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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-3x+y$ = $-2$.

Bestimme y so, dass (2|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 2 in die Gleichung ein und erhält:

$-3\cdot 2+y$ = $-2$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$-3\cdot 2+y$	=	$-2$
$-6+y$	=	$-2$
$y-6$	=	$-2$	| $+6$
$y$	=	$4$

Die Lösung ist somit: (2|4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x-5y$ = $2$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-3|-1)
denn 1⋅( - 3 ) -5⋅( - 1 ) = -3 +5 = $2$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-8|-2)
denn 1⋅( - 8 ) -5⋅( - 2 ) = -8 +10 = $2$

Oder : (2|0)
denn 1⋅2 -5⋅0 = 2 +0 = $2$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-4x& -2y& =& $ -16$& & & \text{(I)}\\ -x& & =& $ -3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-4x& -2y& =& $ -16$& & & \text{(I)}\\ -x& & =& $ -3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$-x$	=	$-3$	|:($-1$)
$x$	=	$3$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-4x& -2y& =& $ -16$& & & \text{(I)}\\ x& & =& $ 3$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $3$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$-4·3-2y$	=	$-16$
$-12-2y$	=	$-16$
$-2y-12$	=	$-16$	| $+12$
$-2y$	=	$-4$	|:($-2$)
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $3$

Die Lösung des LGS ist damit: (3|2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}2x& +y& =& $ 14$& & & \text{(I)}\\ -x& +4y& =& $ 20$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}2x& +y& =& $ 14$& & & \text{(I)}\\ -x& +4y& =& $ 20$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$-x+4y$	=	$20$	| $-4y$
$-x$	=	$20-4y$	|:($-1$)
$x$	=	$-20+4y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}2x& +y& =& $ 14$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(-20+4y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-20+4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(-20+4y\right)+y$	=	$14$
$-40+8y+y$	=	$14$
$9y-40$	=	$14$	| $+40$
$9y$	=	$54$	|:$9$
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-20+4\cdot 6$

= $-20+24$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|6)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& -2y& =& $ 3$& & & \text{(I)}\\ x& +5y& =& $ 10$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}x& -2y& =& $ 3$& & & \text{(I)}\\ x& +5y& =& $ 10$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+5y$	=	$10$	| $-5y$
$x$	=	$10-5y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& -2y& =& $ 3$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(10-5y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $10-5y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1·\left(10-5y\right)-2y$	=	$3$
$10-5y-2y$	=	$3$
$-7y+10$	=	$3$	| $-10$
$-7y$	=	$-7$	|:($-7$)
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $10-5\cdot 1$

= $10-5$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}\frac{2}{5}x& -2y& =& $ -\frac{4}{5}$& & & \text{(I)}\\ \frac{2}{5}x& +2y& =& $ -\frac{4}{5}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}\frac{2}{5}x& -2y& =& $ -\frac{4}{5}$& & & \text{(I)}\\ \frac{2}{5}x& +2y& =& $ -\frac{4}{5}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$\frac{2}{5}x-2y$	=	$-\frac{4}{5}$
$-2y+\frac{2}{5}x$	=	$-\frac{4}{5}$	|⋅ 5
$5\left(-2y+\frac{2}{5}x\right)$	=	$-4$
$-10y+2x$	=	$-4$	| $-2x$
$-10y$	=	$-4-2x$	|:($-10$)
$y$	=	$\frac{2}{5}+\frac{1}{5}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(\frac{2}{5}+\frac{1}{5}x\right)& & & \text{(I)}\\ \frac{2}{5}x& +2y& =& $ -\frac{4}{5}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{2}{5}+\frac{1}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{2}{5}x+2·\left(\frac{2}{5}+\frac{1}{5}x\right)$	=	$-\frac{4}{5}$
$\frac{2}{5}x+\frac{4}{5}+\frac{2}{5}x$	=	$-\frac{4}{5}$
$\frac{4}{5}x+\frac{4}{5}$	=	$-\frac{4}{5}$	|⋅ 5
$5\left(\frac{4}{5}x+\frac{4}{5}\right)$	=	$-4$
$4x+4$	=	$-4$	| $-4$
$4x$	=	$-8$	|:$4$
$x$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{2}{5}+\frac{1}{5}\cdot \left(-2\right)$

= $\frac{2}{5}-\frac{2}{5}$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|0)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -5 und y = 1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x +2y = ?

4x +1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

5x +2y = -25 +2 = -23

4x +1y = -20 +1 = -19

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x +2y = -23

4x +1y = -19

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}3x& +4y& =& $ -2$& & & \text{(I)}\\ -6x& -8y& =& $ 1$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}3x& +4y& =& $ -2$& & & \text{(I)}\\ -6x& -8y& =& $ 1$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3x+4y$	=	$-2$
$4y+3x$	=	$-2$	| $-3x$
$4y$	=	$-2-3x$	|:$4$
$y$	=	$-\frac{1}{2}-\frac{3}{4}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-\frac{1}{2}-\frac{3}{4}x\right)& & & \text{(I)}\\ -6x& -8y& =& $ 1$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{1}{2}-\frac{3}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-6x-8·\left(-\frac{1}{2}-\frac{3}{4}x\right)$	=	$1$
$-6x+4+6x$	=	$1$
$4$	=	$1$	| $-4$
0	=	$-3$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 4 Stunden wandern. Danach hat sie 2 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 540 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 3 Stunden wandern und hat 3 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 360 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}4x& -2y& =& $ 540$& & & \text{(I)}\\ 3x& -3y& =& $ 360$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4x-2y$	=	$540$
$-2y+4x$	=	$540$	| $-4x$
$-2y$	=	$540-4x$	|:($-2$)
$y$	=	$-270+2x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-270+2x\right)& & & \text{(I)}\\ 3x& -3y& =& $ 360$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-270+2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x-3·\left(-270+2x\right)$	=	$360$
$3x+810-6x$	=	$360$
$-3x+810$	=	$360$	| $-810$
$-3x$	=	$-450$	|:($-3$)
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-270+2\cdot 150$

= $-270+300$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (150|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 30