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Thaleskreis (einfach)
Beispiel:
Bestimme die fehlende Winkelweite β .
Wegen des Satzes von Thales muss die Winkelweite des nicht gekennzeichneten Winkels im Kreisbogen immer 90° betragen.
Die drei Winkel 31°, 90° und β müssen zusammen 180° ergeben.
Also gilt für den Winkel β: β=180° - 31° - 90° = 59°.
Thaleskreis (doppeltes Dreieck)
Beispiel:
Bestimme die fehlenden Winkelweiten β und α .
Wegen des Satzes von Thales muss im Dreieck ABC die Winkelweite des Winkels in C (also γ+φ) 90° betragen.
Die drei Winkel 90°, 55° und α müssen zusammen 180° ergeben.
Also gilt für den Winkel α: α=180° - 90° - 55° = 35°.
Das Dreieck AMC ist ja aber gleichschenklig, da sowohl die Strecke MA als auch MC der Radius des Thaleskreise ist. Also muss auch der Winkel γ=35° sein.
Somit ergibt sich aufgrund der Winkelsumme im Dreieck AMC für den Winkel β = 180° - 2 ⋅35° = 110°.
Thaleskreis + gleichschenkl. Dreieck
Beispiel:
Das große Dreieck ist gleichschenklig. Bestimme die fehlende Winkelweite α.
Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.
Wegen der Dreieckswinkelsumme muss also gelten: β + γ + 34° = β + 90° + 34° = 180°,
somit gilt β = 180° - 90° - 34° = 56°.
Wegen der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss nun aber β und (α+34°) gleich groß sein.
Mit α+34°=β=56° gilt nun:
α = 22°
Thaleskreis + gleichschenkl. Dreieck 2
Beispiel:
M liegt genau in der Mitte der Dreiecksseite AB. Bestimme die fehlende Winkelweite φ.
Der Winkel β liegt mit dem rechten Winkel und 31° an einer Seite, also gilt
β +90° + 31° = 180°, oder β = 90° - 31° =59° .
Am blauen Thaleskreis erkennt man, dass die Strecken MD und MA gleich lang sind, also ist MDA
ein gleichschenkliges Dreieck und somit sind α und γ gleich groß, es gilt also:
α + γ + β = 2⋅α +
β = 2⋅α + 59°=180°, also 2⋅α = 121°
, somit α = 60.5°.
Wegen des Thaleskreises muss der Winkel in D (γ+δ)=90° sein. Also gilt:
α + 90° + ε = 180°, also 60.5° + 90° + ε = 180°
oder ε = 90° - 60.5° = 29.5°
Weil die Höhe auf C genau in der Mitte auf AB trifft, ist das große Dreieck ABC symmetrisch
und somit gleichschenklig. Das bedeutet, dass α und (ε+φ)
gleich groß sein müssen.
Es gilt somit: α = (ε+φ),
also 60.5° = 29.5°+φ, oder φ=60.5° -29.5°.
φ = 31°
Thaleskreis + gleichschenkl. Dreieck 3
Beispiel:
M liegt genau in der Mitte der Dreiecksseite AB. Bestimme die fehlende Winkelweite φ.
Da der Punkt D auf dem Thaleskreis liegt, steht die Strecke DB im rechten Winkel zur Strecke AC.
Es gilt somit:
δ +90° + 25° = 180°, oder δ = 90° - 25° =65°
(δ ist der gesamte Winkel in C).
Weil die Höhe auf C genau in der Mitte auf AB trifft, ist das große Dreieck ABC symmetrisch
und somit gleichschenklig. Das bedeutet, dass α und (ε+25)
gleich groß sein müssen.
Es gilt somit: α + (ε+25) + δ=180°,
also 2⋅α +δ=180°,
oder 2⋅α =180°-δ =180°-65°=115°
also α = 115° : 2 = 57.5°.
Am blauen Thaleskreis erkennt man, dass die Strecken MD und MA gleich lang sind, also ist MDA
ein gleichschenkliges Dreieck und somit sind α und γ gleich groß, also ist
auch γ=57.5°
Wegen des Dreieckswinkelsummensatzes gilt dann α + γ + β =
57.5° + 57.5° + β = 180°, also β = 180° - 115°
=65° .
Der Winkel φ liegt mit dem rechten Winkel im M und β=65° an einer Seite, also gilt
φ +90° + 65° = 180°, oder φ = 90° - 65°,somit
φ=25°.
Thaleskreis (doppeltes Dreieck)
Beispiel:
Bestimme die fehlenden Winkelweiten β und α .
Wegen des Satzes von Thales muss im Dreieck ABC die Winkelweite des Winkels in C (also γ+φ) 90° betragen.
Die drei Winkel 90°, 59° und α müssen zusammen 180° ergeben.
Also gilt für den Winkel α: α=180° - 90° - 59° = 31°.
Das Dreieck AMC ist ja aber gleichschenklig, da sowohl die Strecke MA als auch MC der Radius des Thaleskreise ist. Also muss auch der Winkel γ=31° sein.
Somit ergibt sich aufgrund der Winkelsumme im Dreieck AMC für den Winkel β = 180° - 2 ⋅31° = 118°.