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Zweisatz rückwärts

Beispiel:

Bei Karls Lieblingsobsthändler bekommt man für 4,50 € 3 kg Birnen.

Wie viel kostet 1 kg Birnen?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

3 kg Birnen	4,50 €
1 kg Birnen	?

Um von 3 kg Birnen in der ersten Zeile auf 1 kg Birnen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Somit müssen wir auch die 4.5 € durch 3 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 kg Birnen entspricht:

: 3

3 kg Birnen	4,50 €
1 kg Birnen	?

: 3

3 kg Birnen	4,50 €
1 kg Birnen	1,50 €

: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 1 kg Birnen entspricht: 1,50 €

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem proportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

24 Eier	600 ct
?	?
18 Eier	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Eier in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 24 Eier teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 24 und von 18 sein, also der ggT(24,18) = 6.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 6 Eier:

24 Eier	600 ct
6 Eier	?
18 Eier	?

Um von 24 Eier in der ersten Zeile auf 6 Eier in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Somit müssen wir auch die 600 ct durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 6 Eier entspricht:

: 4

24 Eier	600 ct
6 Eier	?
18 Eier	?

: 4

(Beim Teilen durch 4 kann man einfach zwei mal halbieren.)

: 4

24 Eier	600 ct
6 Eier	150 ct
18 Eier	?

: 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 6 Eier in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 18 Eier in der dritten Zeile zu kommen.

: 4

⋅ 3

24 Eier	600 ct
6 Eier	150 ct
18 Eier	?

: 4

⋅ 3

Wir müssen somit auch rechts die 150 ct in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren:

: 4

⋅ 3

24 Eier	600 ct
6 Eier	150 ct
18 Eier	450 ct

: 4

⋅ 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 18 Eier entspricht: 450 ct

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 3 wenn die Größe B den Wert 9 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 9 durch den Wert von 'Größe A' (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{3}$ des Wertes bei 3 sein muss.
Also: m= $\frac{9}{3}$ = $3$
Zuordnungsvorschrift: y = $3$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Im Winter schneit es 1 Stunde lang total gleichmäßig. Dabei fallen in 3 Minuten 0,9 cm. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man jedem Minuten-Wert eine Schneehöhe in cm zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Schneehöhe', nämlich 0.9 durch den Wert von 'Zeit' (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{3}$ des Wertes bei 3 sein muss.
Also: m= $\frac{0.9}{3}$ = $0,3$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,3$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 3, wenn die Größe B den Wert 0.3 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt Größe B ein, wenn die Größe A den Wert 5 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 0.3 = m⋅3.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 0.3 durch den Wert von Größe A (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{3}$ des Wertes bei 3 sein muss.
Also: m= $\frac{0.3}{3}$ = $0,1$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,1$ ⋅ x

y-Wert bei x = 5

Da der/die Größe A den Wert 5 hat, muss man einfach 5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Größe B zu erhalten:
y= $0,1$ ⋅ 5 = 0.5

.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Ein Prepaid-Anbieter verlangt immer den gleichen Preis pro Minute Telefonieren mit dem Handy. Auf einem Werbeplakat steht, dass 6 Minuten nur 72ct kosten. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man den telefonierten Minuten den Preis in Cent zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 72 = m⋅6.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Preis, nämlich 72 durch den Wert von Minuten (6) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{6}$ des Wertes bei 6 sein muss.
Also: m= $\frac{72}{6}$ = $12$
Zuordnungsvorschrift: y = $12$ ⋅ x

x-Wert bei y = 60

Da der/die Preis den Wert 60 hat, muss man 60 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Minuten zu erhalten:
60 = $12$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{60}{12}$ , weil dann 60 = $12$ ⋅ $\frac{60}{12}$ .
Somit gilt für x (Minuten) = $\frac{60}{12}$ = 5.

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Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)