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Zweisatz

Beispiel:

Herr Tobrak hat einen neuen Handyvertrag abgeschlossen. Für eine Minute telefonieren bezahlt er nun 5 ct.

Wie viel kosten ihn 5 min telefonieren?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Minute telefonieren	5 ct
5 Minuten telefonieren	?

Um von 1 Minuten telefonieren in der ersten Zeile auf 5 Minuten telefonieren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 5 multiplizieren. Somit müssen wir auch die 5 ct mit 5 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 5 Minuten telefonieren entspricht:

⋅ 5

1 Minute telefonieren	5 ct
5 Minuten telefonieren	?

⋅ 5

1 Minute telefonieren	5 ct
5 Minuten telefonieren	25 ct

⋅ 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 Minuten telefonieren entspricht: 25 ct

Dreisatz (beide Richtungen)

Beispiel:

Der Hersteller eines Powerdrinks wirbt damit, das 6000 g Protein in dessen 15kg-Großpackung drin sind.

Wie viel g Protein sind in 18 kg Powerdrink?
Wie viel kg Powerdrink bräuchte man, wenn man 8000 g Protein zu sich nehmen möchte?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

15 kg Powerdrink	6000 g Protein
?	?
18 kg Powerdrink	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die kg Powerdrink in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 15 kg Powerdrink teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 15 und von 18 sein, also der ggT(15,18) = 3.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 kg Powerdrink:

15 kg Powerdrink	6000 g Protein
3 kg Powerdrink	?
18 kg Powerdrink	?

Um von 15 kg Powerdrink in der ersten Zeile auf 3 kg Powerdrink in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Somit müssen wir auch die 6000 g Protein durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 3 kg Powerdrink entspricht:

: 5

15 kg Powerdrink	6000 g Protein
3 kg Powerdrink	1200 g Protein
18 kg Powerdrink	?

: 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 3 kg Powerdrink in der mittleren Zeile mit 6 multiplizieren, um auf die 18 kg Powerdrink in der dritten Zeile zu kommen.

: 5

⋅ 6

15 kg Powerdrink	6000 g Protein
3 kg Powerdrink	1200 g Protein
18 kg Powerdrink	7200 g Protein

: 5

⋅ 6

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 18 kg Powerdrink entspricht: 7200 g Protein

Für die andere Frage (Wie viel kg Powerdrink bräuchte man, wenn man 8000 g Protein zu sich nehmen möchte?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "g Protein"-Werte haben und nach einem "kg Powerdrink"-Wert gesucht wird:

6000 g Protein	15 kg Powerdrink
?	?
8000 g Protein	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die g Protein in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6000 g Protein teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 6000 und von 8000 sein, also der ggT(6000,8000) = 2000.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2000 g Protein:

6000 g Protein	15 kg Powerdrink
2000 g Protein	?
8000 g Protein	?

Um von 6000 g Protein in der ersten Zeile auf 2000 g Protein in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Somit müssen wir auch die 15 kg Powerdrink durch 3 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 2000 g Protein entspricht:

: 3

6000 g Protein	15 kg Powerdrink
2000 g Protein	5 kg Powerdrink
8000 g Protein	?

: 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2000 g Protein in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 8000 g Protein in der dritten Zeile zu kommen.

: 3

⋅ 4

6000 g Protein	15 kg Powerdrink
2000 g Protein	5 kg Powerdrink
8000 g Protein	20 kg Powerdrink

: 3

⋅ 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8000 g Protein entspricht: 20 kg Powerdrink

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 3 wenn die Größe B den Wert 9 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 9 durch den Wert von 'Größe A' (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{3}$ des Wertes bei 3 sein muss.
Also: m= $\frac{9}{3}$ = $3$
Zuordnungsvorschrift: y = $3$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Ein Boiler erhitzt Wasser. Dabei wird in 4 Minuten das Wasser um 14°C erhitzt. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert einen Wert der Wassererhitzung in °C zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Temperaturänderung', nämlich 14 durch den Wert von 'Erhitzungsszeit' (4) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{4}$ des Wertes bei 4 sein muss.
Also: m= $\frac{14}{4}$ = $3,5$
Zuordnungsvorschrift: y = $3,5$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 5, wenn die Größe B den Wert 8 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.

Welchen Wert nimmt Größe B ein, wenn die Größe A den Wert 7.5 hat?
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 12 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 8 = m⋅5.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 8 durch den Wert von Größe A (5) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{5}$ des Wertes bei 5 sein muss.
Also: m= $\frac{8}{5}$ = $1,6$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,6$ ⋅ x

y-Wert bei x = 7.5
Da der/die Größe A den Wert 7.5 hat, muss man einfach 7.5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Größe B zu erhalten:
y= $1,6$ ⋅ 7.5 = 12
.
x-Wert bei y = 12
Da der/die Größe B den Wert 12 hat, muss man 12 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
12 = $1,6$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{12}{1.6}$ , weil dann 12 = $1,6$ ⋅ $\frac{12}{1.6}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{12}{1.6}$ = 7.5.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Die Lernmittelbücherei hat 120 neue gleiche Bücher bekommen. Jeweils 9 Bücher wiegen zusammen 9kg. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der Bücher dem Gewicht in kg zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 9 = m⋅9.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Gesamtgewicht, nämlich 9 durch den Wert von Bücheranzahl (9) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{9}$ des Wertes bei 9 sein muss.
Also: m= $\frac{9}{9}$ = $1$
Zuordnungsvorschrift: y = $1$ ⋅ x

y-Wert bei x = 5.5

Da der/die Bücheranzahl den Wert 5.5 hat, muss man einfach 5.5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Gesamtgewicht zu erhalten:
y= $1$ ⋅ 5.5 = 5.5

.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz

Dreisatz (beide Richtungen)

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)