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Prozentuale Veränderung

Beispiel:

Ordne der prozentualen Veränderung +9% den richtigen Faktor zu:

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Eine prozentuale Veränderung um +9% bedeutet doch, dass aus den ursprünglichen 100%
100% +9%, also 109% gemacht werden.

Um diese 109% wieder als normale Zahl umzurechnen, teilen wir sie einfach durch 109:100 = 1,09.

109% sind also das 1,09-fache von 100%

Somit entspricht eine Veränderung um 9% einer Multiplikation mit den Faktor 1,09.

Erhöhung/Senkung um Faktor

Beispiel:

Ordne dem Faktor 0,98 die richtige prozentuale Veränderung zu:

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Eine Multiplikation mit den Faktor 0,98 bedeutet doch, dass aus den ursprünglichen 100%
100% ⋅0,98, also 98% gemacht werden.

Und diese 98% sind ja 2% weniger als 100%

Somit entspricht eine Multiplikation mit den Faktor 0,98 einer prozentuale Veränderung um - 2%.

Prozentwert - prozentuale Änderung

Beispiel:

Wenn man 50 um 59% vermindert, so erhält man ...

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Für die Verminderung multipliziert man den Prozentsatz als Dezimalzahl (0.59) mit dem Grundwert (50):
also 0.59 ⋅ 50 = 29.5 (nur Verminderung)

Diesen muss man vom ursprünglichen Wert (50) abziehen, so dass der gesuchte verminderte Wert 50 - 29.5 = 20.5 ist.

Schneller geht's wenn man die 50 einfach mit (1-0.59) = 0.41 multipliziert.

50 ⋅ 0.41 = 20.5.

Berechnung des Grundwertes

Beispiel:

30 km entsprechen 175% sind. Wie groß war der Grundwert (100%) ?

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175% sind 30 km

Beides durch 175 dividieren

also gilt 1% ≙ 30 175 km ≈ 0,1714 km

Beides mit 100 multiplizieren

Für den Grundwert gilt dann: 100% ≙ 17,14km

Oder schneller:

G = 30 1,75 km ≈ 17,14km

Prozentwert - prozentuale Änderung

Beispiel:

Wenn man 37 um 5% erhöht, so erhält man ...

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Für die Erhöhung multipliziert man den Prozentsatz als Dezimalzahl (0.05) mit dem Grundwert (37):
also 0.05 ⋅ 37 = 1.85 (nur Erhöhung)

Dazu kommt noch der ursprüngliche Wert (37), so dass der gesuchte erhöhte Wert 37 + 1.85 = 38.85 ist.

Schneller geht's wenn man die 37 einfach mit (1+0.05) = 1.05 multipliziert.

37 ⋅ 1.05 = 38.85.

Berechnung des Prozentsatzes

Beispiel:

Eine Jeans wird im Schlussverkauf von 135€ auf 95€ heruntergesetzt. Um welchen Prozentsatz wurde die Jeans reduziert?

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Man teilt den Prozentwert (40) durch den Grundwert (135):
also 40:135 ≈ 0,2963 ≈ 29,6%

summierter Grundwert, Anwendung

Beispiel:

Ein Caterer hat für ein Event insgesamt 366 Essen vorbereitet. Die meisten sind fleischhaltig, manche aber auch vegetarisch. Dabei geht er immer nach dem selben Schlüssel vor: Auf 100 fleischhaltige Essen kommen 22 vegetarische. Wie viele fleischhaltige Essen hat er zubereitet?

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Da der Grundwert um 22% vergrößert wurde, entspricht der vergrößerte Wert von 366 eben gerade 100% + 22% = 122 %.

122% sind also 366

Beides durch 122 dividieren

also gilt 1% ≙ 366 122 = 3

Beides mit 100 multiplizieren

Für den Grundwert gilt dann: 100% ≙ 300

oder als kürzere Rechnung...

Grundwert G= 366 1+0,22 = 366 1,22 = 300

summierter Prozentwert, Anwendungen

Beispiel:

Herr Uklatsch erzählt stolz, dass er von seinen ursprünglichen 110 kg volle 25% abgenommen hat. Wie schwer ist er jetzt noch?

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Man multipliziert den Prozentsatz als Dezimalzahl (0,25) mit dem Grundwert (110) und erhält so den Prozentwert 0,25 ⋅ 110 = 27,5.
Diesen muss man nun noch vom Grundwert subtrahieren und erhält so den gesuchten Wert 110 - 27,5 = 82,5.

Schneller geht's wenn man die 110 einfach mit (1-0,25) = 0,75 multipliziert.

110 ⋅ 0,75 = 82.5.

summierter Grundwert, Anwendung

Beispiel:

Bei einem Konzert kostet eine Eintrittskarte 70,85€. Darin ist bereits die Vorverkaufsgebühr von 9% enthalten. Wie viel Euro würde das Konzert ohne Vorverkaufsgebühr kosten?

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Da der Grundwert um 9% vergrößert wurde, entspricht der vergrößerte Wert von 70,85 eben gerade 100% + 9% = 109 %.

109% sind also 70.85

Beides durch 109 dividieren

also gilt 1% ≙ 70.85 109 = 0,65

Beides mit 100 multiplizieren

Für den Grundwert gilt dann: 100% ≙ 65

oder als kürzere Rechnung...

Grundwert G= 70,85 1+0,09 = 70,85 1,09 = 65

Gleichungen mit Prozenten

Beispiel:

Herr Schlauberger kauft nach einem Tipp 50 Aktien der Firma TechnoMath. Nach ein paar Tagen sinkt der Kurs der Aktie um 9%. Herr Schlauberger möchte den günstigen Kurs nützen und kauft gleich nochmal 100 Aktien. Als der Kurs schließlich nochmal um weitere 5% sinkt kauft er gleich nochmal 100 Stück. Insgesamt hat Herr Schlauberger nun 11372,5€ ausgegeben. Wie viel kostete eine Aktie bei seinem ersten Kauf?

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50x +91x +86,45x = 11372,5
227,45x = 11372,5 |:227,45
x = 50

L={ 50 }