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Punkt auf Gerade bestimmen

Beispiel:

Der Punkt P(1|d) liegt auf der Geraden mit der Gleichung y= $3 x$

Welchen Wert muss dann d haben?

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Wir setzten einfach den Punkt P(1|d) in die Geradengleichung y= $3 x$ ein:

1 für x und d für y

d= $3 \cdot 1$

d= 3+0

d= 3

Zur Probe setzen wir den Punkt P(1|3) noch in die Geradengleichung ein:

3 = $3 \cdot 1$ -> passt ;-)

Steigung aus Schaubild bestimmen

Beispiel:

Bestimme die Steigung m der abgebildeten linearen Funktion.

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Aus der Zeichnung kann man ein Steigungsdreieck erkennen, bei dem man nach rechts 5 und nach oben 6 abtragen kann. Daraus ergibt sich für die Steigung m= $\frac{Zuwachs in y-Richtung}{Zuwachs in x-Richtung}$ = $\frac{6}{5}$ .

m und c bestimmen

Beispiel:

Bestimme die Steigung m und den y-Achsenabschnitt c der abgebildeten linearen Funktion.

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Aus der Zeichnung erkennt man sofort, dass die Gerade die y-Achse bei y= $4$ schneidet. Es gilt also c= $4$ .

Jetzt muss man das Steigungsdreieck am besten direkt am y-Achsenabschnitt ablesen.
Um genau auf einem Kästchen zu landen muss man sich nun um 3 nach rechts und um -4 nach oben (bzw. 4 nach unten) bewegen. Daraus ergibt sich für die Steigung m= $\frac{Zuwachs in y-Richtung}{Zuwachs in x-Richtung}$ = $- \frac{4}{3}$ .

Die Geradengleichung heißt dann: y= $- \frac{4}{3} x + 4$

Steigung aus 2 Punkten

Beispiel:

Eine lineare Funktion geht durch die Punkte A(-2|2) und B(-1|5). Bestimme die Steigung dieser linearen Funktion.

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Wenn man die beiden Punkte in ein Koordinatensystem einzeichnet, kann man am Steigungsdreieck jeweils die Differenzen der x-Werte und der y-Werte ablesen.

Dazu sortieren wir die beiden Punkte von links nach rechts:

links: (-2|2) und rechts: (-1|5)

Für die Differenzen subtrahieren wir nun immer die Werte des linken Punkts von denen des rechten:
Differenz der x-Werte: -1 - ( - 2 ) = 1
Differenz der y-Werte: 5 - 2 = 3

Daraus ergibt sich für die Steigung m = $\frac{Zuwachs in y-Richtung}{Zuwachs in x-Richtung}$ = $\frac{5 -2}{-1 -(-2)}$ = $\frac{3}{1}$ = $3$ .

Gerade einzeichnen

Beispiel:

Zeichne die Gerade in das rechts stehende Koordinatensystem ein.

$y =$ $- \frac{3}{4} x - 2$

Hinweis: Du kannst Punkte setzen indem du auf das Koordinatensystem klickst. Deine Punkte werden automatisch zu einer Geraden ergänzt. Durch Doppelklicken auf das Koordinatensystem kannst du alle bisherigen Elemente löschen.

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Die Gleichung entspricht der Form $y = m x + c$ , wobei m die Steigung und c die Verschiebung in y-Richtung ist.

Da die Gerade immer bei y=c die y-Achse schneidet, Kann man den ersten Punkt also schon mal auf S_y(0| $- 2$ ) setzen.

Von hier aus zeichnet man danach das Steigungsdreieck ein. Dazu betrachtet man die Steigung m = $\frac{Zuwachs in y-Richtung}{Zuwachs in x-Richtung}$ = - $\frac{3}{4}$ .

Man trägt also den Nenner der Steigung m (hier: 4) nach rechts
und den Zähler der Steigung m (hier: -3) nach oben (bei negativen Steigungen eben nach unten) ab.

Die Verbindungsgerade von S_y(0| $- 2$ ) mit dem anderen Ende des Steigungsdreiecks liefert uns die gesuchte Gerade mit dem Funktionsterm $y =$ $- \frac{3}{4} x - 2$ .

y-Wert aus Schaubild ablesen

Beispiel:

Entnimm dem Graphen in der Abbildung näherungsweise den y-Wert an der Stelle x = 1.

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Aus der Zeichnung kann man erkennen, dass an der Stelle x = 1 der (in der Abblidung rechts rote) Punkt (1|y) auf der Höhe y = -0.2 liegt.

Differenz zweier Funktionswerte

Beispiel:

Im nebenstehenden Schaubild sind die Graphen zweier linearen Funktionen f (in blauer Farbe) und g (in rot) eingezeichnet.
Bestimme die Differenz der Funktionswerte f(-4)-g(-4), achte dabei auch auf das Vorzeichen.

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Man liest einfach an der Stelle x=-4 die y-Werte der jeweiligen Geradenpunkte ab (die roten Punkte im Schaubild) und erhält:
f(-4) = -3
g(-4) = -4
Als Differenz ergibt sich also f(-4)-g(-4) = -3-( - 4 ) = 1

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Punkt auf Gerade bestimmen

Steigung aus Schaubild bestimmen

m und c bestimmen

Steigung aus 2 Punkten

Gerade einzeichnen

y-Wert aus Schaubild ablesen

Differenz zweier Funktionswerte