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Mengen-Operationen elementar

Beispiel:

Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge A = {1; 2; 3; 5; 7; 8; 10}. Bestimme A .

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Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge A = {1; 2; 3; 5; 7; 8; 10}.

Die Menge A umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die nicht in der Menge A={1; 2; 3; 5; 7; 8; 10} sind,
also A = {4; 6; 9}

Mengen-Operationen (allg.)

Beispiel:

Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {1; 3; 7; 8; 9; 10} und B = {1; 3; 4; 7; 9}. Bestimme A B .

Lösung einblenden

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {1; 3; 7; 8; 9; 10} und B = {1; 3; 4; 7; 9}.

Um die Menge A B bestimmen zu können, müssen wir erst noch die Menge B bestimmen.

Die Menge B umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die nicht in der Menge B={1; 3; 4; 7; 9} sind,
also B = {2; 5; 6; 8; 10}

Die Menge A B umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die sowohl in der Menge A={1; 3; 7; 8; 9; 10}, als auch in der Menge B ={2; 5; 6; 8; 10} sind,
also A B = {8; 10}

Mengen-Operationen Wahrscheinlichkeit

Beispiel:

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(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wie rechts abgebildet wird einmal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl des gewählten Sektors nicht durch 4 teilbar ist und deren Hintergrund eingefärbt ist.

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Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} und die Mengen A = {3; 4; 5; 7} und B = {4}.

Um die Menge A B bestimmen zu können, müssen wir erst noch die Menge B bestimmen.

Die Menge B umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}, die nicht in der Menge B={4} sind,
also B = {1; 2; 3; 5; 6; 7}

Die Menge A B umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}, die sowohl in der Menge A={3; 4; 5; 7}, als auch in der Menge B ={1; 2; 3; 5; 6; 7} sind,
also A B = {3; 5; 7}

Da alle Elemente aus S gleich wahrscheinlich sind, kann man nun die gesuchte Wahrscheinlichkeit über die Anzahl der Elemente der Mengen bestimmen:

P( A B ) = | A B | |S| = 3 7

Mengen-Operationen Anwendungen

Beispiel:

In einer Urne sind 7 Kugeln mit den Zahlen 1 bis 7 beschriftet. Bestimme alle Kugeln deren Zahl durch 4 teilbar ist oder deren Zahl höchstens die 3 ist.

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Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} und die Mengen A = {4} und B = {1; 2; 3}.

Die Menge A B umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}, die in der Menge A={4} oder in der Menge B={1; 2; 3} sind,
also A B = {1; 2; 3; 4}

Vierfeldertafel mit Anzahlen

Beispiel:

In der angezeigten Vierfeldertafel sind in jeder Zelle Anzahlen. Vervollständige die Vierfeldertafel.

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In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

182 + 11 = H( A )

Somit gilt: H( A ) = 182 + 11 = 193

  B B  
A   241
A 18211193
  176 

In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

H(A ∩ B ) + 11 = 176

Somit gilt: H(A ∩ B ) = 176 - 11 = 165

  B B  
A  165241
A 18211193
  176 

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

241 + 193 = H(B + B )

Somit gilt: H(B + B ) = 241 + 193 = 434

  B B  
A  165241
A 18211193
  176434

In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

H(A ∩ B) + 165 = 241

Somit gilt: H(A ∩ B) = 241 - 165 = 76

  B B  
A 76165241
A 18211193
  176434

In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

H(B) + 176 = 434

Somit gilt: H(B) = 434 - 176 = 258

  B B  
A 76165241
A 18211193
 258176434

Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.

Vierfeldertafel mit Wahrscheinlichkeiten

Beispiel:

In der angezeigten Vierfeldertafel stehen in jeder Zelle Wahrscheinlichkeiten. Vervollständige die Vierfeldertafel.

