• Klasse 5
  • Daten
  • Natürliche Zahlen
    • Zahlenstrahl
    • Große Zahlen im Zehnersystem
    • Runden von Zahlen
    • Zahlensysteme
    • Grundrechenarten
      • Kopfrechnen
      • Schriftlich
    • Rechenregeln
      • Klammern
      • Punkt vor Strich
      • Rechenreihenfolge
      • Potenzen
      • Ausmultiplizieren, Ausklammern
  • Geometrie
    • Koordinatensystem
    • Abstände
    • Symmetrische Figuren
    • Vierecke
    • Kreis
    • Winkel
    • Flächen
  • Sachrechnen
    • Geld
    • Zeit
    • Gewicht
    • Länge
    • Maßstab
• Klasse 6
  • Brüche und Bruchrechnen
    • Teilbarkeit
    • Bruchverständnis
    • Erweitern und Kürzen
    • Brüche vergleichen und ordnen
    • Brüche und Größen
    • Addieren und Subtrahieren
    • Multiplizieren
    • Dividieren
    • Punkt vor Strich. Klammern
  • Dezimalzahlen
    • Dezimalschreibweise
    • Vergleichen und Ordnen
    • Runden
    • Wechsel der Darstellung
    • Addieren und Subtrahieren
    • Multiplizieren und Dividieren
    • Verbindung der Rechenarten
  • Terme und Gleichungen
    • Terme mit Variablen
    • Gleichungen
  • Zuordnungen
    • proportionale Zuordnung
    • Dreisatz
  • Rationale Zahlen
    • Zahlenstrahl
    • vergleichen und ordnen
    • Zunahme und Abnahme
    • Koordinatensystem
  • Geometrie
    • Körper
  • Daten
• Klasse 7
  • Rationale Zahlen
    • vergleichen und ordnen
    • Strichrechnung
    • Punktrechnung
    • Rechenregeln
    • Zahlterme
    • Kombi-Aufgaben
    • negative Brüche
  • Geometrie
    • Winkel
      • an Parallelen
      • Winkelsumme
      • gleichschenkl. Dr.
      • Thaleskreis
    • Dreiecke konstruieren
    • In- und Umkreis
    • Vierecke
  • Algebra
    • Terme
    • lineare Gleichungen
  • Dreisatz, (anti)proportional
    • Antiproportionale Zuordnung
    • Proportionale Zuordnung
  • Prozentrechnung
    • Prozentsatz bestimmen
    • Prozentwert bestimmen
    • Grundwert bestimmen
  • Wahrscheinlichkeit / Daten
• Klasse 8
  • Terme
    • Ausmultiplizieren, Ausklammern
    • Binomische Formeln
    • Terme einsetzen
    • Terme aufstellen
    • Terme vereinfachen
  • Bruchgleichungen
  • Geometrie
    • Umfang und Flächeninhalt
    • Körper
  • Lineare Funktionen
  • LGS
  • Prozent- und Zinsrechnung
    • Prozentsatz, -wert, Grundwert
    • Vermehrter / verminderter Grundwert
    • Zinsrechnen (Zinseszinsen)
  • Daten / Boxplots
• Klasse 9
  • Algebra
    • Potenzen
    • Wurzeln
      • Quadratwurzeln ohne WTR
      • Rechnen mit Quadratwurzeln
        • Teilweises Wurzelziehen
      • Kubikwurzel
    • Quadratische Gleichungen
      • Bruchgleichungen
      • rein quadratische Gleichungen
      • gemischt quadratische Gleichungen
        • Nullprodukt
        • Lösungsformel
        • quadratische Ergänzung
      • Ungleichungen
      • Wurzelgleichungen
    • lineare Bruchgleichungen
  • Geometrie
    • Ähnlichkeit u. zentrische Streckung
    • Stahlensätze
      • 1. Strahlensatz
      • 2. Strahlensatz
    • Satz des Pythagoras
      • Grundaufgaben
      • in ebenen Figuren
      • in Körpern
    • Kreise
      • Umfang und Fläche
      • Kreisausschnitte
      • Anwendungen
    • Körper
      • Prismen
      • Zylinder
      • Pyramiden
  • Lineare und quadratische Funktionen
    • Lineare Funktionen
    • Quadratische Funktionen
      • Normalparabel
      • Streckung
      • Scheitelform, Termbestimmung
      • Nullstellen, Schnittpunkte
      • Modellieren
  • Zufall und Wahrscheinlichkeit
    • Kombinatorik
    • Einstufige Zufallsexperimente
• Klasse 10
  • Trigonometrie
    • am rechtwinkligen Dreieck
    • am allgemeinen Dreieck
    • Anwendungen
    • im Raum
    • am Einheitskreis
    • Bogenmaß/Funktionen
  • Algebra
    • Zehnerpotenzen
    • Potenzgesetze
    • Potenzen mit rationalen Hochzahlen
    • Exponentialrechnung
      • Zinsen, Zinseszinsen
      • Exponentielle(s) Wachstum / Abnahme
      • Logarithmus
  • Geometrie
    • Kegel
    • Kugel
    • Zusammengesetzte Körper
  • Zufall und Wahrscheinlichkeit
    • Erwartungswert
    • Zufallsexperimente mit Zurücklegen
    • Zufallsexperimente ohne Zurücklegen
• Fit für die Oberstufe
  • Potenzfunktionen
  • Exponentialfunktion
  • Vier-Felder-Tafel

