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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-3x-2y$ = $2$.

Bestimme x so, dass (x|-7) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -7 in die Gleichung ein und erhält:

$-3x-2\cdot \left(-7\right)$ = $2$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$-3x-2\cdot \left(-7\right)$	=	$2$
$-3x+14$	=	$2$	| $-14$
$-3x$	=	$-12$	|:($-3$)
$x$	=	$4$

Die Lösung ist somit: (4|-7)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x-5y$ = $-30$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-5|5)
denn 1⋅( - 5 ) -5⋅5 = -5 -25 = $-30$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-10|4)
denn 1⋅( - 10 ) -5⋅4 = -10 -20 = $-30$

Oder : (0|6)
denn 1⋅0 -5⋅6 = 0 -30 = $-30$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-3x& -4y& =& $ -21$& & & \text{(I)}\\ & +4y& =& $ 24$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-3x& -4y& =& $ -21$& & & \text{(I)}\\ & +4y& =& $ 24$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$4y$	=	$24$	|:$4$
$y$	=	$6$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-3x& -4y& =& $ -21$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& $ 6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $6$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x-4·6$	=	$-21$
$-3x-24$	=	$-21$	| $+24$
$-3x$	=	$3$	|:($-3$)
$x$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $6$

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& +3y& =& $ -15$& & & \text{(I)}\\ -x& -2y& =& $ 12$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}x& +3y& =& $ -15$& & & \text{(I)}\\ -x& -2y& =& $ 12$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$-x-2y$	=	$12$	| $+2y$
$-x$	=	$12+2y$	|:($-1$)
$x$	=	$-12-2y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& +3y& =& $ -15$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(-12-2y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-12-2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1·\left(-12-2y\right)+3y$	=	$-15$
$-12-2y+3y$	=	$-15$
$y-12$	=	$-15$	| $+12$
$y$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-12-2\cdot \left(-3\right)$

= $-12+6$

= $-6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}2x& -4y& =& $ 12$& & & \text{(I)}\\ -x& -y& =& $ 0$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}2x& -4y& =& $ 12$& & & \text{(I)}\\ -x& -y& =& $ 0$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$-x-y$	=	0
$-y-x$	=	0	| $+x$
$-y$	=	$x$	|:($-1$)
$y$	=	$-x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}2x& -4y& =& $ 12$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& -x& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $-x$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x-4·\left(-x\right)$	=	$12$
$2x+4x$	=	$12$
$6x$	=	$12$	|:$6$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-x& +\frac{2}{3}y& =& $ -\frac{10}{3}$& & & \text{(I)}\\ -\frac{1}{2}x& +\frac{1}{2}y& =& $ -1$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-x& +\frac{2}{3}y& =& $ -\frac{10}{3}$& & & \text{(I)}\\ -\frac{1}{2}x& +\frac{1}{2}y& =& $ -1$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$-x+\frac{2}{3}y$	=	$-\frac{10}{3}$	|⋅ 3
$3\left(-x+\frac{2}{3}y\right)$	=	$-10$
$-3x+2y$	=	$-10$	| $-2y$
$-3x$	=	$-10-2y$	|:($-3$)
$x$	=	$\frac{10}{3}+\frac{2}{3}y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(\frac{10}{3}+\frac{2}{3}y\right)& & & \text{(I)}\\ -\frac{1}{2}x& +\frac{1}{2}y& =& $ -1$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $\frac{10}{3}+\frac{2}{3}y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-\frac{1}{2}·\left(\frac{10}{3}+\frac{2}{3}y\right)+\frac{1}{2}y$	=	$-1$
$-\frac{5}{3}-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}y$	=	$-1$
$\frac{1}{6}y-\frac{5}{3}$	=	$-1$	|⋅ 6
$6\left(\frac{1}{6}y-\frac{5}{3}\right)$	=	$-6$
$y-10$	=	$-6$	| $+10$
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $\frac{10}{3}+\frac{2}{3}\cdot 4$

= $\frac{10}{3}+\frac{8}{3}$

= $6$

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 1 und y = 4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

3x +2y = ?

5x +6y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 1 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

3x +2y = 3 +8 = 11

5x +6y = 5 +24 = 29

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

3x +2y = 11

5x +6y = 29

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}8x& -4y& =& $ -1$& & & \text{(I)}\\ -2x& +y& =& $ 1$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}8x& -4y& =& $ -1$& & & \text{(I)}\\ -2x& +y& =& $ 1$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$-2x+y$	=	$1$
$y-2x$	=	$1$	| $+2x$
$y$	=	$1+2x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}8x& -4y& =& $ -1$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& \left(1+2x\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $1+2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$8x-4·\left(1+2x\right)$	=	$-1$
$8x-4-8x$	=	$-1$
$-4$	=	$-1$	| $+4$
0	=	$3$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 7 Stunden wandern. Danach hat sie 3 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 1995 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 2 Stunden wandern und hat 3 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 495 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}7x& -3y& =& $ 1995$& & & \text{(I)}\\ 2x& -3y& =& $ 495$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$7x-3y$	=	$1995$
$-3y+7x$	=	$1995$	| $-7x$
$-3y$	=	$1995-7x$	|:($-3$)
$y$	=	$-665+\frac{7}{3}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-665+\frac{7}{3}x\right)& & & \text{(I)}\\ 2x& -3y& =& $ 495$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-665+\frac{7}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x-3·\left(-665+\frac{7}{3}x\right)$	=	$495$
$2x+1995-7x$	=	$495$
$-5x+1995$	=	$495$	| $-1995$
$-5x$	=	$-1500$	|:($-5$)
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-665+\frac{7}{3}\cdot 300$

= $-665+700$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (300|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 35