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nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Proportionalität überprüfen
Beispiel:
Prüfe, ob es sich um einen proportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte.
Wir überprüfen zuerst, ob die 72 min den 18 km entsprechen.
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: 2
⋅ 3
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: 2
⋅ 3
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Der Wert 72 min war also korrekt.
Jetzt überprüfen wir, ob die 76 min den 16 km entsprechen.
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: 3
⋅ 4
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: 3
⋅ 4
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Der Wert 76 min war also falsch, richtig wäre 64 min gewesen.
Dreisatz (beide Richtungen)
Beispiel:
Eine erfahrende Langstreckenläuferin trainiert immer mit exakt dem gleichen Tempo. Für 25 km braucht sie 100 Minuten.
Wie lange braucht sie für 15 km?
Wie viele km schafft sie in 80 min?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 25 km teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 25 und von 15 sein, also der ggT(25,15) = 5.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 km:
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Um von 25 km in der ersten Zeile auf 5 km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Somit müssen wir auch die 100 min durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 5 km entspricht:
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: 5
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: 5
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Jetzt müssen wir ja wieder die 5 km in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 15 km in der dritten Zeile zu kommen.
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: 5
⋅ 3
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: 5
⋅ 3
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 km entspricht: 60 min
Für die andere Frage (Wie viele km schafft sie in 80 min?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "min"-Werte haben und nach einem "km"-Wert gesucht wird:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die min in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 100 min teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 100 und von 80 sein, also der ggT(100,80) = 20.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 20 min:
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Um von 100 min in der ersten Zeile auf 20 min in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Somit müssen wir auch die 25 km durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 20 min entspricht:
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: 5
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: 5
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Jetzt müssen wir ja wieder die 20 min in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 80 min in der dritten Zeile zu kommen.
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: 5
⋅ 4
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: 5
⋅ 4
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 80 min entspricht: 20 km
Proportionaler Term
Beispiel:
Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 5 wenn die Größe B den Wert 14 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.
Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 14 durch den Wert
von 'Größe A' (5) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade
des Wertes bei 5 sein muss.
Also: m==
Zuordnungsvorschrift: y = ⋅ x
Proportionaler Term Anwendung
Beispiel:
Ein Boiler erhitzt Wasser. Dabei wird in 6 Minuten das Wasser um 9,6°C erhitzt. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert einen Wert der Wassererhitzung in °C zuordnen kann.
Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Temperaturänderung', nämlich 9.6 durch den Wert
von 'Erhitzungsszeit' (6) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade
des Wertes bei 6 sein muss.
Also: m==
Zuordnungsvorschrift: y = ⋅ x
Wert bei Proportionalität finden
Beispiel:
Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 6, wenn die Größe B den Wert 19.8 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt Größe B ein, wenn die Größe A den Wert 7.5 hat?
Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 19.8 = m⋅6.
Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 19.8 durch den Wert
von Größe A (6) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade
des Wertes bei 6 sein muss.
Also: m==
Zuordnungsvorschrift: y = ⋅ x
y-Wert bei x = 7.5
Da der/die Größe A den Wert 7.5 hat, muss man einfach 7.5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen,
um als y den zugehörigen Wert von Größe B zu erhalten:
y= ⋅ 7.5 = 24.75
Wert bei Proportionalität (Anwendungen)
Beispiel:
Eine Verpackungsmachine kann 4 Kartons in 3,6 Sekunden verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der verpackten Kartons der Verpackungszeit in Sekunden zuordnen kann.
Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 3.6 = m⋅4.
Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Verpackungszeit, nämlich 3.6 durch den Wert
von Kartonanzahl (4) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade
des Wertes bei 4 sein muss.
Also: m==
Zuordnungsvorschrift: y = ⋅ x
x-Wert bei y = 4.05
Da der/die Verpackungszeit den Wert 4.05 hat, muss man 4.05 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen,
um als x den zugehörigen Wert von Kartonanzahl zu erhalten:
4.05 = ⋅ x.
Das klappt mit x = , weil dann 4.05 = ⋅ .
Somit gilt für x (Kartonanzahl) = = 4.5.