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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 7 x + 3$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 7 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{7+5}{4}$ = $\frac{12}{4}$ = $3$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{7-5}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

L={ $0,5$ ; $3$ }

quadr. Gleichung mit der p-q-Formel

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 7 x + 10$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 7 x + 10$ = 0

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

L = { $- 5$ ; $- 2$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 7 x$ = $- 6$

Lösung einblenden

2 x^{2} - 7 x

=

- 6

|

+ 6

$2 x^{2} - 7 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 6}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{7+1}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = $2$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{7-1}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = $1,5$

L={ $1,5$ ; $2$ }

quadr. Gl. p-q-Formel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 10 x + x^{2}$ = $- 24$

Lösung einblenden

$- 10 x + x^{2}$ = $- 24$ | - ( $- 24$ )

$- 10 x + x^{2} + 24$ = 0

sortieren

$x^{2} - 10 x + 24$ = 0

D = ${(- 5)}^{2} - 24$ = $25$ $-$ $24$ = $1$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $5$ - $1$ = 4

x₂ = $5$ + $1$ = 6

L = { $4$ ; $6$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 9 x + \frac{81}{4}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 9 x + \frac{81}{4}$	=	0	\|⋅ 4
$4 (x^{2} + 9 x + \frac{81}{4})$	=	0

$4 x^{2} + 36 x + 81$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 36 \pm \sqrt{36^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 81}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 36 \pm \sqrt{1 296 - 1 296}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 36 \pm \sqrt{0}}{8}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 36}{8}$ = $- \frac{9}{2}$

L={ $- \frac{9}{2}$ }

$- \frac{9}{2}$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- x^{2} - 4 x + 4$ = $(- 2 x - 6) (x - 6) - 8 x - 24$

Lösung einblenden

$- x^{2} - 4 x + 4$	=	$(- 2 x - 6) (x - 6) - 8 x - 24$
$- x^{2} - 4 x + 4$	=	$- 2 x^{2} + 6 x + 36 - 8 x - 24$
$- x^{2} - 4 x + 4$	=	$- 2 x^{2} - 2 x + 12$	\| $+ 2 x^{2}$ $+ 2 x$ $- 12$

$x^{2} - 2 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2+6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2-6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $4$ }

Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - x - 45$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - x - 45$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 45)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 360}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{361}}{4}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{361}}{4}$ = $\frac{1+19}{4}$ = $\frac{20}{4}$ = $5$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{361}}{4}$ = $\frac{1-19}{4}$ = $\frac{- 18}{4}$ = $- 4,5$

L={ $- 4,5$ ; $5$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $2 x^{2} + 16 x + 14$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

2 x^{2} + 16 x + 14

= 0 |:2

$x^{2} + 8 x + 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 8+6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 8-6}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

L={ $- 7$ ; $- 1$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 7$ |0) und N₂( $- 1$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- x^{2} + 4 x + 14$
und
$g(x) =$ $- 2 x^{2} - 3 x + 4$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- x^{2} + 4 x + 14

=

- 2 x^{2} - 3 x + 4

|

+ 2 x^{2}

+ 3 x

- 4

$x^{2} + 7 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 7+3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 7-3}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $- 2$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $- 2 \cdot {(- 5)}^{2} - 3 \cdot (- 5) + 4$ = $- 2 \cdot 25 + 15 + 4$ = $- 50 + 15 + 4$ = $- 31$

g( $- 2$ ) = $- 2 \cdot {(- 2)}^{2} - 3 \cdot (- 2) + 4$ = $- 2 \cdot 4 + 6 + 4$ = $- 8 + 6 + 4$ = $2$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 5$ | $- 31$ ) und S₂( $- 2$ | $2$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + x + 6$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $3$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 1 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $- 1$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $- x + 3$ oder $f(x) =$ $- x + 3$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- x + 3

=

- x^{2} + x + 6

|

+ x^{2}

- x

- 6

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; $3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 1$ ) = $- {(- 1)}^{2} - 1 + 6$ = $- 1 - 1 + 6$ = $4$

g( $3$ ) = $- 3^{2} + 3 + 6$ = $- 9 + 3 + 6$ = 0

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 1$ | $4$ ) und S₂( $3$ |0).

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Mitternachtsformel (alles links)

quadr. Gleichung mit der p-q-Formel

Mitternachtsformel (erst sortieren)

quadr. Gl. p-q-Formel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Mitternachtsformel (alles links)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)