Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {2; 4; 6; 7; 10} und B = {2; 3; 6; 10}.

Die Menge $A$ ∪ $B$ umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die in der Menge A={2; 4; 6; 7; 10} oder in der Menge B={2; 3; 6; 10} sind,
also $A$ ∪ $B$ = {2; 3; 4; 6; 7; 10}

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge B = {1; 3; 6}.

Die Menge $\bar{B}$ umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die nicht in der Menge B={1; 3; 6} sind,
also $\bar{B}$ = {2; 4; 5; 7; 8; 9; 10}

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} und die Mengen A = {1; 2; 6; 7; 9} und B = {2; 4; 6; 8}.

Um die Menge $A$ ∩ $\bar{B}$ bestimmen zu können, müssen wir erst noch die Menge $\bar{B}$ bestimmen.

Die Menge $\bar{B}$ umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}, die nicht in der Menge B={2; 4; 6; 8} sind,
also $\bar{B}$ = {1; 3; 5; 7; 9}

Die Menge $A$ ∩ $\bar{B}$ umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}, die sowohl in der Menge A={1; 2; 6; 7; 9}, als auch in der Menge $\bar{B}$={1; 3; 5; 7; 9} sind,
also $A$ ∩ $\bar{B}$ = {1; 7; 9}

Da alle Elemente aus S gleich wahrscheinlich sind, kann man nun die gesuchte Wahrscheinlichkeit über die Anzahl der Elemente der Mengen bestimmen:

P( $A$ ∩ $\bar{B}$) = $\frac{|A\cap \bar{B}|}{\mathrm{|S|}}$ = $\frac{3}{9}$ = $\frac{1}{3}$

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {4; 7; 9; 10} und B = {5; 10}.

Die Menge $A$ ∩ $B$ umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die sowohl in der Menge A={4; 7; 9; 10}, als auch in der Menge B={5; 10} sind,
also $A$ ∩ $B$ = {10}

In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

H(B) + 211 = 541

Somit gilt: H(B) = 541 - 211 = 330

	$B$	$\bar{B}$
$A$			167
$\bar{A}$		181
	330	211	541

In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

H(A ∩ $\bar{B}$) + 181 = 211

Somit gilt: H(A ∩ $\bar{B}$) = 211 - 181 = 30

	$B$	$\bar{B}$
$A$		30	167
$\bar{A}$		181
	330	211	541

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

167 + H( $\bar{A}$) = 541

Somit gilt: H( $\bar{A}$) = 541 - 167 = 374

	$B$	$\bar{B}$
$A$		30	167
$\bar{A}$		181	374
	330	211	541

In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

H(A ∩ B) + 30 = 167

Somit gilt: H(A ∩ B) = 167 - 30 = 137

	$B$	$\bar{B}$
$A$	137	30	167
$\bar{A}$		181	374
	330	211	541

In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

H( $\bar{A}$ ∩ B) + 181 = 374

Somit gilt: H( $\bar{A}$ ∩ B) = 374 - 181 = 193

	$B$	$\bar{B}$
$A$	137	30	167
$\bar{A}$	193	181	374
	330	211	541

Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P(A)+P( $\bar{A}$) = P(B)+P( $\bar{B}$) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass $\bar{A}$ gilt 100%.

	$B$	$\bar{B}$
$A$		0,59	0,73
$\bar{A}$		0,03
			1

In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

P(A ∩ B) + 0.59 = 0.73

Somit gilt: P(A ∩ B) = 0.73 - 0.59 = 0.14

	$B$	$\bar{B}$
$A$	0,14	0,59	0,73
$\bar{A}$		0,03
			1

In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.59 + 0.03 = P( $\bar{B}$)

