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Zweisatz

Beispiel:

Beim Karls Lieblingsobsthändler bekommt man für 3,50 € 1 kg Birnen.

Wie viel kosten 3 kg Birnen?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 kg Birnen	3,50 €
3 kg Birnen	?

Um von 1 kg Birnen in der ersten Zeile auf 3 kg Birnen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 3 multiplizieren. Somit müssen wir auch die 3.5 € mit 3 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 3 kg Birnen entspricht:

⋅ 3

1 kg Birnen	3,50 €
3 kg Birnen	?

⋅ 3

1 kg Birnen	3,50 €
3 kg Birnen	10,50 €

⋅ 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 kg Birnen entspricht: 10,50 €

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem proportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

30 Minuten telefonieren	750 ct
?	?
36 Minuten telefonieren	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten telefonieren in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 30 Minuten telefonieren teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 30 und von 36 sein, also der ggT(30,36) = 6.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 6 Minuten telefonieren:

30 Minuten telefonieren	750 ct
6 Minuten telefonieren	?
36 Minuten telefonieren	?

Um von 30 Minuten telefonieren in der ersten Zeile auf 6 Minuten telefonieren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Somit müssen wir auch die 750 ct durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 6 Minuten telefonieren entspricht:

: 5

30 Minuten telefonieren	750 ct
6 Minuten telefonieren	?
36 Minuten telefonieren	?

: 5

(Beim Teilen durch 5 kann man einfach erst verdoppeln und dann durch 10 teilen.)

: 5

30 Minuten telefonieren	750 ct
6 Minuten telefonieren	150 ct
36 Minuten telefonieren	?

: 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 6 Minuten telefonieren in der mittleren Zeile mit 6 multiplizieren, um auf die 36 Minuten telefonieren in der dritten Zeile zu kommen.

: 5

⋅ 6

30 Minuten telefonieren	750 ct
6 Minuten telefonieren	150 ct
36 Minuten telefonieren	?

: 5

⋅ 6

Wir müssen somit auch rechts die 150 ct in der mittleren Zeile mit 6 multiplizieren:

: 5

⋅ 6

30 Minuten telefonieren	750 ct
6 Minuten telefonieren	150 ct
36 Minuten telefonieren	900 ct

: 5

⋅ 6

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 36 Minuten telefonieren entspricht: 900 ct

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 7 wenn die Größe B den Wert 9.8 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 9.8 durch den Wert von 'Größe A' (7) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{7}$ des Wertes bei 7 sein muss.
Also: m= $\frac{9.8}{7}$ = $1,4$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,4$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann in 4 Minuten 1,2 Kartons verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert eine Anzahl der verpackten Kartons zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Kartonanzahl', nämlich 1.2 durch den Wert von 'Verpackungszeit' (4) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{4}$ des Wertes bei 4 sein muss.
Also: m= $\frac{1.2}{4}$ = $0,3$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,3$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 3, wenn die Größe B den Wert 11.1 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 14.8 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 11.1 = m⋅3.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 11.1 durch den Wert von Größe A (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{3}$ des Wertes bei 3 sein muss.
Also: m= $\frac{11.1}{3}$ = $3,7$
Zuordnungsvorschrift: y = $3,7$ ⋅ x

x-Wert bei y = 14.8

Da der/die Größe B den Wert 14.8 hat, muss man 14.8 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
14.8 = $3,7$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{14.8}{3.7}$ , weil dann 14.8 = $3,7$ ⋅ $\frac{14.8}{3.7}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{14.8}{3.7}$ = 4.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Ein Prepaid-Anbieter verlangt immer den gleichen Preis pro Minute Telefonieren mit dem Handy. Auf einem Werbeplakat steht, dass 5 Minuten nur 30ct kosten. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man den telefonierten Minuten den Preis in Cent zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 30 = m⋅5.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Preis, nämlich 30 durch den Wert von Minuten (5) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{5}$ des Wertes bei 5 sein muss.
Also: m= $\frac{30}{5}$ = $6$
Zuordnungsvorschrift: y = $6$ ⋅ x

x-Wert bei y = 9

Da der/die Preis den Wert 9 hat, muss man 9 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Minuten zu erhalten:
9 = $6$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{9}{6}$ , weil dann 9 = $6$ ⋅ $\frac{9}{6}$ .
Somit gilt für x (Minuten) = $\frac{9}{6}$ = 1.5.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)