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Proportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen proportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 40 min den 8 km entsprechen.

: 5

⋅ 4

10 km	50 min
2 km	10 min
8 km	40 min

: 5

⋅ 4

Der Wert 40 min war also korrekt.

Jetzt überprüfen wir, ob die 70 min den 15 km entsprechen.

: 2

⋅ 3

10 km	50 min
5 km	25 min
15 km	75 min

: 2

⋅ 3

Der Wert 70 min war also falsch, richtig wäre 75 min gewesen.

Einfacher Dreisatz

Beispiel:

Beim Bäcker Allesfresh kosten 24 Brezeln immer 12,00 €.

Wie viel kosten 30 Brezeln?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

24 Brezeln	12,00 €
?	?
30 Brezeln	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Brezeln in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 24 Brezeln teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 24 und von 30 sein, also der ggT(24,30) = 6.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 6 Brezeln:

24 Brezeln	12,00 €
6 Brezeln	?
30 Brezeln	?

Um von 24 Brezeln in der ersten Zeile auf 6 Brezeln in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Somit müssen wir auch die 12 € durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 6 Brezeln entspricht:

: 4

24 Brezeln	12,00 €
6 Brezeln	?
30 Brezeln	?

: 4

24 Brezeln	12,00 €
6 Brezeln	3,00 €
30 Brezeln	?

: 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 6 Brezeln in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 30 Brezeln in der dritten Zeile zu kommen.

: 4

⋅ 5

24 Brezeln	12,00 €
6 Brezeln	3,00 €
30 Brezeln	?

: 4

⋅ 5

Wir müssen somit auch rechts die 3,00 € in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren:

: 4

⋅ 5

24 Brezeln	12,00 €
6 Brezeln	3,00 €
30 Brezeln	15,00 €

: 4

⋅ 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 30 Brezeln entspricht: 15,00 €

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 7 wenn die Größe B den Wert 2.1 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 2.1 durch den Wert von 'Größe A' (7) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{7}$ des Wertes bei 7 sein muss.
Also: m= $\frac{2.1}{7}$ = $0,3$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,3$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann in 6 Minuten 3 Kartons verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert eine Anzahl der verpackten Kartons zuordnen kann.

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Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Kartonanzahl', nämlich 3 durch den Wert von 'Verpackungszeit' (6) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{6}$ des Wertes bei 6 sein muss.
Also: m= $\frac{3}{6}$ = $0,5$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,5$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 7, wenn die Größe B den Wert 18.2 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.

Welchen Wert nimmt Größe B ein, wenn die Größe A den Wert 4.5 hat?
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 15.6 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 18.2 = m⋅7.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 18.2 durch den Wert von Größe A (7) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{7}$ des Wertes bei 7 sein muss.
Also: m= $\frac{18.2}{7}$ = $2,6$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,6$ ⋅ x

y-Wert bei x = 4.5
Da der/die Größe A den Wert 4.5 hat, muss man einfach 4.5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Größe B zu erhalten:
y= $2,6$ ⋅ 4.5 = 11.7
.
x-Wert bei y = 15.6
Da der/die Größe B den Wert 15.6 hat, muss man 15.6 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
15.6 = $2,6$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{15.6}{2.6}$ , weil dann 15.6 = $2,6$ ⋅ $\frac{15.6}{2.6}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{15.6}{2.6}$ = 6.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Die Lernmittelbücherei hat 120 neue gleiche Bücher bekommen. Jeweils 5 Bücher wiegen zusammen 4,5kg. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der Bücher dem Gewicht in kg zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 4.5 = m⋅5.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Gesamtgewicht, nämlich 4.5 durch den Wert von Bücheranzahl (5) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{5}$ des Wertes bei 5 sein muss.
Also: m= $\frac{4.5}{5}$ = $0,9$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,9$ ⋅ x

y-Wert bei x = 8
Da der/die Bücheranzahl den Wert 8 hat, muss man einfach 8 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Gesamtgewicht zu erhalten:
y= $0,9$ ⋅ 8 = 7.2
.
x-Wert bei y = 7.65
Da der/die Gesamtgewicht den Wert 7.65 hat, muss man 7.65 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Bücheranzahl zu erhalten:
7.65 = $0,9$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{7.65}{0.9}$ , weil dann 7.65 = $0,9$ ⋅ $\frac{7.65}{0.9}$ .
Somit gilt für x (Bücheranzahl) = $\frac{7.65}{0.9}$ = 8.5.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Proportionalität überprüfen

Einfacher Dreisatz

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)