Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {1; 3; 4; 7; 8} und B = {1; 3; 5; 7; 8; 9; 10}.

Die Menge $A$ ∩ $B$ umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die sowohl in der Menge A={1; 3; 4; 7; 8}, als auch in der Menge B={1; 3; 5; 7; 8; 9; 10} sind,
also $A$ ∩ $B$ = {1; 3; 7; 8}

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge B = {1; 2; 4; 9}.

Die Menge $\bar{B}$ umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die nicht in der Menge B={1; 2; 4; 9} sind,
also $\bar{B}$ = {3; 5; 6; 7; 8; 10}

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {3; 4; 5; 6} und B = {5; 10}.

Die Menge $A$ ∩ $B$ umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die sowohl in der Menge A={3; 4; 5; 6}, als auch in der Menge B={5; 10} sind,
also $A$ ∩ $B$ = {5}

Da alle Elemente aus S gleich wahrscheinlich sind, kann man nun die gesuchte Wahrscheinlichkeit über die Anzahl der Elemente der Mengen bestimmen:

P( $A$ ∩ $B$) = $\frac{|A\cap B|}{\mathrm{|S|}}$ = $\frac{1}{10}$

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {3; 6; 9} und B = {5; 6; 7; 8; 9; 10}.

Um die Menge $\bar{A}$ ∩ $B$ bestimmen zu können, müssen wir erst noch die Menge $\bar{A}$ bestimmen.

Die Menge $\bar{A}$ umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die nicht in der Menge A={3; 6; 9} sind,
also $\bar{A}$ = {1; 2; 4; 5; 7; 8; 10}

Die Menge $\bar{A}$ ∩ $B$ umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die sowohl in der Menge $\bar{A}$={1; 2; 4; 5; 7; 8; 10}, als auch in der Menge B={5; 6; 7; 8; 9; 10} sind,
also $\bar{A}$ ∩ $B$ = {5; 7; 8; 10}

In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

74 + 74 = H(A)

Somit gilt: H(A) = 74 + 74 = 148

	$B$	$\bar{B}$
$A$	74	74	148
$\bar{A}$	26	111

In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

26 + 111 = H( $\bar{A}$)

Somit gilt: H( $\bar{A}$) = 26 + 111 = 137

	$B$	$\bar{B}$
$A$	74	74	148
$\bar{A}$	26	111	137

In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

74 + 26 = H(B)

Somit gilt: H(B) = 74 + 26 = 100

	$B$	$\bar{B}$
$A$	74	74	148
$\bar{A}$	26	111	137
	100

In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

74 + 111 = H( $\bar{B}$)

Somit gilt: H( $\bar{B}$) = 74 + 111 = 185

	$B$	$\bar{B}$
$A$	74	74	148
$\bar{A}$	26	111	137
	100	185

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

148 + 137 = H(B + $\bar{B}$)

Somit gilt: H(B + $\bar{B}$) = 148 + 137 = 285

	$B$	$\bar{B}$
$A$	74	74	148
$\bar{A}$	26	111	137
	100	185	285

Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P(A)+P( $\bar{A}$) = P(B)+P( $\bar{B}$) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass $\bar{A}$ gilt 100%.

	$B$	$\bar{B}$
$A$	0,23
$\bar{A}$			0,72
		0,74	1

In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

P(B) + 0.74 = 1

Somit gilt: P(B) = 1 - 0.74 = 0.26

	$B$	$\bar{B}$
$A$	0,23
$\bar{A}$			0,72
	0,26	0,74	1

In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.23 + P( $\bar{A}$ ∩ B) = 0.26

Somit gilt: P( $\bar{A}$ ∩ B) = 0.26 - 0.23 = 0.03

	$B$	$\bar{B}$
$A$	0,23
$\bar{A}$	0,03		0,72
	0,26	0,74	1

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

P(A) + 0.72 = 1

Somit gilt: P(A) = 1 - 0.72 = 0.28

	$B$	$\bar{B}$
$A$	0,23		0,28
$\bar{A}$	0,03		0,72
	0,26	0,74	1

In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.23 + P(A ∩ $\bar{B}$) = 0.28

