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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3+1}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3-1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

L={ $- 2$ ; $- 1$ }

quadr. Gleichung mit der p-q-Formel

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 2 x - 3$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 2 x - 3$ = 0

D = $1^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 1$ - $2$ = -3

x₂ = $- 1$ + $2$ = 1

L = { $- 3$ ; $1$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$12 + 2 x^{2}$ = $- 10 x$

Lösung einblenden

2 x^{2} + 12

=

- 10 x

|

+ 10 x

2 x^{2} + 10 x + 12

= 0 |:2

$x^{2} + 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5+1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5-1}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

L={ $- 3$ ; $- 2$ }

quadr. Gl. p-q-Formel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$81 - 18 x$ = $- x^{2}$

Lösung einblenden

$81 - 18 x$ = $- x^{2}$ | - ( $- x^{2}$ )

$81 - 18 x + x^{2}$ = 0

sortieren

$x^{2} - 18 x + 81$ = 0

D = ${(- 9)}^{2} - 81$ = $81$ $-$ $81$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $9$ - 0 = $9$

L ={ $9$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{1}{4} x - \frac{7}{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{1}{4} x - \frac{7}{2}$	=	0	\|⋅ 4
$4 (x^{2} + \frac{1}{4} x - \frac{7}{2})$	=	0

$4 x^{2} + x - 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 224}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{225}}{8}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{225}}{8}$ = $\frac{- 1+15}{8}$ = $\frac{14}{8}$ = $1,75$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{225}}{8}$ = $\frac{- 1-15}{8}$ = $\frac{- 16}{8}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + x - 14$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{1}{4} x - \frac{7}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{8})}^{2} - (- \frac{7}{2})$ = $\frac{1}{64}$ $+$ $\frac{7}{2}$ = $\frac{1}{64}$ $+$ $\frac{224}{64}$ = $\frac{225}{64}$

x_1,2 = $- \frac{1}{8}$ ± $\sqrt{\frac{225}{64}}$

x₁ = $- \frac{1}{8}$ - $\frac{15}{8}$ = $- \frac{16}{8}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{8}$ + $\frac{15}{8}$ = $\frac{14}{8}$ = 1.75

L={ $- 2$ ; $1,75$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$9 x^{2} + 6 x - 5$ = $(8 x + 2) \cdot (x - 7) + 59 x + 21$

Lösung einblenden

$9 x^{2} + 6 x - 5$	=	$(8 x + 2) \cdot (x - 7) + 59 x + 21$
$9 x^{2} + 6 x - 5$	=	$8 x^{2} - 54 x - 14 + 59 x + 21$
$9 x^{2} + 6 x - 5$	=	$8 x^{2} + 5 x + 7$	\| $- 8 x^{2}$ $- 5 x$ $- 7$

$x^{2} + x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

L={ $- 4$ ; $3$ }

quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x + 2,6)}^{2}$ = $0,16$

Lösung einblenden

{(x + 2,6)}^{2}

=

0,16

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x + 2,6

=

- \sqrt{0,16}

=

- 0,4

$x + 2,6$	=	$- 0,4$	\| $- 2,6$
x₁	=	$- 3$

2. Fall

x + 2,6

=

\sqrt{0,16}

=

0,4

$x + 2,6$	=	$0,4$	\| $- 2,6$
x₂	=	$- 2,2$

L={ $- 3$ ; $- 2,2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Mitternachtsformel (alles links)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

quadr. Gleichung mit der p-q-Formel

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

quadr. Gl. p-q-Formel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

quadr. Linearterm