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Zweisatz

Beispiel:

In einem Joghurtbechern von Herrn Schaaf sind 500 g drin.

Wie viel Joghurt ist in 8 Bechern drin?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Becher Joghurt	500 g
8 Becher Joghurt	?

Um von 1 Becher Joghurt in der ersten Zeile auf 8 Becher Joghurt in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 8 multiplizieren. Somit müssen wir auch die 500 g mit 8 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 8 Becher Joghurt entspricht:

⋅ 8

1 Becher Joghurt	500 g
8 Becher Joghurt	?

⋅ 8

1 Becher Joghurt	500 g
8 Becher Joghurt	4000 g

⋅ 8

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Becher Joghurt entspricht: 4000 g

Dreisatz (beide Richtungen)

Beispiel:

Beim Biohof Ökofarm bezahlt Herr Eggestein 6,00 € für 20 Eier.

Wie viel kosten 16 Eier?
Wie viele Eier bekommt er für 15,00 €?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

20 Eier	600 ct
?	?
16 Eier	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Eier in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 20 Eier teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 20 und von 16 sein, also der ggT(20,16) = 4.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 Eier:

20 Eier	600 ct
4 Eier	?
16 Eier	?

Um von 20 Eier in der ersten Zeile auf 4 Eier in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Somit müssen wir auch die 600 ct durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 4 Eier entspricht:

: 5

20 Eier	600 ct
4 Eier	120 ct
16 Eier	?

: 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 4 Eier in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 16 Eier in der dritten Zeile zu kommen.

: 5

⋅ 4

20 Eier	600 ct
4 Eier	120 ct
16 Eier	480 ct

: 5

⋅ 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 16 Eier entspricht: 480 ct

Für die andere Frage (Wie viele Eier bekommt er für 15,00 €?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "ct"-Werte haben und nach einem "Eier"-Wert gesucht wird:

600 ct	20 Eier
?	?
1500 ct	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die ct in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 600 ct teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 600 und von 1500 sein, also der ggT(600,1500) = 300.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 300 ct:

600 ct	20 Eier
300 ct	?
1500 ct	?

Um von 600 ct in der ersten Zeile auf 300 ct in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Somit müssen wir auch die 20 Eier durch 2 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 300 ct entspricht:

: 2

600 ct	20 Eier
300 ct	10 Eier
1500 ct	?

: 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 300 ct in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 1500 ct in der dritten Zeile zu kommen.

: 2

⋅ 5

600 ct	20 Eier
300 ct	10 Eier
1500 ct	50 Eier

: 2

⋅ 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 1500 ct entspricht: 50 Eier

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 8 wenn die Größe B den Wert 19.2 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 19.2 durch den Wert von 'Größe A' (8) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{8}$ des Wertes bei 8 sein muss.
Also: m= $\frac{19.2}{8}$ = $2,4$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,4$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Ein Boiler erhitzt Wasser. Dabei wird in 4 Minuten das Wasser um 0,4°C erhitzt. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert einen Wert der Wassererhitzung in °C zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Temperaturänderung', nämlich 0.4 durch den Wert von 'Erhitzungsszeit' (4) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{4}$ des Wertes bei 4 sein muss.
Also: m= $\frac{0.4}{4}$ = $0,1$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,1$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 5, wenn die Größe B den Wert 12.5 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt Größe B ein, wenn die Größe A den Wert 3 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 12.5 = m⋅5.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 12.5 durch den Wert von Größe A (5) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{5}$ des Wertes bei 5 sein muss.
Also: m= $\frac{12.5}{5}$ = $2,5$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,5$ ⋅ x

y-Wert bei x = 3

Da der/die Größe A den Wert 3 hat, muss man einfach 3 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Größe B zu erhalten:
y= $2,5$ ⋅ 3 = 7.5

.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann 5 Kartons in 14,5 Sekunden verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der verpackten Kartons der Verpackungszeit in Sekunden zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 14.5 = m⋅5.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Verpackungszeit, nämlich 14.5 durch den Wert von Kartonanzahl (5) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{5}$ des Wertes bei 5 sein muss.
Also: m= $\frac{14.5}{5}$ = $2,9$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,9$ ⋅ x

y-Wert bei x = 1.5

Da der/die Kartonanzahl den Wert 1.5 hat, muss man einfach 1.5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Verpackungszeit zu erhalten:
y= $2,9$ ⋅ 1.5 = 4.35

.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz

Dreisatz (beide Richtungen)

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)