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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2x-y$ = $-12$.

Bestimme x so, dass (x|6) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 6 in die Gleichung ein und erhält:

$2x-6$ = $-12$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$2x-6$	=	$-12$
$2x-6$	=	$-12$	| $+6$
$2x$	=	$-6$	|:$2$
$x$	=	$-3$

Die Lösung ist somit: (-3|6)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-x+2y$ = $-5$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-1|-3)
denn -1⋅( - 1 ) +2⋅( - 3 ) = 1 -6 = $-5$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (1|-2)
denn -1⋅1 +2⋅( - 2 ) = -1 -4 = $-5$

Oder : (-3|-4)
denn -1⋅( - 3 ) +2⋅( - 4 ) = 3 -8 = $-5$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}& +4y& =& $ -12$& & & \text{(I)}\\ -4x& -4y& =& $ 24$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}& +4y& =& $ -12$& & & \text{(I)}\\ -4x& -4y& =& $ 24$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$4y$	=	$-12$	|:$4$
$y$	=	$-3$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& $ -3$& & & \text{(I)}\\ -4x& -4y& =& $ 24$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $-3$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-4x-4·\left(-3\right)$	=	$24$
$-4x+12$	=	$24$	| $-12$
$-4x$	=	$12$	|:($-4$)
$x$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $-3$

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-3x& +4y& =& $ 4$& & & \text{(I)}\\ 3x& +y& =& $ 16$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-3x& +4y& =& $ 4$& & & \text{(I)}\\ 3x& +y& =& $ 16$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$3x+y$	=	$16$
$y+3x$	=	$16$	| $-3x$
$y$	=	$16-3x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-3x& +4y& =& $ 4$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& \left(16-3x\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $16-3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x+4·\left(16-3x\right)$	=	$4$
$-3x+64-12x$	=	$4$
$-15x+64$	=	$4$	| $-64$
$-15x$	=	$-60$	|:($-15$)
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $16-3\cdot 4$

= $16-12$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-2x& +2y& =& $ -2$& & & \text{(I)}\\ 3x& -5y& =& $ 7$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-2x& +2y& =& $ -2$& & & \text{(I)}\\ 3x& -5y& =& $ 7$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$-2x+2y$	=	$-2$
$2y-2x$	=	$-2$	| $+2x$
$2y$	=	$-2+2x$	|:$2$
$y$	=	$-1+x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-1+x\right)& & & \text{(I)}\\ 3x& -5y& =& $ 7$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-1+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x-5·\left(-1+x\right)$	=	$7$
$3x+5-5x$	=	$7$
$-2x+5$	=	$7$	| $-5$
$-2x$	=	$2$	|:($-2$)
$x$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-1-1$

= $-2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}2x& -2y& =& $ -10$& & & \text{(I)}\\ -\frac{2}{5}x& -\frac{1}{2}y& =& $ -\frac{5}{2}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}2x& -2y& =& $ -10$& & & \text{(I)}\\ -\frac{2}{5}x& -\frac{1}{2}y& =& $ -\frac{5}{2}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2x-2y$	=	$-10$
$-2y+2x$	=	$-10$	| $-2x$
$-2y$	=	$-10-2x$	|:($-2$)
$y$	=	$5+x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(5+x\right)& & & \text{(I)}\\ -\frac{2}{5}x& -\frac{1}{2}y& =& $ -\frac{5}{2}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $5+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-\frac{2}{5}x-\frac{1}{2}·\left(5+x\right)$	=	$-\frac{5}{2}$
$-\frac{2}{5}x-\frac{5}{2}-\frac{1}{2}x$	=	$-\frac{5}{2}$
$-\frac{9}{10}x-\frac{5}{2}$	=	$-\frac{5}{2}$	|⋅ 10
$10\left(-\frac{9}{10}x-\frac{5}{2}\right)$	=	$-25$
$-9x-25$	=	$-25$	| $+25$
$-9x$	=	0	|:($-9$)
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $5+0$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (0|5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -3 und y = 3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x -5y = ?

-7x -4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = 3 einsetzen und ausrechnen:

-5x -5y = 15 -15 = 0

-7x -4y = 21 -12 = 9

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x -5y = 0

-7x -4y = 9

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}2x& +y& =& $ 3$& & & \text{(I)}\\ -4x& -2y& =& $ -6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}2x& +y& =& $ 3$& & & \text{(I)}\\ -4x& -2y& =& $ -6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$2x+y$	=	$3$
$y+2x$	=	$3$	| $-2x$
$y$	=	$3-2x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(3-2x\right)& & & \text{(I)}\\ -4x& -2y& =& $ -6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $3-2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-4x-2·\left(3-2x\right)$	=	$-6$
$-4x-6+4x$	=	$-6$
$-6$	=	$-6$	| $+6$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 2-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 14. Wenn man aber vom 2-fachen von x 2 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -2. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& +2y& =& $ 14$& & & \text{(I)}\\ 2x& -2y& =& $ -2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+2y$	=	$14$	| $-2y$
$x$	=	$14-2y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(14-2y\right)& & & \text{(I)}\\ 2x& -2y& =& $ -2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $14-2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(14-2y\right)-2y$	=	$-2$
$28-4y-2y$	=	$-2$
$-6y+28$	=	$-2$	| $-28$
$-6y$	=	$-30$	|:($-6$)
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $14-2\cdot 5$

= $14-10$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|5)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 4

y (y-Wert): 5