• Klasse 5
  • Daten
  • Natürliche Zahlen
    • Zahlenstrahl
    • Große Zahlen im Zehnersystem
    • Runden von Zahlen
    • Zahlensysteme
    • Grundrechenarten
      • Kopfrechnen
      • Schriftlich
    • Rechenregeln
      • Klammern
      • Punkt vor Strich
      • Rechenreihenfolge
      • Potenzen
      • Ausmultiplizieren, Ausklammern
  • Geometrie
    • Koordinatensystem
    • Abstände
    • Symmetrische Figuren
    • Vierecke
    • Kreis
    • Winkel
    • Flächen
  • Sachrechnen
    • Geld
    • Zeit
    • Gewicht
    • Länge
    • Maßstab
• Klasse 6
  • Brüche und Bruchrechnen
    • Teilbarkeit
    • Bruchverständnis
      • Brüche erkennen
      • am Zahlenstrahl
      • Brüche umwandeln
    • Erweitern und Kürzen
    • Brüche vergleichen und ordnen
    • Brüche und Größen
    • Addieren und Subtrahieren
    • Multiplizieren
    • Dividieren
    • Punkt vor Strich. Klammern
  • Dezimalzahlen
    • Dezimalschreibweise
    • Vergleichen und Ordnen
    • Runden
    • Wechsel der Darstellung
    • Addieren und Subtrahieren
    • Multiplizieren und Dividieren
    • Verbindung der Rechenarten
  • Terme und Gleichungen
    • Terme mit Variablen
    • Gleichungen
  • Zuordnungen
    • proportionale Zuordnung
    • Dreisatz
  • Rationale Zahlen
    • Zahlenstrahl
    • vergleichen und ordnen
    • Zunahme und Abnahme
    • Koordinatensystem
  • Geometrie
    • Körper
  • Daten
• Klasse 7
  • Rationale Zahlen
    • vergleichen und ordnen
    • Strichrechnung
    • Punktrechnung
    • Rechenregeln
    • Zahlterme
    • Kombi-Aufgaben
    • negative Brüche
  • Geometrie
    • Winkel
      • an Parallelen
      • Winkelsumme
      • gleichschenkl. Dr.
      • Thaleskreis
    • Dreiecke konstruieren
    • In- und Umkreis
    • Vierecke
  • Algebra
    • Terme
    • lineare Gleichungen
  • Dreisatz, (anti)proportional
    • Antiproportionale Zuordnung
    • Proportionale Zuordnung
  • Prozentrechnung
    • Prozentsatz bestimmen
    • Prozentwert bestimmen
    • Grundwert bestimmen
  • Wahrscheinlichkeit / Daten
• Klasse 8
  • Terme
    • Ausmultiplizieren, Ausklammern
    • Binomische Formeln
    • Terme einsetzen
    • Terme aufstellen
    • Terme vereinfachen
  • Bruchgleichungen
  • Geometrie
    • Umfang und Flächeninhalt
    • Körper
  • Lineare Funktionen
  • LGS
  • Prozent- und Zinsrechnung
    • Prozentsatz, -wert, Grundwert
    • Vermehrter / verminderter Grundwert
    • Zinsrechnen (Zinseszinsen)
  • Daten / Boxplots
• Klasse 9
  • Algebra
    • Potenzen
    • Wurzeln
      • Quadratwurzeln ohne WTR
      • Rechnen mit Quadratwurzeln
        • Teilweises Wurzelziehen
      • Kubikwurzel
    • Quadratische Gleichungen
      • Bruchgleichungen
      • rein quadratische Gleichungen
      • gemischt quadratische Gleichungen
        • Nullprodukt
        • Lösungsformel
        • quadratische Ergänzung
      • Ungleichungen
      • Wurzelgleichungen
    • lineare Bruchgleichungen
  • Geometrie
    • Ähnlichkeit u. zentrische Streckung
    • Stahlensätze
      • 1. Strahlensatz
      • 2. Strahlensatz
    • Satz des Pythagoras
      • Grundaufgaben
      • in ebenen Figuren
      • in Körpern
    • Kreise
      • Umfang und Fläche
      • Kreisausschnitte
      • Anwendungen
    • Körper
      • Prismen
      • Zylinder
      • Pyramiden
  • Lineare und quadratische Funktionen
    • Lineare Funktionen
    • Quadratische Funktionen
      • Normalparabel
      • Streckung
      • Scheitelform, Termbestimmung
      • Nullstellen, Schnittpunkte
      • Modellieren
  • Zufall und Wahrscheinlichkeit
    • Kombinatorik
    • Einstufige Zufallsexperimente
• Klasse 10
  • Trigonometrie
    • am rechtwinkligen Dreieck
    • am allgemeinen Dreieck
    • Anwendungen
    • im Raum
    • am Einheitskreis
    • Bogenmaß/Funktionen
  • Algebra
    • Zehnerpotenzen
    • Potenzgesetze
    • Potenzen mit rationalen Hochzahlen
    • Exponentialrechnung
      • Zinsen, Zinseszinsen
      • Exponentielle(s) Wachstum / Abnahme
      • Logarithmus
  • Geometrie
    • Kegel
    • Kugel
    • Zusammengesetzte Körper
  • Zufall und Wahrscheinlichkeit
    • Erwartungswert
    • Zufallsexperimente mit Zurücklegen
    • Zufallsexperimente ohne Zurücklegen
• Fit für die Oberstufe
  • Potenzfunktionen
  • Exponentialfunktion
  • Vier-Felder-Tafel

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3x-4y$ = $-20$.

