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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: -3x +4y = 21 .

Bestimme y so, dass (-7|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -7 in die Gleichung ein und erhält:

-3( -7 ) +4y = 21

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

-3( -7 ) +4y = 21
21 +4y = 21
4y +21 = 21 | -21
4y = 0 |:4
y = 0

Die Lösung ist somit: (-7|0)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: -4x -2y = 32 .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-6|-4)
denn -4⋅( - 6 ) -2( - 4 ) = 24 +8 = 32

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-8|0)
denn -4⋅( - 8 ) -20 = 32 +0 = 32

Oder : (-4|-8)
denn -4⋅( - 4 ) -2( - 8 ) = 16 +16 = 32

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

+2y = 12 (I) 3x +3y = 30 (II)

Lösung einblenden
+2y = 12 (I) 3x +3y = 30 (II)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

2y = 12 |:2
y = 6

Als neues LGS erhält man so:

+y = 6 (I) 3x +3y = 30 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch 6 ersetzen und dann nach x auflösen:

3x + 3 · 6 = 30
3x +18 = 30 | -18
3x = 12 |:3
x = 4

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (4|6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

-4x -4y = 20 (I) x +3y = -11 (II)

Lösung einblenden
-4x -4y = 20 (I) x +3y = -11 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

x +3y = -11 | -3y
x = -11 -3y

Als neues LGS erhält man so:

-4x -4y = 20 (I) x = ( -11 -3y ) (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( -11 -3y ) ersetzen und dann nach y auflösen:

-4 · ( -11 -3y ) -4y = 20
44 +12y -4y = 20
8y +44 = 20 | -44
8y = -24 |:8
y = -3

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = -11 -3( -3 )

= -11 +9

= -2

also

x = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

3x +y = -14 (I) -x -2y = -2 (II)

Lösung einblenden
3x +y = -14 (I) -x -2y = -2 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

-x -2y = -2 | +2y
-x = -2 +2y |:(-1 )
x = 2 -2y

Als neues LGS erhält man so:

3x +y = -14 (I) x = ( 2 -2y ) (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( 2 -2y ) ersetzen und dann nach y auflösen:

3 · ( 2 -2y ) + y = -14
6 -6y + y = -14
-5y +6 = -14 | -6
-5y = -20 |:(-5 )
y = 4

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = 2 -24

= 2 -8

= -6

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

- 3 4 x - 3 5 y = 9 5 (I) 3 4 x +y = -3 (II)

Lösung einblenden
- 3 4 x - 3 5 y = 9 5 (I) 3 4 x +y = -3 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

3 4 x + y = -3
y + 3 4 x = -3 |⋅ 4
4( y + 3 4 x) = -12
4y +3x = -12 | -3x
4y = -12 -3x |:4
y = -3 - 3 4 x

Als neues LGS erhält man so:

- 3 4 x - 3 5 y = 9 5 (I) +y = ( -3 - 3 4 x ) (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( -3 - 3 4 x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

- 3 4 x - 3 5 · ( -3 - 3 4 x ) = 9 5
- 3 4 x + 9 5 + 9 20 x = 9 5
- 3 10 x + 9 5 = 9 5 |⋅ 10
10( - 3 10 x + 9 5 ) = 18
-3x +18 = 18 | -18
-3x = 0 |:(-3 )
x = 0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = -3 - 3 4 ( 0 )

= -3 +0

= -3

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -3 und y = -3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x +5y = ?

-6x +12y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = -3 einsetzen und ausrechnen:

-2x +5y = 6 -15 = -9

-6x +12y = 18 -36 = -18

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x +5y = -9

-6x +12y = -18

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

5x +2y = 3 (I) -3x -3y = -9 (II)

Lösung einblenden
5x +2y = 3 (I) -3x -3y = -9 (II)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

5x +2y = 3
2y +5x = 3 | -5x
2y = 3 -5x |:2
y = 3 2 - 5 2 x

Als neues LGS erhält man so:

+y = ( 3 2 - 5 2 x ) (I) -3x -3y = -9 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( 3 2 - 5 2 x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

-3x -3 · ( 3 2 - 5 2 x ) = -9
-3x - 9 2 + 15 2 x = -9
9 2 x - 9 2 = -9 |⋅ 2
2( 9 2 x - 9 2 ) = -18
9x -9 = -18 | +9
9x = -9 |:9
x = -1

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = 3 2 - 5 2 ( -1 )

= 3 2 + 5 2

= 4

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|4)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 6-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 29. Wenn man aber vom 2-fachen von x 2 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 2. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

x +6y = 29 (I) 2x -2y = 2 (II)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

x +6y = 29 | -6y
x = 29 -6y

Als neues LGS erhält man so:

x = ( 29 -6y ) (I) 2x -2y = 2 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( 29 -6y ) ersetzen und dann nach y auflösen:

2 · ( 29 -6y ) -2y = 2
58 -12y -2y = 2
-14y +58 = 2 | -58
-14y = -56 |:(-14 )
y = 4

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = 29 -64

= 29 -24

= 5

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|4)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 5

y (y-Wert): 4