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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5x+3y$ = $14$.

Bestimme y so, dass (1|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 1 in die Gleichung ein und erhält:

$5\cdot 1+3y$ = $14$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$5\cdot 1+3y$	=	$14$
$5+3y$	=	$14$
$3y+5$	=	$14$	| $-5$
$3y$	=	$9$	|:$3$
$y$	=	$3$

Die Lösung ist somit: (1|3)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4x-5y$ = $-32$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-3|4)
denn 4⋅( - 3 ) -5⋅4 = -12 -20 = $-32$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-8|0)
denn 4⋅( - 8 ) -5⋅0 = -32 +0 = $-32$

Oder : (2|8)
denn 4⋅2 -5⋅8 = 8 -40 = $-32$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-3x& & =& $ 12$& & & \text{(I)}\\ -3x& +3y& =& $ 18$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-3x& & =& $ 12$& & & \text{(I)}\\ -3x& +3y& =& $ 18$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$-3x$	=	$12$	|:($-3$)
$x$	=	$-4$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& $ -4$& & & \text{(I)}\\ -3x& +3y& =& $ 18$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $-4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·\left(-4\right)+3y$	=	$18$
$12+3y$	=	$18$
$3y+12$	=	$18$	| $-12$
$3y$	=	$6$	|:$3$
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $-4$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& -3y& =& $ -7$& & & \text{(I)}\\ -3x& -3y& =& $ -27$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}x& -3y& =& $ -7$& & & \text{(I)}\\ -3x& -3y& =& $ -27$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x-3y$	=	$-7$	| $+3y$
$x$	=	$-7+3y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(-7+3y\right)& & & \text{(I)}\\ -3x& -3y& =& $ -27$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $-7+3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·\left(-7+3y\right)-3y$	=	$-27$
$21-9y-3y$	=	$-27$
$-12y+21$	=	$-27$	| $-21$
$-12y$	=	$-48$	|:($-12$)
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $-7+3\cdot 4$

= $-7+12$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}5x& -5y& =& $ -5$& & & \text{(I)}\\ x& +5y& =& $ 17$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}5x& -5y& =& $ -5$& & & \text{(I)}\\ x& +5y& =& $ 17$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+5y$	=	$17$	| $-5y$
$x$	=	$17-5y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}5x& -5y& =& $ -5$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(17-5y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $17-5y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5·\left(17-5y\right)-5y$	=	$-5$
$85-25y-5y$	=	$-5$
$-30y+85$	=	$-5$	| $-85$
$-30y$	=	$-90$	|:($-30$)
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $17-5\cdot 3$

= $17-15$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-x& +3y& =& $ 6$& & & \text{(I)}\\ 2x& -\frac{1}{2}y& =& $ -\frac{13}{2}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-x& +3y& =& $ 6$& & & \text{(I)}\\ 2x& -\frac{1}{2}y& =& $ -\frac{13}{2}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$-x+3y$	=	$6$	| $-3y$
$-x$	=	$6-3y$	|:($-1$)
$x$	=	$-6+3y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(-6+3y\right)& & & \text{(I)}\\ 2x& -\frac{1}{2}y& =& $ -\frac{13}{2}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $-6+3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(-6+3y\right)-\frac{1}{2}y$	=	$-\frac{13}{2}$
$-12+6y-\frac{1}{2}y$	=	$-\frac{13}{2}$
$\frac{11}{2}y-12$	=	$-\frac{13}{2}$	|⋅ 2
$2\left(\frac{11}{2}y-12\right)$	=	$-13$
$11y-24$	=	$-13$	| $+24$
$11y$	=	$11$	|:$11$
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $-6+3\cdot 1$

= $-6+3$

= $-3$

also

x = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -5 und y = 5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x -2y = ?

-1x -3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = 5 einsetzen und ausrechnen:

-2x -2y = 10 -10 = 0

-1x -3y = 5 -15 = -10

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x -2y = 0

-1x -3y = -10

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}2x& -y& =& $ 1$& & & \text{(I)}\\ -4x& +2y& =& $ -2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}2x& -y& =& $ 1$& & & \text{(I)}\\ -4x& +2y& =& $ -2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$2x-y$	=	$1$
$-y+2x$	=	$1$	| $-2x$
$-y$	=	$1-2x$	|:($-1$)
$y$	=	$-1+2x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-1+2x\right)& & & \text{(I)}\\ -4x& +2y& =& $ -2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-1+2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-4x+2·\left(-1+2x\right)$	=	$-2$
$-4x-2+4x$	=	$-2$
$-2$	=	$-2$	| $+2$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 3-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 10. Wenn man aber vom 3-fachen von x 6 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 0. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& +3y& =& $ 10$& & & \text{(I)}\\ 3x& -6y& =& $ 0$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+3y$	=	$10$	| $-3y$
$x$	=	$10-3y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(10-3y\right)& & & \text{(I)}\\ 3x& -6y& =& $ 0$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $10-3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(10-3y\right)-6y$	=	0
$30-9y-6y$	=	0
$-15y+30$	=	0	| $-30$
$-15y$	=	$-30$	|:($-15$)
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $10-3\cdot 2$

= $10-6$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|2)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 4

y (y-Wert): 2