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Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P(A)+P( A ) = P(B)+P( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

  B B  
A  0,09 
A 0,540,1 
   1

In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.54 + 0.1 = P( A )

Somit gilt: P( A ) = 0.54 + 0.1 = 0.64

  B B  
A  0,09 
A 0,540,10,64
   1

In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.09 + 0.1 = P( B )

Somit gilt: P( B ) = 0.09 + 0.1 = 0.19

  B B  
A  0,09 
A 0,540,10,64
  0,191

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

P(A) + 0.64 = 1

Somit gilt: P(A) = 1 - 0.64 = 0.36

  B B  
A  0,090,36
A 0,540,10,64
  0,191

In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

P(A ∩ B) + 0.09 = 0.36

Somit gilt: P(A ∩ B) = 0.36 - 0.09 = 0.27

  B B  
A 0,270,090,36
A 0,540,10,64
  0,191

In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

P(B) + 0.19 = 1

Somit gilt: P(B) = 1 - 0.19 = 0.81

  B B  
A 0,270,090,36
A 0,540,10,64
 0,810,191

Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.

VFT Anwend. Häufigkeiten

Beispiel:

In der Jahrgangstufe der 10-Klässler müssen alle Schülerinnen und Schüler entweder Mathe Leistungsfach oder Mathe Basisfach wählen. Von den Mädchen wählen 24 das Leistungsfach. 16 von den insgesamt 41 Basisfachwahlen kommen von den Jungs. Insgesamt sind 33 Jungs in der Jahrgangstufe. Wie groß ist dann die ganze Jahrgangstufe?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : Mädchen

A : nicht Mädchen, also Jungs

B : Leistungsfach

B : nicht Leistungsfach, also Basisfach

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(Leistungsfach)
B
(Basisfach)
 
A
(Mädchen)
24  
A
(Jungs)
 1633
  41 

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden

  B
(Leistungsfach)
B
(Basisfach)
 
A
(Mädchen)
242549
A
(Jungs)
171633
 414182

Der gesuchte Wert, Anzahl alle zusammen, ist also 82.

VFT Anwend. prozentual (leichter)

Beispiel:

In einer groß angelegten Umfrage waren 48% der Befragten weiblich. Während 37% der männlichen Befragten angaben, Fußballfans zu sein, waren das bei den weiblichen Befragten nur 11%. Wie viel Prozent der Fußballfans sind weiblich?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : weiblich

A : nicht weiblich, also männlich

B : Fußballfan

B : nicht Fußballfan, also kein Fan

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(Fußballfan)
B
(kein Fan)
 
A
(weiblich)
  0,48
A
(männlich)
   
    

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

  B
(Fußballfan)
B
(kein Fan)
 
A
(weiblich)
  0,48
A
(männlich)
  0,52
   1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "weiblich" sind es 11% kann man die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = 0,48 0,11 = 0,0528 berechnen.

  B
(Fußballfan)
B
(kein Fan)
 
A
(weiblich)
0,0528 0,48
A
(männlich)
  0,52
   1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "männlich" sind es 37% kann man die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = 0,52 0,37 = 0,1924 berechnen.

  B
(Fußballfan)
B
(kein Fan)
 
A
(weiblich)
0,0528 0,48
A
(männlich)
0,1924 0,52
   1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

  B
(Fußballfan)
B
(kein Fan)
 
A
(weiblich)
0,05280,42720,48
A
(männlich)
0,19240,32760,52
 0,24520,75481

Gesucht ist ja, der Prozentsatz der Frauen unter den Fußballfans, also P B ( A ) = P( B A ) P( B ) = 0.0528 0.2452


Der gesuchte Wert, der Prozentsatz der Frauen unter den Fußballfans, ist also 0.2153 = 21.53%.

VFT Anwend. prozentual (schwerer)

Beispiel:

Bei einer neuen Viruskrankkeit, geht man davon aus, dass 2,24% der Bevölkerung diese nicht überleben. In einem Land sind 92% der Bevölkerung nicht älter als 80 Jahre. Von den über 80-jährigen sterben sogar 13% an dieser Viruskrankheit. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Infizierter nicht älter als 80 ist und die Krankheit überlebt?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : über 80

A : nicht über 80, also höchstens 80

B : sterben

B : nicht sterben, also überleben

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(sterben)
B
(überleben)
 
A
(über 80)
   
A
(höchstens 80)
  0,92
 0,0224  

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

  B
(sterben)
B
(überleben)
 
A
(über 80)
  0,08
A
(höchstens 80)
  0,92
 0,02240,97761

Aus der Information von der Teilgruppe mit "über 80" sind es 13% kann man die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = 0,08 0,13 = 0,0104 berechnen.

