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Proportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen proportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 8250 g Protein den 25 kg Powerdrink entsprechen.

: 3

⋅ 5

15 kg Powerdrink	4500 g Protein
5 kg Powerdrink	1500 g Protein
25 kg Powerdrink	7500 g Protein

: 3

⋅ 5

Der Wert 8250 g Protein war also falsch, richtig wäre 7500 g Protein gewesen.

Jetzt überprüfen wir, ob die 6000 g Protein den 20 kg Powerdrink entsprechen.

: 3

⋅ 4

15 kg Powerdrink	4500 g Protein
5 kg Powerdrink	1500 g Protein
20 kg Powerdrink	6000 g Protein

: 3

⋅ 4

Der Wert 6000 g Protein war also korrekt.

Dreisatz (beide Richtungen)

Beispiel:

In den 6 Joghurtbechern von Herrn Schaaf sind insgesamt 1800 g drin.

Wie viel Joghurt ist in 7 Bechern drin?
Wie viele Joghurtbecher braucht man für 2400 g Joghurt?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

6 Becher Joghurt	1800 g
?	?
7 Becher Joghurt	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Becher Joghurt in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 Becher Joghurt teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 6 und von 7 sein, also der ggT(6,7) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Becher Joghurt:

6 Becher Joghurt	1800 g
1 Becher Joghurt	?
7 Becher Joghurt	?

Um von 6 Becher Joghurt in der ersten Zeile auf 1 Becher Joghurt in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 6 teilen. Somit müssen wir auch die 1800 g durch 6 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 Becher Joghurt entspricht:

: 6

6 Becher Joghurt	1800 g
1 Becher Joghurt	300 g
7 Becher Joghurt	?

: 6

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Becher Joghurt in der mittleren Zeile mit 7 multiplizieren, um auf die 7 Becher Joghurt in der dritten Zeile zu kommen.

: 6

⋅ 7

6 Becher Joghurt	1800 g
1 Becher Joghurt	300 g
7 Becher Joghurt	2100 g

: 6

⋅ 7

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 7 Becher Joghurt entspricht: 2100 g

Für die andere Frage (Wie viele Joghurtbecher braucht man für 2400 g Joghurt?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "g"-Werte haben und nach einem "Becher Joghurt"-Wert gesucht wird:

1800 g	6 Becher Joghurt
?	?
2400 g	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die g in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 1800 g teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 1800 und von 2400 sein, also der ggT(1800,2400) = 600.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 600 g:

1800 g	6 Becher Joghurt
600 g	?
2400 g	?

Um von 1800 g in der ersten Zeile auf 600 g in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Somit müssen wir auch die 6 Becher Joghurt durch 3 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 600 g entspricht:

: 3

1800 g	6 Becher Joghurt
600 g	2 Becher Joghurt
2400 g	?

: 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 600 g in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 2400 g in der dritten Zeile zu kommen.

: 3

⋅ 4

1800 g	6 Becher Joghurt
600 g	2 Becher Joghurt
2400 g	8 Becher Joghurt

: 3

⋅ 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2400 g entspricht: 8 Becher Joghurt

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 4 wenn die Größe B den Wert 0.4 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 0.4 durch den Wert von 'Größe A' (4) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{4}$ des Wertes bei 4 sein muss.
Also: m= $\frac{0.4}{4}$ = $0,1$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,1$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Im Winter schneit es 1 Stunde lang total gleichmäßig. Dabei fallen in 3 Minuten 9,6 cm. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man jedem Minuten-Wert eine Schneehöhe in cm zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Schneehöhe', nämlich 9.6 durch den Wert von 'Zeit' (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{3}$ des Wertes bei 3 sein muss.
Also: m= $\frac{9.6}{3}$ = $3,2$
Zuordnungsvorschrift: y = $3,2$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 8, wenn die Größe B den Wert 20 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.

Welchen Wert nimmt Größe B ein, wenn die Größe A den Wert 6.5 hat?
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 11.25 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 20 = m⋅8.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 20 durch den Wert von Größe A (8) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{8}$ des Wertes bei 8 sein muss.
Also: m= $\frac{20}{8}$ = $2,5$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,5$ ⋅ x

y-Wert bei x = 6.5
Da der/die Größe A den Wert 6.5 hat, muss man einfach 6.5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Größe B zu erhalten:
y= $2,5$ ⋅ 6.5 = 16.25
.
x-Wert bei y = 11.25
Da der/die Größe B den Wert 11.25 hat, muss man 11.25 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
11.25 = $2,5$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{11.25}{2.5}$ , weil dann 11.25 = $2,5$ ⋅ $\frac{11.25}{2.5}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{11.25}{2.5}$ = 4.5.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann 9 Kartons in 17,1 Sekunden verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der verpackten Kartons der Verpackungszeit in Sekunden zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 17.1 = m⋅9.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Verpackungszeit, nämlich 17.1 durch den Wert von Kartonanzahl (9) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{9}$ des Wertes bei 9 sein muss.
Also: m= $\frac{17.1}{9}$ = $1,9$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,9$ ⋅ x

y-Wert bei x = 6.5
Da der/die Kartonanzahl den Wert 6.5 hat, muss man einfach 6.5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Verpackungszeit zu erhalten:
y= $1,9$ ⋅ 6.5 = 12.35
.
x-Wert bei y = 14.25
Da der/die Verpackungszeit den Wert 14.25 hat, muss man 14.25 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Kartonanzahl zu erhalten:
14.25 = $1,9$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{14.25}{1.9}$ , weil dann 14.25 = $1,9$ ⋅ $\frac{14.25}{1.9}$ .
Somit gilt für x (Kartonanzahl) = $\frac{14.25}{1.9}$ = 7.5.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Proportionalität überprüfen

Dreisatz (beide Richtungen)

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)