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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5x-5y$ = $40$.

Bestimme y so, dass (6|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 6 in die Gleichung ein und erhält:

$5\cdot 6-5y$ = $40$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$5\cdot 6-5y$	=	$40$
$30-5y$	=	$40$
$-5y+30$	=	$40$	| $-30$
$-5y$	=	$10$	|:($-5$)
$y$	=	$-2$

Die Lösung ist somit: (6|-2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5x-5y$ = 0.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-1|-1)
denn 5⋅( - 1 ) -5⋅( - 1 ) = -5 +5 = 0

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-6|-6)
denn 5⋅( - 6 ) -5⋅( - 6 ) = -30 +30 = 0

Oder : (4|4)
denn 5⋅4 -5⋅4 = 20 -20 = 0

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-x& & =& $ -2$& & & \text{(I)}\\ 4x& -4y& =& $ 16$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-x& & =& $ -2$& & & \text{(I)}\\ 4x& -4y& =& $ 16$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$-x$	=	$-2$	|:($-1$)
$x$	=	$2$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& $ 2$& & & \text{(I)}\\ 4x& -4y& =& $ 16$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $2$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$4·2-4y$	=	$16$
$8-4y$	=	$16$
$-4y+8$	=	$16$	| $-8$
$-4y$	=	$8$	|:($-4$)
$y$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $2$

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-2x& +y& =& $ -18$& & & \text{(I)}\\ 2x& +2y& =& $ 0$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-2x& +y& =& $ -18$& & & \text{(I)}\\ 2x& +2y& =& $ 0$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$-2x+y$	=	$-18$
$y-2x$	=	$-18$	| $+2x$
$y$	=	$-18+2x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-18+2x\right)& & & \text{(I)}\\ 2x& +2y& =& $ 0$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-18+2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x+2·\left(-18+2x\right)$	=	0
$2x-36+4x$	=	0
$6x-36$	=	0	| $+36$
$6x$	=	$36$	|:$6$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-18+2\cdot 6$

= $-18+12$

= $-6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-6)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& +y& =& $ -2$& & & \text{(I)}\\ 2x& +3y& =& $ -8$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}x& +y& =& $ -2$& & & \text{(I)}\\ 2x& +3y& =& $ -8$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$x+y$	=	$-2$
$y+x$	=	$-2$	| $-x$
$y$	=	$-2-x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-2-x\right)& & & \text{(I)}\\ 2x& +3y& =& $ -8$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-2-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x+3·\left(-2-x\right)$	=	$-8$
$2x-6-3x$	=	$-8$
$-x-6$	=	$-8$	| $+6$
$-x$	=	$-2$	|:($-1$)
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-2-2$

= $-4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$2\left(x-7\right)+2y$	=	$5y$			(I)
$x$	=	$-6-5y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$2\left(x-7\right)+2y$	=	$5y$			(I)
$x$	=	$-6-5y$			(II)

$2x-14+2y$	=	$5y$	| + $14-5y$		(I)
$x$	=	$-6-5y$	| + $5y$		(II)

$\begin{array}{ccccccc}2x& -3y& =& $ 14$& & & \text{(I)}\\ x& +5y& =& $ -6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+5y$	=	$-6$	| $-5y$
$x$	=	$-6-5y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}2x& -3y& =& $ 14$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(-6-5y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-6-5y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(-6-5y\right)-3y$	=	$14$
$-12-10y-3y$	=	$14$
$-13y-12$	=	$14$	| $+12$
$-13y$	=	$26$	|:($-13$)
$y$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-6-5\cdot \left(-2\right)$

= $-6+10$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 5 und y = -1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-1x +5y = ?

2x -11y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

-1x +5y = -5 -5 = -10

2x -11y = 10 +11 = 21

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-1x +5y = -10

2x -11y = 21

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}5x& -2y& =& $ 24$& & & \text{(I)}\\ 2x& +2y& =& $ 18$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}5x& -2y& =& $ 24$& & & \text{(I)}\\ 2x& +2y& =& $ 18$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5x-2y$	=	$24$
$-2y+5x$	=	$24$	| $-5x$
$-2y$	=	$24-5x$	|:($-2$)
$y$	=	$-12+\frac{5}{2}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-12+\frac{5}{2}x\right)& & & \text{(I)}\\ 2x& +2y& =& $ 18$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-12+\frac{5}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x+2·\left(-12+\frac{5}{2}x\right)$	=	$18$
$2x-24+5x$	=	$18$
$7x-24$	=	$18$	| $+24$
$7x$	=	$42$	|:$7$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-12+\frac{5}{2}\cdot 6$

= $-12+15$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (6|3)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 9 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 9 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 252 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 7 LED-Leuchtmittel und 4 Halogenleuchten zusammen 121 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}9x& +9y& =& $ 252$& & & \text{(I)}\\ 7x& +4y& =& $ 121$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$9x+9y$	=	$252$
$9y+9x$	=	$252$	| $-9x$
$9y$	=	$252-9x$	|:$9$
$y$	=	$28-x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(28-x\right)& & & \text{(I)}\\ 7x& +4y& =& $ 121$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $28-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$7x+4·\left(28-x\right)$	=	$121$
$7x+112-4x$	=	$121$
$3x+112$	=	$121$	| $-112$
$3x$	=	$9$	|:$3$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $28-3$

= $25$

also

y = 25

Die Lösung des LGS ist damit: (3|25)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 3

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 25