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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-2x+y$ = $5$.

Bestimme x so, dass (x|-1) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -1 in die Gleichung ein und erhält:

$-2x+\left(-1\right)$ = $5$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$-2x+\left(-1\right)$	=	$5$
$-2x-1$	=	$5$	| $+1$
$-2x$	=	$6$	|:($-2$)
$x$	=	$-3$

Die Lösung ist somit: (-3|-1)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-3x-y$ = $4$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-3|5)
denn -3⋅( - 3 ) -1⋅5 = 9 -5 = $4$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-4|8)
denn -3⋅( - 4 ) -1⋅8 = 12 -8 = $4$

Oder : (-2|2)
denn -3⋅( - 2 ) -1⋅2 = 6 -2 = $4$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-4x& +4y& =& $ -24$& & & \text{(I)}\\ & -3y& =& $ 15$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-4x& +4y& =& $ -24$& & & \text{(I)}\\ & -3y& =& $ 15$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$-3y$	=	$15$	|:($-3$)
$y$	=	$-5$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-4x& +4y& =& $ -24$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& $ -5$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $-5$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-4x+4·\left(-5\right)$	=	$-24$
$-4x-20$	=	$-24$	| $+20$
$-4x$	=	$-4$	|:($-4$)
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $-5$

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}2x& +y& =& $ -5$& & & \text{(I)}\\ -3x& -4y& =& $ 10$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}2x& +y& =& $ -5$& & & \text{(I)}\\ -3x& -4y& =& $ 10$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$2x+y$	=	$-5$
$y+2x$	=	$-5$	| $-2x$
$y$	=	$-5-2x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-5-2x\right)& & & \text{(I)}\\ -3x& -4y& =& $ 10$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-5-2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x-4·\left(-5-2x\right)$	=	$10$
$-3x+20+8x$	=	$10$
$5x+20$	=	$10$	| $-20$
$5x$	=	$-10$	|:$5$
$x$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-5-2\cdot \left(-2\right)$

= $-5+4$

= $-1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}4x& -y& =& $ -15$& & & \text{(I)}\\ x& +y& =& $ -5$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}4x& -y& =& $ -15$& & & \text{(I)}\\ x& +y& =& $ -5$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$x+y$	=	$-5$
$y+x$	=	$-5$	| $-x$
$y$	=	$-5-x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}4x& -y& =& $ -15$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& \left(-5-x\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-5-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x-1·\left(-5-x\right)$	=	$-15$
$4x+5+x$	=	$-15$
$5x+5$	=	$-15$	| $-5$
$5x$	=	$-20$	|:$5$
$x$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-5-\left(-4\right)$

= $-5+4$

= $-1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-3x& +\frac{3}{4}y& =& $ \frac{63}{4}$& & & \text{(I)}\\ -x& +y& =& $ 6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-3x& +\frac{3}{4}y& =& $ \frac{63}{4}$& & & \text{(I)}\\ -x& +y& =& $ 6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$-x+y$	=	$6$
$y-x$	=	$6$	| $+x$
$y$	=	$6+x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-3x& +\frac{3}{4}y& =& $ \frac{63}{4}$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& \left(6+x\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $6+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x+\frac{3}{4}·\left(6+x\right)$	=	$\frac{63}{4}$
$-3x+\frac{9}{2}+\frac{3}{4}x$	=	$\frac{63}{4}$
$-\frac{9}{4}x+\frac{9}{2}$	=	$\frac{63}{4}$	|⋅ 4
$4\left(-\frac{9}{4}x+\frac{9}{2}\right)$	=	$63$
$-9x+18$	=	$63$	| $-18$
$-9x$	=	$45$	|:($-9$)
$x$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $6-5$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -4 und y = -3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

1x -2y = ?

4x -9y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = -3 einsetzen und ausrechnen:

1x -2y = -4 +6 = 2

4x -9y = -16 +27 = 11

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

1x -2y = 2

4x -9y = 11

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}-2x& +y& =& $ -2$& & & \text{(I)}\\ 8x& -4y& =& $ 8$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-2x& +y& =& $ -2$& & & \text{(I)}\\ 8x& -4y& =& $ 8$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$-2x+y$	=	$-2$
$y-2x$	=	$-2$	| $+2x$
$y$	=	$-2+2x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-2+2x\right)& & & \text{(I)}\\ 8x& -4y& =& $ 8$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-2+2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$8x-4·\left(-2+2x\right)$	=	$8$
$8x+8-8x$	=	$8$
$8$	=	$8$	| $-8$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 7 Stunden wandern. Danach hat sie 5 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 875 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 5 Stunden wandern und hat 5 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 575 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}7x& -5y& =& $ 875$& & & \text{(I)}\\ 5x& -5y& =& $ 575$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$7x-5y$	=	$875$
$-5y+7x$	=	$875$	| $-7x$
$-5y$	=	$875-7x$	|:($-5$)
$y$	=	$-175+\frac{7}{5}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-175+\frac{7}{5}x\right)& & & \text{(I)}\\ 5x& -5y& =& $ 575$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-175+\frac{7}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5x-5·\left(-175+\frac{7}{5}x\right)$	=	$575$
$5x+875-7x$	=	$575$
$-2x+875$	=	$575$	| $-875$
$-2x$	=	$-300$	|:($-2$)
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-175+\frac{7}{5}\cdot 150$

= $-175+210$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (150|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 35