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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3x+3y$ = $3$.

Bestimme x so, dass (x|7) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 7 in die Gleichung ein und erhält:

$3x+3\cdot 7$ = $3$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$3x+3\cdot 7$	=	$3$
$3x+21$	=	$3$	| $-21$
$3x$	=	$-18$	|:$3$
$x$	=	$-6$

Die Lösung ist somit: (-6|7)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5x-2y$ = $-3$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-1|-1)
denn 5⋅( - 1 ) -2⋅( - 1 ) = -5 +2 = $-3$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-3|-6)
denn 5⋅( - 3 ) -2⋅( - 6 ) = -15 +12 = $-3$

Oder : (1|4)
denn 5⋅1 -2⋅4 = 5 -8 = $-3$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}& +3y& =& $ 9$& & & \text{(I)}\\ x& -4y& =& $ -18$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}& +3y& =& $ 9$& & & \text{(I)}\\ x& -4y& =& $ -18$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$3y$	=	$9$	|:$3$
$y$	=	$3$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& $ 3$& & & \text{(I)}\\ x& -4y& =& $ -18$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $3$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$x-4·3$	=	$-18$
$x-12$	=	$-18$	| $+12$
$x$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $3$

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-3x& +2y& =& $ 19$& & & \text{(I)}\\ -3x& +y& =& $ 17$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-3x& +2y& =& $ 19$& & & \text{(I)}\\ -3x& +y& =& $ 17$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$-3x+y$	=	$17$
$y-3x$	=	$17$	| $+3x$
$y$	=	$17+3x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-3x& +2y& =& $ 19$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& \left(17+3x\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $17+3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x+2·\left(17+3x\right)$	=	$19$
$-3x+34+6x$	=	$19$
$3x+34$	=	$19$	| $-34$
$3x$	=	$-15$	|:$3$
$x$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $17+3\cdot \left(-5\right)$

= $17-15$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-4x& -2y& =& $ 2$& & & \text{(I)}\\ -5x& +2y& =& $ 16$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-4x& -2y& =& $ 2$& & & \text{(I)}\\ -5x& +2y& =& $ 16$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$-4x-2y$	=	$2$
$-2y-4x$	=	$2$	| $+4x$
$-2y$	=	$2+4x$	|:($-2$)
$y$	=	$-1-2x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-1-2x\right)& & & \text{(I)}\\ -5x& +2y& =& $ 16$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-1-2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-5x+2·\left(-1-2x\right)$	=	$16$
$-5x-2-4x$	=	$16$
$-9x-2$	=	$16$	| $+2$
$-9x$	=	$18$	|:($-9$)
$x$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-1-2\cdot \left(-2\right)$

= $-1+4$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& +\frac{1}{3}y& =& $ -4$& & & \text{(I)}\\ -x& -\frac{1}{5}y& =& $ 4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}x& +\frac{1}{3}y& =& $ -4$& & & \text{(I)}\\ -x& -\frac{1}{5}y& =& $ 4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$-x-\frac{1}{5}y$	=	$4$	|⋅ 5
$5\left(-x-\frac{1}{5}y\right)$	=	$20$
$-5x-y$	=	$20$	| $+y$
$-5x$	=	$20+y$	|:($-5$)
$x$	=	$-4-\frac{1}{5}y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& +\frac{1}{3}y& =& $ -4$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(-4-\frac{1}{5}y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-4-\frac{1}{5}y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1·\left(-4-\frac{1}{5}y\right)+\frac{1}{3}y$	=	$-4$
$-4-\frac{1}{5}y+\frac{1}{3}y$	=	$-4$
$\frac{2}{15}y-4$	=	$-4$	|⋅ 15
$15\left(\frac{2}{15}y-4\right)$	=	$-60$
$2y-60$	=	$-60$	| $+60$
$2y$	=	0	|:$2$
$y$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-4-\frac{1}{5}\cdot 0$

= $-4+0$

= $-4$

also

x = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|0)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 4 und y = -1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x +2y = ?

-4x +6y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 4 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

-2x +2y = -8 -2 = -10

-4x +6y = -16 -6 = -22

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x +2y = -10

-4x +6y = -22

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}-5x& +5y& =& $ -5$& & & \text{(I)}\\ 4x& -3y& =& $ 5$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-5x& +5y& =& $ -5$& & & \text{(I)}\\ 4x& -3y& =& $ 5$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$-5x+5y$	=	$-5$
$5y-5x$	=	$-5$	| $+5x$
$5y$	=	$-5+5x$	|:$5$
$y$	=	$-1+x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-1+x\right)& & & \text{(I)}\\ 4x& -3y& =& $ 5$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-1+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x-3·\left(-1+x\right)$	=	$5$
$4x+3-3x$	=	$5$
$x+3$	=	$5$	| $-3$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-1+2$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (2|1)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 2-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 10. Wenn man aber vom 4-fachen von x 6 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -2. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& +2y& =& $ 10$& & & \text{(I)}\\ 4x& -6y& =& $ -2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+2y$	=	$10$	| $-2y$
$x$	=	$10-2y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(10-2y\right)& & & \text{(I)}\\ 4x& -6y& =& $ -2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $10-2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4·\left(10-2y\right)-6y$	=	$-2$
$40-8y-6y$	=	$-2$
$-14y+40$	=	$-2$	| $-40$
$-14y$	=	$-42$	|:($-14$)
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $10-2\cdot 3$

= $10-6$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|3)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 4

y (y-Wert): 3