Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {3; 4; 5; 6; 10} und B = {2; 3; 4; 8; 10}.

Die Menge $A$ ∪ $B$ umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die in der Menge A={3; 4; 5; 6; 10} oder in der Menge B={2; 3; 4; 8; 10} sind,
also $A$ ∪ $B$ = {2; 3; 4; 5; 6; 8; 10}

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge A = {4; 5; 6; 9}.

Die Menge $\bar{A}$ umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die nicht in der Menge A={4; 5; 6; 9} sind,
also $\bar{A}$ = {1; 2; 3; 7; 8; 10}

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} und die Mengen A = {4; 7} und B = {2; 4; 6}.

Die Menge $A$ ∩ $B$ umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}, die sowohl in der Menge A={4; 7}, als auch in der Menge B={2; 4; 6} sind,
also $A$ ∩ $B$ = {4}

Da alle Elemente aus S gleich wahrscheinlich sind, kann man nun die gesuchte Wahrscheinlichkeit über die Anzahl der Elemente der Mengen bestimmen:

P( $A$ ∩ $B$) = $\frac{|A\cap B|}{\mathrm{|S|}}$ = $\frac{1}{7}$

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} und die Mengen A = {2; 3; 5; 7} und B = {1; 2; 3; 4; 5; 6}.

Um die Menge $\bar{A}$ ∩ $B$ bestimmen zu können, müssen wir erst noch die Menge $\bar{A}$ bestimmen.

Die Menge $\bar{A}$ umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}, die nicht in der Menge A={2; 3; 5; 7} sind,
also $\bar{A}$ = {1; 4; 6}

Die Menge $\bar{A}$ ∩ $B$ umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}, die sowohl in der Menge $\bar{A}$={1; 4; 6}, als auch in der Menge B={1; 2; 3; 4; 5; 6} sind,
also $\bar{A}$ ∩ $B$ = {1; 4; 6}

In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

46 + H( $\bar{A}$ ∩ $\bar{B}$) = 206

Somit gilt: H( $\bar{A}$ ∩ $\bar{B}$) = 206 - 46 = 160

	$B$	$\bar{B}$
$A$			166
$\bar{A}$	46	160	206
		187

In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

H(A ∩ $\bar{B}$) + 160 = 187

Somit gilt: H(A ∩ $\bar{B}$) = 187 - 160 = 27

	$B$	$\bar{B}$
$A$		27	166
$\bar{A}$	46	160	206
		187

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

166 + 206 = H(B + $\bar{B}$)

Somit gilt: H(B + $\bar{B}$) = 166 + 206 = 372

	$B$	$\bar{B}$
$A$		27	166
$\bar{A}$	46	160	206
		187	372

In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

H(A ∩ B) + 27 = 166

Somit gilt: H(A ∩ B) = 166 - 27 = 139

	$B$	$\bar{B}$
$A$	139	27	166
$\bar{A}$	46	160	206
		187	372

In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

H(B) + 187 = 372

Somit gilt: H(B) = 372 - 187 = 185

	$B$	$\bar{B}$
$A$	139	27	166
$\bar{A}$	46	160	206
	185	187	372

Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P(A)+P( $\bar{A}$) = P(B)+P( $\bar{B}$) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass $\bar{A}$ gilt 100%.

	$B$	$\bar{B}$
$A$	0,05
$\bar{A}$		0,33
		0,64	1

In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

P(B) + 0.64 = 1

Somit gilt: P(B) = 1 - 0.64 = 0.36

	$B$	$\bar{B}$
$A$	0,05
$\bar{A}$		0,33
	0,36	0,64	1

In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.05 + P( $\bar{A}$ ∩ B) = 0.36

Somit gilt: P( $\bar{A}$ ∩ B) = 0.36 - 0.05 = 0.31

	$B$	$\bar{B}$
$A$	0,05
$\bar{A}$	0,31	0,33
	0,36	0,64	1

In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

P(A ∩ $\bar{B}$) + 0.33 = 0.64

Somit gilt: P(A ∩ $\bar{B}$) = 0.64 - 0.33 = 0.31

	$B$	$\bar{B}$
$A$	0,05	0,31
$\bar{A}$	0,31	0,33
	0,36	0,64	1

In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.05 + 0.31 = P(A)

