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Zweisatz

Beispiel:

Bei einem Marktstand bezahlt man 3,50 € für 1 kg Äpfel.

Wie viel kosten 9 kg Äpfel?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 kg Äpfel	3,50 €
9 kg Äpfel	?

Um von 1 kg Äpfel in der ersten Zeile auf 9 kg Äpfel in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 9 multiplizieren. Somit müssen wir auch die 3.5 € mit 9 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 9 kg Äpfel entspricht:

⋅ 9

1 kg Äpfel	3,50 €
9 kg Äpfel	?

⋅ 9

1 kg Äpfel	3,50 €
9 kg Äpfel	31,50 €

⋅ 9

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 9 kg Äpfel entspricht: 31,50 €

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem proportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

30 Scheiben Käse	1050 g
?	?
24 Scheiben Käse	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Scheiben Käse in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 30 Scheiben Käse teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 30 und von 24 sein, also der ggT(30,24) = 6.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 6 Scheiben Käse:

30 Scheiben Käse	1050 g
6 Scheiben Käse	?
24 Scheiben Käse	?

Um von 30 Scheiben Käse in der ersten Zeile auf 6 Scheiben Käse in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Somit müssen wir auch die 1050 g durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 6 Scheiben Käse entspricht:

: 5

30 Scheiben Käse	1050 g
6 Scheiben Käse	?
24 Scheiben Käse	?

: 5

(Beim Teilen durch 5 kann man einfach erst verdoppeln und dann durch 10 teilen.)

: 5

30 Scheiben Käse	1050 g
6 Scheiben Käse	210 g
24 Scheiben Käse	?

: 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 6 Scheiben Käse in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 24 Scheiben Käse in der dritten Zeile zu kommen.

: 5

⋅ 4

30 Scheiben Käse	1050 g
6 Scheiben Käse	210 g
24 Scheiben Käse	?

: 5

⋅ 4

Wir müssen somit auch rechts die 210 g in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren:

: 5

⋅ 4

30 Scheiben Käse	1050 g
6 Scheiben Käse	210 g
24 Scheiben Käse	840 g

: 5

⋅ 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 24 Scheiben Käse entspricht: 840 g

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 3 wenn die Größe B den Wert 14.4 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 14.4 durch den Wert von 'Größe A' (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{3}$ des Wertes bei 3 sein muss.
Also: m= $\frac{14.4}{3}$ = $4,8$
Zuordnungsvorschrift: y = $4,8$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Im Winter schneit es 1 Stunde lang total gleichmäßig. Dabei fallen in 9 Minuten 0,9 cm. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man jedem Minuten-Wert eine Schneehöhe in cm zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Schneehöhe', nämlich 0.9 durch den Wert von 'Zeit' (9) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{9}$ des Wertes bei 9 sein muss.
Also: m= $\frac{0.9}{9}$ = $0,1$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,1$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 3, wenn die Größe B den Wert 10.8 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.

Welchen Wert nimmt Größe B ein, wenn die Größe A den Wert 5 hat?
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 23.4 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 10.8 = m⋅3.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 10.8 durch den Wert von Größe A (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{3}$ des Wertes bei 3 sein muss.
Also: m= $\frac{10.8}{3}$ = $3,6$
Zuordnungsvorschrift: y = $3,6$ ⋅ x

y-Wert bei x = 5
Da der/die Größe A den Wert 5 hat, muss man einfach 5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Größe B zu erhalten:
y= $3,6$ ⋅ 5 = 18
.
x-Wert bei y = 23.4
Da der/die Größe B den Wert 23.4 hat, muss man 23.4 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
23.4 = $3,6$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{23.4}{3.6}$ , weil dann 23.4 = $3,6$ ⋅ $\frac{23.4}{3.6}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{23.4}{3.6}$ = 6.5.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann 6 Kartons in 14,4 Sekunden verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der verpackten Kartons der Verpackungszeit in Sekunden zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 14.4 = m⋅6.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Verpackungszeit, nämlich 14.4 durch den Wert von Kartonanzahl (6) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{6}$ des Wertes bei 6 sein muss.
Also: m= $\frac{14.4}{6}$ = $2,4$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,4$ ⋅ x

x-Wert bei y = 18

Da der/die Verpackungszeit den Wert 18 hat, muss man 18 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Kartonanzahl zu erhalten:
18 = $2,4$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{18}{2.4}$ , weil dann 18 = $2,4$ ⋅ $\frac{18}{2.4}$ .
Somit gilt für x (Kartonanzahl) = $\frac{18}{2.4}$ = 7.5.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)