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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-x-y$ = $-4$.

Bestimme x so, dass (x|1) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 1 in die Gleichung ein und erhält:

$-x-1$ = $-4$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$-x-1$	=	$-4$
$-x-1$	=	$-4$	| $+1$
$-x$	=	$-3$	|:($-1$)
$x$	=	$3$

Die Lösung ist somit: (3|1)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4x-4y$ = $32$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (3|-5)
denn 4⋅3 -4⋅( - 5 ) = 12 +20 = $32$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-1|-9)
denn 4⋅( - 1 ) -4⋅( - 9 ) = -4 +36 = $32$

Oder : (7|-1)
denn 4⋅7 -4⋅( - 1 ) = 28 +4 = $32$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-3x& +y& =& $ 0$& & & \text{(I)}\\ 2x& & =& $ 4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-3x& +y& =& $ 0$& & & \text{(I)}\\ 2x& & =& $ 4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$2x$	=	$4$	|:$2$
$x$	=	$2$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-3x& +y& =& $ 0$& & & \text{(I)}\\ x& & =& $ 2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $2$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·2+y$	=	0
$-6+y$	=	0
$y-6$	=	0	| $+6$
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $2$

Die Lösung des LGS ist damit: (2|6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& -2y& =& $ 1$& & & \text{(I)}\\ -x& -y& =& $ 5$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}x& -2y& =& $ 1$& & & \text{(I)}\\ -x& -y& =& $ 5$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$-x-y$	=	$5$
$-y-x$	=	$5$	| $+x$
$-y$	=	$5+x$	|:($-1$)
$y$	=	$-5-x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& -2y& =& $ 1$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& \left(-5-x\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-5-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x-2·\left(-5-x\right)$	=	$1$
$x+10+2x$	=	$1$
$3x+10$	=	$1$	| $-10$
$3x$	=	$-9$	|:$3$
$x$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-5-\left(-3\right)$

= $-5+3$

= $-2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-5x& -5y& =& $ -50$& & & \text{(I)}\\ -4x& -3y& =& $ -36$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-5x& -5y& =& $ -50$& & & \text{(I)}\\ -4x& -3y& =& $ -36$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$-5x-5y$	=	$-50$
$-5y-5x$	=	$-50$	| $+5x$
$-5y$	=	$-50+5x$	|:($-5$)
$y$	=	$10-x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(10-x\right)& & & \text{(I)}\\ -4x& -3y& =& $ -36$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $10-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-4x-3·\left(10-x\right)$	=	$-36$
$-4x-30+3x$	=	$-36$
$-x-30$	=	$-36$	| $+30$
$-x$	=	$-6$	|:($-1$)
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $10-6$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (6|4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}\frac{1}{5}x& -\frac{1}{5}y& =& $ -\frac{2}{5}$& & & \text{(I)}\\ -x& -\frac{1}{2}y& =& $ -\frac{5}{2}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}\frac{1}{5}x& -\frac{1}{5}y& =& $ -\frac{2}{5}$& & & \text{(I)}\\ -x& -\frac{1}{2}y& =& $ -\frac{5}{2}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$-x-\frac{1}{2}y$	=	$-\frac{5}{2}$	|⋅ 2
$2\left(-x-\frac{1}{2}y\right)$	=	$-5$
$-2x-y$	=	$-5$	| $+y$
$-2x$	=	$-5+y$	|:($-2$)
$x$	=	$\frac{5}{2}-\frac{1}{2}y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}\frac{1}{5}x& -\frac{1}{5}y& =& $ -\frac{2}{5}$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(\frac{5}{2}-\frac{1}{2}y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $\frac{5}{2}-\frac{1}{2}y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$\frac{1}{5}·\left(\frac{5}{2}-\frac{1}{2}y\right)-\frac{1}{5}y$	=	$-\frac{2}{5}$
$\frac{1}{2}-\frac{1}{10}y-\frac{1}{5}y$	=	$-\frac{2}{5}$
$-\frac{3}{10}y+\frac{1}{2}$	=	$-\frac{2}{5}$	|⋅ 10
$10\left(-\frac{3}{10}y+\frac{1}{2}\right)$	=	$-4$
$-3y+5$	=	$-4$	| $-5$
$-3y$	=	$-9$	|:($-3$)
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $\frac{5}{2}-\frac{1}{2}\cdot 3$

= $\frac{5}{2}-\frac{3}{2}$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 5 und y = -5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

4x -5y = ?

2x -4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:

4x -5y = 20 +25 = 45

2x -4y = 10 +20 = 30

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

4x -5y = 45

2x -4y = 30

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}3x& -y& =& $ -21$& & & \text{(I)}\\ 3x& +y& =& $ -15$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}3x& -y& =& $ -21$& & & \text{(I)}\\ 3x& +y& =& $ -15$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$3x+y$	=	$-15$
$y+3x$	=	$-15$	| $-3x$
$y$	=	$-15-3x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}3x& -y& =& $ -21$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& \left(-15-3x\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-15-3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x-1·\left(-15-3x\right)$	=	$-21$
$3x+15+3x$	=	$-21$
$6x+15$	=	$-21$	| $-15$
$6x$	=	$-36$	|:$6$
$x$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-15-3\cdot \left(-6\right)$

= $-15+18$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|3)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 4 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 4 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 80 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 3 LED-Leuchtmittel und 6 Halogenleuchten zusammen 105 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}4x& +4y& =& $ 80$& & & \text{(I)}\\ 3x& +6y& =& $ 105$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4x+4y$	=	$80$
$4y+4x$	=	$80$	| $-4x$
$4y$	=	$80-4x$	|:$4$
$y$	=	$20-x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(20-x\right)& & & \text{(I)}\\ 3x& +6y& =& $ 105$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $20-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x+6·\left(20-x\right)$	=	$105$
$3x+120-6x$	=	$105$
$-3x+120$	=	$105$	| $-120$
$-3x$	=	$-15$	|:($-3$)
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $20-5$

= $15$

also

y = 15

Die Lösung des LGS ist damit: (5|15)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 5

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 15