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Zweisatz

Beispiel:

Ein Scheibe eines Käseaufschnitt wiegt 10 g.

Wie schwer sind dann 5 Scheiben Käse?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Scheibe Käse	10 g
5 Scheiben Käse	?

Um von 1 Scheiben Käse in der ersten Zeile auf 5 Scheiben Käse in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 5 multiplizieren. Somit müssen wir auch die 10 g mit 5 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 5 Scheiben Käse entspricht:

⋅ 5

1 Scheibe Käse	10 g
5 Scheiben Käse	?

⋅ 5

1 Scheibe Käse	10 g
5 Scheiben Käse	50 g

⋅ 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 Scheiben Käse entspricht: 50 g

Dreisatz (beide Richtungen)

Beispiel:

Herr Tobrak hat einen neuen Handyvertrag abgeschlossen. Für sein 36-Minuten-Gespräch hat er nun 180 ct bezahlt.

Wie viel kosten ihn 30 min telefonieren?
Wie lange kann er für 225 ct telefonieren?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

36 Minuten telefonieren	180 ct
?	?
30 Minuten telefonieren	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten telefonieren in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 36 Minuten telefonieren teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 36 und von 30 sein, also der ggT(36,30) = 6.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 6 Minuten telefonieren:

36 Minuten telefonieren	180 ct
6 Minuten telefonieren	?
30 Minuten telefonieren	?

Um von 36 Minuten telefonieren in der ersten Zeile auf 6 Minuten telefonieren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 6 teilen. Somit müssen wir auch die 180 ct durch 6 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 6 Minuten telefonieren entspricht:

: 6

36 Minuten telefonieren	180 ct
6 Minuten telefonieren	30 ct
30 Minuten telefonieren	?

: 6

Jetzt müssen wir ja wieder die 6 Minuten telefonieren in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 30 Minuten telefonieren in der dritten Zeile zu kommen.

: 6

⋅ 5

36 Minuten telefonieren	180 ct
6 Minuten telefonieren	30 ct
30 Minuten telefonieren	150 ct

: 6

⋅ 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 30 Minuten telefonieren entspricht: 150 ct

Für die andere Frage (Wie lange kann er für 225 ct telefonieren?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "ct"-Werte haben und nach einem "Minuten telefonieren"-Wert gesucht wird:

180 ct	36 Minuten telefonieren
?	?
225 ct	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die ct in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 180 ct teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 180 und von 225 sein, also der ggT(180,225) = 45.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 45 ct:

180 ct	36 Minuten telefonieren
45 ct	?
225 ct	?

Um von 180 ct in der ersten Zeile auf 45 ct in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Somit müssen wir auch die 36 Minuten telefonieren durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 45 ct entspricht:

: 4

180 ct	36 Minuten telefonieren
45 ct	9 Minuten telefonieren
225 ct	?

: 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 45 ct in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 225 ct in der dritten Zeile zu kommen.

: 4

⋅ 5

180 ct	36 Minuten telefonieren
45 ct	9 Minuten telefonieren
225 ct	45 Minuten telefonieren

: 4

⋅ 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 225 ct entspricht: 45 Minuten telefonieren

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 8 wenn die Größe B den Wert 12.8 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 12.8 durch den Wert von 'Größe A' (8) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{8}$ des Wertes bei 8 sein muss.
Also: m= $\frac{12.8}{8}$ = $1,6$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,6$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Im Winter schneit es 1 Stunde lang total gleichmäßig. Dabei fallen in 4 Minuten 10,8 cm. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man jedem Minuten-Wert eine Schneehöhe in cm zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Schneehöhe', nämlich 10.8 durch den Wert von 'Zeit' (4) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{4}$ des Wertes bei 4 sein muss.
Also: m= $\frac{10.8}{4}$ = $2,7$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,7$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 8, wenn die Größe B den Wert 1.6 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt Größe B ein, wenn die Größe A den Wert 4.5 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 1.6 = m⋅8.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 1.6 durch den Wert von Größe A (8) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{8}$ des Wertes bei 8 sein muss.
Also: m= $\frac{1.6}{8}$ = $0,2$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,2$ ⋅ x

y-Wert bei x = 4.5

Da der/die Größe A den Wert 4.5 hat, muss man einfach 4.5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Größe B zu erhalten:
y= $0,2$ ⋅ 4.5 = 0.9

.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann 5 Kartons in 7,5 Sekunden verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der verpackten Kartons der Verpackungszeit in Sekunden zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 7.5 = m⋅5.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Verpackungszeit, nämlich 7.5 durch den Wert von Kartonanzahl (5) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{5}$ des Wertes bei 5 sein muss.
Also: m= $\frac{7.5}{5}$ = $1,5$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,5$ ⋅ x

y-Wert bei x = 4
Da der/die Kartonanzahl den Wert 4 hat, muss man einfach 4 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Verpackungszeit zu erhalten:
y= $1,5$ ⋅ 4 = 6
.
x-Wert bei y = 8.25
Da der/die Verpackungszeit den Wert 8.25 hat, muss man 8.25 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Kartonanzahl zu erhalten:
8.25 = $1,5$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{8.25}{1.5}$ , weil dann 8.25 = $1,5$ ⋅ $\frac{8.25}{1.5}$ .
Somit gilt für x (Kartonanzahl) = $\frac{8.25}{1.5}$ = 5.5.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz

Dreisatz (beide Richtungen)

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)