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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-2x+2y$ = $-10$.

Bestimme y so, dass (4|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 4 in die Gleichung ein und erhält:

$-2\cdot 4+2y$ = $-10$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$-2\cdot 4+2y$	=	$-10$
$-8+2y$	=	$-10$
$2y-8$	=	$-10$	| $+8$
$2y$	=	$-2$	|:$2$
$y$	=	$-1$

Die Lösung ist somit: (4|-1)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-x-2y$ = $-1$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-3|2)
denn -1⋅( - 3 ) -2⋅2 = 3 -4 = $-1$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-5|3)
denn -1⋅( - 5 ) -2⋅3 = 5 -6 = $-1$

Oder : (-1|1)
denn -1⋅( - 1 ) -2⋅1 = 1 -2 = $-1$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}2x& -3y& =& $ 8$& & & \text{(I)}\\ & -4y& =& $ 24$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}2x& -3y& =& $ 8$& & & \text{(I)}\\ & -4y& =& $ 24$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$-4y$	=	$24$	|:($-4$)
$y$	=	$-6$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}2x& -3y& =& $ 8$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& $ -6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $-6$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x-3·\left(-6\right)$	=	$8$
$2x+18$	=	$8$	| $-18$
$2x$	=	$-10$	|:$2$
$x$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $-6$

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-x& -2y& =& $ 10$& & & \text{(I)}\\ -4x& +y& =& $ 22$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-x& -2y& =& $ 10$& & & \text{(I)}\\ -4x& +y& =& $ 22$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$-4x+y$	=	$22$
$y-4x$	=	$22$	| $+4x$
$y$	=	$22+4x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-x& -2y& =& $ 10$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& \left(22+4x\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $22+4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-x-2·\left(22+4x\right)$	=	$10$
$-x-44-8x$	=	$10$
$-9x-44$	=	$10$	| $+44$
$-9x$	=	$54$	|:($-9$)
$x$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $22+4\cdot \left(-6\right)$

= $22-24$

= $-2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-2x& -4y& =& $ 14$& & & \text{(I)}\\ -x& +3y& =& $ -23$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-2x& -4y& =& $ 14$& & & \text{(I)}\\ -x& +3y& =& $ -23$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$-x+3y$	=	$-23$	| $-3y$
$-x$	=	$-23-3y$	|:($-1$)
$x$	=	$23+3y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-2x& -4y& =& $ 14$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(23+3y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $23+3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-2·\left(23+3y\right)-4y$	=	$14$
$-46-6y-4y$	=	$14$
$-10y-46$	=	$14$	| $+46$
$-10y$	=	$60$	|:($-10$)
$y$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $23+3\cdot \left(-6\right)$

= $23-18$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-6)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}\frac{2}{5}x& -2y& =& $ -\frac{8}{5}$& & & \text{(I)}\\ -\frac{1}{4}x& +\frac{1}{3}y& =& $ -\frac{5}{6}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}\frac{2}{5}x& -2y& =& $ -\frac{8}{5}$& & & \text{(I)}\\ -\frac{1}{4}x& +\frac{1}{3}y& =& $ -\frac{5}{6}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$\frac{2}{5}x-2y$	=	$-\frac{8}{5}$
$-2y+\frac{2}{5}x$	=	$-\frac{8}{5}$	|⋅ 5
$5\left(-2y+\frac{2}{5}x\right)$	=	$-8$
$-10y+2x$	=	$-8$	| $-2x$
$-10y$	=	$-8-2x$	|:($-10$)
$y$	=	$\frac{4}{5}+\frac{1}{5}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(\frac{4}{5}+\frac{1}{5}x\right)& & & \text{(I)}\\ -\frac{1}{4}x& +\frac{1}{3}y& =& $ -\frac{5}{6}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{4}{5}+\frac{1}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-\frac{1}{4}x+\frac{1}{3}·\left(\frac{4}{5}+\frac{1}{5}x\right)$	=	$-\frac{5}{6}$
$-\frac{1}{4}x+\frac{4}{15}+\frac{1}{15}x$	=	$-\frac{5}{6}$
$-\frac{11}{60}x+\frac{4}{15}$	=	$-\frac{5}{6}$	|⋅ 60
$60\left(-\frac{11}{60}x+\frac{4}{15}\right)$	=	$-50$
$-11x+16$	=	$-50$	| $-16$
$-11x$	=	$-66$	|:($-11$)
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{4}{5}+\frac{1}{5}\cdot 6$

= $\frac{4}{5}+\frac{6}{5}$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (6|2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 2 und y = 2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x +3y = ?

-1x -1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = 2 einsetzen und ausrechnen:

2x +3y = 4 +6 = 10

-1x -1y = -2 -2 = -4

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x +3y = 10

-1x -1y = -4

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}3x& +2y& =& $ -3$& & & \text{(I)}\\ -6x& -4y& =& $ 6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}3x& +2y& =& $ -3$& & & \text{(I)}\\ -6x& -4y& =& $ 6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3x+2y$	=	$-3$
$2y+3x$	=	$-3$	| $-3x$
$2y$	=	$-3-3x$	|:$2$
$y$	=	$-\frac{3}{2}-\frac{3}{2}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-\frac{3}{2}-\frac{3}{2}x\right)& & & \text{(I)}\\ -6x& -4y& =& $ 6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{3}{2}-\frac{3}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-6x-4·\left(-\frac{3}{2}-\frac{3}{2}x\right)$	=	$6$
$-6x+6+6x$	=	$6$
$6$	=	$6$	| $-6$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 5-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 15. Wenn man aber vom 4-fachen von x 2 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 16. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& +5y& =& $ 15$& & & \text{(I)}\\ 4x& -2y& =& $ 16$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+5y$	=	$15$	| $-5y$
$x$	=	$15-5y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(15-5y\right)& & & \text{(I)}\\ 4x& -2y& =& $ 16$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $15-5y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4·\left(15-5y\right)-2y$	=	$16$
$60-20y-2y$	=	$16$
$-22y+60$	=	$16$	| $-60$
$-22y$	=	$-44$	|:($-22$)
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $15-5\cdot 2$

= $15-10$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|2)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 5

y (y-Wert): 2