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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x+4y$ = $-18$.

Bestimme x so, dass (x|-4) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -4 in die Gleichung ein und erhält:

$x+4\cdot \left(-4\right)$ = $-18$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$x+4\cdot \left(-4\right)$	=	$-18$
$x-16$	=	$-18$	| $+16$
$x$	=	$-2$

Die Lösung ist somit: (-2|-4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3x-2y$ = $6$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (2|0)
denn 3⋅2 -2⋅0 = 6 +0 = $6$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (0|-3)
denn 3⋅0 -2⋅( - 3 ) = 0 +6 = $6$

Oder : (4|3)
denn 3⋅4 -2⋅3 = 12 -6 = $6$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}4x& & =& $ 8$& & & \text{(I)}\\ -3x& -y& =& $ -2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}4x& & =& $ 8$& & & \text{(I)}\\ -3x& -y& =& $ -2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$4x$	=	$8$	|:$4$
$x$	=	$2$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& $ 2$& & & \text{(I)}\\ -3x& -y& =& $ -2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $2$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·2-y$	=	$-2$
$-6-y$	=	$-2$
$-y-6$	=	$-2$	| $+6$
$-y$	=	$4$	|:($-1$)
$y$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $2$

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-4x& +y& =& $ -11$& & & \text{(I)}\\ x& -2y& =& $ -6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-4x& +y& =& $ -11$& & & \text{(I)}\\ x& -2y& =& $ -6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x-2y$	=	$-6$	| $+2y$
$x$	=	$-6+2y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-4x& +y& =& $ -11$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(-6+2y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-6+2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-4·\left(-6+2y\right)+y$	=	$-11$
$24-8y+y$	=	$-11$
$-7y+24$	=	$-11$	| $-24$
$-7y$	=	$-35$	|:($-7$)
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-6+2\cdot 5$

= $-6+10$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-2x& +2y& =& $ -4$& & & \text{(I)}\\ 5x& -3y& =& $ 14$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-2x& +2y& =& $ -4$& & & \text{(I)}\\ 5x& -3y& =& $ 14$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$-2x+2y$	=	$-4$
$2y-2x$	=	$-4$	| $+2x$
$2y$	=	$-4+2x$	|:$2$
$y$	=	$-2+x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-2+x\right)& & & \text{(I)}\\ 5x& -3y& =& $ 14$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-2+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5x-3·\left(-2+x\right)$	=	$14$
$5x+6-3x$	=	$14$
$2x+6$	=	$14$	| $-6$
$2x$	=	$8$	|:$2$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-2+4$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (4|2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$-3x$	=	$-5y$			(I)
0	=	$x-4y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$-3x$	=	$-5y$	| + $5y$		(I)
0	=	$x-4y$	| $-x+4y$		(II)

$\begin{array}{ccccccc}-3x& +5y& =& $ 0$& & & \text{(I)}\\ -x& +4y& =& $ 0$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$-x+4y$	=	0	| $-4y$
$-x$	=	$-4y$	|:($-1$)
$x$	=	$4y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-3x& +5y& =& $ 0$& & & \text{(I)}\\ x& & =& 4y& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $4y$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·4y+5y$	=	0
$-12y+5y$	=	0
$-7y$	=	0	|:($-7$)
$y$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $4\cdot \left(0\right)$

= 0

also

x = -0

Die Lösung des LGS ist damit: (-0|0)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 2 und y = -2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

1x +1y = ?

3x +2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

1x +1y = 2 -2 = 0

3x +2y = 6 -4 = 2

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

1x +1y = 0

3x +2y = 2

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}-3x& +5y& =& $ -45$& & & \text{(I)}\\ 3x& -y& =& $ 21$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-3x& +5y& =& $ -45$& & & \text{(I)}\\ 3x& -y& =& $ 21$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$3x-y$	=	$21$
$-y+3x$	=	$21$	| $-3x$
$-y$	=	$21-3x$	|:($-1$)
$y$	=	$-21+3x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-3x& +5y& =& $ -45$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& \left(-21+3x\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-21+3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x+5·\left(-21+3x\right)$	=	$-45$
$-3x-105+15x$	=	$-45$
$12x-105$	=	$-45$	| $+105$
$12x$	=	$60$	|:$12$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-21+3\cdot 5$

= $-21+15$

= $-6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-6)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 7 Stunden wandern. Danach hat sie 2 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 960 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 4 Stunden wandern und hat 4 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 420 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}7x& -2y& =& $ 960$& & & \text{(I)}\\ 4x& -4y& =& $ 420$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$7x-2y$	=	$960$
$-2y+7x$	=	$960$	| $-7x$
$-2y$	=	$960-7x$	|:($-2$)
$y$	=	$-480+\frac{7}{2}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-480+\frac{7}{2}x\right)& & & \text{(I)}\\ 4x& -4y& =& $ 420$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-480+\frac{7}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x-4·\left(-480+\frac{7}{2}x\right)$	=	$420$
$4x+1920-14x$	=	$420$
$-10x+1920$	=	$420$	| $-1920$
$-10x$	=	$-1500$	|:($-10$)
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-480+\frac{7}{2}\cdot 150$

= $-480+525$

= $45$

also

y = 45

Die Lösung des LGS ist damit: (150|45)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 45