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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2x-5y$ = $19$.

Bestimme x so, dass (x|-5) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -5 in die Gleichung ein und erhält:

$2x-5\cdot \left(-5\right)$ = $19$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$2x-5\cdot \left(-5\right)$	=	$19$
$2x+25$	=	$19$	| $-25$
$2x$	=	$-6$	|:$2$
$x$	=	$-3$

Die Lösung ist somit: (-3|-5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5x+y$ = $22$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (4|2)
denn 5⋅4 +1⋅2 = 20 +2 = $22$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (5|-3)
denn 5⋅5 +1⋅( - 3 ) = 25 -3 = $22$

Oder : (3|7)
denn 5⋅3 +1⋅7 = 15 +7 = $22$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-4x& +4y& =& $ -16$& & & \text{(I)}\\ -3x& & =& $ -6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-4x& +4y& =& $ -16$& & & \text{(I)}\\ -3x& & =& $ -6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$-3x$	=	$-6$	|:($-3$)
$x$	=	$2$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-4x& +4y& =& $ -16$& & & \text{(I)}\\ x& & =& $ 2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $2$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$-4·2+4y$	=	$-16$
$-8+4y$	=	$-16$
$4y-8$	=	$-16$	| $+8$
$4y$	=	$-8$	|:$4$
$y$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $2$

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-x& +4y& =& $ -8$& & & \text{(I)}\\ -2x& +y& =& $ 5$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-x& +4y& =& $ -8$& & & \text{(I)}\\ -2x& +y& =& $ 5$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$-2x+y$	=	$5$
$y-2x$	=	$5$	| $+2x$
$y$	=	$5+2x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-x& +4y& =& $ -8$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& \left(5+2x\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $5+2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-x+4·\left(5+2x\right)$	=	$-8$
$-x+20+8x$	=	$-8$
$7x+20$	=	$-8$	| $-20$
$7x$	=	$-28$	|:$7$
$x$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $5+2\cdot \left(-4\right)$

= $5-8$

= $-3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& +4y& =& $ -21$& & & \text{(I)}\\ 2x& +2y& =& $ -6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}x& +4y& =& $ -21$& & & \text{(I)}\\ 2x& +2y& =& $ -6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+4y$	=	$-21$	| $-4y$
$x$	=	$-21-4y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(-21-4y\right)& & & \text{(I)}\\ 2x& +2y& =& $ -6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $-21-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(-21-4y\right)+2y$	=	$-6$
$-42-8y+2y$	=	$-6$
$-6y-42$	=	$-6$	| $+42$
$-6y$	=	$36$	|:($-6$)
$y$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $-21-4\cdot \left(-6\right)$

= $-21+24$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-6)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& -\frac{1}{2}y& =& $ 0$& & & \text{(I)}\\ x& +2y& =& $ 10$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}x& -\frac{1}{2}y& =& $ 0$& & & \text{(I)}\\ x& +2y& =& $ 10$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+2y$	=	$10$	| $-2y$
$x$	=	$10-2y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& -\frac{1}{2}y& =& $ 0$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(10-2y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $10-2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1·\left(10-2y\right)-\frac{1}{2}y$	=	0
$10-2y-\frac{1}{2}y$	=	0
$-\frac{5}{2}y+10$	=	0	|⋅ 2
$2\left(-\frac{5}{2}y+10\right)$	=	0
$-5y+20$	=	0	| $-20$
$-5y$	=	$-20$	|:($-5$)
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $10-2\cdot 4$

= $10-8$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 1 und y = 2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

1x +4y = ?

5x +17y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 1 und y = 2 einsetzen und ausrechnen:

1x +4y = 1 +8 = 9

5x +17y = 5 +34 = 39

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

1x +4y = 9

5x +17y = 39

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}-4x& +3y& =& $ 8$& & & \text{(I)}\\ -5x& +3y& =& $ 7$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-4x& +3y& =& $ 8$& & & \text{(I)}\\ -5x& +3y& =& $ 7$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$-4x+3y$	=	$8$
$3y-4x$	=	$8$	| $+4x$
$3y$	=	$8+4x$	|:$3$
$y$	=	$\frac{8}{3}+\frac{4}{3}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(\frac{8}{3}+\frac{4}{3}x\right)& & & \text{(I)}\\ -5x& +3y& =& $ 7$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{8}{3}+\frac{4}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-5x+3·\left(\frac{8}{3}+\frac{4}{3}x\right)$	=	$7$
$-5x+8+4x$	=	$7$
$-x+8$	=	$7$	| $-8$
$-x$	=	$-1$	|:($-1$)
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{8}{3}+\frac{4}{3}\cdot 1$

= $\frac{8}{3}+\frac{4}{3}$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (1|4)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 6 Stunden wandern. Danach hat sie 2 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 1700 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 3 Stunden wandern und hat 5 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 650 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}6x& -2y& =& $ 1700$& & & \text{(I)}\\ 3x& -5y& =& $ 650$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$6x-2y$	=	$1700$
$-2y+6x$	=	$1700$	| $-6x$
$-2y$	=	$1700-6x$	|:($-2$)
$y$	=	$-850+3x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-850+3x\right)& & & \text{(I)}\\ 3x& -5y& =& $ 650$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-850+3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x-5·\left(-850+3x\right)$	=	$650$
$3x+4250-15x$	=	$650$
$-12x+4250$	=	$650$	| $-4250$
$-12x$	=	$-3600$	|:($-12$)
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-850+3\cdot 300$

= $-850+900$

= $50$

also

y = 50

Die Lösung des LGS ist damit: (300|50)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 50