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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x-3y$ = $-8$.

Bestimme x so, dass (x|4) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 4 in die Gleichung ein und erhält:

$x-3\cdot 4$ = $-8$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$x-3\cdot 4$	=	$-8$
$x-12$	=	$-8$	| $+12$
$x$	=	$4$

Die Lösung ist somit: (4|4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-5x-4y$ = $7$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-7|7)
denn -5⋅( - 7 ) -4⋅7 = 35 -28 = $7$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-11|12)
denn -5⋅( - 11 ) -4⋅12 = 55 -48 = $7$

Oder : (-3|2)
denn -5⋅( - 3 ) -4⋅2 = 15 -8 = $7$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-2x& -y& =& $ 10$& & & \text{(I)}\\ & +2y& =& $ -4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-2x& -y& =& $ 10$& & & \text{(I)}\\ & +2y& =& $ -4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$2y$	=	$-4$	|:$2$
$y$	=	$-2$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-2x& -y& =& $ 10$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& $ -2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $-2$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x-1·\left(-2\right)$	=	$10$
$-2x+2$	=	$10$	| $-2$
$-2x$	=	$8$	|:($-2$)
$x$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $-2$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-2x& +y& =& $ -5$& & & \text{(I)}\\ x& +4y& =& $ 25$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-2x& +y& =& $ -5$& & & \text{(I)}\\ x& +4y& =& $ 25$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+4y$	=	$25$	| $-4y$
$x$	=	$25-4y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-2x& +y& =& $ -5$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(25-4y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $25-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-2·\left(25-4y\right)+y$	=	$-5$
$-50+8y+y$	=	$-5$
$9y-50$	=	$-5$	| $+50$
$9y$	=	$45$	|:$9$
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $25-4\cdot 5$

= $25-20$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}4x& -4y& =& $ -8$& & & \text{(I)}\\ -x& -4y& =& $ 7$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}4x& -4y& =& $ -8$& & & \text{(I)}\\ -x& -4y& =& $ 7$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$-x-4y$	=	$7$	| $+4y$
$-x$	=	$7+4y$	|:($-1$)
$x$	=	$-7-4y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}4x& -4y& =& $ -8$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(-7-4y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-7-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4·\left(-7-4y\right)-4y$	=	$-8$
$-28-16y-4y$	=	$-8$
$-20y-28$	=	$-8$	| $+28$
$-20y$	=	$20$	|:($-20$)
$y$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-7-4\cdot \left(-1\right)$

= $-7+4$

= $-3$

also

x = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}\frac{3}{2}x& +y& =& $ \frac{17}{2}$& & & \text{(I)}\\ \frac{1}{5}x& -\frac{1}{3}y& =& $ -\frac{11}{15}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}\frac{3}{2}x& +y& =& $ \frac{17}{2}$& & & \text{(I)}\\ \frac{1}{5}x& -\frac{1}{3}y& =& $ -\frac{11}{15}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$\frac{3}{2}x+y$	=	$\frac{17}{2}$
$y+\frac{3}{2}x$	=	$\frac{17}{2}$	|⋅ 2
$2\left(y+\frac{3}{2}x\right)$	=	$17$
$2y+3x$	=	$17$	| $-3x$
$2y$	=	$17-3x$	|:$2$
$y$	=	$\frac{17}{2}-\frac{3}{2}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(\frac{17}{2}-\frac{3}{2}x\right)& & & \text{(I)}\\ \frac{1}{5}x& -\frac{1}{3}y& =& $ -\frac{11}{15}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{17}{2}-\frac{3}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{1}{5}x-\frac{1}{3}·\left(\frac{17}{2}-\frac{3}{2}x\right)$	=	$-\frac{11}{15}$
$\frac{1}{5}x-\frac{17}{6}+\frac{1}{2}x$	=	$-\frac{11}{15}$
$\frac{7}{10}x-\frac{17}{6}$	=	$-\frac{11}{15}$	|⋅ 30
$30\left(\frac{7}{10}x-\frac{17}{6}\right)$	=	$-22$
$21x-85$	=	$-22$	| $+85$
$21x$	=	$63$	|:$21$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{17}{2}-\frac{3}{2}\cdot 3$

= $\frac{17}{2}-\frac{9}{2}$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (3|4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 5 und y = -5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x +4y = ?

-4x +6y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:

-2x +4y = -10 -20 = -30

-4x +6y = -20 -30 = -50

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x +4y = -30

-4x +6y = -50

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}2x& +4y& =& $ 20$& & & \text{(I)}\\ -2x& +4y& =& $ 12$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}2x& +4y& =& $ 20$& & & \text{(I)}\\ -2x& +4y& =& $ 12$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2x+4y$	=	$20$
$4y+2x$	=	$20$	| $-2x$
$4y$	=	$20-2x$	|:$4$
$y$	=	$5-\frac{1}{2}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(5-\frac{1}{2}x\right)& & & \text{(I)}\\ -2x& +4y& =& $ 12$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $5-\frac{1}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x+4·\left(5-\frac{1}{2}x\right)$	=	$12$
$-2x+20-2x$	=	$12$
$-4x+20$	=	$12$	| $-20$
$-4x$	=	$-8$	|:($-4$)
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $5-\frac{1}{2}\cdot 2$

= $5-1$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (2|4)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 8 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 8 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 168 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 8 LED-Leuchtmittel und 3 Halogenleuchten zusammen 93 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}8x& +8y& =& $ 168$& & & \text{(I)}\\ 8x& +3y& =& $ 93$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$8x+8y$	=	$168$
$8y+8x$	=	$168$	| $-8x$
$8y$	=	$168-8x$	|:$8$
$y$	=	$21-x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(21-x\right)& & & \text{(I)}\\ 8x& +3y& =& $ 93$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $21-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$8x+3·\left(21-x\right)$	=	$93$
$8x+63-3x$	=	$93$
$5x+63$	=	$93$	| $-63$
$5x$	=	$30$	|:$5$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $21-6$

= $15$

also

y = 15

Die Lösung des LGS ist damit: (6|15)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 6

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 15