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Zweisatz

Beispiel:

Der Hersteller eines Powerdrinks wirbt damit, das 300 g Protein in dessen 1kg-Großpackung drin sind.

Wie viel g Protein sind in 4 kg Powerdrink?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 kg Powerdrink	300 g Protein
4 kg Powerdrink	?

Um von 1 kg Powerdrink in der ersten Zeile auf 4 kg Powerdrink in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 4 multiplizieren. Somit müssen wir auch die 300 g Protein mit 4 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 4 kg Powerdrink entspricht:

⋅ 4

1 kg Powerdrink	300 g Protein
4 kg Powerdrink	?

⋅ 4

1 kg Powerdrink	300 g Protein
4 kg Powerdrink	1200 g Protein

⋅ 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 kg Powerdrink entspricht: 1200 g Protein

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem proportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

18 Scheiben Käse	270 g
?	?
12 Scheiben Käse	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Scheiben Käse in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 18 Scheiben Käse teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 18 und von 12 sein, also der ggT(18,12) = 6.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 6 Scheiben Käse:

18 Scheiben Käse	270 g
6 Scheiben Käse	?
12 Scheiben Käse	?

Um von 18 Scheiben Käse in der ersten Zeile auf 6 Scheiben Käse in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Somit müssen wir auch die 270 g durch 3 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 6 Scheiben Käse entspricht:

: 3

18 Scheiben Käse	270 g
6 Scheiben Käse	?
12 Scheiben Käse	?

: 3

18 Scheiben Käse	270 g
6 Scheiben Käse	90 g
12 Scheiben Käse	?

: 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 6 Scheiben Käse in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 12 Scheiben Käse in der dritten Zeile zu kommen.

: 3

⋅ 2

18 Scheiben Käse	270 g
6 Scheiben Käse	90 g
12 Scheiben Käse	?

: 3

⋅ 2

Wir müssen somit auch rechts die 90 g in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren:

: 3

⋅ 2

18 Scheiben Käse	270 g
6 Scheiben Käse	90 g
12 Scheiben Käse	180 g

: 3

⋅ 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Scheiben Käse entspricht: 180 g

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 8 wenn die Größe B den Wert 16 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 16 durch den Wert von 'Größe A' (8) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{8}$ des Wertes bei 8 sein muss.
Also: m= $\frac{16}{8}$ = $2$
Zuordnungsvorschrift: y = $2$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann in 6 Minuten 5,4 Kartons verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert eine Anzahl der verpackten Kartons zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Kartonanzahl', nämlich 5.4 durch den Wert von 'Verpackungszeit' (6) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{6}$ des Wertes bei 6 sein muss.
Also: m= $\frac{5.4}{6}$ = $0,9$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,9$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 4, wenn die Größe B den Wert 10 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.

Welchen Wert nimmt Größe B ein, wenn die Größe A den Wert 4.5 hat?
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 13.75 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 10 = m⋅4.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 10 durch den Wert von Größe A (4) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{4}$ des Wertes bei 4 sein muss.
Also: m= $\frac{10}{4}$ = $2,5$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,5$ ⋅ x

y-Wert bei x = 4.5
Da der/die Größe A den Wert 4.5 hat, muss man einfach 4.5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Größe B zu erhalten:
y= $2,5$ ⋅ 4.5 = 11.25
.
x-Wert bei y = 13.75
Da der/die Größe B den Wert 13.75 hat, muss man 13.75 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
13.75 = $2,5$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{13.75}{2.5}$ , weil dann 13.75 = $2,5$ ⋅ $\frac{13.75}{2.5}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{13.75}{2.5}$ = 5.5.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Ein Prepaid-Anbieter verlangt immer den gleichen Preis pro Minute Telefonieren mit dem Handy. Auf einem Werbeplakat steht, dass 2 Minuten nur 18ct kosten. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man den telefonierten Minuten den Preis in Cent zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 18 = m⋅2.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Preis, nämlich 18 durch den Wert von Minuten (2) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{2}$ des Wertes bei 2 sein muss.
Also: m= $\frac{18}{2}$ = $9$
Zuordnungsvorschrift: y = $9$ ⋅ x

x-Wert bei y = 49.5

Da der/die Preis den Wert 49.5 hat, muss man 49.5 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Minuten zu erhalten:
49.5 = $9$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{49.5}{9}$ , weil dann 49.5 = $9$ ⋅ $\frac{49.5}{9}$ .
Somit gilt für x (Minuten) = $\frac{49.5}{9}$ = 5.5.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)