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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4x-3y$ = $13$.

Bestimme x so, dass (x|-7) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -7 in die Gleichung ein und erhält:

$4x-3\cdot \left(-7\right)$ = $13$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$4x-3\cdot \left(-7\right)$	=	$13$
$4x+21$	=	$13$	| $-21$
$4x$	=	$-8$	|:$4$
$x$	=	$-2$

Die Lösung ist somit: (-2|-7)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-3x-y$ = $-27$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (7|6)
denn -3⋅7 -1⋅6 = -21 -6 = $-27$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (6|9)
denn -3⋅6 -1⋅9 = -18 -9 = $-27$

Oder : (8|3)
denn -3⋅8 -1⋅3 = -24 -3 = $-27$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-4x& & =& $ -20$& & & \text{(I)}\\ -2x& +2y& =& $ -20$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-4x& & =& $ -20$& & & \text{(I)}\\ -2x& +2y& =& $ -20$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$-4x$	=	$-20$	|:($-4$)
$x$	=	$5$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& $ 5$& & & \text{(I)}\\ -2x& +2y& =& $ -20$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $5$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$-2·5+2y$	=	$-20$
$-10+2y$	=	$-20$
$2y-10$	=	$-20$	| $+10$
$2y$	=	$-10$	|:$2$
$y$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $5$

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& -2y& =& $ 8$& & & \text{(I)}\\ 4x& -3y& =& $ 22$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}x& -2y& =& $ 8$& & & \text{(I)}\\ 4x& -3y& =& $ 22$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x-2y$	=	$8$	| $+2y$
$x$	=	$8+2y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(8+2y\right)& & & \text{(I)}\\ 4x& -3y& =& $ 22$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $8+2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4·\left(8+2y\right)-3y$	=	$22$
$32+8y-3y$	=	$22$
$5y+32$	=	$22$	| $-32$
$5y$	=	$-10$	|:$5$
$y$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $8+2\cdot \left(-2\right)$

= $8-4$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-3x& -2y& =& $ 15$& & & \text{(I)}\\ 3x& -y& =& $ -6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-3x& -2y& =& $ 15$& & & \text{(I)}\\ 3x& -y& =& $ -6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$3x-y$	=	$-6$
$-y+3x$	=	$-6$	| $-3x$
$-y$	=	$-6-3x$	|:($-1$)
$y$	=	$6+3x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-3x& -2y& =& $ 15$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& \left(6+3x\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $6+3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x-2·\left(6+3x\right)$	=	$15$
$-3x-12-6x$	=	$15$
$-9x-12$	=	$15$	| $+12$
$-9x$	=	$27$	|:($-9$)
$x$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $6+3\cdot \left(-3\right)$

= $6-9$

= $-3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}\frac{3}{4}x& -\frac{3}{2}y& =& $ -3$& & & \text{(I)}\\ -x& +\frac{2}{3}y& =& $ -\frac{4}{3}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}\frac{3}{4}x& -\frac{3}{2}y& =& $ -3$& & & \text{(I)}\\ -x& +\frac{2}{3}y& =& $ -\frac{4}{3}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$-x+\frac{2}{3}y$	=	$-\frac{4}{3}$	|⋅ 3
$3\left(-x+\frac{2}{3}y\right)$	=	$-4$
$-3x+2y$	=	$-4$	| $-2y$
$-3x$	=	$-4-2y$	|:($-3$)
$x$	=	$\frac{4}{3}+\frac{2}{3}y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}\frac{3}{4}x& -\frac{3}{2}y& =& $ -3$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(\frac{4}{3}+\frac{2}{3}y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $\frac{4}{3}+\frac{2}{3}y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$\frac{3}{4}·\left(\frac{4}{3}+\frac{2}{3}y\right)-\frac{3}{2}y$	=	$-3$
$1+\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}y$	=	$-3$
$-y+1$	=	$-3$	| $-1$
$-y$	=	$-4$	|:($-1$)
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $\frac{4}{3}+\frac{2}{3}\cdot 4$

= $\frac{4}{3}+\frac{8}{3}$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -5 und y = 5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

3x -1y = ?

1x -3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = 5 einsetzen und ausrechnen:

3x -1y = -15 -5 = -20

1x -3y = -5 -15 = -20

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

3x -1y = -20

1x -3y = -20

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}x& +3y& =& $ -1$& & & \text{(I)}\\ -3x& -9y& =& $ 3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}x& +3y& =& $ -1$& & & \text{(I)}\\ -3x& -9y& =& $ 3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+3y$	=	$-1$	| $-3y$
$x$	=	$-1-3y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(-1-3y\right)& & & \text{(I)}\\ -3x& -9y& =& $ 3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $-1-3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·\left(-1-3y\right)-9y$	=	$3$
$3+9y-9y$	=	$3$
$3$	=	$3$	| $-3$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von y gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 6 Stunden wandern. Danach hat sie 4 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 1600 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 6 Stunden wandern und hat 3 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 1650 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}6x& -4y& =& $ 1600$& & & \text{(I)}\\ 6x& -3y& =& $ 1650$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$6x-4y$	=	$1600$
$-4y+6x$	=	$1600$	| $-6x$
$-4y$	=	$1600-6x$	|:($-4$)
$y$	=	$-400+\frac{3}{2}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-400+\frac{3}{2}x\right)& & & \text{(I)}\\ 6x& -3y& =& $ 1650$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-400+\frac{3}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6x-3·\left(-400+\frac{3}{2}x\right)$	=	$1650$
$6x+1200-\frac{9}{2}x$	=	$1650$
$\frac{3}{2}x+1200$	=	$1650$	|⋅ 2
$2\left(\frac{3}{2}x+1200\right)$	=	$3300$
$3x+2400$	=	$3300$	| $-2400$
$3x$	=	$900$	|:$3$
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-400+\frac{3}{2}\cdot 300$

= $-400+450$

= $50$

also

y = 50

Die Lösung des LGS ist damit: (300|50)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 50