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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3x+y$ = $-1$.

Bestimme x so, dass (x|-7) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -7 in die Gleichung ein und erhält:

$3x+\left(-7\right)$ = $-1$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$3x+\left(-7\right)$	=	$-1$
$3x-7$	=	$-1$	| $+7$
$3x$	=	$6$	|:$3$
$x$	=	$2$

Die Lösung ist somit: (2|-7)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x-y$ = $1$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (0|-1)
denn 1⋅0 -1⋅( - 1 ) = 0 +1 = $1$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-1|-2)
denn 1⋅( - 1 ) -1⋅( - 2 ) = -1 +2 = $1$

Oder : (1|0)
denn 1⋅1 -1⋅0 = 1 +0 = $1$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}& +2y& =& $ 8$& & & \text{(I)}\\ 3x& +y& =& $ 22$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}& +2y& =& $ 8$& & & \text{(I)}\\ 3x& +y& =& $ 22$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$2y$	=	$8$	|:$2$
$y$	=	$4$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& $ 4$& & & \text{(I)}\\ 3x& +y& =& $ 22$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $4$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x+1·4$	=	$22$
$3x+4$	=	$22$	| $-4$
$3x$	=	$18$	|:$3$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $4$

Die Lösung des LGS ist damit: (6|4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& -3y& =& $ -1$& & & \text{(I)}\\ 2x& +y& =& $ 5$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}x& -3y& =& $ -1$& & & \text{(I)}\\ 2x& +y& =& $ 5$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$2x+y$	=	$5$
$y+2x$	=	$5$	| $-2x$
$y$	=	$5-2x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& -3y& =& $ -1$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& \left(5-2x\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $5-2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x-3·\left(5-2x\right)$	=	$-1$
$x-15+6x$	=	$-1$
$7x-15$	=	$-1$	| $+15$
$7x$	=	$14$	|:$7$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $5-2\cdot 2$

= $5-4$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (2|1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-2x& -5y& =& $ -18$& & & \text{(I)}\\ 2x& +3y& =& $ 14$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-2x& -5y& =& $ -18$& & & \text{(I)}\\ 2x& +3y& =& $ 14$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$-2x-5y$	=	$-18$
$-5y-2x$	=	$-18$	| $+2x$
$-5y$	=	$-18+2x$	|:($-5$)
$y$	=	$\frac{18}{5}-\frac{2}{5}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(\frac{18}{5}-\frac{2}{5}x\right)& & & \text{(I)}\\ 2x& +3y& =& $ 14$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{18}{5}-\frac{2}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x+3·\left(\frac{18}{5}-\frac{2}{5}x\right)$	=	$14$
$2x+\frac{54}{5}-\frac{6}{5}x$	=	$14$
$\frac{4}{5}x+\frac{54}{5}$	=	$14$	|⋅ 5
$5\left(\frac{4}{5}x+\frac{54}{5}\right)$	=	$70$
$4x+54$	=	$70$	| $-54$
$4x$	=	$16$	|:$4$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{18}{5}-\frac{2}{5}\cdot 4$

= $\frac{18}{5}-\frac{8}{5}$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (4|2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}2x& +y& =& $ -8$& & & \text{(I)}\\ -x& -3y& =& $ -6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}2x& +y& =& $ -8$& & & \text{(I)}\\ -x& -3y& =& $ -6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$-x-3y$	=	$-6$	| $+3y$
$-x$	=	$-6+3y$	|:($-1$)
$x$	=	$6-3y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}2x& +y& =& $ -8$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(6-3y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $6-3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(6-3y\right)+y$	=	$-8$
$12-6y+y$	=	$-8$
$-5y+12$	=	$-8$	| $-12$
$-5y$	=	$-20$	|:($-5$)
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $6-3\cdot 4$

= $6-12$

= $-6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -1 und y = -5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

4x -2y = ?

2x +2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:

4x -2y = -4 +10 = 6

2x +2y = -2 -10 = -12

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

4x -2y = 6

2x +2y = -12

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}2x& +3y& =& $ -3$& & & \text{(I)}\\ -4x& -6y& =& $ 4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}2x& +3y& =& $ -3$& & & \text{(I)}\\ -4x& -6y& =& $ 4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2x+3y$	=	$-3$
$3y+2x$	=	$-3$	| $-2x$
$3y$	=	$-3-2x$	|:$3$
$y$	=	$-1-\frac{2}{3}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-1-\frac{2}{3}x\right)& & & \text{(I)}\\ -4x& -6y& =& $ 4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-1-\frac{2}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-4x-6·\left(-1-\frac{2}{3}x\right)$	=	$4$
$-4x+6+4x$	=	$4$
$6$	=	$4$	| $-6$
0	=	$-2$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 5-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 18. Wenn man aber vom 2-fachen von x 4 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -6. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& +5y& =& $ 18$& & & \text{(I)}\\ 2x& -4y& =& $ -6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+5y$	=	$18$	| $-5y$
$x$	=	$18-5y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(18-5y\right)& & & \text{(I)}\\ 2x& -4y& =& $ -6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $18-5y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(18-5y\right)-4y$	=	$-6$
$36-10y-4y$	=	$-6$
$-14y+36$	=	$-6$	| $-36$
$-14y$	=	$-42$	|:($-14$)
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $18-5\cdot 3$

= $18-15$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|3)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 3

y (y-Wert): 3