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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 4 x + 5 y$ = $24$ .

Bestimme x so, dass (x|4) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 4 in die Gleichung ein und erhält:

$- 4 x + 5 \cdot 4$ = $24$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 4 x + 5 \cdot 4$	=	$24$
$- 4 x + 20$	=	$24$	\| $- 20$
$- 4 x$	=	$4$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 1$

Die Lösung ist somit: (-1|4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x + 3 y$ = $- 17$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-5|1)
denn 4⋅( - 5 ) +3⋅1 = -20 +3 = $- 17$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-2|-3)
denn 4⋅( - 2 ) +3⋅( - 3 ) = -8 -9 = $- 17$

Oder : (-8|5)
denn 4⋅( - 8 ) +3⋅5 = -32 +15 = $- 17$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & - 3 y & = & 0 & (I) \\ - 3 x & = & 15 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - 3 y & = & 0 & (I) \\ - 3 x & = & 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 3 x$	=	$15$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 5$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & - 3 y & = & 0 & (I) \\ x & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $- 5$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (- 5) - 3 y$	=	0
$15 - 3 y$	=	0
$- 3 y + 15$	=	0	\| $- 15$
$- 3 y$	=	$- 15$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 5$

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 4 y & = & 27 & (I) \\ - 2 x & + y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 4 y & = & 27 & (I) \\ - 2 x & + y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x + y$	=	0
$y - 2 x$	=	0	\| $+ 2 x$
$y$	=	$2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & + 4 y & = & 27 & (I) \\ + y & = & 2 x & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $2 x$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$x + 4 \cdot 2 x$	=	$27$
$x + 8 x$	=	$27$
$9 x$	=	$27$	\|: $9$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $2 \cdot 3$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (3|6)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 5 x & - 4 y & = & 34 & (I) \\ 5 x & - 5 y & = & - 25 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 5 x & - 4 y & = & 34 & (I) \\ 5 x & - 5 y & = & - 25 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 5 x - 4 y$	=	$34$
$- 4 y - 5 x$	=	$34$	\| $+ 5 x$
$- 4 y$	=	$34 + 5 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- \frac{17}{2} - \frac{5}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{17}{2} - \frac{5}{4} x) & (I) \\ 5 x & - 5 y & = & - 25 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{17}{2} - \frac{5}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x - 5 \cdot (- \frac{17}{2} - \frac{5}{4} x)$	=	$- 25$
$5 x + \frac{85}{2} + \frac{25}{4} x$	=	$- 25$
$\frac{45}{4} x + \frac{85}{2}$	=	$- 25$	\|⋅ 4
$4 (\frac{45}{4} x + \frac{85}{2})$	=	$- 100$
$45 x + 170$	=	$- 100$	\| $- 170$
$45 x$	=	$- 270$	\|: $45$
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{17}{2} - \frac{5}{4} \cdot (- 6)$

= $- \frac{17}{2} + \frac{15}{2}$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - \frac{3}{5} x & + \frac{3}{4} y & = & - \frac{51}{20} & (I) \\ x & + \frac{2}{3} y & = & - \frac{16}{3} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - \frac{3}{5} x & + \frac{3}{4} y & = & - \frac{51}{20} & (I) \\ x & + \frac{2}{3} y & = & - \frac{16}{3} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + \frac{2}{3} y$	=	$- \frac{16}{3}$	\|⋅ 3
$3 (x + \frac{2}{3} y)$	=	$- 16$
$3 x + 2 y$	=	$- 16$	\| $- 2 y$
$3 x$	=	$- 16 - 2 y$	\|: $3$
$x$	=	$- \frac{16}{3} - \frac{2}{3} y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - \frac{3}{5} x & + \frac{3}{4} y & = & - \frac{51}{20} & (I) \\ x & = & (- \frac{16}{3} - \frac{2}{3} y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- \frac{16}{3} - \frac{2}{3} y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- \frac{3}{5} \cdot (- \frac{16}{3} - \frac{2}{3} y) + \frac{3}{4} y$	=	$- \frac{51}{20}$
$\frac{16}{5} + \frac{2}{5} y + \frac{3}{4} y$	=	$- \frac{51}{20}$
$\frac{23}{20} y + \frac{16}{5}$	=	$- \frac{51}{20}$	\|⋅ 20
$20 (\frac{23}{20} y + \frac{16}{5})$	=	$- 51$
$23 y + 64$	=	$- 51$	\| $- 64$
$23 y$	=	$- 115$	\|: $23$
$y$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- \frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot (- 5)$

= $- \frac{16}{3} + \frac{10}{3}$

= $- 2$

also

x = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 4 und y = 5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x -5y = ?

-4x -3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 4 und y = 5 einsetzen und ausrechnen:

-5x -5y = -20 -25 = -45

-4x -3y = -16 -15 = -31

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x -5y = -45

-4x -3y = -31

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 4 x & - 4 y & = & - 40 & (I) \\ - 2 x & - 5 y & = & - 35 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - 4 y & = & - 40 & (I) \\ - 2 x & - 5 y & = & - 35 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 4 x - 4 y$	=	$- 40$
$- 4 y - 4 x$	=	$- 40$	\| $+ 4 x$
$- 4 y$	=	$- 40 + 4 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$10 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (10 - x) & (I) \\ - 2 x & - 5 y & = & - 35 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $10 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x - 5 \cdot (10 - x)$	=	$- 35$
$- 2 x - 50 + 5 x$	=	$- 35$
$3 x - 50$	=	$- 35$	\| $+ 50$
$3 x$	=	$15$	\|: $3$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $10 - 5$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|5)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 2-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 7. Wenn man aber vom 2-fachen von x 4 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -2. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 7 & (I) \\ 2 x & - 4 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$7$	\| $- 2 y$
$x$	=	$7 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (7 - 2 y) & (I) \\ 2 x & - 4 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $7 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (7 - 2 y) - 4 y$	=	$- 2$
$14 - 4 y - 4 y$	=	$- 2$
$- 8 y + 14$	=	$- 2$	\| $- 14$
$- 8 y$	=	$- 16$	\|:( $- 8$ )
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $7 - 2 \cdot 2$

= $7 - 4$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|2)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 3

y (y-Wert): 2

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Wert zum Einsetzen finden (offen)

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

LGS (Standard)

LGS (vorher umformen)

LGS zu Lösungen finden

LGS Lösungsvielfalt erkennen

LGS Anwendungen