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Zweisatz rückwärts

Beispiel:

Eine erfahrende Langstreckenläuferin trainiert immer mit exakt dem gleichen Tempo. Für 9 km braucht sie 36 Minuten.

Wie lange braucht sie für 1 km?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

9 km	36 min
1 km	?

Um von 9 km in der ersten Zeile auf 1 km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 9 teilen. Somit müssen wir auch die 36 min durch 9 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 km entspricht:

: 9

9 km	36 min
1 km	?

: 9

9 km	36 min
1 km	4 min

: 9

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 1 km entspricht: 4 min

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem proportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

24 km	144 min
?	?
20 km	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 24 km teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 24 und von 20 sein, also der ggT(24,20) = 4.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 km:

24 km	144 min
4 km	?
20 km	?

Um von 24 km in der ersten Zeile auf 4 km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 6 teilen. Somit müssen wir auch die 144 min durch 6 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 4 km entspricht:

: 6

24 km	144 min
4 km	?
20 km	?

: 6

(Beim Teilen durch 6 kann man einfach erst durch 2 und dann durch 3 teilen - oder erst eine 6-er Zahl in der Nähe suchen, hier 120, und dann noch den Rest (24) durch 6 teilen.)

: 6

24 km	144 min
4 km	24 min
20 km	?

: 6

Jetzt müssen wir ja wieder die 4 km in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 20 km in der dritten Zeile zu kommen.

: 6

⋅ 5

24 km	144 min
4 km	24 min
20 km	?

: 6

⋅ 5

Wir müssen somit auch rechts die 24 min in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren:

: 6

⋅ 5

24 km	144 min
4 km	24 min
20 km	120 min

: 6

⋅ 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 20 km entspricht: 120 min

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 7 wenn die Größe B den Wert 1.4 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 1.4 durch den Wert von 'Größe A' (7) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{7}$ des Wertes bei 7 sein muss.
Also: m= $\frac{1.4}{7}$ = $0,2$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,2$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Im Winter schneit es 1 Stunde lang total gleichmäßig. Dabei fallen in 6 Minuten 20,4 cm. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man jedem Minuten-Wert eine Schneehöhe in cm zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Schneehöhe', nämlich 20.4 durch den Wert von 'Zeit' (6) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{6}$ des Wertes bei 6 sein muss.
Also: m= $\frac{20.4}{6}$ = $3,4$
Zuordnungsvorschrift: y = $3,4$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 3, wenn die Größe B den Wert 0.9 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 1.8 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 0.9 = m⋅3.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 0.9 durch den Wert von Größe A (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{3}$ des Wertes bei 3 sein muss.
Also: m= $\frac{0.9}{3}$ = $0,3$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,3$ ⋅ x

x-Wert bei y = 1.8

Da der/die Größe B den Wert 1.8 hat, muss man 1.8 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
1.8 = $0,3$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{1.8}{0.3}$ , weil dann 1.8 = $0,3$ ⋅ $\frac{1.8}{0.3}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{1.8}{0.3}$ = 6.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Die Lernmittelbücherei hat 120 neue gleiche Bücher bekommen. Jeweils 8 Bücher wiegen zusammen 0,8kg. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der Bücher dem Gewicht in kg zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 0.8 = m⋅8.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Gesamtgewicht, nämlich 0.8 durch den Wert von Bücheranzahl (8) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{8}$ des Wertes bei 8 sein muss.
Also: m= $\frac{0.8}{8}$ = $0,1$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,1$ ⋅ x

y-Wert bei x = 5
Da der/die Bücheranzahl den Wert 5 hat, muss man einfach 5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Gesamtgewicht zu erhalten:
y= $0,1$ ⋅ 5 = 0.5
.
x-Wert bei y = 0.55
Da der/die Gesamtgewicht den Wert 0.55 hat, muss man 0.55 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Bücheranzahl zu erhalten:
0.55 = $0,1$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{0.55}{0.1}$ , weil dann 0.55 = $0,1$ ⋅ $\frac{0.55}{0.1}$ .
Somit gilt für x (Bücheranzahl) = $\frac{0.55}{0.1}$ = 5.5.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz rückwärts

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)