  B
(sterben)
B
(überleben)
 
A
(über 80)
0,0104 0,08
A
(höchstens 80)
  0,92
 0,02240,97761

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

  B
(sterben)
B
(überleben)
 
A
(über 80)
0,01040,06960,08
A
(höchstens 80)
0,0120,9080,92
 0,02240,97761

Der gesuchte Wert, die Wahrscheinlichkeit für unter 80 Jahre und Krankheit überleben, ist also 0.908 = 90.8%.

bedingte Wahrsch. (nur Zahlen)

Beispiel:

Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit P A ( B ) .

  B B  
A 95178273
A 841397
 179191370

Lösung einblenden

P A ( B ) bedeutet die Wahrscheinlichkeit für B unter der Vorraussetzung, dass A bereits eingetroffen ist.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob A gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von A - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für B weiter.)

= 273 370
= 97 370
=x
= 95 370
= 178 370
= 84 370
= 13 370

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
P ( A ) P A ( B ) = P ( A B ) | : P ( A )

P A ( B ) = P( A B ) P( A )

oder hier im speziellen:
97 370 x = 13 370 = |:97 ⋅370
also
P A ( B ) = x = 13 97 ≈ 0,134

bedingte Wahrsch. (nur Prozente)

Beispiel:

Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit P A ( B ) .

  B B  
A 0,180,520,7
A 0,280,020,3
 0,460,541

Lösung einblenden

P A ( B ) bedeutet die Wahrscheinlichkeit für B unter der Vorraussetzung, dass A bereits eingetroffen ist.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob A gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von A - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für B weiter.)

=0,7
=0,3
=x
=0,18
=0,52
=0,28
=0,02

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
P ( A ) P A ( B ) = P ( A B ) | : P ( A )

P A ( B ) = P( A B ) P( A )

oder hier im speziellen:
0,7x = 0,18 = |:0,7
also
P A ( B ) = x = 0,18 0,7 ≈ 0,2571

bedingte Wahrsch. Anwendungen

Beispiel:

Schätzungen zufolge sind 0,2% der Bevölkerung an einem Virus infiziert. Ein Testverfahren auf diesen Virus liefert bei 99,2% der tatsächlich infizierten auch einen positives Ergebnis. Bei den nicht infizierten zeigt dies der Test auch zu 98,6% an. Beim Blutspenden wird ein Mensch positiv auf dieses Virus getestet. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er auch tatsächlich mit diesem Virus infiziert ist?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : infiziert

A : nicht infiziert, also nicht infiziert

B : Test positiv

B : nicht Test positiv, also Test negativ

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(Test positiv)
B
(Test negativ)
 
A
(infiziert)
  0,002
A
(nicht infiziert)
   
    

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

  B
(Test positiv)
B
(Test negativ)
 
A
(infiziert)
  0,002
A
(nicht infiziert)
  0,998
   1
=0,002
infiziert
=0,998
nicht infiziert
Test positiv
=0,008
Test negativ
=0,014
Test positiv
Test negativ
=0,000016

Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "infiziert" sind es 0.8%, also P A ( B ) ,
die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = P ( A ) P A ( B ) = 0,002 0,008 = 0,000016
berechnen.

  B
(Test positiv)
B
(Test negativ)
 
A
(infiziert)
 0,0000160,002
A
(nicht infiziert)
  0,998
   1
=0,002
infiziert
=0,998
nicht infiziert
Test positiv
=0,008
Test negativ
=0,014
Test positiv
Test negativ
=0,000016
=0,013972

Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "nicht infiziert" sind es 1.4%, also P A ( B ) ,
die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = P ( A ) P A ( B ) = 0,998 0,014 = 0,013972
berechnen.

  B
(Test positiv)
B
(Test negativ)
 
A
(infiziert)
 0,0000160,002
A
(nicht infiziert)
0,013972 0,998
   1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

  B
(Test positiv)
B
(Test negativ)
 
A
(infiziert)
0,0019840,0000160,002
A
(nicht infiziert)
0,0139720,9840280,998
 0,0159560,9840441

Gesucht ist ja "die Wahrscheinlichkeit nach positiven Test tatsächlich infiziert zu sein", also die Wahrscheinlichkeit für A (infiziert) unter der Vorraussetzung, dass B (Test positiv) bereits eingetroffen ist - kurz P B ( A ) .

