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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-2x-2y$ = $-2$.

Bestimme y so, dass (4|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 4 in die Gleichung ein und erhält:

$-2\cdot 4-2y$ = $-2$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$-2\cdot 4-2y$	=	$-2$
$-8-2y$	=	$-2$
$-2y-8$	=	$-2$	| $+8$
$-2y$	=	$6$	|:($-2$)
$y$	=	$-3$

Die Lösung ist somit: (4|-3)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2x-5y$ = $6$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-2|-2)
denn 2⋅( - 2 ) -5⋅( - 2 ) = -4 +10 = $6$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-7|-4)
denn 2⋅( - 7 ) -5⋅( - 4 ) = -14 +20 = $6$

Oder : (3|0)
denn 2⋅3 -5⋅0 = 6 +0 = $6$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-3x& -y& =& $ -13$& & & \text{(I)}\\ & +3y& =& $ -6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-3x& -y& =& $ -13$& & & \text{(I)}\\ & +3y& =& $ -6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$3y$	=	$-6$	|:$3$
$y$	=	$-2$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-3x& -y& =& $ -13$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& $ -2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $-2$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x-1·\left(-2\right)$	=	$-13$
$-3x+2$	=	$-13$	| $-2$
$-3x$	=	$-15$	|:($-3$)
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $-2$

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& +3y& =& $ 10$& & & \text{(I)}\\ x& -3y& =& $ -20$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}x& +3y& =& $ 10$& & & \text{(I)}\\ x& -3y& =& $ -20$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x-3y$	=	$-20$	| $+3y$
$x$	=	$-20+3y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& +3y& =& $ 10$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(-20+3y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-20+3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1·\left(-20+3y\right)+3y$	=	$10$
$-20+3y+3y$	=	$10$
$6y-20$	=	$10$	| $+20$
$6y$	=	$30$	|:$6$
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-20+3\cdot 5$

= $-20+15$

= $-5$

also

x = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-4x& +3y& =& $ -8$& & & \text{(I)}\\ 4x& -y& =& $ 0$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-4x& +3y& =& $ -8$& & & \text{(I)}\\ 4x& -y& =& $ 0$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4x-y$	=	0
$-y+4x$	=	0	| $-4x$
$-y$	=	$-4x$	|:($-1$)
$y$	=	$4x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-4x& +3y& =& $ -8$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& 4x& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $4x$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-4x+3·4x$	=	$-8$
$-4x+12x$	=	$-8$
$8x$	=	$-8$	|:$8$
$x$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $4\cdot \left(-1\right)$

= $-4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-x& +\frac{1}{3}y& =& $ \frac{1}{3}$& & & \text{(I)}\\ -x& -\frac{2}{3}y& =& $ -\frac{2}{3}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-x& +\frac{1}{3}y& =& $ \frac{1}{3}$& & & \text{(I)}\\ -x& -\frac{2}{3}y& =& $ -\frac{2}{3}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$-x-\frac{2}{3}y$	=	$-\frac{2}{3}$	|⋅ 3
$3\left(-x-\frac{2}{3}y\right)$	=	$-2$
$-3x-2y$	=	$-2$	| $+2y$
$-3x$	=	$-2+2y$	|:($-3$)
$x$	=	$\frac{2}{3}-\frac{2}{3}y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-x& +\frac{1}{3}y& =& $ \frac{1}{3}$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(\frac{2}{3}-\frac{2}{3}y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $\frac{2}{3}-\frac{2}{3}y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-1·\left(\frac{2}{3}-\frac{2}{3}y\right)+\frac{1}{3}y$	=	$\frac{1}{3}$
$-\frac{2}{3}+\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}y$	=	$\frac{1}{3}$
$y-\frac{2}{3}$	=	$\frac{1}{3}$	|⋅ 3
$3\left(y-\frac{2}{3}\right)$	=	$1$
$3y-2$	=	$1$	| $+2$
$3y$	=	$3$	|:$3$
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $\frac{2}{3}-\frac{2}{3}\cdot 1$

= $\frac{2}{3}-\frac{2}{3}$

= 0

also

x = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (0|1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 4 und y = 5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

4x -1y = ?

1x +3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 4 und y = 5 einsetzen und ausrechnen:

4x -1y = 16 -5 = 11

1x +3y = 4 +15 = 19

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

4x -1y = 11

1x +3y = 19

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}2x& -4y& =& $ -2$& & & \text{(I)}\\ 3x& -5y& =& $ -2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}2x& -4y& =& $ -2$& & & \text{(I)}\\ 3x& -5y& =& $ -2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2x-4y$	=	$-2$
$-4y+2x$	=	$-2$	| $-2x$
$-4y$	=	$-2-2x$	|:($-4$)
$y$	=	$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}x\right)& & & \text{(I)}\\ 3x& -5y& =& $ -2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x-5·\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}x\right)$	=	$-2$
$3x-\frac{5}{2}-\frac{5}{2}x$	=	$-2$
$\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}$	=	$-2$	|⋅ 2
$2\left(\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}\right)$	=	$-4$
$x-5$	=	$-4$	| $+5$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot 1$

= $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|1)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 3 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 5 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 165 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 9 LED-Leuchtmittel und 3 Halogenleuchten zusammen 135 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}3x& +5y& =& $ 165$& & & \text{(I)}\\ 9x& +3y& =& $ 135$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3x+5y$	=	$165$
$5y+3x$	=	$165$	| $-3x$
$5y$	=	$165-3x$	|:$5$
$y$	=	$33-\frac{3}{5}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(33-\frac{3}{5}x\right)& & & \text{(I)}\\ 9x& +3y& =& $ 135$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $33-\frac{3}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$9x+3·\left(33-\frac{3}{5}x\right)$	=	$135$
$9x+99-\frac{9}{5}x$	=	$135$
$\frac{36}{5}x+99$	=	$135$	|⋅ 5
$5\left(\frac{36}{5}x+99\right)$	=	$675$
$36x+495$	=	$675$	| $-495$
$36x$	=	$180$	|:$36$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $33-\frac{3}{5}\cdot 5$

= $33-3$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (5|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 5

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 30