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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3x+3y$ = $3$.

Bestimme y so, dass (6|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 6 in die Gleichung ein und erhält:

$3\cdot 6+3y$ = $3$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$3\cdot 6+3y$	=	$3$
$18+3y$	=	$3$
$3y+18$	=	$3$	| $-18$
$3y$	=	$-15$	|:$3$
$y$	=	$-5$

Die Lösung ist somit: (6|-5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-5x+4y$ = $23$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-7|-3)
denn -5⋅( - 7 ) +4⋅( - 3 ) = 35 -12 = $23$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-3|2)
denn -5⋅( - 3 ) +4⋅2 = 15 +8 = $23$

Oder : (-11|-8)
denn -5⋅( - 11 ) +4⋅( - 8 ) = 55 -32 = $23$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}& -4y& =& $ 20$& & & \text{(I)}\\ x& -2y& =& $ 16$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}& -4y& =& $ 20$& & & \text{(I)}\\ x& -2y& =& $ 16$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$-4y$	=	$20$	|:($-4$)
$y$	=	$-5$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& $ -5$& & & \text{(I)}\\ x& -2y& =& $ 16$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $-5$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$x-2·\left(-5\right)$	=	$16$
$x+10$	=	$16$	| $-10$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $-5$

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& +2y& =& $ -14$& & & \text{(I)}\\ 3x& +2y& =& $ -22$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}x& +2y& =& $ -14$& & & \text{(I)}\\ 3x& +2y& =& $ -22$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+2y$	=	$-14$	| $-2y$
$x$	=	$-14-2y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(-14-2y\right)& & & \text{(I)}\\ 3x& +2y& =& $ -22$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $-14-2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(-14-2y\right)+2y$	=	$-22$
$-42-6y+2y$	=	$-22$
$-4y-42$	=	$-22$	| $+42$
$-4y$	=	$20$	|:($-4$)
$y$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $-14-2\cdot \left(-5\right)$

= $-14+10$

= $-4$

also

x = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-3x& +5y& =& $ -23$& & & \text{(I)}\\ 3x& +2y& =& $ -5$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-3x& +5y& =& $ -23$& & & \text{(I)}\\ 3x& +2y& =& $ -5$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$-3x+5y$	=	$-23$
$5y-3x$	=	$-23$	| $+3x$
$5y$	=	$-23+3x$	|:$5$
$y$	=	$-\frac{23}{5}+\frac{3}{5}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-\frac{23}{5}+\frac{3}{5}x\right)& & & \text{(I)}\\ 3x& +2y& =& $ -5$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{23}{5}+\frac{3}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x+2·\left(-\frac{23}{5}+\frac{3}{5}x\right)$	=	$-5$
$3x-\frac{46}{5}+\frac{6}{5}x$	=	$-5$
$\frac{21}{5}x-\frac{46}{5}$	=	$-5$	|⋅ 5
$5\left(\frac{21}{5}x-\frac{46}{5}\right)$	=	$-25$
$21x-46$	=	$-25$	| $+46$
$21x$	=	$21$	|:$21$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{23}{5}+\frac{3}{5}\cdot 1$

= $-\frac{23}{5}+\frac{3}{5}$

= $-4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$-27-2y$	=	$-5(x+y)$			(I)
$-5x+31$	=	$4y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$-27-2y$	=	$-5(x+y)$			(I)
$-5x+31$	=	$4y$			(II)

$-27-2y$	=	$-5x-5y$	| + $27+5x+5y$		(I)
$-5x+31$	=	$4y$	| $-31-4y$		(II)

$\begin{array}{ccccccc}5x& +3y& =& $ 27$& & & \text{(I)}\\ -5x& -4y& =& $ -31$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5x+3y$	=	$27$
$3y+5x$	=	$27$	| $-5x$
$3y$	=	$27-5x$	|:$3$
$y$	=	$9-\frac{5}{3}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(9-\frac{5}{3}x\right)& & & \text{(I)}\\ -5x& -4y& =& $ -31$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $9-\frac{5}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-5x-4·\left(9-\frac{5}{3}x\right)$	=	$-31$
$-5x-36+\frac{20}{3}x$	=	$-31$
$\frac{5}{3}x-36$	=	$-31$	|⋅ 3
$3\left(\frac{5}{3}x-36\right)$	=	$-93$
$5x-108$	=	$-93$	| $+108$
$5x$	=	$15$	|:$5$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $9-\frac{5}{3}\cdot 3$

= $9-5$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (3|4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -1 und y = -1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-1x -4y = ?

-5x -18y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

-1x -4y = 1 +4 = 5

-5x -18y = 5 +18 = 23

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-1x -4y = 5

-5x -18y = 23

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}-x& -4y& =& $ -1$& & & \text{(I)}\\ 2x& +8y& =& $ -1$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-x& -4y& =& $ -1$& & & \text{(I)}\\ 2x& +8y& =& $ -1$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$-x-4y$	=	$-1$	| $+4y$
$-x$	=	$-1+4y$	|:($-1$)
$x$	=	$1-4y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(1-4y\right)& & & \text{(I)}\\ 2x& +8y& =& $ -1$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $1-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(1-4y\right)+8y$	=	$-1$
$2-8y+8y$	=	$-1$
$2$	=	$-1$	| $-2$
0	=	$-3$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 5-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 30. Wenn man aber vom 2-fachen von x 6 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -20. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& +5y& =& $ 30$& & & \text{(I)}\\ 2x& -6y& =& $ -20$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+5y$	=	$30$	| $-5y$
$x$	=	$30-5y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(30-5y\right)& & & \text{(I)}\\ 2x& -6y& =& $ -20$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $30-5y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(30-5y\right)-6y$	=	$-20$
$60-10y-6y$	=	$-20$
$-16y+60$	=	$-20$	| $-60$
$-16y$	=	$-80$	|:($-16$)
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $30-5\cdot 5$

= $30-25$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|5)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 5

y (y-Wert): 5