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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Zweisatz
Beispiel:
Beim Biohof Ökofarm bezahlt Herr Eggestein 0,40 € für 1 Ei.
Wie viel kosten 8 Eier?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 1 Eier in der ersten Zeile auf 8 Eier in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 8 multiplizieren. Somit müssen wir auch die 40 ct mit 8 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 8 Eier entspricht:
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⋅ 8
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⋅ 8
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⋅ 8
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⋅ 8
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Eier entspricht: 320 ct
Dreisatz (beide Richtungen)
Beispiel:
Bei Karls Lieblingsobsthändler bekommt man für 28,00 € 8 kg Birnen.
Wie viel kosten 9 kg Birnen?
Wie viel kg Birnen bekommt man für 70 € ?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die kg Birnen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 kg Birnen teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 8 und von 9 sein, also der ggT(8,9) = 1.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 kg Birnen:
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Um von 8 kg Birnen in der ersten Zeile auf 1 kg Birnen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 8 teilen. Somit müssen wir auch die 28 € durch 8 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 kg Birnen entspricht:
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: 8
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: 8
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Jetzt müssen wir ja wieder die 1 kg Birnen in der mittleren Zeile mit 9 multiplizieren, um auf die 9 kg Birnen in der dritten Zeile zu kommen.
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: 8
⋅ 9
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: 8
⋅ 9
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 9 kg Birnen entspricht: 31,50 €
Für die andere Frage (Wie viel kg Birnen bekommt man für 70 € ?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "€"-Werte haben und nach einem "kg Birnen"-Wert gesucht wird:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 28 € teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 28 und von 70 sein, also der ggT(28,70) = 14.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 14 €:
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Um von 28 € in der ersten Zeile auf 14 € in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Somit müssen wir auch die 8 kg Birnen durch 2 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 14 € entspricht:
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: 2
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: 2
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Jetzt müssen wir ja wieder die 14 € in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 70 € in der dritten Zeile zu kommen.
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: 2
⋅ 5
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: 2
⋅ 5
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 70 € entspricht: 20 kg Birnen
Proportionaler Term
Beispiel:
Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 8 wenn die Größe B den Wert 15.2 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.
Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 15.2 durch den Wert
von 'Größe A' (8) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade
des Wertes bei 8 sein muss.
Also: m==
Zuordnungsvorschrift: y = ⋅ x
Proportionaler Term Anwendung
Beispiel:
Im Winter schneit es 1 Stunde lang total gleichmäßig. Dabei fallen in 2 Minuten 4,6 cm. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man jedem Minuten-Wert eine Schneehöhe in cm zuordnen kann.
Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Schneehöhe', nämlich 4.6 durch den Wert
von 'Zeit' (2) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade
des Wertes bei 2 sein muss.
Also: m==
Zuordnungsvorschrift: y = ⋅ x
Wert bei Proportionalität finden
Beispiel:
Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 8, wenn die Größe B den Wert 1.6 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt Größe B ein, wenn die Größe A den Wert 9.5 hat?
Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 1.6 = m⋅8.
Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 1.6 durch den Wert
von Größe A (8) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade
des Wertes bei 8 sein muss.
Also: m==
Zuordnungsvorschrift: y = ⋅ x
y-Wert bei x = 9.5
Da der/die Größe A den Wert 9.5 hat, muss man einfach 9.5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen,
um als y den zugehörigen Wert von Größe B zu erhalten:
y= ⋅ 9.5 = 1.9
Wert bei Proportionalität (Anwendungen)
Beispiel:
Eine Verpackungsmachine kann 4 Kartons in 2,4 Sekunden verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der verpackten Kartons der Verpackungszeit in Sekunden zuordnen kann.
Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 2.4 = m⋅4.
Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Verpackungszeit, nämlich 2.4 durch den Wert
von Kartonanzahl (4) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade
des Wertes bei 4 sein muss.
Also: m==
Zuordnungsvorschrift: y = ⋅ x
- y-Wert bei x = 5.5
Da der/die Kartonanzahl den Wert 5.5 hat, muss man einfach 5.5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Verpackungszeit zu erhalten:
.
y= ⋅ 5.5 = 3.3 - x-Wert bei y = 3.9
Da der/die Verpackungszeit den Wert 3.9 hat, muss man 3.9 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Kartonanzahl zu erhalten:
3.9 = ⋅ x.
Das klappt mit x = , weil dann 3.9 = ⋅ .
Somit gilt für x (Kartonanzahl) = = 6.5.