Um diese Wahrscheinlichkeit (bzw. prozentualer Anteil) zu bestimmmen, müssen wir nun das Baumdiagramm anders rum zeichnen. Das ist ja aber kein Problem, weil wir bereits die fertige Vierfeldertafel ausgefüllt haben.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob B (Test positiv) gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von B (Test positiv) - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für A (infiziert) weiter.)

=0,015956
Test positiv
=0,984044
Test negativ
=x
infiziert
nicht infiziert
infiziert
nicht infiziert
=0,001984
=0,013972
=0,000016
=0,984028

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
P ( B ) P B ( A ) = P ( B A ) | : P ( B )

P B ( A ) = P( B A ) P( B )

oder hier im speziellen:
0,015956x = 0,001984 = |:0,015956
also
P B ( A ) = x = 0,001984 0,015956 ≈ 0,1243


Der gesuchte Wert (die Wahrscheinlichkeit nach positiven Test tatsächlich infiziert zu sein) ist also 0,1243 = 12,43%.

Stochast. Unabhängigkeit Anwendungen

Beispiel:

Ein Fahrradhändler hat in einem Jahr 1700 Fahrräder verkauft. Davon waren 404 Mountainbikes ohne zusätzlichen Elektroantrieb. Insgesamt wurden 714 E-Bikes verkauft. Von den Rädern, die kein Mountainbike sind, wurden insgesamt (E-Bike und andere zusammen) 1025 Stück verkauft. Vervollständige die Vierfeldertafel und entscheide damit, ob die beiden Ereignisse "Mountainbike" und "E-Bike" stochastisch unabhängig sind.

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : E-Bike

A : nicht E-Bike, also kein E-Bike

B : Mountainbike

B : nicht Mountainbike, also kein Mountainbike

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(Mountainbike)
B
(kein Mountainbike)
 
A
(E-Bike)
  714
A
(kein E-Bike)
404  
  10251700

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden

  B
(Mountainbike)
B
(kein Mountainbike)
 
A
(E-Bike)
271443714
A
(kein E-Bike)
404582986
 67510251700

Um zu überprüfen, ob die beiden Ereignisse A (E-Bike) und B (Mountainbike) stochatisch unabhängig sind, müssen wir die absoluten Zahlen zuerst in relative Häufigkeiten umwandeln. Dazu teilen wir einfach alle Zellen durch den Gesamtwert in der rechten unteren Zelle: 1700. und runden diese auf drei Stellen hinter dem Komma. Wir erhalten so erhalten:

  B B  
A 0,1590,2610,42
A 0,2380,3420,58
 0,3970,6031

Jetzt können wir P(A)=0.42 mit P(B)=0.397 multiplizieren um zu überprüfen, ob dieses Produkt ungefähr den gleichen Wert hat wie
P(A ∩ B)=0.159, also:

P(A) ⋅ P(B) = 0.42 ⋅ 0.397 = 0.1668 ≈ 0.167 ≈ 0.159 = P(A ∩ B),
A und B sind also näherungsweise stochastisch unabhängig.

Stochast. Unabhängigkeit rückwärts

Beispiel:

Vervollständige die Vierfeldertafel so, dass die beiden Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind.

Lösung einblenden

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

  B B  
A  0,48960,72
A    
   1

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.72 + P( A ) = 1

Somit gilt: P( A ) = 1 - 0.72 = 0.28

  B B  
A  0,48960,72
A   0,28
   1

Weil wir ja wissen, dass die beiden Ereignisse A und B (und damit auch A und B ) stochastisch unabhängig sind, muss gelten:

P ( A ) P ( B ) = P ( A B )

also 0.72 ⋅ P ( B ) = 0.4896 |: 0.72

somit gilt:

P ( B ) = 0.4896 0.72 = 0.68

  B B  
A  0,48960,72
A   0,28
  0,681

Jetzt können wir einfach mit den Summen die Vierfeldertafel vollends wie üblich füllen.

  B B  
A 0,23040,48960,72
A 0,08960,19040,28
 0,320,681