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Zweisatz rückwärts

Beispiel:

Beim Bäcker Allesfresh kosten 4 Brezeln immer 1,60 €.

Wie viel kostet 1 Brezel?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

4 Brezeln	1,60 €
1 Brezel	?

Um von 4 Brezeln in der ersten Zeile auf 1 Brezeln in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Somit müssen wir auch die 1.6 € durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 Brezeln entspricht:

: 4

4 Brezeln	1,60 €
1 Brezel	?

: 4

4 Brezeln	1,60 €
1 Brezel	0,40 €

: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 1 Brezeln entspricht: 0,40 €

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem proportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

8 kg Äpfel	20,00 €
?	?
12 kg Äpfel	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die kg Äpfel in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 kg Äpfel teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 8 und von 12 sein, also der ggT(8,12) = 4.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 kg Äpfel:

8 kg Äpfel	20,00 €
4 kg Äpfel	?
12 kg Äpfel	?

Um von 8 kg Äpfel in der ersten Zeile auf 4 kg Äpfel in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Somit müssen wir auch die 20 € durch 2 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 4 kg Äpfel entspricht:

: 2

8 kg Äpfel	20,00 €
4 kg Äpfel	?
12 kg Äpfel	?

: 2

8 kg Äpfel	20,00 €
4 kg Äpfel	10,00 €
12 kg Äpfel	?

: 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 4 kg Äpfel in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 12 kg Äpfel in der dritten Zeile zu kommen.

: 2

⋅ 3

8 kg Äpfel	20,00 €
4 kg Äpfel	10,00 €
12 kg Äpfel	?

: 2

⋅ 3

Wir müssen somit auch rechts die 10,00 € in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren:

: 2

⋅ 3

8 kg Äpfel	20,00 €
4 kg Äpfel	10,00 €
12 kg Äpfel	30,00 €

: 2

⋅ 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 kg Äpfel entspricht: 30,00 €

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 2 wenn die Größe B den Wert 9.6 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 9.6 durch den Wert von 'Größe A' (2) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{2}$ des Wertes bei 2 sein muss.
Also: m= $\frac{9.6}{2}$ = $4,8$
Zuordnungsvorschrift: y = $4,8$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann in 9 Minuten 10,8 Kartons verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert eine Anzahl der verpackten Kartons zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Kartonanzahl', nämlich 10.8 durch den Wert von 'Verpackungszeit' (9) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{9}$ des Wertes bei 9 sein muss.
Also: m= $\frac{10.8}{9}$ = $1,2$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,2$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 3, wenn die Größe B den Wert 2.1 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 3.5 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 2.1 = m⋅3.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 2.1 durch den Wert von Größe A (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{3}$ des Wertes bei 3 sein muss.
Also: m= $\frac{2.1}{3}$ = $0,7$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,7$ ⋅ x

x-Wert bei y = 3.5

Da der/die Größe B den Wert 3.5 hat, muss man 3.5 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
3.5 = $0,7$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{3.5}{0.7}$ , weil dann 3.5 = $0,7$ ⋅ $\frac{3.5}{0.7}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{3.5}{0.7}$ = 5.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Ein Prepaid-Anbieter verlangt immer den gleichen Preis pro Minute Telefonieren mit dem Handy. Auf einem Werbeplakat steht, dass 6 Minuten nur 18ct kosten. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man den telefonierten Minuten den Preis in Cent zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 18 = m⋅6.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Preis, nämlich 18 durch den Wert von Minuten (6) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{6}$ des Wertes bei 6 sein muss.
Also: m= $\frac{18}{6}$ = $3$
Zuordnungsvorschrift: y = $3$ ⋅ x

x-Wert bei y = 9

Da der/die Preis den Wert 9 hat, muss man 9 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Minuten zu erhalten:
9 = $3$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{9}{3}$ , weil dann 9 = $3$ ⋅ $\frac{9}{3}$ .
Somit gilt für x (Minuten) = $\frac{9}{3}$ = 3.

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Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)