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Faktor mal Klammer (Wdh.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 4 x \cdot (2 x - 2)$

Wir multiplizieren den ersten Faktor $- 4 x$ mit der Summe $2 x - 2$ indem wir $- 4 x$ mit jedem Summanden von $2 x - 2$ multiplizieren.

Dabei muss man sehr sorgsam die Vorzeichen beachten.

$- 4 x \cdot (2 x - 2)$
= $- 4 x \cdot 2 x - 4 x \cdot (- 2)$
= $- 8 x \cdot x + 8 x$
= $- 8 x^{2} + 8 x$

Ausklammern

Beispiel:

Klammere möglichst viel aus: $- 4 x^{2} + 4 x$

Lösung einblenden

Zuerst suchen wir eine möglichst große Zahl, die beide Koeffizienten teilt (ggT) und spalten die Koeffizienten in Produkte auf.

$- 4 x^{2} + 4 x$

= $4 \cdot (- x^{2}) + 4 \cdot x$

Durch Umschreiben von x² in x⋅x sehen wir, dass der Faktor x in beiden Summanden enthalten ist:

= $4 \cdot (- 1 \cdot x \cdot x) + 4 \cdot x$

Jetzt können wir die gemeinsamen Faktoren $4$ ⋅x ausklammern und erhalten:

= $4 x \cdot (- x + 1)$

Ausklammern (2 Var.)

Beispiel:

Klammere möglichst viel aus: $u^{2} - 2 u^{2} v$

Lösung einblenden

$u^{2} - 2 u^{2} v$

Zuerst zerlegen wir die Summanden in ihre Einzelbestandteile

= $u \cdot u - 2 u \cdot u \cdot v$

Dabei erkennen wir, dass in beiden Summanden $u \cdot u$ vorkommt.

Wir können also $u \cdot u$ ausklammern.

= $u \cdot u \cdot (1 - 2 v)$

= $u^{2} (1 - 2 v)$

Ausklammern (3 Summanden)

Beispiel:

Klammere möglichst viel aus: $- 9 a^{2} b - 3 a b^{2} - 6 a b$

Lösung einblenden

$- 9 a^{2} b - 3 a b^{2} - 6 a b$

Zuerst zerlegen wir die Summanden in ihre Einzelbestandteile

= $- 9 a \cdot a \cdot b - 3 a \cdot b \cdot b - 6 a \cdot b$

Dabei erkennen wir, dass in beiden Summanden $a \cdot b$ vorkommt.

Wir können also $a \cdot b$ ausklammern.

Außerdem können wir die Zahl $- 3$ ausklammern, weil die $- 3$ auch in $- 9$ = $- 3$ ⋅ $3$ und in $- 6$ = $- 3$ ⋅ $2$ vorkommt.

= $- 3 a \cdot b \cdot (3 a + b + 2)$

Ausmultiplizieren (2 Variablen)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $(1 + b) \cdot (8 a + 5 b)$

Lösung einblenden

Wir multilpizieren die beiden Summen in dem wir jeden Summand der ersten Klammer mit jedem Summand der zweiten Klammer multiplizieren:

$(1 + b) \cdot (8 a + 5 b)$
= $1 \cdot 8 a + 1 \cdot 5 b + b \cdot 8 a + b \cdot 5 b$
= $8 a + 5 b + 8 a b + 5 b^{2}$

Ausmultiplizieren (mit Bruchkoeff.)

Beispiel:

Multipliziere den folgenden Term aus: $(x - \frac{5}{3}) \cdot (\frac{1}{3} x + 2)$

Lösung einblenden

Wir multiplizieren jeden Summand des ersten Faktors $x - \frac{5}{3}$ mit jedem Summand des zweiten Faktors $\frac{1}{3} x + 2$ .

Dabei muss man sehr sorgsam die Vorzeichen beachten.

$(x - \frac{5}{3}) \cdot (\frac{1}{3} x + 2)$
= $x \cdot \frac{1}{3} x + x \cdot 2 - \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{3} x - \frac{5}{3} \cdot 2$
= $\frac{1}{3} x \cdot x + 2 x - \frac{5}{9} x - \frac{10}{3}$
= $\frac{1}{3} x^{2} + \frac{13}{9} x - \frac{10}{3}$