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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3x-5y$ = $-12$.

Bestimme x so, dass (x|3) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 3 in die Gleichung ein und erhält:

$3x-5\cdot 3$ = $-12$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$3x-5\cdot 3$	=	$-12$
$3x-15$	=	$-12$	| $+15$
$3x$	=	$3$	|:$3$
$x$	=	$1$

Die Lösung ist somit: (1|3)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-3x-3y$ = $21$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-3|-4)
denn -3⋅( - 3 ) -3⋅( - 4 ) = 9 +12 = $21$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-6|-1)
denn -3⋅( - 6 ) -3⋅( - 1 ) = 18 +3 = $21$

Oder : (0|-7)
denn -3⋅0 -3⋅( - 7 ) = 0 +21 = $21$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-3x& +y& =& $ -15$& & & \text{(I)}\\ & +4y& =& $ 12$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-3x& +y& =& $ -15$& & & \text{(I)}\\ & +4y& =& $ 12$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$4y$	=	$12$	|:$4$
$y$	=	$3$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-3x& +y& =& $ -15$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& $ 3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $3$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x+1·3$	=	$-15$
$-3x+3$	=	$-15$	| $-3$
$-3x$	=	$-18$	|:($-3$)
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $3$

Die Lösung des LGS ist damit: (6|3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& +3y& =& $ -9$& & & \text{(I)}\\ 3x& +3y& =& $ -3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}x& +3y& =& $ -9$& & & \text{(I)}\\ 3x& +3y& =& $ -3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+3y$	=	$-9$	| $-3y$
$x$	=	$-9-3y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(-9-3y\right)& & & \text{(I)}\\ 3x& +3y& =& $ -3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $-9-3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(-9-3y\right)+3y$	=	$-3$
$-27-9y+3y$	=	$-3$
$-6y-27$	=	$-3$	| $+27$
$-6y$	=	$24$	|:($-6$)
$y$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $-9-3\cdot \left(-4\right)$

= $-9+12$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& -3y& =& $ 0$& & & \text{(I)}\\ 5x& -4y& =& $ 22$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}x& -3y& =& $ 0$& & & \text{(I)}\\ 5x& -4y& =& $ 22$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x-3y$	=	0	| $+3y$
$x$	=	$3y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& 3y& & & \text{(I)}\\ 5x& -4y& =& $ 22$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $3y$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$5·3y-4y$	=	$22$
$15y-4y$	=	$22$
$11y$	=	$22$	|:$11$
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $3\cdot 2$

= $6$

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$-x$	=	$-2\left(7+2y\right)$			(I)
$4\left(x-1\right)$	=	$-x-19+3y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$-x$	=	$-2\left(7+2y\right)$			(I)
$4\left(x-1\right)$	=	$-x-19+3y$			(II)

$-x$	=	$-14-4y$	| + $4y$		(I)
$4x-4$	=	$-x-19+3y$	| + $4+x-3y$		(II)

$\begin{array}{ccccccc}-x& +4y& =& $ -14$& & & \text{(I)}\\ 5x& -3y& =& $ -15$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$-x+4y$	=	$-14$	| $-4y$
$-x$	=	$-14-4y$	|:($-1$)
$x$	=	$14+4y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(14+4y\right)& & & \text{(I)}\\ 5x& -3y& =& $ -15$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $14+4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5·\left(14+4y\right)-3y$	=	$-15$
$70+20y-3y$	=	$-15$
$17y+70$	=	$-15$	| $-70$
$17y$	=	$-85$	|:$17$
$y$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $14+4\cdot \left(-5\right)$

= $14-20$

= $-6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 3 und y = 5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x +5y = ?

7x +6y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 3 und y = 5 einsetzen und ausrechnen:

5x +5y = 15 +25 = 40

7x +6y = 21 +30 = 51

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x +5y = 40

7x +6y = 51

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}-4x& +16y& =& $ 8$& & & \text{(I)}\\ x& -4y& =& $ -2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-4x& +16y& =& $ 8$& & & \text{(I)}\\ x& -4y& =& $ -2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x-4y$	=	$-2$	| $+4y$
$x$	=	$-2+4y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-4x& +16y& =& $ 8$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(-2+4y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-2+4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-4·\left(-2+4y\right)+16y$	=	$8$
$8-16y+16y$	=	$8$
$8$	=	$8$	| $-8$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von y gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 6-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 7. Wenn man aber vom 2-fachen von x 7 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -5. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& +6y& =& $ 7$& & & \text{(I)}\\ 2x& -7y& =& $ -5$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+6y$	=	$7$	| $-6y$
$x$	=	$7-6y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(7-6y\right)& & & \text{(I)}\\ 2x& -7y& =& $ -5$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $7-6y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(7-6y\right)-7y$	=	$-5$
$14-12y-7y$	=	$-5$
$-19y+14$	=	$-5$	| $-14$
$-19y$	=	$-19$	|:($-19$)
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $7-6\cdot 1$

= $7-6$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|1)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 1

y (y-Wert): 1