Mathebattle EduRandomtasks

Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 12 x + 36$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 12 x + 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 144}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{12}{2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 36$ = $36$ $-$ $36$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $6$ ± 0 = $6$

L={ $6$ }

$6$ ist 2-fache Lösung!

quadr. Gleichung mit der p-q-Formel

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 3 x - 40$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 3 x - 40$ = 0

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 40)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $40$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{160}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

L = { $- 8$ ; $5$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 16 x + 4 x^{2} + 16$ = 0

Lösung einblenden

4 x^{2} - 16 x + 16

= 0 |:4

$x^{2} - 4 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $2$ ± 0 = $2$

L={ $2$ }

$2$ ist 2-fache Lösung!

quadr. Gl. p-q-Formel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 8 x$ = $- 17$

Lösung einblenden

$x^{2} - 8 x$ = $- 17$ | - ( $- 17$ )

$x^{2} - 8 x + 17$ = 0

sortieren

$x^{2} - 8 x + 17$ = 0

D = ${(- 4)}^{2} - 17$ = $16$ $-$ $17$ = $- 1$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L ={}

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{3}{4} x - \frac{7}{4}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{3}{4} x - \frac{7}{4}$	=	0	\|⋅ 4
$4 (x^{2} + \frac{3}{4} x - \frac{7}{4})$	=	0

$4 x^{2} + 3 x - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{121}}{8}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{121}}{8}$ = $\frac{- 3+11}{8}$ = $\frac{8}{8}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{121}}{8}$ = $\frac{- 3-11}{8}$ = $\frac{- 14}{8}$ = $- 1,75$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 3 x - 7$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{3}{4} x - \frac{7}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{8})}^{2} - (- \frac{7}{4})$ = $\frac{9}{64}$ $+$ $\frac{7}{4}$ = $\frac{9}{64}$ $+$ $\frac{112}{64}$ = $\frac{121}{64}$

x_1,2 = $- \frac{3}{8}$ ± $\sqrt{\frac{121}{64}}$

x₁ = $- \frac{3}{8}$ - $\frac{11}{8}$ = $- \frac{14}{8}$ = -1.75

x₂ = $- \frac{3}{8}$ + $\frac{11}{8}$ = $\frac{8}{8}$ = 1

L={ $- 1,75$ ; $1$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 6 x^{2} + 7 x - 6$ = $(- 7 x + 3) (x + 9) + 63 x - 36$

Lösung einblenden

$- 6 x^{2} + 7 x - 6$	=	$(- 7 x + 3) (x + 9) + 63 x - 36$
$- 6 x^{2} + 7 x - 6$	=	$- 7 x^{2} - 60 x + 27 + 63 x - 36$
$- 6 x^{2} + 7 x - 6$	=	$- 7 x^{2} + 3 x - 9$	\| $+ 7 x^{2}$ $- 3 x$ $+ 9$

$x^{2} + 4 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4+2}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4-2}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 2$ - $1$ = -3

x₂ = $- 2$ + $1$ = -1

L={ $- 3$ ; $- 1$ }

Nullprodukt (mit 2 Linearfaktoren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 6 (x - 1) \cdot (x + 5)$ = 0

Lösung einblenden

- 6 (x - 1) (x + 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₂	=	$- 5$

L={ $- 5$ ; $1$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Mitternachtsformel (alles links)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

quadr. Gleichung mit der p-q-Formel

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

quadr. Gl. p-q-Formel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Nullprodukt (mit 2 Linearfaktoren)