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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x - 5 y$ = $20$ .

Bestimme y so, dass (-5|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -5 in die Gleichung ein und erhält:

$- 2 \cdot (- 5) - 5 y$ = $20$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 2 \cdot (- 5) - 5 y$	=	$20$
$10 - 5 y$	=	$20$
$- 5 y + 10$	=	$20$	\| $- 10$
$- 5 y$	=	$10$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- 2$

Die Lösung ist somit: (-5|-2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x + 3 y$ = $- 15$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (6|1)
denn -3⋅6 +3⋅1 = -18 +3 = $- 15$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (9|4)
denn -3⋅9 +3⋅4 = -27 +12 = $- 15$

Oder : (3|-2)
denn -3⋅3 +3⋅( - 2 ) = -9 -6 = $- 15$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & = & - 9 & (I) \\ - x & - 4 y & = & 23 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & = & - 9 & (I) \\ - x & - 4 y & = & 23 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$3 x$	=	$- 9$	\|: $3$
$x$	=	$- 3$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & - 3 & (I) \\ - x & - 4 y & = & 23 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $- 3$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 1 \cdot (- 3) - 4 y$	=	$23$
$3 - 4 y$	=	$23$
$- 4 y + 3$	=	$23$	\| $- 3$
$- 4 y$	=	$20$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 3$

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + 4 y & = & 2 & (I) \\ - 2 x & + y & = & 17 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + 4 y & = & 2 & (I) \\ - 2 x & + y & = & 17 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x + y$	=	$17$
$y - 2 x$	=	$17$	\| $+ 2 x$
$y$	=	$17 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & + 4 y & = & 2 & (I) \\ + y & = & (17 + 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $17 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 4 \cdot (17 + 2 x)$	=	$2$
$3 x + 68 + 8 x$	=	$2$
$11 x + 68$	=	$2$	\| $- 68$
$11 x$	=	$- 66$	\|: $11$
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $17 + 2 \cdot (- 6)$

= $17 - 12$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & + 5 y & = & 21 & (I) \\ x & + 5 y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & + 5 y & = & 21 & (I) \\ x & + 5 y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 5 y$	=	$1$	\| $- 5 y$
$x$	=	$1 - 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & + 5 y & = & 21 & (I) \\ x & = & (1 - 5 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $1 - 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot (1 - 5 y) + 5 y$	=	$21$
$- 4 + 20 y + 5 y$	=	$21$
$25 y - 4$	=	$21$	\| $+ 4$
$25 y$	=	$25$	\|: $25$
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $1 - 5 \cdot 1$

= $1 - 5$

= $- 4$

also

x = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

0	=	$4 (x - 7) - 2 y$			(I)
$- 4 x$	=	$x - 9 + 4 y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

0	=	$4 (x - 7) - 2 y$			(I)
$- 4 x$	=	$x - 9 + 4 y$			(II)

0	=	$4 x - 28 - 2 y$	\| $- 4 x + 2 y$		(I)
$- 4 x$	=	$x - 9 + 4 y$	\| $- x - 4 y$		(II)

\begin{matrix} - 4 x & + 2 y & = & - 28 & (I) \\ - 5 x & - 4 y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 4 x + 2 y$	=	$- 28$
$2 y - 4 x$	=	$- 28$	\| $+ 4 x$
$2 y$	=	$- 28 + 4 x$	\|: $2$
$y$	=	$- 14 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 14 + 2 x) & (I) \\ - 5 x & - 4 y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 14 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 5 x - 4 \cdot (- 14 + 2 x)$	=	$- 9$
$- 5 x + 56 - 8 x$	=	$- 9$
$- 13 x + 56$	=	$- 9$	\| $- 56$
$- 13 x$	=	$- 65$	\|:( $- 13$ )
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 14 + 2 \cdot 5$

= $- 14 + 10$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -4 und y = -3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x +2y = ?

-1x -2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = -3 einsetzen und ausrechnen:

-2x +2y = 8 -6 = 2

-1x -2y = 4 +6 = 10

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x +2y = 2

-1x -2y = 10

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 2 x & - 5 y & = & 7 & (I) \\ - 4 x & + 2 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & - 5 y & = & 7 & (I) \\ - 4 x & + 2 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x - 5 y$	=	$7$
$- 5 y + 2 x$	=	$7$	\| $- 2 x$
$- 5 y$	=	$7 - 2 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- \frac{7}{5} + \frac{2}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{7}{5} + \frac{2}{5} x) & (I) \\ - 4 x & + 2 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{7}{5} + \frac{2}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x + 2 \cdot (- \frac{7}{5} + \frac{2}{5} x)$	=	$- 6$
$- 4 x - \frac{14}{5} + \frac{4}{5} x$	=	$- 6$
$- \frac{16}{5} x - \frac{14}{5}$	=	$- 6$	\|⋅ 5
$5 (- \frac{16}{5} x - \frac{14}{5})$	=	$- 30$
$- 16 x - 14$	=	$- 30$	\| $+ 14$
$- 16 x$	=	$- 16$	\|:( $- 16$ )
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{7}{5} + \frac{2}{5} \cdot 1$

= $- \frac{7}{5} + \frac{2}{5}$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-1)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 5 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 6 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 115 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 6 LED-Leuchtmittel und 8 Halogenleuchten zusammen 150 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 5 x & + 6 y & = & 115 & (I) \\ 6 x & + 8 y & = & 150 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5 x + 6 y$	=	$115$
$6 y + 5 x$	=	$115$	\| $- 5 x$
$6 y$	=	$115 - 5 x$	\|: $6$
$y$	=	$\frac{115}{6} - \frac{5}{6} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{115}{6} - \frac{5}{6} x) & (I) \\ 6 x & + 8 y & = & 150 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{115}{6} - \frac{5}{6} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6 x + 8 \cdot (\frac{115}{6} - \frac{5}{6} x)$	=	$150$
$6 x + \frac{460}{3} - \frac{20}{3} x$	=	$150$
$- \frac{2}{3} x + \frac{460}{3}$	=	$150$	\|⋅ 3
$3 (- \frac{2}{3} x + \frac{460}{3})$	=	$450$
$- 2 x + 460$	=	$450$	\| $- 460$
$- 2 x$	=	$- 10$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{115}{6} - \frac{5}{6} \cdot 5$

= $\frac{115}{6} - \frac{25}{6}$

= $15$

also

y = 15

Die Lösung des LGS ist damit: (5|15)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 5

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 15

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

LGS (Standard)

LGS (vorher umformen)

LGS zu Lösungen finden

LGS Lösungsvielfalt erkennen

LGS Anwendungen