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Proportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen proportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 84 € den 24 kg Birnen entsprechen.

: 5

⋅ 4

30 kg Birnen	105,00 €
6 kg Birnen	21,00 €
24 kg Birnen	84,00 €

: 5

⋅ 4

Der Wert 84 € war also korrekt.

Jetzt überprüfen wir, ob die 49 € den 12 kg Birnen entsprechen.

: 5

⋅ 2

30 kg Birnen	105,00 €
6 kg Birnen	21,00 €
12 kg Birnen	42,00 €

: 5

⋅ 2

Der Wert 49 € war also falsch, richtig wäre 42 € gewesen.

Dreisatz (beide Richtungen)

Beispiel:

In den 18 Joghurtbechern von Herrn Schaaf sind insgesamt 3600 g drin.

Wie viel Joghurt ist in 30 Bechern drin?
Wie viele Joghurtbecher braucht man für 4800 g Joghurt?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

18 Becher Joghurt	3600 g
?	?
30 Becher Joghurt	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Becher Joghurt in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 18 Becher Joghurt teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 18 und von 30 sein, also der ggT(18,30) = 6.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 6 Becher Joghurt:

18 Becher Joghurt	3600 g
6 Becher Joghurt	?
30 Becher Joghurt	?

Um von 18 Becher Joghurt in der ersten Zeile auf 6 Becher Joghurt in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Somit müssen wir auch die 3600 g durch 3 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 6 Becher Joghurt entspricht:

: 3

18 Becher Joghurt	3600 g
6 Becher Joghurt	1200 g
30 Becher Joghurt	?

: 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 6 Becher Joghurt in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 30 Becher Joghurt in der dritten Zeile zu kommen.

: 3

⋅ 5

18 Becher Joghurt	3600 g
6 Becher Joghurt	1200 g
30 Becher Joghurt	6000 g

: 3

⋅ 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 30 Becher Joghurt entspricht: 6000 g

Für die andere Frage (Wie viele Joghurtbecher braucht man für 4800 g Joghurt?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "g"-Werte haben und nach einem "Becher Joghurt"-Wert gesucht wird:

3600 g	18 Becher Joghurt
?	?
4800 g	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die g in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 3600 g teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 3600 und von 4800 sein, also der ggT(3600,4800) = 1200.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1200 g:

3600 g	18 Becher Joghurt
1200 g	?
4800 g	?

Um von 3600 g in der ersten Zeile auf 1200 g in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Somit müssen wir auch die 18 Becher Joghurt durch 3 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1200 g entspricht:

: 3

3600 g	18 Becher Joghurt
1200 g	6 Becher Joghurt
4800 g	?

: 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 1200 g in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4800 g in der dritten Zeile zu kommen.

: 3

⋅ 4

3600 g	18 Becher Joghurt
1200 g	6 Becher Joghurt
4800 g	24 Becher Joghurt

: 3

⋅ 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4800 g entspricht: 24 Becher Joghurt

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 3 wenn die Größe B den Wert 6.6 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 6.6 durch den Wert von 'Größe A' (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{3}$ des Wertes bei 3 sein muss.
Also: m= $\frac{6.6}{3}$ = $2,2$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,2$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Ein Boiler erhitzt Wasser. Dabei wird in 8 Minuten das Wasser um 1,6°C erhitzt. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert einen Wert der Wassererhitzung in °C zuordnen kann.

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Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Temperaturänderung', nämlich 1.6 durch den Wert von 'Erhitzungsszeit' (8) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{8}$ des Wertes bei 8 sein muss.
Also: m= $\frac{1.6}{8}$ = $0,2$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,2$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 4, wenn die Größe B den Wert 14.8 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 16.65 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 14.8 = m⋅4.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 14.8 durch den Wert von Größe A (4) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{4}$ des Wertes bei 4 sein muss.
Also: m= $\frac{14.8}{4}$ = $3,7$
Zuordnungsvorschrift: y = $3,7$ ⋅ x

x-Wert bei y = 16.65

Da der/die Größe B den Wert 16.65 hat, muss man 16.65 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
16.65 = $3,7$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{16.65}{3.7}$ , weil dann 16.65 = $3,7$ ⋅ $\frac{16.65}{3.7}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{16.65}{3.7}$ = 4.5.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann 6 Kartons in 3,6 Sekunden verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der verpackten Kartons der Verpackungszeit in Sekunden zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 3.6 = m⋅6.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Verpackungszeit, nämlich 3.6 durch den Wert von Kartonanzahl (6) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{6}$ des Wertes bei 6 sein muss.
Also: m= $\frac{3.6}{6}$ = $0,6$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,6$ ⋅ x

y-Wert bei x = 2.5
Da der/die Kartonanzahl den Wert 2.5 hat, muss man einfach 2.5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Verpackungszeit zu erhalten:
y= $0,6$ ⋅ 2.5 = 1.5
.
x-Wert bei y = 5.4
Da der/die Verpackungszeit den Wert 5.4 hat, muss man 5.4 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Kartonanzahl zu erhalten:
5.4 = $0,6$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{5.4}{0.6}$ , weil dann 5.4 = $0,6$ ⋅ $\frac{5.4}{0.6}$ .
Somit gilt für x (Kartonanzahl) = $\frac{5.4}{0.6}$ = 9.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Proportionalität überprüfen

Dreisatz (beide Richtungen)

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)