• Klasse 5
  • Daten
  • Natürliche Zahlen
    • Zahlenstrahl
    • Große Zahlen im Zehnersystem
    • Runden von Zahlen
    • Zahlensysteme
    • Grundrechenarten
      • Kopfrechnen
      • Schriftlich
    • Rechenregeln
      • Klammern
      • Punkt vor Strich
      • Rechenreihenfolge
      • Potenzen
      • Ausmultiplizieren, Ausklammern
  • Geometrie
    • Koordinatensystem
    • Abstände
    • Symmetrische Figuren
    • Vierecke
    • Kreis
    • Winkel
    • Flächen
  • Sachrechnen
    • Geld
    • Zeit
    • Gewicht
    • Länge
    • Maßstab
• Klasse 6
  • Brüche und Bruchrechnen
    • Teilbarkeit
    • Bruchverständnis
      • Brüche erkennen
      • am Zahlenstrahl
      • Brüche umwandeln
    • Erweitern und Kürzen
    • Brüche vergleichen und ordnen
    • Brüche und Größen
    • Addieren und Subtrahieren
    • Multiplizieren
    • Dividieren
    • Punkt vor Strich. Klammern
  • Dezimalzahlen
    • Dezimalschreibweise
    • Vergleichen und Ordnen
    • Runden
    • Wechsel der Darstellung
    • Addieren und Subtrahieren
    • Multiplizieren und Dividieren
    • Verbindung der Rechenarten
  • Terme und Gleichungen
    • Terme mit Variablen
    • Gleichungen
  • Zuordnungen
    • proportionale Zuordnung
    • Dreisatz
  • Rationale Zahlen
    • Zahlenstrahl
    • vergleichen und ordnen
    • Zunahme und Abnahme
    • Koordinatensystem
  • Geometrie
    • Körper
  • Daten
• Klasse 7
  • Rationale Zahlen
    • vergleichen und ordnen
    • Strichrechnung
    • Punktrechnung
    • Rechenregeln
    • Zahlterme
    • Kombi-Aufgaben
    • negative Brüche
  • Geometrie
    • Winkel
      • an Parallelen
      • Winkelsumme
      • gleichschenkl. Dr.
      • Thaleskreis
    • Dreiecke konstruieren
    • In- und Umkreis
    • Vierecke
  • Algebra
    • Terme
    • lineare Gleichungen
  • Dreisatz, (anti)proportional
    • Antiproportionale Zuordnung
    • Proportionale Zuordnung
  • Prozentrechnung
    • Prozentsatz bestimmen
    • Prozentwert bestimmen
    • Grundwert bestimmen
  • Wahrscheinlichkeit / Daten
• Klasse 8
  • Terme
    • Ausmultiplizieren, Ausklammern
    • Binomische Formeln
    • Terme einsetzen
    • Terme aufstellen
    • Terme vereinfachen
  • Bruchgleichungen
  • Geometrie
    • Umfang und Flächeninhalt
    • Körper
  • Lineare Funktionen
  • LGS
  • Prozent- und Zinsrechnung
    • Prozentsatz, -wert, Grundwert
    • Vermehrter / verminderter Grundwert
    • Zinsrechnen (Zinseszinsen)
  • Daten / Boxplots
• Klasse 9
  • Algebra
    • Potenzen
    • Wurzeln
      • Quadratwurzeln ohne WTR
      • Rechnen mit Quadratwurzeln
        • Teilweises Wurzelziehen
      • Kubikwurzel
    • Quadratische Gleichungen
      • Bruchgleichungen
      • rein quadratische Gleichungen
      • gemischt quadratische Gleichungen
        • Nullprodukt
        • Lösungsformel
        • quadratische Ergänzung
      • Ungleichungen
      • Wurzelgleichungen
    • lineare Bruchgleichungen
  • Geometrie
    • Ähnlichkeit u. zentrische Streckung
    • Stahlensätze
      • 1. Strahlensatz
      • 2. Strahlensatz
    • Satz des Pythagoras
      • Grundaufgaben
      • in ebenen Figuren
      • in Körpern
    • Kreise
      • Umfang und Fläche
      • Kreisausschnitte
      • Anwendungen
    • Körper
      • Prismen
      • Zylinder
      • Pyramiden
  • Lineare und quadratische Funktionen
    • Lineare Funktionen
    • Quadratische Funktionen
      • Normalparabel
      • Streckung
      • Scheitelform, Termbestimmung
      • Nullstellen, Schnittpunkte
      • Modellieren
  • Zufall und Wahrscheinlichkeit
    • Kombinatorik
    • Einstufige Zufallsexperimente
• Klasse 10
  • Trigonometrie
    • am rechtwinkligen Dreieck
    • am allgemeinen Dreieck
    • Anwendungen
    • im Raum
    • am Einheitskreis
    • Bogenmaß/Funktionen
  • Algebra
    • Zehnerpotenzen
    • Potenzgesetze
    • Potenzen mit rationalen Hochzahlen
    • Exponentialrechnung
      • Zinsen, Zinseszinsen
      • Exponentielle(s) Wachstum / Abnahme
      • Logarithmus
  • Geometrie
    • Kegel
    • Kugel
    • Zusammengesetzte Körper
  • Zufall und Wahrscheinlichkeit
    • Erwartungswert
    • Zufallsexperimente mit Zurücklegen
    • Zufallsexperimente ohne Zurücklegen
• Fit für die Oberstufe
  • Potenzfunktionen
  • Exponentialfunktion
  • Vier-Felder-Tafel

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3x+2y$ = $11$.

