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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x + 2 y$ = $2$ .

Bestimme y so, dass (1|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 1 in die Gleichung ein und erhält:

$4 \cdot 1 + 2 y$ = $2$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$4 \cdot 1 + 2 y$	=	$2$
$4 + 2 y$	=	$2$
$2 y + 4$	=	$2$	\| $- 4$
$2 y$	=	$- 2$	\|: $2$
$y$	=	$- 1$

Die Lösung ist somit: (1|-1)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x + 3 y$ = $17$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (7|1)
denn 2⋅7 +3⋅1 = 14 +3 = $17$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (10|-1)
denn 2⋅10 +3⋅( - 1 ) = 20 -3 = $17$

Oder : (4|3)
denn 2⋅4 +3⋅3 = 8 +9 = $17$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & = & 2 & (I) \\ - x & - y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & = & 2 & (I) \\ - x & - y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$2 x$	=	$2$	\|: $2$
$x$	=	$1$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & 1 & (I) \\ - x & - y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $1$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 1 \cdot 1 - y$	=	$5$
$- 1 - y$	=	$5$
$- y - 1$	=	$5$	\| $+ 1$
$- y$	=	$6$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $1$

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - 3 y & = & 12 & (I) \\ x & - 3 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - 3 y & = & 12 & (I) \\ x & - 3 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 3 y$	=	0	\| $+ 3 y$
$x$	=	$3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & - 3 y & = & 12 & (I) \\ x & = & 3 y & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $3 y$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot 3 y - 3 y$	=	$12$
$9 y - 3 y$	=	$12$
$6 y$	=	$12$	\|: $6$
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $3 \cdot 2$

= $6$

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - 2 y & = & - 17 & (I) \\ 5 x & - 3 y & = & - 28 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - 2 y & = & - 17 & (I) \\ 5 x & - 3 y & = & - 28 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x - 2 y$	=	$- 17$
$- 2 y + 3 x$	=	$- 17$	\| $- 3 x$
$- 2 y$	=	$- 17 - 3 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$\frac{17}{2} + \frac{3}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{17}{2} + \frac{3}{2} x) & (I) \\ 5 x & - 3 y & = & - 28 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{17}{2} + \frac{3}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x - 3 \cdot (\frac{17}{2} + \frac{3}{2} x)$	=	$- 28$
$5 x - \frac{51}{2} - \frac{9}{2} x$	=	$- 28$
$\frac{1}{2} x - \frac{51}{2}$	=	$- 28$	\|⋅ 2
$2 (\frac{1}{2} x - \frac{51}{2})$	=	$- 56$
$x - 51$	=	$- 56$	\| $+ 51$
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{17}{2} + \frac{3}{2} \cdot (- 5)$

= $\frac{17}{2} - \frac{15}{2}$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + \frac{3}{5} y & = & \frac{78}{5} & (I) \\ - \frac{2}{5} x & + \frac{1}{2} y & = & \frac{2}{5} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + \frac{3}{5} y & = & \frac{78}{5} & (I) \\ - \frac{2}{5} x & + \frac{1}{2} y & = & \frac{2}{5} & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 3 x + \frac{3}{5} y$	=	$\frac{78}{5}$
$\frac{3}{5} y - 3 x$	=	$\frac{78}{5}$	\|⋅ 5
$5 (\frac{3}{5} y - 3 x)$	=	$78$
$3 y - 15 x$	=	$78$	\| $+ 15 x$
$3 y$	=	$78 + 15 x$	\|: $3$
$y$	=	$26 + 5 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (26 + 5 x) & (I) \\ - \frac{2}{5} x & + \frac{1}{2} y & = & \frac{2}{5} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $26 + 5 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- \frac{2}{5} x + \frac{1}{2} \cdot (26 + 5 x)$	=	$\frac{2}{5}$
$- \frac{2}{5} x + 13 + \frac{5}{2} x$	=	$\frac{2}{5}$
$\frac{21}{10} x + 13$	=	$\frac{2}{5}$	\|⋅ 10
$10 (\frac{21}{10} x + 13)$	=	$4$
$21 x + 130$	=	$4$	\| $- 130$
$21 x$	=	$- 126$	\|: $21$
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $26 + 5 \cdot (- 6)$

= $26 - 30$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -1 und y = -4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x +3y = ?

-1x +4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:

-4x +3y = 4 -12 = -8

-1x +4y = 1 -16 = -15

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x +3y = -8

-1x +4y = -15

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & 10 & (I) \\ 3 x & - 2 y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & 10 & (I) \\ 3 x & - 2 y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 3 y$	=	$10$	\| $+ 3 y$
$- x$	=	$10 + 3 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 10 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 10 - 3 y) & (I) \\ 3 x & - 2 y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 10 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (- 10 - 3 y) - 2 y$	=	$14$
$- 30 - 9 y - 2 y$	=	$14$
$- 11 y - 30$	=	$14$	\| $+ 30$
$- 11 y$	=	$44$	\|:( $- 11$ )
$y$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 10 - 3 \cdot (- 4)$

= $- 10 + 12$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-4)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 5-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 10. Wenn man aber vom 3-fachen von x 4 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 11. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 5 y & = & 10 & (I) \\ 3 x & - 4 y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 5 y$	=	$10$	\| $- 5 y$
$x$	=	$10 - 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (10 - 5 y) & (I) \\ 3 x & - 4 y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $10 - 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (10 - 5 y) - 4 y$	=	$11$
$30 - 15 y - 4 y$	=	$11$
$- 19 y + 30$	=	$11$	\| $- 30$
$- 19 y$	=	$- 19$	\|:( $- 19$ )
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $10 - 5 \cdot 1$

= $10 - 5$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|1)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 5

y (y-Wert): 1

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Wert zum Einsetzen finden

Wert zum Einsetzen finden (offen)

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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LGS (Standard)

LGS (vorher umformen)

LGS zu Lösungen finden

LGS Lösungsvielfalt erkennen

LGS Anwendungen