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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-4x-5y$ = $-14$.

Bestimme x so, dass (x|6) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 6 in die Gleichung ein und erhält:

$-4x-5\cdot 6$ = $-14$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$-4x-5\cdot 6$	=	$-14$
$-4x-30$	=	$-14$	| $+30$
$-4x$	=	$16$	|:($-4$)
$x$	=	$-4$

Die Lösung ist somit: (-4|6)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3x-2y$ = $13$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (1|-5)
denn 3⋅1 -2⋅( - 5 ) = 3 +10 = $13$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-1|-8)
denn 3⋅( - 1 ) -2⋅( - 8 ) = -3 +16 = $13$

Oder : (3|-2)
denn 3⋅3 -2⋅( - 2 ) = 9 +4 = $13$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}2x& +y& =& $ -4$& & & \text{(I)}\\ & +2y& =& $ -4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}2x& +y& =& $ -4$& & & \text{(I)}\\ & +2y& =& $ -4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$2y$	=	$-4$	|:$2$
$y$	=	$-2$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}2x& +y& =& $ -4$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& $ -2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $-2$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x+1·\left(-2\right)$	=	$-4$
$2x-2$	=	$-4$	| $+2$
$2x$	=	$-2$	|:$2$
$x$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $-2$

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}3x& +y& =& $ 13$& & & \text{(I)}\\ -4x& +4y& =& $ -28$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}3x& +y& =& $ 13$& & & \text{(I)}\\ -4x& +4y& =& $ -28$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$3x+y$	=	$13$
$y+3x$	=	$13$	| $-3x$
$y$	=	$13-3x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(13-3x\right)& & & \text{(I)}\\ -4x& +4y& =& $ -28$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $13-3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-4x+4·\left(13-3x\right)$	=	$-28$
$-4x+52-12x$	=	$-28$
$-16x+52$	=	$-28$	| $-52$
$-16x$	=	$-80$	|:($-16$)
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $13-3\cdot 5$

= $13-15$

= $-2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& -3y& =& $ 3$& & & \text{(I)}\\ -5x& -5y& =& $ -35$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}x& -3y& =& $ 3$& & & \text{(I)}\\ -5x& -5y& =& $ -35$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x-3y$	=	$3$	| $+3y$
$x$	=	$3+3y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(3+3y\right)& & & \text{(I)}\\ -5x& -5y& =& $ -35$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $3+3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-5·\left(3+3y\right)-5y$	=	$-35$
$-15-15y-5y$	=	$-35$
$-20y-15$	=	$-35$	| $+15$
$-20y$	=	$-20$	|:($-20$)
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $3+3\cdot 1$

= $3+3$

= $6$

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-\frac{2}{5}x& -y& =& $ 6$& & & \text{(I)}\\ \frac{2}{3}x& -\frac{2}{5}y& =& $ -\frac{26}{15}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-\frac{2}{5}x& -y& =& $ 6$& & & \text{(I)}\\ \frac{2}{3}x& -\frac{2}{5}y& =& $ -\frac{26}{15}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$-\frac{2}{5}x-y$	=	$6$
$-y-\frac{2}{5}x$	=	$6$	|⋅ 5
$5\left(-y-\frac{2}{5}x\right)$	=	$30$
$-5y-2x$	=	$30$	| $+2x$
$-5y$	=	$30+2x$	|:($-5$)
$y$	=	$-6-\frac{2}{5}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-6-\frac{2}{5}x\right)& & & \text{(I)}\\ \frac{2}{3}x& -\frac{2}{5}y& =& $ -\frac{26}{15}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-6-\frac{2}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{2}{3}x-\frac{2}{5}·\left(-6-\frac{2}{5}x\right)$	=	$-\frac{26}{15}$
$\frac{2}{3}x+\frac{12}{5}+\frac{4}{25}x$	=	$-\frac{26}{15}$
$\frac{62}{75}x+\frac{12}{5}$	=	$-\frac{26}{15}$	|⋅ 75
$75\left(\frac{62}{75}x+\frac{12}{5}\right)$	=	$-130$
$62x+180$	=	$-130$	| $-180$
$62x$	=	$-310$	|:$62$
$x$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-6-\frac{2}{5}\cdot \left(-5\right)$

= $-6+2$

= $-4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 1 und y = -3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x +2y = ?

-2x +3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 1 und y = -3 einsetzen und ausrechnen:

-5x +2y = -5 -6 = -11

-2x +3y = -2 -9 = -11

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x +2y = -11

-2x +3y = -11

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}-5x& +2y& =& $ 6$& & & \text{(I)}\\ -x& +y& =& $ 3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-5x& +2y& =& $ 6$& & & \text{(I)}\\ -x& +y& =& $ 3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$-x+y$	=	$3$
$y-x$	=	$3$	| $+x$
$y$	=	$3+x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-5x& +2y& =& $ 6$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& \left(3+x\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $3+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-5x+2·\left(3+x\right)$	=	$6$
$-5x+6+2x$	=	$6$
$-3x+6$	=	$6$	| $-6$
$-3x$	=	0	|:($-3$)
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $3+0$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (0|3)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 2-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 12. Wenn man aber vom 4-fachen von x 2 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -2. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& +2y& =& $ 12$& & & \text{(I)}\\ 4x& -2y& =& $ -2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+2y$	=	$12$	| $-2y$
$x$	=	$12-2y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(12-2y\right)& & & \text{(I)}\\ 4x& -2y& =& $ -2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $12-2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4·\left(12-2y\right)-2y$	=	$-2$
$48-8y-2y$	=	$-2$
$-10y+48$	=	$-2$	| $-48$
$-10y$	=	$-50$	|:($-10$)
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $12-2\cdot 5$

= $12-10$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|5)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 2

y (y-Wert): 5