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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4x+4y$ = $12$.

Bestimme x so, dass (x|-2) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -2 in die Gleichung ein und erhält:

$4x+4\cdot \left(-2\right)$ = $12$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$4x+4\cdot \left(-2\right)$	=	$12$
$4x-8$	=	$12$	| $+8$
$4x$	=	$20$	|:$4$
$x$	=	$5$

Die Lösung ist somit: (5|-2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4x+3y$ = $-10$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-4|2)
denn 4⋅( - 4 ) +3⋅2 = -16 +6 = $-10$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-1|-2)
denn 4⋅( - 1 ) +3⋅( - 2 ) = -4 -6 = $-10$

Oder : (-7|6)
denn 4⋅( - 7 ) +3⋅6 = -28 +18 = $-10$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}2x& -y& =& $ 0$& & & \text{(I)}\\ -3x& & =& $ 6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}2x& -y& =& $ 0$& & & \text{(I)}\\ -3x& & =& $ 6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$-3x$	=	$6$	|:($-3$)
$x$	=	$-2$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}2x& -y& =& $ 0$& & & \text{(I)}\\ x& & =& $ -2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $-2$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(-2\right)-y$	=	0
$-4-y$	=	0
$-y-4$	=	0	| $+4$
$-y$	=	$4$	|:($-1$)
$y$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $-2$

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}2x& +3y& =& $ 19$& & & \text{(I)}\\ x& +2y& =& $ 12$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}2x& +3y& =& $ 19$& & & \text{(I)}\\ x& +2y& =& $ 12$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+2y$	=	$12$	| $-2y$
$x$	=	$12-2y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}2x& +3y& =& $ 19$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(12-2y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $12-2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(12-2y\right)+3y$	=	$19$
$24-4y+3y$	=	$19$
$-y+24$	=	$19$	| $-24$
$-y$	=	$-5$	|:($-1$)
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $12-2\cdot 5$

= $12-10$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-3x& -3y& =& $ 12$& & & \text{(I)}\\ x& -2y& =& $ 5$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-3x& -3y& =& $ 12$& & & \text{(I)}\\ x& -2y& =& $ 5$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x-2y$	=	$5$	| $+2y$
$x$	=	$5+2y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-3x& -3y& =& $ 12$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(5+2y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $5+2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·\left(5+2y\right)-3y$	=	$12$
$-15-6y-3y$	=	$12$
$-9y-15$	=	$12$	| $+15$
$-9y$	=	$27$	|:($-9$)
$y$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $5+2\cdot \left(-3\right)$

= $5-6$

= $-1$

also

x = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$-3\left(x+5\right)-y$	=	$-2y$			(I)
$-3\left(x+7\right)-4y$	=	$x-5y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$-3\left(x+5\right)-y$	=	$-2y$			(I)
$-3\left(x+7\right)-4y$	=	$x-5y$			(II)

$-3x-15-y$	=	$-2y$	| + $15+2y$		(I)
$-3x-21-4y$	=	$x-5y$	| + $21-x+5y$		(II)

$\begin{array}{ccccccc}-3x& +y& =& $ 15$& & & \text{(I)}\\ -4x& +y& =& $ 21$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$-4x+y$	=	$21$
$y-4x$	=	$21$	| $+4x$
$y$	=	$21+4x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-3x& +y& =& $ 15$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& \left(21+4x\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $21+4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x+1·\left(21+4x\right)$	=	$15$
$-3x+21+4x$	=	$15$
$x+21$	=	$15$	| $-21$
$x$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $21+4\cdot \left(-6\right)$

= $21-24$

= $-3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 3 und y = 1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x +2y = ?

8x +4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 3 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

5x +2y = 15 +2 = 17

8x +4y = 24 +4 = 28

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x +2y = 17

8x +4y = 28

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}-5x& -3y& =& $ -16$& & & \text{(I)}\\ -2x& +5y& =& $ 6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-5x& -3y& =& $ -16$& & & \text{(I)}\\ -2x& +5y& =& $ 6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$-5x-3y$	=	$-16$
$-3y-5x$	=	$-16$	| $+5x$
$-3y$	=	$-16+5x$	|:($-3$)
$y$	=	$\frac{16}{3}-\frac{5}{3}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(\frac{16}{3}-\frac{5}{3}x\right)& & & \text{(I)}\\ -2x& +5y& =& $ 6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{16}{3}-\frac{5}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x+5·\left(\frac{16}{3}-\frac{5}{3}x\right)$	=	$6$
$-2x+\frac{80}{3}-\frac{25}{3}x$	=	$6$
$-\frac{31}{3}x+\frac{80}{3}$	=	$6$	|⋅ 3
$3\left(-\frac{31}{3}x+\frac{80}{3}\right)$	=	$18$
$-31x+80$	=	$18$	| $-80$
$-31x$	=	$-62$	|:($-31$)
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{16}{3}-\frac{5}{3}\cdot 2$

= $\frac{16}{3}-\frac{10}{3}$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|2)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 4-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 17. Wenn man aber vom 2-fachen von x 3 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -10. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& +4y& =& $ 17$& & & \text{(I)}\\ 2x& -3y& =& $ -10$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+4y$	=	$17$	| $-4y$
$x$	=	$17-4y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(17-4y\right)& & & \text{(I)}\\ 2x& -3y& =& $ -10$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $17-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(17-4y\right)-3y$	=	$-10$
$34-8y-3y$	=	$-10$
$-11y+34$	=	$-10$	| $-34$
$-11y$	=	$-44$	|:($-11$)
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $17-4\cdot 4$

= $17-16$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|4)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 1

y (y-Wert): 4