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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-2x+3y$ = $20$.

Bestimme x so, dass (x|2) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 2 in die Gleichung ein und erhält:

$-2x+3\cdot 2$ = $20$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$-2x+3\cdot 2$	=	$20$
$-2x+6$	=	$20$	| $-6$
$-2x$	=	$14$	|:($-2$)
$x$	=	$-7$

Die Lösung ist somit: (-7|2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2x+3y$ = $-8$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-4|0)
denn 2⋅( - 4 ) +3⋅0 = -8 +0 = $-8$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-1|-2)
denn 2⋅( - 1 ) +3⋅( - 2 ) = -2 -6 = $-8$

Oder : (-7|2)
denn 2⋅( - 7 ) +3⋅2 = -14 +6 = $-8$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-3x& & =& $ 3$& & & \text{(I)}\\ 2x& +3y& =& $ 7$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-3x& & =& $ 3$& & & \text{(I)}\\ 2x& +3y& =& $ 7$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$-3x$	=	$3$	|:($-3$)
$x$	=	$-1$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& $ -1$& & & \text{(I)}\\ 2x& +3y& =& $ 7$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $-1$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(-1\right)+3y$	=	$7$
$-2+3y$	=	$7$
$3y-2$	=	$7$	| $+2$
$3y$	=	$9$	|:$3$
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $-1$

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& +3y& =& $ -5$& & & \text{(I)}\\ -4x& -2y& =& $ -10$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}x& +3y& =& $ -5$& & & \text{(I)}\\ -4x& -2y& =& $ -10$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+3y$	=	$-5$	| $-3y$
$x$	=	$-5-3y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(-5-3y\right)& & & \text{(I)}\\ -4x& -2y& =& $ -10$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $-5-3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-4·\left(-5-3y\right)-2y$	=	$-10$
$20+12y-2y$	=	$-10$
$10y+20$	=	$-10$	| $-20$
$10y$	=	$-30$	|:$10$
$y$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $-5-3\cdot \left(-3\right)$

= $-5+9$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-4x& +5y& =& $ -4$& & & \text{(I)}\\ 3x& +5y& =& $ -32$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-4x& +5y& =& $ -4$& & & \text{(I)}\\ 3x& +5y& =& $ -32$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$-4x+5y$	=	$-4$
$5y-4x$	=	$-4$	| $+4x$
$5y$	=	$-4+4x$	|:$5$
$y$	=	$-\frac{4}{5}+\frac{4}{5}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-\frac{4}{5}+\frac{4}{5}x\right)& & & \text{(I)}\\ 3x& +5y& =& $ -32$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{4}{5}+\frac{4}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x+5·\left(-\frac{4}{5}+\frac{4}{5}x\right)$	=	$-32$
$3x-4+4x$	=	$-32$
$7x-4$	=	$-32$	| $+4$
$7x$	=	$-28$	|:$7$
$x$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{4}{5}+\frac{4}{5}\cdot \left(-4\right)$

= $-\frac{4}{5}-\frac{16}{5}$

= $-4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-\frac{1}{3}x& -\frac{1}{5}y& =& $ -\frac{19}{15}$& & & \text{(I)}\\ x& +\frac{1}{5}y& =& $ \frac{13}{5}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-\frac{1}{3}x& -\frac{1}{5}y& =& $ -\frac{19}{15}$& & & \text{(I)}\\ x& +\frac{1}{5}y& =& $ \frac{13}{5}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+\frac{1}{5}y$	=	$\frac{13}{5}$	|⋅ 5
$5\left(x+\frac{1}{5}y\right)$	=	$13$
$5x+y$	=	$13$	| $-y$
$5x$	=	$13-y$	|:$5$
$x$	=	$\frac{13}{5}-\frac{1}{5}y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-\frac{1}{3}x& -\frac{1}{5}y& =& $ -\frac{19}{15}$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(\frac{13}{5}-\frac{1}{5}y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $\frac{13}{5}-\frac{1}{5}y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-\frac{1}{3}·\left(\frac{13}{5}-\frac{1}{5}y\right)-\frac{1}{5}y$	=	$-\frac{19}{15}$
$-\frac{13}{15}+\frac{1}{15}y-\frac{1}{5}y$	=	$-\frac{19}{15}$
$-\frac{2}{15}y-\frac{13}{15}$	=	$-\frac{19}{15}$	|⋅ 15
$15\left(-\frac{2}{15}y-\frac{13}{15}\right)$	=	$-19$
$-2y-13$	=	$-19$	| $+13$
$-2y$	=	$-6$	|:($-2$)
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $\frac{13}{5}-\frac{1}{5}\cdot 3$

= $\frac{13}{5}-\frac{3}{5}$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -1 und y = -5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x -5y = ?

-1x -2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:

-5x -5y = 5 +25 = 30

-1x -2y = 1 +10 = 11

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x -5y = 30

-1x -2y = 11

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}4x& +4y& =& $ 4$& & & \text{(I)}\\ -2x& -2y& =& $ -2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}4x& +4y& =& $ 4$& & & \text{(I)}\\ -2x& -2y& =& $ -2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4x+4y$	=	$4$
$4y+4x$	=	$4$	| $-4x$
$4y$	=	$4-4x$	|:$4$
$y$	=	$1-x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(1-x\right)& & & \text{(I)}\\ -2x& -2y& =& $ -2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $1-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x-2·\left(1-x\right)$	=	$-2$
$-2x-2+2x$	=	$-2$
$-2$	=	$-2$	| $+2$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 5-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 7. Wenn man aber vom 2-fachen von x 7 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -3. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& +5y& =& $ 7$& & & \text{(I)}\\ 2x& -7y& =& $ -3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+5y$	=	$7$	| $-5y$
$x$	=	$7-5y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(7-5y\right)& & & \text{(I)}\\ 2x& -7y& =& $ -3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $7-5y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(7-5y\right)-7y$	=	$-3$
$14-10y-7y$	=	$-3$
$-17y+14$	=	$-3$	| $-14$
$-17y$	=	$-17$	|:($-17$)
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $7-5\cdot 1$

= $7-5$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|1)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 2

y (y-Wert): 1