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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3x-2y$ = $-24$.

Bestimme y so, dass (-6|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -6 in die Gleichung ein und erhält:

$3\cdot \left(-6\right)-2y$ = $-24$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$3\cdot \left(-6\right)-2y$	=	$-24$
$-18-2y$	=	$-24$
$-2y-18$	=	$-24$	| $+18$
$-2y$	=	$-6$	|:($-2$)
$y$	=	$3$

Die Lösung ist somit: (-6|3)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4x-3y$ = $34$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (7|-2)
denn 4⋅7 -3⋅( - 2 ) = 28 +6 = $34$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (4|-6)
denn 4⋅4 -3⋅( - 6 ) = 16 +18 = $34$

Oder : (10|2)
denn 4⋅10 -3⋅2 = 40 -6 = $34$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}& +4y& =& $ -16$& & & \text{(I)}\\ -x& +2y& =& $ -6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}& +4y& =& $ -16$& & & \text{(I)}\\ -x& +2y& =& $ -6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$4y$	=	$-16$	|:$4$
$y$	=	$-4$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& $ -4$& & & \text{(I)}\\ -x& +2y& =& $ -6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $-4$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-x+2·\left(-4\right)$	=	$-6$
$-x-8$	=	$-6$	| $+8$
$-x$	=	$2$	|:($-1$)
$x$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $-4$

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}3x& +y& =& $ -24$& & & \text{(I)}\\ x& +4y& =& $ -30$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}3x& +y& =& $ -24$& & & \text{(I)}\\ x& +4y& =& $ -30$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+4y$	=	$-30$	| $-4y$
$x$	=	$-30-4y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}3x& +y& =& $ -24$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(-30-4y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-30-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(-30-4y\right)+y$	=	$-24$
$-90-12y+y$	=	$-24$
$-11y-90$	=	$-24$	| $+90$
$-11y$	=	$66$	|:($-11$)
$y$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-30-4\cdot \left(-6\right)$

= $-30+24$

= $-6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-6)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& -2y& =& $ 5$& & & \text{(I)}\\ 3x& -2y& =& $ 7$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}x& -2y& =& $ 5$& & & \text{(I)}\\ 3x& -2y& =& $ 7$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x-2y$	=	$5$	| $+2y$
$x$	=	$5+2y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(5+2y\right)& & & \text{(I)}\\ 3x& -2y& =& $ 7$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $5+2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(5+2y\right)-2y$	=	$7$
$15+6y-2y$	=	$7$
$4y+15$	=	$7$	| $-15$
$4y$	=	$-8$	|:$4$
$y$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $5+2\cdot \left(-2\right)$

= $5-4$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-\frac{3}{4}x& +3y& =& $ \frac{27}{2}$& & & \text{(I)}\\ -\frac{3}{4}x& -y& =& $ -\frac{5}{2}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-\frac{3}{4}x& +3y& =& $ \frac{27}{2}$& & & \text{(I)}\\ -\frac{3}{4}x& -y& =& $ -\frac{5}{2}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$-\frac{3}{4}x-y$	=	$-\frac{5}{2}$
$-y-\frac{3}{4}x$	=	$-\frac{5}{2}$	|⋅ 4
$4\left(-y-\frac{3}{4}x\right)$	=	$-10$
$-4y-3x$	=	$-10$	| $+3x$
$-4y$	=	$-10+3x$	|:($-4$)
$y$	=	$\frac{5}{2}-\frac{3}{4}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-\frac{3}{4}x& +3y& =& $ \frac{27}{2}$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& \left(\frac{5}{2}-\frac{3}{4}x\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $\frac{5}{2}-\frac{3}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-\frac{3}{4}x+3·\left(\frac{5}{2}-\frac{3}{4}x\right)$	=	$\frac{27}{2}$
$-\frac{3}{4}x+\frac{15}{2}-\frac{9}{4}x$	=	$\frac{27}{2}$
$-3x+\frac{15}{2}$	=	$\frac{27}{2}$	|⋅ 2
$2\left(-3x+\frac{15}{2}\right)$	=	$27$
$-6x+15$	=	$27$	| $-15$
$-6x$	=	$12$	|:($-6$)
$x$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $\frac{5}{2}-\frac{3}{4}\cdot \left(-2\right)$

= $\frac{5}{2}+\frac{3}{2}$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -3 und y = -1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

4x -4y = ?

5x -2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

4x -4y = -12 +4 = -8

5x -2y = -15 +2 = -13

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

4x -4y = -8

5x -2y = -13

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}4x& -y& =& $ -14$& & & \text{(I)}\\ -5x& +y& =& $ 16$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}4x& -y& =& $ -14$& & & \text{(I)}\\ -5x& +y& =& $ 16$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$-5x+y$	=	$16$
$y-5x$	=	$16$	| $+5x$
$y$	=	$16+5x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}4x& -y& =& $ -14$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& \left(16+5x\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $16+5x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x-1·\left(16+5x\right)$	=	$-14$
$4x-16-5x$	=	$-14$
$-x-16$	=	$-14$	| $+16$
$-x$	=	$2$	|:($-1$)
$x$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $16+5\cdot \left(-2\right)$

= $16-10$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|6)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 7 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 5 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 110 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 2 LED-Leuchtmittel und 6 Halogenleuchten zusammen 100 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}7x& +5y& =& $ 110$& & & \text{(I)}\\ 2x& +6y& =& $ 100$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$7x+5y$	=	$110$
$5y+7x$	=	$110$	| $-7x$
$5y$	=	$110-7x$	|:$5$
$y$	=	$22-\frac{7}{5}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(22-\frac{7}{5}x\right)& & & \text{(I)}\\ 2x& +6y& =& $ 100$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $22-\frac{7}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x+6·\left(22-\frac{7}{5}x\right)$	=	$100$
$2x+132-\frac{42}{5}x$	=	$100$
$-\frac{32}{5}x+132$	=	$100$	|⋅ 5
$5\left(-\frac{32}{5}x+132\right)$	=	$500$
$-32x+660$	=	$500$	| $-660$
$-32x$	=	$-160$	|:($-32$)
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $22-\frac{7}{5}\cdot 5$

= $22-7$

= $15$

also

y = 15

Die Lösung des LGS ist damit: (5|15)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 5

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 15