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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-2x+2y$ = 0.

Bestimme x so, dass (x|-1) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -1 in die Gleichung ein und erhält:

$-2x+2\cdot \left(-1\right)$ = 0

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$-2x+2\cdot \left(-1\right)$	=	0
$-2x-2$	=	0	| $+2$
$-2x$	=	$2$	|:($-2$)
$x$	=	$-1$

Die Lösung ist somit: (-1|-1)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2x-2y$ = $4$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (4|2)
denn 2⋅4 -2⋅2 = 8 -4 = $4$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (2|0)
denn 2⋅2 -2⋅0 = 4 +0 = $4$

Oder : (6|4)
denn 2⋅6 -2⋅4 = 12 -8 = $4$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}& +4y& =& $ -8$& & & \text{(I)}\\ -3x& +3y& =& $ -24$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}& +4y& =& $ -8$& & & \text{(I)}\\ -3x& +3y& =& $ -24$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$4y$	=	$-8$	|:$4$
$y$	=	$-2$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& $ -2$& & & \text{(I)}\\ -3x& +3y& =& $ -24$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $-2$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x+3·\left(-2\right)$	=	$-24$
$-3x-6$	=	$-24$	| $+6$
$-3x$	=	$-18$	|:($-3$)
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $-2$

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-2x& +y& =& $ 8$& & & \text{(I)}\\ -3x& -4y& =& $ 23$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-2x& +y& =& $ 8$& & & \text{(I)}\\ -3x& -4y& =& $ 23$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$-2x+y$	=	$8$
$y-2x$	=	$8$	| $+2x$
$y$	=	$8+2x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(8+2x\right)& & & \text{(I)}\\ -3x& -4y& =& $ 23$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $8+2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x-4·\left(8+2x\right)$	=	$23$
$-3x-32-8x$	=	$23$
$-11x-32$	=	$23$	| $+32$
$-11x$	=	$55$	|:($-11$)
$x$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $8+2\cdot \left(-5\right)$

= $8-10$

= $-2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}2x& -3y& =& $ -6$& & & \text{(I)}\\ x& +2y& =& $ 4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}2x& -3y& =& $ -6$& & & \text{(I)}\\ x& +2y& =& $ 4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+2y$	=	$4$	| $-2y$
$x$	=	$4-2y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}2x& -3y& =& $ -6$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(4-2y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $4-2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(4-2y\right)-3y$	=	$-6$
$8-4y-3y$	=	$-6$
$-7y+8$	=	$-6$	| $-8$
$-7y$	=	$-14$	|:($-7$)
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $4-2\cdot 2$

= $4-4$

= 0

also

x = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (0|2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$-3x+5y$	=	$-8$			(I)
$-2x+5y$	=	$-8+3y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$-3x+5y$	=	$-8$			(I)
$-2x+5y$	=	$-8+3y$	| $-3y$		(II)

$\begin{array}{ccccccc}-3x& +5y& =& $ -8$& & & \text{(I)}\\ -2x& +2y& =& $ -8$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$-3x+5y$	=	$-8$
$5y-3x$	=	$-8$	| $+3x$
$5y$	=	$-8+3x$	|:$5$
$y$	=	$-\frac{8}{5}+\frac{3}{5}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-\frac{8}{5}+\frac{3}{5}x\right)& & & \text{(I)}\\ -2x& +2y& =& $ -8$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{8}{5}+\frac{3}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x+2·\left(-\frac{8}{5}+\frac{3}{5}x\right)$	=	$-8$
$-2x-\frac{16}{5}+\frac{6}{5}x$	=	$-8$
$-\frac{4}{5}x-\frac{16}{5}$	=	$-8$	|⋅ 5
$5\left(-\frac{4}{5}x-\frac{16}{5}\right)$	=	$-40$
$-4x-16$	=	$-40$	| $+16$
$-4x$	=	$-24$	|:($-4$)
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{8}{5}+\frac{3}{5}\cdot 6$

= $-\frac{8}{5}+\frac{18}{5}$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (6|2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -4 und y = -4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

1x -4y = ?

3x -13y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:

1x -4y = -4 +16 = 12

3x -13y = -12 +52 = 40

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

1x -4y = 12

3x -13y = 40

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}-x& +5y& =& $ 19$& & & \text{(I)}\\ 4x& -2y& =& $ -22$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-x& +5y& =& $ 19$& & & \text{(I)}\\ 4x& -2y& =& $ -22$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$-x+5y$	=	$19$	| $-5y$
$-x$	=	$19-5y$	|:($-1$)
$x$	=	$-19+5y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(-19+5y\right)& & & \text{(I)}\\ 4x& -2y& =& $ -22$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $-19+5y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4·\left(-19+5y\right)-2y$	=	$-22$
$-76+20y-2y$	=	$-22$
$18y-76$	=	$-22$	| $+76$
$18y$	=	$54$	|:$18$
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $-19+5\cdot 3$

= $-19+15$

= $-4$

also

x = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|3)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 4-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 6. Wenn man aber vom 5-fachen von x 5 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 5. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& +4y& =& $ 6$& & & \text{(I)}\\ 5x& -5y& =& $ 5$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+4y$	=	$6$	| $-4y$
$x$	=	$6-4y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(6-4y\right)& & & \text{(I)}\\ 5x& -5y& =& $ 5$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $6-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5·\left(6-4y\right)-5y$	=	$5$
$30-20y-5y$	=	$5$
$-25y+30$	=	$5$	| $-30$
$-25y$	=	$-25$	|:($-25$)
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $6-4\cdot 1$

= $6-4$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|1)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 2

y (y-Wert): 1