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Zweisatz

Beispiel:

Beim Bäcker Leckerbeck kostet 1 Brötchen immer 0,50 €.

Wie viel kosten 8 Brötchen?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Brötchen	0,50 €
8 Brötchen	?

Um von 1 Brötchen in der ersten Zeile auf 8 Brötchen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 8 multiplizieren. Somit müssen wir auch die 0.5 € mit 8 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 8 Brötchen entspricht:

⋅ 8

1 Brötchen	0,50 €
8 Brötchen	?

⋅ 8

1 Brötchen	0,50 €
8 Brötchen	4,00 €

⋅ 8

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Brötchen entspricht: 4,00 €

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem proportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

24 Eier	1080 ct
?	?
20 Eier	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Eier in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 24 Eier teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 24 und von 20 sein, also der ggT(24,20) = 4.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 Eier:

24 Eier	1080 ct
4 Eier	?
20 Eier	?

Um von 24 Eier in der ersten Zeile auf 4 Eier in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 6 teilen. Somit müssen wir auch die 1080 ct durch 6 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 4 Eier entspricht:

: 6

24 Eier	1080 ct
4 Eier	?
20 Eier	?

: 6

(Beim Teilen durch 6 kann man einfach erst durch 2 und dann durch 3 teilen - oder erst eine 6-er Zahl in der Nähe suchen, hier 600, und dann noch den Rest (480) durch 6 teilen.)

: 6

24 Eier	1080 ct
4 Eier	180 ct
20 Eier	?

: 6

Jetzt müssen wir ja wieder die 4 Eier in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 20 Eier in der dritten Zeile zu kommen.

: 6

⋅ 5

24 Eier	1080 ct
4 Eier	180 ct
20 Eier	?

: 6

⋅ 5

Wir müssen somit auch rechts die 180 ct in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren:

: 6

⋅ 5

24 Eier	1080 ct
4 Eier	180 ct
20 Eier	900 ct

: 6

⋅ 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 20 Eier entspricht: 900 ct

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 2 wenn die Größe B den Wert 3 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 3 durch den Wert von 'Größe A' (2) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{2}$ des Wertes bei 2 sein muss.
Also: m= $\frac{3}{2}$ = $1,5$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,5$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann in 5 Minuten 8,5 Kartons verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert eine Anzahl der verpackten Kartons zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Kartonanzahl', nämlich 8.5 durch den Wert von 'Verpackungszeit' (5) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{5}$ des Wertes bei 5 sein muss.
Also: m= $\frac{8.5}{5}$ = $1,7$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,7$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 3, wenn die Größe B den Wert 12.9 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 15.05 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 12.9 = m⋅3.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 12.9 durch den Wert von Größe A (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{3}$ des Wertes bei 3 sein muss.
Also: m= $\frac{12.9}{3}$ = $4,3$
Zuordnungsvorschrift: y = $4,3$ ⋅ x

x-Wert bei y = 15.05

Da der/die Größe B den Wert 15.05 hat, muss man 15.05 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
15.05 = $4,3$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{15.05}{4.3}$ , weil dann 15.05 = $4,3$ ⋅ $\frac{15.05}{4.3}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{15.05}{4.3}$ = 3.5.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Ein Prepaid-Anbieter verlangt immer den gleichen Preis pro Minute Telefonieren mit dem Handy. Auf einem Werbeplakat steht, dass 2 Minuten nur 12ct kosten. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man den telefonierten Minuten den Preis in Cent zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 12 = m⋅2.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Preis, nämlich 12 durch den Wert von Minuten (2) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{2}$ des Wertes bei 2 sein muss.
Also: m= $\frac{12}{2}$ = $6$
Zuordnungsvorschrift: y = $6$ ⋅ x

y-Wert bei x = 3.5
Da der/die Minuten den Wert 3.5 hat, muss man einfach 3.5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Preis zu erhalten:
y= $6$ ⋅ 3.5 = 21
.
x-Wert bei y = 27
Da der/die Preis den Wert 27 hat, muss man 27 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Minuten zu erhalten:
27 = $6$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{27}{6}$ , weil dann 27 = $6$ ⋅ $\frac{27}{6}$ .
Somit gilt für x (Minuten) = $\frac{27}{6}$ = 4.5.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)