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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x-y$ = $-4$.

Bestimme y so, dass (-3|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -3 in die Gleichung ein und erhält:

$\left(-3\right)-y$ = $-4$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$\left(-3\right)-y$	=	$-4$
$-3-y$	=	$-4$
$-y-3$	=	$-4$	| $+3$
$-y$	=	$-1$	|:($-1$)
$y$	=	$1$

Die Lösung ist somit: (-3|1)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-x+5y$ = $-24$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-1|-5)
denn -1⋅( - 1 ) +5⋅( - 5 ) = 1 -25 = $-24$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (4|-4)
denn -1⋅4 +5⋅( - 4 ) = -4 -20 = $-24$

Oder : (-6|-6)
denn -1⋅( - 6 ) +5⋅( - 6 ) = 6 -30 = $-24$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-x& +4y& =& $ -16$& & & \text{(I)}\\ -3x& & =& $ -12$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-x& +4y& =& $ -16$& & & \text{(I)}\\ -3x& & =& $ -12$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$-3x$	=	$-12$	|:($-3$)
$x$	=	$4$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-x& +4y& =& $ -16$& & & \text{(I)}\\ x& & =& $ 4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$-1·4+4y$	=	$-16$
$-4+4y$	=	$-16$
$4y-4$	=	$-16$	| $+4$
$4y$	=	$-12$	|:$4$
$y$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $4$

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& -2y& =& $ -6$& & & \text{(I)}\\ 4x& +y& =& $ -6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}x& -2y& =& $ -6$& & & \text{(I)}\\ 4x& +y& =& $ -6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4x+y$	=	$-6$
$y+4x$	=	$-6$	| $-4x$
$y$	=	$-6-4x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& -2y& =& $ -6$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& \left(-6-4x\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-6-4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x-2·\left(-6-4x\right)$	=	$-6$
$x+12+8x$	=	$-6$
$9x+12$	=	$-6$	| $-12$
$9x$	=	$-18$	|:$9$
$x$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-6-4\cdot \left(-2\right)$

= $-6+8$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-5x& +5y& =& $ 0$& & & \text{(I)}\\ -2x& +3y& =& $ 1$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-5x& +5y& =& $ 0$& & & \text{(I)}\\ -2x& +3y& =& $ 1$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$-5x+5y$	=	0
$5y-5x$	=	0	| $+5x$
$5y$	=	$5x$	|:$5$
$y$	=	$x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& x& & & \text{(I)}\\ -2x& +3y& =& $ 1$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $x$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x+3·x$	=	$1$
$-2x+3x$	=	$1$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-\frac{3}{2}x& -\frac{3}{2}y& =& $ -12$& & & \text{(I)}\\ x& +\frac{1}{3}y& =& $ \frac{14}{3}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-\frac{3}{2}x& -\frac{3}{2}y& =& $ -12$& & & \text{(I)}\\ x& +\frac{1}{3}y& =& $ \frac{14}{3}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+\frac{1}{3}y$	=	$\frac{14}{3}$	|⋅ 3
$3\left(x+\frac{1}{3}y\right)$	=	$14$
$3x+y$	=	$14$	| $-y$
$3x$	=	$14-y$	|:$3$
$x$	=	$\frac{14}{3}-\frac{1}{3}y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-\frac{3}{2}x& -\frac{3}{2}y& =& $ -12$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(\frac{14}{3}-\frac{1}{3}y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $\frac{14}{3}-\frac{1}{3}y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-\frac{3}{2}·\left(\frac{14}{3}-\frac{1}{3}y\right)-\frac{3}{2}y$	=	$-12$
$-7+\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}y$	=	$-12$
$-y-7$	=	$-12$	| $+7$
$-y$	=	$-5$	|:($-1$)
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $\frac{14}{3}-\frac{1}{3}\cdot 5$

= $\frac{14}{3}-\frac{5}{3}$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -2 und y = -4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

1x +5y = ?

3x +17y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:

1x +5y = -2 -20 = -22

3x +17y = -6 -68 = -74

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

1x +5y = -22

3x +17y = -74

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}3x& +y& =& $ -3$& & & \text{(I)}\\ -12x& -4y& =& $ 12$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}3x& +y& =& $ -3$& & & \text{(I)}\\ -12x& -4y& =& $ 12$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$3x+y$	=	$-3$
$y+3x$	=	$-3$	| $-3x$
$y$	=	$-3-3x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-3-3x\right)& & & \text{(I)}\\ -12x& -4y& =& $ 12$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-3-3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-12x-4·\left(-3-3x\right)$	=	$12$
$-12x+12+12x$	=	$12$
$12$	=	$12$	| $-12$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 4-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 9. Wenn man aber vom 6-fachen von x 3 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 27. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& +4y& =& $ 9$& & & \text{(I)}\\ 6x& -3y& =& $ 27$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+4y$	=	$9$	| $-4y$
$x$	=	$9-4y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(9-4y\right)& & & \text{(I)}\\ 6x& -3y& =& $ 27$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $9-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$6·\left(9-4y\right)-3y$	=	$27$
$54-24y-3y$	=	$27$
$-27y+54$	=	$27$	| $-54$
$-27y$	=	$-27$	|:($-27$)
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $9-4\cdot 1$

= $9-4$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|1)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 5

y (y-Wert): 1