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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-2x+5y$ = $24$.

Bestimme x so, dass (x|4) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 4 in die Gleichung ein und erhält:

$-2x+5\cdot 4$ = $24$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$-2x+5\cdot 4$	=	$24$
$-2x+20$	=	$24$	| $-20$
$-2x$	=	$4$	|:($-2$)
$x$	=	$-2$

Die Lösung ist somit: (-2|4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-4x-y$ = $33$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-7|-5)
denn -4⋅( - 7 ) -1⋅( - 5 ) = 28 +5 = $33$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-8|-1)
denn -4⋅( - 8 ) -1⋅( - 1 ) = 32 +1 = $33$

Oder : (-6|-9)
denn -4⋅( - 6 ) -1⋅( - 9 ) = 24 +9 = $33$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-2x& & =& $ 12$& & & \text{(I)}\\ -2x& +3y& =& $ 3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-2x& & =& $ 12$& & & \text{(I)}\\ -2x& +3y& =& $ 3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$-2x$	=	$12$	|:($-2$)
$x$	=	$-6$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& $ -6$& & & \text{(I)}\\ -2x& +3y& =& $ 3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $-6$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$-2·\left(-6\right)+3y$	=	$3$
$12+3y$	=	$3$
$3y+12$	=	$3$	| $-12$
$3y$	=	$-9$	|:$3$
$y$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $-6$

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}3x& +2y& =& $ 23$& & & \text{(I)}\\ x& +3y& =& $ 17$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}3x& +2y& =& $ 23$& & & \text{(I)}\\ x& +3y& =& $ 17$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+3y$	=	$17$	| $-3y$
$x$	=	$17-3y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}3x& +2y& =& $ 23$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(17-3y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $17-3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(17-3y\right)+2y$	=	$23$
$51-9y+2y$	=	$23$
$-7y+51$	=	$23$	| $-51$
$-7y$	=	$-28$	|:($-7$)
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $17-3\cdot 4$

= $17-12$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-3x& +2y& =& $ -28$& & & \text{(I)}\\ x& -3y& =& $ 21$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-3x& +2y& =& $ -28$& & & \text{(I)}\\ x& -3y& =& $ 21$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x-3y$	=	$21$	| $+3y$
$x$	=	$21+3y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-3x& +2y& =& $ -28$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(21+3y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $21+3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·\left(21+3y\right)+2y$	=	$-28$
$-63-9y+2y$	=	$-28$
$-7y-63$	=	$-28$	| $+63$
$-7y$	=	$35$	|:($-7$)
$y$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $21+3\cdot \left(-5\right)$

= $21-15$

= $6$

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$5\left(x-2\right)+y$	=	$-y$			(I)
$15$	=	$2\left(x+2y\right)-5$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$5\left(x-2\right)+y$	=	$-y$			(I)
$15$	=	$2\left(x+2y\right)-5$			(II)

$5x-10+y$	=	$-y$	| + $10+y$		(I)
$15$	=	$2x-5+4y$	| $-15-2x-4y$		(II)

$\begin{array}{ccccccc}5x& +2y& =& $ 10$& & & \text{(I)}\\ -2x& -4y& =& $ -20$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5x+2y$	=	$10$
$2y+5x$	=	$10$	| $-5x$
$2y$	=	$10-5x$	|:$2$
$y$	=	$5-\frac{5}{2}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(5-\frac{5}{2}x\right)& & & \text{(I)}\\ -2x& -4y& =& $ -20$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $5-\frac{5}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x-4·\left(5-\frac{5}{2}x\right)$	=	$-20$
$-2x-20+10x$	=	$-20$
$8x-20$	=	$-20$	| $+20$
$8x$	=	0	|:$8$
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $5-\frac{5}{2}\cdot 0$

= $5+0$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (0|5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 3 und y = -1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-1x -4y = ?

-5x -19y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 3 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

-1x -4y = -3 +4 = 1

-5x -19y = -15 +19 = 4

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-1x -4y = 1

-5x -19y = 4

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}-9x& -12y& =& $ -8$& & & \text{(I)}\\ 3x& +4y& =& $ 3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-9x& -12y& =& $ -8$& & & \text{(I)}\\ 3x& +4y& =& $ 3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$-9x-12y$	=	$-8$
$-12y-9x$	=	$-8$	| $+9x$
$-12y$	=	$-8+9x$	|:($-12$)
$y$	=	$\frac{2}{3}-\frac{3}{4}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(\frac{2}{3}-\frac{3}{4}x\right)& & & \text{(I)}\\ 3x& +4y& =& $ 3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{2}{3}-\frac{3}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x+4·\left(\frac{2}{3}-\frac{3}{4}x\right)$	=	$3$
$3x+\frac{8}{3}-3x$	=	$3$
$\frac{8}{3}$	=	$3$	| $-\frac{8}{3}$
0	=	$\frac{1}{3}$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 5-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 20. Wenn man aber vom 4-fachen von x 7 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -1. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& +5y& =& $ 20$& & & \text{(I)}\\ 4x& -7y& =& $ -1$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+5y$	=	$20$	| $-5y$
$x$	=	$20-5y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(20-5y\right)& & & \text{(I)}\\ 4x& -7y& =& $ -1$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $20-5y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4·\left(20-5y\right)-7y$	=	$-1$
$80-20y-7y$	=	$-1$
$-27y+80$	=	$-1$	| $-80$
$-27y$	=	$-81$	|:($-27$)
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $20-5\cdot 3$

= $20-15$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|3)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 5

y (y-Wert): 3