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Thaleskreis (einfach)
Beispiel:
Bestimme die fehlende Winkelweite β .
Wegen des Satzes von Thales muss die Winkelweite des nicht gekennzeichneten Winkels im Kreisbogen immer 90° betragen.
Die drei Winkel 26°, 90° und β müssen zusammen 180° ergeben.
Also gilt für den Winkel β: β=180° - 26° - 90° = 64°.
Thaleskreis (doppeltes Dreieck)
Beispiel:
Bestimme die fehlenden Winkelweiten β und α .
Wegen des Satzes von Thales muss im Dreieck ABC die Winkelweite des Winkels in C (also γ+φ) 90° betragen.
Die drei Winkel 90°, 60° und α müssen zusammen 180° ergeben.
Also gilt für den Winkel α: α=180° - 90° - 60° = 30°.
Das Dreieck AMC ist ja aber gleichschenklig, da sowohl die Strecke MA als auch MC der Radius des Thaleskreise ist. Also muss auch der Winkel γ=30° sein.
Somit ergibt sich aufgrund der Winkelsumme im Dreieck AMC für den Winkel β = 180° - 2 ⋅30° = 120°.
Thaleskreis + gleichschenkl. Dreieck
Beispiel:
Das große Dreieck ist gleichschenklig. Bestimme die fehlende Winkelweite α.
Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss. Dadurch muss natürlich auch δ als Nebenwinkel rechtwinklig (also δ=90°) sein.
Wegen der Dreieckswinkelsumme muss also gelten: ε + δ + 37° = ε + 90° + 37° = 180°,
somit gilt ε = 180° - 90° - 37° = 53°.
Wegen der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss nun aber β und (α+37°) gleich groß sein.
Es gilt also wegen der Winkelsumme im Dreieck:
ε + β + (α+37°) =
ε + 2⋅β = 180°, also 53° + 2⋅β = 180°.
oder: 2⋅β=180°-53°=127°, also β=63.5°.
Mit α+37°=β=63.5° gilt nun:
α = 26.5°
Thaleskreis + gleichschenkl. Dreieck 2
Beispiel:
M liegt genau in der Mitte der Dreiecksseite CA. Bestimme die fehlende Winkelweite φ.
Der Winkel β liegt mit dem rechten Winkel und 31° an einer Seite, also gilt
β +90° + 31° = 180°, oder β = 90° - 31° =59° .
Am blauen Thaleskreis erkennt man, dass die Strecken MD und MC gleich lang sind, also ist MDC
ein gleichschenkliges Dreieck und somit sind α und γ gleich groß, es gilt also:
α + γ + β = 2⋅α +
β = 2⋅α + 59°=180°, also 2⋅α = 121°
, somit α = 60.5°.
Wegen des Thaleskreises muss der Winkel in D (γ+δ)=90° sein. Also gilt:
α + 90° + ε = 180°, also 60.5° + 90° + ε = 180°
oder ε = 90° - 60.5° = 29.5°
Weil die Höhe auf B genau in der Mitte auf CA trifft, ist das große Dreieck ABC symmetrisch
und somit gleichschenklig. Das bedeutet, dass α und (ε+φ)
gleich groß sein müssen.
Es gilt somit: α = (ε+φ),
also 60.5° = 29.5°+φ, oder φ=60.5° -29.5°.
φ = 31°
Thaleskreis + gleichschenkl. Dreieck 3
Beispiel:
M liegt genau in der Mitte der Dreiecksseite AB. Bestimme die fehlende Winkelweite φ.
Da der Punkt D auf dem Thaleskreis liegt, steht die Strecke DB im rechten Winkel zur Strecke AC.
Es gilt somit:
δ +90° + 22° = 180°, oder δ = 90° - 22° =68°
(δ ist der gesamte Winkel in C).
Weil die Höhe auf C genau in der Mitte auf AB trifft, ist das große Dreieck ABC symmetrisch
und somit gleichschenklig. Das bedeutet, dass α und (ε+22)
gleich groß sein müssen.
Es gilt somit: α + (ε+22) + δ=180°,
also 2⋅α +δ=180°,
oder 2⋅α =180°-δ =180°-68°=112°
also α = 112° : 2 = 56°.
Am blauen Thaleskreis erkennt man, dass die Strecken MD und MA gleich lang sind, also ist MDA
ein gleichschenkliges Dreieck und somit sind α und γ gleich groß, also ist
auch γ=56°
Wegen des Dreieckswinkelsummensatzes gilt dann α + γ + β =
56° + 56° + β = 180°, also β = 180° - 112°
=68° .
Der Winkel φ liegt mit dem rechten Winkel im M und β=68° an einer Seite, also gilt
φ +90° + 68° = 180°, oder φ = 90° - 68°,somit
φ=22°.
Winkelsumme im Doppel-Dreieck
Beispiel:
Bestimme die Winkelweite von γ.
Da β und 96° Nebenwinkel in M sind, gilt β + 96° = 180°. Also ist β = 180° - 96° = 84°.
Wegen der Winkelsumme im BMA gilt dann aber: 84° + 69° + γ =180°, also gilt
γ=180°-84° - 69° = 27°.