• Klasse 5
  • Daten
  • Natürliche Zahlen
    • Zahlenstrahl
    • Große Zahlen im Zehnersystem
    • Runden von Zahlen
    • Zahlensysteme
    • Grundrechenarten
      • Kopfrechnen
      • Schriftlich
    • Rechenregeln
      • Klammern
      • Punkt vor Strich
      • Rechenreihenfolge
      • Potenzen
      • Ausmultiplizieren, Ausklammern
  • Geometrie
    • Koordinatensystem
    • Abstände
    • Symmetrische Figuren
    • Vierecke
    • Kreis
    • Winkel
    • Flächen
  • Sachrechnen
    • Geld
    • Zeit
    • Gewicht
    • Länge
    • Maßstab
• Klasse 6
  • Brüche und Bruchrechnen
    • Teilbarkeit
    • Bruchverständnis
    • Erweitern und Kürzen
    • Brüche vergleichen und ordnen
    • Brüche und Größen
    • Addieren und Subtrahieren
    • Multiplizieren
    • Dividieren
    • Punkt vor Strich. Klammern
  • Dezimalzahlen
    • Dezimalschreibweise
    • Vergleichen und Ordnen
    • Runden
    • Wechsel der Darstellung
    • Addieren und Subtrahieren
    • Multiplizieren und Dividieren
    • Verbindung der Rechenarten
  • Terme und Gleichungen
    • Terme mit Variablen
    • Gleichungen
  • Zuordnungen
    • proportionale Zuordnung
    • Dreisatz
  • Rationale Zahlen
    • Zahlenstrahl
    • vergleichen und ordnen
    • Zunahme und Abnahme
    • Koordinatensystem
  • Geometrie
    • Körper
  • Daten
• Klasse 7
  • Rationale Zahlen
    • vergleichen und ordnen
    • Strichrechnung
    • Punktrechnung
    • Rechenregeln
    • Zahlterme
    • Kombi-Aufgaben
    • negative Brüche
  • Geometrie
    • Winkel
      • an Parallelen
      • Winkelsumme
      • gleichschenkl. Dr.
      • Thaleskreis
    • Dreiecke konstruieren
    • In- und Umkreis
    • Vierecke
  • Algebra
    • Terme
    • lineare Gleichungen
  • Dreisatz, (anti)proportional
    • Antiproportionale Zuordnung
    • Proportionale Zuordnung
  • Prozentrechnung
    • Prozentsatz bestimmen
    • Prozentwert bestimmen
    • Grundwert bestimmen
  • Wahrscheinlichkeit / Daten
• Klasse 8
  • Terme
    • Ausmultiplizieren, Ausklammern
    • Binomische Formeln
    • Terme einsetzen
    • Terme aufstellen
    • Terme vereinfachen
  • Bruchgleichungen
  • Geometrie
    • Umfang und Flächeninhalt
    • Körper
  • Lineare Funktionen
  • LGS
  • Prozent- und Zinsrechnung
    • Prozentsatz, -wert, Grundwert
    • Vermehrter / verminderter Grundwert
    • Zinsrechnen (Zinseszinsen)
  • Daten / Boxplots
• Klasse 9
  • Algebra
    • Potenzen
    • Wurzeln
      • Quadratwurzeln ohne WTR
      • Rechnen mit Quadratwurzeln
        • Teilweises Wurzelziehen
      • Kubikwurzel
    • Quadratische Gleichungen
      • Bruchgleichungen
      • rein quadratische Gleichungen
      • gemischt quadratische Gleichungen
        • Nullprodukt
        • Lösungsformel
        • quadratische Ergänzung
      • Ungleichungen
      • Wurzelgleichungen
    • lineare Bruchgleichungen
  • Geometrie
    • Ähnlichkeit u. zentrische Streckung
    • Stahlensätze
      • 1. Strahlensatz
      • 2. Strahlensatz
    • Satz des Pythagoras
      • Grundaufgaben
      • in ebenen Figuren
      • in Körpern
    • Kreise
      • Umfang und Fläche
      • Kreisausschnitte
      • Anwendungen
    • Körper
      • Prismen
      • Zylinder
      • Pyramiden
  • Lineare und quadratische Funktionen
    • Lineare Funktionen
    • Quadratische Funktionen
      • Normalparabel
      • Streckung
      • Scheitelform, Termbestimmung
      • Nullstellen, Schnittpunkte
      • Modellieren
  • Zufall und Wahrscheinlichkeit
    • Kombinatorik
    • Einstufige Zufallsexperimente
• Klasse 10
  • Trigonometrie
    • am rechtwinkligen Dreieck
    • am allgemeinen Dreieck
    • Anwendungen
    • im Raum
    • am Einheitskreis
    • Bogenmaß/Funktionen
  • Algebra
    • Zehnerpotenzen
    • Potenzgesetze
    • Potenzen mit rationalen Hochzahlen
    • Exponentialrechnung
      • Zinsen, Zinseszinsen
      • Exponentielle(s) Wachstum / Abnahme
      • Logarithmus
  • Geometrie
    • Kegel
    • Kugel
    • Zusammengesetzte Körper
  • Zufall und Wahrscheinlichkeit
    • Erwartungswert
    • Zufallsexperimente mit Zurücklegen
    • Zufallsexperimente ohne Zurücklegen
• Fit für die Oberstufe
  • Potenzfunktionen
  • Exponentialfunktion
  • Vier-Felder-Tafel

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3x-5y$ = $40$.

