Nach dem Potenzgesetz: $a^n$⋅ $a^m$ = a^n+m gilt:

$x^9·x^6$

= $x^{9+6}$

= $x^{15}$

$\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mo>(</mo><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow><mo>)</mo></mrow>\; <mrow><mn>2</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mo>(</mo><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow><mo>)</mo></mrow>\; <mrow><mn>10</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </math>}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{{\left(-2\right)}^2}{{\left(-2\right)}^{10}}$

= $\frac{\left($ -2$\right)·\left($ -2$\right)}{\left($ -2$\right)·\left($ -2$\right)·\left($ -2$\right)·\left($ -2$\right)·\left($ -2$\right)·\left($ -2$\right)·\left($ -2$\right)·\left($ -2$\right)·\left($ -2$\right)·\left($ -2$\right)}$

= $ 1 (-2) · (-2) · (-2) · (-2) · (-2) · (-2) · (-2) · (-2) $

= $\frac{1}{256}$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mo>(</mo><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow><mo>)</mo></mrow>\; <mrow><mn>2</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mo>(</mo><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow><mo>)</mo></mrow>\; <mrow><mn>10</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </math>}}$

= ${\left(-2\right)}^{2-10}$

= ${\left(-2\right)}^{-8}$

= $\frac{1}{{\left(-2\right)}^8}$

= $\frac{1}{256}$

$\frac{-5x^5}{2x^7}$ = $\frac{-5·x^5}{2·x^7}$ = $-\frac{5}{2}\frac{x^5}{x^7}$

Nach dem Potenzgesetz: = a^n-m gilt:

= $-\frac{5}{2}$ $x^{5-7}$

= $-\frac{5}{2}{x}^{-2}$

= $-\frac{5}{2x^2}$

$\frac{6x^3}{2x^5}$ = $\frac{6·x^3}{2·x^5}$ = $3\frac{x^3}{x^5}$

Nach dem Potenzgesetz: = a^n-m gilt:

= $3$ $x^{3-5}$

= $3x^{-2}$

= $\frac{3}{x^2}$

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$\frac{{12}^x}{3^x}$

= ${\left(\frac{12}{3}\right)}^x$

= $4^x$

= ${\left(\frac{8}{3}\right)}^2·{\left(\frac{5}{4}\right)}^2$

= $\frac{8}{3}·\frac{8}{3}$ ⋅ $\frac{5}{4}·\frac{5}{4}$

= $\frac{8}{3}·\frac{5}{4}·\frac{8}{3}·\frac{5}{4}$

= ${(\frac{8}{3}·\frac{5}{4})}^2$

= ${\left(\frac{10}{3}\right)}^2$

= $\frac{100}{9}$

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${\left(5^x\right)}^2$

= $5^{x·2}$

= $5^{2x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${\left(5^2\right)}^x$

= ${25}^x$

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${\left(2\cdot 3^x\right)}^4$

= $2^4·{\left(3^x\right)}^4$

= $2^4·3^{x·4}$

= $16\cdot 3^{4x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $16\cdot {\left(3^4\right)}^x$

= $16\cdot {81}^x$

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$2^3·{10}^{-3}$

= $\frac{2^3}{{10}^3}$

= ${\left(\frac{2}{10}\right)}^3$

= ${\left(\frac{1}{5}\right)}^3$

= $\frac{1}{125}$

$-5x^2+x^2·\left(1+x^5\right)$

= $-5x^2+(x^2·1+x^2·x^5)$

= $-5x^2+x^2+x^7$

= $x^7-4x^2$

Hier sollte man erkennen, dass man die 20 als 4 ⋅ 5 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{5^7·20-5^8·2}{5^8}$

= $\frac{5^7·4\cdot 5-5^8·2}{5^8}$

= $\frac{5^8·4-5^8·2}{5^8}$

= $\frac{5^8·\left(4-2\right)}{5^8}$

= $4-2$

= $2$

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{\left(2x+5\right)}^5}{{\left(4x^2+20x+25\right)}^4}$

= $\frac{{\left(2x+5\right)}^5}{{\left({\left(2x+5\right)}^2\right)}^4}$

= $\frac{{\left(2x+5\right)}^5}{{\left(2x+5\right)}^8}$

= $\frac{1}{{\left(2x+5\right)}^3}$