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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: 5x -3y = 29 .

Bestimme x so, dass (x|2) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 2 in die Gleichung ein und erhält:

5x -32 = 29

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

5x -32 = 29
5x -6 = 29 | +6
5x = 35 |:5
x = 7

Die Lösung ist somit: (7|2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: 2x - y = 2 .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-2|-6)
denn 2⋅( - 2 ) -1( - 6 ) = -4 +6 = 2

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-3|-8)
denn 2⋅( - 3 ) -1( - 8 ) = -6 +8 = 2

Oder : (-1|-4)
denn 2⋅( - 1 ) -1( - 4 ) = -2 +4 = 2

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

+2y = 4 (I) 3x +3y = 9 (II)

Lösung einblenden
+2y = 4 (I) 3x +3y = 9 (II)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

2y = 4 |:2
y = 2

Als neues LGS erhält man so:

+y = 2 (I) 3x +3y = 9 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch 2 ersetzen und dann nach x auflösen:

3x + 3 · 2 = 9
3x +6 = 9 | -6
3x = 3 |:3
x = 1

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (1|2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

3x +2y = -21 (I) -3x +y = 12 (II)

Lösung einblenden
3x +2y = -21 (I) -3x +y = 12 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

-3x + y = 12
y -3x = 12 | +3x
y = 12 +3x

Als neues LGS erhält man so:

3x +2y = -21 (I) +y = ( 12 +3x ) (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( 12 +3x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

3x + 2 · ( 12 +3x ) = -21
3x +24 +6x = -21
9x +24 = -21 | -24
9x = -45 |:9
x = -5

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = 12 +3( -5 )

= 12 -15

= -3

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

x +5y = 7 (I) -4x +2y = 16 (II)

Lösung einblenden
x +5y = 7 (I) -4x +2y = 16 (II)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

x +5y = 7 | -5y
x = 7 -5y

Als neues LGS erhält man so:

x = ( 7 -5y ) (I) -4x +2y = 16 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( 7 -5y ) ersetzen und dann nach y auflösen:

-4 · ( 7 -5y ) +2y = 16
-28 +20y +2y = 16
22y -28 = 16 | +28
22y = 44 |:22
y = 2

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = 7 -52

= 7 -10

= -3

also

x = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

-4x = 4( 1 + y) (I)
2y = -2( 2x +3 ) (II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

-4x = 4( 1 + y) (I)
2y = -2( 2x +3 ) (II)
-4x = 4 +4y | -4y (I)
2y = -4x -6 | + 4x (II)
-4x -4y = 4 (I) 4x +2y = -6 (II)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

-4x -4y = 4
-4y -4x = 4 | +4x
-4y = 4 +4x |:(-4 )
y = -1 - x

Als neues LGS erhält man so:

+y = ( -1 - x ) (I) 4x +2y = -6 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( -1 - x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

4x + 2 · ( -1 - x ) = -6
4x -2 -2x = -6
2x -2 = -6 | +2
2x = -4 |:2
x = -2

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = -1 - ( -2 )

= -1 +2

= 1

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -1 und y = 4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

1x +2y = ?

4x +11y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

1x +2y = -1 +8 = 7

4x +11y = -4 +44 = 40

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

1x +2y = 7

4x +11y = 40

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

x -2y = 4 (I) -4x +2y = 14 (II)

Lösung einblenden
x -2y = 4 (I) -4x +2y = 14 (II)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

x -2y = 4 | +2y
x = 4 +2y

Als neues LGS erhält man so:

x = ( 4 +2y ) (I) -4x +2y = 14 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( 4 +2y ) ersetzen und dann nach y auflösen:

-4 · ( 4 +2y ) +2y = 14
-16 -8y +2y = 14
-6y -16 = 14 | +16
-6y = 30 |:(-6 )
y = -5

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = 4 +2( -5 )

= 4 -10

= -6

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-5)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 3 Stunden wandern. Danach hat sie 5 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 650 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 4 Stunden wandern und hat 4 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 1000 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

3x -5y = 650 (I) 4x -4y = 1000 (II)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

3x -5y = 650
-5y +3x = 650 | -3x
-5y = 650 -3x |:(-5 )
y = -130 + 3 5 x

Als neues LGS erhält man so:

+y = ( -130 + 3 5 x ) (I) 4x -4y = 1000 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( -130 + 3 5 x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

4x -4 · ( -130 + 3 5 x ) = 1000
4x +520 - 12 5 x = 1000
8 5 x +520 = 1000 |⋅ 5
5( 8 5 x +520 ) = 5000
8x +2600 = 5000 | -2600
8x = 2400 |:8
x = 300

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = -130 + 3 5 300

= -130 +180

= 50

also

y = 50

Die Lösung des LGS ist damit: (300|50)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 50