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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-4x-2y$ = $-12$.

Bestimme y so, dass (6|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 6 in die Gleichung ein und erhält:

$-4\cdot 6-2y$ = $-12$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$-4\cdot 6-2y$	=	$-12$
$-24-2y$	=	$-12$
$-2y-24$	=	$-12$	| $+24$
$-2y$	=	$12$	|:($-2$)
$y$	=	$-6$

Die Lösung ist somit: (6|-6)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-3x+4y$ = $-43$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (5|-7)
denn -3⋅5 +4⋅( - 7 ) = -15 -28 = $-43$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (9|-4)
denn -3⋅9 +4⋅( - 4 ) = -27 -16 = $-43$

Oder : (1|-10)
denn -3⋅1 +4⋅( - 10 ) = -3 -40 = $-43$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}& +2y& =& $ -6$& & & \text{(I)}\\ -x& +2y& =& $ -3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}& +2y& =& $ -6$& & & \text{(I)}\\ -x& +2y& =& $ -3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$2y$	=	$-6$	|:$2$
$y$	=	$-3$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& $ -3$& & & \text{(I)}\\ -x& +2y& =& $ -3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $-3$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-x+2·\left(-3\right)$	=	$-3$
$-x-6$	=	$-3$	| $+6$
$-x$	=	$3$	|:($-1$)
$x$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $-3$

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& -3y& =& $ -20$& & & \text{(I)}\\ x& -4y& =& $ -25$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}x& -3y& =& $ -20$& & & \text{(I)}\\ x& -4y& =& $ -25$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x-4y$	=	$-25$	| $+4y$
$x$	=	$-25+4y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& -3y& =& $ -20$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(-25+4y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-25+4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1·\left(-25+4y\right)-3y$	=	$-20$
$-25+4y-3y$	=	$-20$
$y-25$	=	$-20$	| $+25$
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-25+4\cdot 5$

= $-25+20$

= $-5$

also

x = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}4x& +2y& =& $ 2$& & & \text{(I)}\\ 3x& +2y& =& $ 3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}4x& +2y& =& $ 2$& & & \text{(I)}\\ 3x& +2y& =& $ 3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4x+2y$	=	$2$
$2y+4x$	=	$2$	| $-4x$
$2y$	=	$2-4x$	|:$2$
$y$	=	$1-2x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(1-2x\right)& & & \text{(I)}\\ 3x& +2y& =& $ 3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $1-2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x+2·\left(1-2x\right)$	=	$3$
$3x+2-4x$	=	$3$
$-x+2$	=	$3$	| $-2$
$-x$	=	$1$	|:($-1$)
$x$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $1-2\cdot \left(-1\right)$

= $1+2$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$5y$	=	$2\left(2x+5\right)$			(I)
$x+5(3+y)$	=	0			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$5y$	=	$2\left(2x+5\right)$			(I)
$x+5(3+y)$	=	0			(II)

$5y$	=	$4x+10$	| $-4x$		(I)
$x+15+5y$	=	0	| $-15$		(II)

$\begin{array}{ccccccc}-4x& +5y& =& $ 10$& & & \text{(I)}\\ x& +5y& =& $ -15$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+5y$	=	$-15$	| $-5y$
$x$	=	$-15-5y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-4x& +5y& =& $ 10$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(-15-5y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-15-5y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-4·\left(-15-5y\right)+5y$	=	$10$
$60+20y+5y$	=	$10$
$25y+60$	=	$10$	| $-60$
$25y$	=	$-50$	|:$25$
$y$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-15-5\cdot \left(-2\right)$

= $-15+10$

= $-5$

also

x = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 4 und y = 3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

4x +4y = ?

5x +2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 4 und y = 3 einsetzen und ausrechnen:

4x +4y = 16 +12 = 28

5x +2y = 20 +6 = 26

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

4x +4y = 28

5x +2y = 26

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}2x& -2y& =& $ 3$& & & \text{(I)}\\ -6x& +6y& =& $ -9$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}2x& -2y& =& $ 3$& & & \text{(I)}\\ -6x& +6y& =& $ -9$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2x-2y$	=	$3$
$-2y+2x$	=	$3$	| $-2x$
$-2y$	=	$3-2x$	|:($-2$)
$y$	=	$-\frac{3}{2}+x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-\frac{3}{2}+x\right)& & & \text{(I)}\\ -6x& +6y& =& $ -9$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{3}{2}+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-6x+6·\left(-\frac{3}{2}+x\right)$	=	$-9$
$-6x-9+6x$	=	$-9$
$-9$	=	$-9$	| $+9$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 4-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 25. Wenn man aber vom 5-fachen von x 2 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 15. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& +4y& =& $ 25$& & & \text{(I)}\\ 5x& -2y& =& $ 15$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+4y$	=	$25$	| $-4y$
$x$	=	$25-4y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(25-4y\right)& & & \text{(I)}\\ 5x& -2y& =& $ 15$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $25-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5·\left(25-4y\right)-2y$	=	$15$
$125-20y-2y$	=	$15$
$-22y+125$	=	$15$	| $-125$
$-22y$	=	$-110$	|:($-22$)
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $25-4\cdot 5$

= $25-20$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|5)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 5

y (y-Wert): 5