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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3x-y$ = $-9$.

Bestimme y so, dass (-1|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -1 in die Gleichung ein und erhält:

$3\cdot \left(-1\right)-y$ = $-9$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$3\cdot \left(-1\right)-y$	=	$-9$
$-3-y$	=	$-9$
$-y-3$	=	$-9$	| $+3$
$-y$	=	$-6$	|:($-1$)
$y$	=	$6$

Die Lösung ist somit: (-1|6)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3x-4y$ = $5$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-1|-2)
denn 3⋅( - 1 ) -4⋅( - 2 ) = -3 +8 = $5$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-5|-5)
denn 3⋅( - 5 ) -4⋅( - 5 ) = -15 +20 = $5$

Oder : (3|1)
denn 3⋅3 -4⋅1 = 9 -4 = $5$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-x& -3y& =& $ -13$& & & \text{(I)}\\ 4x& & =& $ -8$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-x& -3y& =& $ -13$& & & \text{(I)}\\ 4x& & =& $ -8$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$4x$	=	$-8$	|:$4$
$x$	=	$-2$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-x& -3y& =& $ -13$& & & \text{(I)}\\ x& & =& $ -2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $-2$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$-1·\left(-2\right)-3y$	=	$-13$
$2-3y$	=	$-13$
$-3y+2$	=	$-13$	| $-2$
$-3y$	=	$-15$	|:($-3$)
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $-2$

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-4x& +2y& =& $ -2$& & & \text{(I)}\\ x& -2y& =& $ -1$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-4x& +2y& =& $ -2$& & & \text{(I)}\\ x& -2y& =& $ -1$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x-2y$	=	$-1$	| $+2y$
$x$	=	$-1+2y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-4x& +2y& =& $ -2$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(-1+2y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-1+2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-4·\left(-1+2y\right)+2y$	=	$-2$
$4-8y+2y$	=	$-2$
$-6y+4$	=	$-2$	| $-4$
$-6y$	=	$-6$	|:($-6$)
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-1+2\cdot 1$

= $-1+2$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-5x& -3y& =& $ 27$& & & \text{(I)}\\ 3x& +3y& =& $ -21$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-5x& -3y& =& $ 27$& & & \text{(I)}\\ 3x& +3y& =& $ -21$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$-5x-3y$	=	$27$
$-3y-5x$	=	$27$	| $+5x$
$-3y$	=	$27+5x$	|:($-3$)
$y$	=	$-9-\frac{5}{3}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-9-\frac{5}{3}x\right)& & & \text{(I)}\\ 3x& +3y& =& $ -21$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-9-\frac{5}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x+3·\left(-9-\frac{5}{3}x\right)$	=	$-21$
$3x-27-5x$	=	$-21$
$-2x-27$	=	$-21$	| $+27$
$-2x$	=	$6$	|:($-2$)
$x$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-9-\frac{5}{3}\cdot \left(-3\right)$

= $-9+5$

= $-4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}\frac{1}{2}x& -2y& =& $ -11$& & & \text{(I)}\\ -2x& +\frac{2}{5}y& =& $ 6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}\frac{1}{2}x& -2y& =& $ -11$& & & \text{(I)}\\ -2x& +\frac{2}{5}y& =& $ 6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$\frac{1}{2}x-2y$	=	$-11$
$-2y+\frac{1}{2}x$	=	$-11$	|⋅ 2
$2\left(-2y+\frac{1}{2}x\right)$	=	$-22$
$-4y+x$	=	$-22$	| $-x$
$-4y$	=	$-22-x$	|:($-4$)
$y$	=	$\frac{11}{2}+\frac{1}{4}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(\frac{11}{2}+\frac{1}{4}x\right)& & & \text{(I)}\\ -2x& +\frac{2}{5}y& =& $ 6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{11}{2}+\frac{1}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x+\frac{2}{5}·\left(\frac{11}{2}+\frac{1}{4}x\right)$	=	$6$
$-2x+\frac{11}{5}+\frac{1}{10}x$	=	$6$
$-\frac{19}{10}x+\frac{11}{5}$	=	$6$	|⋅ 10
$10\left(-\frac{19}{10}x+\frac{11}{5}\right)$	=	$60$
$-19x+22$	=	$60$	| $-22$
$-19x$	=	$38$	|:($-19$)
$x$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{11}{2}+\frac{1}{4}\cdot \left(-2\right)$

= $\frac{11}{2}-\frac{1}{2}$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 5 und y = -5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x +5y = ?

6x +12y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:

2x +5y = 10 -25 = -15

6x +12y = 30 -60 = -30

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x +5y = -15

6x +12y = -30

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}-4x& -5y& =& $ 54$& & & \text{(I)}\\ -x& +5y& =& $ -24$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-4x& -5y& =& $ 54$& & & \text{(I)}\\ -x& +5y& =& $ -24$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$-x+5y$	=	$-24$	| $-5y$
$-x$	=	$-24-5y$	|:($-1$)
$x$	=	$24+5y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-4x& -5y& =& $ 54$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(24+5y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $24+5y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-4·\left(24+5y\right)-5y$	=	$54$
$-96-20y-5y$	=	$54$
$-25y-96$	=	$54$	| $+96$
$-25y$	=	$150$	|:($-25$)
$y$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $24+5\cdot \left(-6\right)$

= $24-30$

= $-6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-6)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 3 Stunden wandern. Danach hat sie 4 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 230 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 7 Stunden wandern und hat 2 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 940 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}3x& -4y& =& $ 230$& & & \text{(I)}\\ 7x& -2y& =& $ 940$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3x-4y$	=	$230$
$-4y+3x$	=	$230$	| $-3x$
$-4y$	=	$230-3x$	|:($-4$)
$y$	=	$-\frac{115}{2}+\frac{3}{4}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-\frac{115}{2}+\frac{3}{4}x\right)& & & \text{(I)}\\ 7x& -2y& =& $ 940$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{115}{2}+\frac{3}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$7x-2·\left(-\frac{115}{2}+\frac{3}{4}x\right)$	=	$940$
$7x+115-\frac{3}{2}x$	=	$940$
$\frac{11}{2}x+115$	=	$940$	|⋅ 2
$2\left(\frac{11}{2}x+115\right)$	=	$1880$
$11x+230$	=	$1880$	| $-230$
$11x$	=	$1650$	|:$11$
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{115}{2}+\frac{3}{4}\cdot 150$

= $-\frac{115}{2}+\frac{225}{2}$

= $55$

also

y = 55

Die Lösung des LGS ist damit: (150|55)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 55