• Klasse 5
  • Daten
  • Natürliche Zahlen
    • Zahlenstrahl
    • Große Zahlen im Zehnersystem
    • Runden von Zahlen
    • Zahlensysteme
    • Grundrechenarten
      • Kopfrechnen
      • Schriftlich
    • Rechenregeln
      • Klammern
      • Punkt vor Strich
      • Rechenreihenfolge
      • Potenzen
      • Ausmultiplizieren, Ausklammern
  • Geometrie
    • Koordinatensystem
    • Abstände
    • Symmetrische Figuren
    • Vierecke
    • Kreis
    • Winkel
    • Flächen
  • Sachrechnen
    • Geld
    • Zeit
    • Gewicht
    • Länge
    • Maßstab
• Klasse 6
  • Brüche und Bruchrechnen
    • Teilbarkeit
    • Bruchverständnis
    • Erweitern und Kürzen
    • Brüche vergleichen und ordnen
    • Brüche und Größen
    • Addieren und Subtrahieren
    • Multiplizieren
    • Dividieren
    • Punkt vor Strich. Klammern
  • Dezimalzahlen
    • Dezimalschreibweise
    • Vergleichen und Ordnen
    • Runden
    • Wechsel der Darstellung
    • Addieren und Subtrahieren
    • Multiplizieren und Dividieren
    • Verbindung der Rechenarten
  • Terme und Gleichungen
    • Terme mit Variablen
    • Gleichungen
  • Zuordnungen
    • proportionale Zuordnung
    • Dreisatz
  • Rationale Zahlen
    • Zahlenstrahl
    • vergleichen und ordnen
    • Zunahme und Abnahme
    • Koordinatensystem
  • Geometrie
    • Körper
  • Daten
• Klasse 7
  • Rationale Zahlen
    • vergleichen und ordnen
    • Strichrechnung
    • Punktrechnung
    • Rechenregeln
    • Zahlterme
    • Kombi-Aufgaben
    • negative Brüche
  • Geometrie
    • Winkel
      • an Parallelen
      • Winkelsumme
      • gleichschenkl. Dr.
      • Thaleskreis
    • Dreiecke konstruieren
    • In- und Umkreis
    • Vierecke
  • Algebra
    • Terme
    • lineare Gleichungen
  • Dreisatz, (anti)proportional
    • Antiproportionale Zuordnung
    • Proportionale Zuordnung
  • Prozentrechnung
    • Prozentsatz bestimmen
    • Prozentwert bestimmen
    • Grundwert bestimmen
  • Wahrscheinlichkeit / Daten
• Klasse 8
  • Terme
    • Ausmultiplizieren, Ausklammern
    • Binomische Formeln
    • Terme einsetzen
    • Terme aufstellen
    • Terme vereinfachen
  • Bruchgleichungen
  • Geometrie
    • Umfang und Flächeninhalt
    • Körper
  • Lineare Funktionen
  • LGS
  • Prozent- und Zinsrechnung
    • Prozentsatz, -wert, Grundwert
    • Vermehrter / verminderter Grundwert
    • Zinsrechnen (Zinseszinsen)
  • Daten / Boxplots
• Klasse 9
  • Algebra
    • Potenzen
    • Wurzeln
      • Quadratwurzeln ohne WTR
      • Rechnen mit Quadratwurzeln
        • Teilweises Wurzelziehen
      • Kubikwurzel
    • Quadratische Gleichungen
      • Bruchgleichungen
      • rein quadratische Gleichungen
      • gemischt quadratische Gleichungen
        • Nullprodukt
        • Lösungsformel
        • quadratische Ergänzung
      • Ungleichungen
      • Wurzelgleichungen
    • lineare Bruchgleichungen
  • Geometrie
    • Ähnlichkeit u. zentrische Streckung
    • Stahlensätze
      • 1. Strahlensatz
      • 2. Strahlensatz
    • Satz des Pythagoras
      • Grundaufgaben
      • in ebenen Figuren
      • in Körpern
    • Kreise
      • Umfang und Fläche
      • Kreisausschnitte
      • Anwendungen
    • Körper
      • Prismen
      • Zylinder
      • Pyramiden
  • Lineare und quadratische Funktionen
    • Lineare Funktionen
    • Quadratische Funktionen
      • Normalparabel
      • Streckung
      • Scheitelform, Termbestimmung
      • Nullstellen, Schnittpunkte
      • Modellieren
  • Zufall und Wahrscheinlichkeit
    • Kombinatorik
    • Einstufige Zufallsexperimente
• Klasse 10
  • Trigonometrie
    • am rechtwinkligen Dreieck
    • am allgemeinen Dreieck
    • Anwendungen
    • im Raum
    • am Einheitskreis
    • Bogenmaß/Funktionen
  • Algebra
    • Zehnerpotenzen
    • Potenzgesetze
    • Potenzen mit rationalen Hochzahlen
    • Exponentialrechnung
      • Zinsen, Zinseszinsen
      • Exponentielle(s) Wachstum / Abnahme
      • Logarithmus
  • Geometrie
    • Kegel
    • Kugel
    • Zusammengesetzte Körper
  • Zufall und Wahrscheinlichkeit
    • Erwartungswert
    • Zufallsexperimente mit Zurücklegen
    • Zufallsexperimente ohne Zurücklegen
• Fit für die Oberstufe
  • Potenzfunktionen
  • Exponentialfunktion
  • Vier-Felder-Tafel

