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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-3x-y$ = $2$.

Bestimme y so, dass (-2|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -2 in die Gleichung ein und erhält:

$-3\cdot \left(-2\right)-y$ = $2$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$-3\cdot \left(-2\right)-y$	=	$2$
$6-y$	=	$2$
$-y+6$	=	$2$	| $-6$
$-y$	=	$-4$	|:($-1$)
$y$	=	$4$

Die Lösung ist somit: (-2|4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-3x-2y$ = $-13$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (3|2)
denn -3⋅3 -2⋅2 = -9 -4 = $-13$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (1|5)
denn -3⋅1 -2⋅5 = -3 -10 = $-13$

Oder : (5|-1)
denn -3⋅5 -2⋅( - 1 ) = -15 +2 = $-13$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}3x& +3y& =& $ -3$& & & \text{(I)}\\ -x& & =& $ 3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}3x& +3y& =& $ -3$& & & \text{(I)}\\ -x& & =& $ 3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$-x$	=	$3$	|:($-1$)
$x$	=	$-3$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}3x& +3y& =& $ -3$& & & \text{(I)}\\ x& & =& $ -3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $-3$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(-3\right)+3y$	=	$-3$
$-9+3y$	=	$-3$
$3y-9$	=	$-3$	| $+9$
$3y$	=	$6$	|:$3$
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $-3$

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& +4y& =& $ -21$& & & \text{(I)}\\ -2x& -3y& =& $ 22$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}x& +4y& =& $ -21$& & & \text{(I)}\\ -2x& -3y& =& $ 22$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+4y$	=	$-21$	| $-4y$
$x$	=	$-21-4y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(-21-4y\right)& & & \text{(I)}\\ -2x& -3y& =& $ 22$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $-21-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-2·\left(-21-4y\right)-3y$	=	$22$
$42+8y-3y$	=	$22$
$5y+42$	=	$22$	| $-42$
$5y$	=	$-20$	|:$5$
$y$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $-21-4\cdot \left(-4\right)$

= $-21+16$

= $-5$

also

x = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-3x& +4y& =& $ -18$& & & \text{(I)}\\ -5x& +y& =& $ -13$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-3x& +4y& =& $ -18$& & & \text{(I)}\\ -5x& +y& =& $ -13$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$-5x+y$	=	$-13$
$y-5x$	=	$-13$	| $+5x$
$y$	=	$-13+5x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-3x& +4y& =& $ -18$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& \left(-13+5x\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-13+5x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x+4·\left(-13+5x\right)$	=	$-18$
$-3x-52+20x$	=	$-18$
$17x-52$	=	$-18$	| $+52$
$17x$	=	$34$	|:$17$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-13+5\cdot 2$

= $-13+10$

= $-3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$-5y$	=	$5\left(-x+1\right)$			(I)
$11-3y$	=	$x+2$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$-5y$	=	$5\left(-x+1\right)$			(I)
$11-3y$	=	$x+2$			(II)

$-5y$	=	$-5x+5$	| + $5x$		(I)
$11-3y$	=	$x+2$	| $-11-x$		(II)

$\begin{array}{ccccccc}5x& -5y& =& $ 5$& & & \text{(I)}\\ -x& -3y& =& $ -9$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$-x-3y$	=	$-9$	| $+3y$
$-x$	=	$-9+3y$	|:($-1$)
$x$	=	$9-3y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}5x& -5y& =& $ 5$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(9-3y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $9-3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5·\left(9-3y\right)-5y$	=	$5$
$45-15y-5y$	=	$5$
$-20y+45$	=	$5$	| $-45$
$-20y$	=	$-40$	|:($-20$)
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $9-3\cdot 2$

= $9-6$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -4 und y = 4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x +5y = ?

4x +12y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

2x +5y = -8 +20 = 12

4x +12y = -16 +48 = 32

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x +5y = 12

4x +12y = 32

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}-6x& -8y& =& $ 7$& & & \text{(I)}\\ 3x& +4y& =& $ -2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-6x& -8y& =& $ 7$& & & \text{(I)}\\ 3x& +4y& =& $ -2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$-6x-8y$	=	$7$
$-8y-6x$	=	$7$	| $+6x$
$-8y$	=	$7+6x$	|:($-8$)
$y$	=	$-\frac{7}{8}-\frac{3}{4}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-\frac{7}{8}-\frac{3}{4}x\right)& & & \text{(I)}\\ 3x& +4y& =& $ -2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{7}{8}-\frac{3}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x+4·\left(-\frac{7}{8}-\frac{3}{4}x\right)$	=	$-2$
$3x-\frac{7}{2}-3x$	=	$-2$
$-\frac{7}{2}$	=	$-2$	| $+\frac{7}{2}$
0	=	$\frac{3}{2}$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 6 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 6 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 120 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 5 LED-Leuchtmittel und 8 Halogenleuchten zusammen 145 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}6x& +6y& =& $ 120$& & & \text{(I)}\\ 5x& +8y& =& $ 145$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$6x+6y$	=	$120$
$6y+6x$	=	$120$	| $-6x$
$6y$	=	$120-6x$	|:$6$
$y$	=	$20-x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(20-x\right)& & & \text{(I)}\\ 5x& +8y& =& $ 145$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $20-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5x+8·\left(20-x\right)$	=	$145$
$5x+160-8x$	=	$145$
$-3x+160$	=	$145$	| $-160$
$-3x$	=	$-15$	|:($-3$)
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $20-5$

= $15$

also

y = 15

Die Lösung des LGS ist damit: (5|15)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 5

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 15