• Klasse 5
  • Daten
  • Natürliche Zahlen
    • Zahlenstrahl
    • Große Zahlen im Zehnersystem
    • Runden von Zahlen
    • Zahlensysteme
    • Grundrechenarten
      • Kopfrechnen
      • Schriftlich
    • Rechenregeln
      • Klammern
      • Punkt vor Strich
      • Rechenreihenfolge
      • Potenzen
      • Ausmultiplizieren, Ausklammern
  • Geometrie
    • Koordinatensystem
    • Abstände
    • Symmetrische Figuren
    • Vierecke
    • Kreis
    • Winkel
    • Flächen
  • Sachrechnen
    • Geld
    • Zeit
    • Gewicht
    • Länge
    • Maßstab
• Klasse 6
  • Brüche und Bruchrechnen
    • Teilbarkeit
    • Bruchverständnis
    • Erweitern und Kürzen
    • Brüche vergleichen und ordnen
    • Brüche und Größen
    • Addieren und Subtrahieren
    • Multiplizieren
    • Dividieren
    • Punkt vor Strich. Klammern
  • Dezimalzahlen
    • Dezimalschreibweise
    • Vergleichen und Ordnen
    • Runden
    • Wechsel der Darstellung
    • Addieren und Subtrahieren
    • Multiplizieren und Dividieren
    • Verbindung der Rechenarten
  • Terme und Gleichungen
    • Terme mit Variablen
    • Gleichungen
  • Zuordnungen
    • proportionale Zuordnung
    • Dreisatz
  • Rationale Zahlen
    • Zahlenstrahl
    • vergleichen und ordnen
    • Zunahme und Abnahme
    • Koordinatensystem
  • Geometrie
    • Körper
  • Daten
• Klasse 7
  • Rationale Zahlen
    • vergleichen und ordnen
    • Strichrechnung
    • Punktrechnung
    • Rechenregeln
    • Zahlterme
    • Kombi-Aufgaben
    • negative Brüche
  • Geometrie
    • Winkel
      • an Parallelen
      • Winkelsumme
      • gleichschenkl. Dr.
      • Thaleskreis
    • Dreiecke konstruieren
    • In- und Umkreis
    • Vierecke
  • Algebra
    • Terme
    • lineare Gleichungen
  • Dreisatz, (anti)proportional
    • Antiproportionale Zuordnung
    • Proportionale Zuordnung
  • Prozentrechnung
    • Prozentsatz bestimmen
    • Prozentwert bestimmen
    • Grundwert bestimmen
  • Wahrscheinlichkeit / Daten
• Klasse 8
  • Terme
    • Ausmultiplizieren, Ausklammern
    • Binomische Formeln
    • Terme einsetzen
    • Terme aufstellen
    • Terme vereinfachen
  • Bruchgleichungen
  • Geometrie
    • Umfang und Flächeninhalt
    • Körper
  • Lineare Funktionen
  • LGS
  • Prozent- und Zinsrechnung
    • Prozentsatz, -wert, Grundwert
    • Vermehrter / verminderter Grundwert
    • Zinsrechnen (Zinseszinsen)
  • Daten / Boxplots
• Klasse 9
  • Algebra
    • Potenzen
    • Wurzeln
      • Quadratwurzeln ohne WTR
      • Rechnen mit Quadratwurzeln
        • Teilweises Wurzelziehen
      • Kubikwurzel
    • Quadratische Gleichungen
      • Bruchgleichungen
      • rein quadratische Gleichungen
      • gemischt quadratische Gleichungen
        • Nullprodukt
        • Lösungsformel
        • quadratische Ergänzung
      • Ungleichungen
      • Wurzelgleichungen
    • lineare Bruchgleichungen
  • Geometrie
    • Ähnlichkeit u. zentrische Streckung
    • Stahlensätze
      • 1. Strahlensatz
      • 2. Strahlensatz
    • Satz des Pythagoras
      • Grundaufgaben
      • in ebenen Figuren
      • in Körpern
    • Kreise
      • Umfang und Fläche
      • Kreisausschnitte
      • Anwendungen
    • Körper
      • Prismen
      • Zylinder
      • Pyramiden
  • Lineare und quadratische Funktionen
    • Lineare Funktionen
    • Quadratische Funktionen
      • Normalparabel
      • Streckung
      • Scheitelform, Termbestimmung
      • Nullstellen, Schnittpunkte
      • Modellieren
  • Zufall und Wahrscheinlichkeit
    • Kombinatorik
    • Einstufige Zufallsexperimente
• Klasse 10
  • Trigonometrie
    • am rechtwinkligen Dreieck
    • am allgemeinen Dreieck
    • Anwendungen
    • im Raum
    • am Einheitskreis
    • Bogenmaß/Funktionen
  • Algebra
    • Zehnerpotenzen
    • Potenzgesetze
    • Potenzen mit rationalen Hochzahlen
    • Exponentialrechnung
      • Zinsen, Zinseszinsen
      • Exponentielle(s) Wachstum / Abnahme
      • Logarithmus
  • Geometrie
    • Kegel
    • Kugel
    • Zusammengesetzte Körper
  • Zufall und Wahrscheinlichkeit
    • Erwartungswert
    • Zufallsexperimente mit Zurücklegen
    • Zufallsexperimente ohne Zurücklegen
• Fit für die Oberstufe
  • Potenzfunktionen
  • Exponentialfunktion
  • Vier-Felder-Tafel

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-2x-5y$ = $18$.

