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Proportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen proportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 15600 g den 36 Becher Joghurt entsprechen.

: 5

⋅ 6

30 Becher Joghurt	12000 g
6 Becher Joghurt	2400 g
36 Becher Joghurt	14400 g

: 5

⋅ 6

Der Wert 15600 g war also falsch, richtig wäre 14400 g gewesen.

Jetzt überprüfen wir, ob die 14800 g den 40 Becher Joghurt entsprechen.

: 3

⋅ 4

30 Becher Joghurt	12000 g
10 Becher Joghurt	4000 g
40 Becher Joghurt	16000 g

: 3

⋅ 4

Der Wert 14800 g war also falsch, richtig wäre 16000 g gewesen.

Dreisatz (beide Richtungen)

Beispiel:

Herr Tobrak hat einen neuen Handyvertrag abgeschlossen. Für sein 10-Minuten-Gespräch hat er nun 80 ct bezahlt.

Wie viel kosten ihn 15 min telefonieren?
Wie lange kann er für 160 ct telefonieren?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

10 Minuten telefonieren	80 ct
?	?
15 Minuten telefonieren	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten telefonieren in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 Minuten telefonieren teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 10 und von 15 sein, also der ggT(10,15) = 5.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 Minuten telefonieren:

10 Minuten telefonieren	80 ct
5 Minuten telefonieren	?
15 Minuten telefonieren	?

Um von 10 Minuten telefonieren in der ersten Zeile auf 5 Minuten telefonieren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Somit müssen wir auch die 80 ct durch 2 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 5 Minuten telefonieren entspricht:

: 2

10 Minuten telefonieren	80 ct
5 Minuten telefonieren	40 ct
15 Minuten telefonieren	?

: 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 5 Minuten telefonieren in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 15 Minuten telefonieren in der dritten Zeile zu kommen.

: 2

⋅ 3

10 Minuten telefonieren	80 ct
5 Minuten telefonieren	40 ct
15 Minuten telefonieren	120 ct

: 2

⋅ 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 Minuten telefonieren entspricht: 120 ct

Für die andere Frage (Wie lange kann er für 160 ct telefonieren?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "ct"-Werte haben und nach einem "Minuten telefonieren"-Wert gesucht wird:

80 ct	10 Minuten telefonieren
?	?
160 ct	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die ct in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 80 ct teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 80 und von 160 sein, also der ggT(80,160) = 80.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 80 ct:

80 ct	10 Minuten telefonieren
80 ct	?
160 ct	?

Um von 80 ct in der ersten Zeile auf 80 ct in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 1 teilen. Somit müssen wir auch die 10 Minuten telefonieren durch 1 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 80 ct entspricht:

: 1

80 ct	10 Minuten telefonieren
80 ct	10 Minuten telefonieren
160 ct	?

: 1

Jetzt müssen wir ja wieder die 80 ct in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 160 ct in der dritten Zeile zu kommen.

: 1

⋅ 2

80 ct	10 Minuten telefonieren
80 ct	10 Minuten telefonieren
160 ct	20 Minuten telefonieren

: 1

⋅ 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 160 ct entspricht: 20 Minuten telefonieren

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 6 wenn die Größe B den Wert 26.4 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

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Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 26.4 durch den Wert von 'Größe A' (6) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{6}$ des Wertes bei 6 sein muss.
Also: m= $\frac{26.4}{6}$ = $4,4$
Zuordnungsvorschrift: y = $4,4$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Im Winter schneit es 1 Stunde lang total gleichmäßig. Dabei fallen in 2 Minuten 1,8 cm. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man jedem Minuten-Wert eine Schneehöhe in cm zuordnen kann.

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Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Schneehöhe', nämlich 1.8 durch den Wert von 'Zeit' (2) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{2}$ des Wertes bei 2 sein muss.
Also: m= $\frac{1.8}{2}$ = $0,9$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,9$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 2, wenn die Größe B den Wert 2.4 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 4.8 hat?

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Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 2.4 = m⋅2.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 2.4 durch den Wert von Größe A (2) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{2}$ des Wertes bei 2 sein muss.
Also: m= $\frac{2.4}{2}$ = $1,2$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,2$ ⋅ x

x-Wert bei y = 4.8

Da der/die Größe B den Wert 4.8 hat, muss man 4.8 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
4.8 = $1,2$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{4.8}{1.2}$ , weil dann 4.8 = $1,2$ ⋅ $\frac{4.8}{1.2}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{4.8}{1.2}$ = 4.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann 5 Kartons in 4 Sekunden verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der verpackten Kartons der Verpackungszeit in Sekunden zuordnen kann.

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Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 4 = m⋅5.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Verpackungszeit, nämlich 4 durch den Wert von Kartonanzahl (5) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{5}$ des Wertes bei 5 sein muss.
Also: m= $\frac{4}{5}$ = $0,8$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,8$ ⋅ x

y-Wert bei x = 5.5

Da der/die Kartonanzahl den Wert 5.5 hat, muss man einfach 5.5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Verpackungszeit zu erhalten:
y= $0,8$ ⋅ 5.5 = 4.4

.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Proportionalität überprüfen

Dreisatz (beide Richtungen)

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)