Somit gilt: P( $\bar{B}$) = 0.59 + 0.03 = 0.62

	$B$	$\bar{B}$
$A$	0,14	0,59	0,73
$\bar{A}$		0,03
		0,62	1

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.73 + P( $\bar{A}$) = 1

Somit gilt: P( $\bar{A}$) = 1 - 0.73 = 0.27

	$B$	$\bar{B}$
$A$	0,14	0,59	0,73
$\bar{A}$		0,03	0,27
		0,62	1

In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

P( $\bar{A}$ ∩ B) + 0.03 = 0.27

Somit gilt: P( $\bar{A}$ ∩ B) = 0.27 - 0.03 = 0.24

	$B$	$\bar{B}$
$A$	0,14	0,59	0,73
$\bar{A}$	0,24	0,03	0,27
		0,62	1

In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

P(B) + 0.62 = 1

Somit gilt: P(B) = 1 - 0.62 = 0.38

	$B$	$\bar{B}$
$A$	0,14	0,59	0,73
$\bar{A}$	0,24	0,03	0,27
	0,38	0,62	1

Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

$A$: nah

$\bar{A}$: nicht nah, also entfernt

$B$: Fahrrad/Fuß

$\bar{B}$: nicht Fahrrad/Fuß, also Bus/Auto

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

	$B$ (Fahrrad/Fuß)	$\bar{B}$ (Bus/Auto)
$A$ (nah)	165		305
$\bar{A}$ (entfernt)		349
	236

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:

Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden

	$B$ (Fahrrad/Fuß)	$\bar{B}$ (Bus/Auto)
$A$ (nah)	165	140	305
$\bar{A}$ (entfernt)	71	349	420
	236	489	725

Der gesuchte Wert, Anzahl der Schüler der Schule, ist also 725.

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

$A$: weiblich

$\bar{A}$: nicht weiblich, also männlich

$B$: Fußballfan

$\bar{B}$: nicht Fußballfan, also kein Fan

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

	$B$ (Fußballfan)	$\bar{B}$ (kein Fan)
$A$ (weiblich)			0,5
$\bar{A}$ (männlich)

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe $P\left(A\right)$+ $P\left(\bar{A}\right)$ = $P\left(B\right)$+ $P\left(\bar{B}\right)$ = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ gilt oder dass $\bar{A}$ gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

	$B$ (Fußballfan)	$\bar{B}$ (kein Fan)
$A$ (weiblich)			0,5
$\bar{A}$ (männlich)			0,5
			1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "weiblich" sind es 12% kann man die Wahrscheinlichkeit
= 0,5 ⋅ 0,12 = 0,06 berechnen.

	$B$ (Fußballfan)	$\bar{B}$ (kein Fan)
$A$ (weiblich)	0,06		0,5
$\bar{A}$ (männlich)			0,5
			1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "männlich" sind es 35% kann man die Wahrscheinlichkeit
= 0,5 ⋅ 0,35 = 0,175 berechnen.

	$B$ (Fußballfan)	$\bar{B}$ (kein Fan)
$A$ (weiblich)	0,06		0,5
$\bar{A}$ (männlich)	0,175		0,5
			1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

	$B$ (Fußballfan)	$\bar{B}$ (kein Fan)
$A$ (weiblich)	0,06	0,44	0,5
$\bar{A}$ (männlich)	0,175	0,325	0,5
	0,235	0,765	1

Gesucht ist ja, der Prozentsatz der Frauen unter den Fußballfans, also $P_B\left(A\right)$ = $\frac{\mathrm{P(}B\cap A)}{\mathrm{P(}B)}$ = $\frac{\mathrm{0.06}}{\mathrm{0.235}}$

Der gesuchte Wert, der Prozentsatz der Frauen unter den Fußballfans, ist also 0.2553 = 25.53%.

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

$A$: über 80

$\bar{A}$: nicht über 80, also höchstens 80

$B$: sterben

$\bar{B}$: nicht sterben, also überleben

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

	$B$ (sterben)	$\bar{B}$ (überleben)
$A$ (über 80)
$\bar{A}$ (höchstens 80)			0,93
	0,0189

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe $P\left(A\right)$+ $P\left(\bar{A}\right)$ = $P\left(B\right)$+ $P\left(\bar{B}\right)$ = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ gilt oder dass $\bar{A}$ gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

	$B$ (sterben)	$\bar{B}$ (überleben)
$A$ (über 80)			0,07
$\bar{A}$ (höchstens 80)			0,93
	0,0189	0,9811	1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "über 80" sind es 15% kann man die Wahrscheinlichkeit
= 0,07 ⋅ 0,15 = 0,0105 berechnen.

