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Zweisatz

Beispiel:

In einem Joghurtbecher von Herrn Schaaf sind 500 g drin.

Wie viel Joghurt ist in 8 Bechern drin?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Becher Joghurt	500 g
8 Becher Joghurt	?

Um von 1 Becher Joghurt in der ersten Zeile auf 8 Becher Joghurt in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 8 multiplizieren. Somit müssen wir auch die 500 g mit 8 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 8 Becher Joghurt entspricht:

⋅ 8

1 Becher Joghurt	500 g
8 Becher Joghurt	?

⋅ 8

1 Becher Joghurt	500 g
8 Becher Joghurt	4000 g

⋅ 8

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Becher Joghurt entspricht: 4000 g

Einfacher Dreisatz

Beispiel:

In den 15 Joghurtbechern von Herrn Schaaf sind insgesamt 4500 g drin.

Wie viel Joghurt ist in 20 Bechern drin?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

15 Becher Joghurt	4500 g
?	?
20 Becher Joghurt	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Becher Joghurt in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 15 Becher Joghurt teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 15 und von 20 sein, also der ggT(15,20) = 5.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 Becher Joghurt:

15 Becher Joghurt	4500 g
5 Becher Joghurt	?
20 Becher Joghurt	?

Um von 15 Becher Joghurt in der ersten Zeile auf 5 Becher Joghurt in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Somit müssen wir auch die 4500 g durch 3 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 5 Becher Joghurt entspricht:

: 3

15 Becher Joghurt	4500 g
5 Becher Joghurt	?
20 Becher Joghurt	?

: 3

(Beim Teilen durch 3 muss man sich eben erst eine 3-er Zahl in der Nähe suchen, hier 3000, und dann noch den Rest (1500) durch 3 teilen.)

: 3

15 Becher Joghurt	4500 g
5 Becher Joghurt	1500 g
20 Becher Joghurt	?

: 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 5 Becher Joghurt in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 20 Becher Joghurt in der dritten Zeile zu kommen.

: 3

⋅ 4

15 Becher Joghurt	4500 g
5 Becher Joghurt	1500 g
20 Becher Joghurt	?

: 3

⋅ 4

Wir müssen somit auch rechts die 1500 g in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren:

: 3

⋅ 4

15 Becher Joghurt	4500 g
5 Becher Joghurt	1500 g
20 Becher Joghurt	6000 g

: 3

⋅ 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 20 Becher Joghurt entspricht: 6000 g

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 2 wenn die Größe B den Wert 10 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 10 durch den Wert von 'Größe A' (2) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{2}$ des Wertes bei 2 sein muss.
Also: m= $\frac{10}{2}$ = $5$
Zuordnungsvorschrift: y = $5$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann in 4 Minuten 1,2 Kartons verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert eine Anzahl der verpackten Kartons zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Kartonanzahl', nämlich 1.2 durch den Wert von 'Verpackungszeit' (4) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{4}$ des Wertes bei 4 sein muss.
Also: m= $\frac{1.2}{4}$ = $0,3$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,3$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 2, wenn die Größe B den Wert 1.4 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 3.15 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 1.4 = m⋅2.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 1.4 durch den Wert von Größe A (2) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{2}$ des Wertes bei 2 sein muss.
Also: m= $\frac{1.4}{2}$ = $0,7$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,7$ ⋅ x

x-Wert bei y = 3.15

Da der/die Größe B den Wert 3.15 hat, muss man 3.15 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
3.15 = $0,7$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{3.15}{0.7}$ , weil dann 3.15 = $0,7$ ⋅ $\frac{3.15}{0.7}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{3.15}{0.7}$ = 4.5.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann 2 Kartons in 3,2 Sekunden verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der verpackten Kartons der Verpackungszeit in Sekunden zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 3.2 = m⋅2.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Verpackungszeit, nämlich 3.2 durch den Wert von Kartonanzahl (2) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{2}$ des Wertes bei 2 sein muss.
Also: m= $\frac{3.2}{2}$ = $1,6$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,6$ ⋅ x

y-Wert bei x = 3

Da der/die Kartonanzahl den Wert 3 hat, muss man einfach 3 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Verpackungszeit zu erhalten:
y= $1,6$ ⋅ 3 = 4.8

.

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Zweisatz

Einfacher Dreisatz

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)