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Proportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen proportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 40 € den 16 kg Äpfel entsprechen.

: 5

⋅ 4

20 kg Äpfel	50,00 €
4 kg Äpfel	10,00 €
16 kg Äpfel	40,00 €

: 5

⋅ 4

Der Wert 40 € war also korrekt.

Jetzt überprüfen wir, ob die 80 € den 30 kg Äpfel entsprechen.

: 2

⋅ 3

20 kg Äpfel	50,00 €
10 kg Äpfel	25,00 €
30 kg Äpfel	75,00 €

: 2

⋅ 3

Der Wert 80 € war also falsch, richtig wäre 75 € gewesen.

Einfacher Dreisatz

Beispiel:

Beim Bäcker Allesfresh kosten 30 Brezeln immer 12,00 €.

Wie viel kosten 24 Brezeln?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

30 Brezeln	12,00 €
?	?
24 Brezeln	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Brezeln in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 30 Brezeln teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 30 und von 24 sein, also der ggT(30,24) = 6.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 6 Brezeln:

30 Brezeln	12,00 €
6 Brezeln	?
24 Brezeln	?

Um von 30 Brezeln in der ersten Zeile auf 6 Brezeln in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Somit müssen wir auch die 12 € durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 6 Brezeln entspricht:

: 5

30 Brezeln	12,00 €
6 Brezeln	?
24 Brezeln	?

: 5

(Beim Teilen durch 5 kann man einfach erst verdoppeln und dann durch 10 teilen.)

: 5

30 Brezeln	12,00 €
6 Brezeln	2,40 €
24 Brezeln	?

: 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 6 Brezeln in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 24 Brezeln in der dritten Zeile zu kommen.

: 5

⋅ 4

30 Brezeln	12,00 €
6 Brezeln	2,40 €
24 Brezeln	?

: 5

⋅ 4

Wir müssen somit auch rechts die 2,40 € in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren:

: 5

⋅ 4

30 Brezeln	12,00 €
6 Brezeln	2,40 €
24 Brezeln	9,60 €

: 5

⋅ 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 24 Brezeln entspricht: 9,60 €

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 9 wenn die Größe B den Wert 13.5 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 13.5 durch den Wert von 'Größe A' (9) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{9}$ des Wertes bei 9 sein muss.
Also: m= $\frac{13.5}{9}$ = $1,5$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,5$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Im Winter schneit es 1 Stunde lang total gleichmäßig. Dabei fallen in 6 Minuten 12,6 cm. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man jedem Minuten-Wert eine Schneehöhe in cm zuordnen kann.

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Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Schneehöhe', nämlich 12.6 durch den Wert von 'Zeit' (6) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{6}$ des Wertes bei 6 sein muss.
Also: m= $\frac{12.6}{6}$ = $2,1$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,1$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 5, wenn die Größe B den Wert 25 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 10 hat?

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Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 25 = m⋅5.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 25 durch den Wert von Größe A (5) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{5}$ des Wertes bei 5 sein muss.
Also: m= $\frac{25}{5}$ = $5$
Zuordnungsvorschrift: y = $5$ ⋅ x

x-Wert bei y = 10

Da der/die Größe B den Wert 10 hat, muss man 10 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
10 = $5$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{10}{5}$ , weil dann 10 = $5$ ⋅ $\frac{10}{5}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{10}{5}$ = 2.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann 2 Kartons in 5 Sekunden verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der verpackten Kartons der Verpackungszeit in Sekunden zuordnen kann.

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Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 5 = m⋅2.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Verpackungszeit, nämlich 5 durch den Wert von Kartonanzahl (2) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{2}$ des Wertes bei 2 sein muss.
Also: m= $\frac{5}{2}$ = $2,5$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,5$ ⋅ x

y-Wert bei x = 2.5

Da der/die Kartonanzahl den Wert 2.5 hat, muss man einfach 2.5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Verpackungszeit zu erhalten:
y= $2,5$ ⋅ 2.5 = 6.25

.

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Proportionalität überprüfen

Einfacher Dreisatz

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)