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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4x+y$ = $23$.

Bestimme y so, dass (6|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 6 in die Gleichung ein und erhält:

$4\cdot 6+y$ = $23$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$4\cdot 6+y$	=	$23$
$24+y$	=	$23$
$y+24$	=	$23$	| $-24$
$y$	=	$-1$

Die Lösung ist somit: (6|-1)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-5x-2y$ = $-7$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (3|-4)
denn -5⋅3 -2⋅( - 4 ) = -15 +8 = $-7$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (1|1)
denn -5⋅1 -2⋅1 = -5 -2 = $-7$

Oder : (5|-9)
denn -5⋅5 -2⋅( - 9 ) = -25 +18 = $-7$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& +4y& =& $ 28$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& $ 6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung ja schon das y gegeben ist.

y = $6$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $6$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$x+4·6$	=	$28$
$x+24$	=	$28$	| $-24$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $6$

Die Lösung des LGS ist damit: (4|6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-4x& -y& =& $ -7$& & & \text{(I)}\\ x& -3y& =& $ 5$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-4x& -y& =& $ -7$& & & \text{(I)}\\ x& -3y& =& $ 5$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x-3y$	=	$5$	| $+3y$
$x$	=	$5+3y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-4x& -y& =& $ -7$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(5+3y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $5+3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-4·\left(5+3y\right)-y$	=	$-7$
$-20-12y-y$	=	$-7$
$-13y-20$	=	$-7$	| $+20$
$-13y$	=	$13$	|:($-13$)
$y$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $5+3\cdot \left(-1\right)$

= $5-3$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-5x& +5y& =& $ -10$& & & \text{(I)}\\ x& +4y& =& $ 7$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-5x& +5y& =& $ -10$& & & \text{(I)}\\ x& +4y& =& $ 7$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+4y$	=	$7$	| $-4y$
$x$	=	$7-4y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-5x& +5y& =& $ -10$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(7-4y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $7-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-5·\left(7-4y\right)+5y$	=	$-10$
$-35+20y+5y$	=	$-10$
$25y-35$	=	$-10$	| $+35$
$25y$	=	$25$	|:$25$
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $7-4\cdot 1$

= $7-4$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-\frac{3}{4}x& +y& =& $ \frac{5}{2}$& & & \text{(I)}\\ \frac{2}{5}x& +\frac{2}{3}y& =& $ \frac{52}{15}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-\frac{3}{4}x& +y& =& $ \frac{5}{2}$& & & \text{(I)}\\ \frac{2}{5}x& +\frac{2}{3}y& =& $ \frac{52}{15}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$-\frac{3}{4}x+y$	=	$\frac{5}{2}$
$y-\frac{3}{4}x$	=	$\frac{5}{2}$	|⋅ 4
$4\left(y-\frac{3}{4}x\right)$	=	$10$
$4y-3x$	=	$10$	| $+3x$
$4y$	=	$10+3x$	|:$4$
$y$	=	$\frac{5}{2}+\frac{3}{4}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(\frac{5}{2}+\frac{3}{4}x\right)& & & \text{(I)}\\ \frac{2}{5}x& +\frac{2}{3}y& =& $ \frac{52}{15}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{5}{2}+\frac{3}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{2}{5}x+\frac{2}{3}·\left(\frac{5}{2}+\frac{3}{4}x\right)$	=	$\frac{52}{15}$
$\frac{2}{5}x+\frac{5}{3}+\frac{1}{2}x$	=	$\frac{52}{15}$
$\frac{9}{10}x+\frac{5}{3}$	=	$\frac{52}{15}$	|⋅ 30
$30\left(\frac{9}{10}x+\frac{5}{3}\right)$	=	$104$
$27x+50$	=	$104$	| $-50$
$27x$	=	$54$	|:$27$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{5}{2}+\frac{3}{4}\cdot 2$

= $\frac{5}{2}+\frac{3}{2}$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (2|4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -4 und y = 3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

4x -5y = ?

7x -8y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = 3 einsetzen und ausrechnen:

4x -5y = -16 -15 = -31

7x -8y = -28 -24 = -52

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

4x -5y = -31

7x -8y = -52

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}-3x& -9y& =& $ 9$& & & \text{(I)}\\ x& +3y& =& $ -3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-3x& -9y& =& $ 9$& & & \text{(I)}\\ x& +3y& =& $ -3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+3y$	=	$-3$	| $-3y$
$x$	=	$-3-3y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-3x& -9y& =& $ 9$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(-3-3y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-3-3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·\left(-3-3y\right)-9y$	=	$9$
$9+9y-9y$	=	$9$
$9$	=	$9$	| $-9$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von y gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 6-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 10. Wenn man aber vom 3-fachen von x 4 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 8. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& +6y& =& $ 10$& & & \text{(I)}\\ 3x& -4y& =& $ 8$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+6y$	=	$10$	| $-6y$
$x$	=	$10-6y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(10-6y\right)& & & \text{(I)}\\ 3x& -4y& =& $ 8$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $10-6y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(10-6y\right)-4y$	=	$8$
$30-18y-4y$	=	$8$
$-22y+30$	=	$8$	| $-30$
$-22y$	=	$-22$	|:($-22$)
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $10-6\cdot 1$

= $10-6$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|1)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 4

y (y-Wert): 1