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Zweisatz

Beispiel:

Beim Bäcker Allesfresh kostet 1 Brezel immer 0,30 €.

Wie viel kosten 3 Brezeln?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Brezel	0,30 €
3 Brezeln	?

Um von 1 Brezeln in der ersten Zeile auf 3 Brezeln in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 3 multiplizieren. Somit müssen wir auch die 0.3 € mit 3 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 3 Brezeln entspricht:

⋅ 3

1 Brezel	0,30 €
3 Brezeln	?

⋅ 3

1 Brezel	0,30 €
3 Brezeln	0,90 €

⋅ 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Brezeln entspricht: 0,90 €

Einfacher Dreisatz

Beispiel:

Bei einem Marktstand bezahlt man 12,00 € für 8 kg Äpfel.

Wie viel kosten 12 kg Äpfel?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

8 kg Äpfel	12,00 €
?	?
12 kg Äpfel	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die kg Äpfel in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 kg Äpfel teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 8 und von 12 sein, also der ggT(8,12) = 4.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 kg Äpfel:

8 kg Äpfel	12,00 €
4 kg Äpfel	?
12 kg Äpfel	?

Um von 8 kg Äpfel in der ersten Zeile auf 4 kg Äpfel in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Somit müssen wir auch die 12 € durch 2 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 4 kg Äpfel entspricht:

: 2

8 kg Äpfel	12,00 €
4 kg Äpfel	?
12 kg Äpfel	?

: 2

8 kg Äpfel	12,00 €
4 kg Äpfel	6,00 €
12 kg Äpfel	?

: 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 4 kg Äpfel in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 12 kg Äpfel in der dritten Zeile zu kommen.

: 2

⋅ 3

8 kg Äpfel	12,00 €
4 kg Äpfel	6,00 €
12 kg Äpfel	?

: 2

⋅ 3

Wir müssen somit auch rechts die 6,00 € in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren:

: 2

⋅ 3

8 kg Äpfel	12,00 €
4 kg Äpfel	6,00 €
12 kg Äpfel	18,00 €

: 2

⋅ 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 kg Äpfel entspricht: 18,00 €

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 7 wenn die Größe B den Wert 5.6 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 5.6 durch den Wert von 'Größe A' (7) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{7}$ des Wertes bei 7 sein muss.
Also: m= $\frac{5.6}{7}$ = $0,8$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,8$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Ein Boiler erhitzt Wasser. Dabei wird in 4 Minuten das Wasser um 4,4°C erhitzt. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert einen Wert der Wassererhitzung in °C zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Temperaturänderung', nämlich 4.4 durch den Wert von 'Erhitzungsszeit' (4) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{4}$ des Wertes bei 4 sein muss.
Also: m= $\frac{4.4}{4}$ = $1,1$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,1$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 6, wenn die Größe B den Wert 13.2 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 14.3 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 13.2 = m⋅6.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 13.2 durch den Wert von Größe A (6) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{6}$ des Wertes bei 6 sein muss.
Also: m= $\frac{13.2}{6}$ = $2,2$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,2$ ⋅ x

x-Wert bei y = 14.3

Da der/die Größe B den Wert 14.3 hat, muss man 14.3 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
14.3 = $2,2$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{14.3}{2.2}$ , weil dann 14.3 = $2,2$ ⋅ $\frac{14.3}{2.2}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{14.3}{2.2}$ = 6.5.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Die Lernmittelbücherei hat 120 neue gleiche Bücher bekommen. Jeweils 8 Bücher wiegen zusammen 4kg. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der Bücher dem Gewicht in kg zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 4 = m⋅8.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Gesamtgewicht, nämlich 4 durch den Wert von Bücheranzahl (8) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{8}$ des Wertes bei 8 sein muss.
Also: m= $\frac{4}{8}$ = $0,5$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,5$ ⋅ x

x-Wert bei y = 3.75

Da der/die Gesamtgewicht den Wert 3.75 hat, muss man 3.75 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Bücheranzahl zu erhalten:
3.75 = $0,5$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{3.75}{0.5}$ , weil dann 3.75 = $0,5$ ⋅ $\frac{3.75}{0.5}$ .
Somit gilt für x (Bücheranzahl) = $\frac{3.75}{0.5}$ = 7.5.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz

Einfacher Dreisatz

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)