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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-3x-5y$ = $-9$.

Bestimme x so, dass (x|6) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 6 in die Gleichung ein und erhält:

$-3x-5\cdot 6$ = $-9$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$-3x-5\cdot 6$	=	$-9$
$-3x-30$	=	$-9$	| $+30$
$-3x$	=	$21$	|:($-3$)
$x$	=	$-7$

Die Lösung ist somit: (-7|6)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-x-2y$ = $5$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-1|-2)
denn -1⋅( - 1 ) -2⋅( - 2 ) = 1 +4 = $5$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-3|-1)
denn -1⋅( - 3 ) -2⋅( - 1 ) = 3 +2 = $5$

Oder : (1|-3)
denn -1⋅1 -2⋅( - 3 ) = -1 +6 = $5$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& -2y& =& $ 1$& & & \text{(I)}\\ & -y& =& $ 3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}x& -2y& =& $ 1$& & & \text{(I)}\\ & -y& =& $ 3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$-y$	=	$3$	|:($-1$)
$y$	=	$-3$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& -2y& =& $ 1$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& $ -3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $-3$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$x-2·\left(-3\right)$	=	$1$
$x+6$	=	$1$	| $-6$
$x$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $-3$

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}2x& +4y& =& $ -10$& & & \text{(I)}\\ 4x& +y& =& $ 1$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}2x& +4y& =& $ -10$& & & \text{(I)}\\ 4x& +y& =& $ 1$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4x+y$	=	$1$
$y+4x$	=	$1$	| $-4x$
$y$	=	$1-4x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}2x& +4y& =& $ -10$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& \left(1-4x\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $1-4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x+4·\left(1-4x\right)$	=	$-10$
$2x+4-16x$	=	$-10$
$-14x+4$	=	$-10$	| $-4$
$-14x$	=	$-14$	|:($-14$)
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $1-4\cdot 1$

= $1-4$

= $-3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-2x& +3y& =& $ 7$& & & \text{(I)}\\ 2x& -4y& =& $ -8$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-2x& +3y& =& $ 7$& & & \text{(I)}\\ 2x& -4y& =& $ -8$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$-2x+3y$	=	$7$
$3y-2x$	=	$7$	| $+2x$
$3y$	=	$7+2x$	|:$3$
$y$	=	$\frac{7}{3}+\frac{2}{3}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(\frac{7}{3}+\frac{2}{3}x\right)& & & \text{(I)}\\ 2x& -4y& =& $ -8$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{7}{3}+\frac{2}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x-4·\left(\frac{7}{3}+\frac{2}{3}x\right)$	=	$-8$
$2x-\frac{28}{3}-\frac{8}{3}x$	=	$-8$
$-\frac{2}{3}x-\frac{28}{3}$	=	$-8$	|⋅ 3
$3\left(-\frac{2}{3}x-\frac{28}{3}\right)$	=	$-24$
$-2x-28$	=	$-24$	| $+28$
$-2x$	=	$4$	|:($-2$)
$x$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{7}{3}+\frac{2}{3}\cdot \left(-2\right)$

= $\frac{7}{3}-\frac{4}{3}$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-\frac{3}{5}x& +\frac{3}{5}y& =& $ -\frac{9}{5}$& & & \text{(I)}\\ \frac{3}{4}x& +\frac{3}{4}y& =& $ -\frac{21}{4}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-\frac{3}{5}x& +\frac{3}{5}y& =& $ -\frac{9}{5}$& & & \text{(I)}\\ \frac{3}{4}x& +\frac{3}{4}y& =& $ -\frac{21}{4}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$-\frac{3}{5}x+\frac{3}{5}y$	=	$-\frac{9}{5}$
$\frac{3}{5}y-\frac{3}{5}x$	=	$-\frac{9}{5}$	|⋅ 5
$5\left(\frac{3}{5}y-\frac{3}{5}x\right)$	=	$-9$
$3y-3x$	=	$-9$	| $+3x$
$3y$	=	$-9+3x$	|:$3$
$y$	=	$-3+x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-3+x\right)& & & \text{(I)}\\ \frac{3}{4}x& +\frac{3}{4}y& =& $ -\frac{21}{4}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-3+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}·\left(-3+x\right)$	=	$-\frac{21}{4}$
$\frac{3}{4}x-\frac{9}{4}+\frac{3}{4}x$	=	$-\frac{21}{4}$
$\frac{3}{2}x-\frac{9}{4}$	=	$-\frac{21}{4}$	|⋅ 4
$4\left(\frac{3}{2}x-\frac{9}{4}\right)$	=	$-21$
$6x-9$	=	$-21$	| $+9$
$6x$	=	$-12$	|:$6$
$x$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-3-2$

= $-5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -4 und y = -5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x -3y = ?

6x -1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:

5x -3y = -20 +15 = -5

6x -1y = -24 +5 = -19

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x -3y = -5

6x -1y = -19

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}2x& -2y& =& $ 12$& & & \text{(I)}\\ -x& -4y& =& $ 14$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}2x& -2y& =& $ 12$& & & \text{(I)}\\ -x& -4y& =& $ 14$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$-x-4y$	=	$14$	| $+4y$
$-x$	=	$14+4y$	|:($-1$)
$x$	=	$-14-4y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}2x& -2y& =& $ 12$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(-14-4y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-14-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(-14-4y\right)-2y$	=	$12$
$-28-8y-2y$	=	$12$
$-10y-28$	=	$12$	| $+28$
$-10y$	=	$40$	|:($-10$)
$y$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-14-4\cdot \left(-4\right)$

= $-14+16$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-4)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 4-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 13. Wenn man aber vom 4-fachen von x 3 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -5. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& +4y& =& $ 13$& & & \text{(I)}\\ 4x& -3y& =& $ -5$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+4y$	=	$13$	| $-4y$
$x$	=	$13-4y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(13-4y\right)& & & \text{(I)}\\ 4x& -3y& =& $ -5$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $13-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4·\left(13-4y\right)-3y$	=	$-5$
$52-16y-3y$	=	$-5$
$-19y+52$	=	$-5$	| $-52$
$-19y$	=	$-57$	|:($-19$)
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $13-4\cdot 3$

= $13-12$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|3)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 1

y (y-Wert): 3