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Zweisatz rückwärts

Beispiel:

Der Hersteller eines Powerdrinks wirbt damit, das 2500 g Protein in dessen 5kg-Großpackung drin sind.

Wie viel g Protein ist in 1 kg Powerdrink?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

5 kg Powerdrink	2500 g Protein
1 kg Powerdrink	?

Um von 5 kg Powerdrink in der ersten Zeile auf 1 kg Powerdrink in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Somit müssen wir auch die 2500 g Protein durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 kg Powerdrink entspricht:

: 5

5 kg Powerdrink	2500 g Protein
1 kg Powerdrink	?

: 5

5 kg Powerdrink	2500 g Protein
1 kg Powerdrink	500 g Protein

: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 1 kg Powerdrink entspricht: 500 g Protein

Dreisatz (beide Richtungen)

Beispiel:

Beim Biohof Ökofarm bezahlt Herr Eggestein 6,00 € für 12 Eier.

Wie viel kosten 8 Eier?
Wie viele Eier bekommt er für 8,00 €?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

12 Eier	600 ct
?	?
8 Eier	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Eier in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 12 Eier teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 12 und von 8 sein, also der ggT(12,8) = 4.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 Eier:

12 Eier	600 ct
4 Eier	?
8 Eier	?

Um von 12 Eier in der ersten Zeile auf 4 Eier in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Somit müssen wir auch die 600 ct durch 3 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 4 Eier entspricht:

: 3

12 Eier	600 ct
4 Eier	200 ct
8 Eier	?

: 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 4 Eier in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 8 Eier in der dritten Zeile zu kommen.

: 3

⋅ 2

12 Eier	600 ct
4 Eier	200 ct
8 Eier	400 ct

: 3

⋅ 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Eier entspricht: 400 ct

Für die andere Frage (Wie viele Eier bekommt er für 8,00 €?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "ct"-Werte haben und nach einem "Eier"-Wert gesucht wird:

600 ct	12 Eier
?	?
800 ct	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die ct in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 600 ct teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 600 und von 800 sein, also der ggT(600,800) = 200.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 200 ct:

600 ct	12 Eier
200 ct	?
800 ct	?

Um von 600 ct in der ersten Zeile auf 200 ct in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Somit müssen wir auch die 12 Eier durch 3 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 200 ct entspricht:

: 3

600 ct	12 Eier
200 ct	4 Eier
800 ct	?

: 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 200 ct in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 800 ct in der dritten Zeile zu kommen.

: 3

⋅ 4

600 ct	12 Eier
200 ct	4 Eier
800 ct	16 Eier

: 3

⋅ 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 800 ct entspricht: 16 Eier

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 5 wenn die Größe B den Wert 24 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 24 durch den Wert von 'Größe A' (5) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{5}$ des Wertes bei 5 sein muss.
Also: m= $\frac{24}{5}$ = $4,8$
Zuordnungsvorschrift: y = $4,8$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Ein Boiler erhitzt Wasser. Dabei wird in 3 Minuten das Wasser um 12°C erhitzt. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert einen Wert der Wassererhitzung in °C zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Temperaturänderung', nämlich 12 durch den Wert von 'Erhitzungsszeit' (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{3}$ des Wertes bei 3 sein muss.
Also: m= $\frac{12}{3}$ = $4$
Zuordnungsvorschrift: y = $4$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 10, wenn die Größe B den Wert 3 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 1.95 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 3 = m⋅10.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 3 durch den Wert von Größe A (10) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{10}$ des Wertes bei 10 sein muss.
Also: m= $\frac{3}{10}$ = $0,3$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,3$ ⋅ x

x-Wert bei y = 1.95

Da der/die Größe B den Wert 1.95 hat, muss man 1.95 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
1.95 = $0,3$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{1.95}{0.3}$ , weil dann 1.95 = $0,3$ ⋅ $\frac{1.95}{0.3}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{1.95}{0.3}$ = 6.5.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Die Lernmittelbücherei hat 120 neue gleiche Bücher bekommen. Jeweils 4 Bücher wiegen zusammen 4,8kg. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der Bücher dem Gewicht in kg zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 4.8 = m⋅4.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Gesamtgewicht, nämlich 4.8 durch den Wert von Bücheranzahl (4) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{4}$ des Wertes bei 4 sein muss.
Also: m= $\frac{4.8}{4}$ = $1,2$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,2$ ⋅ x

x-Wert bei y = 9

Da der/die Gesamtgewicht den Wert 9 hat, muss man 9 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Bücheranzahl zu erhalten:
9 = $1,2$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{9}{1.2}$ , weil dann 9 = $1,2$ ⋅ $\frac{9}{1.2}$ .
Somit gilt für x (Bücheranzahl) = $\frac{9}{1.2}$ = 7.5.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz rückwärts

Dreisatz (beide Richtungen)

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)