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Zweisatz

Beispiel:

Beim Bäcker Leckerbeck kostet 1 Brötchen immer 0,30 €.

Wie viel kosten 6 Brötchen?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Brötchen	0,30 €
6 Brötchen	?

Um von 1 Brötchen in der ersten Zeile auf 6 Brötchen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 6 multiplizieren. Somit müssen wir auch die 0.3 € mit 6 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 6 Brötchen entspricht:

⋅ 6

1 Brötchen	0,30 €
6 Brötchen	?

⋅ 6

1 Brötchen	0,30 €
6 Brötchen	1,80 €

⋅ 6

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 6 Brötchen entspricht: 1,80 €

Einfacher Dreisatz

Beispiel:

Eine erfahrende Langstreckenläuferin trainiert immer mit exakt dem gleichen Tempo. Für 10 km braucht sie 40 Minuten.

Wie lange braucht sie für 15 km?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

10 km	40 min
?	?
15 km	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 km teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 10 und von 15 sein, also der ggT(10,15) = 5.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 km:

10 km	40 min
5 km	?
15 km	?

Um von 10 km in der ersten Zeile auf 5 km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Somit müssen wir auch die 40 min durch 2 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 5 km entspricht:

: 2

10 km	40 min
5 km	?
15 km	?

: 2

10 km	40 min
5 km	20 min
15 km	?

: 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 5 km in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 15 km in der dritten Zeile zu kommen.

: 2

⋅ 3

10 km	40 min
5 km	20 min
15 km	?

: 2

⋅ 3

Wir müssen somit auch rechts die 20 min in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren:

: 2

⋅ 3

10 km	40 min
5 km	20 min
15 km	60 min

: 2

⋅ 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 km entspricht: 60 min

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 6 wenn die Größe B den Wert 21 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 21 durch den Wert von 'Größe A' (6) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{6}$ des Wertes bei 6 sein muss.
Also: m= $\frac{21}{6}$ = $3,5$
Zuordnungsvorschrift: y = $3,5$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Ein Boiler erhitzt Wasser. Dabei wird in 7 Minuten das Wasser um 18,2°C erhitzt. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert einen Wert der Wassererhitzung in °C zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Temperaturänderung', nämlich 18.2 durch den Wert von 'Erhitzungsszeit' (7) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{7}$ des Wertes bei 7 sein muss.
Also: m= $\frac{18.2}{7}$ = $2,6$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,6$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 4, wenn die Größe B den Wert 16.4 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 30.75 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 16.4 = m⋅4.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 16.4 durch den Wert von Größe A (4) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{4}$ des Wertes bei 4 sein muss.
Also: m= $\frac{16.4}{4}$ = $4,1$
Zuordnungsvorschrift: y = $4,1$ ⋅ x

x-Wert bei y = 30.75

Da der/die Größe B den Wert 30.75 hat, muss man 30.75 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
30.75 = $4,1$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{30.75}{4.1}$ , weil dann 30.75 = $4,1$ ⋅ $\frac{30.75}{4.1}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{30.75}{4.1}$ = 7.5.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann 7 Kartons in 16,1 Sekunden verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der verpackten Kartons der Verpackungszeit in Sekunden zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 16.1 = m⋅7.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Verpackungszeit, nämlich 16.1 durch den Wert von Kartonanzahl (7) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{7}$ des Wertes bei 7 sein muss.
Also: m= $\frac{16.1}{7}$ = $2,3$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,3$ ⋅ x

x-Wert bei y = 17.25

Da der/die Verpackungszeit den Wert 17.25 hat, muss man 17.25 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Kartonanzahl zu erhalten:
17.25 = $2,3$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{17.25}{2.3}$ , weil dann 17.25 = $2,3$ ⋅ $\frac{17.25}{2.3}$ .
Somit gilt für x (Kartonanzahl) = $\frac{17.25}{2.3}$ = 7.5.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz

Einfacher Dreisatz

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)