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Zweisatz rückwärts

Beispiel:

Beim Bäcker Leckerbeck kosten 5 Brötchen immer 1,00 €.

Wie viel kostet 1 Brötchen?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

5 Brötchen	1,00 €
1 Brötchen	?

Um von 5 Brötchen in der ersten Zeile auf 1 Brötchen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Somit müssen wir auch die 1 € durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 Brötchen entspricht:

: 5

5 Brötchen	1,00 €
1 Brötchen	?

: 5

5 Brötchen	1,00 €
1 Brötchen	0,20 €

: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 1 Brötchen entspricht: 0,20 €

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem proportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

20 Becher Joghurt	3000 g
?	?
16 Becher Joghurt	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Becher Joghurt in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 20 Becher Joghurt teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 20 und von 16 sein, also der ggT(20,16) = 4.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 Becher Joghurt:

20 Becher Joghurt	3000 g
4 Becher Joghurt	?
16 Becher Joghurt	?

Um von 20 Becher Joghurt in der ersten Zeile auf 4 Becher Joghurt in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Somit müssen wir auch die 3000 g durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 4 Becher Joghurt entspricht:

: 5

20 Becher Joghurt	3000 g
4 Becher Joghurt	?
16 Becher Joghurt	?

: 5

20 Becher Joghurt	3000 g
4 Becher Joghurt	600 g
16 Becher Joghurt	?

: 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 4 Becher Joghurt in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 16 Becher Joghurt in der dritten Zeile zu kommen.

: 5

⋅ 4

20 Becher Joghurt	3000 g
4 Becher Joghurt	600 g
16 Becher Joghurt	?

: 5

⋅ 4

Wir müssen somit auch rechts die 600 g in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren:

: 5

⋅ 4

20 Becher Joghurt	3000 g
4 Becher Joghurt	600 g
16 Becher Joghurt	2400 g

: 5

⋅ 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 16 Becher Joghurt entspricht: 2400 g

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 4 wenn die Größe B den Wert 20 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 20 durch den Wert von 'Größe A' (4) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{4}$ des Wertes bei 4 sein muss.
Also: m= $\frac{20}{4}$ = $5$
Zuordnungsvorschrift: y = $5$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Ein Boiler erhitzt Wasser. Dabei wird in 5 Minuten das Wasser um 22°C erhitzt. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert einen Wert der Wassererhitzung in °C zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Temperaturänderung', nämlich 22 durch den Wert von 'Erhitzungsszeit' (5) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{5}$ des Wertes bei 5 sein muss.
Also: m= $\frac{22}{5}$ = $4,4$
Zuordnungsvorschrift: y = $4,4$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 4, wenn die Größe B den Wert 2 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.

Welchen Wert nimmt Größe B ein, wenn die Größe A den Wert 7.5 hat?
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 2.75 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 2 = m⋅4.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 2 durch den Wert von Größe A (4) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{4}$ des Wertes bei 4 sein muss.
Also: m= $\frac{2}{4}$ = $0,5$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,5$ ⋅ x

y-Wert bei x = 7.5
Da der/die Größe A den Wert 7.5 hat, muss man einfach 7.5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Größe B zu erhalten:
y= $0,5$ ⋅ 7.5 = 3.75
.
x-Wert bei y = 2.75
Da der/die Größe B den Wert 2.75 hat, muss man 2.75 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
2.75 = $0,5$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{2.75}{0.5}$ , weil dann 2.75 = $0,5$ ⋅ $\frac{2.75}{0.5}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{2.75}{0.5}$ = 5.5.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Die Lernmittelbücherei hat 120 neue gleiche Bücher bekommen. Jeweils 4 Bücher wiegen zusammen 0,8kg. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der Bücher dem Gewicht in kg zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 0.8 = m⋅4.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Gesamtgewicht, nämlich 0.8 durch den Wert von Bücheranzahl (4) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{4}$ des Wertes bei 4 sein muss.
Also: m= $\frac{0.8}{4}$ = $0,2$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,2$ ⋅ x

x-Wert bei y = 1.1

Da der/die Gesamtgewicht den Wert 1.1 hat, muss man 1.1 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Bücheranzahl zu erhalten:
1.1 = $0,2$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{1.1}{0.2}$ , weil dann 1.1 = $0,2$ ⋅ $\frac{1.1}{0.2}$ .
Somit gilt für x (Bücheranzahl) = $\frac{1.1}{0.2}$ = 5.5.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz rückwärts

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)