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Zweisatz rückwärts

Beispiel:

Ein Käseaufschnitt wiegt insgesamt 200 g. Er besteht aus 4 gleichen Scheiben.

Wie schwer ist dann 1 Scheibe Käse?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

4 Scheiben Käse	200 g
1 Scheibe Käse	?

Um von 4 Scheiben Käse in der ersten Zeile auf 1 Scheiben Käse in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Somit müssen wir auch die 200 g durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 Scheiben Käse entspricht:

: 4

4 Scheiben Käse	200 g
1 Scheibe Käse	?

: 4

4 Scheiben Käse	200 g
1 Scheibe Käse	50 g

: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 1 Scheiben Käse entspricht: 50 g

Dreisatz (beide Richtungen)

Beispiel:

Beim Biohof Ökofarm bezahlt Herr Eggestein 2,10 € für 7 Eier.

Wie viel kosten 9 Eier?
Wie viele Eier bekommt er für 1,20 €?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

7 Eier	210 ct
?	?
9 Eier	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Eier in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 7 Eier teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 7 und von 9 sein, also der ggT(7,9) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Eier:

7 Eier	210 ct
1 Ei	?
9 Eier	?

Um von 7 Eier in der ersten Zeile auf 1 Eier in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 7 teilen. Somit müssen wir auch die 210 ct durch 7 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 Eier entspricht:

: 7

7 Eier	210 ct
1 Ei	30 ct
9 Eier	?

: 7

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Eier in der mittleren Zeile mit 9 multiplizieren, um auf die 9 Eier in der dritten Zeile zu kommen.

: 7

⋅ 9

7 Eier	210 ct
1 Ei	30 ct
9 Eier	270 ct

: 7

⋅ 9

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 9 Eier entspricht: 270 ct

Für die andere Frage (Wie viele Eier bekommt er für 1,20 €?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "ct"-Werte haben und nach einem "Eier"-Wert gesucht wird:

210 ct	7 Eier
?	?
120 ct	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die ct in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 210 ct teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 210 und von 120 sein, also der ggT(210,120) = 30.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 30 ct:

210 ct	7 Eier
30 ct	?
120 ct	?

Um von 210 ct in der ersten Zeile auf 30 ct in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 7 teilen. Somit müssen wir auch die 7 Eier durch 7 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 30 ct entspricht:

: 7

210 ct	7 Eier
30 ct	1 Eier
120 ct	?

: 7

Jetzt müssen wir ja wieder die 30 ct in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 120 ct in der dritten Zeile zu kommen.

: 7

⋅ 4

210 ct	7 Eier
30 ct	1 Eier
120 ct	4 Eier

: 7

⋅ 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 120 ct entspricht: 4 Eier

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 5 wenn die Größe B den Wert 25 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 25 durch den Wert von 'Größe A' (5) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{5}$ des Wertes bei 5 sein muss.
Also: m= $\frac{25}{5}$ = $5$
Zuordnungsvorschrift: y = $5$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Ein Boiler erhitzt Wasser. Dabei wird in 3 Minuten das Wasser um 4,5°C erhitzt. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert einen Wert der Wassererhitzung in °C zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Temperaturänderung', nämlich 4.5 durch den Wert von 'Erhitzungsszeit' (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{3}$ des Wertes bei 3 sein muss.
Also: m= $\frac{4.5}{3}$ = $1,5$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,5$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 6, wenn die Größe B den Wert 6.6 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 9.35 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 6.6 = m⋅6.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 6.6 durch den Wert von Größe A (6) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{6}$ des Wertes bei 6 sein muss.
Also: m= $\frac{6.6}{6}$ = $1,1$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,1$ ⋅ x

x-Wert bei y = 9.35

Da der/die Größe B den Wert 9.35 hat, muss man 9.35 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
9.35 = $1,1$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{9.35}{1.1}$ , weil dann 9.35 = $1,1$ ⋅ $\frac{9.35}{1.1}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{9.35}{1.1}$ = 8.5.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann 8 Kartons in 19,2 Sekunden verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der verpackten Kartons der Verpackungszeit in Sekunden zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 19.2 = m⋅8.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Verpackungszeit, nämlich 19.2 durch den Wert von Kartonanzahl (8) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{8}$ des Wertes bei 8 sein muss.
Also: m= $\frac{19.2}{8}$ = $2,4$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,4$ ⋅ x

y-Wert bei x = 10
Da der/die Kartonanzahl den Wert 10 hat, muss man einfach 10 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Verpackungszeit zu erhalten:
y= $2,4$ ⋅ 10 = 24
.
x-Wert bei y = 18
Da der/die Verpackungszeit den Wert 18 hat, muss man 18 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Kartonanzahl zu erhalten:
18 = $2,4$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{18}{2.4}$ , weil dann 18 = $2,4$ ⋅ $\frac{18}{2.4}$ .
Somit gilt für x (Kartonanzahl) = $\frac{18}{2.4}$ = 7.5.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz rückwärts

Dreisatz (beide Richtungen)

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)