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Zweisatz

Beispiel:

Ein Scheibe eines Käseaufschnitt wiegt 40 g.

Wie schwer sind dann 8 Scheiben Käse?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Scheibe Käse	40 g
8 Scheiben Käse	?

Um von 1 Scheiben Käse in der ersten Zeile auf 8 Scheiben Käse in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 8 multiplizieren. Somit müssen wir auch die 40 g mit 8 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 8 Scheiben Käse entspricht:

⋅ 8

1 Scheibe Käse	40 g
8 Scheiben Käse	?

⋅ 8

1 Scheibe Käse	40 g
8 Scheiben Käse	320 g

⋅ 8

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Scheiben Käse entspricht: 320 g

Einfacher Dreisatz

Beispiel:

Eine erfahrende Langstreckenläuferin trainiert immer mit exakt dem gleichen Tempo. Für 6 km braucht sie 42 Minuten.

Wie lange braucht sie für 8 km?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

6 km	42 min
?	?
8 km	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 km teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 6 und von 8 sein, also der ggT(6,8) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 km:

6 km	42 min
2 km	?
8 km	?

Um von 6 km in der ersten Zeile auf 2 km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Somit müssen wir auch die 42 min durch 3 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 2 km entspricht:

: 3

6 km	42 min
2 km	?
8 km	?

: 3

(Beim Teilen durch 3 muss man sich eben erst eine 3-er Zahl in der Nähe suchen, hier 30, und dann noch den Rest (12) durch 3 teilen.)

: 3

6 km	42 min
2 km	14 min
8 km	?

: 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 km in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 8 km in der dritten Zeile zu kommen.

: 3

⋅ 4

6 km	42 min
2 km	14 min
8 km	?

: 3

⋅ 4

Wir müssen somit auch rechts die 14 min in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren:

: 3

⋅ 4

6 km	42 min
2 km	14 min
8 km	56 min

: 3

⋅ 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 km entspricht: 56 min

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 2 wenn die Größe B den Wert 9.8 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 9.8 durch den Wert von 'Größe A' (2) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{2}$ des Wertes bei 2 sein muss.
Also: m= $\frac{9.8}{2}$ = $4,9$
Zuordnungsvorschrift: y = $4,9$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Im Winter schneit es 1 Stunde lang total gleichmäßig. Dabei fallen in 2 Minuten 9,6 cm. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man jedem Minuten-Wert eine Schneehöhe in cm zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Schneehöhe', nämlich 9.6 durch den Wert von 'Zeit' (2) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{2}$ des Wertes bei 2 sein muss.
Also: m= $\frac{9.6}{2}$ = $4,8$
Zuordnungsvorschrift: y = $4,8$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 6, wenn die Größe B den Wert 11.4 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.

Welchen Wert nimmt Größe B ein, wenn die Größe A den Wert 8.5 hat?
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 8.55 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 11.4 = m⋅6.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 11.4 durch den Wert von Größe A (6) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{6}$ des Wertes bei 6 sein muss.
Also: m= $\frac{11.4}{6}$ = $1,9$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,9$ ⋅ x

y-Wert bei x = 8.5
Da der/die Größe A den Wert 8.5 hat, muss man einfach 8.5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Größe B zu erhalten:
y= $1,9$ ⋅ 8.5 = 16.15
.
x-Wert bei y = 8.55
Da der/die Größe B den Wert 8.55 hat, muss man 8.55 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
8.55 = $1,9$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{8.55}{1.9}$ , weil dann 8.55 = $1,9$ ⋅ $\frac{8.55}{1.9}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{8.55}{1.9}$ = 4.5.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Ein Prepaid-Anbieter verlangt immer den gleichen Preis pro Minute Telefonieren mit dem Handy. Auf einem Werbeplakat steht, dass 9 Minuten nur 108ct kosten. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man den telefonierten Minuten den Preis in Cent zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 108 = m⋅9.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Preis, nämlich 108 durch den Wert von Minuten (9) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{9}$ des Wertes bei 9 sein muss.
Also: m= $\frac{108}{9}$ = $12$
Zuordnungsvorschrift: y = $12$ ⋅ x

x-Wert bei y = 120

Da der/die Preis den Wert 120 hat, muss man 120 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Minuten zu erhalten:
120 = $12$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{120}{12}$ , weil dann 120 = $12$ ⋅ $\frac{120}{12}$ .
Somit gilt für x (Minuten) = $\frac{120}{12}$ = 10.

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Zweisatz

Einfacher Dreisatz

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)