• Klasse 5
  • Daten
  • Natürliche Zahlen
    • Zahlenstrahl
    • Große Zahlen im Zehnersystem
    • Runden von Zahlen
    • Zahlensysteme
    • Grundrechenarten
      • Kopfrechnen
      • Schriftlich
    • Rechenregeln
      • Klammern
      • Punkt vor Strich
      • Rechenreihenfolge
      • Potenzen
      • Ausmultiplizieren, Ausklammern
  • Geometrie
    • Koordinatensystem
    • Abstände
    • Symmetrische Figuren
    • Vierecke
    • Kreis
    • Winkel
    • Flächen
  • Sachrechnen
    • Geld
    • Zeit
    • Gewicht
    • Länge
    • Maßstab
• Klasse 6
  • Brüche und Bruchrechnen
    • Teilbarkeit
    • Bruchverständnis
      • Brüche erkennen
      • am Zahlenstrahl
      • Brüche umwandeln
    • Erweitern und Kürzen
    • Brüche vergleichen und ordnen
    • Brüche und Größen
    • Addieren und Subtrahieren
    • Multiplizieren
    • Dividieren
    • Punkt vor Strich. Klammern
  • Dezimalzahlen
    • Dezimalschreibweise
    • Vergleichen und Ordnen
    • Runden
    • Wechsel der Darstellung
    • Addieren und Subtrahieren
    • Multiplizieren und Dividieren
    • Verbindung der Rechenarten
  • Terme und Gleichungen
    • Terme mit Variablen
    • Gleichungen
  • Zuordnungen
    • proportionale Zuordnung
    • Dreisatz
  • Rationale Zahlen
    • Zahlenstrahl
    • vergleichen und ordnen
    • Zunahme und Abnahme
    • Koordinatensystem
  • Geometrie
    • Körper
  • Daten
• Klasse 7
  • Rationale Zahlen
    • vergleichen und ordnen
    • Strichrechnung
    • Punktrechnung
    • Rechenregeln
    • Zahlterme
    • Kombi-Aufgaben
    • negative Brüche
  • Geometrie
    • Winkel
      • an Parallelen
      • Winkelsumme
      • gleichschenkl. Dr.
      • Thaleskreis
    • Dreiecke konstruieren
    • In- und Umkreis
    • Vierecke
  • Algebra
    • Terme
    • lineare Gleichungen
  • Dreisatz, (anti)proportional
    • Antiproportionale Zuordnung
    • Proportionale Zuordnung
  • Prozentrechnung
    • Prozentsatz bestimmen
    • Prozentwert bestimmen
    • Grundwert bestimmen
  • Wahrscheinlichkeit / Daten
• Klasse 8
  • Terme
    • Ausmultiplizieren, Ausklammern
    • Binomische Formeln
    • Terme einsetzen
    • Terme aufstellen
    • Terme vereinfachen
  • Bruchgleichungen
  • Geometrie
    • Umfang und Flächeninhalt
    • Körper
  • Lineare Funktionen
  • LGS
  • Prozent- und Zinsrechnung
    • Prozentsatz, -wert, Grundwert
    • Vermehrter / verminderter Grundwert
    • Zinsrechnen (Zinseszinsen)
  • Daten / Boxplots
• Klasse 9
  • Algebra
    • Potenzen
    • Wurzeln
      • Quadratwurzeln ohne WTR
      • Rechnen mit Quadratwurzeln
        • Teilweises Wurzelziehen
      • Kubikwurzel
    • Quadratische Gleichungen
      • Bruchgleichungen
      • rein quadratische Gleichungen
      • gemischt quadratische Gleichungen
        • Nullprodukt
        • Lösungsformel
        • quadratische Ergänzung
      • Ungleichungen
      • Wurzelgleichungen
    • lineare Bruchgleichungen
  • Geometrie
    • Ähnlichkeit u. zentrische Streckung
    • Stahlensätze
      • 1. Strahlensatz
      • 2. Strahlensatz
    • Satz des Pythagoras
      • Grundaufgaben
      • in ebenen Figuren
      • in Körpern
    • Kreise
      • Umfang und Fläche
      • Kreisausschnitte
      • Anwendungen
    • Körper
      • Prismen
      • Zylinder
      • Pyramiden
  • Lineare und quadratische Funktionen
    • Lineare Funktionen
    • Quadratische Funktionen
      • Normalparabel
      • Streckung
      • Scheitelform, Termbestimmung
      • Nullstellen, Schnittpunkte
      • Modellieren
  • Zufall und Wahrscheinlichkeit
    • Kombinatorik
    • Einstufige Zufallsexperimente
• Klasse 10
  • Trigonometrie
    • am rechtwinkligen Dreieck
    • am allgemeinen Dreieck
    • Anwendungen
    • im Raum
    • am Einheitskreis
    • Bogenmaß/Funktionen
  • Algebra
    • Zehnerpotenzen
    • Potenzgesetze
    • Potenzen mit rationalen Hochzahlen
    • Exponentialrechnung
      • Zinsen, Zinseszinsen
      • Exponentielle(s) Wachstum / Abnahme
      • Logarithmus
  • Geometrie
    • Kegel
    • Kugel
    • Zusammengesetzte Körper
  • Zufall und Wahrscheinlichkeit
    • Erwartungswert
    • Zufallsexperimente mit Zurücklegen
    • Zufallsexperimente ohne Zurücklegen
• Fit für die Oberstufe
  • Potenzfunktionen
  • Exponentialfunktion
  • Vier-Felder-Tafel

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3x-5y$ = $34$.

