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Zweisatz

Beispiel:

Der Hersteller eines Powerdrinks wirbt damit, das 400 g Protein in dessen 1kg-Großpackung drin sind.

Wie viel g Protein sind in 8 kg Powerdrink?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 kg Powerdrink	400 g Protein
8 kg Powerdrink	?

Um von 1 kg Powerdrink in der ersten Zeile auf 8 kg Powerdrink in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 8 multiplizieren. Somit müssen wir auch die 400 g Protein mit 8 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 8 kg Powerdrink entspricht:

⋅ 8

1 kg Powerdrink	400 g Protein
8 kg Powerdrink	?

⋅ 8

1 kg Powerdrink	400 g Protein
8 kg Powerdrink	3200 g Protein

⋅ 8

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 kg Powerdrink entspricht: 3200 g Protein

Dreisatz (beide Richtungen)

Beispiel:

Beim Biohof Ökofarm bezahlt Herr Eggestein 3,00 € für 10 Eier.

Wie viel kosten 9 Eier?
Wie viele Eier bekommt er für 4,50 €?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

10 Eier	300 ct
?	?
9 Eier	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Eier in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 Eier teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 10 und von 9 sein, also der ggT(10,9) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Eier:

10 Eier	300 ct
1 Ei	?
9 Eier	?

Um von 10 Eier in der ersten Zeile auf 1 Eier in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 10 teilen. Somit müssen wir auch die 300 ct durch 10 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 Eier entspricht:

: 10

10 Eier	300 ct
1 Ei	30 ct
9 Eier	?

: 10

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Eier in der mittleren Zeile mit 9 multiplizieren, um auf die 9 Eier in der dritten Zeile zu kommen.

: 10

⋅ 9

10 Eier	300 ct
1 Ei	30 ct
9 Eier	270 ct

: 10

⋅ 9

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 9 Eier entspricht: 270 ct

Für die andere Frage (Wie viele Eier bekommt er für 4,50 €?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "ct"-Werte haben und nach einem "Eier"-Wert gesucht wird:

300 ct	10 Eier
?	?
450 ct	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die ct in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 300 ct teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 300 und von 450 sein, also der ggT(300,450) = 150.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 150 ct:

300 ct	10 Eier
150 ct	?
450 ct	?

Um von 300 ct in der ersten Zeile auf 150 ct in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Somit müssen wir auch die 10 Eier durch 2 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 150 ct entspricht:

: 2

300 ct	10 Eier
150 ct	5 Eier
450 ct	?

: 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 150 ct in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 450 ct in der dritten Zeile zu kommen.

: 2

⋅ 3

300 ct	10 Eier
150 ct	5 Eier
450 ct	15 Eier

: 2

⋅ 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 450 ct entspricht: 15 Eier

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 6 wenn die Größe B den Wert 23.4 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 23.4 durch den Wert von 'Größe A' (6) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{6}$ des Wertes bei 6 sein muss.
Also: m= $\frac{23.4}{6}$ = $3,9$
Zuordnungsvorschrift: y = $3,9$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Ein Boiler erhitzt Wasser. Dabei wird in 8 Minuten das Wasser um 4,8°C erhitzt. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert einen Wert der Wassererhitzung in °C zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Temperaturänderung', nämlich 4.8 durch den Wert von 'Erhitzungsszeit' (8) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{8}$ des Wertes bei 8 sein muss.
Also: m= $\frac{4.8}{8}$ = $0,6$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,6$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 4, wenn die Größe B den Wert 14.8 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 22.2 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 14.8 = m⋅4.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 14.8 durch den Wert von Größe A (4) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{4}$ des Wertes bei 4 sein muss.
Also: m= $\frac{14.8}{4}$ = $3,7$
Zuordnungsvorschrift: y = $3,7$ ⋅ x

x-Wert bei y = 22.2

Da der/die Größe B den Wert 22.2 hat, muss man 22.2 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
22.2 = $3,7$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{22.2}{3.7}$ , weil dann 22.2 = $3,7$ ⋅ $\frac{22.2}{3.7}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{22.2}{3.7}$ = 6.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann 8 Kartons in 5,6 Sekunden verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der verpackten Kartons der Verpackungszeit in Sekunden zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 5.6 = m⋅8.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Verpackungszeit, nämlich 5.6 durch den Wert von Kartonanzahl (8) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{8}$ des Wertes bei 8 sein muss.
Also: m= $\frac{5.6}{8}$ = $0,7$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,7$ ⋅ x

y-Wert bei x = 9
Da der/die Kartonanzahl den Wert 9 hat, muss man einfach 9 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Verpackungszeit zu erhalten:
y= $0,7$ ⋅ 9 = 6.3
.
x-Wert bei y = 4.9
Da der/die Verpackungszeit den Wert 4.9 hat, muss man 4.9 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Kartonanzahl zu erhalten:
4.9 = $0,7$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{4.9}{0.7}$ , weil dann 4.9 = $0,7$ ⋅ $\frac{4.9}{0.7}$ .
Somit gilt für x (Kartonanzahl) = $\frac{4.9}{0.7}$ = 7.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz

Dreisatz (beide Richtungen)

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)