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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-5x-3y$ = $7$.

Bestimme y so, dass (1|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 1 in die Gleichung ein und erhält:

$-5\cdot 1-3y$ = $7$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$-5\cdot 1-3y$	=	$7$
$-5-3y$	=	$7$
$-3y-5$	=	$7$	| $+5$
$-3y$	=	$12$	|:($-3$)
$y$	=	$-4$

Die Lösung ist somit: (1|-4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4x-3y$ = $-18$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-3|2)
denn 4⋅( - 3 ) -3⋅2 = -12 -6 = $-18$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-6|-2)
denn 4⋅( - 6 ) -3⋅( - 2 ) = -24 +6 = $-18$

Oder : (0|6)
denn 4⋅0 -3⋅6 = 0 -18 = $-18$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& +3y& =& $ -14$& & & \text{(I)}\\ -x& & =& $ -4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}x& +3y& =& $ -14$& & & \text{(I)}\\ -x& & =& $ -4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$-x$	=	$-4$	|:($-1$)
$x$	=	$4$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& +3y& =& $ -14$& & & \text{(I)}\\ x& & =& $ 4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$1·4+3y$	=	$-14$
$4+3y$	=	$-14$
$3y+4$	=	$-14$	| $-4$
$3y$	=	$-18$	|:$3$
$y$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $4$

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}4x& +2y& =& $ -10$& & & \text{(I)}\\ x& -2y& =& $ -5$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}4x& +2y& =& $ -10$& & & \text{(I)}\\ x& -2y& =& $ -5$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x-2y$	=	$-5$	| $+2y$
$x$	=	$-5+2y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}4x& +2y& =& $ -10$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(-5+2y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-5+2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4·\left(-5+2y\right)+2y$	=	$-10$
$-20+8y+2y$	=	$-10$
$10y-20$	=	$-10$	| $+20$
$10y$	=	$10$	|:$10$
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-5+2\cdot 1$

= $-5+2$

= $-3$

also

x = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& -4y& =& $ -14$& & & \text{(I)}\\ 3x& +3y& =& $ 33$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}x& -4y& =& $ -14$& & & \text{(I)}\\ 3x& +3y& =& $ 33$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x-4y$	=	$-14$	| $+4y$
$x$	=	$-14+4y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(-14+4y\right)& & & \text{(I)}\\ 3x& +3y& =& $ 33$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $-14+4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(-14+4y\right)+3y$	=	$33$
$-42+12y+3y$	=	$33$
$15y-42$	=	$33$	| $+42$
$15y$	=	$75$	|:$15$
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $-14+4\cdot 5$

= $-14+20$

= $6$

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$x+3-2y$	=	$-3y$			(I)
$-2\left(x+2\right)-y$	=	$3$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$x+3-2y$	=	$-3y$			(I)
$-2\left(x+2\right)-y$	=	$3$			(II)

$x+3-2y$	=	$-3y$	| $-3+3y$		(I)
$-2x-4-y$	=	$3$	| + $4$		(II)

$\begin{array}{ccccccc}x& +y& =& $ -3$& & & \text{(I)}\\ -2x& -y& =& $ 7$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$-2x-y$	=	$7$
$-y-2x$	=	$7$	| $+2x$
$-y$	=	$7+2x$	|:($-1$)
$y$	=	$-7-2x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& +y& =& $ -3$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& \left(-7-2x\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-7-2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x+1·\left(-7-2x\right)$	=	$-3$
$x-7-2x$	=	$-3$
$-x-7$	=	$-3$	| $+7$
$-x$	=	$4$	|:($-1$)
$x$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-7-2\cdot \left(-4\right)$

= $-7+8$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 4 und y = -4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x +3y = ?

-3x +5y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 4 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:

-4x +3y = -16 -12 = -28

-3x +5y = -12 -20 = -32

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x +3y = -28

-3x +5y = -32

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}12x& +3y& =& $ 9$& & & \text{(I)}\\ -4x& -y& =& $ -3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}12x& +3y& =& $ 9$& & & \text{(I)}\\ -4x& -y& =& $ -3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$-4x-y$	=	$-3$
$-y-4x$	=	$-3$	| $+4x$
$-y$	=	$-3+4x$	|:($-1$)
$y$	=	$3-4x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}12x& +3y& =& $ 9$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& \left(3-4x\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $3-4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$12x+3·\left(3-4x\right)$	=	$9$
$12x+9-12x$	=	$9$
$9$	=	$9$	| $-9$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 5 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 2 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 50 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 3 LED-Leuchtmittel und 8 Halogenleuchten zusammen 132 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}5x& +2y& =& $ 50$& & & \text{(I)}\\ 3x& +8y& =& $ 132$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5x+2y$	=	$50$
$2y+5x$	=	$50$	| $-5x$
$2y$	=	$50-5x$	|:$2$
$y$	=	$25-\frac{5}{2}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(25-\frac{5}{2}x\right)& & & \text{(I)}\\ 3x& +8y& =& $ 132$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $25-\frac{5}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x+8·\left(25-\frac{5}{2}x\right)$	=	$132$
$3x+200-20x$	=	$132$
$-17x+200$	=	$132$	| $-200$
$-17x$	=	$-68$	|:($-17$)
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $25-\frac{5}{2}\cdot 4$

= $25-10$

= $15$

also

y = 15

Die Lösung des LGS ist damit: (4|15)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 4

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 15