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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x-4y$ = $21$.

Bestimme y so, dass (-7|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -7 in die Gleichung ein und erhält:

$\left(-7\right)-4y$ = $21$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$\left(-7\right)-4y$	=	$21$
$-7-4y$	=	$21$
$-4y-7$	=	$21$	| $+7$
$-4y$	=	$28$	|:($-4$)
$y$	=	$-7$

Die Lösung ist somit: (-7|-7)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-5x-y$ = $-9$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (1|4)
denn -5⋅1 -1⋅4 = -5 -4 = $-9$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (0|9)
denn -5⋅0 -1⋅9 = 0 -9 = $-9$

Oder : (2|-1)
denn -5⋅2 -1⋅( - 1 ) = -10 +1 = $-9$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}2x& -2y& =& $ 6$& & & \text{(I)}\\ & -4y& =& $ -4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}2x& -2y& =& $ 6$& & & \text{(I)}\\ & -4y& =& $ -4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$-4y$	=	$-4$	|:($-4$)
$y$	=	$1$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}2x& -2y& =& $ 6$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& $ 1$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $1$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x-2·1$	=	$6$
$2x-2$	=	$6$	| $+2$
$2x$	=	$8$	|:$2$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $1$

Die Lösung des LGS ist damit: (4|1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-2x& -3y& =& $ -4$& & & \text{(I)}\\ x& +3y& =& $ 8$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-2x& -3y& =& $ -4$& & & \text{(I)}\\ x& +3y& =& $ 8$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+3y$	=	$8$	| $-3y$
$x$	=	$8-3y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-2x& -3y& =& $ -4$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(8-3y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $8-3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-2·\left(8-3y\right)-3y$	=	$-4$
$-16+6y-3y$	=	$-4$
$3y-16$	=	$-4$	| $+16$
$3y$	=	$12$	|:$3$
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $8-3\cdot 4$

= $8-12$

= $-4$

also

x = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-5x& -4y& =& $ 1$& & & \text{(I)}\\ 2x& -4y& =& $ 22$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-5x& -4y& =& $ 1$& & & \text{(I)}\\ 2x& -4y& =& $ 22$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$-5x-4y$	=	$1$
$-4y-5x$	=	$1$	| $+5x$
$-4y$	=	$1+5x$	|:($-4$)
$y$	=	$-\frac{1}{4}-\frac{5}{4}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-\frac{1}{4}-\frac{5}{4}x\right)& & & \text{(I)}\\ 2x& -4y& =& $ 22$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{1}{4}-\frac{5}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x-4·\left(-\frac{1}{4}-\frac{5}{4}x\right)$	=	$22$
$2x+1+5x$	=	$22$
$7x+1$	=	$22$	| $-1$
$7x$	=	$21$	|:$7$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{1}{4}-\frac{5}{4}\cdot 3$

= $-\frac{1}{4}-\frac{15}{4}$

= $-4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}\frac{3}{2}x& -\frac{3}{4}y& =& $ -\frac{39}{4}$& & & \text{(I)}\\ \frac{1}{3}x& +\frac{1}{2}y& =& $ -\frac{3}{2}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}\frac{3}{2}x& -\frac{3}{4}y& =& $ -\frac{39}{4}$& & & \text{(I)}\\ \frac{1}{3}x& +\frac{1}{2}y& =& $ -\frac{3}{2}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$\frac{3}{2}x-\frac{3}{4}y$	=	$-\frac{39}{4}$
$-\frac{3}{4}y+\frac{3}{2}x$	=	$-\frac{39}{4}$	|⋅ 4
$4\left(-\frac{3}{4}y+\frac{3}{2}x\right)$	=	$-39$
$-3y+6x$	=	$-39$	| $-6x$
$-3y$	=	$-39-6x$	|:($-3$)
$y$	=	$13+2x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(13+2x\right)& & & \text{(I)}\\ \frac{1}{3}x& +\frac{1}{2}y& =& $ -\frac{3}{2}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $13+2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}·\left(13+2x\right)$	=	$-\frac{3}{2}$
$\frac{1}{3}x+\frac{13}{2}+x$	=	$-\frac{3}{2}$
$\frac{4}{3}x+\frac{13}{2}$	=	$-\frac{3}{2}$	|⋅ 6
$6\left(\frac{4}{3}x+\frac{13}{2}\right)$	=	$-9$
$8x+39$	=	$-9$	| $-39$
$8x$	=	$-48$	|:$8$
$x$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $13+2\cdot \left(-6\right)$

= $13-12$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 5 und y = 2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

4x +2y = ?

6x +1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = 2 einsetzen und ausrechnen:

4x +2y = 20 +4 = 24

6x +1y = 30 +2 = 32

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

4x +2y = 24

6x +1y = 32

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}2x& -4y& =& $ 0$& & & \text{(I)}\\ -4x& +5y& =& $ -6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}2x& -4y& =& $ 0$& & & \text{(I)}\\ -4x& +5y& =& $ -6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2x-4y$	=	0
$-4y+2x$	=	0	| $-2x$
$-4y$	=	$-2x$	|:($-4$)
$y$	=	$\frac{1}{2}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \frac{1}{2}x& & & \text{(I)}\\ -4x& +5y& =& $ -6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $\frac{1}{2}x$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-4x+5·\frac{1}{2}x$	=	$-6$
$-4x+\frac{5}{2}x$	=	$-6$
$-\frac{3}{2}x$	=	$-6$	|⋅ 2
$-3x$	=	$-12$	|:($-3$)
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{1}{2}\cdot 4$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (4|2)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 7 Stunden wandern. Danach hat sie 2 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 980 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 7 Stunden wandern und hat 1 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 1015 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}7x& -2y& =& $ 980$& & & \text{(I)}\\ 7x& -y& =& $ 1015$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$7x-y$	=	$1015$
$-y+7x$	=	$1015$	| $-7x$
$-y$	=	$1015-7x$	|:($-1$)
$y$	=	$-1015+7x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}7x& -2y& =& $ 980$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& \left(-1015+7x\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-1015+7x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$7x-2·\left(-1015+7x\right)$	=	$980$
$7x+2030-14x$	=	$980$
$-7x+2030$	=	$980$	| $-2030$
$-7x$	=	$-1050$	|:($-7$)
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-1015+7\cdot 150$

= $-1015+1050$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (150|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 35