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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4x+5y$ = $49$.

Bestimme x so, dass (x|5) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 5 in die Gleichung ein und erhält:

$4x+5\cdot 5$ = $49$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$4x+5\cdot 5$	=	$49$
$4x+25$	=	$49$	| $-25$
$4x$	=	$24$	|:$4$
$x$	=	$6$

Die Lösung ist somit: (6|5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x-3y$ = $-2$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (7|3)
denn 1⋅7 -3⋅3 = 7 -9 = $-2$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (4|2)
denn 1⋅4 -3⋅2 = 4 -6 = $-2$

Oder : (10|4)
denn 1⋅10 -3⋅4 = 10 -12 = $-2$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-3x& -2y& =& $ -16$& & & \text{(I)}\\ 4x& & =& $ 16$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-3x& -2y& =& $ -16$& & & \text{(I)}\\ 4x& & =& $ 16$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$4x$	=	$16$	|:$4$
$x$	=	$4$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-3x& -2y& =& $ -16$& & & \text{(I)}\\ x& & =& $ 4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·4-2y$	=	$-16$
$-12-2y$	=	$-16$
$-2y-12$	=	$-16$	| $+12$
$-2y$	=	$-4$	|:($-2$)
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $4$

Die Lösung des LGS ist damit: (4|2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}3x& +y& =& $ -6$& & & \text{(I)}\\ 4x& +y& =& $ -10$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}3x& +y& =& $ -6$& & & \text{(I)}\\ 4x& +y& =& $ -10$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4x+y$	=	$-10$
$y+4x$	=	$-10$	| $-4x$
$y$	=	$-10-4x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}3x& +y& =& $ -6$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& \left(-10-4x\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-10-4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x+1·\left(-10-4x\right)$	=	$-6$
$3x-10-4x$	=	$-6$
$-x-10$	=	$-6$	| $+10$
$-x$	=	$4$	|:($-1$)
$x$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-10-4\cdot \left(-4\right)$

= $-10+16$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|6)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-5x& +5y& =& $ 35$& & & \text{(I)}\\ x& -5y& =& $ -11$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-5x& +5y& =& $ 35$& & & \text{(I)}\\ x& -5y& =& $ -11$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x-5y$	=	$-11$	| $+5y$
$x$	=	$-11+5y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-5x& +5y& =& $ 35$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(-11+5y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-11+5y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-5·\left(-11+5y\right)+5y$	=	$35$
$55-25y+5y$	=	$35$
$-20y+55$	=	$35$	| $-55$
$-20y$	=	$-20$	|:($-20$)
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-11+5\cdot 1$

= $-11+5$

= $-6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$-2x+5y$	=	$29$			(I)
$5\left(-x+5\right)-4y$	=	$-3\left(3x+1\right)$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$-2x+5y$	=	$29$			(I)
$5\left(-x+5\right)-4y$	=	$-3\left(3x+1\right)$			(II)

$-2x+5y$	=	$29$			(I)
$-5x+25-4y$	=	$-9x-3$	| $-25+9x$		(II)

$\begin{array}{ccccccc}-2x& +5y& =& $ 29$& & & \text{(I)}\\ 4x& -4y& =& $ -28$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$-2x+5y$	=	$29$
$5y-2x$	=	$29$	| $+2x$
$5y$	=	$29+2x$	|:$5$
$y$	=	$\frac{29}{5}+\frac{2}{5}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(\frac{29}{5}+\frac{2}{5}x\right)& & & \text{(I)}\\ 4x& -4y& =& $ -28$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{29}{5}+\frac{2}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x-4·\left(\frac{29}{5}+\frac{2}{5}x\right)$	=	$-28$
$4x-\frac{116}{5}-\frac{8}{5}x$	=	$-28$
$\frac{12}{5}x-\frac{116}{5}$	=	$-28$	|⋅ 5
$5\left(\frac{12}{5}x-\frac{116}{5}\right)$	=	$-140$
$12x-116$	=	$-140$	| $+116$
$12x$	=	$-24$	|:$12$
$x$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{29}{5}+\frac{2}{5}\cdot \left(-2\right)$

= $\frac{29}{5}-\frac{4}{5}$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 4 und y = 5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

3x +2y = ?

5x +5y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 4 und y = 5 einsetzen und ausrechnen:

3x +2y = 12 +10 = 22

5x +5y = 20 +25 = 45

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

3x +2y = 22

5x +5y = 45

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}-2x& -5y& =& $ 6$& & & \text{(I)}\\ -5x& +4y& =& $ 15$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-2x& -5y& =& $ 6$& & & \text{(I)}\\ -5x& +4y& =& $ 15$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$-2x-5y$	=	$6$
$-5y-2x$	=	$6$	| $+2x$
$-5y$	=	$6+2x$	|:($-5$)
$y$	=	$-\frac{6}{5}-\frac{2}{5}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-\frac{6}{5}-\frac{2}{5}x\right)& & & \text{(I)}\\ -5x& +4y& =& $ 15$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{6}{5}-\frac{2}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-5x+4·\left(-\frac{6}{5}-\frac{2}{5}x\right)$	=	$15$
$-5x-\frac{24}{5}-\frac{8}{5}x$	=	$15$
$-\frac{33}{5}x-\frac{24}{5}$	=	$15$	|⋅ 5
$5\left(-\frac{33}{5}x-\frac{24}{5}\right)$	=	$75$
$-33x-24$	=	$75$	| $+24$
$-33x$	=	$99$	|:($-33$)
$x$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{6}{5}-\frac{2}{5}\cdot \left(-3\right)$

= $-\frac{6}{5}+\frac{6}{5}$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|0)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 8 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 5 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 149 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 4 LED-Leuchtmittel und 2 Halogenleuchten zusammen 62 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}8x& +5y& =& $ 149$& & & \text{(I)}\\ 4x& +2y& =& $ 62$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$8x+5y$	=	$149$
$5y+8x$	=	$149$	| $-8x$
$5y$	=	$149-8x$	|:$5$
$y$	=	$\frac{149}{5}-\frac{8}{5}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(\frac{149}{5}-\frac{8}{5}x\right)& & & \text{(I)}\\ 4x& +2y& =& $ 62$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{149}{5}-\frac{8}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x+2·\left(\frac{149}{5}-\frac{8}{5}x\right)$	=	$62$
$4x+\frac{298}{5}-\frac{16}{5}x$	=	$62$
$\frac{4}{5}x+\frac{298}{5}$	=	$62$	|⋅ 5
$5\left(\frac{4}{5}x+\frac{298}{5}\right)$	=	$310$
$4x+298$	=	$310$	| $-298$
$4x$	=	$12$	|:$4$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{149}{5}-\frac{8}{5}\cdot 3$

= $\frac{149}{5}-\frac{24}{5}$

= $25$

also

y = 25

Die Lösung des LGS ist damit: (3|25)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 3

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 25