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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-4x-5y$ = $2$.

Bestimme y so, dass (7|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 7 in die Gleichung ein und erhält:

$-4\cdot 7-5y$ = $2$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$-4\cdot 7-5y$	=	$2$
$-28-5y$	=	$2$
$-5y-28$	=	$2$	| $+28$
$-5y$	=	$30$	|:($-5$)
$y$	=	$-6$

Die Lösung ist somit: (7|-6)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4x-4y$ = 0.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-6|-6)
denn 4⋅( - 6 ) -4⋅( - 6 ) = -24 +24 = 0

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-10|-10)
denn 4⋅( - 10 ) -4⋅( - 10 ) = -40 +40 = 0

Oder : (-2|-2)
denn 4⋅( - 2 ) -4⋅( - 2 ) = -8 +8 = 0

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}& -3y& =& $ -9$& & & \text{(I)}\\ -2x& +3y& =& $ 7$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}& -3y& =& $ -9$& & & \text{(I)}\\ -2x& +3y& =& $ 7$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$-3y$	=	$-9$	|:($-3$)
$y$	=	$3$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& $ 3$& & & \text{(I)}\\ -2x& +3y& =& $ 7$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $3$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x+3·3$	=	$7$
$-2x+9$	=	$7$	| $-9$
$-2x$	=	$-2$	|:($-2$)
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $3$

Die Lösung des LGS ist damit: (1|3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-2x& +4y& =& $ 12$& & & \text{(I)}\\ -3x& +y& =& $ 13$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-2x& +4y& =& $ 12$& & & \text{(I)}\\ -3x& +y& =& $ 13$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$-3x+y$	=	$13$
$y-3x$	=	$13$	| $+3x$
$y$	=	$13+3x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-2x& +4y& =& $ 12$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& \left(13+3x\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $13+3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x+4·\left(13+3x\right)$	=	$12$
$-2x+52+12x$	=	$12$
$10x+52$	=	$12$	| $-52$
$10x$	=	$-40$	|:$10$
$x$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $13+3\cdot \left(-4\right)$

= $13-12$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& +3y& =& $ 11$& & & \text{(I)}\\ -4x& -y& =& $ 0$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}x& +3y& =& $ 11$& & & \text{(I)}\\ -4x& -y& =& $ 0$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$-4x-y$	=	0
$-y-4x$	=	0	| $+4x$
$-y$	=	$4x$	|:($-1$)
$y$	=	$-4x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& +3y& =& $ 11$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& -4x& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $-4x$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$x+3·\left(-4x\right)$	=	$11$
$x-12x$	=	$11$
$-11x$	=	$11$	|:($-11$)
$x$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-4\cdot \left(-1\right)$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}\frac{3}{4}x& -\frac{3}{4}y& =& $ 0$& & & \text{(I)}\\ -\frac{1}{2}x& -\frac{1}{2}y& =& $ 6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}\frac{3}{4}x& -\frac{3}{4}y& =& $ 0$& & & \text{(I)}\\ -\frac{1}{2}x& -\frac{1}{2}y& =& $ 6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y$	=	0
$-\frac{3}{4}y+\frac{3}{4}x$	=	0	|⋅ 4
$4\left(-\frac{3}{4}y+\frac{3}{4}x\right)$	=	0
$-3y+3x$	=	0	| $-3x$
$-3y$	=	$-3x$	|:($-3$)
$y$	=	$x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& x& & & \text{(I)}\\ -\frac{1}{2}x& -\frac{1}{2}y& =& $ 6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $x$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}·x$	=	$6$
$-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}x$	=	$6$
$-x$	=	$6$	|:($-1$)
$x$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-6)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -4 und y = 4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x -4y = ?

6x -14y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

2x -4y = -8 -16 = -24

6x -14y = -24 -56 = -80

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x -4y = -24

6x -14y = -80

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}-2x& -4y& =& $ 2$& & & \text{(I)}\\ 4x& +8y& =& $ -4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-2x& -4y& =& $ 2$& & & \text{(I)}\\ 4x& +8y& =& $ -4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$-2x-4y$	=	$2$
$-4y-2x$	=	$2$	| $+2x$
$-4y$	=	$2+2x$	|:($-4$)
$y$	=	$-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x\right)& & & \text{(I)}\\ 4x& +8y& =& $ -4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x+8·\left(-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x\right)$	=	$-4$
$4x-4-4x$	=	$-4$
$-4$	=	$-4$	| $+4$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 6-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 14. Wenn man aber vom 2-fachen von x 4 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -4. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& +6y& =& $ 14$& & & \text{(I)}\\ 2x& -4y& =& $ -4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+6y$	=	$14$	| $-6y$
$x$	=	$14-6y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(14-6y\right)& & & \text{(I)}\\ 2x& -4y& =& $ -4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $14-6y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(14-6y\right)-4y$	=	$-4$
$28-12y-4y$	=	$-4$
$-16y+28$	=	$-4$	| $-28$
$-16y$	=	$-32$	|:($-16$)
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $14-6\cdot 2$

= $14-12$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|2)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 2

y (y-Wert): 2