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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-3x+3y$ = $-21$.

Bestimme y so, dass (0|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 0 in die Gleichung ein und erhält:

$-3\cdot 0+3y$ = $-21$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$-3\cdot 0+3y$	=	$-21$
$3y$	=	$-21$	|:$3$
$y$	=	$-7$

Die Lösung ist somit: (0|-7)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-5x+2y$ = $-42$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (6|-6)
denn -5⋅6 +2⋅( - 6 ) = -30 -12 = $-42$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (8|-1)
denn -5⋅8 +2⋅( - 1 ) = -40 -2 = $-42$

Oder : (4|-11)
denn -5⋅4 +2⋅( - 11 ) = -20 -22 = $-42$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}3x& -4y& =& $ -31$& & & \text{(I)}\\ -x& & =& $ 5$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}3x& -4y& =& $ -31$& & & \text{(I)}\\ -x& & =& $ 5$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$-x$	=	$5$	|:($-1$)
$x$	=	$-5$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}3x& -4y& =& $ -31$& & & \text{(I)}\\ x& & =& $ -5$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $-5$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(-5\right)-4y$	=	$-31$
$-15-4y$	=	$-31$
$-4y-15$	=	$-31$	| $+15$
$-4y$	=	$-16$	|:($-4$)
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $-5$

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& -3y& =& $ -14$& & & \text{(I)}\\ -4x& -4y& =& $ -8$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}x& -3y& =& $ -14$& & & \text{(I)}\\ -4x& -4y& =& $ -8$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x-3y$	=	$-14$	| $+3y$
$x$	=	$-14+3y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(-14+3y\right)& & & \text{(I)}\\ -4x& -4y& =& $ -8$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $-14+3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-4·\left(-14+3y\right)-4y$	=	$-8$
$56-12y-4y$	=	$-8$
$-16y+56$	=	$-8$	| $-56$
$-16y$	=	$-64$	|:($-16$)
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $-14+3\cdot 4$

= $-14+12$

= $-2$

also

x = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}4x& -y& =& $ 5$& & & \text{(I)}\\ -x& +2y& =& $ 4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}4x& -y& =& $ 5$& & & \text{(I)}\\ -x& +2y& =& $ 4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$-x+2y$	=	$4$	| $-2y$
$-x$	=	$4-2y$	|:($-1$)
$x$	=	$-4+2y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}4x& -y& =& $ 5$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(-4+2y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-4+2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4·\left(-4+2y\right)-y$	=	$5$
$-16+8y-y$	=	$5$
$7y-16$	=	$5$	| $+16$
$7y$	=	$21$	|:$7$
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-4+2\cdot 3$

= $-4+6$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$3x-1-2y$	=	$3$			(I)
$-x+16$	=	$3y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$3x-1-2y$	=	$3$	| + $1$		(I)
$-x+16$	=	$3y$	| $-16-3y$		(II)

$\begin{array}{ccccccc}3x& -2y& =& $ 4$& & & \text{(I)}\\ -x& -3y& =& $ -16$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$-x-3y$	=	$-16$	| $+3y$
$-x$	=	$-16+3y$	|:($-1$)
$x$	=	$16-3y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}3x& -2y& =& $ 4$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(16-3y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $16-3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(16-3y\right)-2y$	=	$4$
$48-9y-2y$	=	$4$
$-11y+48$	=	$4$	| $-48$
$-11y$	=	$-44$	|:($-11$)
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $16-3\cdot 4$

= $16-12$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 4 und y = 1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x -4y = ?

2x +3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 4 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

-2x -4y = -8 -4 = -12

2x +3y = 8 +3 = 11

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x -4y = -12

2x +3y = 11

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}4x& +3y& =& $ -3$& & & \text{(I)}\\ -8x& -6y& =& $ 6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}4x& +3y& =& $ -3$& & & \text{(I)}\\ -8x& -6y& =& $ 6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4x+3y$	=	$-3$
$3y+4x$	=	$-3$	| $-4x$
$3y$	=	$-3-4x$	|:$3$
$y$	=	$-1-\frac{4}{3}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-1-\frac{4}{3}x\right)& & & \text{(I)}\\ -8x& -6y& =& $ 6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-1-\frac{4}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-8x-6·\left(-1-\frac{4}{3}x\right)$	=	$6$
$-8x+6+8x$	=	$6$
$6$	=	$6$	| $-6$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 4 Stunden wandern. Danach hat sie 4 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 1060 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 7 Stunden wandern und hat 2 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 2030 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}4x& -4y& =& $ 1060$& & & \text{(I)}\\ 7x& -2y& =& $ 2030$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4x-4y$	=	$1060$
$-4y+4x$	=	$1060$	| $-4x$
$-4y$	=	$1060-4x$	|:($-4$)
$y$	=	$-265+x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-265+x\right)& & & \text{(I)}\\ 7x& -2y& =& $ 2030$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-265+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$7x-2·\left(-265+x\right)$	=	$2030$
$7x+530-2x$	=	$2030$
$5x+530$	=	$2030$	| $-530$
$5x$	=	$1500$	|:$5$
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-265+300$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (300|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 35