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Zweisatz rückwärts

Beispiel:

Der Hersteller eines Powerdrinks wirbt damit, das 1800 g Protein in dessen 9kg-Großpackung drin sind.

Wie viel g Protein ist in 1 kg Powerdrink?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

9 kg Powerdrink	1800 g Protein
1 kg Powerdrink	?

Um von 9 kg Powerdrink in der ersten Zeile auf 1 kg Powerdrink in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 9 teilen. Somit müssen wir auch die 1800 g Protein durch 9 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 kg Powerdrink entspricht:

: 9

9 kg Powerdrink	1800 g Protein
1 kg Powerdrink	?

: 9

9 kg Powerdrink	1800 g Protein
1 kg Powerdrink	200 g Protein

: 9

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 1 kg Powerdrink entspricht: 200 g Protein

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem proportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

6 Brezeln	3,30 €
?	?
5 Brezeln	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Brezeln in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 Brezeln teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 6 und von 5 sein, also der ggT(6,5) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Brezeln:

6 Brezeln	3,30 €
1 Brezel	?
5 Brezeln	?

Um von 6 Brezeln in der ersten Zeile auf 1 Brezeln in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 6 teilen. Somit müssen wir auch die 3,3 € durch 6 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 Brezeln entspricht:

: 6

6 Brezeln	3,30 €
1 Brezel	?
5 Brezeln	?

: 6

(Beim Teilen durch 6 kann man einfach erst durch 2 und dann durch 3 teilen - oder erst eine 6-er Zahl in der Nähe suchen, hier 0, und dann noch den Rest (3.3) durch 6 teilen.)

: 6

6 Brezeln	3,30 €
1 Brezel	0,55 €
5 Brezeln	?

: 6

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Brezeln in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 5 Brezeln in der dritten Zeile zu kommen.

: 6

⋅ 5

6 Brezeln	3,30 €
1 Brezel	0,55 €
5 Brezeln	?

: 6

⋅ 5

Wir müssen somit auch rechts die 0,55 € in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren:

: 6

⋅ 5

6 Brezeln	3,30 €
1 Brezel	0,55 €
5 Brezeln	2,75 €

: 6

⋅ 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 Brezeln entspricht: 2,75 €

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 8 wenn die Größe B den Wert 17.6 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 17.6 durch den Wert von 'Größe A' (8) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{8}$ des Wertes bei 8 sein muss.
Also: m= $\frac{17.6}{8}$ = $2,2$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,2$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Ein Boiler erhitzt Wasser. Dabei wird in 2 Minuten das Wasser um 2,2°C erhitzt. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert einen Wert der Wassererhitzung in °C zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Temperaturänderung', nämlich 2.2 durch den Wert von 'Erhitzungsszeit' (2) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{2}$ des Wertes bei 2 sein muss.
Also: m= $\frac{2.2}{2}$ = $1,1$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,1$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 7, wenn die Größe B den Wert 15.4 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 7.7 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 15.4 = m⋅7.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 15.4 durch den Wert von Größe A (7) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{7}$ des Wertes bei 7 sein muss.
Also: m= $\frac{15.4}{7}$ = $2,2$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,2$ ⋅ x

x-Wert bei y = 7.7

Da der/die Größe B den Wert 7.7 hat, muss man 7.7 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
7.7 = $2,2$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{7.7}{2.2}$ , weil dann 7.7 = $2,2$ ⋅ $\frac{7.7}{2.2}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{7.7}{2.2}$ = 3.5.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Die Lernmittelbücherei hat 120 neue gleiche Bücher bekommen. Jeweils 6 Bücher wiegen zusammen 0,6kg. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der Bücher dem Gewicht in kg zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 0.6 = m⋅6.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Gesamtgewicht, nämlich 0.6 durch den Wert von Bücheranzahl (6) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{6}$ des Wertes bei 6 sein muss.
Also: m= $\frac{0.6}{6}$ = $0,1$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,1$ ⋅ x

y-Wert bei x = 6.5

Da der/die Bücheranzahl den Wert 6.5 hat, muss man einfach 6.5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Gesamtgewicht zu erhalten:
y= $0,1$ ⋅ 6.5 = 0.65

.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz rückwärts

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)