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Proportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen proportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 45 ct den 20 Minuten telefonieren entsprechen.

: 5

⋅ 4

25 Minuten telefonieren	50 ct
5 Minuten telefonieren	10 ct
20 Minuten telefonieren	40 ct

: 5

⋅ 4

Der Wert 45 ct war also falsch, richtig wäre 40 ct gewesen.

Jetzt überprüfen wir, ob die 60 ct den 30 Minuten telefonieren entsprechen.

: 5

⋅ 6

25 Minuten telefonieren	50 ct
5 Minuten telefonieren	10 ct
30 Minuten telefonieren	60 ct

: 5

⋅ 6

Der Wert 60 ct war also korrekt.

Einfacher Dreisatz

Beispiel:

Eine erfahrende Langstreckenläuferin trainiert immer mit exakt dem gleichen Tempo. Für 24 km braucht sie 96 Minuten.

Wie lange braucht sie für 30 km?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

24 km	96 min
?	?
30 km	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 24 km teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 24 und von 30 sein, also der ggT(24,30) = 6.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 6 km:

24 km	96 min
6 km	?
30 km	?

Um von 24 km in der ersten Zeile auf 6 km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Somit müssen wir auch die 96 min durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 6 km entspricht:

: 4

24 km	96 min
6 km	?
30 km	?

: 4

(Beim Teilen durch 4 kann man einfach zwei mal halbieren.)

: 4

24 km	96 min
6 km	24 min
30 km	?

: 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 6 km in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 30 km in der dritten Zeile zu kommen.

: 4

⋅ 5

24 km	96 min
6 km	24 min
30 km	?

: 4

⋅ 5

Wir müssen somit auch rechts die 24 min in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren:

: 4

⋅ 5

24 km	96 min
6 km	24 min
30 km	120 min

: 4

⋅ 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 30 km entspricht: 120 min

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 9 wenn die Größe B den Wert 2.7 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 2.7 durch den Wert von 'Größe A' (9) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{9}$ des Wertes bei 9 sein muss.
Also: m= $\frac{2.7}{9}$ = $0,3$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,3$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Ein Boiler erhitzt Wasser. Dabei wird in 7 Minuten das Wasser um 16,8°C erhitzt. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert einen Wert der Wassererhitzung in °C zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Temperaturänderung', nämlich 16.8 durch den Wert von 'Erhitzungsszeit' (7) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{7}$ des Wertes bei 7 sein muss.
Also: m= $\frac{16.8}{7}$ = $2,4$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,4$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 7, wenn die Größe B den Wert 0.7 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 0.65 hat?

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Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 0.7 = m⋅7.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 0.7 durch den Wert von Größe A (7) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{7}$ des Wertes bei 7 sein muss.
Also: m= $\frac{0.7}{7}$ = $0,1$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,1$ ⋅ x

x-Wert bei y = 0.65

Da der/die Größe B den Wert 0.65 hat, muss man 0.65 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
0.65 = $0,1$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{0.65}{0.1}$ , weil dann 0.65 = $0,1$ ⋅ $\frac{0.65}{0.1}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{0.65}{0.1}$ = 6.5.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann 3 Kartons in 8,1 Sekunden verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der verpackten Kartons der Verpackungszeit in Sekunden zuordnen kann.

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Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 8.1 = m⋅3.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Verpackungszeit, nämlich 8.1 durch den Wert von Kartonanzahl (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{3}$ des Wertes bei 3 sein muss.
Also: m= $\frac{8.1}{3}$ = $2,7$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,7$ ⋅ x

x-Wert bei y = 9.45

Da der/die Verpackungszeit den Wert 9.45 hat, muss man 9.45 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Kartonanzahl zu erhalten:
9.45 = $2,7$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{9.45}{2.7}$ , weil dann 9.45 = $2,7$ ⋅ $\frac{9.45}{2.7}$ .
Somit gilt für x (Kartonanzahl) = $\frac{9.45}{2.7}$ = 3.5.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Proportionalität überprüfen

Einfacher Dreisatz

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)