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Proportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen proportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 50 € den 15 kg Äpfel entsprechen.

: 4

⋅ 3

20 kg Äpfel	60,00 €
5 kg Äpfel	15,00 €
15 kg Äpfel	45,00 €

: 4

⋅ 3

Der Wert 50 € war also falsch, richtig wäre 45 € gewesen.

Jetzt überprüfen wir, ob die 70 € den 25 kg Äpfel entsprechen.

: 4

⋅ 5

20 kg Äpfel	60,00 €
5 kg Äpfel	15,00 €
25 kg Äpfel	75,00 €

: 4

⋅ 5

Der Wert 70 € war also falsch, richtig wäre 75 € gewesen.

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem proportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

8 Scheiben Käse	200 g
?	?
12 Scheiben Käse	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Scheiben Käse in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Scheiben Käse teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 8 und von 12 sein, also der ggT(8,12) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Scheiben Käse:

8 Scheiben Käse	200 g
2 Scheiben Käse	?
12 Scheiben Käse	?

Um von 8 Scheiben Käse in der ersten Zeile auf 2 Scheiben Käse in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Somit müssen wir auch die 200 g durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 2 Scheiben Käse entspricht:

: 4

8 Scheiben Käse	200 g
2 Scheiben Käse	?
12 Scheiben Käse	?

: 4

8 Scheiben Käse	200 g
2 Scheiben Käse	50 g
12 Scheiben Käse	?

: 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Scheiben Käse in der mittleren Zeile mit 6 multiplizieren, um auf die 12 Scheiben Käse in der dritten Zeile zu kommen.

: 4

⋅ 6

8 Scheiben Käse	200 g
2 Scheiben Käse	50 g
12 Scheiben Käse	?

: 4

⋅ 6

Wir müssen somit auch rechts die 50 g in der mittleren Zeile mit 6 multiplizieren:

: 4

⋅ 6

8 Scheiben Käse	200 g
2 Scheiben Käse	50 g
12 Scheiben Käse	300 g

: 4

⋅ 6

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Scheiben Käse entspricht: 300 g

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 3 wenn die Größe B den Wert 5.1 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 5.1 durch den Wert von 'Größe A' (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{3}$ des Wertes bei 3 sein muss.
Also: m= $\frac{5.1}{3}$ = $1,7$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,7$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann in 8 Minuten 19,2 Kartons verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert eine Anzahl der verpackten Kartons zuordnen kann.

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Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Kartonanzahl', nämlich 19.2 durch den Wert von 'Verpackungszeit' (8) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{8}$ des Wertes bei 8 sein muss.
Also: m= $\frac{19.2}{8}$ = $2,4$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,4$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 5, wenn die Größe B den Wert 22.5 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt Größe B ein, wenn die Größe A den Wert 4.5 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 22.5 = m⋅5.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 22.5 durch den Wert von Größe A (5) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{5}$ des Wertes bei 5 sein muss.
Also: m= $\frac{22.5}{5}$ = $4,5$
Zuordnungsvorschrift: y = $4,5$ ⋅ x

y-Wert bei x = 4.5

Da der/die Größe A den Wert 4.5 hat, muss man einfach 4.5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Größe B zu erhalten:
y= $4,5$ ⋅ 4.5 = 20.25

.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Die Lernmittelbücherei hat 120 neue gleiche Bücher bekommen. Jeweils 5 Bücher wiegen zusammen 1,5kg. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der Bücher dem Gewicht in kg zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 1.5 = m⋅5.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Gesamtgewicht, nämlich 1.5 durch den Wert von Bücheranzahl (5) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{5}$ des Wertes bei 5 sein muss.
Also: m= $\frac{1.5}{5}$ = $0,3$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,3$ ⋅ x

x-Wert bei y = 0.6

Da der/die Gesamtgewicht den Wert 0.6 hat, muss man 0.6 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Bücheranzahl zu erhalten:
0.6 = $0,3$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{0.6}{0.3}$ , weil dann 0.6 = $0,3$ ⋅ $\frac{0.6}{0.3}$ .
Somit gilt für x (Bücheranzahl) = $\frac{0.6}{0.3}$ = 2.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Proportionalität überprüfen

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Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)