Mathebattle EduRandomtasks

Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 39 x - 10$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} + 39 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 39 \pm \sqrt{39^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 39 \pm \sqrt{1 521 + 160}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 39 \pm \sqrt{1 681}}{8}$

x₁ = $\frac{- 39 + \sqrt{1 681}}{8}$ = $\frac{- 39+41}{8}$ = $\frac{2}{8}$ = $0,25$

x₂ = $\frac{- 39 - \sqrt{1 681}}{8}$ = $\frac{- 39-41}{8}$ = $\frac{- 80}{8}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 39 x - 10$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{39}{4} x - \frac{5}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{39}{8})}^{2} - (- \frac{5}{2})$ = $\frac{1521}{64}$ $+$ $\frac{5}{2}$ = $\frac{1521}{64}$ $+$ $\frac{160}{64}$ = $\frac{1681}{64}$

x_1,2 = $- \frac{39}{8}$ ± $\sqrt{\frac{1681}{64}}$

x₁ = $- \frac{39}{8}$ - $\frac{41}{8}$ = $- \frac{80}{8}$ = -10

x₂ = $- \frac{39}{8}$ + $\frac{41}{8}$ = $\frac{2}{8}$ = 0.25

L={ $- 10$ ; $0,25$ }

quadr. Gleichung mit der p-q-Formel

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - x - 2$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - x - 2$ = 0

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L = { $- 1$ ; $2$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 36$ = $- 24 x$

Lösung einblenden

4 x^{2} + 36

=

- 24 x

|

+ 24 x

4 x^{2} + 24 x + 36

= 0 |:4

$x^{2} + 6 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 9$ = $9$ $-$ $9$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 3$ ± 0 = $- 3$

L={ $- 3$ }

$- 3$ ist 2-fache Lösung!

quadr. Gl. p-q-Formel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 16 x + 63 + x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$- 16 x + 63 + x^{2}$ = 0

sortieren

$x^{2} - 16 x + 63$ = 0

D = ${(- 8)}^{2} - 63$ = $64$ $-$ $63$ = $1$

x_1,2 = $8$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $8$ - $1$ = 7

x₂ = $8$ + $1$ = 9

L = { $7$ ; $9$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{19}{2} x + 21$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{19}{2} x + 21$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} + \frac{19}{2} x + 21)$	=	0

$2 x^{2} + 19 x + 42$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 42}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 336}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{- 19 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 19+5}{4}$ = $\frac{- 14}{4}$ = $- 3,5$

x₂ = $\frac{- 19 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 19-5}{4}$ = $\frac{- 24}{4}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 19 x + 42$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{19}{2} x + 21$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{19}{4})}^{2} - 21$ = $\frac{361}{16}$ $-$ $21$ = $\frac{361}{16}$ $-$ $\frac{336}{16}$ = $\frac{25}{16}$

x_1,2 = $- \frac{19}{4}$ ± $\sqrt{\frac{25}{16}}$

x₁ = $- \frac{19}{4}$ - $\frac{5}{4}$ = $- \frac{24}{4}$ = -6

x₂ = $- \frac{19}{4}$ + $\frac{5}{4}$ = $- \frac{14}{4}$ = -3.5

L={ $- 6$ ; $- 3,5$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 7 x + 6$ = $(- x + 2) \cdot (x + 2) - 5 x + 17$

Lösung einblenden

$- 7 x + 6$	=	$(- x + 2) \cdot (x + 2) - 5 x + 17$
$- 7 x + 6$	=	$- x^{2} + 4 - 5 x + 17$
$- 7 x + 6$	=	$- x^{2} - 5 x + 21$	\| $+ x^{2}$ $+ 5 x$ $- 21$

$x^{2} - 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2+8}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2-8}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $1$ - $4$ = -3

x₂ = $1$ + $4$ = 5

L={ $- 3$ ; $5$ }

Nullprodukt 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 5 x^{2} - \frac{10}{3} x$ = 0

Lösung einblenden

$- 5 x^{2} - \frac{10}{3} x$	=	0
$- \frac{5}{3} x \cdot (3 x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$3 x + 2$	=	0	\| $- 2$
$3 x$	=	$- 2$	\|: $3$
x₂	=	$- \frac{2}{3}$

L={ $- \frac{2}{3}$ ; 0}

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Mitternachtsformel (alles links)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

quadr. Gleichung mit der p-q-Formel

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

quadr. Gl. p-q-Formel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Nullprodukt 2