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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3x-4y$ = $-8$.

Bestimme y so, dass (0|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 0 in die Gleichung ein und erhält:

$3\cdot 0-4y$ = $-8$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$3\cdot 0-4y$	=	$-8$
$-4y$	=	$-8$	|:($-4$)
$y$	=	$2$

Die Lösung ist somit: (0|2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x+4y$ = $-29$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-5|-6)
denn 1⋅( - 5 ) +4⋅( - 6 ) = -5 -24 = $-29$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-1|-7)
denn 1⋅( - 1 ) +4⋅( - 7 ) = -1 -28 = $-29$

Oder : (-9|-5)
denn 1⋅( - 9 ) +4⋅( - 5 ) = -9 -20 = $-29$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-x& -2y& =& $ -16$& & & \text{(I)}\\ & -2y& =& $ -10$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-x& -2y& =& $ -16$& & & \text{(I)}\\ & -2y& =& $ -10$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$-2y$	=	$-10$	|:($-2$)
$y$	=	$5$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-x& -2y& =& $ -16$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& $ 5$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $5$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-x-2·5$	=	$-16$
$-x-10$	=	$-16$	| $+10$
$-x$	=	$-6$	|:($-1$)
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $5$

Die Lösung des LGS ist damit: (6|5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& -2y& =& $ 10$& & & \text{(I)}\\ 3x& -3y& =& $ 12$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}x& -2y& =& $ 10$& & & \text{(I)}\\ 3x& -3y& =& $ 12$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x-2y$	=	$10$	| $+2y$
$x$	=	$10+2y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(10+2y\right)& & & \text{(I)}\\ 3x& -3y& =& $ 12$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $10+2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(10+2y\right)-3y$	=	$12$
$30+6y-3y$	=	$12$
$3y+30$	=	$12$	| $-30$
$3y$	=	$-18$	|:$3$
$y$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $10+2\cdot \left(-6\right)$

= $10-12$

= $-2$

also

x = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-6)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}3x& +2y& =& $ 24$& & & \text{(I)}\\ 2x& +3y& =& $ 21$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}3x& +2y& =& $ 24$& & & \text{(I)}\\ 2x& +3y& =& $ 21$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3x+2y$	=	$24$
$2y+3x$	=	$24$	| $-3x$
$2y$	=	$24-3x$	|:$2$
$y$	=	$12-\frac{3}{2}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(12-\frac{3}{2}x\right)& & & \text{(I)}\\ 2x& +3y& =& $ 21$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $12-\frac{3}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x+3·\left(12-\frac{3}{2}x\right)$	=	$21$
$2x+36-\frac{9}{2}x$	=	$21$
$-\frac{5}{2}x+36$	=	$21$	|⋅ 2
$2\left(-\frac{5}{2}x+36\right)$	=	$42$
$-5x+72$	=	$42$	| $-72$
$-5x$	=	$-30$	|:($-5$)
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $12-\frac{3}{2}\cdot 6$

= $12-9$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (6|3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-\frac{1}{2}x& +2y& =& $ -3$& & & \text{(I)}\\ -x& +2y& =& $ -2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-\frac{1}{2}x& +2y& =& $ -3$& & & \text{(I)}\\ -x& +2y& =& $ -2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$-x+2y$	=	$-2$	| $-2y$
$-x$	=	$-2-2y$	|:($-1$)
$x$	=	$2+2y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-\frac{1}{2}x& +2y& =& $ -3$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(2+2y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $2+2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-\frac{1}{2}·\left(2+2y\right)+2y$	=	$-3$
$-1-y+2y$	=	$-3$
$y-1$	=	$-3$	| $+1$
$y$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $2+2\cdot \left(-2\right)$

= $2-4$

= $-2$

also

x = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -1 und y = 3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

1x -2y = ?

-1x -1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = 3 einsetzen und ausrechnen:

1x -2y = -1 -6 = -7

-1x -1y = 1 -3 = -2

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

1x -2y = -7

-1x -1y = -2

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}3x& +2y& =& $ 10$& & & \text{(I)}\\ 4x& +5y& =& $ 11$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}3x& +2y& =& $ 10$& & & \text{(I)}\\ 4x& +5y& =& $ 11$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3x+2y$	=	$10$
$2y+3x$	=	$10$	| $-3x$
$2y$	=	$10-3x$	|:$2$
$y$	=	$5-\frac{3}{2}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(5-\frac{3}{2}x\right)& & & \text{(I)}\\ 4x& +5y& =& $ 11$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $5-\frac{3}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x+5·\left(5-\frac{3}{2}x\right)$	=	$11$
$4x+25-\frac{15}{2}x$	=	$11$
$-\frac{7}{2}x+25$	=	$11$	|⋅ 2
$2\left(-\frac{7}{2}x+25\right)$	=	$22$
$-7x+50$	=	$22$	| $-50$
$-7x$	=	$-28$	|:($-7$)
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $5-\frac{3}{2}\cdot 4$

= $5-6$

= $-1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-1)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 8 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 9 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 167 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 7 LED-Leuchtmittel und 8 Halogenleuchten zusammen 148 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}8x& +9y& =& $ 167$& & & \text{(I)}\\ 7x& +8y& =& $ 148$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$8x+9y$	=	$167$
$9y+8x$	=	$167$	| $-8x$
$9y$	=	$167-8x$	|:$9$
$y$	=	$\frac{167}{9}-\frac{8}{9}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(\frac{167}{9}-\frac{8}{9}x\right)& & & \text{(I)}\\ 7x& +8y& =& $ 148$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{167}{9}-\frac{8}{9}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$7x+8·\left(\frac{167}{9}-\frac{8}{9}x\right)$	=	$148$
$7x+\frac{1336}{9}-\frac{64}{9}x$	=	$148$
$-\frac{1}{9}x+\frac{1336}{9}$	=	$148$	|⋅ 9
$9\left(-\frac{1}{9}x+\frac{1336}{9}\right)$	=	$1332$
$-x+1336$	=	$1332$	| $-1336$
$-x$	=	$-4$	|:($-1$)
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{167}{9}-\frac{8}{9}\cdot 4$

= $\frac{167}{9}-\frac{32}{9}$

= $15$

also

y = 15

Die Lösung des LGS ist damit: (4|15)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 4

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 15