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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4x+y$ = $-18$.

Bestimme y so, dass (-5|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -5 in die Gleichung ein und erhält:

$4\cdot \left(-5\right)+y$ = $-18$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$4\cdot \left(-5\right)+y$	=	$-18$
$-20+y$	=	$-18$
$y-20$	=	$-18$	| $+20$
$y$	=	$2$

Die Lösung ist somit: (-5|2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2x-5y$ = $17$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-4|-5)
denn 2⋅( - 4 ) -5⋅( - 5 ) = -8 +25 = $17$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-9|-7)
denn 2⋅( - 9 ) -5⋅( - 7 ) = -18 +35 = $17$

Oder : (1|-3)
denn 2⋅1 -5⋅( - 3 ) = 2 +15 = $17$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-2x& -2y& =& $ -2$& & & \text{(I)}\\ -4x& & =& $ -8$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-2x& -2y& =& $ -2$& & & \text{(I)}\\ -4x& & =& $ -8$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$-4x$	=	$-8$	|:($-4$)
$x$	=	$2$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-2x& -2y& =& $ -2$& & & \text{(I)}\\ x& & =& $ 2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $2$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$-2·2-2y$	=	$-2$
$-4-2y$	=	$-2$
$-2y-4$	=	$-2$	| $+4$
$-2y$	=	$2$	|:($-2$)
$y$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $2$

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}2x& +y& =& $ 1$& & & \text{(I)}\\ x& +4y& =& $ -3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}2x& +y& =& $ 1$& & & \text{(I)}\\ x& +4y& =& $ -3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+4y$	=	$-3$	| $-4y$
$x$	=	$-3-4y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}2x& +y& =& $ 1$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(-3-4y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-3-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(-3-4y\right)+y$	=	$1$
$-6-8y+y$	=	$1$
$-7y-6$	=	$1$	| $+6$
$-7y$	=	$7$	|:($-7$)
$y$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-3-4\cdot \left(-1\right)$

= $-3+4$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-2x& -y& =& $ 12$& & & \text{(I)}\\ -x& -4y& =& $ 6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-2x& -y& =& $ 12$& & & \text{(I)}\\ -x& -4y& =& $ 6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$-x-4y$	=	$6$	| $+4y$
$-x$	=	$6+4y$	|:($-1$)
$x$	=	$-6-4y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-2x& -y& =& $ 12$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(-6-4y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-6-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-2·\left(-6-4y\right)-y$	=	$12$
$12+8y-y$	=	$12$
$7y+12$	=	$12$	| $-12$
$7y$	=	0	|:$7$
$y$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-6-4\cdot 0$

= $-6+0$

= $-6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|0)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$3\left(x-1\right)$	=	$-21+4y$			(I)
$-4\left(x+6\right)+3y$	=	$6y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$3\left(x-1\right)$	=	$-21+4y$			(I)
$-4\left(x+6\right)+3y$	=	$6y$			(II)

$3x-3$	=	$-21+4y$	| + $3-4y$		(I)
$-4x-24+3y$	=	$6y$	| + $24-6y$		(II)

$\begin{array}{ccccccc}3x& -4y& =& $ -18$& & & \text{(I)}\\ -4x& -3y& =& $ 24$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3x-4y$	=	$-18$
$-4y+3x$	=	$-18$	| $-3x$
$-4y$	=	$-18-3x$	|:($-4$)
$y$	=	$\frac{9}{2}+\frac{3}{4}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(\frac{9}{2}+\frac{3}{4}x\right)& & & \text{(I)}\\ -4x& -3y& =& $ 24$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{9}{2}+\frac{3}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-4x-3·\left(\frac{9}{2}+\frac{3}{4}x\right)$	=	$24$
$-4x-\frac{27}{2}-\frac{9}{4}x$	=	$24$
$-\frac{25}{4}x-\frac{27}{2}$	=	$24$	|⋅ 4
$4\left(-\frac{25}{4}x-\frac{27}{2}\right)$	=	$96$
$-25x-54$	=	$96$	| $+54$
$-25x$	=	$150$	|:($-25$)
$x$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{9}{2}+\frac{3}{4}\cdot \left(-6\right)$

= $\frac{9}{2}-\frac{9}{2}$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|0)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 3 und y = -3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

4x +1y = ?

1x -2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 3 und y = -3 einsetzen und ausrechnen:

4x +1y = 12 -3 = 9

1x -2y = 3 +6 = 9

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

4x +1y = 9

1x -2y = 9

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}-3x& +12y& =& $ -9$& & & \text{(I)}\\ x& -4y& =& $ 3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-3x& +12y& =& $ -9$& & & \text{(I)}\\ x& -4y& =& $ 3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x-4y$	=	$3$	| $+4y$
$x$	=	$3+4y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-3x& +12y& =& $ -9$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(3+4y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $3+4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·\left(3+4y\right)+12y$	=	$-9$
$-9-12y+12y$	=	$-9$
$-9$	=	$-9$	| $+9$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von y gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 5 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 9 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 290 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 9 LED-Leuchtmittel und 9 Halogenleuchten zusammen 306 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}5x& +9y& =& $ 290$& & & \text{(I)}\\ 9x& +9y& =& $ 306$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5x+9y$	=	$290$
$9y+5x$	=	$290$	| $-5x$
$9y$	=	$290-5x$	|:$9$
$y$	=	$\frac{290}{9}-\frac{5}{9}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(\frac{290}{9}-\frac{5}{9}x\right)& & & \text{(I)}\\ 9x& +9y& =& $ 306$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{290}{9}-\frac{5}{9}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$9x+9·\left(\frac{290}{9}-\frac{5}{9}x\right)$	=	$306$
$9x+290-5x$	=	$306$
$4x+290$	=	$306$	| $-290$
$4x$	=	$16$	|:$4$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{290}{9}-\frac{5}{9}\cdot 4$

= $\frac{290}{9}-\frac{20}{9}$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (4|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 4

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 30