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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4x-4y$ = 0.

Bestimme y so, dass (5|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 5 in die Gleichung ein und erhält:

$4\cdot 5-4y$ = 0

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$4\cdot 5-4y$	=	0
$20-4y$	=	0
$-4y+20$	=	0	| $-20$
$-4y$	=	$-20$	|:($-4$)
$y$	=	$5$

Die Lösung ist somit: (5|5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3x+3y$ = $18$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (6|0)
denn 3⋅6 +3⋅0 = 18 +0 = $18$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (9|-3)
denn 3⋅9 +3⋅( - 3 ) = 27 -9 = $18$

Oder : (3|3)
denn 3⋅3 +3⋅3 = 9 +9 = $18$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}& +3y& =& $ 6$& & & \text{(I)}\\ 3x& -y& =& $ -14$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}& +3y& =& $ 6$& & & \text{(I)}\\ 3x& -y& =& $ -14$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$3y$	=	$6$	|:$3$
$y$	=	$2$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& $ 2$& & & \text{(I)}\\ 3x& -y& =& $ -14$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $2$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x-1·2$	=	$-14$
$3x-2$	=	$-14$	| $+2$
$3x$	=	$-12$	|:$3$
$x$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $2$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& -2y& =& $ -2$& & & \text{(I)}\\ -2x& +y& =& $ 10$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}x& -2y& =& $ -2$& & & \text{(I)}\\ -2x& +y& =& $ 10$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$-2x+y$	=	$10$
$y-2x$	=	$10$	| $+2x$
$y$	=	$10+2x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& -2y& =& $ -2$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& \left(10+2x\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $10+2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x-2·\left(10+2x\right)$	=	$-2$
$x-20-4x$	=	$-2$
$-3x-20$	=	$-2$	| $+20$
$-3x$	=	$18$	|:($-3$)
$x$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $10+2\cdot \left(-6\right)$

= $10-12$

= $-2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}5x& +4y& =& $ 46$& & & \text{(I)}\\ x& -4y& =& $ -10$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}5x& +4y& =& $ 46$& & & \text{(I)}\\ x& -4y& =& $ -10$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x-4y$	=	$-10$	| $+4y$
$x$	=	$-10+4y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}5x& +4y& =& $ 46$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(-10+4y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-10+4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5·\left(-10+4y\right)+4y$	=	$46$
$-50+20y+4y$	=	$46$
$24y-50$	=	$46$	| $+50$
$24y$	=	$96$	|:$24$
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-10+4\cdot 4$

= $-10+16$

= $6$

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}\frac{1}{5}x& +\frac{1}{5}y& =& $ \frac{3}{5}$& & & \text{(I)}\\ \frac{1}{5}x& -\frac{1}{2}y& =& $ \frac{27}{10}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}\frac{1}{5}x& +\frac{1}{5}y& =& $ \frac{3}{5}$& & & \text{(I)}\\ \frac{1}{5}x& -\frac{1}{2}y& =& $ \frac{27}{10}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$\frac{1}{5}x+\frac{1}{5}y$	=	$\frac{3}{5}$
$\frac{1}{5}y+\frac{1}{5}x$	=	$\frac{3}{5}$	|⋅ 5
$5\left(\frac{1}{5}y+\frac{1}{5}x\right)$	=	$3$
$y+x$	=	$3$	| $-x$
$y$	=	$3-x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(3-x\right)& & & \text{(I)}\\ \frac{1}{5}x& -\frac{1}{2}y& =& $ \frac{27}{10}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $3-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{1}{5}x-\frac{1}{2}·\left(3-x\right)$	=	$\frac{27}{10}$
$\frac{1}{5}x-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}x$	=	$\frac{27}{10}$
$\frac{7}{10}x-\frac{3}{2}$	=	$\frac{27}{10}$	|⋅ 10
$10\left(\frac{7}{10}x-\frac{3}{2}\right)$	=	$27$
$7x-15$	=	$27$	| $+15$
$7x$	=	$42$	|:$7$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $3-6$

= $-3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 2 und y = 4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x -2y = ?

-2x -2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

-5x -2y = -10 -8 = -18

-2x -2y = -4 -8 = -12

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x -2y = -18

-2x -2y = -12

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}3x& -2y& =& $ 4$& & & \text{(I)}\\ -x& -3y& =& $ -16$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}3x& -2y& =& $ 4$& & & \text{(I)}\\ -x& -3y& =& $ -16$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$-x-3y$	=	$-16$	| $+3y$
$-x$	=	$-16+3y$	|:($-1$)
$x$	=	$16-3y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}3x& -2y& =& $ 4$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(16-3y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $16-3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(16-3y\right)-2y$	=	$4$
$48-9y-2y$	=	$4$
$-11y+48$	=	$4$	| $-48$
$-11y$	=	$-44$	|:($-11$)
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $16-3\cdot 4$

= $16-12$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|4)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 3-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 4. Wenn man aber vom 3-fachen von x 7 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -4. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& +3y& =& $ 4$& & & \text{(I)}\\ 3x& -7y& =& $ -4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+3y$	=	$4$	| $-3y$
$x$	=	$4-3y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(4-3y\right)& & & \text{(I)}\\ 3x& -7y& =& $ -4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $4-3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(4-3y\right)-7y$	=	$-4$
$12-9y-7y$	=	$-4$
$-16y+12$	=	$-4$	| $-12$
$-16y$	=	$-16$	|:($-16$)
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $4-3\cdot 1$

= $4-3$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|1)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 1

y (y-Wert): 1