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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5x-5y$ = $15$.

Bestimme x so, dass (x|0) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 0 in die Gleichung ein und erhält:

$5x-5\cdot 0$ = $15$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$5x-5\cdot 0$	=	$15$
$5x$	=	$15$	|:$5$
$x$	=	$3$

Die Lösung ist somit: (3|0)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4x-2y$ = $12$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (0|-6)
denn 4⋅0 -2⋅( - 6 ) = 0 +12 = $12$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-2|-10)
denn 4⋅( - 2 ) -2⋅( - 10 ) = -8 +20 = $12$

Oder : (2|-2)
denn 4⋅2 -2⋅( - 2 ) = 8 +4 = $12$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}& +4y& =& $ -8$& & & \text{(I)}\\ -3x& +y& =& $ -8$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}& +4y& =& $ -8$& & & \text{(I)}\\ -3x& +y& =& $ -8$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$4y$	=	$-8$	|:$4$
$y$	=	$-2$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& $ -2$& & & \text{(I)}\\ -3x& +y& =& $ -8$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $-2$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x+1·\left(-2\right)$	=	$-8$
$-3x-2$	=	$-8$	| $+2$
$-3x$	=	$-6$	|:($-3$)
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $-2$

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}4x& +y& =& $ -16$& & & \text{(I)}\\ x& -3y& =& $ -17$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}4x& +y& =& $ -16$& & & \text{(I)}\\ x& -3y& =& $ -17$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x-3y$	=	$-17$	| $+3y$
$x$	=	$-17+3y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}4x& +y& =& $ -16$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(-17+3y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-17+3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4·\left(-17+3y\right)+y$	=	$-16$
$-68+12y+y$	=	$-16$
$13y-68$	=	$-16$	| $+68$
$13y$	=	$52$	|:$13$
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-17+3\cdot 4$

= $-17+12$

= $-5$

also

x = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-3x& +y& =& $ 13$& & & \text{(I)}\\ x& +4y& =& $ -26$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-3x& +y& =& $ 13$& & & \text{(I)}\\ x& +4y& =& $ -26$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+4y$	=	$-26$	| $-4y$
$x$	=	$-26-4y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-3x& +y& =& $ 13$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(-26-4y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-26-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·\left(-26-4y\right)+y$	=	$13$
$78+12y+y$	=	$13$
$13y+78$	=	$13$	| $-78$
$13y$	=	$-65$	|:$13$
$y$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-26-4\cdot \left(-5\right)$

= $-26+20$

= $-6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}\frac{3}{5}x& -3y& =& $ 12$& & & \text{(I)}\\ x& -2y& =& $ 5$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}\frac{3}{5}x& -3y& =& $ 12$& & & \text{(I)}\\ x& -2y& =& $ 5$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x-2y$	=	$5$	| $+2y$
$x$	=	$5+2y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}\frac{3}{5}x& -3y& =& $ 12$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(5+2y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $5+2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$\frac{3}{5}·\left(5+2y\right)-3y$	=	$12$
$3+\frac{6}{5}y-3y$	=	$12$
$-\frac{9}{5}y+3$	=	$12$	|⋅ 5
$5\left(-\frac{9}{5}y+3\right)$	=	$60$
$-9y+15$	=	$60$	| $-15$
$-9y$	=	$45$	|:($-9$)
$y$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $5+2\cdot \left(-5\right)$

= $5-10$

= $-5$

also

x = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 2 und y = 5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x +2y = ?

7x +5y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = 5 einsetzen und ausrechnen:

5x +2y = 10 +10 = 20

7x +5y = 14 +25 = 39

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x +2y = 20

7x +5y = 39

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}-4x& +4y& =& $ 20$& & & \text{(I)}\\ 4x& +2y& =& $ -20$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-4x& +4y& =& $ 20$& & & \text{(I)}\\ 4x& +2y& =& $ -20$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$-4x+4y$	=	$20$
$4y-4x$	=	$20$	| $+4x$
$4y$	=	$20+4x$	|:$4$
$y$	=	$5+x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(5+x\right)& & & \text{(I)}\\ 4x& +2y& =& $ -20$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $5+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x+2·\left(5+x\right)$	=	$-20$
$4x+10+2x$	=	$-20$
$6x+10$	=	$-20$	| $-10$
$6x$	=	$-30$	|:$6$
$x$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $5-5$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|0)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 3 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 9 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 144 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 2 LED-Leuchtmittel und 4 Halogenleuchten zusammen 66 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}3x& +9y& =& $ 144$& & & \text{(I)}\\ 2x& +4y& =& $ 66$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3x+9y$	=	$144$
$9y+3x$	=	$144$	| $-3x$
$9y$	=	$144-3x$	|:$9$
$y$	=	$16-\frac{1}{3}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(16-\frac{1}{3}x\right)& & & \text{(I)}\\ 2x& +4y& =& $ 66$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $16-\frac{1}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x+4·\left(16-\frac{1}{3}x\right)$	=	$66$
$2x+64-\frac{4}{3}x$	=	$66$
$\frac{2}{3}x+64$	=	$66$	|⋅ 3
$3\left(\frac{2}{3}x+64\right)$	=	$198$
$2x+192$	=	$198$	| $-192$
$2x$	=	$6$	|:$2$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $16-\frac{1}{3}\cdot 3$

= $16-1$

= $15$

also

y = 15

Die Lösung des LGS ist damit: (3|15)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 3

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 15