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Zweisatz rückwärts

Beispiel:

Eine erfahrende Langstreckenläuferin trainiert immer mit exakt dem gleichen Tempo. Für 5 km braucht sie 25 Minuten.

Wie lange braucht sie für 1 km?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

5 km	25 min
1 km	?

Um von 5 km in der ersten Zeile auf 1 km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Somit müssen wir auch die 25 min durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 km entspricht:

: 5

5 km	25 min
1 km	?

: 5

5 km	25 min
1 km	5 min

: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 1 km entspricht: 5 min

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem proportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

12 kg Birnen	30,00 €
?	?
18 kg Birnen	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die kg Birnen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 12 kg Birnen teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 12 und von 18 sein, also der ggT(12,18) = 6.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 6 kg Birnen:

12 kg Birnen	30,00 €
6 kg Birnen	?
18 kg Birnen	?

Um von 12 kg Birnen in der ersten Zeile auf 6 kg Birnen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Somit müssen wir auch die 30 € durch 2 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 6 kg Birnen entspricht:

: 2

12 kg Birnen	30,00 €
6 kg Birnen	?
18 kg Birnen	?

: 2

12 kg Birnen	30,00 €
6 kg Birnen	15,00 €
18 kg Birnen	?

: 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 6 kg Birnen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 18 kg Birnen in der dritten Zeile zu kommen.

: 2

⋅ 3

12 kg Birnen	30,00 €
6 kg Birnen	15,00 €
18 kg Birnen	?

: 2

⋅ 3

Wir müssen somit auch rechts die 15,00 € in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren:

: 2

⋅ 3

12 kg Birnen	30,00 €
6 kg Birnen	15,00 €
18 kg Birnen	45,00 €

: 2

⋅ 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 18 kg Birnen entspricht: 45,00 €

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 4 wenn die Größe B den Wert 3.6 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 3.6 durch den Wert von 'Größe A' (4) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{4}$ des Wertes bei 4 sein muss.
Also: m= $\frac{3.6}{4}$ = $0,9$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,9$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Ein Boiler erhitzt Wasser. Dabei wird in 5 Minuten das Wasser um 23°C erhitzt. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert einen Wert der Wassererhitzung in °C zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Temperaturänderung', nämlich 23 durch den Wert von 'Erhitzungsszeit' (5) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{5}$ des Wertes bei 5 sein muss.
Also: m= $\frac{23}{5}$ = $4,6$
Zuordnungsvorschrift: y = $4,6$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 6, wenn die Größe B den Wert 19.2 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 25.6 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 19.2 = m⋅6.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 19.2 durch den Wert von Größe A (6) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{6}$ des Wertes bei 6 sein muss.
Also: m= $\frac{19.2}{6}$ = $3,2$
Zuordnungsvorschrift: y = $3,2$ ⋅ x

x-Wert bei y = 25.6

Da der/die Größe B den Wert 25.6 hat, muss man 25.6 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
25.6 = $3,2$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{25.6}{3.2}$ , weil dann 25.6 = $3,2$ ⋅ $\frac{25.6}{3.2}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{25.6}{3.2}$ = 8.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Die Lernmittelbücherei hat 120 neue gleiche Bücher bekommen. Jeweils 3 Bücher wiegen zusammen 3,9kg. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der Bücher dem Gewicht in kg zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 3.9 = m⋅3.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Gesamtgewicht, nämlich 3.9 durch den Wert von Bücheranzahl (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{3}$ des Wertes bei 3 sein muss.
Also: m= $\frac{3.9}{3}$ = $1,3$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,3$ ⋅ x

x-Wert bei y = 7.8

Da der/die Gesamtgewicht den Wert 7.8 hat, muss man 7.8 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Bücheranzahl zu erhalten:
7.8 = $1,3$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{7.8}{1.3}$ , weil dann 7.8 = $1,3$ ⋅ $\frac{7.8}{1.3}$ .
Somit gilt für x (Bücheranzahl) = $\frac{7.8}{1.3}$ = 6.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz rückwärts

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)