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Zweisatz

Beispiel:

Herr Tobrak hat einen neuen Handyvertrag abgeschlossen. Für eine Minute telefonieren bezahlt er nun 6 ct.

Wie viel kosten ihn 8 min telefonieren?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Minute telefonieren	6 ct
8 Minuten telefonieren	?

Um von 1 Minuten telefonieren in der ersten Zeile auf 8 Minuten telefonieren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 8 multiplizieren. Somit müssen wir auch die 6 ct mit 8 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 8 Minuten telefonieren entspricht:

⋅ 8

1 Minute telefonieren	6 ct
8 Minuten telefonieren	?

⋅ 8

1 Minute telefonieren	6 ct
8 Minuten telefonieren	48 ct

⋅ 8

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Minuten telefonieren entspricht: 48 ct

Einfacher Dreisatz

Beispiel:

Ein Käseaufschnitt wiegt insgesamt 480 g. Er besteht aus 12 gleichen Scheiben.

Wie schwer sind dann 15 Scheiben Käse?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

12 Scheiben Käse	480 g
?	?
15 Scheiben Käse	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Scheiben Käse in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 12 Scheiben Käse teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 12 und von 15 sein, also der ggT(12,15) = 3.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 Scheiben Käse:

12 Scheiben Käse	480 g
3 Scheiben Käse	?
15 Scheiben Käse	?

Um von 12 Scheiben Käse in der ersten Zeile auf 3 Scheiben Käse in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Somit müssen wir auch die 480 g durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 3 Scheiben Käse entspricht:

: 4

12 Scheiben Käse	480 g
3 Scheiben Käse	?
15 Scheiben Käse	?

: 4

(Beim Teilen durch 4 kann man einfach zwei mal halbieren.)

: 4

12 Scheiben Käse	480 g
3 Scheiben Käse	120 g
15 Scheiben Käse	?

: 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 3 Scheiben Käse in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 15 Scheiben Käse in der dritten Zeile zu kommen.

: 4

⋅ 5

12 Scheiben Käse	480 g
3 Scheiben Käse	120 g
15 Scheiben Käse	?

: 4

⋅ 5

Wir müssen somit auch rechts die 120 g in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren:

: 4

⋅ 5

12 Scheiben Käse	480 g
3 Scheiben Käse	120 g
15 Scheiben Käse	600 g

: 4

⋅ 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 Scheiben Käse entspricht: 600 g

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 5 wenn die Größe B den Wert 13.5 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 13.5 durch den Wert von 'Größe A' (5) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{5}$ des Wertes bei 5 sein muss.
Also: m= $\frac{13.5}{5}$ = $2,7$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,7$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Ein Boiler erhitzt Wasser. Dabei wird in 7 Minuten das Wasser um 11,9°C erhitzt. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert einen Wert der Wassererhitzung in °C zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Temperaturänderung', nämlich 11.9 durch den Wert von 'Erhitzungsszeit' (7) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{7}$ des Wertes bei 7 sein muss.
Also: m= $\frac{11.9}{7}$ = $1,7$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,7$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 2, wenn die Größe B den Wert 9 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.

Welchen Wert nimmt Größe B ein, wenn die Größe A den Wert 3 hat?
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 15.75 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 9 = m⋅2.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 9 durch den Wert von Größe A (2) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{2}$ des Wertes bei 2 sein muss.
Also: m= $\frac{9}{2}$ = $4,5$
Zuordnungsvorschrift: y = $4,5$ ⋅ x

y-Wert bei x = 3
Da der/die Größe A den Wert 3 hat, muss man einfach 3 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Größe B zu erhalten:
y= $4,5$ ⋅ 3 = 13.5
.
x-Wert bei y = 15.75
Da der/die Größe B den Wert 15.75 hat, muss man 15.75 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
15.75 = $4,5$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{15.75}{4.5}$ , weil dann 15.75 = $4,5$ ⋅ $\frac{15.75}{4.5}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{15.75}{4.5}$ = 3.5.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann 5 Kartons in 8 Sekunden verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der verpackten Kartons der Verpackungszeit in Sekunden zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 8 = m⋅5.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Verpackungszeit, nämlich 8 durch den Wert von Kartonanzahl (5) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{5}$ des Wertes bei 5 sein muss.
Also: m= $\frac{8}{5}$ = $1,6$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,6$ ⋅ x

x-Wert bei y = 3.2

Da der/die Verpackungszeit den Wert 3.2 hat, muss man 3.2 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Kartonanzahl zu erhalten:
3.2 = $1,6$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{3.2}{1.6}$ , weil dann 3.2 = $1,6$ ⋅ $\frac{3.2}{1.6}$ .
Somit gilt für x (Kartonanzahl) = $\frac{3.2}{1.6}$ = 2.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz

Einfacher Dreisatz

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)