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Proportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen proportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 420 ct den 12 Eier entsprechen.

: 2

⋅ 3

8 Eier	240 ct
4 Eier	120 ct
12 Eier	360 ct

: 2

⋅ 3

Der Wert 420 ct war also falsch, richtig wäre 360 ct gewesen.

Jetzt überprüfen wir, ob die 360 ct den 10 Eier entsprechen.

: 4

⋅ 5

8 Eier	240 ct
2 Eier	60 ct
10 Eier	300 ct

: 4

⋅ 5

Der Wert 360 ct war also falsch, richtig wäre 300 ct gewesen.

Dreisatz (beide Richtungen)

Beispiel:

Herr Tobrak hat einen neuen Handyvertrag abgeschlossen. Für sein 12-Minuten-Gespräch hat er nun 36 ct bezahlt.

Wie viel kosten ihn 20 min telefonieren?
Wie lange kann er für 48 ct telefonieren?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

12 Minuten telefonieren	36 ct
?	?
20 Minuten telefonieren	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten telefonieren in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 12 Minuten telefonieren teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 12 und von 20 sein, also der ggT(12,20) = 4.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 Minuten telefonieren:

12 Minuten telefonieren	36 ct
4 Minuten telefonieren	?
20 Minuten telefonieren	?

Um von 12 Minuten telefonieren in der ersten Zeile auf 4 Minuten telefonieren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Somit müssen wir auch die 36 ct durch 3 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 4 Minuten telefonieren entspricht:

: 3

12 Minuten telefonieren	36 ct
4 Minuten telefonieren	12 ct
20 Minuten telefonieren	?

: 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 4 Minuten telefonieren in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 20 Minuten telefonieren in der dritten Zeile zu kommen.

: 3

⋅ 5

12 Minuten telefonieren	36 ct
4 Minuten telefonieren	12 ct
20 Minuten telefonieren	60 ct

: 3

⋅ 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 20 Minuten telefonieren entspricht: 60 ct

Für die andere Frage (Wie lange kann er für 48 ct telefonieren?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "ct"-Werte haben und nach einem "Minuten telefonieren"-Wert gesucht wird:

36 ct	12 Minuten telefonieren
?	?
48 ct	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die ct in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 36 ct teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 36 und von 48 sein, also der ggT(36,48) = 12.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 12 ct:

36 ct	12 Minuten telefonieren
12 ct	?
48 ct	?

Um von 36 ct in der ersten Zeile auf 12 ct in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Somit müssen wir auch die 12 Minuten telefonieren durch 3 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 12 ct entspricht:

: 3

36 ct	12 Minuten telefonieren
12 ct	4 Minuten telefonieren
48 ct	?

: 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 12 ct in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 48 ct in der dritten Zeile zu kommen.

: 3

⋅ 4

36 ct	12 Minuten telefonieren
12 ct	4 Minuten telefonieren
48 ct	16 Minuten telefonieren

: 3

⋅ 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 48 ct entspricht: 16 Minuten telefonieren

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 3 wenn die Größe B den Wert 3.6 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 3.6 durch den Wert von 'Größe A' (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{3}$ des Wertes bei 3 sein muss.
Also: m= $\frac{3.6}{3}$ = $1,2$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,2$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann in 6 Minuten 24,6 Kartons verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert eine Anzahl der verpackten Kartons zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Kartonanzahl', nämlich 24.6 durch den Wert von 'Verpackungszeit' (6) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{6}$ des Wertes bei 6 sein muss.
Also: m= $\frac{24.6}{6}$ = $4,1$
Zuordnungsvorschrift: y = $4,1$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 6, wenn die Größe B den Wert 18 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 13.5 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 18 = m⋅6.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 18 durch den Wert von Größe A (6) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{6}$ des Wertes bei 6 sein muss.
Also: m= $\frac{18}{6}$ = $3$
Zuordnungsvorschrift: y = $3$ ⋅ x

x-Wert bei y = 13.5

Da der/die Größe B den Wert 13.5 hat, muss man 13.5 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
13.5 = $3$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{13.5}{3}$ , weil dann 13.5 = $3$ ⋅ $\frac{13.5}{3}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{13.5}{3}$ = 4.5.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann 2 Kartons in 5,6 Sekunden verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der verpackten Kartons der Verpackungszeit in Sekunden zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 5.6 = m⋅2.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Verpackungszeit, nämlich 5.6 durch den Wert von Kartonanzahl (2) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{2}$ des Wertes bei 2 sein muss.
Also: m= $\frac{5.6}{2}$ = $2,8$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,8$ ⋅ x

y-Wert bei x = 4.5
Da der/die Kartonanzahl den Wert 4.5 hat, muss man einfach 4.5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Verpackungszeit zu erhalten:
y= $2,8$ ⋅ 4.5 = 12.6
.
x-Wert bei y = 8.4
Da der/die Verpackungszeit den Wert 8.4 hat, muss man 8.4 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Kartonanzahl zu erhalten:
8.4 = $2,8$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{8.4}{2.8}$ , weil dann 8.4 = $2,8$ ⋅ $\frac{8.4}{2.8}$ .
Somit gilt für x (Kartonanzahl) = $\frac{8.4}{2.8}$ = 3.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Proportionalität überprüfen

Dreisatz (beide Richtungen)

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)