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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-3x+3y$ = $3$.

Bestimme x so, dass (x|0) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 0 in die Gleichung ein und erhält:

$-3x+3\cdot 0$ = $3$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$-3x+3\cdot 0$	=	$3$
$-3x$	=	$3$	|:($-3$)
$x$	=	$-1$

Die Lösung ist somit: (-1|0)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2x-y$ = $-10$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-3|4)
denn 2⋅( - 3 ) -1⋅4 = -6 -4 = $-10$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-4|2)
denn 2⋅( - 4 ) -1⋅2 = -8 -2 = $-10$

Oder : (-2|6)
denn 2⋅( - 2 ) -1⋅6 = -4 -6 = $-10$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}3x& -y& =& $ -7$& & & \text{(I)}\\ & +2y& =& $ -4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}3x& -y& =& $ -7$& & & \text{(I)}\\ & +2y& =& $ -4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$2y$	=	$-4$	|:$2$
$y$	=	$-2$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}3x& -y& =& $ -7$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& $ -2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $-2$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x-1·\left(-2\right)$	=	$-7$
$3x+2$	=	$-7$	| $-2$
$3x$	=	$-9$	|:$3$
$x$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $-2$

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& -2y& =& $ -16$& & & \text{(I)}\\ -2x& -y& =& $ 7$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}x& -2y& =& $ -16$& & & \text{(I)}\\ -2x& -y& =& $ 7$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$-2x-y$	=	$7$
$-y-2x$	=	$7$	| $+2x$
$-y$	=	$7+2x$	|:($-1$)
$y$	=	$-7-2x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& -2y& =& $ -16$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& \left(-7-2x\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-7-2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x-2·\left(-7-2x\right)$	=	$-16$
$x+14+4x$	=	$-16$
$5x+14$	=	$-16$	| $-14$
$5x$	=	$-30$	|:$5$
$x$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-7-2\cdot \left(-6\right)$

= $-7+12$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}3x& +3y& =& $ 15$& & & \text{(I)}\\ -5x& -3y& =& $ -21$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}3x& +3y& =& $ 15$& & & \text{(I)}\\ -5x& -3y& =& $ -21$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3x+3y$	=	$15$
$3y+3x$	=	$15$	| $-3x$
$3y$	=	$15-3x$	|:$3$
$y$	=	$5-x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(5-x\right)& & & \text{(I)}\\ -5x& -3y& =& $ -21$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $5-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-5x-3·\left(5-x\right)$	=	$-21$
$-5x-15+3x$	=	$-21$
$-2x-15$	=	$-21$	| $+15$
$-2x$	=	$-6$	|:($-2$)
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $5-3$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (3|2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-\frac{1}{4}x& +\frac{1}{2}y& =& $ \frac{5}{4}$& & & \text{(I)}\\ x& +\frac{1}{2}y& =& $ \frac{5}{2}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-\frac{1}{4}x& +\frac{1}{2}y& =& $ \frac{5}{4}$& & & \text{(I)}\\ x& +\frac{1}{2}y& =& $ \frac{5}{2}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+\frac{1}{2}y$	=	$\frac{5}{2}$	|⋅ 2
$2\left(x+\frac{1}{2}y\right)$	=	$5$
$2x+y$	=	$5$	| $-y$
$2x$	=	$5-y$	|:$2$
$x$	=	$\frac{5}{2}-\frac{1}{2}y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-\frac{1}{4}x& +\frac{1}{2}y& =& $ \frac{5}{4}$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(\frac{5}{2}-\frac{1}{2}y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $\frac{5}{2}-\frac{1}{2}y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-\frac{1}{4}·\left(\frac{5}{2}-\frac{1}{2}y\right)+\frac{1}{2}y$	=	$\frac{5}{4}$
$-\frac{5}{8}+\frac{1}{8}y+\frac{1}{2}y$	=	$\frac{5}{4}$
$\frac{5}{8}y-\frac{5}{8}$	=	$\frac{5}{4}$	|⋅ 8
$8\left(\frac{5}{8}y-\frac{5}{8}\right)$	=	$10$
$5y-5$	=	$10$	| $+5$
$5y$	=	$15$	|:$5$
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $\frac{5}{2}-\frac{1}{2}\cdot 3$

= $\frac{5}{2}-\frac{3}{2}$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -3 und y = 3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-3x -1y = ?

-4x +1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = 3 einsetzen und ausrechnen:

-3x -1y = 9 -3 = 6

-4x +1y = 12 +3 = 15

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-3x -1y = 6

-4x +1y = 15

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}x& +y& =& $ -2$& & & \text{(I)}\\ -3x& -4y& =& $ 3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}x& +y& =& $ -2$& & & \text{(I)}\\ -3x& -4y& =& $ 3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$x+y$	=	$-2$
$y+x$	=	$-2$	| $-x$
$y$	=	$-2-x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-2-x\right)& & & \text{(I)}\\ -3x& -4y& =& $ 3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-2-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x-4·\left(-2-x\right)$	=	$3$
$-3x+8+4x$	=	$3$
$x+8$	=	$3$	| $-8$
$x$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-2-\left(-5\right)$

= $-2+5$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|3)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 4-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 17. Wenn man aber vom 6-fachen von x 7 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -22. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& +4y& =& $ 17$& & & \text{(I)}\\ 6x& -7y& =& $ -22$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+4y$	=	$17$	| $-4y$
$x$	=	$17-4y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(17-4y\right)& & & \text{(I)}\\ 6x& -7y& =& $ -22$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $17-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$6·\left(17-4y\right)-7y$	=	$-22$
$102-24y-7y$	=	$-22$
$-31y+102$	=	$-22$	| $-102$
$-31y$	=	$-124$	|:($-31$)
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $17-4\cdot 4$

= $17-16$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|4)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 1

y (y-Wert): 4