Mathebattle EduRandomtasks

Proportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen proportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 203 ct den 30 Minuten telefonieren entsprechen.

: 5

⋅ 6

25 Minuten telefonieren	175 ct
5 Minuten telefonieren	35 ct
30 Minuten telefonieren	210 ct

: 5

⋅ 6

Der Wert 203 ct war also falsch, richtig wäre 210 ct gewesen.

Jetzt überprüfen wir, ob die 140 ct den 20 Minuten telefonieren entsprechen.

: 5

⋅ 4

25 Minuten telefonieren	175 ct
5 Minuten telefonieren	35 ct
20 Minuten telefonieren	140 ct

: 5

⋅ 4

Der Wert 140 ct war also korrekt.

Einfacher Dreisatz

Beispiel:

Eine erfahrende Langstreckenläuferin trainiert immer mit exakt dem gleichen Tempo. Für 8 km braucht sie 48 Minuten.

Wie lange braucht sie für 9 km?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

8 km	48 min
?	?
9 km	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 km teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 8 und von 9 sein, also der ggT(8,9) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 km:

8 km	48 min
1 km	?
9 km	?

Um von 8 km in der ersten Zeile auf 1 km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 8 teilen. Somit müssen wir auch die 48 min durch 8 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 km entspricht:

: 8

8 km	48 min
1 km	?
9 km	?

: 8

8 km	48 min
1 km	6 min
9 km	?

: 8

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 km in der mittleren Zeile mit 9 multiplizieren, um auf die 9 km in der dritten Zeile zu kommen.

: 8

⋅ 9

8 km	48 min
1 km	6 min
9 km	?

: 8

⋅ 9

Wir müssen somit auch rechts die 6 min in der mittleren Zeile mit 9 multiplizieren:

: 8

⋅ 9

8 km	48 min
1 km	6 min
9 km	54 min

: 8

⋅ 9

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 9 km entspricht: 54 min

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 2 wenn die Größe B den Wert 5.2 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 5.2 durch den Wert von 'Größe A' (2) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{2}$ des Wertes bei 2 sein muss.
Also: m= $\frac{5.2}{2}$ = $2,6$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,6$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann in 4 Minuten 8,4 Kartons verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert eine Anzahl der verpackten Kartons zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Kartonanzahl', nämlich 8.4 durch den Wert von 'Verpackungszeit' (4) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{4}$ des Wertes bei 4 sein muss.
Also: m= $\frac{8.4}{4}$ = $2,1$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,1$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 3, wenn die Größe B den Wert 13.8 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 23 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 13.8 = m⋅3.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 13.8 durch den Wert von Größe A (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{3}$ des Wertes bei 3 sein muss.
Also: m= $\frac{13.8}{3}$ = $4,6$
Zuordnungsvorschrift: y = $4,6$ ⋅ x

x-Wert bei y = 23

Da der/die Größe B den Wert 23 hat, muss man 23 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
23 = $4,6$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{23}{4.6}$ , weil dann 23 = $4,6$ ⋅ $\frac{23}{4.6}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{23}{4.6}$ = 5.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Die Lernmittelbücherei hat 120 neue gleiche Bücher bekommen. Jeweils 8 Bücher wiegen zusammen 10,4kg. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der Bücher dem Gewicht in kg zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 10.4 = m⋅8.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Gesamtgewicht, nämlich 10.4 durch den Wert von Bücheranzahl (8) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{8}$ des Wertes bei 8 sein muss.
Also: m= $\frac{10.4}{8}$ = $1,3$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,3$ ⋅ x

y-Wert bei x = 5.5

Da der/die Bücheranzahl den Wert 5.5 hat, muss man einfach 5.5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Gesamtgewicht zu erhalten:
y= $1,3$ ⋅ 5.5 = 7.15

.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Proportionalität überprüfen

Einfacher Dreisatz

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)