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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x + 4 y$ = $6$ .

Bestimme y so, dass (-6|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -6 in die Gleichung ein und erhält:

$3 \cdot (- 6) + 4 y$ = $6$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$3 \cdot (- 6) + 4 y$	=	$6$
$- 18 + 4 y$	=	$6$
$4 y - 18$	=	$6$	\| $+ 18$
$4 y$	=	$24$	\|: $4$
$y$	=	$6$

Die Lösung ist somit: (-6|6)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x + 3 y$ = $- 4$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-2|0)
denn 2⋅( - 2 ) +3⋅0 = -4 +0 = $- 4$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (1|-2)
denn 2⋅1 +3⋅( - 2 ) = 2 -6 = $- 4$

Oder : (-5|2)
denn 2⋅( - 5 ) +3⋅2 = -10 +6 = $- 4$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} + y & = & - 5 & (I) \\ 3 x & - 2 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung ja schon das y gegeben ist.

y = $- 5$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $- 5$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 2 \cdot (- 5)$	=	$16$
$3 x + 10$	=	$16$	\| $- 10$
$3 x$	=	$6$	\|: $3$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 5$

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & - y & = & 2 & (I) \\ x & + 3 y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & - y & = & 2 & (I) \\ x & + 3 y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 3 y$	=	$14$	\| $- 3 y$
$x$	=	$14 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & - y & = & 2 & (I) \\ x & = & (14 - 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $14 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot (14 - 3 y) - y$	=	$2$
$- 28 + 6 y - y$	=	$2$
$5 y - 28$	=	$2$	\| $+ 28$
$5 y$	=	$30$	\|: $5$
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $14 - 3 \cdot 6$

= $14 - 18$

= $- 4$

also

x = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|6)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + 5 y & = & 16 & (I) \\ 5 x & - y & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + 5 y & = & 16 & (I) \\ 5 x & - y & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$5 x - y$	=	$- 20$
$- y + 5 x$	=	$- 20$	\| $- 5 x$
$- y$	=	$- 20 - 5 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$20 + 5 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & + 5 y & = & 16 & (I) \\ + y & = & (20 + 5 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $20 + 5 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 5 \cdot (20 + 5 x)$	=	$16$
$3 x + 100 + 25 x$	=	$16$
$28 x + 100$	=	$16$	\| $- 100$
$28 x$	=	$- 84$	\|: $28$
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $20 + 5 \cdot (- 3)$

= $20 - 15$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 5 x$	=	$2 (17 - y)$			(I)
$2 (x + 1) + 4 y$	=	$- y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 5 x$	=	$2 (17 - y)$			(I)
$2 (x + 1) + 4 y$	=	$- y$			(II)

$- 5 x$	=	$34 - 2 y$	\| + $2 y$		(I)
$2 x + 2 + 4 y$	=	$- y$	\| $- 2 + y$		(II)

\begin{matrix} - 5 x & + 2 y & = & 34 & (I) \\ 2 x & + 5 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 5 x + 2 y$	=	$34$
$2 y - 5 x$	=	$34$	\| $+ 5 x$
$2 y$	=	$34 + 5 x$	\|: $2$
$y$	=	$17 + \frac{5}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (17 + \frac{5}{2} x) & (I) \\ 2 x & + 5 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $17 + \frac{5}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 5 \cdot (17 + \frac{5}{2} x)$	=	$- 2$
$2 x + 85 + \frac{25}{2} x$	=	$- 2$
$\frac{29}{2} x + 85$	=	$- 2$	\|⋅ 2
$2 (\frac{29}{2} x + 85)$	=	$- 4$
$29 x + 170$	=	$- 4$	\| $- 170$
$29 x$	=	$- 174$	\|: $29$
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $17 + \frac{5}{2} \cdot (- 6)$

= $17 - 15$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 5 und y = 2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x -2y = ?

-5x -5y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = 2 einsetzen und ausrechnen:

-4x -2y = -20 -4 = -24

-5x -5y = -25 -10 = -35

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x -2y = -24

-5x -5y = -35

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 4 x & - 3 y & = & - 26 & (I) \\ - x & + 3 y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & - 3 y & = & - 26 & (I) \\ - x & + 3 y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 3 y$	=	$11$	\| $- 3 y$
$- x$	=	$11 - 3 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 11 + 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 4 x & - 3 y & = & - 26 & (I) \\ x & = & (- 11 + 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 11 + 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (- 11 + 3 y) - 3 y$	=	$- 26$
$- 44 + 12 y - 3 y$	=	$- 26$
$9 y - 44$	=	$- 26$	\| $+ 44$
$9 y$	=	$18$	\|: $9$
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 11 + 3 \cdot 2$

= $- 11 + 6$

= $- 5$

also

x = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|2)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 3-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 7. Wenn man aber vom 2-fachen von x 6 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -10. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 3 y & = & 7 & (I) \\ 2 x & - 6 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 3 y$	=	$7$	\| $- 3 y$
$x$	=	$7 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (7 - 3 y) & (I) \\ 2 x & - 6 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $7 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (7 - 3 y) - 6 y$	=	$- 10$
$14 - 6 y - 6 y$	=	$- 10$
$- 12 y + 14$	=	$- 10$	\| $- 14$
$- 12 y$	=	$- 24$	\|:( $- 12$ )
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $7 - 3 \cdot 2$

= $7 - 6$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|2)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 1

y (y-Wert): 2

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Wert zum Einsetzen finden

Wert zum Einsetzen finden (offen)

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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LGS (Standard)

LGS (vorher umformen)

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LGS Anwendungen