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Zweisatz rückwärts
Beispiel:
Der Hersteller eines Powerdrinks wirbt damit, das 2800 g Protein in dessen 7kg-Großpackung drin sind.
Wie viel g Protein ist in 1 kg Powerdrink?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 7 kg Powerdrink in der ersten Zeile auf 1 kg Powerdrink in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 7 teilen. Somit müssen wir auch die 2800 g Protein durch 7 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 kg Powerdrink entspricht:
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: 7
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: 7
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: 7
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: 7
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 1 kg Powerdrink entspricht: 400 g Protein
Dreisatz (beide Richtungen)
Beispiel:
Eine erfahrende Langstreckenläuferin trainiert immer mit exakt dem gleichen Tempo. Für 5 km braucht sie 25 Minuten.
Wie lange braucht sie für 6 km?
Wie viele km schafft sie in 20 min?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 km teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 5 und von 6 sein, also der ggT(5,6) = 1.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 km:
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Um von 5 km in der ersten Zeile auf 1 km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Somit müssen wir auch die 25 min durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 km entspricht:
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: 5
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: 5
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Jetzt müssen wir ja wieder die 1 km in der mittleren Zeile mit 6 multiplizieren, um auf die 6 km in der dritten Zeile zu kommen.
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: 5
⋅ 6
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: 5
⋅ 6
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 6 km entspricht: 30 min
Für die andere Frage (Wie viele km schafft sie in 20 min?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "min"-Werte haben und nach einem "km"-Wert gesucht wird:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die min in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 25 min teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 25 und von 20 sein, also der ggT(25,20) = 5.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 min:
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Um von 25 min in der ersten Zeile auf 5 min in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Somit müssen wir auch die 5 km durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 5 min entspricht:
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: 5
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: 5
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Jetzt müssen wir ja wieder die 5 min in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 20 min in der dritten Zeile zu kommen.
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: 5
⋅ 4
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: 5
⋅ 4
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 20 min entspricht: 4 km
Proportionaler Term
Beispiel:
Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 6 wenn die Größe B den Wert 27 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.
Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 27 durch den Wert
von 'Größe A' (6) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade
des Wertes bei 6 sein muss.
Also: m==
Zuordnungsvorschrift: y = ⋅ x
Proportionaler Term Anwendung
Beispiel:
Ein Boiler erhitzt Wasser. Dabei wird in 3 Minuten das Wasser um 5,7°C erhitzt. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert einen Wert der Wassererhitzung in °C zuordnen kann.
Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Temperaturänderung', nämlich 5.7 durch den Wert
von 'Erhitzungsszeit' (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade
des Wertes bei 3 sein muss.
Also: m==
Zuordnungsvorschrift: y = ⋅ x
Wert bei Proportionalität finden
Beispiel:
Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 7, wenn die Größe B den Wert 15.4 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt Größe B ein, wenn die Größe A den Wert 6 hat?
Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 15.4 = m⋅7.
Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 15.4 durch den Wert
von Größe A (7) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade
des Wertes bei 7 sein muss.
Also: m==
Zuordnungsvorschrift: y = ⋅ x
y-Wert bei x = 6
Da der/die Größe A den Wert 6 hat, muss man einfach 6 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen,
um als y den zugehörigen Wert von Größe B zu erhalten:
y= ⋅ 6 = 13.2
Wert bei Proportionalität (Anwendungen)
Beispiel:
Die Lernmittelbücherei hat 120 neue gleiche Bücher bekommen. Jeweils 7 Bücher wiegen zusammen 4,2kg. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der Bücher dem Gewicht in kg zuordnen kann.
Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 4.2 = m⋅7.
Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Gesamtgewicht, nämlich 4.2 durch den Wert
von Bücheranzahl (7) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade
des Wertes bei 7 sein muss.
Also: m==
Zuordnungsvorschrift: y = ⋅ x
y-Wert bei x = 3.5
Da der/die Bücheranzahl den Wert 3.5 hat, muss man einfach 3.5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen,
um als y den zugehörigen Wert von Gesamtgewicht zu erhalten:
y= ⋅ 3.5 = 2.1