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Zweisatz rückwärts

Beispiel:

Der Hersteller eines Powerdrinks wirbt damit, das 1200 g Protein in dessen 6kg-Großpackung drin sind.

Wie viel g Protein ist in 1 kg Powerdrink?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

6 kg Powerdrink	1200 g Protein
1 kg Powerdrink	?

Um von 6 kg Powerdrink in der ersten Zeile auf 1 kg Powerdrink in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 6 teilen. Somit müssen wir auch die 1200 g Protein durch 6 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 kg Powerdrink entspricht:

: 6

6 kg Powerdrink	1200 g Protein
1 kg Powerdrink	?

: 6

6 kg Powerdrink	1200 g Protein
1 kg Powerdrink	200 g Protein

: 6

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 1 kg Powerdrink entspricht: 200 g Protein

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem proportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

12 kg Birnen	30,00 €
?	?
15 kg Birnen	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die kg Birnen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 12 kg Birnen teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 12 und von 15 sein, also der ggT(12,15) = 3.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 kg Birnen:

12 kg Birnen	30,00 €
3 kg Birnen	?
15 kg Birnen	?

Um von 12 kg Birnen in der ersten Zeile auf 3 kg Birnen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Somit müssen wir auch die 30 € durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 3 kg Birnen entspricht:

: 4

12 kg Birnen	30,00 €
3 kg Birnen	?
15 kg Birnen	?

: 4

(Beim Teilen durch 4 kann man einfach zwei mal halbieren.)

: 4

12 kg Birnen	30,00 €
3 kg Birnen	7,50 €
15 kg Birnen	?

: 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 3 kg Birnen in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 15 kg Birnen in der dritten Zeile zu kommen.

: 4

⋅ 5

12 kg Birnen	30,00 €
3 kg Birnen	7,50 €
15 kg Birnen	?

: 4

⋅ 5

Wir müssen somit auch rechts die 7,50 € in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren:

: 4

⋅ 5

12 kg Birnen	30,00 €
3 kg Birnen	7,50 €
15 kg Birnen	37,50 €

: 4

⋅ 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 kg Birnen entspricht: 37,50 €

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 7 wenn die Größe B den Wert 15.4 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 15.4 durch den Wert von 'Größe A' (7) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{7}$ des Wertes bei 7 sein muss.
Also: m= $\frac{15.4}{7}$ = $2,2$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,2$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann in 4 Minuten 10 Kartons verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert eine Anzahl der verpackten Kartons zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Kartonanzahl', nämlich 10 durch den Wert von 'Verpackungszeit' (4) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{4}$ des Wertes bei 4 sein muss.
Also: m= $\frac{10}{4}$ = $2,5$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,5$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 6, wenn die Größe B den Wert 22.8 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 11.4 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 22.8 = m⋅6.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 22.8 durch den Wert von Größe A (6) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{6}$ des Wertes bei 6 sein muss.
Also: m= $\frac{22.8}{6}$ = $3,8$
Zuordnungsvorschrift: y = $3,8$ ⋅ x

x-Wert bei y = 11.4

Da der/die Größe B den Wert 11.4 hat, muss man 11.4 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
11.4 = $3,8$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{11.4}{3.8}$ , weil dann 11.4 = $3,8$ ⋅ $\frac{11.4}{3.8}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{11.4}{3.8}$ = 3.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Die Lernmittelbücherei hat 120 neue gleiche Bücher bekommen. Jeweils 7 Bücher wiegen zusammen 4,2kg. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der Bücher dem Gewicht in kg zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 4.2 = m⋅7.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Gesamtgewicht, nämlich 4.2 durch den Wert von Bücheranzahl (7) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{7}$ des Wertes bei 7 sein muss.
Also: m= $\frac{4.2}{7}$ = $0,6$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,6$ ⋅ x

y-Wert bei x = 9.5
Da der/die Bücheranzahl den Wert 9.5 hat, muss man einfach 9.5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Gesamtgewicht zu erhalten:
y= $0,6$ ⋅ 9.5 = 5.7
.
x-Wert bei y = 3.9
Da der/die Gesamtgewicht den Wert 3.9 hat, muss man 3.9 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Bücheranzahl zu erhalten:
3.9 = $0,6$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{3.9}{0.6}$ , weil dann 3.9 = $0,6$ ⋅ $\frac{3.9}{0.6}$ .
Somit gilt für x (Bücheranzahl) = $\frac{3.9}{0.6}$ = 6.5.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz rückwärts

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)