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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4x-2y$ = $16$.

Bestimme x so, dass (x|-2) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -2 in die Gleichung ein und erhält:

$4x-2\cdot \left(-2\right)$ = $16$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$4x-2\cdot \left(-2\right)$	=	$16$
$4x+4$	=	$16$	| $-4$
$4x$	=	$12$	|:$4$
$x$	=	$3$

Die Lösung ist somit: (3|-2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3x+2y$ = $-14$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (0|-7)
denn 3⋅0 +2⋅( - 7 ) = 0 -14 = $-14$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (2|-10)
denn 3⋅2 +2⋅( - 10 ) = 6 -20 = $-14$

Oder : (-2|-4)
denn 3⋅( - 2 ) +2⋅( - 4 ) = -6 -8 = $-14$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}& +4y& =& $ -4$& & & \text{(I)}\\ -x& -4y& =& $ -1$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}& +4y& =& $ -4$& & & \text{(I)}\\ -x& -4y& =& $ -1$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$4y$	=	$-4$	|:$4$
$y$	=	$-1$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& $ -1$& & & \text{(I)}\\ -x& -4y& =& $ -1$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $-1$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-x-4·\left(-1\right)$	=	$-1$
$-x+4$	=	$-1$	| $-4$
$-x$	=	$-5$	|:($-1$)
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $-1$

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& +3y& =& $ 17$& & & \text{(I)}\\ 3x& +y& =& $ 19$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}x& +3y& =& $ 17$& & & \text{(I)}\\ 3x& +y& =& $ 19$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$3x+y$	=	$19$
$y+3x$	=	$19$	| $-3x$
$y$	=	$19-3x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& +3y& =& $ 17$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& \left(19-3x\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $19-3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x+3·\left(19-3x\right)$	=	$17$
$x+57-9x$	=	$17$
$-8x+57$	=	$17$	| $-57$
$-8x$	=	$-40$	|:($-8$)
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $19-3\cdot 5$

= $19-15$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (5|4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-4x& +4y& =& $ 0$& & & \text{(I)}\\ -x& +2y& =& $ -1$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-4x& +4y& =& $ 0$& & & \text{(I)}\\ -x& +2y& =& $ -1$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$-x+2y$	=	$-1$	| $-2y$
$-x$	=	$-1-2y$	|:($-1$)
$x$	=	$1+2y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-4x& +4y& =& $ 0$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(1+2y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $1+2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-4·\left(1+2y\right)+4y$	=	0
$-4-8y+4y$	=	0
$-4y-4$	=	0	| $+4$
$-4y$	=	$4$	|:($-4$)
$y$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $1+2\cdot \left(-1\right)$

= $1-2$

= $-1$

also

x = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& -\frac{3}{5}y& =& $ -\frac{31}{5}$& & & \text{(I)}\\ \frac{1}{4}x& -\frac{1}{5}y& =& $ -\frac{33}{20}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}x& -\frac{3}{5}y& =& $ -\frac{31}{5}$& & & \text{(I)}\\ \frac{1}{4}x& -\frac{1}{5}y& =& $ -\frac{33}{20}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x-\frac{3}{5}y$	=	$-\frac{31}{5}$	|⋅ 5
$5\left(x-\frac{3}{5}y\right)$	=	$-31$
$5x-3y$	=	$-31$	| $+3y$
$5x$	=	$-31+3y$	|:$5$
$x$	=	$-\frac{31}{5}+\frac{3}{5}y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(-\frac{31}{5}+\frac{3}{5}y\right)& & & \text{(I)}\\ \frac{1}{4}x& -\frac{1}{5}y& =& $ -\frac{33}{20}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $-\frac{31}{5}+\frac{3}{5}y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$\frac{1}{4}·\left(-\frac{31}{5}+\frac{3}{5}y\right)-\frac{1}{5}y$	=	$-\frac{33}{20}$
$-\frac{31}{20}+\frac{3}{20}y-\frac{1}{5}y$	=	$-\frac{33}{20}$
$-\frac{1}{20}y-\frac{31}{20}$	=	$-\frac{33}{20}$	|⋅ 20
$20\left(-\frac{1}{20}y-\frac{31}{20}\right)$	=	$-33$
$-y-31$	=	$-33$	| $+31$
$-y$	=	$-2$	|:($-1$)
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $-\frac{31}{5}+\frac{3}{5}\cdot 2$

= $-\frac{31}{5}+\frac{6}{5}$

= $-5$

also

x = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -5 und y = 4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x -1y = ?

-1x +4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

2x -1y = -10 -4 = -14

-1x +4y = 5 +16 = 21

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x -1y = -14

-1x +4y = 21

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}-4x& +5y& =& $ 16$& & & \text{(I)}\\ -x& +4y& =& $ 4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-4x& +5y& =& $ 16$& & & \text{(I)}\\ -x& +4y& =& $ 4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$-x+4y$	=	$4$	| $-4y$
$-x$	=	$4-4y$	|:($-1$)
$x$	=	$-4+4y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-4x& +5y& =& $ 16$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(-4+4y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-4+4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-4·\left(-4+4y\right)+5y$	=	$16$
$16-16y+5y$	=	$16$
$-11y+16$	=	$16$	| $-16$
$-11y$	=	0	|:($-11$)
$y$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-4+4\cdot \left(0\right)$

= $-4+0$

= $-4$

also

x = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|0)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 9 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 4 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 187 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 9 LED-Leuchtmittel und 2 Halogenleuchten zusammen 107 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}9x& +4y& =& $ 187$& & & \text{(I)}\\ 9x& +2y& =& $ 107$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$9x+4y$	=	$187$
$4y+9x$	=	$187$	| $-9x$
$4y$	=	$187-9x$	|:$4$
$y$	=	$\frac{187}{4}-\frac{9}{4}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(\frac{187}{4}-\frac{9}{4}x\right)& & & \text{(I)}\\ 9x& +2y& =& $ 107$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{187}{4}-\frac{9}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$9x+2·\left(\frac{187}{4}-\frac{9}{4}x\right)$	=	$107$
$9x+\frac{187}{2}-\frac{9}{2}x$	=	$107$
$\frac{9}{2}x+\frac{187}{2}$	=	$107$	|⋅ 2
$2\left(\frac{9}{2}x+\frac{187}{2}\right)$	=	$214$
$9x+187$	=	$214$	| $-187$
$9x$	=	$27$	|:$9$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{187}{4}-\frac{9}{4}\cdot 3$

= $\frac{187}{4}-\frac{27}{4}$

= $40$

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (3|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 3

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 40