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Mengen-Operationen elementar
Beispiel:
Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge B = {2; 4; 5; 7; 10}. Bestimme .
Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge B = {2; 4; 5; 7; 10}.
Die Menge
umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10},
die nicht in der Menge B={2; 4; 5; 7; 10} sind,
also
= {1; 3; 6; 8; 9}
Mengen-Operationen (allg.)
Beispiel:
Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {1; 2; 5; 7; 8; 10} und B = {1; 3; 6; 8}. Bestimme
Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {1; 2; 5; 7; 8; 10} und B = {1; 3; 6; 8}.
Die Menge
also
Mengen-Operationen Wahrscheinlichkeit
Beispiel:
(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)
Ein Glücksrad wie rechts abgebildet wird einmal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl des gewählten Sektors durch 4 teilbar ist und der Hintergrund dieses Sektors eingefärbt ist.
Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} und die Mengen A = {3; 4; 6} und B = {4; 8}.
Die Menge
also
Da alle Elemente aus S gleich wahrscheinlich sind, kann man nun die gesuchte Wahrscheinlichkeit über die Anzahl der Elemente der Mengen bestimmen:
P(
Mengen-Operationen Anwendungen
Beispiel:
In einer Urne sind 14 Kugeln mit den Zahlen 1 bis 14 beschriftet. Bestimme alle Kugeln deren Zahl keine Primzahl, aber höchstens die 5 ist.
Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14} und die Mengen A = {2; 3; 5; 7; 11; 13} und B = {1; 2; 3; 4; 5}.
Um die Menge
Die Menge
umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14},
die nicht in der Menge A={2; 3; 5; 7; 11; 13} sind,
also
= {1; 4; 6; 8; 9; 10; 12; 14}
Die Menge
also
Vierfeldertafel mit Anzahlen
Beispiel:
In der angezeigten Vierfeldertafel sind in jeder Zelle Anzahlen. Vervollständige die Vierfeldertafel.
In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
197 + H( ) = 451
Somit gilt: H( ) = 451 - 197 = 254
120 | |||
130 | |||
197 | 254 | 451 |
In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
120 + H( ∩ B) = 197
Somit gilt: H( ∩ B) = 197 - 120 = 77
120 | |||
77 | 130 | ||
197 | 254 | 451 |
In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
H(A ∩ ) + 130 = 254
Somit gilt: H(A ∩ ) = 254 - 130 = 124
120 | 124 | ||
77 | 130 | ||
197 | 254 | 451 |
In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
120 + 124 = H(A)
Somit gilt: H(A) = 120 + 124 = 244
120 | 124 | 244 | |
77 | 130 | ||
197 | 254 | 451 |
In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
77 + 130 = H( )
Somit gilt: H( ) = 77 + 130 = 207
120 | 124 | 244 | |
77 | 130 | 207 | |
197 | 254 | 451 |
Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.
Vierfeldertafel mit Wahrscheinlichkeiten
Beispiel:
In der angezeigten Vierfeldertafel stehen in jeder Zelle Wahrscheinlichkeiten. Vervollständige die Vierfeldertafel.
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P(A)+P( ) = P(B)+P( ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass gilt 100%.
0,16 | 0,39 | ||
0,25 | |||
1 |
In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
0.16 + 0.39 = P(A)
Somit gilt: P(A) = 0.16 + 0.39 = 0.55
0,16 | 0,39 | 0,55 | |
0,25 | |||
1 |
In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
0.39 + 0.25 = P( )
Somit gilt: P( ) = 0.39 + 0.25 = 0.64
0,16 | 0,39 | 0,55 | |
0,25 | |||
0,64 | 1 |
In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
0.55 + P( ) = 1
Somit gilt: P( ) = 1 - 0.55 = 0.45
0,16 | 0,39 | 0,55 | |
0,25 | 0,45 | ||
0,64 | 1 |
In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
P( ∩ B) + 0.25 = 0.45
Somit gilt: P( ∩ B) = 0.45 - 0.25 = 0.2
0,16 | 0,39 | 0,55 | |
0,2 | 0,25 | 0,45 | |
0,64 | 1 |
In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
P(B) + 0.64 = 1
Somit gilt: P(B) = 1 - 0.64 = 0.36
0,16 | 0,39 | 0,55 | |
0,2 | 0,25 | 0,45 | |
0,36 | 0,64 | 1 |
Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.