Bestimme x so, dass (x|-2) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -2 in die Gleichung ein und erhält:

$-2x-5\cdot \left(-2\right)$ = $18$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$-2x-5\cdot \left(-2\right)$	=	$18$
$-2x+10$	=	$18$	| $-10$
$-2x$	=	$8$	|:($-2$)
$x$	=	$-4$

Die Lösung ist somit: (-4|-2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4x-2y$ = $-30$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-7|1)
denn 4⋅( - 7 ) -2⋅1 = -28 -2 = $-30$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-9|-3)
denn 4⋅( - 9 ) -2⋅( - 3 ) = -36 +6 = $-30$

Oder : (-5|5)
denn 4⋅( - 5 ) -2⋅5 = -20 -10 = $-30$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}3x& & =& $ 9$& & & \text{(I)}\\ 3x& -4y& =& $ -7$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}3x& & =& $ 9$& & & \text{(I)}\\ 3x& -4y& =& $ -7$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$3x$	=	$9$	|:$3$
$x$	=	$3$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& $ 3$& & & \text{(I)}\\ 3x& -4y& =& $ -7$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $3$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·3-4y$	=	$-7$
$9-4y$	=	$-7$
$-4y+9$	=	$-7$	| $-9$
$-4y$	=	$-16$	|:($-4$)
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $3$

Die Lösung des LGS ist damit: (3|4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}3x& +y& =& $ 7$& & & \text{(I)}\\ x& +4y& =& $ -16$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}3x& +y& =& $ 7$& & & \text{(I)}\\ x& +4y& =& $ -16$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+4y$	=	$-16$	| $-4y$
$x$	=	$-16-4y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}3x& +y& =& $ 7$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(-16-4y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-16-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(-16-4y\right)+y$	=	$7$
$-48-12y+y$	=	$7$
$-11y-48$	=	$7$	| $+48$
$-11y$	=	$55$	|:($-11$)
$y$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-16-4\cdot \left(-5\right)$

= $-16+20$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}2x& +3y& =& $ 27$& & & \text{(I)}\\ -3x& -4y& =& $ -38$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}2x& +3y& =& $ 27$& & & \text{(I)}\\ -3x& -4y& =& $ -38$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2x+3y$	=	$27$
$3y+2x$	=	$27$	| $-2x$
$3y$	=	$27-2x$	|:$3$
$y$	=	$9-\frac{2}{3}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(9-\frac{2}{3}x\right)& & & \text{(I)}\\ -3x& -4y& =& $ -38$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $9-\frac{2}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x-4·\left(9-\frac{2}{3}x\right)$	=	$-38$
$-3x-36+\frac{8}{3}x$	=	$-38$
$-\frac{1}{3}x-36$	=	$-38$	|⋅ 3
$3\left(-\frac{1}{3}x-36\right)$	=	$-114$
$-x-108$	=	$-114$	| $+108$
$-x$	=	$-6$	|:($-1$)
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $9-\frac{2}{3}\cdot 6$

= $9-4$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (6|5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-x& +2y& =& $ 13$& & & \text{(I)}\\ -\frac{2}{3}x& +\frac{2}{5}y& =& $ 4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-x& +2y& =& $ 13$& & & \text{(I)}\\ -\frac{2}{3}x& +\frac{2}{5}y& =& $ 4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$-x+2y$	=	$13$	| $-2y$
$-x$	=	$13-2y$	|:($-1$)
$x$	=	$-13+2y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(-13+2y\right)& & & \text{(I)}\\ -\frac{2}{3}x& +\frac{2}{5}y& =& $ 4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $-13+2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-\frac{2}{3}·\left(-13+2y\right)+\frac{2}{5}y$	=	$4$
$\frac{26}{3}-\frac{4}{3}y+\frac{2}{5}y$	=	$4$
$-\frac{14}{15}y+\frac{26}{3}$	=	$4$	|⋅ 15
$15\left(-\frac{14}{15}y+\frac{26}{3}\right)$	=	$60$
$-14y+130$	=	$60$	| $-130$
$-14y$	=	$-70$	|:($-14$)
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $-13+2\cdot 5$

= $-13+10$

= $-3$

also

x = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 2 und y = -5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x +5y = ?

-1x +2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:

-5x +5y = -10 -25 = -35

-1x +2y = -2 -10 = -12

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x +5y = -35

-1x +2y = -12

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}2x& +2y& =& $ 10$& & & \text{(I)}\\ 2x& -5y& =& $ -25$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}2x& +2y& =& $ 10$& & & \text{(I)}\\ 2x& -5y& =& $ -25$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2x+2y$	=	$10$
$2y+2x$	=	$10$	| $-2x$
$2y$	=	$10-2x$	|:$2$
$y$	=	$5-x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(5-x\right)& & & \text{(I)}\\ 2x& -5y& =& $ -25$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $5-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x-5·\left(5-x\right)$	=	$-25$
$2x-25+5x$	=	$-25$
$7x-25$	=	$-25$	| $+25$
$7x$	=	0	|:$7$
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $5-0$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (0|5)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 4 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 6 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 252 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 9 LED-Leuchtmittel und 7 Halogenleuchten zusammen 307 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}4x& +6y& =& $ 252$& & & \text{(I)}\\ 9x& +7y& =& $ 307$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4x+6y$	=	$252$
$6y+4x$	=	$252$	| $-4x$
$6y$	=	$252-4x$	|:$6$
$y$	=	$42-\frac{2}{3}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(42-\frac{2}{3}x\right)& & & \text{(I)}\\ 9x& +7y& =& $ 307$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $42-\frac{2}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$9x+7·\left(42-\frac{2}{3}x\right)$	=	$307$
$9x+294-\frac{14}{3}x$	=	$307$
$\frac{13}{3}x+294$	=	$307$	|⋅ 3
$3\left(\frac{13}{3}x+294\right)$	=	$921$
$13x+882$	=	$921$	| $-882$
$13x$	=	$39$	|:$13$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $42-\frac{2}{3}\cdot 3$

= $42-2$

= $40$

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (3|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 3

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 40