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Zweisatz rückwärts

Beispiel:

Bei einem Marktstand bezahlt man 17,50 € für 7 kg Äpfel.

Wie viel kostet 1 kg Äpfel?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

7 kg Äpfel	17,50 €
1 kg Äpfel	?

Um von 7 kg Äpfel in der ersten Zeile auf 1 kg Äpfel in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 7 teilen. Somit müssen wir auch die 17.5 € durch 7 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 kg Äpfel entspricht:

: 7

7 kg Äpfel	17,50 €
1 kg Äpfel	?

: 7

7 kg Äpfel	17,50 €
1 kg Äpfel	2,50 €

: 7

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 1 kg Äpfel entspricht: 2,50 €

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem proportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

20 kg Powerdrink	3000 g Protein
?	?
24 kg Powerdrink	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die kg Powerdrink in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 20 kg Powerdrink teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 20 und von 24 sein, also der ggT(20,24) = 4.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 kg Powerdrink:

20 kg Powerdrink	3000 g Protein
4 kg Powerdrink	?
24 kg Powerdrink	?

Um von 20 kg Powerdrink in der ersten Zeile auf 4 kg Powerdrink in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Somit müssen wir auch die 3000 g Protein durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 4 kg Powerdrink entspricht:

: 5

20 kg Powerdrink	3000 g Protein
4 kg Powerdrink	?
24 kg Powerdrink	?

: 5

20 kg Powerdrink	3000 g Protein
4 kg Powerdrink	600 g Protein
24 kg Powerdrink	?

: 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 4 kg Powerdrink in der mittleren Zeile mit 6 multiplizieren, um auf die 24 kg Powerdrink in der dritten Zeile zu kommen.

: 5

⋅ 6

20 kg Powerdrink	3000 g Protein
4 kg Powerdrink	600 g Protein
24 kg Powerdrink	?

: 5

⋅ 6

Wir müssen somit auch rechts die 600 g Protein in der mittleren Zeile mit 6 multiplizieren:

: 5

⋅ 6

20 kg Powerdrink	3000 g Protein
4 kg Powerdrink	600 g Protein
24 kg Powerdrink	3600 g Protein

: 5

⋅ 6

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 24 kg Powerdrink entspricht: 3600 g Protein

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 6 wenn die Größe B den Wert 23.4 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 23.4 durch den Wert von 'Größe A' (6) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{6}$ des Wertes bei 6 sein muss.
Also: m= $\frac{23.4}{6}$ = $3,9$
Zuordnungsvorschrift: y = $3,9$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Im Winter schneit es 1 Stunde lang total gleichmäßig. Dabei fallen in 6 Minuten 6,6 cm. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man jedem Minuten-Wert eine Schneehöhe in cm zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Schneehöhe', nämlich 6.6 durch den Wert von 'Zeit' (6) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{6}$ des Wertes bei 6 sein muss.
Also: m= $\frac{6.6}{6}$ = $1,1$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,1$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 3, wenn die Größe B den Wert 12.6 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.

Welchen Wert nimmt Größe B ein, wenn die Größe A den Wert 4 hat?
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 25.2 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 12.6 = m⋅3.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 12.6 durch den Wert von Größe A (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{3}$ des Wertes bei 3 sein muss.
Also: m= $\frac{12.6}{3}$ = $4,2$
Zuordnungsvorschrift: y = $4,2$ ⋅ x

y-Wert bei x = 4
Da der/die Größe A den Wert 4 hat, muss man einfach 4 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Größe B zu erhalten:
y= $4,2$ ⋅ 4 = 16.8
.
x-Wert bei y = 25.2
Da der/die Größe B den Wert 25.2 hat, muss man 25.2 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
25.2 = $4,2$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{25.2}{4.2}$ , weil dann 25.2 = $4,2$ ⋅ $\frac{25.2}{4.2}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{25.2}{4.2}$ = 6.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann 9 Kartons in 9,9 Sekunden verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der verpackten Kartons der Verpackungszeit in Sekunden zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 9.9 = m⋅9.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Verpackungszeit, nämlich 9.9 durch den Wert von Kartonanzahl (9) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{9}$ des Wertes bei 9 sein muss.
Also: m= $\frac{9.9}{9}$ = $1,1$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,1$ ⋅ x

x-Wert bei y = 7.7

Da der/die Verpackungszeit den Wert 7.7 hat, muss man 7.7 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Kartonanzahl zu erhalten:
7.7 = $1,1$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{7.7}{1.1}$ , weil dann 7.7 = $1,1$ ⋅ $\frac{7.7}{1.1}$ .
Somit gilt für x (Kartonanzahl) = $\frac{7.7}{1.1}$ = 7.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz rückwärts

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)