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Zweisatz rückwärts

Beispiel:

In den 9 Joghurtbechern von Herrn Schaaf sind insgesamt 2700 g drin.

Wie viel Joghurt ist in 1 Becher drin?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

9 Becher Joghurt	2700 g
1 Becher Joghurt	?

Um von 9 Becher Joghurt in der ersten Zeile auf 1 Becher Joghurt in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 9 teilen. Somit müssen wir auch die 2700 g durch 9 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 Becher Joghurt entspricht:

: 9

9 Becher Joghurt	2700 g
1 Becher Joghurt	?

: 9

9 Becher Joghurt	2700 g
1 Becher Joghurt	300 g

: 9

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 1 Becher Joghurt entspricht: 300 g

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem proportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

12 km	48 min
?	?
18 km	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 12 km teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 12 und von 18 sein, also der ggT(12,18) = 6.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 6 km:

12 km	48 min
6 km	?
18 km	?

Um von 12 km in der ersten Zeile auf 6 km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Somit müssen wir auch die 48 min durch 2 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 6 km entspricht:

: 2

12 km	48 min
6 km	?
18 km	?

: 2

12 km	48 min
6 km	24 min
18 km	?

: 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 6 km in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 18 km in der dritten Zeile zu kommen.

: 2

⋅ 3

12 km	48 min
6 km	24 min
18 km	?

: 2

⋅ 3

Wir müssen somit auch rechts die 24 min in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren:

: 2

⋅ 3

12 km	48 min
6 km	24 min
18 km	72 min

: 2

⋅ 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 18 km entspricht: 72 min

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 6 wenn die Größe B den Wert 21.6 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 21.6 durch den Wert von 'Größe A' (6) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{6}$ des Wertes bei 6 sein muss.
Also: m= $\frac{21.6}{6}$ = $3,6$
Zuordnungsvorschrift: y = $3,6$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Im Winter schneit es 1 Stunde lang total gleichmäßig. Dabei fallen in 6 Minuten 10,8 cm. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man jedem Minuten-Wert eine Schneehöhe in cm zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Schneehöhe', nämlich 10.8 durch den Wert von 'Zeit' (6) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{6}$ des Wertes bei 6 sein muss.
Also: m= $\frac{10.8}{6}$ = $1,8$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,8$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 4, wenn die Größe B den Wert 15.6 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 27.3 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 15.6 = m⋅4.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 15.6 durch den Wert von Größe A (4) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{4}$ des Wertes bei 4 sein muss.
Also: m= $\frac{15.6}{4}$ = $3,9$
Zuordnungsvorschrift: y = $3,9$ ⋅ x

x-Wert bei y = 27.3

Da der/die Größe B den Wert 27.3 hat, muss man 27.3 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
27.3 = $3,9$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{27.3}{3.9}$ , weil dann 27.3 = $3,9$ ⋅ $\frac{27.3}{3.9}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{27.3}{3.9}$ = 7.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Ein Prepaid-Anbieter verlangt immer den gleichen Preis pro Minute Telefonieren mit dem Handy. Auf einem Werbeplakat steht, dass 6 Minuten nur 90ct kosten. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man den telefonierten Minuten den Preis in Cent zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 90 = m⋅6.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Preis, nämlich 90 durch den Wert von Minuten (6) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{6}$ des Wertes bei 6 sein muss.
Also: m= $\frac{90}{6}$ = $15$
Zuordnungsvorschrift: y = $15$ ⋅ x

x-Wert bei y = 135

Da der/die Preis den Wert 135 hat, muss man 135 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Minuten zu erhalten:
135 = $15$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{135}{15}$ , weil dann 135 = $15$ ⋅ $\frac{135}{15}$ .
Somit gilt für x (Minuten) = $\frac{135}{15}$ = 9.

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Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)