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Zweisatz

Beispiel:

In einem Joghurtbecher von Herrn Schaaf sind 500 g drin.

Wie viel Joghurt ist in 8 Bechern drin?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Becher Joghurt	500 g
8 Becher Joghurt	?

Um von 1 Becher Joghurt in der ersten Zeile auf 8 Becher Joghurt in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 8 multiplizieren. Somit müssen wir auch die 500 g mit 8 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 8 Becher Joghurt entspricht:

⋅ 8

1 Becher Joghurt	500 g
8 Becher Joghurt	?

⋅ 8

1 Becher Joghurt	500 g
8 Becher Joghurt	4000 g

⋅ 8

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Becher Joghurt entspricht: 4000 g

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem proportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

20 km	80 min
?	?
15 km	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 20 km teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 20 und von 15 sein, also der ggT(20,15) = 5.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 km:

20 km	80 min
5 km	?
15 km	?

Um von 20 km in der ersten Zeile auf 5 km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Somit müssen wir auch die 80 min durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 5 km entspricht:

: 4

20 km	80 min
5 km	?
15 km	?

: 4

20 km	80 min
5 km	20 min
15 km	?

: 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 5 km in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 15 km in der dritten Zeile zu kommen.

: 4

⋅ 3

20 km	80 min
5 km	20 min
15 km	?

: 4

⋅ 3

Wir müssen somit auch rechts die 20 min in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren:

: 4

⋅ 3

20 km	80 min
5 km	20 min
15 km	60 min

: 4

⋅ 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 km entspricht: 60 min

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 2 wenn die Größe B den Wert 8.8 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 8.8 durch den Wert von 'Größe A' (2) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{2}$ des Wertes bei 2 sein muss.
Also: m= $\frac{8.8}{2}$ = $4,4$
Zuordnungsvorschrift: y = $4,4$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Im Winter schneit es 1 Stunde lang total gleichmäßig. Dabei fallen in 4 Minuten 18 cm. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man jedem Minuten-Wert eine Schneehöhe in cm zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Schneehöhe', nämlich 18 durch den Wert von 'Zeit' (4) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{4}$ des Wertes bei 4 sein muss.
Also: m= $\frac{18}{4}$ = $4,5$
Zuordnungsvorschrift: y = $4,5$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 2, wenn die Größe B den Wert 2.8 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.

Welchen Wert nimmt Größe B ein, wenn die Größe A den Wert 4 hat?
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 3.5 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 2.8 = m⋅2.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 2.8 durch den Wert von Größe A (2) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{2}$ des Wertes bei 2 sein muss.
Also: m= $\frac{2.8}{2}$ = $1,4$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,4$ ⋅ x

y-Wert bei x = 4
Da der/die Größe A den Wert 4 hat, muss man einfach 4 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Größe B zu erhalten:
y= $1,4$ ⋅ 4 = 5.6
.
x-Wert bei y = 3.5
Da der/die Größe B den Wert 3.5 hat, muss man 3.5 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
3.5 = $1,4$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{3.5}{1.4}$ , weil dann 3.5 = $1,4$ ⋅ $\frac{3.5}{1.4}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{3.5}{1.4}$ = 2.5.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Die Lernmittelbücherei hat 120 neue gleiche Bücher bekommen. Jeweils 9 Bücher wiegen zusammen 12,6kg. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der Bücher dem Gewicht in kg zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 12.6 = m⋅9.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Gesamtgewicht, nämlich 12.6 durch den Wert von Bücheranzahl (9) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{9}$ des Wertes bei 9 sein muss.
Also: m= $\frac{12.6}{9}$ = $1,4$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,4$ ⋅ x

y-Wert bei x = 5.5

Da der/die Bücheranzahl den Wert 5.5 hat, muss man einfach 5.5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Gesamtgewicht zu erhalten:
y= $1,4$ ⋅ 5.5 = 7.7

.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)