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Proportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen proportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 54 ct den 30 Minuten telefonieren entsprechen.

: 3

⋅ 5

18 Minuten telefonieren	36 ct
6 Minuten telefonieren	12 ct
30 Minuten telefonieren	60 ct

: 3

⋅ 5

Der Wert 54 ct war also falsch, richtig wäre 60 ct gewesen.

Jetzt überprüfen wir, ob die 48 ct den 24 Minuten telefonieren entsprechen.

: 3

⋅ 4

18 Minuten telefonieren	36 ct
6 Minuten telefonieren	12 ct
24 Minuten telefonieren	48 ct

: 3

⋅ 4

Der Wert 48 ct war also korrekt.

Einfacher Dreisatz

Beispiel:

Beim Bäcker Allesfresh kosten 15 Brezeln immer 12,00 €.

Wie viel kosten 9 Brezeln?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

15 Brezeln	12,00 €
?	?
9 Brezeln	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Brezeln in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 15 Brezeln teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 15 und von 9 sein, also der ggT(15,9) = 3.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 Brezeln:

15 Brezeln	12,00 €
3 Brezeln	?
9 Brezeln	?

Um von 15 Brezeln in der ersten Zeile auf 3 Brezeln in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Somit müssen wir auch die 12 € durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 3 Brezeln entspricht:

: 5

15 Brezeln	12,00 €
3 Brezeln	?
9 Brezeln	?

: 5

(Beim Teilen durch 5 kann man einfach erst verdoppeln und dann durch 10 teilen.)

: 5

15 Brezeln	12,00 €
3 Brezeln	2,40 €
9 Brezeln	?

: 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 3 Brezeln in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 9 Brezeln in der dritten Zeile zu kommen.

: 5

⋅ 3

15 Brezeln	12,00 €
3 Brezeln	2,40 €
9 Brezeln	?

: 5

⋅ 3

Wir müssen somit auch rechts die 2,40 € in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren:

: 5

⋅ 3

15 Brezeln	12,00 €
3 Brezeln	2,40 €
9 Brezeln	7,20 €

: 5

⋅ 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 9 Brezeln entspricht: 7,20 €

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 4 wenn die Größe B den Wert 18 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

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Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 18 durch den Wert von 'Größe A' (4) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{4}$ des Wertes bei 4 sein muss.
Also: m= $\frac{18}{4}$ = $4,5$
Zuordnungsvorschrift: y = $4,5$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Im Winter schneit es 1 Stunde lang total gleichmäßig. Dabei fallen in 6 Minuten 21,6 cm. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man jedem Minuten-Wert eine Schneehöhe in cm zuordnen kann.

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Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Schneehöhe', nämlich 21.6 durch den Wert von 'Zeit' (6) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{6}$ des Wertes bei 6 sein muss.
Also: m= $\frac{21.6}{6}$ = $3,6$
Zuordnungsvorschrift: y = $3,6$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 8, wenn die Größe B den Wert 14.4 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.

Welchen Wert nimmt Größe B ein, wenn die Größe A den Wert 10 hat?
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 13.5 hat?

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Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 14.4 = m⋅8.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 14.4 durch den Wert von Größe A (8) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{8}$ des Wertes bei 8 sein muss.
Also: m= $\frac{14.4}{8}$ = $1,8$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,8$ ⋅ x

y-Wert bei x = 10
Da der/die Größe A den Wert 10 hat, muss man einfach 10 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Größe B zu erhalten:
y= $1,8$ ⋅ 10 = 18
.
x-Wert bei y = 13.5
Da der/die Größe B den Wert 13.5 hat, muss man 13.5 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
13.5 = $1,8$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{13.5}{1.8}$ , weil dann 13.5 = $1,8$ ⋅ $\frac{13.5}{1.8}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{13.5}{1.8}$ = 7.5.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Die Lernmittelbücherei hat 120 neue gleiche Bücher bekommen. Jeweils 7 Bücher wiegen zusammen 2,1kg. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der Bücher dem Gewicht in kg zuordnen kann.

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Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 2.1 = m⋅7.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Gesamtgewicht, nämlich 2.1 durch den Wert von Bücheranzahl (7) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{7}$ des Wertes bei 7 sein muss.
Also: m= $\frac{2.1}{7}$ = $0,3$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,3$ ⋅ x

y-Wert bei x = 8

Da der/die Bücheranzahl den Wert 8 hat, muss man einfach 8 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Gesamtgewicht zu erhalten:
y= $0,3$ ⋅ 8 = 2.4

.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Proportionalität überprüfen

Einfacher Dreisatz

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)