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Zweisatz

Beispiel:

Bei einem Marktstand bezahlt man 1,50 € für 1 kg Äpfel.

Wie viel kosten 8 kg Äpfel?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 kg Äpfel	1,50 €
8 kg Äpfel	?

Um von 1 kg Äpfel in der ersten Zeile auf 8 kg Äpfel in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 8 multiplizieren. Somit müssen wir auch die 1.5 € mit 8 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 8 kg Äpfel entspricht:

⋅ 8

1 kg Äpfel	1,50 €
8 kg Äpfel	?

⋅ 8

1 kg Äpfel	1,50 €
8 kg Äpfel	12,00 €

⋅ 8

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 kg Äpfel entspricht: 12,00 €

Einfacher Dreisatz

Beispiel:

Eine erfahrende Langstreckenläuferin trainiert immer mit exakt dem gleichen Tempo. Für 20 km braucht sie 80 Minuten.

Wie lange braucht sie für 15 km?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

20 km	80 min
?	?
15 km	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 20 km teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 20 und von 15 sein, also der ggT(20,15) = 5.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 km:

20 km	80 min
5 km	?
15 km	?

Um von 20 km in der ersten Zeile auf 5 km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Somit müssen wir auch die 80 min durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 5 km entspricht:

: 4

20 km	80 min
5 km	?
15 km	?

: 4

20 km	80 min
5 km	20 min
15 km	?

: 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 5 km in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 15 km in der dritten Zeile zu kommen.

: 4

⋅ 3

20 km	80 min
5 km	20 min
15 km	?

: 4

⋅ 3

Wir müssen somit auch rechts die 20 min in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren:

: 4

⋅ 3

20 km	80 min
5 km	20 min
15 km	60 min

: 4

⋅ 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 km entspricht: 60 min

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 2 wenn die Größe B den Wert 5.6 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 5.6 durch den Wert von 'Größe A' (2) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{2}$ des Wertes bei 2 sein muss.
Also: m= $\frac{5.6}{2}$ = $2,8$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,8$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann in 6 Minuten 9,6 Kartons verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert eine Anzahl der verpackten Kartons zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Kartonanzahl', nämlich 9.6 durch den Wert von 'Verpackungszeit' (6) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{6}$ des Wertes bei 6 sein muss.
Also: m= $\frac{9.6}{6}$ = $1,6$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,6$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 7, wenn die Größe B den Wert 7 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 7.5 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 7 = m⋅7.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 7 durch den Wert von Größe A (7) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{7}$ des Wertes bei 7 sein muss.
Also: m= $\frac{7}{7}$ = $1$
Zuordnungsvorschrift: y = $1$ ⋅ x

x-Wert bei y = 7.5

Da der/die Größe B den Wert 7.5 hat, muss man 7.5 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
7.5 = $1$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $7,5$ , weil dann 7.5 = $1$ ⋅ $7,5$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $7,5$ = 7.5.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Ein Prepaid-Anbieter verlangt immer den gleichen Preis pro Minute Telefonieren mit dem Handy. Auf einem Werbeplakat steht, dass 8 Minuten nur 120ct kosten. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man den telefonierten Minuten den Preis in Cent zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 120 = m⋅8.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Preis, nämlich 120 durch den Wert von Minuten (8) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{8}$ des Wertes bei 8 sein muss.
Also: m= $\frac{120}{8}$ = $15$
Zuordnungsvorschrift: y = $15$ ⋅ x

y-Wert bei x = 5
Da der/die Minuten den Wert 5 hat, muss man einfach 5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Preis zu erhalten:
y= $15$ ⋅ 5 = 75
.
x-Wert bei y = 142.5
Da der/die Preis den Wert 142.5 hat, muss man 142.5 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Minuten zu erhalten:
142.5 = $15$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{142.5}{15}$ , weil dann 142.5 = $15$ ⋅ $\frac{142.5}{15}$ .
Somit gilt für x (Minuten) = $\frac{142.5}{15}$ = 9.5.

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Zweisatz

Einfacher Dreisatz

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)