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Thaleskreis (einfach)
Beispiel:
Bestimme die fehlende Winkelweite α .
Wegen des Satzes von Thales muss die Winkelweite des nicht gekennzeichneten Winkels im Kreisbogen immer 90° betragen.
Die drei Winkel 31°, 90° und α müssen zusammen 180° ergeben.
Also gilt für den Winkel α: α=180° - 31° - 90° = 59°.
Thaleskreis (doppeltes Dreieck)
Beispiel:
Bestimme die fehlenden Winkelweiten δ und ε .
Wegen des Satzes von Thales muss im Dreieck ABC die Winkelweite des Winkels in C (also γ+φ) 90° betragen.
Die drei Winkel 90°, 41° und ε müssen zusammen 180° ergeben.
Also gilt für den Winkel ε: ε=180° - 90° - 41° = 49°.
Das Dreieck MBC ist ja aber gleichschenklig, da sowohl die Strecke MB als auch MC der Radius des Thaleskreise ist. Also muss auch der Winkel φ=49° sein.
Somit ergibt sich aufgrund der Winkelsumme im Dreieck MBC für den Winkel δ = 180° - 2 ⋅49° = 82°.
Thaleskreis + gleichschenkl. Dreieck
Beispiel:
Das große Dreieck ist gleichschenklig. Bestimme die fehlende Winkelweite α.
Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss. Dadurch muss natürlich auch δ als Nebenwinkel rechtwinklig (also δ=90°) sein.
Wegen der Dreieckswinkelsumme muss also gelten: ε + δ + 27° = ε + 90° + 27° = 180°,
somit gilt ε = 180° - 90° - 27° = 63°.
Wegen der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss nun aber β und (α+27°) gleich groß sein.
Es gilt also wegen der Winkelsumme im Dreieck:
ε + β + (α+27°) =
ε + 2⋅β = 180°, also 63° + 2⋅β = 180°.
oder: 2⋅β=180°-63°=117°, also β=58.5°.
Mit α+27°=β=58.5° gilt nun:
α = 31.5°
Thaleskreis + gleichschenkl. Dreieck 2
Beispiel:
M liegt genau in der Mitte der Dreiecksseite AB. Bestimme die fehlende Winkelweite φ.
Der Winkel β liegt mit dem rechten Winkel und 25° an einer Seite, also gilt
β +90° + 25° = 180°, oder β = 90° - 25° =65° .
Am blauen Thaleskreis erkennt man, dass die Strecken MD und MA gleich lang sind, also ist MDA
ein gleichschenkliges Dreieck und somit sind α und γ gleich groß, es gilt also:
α + γ + β = 2⋅α +
β = 2⋅α + 65°=180°, also 2⋅α = 115°
, somit α = 57.5°.
Wegen des Thaleskreises muss der Winkel in D (γ+δ)=90° sein. Also gilt:
α + 90° + ε = 180°, also 57.5° + 90° + ε = 180°
oder ε = 90° - 57.5° = 32.5°
Weil die Höhe auf C genau in der Mitte auf AB trifft, ist das große Dreieck ABC symmetrisch
und somit gleichschenklig. Das bedeutet, dass α und (ε+φ)
gleich groß sein müssen.
Es gilt somit: α = (ε+φ),
also 57.5° = 32.5°+φ, oder φ=57.5° -32.5°.
φ = 25°
Thaleskreis + gleichschenkl. Dreieck 3
Beispiel:
M liegt genau in der Mitte der Dreiecksseite CA. Bestimme die fehlende Winkelweite φ.
Da der Punkt D auf dem Thaleskreis liegt, steht die Strecke DA im rechten Winkel zur Strecke CB.
Es gilt somit:
δ +90° + 26° = 180°, oder δ = 90° - 26° =64°
(δ ist der gesamte Winkel in C).
Weil die Höhe auf B genau in der Mitte auf CA trifft, ist das große Dreieck ABC symmetrisch
und somit gleichschenklig. Das bedeutet, dass α und (ε+26)
gleich groß sein müssen.
Es gilt somit: α + (ε+26) + δ=180°,
also 2⋅α +δ=180°,
oder 2⋅α =180°-δ =180°-64°=116°
also α = 116° : 2 = 58°.
Am blauen Thaleskreis erkennt man, dass die Strecken MD und MC gleich lang sind, also ist MDC
ein gleichschenkliges Dreieck und somit sind α und γ gleich groß, also ist
auch γ=58°
Wegen des Dreieckswinkelsummensatzes gilt dann α + γ + β =
58° + 58° + β = 180°, also β = 180° - 116°
=64° .
Der Winkel φ liegt mit dem rechten Winkel im M und β=64° an einer Seite, also gilt
φ +90° + 64° = 180°, oder φ = 90° - 64°,somit
φ=26°.
Wechselwinkel (schwerer)
Beispiel:
Die beiden schwarzen Geraden sind parallel.
Bestimme den fehlenden Winkel ε (in rot gezeichnet) .
Die beiden gegebenen Winkel (in grün) sind 83° und 106°.
Da der gegebene Winkel 106° ist, gilt für δ als Nebenwinkel von 106°:
δ=180°-106°=74°
Da δ und γ Stufenwinkel an Parallelen sind, muss auch γ=74° betragen.
Da die drei Winkel γ(=74°), 83° und ε an einer Geraden liegen, muss ihre
Winkelsumme gerade 180° betragen.
Es gilt also: 74° + 83° + ε =
157° + ε = 180°,
also ε = 23°