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Mengen-Operationen elementar
Beispiel:
Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge A = {1; 2; 3; 5; 7; 8; 10}. Bestimme .
Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge A = {1; 2; 3; 5; 7; 8; 10}.
Die Menge
umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10},
die nicht in der Menge A={1; 2; 3; 5; 7; 8; 10} sind,
also
= {4; 6; 9}
Mengen-Operationen (allg.)
Beispiel:
Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {1; 3; 7; 8; 9; 10} und B = {1; 3; 4; 7; 9}. Bestimme
Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {1; 3; 7; 8; 9; 10} und B = {1; 3; 4; 7; 9}.
Um die Menge
Die Menge
umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10},
die nicht in der Menge B={1; 3; 4; 7; 9} sind,
also
= {2; 5; 6; 8; 10}
Die Menge
also
Mengen-Operationen Wahrscheinlichkeit
Beispiel:
(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)
Ein Glücksrad wie rechts abgebildet wird einmal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl des gewählten Sektors nicht durch 4 teilbar ist und deren Hintergrund eingefärbt ist.
Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} und die Mengen A = {3; 4; 5; 7} und B = {4}.
Um die Menge
Die Menge
umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7},
die nicht in der Menge B={4} sind,
also
= {1; 2; 3; 5; 6; 7}
Die Menge
also
Da alle Elemente aus S gleich wahrscheinlich sind, kann man nun die gesuchte Wahrscheinlichkeit über die Anzahl der Elemente der Mengen bestimmen:
P(
Mengen-Operationen Anwendungen
Beispiel:
In einer Urne sind 7 Kugeln mit den Zahlen 1 bis 7 beschriftet. Bestimme alle Kugeln deren Zahl durch 4 teilbar ist oder deren Zahl höchstens die 3 ist.
Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} und die Mengen A = {4} und B = {1; 2; 3}.
Die Menge
also
Vierfeldertafel mit Anzahlen
Beispiel:
In der angezeigten Vierfeldertafel sind in jeder Zelle Anzahlen. Vervollständige die Vierfeldertafel.
In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
182 + 11 = H( )
Somit gilt: H( ) = 182 + 11 = 193
241 | |||
182 | 11 | 193 | |
176 |
In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
H(A ∩ ) + 11 = 176
Somit gilt: H(A ∩ ) = 176 - 11 = 165
165 | 241 | ||
182 | 11 | 193 | |
176 |
In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
241 + 193 = H(B + )
Somit gilt: H(B + ) = 241 + 193 = 434
165 | 241 | ||
182 | 11 | 193 | |
176 | 434 |
In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
H(A ∩ B) + 165 = 241
Somit gilt: H(A ∩ B) = 241 - 165 = 76
76 | 165 | 241 | |
182 | 11 | 193 | |
176 | 434 |
In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
H(B) + 176 = 434
Somit gilt: H(B) = 434 - 176 = 258
76 | 165 | 241 | |
182 | 11 | 193 | |
258 | 176 | 434 |
Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.
Vierfeldertafel mit Wahrscheinlichkeiten
Beispiel:
In der angezeigten Vierfeldertafel stehen in jeder Zelle Wahrscheinlichkeiten. Vervollständige die Vierfeldertafel.
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P(A)+P( ) = P(B)+P( ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass gilt 100%.
0,09 | |||
0,54 | 0,1 | ||
1 |
In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
0.54 + 0.1 = P( )
Somit gilt: P( ) = 0.54 + 0.1 = 0.64
0,09 | |||
0,54 | 0,1 | 0,64 | |
1 |
In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
0.09 + 0.1 = P( )
Somit gilt: P( ) = 0.09 + 0.1 = 0.19
0,09 | |||
0,54 | 0,1 | 0,64 | |
0,19 | 1 |
In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
P(A) + 0.64 = 1
Somit gilt: P(A) = 1 - 0.64 = 0.36
0,09 | 0,36 | ||
0,54 | 0,1 | 0,64 | |
0,19 | 1 |
In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
P(A ∩ B) + 0.09 = 0.36
Somit gilt: P(A ∩ B) = 0.36 - 0.09 = 0.27
0,27 | 0,09 | 0,36 | |
0,54 | 0,1 | 0,64 | |
0,19 | 1 |
In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
P(B) + 0.19 = 1
Somit gilt: P(B) = 1 - 0.19 = 0.81
0,27 | 0,09 | 0,36 | |
0,54 | 0,1 | 0,64 | |
0,81 | 0,19 | 1 |
Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.
