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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-4x-4y$ = $-4$.

Bestimme y so, dass (-3|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -3 in die Gleichung ein und erhält:

$-4\cdot \left(-3\right)-4y$ = $-4$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$-4\cdot \left(-3\right)-4y$	=	$-4$
$12-4y$	=	$-4$
$-4y+12$	=	$-4$	| $-12$
$-4y$	=	$-16$	|:($-4$)
$y$	=	$4$

Die Lösung ist somit: (-3|4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5x-3y$ = $-29$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-7|-2)
denn 5⋅( - 7 ) -3⋅( - 2 ) = -35 +6 = $-29$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-10|-7)
denn 5⋅( - 10 ) -3⋅( - 7 ) = -50 +21 = $-29$

Oder : (-4|3)
denn 5⋅( - 4 ) -3⋅3 = -20 -9 = $-29$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& -4y& =& $ -24$& & & \text{(I)}\\ 4x& & =& $ -16$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}x& -4y& =& $ -24$& & & \text{(I)}\\ 4x& & =& $ -16$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$4x$	=	$-16$	|:$4$
$x$	=	$-4$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& -4y& =& $ -24$& & & \text{(I)}\\ x& & =& $ -4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $-4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$1·\left(-4\right)-4y$	=	$-24$
$-4-4y$	=	$-24$
$-4y-4$	=	$-24$	| $+4$
$-4y$	=	$-20$	|:($-4$)
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $-4$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}2x& -y& =& $ 0$& & & \text{(I)}\\ x& -3y& =& $ -5$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}2x& -y& =& $ 0$& & & \text{(I)}\\ x& -3y& =& $ -5$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x-3y$	=	$-5$	| $+3y$
$x$	=	$-5+3y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}2x& -y& =& $ 0$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(-5+3y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-5+3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(-5+3y\right)-y$	=	0
$-10+6y-y$	=	0
$5y-10$	=	0	| $+10$
$5y$	=	$10$	|:$5$
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-5+3\cdot 2$

= $-5+6$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-2x& -3y& =& $ 6$& & & \text{(I)}\\ -2x& -5y& =& $ 6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-2x& -3y& =& $ 6$& & & \text{(I)}\\ -2x& -5y& =& $ 6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$-2x-3y$	=	$6$
$-3y-2x$	=	$6$	| $+2x$
$-3y$	=	$6+2x$	|:($-3$)
$y$	=	$-2-\frac{2}{3}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-2-\frac{2}{3}x\right)& & & \text{(I)}\\ -2x& -5y& =& $ 6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-2-\frac{2}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x-5·\left(-2-\frac{2}{3}x\right)$	=	$6$
$-2x+10+\frac{10}{3}x$	=	$6$
$\frac{4}{3}x+10$	=	$6$	|⋅ 3
$3\left(\frac{4}{3}x+10\right)$	=	$18$
$4x+30$	=	$18$	| $-30$
$4x$	=	$-12$	|:$4$
$x$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-2-\frac{2}{3}\cdot \left(-3\right)$

= $-2+2$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|0)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$2\left(x+2\right)-4y$	=	0			(I)
$-4\left(x+2\right)-3y$	=	0			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$2\left(x+2\right)-4y$	=	0			(I)
$-4\left(x+2\right)-3y$	=	0			(II)

$2x+4-4y$	=	0	| $-4$		(I)
$-4x-8-3y$	=	0	| + $8$		(II)

$\begin{array}{ccccccc}2x& -4y& =& $ -4$& & & \text{(I)}\\ -4x& -3y& =& $ 8$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2x-4y$	=	$-4$
$-4y+2x$	=	$-4$	| $-2x$
$-4y$	=	$-4-2x$	|:($-4$)
$y$	=	$1+\frac{1}{2}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(1+\frac{1}{2}x\right)& & & \text{(I)}\\ -4x& -3y& =& $ 8$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $1+\frac{1}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-4x-3·\left(1+\frac{1}{2}x\right)$	=	$8$
$-4x-3-\frac{3}{2}x$	=	$8$
$-\frac{11}{2}x-3$	=	$8$	|⋅ 2
$2\left(-\frac{11}{2}x-3\right)$	=	$16$
$-11x-6$	=	$16$	| $+6$
$-11x$	=	$22$	|:($-11$)
$x$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $1+\frac{1}{2}\cdot \left(-2\right)$

= $1-1$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|0)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 5 und y = 4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x -2y = ?

2x -3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

5x -2y = 25 -8 = 17

2x -3y = 10 -12 = -2

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x -2y = 17

2x -3y = -2

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}-2x& +4y& =& $ 2$& & & \text{(I)}\\ 4x& -8y& =& $ -7$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-2x& +4y& =& $ 2$& & & \text{(I)}\\ 4x& -8y& =& $ -7$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$-2x+4y$	=	$2$
$4y-2x$	=	$2$	| $+2x$
$4y$	=	$2+2x$	|:$4$
$y$	=	$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}x\right)& & & \text{(I)}\\ 4x& -8y& =& $ -7$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x-8·\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}x\right)$	=	$-7$
$4x-4-4x$	=	$-7$
$-4$	=	$-7$	| $+4$
0	=	$-3$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 3 Stunden wandern. Danach hat sie 4 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 680 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 4 Stunden wandern und hat 3 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 1035 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}3x& -4y& =& $ 680$& & & \text{(I)}\\ 4x& -3y& =& $ 1035$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3x-4y$	=	$680$
$-4y+3x$	=	$680$	| $-3x$
$-4y$	=	$680-3x$	|:($-4$)
$y$	=	$-170+\frac{3}{4}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-170+\frac{3}{4}x\right)& & & \text{(I)}\\ 4x& -3y& =& $ 1035$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-170+\frac{3}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x-3·\left(-170+\frac{3}{4}x\right)$	=	$1035$
$4x+510-\frac{9}{4}x$	=	$1035$
$\frac{7}{4}x+510$	=	$1035$	|⋅ 4
$4\left(\frac{7}{4}x+510\right)$	=	$4140$
$7x+2040$	=	$4140$	| $-2040$
$7x$	=	$2100$	|:$7$
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-170+\frac{3}{4}\cdot 300$

= $-170+225$

= $55$

also

y = 55

Die Lösung des LGS ist damit: (300|55)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 55