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Thaleskreis (einfach)
Beispiel:
Bestimme die fehlende Winkelweite β .
Wegen des Satzes von Thales muss die Winkelweite des nicht gekennzeichneten Winkels im Kreisbogen immer 90° betragen.
Die drei Winkel 24°, 90° und β müssen zusammen 180° ergeben.
Also gilt für den Winkel β: β=180° - 24° - 90° = 66°.
Thaleskreis (doppeltes Dreieck)
Beispiel:
Bestimme die fehlenden Winkelweiten β und α .
Wegen des Satzes von Thales muss im Dreieck ABC die Winkelweite des Winkels in C (also γ+φ) 90° betragen.
Die drei Winkel 90°, 43° und α müssen zusammen 180° ergeben.
Also gilt für den Winkel α: α=180° - 90° - 43° = 47°.
Das Dreieck AMC ist ja aber gleichschenklig, da sowohl die Strecke MA als auch MC der Radius des Thaleskreise ist. Also muss auch der Winkel γ=47° sein.
Somit ergibt sich aufgrund der Winkelsumme im Dreieck AMC für den Winkel β = 180° - 2 ⋅47° = 86°.
Thaleskreis + gleichschenkl. Dreieck
Beispiel:
Das große Dreieck ist gleichschenklig. Bestimme die fehlende Winkelweite α.
Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss. Dadurch muss natürlich auch δ als Nebenwinkel rechtwinklig (also δ=90°) sein.
Wegen der Dreieckswinkelsumme muss also gelten: ε + δ + 37° = ε + 90° + 37° = 180°,
somit gilt ε = 180° - 90° - 37° = 53°.
Wegen der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss nun aber β und (α+37°) gleich groß sein.
Es gilt also wegen der Winkelsumme im Dreieck:
ε + β + (α+37°) =
ε + 2⋅β = 180°, also 53° + 2⋅β = 180°.
oder: 2⋅β=180°-53°=127°, also β=63.5°.
Mit α+37°=β=63.5° gilt nun:
α = 26.5°
Thaleskreis + gleichschenkl. Dreieck 2
Beispiel:
M liegt genau in der Mitte der Dreiecksseite AB. Bestimme die fehlende Winkelweite φ.
Der Winkel β liegt mit dem rechten Winkel und 29° an einer Seite, also gilt
β +90° + 29° = 180°, oder β = 90° - 29° =61° .
Am blauen Thaleskreis erkennt man, dass die Strecken MD und MA gleich lang sind, also ist MDA
ein gleichschenkliges Dreieck und somit sind α und γ gleich groß, es gilt also:
α + γ + β = 2⋅α +
β = 2⋅α + 61°=180°, also 2⋅α = 119°
, somit α = 59.5°.
Wegen des Thaleskreises muss der Winkel in D (γ+δ)=90° sein. Also gilt:
α + 90° + ε = 180°, also 59.5° + 90° + ε = 180°
oder ε = 90° - 59.5° = 30.5°
Weil die Höhe auf C genau in der Mitte auf AB trifft, ist das große Dreieck ABC symmetrisch
und somit gleichschenklig. Das bedeutet, dass α und (ε+φ)
gleich groß sein müssen.
Es gilt somit: α = (ε+φ),
also 59.5° = 30.5°+φ, oder φ=59.5° -30.5°.
φ = 29°
Thaleskreis + gleichschenkl. Dreieck 3
Beispiel:
M liegt genau in der Mitte der Dreiecksseite AB. Bestimme die fehlende Winkelweite φ.
Da der Punkt D auf dem Thaleskreis liegt, steht die Strecke DB im rechten Winkel zur Strecke AC.
Es gilt somit:
δ +90° + 31° = 180°, oder δ = 90° - 31° =59°
(δ ist der gesamte Winkel in C).
Weil die Höhe auf C genau in der Mitte auf AB trifft, ist das große Dreieck ABC symmetrisch
und somit gleichschenklig. Das bedeutet, dass α und (ε+31)
gleich groß sein müssen.
Es gilt somit: α + (ε+31) + δ=180°,
also 2⋅α +δ=180°,
oder 2⋅α =180°-δ =180°-59°=121°
also α = 121° : 2 = 60.5°.
Am blauen Thaleskreis erkennt man, dass die Strecken MD und MA gleich lang sind, also ist MDA
ein gleichschenkliges Dreieck und somit sind α und γ gleich groß, also ist
auch γ=60.5°
Wegen des Dreieckswinkelsummensatzes gilt dann α + γ + β =
60.5° + 60.5° + β = 180°, also β = 180° - 121°
=59° .
Der Winkel φ liegt mit dem rechten Winkel im M und β=59° an einer Seite, also gilt
φ +90° + 59° = 180°, oder φ = 90° - 59°,somit
φ=31°.
Winkelsumme im Doppel-Dreieck
Beispiel:
Bestimme die Winkelweite von γ.
Im Dreieck BMA sind zwei Winkel gegeben, so dass man den fehlenden Winkel α über die Winkelsumme im Dreieck BMA berechnen kann: 27° + 41° + α =180°, also gilt α=180°-27° - 41° = 112°.
Da β und 112° Nebenwinkel in M sind, gilt β + 112° = 180°. Also ist β = 180° - 112° = 68°.
Wegen der Winkelsumme im MCA gilt dann aber: 68° + 60° + γ =180°, also gilt
γ=180°-68° - 60° = 52°.