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4x+y$ = $7$.

Bestimme x so, dass (x|-5) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -5 in die Gleichung ein und erhält:

$4x+\left(-5\right)$ = $7$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$4x+\left(-5\right)$	=	$7$
$4x-5$	=	$7$	| $+5$
$4x$	=	$12$	|:$4$
$x$	=	$3$

Die Lösung ist somit: (3|-5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-3x-2y$ = $14$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-4|-1)
denn -3⋅( - 4 ) -2⋅( - 1 ) = 12 +2 = $14$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-6|2)
denn -3⋅( - 6 ) -2⋅2 = 18 -4 = $14$

Oder : (-2|-4)
denn -3⋅( - 2 ) -2⋅( - 4 ) = 6 +8 = $14$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}2x& -y& =& $ 11$& & & \text{(I)}\\ -2x& & =& $ -10$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}2x& -y& =& $ 11$& & & \text{(I)}\\ -2x& & =& $ -10$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$-2x$	=	$-10$	|:($-2$)
$x$	=	$5$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}2x& -y& =& $ 11$& & & \text{(I)}\\ x& & =& $ 5$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $5$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·5-y$	=	$11$
$10-y$	=	$11$
$-y+10$	=	$11$	| $-10$
$-y$	=	$1$	|:($-1$)
$y$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $5$

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}4x& +3y& =& $ 11$& & & \text{(I)}\\ 3x& +y& =& $ 7$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}4x& +3y& =& $ 11$& & & \text{(I)}\\ 3x& +y& =& $ 7$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$3x+y$	=	$7$
$y+3x$	=	$7$	| $-3x$
$y$	=	$7-3x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}4x& +3y& =& $ 11$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& \left(7-3x\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $7-3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x+3·\left(7-3x\right)$	=	$11$
$4x+21-9x$	=	$11$
$-5x+21$	=	$11$	| $-21$
$-5x$	=	$-10$	|:($-5$)
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $7-3\cdot 2$

= $7-6$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (2|1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-5x& +3y& =& $ -18$& & & \text{(I)}\\ 3x& -5y& =& $ -2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-5x& +3y& =& $ -18$& & & \text{(I)}\\ 3x& -5y& =& $ -2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$-5x+3y$	=	$-18$
$3y-5x$	=	$-18$	| $+5x$
$3y$	=	$-18+5x$	|:$3$
$y$	=	$-6+\frac{5}{3}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-6+\frac{5}{3}x\right)& & & \text{(I)}\\ 3x& -5y& =& $ -2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-6+\frac{5}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x-5·\left(-6+\frac{5}{3}x\right)$	=	$-2$
$3x+30-\frac{25}{3}x$	=	$-2$
$-\frac{16}{3}x+30$	=	$-2$	|⋅ 3
$3\left(-\frac{16}{3}x+30\right)$	=	$-6$
$-16x+90$	=	$-6$	| $-90$
$-16x$	=	$-96$	|:($-16$)
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-6+\frac{5}{3}\cdot 6$