VFT Anwend. Häufigkeiten
Beispiel:
Ein Fahrradhändler hat in einem Jahr 1400 Fahrräder verkauft. Davon waren 400 Mountainbikes ohne zusätzlichen Elektroantrieb. Insgesamt wurden 490 E-Bikes verkauft. Von den Rädern, die kein Mountainbike sind, wurden insgesamt (E-Bike und andere zusammen) 882 Stück verkauft. Wie viele Fahrräder wurden verkauft, die weder ein Mountainbike noch ein E-Bike sind?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
: E-Bike
: nicht E-Bike, also kein E-Bike
: Mountainbike
: nicht Mountainbike, also kein Mountainbike
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
---|---|---|---|
(E-Bike) | 490 | ||
(kein E-Bike) | 400 | ||
882 | 1400 |
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden
In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
H(B) + 882 = 1400
Somit gilt: H(B) = 1400 - 882 = 518
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
---|---|---|---|
(E-Bike) | 490 | ||
(kein E-Bike) | 400 | ||
518 | 882 | 1400 |
In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
H(A ∩ B) + 400 = 518
Somit gilt: H(A ∩ B) = 518 - 400 = 118
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
---|---|---|---|
(E-Bike) | 118 | 490 | |
(kein E-Bike) | 400 | ||
518 | 882 | 1400 |
In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
490 + H( ) = 1400
Somit gilt: H( ) = 1400 - 490 = 910
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
---|---|---|---|
(E-Bike) | 118 | 490 | |
(kein E-Bike) | 400 | 910 | |
518 | 882 | 1400 |
In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
118 + H(A ∩ ) = 490
Somit gilt: H(A ∩ ) = 490 - 118 = 372
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
---|---|---|---|
(E-Bike) | 118 | 372 | 490 |
(kein E-Bike) | 400 | 910 | |
518 | 882 | 1400 |
In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
400 + H( ∩ ) = 910
Somit gilt: H( ∩ ) = 910 - 400 = 510
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
---|---|---|---|
(E-Bike) | 118 | 372 | 490 |
(kein E-Bike) | 400 | 510 | 910 |
518 | 882 | 1400 |
Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
---|---|---|---|
(E-Bike) | 118 | 372 | 490 |
(kein E-Bike) | 400 | 510 | 910 |
518 | 882 | 1400 |
Der gesuchte Wert, Anzahl verkaufter "normaler" Fahrräder, ist also 510.
VFT Anwend. prozentual (leichter)
Beispiel:
In einer groß angelegten Umfrage waren 52% der Befragten weiblich. Während 28% der männlichen Befragten angaben, Fußballfans zu sein, waren das bei den weiblichen Befragten nur 17%. Wie viel Prozent der Fußballfans sind weiblich?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
: weiblich
: nicht weiblich, also männlich
: Fußballfan
: nicht Fußballfan, also kein Fan
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(Fußballfan) |
(kein Fan) | ||
---|---|---|---|
(weiblich) | 0,52 | ||
(männlich) | |||
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe + = + = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass gilt oder dass gilt 100%.
Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.
(Fußballfan) |
(kein Fan) | ||
---|---|---|---|
(weiblich) | 0,52 | ||
(männlich) | 0,48 | ||
1 |
Aus der Information von der Teilgruppe mit "weiblich" sind es
17% kann man die Wahrscheinlichkeit
=
0,52 ⋅
0,17 =
0,0884 berechnen.
