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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 15 x - 54$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} + 15 x - 54$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 54)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 + 864}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{1 089}}{8}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{1 089}}{8}$ = $\frac{- 15+33}{8}$ = $\frac{18}{8}$ = $2,25$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{1 089}}{8}$ = $\frac{- 15-33}{8}$ = $\frac{- 48}{8}$ = $- 6$

L={ $- 6$ ; $2,25$ }

quadr. Gleichung mit der p-q-Formel

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 1$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 1$ = 0

D = $0^{2} - (- 1)$ = $0$ $+$ $1$ = $1$

x_1,2 = $0$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $0$ - $1$ = -1

x₂ = $0$ + $1$ = 1

L = { $- 1$ ; $1$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 7 x + 2 x^{2}$ = $72$

Lösung einblenden

2 x^{2} - 7 x

=

72

|

- 72

$2 x^{2} - 7 x - 72$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 72)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 576}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{625}}{4}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{625}}{4}$ = $\frac{7+25}{4}$ = $\frac{32}{4}$ = $8$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{625}}{4}$ = $\frac{7-25}{4}$ = $\frac{- 18}{4}$ = $- 4,5$

L={ $- 4,5$ ; $8$ }

quadr. Gl. p-q-Formel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$12 + x^{2}$ = $7 x$

Lösung einblenden

$12 + x^{2}$ = $7 x$ | - ( $7 x$ )

$12 + x^{2} - 7 x$ = 0

sortieren

$x^{2} - 7 x + 12$ = 0

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

L = { $3$ ; $4$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 5 x + 6$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 5 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5+1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5-1}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $- 2$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 5 x^{2} + x + 8$ = $(- 6 x - 8) (x - 8) - 47 x - 71$

Lösung einblenden

$- 5 x^{2} + x + 8$	=	$(- 6 x - 8) (x - 8) - 47 x - 71$
$- 5 x^{2} + x + 8$	=	$- 6 x^{2} + 40 x + 64 - 47 x - 71$
$- 5 x^{2} + x + 8$	=	$- 6 x^{2} - 7 x - 7$	\| $+ 6 x^{2}$ $+ 7 x$ $+ 7$

$x^{2} + 8 x + 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 8+2}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 8-2}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $- 3$ }

quadr. Gl. p-q-Formel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$8 x - 20$ = $- x^{2}$

Lösung einblenden

$8 x - 20$ = $- x^{2}$ | - ( $- x^{2}$ )

$8 x - 20 + x^{2}$ = 0

sortieren

$x^{2} + 8 x - 20$ = 0

D = $4^{2} - (- 20)$ = $16$ $+$ $20$ = $36$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 4$ - $6$ = -10

x₂ = $- 4$ + $6$ = 2

L = { $- 10$ ; $2$ }

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Mitternachtsformel (alles links)

quadr. Gleichung mit der p-q-Formel

Mitternachtsformel (erst sortieren)

quadr. Gl. p-q-Formel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

quadr. Gl. p-q-Formel (erst sortieren)