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Zweisatz

Beispiel:

Beim Biohof Ökofarm bezahlt Herr Eggestein 0,30 € für 1 Ei.

Wie viel kosten 8 Eier?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Ei	30 ct
8 Eier	?

Um von 1 Eier in der ersten Zeile auf 8 Eier in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 8 multiplizieren. Somit müssen wir auch die 30 ct mit 8 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 8 Eier entspricht:

⋅ 8

1 Ei	30 ct
8 Eier	?

⋅ 8

1 Ei	30 ct
8 Eier	240 ct

⋅ 8

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Eier entspricht: 240 ct

Dreisatz (beide Richtungen)

Beispiel:

Herr Tobrak hat einen neuen Handyvertrag abgeschlossen. Für sein 7-Minuten-Gespräch hat er nun 14 ct bezahlt.

Wie viel kosten ihn 6 min telefonieren?
Wie lange kann er für 4 ct telefonieren?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

7 Minuten telefonieren	14 ct
?	?
6 Minuten telefonieren	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten telefonieren in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 7 Minuten telefonieren teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 7 und von 6 sein, also der ggT(7,6) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Minuten telefonieren:

7 Minuten telefonieren	14 ct
1 Minute telefonieren	?
6 Minuten telefonieren	?

Um von 7 Minuten telefonieren in der ersten Zeile auf 1 Minuten telefonieren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 7 teilen. Somit müssen wir auch die 14 ct durch 7 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 Minuten telefonieren entspricht:

: 7

7 Minuten telefonieren	14 ct
1 Minute telefonieren	2 ct
6 Minuten telefonieren	?

: 7

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Minuten telefonieren in der mittleren Zeile mit 6 multiplizieren, um auf die 6 Minuten telefonieren in der dritten Zeile zu kommen.

: 7

⋅ 6

7 Minuten telefonieren	14 ct
1 Minute telefonieren	2 ct
6 Minuten telefonieren	12 ct

: 7

⋅ 6

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 6 Minuten telefonieren entspricht: 12 ct

Für die andere Frage (Wie lange kann er für 4 ct telefonieren?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "ct"-Werte haben und nach einem "Minuten telefonieren"-Wert gesucht wird:

14 ct	7 Minuten telefonieren
?	?
4 ct	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die ct in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 14 ct teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 14 und von 4 sein, also der ggT(14,4) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 ct:

14 ct	7 Minuten telefonieren
2 ct	?
4 ct	?

Um von 14 ct in der ersten Zeile auf 2 ct in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 7 teilen. Somit müssen wir auch die 7 Minuten telefonieren durch 7 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 2 ct entspricht:

: 7

14 ct	7 Minuten telefonieren
2 ct	1 Minuten telefonieren
4 ct	?

: 7

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 ct in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 4 ct in der dritten Zeile zu kommen.

: 7

⋅ 2

14 ct	7 Minuten telefonieren
2 ct	1 Minuten telefonieren
4 ct	2 Minuten telefonieren

: 7

⋅ 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 ct entspricht: 2 Minuten telefonieren

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 4 wenn die Größe B den Wert 10.4 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 10.4 durch den Wert von 'Größe A' (4) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{4}$ des Wertes bei 4 sein muss.
Also: m= $\frac{10.4}{4}$ = $2,6$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,6$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Im Winter schneit es 1 Stunde lang total gleichmäßig. Dabei fallen in 7 Minuten 0,7 cm. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man jedem Minuten-Wert eine Schneehöhe in cm zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Schneehöhe', nämlich 0.7 durch den Wert von 'Zeit' (7) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{7}$ des Wertes bei 7 sein muss.
Also: m= $\frac{0.7}{7}$ = $0,1$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,1$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 6, wenn die Größe B den Wert 19.8 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 14.85 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 19.8 = m⋅6.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 19.8 durch den Wert von Größe A (6) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{6}$ des Wertes bei 6 sein muss.
Also: m= $\frac{19.8}{6}$ = $3,3$
Zuordnungsvorschrift: y = $3,3$ ⋅ x

x-Wert bei y = 14.85

Da der/die Größe B den Wert 14.85 hat, muss man 14.85 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
14.85 = $3,3$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{14.85}{3.3}$ , weil dann 14.85 = $3,3$ ⋅ $\frac{14.85}{3.3}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{14.85}{3.3}$ = 4.5.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Ein Prepaid-Anbieter verlangt immer den gleichen Preis pro Minute Telefonieren mit dem Handy. Auf einem Werbeplakat steht, dass 7 Minuten nur 105ct kosten. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man den telefonierten Minuten den Preis in Cent zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 105 = m⋅7.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Preis, nämlich 105 durch den Wert von Minuten (7) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{7}$ des Wertes bei 7 sein muss.
Also: m= $\frac{105}{7}$ = $15$
Zuordnungsvorschrift: y = $15$ ⋅ x

y-Wert bei x = 5
Da der/die Minuten den Wert 5 hat, muss man einfach 5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Preis zu erhalten:
y= $15$ ⋅ 5 = 75
.
x-Wert bei y = 60
Da der/die Preis den Wert 60 hat, muss man 60 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Minuten zu erhalten:
60 = $15$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{60}{15}$ , weil dann 60 = $15$ ⋅ $\frac{60}{15}$ .
Somit gilt für x (Minuten) = $\frac{60}{15}$ = 4.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz

Dreisatz (beide Richtungen)

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)