(Fußballfan) |
(kein Fan) | ||
---|---|---|---|
(weiblich) | 0,0884 | 0,52 | |
(männlich) | 0,48 | ||
1 |
Aus der Information von der Teilgruppe mit "männlich" sind es
28% kann man die Wahrscheinlichkeit
(Fußballfan) |
(kein Fan) | ||
---|---|---|---|
(weiblich) | 0,0884 | 0,52 | |
(männlich) | 0,1344 | 0,48 | |
1 |
Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:
(Fußballfan) |
(kein Fan) | ||
---|---|---|---|
(weiblich) | 0,0884 | 0,4316 | 0,52 |
(männlich) | 0,1344 | 0,3456 | 0,48 |
0,2228 | 0,7772 | 1 |
Gesucht ist ja, der Prozentsatz der Frauen unter den Fußballfans, also
Der gesuchte Wert, der Prozentsatz der Frauen unter den Fußballfans, ist also 0.3968 = 39.68%.
VFT Anwend. prozentual (schwerer)
Beispiel:
In einer groß angelegten Umfrage bezeichneten sich 19% als Fußballfans. Weibliche Fußballfans waren nur 4,94% der Befragten. 45% der Befragten, die keine Fußballfans waren, waren männlich. Wie hoch ist der Prozentsatz der weiblichen Befragten unter allen Befragten?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(weiblich) |
(männlich) | ||
---|---|---|---|
(Fußballfan) | 0,0494 | 0,19 | |
(kein Fan) | |||
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe
Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.
(weiblich) |
(männlich) | ||
---|---|---|---|
(Fußballfan) | 0,0494 | 0,1406 | 0,19 |
(kein Fan) | 0,81 | ||
1 |
Aus der Information von der Teilgruppe mit "kein Fan" sind es
45% kann man die Wahrscheinlichkeit
(weiblich) |
(männlich) | ||
---|---|---|---|
(Fußballfan) | 0,0494 | 0,1406 | 0,19 |
(kein Fan) | 0,3645 | 0,81 | |
1 |
Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:
(weiblich) |
(männlich) | ||
---|---|---|---|
(Fußballfan) | 0,0494 | 0,1406 | 0,19 |
(kein Fan) | 0,4455 | 0,3645 | 0,81 |
0,4949 | 0,5051 | 1 |
Der gesuchte Wert, der Prozentsatz weiblicher Befragter, ist also 0.4949 = 49.49%.
bedingte Wahrsch. (nur Zahlen)
Beispiel:
Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit
| | ||
---|---|---|---|
| 176 | 166 | 342 |
| 83 | 19 | 102 |
259 | 185 | 444 |
Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob
(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von
Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
oder hier im speziellen:
also
bedingte Wahrsch. (nur Prozente)
Beispiel:
Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit
| | ||
---|---|---|---|
| 0,21 | 0,27 | 0,48 |
| 0,48 | 0,04 | 0,52 |
0,69 | 0,31 | 1 |
Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob
(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von
Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
oder hier im speziellen:
0,52 ⋅ x
= 0,04 = |:0,52
also
bedingte Wahrsch. Anwendungen
Beispiel:
Schätzungen zufolge sind 5% der Lehrer Informatiklehrer. Von den anderen Lehrern nutzen 96% das MS-Office. Von den Informatik-Lehrern bevorzugen aber 86% ein anderes Office-Paket wie OpenOffice oder LibreOffice. Wie hoch ist der Anteil der Informatiklehrer an den Lehrern die ein offenes Office nutzen?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(MS-Office) |
(anderes Office) | ||
---|---|---|---|
(Informatiklehrer) | 0,05 | ||
(andere Lehrer) | |||
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe
Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.
(MS-Office) |
(anderes Office) | ||
---|---|---|---|
(Informatiklehrer) | 0,05 | ||
(andere Lehrer) | 0,95 | ||
1 |
Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "Informatiklehrer" sind es 86%, also
die Wahrscheinlichkeit
berechnen.
(MS-Office) |
(anderes Office) | ||
---|---|---|---|
(Informatiklehrer) | 0,043 | 0,05 | |
(andere Lehrer) | 0,95 | ||
1 |
Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "andere Lehrer" sind es 96%, also
die Wahrscheinlichkeit
berechnen.
