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Proportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen proportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 12000 g den 24 Becher Joghurt entsprechen.

: 5

⋅ 4

30 Becher Joghurt	15000 g
6 Becher Joghurt	3000 g
24 Becher Joghurt	12000 g

: 5

⋅ 4

Der Wert 12000 g war also korrekt.

Jetzt überprüfen wir, ob die 21000 g den 45 Becher Joghurt entsprechen.

: 2

⋅ 3

30 Becher Joghurt	15000 g
15 Becher Joghurt	7500 g
45 Becher Joghurt	22500 g

: 2

⋅ 3

Der Wert 21000 g war also falsch, richtig wäre 22500 g gewesen.

Einfacher Dreisatz

Beispiel:

Herr Tobrak hat einen neuen Handyvertrag abgeschlossen. Für sein 4-Minuten-Gespräch hat er nun 16 ct bezahlt.

Wie viel kosten ihn 5 min telefonieren?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

4 Minuten telefonieren	16 ct
?	?
5 Minuten telefonieren	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten telefonieren in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 Minuten telefonieren teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 4 und von 5 sein, also der ggT(4,5) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Minuten telefonieren:

4 Minuten telefonieren	16 ct
1 Minute telefonieren	?
5 Minuten telefonieren	?

Um von 4 Minuten telefonieren in der ersten Zeile auf 1 Minuten telefonieren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Somit müssen wir auch die 16 ct durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 Minuten telefonieren entspricht:

: 4

4 Minuten telefonieren	16 ct
1 Minute telefonieren	?
5 Minuten telefonieren	?

: 4

4 Minuten telefonieren	16 ct
1 Minute telefonieren	4 ct
5 Minuten telefonieren	?

: 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Minuten telefonieren in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 5 Minuten telefonieren in der dritten Zeile zu kommen.

: 4

⋅ 5

4 Minuten telefonieren	16 ct
1 Minute telefonieren	4 ct
5 Minuten telefonieren	?

: 4

⋅ 5

Wir müssen somit auch rechts die 4 ct in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren:

: 4

⋅ 5

4 Minuten telefonieren	16 ct
1 Minute telefonieren	4 ct
5 Minuten telefonieren	20 ct

: 4

⋅ 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 Minuten telefonieren entspricht: 20 ct

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 4 wenn die Größe B den Wert 12.8 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

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Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 12.8 durch den Wert von 'Größe A' (4) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{4}$ des Wertes bei 4 sein muss.
Also: m= $\frac{12.8}{4}$ = $3,2$
Zuordnungsvorschrift: y = $3,2$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Ein Boiler erhitzt Wasser. Dabei wird in 5 Minuten das Wasser um 11,5°C erhitzt. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert einen Wert der Wassererhitzung in °C zuordnen kann.

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Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Temperaturänderung', nämlich 11.5 durch den Wert von 'Erhitzungsszeit' (5) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{5}$ des Wertes bei 5 sein muss.
Also: m= $\frac{11.5}{5}$ = $2,3$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,3$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 8, wenn die Größe B den Wert 14.4 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.

Welchen Wert nimmt Größe B ein, wenn die Größe A den Wert 5 hat?
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 18 hat?

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Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 14.4 = m⋅8.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 14.4 durch den Wert von Größe A (8) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{8}$ des Wertes bei 8 sein muss.
Also: m= $\frac{14.4}{8}$ = $1,8$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,8$ ⋅ x

y-Wert bei x = 5
Da der/die Größe A den Wert 5 hat, muss man einfach 5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Größe B zu erhalten:
y= $1,8$ ⋅ 5 = 9
.
x-Wert bei y = 18
Da der/die Größe B den Wert 18 hat, muss man 18 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
18 = $1,8$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{18}{1.8}$ , weil dann 18 = $1,8$ ⋅ $\frac{18}{1.8}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{18}{1.8}$ = 10.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Ein Prepaid-Anbieter verlangt immer den gleichen Preis pro Minute Telefonieren mit dem Handy. Auf einem Werbeplakat steht, dass 7 Minuten nur 21ct kosten. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man den telefonierten Minuten den Preis in Cent zuordnen kann.

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Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 21 = m⋅7.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Preis, nämlich 21 durch den Wert von Minuten (7) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{7}$ des Wertes bei 7 sein muss.
Also: m= $\frac{21}{7}$ = $3$
Zuordnungsvorschrift: y = $3$ ⋅ x

y-Wert bei x = 4.5

Da der/die Minuten den Wert 4.5 hat, muss man einfach 4.5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Preis zu erhalten:
y= $3$ ⋅ 4.5 = 13.5

.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Proportionalität überprüfen

Einfacher Dreisatz

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)