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Proportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen proportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 9000 g den 18 Becher Joghurt entsprechen.

: 5

⋅ 6

15 Becher Joghurt	7500 g
3 Becher Joghurt	1500 g
18 Becher Joghurt	9000 g

: 5

⋅ 6

Der Wert 9000 g war also korrekt.

Jetzt überprüfen wir, ob die 10750 g den 20 Becher Joghurt entsprechen.

: 3

⋅ 4

15 Becher Joghurt	7500 g
5 Becher Joghurt	2500 g
20 Becher Joghurt	10000 g

: 3

⋅ 4

Der Wert 10750 g war also falsch, richtig wäre 10000 g gewesen.

Dreisatz (beide Richtungen)

Beispiel:

Beim Biohof Ökofarm bezahlt Herr Eggestein 3,60 € für 12 Eier.

Wie viel kosten 8 Eier?
Wie viele Eier bekommt er für 4,50 €?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

12 Eier	360 ct
?	?
8 Eier	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Eier in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 12 Eier teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 12 und von 8 sein, also der ggT(12,8) = 4.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 Eier:

12 Eier	360 ct
4 Eier	?
8 Eier	?

Um von 12 Eier in der ersten Zeile auf 4 Eier in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Somit müssen wir auch die 360 ct durch 3 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 4 Eier entspricht:

: 3

12 Eier	360 ct
4 Eier	120 ct
8 Eier	?

: 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 4 Eier in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 8 Eier in der dritten Zeile zu kommen.

: 3

⋅ 2

12 Eier	360 ct
4 Eier	120 ct
8 Eier	240 ct

: 3

⋅ 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Eier entspricht: 240 ct

Für die andere Frage (Wie viele Eier bekommt er für 4,50 €?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "ct"-Werte haben und nach einem "Eier"-Wert gesucht wird:

360 ct	12 Eier
?	?
450 ct	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die ct in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 360 ct teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 360 und von 450 sein, also der ggT(360,450) = 90.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 90 ct:

360 ct	12 Eier
90 ct	?
450 ct	?

Um von 360 ct in der ersten Zeile auf 90 ct in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Somit müssen wir auch die 12 Eier durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 90 ct entspricht:

: 4

360 ct	12 Eier
90 ct	3 Eier
450 ct	?

: 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 90 ct in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 450 ct in der dritten Zeile zu kommen.

: 4

⋅ 5

360 ct	12 Eier
90 ct	3 Eier
450 ct	15 Eier

: 4

⋅ 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 450 ct entspricht: 15 Eier

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 8 wenn die Größe B den Wert 16 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

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Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 16 durch den Wert von 'Größe A' (8) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{8}$ des Wertes bei 8 sein muss.
Also: m= $\frac{16}{8}$ = $2$
Zuordnungsvorschrift: y = $2$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Ein Boiler erhitzt Wasser. Dabei wird in 4 Minuten das Wasser um 16,8°C erhitzt. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert einen Wert der Wassererhitzung in °C zuordnen kann.

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Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Temperaturänderung', nämlich 16.8 durch den Wert von 'Erhitzungsszeit' (4) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{4}$ des Wertes bei 4 sein muss.
Also: m= $\frac{16.8}{4}$ = $4,2$
Zuordnungsvorschrift: y = $4,2$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 6, wenn die Größe B den Wert 24.6 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 12.3 hat?

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Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 24.6 = m⋅6.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 24.6 durch den Wert von Größe A (6) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{6}$ des Wertes bei 6 sein muss.
Also: m= $\frac{24.6}{6}$ = $4,1$
Zuordnungsvorschrift: y = $4,1$ ⋅ x

x-Wert bei y = 12.3

Da der/die Größe B den Wert 12.3 hat, muss man 12.3 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
12.3 = $4,1$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{12.3}{4.1}$ , weil dann 12.3 = $4,1$ ⋅ $\frac{12.3}{4.1}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{12.3}{4.1}$ = 3.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Ein Prepaid-Anbieter verlangt immer den gleichen Preis pro Minute Telefonieren mit dem Handy. Auf einem Werbeplakat steht, dass 3 Minuten nur 27ct kosten. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man den telefonierten Minuten den Preis in Cent zuordnen kann.

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Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 27 = m⋅3.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Preis, nämlich 27 durch den Wert von Minuten (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{3}$ des Wertes bei 3 sein muss.
Also: m= $\frac{27}{3}$ = $9$
Zuordnungsvorschrift: y = $9$ ⋅ x

y-Wert bei x = 6.5
Da der/die Minuten den Wert 6.5 hat, muss man einfach 6.5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Preis zu erhalten:
y= $9$ ⋅ 6.5 = 58.5
.
x-Wert bei y = 54
Da der/die Preis den Wert 54 hat, muss man 54 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Minuten zu erhalten:
54 = $9$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{54}{9}$ , weil dann 54 = $9$ ⋅ $\frac{54}{9}$ .
Somit gilt für x (Minuten) = $\frac{54}{9}$ = 6.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Proportionalität überprüfen

Dreisatz (beide Richtungen)

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)