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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-4x-y$ = $12$.

Bestimme y so, dass (-2|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -2 in die Gleichung ein und erhält:

$-4\cdot \left(-2\right)-y$ = $12$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$-4\cdot \left(-2\right)-y$	=	$12$
$8-y$	=	$12$
$-y+8$	=	$12$	| $-8$
$-y$	=	$4$	|:($-1$)
$y$	=	$-4$

Die Lösung ist somit: (-2|-4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-2x-2y$ = $-16$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (6|2)
denn -2⋅6 -2⋅2 = -12 -4 = $-16$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (4|4)
denn -2⋅4 -2⋅4 = -8 -8 = $-16$

Oder : (8|0)
denn -2⋅8 -2⋅0 = -16 +0 = $-16$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}4x& +2y& =& $ -6$& & & \text{(I)}\\ -3x& & =& $ 6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}4x& +2y& =& $ -6$& & & \text{(I)}\\ -3x& & =& $ 6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$-3x$	=	$6$	|:($-3$)
$x$	=	$-2$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}4x& +2y& =& $ -6$& & & \text{(I)}\\ x& & =& $ -2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $-2$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$4·\left(-2\right)+2y$	=	$-6$
$-8+2y$	=	$-6$
$2y-8$	=	$-6$	| $+8$
$2y$	=	$2$	|:$2$
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $-2$

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-2x& -y& =& $ -13$& & & \text{(I)}\\ x& +3y& =& $ 19$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-2x& -y& =& $ -13$& & & \text{(I)}\\ x& +3y& =& $ 19$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+3y$	=	$19$	| $-3y$
$x$	=	$19-3y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-2x& -y& =& $ -13$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(19-3y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $19-3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-2·\left(19-3y\right)-y$	=	$-13$
$-38+6y-y$	=	$-13$
$5y-38$	=	$-13$	| $+38$
$5y$	=	$25$	|:$5$
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $19-3\cdot 5$

= $19-15$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}4x& -4y& =& $ -4$& & & \text{(I)}\\ -3x& +5y& =& $ -7$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}4x& -4y& =& $ -4$& & & \text{(I)}\\ -3x& +5y& =& $ -7$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4x-4y$	=	$-4$
$-4y+4x$	=	$-4$	| $-4x$
$-4y$	=	$-4-4x$	|:($-4$)
$y$	=	$1+x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(1+x\right)& & & \text{(I)}\\ -3x& +5y& =& $ -7$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $1+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x+5·\left(1+x\right)$	=	$-7$
$-3x+5+5x$	=	$-7$
$2x+5$	=	$-7$	| $-5$
$2x$	=	$-12$	|:$2$
$x$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $1-6$

= $-5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-\frac{3}{4}x& +y& =& $ \frac{5}{2}$& & & \text{(I)}\\ -\frac{2}{5}x& +\frac{2}{3}y& =& $ \frac{28}{15}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-\frac{3}{4}x& +y& =& $ \frac{5}{2}$& & & \text{(I)}\\ -\frac{2}{5}x& +\frac{2}{3}y& =& $ \frac{28}{15}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$-\frac{3}{4}x+y$	=	$\frac{5}{2}$
$y-\frac{3}{4}x$	=	$\frac{5}{2}$	|⋅ 4
$4\left(y-\frac{3}{4}x\right)$	=	$10$
$4y-3x$	=	$10$	| $+3x$
$4y$	=	$10+3x$	|:$4$
$y$	=	$\frac{5}{2}+\frac{3}{4}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(\frac{5}{2}+\frac{3}{4}x\right)& & & \text{(I)}\\ -\frac{2}{5}x& +\frac{2}{3}y& =& $ \frac{28}{15}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{5}{2}+\frac{3}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-\frac{2}{5}x+\frac{2}{3}·\left(\frac{5}{2}+\frac{3}{4}x\right)$	=	$\frac{28}{15}$
$-\frac{2}{5}x+\frac{5}{3}+\frac{1}{2}x$	=	$\frac{28}{15}$
$\frac{1}{10}x+\frac{5}{3}$	=	$\frac{28}{15}$	|⋅ 30
$30\left(\frac{1}{10}x+\frac{5}{3}\right)$	=	$56$
$3x+50$	=	$56$	| $-50$
$3x$	=	$6$	|:$3$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{5}{2}+\frac{3}{4}\cdot 2$

= $\frac{5}{2}+\frac{3}{2}$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (2|4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -3 und y = -4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x +3y = ?

4x +8y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:

2x +3y = -6 -12 = -18

4x +8y = -12 -32 = -44

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x +3y = -18

4x +8y = -44

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}-3x& +2y& =& $ -5$& & & \text{(I)}\\ -2x& +4y& =& $ 2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-3x& +2y& =& $ -5$& & & \text{(I)}\\ -2x& +4y& =& $ 2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$-3x+2y$	=	$-5$
$2y-3x$	=	$-5$	| $+3x$
$2y$	=	$-5+3x$	|:$2$
$y$	=	$-\frac{5}{2}+\frac{3}{2}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-\frac{5}{2}+\frac{3}{2}x\right)& & & \text{(I)}\\ -2x& +4y& =& $ 2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{5}{2}+\frac{3}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x+4·\left(-\frac{5}{2}+\frac{3}{2}x\right)$	=	$2$
$-2x-10+6x$	=	$2$
$4x-10$	=	$2$	| $+10$
$4x$	=	$12$	|:$4$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{5}{2}+\frac{3}{2}\cdot 3$

= $-\frac{5}{2}+\frac{9}{2}$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (3|2)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 8 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 5 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 232 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 6 LED-Leuchtmittel und 3 Halogenleuchten zusammen 144 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}8x& +5y& =& $ 232$& & & \text{(I)}\\ 6x& +3y& =& $ 144$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$8x+5y$	=	$232$
$5y+8x$	=	$232$	| $-8x$
$5y$	=	$232-8x$	|:$5$
$y$	=	$\frac{232}{5}-\frac{8}{5}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(\frac{232}{5}-\frac{8}{5}x\right)& & & \text{(I)}\\ 6x& +3y& =& $ 144$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{232}{5}-\frac{8}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6x+3·\left(\frac{232}{5}-\frac{8}{5}x\right)$	=	$144$
$6x+\frac{696}{5}-\frac{24}{5}x$	=	$144$
$\frac{6}{5}x+\frac{696}{5}$	=	$144$	|⋅ 5
$5\left(\frac{6}{5}x+\frac{696}{5}\right)$	=	$720$
$6x+696$	=	$720$	| $-696$
$6x$	=	$24$	|:$6$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{232}{5}-\frac{8}{5}\cdot 4$

= $\frac{232}{5}-\frac{32}{5}$

= $40$

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (4|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 4

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 40