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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-2x+3y$ = $20$.

Bestimme y so, dass (-4|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -4 in die Gleichung ein und erhält:

$-2\cdot \left(-4\right)+3y$ = $20$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$-2\cdot \left(-4\right)+3y$	=	$20$
$8+3y$	=	$20$
$3y+8$	=	$20$	| $-8$
$3y$	=	$12$	|:$3$
$y$	=	$4$

Die Lösung ist somit: (-4|4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x+5y$ = $13$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-7|4)
denn 1⋅( - 7 ) +5⋅4 = -7 +20 = $13$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-2|3)
denn 1⋅( - 2 ) +5⋅3 = -2 +15 = $13$

Oder : (-12|5)
denn 1⋅( - 12 ) +5⋅5 = -12 +25 = $13$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-x& +3y& =& $ 21$& & & \text{(I)}\\ -4x& & =& $ 24$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-x& +3y& =& $ 21$& & & \text{(I)}\\ -4x& & =& $ 24$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$-4x$	=	$24$	|:($-4$)
$x$	=	$-6$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-x& +3y& =& $ 21$& & & \text{(I)}\\ x& & =& $ -6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $-6$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$-1·\left(-6\right)+3y$	=	$21$
$6+3y$	=	$21$
$3y+6$	=	$21$	| $-6$
$3y$	=	$15$	|:$3$
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $-6$

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& +4y& =& $ -10$& & & \text{(I)}\\ 2x& -2y& =& $ 10$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}x& +4y& =& $ -10$& & & \text{(I)}\\ 2x& -2y& =& $ 10$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+4y$	=	$-10$	| $-4y$
$x$	=	$-10-4y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(-10-4y\right)& & & \text{(I)}\\ 2x& -2y& =& $ 10$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $-10-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(-10-4y\right)-2y$	=	$10$
$-20-8y-2y$	=	$10$
$-10y-20$	=	$10$	| $+20$
$-10y$	=	$30$	|:($-10$)
$y$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $-10-4\cdot \left(-3\right)$

= $-10+12$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}2x& +4y& =& $ 0$& & & \text{(I)}\\ x& +4y& =& $ 2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}2x& +4y& =& $ 0$& & & \text{(I)}\\ x& +4y& =& $ 2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+4y$	=	$2$	| $-4y$
$x$	=	$2-4y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}2x& +4y& =& $ 0$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(2-4y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $2-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(2-4y\right)+4y$	=	0
$4-8y+4y$	=	0
$-4y+4$	=	0	| $-4$
$-4y$	=	$-4$	|:($-4$)
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $2-4\cdot 1$

= $2-4$

= $-2$

also

x = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}\frac{3}{4}x& -\frac{3}{4}y& =& $ \frac{3}{4}$& & & \text{(I)}\\ -x& -\frac{3}{4}y& =& $ \frac{5}{2}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}\frac{3}{4}x& -\frac{3}{4}y& =& $ \frac{3}{4}$& & & \text{(I)}\\ -x& -\frac{3}{4}y& =& $ \frac{5}{2}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$-x-\frac{3}{4}y$	=	$\frac{5}{2}$	|⋅ 4
$4\left(-x-\frac{3}{4}y\right)$	=	$10$
$-4x-3y$	=	$10$	| $+3y$
$-4x$	=	$10+3y$	|:($-4$)
$x$	=	$-\frac{5}{2}-\frac{3}{4}y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}\frac{3}{4}x& -\frac{3}{4}y& =& $ \frac{3}{4}$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(-\frac{5}{2}-\frac{3}{4}y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-\frac{5}{2}-\frac{3}{4}y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$\frac{3}{4}·\left(-\frac{5}{2}-\frac{3}{4}y\right)-\frac{3}{4}y$	=	$\frac{3}{4}$
$-\frac{15}{8}-\frac{9}{16}y-\frac{3}{4}y$	=	$\frac{3}{4}$
$-\frac{21}{16}y-\frac{15}{8}$	=	$\frac{3}{4}$	|⋅ 16
$16\left(-\frac{21}{16}y-\frac{15}{8}\right)$	=	$12$
$-21y-30$	=	$12$	| $+30$
$-21y$	=	$42$	|:($-21$)
$y$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-\frac{5}{2}-\frac{3}{4}\cdot \left(-2\right)$

= $-\frac{5}{2}+\frac{3}{2}$

= $-1$

also

x = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -3 und y = 4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x -1y = ?

-2x -2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

-4x -1y = 12 -4 = 8

-2x -2y = 6 -8 = -2

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x -1y = 8

-2x -2y = -2

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}3x& +4y& =& $ -3$& & & \text{(I)}\\ -9x& -12y& =& $ 8$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}3x& +4y& =& $ -3$& & & \text{(I)}\\ -9x& -12y& =& $ 8$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3x+4y$	=	$-3$
$4y+3x$	=	$-3$	| $-3x$
$4y$	=	$-3-3x$	|:$4$
$y$	=	$-\frac{3}{4}-\frac{3}{4}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-\frac{3}{4}-\frac{3}{4}x\right)& & & \text{(I)}\\ -9x& -12y& =& $ 8$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{3}{4}-\frac{3}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-9x-12·\left(-\frac{3}{4}-\frac{3}{4}x\right)$	=	$8$
$-9x+9+9x$	=	$8$
$9$	=	$8$	| $-9$
0	=	$-1$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 6 Stunden wandern. Danach hat sie 4 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 1680 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 7 Stunden wandern und hat 2 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 2040 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}6x& -4y& =& $ 1680$& & & \text{(I)}\\ 7x& -2y& =& $ 2040$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$6x-4y$	=	$1680$
$-4y+6x$	=	$1680$	| $-6x$
$-4y$	=	$1680-6x$	|:($-4$)
$y$	=	$-420+\frac{3}{2}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-420+\frac{3}{2}x\right)& & & \text{(I)}\\ 7x& -2y& =& $ 2040$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-420+\frac{3}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$7x-2·\left(-420+\frac{3}{2}x\right)$	=	$2040$
$7x+840-3x$	=	$2040$
$4x+840$	=	$2040$	| $-840$
$4x$	=	$1200$	|:$4$
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-420+\frac{3}{2}\cdot 300$

= $-420+450$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (300|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 30