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Prozentuale Veränderung

Beispiel:

Ordne der prozentualen Veränderung +12% den richtigen Faktor zu:

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Eine prozentuale Veränderung um +12% bedeutet doch, dass aus den ursprünglichen 100%
100% +12%, also 112% gemacht werden.

Um diese 112% wieder als normale Zahl umzurechnen, teilen wir sie einfach durch 112:100 = 1,12.

112% sind also das 1,12-fache von 100%

Somit entspricht eine Veränderung um 12% einer Multiplikation mit den Faktor 1,12.

Erhöhung/Senkung um Faktor

Beispiel:

Ordne dem Faktor 0,7 die richtige prozentuale Veränderung zu:

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Eine Multiplikation mit den Faktor 0,7 bedeutet doch, dass aus den ursprünglichen 100%
100% ⋅0,7, also 70% gemacht werden.

Und diese 70% sind ja 30% weniger als 100%

Somit entspricht eine Multiplikation mit den Faktor 0,7 einer prozentuale Veränderung um - 30%.

Prozentwert - prozentuale Änderung

Beispiel:

Wenn man 93 um 7,7% erhöht, so erhält man ...

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Für die Erhöhung multipliziert man den Prozentsatz als Dezimalzahl (0.077) mit dem Grundwert (93):
also 0.077 ⋅ 93 = 7.161 (nur Erhöhung)

Dazu kommt noch der ursprüngliche Wert (93), so dass der gesuchte erhöhte Wert 93 + 7.161 = 100.16 ist.

Schneller geht's wenn man die 93 einfach mit (1+0.077) = 1.077 multipliziert.

93 ⋅ 1.077 = 100.16.

Berechnung des Grundwertes

Beispiel:

90 km entsprechen 125% sind. Wie groß war der Grundwert (100%) ?

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125% sind 90 km

Beides durch 125 dividieren

also gilt 1% ≙ 90 125 km = 0,72 km

Beides mit 100 multiplizieren

Für den Grundwert gilt dann: 100% ≙ 72km

Oder schneller:

G = 90 1,25 km = 72km

Prozentwert bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Prozentwert: 46% von 69.

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Man multipliziert den Prozentsatz als Dezimalzahl (0,46) mit dem Grundwert (69):
also 0,46 ⋅ 69 = 31,74 = 31,74

Berechnung des Prozentsatzes

Beispiel:

Bei einem Konzert wird der Preis einer Eintrittskarte mit 45€ beworben. Tatsächlich kommt aber noch eine Vorverkaufsgebühr dazu, so dass man letztendlich 47€ bezahlen muss. Bestimme den prozentualen Aufschlag den für die Vorverkaufsgebühr bezahlen muss.

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Man teilt den Prozentwert (2) durch den Grundwert (45):
also 2:45 ≈ 0,0444 ≈ 4,4%

summierter Grundwert, Anwendung

Beispiel:

Ein Jeans wurde um 10% reduziert und kostet nun nur noch 117. Wieviel hat sie ursprünglich gekostet?

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Da der Grundwert um 10% verkleinert wurde, entspricht der Rest von 117 eben gerade 100%-10% = 90 %.

90% sind also 117

Beides durch 9 dividieren

also gilt 10% ≙ 117 9 = 13

Beides mit 10 multiplizieren

Für den Grundwert gilt dann: 100% ≙ 130

oder als kürzere Rechnung...

Grundwert G= 117 1-0,1 = 117 0,9 = 130

summierter Prozentwert, Anwendungen

Beispiel:

Ein Caterer hat für ein Event 400 Essen vorbereitet. Da fällt ihm ein, dass er ja auch noch zusätzliche Essen für die Vegetarier zubereiten muss. Erfahrunsgemäß kommen auf 100 "Fleischesser" 18 Vegetarier. Wie viele Essen muss er insgesamt zubereiten?

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Man multipliziert den Prozentsatz als Dezimalzahl (0,18) mit dem Grundwert (400) und erhält so den Prozentwert 0,18 ⋅ 400 = 72.
Diesen muss man nun noch zum Grundwert addieren und erhält so den gesuchten Wert 400 + 72 = 472.

Schneller geht's wenn man die 400 einfach mit (1+0,18) = 1,18 multipliziert.

400 ⋅ 1,18 = 472.

summierter Grundwert, Anwendung

Beispiel:

Ein Zimmermann stellt einem Kunden eine Rechnung über 2618€ aus. Wieviel darf er für sich behalten, nachdem er die Mehrwertsteuer von 19% an das Finanzamt abgeführt hat?

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Da der Grundwert um 19% vergrößert wurde, entspricht der vergrößerte Wert von 2618 eben gerade 100% + 19% = 119 %.

119% sind also 2618

Beides durch 119 dividieren

also gilt 1% ≙ 2618 119 = 22

Beides mit 100 multiplizieren

Für den Grundwert gilt dann: 100% ≙ 2200

oder als kürzere Rechnung...

Grundwert G= 2618 1+0,19 = 2618 1,19 = 2200

Gleichungen mit Prozenten

Beispiel:

Herr Schlauberger kauft nach einem Tipp 50 Aktien der Firma TechnoMath. Nach ein paar Tagen sinkt der Kurs der Aktie um 10%. Herr Schlauberger möchte den günstigen Kurs nützen und kauft gleich nochmal 100 Aktien. Als der Kurs schließlich nochmal um weitere 7% sinkt kauft er gleich nochmal 100 Stück. Insgesamt hat Herr Schlauberger nun 13422€ ausgegeben. Wie viel kostete eine Aktie bei seinem ersten Kauf?

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50x +90x +83,7x = 13422
223,7x = 13422 |:223,7
x = 60

L={ 60 }