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Zweisatz rückwärts

Beispiel:

Bei Karls Lieblingsobsthändler bekommt man für 4,50 € 3 kg Birnen.

Wie viel kostet 1 kg Birnen?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

3 kg Birnen	4,50 €
1 kg Birnen	?

Um von 3 kg Birnen in der ersten Zeile auf 1 kg Birnen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Somit müssen wir auch die 4.5 € durch 3 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 kg Birnen entspricht:

: 3

3 kg Birnen	4,50 €
1 kg Birnen	?

: 3

3 kg Birnen	4,50 €
1 kg Birnen	1,50 €

: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 1 kg Birnen entspricht: 1,50 €

Einfacher Dreisatz

Beispiel:

Beim Biohof Ökofarm bezahlt Herr Eggestein 15,00 € für 30 Eier.

Wie viel kosten 36 Eier?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

30 Eier	1500 ct
?	?
36 Eier	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Eier in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 30 Eier teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 30 und von 36 sein, also der ggT(30,36) = 6.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 6 Eier:

30 Eier	1500 ct
6 Eier	?
36 Eier	?

Um von 30 Eier in der ersten Zeile auf 6 Eier in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Somit müssen wir auch die 1500 ct durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 6 Eier entspricht:

: 5

30 Eier	1500 ct
6 Eier	?
36 Eier	?

: 5

30 Eier	1500 ct
6 Eier	300 ct
36 Eier	?

: 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 6 Eier in der mittleren Zeile mit 6 multiplizieren, um auf die 36 Eier in der dritten Zeile zu kommen.

: 5

⋅ 6

30 Eier	1500 ct
6 Eier	300 ct
36 Eier	?

: 5

⋅ 6

Wir müssen somit auch rechts die 300 ct in der mittleren Zeile mit 6 multiplizieren:

: 5

⋅ 6

30 Eier	1500 ct
6 Eier	300 ct
36 Eier	1800 ct

: 5

⋅ 6

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 36 Eier entspricht: 1800 ct

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 8 wenn die Größe B den Wert 20 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 20 durch den Wert von 'Größe A' (8) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{8}$ des Wertes bei 8 sein muss.
Also: m= $\frac{20}{8}$ = $2,5$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,5$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Im Winter schneit es 1 Stunde lang total gleichmäßig. Dabei fallen in 2 Minuten 8,8 cm. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man jedem Minuten-Wert eine Schneehöhe in cm zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Schneehöhe', nämlich 8.8 durch den Wert von 'Zeit' (2) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{2}$ des Wertes bei 2 sein muss.
Also: m= $\frac{8.8}{2}$ = $4,4$
Zuordnungsvorschrift: y = $4,4$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 7, wenn die Größe B den Wert 3.5 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt Größe B ein, wenn die Größe A den Wert 3.5 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 3.5 = m⋅7.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 3.5 durch den Wert von Größe A (7) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{7}$ des Wertes bei 7 sein muss.
Also: m= $\frac{3.5}{7}$ = $0,5$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,5$ ⋅ x

y-Wert bei x = 3.5

Da der/die Größe A den Wert 3.5 hat, muss man einfach 3.5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Größe B zu erhalten:
y= $0,5$ ⋅ 3.5 = 1.75

.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann 9 Kartons in 5,4 Sekunden verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der verpackten Kartons der Verpackungszeit in Sekunden zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 5.4 = m⋅9.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Verpackungszeit, nämlich 5.4 durch den Wert von Kartonanzahl (9) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{9}$ des Wertes bei 9 sein muss.
Also: m= $\frac{5.4}{9}$ = $0,6$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,6$ ⋅ x

y-Wert bei x = 7.5

Da der/die Kartonanzahl den Wert 7.5 hat, muss man einfach 7.5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Verpackungszeit zu erhalten:
y= $0,6$ ⋅ 7.5 = 4.5

.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz rückwärts

Einfacher Dreisatz

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)