• Klasse 5
  • Daten
  • Natürliche Zahlen
    • Zahlenstrahl
    • Große Zahlen im Zehnersystem
    • Runden von Zahlen
    • Zahlensysteme
    • Grundrechenarten
      • Kopfrechnen
      • Schriftlich
    • Rechenregeln
      • Klammern
      • Punkt vor Strich
      • Rechenreihenfolge
      • Potenzen
      • Ausmultiplizieren, Ausklammern
  • Geometrie
    • Koordinatensystem
    • Abstände
    • Symmetrische Figuren
    • Vierecke
    • Kreis
    • Winkel
    • Flächen
  • Sachrechnen
    • Geld
    • Zeit
    • Gewicht
    • Länge
    • Maßstab
• Klasse 6
  • Brüche und Bruchrechnen
    • Teilbarkeit
    • Bruchverständnis
      • Brüche erkennen
      • am Zahlenstrahl
      • Brüche umwandeln
    • Erweitern und Kürzen
    • Brüche vergleichen und ordnen
    • Brüche und Größen
    • Addieren und Subtrahieren
    • Multiplizieren
    • Dividieren
    • Punkt vor Strich. Klammern
  • Dezimalzahlen
    • Dezimalschreibweise
    • Vergleichen und Ordnen
    • Runden
    • Wechsel der Darstellung
    • Addieren und Subtrahieren
    • Multiplizieren und Dividieren
    • Verbindung der Rechenarten
  • Terme und Gleichungen
    • Terme mit Variablen
    • Gleichungen
  • Zuordnungen
    • proportionale Zuordnung
    • Dreisatz
  • Rationale Zahlen
    • Zahlenstrahl
    • vergleichen und ordnen
    • Zunahme und Abnahme
    • Koordinatensystem
  • Geometrie
    • Körper
  • Daten
• Klasse 7
  • Rationale Zahlen
    • vergleichen und ordnen
    • Strichrechnung
    • Punktrechnung
    • Rechenregeln
    • Zahlterme
    • Kombi-Aufgaben
    • negative Brüche
  • Geometrie
    • Winkel
      • an Parallelen
      • Winkelsumme
      • gleichschenkl. Dr.
      • Thaleskreis
    • Dreiecke konstruieren
    • In- und Umkreis
    • Vierecke
  • Algebra
    • Terme
    • lineare Gleichungen
  • Dreisatz, (anti)proportional
    • Antiproportionale Zuordnung
    • Proportionale Zuordnung
  • Prozentrechnung
    • Prozentsatz bestimmen
    • Prozentwert bestimmen
    • Grundwert bestimmen
  • Wahrscheinlichkeit / Daten
• Klasse 8
  • Terme
    • Ausmultiplizieren, Ausklammern
    • Binomische Formeln
    • Terme einsetzen
    • Terme aufstellen
    • Terme vereinfachen
  • Bruchgleichungen
  • Geometrie
    • Umfang und Flächeninhalt
    • Körper
  • Lineare Funktionen
  • LGS
  • Prozent- und Zinsrechnung
    • Prozentsatz, -wert, Grundwert
    • Vermehrter / verminderter Grundwert
    • Zinsrechnen (Zinseszinsen)
  • Daten / Boxplots
• Klasse 9
  • Algebra
    • Potenzen
    • Wurzeln
      • Quadratwurzeln ohne WTR
      • Rechnen mit Quadratwurzeln
        • Teilweises Wurzelziehen
      • Kubikwurzel
    • Quadratische Gleichungen
      • Bruchgleichungen
      • rein quadratische Gleichungen
      • gemischt quadratische Gleichungen
        • Nullprodukt
        • Lösungsformel
        • quadratische Ergänzung
      • Ungleichungen
      • Wurzelgleichungen
    • lineare Bruchgleichungen
  • Geometrie
    • Ähnlichkeit u. zentrische Streckung
    • Stahlensätze
      • 1. Strahlensatz
      • 2. Strahlensatz
    • Satz des Pythagoras
      • Grundaufgaben
      • in ebenen Figuren
      • in Körpern
    • Kreise
      • Umfang und Fläche
      • Kreisausschnitte
      • Anwendungen
    • Körper
      • Prismen
      • Zylinder
      • Pyramiden
  • Lineare und quadratische Funktionen
    • Lineare Funktionen
    • Quadratische Funktionen
      • Normalparabel
      • Streckung
      • Scheitelform, Termbestimmung
      • Nullstellen, Schnittpunkte
      • Modellieren
  • Zufall und Wahrscheinlichkeit
    • Kombinatorik
    • Einstufige Zufallsexperimente
• Klasse 10
  • Trigonometrie
    • am rechtwinkligen Dreieck
    • am allgemeinen Dreieck
    • Anwendungen
    • im Raum
    • am Einheitskreis
    • Bogenmaß/Funktionen
  • Algebra
    • Zehnerpotenzen
    • Potenzgesetze
    • Potenzen mit rationalen Hochzahlen
    • Exponentialrechnung
      • Zinsen, Zinseszinsen
      • Exponentielle(s) Wachstum / Abnahme
      • Logarithmus
  • Geometrie
    • Kegel
    • Kugel
    • Zusammengesetzte Körper
  • Zufall und Wahrscheinlichkeit
    • Erwartungswert
    • Zufallsexperimente mit Zurücklegen
    • Zufallsexperimente ohne Zurücklegen
• Fit für die Oberstufe
  • Potenzfunktionen
  • Exponentialfunktion
  • Vier-Felder-Tafel

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-4x+2y$ = $16$.

