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Zweisatz rückwärts

Beispiel:

Herr Tobrak hat einen neuen Handyvertrag abgeschlossen. Für sein 9-Minuten-Gespräch hat er nun 45 ct bezahlt.

Wie viel kostet ihn 1 min telefonieren?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

9 Minuten telefonieren	45 ct
1 Minute telefonieren	?

Um von 9 Minuten telefonieren in der ersten Zeile auf 1 Minuten telefonieren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 9 teilen. Somit müssen wir auch die 45 ct durch 9 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 Minuten telefonieren entspricht:

: 9

9 Minuten telefonieren	45 ct
1 Minute telefonieren	?

: 9

9 Minuten telefonieren	45 ct
1 Minute telefonieren	5 ct

: 9

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 1 Minuten telefonieren entspricht: 5 ct

Einfacher Dreisatz

Beispiel:

Bei einem Marktstand bezahlt man 35,00 € für 10 kg Äpfel.

Wie viel kosten 9 kg Äpfel?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

10 kg Äpfel	35,00 €
?	?
9 kg Äpfel	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die kg Äpfel in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 kg Äpfel teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 10 und von 9 sein, also der ggT(10,9) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 kg Äpfel:

10 kg Äpfel	35,00 €
1 kg Äpfel	?
9 kg Äpfel	?

Um von 10 kg Äpfel in der ersten Zeile auf 1 kg Äpfel in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 10 teilen. Somit müssen wir auch die 35 € durch 10 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 kg Äpfel entspricht:

: 10

10 kg Äpfel	35,00 €
1 kg Äpfel	?
9 kg Äpfel	?

: 10

10 kg Äpfel	35,00 €
1 kg Äpfel	3,50 €
9 kg Äpfel	?

: 10

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 kg Äpfel in der mittleren Zeile mit 9 multiplizieren, um auf die 9 kg Äpfel in der dritten Zeile zu kommen.

: 10

⋅ 9

10 kg Äpfel	35,00 €
1 kg Äpfel	3,50 €
9 kg Äpfel	?

: 10

⋅ 9

Wir müssen somit auch rechts die 3,50 € in der mittleren Zeile mit 9 multiplizieren:

: 10

⋅ 9

10 kg Äpfel	35,00 €
1 kg Äpfel	3,50 €
9 kg Äpfel	31,50 €

: 10

⋅ 9

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 9 kg Äpfel entspricht: 31,50 €

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 7 wenn die Größe B den Wert 4.2 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 4.2 durch den Wert von 'Größe A' (7) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{7}$ des Wertes bei 7 sein muss.
Also: m= $\frac{4.2}{7}$ = $0,6$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,6$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Im Winter schneit es 1 Stunde lang total gleichmäßig. Dabei fallen in 3 Minuten 14,7 cm. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man jedem Minuten-Wert eine Schneehöhe in cm zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Schneehöhe', nämlich 14.7 durch den Wert von 'Zeit' (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{3}$ des Wertes bei 3 sein muss.
Also: m= $\frac{14.7}{3}$ = $4,9$
Zuordnungsvorschrift: y = $4,9$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 3, wenn die Größe B den Wert 9.9 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.

Welchen Wert nimmt Größe B ein, wenn die Größe A den Wert 5.5 hat?
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 16.5 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 9.9 = m⋅3.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 9.9 durch den Wert von Größe A (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{3}$ des Wertes bei 3 sein muss.
Also: m= $\frac{9.9}{3}$ = $3,3$
Zuordnungsvorschrift: y = $3,3$ ⋅ x

y-Wert bei x = 5.5
Da der/die Größe A den Wert 5.5 hat, muss man einfach 5.5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Größe B zu erhalten:
y= $3,3$ ⋅ 5.5 = 18.15
.
x-Wert bei y = 16.5
Da der/die Größe B den Wert 16.5 hat, muss man 16.5 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
16.5 = $3,3$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{16.5}{3.3}$ , weil dann 16.5 = $3,3$ ⋅ $\frac{16.5}{3.3}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{16.5}{3.3}$ = 5.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Ein Prepaid-Anbieter verlangt immer den gleichen Preis pro Minute Telefonieren mit dem Handy. Auf einem Werbeplakat steht, dass 7 Minuten nur 105ct kosten. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man den telefonierten Minuten den Preis in Cent zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 105 = m⋅7.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Preis, nämlich 105 durch den Wert von Minuten (7) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{7}$ des Wertes bei 7 sein muss.
Also: m= $\frac{105}{7}$ = $15$
Zuordnungsvorschrift: y = $15$ ⋅ x

y-Wert bei x = 9.5

Da der/die Minuten den Wert 9.5 hat, muss man einfach 9.5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Preis zu erhalten:
y= $15$ ⋅ 9.5 = 142.5

.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz rückwärts

Einfacher Dreisatz

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)