Somit gilt: P(A ∩ $\bar{B}$) = 0.28 - 0.23 = 0.05

	$B$	$\bar{B}$
$A$	0,23	0,05	0,28
$\bar{A}$	0,03		0,72
	0,26	0,74	1

In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.03 + P( $\bar{A}$ ∩ $\bar{B}$) = 0.72

Somit gilt: P( $\bar{A}$ ∩ $\bar{B}$) = 0.72 - 0.03 = 0.69

	$B$	$\bar{B}$
$A$	0,23	0,05	0,28
$\bar{A}$	0,03	0,69	0,72
	0,26	0,74	1

Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst zwei Ereignisse A und B definieren:

$A$: Schule

$\bar{A}$: nicht Schule, also schulfrei

$B$: schönes Wetter

$\bar{B}$: nicht schönes Wetter, also schlechtes Wetter

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

	$B$ (schönes Wetter)	$\bar{B}$ (schlechtes Wetter)
$A$ (Schule)	10
$\bar{A}$ (schulfrei)		6
	16		31

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:

Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden

	$B$ (schönes Wetter)	$\bar{B}$ (schlechtes Wetter)
$A$ (Schule)	10	9	19
$\bar{A}$ (schulfrei)	6	6	12
	16	15	31

Der gesuchte Wert, Anzahl schulfreie Tage, ist also 12.

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst zwei Ereignisse A und B definieren:

$A$: eigene Partei

$\bar{A}$: nicht eigene Partei, also andere Partei

$B$: zufrieden

$\bar{B}$: nicht zufrieden, also unzufrieden

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

	$B$ (zufrieden)	$\bar{B}$ (unzufrieden)
$A$ (eigene Partei)			0,34
$\bar{A}$ (andere Partei)

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe $P\left(A\right)$+ $P\left(\bar{A}\right)$ = $P\left(B\right)$+ $P\left(\bar{B}\right)$ = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ gilt oder dass $\bar{A}$ gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

	$B$ (zufrieden)	$\bar{B}$ (unzufrieden)
$A$ (eigene Partei)			0,34
$\bar{A}$ (andere Partei)			0,66
			1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "eigene Partei" sind es 46% kann man die Wahrscheinlichkeit
= 0,34 ⋅ 0,46 = 0,1564 berechnen.

	$B$ (zufrieden)	$\bar{B}$ (unzufrieden)
$A$ (eigene Partei)	0,1564		0,34
$\bar{A}$ (andere Partei)			0,66
			1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "andere Partei" sind es 25% kann man die Wahrscheinlichkeit
= 0,66 ⋅ 0,25 = 0,165 berechnen.

	$B$ (zufrieden)	$\bar{B}$ (unzufrieden)
$A$ (eigene Partei)	0,1564		0,34
$\bar{A}$ (andere Partei)	0,165		0,66
			1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

	$B$ (zufrieden)	$\bar{B}$ (unzufrieden)
$A$ (eigene Partei)	0,1564	0,1836	0,34
$\bar{A}$ (andere Partei)	0,165	0,495	0,66
	0,3214	0,6786	1

Der gesuchte Wert, Zustimmungsquote insgesamt, ist also 0.3214 = 32.14%.

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst zwei Ereignisse A und B definieren:

$A$: über 80

$\bar{A}$: nicht über 80, also höchstens 80

$B$: sterben

$\bar{B}$: nicht sterben, also überleben

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

	$B$ (sterben)	$\bar{B}$ (überleben)
$A$ (über 80)
$\bar{A}$ (höchstens 80)			0,92
	0,0243

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe $P\left(A\right)$+ $P\left(\bar{A}\right)$ = $P\left(B\right)$+ $P\left(\bar{B}\right)$ = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ gilt oder dass $\bar{A}$ gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

	$B$ (sterben)	$\bar{B}$ (überleben)
$A$ (über 80)			0,08
$\bar{A}$ (höchstens 80)			0,92
	0,0243	0,9757	1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "sterben" sind es 65.84% kann man die Wahrscheinlichkeit
= 0,0243 ⋅ 0,6584 = 0,016 berechnen.

