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Zweisatz

Beispiel:

Beim Bäcker Leckerbeck kostet 1 Brötchen immer 0,20 €.

Wie viel kosten 5 Brötchen?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Brötchen	0,20 €
5 Brötchen	?

Um von 1 Brötchen in der ersten Zeile auf 5 Brötchen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 5 multiplizieren. Somit müssen wir auch die 0.2 € mit 5 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 5 Brötchen entspricht:

⋅ 5

1 Brötchen	0,20 €
5 Brötchen	?

⋅ 5

1 Brötchen	0,20 €
5 Brötchen	1,00 €

⋅ 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 Brötchen entspricht: 1,00 €

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem proportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

12 kg Powerdrink	3000 g Protein
?	?
15 kg Powerdrink	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die kg Powerdrink in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 12 kg Powerdrink teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 12 und von 15 sein, also der ggT(12,15) = 3.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 kg Powerdrink:

12 kg Powerdrink	3000 g Protein
3 kg Powerdrink	?
15 kg Powerdrink	?

Um von 12 kg Powerdrink in der ersten Zeile auf 3 kg Powerdrink in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Somit müssen wir auch die 3000 g Protein durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 3 kg Powerdrink entspricht:

: 4

12 kg Powerdrink	3000 g Protein
3 kg Powerdrink	?
15 kg Powerdrink	?

: 4

(Beim Teilen durch 4 kann man einfach zwei mal halbieren.)

: 4

12 kg Powerdrink	3000 g Protein
3 kg Powerdrink	750 g Protein
15 kg Powerdrink	?

: 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 3 kg Powerdrink in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 15 kg Powerdrink in der dritten Zeile zu kommen.

: 4

⋅ 5

12 kg Powerdrink	3000 g Protein
3 kg Powerdrink	750 g Protein
15 kg Powerdrink	?

: 4

⋅ 5

Wir müssen somit auch rechts die 750 g Protein in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren:

: 4

⋅ 5

12 kg Powerdrink	3000 g Protein
3 kg Powerdrink	750 g Protein
15 kg Powerdrink	3750 g Protein

: 4

⋅ 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 kg Powerdrink entspricht: 3750 g Protein

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 10 wenn die Größe B den Wert 2 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 2 durch den Wert von 'Größe A' (10) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{10}$ des Wertes bei 10 sein muss.
Also: m= $\frac{2}{10}$ = $0,2$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,2$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann in 6 Minuten 13,2 Kartons verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert eine Anzahl der verpackten Kartons zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Kartonanzahl', nämlich 13.2 durch den Wert von 'Verpackungszeit' (6) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{6}$ des Wertes bei 6 sein muss.
Also: m= $\frac{13.2}{6}$ = $2,2$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,2$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 4, wenn die Größe B den Wert 13.2 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 14.85 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 13.2 = m⋅4.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 13.2 durch den Wert von Größe A (4) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{4}$ des Wertes bei 4 sein muss.
Also: m= $\frac{13.2}{4}$ = $3,3$
Zuordnungsvorschrift: y = $3,3$ ⋅ x

x-Wert bei y = 14.85

Da der/die Größe B den Wert 14.85 hat, muss man 14.85 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
14.85 = $3,3$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{14.85}{3.3}$ , weil dann 14.85 = $3,3$ ⋅ $\frac{14.85}{3.3}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{14.85}{3.3}$ = 4.5.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann 4 Kartons in 5,2 Sekunden verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der verpackten Kartons der Verpackungszeit in Sekunden zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 5.2 = m⋅4.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Verpackungszeit, nämlich 5.2 durch den Wert von Kartonanzahl (4) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{4}$ des Wertes bei 4 sein muss.
Also: m= $\frac{5.2}{4}$ = $1,3$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,3$ ⋅ x

y-Wert bei x = 6

Da der/die Kartonanzahl den Wert 6 hat, muss man einfach 6 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Verpackungszeit zu erhalten:
y= $1,3$ ⋅ 6 = 7.8

.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)