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1. PG: Potenzen mit gleicher Basis

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: x 3 · x 6

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: a n ⋅ a m = an+m gilt:

x 3 · x 6

= x 3+6

= x 9

1. PG: Potenzen mit gleicher Basis (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: 2 4 2 -2

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

2 4 2 -2

Herkömmlicher Weg:

2 4 2 -2

= 2 4 · 1 2 -2

= 2 4 · 2 2

= 2 · 2 · 2 · 2·2 · 2

= 64

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

2 4 2 -2

= 2 4 · 1 2 -2

= 2 4 · 2 2

= 2 4 +2

= 2 6

= 64

1. PG: Potenzen mit gleicher Basis (+ Koeffizient)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: -2 x 5 · 8 x 3

Lösung einblenden

-2 x 5 · 8 x 3 = ( -2 · x 5 ) · 8 · x 3 = -16 x 5 · x 3

Nach dem Potenzgesetz: a n ⋅ a m = an+m gilt:

= -16 x 5+3

= -16 x 8

2. PG: Potenzen mit gleichem Exponenten

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ( 5x ) 2

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: an⋅bn= (a⋅b)n gilt:

( 5x ) 2

= 5 2 · x 2

= 25 x 2

2. PG: Potenzen mit gleichem Exponenten (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): 35 3 7 3

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= 35 3 7 3

= 35 · 35 · 35 7 · 7 · 7

= 35 7 · 35 7 · 35 7

= ( 35 7 ) 3

= 5 3

= 125

3. PG: Potenzen potenzieren

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ( x 6 ) 5

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31x oder x19.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (an)m= an⋅m gilt:

( x 6 ) 5

= x 6 · 5

= x 30

3. PG: Potenzen potenzieren (+ Koeffizient)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ( 2 x 3 ) 6

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (an)m= an⋅m gilt:

( 2 x 3 ) 6

= 2 6 · ( x 3 ) 6

= 2 6 · x 3 · 6

= 64 x 18

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: 2 8 · 4 -8

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

2 8 · 4 -8

= 2 8 4 8

= ( 2 4 ) 8

= ( 1 2 ) 8

= 1 256

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: x 4 + x 2 x -5 x 3

Lösung einblenden

x 4 + x 2 x -5 x 3

= x 4 x + x 2 x -5 x 3

= x 3 + x -5 x 3

= -4 x 3 + x

Ausklammern mit Potenzgesetzen

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: 2 3 · 5 7 + 2 7 · 5 7 10 7

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (10 = 2 ⋅ 5)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

2 3 · 5 7 + 2 7 · 5 7 10 7

= ( 2 3 + 2 7 ) · 5 7 ( 2⋅5 ) 7

= ( 2 3 + 2 7 ) · 5 7 2 7 · 5 7

= 2 3 + 2 7 2 7

= 2 3 · ( 1 + 2 4 ) 2 7

= 1 + 16 2 4

= 17 16

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ( x 2 -10x +25 ) 2 ( x -5 ) 4

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

( x 2 -10x +25 ) 2 ( x -5 ) 4

= ( ( x -5 ) 2 ) 2 ( x -5 ) 4

= ( x -5 ) 4 ( x -5 ) 4

= 1 1

= 1