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Proportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen proportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 16500 g den 30 Becher Joghurt entsprechen.

: 3

⋅ 5

18 Becher Joghurt	9000 g
6 Becher Joghurt	3000 g
30 Becher Joghurt	15000 g

: 3

⋅ 5

Der Wert 16500 g war also falsch, richtig wäre 15000 g gewesen.

Jetzt überprüfen wir, ob die 12000 g den 27 Becher Joghurt entsprechen.

: 2

⋅ 3

18 Becher Joghurt	9000 g
9 Becher Joghurt	4500 g
27 Becher Joghurt	13500 g

: 2

⋅ 3

Der Wert 12000 g war also falsch, richtig wäre 13500 g gewesen.

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem proportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

5 Brezeln	3,50 €
?	?
5 Brezeln	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Brezeln in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Brezeln teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 5 und von 5 sein, also der ggT(5,5) = 5.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 Brezeln:

5 Brezeln	3,50 €
5 Brezeln	?
5 Brezeln	?

Um von 5 Brezeln in der ersten Zeile auf 5 Brezeln in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 1 teilen. Somit müssen wir auch die 3,5 € durch 1 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 5 Brezeln entspricht:

: 1

5 Brezeln	3,50 €
5 Brezeln	?
5 Brezeln	?

: 1

5 Brezeln	3,50 €
5 Brezeln	3,50 €
5 Brezeln	?

: 1

Jetzt müssen wir ja wieder die 5 Brezeln in der mittleren Zeile mit 1 multiplizieren, um auf die 5 Brezeln in der dritten Zeile zu kommen.

: 1

⋅ 1

5 Brezeln	3,50 €
5 Brezeln	3,50 €
5 Brezeln	?

: 1

⋅ 1

Wir müssen somit auch rechts die 3,50 € in der mittleren Zeile mit 1 multiplizieren:

: 1

⋅ 1

5 Brezeln	3,50 €
5 Brezeln	3,50 €
5 Brezeln	3,50 €

: 1

⋅ 1

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 Brezeln entspricht: 3,50 €

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 3 wenn die Größe B den Wert 6.3 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

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Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 6.3 durch den Wert von 'Größe A' (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{3}$ des Wertes bei 3 sein muss.
Also: m= $\frac{6.3}{3}$ = $2,1$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,1$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Ein Boiler erhitzt Wasser. Dabei wird in 5 Minuten das Wasser um 24°C erhitzt. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert einen Wert der Wassererhitzung in °C zuordnen kann.

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Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Temperaturänderung', nämlich 24 durch den Wert von 'Erhitzungsszeit' (5) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{5}$ des Wertes bei 5 sein muss.
Also: m= $\frac{24}{5}$ = $4,8$
Zuordnungsvorschrift: y = $4,8$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 6, wenn die Größe B den Wert 22.2 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 29.6 hat?

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Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 22.2 = m⋅6.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 22.2 durch den Wert von Größe A (6) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{6}$ des Wertes bei 6 sein muss.
Also: m= $\frac{22.2}{6}$ = $3,7$
Zuordnungsvorschrift: y = $3,7$ ⋅ x

x-Wert bei y = 29.6

Da der/die Größe B den Wert 29.6 hat, muss man 29.6 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
29.6 = $3,7$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{29.6}{3.7}$ , weil dann 29.6 = $3,7$ ⋅ $\frac{29.6}{3.7}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{29.6}{3.7}$ = 8.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann 7 Kartons in 18,9 Sekunden verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der verpackten Kartons der Verpackungszeit in Sekunden zuordnen kann.

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Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 18.9 = m⋅7.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Verpackungszeit, nämlich 18.9 durch den Wert von Kartonanzahl (7) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{7}$ des Wertes bei 7 sein muss.
Also: m= $\frac{18.9}{7}$ = $2,7$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,7$ ⋅ x

y-Wert bei x = 8
Da der/die Kartonanzahl den Wert 8 hat, muss man einfach 8 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Verpackungszeit zu erhalten:
y= $2,7$ ⋅ 8 = 21.6
.
x-Wert bei y = 25.65
Da der/die Verpackungszeit den Wert 25.65 hat, muss man 25.65 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Kartonanzahl zu erhalten:
25.65 = $2,7$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{25.65}{2.7}$ , weil dann 25.65 = $2,7$ ⋅ $\frac{25.65}{2.7}$ .
Somit gilt für x (Kartonanzahl) = $\frac{25.65}{2.7}$ = 9.5.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Proportionalität überprüfen

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)