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Proportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen proportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 600 ct den 30 Eier entsprechen.

: 4

⋅ 5

24 Eier	480 ct
6 Eier	120 ct
30 Eier	600 ct

: 4

⋅ 5

Der Wert 600 ct war also korrekt.

Jetzt überprüfen wir, ob die 1200 ct den 60 Eier entsprechen.

: 2

⋅ 5

24 Eier	480 ct
12 Eier	240 ct
60 Eier	1200 ct

: 2

⋅ 5

Der Wert 1200 ct war also korrekt.

Dreisatz (beide Richtungen)

Beispiel:

Eine erfahrende Langstreckenläuferin trainiert immer mit exakt dem gleichen Tempo. Für 8 km braucht sie 48 Minuten.

Wie lange braucht sie für 7 km?
Wie viele km schafft sie in 60 min?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

8 km	48 min
?	?
7 km	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 km teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 8 und von 7 sein, also der ggT(8,7) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 km:

8 km	48 min
1 km	?
7 km	?

Um von 8 km in der ersten Zeile auf 1 km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 8 teilen. Somit müssen wir auch die 48 min durch 8 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 km entspricht:

: 8

8 km	48 min
1 km	6 min
7 km	?

: 8

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 km in der mittleren Zeile mit 7 multiplizieren, um auf die 7 km in der dritten Zeile zu kommen.

: 8

⋅ 7

8 km	48 min
1 km	6 min
7 km	42 min

: 8

⋅ 7

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 7 km entspricht: 42 min

Für die andere Frage (Wie viele km schafft sie in 60 min?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "min"-Werte haben und nach einem "km"-Wert gesucht wird:

48 min	8 km
?	?
60 min	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die min in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 48 min teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 48 und von 60 sein, also der ggT(48,60) = 12.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 12 min:

48 min	8 km
12 min	?
60 min	?

Um von 48 min in der ersten Zeile auf 12 min in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Somit müssen wir auch die 8 km durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 12 min entspricht:

: 4

48 min	8 km
12 min	2 km
60 min	?

: 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 12 min in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 60 min in der dritten Zeile zu kommen.

: 4

⋅ 5

48 min	8 km
12 min	2 km
60 min	10 km

: 4

⋅ 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 60 min entspricht: 10 km

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 5 wenn die Größe B den Wert 21.5 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

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Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 21.5 durch den Wert von 'Größe A' (5) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{5}$ des Wertes bei 5 sein muss.
Also: m= $\frac{21.5}{5}$ = $4,3$
Zuordnungsvorschrift: y = $4,3$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann in 2 Minuten 7 Kartons verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert eine Anzahl der verpackten Kartons zuordnen kann.

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Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Kartonanzahl', nämlich 7 durch den Wert von 'Verpackungszeit' (2) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{2}$ des Wertes bei 2 sein muss.
Also: m= $\frac{7}{2}$ = $3,5$
Zuordnungsvorschrift: y = $3,5$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 6, wenn die Größe B den Wert 25.2 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt Größe B ein, wenn die Größe A den Wert 4 hat?

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Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 25.2 = m⋅6.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 25.2 durch den Wert von Größe A (6) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{6}$ des Wertes bei 6 sein muss.
Also: m= $\frac{25.2}{6}$ = $4,2$
Zuordnungsvorschrift: y = $4,2$ ⋅ x

y-Wert bei x = 4

Da der/die Größe A den Wert 4 hat, muss man einfach 4 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Größe B zu erhalten:
y= $4,2$ ⋅ 4 = 16.8

.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Die Lernmittelbücherei hat 120 neue gleiche Bücher bekommen. Jeweils 8 Bücher wiegen zusammen 5,6kg. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der Bücher dem Gewicht in kg zuordnen kann.

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Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 5.6 = m⋅8.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Gesamtgewicht, nämlich 5.6 durch den Wert von Bücheranzahl (8) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{8}$ des Wertes bei 8 sein muss.
Also: m= $\frac{5.6}{8}$ = $0,7$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,7$ ⋅ x

x-Wert bei y = 6.3

Da der/die Gesamtgewicht den Wert 6.3 hat, muss man 6.3 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Bücheranzahl zu erhalten:
6.3 = $0,7$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{6.3}{0.7}$ , weil dann 6.3 = $0,7$ ⋅ $\frac{6.3}{0.7}$ .
Somit gilt für x (Bücheranzahl) = $\frac{6.3}{0.7}$ = 9.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Proportionalität überprüfen

Dreisatz (beide Richtungen)

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)