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nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Wert zum Einsetzen finden
Beispiel:
Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: = .
Bestimme x so, dass (x|1) eine Lösung dieser Gleichung ist.
Man setzt einfach y = 1 in die Gleichung ein und erhält:
=
Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:
| = | |||
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = |
Die Lösung ist somit: (-2|1)
Wert zum Einsetzen finden (offen)
Beispiel:
Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: = .
Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.
Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-1|7)
denn
-2⋅
Eine weitere Lösung wäre aber auch: (3|9)
denn -2⋅
Oder : (-5|5)
denn -2⋅
LGS (1 Var. schon aufgelöst)
Beispiel:
Löse das lineare Gleichungssystem:
Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:
| = | |: | ||
| = |
Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ersetzen und dann nach x auflösen:
| = | |||
| = | | | ||
| = | |:() | ||
| = |
Somit haben wir eine Lösung für x.
Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y =
Die Lösung des LGS ist damit: (4|5)
LGS (1 Var. ohne Koeff.)
Beispiel:
Löse das lineare Gleichungssystem:
Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:
| = | |||
| = | | | ||
| = |
Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( ) ersetzen und dann nach x auflösen:
| = | |||
| = | |||
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = |
Somit haben wir eine Lösung für x.
Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:
y =
=
=
also
y = -2
Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-2)
LGS (Standard)
Beispiel:
Löse das lineare Gleichungssystem:
Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:
| = | |||
| = | | | ||
| = |
Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( ) ersetzen und dann nach x auflösen:
| = | |||
| = | |||
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = |
Somit haben wir eine Lösung für x.
Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:
y =
=
=
also
y = -4
Die Lösung des LGS ist damit: (3|-4)
LGS (vorher umformen)
Beispiel:
Löse das lineare Gleichungssystem:
| = | (I) | ||||
| = | (II) |
Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:
| = | | + | (I) | |||
| = | | + | (II) |
Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:
| = | |||
| = | | | ||
| = | |:() | ||
| = |
Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( ) ersetzen und dann nach x auflösen:
| = | |||
| = | |||
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = |
Somit haben wir eine Lösung für x.
Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:
y =
=
=
also
y = 1
Die Lösung des LGS ist damit: (-5|1)
LGS zu Lösungen finden
Beispiel:
Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -2 und y = -1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.
Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:
-4x
-1x
Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:
-4x
-1x
So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:
-4x
-1x
LGS Lösungsvielfalt erkennen
Beispiel:
Bestimme die Lösungsmenge:
Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:
| = | |||
| = | | | ||
| = | |:() | ||
| = |
Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( ) ersetzen und dann nach x auflösen:
| = | |||
| = | |||
| = | | | ||
| = |
Diese Gleichung hat keine Lösung!
Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.
LGS Anwendungen
Beispiel:
In einem Raum brennen 9 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 8 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 347 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 7 LED-Leuchtmittel und 4 Halogenleuchten zusammen 181 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?
Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und
Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:
Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:
| = | |||
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = |
Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( ) ersetzen und dann nach x auflösen:
| = | |||
| = | |||
| = | |⋅ 2 | ||
| = | |||
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = |
Somit haben wir eine Lösung für x.
Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:
y =
=
=
also
y = 40
Die Lösung des LGS ist damit: (3|40)
Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:
Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 3
Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 40