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Zweisatz

Beispiel:

Beim Bäcker Leckerbeck kostet 1 Brötchen immer 0,40 €.

Wie viel kosten 3 Brötchen?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Brötchen	0,40 €
3 Brötchen	?

Um von 1 Brötchen in der ersten Zeile auf 3 Brötchen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 3 multiplizieren. Somit müssen wir auch die 0.4 € mit 3 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 3 Brötchen entspricht:

⋅ 3

1 Brötchen	0,40 €
3 Brötchen	?

⋅ 3

1 Brötchen	0,40 €
3 Brötchen	1,20 €

⋅ 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Brötchen entspricht: 1,20 €

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem proportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

20 km	120 min
?	?
24 km	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 20 km teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 20 und von 24 sein, also der ggT(20,24) = 4.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 km:

20 km	120 min
4 km	?
24 km	?

Um von 20 km in der ersten Zeile auf 4 km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Somit müssen wir auch die 120 min durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 4 km entspricht:

: 5

20 km	120 min
4 km	?
24 km	?

: 5

(Beim Teilen durch 5 kann man einfach erst verdoppeln und dann durch 10 teilen.)

: 5

20 km	120 min
4 km	24 min
24 km	?

: 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 4 km in der mittleren Zeile mit 6 multiplizieren, um auf die 24 km in der dritten Zeile zu kommen.

: 5

⋅ 6

20 km	120 min
4 km	24 min
24 km	?

: 5

⋅ 6

Wir müssen somit auch rechts die 24 min in der mittleren Zeile mit 6 multiplizieren:

: 5

⋅ 6

20 km	120 min
4 km	24 min
24 km	144 min

: 5

⋅ 6

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 24 km entspricht: 144 min

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 3 wenn die Größe B den Wert 10.8 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 10.8 durch den Wert von 'Größe A' (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{3}$ des Wertes bei 3 sein muss.
Also: m= $\frac{10.8}{3}$ = $3,6$
Zuordnungsvorschrift: y = $3,6$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Ein Boiler erhitzt Wasser. Dabei wird in 3 Minuten das Wasser um 3,6°C erhitzt. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert einen Wert der Wassererhitzung in °C zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Temperaturänderung', nämlich 3.6 durch den Wert von 'Erhitzungsszeit' (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{3}$ des Wertes bei 3 sein muss.
Also: m= $\frac{3.6}{3}$ = $1,2$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,2$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 4, wenn die Größe B den Wert 12.4 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt Größe B ein, wenn die Größe A den Wert 7.5 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 12.4 = m⋅4.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 12.4 durch den Wert von Größe A (4) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{4}$ des Wertes bei 4 sein muss.
Also: m= $\frac{12.4}{4}$ = $3,1$
Zuordnungsvorschrift: y = $3,1$ ⋅ x

y-Wert bei x = 7.5

Da der/die Größe A den Wert 7.5 hat, muss man einfach 7.5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Größe B zu erhalten:
y= $3,1$ ⋅ 7.5 = 23.25

.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Die Lernmittelbücherei hat 120 neue gleiche Bücher bekommen. Jeweils 4 Bücher wiegen zusammen 1,2kg. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der Bücher dem Gewicht in kg zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 1.2 = m⋅4.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Gesamtgewicht, nämlich 1.2 durch den Wert von Bücheranzahl (4) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{4}$ des Wertes bei 4 sein muss.
Also: m= $\frac{1.2}{4}$ = $0,3$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,3$ ⋅ x

y-Wert bei x = 4.5
Da der/die Bücheranzahl den Wert 4.5 hat, muss man einfach 4.5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Gesamtgewicht zu erhalten:
y= $0,3$ ⋅ 4.5 = 1.35
.
x-Wert bei y = 1.65
Da der/die Gesamtgewicht den Wert 1.65 hat, muss man 1.65 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Bücheranzahl zu erhalten:
1.65 = $0,3$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{1.65}{0.3}$ , weil dann 1.65 = $0,3$ ⋅ $\frac{1.65}{0.3}$ .
Somit gilt für x (Bücheranzahl) = $\frac{1.65}{0.3}$ = 5.5.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)