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Thaleskreis (einfach)
Beispiel:
Bestimme die fehlende Winkelweite α .
Wegen des Satzes von Thales muss die Winkelweite des nicht gekennzeichneten Winkels im Kreisbogen immer 90° betragen.
Die drei Winkel 64°, 90° und α müssen zusammen 180° ergeben.
Also gilt für den Winkel α: α=180° - 64° - 90° = 26°.
Thaleskreis (doppeltes Dreieck)
Beispiel:
Bestimme die fehlenden Winkelweiten δ und ε .
Wegen des Satzes von Thales muss im Dreieck ABC die Winkelweite des Winkels in C (also γ+φ) 90° betragen.
Die drei Winkel 90°, 40° und ε müssen zusammen 180° ergeben.
Also gilt für den Winkel ε: ε=180° - 90° - 40° = 50°.
Das Dreieck MBC ist ja aber gleichschenklig, da sowohl die Strecke MB als auch MC der Radius des Thaleskreise ist. Also muss auch der Winkel φ=50° sein.
Somit ergibt sich aufgrund der Winkelsumme im Dreieck MBC für den Winkel δ = 180° - 2 ⋅50° = 80°.
Thaleskreis + gleichschenkl. Dreieck
Beispiel:
Das große Dreieck ist gleichschenklig. Bestimme die fehlende Winkelweite α.
Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.
Wegen der Dreieckswinkelsumme muss also gelten: β + γ + 31° = β + 90° + 31° = 180°,
somit gilt β = 180° - 90° - 31° = 59°.
Wegen der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss nun aber β und (α+31°) gleich groß sein.
Mit α+31°=β=59° gilt nun:
α = 28°
Thaleskreis + gleichschenkl. Dreieck 2
Beispiel:
M liegt genau in der Mitte der Dreiecksseite BC. Bestimme die fehlende Winkelweite φ.
Der Winkel β liegt mit dem rechten Winkel und 23° an einer Seite, also gilt
β +90° + 23° = 180°, oder β = 90° - 23° =67° .
Am blauen Thaleskreis erkennt man, dass die Strecken MD und MB gleich lang sind, also ist MDB
ein gleichschenkliges Dreieck und somit sind α und γ gleich groß, es gilt also:
α + γ + β = 2⋅α +
β = 2⋅α + 67°=180°, also 2⋅α = 113°
, somit α = 56.5°.
Wegen des Thaleskreises muss der Winkel in D (γ+δ)=90° sein. Also gilt:
α + 90° + ε = 180°, also 56.5° + 90° + ε = 180°
oder ε = 90° - 56.5° = 33.5°
Weil die Höhe auf A genau in der Mitte auf BC trifft, ist das große Dreieck ABC symmetrisch
und somit gleichschenklig. Das bedeutet, dass α und (ε+φ)
gleich groß sein müssen.
Es gilt somit: α = (ε+φ),
also 56.5° = 33.5°+φ, oder φ=56.5° -33.5°.
φ = 23°
Thaleskreis + gleichschenkl. Dreieck 3
Beispiel:
M liegt genau in der Mitte der Dreiecksseite BC. Bestimme die fehlende Winkelweite φ.
Da der Punkt D auf dem Thaleskreis liegt, steht die Strecke DC im rechten Winkel zur Strecke BA.
Es gilt somit:
δ +90° + 28° = 180°, oder δ = 90° - 28° =62°
(δ ist der gesamte Winkel in C).
Weil die Höhe auf A genau in der Mitte auf BC trifft, ist das große Dreieck ABC symmetrisch
und somit gleichschenklig. Das bedeutet, dass α und (ε+28)
gleich groß sein müssen.
Es gilt somit: α + (ε+28) + δ=180°,
also 2⋅α +δ=180°,
oder 2⋅α =180°-δ =180°-62°=118°
also α = 118° : 2 = 59°.
Am blauen Thaleskreis erkennt man, dass die Strecken MD und MB gleich lang sind, also ist MDB
ein gleichschenkliges Dreieck und somit sind α und γ gleich groß, also ist
auch γ=59°
Wegen des Dreieckswinkelsummensatzes gilt dann α + γ + β =
59° + 59° + β = 180°, also β = 180° - 118°
=62° .
Der Winkel φ liegt mit dem rechten Winkel im M und β=62° an einer Seite, also gilt
φ +90° + 62° = 180°, oder φ = 90° - 62°,somit
φ=28°.
im gleichschenkl. Dreieck 2
Beispiel:
Die beiden Geraden sind parallel. Bestimme die fehlende Winkelweite α .
Da das obere Dreieck gleichschenklig ist, muss auch δ=41° sein.
Weil die beiden Geraden parallel sind, sind β und δ Wechselwinkel und somit gleich groß, also gilt auch: β=41°.
Da auch das linke Dreieck gleichschenklig ist, müssen auch α und γ
gleich groß sein. Wegen der Dreieckswinkelsumme muss also gelten:
2⋅α + 41° = 180°,
also 2⋅α = 139, also α = 139 : 2,
α = 69.5°