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y-Wert aus Schaubild ablesen

Beispiel:

Entnimm dem Graphen in der Abbildung näherungsweise den y-Wert an der Stelle x = 1.

Aus der Zeichnung kann man erkennen, dass an der Stelle x = 1 der (in der Abbildung rechts rote) Punkt (1|y) auf der Höhe y = -0.2 liegt.

Differenz zweier Funktionswerte

Beispiel:

Im nebenstehenden Schaubild sind die Graphen zweier linearen Funktionen f (in blauer Farbe) und g (in rot) eingezeichnet.
Bestimme die Differenz der Funktionswerte f(-4)-g(-4), achte dabei auch auf das Vorzeichen.

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Man liest einfach an der Stelle x=-4 die y-Werte der jeweiligen Geradenpunkte ab (die roten Punkte im Schaubild) und erhält:
f(-4) = 3
g(-4) = -1
Als Differenz ergibt sich also f(-4)-g(-4) = 3-( - 1 ) = 4

Punkt auf Gerade bestimmen

Beispiel:

Der Punkt P(2|d) liegt auf der Geraden mit der Gleichung y= $\frac{1}{2} x - 5$

Welchen Wert muss dann d haben?

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Wir setzten einfach den Punkt P(2|d) in die Geradengleichung y= $\frac{1}{2} x - 5$ ein:

2 für x und d für y

d= $\frac{1}{2} \cdot 2 - 5$

d= 1-5

d= -4

Zur Probe setzen wir den Punkt P(2|-4) noch in die Geradengleichung ein:

-4 = $\frac{1}{2} \cdot 2 - 5$ -> passt ;-)

Steigung aus Schaubild bestimmen

Beispiel:

Bestimme die Steigung m der abgebildeten linearen Funktion.

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Aus der Zeichnung kann man ein Steigungsdreieck erkennen, bei dem man nach rechts 1 und nach oben 3 abtragen kann. Daraus ergibt sich für die Steigung m= $\frac{Zuwachs in y-Richtung}{Zuwachs in x-Richtung}$ = $3$ .

m und c bestimmen

Beispiel:

Bestimme die Steigung m und den y-Achsenabschnitt c der abgebildeten linearen Funktion.

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Aus der Zeichnung erkennt man sofort, dass die Gerade die y-Achse bei y= $4$ schneidet. Es gilt also c= $4$ .

Jetzt muss man das Steigungsdreieck am besten direkt am y-Achsenabschnitt ablesen.
Um genau auf einem Kästchen zu landen muss man sich nun um 4 nach rechts und um -1 nach oben (bzw. 1 nach unten) bewegen. Daraus ergibt sich für die Steigung m= $\frac{Zuwachs in y-Richtung}{Zuwachs in x-Richtung}$ = $- \frac{1}{4}$ .

Die Geradengleichung heißt dann: y= $- \frac{1}{4} x + 4$

Steigung aus 2 Punkten

Beispiel:

Eine lineare Funktion geht durch die Punkte A(-3|-5) und B(5|3). Bestimme die Steigung dieser linearen Funktion.

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Wenn man die beiden Punkte in ein Koordinatensystem einzeichnet, kann man am Steigungsdreieck jeweils die Differenzen der x-Werte und der y-Werte ablesen.

Dazu sortieren wir die beiden Punkte von links nach rechts:

links: (-3|-5) und rechts: (5|3)

Für die Differenzen subtrahieren wir nun immer die Werte des linken Punkts von denen des rechten:
Differenz der x-Werte: 5 - ( - 3 ) = 8
Differenz der y-Werte: 3 - ( - 5 ) = 8

Daraus ergibt sich für die Steigung m = $\frac{Zuwachs in y-Richtung}{Zuwachs in x-Richtung}$ = $\frac{3 -(-5)}{5 -(-3)}$ = $\frac{8}{8}$ = $1$ .

Gerade einzeichnen

Beispiel:

Zeichne die Gerade in das rechts stehende Koordinatensystem ein.

