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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x - 2 y$ = $- 10$ .

Bestimme x so, dass (x|-5) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -5 in die Gleichung ein und erhält:

$- 5 x - 2 \cdot (- 5)$ = $- 10$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 5 x - 2 \cdot (- 5)$	=	$- 10$
$- 5 x + 10$	=	$- 10$	\| $- 10$
$- 5 x$	=	$- 20$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$4$

Die Lösung ist somit: (4|-5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x + 4 y$ = $- 20$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-5|0)
denn 4⋅( - 5 ) +4⋅0 = -20 +0 = $- 20$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-1|-4)
denn 4⋅( - 1 ) +4⋅( - 4 ) = -4 -16 = $- 20$

Oder : (-9|4)
denn 4⋅( - 9 ) +4⋅4 = -36 +16 = $- 20$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} + 4 y & = & 20 & (I) \\ - 4 x & + 4 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} + 4 y & = & 20 & (I) \\ - 4 x & + 4 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$4 y$	=	$20$	\|: $4$
$y$	=	$5$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & 5 & (I) \\ - 4 x & + 4 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $5$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x + 4 \cdot 5$	=	$8$
$- 4 x + 20$	=	$8$	\| $- 20$
$- 4 x$	=	$- 12$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $5$

Die Lösung des LGS ist damit: (3|5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & + y & = & 2 & (I) \\ x & + 3 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & + y & = & 2 & (I) \\ x & + 3 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 3 y$	=	$10$	\| $- 3 y$
$x$	=	$10 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & + y & = & 2 & (I) \\ x & = & (10 - 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $10 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 1 \cdot (10 - 3 y) + y$	=	$2$
$- 10 + 3 y + y$	=	$2$
$4 y - 10$	=	$2$	\| $+ 10$
$4 y$	=	$12$	\|: $4$
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $10 - 3 \cdot 3$

= $10 - 9$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 10 & (I) \\ 3 x & + 2 y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 10 & (I) \\ 3 x & + 2 y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 2 y$	=	$10$	\| $+ 2 y$
$x$	=	$10 + 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (10 + 2 y) & (I) \\ 3 x & + 2 y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $10 + 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (10 + 2 y) + 2 y$	=	$14$
$30 + 6 y + 2 y$	=	$14$
$8 y + 30$	=	$14$	\| $- 30$
$8 y$	=	$- 16$	\|: $8$
$y$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $10 + 2 \cdot (- 2)$

= $10 - 4$

= $6$

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - \frac{3}{2} y & = & - 18 & (I) \\ \frac{2}{5} x & + \frac{1}{2} y & = & \frac{2}{5} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - \frac{3}{2} y & = & - 18 & (I) \\ \frac{2}{5} x & + \frac{1}{2} y & = & \frac{2}{5} & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x - \frac{3}{2} y$	=	$- 18$
$- \frac{3}{2} y + 3 x$	=	$- 18$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{3}{2} y + 3 x)$	=	$- 36$
$- 3 y + 6 x$	=	$- 36$	\| $- 6 x$
$- 3 y$	=	$- 36 - 6 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$12 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (12 + 2 x) & (I) \\ \frac{2}{5} x & + \frac{1}{2} y & = & \frac{2}{5} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $12 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{2}{5} x + \frac{1}{2} \cdot (12 + 2 x)$	=	$\frac{2}{5}$
$\frac{2}{5} x + 6 + x$	=	$\frac{2}{5}$
$\frac{7}{5} x + 6$	=	$\frac{2}{5}$	\|⋅ 5
$5 (\frac{7}{5} x + 6)$	=	$2$
$7 x + 30$	=	$2$	\| $- 30$
$7 x$	=	$- 28$	\|: $7$
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $12 + 2 \cdot (- 4)$

= $12 - 8$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -1 und y = -3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x -3y = ?

-4x -5y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = -3 einsetzen und ausrechnen:

-5x -3y = 5 +9 = 14

-4x -5y = 4 +15 = 19

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x -3y = 14

-4x -5y = 19

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 10 & (I) \\ - x & + 2 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 10 & (I) \\ - x & + 2 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 2 y$	=	$10$	\| $- 2 y$
$- x$	=	$10 - 2 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 10 + 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 10 & (I) \\ x & = & (- 10 + 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 10 + 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot (- 10 + 2 y) + 2 y$	=	$10$
$- 10 + 2 y + 2 y$	=	$10$
$4 y - 10$	=	$10$	\| $+ 10$
$4 y$	=	$20$	\|: $4$
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 10 + 2 \cdot 5$

= $- 10 + 10$

= 0

also

x = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (0|5)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 5 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 8 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 250 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 5 LED-Leuchtmittel und 4 Halogenleuchten zusammen 130 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 5 x & + 8 y & = & 250 & (I) \\ 5 x & + 4 y & = & 130 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5 x + 8 y$	=	$250$
$8 y + 5 x$	=	$250$	\| $- 5 x$
$8 y$	=	$250 - 5 x$	\|: $8$
$y$	=	$\frac{125}{4} - \frac{5}{8} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{125}{4} - \frac{5}{8} x) & (I) \\ 5 x & + 4 y & = & 130 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{125}{4} - \frac{5}{8} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x + 4 \cdot (\frac{125}{4} - \frac{5}{8} x)$	=	$130$
$5 x + 125 - \frac{5}{2} x$	=	$130$
$\frac{5}{2} x + 125$	=	$130$	\|⋅ 2
$2 (\frac{5}{2} x + 125)$	=	$260$
$5 x + 250$	=	$260$	\| $- 250$
$5 x$	=	$10$	\|: $5$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{125}{4} - \frac{5}{8} \cdot 2$

= $\frac{125}{4} - \frac{5}{4}$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (2|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 2

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 30

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

LGS (Standard)

LGS (vorher umformen)

LGS zu Lösungen finden

LGS Lösungsvielfalt erkennen

LGS Anwendungen