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Faktor mal Klammer (Wdh.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $5 x \cdot (3 x + 2)$

Wir multiplizieren den ersten Faktor $5 x$ mit der Summe $3 x + 2$ indem wir $5 x$ mit jedem Summanden von $3 x + 2$ multiplizieren.

Dabei muss man sehr sorgsam die Vorzeichen beachten.

$5 x \cdot (3 x + 2)$
= $5 x \cdot 3 x + 5 x \cdot 2$
= $15 x \cdot x + 10 x$
= $15 x^{2} + 10 x$

Ausklammern

Beispiel:

Klammere möglichst viel aus: $- 12 x^{2} - 4 x$

Lösung einblenden

Zuerst suchen wir eine möglichst große Zahl, die beide Koeffizienten teilt (ggT) und spalten die Koeffizienten in Produkte auf.

$- 12 x^{2} - 4 x$

= $- 4 \cdot 3 x^{2} - 4 \cdot x$

Durch Umschreiben von x² in x⋅x sehen wir, dass der Faktor x in beiden Summanden enthalten ist:

= $- 4 \cdot 3 \cdot x \cdot x - 4 \cdot x$

Jetzt können wir die gemeinsamen Faktoren $- 4$ ⋅x ausklammern und erhalten:

= $- 4 x \cdot (3 x + 1)$

Ausklammern (2 Var.)

Beispiel:

Klammere möglichst viel aus: $- 3 r s^{2} - 6 r s$

Lösung einblenden

$- 3 r s^{2} - 6 r s$

Zuerst zerlegen wir die Summanden in ihre Einzelbestandteile

= $- 3 r \cdot s \cdot s - 6 r \cdot s$

Dabei erkennen wir, dass in beiden Summanden $r \cdot s$ vorkommt.

Wir können also $r \cdot s$ ausklammern.

Außerdem können wir die Zahl $- 3$ ausklammern, weil die $- 3$ auch in $- 6$ = $- 3$ ⋅ $2$ vorkommt.

= $- 3 r \cdot s \cdot (s + 2)$

Ausklammern (3 Summanden)

Beispiel:

Klammere möglichst viel aus: $3 c^{2} + 9 c^{2} d - 3 c d$

Lösung einblenden

$3 c^{2} + 9 c^{2} d - 3 c d$

Zuerst zerlegen wir die Summanden in ihre Einzelbestandteile

= $3 c \cdot c + 9 c \cdot c \cdot d - 3 c \cdot d$

Dabei erkennen wir, dass in beiden Summanden $c$ vorkommt.

Wir können also $c$ ausklammern.

Außerdem können wir die Zahl $3$ ausklammern, weil die $3$ auch in $9$ = $3$ ⋅ $3$ vorkommt.

= $3 c \cdot (c + 3 c d - d)$

Ausmultiplizieren (2 Variablen)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $(2 - v) \cdot (9 u + 4 v)$

Lösung einblenden

Wir multilpizieren die beiden Summen in dem wir jeden Summand der ersten Klammer mit jedem Summand der zweiten Klammer multiplizieren:

$(2 - v) \cdot (9 u + 4 v)$
= $2 \cdot 9 u + 2 \cdot 4 v - v \cdot 9 u - v \cdot 4 v$
= $18 u + 8 v - 9 u v - 4 v^{2}$

Ausmultiplizieren (mit Bruchkoeff.)

Beispiel:

Multipliziere den folgenden Term aus: $(x + 1) \cdot (\frac{1}{5} x + 2)$

Lösung einblenden

Wir multiplizieren jeden Summand des ersten Faktors $x + 1$ mit jedem Summand des zweiten Faktors $\frac{1}{5} x + 2$ .

Dabei muss man sehr sorgsam die Vorzeichen beachten.

$(x + 1) \cdot (\frac{1}{5} x + 2)$
= $x \cdot \frac{1}{5} x + x \cdot 2 + 1 \cdot \frac{1}{5} x + 1 \cdot 2$
= $\frac{1}{5} x \cdot x + 2 x + \frac{1}{5} x + 2$
= $\frac{1}{5} x^{2} + \frac{11}{5} x + 2$