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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-2x-4y$ = $16$.

Bestimme y so, dass (0|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 0 in die Gleichung ein und erhält:

$-2\cdot 0-4y$ = $16$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$-2\cdot 0-4y$	=	$16$
$-4y$	=	$16$	|:($-4$)
$y$	=	$-4$

Die Lösung ist somit: (0|-4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-5x+3y$ = $-27$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (3|-4)
denn -5⋅3 +3⋅( - 4 ) = -15 -12 = $-27$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (6|1)
denn -5⋅6 +3⋅1 = -30 +3 = $-27$

Oder : (0|-9)
denn -5⋅0 +3⋅( - 9 ) = 0 -27 = $-27$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-x& & =& $ -2$& & & \text{(I)}\\ -x& -2y& =& $ -6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-x& & =& $ -2$& & & \text{(I)}\\ -x& -2y& =& $ -6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$-x$	=	$-2$	|:($-1$)
$x$	=	$2$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& $ 2$& & & \text{(I)}\\ -x& -2y& =& $ -6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $2$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$-1·2-2y$	=	$-6$
$-2-2y$	=	$-6$
$-2y-2$	=	$-6$	| $+2$
$-2y$	=	$-4$	|:($-2$)
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $2$

Die Lösung des LGS ist damit: (2|2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& -2y& =& $ 5$& & & \text{(I)}\\ -x& +4y& =& $ -15$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}x& -2y& =& $ 5$& & & \text{(I)}\\ -x& +4y& =& $ -15$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$-x+4y$	=	$-15$	| $-4y$
$-x$	=	$-15-4y$	|:($-1$)
$x$	=	$15+4y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& -2y& =& $ 5$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(15+4y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $15+4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1·\left(15+4y\right)-2y$	=	$5$
$15+4y-2y$	=	$5$
$2y+15$	=	$5$	| $-15$
$2y$	=	$-10$	|:$2$
$y$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $15+4\cdot \left(-5\right)$

= $15-20$

= $-5$

also

x = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-3x& +2y& =& $ 6$& & & \text{(I)}\\ -4x& -4y& =& $ 48$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-3x& +2y& =& $ 6$& & & \text{(I)}\\ -4x& -4y& =& $ 48$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$-3x+2y$	=	$6$
$2y-3x$	=	$6$	| $+3x$
$2y$	=	$6+3x$	|:$2$
$y$	=	$3+\frac{3}{2}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(3+\frac{3}{2}x\right)& & & \text{(I)}\\ -4x& -4y& =& $ 48$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $3+\frac{3}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-4x-4·\left(3+\frac{3}{2}x\right)$	=	$48$
$-4x-12-6x$	=	$48$
$-10x-12$	=	$48$	| $+12$
$-10x$	=	$60$	|:($-10$)
$x$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $3+\frac{3}{2}\cdot \left(-6\right)$

= $3-9$

= $-6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-6)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-\frac{1}{5}x& -\frac{1}{5}y& =& $ \frac{1}{5}$& & & \text{(I)}\\ -\frac{2}{3}x& -y& =& $ \frac{5}{3}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-\frac{1}{5}x& -\frac{1}{5}y& =& $ \frac{1}{5}$& & & \text{(I)}\\ -\frac{2}{3}x& -y& =& $ \frac{5}{3}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$-\frac{2}{3}x-y$	=	$\frac{5}{3}$
$-y-\frac{2}{3}x$	=	$\frac{5}{3}$	|⋅ 3
$3\left(-y-\frac{2}{3}x\right)$	=	$5$
$-3y-2x$	=	$5$	| $+2x$
$-3y$	=	$5+2x$	|:($-3$)
$y$	=	$-\frac{5}{3}-\frac{2}{3}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-\frac{1}{5}x& -\frac{1}{5}y& =& $ \frac{1}{5}$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& \left(-\frac{5}{3}-\frac{2}{3}x\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-\frac{5}{3}-\frac{2}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-\frac{1}{5}x-\frac{1}{5}·\left(-\frac{5}{3}-\frac{2}{3}x\right)$	=	$\frac{1}{5}$
$-\frac{1}{5}x+\frac{1}{3}+\frac{2}{15}x$	=	$\frac{1}{5}$
$-\frac{1}{15}x+\frac{1}{3}$	=	$\frac{1}{5}$	|⋅ 15
$15\left(-\frac{1}{15}x+\frac{1}{3}\right)$	=	$3$
$-x+5$	=	$3$	| $-5$
$-x$	=	$-2$	|:($-1$)
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-\frac{5}{3}-\frac{2}{3}\cdot 2$

= $-\frac{5}{3}-\frac{4}{3}$

= $-3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -4 und y = 2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x -2y = ?

1x +4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = 2 einsetzen und ausrechnen:

-2x -2y = 8 -4 = 4

1x +4y = -4 +8 = 4

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x -2y = 4

1x +4y = 4

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}4x& -4y& =& $ -9$& & & \text{(I)}\\ -x& +y& =& $ 3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}4x& -4y& =& $ -9$& & & \text{(I)}\\ -x& +y& =& $ 3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$-x+y$	=	$3$
$y-x$	=	$3$	| $+x$
$y$	=	$3+x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}4x& -4y& =& $ -9$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& \left(3+x\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $3+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x-4·\left(3+x\right)$	=	$-9$
$4x-12-4x$	=	$-9$
$-12$	=	$-9$	| $+12$
0	=	$3$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 3 Stunden wandern. Danach hat sie 4 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 740 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 5 Stunden wandern und hat 5 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 1300 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}3x& -4y& =& $ 740$& & & \text{(I)}\\ 5x& -5y& =& $ 1300$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3x-4y$	=	$740$
$-4y+3x$	=	$740$	| $-3x$
$-4y$	=	$740-3x$	|:($-4$)
$y$	=	$-185+\frac{3}{4}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-185+\frac{3}{4}x\right)& & & \text{(I)}\\ 5x& -5y& =& $ 1300$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-185+\frac{3}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5x-5·\left(-185+\frac{3}{4}x\right)$	=	$1300$
$5x+925-\frac{15}{4}x$	=	$1300$
$\frac{5}{4}x+925$	=	$1300$	|⋅ 4
$4\left(\frac{5}{4}x+925\right)$	=	$5200$
$5x+3700$	=	$5200$	| $-3700$
$5x$	=	$1500$	|:$5$
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-185+\frac{3}{4}\cdot 300$

= $-185+225$

= $40$

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (300|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 40