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Zweisatz

Beispiel:

Der Hersteller eines Powerdrinks wirbt damit, das 400 g Protein in dessen 1kg-Großpackung drin sind.

Wie viel g Protein sind in 6 kg Powerdrink?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 kg Powerdrink	400 g Protein
6 kg Powerdrink	?

Um von 1 kg Powerdrink in der ersten Zeile auf 6 kg Powerdrink in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 6 multiplizieren. Somit müssen wir auch die 400 g Protein mit 6 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 6 kg Powerdrink entspricht:

⋅ 6

1 kg Powerdrink	400 g Protein
6 kg Powerdrink	?

⋅ 6

1 kg Powerdrink	400 g Protein
6 kg Powerdrink	2400 g Protein

⋅ 6

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 6 kg Powerdrink entspricht: 2400 g Protein

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem proportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

12 km	84 min
?	?
15 km	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 12 km teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 12 und von 15 sein, also der ggT(12,15) = 3.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 km:

12 km	84 min
3 km	?
15 km	?

Um von 12 km in der ersten Zeile auf 3 km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Somit müssen wir auch die 84 min durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 3 km entspricht:

: 4

12 km	84 min
3 km	?
15 km	?

: 4

(Beim Teilen durch 4 kann man einfach zwei mal halbieren.)

: 4

12 km	84 min
3 km	21 min
15 km	?

: 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 3 km in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 15 km in der dritten Zeile zu kommen.

: 4

⋅ 5

12 km	84 min
3 km	21 min
15 km	?

: 4

⋅ 5

Wir müssen somit auch rechts die 21 min in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren:

: 4

⋅ 5

12 km	84 min
3 km	21 min
15 km	105 min

: 4

⋅ 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 km entspricht: 105 min

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 8 wenn die Größe B den Wert 1.6 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 1.6 durch den Wert von 'Größe A' (8) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{8}$ des Wertes bei 8 sein muss.
Also: m= $\frac{1.6}{8}$ = $0,2$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,2$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Ein Boiler erhitzt Wasser. Dabei wird in 5 Minuten das Wasser um 2,5°C erhitzt. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert einen Wert der Wassererhitzung in °C zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Temperaturänderung', nämlich 2.5 durch den Wert von 'Erhitzungsszeit' (5) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{5}$ des Wertes bei 5 sein muss.
Also: m= $\frac{2.5}{5}$ = $0,5$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,5$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 7, wenn die Größe B den Wert 2.8 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt Größe B ein, wenn die Größe A den Wert 3.5 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 2.8 = m⋅7.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 2.8 durch den Wert von Größe A (7) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{7}$ des Wertes bei 7 sein muss.
Also: m= $\frac{2.8}{7}$ = $0,4$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,4$ ⋅ x

y-Wert bei x = 3.5

Da der/die Größe A den Wert 3.5 hat, muss man einfach 3.5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Größe B zu erhalten:
y= $0,4$ ⋅ 3.5 = 1.4

.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Ein Prepaid-Anbieter verlangt immer den gleichen Preis pro Minute Telefonieren mit dem Handy. Auf einem Werbeplakat steht, dass 3 Minuten nur 27ct kosten. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man den telefonierten Minuten den Preis in Cent zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 27 = m⋅3.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Preis, nämlich 27 durch den Wert von Minuten (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{3}$ des Wertes bei 3 sein muss.
Also: m= $\frac{27}{3}$ = $9$
Zuordnungsvorschrift: y = $9$ ⋅ x

x-Wert bei y = 58.5

Da der/die Preis den Wert 58.5 hat, muss man 58.5 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Minuten zu erhalten:
58.5 = $9$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{58.5}{9}$ , weil dann 58.5 = $9$ ⋅ $\frac{58.5}{9}$ .
Somit gilt für x (Minuten) = $\frac{58.5}{9}$ = 6.5.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)