= $-6+10$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (6|4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& +\frac{3}{5}y& =& $ -\frac{14}{5}$& & & \text{(I)}\\ -\frac{2}{3}x& -\frac{1}{2}y& =& $ \frac{13}{6}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}x& +\frac{3}{5}y& =& $ -\frac{14}{5}$& & & \text{(I)}\\ -\frac{2}{3}x& -\frac{1}{2}y& =& $ \frac{13}{6}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+\frac{3}{5}y$	=	$-\frac{14}{5}$	|⋅ 5
$5\left(x+\frac{3}{5}y\right)$	=	$-14$
$5x+3y$	=	$-14$	| $-3y$
$5x$	=	$-14-3y$	|:$5$
$x$	=	$-\frac{14}{5}-\frac{3}{5}y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(-\frac{14}{5}-\frac{3}{5}y\right)& & & \text{(I)}\\ -\frac{2}{3}x& -\frac{1}{2}y& =& $ \frac{13}{6}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $-\frac{14}{5}-\frac{3}{5}y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-\frac{2}{3}·\left(-\frac{14}{5}-\frac{3}{5}y\right)-\frac{1}{2}y$	=	$\frac{13}{6}$
$\frac{28}{15}+\frac{2}{5}y-\frac{1}{2}y$	=	$\frac{13}{6}$
$-\frac{1}{10}y+\frac{28}{15}$	=	$\frac{13}{6}$	|⋅ 30
$30\left(-\frac{1}{10}y+\frac{28}{15}\right)$	=	$65$
$-3y+56$	=	$65$	| $-56$
$-3y$	=	$9$	|:($-3$)
$y$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $-\frac{14}{5}-\frac{3}{5}\cdot \left(-3\right)$

= $-\frac{14}{5}+\frac{9}{5}$

= $-1$

also

x = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -2 und y = 2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x +4y = ?

-4x +11y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = 2 einsetzen und ausrechnen:

-2x +4y = 4 +8 = 12

-4x +11y = 8 +22 = 30

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x +4y = 12

-4x +11y = 30

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}8x& +12y& =& $ 5$& & & \text{(I)}\\ -2x& -3y& =& $ -2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}8x& +12y& =& $ 5$& & & \text{(I)}\\ -2x& -3y& =& $ -2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$8x+12y$	=	$5$
$12y+8x$	=	$5$	| $-8x$
$12y$	=	$5-8x$	|:$12$
$y$	=	$\frac{5}{12}-\frac{2}{3}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(\frac{5}{12}-\frac{2}{3}x\right)& & & \text{(I)}\\ -2x& -3y& =& $ -2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{5}{12}-\frac{2}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x-3·\left(\frac{5}{12}-\frac{2}{3}x\right)$	=	$-2$
$-2x-\frac{5}{4}+2x$	=	$-2$
$-\frac{5}{4}$	=	$-2$	| $+\frac{5}{4}$
0	=	$-\frac{3}{4}$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 5-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 25. Wenn man aber vom 6-fachen von x 3 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 18. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& +5y& =& $ 25$& & & \text{(I)}\\ 6x& -3y& =& $ 18$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+5y$	=	$25$	| $-5y$
$x$	=	$25-5y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(25-5y\right)& & & \text{(I)}\\ 6x& -3y& =& $ 18$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $25-5y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$6·\left(25-5y\right)-3y$	=	$18$
$150-30y-3y$	=	$18$
$-33y+150$	=	$18$	| $-150$
$-33y$	=	$-132$	|:($-33$)
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $25-5\cdot 4$

= $25-20$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|4)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 5

y (y-Wert): 4