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Zweisatz

Beispiel:

In einem Joghurtbecher von Herrn Schaaf sind 400 g drin.

Wie viel Joghurt ist in 5 Bechern drin?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Becher Joghurt	400 g
5 Becher Joghurt	?

Um von 1 Becher Joghurt in der ersten Zeile auf 5 Becher Joghurt in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 5 multiplizieren. Somit müssen wir auch die 400 g mit 5 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 5 Becher Joghurt entspricht:

⋅ 5

1 Becher Joghurt	400 g
5 Becher Joghurt	?

⋅ 5

1 Becher Joghurt	400 g
5 Becher Joghurt	2000 g

⋅ 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 Becher Joghurt entspricht: 2000 g

Einfacher Dreisatz

Beispiel:

Beim Biohof Ökofarm bezahlt Herr Eggestein 18,00 € für 36 Eier.

Wie viel kosten 30 Eier?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

36 Eier	1800 ct
?	?
30 Eier	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Eier in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 36 Eier teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 36 und von 30 sein, also der ggT(36,30) = 6.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 6 Eier:

36 Eier	1800 ct
6 Eier	?
30 Eier	?

Um von 36 Eier in der ersten Zeile auf 6 Eier in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 6 teilen. Somit müssen wir auch die 1800 ct durch 6 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 6 Eier entspricht:

: 6

36 Eier	1800 ct
6 Eier	?
30 Eier	?

: 6

36 Eier	1800 ct
6 Eier	300 ct
30 Eier	?

: 6

Jetzt müssen wir ja wieder die 6 Eier in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 30 Eier in der dritten Zeile zu kommen.

: 6

⋅ 5

36 Eier	1800 ct
6 Eier	300 ct
30 Eier	?

: 6

⋅ 5

Wir müssen somit auch rechts die 300 ct in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren:

: 6

⋅ 5

36 Eier	1800 ct
6 Eier	300 ct
30 Eier	1500 ct

: 6

⋅ 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 30 Eier entspricht: 1500 ct

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 7 wenn die Größe B den Wert 9.8 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 9.8 durch den Wert von 'Größe A' (7) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{7}$ des Wertes bei 7 sein muss.
Also: m= $\frac{9.8}{7}$ = $1,4$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,4$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann in 4 Minuten 5,2 Kartons verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert eine Anzahl der verpackten Kartons zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Kartonanzahl', nämlich 5.2 durch den Wert von 'Verpackungszeit' (4) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{4}$ des Wertes bei 4 sein muss.
Also: m= $\frac{5.2}{4}$ = $1,3$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,3$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 4, wenn die Größe B den Wert 9.6 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 10.8 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 9.6 = m⋅4.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 9.6 durch den Wert von Größe A (4) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{4}$ des Wertes bei 4 sein muss.
Also: m= $\frac{9.6}{4}$ = $2,4$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,4$ ⋅ x

x-Wert bei y = 10.8

Da der/die Größe B den Wert 10.8 hat, muss man 10.8 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
10.8 = $2,4$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{10.8}{2.4}$ , weil dann 10.8 = $2,4$ ⋅ $\frac{10.8}{2.4}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{10.8}{2.4}$ = 4.5.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Ein Prepaid-Anbieter verlangt immer den gleichen Preis pro Minute Telefonieren mit dem Handy. Auf einem Werbeplakat steht, dass 4 Minuten nur 48ct kosten. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man den telefonierten Minuten den Preis in Cent zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 48 = m⋅4.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Preis, nämlich 48 durch den Wert von Minuten (4) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{4}$ des Wertes bei 4 sein muss.
Also: m= $\frac{48}{4}$ = $12$
Zuordnungsvorschrift: y = $12$ ⋅ x

y-Wert bei x = 5
Da der/die Minuten den Wert 5 hat, muss man einfach 5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Preis zu erhalten:
y= $12$ ⋅ 5 = 60
.
x-Wert bei y = 78
Da der/die Preis den Wert 78 hat, muss man 78 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Minuten zu erhalten:
78 = $12$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{78}{12}$ , weil dann 78 = $12$ ⋅ $\frac{78}{12}$ .
Somit gilt für x (Minuten) = $\frac{78}{12}$ = 6.5.

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Zweisatz

Einfacher Dreisatz

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)