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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3x-2y$ = $-22$.

Bestimme y so, dass (-4|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -4 in die Gleichung ein und erhält:

$3\cdot \left(-4\right)-2y$ = $-22$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$3\cdot \left(-4\right)-2y$	=	$-22$
$-12-2y$	=	$-22$
$-2y-12$	=	$-22$	| $+12$
$-2y$	=	$-10$	|:($-2$)
$y$	=	$5$

Die Lösung ist somit: (-4|5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-2x-4y$ = $4$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (6|-4)
denn -2⋅6 -4⋅( - 4 ) = -12 +16 = $4$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (2|-2)
denn -2⋅2 -4⋅( - 2 ) = -4 +8 = $4$

Oder : (10|-6)
denn -2⋅10 -4⋅( - 6 ) = -20 +24 = $4$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}& +3y& =& $ 12$& & & \text{(I)}\\ -3x& +y& =& $ 19$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}& +3y& =& $ 12$& & & \text{(I)}\\ -3x& +y& =& $ 19$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$3y$	=	$12$	|:$3$
$y$	=	$4$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& $ 4$& & & \text{(I)}\\ -3x& +y& =& $ 19$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $4$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x+1·4$	=	$19$
$-3x+4$	=	$19$	| $-4$
$-3x$	=	$15$	|:($-3$)
$x$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $4$

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-3x& +y& =& $ 18$& & & \text{(I)}\\ -x& +y& =& $ 10$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-3x& +y& =& $ 18$& & & \text{(I)}\\ -x& +y& =& $ 10$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$-x+y$	=	$10$
$y-x$	=	$10$	| $+x$
$y$	=	$10+x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-3x& +y& =& $ 18$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& \left(10+x\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $10+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x+1·\left(10+x\right)$	=	$18$
$-3x+10+x$	=	$18$
$-2x+10$	=	$18$	| $-10$
$-2x$	=	$8$	|:($-2$)
$x$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $10-4$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|6)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& +2y& =& $ 7$& & & \text{(I)}\\ x& -2y& =& $ -5$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}x& +2y& =& $ 7$& & & \text{(I)}\\ x& -2y& =& $ -5$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x-2y$	=	$-5$	| $+2y$
$x$	=	$-5+2y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& +2y& =& $ 7$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(-5+2y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-5+2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1·\left(-5+2y\right)+2y$	=	$7$
$-5+2y+2y$	=	$7$
$4y-5$	=	$7$	| $+5$
$4y$	=	$12$	|:$4$
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-5+2\cdot 3$

= $-5+6$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$-x$	=	$-3-y$			(I)
$27-2y$	=	$x-7y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$-x$	=	$-3-y$	| + $y$		(I)
$27-2y$	=	$x-7y$	| $-27-x+7y$		(II)

$\begin{array}{ccccccc}-x& +y& =& $ -3$& & & \text{(I)}\\ -x& +5y& =& $ -27$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$-x+5y$	=	$-27$	| $-5y$
$-x$	=	$-27-5y$	|:($-1$)
$x$	=	$27+5y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-x& +y& =& $ -3$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(27+5y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $27+5y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-1·\left(27+5y\right)+y$	=	$-3$
$-27-5y+y$	=	$-3$
$-4y-27$	=	$-3$	| $+27$
$-4y$	=	$24$	|:($-4$)
$y$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $27+5\cdot \left(-6\right)$

= $27-30$

= $-3$

also

x = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-6)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -5 und y = -4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x -2y = ?

6x -5y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:

5x -2y = -25 +8 = -17

6x -5y = -30 +20 = -10

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x -2y = -17

6x -5y = -10

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}2x& +4y& =& $ 1$& & & \text{(I)}\\ -6x& -12y& =& $ -5$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}2x& +4y& =& $ 1$& & & \text{(I)}\\ -6x& -12y& =& $ -5$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2x+4y$	=	$1$
$4y+2x$	=	$1$	| $-2x$
$4y$	=	$1-2x$	|:$4$
$y$	=	$\frac{1}{4}-\frac{1}{2}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(\frac{1}{4}-\frac{1}{2}x\right)& & & \text{(I)}\\ -6x& -12y& =& $ -5$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{1}{4}-\frac{1}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-6x-12·\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{2}x\right)$	=	$-5$
$-6x-3+6x$	=	$-5$
$-3$	=	$-5$	| $+3$
0	=	$-2$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 7 Stunden wandern. Danach hat sie 4 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 1980 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 4 Stunden wandern und hat 5 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 1050 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}7x& -4y& =& $ 1980$& & & \text{(I)}\\ 4x& -5y& =& $ 1050$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$7x-4y$	=	$1980$
$-4y+7x$	=	$1980$	| $-7x$
$-4y$	=	$1980-7x$	|:($-4$)
$y$	=	$-495+\frac{7}{4}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-495+\frac{7}{4}x\right)& & & \text{(I)}\\ 4x& -5y& =& $ 1050$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-495+\frac{7}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x-5·\left(-495+\frac{7}{4}x\right)$	=	$1050$
$4x+2475-\frac{35}{4}x$	=	$1050$
$-\frac{19}{4}x+2475$	=	$1050$	|⋅ 4
$4\left(-\frac{19}{4}x+2475\right)$	=	$4200$
$-19x+9900$	=	$4200$	| $-9900$
$-19x$	=	$-5700$	|:($-19$)
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-495+\frac{7}{4}\cdot 300$

= $-495+525$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (300|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 30