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Proportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen proportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 3000 g den 10 Becher Joghurt entsprechen.

: 3

⋅ 5

6 Becher Joghurt	1800 g
2 Becher Joghurt	600 g
10 Becher Joghurt	3000 g

: 3

⋅ 5

Der Wert 3000 g war also korrekt.

Jetzt überprüfen wir, ob die 4500 g den 15 Becher Joghurt entsprechen.

: 2

⋅ 5

6 Becher Joghurt	1800 g
3 Becher Joghurt	900 g
15 Becher Joghurt	4500 g

: 2

⋅ 5

Der Wert 4500 g war also korrekt.

Einfacher Dreisatz

Beispiel:

Beim Bäcker Allesfresh kosten 10 Brezeln immer 5,00 €.

Wie viel kosten 12 Brezeln?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

10 Brezeln	5,00 €
?	?
12 Brezeln	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Brezeln in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 Brezeln teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 10 und von 12 sein, also der ggT(10,12) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Brezeln:

10 Brezeln	5,00 €
2 Brezeln	?
12 Brezeln	?

Um von 10 Brezeln in der ersten Zeile auf 2 Brezeln in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Somit müssen wir auch die 5 € durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 2 Brezeln entspricht:

: 5

10 Brezeln	5,00 €
2 Brezeln	?
12 Brezeln	?

: 5

10 Brezeln	5,00 €
2 Brezeln	1,00 €
12 Brezeln	?

: 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Brezeln in der mittleren Zeile mit 6 multiplizieren, um auf die 12 Brezeln in der dritten Zeile zu kommen.

: 5

⋅ 6

10 Brezeln	5,00 €
2 Brezeln	1,00 €
12 Brezeln	?

: 5

⋅ 6

Wir müssen somit auch rechts die 1,00 € in der mittleren Zeile mit 6 multiplizieren:

: 5

⋅ 6

10 Brezeln	5,00 €
2 Brezeln	1,00 €
12 Brezeln	6,00 €

: 5

⋅ 6

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Brezeln entspricht: 6,00 €

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 8 wenn die Größe B den Wert 4 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 4 durch den Wert von 'Größe A' (8) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{8}$ des Wertes bei 8 sein muss.
Also: m= $\frac{4}{8}$ = $0,5$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,5$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann in 7 Minuten 2,8 Kartons verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert eine Anzahl der verpackten Kartons zuordnen kann.

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Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Kartonanzahl', nämlich 2.8 durch den Wert von 'Verpackungszeit' (7) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{7}$ des Wertes bei 7 sein muss.
Also: m= $\frac{2.8}{7}$ = $0,4$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,4$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 2, wenn die Größe B den Wert 7.8 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 21.45 hat?

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Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 7.8 = m⋅2.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 7.8 durch den Wert von Größe A (2) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{2}$ des Wertes bei 2 sein muss.
Also: m= $\frac{7.8}{2}$ = $3,9$
Zuordnungsvorschrift: y = $3,9$ ⋅ x

x-Wert bei y = 21.45

Da der/die Größe B den Wert 21.45 hat, muss man 21.45 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
21.45 = $3,9$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{21.45}{3.9}$ , weil dann 21.45 = $3,9$ ⋅ $\frac{21.45}{3.9}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{21.45}{3.9}$ = 5.5.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann 4 Kartons in 4,8 Sekunden verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der verpackten Kartons der Verpackungszeit in Sekunden zuordnen kann.

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Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 4.8 = m⋅4.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Verpackungszeit, nämlich 4.8 durch den Wert von Kartonanzahl (4) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{4}$ des Wertes bei 4 sein muss.
Also: m= $\frac{4.8}{4}$ = $1,2$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,2$ ⋅ x

x-Wert bei y = 7.8

Da der/die Verpackungszeit den Wert 7.8 hat, muss man 7.8 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Kartonanzahl zu erhalten:
7.8 = $1,2$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{7.8}{1.2}$ , weil dann 7.8 = $1,2$ ⋅ $\frac{7.8}{1.2}$ .
Somit gilt für x (Kartonanzahl) = $\frac{7.8}{1.2}$ = 6.5.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Proportionalität überprüfen

Einfacher Dreisatz

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)