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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-2x-y$ = $-1$.

Bestimme x so, dass (x|3) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 3 in die Gleichung ein und erhält:

$-2x-3$ = $-1$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$-2x-3$	=	$-1$
$-2x-3$	=	$-1$	| $+3$
$-2x$	=	$2$	|:($-2$)
$x$	=	$-1$

Die Lösung ist somit: (-1|3)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-5x+4y$ = $41$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-5|4)
denn -5⋅( - 5 ) +4⋅4 = 25 +16 = $41$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-1|9)
denn -5⋅( - 1 ) +4⋅9 = 5 +36 = $41$

Oder : (-9|-1)
denn -5⋅( - 9 ) +4⋅( - 1 ) = 45 -4 = $41$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-3x& +2y& =& $ -22$& & & \text{(I)}\\ -2x& & =& $ -8$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-3x& +2y& =& $ -22$& & & \text{(I)}\\ -2x& & =& $ -8$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$-2x$	=	$-8$	|:($-2$)
$x$	=	$4$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-3x& +2y& =& $ -22$& & & \text{(I)}\\ x& & =& $ 4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·4+2y$	=	$-22$
$-12+2y$	=	$-22$
$2y-12$	=	$-22$	| $+12$
$2y$	=	$-10$	|:$2$
$y$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $4$

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}2x& +y& =& $ -4$& & & \text{(I)}\\ -x& -y& =& $ 0$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}2x& +y& =& $ -4$& & & \text{(I)}\\ -x& -y& =& $ 0$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$-x-y$	=	0
$-y-x$	=	0	| $+x$
$-y$	=	$x$	|:($-1$)
$y$	=	$-x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}2x& +y& =& $ -4$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& -x& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $-x$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x+1·\left(-x\right)$	=	$-4$
$2x-x$	=	$-4$
$x$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-\left(-4\right)$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-4x& -2y& =& $ 20$& & & \text{(I)}\\ -3x& -y& =& $ 14$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-4x& -2y& =& $ 20$& & & \text{(I)}\\ -3x& -y& =& $ 14$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$-3x-y$	=	$14$
$-y-3x$	=	$14$	| $+3x$
$-y$	=	$14+3x$	|:($-1$)
$y$	=	$-14-3x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-4x& -2y& =& $ 20$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& \left(-14-3x\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-14-3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-4x-2·\left(-14-3x\right)$	=	$20$
$-4x+28+6x$	=	$20$
$2x+28$	=	$20$	| $-28$
$2x$	=	$-8$	|:$2$
$x$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-14-3\cdot \left(-4\right)$

= $-14+12$

= $-2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-x& +\frac{2}{5}y& =& $ \frac{28}{5}$& & & \text{(I)}\\ -\frac{1}{2}x& -y& =& $ 4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-x& +\frac{2}{5}y& =& $ \frac{28}{5}$& & & \text{(I)}\\ -\frac{1}{2}x& -y& =& $ 4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$-\frac{1}{2}x-y$	=	$4$
$-y-\frac{1}{2}x$	=	$4$	|⋅ 2
$2\left(-y-\frac{1}{2}x\right)$	=	$8$
$-2y-x$	=	$8$	| $+x$
$-2y$	=	$8+x$	|:($-2$)
$y$	=	$-4-\frac{1}{2}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-x& +\frac{2}{5}y& =& $ \frac{28}{5}$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& \left(-4-\frac{1}{2}x\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-4-\frac{1}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-x+\frac{2}{5}·\left(-4-\frac{1}{2}x\right)$	=	$\frac{28}{5}$
$-x-\frac{8}{5}-\frac{1}{5}x$	=	$\frac{28}{5}$
$-\frac{6}{5}x-\frac{8}{5}$	=	$\frac{28}{5}$	|⋅ 5
$5\left(-\frac{6}{5}x-\frac{8}{5}\right)$	=	$28$
$-6x-8$	=	$28$	| $+8$
$-6x$	=	$36$	|:($-6$)
$x$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-4-\frac{1}{2}\cdot \left(-6\right)$

= $-4+3$

= $-1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 1 und y = 5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x +3y = ?

1x +3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 1 und y = 5 einsetzen und ausrechnen:

2x +3y = 2 +15 = 17

1x +3y = 1 +15 = 16

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x +3y = 17

1x +3y = 16

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}2x& +2y& =& $ -4$& & & \text{(I)}\\ -3x& +3y& =& $ -24$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}2x& +2y& =& $ -4$& & & \text{(I)}\\ -3x& +3y& =& $ -24$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2x+2y$	=	$-4$
$2y+2x$	=	$-4$	| $-2x$
$2y$	=	$-4-2x$	|:$2$
$y$	=	$-2-x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-2-x\right)& & & \text{(I)}\\ -3x& +3y& =& $ -24$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-2-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x+3·\left(-2-x\right)$	=	$-24$
$-3x-6-3x$	=	$-24$
$-6x-6$	=	$-24$	| $+6$
$-6x$	=	$-18$	|:($-6$)
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-2-3$

= $-5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-5)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 2 Stunden wandern. Danach hat sie 2 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 540 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 6 Stunden wandern und hat 3 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 1710 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}2x& -2y& =& $ 540$& & & \text{(I)}\\ 6x& -3y& =& $ 1710$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2x-2y$	=	$540$
$-2y+2x$	=	$540$	| $-2x$
$-2y$	=	$540-2x$	|:($-2$)
$y$	=	$-270+x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-270+x\right)& & & \text{(I)}\\ 6x& -3y& =& $ 1710$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-270+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6x-3·\left(-270+x\right)$	=	$1710$
$6x+810-3x$	=	$1710$
$3x+810$	=	$1710$	| $-810$
$3x$	=	$900$	|:$3$
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-270+300$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (300|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 30