Sammelkorb: 
Klasse 5
- Klasse 6
- Klasse 7
Klasse 8
- Klasse 9
- Klasse 10
- Fit für die Oberstufe
nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen
Wert zum Einsetzen finden
Beispiel:
Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: = .
Bestimme x so, dass (x|-3) eine Lösung dieser Gleichung ist.
Man setzt einfach y = -3 in die Gleichung ein und erhält:
=
Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:
| = | |||
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = |
Die Lösung ist somit: (1|-3)
Wert zum Einsetzen finden (offen)
Beispiel:
Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: = .
Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.
Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (0|-6)
denn
-2⋅
Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-5|-4)
denn -2⋅
Oder : (5|-8)
denn -2⋅
LGS (1 Var. schon aufgelöst)
Beispiel:
Löse das lineare Gleichungssystem:
Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:
| = | |: | ||
| = |
Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ersetzen und dann nach y auflösen:
| = | |||
| = | |||
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = |
Somit haben wir eine Lösung für y.
Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x =
Die Lösung des LGS ist damit: (2|6)
LGS (1 Var. ohne Koeff.)
Beispiel:
Löse das lineare Gleichungssystem:
Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:
| = | | | ||
| = |
Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ersetzen und dann nach y auflösen:
| = | |||
| = | |||
| = | |:() | ||
| = |
Somit haben wir eine Lösung für y.
Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:
x =
=
also
x = -2
Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-1)
LGS (Standard)
Beispiel:
Löse das lineare Gleichungssystem:
Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:
| = | |||
| = | | | ||
| = | |:() | ||
| = |
Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( ) ersetzen und dann nach x auflösen:
| = | |||
| = | |||
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = |
Somit haben wir eine Lösung für x.
Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:
y =
=
also
y = 0
Die Lösung des LGS ist damit: (1|0)
LGS (vorher umformen)
Beispiel:
Löse das lineare Gleichungssystem:
| = | (I) | ||||
| = | (II) |
Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:
| = | (I) | ||||
| = | (II) |
| = | | + | (I) | |||
| = | | + | (II) |
Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:
| = | |||
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = |
Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( ) ersetzen und dann nach x auflösen:
| = | |||
| = | |||
| = | |⋅ 3 | ||
| = | |||
| = | | | ||
| = | |:() | ||
| = |
Somit haben wir eine Lösung für x.
Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:
y =
=
=
also
y = 2
Die Lösung des LGS ist damit: (-5|2)
LGS zu Lösungen finden
Beispiel:
Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -2 und y = -1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.
Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:
-5x
-6x
Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:
-5x
-6x
So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:
-5x
-6x
LGS Lösungsvielfalt erkennen
Beispiel:
Bestimme die Lösungsmenge:
Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:
| = | |||
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = |
Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( ) ersetzen und dann nach x auflösen:
| = | |||
| = | |||
| = | | | ||
| = |
Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!
Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.
LGS Anwendungen
Beispiel:
Carola war 3 Stunden wandern. Danach hat sie 4 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 700 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 6 Stunden wandern und hat 4 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 1600 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?
Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und
Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:
Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:
| = | |||
| = | | | ||
| = | |:() | ||
| = |
Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( ) ersetzen und dann nach x auflösen:
| = | |||
| = | |||
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = |
Somit haben wir eine Lösung für x.
Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:
y =
=
=
also
y = 50
Die Lösung des LGS ist damit: (300|50)
Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:
kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300
kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 50