• Klasse 5
  • Daten
  • Natürliche Zahlen
    • Zahlenstrahl
    • Große Zahlen im Zehnersystem
    • Runden von Zahlen
    • Zahlensysteme
    • Grundrechenarten
      • Kopfrechnen
      • Schriftlich
    • Rechenregeln
      • Klammern
      • Punkt vor Strich
      • Rechenreihenfolge
      • Potenzen
      • Ausmultiplizieren, Ausklammern
  • Geometrie
    • Koordinatensystem
    • Abstände
    • Symmetrische Figuren
    • Vierecke
    • Kreis
    • Winkel
    • Flächen
  • Sachrechnen
    • Geld
    • Zeit
    • Gewicht
    • Länge
    • Maßstab
• Klasse 6
  • Brüche und Bruchrechnen
    • Teilbarkeit
    • Bruchverständnis
    • Erweitern und Kürzen
    • Brüche vergleichen und ordnen
    • Brüche und Größen
    • Addieren und Subtrahieren
    • Multiplizieren
    • Dividieren
    • Punkt vor Strich. Klammern
  • Dezimalzahlen
    • Dezimalschreibweise
    • Vergleichen und Ordnen
    • Runden
    • Wechsel der Darstellung
    • Addieren und Subtrahieren
    • Multiplizieren und Dividieren
    • Verbindung der Rechenarten
  • Terme und Gleichungen
    • Terme mit Variablen
    • Gleichungen
  • Zuordnungen
    • proportionale Zuordnung
    • Dreisatz
  • Rationale Zahlen
    • Zahlenstrahl
    • vergleichen und ordnen
    • Zunahme und Abnahme
    • Koordinatensystem
  • Geometrie
    • Körper
  • Daten
• Klasse 7
  • Rationale Zahlen
    • vergleichen und ordnen
    • Strichrechnung
    • Punktrechnung
    • Rechenregeln
    • Zahlterme
    • Kombi-Aufgaben
    • negative Brüche
  • Geometrie
    • Winkel
      • an Parallelen
      • Winkelsumme
      • gleichschenkl. Dr.
      • Thaleskreis
    • Dreiecke konstruieren
    • In- und Umkreis
    • Vierecke
  • Algebra
    • Terme
    • lineare Gleichungen
  • Dreisatz, (anti)proportional
    • Antiproportionale Zuordnung
    • Proportionale Zuordnung
  • Prozentrechnung
    • Prozentsatz bestimmen
    • Prozentwert bestimmen
    • Grundwert bestimmen
  • Wahrscheinlichkeit / Daten
• Klasse 8
  • Terme
    • Ausmultiplizieren, Ausklammern
    • Binomische Formeln
    • Terme einsetzen
    • Terme aufstellen
    • Terme vereinfachen
  • Bruchgleichungen
  • Geometrie
    • Umfang und Flächeninhalt
    • Körper
  • Lineare Funktionen
  • LGS
  • Prozent- und Zinsrechnung
    • Prozentsatz, -wert, Grundwert
    • Vermehrter / verminderter Grundwert
    • Zinsrechnen (Zinseszinsen)
  • Daten / Boxplots
• Klasse 9
  • Algebra
    • Potenzen
    • Wurzeln
      • Quadratwurzeln ohne WTR
      • Rechnen mit Quadratwurzeln
        • Teilweises Wurzelziehen
      • Kubikwurzel
    • Quadratische Gleichungen
      • Bruchgleichungen
      • rein quadratische Gleichungen
      • gemischt quadratische Gleichungen
        • Nullprodukt
        • Lösungsformel
        • quadratische Ergänzung
      • Ungleichungen
      • Wurzelgleichungen
    • lineare Bruchgleichungen
  • Geometrie
    • Ähnlichkeit u. zentrische Streckung
    • Stahlensätze
      • 1. Strahlensatz
      • 2. Strahlensatz
    • Satz des Pythagoras
      • Grundaufgaben
      • in ebenen Figuren
      • in Körpern
    • Kreise
      • Umfang und Fläche
      • Kreisausschnitte
      • Anwendungen
    • Körper
      • Prismen
      • Zylinder
      • Pyramiden
  • Lineare und quadratische Funktionen
    • Lineare Funktionen
    • Quadratische Funktionen
      • Normalparabel
      • Streckung
      • Scheitelform, Termbestimmung
      • Nullstellen, Schnittpunkte
      • Modellieren
  • Zufall und Wahrscheinlichkeit
    • Kombinatorik
    • Einstufige Zufallsexperimente
• Klasse 10
  • Trigonometrie
    • am rechtwinkligen Dreieck
    • am allgemeinen Dreieck
    • Anwendungen
    • im Raum
    • am Einheitskreis
    • Bogenmaß/Funktionen
  • Algebra
    • Zehnerpotenzen
    • Potenzgesetze
    • Potenzen mit rationalen Hochzahlen
    • Exponentialrechnung
      • Zinsen, Zinseszinsen
      • Exponentielle(s) Wachstum / Abnahme
      • Logarithmus
  • Geometrie
    • Kegel
    • Kugel
    • Zusammengesetzte Körper
  • Zufall und Wahrscheinlichkeit
    • Erwartungswert
    • Zufallsexperimente mit Zurücklegen
    • Zufallsexperimente ohne Zurücklegen
• Fit für die Oberstufe
  • Potenzfunktionen
  • Exponentialfunktion
  • Vier-Felder-Tafel

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-4x+2y$ = $32$.