$y =$ $4 x$

Hinweis: Du kannst Punkte setzen indem du auf das Koordinatensystem klickst. Deine Punkte werden automatisch zu einer Geraden ergänzt. Durch Doppelklicken auf das Koordinatensystem kannst du alle bisherigen Elemente löschen.

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Die Gleichung entspricht der Form $y = m x + c$ , wobei m die Steigung und c die Verschiebung in y-Richtung ist.

Da die Gerade immer bei y=c die y-Achse schneidet, Kann man den ersten Punkt also schon mal auf S_y(0| $0$ ) setzen.

Von hier aus zeichnet man danach das Steigungsdreieck ein. Dazu betrachtet man die Steigung m = $\frac{Zuwachs in y-Richtung}{Zuwachs in x-Richtung}$ = $\frac{4}{1}$ .

Man trägt also den Nenner der Steigung m (hier: 1) nach rechts
und den Zähler der Steigung m (hier: 4) nach oben (bei negativen Steigungen eben nach unten) ab.

Die Verbindungsgerade von S_y(0| $0$ ) mit dem anderen Ende des Steigungsdreiecks liefert uns die gesuchte Gerade mit dem Funktionsterm $y =$ $4 x$ .

Geradengleichung durch 2 Punkte

Beispiel:

Eine Gerade geht durch die Punkte A(0|-4) und B(-1|-1). Bestimme eine Geradengleichung von g.

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Wenn man die beiden Punkte in ein Koordinatensystem einzeichnet, kann man am Steigungsdreieck jeweils die Differenzen der x-Werte und der y-Werte ablesen.

Dazu sortieren wir die beiden Punkte von links nach rechts:

links: (-1|-1) und rechts: (0|-4)

Für die Differenzen subtrahieren wie nun immer die Werte des linken Punkts von denen des rechten:
Differenz der x-Werte: 0 - ( - 1 ) = 1
Differenz der y-Werte: -4 - ( - 1 ) = -3

Daraus ergibt sich für die Steigung m = $\frac{Zuwachs in y-Richtung}{Zuwachs in x-Richtung}$ = $\frac{-4 -(-1)}{0 -(-1)}$ = $\frac{-3}{1}$ = $- 3$ .

Mit der nun bekonnten Steigung m wissen wir nun, dass die gesuchte Geradengleichung
y = $- 3$ ⋅ x +c sein muss, wir müssen jetzt also nur noch das c bestimmen.

Dazu können wir einfach einen der beiden Punkte in diese Geradengleichung einsetzen:

Punktprobe mit A(0|-4) in y = $- 3$ ⋅ x +c :

$- 4$	=	$- 3 \cdot 0 + c$
$- 4$	=	$c$	\| $+ 4$ $- c$
$- c$	=	$4$	\|:( $- 1$ )
$c$	=	$- 4$

Die gesuchte Geradengsleichung ist somit y = $- 3 x - 4$ .

Schnittpunkt zweier Geraden

Beispiel:

Im Schaubild sieht man zwei Geraden. Dummerweise ist der Schnittpunkt außerhalb des Schaubild.
Deswegen muss man diesen eben berechnen. Lies dazu erst die beiden Funktionsterme aus dem Schaubild.

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Da die die beiden Geraden an ihrem Schnittpunkt auch den gleichen y-Wert haben müssen, können wir die Terme einfach gleichsetzen um den gemeinsamen x-Wert zu erhalten:

$\frac{1}{2} x + 2$	=	$\frac{2}{3} x + 5$	\| $- 2$
$\frac{1}{2} x$	=	$\frac{2}{3} x + 3$	\|⋅ 6
$3 x$	=	$4 x + 18$	\| $- 4 x$
$- x$	=	$18$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 18$

L={ $- 18$ }

Damit haben wir den x-Wert des Schnittpunkts. Diesen müssen wir nun noch links oder rechts einsetzen um den y-Wert des Schnittpunkts zu erhalten:

