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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-2x-y$ = $-15$.

Bestimme y so, dass (7|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 7 in die Gleichung ein und erhält:

$-2\cdot 7-y$ = $-15$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$-2\cdot 7-y$	=	$-15$
$-14-y$	=	$-15$
$-y-14$	=	$-15$	| $+14$
$-y$	=	$-1$	|:($-1$)
$y$	=	$1$

Die Lösung ist somit: (7|1)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-x-5y$ = $-30$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-5|7)
denn -1⋅( - 5 ) -5⋅7 = 5 -35 = $-30$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-10|8)
denn -1⋅( - 10 ) -5⋅8 = 10 -40 = $-30$

Oder : (0|6)
denn -1⋅0 -5⋅6 = 0 -30 = $-30$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}& -3y& =& $ -18$& & & \text{(I)}\\ -3x& +2y& =& $ -3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}& -3y& =& $ -18$& & & \text{(I)}\\ -3x& +2y& =& $ -3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$-3y$	=	$-18$	|:($-3$)
$y$	=	$6$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& $ 6$& & & \text{(I)}\\ -3x& +2y& =& $ -3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $6$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x+2·6$	=	$-3$
$-3x+12$	=	$-3$	| $-12$
$-3x$	=	$-15$	|:($-3$)
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $6$

Die Lösung des LGS ist damit: (5|6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-2x& -4y& =& $ 0$& & & \text{(I)}\\ -4x& +y& =& $ 9$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-2x& -4y& =& $ 0$& & & \text{(I)}\\ -4x& +y& =& $ 9$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$-4x+y$	=	$9$
$y-4x$	=	$9$	| $+4x$
$y$	=	$9+4x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-2x& -4y& =& $ 0$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& \left(9+4x\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $9+4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x-4·\left(9+4x\right)$	=	0
$-2x-36-16x$	=	0
$-18x-36$	=	0	| $+36$
$-18x$	=	$36$	|:($-18$)
$x$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $9+4\cdot \left(-2\right)$

= $9-8$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}4x& +3y& =& $ 42$& & & \text{(I)}\\ -4x& +3y& =& $ -6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}4x& +3y& =& $ 42$& & & \text{(I)}\\ -4x& +3y& =& $ -6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4x+3y$	=	$42$
$3y+4x$	=	$42$	| $-4x$
$3y$	=	$42-4x$	|:$3$
$y$	=	$14-\frac{4}{3}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(14-\frac{4}{3}x\right)& & & \text{(I)}\\ -4x& +3y& =& $ -6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $14-\frac{4}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-4x+3·\left(14-\frac{4}{3}x\right)$	=	$-6$
$-4x+42-4x$	=	$-6$
$-8x+42$	=	$-6$	| $-42$
$-8x$	=	$-48$	|:($-8$)
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $14-\frac{4}{3}\cdot 6$

= $14-8$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|6)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$9$	=	$-x-5y$			(I)
$-5y$	=	$-x+21$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$9$	=	$-x-5y$	| $-9+x+5y$		(I)
$-5y$	=	$-x+21$	| + $x$		(II)

$\begin{array}{ccccccc}x& +5y& =& $ -9$& & & \text{(I)}\\ x& -5y& =& $ 21$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x-5y$	=	$21$	| $+5y$
$x$	=	$21+5y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& +5y& =& $ -9$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(21+5y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $21+5y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1·\left(21+5y\right)+5y$	=	$-9$
$21+5y+5y$	=	$-9$
$10y+21$	=	$-9$	| $-21$
$10y$	=	$-30$	|:$10$
$y$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $21+5\cdot \left(-3\right)$

= $21-15$

= $6$

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 5 und y = -1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x -1y = ?

-5x +2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

-4x -1y = -20 +1 = -19

-5x +2y = -25 -2 = -27

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x -1y = -19

-5x +2y = -27

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}-x& -4y& =& $ 15$& & & \text{(I)}\\ 3x& +5y& =& $ -17$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-x& -4y& =& $ 15$& & & \text{(I)}\\ 3x& +5y& =& $ -17$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$-x-4y$	=	$15$	| $+4y$
$-x$	=	$15+4y$	|:($-1$)
$x$	=	$-15-4y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(-15-4y\right)& & & \text{(I)}\\ 3x& +5y& =& $ -17$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $-15-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(-15-4y\right)+5y$	=	$-17$
$-45-12y+5y$	=	$-17$
$-7y-45$	=	$-17$	| $+45$
$-7y$	=	$28$	|:($-7$)
$y$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $-15-4\cdot \left(-4\right)$

= $-15+16$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-4)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 4 Stunden wandern. Danach hat sie 5 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 950 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 5 Stunden wandern und hat 4 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 1300 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}4x& -5y& =& $ 950$& & & \text{(I)}\\ 5x& -4y& =& $ 1300$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4x-5y$	=	$950$
$-5y+4x$	=	$950$	| $-4x$
$-5y$	=	$950-4x$	|:($-5$)
$y$	=	$-190+\frac{4}{5}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-190+\frac{4}{5}x\right)& & & \text{(I)}\\ 5x& -4y& =& $ 1300$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-190+\frac{4}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5x-4·\left(-190+\frac{4}{5}x\right)$	=	$1300$
$5x+760-\frac{16}{5}x$	=	$1300$
$\frac{9}{5}x+760$	=	$1300$	|⋅ 5
$5\left(\frac{9}{5}x+760\right)$	=	$6500$
$9x+3800$	=	$6500$	| $-3800$
$9x$	=	$2700$	|:$9$
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-190+\frac{4}{5}\cdot 300$

= $-190+240$

= $50$

also

y = 50

Die Lösung des LGS ist damit: (300|50)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 50