 min
15 km	105 min
45 km	315 min

: 2

⋅ 3

Der Wert 315 min war also korrekt.

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem proportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

16 km	96 min
?	?
20 km	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 16 km teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 16 und von 20 sein, also der ggT(16,20) = 4.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 km:

16 km	96 min
4 km	?
20 km	?

Um von 16 km in der ersten Zeile auf 4 km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Somit müssen wir auch die 96 min durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 4 km entspricht:

: 4

16 km	96 min
4 km	?
20 km	?

: 4

(Beim Teilen durch 4 kann man einfach zwei mal halbieren.)

: 4

16 km	96 min
4 km	24 min
20 km	?

: 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 4 km in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 20 km in der dritten Zeile zu kommen.

: 4

⋅ 5

16 km	96 min
4 km	24 min
20 km	?

: 4

⋅ 5

Wir müssen somit auch rechts die 24 min in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren:

: 4

⋅ 5

16 km	96 min
4 km	24 min
20 km	120 min

: 4

⋅ 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 20 km entspricht: 120 min

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 5 wenn die Größe B den Wert 9.5 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 9.5 durch den Wert von 'Größe A' (5) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{5}$ des Wertes bei 5 sein muss.
Also: m= $\frac{9.5}{5}$ = $1,9$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,9$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann in 6 Minuten 6 Kartons verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert eine Anzahl der verpackten Kartons zuordnen kann.

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Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Kartonanzahl', nämlich 6 durch den Wert von 'Verpackungszeit' (6) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{6}$ des Wertes bei 6 sein muss.
Also: m= $\frac{6}{6}$ = $1$
Zuordnungsvorschrift: y = $1$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 7, wenn die Größe B den Wert 19.6 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt Größe B ein, wenn die Größe A den Wert 6.5 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 19.6 = m⋅7.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 19.6 durch den Wert von Größe A (7) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{7}$ des Wertes bei 7 sein muss.
Also: m= $\frac{19.6}{7}$ = $2,8$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,8$ ⋅ x

y-Wert bei x = 6.5

Da der/die Größe A den Wert 6.5 hat, muss man einfach 6.5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Größe B zu erhalten:
y= $2,8$ ⋅ 6.5 = 18.2

.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Die Lernmittelbücherei hat 120 neue gleiche Bücher bekommen. Jeweils 6 Bücher wiegen zusammen 4,8kg. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der Bücher dem Gewicht in kg zuordnen kann.

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Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 4.8 = m⋅6.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Gesamtgewicht, nämlich 4.8 durch den Wert von Bücheranzahl (6) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{6}$ des Wertes bei 6 sein muss.
Also: m= $\frac{4.8}{6}$ = $0,8$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,8$ ⋅ x

x-Wert bei y = 4

Da der/die Gesamtgewicht den Wert 4 hat, muss man 4 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Bücheranzahl zu erhalten:
4 = $0,8$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{4}{0.8}$ , weil dann 4 = $0,8$ ⋅ $\frac{4}{0.8}$ .
Somit gilt für x (Bücheranzahl) = $\frac{4}{0.8}$ = 5.

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Proportionalität überprüfen

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Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

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Wert bei Proportionalität (Anwendungen)