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Prozentuale Veränderung

Beispiel:

Ordne der prozentualen Veränderung +20% den richtigen Faktor zu:

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Eine prozentuale Veränderung um +20% bedeutet doch, dass aus den ursprünglichen 100%
100% +20%, also 120% gemacht werden.

Um diese 120% wieder als normale Zahl umzurechnen, teilen wir sie einfach durch 120:100 = 1,2.

120% sind also das 1,2-fache von 100%

Somit entspricht eine Veränderung um 20% einer Multiplikation mit den Faktor 1,2.

Erhöhung/Senkung um Faktor

Beispiel:

Ordne dem Faktor 1,08 die richtige prozentuale Veränderung zu:

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Eine Multiplikation mit den Faktor 1,08 bedeutet doch, dass aus den ursprünglichen 100%
100% ⋅1,08, also 108% gemacht werden.

Und diese 108% sind ja 8% mehr als 100%

Somit entspricht eine Multiplikation mit den Faktor 1,08 einer prozentuale Veränderung um + 8%.

Prozentwert - prozentuale Änderung

Beispiel:

Wenn man 96 um 29% vermindert, so erhält man ...

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Für die Verminderung multipliziert man den Prozentsatz als Dezimalzahl (0.29) mit dem Grundwert (96):
also 0.29 ⋅ 96 = 27.84 (nur Verminderung)

Diesen muss man vom ursprünglichen Wert (96) abziehen, so dass der gesuchte verminderte Wert 96 - 27.84 = 68.16 ist.

Schneller geht's wenn man die 96 einfach mit (1-0.29) = 0.71 multipliziert.

96 ⋅ 0.71 = 68.16.

Berechnung des Grundwertes

Beispiel:

8 km entsprechen 40% sind. Wie groß war der Grundwert (100%) ?

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40% sind 8 km

Beides durch 4 dividieren

also gilt 10% ≙ 8 4 km = 2 km

Beides mit 10 multiplizieren

Für den Grundwert gilt dann: 100% ≙ 20km

Oder schneller:

G = 8 0,4 km = 20km

Prozentwert - prozentuale Änderung

Beispiel:

Wenn man 97 um 80% vermindert, so erhält man ...

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Für die Verminderung multipliziert man den Prozentsatz als Dezimalzahl (0.8) mit dem Grundwert (97):
also 0.8 ⋅ 97 = 77.6 (nur Verminderung)

Diesen muss man vom ursprünglichen Wert (97) abziehen, so dass der gesuchte verminderte Wert 97 - 77.6 = 19.4 ist.

Schneller geht's wenn man die 97 einfach mit (1-0.8) = 0.2 multipliziert.

97 ⋅ 0.2 = 19.4.

Berechnung des Prozentsatzes

Beispiel:

Eine Jeans wird im Schlussverkauf von 135€ auf 80€ heruntergesetzt. Um welchen Prozentsatz wurde die Jeans reduziert?

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Man teilt den Prozentwert (55) durch den Grundwert (135):
also 55:135 ≈ 0,4074 ≈ 40,7%

summierter Grundwert, Anwendung

Beispiel:

Ein Jeans wurde um 40% reduziert und kostet nun nur noch 72. Wieviel hat sie ursprünglich gekostet?

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Da der Grundwert um 40% verkleinert wurde, entspricht der Rest von 72 eben gerade 100%-40% = 60 %.

60% sind also 72

Beides durch 6 dividieren

also gilt 10% ≙ 72 6 = 12

Beides mit 10 multiplizieren

Für den Grundwert gilt dann: 100% ≙ 120

oder als kürzere Rechnung...

Grundwert G= 72 1-0,4 = 72 0,6 = 120

summierter Prozentwert, Anwendungen

Beispiel:

Ein Zimmermann schreibt eine Rechnung über 4500€ für seine Leistungen. Am Schluss muss er noch die Mehrwertsteuer (19%) draufschlagen. Wie viel Euro muss der Kunde schließlich überweisen?

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Man multipliziert den Prozentsatz als Dezimalzahl (0,19) mit dem Grundwert (4500) und erhält so den Prozentwert 0,19 ⋅ 4500 = 855.
Diesen muss man nun noch zum Grundwert addieren und erhält so den gesuchten Wert 4500 + 855 = 5355.

Schneller geht's wenn man die 4500 einfach mit (1+0,19) = 1,19 multipliziert.

4500 ⋅ 1,19 = 5355.

summierter Grundwert, Anwendung

Beispiel:

Ein Caterer hat für ein Event insgesamt 336 Essen vorbereitet. Die meisten sind fleischhaltig, manche aber auch vegetarisch. Dabei geht er immer nach dem selben Schlüssel vor: Auf 100 fleischhaltige Essen kommen 12 vegetarische. Wie viele fleischhaltige Essen hat er zubereitet?

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Da der Grundwert um 12% vergrößert wurde, entspricht der vergrößerte Wert von 336 eben gerade 100% + 12% = 112 %.

112% sind also 336

Beides durch 112 dividieren

also gilt 1% ≙ 336 112 = 3

Beides mit 100 multiplizieren

Für den Grundwert gilt dann: 100% ≙ 300

oder als kürzere Rechnung...

Grundwert G= 336 1+0,12 = 336 1,12 = 300

Gleichungen mit Prozenten

Beispiel:

Herr Schlauberger kauft nach einem Tipp 50 Aktien der Firma TechnoMath. Nach ein paar Tagen sinkt der Kurs der Aktie um 5%. Herr Schlauberger möchte den günstigen Kurs nützen und kauft gleich nochmal 100 Aktien. Als der Kurs schließlich nochmal um weitere 6% sinkt kauft er gleich nochmal 100 Stück. Insgesamt hat Herr Schlauberger nun 14058€ ausgegeben. Wie viel kostete eine Aktie bei seinem ersten Kauf?

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50x +95x +89,3x = 14058
234,3x = 14058 |:234,3
x = 60

L={ 60 }