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Zweisatz

Beispiel:

In einem Joghurtbecher von Herrn Schaaf sind 300 g drin.

Wie viel Joghurt ist in 6 Bechern drin?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Becher Joghurt	300 g
6 Becher Joghurt	?

Um von 1 Becher Joghurt in der ersten Zeile auf 6 Becher Joghurt in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 6 multiplizieren. Somit müssen wir auch die 300 g mit 6 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 6 Becher Joghurt entspricht:

⋅ 6

1 Becher Joghurt	300 g
6 Becher Joghurt	?

⋅ 6

1 Becher Joghurt	300 g
6 Becher Joghurt	1800 g

⋅ 6

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 6 Becher Joghurt entspricht: 1800 g

Dreisatz (beide Richtungen)

Beispiel:

Der Hersteller eines Powerdrinks wirbt damit, das 2700 g Protein in dessen 9kg-Großpackung drin sind.

Wie viel g Protein sind in 7 kg Powerdrink?
Wie viel kg Powerdrink bräuchte man, wenn man 3600 g Protein zu sich nehmen möchte?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

9 kg Powerdrink	2700 g Protein
?	?
7 kg Powerdrink	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die kg Powerdrink in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 9 kg Powerdrink teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 9 und von 7 sein, also der ggT(9,7) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 kg Powerdrink:

9 kg Powerdrink	2700 g Protein
1 kg Powerdrink	?
7 kg Powerdrink	?

Um von 9 kg Powerdrink in der ersten Zeile auf 1 kg Powerdrink in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 9 teilen. Somit müssen wir auch die 2700 g Protein durch 9 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 kg Powerdrink entspricht:

: 9

9 kg Powerdrink	2700 g Protein
1 kg Powerdrink	300 g Protein
7 kg Powerdrink	?

: 9

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 kg Powerdrink in der mittleren Zeile mit 7 multiplizieren, um auf die 7 kg Powerdrink in der dritten Zeile zu kommen.

: 9

⋅ 7

9 kg Powerdrink	2700 g Protein
1 kg Powerdrink	300 g Protein
7 kg Powerdrink	2100 g Protein

: 9

⋅ 7

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 7 kg Powerdrink entspricht: 2100 g Protein

Für die andere Frage (Wie viel kg Powerdrink bräuchte man, wenn man 3600 g Protein zu sich nehmen möchte?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "g Protein"-Werte haben und nach einem "kg Powerdrink"-Wert gesucht wird:

2700 g Protein	9 kg Powerdrink
?	?
3600 g Protein	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die g Protein in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 2700 g Protein teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 2700 und von 3600 sein, also der ggT(2700,3600) = 900.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 900 g Protein:

2700 g Protein	9 kg Powerdrink
900 g Protein	?
3600 g Protein	?

Um von 2700 g Protein in der ersten Zeile auf 900 g Protein in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Somit müssen wir auch die 9 kg Powerdrink durch 3 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 900 g Protein entspricht:

: 3

2700 g Protein	9 kg Powerdrink
900 g Protein	3 kg Powerdrink
3600 g Protein	?

: 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 900 g Protein in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 3600 g Protein in der dritten Zeile zu kommen.

: 3

⋅ 4

2700 g Protein	9 kg Powerdrink
900 g Protein	3 kg Powerdrink
3600 g Protein	12 kg Powerdrink

: 3

⋅ 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3600 g Protein entspricht: 12 kg Powerdrink

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 5 wenn die Größe B den Wert 17 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 17 durch den Wert von 'Größe A' (5) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{5}$ des Wertes bei 5 sein muss.
Also: m= $\frac{17}{5}$ = $3,4$
Zuordnungsvorschrift: y = $3,4$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Ein Boiler erhitzt Wasser. Dabei wird in 5 Minuten das Wasser um 12,5°C erhitzt. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert einen Wert der Wassererhitzung in °C zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Temperaturänderung', nämlich 12.5 durch den Wert von 'Erhitzungsszeit' (5) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{5}$ des Wertes bei 5 sein muss.
Also: m= $\frac{12.5}{5}$ = $2,5$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,5$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 4, wenn die Größe B den Wert 6.8 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.

Welchen Wert nimmt Größe B ein, wenn die Größe A den Wert 6 hat?
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 7.65 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 6.8 = m⋅4.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 6.8 durch den Wert von Größe A (4) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{4}$ des Wertes bei 4 sein muss.
Also: m= $\frac{6.8}{4}$ = $1,7$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,7$ ⋅ x

y-Wert bei x = 6
Da der/die Größe A den Wert 6 hat, muss man einfach 6 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Größe B zu erhalten:
y= $1,7$ ⋅ 6 = 10.2
.
x-Wert bei y = 7.65
Da der/die Größe B den Wert 7.65 hat, muss man 7.65 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
7.65 = $1,7$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{7.65}{1.7}$ , weil dann 7.65 = $1,7$ ⋅ $\frac{7.65}{1.7}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{7.65}{1.7}$ = 4.5.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann 9 Kartons in 9 Sekunden verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der verpackten Kartons der Verpackungszeit in Sekunden zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 9 = m⋅9.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Verpackungszeit, nämlich 9 durch den Wert von Kartonanzahl (9) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{9}$ des Wertes bei 9 sein muss.
Also: m= $\frac{9}{9}$ = $1$
Zuordnungsvorschrift: y = $1$ ⋅ x

x-Wert bei y = 6.5

Da der/die Verpackungszeit den Wert 6.5 hat, muss man 6.5 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Kartonanzahl zu erhalten:
6.5 = $1$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $6,5$ , weil dann 6.5 = $1$ ⋅ $6,5$ .
Somit gilt für x (Kartonanzahl) = $6,5$ = 6.5.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz

Dreisatz (beide Richtungen)

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)