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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 25 x + 72$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 25 x + 72$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{25^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 72}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{625 - 576}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{49}}{4}$

x₁ = $\frac{- 25 + \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{- 25+7}{4}$ = $\frac{- 18}{4}$ = $- 4,5$

x₂ = $\frac{- 25 - \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{- 25-7}{4}$ = $\frac{- 32}{4}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 25 x + 72$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{25}{2} x + 36$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{25}{4})}^{2} - 36$ = $\frac{625}{16}$ $-$ $36$ = $\frac{625}{16}$ $-$ $\frac{576}{16}$ = $\frac{49}{16}$

x_1,2 = $- \frac{25}{4}$ ± $\sqrt{\frac{49}{16}}$

x₁ = $- \frac{25}{4}$ - $\frac{7}{4}$ = $- \frac{32}{4}$ = -8

x₂ = $- \frac{25}{4}$ + $\frac{7}{4}$ = $- \frac{18}{4}$ = -4.5

L={ $- 8$ ; $- 4,5$ }

quadr. Gleichung mit der p-q-Formel

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 12 x + 27$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 12 x + 27$ = 0

D = ${(- 6)}^{2} - 27$ = $36$ $-$ $27$ = $9$

x_1,2 = $6$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $6$ - $3$ = 3

x₂ = $6$ + $3$ = 9

L = { $3$ ; $9$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$11 x - 21$ = $- 2 x^{2}$

Lösung einblenden

11 x - 21

=

- 2 x^{2}

|

+ 2 x^{2}

$2 x^{2} + 11 x - 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 + 168}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{289}}{4}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{- 11+17}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = $1,5$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{- 11-17}{4}$ = $\frac{- 28}{4}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 11 x - 21$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{11}{2} x - \frac{21}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{4})}^{2} - (- \frac{21}{2})$ = $\frac{121}{16}$ $+$ $\frac{21}{2}$ = $\frac{121}{16}$ $+$ $\frac{168}{16}$ = $\frac{289}{16}$

x_1,2 = $- \frac{11}{4}$ ± $\sqrt{\frac{289}{16}}$

x₁ = $- \frac{11}{4}$ - $\frac{17}{4}$ = $- \frac{28}{4}$ = -7

x₂ = $- \frac{11}{4}$ + $\frac{17}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = 1.5

L={ $- 7$ ; $1,5$ }

quadr. Gl. p-q-Formel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 14 x + x^{2}$ = $- 50$

Lösung einblenden

$- 14 x + x^{2}$ = $- 50$ | - ( $- 50$ )

$- 14 x + x^{2} + 50$ = 0

sortieren

$x^{2} - 14 x + 50$ = 0

D = ${(- 7)}^{2} - 50$ = $49$ $-$ $50$ = $- 1$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L ={}

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 10 x + 25$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 10 x + 25$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - 25$ = $25$ $-$ $25$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 5$ ± 0 = $- 5$

L={ $- 5$ }

$- 5$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$8 x^{2} + 5 x - 1$ = $(7 x - 5) (x - 7) + 56 x - 26$

Lösung einblenden

$8 x^{2} + 5 x - 1$	=	$(7 x - 5) (x - 7) + 56 x - 26$
$8 x^{2} + 5 x - 1$	=	$7 x^{2} - 54 x + 35 + 56 x - 26$
$8 x^{2} + 5 x - 1$	=	$7 x^{2} + 2 x + 9$	\| $- 7 x^{2}$ $- 2 x$ $- 9$

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 5$ ; $2$ }

quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x + 4,8)}^{2}$ = $0,16$

Lösung einblenden

{(x + 4,8)}^{2}

=

0,16

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x + 4,8

=

- \sqrt{0,16}

=

- 0,4

$x + 4,8$	=	$- 0,4$	\| $- 4,8$
x₁	=	$- 5,2$

2. Fall

x + 4,8

=

\sqrt{0,16}

=

0,4

$x + 4,8$	=	$0,4$	\| $- 4,8$
x₂	=	$- 4,4$

L={ $- 5,2$ ; $- 4,4$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Mitternachtsformel (alles links)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

quadr. Gleichung mit der p-q-Formel

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

quadr. Gl. p-q-Formel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

quadr. Linearterm