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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-x+3y$ = $-25$.

Bestimme y so, dass (4|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 4 in die Gleichung ein und erhält:

$-4+3y$ = $-25$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$-4+3y$	=	$-25$
$-4+3y$	=	$-25$
$3y-4$	=	$-25$	| $+4$
$3y$	=	$-21$	|:$3$
$y$	=	$-7$

Die Lösung ist somit: (4|-7)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5x-3y$ = $12$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (6|6)
denn 5⋅6 -3⋅6 = 30 -18 = $12$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (3|1)
denn 5⋅3 -3⋅1 = 15 -3 = $12$

Oder : (9|11)
denn 5⋅9 -3⋅11 = 45 -33 = $12$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}3x& & =& $ -6$& & & \text{(I)}\\ -x& +4y& =& $ 10$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}3x& & =& $ -6$& & & \text{(I)}\\ -x& +4y& =& $ 10$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$3x$	=	$-6$	|:$3$
$x$	=	$-2$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& $ -2$& & & \text{(I)}\\ -x& +4y& =& $ 10$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $-2$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$-1·\left(-2\right)+4y$	=	$10$
$2+4y$	=	$10$
$4y+2$	=	$10$	| $-2$
$4y$	=	$8$	|:$4$
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $-2$

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-3x& -2y& =& $ 11$& & & \text{(I)}\\ x& +3y& =& $ 1$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-3x& -2y& =& $ 11$& & & \text{(I)}\\ x& +3y& =& $ 1$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+3y$	=	$1$	| $-3y$
$x$	=	$1-3y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-3x& -2y& =& $ 11$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(1-3y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $1-3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·\left(1-3y\right)-2y$	=	$11$
$-3+9y-2y$	=	$11$
$7y-3$	=	$11$	| $+3$
$7y$	=	$14$	|:$7$
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $1-3\cdot 2$

= $1-6$

= $-5$

also

x = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}2x& +y& =& $ 4$& & & \text{(I)}\\ -x& -3y& =& $ 8$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}2x& +y& =& $ 4$& & & \text{(I)}\\ -x& -3y& =& $ 8$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$-x-3y$	=	$8$	| $+3y$
$-x$	=	$8+3y$	|:($-1$)
$x$	=	$-8-3y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}2x& +y& =& $ 4$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(-8-3y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-8-3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(-8-3y\right)+y$	=	$4$
$-16-6y+y$	=	$4$
$-5y-16$	=	$4$	| $+16$
$-5y$	=	$20$	|:($-5$)
$y$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-8-3\cdot \left(-4\right)$

= $-8+12$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}\frac{2}{5}x& -\frac{2}{5}y& =& $ \frac{8}{5}$& & & \text{(I)}\\ x& +\frac{2}{3}y& =& $ \frac{17}{3}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}\frac{2}{5}x& -\frac{2}{5}y& =& $ \frac{8}{5}$& & & \text{(I)}\\ x& +\frac{2}{3}y& =& $ \frac{17}{3}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+\frac{2}{3}y$	=	$\frac{17}{3}$	|⋅ 3
$3\left(x+\frac{2}{3}y\right)$	=	$17$
$3x+2y$	=	$17$	| $-2y$
$3x$	=	$17-2y$	|:$3$
$x$	=	$\frac{17}{3}-\frac{2}{3}y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}\frac{2}{5}x& -\frac{2}{5}y& =& $ \frac{8}{5}$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(\frac{17}{3}-\frac{2}{3}y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $\frac{17}{3}-\frac{2}{3}y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$\frac{2}{5}·\left(\frac{17}{3}-\frac{2}{3}y\right)-\frac{2}{5}y$	=	$\frac{8}{5}$
$\frac{34}{15}-\frac{4}{15}y-\frac{2}{5}y$	=	$\frac{8}{5}$
$-\frac{2}{3}y+\frac{34}{15}$	=	$\frac{8}{5}$	|⋅ 15
$15\left(-\frac{2}{3}y+\frac{34}{15}\right)$	=	$24$
$-10y+34$	=	$24$	| $-34$
$-10y$	=	$-10$	|:($-10$)
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $\frac{17}{3}-\frac{2}{3}\cdot 1$

= $\frac{17}{3}-\frac{2}{3}$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 2 und y = -1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x -5y = ?

-8x -6y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

-5x -5y = -10 +5 = -5

-8x -6y = -16 +6 = -10

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x -5y = -5

-8x -6y = -10

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}-x& +4y& =& $ -12$& & & \text{(I)}\\ -x& -2y& =& $ 6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-x& +4y& =& $ -12$& & & \text{(I)}\\ -x& -2y& =& $ 6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$-x-2y$	=	$6$	| $+2y$
$-x$	=	$6+2y$	|:($-1$)
$x$	=	$-6-2y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-x& +4y& =& $ -12$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(-6-2y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-6-2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-1·\left(-6-2y\right)+4y$	=	$-12$
$6+2y+4y$	=	$-12$
$6y+6$	=	$-12$	| $-6$
$6y$	=	$-18$	|:$6$
$y$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-6-2\cdot \left(-3\right)$

= $-6+6$

= 0

also

x = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-3)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 8 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 6 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 256 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 4 LED-Leuchtmittel und 4 Halogenleuchten zusammen 168 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}8x& +6y& =& $ 256$& & & \text{(I)}\\ 4x& +4y& =& $ 168$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$8x+6y$	=	$256$
$6y+8x$	=	$256$	| $-8x$
$6y$	=	$256-8x$	|:$6$
$y$	=	$\frac{128}{3}-\frac{4}{3}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(\frac{128}{3}-\frac{4}{3}x\right)& & & \text{(I)}\\ 4x& +4y& =& $ 168$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{128}{3}-\frac{4}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x+4·\left(\frac{128}{3}-\frac{4}{3}x\right)$	=	$168$
$4x+\frac{512}{3}-\frac{16}{3}x$	=	$168$
$-\frac{4}{3}x+\frac{512}{3}$	=	$168$	|⋅ 3
$3\left(-\frac{4}{3}x+\frac{512}{3}\right)$	=	$504$
$-4x+512$	=	$504$	| $-512$
$-4x$	=	$-8$	|:($-4$)
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{128}{3}-\frac{4}{3}\cdot 2$

= $\frac{128}{3}-\frac{8}{3}$

= $40$

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (2|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 2

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 40