VFT Anwend. Häufigkeiten
Beispiel:
In der Jahrgangstufe der 10-Klässler müssen alle Schülerinnen und Schüler entweder Mathe Leistungsfach oder Mathe Basisfach wählen. Von den Mädchen wählen 24 das Leistungsfach. 16 von den insgesamt 41 Basisfachwahlen kommen von den Jungs. Insgesamt sind 33 Jungs in der Jahrgangstufe. Wie groß ist dann die ganze Jahrgangstufe?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
: Mädchen
: nicht Mädchen, also Jungs
: Leistungsfach
: nicht Leistungsfach, also Basisfach
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
---|---|---|---|
(Mädchen) | 24 | ||
(Jungs) | 16 | 33 | |
41 |
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden
In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
H( ∩ B) + 16 = 33
Somit gilt: H( ∩ B) = 33 - 16 = 17
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
---|---|---|---|
(Mädchen) | 24 | ||
(Jungs) | 17 | 16 | 33 |
41 |
In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
24 + 17 = H(B)
Somit gilt: H(B) = 24 + 17 = 41
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
---|---|---|---|
(Mädchen) | 24 | ||
(Jungs) | 17 | 16 | 33 |
41 | 41 |
In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
H(A ∩ ) + 16 = 41
Somit gilt: H(A ∩ ) = 41 - 16 = 25
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
---|---|---|---|
(Mädchen) | 24 | 25 | |
(Jungs) | 17 | 16 | 33 |
41 | 41 |
In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
24 + 25 = H(A)
Somit gilt: H(A) = 24 + 25 = 49
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
---|---|---|---|
(Mädchen) | 24 | 25 | 49 |
(Jungs) | 17 | 16 | 33 |
41 | 41 |
In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
41 + 41 = H(B + )
Somit gilt: H(B + ) = 41 + 41 = 82
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
---|---|---|---|
(Mädchen) | 24 | 25 | 49 |
(Jungs) | 17 | 16 | 33 |
41 | 41 | 82 |
Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
---|---|---|---|
(Mädchen) | 24 | 25 | 49 |
(Jungs) | 17 | 16 | 33 |
41 | 41 | 82 |
Der gesuchte Wert, Anzahl alle zusammen, ist also 82.
VFT Anwend. prozentual (leichter)
Beispiel:
In einer groß angelegten Umfrage waren 48% der Befragten weiblich. Während 37% der männlichen Befragten angaben, Fußballfans zu sein, waren das bei den weiblichen Befragten nur 11%. Wie viel Prozent der Fußballfans sind weiblich?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
: weiblich
: nicht weiblich, also männlich
: Fußballfan
: nicht Fußballfan, also kein Fan
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(Fußballfan) |
(kein Fan) | ||
---|---|---|---|
(weiblich) | 0,48 | ||
(männlich) | |||
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe + = + = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass gilt oder dass gilt 100%.
Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.
(Fußballfan) |
(kein Fan) | ||
---|---|---|---|
(weiblich) | 0,48 | ||
(männlich) | 0,52 | ||
1 |
Aus der Information von der Teilgruppe mit "weiblich" sind es
11% kann man die Wahrscheinlichkeit
=
0,48 ⋅
0,11 =
0,0528 berechnen.
(Fußballfan) |
(kein Fan) | ||
---|---|---|---|
(weiblich) | 0,0528 | 0,48 | |
(männlich) | 0,52 | ||
1 |
Aus der Information von der Teilgruppe mit "männlich" sind es
37% kann man die Wahrscheinlichkeit
(Fußballfan) |
(kein Fan) | ||
---|---|---|---|
(weiblich) | 0,0528 | 0,48 | |
(männlich) | 0,1924 | 0,52 | |
1 |
Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:
(Fußballfan) |
(kein Fan) | ||
---|---|---|---|
(weiblich) | 0,0528 | 0,4272 | 0,48 |
(männlich) | 0,1924 | 0,3276 | 0,52 |
0,2452 | 0,7548 | 1 |
Gesucht ist ja, der Prozentsatz der Frauen unter den Fußballfans, also
Der gesuchte Wert, der Prozentsatz der Frauen unter den Fußballfans, ist also 0.2153 = 21.53%.
