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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-2x+3y$ = $25$.

Bestimme y so, dass (-5|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -5 in die Gleichung ein und erhält:

$-2\cdot \left(-5\right)+3y$ = $25$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$-2\cdot \left(-5\right)+3y$	=	$25$
$10+3y$	=	$25$
$3y+10$	=	$25$	| $-10$
$3y$	=	$15$	|:$3$
$y$	=	$5$

Die Lösung ist somit: (-5|5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5x-y$ = $36$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (7|-1)
denn 5⋅7 -1⋅( - 1 ) = 35 +1 = $36$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (6|-6)
denn 5⋅6 -1⋅( - 6 ) = 30 +6 = $36$

Oder : (8|4)
denn 5⋅8 -1⋅4 = 40 -4 = $36$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-4x& & =& $ 12$& & & \text{(I)}\\ -x& +3y& =& $ 6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-4x& & =& $ 12$& & & \text{(I)}\\ -x& +3y& =& $ 6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$-4x$	=	$12$	|:($-4$)
$x$	=	$-3$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& $ -3$& & & \text{(I)}\\ -x& +3y& =& $ 6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $-3$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$-1·\left(-3\right)+3y$	=	$6$
$3+3y$	=	$6$
$3y+3$	=	$6$	| $-3$
$3y$	=	$3$	|:$3$
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $-3$

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-2x& -2y& =& $ -22$& & & \text{(I)}\\ 2x& +y& =& $ 17$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-2x& -2y& =& $ -22$& & & \text{(I)}\\ 2x& +y& =& $ 17$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$2x+y$	=	$17$
$y+2x$	=	$17$	| $-2x$
$y$	=	$17-2x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-2x& -2y& =& $ -22$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& \left(17-2x\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $17-2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x-2·\left(17-2x\right)$	=	$-22$
$-2x-34+4x$	=	$-22$
$2x-34$	=	$-22$	| $+34$
$2x$	=	$12$	|:$2$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $17-2\cdot 6$

= $17-12$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (6|5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-3x& +y& =& $ -10$& & & \text{(I)}\\ -3x& -2y& =& $ -7$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-3x& +y& =& $ -10$& & & \text{(I)}\\ -3x& -2y& =& $ -7$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$-3x+y$	=	$-10$
$y-3x$	=	$-10$	| $+3x$
$y$	=	$-10+3x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-10+3x\right)& & & \text{(I)}\\ -3x& -2y& =& $ -7$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-10+3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x-2·\left(-10+3x\right)$	=	$-7$
$-3x+20-6x$	=	$-7$
$-9x+20$	=	$-7$	| $-20$
$-9x$	=	$-27$	|:($-9$)
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-10+3\cdot 3$

= $-10+9$

= $-1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& +\frac{3}{4}y& =& $ -\frac{3}{2}$& & & \text{(I)}\\ \frac{1}{2}x& -\frac{1}{5}y& =& $ -\frac{19}{10}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}x& +\frac{3}{4}y& =& $ -\frac{3}{2}$& & & \text{(I)}\\ \frac{1}{2}x& -\frac{1}{5}y& =& $ -\frac{19}{10}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+\frac{3}{4}y$	=	$-\frac{3}{2}$	|⋅ 4
$4\left(x+\frac{3}{4}y\right)$	=	$-6$
$4x+3y$	=	$-6$	| $-3y$
$4x$	=	$-6-3y$	|:$4$
$x$	=	$-\frac{3}{2}-\frac{3}{4}y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(-\frac{3}{2}-\frac{3}{4}y\right)& & & \text{(I)}\\ \frac{1}{2}x& -\frac{1}{5}y& =& $ -\frac{19}{10}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $-\frac{3}{2}-\frac{3}{4}y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$\frac{1}{2}·\left(-\frac{3}{2}-\frac{3}{4}y\right)-\frac{1}{5}y$	=	$-\frac{19}{10}$
$-\frac{3}{4}-\frac{3}{8}y-\frac{1}{5}y$	=	$-\frac{19}{10}$
$-\frac{23}{40}y-\frac{3}{4}$	=	$-\frac{19}{10}$	|⋅ 40
$40\left(-\frac{23}{40}y-\frac{3}{4}\right)$	=	$-76$
$-23y-30$	=	$-76$	| $+30$
$-23y$	=	$-46$	|:($-23$)
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $-\frac{3}{2}-\frac{3}{4}\cdot 2$

= $-\frac{3}{2}-\frac{3}{2}$

= $-3$

also

x = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 1 und y = 4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x +4y = ?

1x +3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 1 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

2x +4y = 2 +16 = 18

1x +3y = 1 +12 = 13

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x +4y = 18

1x +3y = 13

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}4x& +4y& =& $ 8$& & & \text{(I)}\\ -x& -y& =& $ -2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}4x& +4y& =& $ 8$& & & \text{(I)}\\ -x& -y& =& $ -2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$-x-y$	=	$-2$
$-y-x$	=	$-2$	| $+x$
$-y$	=	$-2+x$	|:($-1$)
$y$	=	$2-x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}4x& +4y& =& $ 8$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& \left(2-x\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $2-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x+4·\left(2-x\right)$	=	$8$
$4x+8-4x$	=	$8$
$8$	=	$8$	| $-8$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 3 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 7 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 225 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 4 LED-Leuchtmittel und 3 Halogenleuchten zusammen 110 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}3x& +7y& =& $ 225$& & & \text{(I)}\\ 4x& +3y& =& $ 110$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3x+7y$	=	$225$
$7y+3x$	=	$225$	| $-3x$
$7y$	=	$225-3x$	|:$7$
$y$	=	$\frac{225}{7}-\frac{3}{7}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(\frac{225}{7}-\frac{3}{7}x\right)& & & \text{(I)}\\ 4x& +3y& =& $ 110$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{225}{7}-\frac{3}{7}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x+3·\left(\frac{225}{7}-\frac{3}{7}x\right)$	=	$110$
$4x+\frac{675}{7}-\frac{9}{7}x$	=	$110$
$\frac{19}{7}x+\frac{675}{7}$	=	$110$	|⋅ 7
$7\left(\frac{19}{7}x+\frac{675}{7}\right)$	=	$770$
$19x+675$	=	$770$	| $-675$
$19x$	=	$95$	|:$19$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{225}{7}-\frac{3}{7}\cdot 5$

= $\frac{225}{7}-\frac{15}{7}$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (5|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 5

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 30