(MS-Office) |
(anderes Office) | ||
---|---|---|---|
(Informatiklehrer) | 0,043 | 0,05 | |
(andere Lehrer) | 0,912 | 0,95 | |
1 |
Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:
(MS-Office) |
(anderes Office) | ||
---|---|---|---|
(Informatiklehrer) | 0,007 | 0,043 | 0,05 |
(andere Lehrer) | 0,912 | 0,038 | 0,95 |
0,919 | 0,081 | 1 |
Gesucht ist ja "der Prozentsatz der Informatiklehrer an den OpenOffice-Nutzern", also die Wahrscheinlichkeit für
Um diese Wahrscheinlichkeit (bzw. prozentualer Anteil) zu bestimmmen, müssen wir nun das Baumdiagramm anders rum zeichnen. Das ist ja aber kein Problem, weil wir bereits die fertige Vierfeldertafel ausgefüllt haben.
Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob
(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von
Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
oder hier im speziellen:
0,081 ⋅ x
= 0,043 = |:0,081
also
Der gesuchte Wert (der Prozentsatz der Informatiklehrer an den OpenOffice-Nutzern) ist also 0,5309 = 53,09%.
Stochast. Unabhängigkeit Anwendungen
Beispiel:
Ein Marktforschungsinstitut untersucht die Verbreitung einer Handy-App und kommt dabei zu folgenden Ergebnissen. Insgesamt ist die App auf 30,78% aller Smartphones installiert. 28,07% der installierten Apps sind auf einem iPhone. 59,86% aller Smartphones waren keine iPhones und hatten die App nicht installiert. Vervollständige die Vierfeldertafel und entscheide damit, ob die beiden Ereignisse "iPhone" und "App ist installiert" stochastisch unabhängig sind.
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(installiert) |
(nicht installiert) | ||
---|---|---|---|
(iPhone) | |||
(anderes Smartphone) | 0,5986 | ||
0,3078 |
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe
Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.
(installiert) |
(nicht installiert) | ||
---|---|---|---|
(iPhone) | 0,0936 | ||
(anderes Smartphone) | 0,5986 | ||
0,3078 | 0,6922 | 1 |
Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "installiert" sind es 28.07%, also
die Wahrscheinlichkeit
berechnen.
(installiert) |
(nicht installiert) | ||
---|---|---|---|
(iPhone) | 0,0864 | 0,0936 | |
(anderes Smartphone) | 0,5986 | ||
0,3078 | 0,6922 | 1 |
Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:
(installiert) |
(nicht installiert) | ||
---|---|---|---|
(iPhone) | 0,0864 | 0,0936 | 0,18 |
(anderes Smartphone) | 0,2214 | 0,5986 | 0,82 |
0,3078 | 0,6922 | 1 |
Jetzt können wir P(A)=0.18 mit P(B)=0.308 multiplizieren um zu überprüfen, ob dieses Produkt ungefähr den gleichen Wert hat wie
P(A ∩ B)=0.086, also:
P(A) ⋅ P(B) = 0.18 ⋅ 0.308 = 0.0554 ≈ 0.055
≠ 0.086 = P(A ∩ B),
A und B sind also stochastisch abhängig.
Stochast. Unabhängigkeit rückwärts
Beispiel:
Vervollständige die Vierfeldertafel so, dass die beiden Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind.
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe
|
| ||
---|---|---|---|
| 0,0962 | 0,26 | |
| |||
1 |
In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
0.26 + P(
Somit gilt: P(
|
| ||
---|---|---|---|
| 0,0962 | 0,26 | |
| 0,74 | ||
1 |
Weil wir ja wissen, dass die beiden Ereignisse A und B (und damit auch
also 0.26 ⋅
somit gilt:
|
| ||
---|---|---|---|
| 0,0962 | 0,26 | |
| 0,74 | ||
0,37 | 1 |
Jetzt können wir einfach mit den Summen die Vierfeldertafel vollends wie üblich füllen.
|
| ||
---|---|---|---|
| 0,1638 | 0,0962 | 0,26 |
| 0,4662 | 0,2738 | 0,74 |
0,63 | 0,37 | 1 |