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Zweisatz rückwärts

Beispiel:

In den 9 Joghurtbechern von Herrn Schaaf sind insgesamt 1800 g drin.

Wie viel Joghurt ist in 1 Becher drin?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

9 Becher Joghurt	1800 g
1 Becher Joghurt	?

Um von 9 Becher Joghurt in der ersten Zeile auf 1 Becher Joghurt in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 9 teilen. Somit müssen wir auch die 1800 g durch 9 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 Becher Joghurt entspricht:

: 9

9 Becher Joghurt	1800 g
1 Becher Joghurt	?

: 9

9 Becher Joghurt	1800 g
1 Becher Joghurt	200 g

: 9

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 1 Becher Joghurt entspricht: 200 g

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem proportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

16 kg Birnen	40,00 €
?	?
20 kg Birnen	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die kg Birnen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 16 kg Birnen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 16 und von 20 sein, also der ggT(16,20) = 4.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 kg Birnen:

16 kg Birnen	40,00 €
4 kg Birnen	?
20 kg Birnen	?

Um von 16 kg Birnen in der ersten Zeile auf 4 kg Birnen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Somit müssen wir auch die 40 € durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 4 kg Birnen entspricht:

: 4

16 kg Birnen	40,00 €
4 kg Birnen	?
20 kg Birnen	?

: 4

16 kg Birnen	40,00 €
4 kg Birnen	10,00 €
20 kg Birnen	?

: 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 4 kg Birnen in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 20 kg Birnen in der dritten Zeile zu kommen.

: 4

⋅ 5

16 kg Birnen	40,00 €
4 kg Birnen	10,00 €
20 kg Birnen	?

: 4

⋅ 5

Wir müssen somit auch rechts die 10,00 € in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren:

: 4

⋅ 5

16 kg Birnen	40,00 €
4 kg Birnen	10,00 €
20 kg Birnen	50,00 €

: 4

⋅ 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 20 kg Birnen entspricht: 50,00 €

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 8 wenn die Größe B den Wert 20 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 20 durch den Wert von 'Größe A' (8) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{8}$ des Wertes bei 8 sein muss.
Also: m= $\frac{20}{8}$ = $2,5$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,5$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Ein Boiler erhitzt Wasser. Dabei wird in 8 Minuten das Wasser um 6,4°C erhitzt. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert einen Wert der Wassererhitzung in °C zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Temperaturänderung', nämlich 6.4 durch den Wert von 'Erhitzungsszeit' (8) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{8}$ des Wertes bei 8 sein muss.
Also: m= $\frac{6.4}{8}$ = $0,8$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,8$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 6, wenn die Größe B den Wert 2.4 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt Größe B ein, wenn die Größe A den Wert 9.5 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 2.4 = m⋅6.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 2.4 durch den Wert von Größe A (6) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{6}$ des Wertes bei 6 sein muss.
Also: m= $\frac{2.4}{6}$ = $0,4$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,4$ ⋅ x

y-Wert bei x = 9.5

Da der/die Größe A den Wert 9.5 hat, muss man einfach 9.5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Größe B zu erhalten:
y= $0,4$ ⋅ 9.5 = 3.8

.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann 8 Kartons in 9,6 Sekunden verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der verpackten Kartons der Verpackungszeit in Sekunden zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 9.6 = m⋅8.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Verpackungszeit, nämlich 9.6 durch den Wert von Kartonanzahl (8) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{8}$ des Wertes bei 8 sein muss.
Also: m= $\frac{9.6}{8}$ = $1,2$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,2$ ⋅ x

y-Wert bei x = 5.5
Da der/die Kartonanzahl den Wert 5.5 hat, muss man einfach 5.5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Verpackungszeit zu erhalten:
y= $1,2$ ⋅ 5.5 = 6.6
.
x-Wert bei y = 6.6
Da der/die Verpackungszeit den Wert 6.6 hat, muss man 6.6 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Kartonanzahl zu erhalten:
6.6 = $1,2$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{6.6}{1.2}$ , weil dann 6.6 = $1,2$ ⋅ $\frac{6.6}{1.2}$ .
Somit gilt für x (Kartonanzahl) = $\frac{6.6}{1.2}$ = 5.5.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz rückwärts

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)