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nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Wert zum Einsetzen finden
Beispiel:
Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: = .
Bestimme y so, dass (-2|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.
Man setzt einfach x = -2 in die Gleichung ein und erhält:
=
Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:
| = | |||
| = | |||
| = | | | ||
| = |
Die Lösung ist somit: (-2|-1)
Wert zum Einsetzen finden (offen)
Beispiel:
Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: = .
Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.
Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-3|4)
denn
4⋅
Eine weitere Lösung wäre aber auch: (1|0)
denn 4⋅
Oder : (-7|8)
denn 4⋅
LGS (1 Var. schon aufgelöst)
Beispiel:
Löse das lineare Gleichungssystem:
Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:
| = | |:() | ||
| = |
Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ersetzen und dann nach y auflösen:
| = | |||
| = | |||
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = |
Somit haben wir eine Lösung für y.
Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x =
Die Lösung des LGS ist damit: (-1|1)
LGS (1 Var. ohne Koeff.)
Beispiel:
Löse das lineare Gleichungssystem:
Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:
| = | | | ||
| = | |:() | ||
| = |
Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( ) ersetzen und dann nach y auflösen:
| = | |||
| = | |||
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = |
Somit haben wir eine Lösung für y.
Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:
x =
=
=
also
x = -1
Die Lösung des LGS ist damit: (-1|4)
LGS (Standard)
Beispiel:
Löse das lineare Gleichungssystem:
Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:
| = | |||
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = |
Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( ) ersetzen und dann nach x auflösen:
| = | |||
| = | |||
| = | |⋅ 3 | ||
| = | |||
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = |
Somit haben wir eine Lösung für x.
Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:
y =
=
=
also
y = 1
Die Lösung des LGS ist damit: (4|1)
LGS (vorher umformen)
Beispiel:
Löse das lineare Gleichungssystem:
Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:
| = | |||
| = | |⋅ 2 | ||
| = | |||
| = | | | ||
| = | |:() | ||
| = |
Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( ) ersetzen und dann nach x auflösen:
| = | |||
| = | |||
| = | |⋅ 8 | ||
| = | |||
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = |
Somit haben wir eine Lösung für x.
Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:
y =
=
=
also
y = 6
Die Lösung des LGS ist damit: (3|6)
LGS zu Lösungen finden
Beispiel:
Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 5 und y = -4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.
Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:
2x
1x
Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:
2x
1x
So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:
2x
1x
LGS Lösungsvielfalt erkennen
Beispiel:
Bestimme die Lösungsmenge:
Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:
| = | |||
| = | | | ||
| = | |:() | ||
| = |
Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( ) ersetzen und dann nach x auflösen:
| = | |||
| = | |||
| = | | | ||
| = |
Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!
Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.
LGS Anwendungen
Beispiel:
In einem Raum brennen 8 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 8 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 168 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 3 LED-Leuchtmittel und 5 Halogenleuchten zusammen 93 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?
Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und
Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:
Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:
| = | |||
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = |
Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( ) ersetzen und dann nach x auflösen:
| = | |||
| = | |||
| = | | | ||
| = | |:() | ||
| = |
Somit haben wir eine Lösung für x.
Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:
y =
=
also
y = 15
Die Lösung des LGS ist damit: (6|15)
Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:
Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 6
Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 15