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Zweisatz

Beispiel:

Eine erfahrende Langstreckenläuferin trainiert immer mit exakt dem gleichen Tempo. Für 1 km braucht sie 5 Minuten.

Wie lange braucht sie für 8 km?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 km	5 min
8 km	?

Um von 1 km in der ersten Zeile auf 8 km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 8 multiplizieren. Somit müssen wir auch die 5 min mit 8 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 8 km entspricht:

⋅ 8

1 km	5 min
8 km	?

⋅ 8

1 km	5 min
8 km	40 min

⋅ 8

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 km entspricht: 40 min

Einfacher Dreisatz

Beispiel:

Beim Bäcker Leckerbeck kosten 8 Brötchen immer 3,20 €.

Wie viel kosten 9 Brötchen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

8 Brötchen	3,20 €
?	?
9 Brötchen	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Brötchen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Brötchen teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 8 und von 9 sein, also der ggT(8,9) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Brötchen:

8 Brötchen	3,20 €
1 Brötchen	?
9 Brötchen	?

Um von 8 Brötchen in der ersten Zeile auf 1 Brötchen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 8 teilen. Somit müssen wir auch die 3,2 € durch 8 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 Brötchen entspricht:

: 8

8 Brötchen	3,20 €
1 Brötchen	?
9 Brötchen	?

: 8

8 Brötchen	3,20 €
1 Brötchen	0,40 €
9 Brötchen	?

: 8

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Brötchen in der mittleren Zeile mit 9 multiplizieren, um auf die 9 Brötchen in der dritten Zeile zu kommen.

: 8

⋅ 9

8 Brötchen	3,20 €
1 Brötchen	0,40 €
9 Brötchen	?

: 8

⋅ 9

Wir müssen somit auch rechts die 0,40 € in der mittleren Zeile mit 9 multiplizieren:

: 8

⋅ 9

8 Brötchen	3,20 €
1 Brötchen	0,40 €
9 Brötchen	3,60 €

: 8

⋅ 9

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 9 Brötchen entspricht: 3,60 €

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 9 wenn die Größe B den Wert 5.4 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 5.4 durch den Wert von 'Größe A' (9) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{9}$ des Wertes bei 9 sein muss.
Also: m= $\frac{5.4}{9}$ = $0,6$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,6$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Im Winter schneit es 1 Stunde lang total gleichmäßig. Dabei fallen in 7 Minuten 0,7 cm. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man jedem Minuten-Wert eine Schneehöhe in cm zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Schneehöhe', nämlich 0.7 durch den Wert von 'Zeit' (7) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{7}$ des Wertes bei 7 sein muss.
Also: m= $\frac{0.7}{7}$ = $0,1$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,1$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 10, wenn die Größe B den Wert 5 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt Größe B ein, wenn die Größe A den Wert 8 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 5 = m⋅10.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 5 durch den Wert von Größe A (10) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{10}$ des Wertes bei 10 sein muss.
Also: m= $\frac{5}{10}$ = $0,5$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,5$ ⋅ x

y-Wert bei x = 8

Da der/die Größe A den Wert 8 hat, muss man einfach 8 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Größe B zu erhalten:
y= $0,5$ ⋅ 8 = 4

.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann 2 Kartons in 4,8 Sekunden verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der verpackten Kartons der Verpackungszeit in Sekunden zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 4.8 = m⋅2.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Verpackungszeit, nämlich 4.8 durch den Wert von Kartonanzahl (2) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{2}$ des Wertes bei 2 sein muss.
Also: m= $\frac{4.8}{2}$ = $2,4$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,4$ ⋅ x

x-Wert bei y = 12

Da der/die Verpackungszeit den Wert 12 hat, muss man 12 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Kartonanzahl zu erhalten:
12 = $2,4$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{12}{2.4}$ , weil dann 12 = $2,4$ ⋅ $\frac{12}{2.4}$ .
Somit gilt für x (Kartonanzahl) = $\frac{12}{2.4}$ = 5.

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Zweisatz

Einfacher Dreisatz

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)