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Quadrate über rechtwinkl. Dreieck

Beispiel:

Berechne den Flächeninhalt der roten Fläche A.

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Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

16 + 6² = A

16 + 36 = A

52 = A

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = 52 cm².

Flächeninhalt eines rechtwinkl. Dreiecks

Beispiel:

Berechne den Flächeninhalt des abgebildeten rechtwinkligen Dreiecks.

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Als erstes berechnen wir die Länge der anderen Kathete:

Im vorliegenden rechtwinkligen Dreieck sind eine Kathete und die Hypotenuse (längste Seite gegenüber dem rechten Winkel) gegeben.

Somit kann man ganz einfach den Satz des Pythagoras anwenden:

16² + b² = 65²

256 + b² = 4225 | - 256

b² = 3969 | $\sqrt[]{\cdot}$

b = 63

Da im rechtwinkligen Dreieck ja immer die eine Kathete gleichzeitig die Höhe auf der andere Kathete ist, kann man den Flächeninhalt ganz einfach berechnen als:

A = $\frac{1}{2}$ ⋅ 16 cm ⋅ 63 cm

also A = 504 cm²

Pythagoras im Rechteck und Dreieck

Beispiel:

Berechne die fehlende Länge d im abgebildeten Rechteck.

Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

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Im vorliegenden Rechteck sind teilt die rote Diagonale das Rechteck in zwei (kongruente) Dreiecke. In einem dieser beiden rechtwinkligen Dreiecke können wir mit Hilfe des Satzes des Pythagoras die fehlende Strecke d berechnen.

6² + 9² = d²

36 + 81 = d²

117 = d² | $\sqrt[]{\cdot}$

d = $\sqrt{117}$ ≈ 10.82

Die gesuchte Länge ist somit d ≈ 10.82 cm.

Pyth. im Rechteck und Dreieck (ohne Skizze)

Beispiel:

In einem Rechteck sind die beiden Seitenlängen mit a=12 mm und b=10 mm gegeben. Berechne die Länge der Diagonalen des Rechtecks.

Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

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Im vorliegenden Rechteck sind teilt die rote Diagonale das Rechteck in zwei (kongruente) Dreiecke. In einem dieser beiden rechtwinkligen Dreiecke können wir mit Hilfe des Satzes des Pythagoras die fehlende Strecke d berechnen.

12² + 10² = d²

144 + 100 = d²

244 = d² | $\sqrt[]{\cdot}$

d = $\sqrt{244}$ ≈ 15.62

Die gesuchte Länge ist somit d ≈ 15.62 mm.

Pythagoras rückwärts 1

Beispiel:

Gegeben ist ein gleichseitiges Dreieck mit dem Flächeninhalt A=30 mm² Berechne die Seitenlänge a dieses gleichseitigen Dreieck.

Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

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Mit Hilfe des Satzes des Pythagoras können wir die Höhe im gleichseitigen Dreieck in Abhängigkeit von der Seitenlänge a ausdrücken. Dabei gilt:

${(\frac{1}{2} a)}^{2}$ + h² = a²

$\frac{a²}{4}$ + h² = a² | - $\frac{a²}{4}$

h² = $\frac{3}{4}$ a² | $\sqrt[]{\cdot}$

h = $\sqrt{\frac{3}{4} a²}$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ a

Für den Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks gilt dann:

A = $\frac{1}{2}$ ⋅ a ⋅ h = $\frac{1}{2}$ ⋅ a ⋅ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ a = $\frac{\sqrt{3}}{4}$ a²

Somit gilt in unserem Fall:

30 = $\frac{\sqrt{3}}{4}$ a² | ⋅ $\frac{4}{\sqrt{3}}$

69.282 ≈ a² | $\sqrt[]{\cdot}$

Wenn man nun auf beiden Seiten die Wurzel zieht erhält man für die Seitenlänge a :

a ≈ $\sqrt{69.282}$ mm ≈ 8.31 mm

Pythagoras rückwärts 2

Beispiel:

Gegeben ist ein Rechteck mit der Diagonalenlänge d=25 cm und dem Umfang 62 cm.

