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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-4x+y$ = $-1$.

Bestimme x so, dass (x|-5) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -5 in die Gleichung ein und erhält:

$-4x+\left(-5\right)$ = $-1$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$-4x+\left(-5\right)$	=	$-1$
$-4x-5$	=	$-1$	| $+5$
$-4x$	=	$4$	|:($-4$)
$x$	=	$-1$

Die Lösung ist somit: (-1|-5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2x-3y$ = $17$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (4|-3)
denn 2⋅4 -3⋅( - 3 ) = 8 +9 = $17$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (1|-5)
denn 2⋅1 -3⋅( - 5 ) = 2 +15 = $17$

Oder : (7|-1)
denn 2⋅7 -3⋅( - 1 ) = 14 +3 = $17$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}& +4y& =& $ 24$& & & \text{(I)}\\ 4x& +2y& =& $ -4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}& +4y& =& $ 24$& & & \text{(I)}\\ 4x& +2y& =& $ -4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$4y$	=	$24$	|:$4$
$y$	=	$6$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& $ 6$& & & \text{(I)}\\ 4x& +2y& =& $ -4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $6$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x+2·6$	=	$-4$
$4x+12$	=	$-4$	| $-12$
$4x$	=	$-16$	|:$4$
$x$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $6$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& -3y& =& $ -17$& & & \text{(I)}\\ 2x& +y& =& $ 8$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}x& -3y& =& $ -17$& & & \text{(I)}\\ 2x& +y& =& $ 8$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$2x+y$	=	$8$
$y+2x$	=	$8$	| $-2x$
$y$	=	$8-2x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& -3y& =& $ -17$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& \left(8-2x\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $8-2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x-3·\left(8-2x\right)$	=	$-17$
$x-24+6x$	=	$-17$
$7x-24$	=	$-17$	| $+24$
$7x$	=	$7$	|:$7$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $8-2\cdot 1$

= $8-2$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (1|6)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}2x& +4y& =& $ -10$& & & \text{(I)}\\ -2x& +3y& =& $ -18$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}2x& +4y& =& $ -10$& & & \text{(I)}\\ -2x& +3y& =& $ -18$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2x+4y$	=	$-10$
$4y+2x$	=	$-10$	| $-2x$
$4y$	=	$-10-2x$	|:$4$
$y$	=	$-\frac{5}{2}-\frac{1}{2}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-\frac{5}{2}-\frac{1}{2}x\right)& & & \text{(I)}\\ -2x& +3y& =& $ -18$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{5}{2}-\frac{1}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x+3·\left(-\frac{5}{2}-\frac{1}{2}x\right)$	=	$-18$
$-2x-\frac{15}{2}-\frac{3}{2}x$	=	$-18$
$-\frac{7}{2}x-\frac{15}{2}$	=	$-18$	|⋅ 2
$2\left(-\frac{7}{2}x-\frac{15}{2}\right)$	=	$-36$
$-7x-15$	=	$-36$	| $+15$
$-7x$	=	$-21$	|:($-7$)
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{5}{2}-\frac{1}{2}\cdot 3$

= $-\frac{5}{2}-\frac{3}{2}$

= $-4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& -y& =& $ 2$& & & \text{(I)}\\ \frac{3}{2}x& -3y& =& $ -\frac{3}{2}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}x& -y& =& $ 2$& & & \text{(I)}\\ \frac{3}{2}x& -3y& =& $ -\frac{3}{2}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$x-y$	=	$2$
$-y+x$	=	$2$	| $-x$
$-y$	=	$2-x$	|:($-1$)
$y$	=	$-2+x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-2+x\right)& & & \text{(I)}\\ \frac{3}{2}x& -3y& =& $ -\frac{3}{2}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-2+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{3}{2}x-3·\left(-2+x\right)$	=	$-\frac{3}{2}$
$\frac{3}{2}x+6-3x$	=	$-\frac{3}{2}$
$-\frac{3}{2}x+6$	=	$-\frac{3}{2}$	|⋅ 2
$2\left(-\frac{3}{2}x+6\right)$	=	$-3$
$-3x+12$	=	$-3$	| $-12$
$-3x$	=	$-15$	|:($-3$)
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-2+5$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (5|3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 4 und y = -5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

3x -4y = ?

6x -6y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 4 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:

3x -4y = 12 +20 = 32

6x -6y = 24 +30 = 54

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

3x -4y = 32

6x -6y = 54

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}-4x& +5y& =& $ 26$& & & \text{(I)}\\ 5x& +3y& =& $ 23$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-4x& +5y& =& $ 26$& & & \text{(I)}\\ 5x& +3y& =& $ 23$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$-4x+5y$	=	$26$
$5y-4x$	=	$26$	| $+4x$
$5y$	=	$26+4x$	|:$5$
$y$	=	$\frac{26}{5}+\frac{4}{5}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(\frac{26}{5}+\frac{4}{5}x\right)& & & \text{(I)}\\ 5x& +3y& =& $ 23$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{26}{5}+\frac{4}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5x+3·\left(\frac{26}{5}+\frac{4}{5}x\right)$	=	$23$
$5x+\frac{78}{5}+\frac{12}{5}x$	=	$23$
$\frac{37}{5}x+\frac{78}{5}$	=	$23$	|⋅ 5
$5\left(\frac{37}{5}x+\frac{78}{5}\right)$	=	$115$
$37x+78$	=	$115$	| $-78$
$37x$	=	$37$	|:$37$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{26}{5}+\frac{4}{5}\cdot 1$

= $\frac{26}{5}+\frac{4}{5}$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (1|6)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 4-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 8. Wenn man aber vom 6-fachen von x 4 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 20. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& +4y& =& $ 8$& & & \text{(I)}\\ 6x& -4y& =& $ 20$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+4y$	=	$8$	| $-4y$
$x$	=	$8-4y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(8-4y\right)& & & \text{(I)}\\ 6x& -4y& =& $ 20$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $8-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$6·\left(8-4y\right)-4y$	=	$20$
$48-24y-4y$	=	$20$
$-28y+48$	=	$20$	| $-48$
$-28y$	=	$-28$	|:($-28$)
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $8-4\cdot 1$

= $8-4$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|1)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 4

y (y-Wert): 1