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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-x-y$ = $2$.

Bestimme y so, dass (0|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 0 in die Gleichung ein und erhält:

$-0-y$ = $2$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$-0-y$	=	$2$
$-y$	=	$2$	|:($-1$)
$y$	=	$-2$

Die Lösung ist somit: (0|-2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3x-5y$ = $-18$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-6|0)
denn 3⋅( - 6 ) -5⋅0 = -18 +0 = $-18$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-11|-3)
denn 3⋅( - 11 ) -5⋅( - 3 ) = -33 +15 = $-18$

Oder : (-1|3)
denn 3⋅( - 1 ) -5⋅3 = -3 -15 = $-18$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}& -3y& =& $ 6$& & & \text{(I)}\\ -x& +y& =& $ 0$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}& -3y& =& $ 6$& & & \text{(I)}\\ -x& +y& =& $ 0$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$-3y$	=	$6$	|:($-3$)
$y$	=	$-2$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& $ -2$& & & \text{(I)}\\ -x& +y& =& $ 0$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $-2$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-x+1·\left(-2\right)$	=	0
$-x-2$	=	0	| $+2$
$-x$	=	$2$	|:($-1$)
$x$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $-2$

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-3x& -y& =& $ -24$& & & \text{(I)}\\ x& +4y& =& $ 30$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-3x& -y& =& $ -24$& & & \text{(I)}\\ x& +4y& =& $ 30$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+4y$	=	$30$	| $-4y$
$x$	=	$30-4y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-3x& -y& =& $ -24$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(30-4y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $30-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·\left(30-4y\right)-y$	=	$-24$
$-90+12y-y$	=	$-24$
$11y-90$	=	$-24$	| $+90$
$11y$	=	$66$	|:$11$
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $30-4\cdot 6$

= $30-24$

= $6$

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|6)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}5x& -5y& =& $ -35$& & & \text{(I)}\\ x& -2y& =& $ -13$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}5x& -5y& =& $ -35$& & & \text{(I)}\\ x& -2y& =& $ -13$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x-2y$	=	$-13$	| $+2y$
$x$	=	$-13+2y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}5x& -5y& =& $ -35$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(-13+2y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-13+2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5·\left(-13+2y\right)-5y$	=	$-35$
$-65+10y-5y$	=	$-35$
$5y-65$	=	$-35$	| $+65$
$5y$	=	$30$	|:$5$
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-13+2\cdot 6$

= $-13+12$

= $-1$

also

x = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|6)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$4y$	=	$4\left(-x+1\right)$			(I)
$x-2y$	=	$1-7y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$4y$	=	$4\left(-x+1\right)$			(I)
$x-2y$	=	$1-7y$			(II)

$4y$	=	$-4x+4$	| + $4x$		(I)
$x-2y$	=	$1-7y$	| + $7y$		(II)

$\begin{array}{ccccccc}4x& +4y& =& $ 4$& & & \text{(I)}\\ x& +5y& =& $ 1$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+5y$	=	$1$	| $-5y$
$x$	=	$1-5y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}4x& +4y& =& $ 4$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(1-5y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $1-5y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4·\left(1-5y\right)+4y$	=	$4$
$4-20y+4y$	=	$4$
$-16y+4$	=	$4$	| $-4$
$-16y$	=	0	|:($-16$)
$y$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $1-5\cdot \left(0\right)$

= $1+0$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|0)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 3 und y = 4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

1x -1y = ?

5x -3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 3 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

1x -1y = 3 -4 = -1

5x -3y = 15 -12 = 3

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

1x -1y = -1

5x -3y = 3

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}16x& +12y& =& $ 10$& & & \text{(I)}\\ -4x& -3y& =& $ -3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}16x& +12y& =& $ 10$& & & \text{(I)}\\ -4x& -3y& =& $ -3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$16x+12y$	=	$10$
$12y+16x$	=	$10$	| $-16x$
$12y$	=	$10-16x$	|:$12$
$y$	=	$\frac{5}{6}-\frac{4}{3}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(\frac{5}{6}-\frac{4}{3}x\right)& & & \text{(I)}\\ -4x& -3y& =& $ -3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{5}{6}-\frac{4}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-4x-3·\left(\frac{5}{6}-\frac{4}{3}x\right)$	=	$-3$
$-4x-\frac{5}{2}+4x$	=	$-3$
$-\frac{5}{2}$	=	$-3$	| $+\frac{5}{2}$
0	=	$-\frac{1}{2}$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 2-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 7. Wenn man aber vom 6-fachen von x 5 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 25. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& +2y& =& $ 7$& & & \text{(I)}\\ 6x& -5y& =& $ 25$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+2y$	=	$7$	| $-2y$
$x$	=	$7-2y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(7-2y\right)& & & \text{(I)}\\ 6x& -5y& =& $ 25$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $7-2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$6·\left(7-2y\right)-5y$	=	$25$
$42-12y-5y$	=	$25$
$-17y+42$	=	$25$	| $-42$
$-17y$	=	$-17$	|:($-17$)
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $7-2\cdot 1$

= $7-2$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|1)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 5

y (y-Wert): 1