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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3x-4y$ = $-26$.

Bestimme x so, dass (x|2) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 2 in die Gleichung ein und erhält:

$3x-4\cdot 2$ = $-26$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$3x-4\cdot 2$	=	$-26$
$3x-8$	=	$-26$	| $+8$
$3x$	=	$-18$	|:$3$
$x$	=	$-6$

Die Lösung ist somit: (-6|2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-3x+3y$ = $-27$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (2|-7)
denn -3⋅2 +3⋅( - 7 ) = -6 -21 = $-27$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (5|-4)
denn -3⋅5 +3⋅( - 4 ) = -15 -12 = $-27$

Oder : (-1|-10)
denn -3⋅( - 1 ) +3⋅( - 10 ) = 3 -30 = $-27$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-4x& +4y& =& $ -28$& & & \text{(I)}\\ 3x& & =& $ 6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-4x& +4y& =& $ -28$& & & \text{(I)}\\ 3x& & =& $ 6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$3x$	=	$6$	|:$3$
$x$	=	$2$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-4x& +4y& =& $ -28$& & & \text{(I)}\\ x& & =& $ 2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $2$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$-4·2+4y$	=	$-28$
$-8+4y$	=	$-28$
$4y-8$	=	$-28$	| $+8$
$4y$	=	$-20$	|:$4$
$y$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $2$

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& +4y& =& $ -21$& & & \text{(I)}\\ -2x& +y& =& $ 6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}x& +4y& =& $ -21$& & & \text{(I)}\\ -2x& +y& =& $ 6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$-2x+y$	=	$6$
$y-2x$	=	$6$	| $+2x$
$y$	=	$6+2x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& +4y& =& $ -21$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& \left(6+2x\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $6+2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x+4·\left(6+2x\right)$	=	$-21$
$x+24+8x$	=	$-21$
$9x+24$	=	$-21$	| $-24$
$9x$	=	$-45$	|:$9$
$x$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $6+2\cdot \left(-5\right)$

= $6-10$

= $-4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}4x& -4y& =& $ -16$& & & \text{(I)}\\ 3x& -2y& =& $ -7$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}4x& -4y& =& $ -16$& & & \text{(I)}\\ 3x& -2y& =& $ -7$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4x-4y$	=	$-16$
$-4y+4x$	=	$-16$	| $-4x$
$-4y$	=	$-16-4x$	|:($-4$)
$y$	=	$4+x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(4+x\right)& & & \text{(I)}\\ 3x& -2y& =& $ -7$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $4+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x-2·\left(4+x\right)$	=	$-7$
$3x-8-2x$	=	$-7$
$x-8$	=	$-7$	| $+8$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $4+1$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (1|5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-\frac{1}{5}x& -\frac{1}{2}y& =& $ \frac{3}{10}$& & & \text{(I)}\\ \frac{3}{5}x& -\frac{3}{2}y& =& $ -\frac{39}{10}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-\frac{1}{5}x& -\frac{1}{2}y& =& $ \frac{3}{10}$& & & \text{(I)}\\ \frac{3}{5}x& -\frac{3}{2}y& =& $ -\frac{39}{10}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$-\frac{1}{5}x-\frac{1}{2}y$	=	$\frac{3}{10}$
$-\frac{1}{2}y-\frac{1}{5}x$	=	$\frac{3}{10}$	|⋅ 10
$10\left(-\frac{1}{2}y-\frac{1}{5}x\right)$	=	$3$
$-5y-2x$	=	$3$	| $+2x$
$-5y$	=	$3+2x$	|:($-5$)
$y$	=	$-\frac{3}{5}-\frac{2}{5}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-\frac{3}{5}-\frac{2}{5}x\right)& & & \text{(I)}\\ \frac{3}{5}x& -\frac{3}{2}y& =& $ -\frac{39}{10}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{3}{5}-\frac{2}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{3}{5}x-\frac{3}{2}·\left(-\frac{3}{5}-\frac{2}{5}x\right)$	=	$-\frac{39}{10}$
$\frac{3}{5}x+\frac{9}{10}+\frac{3}{5}x$	=	$-\frac{39}{10}$
$\frac{6}{5}x+\frac{9}{10}$	=	$-\frac{39}{10}$	|⋅ 10
$10\left(\frac{6}{5}x+\frac{9}{10}\right)$	=	$-39$
$12x+9$	=	$-39$	| $-9$
$12x$	=	$-48$	|:$12$
$x$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{3}{5}-\frac{2}{5}\cdot \left(-4\right)$

= $-\frac{3}{5}+\frac{8}{5}$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 3 und y = 2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x -2y = ?

-9x -7y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 3 und y = 2 einsetzen und ausrechnen:

-5x -2y = -15 -4 = -19

-9x -7y = -27 -14 = -41

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x -2y = -19

-9x -7y = -41

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}8x& +12y& =& $ -12$& & & \text{(I)}\\ -2x& -3y& =& $ 3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}8x& +12y& =& $ -12$& & & \text{(I)}\\ -2x& -3y& =& $ 3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$8x+12y$	=	$-12$
$12y+8x$	=	$-12$	| $-8x$
$12y$	=	$-12-8x$	|:$12$
$y$	=	$-1-\frac{2}{3}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-1-\frac{2}{3}x\right)& & & \text{(I)}\\ -2x& -3y& =& $ 3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-1-\frac{2}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x-3·\left(-1-\frac{2}{3}x\right)$	=	$3$
$-2x+3+2x$	=	$3$
$3$	=	$3$	| $-3$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 6-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 26. Wenn man aber vom 4-fachen von x 7 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -20. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& +6y& =& $ 26$& & & \text{(I)}\\ 4x& -7y& =& $ -20$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+6y$	=	$26$	| $-6y$
$x$	=	$26-6y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(26-6y\right)& & & \text{(I)}\\ 4x& -7y& =& $ -20$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $26-6y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4·\left(26-6y\right)-7y$	=	$-20$
$104-24y-7y$	=	$-20$
$-31y+104$	=	$-20$	| $-104$
$-31y$	=	$-124$	|:($-31$)
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $26-6\cdot 4$

= $26-24$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|4)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 2

y (y-Wert): 4