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Zweisatz

Beispiel:

Bei einem Marktstand bezahlt man 3,50 € für 1 kg Äpfel.

Wie viel kosten 4 kg Äpfel?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 kg Äpfel	3,50 €
4 kg Äpfel	?

Um von 1 kg Äpfel in der ersten Zeile auf 4 kg Äpfel in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 4 multiplizieren. Somit müssen wir auch die 3.5 € mit 4 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 4 kg Äpfel entspricht:

⋅ 4

1 kg Äpfel	3,50 €
4 kg Äpfel	?

⋅ 4

1 kg Äpfel	3,50 €
4 kg Äpfel	14,00 €

⋅ 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 kg Äpfel entspricht: 14,00 €

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem proportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

18 Minuten telefonieren	90 ct
?	?
24 Minuten telefonieren	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten telefonieren in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 18 Minuten telefonieren teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 18 und von 24 sein, also der ggT(18,24) = 6.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 6 Minuten telefonieren:

18 Minuten telefonieren	90 ct
6 Minuten telefonieren	?
24 Minuten telefonieren	?

Um von 18 Minuten telefonieren in der ersten Zeile auf 6 Minuten telefonieren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Somit müssen wir auch die 90 ct durch 3 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 6 Minuten telefonieren entspricht:

: 3

18 Minuten telefonieren	90 ct
6 Minuten telefonieren	?
24 Minuten telefonieren	?

: 3

18 Minuten telefonieren	90 ct
6 Minuten telefonieren	30 ct
24 Minuten telefonieren	?

: 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 6 Minuten telefonieren in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 24 Minuten telefonieren in der dritten Zeile zu kommen.

: 3

⋅ 4

18 Minuten telefonieren	90 ct
6 Minuten telefonieren	30 ct
24 Minuten telefonieren	?

: 3

⋅ 4

Wir müssen somit auch rechts die 30 ct in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren:

: 3

⋅ 4

18 Minuten telefonieren	90 ct
6 Minuten telefonieren	30 ct
24 Minuten telefonieren	120 ct

: 3

⋅ 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 24 Minuten telefonieren entspricht: 120 ct

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 3 wenn die Größe B den Wert 10.8 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 10.8 durch den Wert von 'Größe A' (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{3}$ des Wertes bei 3 sein muss.
Also: m= $\frac{10.8}{3}$ = $3,6$
Zuordnungsvorschrift: y = $3,6$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Im Winter schneit es 1 Stunde lang total gleichmäßig. Dabei fallen in 3 Minuten 3,3 cm. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man jedem Minuten-Wert eine Schneehöhe in cm zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Schneehöhe', nämlich 3.3 durch den Wert von 'Zeit' (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{3}$ des Wertes bei 3 sein muss.
Also: m= $\frac{3.3}{3}$ = $1,1$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,1$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 4, wenn die Größe B den Wert 4.4 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 6.6 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 4.4 = m⋅4.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 4.4 durch den Wert von Größe A (4) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{4}$ des Wertes bei 4 sein muss.
Also: m= $\frac{4.4}{4}$ = $1,1$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,1$ ⋅ x

x-Wert bei y = 6.6

Da der/die Größe B den Wert 6.6 hat, muss man 6.6 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
6.6 = $1,1$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{6.6}{1.1}$ , weil dann 6.6 = $1,1$ ⋅ $\frac{6.6}{1.1}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{6.6}{1.1}$ = 6.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann 8 Kartons in 9,6 Sekunden verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der verpackten Kartons der Verpackungszeit in Sekunden zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 9.6 = m⋅8.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Verpackungszeit, nämlich 9.6 durch den Wert von Kartonanzahl (8) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{8}$ des Wertes bei 8 sein muss.
Also: m= $\frac{9.6}{8}$ = $1,2$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,2$ ⋅ x

y-Wert bei x = 10
Da der/die Kartonanzahl den Wert 10 hat, muss man einfach 10 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Verpackungszeit zu erhalten:
y= $1,2$ ⋅ 10 = 12
.
x-Wert bei y = 6.6
Da der/die Verpackungszeit den Wert 6.6 hat, muss man 6.6 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Kartonanzahl zu erhalten:
6.6 = $1,2$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{6.6}{1.2}$ , weil dann 6.6 = $1,2$ ⋅ $\frac{6.6}{1.2}$ .
Somit gilt für x (Kartonanzahl) = $\frac{6.6}{1.2}$ = 5.5.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)