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Thaleskreis (einfach)
Beispiel:
Bestimme die fehlende Winkelweite α .
Wegen des Satzes von Thales muss die Winkelweite des nicht gekennzeichneten Winkels im Kreisbogen immer 90° betragen.
Die drei Winkel 44°, 90° und α müssen zusammen 180° ergeben.
Also gilt für den Winkel α: α=180° - 44° - 90° = 46°.
Thaleskreis (doppeltes Dreieck)
Beispiel:
Bestimme die fehlenden Winkelweiten β und α .
Wegen des Satzes von Thales muss im Dreieck ABC die Winkelweite des Winkels in C (also γ+φ) 90° betragen.
Die drei Winkel 90°, 50° und α müssen zusammen 180° ergeben.
Also gilt für den Winkel α: α=180° - 90° - 50° = 40°.
Das Dreieck AMC ist ja aber gleichschenklig, da sowohl die Strecke MA als auch MC der Radius des Thaleskreise ist. Also muss auch der Winkel γ=40° sein.
Somit ergibt sich aufgrund der Winkelsumme im Dreieck AMC für den Winkel β = 180° - 2 ⋅40° = 100°.
Thaleskreis + gleichschenkl. Dreieck
Beispiel:
Das große Dreieck ist gleichschenklig. Bestimme die fehlende Winkelweite α.
Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss. Dadurch muss natürlich auch δ als Nebenwinkel rechtwinklig (also δ=90°) sein.
Wegen der Dreieckswinkelsumme muss also gelten: ε + δ + 30° = ε + 90° + 30° = 180°,
somit gilt ε = 180° - 90° - 30° = 60°.
Wegen der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss nun aber β und (α+30°) gleich groß sein.
Es gilt also wegen der Winkelsumme im Dreieck:
ε + β + (α+30°) =
ε + 2⋅β = 180°, also 60° + 2⋅β = 180°.
oder: 2⋅β=180°-60°=120°, also β=60°.
Mit α+30°=β=60° gilt nun:
α = 30°
Thaleskreis + gleichschenkl. Dreieck 2
Beispiel:
M liegt genau in der Mitte der Dreiecksseite AB. Bestimme die fehlende Winkelweite φ.
Der Winkel β liegt mit dem rechten Winkel und 24° an einer Seite, also gilt
β +90° + 24° = 180°, oder β = 90° - 24° =66° .
Am blauen Thaleskreis erkennt man, dass die Strecken MD und MA gleich lang sind, also ist MDA
ein gleichschenkliges Dreieck und somit sind α und γ gleich groß, es gilt also:
α + γ + β = 2⋅α +
β = 2⋅α + 66°=180°, also 2⋅α = 114°
, somit α = 57°.
Wegen des Thaleskreises muss der Winkel in D (γ+δ)=90° sein. Also gilt:
α + 90° + ε = 180°, also 57° + 90° + ε = 180°
oder ε = 90° - 57° = 33°
Weil die Höhe auf C genau in der Mitte auf AB trifft, ist das große Dreieck ABC symmetrisch
und somit gleichschenklig. Das bedeutet, dass α und (ε+φ)
gleich groß sein müssen.
Es gilt somit: α = (ε+φ),
also 57° = 33°+φ, oder φ=57° -33°.
φ = 24°
Thaleskreis + gleichschenkl. Dreieck 3
Beispiel:
M liegt genau in der Mitte der Dreiecksseite AB. Bestimme die fehlende Winkelweite φ.
Da der Punkt D auf dem Thaleskreis liegt, steht die Strecke DB im rechten Winkel zur Strecke AC.
Es gilt somit:
δ +90° + 27° = 180°, oder δ = 90° - 27° =63°
(δ ist der gesamte Winkel in C).
Weil die Höhe auf C genau in der Mitte auf AB trifft, ist das große Dreieck ABC symmetrisch
und somit gleichschenklig. Das bedeutet, dass α und (ε+27)
gleich groß sein müssen.
Es gilt somit: α + (ε+27) + δ=180°,
also 2⋅α +δ=180°,
oder 2⋅α =180°-δ =180°-63°=117°
also α = 117° : 2 = 58.5°.
Am blauen Thaleskreis erkennt man, dass die Strecken MD und MA gleich lang sind, also ist MDA
ein gleichschenkliges Dreieck und somit sind α und γ gleich groß, also ist
auch γ=58.5°
Wegen des Dreieckswinkelsummensatzes gilt dann α + γ + β =
58.5° + 58.5° + β = 180°, also β = 180° - 117°
=63° .
Der Winkel φ liegt mit dem rechten Winkel im M und β=63° an einer Seite, also gilt
φ +90° + 63° = 180°, oder φ = 90° - 63°,somit
φ=27°.
Thaleskreis + gleichschenkl. Dreieck 3
Beispiel:
M liegt genau in der Mitte der Dreiecksseite AB. Bestimme die fehlende Winkelweite φ.
Da der Punkt D auf dem Thaleskreis liegt, steht die Strecke DB im rechten Winkel zur Strecke AC.
Es gilt somit:
δ +90° + 28° = 180°, oder δ = 90° - 28° =62°
(δ ist der gesamte Winkel in C).
Weil die Höhe auf C genau in der Mitte auf AB trifft, ist das große Dreieck ABC symmetrisch
und somit gleichschenklig. Das bedeutet, dass α und (ε+28)
gleich groß sein müssen.
Es gilt somit: α + (ε+28) + δ=180°,
also 2⋅α +δ=180°,
oder 2⋅α =180°-δ =180°-62°=118°
also α = 118° : 2 = 59°.
Am blauen Thaleskreis erkennt man, dass die Strecken MD und MA gleich lang sind, also ist MDA
ein gleichschenkliges Dreieck und somit sind α und γ gleich groß, also ist
auch γ=59°
Wegen des Dreieckswinkelsummensatzes gilt dann α + γ + β =
59° + 59° + β = 180°, also β = 180° - 118°
=62° .
Der Winkel φ liegt mit dem rechten Winkel im M und β=62° an einer Seite, also gilt
φ +90° + 62° = 180°, oder φ = 90° - 62°,somit
φ=28°.