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Zweisatz

Beispiel:

Beim Karls Lieblingsobsthändler bekommt man für 1,50 € 1 kg Birnen.

Wie viel kosten 6 kg Birnen?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 kg Birnen	1,50 €
6 kg Birnen	?

Um von 1 kg Birnen in der ersten Zeile auf 6 kg Birnen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 6 multiplizieren. Somit müssen wir auch die 1.5 € mit 6 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 6 kg Birnen entspricht:

⋅ 6

1 kg Birnen	1,50 €
6 kg Birnen	?

⋅ 6

1 kg Birnen	1,50 €
6 kg Birnen	9,00 €

⋅ 6

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 6 kg Birnen entspricht: 9,00 €

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem proportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

6 Brötchen	2,10 €
?	?
7 Brötchen	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Brötchen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 Brötchen teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 6 und von 7 sein, also der ggT(6,7) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Brötchen:

6 Brötchen	2,10 €
1 Brötchen	?
7 Brötchen	?

Um von 6 Brötchen in der ersten Zeile auf 1 Brötchen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 6 teilen. Somit müssen wir auch die 2,1 € durch 6 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 Brötchen entspricht:

: 6

6 Brötchen	2,10 €
1 Brötchen	?
7 Brötchen	?

: 6

(Beim Teilen durch 6 kann man einfach erst durch 2 und dann durch 3 teilen - oder erst eine 6-er Zahl in der Nähe suchen, hier 0, und dann noch den Rest (2.1) durch 6 teilen.)

: 6

6 Brötchen	2,10 €
1 Brötchen	0,35 €
7 Brötchen	?

: 6

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Brötchen in der mittleren Zeile mit 7 multiplizieren, um auf die 7 Brötchen in der dritten Zeile zu kommen.

: 6

⋅ 7

6 Brötchen	2,10 €
1 Brötchen	0,35 €
7 Brötchen	?

: 6

⋅ 7

Wir müssen somit auch rechts die 0,35 € in der mittleren Zeile mit 7 multiplizieren:

: 6

⋅ 7

6 Brötchen	2,10 €
1 Brötchen	0,35 €
7 Brötchen	2,45 €

: 6

⋅ 7

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 7 Brötchen entspricht: 2,45 €

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 3 wenn die Größe B den Wert 11.7 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 11.7 durch den Wert von 'Größe A' (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{3}$ des Wertes bei 3 sein muss.
Also: m= $\frac{11.7}{3}$ = $3,9$
Zuordnungsvorschrift: y = $3,9$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann in 5 Minuten 10,5 Kartons verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert eine Anzahl der verpackten Kartons zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Kartonanzahl', nämlich 10.5 durch den Wert von 'Verpackungszeit' (5) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{5}$ des Wertes bei 5 sein muss.
Also: m= $\frac{10.5}{5}$ = $2,1$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,1$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 6, wenn die Größe B den Wert 9 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.

Welchen Wert nimmt Größe B ein, wenn die Größe A den Wert 6.5 hat?
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 6.75 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 9 = m⋅6.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 9 durch den Wert von Größe A (6) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{6}$ des Wertes bei 6 sein muss.
Also: m= $\frac{9}{6}$ = $1,5$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,5$ ⋅ x

y-Wert bei x = 6.5
Da der/die Größe A den Wert 6.5 hat, muss man einfach 6.5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Größe B zu erhalten:
y= $1,5$ ⋅ 6.5 = 9.75
.
x-Wert bei y = 6.75
Da der/die Größe B den Wert 6.75 hat, muss man 6.75 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
6.75 = $1,5$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{6.75}{1.5}$ , weil dann 6.75 = $1,5$ ⋅ $\frac{6.75}{1.5}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{6.75}{1.5}$ = 4.5.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Ein Prepaid-Anbieter verlangt immer den gleichen Preis pro Minute Telefonieren mit dem Handy. Auf einem Werbeplakat steht, dass 2 Minuten nur 24ct kosten. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man den telefonierten Minuten den Preis in Cent zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 24 = m⋅2.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Preis, nämlich 24 durch den Wert von Minuten (2) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{2}$ des Wertes bei 2 sein muss.
Also: m= $\frac{24}{2}$ = $12$
Zuordnungsvorschrift: y = $12$ ⋅ x

y-Wert bei x = 3.5

Da der/die Minuten den Wert 3.5 hat, muss man einfach 3.5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Preis zu erhalten:
y= $12$ ⋅ 3.5 = 42

.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)