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Zweisatz

Beispiel:

Herr Tobrak hat einen neuen Handyvertrag abgeschlossen. Für eine Minute telefonieren bezahlt er nun 8 ct.

Wie viel kosten ihn 8 min telefonieren?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Minute telefonieren	8 ct
8 Minuten telefonieren	?

Um von 1 Minuten telefonieren in der ersten Zeile auf 8 Minuten telefonieren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 8 multiplizieren. Somit müssen wir auch die 8 ct mit 8 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 8 Minuten telefonieren entspricht:

⋅ 8

1 Minute telefonieren	8 ct
8 Minuten telefonieren	?

⋅ 8

1 Minute telefonieren	8 ct
8 Minuten telefonieren	64 ct

⋅ 8

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Minuten telefonieren entspricht: 64 ct

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem proportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

8 km	56 min
?	?
10 km	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 km teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 8 und von 10 sein, also der ggT(8,10) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 km:

8 km	56 min
2 km	?
10 km	?

Um von 8 km in der ersten Zeile auf 2 km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Somit müssen wir auch die 56 min durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 2 km entspricht:

: 4

8 km	56 min
2 km	?
10 km	?

: 4

(Beim Teilen durch 4 kann man einfach zwei mal halbieren.)

: 4

8 km	56 min
2 km	14 min
10 km	?

: 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 km in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 10 km in der dritten Zeile zu kommen.

: 4

⋅ 5

8 km	56 min
2 km	14 min
10 km	?

: 4

⋅ 5

Wir müssen somit auch rechts die 14 min in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren:

: 4

⋅ 5

8 km	56 min
2 km	14 min
10 km	70 min

: 4

⋅ 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 km entspricht: 70 min

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 8 wenn die Größe B den Wert 15.2 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 15.2 durch den Wert von 'Größe A' (8) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{8}$ des Wertes bei 8 sein muss.
Also: m= $\frac{15.2}{8}$ = $1,9$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,9$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann in 7 Minuten 23,1 Kartons verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert eine Anzahl der verpackten Kartons zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Kartonanzahl', nämlich 23.1 durch den Wert von 'Verpackungszeit' (7) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{7}$ des Wertes bei 7 sein muss.
Also: m= $\frac{23.1}{7}$ = $3,3$
Zuordnungsvorschrift: y = $3,3$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 2, wenn die Größe B den Wert 8.2 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 18.45 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 8.2 = m⋅2.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 8.2 durch den Wert von Größe A (2) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{2}$ des Wertes bei 2 sein muss.
Also: m= $\frac{8.2}{2}$ = $4,1$
Zuordnungsvorschrift: y = $4,1$ ⋅ x

x-Wert bei y = 18.45

Da der/die Größe B den Wert 18.45 hat, muss man 18.45 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
18.45 = $4,1$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{18.45}{4.1}$ , weil dann 18.45 = $4,1$ ⋅ $\frac{18.45}{4.1}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{18.45}{4.1}$ = 4.5.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Die Lernmittelbücherei hat 120 neue gleiche Bücher bekommen. Jeweils 8 Bücher wiegen zusammen 8kg. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der Bücher dem Gewicht in kg zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 8 = m⋅8.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Gesamtgewicht, nämlich 8 durch den Wert von Bücheranzahl (8) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{8}$ des Wertes bei 8 sein muss.
Also: m= $\frac{8}{8}$ = $1$
Zuordnungsvorschrift: y = $1$ ⋅ x

y-Wert bei x = 4.5

Da der/die Bücheranzahl den Wert 4.5 hat, muss man einfach 4.5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Gesamtgewicht zu erhalten:
y= $1$ ⋅ 4.5 = 4.5

.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)