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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x-3y$ = $7$.

Bestimme y so, dass (-2|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -2 in die Gleichung ein und erhält:

$\left(-2\right)-3y$ = $7$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$\left(-2\right)-3y$	=	$7$
$-2-3y$	=	$7$
$-3y-2$	=	$7$	| $+2$
$-3y$	=	$9$	|:($-3$)
$y$	=	$-3$

Die Lösung ist somit: (-2|-3)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2x-y$ = $-12$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-3|6)
denn 2⋅( - 3 ) -1⋅6 = -6 -6 = $-12$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-4|4)
denn 2⋅( - 4 ) -1⋅4 = -8 -4 = $-12$

Oder : (-2|8)
denn 2⋅( - 2 ) -1⋅8 = -4 -8 = $-12$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}& +4y& =& $ -8$& & & \text{(I)}\\ 4x& -4y& =& $ 4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}& +4y& =& $ -8$& & & \text{(I)}\\ 4x& -4y& =& $ 4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$4y$	=	$-8$	|:$4$
$y$	=	$-2$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& $ -2$& & & \text{(I)}\\ 4x& -4y& =& $ 4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $-2$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x-4·\left(-2\right)$	=	$4$
$4x+8$	=	$4$	| $-8$
$4x$	=	$-4$	|:$4$
$x$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $-2$

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& +2y& =& $ 6$& & & \text{(I)}\\ -x& +3y& =& $ -1$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}x& +2y& =& $ 6$& & & \text{(I)}\\ -x& +3y& =& $ -1$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$-x+3y$	=	$-1$	| $-3y$
$-x$	=	$-1-3y$	|:($-1$)
$x$	=	$1+3y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& +2y& =& $ 6$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(1+3y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $1+3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1·\left(1+3y\right)+2y$	=	$6$
$1+3y+2y$	=	$6$
$5y+1$	=	$6$	| $-1$
$5y$	=	$5$	|:$5$
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $1+3\cdot 1$

= $1+3$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-x& +4y& =& $ 15$& & & \text{(I)}\\ -5x& -4y& =& $ -45$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-x& +4y& =& $ 15$& & & \text{(I)}\\ -5x& -4y& =& $ -45$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$-x+4y$	=	$15$	| $-4y$
$-x$	=	$15-4y$	|:($-1$)
$x$	=	$-15+4y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(-15+4y\right)& & & \text{(I)}\\ -5x& -4y& =& $ -45$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $-15+4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-5·\left(-15+4y\right)-4y$	=	$-45$
$75-20y-4y$	=	$-45$
$-24y+75$	=	$-45$	| $-75$
$-24y$	=	$-120$	|:($-24$)
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $-15+4\cdot 5$

= $-15+20$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$-3x$	=	$-15-4y$			(I)
$2\left(x+5\right)$	=	$2\left(-x+1\right)-4y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$-3x$	=	$-15-4y$			(I)
$2\left(x+5\right)$	=	$2\left(-x+1\right)-4y$			(II)

$-3x$	=	$-15-4y$	| + $4y$		(I)
$2x+10$	=	$-2x+2-4y$	| $-10+2x+4y$		(II)

$\begin{array}{ccccccc}-3x& +4y& =& $ -15$& & & \text{(I)}\\ 4x& +4y& =& $ -8$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$-3x+4y$	=	$-15$
$4y-3x$	=	$-15$	| $+3x$
$4y$	=	$-15+3x$	|:$4$
$y$	=	$-\frac{15}{4}+\frac{3}{4}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-\frac{15}{4}+\frac{3}{4}x\right)& & & \text{(I)}\\ 4x& +4y& =& $ -8$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{15}{4}+\frac{3}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x+4·\left(-\frac{15}{4}+\frac{3}{4}x\right)$	=	$-8$
$4x-15+3x$	=	$-8$
$7x-15$	=	$-8$	| $+15$
$7x$	=	$7$	|:$7$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{15}{4}+\frac{3}{4}\cdot 1$

= $-\frac{15}{4}+\frac{3}{4}$

= $-3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 2 und y = 3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x -1y = ?

5x -4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = 3 einsetzen und ausrechnen:

2x -1y = 4 -3 = 1

5x -4y = 10 -12 = -2

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x -1y = 1

5x -4y = -2

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}-2x& -5y& =& $ -12$& & & \text{(I)}\\ -5x& -4y& =& $ -13$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-2x& -5y& =& $ -12$& & & \text{(I)}\\ -5x& -4y& =& $ -13$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$-2x-5y$	=	$-12$
$-5y-2x$	=	$-12$	| $+2x$
$-5y$	=	$-12+2x$	|:($-5$)
$y$	=	$\frac{12}{5}-\frac{2}{5}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(\frac{12}{5}-\frac{2}{5}x\right)& & & \text{(I)}\\ -5x& -4y& =& $ -13$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{12}{5}-\frac{2}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-5x-4·\left(\frac{12}{5}-\frac{2}{5}x\right)$	=	$-13$
$-5x-\frac{48}{5}+\frac{8}{5}x$	=	$-13$
$-\frac{17}{5}x-\frac{48}{5}$	=	$-13$	|⋅ 5
$5\left(-\frac{17}{5}x-\frac{48}{5}\right)$	=	$-65$
$-17x-48$	=	$-65$	| $+48$
$-17x$	=	$-17$	|:($-17$)
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{12}{5}-\frac{2}{5}\cdot 1$

= $\frac{12}{5}-\frac{2}{5}$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (1|2)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 9 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 6 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 108 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 9 LED-Leuchtmittel und 9 Halogenleuchten zusammen 153 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}9x& +6y& =& $ 108$& & & \text{(I)}\\ 9x& +9y& =& $ 153$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$9x+6y$	=	$108$
$6y+9x$	=	$108$	| $-9x$
$6y$	=	$108-9x$	|:$6$
$y$	=	$18-\frac{3}{2}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(18-\frac{3}{2}x\right)& & & \text{(I)}\\ 9x& +9y& =& $ 153$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $18-\frac{3}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$9x+9·\left(18-\frac{3}{2}x\right)$	=	$153$
$9x+162-\frac{27}{2}x$	=	$153$
$-\frac{9}{2}x+162$	=	$153$	|⋅ 2
$2\left(-\frac{9}{2}x+162\right)$	=	$306$
$-9x+324$	=	$306$	| $-324$
$-9x$	=	$-18$	|:($-9$)
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $18-\frac{3}{2}\cdot 2$

= $18-3$

= $15$

also

y = 15

Die Lösung des LGS ist damit: (2|15)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 2

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 15