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Zweisatz rückwärts

Beispiel:

Beim Biohof Ökofarm bezahlt Herr Eggestein 4,50 € für 9 Eier.

Wie viel kostet 1 Ei?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

9 Eier	450 ct
1 Ei	?

Um von 9 Eier in der ersten Zeile auf 1 Eier in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 9 teilen. Somit müssen wir auch die 450 ct durch 9 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 Eier entspricht:

: 9

9 Eier	450 ct
1 Ei	?

: 9

9 Eier	450 ct
1 Ei	50 ct

: 9

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 1 Eier entspricht: 50 ct

Dreisatz (beide Richtungen)

Beispiel:

In den 6 Joghurtbechern von Herrn Schaaf sind insgesamt 2400 g drin.

Wie viel Joghurt ist in 9 Bechern drin?
Wie viele Joghurtbecher braucht man für 6000 g Joghurt?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

6 Becher Joghurt	2400 g
?	?
9 Becher Joghurt	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Becher Joghurt in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 Becher Joghurt teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 6 und von 9 sein, also der ggT(6,9) = 3.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 Becher Joghurt:

6 Becher Joghurt	2400 g
3 Becher Joghurt	?
9 Becher Joghurt	?

Um von 6 Becher Joghurt in der ersten Zeile auf 3 Becher Joghurt in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Somit müssen wir auch die 2400 g durch 2 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 3 Becher Joghurt entspricht:

: 2

6 Becher Joghurt	2400 g
3 Becher Joghurt	1200 g
9 Becher Joghurt	?

: 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 3 Becher Joghurt in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 9 Becher Joghurt in der dritten Zeile zu kommen.

: 2

⋅ 3

6 Becher Joghurt	2400 g
3 Becher Joghurt	1200 g
9 Becher Joghurt	3600 g

: 2

⋅ 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 9 Becher Joghurt entspricht: 3600 g

Für die andere Frage (Wie viele Joghurtbecher braucht man für 6000 g Joghurt?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "g"-Werte haben und nach einem "Becher Joghurt"-Wert gesucht wird:

2400 g	6 Becher Joghurt
?	?
6000 g	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die g in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 2400 g teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 2400 und von 6000 sein, also der ggT(2400,6000) = 1200.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1200 g:

2400 g	6 Becher Joghurt
1200 g	?
6000 g	?

Um von 2400 g in der ersten Zeile auf 1200 g in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Somit müssen wir auch die 6 Becher Joghurt durch 2 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1200 g entspricht:

: 2

2400 g	6 Becher Joghurt
1200 g	3 Becher Joghurt
6000 g	?

: 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 1200 g in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 6000 g in der dritten Zeile zu kommen.

: 2

⋅ 5

2400 g	6 Becher Joghurt
1200 g	3 Becher Joghurt
6000 g	15 Becher Joghurt

: 2

⋅ 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 6000 g entspricht: 15 Becher Joghurt

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 4 wenn die Größe B den Wert 15.2 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 15.2 durch den Wert von 'Größe A' (4) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{4}$ des Wertes bei 4 sein muss.
Also: m= $\frac{15.2}{4}$ = $3,8$
Zuordnungsvorschrift: y = $3,8$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann in 7 Minuten 14,7 Kartons verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert eine Anzahl der verpackten Kartons zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Kartonanzahl', nämlich 14.7 durch den Wert von 'Verpackungszeit' (7) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{7}$ des Wertes bei 7 sein muss.
Also: m= $\frac{14.7}{7}$ = $2,1$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,1$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 2, wenn die Größe B den Wert 9.4 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.

Welchen Wert nimmt Größe B ein, wenn die Größe A den Wert 4 hat?
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 23.5 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 9.4 = m⋅2.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 9.4 durch den Wert von Größe A (2) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{2}$ des Wertes bei 2 sein muss.
Also: m= $\frac{9.4}{2}$ = $4,7$
Zuordnungsvorschrift: y = $4,7$ ⋅ x

y-Wert bei x = 4
Da der/die Größe A den Wert 4 hat, muss man einfach 4 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Größe B zu erhalten:
y= $4,7$ ⋅ 4 = 18.8
.
x-Wert bei y = 23.5
Da der/die Größe B den Wert 23.5 hat, muss man 23.5 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
23.5 = $4,7$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{23.5}{4.7}$ , weil dann 23.5 = $4,7$ ⋅ $\frac{23.5}{4.7}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{23.5}{4.7}$ = 5.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Ein Prepaid-Anbieter verlangt immer den gleichen Preis pro Minute Telefonieren mit dem Handy. Auf einem Werbeplakat steht, dass 2 Minuten nur 18ct kosten. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man den telefonierten Minuten den Preis in Cent zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 18 = m⋅2.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Preis, nämlich 18 durch den Wert von Minuten (2) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{2}$ des Wertes bei 2 sein muss.
Also: m= $\frac{18}{2}$ = $9$
Zuordnungsvorschrift: y = $9$ ⋅ x

y-Wert bei x = 2.5
Da der/die Minuten den Wert 2.5 hat, muss man einfach 2.5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Preis zu erhalten:
y= $9$ ⋅ 2.5 = 22.5
.
x-Wert bei y = 40.5
Da der/die Preis den Wert 40.5 hat, muss man 40.5 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Minuten zu erhalten:
40.5 = $9$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{40.5}{9}$ , weil dann 40.5 = $9$ ⋅ $\frac{40.5}{9}$ .
Somit gilt für x (Minuten) = $\frac{40.5}{9}$ = 4.5.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz rückwärts

Dreisatz (beide Richtungen)

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)