Bestimme y so, dass (-5|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -5 in die Gleichung ein und erhält:

$-4\cdot \left(-5\right)+2y$ = $16$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$-4\cdot \left(-5\right)+2y$	=	$16$
$20+2y$	=	$16$
$2y+20$	=	$16$	| $-20$
$2y$	=	$-4$	|:$2$
$y$	=	$-2$

Die Lösung ist somit: (-5|-2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4x-5y$ = $-16$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (1|4)
denn 4⋅1 -5⋅4 = 4 -20 = $-16$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-4|0)
denn 4⋅( - 4 ) -5⋅0 = -16 +0 = $-16$

Oder : (6|8)
denn 4⋅6 -5⋅8 = 24 -40 = $-16$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}2x& -2y& =& $ -18$& & & \text{(I)}\\ -3x& & =& $ 9$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}2x& -2y& =& $ -18$& & & \text{(I)}\\ -3x& & =& $ 9$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$-3x$	=	$9$	|:($-3$)
$x$	=	$-3$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}2x& -2y& =& $ -18$& & & \text{(I)}\\ x& & =& $ -3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $-3$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(-3\right)-2y$	=	$-18$
$-6-2y$	=	$-18$
$-2y-6$	=	$-18$	| $+6$
$-2y$	=	$-12$	|:($-2$)
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $-3$

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& -3y& =& $ 6$& & & \text{(I)}\\ -4x& +y& =& $ -13$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}x& -3y& =& $ 6$& & & \text{(I)}\\ -4x& +y& =& $ -13$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$-4x+y$	=	$-13$
$y-4x$	=	$-13$	| $+4x$
$y$	=	$-13+4x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& -3y& =& $ 6$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& \left(-13+4x\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-13+4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x-3·\left(-13+4x\right)$	=	$6$
$x+39-12x$	=	$6$
$-11x+39$	=	$6$	| $-39$
$-11x$	=	$-33$	|:($-11$)
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-13+4\cdot 3$

= $-13+12$

= $-1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& -3y& =& $ 6$& & & \text{(I)}\\ 2x& +4y& =& $ -18$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}x& -3y& =& $ 6$& & & \text{(I)}\\ 2x& +4y& =& $ -18$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x-3y$	=	$6$	| $+3y$
$x$	=	$6+3y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(6+3y\right)& & & \text{(I)}\\ 2x& +4y& =& $ -18$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $6+3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(6+3y\right)+4y$	=	$-18$
$12+6y+4y$	=	$-18$
$10y+12$	=	$-18$	| $-12$
$10y$	=	$-30$	|:$10$
$y$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $6+3\cdot \left(-3\right)$

= $6-9$

= $-3$

also

x = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}\frac{1}{3}x& +\frac{1}{3}y& =& $ \frac{7}{3}$& & & \text{(I)}\\ -\frac{3}{4}x& -y& =& $ -\frac{25}{4}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}\frac{1}{3}x& +\frac{1}{3}y& =& $ \frac{7}{3}$& & & \text{(I)}\\ -\frac{3}{4}x& -y& =& $ -\frac{25}{4}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$-\frac{3}{4}x-y$	=	$-\frac{25}{4}$
$-y-\frac{3}{4}x$	=	$-\frac{25}{4}$	|⋅ 4
$4\left(-y-\frac{3}{4}x\right)$	=	$-25$
$-4y-3x$	=	$-25$	| $+3x$
$-4y$	=	$-25+3x$	|:($-4$)
$y$	=	$\frac{25}{4}-\frac{3}{4}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}\frac{1}{3}x& +\frac{1}{3}y& =& $ \frac{7}{3}$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& \left(\frac{25}{4}-\frac{3}{4}x\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $\frac{25}{4}-\frac{3}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}·\left(\frac{25}{4}-\frac{3}{4}x\right)$	=	$\frac{7}{3}$
$\frac{1}{3}x+\frac{25}{12}-\frac{1}{4}x$	=	$\frac{7}{3}$
$\frac{1}{12}x+\frac{25}{12}$	=	$\frac{7}{3}$	|⋅ 12
$12\left(\frac{1}{12}x+\frac{25}{12}\right)$	=	$28$
$x+25$	=	$28$	| $-25$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $\frac{25}{4}-\frac{3}{4}\cdot 3$

= $\frac{25}{4}-\frac{9}{4}$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (3|4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 4 und y = -2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-3x +4y = ?

-1x -1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 4 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

-3x +4y = -12 -8 = -20

-1x -1y = -4 +2 = -2

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-3x +4y = -20

-1x -1y = -2

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}-x& +4y& =& $ 8$& & & \text{(I)}\\ -2x& +4y& =& $ 4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-x& +4y& =& $ 8$& & & \text{(I)}\\ -2x& +4y& =& $ 4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$-x+4y$	=	$8$	| $-4y$
$-x$	=	$8-4y$	|:($-1$)
$x$	=	$-8+4y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(-8+4y\right)& & & \text{(I)}\\ -2x& +4y& =& $ 4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $-8+4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-2·\left(-8+4y\right)+4y$	=	$4$
$16-8y+4y$	=	$4$
$-4y+16$	=	$4$	| $-16$
$-4y$	=	$-12$	|:($-4$)
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $-8+4\cdot 3$

= $-8+12$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|3)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 4-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 13. Wenn man aber vom 2-fachen von x 7 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -4. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& +4y& =& $ 13$& & & \text{(I)}\\ 2x& -7y& =& $ -4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+4y$	=	$13$	| $-4y$
$x$	=	$13-4y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(13-4y\right)& & & \text{(I)}\\ 2x& -7y& =& $ -4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $13-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(13-4y\right)-7y$	=	$-4$
$26-8y-7y$	=	$-4$
$-15y+26$	=	$-4$	| $-26$
$-15y$	=	$-30$	|:($-15$)
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $13-4\cdot 2$

= $13-8$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|2)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 5

y (y-Wert): 2