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Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{8}{x}$ = $- \frac{1}{2}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{8}{x}$	=	$- \frac{1}{2}$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{8}{x} \cdot x$	=	$- \frac{1}{2} \cdot x$
$- 8$	=	$- \frac{1}{2} x$

$- 8$	=	$- \frac{1}{2} x$	\|⋅ 2
$- 16$	=	$- x$	\| $+ 16$ $+ x$
$x$	=	$16$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $16$ }

Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{1}{x - 7}$ = $- 1$

Lösung einblenden

D=R\{ $7$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 7$ weg!

$\frac{1}{x - 7}$	=	$- 1$	\|⋅( $x - 7$ )
$\frac{1}{x - 7} \cdot (x - 7)$	=	$- 1 \cdot (x - 7)$
$1$	=	$- (x - 7)$

$1$	=	$- x + 7$	\| $- 1$ $+ x$
$x$	=	$6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $6$ }

Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{6 x}{2 x + 2} + \frac{6}{2 x + 2}$ = $- 4$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

- \frac{6 x}{2 (x + 1)} + \frac{6}{2 (x + 1)}

- 4

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$- \frac{6 x}{2 (x + 1)} + \frac{6}{2 (x + 1)}$	=	$- 4$	\|⋅( $x + 1$ )
$- \frac{6 x}{2 (x + 1)} \cdot (x + 1) + \frac{6}{2 (x + 1)} \cdot (x + 1)$	=	$- 4 \cdot (x + 1)$
$- 3 x + 3$	=	$- 4 (x + 1)$

$- 3 x + 3$	=	$- 4 x - 4$	\| $- 3$
$- 3 x$	=	$- 4 x - 7$	\| $+ 4 x$
$x$	=	$- 7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ }

Formel umstellen

Beispiel:

Josephine möchte für den Coopertest trainieren. Ihre Sportlehrerin empfiehlt ihr mit einer konstanten Geschwindigkeit von 220 m/min zu laufen. Welche Strecke legt sie mit dieser Geschwindigkeit in ihrem 40-minütigem Training zurück?

Lösung einblenden

Wir wenden hier die Formel v= $\frac{s}{t}$ an und stellen sie so um, dass die gesuchte Größe s alleine steht:

v= $\frac{s}{t}$ |⋅t

=> v⋅t=s

also s = v⋅t

Jetzt müssen wir nur noch die gegebenen Werte einsetzen und ausrechnen:

s = v⋅t = 220 $\frac{m}{\min}$ ⋅ 40 min = 8800 m