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Proportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen proportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 18 € den 12 kg Äpfel entsprechen.

: 4

⋅ 3

16 kg Äpfel	24,00 €
4 kg Äpfel	6,00 €
12 kg Äpfel	18,00 €

: 4

⋅ 3

Der Wert 18 € war also korrekt.

Jetzt überprüfen wir, ob die 36 € den 24 kg Äpfel entsprechen.

: 2

⋅ 3

16 kg Äpfel	24,00 €
8 kg Äpfel	12,00 €
24 kg Äpfel	36,00 €

: 2

⋅ 3

Der Wert 36 € war also korrekt.

Einfacher Dreisatz

Beispiel:

Beim Karls Lieblingsobsthändler bekommt man für 25,00 € 10 kg Birnen.

Wie viel kosten 8 kg Birnen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

10 kg Birnen	25,00 €
?	?
8 kg Birnen	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die kg Birnen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 kg Birnen teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 10 und von 8 sein, also der ggT(10,8) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 kg Birnen:

10 kg Birnen	25,00 €
2 kg Birnen	?
8 kg Birnen	?

Um von 10 kg Birnen in der ersten Zeile auf 2 kg Birnen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Somit müssen wir auch die 25 € durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 2 kg Birnen entspricht:

: 5

10 kg Birnen	25,00 €
2 kg Birnen	?
8 kg Birnen	?

: 5

10 kg Birnen	25,00 €
2 kg Birnen	5,00 €
8 kg Birnen	?

: 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 kg Birnen in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 8 kg Birnen in der dritten Zeile zu kommen.

: 5

⋅ 4

10 kg Birnen	25,00 €
2 kg Birnen	5,00 €
8 kg Birnen	?

: 5

⋅ 4

Wir müssen somit auch rechts die 5,00 € in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren:

: 5

⋅ 4

10 kg Birnen	25,00 €
2 kg Birnen	5,00 €
8 kg Birnen	20,00 €

: 5

⋅ 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 kg Birnen entspricht: 20,00 €

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 3 wenn die Größe B den Wert 4.2 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

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Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 4.2 durch den Wert von 'Größe A' (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{3}$ des Wertes bei 3 sein muss.
Also: m= $\frac{4.2}{3}$ = $1,4$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,4$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Ein Boiler erhitzt Wasser. Dabei wird in 9 Minuten das Wasser um 12,6°C erhitzt. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert einen Wert der Wassererhitzung in °C zuordnen kann.

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Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Temperaturänderung', nämlich 12.6 durch den Wert von 'Erhitzungsszeit' (9) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{9}$ des Wertes bei 9 sein muss.
Also: m= $\frac{12.6}{9}$ = $1,4$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,4$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 6, wenn die Größe B den Wert 7.2 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.

Welchen Wert nimmt Größe B ein, wenn die Größe A den Wert 9.5 hat?
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 4.8 hat?

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Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 7.2 = m⋅6.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 7.2 durch den Wert von Größe A (6) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{6}$ des Wertes bei 6 sein muss.
Also: m= $\frac{7.2}{6}$ = $1,2$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,2$ ⋅ x

y-Wert bei x = 9.5
Da der/die Größe A den Wert 9.5 hat, muss man einfach 9.5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Größe B zu erhalten:
y= $1,2$ ⋅ 9.5 = 11.4
.
x-Wert bei y = 4.8
Da der/die Größe B den Wert 4.8 hat, muss man 4.8 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
4.8 = $1,2$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{4.8}{1.2}$ , weil dann 4.8 = $1,2$ ⋅ $\frac{4.8}{1.2}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{4.8}{1.2}$ = 4.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann 6 Kartons in 7,8 Sekunden verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der verpackten Kartons der Verpackungszeit in Sekunden zuordnen kann.

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Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 7.8 = m⋅6.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Verpackungszeit, nämlich 7.8 durch den Wert von Kartonanzahl (6) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{6}$ des Wertes bei 6 sein muss.
Also: m= $\frac{7.8}{6}$ = $1,3$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,3$ ⋅ x

x-Wert bei y = 5.85

Da der/die Verpackungszeit den Wert 5.85 hat, muss man 5.85 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Kartonanzahl zu erhalten:
5.85 = $1,3$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{5.85}{1.3}$ , weil dann 5.85 = $1,3$ ⋅ $\frac{5.85}{1.3}$ .
Somit gilt für x (Kartonanzahl) = $\frac{5.85}{1.3}$ = 4.5.

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Proportionalität überprüfen

Einfacher Dreisatz

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)