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Zweisatz rückwärts

Beispiel:

Bei einem Marktstand bezahlt man 27,00 € für 9 kg Äpfel.

Wie viel kostet 1 kg Äpfel?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

9 kg Äpfel	27,00 €
1 kg Äpfel	?

Um von 9 kg Äpfel in der ersten Zeile auf 1 kg Äpfel in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 9 teilen. Somit müssen wir auch die 27 € durch 9 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 kg Äpfel entspricht:

: 9

9 kg Äpfel	27,00 €
1 kg Äpfel	?

: 9

9 kg Äpfel	27,00 €
1 kg Äpfel	3,00 €

: 9

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 1 kg Äpfel entspricht: 3,00 €

Einfacher Dreisatz

Beispiel:

In den 30 Joghurtbechern von Herrn Schaaf sind insgesamt 12000 g drin.

Wie viel Joghurt ist in 36 Bechern drin?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

30 Becher Joghurt	12000 g
?	?
36 Becher Joghurt	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Becher Joghurt in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 30 Becher Joghurt teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 30 und von 36 sein, also der ggT(30,36) = 6.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 6 Becher Joghurt:

30 Becher Joghurt	12000 g
6 Becher Joghurt	?
36 Becher Joghurt	?

Um von 30 Becher Joghurt in der ersten Zeile auf 6 Becher Joghurt in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Somit müssen wir auch die 12000 g durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 6 Becher Joghurt entspricht:

: 5

30 Becher Joghurt	12000 g
6 Becher Joghurt	?
36 Becher Joghurt	?

: 5

(Beim Teilen durch 5 kann man einfach erst verdoppeln und dann durch 10 teilen.)

: 5

30 Becher Joghurt	12000 g
6 Becher Joghurt	2400 g
36 Becher Joghurt	?

: 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 6 Becher Joghurt in der mittleren Zeile mit 6 multiplizieren, um auf die 36 Becher Joghurt in der dritten Zeile zu kommen.

: 5

⋅ 6

30 Becher Joghurt	12000 g
6 Becher Joghurt	2400 g
36 Becher Joghurt	?

: 5

⋅ 6

Wir müssen somit auch rechts die 2400 g in der mittleren Zeile mit 6 multiplizieren:

: 5

⋅ 6

30 Becher Joghurt	12000 g
6 Becher Joghurt	2400 g
36 Becher Joghurt	14400 g

: 5

⋅ 6

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 36 Becher Joghurt entspricht: 14400 g

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 2 wenn die Größe B den Wert 6.4 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 6.4 durch den Wert von 'Größe A' (2) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{2}$ des Wertes bei 2 sein muss.
Also: m= $\frac{6.4}{2}$ = $3,2$
Zuordnungsvorschrift: y = $3,2$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann in 4 Minuten 10,8 Kartons verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert eine Anzahl der verpackten Kartons zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Kartonanzahl', nämlich 10.8 durch den Wert von 'Verpackungszeit' (4) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{4}$ des Wertes bei 4 sein muss.
Also: m= $\frac{10.8}{4}$ = $2,7$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,7$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 3, wenn die Größe B den Wert 15 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt Größe B ein, wenn die Größe A den Wert 6.5 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 15 = m⋅3.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 15 durch den Wert von Größe A (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{3}$ des Wertes bei 3 sein muss.
Also: m= $\frac{15}{3}$ = $5$
Zuordnungsvorschrift: y = $5$ ⋅ x

y-Wert bei x = 6.5

Da der/die Größe A den Wert 6.5 hat, muss man einfach 6.5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Größe B zu erhalten:
y= $5$ ⋅ 6.5 = 32.5

.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Die Lernmittelbücherei hat 120 neue gleiche Bücher bekommen. Jeweils 2 Bücher wiegen zusammen 1,4kg. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der Bücher dem Gewicht in kg zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 1.4 = m⋅2.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Gesamtgewicht, nämlich 1.4 durch den Wert von Bücheranzahl (2) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{2}$ des Wertes bei 2 sein muss.
Also: m= $\frac{1.4}{2}$ = $0,7$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,7$ ⋅ x

x-Wert bei y = 3.15

Da der/die Gesamtgewicht den Wert 3.15 hat, muss man 3.15 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Bücheranzahl zu erhalten:
3.15 = $0,7$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{3.15}{0.7}$ , weil dann 3.15 = $0,7$ ⋅ $\frac{3.15}{0.7}$ .
Somit gilt für x (Bücheranzahl) = $\frac{3.15}{0.7}$ = 4.5.

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Einfacher Dreisatz

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)