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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5x+3y$ = $-4$.

Bestimme y so, dass (-2|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -2 in die Gleichung ein und erhält:

$5\cdot \left(-2\right)+3y$ = $-4$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$5\cdot \left(-2\right)+3y$	=	$-4$
$-10+3y$	=	$-4$
$3y-10$	=	$-4$	| $+10$
$3y$	=	$6$	|:$3$
$y$	=	$2$

Die Lösung ist somit: (-2|2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-x-y$ = $-1$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-2|3)
denn -1⋅( - 2 ) -1⋅3 = 2 -3 = $-1$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-3|4)
denn -1⋅( - 3 ) -1⋅4 = 3 -4 = $-1$

Oder : (-1|2)
denn -1⋅( - 1 ) -1⋅2 = 1 -2 = $-1$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}& -3y& =& $ 9$& & & \text{(I)}\\ -x& -y& =& $ -2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}& -3y& =& $ 9$& & & \text{(I)}\\ -x& -y& =& $ -2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$-3y$	=	$9$	|:($-3$)
$y$	=	$-3$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& $ -3$& & & \text{(I)}\\ -x& -y& =& $ -2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $-3$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-x-1·\left(-3\right)$	=	$-2$
$-x+3$	=	$-2$	| $-3$
$-x$	=	$-5$	|:($-1$)
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $-3$

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-3x& -4y& =& $ 35$& & & \text{(I)}\\ -4x& +y& =& $ 15$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-3x& -4y& =& $ 35$& & & \text{(I)}\\ -4x& +y& =& $ 15$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$-4x+y$	=	$15$
$y-4x$	=	$15$	| $+4x$
$y$	=	$15+4x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-3x& -4y& =& $ 35$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& \left(15+4x\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $15+4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x-4·\left(15+4x\right)$	=	$35$
$-3x-60-16x$	=	$35$
$-19x-60$	=	$35$	| $+60$
$-19x$	=	$95$	|:($-19$)
$x$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $15+4\cdot \left(-5\right)$

= $15-20$

= $-5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-2x& -4y& =& $ 2$& & & \text{(I)}\\ -x& -3y& =& $ 3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-2x& -4y& =& $ 2$& & & \text{(I)}\\ -x& -3y& =& $ 3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$-x-3y$	=	$3$	| $+3y$
$-x$	=	$3+3y$	|:($-1$)
$x$	=	$-3-3y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-2x& -4y& =& $ 2$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(-3-3y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-3-3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-2·\left(-3-3y\right)-4y$	=	$2$
$6+6y-4y$	=	$2$
$2y+6$	=	$2$	| $-6$
$2y$	=	$-4$	|:$2$
$y$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-3-3\cdot \left(-2\right)$

= $-3+6$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$-x+5y$	=	$-2\left(2x+13\right)$			(I)
$3x+2$	=	$2(-x+y)$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$-x+5y$	=	$-2\left(2x+13\right)$			(I)
$3x+2$	=	$2(-x+y)$			(II)

$-x+5y$	=	$-4x-26$	| + $4x$		(I)
$3x+2$	=	$-2x+2y$	| $-2+2x-2y$		(II)

$\begin{array}{ccccccc}3x& +5y& =& $ -26$& & & \text{(I)}\\ 5x& -2y& =& $ -2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3x+5y$	=	$-26$
$5y+3x$	=	$-26$	| $-3x$
$5y$	=	$-26-3x$	|:$5$
$y$	=	$-\frac{26}{5}-\frac{3}{5}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-\frac{26}{5}-\frac{3}{5}x\right)& & & \text{(I)}\\ 5x& -2y& =& $ -2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{26}{5}-\frac{3}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5x-2·\left(-\frac{26}{5}-\frac{3}{5}x\right)$	=	$-2$
$5x+\frac{52}{5}+\frac{6}{5}x$	=	$-2$
$\frac{31}{5}x+\frac{52}{5}$	=	$-2$	|⋅ 5
$5\left(\frac{31}{5}x+\frac{52}{5}\right)$	=	$-10$
$31x+52$	=	$-10$	| $-52$
$31x$	=	$-62$	|:$31$
$x$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{26}{5}-\frac{3}{5}\cdot \left(-2\right)$

= $-\frac{26}{5}+\frac{6}{5}$

= $-4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 3 und y = 1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x -3y = ?

-1x -3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 3 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

-2x -3y = -6 -3 = -9

-1x -3y = -3 -3 = -6

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x -3y = -9

-1x -3y = -6

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}-3x& +5y& =& $ -28$& & & \text{(I)}\\ x& -5y& =& $ 16$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-3x& +5y& =& $ -28$& & & \text{(I)}\\ x& -5y& =& $ 16$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x-5y$	=	$16$	| $+5y$
$x$	=	$16+5y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-3x& +5y& =& $ -28$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(16+5y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $16+5y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·\left(16+5y\right)+5y$	=	$-28$
$-48-15y+5y$	=	$-28$
$-10y-48$	=	$-28$	| $+48$
$-10y$	=	$20$	|:($-10$)
$y$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $16+5\cdot \left(-2\right)$

= $16-10$

= $6$

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-2)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 5-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 16. Wenn man aber vom 4-fachen von x 6 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -14. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& +5y& =& $ 16$& & & \text{(I)}\\ 4x& -6y& =& $ -14$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+5y$	=	$16$	| $-5y$
$x$	=	$16-5y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(16-5y\right)& & & \text{(I)}\\ 4x& -6y& =& $ -14$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $16-5y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4·\left(16-5y\right)-6y$	=	$-14$
$64-20y-6y$	=	$-14$
$-26y+64$	=	$-14$	| $-64$
$-26y$	=	$-78$	|:($-26$)
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $16-5\cdot 3$

= $16-15$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|3)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 1

y (y-Wert): 3