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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2x+3y$ = $-15$.

Bestimme x so, dass (x|-3) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -3 in die Gleichung ein und erhält:

$2x+3\cdot \left(-3\right)$ = $-15$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$2x+3\cdot \left(-3\right)$	=	$-15$
$2x-9$	=	$-15$	| $+9$
$2x$	=	$-6$	|:$2$
$x$	=	$-3$

Die Lösung ist somit: (-3|-3)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-x-3y$ = $11$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (7|-6)
denn -1⋅7 -3⋅( - 6 ) = -7 +18 = $11$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (4|-5)
denn -1⋅4 -3⋅( - 5 ) = -4 +15 = $11$

Oder : (10|-7)
denn -1⋅10 -3⋅( - 7 ) = -10 +21 = $11$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}4x& & =& $ -16$& & & \text{(I)}\\ x& +4y& =& $ -28$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}4x& & =& $ -16$& & & \text{(I)}\\ x& +4y& =& $ -28$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$4x$	=	$-16$	|:$4$
$x$	=	$-4$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& $ -4$& & & \text{(I)}\\ x& +4y& =& $ -28$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $-4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$1·\left(-4\right)+4y$	=	$-28$
$-4+4y$	=	$-28$
$4y-4$	=	$-28$	| $+4$
$4y$	=	$-24$	|:$4$
$y$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $-4$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& +3y& =& $ -17$& & & \text{(I)}\\ x& -4y& =& $ 25$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}x& +3y& =& $ -17$& & & \text{(I)}\\ x& -4y& =& $ 25$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x-4y$	=	$25$	| $+4y$
$x$	=	$25+4y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& +3y& =& $ -17$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(25+4y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $25+4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1·\left(25+4y\right)+3y$	=	$-17$
$25+4y+3y$	=	$-17$
$7y+25$	=	$-17$	| $-25$
$7y$	=	$-42$	|:$7$
$y$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $25+4\cdot \left(-6\right)$

= $25-24$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-6)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-3x& +y& =& $ 22$& & & \text{(I)}\\ -x& -5y& =& $ -14$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-3x& +y& =& $ 22$& & & \text{(I)}\\ -x& -5y& =& $ -14$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$-x-5y$	=	$-14$	| $+5y$
$-x$	=	$-14+5y$	|:($-1$)
$x$	=	$14-5y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-3x& +y& =& $ 22$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(14-5y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $14-5y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·\left(14-5y\right)+y$	=	$22$
$-42+15y+y$	=	$22$
$16y-42$	=	$22$	| $+42$
$16y$	=	$64$	|:$16$
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $14-5\cdot 4$

= $14-20$

= $-6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$-8x+5y$	=	$5\left(-x+2\right)+9y$			(I)
$-2y$	=	$x+2$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$-8x+5y$	=	$5\left(-x+2\right)+9y$			(I)
$-2y$	=	$x+2$			(II)

$-8x+5y$	=	$-5x+10+9y$	| + $5x-9y$		(I)
$-2y$	=	$x+2$	| $-x$		(II)

$\begin{array}{ccccccc}-3x& -4y& =& $ 10$& & & \text{(I)}\\ -x& -2y& =& $ 2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$-x-2y$	=	$2$	| $+2y$
$-x$	=	$2+2y$	|:($-1$)
$x$	=	$-2-2y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-3x& -4y& =& $ 10$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(-2-2y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-2-2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·\left(-2-2y\right)-4y$	=	$10$
$6+6y-4y$	=	$10$
$2y+6$	=	$10$	| $-6$
$2y$	=	$4$	|:$2$
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-2-2\cdot 2$

= $-2-4$

= $-6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 1 und y = 3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

3x +1y = ?

1x -1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 1 und y = 3 einsetzen und ausrechnen:

3x +1y = 3 +3 = 6

1x -1y = 1 -3 = -2

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

3x +1y = 6

1x -1y = -2

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}4x& +3y& =& $ -1$& & & \text{(I)}\\ -16x& -12y& =& $ 4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}4x& +3y& =& $ -1$& & & \text{(I)}\\ -16x& -12y& =& $ 4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4x+3y$	=	$-1$
$3y+4x$	=	$-1$	| $-4x$
$3y$	=	$-1-4x$	|:$3$
$y$	=	$-\frac{1}{3}-\frac{4}{3}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-\frac{1}{3}-\frac{4}{3}x\right)& & & \text{(I)}\\ -16x& -12y& =& $ 4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{1}{3}-\frac{4}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-16x-12·\left(-\frac{1}{3}-\frac{4}{3}x\right)$	=	$4$
$-16x+4+16x$	=	$4$
$4$	=	$4$	| $-4$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 4-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 21. Wenn man aber vom 4-fachen von x 3 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -11. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& +4y& =& $ 21$& & & \text{(I)}\\ 4x& -3y& =& $ -11$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+4y$	=	$21$	| $-4y$
$x$	=	$21-4y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(21-4y\right)& & & \text{(I)}\\ 4x& -3y& =& $ -11$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $21-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4·\left(21-4y\right)-3y$	=	$-11$
$84-16y-3y$	=	$-11$
$-19y+84$	=	$-11$	| $-84$
$-19y$	=	$-95$	|:($-19$)
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $21-4\cdot 5$

= $21-20$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|5)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 1

y (y-Wert): 5