• Klasse 5
  • Daten
  • Natürliche Zahlen
    • Zahlenstrahl
    • Große Zahlen im Zehnersystem
    • Runden von Zahlen
    • Zahlensysteme
    • Grundrechenarten
      • Kopfrechnen
      • Schriftlich
    • Rechenregeln
      • Klammern
      • Punkt vor Strich
      • Rechenreihenfolge
      • Potenzen
      • Ausmultiplizieren, Ausklammern
  • Geometrie
    • Koordinatensystem
    • Abstände
    • Symmetrische Figuren
    • Vierecke
    • Kreis
    • Winkel
    • Flächen
  • Sachrechnen
    • Geld
    • Zeit
    • Gewicht
    • Länge
    • Maßstab
• Klasse 6
  • Brüche und Bruchrechnen
    • Teilbarkeit
    • Bruchverständnis
    • Erweitern und Kürzen
    • Brüche vergleichen und ordnen
    • Brüche und Größen
    • Addieren und Subtrahieren
    • Multiplizieren
    • Dividieren
    • Punkt vor Strich. Klammern
  • Dezimalzahlen
    • Dezimalschreibweise
    • Vergleichen und Ordnen
    • Runden
    • Wechsel der Darstellung
    • Addieren und Subtrahieren
    • Multiplizieren und Dividieren
    • Verbindung der Rechenarten
  • Terme und Gleichungen
    • Terme mit Variablen
    • Gleichungen
  • Zuordnungen
    • proportionale Zuordnung
    • Dreisatz
  • Rationale Zahlen
    • Zahlenstrahl
    • vergleichen und ordnen
    • Zunahme und Abnahme
    • Koordinatensystem
  • Geometrie
    • Körper
  • Daten
• Klasse 7
  • Rationale Zahlen
    • vergleichen und ordnen
    • Strichrechnung
    • Punktrechnung
    • Rechenregeln
    • Zahlterme
    • Kombi-Aufgaben
    • negative Brüche
  • Geometrie
    • Winkel
      • an Parallelen
      • Winkelsumme
      • gleichschenkl. Dr.
      • Thaleskreis
    • Dreiecke konstruieren
    • In- und Umkreis
    • Vierecke
  • Algebra
    • Terme
    • lineare Gleichungen
  • Dreisatz, (anti)proportional
    • Antiproportionale Zuordnung
    • Proportionale Zuordnung
  • Prozentrechnung
    • Prozentsatz bestimmen
    • Prozentwert bestimmen
    • Grundwert bestimmen
  • Wahrscheinlichkeit / Daten
• Klasse 8
  • Terme
    • Ausmultiplizieren, Ausklammern
    • Binomische Formeln
    • Terme einsetzen
    • Terme aufstellen
    • Terme vereinfachen
  • Bruchgleichungen
  • Geometrie
    • Umfang und Flächeninhalt
    • Körper
  • Lineare Funktionen
  • LGS
  • Prozent- und Zinsrechnung
    • Prozentsatz, -wert, Grundwert
    • Vermehrter / verminderter Grundwert
    • Zinsrechnen (Zinseszinsen)
  • Daten / Boxplots
• Klasse 9
  • Algebra
    • Potenzen
    • Wurzeln
      • Quadratwurzeln ohne WTR
      • Rechnen mit Quadratwurzeln
        • Teilweises Wurzelziehen
      • Kubikwurzel
    • Quadratische Gleichungen
      • Bruchgleichungen
      • rein quadratische Gleichungen
      • gemischt quadratische Gleichungen
        • Nullprodukt
        • Lösungsformel
        • quadratische Ergänzung
      • Ungleichungen
      • Wurzelgleichungen
    • lineare Bruchgleichungen
  • Geometrie
    • Ähnlichkeit u. zentrische Streckung
    • Stahlensätze
      • 1. Strahlensatz
      • 2. Strahlensatz
    • Satz des Pythagoras
      • Grundaufgaben
      • in ebenen Figuren
      • in Körpern
    • Kreise
      • Umfang und Fläche
      • Kreisausschnitte
      • Anwendungen
    • Körper
      • Prismen
      • Zylinder
      • Pyramiden
  • Lineare und quadratische Funktionen
    • Lineare Funktionen
    • Quadratische Funktionen
      • Normalparabel
      • Streckung
      • Scheitelform
      • Nullstellen, Schnittpunkte
      • Modellieren
  • Zufall und Wahrscheinlichkeit
    • Kombinatorik
    • Einstufige Zufallsexperimente
• Klasse 10
  • Trigonometrie
    • am rechtwinkligen Dreieck
    • am allgemeinen Dreieck
    • Anwendungen
    • im Raum
    • am Einheitskreis
    • Bogenmaß/Funktionen
  • Algebra
    • Zehnerpotenzen
    • Potenzgesetze
    • Potenzen mit rationalen Hochzahlen
    • Exponentialrechnung
      • Zinsen, Zinseszinsen
      • Exponentielle(s) Wachstum / Abnahme
      • Logarithmus
  • Geometrie
    • Kegel
    • Kugel
    • Zusammengesetzte Körper
  • Zufall und Wahrscheinlichkeit
    • Erwartungswert
    • Zufallsexperimente mit Zurücklegen
    • Zufallsexperimente ohne Zurücklegen
• Fit für die Oberstufe
  • Potenzfunktionen
  • Exponentialfunktion
  • Vier-Felder-Tafel

