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Zweisatz

Beispiel:

Beim Biohof Ökofarm bezahlt Herr Eggestein 0,30 € für 1 Ei.

Wie viel kosten 8 Eier?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Ei	30 ct
8 Eier	?

Um von 1 Eier in der ersten Zeile auf 8 Eier in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 8 multiplizieren. Somit müssen wir auch die 30 ct mit 8 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 8 Eier entspricht:

⋅ 8

1 Ei	30 ct
8 Eier	?

⋅ 8

1 Ei	30 ct
8 Eier	240 ct

⋅ 8

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Eier entspricht: 240 ct

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem proportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

3 Brezeln	1,05 €
?	?
4 Brezeln	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Brezeln in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 3 Brezeln teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 3 und von 4 sein, also der ggT(3,4) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Brezeln:

3 Brezeln	1,05 €
1 Brezel	?
4 Brezeln	?

Um von 3 Brezeln in der ersten Zeile auf 1 Brezeln in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Somit müssen wir auch die 1,05 € durch 3 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 Brezeln entspricht:

: 3

3 Brezeln	1,05 €
1 Brezel	?
4 Brezeln	?

: 3

(Beim Teilen durch 3 muss man sich eben erst eine 3-er Zahl in der Nähe suchen, hier 0, und dann noch den Rest (1.05) durch 3 teilen.)

: 3

3 Brezeln	1,05 €
1 Brezel	0,35 €
4 Brezeln	?

: 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Brezeln in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 Brezeln in der dritten Zeile zu kommen.

: 3

⋅ 4

3 Brezeln	1,05 €
1 Brezel	0,35 €
4 Brezeln	?

: 3

⋅ 4

Wir müssen somit auch rechts die 0,35 € in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren:

: 3

⋅ 4

3 Brezeln	1,05 €
1 Brezel	0,35 €
4 Brezeln	1,40 €

: 3

⋅ 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Brezeln entspricht: 1,40 €

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 3 wenn die Größe B den Wert 8.7 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 8.7 durch den Wert von 'Größe A' (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{3}$ des Wertes bei 3 sein muss.
Also: m= $\frac{8.7}{3}$ = $2,9$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,9$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann in 7 Minuten 16,1 Kartons verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert eine Anzahl der verpackten Kartons zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Kartonanzahl', nämlich 16.1 durch den Wert von 'Verpackungszeit' (7) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{7}$ des Wertes bei 7 sein muss.
Also: m= $\frac{16.1}{7}$ = $2,3$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,3$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 7, wenn die Größe B den Wert 2.8 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.

Welchen Wert nimmt Größe B ein, wenn die Größe A den Wert 8 hat?
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 2 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 2.8 = m⋅7.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 2.8 durch den Wert von Größe A (7) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{7}$ des Wertes bei 7 sein muss.
Also: m= $\frac{2.8}{7}$ = $0,4$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,4$ ⋅ x

y-Wert bei x = 8
Da der/die Größe A den Wert 8 hat, muss man einfach 8 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Größe B zu erhalten:
y= $0,4$ ⋅ 8 = 3.2
.
x-Wert bei y = 2
Da der/die Größe B den Wert 2 hat, muss man 2 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
2 = $0,4$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{2}{0.4}$ , weil dann 2 = $0,4$ ⋅ $\frac{2}{0.4}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{2}{0.4}$ = 5.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann 9 Kartons in 6,3 Sekunden verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der verpackten Kartons der Verpackungszeit in Sekunden zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 6.3 = m⋅9.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Verpackungszeit, nämlich 6.3 durch den Wert von Kartonanzahl (9) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{9}$ des Wertes bei 9 sein muss.
Also: m= $\frac{6.3}{9}$ = $0,7$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,7$ ⋅ x

x-Wert bei y = 4.2

Da der/die Verpackungszeit den Wert 4.2 hat, muss man 4.2 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Kartonanzahl zu erhalten:
4.2 = $0,7$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{4.2}{0.7}$ , weil dann 4.2 = $0,7$ ⋅ $\frac{4.2}{0.7}$ .
Somit gilt für x (Kartonanzahl) = $\frac{4.2}{0.7}$ = 6.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)