Bestimme y so, dass (3|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 3 in die Gleichung ein und erhält:

$3\cdot 3-5y$ = $34$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$3\cdot 3-5y$	=	$34$
$9-5y$	=	$34$
$-5y+9$	=	$34$	| $-9$
$-5y$	=	$25$	|:($-5$)
$y$	=	$-5$

Die Lösung ist somit: (3|-5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-3x-4y$ = $16$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (0|-4)
denn -3⋅0 -4⋅( - 4 ) = 0 +16 = $16$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-4|-1)
denn -3⋅( - 4 ) -4⋅( - 1 ) = 12 +4 = $16$

Oder : (4|-7)
denn -3⋅4 -4⋅( - 7 ) = -12 +28 = $16$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& -4y& =& $ 24$& & & \text{(I)}\\ & +2y& =& $ -10$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}x& -4y& =& $ 24$& & & \text{(I)}\\ & +2y& =& $ -10$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$2y$	=	$-10$	|:$2$
$y$	=	$-5$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& -4y& =& $ 24$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& $ -5$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $-5$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$x-4·\left(-5\right)$	=	$24$
$x+20$	=	$24$	| $-20$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $-5$

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-3x& +y& =& $ 18$& & & \text{(I)}\\ 4x& +3y& =& $ -11$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-3x& +y& =& $ 18$& & & \text{(I)}\\ 4x& +3y& =& $ -11$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$-3x+y$	=	$18$
$y-3x$	=	$18$	| $+3x$
$y$	=	$18+3x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(18+3x\right)& & & \text{(I)}\\ 4x& +3y& =& $ -11$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $18+3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x+3·\left(18+3x\right)$	=	$-11$
$4x+54+9x$	=	$-11$
$13x+54$	=	$-11$	| $-54$
$13x$	=	$-65$	|:$13$
$x$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $18+3\cdot \left(-5\right)$

= $18-15$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-5x& +5y& =& $ -55$& & & \text{(I)}\\ 5x& -3y& =& $ 43$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-5x& +5y& =& $ -55$& & & \text{(I)}\\ 5x& -3y& =& $ 43$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$-5x+5y$	=	$-55$
$5y-5x$	=	$-55$	| $+5x$
$5y$	=	$-55+5x$	|:$5$
$y$	=	$-11+x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-11+x\right)& & & \text{(I)}\\ 5x& -3y& =& $ 43$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-11+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5x-3·\left(-11+x\right)$	=	$43$
$5x+33-3x$	=	$43$
$2x+33$	=	$43$	| $-33$
$2x$	=	$10$	|:$2$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-11+5$

= $-6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-6)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$5x-1+2y$	=	$-24$			(I)
$-4(x+y)-3$	=	$-3x-2y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$5x-1+2y$	=	$-24$			(I)
$-4(x+y)-3$	=	$-3x-2y$			(II)

$5x-1+2y$	=	$-24$	| + $1$		(I)
$-4x-3-4y$	=	$-3x-2y$	| + $3+3x+2y$		(II)

$\begin{array}{ccccccc}5x& +2y& =& $ -23$& & & \text{(I)}\\ -x& -2y& =& $ 3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$-x-2y$	=	$3$	| $+2y$
$-x$	=	$3+2y$	|:($-1$)
$x$	=	$-3-2y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}5x& +2y& =& $ -23$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(-3-2y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-3-2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5·\left(-3-2y\right)+2y$	=	$-23$
$-15-10y+2y$	=	$-23$
$-8y-15$	=	$-23$	| $+15$
$-8y$	=	$-8$	|:($-8$)
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-3-2\cdot 1$

= $-3-2$

= $-5$

also

x = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -2 und y = -1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

3x -4y = ?

6x -10y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

3x -4y = -6 +4 = -2

6x -10y = -12 +10 = -2

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

3x -4y = -2

6x -10y = -2

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}-2x& -4y& =& $ -2$& & & \text{(I)}\\ x& +2y& =& $ 1$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-2x& -4y& =& $ -2$& & & \text{(I)}\\ x& +2y& =& $ 1$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+2y$	=	$1$	| $-2y$
$x$	=	$1-2y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-2x& -4y& =& $ -2$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(1-2y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $1-2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-2·\left(1-2y\right)-4y$	=	$-2$
$-2+4y-4y$	=	$-2$
$-2$	=	$-2$	| $+2$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von y gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 9 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 5 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 161 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 7 LED-Leuchtmittel und 2 Halogenleuchten zusammen 78 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}9x& +5y& =& $ 161$& & & \text{(I)}\\ 7x& +2y& =& $ 78$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$9x+5y$	=	$161$
$5y+9x$	=	$161$	| $-9x$
$5y$	=	$161-9x$	|:$5$
$y$	=	$\frac{161}{5}-\frac{9}{5}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(\frac{161}{5}-\frac{9}{5}x\right)& & & \text{(I)}\\ 7x& +2y& =& $ 78$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{161}{5}-\frac{9}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$7x+2·\left(\frac{161}{5}-\frac{9}{5}x\right)$	=	$78$
$7x+\frac{322}{5}-\frac{18}{5}x$	=	$78$
$\frac{17}{5}x+\frac{322}{5}$	=	$78$	|⋅ 5
$5\left(\frac{17}{5}x+\frac{322}{5}\right)$	=	$390$
$17x+322$	=	$390$	| $-322$
$17x$	=	$68$	|:$17$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{161}{5}-\frac{9}{5}\cdot 4$

= $\frac{161}{5}-\frac{36}{5}$

= $25$

also

y = 25

Die Lösung des LGS ist damit: (4|25)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 4

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 25