Mathebattle EduRandomtasks

1. PG: Potenzen mit gleicher Basis

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{7}}{x^{4}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{7}}{x^{4}}$

= $x^{7 - 4}$

= $x^{3}$

1. PG: Potenzen mit gleicher Basis (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{4^{5}}{4^{5}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{4^{5}}{4^{5}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{4^{5}}{4^{5}}$

= $\frac{4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4}{4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4}$

= $1$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{4^{5}}{4^{5}}$

= $4^{5 - 5}$

= $1$

1. PG: Potenzen mit gleicher Basis (+ Koeffizient)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $3 x^{4} \cdot 2 x^{2}$

Lösung einblenden

$3 x^{4} \cdot 2 x^{2}$ = $3 \cdot x^{4} \cdot 2 \cdot x^{2}$ = $6 x^{4} \cdot x^{2}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $6$ $x^{4 + 2}$

= $6 x^{6}$

1. PG: Potenzen mit gl. Basis (+ Koeffizient +neg)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{7 x^{7}}{2 x^{- 4}}$

Lösung einblenden

$\frac{7 x^{7}}{2 x^{- 4}}$ = $\frac{7 \cdot x^{7}}{2 \cdot x^{- 4}}$ = $\frac{7}{2} \frac{x^{7}}{x^{- 4}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $\frac{7}{2}$ $x^{7 - (- 4)}$

= $\frac{7}{2} x^{11}$

2. PG: Potenzen mit gleichem Exponenten

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(4 x)}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(4 x)}^{2}$

= $4^{2} \cdot x^{2}$

= $16 x^{2}$

2. PG: Potenzen mit gleichem Exponenten (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): ${(\frac{9}{40})}^{3}$ ⋅ ${(\frac{4}{3})}^{3}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= ${(\frac{9}{40})}^{3} \cdot {(\frac{4}{3})}^{3}$

= $\frac{9}{40} \cdot \frac{9}{40} \cdot \frac{9}{40}$ ⋅ $\frac{4}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{3}$

= $\frac{9}{40} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{9}{40} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{9}{40} \cdot \frac{4}{3}$

= ${(\frac{9}{40} \cdot \frac{4}{3})}^{3}$

= ${(\frac{3}{10})}^{3}$

= $\frac{27}{1000}$

3. PG: Potenzen potenzieren

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{3})}^{4}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{3})}^{4}$

= $x^{3 \cdot 4}$

= $x^{12}$

3. PG: Potenzen potenzieren (+ Koeffizient)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x^{3})}^{6}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2 x^{3})}^{6}$

= $2^{6} \cdot {(x^{3})}^{6}$

= $2^{6} \cdot x^{3 \cdot 6}$

= $64 x^{18}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $3^{- 7} \cdot 6^{7}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$3^{- 7} \cdot 6^{7}$

= $\frac{6^{7}}{3^{7}}$

= ${(\frac{6}{3})}^{7}$

= $2^{7}$

= $128$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{4} \cdot (1 + x^{4}) - 4 x^{4}$

Lösung einblenden

$x^{4} \cdot (1 + x^{4}) - 4 x^{4}$

= $x^{4} \cdot 1 + x^{4} \cdot x^{4} - 4 x^{4}$

= $x^{4} + x^{8} - 4 x^{4}$

= $x^{8} - 3 x^{4}$

Ausklammern mit Potenzgesetzen

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{6^{3} \cdot 5 + 6^{3} \cdot 5^{4}}{30^{3}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (30 = 5 ⋅ 6)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{6^{3} \cdot 5 + 6^{3} \cdot 5^{4}}{30^{3}}$

= $\frac{6^{3} \cdot (5 + 5^{4})}{{(6 \cdot 5)}^{3}}$

= $\frac{6^{3} \cdot (5 + 5^{4})}{6^{3} \cdot 5^{3}}$

= $\frac{5 + 5^{4}}{5^{3}}$

= $\frac{5 \cdot (1 + 5^{3})}{5^{3}}$

= $\frac{1 + 125}{5^{2}}$

= $\frac{126}{25}$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(4 x^{2} + 4 x + 1)}^{4}}{{(2 x + 1)}^{5}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(4 x^{2} + 4 x + 1)}^{4}}{{(2 x + 1)}^{5}}$

= $\frac{{({(2 x + 1)}^{2})}^{4}}{{(2 x + 1)}^{5}}$

= $\frac{{(2 x + 1)}^{8}}{{(2 x + 1)}^{5}}$

= $\frac{{(2 x + 1)}^{3}}{1}$

= ${(2 x + 1)}^{3}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. PG: Potenzen mit gleicher Basis

1. PG: Potenzen mit gleicher Basis (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. PG: Potenzen mit gleicher Basis (+ Koeffizient)

1. PG: Potenzen mit gl. Basis (+ Koeffizient +neg)

2. PG: Potenzen mit gleichem Exponenten

2. PG: Potenzen mit gleichem Exponenten (Zahlen)

3. PG: Potenzen potenzieren

3. PG: Potenzen potenzieren (+ Koeffizient)

Potenzen multiplizieren

Vereinfachen von Potenzen

Ausklammern mit Potenzgesetzen

Potenzen mit binom. Formeln