	$B$ (sterben)	$\bar{B}$ (überleben)
$A$ (über 80)	0,0105		0,07
$\bar{A}$ (höchstens 80)			0,93
	0,0189	0,9811	1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

	$B$ (sterben)	$\bar{B}$ (überleben)
$A$ (über 80)	0,0105	0,0595	0,07
$\bar{A}$ (höchstens 80)	0,0084	0,9216	0,93
	0,0189	0,9811	1

Der gesuchte Wert, die Wahrscheinlichkeit für unter 80 Jahre und Krankheit überleben, ist also 0.9216 = 92.16%.

$P_A\left(B\right)$ bedeutet die Wahrscheinlichkeit für $B$ unter der Vorraussetzung, dass $A$ bereits eingetroffen ist.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob $A$ gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von $A$ - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für $B$ weiter.)

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
⋅ $P_A\left(B\right)$ = | :

$P_A\left(B\right)$ = $\frac{\mathrm{P(}A\cap B)}{\mathrm{P(}A)}$

oder hier im speziellen:
$\frac{\mathrm{231}}{\mathrm{522}}$ ⋅ x = $\frac{\mathrm{67}}{\mathrm{522}}$ = |:231 ⋅522
also
$P_A\left(B\right)$ = x = $\frac{\mathrm{67}}{\mathrm{231}}$ ≈ 0,29

$P_B\left(A\right)$ bedeutet die Wahrscheinlichkeit für $A$ unter der Vorraussetzung, dass $B$ bereits eingetroffen ist.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob $B$ gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von $B$ - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für $A$ weiter.)

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
⋅ $P_B\left(A\right)$ = | :

$P_B\left(A\right)$ = $\frac{\mathrm{P(}B\cap A)}{\mathrm{P(}B)}$

oder hier im speziellen:
0,15 ⋅ x = 0,05 = |:0,15
also
$P_B\left(A\right)$ = x = $\frac{\mathrm{0,05}}{\mathrm{0,15}}$ ≈ 0,3333

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

$A$: iPhone

$\bar{A}$: nicht iPhone, also anderes Smartphone

$B$: installiert

$\bar{B}$: nicht installiert, also nicht installiert

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

	$B$ (installiert)	$\bar{B}$ (nicht installiert)
$A$ (iPhone)			0,2
$\bar{A}$ (anderes Smartphone)
	0,272

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe $P\left(A\right)$+ $P\left(\bar{A}\right)$ = $P\left(B\right)$+ $P\left(\bar{B}\right)$ = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ gilt oder dass $\bar{A}$ gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

	$B$ (installiert)	$\bar{B}$ (nicht installiert)
$A$ (iPhone)			0,2
$\bar{A}$ (anderes Smartphone)			0,8
	0,272	0,728	1

Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "iPhone" sind es 44%, also $P_A\left(B\right)$,
die Wahrscheinlichkeit
= ⋅ $P_A\left(B\right)$ = 0,2 ⋅ 0,44 = 0,088
berechnen.

	$B$ (installiert)	$\bar{B}$ (nicht installiert)
$A$ (iPhone)	0,088		0,2
$\bar{A}$ (anderes Smartphone)			0,8
	0,272	0,728	1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

	$B$ (installiert)	$\bar{B}$ (nicht installiert)
$A$ (iPhone)	0,088	0,112	0,2
$\bar{A}$ (anderes Smartphone)	0,184	0,616	0,8
	0,272	0,728	1

Gesucht ist ja "die Wahrscheinlichkeit. dass ein Handy mit der App ein iPhone ist", also die Wahrscheinlichkeit für $A$ (iPhone) unter der Vorraussetzung, dass $B$ (installiert) bereits eingetroffen ist - kurz $P_B\left(A\right)$.