Somit gilt: P(A) = 0.05 + 0.31 = 0.36

	$B$	$\bar{B}$
$A$	0,05	0,31	0,36
$\bar{A}$	0,31	0,33
	0,36	0,64	1

In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.31 + 0.33 = P( $\bar{A}$)

Somit gilt: P( $\bar{A}$) = 0.31 + 0.33 = 0.64

	$B$	$\bar{B}$
$A$	0,05	0,31	0,36
$\bar{A}$	0,31	0,33	0,64
	0,36	0,64	1

Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst zwei Ereignisse A und B definieren:

$A$: Mädchen

$\bar{A}$: nicht Mädchen, also Jungs

$B$: Leistungsfach

$\bar{B}$: nicht Leistungsfach, also Basisfach

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

	$B$ (Leistungsfach)	$\bar{B}$ (Basisfach)
$A$ (Mädchen)	16
$\bar{A}$ (Jungs)		24
		40	72

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:

Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden

	$B$ (Leistungsfach)	$\bar{B}$ (Basisfach)
$A$ (Mädchen)	16	16	32
$\bar{A}$ (Jungs)	16	24	40
	32	40	72

Der gesuchte Wert, Anzahl Mädchen, ist also 32.

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst zwei Ereignisse A und B definieren:

$A$: eigene Partei

$\bar{A}$: nicht eigene Partei, also andere Partei

$B$: zufrieden

$\bar{B}$: nicht zufrieden, also unzufrieden

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

	$B$ (zufrieden)	$\bar{B}$ (unzufrieden)
$A$ (eigene Partei)			0,34
$\bar{A}$ (andere Partei)

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe $P\left(A\right)$+ $P\left(\bar{A}\right)$ = $P\left(B\right)$+ $P\left(\bar{B}\right)$ = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ gilt oder dass $\bar{A}$ gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

	$B$ (zufrieden)	$\bar{B}$ (unzufrieden)
$A$ (eigene Partei)			0,34
$\bar{A}$ (andere Partei)			0,66
			1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "eigene Partei" sind es 45% kann man die Wahrscheinlichkeit
= 0,34 ⋅ 0,45 = 0,153 berechnen.

	$B$ (zufrieden)	$\bar{B}$ (unzufrieden)
$A$ (eigene Partei)	0,153		0,34
$\bar{A}$ (andere Partei)			0,66
			1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "andere Partei" sind es 28% kann man die Wahrscheinlichkeit
= 0,66 ⋅ 0,28 = 0,1848 berechnen.

	$B$ (zufrieden)	$\bar{B}$ (unzufrieden)
$A$ (eigene Partei)	0,153		0,34
$\bar{A}$ (andere Partei)	0,1848		0,66
			1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

	$B$ (zufrieden)	$\bar{B}$ (unzufrieden)
$A$ (eigene Partei)	0,153	0,187	0,34
$\bar{A}$ (andere Partei)	0,1848	0,4752	0,66
	0,3378	0,6622	1

Der gesuchte Wert, Zustimmungsquote insgesamt, ist also 0.3378 = 33.78%.

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst zwei Ereignisse A und B definieren:

$A$: zufrieden

$\bar{A}$: nicht zufrieden, also unzufrieden

$B$: eigene Partei

$\bar{B}$: nicht eigene Partei, also andere Partei

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

	$B$ (eigene Partei)	$\bar{B}$ (andere Partei)
$A$ (zufrieden)			0,5
$\bar{A}$ (unzufrieden)
	0,405

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe $P\left(A\right)$+ $P\left(\bar{A}\right)$ = $P\left(B\right)$+ $P\left(\bar{B}\right)$ = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ gilt oder dass $\bar{A}$ gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

	$B$ (eigene Partei)	$\bar{B}$ (andere Partei)
$A$ (zufrieden)			0,5
$\bar{A}$ (unzufrieden)			0,5
	0,405	0,595	1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "eigene Partei" sind es 80.25% kann man die Wahrscheinlichkeit
= 0,405 ⋅ 0,8025 = 0,325 berechnen.

