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Zweisatz rückwärts

Beispiel:

Herr Tobrak hat einen neuen Handyvertrag abgeschlossen. Für sein 3-Minuten-Gespräch hat er nun 24 ct bezahlt.

Wie viel kostet ihn 1 min telefonieren?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

3 Minuten telefonieren	24 ct
1 Minute telefonieren	?

Um von 3 Minuten telefonieren in der ersten Zeile auf 1 Minuten telefonieren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Somit müssen wir auch die 24 ct durch 3 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 Minuten telefonieren entspricht:

: 3

3 Minuten telefonieren	24 ct
1 Minute telefonieren	?

: 3

3 Minuten telefonieren	24 ct
1 Minute telefonieren	8 ct

: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 1 Minuten telefonieren entspricht: 8 ct

Dreisatz (beide Richtungen)

Beispiel:

Herr Tobrak hat einen neuen Handyvertrag abgeschlossen. Für sein 25-Minuten-Gespräch hat er nun 200 ct bezahlt.

Wie viel kosten ihn 30 min telefonieren?
Wie lange kann er für 160 ct telefonieren?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

25 Minuten telefonieren	200 ct
?	?
30 Minuten telefonieren	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten telefonieren in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 25 Minuten telefonieren teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 25 und von 30 sein, also der ggT(25,30) = 5.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 Minuten telefonieren:

25 Minuten telefonieren	200 ct
5 Minuten telefonieren	?
30 Minuten telefonieren	?

Um von 25 Minuten telefonieren in der ersten Zeile auf 5 Minuten telefonieren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Somit müssen wir auch die 200 ct durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 5 Minuten telefonieren entspricht:

: 5

25 Minuten telefonieren	200 ct
5 Minuten telefonieren	40 ct
30 Minuten telefonieren	?

: 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 5 Minuten telefonieren in der mittleren Zeile mit 6 multiplizieren, um auf die 30 Minuten telefonieren in der dritten Zeile zu kommen.

: 5

⋅ 6

25 Minuten telefonieren	200 ct
5 Minuten telefonieren	40 ct
30 Minuten telefonieren	240 ct

: 5

⋅ 6

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 30 Minuten telefonieren entspricht: 240 ct

Für die andere Frage (Wie lange kann er für 160 ct telefonieren?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "ct"-Werte haben und nach einem "Minuten telefonieren"-Wert gesucht wird:

200 ct	25 Minuten telefonieren
?	?
160 ct	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die ct in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 200 ct teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 200 und von 160 sein, also der ggT(200,160) = 40.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 40 ct:

200 ct	25 Minuten telefonieren
40 ct	?
160 ct	?

Um von 200 ct in der ersten Zeile auf 40 ct in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Somit müssen wir auch die 25 Minuten telefonieren durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 40 ct entspricht:

: 5

200 ct	25 Minuten telefonieren
40 ct	5 Minuten telefonieren
160 ct	?

: 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 40 ct in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 160 ct in der dritten Zeile zu kommen.

: 5

⋅ 4

200 ct	25 Minuten telefonieren
40 ct	5 Minuten telefonieren
160 ct	20 Minuten telefonieren

: 5

⋅ 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 160 ct entspricht: 20 Minuten telefonieren

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 2 wenn die Größe B den Wert 1.4 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 1.4 durch den Wert von 'Größe A' (2) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{2}$ des Wertes bei 2 sein muss.
Also: m= $\frac{1.4}{2}$ = $0,7$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,7$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann in 3 Minuten 1,5 Kartons verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert eine Anzahl der verpackten Kartons zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Kartonanzahl', nämlich 1.5 durch den Wert von 'Verpackungszeit' (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{3}$ des Wertes bei 3 sein muss.
Also: m= $\frac{1.5}{3}$ = $0,5$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,5$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 6, wenn die Größe B den Wert 9 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 10.5 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 9 = m⋅6.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 9 durch den Wert von Größe A (6) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{6}$ des Wertes bei 6 sein muss.
Also: m= $\frac{9}{6}$ = $1,5$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,5$ ⋅ x

x-Wert bei y = 10.5

Da der/die Größe B den Wert 10.5 hat, muss man 10.5 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
10.5 = $1,5$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{10.5}{1.5}$ , weil dann 10.5 = $1,5$ ⋅ $\frac{10.5}{1.5}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{10.5}{1.5}$ = 7.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Ein Prepaid-Anbieter verlangt immer den gleichen Preis pro Minute Telefonieren mit dem Handy. Auf einem Werbeplakat steht, dass 9 Minuten nur 108ct kosten. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man den telefonierten Minuten den Preis in Cent zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 108 = m⋅9.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Preis, nämlich 108 durch den Wert von Minuten (9) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{9}$ des Wertes bei 9 sein muss.
Also: m= $\frac{108}{9}$ = $12$
Zuordnungsvorschrift: y = $12$ ⋅ x

x-Wert bei y = 96

Da der/die Preis den Wert 96 hat, muss man 96 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Minuten zu erhalten:
96 = $12$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{96}{12}$ , weil dann 96 = $12$ ⋅ $\frac{96}{12}$ .
Somit gilt für x (Minuten) = $\frac{96}{12}$ = 8.

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Zweisatz rückwärts

Dreisatz (beide Richtungen)

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)