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Zweisatz rückwärts

Beispiel:

In den 7 Joghurtbechern von Herrn Schaaf sind insgesamt 1400 g drin.

Wie viel Joghurt ist in 1 Becher drin?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

7 Becher Joghurt	1400 g
1 Becher Joghurt	?

Um von 7 Becher Joghurt in der ersten Zeile auf 1 Becher Joghurt in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 7 teilen. Somit müssen wir auch die 1400 g durch 7 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 Becher Joghurt entspricht:

: 7

7 Becher Joghurt	1400 g
1 Becher Joghurt	?

: 7

7 Becher Joghurt	1400 g
1 Becher Joghurt	200 g

: 7

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 1 Becher Joghurt entspricht: 200 g

Einfacher Dreisatz

Beispiel:

Bei Karls Lieblingsobsthändler bekommt man für 45,00 € 30 kg Birnen.

Wie viel kosten 24 kg Birnen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

30 kg Birnen	45,00 €
?	?
24 kg Birnen	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die kg Birnen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 30 kg Birnen teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 30 und von 24 sein, also der ggT(30,24) = 6.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 6 kg Birnen:

30 kg Birnen	45,00 €
6 kg Birnen	?
24 kg Birnen	?

Um von 30 kg Birnen in der ersten Zeile auf 6 kg Birnen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Somit müssen wir auch die 45 € durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 6 kg Birnen entspricht:

: 5

30 kg Birnen	45,00 €
6 kg Birnen	?
24 kg Birnen	?

: 5

30 kg Birnen	45,00 €
6 kg Birnen	9,00 €
24 kg Birnen	?

: 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 6 kg Birnen in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 24 kg Birnen in der dritten Zeile zu kommen.

: 5

⋅ 4

30 kg Birnen	45,00 €
6 kg Birnen	9,00 €
24 kg Birnen	?

: 5

⋅ 4

Wir müssen somit auch rechts die 9,00 € in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren:

: 5

⋅ 4

30 kg Birnen	45,00 €
6 kg Birnen	9,00 €
24 kg Birnen	36,00 €

: 5

⋅ 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 24 kg Birnen entspricht: 36,00 €

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 4 wenn die Größe B den Wert 6.4 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 6.4 durch den Wert von 'Größe A' (4) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{4}$ des Wertes bei 4 sein muss.
Also: m= $\frac{6.4}{4}$ = $1,6$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,6$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Ein Boiler erhitzt Wasser. Dabei wird in 3 Minuten das Wasser um 9°C erhitzt. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert einen Wert der Wassererhitzung in °C zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Temperaturänderung', nämlich 9 durch den Wert von 'Erhitzungsszeit' (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{3}$ des Wertes bei 3 sein muss.
Also: m= $\frac{9}{3}$ = $3$
Zuordnungsvorschrift: y = $3$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 2, wenn die Größe B den Wert 8.4 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 18.9 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 8.4 = m⋅2.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 8.4 durch den Wert von Größe A (2) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{2}$ des Wertes bei 2 sein muss.
Also: m= $\frac{8.4}{2}$ = $4,2$
Zuordnungsvorschrift: y = $4,2$ ⋅ x

x-Wert bei y = 18.9

Da der/die Größe B den Wert 18.9 hat, muss man 18.9 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
18.9 = $4,2$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{18.9}{4.2}$ , weil dann 18.9 = $4,2$ ⋅ $\frac{18.9}{4.2}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{18.9}{4.2}$ = 4.5.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Ein Prepaid-Anbieter verlangt immer den gleichen Preis pro Minute Telefonieren mit dem Handy. Auf einem Werbeplakat steht, dass 5 Minuten nur 45ct kosten. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man den telefonierten Minuten den Preis in Cent zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 45 = m⋅5.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Preis, nämlich 45 durch den Wert von Minuten (5) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{5}$ des Wertes bei 5 sein muss.
Also: m= $\frac{45}{5}$ = $9$
Zuordnungsvorschrift: y = $9$ ⋅ x

y-Wert bei x = 1.5
Da der/die Minuten den Wert 1.5 hat, muss man einfach 1.5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Preis zu erhalten:
y= $9$ ⋅ 1.5 = 13.5
.
x-Wert bei y = 54
Da der/die Preis den Wert 54 hat, muss man 54 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Minuten zu erhalten:
54 = $9$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{54}{9}$ , weil dann 54 = $9$ ⋅ $\frac{54}{9}$ .
Somit gilt für x (Minuten) = $\frac{54}{9}$ = 6.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz rückwärts

Einfacher Dreisatz

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)