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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3x+2y$ = $-9$.

Bestimme x so, dass (x|3) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 3 in die Gleichung ein und erhält:

$3x+2\cdot 3$ = $-9$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$3x+2\cdot 3$	=	$-9$
$3x+6$	=	$-9$	| $-6$
$3x$	=	$-15$	|:$3$
$x$	=	$-5$

Die Lösung ist somit: (-5|3)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-2x+y$ = $-7$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (7|7)
denn -2⋅7 +1⋅7 = -14 +7 = $-7$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (8|9)
denn -2⋅8 +1⋅9 = -16 +9 = $-7$

Oder : (6|5)
denn -2⋅6 +1⋅5 = -12 +5 = $-7$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& +2y& =& $ 12$& & & \text{(I)}\\ 3x& & =& $ 6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}x& +2y& =& $ 12$& & & \text{(I)}\\ 3x& & =& $ 6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$3x$	=	$6$	|:$3$
$x$	=	$2$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& +2y& =& $ 12$& & & \text{(I)}\\ x& & =& $ 2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $2$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$1·2+2y$	=	$12$
$2+2y$	=	$12$
$2y+2$	=	$12$	| $-2$
$2y$	=	$10$	|:$2$
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $2$

Die Lösung des LGS ist damit: (2|5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}2x& +2y& =& $ -18$& & & \text{(I)}\\ x& -3y& =& $ 11$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}2x& +2y& =& $ -18$& & & \text{(I)}\\ x& -3y& =& $ 11$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x-3y$	=	$11$	| $+3y$
$x$	=	$11+3y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}2x& +2y& =& $ -18$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(11+3y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $11+3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(11+3y\right)+2y$	=	$-18$
$22+6y+2y$	=	$-18$
$8y+22$	=	$-18$	| $-22$
$8y$	=	$-40$	|:$8$
$y$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $11+3\cdot \left(-5\right)$

= $11-15$

= $-4$

also

x = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-5x& -4y& =& $ 15$& & & \text{(I)}\\ x& +y& =& $ -3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-5x& -4y& =& $ 15$& & & \text{(I)}\\ x& +y& =& $ -3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$x+y$	=	$-3$
$y+x$	=	$-3$	| $-x$
$y$	=	$-3-x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-5x& -4y& =& $ 15$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& \left(-3-x\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-3-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-5x-4·\left(-3-x\right)$	=	$15$
$-5x+12+4x$	=	$15$
$-x+12$	=	$15$	| $-12$
$-x$	=	$3$	|:($-1$)
$x$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-3-\left(-3\right)$

= $-3+3$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|0)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}\frac{1}{3}x& -\frac{1}{3}y& =& $ -3$& & & \text{(I)}\\ 2x& +\frac{2}{5}y& =& $ -\frac{42}{5}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}\frac{1}{3}x& -\frac{1}{3}y& =& $ -3$& & & \text{(I)}\\ 2x& +\frac{2}{5}y& =& $ -\frac{42}{5}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}y$	=	$-3$
$-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}x$	=	$-3$	|⋅ 3
$3\left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}x\right)$	=	$-9$
$-y+x$	=	$-9$	| $-x$
$-y$	=	$-9-x$	|:($-1$)
$y$	=	$9+x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(9+x\right)& & & \text{(I)}\\ 2x& +\frac{2}{5}y& =& $ -\frac{42}{5}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $9+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x+\frac{2}{5}·\left(9+x\right)$	=	$-\frac{42}{5}$
$2x+\frac{18}{5}+\frac{2}{5}x$	=	$-\frac{42}{5}$
$\frac{12}{5}x+\frac{18}{5}$	=	$-\frac{42}{5}$	|⋅ 5
$5\left(\frac{12}{5}x+\frac{18}{5}\right)$	=	$-42$
$12x+18$	=	$-42$	| $-18$
$12x$	=	$-60$	|:$12$
$x$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $9-5$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 3 und y = -2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

4x +1y = ?

8x +5y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 3 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

4x +1y = 12 -2 = 10

8x +5y = 24 -10 = 14

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

4x +1y = 10

8x +5y = 14

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}4x& +8y& =& $ -11$& & & \text{(I)}\\ -x& -2y& =& $ 2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}4x& +8y& =& $ -11$& & & \text{(I)}\\ -x& -2y& =& $ 2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$-x-2y$	=	$2$	| $+2y$
$-x$	=	$2+2y$	|:($-1$)
$x$	=	$-2-2y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}4x& +8y& =& $ -11$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(-2-2y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-2-2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4·\left(-2-2y\right)+8y$	=	$-11$
$-8-8y+8y$	=	$-11$
$-8$	=	$-11$	| $+8$
0	=	$-3$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 2-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 12. Wenn man aber vom 4-fachen von x 7 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -12. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& +2y& =& $ 12$& & & \text{(I)}\\ 4x& -7y& =& $ -12$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+2y$	=	$12$	| $-2y$
$x$	=	$12-2y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(12-2y\right)& & & \text{(I)}\\ 4x& -7y& =& $ -12$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $12-2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4·\left(12-2y\right)-7y$	=	$-12$
$48-8y-7y$	=	$-12$
$-15y+48$	=	$-12$	| $-48$
$-15y$	=	$-60$	|:($-15$)
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $12-2\cdot 4$

= $12-8$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|4)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 4

y (y-Wert): 4