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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x-y$ = $-1$.

Bestimme x so, dass (x|4) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 4 in die Gleichung ein und erhält:

$x-4$ = $-1$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$x-4$	=	$-1$
$x-4$	=	$-1$	| $+4$
$x$	=	$3$

Die Lösung ist somit: (3|4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x-3y$ = $-11$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (1|4)
denn 1⋅1 -3⋅4 = 1 -12 = $-11$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-2|3)
denn 1⋅( - 2 ) -3⋅3 = -2 -9 = $-11$

Oder : (4|5)
denn 1⋅4 -3⋅5 = 4 -15 = $-11$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}3x& -2y& =& $ -2$& & & \text{(I)}\\ & -3y& =& $ 15$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}3x& -2y& =& $ -2$& & & \text{(I)}\\ & -3y& =& $ 15$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$-3y$	=	$15$	|:($-3$)
$y$	=	$-5$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}3x& -2y& =& $ -2$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& $ -5$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $-5$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x-2·\left(-5\right)$	=	$-2$
$3x+10$	=	$-2$	| $-10$
$3x$	=	$-12$	|:$3$
$x$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $-5$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& -4y& =& $ -7$& & & \text{(I)}\\ -4x& +4y& =& $ 16$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}x& -4y& =& $ -7$& & & \text{(I)}\\ -4x& +4y& =& $ 16$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x-4y$	=	$-7$	| $+4y$
$x$	=	$-7+4y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(-7+4y\right)& & & \text{(I)}\\ -4x& +4y& =& $ 16$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $-7+4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-4·\left(-7+4y\right)+4y$	=	$16$
$28-16y+4y$	=	$16$
$-12y+28$	=	$16$	| $-28$
$-12y$	=	$-12$	|:($-12$)
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $-7+4\cdot 1$

= $-7+4$

= $-3$

also

x = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}2x& +2y& =& $ -24$& & & \text{(I)}\\ -3x& -5y& =& $ 48$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}2x& +2y& =& $ -24$& & & \text{(I)}\\ -3x& -5y& =& $ 48$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2x+2y$	=	$-24$
$2y+2x$	=	$-24$	| $-2x$
$2y$	=	$-24-2x$	|:$2$
$y$	=	$-12-x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-12-x\right)& & & \text{(I)}\\ -3x& -5y& =& $ 48$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-12-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x-5·\left(-12-x\right)$	=	$48$
$-3x+60+5x$	=	$48$
$2x+60$	=	$48$	| $-60$
$2x$	=	$-12$	|:$2$
$x$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-12-\left(-6\right)$

= $-12+6$

= $-6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-6)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& +\frac{3}{4}y& =& $ -9$& & & \text{(I)}\\ \frac{1}{2}x& -\frac{1}{3}y& =& $ -\frac{5}{3}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}x& +\frac{3}{4}y& =& $ -9$& & & \text{(I)}\\ \frac{1}{2}x& -\frac{1}{3}y& =& $ -\frac{5}{3}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+\frac{3}{4}y$	=	$-9$	|⋅ 4
$4\left(x+\frac{3}{4}y\right)$	=	$-36$
$4x+3y$	=	$-36$	| $-3y$
$4x$	=	$-36-3y$	|:$4$
$x$	=	$-9-\frac{3}{4}y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(-9-\frac{3}{4}y\right)& & & \text{(I)}\\ \frac{1}{2}x& -\frac{1}{3}y& =& $ -\frac{5}{3}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $-9-\frac{3}{4}y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$\frac{1}{2}·\left(-9-\frac{3}{4}y\right)-\frac{1}{3}y$	=	$-\frac{5}{3}$
$-\frac{9}{2}-\frac{3}{8}y-\frac{1}{3}y$	=	$-\frac{5}{3}$
$-\frac{17}{24}y-\frac{9}{2}$	=	$-\frac{5}{3}$	|⋅ 24
$24\left(-\frac{17}{24}y-\frac{9}{2}\right)$	=	$-40$
$-17y-108$	=	$-40$	| $+108$
$-17y$	=	$68$	|:($-17$)
$y$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $-9-\frac{3}{4}\cdot \left(-4\right)$

= $-9+3$

= $-6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 1 und y = 4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-1x +1y = ?

3x -6y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 1 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

-1x +1y = -1 +4 = 3

3x -6y = 3 -24 = -21

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-1x +1y = 3

3x -6y = -21

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}8x& -12y& =& $ -10$& & & \text{(I)}\\ -2x& +3y& =& $ 3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}8x& -12y& =& $ -10$& & & \text{(I)}\\ -2x& +3y& =& $ 3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$8x-12y$	=	$-10$
$-12y+8x$	=	$-10$	| $-8x$
$-12y$	=	$-10-8x$	|:($-12$)
$y$	=	$\frac{5}{6}+\frac{2}{3}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(\frac{5}{6}+\frac{2}{3}x\right)& & & \text{(I)}\\ -2x& +3y& =& $ 3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{5}{6}+\frac{2}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x+3·\left(\frac{5}{6}+\frac{2}{3}x\right)$	=	$3$
$-2x+\frac{5}{2}+2x$	=	$3$
$\frac{5}{2}$	=	$3$	| $-\frac{5}{2}$
0	=	$\frac{1}{2}$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 6-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 35. Wenn man aber vom 5-fachen von x 7 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -10. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& +6y& =& $ 35$& & & \text{(I)}\\ 5x& -7y& =& $ -10$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+6y$	=	$35$	| $-6y$
$x$	=	$35-6y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(35-6y\right)& & & \text{(I)}\\ 5x& -7y& =& $ -10$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $35-6y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5·\left(35-6y\right)-7y$	=	$-10$
$175-30y-7y$	=	$-10$
$-37y+175$	=	$-10$	| $-175$
$-37y$	=	$-185$	|:($-37$)
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $35-6\cdot 5$

= $35-30$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|5)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 5

y (y-Wert): 5