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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 4 x + 5 y$ = $- 63$ .

Bestimme x so, dass (x|-7) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -7 in die Gleichung ein und erhält:

$- 4 x + 5 \cdot (- 7)$ = $- 63$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 4 x + 5 \cdot (- 7)$	=	$- 63$
$- 4 x - 35$	=	$- 63$	\| $+ 35$
$- 4 x$	=	$- 28$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$7$

Die Lösung ist somit: (7|-7)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x - 2 y$ = $20$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (4|-2)
denn 4⋅4 -2⋅( - 2 ) = 16 +4 = $20$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (2|-6)
denn 4⋅2 -2⋅( - 6 ) = 8 +12 = $20$

Oder : (6|2)
denn 4⋅6 -2⋅2 = 24 -4 = $20$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & - 3 y & = & - 3 & (I) \\ - 2 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & - 3 y & = & - 3 & (I) \\ - 2 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 2 y$	=	$- 10$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$5$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 4 x & - 3 y & = & - 3 & (I) \\ + y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $5$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 3 \cdot 5$	=	$- 3$
$4 x - 15$	=	$- 3$	\| $+ 15$
$4 x$	=	$12$	\|: $4$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $5$

Die Lösung des LGS ist damit: (3|5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & - 9 & (I) \\ - 2 x & - y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 2 y & = & - 9 & (I) \\ - 2 x & - y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x - y$	=	$6$
$- y - 2 x$	=	$6$	\| $+ 2 x$
$- y$	=	$6 + 2 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 6 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & - 9 & (I) \\ + y & = & (- 6 - 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 6 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x + 2 \cdot (- 6 - 2 x)$	=	$- 9$
$x - 12 - 4 x$	=	$- 9$
$- 3 x - 12$	=	$- 9$	\| $+ 12$
$- 3 x$	=	$3$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 6 - 2 \cdot (- 1)$

= $- 6 + 2$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & - 3 y & = & - 3 & (I) \\ 4 x & + 5 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - 3 y & = & - 3 & (I) \\ 4 x & + 5 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 3 x - 3 y$	=	$- 3$
$- 3 y - 3 x$	=	$- 3$	\| $+ 3 x$
$- 3 y$	=	$- 3 + 3 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$1 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (1 - x) & (I) \\ 4 x & + 5 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $1 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 5 \cdot (1 - x)$	=	$8$
$4 x + 5 - 5 x$	=	$8$
$- x + 5$	=	$8$	\| $- 5$
$- x$	=	$3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $1 - (- 3)$

= $1 + 3$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 5 x + 3 (4 + y)$	=	$7 y$			(I)
$x + 4 (3 + y)$	=	$2 x$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 5 x + 3 (4 + y)$	=	$7 y$			(I)
$x + 4 (3 + y)$	=	$2 x$			(II)

$- 5 x + 12 + 3 y$	=	$7 y$	\| $- 12 - 7 y$		(I)
$x + 12 + 4 y$	=	$2 x$	\| $- 12 - 2 x$		(II)

\begin{matrix} - 5 x & - 4 y & = & - 12 & (I) \\ - x & + 4 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 4 y$	=	$- 12$	\| $- 4 y$
$- x$	=	$- 12 - 4 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$12 + 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 5 x & - 4 y & = & - 12 & (I) \\ x & = & (12 + 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $12 + 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 5 \cdot (12 + 4 y) - 4 y$	=	$- 12$
$- 60 - 20 y - 4 y$	=	$- 12$
$- 24 y - 60$	=	$- 12$	\| $+ 60$
$- 24 y$	=	$48$	\|:( $- 24$ )
$y$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $12 + 4 \cdot (- 2)$

= $12 - 8$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -3 und y = 2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x -5y = ?

2x +3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = 2 einsetzen und ausrechnen:

-2x -5y = 6 -10 = -4

2x +3y = -6 +6 = 0

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x -5y = -4

2x +3y = 0

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 4 x & - 4 y & = & - 48 & (I) \\ 4 x & - 2 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - 4 y & = & - 48 & (I) \\ 4 x & - 2 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 4 x - 4 y$	=	$- 48$
$- 4 y - 4 x$	=	$- 48$	\| $+ 4 x$
$- 4 y$	=	$- 48 + 4 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$12 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (12 - x) & (I) \\ 4 x & - 2 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $12 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 2 \cdot (12 - x)$	=	$12$
$4 x - 24 + 2 x$	=	$12$
$6 x - 24$	=	$12$	\| $+ 24$
$6 x$	=	$36$	\|: $6$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $12 - 6$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|6)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 7 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 5 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 192 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 7 LED-Leuchtmittel und 4 Halogenleuchten zusammen 162 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 7 x & + 5 y & = & 192 & (I) \\ 7 x & + 4 y & = & 162 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$7 x + 5 y$	=	$192$
$5 y + 7 x$	=	$192$	\| $- 7 x$
$5 y$	=	$192 - 7 x$	\|: $5$
$y$	=	$\frac{192}{5} - \frac{7}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{192}{5} - \frac{7}{5} x) & (I) \\ 7 x & + 4 y & = & 162 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{192}{5} - \frac{7}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$7 x + 4 \cdot (\frac{192}{5} - \frac{7}{5} x)$	=	$162$
$7 x + \frac{768}{5} - \frac{28}{5} x$	=	$162$
$\frac{7}{5} x + \frac{768}{5}$	=	$162$	\|⋅ 5
$5 (\frac{7}{5} x + \frac{768}{5})$	=	$810$
$7 x + 768$	=	$810$	\| $- 768$
$7 x$	=	$42$	\|: $7$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{192}{5} - \frac{7}{5} \cdot 6$

= $\frac{192}{5} - \frac{42}{5}$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (6|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 6

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 30

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden (offen)

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

LGS (Standard)

LGS (vorher umformen)

LGS zu Lösungen finden

LGS Lösungsvielfalt erkennen

LGS Anwendungen