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Zweisatz rückwärts

Beispiel:

Beim Biohof Ökofarm bezahlt Herr Eggestein 1,40 € für 7 Eier.

Wie viel kostet 1 Ei?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

7 Eier	140 ct
1 Ei	?

Um von 7 Eier in der ersten Zeile auf 1 Eier in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 7 teilen. Somit müssen wir auch die 140 ct durch 7 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 Eier entspricht:

: 7

7 Eier	140 ct
1 Ei	?

: 7

7 Eier	140 ct
1 Ei	20 ct

: 7

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 1 Eier entspricht: 20 ct

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem proportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

8 Brezeln	6,00 €
?	?
12 Brezeln	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Brezeln in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Brezeln teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 8 und von 12 sein, also der ggT(8,12) = 4.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 Brezeln:

8 Brezeln	6,00 €
4 Brezeln	?
12 Brezeln	?

Um von 8 Brezeln in der ersten Zeile auf 4 Brezeln in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Somit müssen wir auch die 6 € durch 2 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 4 Brezeln entspricht:

: 2

8 Brezeln	6,00 €
4 Brezeln	?
12 Brezeln	?

: 2

8 Brezeln	6,00 €
4 Brezeln	3,00 €
12 Brezeln	?

: 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 4 Brezeln in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 12 Brezeln in der dritten Zeile zu kommen.

: 2

⋅ 3

8 Brezeln	6,00 €
4 Brezeln	3,00 €
12 Brezeln	?

: 2

⋅ 3

Wir müssen somit auch rechts die 3,00 € in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren:

: 2

⋅ 3

8 Brezeln	6,00 €
4 Brezeln	3,00 €
12 Brezeln	9,00 €

: 2

⋅ 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Brezeln entspricht: 9,00 €

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 5, wenn die Größe B den Wert 17 hat.
Bestimme die Gleichung des proportionalen Zusammenhangs, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 17 durch den Wert von 'Größe A' (5) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{5}$ des Wertes bei 5 sein muss.
Also: m= $\frac{17}{5}$ = $3,4$
Gleichung des proportionalen Zusammenhangs: y = $3,4$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann in 2 Minuten 3,4 Kartons verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert eine Anzahl der verpackten Kartons zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Kartonanzahl', nämlich 3.4 durch den Wert von 'Verpackungszeit' (2) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{2}$ des Wertes bei 2 sein muss.
Also: m= $\frac{3.4}{2}$ = $1,7$
Gleichung des proportionalen Zusammenhangs: y = $1,7$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 7, wenn die Größe B den Wert 7.7 hat.
Bestimme die Gleichung des proportionalen Zusammenhangs, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.
Bestimme den Wert der Größe A, wenn die Größe B den Wert 4.4 hat.

Lösung einblenden

Die Gleichung eines proportionalen Zusammenhangs y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 7.7 = m⋅7.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 7.7, durch den Wert von Größe A (7) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{7}$ des Wertes bei 7 sein muss.
Also: m= $\frac{7.7}{7}$ = $1,1$
Gleichung des proportionalen Zusammenhangs: y = $1,1$ ⋅ x

x-Wert bei y = 4.4

Da der/die Größe B den Wert 4.4 hat, muss man 4.4 für y in die Gleichung einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
4.4 = $1,1$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{4.4}{1.1}$ , weil dann 4.4 = $1,1$ ⋅ $\frac{4.4}{1.1}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{4.4}{1.1}$ = 4.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann 9 Kartons in 12,6 Sekunden verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der verpackten Kartons der Verpackungszeit in Sekunden zuordnen kann.

Lösung einblenden

Die Gleichung eines proportionalen Zusammenhangs y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 12.6 = m⋅9.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Verpackungszeit, nämlich 12.6, durch den Wert von Kartonanzahl (9) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{9}$ des Wertes bei 9 sein muss.
Also: m= $\frac{12.6}{9}$ = $1,4$
Gleichung des proportionalen Zusammenhangs: y = $1,4$ ⋅ x

y-Wert bei x = 8.5
Da der/die Kartonanzahl den Wert 8.5 hat, muss man einfach 8.5 für x in die Gleichung einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Verpackungszeit zu erhalten:
y= $1,4$ ⋅ 8.5 = 11.9
.
x-Wert bei y = 7.7
Da der/die Verpackungszeit den Wert 7.7 hat, muss man 7.7 für y in die Gleichung einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Kartonanzahl zu erhalten:
7.7 = $1,4$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{7.7}{1.4}$ , weil dann 7.7 = $1,4$ ⋅ $\frac{7.7}{1.4}$ .
Somit gilt für x (Kartonanzahl) = $\frac{7.7}{1.4}$ = 5.5.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz rückwärts

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)