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Zweisatz

Beispiel:

Ein Scheibe eines Käseaufschnitt wiegt 20 g.

Wie schwer sind dann 5 Scheiben Käse?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Scheibe Käse	20 g
5 Scheiben Käse	?

Um von 1 Scheiben Käse in der ersten Zeile auf 5 Scheiben Käse in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 5 multiplizieren. Somit müssen wir auch die 20 g mit 5 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 5 Scheiben Käse entspricht:

⋅ 5

1 Scheibe Käse	20 g
5 Scheiben Käse	?

⋅ 5

1 Scheibe Käse	20 g
5 Scheiben Käse	100 g

⋅ 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 Scheiben Käse entspricht: 100 g

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem proportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

5 Brezeln	1,75 €
?	?
4 Brezeln	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Brezeln in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Brezeln teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 5 und von 4 sein, also der ggT(5,4) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Brezeln:

5 Brezeln	1,75 €
1 Brezel	?
4 Brezeln	?

Um von 5 Brezeln in der ersten Zeile auf 1 Brezeln in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Somit müssen wir auch die 1,75 € durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 Brezeln entspricht:

: 5

5 Brezeln	1,75 €
1 Brezel	?
4 Brezeln	?

: 5

(Beim Teilen durch 5 kann man einfach erst verdoppeln und dann durch 10 teilen.)

: 5

5 Brezeln	1,75 €
1 Brezel	0,35 €
4 Brezeln	?

: 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Brezeln in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 Brezeln in der dritten Zeile zu kommen.

: 5

⋅ 4

5 Brezeln	1,75 €
1 Brezel	0,35 €
4 Brezeln	?

: 5

⋅ 4

Wir müssen somit auch rechts die 0,35 € in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren:

: 5

⋅ 4

5 Brezeln	1,75 €
1 Brezel	0,35 €
4 Brezeln	1,40 €

: 5

⋅ 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Brezeln entspricht: 1,40 €

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 3 wenn die Größe B den Wert 10.2 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 10.2 durch den Wert von 'Größe A' (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{3}$ des Wertes bei 3 sein muss.
Also: m= $\frac{10.2}{3}$ = $3,4$
Zuordnungsvorschrift: y = $3,4$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann in 4 Minuten 12,4 Kartons verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert eine Anzahl der verpackten Kartons zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Kartonanzahl', nämlich 12.4 durch den Wert von 'Verpackungszeit' (4) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{4}$ des Wertes bei 4 sein muss.
Also: m= $\frac{12.4}{4}$ = $3,1$
Zuordnungsvorschrift: y = $3,1$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 5, wenn die Größe B den Wert 24.5 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 7.35 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 24.5 = m⋅5.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 24.5 durch den Wert von Größe A (5) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{5}$ des Wertes bei 5 sein muss.
Also: m= $\frac{24.5}{5}$ = $4,9$
Zuordnungsvorschrift: y = $4,9$ ⋅ x

x-Wert bei y = 7.35

Da der/die Größe B den Wert 7.35 hat, muss man 7.35 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
7.35 = $4,9$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{7.35}{4.9}$ , weil dann 7.35 = $4,9$ ⋅ $\frac{7.35}{4.9}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{7.35}{4.9}$ = 1.5.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Ein Prepaid-Anbieter verlangt immer den gleichen Preis pro Minute Telefonieren mit dem Handy. Auf einem Werbeplakat steht, dass 7 Minuten nur 84ct kosten. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man den telefonierten Minuten den Preis in Cent zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 84 = m⋅7.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Preis, nämlich 84 durch den Wert von Minuten (7) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{7}$ des Wertes bei 7 sein muss.
Also: m= $\frac{84}{7}$ = $12$
Zuordnungsvorschrift: y = $12$ ⋅ x

x-Wert bei y = 114

Da der/die Preis den Wert 114 hat, muss man 114 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Minuten zu erhalten:
114 = $12$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{114}{12}$ , weil dann 114 = $12$ ⋅ $\frac{114}{12}$ .
Somit gilt für x (Minuten) = $\frac{114}{12}$ = 9.5.

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Zweisatz

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)