Bestimme y so, dass (-5|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -5 in die Gleichung ein und erhält:

$-4\cdot \left(-5\right)+2y$ = $32$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$-4\cdot \left(-5\right)+2y$	=	$32$
$20+2y$	=	$32$
$2y+20$	=	$32$	| $-20$
$2y$	=	$12$	|:$2$
$y$	=	$6$

Die Lösung ist somit: (-5|6)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5x+4y$ = $-46$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-6|-4)
denn 5⋅( - 6 ) +4⋅( - 4 ) = -30 -16 = $-46$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-2|-9)
denn 5⋅( - 2 ) +4⋅( - 9 ) = -10 -36 = $-46$

Oder : (-10|1)
denn 5⋅( - 10 ) +4⋅1 = -50 +4 = $-46$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}3x& +2y& =& $ -11$& & & \text{(I)}\\ -3x& & =& $ 9$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}3x& +2y& =& $ -11$& & & \text{(I)}\\ -3x& & =& $ 9$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$-3x$	=	$9$	|:($-3$)
$x$	=	$-3$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}3x& +2y& =& $ -11$& & & \text{(I)}\\ x& & =& $ -3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $-3$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(-3\right)+2y$	=	$-11$
$-9+2y$	=	$-11$
$2y-9$	=	$-11$	| $+9$
$2y$	=	$-2$	|:$2$
$y$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $-3$

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& +4y& =& $ 0$& & & \text{(I)}\\ -3x& -y& =& $ -11$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}x& +4y& =& $ 0$& & & \text{(I)}\\ -3x& -y& =& $ -11$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$-3x-y$	=	$-11$
$-y-3x$	=	$-11$	| $+3x$
$-y$	=	$-11+3x$	|:($-1$)
$y$	=	$11-3x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& +4y& =& $ 0$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& \left(11-3x\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $11-3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x+4·\left(11-3x\right)$	=	0
$x+44-12x$	=	0
$-11x+44$	=	0	| $-44$
$-11x$	=	$-44$	|:($-11$)
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $11-3\cdot 4$

= $11-12$

= $-1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-2x& +y& =& $ 2$& & & \text{(I)}\\ -x& -4y& =& $ -17$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-2x& +y& =& $ 2$& & & \text{(I)}\\ -x& -4y& =& $ -17$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$-x-4y$	=	$-17$	| $+4y$
$-x$	=	$-17+4y$	|:($-1$)
$x$	=	$17-4y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-2x& +y& =& $ 2$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(17-4y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $17-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-2·\left(17-4y\right)+y$	=	$2$
$-34+8y+y$	=	$2$
$9y-34$	=	$2$	| $+34$
$9y$	=	$36$	|:$9$
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $17-4\cdot 4$

= $17-16$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$1+5y$	=	$-2x+1$			(I)
$-x-1-2y$	=	0			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$1+5y$	=	$-2x+1$	| $-1+2x$		(I)
$-x-1-2y$	=	0	| + $1$		(II)

$\begin{array}{ccccccc}2x& +5y& =& $ 0$& & & \text{(I)}\\ -x& -2y& =& $ 1$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$-x-2y$	=	$1$	| $+2y$
$-x$	=	$1+2y$	|:($-1$)
$x$	=	$-1-2y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}2x& +5y& =& $ 0$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(-1-2y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-1-2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(-1-2y\right)+5y$	=	0
$-2-4y+5y$	=	0
$y-2$	=	0	| $+2$
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-1-2\cdot 2$

= $-1-4$

= $-5$

also

x = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 4 und y = 2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x +3y = ?

-1x +1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 4 und y = 2 einsetzen und ausrechnen:

-2x +3y = -8 +6 = -2

-1x +1y = -4 +2 = -2

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x +3y = -2

-1x +1y = -2

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}x& +5y& =& $ 26$& & & \text{(I)}\\ -2x& -5y& =& $ -32$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}x& +5y& =& $ 26$& & & \text{(I)}\\ -2x& -5y& =& $ -32$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+5y$	=	$26$	| $-5y$
$x$	=	$26-5y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(26-5y\right)& & & \text{(I)}\\ -2x& -5y& =& $ -32$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $26-5y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-2·\left(26-5y\right)-5y$	=	$-32$
$-52+10y-5y$	=	$-32$
$5y-52$	=	$-32$	| $+52$
$5y$	=	$20$	|:$5$
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $26-5\cdot 4$

= $26-20$

= $6$

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|4)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 3-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 10. Wenn man aber vom 3-fachen von x 7 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -2. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& +3y& =& $ 10$& & & \text{(I)}\\ 3x& -7y& =& $ -2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+3y$	=	$10$	| $-3y$
$x$	=	$10-3y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(10-3y\right)& & & \text{(I)}\\ 3x& -7y& =& $ -2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $10-3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(10-3y\right)-7y$	=	$-2$
$30-9y-7y$	=	$-2$
$-16y+30$	=	$-2$	| $-30$
$-16y$	=	$-32$	|:($-16$)
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $10-3\cdot 2$

= $10-6$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|2)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 4

y (y-Wert): 2