Mathebattle EduRandomtasks

1. PG: Potenzen mit gleicher Basis

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{9} \cdot x^{7}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{9} \cdot x^{7}$

= $x^{9 + 7}$

= $x^{16}$

1. PG: Potenzen mit gleicher Basis (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $10^{4}$ ⋅ $10^{- 10}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$10^{4}$ ⋅ $10^{- 10}$

Herkömmlicher Weg:

$10^{4} \cdot \frac{1}{10^{10}}$

= $\frac{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10}{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10}$

= $\frac{1}{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10}$

= $\frac{1}{1000000}$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$10^{4}$ ⋅ $10^{- 10}$

= $10^{4 - 10}$

= $10^{- 6}$

= $\frac{1}{10^{6}}$

= $\frac{1}{1000000}$

1. PG: Potenzen mit gleicher Basis (+ Koeffizient)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $3 x^{6} \cdot 8 x^{4}$

Lösung einblenden

$3 x^{6} \cdot 8 x^{4}$ = $3 \cdot x^{6} \cdot 8 \cdot x^{4}$ = $24 x^{6} \cdot x^{4}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $24$ $x^{6 + 4}$

= $24 x^{10}$

1. PG: Potenzen mit gl. Basis (+ Koeffizient +neg)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{4 x^{- 9}}{2 x^{- 8}}$

Lösung einblenden

$\frac{4 x^{- 9}}{2 x^{- 8}}$ = $\frac{4 \cdot x^{- 9}}{2 \cdot x^{- 8}}$ = $2 \frac{x^{- 9}}{x^{- 8}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $2$ $x^{- 9 - (- 8)}$

= $2 x^{- 1}$

= $\frac{2}{x}$

2. PG: Potenzen mit gleichem Exponenten

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{20^{x}}{4^{x}}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$\frac{20^{x}}{4^{x}}$

= ${(\frac{20}{4})}^{x}$

= $5^{x}$

2. PG: Potenzen mit gleichem Exponenten (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $21^{4}$ ⋅ $7^{- 4}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $21^{4}$ ⋅ $7^{- 4}$

= $21^{4} \cdot \frac{1}{7^{4}}$

= $\frac{21^{4}}{7^{4}}$

= $\frac{21 \cdot 21 \cdot 21 \cdot 21}{7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7}$

= $\frac{21}{7} \cdot \frac{21}{7} \cdot \frac{21}{7} \cdot \frac{21}{7}$

= ${(\frac{21}{7})}^{4}$

= $3^{4}$

= $81$

3. PG: Potenzen potenzieren

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{5})}^{4}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{5})}^{4}$

= $x^{5 \cdot 4}$

= $x^{20}$

3. PG: Potenzen potenzieren (+ Koeffizient)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x^{5})}^{5}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2 x^{5})}^{5}$

= $2^{5} \cdot {(x^{5})}^{5}$

= $2^{5} \cdot x^{5 \cdot 5}$

= $32 x^{25}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $\frac{2^{6}}{10^{6}} \cdot 5^{8}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Man muss hier eben erkennen, dass das Produkt der beiden Basen im Zähler also $2$ ⋅ $5$ gerade gleich der Basis des Nenners ( $10$ ) ist.
Wenn man nun die $5^{8}$ so zerlegt, dass ein Teil davon auch die 6 als Hochzahl hat, kann man mit Hilfe der Potenzgesetze sehr viel wegkürzen.

$\frac{2^{6}}{10^{6}} \cdot 5^{8}$

= $\frac{2^{6} \cdot 5^{8}}{10^{6}}$

= $\frac{2^{6} \cdot 5^{6 + 2}}{10^{6}}$

= $\frac{2^{6} \cdot 5^{6} \cdot 5^{2}}{10^{6}}$

= $\frac{{(2 \cdot 5)}^{6}}{10^{6}} \cdot 5^{2}$

= $\frac{10^{6}}{10^{6}} \cdot 5^{2}$

= $25$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x)}^{5} - 5 x^{5}$

Lösung einblenden

${(2 x)}^{5} - 5 x^{5}$

= $2^{5} \cdot x^{5} - 5 x^{5}$

= $32 x^{5} - 5 x^{5}$

= $27 x^{5}$

Ausklammern mit Potenzgesetzen

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{8^{6} \cdot 5^{5} + 8^{6} \cdot 5^{8}}{40^{6}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (40 = 5 ⋅ 8)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{8^{6} \cdot 5^{5} + 8^{6} \cdot 5^{8}}{40^{6}}$

= $\frac{8^{6} \cdot (5^{5} + 5^{8})}{{(8 \cdot 5)}^{6}}$

= $\frac{8^{6} \cdot (5^{5} + 5^{8})}{8^{6} \cdot 5^{6}}$

= $\frac{5^{5} + 5^{8}}{5^{6}}$

= $\frac{5^{5} \cdot (1 + 5^{3})}{5^{6}}$

= $\frac{1 + 125}{5}$

= $\frac{126}{5}$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x + 3)}^{4}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x + 3)}^{4}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

= $\frac{{(x + 3)}^{4}}{{((x + 3) \cdot (x - 3))}^{4}}$

= $\frac{{(x + 3)}^{4}}{{(x + 3)}^{4} \cdot {(x - 3)}^{4}}$

= $\frac{1}{1 \cdot {(x - 3)}^{4}}$

= $\frac{1}{{(x - 3)}^{4}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. PG: Potenzen mit gleicher Basis

1. PG: Potenzen mit gleicher Basis (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. PG: Potenzen mit gleicher Basis (+ Koeffizient)

1. PG: Potenzen mit gl. Basis (+ Koeffizient +neg)

2. PG: Potenzen mit gleichem Exponenten

2. PG: Potenzen mit gleichem Exponenten (Zahlen)

3. PG: Potenzen potenzieren

3. PG: Potenzen potenzieren (+ Koeffizient)

Potenzen multiplizieren

Vereinfachen von Potenzen

Ausklammern mit Potenzgesetzen

Potenzen mit binom. Formeln