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Proportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen proportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 3000 g Protein den 6 kg Powerdrink entsprechen.

: 3

⋅ 2

9 kg Powerdrink	3600 g Protein
3 kg Powerdrink	1200 g Protein
6 kg Powerdrink	2400 g Protein

: 3

⋅ 2

Der Wert 3000 g Protein war also falsch, richtig wäre 2400 g Protein gewesen.

Jetzt überprüfen wir, ob die 4200 g Protein den 12 kg Powerdrink entsprechen.

: 3

⋅ 4

9 kg Powerdrink	3600 g Protein
3 kg Powerdrink	1200 g Protein
12 kg Powerdrink	4800 g Protein

: 3

⋅ 4

Der Wert 4200 g Protein war also falsch, richtig wäre 4800 g Protein gewesen.

Einfacher Dreisatz

Beispiel:

Eine erfahrende Langstreckenläuferin trainiert immer mit exakt dem gleichen Tempo. Für 15 km braucht sie 75 Minuten.

Wie lange braucht sie für 9 km?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

15 km	75 min
?	?
9 km	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 15 km teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 15 und von 9 sein, also der ggT(15,9) = 3.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 km:

15 km	75 min
3 km	?
9 km	?

Um von 15 km in der ersten Zeile auf 3 km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Somit müssen wir auch die 75 min durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 3 km entspricht:

: 5

15 km	75 min
3 km	?
9 km	?

: 5

(Beim Teilen durch 5 kann man einfach erst verdoppeln und dann durch 10 teilen.)

: 5

15 km	75 min
3 km	15 min
9 km	?

: 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 3 km in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 9 km in der dritten Zeile zu kommen.

: 5

⋅ 3

15 km	75 min
3 km	15 min
9 km	?

: 5

⋅ 3

Wir müssen somit auch rechts die 15 min in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren:

: 5

⋅ 3

15 km	75 min
3 km	15 min
9 km	45 min

: 5

⋅ 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 9 km entspricht: 45 min

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 2 wenn die Größe B den Wert 5.6 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 5.6 durch den Wert von 'Größe A' (2) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{2}$ des Wertes bei 2 sein muss.
Also: m= $\frac{5.6}{2}$ = $2,8$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,8$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann in 6 Minuten 27 Kartons verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert eine Anzahl der verpackten Kartons zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Kartonanzahl', nämlich 27 durch den Wert von 'Verpackungszeit' (6) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{6}$ des Wertes bei 6 sein muss.
Also: m= $\frac{27}{6}$ = $4,5$
Zuordnungsvorschrift: y = $4,5$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 4, wenn die Größe B den Wert 20 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 37.5 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 20 = m⋅4.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 20 durch den Wert von Größe A (4) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{4}$ des Wertes bei 4 sein muss.
Also: m= $\frac{20}{4}$ = $5$
Zuordnungsvorschrift: y = $5$ ⋅ x

x-Wert bei y = 37.5

Da der/die Größe B den Wert 37.5 hat, muss man 37.5 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
37.5 = $5$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{37.5}{5}$ , weil dann 37.5 = $5$ ⋅ $\frac{37.5}{5}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{37.5}{5}$ = 7.5.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann 6 Kartons in 7,2 Sekunden verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der verpackten Kartons der Verpackungszeit in Sekunden zuordnen kann.

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Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 7.2 = m⋅6.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Verpackungszeit, nämlich 7.2 durch den Wert von Kartonanzahl (6) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{6}$ des Wertes bei 6 sein muss.
Also: m= $\frac{7.2}{6}$ = $1,2$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,2$ ⋅ x

y-Wert bei x = 3
Da der/die Kartonanzahl den Wert 3 hat, muss man einfach 3 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Verpackungszeit zu erhalten:
y= $1,2$ ⋅ 3 = 3.6
.
x-Wert bei y = 5.4
Da der/die Verpackungszeit den Wert 5.4 hat, muss man 5.4 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Kartonanzahl zu erhalten:
5.4 = $1,2$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{5.4}{1.2}$ , weil dann 5.4 = $1,2$ ⋅ $\frac{5.4}{1.2}$ .
Somit gilt für x (Kartonanzahl) = $\frac{5.4}{1.2}$ = 4.5.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Proportionalität überprüfen

Einfacher Dreisatz

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)