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Faktor mal Klammer (Wdh.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 5 x \cdot (- 5 x + 5)$

Wir multiplizieren den ersten Faktor $- 5 x$ mit der Summe $- 5 x + 5$ indem wir $- 5 x$ mit jedem Summanden von $- 5 x + 5$ multiplizieren.

Dabei muss man sehr sorgsam die Vorzeichen beachten.

$- 5 x \cdot (- 5 x + 5)$
= $- 5 x \cdot (- 5 x) - 5 x \cdot 5$
= $25 x \cdot x - 25 x$
= $25 x^{2} - 25 x$

Ausklammern

Beispiel:

Klammere möglichst viel aus: $- 4 x^{2} - 9 x$

Lösung einblenden

Zuerst suchen wir eine möglichst große Zahl, die beide Koeffizienten teilt (ggT) und spalten die Koeffizienten in Produkte auf.

$- 4 x^{2} - 9 x$

= $- 1 \cdot 4 x^{2} - 1 \cdot 9 x$

Durch Umschreiben von x² in x⋅x sehen wir, dass der Faktor x in beiden Summanden enthalten ist:

= $- 1 \cdot 4 \cdot x \cdot x - 1 \cdot 9 x$

Jetzt können wir die gemeinsamen Faktoren $- 1$ ⋅x ausklammern und erhalten:

= $- x \cdot (4 x + 9)$

Ausklammern (2 Var.)

Beispiel:

Klammere möglichst viel aus: $6 a^{2} b^{2} - 9 a^{2} b$

Lösung einblenden

$6 a^{2} b^{2} - 9 a^{2} b$

Zuerst zerlegen wir die Summanden in ihre Einzelbestandteile

= $6 a \cdot a \cdot b \cdot b - 9 a \cdot a \cdot b$

Dabei erkennen wir, dass in beiden Summanden $a \cdot a \cdot b$ vorkommt.

Wir können also $a \cdot a \cdot b$ ausklammern.

Außerdem können wir die Zahl $3$ ausklammern, weil die $3$ sowohl in $6$ = $3$ ⋅ $2$ als auch in $- 9$ = $3$ ⋅ $(- 3)$ vorkommt.

= $3 a \cdot a \cdot b \cdot (2 b - 3)$

= $3 a^{2} b \cdot (2 b - 3)$

Ausklammern (3 Summanden)

Beispiel:

Klammere möglichst viel aus: $- 3 a^{2} b^{2} - 2 a b^{2} - 3 a b$

Lösung einblenden

$- 3 a^{2} b^{2} - 2 a b^{2} - 3 a b$

Zuerst zerlegen wir die Summanden in ihre Einzelbestandteile

= $- 3 a \cdot a \cdot b \cdot b - 2 a \cdot b \cdot b - 3 a \cdot b$

Dabei erkennen wir, dass in beiden Summanden $a \cdot b$ vorkommt.

Wir können also $a \cdot b$ ausklammern.

Außerdem können wir die Zahl $- 1$ ausklammern, weil die $- 1$ sowohl in $- 3$ = $- 1$ ⋅ $3$ als auch in $- 2$ = $- 1$ ⋅ $2$ und in $- 3$ = $- 1$ ⋅ $3$ vorkommt.

= $- a \cdot b \cdot (3 a b + 2 b + 3)$

Ausmultiplizieren (2 Variablen)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $(2 a + 5) \cdot (3 a + 2 b)$

Lösung einblenden

Wir multilpizieren die beiden Summen in dem wir jeden Summand der ersten Klammer mit jedem Summand der zweiten Klammer multiplizieren:

$(2 a + 5) \cdot (3 a + 2 b)$
= $2 a \cdot 3 a + 2 a \cdot 2 b + 5 \cdot 3 a + 5 \cdot 2 b$
= $6 a^{2} + 4 a b + 15 a + 10 b$

Ausmultiplizieren (mit Bruchkoeff.)

Beispiel:

Multipliziere den folgenden Term aus: $(\frac{1}{2} x + 15) \cdot (x - 4)$

Lösung einblenden

Wir multiplizieren jeden Summand des ersten Faktors $\frac{1}{2} x + 15$ mit jedem Summand des zweiten Faktors $x - 4$ .

Dabei muss man sehr sorgsam die Vorzeichen beachten.

$(\frac{1}{2} x + 15) \cdot (x - 4)$
= $\frac{1}{2} x \cdot x + \frac{1}{2} x \cdot (- 4) + 15 \cdot x + 15 \cdot (- 4)$
= $\frac{1}{2} x \cdot x - 2 x + 15 x - 60$
= $\frac{1}{2} x^{2} + 13 x - 60$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Faktor mal Klammer (Wdh.)

Ausklammern

Ausklammern (2 Var.)

Ausklammern (3 Summanden)

Ausmultiplizieren (2 Variablen)

Ausmultiplizieren (mit Bruchkoeff.)