	$B$ (eigene Partei)	$\bar{B}$ (andere Partei)
$A$ (zufrieden)	0,325		0,5
$\bar{A}$ (unzufrieden)			0,5
	0,405	0,595	1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

	$B$ (eigene Partei)	$\bar{B}$ (andere Partei)
$A$ (zufrieden)	0,325	0,175	0,5
$\bar{A}$ (unzufrieden)	0,08	0,42	0,5
	0,405	0,595	1

Der gesuchte Wert, der Prozentsatz von unzufrieden und kein Anhänger der Partei, ist also 0.42 = 42%.

$P_A\left(B\right)$ bedeutet die Wahrscheinlichkeit für $B$ unter der Vorraussetzung, dass $A$ bereits eingetroffen ist.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob $A$ gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von $A$ - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für $B$ weiter.)

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
⋅ $P_A\left(B\right)$ = | :

$P_A\left(B\right)$ = $\frac{\mathrm{P(}A\cap B)}{\mathrm{P(}A)}$

oder hier im speziellen:
$\frac{\mathrm{266}}{\mathrm{374}}$ ⋅ x = $\frac{\mathrm{98}}{\mathrm{374}}$ = |:266 ⋅374
also
$P_A\left(B\right)$ = x = $\frac{\mathrm{98}}{\mathrm{266}}$ ≈ 0,3684

$P_{\bar{B}}\left(\bar{A}\right)$ bedeutet die Wahrscheinlichkeit für $\bar{A}$ unter der Vorraussetzung, dass $\bar{B}$ bereits eingetroffen ist.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob $\bar{B}$ gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von $\bar{B}$ - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für $\bar{A}$ weiter.)

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
⋅ $P_{\bar{B}}\left(\bar{A}\right)$ = | :

$P_{\bar{B}}\left(\bar{A}\right)$ = $\frac{\mathrm{P(}\bar{B}\cap \bar{A})}{\mathrm{P(}\bar{B})}$

oder hier im speziellen:
0,55 ⋅ x = 0,52 = |:0,55
also
$P_{\bar{B}}\left(\bar{A}\right)$ = x = $\frac{\mathrm{0,52}}{\mathrm{0,55}}$ ≈ 0,9455

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst zwei Ereignisse A und B definieren:

$A$: infiziert

$\bar{A}$: nicht infiziert, also nicht infiziert

$B$: Test positiv

$\bar{B}$: nicht Test positiv, also Test negativ

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

	$B$ (Test positiv)	$\bar{B}$ (Test negativ)
$A$ (infiziert)			0,001
$\bar{A}$ (nicht infiziert)

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe $P\left(A\right)$+ $P\left(\bar{A}\right)$ = $P\left(B\right)$+ $P\left(\bar{B}\right)$ = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ gilt oder dass $\bar{A}$ gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

	$B$ (Test positiv)	$\bar{B}$ (Test negativ)
$A$ (infiziert)			0,001
$\bar{A}$ (nicht infiziert)			0,999
			1

Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "infiziert" sind es 0.8%, also $P_A\left(\bar{B}\right)$,
die Wahrscheinlichkeit
= ⋅ $P_A\left(\bar{B}\right)$ = 0,001 ⋅ 0,008 = 0,000008
berechnen.

	$B$ (Test positiv)	$\bar{B}$ (Test negativ)
$A$ (infiziert)		0,000008	0,001
$\bar{A}$ (nicht infiziert)			0,999
			1

Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "nicht infiziert" sind es 1.1%, also $P_{\bar{A}}\left(B\right)$,
die Wahrscheinlichkeit
= ⋅ $P_{\bar{A}}\left(B\right)$ = 0,999 ⋅ 0,011 = 0,010989
berechnen.

	$B$ (Test positiv)	$\bar{B}$ (Test negativ)
$A$ (infiziert)		0,000008	0,001
$\bar{A}$ (nicht infiziert)	0,010989		0,999
			1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

	$B$ (Test positiv)	$\bar{B}$ (Test negativ)
$A$ (infiziert)	0,000992	0,000008	0,001
$\bar{A}$ (nicht infiziert)	0,010989	0,988011	0,999
	0,011981	0,988019	1

Gesucht ist ja "die Wahrscheinlichkeit nach positiven Test tatsächlich infiziert zu sein", also die Wahrscheinlichkeit für $A$ (infiziert) unter der Vorraussetzung, dass $B$ (Test positiv) bereits eingetroffen ist - kurz $P_B\left(A\right)$.

