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Zweisatz rückwärts

Beispiel:

Beim Bäcker Leckerbeck kosten 7 Brötchen immer 2,80 €.

Wie viel kostet 1 Brötchen?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

7 Brötchen	2,80 €
1 Brötchen	?

Um von 7 Brötchen in der ersten Zeile auf 1 Brötchen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 7 teilen. Somit müssen wir auch die 2.8 € durch 7 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 Brötchen entspricht:

: 7

7 Brötchen	2,80 €
1 Brötchen	?

: 7

7 Brötchen	2,80 €
1 Brötchen	0,40 €

: 7

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 1 Brötchen entspricht: 0,40 €

Einfacher Dreisatz

Beispiel:

In den 18 Joghurtbechern von Herrn Schaaf sind insgesamt 9000 g drin.

Wie viel Joghurt ist in 15 Bechern drin?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

18 Becher Joghurt	9000 g
?	?
15 Becher Joghurt	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Becher Joghurt in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 18 Becher Joghurt teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 18 und von 15 sein, also der ggT(18,15) = 3.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 Becher Joghurt:

18 Becher Joghurt	9000 g
3 Becher Joghurt	?
15 Becher Joghurt	?

Um von 18 Becher Joghurt in der ersten Zeile auf 3 Becher Joghurt in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 6 teilen. Somit müssen wir auch die 9000 g durch 6 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 3 Becher Joghurt entspricht:

: 6

18 Becher Joghurt	9000 g
3 Becher Joghurt	?
15 Becher Joghurt	?

: 6

(Beim Teilen durch 6 kann man einfach erst durch 2 und dann durch 3 teilen - oder erst eine 6-er Zahl in der Nähe suchen, hier 6000, und dann noch den Rest (3000) durch 6 teilen.)

: 6

18 Becher Joghurt	9000 g
3 Becher Joghurt	1500 g
15 Becher Joghurt	?

: 6

Jetzt müssen wir ja wieder die 3 Becher Joghurt in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 15 Becher Joghurt in der dritten Zeile zu kommen.

: 6

⋅ 5

18 Becher Joghurt	9000 g
3 Becher Joghurt	1500 g
15 Becher Joghurt	?

: 6

⋅ 5

Wir müssen somit auch rechts die 1500 g in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren:

: 6

⋅ 5

18 Becher Joghurt	9000 g
3 Becher Joghurt	1500 g
15 Becher Joghurt	7500 g

: 6

⋅ 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 Becher Joghurt entspricht: 7500 g

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 6 wenn die Größe B den Wert 24.6 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 24.6 durch den Wert von 'Größe A' (6) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{6}$ des Wertes bei 6 sein muss.
Also: m= $\frac{24.6}{6}$ = $4,1$
Zuordnungsvorschrift: y = $4,1$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Ein Boiler erhitzt Wasser. Dabei wird in 2 Minuten das Wasser um 9,2°C erhitzt. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert einen Wert der Wassererhitzung in °C zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Temperaturänderung', nämlich 9.2 durch den Wert von 'Erhitzungsszeit' (2) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{2}$ des Wertes bei 2 sein muss.
Also: m= $\frac{9.2}{2}$ = $4,6$
Zuordnungsvorschrift: y = $4,6$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 4, wenn die Größe B den Wert 8.8 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 13.2 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 8.8 = m⋅4.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 8.8 durch den Wert von Größe A (4) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{4}$ des Wertes bei 4 sein muss.
Also: m= $\frac{8.8}{4}$ = $2,2$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,2$ ⋅ x

x-Wert bei y = 13.2

Da der/die Größe B den Wert 13.2 hat, muss man 13.2 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
13.2 = $2,2$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{13.2}{2.2}$ , weil dann 13.2 = $2,2$ ⋅ $\frac{13.2}{2.2}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{13.2}{2.2}$ = 6.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Ein Prepaid-Anbieter verlangt immer den gleichen Preis pro Minute Telefonieren mit dem Handy. Auf einem Werbeplakat steht, dass 7 Minuten nur 84ct kosten. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man den telefonierten Minuten den Preis in Cent zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 84 = m⋅7.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Preis, nämlich 84 durch den Wert von Minuten (7) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{7}$ des Wertes bei 7 sein muss.
Also: m= $\frac{84}{7}$ = $12$
Zuordnungsvorschrift: y = $12$ ⋅ x

y-Wert bei x = 3.5
Da der/die Minuten den Wert 3.5 hat, muss man einfach 3.5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Preis zu erhalten:
y= $12$ ⋅ 3.5 = 42
.
x-Wert bei y = 96
Da der/die Preis den Wert 96 hat, muss man 96 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Minuten zu erhalten:
96 = $12$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{96}{12}$ , weil dann 96 = $12$ ⋅ $\frac{96}{12}$ .
Somit gilt für x (Minuten) = $\frac{96}{12}$ = 8.

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Zweisatz rückwärts

Einfacher Dreisatz

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)