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-5x-y$ = $-33$.

Bestimme y so, dass (7|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 7 in die Gleichung ein und erhält:

$-5\cdot 7-y$ = $-33$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$-5\cdot 7-y$	=	$-33$
$-35-y$	=	$-33$
$-y-35$	=	$-33$	| $+35$
$-y$	=	$2$	|:($-1$)
$y$	=	$-2$

Die Lösung ist somit: (7|-2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5x+3y$ = $26$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (4|2)
denn 5⋅4 +3⋅2 = 20 +6 = $26$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (7|-3)
denn 5⋅7 +3⋅( - 3 ) = 35 -9 = $26$

Oder : (1|7)
denn 5⋅1 +3⋅7 = 5 +21 = $26$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}2x& & =& $ 6$& & & \text{(I)}\\ x& -3y& =& $ -15$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}2x& & =& $ 6$& & & \text{(I)}\\ x& -3y& =& $ -15$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$2x$	=	$6$	|:$2$
$x$	=	$3$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& $ 3$& & & \text{(I)}\\ x& -3y& =& $ -15$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $3$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$1·3-3y$	=	$-15$
$3-3y$	=	$-15$
$-3y+3$	=	$-15$	| $-3$
$-3y$	=	$-18$	|:($-3$)
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $3$

Die Lösung des LGS ist damit: (3|6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}2x& +y& =& $ -2$& & & \text{(I)}\\ -2x& -3y& =& $ -10$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}2x& +y& =& $ -2$& & & \text{(I)}\\ -2x& -3y& =& $ -10$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$2x+y$	=	$-2$
$y+2x$	=	$-2$	| $-2x$
$y$	=	$-2-2x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-2-2x\right)& & & \text{(I)}\\ -2x& -3y& =& $ -10$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-2-2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x-3·\left(-2-2x\right)$	=	$-10$
$-2x+6+6x$	=	$-10$
$4x+6$	=	$-10$	| $-6$
$4x$	=	$-16$	|:$4$
$x$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-2-2\cdot \left(-4\right)$

