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nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Proportionalität überprüfen
Beispiel:
Prüfe, ob es sich um einen proportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte.
Wir überprüfen zuerst, ob die 324 ct den 36 Minuten telefonieren entsprechen.
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: 5
⋅ 6
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: 5
⋅ 6
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Der Wert 324 ct war also korrekt.
Jetzt überprüfen wir, ob die 333 ct den 40 Minuten telefonieren entsprechen.
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: 3
⋅ 4
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: 3
⋅ 4
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Der Wert 333 ct war also falsch, richtig wäre 360 ct gewesen.
Dreisatz (beide Richtungen)
Beispiel:
Bei einem Marktstand bezahlt man 72,00 € für 24 kg Äpfel.
Wie viel kosten 20 kg Äpfel?
Wie viel kg Äpfel bekommt man für 96 € ?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die kg Äpfel in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 24 kg Äpfel teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 24 und von 20 sein, also der ggT(24,20) = 4.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 kg Äpfel:
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Um von 24 kg Äpfel in der ersten Zeile auf 4 kg Äpfel in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 6 teilen. Somit müssen wir auch die 72 € durch 6 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 4 kg Äpfel entspricht:
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: 6
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: 6
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Jetzt müssen wir ja wieder die 4 kg Äpfel in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 20 kg Äpfel in der dritten Zeile zu kommen.
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: 6
⋅ 5
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: 6
⋅ 5
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 20 kg Äpfel entspricht: 60,00 €
Für die andere Frage (Wie viel kg Äpfel bekommt man für 96 € ?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "€"-Werte haben und nach einem "kg Äpfel"-Wert gesucht wird:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 72 € teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 72 und von 96 sein, also der ggT(72,96) = 24.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 24 €:
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Um von 72 € in der ersten Zeile auf 24 € in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Somit müssen wir auch die 24 kg Äpfel durch 3 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 24 € entspricht:
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: 3
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: 3
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Jetzt müssen wir ja wieder die 24 € in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 96 € in der dritten Zeile zu kommen.
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: 3
⋅ 4
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: 3
⋅ 4
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 96 € entspricht: 32 kg Äpfel
Proportionaler Term
Beispiel:
Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 3 wenn die Größe B den Wert 10.8 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.
Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 10.8 durch den Wert
von 'Größe A' (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade
des Wertes bei 3 sein muss.
Also: m==
Zuordnungsvorschrift: y = ⋅ x
Proportionaler Term Anwendung
Beispiel:
Im Winter schneit es 1 Stunde lang total gleichmäßig. Dabei fallen in 9 Minuten 8,1 cm. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man jedem Minuten-Wert eine Schneehöhe in cm zuordnen kann.
Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Schneehöhe', nämlich 8.1 durch den Wert
von 'Zeit' (9) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade
des Wertes bei 9 sein muss.
Also: m==
Zuordnungsvorschrift: y = ⋅ x
Wert bei Proportionalität finden
Beispiel:
Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 7, wenn die Größe B den Wert 10.5 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 14.25 hat?
Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 10.5 = m⋅7.
Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 10.5 durch den Wert
von Größe A (7) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade
des Wertes bei 7 sein muss.
Also: m==
Zuordnungsvorschrift: y = ⋅ x
x-Wert bei y = 14.25
Da der/die Größe B den Wert 14.25 hat, muss man 14.25 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen,
um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
14.25 = ⋅ x.
Das klappt mit x = , weil dann 14.25 = ⋅ .
Somit gilt für x (Größe A) = = 9.5.
Wert bei Proportionalität (Anwendungen)
Beispiel:
Eine Verpackungsmachine kann 9 Kartons in 19,8 Sekunden verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der verpackten Kartons der Verpackungszeit in Sekunden zuordnen kann.
Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 19.8 = m⋅9.
Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Verpackungszeit, nämlich 19.8 durch den Wert
von Kartonanzahl (9) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade
des Wertes bei 9 sein muss.
Also: m==
Zuordnungsvorschrift: y = ⋅ x
y-Wert bei x = 6.5
Da der/die Kartonanzahl den Wert 6.5 hat, muss man einfach 6.5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen,
um als y den zugehörigen Wert von Verpackungszeit zu erhalten:
y= ⋅ 6.5 = 14.3