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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3x-5y$ = $8$.

Bestimme y so, dass (-4|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -4 in die Gleichung ein und erhält:

$3\cdot \left(-4\right)-5y$ = $8$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$3\cdot \left(-4\right)-5y$	=	$8$
$-12-5y$	=	$8$
$-5y-12$	=	$8$	| $+12$
$-5y$	=	$20$	|:($-5$)
$y$	=	$-4$

Die Lösung ist somit: (-4|-4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-3x-2y$ = $5$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-3|2)
denn -3⋅( - 3 ) -2⋅2 = 9 -4 = $5$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-5|5)
denn -3⋅( - 5 ) -2⋅5 = 15 -10 = $5$

Oder : (-1|-1)
denn -3⋅( - 1 ) -2⋅( - 1 ) = 3 +2 = $5$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}& -4y& =& $ 20$& & & \text{(I)}\\ x& +3y& =& $ -18$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}& -4y& =& $ 20$& & & \text{(I)}\\ x& +3y& =& $ -18$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$-4y$	=	$20$	|:($-4$)
$y$	=	$-5$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& $ -5$& & & \text{(I)}\\ x& +3y& =& $ -18$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $-5$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$x+3·\left(-5\right)$	=	$-18$
$x-15$	=	$-18$	| $+15$
$x$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $-5$

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& -4y& =& $ 26$& & & \text{(I)}\\ 4x& +y& =& $ 2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}x& -4y& =& $ 26$& & & \text{(I)}\\ 4x& +y& =& $ 2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4x+y$	=	$2$
$y+4x$	=	$2$	| $-4x$
$y$	=	$2-4x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& -4y& =& $ 26$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& \left(2-4x\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $2-4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x-4·\left(2-4x\right)$	=	$26$
$x-8+16x$	=	$26$
$17x-8$	=	$26$	| $+8$
$17x$	=	$34$	|:$17$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $2-4\cdot 2$

= $2-8$

= $-6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-6)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-2x& -5y& =& $ 36$& & & \text{(I)}\\ 2x& -2y& =& $ 6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-2x& -5y& =& $ 36$& & & \text{(I)}\\ 2x& -2y& =& $ 6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$-2x-5y$	=	$36$
$-5y-2x$	=	$36$	| $+2x$
$-5y$	=	$36+2x$	|:($-5$)
$y$	=	$-\frac{36}{5}-\frac{2}{5}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-\frac{36}{5}-\frac{2}{5}x\right)& & & \text{(I)}\\ 2x& -2y& =& $ 6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{36}{5}-\frac{2}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x-2·\left(-\frac{36}{5}-\frac{2}{5}x\right)$	=	$6$
$2x+\frac{72}{5}+\frac{4}{5}x$	=	$6$
$\frac{14}{5}x+\frac{72}{5}$	=	$6$	|⋅ 5
$5\left(\frac{14}{5}x+\frac{72}{5}\right)$	=	$30$
$14x+72$	=	$30$	| $-72$
$14x$	=	$-42$	|:$14$
$x$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{36}{5}-\frac{2}{5}\cdot \left(-3\right)$

= $-\frac{36}{5}+\frac{6}{5}$

= $-6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-6)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-\frac{1}{3}x& -\frac{1}{3}y& =& $ -1$& & & \text{(I)}\\ -x& +\frac{3}{4}y& =& $ -\frac{13}{2}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-\frac{1}{3}x& -\frac{1}{3}y& =& $ -1$& & & \text{(I)}\\ -x& +\frac{3}{4}y& =& $ -\frac{13}{2}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$-x+\frac{3}{4}y$	=	$-\frac{13}{2}$	|⋅ 4
$4\left(-x+\frac{3}{4}y\right)$	=	$-26$
$-4x+3y$	=	$-26$	| $-3y$
$-4x$	=	$-26-3y$	|:($-4$)
$x$	=	$\frac{13}{2}+\frac{3}{4}y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-\frac{1}{3}x& -\frac{1}{3}y& =& $ -1$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(\frac{13}{2}+\frac{3}{4}y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $\frac{13}{2}+\frac{3}{4}y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-\frac{1}{3}·\left(\frac{13}{2}+\frac{3}{4}y\right)-\frac{1}{3}y$	=	$-1$
$-\frac{13}{6}-\frac{1}{4}y-\frac{1}{3}y$	=	$-1$
$-\frac{7}{12}y-\frac{13}{6}$	=	$-1$	|⋅ 12
$12\left(-\frac{7}{12}y-\frac{13}{6}\right)$	=	$-12$
$-7y-26$	=	$-12$	| $+26$
$-7y$	=	$14$	|:($-7$)
$y$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $\frac{13}{2}+\frac{3}{4}\cdot \left(-2\right)$

= $\frac{13}{2}-\frac{3}{2}$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 4 und y = 3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

1x -5y = ?

-2x +11y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 4 und y = 3 einsetzen und ausrechnen:

1x -5y = 4 -15 = -11

-2x +11y = -8 +33 = 25

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

1x -5y = -11

-2x +11y = 25

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}12x& -3y& =& $ -4$& & & \text{(I)}\\ -4x& +y& =& $ 1$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}12x& -3y& =& $ -4$& & & \text{(I)}\\ -4x& +y& =& $ 1$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$-4x+y$	=	$1$
$y-4x$	=	$1$	| $+4x$
$y$	=	$1+4x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}12x& -3y& =& $ -4$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& \left(1+4x\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $1+4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$12x-3·\left(1+4x\right)$	=	$-4$
$12x-3-12x$	=	$-4$
$-3$	=	$-4$	| $+3$
0	=	$-1$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 3 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 9 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 183 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 3 LED-Leuchtmittel und 2 Halogenleuchten zusammen 43 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}3x& +9y& =& $ 183$& & & \text{(I)}\\ 3x& +2y& =& $ 43$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3x+9y$	=	$183$
$9y+3x$	=	$183$	| $-3x$
$9y$	=	$183-3x$	|:$9$
$y$	=	$\frac{61}{3}-\frac{1}{3}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(\frac{61}{3}-\frac{1}{3}x\right)& & & \text{(I)}\\ 3x& +2y& =& $ 43$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{61}{3}-\frac{1}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x+2·\left(\frac{61}{3}-\frac{1}{3}x\right)$	=	$43$
$3x+\frac{122}{3}-\frac{2}{3}x$	=	$43$
$\frac{7}{3}x+\frac{122}{3}$	=	$43$	|⋅ 3
$3\left(\frac{7}{3}x+\frac{122}{3}\right)$	=	$129$
$7x+122$	=	$129$	| $-122$
$7x$	=	$7$	|:$7$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{61}{3}-\frac{1}{3}\cdot 1$

= $\frac{61}{3}-\frac{1}{3}$

= $20$

also

y = 20

Die Lösung des LGS ist damit: (1|20)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 1

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 20