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-2x-2y$ = $-12$.

Bestimme y so, dass (3|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 3 in die Gleichung ein und erhält:

$-2\cdot 3-2y$ = $-12$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$-2\cdot 3-2y$	=	$-12$
$-6-2y$	=	$-12$
$-2y-6$	=	$-12$	| $+6$
$-2y$	=	$-6$	|:($-2$)
$y$	=	$3$

Die Lösung ist somit: (3|3)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-5x+4y$ = $-13$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (5|3)
denn -5⋅5 +4⋅3 = -25 +12 = $-13$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (9|8)
denn -5⋅9 +4⋅8 = -45 +32 = $-13$

Oder : (1|-2)
denn -5⋅1 +4⋅( - 2 ) = -5 -8 = $-13$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}3x& +y& =& $ 22$& & & \text{(I)}\\ & -3y& =& $ -12$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}3x& +y& =& $ 22$& & & \text{(I)}\\ & -3y& =& $ -12$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$-3y$	=	$-12$	|:($-3$)
$y$	=	$4$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}3x& +y& =& $ 22$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& $ 4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $4$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x+1·4$	=	$22$
$3x+4$	=	$22$	| $-4$
$3x$	=	$18$	|:$3$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $4$

Die Lösung des LGS ist damit: (6|4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-3x& +y& =& $ -9$& & & \text{(I)}\\ 2x& +y& =& $ -4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-3x& +y& =& $ -9$& & & \text{(I)}\\ 2x& +y& =& $ -4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$2x+y$	=	$-4$
$y+2x$	=	$-4$	| $-2x$
$y$	=	$-4-2x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-3x& +y& =& $ -9$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& \left(-4-2x\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-4-2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x+1·\left(-4-2x\right)$	=	$-9$
$-3x-4-2x$	=	$-9$
$-5x-4$	=	$-9$	| $+4$
$-5x$	=	$-5$	|:($-5$)
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-4-2\cdot 1$

= $-4-2$

= $-6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-6)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-2x& +4y& =& $ -6$& & & \text{(I)}\\ -2x& -2y& =& $ 0$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-2x& +4y& =& $ -6$& & & \text{(I)}\\ -2x& -2y& =& $ 0$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$-2x+4y$	=	$-6$
$4y-2x$	=	$-6$	| $+2x$
$4y$	=	$-6+2x$	|:$4$
$y$	=	$-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}x\right)& & & \text{(I)}\\ -2x& -2y& =& $ 0$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x-2·\left(-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}x\right)$	=	0
$-2x+3-x$	=	0
$-3x+3$	=	0	| $-3$
$-3x$	=	$-3$	|:($-3$)
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\cdot 1$

