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Proportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen proportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 60 min den 15 km entsprechen.

: 4

⋅ 3

20 km	80 min
5 km	20 min
15 km	60 min

: 4

⋅ 3

Der Wert 60 min war also korrekt.

Jetzt überprüfen wir, ob die 120 min den 30 km entsprechen.

: 2

⋅ 3

20 km	80 min
10 km	40 min
30 km	120 min

: 2

⋅ 3

Der Wert 120 min war also korrekt.

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem proportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

18 Eier	810 ct
?	?
30 Eier	?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Eier in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 18 Eier teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 18 und von 30 sein, also der ggT(18,30) = 6.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 6 Eier:

18 Eier	810 ct
6 Eier	?
30 Eier	?

Um von 18 Eier in der ersten Zeile auf 6 Eier in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Somit müssen wir auch die 810 ct durch 3 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 6 Eier entspricht:

: 3

18 Eier	810 ct
6 Eier	?
30 Eier	?

: 3

(Beim Teilen durch 3 muss man sich eben erst eine 3-er Zahl in der Nähe suchen, hier 600, und dann noch den Rest (210) durch 3 teilen.)

: 3

18 Eier	810 ct
6 Eier	270 ct
30 Eier	?

: 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 6 Eier in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 30 Eier in der dritten Zeile zu kommen.

: 3

⋅ 5

18 Eier	810 ct
6 Eier	270 ct
30 Eier	?

: 3

⋅ 5

Wir müssen somit auch rechts die 270 ct in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren:

: 3

⋅ 5

18 Eier	810 ct
6 Eier	270 ct
30 Eier	1350 ct

: 3

⋅ 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 30 Eier entspricht: 1350 ct

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 3 wenn die Größe B den Wert 12 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

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Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 12 durch den Wert von 'Größe A' (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{3}$ des Wertes bei 3 sein muss.
Also: m= $\frac{12}{3}$ = $4$
Zuordnungsvorschrift: y = $4$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Im Winter schneit es 1 Stunde lang total gleichmäßig. Dabei fallen in 5 Minuten 19,5 cm. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man jedem Minuten-Wert eine Schneehöhe in cm zuordnen kann.

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Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Schneehöhe', nämlich 19.5 durch den Wert von 'Zeit' (5) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{5}$ des Wertes bei 5 sein muss.
Also: m= $\frac{19.5}{5}$ = $3,9$
Zuordnungsvorschrift: y = $3,9$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 4, wenn die Größe B den Wert 4 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 6.5 hat?

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Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 4 = m⋅4.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 4 durch den Wert von Größe A (4) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{4}$ des Wertes bei 4 sein muss.
Also: m= $\frac{4}{4}$ = $1$
Zuordnungsvorschrift: y = $1$ ⋅ x

x-Wert bei y = 6.5

Da der/die Größe B den Wert 6.5 hat, muss man 6.5 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
6.5 = $1$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $6,5$ , weil dann 6.5 = $1$ ⋅ $6,5$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $6,5$ = 6.5.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann 6 Kartons in 17,4 Sekunden verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der verpackten Kartons der Verpackungszeit in Sekunden zuordnen kann.

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Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 17.4 = m⋅6.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Verpackungszeit, nämlich 17.4 durch den Wert von Kartonanzahl (6) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{6}$ des Wertes bei 6 sein muss.
Also: m= $\frac{17.4}{6}$ = $2,9$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,9$ ⋅ x

x-Wert bei y = 24.65

Da der/die Verpackungszeit den Wert 24.65 hat, muss man 24.65 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Kartonanzahl zu erhalten:
24.65 = $2,9$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{24.65}{2.9}$ , weil dann 24.65 = $2,9$ ⋅ $\frac{24.65}{2.9}$ .
Somit gilt für x (Kartonanzahl) = $\frac{24.65}{2.9}$ = 8.5.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Proportionalität überprüfen

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)