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Zweisatz

Beispiel:

Bei Karls Lieblingsobsthändler bekommt man für 2,00 € 1 kg Birnen.

Wie viel kosten 8 kg Birnen?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 kg Birnen	2,00 €
8 kg Birnen	?

Um von 1 kg Birnen in der ersten Zeile auf 8 kg Birnen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 8 multiplizieren. Somit müssen wir auch die 2 € mit 8 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 8 kg Birnen entspricht:

⋅ 8

1 kg Birnen	2,00 €
8 kg Birnen	?

⋅ 8

1 kg Birnen	2,00 €
8 kg Birnen	16,00 €

⋅ 8

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 kg Birnen entspricht: 16,00 €

Einfacher Dreisatz

Beispiel:

Beim Biohof Ökofarm bezahlt Herr Eggestein 8,00 € für 16 Eier.

Wie viel kosten 20 Eier?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

16 Eier	800 ct
?	?
20 Eier	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Eier in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 16 Eier teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 16 und von 20 sein, also der ggT(16,20) = 4.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 Eier:

16 Eier	800 ct
4 Eier	?
20 Eier	?

Um von 16 Eier in der ersten Zeile auf 4 Eier in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Somit müssen wir auch die 800 ct durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 4 Eier entspricht:

: 4

16 Eier	800 ct
4 Eier	?
20 Eier	?

: 4

16 Eier	800 ct
4 Eier	200 ct
20 Eier	?

: 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 4 Eier in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 20 Eier in der dritten Zeile zu kommen.

: 4

⋅ 5

16 Eier	800 ct
4 Eier	200 ct
20 Eier	?

: 4

⋅ 5

Wir müssen somit auch rechts die 200 ct in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren:

: 4

⋅ 5

16 Eier	800 ct
4 Eier	200 ct
20 Eier	1000 ct

: 4

⋅ 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 20 Eier entspricht: 1000 ct

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 6 wenn die Größe B den Wert 11.4 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 11.4 durch den Wert von 'Größe A' (6) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{6}$ des Wertes bei 6 sein muss.
Also: m= $\frac{11.4}{6}$ = $1,9$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,9$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann in 3 Minuten 6 Kartons verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert eine Anzahl der verpackten Kartons zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Kartonanzahl', nämlich 6 durch den Wert von 'Verpackungszeit' (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{3}$ des Wertes bei 3 sein muss.
Also: m= $\frac{6}{3}$ = $2$
Zuordnungsvorschrift: y = $2$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 3, wenn die Größe B den Wert 13.5 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.

Welchen Wert nimmt Größe B ein, wenn die Größe A den Wert 4 hat?
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 29.25 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 13.5 = m⋅3.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 13.5 durch den Wert von Größe A (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{3}$ des Wertes bei 3 sein muss.
Also: m= $\frac{13.5}{3}$ = $4,5$
Zuordnungsvorschrift: y = $4,5$ ⋅ x

y-Wert bei x = 4
Da der/die Größe A den Wert 4 hat, muss man einfach 4 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Größe B zu erhalten:
y= $4,5$ ⋅ 4 = 18
.
x-Wert bei y = 29.25
Da der/die Größe B den Wert 29.25 hat, muss man 29.25 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
29.25 = $4,5$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{29.25}{4.5}$ , weil dann 29.25 = $4,5$ ⋅ $\frac{29.25}{4.5}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{29.25}{4.5}$ = 6.5.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Ein Prepaid-Anbieter verlangt immer den gleichen Preis pro Minute Telefonieren mit dem Handy. Auf einem Werbeplakat steht, dass 2 Minuten nur 24ct kosten. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man den telefonierten Minuten den Preis in Cent zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 24 = m⋅2.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Preis, nämlich 24 durch den Wert von Minuten (2) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{2}$ des Wertes bei 2 sein muss.
Also: m= $\frac{24}{2}$ = $12$
Zuordnungsvorschrift: y = $12$ ⋅ x

y-Wert bei x = 3

Da der/die Minuten den Wert 3 hat, muss man einfach 3 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Preis zu erhalten:
y= $12$ ⋅ 3 = 36

.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz

Einfacher Dreisatz

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)