$\frac{1}{2} \cdot (- 18) + 2$ = $- 7$ oder $\frac{2}{3} \cdot (- 18) + 5$ = $- 7$

Wir erhalten also den Schnittpunkt S( $- 18$ | $- 7$ ).

lineare Ungleich. (nur graphisch)

Beispiel:

Löse die folgende Ungleichung mit Hilfe des Schaubilds:

\frac{1}{4} x - 1

<

x + 2

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Der linke Term der Ungleichung $\frac{1}{4} x - 1$ ist im Schaubild als rote Gerade y= $\frac{1}{4} x - 1$ eingezeichnet, der rechte Term $x + 2$ als die blaue Gerade : y= $x + 2$ .

Im Schaubild kann man leicht ablesen, dass die beiden Geraden sich bei x=-4 schneiden. Bei x=-4 ist also gerade der Grenzfall, wo die linke Seite und die rechte Seite gleich groß sind.

Im Schaubild sieht man sofort, dass links vom Schnittpunkt, also für x<-4 die rote Gerade, also y= $\frac{1}{4} x - 1$ über der blaue Gerade, also y= $x + 2$ liegt und rechts davon gerade umgekehrt.

Gesucht ist ja der Bereich, wo $\frac{1}{4} x - 1$ < $x + 2$ gilt, also wo die rote Gerade unter der blauen liegt.

Man sieht am Schaubild leicht, dass dies rechts vom Schnittpunkt bei x=-4 sein muss.

Es gilt also x>-4

lineare Ungleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Ungleichung:
$- 3 x - 6$ > $3 x + 24$

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Um die Ungleichung zu lösen, betrachten und lösen wir erst einmal die 'verwandte Gleichung':
$- 3 x - 6$ = $3 x + 24$ ,
die ja den Grenzfall der Ungleichung darstellt.

$- 3 x - 6$	=	$3 x + 24$	\| $+ 6$
$- 3 x$	=	$3 x + 30$	\| $- 3 x$
$- 6 x$	=	$30$	\|:( $- 6$ )
$x$	=	$- 5$

Bei x= $- 5$ ist also gerade der Grenzfall, wo die linke Seite und die rechte Seite gleich groß sind.

Man kann auch beide Seiten als Geraden betrachten, die sich dann bei x= $- 5$ schneiden.

Das heißt auf der einen Seite von x= $- 5$ sind die Funktionswerte von $- 3 x - 6$ größer als die von $3 x + 24$ , und auf der anderen Seite ist es gerade umgekehrt.
Um heraus zu bekommen, wo welcher Term größer ist, müssen wir einfach jeweils einen Wert in die Terme einsetzen:

Für die linke Seite von x= $- 5$ wählen wir x=-6:

in

- 3 x - 6

eingesetzt:

- 3 \cdot (- 6) - 6

=

12

in

3 x + 24

eingesetzt:

3 \cdot (- 6) + 24

=

6

Für x=-6 und damit für alle x< $- 5$ gilt:

$- 3 x - 6$ > $3 x + 24$

Für die rechte linke Seite von x= $- 5$ wählen wir x=-4:

in

- 3 x - 6

eingesetzt:

- 3 \cdot (- 4) - 6

=

6

in

3 x + 24

eingesetzt:

3 \cdot (- 4) + 24

=

12

Für x=-4 und damit für alle x> $- 5$ gilt:

$- 3 x - 6$ < $3 x + 24$

also nicht $- 3 x - 6$ > $3 x + 24$

Schnittpunkt bei
x= $- 5$

Der richtige Bereich muss somit links von x= $- 5$ liegen, also muss x < $- 5$ gelten.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

y-Wert aus Schaubild ablesen

Differenz zweier Funktionswerte

Punkt auf Gerade bestimmen

Steigung aus Schaubild bestimmen

m und c bestimmen

Steigung aus 2 Punkten

Gerade einzeichnen

Geradengleichung durch 2 Punkte

Schnittpunkt zweier Geraden

lineare Ungleich. (nur graphisch)

lineare Ungleichungen