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Zweisatz

Beispiel:

Ein Scheibe eines Käseaufschnitt wiegt 50 g.

Wie schwer sind dann 6 Scheiben Käse?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Scheibe Käse	50 g
6 Scheiben Käse	?

Um von 1 Scheiben Käse in der ersten Zeile auf 6 Scheiben Käse in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 6 multiplizieren. Somit müssen wir auch die 50 g mit 6 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 6 Scheiben Käse entspricht:

⋅ 6

1 Scheibe Käse	50 g
6 Scheiben Käse	?

⋅ 6

1 Scheibe Käse	50 g
6 Scheiben Käse	300 g

⋅ 6

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 6 Scheiben Käse entspricht: 300 g

Dreisatz (beide Richtungen)

Beispiel:

In den 4 Joghurtbechern von Herrn Schaaf sind insgesamt 1600 g drin.

Wie viel Joghurt ist in 5 Bechern drin?
Wie viele Joghurtbecher braucht man für 2400 g Joghurt?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

4 Becher Joghurt	1600 g
?	?
5 Becher Joghurt	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Becher Joghurt in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 Becher Joghurt teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 4 und von 5 sein, also der ggT(4,5) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Becher Joghurt:

4 Becher Joghurt	1600 g
1 Becher Joghurt	?
5 Becher Joghurt	?

Um von 4 Becher Joghurt in der ersten Zeile auf 1 Becher Joghurt in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Somit müssen wir auch die 1600 g durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 Becher Joghurt entspricht:

: 4

4 Becher Joghurt	1600 g
1 Becher Joghurt	400 g
5 Becher Joghurt	?

: 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Becher Joghurt in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 5 Becher Joghurt in der dritten Zeile zu kommen.

: 4

⋅ 5

4 Becher Joghurt	1600 g
1 Becher Joghurt	400 g
5 Becher Joghurt	2000 g

: 4

⋅ 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 Becher Joghurt entspricht: 2000 g

Für die andere Frage (Wie viele Joghurtbecher braucht man für 2400 g Joghurt?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "g"-Werte haben und nach einem "Becher Joghurt"-Wert gesucht wird:

1600 g	4 Becher Joghurt
?	?
2400 g	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die g in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 1600 g teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 1600 und von 2400 sein, also der ggT(1600,2400) = 800.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 800 g:

1600 g	4 Becher Joghurt
800 g	?
2400 g	?

Um von 1600 g in der ersten Zeile auf 800 g in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Somit müssen wir auch die 4 Becher Joghurt durch 2 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 800 g entspricht:

: 2

1600 g	4 Becher Joghurt
800 g	2 Becher Joghurt
2400 g	?

: 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 800 g in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 2400 g in der dritten Zeile zu kommen.

: 2

⋅ 3

1600 g	4 Becher Joghurt
800 g	2 Becher Joghurt
2400 g	6 Becher Joghurt

: 2

⋅ 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2400 g entspricht: 6 Becher Joghurt

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 3 wenn die Größe B den Wert 10.5 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 10.5 durch den Wert von 'Größe A' (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{3}$ des Wertes bei 3 sein muss.
Also: m= $\frac{10.5}{3}$ = $3,5$
Zuordnungsvorschrift: y = $3,5$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Im Winter schneit es 1 Stunde lang total gleichmäßig. Dabei fallen in 5 Minuten 10,5 cm. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man jedem Minuten-Wert eine Schneehöhe in cm zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Schneehöhe', nämlich 10.5 durch den Wert von 'Zeit' (5) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{5}$ des Wertes bei 5 sein muss.
Also: m= $\frac{10.5}{5}$ = $2,1$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,1$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 3, wenn die Größe B den Wert 3.3 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 7.15 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 3.3 = m⋅3.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 3.3 durch den Wert von Größe A (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{3}$ des Wertes bei 3 sein muss.
Also: m= $\frac{3.3}{3}$ = $1,1$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,1$ ⋅ x

x-Wert bei y = 7.15

Da der/die Größe B den Wert 7.15 hat, muss man 7.15 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
7.15 = $1,1$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{7.15}{1.1}$ , weil dann 7.15 = $1,1$ ⋅ $\frac{7.15}{1.1}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{7.15}{1.1}$ = 6.5.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Die Lernmittelbücherei hat 120 neue gleiche Bücher bekommen. Jeweils 4 Bücher wiegen zusammen 2,8kg. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der Bücher dem Gewicht in kg zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 2.8 = m⋅4.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Gesamtgewicht, nämlich 2.8 durch den Wert von Bücheranzahl (4) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{4}$ des Wertes bei 4 sein muss.
Also: m= $\frac{2.8}{4}$ = $0,7$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,7$ ⋅ x

x-Wert bei y = 3.5

Da der/die Gesamtgewicht den Wert 3.5 hat, muss man 3.5 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Bücheranzahl zu erhalten:
3.5 = $0,7$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{3.5}{0.7}$ , weil dann 3.5 = $0,7$ ⋅ $\frac{3.5}{0.7}$ .
Somit gilt für x (Bücheranzahl) = $\frac{3.5}{0.7}$ = 5.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz

Dreisatz (beide Richtungen)

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)