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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-4x-4y$ = $4$.

Bestimme y so, dass (-3|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -3 in die Gleichung ein und erhält:

$-4\cdot \left(-3\right)-4y$ = $4$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$-4\cdot \left(-3\right)-4y$	=	$4$
$12-4y$	=	$4$
$-4y+12$	=	$4$	| $-12$
$-4y$	=	$-8$	|:($-4$)
$y$	=	$2$

Die Lösung ist somit: (-3|2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4x-4y$ = $-44$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-6|5)
denn 4⋅( - 6 ) -4⋅5 = -24 -20 = $-44$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-10|1)
denn 4⋅( - 10 ) -4⋅1 = -40 -4 = $-44$

Oder : (-2|9)
denn 4⋅( - 2 ) -4⋅9 = -8 -36 = $-44$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}& +2y& =& $ 10$& & & \text{(I)}\\ -3x& -2y& =& $ -4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}& +2y& =& $ 10$& & & \text{(I)}\\ -3x& -2y& =& $ -4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$2y$	=	$10$	|:$2$
$y$	=	$5$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& $ 5$& & & \text{(I)}\\ -3x& -2y& =& $ -4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $5$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x-2·5$	=	$-4$
$-3x-10$	=	$-4$	| $+10$
$-3x$	=	$6$	|:($-3$)
$x$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $5$

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-x& +y& =& $ -4$& & & \text{(I)}\\ x& -4y& =& $ -2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-x& +y& =& $ -4$& & & \text{(I)}\\ x& -4y& =& $ -2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x-4y$	=	$-2$	| $+4y$
$x$	=	$-2+4y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-x& +y& =& $ -4$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(-2+4y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-2+4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-1·\left(-2+4y\right)+y$	=	$-4$
$2-4y+y$	=	$-4$
$-3y+2$	=	$-4$	| $-2$
$-3y$	=	$-6$	|:($-3$)
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-2+4\cdot 2$

= $-2+8$

= $6$

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}3x& +2y& =& $ 15$& & & \text{(I)}\\ x& -y& =& $ -5$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}3x& +2y& =& $ 15$& & & \text{(I)}\\ x& -y& =& $ -5$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$x-y$	=	$-5$
$-y+x$	=	$-5$	| $-x$
$-y$	=	$-5-x$	|:($-1$)
$y$	=	$5+x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}3x& +2y& =& $ 15$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& \left(5+x\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $5+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x+2·\left(5+x\right)$	=	$15$
$3x+10+2x$	=	$15$
$5x+10$	=	$15$	| $-10$
$5x$	=	$5$	|:$5$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $5+1$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (1|6)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& -y& =& $ -11$& & & \text{(I)}\\ \frac{3}{2}x& -3y& =& $ -24$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}x& -y& =& $ -11$& & & \text{(I)}\\ \frac{3}{2}x& -3y& =& $ -24$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$x-y$	=	$-11$
$-y+x$	=	$-11$	| $-x$
$-y$	=	$-11-x$	|:($-1$)
$y$	=	$11+x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(11+x\right)& & & \text{(I)}\\ \frac{3}{2}x& -3y& =& $ -24$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $11+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{3}{2}x-3·\left(11+x\right)$	=	$-24$
$\frac{3}{2}x-33-3x$	=	$-24$
$-\frac{3}{2}x-33$	=	$-24$	|⋅ 2
$2\left(-\frac{3}{2}x-33\right)$	=	$-48$
$-3x-66$	=	$-48$	| $+66$
$-3x$	=	$18$	|:($-3$)
$x$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $11-6$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 4 und y = 5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-3x +2y = ?

-4x +4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 4 und y = 5 einsetzen und ausrechnen:

-3x +2y = -12 +10 = -2

-4x +4y = -16 +20 = 4

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-3x +2y = -2

-4x +4y = 4

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}-x& +5y& =& $ -12$& & & \text{(I)}\\ -3x& -y& =& $ -4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-x& +5y& =& $ -12$& & & \text{(I)}\\ -3x& -y& =& $ -4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$-3x-y$	=	$-4$
$-y-3x$	=	$-4$	| $+3x$
$-y$	=	$-4+3x$	|:($-1$)
$y$	=	$4-3x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-x& +5y& =& $ -12$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& \left(4-3x\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $4-3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-x+5·\left(4-3x\right)$	=	$-12$
$-x+20-15x$	=	$-12$
$-16x+20$	=	$-12$	| $-20$
$-16x$	=	$-32$	|:($-16$)
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $4-3\cdot 2$

= $4-6$

= $-2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-2)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 6-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 32. Wenn man aber vom 6-fachen von x 4 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -8. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& +6y& =& $ 32$& & & \text{(I)}\\ 6x& -4y& =& $ -8$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+6y$	=	$32$	| $-6y$
$x$	=	$32-6y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(32-6y\right)& & & \text{(I)}\\ 6x& -4y& =& $ -8$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $32-6y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$6·\left(32-6y\right)-4y$	=	$-8$
$192-36y-4y$	=	$-8$
$-40y+192$	=	$-8$	| $-192$
$-40y$	=	$-200$	|:($-40$)
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $32-6\cdot 5$

= $32-30$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|5)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 2

y (y-Wert): 5