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Proportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen proportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 70 € den 20 kg Birnen entsprechen.

: 4

⋅ 5

16 kg Birnen	56,00 €
4 kg Birnen	14,00 €
20 kg Birnen	70,00 €

: 4

⋅ 5

Der Wert 70 € war also korrekt.

Jetzt überprüfen wir, ob die 84 € den 24 kg Birnen entsprechen.

: 2

⋅ 3

16 kg Birnen	56,00 €
8 kg Birnen	28,00 €
24 kg Birnen	84,00 €

: 2

⋅ 3

Der Wert 84 € war also korrekt.

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem proportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

6 Scheiben Käse	270 g
?	?
10 Scheiben Käse	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Scheiben Käse in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 Scheiben Käse teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 6 und von 10 sein, also der ggT(6,10) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Scheiben Käse:

6 Scheiben Käse	270 g
2 Scheiben Käse	?
10 Scheiben Käse	?

Um von 6 Scheiben Käse in der ersten Zeile auf 2 Scheiben Käse in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Somit müssen wir auch die 270 g durch 3 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 2 Scheiben Käse entspricht:

: 3

6 Scheiben Käse	270 g
2 Scheiben Käse	?
10 Scheiben Käse	?

: 3

6 Scheiben Käse	270 g
2 Scheiben Käse	90 g
10 Scheiben Käse	?

: 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Scheiben Käse in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 10 Scheiben Käse in der dritten Zeile zu kommen.

: 3

⋅ 5

6 Scheiben Käse	270 g
2 Scheiben Käse	90 g
10 Scheiben Käse	?

: 3

⋅ 5

Wir müssen somit auch rechts die 90 g in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren:

: 3

⋅ 5

6 Scheiben Käse	270 g
2 Scheiben Käse	90 g
10 Scheiben Käse	450 g

: 3

⋅ 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 Scheiben Käse entspricht: 450 g

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 2 wenn die Größe B den Wert 4 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 4 durch den Wert von 'Größe A' (2) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{2}$ des Wertes bei 2 sein muss.
Also: m= $\frac{4}{2}$ = $2$
Zuordnungsvorschrift: y = $2$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Im Winter schneit es 1 Stunde lang total gleichmäßig. Dabei fallen in 5 Minuten 11,5 cm. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man jedem Minuten-Wert eine Schneehöhe in cm zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Schneehöhe', nämlich 11.5 durch den Wert von 'Zeit' (5) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{5}$ des Wertes bei 5 sein muss.
Also: m= $\frac{11.5}{5}$ = $2,3$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,3$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 10, wenn die Größe B den Wert 2 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 1.4 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 2 = m⋅10.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 2 durch den Wert von Größe A (10) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{10}$ des Wertes bei 10 sein muss.
Also: m= $\frac{2}{10}$ = $0,2$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,2$ ⋅ x

x-Wert bei y = 1.4

Da der/die Größe B den Wert 1.4 hat, muss man 1.4 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
1.4 = $0,2$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{1.4}{0.2}$ , weil dann 1.4 = $0,2$ ⋅ $\frac{1.4}{0.2}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{1.4}{0.2}$ = 7.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Die Lernmittelbücherei hat 120 neue gleiche Bücher bekommen. Jeweils 4 Bücher wiegen zusammen 2,4kg. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der Bücher dem Gewicht in kg zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 2.4 = m⋅4.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Gesamtgewicht, nämlich 2.4 durch den Wert von Bücheranzahl (4) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{4}$ des Wertes bei 4 sein muss.
Also: m= $\frac{2.4}{4}$ = $0,6$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,6$ ⋅ x

y-Wert bei x = 5

Da der/die Bücheranzahl den Wert 5 hat, muss man einfach 5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Gesamtgewicht zu erhalten:
y= $0,6$ ⋅ 5 = 3

.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Proportionalität überprüfen

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)