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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-x+y$ = $-3$.

Bestimme y so, dass (-3|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -3 in die Gleichung ein und erhält:

$-\left(-3\right)+y$ = $-3$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$-\left(-3\right)+y$	=	$-3$
$3+y$	=	$-3$
$y+3$	=	$-3$	| $-3$
$y$	=	$-6$

Die Lösung ist somit: (-3|-6)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x+y$ = $-7$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-4|-3)
denn 1⋅( - 4 ) +1⋅( - 3 ) = -4 -3 = $-7$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-3|-4)
denn 1⋅( - 3 ) +1⋅( - 4 ) = -3 -4 = $-7$

Oder : (-5|-2)
denn 1⋅( - 5 ) +1⋅( - 2 ) = -5 -2 = $-7$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-2x& -y& =& $ -8$& & & \text{(I)}\\ & +2y& =& $ -8$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-2x& -y& =& $ -8$& & & \text{(I)}\\ & +2y& =& $ -8$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$2y$	=	$-8$	|:$2$
$y$	=	$-4$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-2x& -y& =& $ -8$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& $ -4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $-4$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x-1·\left(-4\right)$	=	$-8$
$-2x+4$	=	$-8$	| $-4$
$-2x$	=	$-12$	|:($-2$)
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $-4$

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-x& +2y& =& $ 4$& & & \text{(I)}\\ x& +4y& =& $ 26$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-x& +2y& =& $ 4$& & & \text{(I)}\\ x& +4y& =& $ 26$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+4y$	=	$26$	| $-4y$
$x$	=	$26-4y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-x& +2y& =& $ 4$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(26-4y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $26-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-1·\left(26-4y\right)+2y$	=	$4$
$-26+4y+2y$	=	$4$
$6y-26$	=	$4$	| $+26$
$6y$	=	$30$	|:$6$
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $26-4\cdot 5$

= $26-20$

= $6$

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-5x& +3y& =& $ -5$& & & \text{(I)}\\ -x& -5y& =& $ -29$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-5x& +3y& =& $ -5$& & & \text{(I)}\\ -x& -5y& =& $ -29$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$-x-5y$	=	$-29$	| $+5y$
$-x$	=	$-29+5y$	|:($-1$)
$x$	=	$29-5y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-5x& +3y& =& $ -5$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(29-5y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $29-5y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-5·\left(29-5y\right)+3y$	=	$-5$
$-145+25y+3y$	=	$-5$
$28y-145$	=	$-5$	| $+145$
$28y$	=	$140$	|:$28$
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $29-5\cdot 5$

= $29-25$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$2\left(x-2y\right)+5$	=	$-21$			(I)
$31-4y$	=	$-3x$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$2\left(x-2y\right)+5$	=	$-21$			(I)
$31-4y$	=	$-3x$			(II)

$2x+5-4y$	=	$-21$	| $-5$		(I)
$31-4y$	=	$-3x$	| $-31+3x$		(II)

$\begin{array}{ccccccc}2x& -4y& =& $ -26$& & & \text{(I)}\\ 3x& -4y& =& $ -31$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2x-4y$	=	$-26$
$-4y+2x$	=	$-26$	| $-2x$
$-4y$	=	$-26-2x$	|:($-4$)
$y$	=	$\frac{13}{2}+\frac{1}{2}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(\frac{13}{2}+\frac{1}{2}x\right)& & & \text{(I)}\\ 3x& -4y& =& $ -31$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{13}{2}+\frac{1}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x-4·\left(\frac{13}{2}+\frac{1}{2}x\right)$	=	$-31$
$3x-26-2x$	=	$-31$
$x-26$	=	$-31$	| $+26$
$x$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{13}{2}+\frac{1}{2}\cdot \left(-5\right)$

= $\frac{13}{2}-\frac{5}{2}$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -2 und y = -4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-1x -4y = ?

-2x -6y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:

-1x -4y = 2 +16 = 18

-2x -6y = 4 +24 = 28

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-1x -4y = 18

-2x -6y = 28

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}-4x& -4y& =& $ 6$& & & \text{(I)}\\ 2x& +2y& =& $ -3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-4x& -4y& =& $ 6$& & & \text{(I)}\\ 2x& +2y& =& $ -3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$-4x-4y$	=	$6$
$-4y-4x$	=	$6$	| $+4x$
$-4y$	=	$6+4x$	|:($-4$)
$y$	=	$-\frac{3}{2}-x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-\frac{3}{2}-x\right)& & & \text{(I)}\\ 2x& +2y& =& $ -3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{3}{2}-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x+2·\left(-\frac{3}{2}-x\right)$	=	$-3$
$2x-3-2x$	=	$-3$
$-3$	=	$-3$	| $+3$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 3-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 13. Wenn man aber vom 2-fachen von x 3 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -1. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& +3y& =& $ 13$& & & \text{(I)}\\ 2x& -3y& =& $ -1$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+3y$	=	$13$	| $-3y$
$x$	=	$13-3y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(13-3y\right)& & & \text{(I)}\\ 2x& -3y& =& $ -1$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $13-3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(13-3y\right)-3y$	=	$-1$
$26-6y-3y$	=	$-1$
$-9y+26$	=	$-1$	| $-26$
$-9y$	=	$-27$	|:($-9$)
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $13-3\cdot 3$

= $13-9$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|3)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 4

y (y-Wert): 3