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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3x+2y$ = $-10$.

Bestimme x so, dass (x|-5) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -5 in die Gleichung ein und erhält:

$3x+2\cdot \left(-5\right)$ = $-10$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$3x+2\cdot \left(-5\right)$	=	$-10$
$3x-10$	=	$-10$	| $+10$
$3x$	=	0	|:$3$
$x$	=	0

Die Lösung ist somit: (0|-5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x+5y$ = $32$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (2|6)
denn 1⋅2 +5⋅6 = 2 +30 = $32$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (7|5)
denn 1⋅7 +5⋅5 = 7 +25 = $32$

Oder : (-3|7)
denn 1⋅( - 3 ) +5⋅7 = -3 +35 = $32$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& $ 4$& & & \text{(I)}\\ 4x& -4y& =& $ 32$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung ja schon das x gegeben ist.

x = $4$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$4·4-4y$	=	$32$
$16-4y$	=	$32$
$-4y+16$	=	$32$	| $-16$
$-4y$	=	$16$	|:($-4$)
$y$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $4$

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& -3y& =& $ 1$& & & \text{(I)}\\ 3x& -4y& =& $ 8$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}x& -3y& =& $ 1$& & & \text{(I)}\\ 3x& -4y& =& $ 8$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x-3y$	=	$1$	| $+3y$
$x$	=	$1+3y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(1+3y\right)& & & \text{(I)}\\ 3x& -4y& =& $ 8$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $1+3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(1+3y\right)-4y$	=	$8$
$3+9y-4y$	=	$8$
$5y+3$	=	$8$	| $-3$
$5y$	=	$5$	|:$5$
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $1+3\cdot 1$

= $1+3$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-5x& +3y& =& $ -8$& & & \text{(I)}\\ -3x& -3y& =& $ 24$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-5x& +3y& =& $ -8$& & & \text{(I)}\\ -3x& -3y& =& $ 24$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$-5x+3y$	=	$-8$
$3y-5x$	=	$-8$	| $+5x$
$3y$	=	$-8+5x$	|:$3$
$y$	=	$-\frac{8}{3}+\frac{5}{3}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-\frac{8}{3}+\frac{5}{3}x\right)& & & \text{(I)}\\ -3x& -3y& =& $ 24$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{8}{3}+\frac{5}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x-3·\left(-\frac{8}{3}+\frac{5}{3}x\right)$	=	$24$
$-3x+8-5x$	=	$24$
$-8x+8$	=	$24$	| $-8$
$-8x$	=	$16$	|:($-8$)
$x$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{8}{3}+\frac{5}{3}\cdot \left(-2\right)$

= $-\frac{8}{3}-\frac{10}{3}$

= $-6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-6)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& -2y& =& $ -14$& & & \text{(I)}\\ 3x& -\frac{3}{5}y& =& $ -15$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}x& -2y& =& $ -14$& & & \text{(I)}\\ 3x& -\frac{3}{5}y& =& $ -15$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x-2y$	=	$-14$	| $+2y$
$x$	=	$-14+2y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(-14+2y\right)& & & \text{(I)}\\ 3x& -\frac{3}{5}y& =& $ -15$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $-14+2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(-14+2y\right)-\frac{3}{5}y$	=	$-15$
$-42+6y-\frac{3}{5}y$	=	$-15$
$\frac{27}{5}y-42$	=	$-15$	|⋅ 5
$5\left(\frac{27}{5}y-42\right)$	=	$-75$
$27y-210$	=	$-75$	| $+210$
$27y$	=	$135$	|:$27$
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $-14+2\cdot 5$

= $-14+10$

= $-4$

also

x = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 3 und y = -1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

1x -4y = ?

4x -19y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 3 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

1x -4y = 3 +4 = 7

4x -19y = 12 +19 = 31

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

1x -4y = 7

4x -19y = 31

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}x& +4y& =& $ -1$& & & \text{(I)}\\ -3x& -12y& =& $ 3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}x& +4y& =& $ -1$& & & \text{(I)}\\ -3x& -12y& =& $ 3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+4y$	=	$-1$	| $-4y$
$x$	=	$-1-4y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(-1-4y\right)& & & \text{(I)}\\ -3x& -12y& =& $ 3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $-1-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·\left(-1-4y\right)-12y$	=	$3$
$3+12y-12y$	=	$3$
$3$	=	$3$	| $-3$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von y gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 2-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 10. Wenn man aber vom 4-fachen von x 7 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -5. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& +2y& =& $ 10$& & & \text{(I)}\\ 4x& -7y& =& $ -5$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+2y$	=	$10$	| $-2y$
$x$	=	$10-2y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(10-2y\right)& & & \text{(I)}\\ 4x& -7y& =& $ -5$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $10-2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4·\left(10-2y\right)-7y$	=	$-5$
$40-8y-7y$	=	$-5$
$-15y+40$	=	$-5$	| $-40$
$-15y$	=	$-45$	|:($-15$)
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $10-2\cdot 3$

= $10-6$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|3)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 4

y (y-Wert): 3