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Zweisatz

Beispiel:

Beim Biohof Ökofarm bezahlt Herr Eggestein 0,20 € für 1 Ei.

Wie viel kosten 3 Eier?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Ei	20 ct
3 Eier	?

Um von 1 Eier in der ersten Zeile auf 3 Eier in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 3 multiplizieren. Somit müssen wir auch die 20 ct mit 3 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 3 Eier entspricht:

⋅ 3

1 Ei	20 ct
3 Eier	?

⋅ 3

1 Ei	20 ct
3 Eier	60 ct

⋅ 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Eier entspricht: 60 ct

Dreisatz (beide Richtungen)

Beispiel:

Herr Tobrak hat einen neuen Handyvertrag abgeschlossen. Für sein 30-Minuten-Gespräch hat er nun 210 ct bezahlt.

Wie viel kosten ihn 36 min telefonieren?
Wie lange kann er für 280 ct telefonieren?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

30 Minuten telefonieren	210 ct
?	?
36 Minuten telefonieren	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten telefonieren in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 30 Minuten telefonieren teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 30 und von 36 sein, also der ggT(30,36) = 6.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 6 Minuten telefonieren:

30 Minuten telefonieren	210 ct
6 Minuten telefonieren	?
36 Minuten telefonieren	?

Um von 30 Minuten telefonieren in der ersten Zeile auf 6 Minuten telefonieren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Somit müssen wir auch die 210 ct durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 6 Minuten telefonieren entspricht:

: 5

30 Minuten telefonieren	210 ct
6 Minuten telefonieren	42 ct
36 Minuten telefonieren	?

: 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 6 Minuten telefonieren in der mittleren Zeile mit 6 multiplizieren, um auf die 36 Minuten telefonieren in der dritten Zeile zu kommen.

: 5

⋅ 6

30 Minuten telefonieren	210 ct
6 Minuten telefonieren	42 ct
36 Minuten telefonieren	252 ct

: 5

⋅ 6

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 36 Minuten telefonieren entspricht: 252 ct

Für die andere Frage (Wie lange kann er für 280 ct telefonieren?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "ct"-Werte haben und nach einem "Minuten telefonieren"-Wert gesucht wird:

210 ct	30 Minuten telefonieren
?	?
280 ct	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die ct in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 210 ct teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 210 und von 280 sein, also der ggT(210,280) = 70.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 70 ct:

210 ct	30 Minuten telefonieren
70 ct	?
280 ct	?

Um von 210 ct in der ersten Zeile auf 70 ct in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Somit müssen wir auch die 30 Minuten telefonieren durch 3 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 70 ct entspricht:

: 3

210 ct	30 Minuten telefonieren
70 ct	10 Minuten telefonieren
280 ct	?

: 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 70 ct in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 280 ct in der dritten Zeile zu kommen.

: 3

⋅ 4

210 ct	30 Minuten telefonieren
70 ct	10 Minuten telefonieren
280 ct	40 Minuten telefonieren

: 3

⋅ 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 280 ct entspricht: 40 Minuten telefonieren

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 3 wenn die Größe B den Wert 8.7 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 8.7 durch den Wert von 'Größe A' (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{3}$ des Wertes bei 3 sein muss.
Also: m= $\frac{8.7}{3}$ = $2,9$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,9$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Ein Boiler erhitzt Wasser. Dabei wird in 3 Minuten das Wasser um 9°C erhitzt. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert einen Wert der Wassererhitzung in °C zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Temperaturänderung', nämlich 9 durch den Wert von 'Erhitzungsszeit' (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{3}$ des Wertes bei 3 sein muss.
Also: m= $\frac{9}{3}$ = $3$
Zuordnungsvorschrift: y = $3$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 4, wenn die Größe B den Wert 15.6 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.

Welchen Wert nimmt Größe B ein, wenn die Größe A den Wert 5.5 hat?
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 21.45 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 15.6 = m⋅4.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 15.6 durch den Wert von Größe A (4) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{4}$ des Wertes bei 4 sein muss.
Also: m= $\frac{15.6}{4}$ = $3,9$
Zuordnungsvorschrift: y = $3,9$ ⋅ x

y-Wert bei x = 5.5
Da der/die Größe A den Wert 5.5 hat, muss man einfach 5.5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Größe B zu erhalten:
y= $3,9$ ⋅ 5.5 = 21.45
.
x-Wert bei y = 21.45
Da der/die Größe B den Wert 21.45 hat, muss man 21.45 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
21.45 = $3,9$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{21.45}{3.9}$ , weil dann 21.45 = $3,9$ ⋅ $\frac{21.45}{3.9}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{21.45}{3.9}$ = 5.5.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann 9 Kartons in 26,1 Sekunden verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der verpackten Kartons der Verpackungszeit in Sekunden zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 26.1 = m⋅9.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Verpackungszeit, nämlich 26.1 durch den Wert von Kartonanzahl (9) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{9}$ des Wertes bei 9 sein muss.
Also: m= $\frac{26.1}{9}$ = $2,9$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,9$ ⋅ x

y-Wert bei x = 6

Da der/die Kartonanzahl den Wert 6 hat, muss man einfach 6 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Verpackungszeit zu erhalten:
y= $2,9$ ⋅ 6 = 17.4

.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz

Dreisatz (beide Richtungen)

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)