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Zweisatz

Beispiel:

Beim Biohof Ökofarm bezahlt Herr Eggestein 0,20 € für 1 Ei.

Wie viel kosten 7 Eier?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Ei	20 ct
7 Eier	?

Um von 1 Eier in der ersten Zeile auf 7 Eier in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 7 multiplizieren. Somit müssen wir auch die 20 ct mit 7 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 7 Eier entspricht:

⋅ 7

1 Ei	20 ct
7 Eier	?

⋅ 7

1 Ei	20 ct
7 Eier	140 ct

⋅ 7

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 7 Eier entspricht: 140 ct

Dreisatz (beide Richtungen)

Beispiel:

Bei einem Marktstand bezahlt man 30,00 € für 12 kg Äpfel.

Wie viel kosten 15 kg Äpfel?
Wie viel kg Äpfel bekommt man für 40 € ?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

12 kg Äpfel	30,00 €
?	?
15 kg Äpfel	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die kg Äpfel in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 12 kg Äpfel teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 12 und von 15 sein, also der ggT(12,15) = 3.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 kg Äpfel:

12 kg Äpfel	30,00 €
3 kg Äpfel	?
15 kg Äpfel	?

Um von 12 kg Äpfel in der ersten Zeile auf 3 kg Äpfel in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Somit müssen wir auch die 30 € durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 3 kg Äpfel entspricht:

: 4

12 kg Äpfel	30,00 €
3 kg Äpfel	7,50 €
15 kg Äpfel	?

: 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 3 kg Äpfel in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 15 kg Äpfel in der dritten Zeile zu kommen.

: 4

⋅ 5

12 kg Äpfel	30,00 €
3 kg Äpfel	7,50 €
15 kg Äpfel	37,50 €

: 4

⋅ 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 kg Äpfel entspricht: 37,50 €

Für die andere Frage (Wie viel kg Äpfel bekommt man für 40 € ?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "€"-Werte haben und nach einem "kg Äpfel"-Wert gesucht wird:

30 €	12 kg Äpfel
?	?
40 €	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 30 € teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 30 und von 40 sein, also der ggT(30,40) = 10.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 10 €:

30 €	12 kg Äpfel
10 €	?
40 €	?

Um von 30 € in der ersten Zeile auf 10 € in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Somit müssen wir auch die 12 kg Äpfel durch 3 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 10 € entspricht:

: 3

30 €	12 kg Äpfel
10 €	4 kg Äpfel
40 €	?

: 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 10 € in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 40 € in der dritten Zeile zu kommen.

: 3

⋅ 4

30 €	12 kg Äpfel
10 €	4 kg Äpfel
40 €	16 kg Äpfel

: 3

⋅ 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 40 € entspricht: 16 kg Äpfel

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 3 wenn die Größe B den Wert 6.3 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 6.3 durch den Wert von 'Größe A' (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{3}$ des Wertes bei 3 sein muss.
Also: m= $\frac{6.3}{3}$ = $2,1$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,1$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Im Winter schneit es 1 Stunde lang total gleichmäßig. Dabei fallen in 2 Minuten 2,2 cm. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man jedem Minuten-Wert eine Schneehöhe in cm zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Schneehöhe', nämlich 2.2 durch den Wert von 'Zeit' (2) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{2}$ des Wertes bei 2 sein muss.
Also: m= $\frac{2.2}{2}$ = $1,1$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,1$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 3, wenn die Größe B den Wert 7.2 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.

Welchen Wert nimmt Größe B ein, wenn die Größe A den Wert 3.5 hat?
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 9.6 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 7.2 = m⋅3.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 7.2 durch den Wert von Größe A (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{3}$ des Wertes bei 3 sein muss.
Also: m= $\frac{7.2}{3}$ = $2,4$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,4$ ⋅ x

y-Wert bei x = 3.5
Da der/die Größe A den Wert 3.5 hat, muss man einfach 3.5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Größe B zu erhalten:
y= $2,4$ ⋅ 3.5 = 8.4
.
x-Wert bei y = 9.6
Da der/die Größe B den Wert 9.6 hat, muss man 9.6 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
9.6 = $2,4$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{9.6}{2.4}$ , weil dann 9.6 = $2,4$ ⋅ $\frac{9.6}{2.4}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{9.6}{2.4}$ = 4.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann 7 Kartons in 5,6 Sekunden verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der verpackten Kartons der Verpackungszeit in Sekunden zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 5.6 = m⋅7.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Verpackungszeit, nämlich 5.6 durch den Wert von Kartonanzahl (7) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{7}$ des Wertes bei 7 sein muss.
Also: m= $\frac{5.6}{7}$ = $0,8$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,8$ ⋅ x

y-Wert bei x = 4.5

Da der/die Kartonanzahl den Wert 4.5 hat, muss man einfach 4.5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Verpackungszeit zu erhalten:
y= $0,8$ ⋅ 4.5 = 3.6

.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz

Dreisatz (beide Richtungen)

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)