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Zweisatz rückwärts

Beispiel:

Beim Biohof Ökofarm bezahlt Herr Eggestein 3,00 € für 6 Eier.

Wie viel kostet 1 Ei?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

6 Eier	300 ct
1 Ei	?

Um von 6 Eier in der ersten Zeile auf 1 Eier in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 6 teilen. Somit müssen wir auch die 300 ct durch 6 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 Eier entspricht:

: 6

6 Eier	300 ct
1 Ei	?

: 6

6 Eier	300 ct
1 Ei	50 ct

: 6

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 1 Eier entspricht: 50 ct

Einfacher Dreisatz

Beispiel:

Beim Karls Lieblingsobsthändler bekommt man für 60,00 € 30 kg Birnen.

Wie viel kosten 36 kg Birnen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

30 kg Birnen	60,00 €
?	?
36 kg Birnen	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die kg Birnen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 30 kg Birnen teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 30 und von 36 sein, also der ggT(30,36) = 6.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 6 kg Birnen:

30 kg Birnen	60,00 €
6 kg Birnen	?
36 kg Birnen	?

Um von 30 kg Birnen in der ersten Zeile auf 6 kg Birnen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Somit müssen wir auch die 60 € durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 6 kg Birnen entspricht:

: 5

30 kg Birnen	60,00 €
6 kg Birnen	?
36 kg Birnen	?

: 5

(Beim Teilen durch 5 kann man einfach erst verdoppeln und dann durch 10 teilen.)

: 5

30 kg Birnen	60,00 €
6 kg Birnen	12,00 €
36 kg Birnen	?

: 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 6 kg Birnen in der mittleren Zeile mit 6 multiplizieren, um auf die 36 kg Birnen in der dritten Zeile zu kommen.

: 5

⋅ 6

30 kg Birnen	60,00 €
6 kg Birnen	12,00 €
36 kg Birnen	?

: 5

⋅ 6

Wir müssen somit auch rechts die 12,00 € in der mittleren Zeile mit 6 multiplizieren:

: 5

⋅ 6

30 kg Birnen	60,00 €
6 kg Birnen	12,00 €
36 kg Birnen	72,00 €

: 5

⋅ 6

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 36 kg Birnen entspricht: 72,00 €

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 4 wenn die Größe B den Wert 13.2 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 13.2 durch den Wert von 'Größe A' (4) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{4}$ des Wertes bei 4 sein muss.
Also: m= $\frac{13.2}{4}$ = $3,3$
Zuordnungsvorschrift: y = $3,3$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Ein Boiler erhitzt Wasser. Dabei wird in 3 Minuten das Wasser um 4,2°C erhitzt. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert einen Wert der Wassererhitzung in °C zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Temperaturänderung', nämlich 4.2 durch den Wert von 'Erhitzungsszeit' (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{3}$ des Wertes bei 3 sein muss.
Also: m= $\frac{4.2}{3}$ = $1,4$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,4$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 7, wenn die Größe B den Wert 18.9 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt Größe B ein, wenn die Größe A den Wert 7.5 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 18.9 = m⋅7.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 18.9 durch den Wert von Größe A (7) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{7}$ des Wertes bei 7 sein muss.
Also: m= $\frac{18.9}{7}$ = $2,7$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,7$ ⋅ x

y-Wert bei x = 7.5

Da der/die Größe A den Wert 7.5 hat, muss man einfach 7.5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Größe B zu erhalten:
y= $2,7$ ⋅ 7.5 = 20.25

.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann 4 Kartons in 8 Sekunden verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der verpackten Kartons der Verpackungszeit in Sekunden zuordnen kann.

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Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 8 = m⋅4.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Verpackungszeit, nämlich 8 durch den Wert von Kartonanzahl (4) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{4}$ des Wertes bei 4 sein muss.
Also: m= $\frac{8}{4}$ = $2$
Zuordnungsvorschrift: y = $2$ ⋅ x

x-Wert bei y = 9

Da der/die Verpackungszeit den Wert 9 hat, muss man 9 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Kartonanzahl zu erhalten:
9 = $2$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{9}{2}$ , weil dann 9 = $2$ ⋅ $\frac{9}{2}$ .
Somit gilt für x (Kartonanzahl) = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

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Einfacher Dreisatz

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)