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nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Wert zum Einsetzen finden
Beispiel:
Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: = .
Bestimme x so, dass (x|7) eine Lösung dieser Gleichung ist.
Man setzt einfach y = 7 in die Gleichung ein und erhält:
=
Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:
| = | |||
| = | | | ||
| = | |:() | ||
| = |
Die Lösung ist somit: (0|7)
Wert zum Einsetzen finden (offen)
Beispiel:
Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: = .
Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.
Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (6|4)
denn
2⋅
Eine weitere Lösung wäre aber auch: (5|2)
denn 2⋅
Oder : (7|6)
denn 2⋅
LGS (1 Var. schon aufgelöst)
Beispiel:
Löse das lineare Gleichungssystem:
Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:
| = | |:() | ||
| = |
Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ersetzen und dann nach x auflösen:
| = | |||
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = |
Somit haben wir eine Lösung für x.
Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y =
Die Lösung des LGS ist damit: (2|2)
LGS (1 Var. ohne Koeff.)
Beispiel:
Löse das lineare Gleichungssystem:
Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:
| = | | | ||
| = |
Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( ) ersetzen und dann nach y auflösen:
| = | |||
| = | |||
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = |
Somit haben wir eine Lösung für y.
Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:
x =
=
=
also
x = -1
Die Lösung des LGS ist damit: (-1|5)
LGS (Standard)
Beispiel:
Löse das lineare Gleichungssystem:
Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:
| = | |||
| = | | | ||
| = | |:() | ||
| = |
Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ersetzen und dann nach x auflösen:
| = | |||
| = | |||
| = | |⋅ 3 | ||
| = | |: | ||
| = |
Somit haben wir eine Lösung für x.
Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:
y =
=
also
y = 5
Die Lösung des LGS ist damit: (3|5)
LGS (vorher umformen)
Beispiel:
Löse das lineare Gleichungssystem:
| = | (I) | ||||
| = | (II) |
Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:
| = | (I) | ||||
| = | (II) |
| = | | + | (I) | |||
| = | | + | (II) |
Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:
| = | |||
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = |
Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( ) ersetzen und dann nach x auflösen:
| = | |||
| = | |||
| = | |⋅ 5 | ||
| = | |||
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = |
Somit haben wir eine Lösung für x.
Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:
y =
=
=
also
y = 6
Die Lösung des LGS ist damit: (1|6)
LGS zu Lösungen finden
Beispiel:
Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -3 und y = -5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.
Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:
-5x
-7x
Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:
-5x
-7x
So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:
-5x
-7x
LGS Lösungsvielfalt erkennen
Beispiel:
Bestimme die Lösungsmenge:
Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:
| = | |||
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = |
Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( ) ersetzen und dann nach x auflösen:
| = | |||
| = | |||
| = | |⋅ 3 | ||
| = | |||
| = | | | ||
| = | |:() | ||
| = |
Somit haben wir eine Lösung für x.
Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:
y =
=
=
also
y = -6
Die Lösung des LGS ist damit: (1|-6)
LGS Anwendungen
Beispiel:
Wenn man zu einer Zahl x das 3-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 19. Wenn man aber vom 5-fachen von x 7 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -15. Bestimme x und y.
Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:
Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:
| = | | | ||
| = |
Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( ) ersetzen und dann nach y auflösen:
| = | |||
| = | |||
| = | | | ||
| = | |:() | ||
| = |
Somit haben wir eine Lösung für y.
Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:
x =
=
=
also
x = 4
Die Lösung des LGS ist damit: (4|5)
Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:
x (x-Wert): 4
y (y-Wert): 5