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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-5x+4y$ = $17$.

Bestimme x so, dass (x|3) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 3 in die Gleichung ein und erhält:

$-5x+4\cdot 3$ = $17$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$-5x+4\cdot 3$	=	$17$
$-5x+12$	=	$17$	| $-12$
$-5x$	=	$5$	|:($-5$)
$x$	=	$-1$

Die Lösung ist somit: (-1|3)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3x+4y$ = $-12$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (4|-6)
denn 3⋅4 +4⋅( - 6 ) = 12 -24 = $-12$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (8|-9)
denn 3⋅8 +4⋅( - 9 ) = 24 -36 = $-12$

Oder : (0|-3)
denn 3⋅0 +4⋅( - 3 ) = 0 -12 = $-12$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-3x& -2y& =& $ 4$& & & \text{(I)}\\ -4x& & =& $ -8$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-3x& -2y& =& $ 4$& & & \text{(I)}\\ -4x& & =& $ -8$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$-4x$	=	$-8$	|:($-4$)
$x$	=	$2$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-3x& -2y& =& $ 4$& & & \text{(I)}\\ x& & =& $ 2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $2$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·2-2y$	=	$4$
$-6-2y$	=	$4$
$-2y-6$	=	$4$	| $+6$
$-2y$	=	$10$	|:($-2$)
$y$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $2$

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-3x& -4y& =& $ -10$& & & \text{(I)}\\ 3x& +y& =& $ -2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-3x& -4y& =& $ -10$& & & \text{(I)}\\ 3x& +y& =& $ -2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$3x+y$	=	$-2$
$y+3x$	=	$-2$	| $-3x$
$y$	=	$-2-3x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-3x& -4y& =& $ -10$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& \left(-2-3x\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-2-3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x-4·\left(-2-3x\right)$	=	$-10$
$-3x+8+12x$	=	$-10$
$9x+8$	=	$-10$	| $-8$
$9x$	=	$-18$	|:$9$
$x$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-2-3\cdot \left(-2\right)$

= $-2+6$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}4x& -3y& =& $ -12$& & & \text{(I)}\\ 2x& -y& =& $ -4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}4x& -3y& =& $ -12$& & & \text{(I)}\\ 2x& -y& =& $ -4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$2x-y$	=	$-4$
$-y+2x$	=	$-4$	| $-2x$
$-y$	=	$-4-2x$	|:($-1$)
$y$	=	$4+2x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}4x& -3y& =& $ -12$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& \left(4+2x\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $4+2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x-3·\left(4+2x\right)$	=	$-12$
$4x-12-6x$	=	$-12$
$-2x-12$	=	$-12$	| $+12$
$-2x$	=	0	|:($-2$)
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $4+2\cdot \left(0\right)$

= $4+0$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (0|4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$3\left(x+9\right)-4y$	=	0			(I)
$-x-2y$	=	$-7+2y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$3\left(x+9\right)-4y$	=	0			(I)
$-x-2y$	=	$-7+2y$			(II)

$3x+27-4y$	=	0	| $-27$		(I)
$-x-2y$	=	$-7+2y$	| $-2y$		(II)

$\begin{array}{ccccccc}3x& -4y& =& $ -27$& & & \text{(I)}\\ -x& -4y& =& $ -7$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$-x-4y$	=	$-7$	| $+4y$
$-x$	=	$-7+4y$	|:($-1$)
$x$	=	$7-4y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}3x& -4y& =& $ -27$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(7-4y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $7-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(7-4y\right)-4y$	=	$-27$
$21-12y-4y$	=	$-27$
$-16y+21$	=	$-27$	| $-21$
$-16y$	=	$-48$	|:($-16$)
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $7-4\cdot 3$

= $7-12$

= $-5$

also

x = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 4 und y = -5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x +5y = ?

1x +2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 4 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:

5x +5y = 20 -25 = -5

1x +2y = 4 -10 = -6

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x +5y = -5

1x +2y = -6

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}-4x& -8y& =& $ 13$& & & \text{(I)}\\ x& +2y& =& $ -3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-4x& -8y& =& $ 13$& & & \text{(I)}\\ x& +2y& =& $ -3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+2y$	=	$-3$	| $-2y$
$x$	=	$-3-2y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-4x& -8y& =& $ 13$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(-3-2y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-3-2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-4·\left(-3-2y\right)-8y$	=	$13$
$12+8y-8y$	=	$13$
$12$	=	$13$	| $-12$
0	=	$1$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 3-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 12. Wenn man aber vom 3-fachen von x 5 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -6. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& +3y& =& $ 12$& & & \text{(I)}\\ 3x& -5y& =& $ -6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+3y$	=	$12$	| $-3y$
$x$	=	$12-3y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(12-3y\right)& & & \text{(I)}\\ 3x& -5y& =& $ -6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $12-3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(12-3y\right)-5y$	=	$-6$
$36-9y-5y$	=	$-6$
$-14y+36$	=	$-6$	| $-36$
$-14y$	=	$-42$	|:($-14$)
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $12-3\cdot 3$

= $12-9$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|3)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 3

y (y-Wert): 3