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Zweisatz

Beispiel:

Eine erfahrende Langstreckenläuferin trainiert immer mit exakt dem gleichen Tempo. Für 1 km braucht sie 7 Minuten.

Wie lange braucht sie für 5 km?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 km	7 min
5 km	?

Um von 1 km in der ersten Zeile auf 5 km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 5 multiplizieren. Somit müssen wir auch die 7 min mit 5 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 5 km entspricht:

⋅ 5

1 km	7 min
5 km	?

⋅ 5

1 km	7 min
5 km	35 min

⋅ 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 km entspricht: 35 min

Dreisatz (beide Richtungen)

Beispiel:

Ein Käseaufschnitt wiegt insgesamt 180 g. Er besteht aus 18 gleichen Scheiben.

Wie schwer sind dann 24 Scheiben Käse?
Wie viele Käsescheiben sind es bei 450 g Aufschnitt?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

18 Scheiben Käse	180 g
?	?
24 Scheiben Käse	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Scheiben Käse in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 18 Scheiben Käse teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 18 und von 24 sein, also der ggT(18,24) = 6.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 6 Scheiben Käse:

18 Scheiben Käse	180 g
6 Scheiben Käse	?
24 Scheiben Käse	?

Um von 18 Scheiben Käse in der ersten Zeile auf 6 Scheiben Käse in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Somit müssen wir auch die 180 g durch 3 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 6 Scheiben Käse entspricht:

: 3

18 Scheiben Käse	180 g
6 Scheiben Käse	60 g
24 Scheiben Käse	?

: 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 6 Scheiben Käse in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 24 Scheiben Käse in der dritten Zeile zu kommen.

: 3

⋅ 4

18 Scheiben Käse	180 g
6 Scheiben Käse	60 g
24 Scheiben Käse	240 g

: 3

⋅ 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 24 Scheiben Käse entspricht: 240 g

Für die andere Frage (Wie viele Käsescheiben sind es bei 450 g Aufschnitt?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "g"-Werte haben und nach einem "Scheiben Käse"-Wert gesucht wird:

180 g	18 Scheiben Käse
?	?
450 g	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die g in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 180 g teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 180 und von 450 sein, also der ggT(180,450) = 90.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 90 g:

180 g	18 Scheiben Käse
90 g	?
450 g	?

Um von 180 g in der ersten Zeile auf 90 g in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Somit müssen wir auch die 18 Scheiben Käse durch 2 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 90 g entspricht:

: 2

180 g	18 Scheiben Käse
90 g	9 Scheiben Käse
450 g	?

: 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 90 g in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 450 g in der dritten Zeile zu kommen.

: 2

⋅ 5

180 g	18 Scheiben Käse
90 g	9 Scheiben Käse
450 g	45 Scheiben Käse

: 2

⋅ 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 450 g entspricht: 45 Scheiben Käse

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 4 wenn die Größe B den Wert 12 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 12 durch den Wert von 'Größe A' (4) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{4}$ des Wertes bei 4 sein muss.
Also: m= $\frac{12}{4}$ = $3$
Zuordnungsvorschrift: y = $3$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Im Winter schneit es 1 Stunde lang total gleichmäßig. Dabei fallen in 6 Minuten 7,2 cm. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man jedem Minuten-Wert eine Schneehöhe in cm zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Schneehöhe', nämlich 7.2 durch den Wert von 'Zeit' (6) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{6}$ des Wertes bei 6 sein muss.
Also: m= $\frac{7.2}{6}$ = $1,2$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,2$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 2, wenn die Größe B den Wert 1.2 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 1.8 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 1.2 = m⋅2.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 1.2 durch den Wert von Größe A (2) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{2}$ des Wertes bei 2 sein muss.
Also: m= $\frac{1.2}{2}$ = $0,6$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,6$ ⋅ x

x-Wert bei y = 1.8

Da der/die Größe B den Wert 1.8 hat, muss man 1.8 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
1.8 = $0,6$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{1.8}{0.6}$ , weil dann 1.8 = $0,6$ ⋅ $\frac{1.8}{0.6}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{1.8}{0.6}$ = 3.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Die Lernmittelbücherei hat 120 neue gleiche Bücher bekommen. Jeweils 6 Bücher wiegen zusammen 7,8kg. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der Bücher dem Gewicht in kg zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 7.8 = m⋅6.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Gesamtgewicht, nämlich 7.8 durch den Wert von Bücheranzahl (6) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{6}$ des Wertes bei 6 sein muss.
Also: m= $\frac{7.8}{6}$ = $1,3$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,3$ ⋅ x

x-Wert bei y = 12.35

Da der/die Gesamtgewicht den Wert 12.35 hat, muss man 12.35 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Bücheranzahl zu erhalten:
12.35 = $1,3$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{12.35}{1.3}$ , weil dann 12.35 = $1,3$ ⋅ $\frac{12.35}{1.3}$ .
Somit gilt für x (Bücheranzahl) = $\frac{12.35}{1.3}$ = 9.5.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz

Dreisatz (beide Richtungen)

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)