Bestimme y so, dass (7|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 7 in die Gleichung ein und erhält:

$3\cdot 7+2y$ = $11$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$3\cdot 7+2y$	=	$11$
$21+2y$	=	$11$
$2y+21$	=	$11$	| $-21$
$2y$	=	$-10$	|:$2$
$y$	=	$-5$

Die Lösung ist somit: (7|-5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5x-5y$ = $-25$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-2|3)
denn 5⋅( - 2 ) -5⋅3 = -10 -15 = $-25$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-7|-2)
denn 5⋅( - 7 ) -5⋅( - 2 ) = -35 +10 = $-25$

Oder : (3|8)
denn 5⋅3 -5⋅8 = 15 -40 = $-25$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}& -3y& =& $ 3$& & & \text{(I)}\\ 4x& +y& =& $ -21$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}& -3y& =& $ 3$& & & \text{(I)}\\ 4x& +y& =& $ -21$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$-3y$	=	$3$	|:($-3$)
$y$	=	$-1$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& $ -1$& & & \text{(I)}\\ 4x& +y& =& $ -21$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $-1$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x+1·\left(-1\right)$	=	$-21$
$4x-1$	=	$-21$	| $+1$
$4x$	=	$-20$	|:$4$
$x$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $-1$

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}3x& +2y& =& $ -23$& & & \text{(I)}\\ x& +2y& =& $ -13$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}3x& +2y& =& $ -23$& & & \text{(I)}\\ x& +2y& =& $ -13$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+2y$	=	$-13$	| $-2y$
$x$	=	$-13-2y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}3x& +2y& =& $ -23$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(-13-2y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-13-2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(-13-2y\right)+2y$	=	$-23$
$-39-6y+2y$	=	$-23$
$-4y-39$	=	$-23$	| $+39$
$-4y$	=	$16$	|:($-4$)
$y$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-13-2\cdot \left(-4\right)$

= $-13+8$

= $-5$

also

x = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}4x& +y& =& $ -8$& & & \text{(I)}\\ 2x& -5y& =& $ 18$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}4x& +y& =& $ -8$& & & \text{(I)}\\ 2x& -5y& =& $ 18$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4x+y$	=	$-8$
$y+4x$	=	$-8$	| $-4x$
$y$	=	$-8-4x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-8-4x\right)& & & \text{(I)}\\ 2x& -5y& =& $ 18$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-8-4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x-5·\left(-8-4x\right)$	=	$18$
$2x+40+20x$	=	$18$
$22x+40$	=	$18$	| $-40$
$22x$	=	$-22$	|:$22$
$x$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-8-4\cdot \left(-1\right)$

= $-8+4$

= $-4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$2y$	=	$x-4+y$			(I)
$2x$	=	$23+5y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$2y$	=	$x-4+y$	| $-x-y$		(I)
$2x$	=	$23+5y$	| $-5y$		(II)

$\begin{array}{ccccccc}-x& +y& =& $ -4$& & & \text{(I)}\\ 2x& -5y& =& $ 23$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$-x+y$	=	$-4$
$y-x$	=	$-4$	| $+x$
$y$	=	$-4+x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-4+x\right)& & & \text{(I)}\\ 2x& -5y& =& $ 23$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-4+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x-5·\left(-4+x\right)$	=	$23$
$2x+20-5x$	=	$23$
$-3x+20$	=	$23$	| $-20$
$-3x$	=	$3$	|:($-3$)
$x$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-4-1$

= $-5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 3 und y = -1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

1x -3y = ?

5x -13y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 3 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

1x -3y = 3 +3 = 6

5x -13y = 15 +13 = 28

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

1x -3y = 6

5x -13y = 28

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}2x& +5y& =& $ -33$& & & \text{(I)}\\ -x& +2y& =& $ -6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}2x& +5y& =& $ -33$& & & \text{(I)}\\ -x& +2y& =& $ -6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$-x+2y$	=	$-6$	| $-2y$
$-x$	=	$-6-2y$	|:($-1$)
$x$	=	$6+2y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}2x& +5y& =& $ -33$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(6+2y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $6+2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(6+2y\right)+5y$	=	$-33$
$12+4y+5y$	=	$-33$
$9y+12$	=	$-33$	| $-12$
$9y$	=	$-45$	|:$9$
$y$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $6+2\cdot \left(-5\right)$

= $6-10$

= $-4$

also

x = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-5)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 8 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 9 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 392 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 4 LED-Leuchtmittel und 3 Halogenleuchten zusammen 136 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}8x& +9y& =& $ 392$& & & \text{(I)}\\ 4x& +3y& =& $ 136$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$8x+9y$	=	$392$
$9y+8x$	=	$392$	| $-8x$
$9y$	=	$392-8x$	|:$9$
$y$	=	$\frac{392}{9}-\frac{8}{9}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(\frac{392}{9}-\frac{8}{9}x\right)& & & \text{(I)}\\ 4x& +3y& =& $ 136$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{392}{9}-\frac{8}{9}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x+3·\left(\frac{392}{9}-\frac{8}{9}x\right)$	=	$136$
$4x+\frac{392}{3}-\frac{8}{3}x$	=	$136$
$\frac{4}{3}x+\frac{392}{3}$	=	$136$	|⋅ 3
$3\left(\frac{4}{3}x+\frac{392}{3}\right)$	=	$408$
$4x+392$	=	$408$	| $-392$
$4x$	=	$16$	|:$4$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{392}{9}-\frac{8}{9}\cdot 4$

= $\frac{392}{9}-\frac{32}{9}$

= $40$

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (4|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 4

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 40