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Zweisatz rückwärts

Beispiel:

Der Hersteller eines Powerdrinks wirbt damit, das 2400 g Protein in dessen 8kg-Großpackung drin sind.

Wie viel g Protein ist in 1 kg Powerdrink?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

8 kg Powerdrink	2400 g Protein
1 kg Powerdrink	?

Um von 8 kg Powerdrink in der ersten Zeile auf 1 kg Powerdrink in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 8 teilen. Somit müssen wir auch die 2400 g Protein durch 8 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 kg Powerdrink entspricht:

: 8

8 kg Powerdrink	2400 g Protein
1 kg Powerdrink	?

: 8

8 kg Powerdrink	2400 g Protein
1 kg Powerdrink	300 g Protein

: 8

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 1 kg Powerdrink entspricht: 300 g Protein

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem proportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

8 kg Birnen	12,00 €
?	?
12 kg Birnen	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die kg Birnen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 kg Birnen teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 8 und von 12 sein, also der ggT(8,12) = 4.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 kg Birnen:

8 kg Birnen	12,00 €
4 kg Birnen	?
12 kg Birnen	?

Um von 8 kg Birnen in der ersten Zeile auf 4 kg Birnen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Somit müssen wir auch die 12 € durch 2 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 4 kg Birnen entspricht:

: 2

8 kg Birnen	12,00 €
4 kg Birnen	?
12 kg Birnen	?

: 2

8 kg Birnen	12,00 €
4 kg Birnen	6,00 €
12 kg Birnen	?

: 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 4 kg Birnen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 12 kg Birnen in der dritten Zeile zu kommen.

: 2

⋅ 3

8 kg Birnen	12,00 €
4 kg Birnen	6,00 €
12 kg Birnen	?

: 2

⋅ 3

Wir müssen somit auch rechts die 6,00 € in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren:

: 2

⋅ 3

8 kg Birnen	12,00 €
4 kg Birnen	6,00 €
12 kg Birnen	18,00 €

: 2

⋅ 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 kg Birnen entspricht: 18,00 €

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 3 wenn die Größe B den Wert 14.7 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 14.7 durch den Wert von 'Größe A' (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{3}$ des Wertes bei 3 sein muss.
Also: m= $\frac{14.7}{3}$ = $4,9$
Zuordnungsvorschrift: y = $4,9$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann in 6 Minuten 4,8 Kartons verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert eine Anzahl der verpackten Kartons zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Kartonanzahl', nämlich 4.8 durch den Wert von 'Verpackungszeit' (6) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{6}$ des Wertes bei 6 sein muss.
Also: m= $\frac{4.8}{6}$ = $0,8$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,8$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 2, wenn die Größe B den Wert 7.4 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.

Welchen Wert nimmt Größe B ein, wenn die Größe A den Wert 4 hat?
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 16.65 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 7.4 = m⋅2.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 7.4 durch den Wert von Größe A (2) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{2}$ des Wertes bei 2 sein muss.
Also: m= $\frac{7.4}{2}$ = $3,7$
Zuordnungsvorschrift: y = $3,7$ ⋅ x

y-Wert bei x = 4
Da der/die Größe A den Wert 4 hat, muss man einfach 4 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Größe B zu erhalten:
y= $3,7$ ⋅ 4 = 14.8
.
x-Wert bei y = 16.65
Da der/die Größe B den Wert 16.65 hat, muss man 16.65 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
16.65 = $3,7$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{16.65}{3.7}$ , weil dann 16.65 = $3,7$ ⋅ $\frac{16.65}{3.7}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{16.65}{3.7}$ = 4.5.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann 2 Kartons in 3,4 Sekunden verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der verpackten Kartons der Verpackungszeit in Sekunden zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 3.4 = m⋅2.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Verpackungszeit, nämlich 3.4 durch den Wert von Kartonanzahl (2) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{2}$ des Wertes bei 2 sein muss.
Also: m= $\frac{3.4}{2}$ = $1,7$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,7$ ⋅ x

x-Wert bei y = 8.5

Da der/die Verpackungszeit den Wert 8.5 hat, muss man 8.5 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Kartonanzahl zu erhalten:
8.5 = $1,7$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{8.5}{1.7}$ , weil dann 8.5 = $1,7$ ⋅ $\frac{8.5}{1.7}$ .
Somit gilt für x (Kartonanzahl) = $\frac{8.5}{1.7}$ = 5.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz rückwärts

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)