Um diese Wahrscheinlichkeit (bzw. prozentualer Anteil) zu bestimmmen, müssen wir nun das Baumdiagramm anders rum zeichnen. Das ist ja aber kein Problem, weil wir bereits die fertige Vierfeldertafel ausgefüllt haben.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob $B$ (Test positiv) gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von $B$ (Test positiv) - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für $A$ (infiziert) weiter.)

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
⋅ $P_B\left(A\right)$ = | :

$P_B\left(A\right)$ = $\frac{\mathrm{P(}B\cap A)}{\mathrm{P(}B)}$

oder hier im speziellen:
0,011981 ⋅ x = 0,000992 = |:0,011981
also
$P_B\left(A\right)$ = x = $\frac{\mathrm{0,000992}}{\mathrm{0,011981}}$ ≈ 0,0828

Der gesuchte Wert (die Wahrscheinlichkeit nach positiven Test tatsächlich infiziert zu sein) ist also 0,0828 = 8,28%.

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

$A$: E-Bike

$\bar{A}$: nicht E-Bike, also kein E-Bike

$B$: Mountainbike

$\bar{B}$: nicht Mountainbike, also kein Mountainbike

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

	$B$ (Mountainbike)	$\bar{B}$ (kein Mountainbike)
$A$ (E-Bike)			1274
$\bar{A}$ (kein E-Bike)	756
		1475	2600

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:

Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden

	$B$ (Mountainbike)	$\bar{B}$ (kein Mountainbike)
$A$ (E-Bike)	369	905	1274
$\bar{A}$ (kein E-Bike)	756	570	1326
	1125	1475	2600

Um zu überprüfen, ob die beiden Ereignisse A (E-Bike) und B (Mountainbike) stochatisch unabhängig sind, müssen wir die absoluten Zahlen zuerst in relative Häufigkeiten umwandeln. Dazu teilen wir einfach alle Zellen durch den Gesamtwert in der rechten unteren Zelle: 2600. und runden diese auf drei Stellen hinter dem Komma. Wir erhalten so erhalten:

	$B$	$\bar{B}$
$A$	0,142	0,348	0,49
$\bar{A}$	0,291	0,219	0,51
	0,433	0,567	1

Jetzt können wir P(A)=0.49 mit P(B)=0.433 multiplizieren um zu überprüfen, ob dieses Produkt ungefähr den gleichen Wert hat wie
P(A ∩ B)=0.142, also:

P(A) ⋅ P(B) = 0.49 ⋅ 0.433 = 0.212 ≈ 0.212 ≠ 0.142 = P(A ∩ B),
A und B sind also stochastisch abhängig.

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe $P\left(A\right)$+ $P\left(\bar{A}\right)$ = $P\left(B\right)$+ $P\left(\bar{B}\right)$ = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ gilt oder dass $\bar{A}$ gilt 100%.

	$B$	$\bar{B}$
$A$	0,136
$\bar{A}$
	0,68		1

In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.68 + P( $\bar{B}$) = 1

Somit gilt: P( $\bar{B}$) = 1 - 0.68 = 0.32

	$B$	$\bar{B}$
$A$	0,136
$\bar{A}$
	0,68	0,32	1

Weil wir ja wissen, dass die beiden Ereignisse A und B (und damit auch $A$ und $B$) stochastisch unabhängig sind, muss gelten:

⋅ =

also ⋅ 0.68 = 0.136 |: 0.68

somit gilt:

= $\frac{\mathrm{0.136}}{\mathrm{0.68}}$ = 0.2

	$B$	$\bar{B}$
$A$	0,136		0,2
$\bar{A}$
	0,68	0,32	1

Jetzt können wir einfach mit den Summen die Vierfeldertafel vollends wie üblich füllen.

	$B$	$\bar{B}$
$A$	0,136	0,064	0,2
$\bar{A}$	0,544	0,256	0,8
	0,68	0,32	1