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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4x-y$ = $21$.

Bestimme y so, dass (4|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 4 in die Gleichung ein und erhält:

$4\cdot 4-y$ = $21$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$4\cdot 4-y$	=	$21$
$16-y$	=	$21$
$-y+16$	=	$21$	| $-16$
$-y$	=	$5$	|:($-1$)
$y$	=	$-5$

Die Lösung ist somit: (4|-5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x-4y$ = $30$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (2|-7)
denn 1⋅2 -4⋅( - 7 ) = 2 +28 = $30$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-2|-8)
denn 1⋅( - 2 ) -4⋅( - 8 ) = -2 +32 = $30$

Oder : (6|-6)
denn 1⋅6 -4⋅( - 6 ) = 6 +24 = $30$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-x& -3y& =& $ -16$& & & \text{(I)}\\ -2x& & =& $ 4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-x& -3y& =& $ -16$& & & \text{(I)}\\ -2x& & =& $ 4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$-2x$	=	$4$	|:($-2$)
$x$	=	$-2$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-x& -3y& =& $ -16$& & & \text{(I)}\\ x& & =& $ -2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $-2$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$-1·\left(-2\right)-3y$	=	$-16$
$2-3y$	=	$-16$
$-3y+2$	=	$-16$	| $-2$
$-3y$	=	$-18$	|:($-3$)
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $-2$

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}4x& +y& =& $ 16$& & & \text{(I)}\\ -2x& -2y& =& $ -14$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}4x& +y& =& $ 16$& & & \text{(I)}\\ -2x& -2y& =& $ -14$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4x+y$	=	$16$
$y+4x$	=	$16$	| $-4x$
$y$	=	$16-4x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(16-4x\right)& & & \text{(I)}\\ -2x& -2y& =& $ -14$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $16-4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x-2·\left(16-4x\right)$	=	$-14$
$-2x-32+8x$	=	$-14$
$6x-32$	=	$-14$	| $+32$
$6x$	=	$18$	|:$6$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $16-4\cdot 3$

= $16-12$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (3|4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}4x& +5y& =& $ -42$& & & \text{(I)}\\ -3x& -2y& =& $ 21$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}4x& +5y& =& $ -42$& & & \text{(I)}\\ -3x& -2y& =& $ 21$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4x+5y$	=	$-42$
$5y+4x$	=	$-42$	| $-4x$
$5y$	=	$-42-4x$	|:$5$
$y$	=	$-\frac{42}{5}-\frac{4}{5}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-\frac{42}{5}-\frac{4}{5}x\right)& & & \text{(I)}\\ -3x& -2y& =& $ 21$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{42}{5}-\frac{4}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x-2·\left(-\frac{42}{5}-\frac{4}{5}x\right)$	=	$21$
$-3x+\frac{84}{5}+\frac{8}{5}x$	=	$21$
$-\frac{7}{5}x+\frac{84}{5}$	=	$21$	|⋅ 5
$5\left(-\frac{7}{5}x+\frac{84}{5}\right)$	=	$105$
$-7x+84$	=	$105$	| $-84$
$-7x$	=	$21$	|:($-7$)
$x$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{42}{5}-\frac{4}{5}\cdot \left(-3\right)$

= $-\frac{42}{5}+\frac{12}{5}$

= $-6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-6)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-\frac{1}{2}x& +\frac{1}{5}y& =& $ -\frac{17}{5}$& & & \text{(I)}\\ -\frac{1}{2}x& +\frac{1}{2}y& =& $ -4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-\frac{1}{2}x& +\frac{1}{5}y& =& $ -\frac{17}{5}$& & & \text{(I)}\\ -\frac{1}{2}x& +\frac{1}{2}y& =& $ -4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$-\frac{1}{2}x+\frac{1}{5}y$	=	$-\frac{17}{5}$
$\frac{1}{5}y-\frac{1}{2}x$	=	$-\frac{17}{5}$	|⋅ 10
$10\left(\frac{1}{5}y-\frac{1}{2}x\right)$	=	$-34$
$2y-5x$	=	$-34$	| $+5x$
$2y$	=	$-34+5x$	|:$2$
$y$	=	$-17+\frac{5}{2}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-17+\frac{5}{2}x\right)& & & \text{(I)}\\ -\frac{1}{2}x& +\frac{1}{2}y& =& $ -4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-17+\frac{5}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}·\left(-17+\frac{5}{2}x\right)$	=	$-4$
$-\frac{1}{2}x-\frac{17}{2}+\frac{5}{4}x$	=	$-4$
$\frac{3}{4}x-\frac{17}{2}$	=	$-4$	|⋅ 4
$4\left(\frac{3}{4}x-\frac{17}{2}\right)$	=	$-16$
$3x-34$	=	$-16$	| $+34$
$3x$	=	$18$	|:$3$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-17+\frac{5}{2}\cdot 6$

= $-17+15$

= $-2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 2 und y = -1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x -1y = ?

-3x -2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

-4x -1y = -8 +1 = -7

-3x -2y = -6 +2 = -4

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x -1y = -7

-3x -2y = -4

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}-4x& +y& =& $ -1$& & & \text{(I)}\\ 16x& -4y& =& $ 1$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-4x& +y& =& $ -1$& & & \text{(I)}\\ 16x& -4y& =& $ 1$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$-4x+y$	=	$-1$
$y-4x$	=	$-1$	| $+4x$
$y$	=	$-1+4x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-1+4x\right)& & & \text{(I)}\\ 16x& -4y& =& $ 1$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-1+4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$16x-4·\left(-1+4x\right)$	=	$1$
$16x+4-16x$	=	$1$
$4$	=	$1$	| $-4$
0	=	$-3$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 4-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 12. Wenn man aber vom 4-fachen von x 3 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 10. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& +4y& =& $ 12$& & & \text{(I)}\\ 4x& -3y& =& $ 10$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+4y$	=	$12$	| $-4y$
$x$	=	$12-4y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(12-4y\right)& & & \text{(I)}\\ 4x& -3y& =& $ 10$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $12-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4·\left(12-4y\right)-3y$	=	$10$
$48-16y-3y$	=	$10$
$-19y+48$	=	$10$	| $-48$
$-19y$	=	$-38$	|:($-19$)
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $12-4\cdot 2$

= $12-8$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|2)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 4

y (y-Wert): 2