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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4x+y$ = $-6$.

Bestimme x so, dass (x|6) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 6 in die Gleichung ein und erhält:

$4x+6$ = $-6$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$4x+6$	=	$-6$
$4x+6$	=	$-6$	| $-6$
$4x$	=	$-12$	|:$4$
$x$	=	$-3$

Die Lösung ist somit: (-3|6)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5x+5y$ = $-45$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-5|-4)
denn 5⋅( - 5 ) +5⋅( - 4 ) = -25 -20 = $-45$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (0|-9)
denn 5⋅0 +5⋅( - 9 ) = 0 -45 = $-45$

Oder : (-10|1)
denn 5⋅( - 10 ) +5⋅1 = -50 +5 = $-45$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}& +4y& =& $ -8$& & & \text{(I)}\\ x& +3y& =& $ -1$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}& +4y& =& $ -8$& & & \text{(I)}\\ x& +3y& =& $ -1$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$4y$	=	$-8$	|:$4$
$y$	=	$-2$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& $ -2$& & & \text{(I)}\\ x& +3y& =& $ -1$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $-2$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$x+3·\left(-2\right)$	=	$-1$
$x-6$	=	$-1$	| $+6$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $-2$

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& +y& =& $ -4$& & & \text{(I)}\\ 4x& +y& =& $ -19$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}x& +y& =& $ -4$& & & \text{(I)}\\ 4x& +y& =& $ -19$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4x+y$	=	$-19$
$y+4x$	=	$-19$	| $-4x$
$y$	=	$-19-4x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& +y& =& $ -4$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& \left(-19-4x\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-19-4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x+1·\left(-19-4x\right)$	=	$-4$
$x-19-4x$	=	$-4$
$-3x-19$	=	$-4$	| $+19$
$-3x$	=	$15$	|:($-3$)
$x$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-19-4\cdot \left(-5\right)$

= $-19+20$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& -3y& =& $ 9$& & & \text{(I)}\\ 3x& +4y& =& $ -25$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}x& -3y& =& $ 9$& & & \text{(I)}\\ 3x& +4y& =& $ -25$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x-3y$	=	$9$	| $+3y$
$x$	=	$9+3y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(9+3y\right)& & & \text{(I)}\\ 3x& +4y& =& $ -25$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $9+3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(9+3y\right)+4y$	=	$-25$
$27+9y+4y$	=	$-25$
$13y+27$	=	$-25$	| $-27$
$13y$	=	$-52$	|:$13$
$y$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $9+3\cdot \left(-4\right)$

= $9-12$

= $-3$

also

x = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-\frac{3}{2}x& +\frac{3}{4}y& =& $ \frac{3}{2}$& & & \text{(I)}\\ -x& +\frac{1}{5}y& =& $ -\frac{4}{5}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-\frac{3}{2}x& +\frac{3}{4}y& =& $ \frac{3}{2}$& & & \text{(I)}\\ -x& +\frac{1}{5}y& =& $ -\frac{4}{5}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$-x+\frac{1}{5}y$	=	$-\frac{4}{5}$	|⋅ 5
$5\left(-x+\frac{1}{5}y\right)$	=	$-4$
$-5x+y$	=	$-4$	| $-y$
$-5x$	=	$-4-y$	|:($-5$)
$x$	=	$\frac{4}{5}+\frac{1}{5}y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-\frac{3}{2}x& +\frac{3}{4}y& =& $ \frac{3}{2}$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(\frac{4}{5}+\frac{1}{5}y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $\frac{4}{5}+\frac{1}{5}y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-\frac{3}{2}·\left(\frac{4}{5}+\frac{1}{5}y\right)+\frac{3}{4}y$	=	$\frac{3}{2}$
$-\frac{6}{5}-\frac{3}{10}y+\frac{3}{4}y$	=	$\frac{3}{2}$
$\frac{9}{20}y-\frac{6}{5}$	=	$\frac{3}{2}$	|⋅ 20
$20\left(\frac{9}{20}y-\frac{6}{5}\right)$	=	$30$
$9y-24$	=	$30$	| $+24$
$9y$	=	$54$	|:$9$
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $\frac{4}{5}+\frac{1}{5}\cdot 6$

= $\frac{4}{5}+\frac{6}{5}$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|6)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 2 und y = -1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x +5y = ?

-6x +5y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

-4x +5y = -8 -5 = -13

-6x +5y = -12 -5 = -17

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x +5y = -13

-6x +5y = -17

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}-2x& +4y& =& $ 4$& & & \text{(I)}\\ x& +4y& =& $ 4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-2x& +4y& =& $ 4$& & & \text{(I)}\\ x& +4y& =& $ 4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+4y$	=	$4$	| $-4y$
$x$	=	$4-4y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-2x& +4y& =& $ 4$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(4-4y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $4-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-2·\left(4-4y\right)+4y$	=	$4$
$-8+8y+4y$	=	$4$
$12y-8$	=	$4$	| $+8$
$12y$	=	$12$	|:$12$
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $4-4\cdot 1$

= $4-4$

= 0

also

x = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (0|1)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 6 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 6 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 186 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 3 LED-Leuchtmittel und 4 Halogenleuchten zusammen 123 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}6x& +6y& =& $ 186$& & & \text{(I)}\\ 3x& +4y& =& $ 123$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$6x+6y$	=	$186$
$6y+6x$	=	$186$	| $-6x$
$6y$	=	$186-6x$	|:$6$
$y$	=	$31-x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(31-x\right)& & & \text{(I)}\\ 3x& +4y& =& $ 123$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $31-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x+4·\left(31-x\right)$	=	$123$
$3x+124-4x$	=	$123$
$-x+124$	=	$123$	| $-124$
$-x$	=	$-1$	|:($-1$)
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $31-1$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (1|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 1

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 30