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Zweisatz

Beispiel:

Bei einem Marktstand bezahlt man 3,00 € für 1 kg Äpfel.

Wie viel kosten 9 kg Äpfel?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 kg Äpfel	3,00 €
9 kg Äpfel	?

Um von 1 kg Äpfel in der ersten Zeile auf 9 kg Äpfel in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 9 multiplizieren. Somit müssen wir auch die 3 € mit 9 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 9 kg Äpfel entspricht:

⋅ 9

1 kg Äpfel	3,00 €
9 kg Äpfel	?

⋅ 9

1 kg Äpfel	3,00 €
9 kg Äpfel	27,00 €

⋅ 9

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 9 kg Äpfel entspricht: 27,00 €

Dreisatz (beide Richtungen)

Beispiel:

Herr Tobrak hat einen neuen Handyvertrag abgeschlossen. Für sein 9-Minuten-Gespräch hat er nun 36 ct bezahlt.

Wie viel kosten ihn 8 min telefonieren?
Wie lange kann er für 48 ct telefonieren?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

9 Minuten telefonieren	36 ct
?	?
8 Minuten telefonieren	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten telefonieren in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 9 Minuten telefonieren teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 9 und von 8 sein, also der ggT(9,8) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Minuten telefonieren:

9 Minuten telefonieren	36 ct
1 Minute telefonieren	?
8 Minuten telefonieren	?

Um von 9 Minuten telefonieren in der ersten Zeile auf 1 Minuten telefonieren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 9 teilen. Somit müssen wir auch die 36 ct durch 9 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 Minuten telefonieren entspricht:

: 9

9 Minuten telefonieren	36 ct
1 Minute telefonieren	4 ct
8 Minuten telefonieren	?

: 9

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Minuten telefonieren in der mittleren Zeile mit 8 multiplizieren, um auf die 8 Minuten telefonieren in der dritten Zeile zu kommen.

: 9

⋅ 8

9 Minuten telefonieren	36 ct
1 Minute telefonieren	4 ct
8 Minuten telefonieren	32 ct

: 9

⋅ 8

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Minuten telefonieren entspricht: 32 ct

Für die andere Frage (Wie lange kann er für 48 ct telefonieren?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "ct"-Werte haben und nach einem "Minuten telefonieren"-Wert gesucht wird:

36 ct	9 Minuten telefonieren
?	?
48 ct	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die ct in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 36 ct teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 36 und von 48 sein, also der ggT(36,48) = 12.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 12 ct:

36 ct	9 Minuten telefonieren
12 ct	?
48 ct	?

Um von 36 ct in der ersten Zeile auf 12 ct in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Somit müssen wir auch die 9 Minuten telefonieren durch 3 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 12 ct entspricht:

: 3

36 ct	9 Minuten telefonieren
12 ct	3 Minuten telefonieren
48 ct	?

: 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 12 ct in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 48 ct in der dritten Zeile zu kommen.

: 3

⋅ 4

36 ct	9 Minuten telefonieren
12 ct	3 Minuten telefonieren
48 ct	12 Minuten telefonieren

: 3

⋅ 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 48 ct entspricht: 12 Minuten telefonieren

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 7 wenn die Größe B den Wert 9.8 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 9.8 durch den Wert von 'Größe A' (7) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{7}$ des Wertes bei 7 sein muss.
Also: m= $\frac{9.8}{7}$ = $1,4$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,4$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Ein Boiler erhitzt Wasser. Dabei wird in 5 Minuten das Wasser um 21,5°C erhitzt. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert einen Wert der Wassererhitzung in °C zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Temperaturänderung', nämlich 21.5 durch den Wert von 'Erhitzungsszeit' (5) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{5}$ des Wertes bei 5 sein muss.
Also: m= $\frac{21.5}{5}$ = $4,3$
Zuordnungsvorschrift: y = $4,3$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 8, wenn die Größe B den Wert 13.6 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.

Welchen Wert nimmt Größe B ein, wenn die Größe A den Wert 4.5 hat?
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 8.5 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 13.6 = m⋅8.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 13.6 durch den Wert von Größe A (8) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{8}$ des Wertes bei 8 sein muss.
Also: m= $\frac{13.6}{8}$ = $1,7$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,7$ ⋅ x

y-Wert bei x = 4.5
Da der/die Größe A den Wert 4.5 hat, muss man einfach 4.5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Größe B zu erhalten:
y= $1,7$ ⋅ 4.5 = 7.65
.
x-Wert bei y = 8.5
Da der/die Größe B den Wert 8.5 hat, muss man 8.5 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
8.5 = $1,7$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{8.5}{1.7}$ , weil dann 8.5 = $1,7$ ⋅ $\frac{8.5}{1.7}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{8.5}{1.7}$ = 5.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Die Lernmittelbücherei hat 120 neue gleiche Bücher bekommen. Jeweils 9 Bücher wiegen zusammen 12,6kg. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der Bücher dem Gewicht in kg zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 12.6 = m⋅9.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Gesamtgewicht, nämlich 12.6 durch den Wert von Bücheranzahl (9) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{9}$ des Wertes bei 9 sein muss.
Also: m= $\frac{12.6}{9}$ = $1,4$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,4$ ⋅ x

x-Wert bei y = 9.1

Da der/die Gesamtgewicht den Wert 9.1 hat, muss man 9.1 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Bücheranzahl zu erhalten:
9.1 = $1,4$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{9.1}{1.4}$ , weil dann 9.1 = $1,4$ ⋅ $\frac{9.1}{1.4}$ .
Somit gilt für x (Bücheranzahl) = $\frac{9.1}{1.4}$ = 6.5.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz

Dreisatz (beide Richtungen)

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)