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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3x-5y$ = $4$.

Bestimme y so, dass (3|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 3 in die Gleichung ein und erhält:

$3\cdot 3-5y$ = $4$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$3\cdot 3-5y$	=	$4$
$9-5y$	=	$4$
$-5y+9$	=	$4$	| $-9$
$-5y$	=	$-5$	|:($-5$)
$y$	=	$1$

Die Lösung ist somit: (3|1)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-x-4y$ = $-1$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (5|-1)
denn -1⋅5 -4⋅( - 1 ) = -5 +4 = $-1$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (1|0)
denn -1⋅1 -4⋅0 = -1 +0 = $-1$

Oder : (9|-2)
denn -1⋅9 -4⋅( - 2 ) = -9 +8 = $-1$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& +y& =& $ 7$& & & \text{(I)}\\ & +2y& =& $ 10$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}x& +y& =& $ 7$& & & \text{(I)}\\ & +2y& =& $ 10$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$2y$	=	$10$	|:$2$
$y$	=	$5$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& +y& =& $ 7$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& $ 5$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $5$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$x+1·5$	=	$7$
$x+5$	=	$7$	| $-5$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $5$

Die Lösung des LGS ist damit: (2|5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& -4y& =& $ -8$& & & \text{(I)}\\ x& -3y& =& $ -7$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}x& -4y& =& $ -8$& & & \text{(I)}\\ x& -3y& =& $ -7$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x-3y$	=	$-7$	| $+3y$
$x$	=	$-7+3y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& -4y& =& $ -8$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(-7+3y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-7+3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1·\left(-7+3y\right)-4y$	=	$-8$
$-7+3y-4y$	=	$-8$
$-y-7$	=	$-8$	| $+7$
$-y$	=	$-1$	|:($-1$)
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-7+3\cdot 1$

= $-7+3$

= $-4$

also

x = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-5x& +5y& =& $ -10$& & & \text{(I)}\\ 4x& -5y& =& $ 7$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-5x& +5y& =& $ -10$& & & \text{(I)}\\ 4x& -5y& =& $ 7$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$-5x+5y$	=	$-10$
$5y-5x$	=	$-10$	| $+5x$
$5y$	=	$-10+5x$	|:$5$
$y$	=	$-2+x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-2+x\right)& & & \text{(I)}\\ 4x& -5y& =& $ 7$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-2+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x-5·\left(-2+x\right)$	=	$7$
$4x+10-5x$	=	$7$
$-x+10$	=	$7$	| $-10$
$-x$	=	$-3$	|:($-1$)
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-2+3$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (3|1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$3\left(-x+1\right)$	=	$2y$			(I)
$2(2-y)$	=	$2x$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$3\left(-x+1\right)$	=	$2y$			(I)
$2(2-y)$	=	$2x$			(II)

$-3x+3$	=	$2y$	| $-3-2y$		(I)
$4-2y$	=	$2x$	| $-4-2x$		(II)

$\begin{array}{ccccccc}-3x& -2y& =& $ -3$& & & \text{(I)}\\ -2x& -2y& =& $ -4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$-3x-2y$	=	$-3$
$-2y-3x$	=	$-3$	| $+3x$
$-2y$	=	$-3+3x$	|:($-2$)
$y$	=	$\frac{3}{2}-\frac{3}{2}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(\frac{3}{2}-\frac{3}{2}x\right)& & & \text{(I)}\\ -2x& -2y& =& $ -4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{3}{2}-\frac{3}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x-2·\left(\frac{3}{2}-\frac{3}{2}x\right)$	=	$-4$
$-2x-3+3x$	=	$-4$
$x-3$	=	$-4$	| $+3$
$x$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{3}{2}-\frac{3}{2}\cdot \left(-1\right)$

= $\frac{3}{2}+\frac{3}{2}$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 4 und y = 5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x +5y = ?

-1x +2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 4 und y = 5 einsetzen und ausrechnen:

-2x +5y = -8 +25 = 17

-1x +2y = -4 +10 = 6

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x +5y = 17

-1x +2y = 6

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}-2x& -4y& =& $ 2$& & & \text{(I)}\\ 8x& +16y& =& $ -8$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-2x& -4y& =& $ 2$& & & \text{(I)}\\ 8x& +16y& =& $ -8$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$-2x-4y$	=	$2$
$-4y-2x$	=	$2$	| $+2x$
$-4y$	=	$2+2x$	|:($-4$)
$y$	=	$-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x\right)& & & \text{(I)}\\ 8x& +16y& =& $ -8$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$8x+16·\left(-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x\right)$	=	$-8$
$8x-8-8x$	=	$-8$
$-8$	=	$-8$	| $+8$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 7 Stunden wandern. Danach hat sie 4 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 1940 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 5 Stunden wandern und hat 5 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 1300 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}7x& -4y& =& $ 1940$& & & \text{(I)}\\ 5x& -5y& =& $ 1300$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$7x-4y$	=	$1940$
$-4y+7x$	=	$1940$	| $-7x$
$-4y$	=	$1940-7x$	|:($-4$)
$y$	=	$-485+\frac{7}{4}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-485+\frac{7}{4}x\right)& & & \text{(I)}\\ 5x& -5y& =& $ 1300$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-485+\frac{7}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5x-5·\left(-485+\frac{7}{4}x\right)$	=	$1300$
$5x+2425-\frac{35}{4}x$	=	$1300$
$-\frac{15}{4}x+2425$	=	$1300$	|⋅ 4
$4\left(-\frac{15}{4}x+2425\right)$	=	$5200$
$-15x+9700$	=	$5200$	| $-9700$
$-15x$	=	$-4500$	|:($-15$)
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-485+\frac{7}{4}\cdot 300$

= $-485+525$

= $40$

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (300|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 40