Um diese Wahrscheinlichkeit (bzw. prozentualer Anteil) zu bestimmmen, müssen wir nun das Baumdiagramm anders rum zeichnen. Das ist ja aber kein Problem, weil wir bereits die fertige Vierfeldertafel ausgefüllt haben.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob $B$ (installiert) gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von $B$ (installiert) - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für $A$ (iPhone) weiter.)

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
⋅ $P_B\left(A\right)$ = | :

$P_B\left(A\right)$ = $\frac{\mathrm{P(}B\cap A)}{\mathrm{P(}B)}$

oder hier im speziellen:
0,272 ⋅ x = 0,088 = |:0,272
also
$P_B\left(A\right)$ = x = $\frac{\mathrm{0,088}}{\mathrm{0,272}}$ ≈ 0,3235

Der gesuchte Wert (die Wahrscheinlichkeit. dass ein Handy mit der App ein iPhone ist) ist also 0,3235 = 32,35%.

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

$A$: E-Bike

$\bar{A}$: nicht E-Bike, also kein E-Bike

$B$: Mountainbike

$\bar{B}$: nicht Mountainbike, also kein Mountainbike

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

	$B$ (Mountainbike)	$\bar{B}$ (kein Mountainbike)
$A$ (E-Bike)			1008
$\bar{A}$ (kein E-Bike)	418
		1680	2400

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:

Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden

	$B$ (Mountainbike)	$\bar{B}$ (kein Mountainbike)
$A$ (E-Bike)	302	706	1008
$\bar{A}$ (kein E-Bike)	418	974	1392
	720	1680	2400

Um zu überprüfen, ob die beiden Ereignisse A (E-Bike) und B (Mountainbike) stochatisch unabhängig sind, müssen wir die absoluten Zahlen zuerst in relative Häufigkeiten umwandeln. Dazu teilen wir einfach alle Zellen durch den Gesamtwert in der rechten unteren Zelle: 2400. und runden diese auf drei Stellen hinter dem Komma. Wir erhalten so erhalten:

	$B$	$\bar{B}$
$A$	0,126	0,294	0,42
$\bar{A}$	0,174	0,406	0,58
	0,3	0,7	1

Jetzt können wir P(A)=0.42 mit P(B)=0.3 multiplizieren um zu überprüfen, ob dieses Produkt ungefähr den gleichen Wert hat wie
P(A ∩ B)=0.126, also:

P(A) ⋅ P(B) = 0.42 ⋅ 0.3 = 0.126 ≈ 0.126 = P(A ∩ B),
A und B sind also näherungsweise stochastisch unabhängig.

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe $P\left(A\right)$+ $P\left(\bar{A}\right)$ = $P\left(B\right)$+ $P\left(\bar{B}\right)$ = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ gilt oder dass $\bar{A}$ gilt 100%.

	$B$	$\bar{B}$
$A$
$\bar{A}$	0,1428		0,84
			1

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

P(A) + 0.84 = 1

Somit gilt: P(A) = 1 - 0.84 = 0.16

	$B$	$\bar{B}$
$A$			0,16
$\bar{A}$	0,1428		0,84
			1

Weil wir ja wissen, dass die beiden Ereignisse A und B (und damit auch $\bar{A}$ und $B$) stochastisch unabhängig sind, muss gelten:

⋅ =

also 0.84 ⋅ = 0.1428 |: 0.84

somit gilt:

= $\frac{\mathrm{0.1428}}{\mathrm{0.84}}$ = 0.17

	$B$	$\bar{B}$
$A$			0,16
$\bar{A}$	0,1428		0,84
	0,17		1

Jetzt können wir einfach mit den Summen die Vierfeldertafel vollends wie üblich füllen.

	$B$	$\bar{B}$
$A$	0,0272	0,1328	0,16
$\bar{A}$	0,1428	0,6972	0,84
	0,17	0,83	1