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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x+2y$ = $-8$.

Bestimme y so, dass (-2|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -2 in die Gleichung ein und erhält:

$\left(-2\right)+2y$ = $-8$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$\left(-2\right)+2y$	=	$-8$
$-2+2y$	=	$-8$
$2y-2$	=	$-8$	| $+2$
$2y$	=	$-6$	|:$2$
$y$	=	$-3$

Die Lösung ist somit: (-2|-3)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5x-5y$ = $-25$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-6|-1)
denn 5⋅( - 6 ) -5⋅( - 1 ) = -30 +5 = $-25$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-11|-6)
denn 5⋅( - 11 ) -5⋅( - 6 ) = -55 +30 = $-25$

Oder : (-1|4)
denn 5⋅( - 1 ) -5⋅4 = -5 -20 = $-25$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-2x& -4y& =& $ -4$& & & \text{(I)}\\ & -3y& =& $ -6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-2x& -4y& =& $ -4$& & & \text{(I)}\\ & -3y& =& $ -6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$-3y$	=	$-6$	|:($-3$)
$y$	=	$2$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-2x& -4y& =& $ -4$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& $ 2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $2$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x-4·2$	=	$-4$
$-2x-8$	=	$-4$	| $+8$
$-2x$	=	$4$	|:($-2$)
$x$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $2$

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& +4y& =& $ -14$& & & \text{(I)}\\ -4x& -2y& =& $ -14$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}x& +4y& =& $ -14$& & & \text{(I)}\\ -4x& -2y& =& $ -14$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+4y$	=	$-14$	| $-4y$
$x$	=	$-14-4y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(-14-4y\right)& & & \text{(I)}\\ -4x& -2y& =& $ -14$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $-14-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-4·\left(-14-4y\right)-2y$	=	$-14$
$56+16y-2y$	=	$-14$
$14y+56$	=	$-14$	| $-56$
$14y$	=	$-70$	|:$14$
$y$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $-14-4\cdot \left(-5\right)$

= $-14+20$

= $6$

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}4x& -5y& =& $ 39$& & & \text{(I)}\\ 5x& -2y& =& $ 36$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}4x& -5y& =& $ 39$& & & \text{(I)}\\ 5x& -2y& =& $ 36$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4x-5y$	=	$39$
$-5y+4x$	=	$39$	| $-4x$
$-5y$	=	$39-4x$	|:($-5$)
$y$	=	$-\frac{39}{5}+\frac{4}{5}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-\frac{39}{5}+\frac{4}{5}x\right)& & & \text{(I)}\\ 5x& -2y& =& $ 36$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{39}{5}+\frac{4}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5x-2·\left(-\frac{39}{5}+\frac{4}{5}x\right)$	=	$36$
$5x+\frac{78}{5}-\frac{8}{5}x$	=	$36$
$\frac{17}{5}x+\frac{78}{5}$	=	$36$	|⋅ 5
$5\left(\frac{17}{5}x+\frac{78}{5}\right)$	=	$180$
$17x+78$	=	$180$	| $-78$
$17x$	=	$102$	|:$17$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{39}{5}+\frac{4}{5}\cdot 6$

= $-\frac{39}{5}+\frac{24}{5}$

= $-3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}\frac{1}{2}x& +\frac{2}{3}y& =& $ -\frac{1}{2}$& & & \text{(I)}\\ x& +2y& =& $ -1$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}\frac{1}{2}x& +\frac{2}{3}y& =& $ -\frac{1}{2}$& & & \text{(I)}\\ x& +2y& =& $ -1$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+2y$	=	$-1$	| $-2y$
$x$	=	$-1-2y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}\frac{1}{2}x& +\frac{2}{3}y& =& $ -\frac{1}{2}$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(-1-2y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-1-2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$\frac{1}{2}·\left(-1-2y\right)+\frac{2}{3}y$	=	$-\frac{1}{2}$
$-\frac{1}{2}-y+\frac{2}{3}y$	=	$-\frac{1}{2}$
$-\frac{1}{3}y-\frac{1}{2}$	=	$-\frac{1}{2}$	|⋅ 6
$6\left(-\frac{1}{3}y-\frac{1}{2}\right)$	=	$-3$
$-2y-3$	=	$-3$	| $+3$
$-2y$	=	0	|:($-2$)
$y$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-1-2\cdot \left(0\right)$

= $-1+0$

= $-1$

also

x = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|0)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -5 und y = -4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-3x -2y = ?

-5x -6y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:

-3x -2y = 15 +8 = 23

-5x -6y = 25 +24 = 49

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-3x -2y = 23

-5x -6y = 49

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}-4x& -2y& =& $ -5$& & & \text{(I)}\\ 2x& +y& =& $ 2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-4x& -2y& =& $ -5$& & & \text{(I)}\\ 2x& +y& =& $ 2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$2x+y$	=	$2$
$y+2x$	=	$2$	| $-2x$
$y$	=	$2-2x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-4x& -2y& =& $ -5$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& \left(2-2x\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $2-2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-4x-2·\left(2-2x\right)$	=	$-5$
$-4x-4+4x$	=	$-5$
$-4$	=	$-5$	| $+4$
0	=	$-1$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 4 Stunden wandern. Danach hat sie 5 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 425 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 3 Stunden wandern und hat 3 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 345 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}4x& -5y& =& $ 425$& & & \text{(I)}\\ 3x& -3y& =& $ 345$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4x-5y$	=	$425$
$-5y+4x$	=	$425$	| $-4x$
$-5y$	=	$425-4x$	|:($-5$)
$y$	=	$-85+\frac{4}{5}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-85+\frac{4}{5}x\right)& & & \text{(I)}\\ 3x& -3y& =& $ 345$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-85+\frac{4}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x-3·\left(-85+\frac{4}{5}x\right)$	=	$345$
$3x+255-\frac{12}{5}x$	=	$345$
$\frac{3}{5}x+255$	=	$345$	|⋅ 5
$5\left(\frac{3}{5}x+255\right)$	=	$1725$
$3x+1275$	=	$1725$	| $-1275$
$3x$	=	$450$	|:$3$
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-85+\frac{4}{5}\cdot 150$

= $-85+120$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (150|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 35