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Zweisatz rückwärts

Beispiel:

Beim Biohof Ökofarm bezahlt Herr Eggestein 1,20 € für 6 Eier.

Wie viel kostet 1 Ei?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

6 Eier	120 ct
1 Ei	?

Um von 6 Eier in der ersten Zeile auf 1 Eier in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 6 teilen. Somit müssen wir auch die 120 ct durch 6 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 Eier entspricht:

: 6

6 Eier	120 ct
1 Ei	?

: 6

6 Eier	120 ct
1 Ei	20 ct

: 6

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 1 Eier entspricht: 20 ct

Dreisatz (beide Richtungen)

Beispiel:

Eine erfahrende Langstreckenläuferin trainiert immer mit exakt dem gleichen Tempo. Für 15 km braucht sie 60 Minuten.

Wie lange braucht sie für 10 km?
Wie viele km schafft sie in 80 min?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

15 km	60 min
?	?
10 km	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 15 km teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 15 und von 10 sein, also der ggT(15,10) = 5.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 km:

15 km	60 min
5 km	?
10 km	?

Um von 15 km in der ersten Zeile auf 5 km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Somit müssen wir auch die 60 min durch 3 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 5 km entspricht:

: 3

15 km	60 min
5 km	20 min
10 km	?

: 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 5 km in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 10 km in der dritten Zeile zu kommen.

: 3

⋅ 2

15 km	60 min
5 km	20 min
10 km	40 min

: 3

⋅ 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 10 km entspricht: 40 min

Für die andere Frage (Wie viele km schafft sie in 80 min?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "min"-Werte haben und nach einem "km"-Wert gesucht wird:

60 min	15 km
?	?
80 min	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die min in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 60 min teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 60 und von 80 sein, also der ggT(60,80) = 20.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 20 min:

60 min	15 km
20 min	?
80 min	?

Um von 60 min in der ersten Zeile auf 20 min in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Somit müssen wir auch die 15 km durch 3 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 20 min entspricht:

: 3

60 min	15 km
20 min	5 km
80 min	?

: 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 20 min in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 80 min in der dritten Zeile zu kommen.

: 3

⋅ 4

60 min	15 km
20 min	5 km
80 min	20 km

: 3

⋅ 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 80 min entspricht: 20 km

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 8 wenn die Größe B den Wert 5.6 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 5.6 durch den Wert von 'Größe A' (8) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{8}$ des Wertes bei 8 sein muss.
Also: m= $\frac{5.6}{8}$ = $0,7$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,7$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann in 2 Minuten 9,2 Kartons verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert eine Anzahl der verpackten Kartons zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Kartonanzahl', nämlich 9.2 durch den Wert von 'Verpackungszeit' (2) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{2}$ des Wertes bei 2 sein muss.
Also: m= $\frac{9.2}{2}$ = $4,6$
Zuordnungsvorschrift: y = $4,6$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 5, wenn die Größe B den Wert 11.5 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 9.2 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 11.5 = m⋅5.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 11.5 durch den Wert von Größe A (5) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{5}$ des Wertes bei 5 sein muss.
Also: m= $\frac{11.5}{5}$ = $2,3$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,3$ ⋅ x

x-Wert bei y = 9.2

Da der/die Größe B den Wert 9.2 hat, muss man 9.2 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
9.2 = $2,3$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{9.2}{2.3}$ , weil dann 9.2 = $2,3$ ⋅ $\frac{9.2}{2.3}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{9.2}{2.3}$ = 4.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Ein Prepaid-Anbieter verlangt immer den gleichen Preis pro Minute Telefonieren mit dem Handy. Auf einem Werbeplakat steht, dass 8 Minuten nur 48ct kosten. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man den telefonierten Minuten den Preis in Cent zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 48 = m⋅8.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Preis, nämlich 48 durch den Wert von Minuten (8) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{8}$ des Wertes bei 8 sein muss.
Also: m= $\frac{48}{8}$ = $6$
Zuordnungsvorschrift: y = $6$ ⋅ x

y-Wert bei x = 4.5
Da der/die Minuten den Wert 4.5 hat, muss man einfach 4.5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Preis zu erhalten:
y= $6$ ⋅ 4.5 = 27
.
x-Wert bei y = 54
Da der/die Preis den Wert 54 hat, muss man 54 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Minuten zu erhalten:
54 = $6$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{54}{6}$ , weil dann 54 = $6$ ⋅ $\frac{54}{6}$ .
Somit gilt für x (Minuten) = $\frac{54}{6}$ = 9.

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Zweisatz rückwärts

Dreisatz (beide Richtungen)

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)