Sammelkorb: 
Klasse 5
- Klasse 6
Klasse 7
- Klasse 8
- Klasse 9
- Klasse 10
- Fit für die Oberstufe
nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen
Thaleskreis (einfach)
Beispiel:
Bestimme die fehlende Winkelweite β .
Wegen des Satzes von Thales muss die Winkelweite des nicht gekennzeichneten Winkels im Kreisbogen immer 90° betragen.
Die drei Winkel 20°, 90° und β müssen zusammen 180° ergeben.
Also gilt für den Winkel β: β=180° - 20° - 90° = 70°.
Thaleskreis (doppeltes Dreieck)
Beispiel:
Bestimme die fehlenden Winkelweiten δ und ε .
Wegen des Satzes von Thales muss im Dreieck ABC die Winkelweite des Winkels in C (also γ+φ) 90° betragen.
Die drei Winkel 90°, 50° und ε müssen zusammen 180° ergeben.
Also gilt für den Winkel ε: ε=180° - 90° - 50° = 40°.
Das Dreieck MBC ist ja aber gleichschenklig, da sowohl die Strecke MB als auch MC der Radius des Thaleskreise ist. Also muss auch der Winkel φ=40° sein.
Somit ergibt sich aufgrund der Winkelsumme im Dreieck MBC für den Winkel δ = 180° - 2 ⋅40° = 100°.
Thaleskreis + gleichschenkl. Dreieck
Beispiel:
Das große Dreieck ist gleichschenklig. Bestimme die fehlende Winkelweite α.
Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss. Dadurch muss natürlich auch δ als Nebenwinkel rechtwinklig (also δ=90°) sein.
Wegen der Dreieckswinkelsumme muss also gelten: ε + δ + 30° = ε + 90° + 30° = 180°,
somit gilt ε = 180° - 90° - 30° = 60°.
Wegen der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss nun aber β und (α+30°) gleich groß sein.
Es gilt also wegen der Winkelsumme im Dreieck:
ε + β + (α+30°) =
ε + 2⋅β = 180°, also 60° + 2⋅β = 180°.
oder: 2⋅β=180°-60°=120°, also β=60°.
Mit α+30°=β=60° gilt nun:
α = 30°
Thaleskreis + gleichschenkl. Dreieck 2
Beispiel:
M liegt genau in der Mitte der Dreiecksseite AB. Bestimme die fehlende Winkelweite φ.
Der Winkel β liegt mit dem rechten Winkel und 23° an einer Seite, also gilt
β +90° + 23° = 180°, oder β = 90° - 23° =67° .
Am blauen Thaleskreis erkennt man, dass die Strecken MD und MA gleich lang sind, also ist MDA
ein gleichschenkliges Dreieck und somit sind α und γ gleich groß, es gilt also:
α + γ + β = 2⋅α +
β = 2⋅α + 67°=180°, also 2⋅α = 113°
, somit α = 56.5°.
Wegen des Thaleskreises muss der Winkel in D (γ+δ)=90° sein. Also gilt:
α + 90° + ε = 180°, also 56.5° + 90° + ε = 180°
oder ε = 90° - 56.5° = 33.5°
Weil die Höhe auf C genau in der Mitte auf AB trifft, ist das große Dreieck ABC symmetrisch
und somit gleichschenklig. Das bedeutet, dass α und (ε+φ)
gleich groß sein müssen.
Es gilt somit: α = (ε+φ),
also 56.5° = 33.5°+φ, oder φ=56.5° -33.5°.
φ = 23°
Thaleskreis + gleichschenkl. Dreieck 3
Beispiel:
M liegt genau in der Mitte der Dreiecksseite AB. Bestimme die fehlende Winkelweite φ.
Da der Punkt D auf dem Thaleskreis liegt, steht die Strecke DB im rechten Winkel zur Strecke AC.
Es gilt somit:
δ +90° + 36° = 180°, oder δ = 90° - 36° =54°
(δ ist der gesamte Winkel in C).
Weil die Höhe auf C genau in der Mitte auf AB trifft, ist das große Dreieck ABC symmetrisch
und somit gleichschenklig. Das bedeutet, dass α und (ε+36)
gleich groß sein müssen.
Es gilt somit: α + (ε+36) + δ=180°,
also 2⋅α +δ=180°,
oder 2⋅α =180°-δ =180°-54°=126°
also α = 126° : 2 = 63°.
Am blauen Thaleskreis erkennt man, dass die Strecken MD und MA gleich lang sind, also ist MDA
ein gleichschenkliges Dreieck und somit sind α und γ gleich groß, also ist
auch γ=63°
Wegen des Dreieckswinkelsummensatzes gilt dann α + γ + β =
63° + 63° + β = 180°, also β = 180° - 126°
=54° .
Der Winkel φ liegt mit dem rechten Winkel im M und β=54° an einer Seite, also gilt
φ +90° + 54° = 180°, oder φ = 90° - 54°,somit
φ=36°.
Winkelsumme im Doppel-Dreieck
Beispiel:
Bestimme die Winkelweite von γ.
Im Dreieck CMB sind zwei Winkel gegeben, so dass man den fehlenden Winkel α über die Winkelsumme im Dreieck CMB berechnen kann: 80° + 32° + α =180°, also gilt α=180°-80° - 32° = 68°.
Da β und 68° Nebenwinkel in M sind, gilt β + 68° = 180°. Also ist β = 180° - 68° = 112°.
Wegen der Winkelsumme im MAB gilt dann aber: 112° + 35° + γ =180°, also gilt
γ=180°-112° - 35° = 33°.