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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x+5y$ = $-26$.

Bestimme y so, dass (4|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 4 in die Gleichung ein und erhält:

$4+5y$ = $-26$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$4+5y$	=	$-26$
$4+5y$	=	$-26$
$5y+4$	=	$-26$	| $-4$
$5y$	=	$-30$	|:$5$
$y$	=	$-6$

Die Lösung ist somit: (4|-6)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x+2y$ = $9$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (5|2)
denn 1⋅5 +2⋅2 = 5 +4 = $9$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (7|1)
denn 1⋅7 +2⋅1 = 7 +2 = $9$

Oder : (3|3)
denn 1⋅3 +2⋅3 = 3 +6 = $9$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}& +4y& =& $ 8$& & & \text{(I)}\\ 3x& +4y& =& $ 14$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}& +4y& =& $ 8$& & & \text{(I)}\\ 3x& +4y& =& $ 14$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$4y$	=	$8$	|:$4$
$y$	=	$2$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& $ 2$& & & \text{(I)}\\ 3x& +4y& =& $ 14$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $2$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x+4·2$	=	$14$
$3x+8$	=	$14$	| $-8$
$3x$	=	$6$	|:$3$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $2$

Die Lösung des LGS ist damit: (2|2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-x& -4y& =& $ 0$& & & \text{(I)}\\ 2x& +y& =& $ 7$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-x& -4y& =& $ 0$& & & \text{(I)}\\ 2x& +y& =& $ 7$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$2x+y$	=	$7$
$y+2x$	=	$7$	| $-2x$
$y$	=	$7-2x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-x& -4y& =& $ 0$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& \left(7-2x\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $7-2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-x-4·\left(7-2x\right)$	=	0
$-x-28+8x$	=	0
$7x-28$	=	0	| $+28$
$7x$	=	$28$	|:$7$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $7-2\cdot 4$

= $7-8$

= $-1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}5x& -2y& =& $ 4$& & & \text{(I)}\\ 5x& -4y& =& $ -2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}5x& -2y& =& $ 4$& & & \text{(I)}\\ 5x& -4y& =& $ -2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5x-2y$	=	$4$
$-2y+5x$	=	$4$	| $-5x$
$-2y$	=	$4-5x$	|:($-2$)
$y$	=	$-2+\frac{5}{2}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-2+\frac{5}{2}x\right)& & & \text{(I)}\\ 5x& -4y& =& $ -2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-2+\frac{5}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5x-4·\left(-2+\frac{5}{2}x\right)$	=	$-2$
$5x+8-10x$	=	$-2$
$-5x+8$	=	$-2$	| $-8$
$-5x$	=	$-10$	|:($-5$)
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-2+\frac{5}{2}\cdot 2$

= $-2+5$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (2|3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-\frac{3}{4}x& -\frac{3}{2}y& =& $ \frac{15}{4}$& & & \text{(I)}\\ \frac{1}{5}x& -\frac{1}{4}y& =& $ \frac{19}{20}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-\frac{3}{4}x& -\frac{3}{2}y& =& $ \frac{15}{4}$& & & \text{(I)}\\ \frac{1}{5}x& -\frac{1}{4}y& =& $ \frac{19}{20}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$-\frac{3}{4}x-\frac{3}{2}y$	=	$\frac{15}{4}$
$-\frac{3}{2}y-\frac{3}{4}x$	=	$\frac{15}{4}$	|⋅ 4
$4\left(-\frac{3}{2}y-\frac{3}{4}x\right)$	=	$15$
$-6y-3x$	=	$15$	| $+3x$
$-6y$	=	$15+3x$	|:($-6$)
$y$	=	$-\frac{5}{2}-\frac{1}{2}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-\frac{5}{2}-\frac{1}{2}x\right)& & & \text{(I)}\\ \frac{1}{5}x& -\frac{1}{4}y& =& $ \frac{19}{20}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{5}{2}-\frac{1}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{1}{5}x-\frac{1}{4}·\left(-\frac{5}{2}-\frac{1}{2}x\right)$	=	$\frac{19}{20}$
$\frac{1}{5}x+\frac{5}{8}+\frac{1}{8}x$	=	$\frac{19}{20}$
$\frac{13}{40}x+\frac{5}{8}$	=	$\frac{19}{20}$	|⋅ 40
$40\left(\frac{13}{40}x+\frac{5}{8}\right)$	=	$38$
$13x+25$	=	$38$	| $-25$
$13x$	=	$13$	|:$13$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{5}{2}-\frac{1}{2}\cdot 1$

= $-\frac{5}{2}-\frac{1}{2}$

= $-3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -5 und y = 5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-3x +2y = ?

-5x +1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = 5 einsetzen und ausrechnen:

-3x +2y = 15 +10 = 25

-5x +1y = 25 +5 = 30

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-3x +2y = 25

-5x +1y = 30

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}-4x& +y& =& $ 2$& & & \text{(I)}\\ 16x& -4y& =& $ -9$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-4x& +y& =& $ 2$& & & \text{(I)}\\ 16x& -4y& =& $ -9$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$-4x+y$	=	$2$
$y-4x$	=	$2$	| $+4x$
$y$	=	$2+4x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(2+4x\right)& & & \text{(I)}\\ 16x& -4y& =& $ -9$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $2+4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$16x-4·\left(2+4x\right)$	=	$-9$
$16x-8-16x$	=	$-9$
$-8$	=	$-9$	| $+8$
0	=	$-1$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 8 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 3 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 83 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 9 LED-Leuchtmittel und 6 Halogenleuchten zusammen 159 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}8x& +3y& =& $ 83$& & & \text{(I)}\\ 9x& +6y& =& $ 159$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$8x+3y$	=	$83$
$3y+8x$	=	$83$	| $-8x$
$3y$	=	$83-8x$	|:$3$
$y$	=	$\frac{83}{3}-\frac{8}{3}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(\frac{83}{3}-\frac{8}{3}x\right)& & & \text{(I)}\\ 9x& +6y& =& $ 159$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{83}{3}-\frac{8}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$9x+6·\left(\frac{83}{3}-\frac{8}{3}x\right)$	=	$159$
$9x+166-16x$	=	$159$
$-7x+166$	=	$159$	| $-166$
$-7x$	=	$-7$	|:($-7$)
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{83}{3}-\frac{8}{3}\cdot 1$

= $\frac{83}{3}-\frac{8}{3}$

= $25$

also

y = 25

Die Lösung des LGS ist damit: (1|25)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 1

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 25