= $-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}$

= $-1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-x& +\frac{3}{2}y& =& $ 3$& & & \text{(I)}\\ -\frac{2}{5}x& -2y& =& $ -\frac{46}{5}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-x& +\frac{3}{2}y& =& $ 3$& & & \text{(I)}\\ -\frac{2}{5}x& -2y& =& $ -\frac{46}{5}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$-x+\frac{3}{2}y$	=	$3$	|⋅ 2
$2\left(-x+\frac{3}{2}y\right)$	=	$6$
$-2x+3y$	=	$6$	| $-3y$
$-2x$	=	$6-3y$	|:($-2$)
$x$	=	$-3+\frac{3}{2}y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(-3+\frac{3}{2}y\right)& & & \text{(I)}\\ -\frac{2}{5}x& -2y& =& $ -\frac{46}{5}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $-3+\frac{3}{2}y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-\frac{2}{5}·\left(-3+\frac{3}{2}y\right)-2y$	=	$-\frac{46}{5}$
$\frac{6}{5}-\frac{3}{5}y-2y$	=	$-\frac{46}{5}$
$-\frac{13}{5}y+\frac{6}{5}$	=	$-\frac{46}{5}$	|⋅ 5
$5\left(-\frac{13}{5}y+\frac{6}{5}\right)$	=	$-46$
$-13y+6$	=	$-46$	| $-6$
$-13y$	=	$-52$	|:($-13$)
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $-3+\frac{3}{2}\cdot 4$

= $-3+6$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -5 und y = -3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x +5y = ?

-9x +12y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = -3 einsetzen und ausrechnen:

-5x +5y = 25 -15 = 10

-9x +12y = 45 -36 = 9

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x +5y = 10

-9x +12y = 9

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}-2x& -5y& =& $ -37$& & & \text{(I)}\\ 3x& -2y& =& $ 8$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-2x& -5y& =& $ -37$& & & \text{(I)}\\ 3x& -2y& =& $ 8$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$-2x-5y$	=	$-37$
$-5y-2x$	=	$-37$	| $+2x$
$-5y$	=	$-37+2x$	|:($-5$)
$y$	=	$\frac{37}{5}-\frac{2}{5}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(\frac{37}{5}-\frac{2}{5}x\right)& & & \text{(I)}\\ 3x& -2y& =& $ 8$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{37}{5}-\frac{2}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x-2·\left(\frac{37}{5}-\frac{2}{5}x\right)$	=	$8$
$3x-\frac{74}{5}+\frac{4}{5}x$	=	$8$
$\frac{19}{5}x-\frac{74}{5}$	=	$8$	|⋅ 5
$5\left(\frac{19}{5}x-\frac{74}{5}\right)$	=	$40$
$19x-74$	=	$40$	| $+74$
$19x$	=	$114$	|:$19$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{37}{5}-\frac{2}{5}\cdot 6$

= $\frac{37}{5}-\frac{12}{5}$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (6|5)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 4 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 7 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 113 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 6 LED-Leuchtmittel und 3 Halogenleuchten zusammen 57 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}4x& +7y& =& $ 113$& & & \text{(I)}\\ 6x& +3y& =& $ 57$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4x+7y$	=	$113$
$7y+4x$	=	$113$	| $-4x$
$7y$	=	$113-4x$	|:$7$
$y$	=	$\frac{113}{7}-\frac{4}{7}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(\frac{113}{7}-\frac{4}{7}x\right)& & & \text{(I)}\\ 6x& +3y& =& $ 57$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{113}{7}-\frac{4}{7}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6x+3·\left(\frac{113}{7}-\frac{4}{7}x\right)$	=	$57$
$6x+\frac{339}{7}-\frac{12}{7}x$	=	$57$
$\frac{30}{7}x+\frac{339}{7}$	=	$57$	|⋅ 7
$7\left(\frac{30}{7}x+\frac{339}{7}\right)$	=	$399$
$30x+339$	=	$399$	| $-339$
$30x$	=	$60$	|:$30$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{113}{7}-\frac{4}{7}\cdot 2$

= $\frac{113}{7}-\frac{8}{7}$

= $15$

also

y = 15

Die Lösung des LGS ist damit: (2|15)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 2

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 15