Bestimme y so, dass (0|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 0 in die Gleichung ein und erhält:

$3\cdot 0-4y$ = $-20$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$3\cdot 0-4y$	=	$-20$
$-4y$	=	$-20$	|:($-4$)
$y$	=	$5$

Die Lösung ist somit: (0|5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-x+3y$ = $19$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-7|4)
denn -1⋅( - 7 ) +3⋅4 = 7 +12 = $19$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-4|5)
denn -1⋅( - 4 ) +3⋅5 = 4 +15 = $19$

Oder : (-10|3)
denn -1⋅( - 10 ) +3⋅3 = 10 +9 = $19$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& $ -5$& & & \text{(I)}\\ -2x& -3y& =& $ 21$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung ja schon das y gegeben ist.

y = $-5$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $-5$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x-3·\left(-5\right)$	=	$21$
$-2x+15$	=	$21$	| $-15$
$-2x$	=	$6$	|:($-2$)
$x$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $-5$

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& -4y& =& $ -17$& & & \text{(I)}\\ -x& -3y& =& $ -18$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}x& -4y& =& $ -17$& & & \text{(I)}\\ -x& -3y& =& $ -18$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$-x-3y$	=	$-18$	| $+3y$
$-x$	=	$-18+3y$	|:($-1$)
$x$	=	$18-3y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& -4y& =& $ -17$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(18-3y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $18-3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1·\left(18-3y\right)-4y$	=	$-17$
$18-3y-4y$	=	$-17$
$-7y+18$	=	$-17$	| $-18$
$-7y$	=	$-35$	|:($-7$)
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $18-3\cdot 5$

= $18-15$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-x& +4y& =& $ -9$& & & \text{(I)}\\ -4x& -3y& =& $ -17$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-x& +4y& =& $ -9$& & & \text{(I)}\\ -4x& -3y& =& $ -17$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$-x+4y$	=	$-9$	| $-4y$
$-x$	=	$-9-4y$	|:($-1$)
$x$	=	$9+4y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(9+4y\right)& & & \text{(I)}\\ -4x& -3y& =& $ -17$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $9+4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-4·\left(9+4y\right)-3y$	=	$-17$
$-36-16y-3y$	=	$-17$
$-19y-36$	=	$-17$	| $+36$
$-19y$	=	$19$	|:($-19$)
$y$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $9+4\cdot \left(-1\right)$

= $9-4$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$-x-2y$	=	$4x+25$			(I)
$2\left(3x+2\right)-3y$	=	$x-21$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$-x-2y$	=	$4x+25$			(I)
$2\left(3x+2\right)-3y$	=	$x-21$			(II)

$-x-2y$	=	$4x+25$	| $-4x$		(I)
$6x+4-3y$	=	$x-21$	| $-4-x$		(II)

$\begin{array}{ccccccc}-5x& -2y& =& $ 25$& & & \text{(I)}\\ 5x& -3y& =& $ -25$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$-5x-2y$	=	$25$
$-2y-5x$	=	$25$	| $+5x$
$-2y$	=	$25+5x$	|:($-2$)
$y$	=	$-\frac{25}{2}-\frac{5}{2}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-\frac{25}{2}-\frac{5}{2}x\right)& & & \text{(I)}\\ 5x& -3y& =& $ -25$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{25}{2}-\frac{5}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5x-3·\left(-\frac{25}{2}-\frac{5}{2}x\right)$	=	$-25$
$5x+\frac{75}{2}+\frac{15}{2}x$	=	$-25$
$\frac{25}{2}x+\frac{75}{2}$	=	$-25$	|⋅ 2
$2\left(\frac{25}{2}x+\frac{75}{2}\right)$	=	$-50$
$25x+75$	=	$-50$	| $-75$
$25x$	=	$-125$	|:$25$
$x$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{25}{2}-\frac{5}{2}\cdot \left(-5\right)$

= $-\frac{25}{2}+\frac{25}{2}$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|0)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -3 und y = 1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x -3y = ?

5x -9y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

2x -3y = -6 -3 = -9

5x -9y = -15 -9 = -24

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x -3y = -9

5x -9y = -24

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}-3x& +5y& =& $ -7$& & & \text{(I)}\\ -x& -2y& =& $ 5$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-3x& +5y& =& $ -7$& & & \text{(I)}\\ -x& -2y& =& $ 5$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$-x-2y$	=	$5$	| $+2y$
$-x$	=	$5+2y$	|:($-1$)
$x$	=	$-5-2y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-3x& +5y& =& $ -7$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(-5-2y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-5-2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·\left(-5-2y\right)+5y$	=	$-7$
$15+6y+5y$	=	$-7$
$11y+15$	=	$-7$	| $-15$
$11y$	=	$-22$	|:$11$
$y$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-5-2\cdot \left(-2\right)$

= $-5+4$

= $-1$

also

x = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-2)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 4 Stunden wandern. Danach hat sie 2 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 1140 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 4 Stunden wandern und hat 3 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 1110 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}4x& -2y& =& $ 1140$& & & \text{(I)}\\ 4x& -3y& =& $ 1110$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4x-2y$	=	$1140$
$-2y+4x$	=	$1140$	| $-4x$
$-2y$	=	$1140-4x$	|:($-2$)
$y$	=	$-570+2x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-570+2x\right)& & & \text{(I)}\\ 4x& -3y& =& $ 1110$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-570+2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x-3·\left(-570+2x\right)$	=	$1110$
$4x+1710-6x$	=	$1110$
$-2x+1710$	=	$1110$	| $-1710$
$-2x$	=	$-600$	|:($-2$)
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-570+2\cdot 300$

= $-570+600$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (300|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 30