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Fit für die Oberstufe
nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Wert zum Einsetzen finden
Beispiel:
Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: = .
Bestimme x so, dass (x|-5) eine Lösung dieser Gleichung ist.
Man setzt einfach y = -5 in die Gleichung ein und erhält:
=
Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:
| = | |||
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = |
Die Lösung ist somit: (4|-5)
Wert zum Einsetzen finden (offen)
Beispiel:
Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: = .
Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.
Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (5|7)
denn
-4⋅
Eine weitere Lösung wäre aber auch: (2|11)
denn -4⋅
Oder : (8|3)
denn -4⋅
LGS (1 Var. schon aufgelöst)
Beispiel:
Löse das lineare Gleichungssystem:
Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:
|
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= |
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|:( |
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= |
|
Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y
durch
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= |
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= |
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|
|
|
= |
|
|:( |
|
|
= |
|
Somit haben wir eine Lösung für x.
Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y =
Die Lösung des LGS ist damit: (6|-2)
LGS (1 Var. ohne Koeff.)
Beispiel:
Löse das lineare Gleichungssystem:
Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:
|
|
= | ||
|
|
= | |
|
|
|
|
= |
|
Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y
durch
|
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= |
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|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|: |
|
|
= |
|
Somit haben wir eine Lösung für x.
Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:
y =
=
also
y = 2
Die Lösung des LGS ist damit: (1|2)
LGS (Standard)
Beispiel:
Löse das lineare Gleichungssystem:
Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:
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= |
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= |
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|
|
|
|
= |
|
Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y
durch (
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= |
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|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|:( |
|
|
= |
|
Somit haben wir eine Lösung für x.
Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:
y =
=
also
y = 6
Die Lösung des LGS ist damit: (3|6)
LGS (vorher umformen)
Beispiel:
Löse das lineare Gleichungssystem:
| | = | | (I) | ||
| | = | | (II) |
Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:
|
| = |
|
(I) | ||
|
| = |
|
(II) |
|
| = |
|
|
| (I) | |
|
| = |
|
|
| (II) |
Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:
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= |
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|
|
= |
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|
|
|
= |
|
|:( |
|
|
= |
|
Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y
durch (
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= |
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= |
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|
|
= |
|
|
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|
|
= |
|
|:( |
|
|
= |
|
Somit haben wir eine Lösung für x.
Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:
y =
=
=
also
y = 1
Die Lösung des LGS ist damit: (-4|1)
LGS zu Lösungen finden
Beispiel:
Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 5 und y = -4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.
Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:
-1x
3x
Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:
-1x
3x
So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:
-1x
3x
LGS Lösungsvielfalt erkennen
Beispiel:
Bestimme die Lösungsmenge:
Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:
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= |
|
|
|
|
|
= |
|
|:( |
|
|
= |
|
Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x
durch (
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= |
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= |
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= |
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|
|
|
|
= |
|
|:( |
|
|
= |
|
Somit haben wir eine Lösung für y.
Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:
x =
=
=
also
x = 3
Die Lösung des LGS ist damit: (3|4)
LGS Anwendungen
Beispiel:
In einem Fitnessstudio legt Karl Kraftmeier 4 gleich große Scheiben auf seine Hantel. Dadurch wiegt diese zusammen mit der Hantelstange 15 kg.Max Muskelprotz legt auf seine Hantelstange 2 Scheiben auf und kommt damit auf ein Gesamtgewicht von 9 kg. (bei beiden sind die Hantelstange und das Gewicht einer Scheibe gleich). Wie schwer ist eine einzelne Scheibe, wie schwer die Hantelstange?
Wir bezeichnen x als Gewicht einer Scheibe und y als Gewicht der Hantelstange und
Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:
Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:
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= |
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= |
|
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|
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|
= |
|
Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y
durch (
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= |
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= |
|
|
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= |
|
|
|
|
|
= |
|
|: |
|
|
= |
|
Somit haben wir eine Lösung für x.
Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:
y =
=
=
also
y = 3
Die Lösung des LGS ist damit: (3|3)
Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:
Gewicht einer Scheibe (x-Wert): 3
Gewicht der Hantelstange (y-Wert): 3
