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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3x-3y$ = $3$.

Bestimme x so, dass (x|6) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 6 in die Gleichung ein und erhält:

$3x-3\cdot 6$ = $3$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$3x-3\cdot 6$	=	$3$
$3x-18$	=	$3$	| $+18$
$3x$	=	$21$	|:$3$
$x$	=	$7$

Die Lösung ist somit: (7|6)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-3x+y$ = 0.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (1|3)
denn -3⋅1 +1⋅3 = -3 +3 = 0

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (2|6)
denn -3⋅2 +1⋅6 = -6 +6 = 0

Oder : (0|0)
denn -3⋅0 +1⋅0 = 0 +0 = 0

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}3x& -4y& =& $ -32$& & & \text{(I)}\\ -x& & =& $ 4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}3x& -4y& =& $ -32$& & & \text{(I)}\\ -x& & =& $ 4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$-x$	=	$4$	|:($-1$)
$x$	=	$-4$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}3x& -4y& =& $ -32$& & & \text{(I)}\\ x& & =& $ -4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $-4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(-4\right)-4y$	=	$-32$
$-12-4y$	=	$-32$
$-4y-12$	=	$-32$	| $+12$
$-4y$	=	$-20$	|:($-4$)
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $-4$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}3x& +y& =& $ -3$& & & \text{(I)}\\ -x& +2y& =& $ 8$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}3x& +y& =& $ -3$& & & \text{(I)}\\ -x& +2y& =& $ 8$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$-x+2y$	=	$8$	| $-2y$
$-x$	=	$8-2y$	|:($-1$)
$x$	=	$-8+2y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}3x& +y& =& $ -3$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(-8+2y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-8+2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(-8+2y\right)+y$	=	$-3$
$-24+6y+y$	=	$-3$
$7y-24$	=	$-3$	| $+24$
$7y$	=	$21$	|:$7$
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-8+2\cdot 3$

= $-8+6$

= $-2$

also

x = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-2x& -3y& =& $ 0$& & & \text{(I)}\\ 3x& +5y& =& $ -1$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-2x& -3y& =& $ 0$& & & \text{(I)}\\ 3x& +5y& =& $ -1$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$-2x-3y$	=	0
$-3y-2x$	=	0	| $+2x$
$-3y$	=	$2x$	|:($-3$)
$y$	=	$-\frac{2}{3}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& -\frac{2}{3}x& & & \text{(I)}\\ 3x& +5y& =& $ -1$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $-\frac{2}{3}x$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x+5·\left(-\frac{2}{3}x\right)$	=	$-1$
$3x-\frac{10}{3}x$	=	$-1$
$-\frac{1}{3}x$	=	$-1$	|⋅ 3
$-x$	=	$-3$	|:($-1$)
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{2}{3}\cdot 3$

= $-2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-\frac{1}{3}x& -\frac{1}{2}y& =& $ \frac{9}{2}$& & & \text{(I)}\\ -x& -\frac{3}{5}y& =& $ 9$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-\frac{1}{3}x& -\frac{1}{2}y& =& $ \frac{9}{2}$& & & \text{(I)}\\ -x& -\frac{3}{5}y& =& $ 9$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$-x-\frac{3}{5}y$	=	$9$	|⋅ 5
$5\left(-x-\frac{3}{5}y\right)$	=	$45$
$-5x-3y$	=	$45$	| $+3y$
$-5x$	=	$45+3y$	|:($-5$)
$x$	=	$-9-\frac{3}{5}y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-\frac{1}{3}x& -\frac{1}{2}y& =& $ \frac{9}{2}$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(-9-\frac{3}{5}y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-9-\frac{3}{5}y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-\frac{1}{3}·\left(-9-\frac{3}{5}y\right)-\frac{1}{2}y$	=	$\frac{9}{2}$
$3+\frac{1}{5}y-\frac{1}{2}y$	=	$\frac{9}{2}$
$-\frac{3}{10}y+3$	=	$\frac{9}{2}$	|⋅ 10
$10\left(-\frac{3}{10}y+3\right)$	=	$45$
$-3y+30$	=	$45$	| $-30$
$-3y$	=	$15$	|:($-3$)
$y$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-9-\frac{3}{5}\cdot \left(-5\right)$

= $-9+3$

= $-6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 1 und y = -3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-1x +5y = ?

2x -8y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 1 und y = -3 einsetzen und ausrechnen:

-1x +5y = -1 -15 = -16

2x -8y = 2 +24 = 26

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-1x +5y = -16

2x -8y = 26

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}-3x& +2y& =& $ 3$& & & \text{(I)}\\ 9x& -6y& =& $ -8$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-3x& +2y& =& $ 3$& & & \text{(I)}\\ 9x& -6y& =& $ -8$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$-3x+2y$	=	$3$
$2y-3x$	=	$3$	| $+3x$
$2y$	=	$3+3x$	|:$2$
$y$	=	$\frac{3}{2}+\frac{3}{2}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(\frac{3}{2}+\frac{3}{2}x\right)& & & \text{(I)}\\ 9x& -6y& =& $ -8$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{3}{2}+\frac{3}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$9x-6·\left(\frac{3}{2}+\frac{3}{2}x\right)$	=	$-8$
$9x-9-9x$	=	$-8$
$-9$	=	$-8$	| $+9$
0	=	$1$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 2 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 5 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 204 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 6 LED-Leuchtmittel und 6 Halogenleuchten zusammen 252 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}2x& +5y& =& $ 204$& & & \text{(I)}\\ 6x& +6y& =& $ 252$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2x+5y$	=	$204$
$5y+2x$	=	$204$	| $-2x$
$5y$	=	$204-2x$	|:$5$
$y$	=	$\frac{204}{5}-\frac{2}{5}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(\frac{204}{5}-\frac{2}{5}x\right)& & & \text{(I)}\\ 6x& +6y& =& $ 252$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{204}{5}-\frac{2}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6x+6·\left(\frac{204}{5}-\frac{2}{5}x\right)$	=	$252$
$6x+\frac{1224}{5}-\frac{12}{5}x$	=	$252$
$\frac{18}{5}x+\frac{1224}{5}$	=	$252$	|⋅ 5
$5\left(\frac{18}{5}x+\frac{1224}{5}\right)$	=	$1260$
$18x+1224$	=	$1260$	| $-1224$
$18x$	=	$36$	|:$18$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{204}{5}-\frac{2}{5}\cdot 2$

= $\frac{204}{5}-\frac{4}{5}$

= $40$

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (2|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 2

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 40