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Zweisatz rückwärts

Beispiel:

Beim Bäcker Leckerbeck kosten 9 Brötchen immer 1,80 €.

Wie viel kostet 1 Brötchen?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

9 Brötchen	1,80 €
1 Brötchen	?

Um von 9 Brötchen in der ersten Zeile auf 1 Brötchen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 9 teilen. Somit müssen wir auch die 1.8 € durch 9 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 Brötchen entspricht:

: 9

9 Brötchen	1,80 €
1 Brötchen	?

: 9

9 Brötchen	1,80 €
1 Brötchen	0,20 €

: 9

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 1 Brötchen entspricht: 0,20 €

Dreisatz (beide Richtungen)

Beispiel:

Der Hersteller eines Powerdrinks wirbt damit, das 6000 g Protein in dessen 12kg-Großpackung drin sind.

Wie viel g Protein sind in 15 kg Powerdrink?
Wie viel kg Powerdrink bräuchte man, wenn man 8000 g Protein zu sich nehmen möchte?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

12 kg Powerdrink	6000 g Protein
?	?
15 kg Powerdrink	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die kg Powerdrink in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 12 kg Powerdrink teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 12 und von 15 sein, also der ggT(12,15) = 3.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 kg Powerdrink:

12 kg Powerdrink	6000 g Protein
3 kg Powerdrink	?
15 kg Powerdrink	?

Um von 12 kg Powerdrink in der ersten Zeile auf 3 kg Powerdrink in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Somit müssen wir auch die 6000 g Protein durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 3 kg Powerdrink entspricht:

: 4

12 kg Powerdrink	6000 g Protein
3 kg Powerdrink	1500 g Protein
15 kg Powerdrink	?

: 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 3 kg Powerdrink in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 15 kg Powerdrink in der dritten Zeile zu kommen.

: 4

⋅ 5

12 kg Powerdrink	6000 g Protein
3 kg Powerdrink	1500 g Protein
15 kg Powerdrink	7500 g Protein

: 4

⋅ 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 kg Powerdrink entspricht: 7500 g Protein

Für die andere Frage (Wie viel kg Powerdrink bräuchte man, wenn man 8000 g Protein zu sich nehmen möchte?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "g Protein"-Werte haben und nach einem "kg Powerdrink"-Wert gesucht wird:

6000 g Protein	12 kg Powerdrink
?	?
8000 g Protein	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die g Protein in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6000 g Protein teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 6000 und von 8000 sein, also der ggT(6000,8000) = 2000.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2000 g Protein:

6000 g Protein	12 kg Powerdrink
2000 g Protein	?
8000 g Protein	?

Um von 6000 g Protein in der ersten Zeile auf 2000 g Protein in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Somit müssen wir auch die 12 kg Powerdrink durch 3 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 2000 g Protein entspricht:

: 3

6000 g Protein	12 kg Powerdrink
2000 g Protein	4 kg Powerdrink
8000 g Protein	?

: 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2000 g Protein in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 8000 g Protein in der dritten Zeile zu kommen.

: 3

⋅ 4

6000 g Protein	12 kg Powerdrink
2000 g Protein	4 kg Powerdrink
8000 g Protein	16 kg Powerdrink

: 3

⋅ 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8000 g Protein entspricht: 16 kg Powerdrink

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 3 wenn die Größe B den Wert 7.5 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 7.5 durch den Wert von 'Größe A' (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{3}$ des Wertes bei 3 sein muss.
Also: m= $\frac{7.5}{3}$ = $2,5$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,5$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann in 6 Minuten 17,4 Kartons verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert eine Anzahl der verpackten Kartons zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Kartonanzahl', nämlich 17.4 durch den Wert von 'Verpackungszeit' (6) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{6}$ des Wertes bei 6 sein muss.
Also: m= $\frac{17.4}{6}$ = $2,9$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,9$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 7, wenn die Größe B den Wert 12.6 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt Größe B ein, wenn die Größe A den Wert 9 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 12.6 = m⋅7.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 12.6 durch den Wert von Größe A (7) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{7}$ des Wertes bei 7 sein muss.
Also: m= $\frac{12.6}{7}$ = $1,8$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,8$ ⋅ x

y-Wert bei x = 9

Da der/die Größe A den Wert 9 hat, muss man einfach 9 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Größe B zu erhalten:
y= $1,8$ ⋅ 9 = 16.2

.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Die Lernmittelbücherei hat 120 neue gleiche Bücher bekommen. Jeweils 6 Bücher wiegen zusammen 3,6kg. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der Bücher dem Gewicht in kg zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 3.6 = m⋅6.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Gesamtgewicht, nämlich 3.6 durch den Wert von Bücheranzahl (6) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{6}$ des Wertes bei 6 sein muss.
Also: m= $\frac{3.6}{6}$ = $0,6$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,6$ ⋅ x

y-Wert bei x = 8
Da der/die Bücheranzahl den Wert 8 hat, muss man einfach 8 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Gesamtgewicht zu erhalten:
y= $0,6$ ⋅ 8 = 4.8
.
x-Wert bei y = 3.9
Da der/die Gesamtgewicht den Wert 3.9 hat, muss man 3.9 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Bücheranzahl zu erhalten:
3.9 = $0,6$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{3.9}{0.6}$ , weil dann 3.9 = $0,6$ ⋅ $\frac{3.9}{0.6}$ .
Somit gilt für x (Bücheranzahl) = $\frac{3.9}{0.6}$ = 6.5.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz rückwärts

Dreisatz (beide Richtungen)

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)