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Proportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen proportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 210 ct den 9 Eier entsprechen.

: 4

⋅ 3

12 Eier	240 ct
3 Eier	60 ct
9 Eier	180 ct

: 4

⋅ 3

Der Wert 210 ct war also falsch, richtig wäre 180 ct gewesen.

Jetzt überprüfen wir, ob die 270 ct den 15 Eier entsprechen.

: 4

⋅ 5

12 Eier	240 ct
3 Eier	60 ct
15 Eier	300 ct

: 4

⋅ 5

Der Wert 270 ct war also falsch, richtig wäre 300 ct gewesen.

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem proportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

20 Minuten telefonieren	100 ct
?	?
24 Minuten telefonieren	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten telefonieren in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 20 Minuten telefonieren teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 20 und von 24 sein, also der ggT(20,24) = 4.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 Minuten telefonieren:

20 Minuten telefonieren	100 ct
4 Minuten telefonieren	?
24 Minuten telefonieren	?

Um von 20 Minuten telefonieren in der ersten Zeile auf 4 Minuten telefonieren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Somit müssen wir auch die 100 ct durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 4 Minuten telefonieren entspricht:

: 5

20 Minuten telefonieren	100 ct
4 Minuten telefonieren	?
24 Minuten telefonieren	?

: 5

20 Minuten telefonieren	100 ct
4 Minuten telefonieren	20 ct
24 Minuten telefonieren	?

: 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 4 Minuten telefonieren in der mittleren Zeile mit 6 multiplizieren, um auf die 24 Minuten telefonieren in der dritten Zeile zu kommen.

: 5

⋅ 6

20 Minuten telefonieren	100 ct
4 Minuten telefonieren	20 ct
24 Minuten telefonieren	?

: 5

⋅ 6

Wir müssen somit auch rechts die 20 ct in der mittleren Zeile mit 6 multiplizieren:

: 5

⋅ 6

20 Minuten telefonieren	100 ct
4 Minuten telefonieren	20 ct
24 Minuten telefonieren	120 ct

: 5

⋅ 6

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 24 Minuten telefonieren entspricht: 120 ct

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 2 wenn die Größe B den Wert 4.4 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 4.4 durch den Wert von 'Größe A' (2) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{2}$ des Wertes bei 2 sein muss.
Also: m= $\frac{4.4}{2}$ = $2,2$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,2$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Im Winter schneit es 1 Stunde lang total gleichmäßig. Dabei fallen in 4 Minuten 16,8 cm. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man jedem Minuten-Wert eine Schneehöhe in cm zuordnen kann.

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Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Schneehöhe', nämlich 16.8 durch den Wert von 'Zeit' (4) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{4}$ des Wertes bei 4 sein muss.
Also: m= $\frac{16.8}{4}$ = $4,2$
Zuordnungsvorschrift: y = $4,2$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 6, wenn die Größe B den Wert 6.6 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.

Welchen Wert nimmt Größe B ein, wenn die Größe A den Wert 9 hat?
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 10.45 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 6.6 = m⋅6.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 6.6 durch den Wert von Größe A (6) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{6}$ des Wertes bei 6 sein muss.
Also: m= $\frac{6.6}{6}$ = $1,1$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,1$ ⋅ x

y-Wert bei x = 9
Da der/die Größe A den Wert 9 hat, muss man einfach 9 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Größe B zu erhalten:
y= $1,1$ ⋅ 9 = 9.9
.
x-Wert bei y = 10.45
Da der/die Größe B den Wert 10.45 hat, muss man 10.45 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
10.45 = $1,1$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{10.45}{1.1}$ , weil dann 10.45 = $1,1$ ⋅ $\frac{10.45}{1.1}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{10.45}{1.1}$ = 9.5.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Ein Prepaid-Anbieter verlangt immer den gleichen Preis pro Minute Telefonieren mit dem Handy. Auf einem Werbeplakat steht, dass 8 Minuten nur 120ct kosten. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man den telefonierten Minuten den Preis in Cent zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 120 = m⋅8.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Preis, nämlich 120 durch den Wert von Minuten (8) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{8}$ des Wertes bei 8 sein muss.
Also: m= $\frac{120}{8}$ = $15$
Zuordnungsvorschrift: y = $15$ ⋅ x

x-Wert bei y = 142.5

Da der/die Preis den Wert 142.5 hat, muss man 142.5 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Minuten zu erhalten:
142.5 = $15$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{142.5}{15}$ , weil dann 142.5 = $15$ ⋅ $\frac{142.5}{15}$ .
Somit gilt für x (Minuten) = $\frac{142.5}{15}$ = 9.5.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Proportionalität überprüfen

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)