Mathebattle EduRandomtasks

1. PG: Potenzen mit gleicher Basis

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{6}}{x^{5}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{6}}{x^{5}}$

= $x^{6 - 5}$

= $x$

1. PG: Potenzen mit gleicher Basis (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{{(- 10)}^{2}}{{(- 10)}^{- 3}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{{(- 10)}^{2}}{{(- 10)}^{- 3}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{{(- 10)}^{2}}{{(- 10)}^{- 3}}$

= ${(- 10)}^{2} \cdot \frac{1}{{(- 10)}^{- 3}}$

= ${(- 10)}^{2} \cdot {(- 10)}^{3}$

= ( $- 10$ ) · ( $- 10$ )·( $- 10$ ) · ( $- 10$ ) · ( $- 10$ )

= $- 100 000$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{{(- 10)}^{2}}{{(- 10)}^{- 3}}$

= ${(- 10)}^{2} \cdot \frac{1}{{(- 10)}^{- 3}}$

= ${(- 10)}^{2} \cdot {(- 10)}^{3}$

= ${(- 10)}^{2 + 3}$

= ${(- 10)}^{5}$

= $- 100 000$

1. PG: Potenzen mit gleicher Basis (+ Koeffizient)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 4 x^{2} \cdot 5 x^{8}$

Lösung einblenden

$- 4 x^{2} \cdot 5 x^{8}$ = $(- 4 \cdot x^{2}) \cdot 5 \cdot x^{8}$ = $- 20 x^{2} \cdot x^{8}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $- 20$ $x^{2 + 8}$

= $- 20 x^{10}$

1. PG: Potenzen mit gl. Basis (+ Koeffizient +neg)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 8 x^{9}}{4 x^{- 4}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 8 x^{9}}{4 x^{- 4}}$ = $\frac{- 8 \cdot x^{9}}{4 \cdot x^{- 4}}$ = $- 2 \frac{x^{9}}{x^{- 4}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- 2$ $x^{9 - (- 4)}$

= $- 2 x^{13}$

2. PG: Potenzen mit gleichem Exponenten

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{4^{x}}{2^{x}}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$\frac{4^{x}}{2^{x}}$

= ${(\frac{4}{2})}^{x}$

= $2^{x}$

2. PG: Potenzen mit gleichem Exponenten (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $22^{2}$ ⋅ $2^{- 2}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $22^{2}$ ⋅ $2^{- 2}$

= $22^{2} \cdot \frac{1}{2^{2}}$

= $\frac{22^{2}}{2^{2}}$

= $\frac{22 \cdot 22}{2 \cdot 2}$

= $\frac{22}{2} \cdot \frac{22}{2}$

= ${(\frac{22}{2})}^{2}$

= $11^{2}$

= $121$

3. PG: Potenzen potenzieren

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{3})}^{2}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{3})}^{2}$

= $x^{3 \cdot 2}$

= $x^{6}$

3. PG: Potenzen potenzieren (+ Koeffizient)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x^{2})}^{3}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2 x^{2})}^{3}$

= $2^{3} \cdot {(x^{2})}^{3}$

= $2^{3} \cdot x^{2 \cdot 3}$

= $8 x^{6}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $4^{- 5} \cdot 8^{5}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$4^{- 5} \cdot 8^{5}$

= $\frac{8^{5}}{4^{5}}$

= ${(\frac{8}{4})}^{5}$

= $2^{5}$

= $32$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 5 x^{6} + (x^{6} + x^{3}) \cdot x^{3}$

Lösung einblenden

$- 5 x^{6} + (x^{6} + x^{3}) \cdot x^{3}$

= $- 5 x^{6} + (x^{6} \cdot x^{3} + x^{3} \cdot x^{3})$

= $- 5 x^{6} + x^{9} + x^{6}$

= $x^{9} - 4 x^{6}$

Ausklammern mit Potenzgesetzen

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{14 \cdot 7^{6} - 5 \cdot 7^{7}}{7^{7}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 14 als 2 ⋅ 7 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{14 \cdot 7^{6} - 5 \cdot 7^{7}}{7^{7}}$

= $\frac{2 \cdot 7 \cdot 7^{6} - 5 \cdot 7^{7}}{7^{7}}$

= $\frac{2 \cdot 7^{7} - 5 \cdot 7^{7}}{7^{7}}$

= $\frac{(2 - 5) \cdot 7^{7}}{7^{7}}$

= $2 - 5$

= $- 3$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x^{2} - 8 x + 16)}^{5}}{{(x - 4)}^{6}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x^{2} - 8 x + 16)}^{5}}{{(x - 4)}^{6}}$

= $\frac{{({(x - 4)}^{2})}^{5}}{{(x - 4)}^{6}}$

= $\frac{{(x - 4)}^{10}}{{(x - 4)}^{6}}$

= $\frac{{(x - 4)}^{4}}{1}$

= ${(x - 4)}^{4}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. PG: Potenzen mit gleicher Basis

1. PG: Potenzen mit gleicher Basis (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. PG: Potenzen mit gleicher Basis (+ Koeffizient)

1. PG: Potenzen mit gl. Basis (+ Koeffizient +neg)

2. PG: Potenzen mit gleichem Exponenten

2. PG: Potenzen mit gleichem Exponenten (Zahlen)

3. PG: Potenzen potenzieren

3. PG: Potenzen potenzieren (+ Koeffizient)

Potenzen multiplizieren

Vereinfachen von Potenzen

Ausklammern mit Potenzgesetzen

Potenzen mit binom. Formeln