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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-2x-3y$ = $6$.

Bestimme x so, dass (x|-6) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -6 in die Gleichung ein und erhält:

$-2x-3\cdot \left(-6\right)$ = $6$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$-2x-3\cdot \left(-6\right)$	=	$6$
$-2x+18$	=	$6$	| $-18$
$-2x$	=	$-12$	|:($-2$)
$x$	=	$6$

Die Lösung ist somit: (6|-6)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-x+y$ = $-7$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (3|-4)
denn -1⋅3 +1⋅( - 4 ) = -3 -4 = $-7$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (4|-3)
denn -1⋅4 +1⋅( - 3 ) = -4 -3 = $-7$

Oder : (2|-5)
denn -1⋅2 +1⋅( - 5 ) = -2 -5 = $-7$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}2x& & =& $ -2$& & & \text{(I)}\\ 2x& -2y& =& $ -10$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}2x& & =& $ -2$& & & \text{(I)}\\ 2x& -2y& =& $ -10$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$2x$	=	$-2$	|:$2$
$x$	=	$-1$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& $ -1$& & & \text{(I)}\\ 2x& -2y& =& $ -10$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $-1$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(-1\right)-2y$	=	$-10$
$-2-2y$	=	$-10$
$-2y-2$	=	$-10$	| $+2$
$-2y$	=	$-8$	|:($-2$)
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $-1$

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& +4y& =& $ -10$& & & \text{(I)}\\ -3x& +3y& =& $ -30$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}x& +4y& =& $ -10$& & & \text{(I)}\\ -3x& +3y& =& $ -30$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+4y$	=	$-10$	| $-4y$
$x$	=	$-10-4y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(-10-4y\right)& & & \text{(I)}\\ -3x& +3y& =& $ -30$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $-10-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·\left(-10-4y\right)+3y$	=	$-30$
$30+12y+3y$	=	$-30$
$15y+30$	=	$-30$	| $-30$
$15y$	=	$-60$	|:$15$
$y$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $-10-4\cdot \left(-4\right)$

= $-10+16$

= $6$

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& -5y& =& $ -2$& & & \text{(I)}\\ -5x& -4y& =& $ -19$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}x& -5y& =& $ -2$& & & \text{(I)}\\ -5x& -4y& =& $ -19$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x-5y$	=	$-2$	| $+5y$
$x$	=	$-2+5y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(-2+5y\right)& & & \text{(I)}\\ -5x& -4y& =& $ -19$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $-2+5y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-5·\left(-2+5y\right)-4y$	=	$-19$
$10-25y-4y$	=	$-19$
$-29y+10$	=	$-19$	| $-10$
$-29y$	=	$-29$	|:($-29$)
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $-2+5\cdot 1$

= $-2+5$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}\frac{1}{4}x& +\frac{1}{5}y& =& $ \frac{3}{5}$& & & \text{(I)}\\ -x& -y& =& $ -2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}\frac{1}{4}x& +\frac{1}{5}y& =& $ \frac{3}{5}$& & & \text{(I)}\\ -x& -y& =& $ -2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$-x-y$	=	$-2$
$-y-x$	=	$-2$	| $+x$
$-y$	=	$-2+x$	|:($-1$)
$y$	=	$2-x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}\frac{1}{4}x& +\frac{1}{5}y& =& $ \frac{3}{5}$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& \left(2-x\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $2-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{1}{4}x+\frac{1}{5}·\left(2-x\right)$	=	$\frac{3}{5}$
$\frac{1}{4}x+\frac{2}{5}-\frac{1}{5}x$	=	$\frac{3}{5}$
$\frac{1}{20}x+\frac{2}{5}$	=	$\frac{3}{5}$	|⋅ 20
$20\left(\frac{1}{20}x+\frac{2}{5}\right)$	=	$12$
$x+8$	=	$12$	| $-8$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $2-4$

= $-2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 1 und y = 4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

4x -5y = ?

3x -6y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 1 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

4x -5y = 4 -20 = -16

3x -6y = 3 -24 = -21

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

4x -5y = -16

3x -6y = -21

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}2x& +y& =& $ -1$& & & \text{(I)}\\ -4x& -2y& =& $ 5$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}2x& +y& =& $ -1$& & & \text{(I)}\\ -4x& -2y& =& $ 5$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$2x+y$	=	$-1$
$y+2x$	=	$-1$	| $-2x$
$y$	=	$-1-2x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-1-2x\right)& & & \text{(I)}\\ -4x& -2y& =& $ 5$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-1-2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-4x-2·\left(-1-2x\right)$	=	$5$
$-4x+2+4x$	=	$5$
$2$	=	$5$	| $-2$
0	=	$3$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 6 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 6 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 216 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 4 LED-Leuchtmittel und 7 Halogenleuchten zusammen 249 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}6x& +6y& =& $ 216$& & & \text{(I)}\\ 4x& +7y& =& $ 249$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$6x+6y$	=	$216$
$6y+6x$	=	$216$	| $-6x$
$6y$	=	$216-6x$	|:$6$
$y$	=	$36-x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(36-x\right)& & & \text{(I)}\\ 4x& +7y& =& $ 249$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $36-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x+7·\left(36-x\right)$	=	$249$
$4x+252-7x$	=	$249$
$-3x+252$	=	$249$	| $-252$
$-3x$	=	$-3$	|:($-3$)
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $36-1$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (1|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 1

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 35