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Extremwertaufgaben (Anwend.)

Beispiel:

Ein Rechteck hat den Umfang 28 cm. Wie breit muss es sein, damit der Flächeninhalt des Quadrats am größten wird.

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1. Weg

y= x 2 +14x

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 +14x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die 14x durch 2x und quadriert diese Ergebnis 7 zu 49. Diese 49 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 49, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= x 2 +14x +49 -49

= x 2 +14x +49 + 1 · ( -49 )

= ( x +7 ) 2 -49

= ( x +7 ) 2 -49

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-7|-49).


2. Weg

Von x 2 +14x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

x 2 +14x = 0
x ( x +14 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +14 = 0 | -14
x2 = -14

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-7|y).

y = ( -7 ) 2 +14⋅( -7 ) = 49 -98 = -49

also: S(-7|-49).


Für x=-7 bekommen wir also mit -49 einen extremalen Wert von x 2 +14x