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Proportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen proportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 54 € den 30 kg Äpfel entsprechen.

: 4

⋅ 5

24 kg Äpfel	48,00 €
6 kg Äpfel	12,00 €
30 kg Äpfel	60,00 €

: 4

⋅ 5

Der Wert 54 € war also falsch, richtig wäre 60 € gewesen.

Jetzt überprüfen wir, ob die 66 € den 36 kg Äpfel entsprechen.

: 2

⋅ 3

24 kg Äpfel	48,00 €
12 kg Äpfel	24,00 €
36 kg Äpfel	72,00 €

: 2

⋅ 3

Der Wert 66 € war also falsch, richtig wäre 72 € gewesen.

Dreisatz (beide Richtungen)

Beispiel:

Eine erfahrende Langstreckenläuferin trainiert immer mit exakt dem gleichen Tempo. Für 10 km braucht sie 60 Minuten.

Wie lange braucht sie für 15 km?
Wie viele km schafft sie in 120 min?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

10 km	60 min
?	?
15 km	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 km teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 10 und von 15 sein, also der ggT(10,15) = 5.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 km:

10 km	60 min
5 km	?
15 km	?

Um von 10 km in der ersten Zeile auf 5 km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Somit müssen wir auch die 60 min durch 2 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 5 km entspricht:

: 2

10 km	60 min
5 km	30 min
15 km	?

: 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 5 km in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 15 km in der dritten Zeile zu kommen.

: 2

⋅ 3

10 km	60 min
5 km	30 min
15 km	90 min

: 2

⋅ 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 km entspricht: 90 min

Für die andere Frage (Wie viele km schafft sie in 120 min?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "min"-Werte haben und nach einem "km"-Wert gesucht wird:

60 min	10 km
?	?
120 min	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die min in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 60 min teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 60 und von 120 sein, also der ggT(60,120) = 60.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 60 min:

60 min	10 km
60 min	?
120 min	?

Um von 60 min in der ersten Zeile auf 60 min in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 1 teilen. Somit müssen wir auch die 10 km durch 1 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 60 min entspricht:

: 1

60 min	10 km
60 min	10 km
120 min	?

: 1

Jetzt müssen wir ja wieder die 60 min in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 120 min in der dritten Zeile zu kommen.

: 1

⋅ 2

60 min	10 km
60 min	10 km
120 min	20 km

: 1

⋅ 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 120 min entspricht: 20 km

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 5 wenn die Größe B den Wert 4 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

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Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 4 durch den Wert von 'Größe A' (5) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{5}$ des Wertes bei 5 sein muss.
Also: m= $\frac{4}{5}$ = $0,8$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,8$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann in 4 Minuten 11,6 Kartons verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert eine Anzahl der verpackten Kartons zuordnen kann.

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Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Kartonanzahl', nämlich 11.6 durch den Wert von 'Verpackungszeit' (4) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{4}$ des Wertes bei 4 sein muss.
Also: m= $\frac{11.6}{4}$ = $2,9$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,9$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 4, wenn die Größe B den Wert 5.2 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.

Welchen Wert nimmt Größe B ein, wenn die Größe A den Wert 6.5 hat?
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 9.1 hat?

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Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 5.2 = m⋅4.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 5.2 durch den Wert von Größe A (4) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{4}$ des Wertes bei 4 sein muss.
Also: m= $\frac{5.2}{4}$ = $1,3$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,3$ ⋅ x

y-Wert bei x = 6.5
Da der/die Größe A den Wert 6.5 hat, muss man einfach 6.5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Größe B zu erhalten:
y= $1,3$ ⋅ 6.5 = 8.45
.
x-Wert bei y = 9.1
Da der/die Größe B den Wert 9.1 hat, muss man 9.1 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
9.1 = $1,3$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{9.1}{1.3}$ , weil dann 9.1 = $1,3$ ⋅ $\frac{9.1}{1.3}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{9.1}{1.3}$ = 7.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Die Lernmittelbücherei hat 120 neue gleiche Bücher bekommen. Jeweils 6 Bücher wiegen zusammen 4,8kg. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der Bücher dem Gewicht in kg zuordnen kann.

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Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 4.8 = m⋅6.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Gesamtgewicht, nämlich 4.8 durch den Wert von Bücheranzahl (6) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{6}$ des Wertes bei 6 sein muss.
Also: m= $\frac{4.8}{6}$ = $0,8$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,8$ ⋅ x

x-Wert bei y = 7.6

Da der/die Gesamtgewicht den Wert 7.6 hat, muss man 7.6 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Bücheranzahl zu erhalten:
7.6 = $0,8$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{7.6}{0.8}$ , weil dann 7.6 = $0,8$ ⋅ $\frac{7.6}{0.8}$ .
Somit gilt für x (Bücheranzahl) = $\frac{7.6}{0.8}$ = 9.5.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Proportionalität überprüfen

Dreisatz (beide Richtungen)

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)