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Zweisatz rückwärts

Beispiel:

Eine erfahrende Langstreckenläuferin trainiert immer mit exakt dem gleichen Tempo. Für 6 km braucht sie 36 Minuten.

Wie lange braucht sie für 1 km?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

6 km	36 min
1 km	?

Um von 6 km in der ersten Zeile auf 1 km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 6 teilen. Somit müssen wir auch die 36 min durch 6 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 km entspricht:

: 6

6 km	36 min
1 km	?

: 6

6 km	36 min
1 km	6 min

: 6

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 1 km entspricht: 6 min

Einfacher Dreisatz

Beispiel:

Bei Karls Lieblingsobsthändler bekommt man für 90,00 € 30 kg Birnen.

Wie viel kosten 18 kg Birnen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

30 kg Birnen	90,00 €
?	?
18 kg Birnen	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die kg Birnen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 30 kg Birnen teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 30 und von 18 sein, also der ggT(30,18) = 6.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 6 kg Birnen:

30 kg Birnen	90,00 €
6 kg Birnen	?
18 kg Birnen	?

Um von 30 kg Birnen in der ersten Zeile auf 6 kg Birnen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Somit müssen wir auch die 90 € durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 6 kg Birnen entspricht:

: 5

30 kg Birnen	90,00 €
6 kg Birnen	?
18 kg Birnen	?

: 5

(Beim Teilen durch 5 kann man einfach erst verdoppeln und dann durch 10 teilen.)

: 5

30 kg Birnen	90,00 €
6 kg Birnen	18,00 €
18 kg Birnen	?

: 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 6 kg Birnen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 18 kg Birnen in der dritten Zeile zu kommen.

: 5

⋅ 3

30 kg Birnen	90,00 €
6 kg Birnen	18,00 €
18 kg Birnen	?

: 5

⋅ 3

Wir müssen somit auch rechts die 18,00 € in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren:

: 5

⋅ 3

30 kg Birnen	90,00 €
6 kg Birnen	18,00 €
18 kg Birnen	54,00 €

: 5

⋅ 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 18 kg Birnen entspricht: 54,00 €

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 7 wenn die Größe B den Wert 19.6 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 19.6 durch den Wert von 'Größe A' (7) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{7}$ des Wertes bei 7 sein muss.
Also: m= $\frac{19.6}{7}$ = $2,8$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,8$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Ein Boiler erhitzt Wasser. Dabei wird in 4 Minuten das Wasser um 18°C erhitzt. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert einen Wert der Wassererhitzung in °C zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Temperaturänderung', nämlich 18 durch den Wert von 'Erhitzungsszeit' (4) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{4}$ des Wertes bei 4 sein muss.
Also: m= $\frac{18}{4}$ = $4,5$
Zuordnungsvorschrift: y = $4,5$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 3, wenn die Größe B den Wert 14.7 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 24.5 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 14.7 = m⋅3.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 14.7 durch den Wert von Größe A (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{3}$ des Wertes bei 3 sein muss.
Also: m= $\frac{14.7}{3}$ = $4,9$
Zuordnungsvorschrift: y = $4,9$ ⋅ x

x-Wert bei y = 24.5

Da der/die Größe B den Wert 24.5 hat, muss man 24.5 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
24.5 = $4,9$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{24.5}{4.9}$ , weil dann 24.5 = $4,9$ ⋅ $\frac{24.5}{4.9}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{24.5}{4.9}$ = 5.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Die Lernmittelbücherei hat 120 neue gleiche Bücher bekommen. Jeweils 7 Bücher wiegen zusammen 5,6kg. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der Bücher dem Gewicht in kg zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 5.6 = m⋅7.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Gesamtgewicht, nämlich 5.6 durch den Wert von Bücheranzahl (7) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{7}$ des Wertes bei 7 sein muss.
Also: m= $\frac{5.6}{7}$ = $0,8$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,8$ ⋅ x

x-Wert bei y = 4.4

Da der/die Gesamtgewicht den Wert 4.4 hat, muss man 4.4 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Bücheranzahl zu erhalten:
4.4 = $0,8$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{4.4}{0.8}$ , weil dann 4.4 = $0,8$ ⋅ $\frac{4.4}{0.8}$ .
Somit gilt für x (Bücheranzahl) = $\frac{4.4}{0.8}$ = 5.5.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz rückwärts

Einfacher Dreisatz

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)