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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5x-4y$ = $-11$.

Bestimme y so, dass (-7|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -7 in die Gleichung ein und erhält:

$5\cdot \left(-7\right)-4y$ = $-11$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$5\cdot \left(-7\right)-4y$	=	$-11$
$-35-4y$	=	$-11$
$-4y-35$	=	$-11$	| $+35$
$-4y$	=	$24$	|:($-4$)
$y$	=	$-6$

Die Lösung ist somit: (-7|-6)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x-y$ = $1$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (0|-1)
denn 1⋅0 -1⋅( - 1 ) = 0 +1 = $1$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-1|-2)
denn 1⋅( - 1 ) -1⋅( - 2 ) = -1 +2 = $1$

Oder : (1|0)
denn 1⋅1 -1⋅0 = 1 +0 = $1$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}3x& & =& $ -18$& & & \text{(I)}\\ -3x& +y& =& $ 15$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}3x& & =& $ -18$& & & \text{(I)}\\ -3x& +y& =& $ 15$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$3x$	=	$-18$	|:$3$
$x$	=	$-6$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& $ -6$& & & \text{(I)}\\ -3x& +y& =& $ 15$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $-6$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·\left(-6\right)+y$	=	$15$
$18+y$	=	$15$
$y+18$	=	$15$	| $-18$
$y$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $-6$

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& +2y& =& $ 11$& & & \text{(I)}\\ x& -2y& =& $ -1$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}x& +2y& =& $ 11$& & & \text{(I)}\\ x& -2y& =& $ -1$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x-2y$	=	$-1$	| $+2y$
$x$	=	$-1+2y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& +2y& =& $ 11$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(-1+2y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-1+2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1·\left(-1+2y\right)+2y$	=	$11$
$-1+2y+2y$	=	$11$
$4y-1$	=	$11$	| $+1$
$4y$	=	$12$	|:$4$
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-1+2\cdot 3$

= $-1+6$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}4x& -y& =& $ 4$& & & \text{(I)}\\ -x& -3y& =& $ -14$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}4x& -y& =& $ 4$& & & \text{(I)}\\ -x& -3y& =& $ -14$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$-x-3y$	=	$-14$	| $+3y$
$-x$	=	$-14+3y$	|:($-1$)
$x$	=	$14-3y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}4x& -y& =& $ 4$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(14-3y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $14-3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4·\left(14-3y\right)-y$	=	$4$
$56-12y-y$	=	$4$
$-13y+56$	=	$4$	| $-56$
$-13y$	=	$-52$	|:($-13$)
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $14-3\cdot 4$

= $14-12$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$3\left(x+4\right)-y$	=	$-4y$			(I)
$-5y$	=	$x$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$3\left(x+4\right)-y$	=	$-4y$			(I)
$-5y$	=	$x$			(II)

$3x+12-y$	=	$-4y$	| $-12+4y$		(I)
$-5y$	=	$x$	| $-x$		(II)

$\begin{array}{ccccccc}3x& +3y& =& $ -12$& & & \text{(I)}\\ -x& -5y& =& $ 0$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$-x-5y$	=	0	| $+5y$
$-x$	=	$5y$	|:($-1$)
$x$	=	$-5y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}3x& +3y& =& $ -12$& & & \text{(I)}\\ x& & =& -5y& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $-5y$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(-5y\right)+3y$	=	$-12$
$-15y+3y$	=	$-12$
$-12y$	=	$-12$	|:($-12$)
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-5\cdot 1$

= $-5$

also

x = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 1 und y = -5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x +5y = ?

-1x -4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 1 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:

2x +5y = 2 -25 = -23

-1x -4y = -1 +20 = 19

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x +5y = -23

-1x -4y = 19

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}-x& +2y& =& $ 1$& & & \text{(I)}\\ 3x& -6y& =& $ 0$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-x& +2y& =& $ 1$& & & \text{(I)}\\ 3x& -6y& =& $ 0$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$-x+2y$	=	$1$	| $-2y$
$-x$	=	$1-2y$	|:($-1$)
$x$	=	$-1+2y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(-1+2y\right)& & & \text{(I)}\\ 3x& -6y& =& $ 0$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $-1+2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(-1+2y\right)-6y$	=	0
$-3+6y-6y$	=	0
$-3$	=	0	| $+3$
0	=	$3$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 2 Stunden wandern. Danach hat sie 5 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 400 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 4 Stunden wandern und hat 4 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 1040 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}2x& -5y& =& $ 400$& & & \text{(I)}\\ 4x& -4y& =& $ 1040$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2x-5y$	=	$400$
$-5y+2x$	=	$400$	| $-2x$
$-5y$	=	$400-2x$	|:($-5$)
$y$	=	$-80+\frac{2}{5}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-80+\frac{2}{5}x\right)& & & \text{(I)}\\ 4x& -4y& =& $ 1040$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-80+\frac{2}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x-4·\left(-80+\frac{2}{5}x\right)$	=	$1040$
$4x+320-\frac{8}{5}x$	=	$1040$
$\frac{12}{5}x+320$	=	$1040$	|⋅ 5
$5\left(\frac{12}{5}x+320\right)$	=	$5200$
$12x+1600$	=	$5200$	| $-1600$
$12x$	=	$3600$	|:$12$
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-80+\frac{2}{5}\cdot 300$

= $-80+120$

= $40$

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (300|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 40