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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5x+4y$ = $14$.

Bestimme y so, dass (-2|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -2 in die Gleichung ein und erhält:

$5\cdot \left(-2\right)+4y$ = $14$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$5\cdot \left(-2\right)+4y$	=	$14$
$-10+4y$	=	$14$
$4y-10$	=	$14$	| $+10$
$4y$	=	$24$	|:$4$
$y$	=	$6$

Die Lösung ist somit: (-2|6)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-x-3y$ = $-5$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-7|4)
denn -1⋅( - 7 ) -3⋅4 = 7 -12 = $-5$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-10|5)
denn -1⋅( - 10 ) -3⋅5 = 10 -15 = $-5$

Oder : (-4|3)
denn -1⋅( - 4 ) -3⋅3 = 4 -9 = $-5$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}2x& -y& =& $ 1$& & & \text{(I)}\\ -3x& & =& $ -6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}2x& -y& =& $ 1$& & & \text{(I)}\\ -3x& & =& $ -6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$-3x$	=	$-6$	|:($-3$)
$x$	=	$2$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}2x& -y& =& $ 1$& & & \text{(I)}\\ x& & =& $ 2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $2$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·2-y$	=	$1$
$4-y$	=	$1$
$-y+4$	=	$1$	| $-4$
$-y$	=	$-3$	|:($-1$)
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $2$

Die Lösung des LGS ist damit: (2|3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-3x& +y& =& $ -7$& & & \text{(I)}\\ 3x& +3y& =& $ -9$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-3x& +y& =& $ -7$& & & \text{(I)}\\ 3x& +3y& =& $ -9$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$-3x+y$	=	$-7$
$y-3x$	=	$-7$	| $+3x$
$y$	=	$-7+3x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-7+3x\right)& & & \text{(I)}\\ 3x& +3y& =& $ -9$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-7+3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x+3·\left(-7+3x\right)$	=	$-9$
$3x-21+9x$	=	$-9$
$12x-21$	=	$-9$	| $+21$
$12x$	=	$12$	|:$12$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-7+3\cdot 1$

= $-7+3$

= $-4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-x& +5y& =& $ 4$& & & \text{(I)}\\ x& +4y& =& $ -4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-x& +5y& =& $ 4$& & & \text{(I)}\\ x& +4y& =& $ -4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+4y$	=	$-4$	| $-4y$
$x$	=	$-4-4y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-x& +5y& =& $ 4$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(-4-4y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-4-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-1·\left(-4-4y\right)+5y$	=	$4$
$4+4y+5y$	=	$4$
$9y+4$	=	$4$	| $-4$
$9y$	=	0	|:$9$
$y$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-4-4\cdot 0$

= $-4+0$

= $-4$

also

x = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|0)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-x& +y& =& $ 5$& & & \text{(I)}\\ \frac{1}{3}x& -\frac{1}{4}y& =& $ -\frac{3}{2}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-x& +y& =& $ 5$& & & \text{(I)}\\ \frac{1}{3}x& -\frac{1}{4}y& =& $ -\frac{3}{2}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$-x+y$	=	$5$
$y-x$	=	$5$	| $+x$
$y$	=	$5+x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(5+x\right)& & & \text{(I)}\\ \frac{1}{3}x& -\frac{1}{4}y& =& $ -\frac{3}{2}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $5+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{1}{3}x-\frac{1}{4}·\left(5+x\right)$	=	$-\frac{3}{2}$
$\frac{1}{3}x-\frac{5}{4}-\frac{1}{4}x$	=	$-\frac{3}{2}$
$\frac{1}{12}x-\frac{5}{4}$	=	$-\frac{3}{2}$	|⋅ 12
$12\left(\frac{1}{12}x-\frac{5}{4}\right)$	=	$-18$
$x-15$	=	$-18$	| $+15$
$x$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $5-3$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 2 und y = 1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-3x +1y = ?

-5x +3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

-3x +1y = -6 +1 = -5

-5x +3y = -10 +3 = -7

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-3x +1y = -5

-5x +3y = -7

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}-2x& +8y& =& $ 4$& & & \text{(I)}\\ x& -4y& =& $ -2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-2x& +8y& =& $ 4$& & & \text{(I)}\\ x& -4y& =& $ -2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x-4y$	=	$-2$	| $+4y$
$x$	=	$-2+4y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-2x& +8y& =& $ 4$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(-2+4y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-2+4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-2·\left(-2+4y\right)+8y$	=	$4$
$4-8y+8y$	=	$4$
$4$	=	$4$	| $-4$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von y gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 2 Stunden wandern. Danach hat sie 3 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 180 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 2 Stunden wandern und hat 2 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 220 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}2x& -3y& =& $ 180$& & & \text{(I)}\\ 2x& -2y& =& $ 220$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2x-3y$	=	$180$
$-3y+2x$	=	$180$	| $-2x$
$-3y$	=	$180-2x$	|:($-3$)
$y$	=	$-60+\frac{2}{3}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-60+\frac{2}{3}x\right)& & & \text{(I)}\\ 2x& -2y& =& $ 220$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-60+\frac{2}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x-2·\left(-60+\frac{2}{3}x\right)$	=	$220$
$2x+120-\frac{4}{3}x$	=	$220$
$\frac{2}{3}x+120$	=	$220$	|⋅ 3
$3\left(\frac{2}{3}x+120\right)$	=	$660$
$2x+360$	=	$660$	| $-360$
$2x$	=	$300$	|:$2$
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-60+\frac{2}{3}\cdot 150$

= $-60+100$

= $40$

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (150|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 40