VFT Anwend. prozentual (schwerer)
Beispiel:
Bei einer neuen Viruskrankkeit, geht man davon aus, dass 2,24% der Bevölkerung diese nicht überleben. In einem Land sind 92% der Bevölkerung nicht älter als 80 Jahre. Von den über 80-jährigen sterben sogar 13% an dieser Viruskrankheit. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Infizierter nicht älter als 80 ist und die Krankheit überlebt?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(sterben) |
(überleben) | ||
---|---|---|---|
(über 80) | |||
(höchstens 80) | 0,92 | ||
0,0224 |
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe
Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.
(sterben) |
(überleben) | ||
---|---|---|---|
(über 80) | 0,08 | ||
(höchstens 80) | 0,92 | ||
0,0224 | 0,9776 | 1 |
Aus der Information von der Teilgruppe mit "über 80" sind es
13% kann man die Wahrscheinlichkeit
(sterben) |
(überleben) | ||
---|---|---|---|
(über 80) | 0,0104 | 0,08 | |
(höchstens 80) | 0,92 | ||
0,0224 | 0,9776 | 1 |
Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:
(sterben) |
(überleben) | ||
---|---|---|---|
(über 80) | 0,0104 | 0,0696 | 0,08 |
(höchstens 80) | 0,012 | 0,908 | 0,92 |
0,0224 | 0,9776 | 1 |
Der gesuchte Wert, die Wahrscheinlichkeit für unter 80 Jahre und Krankheit überleben, ist also 0.908 = 90.8%.
bedingte Wahrsch. (nur Zahlen)
Beispiel:
Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit
| | ||
---|---|---|---|
| 95 | 178 | 273 |
| 84 | 13 | 97 |
179 | 191 | 370 |
Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob
(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von
Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
oder hier im speziellen:
also
bedingte Wahrsch. (nur Prozente)
Beispiel:
Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit
| | ||
---|---|---|---|
| 0,18 | 0,52 | 0,7 |
| 0,28 | 0,02 | 0,3 |
0,46 | 0,54 | 1 |
Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob
(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von
Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
oder hier im speziellen:
0,7 ⋅ x
= 0,18 = |:0,7
also
bedingte Wahrsch. Anwendungen
Beispiel:
Schätzungen zufolge sind 0,2% der Bevölkerung an einem Virus infiziert. Ein Testverfahren auf diesen Virus liefert bei 99,2% der tatsächlich infizierten auch einen positives Ergebnis. Bei den nicht infizierten zeigt dies der Test auch zu 98,6% an. Beim Blutspenden wird ein Mensch positiv auf dieses Virus getestet. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er auch tatsächlich mit diesem Virus infiziert ist?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(Test positiv) |
(Test negativ) | ||
---|---|---|---|
(infiziert) | 0,002 | ||
(nicht infiziert) | |||
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe
Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.
(Test positiv) |
(Test negativ) | ||
---|---|---|---|
(infiziert) | 0,002 | ||
(nicht infiziert) | 0,998 | ||
1 |
Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "infiziert" sind es 0.8%, also
die Wahrscheinlichkeit
berechnen.
(Test positiv) |
(Test negativ) | ||
---|---|---|---|
(infiziert) | 0,000016 | 0,002 | |
(nicht infiziert) | 0,998 | ||
1 |
Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "nicht infiziert" sind es 1.4%, also
die Wahrscheinlichkeit
berechnen.
(Test positiv) |
(Test negativ) | ||
---|---|---|---|
(infiziert) | 0,000016 | 0,002 | |
(nicht infiziert) | 0,013972 | 0,998 | |
1 |
Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:
(Test positiv) |
(Test negativ) | ||
---|---|---|---|
(infiziert) | 0,001984 | 0,000016 | 0,002 |
(nicht infiziert) | 0,013972 | 0,984028 | 0,998 |
0,015956 | 0,984044 | 1 |
Gesucht ist ja "die Wahrscheinlichkeit nach positiven Test tatsächlich infiziert zu sein", also die Wahrscheinlichkeit für
Um diese Wahrscheinlichkeit (bzw. prozentualer Anteil) zu bestimmmen, müssen wir nun das Baumdiagramm anders rum zeichnen. Das ist ja aber kein Problem, weil wir bereits die fertige Vierfeldertafel ausgefüllt haben.
Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob
(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von
Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
oder hier im speziellen:
0,015956 ⋅ x
= 0,001984 = |:0,015956
also
Der gesuchte Wert (die Wahrscheinlichkeit nach positiven Test tatsächlich infiziert zu sein) ist also 0,1243 = 12,43%.
Stochast. Unabhängigkeit Anwendungen
Beispiel:
Ein Fahrradhändler hat in einem Jahr 1700 Fahrräder verkauft. Davon waren 404 Mountainbikes ohne zusätzlichen Elektroantrieb. Insgesamt wurden 714 E-Bikes verkauft. Von den Rädern, die kein Mountainbike sind, wurden insgesamt (E-Bike und andere zusammen) 1025 Stück verkauft. Vervollständige die Vierfeldertafel und entscheide damit, ob die beiden Ereignisse "Mountainbike" und "E-Bike" stochastisch unabhängig sind.
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
---|---|---|---|
(E-Bike) | 714 | ||
(kein E-Bike) | 404 | ||
1025 | 1700 |
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden
In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
H(B) + 1025 = 1700
Somit gilt: H(B) = 1700 - 1025 = 675
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
---|---|---|---|
(E-Bike) | 714 | ||
(kein E-Bike) | 404 | ||
675 | 1025 | 1700 |
In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
H(A ∩ B) + 404 = 675
Somit gilt: H(A ∩ B) = 675 - 404 = 271
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
---|---|---|---|
(E-Bike) | 271 | 714 | |
(kein E-Bike) | 404 | ||
675 | 1025 | 1700 |
In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
714 + H(
Somit gilt: H(
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
---|---|---|---|
(E-Bike) | 271 | 714 | |
(kein E-Bike) | 404 | 986 | |
675 | 1025 | 1700 |
In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
271 + H(A ∩
Somit gilt: H(A ∩
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
---|---|---|---|
(E-Bike) | 271 | 443 | 714 |
(kein E-Bike) | 404 | 986 | |
675 | 1025 | 1700 |
In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
404 + H(
Somit gilt: H(
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
---|---|---|---|
(E-Bike) | 271 | 443 | 714 |
(kein E-Bike) | 404 | 582 | 986 |
675 | 1025 | 1700 |
Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
---|---|---|---|
(E-Bike) | 271 | 443 | 714 |
(kein E-Bike) | 404 | 582 | 986 |
675 | 1025 | 1700 |
Um zu überprüfen, ob die beiden Ereignisse A (E-Bike) und B (Mountainbike) stochatisch unabhängig sind, müssen wir die absoluten Zahlen zuerst in relative Häufigkeiten umwandeln. Dazu teilen wir einfach alle Zellen durch den Gesamtwert in der rechten unteren Zelle: 1700. und runden diese auf drei Stellen hinter dem Komma. Wir erhalten so erhalten:
|
| ||
---|---|---|---|
| 0,159 | 0,261 | 0,42 |
| 0,238 | 0,342 | 0,58 |
0,397 | 0,603 | 1 |
Jetzt können wir P(A)=0.42 mit P(B)=0.397 multiplizieren um zu überprüfen, ob dieses Produkt ungefähr den gleichen Wert hat wie
P(A ∩ B)=0.159, also:
P(A) ⋅ P(B) = 0.42 ⋅ 0.397 = 0.1668 ≈ 0.167
≈ 0.159 = P(A ∩ B),
A und B sind also näherungsweise stochastisch unabhängig.
Stochast. Unabhängigkeit rückwärts
Beispiel:
Vervollständige die Vierfeldertafel so, dass die beiden Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind.
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe
|
| ||
---|---|---|---|
| 0,4896 | 0,72 | |
| |||
1 |
In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
0.72 + P(
Somit gilt: P(
|
| ||
---|---|---|---|
| 0,4896 | 0,72 | |
| 0,28 | ||
1 |
Weil wir ja wissen, dass die beiden Ereignisse A und B (und damit auch
also 0.72 ⋅
somit gilt:
|
| ||
---|---|---|---|
| 0,4896 | 0,72 | |
| 0,28 | ||
0,68 | 1 |
Jetzt können wir einfach mit den Summen die Vierfeldertafel vollends wie üblich füllen.
|
| ||
---|---|---|---|
| 0,2304 | 0,4896 | 0,72 |
| 0,0896 | 0,1904 | 0,28 |
0,32 | 0,68 | 1 |