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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: 4x + y = 23 .

Bestimme y so, dass (6|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 6 in die Gleichung ein und erhält:

46 + y = 23

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

46 + y = 23
24 + y = 23
y +24 = 23 | -24
y = -1

Die Lösung ist somit: (6|-1)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: -5x -2y = -7 .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (3|-4)
denn -5⋅3 -2( - 4 ) = -15 +8 = -7

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (1|1)
denn -5⋅1 -21 = -5 -2 = -7

Oder : (5|-9)
denn -5⋅5 -2( - 9 ) = -25 +18 = -7

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

x +4y = 28 (I) +y = 6 (II)

Lösung einblenden

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung ja schon das y gegeben ist.

y = 6


Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch 6 ersetzen und dann nach x auflösen:

x + 4 · 6 = 28
x +24 = 28 | -24
x = 4

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (4|6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

-4x -y = -7 (I) x -3y = 5 (II)

Lösung einblenden
-4x -y = -7 (I) x -3y = 5 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

x -3y = 5 | +3y
x = 5 +3y

Als neues LGS erhält man so:

-4x -y = -7 (I) x = ( 5 +3y ) (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( 5 +3y ) ersetzen und dann nach y auflösen:

-4 · ( 5 +3y ) - y = -7
-20 -12y - y = -7
-13y -20 = -7 | +20
-13y = 13 |:(-13 )
y = -1

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = 5 +3( -1 )

= 5 -3

= 2

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

-5x +5y = -10 (I) x +4y = 7 (II)

Lösung einblenden
-5x +5y = -10 (I) x +4y = 7 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

x +4y = 7 | -4y
x = 7 -4y

Als neues LGS erhält man so:

-5x +5y = -10 (I) x = ( 7 -4y ) (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( 7 -4y ) ersetzen und dann nach y auflösen:

-5 · ( 7 -4y ) +5y = -10
-35 +20y +5y = -10
25y -35 = -10 | +35
25y = 25 |:25
y = 1

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = 7 -41

= 7 -4

= 3

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

- 3 4 x +y = 5 2 (I) 2 5 x + 2 3 y = 52 15 (II)

Lösung einblenden
- 3 4 x +y = 5 2 (I) 2 5 x + 2 3 y = 52 15 (II)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

- 3 4 x + y = 5 2
y - 3 4 x = 5 2 |⋅ 4
4( y - 3 4 x) = 10
4y -3x = 10 | +3x
4y = 10 +3x |:4
y = 5 2 + 3 4 x

Als neues LGS erhält man so:

+y = ( 5 2 + 3 4 x ) (I) 2 5 x + 2 3 y = 52 15 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( 5 2 + 3 4 x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

2 5 x + 2 3 · ( 5 2 + 3 4 x ) = 52 15
2 5 x + 5 3 + 1 2 x = 52 15
9 10 x + 5 3 = 52 15 |⋅ 30
30( 9 10 x + 5 3 ) = 104
27x +50 = 104 | -50
27x = 54 |:27
x = 2

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = 5 2 + 3 4 2

= 5 2 + 3 2

= 4

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (2|4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -4 und y = 3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

4x -5y = ?

7x -8y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = 3 einsetzen und ausrechnen:

4x -5y = -16 -15 = -31

7x -8y = -28 -24 = -52

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

4x -5y = -31

7x -8y = -52

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

-3x -9y = 9 (I) x +3y = -3 (II)

Lösung einblenden
-3x -9y = 9 (I) x +3y = -3 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

x +3y = -3 | -3y
x = -3 -3y

Als neues LGS erhält man so:

-3x -9y = 9 (I) x = ( -3 -3y ) (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( -3 -3y ) ersetzen und dann nach y auflösen:

-3 · ( -3 -3y ) -9y = 9
9 +9y -9y = 9
9 = 9 | -9
0 = 0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von y gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 6-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 10. Wenn man aber vom 3-fachen von x 4 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 8. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

x +6y = 10 (I) 3x -4y = 8 (II)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

x +6y = 10 | -6y
x = 10 -6y

Als neues LGS erhält man so:

x = ( 10 -6y ) (I) 3x -4y = 8 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( 10 -6y ) ersetzen und dann nach y auflösen:

3 · ( 10 -6y ) -4y = 8
30 -18y -4y = 8
-22y +30 = 8 | -30
-22y = -22 |:(-22 )
y = 1

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = 10 -61

= 10 -6

= 4

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|1)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 4

y (y-Wert): 1