Bestimme x so, dass (x|-5) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -5 in die Gleichung ein und erhält:

$3x-5\cdot \left(-5\right)$ = $40$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$3x-5\cdot \left(-5\right)$	=	$40$
$3x+25$	=	$40$	| $-25$
$3x$	=	$15$	|:$3$
$x$	=	$5$

Die Lösung ist somit: (5|-5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-2x-3y$ = $13$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (4|-7)
denn -2⋅4 -3⋅( - 7 ) = -8 +21 = $13$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (1|-5)
denn -2⋅1 -3⋅( - 5 ) = -2 +15 = $13$

Oder : (7|-9)
denn -2⋅7 -3⋅( - 9 ) = -14 +27 = $13$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}& +3y& =& $ 12$& & & \text{(I)}\\ -x& -2y& =& $ -10$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}& +3y& =& $ 12$& & & \text{(I)}\\ -x& -2y& =& $ -10$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$3y$	=	$12$	|:$3$
$y$	=	$4$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& $ 4$& & & \text{(I)}\\ -x& -2y& =& $ -10$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $4$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-x-2·4$	=	$-10$
$-x-8$	=	$-10$	| $+8$
$-x$	=	$-2$	|:($-1$)
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $4$

Die Lösung des LGS ist damit: (2|4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-4x& +y& =& $ -6$& & & \text{(I)}\\ -x& -4y& =& $ 7$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-4x& +y& =& $ -6$& & & \text{(I)}\\ -x& -4y& =& $ 7$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$-x-4y$	=	$7$	| $+4y$
$-x$	=	$7+4y$	|:($-1$)
$x$	=	$-7-4y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-4x& +y& =& $ -6$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(-7-4y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-7-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-4·\left(-7-4y\right)+y$	=	$-6$
$28+16y+y$	=	$-6$
$17y+28$	=	$-6$	| $-28$
$17y$	=	$-34$	|:$17$
$y$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-7-4\cdot \left(-2\right)$

= $-7+8$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& -2y& =& $ -1$& & & \text{(I)}\\ 5x& -2y& =& $ 19$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}x& -2y& =& $ -1$& & & \text{(I)}\\ 5x& -2y& =& $ 19$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x-2y$	=	$-1$	| $+2y$
$x$	=	$-1+2y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(-1+2y\right)& & & \text{(I)}\\ 5x& -2y& =& $ 19$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $-1+2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5·\left(-1+2y\right)-2y$	=	$19$
$-5+10y-2y$	=	$19$
$8y-5$	=	$19$	| $+5$
$8y$	=	$24$	|:$8$
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $-1+2\cdot 3$

= $-1+6$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

0	=	$3\left(x-2\right)-y$			(I)
$-2(6+y)$	=	$-2x$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

0	=	$3\left(x-2\right)-y$			(I)
$-2(6+y)$	=	$-2x$			(II)

0	=	$3x-6-y$	| $-3x+y$		(I)
$-12-2y$	=	$-2x$	| + $12+2x$		(II)

$\begin{array}{ccccccc}-3x& +y& =& $ -6$& & & \text{(I)}\\ 2x& -2y& =& $ 12$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$-3x+y$	=	$-6$
$y-3x$	=	$-6$	| $+3x$
$y$	=	$-6+3x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-6+3x\right)& & & \text{(I)}\\ 2x& -2y& =& $ 12$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-6+3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x-2·\left(-6+3x\right)$	=	$12$
$2x+12-6x$	=	$12$
$-4x+12$	=	$12$	| $-12$
$-4x$	=	0	|:($-4$)
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-6+3\cdot \left(0\right)$

= $-6+0$

= $-6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-6)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 1 und y = -3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

3x +2y = ?

1x -1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 1 und y = -3 einsetzen und ausrechnen:

3x +2y = 3 -6 = -3

1x -1y = 1 +3 = 4

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

3x +2y = -3

1x -1y = 4

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}-9x& +12y& =& $ -6$& & & \text{(I)}\\ 3x& -4y& =& $ 3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-9x& +12y& =& $ -6$& & & \text{(I)}\\ 3x& -4y& =& $ 3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$-9x+12y$	=	$-6$
$12y-9x$	=	$-6$	| $+9x$
$12y$	=	$-6+9x$	|:$12$
$y$	=	$-\frac{1}{2}+\frac{3}{4}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-\frac{1}{2}+\frac{3}{4}x\right)& & & \text{(I)}\\ 3x& -4y& =& $ 3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{1}{2}+\frac{3}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x-4·\left(-\frac{1}{2}+\frac{3}{4}x\right)$	=	$3$
$3x+2-3x$	=	$3$
$2$	=	$3$	| $-2$
0	=	$1$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 2 Stunden wandern. Danach hat sie 4 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 140 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 2 Stunden wandern und hat 2 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 220 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}2x& -4y& =& $ 140$& & & \text{(I)}\\ 2x& -2y& =& $ 220$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2x-4y$	=	$140$
$-4y+2x$	=	$140$	| $-2x$
$-4y$	=	$140-2x$	|:($-4$)
$y$	=	$-35+\frac{1}{2}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-35+\frac{1}{2}x\right)& & & \text{(I)}\\ 2x& -2y& =& $ 220$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-35+\frac{1}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x-2·\left(-35+\frac{1}{2}x\right)$	=	$220$
$2x+70-x$	=	$220$
$x+70$	=	$220$	| $-70$
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-35+\frac{1}{2}\cdot 150$

= $-35+75$

= $40$

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (150|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 40