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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x + 4 y$ = $32$ .

Bestimme x so, dass (x|3) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 3 in die Gleichung ein und erhält:

$- 5 x + 4 \cdot 3$ = $32$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 5 x + 4 \cdot 3$	=	$32$
$- 5 x + 12$	=	$32$	\| $- 12$
$- 5 x$	=	$20$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$- 4$

Die Lösung ist somit: (-4|3)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x + 3 y$ = $3$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-6|-5)
denn -3⋅( - 6 ) +3⋅( - 5 ) = 18 -15 = $3$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-3|-2)
denn -3⋅( - 3 ) +3⋅( - 2 ) = 9 -6 = $3$

Oder : (-9|-8)
denn -3⋅( - 9 ) +3⋅( - 8 ) = 27 -24 = $3$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & = & - 12 & (I) \\ - 3 x & - 4 y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & = & - 12 & (I) \\ - 3 x & - 4 y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 4 x$	=	$- 12$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$3$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & 3 & (I) \\ - 3 x & - 4 y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $3$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot 3 - 4 y$	=	$15$
$- 9 - 4 y$	=	$15$
$- 4 y - 9$	=	$15$	\| $+ 9$
$- 4 y$	=	$24$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $3$

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & - y & = & - 3 & (I) \\ x & + 2 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - y & = & - 3 & (I) \\ x & + 2 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$- 1$	\| $- 2 y$
$x$	=	$- 1 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & - y & = & - 3 & (I) \\ x & = & (- 1 - 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 1 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot (- 1 - 2 y) - y$	=	$- 3$
$4 + 8 y - y$	=	$- 3$
$7 y + 4$	=	$- 3$	\| $- 4$
$7 y$	=	$- 7$	\|: $7$
$y$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 1 - 2 \cdot (- 1)$

= $- 1 + 2$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + 5 y & = & 35 & (I) \\ - 4 x & + 4 y & = & 36 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + 5 y & = & 35 & (I) \\ - 4 x & + 4 y & = & 36 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 3 x + 5 y$	=	$35$
$5 y - 3 x$	=	$35$	\| $+ 3 x$
$5 y$	=	$35 + 3 x$	\|: $5$
$y$	=	$7 + \frac{3}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (7 + \frac{3}{5} x) & (I) \\ - 4 x & + 4 y & = & 36 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $7 + \frac{3}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x + 4 \cdot (7 + \frac{3}{5} x)$	=	$36$
$- 4 x + 28 + \frac{12}{5} x$	=	$36$
$- \frac{8}{5} x + 28$	=	$36$	\|⋅ 5
$5 (- \frac{8}{5} x + 28)$	=	$180$
$- 8 x + 140$	=	$180$	\| $- 140$
$- 8 x$	=	$40$	\|:( $- 8$ )
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $7 + \frac{3}{5} \cdot (- 5)$

= $7 - 3$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$x - 6$	=	$- 4 y$			(I)
$2 x$	=	$2 (6 + y)$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$x - 6$	=	$- 4 y$			(I)
$2 x$	=	$2 (6 + y)$			(II)

$x - 6$	=	$- 4 y$	\| + $6 + 4 y$		(I)
$2 x$	=	$12 + 2 y$	\| $- 2 y$		(II)

\begin{matrix} x & + 4 y & = & 6 & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 4 y$	=	$6$	\| $- 4 y$
$x$	=	$6 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (6 - 4 y) & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $6 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (6 - 4 y) - 2 y$	=	$12$
$12 - 8 y - 2 y$	=	$12$
$- 10 y + 12$	=	$12$	\| $- 12$
$- 10 y$	=	0	\|:( $- 10$ )
$y$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $6 - 4 \cdot (0)$

= $6 + 0$

= $6$

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|0)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 1 und y = -4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-3x +1y = ?

-7x +4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 1 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:

-3x +1y = -3 -4 = -7

-7x +4y = -7 -16 = -23

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-3x +1y = -7

-7x +4y = -23

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 3 x & + 3 y & = & - 9 & (I) \\ - 2 x & - 3 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + 3 y & = & - 9 & (I) \\ - 2 x & - 3 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x + 3 y$	=	$- 9$
$3 y + 3 x$	=	$- 9$	\| $- 3 x$
$3 y$	=	$- 9 - 3 x$	\|: $3$
$y$	=	$- 3 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 3 - x) & (I) \\ - 2 x & - 3 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 3 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x - 3 \cdot (- 3 - x)$	=	$8$
$- 2 x + 9 + 3 x$	=	$8$
$x + 9$	=	$8$	\| $- 9$
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 3 - (- 1)$

= $- 3 + 1$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-2)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 3 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 7 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 219 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 2 LED-Leuchtmittel und 3 Halogenleuchten zusammen 96 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + 7 y & = & 219 & (I) \\ 2 x & + 3 y & = & 96 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x + 7 y$	=	$219$
$7 y + 3 x$	=	$219$	\| $- 3 x$
$7 y$	=	$219 - 3 x$	\|: $7$
$y$	=	$\frac{219}{7} - \frac{3}{7} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{219}{7} - \frac{3}{7} x) & (I) \\ 2 x & + 3 y & = & 96 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{219}{7} - \frac{3}{7} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 3 \cdot (\frac{219}{7} - \frac{3}{7} x)$	=	$96$
$2 x + \frac{657}{7} - \frac{9}{7} x$	=	$96$
$\frac{5}{7} x + \frac{657}{7}$	=	$96$	\|⋅ 7
$7 (\frac{5}{7} x + \frac{657}{7})$	=	$672$
$5 x + 657$	=	$672$	\| $- 657$
$5 x$	=	$15$	\|: $5$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{219}{7} - \frac{3}{7} \cdot 3$

= $\frac{219}{7} - \frac{9}{7}$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (3|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 3

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 30

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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LGS (Standard)

LGS (vorher umformen)

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LGS Anwendungen