	$B$ (sterben)	$\bar{B}$ (überleben)
$A$ (über 80)	0,016		0,08
$\bar{A}$ (höchstens 80)			0,92
	0,0243	0,9757	1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

	$B$ (sterben)	$\bar{B}$ (überleben)
$A$ (über 80)	0,016	0,064	0,08
$\bar{A}$ (höchstens 80)	0,0083	0,9117	0,92
	0,0243	0,9757	1

Der gesuchte Wert, die Wahrscheinlichkeit für unter 80 Jahre und Krankheit überleben, ist also 0.9117 = 91.17%.

$P_A\left(B\right)$ bedeutet die Wahrscheinlichkeit für $B$ unter der Vorraussetzung, dass $A$ bereits eingetroffen ist.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob $A$ gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von $A$ - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für $B$ weiter.)

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
⋅ $P_A\left(B\right)$ = | :

$P_A\left(B\right)$ = $\frac{\mathrm{P(}A\cap B)}{\mathrm{P(}A)}$

oder hier im speziellen:
$\frac{\mathrm{225}}{\mathrm{357}}$ ⋅ x = $\frac{\mathrm{37}}{\mathrm{357}}$ = |:225 ⋅357
also
$P_A\left(B\right)$ = x = $\frac{\mathrm{37}}{\mathrm{225}}$ ≈ 0,1644

$P_B\left(A\right)$ bedeutet die Wahrscheinlichkeit für $A$ unter der Vorraussetzung, dass $B$ bereits eingetroffen ist.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob $B$ gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von $B$ - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für $A$ weiter.)

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
⋅ $P_B\left(A\right)$ = | :

$P_B\left(A\right)$ = $\frac{\mathrm{P(}B\cap A)}{\mathrm{P(}B)}$

oder hier im speziellen:
0,64 ⋅ x = 0,39 = |:0,64
also
$P_B\left(A\right)$ = x = $\frac{\mathrm{0,39}}{\mathrm{0,64}}$ ≈ 0,6094

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst zwei Ereignisse A und B definieren:

$A$: Informatiklehrer

$\bar{A}$: nicht Informatiklehrer, also andere Lehrer

$B$: MS-Office

$\bar{B}$: nicht MS-Office, also anderes Office

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

	$B$ (MS-Office)	$\bar{B}$ (anderes Office)
$A$ (Informatiklehrer)			0,09
$\bar{A}$ (andere Lehrer)

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe $P\left(A\right)$+ $P\left(\bar{A}\right)$ = $P\left(B\right)$+ $P\left(\bar{B}\right)$ = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ gilt oder dass $\bar{A}$ gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

	$B$ (MS-Office)	$\bar{B}$ (anderes Office)
$A$ (Informatiklehrer)			0,09
$\bar{A}$ (andere Lehrer)			0,91
			1

Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "Informatiklehrer" sind es 84%, also $P_A\left(\bar{B}\right)$,
die Wahrscheinlichkeit
= ⋅ $P_A\left(\bar{B}\right)$ = 0,09 ⋅ 0,84 = 0,0756
berechnen.

	$B$ (MS-Office)	$\bar{B}$ (anderes Office)
$A$ (Informatiklehrer)		0,0756	0,09
$\bar{A}$ (andere Lehrer)			0,91
			1

Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "andere Lehrer" sind es 92%, also $P_{\bar{A}}\left(B\right)$,
die Wahrscheinlichkeit
= ⋅ $P_{\bar{A}}\left(B\right)$ = 0,91 ⋅ 0,92 = 0,8372
berechnen.

	$B$ (MS-Office)	$\bar{B}$ (anderes Office)
$A$ (Informatiklehrer)		0,0756	0,09
$\bar{A}$ (andere Lehrer)	0,8372		0,91
			1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

	$B$ (MS-Office)	$\bar{B}$ (anderes Office)
$A$ (Informatiklehrer)	0,0144	0,0756	0,09
$\bar{A}$ (andere Lehrer)	0,8372	0,0728	0,91
	0,8516	0,1484	1

Gesucht ist ja "der Prozentsatz der Informatiklehrer an den OpenOffice-Nutzern", also die Wahrscheinlichkeit für $A$ (Informatiklehrer) unter der Vorraussetzung, dass $\bar{B}$ (anderes Office) bereits eingetroffen ist - kurz $P_{\bar{B}}\left(A\right)$.

