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Zweisatz

Beispiel:

Beim Bäcker Allesfresh kostet 1 Brezel immer 0,50 €.

Wie viel kosten 3 Brezeln?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Brezel	0,50 €
3 Brezeln	?

Um von 1 Brezeln in der ersten Zeile auf 3 Brezeln in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 3 multiplizieren. Somit müssen wir auch die 0.5 € mit 3 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 3 Brezeln entspricht:

⋅ 3

1 Brezel	0,50 €
3 Brezeln	?

⋅ 3

1 Brezel	0,50 €
3 Brezeln	1,50 €

⋅ 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Brezeln entspricht: 1,50 €

Dreisatz (beide Richtungen)

Beispiel:

Ein Käseaufschnitt wiegt insgesamt 480 g. Er besteht aus 12 gleichen Scheiben.

Wie schwer sind dann 15 Scheiben Käse?
Wie viele Käsescheiben sind es bei 720 g Aufschnitt?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

12 Scheiben Käse	480 g
?	?
15 Scheiben Käse	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Scheiben Käse in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 12 Scheiben Käse teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 12 und von 15 sein, also der ggT(12,15) = 3.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 Scheiben Käse:

12 Scheiben Käse	480 g
3 Scheiben Käse	?
15 Scheiben Käse	?

Um von 12 Scheiben Käse in der ersten Zeile auf 3 Scheiben Käse in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Somit müssen wir auch die 480 g durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 3 Scheiben Käse entspricht:

: 4

12 Scheiben Käse	480 g
3 Scheiben Käse	120 g
15 Scheiben Käse	?

: 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 3 Scheiben Käse in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 15 Scheiben Käse in der dritten Zeile zu kommen.

: 4

⋅ 5

12 Scheiben Käse	480 g
3 Scheiben Käse	120 g
15 Scheiben Käse	600 g

: 4

⋅ 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 Scheiben Käse entspricht: 600 g

Für die andere Frage (Wie viele Käsescheiben sind es bei 720 g Aufschnitt?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "g"-Werte haben und nach einem "Scheiben Käse"-Wert gesucht wird:

480 g	12 Scheiben Käse
?	?
720 g	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die g in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 480 g teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 480 und von 720 sein, also der ggT(480,720) = 240.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 240 g:

480 g	12 Scheiben Käse
240 g	?
720 g	?

Um von 480 g in der ersten Zeile auf 240 g in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Somit müssen wir auch die 12 Scheiben Käse durch 2 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 240 g entspricht:

: 2

480 g	12 Scheiben Käse
240 g	6 Scheiben Käse
720 g	?

: 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 240 g in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 720 g in der dritten Zeile zu kommen.

: 2

⋅ 3

480 g	12 Scheiben Käse
240 g	6 Scheiben Käse
720 g	18 Scheiben Käse

: 2

⋅ 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 720 g entspricht: 18 Scheiben Käse

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 5 wenn die Größe B den Wert 6 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 6 durch den Wert von 'Größe A' (5) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{5}$ des Wertes bei 5 sein muss.
Also: m= $\frac{6}{5}$ = $1,2$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,2$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Ein Boiler erhitzt Wasser. Dabei wird in 7 Minuten das Wasser um 12,6°C erhitzt. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert einen Wert der Wassererhitzung in °C zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Temperaturänderung', nämlich 12.6 durch den Wert von 'Erhitzungsszeit' (7) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{7}$ des Wertes bei 7 sein muss.
Also: m= $\frac{12.6}{7}$ = $1,8$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,8$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 7, wenn die Größe B den Wert 2.1 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt Größe B ein, wenn die Größe A den Wert 3.5 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 2.1 = m⋅7.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 2.1 durch den Wert von Größe A (7) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{7}$ des Wertes bei 7 sein muss.
Also: m= $\frac{2.1}{7}$ = $0,3$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,3$ ⋅ x

y-Wert bei x = 3.5

Da der/die Größe A den Wert 3.5 hat, muss man einfach 3.5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Größe B zu erhalten:
y= $0,3$ ⋅ 3.5 = 1.05

.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Die Lernmittelbücherei hat 120 neue gleiche Bücher bekommen. Jeweils 3 Bücher wiegen zusammen 1,2kg. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der Bücher dem Gewicht in kg zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 1.2 = m⋅3.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Gesamtgewicht, nämlich 1.2 durch den Wert von Bücheranzahl (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{3}$ des Wertes bei 3 sein muss.
Also: m= $\frac{1.2}{3}$ = $0,4$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,4$ ⋅ x

x-Wert bei y = 1.6

Da der/die Gesamtgewicht den Wert 1.6 hat, muss man 1.6 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Bücheranzahl zu erhalten:
1.6 = $0,4$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{1.6}{0.4}$ , weil dann 1.6 = $0,4$ ⋅ $\frac{1.6}{0.4}$ .
Somit gilt für x (Bücheranzahl) = $\frac{1.6}{0.4}$ = 4.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz

Dreisatz (beide Richtungen)

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)