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Proportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen proportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 720 g den 36 Scheiben Käse entsprechen.

: 5

⋅ 6

30 Scheiben Käse	600 g
6 Scheiben Käse	120 g
36 Scheiben Käse	720 g

: 5

⋅ 6

Der Wert 720 g war also korrekt.

Jetzt überprüfen wir, ob die 900 g den 45 Scheiben Käse entsprechen.

: 2

⋅ 3

30 Scheiben Käse	600 g
15 Scheiben Käse	300 g
45 Scheiben Käse	900 g

: 2

⋅ 3

Der Wert 900 g war also korrekt.

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem proportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

20 kg Äpfel	30,00 €
?	?
24 kg Äpfel	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die kg Äpfel in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 20 kg Äpfel teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 20 und von 24 sein, also der ggT(20,24) = 4.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 kg Äpfel:

20 kg Äpfel	30,00 €
4 kg Äpfel	?
24 kg Äpfel	?

Um von 20 kg Äpfel in der ersten Zeile auf 4 kg Äpfel in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Somit müssen wir auch die 30 € durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 4 kg Äpfel entspricht:

: 5

20 kg Äpfel	30,00 €
4 kg Äpfel	?
24 kg Äpfel	?

: 5

20 kg Äpfel	30,00 €
4 kg Äpfel	6,00 €
24 kg Äpfel	?

: 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 4 kg Äpfel in der mittleren Zeile mit 6 multiplizieren, um auf die 24 kg Äpfel in der dritten Zeile zu kommen.

: 5

⋅ 6

20 kg Äpfel	30,00 €
4 kg Äpfel	6,00 €
24 kg Äpfel	?

: 5

⋅ 6

Wir müssen somit auch rechts die 6,00 € in der mittleren Zeile mit 6 multiplizieren:

: 5

⋅ 6

20 kg Äpfel	30,00 €
4 kg Äpfel	6,00 €
24 kg Äpfel	36,00 €

: 5

⋅ 6

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 24 kg Äpfel entspricht: 36,00 €

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 3 wenn die Größe B den Wert 3 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 3 durch den Wert von 'Größe A' (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{3}$ des Wertes bei 3 sein muss.
Also: m= $\frac{3}{3}$ = $1$
Zuordnungsvorschrift: y = $1$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Im Winter schneit es 1 Stunde lang total gleichmäßig. Dabei fallen in 4 Minuten 13,6 cm. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man jedem Minuten-Wert eine Schneehöhe in cm zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Schneehöhe', nämlich 13.6 durch den Wert von 'Zeit' (4) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{4}$ des Wertes bei 4 sein muss.
Also: m= $\frac{13.6}{4}$ = $3,4$
Zuordnungsvorschrift: y = $3,4$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 7, wenn die Größe B den Wert 20.3 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.

Welchen Wert nimmt Größe B ein, wenn die Größe A den Wert 7.5 hat?
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 27.55 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 20.3 = m⋅7.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 20.3 durch den Wert von Größe A (7) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{7}$ des Wertes bei 7 sein muss.
Also: m= $\frac{20.3}{7}$ = $2,9$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,9$ ⋅ x

y-Wert bei x = 7.5
Da der/die Größe A den Wert 7.5 hat, muss man einfach 7.5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Größe B zu erhalten:
y= $2,9$ ⋅ 7.5 = 21.75
.
x-Wert bei y = 27.55
Da der/die Größe B den Wert 27.55 hat, muss man 27.55 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
27.55 = $2,9$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{27.55}{2.9}$ , weil dann 27.55 = $2,9$ ⋅ $\frac{27.55}{2.9}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{27.55}{2.9}$ = 9.5.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Die Lernmittelbücherei hat 120 neue gleiche Bücher bekommen. Jeweils 5 Bücher wiegen zusammen 4,5kg. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der Bücher dem Gewicht in kg zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 4.5 = m⋅5.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Gesamtgewicht, nämlich 4.5 durch den Wert von Bücheranzahl (5) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{5}$ des Wertes bei 5 sein muss.
Also: m= $\frac{4.5}{5}$ = $0,9$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,9$ ⋅ x

x-Wert bei y = 4.95

Da der/die Gesamtgewicht den Wert 4.95 hat, muss man 4.95 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Bücheranzahl zu erhalten:
4.95 = $0,9$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{4.95}{0.9}$ , weil dann 4.95 = $0,9$ ⋅ $\frac{4.95}{0.9}$ .
Somit gilt für x (Bücheranzahl) = $\frac{4.95}{0.9}$ = 5.5.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Proportionalität überprüfen

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)