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Zweisatz

Beispiel:

In einem Joghurtbecher von Herrn Schaaf sind 300 g drin.

Wie viel Joghurt ist in 5 Bechern drin?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Becher Joghurt	300 g
5 Becher Joghurt	?

Um von 1 Becher Joghurt in der ersten Zeile auf 5 Becher Joghurt in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 5 multiplizieren. Somit müssen wir auch die 300 g mit 5 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 5 Becher Joghurt entspricht:

⋅ 5

1 Becher Joghurt	300 g
5 Becher Joghurt	?

⋅ 5

1 Becher Joghurt	300 g
5 Becher Joghurt	1500 g

⋅ 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 Becher Joghurt entspricht: 1500 g

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem proportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

12 km	72 min
?	?
16 km	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 12 km teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 12 und von 16 sein, also der ggT(12,16) = 4.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 km:

12 km	72 min
4 km	?
16 km	?

Um von 12 km in der ersten Zeile auf 4 km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Somit müssen wir auch die 72 min durch 3 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 4 km entspricht:

: 3

12 km	72 min
4 km	?
16 km	?

: 3

(Beim Teilen durch 3 muss man sich eben erst eine 3-er Zahl in der Nähe suchen, hier 60, und dann noch den Rest (12) durch 3 teilen.)

: 3

12 km	72 min
4 km	24 min
16 km	?

: 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 4 km in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 16 km in der dritten Zeile zu kommen.

: 3

⋅ 4

12 km	72 min
4 km	24 min
16 km	?

: 3

⋅ 4

Wir müssen somit auch rechts die 24 min in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren:

: 3

⋅ 4

12 km	72 min
4 km	24 min
16 km	96 min

: 3

⋅ 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 16 km entspricht: 96 min

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 5 wenn die Größe B den Wert 3.5 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 3.5 durch den Wert von 'Größe A' (5) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{5}$ des Wertes bei 5 sein muss.
Also: m= $\frac{3.5}{5}$ = $0,7$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,7$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann in 4 Minuten 1,6 Kartons verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert eine Anzahl der verpackten Kartons zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Kartonanzahl', nämlich 1.6 durch den Wert von 'Verpackungszeit' (4) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{4}$ des Wertes bei 4 sein muss.
Also: m= $\frac{1.6}{4}$ = $0,4$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,4$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 5, wenn die Größe B den Wert 18 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt Größe B ein, wenn die Größe A den Wert 3 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 18 = m⋅5.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 18 durch den Wert von Größe A (5) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{5}$ des Wertes bei 5 sein muss.
Also: m= $\frac{18}{5}$ = $3,6$
Zuordnungsvorschrift: y = $3,6$ ⋅ x

y-Wert bei x = 3

Da der/die Größe A den Wert 3 hat, muss man einfach 3 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Größe B zu erhalten:
y= $3,6$ ⋅ 3 = 10.8

.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann 6 Kartons in 15 Sekunden verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der verpackten Kartons der Verpackungszeit in Sekunden zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 15 = m⋅6.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Verpackungszeit, nämlich 15 durch den Wert von Kartonanzahl (6) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{6}$ des Wertes bei 6 sein muss.
Also: m= $\frac{15}{6}$ = $2,5$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,5$ ⋅ x

x-Wert bei y = 11.25

Da der/die Verpackungszeit den Wert 11.25 hat, muss man 11.25 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Kartonanzahl zu erhalten:
11.25 = $2,5$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{11.25}{2.5}$ , weil dann 11.25 = $2,5$ ⋅ $\frac{11.25}{2.5}$ .
Somit gilt für x (Kartonanzahl) = $\frac{11.25}{2.5}$ = 4.5.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)