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Prozentuale Veränderung

Beispiel:

Ordne der prozentualen Veränderung -2,5% den richtigen Faktor zu:

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Eine prozentuale Veränderung um -2,5% bedeutet doch, dass aus den ursprünglichen 100%
100% -2,5%, also 97,5% gemacht werden.

Um diese 97,5% wieder als normale Zahl umzurechnen, teilen wir sie einfach durch 97.5:100 = 0,975.

97,5% sind also das 0,975-fache von 100%

Somit entspricht eine Veränderung um 2,5% einer Multiplikation mit den Faktor 0,975.

Erhöhung/Senkung um Faktor

Beispiel:

Ordne dem Faktor 1,02 die richtige prozentuale Veränderung zu:

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Eine Multiplikation mit den Faktor 1,02 bedeutet doch, dass aus den ursprünglichen 100%
100% ⋅1,02, also 102% gemacht werden.

Und diese 102% sind ja 2% mehr als 100%

Somit entspricht eine Multiplikation mit den Faktor 1,02 einer prozentuale Veränderung um + 2%.

Prozentwert - prozentuale Änderung

Beispiel:

Wenn man 42 um 57% erhöht, so erhält man ...

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Für die Erhöhung multipliziert man den Prozentsatz als Dezimalzahl (0.57) mit dem Grundwert (42):
also 0.57 ⋅ 42 = 23.94 (nur Erhöhung)

Dazu kommt noch der ursprüngliche Wert (42), so dass der gesuchte erhöhte Wert 42 + 23.94 = 65.94 ist.

Schneller geht's wenn man die 42 einfach mit (1+0.57) = 1.57 multipliziert.

42 ⋅ 1.57 = 65.94.

Berechnung des Grundwertes

Beispiel:

300 € entsprechen 15% sind. Wie groß war der Grundwert (100%) ?

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15% sind 300 €

Beides durch 15 dividieren

also gilt 1% ≙ 300 15 € = 20 €

Beides mit 100 multiplizieren

Für den Grundwert gilt dann: 100% ≙ 2000€

Oder schneller:

G = 300 0,15 € = 2000€

Prozentwert - prozentuale Änderung

Beispiel:

Wenn man 81 um 61% erhöht, so erhält man ...

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Für die Erhöhung multipliziert man den Prozentsatz als Dezimalzahl (0.61) mit dem Grundwert (81):
also 0.61 ⋅ 81 = 49.41 (nur Erhöhung)

Dazu kommt noch der ursprüngliche Wert (81), so dass der gesuchte erhöhte Wert 81 + 49.41 = 130.41 ist.

Schneller geht's wenn man die 81 einfach mit (1+0.61) = 1.61 multipliziert.

81 ⋅ 1.61 = 130.41.

Berechnung des Prozentsatzes

Beispiel:

Bei einem Konzert wird der Preis einer Eintrittskarte mit 50€ beworben. Tatsächlich kommt aber noch eine Vorverkaufsgebühr dazu, so dass man letztendlich 53€ bezahlen muss. Bestimme den prozentualen Aufschlag den für die Vorverkaufsgebühr bezahlen muss.

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Man teilt den Prozentwert (3) durch den Grundwert (50):
also 3:50 = 0,06 = 6%

summierter Grundwert, Anwendung

Beispiel:

Bei einem Konzert kostet eine Eintrittskarte 74,2€. Darin ist bereits die Vorverkaufsgebühr von 6% enthalten. Wie viel Euro würde das Konzert ohne Vorverkaufsgebühr kosten?

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Da der Grundwert um 6% vergrößert wurde, entspricht der vergrößerte Wert von 74,2 eben gerade 100% + 6% = 106 %.

106% sind also 74.2

Beides durch 106 dividieren

also gilt 1% ≙ 74.2 106 = 0,7

Beides mit 100 multiplizieren

Für den Grundwert gilt dann: 100% ≙ 70

oder als kürzere Rechnung...

Grundwert G= 74,2 1+0,06 = 74,2 1,06 = 70

summierter Prozentwert, Anwendungen

Beispiel:

Ein Zimmermann schreibt eine Rechnung über 1000€ für seine Leistungen. Am Schluss muss er noch die Mehrwertsteuer (19%) draufschlagen. Wie viel Euro muss der Kunde schließlich überweisen?

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Man multipliziert den Prozentsatz als Dezimalzahl (0,19) mit dem Grundwert (1000) und erhält so den Prozentwert 0,19 ⋅ 1000 = 190.
Diesen muss man nun noch zum Grundwert addieren und erhält so den gesuchten Wert 1000 + 190 = 1190.

Schneller geht's wenn man die 1000 einfach mit (1+0,19) = 1,19 multipliziert.

1000 ⋅ 1,19 = 1190.

Prozentsatz bestimmen, Anwendung

Beispiel:

Ein Caterer glaubt, dass von seinen 48 Kunden 10 Vegetarier sind. Gib den Vegetarieranteil in Prozent an.

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Man teilt den Prozentwert (10) durch den Grundwert (48):
also 10:48 ≈ 0,2083 ≈ 20,8%

Gleichungen mit Prozenten

Beispiel:

Herr Schlauberger kauft nach einem Tipp 50 Aktien der Firma TechnoMath. Nach ein paar Tagen sinkt der Kurs der Aktie um 7%. Herr Schlauberger möchte den günstigen Kurs nützen und kauft gleich nochmal 100 Aktien. Als der Kurs schließlich nochmal um weitere 8% sinkt kauft er gleich nochmal 100 Stück. Insgesamt hat Herr Schlauberger nun 12570,8€ ausgegeben. Wie viel kostete eine Aktie bei seinem ersten Kauf?

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50x +93x +85,56x = 12570,8
228,56x = 12570,8 |:228,56
x = 55

L={ 55 }