= $-2+8$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|6)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& -2y& =& $ 9$& & & \text{(I)}\\ 2x& -y& =& $ 12$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}x& -2y& =& $ 9$& & & \text{(I)}\\ 2x& -y& =& $ 12$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$2x-y$	=	$12$
$-y+2x$	=	$12$	| $-2x$
$-y$	=	$12-2x$	|:($-1$)
$y$	=	$-12+2x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& -2y& =& $ 9$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& \left(-12+2x\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-12+2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x-2·\left(-12+2x\right)$	=	$9$
$x+24-4x$	=	$9$
$-3x+24$	=	$9$	| $-24$
$-3x$	=	$-15$	|:($-3$)
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-12+2\cdot 5$

= $-12+10$

= $-2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}\frac{2}{5}x& +\frac{1}{2}y& =& $ -\frac{27}{10}$& & & \text{(I)}\\ -\frac{2}{3}x& +\frac{2}{3}y& =& $ 0$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}\frac{2}{5}x& +\frac{1}{2}y& =& $ -\frac{27}{10}$& & & \text{(I)}\\ -\frac{2}{3}x& +\frac{2}{3}y& =& $ 0$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$\frac{2}{5}x+\frac{1}{2}y$	=	$-\frac{27}{10}$
$\frac{1}{2}y+\frac{2}{5}x$	=	$-\frac{27}{10}$	|⋅ 10
$10\left(\frac{1}{2}y+\frac{2}{5}x\right)$	=	$-27$
$5y+4x$	=	$-27$	| $-4x$
$5y$	=	$-27-4x$	|:$5$
$y$	=	$-\frac{27}{5}-\frac{4}{5}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-\frac{27}{5}-\frac{4}{5}x\right)& & & \text{(I)}\\ -\frac{2}{3}x& +\frac{2}{3}y& =& $ 0$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{27}{5}-\frac{4}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}·\left(-\frac{27}{5}-\frac{4}{5}x\right)$	=	0
$-\frac{2}{3}x-\frac{18}{5}-\frac{8}{15}x$	=	0
$-\frac{6}{5}x-\frac{18}{5}$	=	0	|⋅ 5
$5\left(-\frac{6}{5}x-\frac{18}{5}\right)$	=	0
$-6x-18$	=	0	| $+18$
$-6x$	=	$18$	|:($-6$)
$x$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{27}{5}-\frac{4}{5}\cdot \left(-3\right)$

= $-\frac{27}{5}+\frac{12}{5}$

= $-3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 1 und y = -2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x +2y = ?

-8x +4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 1 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

-5x +2y = -5 -4 = -9

-8x +4y = -8 -8 = -16

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x +2y = -9

-8x +4y = -16

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}-3x& -6y& =& $ 7$& & & \text{(I)}\\ x& +2y& =& $ -2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-3x& -6y& =& $ 7$& & & \text{(I)}\\ x& +2y& =& $ -2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+2y$	=	$-2$	| $-2y$
$x$	=	$-2-2y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-3x& -6y& =& $ 7$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(-2-2y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-2-2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·\left(-2-2y\right)-6y$	=	$7$
$6+6y-6y$	=	$7$
$6$	=	$7$	| $-6$
0	=	$1$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 3 Stunden wandern. Danach hat sie 4 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 310 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 7 Stunden wandern und hat 4 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 910 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}3x& -4y& =& $ 310$& & & \text{(I)}\\ 7x& -4y& =& $ 910$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3x-4y$	=	$310$
$-4y+3x$	=	$310$	| $-3x$
$-4y$	=	$310-3x$	|:($-4$)
$y$	=	$-\frac{155}{2}+\frac{3}{4}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-\frac{155}{2}+\frac{3}{4}x\right)& & & \text{(I)}\\ 7x& -4y& =& $ 910$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{155}{2}+\frac{3}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$7x-4·\left(-\frac{155}{2}+\frac{3}{4}x\right)$	=	$910$
$7x+310-3x$	=	$910$
$4x+310$	=	$910$	| $-310$
$4x$	=	$600$	|:$4$
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{155}{2}+\frac{3}{4}\cdot 150$

= $-\frac{155}{2}+\frac{225}{2}$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (150|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 35