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Prozentuale Veränderung

Beispiel:

Ordne der prozentualen Veränderung -6% den richtigen Faktor zu:

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Eine prozentuale Veränderung um -6% bedeutet doch, dass aus den ursprünglichen 100%
100% -6%, also 94% gemacht werden.

Um diese 94% wieder als normale Zahl umzurechnen, teilen wir sie einfach durch 94:100 = 0,94.

94% sind also das 0,94-fache von 100%

Somit entspricht eine Veränderung um 6% einer Multiplikation mit den Faktor 0,94.

Erhöhung/Senkung um Faktor

Beispiel:

Ordne dem Faktor 0,96 die richtige prozentuale Veränderung zu:

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Eine Multiplikation mit den Faktor 0,96 bedeutet doch, dass aus den ursprünglichen 100%
100% ⋅0,96, also 96% gemacht werden.

Und diese 96% sind ja 4% weniger als 100%

Somit entspricht eine Multiplikation mit den Faktor 0,96 einer prozentuale Veränderung um - 4%.

Prozentwert - prozentuale Änderung

Beispiel:

Wenn man 20 um 5% vermindert, so erhält man ...

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Für die Verminderung multipliziert man den Prozentsatz als Dezimalzahl (0.05) mit dem Grundwert (20):
also 0.05 ⋅ 20 = 1 (nur Verminderung)

Diesen muss man vom ursprünglichen Wert (20) abziehen, so dass der gesuchte verminderte Wert 20 - 1 = 19 ist.

Schneller geht's wenn man die 20 einfach mit (1-0.05) = 0.95 multipliziert.

20 ⋅ 0.95 = 19.

Berechnung des Grundwertes

Beispiel:

33 m² entsprechen 20% sind. Wie groß war der Grundwert (100%) ?

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20% sind 33 m²

Beides durch 2 dividieren

also gilt 10% ≙ 33 2 m² = 16,5 m²

Beides mit 10 multiplizieren

Für den Grundwert gilt dann: 100% ≙ 165m²

Oder schneller:

G = 33 0,2 m² = 165m²

Prozentwert - prozentuale Änderung

Beispiel:

Wenn man 41 um 2,2% vermindert, so erhält man ...

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Für die Verminderung multipliziert man den Prozentsatz als Dezimalzahl (0.022) mit dem Grundwert (41):
also 0.022 ⋅ 41 = 0.902 (nur Verminderung)

Diesen muss man vom ursprünglichen Wert (41) abziehen, so dass der gesuchte verminderte Wert 41 - 0.902 = 40.1 ist.

Schneller geht's wenn man die 41 einfach mit (1-0.022) = 0.978 multipliziert.

41 ⋅ 0.978 = 40.1.

Berechnung des Prozentsatzes

Beispiel:

Bei einem Konzert wird der Preis einer Eintrittskarte mit 40€ beworben. Tatsächlich kommt aber noch eine Vorverkaufsgebühr dazu, so dass man letztendlich 43€ bezahlen muss. Bestimme den prozentualen Aufschlag den für die Vorverkaufsgebühr bezahlen muss.

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Man teilt den Prozentwert (3) durch den Grundwert (40):
also 3:40 = 0,075 = 7,5%

summierter Grundwert, Anwendung

Beispiel:

Ein Jeans wurde um 20% reduziert und kostet nun nur noch 72. Wieviel hat sie ursprünglich gekostet?

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Da der Grundwert um 20% verkleinert wurde, entspricht der Rest von 72 eben gerade 100%-20% = 80 %.

80% sind also 72

Beides durch 8 dividieren

also gilt 10% ≙ 72 8 = 9

Beides mit 10 multiplizieren

Für den Grundwert gilt dann: 100% ≙ 90

oder als kürzere Rechnung...

Grundwert G= 72 1-0,2 = 72 0,8 = 90

summierter Prozentwert, Anwendungen

Beispiel:

Ein Zimmermann schreibt eine Rechnung über 2500€ für seine Leistungen. Am Schluss muss er noch die Mehrwertsteuer (19%) draufschlagen. Wie viel Euro muss der Kunde schließlich überweisen?

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Man multipliziert den Prozentsatz als Dezimalzahl (0,19) mit dem Grundwert (2500) und erhält so den Prozentwert 0,19 ⋅ 2500 = 475.
Diesen muss man nun noch zum Grundwert addieren und erhält so den gesuchten Wert 2500 + 475 = 2975.

Schneller geht's wenn man die 2500 einfach mit (1+0,19) = 1,19 multipliziert.

2500 ⋅ 1,19 = 2975.

summierter Grundwert, Anwendung

Beispiel:

Ein Caterer hat für ein Event insgesamt 285 Essen vorbereitet. Die meisten sind fleischhaltig, manche aber auch vegetarisch. Dabei geht er immer nach dem selben Schlüssel vor: Auf 100 fleischhaltige Essen kommen 14 vegetarische. Wie viele fleischhaltige Essen hat er zubereitet?

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Da der Grundwert um 14% vergrößert wurde, entspricht der vergrößerte Wert von 285 eben gerade 100% + 14% = 114 %.

114% sind also 285

Beides durch 114 dividieren

also gilt 1% ≙ 285 114 = 2,5

Beides mit 100 multiplizieren

Für den Grundwert gilt dann: 100% ≙ 250

oder als kürzere Rechnung...

Grundwert G= 285 1+0,14 = 285 1,14 = 250

Gleichungen mit Prozenten

Beispiel:

Herr Schlauberger kauft nach einem Tipp 50 Aktien der Firma TechnoMath. Nach ein paar Tagen sinkt der Kurs der Aktie um 7%. Herr Schlauberger möchte den günstigen Kurs nützen und kauft gleich nochmal 100 Aktien. Als der Kurs schließlich nochmal um weitere 9% sinkt kauft er gleich nochmal 100 Stück. Insgesamt hat Herr Schlauberger nun 13657,8€ ausgegeben. Wie viel kostete eine Aktie bei seinem ersten Kauf?

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50x +93x +84,63x = 13657,8
227,63x = 13657,8 |:227,63
x = 60

L={ 60 }