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Proportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen proportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 40 ct den 20 Minuten telefonieren entsprechen.

: 4

⋅ 5

16 Minuten telefonieren	32 ct
4 Minuten telefonieren	8 ct
20 Minuten telefonieren	40 ct

: 4

⋅ 5

Der Wert 40 ct war also korrekt.

Jetzt überprüfen wir, ob die 84 ct den 40 Minuten telefonieren entsprechen.

: 2

⋅ 5

16 Minuten telefonieren	32 ct
8 Minuten telefonieren	16 ct
40 Minuten telefonieren	80 ct

: 2

⋅ 5

Der Wert 84 ct war also falsch, richtig wäre 80 ct gewesen.

Einfacher Dreisatz

Beispiel:

Der Hersteller eines Powerdrinks wirbt damit, das 3000 g Protein in dessen 6kg-Großpackung drin sind.

Wie viel g Protein sind in 9 kg Powerdrink?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

6 kg Powerdrink	3000 g Protein
?	?
9 kg Powerdrink	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die kg Powerdrink in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 kg Powerdrink teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 6 und von 9 sein, also der ggT(6,9) = 3.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 kg Powerdrink:

6 kg Powerdrink	3000 g Protein
3 kg Powerdrink	?
9 kg Powerdrink	?

Um von 6 kg Powerdrink in der ersten Zeile auf 3 kg Powerdrink in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Somit müssen wir auch die 3000 g Protein durch 2 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 3 kg Powerdrink entspricht:

: 2

6 kg Powerdrink	3000 g Protein
3 kg Powerdrink	?
9 kg Powerdrink	?

: 2

6 kg Powerdrink	3000 g Protein
3 kg Powerdrink	1500 g Protein
9 kg Powerdrink	?

: 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 3 kg Powerdrink in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 9 kg Powerdrink in der dritten Zeile zu kommen.

: 2

⋅ 3

6 kg Powerdrink	3000 g Protein
3 kg Powerdrink	1500 g Protein
9 kg Powerdrink	?

: 2

⋅ 3

Wir müssen somit auch rechts die 1500 g Protein in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren:

: 2

⋅ 3

6 kg Powerdrink	3000 g Protein
3 kg Powerdrink	1500 g Protein
9 kg Powerdrink	4500 g Protein

: 2

⋅ 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 9 kg Powerdrink entspricht: 4500 g Protein

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 3 wenn die Größe B den Wert 14.4 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

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Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 14.4 durch den Wert von 'Größe A' (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{3}$ des Wertes bei 3 sein muss.
Also: m= $\frac{14.4}{3}$ = $4,8$
Zuordnungsvorschrift: y = $4,8$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Ein Boiler erhitzt Wasser. Dabei wird in 3 Minuten das Wasser um 12,6°C erhitzt. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert einen Wert der Wassererhitzung in °C zuordnen kann.

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Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Temperaturänderung', nämlich 12.6 durch den Wert von 'Erhitzungsszeit' (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{3}$ des Wertes bei 3 sein muss.
Also: m= $\frac{12.6}{3}$ = $4,2$
Zuordnungsvorschrift: y = $4,2$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 4, wenn die Größe B den Wert 6 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 9 hat?

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Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 6 = m⋅4.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 6 durch den Wert von Größe A (4) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{4}$ des Wertes bei 4 sein muss.
Also: m= $\frac{6}{4}$ = $1,5$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,5$ ⋅ x

x-Wert bei y = 9

Da der/die Größe B den Wert 9 hat, muss man 9 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
9 = $1,5$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{9}{1.5}$ , weil dann 9 = $1,5$ ⋅ $\frac{9}{1.5}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{9}{1.5}$ = 6.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann 6 Kartons in 8,4 Sekunden verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der verpackten Kartons der Verpackungszeit in Sekunden zuordnen kann.

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Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 8.4 = m⋅6.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Verpackungszeit, nämlich 8.4 durch den Wert von Kartonanzahl (6) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{6}$ des Wertes bei 6 sein muss.
Also: m= $\frac{8.4}{6}$ = $1,4$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,4$ ⋅ x

x-Wert bei y = 4.9

Da der/die Verpackungszeit den Wert 4.9 hat, muss man 4.9 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Kartonanzahl zu erhalten:
4.9 = $1,4$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{4.9}{1.4}$ , weil dann 4.9 = $1,4$ ⋅ $\frac{4.9}{1.4}$ .
Somit gilt für x (Kartonanzahl) = $\frac{4.9}{1.4}$ = 3.5.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Proportionalität überprüfen

Einfacher Dreisatz

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)