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Zweisatz

Beispiel:

Herr Tobrak hat einen neuen Handyvertrag abgeschlossen. Für eine Minute telefonieren bezahlt er nun 4 ct.

Wie viel kosten ihn 8 min telefonieren?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Minute telefonieren4 ct
8 Minuten telefonieren?

Um von 1 Minuten telefonieren in der ersten Zeile auf 8 Minuten telefonieren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 8 multiplizieren. Somit müssen wir auch die 4 ct mit 8 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 8 Minuten telefonieren entspricht:

⋅ 8
1 Minute telefonieren4 ct
8 Minuten telefonieren?
⋅ 8
⋅ 8
1 Minute telefonieren4 ct
8 Minuten telefonieren32 ct
⋅ 8

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Minuten telefonieren entspricht: 32 ct

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem proportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

6 Eier270 ct
??
8 Eier?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Eier in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 Eier teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 6 und von 8 sein, also der ggT(6,8) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Eier:


6 Eier270 ct
2 Eier?
8 Eier?

Um von 6 Eier in der ersten Zeile auf 2 Eier in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Somit müssen wir auch die 270 ct durch 3 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 2 Eier entspricht:

: 3

6 Eier270 ct
2 Eier?
8 Eier?
: 3
: 3

6 Eier270 ct
2 Eier90 ct
8 Eier?
: 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Eier in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 8 Eier in der dritten Zeile zu kommen.

: 3
⋅ 4

6 Eier270 ct
2 Eier90 ct
8 Eier?
: 3
⋅ 4

Wir müssen somit auch rechts die 90 ct in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren:

: 3
⋅ 4

6 Eier270 ct
2 Eier90 ct
8 Eier360 ct
: 3
⋅ 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Eier entspricht: 360 ct

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 3 wenn die Größe B den Wert 13.8 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

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Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 13.8 durch den Wert von 'Größe A' (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade 1 3 des Wertes bei 3 sein muss.
Also: m= 13.8 3 =4,6
Zuordnungsvorschrift: y = 4,6 ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann in 5 Minuten 16 Kartons verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert eine Anzahl der verpackten Kartons zuordnen kann.

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Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Kartonanzahl', nämlich 16 durch den Wert von 'Verpackungszeit' (5) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade 1 5 des Wertes bei 5 sein muss.
Also: m= 16 5 =3,2
Zuordnungsvorschrift: y = 3,2 ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 2, wenn die Größe B den Wert 0.8 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.

  1. Welchen Wert nimmt Größe B ein, wenn die Größe A den Wert 4 hat?
  2. Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 1.6 hat?

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Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 0.8 = m⋅2.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 0.8 durch den Wert von Größe A (2) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade 1 2 des Wertes bei 2 sein muss.
Also: m= 0.8 2 =0,4
Zuordnungsvorschrift: y = 0,4 ⋅ x

  1. y-Wert bei x = 4

    Da der/die Größe A den Wert 4 hat, muss man einfach 4 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Größe B zu erhalten:
    y=0,4 ⋅ 4 = 1.6

    .
  2. x-Wert bei y = 1.6

    Da der/die Größe B den Wert 1.6 hat, muss man 1.6 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
    1.6 = 0,4 ⋅ x.
    Das klappt mit x = 1.6 0.4 , weil dann 1.6 = 0,4 ⋅ 1.6 0.4 .
    Somit gilt für x (Größe A) = 1.6 0.4 = 4.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Die Lernmittelbücherei hat 120 neue gleiche Bücher bekommen. Jeweils 7 Bücher wiegen zusammen 7,7kg. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der Bücher dem Gewicht in kg zuordnen kann.

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    Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 7.7 = m⋅7.

    Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Gesamtgewicht, nämlich 7.7 durch den Wert von Bücheranzahl (7) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade 1 7 des Wertes bei 7 sein muss.
    Also: m= 7.7 7 =1,1
    Zuordnungsvorschrift: y = 1,1 ⋅ x

    1. y-Wert bei x = 4.5

      Da der/die Bücheranzahl den Wert 4.5 hat, muss man einfach 4.5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Gesamtgewicht zu erhalten:
      y=1,1 ⋅ 4.5 = 4.95

      .
    2. x-Wert bei y = 5.5

      Da der/die Gesamtgewicht den Wert 5.5 hat, muss man 5.5 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Bücheranzahl zu erhalten:
      5.5 = 1,1 ⋅ x.
      Das klappt mit x = 5.5 1.1 , weil dann 5.5 = 1,1 ⋅ 5.5 1.1 .
      Somit gilt für x (Bücheranzahl) = 5.5 1.1 = 5.