Um diese Wahrscheinlichkeit (bzw. prozentualer Anteil) zu bestimmmen, müssen wir nun das Baumdiagramm anders rum zeichnen. Das ist ja aber kein Problem, weil wir bereits die fertige Vierfeldertafel ausgefüllt haben.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob $\bar{B}$ (anderes Office) gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von $\bar{B}$ (anderes Office) - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für $A$ (Informatiklehrer) weiter.)

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
⋅ $P_{\bar{B}}\left(A\right)$ = | :

$P_{\bar{B}}\left(A\right)$ = $\frac{\mathrm{P(}\bar{B}\cap A)}{\mathrm{P(}\bar{B})}$

oder hier im speziellen:
0,1484 ⋅ x = 0,0756 = |:0,1484
also
$P_{\bar{B}}\left(A\right)$ = x = $\frac{\mathrm{0,0756}}{\mathrm{0,1484}}$ ≈ 0,5094

Der gesuchte Wert (der Prozentsatz der Informatiklehrer an den OpenOffice-Nutzern) ist also 0,5094 = 50,94%.

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

$A$: E-Bike

$\bar{A}$: nicht E-Bike, also kein E-Bike

$B$: Mountainbike

$\bar{B}$: nicht Mountainbike, also kein Mountainbike

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

	$B$ (Mountainbike)	$\bar{B}$ (kein Mountainbike)
$A$ (E-Bike)			455
$\bar{A}$ (kein E-Bike)	423
		700	1300

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:

Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden

	$B$ (Mountainbike)	$\bar{B}$ (kein Mountainbike)
$A$ (E-Bike)	177	278	455
$\bar{A}$ (kein E-Bike)	423	422	845
	600	700	1300

Um zu überprüfen, ob die beiden Ereignisse A (E-Bike) und B (Mountainbike) stochatisch unabhängig sind, müssen wir die absoluten Zahlen zuerst in relative Häufigkeiten umwandeln. Dazu teilen wir einfach alle Zellen durch den Gesamtwert in der rechten unteren Zelle: 1300. und runden diese auf drei Stellen hinter dem Komma. Wir erhalten so erhalten:

	$B$	$\bar{B}$
$A$	0,136	0,214	0,35
$\bar{A}$	0,325	0,325	0,65
	0,462	0,538	1

Jetzt können wir P(A)=0.35 mit P(B)=0.462 multiplizieren um zu überprüfen, ob dieses Produkt ungefähr den gleichen Wert hat wie
P(A ∩ B)=0.136, also:

P(A) ⋅ P(B) = 0.35 ⋅ 0.462 = 0.1615 ≈ 0.162 ≠ 0.136 = P(A ∩ B),
A und B sind also stochastisch abhängig.

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe $P\left(A\right)$+ $P\left(\bar{A}\right)$ = $P\left(B\right)$+ $P\left(\bar{B}\right)$ = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ gilt oder dass $\bar{A}$ gilt 100%.

	$B$	$\bar{B}$
$A$
$\bar{A}$		0,328
		0,4	1

In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

P(B) + 0.4 = 1

Somit gilt: P(B) = 1 - 0.4 = 0.6

	$B$	$\bar{B}$
$A$
$\bar{A}$		0,328
	0,6	0,4	1

Weil wir ja wissen, dass die beiden Ereignisse A und B (und damit auch $\bar{A}$ und $\bar{B}$) stochastisch unabhängig sind, muss gelten:

⋅ =

also ⋅ 0.4 = 0.328 |: 0.4

somit gilt:

= $\frac{\mathrm{0.328}}{\mathrm{0.4}}$ = 0.82

	$B$	$\bar{B}$
$A$
$\bar{A}$		0,328	0,82
	0,6	0,4	1

Jetzt können wir einfach mit den Summen die Vierfeldertafel vollends wie üblich füllen.

	$B$	$\bar{B}$
$A$	0,108	0,072	0,18
$\bar{A}$	0,492	0,328	0,82
	0,6	0,4	1