Berechne den Flächeninhalt des Rechtecks.

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Wenn wir die beiden Seitenlängen des Rechtecks a und b nennen, gilt für den Umfang:

I: U=2⋅a + 2⋅b

Außerdem können wir mit Hilfe des Satzes des Pythagoras die Länge der Diagonalen eines Rechtecks in Abhängigkeit von a und b ausdrücken. Dabei gilt:

II: a² + b² = d²

Konkret in dieser Aufgabe bedeutet das:

I: 62=2⋅a + 2⋅b | :2

II: a² + b² = 25²

vereinfacht

I: 31=a + b

II: a² + b² = 625

Wenn wir nun die erste Gleichung nach b auflösen erhalten wir

I: b = 31 - a

II: a² + b² = 625

Jetzt setzen wir das b in Gleichung I in die Gleichung II ein:

II: a² + (31 - a)² = 625

Durch Ausmultiplizieren mit der binomischen Formel erhalten wir:

$a^{2} + a^{2} - 62 a + 961$	=	$625$
$2 a^{2} - 62 a + 961$	=	$625$	\| $- 625$

2 a^{2} - 62 a + 336

= 0 |:2

$a^{2} - 31 a + 168$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

a_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{{(- 31)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 168}}{2 \cdot 1}$

a_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{961 - 672}}{2}$

a_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{289}}{2}$

a₁ = $\frac{31 + \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{31+17}{2}$ = $\frac{48}{2}$ = $24$

a₂ = $\frac{31 - \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{31-17}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{31}{2})}^{2} - 168$ = $\frac{961}{4}$ $-$ $168$ = $\frac{961}{4}$ $-$ $\frac{672}{4}$ = $\frac{289}{4}$

x_1,2 = $\frac{31}{2}$ ± $\sqrt{\frac{289}{4}}$

x₁ = $\frac{31}{2}$ - $\frac{17}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

x₂ = $\frac{31}{2}$ + $\frac{17}{2}$ = $\frac{48}{2}$ = 24

Man kann erkennen, dass die Summe der beiden Lösungen gerade wieder den halben Umfang ergibt (vergleiche Gleichung I oben)

(I) 31 = 24 + 7

Das bedeutet, dass die beiden Lösungen gerade die beiden gesuchten Seitenlängen des Rechtecks sind.

Jetzt ist der Flächeninhalt des Rechtecks leicht zu berechnnen:

A = a ⋅ b = 24 cm ⋅ 7 cm = 168 cm²

Abstand zweier Punkte

Beispiel:

Berechne den Abstand der beiden Punkte A(-5|-5) und B(-4|4) im Koordinatensystem.

Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

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Wie man in der Skizze rechts gut erkennen kann, lässt sich der Abstand zwischen zwei Punkten als Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.

Dabei ist die Länge der waagrechten Kathete gerade die Differenz der x-Werte der beiden Punkte:
dx = -4 - ( - 5 ) = 1

Und die Länge der senkrechten Kathete ist die Differenz der y-Werte der beiden Punkte:
dy = 4 - ( - 5 ) = 9

Jetzt können wir den Satz des Pythagoras anwenden:

d² = 1² + 9²

d² = 1 + 81

d² = 82

d = $\sqrt{82}$ ≈ 9.06

Für den Abstand der beiden Punkte gilt also: d ≈ 9.06

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Quadrate über rechtwinkl. Dreieck

Flächeninhalt eines rechtwinkl. Dreiecks

Pythagoras im Rechteck und Dreieck

Pyth. im Rechteck und Dreieck (ohne Skizze)

Pythagoras rückwärts 1

Pythagoras rückwärts 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Abstand zweier Punkte