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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-3x+4y$ = $21$.

Bestimme y so, dass (-7|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -7 in die Gleichung ein und erhält:

$-3\cdot \left(-7\right)+4y$ = $21$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$-3\cdot \left(-7\right)+4y$	=	$21$
$21+4y$	=	$21$
$4y+21$	=	$21$	| $-21$
$4y$	=	0	|:$4$
$y$	=	0

Die Lösung ist somit: (-7|0)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-4x-2y$ = $32$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-6|-4)
denn -4⋅( - 6 ) -2⋅( - 4 ) = 24 +8 = $32$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-8|0)
denn -4⋅( - 8 ) -2⋅0 = 32 +0 = $32$

Oder : (-4|-8)
denn -4⋅( - 4 ) -2⋅( - 8 ) = 16 +16 = $32$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}& +2y& =& $ 12$& & & \text{(I)}\\ 3x& +3y& =& $ 30$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}& +2y& =& $ 12$& & & \text{(I)}\\ 3x& +3y& =& $ 30$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$2y$	=	$12$	|:$2$
$y$	=	$6$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& $ 6$& & & \text{(I)}\\ 3x& +3y& =& $ 30$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $6$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x+3·6$	=	$30$
$3x+18$	=	$30$	| $-18$
$3x$	=	$12$	|:$3$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $6$

Die Lösung des LGS ist damit: (4|6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-4x& -4y& =& $ 20$& & & \text{(I)}\\ x& +3y& =& $ -11$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-4x& -4y& =& $ 20$& & & \text{(I)}\\ x& +3y& =& $ -11$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+3y$	=	$-11$	| $-3y$
$x$	=	$-11-3y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-4x& -4y& =& $ 20$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(-11-3y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-11-3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-4·\left(-11-3y\right)-4y$	=	$20$
$44+12y-4y$	=	$20$
$8y+44$	=	$20$	| $-44$
$8y$	=	$-24$	|:$8$
$y$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-11-3\cdot \left(-3\right)$

= $-11+9$

= $-2$

also

x = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}3x& +y& =& $ -14$& & & \text{(I)}\\ -x& -2y& =& $ -2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}3x& +y& =& $ -14$& & & \text{(I)}\\ -x& -2y& =& $ -2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$-x-2y$	=	$-2$	| $+2y$
$-x$	=	$-2+2y$	|:($-1$)
$x$	=	$2-2y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}3x& +y& =& $ -14$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(2-2y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $2-2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(2-2y\right)+y$	=	$-14$
$6-6y+y$	=	$-14$
$-5y+6$	=	$-14$	| $-6$
$-5y$	=	$-20$	|:($-5$)
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $2-2\cdot 4$

= $2-8$

= $-6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-\frac{3}{4}x& -\frac{3}{5}y& =& $ \frac{9}{5}$& & & \text{(I)}\\ \frac{3}{4}x& +y& =& $ -3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-\frac{3}{4}x& -\frac{3}{5}y& =& $ \frac{9}{5}$& & & \text{(I)}\\ \frac{3}{4}x& +y& =& $ -3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$\frac{3}{4}x+y$	=	$-3$
$y+\frac{3}{4}x$	=	$-3$	|⋅ 4
$4\left(y+\frac{3}{4}x\right)$	=	$-12$
$4y+3x$	=	$-12$	| $-3x$
$4y$	=	$-12-3x$	|:$4$
$y$	=	$-3-\frac{3}{4}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-\frac{3}{4}x& -\frac{3}{5}y& =& $ \frac{9}{5}$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& \left(-3-\frac{3}{4}x\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-3-\frac{3}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-\frac{3}{4}x-\frac{3}{5}·\left(-3-\frac{3}{4}x\right)$	=	$\frac{9}{5}$
$-\frac{3}{4}x+\frac{9}{5}+\frac{9}{20}x$	=	$\frac{9}{5}$
$-\frac{3}{10}x+\frac{9}{5}$	=	$\frac{9}{5}$	|⋅ 10
$10\left(-\frac{3}{10}x+\frac{9}{5}\right)$	=	$18$
$-3x+18$	=	$18$	| $-18$
$-3x$	=	0	|:($-3$)
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-3-\frac{3}{4}\cdot \left(0\right)$

= $-3+0$

= $-3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -3 und y = -3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x +5y = ?

-6x +12y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = -3 einsetzen und ausrechnen:

-2x +5y = 6 -15 = -9

-6x +12y = 18 -36 = -18

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x +5y = -9

-6x +12y = -18

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}5x& +2y& =& $ 3$& & & \text{(I)}\\ -3x& -3y& =& $ -9$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}5x& +2y& =& $ 3$& & & \text{(I)}\\ -3x& -3y& =& $ -9$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5x+2y$	=	$3$
$2y+5x$	=	$3$	| $-5x$
$2y$	=	$3-5x$	|:$2$
$y$	=	$\frac{3}{2}-\frac{5}{2}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(\frac{3}{2}-\frac{5}{2}x\right)& & & \text{(I)}\\ -3x& -3y& =& $ -9$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{3}{2}-\frac{5}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x-3·\left(\frac{3}{2}-\frac{5}{2}x\right)$	=	$-9$
$-3x-\frac{9}{2}+\frac{15}{2}x$	=	$-9$
$\frac{9}{2}x-\frac{9}{2}$	=	$-9$	|⋅ 2
$2\left(\frac{9}{2}x-\frac{9}{2}\right)$	=	$-18$
$9x-9$	=	$-18$	| $+9$
$9x$	=	$-9$	|:$9$
$x$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{3}{2}-\frac{5}{2}\cdot \left(-1\right)$

= $\frac{3}{2}+\frac{5}{2}$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|4)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 6-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 29. Wenn man aber vom 2-fachen von x 2 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 2. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& +6y& =& $ 29$& & & \text{(I)}\\ 2x& -2y& =& $ 2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+6y$	=	$29$	| $-6y$
$x$	=	$29-6y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(29-6y\right)& & & \text{(I)}\\ 2x& -2y& =& $ 2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $29-6y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(29-6y\right)-2y$	=	$2$
$58-12y-2y$	=	$2$
$-14y+58$	=	$2$	| $-58$
$-14y$	=	$-56$	|:($-14$)
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $29-6\cdot 4$

= $29-24$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|4)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 5

y (y-Wert): 4