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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-2x+3y$ = $-19$.

Bestimme x so, dass (x|-5) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -5 in die Gleichung ein und erhält:

$-2x+3\cdot \left(-5\right)$ = $-19$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$-2x+3\cdot \left(-5\right)$	=	$-19$
$-2x-15$	=	$-19$	| $+15$
$-2x$	=	$-4$	|:($-2$)
$x$	=	$2$

Die Lösung ist somit: (2|-5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2x+5y$ = $21$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (3|3)
denn 2⋅3 +5⋅3 = 6 +15 = $21$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (8|1)
denn 2⋅8 +5⋅1 = 16 +5 = $21$

Oder : (-2|5)
denn 2⋅( - 2 ) +5⋅5 = -4 +25 = $21$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-x& +4y& =& $ 4$& & & \text{(I)}\\ & +2y& =& $ 4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-x& +4y& =& $ 4$& & & \text{(I)}\\ & +2y& =& $ 4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$2y$	=	$4$	|:$2$
$y$	=	$2$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-x& +4y& =& $ 4$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& $ 2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $2$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-x+4·2$	=	$4$
$-x+8$	=	$4$	| $-8$
$-x$	=	$-4$	|:($-1$)
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $2$

Die Lösung des LGS ist damit: (4|2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& -2y& =& $ 0$& & & \text{(I)}\\ 3x& +y& =& $ 7$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}x& -2y& =& $ 0$& & & \text{(I)}\\ 3x& +y& =& $ 7$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$3x+y$	=	$7$
$y+3x$	=	$7$	| $-3x$
$y$	=	$7-3x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& -2y& =& $ 0$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& \left(7-3x\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $7-3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x-2·\left(7-3x\right)$	=	0
$x-14+6x$	=	0
$7x-14$	=	0	| $+14$
$7x$	=	$14$	|:$7$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $7-3\cdot 2$

= $7-6$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (2|1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-5x& -4y& =& $ 9$& & & \text{(I)}\\ 4x& -3y& =& $ 30$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-5x& -4y& =& $ 9$& & & \text{(I)}\\ 4x& -3y& =& $ 30$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$-5x-4y$	=	$9$
$-4y-5x$	=	$9$	| $+5x$
$-4y$	=	$9+5x$	|:($-4$)
$y$	=	$-\frac{9}{4}-\frac{5}{4}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-\frac{9}{4}-\frac{5}{4}x\right)& & & \text{(I)}\\ 4x& -3y& =& $ 30$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{9}{4}-\frac{5}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x-3·\left(-\frac{9}{4}-\frac{5}{4}x\right)$	=	$30$
$4x+\frac{27}{4}+\frac{15}{4}x$	=	$30$
$\frac{31}{4}x+\frac{27}{4}$	=	$30$	|⋅ 4
$4\left(\frac{31}{4}x+\frac{27}{4}\right)$	=	$120$
$31x+27$	=	$120$	| $-27$
$31x$	=	$93$	|:$31$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{9}{4}-\frac{5}{4}\cdot 3$

= $-\frac{9}{4}-\frac{15}{4}$

= $-6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-6)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$6$	=	$x-2y$			(I)
$-x$	=	$2(9+y)$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$6$	=	$x-2y$			(I)
$-x$	=	$2(9+y)$			(II)

$6$	=	$x-2y$	| $-6-x+2y$		(I)
$-x$	=	$18+2y$	| $-2y$		(II)

$\begin{array}{ccccccc}-x& +2y& =& $ -6$& & & \text{(I)}\\ -x& -2y& =& $ 18$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$-x-2y$	=	$18$	| $+2y$
$-x$	=	$18+2y$	|:($-1$)
$x$	=	$-18-2y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-x& +2y& =& $ -6$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(-18-2y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-18-2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-1·\left(-18-2y\right)+2y$	=	$-6$
$18+2y+2y$	=	$-6$
$4y+18$	=	$-6$	| $-18$
$4y$	=	$-24$	|:$4$
$y$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-18-2\cdot \left(-6\right)$

= $-18+12$

= $-6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-6)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -4 und y = 3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-1x +4y = ?

3x -10y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = 3 einsetzen und ausrechnen:

-1x +4y = 4 +12 = 16

3x -10y = -12 -30 = -42

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-1x +4y = 16

3x -10y = -42

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}-x& +4y& =& $ 1$& & & \text{(I)}\\ 3x& -12y& =& $ -1$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-x& +4y& =& $ 1$& & & \text{(I)}\\ 3x& -12y& =& $ -1$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$-x+4y$	=	$1$	| $-4y$
$-x$	=	$1-4y$	|:($-1$)
$x$	=	$-1+4y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(-1+4y\right)& & & \text{(I)}\\ 3x& -12y& =& $ -1$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $-1+4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(-1+4y\right)-12y$	=	$-1$
$-3+12y-12y$	=	$-1$
$-3$	=	$-1$	| $+3$
0	=	$2$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 5-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 8. Wenn man aber vom 4-fachen von x 6 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 6. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& +5y& =& $ 8$& & & \text{(I)}\\ 4x& -6y& =& $ 6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+5y$	=	$8$	| $-5y$
$x$	=	$8-5y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(8-5y\right)& & & \text{(I)}\\ 4x& -6y& =& $ 6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $8-5y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4·\left(8-5y\right)-6y$	=	$6$
$32-20y-6y$	=	$6$
$-26y+32$	=	$6$	| $-32$
$-26y$	=	$-26$	|:($-26$)
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $8-5\cdot 1$

= $8-5$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|1)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 3

y (y-Wert): 1