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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x-2y$ = $16$.

Bestimme y so, dass (6|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 6 in die Gleichung ein und erhält:

$6-2y$ = $16$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$6-2y$	=	$16$
$6-2y$	=	$16$
$-2y+6$	=	$16$	| $-6$
$-2y$	=	$10$	|:($-2$)
$y$	=	$-5$

Die Lösung ist somit: (6|-5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3x+5y$ = $-23$.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-6|-1)
denn 3⋅( - 6 ) +5⋅( - 1 ) = -18 -5 = $-23$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-1|-4)
denn 3⋅( - 1 ) +5⋅( - 4 ) = -3 -20 = $-23$

Oder : (-11|2)
denn 3⋅( - 11 ) +5⋅2 = -33 +10 = $-23$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}2x& +y& =& $ -2$& & & \text{(I)}\\ 3x& & =& $ -6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}2x& +y& =& $ -2$& & & \text{(I)}\\ 3x& & =& $ -6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$3x$	=	$-6$	|:$3$
$x$	=	$-2$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}2x& +y& =& $ -2$& & & \text{(I)}\\ x& & =& $ -2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $-2$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(-2\right)+y$	=	$-2$
$-4+y$	=	$-2$
$y-4$	=	$-2$	| $+4$
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $-2$

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& +2y& =& $ -3$& & & \text{(I)}\\ -4x& +3y& =& $ 23$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}x& +2y& =& $ -3$& & & \text{(I)}\\ -4x& +3y& =& $ 23$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+2y$	=	$-3$	| $-2y$
$x$	=	$-3-2y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(-3-2y\right)& & & \text{(I)}\\ -4x& +3y& =& $ 23$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $-3-2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-4·\left(-3-2y\right)+3y$	=	$23$
$12+8y+3y$	=	$23$
$11y+12$	=	$23$	| $-12$
$11y$	=	$11$	|:$11$
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $-3-2\cdot 1$

= $-3-2$

= $-5$

also

x = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}4x& -3y& =& $ 9$& & & \text{(I)}\\ 2x& -y& =& $ 7$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}4x& -3y& =& $ 9$& & & \text{(I)}\\ 2x& -y& =& $ 7$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$2x-y$	=	$7$
$-y+2x$	=	$7$	| $-2x$
$-y$	=	$7-2x$	|:($-1$)
$y$	=	$-7+2x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}4x& -3y& =& $ 9$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& \left(-7+2x\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-7+2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x-3·\left(-7+2x\right)$	=	$9$
$4x+21-6x$	=	$9$
$-2x+21$	=	$9$	| $-21$
$-2x$	=	$-12$	|:($-2$)
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-7+2\cdot 6$

= $-7+12$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (6|5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}\frac{1}{5}x& +y& =& $ -7$& & & \text{(I)}\\ x& +\frac{3}{4}y& =& $ -\frac{19}{2}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}\frac{1}{5}x& +y& =& $ -7$& & & \text{(I)}\\ x& +\frac{3}{4}y& =& $ -\frac{19}{2}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+\frac{3}{4}y$	=	$-\frac{19}{2}$	|⋅ 4
$4\left(x+\frac{3}{4}y\right)$	=	$-38$
$4x+3y$	=	$-38$	| $-3y$
$4x$	=	$-38-3y$	|:$4$
$x$	=	$-\frac{19}{2}-\frac{3}{4}y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}\frac{1}{5}x& +y& =& $ -7$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(-\frac{19}{2}-\frac{3}{4}y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-\frac{19}{2}-\frac{3}{4}y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$\frac{1}{5}·\left(-\frac{19}{2}-\frac{3}{4}y\right)+y$	=	$-7$
$-\frac{19}{10}-\frac{3}{20}y+y$	=	$-7$
$\frac{17}{20}y-\frac{19}{10}$	=	$-7$	|⋅ 20
$20\left(\frac{17}{20}y-\frac{19}{10}\right)$	=	$-140$
$17y-38$	=	$-140$	| $+38$
$17y$	=	$-102$	|:$17$
$y$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-\frac{19}{2}-\frac{3}{4}\cdot \left(-6\right)$

= $-\frac{19}{2}+\frac{9}{2}$

= $-5$

also

x = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-6)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -2 und y = -1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x +2y = ?

-1x -4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

2x +2y = -4 -2 = -6

-1x -4y = 2 +4 = 6

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x +2y = -6

-1x -4y = 6

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}-4x& +2y& =& $ 5$& & & \text{(I)}\\ 2x& -y& =& $ -2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-4x& +2y& =& $ 5$& & & \text{(I)}\\ 2x& -y& =& $ -2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$2x-y$	=	$-2$
$-y+2x$	=	$-2$	| $-2x$
$-y$	=	$-2-2x$	|:($-1$)
$y$	=	$2+2x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-4x& +2y& =& $ 5$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& \left(2+2x\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $2+2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-4x+2·\left(2+2x\right)$	=	$5$
$-4x+4+4x$	=	$5$
$4$	=	$5$	| $-4$
0	=	$1$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 9 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 9 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 180 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 7 LED-Leuchtmittel und 4 Halogenleuchten zusammen 95 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}9x& +9y& =& $ 180$& & & \text{(I)}\\ 7x& +4y& =& $ 95$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$9x+9y$	=	$180$
$9y+9x$	=	$180$	| $-9x$
$9y$	=	$180-9x$	|:$9$
$y$	=	$20-x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(20-x\right)& & & \text{(I)}\\ 7x& +4y& =& $ 95$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $20-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$7x+4·\left(20-x\right)$	=	$95$
$7x+80-4x$	=	$95$
$3x+80$	=	$95$	| $-80$
$3x$	=	$15$	|:$3$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $20-5$

= $15$

also

y = 15

Die Lösung des LGS ist damit: (5|15)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 5

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 15