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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3x+2y$ = $10$.

Bestimme y so, dass (0|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 0 in die Gleichung ein und erhält:

$3\cdot 0+2y$ = $10$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$3\cdot 0+2y$	=	$10$
$2y$	=	$10$	|:$2$
$y$	=	$5$

Die Lösung ist somit: (0|5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-4x-4y$ = 0.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-2|2)
denn -4⋅( - 2 ) -4⋅2 = 8 -8 = 0

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-6|6)
denn -4⋅( - 6 ) -4⋅6 = 24 -24 = 0

Oder : (2|-2)
denn -4⋅2 -4⋅( - 2 ) = -8 +8 = 0

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}& -4y& =& $ 16$& & & \text{(I)}\\ -3x& +y& =& $ -22$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}& -4y& =& $ 16$& & & \text{(I)}\\ -3x& +y& =& $ -22$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$-4y$	=	$16$	|:($-4$)
$y$	=	$-4$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& $ -4$& & & \text{(I)}\\ -3x& +y& =& $ -22$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $-4$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x+1·\left(-4\right)$	=	$-22$
$-3x-4$	=	$-22$	| $+4$
$-3x$	=	$-18$	|:($-3$)
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $-4$

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& +4y& =& $ 0$& & & \text{(I)}\\ -x& -y& =& $ -3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}x& +4y& =& $ 0$& & & \text{(I)}\\ -x& -y& =& $ -3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$-x-y$	=	$-3$
$-y-x$	=	$-3$	| $+x$
$-y$	=	$-3+x$	|:($-1$)
$y$	=	$3-x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& +4y& =& $ 0$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& \left(3-x\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $3-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x+4·\left(3-x\right)$	=	0
$x+12-4x$	=	0
$-3x+12$	=	0	| $-12$
$-3x$	=	$-12$	|:($-3$)
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $3-4$

= $-1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-4x& -5y& =& $ 6$& & & \text{(I)}\\ 2x& +3y& =& $ -4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-4x& -5y& =& $ 6$& & & \text{(I)}\\ 2x& +3y& =& $ -4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$-4x-5y$	=	$6$
$-5y-4x$	=	$6$	| $+4x$
$-5y$	=	$6+4x$	|:($-5$)
$y$	=	$-\frac{6}{5}-\frac{4}{5}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-\frac{6}{5}-\frac{4}{5}x\right)& & & \text{(I)}\\ 2x& +3y& =& $ -4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{6}{5}-\frac{4}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x+3·\left(-\frac{6}{5}-\frac{4}{5}x\right)$	=	$-4$
$2x-\frac{18}{5}-\frac{12}{5}x$	=	$-4$
$-\frac{2}{5}x-\frac{18}{5}$	=	$-4$	|⋅ 5
$5\left(-\frac{2}{5}x-\frac{18}{5}\right)$	=	$-20$
$-2x-18$	=	$-20$	| $+18$
$-2x$	=	$-2$	|:($-2$)
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{6}{5}-\frac{4}{5}\cdot 1$

= $-\frac{6}{5}-\frac{4}{5}$

= $-2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-\frac{2}{5}x& +y& =& $ \frac{1}{5}$& & & \text{(I)}\\ -\frac{1}{3}x& +\frac{1}{2}y& =& $ -\frac{1}{6}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-\frac{2}{5}x& +y& =& $ \frac{1}{5}$& & & \text{(I)}\\ -\frac{1}{3}x& +\frac{1}{2}y& =& $ -\frac{1}{6}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$-\frac{2}{5}x+y$	=	$\frac{1}{5}$
$y-\frac{2}{5}x$	=	$\frac{1}{5}$	|⋅ 5
$5\left(y-\frac{2}{5}x\right)$	=	$1$
$5y-2x$	=	$1$	| $+2x$
$5y$	=	$1+2x$	|:$5$
$y$	=	$\frac{1}{5}+\frac{2}{5}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(\frac{1}{5}+\frac{2}{5}x\right)& & & \text{(I)}\\ -\frac{1}{3}x& +\frac{1}{2}y& =& $ -\frac{1}{6}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{1}{5}+\frac{2}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}·\left(\frac{1}{5}+\frac{2}{5}x\right)$	=	$-\frac{1}{6}$
$-\frac{1}{3}x+\frac{1}{10}+\frac{1}{5}x$	=	$-\frac{1}{6}$
$-\frac{2}{15}x+\frac{1}{10}$	=	$-\frac{1}{6}$	|⋅ 30
$30\left(-\frac{2}{15}x+\frac{1}{10}\right)$	=	$-5$
$-4x+3$	=	$-5$	| $-3$
$-4x$	=	$-8$	|:($-4$)
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{1}{5}+\frac{2}{5}\cdot 2$

= $\frac{1}{5}+\frac{4}{5}$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (2|1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 1 und y = 2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

1x -3y = ?

5x -17y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 1 und y = 2 einsetzen und ausrechnen:

1x -3y = 1 -6 = -5

5x -17y = 5 -34 = -29

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

1x -3y = -5

5x -17y = -29

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}-2x& -2y& =& $ 6$& & & \text{(I)}\\ x& -2y& =& $ 15$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-2x& -2y& =& $ 6$& & & \text{(I)}\\ x& -2y& =& $ 15$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x-2y$	=	$15$	| $+2y$
$x$	=	$15+2y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-2x& -2y& =& $ 6$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(15+2y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $15+2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-2·\left(15+2y\right)-2y$	=	$6$
$-30-4y-2y$	=	$6$
$-6y-30$	=	$6$	| $+30$
$-6y$	=	$36$	|:($-6$)
$y$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $15+2\cdot \left(-6\right)$

= $15-12$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-6)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 2-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 6. Wenn man aber vom 5-fachen von x 3 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 4. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& +2y& =& $ 6$& & & \text{(I)}\\ 5x& -3y& =& $ 4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+2y$	=	$6$	| $-2y$
$x$	=	$6-2y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(6-2y\right)& & & \text{(I)}\\ 5x& -3y& =& $ 4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $6-2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5·\left(6-2y\right)-3y$	=	$4$
$30-10y-3y$	=	$4$
$-13y+30$	=	$4$	| $-30$
$-13y$	=	$-26$	|:($-13$)
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $6-2\cdot 2$

= $6-4$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|2)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 2

y (y-Wert): 2