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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: 4x -2y = 16 .

Bestimme x so, dass (x|-2) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -2 in die Gleichung ein und erhält:

4x -2( -2 ) = 16

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

4x -2( -2 ) = 16
4x +4 = 16 | -4
4x = 12 |:4
x = 3

Die Lösung ist somit: (3|-2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: 3x +2y = -14 .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (0|-7)
denn 3⋅0 +2( - 7 ) = 0 -14 = -14

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (2|-10)
denn 3⋅2 +2( - 10 ) = 6 -20 = -14

Oder : (-2|-4)
denn 3⋅( - 2 ) +2( - 4 ) = -6 -8 = -14

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

+4y = -4 (I) -x -4y = -1 (II)

Lösung einblenden
+4y = -4 (I) -x -4y = -1 (II)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

4y = -4 |:4
y = -1

Als neues LGS erhält man so:

+y = -1 (I) -x -4y = -1 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch -1 ersetzen und dann nach x auflösen:

-x -4 · ( -1 ) = -1
-x +4 = -1 | -4
-x = -5 |:(-1 )
x = 5

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

x +3y = 17 (I) 3x +y = 19 (II)

Lösung einblenden
x +3y = 17 (I) 3x +y = 19 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

3x + y = 19
y +3x = 19 | -3x
y = 19 -3x

Als neues LGS erhält man so:

x +3y = 17 (I) +y = ( 19 -3x ) (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( 19 -3x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

x + 3 · ( 19 -3x ) = 17
x +57 -9x = 17
-8x +57 = 17 | -57
-8x = -40 |:(-8 )
x = 5

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = 19 -35

= 19 -15

= 4

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (5|4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

-4x +4y = 0 (I) -x +2y = -1 (II)

Lösung einblenden
-4x +4y = 0 (I) -x +2y = -1 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

-x +2y = -1 | -2y
-x = -1 -2y |:(-1 )
x = 1 +2y

Als neues LGS erhält man so:

-4x +4y = 0 (I) x = ( 1 +2y ) (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( 1 +2y ) ersetzen und dann nach y auflösen:

-4 · ( 1 +2y ) +4y = 0
-4 -8y +4y = 0
-4y -4 = 0 | +4
-4y = 4 |:(-4 )
y = -1

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = 1 +2( -1 )

= 1 -2

= -1

also

x = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

x - 3 5 y = - 31 5 (I) 1 4 x - 1 5 y = - 33 20 (II)

Lösung einblenden
x - 3 5 y = - 31 5 (I) 1 4 x - 1 5 y = - 33 20 (II)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

x - 3 5 y = - 31 5 |⋅ 5
5( x - 3 5 y) = -31
5x -3y = -31 | +3y
5x = -31 +3y |:5
x = - 31 5 + 3 5 y

Als neues LGS erhält man so:

x = ( - 31 5 + 3 5 y ) (I) 1 4 x - 1 5 y = - 33 20 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( - 31 5 + 3 5 y ) ersetzen und dann nach y auflösen:

1 4 · ( - 31 5 + 3 5 y ) - 1 5 y = - 33 20
- 31 20 + 3 20 y - 1 5 y = - 33 20
- 1 20 y - 31 20 = - 33 20 |⋅ 20
20( - 1 20 y - 31 20 ) = -33
-y -31 = -33 | +31
-y = -2 |:(-1 )
y = 2

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = - 31 5 + 3 5 2

= - 31 5 + 6 5

= -5

also

x = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -5 und y = 4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x -1y = ?

-1x +4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

2x -1y = -10 -4 = -14

-1x +4y = 5 +16 = 21

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x -1y = -14

-1x +4y = 21

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

-4x +5y = 16 (I) -x +4y = 4 (II)

Lösung einblenden
-4x +5y = 16 (I) -x +4y = 4 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

-x +4y = 4 | -4y
-x = 4 -4y |:(-1 )
x = -4 +4y

Als neues LGS erhält man so:

-4x +5y = 16 (I) x = ( -4 +4y ) (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( -4 +4y ) ersetzen und dann nach y auflösen:

-4 · ( -4 +4y ) +5y = 16
16 -16y +5y = 16
-11y +16 = 16 | -16
-11y = 0 |:(-11 )
y = 0

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = -4 +4( 0 )

= -4 +0

= -4

also

x = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|0)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 9 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 4 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 187 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 9 LED-Leuchtmittel und 2 Halogenleuchten zusammen 107 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

9x +4y = 187 (I) 9x +2y = 107 (II)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

9x +4y = 187
4y +9x = 187 | -9x
4y = 187 -9x |:4
y = 187 4 - 9 4 x

Als neues LGS erhält man so:

+y = ( 187 4 - 9 4 x ) (I) 9x +2y = 107 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( 187 4 - 9 4 x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

9x + 2 · ( 187 4 - 9 4 x ) = 107
9x + 187 2 - 9 2 x = 107
9 2 x + 187 2 = 107 |⋅ 2
2( 9 2 x + 187 2 ) = 214
9x +187 = 214 | -187
9x = 27 |:9
x = 3

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = 187 4 - 9 4 3

= 187 4 - 27 4

= 40

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (3|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 3

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 40