Nach dem Potenzgesetz: = a^n-m gilt:

$\frac{x^8}{x^3}$

= $x^{8-3}$

= $x^5$

$\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>16</mn></mrow>\; <mrow><mn>4</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>16</mn></mrow>\; <mrow><mn>2</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </math>}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{{16}^4}{{16}^2}$

= $\frac{16·16·16·16}{16·16}$

= 16 · 16

= $256$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>16</mn></mrow>\; <mrow><mn>4</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>16</mn></mrow>\; <mrow><mn>2</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </math>}}$

= ${16}^{4-2}$

= ${16}^2$

= $256$

$\frac{-7x^8}{2x^7}$ = $\frac{-7·x^8}{2·x^7}$ = $-\frac{7}{2}\frac{x^8}{x^7}$

Nach dem Potenzgesetz: = a^n-m gilt:

= $-\frac{7}{2}$ $x^{8-7}$

= $-\frac{7}{2}x$

$\frac{-5x^5}{2x^8}$ = $\frac{-5·x^5}{2·x^8}$ = $-\frac{5}{2}\frac{x^5}{x^8}$

Nach dem Potenzgesetz: = a^n-m gilt:

= $-\frac{5}{2}$ $x^{5-8}$

= $-\frac{5}{2}{x}^{-3}$

= $-\frac{5}{2x^3}$

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$\frac{{20}^x}{4^x}$

= ${\left(\frac{20}{4}\right)}^x$

= $5^x$

= ${\left(\frac{4}{3}\right)}^2·{\left(\frac{5}{4}\right)}^2$

= $\frac{4}{3}·\frac{4}{3}$ ⋅ $\frac{5}{4}·\frac{5}{4}$

= $\frac{4}{3}·\frac{5}{4}·\frac{4}{3}·\frac{5}{4}$

= ${(\frac{4}{3}·\frac{5}{4})}^2$

= ${\left(\frac{5}{3}\right)}^2$

= $\frac{25}{9}$

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${\left(x^3\right)}^4$

= $x^{3·4}$

= $x^{12}$

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${\left(2x^5\right)}^6$

= $2^6·{\left(x^5\right)}^6$

= $2^6·x^{5·6}$

= $64x^{30}$

Man muss hier eben erkennen, dass das Produkt der beiden Basen im Zähler also $2$ ⋅ $5$ gerade gleich der Basis des Nenners ($10$) ist.
Wenn man nun die $5^8$ so zerlegt, dass ein Teil davon auch die 6 als Hochzahl hat, kann man mit Hilfe der Potenzgesetze sehr viel wegkürzen.

$\frac{5^8·2^6}{{10}^6}$

= $\frac{2^6·5^8}{{10}^6}$

= $\frac{2^6·5^{6+2}}{{10}^6}$

= $\frac{2^6·5^6·5^2}{{10}^6}$

= $\frac{{\left(2\cdot 5\right)}^6}{{10}^6}·5^2$

= $\frac{{10}^6}{{10}^6}·5^2$

= $25$

$\frac{x^4+x^3}{x^2}+3x$

= $\frac{x^4}{x^2}+\frac{x^3}{x^2}+3x$

= $x^2+x+3x$

= $x^2+4x$

Hier sollte man erkennen, dass man die 28 als 4 ⋅ 7 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{28·7^5+3·7^6}{7^6}$

= $\frac{4\cdot 7·7^5+3·7^6}{7^6}$

= $\frac{4·7^6+3·7^6}{7^6}$

= $\frac{\left(4+3\right)·7^6}{7^6}$

= $4+3$

= $7$

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{\left(4x^2-9\right)}^5}{{\left(4x^2-12x+9\right)}^5}$

= $\frac{{(\left(2x-3\right)·\left(2x+3\right))}^5}{{\left({\left(2x-3\right)}^2\right)}^5}$

= $\frac{{\left(2x-3\right)}^5·{\left(2x+3\right)}^5}{{\left(2x-3\right)}^{10}}$

= $\frac{1·{\left(2x+3\right)}^5}{{\left(2x-3\right)}^5}$

= $\frac{{\left(2x+3\right)}^5}{{\left(2x-3\right)}^5}$

= ${\left(\frac{2x+3}{2x-3}\right)}^5$