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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5x+5y$ = $-45$.

Bestimme x so, dass (x|-6) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -6 in die Gleichung ein und erhält:

$5x+5\cdot \left(-6\right)$ = $-45$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$5x+5\cdot \left(-6\right)$	=	$-45$
$5x-30$	=	$-45$	| $+30$
$5x$	=	$-15$	|:$5$
$x$	=	$-3$

Die Lösung ist somit: (-3|-6)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-4x-3y$ = $-30$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (6|2)
denn -4⋅6 -3⋅2 = -24 -6 = $-30$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (3|6)
denn -4⋅3 -3⋅6 = -12 -18 = $-30$

Oder : (9|-2)
denn -4⋅9 -3⋅( - 2 ) = -36 +6 = $-30$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}4x& +y& =& $ 17$& & & \text{(I)}\\ 3x& & =& $ 12$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}4x& +y& =& $ 17$& & & \text{(I)}\\ 3x& & =& $ 12$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$3x$	=	$12$	|:$3$
$x$	=	$4$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}4x& +y& =& $ 17$& & & \text{(I)}\\ x& & =& $ 4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$4·4+y$	=	$17$
$16+y$	=	$17$
$y+16$	=	$17$	| $-16$
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $4$

Die Lösung des LGS ist damit: (4|1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}2x& +y& =& $ -5$& & & \text{(I)}\\ x& +2y& =& $ -1$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}2x& +y& =& $ -5$& & & \text{(I)}\\ x& +2y& =& $ -1$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+2y$	=	$-1$	| $-2y$
$x$	=	$-1-2y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}2x& +y& =& $ -5$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(-1-2y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-1-2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(-1-2y\right)+y$	=	$-5$
$-2-4y+y$	=	$-5$
$-3y-2$	=	$-5$	| $+2$
$-3y$	=	$-3$	|:($-3$)
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-1-2\cdot 1$

= $-1-2$

= $-3$

also

x = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}3x& -y& =& $ 18$& & & \text{(I)}\\ x& +4y& =& $ -7$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}3x& -y& =& $ 18$& & & \text{(I)}\\ x& +4y& =& $ -7$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+4y$	=	$-7$	| $-4y$
$x$	=	$-7-4y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}3x& -y& =& $ 18$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(-7-4y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-7-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(-7-4y\right)-y$	=	$18$
$-21-12y-y$	=	$18$
$-13y-21$	=	$18$	| $+21$
$-13y$	=	$39$	|:($-13$)
$y$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-7-4\cdot \left(-3\right)$

= $-7+12$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}\frac{3}{5}x& -\frac{3}{4}y& =& $ \frac{3}{5}$& & & \text{(I)}\\ -\frac{1}{2}x& +y& =& $ -2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}\frac{3}{5}x& -\frac{3}{4}y& =& $ \frac{3}{5}$& & & \text{(I)}\\ -\frac{1}{2}x& +y& =& $ -2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$-\frac{1}{2}x+y$	=	$-2$
$y-\frac{1}{2}x$	=	$-2$	|⋅ 2
$2\left(y-\frac{1}{2}x\right)$	=	$-4$
$2y-x$	=	$-4$	| $+x$
$2y$	=	$-4+x$	|:$2$
$y$	=	$-2+\frac{1}{2}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}\frac{3}{5}x& -\frac{3}{4}y& =& $ \frac{3}{5}$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& \left(-2+\frac{1}{2}x\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-2+\frac{1}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{3}{5}x-\frac{3}{4}·\left(-2+\frac{1}{2}x\right)$	=	$\frac{3}{5}$
$\frac{3}{5}x+\frac{3}{2}-\frac{3}{8}x$	=	$\frac{3}{5}$
$\frac{9}{40}x+\frac{3}{2}$	=	$\frac{3}{5}$	|⋅ 40
$40\left(\frac{9}{40}x+\frac{3}{2}\right)$	=	$24$
$9x+60$	=	$24$	| $-60$
$9x$	=	$-36$	|:$9$
$x$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-2+\frac{1}{2}\cdot \left(-4\right)$

= $-2-2$

= $-4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -1 und y = -2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

1x -3y = ?

3x -12y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

1x -3y = -1 +6 = 5

3x -12y = -3 +24 = 21

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

1x -3y = 5

3x -12y = 21

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}4x& -16y& =& $ 5$& & & \text{(I)}\\ -x& +4y& =& $ -1$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}4x& -16y& =& $ 5$& & & \text{(I)}\\ -x& +4y& =& $ -1$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$-x+4y$	=	$-1$	| $-4y$
$-x$	=	$-1-4y$	|:($-1$)
$x$	=	$1+4y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}4x& -16y& =& $ 5$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(1+4y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $1+4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4·\left(1+4y\right)-16y$	=	$5$
$4+16y-16y$	=	$5$
$4$	=	$5$	| $-4$
0	=	$1$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 2-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 11. Wenn man aber vom 6-fachen von x 4 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -14. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& +2y& =& $ 11$& & & \text{(I)}\\ 6x& -4y& =& $ -14$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+2y$	=	$11$	| $-2y$
$x$	=	$11-2y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(11-2y\right)& & & \text{(I)}\\ 6x& -4y& =& $ -14$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $11-2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$6·\left(11-2y\right)-4y$	=	$-14$
$66-12y-4y$	=	$-14$
$-16y+66$	=	$-14$	| $-66$
$-16y$	=	$-80$	|:($-16$)
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $11-2\cdot 5$

= $11-10$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|5)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 1

y (y-Wert): 5