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Proportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen proportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 180 g den 20 Scheiben Käse entsprechen.

: 3

⋅ 5

12 Scheiben Käse	120 g
4 Scheiben Käse	40 g
20 Scheiben Käse	200 g

: 3

⋅ 5

Der Wert 180 g war also falsch, richtig wäre 200 g gewesen.

Jetzt überprüfen wir, ob die 160 g den 16 Scheiben Käse entsprechen.

: 3

⋅ 4

12 Scheiben Käse	120 g
4 Scheiben Käse	40 g
16 Scheiben Käse	160 g

: 3

⋅ 4

Der Wert 160 g war also korrekt.

Dreisatz (beide Richtungen)

Beispiel:

Beim Biohof Ökofarm bezahlt Herr Eggestein 6,00 € für 20 Eier.

Wie viel kosten 12 Eier?
Wie viele Eier bekommt er für 7,50 €?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

20 Eier	600 ct
?	?
12 Eier	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Eier in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 20 Eier teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 20 und von 12 sein, also der ggT(20,12) = 4.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 Eier:

20 Eier	600 ct
4 Eier	?
12 Eier	?

Um von 20 Eier in der ersten Zeile auf 4 Eier in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Somit müssen wir auch die 600 ct durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 4 Eier entspricht:

: 5

20 Eier	600 ct
4 Eier	120 ct
12 Eier	?

: 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 4 Eier in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 12 Eier in der dritten Zeile zu kommen.

: 5

⋅ 3

20 Eier	600 ct
4 Eier	120 ct
12 Eier	360 ct

: 5

⋅ 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Eier entspricht: 360 ct

Für die andere Frage (Wie viele Eier bekommt er für 7,50 €?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "ct"-Werte haben und nach einem "Eier"-Wert gesucht wird:

600 ct	20 Eier
?	?
750 ct	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die ct in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 600 ct teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 600 und von 750 sein, also der ggT(600,750) = 150.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 150 ct:

600 ct	20 Eier
150 ct	?
750 ct	?

Um von 600 ct in der ersten Zeile auf 150 ct in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Somit müssen wir auch die 20 Eier durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 150 ct entspricht:

: 4

600 ct	20 Eier
150 ct	5 Eier
750 ct	?

: 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 150 ct in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 750 ct in der dritten Zeile zu kommen.

: 4

⋅ 5

600 ct	20 Eier
150 ct	5 Eier
750 ct	25 Eier

: 4

⋅ 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 750 ct entspricht: 25 Eier

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 3 wenn die Größe B den Wert 12 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

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Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 12 durch den Wert von 'Größe A' (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{3}$ des Wertes bei 3 sein muss.
Also: m= $\frac{12}{3}$ = $4$
Zuordnungsvorschrift: y = $4$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Im Winter schneit es 1 Stunde lang total gleichmäßig. Dabei fallen in 4 Minuten 8 cm. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man jedem Minuten-Wert eine Schneehöhe in cm zuordnen kann.

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Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Schneehöhe', nämlich 8 durch den Wert von 'Zeit' (4) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{4}$ des Wertes bei 4 sein muss.
Also: m= $\frac{8}{4}$ = $2$
Zuordnungsvorschrift: y = $2$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 6, wenn die Größe B den Wert 15.6 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt Größe B ein, wenn die Größe A den Wert 8 hat?

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Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 15.6 = m⋅6.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 15.6 durch den Wert von Größe A (6) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{6}$ des Wertes bei 6 sein muss.
Also: m= $\frac{15.6}{6}$ = $2,6$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,6$ ⋅ x

y-Wert bei x = 8

Da der/die Größe A den Wert 8 hat, muss man einfach 8 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Größe B zu erhalten:
y= $2,6$ ⋅ 8 = 20.8

.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Die Lernmittelbücherei hat 120 neue gleiche Bücher bekommen. Jeweils 8 Bücher wiegen zusammen 10,4kg. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der Bücher dem Gewicht in kg zuordnen kann.

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Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 10.4 = m⋅8.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Gesamtgewicht, nämlich 10.4 durch den Wert von Bücheranzahl (8) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{8}$ des Wertes bei 8 sein muss.
Also: m= $\frac{10.4}{8}$ = $1,3$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,3$ ⋅ x

x-Wert bei y = 6.5

Da der/die Gesamtgewicht den Wert 6.5 hat, muss man 6.5 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Bücheranzahl zu erhalten:
6.5 = $1,3$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{6.5}{1.3}$ , weil dann 6.5 = $1,3$ ⋅ $\frac{6.5}{1.3}$ .
Somit gilt für x (Bücheranzahl) = $\frac{6.5}{1.3}$ = 5.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Proportionalität überprüfen

Dreisatz (beide Richtungen)

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)