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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2x+5y$ = $26$.

Bestimme y so, dass (3|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 3 in die Gleichung ein und erhält:

$2\cdot 3+5y$ = $26$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$2\cdot 3+5y$	=	$26$
$6+5y$	=	$26$
$5y+6$	=	$26$	| $-6$
$5y$	=	$20$	|:$5$
$y$	=	$4$

Die Lösung ist somit: (3|4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-3x-2y$ = $14$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-2|-4)
denn -3⋅( - 2 ) -2⋅( - 4 ) = 6 +8 = $14$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-4|-1)
denn -3⋅( - 4 ) -2⋅( - 1 ) = 12 +2 = $14$

Oder : (0|-7)
denn -3⋅0 -2⋅( - 7 ) = 0 +14 = $14$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}4x& & =& $ 24$& & & \text{(I)}\\ 3x& +3y& =& $ 9$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}4x& & =& $ 24$& & & \text{(I)}\\ 3x& +3y& =& $ 9$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$4x$	=	$24$	|:$4$
$x$	=	$6$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& $ 6$& & & \text{(I)}\\ 3x& +3y& =& $ 9$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $6$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·6+3y$	=	$9$
$18+3y$	=	$9$
$3y+18$	=	$9$	| $-18$
$3y$	=	$-9$	|:$3$
$y$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $6$

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}2x& -3y& =& $ 13$& & & \text{(I)}\\ x& +2y& =& $ -4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}2x& -3y& =& $ 13$& & & \text{(I)}\\ x& +2y& =& $ -4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+2y$	=	$-4$	| $-2y$
$x$	=	$-4-2y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}2x& -3y& =& $ 13$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(-4-2y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-4-2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(-4-2y\right)-3y$	=	$13$
$-8-4y-3y$	=	$13$
$-7y-8$	=	$13$	| $+8$
$-7y$	=	$21$	|:($-7$)
$y$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-4-2\cdot \left(-3\right)$

= $-4+6$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-2x& -4y& =& $ -12$& & & \text{(I)}\\ -3x& -2y& =& $ -6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-2x& -4y& =& $ -12$& & & \text{(I)}\\ -3x& -2y& =& $ -6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$-2x-4y$	=	$-12$
$-4y-2x$	=	$-12$	| $+2x$
$-4y$	=	$-12+2x$	|:($-4$)
$y$	=	$3-\frac{1}{2}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(3-\frac{1}{2}x\right)& & & \text{(I)}\\ -3x& -2y& =& $ -6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $3-\frac{1}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x-2·\left(3-\frac{1}{2}x\right)$	=	$-6$
$-3x-6+x$	=	$-6$
$-2x-6$	=	$-6$	| $+6$
$-2x$	=	0	|:($-2$)
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $3-\frac{1}{2}\cdot \left(0\right)$

= $3+0$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (0|3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$-5\left(x+5\right)$	=	$5(1+y)$			(I)
$-x$	=	$2(4+y)$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$-5\left(x+5\right)$	=	$5(1+y)$			(I)
$-x$	=	$2(4+y)$			(II)

$-5x-25$	=	$5+5y$	| + $25-5y$		(I)
$-x$	=	$8+2y$	| $-2y$		(II)

$\begin{array}{ccccccc}-5x& -5y& =& $ 30$& & & \text{(I)}\\ -x& -2y& =& $ 8$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$-x-2y$	=	$8$	| $+2y$
$-x$	=	$8+2y$	|:($-1$)
$x$	=	$-8-2y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-5x& -5y& =& $ 30$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(-8-2y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-8-2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-5·\left(-8-2y\right)-5y$	=	$30$
$40+10y-5y$	=	$30$
$5y+40$	=	$30$	| $-40$
$5y$	=	$-10$	|:$5$
$y$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-8-2\cdot \left(-2\right)$

= $-8+4$

= $-4$

also

x = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 3 und y = 1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x -3y = ?

-7x -7y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 3 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

-4x -3y = -12 -3 = -15

-7x -7y = -21 -7 = -28

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x -3y = -15

-7x -7y = -28

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}3x& -2y& =& $ -3$& & & \text{(I)}\\ -9x& +6y& =& $ 8$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}3x& -2y& =& $ -3$& & & \text{(I)}\\ -9x& +6y& =& $ 8$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3x-2y$	=	$-3$
$-2y+3x$	=	$-3$	| $-3x$
$-2y$	=	$-3-3x$	|:($-2$)
$y$	=	$\frac{3}{2}+\frac{3}{2}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(\frac{3}{2}+\frac{3}{2}x\right)& & & \text{(I)}\\ -9x& +6y& =& $ 8$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{3}{2}+\frac{3}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-9x+6·\left(\frac{3}{2}+\frac{3}{2}x\right)$	=	$8$
$-9x+9+9x$	=	$8$
$9$	=	$8$	| $-9$
0	=	$-1$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 6 Stunden wandern. Danach hat sie 2 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 830 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 7 Stunden wandern und hat 5 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 875 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}6x& -2y& =& $ 830$& & & \text{(I)}\\ 7x& -5y& =& $ 875$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$6x-2y$	=	$830$
$-2y+6x$	=	$830$	| $-6x$
$-2y$	=	$830-6x$	|:($-2$)
$y$	=	$-415+3x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-415+3x\right)& & & \text{(I)}\\ 7x& -5y& =& $ 875$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-415+3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$7x-5·\left(-415+3x\right)$	=	$875$
$7x+2075-15x$	=	$875$
$-8x+2075$	=	$875$	| $-2075$
$-8x$	=	$-1200$	|:($-8$)
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-415+3\cdot 150$

= $-415+450$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (150|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 35