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Zweisatz rückwärts
Beispiel:
Herr Tobrak hat einen neuen Handyvertrag abgeschlossen. Für sein 6-Minuten-Gespräch hat er nun 12 ct bezahlt.
Wie viel kostet ihn 1 min telefonieren?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 6 Minuten telefonieren in der ersten Zeile auf 1 Minuten telefonieren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 6 teilen. Somit müssen wir auch die 12 ct durch 6 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 Minuten telefonieren entspricht:
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: 6
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: 6
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: 6
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: 6
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 1 Minuten telefonieren entspricht: 2 ct
Dreisatz (beide Richtungen)
Beispiel:
Beim Biohof Ökofarm bezahlt Herr Eggestein 2,40 € für 8 Eier.
Wie viel kosten 9 Eier?
Wie viele Eier bekommt er für 6,00 €?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Eier in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Eier teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 8 und von 9 sein, also der ggT(8,9) = 1.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Eier:
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Um von 8 Eier in der ersten Zeile auf 1 Eier in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 8 teilen. Somit müssen wir auch die 240 ct durch 8 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 Eier entspricht:
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: 8
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: 8
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Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Eier in der mittleren Zeile mit 9 multiplizieren, um auf die 9 Eier in der dritten Zeile zu kommen.
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: 8
⋅ 9
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: 8
⋅ 9
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 9 Eier entspricht: 270 ct
Für die andere Frage (Wie viele Eier bekommt er für 6,00 €?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "ct"-Werte haben und nach einem "Eier"-Wert gesucht wird:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die ct in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 240 ct teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 240 und von 600 sein, also der ggT(240,600) = 120.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 120 ct:
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Um von 240 ct in der ersten Zeile auf 120 ct in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Somit müssen wir auch die 8 Eier durch 2 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 120 ct entspricht:
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: 2
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: 2
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Jetzt müssen wir ja wieder die 120 ct in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 600 ct in der dritten Zeile zu kommen.
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: 2
⋅ 5
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: 2
⋅ 5
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 600 ct entspricht: 20 Eier
Proportionaler Term
Beispiel:
Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 2 wenn die Größe B den Wert 8.2 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.
Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 8.2 durch den Wert
von 'Größe A' (2) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade
des Wertes bei 2 sein muss.
Also: m==
Zuordnungsvorschrift: y = ⋅ x
Proportionaler Term Anwendung
Beispiel:
Ein Boiler erhitzt Wasser. Dabei wird in 2 Minuten das Wasser um 6,2°C erhitzt. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert einen Wert der Wassererhitzung in °C zuordnen kann.
Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Temperaturänderung', nämlich 6.2 durch den Wert
von 'Erhitzungsszeit' (2) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade
des Wertes bei 2 sein muss.
Also: m==
Zuordnungsvorschrift: y = ⋅ x
Wert bei Proportionalität finden
Beispiel:
Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 4, wenn die Größe B den Wert 6 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 9 hat?
Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 6 = m⋅4.
Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 6 durch den Wert
von Größe A (4) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade
des Wertes bei 4 sein muss.
Also: m==
Zuordnungsvorschrift: y = ⋅ x
x-Wert bei y = 9
Da der/die Größe B den Wert 9 hat, muss man 9 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen,
um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
9 = ⋅ x.
Das klappt mit x = , weil dann 9 = ⋅ .
Somit gilt für x (Größe A) = = 6.
Wert bei Proportionalität (Anwendungen)
Beispiel:
Eine Verpackungsmachine kann 7 Kartons in 11,2 Sekunden verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der verpackten Kartons der Verpackungszeit in Sekunden zuordnen kann.
Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 11.2 = m⋅7.
Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Verpackungszeit, nämlich 11.2 durch den Wert
von Kartonanzahl (7) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade
des Wertes bei 7 sein muss.
Also: m==
Zuordnungsvorschrift: y = ⋅ x
x-Wert bei y = 8
Da der/die Verpackungszeit den Wert 8 hat, muss man 8 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen,
um als x den zugehörigen Wert von Kartonanzahl zu erhalten:
8 = ⋅ x.
Das klappt mit x = , weil dann 8 = ⋅ .
Somit gilt für x (Kartonanzahl) = = 5.


