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Extremwertaufgaben (Anwend.)

Beispiel:

Ein Rechteck hat den Umfang $- 12$ cm. Wie breit muss es sein, damit der Flächeninhalt des Quadrats am größten wird.

Lösung einblenden

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 6 x$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 6 x + 9 - 9$

= $x^{2} - 6 x + 9 + 1 \cdot (- 9)$

= ${(x - 3)}^{2} - 9$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(3|-9).

2. Weg

Von $x^{2} - 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 6 x$	=	0
$x (x - 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₂	=	$6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(3|y).

y = $3^{2} - 6 \cdot 3$ = $9 - 18$ = -9

also: S(3|-9).

Für x=3 bekommen wir also mit -9 einen extremalen Wert von $x^{2} - 6 x$